# Une approche par méthode de perturbation pour résoudre des problèmes de plasticité

Mohamed Assidi, Hamid Zahrouni, Noureddine Damil, Michel Potier-Ferry

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Mohamed Assidi, Hamid Zahrouni, Noureddine Damil, Michel Potier-Ferry. Une approche par méthode de perturbation pour résoudre des problèmes de plasticité. 8e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2007, Giens, France. hal-01497661

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Submitted on 29 Mar 2017

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# Une approche par méthode de perturbation pour résoudre des problèmes de plasticité

* M. Assidi — * H. Zahrouni — ** N. Damil — * M. Potier-Ferry

* Laboratoire de Physique et Mécanique des Matériaux, UMR CNRS 7557 ISGMP
Université Paul Verlaine de Metz
Ile du Saulcy
57045 Metz Cedex 01, France
assidi@univ-metz.fr

** Laboratoire de Calcul Scientifique en Mécanique
Université Hassan II Mohammed Media, Faculté des Sciences Ben M'Sik, Casablanca,
Maroc

RÉSUMÉ. On introduit dans ce papier une nouvelle technique de régularisation pour résoudre des problèmes de plasticité dans le cadre de la méthode asymptotique numérique. Le comportement élastoplastique présente deux conditions unilatérales à prendre en compte. Pour ce faire, on propose de remplacer le problème non régulier par un problème régularisé afin d'appliquer la technique de perturbation. Deux applications sur des structures discrétisées par éléments finis sont alors présentées pour évaluer l'efficacité de l'algorithme.

ABSTRACT. This paper investigates new procedures to solve plasticity problems by using the asymptotic numerical method (ANM). As the elastic plastic behaviour involves two unilateral conditions, we replace these two conditions by regular functions depending upon the stress field and its time derivative which permits to take into account elastic plastic transition and elastic unloading. Two applications in structural plasticity problems using finite element method are presented to assess the ability of the proposed algorithm.

MOTS-CLÉS : Méthode de perturbation, Régularisation, Plasticité, Eléments finis.

KEYWORDS: Perturbation method, Regularization, Plasticity, Finite element.
# 1. Introduction

La méthode asymptotique numérique (MAN) combine la technique de perturbation et une méthode numérique comme celle des éléments finis. Elle a été appliquée avec succès à différents problèmes de mécanique de fluide et de structure. Grâce à la technique de régularisation, il est possible de traiter avec la MAN des problèmes fortement non linéaires avec des conditions unilatérales rencontrées, par exemple, dans un problème de contact (Cochelin *et al.*, 2007). On se propose dans ce travail d'appliquer la MAN aux problèmes de plasticité. Cette dernière induit deux conditions unilatérales relatives au passage de l'état élastique à l'état plastique et inversement (décharge). Pour prendre en compte ces deux conditions, nous introduisons deux fonctions de régularisation dans les équations de comportement faisant intervenir à la fois la contrainte et sa dérivée. Ces régularisations nous permettent ainsi d'appliquer la technique de perturbation et la méthode de continuation pour obtenir toute la branche solution pas à pas. Deux applications sur des structures élastoplastiques seront présentées dans le cadre des éléments finis bidimensionnels en contraintes planes mais le formalisme présenté reste général est applicable à tout type de structure.

# 2. Plasticité dans le cadre de la MAN

Le comportement élastoplastique présente de fortes non linéarités et combine deux conditions unilatérales. La première concerne la transition du domaine élastique au domaine plastique et la seconde concerne la décharge élastique. On introduit alors deux régularisations ; la première permet le passage du domaine élastique au domaine plastique et la deuxième permet de prendre en compte la décharge élastique. Ainsi, le modèle élastoplastique régularisé en considérant une loi puissance peut s'écrire sous la forme suivante :

$$ \dot{\sigma} = D : (\dot{\varepsilon} - \dot{\varepsilon}^p) \quad [1] $$

$$ \dot{\varepsilon}^p = \dot{\lambda}n \quad [2] $$

$$ n = \frac{3}{2} \frac{\sigma^d}{q} \quad [3] $$

$$ \dot{\lambda} = \dot{\varepsilon}_c GH \quad [4] $$

$$ \eta_2^2 = H(H - \xi) \quad [5] $$

$$ \dot{\varepsilon}_c \xi = n : \dot{\varepsilon} \quad [6] $$

$$ f = \frac{q - \sigma_e}{\sigma_e} \quad [7] $$

$$ G = \frac{\eta_1}{\frac{\sigma_e}{2\mu} f^2 + \eta_1 \left(\frac{3}{2} + \frac{\alpha h (\bar{\varepsilon}^p)^{\alpha-1}}{2\mu} (1+f)\right)} \quad [8] $$
$$ q^2 = \frac{3}{2} \sigma^d : \sigma^d + \eta_3^2 \sigma_y^2 \qquad [9] $$

$$ \sigma_e = \sigma_y + h(\bar{\epsilon}^p)^\alpha \qquad [10] $$

où $\sigma$, $\sigma^d$, $\varepsilon$ et $\varepsilon^p$ désignent le tenseur des contraintes de Cauchy, sa partie déviatorique, le tenseur des déformations totales et le tenseur des déformations plastiques. D est la matrice des constantes élastiques. $\mu$ est le module de cisaillement. $\alpha$ et $h$ sont des paramètres dépendant du matériau. $\lambda, n, q, \sigma_e$ et $f$ étant le multiplicateur plastique, la normale à la surface de charge, la contrainte équivalente, la contrainte effective et la fonction de charge. $\bar{\varepsilon}^p$ et $\sigma_y$ représentent la déformation plastique équivalente et la contrainte limite d'écoulement initiale. Les variables $G, H$ et $\xi$ sont des fonctions introduites pour le besoin de la régularisation qui seront traitées de la même façon que les variables principales du problème. $\dot{\varepsilon}_c$ est une vitesse de déformation caractéristique introduite pour rendre les régularisations adimensionnelles.

# 3. Technique de résolution

## 3.1. Formulation variationnelle

Dans ce travail, on se limite à des problèmes quasi statiques en petites perturbations. Ainsi, le problème variationnel s'écrit sous la forme suivante :

$$ \int_{\Omega} \sigma^t : \delta\varepsilon d\Omega - C(t) P_{ext}(\delta u) = 0 \qquad [11] $$

Où $C(t)$ est une fonction de chargement dépendante d'un paramètre de développement "t" et $P_{ext}$ représente le travail des efforts extérieurs.

## 3.2. Technique de perturbation

On rappel qu'afin d'appliquer la technique de perturbation, le problème à résoudre doit être régulier et écrit sous une forme quadratique de préférence. Ce qui revient à réeccrire sous forme quadratique les équations [3] et [7], à introduire des variables aditionnelles dans [8] et remplacer l'équation [10] par une forme différentielle (Potier-Ferry, 2004). Ensuite, on applique la technique de perturbation, qui consiste à développer en séries entières toutes les variables du problème. En injectant les éveloppements asymptotiques dans la relation d'équilibre [12] et en identifiant les termes par rapport "t", on obtient une suite récurrente de problèmes linéaires à résoudre par la méthode des éléments finis. Ces problèmes s'écrivent à un ordre "k" sous la forme suivante :

$$ \int_{\Omega} \sigma_k^t : \delta\varepsilon d\Omega - C_k P_{ext}(\delta u) = 0 \qquad [12] $$

En substituant les différentes équations de comportement dans [1], on obtient la relation suivante :

$$ \sigma_k = D_t : \varepsilon_k + \sigma_k^{res} \qquad [13] $$
où $D_t$ est le tenseur élastoplastique représentant le module tangent, $\sigma_k^{res}$ est une sorte de vecteur résiduel dépendant des solutions précédents l'ordre $k$. Pour avoir toute la branche solution, on utilise une technique de continuation qui consiste, dans le cadre de la plasticité, à satisafire et contrôler toutes les relations du problème contrairement au problème classique d'élasticité résolu par la MAN où le rayon de validité de la solution asymptotique dépendant d'un paramètre de contrôle $\delta$ est évalué uniquement à partir de la variable déplacement (Cochelin et al., 2007).

# 4. Application Numérique

Pour montrer l'éfficacité et la robustesse de notre algorithme, deux applications sont présentées ; la première concerne la flexion d'une structure poutre et la seconde concerne la traction d'une plaque trouée. Pour ces deux applications, la distribution des contraintes n'est pas homogène et la transition du domaine élastique au domaine plastique ainsi que la décharge élastique n'apparaissent pas en même temps pour tous les points de Gauss. Les résultats sont évalués dans le cadre des contraintes planes avec des éléments finis quadrangulaires à quatre noeuds.

## 4.1. Test de flexion

La première application concerne la flexion d'une poutre encastrée libre soumise à une pression. Les caractéristiques géométriques, de chargement et des conditions aux limites sont reportées sur la figure(1). Les caractéristiques du matériau sont : $E = 200000 \text{ MPa}, \nu = 0.3$. On considère deux cas de comportement avec les paramètres ($h = 2000 \text{ MPa}, \alpha = 1$) qui correspond à un écrouissage linéaire et un deuxième cas ($h = 757 \text{ MPa}, \alpha = 0.51$). Les résultats sont obtenus pour un ordre de troncature $N = 15$ et un paramètre de contrôle $\delta = 10^{-5}$. Les paramètres de régularisation sont :($\eta_1 = 10^{-4}, \eta_2 = 0.1, \eta_3 = 5.10^{-2}$).

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>**Figure 1.** Test de flexion : description géométrique, de chargement et des conditions aux limites</figcaption></figure>
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Figure 2.** Courbes de réponse du point $Pt_1$ ; contrainte équivalente- déformation. Les points représentent les fin des pas asymptotiques</figcaption></figure>

Les courbes de réponses donnent entière satisfaction en comparaison avec le code Abaqus qui utilise la méthode de Newton Raphson et une loi de comportement sans régularisation.

## 4.2. Test de traction de plaque trouée

La deuxième application concerne la traction d'une plaque trouée. Les dimensions du modèle sont : la longueur L= 100mm, la largeur b=40 mm et le rayon du trou R=7.6 mm. Pour des raisons de symétries, on considère que le quart de la structure. On utilise le même matériau que celui du test précédent ainsi que les mêmes paramètres de régularisations.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>**Figure 3.** Description géométrique et maillage de la plaque trouée. Seul un quart de la structure est modélisé.</figcaption></figure>

Ce test nous permet de confirmer la robustesse de l'algorithmme. En effet, les résultats reportés sur la figure(4) sont en accord avec ceux obtenu avec le code industriel. Le nombre de pas reste raisonnable par rapport aux méthodes classiques.
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>**Figure 4.** Courbes de réponse du point $Pt_1$ : Contrainte équivalente- déformation.
Les points représentent les fin des pas asymptotiques</figcaption></figure>

**5. Conclusion**

Nous avons présenté dans ce travail une application de la MAN aux problèmes de plasticité en tenant compte de la décharge élastique. Nous avons montré l'efficacité de l'algorithme proposé dans cette étude pour le traitement des non linéarités issues des lois plastiques. Il faut noter qu'avec notre algorithme aucune itération de correction n'est nécessaire contrairement aux algorithmes classiques qui exigent des itérations à la fois au niveau de l'équation d'équilibre global de la structure et au niveau local à chaque point d'intégration pour respecter la loi de comportement.

**6. Bibliographie**

Cochelin B., Damil N., Potier-Ferry M., *Méthode Asymptotique Numérique, une technique de résolution des équations non linéaires*, Hermes Science Publishing, 2007.

Potier-Ferry M., *Méthode Asymptotique Numérique*, vol. 13, Revue Européenne des Eléments Finis(spécial issue), 2004.