# Sur les lois limites des sommes de variables indicatrices indépendantes

Norbert Roby

► To cite this version:

Norbert Roby. Sur les lois limites des sommes de variables indicatrices indépendantes. Annales de l'ISUP, 1964, XIII (3), pp.143-152. hal-04085201

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Submitted on 28 Apr 2023

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# SUR LES LOIS LIMITES DES SOMMES DE VARIABLES INDICATRICES INDÉPENDANTES

Norbert ROBY

## 1. Position des problèmes

Pour tout entier $n > 0$, on considère $n$ variables aléatoires (v. a.) indépendantes $X_{kn}(k = 1, ..., n)$ ; on suppose que $X_{kn}$ ne peut prendre que les valeurs : 0 avec probabilité $1 - p_{kn}$, et 1 avec probabilité $p_{kn}$ ($0 < p_{kn} \le 1$).

On pose :

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} X_{kn}, \quad a_n = \sum_{k=1}^{n} p_{kn} = E(S_n).$$

Dans un article antérieur [1], Fuchs et moi-même avons démontré le résultat suivant : soit $Y_a$ la variable de Poisson de paramètre $a \ge 0$, définie par : $\mathcal{L}(Y_a = k) = e^{-a}a^k/k!$ ($k$, entier $\ge 0$). Alors, pour que $S_n$ tende en loi vers $Y_a$ quand $n \to +\infty$, il faut et il suffit que soient satisfaites les deux conditions suivantes :

$$ \begin{cases} \lim_{n \to +\infty} a_n = a \\ \lim_{n \to +\infty} \max_{k=1}^{n} p_{kn} = 0. \end{cases} $$

Dans le présent article nous donnerons la solution des deux problèmes suivants, qui offrent une généralisation des préoccupations précédentes.

**Problème A :** Quelles sont les v.a. Y qu'on peut représenter comme des limites en loi de v.a. du type $S_n$ ?

**Problème B :** Sous quelles conditions portant sur les $p_{kn}$ peut-on affirmer que $S_n$ a une limite en loi ?

Il s'est avéré commode de mettre un peu d'ordre dans l'énumération des $p_{kn}$ ; pour tout $n$ donné, nous supposons que l'on a :
$$P_{1n} \ge \dots \ge P_{nn}$$

c'est-à-dire que l'application : $k \to p_{kn}$ est non-croissante. Cela ne diminue en rien la généralité de la question.

## 2. Le problème A

Comme les v. a. $S_n$ ne peuvent prendre que des valeurs entières $\ge 0$, il en est forcément de même pour leur limite en loi $Y$. Une telle v. a. sera désignée par le sigle v. a. e. p. (variable aléatoire entière positive).

La réponse au problème A est fournie par le

**THÉORÈME 1 :** Pour une v.a.e.p. $Y$, les trois propriétés suivantes sont équivalentes :

a) $Y$ est la limite en loi d'une suite de v.a. du type $S_n$.

b) la fonction génératrice de $Y$ est une fonction entière d'ordre $\le 1$ dont tous les zéros sont réels et telle que la série des inverses de ses zéros non nuls est convergente.

c) $Y$ est la somme d'une variable de Poisson et d'une série convergente en loi de variables indicatrices, toutes indépendantes.

En outre, pour une v.a.e.p. satisfaisant à ces conditions, les v.a. qui interviennent dans la décomposition c) sont uniques en loi, à l'addition près de v.a. qui seraient nulles p.s.

$$a) \implies b) : \text{Posons } \mathcal{L}(Y = k) = r_k.$$

La fonction génératrice de $S_n$ est le polynôme

$$P_n(u) = \prod_{k=1}^{n} (1 - p_{kn} + p_{kn}u).$$

Celle de $Y$ est la fonction holomorphe

$$\varphi(u) = \sum_{h \ge 0} r_h u^h$$

définie au moins pour $|u| \le 1$.

Les fonctions caractéristiques étant respectivement $P_n(e^{it})$ et $\varphi(e^{it})$, il résulte d'un théorème classique de Paul Lévy que $P_n(e^{it}) \to \varphi(e^{it})$ uniformément pour $-\pi \le t \le \pi$. C'est dire que $P_n(u) \to \varphi(u)$ uniformément pour $|u| = 1$, donc aussi pour $|u| \le 1$.
En particulier, pour $u = 0 : \prod_{k=1}^{n} (1 - p_{kn}) \rightarrow r_o$.

Si $r_o \neq 0$ :

Pour $n$ assez grand on a :

$$ \frac{r_o}{2} < \prod_{k=1}^{n} (1 - p_{kn}) \le \prod_{k=1}^{n} e^{-p_{kn}} = e^{-a_n}, $$

d'où : $a_n < \log \frac{2}{r_o}$ pour $n$ assez grand. Il en résulte que $a_n$ reste borné : $\forall n, a_n < A$.

Soit $R$ un nombre > 1. Dans le cercle $C_R : |u| \le R$ on peut dès lors écrire :

$$ |P_n(u)| \le \prod_{k=1}^{n} (1 - p_{kn} + p_{kn}R) \le \prod_{k=1}^{n} e^{(R-1)p_{kn}} = e^{(R-1)a_n} \le e^{(R-1)A}. $$

On voit ainsi que les fonctions $P_n(u)$ sont uniformément bornées dans $C_R$. Comme elles convergent uniformément vers $\varphi(u)$ dans $C_1$, il résulte du théorème de Vitali qu'elles convergent uniformément dans $C_R$, et celà vers une fonction holomorphe qui prolonge $\varphi(u)$. Nous noterons encore $\varphi(u)$ la fonction prolongée. Les développements de Taylor de $\varphi(u)$ dans $C_1$ et dans $C_R$ ont les mêmes coefficients ; et comme $R$ est arbitraire, on voit que la série

$$ \varphi(u) = \sum_{h \ge 0} r_h u^h $$

représente une fonction entière.

Rappelons que l'ordre de $\varphi(u)$ est le nombre $\rho$ défini par :

$$ \rho = \overline{\lim_{R \to \infty} \frac{\log \log M(R)}{\log R}}, \text{ où } M(R) = \sup_{|u|=R} |\varphi(u)|. $$

Comme, pour $|u| = R$, $|P_n(u)| \le e^{(R-1)A}$, on a aussi $|\varphi(u)| \le e^{(R-1)A}$, d'où :

$$ M(R) \le e^{(R-1)A} \quad \text{et} \quad \frac{\log \log M(R)}{\log R} \le \frac{\log A + \log (R-1)}{\log R}. $$

Quand $R \rightarrow +\infty$, il vient : $\rho \le 1$.

Les zéros éventuels de $\varphi(u)$ sont points limites des zéros de $P_n(u)$. Ils sont donc réels et $\le 0$ ; dans le cas présent, ils sont $\ne 0$, car $r_o \ne 0$. Nous désignons par $\alpha_1, \dots, \alpha_k, \dots$ la famille de
ces zéros rangés par valeurs décroissantes, cnacun d'eux étant
écrit autant de fois que l'exige son ordre de multiplicité ; cette
famille peut être vide, finie ou infinie ; si elle est vide ou finie,
$\alpha_k$ sera défini tant que k est inférieur ou égal au nombre total
des racines, et, pour k plus grand, $\alpha_k$ n'existe pas.

Comme les zéros de $P_n(u)$, rangés par ordre décroissant,
sont : $1 - \frac{1}{p_{1n}}$, ..., $1 - \frac{1}{p_{kn}}$, ..., on a nécessairement :

$$
\lim_{n \to +\infty} \left( 1 - \frac{1}{p_{kn}} \right) = \begin{cases} \alpha_k & \text{si } \alpha_k \text{ existe} \\ -\infty & \text{si } \alpha_k \text{ n'existe pas.} \end{cases}
$$

On peut donc écrire :

$$
\lim_{n \to +\infty} p_{kn} = \pi_k, \quad \text{où} \quad \pi_k = \begin{cases} \frac{1}{1-\alpha_k} & \text{si } \alpha_k \text{ existe} \\ 0 & \text{si } \alpha_k \text{ n'existe pas.} \end{cases}
$$

Soit N un entier > 0 ; pour n ≥ N on a :

$\sum_{k=1}^{N} p_{kn} \le a_n < A$. Quand $n \to +\infty$, il vient à la limite : $\sum_{k=1}^{N} \pi_k \le A$.
Cela montre que la série de terme général $\pi_k$ est convergente.

Si $\varphi(u)$ possède une infinité de zéros, on a : $\lim_{k \to +\infty} \alpha_k = -\infty$.
Comme, dans ces conditions, $\pi_k$ est équivalent à $-1/\alpha_k$, on voit
que la série de terme général $1/\alpha_k$ est aussi convergente.

Dans le cas où $r_o \neq 0$, il est démontré que $a) \implies b)$.

Si $r_o = 0$ :

Soit m le plus petit entier tel que $r_m \neq 0$. On a :

$$
\varphi(u) = u^m \psi(u), \text{ avec } \psi(u) = r_m + r_{m+1} u + \dots
$$

Comme $\varphi(u)$ a pour racine 0 à l'ordre m, les m premiers
zéros de $P_n(u)$ tendent vers 0 ; donc : $\lim_{n \to +\infty} p_{kn} = 1$ pour $1 \le k \le m$.

Pour $n > 0$, posons :

$$
S_n' = X_{m+1,m+n} + X_{m+2,m+n} + \dots X_{m+n,m+n}.
$$
Le polynôme générateur de $S'_n$ est :

$$Q_n(u) = \prod_{k=1}^{n} (1 - p_{m+k, m+n} + p_{m+k, m+n} u) = P_{m+n}(u) / \prod_{h=1}^{m} (1 - p_{h, m+n} + p_{h, m+n} u).$$

Faisons tendre $n$ vers $+\infty$ ; au moins si $|u| = 1$ il vient :

$$Q_n(u) \rightarrow \varphi(u)/u^m = \psi(u), \text{ uniformément.}$$

Par conséquent, $S'_n$ a une limite en loi $Y'$, dont la fonction génératrice est $\psi(u)$. Comme $S'_n$ est "du type $S_n$" et que $\psi(0) \neq 0$, nous pouvons affirmer que $\psi(u)$ possède toutes les propriétés énoncées dans b). Il est trivial de démontrer alors que la fonction $\varphi(u) = u^m \psi(u)$ possède, elle aussi, ces mêmes propriétés, c. q. f. d.

b) $\Longrightarrow$ c) : On suppose que $\varphi(u)$, fonction génératrice de $Y$, possède les propriétés b). Ses zéros, supposés réels, sont nécessairement $\le 0$. Nous désignons encore par $\alpha_1, \alpha_2, \dots$ la suite décroissante de ces zéros. Soit $m$ l'ordre de multiplicité éventuel de $0$ comme racine de $\varphi(u)$. Alors, $\alpha_1 = \dots = \alpha_m = 0$, $\alpha_{m+1} \neq 0$.

Un théorème d'Hadamard (cf. [2] p. 433) permet d'affirmer, puisque $\varphi(u)$ est entière d'ordre $\le 1$, qu'on a :

$$\varphi(u) = e^{Q(u)} u^m \prod_{k>m} \left(1 - \frac{u}{\alpha_k}\right) e^{\frac{u}{\alpha_k}},$$

où le produit (éventuellement infini) est absolument et uniformément convergent sur tout compact et où $Q(u)$ est un polynôme de degré $\le 1$. Dans le cas présent, puisque la série $\sum_{k>m} 1/\alpha_k$ est supposée convergente, on peut isoler les facteurs exponentiels de ce produit et les incorporer au facteur $e^{Q(u)}$. Alors :

$$\varphi(u) = e^{\alpha+\beta u} u^m \prod_{k>m} \left(1 - \frac{u}{\alpha_k}\right) \quad (\alpha, \beta \text{ : constantes}).$$

Pour tout $k$ tel que $\alpha_k$ existe, posons : $\pi_k = 1/1 - \alpha_k$ ; si $\alpha_k$ n'existe pas, on pose : $\pi_k = 0$ ; dans tous les cas on a : $0 \le \pi_k \le 1$. Comme la série $\sum_{k>m} 1/\alpha_k$ converge, il en est de même de la série $\sum_{k \ge 1} \pi_k$. Avec cette nouvelle notation on a :

$$\varphi(u) = e^{\alpha+\beta u} u^m \prod_{k>m} \left( \frac{1 - \pi_k + \pi_k u}{1 - \pi_k} \right).$$

Dans ce dernier produit infini, il est inutile de se limiter aux $k$
pour lesquels $\alpha_k$ existe, car si $\alpha_k$ n'existe pas, le facteur cor-
respondant est égal à 1. D'autre part, le produit infini $\prod_{k>m} (1 - \pi_k)$
étant convergent, on peut le sortir et l'incorporer au facteur initial ;
avec une autre constante $\alpha'$ on peut encore écrire :

$$
\varphi(u) = e^{\alpha' + \beta u} u^m \prod_{k>m} (1 - \pi_k + \pi_k u) = e^{\alpha' + \beta u} \prod_{k=1}^{+\infty} (1 - \pi_k + \pi_k u).
$$

(les m premiers facteurs de ce produit infini sont tous égaux à u,
car $\pi_k = 1$ pour $1 \le k \le m$).

La condition $\varphi(1) = 1$ entraîne $\beta = -\alpha'$, ce qu'on désigne par $\lambda$.
Finalement :

$$
\varphi(u) = e^{\lambda(u-1)} \prod_{k \ge 1} (1 - \pi_k + \pi_k u).
$$

Rappelons que le produit infini converge uniformément sur tout
compact. La constante $\lambda$ est nécessairement réelle; montrons qu'elle
est $\ge 0$. Ou bien $\varphi(u)$ est un polynôme ; dans ce cas le produit
infini représente un polynôme, d'où nécessairement, $\lambda = 0$. Ou
bien $\varphi(u)$ n'est pas un polynôme ; avec la notation $M(R)$ déjà
employée, le théorème de Liouville affirme alors : pour tout entier
$N \ge 0$, $\lim_{R \to +\infty} M(R)/R^N = +\infty$. Mais comme $\varphi$ a ses coefficients de
Taylor $> 0$, on a : $M(R) = \varphi(R)$ et il est permis d'écrire :

$$
+ \infty = \lim_{R \to +\infty} \varphi(R) / \prod_{k=1}^{N} (1 - \pi_k + \pi_k R) = \lim_{R \to +\infty} e^{\lambda(R-1)} \prod_{k>N} (1 - \pi_k + \pi_k R).
$$

Posons : $r_N = \sum_{k>N} \pi_k$ (reste d'ordre $N$ d'une série convergente).

On a :

$$
e^{\lambda(R-1)} \prod_{k>N} (1 - \pi_k + \pi_k R) \le e^{(\lambda+r_N)(R-1)}.
$$

Pour que le premier membre tende vers $+\infty$ quand $R \to +\infty$,
il est nécessaire que $\lambda + r_N > 0$ ; et si l'on fait maintenant tendre
$N$ vers $+\infty$, il vient bien : $\lambda \ge 0$.

La forme de $\varphi(u)$ montre alors que $Y$ est (tout au moins en loi), la somme d'une série de v. a. indépendantes, la première étant une v. a. de Poisson, de paramètre $\lambda$, les autres étant des variables indicatrices $Z_k$ ($k \ge 1$) ; $Z_k$ prend la valeur 1 avec la probabilité $\pi_k$. c. q. f. d.
Remarquons que ceux des $\pi_k$ qui ne sont pas nuls sont parfaitement déterminés par les zéros de $\varphi(u)$, d'où il résulte que $\lambda$ est lui aussi parfaitement déterminé. On prouve ainsi la dernière partie du Théorème I.

On notera :

$$Y = [\lambda ; \pi_1, \dots, \pi_k, \dots], \quad \text{avec} \quad \pi_1 \ge \dots \ge \pi_k \dots$$

Une telle représentation est donc unique.

c) $\implies$ a) : Supposons qu'on ait : $Y = Y_\lambda + \sum_{k \ge 1} Z_k$, où $Y_\lambda$ est une v.a. de Poisson et où les $Z_k$ sont des v.a. indicatrices, toutes indépendantes. On sait (cf. I) que $Y_\lambda$ est la limite en loi de v.a. de la forme $S'_n$, où $S'_n = \sum_{k=1}^n X_{kn}$ ; les $X_{kn}$ sont des v.a. indicatrices indépendantes, qu'on peut supposer aussi indépendantes des $Z_k$. Posons, pour tout entier $n > 0$ :

$$\begin{cases} S_{2n} = Z_1 + \dots + Z_n + X_{1n} + \dots + X_{nn}, \\ S_{2n+1} = S_{2n} + Z_{n+1}. \end{cases}$$

Alors, chaque $S_n$ est la somme de n v.a. indicatrices indépendantes et le recours aux fonctions caractéristiques montre clairement que, lorsque $n \to +\infty$, $S_n$ tend vers Y en loi. Le théorème est démontré.

### 3. Le problème B

La réponse au problème B est donnée par le

THÉORÈME 2 : Pour la suite $S_n$ définie au début de cet article les deux conditions suivantes sont équivalentes :

a) $S_n$ admet une limite en loi.

b) quand $n \to +\infty$, $a_n$ admet une limite $a$ et, pour tout $k \ge 1$, $p_{kn}$ admet une limite $\pi_k$.

Si ces conditions sont réalisées, on peut affirmer que la série $\sum_{k \ge 1} \pi_k$ est convergente et que sa somme b est $\le a$. La limite en loi de $S_n$ est alors la loi : $[a - b ; \pi_1, \dots, \pi_k, \dots]$.

a) $\implies$ b) : On suppose que $S_n$ a une limite en loi Y, dont la
fonction génératrice est $\varphi(u)$. Soit $(\alpha_k)$ la suite décroissante des zéros de $\varphi$. Π a déjà été démontré que, lorsque $n \to +\infty$, $p_{\alpha_k}$ a une limite $\pi_k$; si $\alpha_k$ existe, on a : $\pi_k = 1/1 - \alpha_k$; sinon, $\pi_k = 0$. On sait aussi que la série $\sum_{k \ge 1} \pi_k$ est convergente ; soit b sa somme. D'autre part, Y est de la forme $[\lambda; \pi_1, \dots, \pi_k, \dots]$. On a donc :

$$ \lim_{n \to +\infty} \prod_{k=1}^{n} (1 - p_{kn} + p_{kn}u) = e^{\lambda(u-1)} \prod_{k \ge 1} (1 - \pi_k + \pi_k u) $$

Posons $u - 1 = z$ ; il vient :

$$ \lim_{n \to +\infty} \prod_{k=1}^{n} (1 + p_{kn} z) = e^{\lambda z} \prod_{k \ge 1} (1 + \pi_k z), $$

la convergence étant uniforme sur tout compact. Les coefficients de z dans les développements tayloriens tendent donc l'un vers l'autre. Cela conduit à la relation : $\lim_{n \to +\infty} a_n = b + \lambda$.

b) est donc démontré, ainsi, d'ailleurs, que la seconde partie du théorème 2.

b) $\implies$ a) : Soit $\varepsilon$ un nombre $> 0$. Pour $n$ assez grand on a :

$$ a_n = \sum_{k=1}^{n} p_{kn} \le a + \varepsilon $$

Dès que $n$ est supérieur, en outre, à un entier $N$, on a donc aussi : $\sum_{k=1}^{N} p_{kn} < a + \varepsilon$. Passant à la limite quand $n \to +\infty$ il vient : $\sum_{k=1}^{N} \pi_k < a + \varepsilon$. Cela montre que la série $\sum_{k>1} \pi_k$ est convergente et que sa somme $b$ est $\le a$.

Considérons le polynôme $Q_n(z) = \prod_{k=1}^{n} (1 + p_{kn}z)$ et supposons que $z$ appartienne à une partie compacte du domaine $|z| < 1$. Désignons par $g(z)$ la somme de la série $\frac{z}{2} + \frac{z^2}{3} + \frac{z^3}{4} + \dots$. Pour tout nombre complexe $\alpha$, $|\alpha| < r < 1$, on a : $|\text{Log}(1+\alpha)| - |\alpha| < |\alpha|g(r)$.

Donnons nous un nombre $\varepsilon > 0$ et choisissons un entier $N$ tel que $(a+b)g(\pi_k) < \varepsilon$ ; c'est possible, puisque $\lim_{k \to +\infty} \pi_k = 0$ et que $g(z)$ s'annule à l'origine, Posons enfin :

$$ F_n(z) = \sum_{k=1}^{n} \text{Log}(1 + \pi_k z) + \left(a_n - \sum_{k=1}^{n} \pi_k\right) z $$
On peut écrire, pour $n > N$ :

$$|\text{Log } Q_n(z) - F_n(z)| \le \sum_{k=1}^{N-1} |\text{Log}(1 + p_{kn}z) - \text{Log}(1 + \pi_k z) - (p_{kn} - \pi_k)z| + \sum_{k=N}^{N} |\text{Log}(1 + p_{kn}z) - \text{Log}(1 + \pi_k z) - (p_{kn} - \pi_k)z|$$

Nous désignerons les deux termes du second membre par les mots de "premier $\Sigma''$" et de "second $\Sigma''$". On a :

$$|\text{Log}(1+p_{kn}z) - \text{Log}(1+\pi_k z) - (p_{kn} - \pi_k)z| \le |\text{Log}(1+p_{kn}z) - p_{kn}z| + |\text{Log}(1+\pi_k z) - \pi_k z|.$$

Pour $k \ge N$, $p_{kn}$ est majoré par $p_{Nn}$ et, (pour cette raison), $\pi_k$ l'est par $\pi_N$.

Il en résulte que :

$$|\text{Log}(1 + p_{kn}z) - p_{kn}z| \le p_{kn} g(p_{Nn})$$

$$\text{et } |\text{Log}(1 + \pi_k z) - \pi_k z| \le \pi_k g(\pi_N)$$

Sommant pour $k$ allant de $N$ à $n$, majorant $\sum_{k=N}^{n} p_{kn}$ par $a_n$ et $\sum_{k=N}^{n} \pi_k$ par $b$, on voit que le second $\Sigma$ est majoré par : $a_n g(p_{Nn}) + b g(\pi_N)$. Quand $n \to +\infty$, comme $a_n \to a$ et que $p_{kn} \to \pi_N$, ce majorant tend vers $(a+b)g(\pi_N) < \varepsilon$. Donc, pour $n$ suffisamment grand, le second $\Sigma$ est majoré uniformément par $\varepsilon$.

D'autre part, dans le domaine compact considéré, $p_{kn}z$ tend uniformément vers $\pi_k z$. Par conséquent, quand $n \to +\infty$, le premier $\Sigma$ tend uniformément vers $0$ ; donc, pour $n$ suffisamment grand, le premier $\Sigma$ est, lui aussi, majoré uniformément par $\varepsilon$. Finalement, pour $n$ suffisamment grand, on voit que $|\text{Log } Q_n(z) - F_n(z)|$ est majoré uniformément par $2\varepsilon$. Cela montre que $\text{Log } Q_n(z) - F_n(z)$ tend uniformément vers $0$. Or, $F_n(z)$ tend uniformément vers la fonction $\sum_{k \ge 1} \text{Log}(1 + \pi_k z) + (a - b)z$. Il en résulte que, sur un petit voisinage compact de l'origine on a, uniformément :

$$\lim_{n \to +\infty} Q_n(z) = e^{(a-b)lz} \prod_{k \ge 1} (1 + \pi_k z)$$
Posant $z = e^{it} - 1$, on reconnaît ainsi que, sur tout un voisinage de $t = 0$, la fonction caractéristique $Q_n(e^{it} - 1)$ de $S_n$ tend uniformément vers la fonction caractéristique :

$$e^{(a-b)(e^{it}-1)} \prod_{k \ge 1} (1 - \pi_k + \pi_k e^{it})$$

de la variable aléatoire $[a-b; \pi_1, \dots, \pi_k, \dots]$, c. q. f. d.

## REFERENCES

[1] FUCHS (A.) et ROBY (N.): Sur le domaine d'attraction de la loi de Poisson, *Publ. Inst. Statist. Univ. Paris 9* (1960), 391-394.

[2] VALIRON (G.): *Théorie des fonctions*. Paris, Masson (1948).

Institut de Mathématiques
Université de Lille

Reçu le 23 Juin 1964