BRAHIM HAJOUJ

# Perturbations singulières d'équations hyperboliques du second ordre non linéaires

*Annales mathématiques Blaise Pascal, tome 7, n° 1 (2000), p. 1-22*

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# Perturbations Singulières d'Equations Hyperboliques du Second Ordre Non Linéaires

Brahim Hajouj

Département de mathématiques, Ecole Normale Supérieure, B.P. S / 41, Marrakech, Maroc.

**Abstract:** The behavior, when $\varepsilon \to 0_+$, of the solution of an hyperbolic variational equality relative to the degenerate operator $L_\varepsilon$ defined by:

$$L_\varepsilon v = \varepsilon k(x, t, v)v'' - \Delta v + \gamma |v'|^\rho v' + \alpha v' + \beta \frac{\partial v}{\partial x} - f = 0$$

is considered.

## 1- Introduction

Dans ce papier on considère un problème de la théorie de la résistance des matériaux à mémoire (N. A. Lar’kin [7]) gouverné par l’équation hyperbolique $L_\varepsilon v = 0$ présentant des non linéarités dans les termes relatifs aux dérivés partielles de v par rapport au temps et pouvant dégénérer en une équation parabolique dans toute partie du domaine où v s’annule.

Dans un premier temps on s’intéresse au problème de l’existence et de l’unicité pour l’équation dégénérée en temps $L_\varepsilon v = 0$, puis on étudie le comportement quand $\varepsilon \to 0_+$ de la solution de ce problème. Nous prenons appui sur les résultats antérieurs de B. Hajouj [5] et N.A. Lar’kin [7] obtenus sur l’équation $L_\varepsilon v = 0$ lorsque k est minorée par une constante strictement positive.

Divers auteurs ont étudié des problèmes similaires soit d’existence et d’unicité, soit de perturbations singulières; citons par exemple les travaux de J. L. Lions and W.A. Strauss [13], N.A. Lar’kin [8] et [9], J. L. Lions [10], S. C. Chikuwendu and J. Kevorkian [2], A. Benaouda et M. Madaune-Tort [1], G.C. Hsiao and R. J. Weinacht [6], A. Milani [14], V. Georgiev and G. Todorova [4] et de E. Feireisl [3].
Cependant, la situation où l'équation $L_\varepsilon v = 0$ peut dégénérer n'a pas été, à notre connaissance, encore examinée ni de point de vue existence et unicité ni du point de vue perturbations singulières, hormis lorsque les conditions initiales sont nulles ([5] et [7]). L'objet de cet article est d'apporter des éléments de réponse lorsque les conditions initiales vérifient certaines conditions de compatibilité assurant l'existence d'une solution forte et par conséquent l'unicité de cette solution.

On désigne par $\Omega$ l'intervalle ouvert $]a, b[$ de $\mathbb{R}$, $a < b$, par $T$ un réel donné, $T > 0$ et par $Q$ le pavé ouvert $\Omega \times ]0, T[$. Les dérivés de $u$ par rapport au temps $t$, au sens des distributions vectorielles, sont représentées par $u', u'', u'''$, .... Enfin, on introduit la notation $(u, v) = \int_{\Omega} uv dx$. On utilise aussi cette notation $(\cdot, \cdot)$ pour désigner le produit de dualité entre $H^{-1}(\Omega)$ et $H_0^1(\Omega)$.

Pour tout $\varepsilon > 0$, on considère le problème variationnel hyperbolique $P_\varepsilon$ d'inconnue $u_\varepsilon$:

$$ P_\varepsilon \left\{ \begin{array}{ll} u_\varepsilon \in L^\infty(0, T; H_0^1(\Omega)), & u'_\varepsilon \in L^\infty(0, T; H_0^1(\Omega)), \\ \forall v \in H_0^1(\Omega), \text{ p.p. } t \in ]0, T[, & \\ (1) \quad (\varepsilon k(x, t, u_\varepsilon) u''_\varepsilon, v) + (\frac{\partial u_\varepsilon}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial x}) + (h(u'_\varepsilon), v) + (\beta \frac{\partial u_\varepsilon}{\partial x}, v) = (f, v), & \\ u_\varepsilon(x, 0) = u_0(x), \quad u'_\varepsilon(x, 0) = u_1(x), \quad \text{p.p. } x \in \Omega, & \end{array} \right. $$

où les données vérifient les hypothèses:

$$ H \left\{ \begin{array}{ll} (2) & h : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \text{ est définie par : } h(v) = \alpha v + \gamma |v|^\rho v, \alpha > 0, \gamma > 0, \rho \ge 1, \\ & k : Q \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+ \text{ est une fonction de classe } C^1 \text{ telle que :} \\ (3) & C_0 |v|^\ell \le k(x, t, v) \le C_1 |v|^\ell, |k'_\ell(x, t, v)| \le C_1 |v|^\ell, |k'_v(x, t, v)| \le C_1 |v|^{\ell-1}, \\ & C_0 > 0, C_1 > 0, 1 \le \ell \le \rho, \\ (4) & \varepsilon > 0, \beta \in \mathbb{R}, f \in L^2(0, T; L^2(\Omega)) \text{ telle que } f' \in L^2(0, T; L^2(\Omega)), \\ (5) & u_0 \in H_0^1(\Omega) \cap H^2(\Omega), u_1 \in H_0^1(\Omega), \end{array} \right. $$

et les conditions initiales sont telles que:

$$ H_1 \left\{ \begin{array}{ll} \text{il existe } g \in L^2(\Omega) \text{ telle que : la fonction } \Phi \text{ définie par:} & \\ \Phi = \Delta u_0 + f(x, 0) - h(u_1) - \beta \frac{\partial u_0}{\partial x}, \text{ vérifie la condition:} & \\ (6) \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad |\Phi(x)| \le |g(x)| |u_0(x)|^{\frac{\ell}{2}} \quad \text{p.p. } x \in \Omega. & \end{array} \right. $$
Dans le cas où l'équation hyperbolique (1) n'est pas dégénérée en une équation parabolique, l'existence de la solution pour le problème $P_\epsilon$ est établit dans [5] et [7], à l'aide d'une méthode de Galerkin lorsque les hypothèses $H(2)$, $H(4)$ et $H(5)$ sont satisfaites.

L'hypothèse $H(3)$ entraîne que $k(x, t, 0) = 0$, et l'équation (1) peut dégénérer en une équation parabolique dans toute partie du domaine où $u_\epsilon = 0$. Dans ce cas, l'existence de la solution pour le problème $P_\epsilon$ est établit dans ce papier, en utilisant une méthode de régularisation, elle consiste à approcher la fonction $k$ par la suite de fonctions $(k + \delta)_{\delta>0}$, et le triplet $(u_0, u_1, f)$ par une suite de triplets $(u_{0,n}, u_{1,n}, f_n)$ appartenant à l'espace $[H_0^1(\Omega) \cap H^4(\Omega)] \times D(\Omega) \times C^\infty(\bar{Q})$.

Le plan de ravail est le suivant: On établit au §2, à l'aide des hypothèses $H$ et $H_1$ un résultat d'existence et d'unicité de la solution pour le problème $P_\epsilon$, puis, on étudie au §3 son comportement lorsque $\epsilon \to 0_+$. En particulier, on donne des estimations des normes de $u_\epsilon - u$ et de $u'_\epsilon - u'$ dans certains espaces de Sobolev, où $u$ est la solution d'un problème gouverné par l'équation (1) où $\epsilon$ est remplacé par 0.

L'hypothèse $H_1$ permet de considérer une classe plus large de fonctions $u_0$, $u_1$ et $f(x, 0)$ autres que $u_0 = u_1 = f(x, 0) = 0$. On donne enfin du paragraphe 4, des exemples de situations où la condition $H_1(6)$ est satisfaite.

## 2- Existence et unicité de la solution de $P_\epsilon$.

L'objet de cette partie est de justifier l'existence et l'unicité de $u_\epsilon$ solution du problème $P_\epsilon$ et d'obtenir sur cette solution des estimations a priori indépendantes de $\epsilon$, le paramètre $\epsilon$ étant destiné à tendre vers $0_+$. Aussi, on cherche à établir ces différentes propriétés pour $\epsilon$ dans un voisinage de 0.

**Théorème 2-1:** Sous les hypothèses $H$ et $H_1$, il existe $\epsilon_0 \in ]0, 1[$ tel que pour tout $\epsilon \in ]0, \epsilon_0[$ le problème $P_\epsilon$ admet une solution et une seule $u_\epsilon$ vérifiant:
$$ (2.0) \qquad \sqrt{k(x, t, u_\epsilon)} u_\epsilon'' \in L^\infty(0, T; L^2(\Omega)), \quad u_\epsilon'' \in L^2(Q), \quad u_\epsilon \in L^\infty(0, T; H^2(\Omega)). $$

*Démonstration du théorème 2-1 :*

### 2-1) Existence:
On utilise une méthode de régularisation. Soit $\delta > 0$ et soit la fonction $k_\delta : Q \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, définie par $k_\delta(x, t, u) = k(x, t, u) + \delta$. La fonction $k_\delta$ est minorée par $\delta$ sur $\bar{Q} \times \mathbb{R}$, il est établit dans [5] et [7], à l'aide d'une méthode de Galerkin, que le problème $P_{\varepsilon,\delta}$ d'inconnue $u_\delta$ :

$$ P_{\varepsilon,\delta} \left\{ \begin{array}{ll} u_{\delta} \in L^{\infty}(0,T; H_0^1(\Omega)), \quad u'_{\delta} \in L^{\infty}(0,T; H_0^1(\Omega)), \\ \forall v \in H_0^1(\Omega), \text{ p.p. } t \in ]0,T[, \\ (k_{\delta}(x,t,u_{\delta})u''_{\delta},v) + (\frac{\partial u_{\delta}}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial x}) + (h(u'_{\delta}),v) + (\beta \frac{\partial u_{\delta}}{\partial x},v) = (f,v), \\ u_{\delta}(x,0) = u_0(x), \quad u'_{\delta}(x,0) = u_1(x), \quad \text{p.p. } x \in \Omega, \end{array} \right. \quad (2.1) $$

admet pour tout $\delta > 0$ une unique solution $u_\delta$ telle que:

$$ (2.2) \qquad u''_{\delta} \in L^{\infty}(0,T; L^2(\Omega)), \quad u_{\delta} \in L^{\infty}(0,T; H^2(\Omega)). $$

On commence par établir dans le § 2-1-1) des estimations à priori sur la solution $u_\delta$ qui permettront par passage à la limite en $\delta$, d'établir au § 2-1-2) l'existence d'une solution $u_\varepsilon$ de $P_\varepsilon$. La démonstration de l'unicité de $u_\varepsilon$ est faite dans le § 2-2).

Pour établir certaines estimations sur $u_\delta$, $\delta \in ]0,1[$ étant fixé, on introduit une suite de fonctions régulières approchant $u_\delta$. Pour cela, on considère une suite de triplets $(u_{0,n}, u_{1,n}, f_n)$ appartenant à l'espace $[H_0^1(\Omega) \cap H^4(\Omega)] \times D(\Omega) \times C^\infty(\bar{Q})$ telle que:

$$ (2.3) \qquad (u_{0,n}, u_{1,n}, f_n) \to (u_0, u_1, f) \text{ dans } [H_0^1(\Omega) \cap H^2(\Omega)] \times H_0^1(\Omega) \times W(0,T; L^2(\Omega)), $$

où $W(0,T; L^2(\Omega)) = \{v \in L^2(0,T; L^2(\Omega)) / v' \in L^2(0,T; L^2(\Omega))\}$ muni de la norme du graphe [12], puis, on désigne par $P_{\varepsilon,\delta,n}$ le problème similaire au problème $P_{\varepsilon,\delta}$ dans lequel le triplet $(u_{0,n}, u_{1,n}, f_n)$ prend la place du triplet $(u_0, u_1, f)$. Donc d'après [5] et [7], le problème $P_{\varepsilon,\delta,n}$ admet, pour tout $n \in \mathbb{N}$, une solution unique notée par $u_n$ telle que:

$$ u''_{n} \in L^{\infty}(0, T; L^2(\Omega)) \text{ et } u_{n} \in L^{\infty}(0, T; H^2(\Omega)). $$

Il suffit alors d'établir ces estimations sur $u_n$ et de justifier la convergence de la suite $(u_n)_n$ vers la solution $u_\delta$ de $P_{\varepsilon,\delta}$ pour par passage à la limite en $n$, en déduire les estimations sur $u_\delta$.

Il résulte de (2.3) et de l'inclusion topologique $H_0^1(\Omega) \subset C(\bar{\Omega})$, que la fonction $\Phi_n$ définie dans l'hypothèse $H_1$ à partir du triplet $(u_{0,n}, u_{1,n}, f_n)$ vérifie
$$
(2.4) \qquad \Phi_n \to \Phi \text{ dans } L^2(\Omega).
$$

2-1-1) *Estimations a priori sur u<sub>δ</sub>*

Dans ce paragraphe, on cherche à établir non seulement des estimations a priori sur $u_\delta$
indépendantes du paramètre $\delta$ afin d'obtenir l'existence d'une solution au problème $P_\varepsilon$ mais
encore des estimations indépendantes des deux paramètres $\delta$ et $\varepsilon$ dans le but d'étudier au
§3 le comportement quand $\varepsilon \to 0_+$ de la solution de $P_\varepsilon$.

On convient, dans toute la suite de ce paragraphe, de désigner par *C* toute constante positive indépendante des paramètres *δ* et *ε*.

**Lemme 2-2: Sous les hypothèses du théorème 2-1, il existe ε₁ ∈ ]0, 1[ et une constante

$$
\begin{align*}
& C > 0 \text{ tels que pour tout } \delta \in ]0, 1[ \text{ et } \varepsilon \in ]0, \varepsilon_1[ : \\
& \text{i) } \sqrt{\varepsilon} \left\| \sqrt{k_{\delta}(x, t, u_{\delta})} u'_{\delta} \right\|_{L^{\infty}(0,T; L^2(\Omega))} + \|u_{\delta}\|_{L^{\infty}(0,T; H_0^1(\Omega))} + \|u'_{\delta}\|_{L^{\rho+2}(Q)} \le C, \\
& \text{ii) } \varepsilon \left\| \sqrt{k_{\delta}(x, t, u_{\delta})} u''_{\delta} \right\|_{L^{\infty}(0,T; L^2(\Omega))} + \sqrt{\varepsilon} \|u'_{\delta}\|_{L^{\infty}(0,T; H_0^1(\Omega))} + \sqrt{\varepsilon} \|u''_{\delta}\|_{L^2(Q)} \le C, \\
& \text{iii) } \|u'_{\delta}\|_{L^2(0,T; H_0^1(\Omega))} + \|u'_{\delta}\|_{L^{\infty}(0,T; L^{\rho+2}(\Omega))} \le C, \\
& \text{iv) } \sqrt{\varepsilon} \left\| \sqrt{t} k_{\delta}(x, t, u_{\delta}) u''_{\delta} \right\|_{L^{\infty}(0,T; L^2(\Omega))} + \left\| \sqrt{t} u'_{\delta} \right\|_{L^{\infty}(0,T; H_0^1(\Omega))} + \left\| \sqrt{t} u''_{\delta} \right\|_{L^2(Q)} \le C.
\end{align*}
$$

Preuve du lemme 2-2 :

i) On considère l'équation (2.1) du problème $P_{\varepsilon,\delta}$ dans laquelle on choisit $v = 2u'_{\delta}$ puis on intègre la relation obtenue de $0 \text{ à } t \in ]0, T[$. Des intégrations par parties par rapport à la variable $t$, conduisent à :

$$
\begin{align*}
(2.5) \quad & \int_{\Omega} k_{\delta}(x, t, u_{\delta}) u_{\delta}^{\prime 2} dx + \left\| \frac{\partial u_{\delta}}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 + 2\gamma \int_{0}^{t} \| u'_{\delta} \|_{L^{p}(\Omega)}^{p} d\tau + 2\alpha \int_{0}^{t} \| u'_{\delta} \|_{L^{2}(\Omega)}^{2} d\tau \\
& = T_0 + \varepsilon \int_{0}^{t} \int_{\Omega} \left[ (k_{\delta})'_{t}(x, \tau, u_{\delta}) + (k_{\delta})'_{u}(x, \tau, u_{\delta}) u_{\delta}^{\prime} \right] u_{\delta}^{2} dx d\tau, \\
\text{où } T_0 & = 2 \int_{0}^{t} \left( f - \beta \frac{\partial u_{\delta}}{\partial x} \right) u_{\delta}^{\prime} d\tau + \int_{\Omega} k_{\delta}(x, 0, u_{0}) u_{1}^{2} dx + \left\| \frac{\partial u_{0}}{\partial x} \right\|_{L^{2}(\Omega)}^{2} .
\end{align*}
$$

Soit $\delta \in ]0, 1[$ et $\varepsilon \in ]0, 1[$. L'inégalité de Cauchy-Schwarz entraîne

$$
|T_0| \le C + C \int_0^t \left\| \frac{\partial u_\delta}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau + \alpha \int_0^t \| u'_\delta \|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau.
$$
De plus, si $k$ vérifie l'hypothèse $H$ avec $\ell > 1$, les inégalités

$$ \begin{aligned} |\varepsilon(k_\delta)'_t(x, t, u_\delta)u_\delta^2| &\le \frac{C_\alpha}{C_1}\varepsilon k_\delta(x, t, u_\delta)u_\delta^2, \\ |\varepsilon(k_\delta)'_u(x, t, u_\delta)u_\delta^2| &\le C_1(|u_\delta|^{\ell-1}|u'_\delta|^{\frac{2(\ell-1)}{\ell}})|u'_\delta|^{\frac{\ell+2}{\ell}}, \end{aligned} $$

et l'inégalité de Hölder-Young relative au triplet $(\frac{\rho+2\ell}{\rho-\ell}, \frac{\ell}{\ell-1}, \frac{\rho+2\ell}{\ell+2})$ entraînent:

$$ \left| \varepsilon \int_0^t \int_{\Omega} \left[ (k_\delta)'_t(x, \tau, u_\delta) + (k_\delta)'_u(x, \tau, u_\delta)u'_\delta \right] u_\delta^2 dxd\tau \right| \le C + C\varepsilon \int_0^t \int_{\Omega} k_\delta(x, \tau, u_\delta)u_\delta^2 dxd\tau + \gamma \int_0^t \|u'_\delta\|_{L^{\rho+2}(\Omega)}^{\rho+2} d\tau $$

et lorsque $k$ vérifie l'hypothèse $H$ avec $\ell = 1$, l'inégalité de Young relative au couple $(\frac{\rho+2}{3}, \frac{\rho+2}{\rho-1})$ entraîne:

$$ \left| \varepsilon \int_0^t \int_{\Omega} \left[ (k_\delta)'_t(x, \tau, u_\delta) + (k_\delta)'_u(x, \tau, u_\delta)u'_\delta \right] u_\delta^2 dxd\tau \right| \le C + C\varepsilon \int_0^t \int_{\Omega} k_\delta(x, \tau, u_\delta)u_\delta^2 dxd\tau + \gamma \int_0^t \|u'_\delta\|_{L^{\rho+2}(\Omega)}^{\rho+2} d\tau. $$

L'estimation i) découle ainsi de (2.5) grâce à ces trois majorations, au lemme de Gronwall et à l'inégalité de Poincaré.

Pour établir les estimations ii) et iii) de ce lemme 2-2, on commence par montrer que ii) et iii) sont vérifiées par la suite $(u_n)_n$ solutions des problèmes $(P_{\varepsilon,\delta,n})_n$ définis au § 2-1), puis par passage à la limite en $n$, on déduit les estimations ii) et iii) sur $u_\delta$.

On remarque tout de suite qu'à partir de l'égalité (2.5) vérifiée aussi par $u_n$, il vient grâce à (2.3) l'estimation

$$ (2.6) \qquad \|u_n\|_{L^\infty(0,T; H_0^1(\Omega))} + \|u'_n\|_{L^{\rho+2}(Q)} \le C, $$

où $C > 0$ est une constante indépendante de $n, \delta$ et $\varepsilon$.

Il résulte de (2.6), de l'inclusion topologique $H_0^1(\Omega) \subset C(\bar{\Omega})$, de l'hypothèse $H(3)$ et de la $C^1$-régularité de $k_\delta$ que les fonctions $k_\delta(x, t, u_n)$, $(k_\delta)'_t(x, t, u_n)$ et $(k_\delta)'_u(x, t, u_n)$ sont bornées dans $L^\infty(Q)$ indépendamment de $\varepsilon, \delta$ et $n$.
Maintenant, on va établir les estimations ii) et iii) sur la suite $(u_n)_n, \delta \in ]0, 1[$ étant fixé.
Dans cette partie, on note C toute constante positive indépendante de $n \in \mathbb{N}$, $\varepsilon \in ]0, 1[$ et
$\delta \in ]0, 1[$.

ii) On utilise une méthode de quotient différentiel. Soit $\theta \in ]0, T[$ destiné à tendre vers 0. On considère les prolongements suivants des fonctions $u_n$, $k_\delta$ et $f_n$ à $[-\theta, 0]$:

$$ (2.7) \qquad \left\{ \begin{array}{l} u_n(x,t) = u_{0,n}(x) + t u_{1,n}(x) + \frac{t^2}{2} \frac{\Phi_n(x)}{k_\delta(x,0,u_{0,n})}, \\ k_\delta(x,t, u_n(x,t)) = k_\delta(x,0, u_n(x,t)), \\ f_n(x,t) = k_\delta(x,t, u_n) \frac{\Phi_n(x)}{k_\delta(x,0, u_{0,n})} - \Delta u_n + h(u'_n) + \beta \frac{\partial u_n}{\partial x}. \end{array} \right. $$

On considère l'équation du problème $P_{\varepsilon,\delta,n}$ satisfaite par $u_n$ aux instants $\tau$ et $\tau + \theta$ où $\tau$ est un réel de $]-\theta, T - \theta[$, et on choisit la fonction test égale à $v = \frac{\varepsilon(u'_n(\tau + \theta) - u'_n(\tau))}{\theta^2}$.
On soustrait les deux égalités obtenues. Alors si pour chaque fonction $w : Q \to \mathbb{R}$ on note par $w_\theta(\tau)$ la quantité $\frac{1}{\theta}(w(\tau + \theta) - w(\tau))$, on obtient p.p. $t \in ]-\theta, T - \theta[$:

$$ (2.8) \quad \varepsilon^2((k_\delta(x, \tau, u_n)u_n'')_\theta, u_n'_\theta) + \varepsilon(\frac{\partial u_n,\theta}{\partial x}, \frac{\partial u_n'_\theta}{\partial x}) + \varepsilon((h(u_n')_\theta, u_n'_\theta) + \varepsilon(\beta \frac{\partial u_n,\theta}{\partial x}, u_n'_\theta) = \varepsilon(f_{n,\theta}, u_n'_\theta). $$

On intègre (2.8) de $-\theta$ à $t \in ]0, T - \theta[$], on obtient après une transformation simple du premier terme, deux intégrations par parties par rapport à $t$ et une multiplication par 2:

$$ \begin{aligned} & \varepsilon^2 \int_{\Omega} k_{\delta}(x, t, u_n)(u'_{n,\theta})^2 dx + \varepsilon \left\| \frac{\partial u_{n,\theta}}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 + 2\varepsilon \int_{-\theta}^{t} \left( (h(u'_{n}))_{\theta}, u'_{n,\theta} \right) d\tau = 2\varepsilon \int_{-\theta}^{t} \left( f_{n,\theta}, u'_{n,\theta} \right) d\tau \\ & -2\varepsilon\beta \int_{-\theta}^{t} \left( \frac{\partial u_{n,\theta}}{\partial x}, u'_{n,\theta} \right) d\tau + \varepsilon \left\| \frac{\partial}{\partial x} u_{n,\theta}(-\theta) \right\|_{L^2(\Omega)}^2 + \varepsilon^2 \int_{-\theta}^{t} \left( (k(x, \tau, u_n))_{\theta} u''_{n}(\tau + \theta), u'_{n,\theta} \right) d\tau \\ & + \varepsilon^2 \int_{-\theta}^{t} \int_{\Omega} \left[ (k_{\delta})'_t(x, \tau, u_n) + (k_{\delta})'_u(x, \tau, u_n) u'_n \right] (u'_{n,\theta})^2 dx d\tau + \varepsilon^2 \int_{\Omega} k_{\delta}(x, -\theta, u_n(-\theta))(u'_{n,\theta}(-\theta))^2 dx. \end{aligned} $$

Il est possible de passer à la limite en $\theta$ dans l'égalité ci-dessus grâce aux propriétés de régularité de $k_\delta$ et $f_n$ et à la propriété $u'_n \in L^\infty(0, T; H_0^1(\Omega))$ (resp. $u''_n \in L^\infty(0, T; L^2(\Omega))$) qui implique que $\frac{\partial u_{n,\theta}}{\partial x}$ (resp. $u'_{n,\theta}$) converge vers $\frac{\partial u'_n}{\partial x}$ (resp. $u''_n$) dans $L^q(0, T; L^2(\Omega))$, pour tout $q \in [1, \infty[$. Il vient, p.p. $t \in ]0, T[$:
$$
(2.9) \quad \begin{aligned}
\varepsilon^2 \int_{\Omega} k_{\delta}(x, t, u_{\delta}) u_n''^2 dx + \varepsilon \left\| \frac{\partial u_n'}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 &+ 2\varepsilon\gamma(\rho+1) \int_0^t \int_{\Omega} |u_n'|^\rho u_n''^2 dx d\tau \\
&+ 2\varepsilon\alpha \int_0^t \|u_n''\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau = 2\varepsilon \int_0^t (f_n' - \beta \frac{\partial u_n'}{\partial x}, u_n'') d\tau + \varepsilon \left\| \frac{\partial u_{1,n}}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 \\
&- \varepsilon^2 \int_0^t \int_{\Omega} [(k_{\delta})'_t(x, t, u_n) + (k_{\delta})'_u(x, t, u_n) u_n'] u_n''^2 dx d\tau + \int_{\Omega} \frac{(\Phi_n(x))^2}{k_{\delta}(x, 0, u_{0,n})} dx.
\end{aligned}
$$

Il reste à majorer le second membre de (2.9), les fonctions $(k_\delta)'_t$ et $(k_\delta)'_u$ étant bornées dans $L^\infty(Q)$ indépendamment de $\varepsilon, \delta$ et $n$.

On remarque que $|\varepsilon u_n' u_n''^2| = (|u_n'| |\varepsilon u_n''|^2) |\varepsilon u_n''|^{\frac{2-2}{p}}$.

L'inégalité de Cauchy-Schwarz et (2.3), l'inégalité de Young relative au triplet $(2, \rho, \frac{2\rho}{\rho-2})$ et l'estimation (2.6) entraînent:

$$
\left| 2\varepsilon \int_0^t (f_n' - \beta \frac{\partial u_n'}{\partial x}, u_n'') d\tau - \varepsilon^2 \int_0^t \int_{\Omega} [(k_\delta)'_t(x, t, u_n) + (k_\delta)'_u(x, t, u_n) u_n'] u_n''^2 dx d\tau \right| \\
\le C + C\varepsilon^2 \int_0^t \|u_\delta''\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau + \varepsilon\gamma(\rho+1) \int_0^t \int_{\Omega} |u_n'|^\rho u_n''^2 dx d\tau.
$$

Pour toute la suite on définit $\varepsilon_1$ par

$$
(2.10) \quad \varepsilon_1 = \min(1, \frac{\alpha}{C}) \quad \text{où } C \text{ est la constante figurant dans la dernière inégalité.}
$$

Enfin, il résulte de (2.3), (2.4) et de l'hypothèse $H_1(6)$ que:

$$
\left| \varepsilon \left\| \frac{\partial u_{1,n}}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 + \int_{\Omega} \frac{(\Phi_n(x))^2}{k_{\delta}(x, 0, u_{0,n})} dx \right| \le C.
$$

On déduit de (2.9) grâce aux majorations précédentes que, pour tout $\varepsilon \le \varepsilon_1$, on a:

$$
(2.11) \quad \begin{aligned}
\varepsilon^2 \int_{\Omega} k_{\delta}(x, t, u_n) u_n''^2 dx + \varepsilon \left\| \frac{\partial u_n'}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 &+ \varepsilon\gamma(\rho+1) \int_0^t \int_{\Omega} |u_n'|^\rho u_n''^2 dx d\tau \\
&+ \varepsilon\alpha \int_0^t \|u_\delta''\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau \le C + C\varepsilon \int_0^t \left\| \frac{\partial u_n'}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau.
\end{aligned}
$$

Il découle de (2.11) grâce au lemme de Gronwall, l'estimation:
$$ (2.12) \quad \varepsilon \left\| \sqrt{k_{\delta}(x, t, u_n)} u_n'' \right\|_{L^{\infty}(0,T; L^2(\Omega))} + \sqrt{\varepsilon} \|u_n'\|_{L^{\infty}(0,T; H_0^1(\Omega))} + \sqrt{\varepsilon} \|u_n''\|_{L^2(\Omega)} \le C. $$

iii) On considère comme dans la preuve du point ii) précédent, l'équation de $P_{\varepsilon,\delta,n}$ aux instants $\tau$ et $\tau + \theta$, mais ici on choisit la même fonction test $v$ aux deux instants $\tau$ et $\tau + \theta$ donnée par $v = \frac{u_n'(\tau)}{\theta}$. On obtient alors pour p.p. $\tau \in ]-\theta, T - \theta[$:

$$ \varepsilon((k_{\delta}(x, \tau, u_n)u_n'')_{\theta}, u_n') + \left(\frac{\partial u_{n,\theta}}{\partial x}, \frac{\partial u_n'}{\partial x}\right) + ((h(u_n'))_{\theta}, u_n') + (\beta \frac{\partial u_{n,\theta}}{\partial x}, u_n') = (f_{n,\theta}, u_n'). $$

On intègre cette dernière inégalité de $-\theta$ à $t \in ]0, T - \theta[$. Après une transformation simple du premier terme et une intégration par parties par rapport à $t$, il vient:

$$ \begin{aligned} & \varepsilon(k_{\delta}(x, t, u_n)u_{n,\theta}' u_n') + \int_{-\theta}^{t} \left(\frac{\partial u_{n,\theta}}{\partial x}, \frac{\partial u_n'}{\partial x}\right) d\tau + \int_{-\theta}^{t} \left((h(u_n'))_{\theta}, u_n'\right) d\tau = \int_{-\theta}^{t} \left(f_{n,\theta} - \beta \frac{\partial u_{n,\theta}}{\partial x}, u_n'\right) d\tau \\ & -\varepsilon \int_{-\theta}^{t} \left((k_{\delta}(x, \tau, u_n))_{\theta} u_n''(\tau + \theta), u_n'\right) d\tau + \varepsilon(k_{\delta}(x, -\theta, u_n(-\theta)) u_{n,\theta}'(-\theta), u_n'(-\theta)) \\ & +\varepsilon \int_{-\theta}^{t} \left(k_{\delta}(x, \tau, u_n) u_{n,\theta}' u_n''(\tau)\right) d\tau + \varepsilon \int_{-\theta}^{t} \int_{\Omega} \left[(k_{\delta})_t(x, \tau, u_n) + (k_{\delta})_u(x, \tau, u_n) u_n'\right] u_{n,\theta}' u_n' dx d\tau. \end{aligned} $$

On fait tendre $\theta \to 0_+$. Dans l'inégalité obtenue le terme en $\beta$ est nul puisque $u_n' \in H_0^1(\Omega)$.
Après trois intégrations par parties, on obtient p.p. $t \in ]0, T[$:

$$ \begin{aligned} & \int_0^t \left\| \frac{\partial u_n'}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau + \frac{\gamma(\rho+1)}{\rho+2} \|u_n'(t)\|_{L^{\rho+2}(\Omega)}^{\rho+2} + \frac{\alpha}{2} \|u_n'(t)\|_{L^2(\Omega)}^2 \\ & = \int_0^t (f_n', u_n') d\tau + \frac{\alpha}{2} \|u_{1,n}\|_{L^2(\Omega)}^2 \\ & + \frac{\gamma(\rho+1)}{\rho+2} \|u_{1,n}\|_{L^{\rho+2}(\Omega)}^{\rho+2} + (\Phi_n, u_{1,n}) - \varepsilon(k_{\delta}(x, t, u_n(t)) u_n''(t), u_n'(t)) \\ & + \varepsilon \int_0^t \int_{\Omega} k_{\delta}(x, \tau, u_n) u_n''^2 x dx d\tau. \end{aligned} $$

Pour majorer le second membre de cette dernière égalité, on remarque d'abord que la fonction $k_{\delta}(x, \tau, u_n)$ est bornée dans $L^{\infty}(\Omega)$ indépendamment de $\varepsilon, \delta$ et $n$, ensuite, on applique l'inégalité de Cauchy-Schwarz, les estimations (2.6) et (2.12), l'hypothèse $H_1$ et enfin, la propriété de convergence (2.4). Il vient:

$$ (2.13) \quad \int_0^t \left\| \frac{\partial u_n'}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau + \gamma \frac{\rho+1}{\rho+2} \|u_n'(t)\|_{L^{\rho+2}(\Omega)}^{\rho+2} \le C, \text{ p.p. } t \in ]0, T[, $$

où $C > 0$ est une constante indépendante de $n \in \mathbb{N}$, $\varepsilon \in ]0, \varepsilon_1[$ et $\delta \in ]0, 1[$. L'inégalité de Poincaré nous permet de déduire de (2.13), l'estimation:
$$ (2.14) \qquad \|u_n'\|_{L^2(0,T; H_0^1(\Omega))} + \|u_n'\|_{L^\infty(0,T; L^{\rho+2}(\Omega))} \le C. $$

Maintenant, nous allons établir les estimations ii) et iii) du lemme 2-2 sur $u_δ$.

Il résulte des estimations (2.6) et (2.12) l'existence d'une sous suite extraite de $(u_n)_n$ notée encore $(u_n)_n$, telle que:

$$ (2.15) \qquad \left\{ \begin{array}{ll} u_n \to v \quad \text{dans } L^\infty(0,T; H_0^1(\Omega)) & \text{faible*}, \\ u'_n \to v' \quad \text{dans } L^\infty(0,T; H_0^1(\Omega)) & \text{faible*}, \\ u''_n \to v'' \quad \text{dans } L^2(Q) & \text{faible.} \end{array} \right. $$

Pour prouver que $v$ est une solution du problème $P_{ε,δ}$, on remarque d'abord grâce aux résultats de compacité classiques (ils seront développés au paragraphe 2-1-2)) que les propriétés de convergence faibles (2.15) entraînent des propriétés de convergence fortes qui sont suffisantes pour passer à la limite sur les termes non linéaires de l'équation du problème $P_{ε,δ,n}$. Les conditions initiales sont obtenues sans difficulté grâce à (2.3). On déduit alors d'une part l'égalité $v = u_δ$, où $u_δ$ est la solution de $P_{ε,δ}$ et d'autre part, par passage à la limite inférieure sur $n$ dans les inégalités (2.12) et (2.14), les estimations ii) et iii) du lemme 2-2 sur $u_δ$.

iv) On considère à nouveau l'égalité (2.8) satisfaite aussi par la solution $u_δ$ du problème $P_{ε,δ}$, puis on la multiplie par $\frac{\tau}{\varepsilon}$ et on intègre de $0$ à $t \in ]0, T[$. Il vient après une transformation simple du premier terme et des intégrations par parties par rapport à $t$:

$$ \begin{align*} (2.16) \quad & \varepsilon t(k_\delta(x, t, u_\delta)u'_{\delta,\theta}, u'_{\delta,\theta}) + t \left\| \frac{\partial u_{\delta,\theta}}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 + 2 \int_0^t \tau \left( (h(u'_\delta))_\theta, u'_{\delta,\theta} \right) d\tau \\ = {} & 2 \int_0^t \tau \left( f_\theta - \beta \frac{\partial u_{\delta,\theta}}{\partial x}, u'_{\delta,\theta} \right) d\tau + \int_0^t \left\| \frac{\partial u_{\delta,\theta}}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau - 2\varepsilon \int_0^t \tau \left( (k_\delta(x, \tau, u_\delta))_\theta u''_\delta(\tau + \theta), u'_{\delta,\theta} \right) d\tau \\ & + \varepsilon \int_0^t \int_\Omega k_\delta(x, \tau, u_\delta) u'^2_{\delta,\theta} dx d\tau + \varepsilon \int_0^t \int_\Omega \tau \left[ (k_\delta)'_t(x, \tau, u_\delta) + (k_\delta)'_u(x, \tau, u_\delta) u'_\delta \right] u'^2_{\delta,\theta} dx d\tau. \end{align*} $$

On fait tendre $\theta \to 0_+$ dans (2.16). Il vient, p.p. $t \in ]0, T[$,
$$
\begin{align*}
& \varepsilon t \int_{\Omega} k_{\delta}(x, t, u_{\delta}) u_{\delta}''^2 dx + t \left\| \frac{\partial u'_{\delta}}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 + 2\gamma(\rho+1) \int_0^t \int_{\Omega} \tau |u'_{\delta}|^{\rho} u_{\delta}''^2 dx d\tau + 2\alpha \int_0^t \int_{\Omega} \tau \|u_{\delta}''\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau \\
&= 2 \int_0^t \tau (f' - \beta \frac{\partial u'_{\delta}}{\partial x}, u''_{\delta}) d\tau - \varepsilon \int_0^t \int_{\Omega} \tau [(k_{\delta})_t(x, \tau, u_{\delta}) + (k_{\delta})_u(x, \tau, u_{\delta}) u'_{\delta}] u_{\delta}''^2 dx d\tau \\
&\quad + \int_0^t \left\| \frac{\partial u'_{\delta}}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau + \varepsilon \int_0^t \int_{\Omega} k_{\delta}(x, \tau, u_{\delta}) u_{\delta}''^2 dx d\tau.
\end{align*}
$$

Une étude analogue à celle faite sur l'égalité (2.8) permet d'obtenir à l'aide des estimations
ii) et iii) du lemme 2-2, l'inégalité :

$$
\epsilon t \int_{\Omega} k_{\delta}(x, t, u_{\delta}) u_{\delta}''^2 dx + t \left\| \frac{\partial u'_{\delta}}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 + \alpha \int_{0}^{t} \tau \| u_{\delta}'' \|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau \le C, \text{ p.p. } t \in ]0, T[,
$$
où $C > 0$ est une constante indépendante de $\epsilon \in ]0, \epsilon_1[$ et de $\delta \in ]0, 1[$.

L'estimation iv) découle de cette dernière inégalité grâce à l'inégalité de Poincaré. Ce
qui achève la preuve du lemme 2-2. ■

2-1-2) *Convrgence faible sous les hypothèses H et H*₁

On déduit des estimations a priori i) et ii) du lemme 2-2, que pour tout $\epsilon \in ]0, \epsilon_1[$, il
existe une suite extraite de $(u_\delta)_{\delta>0}$ notée encore $(u_\delta)_{\delta>0}$ et une fonction $u_\epsilon$ telles que :

$$
(2.17) \qquad \left\{
\begin{array}{ll}
u_{\delta} \to u_{\epsilon} \quad \text{dans } L^{\infty}(0, T; H_{0}^{1}(\Omega)) & \text{faible*}, \\
u'_{\delta} \to u'_{\epsilon} \quad \text{dans } L^{\infty}(0, T; H_{0}^{1}(\Omega)) & \text{faible*}, \\
u''_{\delta} \to u''_{\epsilon} \quad \text{dans } L^{2}(Q) & \text{faible.}
\end{array}
\right.
$$

Condition initiale satisfaites par $u_\epsilon$: Pour tout espace de Hilbert $X$, l'espace vectoriel $\{v / v \in L^2(0, T; X) \text{ et } v' \in L^2(0, T; X)\}$ muni de la norme du graphe est inclus dans $C([0, T]; X)$ et l'application injection est continue. Il découle ainsi de (2.17) que :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\forall t \in [0, T], u_{\delta}(t) \to u_{\epsilon}(t) \text{ faible dans } H_{0}^{1}(\Omega), \\
\forall t \in [0, T], u'_{\delta}(t) \to u'_{\epsilon}(t) \text{ faible dans } H_{0}^{1}(\Omega),
\end{array}
\right.
$$

d'où les égalités :

$$
u_{\epsilon}(x, 0) = u_{0}(x) \text{ p.p. } x \in \Omega \text{ et } u_{\epsilon}(x, 0) = u_{1}(x) \text{ p.p. } x \in \Omega.
$$
*Convergence forte- L'injection de {$v$; $v \in L^2(0, T; H_0^1(\Omega)) / v' \in L^2(Q)$} muni de la norme du graphe dans $L^2(0, T; C(\bar{\Omega}))$, est compacte (cf. J.L. Lions [10], chap.1, §.5). On déduit donc des résultats (2.17) les propriétés de convergence forte:

$$ (2.18) \qquad \left\{ \begin{array}{ll} u_{\delta} \to u_{\varepsilon} \quad \text{dans } L^2(0, T; C(\bar{\Omega})), \\ u'_{\delta} \to u'_{\varepsilon} \quad \text{dans } L^2(0, T; C(\bar{\Omega})). \end{array} \right. $$

En observant que les fonctions $k$ et $h$ sont de classe $C^1$ donc lipschitziennes sur tout borné de $\mathbb{R}$ d'une part et en extractant d'autre part une nouvelle sous suite notée encore $(u_{\delta})_{\delta>0}$, en utilisant la continuité des fonctions $k$ et $h$ et le théorème de convergence dominée de Lebesgue, il vient:

$$ (2.19) \qquad \left\{ \begin{array}{l} u_{\delta} \to u_{\varepsilon} \quad \text{dans } L^2(0, T; C(\bar{\Omega})) \text{ et dans } L^q(Q), \quad \forall q \in [1, \infty[, \\ u'_{\delta} \to u'_{\varepsilon}, \quad h(u'_{\delta}) \to h(u'_{\varepsilon}) \quad \text{dans } L^2(0, T; C(\bar{\Omega})) \text{ et dans } L^q(Q), \quad \forall q \in [1, \infty[, \\ k_{\delta}(x, t, u_{\delta}) \to k(x, t, u_{\varepsilon}) \quad \text{dans } L^2(0, T; C(\bar{\Omega})) \text{ et dans } L^q(Q), \quad \forall q \in [1, \infty[. \end{array} \right. $$

De plus, il résulte de l'estimation ii) du lemme 2-2 et de la propriété (2.19) la convergence

$$ (2.20) \qquad \sqrt{k_{\delta}(x, t, u_{\delta})} u''_{\delta} \to \sqrt{k(x, t, u_{\varepsilon})} u''_{\varepsilon} \quad \text{dans } L^{\infty}(0, T; L^2(\Omega)) \text{ faible}*. $$

A l'aide des propriétés (2.17), (2.19) et (2.20), on peut passer à la limite en $\delta$ dans l'équation (2.1) du problème $P_{\varepsilon,\delta}$. On déduit alors que $u_{\varepsilon}$ est une solution de $P_{\varepsilon}$. De plus, l'équation (1) entraîne grâce à la régularité sur $u_{\varepsilon}$, $k$ et $f$, la propriété: $u_{\varepsilon} \in L^{\infty}(0, T; H^2(\Omega))$.

Nous venons de montrer que $u_{\varepsilon}$ est une solution du problème $P_{\varepsilon}$ qui vérifie (2.0).

## 2-2) **Unicité de la solution du problème $P_{\varepsilon}$** :

Soient $u_{\varepsilon}$ et $w_{\varepsilon}$ deux solutions du problème $P_{\varepsilon}$ vérifiant (2.0). On choisit $v = w'_{\varepsilon} - u'_{\varepsilon}$ dans l'égalité (1) satisfaite par $u_{\varepsilon}$ (resp. $w_{\varepsilon}$). On soustrait les deux égalités obtenues. On note par $s_{\varepsilon} = u_{\varepsilon} - w_{\varepsilon}$. Il vient:

$$ (\varepsilon k(x, t, u_{\varepsilon}) u''_{\varepsilon} - \varepsilon k(x, t, w_{\varepsilon}) w''_{\varepsilon}, s'_{\varepsilon}) + (\frac{\partial s_{\varepsilon}}{\partial x}, \frac{\partial s'_{\varepsilon}}{\partial x}) + (h(u'_{\varepsilon}) - h(w'_{\varepsilon}), s'_{\varepsilon}) + (\beta \frac{\partial s_{\varepsilon}}{\partial x}, s'_{\varepsilon}) = 0. $$

On intègre cette égalité de 0 à $t$. On obtient après une transformation du premier terme, deux intégrations par parties par rapport à $t$ et grâce à la monotonie de l'application:
$$ x \to |x|^{\rho} x: $$
$$
(2.21) \quad \varepsilon \int_{\Omega} k(x, t, u_{\varepsilon}) s_{\varepsilon}^{\prime 2} dx + \left\| \frac{\partial s_{\varepsilon}}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 + 2\alpha \int_{0}^{t} \left\| s'_{\varepsilon} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau \le -2\beta \int_{0}^{t} \left( \frac{\partial s_{\varepsilon}}{\partial x} \right) s'_{\varepsilon} d\tau \\
\qquad + \varepsilon \int_{0}^{t} \int_{\Omega} [k'_{t}(x, t, u_{\varepsilon}) + k'_{u}(x, t, u_{\varepsilon}) u'_{\varepsilon}] s_{\varepsilon}^{\prime 2} dx d\tau - 2\varepsilon \int_{0}^{t} \left( [k(x, t, u_{\varepsilon}) - k(x, t, w_{\varepsilon})] w''_{\varepsilon}, s'_{\varepsilon} \right) d\tau.
$$

Dans toute la preuve, on convient de noter $C$ toute constante positive. L'inclusion
algébrique et topologique $H_0^1(\Omega) \subset C(\bar{\Omega})$ entraîne que $u_\epsilon$ et $u'_\epsilon$ (resp. $w_\epsilon$ et $w'_\epsilon$) sont dans
$L^\infty(Q)$. Il résulte alors du théorème de la valeur moyenne et de l'inégalité de Poincaré la
relation: $|k(u_\epsilon) - k(w_\epsilon)| \le C \left\| \frac{\partial s_\epsilon}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2$ et par conséquent la majoration:

$$
\left| -2\beta \int_0^t \left(\frac{\partial s_\epsilon}{\partial x}, s'_\epsilon\right) d\tau + \epsilon \int_0^t \int_\Omega \left[k'_t(x, t, u_\epsilon) + k'_u(x, t, u_\epsilon) u'_\epsilon\right] s_\epsilon^{\prime 2} dx d\tau \right| \\
+ \left| -2\epsilon \int_0^t \left(\left[k(x, t, u_\epsilon) - k(x, t, w_\epsilon)\right] w_\epsilon'', s'_\epsilon\right) d\tau \right| \le C \int_\Omega \left(1 + \left\|w_\epsilon''\right\|_{L^2(\Omega)}^2\right) \left\|\frac{\partial s_\epsilon}{\partial x}\right\|_{L^2(\Omega)}^2 dx \\
+ (C\epsilon + \alpha) \int_0^t \left\|s'_\epsilon\right\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau.
$$

On déduit de (2.21) grâce à cette dernière inégalité la relation

$$
(2.22) \quad \left\| \frac{\partial s_\epsilon}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 + \alpha \int_0^t \| s'_\epsilon \|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau \le C \int_\Omega (1 + \| w''_\epsilon \|_{L^2(\Omega)}^2) \left\| \frac{\partial s_\epsilon}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 dx + C\epsilon \int_0^t \| s'_\epsilon \|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau.
$$

On pose $\epsilon_2 = \frac{\alpha}{C}$ où $C$ est la constante positive figurant dans (2.22). Il résulte de (2.22) à l'aide du lemme de Gronwall et de la propriété $w''_\epsilon \in L^\infty(0, T; L^2(\Omega))$ que pour tout $\epsilon < \epsilon_2$, $s'_\epsilon = 0$ sur $Q$, d'où $u_\epsilon = w_\epsilon$. On peut donc énoncer le théorème 2-1 où $\epsilon_0 = \min(\epsilon_1, \epsilon_2)$, $\epsilon_1$ ayant été déterminé au lemme 2-2 par (2.10). ■

3- Perturbations hyperbolique-parabolique relative au problème P<sub>ε</sub>

On suppose dans ce paragraphe que les conditions *H* et *H*₁ sont satisfaites.

3-1) Premiers résultats de convergence :

On déduit du lemme 2-2 et des propriétés (2.17), (2.19) et (2.20) les estimations a priori
sur $u_\epsilon$ :
**Corollaire 3-1:** Il existe une constante $C > 0$ telle que pour tout $\varepsilon \in ]0, \varepsilon_0[$ :

$$
\left\{
\begin{array}{ll}
\text{i)} & \|u_{\varepsilon}\|_{L^{\infty}(0,T; H_0^1(\Omega))} + \|u'_{\varepsilon}\|_{L^2(0,T; H_0^1(\Omega))} + \|u''_{\varepsilon}\|_{L^{\infty}(0,T; L^{\rho+2}(\Omega))} \le C, \\
\text{ii)} & \varepsilon \left\| \sqrt{k(x,t,u_{\varepsilon})} u''_{\varepsilon} \right\|_{L^{\infty}(0,T; L^2(\Omega))} + \sqrt{\varepsilon} \|u'_{\varepsilon}\|_{L^{\infty}(0,T; H_0^1(\Omega))} + \sqrt{\varepsilon} \|u''_{\varepsilon}\|_{L^2(\Omega)} \le C, \\
\text{iii)} & \sqrt{\varepsilon} \left\| \sqrt{t k(x,t,u_{\varepsilon})} u''_{\varepsilon} \right\|_{L^{\infty}(0,T; L^2(\Omega))} + \left\| \sqrt{t} u'_{\varepsilon} \right\|_{L^{\infty}(0,T; H_0^1(\Omega))} + \left\| \sqrt{t} u''_{\varepsilon} \right\|_{L^2(\Omega)} \le C.
\end{array}
\right.
$$

En outre, il résulte des estimations i) et ii) du corollaire 3-1, l'estimation :

$$
(3.1) \quad \| \varepsilon k(x, t, u_{\varepsilon}) u_{\varepsilon}'' \|_{L^2(Q)} \le C \sqrt{\varepsilon}, \quad \text{où } C > 0, \text{ est indépendante de } \varepsilon \in ]0, \varepsilon_0[.
$$

Grâce au corollaire 3-1, on peut extraire une sous-suite de $(u_\epsilon)_{\epsilon>0}$ notée encore $(u_\epsilon)_{\epsilon>0}$
et définir une fonction $u$ telles que :

$$
(3.2) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
u_{\epsilon} \to u \quad \text{dans } L^{\infty}(0, T; H_0^1(\Omega)) \quad \text{faible*}, \\
u'_{\epsilon} \to u' \quad \text{dans } L^2(0, T; H_0^1(\Omega)) \quad \text{faible et dans } L^{\infty}(0, T; L^{\rho+2}(\Omega)) \quad \text{faible*}, \\
tu'_{\epsilon} \to tu' \quad \text{dans } L^{\infty}(0, T; H_0^1(\Omega)) \quad \text{faible*}, \\
tu''_{\epsilon} \to \chi_1 \quad \text{dans } L^2(Q) \quad \text{faible et } \chi_1 = tu''.
\end{array}
\right.
$$

Les propriétés de convergence faible (3.2) entraînent, grâce aux résultats de compacité classiques et au théorème de convergence dominée de Lebesgue, qu'une nouvelle suite extraite encore notée $(u_\epsilon)_{\epsilon>0}$ vérifie les propriétés de convergence forte suivantes :

$$
(3.3) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
u_{\epsilon} \to u \quad \text{dans } L^2(0, T; C(\bar{\Omega})) \quad \text{et dans } L^q(Q), \quad \forall q \in [1, \infty[, & \\
tu'_{\epsilon} \to tu' \quad \text{dans } L^2(0, T; C(\bar{\Omega})) \quad \text{et dans } L^q(Q), \quad \forall q \in [1, \infty[, & \\
t^{\rho+1}h(u'_{\epsilon}) \to t^{\rho+1}h(u') \quad \text{dans } L^q(Q), \quad \forall q \in [1, \infty[. &
\end{array}
\right.
$$

Les résultats (3.1), (3.2) et (3.3) permettent de faire tendre $\varepsilon$ vers $0_+$ dans l'égalité (1) et la propriété (3.2) entraîne que : $\forall t \in [0, T]$, $u_\varepsilon(t) \to u(t)$ dans $L^2(\Omega)$ faible.

La fonction limite $u$ est alors une solution du problème $P$ défini par :

$$
P \left\{
\begin{array}{ll}
u \in L^{\infty}(0, T; H_0^1(\Omega)), u' \in L^2(0, T; H_0^1(\Omega)), & \\
\forall v \in H_0^1(\Omega), \text{ p.p. } t \in ]0, T[, & \\
(3.4) \quad \left(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial x}\right) + (h(u'), v) + \left(\beta \frac{\partial u}{\partial x}, v\right) = (f, v), & \\
u(x, 0) = u_0(x), \text{ p.p. } x \in \Omega. &
\end{array}
\right.
$$

Il reste à montrer l'unicité de la solution de P.
### 3-2) **Unicité**

**Lemme 3-2 :** Le problème P admet une et une seule solution.

**Preuve:**

Soient $u$ et $w$ deux solutions du problème $P$. On pose $s = u - w$ et on choisit $v = u' - w'$ dans (3.4) vérifiée par $u$ et $w$. On utilise la monotonie de l'application $x \to |x|^\rho x$, on obtient:

$$ \left\| \frac{\partial s(t)}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 + 2\alpha \int_0^t \|s'\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau \le -2\beta \int_0^t (\frac{\partial s}{\partial x}, s') d\tau, $$

puis, on utilise l'inégalité de Young et le lemme de Gronwall. Il vient $s = 0$ sur $Q$. En conséquence $u = w$.

### 3-3) **Propriétés de convergence et estimations de $u_\epsilon - u$**

On peut maintenant énoncer à partir des propriétés (3.2), (3.3), (3.4), (3.5) et du lemme 3-2 le

**Théorème 3-3:** Quand $\epsilon \to 0_+$, la suite $(u_\epsilon)_{\epsilon>0}$ des solutions des problèmes $(P_\epsilon)_{\epsilon>0}$ converge dans $L^\infty(0,T; H_0^1(\Omega))$ faible * vers l'unique solution u du problème P.
$(u_\epsilon)_{\epsilon>0}$ converge vers u dans $L^2(0,T; C(\bar{\Omega}))$ et dans $L^q(Q)$, pour tout $q \in [1, \infty[$.
$(u'_\epsilon)_{\epsilon>0}$ converge vers u' dans $L^2(0,T; H_0^1(\Omega))$ faible et dans $L^\infty(0,T; L^{p+2}(\Omega))$ faible*
et $(tu'_\epsilon)_{\epsilon>0}$ converge vers tu'' dans $L^2(Q)$ faible.
$(tu'_\epsilon)_{\epsilon>0}$ converge vers tu' dans $L^2(0,T; C(\bar{\Omega}))$ et dans $L^q(Q)$, pour tout $q \in [1, \infty[$,

et la

**Propriété 3-4:** La solution u du problème P vérifie $\sqrt{t}u'' \in L^2(Q)$.

**Preuve de la propriété 3-4:**

Pour chaque $\tau \in ]0, T[$, on note par $Q_\tau$ le pavé ouvert $\Omega \times ]\tau, T[$. Il résulte du corollaire 3-1 que: $\|\sqrt{t}u''_\epsilon\|_{L^2(Q_\tau)} \le C$, où $C$ est evidemment indépendante de $\tau$. On déduit alors de (3.2) que $(u''_\epsilon)_{\epsilon>0}$ converge faiblement dans $L^2(Q_\tau)$ vers $u''$ et par conséquent $u''$ satisfait à: $\|\sqrt{t}u''\|_{L^2(Q_\tau)} \le C$. Il en résulte que $\sqrt{t}u'' \in L^2(Q)$.
**Théorème 3-5 :** On pose $p = \rho + 2$.

$$ (i) \quad \|u_{\varepsilon} - u\|_{L^{\infty}(0,T; H_0^1(\Omega))} + \|u'_{\varepsilon} - u'\|_{L^2(Q)} \le C\sqrt{\varepsilon}, \quad (ii) \quad \|u'_{\varepsilon} - u'\|_{L^p(Q)} \le C\varepsilon^{\frac{1}{p}}, $$

$$ (iii) \quad \|\Delta(u_{\varepsilon} - u)\|_{L^{p'}(Q)} \le C\varepsilon^{\frac{1}{p}}, \quad \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = 1, $$

$$ (iv) \quad \|t^{\frac{p}{2}}(u'_{\varepsilon} - u')\|_{L^2(0,T; H_0^1(\Omega))} \le C\varepsilon^{\frac{1}{2p}}, \quad (v) \quad \|t(u'_{\varepsilon} - u')\|_{L^{\infty}(0,T; L^p(\Omega))} \le C\varepsilon^{\frac{1}{p^2}}, $$
où $C > 0$ est une constante indépendante de $\varepsilon \in ]0, \varepsilon_0[$.

*Preuve :*

(i) et (ii) : On considère les équations (1) et (3.4) dans lesquelles on choisit respectivement $v = u'_{\varepsilon} - u'$. On fait une soustraction, puis on pose $w_{\varepsilon} = u_{\varepsilon} - u$, on obtient:

$$ (3.5) \quad \left( \frac{\partial w_{\varepsilon}}{\partial x}, \frac{\partial w'_{\varepsilon}}{\partial x} \right) + (h(u'_{\varepsilon}) - h(u'), w'_{\varepsilon}) = -(\varepsilon k(x, t, u_{\varepsilon}) u''_{\varepsilon}, w'_{\varepsilon}) - (\beta \frac{\partial w_{\varepsilon}}{\partial x}, w'_{\varepsilon}). $$

On intègre (3.5) de 0 à $t$. On majore le second membre à l'aide de l'estimation (3.1) et de l'inégalité de Young. Au premier membre, on utilise la minoration suivante (cf. J.L. Lions [11]):

$$ (3.6) \quad (|u'_{\varepsilon}|^p u'_{\varepsilon} - |u'|^p u') w'_{\varepsilon} \ge \sigma |w'_{\varepsilon}|^p, \quad \sigma > 0, \text{ p.p. } (x,t) \in Q. $$

Il vient,

$$ \frac{1}{2} \left\| \frac{\partial w_{\varepsilon}}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 + \gamma \sigma \int_0^t \| w'_{\varepsilon} \|_{L^p(\Omega)}^p d\tau + \frac{\alpha}{2} \int_0^t \| w'_{\varepsilon} \|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau \le \varepsilon + C \int_0^t \left\| \frac{\partial w_{\varepsilon}}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau. $$

Les estimations (i) et (ii) du théorème 3-5, proviennent alors du lemme de Gronwall.

(iii) : On déduit des équations (1) et (3.4) que:

$$ (3.7) \quad \vartheta \Delta(u_{\varepsilon} - u) = \varepsilon k(x, t, u_{\varepsilon}) u''_{\varepsilon} + h(u'_{\varepsilon}) - h(u') + \beta \frac{\partial(u_{\varepsilon} - u)}{\partial x}. $$

Il suffit alors d'estimer la norme dans $L^{p'}(Q)$ de chacun des termes du second membre de (3.7).

On observe que

$$ (3.8) \quad \|(|u'_{\varepsilon}|^p u'_{\varepsilon} - |u'|^p u')\|_{L^{p'}(Q)} \le C \|u'_{\varepsilon} - u'\|_{L^p(Q)}. $$

En effet (3.8) résulte de la relation:
$$ (3.9) \quad \left| \left( |u'_\epsilon|^\rho u'_\epsilon - |u'|^\rho u' \right) \right| \le C \left( |u'_\epsilon|^\rho + |u'|^\rho \right) |u'_\epsilon - u'| \quad \text{p.p. } (x,t) \in Q, $$

et de l'inégalité de Hölder avec $q = \frac{p}{p'}$ et de l'estimation i) du corollaire 3-1.

On utilise l'estimation (3.1), puis, on conclut à l'aide du théorème de la valeur moyenne, des estimations i) et ii) du théorème 3-5 et de l'estimation i) du corollaire 3-1.

(iv) et (v) : On utilise une méthode de quotient différentiel. On considère un réel $\theta$, $0 < \theta < T$, puis l'équation (1) satisfaite par $u_\epsilon$ aux instants $\tau$ et $\tau + \theta$, où $\tau \in ]0, T - \theta[$, où l'on a choisi la fonction-test $v = \frac{\tau^p(u'_\epsilon(\tau) - u'(\tau))}{\theta}$. On soustrait les deux égalités obtenues. On obtient en utilisant la notation $w_\theta$ introduite dans la preuve du lemme 2-2:

$$ \tau^p \varepsilon \left( (k(x, \tau, u_\epsilon) u_\epsilon'')_\theta, u'_\epsilon - u' \right) + \tau^p \left( \frac{\partial u_{\epsilon, \theta}}{\partial x}, \frac{\partial (u'_\epsilon - u')}{\partial x} \right) + \tau^p \left( (h(u'_\epsilon))_\theta, u'_\epsilon - u' \right) \\ + \tau^p \left( \beta \frac{\partial u_{\epsilon, \theta}}{\partial x}, u'_\epsilon - u' \right) = \tau^p (f_\theta, u'_\epsilon - u'), \text{ p.p. } \tau \in ]0, T - \theta[. $$

On procède de manière analogue avec l'équation (3.4). Il vient:

$$ \tau^p \left( \frac{\partial u_\theta}{\partial x}, \frac{\partial (u'_\epsilon - u')}{\partial x} \right) + \tau^p \left( (h(u'))_\theta, u'_\epsilon - u' \right) = \tau^p (f_\theta, u'_\epsilon - u'), \text{ p.p. } \tau \in ]0, T - \theta[. $$

Maintenant, on soustrait ces deux dernières égalités, puis on intègre de 0 à $t \in ]0, T - \theta[$. Il vient:

$$ \begin{align*} & \int_0^t \tau^p \left( \frac{\partial(u_{\epsilon,\theta} - u_\theta)}{\partial x}, \frac{\partial(u'_\epsilon - u')}{\partial x} \right) d\tau + \int_0^t \tau^p \left( (h(u'_\epsilon))_\theta - (h(u'))_\theta, u'_\epsilon - u' \right) d\tau \\ &= -\beta \int_0^t \tau^p \left( \frac{\partial(u_{\epsilon,\theta} - u_\theta)}{\partial x}, u'_\epsilon - u' \right) d\tau + \varepsilon p \int_0^t \tau^{p-1} (k(x, \tau, u_\epsilon) u'_{\epsilon,\theta}, u'_\epsilon - u') d\tau \\ &+ \varepsilon \int_0^t \tau^p \left( (k'_t(x, \tau, u_\epsilon) + k'_u(x, \tau, u_\epsilon) u'_\epsilon) u'_{\epsilon,\theta}, u'_\epsilon - u' \right) d\tau - \varepsilon \tau^p (k(x, \tau, u_\epsilon) u'_{\epsilon,\theta}, u'_\epsilon - u') \\ &+ \varepsilon \int_0^t \tau^p (k(x, \tau, u_\epsilon) u'_{\epsilon,\theta}, u''_\epsilon - u'') d\tau - \varepsilon \int_0^t \tau^p \left( (k(x, \tau, u_\epsilon))_\theta u''_\epsilon (\tau + \theta), u'_\epsilon - u' \right) d\tau. \end{align*} $$

On fait tendre $\theta \to 0_+$. Dans l'égalité limite obtenue on pose $w_\epsilon = u_\epsilon - u$ et on remarque que le terme en $\beta$ est nul puisque $u'_\epsilon$ (resp. $u'$) $\in H_0^1(\Omega)$, puis on fait deux intégrations par parties par rapport à $t$. On obtient p.p. $t \in ]0, T[$:
$$
\begin{align*}
& (3.10) \quad \int_0^t \tau^p \left\| \frac{\partial w'_{\epsilon}}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau \\
& \qquad + \gamma t^p (|u'_{\epsilon}|^\rho u'_{\epsilon} - |u'|^\rho u', w'_{\epsilon}) + \frac{\alpha}{2} t^p \|w'_{\epsilon}\|_{L^2(\Omega)}^2 \\
&= \epsilon p \int_0^t \tau^{p-1} (k(x, t, u_{\epsilon}) u''_{\epsilon}, w'_{\epsilon}) d\tau \\
& \qquad + \epsilon \int_0^t \tau^p (k(x, t, u_{\epsilon}) u''_{\epsilon}, w''_{\epsilon}) d\tau - \epsilon t^p (k(x, t, u_{\epsilon}) u''_{\epsilon}, w'_{\epsilon}) \\
& \qquad + \gamma p \int_0^t \tau^{p-1} (|u'_{\epsilon}|^\rho u'_{\epsilon} - |u'|^\rho u', w'_{\epsilon}) d\tau \\
& \qquad + \gamma \int_0^t \tau^p (|u'_{\epsilon}|^\rho u'_{\epsilon} - |u'|^\rho u', w''_{\epsilon}) d\tau \\
& \qquad + \alpha p \int_0^t \tau^{p-1} \|w'_{\epsilon}\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau.
\end{align*}
$$

On considère $\varepsilon \in ]0, \varepsilon_0[$ et on désigne par $C$ toute constante positive indépendante de $\varepsilon$. Comme $k(x, t, u_\varepsilon)$ et $\sqrt{t}u'_\varepsilon$ sont uniformément bornées dans $L^\infty(Q)$, $p > 1$, il vient à l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, des estimations i), ii) et iii) du corollaire 3-1 et de l'estimation (i) du théorème 3-5 sur $w'_\varepsilon$ :

$$
(3.11) \quad \left| \epsilon p \int_0^t \tau^{p-1} (k(x, t, u_\epsilon) u''_\epsilon, w'_\epsilon) d\tau + \epsilon \int_0^t \tau^p (k(x, t, u_\epsilon) u''_\epsilon, w''_\epsilon) d\tau \right| \\
\qquad + \alpha p \int_0^t \tau^{p-1} \|w'_\epsilon\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau \le C\epsilon,
$$

et

$$
(3.12) \quad |\epsilon t^p (k(x, t, u_\epsilon) u''_\epsilon, w'_\epsilon)| \le C\epsilon + \frac{\alpha}{2} t^p \|w'_\epsilon\|_{L^2(\Omega)}^2.
$$

En outre, on utilise en premier lieu l'inégalité de Holder avec $p$ et $p'$ et la propriété (3.8) puis la propriété (3.9), $\sqrt{t} u'_\epsilon$ est bornée dans $L^\infty(Q)$ indépendamment de $\epsilon$, $\sqrt{t} u' \in L^\infty(Q)$, $\sqrt{t} w''_\epsilon$ est bornée dans $L^2(Q)$ indépendamment de $\epsilon$, l'inégalité de Holder-Young relative au triplet $(\frac{2(\rho+2)}{\rho}, \rho+2, 2)$, l'estimation i) du corollaire 3-1, l'estimation (ii) du théorème 3-5 et le fait que $p > \frac{\rho}{2} + \frac{1}{2}$. On obtient:

$$
\left| \gamma p \int_0^t \tau^{p-1} (|u'_\epsilon|^\rho u'_\epsilon - |u'|^\rho u', w'_\epsilon) d\tau + \gamma \int_0^t \tau^p (|u'_\epsilon|^\rho u'_\epsilon - |u'|^\rho u', w''_\epsilon) d\tau \right| \le C (\epsilon^\frac{2}{p} + \epsilon^\frac{1}{p}).
$$

On déduit de (3.10) grâce aux trois dernières majorations, la propriété :

$$
\int_0^t \tau^p \left\| \frac{\partial w_\epsilon}{\partial x} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 d\tau + \gamma t^p (|u'_\epsilon|^\rho u'_\epsilon - |u'|^\rho u', w'_\epsilon) \le C(\epsilon + \sqrt{\epsilon} + \epsilon^{\frac{1}{p}}).
$$
Pour obtenir les estimations (iv) et (v), on utilise la minoration (3.6) et l'inégalité de Poincaré. Ce qui achève la preuve du théorème 3-5 et le § 3.

## 4- Quelques remarques

On donne ici des exemples de choix des données $u_0$, $u_1$, $f$ de sorte que l'hypothèse $H_1(6)$ est satisfaite.

Pour tout réel $x$, on désigne par $E(x)$ la partie entière de $x$. On suppose que $k$ vérifie l'hypothèse $H$, on va établir que la condition:

$$H_2 \left\{ \begin{array}{l} u_0 \text{ s'anulle en un nombre fini de points } c_i \ (a = c_1 < \dots < c_p = b) \text{ d'ordre de multiplicité } m_i. \\ \text{Au voisinage de chaque point } c_i, \Phi \text{ est de classe } C^{\ell_i+1} \text{ où } \ell_i = E\left(\frac{m_i\ell}{2}\right) \text{ et} \\ \Phi(c_i) = \dots = \Phi^{(\ell_i)}(c_i) = 0; \ i = 1, \dots, p. \end{array} \right.$$

est suffisante pour que $H_1(6)$ soit vérifiée.

Soit $\eta > 0$ tel que $\eta < \min \left\{ \left( \frac{c_i+c_j}{2} \right); i = 1, \dots, p-1 \right\}$. On pose

$$(4.1) \qquad I_{\eta} = \bigcup_{1 \le i \le p-1} ]c_i + \eta, c_{i+1} - \eta[$$

On va montrer que la fonction $\Psi = \frac{\Phi^2}{|u_0(x)|^\ell}$ est bornée par une fonction appartenant à $L^1(\Omega)$.

D'abord, on remarque que $\Psi$ est bornée sur $I_\eta$ par la fonction $x \to (\sup_{x \in I_\eta} \frac{1}{|u_0(x)|^\ell}) (\Phi(x))^2$.

De plus, au voisinage de chaque point $c_i$, on considère la relation:

$$(4.2) \qquad \frac{(\Phi(x))^2}{|u_0(x)|^\ell} \le \left( \frac{|x - c_i|^{m_i}}{|u_0(x)|} \right)^\ell \left[ \frac{\Phi_\epsilon(x)}{(x - c_i)^{(m_i\ell)/2}} \right]^2.$$

Le second membre de (4.2) admet une limite quand $x \to c_i$ et ceci grâce à la condition $H_2$ et à la formule de Taylor-Lagrange qui permet d'écrire:

$$\Phi(x) = \frac{(x - c_i)^{\ell_i + 1}}{(\ell_i + 1)!} \Phi^{(\ell_i + 1)}(\theta x + (1 - \theta)c_i), \quad 0 < \theta < 1,$$

la fonction $\Psi$ est donc bornée au voisinage de chaque point $c_i$.
On va maintenant donner des choix de fonctions $u_0$, $u_1$ et $f$ vérifiant l'hypothèse $H_2$. On suppose ici $\beta > 0$. Lorsque, par exemple, $u_0$ s'annule uniquement aux extrémités $a$ et $b$ avec $m_1 = m_2 = 1$, on peut choisir $u_1 \in H_0^1(\Omega)$ tel que $\text{Supp}(u_1) \subset I_\eta$. Donc au voisinage de $a$ et $b$, $\Phi$ est réduit à $\Phi = \Delta u_0 - \beta \frac{\partial u_0}{\partial x} + f(x, 0)$. Les deux équations différentielles:

$$ (E_a) \quad \left\{ \begin{array}{l} y : [a, a + \eta] \to \mathbb{R}, \\ y''(x) - \beta y'(x) + f(x) = 0, \\ y(a) = 0, y'(a) = C_a, C_a \in \mathbb{R}^*, \end{array} \right. \quad \text{et} \quad (E_b) \quad \left\{ \begin{array}{l} z : [b - \eta, b] \to \mathbb{R}, \\ z''(x) - \beta z'(x) + f(x) = 0, \\ z(b) = 0, z'(b) = C_b, C_b \in \mathbb{R}^*. \end{array} \right. $$

admettent les solutions:

$$ y(x) = \int_{a}^{x} e^{\beta y} \left( \int_{a}^{y} e^{-\beta t} (\beta C_{a} - f(t)) dt \right) dy + C_{a} (x - a), $$

$$ z(x) = - \int_{a}^{b} e^{\beta y} \left( \int_{y}^{b} e^{-\beta t} (f(t) - \beta C_{b}) dt \right) dy + C_{b} (b - x). $$

Pour obtenir des solutions $y$ (resp $z$) de $(E_a)$ (resp $(E_b)$) qui ne s'annulent pas en dehors de $a$ ou $b$ et qui soient de signe strictement positif (resp. négatif), on suppose sur $f$, l'une ou l'autre des deux conditions :

$(e_1)$ : $f$ est majorée au voisinage de $a$ et au voisinage de $b$.

$(e_2)$ : $f$ est minorée au voisinage de $a$ et au voisinage de $b$.

Lorsque $f$ satisfait à $(e_1)$, on considère dans $(E_a)$ et $(E_b)$ des constantes $C_a$ et $C_b$ vérifiant:

$$ C_a > \frac{1}{\beta} \max_{[a, a+\eta]} f^+(x) \text{ et } C_b > \frac{1}{\beta} \max_{[b-\eta, b]} f^+(x), $$

où $f^+ = \max(f, 0)$. On pourra donc choisir $u_0$ solution de $(E_a)$ sur $]a, a + \eta]$, solution de $(E_b)$ sur $[b - \eta, b[$ et $u_0$ est continue sur $[a + \eta, b - \eta]$ de sorte que $u_0 \in H^2(\Omega)$ et $u_0(x) > 0$ sur $]a, b[$.

Dans le cas $(e_2)$, on pourra considérer dans les équations (1) et 2) des constantes $C_a$ et $C_b$ définies par:

$$ C_a < -\frac{1}{\beta} \max_{x \in [a, a+\eta]} f^{-}(x) \text{ et } C_b < -\frac{1}{\beta} \max_{x \in [b-\eta, b]} f^{-}(x), $$
où $f^{-} = \max(-f, 0)$. On pourra donc choisir $u_0$ solution de $(E_a)$ sur $]a, a + \eta]$, de $(E_b)$ sur $[b - \eta, b[$ et $u_0$ est continue sur $[a + \eta, b - \eta]$ de sorte que $u_0 \in H^2(\Omega)$ et $u_0(x) < 0$ sur $]a, b[$.

On pourra traiter de même les cas $\beta < 0$ et $\beta = 0$.

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