# Les axiomes comme définitions implicites des concepts ?

## Le point de vue de Gödel

Fabien Carbo-Gil

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Fabien Carbo-Gil. Les axiomes comme définitions implicites des concepts ? Le point de vue de Gödel. 1st AXDEF WORKSHOP “Implicit Definitions”, May 2025, Marseille, France. hal-05279734

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# Les axiomes comme définitions implicites des concepts ?
## Le point de vue de Gödel

Carbo-Gil Fabien

Mai 2024

L'objectif de cette présentation est de mettre en évidence le rôle heuristique de l'analyse des concepts à partir d'un cas particulier, à savoir l'approche de Gödel de l'analyse du concept d'ensemble et son lien avec la complétion des axiomes de la théorie des ensembles. Pour cela, nous aborderons deux thématiques principales : l'hypothèse du continu et les axiomes de grands cardinaux. Pour chacune de ces thématiques, on soulignera l'originalité de l'approche gödelienne, en lien avec son approche de l'analyse des concepts. Puis, on montrera comment l'approche gödelienne peut être réinvestie pour clarifier ces deux thématiques dans un cadre plus contemporain.

## 1 Gödel et le problème du continu

**Position de Gödel dans l'article de 1947.** Dans son article de 1947 *What is Cantor's continuum problem?*<fnref n="1" />, Gödel s'évertue à présenter le problème du continu dans sa dimension historique et philosophique, en explicitant l'articulation entre la question mathématique de l'hypothèse du continu et la question philosophique de l'analyse du fondement des mathématiques et du concept d'ensemble. Son article répond à deux objectifs :

1. Gödel cherche à défendre l'hypothèse selon laquelle l'HC est indécidable au sein de la théorie axiomatique des ensembles, afin de motiver la communauté mathématique à apporter une preuve à cette hypothèse<fnref n="2" />.

2. Le second objectif est celui d'une défense du fait que l'indécidabilité de l'HC ne met pas un terme à la recherche de la décision de l'hypothèse du continu, bien au contraire<fnref n="3" />.

<footnote n="1">1. Göd47.</footnote>

<footnote n="2">2. "*the axioms underlying the unrestricted use of this concept of set [...] have been so precisely formulated in axiomatic set theory that the question whether some given proposition follows from them can be transformed, by means of logistic symbolism, into a purely combinatorial problem concerning the manipulation of symbols which even the most radical intuitionist must acknowledge as meaningful. So Cantor's continuum problem, no matter what philosophical standpoint one takes, undeniably retains at least this meaning : to ascertain whether an answer, and if so what answer, can be derived from the axioms of set theory*" [Göd47].</footnote>

<footnote n="3">3. "*It is to be noted, however, that, even if one should succeed in proving its undemonstrability as well, this would [...] by no means settle the question definitively. Only someone who (like the intuitionist) denies*</footnote>
Si la question de l'indépendance de l'hypothèse du continu peut être posée indépendamment du point de vue philosophique adopté, ce n'est pas le cas de la question de son sens et de son éventuelle vérité ou fausseté. En effet, concernant le second objectif, Gödel défend une conception réaliste en insistant sur le fait qu'une preuve de l'indépendance de l'hypothèse du continu ne saurait mettre un terme à la question de sa vérité ou de sa fausseté :

> "It is to be noted, however, that, even if one should succeed in proving its undemonstrability as well, this would [...] by no means settle the question definitively. Only someone who (like the intuitionist) denies that the concepts and axioms of classical set theory have any meaning (or any well-defined meaning) could be satisfied with such a solution, not someone who believes them to describe some well-determined reality. For in this reality Cantor's conjecture must be either true or false, and its undecidability from the axioms as known today can only mean that these axioms do not contain a complete description of this reality; "

> [Göd47]

Ainsi l'indécidabilité de l'hypothèse du continu, que Gödel appelle ici conjecture de Cantor, ne fait perdre son sens à la question de sa vérité que si ZFC est interprétée de manière hypothético-déductive, c'est à dire si le sens des termes primitifs est laissé indéterminé. En revanche, si on interprète ZFC comme une définition implicite du concept d'ensemble, alors le sens du problème du continu dépend du sens des termes mobilisés pour le formuler. Dans ce cas, l'indécidabilité de l'hypothèse du continu au sein de ZFC ne met pas un point final au problème du continu, elle est la marque de la nécessité de dépasser ZFC pour pouvoir espérer décider le problème du continu. Aller au-delà du formel ne signifie pas uniquement qu'il faille s'intéresser aux énoncés indécidables dans ZFC. Il nous faut nous intéresser non seulement aux axiomes de ZFC, mais également au sens de leurs termes primitifs, c'est-à-dire au sens du concept d'ensemble, sens que la caractérisation de la relation d'appartenance dans ZFC n'épuise pas. C'est ce sens qui nous permet à la fois de fonder notre confiance dans la vérité des axiomes et d'en formuler de nouveaux :

> "a complete solution of these problems can be obtained only by a more profound analysis (than mathematics is accustomed to give) of the meanings of the terms occurring in them (such as "set", "one-to-one correspondence", etc.) and of the axioms underlying their use. "

> [Göd47]

L'indécidabilité de l'hypothèse du continu ne serait ainsi qu'un révélateur du fait qu'une partie du sens du concept d'ensemble échappe aux axiomes de ZFC. Pour justifier la conjecture selon laquelle l'hypothèse du continu est indécidable, Gödel mobilise deux arguments, intéressons nous au premier :

> "Are there really any strong indications for its unsolubility by the known axioms?
> I think there are at least two. The first one is furnished by the fact that there

> [Göd47]

<footnote>> that the concepts and axioms of classical set theory have any meaning (or any well-defined meaning) could
> be satisfied with such a solution, not someone who believes them to describe some well-determined reality.
> For in this reality Cantor's conjecture must be either true or false, and its undecidability from the axioms as
> known today can only mean that these axioms do not contain a complete description of this reality; "</footnote>
> are two quite differently defined classes of objects which both satisfy all axioms of set theory [...]. One class consists of the sets definable in a certain manner by properties of their elements, the other of the sets in the sense of arbitrary multitudes irrespective of if, or how, they can be defined."

[Göd47]

Gödel relie l'indécidabilité de l'hypothèse du continu à la question épineuse de l'existence de sous-ensembles arbitraires d'un ensemble donné. Se pourrait-il qu'il existe des objets qui soient des ensembles, au sens où ils sont un sous-ensemble cohérent d'un ensemble bien défini, mais qu'ils soient absolument indéfinissables, absolument hors de portée de toute caractérisation ? En effet, l'existence de tels ensembles, qui seraient une combinaison d'éléments aléatoire et sans structure, ne semble pas déterminée par les axiomes de ZFC. Or, Gödel a introduit en 1940⁴ une notion de définissabilité particulière, l'univers *L* des ensembles constructibles, qui exclue l'existence de tels ensembles. Il prouve notamment qu'il est cohérent relativement à ZFC que tout ensemble soit constructible, i.e. il est cohérent que *V* = *L*. C'est ce que l'on appelle l'axiome de constructibilité. En prouvant que l'hypothèse du continu est vraie pour les ensembles constructibles, Gödel démontre que l'hypothèse du continu est cohérente avec ZFC. Mais, au-delà de l'impossibilité de réfuter l'hypothèse du continu dans ZFC, ce résultat indique, selon lui, que le problème du continu est sensible à la question plus générale de la définissabilité des ensembles.

Le second argument, quant à lui, concerne certaines conséquences de l'hypothèse du continu que Gödel juge paradoxales et peu probables, ce qui irait dans le sens d'une réfutation de l'hypothèse du continu :

> "A second argument in favor of the unsolubility of the continuum problem on the basis of the ordinary axioms can be based on certain facts (not known or not existing at Cantor's time) which seem to indicate that Cantor's conjecture will turn out to be wrong;"

[Göd47]

Gödel tire des travaux de Luzin<fnref n="5" /> et de l'ouvrage *L'hypothèse du continu* de Sierpinski<fnref n="6" /> un certain nombre de conséquences de l'hypothèse du continu, qu'il qualifie de paradoxales et de peu plausibles. Ces conséquences paradoxales semblent indiquer, selon Gödel, que l'hypothèse du continu serait fausse. Ces conséquences plaident donc également en faveur d'une indécidabilité de l'hypothèse du continu, puisque cette dernière est cohérente relativement à ZF. Une solution au problème du continu nécessiterait donc que l'on découvre un axiome qui résolve simultanément la question générale de la définissabilité des ensembles et celle des conséquences peu probables de l'hypothèse du continu. C'est ainsi que nous interprétons la conclusion de l'article par Gödel :

> "Therefore one may on good reason suspect that the role of the continuum problem in set theory will be this, that it will finally lead to the discovery of new axioms which will make it possible to disprove Cantor's conjecture."

[Göd47]

<footnote n="4">4. [Göd40]</footnote>

<footnote n="5">5. Luz35.</footnote>

<footnote n="6">6. Sie34.</footnote>
L'intérêt du problème du continu pour Gödel réside justement dans le fait qu'il se situe
à l'interface entre d'un côté la question générale de la définissabilité des ensembles et d'un
autre côté la théorie des ensembles de réels définissables. L'analyse du concept d'ensemble
se retrouve de cette manière liée à la question du progrès mathématique.

**Réception des idées de Gödel** Disons maintenant quelques mots sur la réception de l'article de Gödel de 1947. Cet article, et surtout sa réédition en 1964 pour l'ouvrage *Philosophy of mathematics : Selected readings*<fnref n="7" /> de Benacerraf et Putnam, a eu une influence considérable sur les théoriciens des ensembles et il est encore aujourd'hui connu de nombre d'entre eux. Nous allons revenir sur deux points sur lesquels il nous semble courant de prendre certaines libertés avec l'interprétation de cet article. Non pas dans l'idée de fournir une critique de l'implémentation de certaines idées gödeliennes dans d'autres cadres d'analyse philosophique, mais plutôt pour voir comment un retour à certaines idées de Gödel, tel qu'on les comprend à la lecture de ses autres écrits, peut nous donner des clefs pour mieux comprendre le fonctionnement de la saisie informelle et progressive du concept d'ensemble.

Le premier point concerne l'importance que Gödel accorde à l'analyse conceptuelle, alors que cet aspect de son approche est parfois négligé. Puisque la complétion de la théorie axiomatique des ensembles par l'introduction de nouveaux axiomes est toujours au cœur de débats intenses dans les champs de la théorie des ensembles et de la philosophie des mathématiques, on se réfère régulièrement dans la littérature<fnref n="8" /> au "Programme de Gödel" en tant qu'inspiration plus ou moins directe dans l'exploration de nouveaux axiomes :

**Programme de Gödel.** *Recherche de nouveau axiomes visant à compléter ZFC et décidant des énoncés indépendants de ZFC tels que l'hypothèse du continu.*

Toutefois, le terme de programme n'est pas utilisé par Gödel, si bien que le fonctionne-
ment, la portée et le rôle de ce programme peuvent varier d'un auteur à l'autre. En particulier,
le rôle de l'analyse conceptuelle dans la recherche d'axiomes n'est pas toujours claire <fnref n="9" />, alors
qu'elle apparaît explicitement comme la voie envisagée par Gödel dans l'article de 1947 <fnref n="10" />.
Cette divergence interprétative impacte également la question de la justification des axiomes
qui est le second point d'interprétation que nous souhaitons préciser.

Le deuxième héritage important de l'article sur le continu est la distinction que fait Gödel entre justification intrinsèques et extrinsèques. À ce propos, on cite souvent le passage suivant pour introduire cette distinction :

<footnote n="7">7. [BP64]</footnote>

<footnote n="8">8. Comme en témoignent par exemple le titre des articles *Gödel's program for new axioms : Why, where, how and what ?* de Feferman ([Fef17] et *Gödel's Program* de Steel ( [Ste14]).</footnote>

<footnote n="9">9. Koellner, par exemple, se distancie du réalisme conceptuel de Gödel, en substituant au terme de concept, qui est précisément défini au sein du réalisme conceptuel de Gödel, le terme plus générique de notion :</footnote>

<footnote>*"I shall also employ the more neutral notion of the iterative conception of set rather that the iterative concept of set since there is nothing in this discussion that rests on a robust form of conceptual realism such as that of Gödel."*</footnote>

<footnote>Note de bas de page 2 [Koe09]</footnote>

<footnote n="10">10. En particulier dans le passage, cité à la première page, concernant le "meaning" du terme "set".</footnote>
"even disregarding the intrinsic necessity of some new axiom, and even in case
it has no intrinsic necessity at all, a probable decision about its truth is possible
also in another way, namely, inductively by studying its 'success'. "

[Göd47]

Gödel relie le succès d'un nouvel axiome à sa fécondité, et en particulier à sa fécondité en conséquences démontrables sans cet axiome, mais dont les preuves se retrouvent simplifiées ou raccourcies par son utilisation. L'usage de cette distinction est aujourd'hui extrêmement répandue dans les débats concernant des nouveaux axiomes, en particulier de par l'usage intensif qu'en a fait Maddy<fnref n="11" />. Si cette distinction a pris de l'importance dans le débat contemporain, elle ne joue, selon nous, qu'un rôle que secondaire dans l'approche de Gödel. Maddy, par exemple, envisage justifications intrinsèques et extrinsèques comme deux formes de justification qui seraient distinctes et orthogonales, voire en compétition :

"intrinsic considerations are valuable, but only insofar as they correlate with these
extrinsic payoffs. This suggests that the importance of intrinsic considerations is
merely instrumental, that the fundamental justificatory force is all extrinsic. This
casts serious doubt on the common opinion that intrinsic justifications are the
grand aristocracy and extrinsic justifications the poor cousins. The truth may well
be the reverse."

p136 [Mad11]

La démarcation entre justifications intrinsèques et extrinsèques<fnref n="12" /> n’est fondamentale
qu’aux yeux de ceux qui souhaitent adopter l’une pour rejeter l’autre. Mais le parcours
d’un problème mathématique est riche et complexe : partant d’une question dont la ré-
ponse est incertaine la communauté mathématique parvient, à force d’efforts collectifs, de
critiques, d’évaluations et de réévaluations de la situation générale et des directions à em-
prunter, à établir un fait mathématique. D’ailleurs, ce fait mathématique n’est pas toujours
une réponse directe au problème initial, il nous permet parfois de comprendre en quoi ce
problème était mal posé. Que certains argument isolés puisse être qualifiés d’intrinsèques ou
d’extrinsèques peut éventuellement s’entendre, mais parler de ce processus de justification
dans son ensemble en termes uniquement intrinsèques ou extrinsèques nous semble difficile.
Selon nous, on touche là aux excès de la reconstruction naturaliste de la science qui, en vou-
lant absolument éloigner toute considération philosophique de la science, finit par s’éloigner
de la science telle qu’elle est pratiquée. En effet, il y a naturellement un aller-retour entre
les considérations extrinsèques et intrinsèques dans ce processus de justification. C’est bien
souvent un mélange de ces deux types d’arguments qui permet de susciter le consensus.

Or, si on revient au passage de Gödel cité plus haut, on peut proposer une autre lecture
de la distinction entre justifications extrinsèques et intrinsèques, qui s’accorde avec la remise
en question d’une démarcation nette entre elles. Nous pensons que, dans l’article de Gödel,
l’opposition entre justifications extrinsèques et intrinsèques n’est qu’un instrument argumen-
tatif utilisé par Gödel pour s’adresser à ceux qui ne partagent pas son réalisme, afin de rendre
son discours accessible à ceux qui ne partageraient pas ces convictions philosophiques et qui
rejetteraient l’utilisation de justifications intrinsèques. Rappelons, à ce propos, que l’article

<footnote n="11">11. Notamment dans [Mad88a], [Mad88b], [Mad90], [Mad97], [Mad07] et [Mad11]</footnote>

<footnote n="12">12. On trouvera une excellente critique de cette démarcation dans [VV18].</footnote>
de 1947 est avant tout un article d'exposition du problème du continu à destination des mathématiciens. Ainsi, on pourrait interpréter le début de l'extrait de la manière suivante :

> Même si l'on refuse de voir la vérité par la justification, on finira par en reconnaître les conséquences.

Nous pensons que Gödel n'envisage pas sérieusement qu'un axiome puisse être vrai sans être intrinsèquement justifié. En effet, une vérité sans cause serait opposée à l'idée gödelienne selon laquelle la causalité est le fondement ultime des axiomes de la théorie des ensembles<fnref n="13" />. Il nous semble donc clair au vu de l'analyse d'autres textes du corpus gödelien que Gödel partage ce point de vue sur l'absence de démarcation claire entre justification intrinsèque et extrinsèque. En effet, nous avons vu dans la première partie de cet exposé, que Gödel attachait beaucoup d'importance à l'étude des conséquences de l'hypothèse du continu sur les propriétés des ensembles de réels et que seule la convergence de considérations extrinsèques et intrinsèques pourrait apporter une solution au problème du continu. Puisque ces deux modes de justifications sont présentés comme acceptables, il n'y a aucun intérêt à les mettre en concurrence ou à négliger l'un ou l'autre. Au contraire, c'est la dialectique constante entre considérations informelles intrinsèques et conséquences formelles extrinsèques qui explique le rôle heuristique de la recherche d'axiomes et de l'analyse du concept d'ensemble.

De la même manière, lorsque, plus tôt dans l'article, Gödel discute des axiomes justifiés intrinsèquement par le concept cumulatif d'ensembles en prenant l'exemple des axiomes de grands cardinaux, il ne manque pas de souligner le fait que ces axiomes permettent de décider des problèmes diophantiens indécidables dans ZFC. Cette forme de rétroaction entre le problème général de la hauteur de l'univers V de tous les ensembles et des problèmes d'arithmétique définissables localement apparaît régulièrement dans les écrits de Gödel. Ce qui nous amène à notre second exemple de mise en œuvre de l'analyse conceptuelle : les axiomes de grands cardinaux.

## 2 Gödel et les axiomes de grands cardinaux

Dans les deux éditions de son article sur le problème du continu, Gödel introduit la possibilité d'étendre de manière non-arbitraire les axiomes de la théorie des ensembles en donnant l'exemple des grands cardinaux. Les cardinaux inaccessibles sont l'exemple archétypal de grands cardinaux donné par Gödel, c'est sur eux que s'appuie l'argument selon lequel la théorie des ensembles "*can be supplemented without arbitrariness by new axioms which are only the natural continuation of the series of those set up so far*"<fnref n="14" />.

Les axiomes de grands cardinaux, que Gödel désigne par l'expression "*axioms of infinity*", ne sont donnés qu'à titre d'exemple dans l'article sur le continu. Le texte de 1946, est plus explicite concernant le rôle épistémologique accordé par Gödel aux axiomes de grands cardinaux. La question de la caractérisation des axiomes de grands cardinaux y est abordée.

<footnote n="13">13. Comme cela apparaît dans l'extrait suivant du Max Phil XIV : "*The fundamental philosophical concept is cause. [...] Perhaps [...] the logical (set-theoretical) axioms can be derived from the axioms of causality*" [Cro+24] p. 105.</footnote>

<footnote n="14">14. En 1964, il reformule ce passage en insistant sur le rôle central occupé par l'analyse du concept d'ensemble : "*can be supplemented without arbitrariness by new axioms which only unfold the content of the concept of set explained above.*"</footnote>
Cette question n'admet pas de réponse simple puisqu'il ne peut exister de définition formelle de cette notion :

> "It is certainly impossible to give a combinational and decidable characterization of what an axiom of infinity is; but there might exist, e.g., a characterization of the following sort : An axiom of infinity is a proposition which has a certain (decidable) formal structure and which in addition is true."

[Göd46]

Un axiome de grand cardinal affirme l'existence d'un cardinal $\kappa$ tel que $V_\kappa$ soit un modèle de ZFC. Mais encore faut-il restreindre ce critère pour interdire l'existence de $\kappa$ lorsque celle-ci contredit les axiomes de ZFC. Par exemple, on considère parfois l'énoncé 0 = 1 comme un cas limite d'axiome de grand cardinal. C'est alors que la question de la justification des axiomes de cardinaux sur la base du concept cumulatif d'ensemble entre en jeu. Il y aurait beaucoup à dire à ce sujet, plusieurs principes ayant été évoqués par Gödel pour justifier l'introduction de nouveaux axiomes<sup>15</sup>. On va se contenter ici de noter que la position de Gödel dans ces conversations avec Wang dans les années 1970 était que la plupart des principes à même de justifier l'existence de grands cardinaux pouvaient se ramener à des principes de réflexion :

> "All the principles for setting up the axioms of set theory should be reducible to a form of Ackermann's principle : The Absolute is unknowable. The strength of this principle increases as we get stronger and stronger systems of set theory. The other principles are only heuristic principles. Hence, the central principle is the reflection principle, which presumably will be understood better as our experience increases."

p283 [Wan96]

Les principes de réflexion expriment l'idée que l'univers $V$ de tous les ensembles est, d'une certaine manière, inconnaisable. Plus précisément, l'univers $V$, et par conséquent le concept d'ensemble, ne peuvent être caractérisés sans ambiguïté par des propriétés structurelles internes basées sur la relation d'appartenance. Gödel ne précise dans le texte de 1946 ni quelle est la structure formelle d'un axiome de grand cardinal, ni quels arguments peuvent être mobilisés pour justifier sa vérité. Ce qui est au centre du propos de Gödel, c'est la possibilité d'utiliser les axiomes de grands cardinaux pour expliciter de manière absolue la notion de démonstration mathématique :

> "It is not impossible that for such a concept of demonstrability some completeness theorem would hold which would say that every proposition expressible in set theory is decidable from the present axioms plus some true assertion about the largeness of the universe of all sets."

[Göd46]

Une démonstration mathématique serait une démonstration formalisable au sein d'un système formel de la forme 'ZFC + Axiome de grand cardinal'. Indépendamment de la question de savoir comment monter le long de la hiérarchie des grands cardinaux et de savoir

<footnote n="15">15. Voir en particulier la contribution de Gödel au chapitre VI de [Wan74], sous la forme d'une liste de cinq principes sur la base desquels justifier l'acceptation ou le rejet d'un axiome située pp189-190.</footnote>
si chaque étape de cette ascension est justifiée de la même manière que les précédentes,
ce qui est essentiel ici d'un point de vue structurel, c'est le fait que les axiomes de grands
cardinaux constituent une hiérarchie, c'est à dire qu'ils forment un bon ordre. Soulignons que
si aujourd'hui le bon ordre des grands cardinaux est souvent considéré comme un constat
quasi-empirique, puisque toutes les notions de grand cardinal connues sont, autant que l'on
sache, bien ordonnées au sein de la hiérarchie d'interprétabilité<fnref n="16" />, en 1946 l'existence d'une
telle hiérarchie était loin d'être évidente.

Depuis les travaux de Cohen, on a de bonnes raisons de penser que les axiomes de grands
cardinaux ne peuvent pas décider seuls l'hypothèse du continu, ce qui contrevient au résultat
de complétude attendu par Gödel concernant la prouvabilité à partir de grands cardinaux.
Toutefois, indépendamment du résultat de complétude attendu, la notion de grand cardinal
nous donne un exemple de déploiement possible d'une forme de rigueur informelle.

Le caractère progressif de l'analyse conceptuelle se manifeste par des allers retours entre
les deux aspects du concept de démonstration. D'un côté les envolées dans les hautes sphères
de l'abstraction des axiomes de grands cardinaux, et d'un autre côté leurs conséquences sur
les régions situés plus bas dans la hiérarchie cumulative. Ce sont des régions plus familières,
plus terrestres, sur lesquelles notre intuition semble avoir plus de prise. La mise en œuvre de
cette notion informelle de preuve consisterait à associer à chaque énoncé $\Phi$, indépendant de
ZFC, le plus petit grand cardinal $\kappa$ tel que " ZFC+Il existe $\kappa$ " prouve (ou réfute) $\Phi$. Pour
cela il faudrait relever tous les défis mathématiques suivants :

- Définir la notion de grand cardinal $\kappa$.

- Situer $\kappa$ par rapport aux notions de grands cardinaux connues.

- Trouver une structure formelle commune à tous les axiomes de grands cardinaux connus et montrer que $\kappa$ la vérifie.

- Trouver des critères permettant de justifier l'existence de $\kappa$.

- Montrer que $\Phi$ est conséquence de $\kappa$.

Le caractère non-trivial de cette mise en œuvre est dû au fait que ces défis sont interdé-
pendants et qu'ils sont le lieu de ce rapport dialectique entre justifications (intrinsèques) et
conséquences (extrinsèques) de l'existence de $\kappa$. Le développement historique de la notion
de cardinal mesurable illustre cette dialectique.

**Développement de la notion de cardinal mesurable** Les cardinaux mesurables sont une des notions de grand cardinal qui ont été le plus étudiées depuis presque un siècle. Nous en donnons la définition ci-dessous, bien que sa compréhension ne soit pas nécessaire pour suivre notre propos :

**Cardinaux Mesurables.** *Un cardinal mesurable est un cardinal $\kappa$ indénombrable tel qu'il existe une mesure $\mu$ non-triviale, $\kappa$-additive, à valeurs dans $\{0,1\}$, définie sur $\kappa$.*

La définition des cardinaux mesurables par Ulam en 1930 naît de l'étude de la possibilité d'étendre la mesure de Lebesgue. La définition de la notion de mesurabilité a été directement motivée par des problèmes de théorie descriptive des ensembles, une branche de la théorie

<footnote n="16">16. Voir [Koe11] pour une présentation de la hiérarchie d'interprétabilité et de ses liens avec les grands cardinaux.</footnote>
des ensembles qui s'intéresse aux propriétés des ensembles de réels en fonction de leur définition topologique (ensembles ouverts et fermés, ensembles boréliens, ensembles analytiques, ensembles projectifs etc). Or, Ulam démontra en 1930 le résultat suivant :

**Théorème (1930 Ulam).** *Si $κ$ est mesurable, alors $κ$ est inaccessible.*

L'inaccessibilité est la moins forte des notions de grand cardinal, mais ce résultat montre au moins que $κ$ est un grand cardinal. Il faudra attendre 30 ans et des développements importants pour réussir à montrer que la mesurabilité n'est pas équivalente à l'inaccessibilité mais est plus forte :

**Théorème (1964 Hanf).** *Le plus petit cardinal inaccessible n'est pas mesurable, i.e. la propriété de mesurabilité est plus forte que l'inaccessibilité.*

Mais ce sont les travaux de Scott qui vont faire considérablement progresser notre compréhension de la notion de mesurabilité. En reformulant la notion de mesurabilité en terme de plongement élémentaire, Scott démontre le résultat suivant :

**Théorème (Scott 1961).** *Théorème : L'existence d'un cardinal mesurable contredit l'axiome de constructibilité $V = L$.*

Le résultat de Scott était d'autant plus surprenant que les grands cardinaux connus en 1961 étaient compatibles avec l'axiome de constructibilité, faisant des cardinaux mesurables le premier exemple de cardinal non-constructible. De plus, la formulation de la notion de cardinal mesurable en termes de plongements élémentaires a eu un impact considérable sur toute la théorie des grands cardinaux. En effet, la notion de plongement élémentaire permet à la fois de redéfinir la plupart des notions de grand cardinal, d'en définir des nouvelles, voire de nourrir la réflexion sur les justifications des grands cardinaux et sur leur éventuelle forme commune<fnref n="17" />.

L'exemple des cardinaux mesurables nous montre comment le simple fait de définir une notion de cardinal et de la situer relativement aux autres notions connues peut représenter un problème mathématique difficile. Ainsi, si la caractérisation de la notion de démontrabilité par Gödel est d'apparence simple, sa mise en œuvre est loin d'être triviale d'un point de vue mathématique.

<footnote n="17">17. Voir à ce propos [Bag23].</footnote>
Références

[Bag23] Joan BAGARIA. "Large Cardinals as Princples of Structural Reflection". In : *The Bulletin of Symbolic Logic* 29.1 (2023), pp. 19-70.

[BP64] Paul BENACERRAF et Hilary PUTNAM. *Philosophy of Mathematics Selected Readings. Edited and with an Introd. By Paul Benacerraf and Hilary Putnam*. Prentice-Hall, 1964.

[Cro+24] Gabriella CROCCO et al. *Kurt Gödel Maxims and Philosophical Remarks Vol XIV*. Avr. 2024. URL: https://shs.hal.science/halshs-04533954.

[Fef17] Solomon FEFERMAN. "Gödel's program for new axioms: Why, where, how and what?" In : *Gödel '96: Logical Foundations of Mathematics, Computer Science and Physics - Kurt Gödel's Legacy*. Sous la dir. de PetrEditor HÁJEK. Lecture Notes in Logic. Cambridge University Press, 2017, p. 3-22.

[Göd40] Kurt GÖDEL. "The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis with the Axioms of Set Theory". In : *Kurt Gödel: Collected Works Vol. II (1990)*. Sous la dir. de Solomon FEFERMAN et al. Oxford University Press, 1940, p. 33-102.

[Göd46] Kurt GÖDEL. "Remarks Before the Princeton Bicentennial Conference on Problems in Mathematics". In : *Kurt Gödel: Collected Works Vol. II (1990)*. Sous la dir. de Solomon FEFERMAN et al. Oxford University Press, 1946, p. 150-153.

[Göd47] Kurt GÖDEL. "What is Cantor's Continuum Problem?" In : *Kurt Gödel: Collected Works Vol. II (1990)*. Sous la dir. de Solomon FEFERMAN et al. Oxford University Press, 1947, p. 176-187.

[Koe09] Peter KOELLNER. "On reflection principles". In : *Annals of Pure and Applied Logic* 157.2 (2009). Kurt Gödel Centenary Research Prize Fellowships, p. 206-219.

[Koe11] Peter KOELLNER. "Independence and Large Cardinals". In : *The Stanford Encyclopedia of Philosophy*. Sous la dir. d'Edward N. ZALTA. Summer 2011. Meta-physics Research Lab, Stanford University, 2011.

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