# Hydrogènoïdes en mécanique classique et quantique
(équation de Schrödinger), et applications aux
diagnostics de l'atmosphère du Soleil

Jean-Marie Malherbe

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Jean-Marie Malherbe. Hydrogènoïdes en mécanique classique et quantique (équation de Schrödinger), et applications aux diagnostics de l'atmosphère du Soleil. Master. M1, France. 2025, pp.23. hal-05415370

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Submitted on 14 Dec 2025

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# Hydrogènoïdes en mécanique classique et quantique (équation de Schrödinger) : application aux diagnostics de l'atmosphère du Soleil

Jean-Marie Malherbe

Astronome émérite, Observatoire de Paris, PSL Research University, France
Email: Jean-Marie.Malherbe@obspm.fr; ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4180-3729
14 Décembre 2025

## RESUME

Nous présentons dans ce cours de niveau M1 la théorie des hydrogènoïdes (atomes à électron unique comme Hydrogène ou Hélium ionisé) en mécanique classique (section 1), puis en résolvant l'équation de Schrödinger (section 2). Les transitions entre niveaux d'énergie discrets donnent naissance aux raies spectrales dont l'étude permet des diagnostics fondamentaux sur la structure et la stratification en altitude de l'atmosphère solaire, que nous décrivons (section 3). Les observations étagées en température des instruments au sol ou dans l'espace, entre $10^4$ K et $10^5$ K, donnent accès à des couches d'altitude variées de la chromosphère et de la zone de transition chromosphère couronne.

## MOTS CLEF

Soleil, Hydrogènoïdes, Hydrogène, Hélium ionisé, Schrödinger, spectroscopie, diagnostics, chromosphère, zone de transition, imagerie monochromatique

# I - LE SPECTRE DES ATOMES HYDROGENOÏDES EN MECANIQUE CLASSIQUE

## I - a - Niveaux d'énergie discrets et transitions quantiques

Un atome hydrogènoïde est composé d'un noyau de charge électrique +Ze et d'un unique électron de charge -e. On peut citer par exemple l'hydrogène neutre H, dont les raies visibles sont caractéristiques de la chromosphère solaire (à 8000 K), et l'ion Hell, dont les raies UV se forment dans la transition chromosphère couronne (à 80000 K). En théorie classique, on considère que l'électron (charge -e, masse m) est en rotation autour du noyau à la vitesse angulaire $\omega$ et à la distance r du noyau, de telle sorte que :

$$m \omega^2 r = Z e^2 / (4 \pi \varepsilon_0 r^2)$$

Dans le modèle de Bohr, le moment cinétique orbital L de l'électron est quantifié par la loi :

$$L = n \hbar = m \omega r^2$$

Où $\hbar = h / 2\pi$ (h constante de Planck) et où n est un nombre entier positif.

$$\text{On déduit de ces deux relations } r = n^2 h^2 \varepsilon_0 / (m \pi Z e^2) = n^2 a / Z$$

$$\text{soit numériquement } r = 0.53 n^2 / Z \text{ Angström } (1 \AA = 10^{-10} \text{ m}).$$

Le rayon de l'atome d'hydrogène est égal à :

$$a = h^2 \varepsilon_0 / (m \pi e^2) = 0.53 \AA \text{ au niveau fondamental } (n = 1, Z = 1).$$
L'énergie totale $E_n$ de l'atome est la somme de l'énergie cinétique $\frac{1}{2} m \omega^2 r^2$ et de l'énergie potentielle $-Z e^2 / (4 \pi \varepsilon_0 r)$. On trouve :

$$E_n = - (Z^2 / n^2) [ e^4 m / (8 h^2 \varepsilon_0^2 ) ] = - R_H Z^2 / n^2 = -13.6 Z^2 / n^2 \text{ eV}$$

$R_H = e^4 m / (8 h^2 \varepsilon_0^2 )$ est la constante de Rydberg égale numériquement à 13.6 eV. Les transitions quantiques entre deux niveaux m et n font intervenir l'absorption ou l'émission d'un photon dont l'énergie correspond à la différence d'énergie entre les deux niveaux électroniques :

$$h v_{mn} = h C / \lambda_{mn} = - R_H Z^2 ( 1/n^2 - 1/m^2 )$$

$v_{mn}$ et $\lambda_{mn}$ sont respectivement la fréquence et la longueur d'onde de la transition quantique.

L'énergie d'ionisation ($m \to \infty$) à partir du niveau de départ n vaut :

$$E_i = R_H Z^2 / n^2 = 13.6 Z^2 / n^2 \text{ eV} ;$$

pour l'atome d'Hydrogène, l'énergie d'ionisation à partir du fondamental ($n = 1, Z = 1$) est égale à la constante de Rydberg $R_H = 13.6 \text{ eV}$.

## Le spectre de l'atome d'Hydrogène ($Z = 1$)

**Domaine UV :** Série de Lyman, transitions du niveau $1 \to n > 1$ :

$$\Delta E = h v = h C / \lambda = R_H ( 1 - 1/n^2 )$$

En énergie : $\Delta E = h v : 10.2 \text{ eV} \to 13.6 \text{ eV}$ (continu, $n \to \infty$);

en longueur d'onde : $\Delta E = h C / \lambda$ d'où $\lambda : 1216 \text{ Å}$ (Ly $\alpha$) $\to 912 \text{ Å}$ (continu de Lyman)

Dénomination : Ly $\alpha$ ($1 \to 2$) ; Ly $\beta$ ($1 \to 3$) ; Ly $\gamma$ ($1 \to 4$) ...

Energie d'ionisation : 13.6 eV ou 912 Å (continu de Lyman: $\lambda < 912 \text{ Å}$, transitions lié-libre)

**Domaine Visible :** série de Balmer, transitions du niveau $2 \to n > 2$ :

$$\Delta E = h v = h C / \lambda = R_H ( 1/4 - 1/n^2 )$$

En énergie : $\Delta E = h v : 1.9 \text{ eV} \to 3.4 \text{ eV}$ (continu, $n \to \infty$);

en longueur d'onde : $\Delta E = h C / \lambda$ d'où $\lambda : 6563 \text{ Å}$ (H $\alpha$) $\to 3650 \text{ Å}$ (continu de Balmer)

Dénomination : H $\alpha$ ($2 \to 3$) ; H $\beta$ ($2 \to 4$) ; H $\gamma$ ($2 \to 5$) ...

Energie d'ionisation : 3.4 eV ou 3650 Å (continu de Balmer: $\lambda < 3650 \text{ Å}$, transitions lié-libre)

**Domaine IR, Série de Paschen, transitions du niveau $3 \to n > 3$ :**

$$\Delta E = h v = h C / \lambda = R_H ( 1/9 - 1/n^2 )$$

En énergie : $\Delta E = h v : 0.7 \text{ eV} \to 1.5 \text{ eV}$ (continu, $n \to \infty$);

en longueur d'onde : $\Delta E = h C / \lambda$ d'où $\lambda : 18775 \text{ Å}$ (Pa $\alpha$) $\to 8214 \text{ Å}$ (continu de Paschen)

Dénomination : Pa $\alpha$ ($3 \to 4$) ; Pa $\beta$ ($3 \to 5$) ; Pa $\gamma$ ($3 \to 6$) ...

Energie d'ionisation : 1.5 eV ou 8214 Å (continu de Paschen: $\lambda < 8214 \text{ Å}$, transitions lié-libre)
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Série de Balmer de l'atome d'Hydrogène dans le visible. en haut : raies d'absorption en bas : raies d'émission.

La limite de la série est à 3650 Å (énergie d'ionisation, continu de Balmer)

## Le spectre de l'atome d'Hélium ionisé (Z = 2), un électron restant

Domaine EUV : Série de Lyman, transitions du niveau 1 → n > 1 :
$$ \Delta E = h v = h C / \lambda = 4 R_H (1 - 1/n^2) $$

En énergie : $\Delta E = h v : 40.8 \text{ eV} \rightarrow 54.4 \text{ eV}$ (continu, $n \rightarrow \infty$);
en longueur d'onde : $\Delta E = h C / \lambda$ d'où $\lambda : 303 \text{ Å}$ ($\text{Ly } \alpha) \rightarrow 228 \text{ Å}$ (continu de Lyman)
Dénomination : $\text{Ly } \alpha$ ($1 \rightarrow 2$) ; $\text{Ly } \beta$ ($1 \rightarrow 3$) ; $\text{Ly } \gamma$ ($1 \rightarrow 4$) ...
Energie d'ionisation 54.4 eV ou 228 Å (continu de Lyman: $\lambda < 228 \text{ Å}$, transitions lié-libre)

## I - b - Profil Lorentzien en fréquence et largeur naturelle des raies

Les sections efficaces (en m²) de photo excitation caractérisent l'interaction photon matière et les transitions quantiques « lié- lié ») ; elles sont très élevées dans le domaine très étroit de fréquence ou longueur d'onde des raies. Considérons un électron de position x lié au noyau par la force de rappel -kx, subissant un amortissement modélisé par -my dx/dt, et oscillant dans un champ électrique E $e^{i\omega t}$ représentant la vibration lumineuse de pulsation $\omega = 2\pi v$. m et -e sont respectivement la masse et la charge de l'électron ; γ est son amortissement (en s⁻¹). Le principe de la dynamique donne :

$$ m \frac{d^2 x}{dt^2} + m\gamma \frac{dx}{dt} + kx = -e E e^{i\omega t} \text{ et l'on pose } x = X e^{i\omega t} $$

On peut montrer que le coefficient d'amortissement γ (inverse d'un temps) s'obtient en égalisant la puissance moyenne dissipée par la force de frottement $\langle m\gamma(dx/dt) \rangle^2$ à la puissance moyenne rayonnée par l'électron (établie par ta théorie du rayonnement dipolaire et les potentiels retardés, voir par exemple le cours d'électromagnétisme https://hal.science/hal-04855435):

$$ \gamma = (1/4\pi\varepsilon_0) (2/3) \frac{e^2 \omega_0^2}{m C^3} \text{ avec } \omega_0^2 = \frac{k}{m} \text{ pulsation de résonance} $$

Pour la raie $H\alpha$ ($\lambda = 6563 \text{ Å}$), on a $\omega_0 = 2\pi C / \lambda = 2.87 \times 10^{15} \text{ Hz}$, d'où $\gamma = 5.2 \times 10^7 \text{ s}^{-1}$, celà représente en longueur d'onde une largeur de $\Delta\lambda = \lambda\gamma / v_0 = \lambda^2\gamma / C = 10^{-3} \text{ Å}$, ce qui est très petit.

$$ \text{La résolution de l'équation du mouvement donne : } X = \frac{(-e/m) E}{\omega_0^2 - \omega^2 + i\gamma\omega} $$
Comme $\langle (dx/dt)^2 \rangle = \frac{1}{2} |X|^2 \omega^2$, la puissance moyenne absorbée par la dissipation est égale à :

$$ \langle P_f \rangle = \frac{1}{2} m \gamma |X|^2 \omega^2 = \frac{1}{2} \gamma (e^2/m) E^2 \omega^2 / [(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \gamma^2 \omega^2] $$

$$ \text{En posant } \omega = 2\pi v, \text{ il vient } \langle P_f \rangle = \left(\frac{\gamma}{8\pi^2}\right) \left(\frac{e^2}{m}\right) \frac{E^2}{v^2} \left[ \left(\frac{v_0^2}{v} - v\right)^2 + \left(\frac{\gamma}{2\pi}\right)^2 \right] $$

Au voisinage de la fréquence de résonance $v_0$, on a $(v_0^2/v - v) \approx 2(v_0 - v)$, d'où

$$ \langle P_f \rangle \approx \left(\frac{\gamma}{32\pi^2}\right) \left(\frac{e^2}{m}\right) \frac{E^2}{v^2} \left[ \left(v - v_0\right)^2 + \left(\frac{\gamma}{4\pi}\right)^2 \right] $$

La section efficace $\sigma$ (en m²) de photo excitation est définie comme le rapport de la puissance moyenne dissipée $\langle P_f \rangle$ (en W) à la puissance moyenne électromagnétique transportée par unité de surface (moyenne du vecteur de Poynting $\langle P \rangle$ en W/m², voir cours https://hal.science/hal-04855435), égale au produit $C \epsilon_0 E^2/2$ :

$$ \sigma(v) = \langle P_f \rangle / \langle P \rangle = \langle P_f \rangle / \left( C \epsilon_0 \frac{E^2}{2} \right) = \left[ \frac{e^2}{16\pi^2 \epsilon_0 m C} \right] \frac{\gamma}{\left[ \left( v - v_0 \right)^2 + \left( \frac{\gamma}{4\pi} \right)^2 \right]} $$

Avec $\gamma = 2 \pi e^2 v_0^2 / (3 \epsilon_0 m C^3)$, on obtient finalement la section efficace en fonction de v :

$$ \sigma(v) = \left[ \frac{e^4}{24\pi \epsilon_0^2 m^2 C^4} \right] \frac{v_0^2}{\left[ \left( v - v_0 \right)^2 + \left( \frac{\gamma}{4\pi} \right)^2 \right]} $$

Introduisons la section efficace de diffusion Thomson de la lumière sur les électrons libres,

$$ \sigma_{\text{th}} = \frac{e^4}{6\pi \epsilon_0^2 m^2 C^4} $$

$$ \text{alors on obtient } \sigma = \frac{1}{4} \sigma_{\text{th}} v_0^2 / \left[ \left( v - v_0 \right)^2 + \left( \frac{\gamma}{4\pi} \right)^2 \right] $$

A la fréquence centrale de la raie, $v = v_0$ implique :

$$ \sigma(v_0) = \sigma_{\text{th}} \frac{4\pi^2 v_0^2}{\gamma^2} = \sigma_{\text{th}} \frac{4\pi^2 C^2}{\gamma^2 \lambda_0^2} $$

Sachant que $\sigma_{\text{th}} = 6.63 \times 10^{-29} \text{ m}^2$, on en déduit, pour la raie Hα ($\lambda_0 = 6563 \AA$, $\gamma = 5.2 \times 10^{-7} \text{s}^{-1}$) que $\sigma(H\alpha) \approx 2 \times 10^{-13} \text{ m}^2$. La section efficace au cœur des raies est très grande, elle est une mesure de l'interaction onde/matière.

La section efficace totale sur l'ensemble du profil s'obtient par intégration sur les fréquences.

$$ \sigma_{\text{tot}} = \int_{-\infty}^{+\infty} \sigma(v) \, dv = \frac{e^2}{4 \epsilon_0 m C} $$

En mécanique quantique, on introduit un facteur multiplicatif appelé *force d'oscillateur* $f_{nm}$ de la transition de telle sorte que $\sigma_{\text{tot}} = f_{nm} [e^2/(4 \epsilon_0 m C)]$. La force d'oscillateur est un nombre inférieur à l'unité (0.641 pour Hα, 0.119 pour Hβ par exemple).

## I - c - Profil gaussien en fréquence et élargissement Doppler

La fonction de distribution du module des vitesses $v$ d'un gaz d'atomes de masse $m$ en équilibre thermodynamique à la température $T$ est donnée par la loi de Maxwell :
$$f(V) = [m / (2\pi kT)]^{3/2} \exp(-\frac{1}{2} m V^2 / kT) 4 \pi V^2 \quad \text{avec} \quad \int_0^\infty f(V) dV = 1$$

Cette fonction de distribution présente un maximum pour $V_{max} = (2kT / m)^{1/2}$

$$\text{La vitesse moyenne est } \langle V \rangle = \int V f(V) dV / \int f(V) dV = 2 V_{\text{max}} / \int \pi = [8kT / (\pi m)]^{1/2}$$

On a typiquement $\langle V \rangle = 14 \text{ km/s}$ dans la photosphère solaire (T = 6000 K) et 145 km/s dans la couronne solaire (T = $2 \times 10^6$ K) pour de l'Hydrogène ou des protons.

La vitesse quadratique moyenne est :

$$\langle V^2 \rangle = \int V^2 f(V) dV / \int f(V) dV = 3/2 V_{\text{max}}^2 = \boxed{3 \text{ kT / m}}$$

$$\text{de sorte que l'énergie cinétique moyenne est } \langle E_c \rangle = \frac{1}{2} m \langle V^2 \rangle = \boxed{3/2 \text{ kT}}$$

Lorsque l'on s'intéresse au mouvement des particules dans une seule direction de l'espace (cas de l'effet Doppler thermique par exemple), on utilise la forme suivante de la loi de Maxwell :

$$f(V) = [m / (2\pi kT)]^{3/2} \exp(-\frac{1}{2} m V^2 / kT)$$

L'effet Doppler mène à un décalage en fréquence ($v - v_0$) tel que $(v - v_0) / v_0 = V / C$ où $v_0$ est la fréquence au repos et l'on obtient un profil Doppler **gaussien** dont la distribution en fréquence est :

$$\begin{aligned} f(v) &= [m / (2\pi kT)]^{3/2} \exp[-\frac{1}{2} m C^2 ((v - v_0)^2 / v_0^2) / kT] \\ &= [m / (2\pi kT)]^{3/2} \exp[-((v - v_0)^2 / \Delta v_D^2)] \end{aligned}$$

La quantité $\Delta v_D = (v_0 / C) (2 \text{ kT / m})^{1/2}$ s'appelle largeur Doppler du profil.

$$\text{Sa demi largeur à mi hauteur vaut } \Delta v = (\ln 2)^{1/2} \Delta v_D = (v_0 / C) (2 \ln 2 \text{ kT / m})^{1/2}$$

En longueur d'onde, avec $\lambda_0$ longueur d'onde au repos, on obtient :

$$\Delta\lambda_D = (\lambda_0 / C) (2 \text{ kT / m})^{1/2} \quad \text{largeur Doppler, et}$$

$$\Delta\lambda = (\ln 2)^{1/2} \Delta\lambda_D = (\lambda_0 / C) (2 \ln 2 \text{ kT / m})^{1/2} \text{ demi largeur à mi hauteur du profil}$$

On retient que la largeur totale à mi hauteur est :

$$2\Delta\lambda = 2 (\lambda_0 / C) (2 \ln 2 \text{ kT / m})^{1/2}$$

Plus la température est élevée, et plus la masse des atomes constituant le gaz est faible, plus la largeur Doppler est grande. A titre d'exemple, on trouve pour les éléments suivants dans l'atmosphère du Soleil :

* H : T = $10^4$ K, $2\Delta\lambda = 0.47$ Å dans la chromosphère

* Fe : T = $10^4$ K, $2\Delta\lambda = 0.06$ Å dans la photosphère

* Fe : T = $10^6$ K, $2\Delta\lambda = 0.62$ Å dans la couronne (raies élargies par la température)
# I - d - Convolution des sections efficaces Gaussiennes et Lorentziennes

La demi largeur Doppler $\Delta\lambda_D = (\lambda_0 / C) (2 \text{ kT / m})^{1/2}$ est souvent insuffisante pour rendre compte de la largeur réelle des profils de raie, c'est pourquoi on est souvent appelé à introduire une vitesse de macroturbulence supplémentaire $V_m$ de distribution Gaussienne, tout comme la distribution des vitesses thermiques est gaussienne autour de $V_t = (2\text{kT / m})^{1/2}$.

On sait que le produit de convolution de deux Gaussiennes de paramètres a et b est une nouvelle gaussienne de paramètre égal à $(a^2 + b^2)^{1/2}$

La demi largeur Doppler devient donc :

$$ \Delta\lambda_D = (\lambda_0 / C) (V_m^2 + V_t^2)^{1/2} = (\lambda_0 / C) (V_m^2 + 2 \text{ kT / m})^{1/2} $$

En ce qui concerne les profils Lorentziens, le produit de convolution de deux Lorentziennes de paramètres a et b est une nouvelle Lorentzienne de paramètre égal à (a + b).

Les collisions (non traitées ici) constituent un facteur d'élargissement Lorentzien $\gamma_{coll}$ supplémentaire.

Les largeurs naturelles des niveaux m et n de la transition, soit $\gamma_m$ et $\gamma_n$, et collisionnelles $\gamma_{coll}$ sont alors additives.

Le profil en fréquence de la section efficace résultante est donc la convolution d'une Gaussienne de largeur Doppler équivalente :

$$ \Delta v_D = (v_0 / C) (V_m^2 + V_t^2)^{1/2}, $$

et d'une Lorentzienne de largeur équivalente :

$$ \Gamma/4\pi = [\gamma_m + \gamma_n + \gamma_{coll}]/4\pi, $$

que l'on appelle profil de Voigt, donné par la fonction de Harris, calculable numériquement :

$$ H(a, u) = (a/\pi) \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2 / (a^2 + (u-y)^2)} dy \text{ où } u = (v - v_0) / \Delta v_D \text{ et } a = \Gamma / (4\pi \Delta v_D) $$

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Exemple de section efficace à profil de Voigt en fréquence (abscisse), qui est la convolution :

- d'une section efficace Lorentzienne de largeur à mi hauteur $\Gamma/4\pi$

- d'une section efficace Gaussienne de largeur à mi hauteur $(\ln2)^{1/2} \Delta v_D$

Le cœur du profil de Voigt est de type Gaussien alors que les ailes sont de type Lorentzien
## II - RESOLUTION DE L'EQUATION DE SCHRODINGER

Dans cette partie, on aborde des équations en coordonnées sphériques dont les méthodes de résolution sont voisines.

### II - a - Laplacien en coordonnées sphériques r, θ, φ d'une fonction Ψ(r, θ, φ)

$$ \Delta \Psi = (1/r) \frac{\partial^2(r\Psi)}{\partial r^2} + (1/r^2) \left[ \left( \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial(\sin\theta \partial\Psi/\partial\theta)}{\partial\theta} + \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2\Psi}{\partial\phi^2} \right] $$

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### II - b - Equation de Laplace ΔΨ = 0 : introduction aux harmoniques sphériques

L'équation de Laplace ΔΨ = 0 permet d'introduire les harmoniques sphériques décrivant la partie angulaire de l'équation de Schrödinger. Elle se rencontre par exemple en électrostatique pour décrire le potentiel dans un milieu de densité de charge électrique nulle. La méthode classique consiste à procéder par séparation des variables r, θ, φ :

$$ \Psi(r, \theta, \phi) = R(r) \Theta(\theta) \Phi(\phi) $$

En divisant l'équation ΔΨ = 0 par Ψ = R(r) Θ(θ) Φ(φ), on obtient :

$$ (1/rR) \frac{\partial^2(rR)}{\partial r^2} + (1/r^2) \left[ \left( \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial(\sin\theta \partial\Theta/\partial\theta)}{\partial\theta} + \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2\Theta}{\partial\phi^2} \right] = 0 $$

Ecrivons que $(1/\Theta\sin\theta) \frac{\partial(\sin\theta \partial\Theta/\partial\theta)}{\partial\theta} + (1/\Phi\sin^2\theta) \frac{\partial^2\Phi}{\partial\phi^2} = -K$ (constante)

Alors on obtient pour la partie radiale : $(1/rR) \frac{\partial^2(rR)}{\partial r^2} - K/r^2 = 0$

On recherche des solutions périodiques en φ de sorte que l'on peut poser :

$$ (1/\Phi) \frac{\partial^2\Phi}{\partial\phi^2} = -m^2, \text{ pour m entier} $$

$$ \text{ce qui aboutit à l'équation } \frac{\partial^2\Phi}{\partial\phi^2} + m^2\Phi = 0 $$

dont les solutions sont de la forme $\Phi(\phi) = A e^{im\phi} + B e^{-im\phi}$ et de période $2\pi$ en φ

Remarque : les fonctions $e^{im\phi}$ sont orthononales pour le poids 1 entre 0 et $2\pi$, c'est-à-dire que $\int e^{im\phi} e^{-im'\phi} d\phi = 2\pi \delta_{mm'}$, l'intégrale étant prise entre 0 et $2\pi$

Avec cette solution en φ, l'équation en θ devient :

$$ (1/\Theta\sin\theta) \frac{\partial(\sin\theta \partial\Theta/\partial\theta)}{\partial\theta} - \frac{m^2}{\sin^2\theta} + K = 0 $$

Pour aborder cette équation, posons $x = \cos\theta$. Avec ce changement de variable, on a :

$$ \frac{\partial[(1-x^2) \frac{\partial\Theta}{\partial x}]}{\partial x} + [K - \frac{m^2}{1-x^2}] \Theta = 0, \text{ soit encore :} $$

$$ (1-x^2) \frac{\partial^2\Theta}{\partial x^2} - 2x \frac{\partial\Theta}{\partial x} + [K - \frac{m^2}{1-x^2}] \Theta = 0 $$

si nous posons maintenant $K = l(l+1)$, l'entier positif ou nul, on ramène cette équation à une forme connue :
$$ (1-x^2) \frac{\partial^2 P_l^m}{\partial x^2} - 2x \frac{\partial P_l^m}{\partial x} + [K - \frac{m^2}{1-x^2}] P_l^m = 0 $$

dans laquelle $P_l^m(x)$ est la fonction de Legendre associée

$P_l^m(x) = (1-x^2)^{m/2} \frac{d^m P_l(x)}{dx^m}$ pour $-1 \le x \le 1$, est un polynôme seulement si m est pair

avec $P_l(x)$ polynôme de Legendre $P_l(x) = [1 / (2^l l!)] \frac{d^l(x^2-1)^l}{dx^l}$ pour $-1 \le x \le 1$

$P_l^m(x) = [(1-x^2)^{m/2} / (2^l l!)] \frac{d^{m+l}(x^2-1)^l}{dx^{m+l}}$ fonction de Legendre associée

L'équation en θ a donc pour solution $\Theta(\theta) = P_l^m(\cos\theta)$ fonction de Legendre associée pour l entier positif ou nul et pour m entier tel que $-1 \le m \le 1$

$$ \text{Remarque 1: } P_l^{-m}(x) = (-1)^m \left[ \frac{(l-m)!}{(l+m)!} \right] P_l^m(x) \text{ pour m entier } > 0 $$

$$ \text{Remarque 2 : } P_l^0(x) = P_l(x) \text{ polynôme de Legendre} $$

Remarque 3 : les fonctions de Legendre associées de même m, mais de l différent, sont orthononales pour le poids 1, c'est-à-dire que, pour une intégrale prise entre -1 et 1 :
$$ \int P_l^m(x) P_l^{m'}(x) dx = \delta_{ll'} \frac{(l+m)!}{(l-m)!} $$

Ainsi les fonctions associées de Legendre $F_l^m(x) = [(2l+1)/2 \frac{(l-m)!}{(l+m)!}]^{1/2} P_l^m(x)$ sont normalisées, on a :

$$ \int F_l^m(x) F_l^{m'}(x) dx = \delta_{ll'} $$

$$ \text{Et d'autre part } F_l^{-m}(x) = (-1)^m F_l^m(x) $$

$$ F_l^0(x) = [(2l+1)/2]^{1/2} P_l(x) \text{ constituent les polynômes de legendre normalisées.} $$

Le produit $\Phi(\varphi) \Theta(\theta) = A e^{im\varphi} P_l^m(\cos\theta)$ est appelé **harmonique sphérique** $Y_l^m(\theta, \varphi)$, avec un facteur de normalisation A tel que

$$ \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} Y_l^m(\theta, \varphi) Y_{l'm'}^*(\theta, \varphi) \sin\theta \, d\theta \, d\varphi = \delta_{ll'} \delta_{mm'} $$

$\delta_{ll'}$, $\delta_{mm'}$ sont les symboles de Kronecker, avec $0 \le \theta \le \pi$ et $0 \le \varphi \le 2\pi$. Les harmoniques sphériques sont orhogonales pour le poids $\sin\theta$ car les fonctions de Legendre le sont pour le poids 1 sur la variable $x$ ; or $x = \cos\theta$ implique $dx = -\sin\theta \, d\theta$.

$$ Y_l^m(\theta, \varphi) = (-1)^m \left[ \frac{(2l+1)}{(4\pi)} \right]^{1/2} \left[ \frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!} \right]^{1/2} e^{im\varphi} P_l^m(\cos\theta) $$

Remarque 1 : $Y_l^{-m}(\theta, \varphi) = (-1)^m Y_l^m(\theta, \varphi)^*$ ou $*$ désigne la quantité conjuguée.

Remarque 2 : $Y_l^0(\theta, \varphi) = [(2l+1) / (4\pi)]^{1/2} P_l(\cos\theta)$ ne dépend pas de $\varphi$

Remarque 3 : On peut former des harmoniques réelles en $\cos(m\varphi)$ ou $\sin(m\varphi)$ par combinaison linéaire des harmoniques complexes en $e^{im\varphi}$ et $e^{-im\varphi}$.

**Forme des premiers polynômes de Legendre :**

$$ P_0(x) = 1 $$

$$ P_1(x) = x $$

$$ P_2(x) = \frac{3}{2} x^2 - \frac{1}{2} $$
Forme des premières fonctions associées de Legendre :

$$l=0, m=0 : P_0^0(x) = 1$$

$$l=1, m=0, \pm 1 : P_l^1(x) = x$$

$$P_1^1(x) = (1-x^2)^{1/2}$$

$$P_1^{-1}(x) = -1/2 (1-x^2)^{1/2}$$

$$l=2, m=0 : P_l^0(x) = 3/2 x^2 - 1/2$$

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Polynômes de Legendre $P_l(\cos\theta)$ pour $l = 0$ à 8 en fonction de l'angle $\theta$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Fonctions associées de Legendre normalisées $F_l^m(\cos\theta)$ pour $l = 4$ et $m$ variant de 0 à 4 en fonction de l'angle $\theta$. Remarque : $F_l^{-m}(x) = (-1)^m F_l^m(x)$ et $F_l^0(x)$ constitue le polynôme de Legendre normalisé $[(2l+1)/2]^{1/2} P_l(x)$</figcaption></figure>
Forme des premières harmoniques sphériques :

$$l=0, m=0 : \quad Y_0^0 (\theta, \varphi) = 1/(4\pi)^{1/2}$$

$$l=1, m=0, \pm 1 : \quad Y_1^0 (\theta, \varphi) = (3/4\pi)^{1/2} \cos\theta \quad Y_1^1 (\theta, \varphi) = -(3/8\pi)^{1/2} \cos\theta e^{i\varphi}$$

$$Y_{1}^{-1} (\theta, \varphi) = (3/8\pi)^{1/2} \cos\theta e^{-i\varphi}$$

$$l=2, m=0 : \quad Y_2^0 (\theta, \varphi) = -(5/4\pi)^{1/2} 3/2 \sin^2\theta$$

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

Forme des premières harmoniques sphériques, $l=0$ (bas) à $l=4$ (haut), $m$ variant de $-l$ à $+l$. Pour chaque imagette, $\varphi$ en abscisse varie de $0$ à $2\pi$ et $\theta$ en ordonnée de $0$ à $\pi$. Pour $m > 0$, l'harmonique réelle est en $\cos(m\varphi)$ et pour $m < 0$, elle est en $\sin(m\varphi)$.

$$L'\text{équation radiale } (1/rR) \frac{\delta^2(rR)}{\delta r^2} - \frac{l(l+1)}{r^2} = 0$$

se résoud aisément en posant $R(r) = r^p$, et l'on trouve comme valeurs possibles $p=l$ et $p=-l(l+1)$ :

$$R(r) = A r^l + B / r^{l+1}$$

En conclusion, la solution périodique en $(\theta, \varphi)$ de l'équation de Laplace est de la forme :

$$\Psi(r, \theta, \varphi) = \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{+l} (A r^l + B / r^{l+1}) Y_l^m (\theta, \varphi)$$

## II - c - Equation de Schrödinger pour les hydrogénoïdes

L'Hamiltonien de l'électron de charge $e$ dans le potentiel coulombien du noyau de charge électrique $+Ze$ est donné par :

$$H = p^2/2m - (1/4\pi\epsilon_0) Ze^2/r$$

$p$ est l'impulsion de l'électron, $m$ sa masse, $p^2/2m$ son énergie cinétique.

La position de l'électron est décrite de façon probabiliste par une fonction d'onde $\xi(r, \theta, \varphi, t)$, donnant la densité de probabilité de présence $|\xi|^2$ de l'électron dans un volume $dv = dr r d\theta r \sin\theta d\varphi$.

Cette fonction d'onde obéit à l'équation de Schrödinger :
$$i \hbar \frac{\partial \xi}{\partial t} = H \xi$$

ou H est l'opérateur Hamiltonien composé de la somme de l'opérateur d'énergie cinétique et de l'opérateur (simplement multiplicatif) d'énergie potentielle.

En mécanique quantique, $p$ est un opérateur égal à $-i \hbar \text{grad}$, où $\hbar = h/2\pi$ est la constante de Planck réduite. L'opérateur $p^2$ est égal à $-\hbar^2 \Delta$ (Laplacien). Ainsi, l'équation de Schrödinger s'écrit de la manière suivante :

$$i \hbar \frac{\partial \xi}{\partial t} = - \left( \frac{\hbar^2}{2m} \right) \Delta \xi + V \xi$$

$V$ étant ici l'opérateur énergie potentielle, $V = - (1/4\pi\varepsilon_0) Ze^2/r$

On va maintenant rechercher des solutions stationnaires, c'est à dire telles que $|\xi|^2$ soit indépendant du temps, en posant $\xi(r, \theta, \varphi, t) = \Psi(r, \theta, \varphi) e^{-i\omega t}$

Dans cette hypothèse, on obtient $i \hbar \frac{\partial \xi}{\partial t} = H \xi = \hbar \omega \xi = E \xi$, c'est à dire que l'équation de Schrödinger se réduit à une équation aux valeurs propres (énergie totale $E$) et aux vecteurs propres $\xi$. Nous cherchons donc à résoudre pour la partie radiale et angulaire de la fonction d'onde l'équation aux valeurs propres :

$H \Psi = E \Psi$, soit encore

$$- \left( \frac{\hbar^2}{2m} \right) \Delta \Psi + V \Psi = E \Psi$$

$$\text{avec } V = - (1/4\pi\varepsilon_0) Ze^2/r$$

On obtient en définitive l'équation $\Delta\Psi + (2m/\hbar^2)(E-V)\Psi = 0$, ou encore

$$\Delta\Psi + (2m/\hbar^2) \left( E + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} Ze^2/r \right) \Psi = 0$$

On recherche une solution par séparation des variables : $\Psi(r, \theta, \varphi) = R(r) \Theta(\theta) \Phi(\varphi)$. En divisant l'équation par $\Psi$, on obtient :

$(\Delta \Psi) / \Psi + (2m/\hbar^2) (E + (1/4\pi\varepsilon_0) Ze^2/r) = 0$, soit :

$$(1/rR) \frac{\partial^2(rR)}{\partial r^2} + \left(\frac{1}{r^2}\right) \left[ \frac{1}{(\Theta \sin \theta)} \frac{\partial(\sin \theta \partial \Theta / \partial \theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{\Phi \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial \varphi^2} \right] + \left[ \frac{2m}{E/\hbar^2 + 2Ze^2 m / (4\pi\varepsilon_0 \hbar^2 r)} \right] = 0$$

On isole la partie angulaire comme pour l'équation de Laplace en écrivant que :

$$(1/\Theta \sin \theta) \frac{\partial(\sin \theta \partial \Theta / \partial \theta)}{\partial \theta} + (1/\Phi \sin^2 \theta) \frac{\partial^2 \Phi}{\partial \varphi^2} = -K \text{ (constante)}$$

dont la solution périodique en $(\theta, \varphi)$ est $\Theta(\theta) \Phi(\varphi) = Y_l^m(\theta, \varphi)$ lorsque $K = l(l+1)$, $l$ entier positif ou nul.

Dans cette hypothèse, la partie radiale se transforme de la façon suivante :

$$(1/rR) \frac{\partial^2(rR)}{\partial r^2} - \left(\frac{l(l+1)}{r^2} + \frac{2m}{E/\hbar^2 + 2Ze^2 m / (4\pi\varepsilon_0 \hbar^2 r)}\right) = 0$$

$$\frac{\partial^2 R}{\partial r^2} + \left(\frac{2}{r}\right) \frac{\partial R}{\partial r} + \left[-\frac{l(l+1)}{r^2} + \frac{2m}{E/\hbar^2 + 2Ze^2 m / (4\pi\varepsilon_0 \hbar^2 r)}\right] R = 0$$
Pour résoudre cette équation, on pose $R(r) = r^l f(r)$ ; on en déduit pour $f(r)$ :

$$ \partial^2 f / \partial r^2 + [ (2l+2) / r ] \partial f / \partial r + [ 2m E / \hbar^2 + 2 Ze^2 m / (4\pi\epsilon_0 \hbar^2 r) ] f = 0 $$

Posons maintenant $2m E / \hbar^2 = -1 / (a^2 n^2)$, avec n nombre entier positif, et $a = 4\pi\epsilon_0 \hbar^2 / (Z e^2 m) = a_0 / Z$ où $a_0$ est le rayon de Bohr de l'atome d'hydrogène vu dans la première section (0.53 Å).

On quantifie donc les valeurs propres $E_n$ de l'équation de Schrödinger selon n par :

$$ E_n = - \frac{\hbar^2}{2 m a^2 n^2} = - \frac{\hbar^2 Z^2}{2 m a_0^2 n^2} $$

Il reste à étudier l'équation :

$$ \partial^2 f / \partial r^2 + [ (2l+2) / r ] \partial f / \partial r + [-1 / (a^2 n^2) + 2 / (a r) ] f = 0 $$

Posons encore $f(r) = e^{-r/(a n)} g(r)$, n entier ci-dessus ; on obtient pour $g(r)$ l'équation :

$$ \partial^2 g / \partial r^2 + [ (2l+2) / r - 2 / (a n) ] \partial g / \partial r + 2 [ 1 - (l+1)/n ] g / (a r) = 0 $$

et terminons avec le changement de variable $x = 2 r / (a n)$ :

$$ x \partial^2 g / \partial x^2 + [ 2l + 2 - x ] \partial g / \partial x + [ n - l - 1 ] g = 0 $$

La solution de cette équation est donnée par les **polynômes de Laguerre généralisées** :

$$ L_{n-l-1}^{2l+1}(x) = L_{n-l-1}^{2l+1}(2r/(a n)) \text{ avec } n-l-1 \ge 0, \text{ donc l entier variant de } 0 \text{ à } n-1 $$

Ces polynômes de Laguerre généralisées sont définies par la relation $(\alpha$ nombre réel) :

$$ L_n^\alpha(x) = (1/n!) x^{\alpha} e^x \frac{d^n(x^{n+\alpha} e^{-x})}{dx^n} $$

Ce sont des polynômes de degré n. En particulier, $L_0^\alpha(x) = 1$ quelque soit $\alpha$.

Ce sont des fonctions orthogonales pour le poids $x^\alpha e^{-x}$ telles que :

$$ \int_0^\infty x^\alpha e^{-x} L_n^\alpha(x) L_m^\alpha(x) = \delta_{mn} (\alpha+n)!/n! $$

Lorsque $x$ tend vers 0, $L_n^\alpha(x)$ tend vers la constante $(\alpha+n)!/(n!\alpha!)$

Lorsque $x$ tend vers l'infini, $L_n^\alpha(x)$ tend vers $(-1)^n x^n/n!$, diverge vers $+\infty$ ou $-\infty$

La solution radiale est donc de la forme générale suivante :

$$ R(r) = r^l e^{-r/(a n)} L_{n-l-1}^{2l+1} (2r/(a n)) \text{ pour } n, l \text{ entiers, } n > 0 \text{ et } 0 \le l \le n-1 $$

Et

$$ \begin{gathered} \Psi(r, \theta, \phi) = A_{nlm} Y_l^m(\theta, \phi) r^l e^{-r/(a n)} L_{n-l-1}^{2l+1} (2r/(a n)) \\ \text{pour } n, l, m \text{ entiers, } n > 0, 0 \le l \le n-1, -l \le m \le l \\ \text{et } a = a_0 / Z, a_0 \text{ rayon de Bohr de l'atome d'hydrogène} \end{gathered} $$

$L_{n-l-1}^{2l+1}$ est un polynôme de degré $n-l-1$. Lorsque $l=0$, il est de degré $n-1$.

$$ L_{n-l-1}^{2l+1}(0) = (n+l)! / [(n-l-1)!(2l+1)!] \text{ et à l'infini, } L_{n-l-1}^{2l+1} \approx (-1)^{n-l-1} \frac{x^{n-l-1}}{(n-l-1)!} $$
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Polynômes de Laguerre généralisés $L_{n-l-1}^{2l+1}$ pour $n=0, l=0$ ; $n=1, l=0, 1$ ; $n=2, l=0, 1, 2$</figcaption></figure>

Premières parties radiales $r^l e^{-r/(a n)} L_{n-l-1}^{2l+1} (2r/(a n))$ :

$$n=1 \ ; \ l=0 : \ L_0^1(x) = 1 \rightarrow R(r) = e^{-r/a}$$

$$n=2 \ ; \ l=0 : \ L_1^1(x) = 2 - x \rightarrow R(r) = (2 - r/a) e^{-r/2a}$$

$$n=2 \ ; \ l=1 : \ L_0^3(x) = 1 \rightarrow R(r) = r e^{-r/2a}$$

$$n=3 \ ; \ l=0 : \ L_2^1(x) = 6 - 6x + x^2 \rightarrow R(r) = (6 - 4r/a + 4r^2/9a^2) e^{-r/3a}$$

$$n=3 \ ; \ l=1 : \ L_1^3(x) = 4 - x \rightarrow R(r) = r(4 - 2r/3a) e^{-r/3a}$$

$$n=3 \ ; \ l=2 : \ L_0^5(x) = 1 \rightarrow R(r) = r^2 e^{-r/3a}$$

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Parties radiales $r^l e^{-r/(a n)} L_{n-l-1}^{2l+1} (2r/(a n))$ pour $n=0,1,2,3$ et $l$ variant de 0 à $n-1$</figcaption></figure>
## II - d - Etude du niveau n=1 de l'atome hydrogénoïde

Les fonctions d'onde sont normalisées par la relation :

$$ \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^{\infty} |\Psi|^2 r^2 \sin\theta \, d\theta \, d\phi \, dr = 1 $$

La première orbitale (n=1, l=0, m=0) est donnée par : $\Psi(r, \theta, \phi) = e^{-r/a} / (a^{3/2} \pi^{1/2})$

La probabilité de présence entre les rayons r et r+dr vaut :

$$ dP = |\Psi|^2 4 \pi r^2 dr = (4 r^2 / a^3) e^{-2r/a} dr = f(r) dr $$

$f(r) = (4 r^2 / a^3) e^{-2r/a}$ est la densité de probabilité de présence, avec $\int f(r) dr = 1$

L'intégrale sur r est calculée entre r = 0 et l'infini. Cette densité de probabilité est maximale pour $r = a = a_0/Z$, $a_0$ rayon de Bohr de l'atome d'hydrogène.

A partir de là, on peut définir la **position moyenne** :

$$ \langle r \rangle = \int r f(r) dr / \int f(r) dr $$

ce qui donne $\langle r \rangle = 3/2 a$

et la **position quadratique moyenne** : $\langle r^2 \rangle = \int r^2 f(r) dr / \int f(r) dr$

ce qui donne $\langle r^2 \rangle = 3 a^2$

d'où l'écart type σ sur r : $\sigma = (\langle r^2 \rangle - \langle r \rangle^2)^{1/2} = a \sqrt{3} / 2$

On remarque aussi que $\langle 1/r \rangle = \int (1/r) f(r) dr / \int f(r) dr$

ce qui donne $\langle 1/r \rangle = 1/a$ d'ou la valeur moyenne de l'énergie potentielle :

$\langle V \rangle = -(1/4\pi\epsilon_0)Ze^2/a$ soit $\langle V \rangle = -(1/4\pi\epsilon_0) Z^2 e^2 / a_0$ ($a_0$ rayon de Bohr de l'atome d'hydrogène).

## II - e - Impulsion au niveau n=1

La fonction d'onde $\Psi(p)$ de l'impulsion p est égale à la transformée de Fourier de la fonction d'onde $\Psi(r)$ de la position, qui s'exprime pour le niveau n=1 où la fonction d'onde est purement radiale, par une transformée de Fourier sphérique dite de Hankel (le nombre d'onde k est remplacé par p/h) :

$$ \Psi(p) = (2 h / p) \int_0^{\infty} \Psi(r) r \sin(2\pi p r / h) dr $$

Rappel : la transformée de Fourier en 3D

$$ F(u) = \iiint_{-\infty}^{\infty} f(r) e^{-2i\pi u \cdot r} d^3 r $$

devient en symétrie sphérique :

$$ F(u) = 2/u \int_{0}^{+\infty} f(r) r \sin(2\pi u r) dr $$
avec $\Psi(r, \theta, \varphi) = e^{-r/a} / (a^{3/2} \pi^{1/2})$, on obtient tous calculs faits :

$$ \Psi(p) = (8\pi/a) / (1/a^2 + 4\pi^2 p^2/h^2)^2 $$

La probabilité de présence entre les impulsions p et p+dp vaut :
$$ dP = |\Psi|^2 4 \pi p^2 dp = 4\pi (8\pi/a)^2 p^2 / (1/a^2 + 4\pi^2 p^2/h^2)^4 dp = f(p) dp $$

$f(p) = 4\pi (8\pi/a)^2 p^2 / (1/a^2 + p^2/\hbar^2)^4$ est la densité de probabilité de l'impulsion,
avec $\int f(p) dp = 1$

Cette densité de probabilité est maximale pour $p = \hbar / (a\sqrt{3}) = Z\hbar / (a_0\sqrt{3})$, $a_0$ rayon de Bohr de l'atome d'hydrogène.

A partir de là, on peut définir l'impulsion moyenne :

$$ \langle p \rangle = \int p f(p) dp / \int f(p) dp $$

ce qui donne $\langle p \rangle = [8/(3\pi)] (\hbar/a)$

et l'énergie cinétique moyenne : $\langle p^2 \rangle / 2m = \int p^2 / 2m f(p) dp / \int f(p) dp$

$$ \text{ce qui donne } \langle p^2 \rangle / 2m = (\hbar/a)^2 / 2m = Z^2 \hbar^2 / (2 m a_0^2) $$

$$ \text{L'énergie totale E vaut donc } E = \langle p^2 \rangle / 2m + \langle V \rangle = Z^2 \hbar^2 / (2ma_0^2) - (1/4\pi\epsilon_0) Z^2 e^2 / a_0 $$

Avec $a_0 = 4\pi\epsilon_0\hbar^2 / (e^2 m)$, on retrouve bien la formule établie en mécanique classique pour $n = 1$ : $E = -Z^2\hbar^2 / (2ma_0^2)$

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

Densité de probabilité de présence à la distance normalisée ($r/a$) du noyau
$f(r) = |\Psi(r)|^2 4 \pi r^2$ pour $n=1,2,3,4$, et $0 \le l < n$ avec $\Psi(r) = r^l e^{-r/(a+l)} L_{n-l-1}^{2l+1} (2r/(a+l))$
### III - APPLICATION : OBSERVATION DE L'ATMOSPHERE SOLAIRE DANS LES RAIES DE L'HYDROGENE ET DE L'HELIUM IONISE

La population des niveaux atomiques est donnée par la loi de Boltzman si l'on est en équilibre thermodynamique à la température T. Soit $N_n$ le nombre d'atomes dont l'unique électron est au niveau n (n entier positif), on peut décrire le rapport de population entre les niveaux n et m selon la loi :

$$N_n / N_m = (n^2/m^2) \exp[-(E_n - E_m)/kT]$$

$E_n = - Z^2 \text{Rh} / n^2$ est l'énergie du niveau n. Celui-ci est en fait $2n^2$ fois dégénéré. En effet, pour chaque orbitale (n, l, m), le niveau d'énergie ne dépend que de n. Or il y a $2l+1$ valeurs de m à l donné (m entier varie de -l à +l), et n valeurs entières de l (de 0 à n-1). On a donc au total $1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1) = n^2$ sous niveaux. Comme l'électron peut prendre deux valeurs de spin ($m_s = +1/2$ ou $-1/2$), le poids statistique du niveau n est $2n^2$. L'énergie des niveaux augmente avec n : pour le fondamental ($n = 1$), elle vaut $-Z^2 \text{Rh} < 0$, et tend vers zéro lorsque n tend vers l'infini. Si $n>m$, $E_n>E_m$ et $N_n/N_m$ augmente avec T.

La longueur d'onde $\lambda$ des raies observables est donnée, pour la transition entre les niveaux n et m, $n > m$, par la relation :

$$hC/\lambda = E_n - E_m = -Z^2 \text{Rh} (1/n^2 - 1/m^2)$$

On peut se faire une idée **très approximative** de la température du milieu en supposant qu'une particule excitatrice d'énergie $3/2$ kT interagit avec l'hydrogèneoïde selon :

$$(E_n - E_m)/2 = - Z^2 \text{Rh} (1/n^2 - 1/m^2)/2 = 3/2 \text{ kT}$$

On peut alors dresser le tableau suivant pour l'hydrogène H :

<table><thead><tr><th>Lyman</th><th>λ (Å)</th><th>T(K)</th><th>Balmer</th><th>λ (Å)</th><th>T(K)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Ly α :</td><td>1217</td><td>39000</td><td>H α :</td><td>6563</td><td>7000</td></tr><tr><td>Ly β :</td><td>1027</td><td>47000</td><td>H β :</td><td>4860</td><td>9000</td></tr><tr><td>Ly γ :</td><td>974</td><td>49000</td><td>H γ :</td><td>4340</td><td>11000</td></tr><tr><td>Ly δ :</td><td>951</td><td>50000</td><td>H δ :</td><td>4100</td><td>11500</td></tr><tr><td>Ly ε :</td><td>939</td><td>51000</td><td>H ε :</td><td>3970</td><td>12000</td></tr></tbody></table>

A noter que beaucoup de raies sont « blendées » par d'autres, comme $H \epsilon$ par Call H. Et pour l'hélium He :

<table><thead><tr><th>Lyman</th><th>λ (Å)</th><th>T(K)</th><th>Balmer</th><th>λ (Å)</th><th>T(K)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Ly α :</td><td>304</td><td>157000</td><td>Ba α :</td><td>1643</td><td>29000</td></tr><tr><td>Ly β :</td><td>257</td><td>186000</td><td>Ba β :</td><td>1217</td><td>39000 superposée à Ly α de H</td></tr><tr><td>Ly γ :</td><td>243</td><td>197000</td><td>Ba γ :</td><td>1087</td><td>44000</td></tr><tr><td>Ly δ :</td><td>238</td><td>201000</td><td>Ba δ :</td><td>1027</td><td>46000 superposée à Ly β de H</td></tr><tr><td>Ly ε :</td><td>235</td><td>204000</td><td>Ba ε :</td><td>994</td><td>48000</td></tr></tbody></table>

Ces températures sont des approximations de la réalité car le modèle est simpliste ; cependant on voit que celles de la série de Lyman de l'hydrogène et de l'hélium, et de la série de Balmer de l'hélium, dont les raies formées dans l'Ultra Violet, sont celles de la zone de transition chromosphère couronne ($10^5$ K). Par contre la série de Balmer de
l'hydrogène, formée dans le visible, est chromosphérique (10⁴ K). Des exemples d'observations dans les raies mentionnées **en rouge** sont présentés dans ce qui suit.

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

Le Soleil dans les raies de Balmer de l'hydrogène Ha, Hβ, Hy, Hδ, Hε, une série exceptionnelle prise par Lucien d'Azambuja à Meudon le 14 Août 1947.
L'observation systématique et quotidienne du Soleil dans la raie de Balmer Hα de l'hydrogène a commencé à Meudon en 1909 et se poursuit en 2025, constituant ainsi une collection exceptionnelle au monde. La raie Hα révèle la chromosphère (T = 8000 K) et ses structures avec le maximum de contraste : régions actives composées de taches et facules brillantes, filaments sombres. Toutes ces structures ont une origine magnétique : les taches sont des concentrations magnétiques intenses (0.1 à 0.2 T), tandis que les filaments sont des structures d'hydrogène soutenues contre la gravité dans la basse couronne solaire par des champs magnétiques 100 fois plus faibles. En progressant dans la série de Balmer vers le bleu (Hβ, Hγ, Hδ, Hε) on observe plus profondément (film n° 1) vers la photosphère et les contrastes s'amenuisent. C'est pourquoi seule la raie Hα a été employée pour surveiller les cycles solaires depuis 1908. Leur durée moyenne est de 11 ans mais leur amplitude est variable.

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Cycles solaires depuis 1908 dans la raie chromosphérique Hα (Meudon)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Ejection de masse vue au coronographe en hydrogène Hα (Sacramento Peak, USA)</figcaption></figure>

la raie Hα de l'hydrogène est très utilisée pour étudier les phénomènes de l'activité solaire, comme les éruptions et les éjections de masse (exemple ci-dessus et film n° 2).
La raie Hα est également employée pour déterminer les vitesses radiales de la matière par effet Doppler. On peut le faire en observant le déplacement en longueur d'onde des profils des raies, proportionnel à V/C (V vitesse de matière le long de la ligne de visée, C vitesse de la lumière). On peut aussi imager les ailes rouge et bleue de la raie avec un filtre monochromatique de Fabry Pérot ou de Lyot (figure ci-dessous) ; la soustraction donne alors une carte approximative de vitesses radiales. Cette méthode est largement employée par les héliographes à longueur d'onde variable.

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Aile bleue, rouge et centre de la raie Hα permettant une estimation des vitesses Doppler par soustraction (héliographe de Meudon). La bande passante de chaque image est de 0.5 Å. Un déplacement de la raie de 1 Å correspond à 45 km/s.</figcaption></figure>

Les raies de la série de Lyman de l'hydrogène sont dans l'UV. On ne peut pas les observer avec les instruments au sol ; il faut pour cela aller en ballon à haute altitude ou mieux dans l'espace. L'une des premières observations françaises a eu lieu en 1979 lors d'un vol fusée (expérience Transition Region Camera TRC ci-dessous). L'intérêt de la série de Lyman est de montrer le plasma à T = 20000 K à la base de la zone de transition chromosphère couronne, fine couche à l'interface chromosphère couronne, dans laquelle la température passe de 10⁴ K à 10⁶ K en quelques dizaines de km seulement (à comparer à l'épaisseur de la chromosphère, 2000 km). La sonde Solar Orbiter observe depuis 2020 en Lyman α (1216 Å) et Lyman β (1020 Å) comme le montre la figure ci-dessous.

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Observations dans les raies UV de l'hydrogène Lyman α (1020 Å à gauche, expérience fusée TRC, 1979) et Lyman β (1020 Å à droite, sonde Solar Orbiter, ESA, 2020)</figcaption></figure>
Récemment (2022), la Chine a lancé dans l'espace le « Advanced Space-based Solar Observatory » qui comporte un instrument observant le Soleil dans la raie Lyα de l'hydrogène comme le montre la figure ci-dessous (le Lyα Solar Telescope faisant partie du Solar Disk Imager).

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Observation dans la raie l'hydrogène Lyman α à T = 2 10⁴ K (instrument LST/SDI, 2023).</figcaption></figure>

L'Extreme UV Imaging Telescope (EIT) à bord de la sonde SOHO (ESA/NASA) a commencé à observer le Soleil dans la raie EUV Lyman α de l'hélium ionisé à 304 Å (c'est la longueur d'onde Lyman α de l'hydrogène à 1216 Å divisée par Z² = 4 car Z=2 pour l'hélium). Cette raie d'émission est formée en plein dans la zone de transition chromosphère couronne. La figure ci-dessous monte une observation faite le même jour dans la raie de Balmer Hα de l'hydrogène et dans la raie Ly α de l'hélium. On reconnaît les mêmes structures à deux températures et altitudes différentes (8000 K et 80000 K). Les couloirs des filaments (mais pas les filaments eux-mêmes, car « froids ») sont visibles en hélium. Les facules apparaissent dans les deux raies, mais Hα est en absorption tandis que l'hélium est en émission (le corps noir solaire n'est pas émissif en EUV, il l'est en visible et proche IR).

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>Observations dans la raie de Balmer visible Hα (Meudon, à gauche, T = 8000 K) et en EUV, raie Lyman α de l'hélium à T = 8 10⁴ K (instrument AIA à bord du satellite Solar Dynamics Observatory de la NASA lancé en 2010).</figcaption></figure>
En 2010, la NASA a lancé Solar Dynamics Observatory (SDO), un satellite portant (entre autres) un imageur EUV (AIA) observant à haute cadence et haute résolution le Soleil dans des raies EUV formées entre $8 \ 10^4$ K et $10^7$ K. L'unique raie observée de la zone de transition chromosphère couronne est la raie Ly $\alpha$ de l'hélium à 304 Å. Cet instrument, avec sa résolution temporelle de 45 s, permet des observations de phénomènes dynamiques rapides et intenses, telles les éjections de masse coronale des figures ci-dessous, voir en complément les exemples des **films n°3 et n°4**. La sonde Solar Orbiter (ESA/NASA) observe aussi la raie Lyman $\alpha$ de l'hélium à 304 Å.

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

Evènement hautement dynamique (éruption et éjection de masse coronale) observé en EUV, raie Lyman $\alpha$ de l'hélium 304 Å à $T = 8 \ 10^4$ K par l'instrument AIA à bord du satellite Solar Dynamics Observatory de la NASA, 7 Juin 2011, entre 06 :25 TU et 09 :20 TU.
<figure><img src="image_19.png" /></figure>

Evènement hautement dynamique (éjection de masse coronale) observé en EUV, raie Lyman α de l'hélium 304 Å à T = 8 10⁴ K par l'instrument AIA à bord du satellite Solar Dynamics Observatory de la NASA, 15 Septembre 2010, entre 10:49 TU et 13:19 TU.
# ANNEXE : films de complément

## Film n° 1

Ce film explore le profil d'absorption de la raie Hα (6563 Å) de l'hydrogène et une image de la surface solaire est présentée pour chaque position en longueur d'onde, la résolution étant de 0.155 Å. On constate que l'aspect change considérablement entre le cœur de la raie et ses ailes. En effet, l'absorption est maximale dans le cœur, ce qui implique que l'on observe plus haut que dans les ailes. Ainsi, l'exploration des profils des raies apporte une vision 3D de l'atmosphère du Soleil, dans le cas présent à plusieurs altitudes entre la photosphère (ailes lointaines) et la chromosphère (cœur). Observations contemporaines faites au spectrohéliographe de Meudon.

## Film n° 2

Ce film conservé par la bibliothèque de l'Observatoire de Paris montre les premières observations mondiales de protubérances solaires observées dans la raie Hα (6563 Å) de l'hydrogène par Bernard Lyot au Pic du Midi avant la seconde guerre, avec le coronographe en association avec un filtre monochromatique. La fin du film montre également des images d'éruptions chromosphériques dans la raie Hα.

## Film n° 3

Film d'une grande éjection de masse coronale observée par le satellite Solar Dynamics Observatory de la NASA le 7 Juin 2011. Il s'agit d'imagerie dans la raie d'émission Lyman α (304 Å) de l'hélium ionisé faite par le télescope Ultra Violet AIA. Le plasma est à la température de 80000 K.

## Film n° 4

Film de la phase graduelle d'une éruption solaire observée par le satellite Solar Dynamics Observatory de la NASA le 19 Juillet 2012. Il s'agit d'imagerie dans la raie d'émission Lyman α (304 Å) de l'hélium ionisé faite par le télescope Ultra Violet AIA. Le plasma est à la température de 80000 K. Après sa phase de flash, très courte (quelques minutes), une éruption est suivie d'une phase graduelle plus lente (plusieurs heures) durant laquelle des boucles magnétiques post éruptives se forment. C'est le phénomène présenté ici. Ces boucles sont situées en dessous d'un site de reconnexion magnétique (invisible) ; elles sont le résultat du refroidissement du plasma qui glisse alors par gravité le long des tubes magnétiques vers la surface du Soleil.