J. PRIWALOFF

Sur les fonctions conjuguées

*Bulletin de la S. M. F.*, tome 44 (1916), p. 100-103

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# SUR LES FONCTIONS CONJUGUÉES;

PAR M. I. PRIWALOFF.

Considérons une fonction d'une variable complexe $F(z)$, holomorphe à l'intérieur d'un cercle C de rayon 1.

Soit

$$F(z) = U(x, y) + iV(x, y);$$

U et V étant deux fonctions harmoniques conjuguées régulières à l'intérieur du cercle C.

Désignons par $f(\theta)$ et $g(\theta)$ les valeurs de ces fonctions sur la circonférence du cercle C.

M. Fatou a démontré que, si $f(\theta)$ satisfait à une condition de Lipschitz, $g(\theta)$ satisfait à une condition de même forme (¹). Le but de cette Note est de préciser le résultat de M. Fatou et de démontrer la proposition suivante :

> Si la fonction $f(\theta)$ satisfait à une condition de Lipschitz à exposant $\alpha \neq 1$,

$$(L) \qquad |f(\theta + \delta) - f(\theta)| < K|\delta|^{\alpha},$$

la fonction conjuguée $g(\theta)$ satisfait à une condition de même forme, l'exposant ayant la même valeur $\alpha$.

Si $f(\theta)$ est à nombres dérivés bornés, c'est-à-dire si $\alpha = 1$, la fonction $g(\theta)$ satisfait à une condition de Lipschitz d'exposant aussi voisin qu'on voudra de 1.

Nous partirons de la formule

$$g(\theta) = -\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} [f(t) - f(\theta)] \cot \frac{t-\theta}{2} dt,$$

établie par M. Fatou et nous reprendrons sa démonstration en précisant une de ses inégalités.

<footnote>(¹) *Acta mathematica*, t. XXX, p. 361.</footnote>
Donnant à $\theta$ l'accroissement $\Delta\theta$, nous aurons

$$g(\theta + \Delta\theta) = -\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} [f(t) - f(\theta + \Delta\theta)] \cot \frac{t - \theta - \Delta\theta}{2} dt,$$

$$(1) \quad g(\theta + \Delta\theta) - g(\theta) = -\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} \left[ \frac{f(t) - f(\theta + \Delta\theta)}{\tang \frac{t-\theta-\Delta\theta}{2}} - \frac{f(t) - f(\theta)}{\tang \frac{t-\theta}{2}} \right] dt.$$

La fonction sous le signe $\int$ peut s'écrire

$$(2) \quad \frac{f(t) - f(\theta + \Delta\theta)}{\sin \frac{t-\theta}{2} \sin \frac{t-\theta - \Delta\theta}{2}} \sin \frac{\Delta\theta}{2} + \frac{f(\theta) - f(\theta + \Delta\theta)}{\tang \frac{t-\theta}{2}}.$$

Intégrons d'abord de $-\pi$ à $\theta$ — $\epsilon$ et de $\theta + \epsilon$ à $+\pi$, en sup-
posant

$$\epsilon = 3|\Delta\theta|.$$

En appliquant la condition (L) on a les inégalités

$$ \begin{aligned} \left| \frac{f(t) - f(\theta + \Delta\theta)}{\sin \frac{t-\theta}{2} \sin \frac{t-\theta - \Delta\theta}{2}} \sin \frac{\Delta\theta}{2} \right| &< K_1 \frac{|t-\theta - \Delta\theta| \alpha |\Delta\theta|}{|t-\theta| |t-\theta - \Delta\theta|} \\ &= K_1 \frac{|\Delta\theta|}{|t-\theta| |t-\theta - \Delta\theta|^{1-\alpha}} \\ &= K_1 \frac{|\Delta\theta|}{|t-\theta|^{2-\alpha} \left( \left( 1 - \frac{\Delta\theta}{t-\theta} \right) \right)^{1-\alpha}} \\ &< K_2 \frac{|\Delta\theta|}{|t-\theta|^{2-\alpha}}; \end{aligned} $$

$\frac{1}{|1 - \frac{\Delta\theta}{t-\theta}|}$ étant borné dans les intervalles $(-\pi, \theta - \epsilon)$ et $(\theta + \epsilon, +\pi)$.

Par conséquent le premier terme de (2), intégré de $-\pi$ à $\theta - \epsilon$ et de $\theta + \epsilon$ à $+\pi$, donnera pour l'intégrale (1) une contribution moindre en valeur absolue que

$$C_1 |\Delta\theta|^\alpha \quad \text{si } \alpha \neq 1 \quad (1),$$

$$C'_1 |\Delta\theta| \log \frac{1}{|\Delta\theta|} \quad \text{si } \alpha = 1.$$

<footnote>(1) Nous prenons $\alpha < 1$ parce que, dans le cas $\alpha > 1$, la fonction se réduit à une constante.</footnote>
Le second terme de (2), intégré entre les mêmes limites, donnera comme résultat zéro.

Il nous reste à évaluer la limite supérieure de l'intégrale (1) quand les limites d'intégration sont $θ - ε$ et $θ + ε$. En tenant encore compte de la relation (L), on trouve facilement que les termes ainsi obtenus ont une somme moindre en valeur absolue que

$C_2|\Delta\theta|^\alpha$, quel que soit $\alpha$.

On a donc, en définitive,

$$|g(\theta + \Delta\theta) - g(\theta)| < (C_1 + C_2)|\Delta\theta|^\alpha \quad \text{si } \alpha \neq 1$$

et

$$|g(\theta + \Delta\theta) - g(\theta)| < C_1|\Delta\theta| \log \frac{1}{|\Delta\theta|} + C_2|\Delta\theta| < C|\Delta\theta|^{1-\eta} \quad \text{si } \alpha = 1,$$

$\eta > 0$ étant aussi petit qu'on voudra.

C. Q. F. D.

En terminant, démontrons que, dans le cas $\alpha = 1$, l'exposant $\alpha$ de la condition de Lipschitz, pour la fonction conjuguée, peut être en réalité différent de 1.

Posons

$$f(\theta) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n \cos n\theta}{n^2},$$

où

$$a_1 > a_2 > a_3 > \dots \quad \text{et} \quad \lim_{n \to \infty} a_n = 0.$$

Supposons

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n} = +\infty.$$

La fonction $f(\theta)$, déterminée de cette manière, a une dérivée continue $f'(\theta)$ :

$$f'(\theta) = \frac{df}{d\theta} = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n \sin n\theta}{n};$$

la série dans le membre de droite étant uniformément convergente.

La fonction conjuguée

$$g(\theta) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n \sin n\theta}{n^2}$$

ne satisfera pas à une condition de Lipschitz à exposant égal à 1.
En effet, dans le cas contraire

$$ \sum_{1}^{\infty} \frac{a_n \cos n0}{n} $$

serait une série de Fourier d'une fonction bornée, ce qui est
contradictoire à la supposition

$$ \sum_{1}^{\infty} \frac{a_n}{n} = +\infty. $$