le transposé de B, c'est à dire son symétrique par rapport à son origine). La figure-III.4 présente un exemple d'érosion de l'ensemble X de la figure III.5.

<figure><img src="image_168.png" /><figcaption>Fig-III.4 : Ensemble d'objets X</figcaption></figure>

<figure><img src="image_169.png" /><figcaption>Fig-III.5 : Erosion par un élément structurant</figcaption></figure>

## III-3.4 Transformation par dilatation.

L'opération dilatation se définit d'une manière analogue. En prenant le même élément structurant $B_X$, on pose, pour chaque point de X, la question : $B_X$ touche t'il l'ensemble $X$?, c'est-à-dire : $B_X \cap X \neq \emptyset$?

L'ensemble des points $R^2$ correspondant aux réponses positives forme un nouvel ensemble Y dont la frontière est le lieu des centres géométriques de $B_X$ lorsque $B_X$ touche X. L'ensemble Y satisfait à l'équation : $Y = \{x : B_X \cap X \neq \emptyset\}$.

La dilatation est habituellement définie par le symbole $\oplus$. Nous avons adopté également la notation $D^B$. La transformation s'écrira donc : $Y = D^B(X)$ soit encore, $Y = X \oplus \mathring{B}^V$.

Les transformations par érosion et dilatation sont des transformations en tout ou rien, puisqu'à chaque point x de $R^2$ correspond une réponse positive ou négative.

La transformation par dilatation n'est pas indépendante de la transformation par érosion. En effet, si nous érodons l'ensemble $X^C$ complémentaire de X, par B, on voit que X s'accroît de toutes les parties érodées par B, ce qui donne un résultat identique à la dilatation de X par B. L'érosion et la dilatation sont donc deux opérations duales par rapport à la complémentation, ce qui s'écrit : $D^B(X) = (E^B(X^C))^C$ ou encore $X \oplus \mathring{B}^V = (X^C \ominus \mathring{B}^V)^C$.
La figure-III.6 présente un exemple de dilatation de l'ensemble X obtenu après érosion de la figure-III.4.

<figure><img src="image_170.png" /><figcaption>Fig-III.6 : Dilatation de l'ensemble d'objets de la figure-III.4 par un élément structurant circulaire.</figcaption></figure>

## III.3.5 Propriétés algébriques de l'érosion et de la dilatation.

- L'érosion et la dilatation sont des transformations croissantes : si un ensemble X est inclus dans un ensemble $X'$, l'érodé dilatation (ou le dilaté) de X par l'élément structurant B est inclus dans l'érodé (ou le dilaté) de $X'$ par B, quel que soit B :

$$X \subset X' = E^B(X) \subset E^B(X') \quad \text{ou} \quad X \ominus \mathring{B} \subset X' \ominus \mathring{B}$$

$$X \subset X' = D^B(X) \subset D^B(X') \quad \text{ou} \quad X \oplus \mathring{B} \subset X' \oplus \mathring{B}$$

- L'érosion est une transformation anti-extensive alors que la dilatation est extensive : cette propriété se retrouve facilement à partir de la définition de l'érosion et de la dilatation et se traduit par l'expression :

$$X \subset D^B(X) \quad \text{ou} \quad X \subset X \oplus \mathring{B} \quad \text{extensivité de la dilatation.}$$

$$E^B(X) \subset X \quad \text{ou} \quad X \ominus \mathring{B} \subset X \quad \text{anti-extensivité de l'érosion.}$$
-L'érosion et la dilatation ne sont pas des transformations idempotentes : ceci est dû au fait que l'érosion et la dilatation sont des transformations itératives. On peut en effet écrire :

$$E^{B'} (E^{B'}(X)) = E^{(D^{B'}(B))} (X) \quad \text{ou} \quad (X \ominus^{\mathring{B}}) \ominus^{\mathring{B}} = X \ominus^{\mathring{B}} (B \oplus^{\mathring{B}})$$

$$D^{B'} (D^{B'}(X)) = D^{(D^{B'}(B))} (X) \quad \text{ou} \quad (X \oplus^{\mathring{B}}) \oplus^{\mathring{B}} = X \oplus^{\mathring{B}} (B \oplus^{\mathring{B}})$$

En supposant $B' = B$, on aura $B \subset D^B(B)$ et $E^B(E^B(X)) = E^{(D^B(B))} (X) \subset E^B(X)$ [ou $B \subset B \oplus^{\mathring{B}} B'$ et $(X \ominus^{\mathring{B}}) \ominus^{\mathring{B}} = X \ominus^{\mathring{B}} (B \oplus^{\mathring{B}}) \subset (X \ominus^{\mathring{B}})$], ce qui est en contradiction avec la propriété d'idempotence. Un raisonnement analogue peut être tenu pour la dilatation.

Si nous associons dans une suite de transformations d'images des érosions et des dilatations, nous aurons la relation d'inclusion suivante :

$$D^{B'} (E^{B'}(X)) \subset E^{B'} (D^{B'}(X)) \quad \text{ou} \quad (X \ominus^{\mathring{B}}) \oplus^{\mathring{B}} \subset (X \oplus^{\mathring{B}}) \ominus^{\mathring{B}}$$

Pour justifier le sens de l'inclusion, on peut dire que l'on peut avoir, pour tout $X \neq 0$, $E^B(X) = 0$ [ou $(X \ominus^{\mathring{B}}) = 0$], alors que $D^B(X) \neq 0$ [ou $(X \oplus^{\mathring{B}}) = 0$]. En d'autres termes, il est plus sévère d'éroder avant de dilater que de faire le processus inverse. Cette propriété sera mise à profit lorsque l'on cherchera à 'nettoyer' des images.

## III-3.6 Connexité et convexité.

Notons d'abord que ni l'érosion ni la dilatation ne sont des transformations homotipiques. La figure-III.7 illustre cette propriété. L'érosion de la particule concave $X$ par des éléments circulaires de tailles croissante va d'abord augmenter le nombre de connexité de 1 à 2, celui-ci va ensuite diminuer de nouveau de 2 à 1, puis deviendra nul. En suivant l'évolution du complémentaire $X^C$ on voit également que la dilatation fait varier le nombre de connexité $N(X^C)$. On remarque également, sur la même figure, que lorsque l'ensemble est connexe $(X^C)$ ainsi que l'élément structurant $B$, la dilatation préserve la connexité. Par contre, d'une manière générale, l'érosion ne préserve pas la connexité même si $B$ est connexe. Enfin si l'ensemble $X$ est convexe, l'érosion préservera sûrement la connexité et même la convexité puisque l'érosion ne conduira dans ce cas qu'à une intersection de convexes.
<figure><img src="image_171.png" /><figcaption>Fig-III.7 : Exemple d'une transformation non homotopique : l'érosion.</figcaption></figure>

### III-3.7 Ouverture et fermeture morphologiques.

#### a) Notion d'ouverture.

Puisque l'érosion et la dilatation sont des transformations itératives, il est possible d'effectuer sur un ensemble X une érosion par un élément structurant X, puis de dilater l'ensemble érodé par le même élément structurant B. Selon la définition de l'érodé, on sait que $E^B(X)$ [ou $(X \ominus \tilde{B})$] n'est autre que l'ensemble des centres x tel que $B_X$ soit totalement inclus dans X. Si nous dilatons par son transposé, chaque point x de $E^B(X)$ sera remplacé par son élément structurant $B_X$ ; l'ensemble transformé, $D^B(E^B(X))$ [ou $(X \ominus \tilde{B}) \oplus B$], correspondra à l'union de tous ces éléments $B_X$ tel que $x \in E^B(X)$ [ou $x \in X \ominus \tilde{B}$]. $D^B(E^B(X))$ est donc un ensemble ouvert (par une boule B), au sens algébrique du terme. L'ouverture morphologique est habituellement notée $X_B(X)$. Nous avons adopté la notation $O^B(X)$. On aura donc la relation :

$$O^B(X) = D^B(E^B(X)) \quad \text{ou} \quad X_B = (X \ominus \tilde{B}) \oplus B$$

En général, après une ouverture, on ne retrouve pas l'ensemble de départ : l'ensemble ouvert $O^B(X)$ est plus régulier et moins riche en détails que l'ensemble initial. La transformation par ouverture adoucit donc les contours, coupe les isthmes étroits, supprime les petites îles et les caps étroits.
### c) Notion de fermeture.

En algèbre, on dit également que si un ensemble est ouvert, son complément est fermé. En morphologie mathématique, un ensemble fermé par un élément structurant (une boule) B est habituellement noté $X^B$ ; nous avons adopté la notation $F^B(X)$. D'après la définition de l'ensemble fermé, on aura :

$$ (O^B(X))^C = F^B(X^C) \quad \text{et} \quad O^B(X^C) = (F^B(X))^C \\ (X_B^C)^C = (X^C)^{B} \quad \text{et} \quad (X^C)_B = (X^B)^C $$

En considérant la dualité de l'érosion et de la dilatation par rapport à la complémentation, on peut écrire :

$$ O^B(X^C) = D^B(E^B(X^C)) = D^B(D^B(X))^C = (E^B(D^B(X^C)))^C $$

donc :

$$ F^B(X) = E^B(D^B(X)) $$

On constate donc qu'une dilatation d'un ensemble X par un élément structurant B suivie d'une érosion par le même élément structurant décrit une opération de fermeture sur l'ensemble X. Un ensemble fermé est également moins riche en détails que l'ensemble initial. La transformation par fermeture bouche les canaux étroits, supprime les petits lacs et les golfes étroits.

### III-3.8 Propriétés algébriques de l'ouverture et de la fermeture.

En algèbre, une opération est appelée ouverture si elle est :

$$ \text{- anti-extensive : } O^B(X) \subset X \quad \text{ou} \quad X_B \subset X $$

$$ \text{- croissante : } X_1 \subset X_2 \rightarrow O^B(X_1) \subset O^B(X_2) \quad \text{ou} \quad (X_1)_B \subset (X_2)_B $$

$$ \text{- idempotente : } O^B(O^B(X)) = O^B(X) \quad \text{ou} \quad (X_B)_B = X_B $$

L'ouverture morphologique satisfait bien ces trois propriétés : $O^B(X_1)$ [ou $(X_1)_B$] est alors inclus dans $O^B(X_2)$ [ou $(X_2)_B$] puisqu'à chaque point x appartenant à $O^B(X_1)$ correspond
un élément structurant $B_x$ totalement inclus dans $X_1$ et par conséquent dans $X_2$. Ce point $x$ appartient donc aussi à $O^B(X_2)$ ; la transformation est donc croissante.

Par dualité par rapport à la complémentarité, la fermeture $F^B(X)$ [ou $X^B$] possèdera les propriétés suivantes :

- la propriété d'extensivité : $F^B(X) \supset X$ ou $X \supset X^B$ 
  l'ensemble X est inclus dans l'ensemble X fermé par l'élément structurant B.

- la propriété de croissance : $X_1 \subset X_2 = F^B(X_1) \subset F^B(X_2)$ ou $(X_1)^B \subset (X_2)^B$

Si un ensemble $X_1$ est inclus dans un ensemble $X_2$, l'ensemble $X_1$ fermé par B est alors inclus dans l'ensemble $X_2$ fermé par B.

- la propriété d'idempotence : on sait que $O^B(O^B(X))$ [ou $(X_B)_B$] est la partie de $O^B(X)$ [ou $X_B$] engendrée par B lorsque B se déplace dans $O^B(X)$. Mais comme $O^B(X)$ est déjà un ouvert, il a également été engendré par B. On a donc ainsi vérifié la propriété d'idempotence. Par dualité, on peut également dire que la fermeture est aussi une transformation idempotente :

$$F^B(X) = F^B(F^B(X)) \quad \text{ou} \quad X^B = (X^B)^B$$

C'est cette dernière propriété qui différencie l'ouverture et la fermeture par rapport à l'érosion et à la dilatation.

## III-3.9 Propriétés topologiques de l'ouverture et de la fermeture.

Comme l'érosion et la dilatation, l'ouverture et la fermeture ne possèdent pas de propriétés intéressantes du point de vue topologique : en effet, ces transformations sont toujours des transformations non homotopiques puisque, comme nous l'avons vu, par ouverture on peut couper des isthmes et supprimer des îles.

## III-3.10 Principales classes d'éléments structurants.

Nous avons déjà indiqué que l'idée de base de la morphologie mathématique est de sonder avec un élément structurant de forme connue un ensemble et que chaque élément structurant donne une information relative à sa géométrie et à sa topologie.

Dans la plupart des cas, il suffit de choisir des éléments structurants ayant des propriétés limites de convexité et non convexité, d'isotropie et d'anisotropie. La figure-III.8 présente quelques éléments structurants pour l'espace euclidien $\mathbb{R}^2$.
L'utilisation de tel ou tel élément structurant dépend du problème à résoudre. Le cercle qui est l'élément structurant le plus convexe et le plus isotrope sert plus particulièrement à la détermination de la taille des objets (granulométrie, mesure des distances...). Le segment de droite possède les mêmes propriétés de convexité mais c'est le plus anisotrope des éléments convexes : il est principalement utilisé pour des mesures granulométriques. Le bi-point est l'élément structurant le plus anisotrope et le moins convexe. L'érosion par le bi-point permet de caractériser l'état de dispersion d'une structure. Quant au contour du cercle, qui est l'élément structurant le plus isotrope et le moins convexe, il ne peut être utilisé tel quel, il aura son correspondant sur une image digitale.

<figure><img src="image_172.png" /><figcaption>Fig-III.8 : *Cas limites d'éléments structurants.*</figcaption></figure>

### III-4 Analyse automatique d'images.

L'analyse automatique est beaucoup plus rapide que l'analyse manuelle et, en principe, elle élimine la subjectivité de l'opérateur ; de plus, elle permet la mesure simultanée d'un grand nombre de paramètres.

#### III-4.1 Principe des analyseurs automatiques d'images.

Une chaîne de traitement automatique d'images peut être schématisée comme suit :
- un système d'entrées sorties permettant, d'une part l'acquisition, le stockage et la restauration des images et d'autre part un moyen pour les visualiser. La texture d'un matériau, quel qu'il soit, n'est généralement pas observable à l'oeil nu ; il est donc nécessaire d'agrandir l'image de cette texture en utilisant la microscopie électronique à balayage ou optique.
L'analyse de la structure du matériau se fait au moyen d'un outil d'exploration (particule ou rayonnement) qui extrait des informations que l'on analyse ensuite en terme de topographie, de critallographie ou d'analyse chimique. Si le microscope optique ne permet de connaître que l'aspect topologique, le microscope électronique à balayage associé à une sonde X permet d'obtenir des informations de nature topographique et chimique. Les images obtenues à partir des électrons rétrodiffusés ou surtout des électrons secondaires, sont essentiellement de nature topographique ; la densité de l'image dépend de la nature des atomes au point d'impact des électrons primaires et du relief en ce point. Les images obtenues à partir du rayonnement X sont de nature chimique. Le microscope électronique à balayage atteint une résolution nettement supérieure à celle du microscope optique, et surtout une profondeur de champ beaucoup plus grande.

- un système de traitement des images (logiciel Optimas 5.0) permettant de faire des filtrages des segmentations, etc....

- un système de mesures permettant de traduire par des paramètres les caractéristiques morphologiques des images.

## III-4.2 Seuillage de l'image.

L'image avec ses différents niveaux de gris est d'abord seuillée. Le seuillage permet de sélectionner les parties de l'image qui intéressent l'opérateur. Des objets de pouvoirs réflecteurs différents ou de natures chimiques différentes vont donner des hauteurs différentes du signal. Pour sélectionner des objets, on devra donc choisir des limites entre lesquelles ce signal devra être pris en compte. Plusieurs cas s'imposent :

- si l'on désire détecter toutes les particules, on ne sélectionnera donc dans l'image que les endroits où l'intensité est supérieure au seuil inférieur $S_1$ (il n'y a pas de seuil supérieur),

- si par contre on ne souhaite détecter que la particule la plus foncée, on choisira deux seuils, le seuil inférieur $S_1$ et le seuil supérieur $S_2$ (on notera que dans ce cas on risque de détecter les bords des particules les plus claires),

- enfin, si l'on désire détecter le fond ainsi que les deux particules les plus foncées (c'est-à-dire les particules les plus claires sur la figure-III.9, on choisira alors un seuil supérieur, $S_3$, en dessous duquel l'image sera conservée (il n'y a, dans ce cas, pas de seuil inférieur)).

Après seuillage, les parties de l'image qui ont été sélectionnées seront traduites en blanc et le reste de l'image en noir. On a donc le schéma suivant :
<figure><img src="image_173.png" /></figure>

On pourra donc dire, selon les concepts utilisés en morphologie mathématique, que le seuillage est une transformation d'image en tout (blanc) ou rien (noir).

<figure><img src="image_174.png" /><figcaption>Fig-III.9 : Principe de la détection et de la digitalisation de trois objets de différents niveaux de gris.</figcaption></figure>

### III-4.3 Méthodes géodésiques d'amélioration des images binaires.

Les méthodes géodésiques vont apporter un outil complémentaire pour cette amélioration. Les méthodes géodésiques étant essentiellement liées à la notion de connexité, elle trouvent évidemment leur place dans l'analyse d'image. Les concepts géodésiques different des concepts métriques euclidiens correspondants par le fait qu'il est nécessaire de définir un objet ou un ensemble sur lequel s'applique la mesure géodésique, ce qui n'est pas, d'une manière générale, le cas pour une mesure euclidienne. Les mesures géodésiques prennent donc de l'intérêt lorsque l'ensemble à analyser ne remplit pas tout l'espace.

#### III-4.3.1 Distance géodésique entre deux points.

Le concept essentiel est la ligne géodésique et sa mesure associée, la distance géodésique. Considérons l'ensemble X de la figure-III.10. Soient quatre points $x_1, x_2, x_3$ et $x_4$ appartenant à cet objet. Une ligne ou un arc d'extrémité $x_1x_2$ seront appelés ligne ou arc géodésiques s'ils vérifient les deux conditions suivantes :

- être totalement inclus dans l'ensemble X,
- correspondre au plus petit parcours entre $x_1$ et $x_2$.

La mesure de la longueur parcourue entre ces deux points par la ligne géodésique sera appelée distance géodésique et notée $d_X(x_1,x_2)$. Elle obéit en effet, comme la distance métrique, $d(x_1,x_2)$, aux trois propriétés définissant une distance, à savoir :

$$d_X(x_1,x_2) = 0 \text{ si et seulement si } x_1 = x_2$$

$$d_X(x_1,x_2) = d_X(x_2,x_1)$$

$$d_X(x_1,x_3) \le d_X(x_1,x_2) + d_X(x_2,x_3)$$

<figure><img src="image_175.png" /><figcaption>Fig-III.10 : Définition d'un arc et d'une distance géodésique.</figcaption></figure>

### III-4.3.2 Distance d'un point à un ensemble.

Considérons un ensemble X et son complémentaire $X^C$ : faisons en sorte que l'ensemble complémentaire soit formé de parties disjointes $(X_i^C)$ (figure-III.11) ; appelons Y l'ensemble complémentaire.

<figure><img src="image_176.png" /><figcaption>Fig-III.11 : Distance géodésique d'un point x à un ensemble Y : (1) distance géodésique $d_X(x, Y_1)$ ; (2) distance géodésique $d_X(x, Y_2)$ ; (3) distance euclidienne $d_X(x, Y)$.</figcaption></figure>

En métrique euclidienne, la distance d'un point $x \in X$ à un ensemble Y est la plus courte
reconstituer l'image nettoyée : $Y_2 = D_X^\infty(Y_1)$. Les petits trous (artefacts) contenus dans $X'$ peuvent également être éliminés en complémentant l'image par rapport au masque Z :

$$Y_3 = E^{\lambda B}(Y_2^C)$$

$$Y_4 = (D_{Y_2}^{\infty}(Y_3))^{C}$$

### III-4.3.5.2 Elimination des trous quelle que soit leur taille.

Dans un certain nombre de cas, l'ensemble à analyser peut comporter des trous que l'on désire éliminer mais qui sont trop grands pour disparaître avec l'un des algorithmes précédents. Par transformation d'images, il est possible de faire disparaître ces trous à condition que la phase complémentaire soit complètement interconnectée. Pour obtenir ce résultat, le meilleur moyen consiste à prendre comme marqueur le contour $\delta Z$ du masque de mesures et l'ensemble complémentaire $X^C$. On effectue ensuite une dilatation géodésique selon $X^C$. L'ensemble recherché n'est autre que le complément du résultat précédent. Ceci se traduit par la transformation suivante :

$$Y = (D_X c(\delta Z))^C$$

### III.4.3.5.3 Segmentation par la méthode des bassins versants-ligne de partage des eaux.

#### III-4.3.5.3.1 Notion d'amincissement et d'épaississement.

##### A) Configuration de voisinage.

Considérons un ensemble digitalisé dans le cas d'un réseau hexagonal. Le voisinage d'un point n'est autre que l'hexagone élémentaire centré sur ce point. Dans le cas d'un réseau carré, le voisinage d'un point ne sera rien d'autre que le carré de taille 2 centré sur ce point. Si l'on attribue des valeurs 1 (points blanc) ou 0 (point noir) à chacun des points constituant l'hexagone ou le carré élémentaire, on forme une configuration de voisinage comme par exemple :
<table><tr><td>1</td><td>1</td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>ou</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr></table>

Chacune de ces configurations constitue un élément structurant, V, associé au réseau considéré.

## B) Transformation de voisinage sur une image binaire.

Dans la plupart des algorithmes utilisant des configurations de voisinages, celles-ci peuvent être regroupées en famille notée $V = V_1, V_2...V_n$. Soit X une image digitalisée et x un point appartenant à la trame : on appelle $V_x(X)$ la configuration de voisinage de l'image binaire X centrée en X. La transformation de voisinage par la famille V consiste à attribuer la valeur 1 à chaque point de la trame ayant une configuration appartenant à la famille de voisinage. La transformation de voisinage sera notée :

$$X \otimes V_x(X) = \begin{cases} 1 & \text{si } V_x(X) \in X \\ 0 & \text{si } V_x(X) \notin X \end{cases}$$

## C) Amincissement et épaississement.

L'amincissement d'un ensemble X consiste à lui enlever des points qui correspondent à une configuration donnée, tandis que l'épaississement consiste à lui ajouter des points correspondant à une configuration donnée.

Si l'on note par $\mathcal{O}$ l'amincissement et par $\mathcal{O} \circ \mathcal{O}$ l'épaississement, on aura pour l'amincissement :

$$X \mathcal{O} V = X / (X \otimes V)$$

et pour l'épaississement :

$$X \mathcal{O} V = X \cup (X \otimes V).$$

On remarque que l'érosion de taille 1 est en quelque sorte un amincissement alors que la dilatation est un épaississement. Si maintenant nous prenons une configuration de voisinage homotopique, nous obtiendrons un amincissement ou un épaississement homotopique.
### III-4.3.5.3.2 Segmentation par la méthode de bassins versants.

Pour plus de commodité, nous allons raisonner sur deux particules, de tailles différentes, reliées entre elles par un cou. Les résultats de quelques transformations sur ces deux particules sont représentés sur la figure-III.15. L'idée de base est de les séparer puis de les réunir en préservant leur ligne de séparation.

Une particule convexe possède un érodé ultime. Toute concavité située entre deux particules convexes va créer deux érodés ultimes car l'érosion n'est pas une transformation homotopique. En utilisant cette propriété, on obtiendra une image qui possèdera autant d'érodés ultimes que de parties convexes, c'est-à-dire de particules, si ces dernières sont convexes. Il faut cependant noter que la séparation des particules n'est réalisable que lorsque la sécante joignant les deux points de concours des circonférences sépare les centres des particules. En partant des érodés ultimes, il suffit ensuite de reconstruire les particules de telle manière que l'on conserve entres elles une ligne de séparation. Sur la figure-III.15b on voit que la dilatation est inutilisable pour effectuer cette reconstruction. Par contre, un épaississement (figure-III.15c) préserve une ligne de partage entre les deux particules. Malheureusement, cette ligne n'est autre que la médiatrice du segment joignant les deux érodés ultimes et elle ne sera confondue avec le cou que si les deux particules ont exactement la même taille. La solution de ce problème consiste à épaissir les érodés ultimes en fonction de leurs temps d'apparition au cours des érosions successives (fig-III.15d). De façon imagée, on peut décrire cette reconstruction en terme de géographie : si l'on considère que les ensembles érodés représentent les lignes de niveau de deux bassins (fig-III.15a), la transformation sera réalisée, à partir du fond, en tenant compte de la cote des lignes de niveau.
La ligne de partage des eaux correspondra évidemment à la segmentation recherchée.

Un dernier problème subsiste encore : Lorsque les cous ne sont pas perpendiculaires à la droite passant par les deux érodés ultimes, un simple épaississement géodésique par rapport à l'ensemble initial ne donne pas une segmentation correcte (fig-III.15e). La solution consiste à réaliser des épaississements géodésiques par rapport aux érodés successifs de l'ensemble initial (fig-III.15f), ces érodés jouant en quelque sorte le rôle de guides pour des épaississements.
<figure><img src="image_177.png" /></figure>

Fig-III.15 : Séparation de particules : a) ensemble initial avec ses érosions successives (ligne de niveau) ; b) dilatation conditionnelle à partir des érodés ultimes ; c) épaississement conditionnel à partir des deux érodés ultimes ; d) épaississement conditionnel à partir des deux érodés ultimes en tenant compte de leurs temps d'occurrence respectifs ; e) même traitement que d) sur un nouvel ensemble dont la ligne théorique de segmentation n'est pas perpendiculaire au segment joignant les deux érodés ultimes ; f) procédé identique à d) mais assorti d'épaississements conditionnels successifs par rapport à chacun des érodés de l'ensemble initial.

## Conclusion

Les principes de traitements d'images qui ont été présentés ici, ont été utilisés grâce au programme 'Optimas 5' pour améliorer le comptage des germes en particulier pour séparer les germes au début de la phase de coalescence.
<figure><img src="image_178.png" /><figcaption>Planche-1 : Evolution du recouvrement en fonction du temps. 'Avec prépolarisation'</figcaption></figure>
<figure><img src="image_179.png" /><figcaption>Planche-2 : Evolution du recouvrement en fonction du temps. 'Sans prépolarisation'</figcaption></figure>
<figure><img src="image_180.png" /><figcaption>Planche-3 : Evolution du recouvrement en fonction du temps. '[O₂ = 100%]'</figcaption></figure>
<figure><img src="image_181.png" /><figcaption>Planche-4 : Evolution du recouvrement en fonction du temps. '[O₂ = 5%]'</figcaption></figure>
<figure><img src="image_182.png" /><figcaption>Planche-5 : Evolution du recouvrement en fonction du temps. 'eau à 50°F'</figcaption></figure>
<figure><img src="image_183.png" /><figcaption>Planche-6 : Evolution du recouvrement en fonction du temps. 'eau à 10°F'</figcaption></figure>
<figure><img src="image_184.png" /><figcaption>Planche-7 : Evolution du recouvrement en fonction du temps. 'Débit = 1000 ml/min'</figcaption></figure>
<figure><img src="image_185.png" /><figcaption>Planche-8 : Evolution du recouvrement en fonction du temps. 'Débit = 60 ml/min'</figcaption></figure>
<figure><img src="image_186.png" /><figcaption>Planche-9 : Evolution du recouvrement en fonction du temps. 'Température = 50°C'</figcaption></figure>
<figure><img src="image_187.png" /><figcaption>Planche 10 : Cristaux de calcite sous diverses orientations à 30°F et T = 25°C.</figcaption></figure>
a)

<figure><img src="image_188.png" /></figure>

<figure><img src="image_189.png" /></figure>

b)

<figure><img src="image_190.png" /></figure>

<figure><img src="image_191.png" /></figure>

Planche 11 : Vatérite sous forme a) de boule à 25°C b) de planèze à 60°C pour une eau à 30°F.
<figure><img src="image_192.png" /><figcaption>Planche 12 : Aragonite a) aiguilles fines, b) structure en fuseau avec blocs cubiques, c) agrandissement d'une aiguille, d) transition fuseau / aiguille.</figcaption></figure>
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
Références bibliographiques

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## RESUME

Des études préliminaires de voltampérométrie mettent en évidence la modification de la cinétique de réduction de l'oxygène, élément moteur de la formation du tartre par voie électrochimique, lorsque l'on passe d'un électrolyte indifférent concentré à un électrolyte de très faible force ionique utilisé pour effectuer les tests d'entartrage. La théorie de Gouy-Chappmann a été réexaminée dans des solutions ne contenant que des sels en faibles concentration. On met en évidence que certains processus considérés usuellement comme négligeable peuvent devenir prépondérants en milieu dilué. Des informations complémentaires sur la distribution de potentiel dans la double couche et sur la résistance de la solution sont tirées de la voltampérométrie et de la spectroscopie d'impédance.

Dans le but d'évaluer le pouvoir entartrant d'une eau, la cinétique de précipitation du carbonate de calcium sous l'effet de la réduction cathodique de l'oxygène dissous a été étudiée. A cet effet une méthode associant la chronoampérométrie, la chronoélectrogravimétrie et l'analyse quantitative d'image MEB a été développée pour caractériser la croissance du tartre dans une cellule à jet immergé conçue pour contrôler les conditions hydrodynamiques. Une interprétation de l'action spécifique de divers paramètres (teneur en oxygène dissous, transport de matière, concentration en carbonate de calcium, traitement électrochimique de la surface) sur la cinétique d'entartrage est proposée en nous appuyant sur un modèle original rendant compte de la nucléation, de la croissance et de la coalescence des cristaux de carbonate de calcium. La microscopie électronique à balayage et la microscopie électronique à transmission sont largement utilisées pour caractériser la morphologie des dépôts de tartre ainsi que leur identification cristallographique, ces points déterminant en grande partie les propriétés des couches de tartre (pouvoir incrustant, protection contre la corrosion, etc...).

## ABSTRACT

According to preliminary studies, the rate of oxygene reduction (the driving force of calcium carbonate scale deposited by an electrochimical method) is modified for low very weak electrolyte as used for scaling tests. The Gouy-Chappmann theory has been developped for solution containing low ionic concentration of supported electrolyte. Additional information on the potential distribution in double layer and solution resistance is deduced from voltamperometry and Ac impedance analysis.

In order to evaluate the scaling power of a water, the kinetics of calcium carbonate precipitation on an electrode polarized at a potential cathodic reduction of dissolved oxygen was studied. Chronoamperometry in-situ, chronoelectrogravimetry and quantitative SEM image analysis were performed on a quartz crystal microbalance operating in an impinging jet cell for controlling the hydrodynamic conditions. To interpret the specific action of some parameters (oxygen concentration, degree of hardnees, flow rate, surface pretreatment) on calcium carbonate scale, a model was derived of the nucleation-growth process. SEM and TEM was widely used to identify the morphology and the crystal structure of calcium carbonate scale. This points determine the properties of the scale (incrust power, anti-corrosion aspect...).