other hand, since $xy_0f(y_0) = 0$, we see that every element $xy_0$ is contained in the element $f'(y_0)y_0 = y'_0y_0 = 0$ (mod $\alpha$) and hence that the class of all elements $xy_0$ has cardinal number less than $\aleph_B$. This is the contradiction sought.

An interesting application of this theorem obtains as follows:

If, in particular, we take $\aleph_{B'} = \aleph_\eta$, $\aleph_B = \aleph_{\eta+1}$, $\aleph_A = 2^{\aleph_\eta}$ then we have $\aleph_{B'} < \aleph_A$, therefore $\aleph_B \le \aleph_A$, and so we obtain a case in which the $(A, \alpha)$ representation problem has a solution if and only if $\aleph_B = \aleph_A$, that is

$$ \aleph_{\eta+1} = 2^{\aleph_\eta} $$

(The generalized continuum hypothesis). It is, of course, necessary to show how to form a Boolean ring $A$ which fulfills the auxiliary conditions set forth in the second statement of the theorem.

Let $e$ be a set of cardinal number $\aleph_A = 2^{\aleph_\eta}$. We define $\alpha$ as in the statement of the theorem: it is the set of all subsets of $e$ of cardinal number less than $\aleph_B = \aleph_{\eta+1}$ that is, less than or equal to $\aleph_{B'} = \aleph_\eta$. Therefore $\alpha$ has the cardinal number $\aleph_A^{\aleph_\eta} = 2^{(\aleph_\eta)^2} = 2^{\aleph_\eta} = \aleph_A$.

As $\aleph_\eta$ is infinite, $\aleph_A^2 = 2^{2^{\aleph_\eta}} = 2^{\aleph_\eta} = \aleph_A$, so there exists a one-to-one mapping of all ordered pairs $(\alpha, \beta)$, $\alpha, \beta$ elements in $e$, on all elements $\gamma$ of $e$:

$$ (\alpha, \beta) \rightsquigarrow \gamma = \varphi(\alpha, \beta). $$

Define now $x_\alpha$ as the set of all $\varphi(\alpha, \beta)$, $\beta$ in $e$, and $\mathcal{R}$ as the set of all $x_\alpha$, $\alpha$ in $e$; and similarly $y_\beta$ as the set of all $\varphi(\alpha, \beta)$, $\alpha$ in $e$, and $\mathfrak{Y}$ as the set of all $y_\beta$, $\beta$ in $e$. It is evident that the classes $\mathcal{R}$ and $\mathfrak{Y}$ have the properties (1)—(5) of the theorem, and that both have cardinal number $\aleph_A$.

We can now take $A$ as the smallest Boolean ring containing $e$ and the elements of $\mathcal{R}$, $\mathfrak{Y}$ and $\alpha$, this ring being obtained by forming all polynomials in terms of the indicated elements. Obviously the cardinal number of $A$ is not less than $\aleph_A$ and not more than $\aleph_0(1+\aleph_A+\aleph_A^2+...)=\aleph_0(1+\aleph_A+\aleph_A^2+...)=\aleph_A$; so it is equal to $\aleph_A$.

Further interesting examples are the following. Let $e$ be the plane, $\mathcal{R}$ and $\mathfrak{Y}$ two distinct pencils of parallel lines. If $A$ is the class of all Borel sets, $\alpha$ the class of all finite sets, we have $\aleph_A = 2^{\aleph_0}$, $\aleph_B = \aleph_0$. The $(A, \alpha)$ representation problem has no solution. If $A$ is again the class of all Borel sets, $\alpha$ the class of all countable sets, we have $\aleph_A = 2^{\aleph_0}$, $\aleph_B = \aleph_1$, $\aleph_{B'} = \aleph_0$. The $(A, \alpha)$ representation problem has a solution if and only if $\aleph_1 = 2^{\aleph_0}$, (the continuum hypothesis).

# Généralisations du théorème des probabilités totales.

Par

Maurice Fréchet (Paris).

## I. La formule de M. Charles Jordan.

Considérons des événements fortuits $H_1, \dots, H_n$ de probabilités respectives $p_1, \dots, p_n$ et soit $P$ la probabilité pour que l'un au moins des événements $H_j$ se réalise.

D'après le théorème des probabilités totales, on a

$$ P = p_1 + \dots + p_n $$

quand les événements $H_j$ sont incompatibles.

Poincaré a donné à la page 60 de son traité de « Calcul des Probabilités<fnref n="1" /> » une formule permettant de calculer $P$ dans le cas général, quand, en outre des $p_j$, on connait les probabilités $p_{ik}, \dots, p_{i_k \dots i_k}$ où, en général, $p_{i_k \dots i_k}$ est la probabilité du concours de $H_i, H_{i_k}, \dots, H_{i_k \dots i_k}$ à savoir

$$ (1) \quad P = \sum_{i} p_i - \sum_{i,j} p_{ij} + \sum_{i,j,k} p_{ijk} - \dots + (-1)^{n-1} p_{12\dots n} $$

M. Charles Jordan a établi, entre autres, dans un récent mémoire <fnref n="1" />), une formule généralisant la formule (1) de Poincaré. Nous voulons montrer que la formule de M. Jordan, démontrée par lui directement, peut aussi être considérée comme une conséquence immédiate de la même formule (1) de Poincaré.

<footnote n="1">¹) Le théorème de probabilité de Poincaré généralisé au cas de plusieurs variables dépendantes, Acta Scientiarum Mathematicarum Szeged, t. VII, 1934. Nous visons ici la formule (11), page 108 de cet article.</footnote>
A cet effet considérons maintenant des événements incompatibles $A_1, A_2, \dots, A_n$ et appliquons la formule de Poincaré en appelant $H_j$ l'événement consistant en ce qu'au cours d'un nombre fixe $r$ d'épreuves indépendantes l'événement $A_j$ ne s'est jamais présenté. Si la probabilité $\omega_j$ de $A_j$ est constante, on aura

$$p_i = (1 - \omega_i)^r, \dots, p_{ij} = (1 - \omega_i - \omega_j - \omega_k)^r, \dots$$

En posant $P=1-\omega$, la formule de Poincaré devient:

$$(2) \qquad \omega = 1 - \sum_{i} (1 - \omega_i)^r + \sum_{j \neq i} (1 - \omega_i - \omega_j)^r - \sum_{j \neq k} (1 - \omega_i - \omega_j - \omega_k)^r + \dots + (-1)^n (1 - \omega_1 - \dots - \omega_r)^n.$$

C'est la formule (II) du mémoire de M. Charles Jordan donnant en fonction des probabilités $\omega_j$ des événements incompatibles $A_j$, la probabilité $\omega$ pour que chacun des événements $A_1, A_2, \dots, A_n$ se produise au moins une fois au cours de $r$ épreuves indépendantes.

## II. Les inégalités les plus précises limitant $P$.

Revenons maintenant à la formule (1) de Poincaré. Elle fournit la valeur de $P$ connaissant les $p_i, p_{ij}, \dots, p_{12\dots n}$. Si les événements $H_i$ étaient incompatibles, elle se réduirait à $P = \sum_i p_i$ et permettrait, par suite, de calculer $P$ connaissant seulement les $p_i$. Dans le cas général, la seule connaissance des $p_i$ ne suffit plus à déterminer $P$; mais permet-elle cependant d'affirmer quelque chose sur la valeur de $P$?

On a évidemment

$$p_1 \le P, \quad p_2 \le 1, \quad \dots, \quad p_n \le 1, \\ \text{d'où, en ajoutant}$$

$$p_1 + p_2 + \dots + p_n - (n-1) \le P.$$

D'autre part, $P$ est égal à la somme des probabilités $p_1, \theta_2, \dots, \theta_n$ des événements incompatibles $H_1, H_2$ sans $H_1, H_3$ sans $H_1$ ni $H_2, \dots, H_n$ seul. Or on a évidemment

$$\theta_2 \le p_2, \quad \dots, \quad \theta_n \le p_n.$$

## Théorème des probabilités totales

D'où en portant dans $P = p_1 + \theta_2 + \dots + \theta_n$,

$$P \le p_1 + p_2 + \dots + p_n.$$

Ainsi, $P$ est limité par les deux inégalités

$$(3) \quad p_1 + p_2 + \dots + p_n - (n-1) \le P \le p_1 + p_2 + \dots + p_n.$$

Mais on peut renforcer cette double inégalité <fnref n="1" />) en observant que

$$p_1 + p_2 + \dots + p_n - (n-1) \le p_i \le P \le 1.$$

On a donc

$$(4) \quad \omega(p_1, p_2, \dots, p_n) \le P \le \Pi(p_1, p_2, \dots, p_n)$$

en appelant $\omega(p_1, p_2, \dots, p_n)$ le plus grand des nombres $p_1, p_2, \dots, p_n$ et $\Pi(p_1, p_2, \dots, p_n)$ le plus petit des nombres 1 et $p_1 + p_2 + \dots + p_n$.

Non seulement ce système d'inégalités peut rendre des services quand, ayant besoin d'estimer $P$, on ne connaît que les $p_i$, mais encore il est impossible d'obtenir mieux dans ces conditions. En d'autres termes, si $f(p_1, \dots, p_n)$ et $F(p_1, \dots, p_n)$ sont deux fonctions de $p_1, \dots, p_n$, connues d'avance, indépendamment de la connaissance particulière des événements $H_1, \dots, H_n$ et telles que l'on ait

$$f(p_1, p_2, \dots, p_n) \le P \le F(p_1, \dots, p_n)$$

alors, pour tout système d'événements fortuits $H_1, H_2, \dots, H_n$ de probabilités respectives $p_1, p_2, \dots, p_n$, on a nécessairement

$$(5) \quad f(p_1, \dots, p_n) \le \omega(p_1, \dots, p_n) \le \Pi(p_1, \dots, p_n) \le F(p_1, \dots, p_n).$$

En effet, prenons pour $p_1, \dots, p_n$ des nombres arbitrairement choisis de 0 à 1. On pourra toujours définir un événement fortuit $G$ de probabilité $p' = \omega(p_1, \dots, p_n)$, puis des événements fortuits $H_j$ ($j \ne k$) de probabilités respectives $p_j$, mais n'ayant lieu que si $G$ a lieu, de sorte que $P \le p'$. Pour ces événements

$$f(p_1, \dots, p_n) \le P = p' = \omega(p_1, \dots, p_n)$$

et la première des inégalités (5) est établie.

<footnote n="1">¹) La suite du présent article a déjà été exposée oralement parmi les sujets traités dans un cours public fait par l'auteur à l'Institut Henri Poincaré pendant l'hiver 1930.</footnote>
Pour établir la seconde, nous distinguerons deux cas:

Si $p_1+p_2+...+p_n \le 1$, on peut facilement définir des événements fortuits incompatibles de probabilités respectives $p_1, ..., p_n$. Pour ces événements, on aura

$$ \Pi(p_1, \dots, p_n) = p_1 + \dots + p_n = P \le F(p_1, \dots, p_n). $$

Si $p_1 + \dots + p_n > 1$, il existe un entier $k < n$, tel que

$$ p_1 + \dots + p_k \le 1 < p_1 + \dots + p_{k+1}. $$

On pourra définir des événements fortuits incompatibles $H_1, ..., H_k$ de probabilités respectives $p_1, ..., p_k$, un événement $H'_k$ incompatible avec les précédents et de probabilité $1 - (p_1 + \dots + p_k) < p_{k+1}$. On désignera par $H_{k+1}$ l'événement consistant en: $H'_k$ ou $H''_k$, $H''_k$ étant un événement quelconque choisi de façon à ce qu'il soit incompatible avec $H'_k$ et de probabilité $p_1 + p_2 + \dots + p_{k+1} - 1$. Ces deux conditions sont compatibles puisque

$$ \text{Prob. } H'_k + \text{Prob. } H''_k = [1 - (p_1 + \dots + p_k)] + [p_1 + \dots + p_{k+1} - 1] = \\ = p_{k+1} \le 1. $$

Appelons enfin $H_{k+2}, ..., H_n$ des événements fortuits quelconques de probabilités $p_{k+2}, ..., p_n$. Alors la probabilité $P$ sera égale à 1 et on aura encore

$$ 1 = \Pi(p_1, \dots, p_n) = P \le F(p_1, \dots, p_n). $$

Ainsi les inégalités (5) sont bien établies dans tous les cas.

On peut obtenir des résultats analogues pour la probabilité $p_{12...n}$ du concours de $H_1, ..., H_n$. Il suffit pour cela de partir des inégalités qu'on vient d'établir:

$$ (6) \quad \begin{array}{l} \text{Pr. } H_t \le \text{Pr. } \{H_1 \text{ ou } H_2 \text{ ou } \dots \text{ ou } H_n\} \le \\ \le \text{Pr. } H_1 + \text{Pr. } H_2 + \dots + \text{Pr. } H_n \\ \qquad (i=1, 2, \dots, n), \end{array} $$

et d'y remplacer les événements $H_t$ par leurs événements contraires. On obtient:

$$ 1 - p_t \le 1 - p_{12...n} \le n - (p_1 + \dots + p_n) $$

ou

$$ (7) \quad p_1 + p_2 + \dots + p_n - (n-1) \le p_{12...n} \le p_t \quad (i=1, 2, \dots, n). $$

En partant de (4), on serait arrivé au système plus précis

$$ (8) \quad \theta(p_1, \dots, p_n) \le p_{12...n} \le \Theta(p_1, \dots, p_n) $$

où $\theta(p_1, ..., p_n)$ est le plus grand des deux nombres $p_1 + ... + p_n - (n-1)$ et zéro et où $\Theta(p_1, ..., p_n)$ est le plus petit des nombres $p_1, ..., p_n$. La démonstration concernant (4) montre que le système d'inégalités (8) est le plus précis qu'on puisse donner pour estimer $p_{12...n}$ connaissant seulement $p_1, ..., p_n$, au moyen de bornes, fonctions de $p_1, ..., p_n$, indépendantes des événements $H_1, ..., H_n$.

Nous avons utilisé fréquemment les inégalités (4) et (8) dans un mémoire <fnref n="1" />) traitant les différents modes de convergence d'une suite de variables aléatoires.

On sait que si $q_1, q_2, ..., n$ sont des nombres compris entre 0 et 1, on a

$$ 1 - q_1 - q_2 - \dots - q_n \le (1 - q_1) \dots (1 - q_n). $$

On a donc

$$ p_1 + \dots + p_n - (n-1) \le p_1 \dots p_n \le p_t \quad (i=1, 2, \dots, n). $$

Les deux nombres $p_{12...n}$ et $p_1 p_2 \dots p_n$ sont donc tous deux toujours compris entre $\theta(p_1, ..., p_n)$ et $\Theta(p_1, ..., p_n)$.

Quand les événements $H_1, ..., H_n$ sont indépendants, on sait que $p_{12...n} = p_1 p_2 \dots p_n$.

Observons que la première inégalité (7) peut s'écrire

$$ (9) \quad p_{12...n} \ge 1 - q_1 - q_2 - \dots - q_n, $$

si l'on pose: $q_1 = 1 - p_1, q_2 = 1 - p_2, \dots, q_n = 1 - p_n$.

C'est l'inégalité due à Boole, qu'on peut aussi écrire

$$ \text{Pr. } \{H_1 \text{ et } H_2 \text{ et } \dots \text{ et } H_n\} \ge 1 - \text{Pr. } C(H_1) - \dots - \text{Pr. } C(H_n), $$
en désignant par $C(H)$ l'événement contraire à $H_t$.

Cette inégalité donne des indications souvent utiles en Statistique <fnref n="2" />).

### III. Extension au cas d'un nombre infini d'événements.

L'extension du théorème des probabilités totales au cas d'un nombre infini d'événements ne doit pas être considéré comme allant de soi <fnref n="3" />).

<footnote n="1">1) *Sur la convergence en probabilité*, Metron, vol. VIII, 1930, p. 1-50.</footnote>

<footnote n="2">2) *Voir*, par exemple, à la page 52 du *Calcul des Probabilités à la portée de tous*⁴ par Fréchet et Halbwachs, Dunod, 1924, Paris.</footnote>

<footnote n="3">3) *Voir* par exemple à ce sujet, les notés de M. de Finetti dans les Rend. Ist. Lombardo de 1928, 1929, 1930. Une position différente a été prise par nous dans deux notes de 1930 publiées dans les mêmes Rend.</footnote>
Nous n'entrerons toutefois pas ici dans la discussion de la légitimité de cette extension.

Nous nous contenterons de signaler qu'il n'est pas possible d'effectuer cette extension à la famille de tous les événements fortuits, mais seulement — par analogie avec la famille des ensembles mesurables — à une famille d'événements dits „probabilisables“.

A partir de maintenant, nous allons supposer que la probabilité est définie ainsi qu'il suit (définition axiomatique) ou, mieux, qu'elle est définie de façon à vérifier les conditions suivantes:

On associe à la catégorie C d'épreuves envisagées une certaine famille F d'événements fortuits dits „probabilisables“ sur C.

I. Cette famille devra comprendre les contraires respectifs des événements qui la constituent. En outre, si des événements fortuits $E_1, E_2, \dots$ formant une suite finie ou infinie, mais dénombrable, appartiennent à la famille F, celle-ci devra contenir aussi l'événement consistant dans la réalisation de l'un au moins des événements $E_1, E_2, \dots$ (Il résulte de ces deux conditions que F comprend la certitude et l'impossibilité).

II. A chaque événement E de F, un nombre p(E) ≥ 0, appelé probabilité de E sur C, est attaché de sorte que, avec les notations du par. I précédent, l'on ait, si $E_1, E_2, \dots$ sont incompatibles:

$$ (10) \qquad \begin{aligned} p(E_1) + p(E_1) + \dots + p_n(E) + \dots &= p(E_1 \text{ ou } E_2 \text{ ou } \dots \text{ ou } E_n \text{ ou }) \\ &= p(E_1 \text{ ou } E_2 \text{ ou } \dots \text{ ou } E_n \text{ ou }) \end{aligned} $$

et que la probabilité de la certitude soit égale à l'unité.

On déduit de I et II les conséquences suivantes. D'abord, en ce qui concerne la famille F, si l'on considère une suite finie ou infinie, mais dénombrable d'événements $H_1, H_2, \dots, H_n, \dots$ de F, l'événement K contraire au concours H de $H_1, H_2, \dots, H_n, \dots$ consiste dans la réalisation du contraire de $H_1$ ou du contraire de $H_2$ ou ... ou du contraire de $H_n$. Par suite K et alors aussi H appartiennent à F.

Alors le concours $H_1''$ de $H_1$ et du contraire de $H_2$, c'est-à-dire l'événement consistant en ce que $H_1$ ait lieu sans qu'ait lieu $H_2$, appartiendra aussi à F. Plus généralement, appartiendra aussi à F l'événement $H_1'$ consistant en ce que parmi $H_1, H_2, \dots, H_n, \dots$ seul $H_1$ ait lieu, puisqu'il consiste dans la réalisation du concours de $H_1$ et des contraires respectifs de $H_2$, de $H_3, \dots, de H_n, \dots$. Il en sera de même de l'événement consistant en ce que parmi les

Théorème des probabilités totales

événements $H_1, H_2, \dots, H_n, \dots$ un seul d'entre eux ait lieu, car c'est l'événement ($H_1'$ ou $H_2'$ ou $H_3'$ ou ... ou $H_n'$ ...).

Passons aux relations entre les probabilités de ces divers événements.

Nous venons de voir que si des événements fortuits $H_1, H_2, \dots, H_n, \dots$ en suite finie ou infinie, mais dénombrable, appartiennent à F, il en est de même du concours de ces événements.

Supposons d'abord ces événements deux à deux indépendants. Alors, avec les notations précédentes, K est aussi l'événement: $K_1$ ou $K_2'$ ou ... ou $K_n'$ ou ... (en désignant par $K_n$ le contraire de $H_n$ et par $K_n'$ le concours des événements indépendants $H_1, H_2, \dots, H_{n-1}, K_n$). Si donc p est la probabilité de H, on a:

$$ \begin{aligned} 1 - p &= \Pr. K_1 + \Pr. K_2' + \dots + \Pr. K_n' + \dots = \\ &= \lim_{n \to \infty} [(1 - p_1) + p_1(1 - p_2) + \dots + p_1 p_2 \dots p_{n-1}(1 - p_n)]. \end{aligned} $$

D'où

$$ (11) \qquad p = \lim_{n \to \infty} p_1 p_2 \dots p_n. $$

Ainsi, lorsque des événements fortuits $H_1, H_2, \dots, H_n, \dots$ appartenant à F sont indépendants, non seulement le produit des probabilités d'un nombre fini d'entre eux $H_1, \dots, H_n$ est égal à la probabilité du concours de ceux-ci, mais encore, lorsque n croît indéfiniment, ce produit converge vers une limite qui est égale à la probabilité du concours de cette infinité d'événements.

Considérons maintenant le cas où $H_1, H_2, \dots, H_n, \dots$ ne sont pas supposés indépendants. Alors on ramène au cas précédent en observant que la probabilité de $K_n'$ est égale à $p_1 p_2' \dots p_{n-1}'(1 - p_n')$, en désignant en général par $p_n'$ la probabilité de $H_n$ dans la catégorie $C_n'$ constituée par celles des épreuves de C où ont lieu $H_1, H_2, \dots, H_{n-1}$.

On aura alors, par le même raisonnement que plus haut:

$$ (12) \qquad p = \lim_{n \to \infty} p_1 p_2' \dots p_n'. $$

Dans les deux cas, on aura donc

$$ (13) \qquad \Pr. \{H_1 \text{ et } H_2 \text{ et } \dots \text{ et } H_n \text{ et } \dots\} = \lim_{n \to \infty} \Pr. \{H_1 \text{ et } H_2 \text{ et } \dots \text{ et } H_n\}. $$

Passons maintenant à l'extension des inégalités telles que (4) et (7).

Considérons des événements $H_1, H_2, \dots, H_n, \dots$ en nombre infini compatibles ou non, dépendants ou non.
Remarquons que les deux événements:

$H_1$ ou $H_2$ ou ... ou $H_n$

$H_1$ ou $\{C(H_1) \text{ et } H_2\}$ ou $\{C(H_1) \text{ et } C(H_2) \text{ ou } H_2\}$ ou...
... ou $\{C(H_1) \text{ et } C(H_2) \text{ et } \dots \text{ et } C(H_{n-1}) \text{ et } H_n\}$ ou...

sont identiques. Comme le second est défini à partir d'événements incompatibles, la probabilité $P$ du premier est la somme de la série des probabilités de ces événements incompatibles. Or la somme des $n$ premiers n'est autre que la probabilité de l'événement $H_1$ ou $H_2$ ou ... ou $H_n$. On a donc dans tous les cas où $H_1, H_2, \dots$ appartiennent à la famille $F$:

$$ (14) \quad \mathrm{Pr} \{H_1 \text{ ou } H_2 \dots \text{ ou } H_n \text{ ou \dots}\} = \lim_{n \to \infty} \mathrm{Pr} \{H_1 \text{ ou } H_2 \dots \text{ ou } H_n\} $$

On déduit alors immédiatement de (6) son extension à une suite infinie d'événements:

$$ (15) \quad \begin{aligned} \mathrm{Pr} \ H_l \le \mathrm{Pr} \{H_1 \text{ ou } H_2 \dots \text{ ou } H_n \text{ ou \dots}\} \le \\ \le \mathrm{Pr} \ H_1 + \mathrm{Pr} \ H_2 + \dots + \mathrm{Pr} \ H_n + \dots \end{aligned} $$

pour $i = 1, 2, \dots, n, \dots$ ou plus précisément

$$ (16) \quad \omega(p_1, p_2, \dots, p_n, \dots) \le P \le \pi(p_1, p_2, \dots, p_n, \dots) $$

où $\omega(p_1, p_2, \dots, p_n, \dots)$ est la borne supérieure de l'ensemble des $p_i$ et où $\pi(p_1, p_2, \dots, p_n, \dots)$ est le plus petit des deux nombres dont le premier est 1 et dont l'autre est la somme finie ou infinie de la série à termes non négatifs

$$ p_1 + p_2 + \dots + p_n + \dots $$

On obtiendra de même l'extension de (7) au moyen du passage à limite (11). On aura la formule de Boole généralisée:

$$ (17) \quad \begin{aligned} 1 - \{\mathrm{Pr} \ C(H_1) + \dots + \mathrm{Pr} \ C(H_n) + \dots\} \le & \\ \le & \mathrm{Pr} \ \{H_1 \text{ et } \dots \text{ et } H_n \text{ et } \dots\} \le \mathrm{Pr} \ H_l \end{aligned} $$

$$ (i = 1, 2, \dots, n, \dots) \text{ ou plus précisément} $$

$\theta(p_1, p_2, \dots, p_n, \dots) \le p \le \Theta(p_1, p_2, \dots, p_n, \dots)$, en appelant $\theta(p_1, p_2, \dots, p_n, \dots)$ le plus grand des deux nombres 0 et $1 - (q_1 + q_2 + \dots)$ et en désignant par $\Theta(p_1, p_2, \dots, p_n, \dots)$ la borne inférieure de l'ensemble des nombres $p_1, p_2, \dots, p_n, \dots$.

Observons que les systèmes d'inégalités (16) et (17) ne peuvent être précisés quand on y prend pour $p_1, p_2, \dots$ des probabilités ar-

## Théorème des probabilités totales

bitraires. Autrement dit, si l'on considère deux fonctions $f(p_1, p_2, \dots, p_n, \dots)$ et $F(p_1, p_2, \dots, p_n, \dots)$ — les mêmes, quels que soient les événements $H_1, H_2, \dots, H_n, \dots$ de probabilités $p_1, p_2, \dots, p_n, \dots$ — telles que

$$ f(p_1, p_2, \dots, p_n, \dots) \le P \le F(p_1, p_2, \dots, p_n, \dots), $$

on aura nécessairement

$$ f(p_1, p_2, \dots, p_n, \dots) \le \omega(p_1, p_2, \dots, p_n, \dots) \le \Pi(p_1, p_2, \dots, p_n, \dots) \le \\ \le F(p_1, p_2, \dots, p_n, \dots). $$

La démonstration que nous avons donnée de ce fait pour un nombre fini d'événements s'applique littéralement au cas d'un nombre infini.

## Résumé.

Soit $P$ la probabilité pour que l'un au moins des événements $H_1, H_2, H_3, \dots$ se réalise. On connait des inégalités limitant la valeur de $P$ quand sont seules données les probabilités $p_i$ des $H_i$. L'auteur détermine les plus précises de ces inégalités.

Poincaré avait donné une formule déterminant exactement $F$ connaissant en outre des $p_i$ les probabilités telles que $p_{i,k+1}$, probabilité du concours de $H_l, H_{k+1}, \dots, H_l$. M. Charles Jordan a démontré directement une formule généralisant la formule de Poincaré. L'auteur montre que la formule de M. Jordan est en même temps une conséquence de la même formule de Poincaré.