1. ◊¬φ et ¬□φ : la première dit qu'il y a un monde où φ est fausse, et la seconde qu'il est faux que φ est vraie dans tous les mondes.

◊¬φ ↪ il est possible que non φ et ¬□φ ↪ il n'est pas nécessaire que φ.

2. □¬φ et ◊◊φ : la première dit que φ est fausse dans tous les mondes, et la seconde qu'il n'y a pas de monde où φ est vraie.

□¬φ ↪ il est nécessaire que non φ et ◊◊φ ↪ il est impossible que φ.

3. ◊◊¬φ et □φ : la première dit qu'il n'y a pas de monde où φ est fausse, et la seconde que φ est vraie dans tous les mondes.

◊◊¬φ ↪ il est impossible que non φ et □φ ↪ il est nécessaire que φ.

4. ¬□¬φ et ◊φ : la première dit que φ n'est pas fausse dans tous les mondes et la seconde qu'il y a un monde où φ est vraie.

¬□¬φ ↪ il n'est pas nécessaire que non φ et ◊◊φ ↪ il est possible que φ.

Exercice 4.6 (p. 228)

Selon la règle d'interprétation de F (Sém.7), p. 195, et celle de □ (Sém.8), p. 220, appliquée aux modalités historiques (§4.3.3.5, p. 227), ◊Fφ dit que pour tout monde actuellement identique au monde d'évaluation courant, il y a un instant du futur où φ est vraie. F□φ dit qu'il existe un instant du futur durant lequel, dans tous les mondes qui seront alors identiques au monde d'évaluation courant, φ est vraie. Reprenons la figure 4.5, p. 227, et supposons que φ est vraie dans les états $\langle w_3, i_5 \rangle$ et $\langle w_4, i_5 \rangle$ et que φ est fausse dans tous les états de $w_5$ et $w_6$. Plaçons nous dans l'état $\langle w_4, i_4 \rangle$. De là, $[[F\Box\phi]]^{M,w_4, i_4} = 1$ car $i_5$ est postérieur à $i_4$ et dans tous les mondes en relation avec $w_4$ à l'instant $i_5$ (c'est-à-dire $w_3$ et $w_4$), φ est vraie. Mais $[[\Box F\phi]]^{M,w_4, i_4} = 0$ car tous les mondes reliés à $w_4$ à l'instant $i_4$ sont $w_3$, $w_4$, $w_5$ et $w_6$, et dans $w_5$ et $w_6$ il n'y a pas d'instant postérieur à $i_4$ où φ est vraie.

Soit $\langle w, i \rangle$ un état du monde quelconque. Et supposons que Pφ est vraie dans $\langle w, i \rangle$. Donc il existe un instant $i'$ antérieur à $i$ tel que φ est vraie dans $\langle w, i' \rangle$. Par définition des relations d'accessibilité historiques, tous les mondes $w'$ reliés à $w$ par $R_i$ sont aussi reliés à $w$ par $R_{i'}$ (parce que $i' < i$), et tous les états $\langle w', i' \rangle$ sont identiques à $\langle w, i' \rangle$. Donc comme φ est vraie dans $\langle w, i' \rangle$, nous savons que φ est vraie dans tous les états $\langle w', i' \rangle$; cela permet de conclure que Pφ est vraie dans tous les états $\langle w', i \rangle$ et donc que ◊Pφ est vraie dans $\langle w, i \rangle$. Ainsi, si Pφ est vraie dans $\langle w, i \rangle$, alors ◊Pφ est vraie dans $\langle w, i \rangle$, c'est-à-dire que $[Pφ \rightarrow \Box Pφ]$ est vraie dans $\langle w, i \rangle$.

Exercice 4.7 (p. 239)

La démonstration est immédiate : en sémantique intensionnelle, comme le pose la notation 4.3 p. 215 (avec la simplification de §4.4.2, p. 236), $[[\varphi]]^{M,w,g} = 1$ signifie que φ est vraie dans w ; d'après le point 4.5, p. 236, $[[\varphi]]_e^{M,g}$ est l'ensemble de tous les mondes où φ est vraie ; donc si $w \in [[\varphi]]_e^{M,g}$ c'est que w est un monde où φ est vraie.

Exercice 4.8 (p. 246)

1. Nous allons présenter les intensions de formules (i.e. les propositions) sous la forme d'ensembles de mondes. L'intension de $∃x[\text{républicain}(x) ∧ élu}(x)]$ est, par définition
(p. 236), l'ensemble de tous les mondes dans lesquels celui qui est élu est un républi-
cain. D'après le tableau 4.2, p. 247, il s'agit de l'ensemble {$w_1$ ; $w_2$ ; $w_3$ ; $w_6$}.

2. Avec $g_1$ qui donne $g_1(x) = BARRY$, l'intension de **élu(x)** est l'ensemble de tous les mondes où BARRY est élu. C'est-à-dire : {$w_1$ ; $w_3$ ; $w_5$ ; $w_7$}. Et avec $g_2$ qui donne $g_2(x) = JOHNNY$, l'intension de **élu(x)** est l'ensemble de tous les mondes où JOHNNY est élu : {$w_2$ ; $w_4$ ; $w_6$ ; $w_8$}.

3. Par rapport à $g_1$, l'intension de **penser(s, élu(x))** est {$w_2$ ; $w_3$ ; $w_4$} (d'après les indications de l'énoncé de l'exercice). Et par rapport à $g_2$, l'intension de la formule est {$w_5$ ; $w_6$ ; $w_8$}.

4. Donc dans $w_2$, $w_3$ et $w_4$, SUE pense que BARRY va être élu, et dans $w_5$, $w_6$ et $w_8$ elle pense que JOHNNY va être élu. Dans $w_2$, $w_3$ et $w_4$, BARRY est républicain et dans $w_5$ et $w_6$ JOHNNY est républicain. Donc l'intension de $∃x[républicain(x)∧penser(s, élu(x))]$ est {$w_2$ ; $w_3$ ; $w_4$ ; $w_5$ ; $w_6$}.

5. D'après l'énoncé de l'exercice et le résultat de la question 1, l'intension de la formule
penser(s, ^∃x[républicain(x) ∧ élu(x)]) est {$w_1$ ; $w_7$}.

Exercice 4.9 (p. 247)

Sachant, par présupposition, que *x* dénote la mère d'Œdipe dans le monde d'évaluation, la lecture *de re* de la phrase se traduit par **vouloir**(*œ*, ^épouser(*x*)) (ou éventuellement **mère**(*x*, *œ*) ∧ **vouloir**(*œ*, ^épouser(*x*)))).

Pour la lecture *de dicto*, le mieux que nous pouvons proposer (en traduisant le GN par une variable libre) serait *vouloir*(*œ*, ^[mère*(*x*, *œ*) ∧ épouser*(*x*)])). Mais du fait de la présupposition, nous savons déjà que *x* dénote la mère réelle d'Œdipe ; cela ne convient donc pas à l'interprétation recherchée. Pour cette lecture, nous sommes en fait obligés de suspendre la présupposition (cf. §1.3.1.3, p. 28). C'est-à-dire que nous devons l'empêcher de se projeter (i.e. de figurer dans le contexte général de la phrase), et de la confiner à l'intérieur de la traduction de la subordonnée (pour que les informations relatives à l'identité de la mère d'Œdipe soient localisées dans les croyances d'Œdipe). Autrement dit, la traduction correcte devrait être : *vouloir*(*œ*, ^∃x[[mère*(*x*, *œ*) ∧ ∀y[mère*(*y*, *œ*) ↔ *y* = *x*]] ∧ épouser*(*x*)]). Mais ce n'est pas quelque chose qui s'obtient de façon simple en sémantique compositionnelle<fnref n="7" />.

Exercice 4.10 (p. 247)

1. Il s'agit bien sûr d'une ambiguïté de re/de dicto sur le GN tous les hommes (qui étaient là). Pour la lecture de re la glose sera :

a. Pour chaque individu qui est un homme et qui était là, Paul a cru qu'il s'agissait d'une femme.

Pour la lecture *de dicto* la glose sera :

b. Paul s'est dit : « tiens, tous les hommes qui sont là sont des femmes ».

2. Construisons un modèle *M* par rapport auquel la phrase avec la lecture *de re* sera vraie et celle avec la lecture *de dicto* sera fausse. *M* contient les données suivantes :

<footnote n="7">⁷ C'est une question qui a directement trait au problème de la projection des présuppositions (cf. p. 29) et qui est abordée, notamment, par Heim (1992) et qui nous dirige vers la sémantique dynamique.</footnote>
- PAUL, un homme ;

- ANTOINE et MICKAËL, des hommes, amis de PAUL ;

- JULIE et SARAH, des femmes, amies de PAUL ;

- ANTOINE est déguisé en Catwoman ;

- MICKAËL est déguisé en Batgirl ;

- JULIE est déguisée en Iron Man ;

- SARAH est déguisée en marsupilami ;

- PAUL ne reconnaît aucun de ses amis ;

- PAUL croit que ANTOINE et MICKAËL sont des femmes ;

- PAUL croit que JULIE et SARAH sont des hommes ;

Avec la lecture *de dicto* de tous les hommes, la phrase est fausse, car les individus qui sont des hommes dans les croyances de Paul sont Julie et Sarah et Paul pense que ces deux individus sont des hommes et non pas des femmes. Mais avec la lecture *de re* de tous les hommes, la phrase est vraie, car les individus qui sont des hommes dans M sont Antoine et Mickaël et Paul croit bien qu'Antoine et Mickaël sont des femmes<fnref n="8" />.

3. a. *De re* :

$\forall x[\text{homme}(x) \rightarrow \text{croire}(p, \text{^femme}(x))]$

b. *De dicto* :

$\text{croire}(p, \forall x[\text{homme}(x) \rightarrow \text{femme}(x)])$

4. Comme l'indique la glose ci-dessus, la lecture *de dicto* est la moins naturelle des deux car elle attribue à Paul la pensée (i.e. la proposition) qui dit que tous les hommes sont des femmes. Mais dans quels mondes possibles la phrase *tous les hommes sont des femmes* est vraie ? Probablement aucun (si on ne change pas le sens des mots), et cette phrase est absurde (au sens logique, c'est-à-dire que c'est une contradiction, une phrase qui n'est jamais vraie). Et il est fort probable que Paul n'a pas ce genre de pensée : cela voudrait dire qu'il considère que le monde dans lequel il se trouve appartient à l'ensemble vide...

5. L'interprétation la plus naturelle est celle avec la lecture *de re* du GN *tous les hommes*. Mais, comme le montre la formule (3a), cela veut dire que ce GN est interprété avec une portée large, *en dehors de la proposition syntaxique où il apparaît*. C'est un contre-exemple à l'observation que nous avions faite en §3.2.1.3, p. 137, et qui disait que les GN quantificationnels forts (par ex. universels) ne peuvent pas « traverser » une frontière de proposition.

<footnote n="8">⁸ NB : dans cette démonstration, on exclut Paul de l'ensemble des hommes quand on fait la quantification de tous les hommes. C'est un problème annexe ; en fait il s'agit d'un phénomène courant lorsqu'une phrase contient un quantificateur universel et un GN référentiel, ce dernier se retrouve exclu de la quantification. Cf. par exemple *dans la classe, Jean est plus grand que tout le monde* ; techniquement cette phrase devrait toujours être fausse car Jean fait partie de *tout le monde* et Jean n'est pas plus grand que lui-même, mais par pragmatique on interprète la phrase en partitionnant l'ensemble des individus en faisant en sorte que *tout le monde* signifie « tout individu sauf Jean ».</footnote>
A.5 Chapitre 5

Exercice 5.1 (p. 272)

La figure A.1 indique graphiquement les trajets à suivre dans la fonction
$[[regarder]]^{M,w_1,g}$ pour chaque calcul, avec la légende suivante :

1. $\cdots\cdots\cdots\rightarrow$ donc $[[regarder(a, c)]]^{M,w_1,g} = 0$

2. $\cdots\cdots\rightarrow$ donc $[[regarder(b, d)]]^{M,w_1,g} = 1$

3. $\cdots\cdots\rightarrow$ donc $[[regarder(d, a)]]^{M,w_1,g} = 1$

4. $\cdots\cdots\rightarrow$ donc $[[regarder(b, b)]]^{M,w_1,g} = 0$

<figure><img src="image_116.png" /><figcaption>FIG. A.1 : Récupération de la dénotation des formules de 1-4</figcaption></figure>

N'oubliez pas qu'on commence toujours le trajet par la dénotation du dernier argument de la liste accolée au prédicat (i.e. ici le second argument).

Exercice 5.2 (p. 280)

Pour corriger λxλyα(β)(γ) nous devons faire des hypothèses successives choisissant
quelle fonction s'applique aux arguments β et γ, et ensuite essayer de réaliser ces hypo-
thèses via la règle de l'application fonctionnelle (définition 5.5, p. 277), qui ajoutera des
crochets aux endroits appropriés.

1. $\beta$ est appliqué à la fonction $\alpha$. Nous devrons alors écrire $\lambda x \lambda y[\alpha(\beta)](\gamma)$.

Mais il reste encore à donner $\gamma$ à une fonction :

a. $\gamma$ est appliqué à la fonction $[\alpha(\beta)]$ (car cela peut encore être une fonction, si $\alpha$ est une fonction à plusieurs arguments – au moins deux). Nous écrirons alors : $\lambda x \lambda y[[\alpha(\beta)](\gamma)]$.

b. $\gamma$ est appliqué à la fonction $\lambda y[\alpha(\beta)]$ (c'est évidemment une fonction, à cause de $\lambda y$). Nous écrirons : $\lambda x[\lambda y[\alpha(\beta)](\gamma)]$.

c. $\gamma$ est appliqué à la fonction $\lambda x \lambda y[\alpha(\beta)]$. Nous écrirons : $[\lambda x \lambda y[\alpha(\beta)](\gamma)]$.
2. $\beta$ est appliqué à la fonction $\lambda y\alpha$. La première correction à faire est donc : $\lambda x[\lambda y\alpha(\beta)](\gamma)$. Ensuite :

a. $\gamma$ est appliqué à la fonction $[\lambda y\alpha(\beta)]$ (c'est possible si on suppose que $\alpha$ en soit est une fonction à au moins deux arguments). Nous écrirons : $\lambda x[[\lambda y\alpha(\beta)](\gamma)]$.

b. $\gamma$ est appliqué à la fonction $\lambda x[\lambda y\alpha(\beta)]$. Nous écrirons : $[\lambda x[\lambda y\alpha(\beta)](\gamma)]$.

3. $\beta$ est appliqué à la fonction $\lambda x\lambda y\alpha$. Cela donne d'abord : $[\lambda x\lambda y\alpha(\beta)](\gamma)$. Puis :

a. $\gamma$ est appliqué à la fonction $[\lambda x\lambda y\alpha(\beta)]$. Nous écrirons : $[[\lambda x\lambda y\alpha(\beta)](\gamma)]$. Ici c'est la seule correction possible.

Pour récapituler, nous obtenons six combinaisons, toutes différentes :

$\lambda x\lambda y[\alpha(\beta)](\gamma)$ $\lambda x[\lambda y[\alpha(\beta)](\gamma)]$ $[\lambda x\lambda y[\alpha(\beta)](\gamma)]$

$\lambda x[[\lambda y\alpha(\beta)](\gamma)]$ $[\lambda x[\lambda y\alpha(\beta)](\gamma)]$ $[[\lambda x\lambda y\alpha(\beta)](\gamma)]$

Exercice 5.3 (p. 280)

L'important est de vérifier que la suppression des crochets (convention 5.2, p. 279) ne crée pas d'ambiguïté.

1. $[[aimer(x)](y)]$. aimer est une fonction qui reçoit l'argument $x$, et comme aimer est un prédicat à deux arguments $[aimer(x)]$ est encore une fonction qui reçoit l'argument $y$. Nous pouvons donc simplifier en $aimer(x)(y)$ puis en $aimer(y, x)$.

2. $\lambda x[[aimer(x)](y)]$. Pour les mêmes raisons, cela se simplifie en $\lambda x$ aimer($y, x$).

3. $[\lambda x[aimer(x)](y)]$. aimer est une fonction qui reçoit l'argument $x$. Nous pouvons donc déjà simplifier en $[\lambda x$ aimer($x$)($y$)]. Notons que aimer($x$) est encore une fonction (elle n'attend plus que son « second » argument). Mais maintenant il faut faire attention : car $\lambda x$ aimer($x$) est aussi une fonction, et elle est différente de aimer($x$). Si nous supprimons les crochets extérieurs, nous risquons de ne plus savoir à laquelle de ces deux fonctions $y$ est appliqué. Dans l'exemple, $y$ est appliqué à $\lambda x$ aimer($x$), nous le savons grâce aux crochets extérieurs. Remarque : si $y$ était appliqué à aimer($x$), nous devrions écrire : $\lambda x[aimer(x)(y)]$ (ou par simplification $\lambda x$ aimer($y, x$)).

4. $\diamond[[aimer(x)](y)]$. Se simplifie en $\diamond$aimer($y, x$).

5. $[^{\lambda}aimer(x)](y)$]. Ne peut se simplifier qu'en $[^{\lambda}aimer(x)](y)$. En effet $^{\lambda}aimer(x)(y)$ serait ambigu : nous ne saurions pas si $^{\lambda}$porte sur aimer ou aimer($x$) ou aimer($x$)(y). Ici nous savons qu'il porte sur aimer($x$).

6. $[^{\lambda}aimer(x)](y)$]. Se simplifie en $[^{\lambda}aimer(y, x)]$.

7. $[\lambda x[[aimer(y)](x)](z)]$. Nous savons que nous pouvons simplifier $[[aimer(y)](x)]$ en aimer($y, x$). Nous avons donc $[\lambda x$ aimer($x, y$)(z)]. Il vaut mieux garder les crochets extérieurs pour bien indiquer que $z$ est appliqué à $\lambda x$ aimer($x, y$).

8. $\lambda x[\lambda y[aimer(y)](x)]$. Se simplifie uniquement en $\lambda x[\lambda y$ aimer($y$)($x$)] (à la rigueur).

Exercice 5.4 (p. 280)

1. Variante de notation :

1 $aimer(x)(y)$

2 $\lambda x[aimer(x)(y)]$

3 $\lambda x[aimer(x)](y)$

4 $\diamond$aimer($x$)($y$)

5 $^{\lambda}aimer(x)(y)$

6 $^{\lambda}aimer(x)(y)$

7 $\lambda x[aimer(y)(x)](z)$

8 $\lambda x[\lambda y[aimer](y)](x)$
2. Le problème qui se pose est que les expressions 5 et 6 deviennent identiques alors que dans l'exercice 5.3 nous avons vu qu'elles ne se simplifiaient pas de la même manière. Et en fait elles n'ont pas le même sens. Pour éviter que se pose ce problème, il faut donc que dans cette variante de notation, la règle d'introduction de l'opérateur ^ (p. 241) soit révisée en : si α est une expression de LO, alors ^[α] aussi.

Exercice 5.5 (p. 282)

1. $[[\lambda x \lambda y [[regarder(y)](x)]]^{M, w_1, g}$

D'après la définition 5.4, p. 276, $[[\lambda x \lambda y [[regarder(y)](x)]]^{M, w_1, g}$ est la fonction qui, à tout objet x, associe $[[\lambda y [[regarder(y)](x)]]^{M, w_1, g|_{[x|x]}}$. De même, $[[\lambda y [[regarder(y)](x)]]^{M, w_1, g|_{[x|x]}}$ est la fonction qui, à tout objet y, associe $[[[[regarder(y)](x)]]^{M, w_1, g|_{[x|x]}|_{[y/y]}]$.

Ensuite, d'après la définition 5.6, p. 281, $[[[[regarder(y)](x)]]^{M, w_1, g|_{[x|x]}|_{[y/y]}] = [[regarder(y)]]^{M, w_1, g|_{[x|x]}|_{[y/y]}} ([[x]]^{M, w_1, g|_{[x|x]}|_{[y/y]}})$. Et comme l'assignation courante spé-cifie la valeur de x, nous savons que $[[x]]^{M, w_1, g|_{[x|x]}|_{[y/y]}} = g|_{[x|x]}(x) = x$. Donc $[[[[regarder(y)](x)]]^{M, w_1, g|_{[x|x]}|_{[y/y]}} = [[regarder(y)]]^{M, w_1, g|_{[x|x]}|_{[y/y]}(x)}$.

Toujours d'après la définition 5.6, nous avons $[[regarder(y)]]^{M, w_1, g|_{[x|x]}|_{[y/y]}} = [[regarder]]^{M, w_1, g|_{[x|x]}|_{[y/y]}} ([[y]]^{M, w_1, g|_{[x|x]}|_{[y/y]}}) = [[regarder]]^{M, w_1, g|_{[x|x]}|_{[y/y]}} (y)$. Et le fait est que $[[regarder]]^{M, w_1, g|_{[x|x]}|_{[y/y]}}$ est la même chose que $[[regarder]]^{M, w_1, g}$ (car il n'y a plus de variable ici), c'est-à-dire c'est la fonction décrite dans la figure 5.3, p. 271. Par consé-quent, $[[[[regarder(y)](x)]]^{M, w_1, g|_{[x|x]}|_{[y/y]}} = [[regarder]]^{M, w_1, g}(y)(x)$, c'est-à-dire la va-leur que cette fonction assigne quand on lui donne y comme premier argument et x comme second argument. Par exemple, si x est ALICE et y est DINA, la valeur sera 0, etc.

Pour conclure : en reprenant le calcul depuis le début, $[[\lambda x \lambda y [[regarder(y)](x)]]^{M, w_1, g}$ est la fonction qui à tout objet x associe la fonction qui à tout objet y associe la valeur $[[regarder]]^{M, w_1, g}(y)(x)$. Mais attention, cela n'est pas la même fonction que $[[regarder]]^{M, w_1, g}$, car les arguments ne sont pas attendus dans le même ordre<fnref n="9" />.

2. $[[\lambda x[\lambda y[regarder(y)](x)]]^{M, w_1, g}$

D'après la définition 5.4, $[[\lambda x[\lambda y[regarder(y)](x)]]^{M, w_1, g}$ est la fonction qui, à tout objet x, associe $[[[\lambda y[regarder(y)](x)]]^{M, w_1, g|_{[x|x]}}$. Maintenant pour interpréter $[\lambda y[regarder(y)](x)$, nous pouvons utiliser le théorème 5.1. Pour ce faire, nous de-vons connaître la dénotation de x par rapport aux indices via lesquels nous éva-luons l'application fonctionnelle (en l'occurrence $w_1$ et $g|_{[x|x]}$) ; et nous la connaissons : $[[x]]^{M, w_1, g|_{[x|x]}} = x$. Partant, le théorème nous dit que $[[[\lambda y[regarder(y)](x)]]^{M, w_1, g|_{[x|x]}} = [[regarder(y)]]^{M, w_1, g|_{[x|x]}|_{[x/y]}}$.

Ensuite, la définition 5.6 nous indique que $[[regarder(y)]]^{M, w_1, g|_{[x|x]}|_{[x/y]}} = [[regarder]]^{M, w_1, g|_{[x|x]}|_{[x/y]}} ([[y]]^{M, w_1, g|_{[x|x]}|_{[x/y]}})$. Et nous avons $[[y]]^{M, w_1, g|_{[x|x]}|_{[x/y]}} = x$

<footnote n="9">⁹ Rappelons que $[[regarder]]^{M,w_1,g}$ équivaut à $[[\lambda y \lambda x [[regarder(y)](x)]]^{M,w_1,g}$, la fonction qui à tout objet y associe la fonction qui à tout objet x associe la valeur $[[regarder]]^{M,w_1,g}(y)(x)$.</footnote>
(à cause de l'assignation $g_{[x/x]_{|x/y}}$ qui fixe la valeur de $y$ à $x$). Par conséquent,
$$ [[\lambda y[\text{regarder}(y)](x)]]^{M,w_1,g_{[x/x]}} = [[\text{regarder}]]^{M,w_1,g}(x). $$

Conclusion : $[[\lambda x[\lambda y[\text{regarder}(y)](x)]]]^{M,w_1,g}$ est la fonction qui à tout objet $x$ associe $[[\text{regarder}]]^{M,w_1,g}(x)$. C'est globalement une fonction à un seul argument et qui renvoie comme résultat une fonction elle aussi à un argument.

Exercice 5.6 (p. 285)

Les $\beta$-réductions (cf. définition 5.7, p. 284) sont présentées ci-dessous sous forme d'égalités.

$$
\begin{align*}
1. & [[\lambda z \lambda y \lambda x \text{ présenter}(x, y, z)(a)](b)](c)] \\
&= [[\lambda y \lambda x \text{ présenter}(x, y, a)(b)](c)] \tag*{(\beta\text{-réduction sur } z)} \\
&= [\lambda x \text{ présenter}(x, b, a)(c)] \tag*{(\beta\text{-réduction sur } y)} \\
&= \text{présenter}(c, b, a) \tag*{(\beta\text{-réduction sur } x)}
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
2. & [[\lambda z[\lambda y\lambda x \text{ présenter}(x, y, z)(a)](b)](c)] \\
&= [[\lambda z\lambda x \text{ présenter}(x, a, z)(b)](c)] \tag*{(\beta\text{-réduction sur } y)} \\
&= [\lambda x \text{ présenter}(x, a, b)(c)] \tag*{(\beta\text{-réduction sur } z)} \\
&= \text{présenter}(c, a, b) \tag*{(\beta\text{-réduction sur } x)}
\end{align*}
$$

Ici on aurait pu aussi commencer par la $\beta$-réduction sur $z$.

$$
\begin{align*}
3. & [\lambda z[[\lambda y \lambda x \text{ présenter}(x, y, z)(a)](b)](c)] \\
&= [\lambda z[\lambda x \text{ présenter}(x, a, z)(b)](c)] \tag*{(\beta\text{-réduction sur } y)} \\
&= [\lambda z \text{ présenter}(b, a, z)(c)] \tag*{(\beta\text{-réduction sur } x)} \\
&= \text{présenter}(b, a, c) \tag*{(\beta\text{-réduction sur } z)}
\end{align*}
$$

Là aussi plusieurs ordres sont possibles pour effectuer les $\beta$-réductions, par exemple :
sur $y$, puis $z$, puis $x$, ou sur $z$, puis $y$, puis $x$.

$$
\begin{align*}
4. & [\lambda z[\lambda y[\lambda x \text{ présenter}(x, y, z)(a)](b)](c)] \\
&= [\lambda z[\lambda y \text{ présenter}(a, y, z)(b)](c)] \tag*{(\beta\text{-réduction sur } x)} \\
&= [\lambda z \text{ présenter}(a, b, z)(c)] \tag*{(\beta\text{-réduction sur } y)} \\
&= \text{présenter}(a, b, c) \tag*{(\beta\text{-réduction sur } z)}
\end{align*}
$$

Ici on peut effectuer les trois $\beta$-réductions dans l'ordre qu'on veut.

Exercice 5.8 (p. 291)

$$
1. [\lambda x \text{ aimer}(x, y)(y)] = \text{aimer}(y, y)
$$

$$
2. [\lambda x \text{ aimer}(x, x)(a)] = \text{aimer}(a, a)
$$

$$
3. [\lambda y \lambda x \text{ aimer}(x, y)(c)] = \lambda x \text{ aimer}(x, c)
$$

$$
4. \lambda y[\lambda x \text{ aimer}(x, y)(c)] = \lambda y \text{ aimer}(c, y)
$$

$$
5. [[\lambda y \lambda x \text{ aimer}(x, y)(a)](b)] = [\lambda x \text{ aimer}(x, a)(b)] = \text{aimer}(b, a)
$$

$$
6. [\lambda y[\lambda x \text{ aimer}(x, y)(a)](b)] = [\lambda x \text{ aimer}(x, b)(a)] = \text{aimer}(a, b)
$$

Ici on peut aussi procéder en commençant par $\beta$-réduire sur $\lambda x$ :

$$
[\lambda y[\lambda x \text{ aimer}(x, y)(a)](b)] = [\lambda y \text{ aimer}(a, y)(b)] = \text{aimer}(a, b)
$$

$$
7. [\lambda z \lambda y[\lambda x \text{ aimer}(x, y)(z)](b)] = \lambda y[\lambda x \text{ aimer}(x, y)(b)] = \lambda y \text{ aimer}(b, y)
$$

Ou bien :

$$
[\lambda z \lambda y[\lambda x \text{ aimer}(x, y)(z)](b)] = [\lambda z \lambda y \text{ aimer}(z, y)(b)] = \lambda y \text{ aimer}(b, y)
$$

$$
8. [\lambda P P(x, y)(\text{aimer})] = \text{aimer}(x, y)
$$
9. $[\lambda Q\lambda y\lambda x[Q(x, y) \land Q(y, x)](aimer)] = \lambda y\lambda x[aimer(x, y) \land aimer(y, x)]$

10. $[\lambda P[P(a)](\lambda x \text{ pleurer}(x))] = [\lambda x \text{ pleurer}(x)(a)] = \text{pleurer}(a)$

11. $[[\lambda X\lambda x[X(x)](chat)](d)] = [\lambda x[chat(x)](d)] = [chat(d)]$

12. $[\lambda X\lambda z[[X(z)](z)](\lambda y\lambda x Q(x, y))] = \lambda z[[\lambda y\lambda x Q(x, y)(z)](z)] = \lambda z[\lambda x Q(x, z)(z)] = \lambda z Q(z, z)$

Exercice 5.9 (p. 291)

1. $[[\lambda y\lambda x \text{ aimer}(x, y)(j)](a)] = [\lambda x \text{ aimer}(x, j)(a)] = \text{aimer}(a, j)$

2. $[\lambda y[\lambda x \text{ aimer}(x, y)(j)](a)] = [\lambda y \text{ aimer}(j, y)(a)] = \text{aimer}(j, a)$

3. $[\lambda Q\lambda y[Q(y)](\lambda x \text{ dormir}(x))] = \lambda y[\lambda x \text{ dormir}(x)(y)] = \lambda y \text{ dormir}(y)$

4. $[[\lambda P\lambda x [[P(x)](y)](aimer)](a)] = [\lambda x [[aimer(x)](y)](a)] = [[aimer(a)](y)] = \text{aimer}(y, a) \text{ (par suppression des crochets)}$

5. $[\lambda P\lambda x [[P(x)](y)](\lambda y\lambda z \text{ aimer}(y, z))] = \lambda x [[\lambda y\lambda z \text{ aimer}(y, z)(x)](y)] = \lambda x [\lambda z \text{ aimer}(x, z)(y)] = \lambda x \text{ aimer}(x, y)$

6. $[\lambda X\lambda x[X(\lambda y \text{ aimer}(x, y))](\lambda Q[Q(a)])] = \lambda x[\lambda Q[Q(a)](\lambda y \text{ aimer}(x, y))] = \lambda x[\lambda y \text{ aimer}(x, y)(a)] = \lambda x \text{ aimer}(x, a)$

Exercice 5.10 (p. 302)

Rappel des types :

$x, y \in \mathcal{V}ar_e, \phi \in \mathcal{V}ar_t, P \in \mathcal{V}ar_{\langle e, t \rangle}, Q \in \mathcal{V}ar_{\langle e, \langle e, t \rangle \rangle}, K \in \mathcal{V}ar_{\langle \langle s, t \rangle, \langle e, t \rangle \rangle}, S \in \mathcal{V}ar_{\langle s, \langle e, t \rangle \rangle}$.

Les règles syntaxiques utilisées ci-dessous sont celles de la définition 5.11, p. 297.

1. $\lambda x Q(x, y)$
$Q(x, y)$ est de type t car $Q \in \mathcal{V}ar_{\langle e, \langle e, t \rangle \rangle}$ et a ses deux arguments de type e ; donc
$\lambda x Q(x, y)$ est de type $\langle e, t \rangle$ (Syn.7).

2. $\lambda Q \exists x Q(x, y)$
$Q(x, y)$ est de type t, donc $\exists x Q(x, y)$ aussi (Syn.6) et $\lambda Q \exists x Q(x, y)$ est de type
$\langle\langle e, \langle e, t \rangle\rangle\rangle, t \rangle$ (Syn.7).

3. $[\lambda x Q(x, y)(y)]$
$Q(x, y)$ est de type t, donc $\lambda x Q(x, y)$ est de type $\langle e, t \rangle$ (Syn.7) et donc $[\lambda x Q(x, y)(y)]$
est de type t (Syn.2).

NB : on voit bien que les crochets sont importants pour retrouver le bon ordre de
composition de l’expression.

4. $\diamond \lambda x P(x)$
$P(x)$ est de type t car $P \in \mathcal{V}ar_{\langle e, t \rangle}$ (Syn.2), donc $\lambda x P(x)$ est de type $\langle e, t \rangle$ ; or d'après
(Syn.5) $\diamond$ ne peut s'acoller qu'à une expression de type t ; donc l'expression n'est pas
bien formée.

5. $\lambda P P$
$P$ est de type $\langle e, t \rangle$, donc $\lambda P P$ est de type $\langle\langle e, t \rangle, \langle e, t \rangle\rangle$, en vertu de (Syn.7).

6. $[\lambda P P(x)(y)]$
Ici l'expression est ambiguë quant à la suppression d'une paire de crochets<fnref n="10" /> : on peut supposer qu'elle est la simplification soit de $[\lambda P[P(x)](y)]$, soit de $[[\lambda P P(x)](y)]$ ; dans

<footnote n="10">¹⁰ Ce qui devrait laisser deviner d'emblée qu'elle n'est pas bien formée, puisqu'on n'a pas le droit de supprimer des crochets en rendant une expression ambiguë.</footnote>
les deux cas elle est mal formée. Dans le premier cas, P(x) est de type t, $\lambda P[P(x)]$ est de type $\langle\langle e, t \rangle\rangle$, t) et ne peut donc pas se combiner avec y de type e. Dans le second cas, $\lambda P P$ est de type $\langle\langle e, t \rangle\rangle$, $\langle\langle e, t \rangle\rangle$ et ne peut donc pas se combiner avec x.

7. $\lambda x[^{\vee}S(x)]$
$^{\vee}S$ est de type $\langle e, t \rangle$ (Syn.9) car $S$ est de type $\langle s, \langle e, t \rangle \rangle$; donc $[^{\vee}S(x)]$ est de type t et $\lambda x[^{\vee}S(x)]$ de type $\langle e, t \rangle$.

8. $\lambda x[^{\vee}S(x)]$
Cette expression est mal formée, car $S$ ne peut pas se combiner directement avec $x$.

9. $[\lambda x^{\vee}S(x)]$
$^{\vee}S$ est de type $\langle e, t \rangle$, donc $\lambda x^{\vee}S$ est de type $\langle e, \langle e, t \rangle \rangle$ et $[\lambda x^{\vee}S(x)]$ est de type $\langle e, t \rangle$.

10. $K([^{\wedge}\lambda x P(x)(y)])$
Quelle que soit la manière d'analyser $[^{\wedge}\lambda x P(x)(y)]$ on trouvera le type t pour cette sous-expression. En effet $P(x)$ est de type t, $\lambda x P(x)$ de type $\langle e, t \rangle$ et donc $[^{\wedge}\lambda x P(x)(y)]$ de type t; ou bien $\lambda x P$ est de type $\langle e, \langle e, t \rangle \rangle$ et $\lambda x P(x)$ est de type $\langle e, t \rangle$. Ensuite $[^{\wedge}\lambda x P(x)(y)]$ est de type $\langle s, t \rangle$ (Syn.8), et donc $K([^{\wedge}\lambda x P(x)(y)])$ est de type $\langle e, t \rangle$, car $K$ est de type $\langle\langle s, t \rangle\rangle$, $\langle e, t \rangle\rangle$.

11. $\lambda \varphi K(x, ^{\wedge}\varphi)$
$\varphi$ est de type t, donc $^{\wedge}\varphi$ est de type $\langle s, t \rangle$, et $K(x, ^{\wedge}\varphi)$ est de type t, car c'est la simplification de $[[K(^{\wedge}\varphi)](x)];$ donc $\lambda \varphi K(x, ^{\wedge}\varphi)$ est de type $\langle t, t \rangle$.

12. $\lambda \varphi \lambda x K(x, ^{\wedge}\varphi)$
$\lambda x K(x, ^{\wedge}\varphi)$ est de type $\langle e, t \rangle$, donc $\lambda \varphi \lambda x K(x, ^{\wedge}\varphi)$ est de type $\langle t, \langle e, t \rangle \rangle$.

13. $\lambda x \lambda \varphi K(x, ^{\wedge}\varphi)$
$\lambda \varphi K(x, ^{\wedge}\varphi)$ est de type $\langle t, t \rangle$, donc $\lambda x \lambda \varphi K(x, ^{\wedge}\varphi)$ est de type $\langle e, \langle t, t \rangle \rangle$.

14. $\lambda K \lambda \varphi K(x, ^{\wedge}\varphi)$
$\lambda \varphi K(x, ^{\wedge}\varphi)$ est de type $\langle t, t \rangle$, donc $\lambda K \lambda \varphi K(x, ^{\wedge}\varphi)$ est de type $\langle\langle\langle s, t \rangle\rangle, \langle e, t \rangle\rangle, \langle t, \langle s, t \rangle\rangle$.

15. $\lambda K \lambda \varphi ^{[^{\wedge}K(^{\wedge}\varphi)]}(x)$
$^{[^{\wedge}K(^{\wedge}\varphi)]}(x)$ est de type $\langle s, t \rangle$, donc $[^{[^{\wedge}K(^{\wedge}\varphi)]}(x)]$ est de type t, donc $[^{[^{[^{\wedge}K(^{\wedge}\varphi)]}(x)]}]$ est de type $\langle s, t \rangle$, donc $^{[^{[^{[^{\wedge}K(^{\wedge}\varphi)]}(x)]}]}$ est de type $\langle t, \langle s, t \rangle\rangle$, et $\lambda K \lambda \varphi ^{[^{[^{[^{\wedge}K(^{\wedge}\varphi)]}(x)]}]}$ de type $\langle\langle\langle s, t \rangle\rangle, \langle e, t \rangle\rangle, \langle t, \langle s, t \rangle\rangle$.

16. $\lambda K \lambda \varphi[^{[^{\wedge}K(^{\wedge}\varphi)]}(x)]$
$[^{[^{\wedge}K(^{\wedge}\varphi)]}(x)]$ est de type $\langle e, t \rangle$, donc $^{[^{[^{\wedge}K(^{\wedge}\varphi)]}(x)]}$ est de type $\langle s, \langle e, t \rangle \rangle$ et cela ne peut pas se combiner avec $x$. L'expression est donc mal formée.

17. $\lambda x[P(x) \wedge Q(x)]$
$P(x)$ est de type t, $Q(x)$ est de type $\langle e, t \rangle$ (car $Q$ est de type $\langle e, \langle e, t \rangle \rangle$); $\wedge$ ne peut donc pas les combiner car il ne coordonne que des expressions de type t (Syn.4). L'expression est mal formée.

18. $\lambda y \lambda x [P(x) \wedge Q(x, y)](x)$
$Q(x, y)$ est de type t, donc $[P(x) \wedge Q(x, y)]$ est de type t, $\lambda x [P(x) \wedge Q(x, y)]$ est de type $\langle e, t \rangle$, $\lambda y \lambda x [P(x) \wedge Q(x, y)]$ de type $\langle e, \langle e, t \rangle \rangle$ et $\lambda y \lambda x [P(x) \wedge Q(x, y)](x)$ de type $\langle e, t \rangle$.
19. $[\lambda Q Q(x, y)(\lambda x P)]$

$Q(x, y)$ est de type $t$, donc $\lambda Q Q(x, y)$ est de type $\langle\langle e, \langle e, t \rangle \rangle, t \rangle$ ; et $\lambda x P$ est de type $\langle e, \langle e, t \rangle \rangle$, donc $[\lambda Q Q(x, y)(\lambda x P)]$ est de type $t$.

20. $\lambda y Q(1x P(x), y)$

$P(x)$ est de type $t$, donc $1x P(x)$ est de type $e$ (Syn.6), donc $Q(1x P(x), y)$ est de type $t$, et $\lambda y Q(1x P(x), y)$ est de type $\langle e, t \rangle$.

Exercice 5.11 (p. 302)

Dans ce qui suit, $a$ et $b$ représentent des types a priori « inconnus ».

1. $Q(A)$

Comme $Q(A)$ est une application fonctionnelle, c'est que $Q$ dénote une fonction et donc que $Q$ est de type $\langle a, b \rangle$. Et on sait que $b = t$ car c'est le résultat attendu par hypothèse dans cet exercice. Donc $Q$ est de type $\langle a, t \rangle$. Quand à $a$ on sait aussi que c'est le type de $A$, puisque $A$ est un argument licite de $Q$. Il n'y a pas d'autre contrainte sur son type ; on peut prendre ce qu'on veut pour $a$, par exemple $e$. Ainsi $Q$ est de type $\langle e, t \rangle$ et $A$ de type $e$.

Mais on peut aussi donner $\langle\langle e, t \rangle\rangle$ pour $Q$ et $\langle e, t \rangle$ pour $A$ ; ou encore $\langle t, t \rangle$ et $t$, etc.

2. $[\tilde{Q}(A)]$

Ici il faut reconnaître une application fonctionnelle de la fonction $\tilde{Q}$ sur l'argument $A$. On en déduit plusieurs choses : d'abord que $Q$ est de type $\langle s, b \rangle$ pour qu'on ait le droit de lui accoler $\tilde{Q}$ par la règle (Syn.9) (p. 297). Et par cette règle on sait que $b$ est le type de $\tilde{Q}$. Mais $b$ est en fait un type complexe puisqu'on est présence d'une fonction. Là on se ramène un peu au cas précédent : $\tilde{Q}$ doit être de type $\langle a, t \rangle$ (donc $b = \langle a, t \rangle$) et $a$ est le type de $A$. Si on prend $e$ pour le type de $A$, alors $b = \langle e, t \rangle$, alors le type de $Q$ est $\langle s, \langle e, t \rangle \rangle$ (puisqu'on a posé que ce type était $\langle s, b \rangle$).

Mais on peut aussi proposer par exemple $\langle s, \langle\langle e, t \rangle\rangle$ pour $Q$ et $\langle e, t \rangle$ pour $A$, etc.

3. $[\tilde{Q}(A)]$

Cette fois, $\tilde{Q}$ s'accole à tout $[Q(A)]$. Pour que cela soit possible, on en déduit donc que c'est $[Q(A)]$ qui est de type $\langle s, b \rangle$. Et donc $[\tilde{Q}(A)]$ est de type $b$. Mais on sait aussi par hypothèse que $b = t$. Il reste donc à trouver les types de $Q$ et $A$ sachant que $[Q(A)]$ est de type $\langle s, t \rangle$. Maintenant cela ressemble au premier cas ci-dessus : $Q$ est de type $\langle a, \langle s, t \rangle \rangle$, puisque c'est la fonction qui doit retourner un résultat de type $\langle s, t \rangle$ ; et $a$ est le type de $A$. On peut le choisir librement. Si $a = e$, alors $Q$ est de type $\langle e, \langle s, t \rangle \rangle$.

Si $a = \langle e, t \rangle$, alors $Q$ est de type $\langle\langle e, t \rangle, \langle s, t \rangle\rangle$, etc.

Exercice 5.12 (p. 314)

1. élément-de = $\lambda P \lambda x [P(x)]$

2. inclus = $\lambda Q \lambda P \forall x [[P(x)] \rightarrow [Q(x)]]$

3. disjoint = $\lambda Q \lambda P \neg \exists x [[P(x)] \land [Q(x)]]$

4. intersection = $\lambda Q \lambda P \lambda x [[P(x)] \land [Q(x)]]$

5. union = $\lambda Q \lambda P \lambda x [[P(x)] \lor [Q(x)]]$

6. vide = $\lambda P \neg \exists x [P(x)]$

7. singleton = $\lambda P \exists x [[P(x)] \land \forall y [[P(y)] \rightarrow y = x]]$
8. **parties-de** = $\lambda P\lambda Q\forall x[[Q(x)] \rightarrow [P(x)]]$
NB : ce dernier $\lambda$-terme est identique à **inclus** (c'est normal car $A \in \mathcal{P}(B)$ ssi $A \subseteq B$).

**Exercice 5.13** (p. 315)

1. $a^*$ est de type $\langle\langle s, \langle\langle s, e \rangle, t \rangle\rangle, t \rangle$
   $= \lambda P[P^{\langle\langle a \rangle\rangle}] = \lambda P[\vee P(\langle\langle a \rangle\rangle)]$ (avec $P$ de type $\langle s, \langle\langle s, e \rangle, t \rangle\rangle$)

2. $\lambda x \text{ ^aimer}\{a, x\}$ est de type $\langle e, t \rangle$
   $= \lambda x[\text{^aimer}(a, x)] = \lambda x \text{ ^aimer}(a, x)$

3. $\mathcal{P}[\mathcal{P}\{x\}]$ est de type $\langle s, \langle\langle\langle s, e \rangle, t \rangle, t \rangle\rangle$
   $= \text{^}\lambda\mathcal{P}[\text{^}\mathcal{P}(x)]$

4. $\hat{x} \text{ citron}(x)$ est de type $\langle e, t \rangle$
   $= \lambda x \text{ citron}(x)$

5. $\hat{x} \text{ aimer}(a, x)$ est de type $\langle s, \langle e, t \rangle \rangle$
   $= \text{^}\lambda x \text{ aimer}(a, x)$

6. $[a^*(\text{^}\mathcal{P})]$ est de type $t$
   $= [\lambda P[P^{\langle\langle a \rangle\rangle}(\text{^}\mathcal{P})] = [\lambda P[\vee P(\langle\langle a \rangle\rangle)(\text{^}\mathcal{P})] = [\vee\text{^}\mathcal{P}(\langle\langle a \rangle\rangle] = [\mathcal{P}(\langle\langle a \rangle\rangle]$

a dénote ALICE dans $w$; pour savoir ce que dénote $a^*$, commençons par restituer ce que cette écriture abrège : $\lambda P[P^{\langle\langle a \rangle\rangle}]$. On sait que $\text{^a}$ dénote le concept individuel d'Alice – appelons cela le concept-Alice. Ensuite $[P^{\langle\langle a \rangle\rangle}]$ équivaut à $[\vee P(\langle\langle a \rangle\rangle)]$. On sait que $P$ est de type $\langle s, \langle\langle s, e \rangle, t \rangle\rangle$, ce qui veut dire que c'est une variable de propriété (intensionnelle) de concepts d'individus, et donc $\vee P$ est de type $\langle\langle s, e \rangle, t \rangle$, c'est l'extension de la propriété $P$ dans le monde $w$ (autrement dit un ensemble de concepts d'individus). Donc $[\vee P(\langle\langle a \rangle\rangle)]$ est une formule, et elle est vraie dans $w$ si le concept-Alice vérifie la propriété $P$ dans $w$. Donc $\lambda P[P^{\langle\langle a \rangle\rangle}]$, i.e. $a^*$, est l'ensemble de toutes les propriétés intensionnelles possédées par le concept-Alice dans le monde $w$.

## A.6 Chapitre 6

**Exercice 6.1** (p. 354)

Il y a a priori deux grands types de structures syntaxiques pour analyser petit tigre édenté, schématisés en (a) et (b) ci-dessous ; sans entrer dans les détails de ces analyses, nous allons retenir la version (b) (qui est la plus couramment adoptée pour le français).

<figure><img src="image_117.png" /></figure>

<figure><img src="image_118.png" /></figure>

§6.2.3 nous offre plusieurs options d'analyses sémantiques ; choisissons ici celle qui traduit petit par $\lambda P\lambda x[[petit(P)](x)]$, de type $\langle\langle e, t \rangle, \langle e, t \rangle\rangle$ (cf. p. 354). Tigre se traduit par $\lambda x$ **tigre**($x$) ou, pour simplifier immédiatement, **tigre**. La traduction de petit tigre est
donc $[\lambda P \lambda x[[petit(P)](x)](\mathbf{tigre})]$ par application fonctionnelle, puis $\lambda x[[petit(\mathbf{tigre})](x)]$ par $\beta$-réduction. Nous pouvons traduire *édenté* comme petit (i.e. $\lambda P \lambda y[[\text{édenté}(P)](y)])$, mais puisque c'est un adjectif intersectif, nous pouvons tout aussi bien le traiter comme de type $\langle e, t \rangle$, $\lambda x$ *édenté*(x), et par la règle de modification de prédicat (règle (36), p. 352), petit tigre *édenté* se traduira par $\lambda y[[\lambda x[[petit(\mathbf{tigre})](x)](y)] \wedge [\lambda x \text{ édenté}(x)(y)]]$, ce qui après $\beta$-réduction donnera : $\lambda y[[[\text{petit(\mathbf{tigre})}]](y)] \wedge \text{édenté}(y)]$.

À noter que si nous avions traduit *édenté* par $\lambda P \lambda y[[\text{édenté}(P)](y)]$, nous aurions obte-
nu au final : $\lambda y[[\text{édenté}(\lambda x[[\text{petit}(\mathbf{tigre})](x)])](y)]$ (ou $\lambda y[[\text{édenté}([\text{petit}(\mathbf{tigre})])](y)]$ par
$\eta$-réduction), ce qui aura les mêmes conditions de vérité que le résultat précédent si nous
posons que la dénotation de $\lambda P \lambda y[[\text{édenté}(P)](y)]$ renvoie l'ensemble qui est l'intersec-
tion de l'ensemble des *édentés* avec l'ensemble qui est la dénotation de l'argument (P).

Exercice 6.2 (p. 362)

Si nous voulons que les VP soient la fonction principale de la phrase, alors ceux-
ci devront être de type $\langle\langle e, t \rangle, t \rangle$, attendant un DP sujet de type $\langle\langle e, t \rangle, t \rangle$ pour
produire une expression de type t. Dormir se traduira alors par $\lambda X[X(\lambda x \text{ dormir}(x))]$,
avec $X \in \mathcal{Var}_{\langle\langle e, t \rangle, t}$.$\text{Ainsi nous pourrons dériver la traduction de Alice dort}$
en composant $[\lambda X[X(\lambda x \text{ dormir}(x))](\lambda P[P(a)])]$ qui, par $\beta$-réductions, se simplifie en
$[\lambda P[P(a)](\lambda x \text{ dormir}(x))]^{11}$, puis en $[\lambda x \text{ dormir}(x)(a)]$ et $\text{dormir}(a)$.

Exercice 6.3 (p. 364)

Pour obtenir un DP défini singulier de type e, le déterminant le devra être
de type $\langle\langle e, t \rangle, e \rangle$ et se traduire par $\lambda P_1 x[P(x)]$. Ainsi, le Pape se traduira par
$[\lambda P_1 x[P(x)](\lambda y \text{ pape}(y))]$ qui, par $\beta$-réductions, se simplifie en $\iota x[\lambda y \text{ pape}(y)(x)]$ et
$\iota x \text{ pape}(x)$ (qui est bien de type e).

Exercice 6.4 (p. 366)

Comme d'habitude, nous procédons à des renommage de variables pour éviter tout
conflit et toute confusion.

1. Tous les enfants mangent une glace.

a. une $\sim\lambda Q\lambda P\exists y[[P(y)] \wedge [Q(y)]]$

b. glace $\sim \lambda z \text{ glace}(z)$

c. une glace $\sim$ [λQλP∃y[[P(y)] ∧ [Q(y)]](λz glace(z))]$
= λP∃y[[P(y)] ∧ [λz glace(z)(y)]] (β-réduction sur Q)
= λP∃y[[P(y)] ∧ glace(y)] (β-réduction sur z)

d. mangent $\sim \lambda Y \lambda v[Y(\lambda u \text{ manger}(v, u))]$

e. mangent une glace $\sim$ [λYλv[Y(λu manger(v, u))](λP∃y[[P(y)] ∧ glace(y)])]
= λv[λP∃y[[P(y)] ∧ glace(y)](λu manger(v, u))] (β-réduction sur Y)
= λv∃y[[λu manger(v, u)(y)] ∧ glace(y)] (β-réduction sur P)
= λv∃y[manger(v, y) ∧ glace(y)] (β-réduction sur u)

f. tous les $\sim \lambda Q \lambda P \forall x[[Q(x)] \rightarrow [P(x)]]$

g. enfants $\sim \lambda z \text{ enfant}(z)$

<footnote n="11">¹¹ Ce qui nous fait revenir évidemment à ce dont nous partons p. 360.</footnote>
h. tous les enfants $\sim\rightarrow [\lambda Q\lambda P\forall x[[Q(x)] \rightarrow [P(x)]](\lambda z \text{enfant}(z))]$
$= \lambda P\forall x[[\lambda z \text{enfant}(z)(x)] \rightarrow [P(x)]]$ \qquad (β-réduction sur Q)
$= \lambda P\forall x[\text{enfant}(x) \rightarrow [P(x)]]$ \qquad (β-réduction sur z)

i. tous les enfants mangent une glace $\sim$
$[\lambda P\forall x[\text{enfant}(x) \rightarrow [P(x)]](\lambda v\exists y[\text{manger}(v, y) \land \text{glace}(y)])$
$= \forall x[\text{enfant}(x) \rightarrow [\lambda v\exists y[\text{manger}(v, y) \land \text{glace}(y)](x)]]$ \qquad (β-réduction sur P)
$= \forall x[\text{enfant}(x) \rightarrow \exists y[\text{manger}(x, y) \land \text{glace}(y)]]$ \qquad (β-réduction sur v)

2. Peter Parker est Spiderman.

a. Spiderman $\sim\rightarrow \lambda P[P(s)]$

b. est $\sim\rightarrow \lambda Y\lambda x[Y(\lambda y[x = y])]$

c. est Spiderman $\sim\rightarrow [\lambda Y\lambda x[Y(\lambda y[x = y])(\lambda P[P(s)])]$
$= \lambda x[\lambda P[P(s)](\lambda y[x = y])]$ \qquad (β-réduction sur Y)
$= \lambda x[\lambda y[x = y](s)]$ \qquad (β-réduction sur P)
$= \lambda x[x = s]$ \qquad (β-réduction sur y)

d. Peter Parker $\sim\rightarrow \lambda P[P(p)]$

e. Peter Parker est Spiderman $\sim\rightarrow [\lambda P[P(p)](\lambda x[x = s])$
$= [\lambda x[x = s](p)]$ \qquad (β-réduction sur P)
$= [p = s]$ \qquad (β-réduction sur x)

Exercice 6.5 (p. 366)

Assigner le type $\langle\langle e, \langle e, t \rangle\rangle, \langle e, t \rangle\rangle$ à un DP revient à prévoir que celui-ci attend un V transitif (de type $\langle e, \langle e, t \rangle\rangle$) pour produire un VP de type $\langle e, t \rangle$. Posons la variable R de type $\langle e, \langle e, t \rangle\rangle$, pour jouer le rôle du V transitif. Une glace se traduira alors par $\lambda R\lambda x\exists y[\text{glace}(y) \land [[R(y)](x)]]$. La dérivation du VP mange une glace sera alors la suivante (le DP objet dénote la fonction et le V transitif est l’argument) :

$$
\begin{align*}
\text{mange une glace} &\sim [\lambda R \lambda x \exists y [\text{glace}(y) \land [[R(y)](x)]](\lambda v \lambda u \text{ manger}(u, v))] \\
&= \lambda x \exists y [\text{glace}(y) \land [[\lambda v \lambda u \text{ manger}(u, v)(y)](x)]] \qquad (\beta\text{-réduction sur } R) \\
&= \lambda x \exists y [\text{glace}(y) \land [\lambda u \text{ manger}(u, y)(x)]] \qquad (\beta\text{-réduction sur } v) \\
&= \lambda x \exists y [\text{glace}(y) \land \text{manger}(x, y)] \qquad (\beta\text{-réduction sur } u)
\end{align*}
$$

Exercice 6.6 (p. 367)

1. $\lambda Y\lambda Z\lambda x[Z(\lambda z[Y(\lambda y \text{donner}(x, y, z))]]$

2. $\lambda Y\lambda Z\lambda x[Y(\lambda y[Z(\lambda z \text{donner}(x, y, z))]]$

3. $\lambda Z\lambda Y\lambda x[Z(\lambda z[Y(\lambda y \text{donner}(x, y, z))]]$

4. $\lambda Z\lambda Y\lambda x[Y(\lambda y[Z(\lambda z \text{donner}(x, y, z))]]$

Ces quatre λ-termes attendent deux quantificateurs généralisés Y et Z. Y correspond au complément direct du verbe (car il se combine avec une expression qui fait abstraction de y, le second argument de donner) et Z correspond au complément d'objet indirect (datif). Ce qui distingue, d'une part, 1 de 3 et, d'autre part, 2 de 4, c'est l'ordre de leurs λ-abstractions qui reflète l'ordre dans lequel le verbe rencontre syntaxiquement ses compléments. Quant à ce qui distingue 1 de 2 (ainsi que 3 de 4) c'est qu'en 1 le quantificateur Y se trouve dans la portée de Z, et 2 présente les portées inverses. Si nous traduisons donne un exercice à tous les élèves, avec 1 (ou 3) nous obtiendrons : $\lambda x\forall z[\text{élève}(z) \rightarrow \exists y[\text{exercice}(y) \land \text{donner}(x, y, z)]]$, et avec 2 (ou 4) : $\lambda x\exists y[\text{exercice}(y) \land \forall z[\text{élève}(z) \rightarrow \text{donner}(x, y, z)]]$. Le problème est que ces deux interprétations sont possibles, et donc que nous ne devons pas choisir entre 1 et 2 (ou 3 et
4 selon l'analyse syntaxique) ; en d'autres termes nous devrions postuler une ambiguïté de traduction pour les verbes ditransitifs – mais ce n'est pas la manière la plus efficace de procéder comme le montre la suite du chapitre.

**Exercice 6.7** (p. 379)

1. Nous reprenons l'analyse syntaxique de (83), p. 377, rappelée ici :

[TP [DP Alice]₁ [T' a [VP t₁ [V' appelé Bruno]]]], et nous allons traduire tous les DP par des quantificateurs généralisés de type ⟨⟨e, t⟩, t⟩.

a. [V' appelé Bruno] ↦ [λYλx[Y(λy appeler(x, y))](λP[P(b)]))]
= λx[λP[P(b)](λy appeler(x, y))]
(β-réduction sur Y)
= λx[λy appeler(x, y)(b)]
(β-réduction sur P)
= λx appeler(x, b)
(β-réduction sur y)

b. t₁ ↦ λP[P(x₁)] (cf. p. 374)

c. [VP t₁ appelé Bruno] ↦ [λP[P(x₁)](λx appeler(x, b))]
= [λx appeler(x, b)(x₁)]
(β-réduction sur P)
= appeler(x₁, b)
(β-réduction sur x)

d. Pour l'instant nous considérons que l'auxiliaire n'a pas de contribution sémantique et donc T' se traduit comme VP.

e. [TP Alice₁ [T' a t₁ appelé Bruno]] ↦
[λP[P(a)](λx₁ appeler(x₁, b))]
(montée du sujet, cf. (84), p. 378)
= [λx₁ appeler(x₁, b)(a)]
(β-réduction sur P)
= appeler(a, b)
(β-réduction sur x₁)

2. En nous inspirant de ce qui a été vu dans le chapitre, nous posons l'analyse syntaxique suivante : [DP tous les [NP [NP écrivains] [CP que₂ [TP Charles₁[VP t₁ connaît t₂]]]]]. Les traces t₁ et t₂ sont traduites respectivement par λP[P(x₁)] et λP[P(x₂)].

a. [V' connaît t₂] ↦ [λYλx[Y(λy connaître(x, y))](λP[P(x₂)]))]
= λx[λP[P(x₂)](λy connaître(x, y))]
(β-réduction sur Y)
= λx[λy connaître(x, y)(x₂)]
(β-réduction sur P)
= λx connaître(x, x₂)
(β-réduction sur y)

b. [VP t₁ connaît t₂] ↦ [λP[P(x₁)](λx connaître(x, x₂))]
= [λx connaître(x, x₂)(x₁)]
(β-réduction sur P)
= connaître(x₁, x₂)
(β-réduction sur x)

c. [TP Charles₁ t₁ connaît t₂] ↦
[λP[P(c)](λx₁ connaît(x₁, x₂))]
(montée du sujet, p. 378)
= [λx₁ connaît(x₁, x₂)(c)]
(β-réduction sur P)
= connaître(c, x₂)
(β-réduction sur x₁)

d. que ↦ λPλx[P(x)] (cf. p. 379)<fnref n="12" />

e. [CP que₂ Charles₁ t₁ connaît t₂] ↦
[λPλx[P(x)](λx₂ connaît(c, x₂))]
(montée du pronom, p. 378)
= λx[λx₂ connaît(c, x₂)(x)]
(β-réduction sur P)
= λx connaître(c, x)
(β-réduction sur x₂)

<footnote n="12">¹² Nous pourrions aussi choisir de traduire le pronom relatif par λQλP[[P(x)] ∧ [Q(x)]] comme suggéré dans le chapitre. Dans ce cas, nous n'aurons pas à appliquer la règle de modification de prédicat.</footnote>
CP est de type $\langle e, t \rangle$ comme il se doit, et va se combiner avec $[_{NP \text{écrivains}}]$ également de type $\langle e, t \rangle$ $(\lambda x \text{écrivain}(x))$; nous devons donc appliquer la règle de modification de prédicat vue en §6.2.3 (règle (36), p. 352) :

f. $[_{NP \text{écrivains}}]$ que$_2$ Charles$_1$ $t_1$ connaît $t_2] \rightsquigarrow$
$\lambda y[[\lambda x \text{écrivain}(x)(y)] \land [\lambda x \text{connaître}(c, x)(y)]]$ (modification de prédicat)
$= \lambda y[\text{écrivain}(y) \land \text{connaître}(c, y)]$ (β-réductions sur x)

g. $[_{DP \text{tous les écrivains que}_2 \text{ Charles}_1 \text{ t}_1 \text{ connaît t}_2] \rightsquigarrow$
$[\lambda Q \lambda P \forall x [[Q(x)] \rightarrow [P(x)]](\lambda y[\text{écrivain}(y) \land \text{connaître}(c, y)])]$
$= \lambda P \forall x [[\lambda y[\text{écrivain}(y) \land \text{connaître}(c, y)](x)] \rightarrow [P(x)]]$ (β-réduction sur Q)
$= \lambda P \forall x [[\text{écrivain}(x) \land \text{connaître}(c, x)] \rightarrow [P(x)]]$ (β-réduction sur y)

**Exercice 6.8** (p. 380)

Nous allons supposer l'analyse syntaxique donnée en figure A.2 où *Alice* monte de la position de sujet de *dormir* (Spec de VP) jusqu'à la position de sujet de la phrase (Spec de TP) en trois étapes successives<fnref n="13" />.

<figure><img src="image_119.png" /><figcaption>FIG. A.2 : Hypothèse syntaxique pour *Alice* semble avoir dormi</figcaption></figure>

Les traces $t_1$ marquent des positions anciennement occupées par $[_{DP Alice}]_1$, c'est pourquoi elles ont le même indice et se traduiront donc de la même manière par $\lambda P[P(x_1)]$.

1. $[_{VP t_1 dormi}] \rightsquigarrow [\lambda P[P(x_1)](\lambda x \text{ dormir}(x))]$
$= \text{dormir}(x_1)$ (β-réductions sur P puis x)

2. Là encore, nous considérons provisoirement que l'auxiliaire n'a pas de contribution sémantique et donc que T' se traduit comme VP, de type t. Nous allons donc ensuite

<footnote n="13">¹³ Peu importe ici que cette analyse soit ou non parfaitement correcte sur le plan syntaxique ; l'objectif de l'exercice est de nous faire manipuler des traces d'un même constituant déplacé plusieurs fois.</footnote>
devoir appliquer la règle de montée du sujet (cf. (84) p. 378) qui ajoute $\lambda x_1$, ce qui fait que la deuxième trace $t_1$ est traitée comme un constituant déplacé.

3. $[\text{TP } t_1 \text{ avoir } t_1 \text{ dormi}] \rightsquigarrow [\lambda P[P(x_1)](\lambda x_1 \text{ dormir}(x_1))]$ (montée du sujet)
$= [\lambda x_1 \text{ dormir}(x_1)(x_1)]$ (β-réduction sur P)
$= \text{ dormir}(x_1)^{14}$ (β-réduction sur $x_1$)

4. $\text{semble} \rightsquigarrow \lambda p \text{ sembler}(p)$, avec $p \in \text{Var}_{\langle s, t \rangle}$. Comme $\text{sembler}$ est de type $\langle\langle s, t \rangle, t \rangle^{15}$, il va falloir utiliser l'application fonctionnelle intensionnelle (définition 6.1, p. 356).

5. $[v' \text{ semble } t_1 \text{ avoir } t_1 \text{ dormi}] \rightsquigarrow [\lambda p \text{ sembler}(p)(\text{^dormir}(x_1))]^{16}$ (AFI)
$= \text{ sembler}(\text{^dormir}(x_1))$ (β-réduction sur $p$)

6. Ici, pour combiner la troisième trace $t_1$ avec $V'$ de type $t$, nous devons encore une fois ajouter l'abstraction $\lambda x_1$, tout en sachant qu'il ne s'agit pas là d'une instance de la règle (84), mais d'une règle qui reconnaît que le sujet de dormir a quitté la subordonnée pour venir occuper (provisoirement) la position sujet de sembler :

$$ \begin{align*} [\text{VP } t_1 \text{ semble } t_1 \text{ avoir } t_1 \text{ dormi}] \rightsquigarrow & [\lambda P[P(x_1)](\lambda x_1 \text{ sembler}(\text{^dormir}(x_1)))] \quad \text{(ajout de } \lambda x_1 \text{)} \\ & = \text{ sembler}(\text{^dormir}(x_1)) \quad \text{(\beta-réductions sur } P \text{ puis } x_1 \text{)} \end{align*} $$

7. $[\text{TP Alice } t_1 \text{ semble } t_1 \text{ avoir } t_1 \text{ dormi}] \rightsquigarrow [\lambda P[P(a)](\lambda x_1 \text{ sembler}(\text{^dormir}(x_1)))]$ (montée du sujet, règle (84))
$= \text{ sembler}(\text{^dormir}(a))$ (β-réductions sur P puis $x_1$)

Remarque : Cet exercice, et principalement l'étape 6 de la dérivation, nous permet de constater que les traces intermédiaires doivent se comporter à la fois comme des traces ordinaires mais aussi comme si elles étaient elles-mêmes des éléments déplacés. Ce genre de traitement ne va pas entièrement de soi dans la formalisation précise de l'interface syntaxe sémantique (même si l'exercice montre qu'il est réalisable) ; cependant il s'intègre très simplement dans la variante formelle (dite « HK ») présentée en §6.4.5.

Exercice 6.9 (p. 390)

1. Il y a quatre 2CV vertes dans le parking.

$\text{Quatre}(\lambda x[2cv(x) \wedge \text{vert}(x)])(\lambda x \text{ dans}(x, ny \text{ parking}(y)))$

Évidemment le déterminant Quatre est calqué, mutatis mutandis, sur Deux et Trois vus en §6.5.1, p. 386.

2. Moins de la moitié des candidats ont répondu à toutes les questions.

Commençons par traduire *ont répondu à toutes les questions*, c'est un VP de type $\langle e, t \rangle$ : $\lambda x \forall y[\text{question}(y) \to \text{répondre}(x, y)]$. Ensuite, nous devons fournir une définition du déterminant *moins de la moitié* :

$$ \llbracket \text{Moins-de-la-moitié}(R)(P) \rrbracket^{M, w, g} = 1 \text{ ssi } \llbracket R \rrbracket^{M, w, g} \cap \llbracket P \rrbracket^{M, w, g} < \frac{1}{2} \llbracket R \rrbracket^{M, w, g}. $$

À partir de là, nous pouvons traduire la phrase :

$\text{Moins-de-la-moitié}(\text{candidat})(\lambda x \forall y[\text{question}(y) \to \text{répondre}(x, y)])$

<footnote n="14">14 Notons qu'ici il n'a pas été nécessaire de renommer les occurrences liées de $x_1$ avant d'effectuer la β-réduction puisqu'à l'arrivée la variable argument $x_1$ reste libre.</footnote>

<footnote n="15">15 Le prédicat sembler a une sémantique modale qui se rapproche de celle des verbes d'attitude propositionnelle.</footnote>

<footnote n="16">16 NB : ici $\text{^dormir}(x_1)$ est en fait la simplification (un peu abusive) de $\text{^dormir}(x_1)$ (mais sachant que l'expression est bien formée, il n'y a pas de risque de confondre avec $[\text{^dormir}(x_1)]$).</footnote>
Cette formule dit que le nombre d'éléments dans l'ensemble des candidats qui ont
répondu à toutes les questions est inférieur à la moitié du nombre total de candidats.

Mais il y a une autre interprétation, avec les portées inversées des quantificateurs :

`∀y[question(y) → Moins-de-la-moitié(candidat)(λx répondre(x, y))]]`

Cette traduction dit que pour chaque question, il y a, à chaque fois, moins de la moitié des candidats qui y ont répondu. Cette lecture exclut par exemple les scénarios où il y aurait eu quelques questions très faciles auxquelles la plupart des candidats ont su répondre.

3. Trois stagiaires apprendront deux langues étrangères.

`Trois(stagiaire)(λx Deux(λy[langue(y) ∧ étranger(y)])(λy apprendre(x, y))`

Cette formule est vraie ssi l'intersection de l'ensemble des stagiaires et de ceux qui ont appris deux langues étrangères contient (au moins) 3 individus. Il peut donc y avoir 6 langues différentes en jeu dans ce genre de situations.

`Deux(λy[langue(y) ∧ étranger(y)])(λy Trois(stagiaire)(λx apprendre(x, y)))`

Cette traduction présente la lecture avec portées inversées que l'on obtient en appli-
quant QR (cf. §6.4). Elle est vraie ssi l'intersection de l'ensemble des langues étrangères
et de l'ensemble des choses qui ont été apprises par trois stagiaires contient (au moins)
2 éléments. Il peut donc y avoir au total 6 stagiaires dans l'histoire (par exemple trois
qui apprennent le japonais, et trois autres qui apprennent le russe).

**Exercice 6.10** (p. 416)

Par définition ((145), p. 410), **LOWER** équivaut à $\lambda X_1Y\forall P[[X(P)] \to [P(y)]]$; par conséquent **LOWER**($\lambda P[P(a)]$) équivaut à $[\lambda X_1Y\forall P[[X(P)] \to [P(y)]](\lambda P'[P'(a)])$ qui, par $\beta$-réductions successives, se simplifie en $\iota Y\forall P[[\lambda P'[P'(a)(P)] \to [P(y)]]$ puis en $\iota Y\forall P[[P(a)] \to [P(y)]]$. Ce $\iota$-terme dénote dans w l'individu qui possède **toutes** les propriétés (extensionnelles) que possède Alice dans w. Cet individu existe, est unique et est forcément Alice, ne serait-ce parce que parmi les propriétés d'Alice, il y a celle qui s'exprime par $\lambda x[x = a]$ et que seule Alice satisfait. Donc **LOWER**($\lambda P[P(a)]$) est bien équivalent à a.

De la même façon, **LOWER**($\lambda P\forall x[enfant(x) \to [P(x)]]$) équivaut à $[\lambda X_1Y\forall P[[X(P)] \to [P(y)]](\lambda P'\forall x[enfant(x) \to [P'(x)]])]$ qui se réduit en $\iota Y\forall P[\forall x[enfant(x) \to [P(x)]] \to [P(y)]]$. Ce $\iota$-terme dénote l'unique individu qui possède toutes les propriétés communes à tous les enfants ; mais s'il y a plusieurs enfants dans le monde d'évaluation, il ne peut pas y avoir un seul individu qui satisfait cette condition (chaque enfant a toutes les propriétés de tous les enfants). Donc la dénotation de **LOWER**($\lambda P\forall x[enfant(x) \to [P(x)]]$) n'est pas définie (tant qu'il y a plusieurs individus dans la dénotation de **enfant**).

De même, **LOWER**($\lambda P\exists x[enfant(x) \land [P(x)]]$) se réduit en $\iota Y\forall P[\exists x[enfant(x) \land [P(x)] \to [P(y)]]]$. Cette fois ce $\iota$-terme dénote l'unique individu qui possède toute propriété satisfaite par au moins un enfant, mais un tel individu n'existe pas (s'il y a plusieurs enfants) car parmi ces propriétés il y en a beaucoup qui sont contradictoires entre elles (par exemple, il y a des enfants bruns, des enfants blonds, des filles, des garçons, etc.). Ainsi, comme précédemment, la dénotation de **LOWER**($\lambda P\exists x[enfant(x) \land [P(x)]]$) n'est pas définie.
**Exercice 6.11** (p. 416)

Par définition (cf. (153), p. 413), **BE** est équivalent à $\lambda Y \lambda x [Y(\lambda y [y = x])]$. Sa-
chant que **BE(Deux(enfant))** est de type $\langle\langle e, t \rangle, t \rangle$ (c'est un quantificateur généralisé),
**BE(Deux(enfant))** peut donc se réécrire en : $[\lambda Y \lambda x [Y(\lambda y [y = x])]](Deux(enfant))]$. Par
$\beta$-réduction, cela se simplifie en $\lambda x [Deux(enfant)(\lambda y [y = x])]$. $Deux(enfant)(\lambda y [y = x])$
est une structure tripartite de type $t$, et sa portée $\lambda y [y = x]$ dénote le singleton
${[[x]]^{M, w, g}}$. Par définition, $Deux(enfant)(\lambda y [y = x])$ est donc vraie ssi l'intersection
de l'ensemble de tous les enfants et de l'ensemble ${[[x]]^{M, w, g}}$ contient au moins deux
éléments ; mais cela est, bien sûr, mathématiquement impossible puisque ${[[x]]^{M, w, g}}$
ne contient qu'un seul élément. Par conséquent, $Deux(enfant)(\lambda y [y = x])$ sera toujours
faux et $\lambda x [Deux(enfant)(\lambda y [y = x])]$ dénotera toujours l'ensemble vide.

**Exercice 6.12** (p. 416)

$f(\text{enfant})$, de type e, dénote un enfant particulier choisi par $f$. Appelons, provisoirement, cet enfant Fanny. Le quantificateur **Un(enfant)** dénote l'ensemble de tous les ensembles qui contiennent au moins un enfant. Nous pouvons déjà remarquer que $\lambda P[P(f(\text{enfant}))]$, même si c'est bien un quantificateur généralisé, n'est pas équivalent à **Un(enfant)**, puisque le premier dénote l'ensemble de tous les ensembles qui contiennent FANNY, alors que nous cherchons l'ensemble de tous les ensembles qui contiennent n'importe quel enfant. Pour prendre en compte n'importe quel enfant, nous devons donc faire en sorte que $f$ ne soit plus libre (afin que sa dénotation ne dépende plus fixement de l'assignation $g$ globale), et nous obtenons cela en quantifiant sur $f$. Mais il ne faut pas se tromper : $\forall f[P(f(\text{enfant}))]$ est une formule qui est vraie ssi $P$ est une propriété qui est commune à tous les enfants (car $\forall f$ va nous faire parcourir toutes les façons de choisir un enfant dans la dénotation de **enfant**). C'est bien une quantification existentielle qu'il faut utiliser ici : $\exists f[P(f(\text{enfant}))]$ est vraie ssi $P$ est une propriété satisfaite par au moins un enfant<fnref n="17" /> ; et donc ce qui équivaut à **Un(enfant)** est $\lambda P \exists f[P(f(\text{enfant}))]$.

L'opérateur qui nous ferait passer du terme $f(\text{enfant})$ au quantificateur généralisé devrait donc être le $\lambda$-terme $\lambda x \lambda P \exists f [P(x)]$. Or cela semble présupposer que nous connaissions à l'avance le nom de la variable $f$ de fonction de choix utilisée « dans $x$ », ce qui n'a pas de raison d'être. Mais, en fait, la situation est encore plus grave car, formellement, dans ce $\lambda$-terme, $\exists f$ ne lie rien du tout, sémantiquement il ne sert à rien et en soi $\lambda x \lambda P \exists f [P(x)]$ équivaut à $\lambda x \lambda P [P(x)]$<fnref n="18" />. Par conséquent, si nous admettons que les *type-shifteurs* sont des opérateurs *compositionnels* formalisables par des fonctions, alors le passage de $f(\text{enfant})$ au quantificateur généralisé n'est pas du *type-shifting*.

<footnote n="17">17 NB : $[P(\exists f f(\text{enfant}))]$ et $[P(\forall f f(\text{enfant}))]$ sont des expressions mal formées de LO, car $f(\text{enfant})$ n'est pas de type $t$.</footnote>

<footnote n="18">18 Sans compter que dans $[\lambda x \lambda P \exists f [P(x)](f(\text{enfant}))]$, nous n'aurions pas le droit d'effectuer la $\beta$-réduction (alors que c'est précisément ce qu'il nous faudrait) car le $f$ libre de l'argument ne doit pas se retrouver lié après réduction (déf. 5.14 p. 308).</footnote>
Références bibliographiques

Abbott, Barbara. 2010. *Reference* (Oxford Surveys in Semantics and Pragmatics 2). New York : Oxford University Press.

Abusch, Dorit. 1994. The scope of indefinites. *Natural Language Semantics* 2(2). 83–136.

Amsili, Pascal. 2007. L’annulation des implicatures et des présuppositions. *Revue de Sé- mantique et Pragmatique* 21–22. 193–206.

Asher, Nicholas. 2011. *Lexical meaning in context: A web of words*. Cambridge : Cambridge University Press.

Austin, John L. 1965. *How to do things with words*. Oxford : Oxford University Press. Trad. fr. *Quand dire, c'est faire*, Paris : Seuil, 1970.

Bach, Emmon. 1989. *Informal lectures on formal semantics*. Albany, N.Y. : SUNY Press.

Barwise, Jon & Robin Cooper. 1981. Generalized quantifiers and natural language. *Linguistics & Philosophy* 4. 159–219.

Beaver, David I. 1997. Presupposition. In Johan van Benthem & Alice ter Meulen (éds.), *Handbook of logic and language*, 939–1008. Amsterdam : North-Holland/Elsevier.

Beaver, David I. & Bart Geurts. 2012. Presuppositions. In Claudia Maienborn, Klaus von Heusinger & Paul Portner (éds.), *Semantics. An international handbook of natural language meaning*, vol. 3, 2432–2460. Berlin, New York : Mouton de Gruyter.

Bende-Farkas, Ágnes & Hans Kamp. 2001. *Indefinites and binding : From specifity to incorporation*. Lecture Notes, 13th European Summer School in Logic, Language and Information (ESSLLI 2001). Helsinki.

Blackburn, Patrick & Johan Bos. 2005. *Representation and inference for natural language : A first course in computational semantics*. Stanford : CSLI Publications.

Bourmayan, Anouch. 2013. *Les objets implicites en français : Une approche pragmatique*. Thèse de doct., EHESS.

Bresnan, Joan (éd.). 1982. *The mental representation of grammatical relations*. Cambridge, MA : MIT Press.

Cann, Ronnie. 1994. *Formal semantics : An introduction* (Cambridge Textbooks in Linguistics). Cambridge : Cambridge University Press.

Carlson, Greg N. & Francis Jeffry Pelletier (éds.). 1995. *The generic book*. Chicago : University of Chicago Press.

Carnap, Rudolf. 1947. *Meaning and necessity*. Chicago : University of Chicago Press.

Champollion, Lucas, Josh Tauberer, Maribel Romero & Dylan Bumford. 2015. *The Lambda Calculator*. Version 2.1.0. http://lambdacalculator.com. http://lambdacalculator.com.

Chierchia, Gennaro & Sally McConnell-Ginet. 1990. *Meaning and grammar : An introduction to semantics*. Cambridge, MA : MIT Press.
Chomsky, Noam. 1957. *Syntactic structures*. La Haye : Mouton & Co. Trad. fr. *Structures syntaxiques*, Paris : Seuil, 1969.

Chomsky, Noam. 1970. Remarks on nominalization. In Roderick A. Jacobs & Peter S. Rosenbaum (éds.), *Reading in English transformational grammar*, 184-221. Waltham : Ginn.

Chomsky, Noam. 1981. *Lectures on government and binding*. Dordrecht : Foris. Trad. fr. *Théorie du gouvernement et du liage : Les conférences de Pise*, Paris : Seuil, 1991.

Church, Alonzo. 1940. A formulation of the simple theory of types. *The Journal of Symbolic Logic* 5. 56-68.

Cohen, Ariel. 2002. Genericity. *Linguistische Berichte* 10. 59-89.

Cooper, Robin. 1975. *Montague's semantic theory and transformational syntax*. Thèse de doct., Amherst : University of Massachusetts.

Cooper, Robin. 1983. *Quantification and syntactic theory*. Dordrecht : Reidel.

Corblin, Francis. 1987. *Indéfini, défini et démonstratif : Constructions linguistiques de la référence*. Genève : Droz.

Corblin, Francis. 2013. *Cours de sémantique : Introduction (Cursus)*. Paris : Armand Colin.

Cruse, D. A. 1986. *Lexical semantics* (Cambridge Textbooks in Linguistics). Cambridge : Cambridge University Press.

Davis, Steven (éd.). 1991. *Pragmatics : A reader*. New York : Oxford University Press.

Davis, Steven & Brendan S. Gillon (éds.). 2004. *Semantics : A reader*. New York : Oxford University Press.

de Swart, Henriëtte. 2011. Mismatches and coercion. In Claudia Maienborn, Klaus von Heusinger & Paul Portner (éds.), *Semantics. An international handbook of natural language meaning*, vol. 1, 574-597. Berlin, New York : Mouton de Gruyter.

Dobrovie-Sorin, Carmen. 2006. Généricité. In Danièle Godard, Laurent Roussarie & Francis Corblin (éds.), *Dictionnaire de sémantique*. GDR Sémantique & Modélisation, CNRS. http://www semantique gdr.net/dico/index.php/Généricité. http://www semantique gdr.net/dico/index.php/Généricité.

Dobrovie-Sorin, Carmen & Claire Beyssade. 2005. *Définir les indéfinis* (Sciences du langage). Paris : CNRS Editions.

Dowty, David R. 1979. *Word meaning and Montague grammar*. Dordrecht : Reidel.

Dowty, David R. 1981. Quantification and the lexicon : A reply to Fodor and Fodor. In Teun Hoekstra, Harry van der Hulst & Michael Moortgat (éds.), *The scope of lexical rules*, 79-106. Dordrecht : Foris.

Dowty, David R., Robert E. Wall & Stanley Peters. 1981. *Introduction to Montague semantics*. Dordrecht : D. Reidel.

Ducrot, Oswald. 1972. *Dire et ne pas dire*. Paris : Hermann.

Ducrot, Oswald. 1984. *Le dire et le dit*. Paris : Editions de Minuit.

Farkas, Donka F. 1981. Quantifier scope and syntactic islands. In Roberta A. Hendrick, Carrie S. Masek & Mary F. Miller (éds.), *Papers from the seventeenth regional meeting of the Chicago Linguistics Society (CLS 17)*, 59-66. Chicago.

Farkas, Donka F. 2002a. Specificity distinctions. *Journal of Semantics* 19(1). 1-31.
Farkas, Donka F. 2002b. Varieties of indefinites. In Brendan Jackson (éd.), *Proceedings of semantics and linguistic theory (SALT) 12*, 59–84. Cornell University, Ithaca, NY : CLC Publications.

Fillmore, Charles. 1986. Pragmatically controlled zero anaphora. In *Proceedings of the twelfth annual meeting of the Berkeley Linguistics Society*, 95–107.

Fodor, Janet D. & Ivan Sag. 1982. Referential and quantificational indefinites. *Linguistics & Philosophy* 5. 355–398.

Fodor, Jerry A. & Janet D. Fodor. 1980. Functional structure, quantifiers and meaning postulates. *Linguistic Inquiry* 11. 759–769.

Frege, Gottlob. 1892a. Über Begriff und Gegenstand. *Vierteljahreszeitschrift für wissenschaftliche Philosophie* 16. 192–205. Trad. fr. Concept et objet, in *Ecrits logiques et philosophiques*, 127–154, Paris : Seuil, 1971.

Frege, Gottlob. 1892b. Über Sinn und Bedeutung. *Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik* 100. 22–50. Trad. fr. Sens et dénotation, in *Ecrits logiques et philosophiques*, 102–126, Paris : Seuil, 1971.

Gallin, Daniel. 1975. *Intensional and higher-order modal logic*. Amsterdam : North-Holland.

Galmiche, Michel. 1991. *Sémantique linguistique et logique* (Linguistique nouvelle). Paris : Presses Universitaires de France.

Gamut, L. T. F. 1991a. *Logic, language, and meaning*. Vol. 1 : *Introduction to logic*. Chicago : University of Chicago Press.

Gamut, L. T. F. 1991b. *Logic, language, and meaning*. Vol. 2 : *Intensional logic and logical grammar*. Chicago : University of Chicago Press.

Gazdar, Gerald. 1979. *Pragmatics, implicature, presupposition and logical form*. London : Academic Press.

Gazdar, Gerald. 1980. A cross-categorial semantics for coordination. *Linguistics & Philosophy* 3. 407–409.

Gillon, Brendan S. 2004. Ambiguity, indeterminacy, deixis, and vagueness : Evidence and theory. In Steven Davis & Brendan S. Gillon (éds.), *Semantics : A reader*, 157–187. New York : Oxford University Press.

Gillon, Brendan S. 2012. Implicit complements : A dilemma for model theoretic semantics. *Linguistics & Philosophy* 35. 313–359.

Godard, Danièle. 2006. Compositionalité : Questions linguistiques. In Danièle Godard, Laurent Roussarie & Francis Corblin (éds.), *Dictionnaire de sémantique*. GDR Sémantique & Modélisation, CNRS. http://www semantique-gdr.net/dico/index.php/Compositionalité-questions-linguistiques. http://www semantique-gdr.net/dico/index.php/Compositionalité-questions-linguistiques.

Grice, H. P. 1975. Logic and conversation. In Peter Cole & Jerry Morgan (éds.), *Speech acts* (Syntax and Semantics 3), 41–58. New York : Academic Press.

Groenendijk, Jeroen & Martin Stokhof. 1991. Dynamic predicate logic. *Linguistics & Philosophy* 14(1). 39–100.

Gutiérrez-Rexach, Javier (éd.). 2003. *Semantics : Critical Concepts in Linguistics*. 6 vol. London : Routledge.
Haspelmath, Martin. 1997. *Indefinite pronouns*. Oxford : Oxford University Press.

Heim, Irene. 1982. *The semantics of definite and indefinite noun phrases in English*. Thèse de doct., Amherst : University of Massachusetts.

Heim, Irene. 1983. File change semantics and the familiarity theory of definiteness. In Rainer Bäuerle, Christoph Schwarze & Arnim von Stechow (éds.), *Meaning, use and interpretation of language*, 164–190. Berlin : De Gruyter.

Heim, Irene. 1992. Presuppositions projection and the semantics of attitude verbs. *Journal of Semantics* 9(3). 183–221.

Heim, Irene & Angelika Kratzer. 1997. *Semantics in generative grammar* (Blackwell Textbooks in Linguistics 13). Oxford : Blackwell Publishers.

Hendriks, Herman. 1993. *Studied flexibility : Categories and types in syntax and semantics*. Thèse de doct., Universiteit van Amsterdam.

Hintikka, Jaako. 1961. Modality and quantification. *Theoria* 27. 110–128.

Horn, Laurence R. 1972. *On the semantic properties of logical operators in English*. Thèse de doct., UCLA.

Horn, Laurence R. 1989. *A natural history of negation*. Chicago : University of Chicago Press.

Horn, Laurence R. 2004. Implicature. In Laurence R. Horn & Gregory Ward (éds.), *The handbook of pragmatics*, 3–28. Malden, MA : Blackwell.

Jackendoff, Ray. 1977. *X-bar-Syntax : A study of phrase structure*. Cambridge, MA : MIT Press.

Jacobson, Pauline. 2014. *Compositional semantics : An introduction to the syntax/semantics interface* (Oxford Textbooks in Linguistics). Oxford, UK : Oxford University Press.

Joshi, Aravind K. 1987. Introduction to Tree Adjoining Grammar. In Alexis Manaster-Ramer (éd.), *The mathematics of language*. J. Benjamins.

Kamp, Hans. 1975. Two theories about adjectives. In Edward L. Keenan (éd.), *Formal semantics of natural language*, 123–155. Cambridge, UK : Cambridge University Press.

Kamp, Hans. 2001. The importance of presupposition. In Christian Rohrer, Antje Roßdeutscher & Hans Kamp (éds.), *Linguistic form and its computation*. Stanford : CSLI Publications.

Karttunen, Lauri & Stanley Peters. 1979. Conventional implicature. In Choon-Kyu Oh & David A. Dineen (éds.), *Presupposition* (Syntax and Semantics 11), 1–56. New York : Academic Press.

Keenan, Edward L. & Jonathan Stavi. 1986. A semantic characterization of natural language determiners. *Linguistics & Philosophy* 9. 253–326.

Kleiber, Georges. 1999. *Problèmes de sémantique : La polysémie en questions* (Sens et structures). Villeneuve d'Ascq : Presses Universitaires du Septentrion.

Krifka, Manfred. 1993. Focus and presupposition in dynamic interpretation. *Journal of Semantics* 10. 269–300.

Krifka, Manfred. 2011. Varieties of semantic evidence. In Claudia Maienborn, Klaus von Heusinger & Paul Portner (éds.), *Semantics. An international handbook of natural language meaning*, vol. 1, 242–268. Berlin, New York : Mouton de Gruyter.
Krifka, Manfred, Francis Jeffry Pelletier, Greg Carlson, Alice ter Meulen, Gennaro Chier-
chia & Godehard Link. 1995. *Genericity: An introduction*. In *Greg N. Carlson & Francis
Jeffry Pelletier (éds.), *The generic book*, 1–124. Chicago: University of Chicago Press.

Kripke, Saul A. 1963. Semantical considerations on modal logic. *Acta Philosophica Fennica* 16. 83-94.

Kripke, Saul A. 1972. Naming and necessity. In Donald Davidson & Gilbert Harman (éds.), *Semantics of natural language* (Synthese Library 40), 253–355. Dordrecht, Holland : D. Reidel Publishing Company.

Ladusaw, William A. 1980. On the notion *Affective* in the analysis of negative-polarity items. *Journal of Linguistic Research* 1(2). 1–16.

Levinson, Stephen C. 1983. *Pragmatics* (Cambridge Textbooks in Linguistics). Cambridge : Cambridge University Press.

Lewis, David. 1970. General semantics. *Synthese* 22(1-2). 18-67.

Lewis, David. 1975. Adverbs of quantification. In Edward L. Keenan (éd.), *Formal semantics of natural language*, 3-15. Cambridge, UK : Cambridge University Press.

Lewis, David. 1979. Scorekeeping in a language game. In Rainer Bäuerle, Urs Egli & Arnim von Stechow (éds.), *Semantics from different points of view*, 172–187. Berlin : Springer Verlag.

Linsky, Leonard. 1967. *Referring*. London : Routledge and Kegan Paul.

Lucas, Thierry, Isabelle Berlanger & Isabelle De Greef. 2003. *Initiation à la logique formelle*. Bruxelles : De Boeck.

Lyons, John. 1977. *Semantics I*. Cambridge : Cambridge University Press. Trad. fr. *Eléments de sémantique* (Langue et langage 29), Paris : Larousse, 1977.

May, Robert. 1977. *The grammar of quantification*. Thèse de doct., Cambridge, MA. : MIT.

McNally, Louise. 1992. *An interpretation for the English existential construction*. Thèse de doct., University of California, Santa Cruz.

McNally, Louise. 1998. Existential sentences without existential quantification. *Linguistics & Philosophy* 21(4). 353–392.

Milsark, Gary. 1977. Toward an explanation of certain peculiarities of the existential
construction in English. *Linguistic Analysis* 3. 1-30.

Moeschler, Jacques & Anne Reboul. 1994. *Dictionnaire encyclopédique de pragmatique*. Paris : Seuil.

Montague, Richard. 1970a. English as a formal language. In Bruno Visentini et al. (éds.), *Linguaggi nella società e nella tecnica*, 189–224. Milan : Edizioni di Comunità.

Montague, Richard. 1970b. Universal grammar. *Theoria* 36. 373–398.

Montague, Richard. 1973. The proper treatment of quantification in ordinary English.
In K. Jaako J. Hintikka, Julius M. E. Moravcsik & Patrick Suppes (éds.), *Approaches
to natural language*, 221–242. Dordrecht : Reidel. http://www.blackwellpublishing.
com/content/BPL_Images/Content_store/Sample_chapter/0631215417/Portner.pdf.
http://www.blackwellpublishing.com/content/BPL_Images/Content_store/Sample_
chapter/0631215417/Portner.pdf.
Montague, Richard. 1974. *Formal philosophy : Selected papers of Richard Montague*. Richmond H. Thomason (éd. et introd.). Avec une introd. de Richmond H. Thomason. New Haven : Yale University Press.

Morrill, Glyn. 2012. Logical grammar. In Ruth Kempson, Tim Fernando & Nicholas Asher (éds.), *Philosophy of linguistics* (Handbook of Philosophy of Science 14), 63–92. Oxford, UK : North-Holland/Elsevier.

Partee, Barbara H. 1973. Some structural analogies between tenses and pronouns in English. *Journal of Philosophy* 70. 601–609.

Partee, Barbara H. 1975. Montague grammar and transformational grammar. *Linguistic Inquiry* 6. 203–300.

Partee, Barbara H. 1984. Compositionality. In Fred Landman & Frank Veltman (éds.), *Varieties in formal semantics* (GRASS 3), 281–311. Dordrecht : Foris.

Partee, Barbara H. 1987. Noun phrase interpretation and type-shifting principle. In Jeroen Groenendijk, Dick de Jongh & Martin Stokhof (éds.), *Studies in discourse representation theory and the theory of generalized quantifiers*, 115–144. Dordrecht : Foris.

Partee, Barbara H. 1996. The development of formal semantics in linguistic theory. In Shalom Lappin (éd.), *Handbook of contemporary semantic theory*, 11–38. Oxford : Blackwell.

Partee, Barbara H. 2004. *Compositionality in formal semantics: Selected papers by Barbara H. Partee*. Blackwell Publishing.

Partee, Barbara H. 2005. Reflections of a formal semanticist as of Feb 2005. Ms. http://people.umass.edu/partee/docs/BHP_Essay_Feb05.pdf. http://people.umass.edu/partee/docs/BHP_Essay_Feb05.pdf.

Partee, Barbara H. & Mats Rooth. 1983. Generalized conjunction and type ambiguity. In Rainer Bauërle, Christoph Schwarze & Arnim von Stechow (éds.), *Meaning, use, and interpretation of language*, 361–383. Berlin : Walter de Gruyter.

Partee, Barbara H., Alice ter Meulen & Robert E. Wall. 1990. *Mathematical methods in linguistics*. Dordrecht : Kluwer Academic Publishers.

Pollard, Carl & Ivan Sag. 1994. *Head-driven Phrase Structure Grammar*. Chicago : University of Chicago Press.

Portner, Paul. 2009. *Modality* (Oxford Surveys in Semantics and Pragmatics 1). New York : Oxford University Press.

Portner, Paul & Barbara H. Partee (éds.). 2002. *Formal semantics : The essential readings*. Oxford : Blackwell.

Potts, Christopher. 2005. *The logic of conventional implicatures* (Oxford Studies in Theoretical Linguistics 7). Oxford : Oxford University Press.

Prior, Arthur. 1967. *Past, present and future*. Oxford : Oxford University Press.

Pustejovsky, James. 1995. *The generative lexicon*. Cambridge, Mass. : MIT Press.

Quine, Willard Van Orman. 1960. *Word and object*. Cambridge : MIT Press. Trad. fr. *Le mot et la chose*, Paris : Flammarion, 1977.

Reinhart, Tanya. 1997. *Quantifier-scope : How labor is divided between QR and choice functions*. *Linguistics & Philosophy* 20(4). 335–397.
Roberts, Craige. 1996. Information structure in discourse : Towards an integrated formal theory of pragmatics. In Jae-Hak Yoon & Andreas Kathol (éds.), *OSU working papers in linguistics*, vol. 49, 91–136.

Rodman, Robert. 1976. Scope phenomena, “movement transformations,” and relative clauses. In Barbara H. Partee (éd.), *Montague Grammar*, 165–176. New York : Academic Press.

Russell, Bertrand. 1903. *The principles of mathematics*. Cambridge : Cambridge University Press.

Russell, Bertrand. 1905. On denoting. *Mind* 14. 479–493. Trad. fr. De la dénotation, in *Ecrits de logique philosophique*, 201–218, Paris : PUF, 1989.

Saussure, Ferdinand de. 1916. *Cours de linguistique générale*. Lausanne : Payot.

Searle, John R. 1969. *Speech acts*. London : Cambridge University Press. Trad. fr. *Les actes de langage*, Paris : Hermann, 1972.

Simons, Mandy. 2012. Implicature. In Claudia Maienborn, Klaus von Heusinger & Paul Portner (éds.), *Semantics. An international handbook of natural language meaning*, vol. 3, 2460–2486. Berlin, New York : Mouton de Gruyter.

Spector, Benjamin. 2006. *Aspects de la pragmatique des opérateurs logiques*. Thèse de doct., Université Denis Diderot, Paris 7.

Stalnaker, Robert C. 1973. Presuppositions. *Journal of Philosophical Logic* 2. 447–457.

Stalnaker, Robert C. 1974. Pragmatic presuppositions. In Milton K. Munitz & Peter K. Unger (éds.), *Semantic and philosophy*, 197–213. New York : New York University Press.

Strawson, Peter F. 1950. On referring. *Mind* 59. 320–344. Trad. fr. De l’acte de référence, in *Etudes de logique et de linguistique*, 9–38, Paris : Seuil, 1977.

Tarski, Alfred. 1944. The semantic conception of truth and the foundations of semantics. *Philosophy and Phenomenological Research* 4. 341–376.

Tesnière, Lucien. 1959. *Éléments de syntaxe structurale*. Paris : Klincksieck.

Thomason, Richmond H. 1984. Combinations of tense and modality. In Dov M. Gabbay & Franz Guenthner (éds.), *Handbook of philosophical logic*, vol. II, 135–165. Dordrecht : Reidel.

Tonhauser, Judith, David I. Beaver, Craige Roberts & Mandy Simons. 2013. Toward a taxonomy of projective content. *Language* 89(1). 66–109. DOI:10.1353/lan.2013.0001

van der Sandt, Rob A. 1992. Presupposition projection as anaphora resolution. *Journal of Semantics* 9(4). 333–377.

von Fintel, Kai. 1994. *Restrictions on quantifier domains*. Thèse de doct., Amherst : University of Massachusetts.

von Heusinger, Klaus. 2000. The reference of indefinites. In Klaus von Heusinger & Urs Egli (éds.), *Reference and anaphoric relations*, 247–265. Dordrecht : Kluwer.

Westerståhl, Dag. 1985. Logical constants in quantifier languages. *Linguistics & Philosophy* 8. 387–413.

Westerståhl, Dag. 1989. Quantifiers in formal and natural languages. In Dov M. Gabbay & Franz Guenthner (éds.), *Handbook of philosophical logic*, vol. IV, 1–131. Dordrecht : Reidel.
Whitehead, Alfred N. & Bertrand Russell. 1910. *Principia mathematica*. Vol. 1. Cambridge : Cambridge University Press.

Winter, Yoad. 1997. Choice functions and the scopal semantics of indefinites. *Linguistics & Philosophy* 20(4). 399–467.

Winter, Yoad. 2016. *Elements of formal semantics : An introduction to the mathematical theory of meaning in natural language* (Edinburgh Advanced Textbooks in Linguistics). Edinburgh : Edinburgh University Press.

Zimmermann, Thomas Ede. 1989. Intensional Logic and two-sorted type theory. *The Journal of Symbolic Logic* 54(1). 65–77.

Il existe plusieurs recueils (en anglais, des readers) dans lesquels on retrouvera des réimpressions d’articles importants de la littérature de sémantique formelle ; ils sont souvent plus faciles à trouver en bibliothèque que les publications originales. Grice (1975), Lewis (1979) et Stalnaker (1974) sont dans Davis (1991) ; Barwise & Cooper (1981), Heim (1983), Ladusaw (1980), Lewis (1975 ; 1979), Montague (1973), Partee & Rooth (1983), Partee (1987) sont dans Portner & Partee (2002) ; Barwise & Cooper (1981), Farkas (1981), Fodor & Sag (1982), Heim (1983), Kamp (1975), Lewis (1970 ; 1975 ; 1979), Milsark (1977), Montague (1970b ; 1973), Partee (1987), Russell (1905), Strawson (1950) sont dans Gutiérrez-Rexach (2003) ; Barwise & Cooper (1981), Gazdar (1980), Groenendijk & Stokhof (1991), Lewis (1970 ; 1975), Kamp (1975), Partee (1973) sont dans Davis & Gillon (2004) ; les articles cités de Montague sont aussi disponibles dans Montague (1974), et Partee (1973 ; 1984 ; 1987) dans Partee (2004).

On trouve aujourd'hui également de nombreux articles (y compris des anciens) sur le site inter-
net semanticsarchive.net.
Index des auteurs cités

Abbott, Barbara, 50

Abusch, Dorit, 143

Amsili, Pascal, 28, 38

Asher, Nicholas, 321, 416

Austin, John L., 40, 41

Bach, Emmon, 57, 339

Barwise, Jon, 384, 390, 391, 393, 409

Beaver, David I., 45

Bende-Farkas, Ágnes, 138, 141, 142

Berlanger, Isabelle, 107

Beyssade, Claire, 164, 408

Blackburn, Patrick, 331

Bos, Johan, 331

Bourmayan, Anouch, 346

Bresnan, Joan, 340

Cann, Ronnie, vii, 330

Carnap, Rudolf, 230

Champollion, Lucas, 331

Chierchia, Gennaro, vii, 24, 107, 280, 330

Chomsky, Noam, 18, 54, 333, 334

Church, Alonzo, 274, 292

Cohen, Ariel, 151

Cooper, Robin, 383, 384, 390, 391, 393, 409

Corblin, Francis, vii, 107, 164

Cruse, D. A., 10, 16

Curry, Haskell, 273

De Greef, Isabelle, 107

de Swart, Henriëtte, vii, 416

Dobrovie-Sorin, Carmen, 151, 164, 408

Dowty, David R., vii, viii, 106, 107, 235, 330, 348, 402

Ducrot, Oswald, 4, 6, 29, 34, 45, 91

Farkas, Donka F., 135, 136, 138, 164

Fillmore, Charles, 349

Fodor, Janet D., 136, 141–144, 347

Fodor, Jerry A., 347

Frege, Gottlob, 47, 165, 175, 239, 241, 292

Gallin, Daniel, 322

Galmiche, Michel, vii, viii

Gamut, L. T. F., vii, viii, 107, 182, 214, 280, 330, 368

Gazdar, Gerald, 87, 397

Geurts, Bart, 45

Gillon, Brendan S., 20, 346, 348

Godard, Danièle, 54

Grice, H. P., 34, 39, 45

Groenendijk, Jeroen, 123

Haspelmath, Martin, 164

Heim, Irene, vii, 105, 164, 169, 273, 330, 351, 352, 366, 377, 379, 380, 450

Hendriks, Herman, 415

Hilbert, David, 412

Hintikka, Jaako, 219

Horn, Laurence R., 37, 45, 314

Jackendoff, Ray, 334

Jacobson, Pauline, vii, 330

Joshi, Aravind K., 340

Kamp, Hans, 32, 138, 141, 142, 352

Karttunen, Lauri, 32, 39

Keenan, Edward L., 384, 388, 390

Kleiber, Georges, 47, 322

Kratzer, Angelika, vii, 105, 273, 330, 351, 352, 366, 377, 379, 380

Krifka, Manfred, 1, 29, 151

Kripke, Saul A., 191, 213, 219, 230
Index des auteurs cités

Ladusaw, William A., 313

Leibniz, Gottfried W., 175

Levinson, Stephen C., 38, 39, 43, 45

Lewis, David, 29, 134, 149, 261

Linsky, Leonard, 177

Lucas, Thierry, 107

Lyons, John, 49, 50

May, Robert, 372

McConnell-Ginet, Sally, vii, 24, 107, 280, 330

McNally, Louise, 409

Milsark, Gary, 160, 409

Moeschler, Jacques, 45

Montague, Richard, vii, viii, 57, 105, 175, 180, 239, 242, 258, 259, 272, 295, 315, 322, 339, 352, 357, 358, 360, 366, 368, 370, 371, 375, 379, 401, 402, 404, 408

Morrill, Glyn, 341

Partee, Barbara H., 54, 57, 201, 280, 281, 330, 339, 348, 379, 390, 395, 397–399, 406, 408, 409, 414

Peters, Stanley, vii, viii, 32, 39, 107, 235, 330, 402

Pollard, Carl, 340

Portner, Paul, 221

Potts, Christopher, 25, 30, 32, 39

Prior, Arthur, 187, 198

Pustejovsky, James, 321, 416

Quine, Willard Van Orman, 179

Reboul, Anne, 45

Reinhart, Tanya, 411

Roberts, Craige, 31, 32

Rodman, Robert, 135, 379

Rooth, Mats, 395, 397–399, 406

Russell, Bertrand, 165, 169, 292

Sag, Ivan, 136, 141–144, 340

Saussure, Ferdinand de, 1

Schönfinkel, Moses, 273

Searle, John R., 40, 41, 50

Simons, Mandy, 45

Spector, Benjamin, 45

Stalnaker, Robert C., 26, 27

Stavi, Jonathan, 384, 388, 390

Stokhof, Martin, 123

Strawson, Peter F., 26, 50, 165, 167

Tarski, Alfred, 113

ter Meulen, Alice, 280, 281, 330, 390

Tesnière, Lucien, 340

Thomas d'Aquin, 177

Thomason, Richmond H., 226

Tonhauser, Judith, 25

van der Sandt, Rob A., 32, 168

von Fintel, Kai, 124, 125

von Heusinger, Klaus, 412

Wall, Robert E., vii, viii, 107, 235, 280, 281, 330, 390, 402

Westerståhl, Dag, 125, 388, 390

Whitehead, Alfred N., 169

Winter, Yoad, vii, 330, 411, 412

Zermelo, Ernst, 412

Zimmermann, Thomas Ede, 329
Index des termes

A, 75, 77

absurde, 16

accommodation, 29

acte de langage, 40–45

~ complexe, 43

~ illocutoire, 42, 43

~ indirect, 43

~ locutoire, 42

~ perlocutoire, 42

adjectif, 57, 334, 339, 350–354

~ intensionnel, 185, 357

~ intersectif, 183

~ relationnel, 183*, 339

~ subsectif, 353

adjonction, 336

adverbe de quantification, 134, 149

allocutaire, 5

α-équivalence, 309

ambiguïté, 18–22, 176

anaphore, 124

annulation

~ d'une implicature, 38

~ d'une présupposition, 28

anomalie sémantique, 16

antécédent

~ d'un pronom, 19, 124

~ d'une implication, 89

apodose, 90*

application fonctionnelle, 277–284, 297, 304, 337, 340, 341

~ intensionnelle, 356

arbre

~ de construction d'une formule, 68

~ de dérivation, 339

~ syntaxique, 264, 334

argument, 58, 267, 276

~ implicite, 346

ordre des ~s, 272

arité, 58, 275

aspect, 201

assertion, 41, 42

assignation, voir fonction d'assignation

attitude propositionnelle, 179, 240

β-réduction, 284, 308

booléen, voir type (booléen)

calcul des prédicats, 56, 57

cardinal

~ d'un ensemble, 386

déterminant ~, 386

catégorématique, 315

classe de comparaison, 354

commentaire, 32

complément, 334

composition fonctionnelle, 365*

compositionnalité, 53, 263 sq., 282

compréhension, 2

concaténation, 340

concept d'individu, 232, 233

conditions de vérité, 52, 259

conjonction, 62

connecteur

~ généralisé, 397

~ logique, 61–63, 82–92

~ vérifonctionnel, 82

conséquence logique, 8, 102, 253, 310

~ généralisée, 311

conséquent (d'une implication), 89

conservativité, 390

constante

~ d'individu, 60, 141

~ de prédicat, 61
~ logique, 61*
~ non logique, 61
constatif, 41
contenu, 1
~ en jeu, 25
~ expressif, 30
~ propositionnel, 42
contexte, 3–6, 10, 18, 27, 35, 123, 126, 223, 233, 252, 388
contradiction, 15, 102
contradictoire, 15
contre-exemple, 11
Cooper Storage, 383
coopération (principe de ~), 35
coordination, 395–401
copule, 343
coréférence, 124, 163, 416
couple, 73
covariation, 128
curryfication, 273

D, 303
datif, 343*
de dicto, 177, 244, 330, 401, 418
de re, 177, 244, 317, 330, 401, 418
défini
~ dépendant, 171
article ~, 165, 387, 410, 412
groupe nominal ~, 164–173, 413
déictique, 5, 124
dénotation, 47, 48, 78, 229
~ indirecte, 239
description définie, 164–173
désignateur rigide, 191, 213
déterminant, 362, 385
différence ensembliste, 382, 387
disjonction, 62
~ exclusive, 86
~ inclusive, 85
dislocation, 146, 159
dissonance, 17
domaine, 74, 77
~ d’interprétation, 74

~ de définition (d’une fonction), 232, 318
~ de dénotation, 303, 318*
~ de quantification, 74, 124

e (type), 292
ellipse, 22, 349
énoncé, 3
ε (epsilon), 412
équivalence
~ logique, 12, 83, 103, 253
~ matérielle, 62
η-réduction, 309
existence, 166
prédicat d’~, 213, 214, 258
existentielle (phrase ~), 160, 409
expression
~ intensionnelle, 242
~ interprétable, 71, 295*
~ linguistique, 4
~ référentielle, 158
extension, 105, 175
extensionnalité, 175
principe d’~, 105, 175, 322, 326
extensionnel, 105

F, 76
F, 104, 263, 337
familiarité, 170
flexibilité des types, 395
flexion, 193, 335
foncteur, 235
fonction, 267
~ caractéristique, 268
~ d’assignation, 113, 122
~ d’interprétation, 76, 77, 189, 206, 210, 254
~ de choix, 411
~ de vérité, 82
force
~ illocutoire, 42
~ modale, 207
forme
~ lexicale, 3*
~ logique, 372
~ phonétique, 372
formule, 61
~ contingente, 102, 218
futur, 194, 199, 224–228
généricité, 145–151
générique, voir généricité
phrase ~, 148
génitif, 172, 173
grammaire
~ catégorielle, 368*
~ de Montague, vii, 57, 175
~ de dépendances, 340*
~ générative, 57, 333
~ logique, 341
~ syntagmatique, 339, 368*
groupe nominal, 127 sqq., 358–362
HPSG (Head-Driven Phrase Structure Grammar), 340*
hyperintensionnalité, 260
hyperonymie, 10
hyponymie, 10
I, 188
1 (iota), 168, 298
identité, 66, 67, 297
fonction d’~, 306, 307
relation d’~, 307
idiolecte, 213*
implication
~ logique, voir conséquence logique
~ matérielle, 62, 89, 136
implicature, 33–40
~ conventionnelle, 25, 30, 39
~ conversationnelle, 34, 35
~ généralisée, 38
~ particularisée, 38
~ scalaire, 37, 314
imprécision, 21
inaccusatif, 377*
indéfini, 127, 136–144, 146, 147, 158, 160,
161, 392, 408

indexical, 5
indice, 190, 229
~ intensionnel, 195, 214
~ référentiel, 19, 177, 417
individu, 60
~ possible, 213
inférence, 7
inflexion verbale, 335
instant, 188
intenseur, 241*
intension, 229–236, 241, 323, 355
intensionnalité, 179, 184, 187
intensionnel
adjectif ~, 185
verbe ~, 401
intention, 42
interface syntaxe-sémantique, 333 sq.
interprétation directe/indirecte, 104, 105
invraisemblance, 17
ironie, 36*
λ (lambda), 273–291
λ-abstraction, 274
λ-conjonction, 352*
λ-conversion, 284, 308
λ-terme, 275
langage objet, 56
~ typé, 291
lexème, 3*
LFG (Lexical Functional Grammar), 340*
liage, 171
lieur, 94, 122, 168, 274
liste, 73
LO, 56
LO₂, 322
locuteur, 5
loi, 15
~ de contradiction, 14, 155
~ de contraposition, 85
~ de la double négation, 85
~s de Morgan, 84
~ du tiers exclu, 103*, 155
M, 77
maxime conversationnelle, 35

MÉ, 296

mensonge, 36*

modalité, 207 sqq.

~ aléthique, 218, 222, 252, 255

~ déontique, 221

~ dynamique, 221

~ épistémique, 221

~ historique, 227

~ métaphysique, 227

~ sémantique, 255

mode

~ de conjugaison, 44*, 187

~ de phrase, 44

modèle, 74–77, 204

~ de Kripke, 219

~ extensionnel, 325

~ intensionnel, 190, 211

modification de prédicat, 352

modifieur, 336, 350

modus ponens, 435

monde

~ possible, 206, 210–215

~ réel, 212

monotonie, 311, 393

montée

~ des quantificateurs, 372

~ du sujet, 378

mot, 3

mouvement, 372, 377

multimodalité, 223

n-uplets, 73, 76

nécessaire, 207, 209, 215

négation, 14, 63, 132, 315, 345

~ métalinguistique, 28*

nom, 339

~ commun, 57, 58, 334

~ propre, 60, 181, 213, 232

~ relationnel, 172, 339, 347*

oblique, 179

opaque, 179

opérateur

~ de description définie, 168

~ modal, 215

~ temporel, 193–199

ordre, 189

~ total, 189

ordre (acte de langage), 42

paire, 73*

paraphrase, 7

passé, 194

performatif, 41

phrase, 3, 334

pléonasme, 17

plus-que-parfait, 197

polymorphique, 398

polysémie, 19

portée, 92, 127–137

~ de la négation, 132

~ étroite, 129

~ intermédiaire, 144

~ inversée, 130

~ large, 129

~ nucléaire, 385

possessif, 172

possibilité, 206

possible, 206, 207, 209, 215

postulat de signification, 254–259

pragmatique, 6

prédicat, 57, 266 sq.

préposition, 339, 344

présent, 194

présupposé, 31

présupposition, 23–33, 167, 232, 318

principe de compositionnalité, 54, 55

Principes et Paramètres, 333

produit cartésien, 270

proféré, 31

projection, 24

~ d'une présupposition, 29

projection syntaxique

~ intermédiaire, 334

~ lexicale, 334

~ maximale, 334

pronom, 19, 64, 112, 122–124, 416
~ indéfini, 115

~ relatif, 378–379

proposition, 233, 236, 259

~ syntaxique, 233*

propriété, 231, 233

~ de propriétés, 402

protase, 90*

quadruplet, 73

quantificateur, 64, 111–137, 386

~ généralisé, 362, 384–395

~ existentiel (Ξ), 65

~ universel (V), 65

quantification, 92–100, 111–120

quantificationnel, 158

Quantifier Raising, 372

quantifying-in, 367–371, 374, 383

question, 41, 42

R, 223

référence, 47, 49

référent, 47, 49

règle

~ d'interface syntaxe-sémantique,
333, 337, 339

~ de réécriture, 334

~ de suppression des crochets, 85,
279

~ sémantique, 77

~ syntaxique, 66

relation, 73, 305

~ d'accessibilité, 219, 220, 222, 328

~ d'anteriorité (<), 189

~ en intension, 231

~ intensionnelle, 231

requête, 42

restriction

~ d'un quantificateur généralisé, 385

~ de sélection, 320

~ du domaine de quantification, 124,
363

s (type), 322

satisfaction, 101, 121

schönfinkelisation, 273

sémantique

~ dynamique, 123*, 168*

~ lexicale, 106, 255 sqq., 321

~ vériconditionnelle, 47 sqq., 52

sens, 1 sqq., 47–49, 229–235, 254, 259, 323

signe linguistique, 1

signifiant, 1

signifié, 1

sorte, 321, 322

sous-catégorisation, 336

sous-entendu, 34*

sous-formule, 70

spécificité, 138, 145

~ épistémique, 138*

spécifieur, 334

spécifique, 138

structure

~ branchante, 224

~ de surface, 372

~ modale, 219

~ profonde, 372

~ tripartite, 385

substantif, voir nom commun

substitution, 96

suspension

~ d'une implicature, 38

~ d'une présupposition, 28

symboles de quantification, 65

symétrie, 392

syncatégorématique, 315

synonymie, 254

syntagme, 334 sq.

T, 295

t (type), 292

T×W, 226

T₂, 324

table de vérité, 82

TAG (Tree Adjoining Grammar), 340*

tautologie, 15, 48, 102, 218

temporalité, 185, 186, 201

temps, 186, 188–193, 224

~ verbal, 186, 198–200
terme, 60, 66

test

~ de complétude, 155, 158

~ de consistance, 155, 157

~ de covariation, 152, 164

~ de la dislocation en ça, 146

~ de la dislocation à droite, 159

~ de la négation, 153

~ de présuppositions, 29, 31

~ de spécificité, 139

~ des ellipses, 22, 40*

~ des existentielles, 160

trace, 373, 375

triplet, 73

Ty2, 322

type, 292 sqq.

~ booléen, 310, 397

~ fonctionnel, 292

e, 292

s, 322

t, 292

type de phrases, 43

type-shifteur, 407 sqq.

type-shifting, 406–416

unicité, 166

unité lexicale, 3*

univers d’interprétation, 74*

vague, 21, 389

valence, 58*

valeur

~ d’une fonction, 267

~ d’une variable, 112, 113, 288

~ de vérité, 26, 50
défaut de ~, 26, 31

~ sémantique, 77

validité, 251

variable, 64, 112–114, 288

~ de mondes, 322

~ de prédicats, 288

~ libre, 93, 122

~ liée, 93, 99, 122

renommage des ~s, 100

verbe, 57, 334, 339

~ à montée, 380

~ ditransitif, 339, 342, 367

~ intransitif, 58, 72, 339

~ transitif, 339, 341, 346, 364, 400

~ intensionnel, 401

vérité, 9

W, 210

X-barre, 334
# Sémantique formelle :
Introduction à la grammaire de
Montague

Depuis près d'un demi-siècle, la sémantique formelle, à l'intersection féconde de la linguistique, la logique et la philosophie, occupe une place de premier plan dans le domaine de la linguistique théorique. Ce manuel, le premier en français de cette ampleur, en propose une présentation à la fois introductive et approfondie. La sémantique formelle est parfois appréhendée avec hésitation (voire redoutée) du fait de sa rigueur mathématique et de l'apparente complexité de son symbolisme ; le présent ouvrage vise à en donner une approche pédagogique, stimulante et dédramatisée. Il est conçu pour offrir un apprentissage et une maîtrise autonomes et progressifs des principaux aspects conceptuels et formels de la théorie, en accordant une attention particulière aux innovations marquantes qui ont structure le domaine depuis les travaux fondateurs de R. Montague. Il a également pour objectif de proposer, au fil des pages, une introduction à des éléments de méthodologie scientifique afin de donner un aperçu des pratiques d'analyse propres à la sémantique formelle.

Les six chapitres, accompagnés de nombreux exercices corrigés, y abordent les notions de base de logique et de sémantique vériconditionnelle, les phénomènes de quantification, la logique intensionnelle appliquée à la temporalité et les modalités, le λ-calcul typé et l'analyse sémantique compositionnelle à l'interface syntaxe-sémantique. Le volume sera complété d'un second qui présentera plusieurs applications et développements qui étendent la portée du formalisme.

L'ouvrage s'adresse aux étudiants de licence et master de sciences de langage, mais aussi d'autres disciplines comme, par exemple, la philosophie, la logique, l'informatique, ainsi qu'aux chercheurs désireux de s'initier, se mettre à jour ou se perfectionner dans la discipline.

ISBN 978-3-96110-017-0

<figure><img src="image_120.png" /></figure>

9 783961 100170