Ensembles de polynômes irréductibles
et théorèmes de densité

par

MIREILLE CAR (Marseille)

I. Introduction. Soit $F_q$ le corps fini à $q$ éléments. Soit $\mathcal{U}$ l'ensemble des polynômes unitaires de l'anneau $F_q[X]$ des polynômes à une variable sur le corps $F_q$. Soit $I$ un ensemble de polynômes irréductibles unitaires de $F_q[X]$, $\mathcal{U}(I)$, resp. $\mathcal{L}(I)$, l'ensemble des polynômes de $\mathcal{U}$, resp. l'ensemble des polynômes sans facteur carré de $\mathcal{U}$, dont tous les facteurs irréductibles sont dans $I$. On cherche une estimation asymptotique du nombre $a(n, I)$, resp. $b(n, I)$, de polynômes de degré $n$ de $\mathcal{U}(I)$, resp. $\mathcal{L}(I)$. Pour des commodités d'écriture, on admettra que le polynôme 1 appartient à l'ensemble $\mathcal{L}(I)$ quel que soit l'ensemble $I$, de ce fait, on aura toujours

$$a(0, I) = b(0, I) = 1.$$

On ne peut espérer une estimation des nombres $a(n, I)$ et $b(n, I)$ qui soit valable dans tous les cas comme le montrent les deux exemples extrèmes suivants. Si $P$ est l'ensemble de tous les polynômes irréductibles, on a

$$a(n, P) = q^n \quad \text{pour tout entier } n \ge 0,$$

$$b(n, P) = \begin{cases} q^n & \text{si } n \in \{0, 1\}, \\ (1-1/q^n)q^n & \text{pour tout entier } n \ge 2. \end{cases}$$

Si $I$ est réduit à un seul polynôme irréductible $P$ de degré $d$, on a

$$a(n, I) = \begin{cases} 0 & \text{si } d \text{ ne divise pas } n, \\ 1 & \text{si } d \text{ disive } n, \end{cases}$$

$$b(n, I) = \begin{cases} 0 & \text{si } n \neq d, \\ 1 & \text{si } n = d. \end{cases}$$

On verra que lorsque l'ensemble $I$ vérifie certaines conditions de régularité on a une estimation asymptotique des nombres $a(n, I)$ et $b(n, I)$. Ces conditions sont de deux types. Le premier type de conditions correspond à une généralisation d'un théorème de Delange, [1], [5], aux polynômes de
$F_q[X]$, le deuxième type de conditions correspond à des conditions de régularité pour les degrés des polynômes de $I$. On aura aussi une généralisation de ces deux types de conditions.

Les estimations des nombres $a(n, I)$ et $b(n, I)$ sont basées sur des estimations auxillaires de coefficients de séries entières, estimations qui seront données en annexe à la fin de ce travail.

**II. Notations, conventions et rappels.** Dans ce qui suit, le mot polynôme désignera toujours un polynôme unitaire de $F_q[X]$.

Si $H$ est un tel polynôme, on note $d^H$ le degré de $H$ et $\Phi(H)$ le nombre de classes de congruence inversibles modulo $H$. Si $A$ est un ensemble de polynômes, on note $A(n)$ le nombre de polynômes de degré $n$ de $A$. Ainsi le nombre de polynômes irréductibles de degré $n$ sera noté $P(n)$. Rappelons ici deux relations vérifiées par les nombres $P(n)$:

$$ (II.1) \qquad q^n = \sum_{d|n} dP(d), $$

d'où,

$$ (II.2) \qquad nP(n) = \sum_{d|n} \mu(d) q^{n/d}, $$

$\mu$ désignant la fonction de Möbius, ou encore,

$$ (II.3) \qquad nP(n) = q^n - e(n), $$

avec

$$ (II.4) \qquad 0 \le e(n) \le 2q^{n/2}. $$

Soit un nombre réel $r > 0$. L'ensemble des nombres complexes $z$ tels que $|z| < r$, resp. $|z| \le r$, sera noté $D_r$, resp. $\bar{D}_r$.

Si $F$ est un ensemble fini, on note $\langle F \rangle$ le nombre d'éléments de $F$.

**III. Les séries génératrices.** Soit $I$ un ensemble de polynômes irréductibles. Les nombres $a(n, I)$ et $b(n, I)$ sont majorés par $q^n$. Les séries

$$ (III.1) \qquad f_I(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a(n, I) (z/q)^n, $$

$$ (III.2) \qquad g_I(z) = \sum_{n=0}^{\infty} b(n, I) (z/q)^n $$

sont absolument convergentes dans le disque $D_1$. Si $z \in D_1$, on a

$$ f_I(z) = \sum_{H \in \mathcal{H}(I)} (z/q)^{d_H} \quad \text{et} \quad g_I(z) = \sum_{H \in \mathcal{H}(I)} (z/q)^{d_H}. $$

Les fonctions caractéristiques des ensembles $\mathcal{H}(I)$ et $\mathcal{H}(I)$ sont multiplicatives. Pour $z \in D_1$, les sommes $f_I(z)$ et $g_I(z)$ se développent en produits eulériens

absolument convergents

$$ f_I(z) = \prod_{P \in I} (1 - (z/q)^{d_P})^{-1}, \quad g_I(z) = \prod_{P \in I} (1 + (z/q)^{d_P}) $$

d'où,

$$ (III.3) \qquad g_I(z) = \frac{f_I(z)}{f_I(z^2/q)}, $$

et,

$$ (III.4) \qquad \log \{f_I(z)\} = \sum_{P \in I} \{(z/q)^{d_P} + \sum_{k=2}^{\infty} (z/q)^{kd_P/k}\}. $$

**IV. Ensembles de densité.** Nous introduisons ici plusieurs notions de densité pour les ensembles de polynômes irréductibles, ces notions n'étant pas indépendantes les unes des autres.

Soit $I$ un ensemble de polynômes irréductibles.

**DÉFINITION IV.1.** L'ensemble $I$ est dit de densité $d \in [0, 1]$, si l'on a, pour $n$ tendant vers $+\infty$,

$$ (IV.1) \qquad I(n) = dP(n) + o(P(n)). $$

L'ensemble $P$ de tous les polynômes irréductibles est ainsi de densité 1.

**DÉFINITION IV.2.** L'ensemble $I$ est dit régulier de densité $d$ au sens de Delange, s'il existe une fonction $h$ holomorphe dans le disque fermé $\bar{D}_1$ telle que, pour tout $z \in D_1$ on ait,

$$ (IV.2) \qquad \sum_{P \in I} (z/q)^{d_P} = d \log \left( \frac{1}{1-z} \right) + h(z). $$

Dans de nombreux cas on a une approximation de $I(n)$ plus précise que celle donnée par la relation (IV.1), ce qui conduit aux définitions suivantes:

**DÉFINITION IV.3.** Soient $d \in [0, 1]$ et $\delta \in ]0, 1]$, $1[$. L'ensemble $I$ est dit de densité $d$ avec une approximation d'ordre $\delta$, si on a, pour $n$ tendant vers $+\infty$,

$$ (IV.3) \qquad I(n) = d \frac{q^n}{n} + O\left(\frac{q^{\delta n}}{n}\right), $$

les constantes impliquées par le symbole $O$ ne dépendant que de $I$.

**DÉFINITION IV.4.** Soient $d \in [0, 1]$ et $R \in ]1, +\infty[$. L'ensemble $I$ est dit R-régulier de densité $d$, s'il existe une fonction $h$ holomorphe sur le disque $D_R$, telle que pour $z \in D_1$ on ait,

$$ (IV.4) \qquad \sum_{P \in I} (z/q)^{d_P} = d \log \left( \frac{1}{1-z} \right) + h(z). $$
Si $I$ est de densité $d$ avec une approximation d'ordre $\delta \in ]0, 1[$, $I$ est de densité $d$ avec une approximation d'ordre $\gamma$, pour tout $\gamma \in [\delta, 1[$ et, de même, si $I$ est $R$-régulier de densité $d$, $I$ est $r$-régulier de densité $d$ pour tout $r \in ]1, R]$.

**PROPOSITION IV.1.** *L'ensemble P de tous les polynômes irréductibles est de densité 1 avec une approximation d'ordre 1/2.*

**Démonstration.** Immédiate avec (II.3) et (II.4).

La proposition suivante donne les relations existant entre les différents type de densité introduits plus haut.

**PROPOSITION IV.2.** *Soit $I$ une ensemble de polynômes irréductibles.*

(1) Si pour $d \in ]0, 1]$, $\delta \in ]0, 1[$, $I$ est de densité $d$ avec une approximation d'ordre $\delta$, $I$ est de densité $d$.

(2) Si pour $d \in ]0, 1]$, $R \in ]1, +\infty[$, $I$ est $R$-régulier de densité $d$, $I$ est régulier de densité $d$.

(3) Si $I$ est régulier de densité $d$, $I$ est de densité $d$.

(4) Soit $d \in ]0, 1]$. Alors, il existe $\delta \in ]0, 1[$ tel que $\text{l'ensemble } I \text{ soit de densité } d \text{ avec une approximation d'ordre } \delta \text{ si et seulement si il existe } R \in ]1, q[$ tel que $I$ soit $R$-régulier de densité $d$.

**Démonstration.** (a) Le deuxième point est immédiat. Avec (II.3) et (II.4) le premier point l'est tout autant.

(b) On suppose $I$ régulier de densité $d$. La relation (IV.2) s'écrit

$$ \sum_{n=1}^{\infty} I(n)(z/q)^n = d \sum_{n=1}^{\infty} z^n/n + \sum_{n=1}^{\infty} h_n z^n, $$

où $\sum_{n=1}^{\infty} h_n z^n$ est le développement en série de Taylor au voisinage de zéro de la fonction $h$. On en déduit

(i) $$ I(n) = d \frac{q^n}{n} + nh_n \frac{q^n}{n}, $$

d'où, avec (II.3) et (II.4)

$$ I(n) = dP(n) + O\left(\frac{q^{n/2}}{n} + \frac{q^n}{n} (nh_n)\right). $$

La fonction $h$ étant holomorphe dans le disque fermé $\bar{D}_1$,

$$ nh_n \in o(1), $$

et la relation (IV.1) est vérifiée.

Si on suppose de plus que $I$ est $R$-régulier de densité $d$, la fonction $h$ est alors holomorphe dans le disque $D_R$ et, pour tout $r \in ]1, R[$,

$$ nh_n \in o(r^{-n}), $$

et avec (i) on a

$$ I(n) = d \frac{q^n}{n} + O\left(\frac{1}{n}\left(\frac{q}{r}\right)^n\right), $$

et la relation (IV.3) est vérifiée avec $\delta = 1 - \log r / \log q$.

(c) On suppose $I$ de densité $d$ avec une approximation d'ordre $\delta \in ]0, 1[$. Alors, on a

$$ I(n) = d q^n/n + \varrho(n) \quad \text{avec} \quad \varrho(n) \in O(q^{\delta n}/n), $$

d'où,

$$ \sum_{P \in I} (z/q)^{d \cdot P} = \sum_{n=1}^{\infty} I(n)(z/q)^n = d \log \left( \frac{1}{1-z} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} \varrho(n)(z/q)^n. $$

La série

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \varrho(n)(z/q)^n $$

est absolument convergente dans le disque $D_{q^{1-\delta}}$ et sa somme est holomorphe dans ce disque.

Donnons quelques exemples d'ensembles de polynômes irréductibles ayant une densité.

**PROPOSITION IV.3.** *Soit $F$ un ensemble fini de polynômes irréductibles. Alors, pour tout $\delta \in ]0, 1[$, $F$ est de densité 0 avec une approximation d'ordre $\delta$.*

**Démonstration.** Si $n > \sup_{P \in F} \{d^\alpha P\}$, $F(n) = 0$, et (3) est vérifiée.

**PROPOSITION IV.4.** *Soient $I$ et $J$ des ensembles de polynômes irréductibles tels que $I \subset J$. Soit $I'$ le complémentaire de $I$ dans $J$.*

(1) Si $I$ et $J$ sont de densités respectives $d$ et $u$, alors $I'$ est de densité $u-d$.

(2) Si $I$ et $J$ sont réguliers de densités respectives $d$ et $u$, alors $I'$ est régulier de densité $u-d$.

(3) Si $I$ est de densité $d$ avec une approximation d'ordre $\delta$, si $J$ est de densité $u$ avec une approximation d'ordre $\gamma$, alors $I'$ est de densité $u-d$ avec une approximation d'ordre $\sup(\delta, \gamma)$.

(4) Si $I$ est $R$-régulier de densité $d$, si $J$ est $r$-régulier de densité $u$, alors $I'$ est $R$-régulier de densité $u-d$ avec $R' = \inf(r, R)$.

**Démonstration.** Immédiate.

**COROLLAIRE.** *Si $F$ est un ensemble fini de polynômes irréductibles, le complémentaire de $F$ dans l'ensemble $P$ est de densité 1 avec l'approximation $\delta$, quel que soit $\delta \in ]0, 1[$.*
Remarque: Les ensembles finis de polynômes irréductibles ne sont pas les seuls ensembles de densité 0. Par exemple, on choisit pour tout entier $n \ge 4$, $I(n) = [q^{n/2} n^{-1}]$ polynômes irréductibles de degré $n$, ce qui est possible en raison de (II.2), et la réunion de ces polynômes irréductibles donne un ensemble de densité 0 avec une approximation d'ordre $1/2$.

**PROPOSITION IV.5.** Soient $H$ un polynôme différent de $1$ et $L$ un polynôme premier à $H$. Alors, $\Gamma$ensemble $I(H, L)$ des polynômes irréductibles congrus à $L$ modulo $H$ est de densité $1/\Phi(H)$ avec une approximation d'ordre $1/2$.

**Démonstration.** Le théorème 4 de [3] nous donne

$$ \left| I(H, L)(n) - \frac{q^n}{n\Phi(H)} \right| \le (1 + d^\alpha H) q^{n/2}. $$

Le résultat principal de ce paragraphe est le théorème suivant analogue au théorème 21 de [1].

**THÉORÈME 1.** (1) Soit $I$ un ensemble de polynômes irréductibles régulier de densité $d \in ]0, 1[$. Alors, il existe des constantes $A(I)$ et $B(I)$, ne dépendant que de $I$, telles que pour $n$ tendant vers $+\infty$, on ait

$$ a(n, I) = A(I) q^n n^{d-1} + O(q^n n^{d-2}), $$

$$ b(n, I) = B(I) q^n n^{d-1} + O(q^n n^{d-2}), $$

les constantes impliquées par les symboles $O$ ne dépendant que de $I$.

(2) Soit $I$ un ensemble de polynômes irréductibles régulier de densité $1$. Alors, il existe des constantes $A(I)$ et $B(I)$, ne dépendant que de $I$, telles que, pour tout entier $k > 0$, pour $n$ tendant vers $+\infty$, on ait

$$ a(n, I) = A(I) q^n + o(q^n n^{-k}), $$

$$ b(n, I) = B(I) q^n + o(q^n n^{-k}). $$

(3) Soit $I$ un ensemble de polynômes irréductibles régulier de densité $0$. Alors, pour tout entier $k > 0$, pour $n$ tendant vers $+\infty$, on a

$$ a(n, I) \in o(q^n n^{-k}), $$

$$ b(n, I) \in o(q^n n^{-k}). $$

**Démonstration.** Posons

$$ F(z) = f_I(z) \quad \text{et} \quad G(z) = g_I(z), $$

les fonctions $f_I$ et $g_I$ étant définies comme au paragraphe III.

La série

$$ \sum_{P \in I} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k} \left( \frac{z}{q} \right)^{kd \cdot P} $$

est absolument convergente dans le disque $D_{\sqrt{q}}$. La fonction

$$ z \mapsto u(z) = \sum_{P \in I} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k} \left( \frac{z}{q} \right)^{d \cdot P} $$

est holomorphe dans $D_{\sqrt{q}}$. On applique la relation (IV.2)

$$ \log(F(z)) = d \log(1/(1-z)) + h(z) + u(z) $$

d'où,

(i) $F(z) = H(z)(1-z)^{-d}$, avec $H(z) = \exp(h(z)+u(z))$.

La fonction $H$ est holomorphe dans le disque fermé $\bar{D}_1$ et ne s'annule pas sur ce disque. La relation (III.3) nous donne

(ii) $$ G(z) = \{H(z)(1-z^2/q)^d/H(z^2/q)\} (1-z)^{-d}. $$

La fonction

$$ z \mapsto K(z) = H(z)(1-z^2/q)^d H(z^2/q)^{-1} $$

est elle aussi holomorphe dans le disque fermé $\bar{D}_1$.

On applique alors la proposition A.1. Avec (III.1) et (III.2) il vient

$$ a(n, I) q^{-n} = \begin{cases} H(1) n^{d-1} / \Gamma(d) + O(n^{d-2}) & \text{si } d \in ]0, 1[, \\ H(1) + o(n^{-k}) & \text{si } d=1, \end{cases} $$

$$ b(n, I) q^{-n} = \begin{cases} K(1) n^{d-1} / \Gamma(d) + O(n^{d-2}) & \text{si } d \in ]0, 1[, \\ K(1) + o(n^{-k}) & \text{si } d=1, \end{cases} $$

$k$ étant un entier strictement positif quelconque.

Si $d=0$, les relations (i) et (ii) s'écrivent

$$ F(z) = H(z) \quad \text{et} \quad G(z) = K(z). $$

On a, pour tout entier $k > 0$,

$$ a(n, I) q^{-n} \in o(n^{-k}) \quad \text{et} \quad b(n, I) q^{-n} \in o(n^{-k}). $$

### V. Polynômes ayant la repartition $(h, L, d)$.

**DÉFinition V.1.** Soit un entier $h \ge 2$. Pour $k \in \{0, \dots, h-1\}$, soit $I_k$ l'ensemble des polynômes irréductibles $P$ tels que

$$ d^\alpha P \equiv k \pmod h. $$

Si $L$ est une partie de $\{0, \dots, h-1\}$, soit

$$ J_L = \bigcup_{k \in L} I_k. $$

Un tel ensemble $J_L$ sera dit de type $(h, L)$.
Lorsque $L$ est l'ensemble $\{0, \dots, h-1\}$, $\mathcal{U}(J_L)$, resp. $\mathcal{U}(J_L)$, est l'ensemble de tous les polynômes unitaires, resp. de tous les polynômes unitaires sans facteur carré, et les nombres $a(n, J_L)$ et $b(n, J_L)$ sont connus. Si $L = \emptyset$, $J_L = \emptyset$ et les nombres $a(n, J_L)$ et $b(n, J_L)$ sont connus. Nous allons établir une estimation des nombres $a(n, J_L)$ et $b(n, J_L)$ dans le cas général. Cette estimation se déduira de l'estimation des nombres $a(n, J)$ et $b(n, J)$ faite pour des ensembles $J$ qui généralisent les ensembles de type $(h, L)$.

**DÉFinition V.2.** Soient un entier $h \ge 2$ et $L$ une partie de l'ensemble $\{0, \dots, h-1\}$. Soit $d \in [0, 1]$. On dit qu'un ensemble $I$ de polynômes irréductibles admet la répartition $(h, L, d)$ s'il existe $\delta \in ]0, 1[$ tel que

(V.1) pour tout entier $n > 0$, congru modulo $h$ à un élément de $L$, on ait

$$I(n) = d q^n/n + O\left(\frac{q^{\delta n}}{n}\right);$$

(V.2) pour tout entier $n > 0$, non congru modulo $h$ à élément de $L$, on ait,

$$I(n) \in O\left(\frac{q^{\delta n}}{n}\right),$$

les constantes impliquées par les symboles $O$ ne dépendant que de $I$.

Si $L$ est la partie vide, et si $I$ admet la répartition $(h, L, d)$, $I$ est de densité $0$, avec une certaine approximation d'ordre $\delta$. Si $L = \{0, \dots, h-1\}$, et si $I$ admet la répartition $(h, L, d)$, $I$ est de densité $d$ avec une certaine approximation d'ordre $\delta$. Un ensemble de type $(h, L)$ admet la répartition $(h, L, 1)$.

Comme pour la proposition IV.5, on démontre la proposition suivante:

**Proposition V.1.** Soient $H$ un polynôme différent de $1$ et $L$ un polynôme premier à $H$. Soient un entier $h \ge 2$ et $K$ une partie non vide de $\{0, \dots, h-1\}$. Alors, l'ensemble des polynômes irréductibles $P$ tels que

(i) $P$ est congru à $L$ modulo $H$,

(ii) $d^\circ P$ est congru à un élément de $K$ modulo $h$, admet la répartition $(h, K, 1/\Phi(H))$.

Le théorème suivant donne une estimation des nombres $a(n, I)$ et $b(n, I)$ lorsque $I$ admet la répartition $(h, L, d)$. L'hypothèse $L \ne \{0, \dots, h-1\}$ faite dans ce théorème n'est pas indispensable, le théorème restant vrai pour $L = \{0, \dots, h-1\}$, mais donnant des résultats moins bons, notamment en ce qui concerne le terme d'erreur, que les résultats obtenus directement à l'aide du théorème 1.

**Théorème 2.** Soient un entier $h \ge 2$, $L$ une partie non vide de $\{0, \dots, h-1\}$ distincte de $\{0, \dots, h-1\}$. Soit $d \in [0, 1]$. Soit $I$ un ensemble de polynômes irréductibles admettant la répartition $(h, L, d)$. Soit

$$\varrho = \cos(2\pi/h) + i \sin(2\pi/h).$$

Pour $k \in \{0, \dots, h-1\}$, soit

$$\beta_k = \frac{d}{h} \sum_{l \in L} \varrho^{-kl}.$$

Alors, il existe des nombres complexes $A_k(I)$ et $B_k(I)$, $0 \le k \le h-1$, ne dépendant que de $I$ tels que

(i) $A_k(I)$ et $A_{h-k}(I)$ sont conjugués, $1 \le k \le h-1$,

(ii) $B_k(I)$ et $B_{h-k}(I)$ sont conjugués, $1 \le k \le h-1$,

(iii) $A_0(I)$ et $B_0(I)$ sont réels,

(iv) pour $n$ tendant vers $+\infty$, on a

$$a(n, I) = \sum_{k=0}^{h-1} A_k(I) n^{\overline{\beta_k}-1} \varrho^{-kn} q^n + O(q^n n^{d\langle L \rangle/h-2}),$$

$$b(n, I) = \sum_{k=0}^{h-1} B_k(I) n^{\overline{\beta_k}-1} \varrho^{-kn} q^n + O(q^n n^{d\langle L \rangle/h-2}),$$

d'où, en particulier, si $L$ n'est pas réduit à $\{0\}$,

$$a(n, I) = A_0(I) q^n n^{d\langle L \rangle/h-1} + O(q^n n^{d\langle L \rangle \cos(2\pi h)/h-1}),$$

$$b(n, I) = B_0(I) q^n n^{d\langle L \rangle/h-1} + O(q^n n^{d\langle L \rangle \cos(2\pi h)/h-1}),$$

les constantes impliquées par ces symboles $O$ ne dépendant que de $I$.

**Démonstration.** Reprenons les notations du paragraphe III et posons

$$a_n = a(n, I), \quad b_n = b(n, I), \quad f_I = f, \quad g_I = g.$$

Notons $L'$ le complémentaire de $L$ dans $\{0, \dots, h-1\}$ et posons

$$\varepsilon(L) = \begin{cases} 0 & \text{si } 0 \notin L, \\ 1 & \text{si } 0 \in L. \end{cases}$$

Avec (III.4) on a

$$\log(f(z)) = \sum_{k=0}^{h-1} \sum_{m \equiv k(\text{mod } h) \atop m \neq 0} I(m) \left[ \left(\frac{z}{q}\right)^m + \sum_{s=2}^{\infty} \frac{1}{s} \left(\frac{z}{q}\right)^{ms} \right].$$

Si $j \in L$ et si $n$ est congru à $j$ modulo $h$, on pose

$$I(n) = d q^n/n + r(n).$$

Alors, avec (V.1) et (V.2) on a

(i) $\log(f(z)) = du(z) + v(z)$,

avec

(ii) $u(z) = \sum_{l \in L} \sum_{\substack{m \equiv l(\text{mod } h) \\ m \neq 0}} z^m/m,$
$$ (iii) \quad v(z) = \sum_{l \in L} \sum_{\substack{m \equiv l \pmod h \\ m \neq 0}} r(m)(z/q)^m + \\ \qquad + \sum_{l \in L'} \sum_{\substack{m \equiv l \pmod h \\ m \neq 0}} I(m)(z/q)^m + \sum_{k=0}^{h-1} \sum_{\substack{m \equiv k \pmod h \\ m \neq 0}} I(m) \sum_{s=2}^{\infty} \frac{1}{s} \left(\frac{z}{q}\right)^{sm}. $$

La fonction $v$ est holomorphe dans le disque $|z| < \inf(q^{1/2}, q^{1-\delta})$. La fonction

$$ (iv) \quad z \mapsto H(z) = \exp(v(z)) $$

est holomorphe dans ce disque et ne s'y annule pas.

$$ \text{Si } z \in D_1, $$

$$ u'(z) = \sum_{\substack{l \in L \\ l \neq 0}} z^{l-1} / (1-z^h) + v(L) z^{h-1} / (1-z^h). $$

Alors,

$$ u'(z) = \frac{1}{h} \sum_{l \in L} \sum_{j=0}^{h-1} \varrho^{-j(l-1)} (1 - \varrho^j z)^{-1}, $$

et

$$ \begin{align*} u(z) &= \frac{1}{h} \sum_{l \in L} \sum_{j=0}^{h-1} \varrho^{-jl} \log \left( \frac{1}{1 - \varrho^j z} \right), \\ \exp(u(z)) &= \left\{ \prod_{l \in L} \prod_{j=0}^{h-1} (1 - \varrho^j z)^{-q^{-jl}} \right\}^{1/h}, \\ \exp(du(z)) &= \prod_{j=0}^{h-1} (1 - \varrho^j z)^{-\beta_j}. \end{align*} $$

Avec (i), (iv) et (III.3) on déduit

$$ (v) \quad f(z) = H(z) \prod_{j=0}^{h-1} (1 - \varrho^j z)^{-\beta_j}, $$

$$ (vi) \quad g(z) = K(z) \prod_{j=0}^{h-1} (1 - \varrho^j z)^{-\beta_j}, $$

avec

$$ (vii) \quad K(z) = H(z) H(z^2/q)^{-1} \prod_{j=0}^{h-1} (1 - \varrho^j z^2/q)^{\beta_j}. $$

La fonction $K$ est holomorphe dans le disque $|z| < \inf(q^{1/2}, q^{1-\delta})$. On applique la proposition A.2. Il vient

$$ a_n q^{-n} = \frac{1}{\pi} \sum_{k=0}^{h-1} \varrho^{-kn} H(\varrho^k) \left\{ \prod_{j=1}^{h-1} (1 - \varrho^j)^{-\beta_j-k} \right\} \Gamma(1 - \overline{\beta_k}) \sin \left( \pi(1 - \overline{\beta_k}) \right) n^{\overline{\beta_k} - 1} + O(n^{d(L)/h-2}). $$

On a une formule analogue pour $b_n q^{-n}$ en remplaçant $H$ par $K$. Les constantes impliquées par les symboles $O$ intervenant dans ces formules ne dépendent que de $H$, resp. de $K$, et de $h$, c'est-à-dire, en fait, ne dépendent que de l'ensemble $I$.

La fonction $H$ est à coefficients réels, $H(1)$ est réel et, pour $k=1, \dots, h-1$, les nombres $H(\varrho^k)$ et $H(\varrho^{h-k})$ sont conjugués. On a le résultat annoncé en posant

$$ A_k(I) = \frac{H(\varrho^k)}{\pi} \left\{ \prod_{j=1}^{h-1} (1 - \varrho^j)^{-\beta_{j-k}} \right\} \Gamma(1 - \overline{\beta_k}) \sin \left( \pi(1 - \overline{\beta_k}) \right). $$

Lorsque $I$ est de type $(h, L)$, il est possible de calculer exactement les constantes $A_k(I)$, ce qui conduit au théorème suivant:

**THÉORÈME 3.** Soient un entier $h \ge 2$ et $L$ une partie de $\{0, \dots, h-1\}$ distincte de $\{0, \dots, h-1\}$. Soit $I$ l'ensemble des polynômes irréductibles de type $(h, L)$. Pour $k \in \{0, \dots, h-1\}$, soient

$$ \begin{align*} \beta_k &= \frac{1}{h} \sum_{l \in L} \varrho^{-kl}, & U_k &= \prod_{j=1}^{h-1} (1 - \varrho^j)^{-\beta_{j-k}}, & V_k &= \prod_{j=0}^{h-1} (1 - \varrho^{j+2k} q^{-1})^{\beta_j}, \\ Y_k &= \prod_{l \in L} \prod_{\substack{m \equiv l \pmod h \\ m \neq 0}} \exp \left( \varrho^{km} \left[ \frac{P(m)}{q^m} - \frac{1}{m} \right] + P(m) \sum_{s=2}^{\infty} \frac{1}{s} \left[ \varrho^k/q \right]^{sm} \right), \\ Z_k &= \prod_{l \in L} \prod_{\substack{m \equiv l \pmod h \\ m \neq 0}} \exp \left( \varrho^{2km} \left[ \frac{1}{m} - \frac{P(m)}{q^m} \right] - P(m) \sum_{s=2}^{\infty} \frac{1}{s} \left[ \varrho^{2k}/q^2 \right]^{sm} \right). \end{align*} $$

Alors, les nombres $A_k(I)$ et $B_k(I)$ sont donnés par les relations

$$ \begin{align*} A_k(I) &= Y_k U_k \Gamma(1 - \overline{\beta_k}) \sin \left( \frac{\pi(1 - \overline{\beta_k})}{\pi} \right), \\ B_k(I) &= Y_k U_k V_k Z_k \Gamma(1 - \overline{\beta_k}) \sin \left( \frac{\pi(1 - \overline{\beta_k})}{\pi} \right). \end{align*} $$

**Démonstration.** On reprend la démonstration du théorème 2. La relation (iii) s'écrit ici

$$ v(z) = \sum_{l \in L} \sum_{\substack{m \equiv l \pmod h \\ m \neq 0}} \left| P(m) \sum_{s=2}^{\infty} \frac{1}{s} \left(\frac{z}{q}\right)^{sm} + \left(\frac{P(m)}{q^m} - \frac{1}{m}\right) z^m \right|, $$

d'où,

$$ \begin{align*} H(\varrho^k) &= \exp(v(\varrho^k)) = Y_k, \\ K(\varrho^k) &= H(\varrho^k) H(\varrho^{2k}/q)^{-1} \prod_{j=0}^{h-1} (1 - \varrho^j \varrho^{2k}/q) = Y_k Z_k V_k. \end{align*} $$

Lorsque $I$ est l'ensemble des polynômes irréductibles de degré divisible par $h$
les nombres $\beta_k$, $U_k$, $V_k$, $Y_k$ et $Z_k$ du théorème 2 prennent une forme particulièrement simple, ce qui conduit au corollaire suivant:

**COROLLAIRE.** Soit un entier $h \ge 2$ et soit $I$ l'ensemble des polynômes irréductibles de degré divisible par $h$. Alors, on a

$$ (1) \qquad a(n, I) = b(n, I) = 0 \quad \text{si h ne divise pas n,} $$

et, pour tout entier $n \ge 1$,

$$ (2) \qquad a(nh, I) = A\Gamma(1/h)^{-1} q^{nh} n^{1/(h-1)} + O(q^{nh} n^{1/(h-2)}), $$

$$ (3) \qquad b(nh, I) = B\Gamma(1/h)^{-1} (1-q^{-h})^{1/h} q^{nh} n^{1/(h-1)} + O(q^{nh} n^{1/(h-2)}), $$

avec

$$ (4) \qquad A = \prod_{P \in I'} (1 - q^{-hd'P/(h,d'P)})(h,d'P) \cdot 1/h, $$

$$ (5) \qquad B = \prod_{P \in I'} (1 + q^{-hd'P/(h,d'P)})^{-((h,d'P)-1)/h}, $$

I' désignant l'ensemble des polynômes irréductibles de degré non divisible par $h$, $(h, d'P)$ désignant le p.g.c.d. des nombres $d'P$ et $h$, les constantes impliquées par les symboles $O$ ne dépendant que de $q$ et de $h$.

**Démonstration.** Les polynômes de $\mathfrak{W}(I)$ sont de degré divisible par $h$, d'où (1). On a

$$ \beta_k = 1/h, \quad U_k = h^{-1}h^k, \quad V_k = (1-q^{-h})^{-1}, \quad Y_k = \exp(y), \quad Z_k = \exp(z) $$

avec

$$ y = \sum_{m=1}^{\infty} q^{-hm} \left[ P(hm) - \frac{q^{hm}}{hm} \right] + P(hm) \sum_{s=2}^{\infty} \frac{1}{s} q^{-shm}. $$

Avec (II.2) il vient

$$ \begin{aligned} y &= \sum_{m=1}^{\infty} \frac{q^{-hm}}{hm} \sum_{\substack{d|hm \\ d \neq 1}} \mu(d) q^{hm/d} + P(hm) \sum_{s=2}^{\infty} \frac{1}{s} q^{-shm} \\ &= \sum_{m=1}^{\infty} \frac{q^{-hm}}{hm} \left[ \sum_{\substack{d|hm \\ d \neq 1}} \mu(d) q^{hm/d} + \sum_{\substack{sk=m \\ s \neq 1}} P(hk) hk \right] \end{aligned} $$

Or, avec (II.1), on a

$$ \sum_{\substack{sk=m \\ s \ge 2}} h k P(hk) = \sum_{d|hm} dP(d) - hmP(hm) - \sum_{\substack{d|hm \\ h' \nmid d}} dP(d), $$

d'où, en utilisant encore la relation (II.2),

$$ y = - \sum_{m=1}^{\infty} \frac{q^{-hm}}{hm} \sum_{\substack{d|hm \\ h' \nmid d}} dP(d) = - \frac{1}{h} \sum_{d=1}^{\infty} (d, h) P(d) \sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{j} q^{-jhd/(d,h)}, $$

et

$$ Y_k = \prod_{\substack{R \in P \\ h' \nmid d'R}} (1 - q^{-hd'R/(h,d'R)})(h,d'R)/h = A. $$

De la même façon on démontre que

$$ Y_k Z_k = B, $$

d'où, les relations (2) et (3).

Notons que ce corollaire peut se démontrer directement à l'aide de la proposition A.1 démontrée en annexe.

## Annexe

**PROPOSITION A.1.** Soit $H$ une fonction holomorphe dans le disque fermé $\bar{D}_1$. Soit $d \in ]0, 1]$. Soit, pour tout nombre complexe $z \ne 1$,

$$ (1) \qquad f(z) = H(z)(1-z)^{-d}, $$

et

$$ (2) \qquad f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} u_n z^n $$

le développement en série de Taylor au voisinage de 0 de la fonction $f$. Alors, si $d=1$, on a, pour tout entier $k > 0$, pour $n$ tendant vers $+\infty$,

$$ (3) \qquad u_n = H(1) + o(n^{-k}), $$

et, si $d < 1$, on a, pour $n$ tendant vers $+\infty$,

$$ (4) \qquad u_n = \frac{H(1)}{\Gamma(d)} n^{d-1} + O(n^{d-2}), $$

les constantes impliquées par le symbole $O$ ne dépendant que de $d$ et de $H$.

**Démonstration.** On écrit le développement en série de Taylor à l'origine de la fonction $H$

$$ (i) \qquad H(z) = \sum_{j=0}^{\infty} h_j z^j. $$
La fonction $H$ étant holomorphe dans le disque $\bar{D}_1$, on en déduit la convergence absolue des séries dérivées $H'(z), \dots, H^{(k)}(z)$, au point 1, d'où, pour tout entier $k > 0$,

$$ (ii) \qquad |h_j| \in o(j^{-k-1}). $$

Si $d=1$, les relations (1) et (2) nous donnent

$$ u_n = h_0 + \dots + h_n = H(1) - \sum_{j=n+1}^{\infty} h_j, $$

et (3) se déduit de (ii).

On suppose $d < 1$. Alors,

$$ (1-z)^{-d} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} v_n z^n, $$

où,

$$ (iii) \qquad v_n = \frac{\Gamma(d+n)}{\Gamma(d)(n!)} $$

Les relations (1) et (2) nous donnent

$$ u_n = v_n H(1) + \sum_{i=1}^{n-1} h_i (v_{n-i} - v_n) + h_n (1 - v_n) - v_n \sum_{p=n+1}^{\infty} h_p. $$

La formule de Stirling nous donne

$$ (iv) \qquad \Gamma(d) v_n = n^{d-1} [1 + O(1/n)], \quad \text{si } n > 0, $$

les constantes impliquées par le symbole $O$ ne dépendant que de $d$, d'où, avec (ii), si $k$ est un entier strictement positif quelconque,

$$ (v) \qquad u_n = v_n H(1) + \sum_{i=1}^{n-1} h_i (v_{n-i} - v_n) + o(n^{-k}). $$

Des relations (ii) et (iv) on déduit aussi que

$$ \begin{aligned} \sum_{i=1}^{n-1} h_i (v_{n-i} - v_n) &= \sum_{i=1}^{n-1} h_i n^{d-1} \left( \left(1 - \frac{i}{n}\right)^{d-1} - 1 \right) + O\left( \sum_{j=1}^{n-1} j^{k-1} (n-j)^{d-2} \right), \\ \sum_{i=1}^{n-1} h_i (v_{n-i} - v_n) &\in O\left( n^{d-2} \sum_{j=1}^{n-1} j^{k-1} + \sum_{j=1}^{n-1} j^{k-1} (n-j)^{d-2} \right), \end{aligned} $$

les constantes impliquées par les symboles $O$ ne dépendant que de la fonction $H$. De plus,

$$ \sum_{j=1}^{n-1} j^{k-1} (n-j)^{d-2} \le \binom{n}{2}^{d-2} \sum_{j=1}^{[n/2]} j^{k-1} + \sum_{j=[n/2]+1}^{n-1} j^{k-1} \ll n^{d-2} + n^{-k} $$

la constante impliquée par le symbole $\ll$ ne dépendant que de $k$ et de $d$. On choisit $k > 2-d$. On conclut avec (iv) et (v).

**PROPOSITION A.2.** Soit $H$ une fonction holomorphe dans un disque $D_R$ avec $R > 1$. Soient $d \in ]0, 1]$, un entier $h \ge 2$ et $L$ une partie non vide de $\{0, \dots, h-1\}$ différente de $\{0, \dots, h-1\}$. Soient

$$ \varrho = \cos(2\pi/h) + i \sin(2\pi/h) $$

et

$$ (1) \qquad f(z) = H(z) \prod_{j=0}^{h-1} (1 - \varrho^j z)^{-\beta_j}, $$

où

$$ (2) \qquad \beta_j = \frac{d}{h} \sum_{k \in L} \varrho^{-kj}. $$

Soit

$$ (3) \qquad f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n $$

le développement de Taylor au voisinage de 0 de la fonction $f$. Alors, pour $n$ tendant vers $+\infty$, on a

$$ (4) \qquad a_n = \sum_{k=0}^{h-1} \varrho^{-kn} \frac{H(\varrho^k)}{\pi} \left\{ \prod_{j=1}^{h-1} (1 - \varrho^j)^{-\beta_j-k} \right\} \Gamma(1 - \overline{\beta_k}) \sin(\pi(1 - \overline{\beta_k})) n^{\overline{\beta_k}-1} + O(n^{d\langle L \rangle/h-2}), $$

la constante impliquée par le symbole $O$ ne dépendant que de $H$, $R$, $h$ et $d$.

**Démonstration.** La démonstration utilise une métode due à Landau, [2], avec des séries entières à la place des séries de Dirichlet.

La fonction $f$ est holomorphe en tout point du disque $D_R$ autre que les points 1, $\varrho, \dots, \varrho^{h-1}$. Si $\Lambda$ est un contour simple contenu dans le disque $D_R$, entourant un domaine ne contenant pas les points 1, $\varrho, \dots, \varrho^{h-1}$

$$ (i) \qquad a_n = \frac{1}{2\pi i} \int_{\Lambda} \frac{f(z)}{z^{n+1}} dz. $$

Nous allons définir un tel contour.

Soit $r = (1+R)/2$. Soit un entier $n$ tel que

$$ (ii) \qquad n > (\log r)^{-1}, \quad n > h/2\pi. $$

On désigne par $\lambda$ le chemin formé par le segment d'axe réel joignant les
points $\log r$ et $1/n$, le cercle de centre 0 et de rayon $1/n$ décrit dans le sens négatif, le segment d'axe réel joignant les points $1/n$ et $\log r$

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Pour $k \in \{0, \dots, h-1\}$, soit $\lambda_k$ l'image de $\lambda$ par l'application
$$u \to \varrho^k \exp u$$

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Alors, $\lambda_0$ est le chemin formé par le segment d'axe réel joignant les points $r$ et $\exp(1/n)$ une courbe $\gamma_0$ entourant le point 1 et coupant l'axe réel aux points $\exp(1/n)$ et $\exp(-1/n)$, cette courbe étant décrite dans le sens négatif, le segment d'axe réel joignant les points $\exp(1/n)$ et $r$.

Les chemins $\lambda_k$ se déduisent de $\lambda_0$ par des rotations de centre 0 et d'angles $2k\pi/h$. Le chemin $\lambda_k$ entoure la racine h-ième de $1 \varrho^k$. La deuxième des conditions (ii) assure que les chemins $\lambda_k$ sont disjoints.

Pour $k \in \{0, \dots, h-1\}$, soit $\lambda_k$ l'arc du cercle $\mathcal{C}_r$ de centre 0 et de rayon $r$ joignant les points $r\varrho^k$ et $r\varrho^{k+1}$.

On désigne par $\Lambda$ le contour formé par le chemin $\lambda_0$, l'arc $\mathcal{C}_0$, le chemin $\lambda_1$, l'arc $\mathcal{C}_1$, ..., le chemin $\lambda_{h-1}$, l'arc $\mathcal{C}_{h-1}$.

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

La proposition se déduit alors des trois lemmes suivants.

LEMME 1. Il existe une constante $B(H, h, r)$ ne dépendant que de $H, h$ et $r$ telle que, pour $z \in \mathcal{C}_r$, on ait:

$$ (iii) \qquad |f(z)| \le B(H, h, r). $$

Démonstration. De façon triviale, pour $z \in \mathcal{C}_r$, pour $j = 0, \dots, h-1$, on a

$$ |(1 - \varrho^j z)^{-\beta_j}| \le e^{\pi(r+1)^{\text{Re}\beta_j}} \le e^{\pi(r+1)^{d(h-1)/h}} \le e^{\pi(r+1)^{h-1/h}}. $$

La fonction $H$ étant holomorphe dans le disque $D_R$, elle est bornée sur le disque fermé $\bar{D}_r \subset D_R$, d'où, avec (1),

$$ |f(z)| \le \sup_{z \in \bar{D}_r} |H(z)| e^{\pi(r+1)^{h-1}}. $$

LEMME 2. Il existe une constante $C(H, h, r)$ ne dépendant que de $H, h$ et $r$ telle que pour $u \in \lambda$, pour $k \in \{0, \dots, h-1\}$, on ait:

$$ (iv) \qquad |f(\varrho^k \exp u) - (-u)^{-\alpha_k} A_k| \le C(H, h, r) |u|^{1-\text{Re}\alpha_k}, $$

$$ \text{avec} \qquad l $$

$$ (v) \qquad A_k = H(\varrho^k) \prod_{j=1}^{h-1} (1 - \varrho^j)^{-\beta_j - k}, $$

et

$$ (vi) \qquad \alpha_k = \bar{\beta}_k. $$

Démonstration. Soit $k \in \{0, \dots, h-1\}$. Pour $z \in \lambda_0$, on a

$$ f(\varrho^k z) = (1-z)^{-\alpha_k} V_k(z) H(\varrho^k z), $$

où

$$ V_k(z) = \prod_{j=1}^{h-1} (1 - \varrho^j z)^{-\beta_j - k}. $$

Posons

$$ \varphi(u) = \begin{cases} \exp(u) - 1 & \text{si } u \neq 0, \\ 1 & \text{si } u = 0. \end{cases} $$

Soit $n(h, r)$ le plus petit entier $n$ vérifiant la condition (ii). Soit $\mathcal{D}(h, r)$ le compact formé par la réunion du disque fermé $\overline{D}_{1/(n(h,r))}$ et du segment $[0, \log r]$ de l'axe réel. La fonction

$$ u \mapsto W_k(u) = V_k(e^u) H(\varrho^k e^u) [\varphi(u)]^{-\alpha_k} $$
est dérivable sur $\mathcal{C}(h, r)$ et sa dérivée y est bornée. Posons

$$C = C(H, h, r) = \sup_{0 \le k \le h-1} \left( \sup_{u \in \mathcal{C}(h,r)} |W_k'(u)| \right).$$

Alors, pour $u \in \lambda$, on a

$$|W_k(u) - W_k(0)| \le C|u|,$$

d'où,

$$|f(\varrho^k \exp u) - (-u)^{-\alpha_k} W_k(0)| \le C|u| |(-u)^{-\alpha_k}| \le C|u|^{1-\Re \alpha_k}.$$

On vérifie facilement que $A_k = W_k(0)$.

LEMME 3. Soit, pour $k \in \{0, \dots, h-1\}$,

$$(vii) \qquad J_k = \frac{1}{2\pi i} \int_{\lambda} (-u)^{-\alpha_k} \exp(-un) du.$$

Alors,

$$(viii) \qquad \left| J_k - \frac{n^{\alpha_k - 1} \Gamma(1-\alpha_k) \sin(\pi(1-\alpha_k))}{\pi} \right| \le \frac{6n^{d\langle L \rangle/h-2}}{\pi \log r}.$$

Démonstration. On a

$$J_k = -\frac{1}{2\pi i} \int_{\mathcal{H}} n^{\alpha_k - 1} \exp(u) u^{-\alpha_k} du,$$

où $\mathcal{H}$ désigne l'image de $\lambda$ par l'application

$$u \mapsto -nu.$$

La formule de Hankel, dont on peut trouver une démonstration dans [6] nous donne alors,

$$J_k = n^{\alpha_k - 1} \frac{\Gamma(1-\alpha_k) \sin(\pi(1-\alpha_k))}{\pi} + \varepsilon_{n,k} n^{\alpha_k - 1},$$

où

$$|\varepsilon_{n,k}| \le \frac{1}{\pi} \int_{n \log r}^{+\infty} e^{-x} |(-x)^{-\alpha_k}| dx = \frac{1}{\pi} \int_{n \log r}^{+\infty} e^{-x} x^{-\Re \alpha_k} dx \le \frac{\Gamma(2-\Re \alpha_k)}{\pi n \log r}.$$

On a

$$|\alpha_k| \le d \langle L \rangle / h \le d (h-1) / h < 1$$

d'où,

$$|\varepsilon_{n,k}| \le \frac{6}{n \log r} \quad \text{et} \quad |n^{\alpha_k - 1}| \le n^{d\langle L \rangle/h - 1}.$$

Nous pouvons achever la démonstration de la proposition. On a

$$\left| \sum_{k=0}^{h-1} \int_{\lambda_k} f(z) z^{-n-1} dz \right| \le \int_{\lambda_r} |f(z)| |z|^{-n-1} dz,$$

d'où, avec (i) et (iii),

$$\left| a_n - \sum_{k=0}^{h-1} \frac{1}{2\pi i} \int_{\lambda_k} f(z) z^{-n-1} dz \right| \le B(H, h, r) r^{-n}.$$

D'après la définition du chemin $\lambda_k$,

$$\int_{\lambda_k} f(z) z^{-n-1} dz = \varrho^{-kn} \int_{\lambda} f(\varrho^k \exp u) \exp(-nu) du,$$

d'où, avec (iv) et (vii),

$$(ix) \qquad \left| a_n - \sum_{k=0}^{h-1} \varrho^{-kn} A_k J_k \right| < B(H, h, r) r^{-n} + C(H, h, r) \sum_{k=0}^{h-1} L_k,$$

où

$$L_k = \left| \int_{\lambda} |u|^{1-\Re \alpha_k} \exp(-nu) du \right| / 2\pi.$$

On a

$$L_k \le 2^{\frac{\log r}{1/n}} \int_{1/n}^{1} x^{1-\Re \alpha_k} \exp(-nx) dx + n^{\Re \alpha_k - 2} \int_{0}^{2\pi} \exp(-\cos t) dt / 2\pi,$$

$$L_k \le n^{\Re(\alpha_k) - 2} \left[ e + \frac{1}{2\pi} \int_{1}^{n \log r} x^{1-\Re \alpha_k} e^{-x} dx \right] \le n^{\Re(\alpha_k) - 2} \left[ e + \frac{1}{\pi} \Gamma(2-\Re \alpha_k) \right],$$

comme au lemme précédent,

$$(x) \qquad |L_k| \le n^{1/h-2} \left(e + \frac{6}{\pi}\right).$$

Posons

$$K(H, h, r) = C(H, h, r) \left(e + \frac{6}{\pi}\right) + B(H, h, r) \sup_{n \ge h(r)} (n^2 r^{-n}),$$
$n(h, r)$ désignant encore ici le plus petit entier $n$ vérifiant les conditions (ii).
Les relations (viii), (ix) et (x) nous donnent alors

$$|a_n - \sum_{k=0}^{h-1} e^{-kn} A_k (1-\alpha_k) \sin(\pi(1-\alpha_k)) n^{\alpha_k - 1} / \pi| \le K(H, h, r) n^{d(L)/h - 2},$$

ce qui est la relation (4).

References

[1] H. Delange, *Sur la distribution des entiers ayant certaines propriétés*, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., série 3, 73 (1956), p. 15-74.

[2] E. Landau, *Über die Einteilung der positiven ganzen Zahlen in vier Klassen nach der Mindestzahl der zu ihrer additiven Zusammensetzung erforderlichen Quadrate*, Arch. Math. Phys. (3) 13 (1908), p. 305-312.

[3] G. Rhin, *Répartition modulo 1 dans un corps de séries formelles sur un corps fini*, Dissertationes Mathematicae 95, Warszawa 1972.

[4] S. Saks and A. Zygmund, *Analytic functions*, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1959.

[5] J. P. Serre, *Divisibilité de certaines fonctions arithmétiques*, Enseign. Math. 22 (3-4) (1976), p. 227-260.

Reçu le 13. 1. 1983
et dans la forme modifiée le 4. 5. 1983
(1335)

Sur l'irréductibilité des trinômes $X^{p^r+1}-aX-b$
sur les corps finis $F_p$

par

S. AGOU (Lyon)

**Introduction.** Soient $a, b$ deux éléments non nuls du corps $F_p$ et $r, r \ge 1$, un entier naturel. On donne dans cet article, lorsque $r$ divise $s$ ou lorsque $r$ est un nombre premier impair une méthode pour déterminer explicitement des conditions d'irréductibilité des trinômes $X^{p^r+1}-aX-b$ sur les corps finis $F_p$, généralisant ainsi un travail de Ore [5], sur les polynômes $X^{p^s+1}-\alpha X^{p^s}-\beta X-\gamma$ de $F_p[X]$.

**1. Formules explicites.** Les résultats ci-dessous seront utilisés dans la 3ème partie.

**1.1.** Soient $X_1, X_2$ deux indéterminées et $F_p(\{X_1, X_2\})$ l'algèbre libre qu'elles engendrent avec $F_p$.

Pour tout entier naturel $n$, on désigne par $S_n$ l'ensemble des éléments $\mu = (x_k, y_k, \dots, x_1, y_1) \in \mathbb{N}^{2k}$ où $k = E(n/3)+1$ et où $\mu$ est tel que:

1) si pour un indice $i \ge 1$ on a $x_i = 0$ alors $x_j = y_j = 0$ pour $j > i$,

2) si pour un indice $i > 1$ on a $y_i = 0$ alors $x_j = y_j = 0$ pour $j \ge i$,

3) $\sum_{i=1}^{k} (x_i + 2y_i) = n$.

On désigne par $\sum_n$ la quantité $\sum_{\mu \in S_n} X_1^{x_1} X_2^{y_2} \cdots X_1^{x_k} X_2^{y_k}$ de $F_p(\{X_1, X_2\})$, et on pose $\sum_0 = 1$.

Si $M = X_1^{x_1} X_2^{y_2} \cdots X_1^{x_1} X_2^{y_2}$ est un mot de $F_p(\{X_1, X_2\})$ on appelle poids du mot $M$, l'entier $\delta(M) = \sum_{i=1}^{k} (x_i + 2y_i)$.

Il est clair que les éléments de $S_n$ correspondent bijectivement aux mots $M$ de $F_p(\{X_1, X_2\})$ tels que $\delta(M) = n$.

Avec ces notations on a la:

**1.1.1. PROPOSITION.** Pour tout entier $n$, $n \ge 2$, on a dans $F_p(\{X_1, X_2\})[X]$ l'identité

$$(1) \quad X^n = (X^{n-2} + \sum_{1}^{n-3} X^{n-3} + \dots + \sum_{n-2}^{1}) \cdot (X^2 - X_1 X - X_2) + \sum_{n-1}^{1} X + \sum_{n-2}^{1} X_2.$$