## 6.5 Quantificateurs généralisés et structures tripartites

des relations entre deux ensembles. Par exemple, posons la constante **Tous** de ce type ; c'est une sorte de « super-prédicat » qui prend en arguments deux expressions de type $\langle e, t \rangle$. Nous pouvons alors écrire $[[Tous(R)](P)]$ avec $R$ et $P$ de type $\langle e, t \rangle$. Et si nous ajoutons une définition sémantique lexicale qui dit que pour tout monde possible et pour toute assignation, **Tous** dénote la fonction qui renvoie 1 ssi la dénotation (ensembliste) de son premier argument est incluse dans la dénotation de son second, alors il se trouve que **Tous** (ou $\lambda R \lambda P [[Tous(R)](P)])$ est complètement équivalent à (89a) et constitue donc une traduction directe du déterminant **tous les**. Et c'est précisément en cela que réside le traitement des déterminants dans l'approche des quantificateurs généralisés : les analyser comme des constantes catégorématiques de type $\langle\langle e, t \rangle, \langle\langle e, t \rangle, t \rangle\rangle$ en leur assignant une dénotation relationnelle appropriée.

Pour l'occasion, avec ce genre de traduction, nous n'appliquerons pas notre habituelle règle de suppression des crochets (cela produirait des écritures peu intuitives comme **Tous**(P, R)), nous nous contenterons de simplifier en **Tous**(R)(P) ou [[**Tous**(R)](P)] ou éventuellement [[**Tous**(R)(P)]]. Ainsi (90a) pourra se traduire par (90b) ou plus simplement, par $\eta$-réduction, par (90c), ce qui est, convenons-en, une écriture particulièrement transparente pour représenter les mêmes conditions de vérité que (90d).

(90) a. **Tous** les enfants dorment.

b. **Tous**($\lambda x$ enfant($x$))($\lambda x$ dormir($x$))

c. **Tous**(enfant)($dormir$)

d. $\forall x$[enfant($x$) → dormir($x$)]

Et bien entendu nous pouvons, de la même manière, poser les constantes **Un** et **Aucun** en leur associant les dénotations données en (91) sous forme de fonctions de $((\{0\}; 1)^{\{0;1\}})^{\{0;1\}}$ ou, de façon plus pratique et plus commune, en leur associant les définitions (92) :

(91) Quels que soient $w$ et $g$ :

a. $[[Tous]]^{M, w, g} = f \mapsto (h \mapsto 1 \text{ ssi } \{x \in \mathcal{A} | f(x) = 1\} \subseteq \{x \in \mathcal{A} | h(x) = 1\})$

b. $[[Un]]^{M, w, g} = f \mapsto (h \mapsto 1 \text{ ssi } \{x \in \mathcal{A} | f(x) = 1\} \cap \{x \in \mathcal{A} | h(x) = 1\} \neq \emptyset)$

c. $[[Aucun]]^{M, w, g} = f \mapsto (h \mapsto 1 \text{ ssi } \{x \in \mathcal{A} | f(x) = 1\} \cap \{x \in \mathcal{A} | h(x) = 1\} = \emptyset)$

(92) Quels que soient $w$ et $g$ :

a. $[[Tous(R)(P)]]^{M, w, g} = 1 \text{ ssi } [[R]]^{M, w, g}_e \subseteq [[P]]^{M, w, g}_e$

b. $[[Un(R)(P)]]^{M, w, g} = 1 \text{ ssi } [[R]]^{M, w, g}_e \cap [[P]]^{M, w, g}_e \neq \emptyset$

c. $[[Aucun(R)(P)]]^{M, w, g} = 1 \text{ ssi } [[R]]^{M, w, g}_e \cap [[P]]^{M, w, g}_e = \emptyset$

Si $\delta$ est une constante de type $\langle\langle e, t \rangle, \langle\langle e, t \rangle, t \rangle\rangle$, une formule de la forme $\delta(R)(P)$ est habituellement appelée une STRUCTURE TRIPARTITE – pour des raisons évidentes. Par analogie avec la langue naturelle, $\delta$ est appelé le DÉTERMINANT ; le premier argument $R$ est appelé la RESTRICTION de la quantification et est fourni par le NP ; le second argument $P$ est appelé la PORTÉE NUCLÉAIRE, ou simplement PORTÉE, et provient du prédicat
verbal (VP). La combinaison du déterminant et de sa restriction, $[\delta(R)]$ de type $\langle\langle e, t \rangle, t \rangle$, est ce que l'on appelle un **QUANTIFICATEUR** (GÉNÉRALISÉ) ; cela correspond bien sûr la traduction d'un DP.

Cette façon de représenter les déterminants est loin d'être une simple variante élégante de notation. Car maintenant tout type de relation entre deux ensembles que nous pouvons définir dans le modèle pourra servir de dénotation à un déterminant. En particulier nous pouvons maintenant **compter** dans LO. Pour cela, il suffit d'utiliser dans le modèle la fonction mathématique de cardinal d'un ensemble, $|\cdot|$. Si A est un ensemble, $|A|$ désigne le nombre d'éléments que contient A. Les déterminants cardinaux comme *deux*, *trois*, *quatre*... seront ainsi définis de la manière suivante :

$$ 
\begin{array}{ll}
(93) \quad \text{a. } & \llbracket \text{Deux}(R)(P) \rrbracket^{M, w, g} = 1 \text{ ssi } |\llbracket R \rrbracket_e^{M, w, g} \cap |\llbracket P \rrbracket_e^{M, w, g}| \ge 2 \\
\text{b. } & \llbracket \text{Trois}(R)(P) \rrbracket^{M, w, g} = 1 \text{ ssi } |\llbracket R \rrbracket_e^{M, w, g} \cap |\llbracket P \rrbracket_e^{M, w, g}| \ge 3, \text{ etc.}
\end{array}
$$

(93a) dit que, par exemple, **Deux(enfant)(dormir)** est vrai ssi l'intersection de l'ensemble des enfants et de l'ensemble des dormeurs contient au moins$^{62}$ deux éléments ; **Deux** dénote donc la relation d'avoir (au moins) deux éléments en commun.

Examiner de cette façon les cardinalités nous permet de définir de nombreux déterminants, comme *plusieurs, au moins n, au plus n, moins de n, plus de n, exactement n*, où n est un nom de nombre comme *deux, trois, dix, cent, etc.*

$$ 
\begin{array}{ll}
(94) \quad \text{a. } & \llbracket \text{Plusieurs}(R)(P) \rrbracket^{M, w, g} = 1 \text{ ssi } |\llbracket R \rrbracket_e^{M, w, g} \cap |\llbracket P \rrbracket_e^{M, w, g}| > 1^{63} \\
\text{b. } & \llbracket \text{Au-moins-deux}(R)(P) \rrbracket^{M, w, g} = 1 \text{ ssi } |\llbracket R \rrbracket_e^{M, w, g} \cap |\llbracket P \rrbracket_e^{M, w, g}| \ge 2 \\
\text{c. } & \llbracket \text{Au-plus-deux}(R)(P) \rrbracket^{M, w, g} = 1 \text{ ssi } |\llbracket R \rrbracket_e^{M, w, g} \cap |\llbracket P \rrbracket_e^{M, w, g}| \le 2 \\
\text{d. } & \llbracket \text{Moins-de-deux}(R)(P) \rrbracket^{M, w, g} = 1 \text{ ssi } |\llbracket R \rrbracket_e^{M, w, g} \cap |\llbracket P \rrbracket_e^{M, w, g}| < 2 \\
\text{e. } & \llbracket \text{Plus-de-deux}(R)(P) \rrbracket^{M, w, g} = 1 \text{ ssi } |\llbracket R \rrbracket_e^{M, w, g} \cap |\llbracket P \rrbracket_e^{M, w, g}| > 2 \\
\text{f. } & \llbracket \text{Exactement-deux}(R)(P) \rrbracket^{M, w, g} = 1 \text{ ssi } |\llbracket R \rrbracket_e^{M, w, g} \cap |\llbracket P \rrbracket_e^{M, w, g}| = 2
\end{array}
$$

Nous disposons ainsi de déterminants *pluriels*. D'ailleurs nous pouvons également ajouter *Des* et *Quelques* qui auront ici la même définition que *Plusieurs*$^{64}$. On remarquera au passage que les définitions (94b-f) peuvent être un peu décevantes dans la mesure où elles ne sont pas pleinement compositionnelles. En effet, on pourrait souhaiter qu'un déterminant comme, par exemple, *moins de deux* s'analyse en deux parties, *moins de* et *deux*, et ainsi que la définition de son sens dépende de celle de *deux*, autrement dit de **Deux**. Mais techniquement, cela n'est pas possible dans ce système, notamment parce que la définition (93a) de **Deux** contient « un peu trop » d'informations que nous ne pouvons pas séparer : une condition sur la cardinalité (2) mais aussi une condition

<footnote>$^{62}$ Voir §1.3.2 p. 33 sur la sémantique en *au moins* des cardinaux qui explique l'utilisation de $\ge$ et non =.</footnote>

<footnote>$^{63}$ Bien entendu, ici il ne faudra pas confondre, dans le métalangage, la valeur de vérité 1 et le nombre 1 utilisé pour évaluer le cardinal de l'ensemble.</footnote>

<footnote>$^{64}$ Cela ne veut bien sûr pas dire qu'en français *des, quelques et plusieurs* sont strictement synonymes ; simplement ils sont équivalents en termes de conditions de vérités. De la même manière, *deux et au moins deux* (ainsi que *plus d'un*, si on compte des objets entiers) sont également équivalents dans LO, même s'ils se distinguent par diverses propriétés pragmatiques.</footnote>
d'existence. Cependant nous verrons (chapitre 10, vol. 2) qu'il est néanmoins possible
de rétablir de la compositionnalité pour ces déterminants en enrichissant l'ontologie de
notre système.

Au chapitre 3, §3.3.1.1, nous avions fait l'hypothèse que *la plupart* signifiait *plus de la moitié*. Nous pouvons maintenant implanter cette hypothèse dans LO avec :

$$
(95) \quad \left\| \mathrm{Plupart}(R)(P) \right\|^{M, w, g} = 1 \quad \text{ssi} \quad \left\| \llbracket R \rrbracket_e^{M, w, g} \cap \llbracket P \rrbracket_e^{M, w, g} \right\| > \left\| \llbracket R \rrbracket_e^{M, w, g} - \llbracket P \rrbracket_e^{M, w, g} \right\|
$$

Dans cette définition, – représente l'opération de différence ensembliste : A – B
contient tous les éléments qui sont dans A sauf ceux qui sont aussi dans B. Ainsi
Plupart(enfant)(dormir) est vrai ssi l'ensemble des individus qui sont des enfants et
qui dorment contient plus d'éléments que l'ensemble de ceux qui sont des enfants qui
ne dorment pas. Notons que (95) pouvait aussi être formulée de manière équivalente en :
$$
\llbracket \mathrm{Plupart}(R)(P) \rrbracket^{M, w, g} = 1 \quad \text{ssi} \quad \left\| \llbracket R \rrbracket_e^{M, w, g} \cap \llbracket P \rrbracket_e^{M, w, g} \right\| > \frac{1}{2} \left\| \llbracket R \rrbracket_e^{M, w, g} \right\|.
$$
Cela montre égale-
ment que nous pouvons facilement intégrer les déterminants qui expriment des fractions
comme la moitié de, un tiers de, trois quarts de, etc. :

$$
(96) \quad \text{a.} \quad \left\| \text{Moitié}(R)(P) \right\|^{M, w, g} = 1 \text{ ssi } \left\| \llbracket R \rrbracket_e^{M, w, g} \cap \llbracket P \rrbracket_e^{M, w, g} \right\| \ge \frac{1}{2} \left\| \llbracket R \rrbracket_e^{M, w, g} \right\|
$$

$$
\text{b.} \quad \left\| \text{Trois-quarts}(R)(P) \right\|^{M, w, g} = 1 \text{ ssi } \left\| \llbracket R \rrbracket_e^{M, w, g} \cap \llbracket P \rrbracket_e^{M, w, g} \right\| \ge \frac{3}{4} \left\| \llbracket R \rrbracket_e^{M, w, g} \right\|, \\
\text{etc.}
$$

Les déterminants définis *le* et *les* (ainsi que les composés comme *les deux*, *les trois*, etc.) peuvent également être traités en utilisant la cardinalité, mais ici il est nécessaire de prendre une précaution. En effet si nous posions simplement $\llbracket \mathrm{Le}(R)(P) \rrbracket^{M, w, g} = 1$ ssi $\left\| \llbracket R \rrbracket_e^{M, w, g} \right\| = 1$ et $\llbracket R \rrbracket_e^{M, w, g} \subseteq \llbracket P \rrbracket_e^{M, w, g}$, nous n'obtiendrions pas le même composition sémantique que ce que nous avons avec $\mathfrak{l}$. Par exemple dans un monde où il n'y a pas de roi, alors *Le(roi)(chauve)* serait faux alors que **chauve**($\mathfrak{l}\mathfrak{x} \text{ roi}(x)$) n'est pas défini. Pour intégrer la présupposition, il convient d'enchâsser les conditions de la définition des déterminants définis de la manière suivante<fnref n="65" /> :

$$
(97) \quad \text{a.} \quad \left\| \mathrm{Le}(R)(P) \right\|^{M, w, g} \text{ est défini ssi } \left\| \llbracket R \rrbracket_e^{M, w, g} \right\| = 1, \text{ et dans ce cas :}
$$

$$
\left\| \mathrm{Le}(R)(P) \right\|^{M, w, g} = 1 \text{ ssi } \left\| \llbracket R \rrbracket_e^{M, w, g} \subseteq \llbracket P \rrbracket_e^{M, w, g} \right\|
$$

$$
\text{b.} \quad \left\| \mathrm{Les}(R)(P) \right\|^{M, w, g} \text{ est défini ssi } \left\| \llbracket R \rrbracket_e^{M, w, g} \right\| > 1, \text{ et dans ce cas :}
$$

$$
\left\| \mathrm{Les}(R)(P) \right\|_{e}^{M, w, g} = 1 \text{ ssi } \left\| \llbracket R \rrbracket_{e}^{M, w, g} \subseteq \llbracket P \rrbracket_{e}^{M, w, g} \right\|
$$

$$
\text{c.} \quad \left\| \text{Les-deux}(R)(P) \right\|^{M, w, g} \text{ est défini ssi } \left\| \llbracket R \rrbracket_e^{M, w, g} \right\| = 2, \text{ et dans ce cas :}
$$

$$
\left\| \text{Les-deux}(R)(P) \right\|_{e}^{M, w, g} = 1 \text{ ssi } \left\| \llbracket R \rrbracket_{e}^{M, w, g} \subseteq \llbracket P \rrbracket_{e}^{M, w, g}, \text{ etc.} \right\|
$$

Il y a cependant des déterminants de la langue qui ne se laissent pas aussi facilement capter par le mécanisme des quantificateurs généralisés. C'est le cas notamment de *beau-coup de et peu de*. Certains auteurs les excluent purement et simplement du système sur l'argument que l'information quantitative exprimée par ces déterminants n'est pas

<footnote n="65">65 Nous reviendrons au chapitre 10 (vol. 2) sur les propriétés interprétatives du défini pluriel *les* qui ne sont pas entièrement restituées par cette définition.</footnote>
6 *Interface syntaxe-sémantique*

d'ordre vériconditionnel, mais relève d'un jugement de valeur personnel<sup>66</sup>. D'autres auteurs leur reconnaissent une très forte et complexe dépendance contextuelle. En effet lorsque l'on juge qu'une certaine collection d'individus « est beaucoup », c'est généralement par rapport à une certaine quantité qui n'est pas explicitée dans la phrase qui exprime ce jugement. Cette quantité serait à retrouver dans le contexte par raisonnement pragmatique ou par spéculation sur l'opinion du locuteur. Pour rendre compte de cette idée, Westerståhl (1985) propose plusieurs analyses dont voici deux exemples particulièrement pertinents (en les simplifiant un peu) :

$$
\begin{align*}
(98) \quad \text{a. } & \llbracket \text{Beaucoup}_1^n(R)(P) \rrbracket^{M, w, g} = 1 \text{ ssi } \left\| \llbracket R \rrbracket_c^{M, w, g} \cap \llbracket P \rrbracket_c^{M, w, g} \right\| \ge n \\
\text{b. } & \llbracket \text{Beaucoup}_2^k(R)(P) \rrbracket^{M, w, g} = 1 \text{ ssi } \left\| \llbracket R \rrbracket_c^{M, w, g} \cap \llbracket P \rrbracket_c^{M, w, g} \right\| \ge k \left\| \llbracket R \rrbracket_c^{M, w, g} \right\|
\end{align*}
$$

Dans ces définitions *n* est un nombre positif quelconque (mais généralement assez élevé) et *k* est un ratio, c'est-à-dire un nombre décimal compris entre 0 et 1 (autrement dit un pourcentage). Il faut tout de suite noter qu'en toute rigueur, ces deux définitions n'entrent pas dans notre système LO : *n* et *k* sont des valeurs fournies par le contexte, ce sont des paramètres nécessaires à l'interprétation des deux déterminants et dans les écritures *Beaucoup*<sub>1</sub><sup>n</sup> et *Beaucoup*<sub>2</sub><sup>k</sup> ce sont donc des variables, mais des variables de nombres. Or pour l'instant, dans LO nous ne disposons pas de telles variables<sup>67</sup>.

Cependant (98) est intéressant en ce qu'il propose deux interprétations possibles (et donc une ambiguïté) pour *beaucoup*. *Beaucoup*<sub>1</sub> donnerait en quelque sorte un interprétation *cardinale* de *beaucoup*. *Beaucoup*<sub>1</sub><sup>n</sup>(*enfant*)(*dormir*) est vrai si le nombre d'enfants qui dorment atteint ou dépasse un seuil *n* jugé comme particulièrement élevé par le locuteur. Le locuteur fixe ce seuil en fonction de nombreuses informations présentes dans le contexte, comme par exemple le nombre total de personnes dans la situation, le nombre d'enfants censés dormir, l'heure de la journée, les diverses attentes des locuteurs, etc., bref, tout un tas de critères qui peuvent être utilisés comme des normes propres à s'appliquer aux présentes circonstances. Mais compositionnellement *n* est simplement traité comme un pronom dont l'antécédent est à retrouver dans le contexte. Il en va de même pour le *k* de *Beaucoup*<sub>2</sub> qui propose cette fois une interprétation *proportionnelle* de *beaucoup*. *Beaucoup*<sub>2</sub><sup>k</sup>(*enfant*)(*dormir*) est vrai si le nombre d'enfants qui dorment atteint ou dépasse un certain pourcentage du nombre total d'enfants. Autrement dit le nombre d'enfants qui dorment est comparé au nombre d'enfants qui ne dorment pas, comme avec *Plupart*. On pourrait supposer que normalement *k* aura une valeur supérieure ou égale à 0, 5 (i.e. au moins la moitié), mais en réalité cela n'est pas du tout nécessaire : comme pour *n*, la valeur appropriée de *k* dépendra de diverses informations contextuelles et extralinguistiques. Par exemple si nous nous intéressons aux élèves d'une classe donnée, la formule *Beaucoup*<sub>2</sub><sup>k</sup>(*élève*)(*gaucher*) pourra être pertinente pour *k* valant 0, 2 ou 0, 15, sachant que la proportion moyenne de gauchers de la population est d'environ 10%. Ces paramètres contextuels *n* et *k* rendent compte du caractère dit *RELATIF* de la sémantique de *beaucoup de* et *peu de* (ce dernier s'interprétant comme

<footnote n="66"><sup>66</sup> Voir par exemple Keenan & Stavi (1986 : pp. 256-258).</footnote>

<footnote n="67"><sup>67</sup> Cela n'a rien de bloquant, nous pouvons assez facilement ajouter des expressions de nombres dans LO. Et c'est que nous ferons rigoureusement dans le chapitre 11 (vol. 2).</footnote>
## 6.5 Quantificateurs généralisés et structures tripartites

la négation du précédent), même s'il faut reconnaître qu'ils ne suffisent pas à rendre compte de son caractère vague (cf. §1.2.4), qui est une dimension du sens notablement plus complexe à formaliser.

Une autre catégorie de déterminants souvent laissée de côté dans l'étude des quantificateurs généralisés, pour des raisons similaires de forte dépendance contextuelle, est celle des démonstratifs *ce/cette/ces*. Nous reviendrons sur leur cas au chapitre 8 (vol. 2).

Terminons cette présentation avec quelques exemples qui montrent comment les quantificateurs généralisés cohabitent avec le $\lambda$-calcul dans LO. D'abord signalons que nous continuerons à utiliser $\forall$, $\exists$ et $\mathbf{1}$ car nous en avons pris l'habitude et ces symboles permettent des écritures analytiques très standards. Nous réserverons les constantes de type $\langle\langle e, t \rangle, \langle\langle e, t \rangle, t \rangle$ pour les déterminants qui ne peuvent pas se traduire autrement, comme par exemple la plupart. Compositionnellement, comme déjà mentionné, elles seront traitées dans l'analyse d'un DP de la même manière que celle présentée en §6.3.2 avec la règle (59) (p. 363); il y aura juste moins de $\beta$-réductions à effectuer, mais certaines simplifications sont possibles par $\eta$-réduction ($\lambda x$ enfant($x$) équivaut à enfant). Voici par exemple le détail de la composition de (99a) qui comporte un VP complexe :

(99) a. La plupart des enfants connaissent Charles.

b. $[DP \quad [D \quad \text{La plupart des} \quad [NP \text{ enfants}]]$
$\rightarrow [\lambda R \lambda P \text{Plupart}(R)(P)(\lambda x \text{ enfants}(x))]$ règle (55)
$= \lambda P \text{Plupart}(\lambda x \text{ enfants}(x))(P)$ $\beta$-réduction sur $R$
$= \lambda P \text{Plupart}(\text{enfants})(P)$ $\eta$-réduction

c. $[\text{vp connaissent Charles}]$
$\rightarrow \lambda x \text{ connaître}(x, c)$

d. $[TP \quad [DP \quad \text{La plupart des enfants}] \quad [VP \text{ connaissent Charles}]]$
$\rightarrow [\lambda P \text{Plupart}(\text{enfants})(P)(\lambda x \text{ connaître}(x, c))]$ règle (55)
$= \text{Plupart}(\text{enfant})(\lambda x \text{ connaître}(x, c))$ $\beta$-réduction sur $P$

Remarquons que comme connaître($x$, $c$) provient de $[[\text{connaître}(c)](x)]$, alors par $\eta$-réduction $\lambda x[[\text{connaître}(c)](x)]$ peut se simplifier en connaître($c$) et (99b) en Plupart(enfant)(connaître($c$)). En revanche, si le quantificateur est complément d'objet, cette simplification ne sera pas disponible :

(100) a. Charles connaît la plupart des enfants.

b. $\text{Plupart}(\text{enfant})(\lambda y \text{ connaître}(c, y))$

La restriction peut aussi être un $\lambda$-terme complexe, notamment dans le cas de quantificateurs qui enchâssent une relative restrictive :

(101) a. La plupart des enfants qui sont couchés dorment.

b. $\text{Plupart}(\lambda x[\text{enfant}(x) \wedge \text{couché}(x)])(\text{dormir})$

Et bien sûr nous pouvons rendre compte des ambiguïtés de portée en appliquant (ou non) la montée des quantificateurs, de façon similaire à ce que nous avons vu en §6.4.2. Cela donne :
## 6 Interface syntaxe-sémantique

(102) La plupart des élèves ont chanté trois chansons.

a. Plupart(élève)(λx[Trois(chanson)(λy chanter(x, y))])

b. Trois(chanson)(λy[Plupart(élève)(λx chanter(x, y))])

Dans (102a), qui présente l'interprétation linéaire, $\lambda y \text{ chanter}(x, y)$ dénote l'ensemble des choses chantées par $x$; la formule $[\text{Trois}(\text{chanson})(\lambda y \text{ chanter}(x, y))]$ est vraie ssi l'intersection de l'ensemble des chansons et de l'ensemble de ce qui a été chanté par $x$ contient au moins trois éléments, i.e. $x$ a chanté trois chansons; $\lambda x [\text{Trois}(\text{chanson})(\lambda y \text{ chanter}(x, y))]$ dénote l'ensemble de tous ceux qui ont chanté (au moins) trois chansons; et donc (102a) est vraie ssi il y a plus d'élèves qui ont chanté trois chansons que d'élèves qui ont chanté moins de trois chansons (ou aucune).

Dans (102b), qui présente la lecture avec portées inversées, $\lambda x \text{ chanter}(x, y)$ dénote l'ensemble de tous ceux qui ont chanté $y$ (qui est fort probablement une chanson); $[\text{Plupart}(\text{élève})(\lambda x \text{ chanter}(x, y))]$ est vraie ssi il y a plus d'élèves qui ont chanté $y$ que d'élève qui ne l'ont pas chantée ; $\lambda y [\text{Plupart}(\text{élève})(\lambda x \text{ chanter}(x, y))]$ dénote l'ensemble de toutes les choses qui ont été chantées par la plupart des élèves; et (102) dit que l'intersection de cet ensemble avec l'ensemble des chansons contient au moins trois éléments, autrement dit : il y a trois chansons que la plupart des élèves ont chantées.

### Exercice 6.9

Traduisez dans LO les phrases suivantes :

1. Il y a quatre 2CV vertes dans le parking.

2. Moins de la moitié des candidats ont répondu à toutes les questions.

3. Trois stagiaires apprendront deux langues étrangères.

Explicitez les conditions de vérités des formules obtenues pour 3.

### 6.5.2 Propriétés des déterminants

Les travaux sur les quantificateurs généralisés se sont beaucoup attachés à étudier les propriétés sémantiques des déterminants au sein des structures tripartites. En effet les relations ensemblistes dénotées par les déterminants ont diverses propriétés mathématiques qui donnent lieu à des caractérisations et des classifications sémantiquement pertinentes. Nous n'allons pas ici en faire un inventaire exhaustif$^{68}$, mais seulement présenter quelques unes de celles les plus souvent impliquées dans les analyses sémantiques.

Une des principales propriétés caractéristiques des déterminants est la CONSERVATIVITÉ. Pour la définir, introduisons d'abord un raccourci de notation dans LO qui simplifiera les écritures : si $\alpha$ et $\beta$ sont de type $\langle e, t \rangle$, alors $\alpha \cap \beta$ est de type $\langle e, t \rangle$ et est sémantiquement équivalent à $\lambda x [\alpha(x) \wedge \beta(x)]$. On reconnaît bien sûr l'opération d'intersection entre ensembles : $[\alpha \cap \beta]_e^{M, w, g} = [\alpha]_e^{M, w, g} \cap [\beta]_e^{M, w, g}$.

<footnote>$^{68}$ Voir Barwise & Cooper (1981), Keenan & Stavi (1986), Westerståhl (1989), Partee, ter Meulen & Wall (1990 : chap. 14), entre autres, pour des études approfondies.</footnote>
Définition 6.2 : Conservativité

Un déterminant $\delta$ est CONSERVATIF ssi pour tout w et g :

$$[[\delta(\alpha)(\beta)]]^{M, w, g} = [[\delta(\alpha)(\alpha \cap \beta)]]^{M, w, g}.$$

Pour évaluer une structure tripartite $\delta(\alpha)(\beta)$, on doit consulter les éléments qui sont dans la restriction $\alpha$ et ceux qui sont dans la portée $\beta$. Ce que dit la définition 6.2, c'est que si $\delta$ est conservatif, alors quand on consulte $[[\beta]]_{e}^{M, w, g}$, on a en fait seulement besoin de prendre en compte les éléments qui sont déjà aussi dans la restriction $[[\alpha]]_{e}^{M, w, g}$. Autrement dit, on ne regarde jamais le contenu de $[[\beta]]_{e}^{M, w, g} - [[\alpha]]_{e}^{M, w, g}$. C'est une propriété très naturelle. En effet lorsque l'on interprète par exemple quelques enfants dorment, parmi l'ensemble de tous les individus qui dorment, seuls comptent ceux qui sont des enfants, les autres dormeurs ne sont pas pertinents<fnref n="69" />. Et il a été observé empiriquement que la conservativité est une propriété universelle et inhérente des déterminants des langues naturelles : tout déterminant est conservatif.

Pour tester cette hypothèse, la définition 6.2 nous offre un test linguistique assez simple qui consiste à comparer une phrase qui se traduit par $\delta(\alpha)(\beta)$ avec une périphrase qui correspond à $\delta(\alpha)(\alpha \cap \beta)$, comme ce qu’illustre (103) où D est un déterminant singulier ou pluriel :

(103) a. *D enfant dort* est équivalent à *D enfant est un enfant qui dort*

b. *D enfants dorment* est équivalent à *D enfants sont des enfants qui dorment*

Les périphrases sont stylistiquement un peu lourdes, mais le test ne concerne que l'équivalence en termes de conditions de vérité. C'est que l'on observe en (104) où les phrases (i) et (ii) de chaque paire sont logiquement équivalentes.

(104) a. (i) Un enfant dort.

(ii) Un enfant est un enfant qui dort.

b. (i) La plupart des enfants dorment.

(ii) La plupart des enfants sont des enfants qui dorment.

c. (i) Moins de cinq enfants dorment.

(ii) Moins de cinq enfants sont des enfants qui dorment.

Si l'on trouve une expression de la langue qui peut se traduire par une relation ensembliste qui n'est pas conservative, alors, en vertu de l'hypothèse d'universalité de la conservativité pour les déterminants, on devra en conclure que cette expression n'est pas sémantiquement (et syntaxiquement) un déterminant. L'exemple typique de cela est le cas de *seul* (et *only* en anglais) placé devant un groupe nominal, comme dans *seuls les enfants dorment*. Nous nous doutons bien que ni *seul* ni *seul les* ne sont des déterminants,

<footnote n="69">⁶⁹ Barwise & Cooper (1981) décrivent d'ailleurs cette propriété en disant que le quantificateur $\delta(\alpha)$ « vit de » ou « se nourrit de » $\alpha$ (ang. *lives on* $\alpha$).</footnote>
## 6 Interface syntaxe-sémantique

car ils n'en ont pas exactement les propriétés grammaticales, mais après tout, à l'instar de ce que nous faisons pour tous les, nous pourrions proposer une constante **Seuls-les** de type $\langle\langle e, t \rangle, \langle\langle e, t \rangle, t \rangle$ telle que $[\mathbf{Seuls-les}(R)(P)]^{M,w,g} = 1 \text{ ssi } [P]_e^{M,w,g} \subseteq [R]_e^{M,w,g}$. Cela nous donnera les bonnes conditions de vérité puisque **Seul-les(enfant)**(*dormir*) sera vrai ssi l'ensemble des dormeurs est inclus dans l'ensemble des enfants. Cependant il sera préférable de ne pas retenir cette stratégie et de s'orienter plutôt vers une analyse plus compositionnelle (i.e. où seul reçoit une interprétation propre indépendamment du déterminant), car **Seul-les** n'est pas conservatif et par conséquent seul les ne fait pas partie de la catégorie des déterminants. On s'en rend compte en français avec (105) : (105b) peut être vrai s'il y a aussi des adultes qui dorment (car ceux-ci ne sont pas des enfants qui dorment).

(105) a. Seuls les enfants dorment.

b. Seuls les enfants sont des enfants qui dorment.

Une autre propriété intéressante et simple à caractériser est la **SYMÉTRIE**.

### Définition 6.3 : Symétrie

Un déterminant $\delta$ est **SYMÉTRIQUE** ssi pour tout w et g : $[\delta(\alpha)(\beta)]^{M,w,g} = [\delta(\beta)(\alpha)]^{M,w,g}$.

Autrement dit, si $\delta$ est symétrique, nous pouvons permuter la portée et la restriction dans une structure tripartite, nous aurons toujours les mêmes conditions de vérité. Et cela nous donne un test simple pour vérifier la symétrie d'un déterminant D de la langue : il suffit d'invertir les contenus du NP sujet et du VP et de s'assurer que les deux phrases sont logiquement équivalentes$^{70}$, comme par exemple :

(106) a. *D linguiste est alcoolique* est équivalent à *D alcoolique est linguiste*

b. *D linguistes sont alcooliques* est équivalent à *D alcooliques sont linguistes*

Nous constatons assez rapidement qu'il y a des déterminants qui ne sont pas symétriques : dans (107), les phrases (i) et (ii) de chaque paire ne sont pas équivalentes. Mais de surcroît il se trouve qu'empiriquement on observe que seuls les indéfinis sont symétriques, (108).

(107) a. (i) Tous les linguistes sont alcooliques.

(ii) Tous les alcooliques sont linguistes.

b. (i) La plupart des linguistes sont alcooliques.

(ii) La plupart des alcooliques sont linguistes.

c. (i) Le linguiste est alcoolique.

(ii) L'alcoolique est linguiste.

<footnote>$^{70}$ Nous serons bien conscients que les deux phrases ne sont pas équivalentes sur le plan pragmatique ou communicationnel ; là encore, nous ne regardons que l'équivalence logique.</footnote>
(108) a. (i) Un linguiste est alcoolique.

(ii) Un alcoolique est linguiste.

b. (i) Plusieurs linguistes sont alcooliques.

(ii) Plusieurs alcooliques sont linguistes.

c. (i) Au moins trois linguistes sont alcooliques.

(ii) Au moins trois alcooliques sont linguistes.

d. (i) Aucun linguiste n'est alcoolique.

(ii) Aucun alcoolique n'est linguiste.

Au passage nous pouvons remarquer que la symétrie nous donne un argument supplémentaire pour ranger *aucun* parmi les indéfinis.

Au chapitre précédent, §5.3.3.4, nous avons abordé la notion de monotonie (dé)croissante. Il est intéressant de la reprendre ici car les déterminants illustrent ce phénomène avec une assez grande variété. Comme les déterminants dénotent des fonctions à deux arguments, il y a deux positions où observer la monotonie : dans la restriction et dans la portée. Pour ce qui est de la restriction, on parle généralement de monotonie à gauche, et pour la portée, de monotonie à droite<fnref n="71" />. En reprenant la définition 5.19 p. 311, nous pouvons alors caractériser quatre cas de figure :

**Définition 6.4 : Monotonie des déterminants**

Soit $\delta \in \mathfrak{M} \langle\langle (e,t), (\langle\langle e,t \rangle, t) \rangle\rangle$, et soit $\alpha, \beta$ et $\gamma \in \mathfrak{M} \langle (e,t) \rangle$ tels que $\alpha \models \beta$.

1. $\delta$ est MONOTONE CROISSANT À GAUCHEssi $\delta(\alpha)(\gamma) \models \delta(\beta)(\gamma)$.

2. $\delta$ est MONOTONE DÉCROISSANT À GAUCHEssi $\delta(\beta)(\gamma) \models \delta(\alpha)(\gamma)$.

3. $\delta$ est MONOTONE CROISSANT À DROITEssi $\delta(\gamma)(\alpha) \models \delta(\gamma)(\beta)$.

4. $\delta$ est MONOTONE DÉCROISSANT À DROITEssi $\delta(\gamma)(\beta) \models \delta(\gamma)(\alpha)$.

De là, en reprenant les définitions sémantiques posées en §6.5.1, il est possible de démontrer logiquement que tel déterminant possède (ou non) telle et telle propriétés de monotonie. Nous n'allons pas ici entrer dans les détails de ces démonstrations, mais simplement observer quelques exemples à partir de tests appliqués à des expressions de la langue.

Pour la monotonie à gauche, partons par exemple de la conséquence **lion** $\models$ **animal**. Nous voyons que les déterminants indéfinis *un*, *plusieurs*, *au moins deux* sont monotones croissants à gauche (109a-c), alors que les autres déterminants de (109) ne le sont pas.

(109) a. Un lion s'est échappé $\models$ Un animal s'est échappé

b. Plusieurs lions se sont échappés $\models$ Plusieurs animaux se sont échappés

c. Au moins deux lions se sont échappés $\models$ Au moins deux animaux se sont échappés

<footnote n="71">⁷¹ Dans Barwise & Cooper (1981), la monotonie croissante à gauche est appelée *persistance* et la monotonie décroissante à gauche *anti-persistence*.</footnote>
d. Tous les lions se sont échappés $\notin$ Tous les animaux se sont échappés

e. Les lions se sont échappés $\notin$ Les animaux se sont échappés

f. Aucun lion ne s'est échappé $\notin$ Aucun animal ne s'est échappé

g. Moins de trois lions se sont échappés $\notin$ Moins de trois animaux se sont échappés

h. Exactement dix lions se sont échappés $\notin$ Exactement dix animaux se sont échappés

i. La plupart des lions se sont échappés $\notin$ La plupart des animaux se sont échappés

Parmi les déterminants non monotones croissants à gauche, tous les, les, aucun, moins de n sont monotones décroissants (110a-d). Et nous remarquons que la plupart et exactement n ne sont ni l'un ni l'autre, i.e. ils ne sont pas monotones à gauche.

(110) a. Tous les animaux se sont échappés $\models$ Tous les lions se sont échappés

b. Les animaux se sont échappés $\models$ Les lions se sont échappés

c. Aucun animal ne s'est échappé $\models$ Aucun lion ne s'est échappé

d. Moins de trois animaux se sont échappés $\models$ Moins de trois lions se sont échappés

e. Exactement dix animaux se sont échappés $\notin$ Exactement dix lions se sont échappés

f. La plupart des animaux se sont échappés $\notin$ La plupart des lions se sont échappés

Pour examiner la monotonie à droite, prenons la conséquence initiale boire du whisky $\models$ boire de l'alcool<sup>72</sup>. Cette fois, les déterminants monotones croissants à droite sont plus nombreux : un, plusieurs, au moins n, tous les, les, la plupart, (111a-e,i).

(111) a. Un invité a bu du whisky $\models$ Un invité a bu de l'alcool

b. Plusieurs invités ont bu du whisky $\models$ Plusieurs invités ont bu de l'alcool

c. Au moins deux invités ont bu du whisky $\models$ Au moins deux invités ont bu de l'alcool

d. Tous les invités ont bu du whisky $\models$ Tous les invités ont bu de l'alcool

e. Les invités ont bu du whisky $\models$ Les invités ont bu de l'alcool

f. Aucun invité n'a bu du whisky $\notin$ Aucun invité n'a bu de l'alcool

g. Moins de trois invités ont bu du whisky $\notin$ Moins de trois invités ont bu de l'alcool

h. Exactement dix invités ont bu du whisky $\notin$ Exactement dix invités ont bu de l'alcool

i. La plupart des invités ont bu du whisky $\models$ La plupart des invités ont bu de l'alcool

<footnote n="72"><sup>72</sup> Car nous savons que whisky $\models$ alcool et donc que $\lambda x \exists y [whisky(y) \wedge boire(x, y)] \models \lambda x \exists y [alcool(y) \wedge boire(x, y)]$.</footnote>
Quant à aucun et moins de n, ils sont monotones décroissants à droite. Et finalement exactement n n'est monotone d'aucun côté.

(112) a. Aucun invité n'a bu de l'alcool $\models$ Aucun invité n'a bu du whisky

b. Moins de trois invités ont bu de l'alcool $\models$ Moins de trois invités ont bu du whisky

c. Exactement dix invités ont bu de l'alcool $\not\models$ Exactement dix invités ont bu du whisky

## 6.6 Flexibilité et changements de types

Depuis le début de ce chapitre, nous partons du principe que les types sémantiques sont directement corrélés aux catégories syntaxiques des expressions qu'ils étiquettent ainsi qu'à leurs propriétés distributionnelles. C'est assez normal puisque les types servent à réglementer la composition sémantique qui, elle-même, est guidée par la structure syntaxique. Cela a pour implication, au moins par défaut, que les types et les traductions sémantiques des expressions de base sont fixés dès le départ dans le lexique et qu'a priori toutes les expressions d'une catégorie morpho-syntaxique donnée se verront assigner le même type. Dans les pages précédentes, cependant, la possibilité d'associer à la catégorie DP le type e ou le type $\langle\langle e, t \rangle, t \rangle$ a été évoquée plusieurs fois, et c'est cette question de la flexibilité des types que nous allons aborder dans cette section. La flexibilité des types repose sur l'idée que certaines expressions peuvent recevoir différentes traductions formelles sans que cela donne lieu à de véritables ambiguïtés lexicales. Nous allons prendre ici le temps nécessaire d'en exposer précisément les tenants et les aboutissants, en présentant les thèses et les analyses des travaux fondateurs de Partee & Rooth (1983) et Partee (1987), car il s'agit d'une dimension fondamentale et indispensable du processus d'analyse à l'interface syntaxe-sémantique et elle doit être mise en œuvre avec rigueur et méthode. Cela va également être l'occasion d'examiner comment notre système peut intégrer l'analyse de constructions que nous n'avons pas encore abordées comme la coordination et les verbes transitifs intensionnels. C'est ce par quoi nous allons commencer.

### 6.6.1 Coordination et connecteurs généralisés

Les connecteurs $\wedge$ et $\vee$ sont vérifonctionnels, et si nous traduisons les conjonctions de coordinations *et* et *ou* respectivement par $\lambda\psi\lambda\varphi[\varphi \wedge \psi]$ et $\lambda\psi\lambda\varphi[\varphi \vee \psi]$ de type $\langle t, \langle t, t \rangle \rangle$, nous obtenons des traductions qui ne peuvent coordonner que des expressions de type $t$, typiquement des phrases. Et nous savons bien que *et* et *ou* peuvent coordonner de nombreuses autres catégories syntaxiques : DP, NP, VP, V, AP, PP, CP, etc. Pour ces catégories les deux traductions précédentes ne sont pas utilisables<sup>73</sup>, mais le $\lambda$-calcul nous permet néanmoins de composer leur coordination. Regardons quelques exemples.

<footnote n="73">73 Sauf éventuellement pour certains VP par l'hypothèse de montée du sujet, §6.4.4.</footnote>
## 6 Interface syntaxe-sémantique

Pour ce faire, nous allons d'abord poser une hypothèse très simple et très rudimentaire sur la syntaxe de la coordination en français. Nous allons considérer que la coordination de deux constituants de catégorie X donne lieu à une structure syntaxique plate, c'est-à-dire à trois branches (ou plus) comme illustré en (113)<fnref n="74" />. À l'interface syntaxe-sémantique une conjonction Coord dénotera donc une fonction à deux arguments fournis en même temps.

$$ (113) \qquad \left[ \begin{array}{c} X \rightarrow X \quad \text{Coord} \quad X \\ [[\gamma(\beta)](\alpha)] \leftarrow \alpha \quad \gamma \quad \beta \end{array} \right. $$

Par exemple pour une coordination d'adjectifs prédicatifs comme en (114a), le V' s'analysera comme en (114b) :

(114) a. La serviette est propre et sèche.

<figure><img src="image_99.png" /></figure>

Les AP sont de type ⟨⟨e, t⟩⟩, le coordonnant et sera donc de type ⟨⟨⟨e, t⟩, ⟨⟨e, t⟩, ⟨e, t⟩⟩⟩⟩ et se traduira par un λ-terme qui produit un prédicat complexe en faisant la conjonction des deux prédicats donnés. C'est une opération que nous avons déjà rencontrée (cf. INTER p. 352) :

$$ (115) \quad et \sim \lambda Q \lambda P \lambda x [[P(x)] \wedge [Q(x)]] $$

Si nous voulons coordonner deux DP (116), nous procéderons de manière similaire. Le sujet de (116) se traduira par $\lambda P[[P(g)] \wedge \text{Treize(nain)}(P)]$ de type ⟨⟨e, t⟩, t⟩ (c'est un quantificateur généralisé qui dénote l'ensemble de toutes les propriétés satisfaites conjointement par Gandalf et treize nains).

(116) Gandalf et treize nains se sont invités chez Bilbo.

Les deux DP coordonnés se traduisent respectivement par $\lambda P[P(g)]$ et $\lambda P[\text{Treize(nain)}(P)]$, et le coordonnant et se traduit comme en (117), recevant le type ⟨⟨⟨e, t⟩, t⟩, ⟨⟨⟨e, t⟩, t⟩, ⟨⟨e, t⟩, t⟩⟩⟩, où X et Y sont des variables de $\mathcal{Var}_{⟨⟨e,t⟩,t⟩}$ :

$$ (117) \quad et \sim \lambda Y \lambda X \lambda P [[X(P)] \wedge [Y(P)]] $$

<footnote n="74">⁷⁴ Cette hypothèse est uniquement motivée par des raisons de commodité et de simplicité d'écriture pour la présente exposition. Les analyses sémantiques utilisées ici sont passablement compatibles avec une version binaire et plus hiérarchisée comme, par exemple, `[X X [CoordP Coord X]]`.</footnote>
Remarquons en passant que cet exemple illustre l'une des motivations de la proposition de Montague de traiter uniformément tous les DP comme des quantificateurs généralisés. Il est normal et logique que la coordination s'effectue entre expressions de même type, et si le nom propre *Gandalf* avait été traduit simplement par *g* de type *e*, il n'aurait pas été possible de le coordonner avec le quantificateur *treize nains*. La traduction (117) résout ce problème dès lors que les noms propres (et tout autre DP référentiel) reçoivent le type $\langle\langle e, t \rangle\rangle$.

Mais il y a une autre observation plus déterminante à faire ici : nous constatons que les conjonctions *et* et *ou* recevront une traduction différente pour chaque type de constituants qu'elles peuvent coordonner. Nous pouvons d'ailleurs facilement anticiper que pour coordonner des V transitifs ou des subordonnées complétives, les traductions seront encore différentes. Concrètement cela veut dire que notre lexique sémantique devra prévoir une ambiguïté, et plus précisément une homonymie très multiple, pour ces deux conjonctions. En pratique, comme le montrent les exemples précédents, ce n'est pas une situation insurmontable, mais d'un point de vue théorique et descriptif, c'est assez insatisfaisant. Nous avons la forte intuition que *et* (et *ou*) est toujours la même conjonction de coordination quelles que soient les catégories qu'elle coordonne, avec une contribution sémantique stable dérivée de $\wedge$ (respectivement $\vee$)$^{75}$. Il serait donc plus naturel de les traiter sémantiquement de manière unifiée.

À cet effet, il existe une stratégie, introduite notamment par Gazdar (1980) puis reprise méthodiquement par Partee & Rooth (1983), qui consiste à ajouter dans LO de nouveaux symboles syncatégorématiques en supplément des connecteurs vérifonctionnels. Ce sont ce que l'on appelle des **CONNECTEURS GÉNÉRALISÉS**. Nous utiliserons ici les symboles $\cap^{76}$, $\cup$, $\sim$ pour, respectivement, la conjonction, la disjonction et la négation$^{77}$ généralisées. Leur définition, donnée ci-dessous, reprend le principe de la conséquence généralisée que nous avons vue en §5.3.3.4, et réutilise donc l'ensemble des types booléens $T_B$ défini p. 310. Rappelons que les types booléens sont ces types qui finissent toujours par « aboutir à t ».

**Définition 6.5 : Connecteurs généralisés**

(Syn) Si $b \in T_B$ et si $\alpha$ et $\beta \in \mathbf{ME}_b$, alors $\sim\alpha$, $[\alpha \cap \beta]$ et $[\alpha \cup \beta] \in \mathbf{ME}_b$.

(Sem) Soit $\alpha, \beta \in \mathbf{ME}_b$, pour tout $M, w$ et $g$ :

1. si $b = t$ :

$$ a. \ [[\sim\alpha]]^M w, g = [[\neg\alpha]]^M w, g $$

<footnote>$^{75}$ En fait, il y a quelques exceptions pour *et*, ce sont ses emplois dits collectifs comme dans *Shaun et Sean se sont battus/rencontrés/ont déplacé un piano... Nous y reviendrons au chapitre 10 (vol. 2).</footnote>

<footnote>$^{76}$ Oui c'est le même symbole qu'en 6.5.2 *supra*, et ce n'est pas un hasard. J'ajoute que les symboles introduits ici sont propres à cet ouvrage ; il existe diverses variantes de notations des connecteurs généralisés dans la littérature, toutes graphiquement assez proches.</footnote>

<footnote>$^{77}$ La négation généralisée peut s'avérer utile pour traiter des négations qui ne portent pas directement sur des formules, cf. par exemple avec les adjectifs *non-violent, pas cher* ou les noms comme *non-événement...*. Notons que nous pourrions très bien introduire de la même façon une implication matérielle généralisée ; quant à l'équivalence matérielle généralisée, nous l'avons déjà, c'est = (cf. §5.3.3 p. 304).</footnote>
## 6 Interface syntaxe-sémantique

$$ \text{b. } [[\alpha \cap \beta]]^{M, w, g} = [[\alpha \wedge \beta]]^{M, w, g} $$

$$ \text{c. } [[\alpha \cup \beta]]^{M, w, g} = [[\alpha \vee \beta]]^{M, w, g} $$

2. sinon, i.e. si $b = \langle a, c \rangle$, et si $x \in \mathcal{V}ar_a$ (et n'est pas libre dans $\alpha$ et $\beta$) :

$$ \text{a. } [[\sim\alpha]]^{M, w, g} = [[\lambda x\lbrack\alpha(x)\rbrack]]^{M, w, g} $$

$$ \text{b. } [[\alpha \cap \beta]]^{M, w, g} = [[\lambda x[[\alpha(x)] \cap [\beta(x)]]]]^{M, w, g} $$

$$ \text{c. } [[\alpha \cup \beta]]^{M, w, g} = [[\lambda x[[\alpha(x)] \cup [\beta(x)]]]]^{M, w, g} $$

Comme avec la conséquence généralisée, l'idée est de saturer progressivement les arguments de $\alpha$ et $\beta$ au moyen d'une variable de type approprié (variable qui est « reabstraite » globalement avec les $\lambda x$) jusqu'à arriver au type t pour y appliquer nos connecteurs vérifonctionnels habituels<sup>78</sup>. Ainsi, à présent, et et ou se traduiront toujours par $\cap$ et $\cup$ respectivement, quelque soit le type des constituants coordonnés, du moment que les deux aient le même type (et qu'il soit un type booléen). On dit que ces opérateurs sont POLYMORPHIQUES, c'est-à-dire qu'ils peuvent se combiner avec des expressions de divers types tout en gardant une même sémantique générale. Reprenons nos exemples précédents, leurs nouvelles traductions seront (en faisant quelques $\eta$-réductions) :

(118) a. propre et sèche $\rightarrow$ [propre $\cap$ sec]

b. Gandalf et treize nains $\rightarrow$ [$\lambda P[P(g)] \cap \lambda P[Treize(nain)(P)]]$

En appliquant les définitions (ou plus exactement les substitutions) de la définition 6.5, nous pouvons voir que ces traductions sont équivalentes à celles proposées précédemment. Ainsi [propre $\cap$ sec] équivaut à $\lambda x[propre(x) \cap sec(x)]$ et, comme propre(x) et sec(x) sont de type t, cela équivaut à $\lambda x[propre(x) \wedge sec(x)]$. De même pour (118b) qui, par définition, équivaut à $\lambda Q[[\lambda P[P(g)](Q)] \cap [\lambda P[Treize(nain)(P)](Q)]]$, ce qui par $\beta$-réduction se simplifie en $\lambda Q[[Q(g)] \cap [Treize(nain)(Q)]]$, équivalent finalement à $\lambda Q[[Q(g)] \wedge [Treize(nain)(Q)]]$.

Puisque $\cap$ et $\cup$ sont syncatégorématiques ($[[\cap]]^{M, w, g}$ et $[[\cup]]^{M, w, g}$ ne sont pas définis), cela veut dire que et et ou ne sont plus en soi des expressions interprétables comme nous l'entendons habituellement. Autrement dit et et ou ne peuvent pas se traduire directe-

<footnote n="78"><sup>78</sup> Deux remarques techniques mais importantes sur la définition 6.5 : d'abord comme les définitions sémantiques sont présentées de manière récursive avec des équivalences entre les expressions à interpréter et des $\lambda$-termes de LO, on pourrait penser que les connecteurs généralisés ne sont en fait que des raccourcis graphiques de notations (justement parce qu'on les interprète en les remplaçant par d'autres expressions du langage). C'est parce que j'ai choisi ici un format de présentation relativement simplifié mais facile à lire et à manipuler. En réalité les connecteurs généralisés ont une définition propre et directe dans le moindre (i.e. non substitutive), mais celle-ci s'appuie sur des propriétés de structure algébrique du domaine des fonctions ; j'ai préféré la laisser de côté ici pour ne pas complexifier davantage la présente exposition. Cf. cependant Partee & Rooth (1983) et les références qui y sont citées pour plus de détails.</footnote>

<footnote>De plus la définition 6.5 est incomplète pour LO (mais elle ne l'est pas pour LO<sub>2</sub>), car par exemple $\langle s, t \rangle$ est aussi un type booléen, mais on ne sature pas (et n'abstrait pas) les arguments des intensions avec des variables. En toute rigueur, il faut donc ajouter des règles spéciales pour le cas $b = \langle s, a \rangle : [[\alpha \cap \beta]]^{M, w, g} = [[\wedge[\alpha \cap \beta]]]]^{M, w, g}$, etc.</footnote>
ment et compositionnellement par $\cap$ et $\cup$. Ces traductions doivent donc être introduites syncatégorémiquement via des règles d'interface syntaxe-sémantique comme en (119).

<figure><img src="image_100.png" /></figure>

Ces règles montrent que les conjonctions de coordination *et* et *ou* n'ont pas de type (et pas de traduction propre) et que chacune doit être traitée par une règle d'interface qui lui est spécifique (la couche syntaxique des règles doit aller regarder quelle conjonction précise est présente sous la projection Coord). Nous y avons gagné en uniformité, mais un peu perdu en compositionnalité (en particulier si l'on adopte une structure syntaxique hiérarchique binaire pour traiter la coordination, cf. note 74 p. 396). Pour sauver la compositionnalité, nous pouvons être tentés de proposer les traductions $\lambda v \lambda u [u \cap v]$ et $\lambda v \lambda u [u \cup v]$ pour *et* et *ou*. Mais ce ne sont pas véritablement des $\lambda$-termes précis : ils n'ont pas de type propre tant que nous ne connaissons pas le type de $u$ et $v$. Ce sont, au mieux, deux « formats de $\lambda$-termes ». Mais, et c'est une caractéristique du polymorphisme, nous savons tout de même que ces traductions n'auront jamais n'importe quel type : ce sera toujours $(b, \langle b, b \rangle)$ pour $u, v \in \mathcal{V}ar_b$ (et avec $b \in T_B$). C'est un peu comme si, dans l'interprétation, nous manipulions $b$ comme une « variable de types » (qui peut, virtuellement, parcourir tout $T_B$). De la sorte, ces formats $\lambda v \lambda u [u \cap v]$ et $\lambda v \lambda u [u \cup v]$ vont générer chacun toute une famille de $\lambda$-termes précis utilisables en fonction du type des constituants coordonnés. Certes, techniquement cela nous fait revenir aux traductions (115) et (117) proposées initialement, mais cela nous permet néanmoins de donner un traitement « semi-compositionnel »<fnref n="79" /> de la coordination au moyen d'une seule règle générique à l'interface syntaxe-sémantique (120) qui vaut pour toute catégorie X (grammaticalement coordonnable) et où l'on prévoit que $\gamma$ sera $\lambda v \lambda u [u \cap v]$ ou $\lambda v \lambda u [u \cup v]$ :

(120) Coordination

<figure><img src="image_101.png" /></figure>

D'une certaine manière, ce traitement de la coordination par les connecteurs généralisés nous donne déjà un aperçu du principe de la flexibilité des types : la possibilité que certaines expressions de la langue reçoivent, en fonction de leur environnement syntaxique, des traductions de différents types mais qui conservent un noyau sémantique commun. C'est ce qui se passe avec $\lambda v \lambda u [u \cap v]$ qui s'incarne sous divers types, mais qui contribue toujours à insérer $\cap$ (et à terme $\wedge$) dans la composition sémantique. Cependant si Partee & Rooth (1983) utilisent les connecteurs généralisés, c'est surtout pour

<footnote n="79">⁷⁹ Concrètement cela veut dire que le lexique sémantique ne saura pas assigner une traduction exacte à, par exemple, la conjonction *et*, mais il lui attribuera la traduction générique $\lambda v \lambda u [u \cap v]$ de type $\langle b, \langle b, b \rangle \rangle$ et celle-ci s'instanciera précisément lors de l'application de la règle (120) en « découvrant » la valeur de $b$ (on pourra alors éventuellement renommer $u$ et $v$ pour rester cohérent avec les notations habituelles).</footnote>
introduire une réflexion sur un autre phénomène de flexibilité de types, plus saillant que celui-ci, et qui concerne les DP et les V. Nous allons l'aborder dans la section suivante, et pour enchaîner, terminons ici en examinant le cas de la coordination de deux V transitifs comme en (121).

(121) Laura écrit et compose des chansons.

Si, pour faire simple, nous considérons qu'un V transitif se traduit par un prédicat de type $\langle e, \langle e, t \rangle \rangle$ (par exemple $\lambda y \lambda x \text{ écrire}(x, y)$), alors le V coordonné $\lbrack v \text{ écrit et compose} \rbrack$ se traduit par $\lbrack \text{écrire} \cap \text{composer} \rbrack$ (i.e. $\lbrack \lambda y \lambda x \text{ écrire}(x, y) \cap \lambda y \lambda x \text{ composer}(x, y) \rbrack$). Appliquons la définition 6.5 pour retrouver le $\lambda$-terme traditionnel équivalent (sur la droite est indiqué le type des termes connectés par $\cap$) :

(122) a. $\lbrack \text{écrire} \cap \text{composer} \rbrack$ équivaut à : $\langle e, \langle e, t \rangle \rangle$

b. $\lambda y \lbrbrack \text{écrire}(y) \cap \text{composer}(y) \rbrack$, qui équivaut à : $\langle e, t \rangle$

c. $\lambda y \lambda x \lbrbrack \lbrbrack \text{écrire}(y) \rbrack(x) \cap \lbrbrack \text{composer}(y) \rbrack(x) \rbrack \rbrack^{80}$, qui équivaut à : t

d. $\lambda y \lambda x \lbrbrack \text{écrire}(x, y) \land \text{composer}(x, y) \rbrack$

Pour dériver la traduction de (121), comme (122) est de type $\langle e, \langle e, t \rangle \rangle$ et que le DP objet est de type $\langle\langle e, t \rangle, t \rangle$, il faudra obligatoirement procéder à QR, et au final nous obtiendrons comme il se doit :

$$ (123) \quad \exists x \lbrbrack \text{chanson}(x) \land \lbrbrack \text{écrire}(l, x) \land \text{composer}(l, x) \rbrbrack \rbrack $$

Mais justement, pour éviter un QR obligatoire, nous pouvons avoir intérêt à reprendre les traductions de type $\langle\langle e, t \rangle, t \rangle$, $\langle e, t \rangle \rangle$ des V transitifs, comme $\lambda Y \lambda x \lbrbrack Y(\lambda y \text{ écrire}(x, y)) \rbrack$. Voyons ce que donne alors la coordination :

(124) a. $\lbrbrack \lambda Y_1 \lambda x_1 [Y_1(\lambda y_1 \text{ écrire}(x_1, y_1))] \cap \lambda Y_2 \lambda x_2 [Y_2(\lambda y_2 \text{ composer}(x_2, y_2))] \rbrack$

b. $= \lambda Y \lbrbrack \lbrbrack \lambda Y_1 \lambda x_1 [Y_1(\lambda y_1 \text{ écrire}(x_1, y_1))] (Y) \rbrack \cap \lbrbrack \lambda Y_2 \lambda x_2 [Y_2(\lambda y_2 \text{ composer}(x_2, y_2))] (Y) \rbrack \rbrack$ $\langle e, t \rangle$

c. $= \lambda Y \lbrbrack \lambda x_1 [Y(\lambda y_1 \text{ écrire}(x_1, y_1))] \cap \lambda x_2 [Y(\lambda y_2 \text{ composer}(x_2, y_2))] \rbrack$

d. $= \lambda Y \lambda x \lbrbrack \lambda x_1 [Y(\lambda y_1 \text{ écrire}(x_1, y_1))] (x) \cap \lambda x_2 [Y(\lambda y_2 \text{ composer}(x_2, y_2))] (x) \rbrack$

e. $= \lambda Y \lambda x \lbrbrack Y(\lambda y_1 \text{ écrire}(x, y_1)) \land Y(\lambda y_2 \text{ composer}(x, y_2)) \rbrack$ β-réduction

Cette fois pour traduire (121) nous n'avons pas besoin d'effectuer QR, et dans ce cas nous obtenons :

$$ (125) \quad \exists x \lbrbrack \text{chanson}(x) \land \text{écrire}(l, x) \rbrack \land \exists x \lbrbrack \text{chanson}(x) \land \text{composer}(l, x) \rbrack $$

<footnote n="80">⁸⁰ Remarque : ici nous avons appliqué une deuxième fois la règle d'équivalence de la définition, mais cette règle s'est appliquée sur $\lbrbrack \text{écrire}(y) \rbrack \cap \lbrbrack \text{composer}(y) \rbrack$, pas sur tout le $\lambda$-terme précédent, c'est pourquoi $\lambda x$ apparaît bien à droite de $\lambda y$.</footnote>
Ce n'est pas la même chose que (123). Est-ce grave ? Oui. Pour s'en convaincre clairement il suffit de comparer les deux traductions que l'on obtient pour l'exemple (126a) : (126b) procède de la coordination de deux prédicats de type $\langle\langle\langle e, t\rangle, t\rangle$, et (126c) de celle de deux prédicats de type $\langle\langle\langle e, t\rangle, \langle e, t\rangle\rangle$.

(126) a. Charles a épluché et émincé deux oignons.

b. Deux(oignon)($\lambda y$[éplucher(c, y) ∧ émincer(c, y)])

c. Deux(oignon)($\lambda y$ éplucher(c, y)) ∧ Deux(oignon)($\lambda y$ émincer(c, y))

(126b) dit qu'il y a deux oignons que Charles a épluchés et émincés. (126c) dit qu'il y a deux oignons qu'il a épluchés et qu'il y a deux oignons qu'il a émincés ; ce peut être deux fois les mêmes oignons, mais ce n'est pas nécessaire, il peut y en avoir quatre dans l'histoire. Or nous n'interprétons jamais (126a) de cette façon (possiblement 4 oignons), mais toujours à la façon de (126b) (ce sont les mêmes oignons qui sont épluchés et émincés).

Cela nous donne un argument supplémentaire pour nous faire préférer l'option qui traduit les verbes transitifs par des prédicats de type $\langle e, \langle e, t\rangle\rangle$ à celle qui les traduit par des prédicats de type $\langle\langle\langle e, t\rangle, t\rangle$, $\langle e, t\rangle\rangle$. Mais en fait... ce n'est pas si simple.

### 6.6.2 Verbes transitifs intensionnels

Pour continuer notre exploration de la flexibilité des types, nous devons faire une petite parenthèse qui va nous donner l'occasion de poursuivre la présentation de certains éléments de l'analyse de Montague (1973) et de revenir sur une ambiguïté de re/de dicto que nous avions laissé de côté dans l'analyse compositionnelle. C'est celle qui apparaît dans la position de complément d'objet de verbes comme chercher :

(127) Arthur cherche une licorne.

Nous qualifierons ces verbes transitifs<fnref n="81" /> d'intensionnels, justement parce qu'ils installent un environnement opaque sur leur position de complément, ce qui en permet une lecture de dicto. Font partie de cette catégorie chercher, désirer, vouloir, exiger, rêver de, avoir besoin de, avoir envie de, avoir peur de... Ce sur quoi nous devons réfléchir ici c'est la nature de la dénotation de ces verbes afin de rendre compte convenablement de leur sens. Et cela se reflète directement sur le type des prédicats à utiliser.

Car nous ne pouvons pas partir de prédicats de type $\langle e, \langle e, t\rangle\rangle$ comme nous le faisons avec les verbes transitifs ordinaires (extensionnels). Si, par exemple, chercher₁ est un prédicat de ce type, que la traduction du verbe se présente sous la forme $\lambda y\lambda x$ chercher₁(x, y) (type $\langle e, \langle e, t\rangle\rangle$) ou $\lambda Y\lambda x$[Y($\lambda y$ chercher₁(x, y)]) (type $\langle\langle\langle e, t\rangle, t\rangle$, $\langle e, t\rangle\rangle$), nous n'obtien-drons, pour (127), que la lecture de re, c'est-à-dire $\exists y$[licorne(y) ∧ chercher₁(a, y)]$. C'est parce que chercher₁ dénotera une relation entre deux individus du domaine, et ce n'est pas ce qu'il nous faut pour la lecture de dicto.

Une constante de prédicat de type $\langle\langle\langle e, t\rangle, t\rangle$, $\langle e, t\rangle\rangle$, bien que plus élaborée, ne suffira pas encore. Un tel prédicat, par exemple chercher₂, dénotera une relation entre un

<footnote n="81">⁸¹ J'utilise ici *transitif* dans une acception très relâchée pour désigner des verbes qui prennent (au moins) deux arguments réalisés par des DP ou des PP.</footnote>
## 6 Interface syntaxe-sémantique

individu (Arthur) et un quantificateur généralisé (l'ensemble de tous les ensembles qui contiennent au moins une licorne). Cela nous donnera $chercher_2(a, \lambda P \exists y [licorne(y) \wedge P(y)])$ pour la lecture de dicto. Dans un monde $w_1$ (comme le nôtre) où les licornes n'existent pas, (127) peut tout de même être vraie, si Arthur croit que les licornes existent. Si nous faisons usage du prédicat exister comme suggéré en §4.3.3.1 (p. 213)<fnref n="82" />, alors la dénotation de licorne dans $w_1$ ne sera pas vide, elle contiendra toutes les licornes imaginaires de $\mathcal{A}$, mais aucune de celles-ci ne sera dans la dénotation de exister. Or la lecture de dicto de (127) implique qu'Arthur croit que les licornes existent, par conséquent $chercher_2(a, \lambda P \exists y [licorne(y) \wedge P(y)])$ devrait être équivalent à $chercher_2(a, \lambda P \exists y [licorne(y) \wedge exister(y) \wedge P(y)])$<fnref n="83" />. Mais ce n'est pas le cas, parce que $[\lambda P \exists y [licorne(y) \wedge exister(y) \wedge P(y)]]_{e}^{M, w_1, g}$ est l'ensemble vide (dans $w_1$ il n'y a pas de $y$ qui à la fois soit une licorne et existe) alors que $[\lambda P \exists y [licorne(y) \wedge P(y)]]_{e}^{M, w_1, g}$ contient tous les ensembles qui contiennent au moins une licorne fictive. Nous aboutissons donc à une contradiction et une incohérence si nous nous attachons à formaliser soigneusement la lecture de dicto.

En fait, nous nous en doutons bien, les verbes transitifs intensionnels, comme les verbes d'attitudes propositionnelles (dont ils sont très proches), doivent prendre un argument de type intensionnel. Dans (127), chercher dénote une relation entre l'individu Arthur et la propriété d'être une licorne. Mais attention, il ne s'agit pas exactement de la propriété que nous formalisons par $\lambda$licorne, de type $\langle s, \langle e, t \rangle \rangle$, car celle-ci n'est pas assez structurée. En effet nous avons aussi besoin de distinguer les conditions de vérité de (127) de celles de Arthur cherche deux licornes, Arthur cherche toutes les licornes de la région, etc. C'est pourquoi l'analyse de Montague (1973) propose que l'argument du verbe soit ce que nous pouvons appeler un concept de quantificateur généralisé ou, dans les termes de Montague, une propriété de propriétés, c'est-à-dire une expression de type $\langle s, \langle \langle e, t \rangle, t \rangle \rangle$<fnref n="84" />. Ainsi, si $y$ est une variable de type $\langle s, \langle \langle e, t \rangle, t \rangle \rangle$, chercher se traduira par :

$$ (128) \quad chercher \rightsquigarrow \lambda y \lambda x chercher(x, y) $$

Compositionnellement, le DP objet n'aura pas besoin d'être lui-même de type intensionnel, il continuera à être de type $\langle\langle e, t \rangle, t \rangle$ ($\lambda P \exists y [licorne(y) \wedge P(y)]$), et la composition s'effectuera par application fonctionnelle intensionnelle (§6.2.4). De la sorte, (127) se traduit en (129) pour la lecture de dicto :

$$ (129) \quad \text{a.} \quad \text{une licorne} \rightsquigarrow \lambda P \exists y [\text{licorne}(y) \wedge P(y)] $$

<footnote n="82">⁸² Si nous n'en faisons pas usage, alors l'option chercher₂ de type $\langle\langle\langle e, t \rangle, t \rangle, \langle e, t \rangle\rangle$ est immédiatement disqualifiée car, dans $w_1$, $\lambda P \exists y [licorne(y) \wedge P(y)]$ dénotera l'ensemble vide, comme pour tout quantificateur concernant des créatures fictives ; (127) aura alors les mêmes conditions de vérité que Arthur cherche un dragon, Arthur cherche un dahu, etc. ce qui n'a pas lieu d'être, y compris pour les lectures de dicto.</footnote>

<footnote n="83">⁸³ Cf. la définition (131) infra.</footnote>

<footnote n="84">⁸⁴ En fait j'adopte ici la simplification suggérée et argumentée entre autres par Dowty, Wall & Peters (1981 : chap. 7, p. 188 et n. 14 p. 250). Dans Montague (1973), les quantificateurs dénotent des ensembles de propriétés de concepts d'individus et sont donc de type $\langle\langle s, \langle\langle s, e \rangle, t \rangle, t \rangle$ et les arguments objets des verbes sont alors de type $\langle s, \langle\langle s, e \rangle, t \rangle\rangle, t \rangle\rangle$. Nous ne bouderons pas le présent choix de simplification.</footnote>
b. cherche une licorne $\rightsquigarrow$ [λYλx chercher(x, Y)(^λP∃y[licorne(y) ∧ P(y)])] (AFI)
= λx chercher(x, ^λP∃y[licorne(y) ∧ P(y)]) (β-réduction)
c. Arthur cherche une licorne $\rightsquigarrow$ chercher(a, ^λP∃y[licorne(y) ∧ P(y)])

La lecture *de re s'obtient par QR avec une trace nécessairement de type ⟨⟨e, t⟩, t⟩ :*

$$
\begin{align*}
(130) \quad \text{a.} \quad & t_1 \rightsquigarrow \lambda P[P(x_1)] \\
\text{b.} \quad & \begin{aligned}[t]
    \text{chercher } t_1 \rightsquigarrow & [\lambda Y\lambda x \text{chercher}(x, Y)(^\lambda P[P(x_1)])] \\
    & = \lambda x \text{chercher}(x, ^\lambda P[P(x_1)])
  \end{aligned} \\
\text{c.} \quad & \text{Arthur cherche } t_1 \rightsquigarrow \text{chercher}(a, ^\lambda P[P(x_1)]) \\
\text{d.} \quad & \begin{aligned}[t]
    \text{[une licorne}_1 \text{ [Arthur cherche } t_1 \text{]]} \rightsquigarrow & [\lambda P \exists y [\text{licorne}(y) \land [P(y)]](\lambda x_1 \text{chercher}(a, ^\lambda P[P(x_1)]))] \\
    & = \exists y [\text{licorne}(y) \land [\lambda x_1 \text{chercher}(a, ^\lambda P[P(x_1)])(y)]] \\
    & = \exists y [\text{licorne}(y) \land \text{chercher}(a, ^\lambda P[y])]^8
  \end{aligned}
\end{align*}
$$

Nous avons déterminé le type des verbes intensionnels, c’est (⟨s, ⟨⟨e, t⟩, t⟩⟩, ⟨e, t⟩), mais cela ne suffit à définir leur sens. Nous devons au moins esquisser les conditions de vérité d’une expression de la forme chercher(x, y). Une propriété de propriétés, comme ^λP∃y[licorne(y) ∧ P(y)], dénote une fonction qui à chaque monde de W associe l’ensemble de tous les ensembles qui contiennent au moins une licorne de ce monde. Il y a certains mondes possibles, comme le nôtre, où les licornes n’existent pas, et la fonction leur associera un ensemble contenant par exemple l’ensemble des équidés, l’ensemble des individus blancs, des individus gris, des individus à crinière, des farouches, des féroces, etc. bref tout ensemble correspondant à une propriété extensionnelle d’une ou plusieurs licornes telles qu’elles sont imaginées dans ce monde, mais pas la dénotation de exister. Mais il y a d’autres mondes, appelons-les génériquement w’, où les licornes existent bel et bien et à ces w’ la fonction associera un ensemble plus ou moins similaire au précédent mais comprenant en plus la dénotation de exister dans w’ (qui contiendra donc les licornes réelles de w’). Et parmi ces mondes w’, il existe en particulier certains mondes w'' auxquels la fonction associera un ensemble qui contient aussi l’ensemble de toutes les choses trouvées par Arthur ; ce sont les mondes où Arthur trouve effective-ment une licorne. À partir de là, nous pouvons développer les conditions de vérité de (129c) : dans un monde quelconque w, (129c) est vraie ssi Arthur pense, dans w, que w appartient à l’ensemble de ces mondes w’ et Arthur souhaite, dans w, que w fasse partie de ces mondes w''. Pour généraliser, nous pouvons poser la définition suivante :

(131) $[\mathfrak{c}hercher(x, y)]^{M, w, g} = 1$ ssi dans w :
i. $[x]^{M, w, g}$ pense que w appartient à l'ensemble des mondes w' tels que $[[^Y(exister))]^{M, w', g} = 1$, et

<footnote n="85">85 Cette dernière β-réduction sur x₁ est autorisée car y étant une variable de type e, interprétée seulement par g, elle peut se placer sans risque dans la portée de ^.</footnote>
## 6 Interface syntaxe-sémantique

ii. $[x]^{M, w, g}$ souhaite que $w$ appartienne à l'ensemble des mondes $w''$ tels que $[[^y(\lambda y \text{ trouver}(x, y))]^{M, w'', g}] = 1$.<fnref n="86" />

Montague (1973) traite *potentiellement* tous les verbes transitifs comme étant de type $\langle\langle s, \langle\langle e, t \rangle, t \rangle\rangle$, $\langle e, t \rangle\rangle$<fnref n="87" /> et donc comme dénotant une relation entre un individu et une propriété de propriétés, *y compris* les verbes transitifs extensionnels comme *manger*, *trouver*, *capturer*, etc. que nous comprenons intuitivement comme dénotant une relation entre deux individus et que nous avons pris l'habitude de traduire ici via le type $\langle e, \langle e, t \rangle \rangle$. Or il est naturel *et* raisonnable d'estimer qu'une phrase comme par exemple *Alice mange une tartine exprime avant tout une relation concrète entre l'individu Alice et l'individu tartine plutôt qu'une relation un peu plus abstraite entre Alice et le concept de quantificateur *être une tartine*. À cet égard, Montague réintroduit les prédicats de type $\langle e, \langle e, t \rangle \rangle$ sous la forme de variantes de *manger* qui se traduit par *manger* de type $\langle\langle s, \langle\langle e, t \rangle, t \rangle\rangle$, $\langle e, t \rangle\rangle$ il existe aussi une traduction de type $\langle e, \langle e, t \rangle \rangle$ notée *manger*\*. Les deux sont sémantiquement reliées entre elles par un postulat de signification qui, en suivant notre simplification des types, peut se formuler comme suit :

$$ (132) \quad \Box \forall x \forall y [\mathbf{manger}(x, y) \leftrightarrow [^y(\lambda y \mathbf{manger}_*(x, y))]] $$

En fait nous avons intérêt à prendre (132) comme une manière de définir le sens « abstract » de **manger** à partir du sens plus concret de **manger**\*, en considérant que celui-ci est le « sens de base » de **manger**. Cependant Montague adopte un point de vue qui peut sembler inverse car dans ses analyses, un verbe comme **manger** est lexicalement traduit par **manger** puis éventuellement simplifié en **manger**\* en vertu du postulat (132). C'est conforme à sa stratégie d'uniformiser le type de chaque grande catégorie syntaxique (la généralisation au pire des cas) afin d'obtenir un système régulier et pleinement compositionnel. Cela permet notamment de rendre opérationnelle la coordination de n'importe quels verbes transitifs, ce qui nous ramène finalement à notre préoccupation initiale. Mais auparavant faisons un petit point de notation : pour ne pas perturber nos habitudes d'écriture, nous n'allons pas utiliser les notations « \* » de Montague, nous continuerons à écrire **manger** pour représenter le prédicat de type $\langle e, \langle e, t \rangle \rangle$ (i.e. le **manger**\* de (132)), et pour la traduction de type $\langle\langle s, \langle\langle e, t \rangle, t \rangle\rangle$, $\langle e, t \rangle\rangle$ (i.e. le **manger** de (132)) nous écrirons $\lambda y \lambda x [^y(\lambda y \mathbf{manger}(x, y))]$.

Dans la section précédente, nous avons vu que des verbes transitifs comme **éplucher** et **émincer** (qui, de fait, sont extensionnels) doivent se traduire par des prédicats de type $\langle e, \langle e, t \rangle \rangle$, afin de pouvoir les coordonner correctement, car *Charles a épluché et émincé deux oignons* n'est pas équivalent à *Charles a épluché deux oignons et Charles a émincé deux oignons*. Ici nous venons de voir que les verbes transitifs intensionnels doivent se

<footnote n="86">⁸⁶ Nous voyons ainsi que le sens de **chercher** est défini à partir de celui de **trouver** : la définition ramène **chercher** à vouloir trouver. À ce sujet, il faut admettre que la définition (131) est incomplète, car normalement on ne cherche pas quelque chose sans rien faire ; il faudrait ajouter une condition qui dit aussi que $x$ entreprend dans $w$ une action qui vise à rendre $[^y(\lambda y \text{ trouver}(x, y))]$ vrai.</footnote>

<footnote n="87">⁸⁷ Enfin, plus exactement, il leur assigne le type $\langle\langle s, \langle\langle s, \langle\langle e \rangle, t \rangle\rangle, t \rangle\rangle$, $\langle\langle s, e \rangle, t \rangle\rangle$; cf. note 84 *supra*.</footnote>
traduire par des prédicats de type ⟨⟨s, ⟨⟨e, t⟩, t⟩⟩, ⟨e, t⟩⟩. De ce fait, la coordination de deux verbes intensionnels, comme par exemple avoir envie et besoin de se traduira par [envie-de ∧ besoin-de] équivalent à λΥλλx[envie-de(x, γ) ∧ besoin-de(x, γ)]. Cette traduction prédit que (133a), pour la lecture de dicto, est équivalent à (133b), les deux se traduisant par (133c) :

(133) a. Alice a envie et besoin d'un ordinateur.

b. Alice a envie d'un ordinateur et Alice a besoin d'un ordinateur.

c. envie-de(a, ^λP∃y[ordinateur(y) ∧ P(y)]) ∧
besoin-de(a, ^λP∃y[ordinateur(y) ∧ P(y)])

Il se trouve que cette prédiction est confirmée : en français (133a) et (133b) se comprennent de la même façon (pour la lecture de dicto) ; la question de savoir en (133b) s’il s’agit du même ordinateur ou de deux ordinateurs différents ne se pose pas (car l’existence de l’ordinateur n’est que virtuelle, localisée dans les envies et les besoins d’Alice). Et, ce qui est encore plus crucial, nous pouvons faire la même observation lorsque nous coordonnons un verbe intensionnel avec un extensionnel, comme en (134) : (134a) a les mêmes conditions de vérité que (134b).

(134) a. Arthur a cherché et trouvé une licorne.

b. Arthur a cherché une licorne et Arthur a trouvé une licorne.

Ainsi trouver, qui se traduit normalement par λyλx trouver(x, y) de type ⟨e, ⟨e, t⟩⟩,
devra ici se traduire par λΥλλx[^Υ(λy trouver(x, y))] de type ⟨⟨s, ⟨⟨e, t⟩, t⟩⟩, ⟨e, t⟩⟩ afin
de pouvoir se coordonner avec chercher. Chercher et trouver se traduit alors par
[λΥλλx chercher(x, γ) ∧ λΥλλx[^Υ(λy trouver(x, y))], équivalent à λΥλλx[chercher(x, γ) ∧
[^Υ(λy trouver(x, y))]. À terme, (134a) se traduira par (135), qui est aussi la traduction de
(134b).

(135) chercher(a, ^λP∃y[licorne(y) ∧ P(y)]) ∧ ∃y[licorne(y) ∧ trouver(a, y)]

Récapitulons. La traduction des verbes transitifs intensionnels est forcément de type
⟨⟨s, ⟨⟨e, t⟩, t⟩⟩, ⟨e, t⟩⟩. Mais pour les transitifs extensionnels, nous sommes obligés de pré-
voir deux traductions : une traduction du type simple ⟨e, ⟨e, t⟩⟩, que nous devons uti-
liser notamment pour les coordonner entre eux, et une traduction du type complexe
⟨⟨s, ⟨⟨e, t⟩, t⟩⟩, ⟨e, t⟩⟩, notamment pour les coordonner avec des verbes intensionnels.
Nous n'avons pas le choix, les deux versions doivent être prises en compte, nous ne pou-
vons pas tout unifier en généralisant au type le plus complexe. Et cela peut également
avoir une conséquence sur la traduction des DP argumentaux des verbes. Si nous nous
donnons les moyens d'avoir des DP de type e (pour les expressions référentielles), ceux-
ci pourront se combiner directement avec les verbes extensionnels de type ⟨e, ⟨e, t⟩⟩. En
revanche ils devront obligatoirement passer au type ⟨⟨e, t⟩, t⟩ lorsqu'ils sont l'argument
d'un verbe intensionnel, comme dans *Alice cherche Dina*. Nous sommes en plein dans la
problématique de la flexibilité et du changement de types.
6.6.3 *Type-shifting*

Les observations précédentes ont amené Partee & Rooth (1983) à introduire un mode opératoire déterminant pour la conception du mécanisme d'analyse sémantique compositionnelle. Le principe est le suivant : dans le lexique sémantique, les expressions de la langue (désambiguïsées) reçoivent une seule traduction, qui rend compte de leur interprétation la plus naturelle et qui correspond, normalement, au type le plus simple que l'on peut leur assigner ; c'est cette traduction qui est introduite par défaut dans l'analyse à l'interface syntaxe-sémantique ; et si dans la composition sémantique il s'avère que cette traduction ne s'accorde pas avec son environnement (à cause d'un conflit de types), alors l'expression subit une opération de changement de type (et donc de traduction) qui résout la discordance. Ces opérations de changement de type portent traditionnellement le nom de TYPE-SHIFTING.

Finalement c'est bien ce que nous avons rencontré dans les pages qui précèdent. Les verbes transitifs extensionnels sont lexicalement de type ⟨e, ⟨e, t⟩⟩, et ils s'élèvent au type ⟨⟨s, ⟨⟨e, t⟩, t⟩⟩, ⟨e, t⟩⟩ lorsqu'ils se coordonnent avec un verbe intensionnel (et éventuellement au type ⟨⟨⟨e, t⟩, t⟩, ⟨e, t⟩⟩ lorsque leur objet est un quantificateur). C'est également une façon de revisiter le comportement des adjectifs épithètes que nous avons discuté en §6.2.3 : nous pouvons considérer que les adjectifs (non intensionnels) sont initialement de type ⟨e, t⟩ et passent au type ⟨⟨e, t⟩, ⟨e, t⟩⟩ lorsqu'ils modifient un N ou un NP. Et dans une certaine mesure le polymorphisme des connecteurs généralisés peut être vu comme une intégration « dynamique » d'un processus de *type-shifting* sur des connecteurs originallement de type ⟨t, ⟨t, t⟩⟩.

Un des aspects les plus cruciaux du principe du *type-shifting* est qu'il évite de multiplier les ambiguïtés artificielles dans le lexique : les variantes de traductions sont activées et construites au fil de l'analyse, et le *type-shifting* se présente ainsi comme une stratégie *de dernier recours*, c'est-à-dire à n'utiliser qu'en cas de conflit de types. C'est important car le *type-shifting* peut s'avérer un outil très puissant (voire trop) qui risquerait de surgénérer des interprétations indésirables. Il est nécessaire de le discipliner, non seulement en le rendant non prioritaire, mais aussi en limitant son champ d'application. Nous ne changeons pas le type et la traduction d'une expression juste parce que cela nous arrange. Il faut que la transformation soit sémantiquement naturelle, qu'elle n'altère pas le sens de base de l'expression et si possible qu'elle soit défendable sur le plan psycholinguistique. De manière générale, le *type-shifting* concerne essentiellement les propriétés combina-toires des expressions, pas leur sens fondamental. Les principes fondamentaux de cette opération ont été posés par Partee (1987), en l'appliquant essentiellement à l'analyse des DP. Nous allons voir ici comment sa proposition s'intègre dans notre système LO.

6.6.3.1 Formalisation

Techniquement le *type-shifting* consiste à passer d'une expression de type *a* à une expression de type *b*. L'opération peut donc tout naturellement se réaliser dans LO au moyen d'un λ-terme de type ⟨a, b⟩. Ce λ-terme s'appliquera à l'expression de départ et, de la sorte, le résultat sera « fonction » de celle-ci. Cela *peut* contribuer à maintenir
raisonnablement le sens initial lors de l'opération. De tels $\lambda$-termes, prévus à cet usage, sont ce que l'on appelle des *type-shifteurs*.

Une façon de mettre en œuvre le *type-shifting* dans notre système est de l'intégrer à des règles d'interface syntaxe-sémantique, pour ainsi le déclencher à partir d'une certaine configuration syntaxique et une certaine combinaison de types. Voici un exemple générique d'une telle règle, qui présuppose l'existence d'un type-shifteur $S$ de type $\langle a, b \rangle$ :

(136) Exemple de *type-shifting* 1

<figure><img src="image_102.png" /></figure>

Cette règle présente un cas de conflit de types : Y attend un argument de type $b$ et $Z$ est de type $a$ ; mais en appliquant $S$ à $\beta$ dans la composition de $X$ nous lui faisons subir un changement de type, et nous obtenons $[S(\beta)]$ de type $b$.

Insistons sur le fait que, le *type-shifting* étant une stratégie de dernier recours, la légitimité de (136) dans la grammaire doit normalement être conditionnée à la présence par ailleurs d'une règle comme (137), c'est-à-dire une règle de composition ordinaire sans conflit de types (X, Y et $Z$ étant les même catégories qu'en (136)). Autrement dit, (136) s'appliquera parce que (137) a échoué.

(137)

<figure><img src="image_103.png" /></figure>

La règle (136) opère un changement de type sur l'argument $(\beta)$. Nous pouvons aussi concevoir des règles qui opèrent sur l'expression fonctionnelle $(\alpha)$ comme (138), où cette fois $S$ est de type $\langle\langle b, c \rangle, \langle a, c \rangle\rangle$.

(138) Exemple de *type-shifting* 2

<figure><img src="image_104.png" /></figure>

Des règles telles que (138) sont parfois considérées comme devant être moins prioritaires que les règles (136), afin de laisser la préférence au *type-shifting* sur les arguments. C'est cependant ce genre de règles qui s'applique si l'on souhaite élever un V transitif de type $\langle e, \langle e, t \rangle \rangle$ au type $\langle\langle\langle e, t \rangle, t \rangle, \langle e, t \rangle\rangle$ pour le combiner directement avec un quantificateur généralisé. Le type-shifteur sera alors de type $\langle\langle e, \langle e, t \rangle \rangle, \langle\langle\langle e, t \rangle, t \rangle, \langle e, t \rangle\rangle$, défini par le $\lambda$-terme (139). Il est courant de poser des raccourcis pour ces $\lambda$-termes sous la forme de prédicats équivalents, afin de simplifier les notations<fnref n="88" />. Ainsi $[\text{vt-qg(manger)}]$ est la version $\langle\langle\langle e, t \rangle, t \rangle, \langle e, t \rangle\rangle$ de *manger*.

<footnote n="88">⁸⁸ Les définitions comme (139) représentent donc des postulats de signification ; j'omets ici les opérateurs modaux dans leurs notations. De plus les noms de raccourcis que j'introduis ici, comme *vt-qg* et *vi-int*, sont arbitraires et propres à cet ouvrage. Ceux de §6.6.3.3 sont plus standards.</footnote>
## 6 Interface syntaxe-sémantique

$$ (139) \quad \mathbf{VT-QG} = \lambda V \lambda Y \lambda x [Y(\lambda y[[V(y)](x)])] \quad \text{avec } V \in \mathcal{V}ar_{\langle e, \langle e, t \rangle \rangle} \text{ et } Y \in \mathcal{V}ar_{\langle \langle e, t \rangle, t \rangle} $$

Ce λ-terme peut sembler complexe, mais il suffit d'y voir que V sert à accueillir le prédicat verbal de type ⟨e, ⟨e, t⟩⟩ pour construire des traductions que nous avons plusieurs fois manipulées (cf. §6.3.3). Et le type-shifteur qui élève les verbes transitifs extensionnels au type ⟨⟨s, ⟨⟨e, t⟩, t⟩⟩, ⟨e, t⟩⟩ pour les coordonner avec des transitifs intensionnels sera très similaire, sauf qu'il sera de type ⟨⟨e, ⟨e, t⟩⟩, ⟨⟨s, ⟨⟨e, t⟩, t⟩⟩, ⟨e, t⟩⟩⟩ :

$$ (140) \quad \mathbf{VT-INT} = \lambda V \lambda Y \lambda x [^Y(\lambda y[[V(y)](x)])] \quad \text{avec } V \in \mathcal{V}ar_{\langle e, \langle e, t \rangle \rangle} \text{ et } Y \in \mathcal{V}ar_{\langle s, \langle \langle e, t \rangle, t \rangle \rangle} $$

Quant au type-shifteur qui transforme un adjectif prédicatif de type ⟨e, t⟩ en épithète de type ⟨⟨e, t⟩, ⟨e, t⟩⟩, nous l'avons déjà rencontré en §6.2.3 (p. 352), c'est le prédicat que nous avons appelé INTER de type ⟨⟨e, t⟩, ⟨⟨e, t⟩, ⟨e, t⟩⟩⟩ :

$$ (141) \quad \mathbf{INTER} = \lambda Q \lambda P \lambda x [[P(x)] \wedge [Q(x)]] $$

Notons aussi que les règles d'interfaces proposées en 6.2.2 (pp. 348 et 350) pour traiter les arguments implicites des verbes transitifs pourraient, en quelque sorte, être vues comme une application de *type-shifting* où le conflit de type se manifeste entre le type ⟨e, t⟩ attendu pour V' et le type ⟨e, ⟨e, t⟩⟩ fourni par V. Les type-shifteurs en jeu seraient alors $\lambda V \lambda x \exists y [[V(y)](x)]$ et $\lambda V [V(y)]^{89}$ de type $⟨⟨e, ⟨e, t⟩⟩, ⟨e, t⟩⟩$ (avec $V \in \mathcal{V}ar_{\langle e, \langle e, t \rangle \rangle}$).

### 6.6.3.2 Les types des DP

Partee (1987) rappelle d'abord que les trois types que l'on peut assigner naturellement aux DP sont :

- e (le type référentiel),

- ⟨e, t⟩ (le type prédicatif) et

- ⟨⟨e, t⟩, t⟩ (le type quantificationnel).

Le premier, e, est le type le plus simple avec lequel on peut traduire les noms propres, les pronoms personnels et les descriptions définies; ⟨⟨e, t⟩, t⟩ est le type le plus simple pour les quantificateurs généralisés. Quant au type prédicatif ⟨e, t⟩, nous n'avons pas eu l'habitude de l'utiliser pour traduire des DP, mais il existe des arguments pour cette option, en particulier concernant les DP indéfinis<fnref n="90" />.

En français par exemple, des DP indéfinis peuvent apparaître en position d'attribut du sujet (142a) dans la même distribution qu'un NP « nu » (142b) ou d'un AP (142c).

(142) a. Charlotte est une actrice.

b. Charlotte est actrice.

c. Charlotte est célèbre.

En 6.3.3 (p. 366) nous avons vu une traduction (dans l'esprit de Montague 1973) du verbe être « transitif » pour analyser (142a). Partee propose une autre stratégie qui est de

<footnote n="89">⁸⁹ Cependant, il faut reconnaître que ce second λ-terme λV[V(y)] n'est probablement pas un véritable type-shifteur car il introduit une variable libre, ce que, formellement, il n'est pas censé faire.</footnote>

<footnote n="90">⁹⁰ Voir aussi Dobrovie-Sorin & Beyssade (2005) et les références qui y sont citées pour un panorama complet sur ces arguments.</footnote>
toujours traduire la copule de la même manière, par $\lambda P\lambda x[P(x)]$, et d'analyser tous les attributs par des expressions de type $\langle e, t \rangle$. De la sorte, dans (142a), l'indéfini *une actrice* aura une traduction équivalente à $\lambda x \text{actrice}(x)$ comme le NP *actrice* de (142b).

Par ailleurs il a été également défendu l'hypothèse, notamment par McNally (1992; 1998) (dans la lignée de Milsark 1977), que le DP dit pivot des phrases existentielles comme (143) devait s'analyser comme dénotant une propriété. Dans cette perspective, en simplifiant un peu<fnref n="91" />, c'est *il y a* qui introduit la condition d'existence en se traduisant par $\lambda P \exists x [[P(x)] \land \text{exister}(x)]$ et le DP correspond simplement à $\lambda x \text{feu-rouge}(x)$.

(143) Il y a un feu rouge.

Dans une langue comme le français, si l'on veut analyser directement et compositionnellement les indéfinis par le type $\langle e, t \rangle$, il faudra redéfinir la traduction des déterminants concernés, par exemple en posant que *un* se traduit par $\lambda P\lambda x[P(x)]$<fnref n="92" /> (ce qui le rendra, de fait, « synonyme » du verbe *être*, mais ce n'est peut-être pas un hasard). Mais des DP de type $\langle e, t \rangle$ peuvent aussi s'obtenir par des opérations naturelles de *type-shifting* que décrit Partee (1987).

### 6.6.3.3 Les changements de type des DP

Nous allons examiner une par une les diverses opérations sémantiques qui permettent de passer d'un type e, $\langle e, t \rangle$ ou $\langle \langle e, t \rangle, t \rangle$ à un autre. Cela va créer un réseau de *type-shifting* en triangle qui sera résumé dans la figure 6.12 p. 415.

**De e à $\langle\langle e,t \rangle,t \rangle$** Suivant la philosophie du *type-shifting*, les DP référentiels auront initialement et par défaut le type e, en se traduisant par des constantes ou variables d'individus ou des t-termes. Passer, par exemple, de la constante a au quantificateur correspondant $\lambda P[P(a)]$ est une opération relativement simple (nous l'avons appliquée en §6.3.1). Dans le modèle, cela consiste à rassembler tous les ensembles qui contiennent ALICE, et Partee nomme LIFT le type-shifteur qui effectue cette opération. Sa définition dans LO est la suivante :

$$ (144) \qquad \text{LIFT} = \lambda x \lambda P[P(x)] \qquad \text{type} \langle e, \langle\langle e, t \rangle, t \rangle \rangle $$

LIFT sera à utiliser pour coordonner une expression référentielle avec un quantificateur (cf. Gandalf et treize nains, le président et tous les ministres...) ainsi que pour la combiner avec un verbe transitif intensionnel (cf. Alice cherche Dina).

<footnote n="91">⁹¹ En fait l'analyse de McNally est plus élaborée, mais ce qui est présenté ici reste un peu dans le même esprit. En particulier, il s'agit de se distinguer de ce que proposent Barwise & Cooper (1981) qui traitent le DP pivot comme un quantificateur généralisé ($\lambda P \text{Un}(\text{feu-rouge})(P)$) et *il y a* comme le prédicat *exister* destiné à occuper la portée du quantificateur. À l'arrivée on obtient les mêmes conditions de vérité, mais l'analyse compositionnelle est différente. En particulier l'option de Barwise & Cooper explique moins facilement le contraire entre les groupes nominaux forts et faibles dans les existentielles que nous avions vu en §3.3.2.2 puisque tout DP peut se traduire par un quantificateur généralisé.</footnote>

<footnote n="92">⁹² Pour les autres déterminants indéfinis, c'est moins immédiat, mais néanmoins réalisable grâce à la formalisation que nous verrons au chapitre 10 (vol. 2).</footnote>
## 6 Interface syntaxe-sémantique

De $\langle\langle e,t\rangle,t\rangle$ à e Comme *LIFT* dénote une fonction, nous pouvons envisager la fonction inverse, que Partee nomme *LOWER*. Être l'inverse de *LIFT* signifie que *LOWER* réalise les « trajets retours » de *LIFT* et satisfait ainsi le postulat de signification $\Box \forall x[\text{LOWER}(*LIFT*(x)) = x]$. Informellement, étant donné la définition de *LIFT*, *LOWER* peut être vu comme dénotant cette fonction qui prend en argument un ensemble d'ensembles et retourne l'élément (s'il existe) qui appartient à tous ces ensembles. En $\lambda$-terme cela donne :

$$ (145) \qquad \text{LOWER} = \lambda X iy \forall P [[X(P)] \rightarrow [P(y)]] \qquad \text{type } \langle\langle\langle e, t\rangle, t\rangle, e\rangle $$

Dans cette définition, $X$ est une variable de quantificateur généralisé (donc d'ensemble d'ensembles) et la condition $\forall P[[X(P)] \rightarrow [P(y)]]$ dit que tout « ensemble » $P$ qui est dans $X$ contient $y$. La fonction dénotée par *LIFT* est *totale*, c'est-à-dire qu'elle donne un résultat pour tout élément de son domaine $\mathcal{D}_e$ ; au contraire *LOWER* dénote une fonction partielle, c'est-à-dire qu'il y a des éléments du domaine $\mathcal{D}_{\langle\langle e,t\rangle,t}$ pour lesquels elle n'est pas définie. C'est une conséquence de la présence de $iy$. En effet pour certains quantificateurs il n'existe pas de $y$ qui satisfasse la condition ci-dessus, et pour d'autres il en existe plusieurs (cf. exercice 6.10 infra).

De $e$ à $\langle\langle e,t\rangle$ Il s'agit de passer d'un individu de $\mathcal{A}$ à un ensemble d'individus. La nièvre la plus simple et immédiate de procéder est, à partir d'un individu $x$, de retourner le singleton $\{x\}$. Le type-shifteur qui effectue cela est la relation d'identité sur $\mathcal{D}_e$ (cf. §5.3.3.2) :

$$ (146) \qquad \mathit{IDENT} = \lambda y \lambda x [x = y] \qquad \text{type } \langle\langle e, \langle\langle e, t\rangle\rangle \rangle $$

Pour une valeur donnée de l'argument $y$, $\lambda x[x = y]$ dénote l'ensemble de « tous les » $x$ qui sont identiques à $y$, autrement dit c'est bien l'ensemble $\{[y]^{\mathcal{M},w,g}\}$. L'application *IDENT(a)* équivaut donc à $\lambda x[x = a]$ qui est la propriété (extensionnelle) d'être *Alice*. Élevée au type $\langle\langle e, t\rangle\rangle$ par *IDENT* une expression référentielle peut ainsi intervenir comme attribut de la copule $(\lambda P \lambda x [P(x)])$.

De $\langle\langle e,t\rangle\rangle$ à e Le type-shifting de $\langle\langle e, t\rangle\rangle$ à e (i.e. d'un ensemble à un individu) est un peu moins immédiat, mais commençons par un cas très simple, celui où l'ensemble de départ est un singleton. Il suffit alors d'extraire l'unique élément de l'ensemble. C'est la fonction inverse de *IDENT* et Partee nomme *IOTA* ce type-shifteur :

$$ (147) \qquad \mathit{IOTA} = \lambda P \, ix [P(x)] \qquad \text{type } \langle\langle e, t\rangle, e\rangle $$

Ainsi *IOTA(pape)* équivaut à $ix pape(x)$ et dénote l'unique individu qui est pape dans le monde d'évaluation. En soi *IOTA* peut servir de traduction pour l'article défini $le/la^{93}$,

<footnote n="93">⁹³ À ce moment-là, *IOTA* ne sera pas véritablement un type-shifteur, mais simplement la traduction directe du déterminant défini singulier. En revanche dans les langues qui ne réalisent pas les articles (elles sont nombreuses, comme le japonais, le russe, le latin, etc.), *IOTA* en tant que type-shifteur permet de convertir un NP nu en une expression de type e qui pourra être argument d'un verbe.</footnote>
afin d'obtenir des DP définis de type e qui se combinent directement avec des verbes de
type ⟨e, t⟩ ou ⟨e, ⟨e, t⟩⟩. Mais attention, il ne s'agit pas d'un déterminant équivalent à ce
que nous avons vu en §6.3.2 et §6.5.1 où les déterminants sont de type ⟨⟨e, t⟩, ⟨⟨e, t⟩, t⟩⟩
et produisent des quantificateurs généralisés.

Comme LOWER, IOTA dénote une fonction partielle (cf. 1x dans (147)) qui ne retourne
un résultat que si son argument est un singleton. Cependant il est possible d'envisager
d'autres opérations moins restreintes qui produisent un individu à partir d'un ensemble.

En particulier, à partir d'un ensemble quelconque (mais non vide) il est toujours pos-
sible d'extraire un de ses éléments « au hasard ». Celui-ci apparaîtra alors comme un
représentant du contenu de l'ensemble. Une fonction qui effectue cette opération s'ap-
pelle une FONCTION DE CHOIX. Et il se trouve que l'utilisation de cet outil formel a été
introduite en sémantique, notamment par Reinhart (1997) et Winter (1997), pour traduire
les indéfinis et rendre compte des phénomènes de portées exceptionnelles qu'ils mani-
festent.

Même si traditionnellement les fonctions de choix ne sont pas manipulées comme des
type-shifteurs proprement dits, je les présente ici car elles ont un fonctionnement très
proche, du fait qu'elles nous conduisent du type ⟨e, t⟩ au type e de façon relativement na-
turelle. Par exemple, si *f* de type ⟨⟨e, t⟩, e⟩ dénote une fonction de choix, alors *f*(*enfant*)
dénotera un certain enfant. De cette façon, nous obtenons une traduction de type e pour
un indéfini comme *un enfant*, et nous pouvons écrire directement **dormir**(*f*(*enfant*)).
Évidemment il ne suffit pas d'être de type ⟨⟨e, t⟩, e⟩ pour être une fonction de choix :
comme *f*(*P*) dénote un élément de la dénotation de *P*, alors par définition toute fonction
de choix *f* doit nécessairement satisfaire la formule *P*(*f*(*P*)) pour tout prédicat *P*. Et pour
chaque prédicat, une fonction de choix donnée choisit toujours le même élément ; ce qui
veut dire qu'il existe potentiellement une infinité de fonctions de choix différentes (afin
que tout élément de tout ensemble puisse être choisi). C'est pourquoi les fonctions de
choix sont généralement manipulées sous formes de variables, et pour obtenir les condi-
tions de vérité correctes de (148a), il est nécessaire ensuite de quantifier existentiellement
la fonction comme en (148b) :

(148) a. Un enfant dort.

b. ∃f dormir(f(enfant))<fnref n="94" />

L'analyse compositionnelle des indéfinis au moyen de fonctions de choix n'est donc
pas complètement élémentaire. Elle prévoit de traduire le déterminant indéfini par (149)
où *f* est une variable localement libre de fonction de choix, mais cette variable doit en-
suite être liée par ∃*f*. La question cruciale est alors de savoir comment et surtout où pla-
cer cette quantification existentielle ; elle n'a pas vraiment de réponse simple et consen-
suelle, et cela fait partie des doutes et critiques généralement adressés à cette approche,
qui, si elle a des vertus, ne semble pas en mesure de faire complètement l'unanimité dans
le domaine.

<footnote n="94">⁹⁴ Cette formule se glose par : il existe une façon de choisir un individu de la dénotation de *enfant* telle que cet individu dort. Remarquons en revanche que si l'indéfini a une lecture spécifique, alors *f* peut rester libre, dans une approche qui n'est pas très éloignée de ce que nous proposions en 3.2.2.</footnote>
$$
(149) \quad \mathit{un} \rightsquigarrow \lambda P[f(P)]
$$

Les fonctions de choix sont en fait un outil formel qui permet de manipuler l'axiome
du choix introduit en mathématiques par le logicien E. Zermelo. Cet axiome dit que pour
toute collection d'ensembles non vides, il est toujours possible d'accéder à un élément
quelconque de chacun de ces ensembles. Il existe un autre moyen que les fonctions de
choix d'user de cet axiome dans un langage formel, par l'intermédiaire de l'opérateur
ε (epsilon) défini par le mathématicien D. Hilbert. Pour dire les choses sommairement,
ε est aux indéfinis ce que t est aux descriptions définies : si φ est de type t et v une
variable de type e, εvφ est une expression de type e et elle dénote un élément x de A,
quelconque mais tel que [[φ]]<sup>M,w,g[v/x]</sup> = 1. Ainsi, c'est une sorte d'opérateur de « tirage
aléatoire ». Là encore, ε n'est pas en soi un type-shifteur, mais λPεx[P(x)] nous fait
passer du type ⟨e, t⟩ au type e d'une façon qui correspond à ce que fait le déterminant un.
C'est notamment l'approche défendue par von Heusinger (2000) pour rendre compte des
propriétés référentielles particulières des indéfinis. L'opérateur ε n'est pas confronté au
problème de la quantification existentielle des fonctions de choix, mais les deux doivent
faire face au problème des ensembles vides : mathématiquement, si P dénote l'ensemble
vide, alors f(P) et εx[P(x)] ne sont pas définis, mais sémantiquement ces expressions
doivent dénoter un élément de A pour que les formules qui les incluent puissent avoir
une valeur de vérité. De plus, cet élément doit avoir la particularité de n'appartenir à
aucun sous-ensemble de A, ou du moins de ne satisfaire aucun prédicat de LO dans
aucun monde possible (ce qui est un véritable paradoxe mathématique). Ce n'est pas un
problème entièrement insurmontable, mais qui demande des aménagements ad hoc pour
garantir le bon fonctionnement formel des f et ε en sémantique<sup>95</sup>.

De ⟨e,t⟩ à ⟨⟨e,t⟩,t⟩ Cela fait un bon moment dans ces pages que nous produisons com-
positionnellement des expressions de type ⟨⟨e,t⟩,t⟩ à partir d'expressions de type ⟨e,t⟩ :
par l'utilisation de déterminants de type ⟨⟨e,t⟩,⟨⟨e,t⟩,t⟩⟩ pour former des DP (quanti-
ficateurs généralisés) à partir de NP. Les déterminants ne sont bien sûr pas des type-
shifteurs, mais nous pouvons nous en inspirer et c'est ce que fait Partee en proposant le
type-shifteur A dont la définition n'est autre que celle du déterminant indéfini un.

$$
(150) \quad A = \lambda Q \lambda P \exists x [[Q(x)] \wedge [P(x)]] = \mathbf{Un} \qquad \text{type } \langle\langle e, t \rangle, \langle\langle e, t \rangle, t \rangle\rangle
$$

A fait double emploi avec notre déterminant, mais il peut être utile en tant que type-
shifteur dans les langues qui ne réalisent pas l'article indéfini.

À partir du déterminant défini singulier, Partee propose également le type-shifteur
**THE** avec la définition suivante :

$$
(151) \quad \mathbf{THE} = \lambda Q \lambda P \exists x [ \forall y [[Q(y)] \leftrightarrow y = x] \wedge [P(x)]] \quad \text{type } \langle\langle e, t \rangle, \langle\langle e, t \rangle, t \rangle\rangle
$$

Je conserve ici l'appellation originale **THE** de Partee pour éviter toute confusion avec
le déterminant **Le** défini en (97) p. 387. Car les deux ne sont pas équivalents. En fait

<footnote n="95"><sup>95</sup> Winter (1997) traite ce problème pour les fonctions de choix en leur attribuant le type ⟨⟨e, t⟩, ⟨⟨e, t⟩, t⟩⟩ et non ⟨⟨e, t⟩, e⟩.</footnote>
THE encode l'analyse de Russell que nous avons vue au chapitre 3 (§3.3.4.1). Si dans
le monde d'évaluation il n'existe pas de pape (ou s'il y en a plusieurs), alors Le(pape),
équivalent à λP[P(ιx pape(x))), ne sera pas défini ; en revanche THE(pape), équivalent
à λP∃x[∀y[pape(y) ↔ y = x] ∧ P(x)] sera toujours défini et dénotera en l'occurrence
la fonction qui renvoie toujours 0 quelle que soit la propriété extensionnelle donnée en
argument – en termes ensemblistes, c'est l'ensemble vide. Autrement dit THE ne pré-
suppose pas la condition d'existence et d'unicité des définis, il l'affirme. Il a donc né-
cessairement un usage différent de Le, et cet usage correspond précisément aux cas où
des DP définis s'avèrent ne pas ne déclencher leurs présuppositions habituelles. Or c'est
possiblement ce qui se passe dans les exemples (152) :

(152) a. Je suis le roi de France.

b. Alphonse a rencontré la femme de sa vie.

c. L'élève qui résoudra tous les problèmes du devoir en moins d'une heure aura un point supplémentaire.

Notons que pour toute expression $\alpha$ de type $\langle e, t \rangle$, $Le(\alpha)$ équivaut à $LIFT(IOTA(\alpha))$; dans le système des type-shifteurs Le devient donc superflu puisque l'on commence toujours par assigner à une expression sa traduction la plus simple. Nous avons donc quatre possibilités pour traduire un DP défini : $IOTA(\alpha)$ la traduction de base (présuppositionnelle), $LIFT(IOTA(\alpha))$ la version quantificateur généralisé, $IDENT(IOTA(\alpha))$ pour l'emploi prédicatif et $THE(\alpha)$ pour le quantificateur généralisé non présuppositionnel.

De $\langle\langle e,t \rangle,t \rangle$ à $\langle e,t \rangle$ Le dernier changement de type qui complète notre parcours fait passer d'un ensemble d'ensembles d'individus à un ensemble d'individus. Pour ce faire nous pourrions utiliser une fonction de choix de type $\langle\langle\langle e, t \rangle, t \rangle, \langle e, t \rangle\rangle$ qui extrait arbitrairement un de ces ensembles, mais pour le coup ce n'est pas très utile et il est plus intéressant de chercher à produire un ensemble plus remarquable par rapport à l'ensemble d'ensembles de départ. C'est ce que fait le type-shifteur que Partee appelle BE et qui se trouve être équivalent à la traduction transitive du verbe être que nous avons vue 6.3.3 (p. 366) :

$$
(153) \quad BE = \lambda Y \lambda x [Y(\lambda y [y = x])] \qquad \text{type } \langle\langle\langle e, t \rangle, t \rangle, \langle e, t \rangle\rangle
$$

Pour bien comprendre ce que fait BE en tant que type-shifteur, prenons le temps de
le décomposer un peu informellement. Nous l'avons déjà vu, λy[y = x] dénote le sin-
gleton qui contient la dénotation de x, ce que, pour simplifier, nous noterons ici {x}. Y
étant une variable de quantificateur généralisé (donc d'ensemble d'ensembles), la condi-
tion [Y(λy[y = x])] vérifie que le singleton {x} appartient à Y. Enfin λx[Y(λy[y = x])] construit l'ensemble de tous les x qui sont l'élément d'un singleton contenu dans Y. Dit autrement, BE prend en argument un ensemble d'ensembles Y, cherche dans Y tous ses singletons, extrait l'élément de chacun de ces singletons et range tous ces éléments dans un ensemble, qui est le résultat de la fonction.

De la sorte, BE dénote une fonction totale, elle donnera toujours un résultat, mais
pour certains quantificateurs ce résultat sera trivialisé à l'ensemble vide. Pour illustrer
## 6 Interface syntaxe-sémantique

cela, regardons d'abord l'application de **BE** sur le quantificateur indéfini **un enfant** (i.e. **Un(enfant)** ou $\lambda P \exists u [enfant(u) \land [P(u)]]$). La dénotation de ce quantificateur contient tous les ensembles qui contiennent au moins un enfant ; parmi ceux-ci il y a donc tous les singletons composés d'un enfant (pour chaque enfant). L'application de **BE** peut ain- si rassembler tous ces enfants et l'ensemble résultant est donc la même chose que la dénotation du prédicat **enfant** (l'ensemble de tous les enfants).

$$ 
\begin{align*}
(154) \quad [BE(\lambda P \exists u [enfant(u) \land [P(u)]])] \\
&= [\lambda Y \lambda x [Y(\lambda y [y = x])](\lambda P \exists u [enfant(u) \land [P(u)]])] \\
&= \lambda x \exists u [enfant(u) \land u = x] = \lambda x \text{ enfant}(x)
\end{align*}
$$

Examinons maintenant l'application de **BE** sur le quantificateur universel **tous les enfants** (i.e. **Tous(enfant)** ou $\lambda P \forall u [enfant(u) \to [P(u)]]$). Ce quantificateur dénote l'ensemble de tous les ensembles qui contiennent **tous** les enfants. Le plus petit de ces ensembles est donc celui contient tous les enfants du monde d'évaluation et rien d'autres (la dénotation de **enfant**), et s'il y a plusieurs enfants dans ce monde, cet ensemble n'est pas un singleton. Autrement dit, **BE** ne trouvera aucun singleton dans le quantificateur et retournera donc l'ensemble vide.

$$ 
\begin{align*}
(155) \quad [BE(\lambda P \forall u [enfant(u) \to [P(u)]])] \\
&= [\lambda Y \lambda x [Y(\lambda y [y = x])](\lambda P \forall u [enfant(u) \to [P(u)]])] \\
&= \lambda x \forall u [enfant(u) \to u = x] \quad (\text{i.e. tous les enfants sont le même individu x})
\end{align*}
$$

Ces résultats semblent se confirmer par l'analyse que Partee propose pour les quantificateurs en position de complément de la copule. Rappelons que selon cette approche, être se traduit toujours par $\lambda P \lambda x [P(x)]$ de type $\langle\langle e, t \rangle\rangle$, $\langle e, t \rangle\rangle$. Les quantificateurs doivent alors être ramenés au type $\langle e, t \rangle$ par *type-shifting* avec **BE**. Or en français, les quantificateurs pour lesquels **BE** renvoie l'ensemble vide s'avèrent sémantiquement (et probablement syntaxiquement) inappropriés dans cette position :

(156) a. Alice est une enfant.

b. \#Alice est tous les enfants.

c. \#Les filles sont tous les élèves de la classe.

Notons aussi que, si le prédicat **rdf** traduit *roi de France*, alors **BE** appliqué au quantificateur généralisé **THE(rdf)** renverra un singleton (s'il y a un roi de France) ou l'ensemble vide (s'il n'y en a pas – ou éventuellement s'il y en a plusieurs) et le défini *le roi de France* traduit par **BE(THE(rdf))** pourra ainsi être employé avec la copule sans effet présuppositionnel. Cela permet de dire (au moins dans certains cas) que (152a) est fausse.

La figure 6.12 rassemble graphiquement les opérations de *type-shifting* du domaine nominal dans le fameux « triangle de Partee » (les flèches en pointillés représentent les fonctions partielles). Nous verrons d'autres conversions encore entre e et $\langle e, t \rangle$ au chapitre 10 (vol. 2).

Le *type-shifting* formalise la flexibilité des types, c'est-à-dire cette capacité adaptative des expressions sémantiques dans leur composition avec leur environnement linguis-
<figure><img src="image_105.png" /><figcaption>FIG. 6.12 : Le triangle de Partee</figcaption></figure>

tique. La construction du sens des phrases est cruciallement guidée par la syntaxe, mais par ailleurs, les propriétés sémantiques compositionnelles des expressions ne se reflètent pas entièrement dans leurs propriétés syntaxiques distributionnelles telles qu'elles sont incarnées dans les catégories syntagmatiques : les DP ne changent pas de catégories mais ils peuvent changer de types justement parce que la syntaxe impose des configurations qui engendrent des conflits combinatoires dans la sémantique<fnref n="96" />. La discussion précédente (§6.6.2) sur les V transitifs intensionnels semble montrer que le *type-shifting* est indispensable dans le processus d'analyse. Et cela jette un nouvel éclairage sur le problème du typage des V transitifs et de l'obligation d'appliquer *QR* même pour les portées de surface (cf. §6.4.3). Nous avons vu ci-dessus comment un verbe lexicalement de type ⟨e, ⟨e, t⟩⟩ peut passer au type ⟨⟨⟨e, t⟩, t⟩, ⟨e, t⟩⟩ si son complément est un quantificateur généralisé. Le *type-shifting* a même pu être exploité, par Hendriks (1993), pour régler les ambiguïtés et inversions de portée sans mettre en œuvre du mouvement de LF<fnref n="97" />. Dans les chapitres suivants, nous ferons usage de l'outil du *type-shifting* quand cela sera nécessaire, mais, autant que possible, avec parcimonie. Car il y a encore d'intéressants travaux à mener pour savoir ce qui peut légitimement compter comme un type-shifteur en sémantique, et nous garderons en mémoire qu'il s'agit d'une opération de dernier recours, contrôlée formellement dans le système de l'interface syntaxe-sémantique, sans tour de magie commode qui permettrait de débloquer n'importe quel échec de composition.

<footnote n="96">⁹⁶ Outre DP et NP, on peut voir se multiplier les projections syntaxiques pour analyser les groupes nominaux, comme QP, NumP, DemP, etc. Cela peut éventuellement raffiner la correspondance entre catégories syntaxiques et types sémantiques, mais il ne s'agit pas de flexibilité au sens où nous l'entendons ici.</footnote>

<footnote n="97">⁹⁷ En gros, l'idée développée par Hendriks, est que, par exemple, appliqué à un V de type ⟨e, ⟨e, t⟩⟩, le type-shifteur $\lambda V \lambda Y \lambda X [Y(\lambda y[X(\lambda x[[V(y)(x)])]])]$ produit un prédicat de type ⟨⟨⟨e, t⟩, t⟩, ⟨⟨⟨e, t⟩, t⟩⟩⟩ qui se combine avec deux quantificateurs généralisés en inversant leurs portées.</footnote>
# 6 Interface syntaxe-sémantique

## Exercice 6.10

Démontrez que $\text{LOWER}(\lambda P[P(a)])$ équivaut à $a$.

Calculez $\text{LOWER}(\lambda P\forall x[\text{enfant}(x) \rightarrow [P(x)]])$ et $\text{LOWER}(\lambda P\exists x[\text{enfant}(x) \land [P(x)]])$, et décrivez la dénotation des résultats obtenus.

## Exercice 6.11

Calculez $\text{BE}(\text{Deux}(\text{ENFANT}))$ et décrivez la dénotation du résultat obtenu.

## Exercice 6.12

Supposons que $f(\text{enfant})$, où $f$ est une variable de fonction de choix, soit la traduction de base que la grammaire attribue à l'indéfini *un enfant*. Quel serait alors le $\lambda$-terme de LO, utilisant donc $f(\text{enfant})$, qui nous donnerait la même dénotation que le quantificateur généralisé $\text{Un}(\text{enfant})$ ? En quoi ce passage de la première traduction à la seconde n'est pas, techniquement, un *type-shifting* ?

## 6.7 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons vu de nombreuses applications du $\lambda$-calcul pour l'analyse sémantique compositionnelle, c'est-à-dire au niveau de l'interface syntaxe-sémantique. Cela nous a donné l'occasion de constater que les compositions sémantiques ne se font pas uniquement par application fonctionnelle entre des prédicats et des arguments ; pour mener à bien la construction du sens de certaines phrases, des dispositifs supplémentaires sont nécessaires, comme les mouvements (ou leurs équivalents qui diffèrent l'interprétation de certains constituants), l'application fonctionnelle intensionnelle, le polymorphisme, le *type-shifting*. Ces dispositifs sont, en partie, tributaires de la syntaxe, ce qui est normal puisque l'interprétation des phrases est conditionnée par leurs structures formelles. Et nous avons montré comment ils peuvent se formaliser rigoureusement dans le cadre du $\lambda$-calcul.

Il existe d'autres mécanismes formels qui peuvent être mis en œuvre dans la composition sémantique<fnref n="98" /> et parmi ceux-ci il y en a un que nous avons entr'aperçu sans vraiment l'aborder frontalement dans nos formalisations. Il s'agit de ce que, pour faire simple, j'appellerai ici le phénomène de *coréférence* et qui se manifeste lorsque, dans l'analyse de certaines constructions, nous constatons que plusieurs éléments de traductions doivent non seulement être identiques mais aussi avoir la même valeur sémantique. C'est typiquement ce qui se produit lorsque nous interprétons une expression pronominale en relation avec son antécédent. Il faut bien savoir que le rôle de la sémantique compositionnelle n'est pas de trouver (i.e. résoudre) « le bon antécédent » d'un pronom<fnref n="99" />, pas plus qu'elle n'a à lever (toutes) les ambiguïtés. En revanche, ce qui concerne la sémantique c'est, *sous l'hypothèse* qu'un constituant X est l'antécédent d'un constituant (pronominal) Y, de déterminer la traduction correcte de Y. C'est un problème qui se situe au cœur

<footnote n="98">⁹⁸ En rapport avec des problématiques de sémantique lexicale, citons les mécanismes de *co-composition* et de *coercion* (ou *coercition*) de types de Pustejovsky (1995) ; voir aussi Asher (2011) et de Swart (2011) à ce sujet.</footnote>

<footnote n="99">⁹⁹ Sur cette question, la sémantique et la syntaxe ont, en fait, la tâche d'indiquer les expressions qui, dans une configuration donnée, ne peuvent en aucune manière être l'antécédent d'un pronom donné. En repérant les antécédents impossibles, elles caractérisent ainsi l'ensemble des antécédents *possibles*.</footnote>
de l'interface syntaxe-sémantique, ne serait-ce que parce que nous représentons ce genre d'hypothèses au moyen des indices numériques dans les structures syntaxiques, par des *coindiciations*, comme dans *Alice*₁ pense qu'elle₁ a raison. Dans ce chapitre, nous avons essentiellement utilisé les coindiciations pour interpréter les mouvements et les traces, mais nous n'avons pas complètement exploité toutes les applications de ce dispositif. Comme il joue un rôle important pour le traitement de la coréférence et donc pour l'analyse des pronoms, nous l'aborderons en détail dans le chapitre 8 (vol. 2). Et il se trouve que le mécanisme sémantique qui interprète les coindiciations occupe également une place centrale dans l'interface syntaxe-sémantique basée sur LO₂. Je souhaiterais donc terminer ici en faisant quelques remarques sur l'analyse compositionnelle dans LO₂ (que nous avons laissé de côté dans ce chapitre en travaillant seulement dans LO) et qui nous donneront l'occasion d'annoncer pourquoi un nouveau type de coréférence (et donc de coindiciation) doit être utilisé.

Les procédures d'analyses qui ont été présentées dans ce chapitre peuvent être reprises telles quelles pour mener les analyses sémantiques dans LO₂. Toutes sauf, en fait, l'application fonctionnelle intensionnelle, qui doit être adaptée aux spécificités formelles de LO₂. Ce point en rejoint un autre, plus général, qui concerne la gestion des arguments de mondes possibles lors de l'analyse. Si nous voulons obtenir compositionnellement la traduction (157b) de (157a), deux questions se posent : comment les variables de mondes sont introduites dans la traduction et lesquelles choisir ?

(157) a. Tous les enfants dorment.

b. $\forall x[enfant'_{w}(x) \rightarrow dormir'_{w}(x)]$

Une stratégie simple peut consister à répliquer directement ce que nous avons vu dans ce chapitre en l'adaptant à LO₂. Comme les compositions sémantiques dans LO ne se sufficient pas vraiment de l'indice de monde avec lequel interpréter la phrase, cela voudra dire que dans LO₂ nous utiliserons toujours la même variable w, qui de fait est une variable quelconque et habituellement libre. Et de temps en temps cette variable se retrouvera liée lors de la composition, précisément par l'action de l'AFI. Dans LO, AFI ajoute ^ sur l'argument d'un λ-terme ; dans LO₂, elle va consister à ajouter la λ-abstraction d'une variable de monde sur cet argument, et comme nous travaillons toujours avec la même variable w, nous savons que cette λ-abstraction sera λw. Par la suite, nous pourrons accessoirement renommer les occurrences ainsi liées de cette variable (cf. théorème 2.3 p. 100), juste pour faciliter la lisibilité des formules construites. Cette stratégie peut suggérer une façon, également simple, de traiter la première question, en introduisant les arguments w en même temps que les prédicats auxquels ils s'appliquent dès le niveau des projections lexicales dans l'arbre syntaxique. En pratique, cela voudra dire que les unités *enfants* et *dorment* se traduisent toujours respectivement par $\lambda x enfant'_{w}(x)$ et $\lambda x dormir'_{w}(x)$ : comme nous utilisons toujours le même w, nous n'avons pas vraiment à nous poser la question de son choix. Et nous voyons que ces unités lexicales sont déjà de type $\langle e, t \rangle$ (et pas de type $\langle s, \langle e, t \rangle \rangle$ comme les prédicats *enfant’* et *dormir’*) puisqu'elles sont déjà saturées par leur argument de monde. La dérivation de (157) peut alors procéder exactement de la même façon que ce que nous avons vu pour LO dans ce chapitre.
6 *Interface syntaxe-sémantique*

Pour illustrer plus précisément le processus d'analyse spécifique à LO₂, avec inter-
vention de l'AFI, nous allons reprendre la dérivation de l'exemple *Charles croit qu'Alice
dort*. D'après ce qui est dit ci-dessus, la règle d'interface pour l'AFI pourra se formaliser
comme suit :

(158) AFI dans LO₂

<figure><img src="image_106.png" /></figure>

La dérivation de (159a) est donnée dans l'arbre (159b), où les prédicats sont dès le
départ saturés par *w* (pour simplifier, les noms propres sont traduits directement par des
constantes de type e comme suggéré en §5.4.3). Comme dans LO, *que* se traduit par *λp p*
de type 〈⟨s, t⟩, ⟨s, t⟩〉 pour déclencher l'AFI<fnref n="100" />. Au niveau du VP supérieur, nous avons
renommé la variable liée par *λw* pour plus de clarté (mais c'était facultatif).

(159) a. Charles croit qu'Alice dort.

b. TP croire'w(c, λw₁ dormir'w₁(a))

<figure><img src="image_107.png" /></figure>

<figure><img src="image_108.png" /></figure>

<figure><img src="image_109.png" /></figure>

Comme dit précédemment, cette stratégie est simple, mais elle l'est finalement trop.
D'abord nous pouvons facilement nous rendre compte qu'utiliser une seule et même
variable *w* nous empêchera d'obtenir directement la traduction de la lecture *de re* de
(160) que nous avions proposée au chapitre 5 §5.4.

(160) a. Œdipe voulait épouser sa mère.

b. vouloir'w (œ, λw₁ épouser'w₁ (œ, 1x mère'w₁ (x, œ)))

(de dicto)

c. vouloir'_w (œ, λw₁ épouser'_w (œ, 1x mère'_w (x, œ)))

(de re)

Dans (160b), la variable w₁ ne provient que d'un renommage a posteriori de va-
riables liées (la formule équivaut à vouloir'<sub>w</sub>(œ, λw épouser'<sub>w</sub>(œ, 1x mère'<sub>w</sub>(x, œ))). Mais
ce n'est pas le cas de (160c) où l'occurrence de w sur mère' est dans la portée de λw₁ mais
celui-ci ne doit surtout pas la lier. Autrement dit, au cours de l'analyse, avant d'opérer

<footnote n="100">¹⁰⁰ *Que* ne peut pas se traduire par λφλwφ de type ⟨t, ⟨s, t⟩⟩, pour les mêmes raisons que celles données en
§6.2.4.</footnote>
l'AFI, nous devrons obtenir épouser'$_w$₁ (œ, 1x mère'$_w$ (x, œ)), c'est-à-dire avec deux argu-
ments de mondes formellement distincts.

Nous pourrions nous débarrasser hâtivement de cette complication en estimant
que la lecture *de re* s'obtient en fait par montée du DP concerné (par *quantifying-in* ou *QR*): ainsi le quantificateur généralisé $\lambda P[P(1x mère'_{w}(x, œ))]$ serait interpré-
té en dehors de la portée de la $\lambda$-abstraction introduite par AFI, ce qui donnerait
$[\lambda P[P(1x mère'_{w}(x, œ))](\lambda x_{1} \text{vouloir}'_{w}(œ, \lambda w \text{ épouser}'_{w}(œ, x_{1})))]$ n'utilisant qu'une seule
variable $w$ mais équivalant à (160c). Cependant il y a tout lieu de penser que cette op-
tion est fautive. D'abord parce qu'il n'y a pas vraiment de raison que les DP référentiels
soient sujet à la montée des quantificateurs. En outre, analyser ces lectures *de re* par
montée des DP impliquerait des instances tout à fait exceptionnelles de *QR* envoyant les
quantificateurs à l'extérieur de leur proposition syntaxique d'origine. Nous avons vu au
chapitre 3 que cette possibilité était (éventuellement) une singularité des indéfinis mais
pas des DP quantificationnels. C'est en fait une contrainte fondamentale de l'interface
syntaxe-sémantique : il n'est pas permis d'opérer *QR* au delà d'un CP correspondant à
une proposition finie<fnref n="101" />. Le problème ne se pose pas vraiment pour (160) (où la subordon-
née est infinitive), mais il est déterminant pour l'exemple qui faisait l'objet de l'exercice
4.10 du chapitre 4 repris ici en (161).

(161) Paul a cru [CP que tous les hommes étaient des femmes].

La montée de tous les hommes hors du CP n’est pas autorisée ici. Si c’était le cas, alors cela se produirait aussi dans les exemples (162) et nous pourrions avoir parfois une portée maximale de tous les hommes faisant ainsi covarier un invité. Mais une telle interprétation n’est jamais disponible.

(162) a. Un invité a cru [CP que tous les hommes étaient des femmes].

b. Paul a raconté à un invité [CP que tous les hommes étaient des femmes].

Par conséquent la lecture *de re* des DP référentiels et quantificationnels ne peut pas
s'expliquer par *QR*, et nous devons forcément produire des formules comme (160c) et
(163) (sans déplacer les DP).

(163) croire'_{w}(p, \lambda w_{1} \forall x [homme'_{w}(x) \rightarrow femme'_{w_{1}}(x)])

Autrement dit nous devons pouvoir manipuler différentes variables de type s dans l'in-
terface et donc, pour en revenir à notre point de départ, la stratégie qui vise à utiliser
partout la même variable trouve ici ses limites. De surcroît, cela implique que LO₂ a véri-
tablement un avantage expressif sur LO (puisque LO équivaut à l'utilisation de LO₂ avec
une seule variable de type s).

D'ailleurs notons aussi que cela aurait été un peu étrange de traduire les unités
lexicales immédiatement par des prédicats saturés pour leur argument de monde. LO₂

<footnote n="101">¹⁰¹ C'est-à-dire dont le verbe est conjugué. Notons aussi que selon cette contrainte, les portées exceptionnelles des indéfinis doivent alors s'expliquer par d'autres mécanismes ; c'est ce qui a motivé l'usage des fonctions de choix, entre autres.</footnote>
nous offre la possibilité de manipuler des intensions et il serait assez naturel de penser que le lexique nous livre des traductions qui représentent le sens des mots, comme $\lambda w\lambda x \text{ enfant}'_w(x)$ et $\lambda w\lambda x \text{ dormir}'_w(x)$ (i.e. enfant' et dormir'), plutôt que des dénotations (même relatives à un monde quelconque). Mais si nous traduisons les unités lexicales de la sorte, alors il nous faut un mécanisme qui sature les arguments de monde pendant la dérivation à l'interface syntaxe-sémantique. C'est une tâche qui est loin d'être triviale et qui a des implications non négligeables sur les analyses syntaxiques et sémantiques.

En fin de compte, nous nous retrouvons dans une situation où nous devrons introduire *compositionnellement* diverses variables de monde sachant que certaines devront être liées par des $\lambda$-abstractions, comme $w_1$ dans (163), et que d'autres devront être identiques entre elles, c'est-à-dire en relation de coréférence, comme les deux occurrences de $w$ dans (163). Ce comportement fait penser à celui des pronoms, et c'est pourquoi il peut être pertinent d'envisager le traitement des arguments de monde au moyen d'un système d'indices numériques. Nous prendrons le temps d'examiner ce mécanisme en détail dans le chapitre 8 du volume 2.
# A Corrections des exercices

## A.1 Chapitre 1

### Exercice 1.1 (p. 12)

Nous allons démontrer les réponses en appliquant la méthode des contre-exemples (§1.2.1, p 11) : pour chaque paire de phrases, nous essayons d'imaginer une situation par rapport à laquelle (a) est vraie *et* (b) est fausse.

1. La situation serait telle que la soupe est chaude *et* la soupe est froide (puisqu'il est faux qu'elle n'est pas froide). C'est contradictoire, et nous en concluons que (a) $\nvDash$ (b).

2. Ici la situation serait telle que la soupe est chaude et brûlante. C'est tout à fait possible (si la soupe est précisément brûlante) puisque quelque chose de brûlant est forcément chaud. C'est un contre-exemple, et donc (a) $\nvDash$ (b).

3. Si nous sommes dans une situation où le colonel Moutarde *n'est pas* coupable, alors on ne peut pas prouver qu'il est coupable. À la rigueur, Joseph pourrait argumenter ou soutenir (par erreur ou malhonnêteté) que le colonel est coupable, mais objectivement nous n'aurons pas le droit de dire qu'il a prouvé la culpabilité. Par conséquent (a) $\nvDash$ (b).

4. Ici il faut être vigilant : une situation où (b) est fausse (il est faux que des étudiants n'ont pas eu la moyenne au partiel) est telle que tous les étudiants ont eu la moyenne. Dans une telle situation, (a) peut-elle être vraie ? Oui, nécessairement, car si (a) était fausse cela voudrait dire qu'aucun étudiant n'a eu la moyenne (ce qui serait contradictoire avec la première hypothèse). Nous pouvons avoir une situation où (a) est vraie et (b) fausse, et donc (a) $\nvDash$ (b).

NB : le fait que nous comprenons souvent (a) comme s'accompagnant aussi de la vérité de (b) ne relève pas de la conséquence logique mais d'une implicature conversationnelle (cf. §1.3.2).

### Exercice 1.2 (p. 13)

La méthode consiste à appliquer la définition 1.3 et son corollaire donnés à la p. 13 en cherchant un contre-exemple à l'équivalence, c'est-à-dire un scénario par rapport auquel on pourra juger que l'une des deux phrases est vraie et l'autre fausse. Si nous y arrivons, alors c'est que les deux phrases ne sont pas équivalentes ; sinon nous concluons qu'elles le sont probablement. Il faut noter qu'en toute rigueur, cette conclusion ne peut être que provisoire<fnref n="1" />, car si nous ne trouvons pas de contre-exemple, cela ne veut pas nécessairement dire qu'il n'en existe pas, mais simplement que nous n'avons peut-être pas assez cherché ou pas encore trouvé.

<footnote n="1">¹ Comme toute conclusion scientifique sérieuse.</footnote>
(4) a. Anne a acheté une lampe au brocanteur.

b. Le brocanteur a vendu une lampe à Anne.

Peut-on imaginer un scénario où la phrase (a) est vraie et (b) fausse ? Une piste serait d'envisager qu'Anne a effectué l'achat mais que le brocanteur, lui, n'a rien fait dans l'histoire. Par exemple, si Anne a acheté la lampe sur internet via un site de vente par correspondance... Mais pour autant, même dans ce cas, peut-on vraiment dire que (b) est fausse ? Si, un peu plus tard, le brocanteur consulte son compte sur le site, constatant la transaction, il pourrait dire : « Ah super, aujourd'hui j'ai vendu une lampe ». Si l'on accepte cette possibilité, alors on n'aura pas prouvé qu'il s'agit là d'un contre-exemple. Inversement, pour avoir (b) vraie et (a) fausse, il faudrait s'orienter vers un scénario où Anne n'a rien fait ou éventuellement qu'elle ne s'est pas rendu compte que l'achat a eu lieu. Mais là aussi, on imagine mal comment le brocanteur aura réussi à vendre la lampe ou comment l'opération ne pourra pas être qualifiée d'achat en ce qui concerne Anne. À ce stade, nous conclurons (au moins provisoirement) que ces phrases semblent bien équivalentes, tout en retenant que les suggestions évoquées ci-dessus indiquent des directions vers lesquelles poursuivre et approfondir la question.

(5) a. La glace fond à 0 °C.

b. La température de fusion de l'eau est de 0 °C.

Notons d'abord que des physiciens relèveront sans doute que ces deux phrases peuvent être fausses en même temps car elles ne disent rien des conditions de pression ambiante. Mais d'un point de vue sémantique, cela ne nous concerne guère : nous avons seulement à supposer la vérité et la fausseté de l'une et l'autre phrase. En procédant de la sorte, une situation où (a) est jugée vraie rend également (b) vraie. De même, inversement, en partant d'une situation où (b) est vraie, car une telle situation n'est pas seulement un cas où la science établit une certaine propriété de l'eau, c'est aussi un cas où cette propriété est définitivement vérifiée dans la réalité. Ce qui perturbe l'exercice, en revanche, c'est que les phrases sont polysémiques (cf. p. 19) : *glace* peut désigner diverses choses (de l'eau ou un autre liquide à l'état solide, une crème glacée, un miroir...), les phrases peuvent chacune référer à des matériaux en général ou à des entités particulières observées dans le contexte (un certain bloc de glace, une certaine quantité d'eau), etc. Tant que ces acceptions ne sont pas fixées, il faudra conclure leur variabilité de sens empêche les phrases d'être équivalentes. Elles ne pourront l'être que sous certaines hypothèses qui les désambiguïsent.

(6) a. Tous les étudiants ont eu la moyenne à l'examen.

b. Aucun étudiant n'a été recalé à l'examen.

Supposons une situation où les règles d'évaluation de l'examen en question stipulent qu'il faut une note supérieure ou égale à 12/20 pour être admis. Et supposons de plus que tous les étudiants ont eu une note supérieure à 10/20 mais que certains ont eu 11/20. Dans ce cas (a) est vraie, mais (b) est fausse. Les deux phrases ne sont donc pas logiquement équivalentes.
(7) a. Vous savez bien que l'existence précède l'essence.

b. Vous n'ignorez pas que l'existence précède l'essence.

Plaçons nous dans une situation où il est vrai que « l'existence précède l'essence » (quoi que cela veuille dire) et où (a) est fausse. Dans cette situation, l'allocutaire ne sait donc pas que l'existence précède l'essence, c'est-à-dire qu'il ignore que l'existence précède l'essence. Mais alors (b) est fausse aussi. Un raisonnement similaire peut être mené en partant d'une situation où (b) est fausse (s'il est faux que l'allocutaire n'ignore pas, c'est qu'il sait). Les deux phrases sont donc équivalentes.

Exercice 1.3 (p. 22)

En accord avec la définition 1.8 p. 20, pour chaque phrase, nous construisons un scénario par rapport auquel nous pouvons juger que la phrase est à la fois vraie et fausse (selon le sens retenu).

1. Scénario : j'ai une bouteille d'eau minérale en plastique, initialement vide ; je l'ai remplie de limonade. La phrase est vraie, car c'est bien ma bouteille d'eau que j'ai remplie. Mais elle est aussi fausse, car je ne l'ai pas remplie d'eau.

2. Scénario : Pierre, très distrait, se promène dans la rue en pyjama ; un agent de police, en uniforme, l'arrête pour lui demander la raison de cette tenue étrange. La phrase est vraie car Pierre, alors qu'il était en pyjama, s'est fait arrêter par un policier. Elle est aussi fausse car ce n'est pas un policier en pyjama qui l'a arrêté.

3. Scénario : Daniel est venu à la fête, le président aussi ; Daniel ne savait même pas que le président serait présent et il est venu parce qu'il aime les fêtes et n'en manque aucune. La phrase est vraie car ce n'est pas parce que le président était là que Daniel est venu. Elle est fausse parce que Daniel est venu à la fête. Les deux sens de la phrase peuvent se paraphraser en : i) la raison pour laquelle Daniel est venu n'est pas que le président était là ; ii) la raison pour laquelle Daniel n'est pas venu est que le président était là.

4. Scénario : Alice est une omnivore accomplie et a un régime alimentaire varié et équilibré, mais pour ce qui est des yaourts, elle n'en mange qu'au chocolat. La phrase est vraie car les seuls yaourts qu'Alice mange sont au chocolat, et elle est fausse car Alice ne se nourrit pas exclusivement de yaourts au chocolat.

5. Scénario : Kevin aime bien dessiner, et en particulier il aime faire le portrait des gens qui sont plutôt beaux (ils ne dessine jamais les gens qu'il trouve moches) ; mais il a un mauvais coup de crayon et ses dessins enlaidissent toujours les sujets. La phrase est vraie car, les gens qu'il dessine, il les dessine moches. Et elle est fausse car il ne dessine pas les gens qui sont moches. Les deux sens se paraphrasent ainsi : i) si Kevin dessine quelqu'un, il le dessine moche ; ii) si quelqu'un est moche, Kevin le dessine.

Exercice 1.4 (p. 22)

La phrase ce bijou n'est pas une bague en or n'est pas ambiguë, elle a juste une signification assez large pour couvrir les cas où le bijou n'est pas une bague et ceux où il n'est pas en or. Pour nous en assurer, nous pouvons ici appliquer le test des ellipses vu dans le chapitre p. 22. Supposons qu'un premier bijou $B_1$ est une bague en argent et qu'un second bijou $B_2$ est un bracelet en or ; nous pouvons alors tout à fait énoncer ce bijou $B_1$ n'est pas une bague en or, et ce bijou $B_2$ non plus.
Exercice 1.5 (p. 33)

La méthode la plus simple pour trouver les projections d'une phrase *P* est de la comparer avec sa forme négative en *il est faux que* *P*, comme ce que nous avons vu avec les exemples (31)–(34) en §1.3.1.1, p. 24.

1. Projection : Pierre n'est pas venu.

2. Projection : Quelqu'un d'autre qu'Hélène fait de la linguistique.

3. Projection : Hélène fait autre chose que de la linguistique.

4. Projection : Marianne fumait avant.

5. Projection : Le téléphone a sonné.

6. Projection : Laurence a pris une salade (c'est-à-dire la phrase sans *seulement* ; remarquons que dans cette phrase, le contenu proféré est : Laurence n'a rien pris d'autre qu'une salade).

7. Projection : Antoine a été barbu.

8. Projections : Jean a essayé d'intégrer l'ENA (c'est-à-dire il s'est présenté au concours d'entrée). Mais il y a une seconde présupposition déclenchée par *essayer* qui est : il n'est pas facile d'intégrer l'ENA.

9. Projection : Quelqu'un a apporté des fleurs.

10. Projection : Robert faisait partie de ceux qui avaient le moins de chances d'avoir la moyenne au partiel. Notons ici que le test de la négation s'applique un peu difficilement. Il faut bien prendre soin d'utiliser la formulation en *il est faux que*.

11. Projections : 1) Quelqu'un est le coupable (c'est-à-dire il y a un coupable) et 2) le coupable est le colonel Moutarde.

Notons que la plupart des projections de cet exercice se trouvent être des présuppositions. Pour certaines, on peut s'en assurer assez facilement en appliquant le test de redondance (§1.3.1.3, p. 29) ; pour d'autres, comme 9 et 10, le test est moins concluant, ce qui peut soulever la question de leur statut véritablement présuppositionnel. Quant à 2 et 3, le test fonctionne bien à condition d'utiliser une formulation plus précise du contexte projectif, par exemple *Lucie fait de la linguistique et Hélène aussi fait de la linguistique vs *Hélène aussi fait de la linguistique et Lucie fait de la linguistique*.*

Exercice 1.6 (p. 33)

Les résultats que nous pouvons tirer de cet exercice sont à prendre avec précaution car ils attendent des jugements sémantiques particulièrement fins, qui peuvent varier d'un locuteur à l'autre. Pour obtenir des conclusions plus assurées, il serait utile, par exemple, de mettre sur pied des expérimentations à grande échelle. Nous allons donc ici seulement nous concentrer sur la méthode sous-jacente. Celle-ci consiste, en premier lieu, à comparer les inférences que nous tirons de chaque phrase avec celles que nous tirons de leur négation. Pour ces trois phrases, les présuppositions potentielles portent sur l'existence des verchons.

1. *Il y a des verchons qui ont bourniflé.* Nous en inférons évidemment que les verchons existent.

Négation : *Il est faux qu'il y a des verchons qui ont bourniflé.* Certes, les contextes les plus naturels dans lesquels cette phrase peut être énoncée, sont ceux où l'on sait
que les verchons existent; cependant (et c'est ce qui importe ici) elle peut également
l'être dans des cas de figure où les verchons n'existent pas. En d'autres termes, si les
verchons n'existent pas, il semblera assez légitime de dire que cette phrase est vraie.
Il semble donc que l'expression *il y a des verchons* ne présuppose pas *sémantiquement*
qu'il existe des verchons (mais ça l'affirme).

2. Tous les verchons ont bourniflé. Si cette phrase est vraie, alors nous devons en inférer que les verchons existent (notamment du fait de l'emploi du passé composé).

Négation : *Il est faux que tous les verchons ont bourniflé.* Cela signifie qu'il y a au moins un verchon qui n'a pas bourniflé, et donc que les verchons existent.

Nous pouvons également nous aider du test de la redondance (§1.3.1.3, p. 29). Si nous comparons *les verchons existent et tous les verchons ont bourniflé et tous les verchons ont bourniflé et les verchons existent*, nous constatons que cette seconde phrase est particulièrement redondante.

Il est donc raisonnable de conclure que la phrase présuppose (sémantiquement) que
les verchons existent.

3. Aucun verchon n'a bourniflé. Pouvons-nous inférer de (la vérité de) cette phrase que forcément les verchons existent ? Les jugements peuvent être fluctuants, mais nous pouvons estimer que si les verchons n'existent pas, alors la phrase sera vraie (comme pour la négation de la phrase 1 ci-dessus). Si tel est bien le cas, alors il n'est pas utile d'examiner la négation de la phrase<fnref n="2" />, nous pourrons tout de suite conclure que la phrase ne présuppose pas que les verchons existent. Le test de la redondance va-t-il dans ce sens ? Les verchons existent mais aucun verchon n'a bourniflé est acceptable, comme prévu; quant à aucun verchon n'a bourniflé, mais les verchons existent nous pouvons y voir une redondance, mais elle est probablement moins saillante que dans la version avec tous les en 2.

Exercice 1.7 (p. 40)

1. Présupposition.

2. Conséquence logique.

3. Implicature conversationnelle (scalaire).

4. Contradiction.

5. Équivalence logique.

6. Implicature conversationnelle (particularisée).

A.2 Chapitre 2

Exercice 2.1 (p. 70)

L'exercice consiste à produire l'arbre de construction (cf. p. 68) de chaque séquence en appliquant les règles syntaxiques de la définition 2.8, p. 67.

1. ∃z [[connaitre(r<sub>2</sub>, z) ∧ gentil(z)] ∧ ¬dormir(z)]

<footnote n="2">² Celle-ci signifie qu'il y a des verchons qui ont bourniflé, ce qui entraîne directement l'existence des verchons.</footnote>
Cette formule est bien formée, on le montre à l'aide de son arbre de construction :

<figure><img src="image_110.png" /></figure>

2. $∃x∀y∃z [aimer(y, z) ∨ aimer(z, x)]$

Cette formule est bien formée :

<figure><img src="image_111.png" /></figure>

3. $∀xy aimer(x, y)$

Cette séquence n'est pas une formule bien formée. En effet $∀x$ peut être introduit par la règle (Syn.5), mais cette règle doit opérer sur une *formule*. Or $∀xy aimer(x, y)$ se décomposerait alors en $∀x$ et $y aimer(x, y)$ et cette seconde expression n'est pas une formule bien formée ; on ne peut pas construire $y aimer(x, y)$, aucune règle n'autorise à placer une variable seule devant une expression.

4. $¬¬aimer(r_1, m)$

Cette formule est bien formée :

<figure><img src="image_112.png" /></figure>

5. $∃x¬∃z \text{connaître}(x, z)$

Cette formule est bien formée :
<figure><img src="image_113.png" /></figure>

6. $\exists x [\text{acteur}(x) \land \text{dormir}(x) \lor \text{avoir-faim}(x)]$

Cette expression n'est pas une formule bien formée car il manque une paire de crochets dans $[\text{acteur}(x) \land \text{dormir}(x) \lor \text{avoir-faim}(x)]$. En effet les connecteurs comme $\land$ et $\lor$ sont introduits par les règles (Syn.4) et ces règles introduisent en même temps une paire de crochets pour chaque connecteur.

7. $[\text{aimer}(a, b) \to \neg \text{aimer}(a, b)]$

Cette formule est bien formée :

<figure><img src="image_114.png" /></figure>

8. $\exists y [\text{acteur}(x) \land \text{dormir}(x)]$

Cette formule est bien formée :

<figure><img src="image_115.png" /></figure>

Remarque : la variable $y$ « utilisée » par le quantificateur $\exists$ ne réapparaît pas dans la (sous-)formule qui suit, mais cela n'empêche pas l'expression d'être une formule bien formée, comme le permet la règle (Syn.5).

Exercice 2.2 (p. 70)

1. Antoine n'est plus barbu.
⇒ $\neg$barbu(a)

2. Tout est sucré ou salé.
⇒ $\forall x$[sucré(x) ∨ salé(x)]
3. Soit tout est sucré, soit tout est salé.

→ [∀x sucré(x) ∨ ∀x salé(x)]

4. Le chien qui aboie ne mord pas. (proverbe)

→ ∀x[[chien(x) ∧ aboyer(x)] → ¬mordre(x)]

ou ∃x[chien(x) → [aboyer(x) → ¬mordre(x)]]

5. C'est Marie que Jérôme a embrassée.

→ embrasser(j, m)

6. Il y a des hommes et des femmes qui ne sont pas unijambistes.

→ ∃x∃y[[homme(x) ∧ femme(y)] ∧ [¬unij(x) ∧ ¬unij(y)]]

7. Tout le monde aime quelqu'un.

Cette phrase est ambiguï. Elle peut signifier que pour chaque personne, il y a une personne que la première aime (et donc possiblement autant de personnes aimées que de personnes aimantes), cela correspond à la traduction (a) ci-dessous ; mais elle peut signifier aussi qu'il existe une personne aimée de tout le monde, ce qui correspond à la traduction (b).

a. → ∀x∃y aimer(x, y)

ou ∀x[hum(x) → ∃y[hum(y) ∧ aimer(x, y)]]

b. → ∃y∀x aimer(x, y)

ou ∃y[hum(y) ∧ ∀x[hum(x) → aimer(x, y)]]

8. Si tous les homards sont gauchers alors Alfred aussi est gaucher.

→ ∀x[homard(x) → gaucher(x)] → gaucher(a)

9. Quelqu'un a envoyé une lettre anonyme à Anne.

→ ∃x[hum(x) ∧ ∃y[[lettre(y) ∧ anon(y)] ∧ envoyer(x, y, a)]]

10. Seule Chloé est réveillée.

→ ∀x[réveillé(x) ↔ x = c]

mais on peut aussi proposer ∀x[réveillé(x) → x = c], qui n'a pas le même sens, et
qui là exclut le présupposé.

Exercice 2.3 (p. 70)

1. Il existe des éléphants roses.

→ ∃x[éléphant(x) ∧ rose(x)]

2. Quelque chose me gratouille et me chatouille.

→ ∃x[gratouiller(x, l) ∧ chatouiller(x, l)] (avec l pour le locuteur)

3. Quelque chose me gratouille et quelque chose me chatouille.

→ [∃x gratouiller(x, l) ∧ ∃x chatouiller(x, l)]

4. Nimes est entre Avignon et Montpellier.

→ être-entre(n, a, m)

5. S'il y a des perroquets ventriloques, alors Jacko en est un.

→ [∃x[perroquet(x) ∧ ventriloque(x)] → [perroquet(j) ∧ ventriloque(j)]]

6. Anne a reçu une lettre de Jean, mais elle n'a rien reçu de Pierre.

→ ∃x[lettre(x) ∧ recevoir(a, x, j)] ∧ ¬∃y recevoir(a, y, p)

7. Tout fermier qui possède un âne est riche.

→ ∀x[[fermier(x) ∧ ∃y[âne(y) ∧ posséder(x, y)]] → riche(x)]
8. Il y a quelqu’un qui a acheté une batterie et qui est en train d’en jouer.
→ ∃x[humain(x) ∧ ∃y[batterie(y) ∧ acheter(x, y) ∧ jouer(x, y)]]

9. Il y a un seul océan.
→ ∃x[océan(x) ∧ ∀y[océan(y) → y = x]]

10. Personne n'aime personne.

a. → ¬∃x[humain(x) ∧ ∃y[humain(y) ∧ aimer(x, y)]]
ou ∀x[humain(x) → ∀y[humain(y) → ¬aimer(x, y)]]
ou ∀x∀y[[humain(x) ∧ humain(y)] → ¬aimer(x, y)]
b. → ¬∃x[humain(x) ∧ ∀y[humain(y) → ¬aimer(x, y)]]
ou ∀x[humain(x) → ¬∀y[humain(y) → ¬aimer(x, y)]]

Il est important de noter que cette dernière phrase est ambiguë (d'où les deux séries de traductions). Dans une première interprétation, elle signifie que pour chaque individu du modèle, celui-ci n'aime personne (autrement dit, il n'y a pas d'amour dans le modèle) ; c'est ce que donnent les traductions (a). Dans la seconde interprétation, la phrase signifie qu'il est faux qu'il y a des gens qui n'aiment personne (autrement dit, tout le monde aime au moins une personne) ; elle est peut-être un peu moins spontanée, mais elle apparaît naturellement dans le dialogue — *Albert n'aime personne.* — *Mais non voyons, PERSONNE n'aime personne* (facilitée par l'accent intonatif sur le premier personne) ; c'est ce que donnent les traductions (b).

Exercice 2.4 (p. 82)

Les dénotations sont calculées en appliquant les règles d'interprétation de la définition 2.12, p. 79.

1. [père-de(o, p) ↔ elfe(b)]

La règle (Sém.4d) nous dit que cette formule est vraie dans $M_1$ ssi **père-de(o, p)** et **elfe(b)** ont la même dénotation. $[[père-de(o, p)]]^{M_1} = 0$ car $\langle\text{OBÉRON, PUCK}\rangle \notin F_1(\text{père-de})$ ; et $[[elfe(b)]]^{M_1} = 0$ car $\text{BOTTOM} \notin F_1(\text{elfe})$. Par conséquent, la formule est vraie dans $M_1$.

2. [¬aimer(d, h₃) → triste(h₃)]

Selon la règle (Sém.4c), cette formule est vraie dans $M_1$ ssi $\neg$aimer(d, h₃) est fausse ou triste(h₃) est vraie. Il se trouve que nous remarquons assez rapidement que triste(h₃) est vraie dans $M_1$, car HÉLÉNA $\in F_1(\text{triste})$ (sachant que h₃ dénote HÉLÉNA). Cela suffit à montrer que la formule est vraie dans $M_1$.

3. [¬[elfe(p) ∧ farceur(p)]]

Cette formule est d'abord une négation, donc nous calculons sa dénotation en consultant d'abord la règle (Sém.3) qui dit que la formule est vraie dans $M_1$ ssi $[elfe(p) \land farceur(p)]$ est fausse dans $M_1$. Or $[[elfe(p)]]^{M_1} = 1$ car PUCK $\in F_1(\text{efle})$, et $[[\text{farceur}(p)]]^{M_1} = 1$ car PUCK $\in F_1(\text{farceur})$. Donc, en vertu de la règle (Sém.4a), $[[\text{farceur}(p) \land \text{farceur}(p)]]^{M_1} = 1$, et nous en concluons que $[[\neg[\text{farceur}(p) \land \text{farceur}(p)]]]]^{M_1} = 0$.

4. [farceur(t₁) → [elfe(t₁) → âne(t₁)]]

D'après (Sém.4c), la formule est vraie dans $M_1$ ssi farceur(t₁) est fausse ou $[elfe(t_1) \rightarrow \text{âne}(t_1)]$ est vraie. Or farceur(t₁) est vraie dans $M_1$ car THÉSÉE $\in F_1(\text{farceur})$. Nous
devons calculer la dénotation de $[elfe(t_1) \to \hat{ane}(t_1)]$, qui est vraie ssi $elfe(t_1)$ est fausse ou $\hat{ane}(t_1)$ est vraie. Et $elfe(t_1)$ est effectivement fausse dans $M_1$ (THÉSÉE $\notin F_1(elfe)$), donc $[elfe(t_1) \to \hat{ane}(t_1)]$ est vraie, ce qui fait que la formule globale est vraie aussi.

Exercice 2.5 (p. 84)

Nous dressons les tables de vérité (§2.4.1, p. 82) des formules de chaque paire et nous comparons les colonnes de résultats.

1. Tables de vérité de $[[\varphi \wedge \psi] \wedge \chi]$ et de $[\varphi \wedge [\psi \wedge \chi]]$ :

<table><thead><tr><th>φ</th><th>ψ</th><th>χ</th><th>[[φ ∧ ψ]]</th><th>[[φ ∧ ψ] ∧ χ]</th><th>[[ψ ∧ χ]]</th><th>[[φ ∧ [ψ ∧ χ]]</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>

Les deux colonnes de résultats sont identiques, donc les deux formules sont bien équivalentes.

2. Tables de vérité de $[[\varphi \lor \psi] \lor \chi]$ et $[\varphi \lor [\psi \lor \chi]]$ :

<table><thead><tr><th>φ</th><th>ψ</th><th>χ</th><th>[[φ ∨ ψ]]</th><th>[[φ ∨ ψ] ∨ χ]</th><th>[[ψ ∨ χ]]</th><th>[[φ ∨ [ψ ∨ χ]]</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>

Même conclusion que précédemment.

3. Tables de vérité de $[[\varphi \to \psi] \to \chi]$ et $[\varphi \to [\psi \to \chi]]$ :

<table><thead><tr><th>φ</th><th>ψ</th><th>χ</th><th>[[φ → ψ]]</th><th>[[φ → ψ] → χ]</th><th>[[ψ → χ]]</th><th>[[φ → [ψ → χ]]</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td></tr></tbody></table>

Les deux colonnes de résultats sont différentes, donc les deux formules ne sont pas équivalentes.
Exercice 2.6 (p. 85)

Par défaut, les équivalences se démontrent par la méthode des tables de vérité comme dans l'exercice précédent, mais par endroits il est possible de procéder autrement.

1. $\varphi$ et $\neg\neg\varphi$

<table><thead><tr><th>φ</th><th>¬φ</th><th>¬¬φ</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>0</td></tr></tbody></table>

En fait, c'est presque laborieux de faire la table de vérité, car la démonstration est triviale et immédiate : $\neg$ inverse les valeurs de vérité, donc si on inverse deux fois (ou un nombre paire de fois), on retombe sur la valeur initiale (comme retourner deux fois une pièce de monnaie).

2. $[\varphi \to \psi]$ et $[\neg\varphi \lor \psi]$

<table><thead><tr><th>φ</th><th>ψ</th><th>[$\varphi \to \psi$]</th><th>¬φ</th><th>[$\neg\varphi \lor \psi$]</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr></tbody></table>

3. $[\varphi \to \psi]$ et $[\neg\psi \to \neg\varphi]$

Ici on pourrait assez rapidement et facilement faire la table de vérité, mais on peut aussi démontrer l'équivalence très simplement, en raisonnant. On sait, par la démonstration précédente, que $[\varphi \to \psi]$ équivaut à $[\neg\varphi \lor \psi]$. Pour la même raison, on sait que $[\neg\psi \to \neg\varphi]$ équivaut à $[\neg\neg\psi \lor \neg\varphi]$, ce qui équivaut à $[\psi \lor \neg\varphi]$ en vertu de la loi de double négation démontrée ci-dessus en 1. Et comme la disjonction est commutative, cela équivaut à $[\neg\varphi \lor \psi]$, et donc à $[\varphi \to \psi]$.

4. $[\varphi \to [\psi \to \chi]]$ et $[[\varphi \land \psi] \to \chi]$

Là aussi on peut démontrer l'équivalence en utilisant celle démontrée ci-dessus en 2, ainsi que d'autres démontrées précédemment. Par l'équivalence 2, on sait que $[\varphi \to [\psi \to \chi]]$ équivaut à $[\neg\varphi \lor [\psi \to \chi]]$, qui équivaut à $[\neg\varphi \lor [\neg\psi \lor \chi]]$. Or on a démontré que $\lor$ est commutative, donc la formule équivaut aussi à $[[\neg\varphi \lor \neg\psi] \lor \chi]$. Et par une des lois de Morgan, on sait aussi que $[\neg\varphi \lor \neg\psi]$ équivaut à $[\neg[\varphi \land \psi]]$. Donc, par remplacement, notre formule équivaut à $[\neg[\varphi \land \psi] \lor \chi]$. Or cette formule répond au schéma $[\neg X \lor Y]$ de l'équivalence 2. Donc on en conclut que notre formule équivaut à $[[\varphi \land \psi] \to \chi]$.

5. $[\varphi \land [\psi \lor \chi]]$ et $[[\varphi \land \psi] \lor [\varphi \land \chi]]$

<table><thead><tr><th>φ</th><th>ψ</th><th>χ</th><th>[$\psi \lor \chi$]</th><th>[$\varphi \land [\psi \lor \chi]$]</th><th>[$\varphi \land \psi$]</th><th>[$\varphi \land \chi$]</th><th>[[$\varphi \land \psi$] $\lor$ [$\varphi \land \chi$]]</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>
6. $[\varphi \lor [\psi \land \chi]]$ et $[[\varphi \lor \psi] \land [\varphi \lor \chi]]$

<table><thead><tr><th>φ</th><th>ψ</th><th>χ</th><th>|| [ψ ∧ χ] ||</th><th>|| [φ ∨ [ψ ∧ χ]] ||</th><th>|| [φ ∨ ψ] ||</th><th>|| [φ ∨ χ] ||</th><th>|| [[φ ∨ ψ] ∧ [φ ∨ χ]] ||</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>

Exercice 2.7 (p. 94)

Nous encadrons chaque quantificateur et sa portée. Les variables libres sont notées en gras (x); les autres sont liées par le quantificateur indiqué par une flèche. L'exercice exploite les définitions 2.14 (p. 92) et 2.15 (p. 93).

1. $\exists x [\text{aimer}(x, y) \land \text{âne}(x)]$ formule existentielle

2. $\exists x \text{aimer}(x, y) \land \text{âne}(x)$ conjonction

3. $\exists x \exists y \text{aimer}(x, y) \rightarrow \text{âne}(x)$ implication

4. $\exists x [\exists y \text{aimer}(x, y) \rightarrow \text{âne}(x)]$ formule existentielle

5. $\neg \exists x \exists y \text{aimer}(x, y) \rightarrow \text{âne}(x)$ implication

6. $\neg \text{âne}(x) \rightarrow [\neg \forall y [\neg \text{aimer}(x, y) \lor \text{âne}(x)] \rightarrow \text{elfe}(y)]$ implication

7. $\neg \exists x (\text{aimer}(x, y) \lor \text{âne}(y))$ négation

8. $\neg \exists x \text{aimer}(x, x) \lor \exists y \text{âne}(y)$ disjonction

9. $\forall x \forall y [[\text{aimer}(x, y) \land \text{âne}(y)] \rightarrow \exists z \text{mari-de}(x, z)]$ formule universelle

10. $\forall x [\forall y \text{aimer}(y, x) \rightarrow \text{âne}(y)]$ formule universelle

Exercice 2.8 (p. 99)

1. $\forall x [\text{elfe}(x) \land \text{farceur}(x)]$

La règle (Sém.5b) nous dit que cette formule est vraie ssi pour toute constante $κ$ du langage, nous trouvons $[[\text{elfe}(κ) \land \text{farceur}(κ)]]^{M_1} = 1$. Mais évidemment cette sous-formule est fausse pour de nombreuses constantes, par exemple $t_1$, puisque THÉSÉE
n'est pas un elfe. La formule $∀x[elfe(x) ∧ farceur(x)]$ est donc fausse dans $M_1$. En français, elle correspondra à toute chose est un elfe farceur ou tout ce qui existe est un elfe farceur. Elle se distingue donc cruicalement de (45), $∀x[elfe(x) → farceur(x)]$, qui elle correspond à tous les elfes sont farceurs et qui est vraie dans $M_1$ (cf. p. 97).

2. $∀x[elfe(x) → ¬triste(x)]$

Comme précédemment, la formule sera vraie ssi pour toute constante $κ$, on trouve $[[elfe(κ) → ¬triste(κ)]]^{M_1} = 1$. Pour toutes les constantes qui dénotent des individus qui ne sont pas des elfes, nous savons déja que cela sera vrai (puisque $elfe(κ)$ sera faux). Il reste à examiner les constantes o, p et $t_2$. Comme aucun des individus dénotés par ces trois constantes (OBÉRON, PUCK et TITANIA) ne sont dans $F_1(triste)$, nous obtiendrons, dans les trois cas, $[[¬triste(κ)]]^{M_1} = 1$. Cela suffit à montrer que $elfe(κ) → ¬triste(κ)$ est toujours vraie et donc que la formule globale est vraie. Elle correspond en français à aucun elfe n'est triste.

3. $¬∃x[âne(x) ∧ elfe(x)]$

Étant donné $F_1(âne)$ et $F_1(elfe)$, nous constatons qu'il n'y a pas d'individu du modèle qui est à la fois dans les deux ensembles. Autrement dit, il n'existe pas de constante $κ$ telle que $[âne(κ) ∧ elfe(κ)]$ soit vraie. Nous en concluons donc, par la règle (Sém.5a), que $∃x[âne(x) ∧ elfe(x)]$ est fausse et que $¬∃x[âne(x) ∧ elfe(x)]$ est vraie dans $M_1$. En français, la formule correspond à *il est faux qu'il y a un âne qui est un elfe* (ou *un elfe qui est un âne*), ce qui plus simplement peut se formuler en *aucun âne n'est un elfe* ou *aucun elfe n'est un âne*.

4. $∃x ∀y aimer(y, x)$

Cette formule est vraie ssi il existe une constante $κ_1$ telle que $∀y aimer(y, κ_1)$ est vraie dans $M_1$. Et $∀y aimer(y, κ_1)$ est vraie ssi pour toutes les constantes $κ_2$ nous trouvons *aimer(κ_2, κ_1)*. Une telle constante $κ_1$ devrait donc dénoter un individu qui se retrouvait 11 fois en seconde position d'un couple ⟨x, y⟩ dans la dénotation de *aimer* (puisqu'il y a 11 constantes possibles pour $κ_2$). Mais en regardant $F_1(aimer)$, nous voyons immédiatement qu'il n'y a pas autant de couples dans l'ensemble et donc qu'une telle constante $κ_1$ n'existe pas. Par conséquent la formule est fausse dans $M_1$. En français elle correspond à *il y a quelqu'un que tout le monde aime*.

5. $∀y∃x aimer(y, x)$

Cette formule est vraie ssi pour toute constante $κ_1 ∃x aimer(κ_1, x)$ est vraie dans $M_1$. Cela fait donc, en théorie, 11 calculs à effectuer, et chaque $∃x aimer(κ_1, x)$ sera vraie si à chaque fois on trouve une constante $κ_2$ telle que $aimer(κ_1, κ_2)$ est vraie. Nous pouvons rapidement montrer que cela ne se produit pas dans $M_1$ en prenant, par exemple, d'abord p pour $κ_1$. Dans $F_1(aimer)$ il n'y a pas de couple de la forme ⟨PUCK, ...⟩, donc nous ne trouverons pas de constante $κ_2$ telle que $aimer(p, κ_2)$ soit vraie. Ce qui veut dire qu'il y a au moins une constante $κ_1$ telle que $∃x aimer(κ_1, x)$ est fausse, ce qui suffit à montrer que la formule globale est fausse dans $M_1$. En français elle correspond à *tout le monde aime quelqu'un* (dans le sens de chaque personne a quelqu'un qu'elle aime).
**Exercice 2.9 (p. 100)**

1. $∃x[homard(x) ∧ gaucher(x)]$ : il existe un individu qui est un homard et qui est gaucher ; en français cela donnera il y a un homard gaucher ou, éventuellement, il existe des homards gauchers.

2. $∃x[homard(x) ∨ gaucher(x)]$ : il existe un individu qui est un homard ou qui est gaucher ; cette formule est vraie du moment que les homards existent (même s'il n'y a pas de gauchers dans le modèle)<fnref n="3" />. Pas de phrase naturelle en français pour cette formule.

3. $∃x[homard(x) → gaucher(x)]$ : il existe un individu tel que si c'est homard alors il est gaucher ; cette formulation des conditions de vérité est un peu alambiquée, mais il faut se souvenir que cela équivaut à : il existe un individu qui n'est pas un homard ou qui est gaucher (car $\varphi \to \psi$ équivaut à $\neg\varphi \lor \psi$) ; cette formule est vraie du moment qu'il existe des individus (par exemple vous et moi) qui ne sont pas des homards... Pas de phrase naturelle en français pour cette formule.

4. $∃x[homard(x) ↔ gaucher(x)]$ : il existe un individu qui est un homard gaucher ou bien qui n'est ni homard ni gaucher. Pas de phrase naturelle en français pour cette formule.

5. $∀x[homard(x) ∧ gaucher(x)]$ : tout individu du modèle est un homard gaucher. Pas vraiment de phrase naturelle en français pour cette formule.

6. $∀x[homard(x) ∨ gaucher(x)]$ : tout individu est un homard ou est gaucher ; autrement dit, pour tout individu, si ce n'est pas un homard, alors il doit forcément être gaucher (et vice-versa). Pas de phrase naturelle en français pour cette formule.

7. $∀x[homard(x) → gaucher(x)]$ : pour tout individu, s'il est un homard alors il est gaucher. En français : tous les homards sont gauchers.

8. $∀x[homard(x) ↔ gaucher(x)]$ : pour tout individu, si c'est un homard, alors il est gaucher et s'il est gaucher, alors c'est un homard. Pas vraiment de phrase naturelle en français pour cette formule, si ce n'est « homard » et « gaucher », c'est la même chose...

**Exercice 2.10 (p. 103)**

Dressons les table de vérité de ces formules.

<table><thead><tr><th colspan="2">formules :</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th></tr><tr><th>φ</th><th>¬φ</th><th>[φ ∧ ¬φ]</th><th>[φ ∨ ¬φ]</th><th>[φ → ¬φ]</th><th>[φ → φ]</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr></tbody></table>

La formule 1 est une contradiction, c'est même *la loi de contradiction* vue en §1.2.3.1 (p. 13) ; la formule 2 est une tautologie classique (*la loi du tiers exclu*, qui dit qu'une formule est soit vraie, soit fausse, et qu'il n'y a donc pas de troisième – ou *tierce* – possibilité). Malgré les apparences (et malgré nos attentes), la formule 4 n'est pas contradictoire : l'interprétation logique de l'implication matérielle en fait une formule contingente (qui est vraie quand son antécédent est faux) ; la formule 4 est, elle, bien une tautologie.

<footnote n="3">³ Ou inversement, cette formule est vraie aussi du moment que les gauchers existent.</footnote>
<table><caption>formules :</caption><thead><tr><th>φ</th><th>ψ</th><th>¬φ</th><th>[φ → ψ]</th><th>[¬φ → [φ → ψ]]</th><th>[ψ → φ]</th><th>[[φ → ψ] ∨ [ψ → φ]]</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr></tbody></table>

La formule 5 est une tautologie très remarquable de la logique classique, et on l'appelle *e falso sequitur quodlibet* (cf. note 47, p. 91), i.e. *du faux s'ensuit n'importe quoi*, ou à partir d'une hypothèse fausse on peut tout déduire. En effet la formule commence par poser l'hypothèse que $φ$ est fausse ($¬φ$), puis place $φ$ en antécédent d'une implication dont le conséquent est quelconque ($φ → ψ$). La formule 6 est une tautologie un peu curieuse (par rapport à notre intuition) qui dit que pour deux formules quelconques, il y en a forcément une qui implique l'autre. Comme la formule 3, elle tend à montrer que l'implication matérielle ne traduit pas idéalement le sens que nous attribuons aux structures conditionnelles (en si) de la langue.

### Exercice 2.11 (p. 104)

En pratique, il y a plusieurs façons d'utiliser la définition 2.18 (p. 102) pour démontrer une conséquence logique. On pourrait, par exemple, reprendre la méthode des contre-exemples vue en §1.2.1; on pourrait également dressez les tables de vérités des formules en n'examinant que les lignes pour lesquelles la formule de gauche est vraie. Mais il est tout aussi simple et rapide de démontrer les conséquences par raisonnement, en partant de l'hypothèse que la formule de gauche est vraie (dans un modèle quelconque) et de déduire la vérité de la formule de droite.

1. $[φ ∧ ψ] ⊨ φ$. Supposons que $[φ ∧ ψ]$ est vraie. Cela veut donc dire que les deux sous-formules sont vraies, et donc que $φ$ est vraie. Évidemment, on a aussi $[φ ∧ ψ] ⊨ ψ$.

2. $φ ⊨ [φ ∨ ψ]$. Supposons que $φ$ est vraie. Alors $[φ ∧ ψ]$ puisqu'il suffit qu'une des deux sous-formules soit vraie pour qu'une disjonction soit vraie.

3. $[φ → ψ] ⊨ [¬ψ → ¬φ]$. Supposons que $[φ → ψ]$ est vraie. Cela veut dire alors, en vertu de l'interprétation de $→$, que soit $φ$ est fausse, soit $ψ$ est vraie. Si $ψ$ est vraie, alors $¬ψ$ est fausse et donc $[¬ψ → ¬φ]$ est vraie. Si $φ$ est fausse, alors $¬φ$ est vraie et donc $[¬ψ → ¬φ]$ est encore vraie.

4. $[φ ∧ [φ → ψ]] ⊨ ψ$. Supposons que $[φ ∧ [φ → ψ]]$ est vraie. Cela veut dire, d'abord, que $φ$ et $[φ → ψ]$ sont toutes les deux vraies. Comme $φ$ est vraie, alors pour que $[φ → ψ]$ le soit aussi, il faut nécessairement $ψ$ soit vraie. Cette conséquence est, en fait, la célèbre règle logique dite du *modus ponens*.

5. $[φ → [ψ ∧ ¬ψ]] ⊨ ¬φ$. Supposons que $[φ → [ψ ∧ ¬ψ]]$ est vraie. On sait par ailleurs que $[ψ ∧ ¬ψ]$ est fausse puisque c'est une contradiction (cf. l'exercice précédent). Et le seul cas où une implication est vraie lorsque sont conséquent est faux est celui où sont antécédente est faux aussi. Donc $φ$ est fausse, et $¬φ$ est vraie.
**Exercice 2.12** (p. 107)

1. d. Remarque : c pourrait également être une traduction correcte, mais cette formule signifie *pour chaque réponse, il y a au moins un étudiant qui la connaît* et il semble que ce ne soit pas une interprétation naturelle de la phrase 1.

2. b. Sachant que cette formule est équivalente à $\forall x[\text{étudiant}(x) \to \exists y[\text{réponse}(y) \land \text{connaître}(x, y)]]$

3. b. Les formules c et d sont contradictoires. La formule a est une tautologie.

4. b. La formule a signifie que chaque étudiant ne connaît aucune réponse.

5. a.

6. c.

7. b, d. (équivalentes)

**Exercice 2.13** (p. 108)

a-4 ; b-3 ; c-5 ; d-1 ; e-2.

**Exercice 2.14** (p. 108)

$$
\mathcal{A} = \{\square_1 ; \heartsuit ; \blacktriangle ; \bigcirc ; \blacksquare ; \star ; \square_2 ; \clubsuit ; \triangle\}.
$$

$$
F(\text{carré}) = \{\square_1 ; \blacksquare ; \square_2\}, F(\text{rond}) = \{\bigcirc\}, F(\text{cœur}) = \{\heartsuit\}, F(\text{triangle}) = \{\blacktriangle ; \triangle\},
$$

$$
F(\text{étoile}) = \{\star\}, F(\text{tr\`efle}) = \{\star\}, F(\text{blanc}) = \{\square_1 ; \heartsuit ; \bigcirc ; \square_2 ; \triangle\},
$$

$$
F(\text{noir}) = \{\blacktriangle ; \blacksquare ; \star\}, F(\text{objet}) = \mathcal{A},
$$

$$
F(\text{à-gauche-de}) = \{(\square_1, \heartsuit) ; (\square_1, \blacktriangle) ; (\square_1, \blacktriangle) ; (\bigcirc, \blacksquare) ; (\star, \square_2) ; (\star, \star) ; (\square_2, \star)\},
$$

$$
F(\text{à-droite-de}) = \{(\heartsuit, \square_1) ; (\star, \square_1) ; (\star, \square_1) ; (\blacksquare, \bigcirc) ; (\square_2, \star) ; (\star, \star) ; (\star, \square_2)\},
$$

$$
F(\text{au-dessus-de}) = \{(\square_1, \star) ; (\heartsuit, \bigcirc) ; (\heartsuit, \square_2) ; (\bigcirc, \square_2) ; (\blacksquare, \triangle) ; (\star, \star)\},
$$

$$
F(\text{en-dessous-de}) = \{(\star, \square_1) ; (\bigcirc, \heartsuit) ; (\square_2, \heartsuit) ; (\square_2, \bigcirc) ; (\triangle, \blacksquare) ; (\star, \blacktriangle)\}.
$$

**Exercice 2.15** (p. 109)

1. Dénotation des formules.

a. $\exists x[femme(x) \land \neg triste(x)]$

Pour que $[\exists x[femme(x) \land \neg triste(x)]]^M = 1$, il faut trouver au moins une valeur de $x$ telle que $femme(x)$ et $\neg triste(x)$ soient vraies dans $\mathcal{M}$. Une valeur de $x$ est une constante de LO ou, ce qui revient au même, un individu de $\mathcal{A}$.

Une telle valeur existe bien, par exemple SUZN. En effet SUZN appartient à F(femme)
(l'ensemble des femmes) et n'appartient pas à F(triste) (l'ensemble des individus
tristes).

Donc $[\exists x[femme(x) \land \neg triste(x)]]^M = 1$.

La formule correspond à la phrase *il y a une femme qui n'est pas triste*.

b. $\forall x[\text{homme}(x) \to [\text{infidèle}(x) \lor \text{volage}(x)]]$

Pour que $[\forall x[\text{homme}(x) \to [\text{infidèle}(x) \lor \text{volage}(x)]]]^M = 1$, il faut que, pour chaque valeur que l'on peut assigner à $x$, lorsque l'on répète le calcul de $[[\text{homme}(x) \to [\text{infidèle}(x) \lor \text{volage}(x)]]]^M$ on trouve 1 à chaque fois.

On peut montrer rapidement que la formule est fausse en choisissant une valeur de
$x$ telle que $[[\text{homme}(x) \to [\text{infidèle}(x) \lor \text{volage}(x)]]]^M = 0$ ; ce sera un individu
qui appartient à l'ensemble des hommes mais qui n'appartient ni à l'ensemble des
infidèles ni à celui des volages. Par exemple FIGR fait l'affaire.
Donc $[\forall x[\text{homme}(x) \to [\text{infidèle}(x) \lor \text{volage}(x)]]]]^M = 0$.

La formule correspond à tous les hommes sont infidèles ou volages.

c. $\exists x \exists y [\text{aimer}(x, y) \land \text{aimer}(y, x)]$

$[[\exists x \exists y[\text{aimer}(x, y) \land \text{aimer}(y, x)]]]]^M = 1 \text{ ssi on trouve une valeur pour } x \text{ telle que}$

$[[\exists y[\text{aimer}(x, y) \land \text{aimer}(y, x)]]]]^M = 1$. Et cette sous-formule est vraie ssi on trouve une valeur pour $y$ telle que $[[\text{aimer}(x, y) \land \text{aimer}(y, x)]]]]^M = 1$.

Il faut donc trouver deux individus $x$ et $y$ dans $\mathcal{A}$, tels que $\langle x, y \rangle$ et $\langle y, x \rangle$ appartiennent à $F(\text{aimer})$. Il en existe : par exemple $\text{FIGR}$ et $\text{SUZN}$.

Donc $[[\exists x \exists y[\text{aimer}(x, y) \land \text{aimer}(y, x)]]]]^M = 1$.

Le sens de la formule se retrouve dans le sens de *il y a des gens qui s'aiment mutuellement*.

d. $[\text{aimer}(a_1, s) \to \exists x \neg \text{aimer}(x, a_1)]$

La formule est une implication, donc $[[\text{aimer}(a_1, s) \to \exists x \neg \text{aimer}(x, a_1)]]]]^M = 1 \text{ ssi l'antécédent aimer}(a_1, s) \text{ est faux, ou (donc si l'antécédent est vrai) le conséquent } \exists x \neg \text{aimer}(x, a_1) \text{ est vrai.}$

L'antécédent est vrai, car ALMV aime SUZN dans $\mathcal{M}$. Vérifions donc que le conséquent est vraie aussi.

$[[\exists x \neg \text{aimer}(x, a_1)]]]^M = 1 \text{ ssi on trouve au moins une valeur pour } x \text{ telle que}$

$[[\neg \text{aimer}(x, a_1)]]]^M = 1$, c'est-à-dire telle que $[[\text{aimer}(x, a_1)]]]^M = 0$, c'est-à-dire un

individu qui n'aime pas ALMV. Cette valeur est facile à trouver : par exemple FIGR (en fait tous les individus de $\mathcal{A}$ sauf ROSN feront l'affaire).

Donc $[[\text{aimer}(a_1, s) \to \exists x \neg \text{aimer}(x, a_1)]]]]^M = 1$.

Cette formule correspond à la phrase *Si Almaviva aime Suzanne, alors quelqu'un n'aime pas Almaviva*.

e. $\neg \exists x [\text{femme}(x) \land \exists y \text{aimer}(x, y)]$

$[[\neg \exists x [\text{femme}(x) \land \exists y \text{aimer}(x, y)]]]]^M = 1 \text{ ssi on trouve que } [[\exists x [\text{femme}(x) \land \exists y \text{aimer}(x, y)]]]]^M = 0$.

Or $[[\exists x [\text{femme}(x) \land \exists y \text{aimer}(x, y)]]]]^M = 1 \text{ ssi on trouve une valeur pour } x \text{ telle que } [[\text{femme}(x) \land \exists y \text{aimer}(x, y)]]]]^M = 1$ (et si on ne trouve pas une telle valeur dans $\mathcal{A}$, alors on aura montré que $[[\exists x [\text{femme}(x) \land \exists y \text{aimer}(x, y)]]]]^M = 0$).

Essayons avec la valeur ROSN (ou $r$) pour $x$. Dans ce cas femme($x$) est vrai. Reste à vérifier que $\exists y \text{aimer}(x, y)$ l'est aussi. Or cette sous-formule est vraie également car on trouve bien une valeur « qui marche » pour $y$, par exemple ALMV car dans $\mathcal{M}$, ROSN aime ALMV. Cela montre donc $[[\exists x [\text{femme}(x) \land \exists y \text{aimer}(x, y)]]]]^M = 1$. Et par conséquent, $[[\neg \exists x [\text{femme}(x) \land \exists y \text{aimer}(x, y)]]]]^M = 0$.

La formule correspond à quelque chose comme *aucune femme n'aime quelqu'un* (car elle est la négation de *il y a au moins une femme qui aime quelqu'un*).

f. $\forall x [[\text{homme}(x) \land \exists y [\text{épouse-de}(y, x) \land \neg \text{aimer}(x, y)]] \to \text{volage}(x)]$

Pour montrer que $\forall x [[\text{homme}(x) \land \exists y [\text{épouse-de}(y, x) \land \neg \text{aimer}(x, y)]] \to \text{volage}(x)]$ est vraie dans $\mathcal{M}$, il faut (en théorie) répéter le calcul que $[[\text{homme}(x) \land \exists y [\text{épouse-de}(y, x) \land \neg \text{aimer}(x, y)]] \to \text{volage}(x)]$ pour toute les valeurs de $x$ (c'est-à-dire tous les individus de $\mathcal{A}$) et trouver 1 à chaque fois.
A.3 Chapitre 3

Exercice 3.1 (p. 144)

1. Chaque convive a raconté plusieurs histoires qui impliquaient un membre de la famille royale.

a. Chaque convive > plusieurs histoires > un membre : pour chaque convive x, x a raconté plusieurs histoires, et chacune de ces histoires implique un membre (possiblement différent) de la famille royale.

b. Chaque convive > un membre > plusieurs histoires : pour chaque convive x, il y a un membre (particulier) de la famille royale au sujet duquel x a raconté plusieurs histoires.

c. Un membre > chaque convive > plusieurs histoires : il y a un membre (particulier) de la famille royale au sujet duquel tous les convives ont raconté plusieurs histoires (possiblement différentes).

d. Un membre > plusieurs histoires > chaque convive : il y a un membre (particulier) de la famille royale au sujet duquel plusieurs histoires ont été racontées par tous les convives (et chacun racontait les mêmes histoires que les autres).

e. Plusieurs histoires > un membre > chaque convive : il y a plusieurs histoires impliquant divers membres de la famille royale qui ont été racontées par tous les convives (et chacun racontait les mêmes histoires que les autres).

f. Il y a une dernière lecture théoriquement possible mais pragmatiquement étrange et qui correspond à : plusieurs histoires > chaque convive > un membre. Cette lecture apparaît spécifiquement dans un scénario comme le suivant : il y a une certaine série d'histoires et tous les convives racontent cette même série, mais chacun change le personnage sur lequel portent les histoires. À la rigueur cette lecture peut passer si on comprend *histoire* comme dénotant des types ou modèles d'histoires mais pas d'anecdotes précises.

2. Chaque sénateur a raconté à plusieurs journalistes qu'un membre du cabinet était corrompu.

a. Chaque sénateur > plusieurs journalistes > un membre : chaque sénateur x s'adresse à plusieurs journalistes et à chaque journaliste, x parle d'un membre corrompu (possiblement différent pour chaque journaliste).

b. Chaque sénateur > un membre > plusieurs journalistes : pour chaque sénateur x il y a un membre y du cabinet dont x parle à plusieurs journalistes.

c. Un membre > chaque sénateur > plusieurs journalistes : il y a un membre corrompu y et chaque sénateur parle de y à plusieurs journalistes (les journalistes peuvent être différents selon les sénateurs).

d. Un membre > plusieurs journalistes > chaque sénateur : il y a un membre corrompu y et un groupe particulier de journaliste et tous les sénateurs parlent de y à ce groupe de journalistes.

e. Plusieurs journalistes > un membre > chaque sénateur : il y a un groupe de journalistes, pour chacun de ces journalistes il y a un membre corrompu (pos-
siblement différent d'un journaliste à l'autre) et chaque sénateur parle de ce
membre au journaliste qui lui est « associé ».

f. Plusieurs journalistes > chaque sénateur > un membre : il y a un groupe donné de journalistes, tous les sénateurs s'adressent à ce même groupe et chacun parle d'un membre corrompu différent.

NB : il existe encore d'autres lectures possibles (et subtiles) de cette phrase qui mettent en jeu un phénomène que nous aborderons plus précisément en §4.1.1, mais la troisième phrase ci-dessous nous en donne un petit aperçu (avec notamment la lecture 3c).

3. Un professeur croit que chaque étudiant a lu un roman de Flaubert.

a. Un professeur > (que) chaque étudiant > un roman : il y a un professeur qui pense que chaque étudiant a choisi librement un roman de Flaubert et l'a lu.

b. Un roman > un professeur > (que) chaque étudiant : il y a un roman écrit par Flaubert et un professeur qui pense que tous les étudiants ont lu ce roman.

c. Un professeur > (que) un roman > chaque étudiant : il y a un professeur qui pense à un roman particulier, par exemple *Le rouge et le noir*, il pense que ce roman est de Flaubert (mais il se trompe, en l'occurrence) et pense que tous les étudiants l'ont lu. Notons cependant que cette lecture n'implique nécessairement que le professeur se trompe sur l'auteur du roman, mais elle est compatible avec un tel cas de figure.

Exercice 3.2 (p. 145)

Si nous voulons montrer que (36b) est ambiguë selon la définition 1.8, nous devons construire un modèle par rapport auquel la phrase sera jugée vraie et fausse selon que le GN a une lecture spécifique ou non. Un tel modèle doit comporter minimalement l'individu ALICE, une jeune fille, un autre individu, appelons-le LESTAT, qui est un vampire et LESTAT a mordu ALICE pendant la nuit. Mais dans ce modèle (36b) sera toujours vraie, que un vampire soit spécifique ou non. La lecture (ou l'usage) non spécifique émerge quand le locuteur ne connaît pas l'identité de LESTAT, mais cette information n'est pas codée dans le modèle (tels que les modèles sont définis dans notre système). Nous devons donc conclure que (36b) n'est pas sémantiquement ambiguë (si elle l'est, il s'agira plutôt d'une ambiguïté pragmatique).

Exercice 3.3 (p. 145)

Dans la phrase (1), *un vampire* à forcément un usage spécifique du fait de l'apposition. D'après la définition de la spécificité (p. 138), nous conclurons que le locuteur pense à un certain vampire, et plus précisément Dracula, et affirme qu'Alice pense que ce vampire l'a mordue. Mais il y a, par ailleurs, une façon très naturelle de comprendre (1) selon laquelle c'est avant tout Alice qui pense à un vampire particulier, Dracula, et pense qu'il l'a mordue. Autrement dit *un vampire* s'avère d'abord spécifique pour Alice avant de l'être pour locuteur. Foncièrement cela ne change probablement pas grand chose pour l'analyse sémantique de la phrase (si le GN est spécifique pour Alice, il l'est a fortiori aussi pour le locuteur), mais du point de vue de son adéquation descriptive, l'analyse passe un peu à côté de cette caractéristique qui est que la source de la spécificité n'est pas toujours le fait du locuteur.
Exercice 3.4 (p. 145)

Évidemment, la lecture la plus naturelle de la phrase est celle avec un usage spécifique du GN puisque le locuteur raconte une expérience vécue personnellement (il a donc une idée précise de l'acteur en question). Un contexte permettant cet usage serait par exemple une situation où le locuteur est invité à une soirée, il y rencontre Bryan Cranston, qui est un acteur américain, il le reconnaît pour l'avoir vu dans des films (sans forcément se souvenir de son nom) et il nous rapporte cet épisode avec la phrase (1).

Pour que le GN ait un usage non spécifique, il faudrait que le locuteur sache qu'il a rencontré un individu qui est un acteur américain tout en ignorant de quel individu il s'agit (c'est-à-dire de qui il parle précisément). C'est là que réside la difficulté. Supposons d'abord que le locuteur ait rencontré de nombreuses personnes au cours de la soirée, dont Bryan Cranston (que le locuteur ne connaît pas et n'a jamais vu en film ou à la télévision). Dans ce contexte, le locuteur peut prononcer la phrase (1) sans avoir une idée précise de qui il parle (puisqu'il a rencontré plusieurs personnes ce qui laisse le choix dans l'identité de l'individu). Mais comment sait-il alors qu'il s'agit d'un acteur américain ? Une possibilité est qu'il l'apprenne par une tierce personne : un ami du locuteur présent à la soirée l'a vu discuter avec Bryan Cranston et l'informe le lendemain en lui disant « hier tu as parlé avec un acteur américain » (sans plus de précision). À partir de là, le locuteur peut alors prononcer la phrase (1) avec un usage non spécifique du GN, du moment qu'il ne sait toujours pas lequel des invités était l'acteur.

Exercice 3.5 (p. 159)

*Test de covariation* (cf. (68), p. 152) : on place le GN défini pluriel dans une phrase qui commence, par exemple, par *à plusieurs reprises*.

(1) À plusieurs reprises, *les prisonniers* ont tenté de s'évader.

Cette phrase ne semble pas manifester une covariation du défini pluriel : il est question d'une certaine compagnie de prisonniers et c'est toujours à celle-ci que sont attribuées les tentatives d'évasion. Il est très important de noter ici que l'on peut voir dans cette phrase ce que l'on appelle parfois la lecture de groupe, ou encore lecture solidaire (en anglais on parle de *team credit*), du défini pluriel. Par cette lecture, il n'est pas nécessaire, dans les faits, que *tous* les prisonniers aient été impliqués dans la tentative d'évasion pour imputer l'action à l'ensemble du groupe. Les responsables réels de la tentative peuvent donc ne pas être toujours les mêmes. Mais pour nous, cela ne change rien, il n'y a pas covariation. Car le propre de cette lecture est justement d'assigner (à tort ou à raison) le prédicat verbal à tout le groupe, et ce groupe reste toujours le même (sous encore l'hypothèse de la note 44 p. 153 du chapitre).

*Test de la négation* (cf. (69), p. 154) : on place le GN défini pluriel en position d'objet dans une phrase négative.

(2) Jean n'a pas lu *les dossiers*.

Nous voyons apparaître ici une distinction sémantique subtile et non triviale entre *tous les* et *les*. Il est généralement admis que (2) n'est pas ambiguë et qu'elle signifie uniquement que Jean n'a lu aucun des dossiers ; une situation où il aurait lu certains dossiers
mais pas tous est le plus souvent perçue comme rendant la phrase ni vraie ni fausse. C'est donc qu'il y a probablement une affaire de présupposition ; nous ne la développerons pas ici mais elle sera abordée au chapitre 10 (vol. 2).

*Test de consistance* (cf. (71), p. 157) : on vérifie si la conjonction *les N GV et les N non-GV* est une contradiction.

(3) Les candidats sont barbus et les candidats sont imberbes.

On constate que si l'une des deux phrases connectées est vraie, l'autre est forcément fausse. La phrase (3) ne peut donc jamais être vraie. Et si l'une des deux est fausse, la phrase (3) est bien sûr immédiatement fausse. Le défini pluriel semble donc se comporter ici comme *tous les N*. Mais que se passe-t-il dans un modèle où il y a, par exemple, 50% de barbus et 50% d'imberbes ? Ici les jugements sont un peu délicats ; cependant il se dégage généralement une tendance qui est que les deux propositions seront jugées ni vraies ni fausses, mais plutôt inappropriées. Cela est, encore une fois, lié à l'effet présuppositionnel mentionné *supra* et qui fait que le test de consistance réussit, mais seulement « à moitié » (la phrase n'est jamais vraie, mais elle n'est pas exactement toujours fausse). Cet effet présuppositionnel se retrouve aussi dans le test de complétude.

*Test de complétude* (cf. (72), p. 158) : on vérifie si la disjonction *les N GV ou les N non-GV* est une tautologie.

(4) Les candidats sont barbus ou les candidats sont imberbes.

Certes si les candidats sont tous barbus ou s'ils sont tous imberbes, la phrase (4) sera globalement vraie. Inversement, s'il y a, par exemple, 50% de barbus et 50% d'imberbes, aucune des deux phrases connectées ne sera vraie, mais, comme précédemment, il sera difficile de les tenir pour fausses pour autant. Et donc là encore, le test réussit seulement à moitié.

Ces tests, et notamment les deux derniers, montrent que les définis pluriels ont un comportement un peu à part, comparés aux autres GN, même si, globalement, ils se rapprochent plus de la catégorie de *le N* que de *tous les N*.

Exercice 3.6 (p. 164)

Une façon de définir un test de la covariation induite par un GN consiste à placer ce GN dans une position sujet d'une phrase avec un indéfini singulier en position de complément d'objet. Nous observons ensuite si cet indéfini peut ou non être multiplié par le sujet.

a. *Julie* a corrigé une page wikipédia.

b. *Elle* a corrigé une page wikipédia.

c. *L'étudiante* a corrigé une page wikipédia.

d. *Cette étudiante* a corrigé une page wikipédia.

e. *Mon étudiante* a corrigé une page wikipédia.

f. <sup>c</sup>*Elles* ont corrigé une page wikipédia.

g. <sup>c</sup>*Les étudiants* ont corrigé une page wikipédia.

h. <sup>c</sup>*Ces étudiants* ont corrigé une page wikipédia.
i. c'Mes étudiants ont corrigé une page wikipédia.

j. Une étudiante a corrigé une page wikipédia.

k. c'Trois étudiants ont corrigé une page wikipédia.

l. c'Des étudiants ont corrigé une page wikipédia.

m. c'Plusieurs étudiants ont corrigé une page wikipédia.

n. c'Quelques étudiants ont corrigé une page wikipédia.

o. c'Aucun étudiant n'a corrigé une page wikipédia.

p. c'La plupart des étudiants ont corrigé une page wikipédia.

q. c'Tous les étudiants ont corrigé une page wikipédia.

r. c'Chaque étudiant a corrigé une page wikipédia.

s. etc.

Globalement, nous remarquons que les GN pluriels induisent de la covariation (ainsi que *chaque N*). Faisons tout de même deux remarques. Pour les définis pluriels (g-i), la covariation de l'objet semble peut-être moins naturelle et moins courante, mais a priori nous ne pouvons pas complètement en exclure la possibilité<fnref n="4" />. Le jugement porté sur *aucun étudiant* (o) est discutable ; nous pouvons certes y observer une multiplication par 0, mais celle-ci peut être induite par la négation (*ne*) qui accompagne *aucun*.

Exercice 3.7 (p. 164)

*Un tiers des candidats est un indéfini car, d'un point de vue strictement sémantique, il ne satisfait pas le test de consistance (p. 157) : un tiers des candidats sont barbus et un tiers des candidats sont imberbes peut être jugé vrai dans une situation qui comporte, par exemple, 50% de barbus et 50% d'imberbes, si nous considérons qu'un tiers signifie au moins un tiers (cf. §1.3.2).*

*Trois quarts des candidats est quantificationnel, car il satisfait le test de consistance (trois quarts des candidats sont barbus et trois quarts des candidats sont imberbes ne peut pas être vrai), mais il ne satisfait pas le test de complétude (p. 158) : trois quarts des candidats sont barbus ou trois quarts des candidats sont imberbes est faux par exemple dans une situation avec 50% de barbus et 50% d'imberbes.*

Pour beaucoup de candidats, la classification est moins simple, car en fait le déterminant est ambigu. Commençons avec le test de consistance : beaucoup de candidats sont barbus et beaucoup de candidats sont imberbes. Supposons que nous sommes dans une situation où il y a 200 candidats barbus et 200 candidats imberbes et que nous estimons que 200 est un nombre important de candidats (par exemple parce que nous en attendions seulement une soixantaine), dans ce cas la phrase pourra être jugée vraie. Et cela suffit à prouver que le GN est un indéfini.

Mais on peut comprendre le déterminant beaucoup de d'une autre manière. Dans les phrases ci-dessus, beaucoup de est interprété comme signifiant « une grande quantité de » et la « grandeur » de cette quantité dépend du contexte. L'autre interprétation de beaucoup de est celle qui signifie quelque chose comme « une grande proportion de » ;

<footnote n="4">⁴ Bien sûr, la covariation devient nette si l'on ajoute le quantificateur dit flottant tous (comme dans ces étudiants ont tous corrigé une page wikipédia) mais cela ne montre rien puisque ça peut très probablement être tous qui est responsable du phénomène et pas le GN en soi.</footnote>
là encore la grandeur de cette proportion dépend habituellement du contexte. Selon le seuil que fixe le contexte pour estimer qu'on est en présence d'une grande proportion, GN apparaîtra alors comme quantificationnel (si le seuil est supérieur à 50%) ou indéfini (si le seuil est inférieur à 50%) (cf. §6.5.1). Dans certains cas, il est possible cependant d'associer à beaucoup de un sens qui ne dépend pas du contexte en l'interprétant comme signifiant « la plus grande proportion de ». Dans ce cas le GN sera quantificationnel. En effet dans ce cas beaucoup de candidats sont barbus et beaucoup de candidats sont imberbes est contradictoire, car quel que soit le nombre de candidats au total, ce sont soit les barbus, soit les imberbes qui représentent la plus grande proportion, mais pas les deux à la fois. Quant à beaucoup de candidats sont barbus et beaucoup de candidats sont imberbes, elle est fausse dans le cas où il y a autant de barbus que d'imberbes dans le groupe de candidats.

**Exercice 3.8** (p. 164)

Il y a différentes façons de construire un GN défini qui covarie nettement avec une autre expression de la phrase, mais toutes se ramènent généralement au même phénomène.

Premier type de constructions : une expression quantifiée apparaît en complément ou en modifieur de la tête nominale du GN défini. Exemple :

(1) *Paul a contrefait la signature de chaque membre de sa famille.*

Dans ((1)), il est bien question d'autant de signatures qu'il y a de membres de la famille, il y a donc bien une multiplication, c'est-à-dire un effet de covariation.

Deuxième type de construction : le GN défini contient un pronom (ou un élément anaphorique) qui est lié d'une manière ou d'une autre (par exemple par son antécédent) à une expression quantifiée. Exemple :

(2) *Tout dompteur<sub>i</sub> craint le lion qu'il<sub>i</sub> est en train de dompter.*

(3) *Chaque candidat<sub>i</sub> doit remplir le formulaire qui lui<sub>i</sub> a été remis.*

Là encore, dans ((2)) par exemple, il y a autant de lions que de dompteurs, bien que le GN soit singulier. Remarque : l'élément anaphorique en question peut être implicite :

(4) *Dans chaque appartement que nous avons visité, la salle de bain était minuscule.*

Ici il s'agit de la salle de bain « de lui », où lui est l'appartement dont il est question à chaque fois<fnref n="5" />.

Pour les éléments d'explication, voir §3.3.4.4 p. 171.

**Exercice 3.9** (p. 173)

D'après la règle (Sém.6) p. 169, 1xφ dénote l'unique individu x tel que φ est vraie. Donc si N se traduit par α, le N se traduira par 1xα(x).

1. Le maire a rencontré le pharmacien.

⇒ rencontrer(1x maire(x), 1x pharmacien(x))

<footnote n="5">⁵ Ce phénomène est usuellement désigné par le terme d'anaphore associative.</footnote>
2. Gontran a perdu son chapeau.

⇒ perdre(g, 1x[chapeau(x) ∧ poss(g, x)])

Le prédicat *poss* exprime la possession : *poss(x, y)* signifie que *x* possède *y*.

3. Le boulanger a prêté l'échelle au cordonnier.

⇒ prêter(1x boulanger(x), 1x échelle(x), 1x cordonnier(x))

4. La maîtresse a confisqué le lance-pierres de l'élève.

⇒ confisquer(1x maîtresse(x), 1x[lance-pierres(x) ∧ poss(1y élève(y), x)])

Remarque : là encore on peut traduire *le lance-pierres de l'élève* en utilisant toujours la variable *x* : 1x[lance-pierres(x) ∧ poss(1x élève(x), x)], car on peut reconnaître que les différentes occurrences de *x* ne sont pas liées par le même 1x. Cependant, pour des raisons de lisibilité et de confort, il est naturel d'utiliser ici deux variables distinctes.

5. Gontran a attrapé le singe qui avait volé son chapeau.

⇒ attraper(g, 1x[singe(x) ∧ voler(x, 1y[chapeau(y) ∧ poss(g, y)]))])

Remarque : le contenu de la relative, *qui avait volé son chapeau*, se retrouve dans la portée de la première description définie dès lors que l'on comprend cette relative comme une relative *restrictive* : on parle ici de l'unique l'individu qui est à la fois un singe *et* a volé le chapeau de Gontran. Dans ce cas, la phrase pourra être vraie même s'il y a plusieurs singes dans le modèle (et le contexte), du moment qu'un seul ait volé le chapeau.

Au contraire, si on comprend la relative comme une relative *descriptive* (on mettrait alors plus volontiers une virgule : *Gontran a attrapé le singe, qui avait volé son chapeau*), la phrase ne peut être vraie que s'il n'y a qu'un seul singe dans le contexte. La traduction serait alors :

⇒ attraper(g, 1x singe(x)) ∧ voler(1x singe(x), 1y[chapeau(y) ∧ poss(g, y)])

6. Celui qui a gagné le gros-lot, c'est Fabrice.

⇒ 1x gagner(x, 1y gros-lot(y)) = f

7. Celui qui a gagné un cochon, c'est Fabrice.

⇒ 1x∃y[cochon(y) ∧ gagner(x, y)] = f

8. Tout cow-boy aime son cheval.

⇒ ∀x[cow-boy(x) → aimer(x, 1y[cheval(y) ∧ poss(x, y)])]

9. Georges a vendu son portrait de Picasso.

Comme vu dans le chapitre, cette phrase est ambiguë<fnref n="6" /> :

a. ⇒ ∃z vendre(g, 1x[portrait(x, p) ∧ posséder(g, x)], z)
le portrait représente Picasso et appartient à Georges

b. ⇒ ∃z vendre(g, 1x[portrait(x, p) ∧ réaliser(g, x)], z)
le portrait représente Picasso et a été réalisé par Georges (bien sûr si Georges le vend, c'est aussi qu'il le possédait, mais dans ce cas, c'est une inférence supplémentaire qui n'est pas directement liée au déterminant possessif)

c. ⇒ ∃z vendre(g, 1x[∃y portrait(x, y) ∧ réaliser(p, x) ∧ posséder(g, x)], z)
le portrait a été réalisé par Picasso et appartient à Georges (et on ne sait pas qui il représente)

<footnote n="6">⁶ NB : ces traductions incluent un argument z pour *vendre* en considérant que *vendre(x, y, z)* signifie *x vend y à z*.</footnote>
d. → ∃z vendre(g, 1x[portrait(x, g) ∧ réaliser(p, x)], z)
le portrait représente Georges et a été réalisé par Picasso (cette interprétation est moins naturelle, en français on dira plutôt *son portrait par Picasso*)

Remarque : en toute rigueur, dans tous ces exemples, la traduction des GN définis devrait toujours comporter une sous-formule supplémentaire qui restreint les valeurs pertinentes de la variable, comme vu en §3.1.5. Autrement dit, la traduction complète de la phrase 1 est en fait :

1. rencontrer(1x[maire(x) ∧ C₁(x)], 1x[pharmacien(x) ∧ C₂(x)])

Cela permet de faire référence à l'unique individu qui est maire *dans l'ensemble C₁* et l'unique individu qui est pharmacien *dans l'ensemble C₂*. Il est probable que la phrase s'interprète naturellement avec *C₁ = C₂* (il peut s'agir, par exemple, de l'ensemble des habitants d'un village ou d'un quartier – où il n'y aura qu'un seul pharmacien), mais par souci de généralité, il est prudent de considérer que chaque GN introduit son propre ensemble de restriction.

## A.4 Chapitre 4

### Exercice 4.1 (p. 183)

Pour illustrer les différentes lectures, je propose un scénario qui rend vrai chacune d'elles (mais cela ne veut pas dire nécessairement que chacune de ces lectures n'est vraie *que* dans le scénario particulier qui lui est associé). Il s'agit bien sûr d'alternances combinées de dicto/de re (cf. §4.1.1, p. 177).

1. Eugène₁ trouve que le Pape ressemble à son₁ arrière-grand-père.

a. *le Pape, son arrière-grand-père : de dicto*
Eugène se dit : « c'est marrant, le Pape ressemble beaucoup à mon arrière-grand-père ».

b. *le Pape : de re, son arrière-grand-père : de dicto*
Eugène voit une photo du Pape, sans savoir de qui il s'agit, et il se dit : « ce type ressemble à mon arrière-grand-père ».

c. *le Pape : de dicto, son arrière-grand-père : de re*
Eugène voit une photo de son arrière-grand-père, sans savoir de qui il s'agit, et il se dit : « Le Pape, il ressemble à ce type ».

d. *le Pape, son arrière-grand-père : de re*
Eugène voit une photo du Pape, sans savoir de qui il s'agit, et une photo de son arrière-grand-père, sans le reconnaître non plus, et il se dit : « ces deux types se ressemblent beaucoup ».

2. Œipe₁ ne savait pas que sa₁ mère était sa₁ mère.

NB : comme déjà mentionné dans le chapitre, il convient ici de faire abstraction de la polysémie du nom *mère* (mère biologique vs mère adoptive vs mère sociale etc.) afin de ne pas surmultiplier les interprétations.
a. sa mère : de dicto ×2

Quelqu'un dit à Œdipe : « Ta mère est ta mère » (ce qui est une tautologie), et il répond (sans ironie) : « Ah ? Je ne savais pas ». C'est évidemment une situation très absurde.

b. 1<sup>er</sup> sa mère : de re, 2<sup>e</sup> sa mère : de dicto

Jocaste est la mère d'Œdipe et quelqu'un dit à Œdipe, en désignant Jocaste :
« Cette femme est ta mère ». Œdipe répond : « Ah ? Je ne savais pas ».

c. 1<sup>er</sup> sa mère : de dicto, 2<sup>e</sup> sa mère : de re

Jocaste est la mère d'Œdipe, Œdipe ne sait pas qui est sa mère (il ne l'a jamais connue et n'a aucune information sur elle) et quelqu'un lui dit, en désignant Jocaste : « Ta mère, c'est cette femme ». Œdipe répond : « Ah ? Je ne savais pas ». Naturellement c'est similaire à la situation précédente.

d. sa mère : de re ×2

Jocaste est la mère d'Œdipe et quelqu'un dit à Œdipe : « Jocaste est Jocaste ». Œdipe répond : « Ah ? Je ne savais pas ». C'est une situation absurde similaire à la première.

Exercice 4.2 (p. 196)

Nous appliquons les règles (Sém.7) de la définition 4.3 p. 195 qui, en substance, disent
que [[Pφ]]<sup>M,i,g</sup> = 1 ssi il y a un instant i' avant i auquel φ est vraie et [[Fφ]]<sup>M,i,g</sup> = 1 ssi
il y a un instant i' après i auquel φ est vraie.

1. [[Pdormir(d) ∧ Fdormir(d)]]<sup>M, i<sub>3</sub>, g</sup> = 0 parce que Fdormir(d) est faux à i<sub>3</sub> (personne ne dort à i<sub>4</sub>).

2. [[P[dormir(b) ∧ dormir(c)]]<sup>M, i<sub>4</sub>, g</sup> = 0 parce qu'il n'y a pas d'instants avant i<sub>4</sub> où Bruno et Charles dorment en même temps.

3. [[Pdormir(b) ∧ Pdormir(c)]]<sup>M, i<sub>4</sub>, g</sup> = 1 parce que dormir(b) est vraie à i<sub>1</sub> (avant i<sub>4</sub>) et Pdormir(c) est vraie à i<sub>2</sub> (avant i<sub>4</sub>).

4. [[dormir(c) → Fdormir(c)]]<sup>M, i<sub>2</sub>, g</sup> = 1 parce que Charles dort à i<sub>2</sub> et aussi à i<sub>3</sub> qui est après i<sub>2</sub>.

5. [[F¬∃x dormir(x)]]<sup>M, i<sub>2</sub>, g</sup> = 1 parce que personne ne dort à i<sub>4</sub>.

6. [[¬∃x Fdormir(x)]]<sup>M, i<sub>2</sub>, g</sup> = 0 parce que Charles dort à i<sub>3</sub>.

Pour traduire *tout le monde a dormi*, nous avons le choix entre P∀x dormir(x) et ∀x Pdormir(x). La première formule dit qu'il existe un moment dans le passé où tout le monde dort ; autrement dit, tout le monde a dormi au même moment, et il n'est pas certain que la phrase du français véhicule cette condition. La seconde formule dit que pour chaque individu, il y a un moment dans le passé durant lequel il dort ; c'est une traduction plus générale que la première et qui convient probablement mieux aux conditions de vérité de la phrase.

Exercice 4.3 (p. 198)

Commençons par poser les conditions de vérité de Pφ et PPPφ en appliquant la règle
(Sém.7) (déf. 4.3 p. 195).

- [[Pφ]]<sup>M, i, g</sup> = 1 ssi il existe un instant i' tel que i' < i et [[φ]]<sup>M, i', g</sup> = 1.
- [[PPPφ]]<sup>M,i,g</sup> = 1 ssi il existe trois instants i', i'' et i''' tels que i''' < i'' < i' < i et
  [[φ]]<sup>M,i'',g</sup> = 1. En effet, PPP nous fait faire trois bonds dans le passé, ce qui peut
donc se résumer par cette formulation de conditions de vérité.

À partir de là, on constate rapidement que PPPφ |= Pφ. Si PPP est vraie à i, alors φ est
vraie à i''', or i''' est un instant du passé de i. Donc il existe bien un instant antérieur à i
où φ est vraie, ce qui fait que Pφ est vraie à i. Autrement dit : si l'on fait trois bonds dans
le passé pour aller vérifier φ, on peut tout aussi bien le faire avec un seul grand bond –
qui couvre les trois précédents.

En revanche a-t-on Pφ |= PPPφ ? Pour s’en assurer, cherchons un contre-exemple. Il
s’agirait d’un cas (et même d’un instant i) où Pφ est vraie et PPPφ est fausse. Pour cela,
il faut que I comporte un instant i’ tel que 1) i’ < i, 2) φ est vraie à i’, 3) il existe au
maximum un instant intercalé entre i’ et i (mais pas deux !), et 4) φ n’est vraie à aucun
instant antérieur à i’. C’est donc un cas de figure très particulier où φ n’est vraie que
dans un passé très proche de i.

Autrement dit, dans tous les cas où PPPφ est vraie, Pφ est vraie, et dans presque tous les cas où Pφ est vraie, PPPφ est vraie aussi. « Presque » tous les cas ne suffit pas pour conclure à une équivalence logique, mais on n’en est pas loin. D’autant plus que si on ajoute l’hypothèse que I contient une infinité d’instants et surtout que < est un ordre dense, cela implique, par définition de la densité, que pour toute paire d’instants de I, il en existe toujours un troisième (et donc une infinité) situé entre les deux. Et dans ce cas la condition 3 ci-dessus ne peut pas être vérifiée ; il n’y a pas de contre-exemple à Pφ |= PPPφ et les deux formules sont alors sémantiquement équivalentes. Si on ne pose pas cette hypothèse, elles ne sont pas équivalentes, mais elles sont sémantiquement très proches.

**Exercice 4.4 (p. 217)**

Les dénotations sont calculées en utilisant les règles d'interprétation (Sém.8) de la dé-
finition 4.6, p. 216.

1. [[◇dormir(a)]]<sup>M,w<sub>1</sub>,i<sub>1</sub>,g</sup> = 1 car Alice dort dans w<sub>2</sub>.

2. [[◇dormir(a)]]<sup>M,w<sub>2</sub>,i<sub>1</sub>,g</sup> = 1 pour la même raison.

3. [[□dormir(a)]]<sup>M,w<sub>1</sub>,i<sub>1</sub>,g</sup> = 0 car il y a des mondes où Alice ne dort pas à i<sub>1</sub>, par exemple w<sub>1</sub>.

4. [[□dormir(b)]]<sup>M,w<sub>1</sub>,i<sub>1</sub>,g</sup> = 1 car Bruno dort dort dans les quatre mondes à i<sub>1</sub>.

5. [[◇dormir(c)]]<sup>M,w<sub>3</sub>,i<sub>1</sub>,g</sup> = 0 car Charles ne dort dans aucun monde à i<sub>1</sub>.

6. [[¬□dormir(d)]]<sup>M,w<sub>4</sub>,i<sub>1</sub>,g</sup> = 1 car Dina ne dort pas dans tous les mondes.

7. [[◇dormir(a) ∧ ◊dormir(d)]]<sup>M,w<sub>4</sub>,i<sub>1</sub>,g</sup> = 1 car Alice dort dans w<sub>2</sub> et Dina dort dans w<sub>3</sub>.

8. [[◇[dormir(a) ∧ dormir(d)]]<sup>M,w<sub>4</sub>,i<sub>1</sub>,g</sup> = 0 car il n'y a pas de monde dans lequel à la fois Alice et Dina dorment.

**Exercice 4.5 (p. 217)**

Les équivalences s'infèrent à partir des règles d'interprétation des modalités (Sém.8)
p. 216 et de celle de la négation (Sém.3), §2.3.3 p. 79. Ce sont les suivantes :