conjonctions de coordination d'une langue comme le français. Mais il sera dès à présent prudent de ne pas trop pousser la comparaison. Car d'une part les connecteurs de LO ne « coordonnent » que des formules, c'est-à-dire des phrases. Et d'autre part, toutes les conjonctions du français ne se traduisent pas forcément par un connecteur logique<fnref n="26" />.

**Définition 2.5 : Connecteur logique**

Un connecteur logique est un symbole de LO qui permet d'assembler deux formules pour former une nouvelle formule.

Une formule est dite complexe si elle est construite à l'aide d'un ou plusieurs connecteurs.

Les connecteurs que nous allons utiliser dans LO sont au nombre de quatre. Le premier s'appelle la **CONJONCTION**, il sera noté par le symbole $\wedge$ et il traduit la conjonction de coordination *et* du français. On l'appelle d'ailleurs aussi le « et logique », car la conjonction est ce connecteur qui permet de construire une formule (ou phrase) qui sera vraie si et seulement si les formules qu'il connecte sont toutes deux vraies.

Le second connecteur est la **DISJONCTION**, il est noté par le symbole $\vee$ et traduit la conjonction française *ou*. C'est donc le « ou logique », et il construit une formule qui est vraie si au moins l'une des deux formules qu'il connecte est vraie.

Le troisième connecteur est l'**IMPLICATION** dite **MATÉRIELLE**. Il traduit notamment la relation de condition que l'on exprime en français avec des structures en *si...*, *alors...* ou simplement *si...*, ... On le note par le symbole $\rightarrow$. Attention : $\rightarrow$ ne se place pas « au même endroit » que *si* en français ; en LO, on place $\rightarrow$ entre deux formules.

Enfin le dernier est l'**ÉQUIVALENCE** dite aussi **MATÉRIELLE**. Il correspond à l'expression française *si et seulement si*, et se note par $\leftrightarrow$ (et on comprend pourquoi ce connecteur est parfois appelé aussi la *bi-implication*). Ce connecteur semble plus approprié pour traduire des énoncés de type mathématique que pour rendre compte de la sémantique de la langue naturelle, dans la mesure où la tournure *si et seulement si* est assez marginale dans le discours courant. Mais nous le retenons malgré tout dans le jeu de nos connecteurs car il sera utile pour formaliser certains éléments de sémantique du français.

Voyons maintenant quelques exemples de phrases que nous pouvons transcrire dans LO au moyen de connecteurs :

(9) a. Ross aime Rachel et Chandler aime Monica.
$\rightarrow$ [aimer(r<sub>2</sub>, r<sub>1</sub>) ∧ aimer(c, m)]

b. Si Chandler a faim, il (Chandler) fume.
$\rightarrow$ [avoir-faim(c) → fumer(c)]

Notez l'usage des crochets [ ] que nous avons introduit au passage pour parenthéser chaque connexion de formules. Ces crochets sont d'une grande utilité lorsqu'une formule

<footnote n="26">²⁶ Nous reviendrons plus en détail sur l'explication de ce point en §2.4.1.</footnote>
complexe comprend plusieurs connecteurs, exactement comme en mathématiques les parenthèses sont importantes pour marquer la priorité d'une opération sur une autre (exemple : $(4 + 1) \times 2 \neq 4 + (1 \times 2)$).

La finalité du langage objet est de nous permettre d'expliciter le sens des énoncés, et pas seulement de refléter leur construction syntaxique ou grammaticale. C'est pourquoi les connecteurs vont également nous servir à faire des traductions analytiques comme en (10).

(10) a. Joey est un acteur italien.
   → [acteur(j) ∧ italien(j)]

b. Ross et Rachel s'aiment.
   → [aimer(r₂, r₁) ∧ aimer(r₁, r₂)]

En effet, la phrase (10a) par exemple nous dit bien conjointement deux choses : que l'individu nommé Joey est acteur *et* qu'il est italien. De même (10b) dit que Ross aime Rachel et que Rachel aime Ross. Notons que (10b) est en fait ambiguë : Ross et Rachel peuvent s'aimer soi-même sans s'aimer l'un l'autre. Dans ce cas on traduira la phrase par [aimer(r₂, r₂) ∧ aimer(r₁, r₁)]. Cela illustre que LO fait bien son travail d'explicitation du sens des phrases : si une phrase a plusieurs sens, elle reçoit différentes traductions en LO.

Enfin pour compléter au moins minimalement l'expressivité de LO, nous allons avoir besoin de pouvoir traduire des phrases négatives, c'est-à-dire de *nier* des propos ou, plus précisément, des formules. On fabrique des formules négatives dans LO grâce à l'opérateur de NÉGATION que nous avons déjà vu et qui se note par le symbole $\neg$. Il ne s'agit plus à proprement parler d'un *connecteur logique* : il ne connecte rien, il se place devant une formule pour former sa négation. Mais comme les connecteurs présentés *supra*, la négation « agit » sur des formules et sa contribution sémantique est aussi définie en termes de valeurs de vérité : la négation est cet opérateur qui rend vraies les formules fausses et fausses les formules vraies.

(11) a. Phoebe n'a pas faim.
   → ¬avoir-faim(p)

b. Si Chandler dort, il ne fume pas.
   → [dormir(c) → ¬fumer(c)]

### 2.2.1.4 Variables et quantificateurs

Jusqu'ici, dans LO pour parler des individus, de ces choses sur lesquelles on fait porter les prédicats, nous ne disposons que des constantes d'individus, qui rappelons-le sont en quelque sorte les noms propres du langage objet. Or, nous nous en doutons bien, nous pouvons difficilement nous permettre de donner un nom propre à tout individu du monde que nous souhaiterions évoquer dans des énoncés. Ce ne serait pas très réaliste, car rappelons aussi que nous comptons également les objets inanimés parmi ce que nous appelons ici les individus. Même si certains objets reçoivent les honneurs de l'onomas-
tique (comme par exemple la Tour Eiffel, Saturne, Hubble, Durandal, Deep Blue, etc.), la pratique n'est pas courante et surtout absolument pas indispensable. En effet, la langue nous permet d'évoquer des individus, y compris des êtres humains ou animaux, sans mentionner leur nom. Soit que nous ne le connaissons pas, soit que nous n'avons pas envie ou pas besoin de faire mention du nom de l'individu en question. On utilise à cet effet des procédés linguistiques bien connus : c'est l'usage que l'on fait des syntagmes nominaux, comme par exemple *une chaise, le voisin d'en face, un employé de banque, les pains au lait*, etc. Et nous devons donc nous donner les moyens dans LO de faire référence aux individus de façon similaire.

Pour ce faire, nous avons d'abord besoin d'un autre type de termes, les **VARIABLES**. Comme les constantes, les variables dénotent des individus. Mais alors qu'une constante donnée dénotera toujours le même individu précis, par un lien conventionnel et permanent, une variable permettra de désigner tout et n'importe quoi, sans contrainte particulière *a priori*. D'où leur nom, variables, car ce qu'elles désignent peut varier librement *a priori*. « *A priori* » signifie que si ce que désigne une variable est contrainte dans une phrase, ce n'est pas la variable en soi qui pose cette contrainte. Ou pour dire encore les choses autrement, on sait qu'une variable est censée dénoter quelque chose, mais on ne sait pas quoi, du moins pas systématiquement. C'est pourquoi les variables de LO fonctionnent un peu comme les pronoms personnels de la langue naturelle (et plus précisément les pronoms de troisième personne, *il*, *elle*, *le*, *la*, *lui*, etc.).

### Notation 2.3 : Variables

Dans LO, les variables seront notées par des lettres, de préférence minuscules, en italiques, prises à la fin de l'alphabet : principalement *x*, *y*, *z*, mais aussi parfois *u*, *v*, *w*. Elles pourront être éventuellement complétées d'indices numériques : *x*₁, *x*₂, *x*₃, *y*₁..., ou de « primes » : *x*' , *x''*...

Voici alors une manière simple de traduire dans LO une phrase française contenant un pronom personnel<fnref n="27" /> :

(12) Il dort. ↪ → dormir(*x*)

Cependant les variables ne vont pas être utilisées seulement pour traduire les pronoms de la langue dans LO. Elles nous servent à établir des références anonymes aux choses dont nous voulons parler. Mais pour compenser le manque d'information dû à cet anonymat, nous avons besoin d'apporter d'autres éléments qui vont contraindre la référence des variables. Pour ce faire on utilise des prédicats (comme en (12)), mais aussi des opérateurs logiques particuliers qui imposent aux variables un « mode de variation » précis. Ce sont les **QUANTIFICATEURS**, qu'on appelle aussi (plus précisément d'ailleurs) les **SYM-**

<footnote n="27">²⁷ Notez cependant que contrairement aux pronoms du français, les variables de LO ne portent pas le trait grammatical de genre, de nombre ou de personne.</footnote>
BOLES DE QUANTIFICATION. Les deux quantificateurs de la logique classique (sur laquelle est fondé LO) sont :

- le QUANTIFICATEUR EXISTENTIEL, noté $∃$, qui impose à une variable de dénoter au moins un individu ; ainsi $∃x...$ se lit « il existe un $x$ tel que... » ;

- le QUANTIFICATEUR UNIVERSEL, noté $∀$, qui impose à une variable de dénoter successivement tous les individus ; ainsi $∀x...$ se lit « quel que soit $x...$ » ou « pour tout $x...$ ».

Voyons tout de suite des exemples :

(13) a. $∃x$ **acteur**($x$) $\leftarrow$ il existe un $x$ (i.e. un individu ou une chose quelconque) qui est un acteur ou tel que $x$ est un acteur : il existe un acteur, ou il y a un acteur.

b. $∃x$ [**acteur**($x$) ∧ **fumer**($x$)] $\leftarrow$ il existe un $x$ qui est un acteur et qui fume : un acteur fume.

c. $∃x$ [**acteur**($x$) ∧ **connaître**(*m*, $x$)] $\leftarrow$ Monica connaît un acteur.

d. $∃x$ **aimer**($x, p$) $\leftarrow$ il y a quelqu'un qui aime Phoebe.

(14) a. $∀x$ **avoir-faim**($x$) $\leftarrow$ quel que soit $x$, $x$ a faim : tout le monde à faim.

b. $∀x$ [**acteur**($x$) → **fumer**($x$)] $\leftarrow$ quel que soit $x$, si $x$ est un acteur, alors $x$ fume : tous les acteurs fument.

Remarquons cependant que (14a) n’est pas une traduction très rigoureuse de *tout le monde à faim*, car en français *tout le monde* ne concerne que les êtres humains. Pour un bonne traduction, il faut employer un prédicat signifiant « être humain », par exemple **humain**, et écrire $∀x[\mathbf{humain}(x) \rightarrow \mathbf{avoir-faim}(x)]$.

### 2.2.2 La syntaxe du langage formel

Nous allons à présent faire la synthèse que ce que nous venons de voir sur le langage formel LO en définissant précisément ce langage. En particulier nous devons définir précisément comment les éléments vus précédemment s'organisent au sein du langage. Commençons par en redonner la liste, ils forment le vocabulaire de notre langage, ses atomes, sa matière première.

**Définition 2.6 : Vocabulaire de LO**

Le vocabulaire de LO comporte :

- un ensemble de variables : $\{x ; y ; z ; x_1 ; x_2 ; ... ; y_1 ; y_2 ; ...\}$;

- un ensemble de constantes d'individus :
  $\{a ; b ; c ; d ; ... ; a_1 ; a_2 ; a_3 ; ... ; b_1 ; b_2 ; ...\}$;

- un ensemble de constantes de prédicats :
  $\{\mathbf{acteur} ; \mathbf{gentil} ; \mathbf{dormir} ; \mathbf{canard} ; \mathbf{aimer} ; \mathbf{connaître} ; ...\}$;

- un ensemble de symboles logiques : $\{\neg ; \wedge ; \vee ; \rightarrow ; \leftrightarrow ; = ; \forall ; \exists\}$;

- les crochets [] et les parenthèses ().
## 2 Sémantique vériconditionnelle et calcul des prédicats

Notons que nous avons ajouté le symbole = parmi les symboles logiques ; il servira à représenter l'identité, c'est-à-dire l'égalité de dénotation.

En principe, les ensembles de variables et de constantes d'individus et de prédicats sont supposés être finis (ce qui est bien raisonnable, nous n'allons pas manipuler un langage au vocabulaire infini) et être présentés exhaustivement, ce que masque l'usage des points de suspension dans la définition ci-dessus. La tradition « montagovienne »<fnref n="28" /> a l'habitude (depuis les travaux de Montague lui-même) de proposer des *fragments* de langage, c'est-à-dire des sous-parties (très) petites de ce que serait un langage objet réaliste de l'envergure d'une langue naturelle. Procéder par fragments constitue une méthodologie de travail très rigoureuse car tout y est complètement et précisément défini, aucun élément du langage ne risque de rester dans l'ombre ou le vague. Je ne compte pas ici m'autoriser une quelconque mollesse ou désinvolture dans la méthode de travail, simplement, pour des raisons de clarté et de commodité, je me permettrai d'utiliser des ensembles de constantes et de variables « ouverts », c'est-à-dire suffisamment grands pour permettre de la variété dans les exemples de phrases traduites en LO. Autant que faire se peut, chaque nouveau prédicat introduit dont la sémantique ne serait pas immédiate sera explicitement commenté.

Un autre élément d'information attaché au vocabulaire et qui n'apparaît pas dans la définition 2.6 doit être précisé : nous faisons l'hypothèse que pour chaque constante de prédicat nous connaissons son arité, et qu'elle est unique. Cela veut dire que l'ensemble de symboles de prédicat est en fait partitionné en plusieurs sous-ensembles (celui des prédicats unaires, celui des prédicats binaires etc.) et que nous connaissons cette partition. Cette hypothèse est importante et précieuse, car dans nos notations rien ne nous indique formellement le nombre d'arguments qu'attend un prédicat<fnref n="29" />.

Nous allons également en profiter pour définir tout de suite la notion de *terme*, qui va nous être utile par la suite. Il s'agit juste de regrouper sous une même appellation les variables et les constantes.

### Définition 2.7 : Termes

Les variables et les constantes d'individus sont des TERMES.

Définir un langage, au sens des langages formels, consiste à indiquer, d'une manière ou d'une autre, toutes les séquences correctes qu'admet ce langage. Et bien entendu, la manière que l'on retient consiste à spécifier l'ensemble des règles qui permettent de construire n'importe quelle séquence admissible, c'est-à-dire la *syntaxe* du langage. Nous reconnaissons là, naturellement, la démarche de la grammaire générative, sauf que nous n'allons pas ici exprimer les règles syntaxiques sous formes de règles de réécriture comme dans la tradition chomskienne par exemple, mais par ce que l'on appelle la méthode inductive. Définir une syntaxe par induction consiste à spécifier des règles (ou des

<footnote n="28">²⁸ Montagovien signifie relatif à Montague ou à ses travaux.</footnote>

<footnote n="29">²⁹ Nous verrons comment perfectionner tout cela au chapitre 5.</footnote>
« recettes ») qui indiquent comment construire récursivement des formules de plus en plus complexes à partir de formules plus simples que l'on sait déjà construire.

La définition 2.8 présente la syntaxe de LO, et c'est en fait ni plus ni moins que la définition détaillée et complète de ce qu'est une formule de LO. Dans ces règles, j'utilise des lettres grecques, $\alpha, \beta, \gamma, \varphi, \psi$, ainsi que $P$ pour désigner des expressions plus ou moins quelconques de LO. Ces symboles en soi ne font pas partie de LO (tous les symboles de LO sont donnés par le vocabulaire 2.6), ce sont des sortes de macro-symboles ou méta-symboles qui nous permettent de dire des choses générales sur LO. Ainsi, en toute rigueur, on ne devrait pas dire que $\varphi$ est une formule, mais que $\varphi$ représente une formule (cependant, par la suite, nous nous autoriserons quelque liberté de langage en qualifiant $\varphi$ de formule).

### Définition 2.8 : Syntaxe de LO

(Syn.1) Si $\alpha$ est un terme et $P$ un symbole de prédicat à une place, alors $P(\alpha)$ est une formule;

b. Si $\alpha$ et $\beta$ sont des termes et $P$ un symbole de prédicat à deux places, alors $P(\alpha, \beta)$ est une formule;

c. Si $\alpha, \beta$ et $\gamma$ sont des termes et $P$ un symbole de prédicat à trois places, alors $P(\alpha, \beta, \gamma)$ est une formule;

d. etc.

(Syn.2) Si $\alpha$ et $\beta$ sont des termes, alors $\alpha = \beta$ est une formule;

(Syn.3) Si $\varphi$ est une formule, alors $\neg \varphi$ est une formule;

(Syn.4) Si $\varphi$ et $\psi$ sont des formules, alors $[\varphi \wedge \psi], [\varphi \vee \psi], [\varphi \rightarrow \psi]$ et $[\varphi \leftrightarrow \psi]$ sont des formules;

(Syn.5) Si $\varphi$ est une formule et $\upsilon$ une variable, alors $\forall \upsilon \varphi$ et $\exists \upsilon \varphi$ sont des formules.

Il convient ensuite de conclure cet ensemble de règles par une dernière règle de clôture qui dit ceci : rien d'autre que ce qui peut être construit en un nombre fini d'étapes par les règles de (Syn.1) à (Syn.5) n'est une formule. Cela permet de garantir que notre syntaxe définit bien toutes les formules de LO.

Les règles (Syn.1) sont celles qui permettent de construire les formules les plus simples (dites atomiques) en fournissant aux symboles de prédicat des arguments en quantité nécessaire. La règle (Syn.2) construit aussi des formules simples, qui pose une identité entre deux termes; en fait le symbole $=$ pourrait tout aussi bien être rangé parmi les prédicats binaires (on devrait alors plutôt écrire $=(\alpha, \beta)$) et (Syn.2) ne présente qu'une variante particulière de ce que recouvre (Syn.1b); simplement on préfère utiliser la notation habituelle, plus claire et naturelle, pour le symbole $=$. Les règles (Syn.3) et (Syn.4) introduisent les connecteurs logiques dans la construction des formules; rappelons que (pour le moment) les crochets $[]$ sont indispensables dans (Syn.4). Enfin la (double) règle (Syn.5) introduit les symboles de quantification; notons que cette règle autorise d'acсо-
ler une séquence quantificateur-variable devant n'importe qu'elle formule $\varphi$, c'est-à-dire qu'on n'a pas à vérifier si la variable $v$ figure ou non dans $\varphi$ (nous y reviendrons infra).

Illustrons à présent le fonctionnement de notre syntaxe avec un exemple. La syntaxe indique comment construire correctement des formules et en même temps comment reconnaître si des séquences de symboles du vocabulaire de LO sont ou non des formules bien formées (ce que l'on appelle aussi des expressions bien formées ou EBF). Essayons donc de montrer que (15) est bien formée.

$$ (15) \quad \exists x \forall y [\mathbf{aimer}(c, x) \wedge \mathbf{gentil}(y)] $$

Pour vérifier la bonne formation de (15), il suffit de la reconstruire en appliquant les règles de la syntaxe, et seulement elles, qui sont nécessaires. On peut également déconstruire la formule en appliquant les règles syntaxiques, mais dans l'autre sens, jusqu'à ce que l'on n'obtienne que des éléments du vocabulaire de base. Voici les étapes de construction de (15) :

- **aimer** est un prédicat à deux places, c est une constante et x est une variable, donc **aimer(c, x)** est une formule bien formée en vertu de la règle Syn.1b;

- de même, **gentil** est un prédicat à une place et y est une variable, donc **gentil(y)** est une formule bien formée, en vertu de la règle Syn.1a;

- donc en vertu de la règle Syn.4, avec le connecteur $\wedge$, $[\mathbf{aimer}(c, x) \wedge \mathbf{gentil}(y)]$ est une formule bien formée;

- donc, comme y est une variable, $\forall y[\mathbf{aimer}(c, x) \wedge \mathbf{gentil}(y)]$ est une formule bien formée, en vertu de la règle Syn.5 pour $\forall$;

- et donc, comme x est une variable, $\exists x \forall y[\mathbf{aimer}(c, x) \wedge \mathbf{gentil}(y)]$ est une formule bien formée, en vertu de la règle Syn.5 pour $\exists$.

On peut illustrer graphiquement une telle démonstration à l'aide de ce qu'on appelle l'ARBRE DE CONSTRUCTION d'une formule. L'arbre de (15) est donné en Figure 2.1.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIG. 2.1 : Arbre de construction de (15)</figcaption></figure>
Chaque nœud de l'arbre représente une étape de la construction de la formule, la ra-cine (ou nœud supérieur) correspondant à la formule complète. Chaque branche et em-branchement représente l'application d'une règle syntaxique, et les nœuds directement inférieurs dans un embranchement représentent les « ingrédients » à partir desquels on construit ce qui est dans le nœud directement supérieur.

Il y a un théorème qui dit que toute formule bien formée est représentable par un et un seul arbre de construction. Donc pour montrer qu'une séquence donnée est une formule bien formée, il suffit de dessiner son arbre de construction. Et si on n'y parvient pas, c'est que la séquence n'est pas une formule bien formée<fnref n="30" />. Ainsi on peut montrer que (16) n'est pas bien formée, car son arbre de construction complet (Figure 2.2) n'est pas possible.

(16) $\neg\aimer(bx)$

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIG. 2.2 : Échec de la construction de (16)</figcaption></figure>

Aucune règle de la syntaxe ne permet de construire $aimer(bx)$ ; celle qui s'en rapprocherait le plus serait (Syn.1b), mais elle exige de placer une virgule entre deux arguments d'un prédicat binaire.

En revanche, (17) est parfaitement bien formée (comme le prouve l'arbre en Figure 2.3), même si elle semble un peu bizarre ; mais cela n'est (et ne doit être) qu'une impression, car (17) ne pose aucun problème pour le système du calcul des prédicats<fnref n="31" />.

(17) $\exists y \aimer(a, b)$

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>FIG. 2.3 : Arbre de construction de (17)</figcaption></figure>

<footnote n="30">³⁰ Ou bien qu'on s'est trompé dans l'analyse !</footnote>

<footnote n="31">³¹ Nous verrons, en examinant la sémantique de LO, que cette formule est en fait équivalente à $aimer(a, b)$.</footnote>
## 2 Sémantique vériconditionnelle et calcul des prédicats

Le concept d'arbre de construction d'une formule permet de définir facilement une notion qui sera très utile par la suite, celle de SOUS-FORMULE d'une formule. Une sous-formule est tout simplement une formule bien formée que l'on trouve à l'intérieur d'une formule plus grande.

### Définition 2.9 : Sous-formule

On dit que $\psi$ est une SOUS-FORMULE de la formule $\varphi$ si et seulement si $\psi$ est une formule qui apparaît dans l'arbre de construction de $\varphi$.

Ainsi $\text{aimer}(c, x)$, $\text{gentil}(y)$, $[\text{aimer}(c, x) \land \text{gentil}(y)]$ et $\forall y[\text{aimer}(c, x) \land \text{gentil}(y)]$ sont des sous-formules de (15), mais pas $\exists x \forall y \text{aimer}(c, x)$.

### Exercice 2.1

Parmi les séquences suivantes, lesquelles sont des formules correctes de LO ?

1. $\exists z [[\text{connaître}(r_2, z) \land \text{gentil}(z)] \land \neg \text{dormir}(z)]$

2. $\exists x \forall y \exists z [\text{aimer}(y, z) \lor \text{aimer}(z, x)]$

3. $\forall xy \text{aimer}(x, y)$

4. $\neg \neg \text{aimer}(r_1, m)$

5. $\exists x \neg \exists z \text{connaître}(x, z)$

6. $\exists x [\text{acteur}(x) \land \text{dormir}(x) \lor \text{avoir-faim}(x)]$

7. $[\text{aimer}(a, b) \rightarrow \neg \text{aimer}(a, b)]$

8. $\exists y [\text{acteur}(x) \land \text{dormir}(x)]$

### Exercice 2.2

Traduisez dans LO les phrases françaises ci-dessous. Vous choisirez les noms de pré-dicats et de constantes comme cela vous arrange, mais vous indiquerez à chaque fois ce qu'ils traduisent du français. Si une phrase contient une présupposition, ne traduisez que son contenu asserté (i.e. non présupposé). On ne tiendra pas compte de valeur sémantique des temps verbaux (on les néglige pour l'instant).

1. Antoine n'est plus barbu.

2. Tout est sucré ou salé.

3. Soit tout est sucré, soit tout est salé.

4. Le chien qui aboie ne mord pas. (proverbe)

5. C'est Marie que Jérôme a embrassée.

6. Il y a des hommes et des femmes qui ne sont pas unijambistes.

7. Tout le monde aime quelqu'un.

8. Si tous les homards sont gauchers alors Alfred aussi est gaucher.

9. Quelqu'un a envoyé une lettre anonyme à Anne.

10. Seule Chloé est réveillée.

### Exercice 2.3

Même exercice.

1. Il existe des éléphants roses.

2. Quelque chose me gratouille et me chatouille.
3. Quelque chose me gratouille et quelque chose me chatouille.

4. Nimes est entre Avignon et Montpellier.

5. S'il y a des perroquets ventriloques, alors Jacko en est un.

6. Anne a reçu une lettre de Jean, mais elle n'a rien reçu de Pierre.

7. Tout fermier qui possède un âne est riche.

8. Il y a quelqu'un qui a acheté une batterie et qui est en train d'en jouer.

9. Il y a un seul océan.

10. Personne n'aime personne.

Récapitulons. La syntaxe présentée ici nous permet de faire le tri entre ce qui est une formule correcte de LO et ce qui est une simple séquence écrite n'importe comment avec les éléments du vocabulaire. Les formules correctes, reconnues ou admises par la syntaxe, sont souvent appelées des expressions bien formées (EBF), par opposition à des expressions qui seraient mal formées. Cette discrimination entre expressions bien formées et mal formées n'est pas purement normative ou arbitraire. N'oublions pas que nous sommes en sémantique ; et le but du jeu n'est pas simplement de dire que telle expression est bien écrite et que telle autre ne l'est pas. Ici, la syntaxe anticipe sur la sémantique, car ce que la syntaxe reconnaît comme expressions bien formées sont en fait des expressions qui ont du sens (i.e. des expressions que l'on peut interpréter). Nous les appellerons alors des EXPRESSIONS INTERPRÉTABLES (trad. de *meaningful expressions*). Donc si une expression bien formée est une expression qui a un sens, une expression mal formée est une expression à laquelle on ne peut pas (ou on ne saurait pas) attribuer un sens. Remarquons que cela a des implications importantes : qu'une expression mal formée soit non interprétable, cela ne pose guère de problème ; en revanche, ce qui est moins évident, c'est que toute expression que nous nous autoriserons à manipuler dans LO (c'est-à-dire que nous accepterons comme bien formée) devra obligatoirement être clairement et systématiquement interprétable ; de plus, tout ce que nous souhaiterons interpréter dans notre théorie devra recevoir une écriture (bien formée) dans LO.

Nous allons maintenant voir ce qu'est le sens d'une expression de LO, c'est-à-dire la sémantique de ce langage.

# 2.3 Interprétation dans le calcul des prédicats

## 2.3.1 Sémantique informelle

Le sens est ce qui nous permet de trouver la dénotation d'une expression. Donc décrire le sens des expressions revient à spécifier les règles de calcul des dénotations des expressions. La finalité de l'analyse sémantique ici est principalement d'exprimer les conditions de dénotation des formules (leurs conditions de vérité), et comme les formules peuvent être plus ou moins complexes, construites à partir d'éléments plus simples, nous devons d'abord avoir une idée précise de ce que sont les dénotations de ces éléments, c'est-à-dire les expressions de base du langage LO.

Par définition, la dénotation d'une constante d'individu est simplement l'individu (du monde) désigné par cette constante. Par exemple si nous nous intéressons à un individu,
humain de sexe masculin, nommé Chandler Bing, etc. nous pourrons choisir de lui faire correspondre le symbole de constante c de LO. Et donc nous saurons ainsi que c dénote cet individu particulier.

Venons-en à la dénotation des prédicats et d'abord des prédicats à une place comme **acteur**. Rappelons que la dénotation est en quelque sorte la projection dans le monde de ce que « vaut » l'expression. Le prédicat **acteur** traduit le substantif français **acteur**, il représente le concept abstrait d'être acteur et dans le monde, concrètement, ce concept se réalise par l'ensemble de tous les individus du monde qui sont acteurs. Cet ensemble est la dénotation du prédicat. De manière générale, la dénotation d'un prédicat à une place est l'*ensemble de tous les individus* qui le vérifient, c'est-à-dire qui tombent sous le chef du concept représenté par le prédicat.

Il en va de même pour les prédicats qui traduisent des adjectifs qualificatifs, comme **gentil**, dont la dénotation est l'ensemble de tous les individus gentils, ainsi que des prédicats qui traduisent des verbes intransitifs, comme **dormir**, qui dénote l'ensemble de tous les individus qui sont en train de dormir dans le monde.

Faisons ici deux remarques importantes. D'abord parler d'ensembles tels que l'ensemble de *tous* les acteurs peut paraître contre-intuitif et peu naturel, car ces ensembles sont immenses et personne ne peut prétendre sérieusement connaître exhaustivement l'ensemble de tous les acteurs du monde. C'est vrai, mais en fait cela ne pose aucun problème pour la théorie. Nous reviendrons sur ce point un peu plus loin, mais disons pour l'instant que savoir que la dénotation du prédicat **acteur** est l'ensemble de tous les acteurs ce n'est pas la même chose que savoir exhaustivement et précisément qui sont les individus qui appartiennent à cette dénotation. Dans la théorie sémantique, ce qui va compter c'est ce premier savoir, bien plus que le second.

Ensuite, les dénotations présentées ici sous forme d'ensembles sont celles de prédicats qui traduisent des termes *singuliers* du français : *acteur*, *gentil*, *dort*, et non pas *acteurs*, *gentils*, *dorment*. On pourrait penser que lorsque l'on dit quelque chose comme *Joey est acteur* ou simplement *cet acteur*, il n'est question que d'un seul individu et pas d'un ensemble d'acteurs. Mais dans ces expressions, le caractère singulier de la dénotation n'est pas porté par le prédicat lui-même, mais d'une certaine manière, il est imposé par un autre élément de la phrase, comme la structure syntaxique ou un déterminant<fnref n="32" />. En soi et pris isolément, un prédicat comme **acteur** n'a aucune raison de distinguer un acteur parmi d'autres, puisqu'il ne fait que présenter le concept ou la propriété d'être acteur.

Nous pouvons nous convaincre de cela en nous interrogeant sur la dénotation d'une formule, car nous avons à présent en main ce qu'il nous faut pour effectuer le calcul de la valeur de vérité d'une formule simple comme (18), qui traduit la phrase *Joey est acteur*.

## (18) acteur(j)

j dénote un individu (celui qui s'appelle Joey dans le cas de figure que nous examinons ici) et **acteur** dénote un ensemble d'individus (les acteurs). Maintenant dans quels cas (18) est-elle vraie ? Simplement si l'individu dénoté par j appartient à l'ensemble dénoté

<footnote n="32">³² Pour le moment, nous laissons de côté l'analyse sémantique des pluriels ; cela sera abordé plus précisément dans le chapitre 10 (vol. 2).</footnote>
par **acteur**. Et cela n’est rien d’autre que la condition de vérité de (18). La « rencontre » dénotationnelle du prédicat et de son argument, qui donne la dénotation de la formule, se fait par la relation d’appartenance (le $\in$ de la théorie des ensembles) entre un objet et un ensemble d’objets.

La dénotation d'un prédicat binaire, comme **aimer** ou **frère-de**, est un peu plus complexe, mais poursuit le même genre de formalisation. Un tel prédicat exprime une relation qui se joue entre deux individus ; sa dénotation ne peut donc pas être directement un ensemble d'individus où chacun vérifie un concept indépendemment de ses « compagnons d'ensemble ». Il faut pouvoir rendre compte du fait que, par exemple, Ross peut être le frère de Monica mais pas de Chandler, et aussi que Monica n'est pas le frère de Ross.

Par conséquent, la dénotation d'un prédicat binaire est un ensemble dans lequel des individus sont explicitement mis en relation avec d'autres. Un moyen technique d'indiquer une mise en relation est d'utiliser des listes ou ce qu'on appelle des *n*-uplets ; un *n*-uplet est une liste qui contient exactement *n* objets. Un *n*-uplet ou une liste est une manière de représenter mathématiquement une collection d'objets, mais c'est très différent d'un ensemble, car dans un *n*-uplet les objets qu'il contient sont présentés dans un *ordre* précis et déterminant, alors que la notion d'ordre n'a aucune pertinence à l'intérieur d'un ensemble ; de même, un objet donné peut apparaître plusieurs fois dans un *n*-uplet, c'est-à-dire y occuper plusieurs positions, alors qu'un objet appartient une fois pour toutes à un ensemble.

Pour expliciter une relation binaire, nous utiliserons des *n*-uplets à deux éléments, ce que l'on appelle des **COUPLES**<fnref n="33" />. Ainsi la dénotation d'un prédicat binaire est un **ENSEMBLE DE COUPLES D'INDIVIDUS**, tous les couples tels que leur premier membre vérifie vis-à-vis de leur second membre la relation exprimée par le prédicat. Par exemple, on peut supposer que la dénotation de **frère-de** contiendra, entre autres, le couple composé de Ross et de Monica, mais pas le couple composé de Monica et de Ross (les couples sont ordonnés), qui lui pourra appartenir à la dénotation de **sœur-de**.

Et le calcul de la dénotation d'une formule comme (19) reste fondamentalement le même, sauf qu'elle s'applique à des couples.

$$ (19) \quad \text{frère-de}(r_2, m) $$

(19) est vraie si le couple constitué de la dénotation de $r_2$ et de celle de $m$ appartient à la dénotation de **frère-de**, qui est l'ensemble de tous les couples frère-sœur ou frère-frère du monde. Remarque : si un individu a plusieurs sœurs, mettons trois, alors il apparaîtra en tête de trois couples différents dans la dénotation de **frère-de**, un couple pour chaque sœur.

On peu maintenant généraliser : la dénotation d'un prédicat à *n* arguments (avec $n \ge 2$) est un ensemble de *n*-uplets d'individus. Pour un prédicat ternaire, on parlera d'ensembles de triplets, pour un prédicat quaternaire, d'ensembles de quadruplets, etc.

Nous allons voir maintenant comment représenter précisément (c'est-à-dire formellement) ce système de dénotations au moyen de l'outil mathématique que sont les modèles.

<footnote n="33">³³ *Couple* ici est un terme technique. Si l'on veut, c'est la manière normale de prononcer « 2-uplet » en français. Notons en passant qu'en français, un **ensemble** à deux éléments s'appelle une **PAIRE**.</footnote>
2.3.2 Les modèles

Nous avons vu que la dénotation de la plupart des expressions interprétables n’est
pas absolue : elle dépend d’un certain nombre de circonstances, de cas de figure, bref de
comment est le monde. Par exemple, pour que acteur(j) soit vraie, il faut que Joey soit
effectivement un acteur dans le monde que nous envisageons. C’est peut-être le cas, ça
peut ne pas l’être. Les choses sont ce qu’elles sont, mais elles pourraient être autrement ;
et de toute façon, personne ne sait tout sur tout.

En fait si la dénotation d'une expression dépend d'un certain état du monde, c'est qu'il ne convient pas de parler de dénotation seule, et dorénavant nous prendrons soin d'envi-sager la dénotation d'une expression toujours relativement à une certaine configuration du monde.

Nous avons donc besoin de tenir compte de cette « certaine configuration du monde ».
Cela veut dire que nous allons devoir nous donner un moyen de représenter suffisamment
précisément le monde et son « état ». Pour ce faire, l'outil que nous allons utiliser est
celui des MODÈLES.

Un modèle est une figuration mathématique du monde ; c'est une représentation en-
SEMBLISTE et STRUCTURÉE. Dans sa version la plus simple, la notion de modèle nous four-
nit ce que l'on peut vraiment appeler une image du monde, au sens d'un cliché ou d'un
instantané. Et pour des raisons avant tout pratiques, les modèles que nous examinerons
de près ne constituent que des images partielles du monde, comme les photographies qui
ne restituent nécessairement que de minuscules portions de la réalité. Mais qu'un mo-
dèle décrive fidèlement, scrupuleusement et donc démesurément le monde ou qu'il n'en
donne qu'une image partielle, les caractéristiques définitoires qui le sous-tendent restent
exactement les mêmes. Les modèles partiels, souvent minuscules, que nous verrons en
exemples par la suite, je les appellerai des « modèles-jouets » ; un véritable modèle quant
à lui est un objet plutôt théorique et est supposé décrire complètement le monde.

Qu'est-ce qui fait que le monde, ou un monde, est tel qu'il est et pas autrement ? Ce
qui le caractérise c'est tout d'abord l'ensemble des choses, c'est-à-dire des individus, qui
le peuplent. Un monde dans lequel existe King-Kong est assurément différent du monde
dans lequel existent les lecteurs de ces pages. Un modèle indique ce genre d'information
en définissant un DOMAINE – ce que l'on appelle aussi un UNIVERS<fnref n="34" />. Le domaine d'un
modèle donné est un ensemble d'individus, l'ensemble de tous les individus qui appa-
tiennent au monde que décrit ce modèle.

Remarquons qu'une façon de se donner des modèles partiels est de les définir sur de
petits domaines, qui ne comportent que très peu d'individus. Nous dirons alors qu'ils ne
contiennent que les individus qui nous intéressent dans notre modélisation du monde,
que les individus dont nous sommes susceptibles de parler dans un contexte de discours
particulier<fnref n="35" />.

<footnote n="34">³⁴ Les appellations complètes et plus précise que l'on trouve souvent sont DOMAINE ou UNIVERS DE QUANTIFICATION, ou encore DOMAINE OU UNIVERS D'INTERPRÉTATION.</footnote>

<footnote n="35">³⁵ En réalité, les choses sont un peu plus compliquées que cela ; nous y reviendrons en §3.1.5.</footnote>
Voici un exemple de (petit) domaine d'individus – appelons-le $\mathcal{A}$ :

$$ (20) \quad \mathcal{A} = \{\text{MONICAG} ; \text{PHOEBEB} ; \text{RACHELG} ; \text{CHANDLERB} ; \text{JOEYT} ; \text{ROSSG}\}^{36} $$

Ce que contient l'ensemble $\mathcal{A}$, en tant que domaine, ce sont des individus, et pas des noms. Il se trouve que les individus de cet exemple sont des personnes, mais nous aurions pu aussi faire figurer des objets ou des animaux dans $\mathcal{A}$.

### Notation 2.4

Pour bien marquer la distinction entre les mots ou noms de la langue et les individus qui appartiennent à la réalité décrite dans un modèle, ces derniers seront représentés à l'aide d'une forme de caractères spéciale, en PETITES CAPITALES.

Il faudra donc bien veiller à ne pas confondre le prénom *Joey*, qui appartient à la langue naturelle (le français ou l'anglais), la constante $j$ qui appartient au langage objet LO, et l'individu JOEYT qui appartient au modèle. Il serait probablement plus pédagogique de présenter un dessin ou une photo de l'individu au lieu de la séquence JOEYT pour bien montrer qu'il s'agit là d'une portion de réalité. Mais cette stratégie, qui deviendrait vite graphiquement encombrante, ne resterait somme toute qu'un moyen terme tout aussi artificiel. Accommodons-nous plutôt des contraintes matérielles imposées par un ouvrage écrit en faisant usage de la convention de notation typographique 2.4.

Donc un modèle établit une description (éventuellement partielle) du monde en spécifiant un domaine d'individus, la « population » du monde. Un domaine n'est qu'un ensemble, dans lequel les individus nous sont présentés en vrac. Une description du monde ne se ramène pas qu'à cela; cela se doit d'être plus sophistiqué, plus informatif. C'est pour cela que j'ai dit plus haut qu'un modèle est *structuré*. Les individus du domaine sont organisés d'une certaine manière, et cette « certaine manière » n'est ni plus ni moins qu'un certain état du monde. Le modèle spécifie une telle organisation en indiquant « qui est qui », « qui est quoi » et « qui fait quoi », etc. dans le domaine.

En d'autres termes, un modèle décrit l'état du monde en explicitant le lien entre le domaine et le langage (en l'occurrence LO). Ce lien est en fait la dénotation du vocabulaire. En effet, savoir dans quel état est le monde, ou savoir ce qui se passe dans le monde, cela revient finalement à connaître les dénotations de tous les prédicats du langage, puisque les prédicats servent à donner, dans le langage, des informations sur le monde<fnref n="37" />.

Illustrons cela en reprenant « notre histoire » introduite via les exemples (6)–(11). Un modèle qui décrit fidèlement la réalité d'un monde devra par exemple nous dire qui est

<footnote n="36">³⁶ On utilise la notation mathématique habituelle qui représente le contenu d'un ensemble encadré d'accolades {} , ses éléments étant séparés par des points-virgules.</footnote>

<footnote n="37">³⁷ À noter que l'on pourrait connaître certaines informations sur le monde qui soient indicibles ; elles ne correspondaient donc à la dénotation d'aucun prédicat. Cela est tout à fait concevable (encore que les langues naturelles ont un pouvoir expressif immense). Mais comme nous étudions ici la sémantique de la langue, nous ne nous intéresserons qu'aux informations « dicibles ».</footnote>
## 2 Sémantique vériconditionnelle et calcul des prédicats

italien parmi les individus du domaine, autrement dit quel est l'ensemble des italiens,... autrement dit quelle est dénotation du prédicat **italien**. Et de même, il devra nous dire qui est une femme, qui est un homme, qui est acteur, qui fume, qui dort, etc. Mais aussi qui aime qui, qui connaît qui, qui embrasse qui, qui est le frère de qui, etc. Bref, on attend d'un modèle qu'il réponde à ce genre de question pour tout prédicat du langage.

Par exemple, notre modèle en cours pourra nous faire savoir que (21a) est la dénotation de **italien**, (21b) celle de **acteur**, (21c) celle de **femme**, (21d) celle de **homme**, etc. Ces ensembles sont forcément des sous-ensembles de $\mathcal{A}$.

(21) a. $\{JOEYT\}$
b. $\{JOEYT\}$
c. $\{MONICAG; PHOEBEB; RACHELG\}$
d. $\{JOEYT; CHANDLERB; ROSSG\}$

Dans ce mini-modèle, **italien** et **acteur** ont la même dénotation, mais c'est justement parce que le modèle est très petit. Cela ne tire donc pas vraiment à conséquence.

Pour les prédicats $n$-aires, nous représenterons les $n$-uplets en les encadrant de chevrons $\langle \rangle$ en séparant leurs membres par des virgules. Par exemple : $\langle ROSSG, RACHELG \rangle$ est un couple d'individus. Le modèle pourra ainsi nous dire que (22a) est la dénotation de **aimer** et (22b) celle de **frère-de**.

(22) a. $\{\langle RACHELG, ROSSG \rangle; \langle ROSSG, RACHELG \rangle; \langle MONICAG, CHANDLERB \rangle; \langle CHANDLERB, MONICAG \rangle\}$
b. $\{\langle ROSSG, MONICAG \rangle\}$

Ce que nous devons voir pour terminer, c'est comment le modèle nous fournit ces réponses. On utilise à cet effet un outil formel simple : une **fonction** qui à chaque constante non logique de LO associe sa dénotation dans le modèle. Une telle fonction s'appelle une **fonction d'INTERPRÉTATION**, et elle est, au côté du domaine, un élément constitutif du modèle. Notons-la $F$. Un début de description (possible) du monde apparaîtra alors comme ci-dessous ; de manière générale, nous représenterons graphiquement une fonction sous forme de « matrice » à deux colonnes, la première correspondant à l'ensemble de départ de la fonction, la seconde à son ensemble d'arrivée et chaque élément de l'ensemble de départ est mis en regard de son image par une flèche ($\mapsto$).

$$ F: \left[ \begin{array}{lclcl} \text{italien} & \mapsto & \{JOEYT\} & & \\ \text{acteur} & \mapsto & \{JOEYT\} & & \\ \text{femme} & \mapsto & \{MONICAG; PHOEBEB; RACHELG\} & & \\ \text{homme} & \mapsto & \{JOEYT; CHANDLERB; ROSSG\} & & \\ \text{fumer} & \mapsto & \{CHANDLERB\} & & \\ \text{aimer} & \mapsto & \{\langle RACHELG, ROSSG \rangle; \langle ROSSG, RACHELG \rangle; \\ & & & & \langle MONICAG, CHANDLERB \rangle; \\ & & & & \langle CHANDLERB, MONICAG \rangle\} & \\ \text{frère-de} & \mapsto & \{\langle ROSSG, MONICAG \rangle\} & & \\ & & & & \text{etc.} \end{array} \right] $$
Nous pouvons également expliciter *F* avec la notation fonctionnelle habituelle, en écrivant par exemple : *F(italien)* = {*JOEYT*}, *F(femme)* = {*MONICAG* ; *PHOEBEB* ; *RACHELG*}, etc.

Le modèle nous dit aussi « qui est qui ». Cela signifie que la fonction d'interprétation indique également à quel individu du domaine correspond chaque constante d'individu du langage. Donc *F* doit être complétée par les attributions suivantes :

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

Résumons par la définition suivante :

### Définition 2.10 : Modèle

Un **MODÈLE** (simple) d'interprétation sémantique d'un langage LO est défini par un couple $\langle \mathcal{A}, F \rangle$ où $\mathcal{A}$ est un ensemble non vide et $F$ une fonction qui projette les constantes non logiques (i.e. d'individus et de prédicats) de LO dans $\mathcal{A}$.

Si $\mathcal{M}$ est le nom du modèle, on pose $\mathcal{M} = \langle \mathcal{A}, F \rangle$ en guise de définition.

On dit que $\mathcal{A}$ est le **DOMAINE** de $\mathcal{M}$ et on le tient pour l'ensemble de tous les individus du monde décrit par $\mathcal{M}$.

*F* s'appelle la **FONCTION D'INTERPRÉTATION** de LO dans $\mathcal{M}$.

### 2.3.3 Les règles sémantiques

Nous pouvons maintenant définir la sémantique du langage LO, c'est-à-dire ses règles d'interprétation. Comme nous le savons maintenant, il s'agit de règles de calcul, et plus précisément du calcul de la dénotation de toute expression de LO. Pour exprimer ces calculs, introduisons d'abord un élément de notation.

#### Notation 2.5 : Valeur sémantique

Soit $\alpha$ une expression interprétable quelconque de LO.

$\llbracket \alpha \rrbracket$ représente la **VALEUR SÉMANTIQUE** de l'expression $\alpha$. On l'appelle également l'**INTERPRÉTATION** de $\alpha$.
Nous allons nous servir de cette notation pour représenter la dénotation des expressions. La dénotation est, comme il se doit, la valeur sémantique relativisée à un certain modèle.

### Notation 2.6 : Dénotation

Soit $\alpha$ une expression interprétable quelconque (de LO) et $\mathcal{M}$ un modèle.
$[\! [\alpha]]^M$ représente la DÉNOTATION de $\alpha$ relativement au modèle $\mathcal{M}$.

Remarque : $[\! [ ]]$ est une notation symbolique, mais elle n'appartient pas au langage LO ; là encore c'est un méta-symbole que les sémanticiens utilisent pour parler de la sémantique d'une expression.

Pour décrire le sens dans LO, nous devons définir la valeur sémantique de toute expression interprétable relativement à *tout* modèle possible. Pour ce faire, il suffit d'exprimer les règles de calcul par rapport à un modèle absolument quelconque, c'est-à-dire complètement général ; nous sommes sûrs ainsi qu'elles vaudront pour n'importe quel modèle. Comme l'ensemble des expressions de LO est déterminé par les règles de syntaxe, le plus efficace est de reprendre chacune de ces règles et de lui associer une règle d'interprétation sémantique. Ainsi nous aurons la garantie d'avoir défini une sémantique pour toutes les expressions possibles de LO.

Commençons d'abord par définir l'interprétation du « lexique » de base de LO, c'est-à-dire les constantes d'individus et de prédicats. Nous l'avons vu, la valeur sémantique de ces constantes nous est directement donnée par la fonction d'interprétation $F$ du modèle par rapport auquel nous avons choisi d'effectuer le calcul.

### Définition 2.11 : Interprétation des constantes non logiques

Soit un modèle $\mathcal{M} = (\mathcal{A}, F)$.

1. Si $\alpha$ est une constante d'individu, alors $[\! [\alpha]]^M = F(\alpha)$ ; i.e. l'individu de $\mathcal{A}$ assigné à $\alpha$ par $F$.

2. Si $P$ est une constante de prédicat, alors $[\! [P]]^M = F(P)$ ; i.e. un ensemble d'individus de $\mathcal{A}$ si $P$ est unaire, un ensemble de couples d'individus de $\mathcal{A}$ si $P$ est binaire, etc.

Ensuite, nous devons spécifier comment obtenir la dénotation de n'importe quelle formule syntaxiquement bien construite. Les règles d'interprétation sont récursives (comme celles de la syntaxe) et compositionnelles car l'interprétation de toute formule est définie via l'interprétation de ses constituants. Comme la dénotation d'une formule est une va-
leur de vérité, nous allons devoir manipuler le vrai et le faux, et nous le ferons au moyen des symboles 1 et 0³⁸ :

### Notation 2.7 : Valeurs de vérité

On note $\{0; 1\}$ l'ensemble des valeurs de vérité. 1 représente « vrai » et 0 représente « faux ».

Ainsi $[[\varphi]]^M = 1$ signifie que $\varphi$ est vraie par rapport au (ou dans le) modèle $\mathcal{M}$, et $[[\varphi]]^M = 0$ que $\varphi$ est fausse par rapport à $\mathcal{M}$.

### Définition 2.12 : Interprétation des formules

Soit un modèle $\mathcal{M} = \langle \mathcal{A}, F \rangle$.

(Sém.1) a. Si $P$ est un prédicat à une place et si $\alpha$ est une constante, alors $[[P(\alpha)]]^M = 1$ ssi $[[\alpha]]^M \in [[P]]^M$;

b. Si $P$ est un prédicat à deux places et si $\alpha$ et $\beta$ sont des constantes, alors $[[P(\alpha, \beta)]]^M = 1$ ssi $\langle [[\alpha]]^M, [[\beta]]^M \rangle \in [[P]]^M$;

c. Si $P$ est un prédicat à trois places et si $\alpha, \beta$ et $\gamma$ sont des constantes, alors $[[P(\alpha, \beta, \gamma)]]^M = 1$ ssi $\langle [[\alpha]]^M, [[\beta]]^M, [[\gamma]]^M \rangle \in [[P]]^M$;

d. etc.

(Sém.2) Si $t_1$ et $t_2$ sont des termes, alors $[[t_1 = t_2]]^M = 1$ ssi $[[t_1]]^M = [[t_2]]^M$.

(Sém.3) Si $\varphi$ est une formule, alors $[[\neg\varphi]]^M = 1$ ssi $[[\varphi]]^M = 0$.

(Sém.4) Si $\varphi$ et $\psi$ sont des formules, alors

a. $[[[\varphi \wedge \psi]]]^M = 1$ ssi $[[\varphi]]^M = 1$ et $[[\psi]]^M = 1$.

b. $[[[\varphi \vee \psi]]]^M = 1$ ssi $[[\varphi]]^M = 1$ ou $[[\psi]]^M = 1$.

c. $[[[\varphi \to \psi]]]^M = 1$ ssi $[[\varphi]]^M = 0$ ou $[[\psi]]^M = 1$.

d. $[[[\varphi \leftrightarrow \psi]]]^M = 1$ ssi $[[\varphi]]^M = [[\psi]]^M$.

Arrêtons-nous là pour le moment et laissons de côté provisoirement l'interprétation des formules quantifiées, nous y reviendrons en temps voulu.

Ces règles nous disent dans quels cas (et seulement quels cas) une formule de telle ou telle structure est vraie. Il s'agit bien de *conditions de vérité*. Et ces règles d'interprétation définissent donc bien le sens des formules.

Les règles (Sém.1) ne font que reformuler précisément ce que nous avons vu en §2.3.1 :

<footnote n="38">³⁸ 0 et 1 sont eux aussi des méta-symboles, il n'appartiennent pas à LO. Nous aurions pu à la place utiliser F et V, mais par expérience je trouve que 0 et 1 permettent une lecture plus fluide, ils se distinguent mieux graphiquement (surtout dans les tables de vérité, cf. §2.4.1). Et puis nous avons déjà F pour la fonction d'interprétation, évitons autant que possible les homographies.</footnote>
la dénotation d'une formule atomique s'obtient en vérifiant l'appartenance ensembliste (ε) de la dénotation des arguments (seuls ou en n-uplets) à la dénotation des prédicats. La règle (Sém.2) est assez simple : elle dit que $t_1 = t_2$ est vrai dans $\mathcal{M}$ si et seulement si les dénotations de $t_1$ et de $t_2$ sont identiques.

Ce qui est un peu plus nouveau, ce sont les règles (Sém.3) et (Sém.4) qui interprètent le rôle des connecteurs logiques. Mais d'après ce que nous avons vu en §2.2.1.3, elles sont assez simples à comprendre, sauf peut-être (Sém.4c) que nous commenterons un peu plus en §2.4.1.

Pour illustrer le fonctionnement de ces règles, regardons un exemple d'application. Une façon de mettre en œuvre les calculs sémantiques consiste à se donner un modèle petit mais détaillé et d'évaluer des formules par rapport à ce modèle. Soit donc le modèle-jouet $M_1 = \langle \mathcal{A}_1, F_1 \rangle$ défini comme suit (nous lui mettons l'indice 1 pour montrer que c'est un modèle bien particulier).

(23) $\mathcal{A}_1 = \{\text{THÉSÉE}; \text{HIPPOLYTA}; \text{HERMIA}; \text{HÉLÉNA}; \text{LYSANDRE}; \text{DÉMÉTRIUS}; \text{EGÉE}; \text{PUCK}; \text{OBÉRON}; \text{TITANIA}; \text{BOTTOM}\}$

$F_1(\mathbf{t}_1) = \text{THÉSÉE},$

$F_1(\mathbf{e}) = \text{EGÉE},$

$F_1(\mathbf{h}_1) = \text{HIPPOLYTA},$

$F_1(\mathbf{p}) = \text{PUCK},$

$F_1(\mathbf{h}_2) = \text{HERMIA},$

$F_1(\mathbf{o}) = \text{OBÉRON},$

$F_1(\mathbf{h}_3) = \text{HÉLÉNA},$

$F_1(\mathbf{t}_2) = \text{TITANIA},$

$F_1(\mathbf{l}) = \text{LYSANDRE},$

$F_1(\mathbf{b}) = \text{BOTTOM},$

$F_1(\mathbf{d}) = \text{DÉMÉTRIUS},$

$F_1(\mathbf{elfe}) = \{\text{OBÉRON}; \text{TITANIA}; \text{PUCK}\}$

$F_1(\mathbf{âne}) = \{\text{BOTTOM}\}$

$F_1(\mathbf{farceur}) = \{\text{THÉSÉE}; \text{OBÉRON}; \text{TITANIA}; \text{PUCK}\}$

$F_1(\mathbf{triste}) = \{\text{HÉLÉNA}\}$

$F_1(\mathbf{mari-de}) = \left\{ \begin{array}{l} \langle \text{THÉSÉE}, \text{HIPPOLYTA} \rangle \\ \langle \text{OBÉRON}, \text{TITANIA} \rangle \end{array} \right\}$

$F_1(\mathbf{père-de}) = \{\langle \text{EGÉE}, \text{HERMIA} \rangle\}$

$F_1(\mathbf{aimer}) = \left\{ \begin{array}{l} \langle \text{THÉSÉE}, \text{HIPPOLYTA} \rangle \\ \langle \text{HIPPOLYTA}, \text{THÉSÉE} \rangle \\ \langle \text{LYSANDRE}, \text{HERMIA} \rangle \\ \langle \text{HERMIA}, \text{LYSANDRE} \rangle \\ \langle \text{DÉMÉTRIUS}, \text{HERMIA} \rangle \\ \langle \text{HÉLÉNA}, \text{DÉMÉTRIUS} \rangle \\ \langle \text{TITANIA}, \text{BOTTOM} \rangle \end{array} \right\}$

Cette présentation de $M_1$ implique que nous travaillons présentement sur une petite portion d'un langage de type LO qui ne comprend que les constantes d'individu $t_1$, $h_1$, $h_2$, $h_3$, $l$, $d$, $e$, $p$, $o$, $t_2$, $b$, et les prédicats *elfe*, *âne*, *farceur*, *triste*, *mari-de*, *père-de* et *aimer*. Ce petit fragment est loin de nous permettre de rédiger en LO un résumé d'une pièce de Shakespeare, mais il nous suffira pour évaluer la vérité d'une bonne variété de formules. Notons aussi que $M_1$ sous-entend aussi (mais sans équivoque possible) que tous les prédicats sont à un argument sauf *mari-de*, *père-de* et *aimer* qui sont binaires.
Commençons avec une formule très simple ; nous pouvons nous demander quelle est la dénotation de (24) relativement à $\mathcal{M}_1$ :

$$ (24) \quad \text{aimer}(d, h_2) $$

Autrement dit, que vaut $[[\text{aimer}(d, h_2)]]^{\mathcal{M}_1}$ ? La règle (Sém.1b) nous dit que $[[\text{aimer}(d, h_2)]]^{\mathcal{M}_1} = 1$ ssi $\langle [[d]]^{\mathcal{M}_1}, [[h_2]]^{\mathcal{M}_1} \rangle \in [[\text{aimer}]]^{\mathcal{M}_1}$. Or, d'après la règle 1 de l'interprétation des constantes non logiques, $[[d]]^{\mathcal{M}_1} = F_1(d)$ c'est-à-dire DÉMÉTRIUS d'après la donnée de $\mathcal{M}_1$, et $[[h_2]]^{\mathcal{M}_1} = F_1(h_2) = \text{HERMIA}$. Donc $\langle [[d]]^{\mathcal{M}_1}, [[h_2]]^{\mathcal{M}_1} \rangle = \langle \text{DÉMÉTRIUS}, \text{HERMIA} \rangle$. Quant à $[[\text{aimer}]]^{\mathcal{M}_1}$ c'est égal à $F_1(\text{aimer})$, qui vaut l'ensemble de couples donné plus haut. Et nous constatons que $\langle \text{DÉMÉTRIUS}, \text{HERMIA} \rangle$ fait bien partie de cet ensemble. Nous avons donc bien montré que $[[\text{aimer}(d, h_2)]]^{\mathcal{M}_1} = 1$, (24) est vraie dans $\mathcal{M}_1$.

### Essayons avec (25) :

$$ (25) \quad [[\text{triste}(b) \wedge \text{aimer}(t_2, b)]] $$

La règle (Sém.4a) nous dit que $[[[\text{triste}(b) \wedge \text{aimer}(t_2, b)]]]^{\mathcal{M}_1} = 1$ ssi $[[\text{triste}(b)]]^{\mathcal{M}_1} = 1$ et $[[\text{aimer}(t_2, b)]]^{\mathcal{M}_1} = 1$. Regardons d'abord $[[\text{triste}(b)]]^{\mathcal{M}_1}$. $[[b]]^{\mathcal{M}_1} = F_1(b) = \text{BOTTOM}$ et $[[\text{triste}]]^{\mathcal{M}_1} = F_1(\text{triste}) = \{\text{HÉLÉNA}\}$. Donc évidemment $[[b]]^{\mathcal{M}_1} \notin [[\text{triste}]]^{\mathcal{M}_1}$ et donc, en vertu de (Sém.1a), nous en concluons que $[[\text{triste}(b)]]^{\mathcal{M}_1} = 0$. Nous pouvons nous arrêter là, car la condition demandée par (Sém.4a) n'est pas remplie : il faut que les deux sous-formules soient vraies pour que (25) le soit ; si la première est fausse, il est inutile d'évaluer la seconde, nous savons que $[[[\text{triste}(b) \wedge \text{aimer}(t_2, b)]]]^{\mathcal{M}_1} = 0$.

Remarquons en passant que ce qui est faux par rapport à $\mathcal{M}_1$, comme triste(b), c'est ce qui n'est pas donné comme information par $\mathcal{M}_1$.

### Regardons une formule négative, (26) :

$$ (26) \quad \neg[\text{âne}(p) \lor \text{farceur}(p)] $$

(Sém.3) nous dit que $[[\neg[\text{âne}(p) \lor \text{farceur}(p)]]]^{\mathcal{M}_1} = 1$ ssi $[[[\text{âne}(p) \lor \text{farceur}(p)]]]^{\mathcal{M}_1} = 0$. Calculons donc $[[[\text{âne}(p) \lor \text{farceur}(p)]]]^{\mathcal{M}_1}$. (Sém.4b) dit que cette sous-formule est vraie si $[[\text{âne}(p)]]^{\mathcal{M}_1} = 1$ ou si $[[\text{farceur}(p)]]^{\mathcal{M}_1} = 1$. Là nous pouvons gagner du temps en observant $\mathcal{M}_1$ qui nous conseille de regarder d'abord la valeur de farceur(p). $[[p]]^{\mathcal{M}_1} = F_1(p) = \text{PUCK}$ et $[[\text{farceur}]^{\mathcal{M}_1} = F_1(\text{farceur}) = \{\text{THÉSÉE} ; \text{OBÉRON} ; \text{TITANIA} ; \text{PUCK}\}$, donc $[[p]]^{\mathcal{M}_1} \in [[\text{farceur}]^{\mathcal{M}_1}$, et donc $[[\text{farceur}(p)]]^{\mathcal{M}_1} = 1$. Et cela suffit à montrer que $[[[\text{âne}(p) \lor \text{farceur}(p)]]]^{\mathcal{M}_1} = 1$, puisque selon (Sém.4b) il suffit que l'un des deux membres d'une disjonction soit vrai pour que l'ensemble soit vrai. Maintenant la règle (Sém.3) – comme toutes les règles d'interprétation – est en si et seulement si ; cela veut dire que $[[\neg\varphi]]^{\mathcal{M}_1} = 1$ si $[[\varphi]]^{\mathcal{M}_1} = 0$ et $[[\neg\varphi]]^{\mathcal{M}_1} = 0$ si $[[\varphi]]^{\mathcal{M}_1} = 1$. Par conséquent, $[[\neg[\text{âne}(p) \lor \text{farceur}(p)]]]^{\mathcal{M}_1} = 0$.
## 2 Sémantique vériconditionnelle et calcul des prédicats

### Exercice 2.4

Calculez la dénotation relativement à $\mathcal{M}_1$ des formules suivantes :

1. $[\text{père-de}(o, p) \leftrightarrow \text{elfe}(b)]$

2. $[\neg\text{aimer}(d, h_3) \rightarrow \text{triste}(h_3)]$

3. $[\neg[\text{elfe}(p) \wedge \text{farceur}(p)]]$

4. $[\text{farceur}(t_1) \rightarrow [\text{elfe}(t_1) \rightarrow \text{âne}(t_1)]]$

## 2.4 Un peu de logique

Afin de bien maîtriser la sémantique de LO, il est temps de faire un petit détour vers la logique, car en se fondant sur le calcul des prédicats, LO met surtout en avant les propriétés logiques de la structure sémantique des phrases. Nous allons donc examiner de plus près les connecteurs logiques, ainsi que des notions formelles attachées aux formules de LO, ce qui nous permettra de nous donner des règles d'interprétation assez simples pour les formules quantifiées. Cette section permettra par ailleurs de s'entraîner un peu à l'analyse par conditions de vérité.

### 2.4.1 Tables de vérité

Les connecteurs logiques ($\neg$, $\wedge$, $\vee$, $\rightarrow$, $\leftrightarrow$) de LO sont également appelés des **connexeurs VÉRIFONCTIONNELS**. Cela veut dire que leur dénotation peut être considérée comme une fonction à un (pour $\neg$) ou deux (pour les autres) argument(s) pris dans $\{0; 1\}$ et qui tourne une valeur de $\{0; 1\}$. C'est ce qu'on appelle une **FONCTION DE VÉRITÉ**. C'est juste une façon mathématique de dire que la valeur de vérité d'une formule construite avec un connecteur dépend simplement de la valeur de vérité de ses sous-formules connectées. Et la définition de ces fonctions nous est donnée dans les règles (Sém.3) et (Sém.4).

Ces règles peuvent s'explicitier de manière systématique à l'aide de ce qu'on appelle des **TABLES DE VÉRITÉ**. Une table de vérité est un tableau qui permet de visualiser très facilement toutes les dénotations que peuvent prendre une formule (ou un schéma de formules) construite avec un connecteur. Le principe est le suivant : les premières colonnes d'une table vont correspondre aux sous-formules connectées ; on y fait figurer toutes les combinaisons de valeurs de vérité qu'elles peuvent prendre (lorsqu'on examine un connecteur binaire, il y a quatre combinaisons possibles) ; et dans la colonne suivante, en face de chaque combinaison de valeurs, on pose la valeur de vérité résultante pour la formule complexe. Les tables de vérité sont aux connecteurs logiques ce que nos vieilles tables de multiplication sont à la multiplication. Le tableau 2.1 regroupe les tables de vérité des quatre connecteurs logiques de LO.

Chaque ligne d'une table est donc une combinaison possible des valeurs de $\varphi$ et $\psi$. Par rapport à notre formalisation sémantique, cela veut dire que chaque ligne résume une certaine catégorie de modèles : la première ligne représente tous les modèles par rapport auxquels $\varphi$ et $\psi$ sont toutes deux vraies, la deuxième tous les modèles par rapport auxquels $\varphi$ est vraie et $\psi$ est fausse, etc. Quand on regarde la dénotation d'une formule construite avec un connecteur binaire, on ne s'intéresse qu'à quatre grandes catégories de modèles.
<table><caption>TAB. 2.1 : Tables de vérité des connecteurs logiques de LO</caption><thead><tr><th>φ</th><th>ψ</th><th>[$φ \wedge \psi$]</th><th>[$φ \vee \psi$]</th><th>[$φ \to \psi$]</th><th>[$φ \leftrightarrow \psi$]</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td></tr></tbody></table>

On peut aussi dresser la table de vérité de la négation, et là on n'a à regarder que deux catégories de modèles : ceux où la formule de départ est vraie et ceux où elle est fausse ; cf. tableau 2.2.

<table><caption>TAB. 2.2 : Table de vérité de la négation</caption><thead><tr><th>φ</th><th>¬φ</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td></tr></tbody></table>

Le principe des tables de vérité permet également de calculer toutes les dénotations possibles de formules complexes, ou plus exactement de schémas généraux de formules, qui comprennent plusieurs connecteurs<fnref n="39" />. Techniquement il suffit d'ajouter des colonnes intermédiaires pour les différentes étapes du calcul et ainsi on obtient progressivement le résultat final en réutilisant les résultats intermédiaires<fnref n="40" />. Ces calculs sont courants en logique, et ici ils peuvent nous être utiles car il y a une règle de logique qui dit que deux formules qui ont la même table de vérité sont logiquement (et sémantiquement) équiva- lentes, puisque cela veut dire qu'elles sont vraies dans exactement les mêmes modèles<fnref n="41" />.

Regardons, par exemple, les dénotations de [¬φ ∧ ¬ψ] puis de ¬[φ ∨ ψ] données dans le tableau 2.3 (page suivante).

Dans la table de gauche on calcule d'abord les valeurs pour ¬φ et ¬ψ, en se servant de la table 2.2 de la négation ; puis sur ces deux colonnes on applique les règles de calcul de la conjonction ∧ données dans la table 2.1 et cela nous donne les valeurs pour [¬φ ∧ ¬ψ]. La construction de la table de vérité suit les étapes de la construction syntaxique de la formule. Et donc dans la table de droite, on commence par indiquer les valeurs de [φ ∨ ψ], et à partir de cette colonne on calcule les valeurs de [¬[φ ∨ ψ]]. Les colonnes

<footnote n="39">³⁹ Cependant l'outil des tables de vérité n'est opérant que sur les formules qui ne contiennent pas de quanti- ficateurs ni de variable, car alors la variété de modèles à prendre en compte est immense et ne peut pas se résumer à quelques lignes.</footnote>

<footnote n="40">⁴⁰ Mais attention : il ne faut pas oublier d'énumérer sur les lignes de la table *toutes* les combinaisons possibles de valeurs de vérité pour les sous-formules de base prises en compte. Plus une formule complexe connecte de formules simples différentes, plus elle aura de lignes.</footnote>

<footnote n="41">⁴¹ Il ne s'agit que d'une reformulation pour LO de ce que nous avions vu au chapitre 1 sur l'équivalence logique ; cf. la définition 1.3, §1.2.2, p. 13 ; voir aussi la définition 2.22, p. 103.</footnote>
## 2 Sémantique vériconditionnelle et calcul des prédicats

<table><caption>TAB. 2.3 : Tables de vérité de $\neg\varphi \wedge \neg\psi$ et de $\neg[\varphi \vee \psi]$</caption><thead><tr><th>φ</th><th>ψ</th><th>¬φ</th><th>¬ψ</th><th>[¬φ ∧ ¬ψ]</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr></tbody></table><table><thead><tr><th>φ</th><th>ψ</th><th>[φ ∨ ψ]</th><th>¬[φ ∨ ψ]</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr></tbody></table>

de résultat final des deux tables sont identiques, les deux formules sont logiquement (et sémantiquement) équivalentes. Pour illustrer cela, reprenons l'exemple (26) :

$$ (26) \quad \neg[\text{âne}(p) \vee \text{farceur}(p)] $$

Cette formule peut littéralement traduire la phrase française *il est faux que Puck est un âne ou un farceur* ; en clair, cela signifie la même chose que *Puck n'est ni un âne, ni un farceur*, autrement dit *Puck n'est pas un âne et Puck n'est pas un farceur*, ce qui se traduit bien en (26)' :

$$ (26)' \quad [\neg\text{âne}(p) \wedge \neg\text{farceur}(p)] $$

Cette équivalence logique fait partie de ce qui est connu sont le nom de LOIS DE MORGAN. Il y en a une seconde qui est que $\neg[\varphi \wedge \psi]$ et $[\neg\varphi \vee \neg\psi]$ sont aussi logiquement équivalentes. On peut l'illustrer avec les exemples suivants : *il est faux que Puck est un âne et un farceur*, c'est-à-dire *Puck n'est pas un âne farceur*, ce qui veut bien dire *Puck n'est pas un âne ou bien Puck n'est pas farceur*. Les lois de Morgan peuvent donc s'avérer utiles pour comprendre certaines formules ou phrases négatives.

### Théorème 2.1 : Lois de Morgan

Pour toutes formules $\varphi$ et $\psi$ :

1. $\neg[\varphi \wedge \psi]$ et $[\neg\varphi \vee \neg\psi]$ sont logiquement équivalentes.

2. $\neg[\varphi \vee \psi]$ et $[\neg\varphi \wedge \neg\psi]$ sont logiquement équivalentes.

### Exercice 2.5

1. Montrez, par la méthode des tables de vérité, que $[[\varphi \wedge \psi] \wedge \chi]$ et $[\varphi \wedge [\psi \wedge \chi]]$ sont logiquement équivalentes. NB : ici les tables auront 8 lignes.

2. De même pour $[[\varphi \vee \psi] \vee \chi]$ et $[\varphi \vee [\psi \vee \chi]]$.

3. Montrez que $[[\varphi \rightarrow \psi] \rightarrow \chi]$ et $[\varphi \rightarrow [\psi \rightarrow \chi]]$ ne sont pas logiquement équivalentes.

Les deux équivalences de l'exercice 2.5 disent finalement que par exemple lorsqu'on a deux conjonctions qui « se suivent » dans une formule, peu importe comment on les regroupe, c'est-à-dire comment on place les crochets, la dénotation de la formule
reste toujours la même. On dit que la conjonction et la disjonction sont des connecteurs *associatifs* (comme le sont l'addition et la multiplication sur les nombres), et pour cette raison on peut s'autoriser à faire l'économie de ces crochets dans l'écriture des formules : ils n'ont pas d'impact sémantique. Ainsi nous pourrons écrire de temps en temps $[\varphi \wedge \psi \wedge \chi]$ et $[\varphi \vee \psi \vee \chi]$ à la place des quatre premières formules de l'exercice 2.5. Mais il faut bien garder à l'esprit que $[\varphi \wedge \psi \wedge \chi]$ n'est qu'une commodité d'écriture : en toute rigueur, ce n'aura pas de formule bien formée de LO, mais juste un raccourci qui vaut indifféremment pour $[[\varphi \wedge \psi] \wedge \chi]$ ou $[\varphi \wedge [\psi \wedge \chi]]$.

En revanche, comme le montre la troisième partie de l'exercice, $[\varphi \rightarrow \psi \rightarrow \chi]$ n'est pas une écriture autorisée, cette (pseudo-)formule n'a vraiment aucun sens. De même on n'a pas le droit d'écrire $[\varphi \wedge \psi \vee \chi]$.

Il y a une autre règle de suppression des crochets que nous pouvons nous accorder pour alléger les écritures de formules. Les crochets servent à regrouper les sous-formules à l'intérieur d'une formule complexe pour éviter toute équivoque et pour bien marquer le « champ d'application » d'un connecteur. Par conséquent lorsqu'une formule (mais pas une sous-formule !) est entièrement encadrée de crochets, ceux-ci ne servent pas à grand chose, car justement cette formule globale n'est connectée à aucune autre. Ainsi il est sémantiquement inoffensif de supprimer les crochets les plus extérieurs d'une formule et on peut écrire $\varphi \rightarrow \psi$ à la place de $[\varphi \rightarrow \psi]$ tant qu'il s'agit d'une formule autonome. Mais attention, cela ne concerne que les crochets complètement extérieurs : on n'a pas le droit de les supprimer dans $\neg[\varphi \wedge \psi]$ ou dans $\exists x [\text{elfe}(x) \wedge \text{farceur}(x)]$ (mais on a le droit d'écrire $\exists x \text{elfe}(x) \wedge \exists x \text{farceur}(x)$ pour $[\exists x \text{elfe}(x) \wedge \exists x \text{farceur}(x)]$).

### Exercice 2.6

Montrez que les paires de formules suivantes sont chacune logiquement équivalentes :

1. $\varphi$ et $\neg\neg\varphi$

2. $[\varphi \rightarrow \psi]$ et $[\neg\varphi \vee \psi]$

3. $[\varphi \rightarrow \psi]$ et $[\neg\psi \rightarrow \neg\varphi]$

4. $[\varphi \rightarrow [\psi \rightarrow \chi]]$ et $[[\varphi \wedge \psi] \rightarrow \chi]$

5. $[\varphi \wedge [\psi \vee \chi]]$ et $[[\varphi \wedge \psi] \vee [\varphi \wedge \chi]]$

6. $[\varphi \vee [\psi \wedge \chi]]$ et $[[\varphi \vee \psi] \wedge [\varphi \wedge \chi]]$

Il n'est pas inutile de connaître par cœur ces équivalences (la n°1 s'appelle d'ailleurs la loi de la double négation et la n°3 la loi de contraposition$^{42}$).

### 2.4.2 Disjonctions inclusive et exclusive

La table de vérité de la disjonction $\vee$, répétée dans le tableau 2.4, de même que la règle (Sém.4b) nous disent que $[\varphi \vee \psi]$ est vraie si l'une des deux sous-formules est vraie et aussi lorsqu'elles sont vraies toutes deux. C'est ce qu'on appelle la DISJONCTION INCLUSIVE, et c'est pourquoi elle est parfois prononcée « et/ou ». Il existe en logique un autre

<footnote>$^{42}$ Un exemple d'équivalence via la double négation est donnée par Marie fume et il est faux que Marie ne fume pas. La loi de contraposition peut s'illustrer par s'il y a du feu, il y a de la fumée et s'il n'y a pas de fumée, il n'y a pas de feu.</footnote>
connecteur disjonctif, qu'on appelle la **DISJONCTION EXCLUSIVE** ; notons-la par le symbole $W^{43}$ ; sa table de vérité est donnée dans le tableau 2.4.

<table><caption>TAB. 2.4 : Tables de vérité des disjonctions inclusive et exclusive</caption><thead><tr><th>φ</th><th>ψ</th><th>[φ ∨ ψ]</th><th>[φ ∨ W ψ]</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>

Nous voyons que $[φ W ψ]$ est vraie si l'une des deux sous-formules est vraie mais pas les deux en même temps. C'est fromage ou dessert.

Une question importante qui se pose en sémantique, c'est de savoir si les expressions de la langue qui expriment la disjonction, en français ou, ou bien, soit..., soit..., doivent s'analyser par une disjonction inclusive ou exclusive. Nous pouvons deviner la réponse puisque c'est ∨ et pas W qui a été introduit dans LO, mais regardons les choses plus précisément.

En fait, il peut sembler que la plupart (ou au moins un grand nombre) des phrases disjonctives du français sont plus naturellement comprises comme exprimant une disjonction exclusive plutôt qu'inclusive. Un exemple classique est (27) :

(27) Alice est dans sa chambre ou dans la salle de bain.

Il paraît assez évident que cette phrase ne suggère pas qu'Alice est peut-être à la fois dans sa chambre et dans la salle de bain. La disjonction en (27) a bien l'air exclusive. Remarquons au passage que, parmi les raisons qui peuvent amener un locuteur à utiliser une disjonction dans son énoncé, l'une des plus courantes est lorsqu'il ne dispose pas d'une information absolument certaine, que pour lui deux possibilités sont en balance. Mais cela ne veut pas dire que ces énoncés ne sont pas informatifs ; ils ne sont pas vagues ; (27) exclut tous les autres endroits où Alice peut être.

Les phrases suivantes fonctionnent de la même manière, en illustrant des disjonctions exclusives :

(28) a. Ce type, il s'appelle Hubert ou Herbert.

b. Daniel travaille à Biarritz ou à Bayonne.

c. Cet été pour les vacances, Adèle est allée en Espagne ou en Italie.

Mais il faut faire une remarque importante ici : ce n'est pas forcément parce que l'on comprend ces phrases comme exprimant une disjonction exclusive ou qu'elles nous semblent exprimer une disjonction exclusive que leur sens doit être analysé de la sorte.

<footnote n="43">43 Ce symbole n'est pas spécialement consacré dans la littérature logique. Mais à ma connaissance, il n'y a aucun consensus de notation clairement établi ; on trouve facilement les variantes suivantes : ∨, ∨, +, ⊕, ∘, etc., ce qui tend à montrer le côté relativement marginal de ce connecteur.</footnote>
Nous savons à présent comment décrire le sens d'une phrase : ce sont ses conditions de vérité. Or demandons-nous dans quels cas la phrase (28c) est vraie. Elle est vraie bien sûr si Adèle est effectivement allée en Espagne ou si elle est allée en Italie. Mais qu'en est-il si elle a fait deux voyages pendant ses vacances et qu'elle a visité les deux pays ? Dans ce cas, force est d'admettre que (28c) est également vraie. Autrement dit, les conditions de vérité nous donnent clairement une disjonction inclusive. La phrase (29) en est un autre exemple. Imaginez un inspecteur menant une enquête et qui, après avoir recueilli des indices et des témoignages, énonce la conclusion suivante :

(29) Le coupable est roux ou il porte une perruque rousse.

Devra-t-on alors écarter un suspect qui à la fois serait roux et porterait une perruque rousse ? Bien sûr que non. Par conséquent, même si elle n'en a pas l'air, la phrase (29) a une structure sémantique de disjonction inclusive.

On peut cependant faire une double objection : d'abord les disjonctions des phrases (27), (28a) et (28b) ont l'air « plus » exclusives qu'en (28c) et (29), ensuite comment expliquer que malgré tout il y a une lecture exclusive qui se présente nettement lorsqu'on lit tous ces exemples ? Il y a plusieurs manières de répondre à cela.

Une première explication serait d'ordre strictement sémantique et grammaticale. Elle dirait que la conjonction *ou* du français<sup>44</sup> est ambiguë : il y aurait deux *ou*, un inclusif et un exclusif. Ainsi (28c) recevrait deux traductions possibles en LO :

(30) a. [aller(a, e) ∨ aller(a, i)]

b. [aller(a, e) W aller(a, i)]

Mais il a été montré (par Gazdar (1979) notamment) que cette analyse est difficilement défendable et on retient préférentiellement des explications plus pragmatiques.

D'abord il ne faut pas manquer d'observer dans les exemples (27) et (28a) que, dans le cours normal des choses, les cas où les deux membres de la disjonction sont vrais (Alice est à deux endroits à la fois, le type porte deux prénoms usuels) sont hautement improbables, si ce n'est impossibles ou absurdes. Il s'agit là en fait d'une sorte de pré-supposé de bon sens, quelque chose que le locuteur et l'allocutaire savent ou présument ensembles et tacitement. Et cela se reflète dans les conditions de vérité : savoir si (27) est vraie lorsqu'Alice est dans les deux pièces à la fois est tout simplement sans intérêt, sans pertinence. Et on peut même dire que dans un tel cas, (27) n'est ni vraie ni fausse, mais hors de propos – ce qui est bien une propriété des présuppositions. Si on tient compte de cette présupposition, la disjonction n'a de valeur que pour dire qu'un et un seul des deux membres est vrai, ce qui provoque bien une lecture exclusive. Simplement ce qui fait l'exclusivité de la disjonction n'est pas affirmé par le locuteur mais présupposé, et ce n'est donc pas dans la structure sémantique de sa phrase. En bref, nos phrases ici sont sémantiquement des disjonctions inclusives qui par présupposition reviennent à des disjonctions exclusives<sup>45</sup>.

<footnote n="44"><sup>44</sup> Mais cela se retrouverait probablement dans toutes les langues.</footnote>

<footnote n="45"><sup>45</sup> Mais attention : il s'agit bien là de présuppositions *pragmatiques*, en ce sens qu'elles constituent des informations évidentes. Le fait qu'on est enclin à présumer qu'une même personne ne peut pas être à la fois dans deux endroits différents est indépendant de la sémantique de la disjonction en français. Il serait donc fautif de considérer ici la conjonction *ou* comme un déclencheur de présupposition.</footnote>
Il y a une autre explication pragmatique, qui ne s'oppose pas à la première, et selon
laquelle les lectures disjonctives exclusives sont des effets d'implicatures conversation-
nelles. L'idée est la suivante : une conjonction de deux formules [φ ∧ ψ] est plus informa-
tive, plus précise que la disjonction de ces mêmes formules [φ ∨ ψ], car la conjonction
est vraie dans moins de cas que la disjonction (cf. tableau 2.1) et car [φ ∨ ψ] est une consé-
quence logique de [φ ∧ ψ] (quand la conjonction est vraie la disjonction l'est aussi). Par
exemple, dire qu'Adèle est allée en Espagne et en Italie est évidemment plus précis que
de dire qu'elle est allée en Espagne ou en Italie. Par conséquent, si un locuteur énonce la
formule la moins informative, c'est qu'il est probable qu'il ne pense pas que la formule la
plus informative soit vraie. Autrement dit, une implicature que l'on peut tirer normale-
ment de [φ ∨ ψ] c'est ¬[φ ∧ ψ]. Et si on réunit les deux, cela nous donne : φ ou ψ et pas les
deux à la fois, ce qui est bien l'interprétation de la disjonction exclusive. Précédemment,
l'exclusivité était donnée a priori par une présupposition, ici elle est obtenue a posteriori
par une implicature.

Terminons ces observations avec le coup de grâce que nous pouvons porter à une
analyse sémantique de la disjonction exclusive. Reprenons l'hypothèse qui suggérait que
ou soit sémantiquement (i.e. lexicalement) ambigu entre ∨ et W. Cela veut dire que toute
phrase en ou reçoit deux traductions plausibles et qu'éventuellement ensuite l'une des
deux soit écartée parce que peu appropriée dans le contexte.

Regardons alors ce qui se passe avec une disjonction multiple, c'est-à-dire à plus de
deux membres, comme par exemple (31) :

(31) Marie a prévenu Pierre ou Albert ou Jacques.

Si *ou* est ambigu, alors (31) peut se traduire au moins de deux façons :

(32) a. [[prévenir(m, p) ∨ prévenir(m, a)] ∨ prévenir(m, j)] ou

b. [[prévenir(m, p) W prévenir(m, a)] W prévenir(m, j)]

c'est-à-dire les schémas de formules [[φ ∨ ψ] ∨ χ] ou [[φ W ψ] W χ]. Avant même d'anal-
lyser ces formules, on peut déjà expliciter les conditions de vérité de (31) simplement
en regardant la phrase. On peut y voir effectivement deux lectures, une inclusive et une
exclusive. Pour la lecture disjonctive inclusive, (31) est vraie si et seulement si Marie a
prévenu *au moins un* des trois garçons – et donc c'est vrai aussi si elle en a prévenu
deux ou les trois. Pour la lecture disjonctive exclusive c'est moins simple car il y a deux
manières de voir les choses. On pourrait envisager une lecture exclusive faible qui dirait
que (31) est vraie ssi Marie a prévenu au moins un des trois garçons mais pas tous les
trois – ce serait donc vrai si elle en a prévenu deux. Mais cette interprétation semble peu
naturelle et plutôt compliquée. L'autre lecture serait exclusive forte, elle dirait que (31)
est vraie ssi Marie a prévenu *un seul* des trois garçons. Examinons maintenant ce que
nous disent les tables de vérité de nos deux schémas de formules. Elles sont donnée dans
le tableau 2.5.

La table de [[φ ∨ ψ] ∨ χ] est bien conforme à nos attentes. Quant à celle de [[φ W
ψ] W χ] elle correspond *presque* à la lecture exclusive forte ; « presque » à cause de
la première ligne qui ne donne pas le résultat escompté. Et c'est beaucoup plus grave
<table><caption>TAB. 2.5 : Tables de vérité de disjonctions à trois termes</caption><thead><tr><th>φ</th><th>ψ</th><th>χ</th><th>[[φ ∨ ψ]]</th><th>[[φ ∨ ψ] ∨ χ]</th><th>[[φ ∧ ψ]]</th><th>[[φ ∧ ψ] ∧ χ]</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>

qu'il n'y paraît car si on recommence l'exercice avec une disjonction à quatre ou cinq membres, on constatera une étonnante régularité : une disjonction exclusive multiple (en W) est vraie ssi il y a un *nombre impair* de sous-formules atomiques connectées qui sont vraies. Et cette règle n'a décidément rien à voir avec ce que peut vouloir dire un locuteur qui énonce une phrase disjonctive. Autrement dit, le connecteur W donne des résultats erronés quand il s'agit d'exprimer le sens des phrases du français.

La conclusion de tout cela est que d'un point vue strictement sémantique, c'est-à-dire concernant uniquement les conditions de vérité, l'expression d'une disjonction en français sera toujours traduite par une disjonction inclusive, V. C'est à un autre niveau de l'analyse (pragmatique) que se manifeste le caractère exclusif de l'interprétation d'une disjonction. Nous n'utiliserons donc pas W dans LO.

### 2.4.3 Implication matérielle

Le connecteur de l'IMPLICATION MATÉRIELLE, →, a été présenté comme étant ce qui permet de traduire en LO les constructions conditionnelles en si..., (alors)... Voici un exemple :

(33) Si Démétrius n'aime pas Héléna, alors elle sera triste.
$[\neg\text{aimer}(d, h_3) \rightarrow \text{triste}(h_3)]$

Introduisons d'abord deux éléments de vocabulaire attachés aux implications :

**Définition 2.13 : Antécédent et conséquent d'une implication**

Dans une implication de la forme $[\varphi \rightarrow \psi]$, la sous-formule $\varphi$ s'appelle l'ANTÉCÉDENT de l'implication, et la sous-formule $\psi$ son CONSÉQUENT.

Par extension on parle aussi de l'antécédent et du conséquent d'une phrase condi-
tionnelle pour désigner respectivement la proposition subordonnée (en si) et la principale<fnref n="46" />.

Les conditions de vérité données en (Sém.4c) et la table de vérité, reproduite dans le tableau 2.6, peuvent paraître un peu éloignées de ce que l'on attend de la sémantique d'une structure conditionnelle du français en si. Il faut d'abord savoir que la formulation de (Sém.4c) n'est qu'une façon de dire parmi d'autres variantes équivalentes ; on aurait pu tout aussi bien écrire : $[[\varphi \to \psi]]^M = 1$ si et seulement si, si $[[\varphi]]^M = 1$ alors $[[\psi]]^M = 1$ aussi. Mais la version (Sém.4c) a le mérite d'être plus analytique et moins alambiquée.

<table><caption>TAB. 2.6 : Table de vérité de →</caption><thead><tr><th>φ</th><th>ψ</th><th>[[φ → ψ]]</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr></tbody></table>

Ce qui gêne souvent dans la table de vérité de →, c'est sa troisième ligne : comment le faux peut-il impliquer le vrai ? ou comment de quelque chose de faux peut-on déduire quelque chose de vrai ?

D'abord, il faut bien être avisé du fait que l'implication matérielle n'est pas la même chose que la déduction ; ce sont deux concepts orthogonaux. L'implication matérielle est un symbole de LO qui permet d'écrire des formules ; la déduction est un type de raisonnement, ou éventuellement un jugement que l'on porte sur une forme de raisonnement (on dit par exemple que tel raisonnement est déductif). Une manière d'établir une déduction est d'utiliser la relation de conséquence logique que nous avons vue au chapitre précédent. On la notait par $|=,$ et ce symbole ne fait pas partie de LO, c'est un méta-symbole. Il sert à *affirmer* qu'il y a une conséquence logique entre des phrases, et nous avons bien vu que cette relation ne s'établit pas n'importe comment (nous y reviendrons en §2.4.5). Au contraire, la règle syntaxique (Syn.4) nous autorise à placer le connecteur $\to$ entre n'importe quelles formules, pourvu qu'elles soient bien formées. C'est que $[\varphi \to \psi]$ en soi n'affirme rien, quand on l'écrit on ne dit pas si elle est vraie ou fausse (d'où l'utilité des modèles et de $[[ ]]$). Ainsi on a tout à fait le droit d'écrire $[\varphi \to \neg\varphi]$ puisque c'est une EBF, alors qu'écrire $P \models \neg P$ c'est commettre une flagrante erreur de logique. Car ces deux écritures ne se situent pas sur le même plan : la première fait partie de LO, le langage objet qu'observent et étudient les sémanticiens, alors que la seconde appartient au métalangage, dans lequel s'expriment les sémanticiens.

<footnote n="46">⁴⁶ L'antécédent d'une conditionnelle est parfois aussi appelé la protase et son conséquent l'apodose.</footnote>
Ensuite, on doit remarquer que le faux n'implique pas que le vrai, il implique aussi le faux (cf. la table de vérité). Autrement dit le faux implique n'importe quoi<fnref n="47" /> : lorsque l'antécédent d'une implication est faux, la valeur de son conséquent n'est pas discriminante. Ce qui est surtout déterminant, ce sont les deux premières lignes de la table de vérité. Cela peut s'illustrer avec l'exemple suivant :

(34) Si je pars de chez moi après 8h, je rate mon train.

C'est une phrase que je peux énoncer très raisonnablement si je dois prendre un train qui part à 8h20 et que je sais pertinemment qu'il me faut au minimum 20 minutes pour aller à la gare<fnref n="48" />. Maintenant imaginons que finalement je suis parti à 7h40 et que malgré tout, à cause d'une panne de métro ou d'un embouteillage, j'ai quand-même raté mon train (c'est-à-dire on imagine un modèle où les choses se sont passées ainsi). Ainsi l'antécédent de (34) est faux et son conséquent est vrai. Devons-nous alors en conclure que dans ce cas (34) est fausse ? Pas du tout, elle reste vraie, simplement parce qu'elle ne se prononce pas sur ce qui se passe dans le cas où je pars avant 8h (i.e. lorsque l'antécédent est faux).

Il faut tout de même mentionner un effet de sens qui se produit assez souvent avec des phrases conditionnelles, et qui là encore est d'ordre pragmatique. Prenons l'exemple de parents qui disent à leurs enfants :

(35) Si vous êtes sages, on ira au parc d'attraction cet après-midi.

Cet énoncé est une sorte de promesse. Et comme précédemment, plaçons-nous dans une situation où l'antécédent est faux et le conséquent vrai : les enfants n'ont pas été sages du tout et les parents les ont emmenés au parc. Dans ce cas, on ne peut pas vraiment dire qu'ils n'ont pas tenu leur promesse, techniquement ils ne se sont pas parjurés (ça aurait été le cas si les enfants avaient été sages mais n'avaient pas été emmenés au parc). En revanche, on peut estimer que les parents sapent ainsi dangereusement leur autorité et leur crédibilité. La raison en est que, comme l'a montré, entre autres, Ducrot (1984), une affirmation de la forme de (35) s'accompagne habituellement d'un sous-entendu (et donc probablement d'une implicature conversationnelle) de la forme de (36) :

(36) Si vous n'êtes pas sages, on n'ira pas au parc d'attraction cet après-midi.

C'est pourquoi une phrase comme (35) se comprend souvent comme exprimant une équivalence matérielle (↔) plutôt qu'une implication, car l'affirmation (35) ([φ → ψ]) complétée du sous-entendu (36) ([¬φ → ¬ψ]) revient à on ira au parc d'attraction, si et seulement si vous êtes sages. Cet effet d'équivalence, comme l'effet d'exclusivité pour la disjonction, est le fruit d'un raisonnement pragmatique<fnref n="49" />, mais il n'est pas inscrit dans la structure sémantique de la phrase de départ (35).

<footnote n="47">47 C'est même une loi logique fameuse et depuis longtemps identifiée sous le joli nom de *e falso sequitur quodlibet* (du faux s'ensuit n'importe quoi, ou le faux implique tout).</footnote>

<footnote n="48">48 Pour les besoins de la démonstration, nous faisons aussi l'hypothèse extravagante que les trains partent toujours à l'heure.</footnote>

<footnote n="49">49 Très informellement, ce raisonnement peut se résumer ainsi : si les parents énoncent (35) tout en envisageant la possibilité d'emmener les enfants au parc quoi qu'il arrive, alors ça ne sert à rien de mettre une condition à la promesse, car dans ce cas, il leur suffirait de dire simplement : on ira au parc cet après-midi.</footnote>
Pour conclure sur l'implication matérielle, disons qu'il faut toujours penser à évaluer globalement la dénotation d'une phrase conditionnelle. Une implication ou une conditionnelle met en place une hypothèse exprimée par l'antécédent qui, seulement si elle est vraie, nous invite à examiner (i.e. à vérifier) une conséquence, c'est-à-dire le conséquent. Si l'hypothèse est fausse, alors globalement l'implication n'a rien à signaler et donc elle est – trivialement – vraie. L'hypothèse, donc l'antécédent, a le statut de CONDI-TION SUFFISANTE dans l'implication. C'est pourquoi on peut s'aider à bien interpréter une phrase conditionnelle en prononçant l'implication par *il suffit que*<fnref n="50" /> (mais surtout pas *il faut que* !), comme par exemple (37) qui est une bonne variante logique de (35).

(37) Il suffit que vous soyez sages pour que nous allions au parc d'attraction cet après-midi.

### 2.4.4 La quantification

Il est temps de revenir aux formules quantifiées de LO et à leur sémantique. Pour cela, il nous faut examiner quelques propriétés formelles et quelques notions attachées aux formules qui comportent des symboles de quantification. La plus fondamentale est celle de PORTÉE.

**Définition 2.14 : Portée d'un quantificateur**

Si une formule $\varphi$ contient une sous-formule de la forme $\exists v\psi$ ou $\forall v\psi$, on dit que $\psi$ est la PORTÉE respectivement du quantificateur $\exists v$ ou $\forall v$ dans $\varphi$.

Regardons tout de suite un exemple (volontairement compliqué, et laissons de côté ce que la formule peut bien signifier) :

$$ (38) \quad \neg \exists x \exists y [\forall z [\exists w \aimer(z, w) \rightarrow \aimer(y, z)] \land \aimer(x, y)] $$

En (38), la portée de $\exists w$ est $\aimer(z, w)$, celle de $\forall z$ est $[\exists w \aimer(z, w) \rightarrow \aimer(y, z)]$, celle de $\exists y$ est $[\forall z [\exists w \aimer(z, w) \rightarrow \aimer(y, z)] \land \aimer(x, y)]$ et celle de $\exists x$ est $\exists y[\forall z [\exists w \aimer(z, w) \rightarrow \aimer(y, z)] \land \aimer(x, y)]$.

La portée d'un quantificateur $\exists v$ ou $\forall v$ est simplement la sous-formule (complète !) qui le suit immédiatement dans la formule globale, ou, si l'on préfère, la sous-formule qui a été utilisée en appliquant la règle (Syn.5) au moment d'introduire $\exists v$ ou $\forall v$ lors de la construction de la formule globale.

Remarquez qu'ici on appelle *quantificateur* une séquence composée d'un symbole de quantification suivi d'une variable. À ce propos, la formulation de la définition 2.14 est un peu simplifiée ; pour être tout à fait précis il faut en fait l'énoncer en disant : « ... on dit que $\psi$ est la portée de cette occurrence particulière du quantificateur $\exists v$ ou $\forall v$, respectivement, dans $\varphi$». En effet, rien n'empêche d'avoir plusieurs fois par exemple $\exists x$ dans une

<footnote n="50">⁵⁰ C'est-à-dire que $[\varphi \rightarrow \psi]$ peut se prononcer en si $\varphi$, $\psi$ ou il suffit que $\varphi$ pour que $\psi$.</footnote>
formule, et ce qui nous intéresse ici c'est le rôle du quantificateur à un certain endroit de la formule. Ainsi dans (39), **mari-de(x, t₂)** est la portée de la première occurrence de $∃x$ et [aimer(t₂, x) ∧ ¬mari-de(x, t₂)] la portée de sa seconde occurrence.

$$ (39) \quad \exists x \mathbf{mari-de}(x, t_2) \wedge \exists x [\mathbf{aimer}(t_2, x) \wedge \neg \mathbf{mari-de}(x, t_2)] $$

La quantification, par nature, concerne les variables. Sémantiquement la portée d'un quantificateur c'est, en quelque sorte, son rayon d'action : elle délimite la zone où se trouvent les variables qui sont concernées par ce quantificateur dans une formule. « Concerner » n'est pas un terme retenu en sémantique formelle ; on parle plutôt des **VARIABLES LIÉES** par un quantificateur. Et lorsqu'une variable n'est pas liée dans une formule, on dit qu'elle y est **LIBRE**.

### Définition 2.15 : Variables libres, variables liées

1. L'occurrence d'une variable $v$ dans une formule $\varphi$ est dite **LIBRE** dans $\varphi$ si elle n'est dans la portée d'aucun quantificateur $∃v$ ou $∀v$.

2. Si $∃v\psi$ (ou $∀v\psi$) est une sous-formule de $\varphi$ et si $v$ est libre dans $\psi$, alors cette occurrence de $v$ est dite **LIÉE** par le quantificateur $∃v$ (ou $∀v$).

Là aussi, libre et liée sont des propriétés d'occurrences de variables, c'est-à-dire de variables situées à un certain endroit dans une formule<fnref n="51" />. Regardons par exemple les variables de (40) :

$$ (40) \quad \forall x [\mathbf{aimer}(x, y) \wedge \exists y \mathbf{elfe}(y)] $$

Et examinons les choses pas à pas. Localement dans **elfe(y)**, y est libre puisque dans cette sous-formule il n'y a pas de quantificateur. Donc cette occurrence de y est liée par $∃y$ dans $∃y \mathbf{elfe}(y)$ en vertu de la définition 2.15-2. De même dans [aimer(x, y) ∧ $∃y \mathbf{elfe}(y)$], x et la première occurrence de y sont libres (et la seconde occurrence de y est liée, comme on vient de le voir). Donc x est liée par $∀x$ dans (40). Par contre, la première occurrence de y, elle, reste libre car elle est dans la portée d'un $∀x$ mais pas dans celle d'un $∀y$ ou d'un $∃y$.

On pourrait se demander pourquoi la définition 2.15 est si compliquée et pourquoi faut-il définir la notion de variable liée à partir de celle de variable libre. Ne suffirait-il pas de dire simplement qu'une variable $v$ est liée par $∃v$ ou $∀v$ si elle se trouve dans sa portée ? Eh non, cela ne suffirait pas, car des quantificateurs sur $v$ peuvent se trouver eux-mêmes dans la portée d'un autre quantificateur sur $v$. Par exemple :

$$ (41) \quad \forall x [\mathbf{aimer}(x, y) \wedge \exists x \mathbf{elfe}(x)] $$

<footnote n="51">⁵¹ Lorsque l'on parle d'occurrences de variables (libres ou liées), on ne prend pas en compte les variables accolées à un symbole quantification (comme dans $∃x$ ou $∀x$); car celles-ci font partie du quantificateur.</footnote>
## 2 Sémantique vériconditionnelle et calcul des prédicats

Ici $y$ est libre et le premier $x$ est lié par $\forall x$, comme en (40). Mais le second $x$, lui, n'est pas lié par $\forall x$, même s'il est dans sa portée. Car il n'est pas libre dans $[\mathit{aimer}(x, y) \wedge \exists x \mathit{elfe}(x)]$, il est lié par $\exists x$.

Le principe de la définition 2.15, en fait, est qu'une variable $v$ libre dans une (sous-)formule $\varphi$ est toujours susceptible d'être ensuite liée par un $\exists v$ ou $\forall v$ qui serait placé devant $\varphi$. De par cette définition, on appelle d'ailleurs les symboles de quantification des **lieurs**. C'est une notion fondamentalement sémantique, mais il est aussi très simple de la définir syntaxiquement. Nous rencontrerons plus tard d'autres lieurs que $\exists$ et $\forall$ ; c'est pourquoi la définition suivante utilise le méta-symbole $\ell$, pour une formulation générique.

### Définition 2.16 : Lieur

Un symbole $\ell$ de LO est appelé un **lieur** s'il est introduit dans le langage par une règle syntaxique qui dit que si $v$ est une variable et $\alpha$ une expression bien formée de LO, alors $\ell v \alpha$ est aussi une expression bien formée de LO$^{52}$.

Tout lieur a une portée (c'est $\alpha$ ci-dessus), et il suffit d'adapter la définition 2.15 en la généralisant à tout lieur $\ell$ pour savoir que, par définition, un lieur est simplement un symbole qui lie des variables.

Il est très important de savoir reconnaître les variables liées, notamment pour l'interprétation de la quantification puisqu'évidemment, les quantificateurs quantifient sur les variables qu'ils lient.

### Exercice 2.7

Pour chacune des formules suivantes, dites : i) quelle est la portée de chaque quantificateur, ii) quelles sont les occurrences de variables libres (s'il y en a), et iii) et par quels quantificateurs sont liées les autres variables.

1. $\exists x[\mathit{aimer}(x, y) \wedge \mathit{âne}(x)]$

2. $\exists x \mathit{aimer}(x, y) \wedge \mathit{âne}(x)$

3. $\exists x \exists y \mathit{aimer}(x, y) \rightarrow \mathit{âne}(x)$

4. $\forall x[\exists y \mathit{aimer}(x, y) \rightarrow \mathit{âne}(x)]$

5. $\neg \exists x \exists y \mathit{aimer}(x, y) \rightarrow \mathit{âne}(x)$

6. $\neg \mathit{âne}(x) \rightarrow [\neg \forall y[\neg \mathit{aimer}(x, y) \vee \mathit{âne}(x)] \rightarrow \mathit{elfe}(y)]$

7. $\neg \exists x[\mathit{aimer}(x, y) \vee \mathit{âne}(y)]$

8. $\neg \exists x \mathit{aimer}(x, x) \vee \exists y \mathit{âne}(y)$

9. $\forall x \forall y [[\mathit{aimer}(x, y) \wedge \mathit{âne}(y)] \rightarrow \exists z \mathit{mari-de}(x, z)]$

10. $\forall x[\forall y \mathit{aimer}(y, x) \rightarrow \mathit{âne}(y)]$

Maintenant intéressons-nous aux conditions de vérité des formules (et des phrases) qui contiennent des quantificateurs. Quand ces formules sont simples, leurs conditions

<footnote n="52">52 On parle ici d'expressions bien formées et pas simplement de formules, afin d'avoir une définition suffisamment générale (et donc valide aussi pour les autres lieurs que nous verrons).</footnote>
de vérité sont assez faciles à caractériser, et elles nous donnent le principe général d'interprétation de la quantification. Par exemple, la formule $∃x \âne(x)$ est vraie dans un modèle $\mathcal{M} = \langle \mathcal{A}, F \rangle$ ssi il y a un individu, au moins, de $\mathcal{A}$ qui appartient à $F(âne)$, l'ensemble des ânes de $\mathcal{M}$. Et $∀x \âne(x)$ est vraie dans $\mathcal{M}$ ssi tous les individus de $\mathcal{A}$ appartiennent à $F(âne)$ (tout le monde est un âne). Et très informellement, on généralisera en disant que $[∃x\varphi]^M = 1$ ssi la formule $\varphi$ est vraie pour au moins un individu de $\mathcal{A}$ et $[∀x\varphi]^M = 1$ ssi $\varphi$ est vraie pour tout individu de $\mathcal{A}$. Ainsi comme avec les autres règles sémantiques de LO l'interprétation se fait par simplification progressive de la formule : on se débarrasse du quantificateur et on examine la dénotation de $\varphi$ – une fois avec $∃x$ et autant de fois que nécessaire avec $∀x$.

Mais il nous faut ici être précis sur ce que cela signifie lorsqu'on dit qu'une formule $\varphi$ est vraie pour tel ou tel individu de $\mathcal{A}$. D'abord si le quantificateur lie la variable $x$, on doit regarder les individus qui en tant que $x$ rendent vraie la formule. Cela veut dire simplement que les individus à tester doivent en quelque sorte prendre la place de la variable dans la formule $\varphi$ pour qu'ensuite on vérifie sa dénotation. Mais les individus appartiennent au modèle, pas à LO, ils ne peuvent pas intervenir eux-mêmes dans les formules. C'est pourquoi une manière de procéder consiste à utiliser les constantes comme des représentants des individus dans LO. Le mécanisme interprétatif de la quantification peut alors s'exprimer facilement pour toute formule de LO, il suffit de dire que $[∃x\varphi]^M = 1$ ssi il y a au moins une constante d'individu telle que si on remplace $x$ par cette constante dans $\varphi$, $\varphi$ devient alors vraie dans $\mathcal{M}$, et $[∀x\varphi]^M = 1$ ssi quand on remplace $x$ successivement par toutes les constantes d'individus, $\varphi$ est alors à chaque fois vraie dans $\mathcal{M}$.

Cette façon d'interpréter les formules quantifiées n'est pas complètement satisfaisante sur le plan théorique, car elle se débarrasse des variables (en les remplaçant par des constantes) simplement parce que nous ne savons pas ce qu'est $[∃x]^M$ (effectivement nous n'avons jamais défini la dénotation d'une variable dans les règles des définitions 2.11 et 2.12). C'est pourquoi nous verrons au chapitre suivant une autre façon, plus rigoureuse et régulière, d'interpréter la quantification. Cependant, sur le plan pratique, la méthode présentée ici est tout à fait opérationnelle, à condition de poser une contrainte particu- lière sur LO qui est qu'à chaque individu du domaine $\mathcal{A}$ d'un modèle est associée au moins une constante de LO. C'est le cas par exemple dans le modèle-jouet $M_1$ (p. 80), mais a priori rien n'oblige à ce que cela soit toujours ainsi ; ce serait même peu réaliste tant qu'on assimile les constantes aux noms propres. Mais cette contrainte est nécessaire ici puisque les constantes sont censées jouer le rôle des individus. Disons qu'elle ajoute une propriété formelle au système de LO sans pour autant avoir un impact sur l'interpré- tation sémantique de la langue naturelle : nous considérerons que chaque nom propre de la langue se traduit par une constante de LO, mais que toute constante ne traduit pas forcément un nom propre.

Pour formaliser proprement cette méthode d'interprétation par substitution de constantes, nous avons simplement besoin d'introduire explicitement la procédure de remplacement des variables par des constantes. C'est une opération générale sur la struc- ture des formules, que nous noterons comme suit :
**Notation 2.8 : Substitution**

Soit $\varphi$ une formule de LO, $v$ une variable et $t$ un terme. On note $[t/v]\varphi$ le résultat de la SUBSTITUTION dans $\varphi$ de toutes les occurrences libres de $v$ par $t$.

La substitution ne doit concerner que les occurrences libres de la variable, car elle sera déclenchée par un quantificateur ; et les occurrences libres de $x$ dans $\varphi$ sont bien celles qui sont liées par $\exists x$ dans $\exists x \varphi$. (42) nous donne un exemple de l'opération$^{53}$ :

$$ (42) \quad [b/x][\âne(x) \wedge \forall y[\aimer(x, y) \lor \exists x \text{ mari-de}(y, x)]] = [\âne(b) \wedge \forall y[\aimer(b, y) \lor \exists x \text{ marie-de}(y, x)]] $$

À présent nous pouvons formuler les règles d'interprétation systématiques des formules quantifiées :

**Définition 2.17 : Interprétation des formules quantifiées**

(Sém.5) a. $[[\exists v \varphi]]^M = 1$ ssi on trouve (au moins) une constante $\kappa$ telle que $[[\kappa/v] \varphi]]^M = 1$

b. $[[\forall v \varphi]]^M = 1$ ssi pour toute constante $\kappa$, $[[[\kappa/v] \varphi]]^M = 1$

En somme, ces règles transposent sur des constantes les quantifications qui sont indiquées sur des variables dans les formules ; et comme chaque individu est représenté par une constante, cela revient bien à effectuer les quantifications sur les individus du modèle.

Illustrons l'application de ces règles en calculant la dénotation des formules suivantes par rapport à $M_1$ (p. 80).

$$ (43) \quad \exists x [\text{elfe}(x) \wedge \text{farceur}(x)] $$

La règle (Sém.5a) nous dit que $[[\exists x [\text{elfe}(x) \wedge \text{farceur}(x)]]^M] = 1$ ssi il existe une constante $\kappa$ telle que $[[\text{elfe}(\kappa) \wedge \text{farceur}(\kappa)]]^M = 1$. Dans cette écriture, $\kappa$ n'est qu'une constante virtuelle, et pour montrer que (43) est vraie dans $M_1$, il suffit donc de trouver une (véritable) constante qui fonctionne en tant que $\kappa$. En examinant $M_1$ nous voyons que nous pouvons prendre par exemple la constante $o$ (et poser ainsi $\kappa = o$). En effet $[[\text{elfe}(o) \wedge \text{farceur}(o)]]^M = 1$, car $[[\text{elfe}(o)]]^M = 1$ et $[[\text{farceur}(o)]]^M = 1$, car $F_1(o) = \text{OBÉRON} \in F_1(\text{elfe})$ et $\text{OBÉRON} \in F_1(\text{farceur})$ (nous appliquons ici les règles (Sém.4a) et (Sém.1a)). Nous avons ainsi montré que $[[ (43) ]]^{M_1} = 1$ : il existe bien un elfe farceur dans $M_1$.

<footnote>$^{53}$ L'opérateur de remplacement noté $[b/x]$ ne fait pas partie de LO, c'est juste un moyen notationnel qui fait passer d'une formule à une autre.</footnote>
Le mécanisme d'interprétation est similaire lorsqu'on a plusieurs quantificateurs existentiels :

$$
(44) \quad \exists x \exists y \mathit{aimer}(x, y)
$$

Toujours selon (Sém.5a), $\llbracket \exists x \exists y \mathit{aimer}(x, y) \rrbracket^{M_1} = 1$ ssi nous trouvons une constante $\kappa$ telle que $\llbracket \exists y \mathit{aimer}(\kappa, y) \rrbracket^{M_1} = 1$. Prenons $\kappa = t_1$ ; nous avons donc maintenant à calculer la valeur de $\llbracket \exists y \mathit{aimer}(t_1, y) \rrbracket^{M_1}$. Là encore (Sém.5a) nous dit que $\llbracket \exists y \mathit{aimer}(t_1, y) \rrbracket^{M_1} = 1$ ssi nous trouvons une constante $\kappa$ telle que $\llbracket \mathit{aimer}(t_1, h_1) \rrbracket^{M_1} = 1$. Et là encore, il suffit de trouver une constante qui marche parmi celles dont nous disposons. Prenons donc maintenant $\kappa = h_1$. Et nous avons bien $\llbracket \mathit{aimer}(t_1, h_1) \rrbracket^{M_1} = 1$, car $F_1(t_1) = \mathit{THÉSÉE}$, $F_1(h_1) = \mathit{HIPPOLYTA}$ et $\langle \mathit{THÉSÉE}, \mathit{HIPPOLYTA} \rangle \in F_1(\mathit{aimer})$ (cf. p. 80). Nous avons donc trouvé deux constantes qui font l'affaire et cela prouve que $\llbracket (44) \rrbracket^{M_1} = 1$ : il y a quelqu'un qui aime quelqu'un dans $M_1$.

Bien sûr, nous aurions pu mener cette démonstration en utilisant d'autres constantes, par exemple l et h₂, ou d et h₂, ou h₁ et t₁, etc. Si nous avions choisi p pour la première constante (i.e. pour remplacer x), nous n'aurions pas trouvé de seconde constante adéquate pour y, mais cela n'a pas d'importance car pour qu'une formule existentielle soit vraie, il suffit qu'au moins une constante la satisfasse ; peu importe celles qui échouent. L'exercice consiste donc à bien choisir les constantes qui prouvent la vérité de la formule.

Évidemment c'est différent lorsqu'il s'agit de prouver qu'une formule existentielle est fausse ou qu'une formule universelle est vraie. Commençons par calculer la dénotation dans $\mathcal{M}_1$ de l'universelle (45) :

$$
(45) \quad \forall x [ \mathit{elfe}(x) \to \mathit{farceur}(x) ]
$$

La règle (Sém.5b) dit que $\llbracket \forall x [ \mathit{elfe}(x) \to \mathit{farceur}(x) ] \rrbracket^{M_1} = 1$ ssi pour toutes les constantes $\kappa$, on a $\llbracket \mathit{elfe}(\kappa) \to \mathit{farceur}(\kappa) \rrbracket^{M_1} = 1$. La démonstration ici est plus longue : il va falloir effectuer le calcul pour $t_1, h_1, h_2, h_3, l, d, e, p, o, t_2$ et $b$ (donc 11 calculs !). Heu-reusement la table de vérité de $\to$ va nous permettre de sauter rapidement des étapes. Souvenons-nous que lorsque l'antécédent d'une implication est faux, alors l'implication entière est vraie, quelle que soit la valeur du conséquent. Or dans les cas où $\kappa$ est $t_1, h_1, h_2, h_3, l, d, e$ ou $b$, on sait que $\llbracket \mathit{elfe}(\kappa) \rrbracket^{M_1} = 0$ car aucun des individus dénotés par ces constantes n'est dans $F_1(\mathit{elfe})$. Donc pour ces huit constantes, on sait tout de suite que $\llbracket \mathit{elfe}(\kappa) \to \mathit{farceur}(\kappa) \rrbracket^{M_1} = 1$. Ce qu'il reste à vérifier, et ce qui est déterminant pour la formule, ce sont les cas où $\kappa$ est $p$ ou $o$ ou $t_2$ (constantes pour lesquelles $\llbracket \mathit{elfe}(\kappa) \rrbracket^{M_1} = 1$. Et c'est bien normal puisque (45) traduit la phrase *tous les elfes sont farceurs* – phrase qui ne s'intéresse qu'aux individus qui sont des elfes. Commençons par $p$ ; $\llbracket \mathit{farceur}(p) \rrbracket^{M_1} = 1$ car $\mathit{PUCK} \in F_1(\mathit{farceur})$, et donc $\llbracket \mathit{elfe}(p) \to \mathit{farceur}(p) \rrbracket^{M_1} = 1$. La même démonstration vaut pour $o$, car $\mathit{OBÉRON} \in F_1(\mathit{farceur})$, et pour $t_2$, car $\mathit{TITANIA} \in F_1(\mathit{farceur})$. Ainsi $\llbracket \mathit{elfe}(o) \to \mathit{farceur}(o) \rrbracket^{M_1} = 1$ et $\llbracket \mathit{elfe}(t_2) \to \mathit{farceur}(t_2) \rrbracket^{M_1} = 1$. Donc $\llbracket \mathit{elfe}(\kappa) \to \mathit{farceur}(\kappa) \rrbracket^{M_1} = 1$ pour toute constante $\kappa$, ce qui prouve bien que $\llbracket (45) \rrbracket^{M_1} = 1$.
Pour résumer la méthode d'interprétation des formules quantifiées, on peut considérer l'algorithme extrêmement minutieux suivant :

- pour calculer $[\exists x\varphi]^M$, on passe en revue chaque constante $\kappa$ pour calculer chaque $[\llbracket \kappa/x \rrbracket\varphi]^M$ et on s'arrête dès qu'on trouve le résultat 1; dans ce cas cela montre que $[\exists x\varphi]^M = 1$; en revanche, si pour tous les $\kappa$ on a trouvé 0 (i.e. on a jamais trouvé 1), alors c'est que $[\exists x\varphi]^M = 0$;

- pour calculer $[\forall x\varphi]^M$, on passe en revue chaque constante $\kappa$ pour calculer chaque $[\llbracket \kappa/x \rrbracket\varphi]^M$ et si à chaque fois le résultat est 1, c'est que $[\forall x\varphi]^M = 1$; au contraire dès qu'on trouve le résultat 0, on peut s'arrêter, car cela suffit à prouver que $[\forall x\varphi]^M = 0$.

Cette procédure nous indique du même coup les « conditions de fausseté » d'une formule quantifiée, ou si l'on préfère, les conditions de vérité de sa négation.

$$ (46) \quad \exists x [\âne(x) \wedge \text{triste}(x)] $$

$[\llbracket (46) \rrbracket]^M_1 = 0$ car il n'existe pas de constante $\kappa$ telle que $[\âne(\kappa) \wedge \text{triste}(\kappa)]^M_1 = 1$. Pour le démontrer très rigoureusement, il faudrait effectuer le calcul pour les onze constantes et montrer que le résultat est toujours 0.

$$ (47) \quad \forall x [\text{farceur}(x) \rightarrow \text{elfe}(x)] $$

$[\llbracket (47) \rrbracket]^M_1 = 0$ car il existe au moins une constante $\kappa$ telle que $[\text{farceur}(\kappa) \rightarrow \text{elfe}(\kappa)]^M_1 = 0$. Cette constante est $t_1$, car $[\text{farceur}(t_1)]^M_1 = 1$ et $[\text{elfe}(t_1)]^M_1 = 0$. En effet, si quelque chose n'est pas vrai de tous les individus, c'est qu'il existe au moins un individu pour lequel c'est faux.

Ces exemples illustrent la dualité bien connue qu'entretiennent entre eux les deux types de quantificateurs : la négation d'une formule existentielle est une formule universelle, et la négation d'une formule universelle est une formule existentielle. Je ne vais pas donner ici le détail de la démonstration, mais nous pouvons facilement nous convaincre de ces équivalences en décortiquant un peu les exemples (46) et (47).

La négation de (46) (i.e. $\neg\exists x[\âne(x) \wedge \text{triste}(x)]$) signifie qu'il n'existe pas d'individu qui soit à la fois un âne et triste, autrement dit pour tout individu (ou toute constante $\kappa$) ou bien ce n'est pas un âne ou il n'est pas triste, ce qui peut se reformuler en : pour tout individu, s'il est un âne, alors il n'est pas triste (tout âne est non-triste). Et cela, ce sont bien les conditions de vérité d'une formule universelle, à savoir :

$$ (48) \quad \begin{array}{l} \forall x [\neg\âne(x) \lor \neg\text{triste}(x)] \\ \text{ou (c'est équivalent)}^{54} : \\ \forall x [\âne(x) \rightarrow \neg\text{triste}(x)] \end{array} $$

Remarquons aussi que (48) (qui équivaut à $\neg(46)$) traduit également la phrase *aucun âne n'est triste*. Une phrase en *aucun* s'analyse par une quantification universelle du type (48) ou, ce qui revient au même, par la négation d'une existentielle.

<footnote n="54">54 Cf. l'équivalence logique n°2 dans l'exercice 2.6, p. 85.</footnote>
Quant à la négation de (47), c'est-à-dire $\neg\forall x[\mathbf{farceur}(x) \rightarrow \mathbf{elfe}(x)]$, ses conditions de vérité disent qu'il y a au moins un individu qui est farceur mais pas un elfe, ce qui correspond bien à la formule existentielle suivante :

$$ (49) \quad \exists x[\mathbf{farceur}(x) \wedge \neg\mathbf{elfe}(x)] $$

En effet $\neg(47)$, il n'est pas vrai que tous les farceurs sont des elfes, veut dire la même chose que il y a au moins un farceur qui n'est pas elfe (49).

Récapitulons cette dualité entre $\exists$ et $\forall$ par le théorème suivant :

### Théorème 2.2

Les quatre paires de formules suivantes sont des équivalences logiques :

1. $\neg\exists x\varphi$ et $\forall x\neg\varphi$

2. $\neg\forall x\varphi$ et $\exists x\neg\varphi$

3. $\neg\exists x\neg\varphi$ et $\forall x\varphi$

4. $\neg\forall x\neg\varphi$ et $\exists x\varphi$

Les deux dernières équivalences se déduisent directement des deux premières et de la loi de double négation vue *supra* dans l'exercice 2.6.

### Exercice 2.8

Calculez par rapport à $M_1$ (cf. p. 80) la dénotation des formules suivantes :

1. $\forall x[\mathbf{elfe}(x) \wedge \mathbf{farceur}(x)]$

2. $\forall x[\mathbf{elfe}(x) \rightarrow \neg\mathbf{triste}(x)]$

3. $\neg\exists x[\mathbf{âne}(x) \wedge \mathbf{elfe}(x)]$

4. $\exists x\forall y\mathbf{aimer}(y, x)$

5. $\forall y\exists x\mathbf{aimer}(y, x)$

Pour chaque formule, proposer une phrase en français qui peut se traduire par cette formule.

Comparator la formule n°1 avec la formule (45) *supra*.

La sémantique de la quantification (Sém.5) nous permet aussi de faire une remarque très importante sur l'interprétation et l'usage des variables liées dans LO. Ceci est illustré par la formule (50) :

$$ (50) \quad \exists x[\mathbf{elfe}(x) \wedge \mathbf{mari-de}(x, t_2)] \wedge \exists x[\mathbf{âne}(x) \wedge \mathbf{aimer}(t_2, x)] $$

Cette formule est vraie par rapport à $M_1$ (je ne détaille pas la démonstration, j' invite les lecteurs à la faire). Son sens peut à peu près se restituer en français par *Titania est mariée à un elfe et elle aime un âne*. L' elfe et l' âne qui permettent de la vérifier dans $M_1$ ne sont pas le même individu, mais cela ne nous empêche nullement d'utiliser la même variable $x$ dans les deux sous-formules quantifiées existentiellement. Car dans une étape du calcul interprétatif, les diverses occurrences d'une variable liée renvoient toujours au
même individu, *mais seulement* au sein de la portée du quantificateur (ou lieur) qui les lie. C'est comme si, à l'extérieur de cette portée, les compteurs étaient remis à zéro, que la variable « oubliait » la constante qui l'a remplacée précédemment, et ainsi elle peut, par la suite, être réutilisée pour désigner autre chose. Cela est une conséquence directe de (Sém.5) où les substitutions de variables par des constantes se fait uniquement dans la portée du quantificateur en cours d'interprétation. Il s'agit d'un théorème du système.

### Théorème 2.3 : Renommage des variables liées

Soit $\varphi$ une formule, $\ell$ un lieur, $x$ une variable et $y$ une variable non libre$^{55}$ dans $\varphi$.
Alors $\ell x\varphi$ est logiquement équivalente à $\ell y[y/x]\varphi$.

Ce théorème dit que l'on peut toujours, et sans risque, renommer une variable liée (par une nouvelle variable) au sein de la portée où elle est liée. Ainsi (50) est équivalent à, par exemple, $\exists z[\mathbf{elfe}(z) \wedge \mathbf{mari-de}(z, t_2)] \wedge \exists y[\mathbf{âne}(y) \wedge \mathbf{aimer}(t_2, y)]$. La pratique du renommage des variables nous sera très utile par la suite. Notons aussi que, pour les mêmes raisons que précédemment, dans une formule comme $\exists x \mathbf{elfe}(x) \wedge \exists y \mathbf{farceur}(y)$, rien n'interdit de la vérifier en choisissant la même constante pour remplacer $x$ et $y$. Les noms des variables liées n'ont globalement pas d'importance.

Pour conclure cette partie sur la quantification, voici en tableau 2.7 (ci-contre) un petit *vade-mecum* de traduction français-LO de phrases quantifiées typiques. N représente un substantif quelconque et V un verbe intransitif (ou éventuellement un groupe verbal simple) et n et v représentent les prédicats qui traduisent respectivement N et V.

Les formules qui sont dans une même cellule du tableau sont équivalentes, ce sont donc de simples variantes de traduction en LO, cela ne marque pas d'ambiguïté. En revanche, la tournure *tous les N ne V pas* est réellement ambiguë. Nous y reviendrons au chapitre suivant.

### Exercice 2.9 (Quantificateurs et connecteurs)

Indiquez (informellement$^{56}$) les conditions de vérité des formules suivantes :

1. $\exists x[\mathbf{homard}(x) \wedge \mathbf{gaucher}(x)]$

2. $\exists x[\mathbf{homard}(x) \vee \mathbf{gaucher}(x)]$

3. $\exists x[\mathbf{homard}(x) \rightarrow \mathbf{gaucher}(x)]$

4. $\exists x[\mathbf{homard}(x) \leftrightarrow \mathbf{gaucher}(x)]$

5. $\forall x[\mathbf{homard}(x) \wedge \mathbf{gaucher}(x)]$

6. $\forall x[\mathbf{homard}(x) \vee \mathbf{gaucher}(x)]$

7. $\forall x[\mathbf{homard}(x) \rightarrow \mathbf{gaucher}(x)]$

8. $\forall x[\mathbf{homard}(x) \leftrightarrow \mathbf{gaucher}(x)]$

Quelles sont celles qui peuvent être des traductions de phrases simples et naturelles du français ?

Il est bon de se souvenir que lorsqu'on traduit des phrases du français (ou de toute autre langue naturelle) il faut toujours s'attendre à ce que $\exists$ aille de paire avec $\wedge$ et $\forall$ avec $\rightarrow$.

<footnote>$^{55}$ Non libre dans $\varphi$ signifie soit que $y$ est liée dans $\varphi$, soit qu'elle n'apparaît pas du tout dans $\varphi$. Cette précaution est nécessaire pour ne pas conclure que $\exists x \mathbf{aimer}(x, y)$ serait équivalent à $\exists y \mathbf{aimer}(y, y)$.</footnote>

<footnote>$^{56}$ C'est-à-dire en français, sans entrer dans les détails techniques.</footnote>
<table><caption>TAB. 2.7 : Schémas de traductions du français en LO</caption><thead><tr><th>Schémas de phrases</th><th>Schémas de formules de LO</th></tr></thead><tbody><tr><td>Un N V<br>Des N V</td><td>∃x[n(x) ∧ v(x)]</td></tr><tr><td>Tout/chaque N V<br>Tous les N V<br>Les N V</td><td>∀x[n(x) → v(x)]</td></tr><tr><td>Un N ne V pas<br>Des N ne V pas<br>Pas tous les N ne V<br>Tout/chaque/tous les N ne V pas</td><td>∃x[n(x) ∧ ¬v(x)]<br>¬∀x[n(x) → v(x)]</td></tr><tr><td>Aucun N ne V<br>Tout/chaque/tous les N ne V pas<br>Les N ne V pas</td><td>¬∃x[n(x) ∧ v(x)]<br>∀x[n(x) → ¬v(x)]</td></tr></tbody></table>

### 2.4.5 Quelques définitions logiques

Nous avons maintenant les moyens formels de définir certaines notions vues dans le chapitre 1.

**Notation 2.9 : Satisfaction**

Si une formule $\varphi$ est vraie dans un modèle $\mathcal{M}$, c'est-à-dire si $[\varphi]^\mathcal{M} = 1$, on dit que $\varphi$ est SATISFAITE par $\mathcal{M}$, ou encore que $\mathcal{M}$ SATISFAIT $\varphi$. On note alors : $\mathcal{M} \models \varphi$.

Attention : le symbole $\models$ est à double emploi. Il exprime soit la satisfaction d'une formule par un modèle, soit la conséquence logique entre des phrases ou des formules que nous avions vue au chapitre 1. En toute rigueur nous devrions utiliser deux symboles différents. D'ailleurs on trouve parfois la variante de notation $\models_M \varphi$ pour exprimer la satisfaction de $\varphi$ par $\mathcal{M}$. Mais normalement il n'y a pas de confusion à craindre : si on trouve un modèle à la gauche de $\models$, le symbole désigne la satisfaction, si on trouve une ou plusieurs formules, il désigne la conséquence logique.

Dans le chapitre 1, la conséquence logique entre deux phrases (ou deux formules) était définie en disant que dans tous les cas où la première phrase est vraie, la seconde l'est aussi. Maintenant nous savons ce qu'est formellement un cas : c'est un modèle. La définition précise se donne donc dans ces termes : $\varphi \models \psi$ si et seulement si dans tous les modèles par rapport auxquels $\varphi$ est vraie, $\psi$ est vraie aussi.
**Définition 2.18 : Conséquence logique**

La formule $\psi$ est une **CONSÉQUENCE LOGIQUE** de la formule $\varphi$, ssi pour tout modèle $\mathcal{M}$ tel que $\mathcal{M} \models \varphi$ alors $\mathcal{M} \models \psi$.

Plus généralement, $\psi$ est une conséquence logique de l'ensemble de formules $\{\varphi_1; \varphi_2; \dots; \varphi_n\}$, ssi pour tout modèle $\mathcal{M}$ tel que $\mathcal{M} \models \varphi_1$ et $\mathcal{M} \models \varphi_2$... et $\mathcal{M} \models \varphi_n$ alors $\mathcal{M} \models \psi$.

On note alors : $\varphi_1, \varphi_2, \dots, \varphi_n \models \psi$.

Partant, on peut aussi redéfinir les notions de tautologies et de contradiction en termes de modèles. Une tautologie est vraie dans tout modèle et une contradiction dans aucun.

**Définition 2.19 : Tautologie**

Une formule $\varphi$ est une **TAUTOLOGIE**, ssi pour tout modèle $\mathcal{M}$, $\mathcal{M} \models \varphi$.

On note alors : $\models \varphi$

**Définition 2.20 : Contradiction**

Une formule $\varphi$ est une **CONTRADICTION**, ou est contradictoire, ssi pour tout modèle $\mathcal{M}$, $\mathcal{M} \models \neg \varphi$ (c'est-à-dire $\llbracket \varphi \rrbracket^\mathcal{M} = 0$).

On note alors : $\models \neg \varphi$

Il reste toutes les autres formules, celles qui ne sont ni tautologiques ni contradictoires. On les appelle des **FORMULES CONTINGENTES**. Ce sont toutes ces formules qui sont parfois vraies, parfois fausses.

**Définition 2.21 : Formule contingente**

Une formule $\varphi$ est **CONTINGENTE**, ssi il existe au moins un modèle $\mathcal{M}_1$ tel que $\mathcal{M}_1 \models \varphi$ et un modèle $\mathcal{M}_2$ tel que $\mathcal{M}_2 \models \neg \varphi$.

De même, la notion d'équivalence logique entre deux formules peut également être définie précisément maintenant.
**Définition 2.22 : Équivalence logique**

Deux formules $\varphi$ et $\psi$ sont LOGIQUEMENT ÉQUIVALENTES, ou on pourra dire aussi SÉMANTIQUEMENT ÉQUIVALENTES, ssi pour tout modèle $\mathcal{M}$, $\llbracket\varphi\rrbracket^\mathcal{M} = \llbracket\psi\rrbracket^\mathcal{M}$.

On peut également définir la notion à l'aide de la conséquence logique, comme on l'avait bu au chapitre 1, §1.2.2 : $\varphi$ et $\psi$ sont logiquement équivalentes, ssi $\varphi \models \psi$ et $\psi \models \varphi$.

Si $\varphi$ et $\psi$ sont logiquement équivalentes, cela veut dire qu'elles ont exactement le même sens dans LO. C'est une conséquence directe de la définition du sens que nous nous sommes donnée : le sens est ce qui détermine la dénotation pour n'importe quel modèle. Donc si $\varphi$ et $\psi$ ont une dénotation identique par rapport à tout modèle, c'est bien que leur sens est le même. C'est aussi ce qui explique la méthode de démonstration des ambiguïtés que nous avons vue au chapitre 1, §1.2.4. Si une phrase est ambiguë, c'est qu'elle peut être traduite par (au moins) deux formules $\varphi$ et $\psi$ qui représentent des sens différents. Et si ces sens sont différents, c'est que $\varphi$ et $\psi$ ne sont pas logiquement équivalentes. Ce qui, par la définition 2.22, veut dire qu'il existe au moins un modèle $\mathcal{M}$ tel que $\llbracket\varphi\rrbracket^\mathcal{M} \neq \llbracket\psi\rrbracket^\mathcal{M}$. Et comme $\varphi$ et $\psi$ sont des formules, si leurs dénotations sont différentes, c'est qu'il y en a une qui est vraie et l'autre qui est fausse. Il s'agit bien là de la méthode présentée en §1.2.4 : on cherche un cas de figure, c'est-à-dire un modèle, pour lequel la phrase, ambiguë, sera jugée à la fois vraie et fausse.

Enfin terminons avec le théorème suivant :

**Théorème 2.4 :** $\models \varphi \rightarrow \psi$

$\varphi \models \psi$ si et seulement si $\models [\varphi \rightarrow \psi]$.

Nous n'allons pas chercher à démontrer ce théorème ici, je le mentionne juste à titre d'entraînement à la lecture et à la manipulation des notions et des symboles que nous avons vus jusqu'ici. Ce théorème montre le rapport qui existe entre la conséquence logique et l'implication matérielle : il dit que $\psi$ est une conséquence de $\varphi$ si et seulement si $[\varphi \rightarrow \psi]$ est une tautologie ; autrement dit la conséquence logique correspond à une implication toujours vraie.

**Exercice 2.10**

Supposons que les $\varphi$ et $\psi$ représentent des formules qui ne contiennent pas de variables libres. En utilisant les tables de vérité, dites si chacune des formules suivantes est une tautologie, une contradiction ou une formule contingente :

1. $[\varphi \wedge \neg\varphi]$

2. $[\varphi \vee \neg\varphi]$^57

3. $[\varphi \rightarrow \neg\varphi]$

4. $[\varphi \rightarrow \varphi]$

5. $[\neg\varphi \rightarrow [\varphi \rightarrow \psi]]$

6. $[[\varphi \rightarrow \psi] \vee [\psi \rightarrow \varphi]]$

<footnote>^57 Indice : cette formule illustre ce qui s'appelle la LOI DU TIERS EXCLU. Nous la retrouverons plus tard.</footnote>
Exercice 2.11

En utilisant la définition 2.18, démontrez les conséquences logiques suivantes :

1. $[\varphi \wedge \psi] \models \varphi$

2. $\varphi \models [\varphi \lor \psi]$

3. $[\varphi \rightarrow \psi] \models [\neg\psi \rightarrow \neg\varphi]$

4. $[\varphi \wedge [\varphi \rightarrow \psi]] \models \psi$

5. $[\varphi \rightarrow [\psi \wedge \neg\psi]] \models \neg\varphi$

## 2.5 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons introduit un système sémantique qui s’appuie sur un langage formel LO issu de la logique du calcul des prédicats. Le langage LO est interprété ; cela veut dire qu’il est muni d’une sémantique rigoureusement définie par un ensemble de règles d’interprétation (donné dans les définitions 2.12 et 2.17). La démarche d’analyse qu’engendre ce type de système est souvent qualifiée de méthode d’interprétation indirecte, parce que LO est utilisé comme un langage intermédiaire ou pivot pour représenter le sens des expressions linguistiques. C’est ce qu’illustre l’architecture du processus d’analyse sémantique schématisé en figure 2.4. Nous y voyons que ce sont les expressions de LO (les formules) qui possèdent une interprétation directe (représentée par la flèche de droite), pas les expressions de la langue (par exemples les phrases). Le processus nécessite donc en amont une phase de traduction des expressions linguistiques (flèche de gauche) afin que par transitivité le sens défini formellement pour une expression de LO soit identifiée au sens de l’expression linguistique dont elle est la traduction.

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>FIG. 2.4 : Processus d’analyse sémantique (1)</figcaption></figure>

L’opération de traduction peut se formaliser comme une fonction qui à chaque expression du français associe une expression de LO qui représente son sens. Appelons-la $\mathfrak{F}$. Nous aurons ainsi, par exemple, $\mathfrak{F}(un \ homme dort) = \exists x[\mathfrak{homme}(x) \wedge \mathfrak{dormir}(x)]$. D’autre part, l’opération d’interprétation de LO dans un modèle est également une fonction ; c’est ce que nous représentons par $\llbracket \rrbracket^M$ qui à toute expression de LO associe sa valeur sémantique (i.e. sa dénotation) dans $M$. Autrement dit analyser sémantiquement une expression $E$ de la langue revient à définir $\llbracket \mathfrak{F}(E) \rrbracket^M$, qui consiste en un enchaînement des deux fonctions $\mathfrak{F}$ et $\llbracket \rrbracket^M$. Ainsi l’analyse se fait effectivement en deux passes.

Il est important ici de faire une remarque sur le statut de $\mathfrak{F}$. Elle vient d’être présentée comme une fonction ; cela implique qu’à toute expression de la langue elle associe une et une seule traduction dans LO. Et les expressions de LO, par définition, ont un et un seul sens. Or nous savons pertinemment que de très nombreuses expressions linguistiques sont ambiguës ou polysémiques (c’est le propre des langues naturelles), c’est-à-dire
dire qu'elles peuvent être associées à plusieurs sens et donc recevoir plusieurs traductions différentes. En tant que fonction, ſ ne peut pas faire cela. C'est pourquoi, pour la cohérence globale du système, il est nécessaire de considérer qu'il existe en fait une grande pluralité de fonctions ſ, chacune sélectionnant un sens particulier pour chaque expression ambiguë de la langue. Il faudra donc se souvenir que les analyses sémantiques que nous réalisons se font toujours par rapport au choix (implicite) d'une certaine fonction de traduction<fnref n="58" />.

La méthode indirecte est couramment utilisée en sémantique formelle et c'est celle qui est adoptée notamment par Montague (1973) et les très nombreux travaux qui y ont fait suite. Elle se distingue bien sûr de la méthode d'interprétation *directe* qui consiste à définir des règles d'interprétation directement sur les expressions de la langue, avec des formulation comme, par exemple, [[Joey dort]]⁶ = 1 ssi [[Joey]]⁶ ∈ [[dort]]⁶. Cette méthode est employée notamment par Montague (1970a) et Heim & Kratzer (1997). Sur le fond il n'y a pas vraiment de différence entre les deux méthodes (souvent, beaucoup des notations utilisées dans le langage intermédiaire se retrouvent réimportées au niveau du modèle dans la méthode directe), elles se distinguent essentiellement sur la manière de mettre forme les descriptions sémantiques. La méthode indirecte, que nous adoptons ici, a généralement l'avantage de présenter des formulations de sens à la fois explicites et concises.

Le langage LO est en quelque sorte le langage sémantique le plus simple que nous pouvons développer pour commencer à formaliser le sens d'une bonne variété de phrases de la langue. Il sera amené à évoluer et à se perfectionner tout au long des chapitres qui suivent. Tel qu'il est défini ici, LO est EXTENSIONNEL. Extension est synonyme de dénotation, et un langage extensionnel est un langage qui satisfait le principe dit d'extensionnalité. Ce principe dit que si, dans une expression *E*, on remplace une de ses sous-expressions *A* par une expression *B* qui a la même dénotation que *A*, alors la dénotation de *E* ne change pas. C'est ce que nous avons appliqué avec les exemples (2) p. 51 *supra*. Nous verrons au chapitre 4 qu'un langage extensionnel n'est pas entièrement adéquat pour rendre compte des propriétés sémantiques de la langue, et ce sera une occasion de modifier LO en conséquence.

L'extensionnalité de LO fait aussi que, techniquement, les règles d'interprétation nous font calculer la dénotation des expressions par rapport à un modèle (avec [[]]⁶). La dénotation n'est pas le sens et on peut être tenté alors de se demander : où est exactement le sens dans le système ? En sémantique, ça n'est jamais le résultat du calcul de la dénotation d'une expression par rapport à un modèle donné qui importe vraiment, ce qui compte c'est la règle qui a permis de réussir ce calcul pour n'importe quel modèle. Et comme cela a été mentionné plusieurs fois dans ce chapitre, c'est cela le sens d'une expression : *la règle de calcul* de sa dénotation – ce que l'on appelle *les conditions de vérité* dans le cas d'une phrase ou une formule. Le sens est donc d'une certaine manière une généralisation sur la dénotation ; cette généralisation consiste à faire abstraction du mo-

<footnote n="58">⁵⁸ Sachant qu'à partir des chapitres 5 et 6 nous verrons que les traductions s'effectuent à partir d'expressions linguistiques analysées syntaxiquement, ce qui réduit considérablement le nombre d'ambiguïtés potentielles.</footnote>
dèle en regardant ce qui reste constant dans le calcul quel que soit modèle utilisé. Ainsi si
$[[φ]]^M$ représente la dénotation d'une formule $φ$ dans $M$, on peut dire que $[[φ]]$ et même
simplement $φ$ représentent le sens de $φ$. Les formules de LO et les conditions de vérité
sont finalement la même chose, dans la mesure où elles donnent la même information.

Un reproche qui est souvent adressé à cette manière de théoriser le sens est qu'elle
trouverait ses limites quand on se place au niveau des prédicats et qu'elle ferait ainsi
l'impasse sur la sémantique lexicale. Mais formellement ce n'est pas exact. Certes les sys-
tèmes de sémantique formelle se concentrent prioritairement sur les propriétés logiques
de l'interprétation des phrases et développent moins souvent la dimension lexicale du
sens<fnref n="59" />. Et il est vrai que lorsque l'on dit que dormir représente le sens de dormir, on n'a
pas dit grand chose sur le sens de ce verbe... si ce n'est qu'il est (probablement) différent
du sens de, par exemple, écumoire, simplement parce qu'on a utilisé des symboles de
prédicats différents. Cependant le sens lexical est formellement présent dans le système,
ne serait-ce que par hypothèse. Il est encapsulé dans la fonction d'interprétation F du
modèle. En effet pour tout prédicat de LO, F sait dire quels individus appartiennent à sa
dénotation dans le modèle ; cette connaissance, par définition, est le sens du prédicat. Le
sens lexical n'est donc pas explicité mais il a néanmoins sa place dans le système. C'est
une erreur de supposer que la sémantique lexicale et la sémantique formelle seraient
orthogonales ou disjointes parce qu'elles auraient des objets d'étude distincts. L'objet
de la sémantique formelle est le sens linguistique, et ce qui la caractérise fondamenta-
lement c'est un cadre méthodologique scientifique qui garantit la formulation d'hypo-
thèses d'analyses falsifiables et dont on peut tirer les conséquences avec fiabilité. Depuis
longtemps la sémantique formelle aborde le lexique dans ce cadre méthodologique<fnref n="60" /> et
de nos jours les travaux dans ce domaine sont de plus en plus nombreux. Cet intérêt ap-
paremment tardif est en réalité seulement ordonné : il est plus raisonnable de s'attaquer
aux problèmes complexes une fois que nous sommes équipés d'un système d'analyse suf-
fisamment élaboré que de procéder dans l'ordre inverse. En l'état, tel que LO est défini
dans ce chapitre et tant que nous n'avons pas avancé sur l'intensionnalité (chapitre 4)
et la compositionnalité (chapitres 5 & 6), il est probablement prématuré de soulever en
profondeur la question du lexique.

Repères bibliographiques

Ce chapitre aborde assez longuement des notions de logiques indispensables à une
bonne maîtrise de la sémantique formelle. Mais il ne peut se substituer entièrement à
une véritable et complète introduction à la logique<fnref n="61" />. Il existe de nombreux ouvrages dé-
diés à la discipline, en anglais et en français, qui permettront d'approfondir avantageu-

<footnote n="59">⁵⁹ Principalement parce que c'est une question formidablement vaste et complexe, lestée notamment par l'épineux problème de la polysémie.</footnote>

<footnote n="60">⁶⁰ Cf. par exemple Dowty (1979) pour un exemple particulièrement précoce.</footnote>

<footnote n="61">⁶¹ En particulier le chapitre n'aborde pas les systèmes de démonstration, comme par exemple les systèmes axiomatiques ou la déduction naturelle, qui formalisent des méthodes pour construire « mathématiquement » les conséquences logiques d'un ensemble de formules données. Même si la connaissance de ces systèmes et des théories de la preuve est importante (et recommandée) pour une bonne maîtrise de la logique, ils sortent un peu de la portée d'un ouvrage principalement consacré à l'analyse sémantique des énoncés de la langue.</footnote>
sement ce que présente le chapitre. Dans une perspective explicitement orientée vers la sémantique formelle, Gamut (1991a) est particulièrement approprié; en français, Lucas, Berlanger & De Greef (2003) constitue une introduction très pédagogique.

Les premiers chapitres de la plupart des manuels de sémantique formelle (p. ex. Dowty, Wall & Peters 1981; Chierchia & McConnell-Ginet 1990; Corblin 2013) peuvent servir de lectures complémentaires, sachant cependant que beaucoup abordent rapidement des notions que nous verrons à partir des chapitres 3 et 5.

# Exercices supplémentaires

## Traductions

### Exercice 2.12 (QCM de traductions)

Pour chaque phrase suivante, indiquez quelle est sa (ou ses) traduction(s) correcte(s) dans LO parmi celles proposées. Pour chacune des phrases, il y a au moins une traduction correcte, mais pour certaines phrases, il peut y en avoir plusieurs.

1. Quelques étudiants connaissent toutes les réponses.

☐ a. $\forall r[\text{étudiant}(x) \land \text{connaître}(x, r)]$

☐ b. $\exists x \forall y [[\text{étudiant}(x) \land \text{réponse}(y)] \rightarrow \text{connaître}(x, y)]$

☐ c. $\forall x[\text{réponse}(x) \rightarrow \exists y[\text{étudiant}(y) \land \text{connaître}(y, x)]]$

☐ d. $\exists x[\text{étudiant}(x) \land \forall y[\text{réponse}(y) \rightarrow \text{connaître}(x, y)]]$

2. Tous les étudiants connaissent une réponse.

☐ a. $\forall x \exists y [[\text{étudiant}(x) \land \text{réponse}(y)] \rightarrow \text{connaître}(x, y)]$

☐ b. $\forall x \exists y [\text{étudiant}(x) \rightarrow [\text{réponse}(y) \land \text{connaître}(x, y)]]$

☐ c. $\forall x [[\text{étudiant}(x) \land \exists y \text{réponse}(y)] \rightarrow \text{connaître}(x, y)]$

☐ d. $\forall x[\text{étudiant}(x) \rightarrow \exists y[\text{réponse}(y) \rightarrow \text{connaître}(x, y)]]$

3. Alice connaît des réponses, mais pas toutes.

☐ a. $\forall x[\text{réponse}(x) \rightarrow [\text{connaître}(a, x) \lor \neg \text{connaître}(a, x)]]$

☐ b. $\exists x[\text{réponse}(x) \land \text{connaître}(a, x)] \land \neg \forall x[\text{réponse}(x) \rightarrow \text{connaître}(a, x)]$

☐ c. $\exists x [[\text{réponse}(x) \land \text{connaître}(a, x)] \land [\text{réponse}(x) \land \neg \text{connaître}(a, x)]]$

☐ d. $\exists x[\text{réponse}(x) \land \text{connaître}(a, x)] \land \neg \exists y[\text{réponse}(y) \land \text{connaître}(a, y)]$

4. Aucun étudiant ne connaît toutes les réponses.

☐ a. $\forall x[\text{étudiant}(x) \rightarrow \forall y[\text{réponse}(y) \rightarrow \neg \text{connaître}(x, y)]]$

☐ b. $\forall x[\text{étudiant}(x) \rightarrow \neg \forall y[\text{réponse}(y) \rightarrow \text{connaître}(x, y)]]$

☐ c. $\neg \forall x[\text{étudiant}(x) \rightarrow \forall y[\text{réponse}(y) \rightarrow \text{connaître}(x, y)]]$

☐ d. $\forall y[\text{réponse}(y) \rightarrow \neg \forall x[\text{étudiant}(x) \rightarrow \text{connaître}(x, y)]]$

5. Il est faux que quelques étudiants ne connaissent aucune réponse.

☐ a. $\neg \exists x[\text{étudiant}(x) \land \forall y[\text{réponse}(y) \rightarrow \neg \text{connaître}(x, y)]]$

☐ b. $\forall x[\text{étudiant}(x) \rightarrow \forall y[\text{réponse}(y) \rightarrow \text{connaître}(x, y)]]$

☐ c. $\forall x[\text{étudiant}(x) \rightarrow \exists y[\text{réponse}(y) \land \neg \text{connaître}(x, y)]]$

☐ d. $\neg \forall y[\text{réponse}(y) \rightarrow \exists x[\text{étudiant}(x) \land \neg \text{connaître}(x, y)]]$

6. Alice connaît une seule réponse.

☐ a. $\exists x[\text{réponse}(x) \land \text{connaître}(a, x)] \land \forall y[\text{réponse}(y) \rightarrow \neg \text{connaître}(a, y)]$

☐ b. $\exists x[\text{réponse}(x) \land \text{connaître}(a, x)] \land \exists y[\text{réponse}(y) \land \neg \text{connaître}(a, y)]$
## 2 Sémantique vériconditionnelle et calcul des prédicats

$$ \square c. \exists x[\text{réponse}(x) \land \forall y[\text{réponse}(y) \land \text{connaître}(a, y)] \to y = x]] $$

$$ \square d. \exists x[[\text{réponse}(x) \land \text{seul}(x)] \land \text{connaître}(a, x)] $$

7. Seuls les tricheurs connaissent toutes les réponses.

$$ \square a. \forall x[\text{tricheur}(x) \to \forall y[\text{réponse}(y) \to \text{connaître}(x, y)]] $$

$$ \square b. \forall x[\forall y[\text{réponse}(y) \to \text{connaître}(x, y)] \to \text{tricheur}(x)] $$

$$ \square c. \forall x \forall y[[\text{réponse}(y) \to \text{connaître}(x, y)] \to \text{tricheur}(x)] $$

$$ \square d. \neg \exists x[\neg \text{tricheur}(x) \land \forall y[\text{réponse}(y) \to \text{connaître}(x, y)]] $$

### Exercice 2.13 (Structure logique des formules)

Pour embellir LO, j'ai écrit les constantes non logiques en runes elfiques. En vous basant sur la structure logique des formules 1-5, retrouvez quelle formule est la traduction de quelle phrase du français (indiquez simplement les correspondances lettres-chiffres).

NB : Ci-dessous, seuls x et y sont des variables.

a. Il n'y a que les élus qui voient la Dame du Lac.

b. Si Merlin réussit un sort, Arthur sera étonné.

c. Lancelot n'est le cousin d'aucun chevalier.

d. Les dames ne portent jamais d'armure.

e. Les chevaliers n'ont pas tous une épée.

1. $\forall x[\text{пэ} \text{э} \text{м}(x) \to \neg \exists y[c \text{г} \text{с} \text{д}(y) \land \text{м} \text{к} \text{с}(x, y)]]$

2. $\neg \forall x[\text{ч} \text{а} \text{ч}(x) \to \exists y[\text{в} \text{г} \text{ч}(y) \land \text{ч} \text{п} \text{г}(x, y)]]$

3. $[\exists x[\text{с} \text{и} \text{г}(x) \land \text{в} \text{п} \text{г}(c, x)] \to \text{н} \text{р} \text{д} \text{о}(\tau)]$

4. $\forall x[\text{в} \text{г} \text{л} \text{с} \text{а}(x, \text{м}) \to \text{в} \text{г} \text{п} \text{а}(x)]$

5. $\forall x[\text{в} \text{д} \text{е} \text{п} \text{б}(x) \to \neg \text{м} \text{к} \text{л} \text{а}(\text{г} \text{д}, x)]$

### Interprétation

#### Exercice 2.14 (Modèle)

Représentez l'état de choses représenté dans l'image en figure 2.5 sous la forme d'un modèle $\langle \mathcal{A}, F \rangle$.

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>FIG. 2.5 : Modèle « casseaux »</figcaption></figure>

Vous poserez $\mathcal{A} = \{\square_1 ; \heartsuit ; \triangle ; \bigcirc ; \blacksquare ; \star ; \square_2 ; \clubsuit ; \triangle\}$, avec $\square_1$ pour le carré en au haut à gauche et $\square_2$ pour l'autre carré blanc. Vous définirez $F$ pour les prédicats unaires carré, rond, cœur, triangle, étoile, trèfle, blanc, noir, objet et les prédicats binaires à-gauche-de, à-droite-de, au-dessus-de, en-dessous-de.
### Exercice 2.15 (Interprétation dans un modèle)

Soit le modèle suivant $\mathcal{M} = \langle \mathcal{A}, F \rangle$, avec :

- $\mathcal{A} = \{\text{ALMV} ; \text{ROSN} ; \text{FIGR} ; \text{SUZN} ; \text{MRCL} ; \text{CHRB} ; \text{FNCH} ; \text{ANTN} ; \text{BART}\}$;

- $F(\mathbf{a}_1) = \text{ALMV}$; $F(\mathbf{r}) = \text{ROSN}$; $F(\mathbf{f}_1) = \text{FIGR}$; $F(\mathbf{s}) = \text{SUZN}$; $F(\mathbf{m}) = \text{MRCL}$; $F(\mathbf{c}) = \text{CHRB}$; $F(\mathbf{f}_2) = \text{FNCH}$; $F(\mathbf{a}_2) = \text{ANTN}$; $F(\mathbf{b}) = \text{BART}$;

- $F(\mathbf{homme}) = \{\text{ALMV} ; \text{FIGR} ; \text{CHRB} ; \text{ANTN} ; \text{BART}\}$;

- $F(\mathbf{femme}) = \{\text{ROSN} ; \text{SUZN} ; \text{MRCL} ; \text{FNCH}\}$;

- $F(\mathbf{domestique}) = \{\text{FIGR} ; \text{SUZN} ; \text{FNCH} ; \text{ANTN}\}$;

- $F(\mathbf{noble}) = \{\text{ALMV} ; \text{ROSN} ; \text{CHRB}\}$;

- $F(\text{roturier}) = \{\text{FIGR} ; \text{SUZN} ; \text{MRCL} ; \text{FNCH} ; \text{ANTN} ; \text{BART}\}$;

- $F(\mathbf{comte}) = \{\text{ALMV}\}$; $F(\mathbf{comtesse}) = \{\text{ROSN}\}$;

- $F(\mathbf{infidèle}) = \{\text{ALMV}\}$; $F(\mathbf{volage}) = \{\text{ALMV} ; \text{CHRB}\}$;

- $F(\mathbf{triste}) = \{\text{ROSN}\}$;

- $F(\text{époux-de}) = \{\langle\text{ALMV}, \text{ROSN}\rangle ; \langle\text{FIGR}, \text{SUZN}\rangle\}$;

- $F(\text{épouse-de}) = \{\langle\text{ROSN}, \text{ALMV}\rangle ; \langle\text{SUZN}, \text{FIGR}\rangle\}$;

- $F(\text{père-de}) = \{\langle\text{ANTN}, \text{FNCH}\rangle\}$;

- $F(\mathbf{aimer}) = \{\langle\text{FIGR}, \text{SUZN}\rangle ; \langle\text{SUZN}, \text{FIGR}\rangle ; \langle\text{ALMV}, \text{SUZN}\rangle ; \langle\text{ROSN}, \text{ALMV}\rangle ; \langle\text{CHRB}, \text{ROSN}\rangle ; \langle\text{CHRB}, \text{SUZN}\rangle ; \langle\text{CHRB}, \text{FNCH}\rangle ; \langle\text{FNCH}, \text{CHRB}\rangle ; \langle\text{MRCL}, \text{FIGR}\rangle\}$

1. Donnez la dénotation dans $\mathcal{M}$ de chacune des formules suivantes. Vous justifierez vos réponses sans entrer dans le détail du calcul formel, mais en explicitant les étapes de votre raisonnement.

a. $\exists x[\mathbf{femme}(x) \wedge \neg \mathbf{triste}(x)]$

b. $\forall x[\mathbf{homme}(x) \rightarrow [\mathbf{infidèle}(x) \lor \mathbf{volage}(x)]]$

c. $\exists x \exists y [\mathbf{aimer}(x, y) \wedge \mathbf{aimer}(y, x)]$

d. $[\mathbf{aimer}(\mathbf{a}_1, s) \rightarrow \exists x \neg \mathbf{aimer}(x, \mathbf{a}_1)]$

e. $\neg \exists x[\mathbf{femme}(x) \wedge \exists y \mathbf{aimer}(x, y)]$

f. $\forall x[[\mathbf{homme}(x) \wedge \exists y[\mathbf{épouse-de}(y, x) \wedge \neg \mathbf{aimer}(x, y)]] \rightarrow \mathbf{volage}(x)]$

**Conseil** : commencez par traduire les formules en phrases de la langue, puis demandez-vous si ces phrases sont vraies ou fausses dans $\mathcal{M}$ (ainsi vous savez à l'avance la réponse que vous devez trouver).

2. Modifiez le modèle $\mathcal{M}$ pour faire en sorte que : $\text{ROSN}$ ne soit plus triste, que $\text{FNCH}$ et $\text{CHRB}$ soient mariés et que tous les maris aiment leur femme et seulement elle.
<figure><img src="image_14.png" /></figure>
# 3 Groupes nominaux et quantification

Ce chapitre est consacré à une exploration approfondie de la sémantique du domaine nominal, et plus précisément des groupes nominaux (GN). Le langage du calcul des pré-dicats, sur lequel est fondé LO, donne une part importante au phénomène de la quanti-fication, qui se réalise principalement dans l'interprétation de certains GN de la langue. Il est donc assez naturel de s'y attarder un peu à ce stade de l'ouvrage. Dans un premier temps, comme annoncé, nous allons perfectionner la sémantique de la quantification pour la rendre plus satisfaisante sur le plan formel (§3.1). Dans la suite du chapitre (§3.2 et 3.3), à partir de notions issues du système formel et d'observations empiriques sur des données linguistiques, nous étudierons un certain nombre de propriétés sémantiques typiquement attachées aux GN. Cela nous donnera l'occasion de mieux appréhender l'interprétation et la traduction en LO de diverses phrases et constructions du français.

## 3.1 Sémantique de la quantification

Nous l'avons vu, le jeu de règles d'interprétation définies dans le chapitre précédent est problématique par rapport à l'objectif théorique et descriptif que nous nous sommes donné. Le premier problème est qu'il est incomplet : nous ne savons pas interpréter les variables. Or les variables sont des expressions de LO à part entière, qui peuvent interve-nir dans des formules qui représentent le sens de phrases correctes du français. C'est par exemple le cas des formules quantifiées, et dans le chapitre précédent, pour les interpré-ter, nous prenions bien soin de nous débarrasser de leurs variables, en les remplaçant par des constantes, justement parce que nous n'avions pas de règle permettant de calculer $[[x]]$. Et nous arrivons là à notre deuxième problème (qui est lié au premier) : les règles de sémantique vues jusqu'ici ne sont pas pleinement compositionnelles. Nous avons une règle syntaxique qui nous permet de construire une formule quantifiée, par exemple $∃xφ$, à partir de $x$ et surtout à partir de $φ$. En suivant le principe de compositionnalité, l'inter-prétation de $∃xφ$ devrait donc dépendre l'interprétation de $φ$. Mais nous l'interprétions à partir de $[k/x]φ$, ce qui n'est pas la même chose. Il y a pire : comment interpréter une formule comme $∃x[aimer(x, y)]$ ? C'est une expression bien formée de LO et donc elle doit être interprétable. Or nous ne savons pas le faire. Nous verrons d'ailleurs que nous rencontrerons de telles formules au cours de l'interprétation de formules plus complexes.

La première question qui va donc nous occuper dans cette section est : comment interpréter les variables ? c'est-à-dire : comment calculer $[[x]]^M$ ?
#### 3.1.1 Variables et pronoms

La réponse à la question précédente est toute simple, et c'est : « on ne peut pas ». Pour un modèle *M* donné, on ne peut raisonnablement pas trouver une valeur à $[[x]]^M$, du moins avec le même type de méthode que celle vue dans le chapitre précédent. Le reste de cette section va consister à montrer i) pourquoi « on ne peut pas » et ii) comment s'en sortir malgré tout.

Nous avons vu déjà que ce qui traduit le mieux les variables (libres) en français ce sont les pronoms personnels comme *il* ou *elle* (ou *le*, *la*, etc.). Or les pronoms ont une façon de dénoter qui est très particulière, très différente de celle des noms propres par exemple.

Revenons un instant au principe général d'interprétation des phrases. Imaginons que je parle d'un groupe d'étudiants, c'est-à-dire que mon modèle, appelons-le $M_0$, contient essentiellement les individus qui composent ce groupe. Si je prononce la phrase :

(1) Aurélie bâille.
bâiller(a)

pour connaître sa dénotation dans $M_0$, il faut et, surtout, il suffit de connaître certaines informations sur $M_0$ : savoir qui est Aurélie et si elle fait partie de l'ensemble des bâilleurs de $M_0$. Autrement dit, il suffit de savoir comment est le monde (dont je parle). De même pour trouver la dénotation de :

(2) Quelqu'un bâille.
$\exists x \text{ bâiller}(x)^1$

Cette phrase est vraie dans $M_0$ si et seulement s'il existe un individu du domaine qui appartient à l'ensemble des bâilleurs. Et peu importe qui est cet individu. Maintenant examinons le cas où je prononce :

(3) Elle bâille.
bâiller(x)

sans faire aucun geste de démonstration. Ici, il ne suffit plus de savoir comment est le monde pour trouver la dénotation de (3), nous avons besoin d'une autre information : nous avons besoin de savoir de qui on parle exactement quand on dit *elle*. En effet, disposons que dans $M_0$, Aurélie fait partie des bâilleurs, mais pas Émilie. Si en disant *elle* je pense à Aurélie, alors (3) est vraie, mais si *elle* c'est Émilie, alors (3) est fausse (mais dans $M_0$ (2) est indéniablement vraie). Ainsi – et c'est ce qui est important – une même phrase, (3), peut être vraie ou fausse relativement à un même modèle. Pour dire encore les choses différemment, si nous ne disposons que d'un modèle (i.e. une description du monde), nous sommes incapables de trouver la valeur de vérité précise de la phrase (3). Il est même possible de pousser plus loin : relativement à un modèle seul, comme $M_0$, (3) ne dénote pas une valeur de vérité. Cette observation est tout à fait cohérente et

<footnote n="1">¹ Cette traduction est simplifiée. Pour être plus précis, il faudrait plutôt écrire quelque chose comme : $\exists x [\text{humain}(x) \land \text{bâiller}(x)]$.</footnote>
conforme à l'intuition, bien qu'elle malmène quelque peu la thèse de Frege : (3) n'aurait pas exactement la même catégorie sémantique que (1) et (2), puisqu'elles n'ont pas des types de dénotation comparables. En fait, nous n'allons pas nous engager d'avantage sur ce chemin de fracture entre la vision fregéenne et notre observation sur les phrases à pronoms comme (3) ; au contraire nous allons nous diriger vers une conciliation, qui reprend la proposition due au logicien A. Tarski (Tarski 1944).

La solution s'appuie sur les points suivants : une phrase déclarative comme (1), (2) ou (3), dénote toujours une valeur de vérité ; cette dénotation se calcule toujours *relativeMENT* à un état du monde (i.e. un modèle), *mais pas seulement* ; elle dépend aussi d'un autre paramètre qui spécifie ce à quoi fait référence toute occurrence de pronoms, ou plus exactement ce à quoi fait référence toute variable du langage objet. Ce paramètre sera formalisé au moyen d'une *fonction* qui à chaque variable du langage assigne une valeur dans le domaine du modèle. Une telle fonction se nomme, donc, une fonction d'assignation de valeurs aux variables, ou plus simplement une *FONCTION D'ASSIGNATION* ou encore une *ASSIGNATION*.

### Définition 3.1 : Fonction d'assignation

Soit un modèle $\mathcal{M} = \langle \mathcal{A}, F \rangle$ et $\mathcal{Var}$ l'ensemble des variables de LO. Une fonction d'assignation est une fonction de $\mathcal{Var}$ vers $\mathcal{A}$.

Les fonctions d'assignation seront notées ici $g$ (ou $g'$, $g_1$, etc.).

Voici un exemple. Partons d'un (petit) modèle $\mathcal{M}_1 = \langle \mathcal{A}_1, F_1 \rangle$ qui ne comprend que quatre individus : $\mathcal{A}_1 = \{ \text{ADA} ; \text{CORDULA} ; \text{LUCETTE} ; \text{VAN} \}$. Supposons que notre langage objet comporte trois variables, $x$, $y$, $z$. Une fonction d'assignation projettera alors chacune de ces variables sur un élément de $\mathcal{A}_1$. Ci-dessous, $g_1$, $g_2$ et $g_3$ en sont des exemples :

$$ g_1 : \left[ \begin{array}{l} x \mapsto \text{CORDULA} \\ y \mapsto \text{LUCETTE} \\ z \mapsto \text{ADA} \end{array} \right] \quad g_2 : \left[ \begin{array}{l} x \mapsto \text{ADA} \\ y \mapsto \text{VAN} \\ z \mapsto \text{ADA} \end{array} \right] \quad g_3 : \left[ \begin{array}{l} x \mapsto \text{LUCETTE} \\ y \mapsto \text{VAN} \\ z \mapsto \text{CORDULA} \end{array} \right] \quad \dots $$

On notera que rien n'empêche une fonction d'assigner la même valeur à différentes variables (comme $g_2$). Pour un exemple aussi minimal que celui-ci, il y a 64 ($4^3$) fonctions d'assignations différentes, qui présentent toutes les combinaisons possibles de dénotations pour le trio de variables.

À présent nous calculerons les dénotations des expressions par rapport à un modèle $\mathcal{M}$ et une fonction $g$ ; nous écrirons $[\cdot|\cdot]^{M,g}$. C'est la fonction $g$ qui nous donne la dénotation des variables, alors que la dénotation des constantes nous est fournie par la fonction d'interprétation $F$, c'est-à-dire par le modèle. Ainsi la règle sémantique qui interprète les termes possède en fait deux volets.
**Définition 3.2 : Interprétation des termes**

Soit un modèle $\mathcal{M} = (\mathcal{A}, F)$ et $g$ une fonction d'assignation :

- si $v$ est une variable de LO, $[v]^{M,g} = g(v)$;

- si $a$ est une constante de LO, $[a]^{M,g} = F(a)$.

Par ailleurs, nous gardons les mêmes règles sémantiques que précédemment (sauf bien sûr pour les quantifications).

La question qui peut se poser ici est : comment choisir $g$ ? En fait, d'une certaine manière, nous pouvons dire que nous ne la choisissons pas et qu'elle nous est donnée (ou que nous nous la donnons) *arbitrairement*. Car comme pour les modèles, ce qui compte pour nous c'est d'être capable d'effectuer les calculs pour n'importe quelle assignation ; $g$ n'a donc pas à être spéciale a priori. C'est ainsi que nous la considérerons dans ce qui suit : une fonction d'assignation *quelconque*. Je reviendrai cependant sur la question en disant quelques mots sur le statut des fonctions d'assignation en §3.1.4 *infra*.

Reprenons l'exemple (3) et interprétons le par rapport à $M_0 (= (\mathcal{A}_0, F_0))$ et une certaine fonction d'assignation $g$. Selon la règle d'interprétation des formules prédicatives, donnée dans la définition 2.12, p. 79, nous savons que $[[\text{bâiller}(x)]]^{M_0,g} = 1 \text{ ssi } [[x]]^{M_0,g} \in [[\text{bâiller}]]^{M_0,g}$ ; poursuivons, puisque $x$ est une variable, cela nous donne la condition : ssi $g(x) \in F_0(\text{bâiller})$.

Évidemment, tout cela ressemble fort à l'interprétation de phrases avec des noms propres (i.e. des constantes) : $g$ semble jouer un rôle très semblable à celui de $F_0$. Et d'une certaine manière, cette analogie n'est pas incongrue : après tout, on peut dire que les fonctions d'assignation sont aux variables ce que les fonctions d'interprétation sont aux constantes. Mais il faut bien se garder de perdre de vue ce qui les distingue : $F_0$ est une partie constitutive du modèle, alors que $g$ n'en fait pas partie. Et rappelons-nous que cela permet d'obtenir plusieurs valeurs sémantiques différentes pour une phrase par rapport à un modèle donnée : il suffit pour cela de changer de fonction $g$. Autrement dit la fonction qui décrit la dénotation des variables peut varier sans altérer le modèle. C'est ce qui fait que les variables sont bien variables : elles varient indépendamment du modèle ; et c'est aussi ce qui va permettre de définir précisément la sémantique des expressions quantifiées.

### 3.1.2 Interprétation des formules quantifiées

Revenons à la comparaison de (2) et (3) :

(2) Quelqu'un bâille.

$$ \exists x \text{ bâiller}(x) $$

(3) Elle bâille.

$$ \text{bâiller}(x) $$
Et rappelons que ce qui les oppose en premier lieu, c'est que la dénotation de (2) n'est pas dépendante d'une d'assignation, mais simplement du modèle (c'est bien ce qu'en-gendre la distinction grammaticale en français entre un pronom indéfini et un pronom anaphorique ou déictique). Il semble donc inutile de recourir à une fonction *g* pour inter-préter (2) contrairement à (3). Cependant, nous remarquons que la traduction de (3) est une sous-formule de la traduction de (2), et donc, par compositionnalité, l'interprétation de (2) devra bien, à un moment ou à un autre, « passer par » l'interprétation de (3), c'est-à-dire se faire au moyen d'une assignation *g*. Le principe interprétatif est donc le suivant : pour déterminer leur dénotation, les expressions quantifiées ont besoin des assignations car on les interprète justement en quantifiant sur des fonctions d'assignation. C'est ce que nous allons voir en détail dans ce qui suit, mais auparavant, introduisons un élément de notation correspondant à un concept qui va nous être utile pour l'interprétation.

À partir d'une fonction d'assignation donnée, *g*, nous allons avoir besoin de considérer certaines « variantes » de *g*.

### Notation 3.1

Soit *g* une fonction d'assignation, *v* une variable de LO et *d* un individu du domaine *A*. La fonction notée $g_{[D/v]}$ est la fonction d'assignation identique<fnref n="2" /> à *g* sauf que la valeur qu'elle assigne à *v* est *d*.

Ainsi pour toute variable *u* autre que *v*, $g_{[D/v]}(u) = g(u)$ et $g_{[D/v]}(v) = d$, quelle que soit la valeur de $g(v)^3$.

Cette notation nous permet en quelque sorte de contraindre certaines valeurs d'une assignation. Ou pour dire les choses plus précisément, cela nous permet de voir directement dans l'écriture du nom de l'assignation ($g_{[D/v]}$) quelle valeur précise est assignée à telle ou telle variable. Voici un exemple, qui reprend l'assignation $g_1$ donnée ci-dessus :

$$ g_1 : \begin{bmatrix} x \mapsto \text{CORDULA} \\ y \mapsto \text{LUCETTE} \\ z \mapsto \text{ADA} \end{bmatrix} \quad g_1[\text{ADA/x}] : \begin{bmatrix} x \mapsto \text{ADA} \\ y \mapsto \text{LUCETTE} \\ z \mapsto \text{ADA} \end{bmatrix} \quad g_1[\text{VAN/y}] : \begin{bmatrix} x \mapsto \text{CORDULA} \\ y \mapsto \text{VAN} \\ z \mapsto \text{ADA} \end{bmatrix} $$

Et dans cet exemple, $g_1$ étant ce qu'elle est, nous avons $g_1[\text{ADA/z}] = g_1$. Et puisque par exemple $g_1[\text{VAN/y}]$ est elle-même une assignation, nous pouvons envisager également $g_1[\text{VAN/y}]|_{\text{ADA/x}}$ qui est tout autant une assignation. Cela permet de contraindre plusieurs valeurs pour une assignation de départ.

<footnote n="2">² Rappelons que deux fonctions sont identiques si elles ont mêmes ensembles de départ et d'arrivée et qu'à chaque élément de l'ensemble de départ elles assignent exactement les mêmes valeurs.</footnote>

<footnote n="3">³ Remarquons que rien n'empêche d'avoir par ailleurs $g(v) = d$; dans ce cas là, $g_{[D/v]}$ et $g$ sont alors complètement identiques.</footnote>

<footnote>Profitons-en aussi pour mentionner la variante de notation $g_{[v \to D]}$, que l'on peut rencontrer dans la littérature, et qui représente la même chose que $g_{[D/v]}$.</footnote>
### 3 Groupes nominaux et quantification

$$ g_1[\mathrm{VAN}/y]_{|\mathrm{ADA}/x|} : \left[ \begin{array}{l} x \mapsto \mathrm{ADA} \\ y \mapsto \mathrm{VAN} \\ z \mapsto \mathrm{ADA} \end{array} \right] $$

Nous avons maintenant en main les éléments de métalangage nécessaires pour définir les règles d'interprétation des formules quantifiées par rapport à un modèle $\mathcal{M} = \langle \mathcal{A}, F \rangle$.

#### Définition 3.3 : Interprétation des formules quantifiées

(Sém.6') a. $[\exists v\varphi]^{M,g} = 1$ ssi il existe au moins un individu $\mathbf{d}$ de $\mathcal{A}$ tel que $[\varphi]^{M,g_{[\mathbf{d}/v]}} = 1$;

b. $[\forall v\varphi]^{M,g} = 1$ ssi pour tout individu $\mathbf{d}$ de $\mathcal{A}$, $[\varphi]^{M,g_{[\mathbf{d}/v]}} = 1$.

D'une certaine manière, ces deux règles ne sont pas spectaculairement différentes de celles vues au chapitre 2, p. 79. Ici nous opérons des quantifications (respectivement existentielle et universelle) sur des individus du domaine, alors que précédemment nous quantifions sur des constantes. Mais à présent, nous ne touchons pas à la forme de $\varphi$. L'interprétation est bien compositionnelle. Et nous nous débarrassons de l'hypothèse qu'à chaque individu de $\mathcal{A}$ correspond une constante de LO.

Illustrons le fonctionnement des règles (Sém.6') à l'aide d'un petit modèle $\mathcal{M}_2 = \langle \mathcal{A}_2, F_2 \rangle$, avec $\mathcal{A}_2 = \{\mathrm{ADA} ; \mathrm{CORDULA} ; \mathrm{LUCETTE} ; \mathrm{VAN}\}$. Nous considérons quatre constantes d'individus interprétées comme suit : $F_2(\mathbf{a}) = \mathrm{ADA}$, $F_2(\mathbf{c}) = \mathrm{CORDULA}$, $F_2(\mathbf{l}) = \mathrm{LUCETTE}$, $F_2(\mathbf{j}) = \mathrm{VAN}$; et regardons simplement l'interprétation de **aimer** définie ainsi : $F_2(\mathbf{aimer}) = \{\langle \mathrm{ADA}, \mathrm{VAN} \rangle ; \langle \mathrm{CORDULA}, \mathrm{VAN} \rangle ; \langle \mathrm{LUCETTE}, \mathrm{VAN} \rangle ; \langle \mathrm{VAN}, \mathrm{ADA} \rangle ; \langle \mathrm{VAN}, \mathrm{VAN} \rangle \}$. Calculons maintenant la valeur sémantique de la formule (4) par rapport à $\mathcal{M}_2$ et $g_1$ (telle que définie plus haut).

$$ (4) \quad \exists x \mathbf{aimer}(x, \mathbf{a}) $$

(4) peut être une traduction (approximative) de *quelqu'un aime Ada*. Appliquons la règle (Sém.6'.a) :

- $[\exists x \mathbf{aimer}(x, \mathbf{a})]^{\mathcal{M}_2, g_1} = 1$ ssi il existe au moins un individu $\mathbf{d}$ de $\mathcal{A}_2$ tel que $[\mathbf{aimer}(x, \mathbf{a})]^{\mathcal{M}_2, g_1|_{\mathrm{VAN}/x}} = 1$;

- choisissons VAN comme individu $\mathbf{d}$ et calculons $[\mathbf{aimer}(x, \mathbf{a})]^{\mathcal{M}_2, g_1|_{\mathrm{VAN}/x}}$ ; si nous trouvons 1, nous aurons bien montré que (4) est vraie ;

- d'après la règle (Sém.1) d'interprétation de LO (p. 79), nous savons que $[\mathbf{aimer}(x, \mathbf{a})]^{\mathcal{M}_2, g_1|_{\mathrm{VAN}/x}} = 1$ ssi $\langle [x]^{\mathcal{M}_2, g_1|_{\mathrm{VAN}/x}}, [a]^{\mathcal{M}_2, g_1|_{\mathrm{VAN}/x}} \rangle \in [\mathbf{aimer}]^{\mathcal{M}_2, g_1|_{\mathrm{VAN}/x}}$ ;

- par définition, $[x]^{\mathcal{M}_2, g_1|_{\mathrm{VAN}/x}} = \mathrm{VAN}$, $[a]^{\mathcal{M}_2, g_1|_{\mathrm{VAN}/x}}$ vaut ADA (cf. $F_2(\mathbf{a})$), et $[\mathbf{aimer}]^{\mathcal{M}_2, g_1|_{\mathrm{VAN}/x}}$ est donné ci-dessus par $F_2$ ;

- il reste donc à vérifier que $\langle \mathrm{VAN}, \mathrm{ADA} \rangle$ appartient à $F_2(\mathbf{aimer})$ ; et c'est bien le cas ;

- donc $[\mathbf{aimer}(x, \mathbf{a})]^{\mathcal{M}_2, g_1|_{\mathrm{VAN}/x}} = 1$, et donc $[\exists x \mathbf{aimer}(x, \mathbf{a})]^{\mathcal{M}_2, g_1} = 1$.
Cet exemple illustre aussi le fait que nous avons montré, en « allant chercher » VAN dans le domaine, que (4) est vrai par rapport à $M_2$ et surtout par rapport à une fonction d'assignation ($g_1$) qui en soi ne parle pas du tout de VAN. Mais c'est normal, car comme nous l'avons vu précédemment, globalement la dénotation d'une formule comme (4) ne dépend d'aucune fonction d'assignation : la démonstration ci-dessus repose surtout sur $g_1[V_{AN}/x]$, et nous aurions donc pu mener la même démonstration en partant de n'importe qu'elle assignation.

Cette remarque peut nous amener à la réflexion suivante : en fait les règles (Sém.6') interprètent les formules en quantifiant sur les fonctions d'assignation. Et nous pourrions ainsi simplifier leurs énoncés en disant simplement : $[\exists v\varphi]^{M,g} = 1$ ssi il existe au moins une assignation $g'$ telle que $[\varphi]^{M,g'} = 1$ ; en effet si $\exists v\varphi$ est vraie, on trouvera toujours une assignation $g'$ qui assigne à $v$ une valeur qui « marche ». De même, nous pourrions simplifier : $[\forall v\varphi]^{M,g} = 1$ ssi pour toute assignation $g'$, $[\varphi]^{M,g'} = 1$, car, de fait, $g'$ devra ainsi passer en revue toute les valeurs possibles pour $v$.

Cette idée est pertinente, mais la simplification suggérée est en fait trop... simple. Pour s'en convaincre regardons la formule (5) :

$$ (5) \quad \exists x \forall y \text{aimer}(y, x) $$

Cette formule correspond (toujours approximativement) à *il y a quelqu'un que tout le monde aime*. Tentons de calculer sa dénotation par rapport à $M_2$ et $g_1$ avec la version simplifiée des règles d'interprétation :

- $[\exists x \forall y \text{aimer}(y, x)]^{M_2, g_1} = 1$ ssi il existe une autre assignation, appelons-la d'abord $g'$, telle que $[\forall y \text{aimer}(y, x)]^{M_2, g'} = 1$;

- bien sûr nous aurons intérêt de choisir $g_1[V_{AN}/x]$ pour $g'$ (car en regardant $M_1$ on se doute que c'est VAN qui est aimé de tous); donc maintenant calculons $[\forall y \text{aimer}(y, x)]^{M_2, g_1[V_{AN}/x]}$;

- par la règle simplifiée, nous aurons $[\forall y \text{aimer}(y, x)]^{M_2, g_1[V_{AN}/x]} = 1$ ssi pour toute fonction d'assignation possible, $g''$, $[\text{aimer}(y, x)]^{M_2, g''} = 1$;

- mais maintenant si nous devons regarder toutes les assignations $g''$, alors nous allons passer en revue toutes les valeurs possibles pour $x$ et $y$ et nous allons trouver de mauvaises conditions de vérité : en examinant toutes les valeurs possibles combinées pour $x$ et $y$ nous chercherons à montrer que tout le monde aime tout le monde, ce qui n'est bien sûr pas le sens de (5).

L'erreur qui a été commise dans ce calcul est que nous avons oublié que nous avions choisi d'examiner seulement les cas où $x$ représente VAN, c'est-à-dire que nous avons oublié $g_1[V_{AN}/x]$. Pendant l'interprétation d'une formule, lorsque l'on rencontre une quantification existentielle, on contraint (et on modifie) l'assignation qui est initialement donnée en choisissant de fixer une valeur pour la variable quantifiée, mais on ne touche pas aux valeurs des autres variables, car celles-ci ont pu être déjà fixées par une passe précédente d'interprétation. On transmet ensuite l'assignation que l'on a contrainte à l'étape suivante de l'interprétation qui doit (récursivement) se souvenir des choix précédents. De même, lorsque l'on rencontre une quantification universelle, on fait varier la fonc-
### 3 Groupes nominaux et quantification

tion d'assignation que l'on a, mais on la fait varier uniquement pour la valeur qu'elle peut donner à la variable quantifiée universellement. Il y a ensuite autant de passes d'interprétation qu'il y a de valeurs possibles pour cette variable (en fait autant qu'il y a d'individus dans $\mathcal{A}$) et chaque passe se souvient de la valeur provisoirement assignée à la variable quantifiée.

C'est pour ces raisons qu'une reformulation correcte des règles (Sém.6') doit se faire dans les termes suivants :

a. $[\exists v \varphi]^M,g = 1$ ssi il existe au moins une assignation $g'$ identique à $g$ sauf pour la valeur qu'elle peut assigner à $v$ et telle que $[\varphi]^M,g' = 1$;

b. $[\forall v \varphi]^M,g = 1$ ssi pour toute assignation $g'$ identique à $g$ sauf pour la valeur qu'elle peut assigner à $v$, $[\varphi]^M,g' = 1$.

Ces assignations $g'$ « identiques à $g$ sauf pour la valeur qu'elles peuvent assigner à $v$ » indiquent clairement qu'il faut se souvenir des valeurs assignées aux autres variables par $g$. Et finalement, ces reformulations sont tout à fait équivalentes à celles de (Sém.6') (cf. la notation 3.1, p. 115), sauf qu'elles ne font plus explicitement mention des individus du domaine. Si je prends la peine de les présenter ici, c'est d'abord parce que de nombreux ouvrages de sémantique en font usage et qu'il est utile de les maîtriser. Ensuite, il est important de concevoir l'interprétation des formules quantifiées comme des quantifications sur les fonctions d'assignation, car certains phénomènes sémantiques s'expliquent adéquatement avec cette vision. Cependant, et cela ne change rien à la vision de la quantification, dans la suite de cet ouvrage, nous prendrons l'habitude de manipuler les formulations de (Sém.6'), qui restent plus commodes.

Pour conclure sur ce point, reprenons, mais correctement cette fois, l'interprétation de (5) :

- $[\exists x \forall y \text{aimer}(y, x)]^M,g_1 = 1$ ssi il existe un individu $d$ de $\mathcal{A}_2$, tel que $[\forall y \text{aimer}(y, x)]^M, g_1[d/x] = 1$;

- choisissons VAN pour $d$ et calculons $[\forall y \text{aimer}(y, x)]^M, g_1[VAN/x]$;

- $[\forall y \text{aimer}(y, x)]^M, g_1[VAN/x] = 1$ ssi pour tout individu $d$ de $\mathcal{A}_2$, on a $[\text{aimer}(y, x)]^M, g_1[VAN/x][d/y] = 1$;

- il nous faut donc examiner successivement

- $[\text{aimer}(y, x)]^M, g_1[VAN/x][ADA/y]$,

- $[\text{aimer}(y, x)]^M, g_1[VAN/x][CORDULA/y]$,

- $[\text{aimer}(y, x)]^M, g_1[VAN/x][LUCETTE/y]$, et

- $[\text{aimer}(y, x)]^M, g_1[VAN/x][VAN/y]$;

- en accélérant un peu le processus, cela nous amène à vérifier successivement que $\langle \text{ADA}, \text{VAN} \rangle$, $\langle \text{CORDULA}, \text{VAN} \rangle$, $\langle \text{LUCETTE}, \text{VAN} \rangle$, et $\langle \text{VAN}, \text{VAN} \rangle$ appartiennent à $F_2(\text{aimer})$; c'est bien le cas, donc (5) est vraie par rapport à $\mathcal{M}_2$ et à $g_1$.
## 3.1 Sémantique de la quantification

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>FIG. 3.1 : Parcours des assignations pour l'interprétation de (5)</figcaption></figure>

Enfin, à titre de comparaison, nous pouvons regarder dans les grandes lignes l'interprétation de (6) par rapport à $M_2$ et $g_1$ :

$$ (6) \quad \forall y \exists x \mathit{aimer}(y, x) $$

En gardant les mêmes simplifications de traduction que précédemment, (6) signifie à peu près *tout le monde aime quelqu'un* (i.e. *une personne possiblement différente*), comme le montrent les étapes de calcul suivantes :

- $[\forall y \exists x \mathit{aimer}(y, x)]^{M_2, g_1} = 1$ ssi pour tout individu $d$ de $\mathcal{A}_2$, nous obtenons : $[\exists x \mathit{aimer}(y, x)]^{M_2, g_1[d/y]} = 1$;

- il faudra donc calculer la valeur sémantique de $\exists x \mathit{aimer}(y, x)$ successivement avec les valeurs ADA, CORDULA, LUCETTE et VAN pour $y$, c'est-à-dire avec quatre variantes « en $y$ » successives de $g_1$;

- pour la variante $g_1[\mathit{ADA}/y]$, il faudra ensuite trouver une variante « en $x$ » de cette asignation pour vérifier la quantification existentielle, cette nouvelle variante pourra être par exemple $g_1[\mathit{ADA}/y][\mathit{VAN}/x]$;

- cette opération sera répétée pour $g_1[\mathit{CORDULA}/y]$, puis pour $g_1[\mathit{LUCETTE}/y]$, puis pour $g_1[\mathit{VAN}/y]$;

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>FIG. 3.2 : Parcours des assignations pour l'interprétation de (6)</figcaption></figure>
### 3 Groupes nominaux et quantification

Autrement dit, il faudra choisir à quatre reprises une assignation pour satisfaire (quatre fois) la quantification existentielle de (6) (i.e. ∃x *aimer(y, x)*). Chacune de ces assignations prolonge une des quatre assignations exigées par la quantification universelle de (6). Il se trouve que par rapport à $\mathcal{M}_2$ (et à $g_1$) (6) est vraie, comme (5). Mais si dans le modèle on avait eu, dans $F_2$ (*aimer*), $\langle\text{LUCETTE}, \text{ADA}\rangle$ au lieu de $\langle\text{LUCETTE}, \text{VAN}\rangle$, alors (6) aurait été encore vraie, mais (5) fausse. En effet (6) sera vraie dans ce nouveau modèle, et relativement à $g_1$, car on trouvera par exemple les assignations $g_1[\text{ADA}/y]_{\text{VAN}/x}$, $g_1[\text{CORDULA}/y]_{\text{VAN}/x}$, $g_1[\text{LUCETTE}/y]_{\text{ADA}/x}$, et $g_1[\text{VAN}/y]_{\text{ADA}/x}$ pour vérifier *aimer(y, x)* ; ici la combinaison de valeurs pour les variables *x* et *y* reste assez libre. Elle est beaucoup plus contrainte en revanche pour (5) : on peut au départ choisir librement une valeur pour *x* mais il faut s'y tenir dans la suite de l'interprétation.

Ces exemples montrent bien que les règles d'interprétation données ici rendent compte systématiquement des variations de lectures dues aux positions relatives des quantificateurs dans la représentation sémantique d'une phrase. Pour synthétiser (et schématiser) ces différentes lectures, les figures 3.1 et 3.2 représentent graphiquement les « parcours » successifs des assignations au cours des étapes de l'interprétation de (5) et (6).

#### 3.1.3 Synthèse

Pour faire le point sur ce mécanisme d'interprétation qui met en jeu des fonctions d'assignation, récapitulons l'ensemble des règles qui définissent la sémantique de LO.

Nous identifions dans le langage de représentation sémantique LO, l'ensemble *Var* qui est l'ensemble des variables de LO et l'ensemble *Cns* l'ensemble de ses constantes non logiques (comprenant donc les constantes d'individus et les constantes de prédicats). Les règles de formation des formules de LO sont données par la définition syntaxique 2.8, p. 67.

**Définition 3.4 : Interprétation des termes**

Soit un modèle $\mathcal{M} = \langle \mathcal{A}, F \rangle$ et $g$ une fonction d'assignation :

- si $v$ est une variable de $\mathcal{V}ar$, $\llbracket v \rrbracket^{\mathcal{M},g} = g(v)$;

- si $a$ est une constante de $\mathcal{C}ns$, $\llbracket a \rrbracket^{\mathcal{M},g} = F(a)$.

**Définition 3.5 : Interprétation des formules**

Soit un modèle $\mathcal{M} = \langle \mathcal{A}, F \rangle$ et $g$ une fonction d'assignation de $\mathcal{V}ar$ dans $\mathcal{A}$.

(Sém.1) a. $\llbracket P(\alpha) \rrbracket^{\mathcal{M},g} = 1$ ssi $\llbracket \alpha \rrbracket^{\mathcal{M},g} \in \llbracket P \rrbracket^{\mathcal{M},g}$;

b. $\llbracket P(\alpha, \beta) \rrbracket^{\mathcal{M},g} = 1$ ssi $\langle\llbracket \alpha \rrbracket^{\mathcal{M},g}, \llbracket \beta \rrbracket^{\mathcal{M},g} \rangle \in \llbracket P \rrbracket^{\mathcal{M},g}$;

c. $\llbracket P(\alpha, \beta, \gamma) \rrbracket^{\mathcal{M},g} = 1$ ssi $\langle\llbracket \alpha \rrbracket^{\mathcal{M},g}, \llbracket \beta \rrbracket^{\mathcal{M},g}, \llbracket \gamma \rrbracket^{\mathcal{M},g} \rangle \in \llbracket P \rrbracket^{\mathcal{M},g}$;

d. etc.
(Sém.2) $[[\alpha = \beta]]^{M,g} = 1 \text{ ssi } [[\alpha]]^{M,g} = [[\beta]]^{M,g}.$

(Sém.3) $[[\neg\varphi]]^{M,g} = 1 \text{ ssi } [[\varphi]]^{M,g} = 0.$

(Sém.4) a. $[[[\varphi \wedge \psi]]]^{M,g} = 1 \text{ ssi } [[\varphi]]^{M,g} = 1 \text{ et } [[\psi]]^{M,g} = 1.$

b. $[[[\varphi \vee \psi]]]^{M,g} = 1 \text{ ssi } [[\varphi]]^{M,g} = 1 \text{ ou } [[\psi]]^{M,g} = 1.$

c. $[[[\varphi \to \psi]]]^{M,g} = 1 \text{ ssi } [[\varphi]]^{M,g} = 0 \text{ ou } [[\psi]]^{M,g} = 1.$

d. $[[[\varphi \leftrightarrow \psi]]]^{M,g} = 1 \text{ ssi } [[\varphi]]^{M,g} = [[\psi]]^{M,g}.$

(Sém.5) a. $[[\exists\psi\varphi]]^{M,g} = 1 \text{ ssi il existe au moins un individu } \mathcal{D} \text{ de } \mathcal{A} \text{ tel que } [[\varphi]]^{M,g} = 1;$

b. $[[\forall\psi\varphi]]^{M,g} = 1 \text{ ssi pour tout individu } \mathcal{D} \text{ de } \mathcal{A}, [[\varphi]]^{M,g} = 1.$

Comme nous l'avons indiqué, ce qui fonde le principe interprétatif dont nous disposons à présent, c'est que la valeur sémantique, i.e. la dénotation, d'une expression se définit relativement à un modèle *et* à une fonction d'assignation donnée. La notion de vérité d'une formule (ou d'une phrase) est donc doublement relativisée. Mais cela ne nous empêchera pas, de temps à autre, de parler de la vérité d'une formule par rapport à un modèle seul, ... du moins pour certaines formules de LO. Avec les éléments formels de métalangage que nous avons, nous pouvons exprimer la vérité d'une formule de la manière suivante.

**Définition 3.6 : Vérité, ou satisfaction, d'une formule**

$M, g \models \varphi \text{ ssi } [[\varphi]]^{M,g} = 1$; on dira alors que $M$ et $g$ satisfont $\varphi$.

On peut également noter : $\models_{M,g} \varphi$.

$M \models \varphi \text{ ssi pour toute fonction d'assignation } g, [[\varphi]]^{M,g} = 1$; et on dira que $M$ satisfait $\varphi$.

C'est là ce que l'on nomme habituellement *le principe de satisfaction de Tarski*. Si $M \models \varphi$, nous pourrons également nous autoriser à écrire $[[\varphi]]^M = 1$, puisqu'alors la vérité de $\varphi$ ne dépend d'aucune assignation<fnref n="4" />.

En utilisant les règles d'interprétation de la définition 3.5, on peut montrer facilement que pour qu'un modèle $M$ satisfasse à lui seul une formule $\varphi$ (i.e. $M \models \varphi$), il est nécessaire que $\varphi$ ne contiennent pas de variables libres, puisque par définition, $M \models \varphi$ vaut pour toute assignation<fnref n="5" />.

<footnote n="4">⁴ Mais attention, cette notation de $[[\varphi]]^M$ ne devra pas être confondue avec notre ancienne manière de représenter les dénotations au chapitre 2, car maintenant $g$ est un paramètre obligatoire pour noter les dénotations. $[[\varphi]]^M$ est une généralisation de la dénotation de $\varphi$.</footnote>

<footnote n="5">⁵ En fait, il existe quelques formules exceptionnelles qui contiennent des variables libres et dont la valeur de vérité reste la même quelle que soit l'assignation prise en compte ; le meilleur exemple est la formule : $x = x$.</footnote>
### 3 Groupes nominaux et quantification

Ainsi grâce aux assignations, nous pouvons également nous faire une idée du pendant sémantique des notions de variables libres et variables liées<fnref n="6" />. Si $x$ apparaît comme variable libre dans $\varphi$, alors $[\varphi]^{M,g}$ dépend de la valeur que $g$ assigne à $x$ (sauf cas particuliers, cf. note 5). Inversement, si $\varphi$ ne contient que des variables liées, alors la valeur de $[\varphi]^{M,g}$ ne dépend pas de $g$. De même, si $\ell$ est un lieu de LO, alors quand $[\varphi]^{M,g}$ dépend de la valeur que $g$ assigne à $x$, $[\ell x \varphi]^{M,g}$ ne dépend pas de cette valeur.

Enfin, à partir de la définition 3.6, nous pouvons redéfinir la notion de conséquence logique, d'une manière plus générale.

**Définition 3.7 : Conséquence logique**

$\varphi_1, \varphi_2, \dots, \varphi_n \models \psi$ ssi pour tout modèle $\mathcal{M}$ et pour toute assignation $g$ tels que $\mathcal{M}, g \models \varphi_1, \mathcal{M}, g \models \varphi_2, \dots$ et $\mathcal{M}, g \models \varphi_n$, on a $\mathcal{M}, g \models \psi$. On dira que $\psi$ est une conséquence logique de l'ensemble de formules $\{\varphi_1; \varphi_2; \dots; \varphi_n\}$.

#### 3.1.4 Sur le statut des fonctions d'assignation

Les fonctions d'assignation sont au cœur de la théorie. Elles constituent un appareil formel et technique qui permet d'effectuer des calculs de type quantificationnel (des sortes de dénombrements) afin d'interpréter des variables et les formules qui les contiennent. Précisément, elles permettent de déplacer (d'exporter) les mécanismes quantificationnels hors du langage objet (où les quantifications ne sont que représentées, par $∃$ et $∀$) vers le métalangage et le modèle (où les quantifications sont alors interprétées) : grâce aux assignations, ce qui est dit des variables dans LO est transposé, à l'extérieur de LO, aux valeurs que peuvent prendre ces variables. Les assignations sont donc un outil très précieux et efficace pour la sémantique. Mais au-delà de ce rôle utilitaire, nous pouvons nous demander si ces objets, ces fonctions d'assignations de valeurs aux variables, que nous manipulons dans nos calculs sémantiques, correspondent à (ou formalisent) quelque chose d'un peu plus « tangible » ou d'identifiable dans la réalité extralinguistique ; ou bien s'il s'agit d'un simple artifice d'aide au calcul exigé seulement pour les besoins de la théorie.

Rappelons d'abord que les fonctions d'assignations ne font pas partie du modèle : un modèle décrit un état du monde, et une distribution particulière de valeurs à des variables n'a rien à voir avec « comment est le monde ». C'est ce que nous avions vu avec les exemples (2) et (3), p. 112. Nous pouvons déjà nous accorder l'opinion que les assignations ne sont guère objectives, et même très arbitraires. Lorsqu'une variable représente réellement un pronom, comme en (3), les assignations sont, d'une certaine manière, chargées de nous dire à qui ou à quoi réfère le pronom, par exemple qui est elle en (3) :

(3) Elle bâille.
bâiller($x$)

<footnote n="6">⁶ Attention, il ne s'agit pas là de définitions, mais simplement de caractéristiques sémantiques de ce que sont les variables libres et les variables liées.</footnote>
Or cette information, qui est *elle*, n'est contenue ni dans la phrase (et sa sémantique), ni dans le modèle : c'est uniquement l'affaire du locuteur, qui pense à un individu particulier en disant *elle*, ou qui a choisi d'appeler *elle* un individu particulier au sujet duquel il souhaite dire quelque chose. À la rigueur, nous pouvons considérer que c'est égale-ment l'affaire de l'allocutaire qui, face à (3), essaie de retrouver quel individu le locuteur a décidé de désigner par *elle*. Mais il est toujours question d'une certaine disposition mentale du locuteur, une sorte de « casting » des variables (ou des pronoms) dont il est le directeur. C'est pourquoi les fonctions d'assignation peuvent être vues comme des élé-ments de formalisation (de certaines dimensions) des états cognitifs du locuteur. Bien sûr, une assignation ne suffirait pas à elle seule à modéliser complètement les connaissances, l'attention ou la conscience d'un locuteur, mais elle y participe très certainement.

Il y a un autre angle d'attaque pour concevoir les assignations, qui n'est pas sans rapport avec le précédent. Une formule, comme (3), qui contient une ou plusieurs variable(s) libre(s) ne peut être ni vraie ni fausse si on l'interprète uniquement relativement à un modèle. Par conséquent, nous avons établi que la dénotation d'une expression correspond à sa valeur sémantique par rapport à un modèle et une assignation. Cependant, si on ne tient compte que d'un modèle, on peut malgré tout calculer une valeur sémantique pour l'expression. Et gardons à l'esprit que dans une conversation, l'enjeu n'est pas de juger de la vérité ou de la fausseté de ce que nous dit un locuteur : au contraire, la règle du jeu de la conversation consiste à accepter (au moins provisoirement) comme vrai ce que l'on nous dit et, de là, à « affiner » un modèle que nous supposons<sup>7</sup>. Et donc nous ne connaissons pas non plus par avance l'assignation que le locuteur à en tête : nous cherchons justement à la reconstituer. Ainsi, si nous supposons $\varphi$ vraie dans un modèle $\mathcal{M}$, nous pouvons donner une valeur à $\llbracket\varphi\rrbracket^M$, même (et surtout) si $\varphi$ contient des variables libres : $\llbracket\varphi\rrbracket^M$ est l'ensemble de toutes les fonctions $g$ telles que $\llbracket\varphi\rrbracket^{M,g} = 1$. C'est la valeur sémantique de $\varphi$ relativement à $\mathcal{M}$, mais ce n'est pas sa dénotation. Et qu'ont en commun toutes les assignations, par exemple, de $\llbracket\text{bâiller}(x)\rrbracket^M$ ? Simplement le fait qu'elles assignent toutes à $x$ un individu qui bâille dans le modèle. Nous ne savons pas encore qui est exactement cet individu, mais nous savons que (3) est *pertinente* (i.e. vraie et conforme à l'état mental du locuteur) par rapport à de telles assignations. Nous avons donc là une condition *contextuelle* qui nous dit sous quelles hypothèses il est convenable d'interpréter (3) (pour à terme pouvoir efficacement affiner le modèle). Pour dire les choses autrement, nous avons une condition qui nous dit : « attention, avec (3), il y a quelqu'un derrière $x$, et ce quelqu'un n'est pas n'importe qui ». Comme cette condition est un préalable, elle peut se voir comme définissant un certain type de *CONTEXTE*. Il ne s'agit pas à proprement parler de ce que l'on appelle le contexte (ou la situation) d'énonciation (encore que ce ne soit pas complètement sans rapport, cf. *infra*); on parle plutôt de *contexte linguistique*<sup>8</sup> lorsque l'on cherche à « incarner » les assignations.

<footnote n="7"><sup>7</sup> Nous reviendrons sur cette question d'affinage du modèle dans le chapitre 4.</footnote>

<footnote n="8"><sup>8</sup> Toute la sémantique dynamique se fonde sur cette idée ; cf. entre autres Groenendijk & Stokhof (1991). Nous n'aborderons pas explicitement la sémantique dynamique dans cet ouvrage, mais nous venons de l'effleurer ici.</footnote>
### 3 Groupes nominaux et quantification

Nous reviendrons plus précisément sur les contextes dans le chapitre 8 (vol. 2), mais nous pouvons déjà rattacher cette notion à un phénomène linguistique bien connu. En effet, les pronoms de la langue ont normalement un emploi soit ANAPHORIQUE soit DÉICTIQUE. Les pronoms anaphoriques ont cette propriété d’être interprétables en relation avec une autre expression qui est intervenue en général plus tôt<fnref n="9" /> dans le discours, autrement dit dans le contexte. Cette expression est l’ANTÉCÉDENT du pronom et la relation qui les unit est une relation de CORÉFÉRENCE, c’est-à-dire d’identité de dénotation. Par conséquent, pour interpréter un pronom anaphorique, il faut savoir quels sont les antécédents disponibles dans le contexte du discours, en les gardant d’une certaine manière en mémoire. Les fonctions d’assignation (ou des ensembles de fonctions d’assignation) peuvent jouer ce rôle : si un pronom est représenté par la variable x, on pourra considérer qu’il est pertinent, ou approprié, de l’interpréter par rapport à une assignation pas complètement quelconque, mais une assignation dont on sait déjà qu’elle assigne à x une valeur valable comme antécédent pour le pronom. À cet égard les pronoms déictiques ne sont pas si différents des pronoms anaphoriques : ce qui les distingue essentiellement c’est que leur référence (dénotation) n’est pas donnée par le discours qui précède (via un antécédent), mais par le contexte d’énonciation, à savoir la situation dans laquelle a lieu l’acte de communication. Dans un telle situation il peut y avoir des individus que l’on désignera par les pronoms *il* ou *elle*. Il est parfois considéré que lorsqu’il ne semble pas y avoir d’antécédents satisfaisant dans le contexte linguistique, la fonction d’assignation va alors « piocher » des valeurs pour les variables pronominales dans le contexte d’énonciation, i.e. parmi les individus présents physiquement.

### 3.1.5 Restriction du domaine de quantification

Les règles d’interprétation des quantifications (Sém.5) « regardent » tout le domaine d’individus A du modèle, c’est-à-dire la population entière du monde décrit par le modèle. Mais en français, lorsque l’on emploie des expressions qui s’analysent par une quantification (des déterminants) comme tous les ou un, on ne se base pas sur ce domaine en entier, on le restreint implicitement. Cela semble tout à fait évident et ordinaire, mais il faut savoir ce que le système d’interprétation de LO a à dire sur ce phénomène.

Imaginons par exemple une conversation où il est fait le récit d'un dîner qui s'est déroulé quelques jours auparavant, on raconte qu'il y a eu de la tarte à la rhubarbe au dessert, et quelqu'un ajoute alors<fnref n="10" /> :

(7) Et tout le monde a fait une crise d'urticaire.

Le locuteur qui énonce (7) n’est pas en train de signaler une pandémie mondiale ; il ne parle que des convives du dîner en question. Or si on considère que *tout le monde*

<footnote n="9">⁹ Lorsque l’expression intervient après le pronom, on dit que celui-ci a un emploi cataphorique ; exemple : *Si elle₁ remporte ce tournoi, Amélie₁ deviendra N°1 mondiale*. On considérera que dans ces cas là, la structure syntaxique produit un ordre hiérarchique où l’antécédent domine d’une certaine manière le pronom. Cela ne résout pas forcément tous les cas de cataphores, mais nous nous en tiendrons à cette hypothèse dans le cadre de cet ouvrage.</footnote>

<footnote n="10">¹⁰ Cet exemple est emprunté à von Fintel (1994).</footnote>
correspond à une quantification universelle restreinte aux êtres humains, alors (7) se traduit par (8) (sans entrer dans le détail de l'analyse du prédicat verbal) :

$$ (8) \quad \forall x[\mathbf{humain}(x) \rightarrow \mathbf{crise.urtic}(x)] $$

Les conditions de vérité de (8) sont que tout individu du modèle (donc du monde) qui est humain a fait une crise d'urticaire. Par conséquent, si (8) était exactement le sens de la phrase (7), alors le locuteur qui l'a prononcée dirait quelque chose de certainement faux dans le contexte que nous imaginons ici. Ce n'est évidemment pas ce qui se passe en réalité. Pourtant en (7) il s'agit grammaticalement du même *tout le monde* que dans (9), où là il est bien question de tous les individus du modèle qui sont dans la dénotation de **humain**.

(9) Tout le monde meurt un jour.

Mais les restrictions implicites du domaine de quantification sont plutôt extrêmement courantes dans l'usage<fnref n="11" />. C'est ce que montrent encore les exemples suivants :

(10) a. Tous les étudiants ont eu la moyenne.

b. Un étudiant a eu la moyenne.

Sans restreindre la quantification à un ensemble particulier (et certainement petit) d'étudiants, (10a) sera trivialement fausse par rapport à tout modèle réaliste et normal (car dans le monde on trouvera toujours un étudiant qui n'a pas la moyenne) et (10b) sera trivialement vraie (car on en trouvera toujours un qui a eu la moyenne). Autrement dit, si l'on prend au pied de la lettre les quantifications de ces exemples, on obtient de mauvaises conditions de vérité.

On pourrait suggérer que des phrases comme celles-ci « travaillent » en fait sur des mini-modèles comme les modèles-jouets vus précédemment pour illustrer les règles d'interprétation de LO. Mais de tels modèles ne sont pas vraiment réalistes ; nous les employions à des fins purement pédagogiques. Dans un cadre de communication standard (et réaliste) on tient compte d'un modèle qui est supposé décrire un état du monde entier. L'exemple suivant illustre ce fait (l'exemple est de D. Westerståhl, cité par von Fintel (1994)) :

(11) La Suède est un pays étonnant. Tous les joueurs de tennis ressemblent à Björn Borg, et il y a plus d'hommes qui jouent au tennis que de femmes. Bien sûr, les hommes comme les femmes détestent les joueurs de tennis étrangers.

Sans entrer dans les détails de l'analyse sémantique de cet exemple, nous pouvons cependant constater que si nous décidions d'interpréter cette suite de phrases par rapport

<footnote n="11">¹¹ Il est possible que toutes les expressions de la quantification en français n'exigent pas le même type de restriction. Ainsi il semble plus naturel de dire *tout homme est mortel* pour énoncer une grande généralité (i.e. non restreinte) que de dire *chaque homme est mortel – chaque* donnant l'impression de devoir quantifier sur un ensemble d'hommes bien particulier.</footnote>
### 3 Groupes nominaux et quantification

à un sous-modèle qui ne contient dans son domaine que des habitants de la Suède, cela permettrait d'avoir les bonnes conditions de vérité allant avec tous les joueurs de tennis, les hommes, les femmes, mais ensuite nous serions alors bloqués, car dans ce modèle il n'y aurait pas de dénotation pour le GN les joueurs de tennis étrangers puisque son domaine ne comprend que des suédois.

La restriction implicite qui s'ajoute à une quantification est en fait dépendante du contexte de la conversation ou, si l'on veut, elle est sous-entendue par le locuteur. C'est pourquoi une telle restriction n'est pas codée par le modèle, car un modèle décrit l'état du monde et un locuteur ne décide pas de comment est le monde. Par contre il décide de ce dont il veut parler, de ce à quoi il fait référence. C'est comme si par exemple les phrases (10a) et (10b) contenaient une sorte d'expression anaphorique ou déictique invisible mais plus ou moins équivalente à ce qu'on retrouve dans tous les étudiants du groupe en question, un étudiant du groupe en question. Et cela tend à montrer que la restriction est non seulement contextuelle mais aussi locale à la phrase qui contient la quantification. À tout moment dans la conversation (y compris à l'intérieur d'une même phrase), le locuteur peut modifier la restriction (la réduire ou l'étendre); c'est ce qui se passe dans la dernière phrase de (11).

Une manière de sauver les conditions de vérité d'une phrase quantifiée usuelle consiste donc à faire intervenir un prédicat supplémentaire dans la représentation sémantique de la phrase en LO. Ce prédicat traduit la condition de restriction qui est « invisible », i.e. implicite dans la phrase. Pour l'instant, nous n'avons pas encore les moyens techniques de traduire cela exactement dans LO, mais l'idée est la suivante : on ajoute dans la formule un « pseudo-prédicat » ou un prédicat « anonyme » au côté du prédicat nominal qui correspond au GN quantifié de la phrase. Appelons par exemple C ce pseudo-prédicat, les phrases (7), (10a) et (10b) seront alors correctement traduites respectivement par :

$$ (12) \quad \begin{align*} \text{a.} \quad & \forall x[[\text{humain}(x) \wedge C(x)] \rightarrow \text{crise.urtic}(x)] \\ \text{b.} \quad & \forall x[[\text{étudiant}(x) \wedge C(x)] \rightarrow \text{avoir.moyenne}(x)] \\ \text{c.} \quad & \exists x[[\text{étudiant}(x) \wedge C(x)] \wedge \text{avoir.moyenne}(x)] \end{align*} $$

De manière générale, on ne sait pas forcément ce que dénote exactement ce prédicat C, mais on sait que c'est un prédicat à une place et qu'il dénote donc un certain ensemble d'individus. Et c'est précisément ce dont nous avons besoin : un sous-ensemble de $\mathcal{A}$ auquel se restreint la quantification. Les conditions de vérité de (12b) par exemple sont : pour tout individu qui est un étudiant et qui fait partie de l'ensemble C (ou plus exactement de l'ensemble $[[C]]^{M,g}$) cet individu a eu la moyenne. En fait C est une variable de prédicat – ce qui n'existe pas pour le moment dans LO tel que nous l'avons défini[^2], mais disons simplement que C est aux ensembles d'individus ce que les pronoms sont aux individus. C'est pour cela que j'ai parlé de prédicat anonyme, et cela rend également compte de la dépendance contextuelle de la restriction. Comme C est une variable, elle est en fait interprétée par une fonction d'assignation $g$, qui encode des informations du contexte. Ainsi (7) s'interprétera le plus naturellement si on l'évalue par rapport à une

<footnote>[^2]: Mais ce n'est pas une hérésie formelle : nous verrons au chapitre 5 comment introduire très rigoureusement dans LO toute sorte de variables, dont des variables de prédicat.</footnote>
fonction *g* qui assigne à *C* l'ensemble des convives du dîner dont on parle dans la conversation. De même pour (10a) et (10b) qui seront normalement évaluées par rapport à une assignation qui fait de *C* la classe d'étudiants dont parle le locuteur<fnref n="13" />.

## 3.2 Groupes nominaux et portées

### 3.2.1 La notion de portée dans la langue

Nous avons vu au chapitre précédent que, par nature, un quantificateur possède une PORTÉE ; c'est une propriété structurelle, c'est-à-dire syntaxique, de LO. Rappelons (définition 2.14, p. 92) que la portée d'un quantificateur $∃x$ ou $∀x$ dans une formule est la sous-formule qui suit immédiatement le quantificateur ; c'est-à-dire $\varphi$ dans $∃x\varphi$ ou $∀x\varphi$.

Mais la portée est aussi (et avant tout) un phénomène interprétatif, dont a déjà pu se faire une idée dans les pages qui précèdent. Nous allons ici examiner de près ce phénomène, pour voir comment au juste il se manifeste dans les données linguistiques, c'est-à-dire dans des phrases du français. En effet, la démarche de l'analyse sémantique n'est pas exactement de se dire qu'un GN se reflète par un quantificateur dans LO, qu'un quantificateur a une portée dans LO, et donc qu'un GN a une portée. Au contraire, il s'agit plutôt de constater que sémantiquement tel GN induit ou s'accompagne d'un phénomène de portée, et d'en conclure alors que ce GN doit (probablement) se traduire par une quantification dans LO. Il s'agit donc d'abord de voir comment détecter des portées dans des phrases.

Cela va nous amener à constater que la notion de portée dite logique que nous avons vue ne coïncide pas exactement avec ce que l'on appelle la portée d'un constituant dans une langue comme le français ; cependant les deux sont corrélées et nous essaierons de voir comment. De plus, les observations que nous allons faire vont finir par nous amener, en sous-texte, à soulever la question (non triviale) de ce que dénote au juste un GN.

#### 3.2.1.1 Portées des GN et covariation

Nous savons maintenant, au moins intuitivement, que la traduction de GN construits avec certains déterminants du français fait intervenir des quantificateurs : ainsi *tout(e)* *N*, *chaque N*, *tou(te)s les N* et dans une certaine mesure *les N* correspondent à une quantification universelle ($∀$), et l'indéfini *un(e)* N correspond à une quantification existentielle ($∃$)<fnref n="14" />. Regardons ainsi une phrase qui combine ces deux types de déterminants :

(13) Chaque appartement possède une salle de bain.

<footnote n="13">¹³ Remarque : un autre traitement formel envisageable de la restriction serait de l’implémenter directement au niveau des assignations, sans faire intervenir de prédicat *C* dans la traduction en LO. Il suffirait simplement de dire qu’une phrase doit normalement s’interpréter par rapport à des fonctions *g* qui ne projettent pas les variables sur tout $\mathcal{A}$ mais seulement un sous-ensemble pertinent pour le contexte. Cela reviendrait à peu de chose près à la solution présentée *supra* sauf qu’il serait techniquement moins aisé de rendre compte des changements locaux et multiples de la restrictions comme en (11).</footnote>

<footnote n="14">¹⁴ L'indéfini pluriel des N peut aussi, dans certaines conditions, se traduire par une quantification existentielle.</footnote>