## 4.2 Une sémantique temporelle intensionnelle

les prédicats, on voit bien que ce mécanisme reflète le cours des choses, leur évolution, bref le temps qui passe. Les modèles extensionnels que nous manipulions auparavant étaient présentés comme des images fixes, de grandes photographies du monde ; avec les modèles intensionnels temporels, nous sommes passés au cinéma : ils nous livrent le grand film de l'histoire du monde.

Faisons, pour terminer, une remarque sur les individus et les constantes d'individus. Puisque *F* dépend du temps et que c'est également *F* qui interprète les constantes d'individus, on peut, théoriquement, très bien envisager une situation où pour deux instants *i* et *i'*, *F(i, a) ≠ F(i', a)*, autrement dit où la dénotation d'une constante changerait avec le temps. Par rapport aux notions que nous manipulons depuis le chapitre 2, cela modéliserait l'idée qu'entre les instants *i* et *i'*, la personne que nous appelons *a* dans LO (ou Alice en français) est devenue... un autre individu. Même si cela semble assez étrange, il pourrait y avoir une manière de justifier un tel cas de figure. Les individus du domaine *A* (y compris les objets inanimés) peuvent toujours changer et évoluer au cours du temps, ne serait-ce qu'en ce qui concerne leur taille, leur forme, leur apparence, etc. Poser *F(i, a) ≠ F(i', a)* pourrait alors permettre de rendre compte du fait que sur un intervalle de temps donné, Alice (i.e. *a*) a tellement changé que l'on juge convenable de la représenter par deux individus distincts (et donc successifs) dans le domaine *A*. Quelque chose qui pourrait aller dans ce sens est la possibilité d'énoncer en français des phrases non absurdes comme :

(21) Alice a beaucoup changé, elle n'est plus la même.

Cette manière de procéder pour modéliser des *changements* n'est pas si saugrenue qu'il n'y paraît (et d'ailleurs nous la revisiterons au chapitre 10, vol. 2), mais nous n'allons pas l'adopter ici pour les raisons suivantes. Nous allons considérer que dans un modèle intensionnel, les éléments du domaine *A* servent à représenter les individus dans leur continuité à travers le temps et les diverses évolutions qui se produisent. Et lorsqu'un individu nous apparaît comme ayant changé sur une certaine période, ce qui s'est, en fait, modifié avec le temps ce sont les *propriétés* que possède cet individu – autrement dit la dénotation des prédicats. Par exemple, si à *i* Alice est une enfant, et que *i'* se situe suffisamment d'années plus tard pour qu'à ce moment Alice soit maintenant une adulte, le modèle nous donnera : *ALICE ∈ F(i, enfant)*, *ALICE ∉ F(i, adulte)* et *ALICE ∉ F(i', enfant)*, *ALICE ∈ F(i', adulte)*. Mais *Alice* et a dénoteront toujours l'individu *ALICE*.

Par conséquent, nous allons donc contraindre tout modèle intensionnel temporel à l'aide d'un postulat qui dit que toute constante d'individu dénote toujours le même individu, quel que soit l'instant où l'on se place. En faisant cela, nous traitons ces constantes comme ce que l'on appelle, en sémantique et en philosophie du langage, des **déSIGNATEURS RIGIDES**<fnref n="19" />.

<footnote n="19">¹⁹ Le terme (et le concept) de *désignateur rigide* a été introduit par Kripke (1972) essentiellement en relation avec le traitement des modalités. Dans ce contexte, il prend une valeur et une interprétation philosophiques un peu différente ; mais *mutatis mutandis*, appliqué à la temporalité, sa définition reste la même.</footnote>
**Postulat 4.1 : Désignateurs rigides (1)**

Soit un modèle $\mathcal{M} = (\mathcal{A}, \mathcal{I}_<, F)$. Pour toute constante $\alpha \in Cns_0$ et pour toute paire d'instants $i, i' \in \mathcal{I}$, $F(i, \alpha) = F(i', \alpha)$.

On dit alors que les constantes d'individus sont des désignateurs rigides.

Mais notons que notre définition d'un modèle intensionnel nous permet tout de même de tolérer, à profit, des exceptions à ce postulat. Souvenons-nous de ce que nous avons vu en §4.1.1. Si nous posons que la constante **m** traduit le GN français *Miss France*, alors il devient intéressant d'avoir, par exemple, $F(i, \mathbf{m}) = \text{GOURDELLA}$ et $F(i', \mathbf{m}) = \text{CRUCHELINE}$. Techniquement, pour intégrer de telles exceptions, il suffit de distinguer un sous-ensemble de $Cns_0$ contenant les constantes « non rigides » de LO et de dire que le postulat ne s'applique qu'à $Cns_0$ privé de ce sous-ensemble.

Enfin, le postulat 4.1 a une conséquence non triviale sur notre modélisation temporelle du monde. Si chaque constante a toujours la même dénotation quel que soit l'instant choisi, cela semble impliquer que tout individu du domaine (du moins ceux nommées par des constantes) « existe » éternellement dans le modèle. De prime abord, c'est plutôt contre-intuitif : rares sont les individus qui existent de toute éternité ; aussi bien les choses que les êtres animés apparaissent ou naissent un jour puis meurent et disparaissent après avoir fait leur temps. Doit-on alors s'inquiéter de ce que $\mathcal{M}$ nous donnera toujours $F(i, a) = \text{ALICE}$, même pour $i$ situé en -400 avant J.C. ou au xxvᵉ siècle ? Eh bien pas vraiment. Car nous aurons intérêt à faire la différence entre la *présence* d'un individu dans le modèle et l'existence concrète d'un individu dans le monde. Le fait qu'un individu est présent dans le modèle (i.e. qu'il est un élément de $\mathcal{A}$) est lié à la possibilité d'y faire référence dans des énoncés ; et la référence est en quelque sorte intemporelle : la langue nous permet toujours de référer à un individu à partir de n'importe quel point de repère temporel, y compris d'un point de repère où cet individu n'existe pas (ou n'existe plus ou pas encore). Par exemple, je pense que l'on est en droit de juger que les phrases suivantes sont vraies :

(22) a. Mozart est l'auteur de *La Flûte Enchantée*.

b. Mozart est un compositeur autrichien.

Cela montre que l'on peut non seulement (et bien évidemment) faire référence à Mozart aujourd'hui (plus de deux siècles après sa mort), mais aussi que l'on peut dire certaines choses (mais pas toutes !) à son sujet *au présent*<fnref n="20" />. En pratique, cela veut dire que pour un instant $i_1$ qui se situe à notre époque, et si $\mathbf{m}_0$ est la traduction de *Mozart*, alors $F(i_1, \mathbf{m}_0)$ est bien définie par le modèle et vaut *MOZART*, mais également que, par exemple, $F(i_1, \text{compositeur})$ est un ensemble qui contient *MOZART*.

<footnote n="20">²⁰ Et il serait erroné de voir dans (22) un cas de présent de narration à interpréter comme une variante stylistique d'un temps du passé.</footnote>
La notion d'existence dans le monde, quant à elle, est corrélée, là encore, à certaines
propriétés, comme celles d'être vivant, d'être localisé spatialement quelque part, etc. Et
ces propriétés correspondent à des prédicats dont la dénotation change avec le temps. Et
bien sûr MOZART $\notin F(i_1, vivant)$. Par conséquent, on peut figurer (éternellement) dans le
modèle (c'est la bonne nouvelle), sans pour autant exister matériellement dans le monde
sur de très longues périodes.

### 4.2.2 Opérateurs temporels

Nous venons de temporaliser la notion de modèle ; c'est-à-dire que nous pouvons (et même devons) tenir compte du temps qui passe dans notre représentation du monde. Mais il nous faut maintenant nous donner les moyens de parler du passé, du présent et du futur dans LO, c'est-à-dire de refléter dans le système formel une certaine contribution (approximative et simplifiée) des temps grammaticaux du français.

#### 4.2.2.1 Syntaxe

Même si, dans une langue comme le français, ce sont les verbes (donc des prédicats) qui portent les marques de flexion temporelle, nous allons considérer que, dans LO, le rôle sémantique des temps concernent les formules. Nous dirons ainsi qu'une formule (et par extension une phrase) est au présent, au passé ou au futur.

Le temps est représenté dans LO à l'aide d'opérateurs qui se placent devant une formule (un peu comme la négation $¬$). Ce sont des opérateurs temporels, nous allons en utiliser principalement deux : P pour le passé et F pour le futur<sup>21</sup>. Nous les intégrons à la syntaxe de LO en les faisant figurer dans l'ensemble des symboles logiques du vocabulaire et en ajoutant la règle suivante qui vient compléter la définition 2.8 du chapitre 2 (déjà augmentée par la règle (Syn.6) au chapitre 3).

**Définition 4.2 : Syntaxe de P et F**

(Syn.7) Si $\varphi$ est une formule bien formée de LO, alors $P\varphi$ et $F\varphi$ le sont aussi.

Notons au passage que P et F permettent l'application de la définition 3.9 vue au chapitre 3 (p. 133), sur la portée d'un opérateur. Ainsi par exemple dans Pφ, on pourra dire que la sous-formule φ est la portée de cette occurrence de P.

Pφ est une formule dont on trouvera la dénotation en allant chercher dans le passé ; et Fφ en allant chercher dans le futur. Ainsi une façon de prononcer explicitement Pφ et Fφ peut être, respectivement « il a été vrai que φ » (ou « φ a été vraie ») et « il sera vrai que φ » (ou « φ sera vraie »). Une phrase au présent sera traduite simplement par φ, sans opérateur temporel. Par exemple, nous pouvons maintenant produire les traductions sémantiques suivantes :

<footnote n="21"><sup>21</sup> Attention : ne pas confondre F de futur et F, la fonction d'interprétation.</footnote>
4 Sémantique intensionnelle

(23) a. Alice a dormi.
   Pdormir(a)

b. Alice dormira.
   Fdormir(a)

c. Alice dort.
   dormir(a)

Bien sûr, rien n'empêche la règle (Syn.7) de s'appliquer récursivement, sur elle-même
ou en interaction avec d'autres règles de la syntaxe de LO. Nous pouvons donc aussi
écrire des formules comme : PPPdormir(a), FPdormir(a), PFPdormir(a), F¬dormir(a),
P¬Fdormir(a), etc. De même, dans une formule complexe, qui comporte plusieurs sous-
formules, les opérateurs temporels peuvent se placer à divers endroits, comme le montrent
les exemples (24).

(24) a. P∃x[enfant(x) ∧ dormir(x)]
b. ∃xP[enfant(x) ∧ dormir(x)]
c. ∃x[enfant(x) ∧ Pdormir(x)]

Pour avoir une idée suffisamment claire de ce que signifient toutes ces formules, nous devons immédiatement définir l'interprétation de P et F en complétant la sémantique de LO.

4.2.2.2 Sémantique

On le sait, le passé et le futur sont des notions relatives : dans notre modélisation avec
I, le passé sera l'ensemble des i qui précèdent l'instant présent, et le futur l'ensemble de
ceux qui le suivent. Mais peut-on considérer que I est en mesure d'identifier un instant
particulier qui correspondrait au présent ? Non, car en tant qu'instant élément de I, le
présent est insaisissable, il avance toujours inexorablement sur la ligne temporelle. On
sait aussi que, linguistiquement, le présent coïncide, d'une manière ou d'une autre, avec
le moment de l'énonciation. Et ce moment ne fait pas partie du modèle, mais du contexte ;
et jusqu'à présent nous avons pris soin de séparer le contexte du modèle<fnref n="22" />. Car le modèle
sert à représenter idéalement et objectivement le cours de l'histoire du monde, et ce cours
reste le même quelle que soit la position du locuteur ou de l'observateur. Mais en fait, tout
cela n'est pas grave : si aucun instant de I n'a de raison de recevoir le privilège d'être le
présent, cela veut dire que tous le sont potentiellement. En effet, tous les i de I ont été
ou seront leur propre présent. Finalement, en tant que perspective temporelle, le présent
est lui aussi relatif : pour tout i de I, le présent de i, c'est i. Et cela convient tout à fait
à l'objectif théorique de notre système sémantique qui est de décrire, de façon générale,
les conditions de vérité de toute phrase, quel que soit le moment de son énonciation.

Cette idée converge avec le principe fondamental de l'interprétation en sémantique
intensionnelle qui est qu'à présent, la dénotation d'une expression se définit et se calcule non seulement par rapport à un modèle et une fonction d'assignation, mais aussi

<footnote n="22">²² À juste titre. Nous y reviendrons dans le chapitre 8 (vol. 2).</footnote>
par rapport à un instant *i* donné. Et nos règles sémantiques vaudront, comme il se doit, pour n'importe quel instant de $\mathcal{I}$. Se faisant, nous multiplions bien, comme voulu, les dénotations potentielles de toute expression. Cela a une implication immédiate sur notre manière de noter les dénotations :

### Notation 4.1 : Dénotation en sémantique intensionnelle (1)

Soit $\alpha$ une expression de LO. Et soit $\mathcal{M} = \langle \mathcal{A}, \mathcal{I}_{<}, F \rangle$ un modèle intensionnel, $i$ un instant de $\mathcal{I}$ et $g$ une fonction d'assignation. $\llbracket \alpha \rrbracket^{\mathcal{M},i,g}$ est la dénotation de $\alpha$ dans $\mathcal{M}$, à l'instant $i$ et relativement à $g$.

En relativisant la dénotation à un instant $i$ et en écrivant $\llbracket \alpha \rrbracket^{\mathcal{M},i,g}$, nous faisons jouer à $i$ le rôle de ce que l'on appelle un INDICE INTENSIONNEL, ou plus simplement un indice (cf. *supra* p. 190). Un indice est, par définition, un paramètre nécessaire au calcul sémantique, il sert de point de référence, en identifiant l'état du monde concerné par l'interprétation. Dans les calculs de $\llbracket \alpha \rrbracket^{\mathcal{M},i,g}$, nous appellerons généralement $i$ l'instant d'évaluation.

Habituellement, si $\varphi$ est une formule qui traduit une phrase complète, quand nous calculerons $\llbracket \varphi \rrbracket^{\mathcal{M},i,g}$, nous considérerons que, par défaut, $i$ correspond au moment de l'énonciation. C'est ce qu'il y a de plus naturel, mais il faut savoir que cette hypothèse n'est pas nécessaire et qu'elle se fait extérieurement au système sémantique (c'est une sorte de complément pragmatique aux règles d'interprétation de LO).

L'ajout de $i$ ne change rien aux règles sémantiques de LO que nous avons vues jus-
qu'ici, si ce n'est que maintenant elles se formulent avec $\llbracket \cdot \rrbracket^{\mathcal{M},i,g}$. Par exemple, les
conditions de vérité de *Alice dort* s'explicitent en : $\llbracket \mathit{dormir}(a) \rrbracket^{\mathcal{M},i,g} = 1 \text{ ssi } \llbracket a \rrbracket^{\mathcal{M},i,g} \in \llbracket \mathit{dormir} \rrbracket^{\mathcal{M},i,g}$, ssi $F(i, a) \in F(i, \mathit{dormir})$, etc. Les règles (Sém.1)-(Sém.6) traînent un in-
dice $i$ qui reste toujours le même. Mais bien sûr cela change avec (Sém.7) qui interprète
P et F :

### Définition 4.3 : Interprétation de P et F

(Sém.7) a. $\llbracket P\varphi \rrbracket^{\mathcal{M},i,g} = 1$, ssi il existe un instant $i'$ de $\mathcal{I}$ tel que $i' < i$ et
$\llbracket \varphi \rrbracket^{\mathcal{M},i',g} = 1$.

b. $\llbracket F\varphi \rrbracket^{\mathcal{M},i,g} = 1$, ssi il existe un instant $i'$ de $\mathcal{I}$ tel que $i < i'$ et
$\llbracket \varphi \rrbracket^{\mathcal{M},i',g} = 1$.

La règle (a) dit que $P\varphi$ est vraie à l'instant $i$ ssi il y a un instant antérieur à $i$ où $\varphi$ est vraie ; donc ssi $\varphi$ est vraie dans le passé de $i$. De même, la règle (b) dit que $F\varphi$ est vrai à l'instant $i$ ssi il y a un instant postérieur à $i$ où $\varphi$ est vraie ; donc ssi $\varphi$ est vraie dans le futur de $i$.
## 4 Sémantique intensionnelle

Sémantiquement, les opérateurs P et F font donc simplement du décalage temporel, mais avec un aller-retour. On peut les voir comme de petites machines à voyager (mentalement !) dans le temps. Par exemple, pour vérifier que Pφ (i.e. « φ au passé ») est vraie à l'instant i, on se transporte dans un instant du passé de i ; là on constate que φ (donc « φ au présent ») est vraie – cela on sait le faire depuis le chapitre 2 ; puis on revient à i pour conclure que « φ au passé » est vraie.

Illustrons cela en reprenant le modèle $\mathcal{M}$ vu précédemment en (20), répété ici, avec $i_1 < i_2 < i_3 < i_4$ :

$$ (20) \quad \begin{aligned} F(i_1, \text{dormir}) &= \{\text{BRUNO} ; \text{DINA}\} \\ F(i_2, \text{dormir}) &= \{\text{ALICE} ; \text{DINA} ; \text{CHARLES}\} \\ F(i_3, \text{dormir}) &= \{\text{CHARLES}\} \\ F(i_4, \text{dormir}) &= \emptyset \end{aligned} $$

Si nous voulons évaluer $\mathbf{Pdormir}(a)$ par rapport à $i_3$ par exemple, la règle (Sém.7) nous dit que $[\mathbf{Pdormir}(a)]^{M, i_3, g} = 1$, ssi il existe un instant $i$ tel que $i < i_3$ et $[\mathbf{dormir}(a)]^{M, i_2, g} = 1$. L'instant $i_2$ fait l'affaire, puisque nous voyons que $[\mathbf{dormir}(a)]^{M, i_2, g} = 1$. Donc $[\mathbf{Pdormir}(a)]^{M, i_3, g} = 1$ : il y a bien dans le passé de $i_3$ un instant où Alice dort, c'est $i_2$. Pour les mêmes raisons, $[\mathbf{Pdormir}(a)]^{M, i_4, g} = 1$, car $i_2 < i_4$. En revanche, $[\mathbf{Pdormir}(a)]^{M, i_2, g} = 0$, car il n'y a pas ici d'instant antérieur à $i_2$ qui fasse l'affaire (le seul instant plus ancien que $i_2$, c'est $i_1$, et Alice ne dort pas à $i_1$).

Pour $\mathbf{Fdormir}(a)$, la formule n'est vraie que pour $i_1$ (grâce à $i_2$ qui est dans le futur de $i_1$). Et $\mathbf{Fdormir}(c)$ est vraie à $i_1$ et à $i_2$, mais pas à $i_3$.

### Exercice 4.2

Toujours à partir du modèle $\mathcal{M}$ donné en (20), calculez :

1. $[\mathbf{Pdormir}(d) \wedge \mathbf{Fdormir}(d)]^{M, i_3, g}$

2. $[\mathbf{P}[\mathbf{dormir}(b) \wedge \mathbf{dormir}(c)]]^{M, i_4, g}$

3. $[\mathbf{Pdormir}(b) \wedge \mathbf{Pdormir}(c)]^{M, i_4, g}$

4. $[\mathbf{dormir}(c) \rightarrow \mathbf{Fdormir}(c)]^{M, i_2, g}$

5. $[\mathbf{F} \neg \exists x \mathbf{dormir}(x)]^{M, i_2, g}$

6. $[\neg \exists x \mathbf{Fdormir}(x)]^{M, i_2, g}$

Quelle est la meilleure manière de traduire dans LO tout le monde a dormi ?

### 4.2.2.3 Combinaisons d'opérateurs

Une bonne manière d'apprivoiser l'interprétation de P et F est d'examiner le sens de formules qui combinent plusieurs opérateurs temporels, puisque, comme on l'a vu, (Syn.7) nous permet d'empiler les P et F devant une formule $\varphi$.

Commençons avec $\mathbf{PP}\varphi$. La sémantique nous dit que $[\mathbf{PP}\varphi]^{M, i, g} = 1$ ssi $P\varphi$ est vraie à un instant $i'$ avant $i$. Et $P\varphi$ est vraie à $i'$ ssi $\varphi$ est vraie à un instant $i''$ avant $i'$. On fait donc deux bonds successifs dans le passé comme l'illustre le schéma en (25).

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

Ainsi, $\mathbf{PP}$ est en quelque sorte un passé de passé, ou un passé dans le passé. Pour cette raison, on a pu considérer que ce « double P » correspondait à la contribution temporelle
de temps composés comme, en français, le plus-que-parfait (26a), ou le passé antérieur (26b), voire un passé surcomposé comme (26c).

(26) a. Alice avait dormi.

b. Alice eut dormi.

c. Alice a eu dormi.

Pour $FPφ$, il faut faire attention : on interprète toujours les formules en les décom-
posant rigoureusement selon la règle (Syn.7) ; autrement dit, on commence toujours par
interpréter l'opérateur le plus à gauche. Donc $FPφ$ est vraie à l'instant $i$ ssi $Pφ$ est vraie
à un instant $i'$ postérieur à $i$. Ceci est vrai ssi $φ$ est vraie à un instant $i''$ antérieur à $i'$.
Cette fois-ci, on fait d'abord un bond dans le futur, puis un bond qui recule dans le passé.
Notons que ce deuxième bond, en arrière, peut nous ramener aussi bien avant qu'après
l'instant de départ $i$, comme le montre le schéma (27).

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

FP est donc un passé dans le futur (un passé vu du futur). Cela semble correspondre à l'emploi du futur antérieur en français :

(28) Alice aura dormi.

Inversement, on comprend rapidement que $PFφ$ est un futur dans le passé. La formule est vraie à $i$ ssi par rapport à un instant du passé de $i$, il y a un instant futur où $φ$ est vraie. On fait d'abord un bond dans le passé, et de là on se dirige vers le futur pour vérifier que $φ$ est vraie (29).

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

En français, on peut exprimer l'idée d'un futur du passé à l'aide du futur périphrastique en *aller* conjugué au passé (30a), ainsi qu'avec certains emplois du conditionnel, comme en (30b).

(30) a. Alice allait dormir.

b. Alice ne se doutait pas encore qu'elle dormirait lorsque le Père Noël passerait.

Enfin, le double futur $FFφ$ nous fait faire deux bonds successifs dans l'avenir (31). $FFφ$ revient à *il sera vrai qu'il sera vrai que* $φ$.

<figure><img src="image_22.png" /></figure>
## 4 Sémantique intensionnelle

Le mieux que nous pouvons trouver pour rendre compte, plus ou moins, de cette idée en français serait d'utiliser un futur périphrastique doublé d'une conjugaison au futur :

(32) Alice ira dormir.

Nous pourrions également nous « amuser » à développer les conditions de vérités de formules comme PFFφ, PPPφ, FPFφ, FPFFφ, etc. Mais cela deviendrait vite artificiel, d'autant plus que non seulement il n'existe pas de formulations simples en français qui reflètent le sens de ces combinaisons, mais aussi, je m'empresse de le dire ici, que les analogies présentées ci-dessus entre les temps verbaux et les combinaisons de P et F ne tiennent pas vraiment la route sémantiquement. La contribution des temps verbaux de la langue est bien plus complexe qu'une simple opération de décalage temporel, nous aurons plusieurs fois l'occasion de revenir sur ce point (notamment au chapitre 7, vol. 2).

En revanche, il est intéressant d'examiner les interactions des opérateurs temporels avec la négation. Par exemple, P¬φ est vraie à i, ssi il existe un instant du passé de i où φ est fausse. Autrement dit, P¬φ signifie que « φ a été fausse ». De même, F¬φ signifie que « φ sera fausse » (à un moment dans le futur de l'instant d'évaluation). À ne surtout pas confondre avec ¬Pφ et ¬Fφ. ¬Pφ est vraie à l'instant i, ssi il n'existe pas d'instant antérieur à i où φ est vraie. Cela signifie donc que φ n'a jamais été vraie dans le passé. Et ¬Fφ que φ ne sera jamais vraie dans le futur. Partant, quelle est l'interprétation de ¬P¬φ et de ¬F¬φ ?

Avant de répondre à cette question, prenons le temps de faire un petit détour en revenant sur les règles (Sém.7). Leur formulation nous montre bien qu'il s'agit en fait de règles de quantification, et plus précisément des règles de quantification existentielle sur les instants. Rien ne nous empêche alors d'envisager aussi de la quantification universelle sur les instants. C'est d'ailleurs ce que fait la logique temporelle de Prior (1967), en introduisant deux autres opérateurs temporels H et G qui sont respectivement les duaux universels de P et F. Leurs interprétations sont donc les suivantes : [[Hφ]]<sup>M,i,g</sup> = 1 ssi pour tout instant i' tel que i' < i, [[φ]]<sup>M,i',g</sup> = 1, et [[Gφ]]<sup>M,i,g</sup> = 1 ssi pour tout instant i' tel que i < i', [[φ]]<sup>M,i',g</sup> = 1. Ce sont des opérateurs très forts ; par exemple Gφ signifie que φ sera toujours et définitivement vraie dans le futur de l'instant d'évaluation, et la formule [φ ∧ Gφ ∧ Hφ] nous permet de dire que φ est une vérité éternelle. Pour cette raison, H et G ne sont pas d'une grande utilité pratique pour l'analyse sémantique de phrases de la langue. Mais le fait est que Hφ et Gφ sont respectivement équivalentes à ¬P¬φ et ¬F¬φ.

### Exercice 4.3

En supposant un modèle suffisamment réaliste (c'est-à-dire avec *I* comprenant un très grand nombre d'instant), comparez les conditions de vérité de Pφ et PPPφ (en particulier en vous intéressant à ce qui distingue sémantiquement ces deux formules).

Terminons par une petite observation qui se rapporte à ce que nous avons vu en §4.1.2. De par leur sémantique, P et F sont aussi des candidats pour traduire la contribution d'adjectifs intensionnels comme *ancien* et *futur*. Nous pouvons, par exemple, proposer les traductions suivantes :
(33) a. Jean est un futur Prix Nobel.
Fprix-nobel(j)

b. Tous les patients sont d'anciens alcooliques.
∀x[patient(x) → Palcoolique(x)]

(33a) a ainsi les mêmes conditions de vérité que *Jean sera Prix Nobel*, ce qui semble assez vraisemblable. On peut néanmoins tenter de perfectionner un peu ces traductions : par exemple, pour dire que *x* est un ancien alcoolique, il est peut-être plus précis d'écrire [*Palcoolique(x) ∧ ¬alcoolique(x)*] (ajoutant ainsi qu'*x* n'est plus alcoolique*<fnref n="23" />). Et ces adjectifs nous aident également à nous faire une idée de la portée des opérateurs temporels introduits par les temps verbaux. Par exemple la traduction la plus plausible de (34) est certainement (34a) plutôt que (34b).

(34) Marie a épousé un ancien footballeur.

a. P∃x[épouser(m, x) ∧ [Pfootballeur(x) ∧ ¬footballeur(x)]]

b. ∃x[Pépouser(m, x) ∧ [Pfootballeur(x) ∧ ¬footballeur(x)]]

(34a) signifie que le mari de Marie était déjà ancien footballeur lorsqu'elle l'a épousé, alors que (34b) dit simplement qu'il n'est plus footballeur aujourd'hui sans exclure qu'il ait cessé de l'être après son mariage. Cela tendrait à montrer que la contribution temporelle des temps verbaux porte sur toute la proposition (ou au moins sur le groupe verbal) et pas seulement sur le prédicat qui traduit le verbe.

4.2.3 Problèmes

Dans cette dernière section, nous allons passer en revue quelques problèmes que peut (éventuellement) poser, pour l'analyse sémantique, cette formalisation de la temporalité en termes de P et F.

Une première critique que l'on peut adresser à cette sémantique temporelle concerne
la manière dont *I*<sub>«</sub> modélise le cours du temps et en particulier le futur. *I* a une structure
linéaire et *M* est défini de telle sorte que pour tout instant *i* du futur, l'état du monde
y est parfaitement et définitivement déterminé. Or peut-on vraiment se permettre de
présumer que le modèle connaît l'avenir ?

À cette question, plusieurs éléments de réponses peuvent être apportés, et je pense
qu'au bout du compte, cette critique ne pose pas vraiment de problème compromettant
pour le système sémantique. Il faut bien avoir en tête qu'un modèle est avant tout un
outil théorique qui nous sert à formaliser des conditions de vérité. Ce qui est donc pri-
mordial pour nous, c'est de savoir si nos règles d'interprétation (notamment pour F) sont
suffisamment conformes à ce que la langue nous permet de faire avec sa sémantique. Un
modèle, par définition, contient tout ce à quoi on peut faire référence, et évidemment la

<footnote n="23">²³ Pour vérifier que cette deuxième condition relève bien des conditions de vérité (et pas d'une implicature par exemple), on peut examiner l'effet de la négation. Or *Pierre n'est pas un ancien alcoolique* semble bien signifier soit qu'il n'a jamais bu, soit qu'il boit encore, ce qui est effectivement la négation de la conjonction [*Palcoolique(p) ∧ ¬alcoolique(p)*].</footnote>
langue ne nous interdit nullement de faire référence à l'avenir – même si celui-ci n'existe pas encore et reste très incertain. Lorsqu'un locuteur affirme une phrase comme *Alice te téléphonera après-demain dans l'après-midi*, il accomplit une assertion d'un type particulier : c'est une sorte de prédiction, et se faisant, il s'engage de manière un peu audacieuse en posant une description précise (bien que partielle) de l'état du monde à un instant à venir. Il se trompe peut-être, sur le moment nous ne pouvons pas le vérifier, l'avenir nous le dira. Mais cela ne remet pas fondamentalement en cause les conditions de vérité de $F\varphi$ ; elles semblent un peu irréalistes parce qu'elles nous demandent de nous projeter dans l'avenir pour vérifier que $\varphi$ est vraie, et nous ne pouvons par faire un tel saut temporel. Mais ce n'est pas si grave. En pratique, pour évaluer une phrase au passé, il nous faut de la mémoire ou des archives ; pour évaluer une phrase au futur, il nous faut... de la patience. Autrement dit, l'évaluation effective de $[[F\varphi]]^{M,i,g}$ ne peut se faire qu'a posteriori (par rapport à i), lorsque l'instant où $\varphi$ doit être vérifiée sera devenu le présent (ou le passé). À ce moment là, l'état du monde sera univoquement défini, comme ce que propose $M$, et le calcul de $[[F\varphi]]^{M,i,g}$ se fera bien conformément à la règle (Sém.7b).

Et n'oublions pas qu'ordinairement, dans la pratique langagière, nous utilisons rarement les conditions de vérité pour vérifier qu'une formule est vraie dans un modèle ; nous faisons plutôt l'inverse, c'est-à-dire admettre, ou poser, qu'une formule est vraie pour ensuite apprendre des informations sur le monde (et donc sur le modèle). Prise de cette manière, (Sém.7b) nous permet simplement d'envisager (voire d'hypothéquer) l'avenir en « découvrant » ce que le modèle prédestine.

Enfin, il faut reconnaître que dès que nous voulons intégrer formellement la dimension temporelle dans notre modèle, nous sommes bien obligés de définir (au moins théoriquement) un état du monde pour tout instant i, puisque, comme nous l'avons vu, tous les i de $\mathcal{I}$ sont potentiellement un présent, et donc aussi un passé et un futur (par rapport à d'autres instants). $\mathcal{I}$ présente une vision absolue du temps<fnref n="24" /> et dans $\mathcal{I}$ tous les instants sont logés à la même enseigne.

Cependant, il ne faut pas négliger pour autant cette propriété particulière que nous venons de voir, à savoir qu'une phrase au futur ne peut pas, en général, être évaluée au moment de son énonciation. Cela montre que le futur grammatical n'est pas un simple symétrique du passé. On explicite habituellement cette particularité en considérant que le futur est plus qu'un temps et qu'il comporte également une composante *modale* dans sa sémantique. Et à cet égard, nous verrons, à partir de la section suivante, des éléments de formalisation supplémentaires qui nous permettront de restituer cette idée d'un futur incertain et inconnu sans aller jusqu'à poser qu'il n'existe pas ou qu'il n'est pas défini dans le modèle.

Le deuxième problème qui se pose à notre sémantique temporelle est un peu plus évident. Il concerne l'expressivité de LO par rapport aux langues naturelles. Nous savons bien que les temps verbaux dans les langues ont des valeurs sémantiques beaucoup plus riches et fines que ce que nous donnent les opérateurs P, F et leurs combinaisons. Par

<footnote n="24">²⁴ Et en quelque sorte cette vision est newtonienne.</footnote>
exemple, P ne peut pas rendre compte de la différence sémantique entre (35a) et (35b),
qui sont toutes deux des phrases au passé :

(35) a. Alice a dormi.

b. Alice dormait.

Nous savons que ce qui distingue sémantiquement ces deux phrases n’est pas une
question de temporalité mais une question d’aspect. Le passé composé et l’imparfait ont
des valeurs aspectuelles différentes, et l’aspect n’est pas ce qui nous dit quand a lieu tel ou
tel événement, mais comment les événements se déroulent dans le flux temporel, ou plus
exactement comment ces déroulements sont perçus et/ou présentés dans les énoncés. Les
opérateurs P et F ne font que du décalage sur I, ils n’ont rien à dire sur les déroulements
et leurs conceptualisations.

C’est d’ailleurs pour cela que les exemples données dans la section précédentes sont
en fait un peu tendancieux : par exemple, la séquence PP, en fait, ne reflète pas très
bien, en termes de conditions de vérité, la contribution sémantique du plus-que-parfait
ou du passé antérieur. D’abord à cause des propriétés aspectuelles de ces temps verbaux,
mais aussi parce que PPφ a (presque) exactement les mêmes conditions de vérité que Pφ
(c’était le sens de l’exercice 4.3).

Tout cela montre que le système sémantique est insuffisant. Cela n’implique pas for-
cément que le système est mauvais : il ne fait pas tout ce que l’on attendrait de lui, mais
cela ne veut pas forcément dire qu’il fait mal ce qu’il fait. Et d’ailleurs, j’avais pris soin
précédemment (cf. p 186) d’annoncer que la temporalisation de LO ne concernerait, jus-
tement, que la temporalité, et pas l’aspect. Nous pourrions encore envisager de réparer
cette insuffisance en complétant le système, en lui ajoutant de l’expressivité, sans pour
autant supprimer ce qui a été fait dans cette section.

Malheureusement, il nous faut lui donner le coup de grâce et reconnaître qu’il fait de
mauvaises prédictions (i.e. de mauvaises analyses) : en plus d’omettre de dire des choses
que l’on aimerait qu’il dise, le système dit aussi des choses qu’il ne devrait pas dire. Une
des critiques les plus décisives adressées au système P-F réside dans ce fameux exemple
de B. Partee<fnref n="25" /> :

(36) Jean n’a pas coupé le gaz.

En fait, le problème qui se pose apparaît de manière systématique avec des phrases
négatives au passé ou au futur. Essayons de traduire (36) dans LO à l'aide de la séman-
tique temporelle intensionnelle. Supposons, pour simplifier, que *le gaz* se traduit par une
constante, g. A priori, deux possibilités s'offrent alors à nous : (37a) ou (37b).

(37) a. **P**<sub>couper</sub>(j, g)

b. P¬couper(j, g)

Laquelle de ces deux formules traduit correctement (36)? En fait, aucune des deux.
Mais il nous faut le démontrer, en explicitant leurs conditions de vérité. Pour cela reve-

<footnote n="25">²⁵ Partee (1973). L'exemple original, en anglais, est : *John didn't turn off the stove.*</footnote>
nons à ce que nous avons vu plus haut (p. 198) sur la différence entre $\neg P\varphi$ et $P\neg\varphi$. (37a) est vraie à un instant $i$ ssi il n'existe pas d'instant $i'$ antérieur à $i$ où **couper**(*j*, *g*) est vraie. Autrement dit (37a) signifie que Jean n'a jamais coupé le gaz de sa vie. Et ce n'est pas le sens de (36), qui n'est pas aussi fort. Imaginons le dialogue suivant, dans le contexte d'un couple, Marie et Jean, sur la route des vacances :

(38) Marie : — Oh ! tu n'as pas coupé le gaz, andouille !
Jean : — Si, je l'ai coupé... un jour, en 1996, c'était un mardi matin, je m'en rappelle très bien...

Jean est d'une mauvaise foi éhontée, et c'est parce qu'il interprète la phrase de Marie comme si elle signifiait (37a).

Les conditions de vérité (37b) semblent un peu meilleures. Mais en réalité, elles sont encore pires que celles de (37a). (37b) est vraie à un instant $i$ ssi il existe un instant $i'$ antérieur à $i$ où **couper**(*j*, *g*) est fausse. Quel est le problème ici ? C'est que (37b) est trivialement vraie : il suffit qu'il existe un instant quelconque du passé où Jean ne coupe pas le gaz pour que la formule soit vraie. Et un tel instant existe, car Jean ne passe pas sa vie à couper le gaz. Y compris lorsque Jean a effectivement coupé le gaz : il existe des instants, un peu avant et un peu après, où il n'est pas en train de le faire. Dans un tel cas de figure, (36) est fausse (il a bien coupé le gaz), mais (37b) est vraie (car il existe un, et même plusieurs, instants du passé où il ne le fait pas). Revenons à notre couple, Jean et Marie, mais cette fois avec le dialogue suivant :

(39) Marie : — Oh ! tu n'as pas coupé le gaz, andouille !
Jean : — Si si, je l'ai coupé avant de partir.
Marie : — Ouais... mais juste avant de le couper, tu ne l'as pas coupé ! Donc j'ai raison !

Là c'est Marie qui est d'une odieuse mauvaise foi : elle interprète (ou réinterprète) sa première phrase comme si elle signifiait (37b).

Nous devons donc conclure que notre langage LO n'est pas en mesure de traduire correctement le sens de (36) – car il n'y a pas d'autres possibilités pour placer la négation dans une formule au passé.

Ce que veut dire le locuteur en prononçant (36) (dans des circonstances normales et probes) c'est la chose suivante : « je pense à *une certaine période* du passé, et durant cette période particulière, il n'est pas vrai que Jean coupe le gaz ». Cela devrait nous rappeler quelque chose... Nous avons vu que P et F sont en fait des opérateurs de quantification existentielle, un peu comme $\exists$, mais qui quantifient sur $\mathcal{I}$ et non sur $\mathcal{A}$. Et au chapitre 3, §3.1.5, nous avions vu qu'en général, dans la langue, nous quantifions rarement sur le domaine complet, mais seulement sur un sous-domaine, restreint contextuellement (ce que nous implémentions au moyen d'un pseudo-prédicat C). C'est la même chose qui se passe avec la temporalité et la quantification sur les instants. Et dans la glose ci-dessus, cette *certaine période* joue précisément le rôle de la restriction contextuelle sur le domaine de quantification $\mathcal{I}$. C'est aussi le rôle joué par des compléments circonstanciels de temps comme *ce matin, tout à l'heure, avant de partir, le 7 décembre*, etc. Or LO ne
nous permet pas plus d'encoder des restrictions implicites pour P et F que de traduire des circonstanciels de temps. Il s'agit là d'un autre symptôme de l'insuffisance de notre système. Comme signalé précédemment, il est encore possible de régler ces problèmes en améliorant la sémantique temporelle fondée sur P et F (en augmentant LO et en complexifiant les règles d'interprétation). Mais nous ne le ferons pas ici ; d'abord parce que ce serait techniquement un peu trop lourd, et nous verrons dans le chapitre 7 (vol. 2) une manière plus efficace, plus commode et plus standard de traiter la contribution des temps verbaux.

Cela signifie, pour conclure, que nous allons finalement abandonner l'usage de P et F dans notre langage formel ; nous allons les conserver, ainsi que *I*, le temps des sections qui suivent, mais nous nous en séparerons à la fin de ce chapitre pour mieux réintroduire la temporalité dans le chapitre 7. Néanmoins ce que nous venons de voir n'aura pas servi à rien. D'abord cela nous a donné l'occasion de nous pencher sur l'idée de temporalité insérée dans un modèle, et nous serons amenés à réutiliser *I* par la suite (en l'étoffant un peu). Et surtout cela nous aura permis de nous familiariser assez simplement avec le principe de base de la formalisation de l'intensionnalité. Les sections suivantes poursuivent cette formalisation et nous allons voir que fondamentalement le mécanisme est à peu près le même.

## 4.3 Modalités et mondes possibles

Récapitulons quelques aspects essentiels de la théorie sémantique exposée jusqu'ici. Il doit maintenant être clair que la dénotation d'une expression interprétable dépend d'une certaine configuration du monde, ce que nous avons formalisé à l'aide de l'outil des modèles. Nous avons vu également, dans la sémantique temporelle de la section précédente, que la dénotation d'une expression dépend aussi d'un autre paramètre, que nous avons appelé un *indice*, et qui peut varier au sein du modèle. Ce paramètre est le point de référence temporel, c'est-à-dire l'instant auquel il faut se reporter pour envisager la dénotation d'une expression. La conséquence pour le système sémantique est importante : à présent, pour un modèle *M* donné, une même expression peut avoir différentes valeurs sémantiques, il suffit de changer l'instant d'évaluation. Nous sommes passés à une sémantique intensionnelle. Car, rappelons-le, l'intensionnalité est cette propriété du système interprétatif qui permet d'envisager un (grand) éventail de dénotations pour chaque expressions du langage.

Dans cette section (et la suivante) nous allons systématiser encore davantage cette idée de variabilité des valeurs sémantiques d'une expression donnée dans un modèle donné. Et dans un premier temps (§4.3.1) nous allons voir comment cela se justifie en regard de l'usage que l'on peut (et doit) faire de l'outil de modèle lorsqu'il s'agit de le mettre en rapport avec la notion de connaissance.
4.3.1 Savoir et ignorer

Un modèle est une description mathématique du monde : il encode l'ensemble des in-
formations que l'on a, au moins potentiellement, sur le monde. Et pour être plus précis,
ce « on » dont il est ici question et qui possède ces informations est un locuteur ou un
allocutaire donné<fnref n="26" />. Ainsi un modèle peut être vu comme un outil formel qui a vocation
de réaliser de la représentation de connaissances (en l'occurrence des connaissances d'un
locuteur donné). Car rappelons que comprendre une phrase c'est, entre autres, être ca-
pable de confronter son contenu (c'est-à-dire son sens) avec les informations fournies
dans un modèle.

Ajoutons qu’un modèle réaliste<fnref n="27" /> vise à décrire le monde *en entier*. Cela signifie que non seulement un tel modèle est supposé fournir un domaine de quantification (*A*) contenant tous les individus (tous les objets) auxquels un locuteur est susceptible de faire référence dans ses phrases, mais aussi que sa fonction d’interprétation (*F*) est définie pour tous les prédicats du langage du locuteur, c’est-à-dire au moins tous les noms, verbes, adjectifs de sa langue. Multiplions tout cela par l’axe temporel (*I*) introduit *supra*, et nous imaginons tout de suite les formidables proportions qu’atteint ce genre de structure dans son développement. Autrement dit, un modèle (réaliste) est par définition une *immense* base de représentation de connaissances ; elle est immense car exhaustive : un modèle nous dit *tout* sur le monde.

Or nous, les locuteurs, ne savons pas tout ! Et c'est heureux, car sinon nous n'aurions
rien à nous dire, nous n'aurions aucune information à nous échanger, à transmettre ou
à recevoir, puisque nous les posséderions déjà toutes. L'omniscience est d'un ennui in-
sondable. Puisque nous nous soucions de « réalisme » ici, et qu'un modèle peut servir
à représenter des connaissance, il devient assez légitime de se poser la question de com-
ment rendre compte, en termes de modèle, du fait qu'un locuteur donné ne sait pas tout.
On sera peut-être tenté de répondre que si ce locuteur ne sait pas tout, c'est que sa base
personnelle de connaissances du monde (donc son modèle) est incomplète. C'est là une
idée tout à fait raisonnable et une piste qui mérite d'être poursuivie. Cependant je vais
d'abord montrer qu'il est difficile de définir proprement ce que serait un modèle incom-
plet, ou pour dire les choses plus précisément, qu'il est difficile de formaliser l'incom-
plétude de connaissance au moyen d'un modèle incomplet. Mais nous verrons ensuite
comment contourner ce problème.

Reprenons notre exemple de modèle-jouet précédent :

$$
(40) \quad \mathcal{M} = \langle \mathcal{A}, \mathcal{I}_{<}, F \rangle \text{ avec } \mathcal{A} = \{\text{ALICE}; \text{BRUNO}; \text{CHARLES}; \text{DINA}\} \text{ et } \mathcal{I} = \{i_1; i_2; \\ i_3; i_4\}
$$

<footnote n="26">²⁶ Il s'agira du locuteur ou de l'allocutaire selon que c'est l'angle de la production ou celui de la compréhension qui est adopté. Disons de manière générale qu'il s'agit du sujet parlant (et « comprenant ») dans la peau duquel nous nous glissons lorsque nous effectuons nos calculs sémantiques.</footnote>

<footnote n="27">²⁷ Par « réaliste » j'entends ici : descriptivement en phase avec la réalité du monde qu'habite (ou qu'évoque) le locuteur. En revanche, il ne faudrait surtout pas penser que ce que j'appelle un modèle réaliste est une réplique vraisemblable et fidèle des ressources et processus mentaux et cognitifs des locuteurs humains. Un tel « réalisme » n'est pas l'objectif de la présente étude.</footnote>
Faisons une première remarque. Ce modèle $\mathcal{M}$ est partiel, car il n'ambitionne pas de décrire le monde entier (ce n'est qu'un modèle-jouet) : il se contente de décrire un micro-univers contenant quatre entités. Cela ne veut pas dire pour autant que $\mathcal{M}$ serait incomplet (dans le sens qui nous occupe ici). L'idée de modèle incomplet que nous avons soulevée vise à traduire formellement l'ignorance du locuteur sur certains faits du monde. Et l'ignorance (comme le savoir) a en fait surtout à voir avec la fonction d'interprétation $F$.

Supposons que nous (locuteurs à qui « appartient » le modèle $\mathcal{M}$) savons parfaitement que l'individu ALICE dort à $i_1$. Cela signifie que nous sommes sûrs d'au moins une chose, c'est que :

$$ (41) \quad \mathbf{ALICE} \in F(i_1, \mathbf{dormir}) $$

Continuons en supposant aussi que nous ne savons pas si les autres individus de $\mathcal{A}$ dorment ou pas à $i_1$. À présent, sous ces hypothèses, comment pouvons-nous définir $F$, pour les arguments qui nous occupent, $i_1$ et dormir ? Nous ne pouvons pas donner :

$$ (42) \quad F(i_1, \mathbf{dormir}) = \{\mathbf{ALICE}\} $$

Parce que (42) dit précisément qu'ALICE est le seul individu de $\mathcal{A}$ qui dort à $i_1$. Et donc avec (42) nous savons que BRUNO, CHARLES et DINA ne dorment pas. Mais cela n'est pas notre hypothèse de départ qui était que pour ceux-là nous ne savons pas s'ils dorment ou pas. Comment procéder alors ?

En fait ce qui correspond à l'ignorance, ou l'incertitude, c'est une alternative de valeurs pour $F(i_1, \mathbf{dormir})$. Autrement dit, ne pas savoir si BRUNO, CHARLES et DINA dorment (tout en sachant que c'est le cas pour ALICE), c'est admettre que l'on peut choisir parmi :

$$ \begin{array}{l} (43) \quad F(i_1, \mathbf{dormir}) = \{\mathbf{ALICE}\} \\ \quad \mathbf{ou bien} \\ F(i_1, \mathbf{dormir}) = \{\mathbf{ALICE} ; \mathbf{BRUNO}\} \\ \quad \mathbf{ou bien} \\ F(i_1, \mathbf{dormir}) = \{\mathbf{ALICE} ; \mathbf{CHARLES}\} \\ \quad \mathbf{ou bien} \\ F(i_1, \mathbf{dormir}) = \{\mathbf{ALICE} ; \mathbf{DINA}\} \\ \quad \mathbf{ou bien} \\ F(i_1, \mathbf{dormir}) = \{\mathbf{ALICE} ; \mathbf{BRUNO} ; \mathbf{CHARLES}\} \\ \quad \mathbf{ou bien} \\ F(i_1, \mathbf{dormir}) = \{\mathbf{ALICE} ; \mathbf{BRUNO} ; \mathbf{DINA}\} \\ \quad \mathbf{ou bien} \\ F(i_1, \mathbf{dormir}) = \{\mathbf{ALICE} ; \mathbf{CHARLES} ; \mathbf{DINA}\} \\ \quad \mathbf{ou bien} \\ F(i_1, \mathbf{dormir}) = \{\mathbf{ALICE} ; \mathbf{BRUNO} ; \mathbf{CHARLES} ; \mathbf{DINA}\} \\ \quad \mathbf{ou bien} \end{array} $$

Seulement, dans $\mathcal{M}$, $F$ est une fonction. Et donc elle ne peut (et ne doit) donner qu'une seule valeur pour le couple d'arguments $(i_1, \mathbf{dormir})$; en tant que fonction, $F$ par elle-même ne peut pas présenter un choix de dénotations. D'ailleurs c'est plutôt la liste (43)
qui présente un choix de valeurs pour F. En fait (43) expose 8 fonctions d'interprétations différentes (il se trouve juste que ces 8 ont été appelées F, pour bien insister sur l'alternative). Et comme une fonction d'interprétation est définitoire d'un modèle, (43) nous propose donc 8 modèles différents. Par conséquent, ne pas savoir si une phrase P est vraie, cela revient à avoir le choix parmi de multiples modèles, i.e. de multiples états du monde.

Nous retrouvons évidemment le principe de l'intensionnalité, très similaire à ce que nous avons vu dans la section précédente. Mais cette fois, les différents états du monde dont nous avons besoin ne visent pas à décrire les étapes successives de « l'Histoire », mais à décrire comment peut ou pourrait être le monde. Formellement nous allons procréder de la même façon, en multipliant le modèle de l'intérieur : pour chaque instant de *I*, nous allons envisager un multitude (et peut-être même une infinité) de réalités alternatives, c'est-à-dire d'états possibles du monde. Et c'est pour cette raison que ces alternatives sont appelées simplement des MONDES POSSIBLES. Un monde possible est donc une certaine variante de la réalité, parmi beaucoup d'autres.

Nous aborderons précisément l'implémentation de cette notion dans notre système sémantique au cours des pages qui suivent, mais nous pouvons dès à présent voir que, comme son nom l'indique, elle est étroitement liée à celle de possibilité et donc de modalité. En effet, si selon les informations données en (43), nous ne savons pas si Bruno dort à $i_1$, ou si simplement nous n'en sommes pas sûr, cela revient bien à admettre qu'il est possible qu'à $i_1$ Bruno dorme (et, cela va de pair, qu'il est possible qu'il ne dorme pas). Autrement dit, être incertain au sujet d'une chose consiste à envisager un certain nombre de « possibles », et un monde possible correspond en fait à ce que nous appelons, dans le langage ordinaire, une possibilité.

Et cela laisse aussi deviner que la connaissance (ainsi que l'ignorance) est une forme de modalité ; nous reviendrons sur ce point plus précisément en §4.3.3.3 et au chapitre 9 (vol. 2). Mais nous pouvons déjà nous faire une idée de la manière de rendre compte des connaissances partielles d'un locuteur. Le principe est que tout locuteur ne retient qu'un sous-ensemble de mondes possibles et qu'il rejette les autres : il retient les mondes qui décrivent des états de choses qui sont conformes avec tout ce qu'il sait mais qui diffèrent entre eux sur ce qu'il ne sait pas ; et il rejette tous les mondes qui décrivent des états de choses qu'il sait être faux. C'est ce qui est illustré en (43), où tout ce que nous savons, ou ce dont nous pensons être sûrs, est tout ce qu'il y a en commun à l'ensemble des alternatives. Avec (43), nous sommes sûrs qu'Alice fait partie des dormeurs.

Donc, pour résumer, les locuteurs étant ce qu'ils sont (ignorants, incertains ou oublieux), une description sémantique adéquate de leurs énoncés doit envisager, d'une manière ou d'une autre, une multiplicité de mondes – et si possible en conservant la notion d'un « super-modèle » englobant ces variantes. Ajoutons, et cela va dans le même sens, que ce n'est pas forcément par ignorance qu'un locuteur peut se retrouver à choisir parmi différents mondes possibles : il peut très bien choisir de se positionner délibérément vis-à-vis d'un monde alternatif qu'il sait être distinct de sa vision (et de ses connaissances) personnelle(s) du monde réel. C'est ce qui se produit par exemple lorsqu'un locuteur fait preuve d'imagination, et c'est quelque chose de très courant dans la pratique langagière.

Le reste de cette section va donc se consacrer à la présentation de la mise en place formelle et théorique de cette idée de démultiplication du modèle au moyen de mondes
possibles. Et pour appréhender cette notion, nous allons commencer par examiner le phénomène des modalités en français, car elles constituent un procédé sémantique assez simple de manipuler les mondes.

### 4.3.2 Possible et nécessaire

Je ne vais pas immédiatement donner une définition générale de ce que l'on appelle la ou les modalité(s) en sémantique ; ce sera plus simple lorsque nous aurons un peu avancé dans l'observation du phénomène. Contentons-nous pour le moment de considérer que la modalité a trait, entre autres, aux notions de possible et de nécessaire. De plus, la présentation qui suit sera extrêmement sommaire (et peut-être un peu approximative), car les modalités représentent en elles-mêmes un continent de la sémantique et sont pléthoriques dans le langage, à la fois par leurs fréquences d'emploi et par leurs variétés de réalisations et de déclinaisons sémantiques. Dans cette section, je veux surtout mettre l'accent sur quelques particularités de l'interprétation de phrases modales.

Le possible et le nécessaire sont ce que l'on appelle des FORCES MODALES (il en existe quelques autres, mais ce sont les deux principales, avec bien sûr l'impossible, qui est la nécessation du possible). En français, ils sont exprimés par des tournures comme *il est possible que*, *il est nécessaire que*, des adverbes comme *éventuellement*, *peut-être*, *nécessairement*, *forcément*, et les verbes<sup>28</sup> pouvoir et devoir. Il y a bien sûr des nuances importantes entre ces différentes expressions, et certaines sont même particulièrement polysémiques. Mais fions-nous pour le moment à une idée intuitive de ce qu'elles peuvent signifier.

Pour ce faire, faisons un peu de fiction. Imaginez-vous au casino, à une table de roulette. Vous venez de miser sur le numéro 23, et quelqu'un vous murmure alors à l'oreille :

(44) Le 23 peut sortir (au prochain coup).

Laissons *au prochain coup* entre parenthèses, pour nous concentrer sur la partie de la phrase que nous pouvons simplement gloser par *il est possible que le 23 sorte*. Selon au moins une interprétation, (44) apparaît ni plus ni moins comme une remarque absurde, parce que la phrase est *trivialement* vraie. Si le jeu est, comme il se doit, de pur hasard, et si le croupier ne triche pas, il n'y a aucune raison d'exclure la sortie du numéro 23 au prochain coup. Donc, oui, *évidemment* que le 23 peut sortir !<sup>29</sup>

<footnote n="28"><sup>28</sup> Ces verbes sont souvent appelés *auxiliaires* modaux dans les grammaires, même si, d'un point de vue strictement syntaxique, ce ne sont pas vraiment des auxiliaires en français.</footnote>

<footnote n="29"><sup>29</sup> Bien sûr, il y a d'autres manières de réagir face à (44), en accordant un peu plus de crédit au locuteur et donc en écartant l'interprétation où la phrase est trivialement vraie. Mais dans ce cas notre réaction sera probablement d'être interloqué ; nous nous demanderons pourquoi il nous dit cela ? que veut-il précisément dire par là ? sait-il des choses que nous ignorons ? mais lesquelles ?... Allons plus loin en imaginant le dialogue suivant :</footnote>

<footnote>(i) – Le 23 peut sortir.</footnote>

<footnote>– Ah bon ? Et pas les autres numéros ?</footnote>

<footnote>– Si si, les autres numéros aussi peuvent sortir.</footnote>

<footnote>– ...</footnote>

<footnote>On voit bien que (44) n'est pertinente que si le locuteur sous-entend que d'autres numéros ne peuvent pas sortir, et c'est surtout ce sous-entendu qui est informatif en contexte.</footnote>
## 4 Sémantique intensionnelle

De même (45), la négation de (44), que nous gloserons en *il est impossible que le 23 sorte*, est tout aussi incongrue car elle est, elle, trivialement fausse, pour les mêmes raisons que précédemment.

(45) Le 23 ne peut pas sortir (au prochain coup).

La phrase (46) nous paraîtra également immédiatement fausse, mais là pour une autre raison : les numéros de la roulette des casinos vont de 0 à 36.

(46) Le 38 peut sortir (au prochain coup).

Et nous ferons le même genre d'observations avec des phrases exprimant la nécessité comme :

(47) a. Nécessairement le 38 ne sortira pas (au prochain coup).

b. Nécessairement le 23 sortira (au prochain coup).

Nous constatons immédiatement que (47a) est vraie (sachant que (47a) équivaut à *il est impossible que le 38 sorte*) et que (47b) est fausse.

Si nous arrivons à expliquer pourquoi ces exemples (44)–(47b) ont ces valeurs de vérité, nous serons alors sur la bonne voie pour expliciter leurs sens. Il est important de remarquer que ces phrases ont une caractéristique sémantique assez particulière, qui apparaît clairement si nous comparons (44) avec (48a) et (48b) :

(48) a. Le 23 est sorti (au dernier coup).

b. Le 23 va sortir (au prochain coup).

Si nous nous interrogeons sur les valeurs de vérité de (48a) et (48b) comme nous l'avons fait pour (44)–(47b), nous retrouvons le principe fondamental de la théorie, qui dit que la dénotation d'une expression dépend des circonstances précises, c'est-à-dire du modèle. Or dans le petit exercice d'imagination que nous sommes en train de faire, nous ne nous sommes pas donné un modèle très précis, nous n'avons pas fait d'hypothèse sur les numéros qui réellement sont tombés ou vont tomber dans la situation envisagée. Et c'est pour cela que nous ne savons pas nous prononcer sur les valeurs de vérité de (48a) et (48b). Alors qu'avec (44)–(47b) nous savions répondre sans hésiter. Certes, nous avons vu en §4.2.3 que nous ne sommes généralement pas capable de trouver « en direct » la valeur de vérité d'une phrase au futur comme (48b) ; pour autant il y a malgré tout une différence notable entre (48b) et (47b) : si nous attendons un peu jusqu'au prochain trage et s'il se trouve que c'est le 23 qui sort, nous pourrons alors dire rétroactivement que (48b) était vraie ; en revanche, même dans ces circonstances, (47b) demeurera fausse, car il n'était pas nécessaire que le 23 tombe.

Est-ce à dire que la dénotation de ces phrases (44)–(47b) est complètement indépendante du modèle ? En fait non. Par exemple, si nous imaginons une scène au casino où le croupier triche efficacement et a décidé de faire sortir le 16 au prochain coup ; dans cette circonstance (45) sera vraie. Cette phrase n'est donc pas si trivialement fausse que nous l'avions jugée initialement. De même, si nous imaginons un modèle où le casino
en question possède des roulettes à 42 numéros, (47a) devient fausse. Par conséquent, comme pour la plupart des phrases déclaratives, les phrases modales (44)–(47b) ont une dénotation qui dépend du modèle – mais visiblement pas au même point que les phrases (48a)–(48b). Et l’analyse sémantique doit pouvoir expliquer cette différence de dépendance entre les phrases modales et les autres.

Cette analyse peut, dans ses grandes lignes, s'esquisser en utilisant la notion de mondes possibles vue précédemment en §4.3.1. Pour que (44), qui exprime une possibilité, soit vraie dans un monde donné, il suffit qu'il existe un monde possible dans lequel le 23 sort au prochain coup. En effet, nous avions assimilé les mondes possibles à ce que l'on appelle couramment des possibilités, et intuitivement (44) revient bien à dire *il y a une possibilité que le 23 sorte*. Le possible est donc une quantification existentielle sur les mondes possibles, c'est-à-dire les états alternatifs et concevables de la réalité. Et, on s'en doute, le nécessaire est analysé comme le dual du possible, c'est-à-dire une quantification universelle sur les mondes possibles : (47b) est vraie dans un monde donné, ssi le 23 sort au prochain coup dans tous les mondes possibles. Cette analyse nous permet de comprendre pourquoi les phrases modales dépendent aussi faiblement de l'état du monde dans lequel se trouve le locuteur. Pour prouver que (44) est vraie dans ce monde, nul besoin de vérifier que le 23 va réellement sortir au prochain coup, puisqu'il suffit qu'il existe un monde possible où cela se produit. Par monde possible qui existe, il faut comprendre un état du monde envisageable<fnref n="30" />. Et comme rien ne nous empêche d'envisager un cas de figure où le 23 sort, nous savons immédiatement que (44) est vraie. Inversement, parmi tous les mondes possibles envisageables, il n'y a pas de raison d'exclure ceux où un autre numéro que le 23 sort, ce qui fait que (47b) est évidemment fausse.

D'un autre côté, cette analyse permet également de considérer que la dénotation des phrases modales dépend tout de même de l'état courant du monde ou du contexte. Car selon les circonstances, les locuteurs seront amenés à retenir différents mondes possibles comme envisageables. Par exemple, si au casino, nous nous trouvons dans une situation où nous savons avec certitude que le croupier triche et va faire sortir un numéro pair, alors nous ne tiendrons pas pour envisageables les mondes possibles où le 23 sort (ainsi que les autres numéros impairs ; et par la même occasion, nous en profiterons pour ne pas miser sur le 23).

Bien sûr, la sémantique du possible et du nécessaire ne se réduit pas simplement à cette analyse, mais nous avons là déjà cerné quelques points importants de leur interprétation, et en particulier le recours aux mondes possibles. Et c'est ainsi que l'on peut donner une définition sémantique suffisamment générale des modalités : une modalité est ce qui, durant l'interprétation d'une phrase par rapport à un état du monde donné, nous invite à consulter d'autres états du mondes<fnref n="31" />. Les modalités sont donc fondamentalement intensionnelles, et l'intensionnalité est fondamentalement liée à la notion de mondes possibles.

<footnote n="30">³⁰ Bien entendu, une part importante de l'étude sémantique des modalités consiste à expliciter précisément ce que signifie *envisageable* ici. Nous aurons plusieurs fois l'occasion de revenir sur ce point.</footnote>

<footnote n="31">³¹ À ce titre, nos opérateurs temporels P et F sont aussi, à leur manière, des opérateurs modaux.</footnote>
4.3.3 Formalisation de la modalité

Nous allons à présent voir comment formaliser ce type de conditions de vérité dans notre système sémantique, d'abord en enrichissant le modèle, puis en perfectionnant adéquatement le langage LO.

4.3.3.1 Mondes possibles

Notre est objectif est, une fois encore, de multiplier le modèle en y introduisant une multitude de réalités alternatives, c'est-à-dire des variantes de l'état du monde. Nous allons procéder exactement comme avec *I*, en multipliant le modèle « de l'intérieur ». À cet effet, nous nous donnons un ensemble *W* non vide (et éventuellement infini) de symboles que nous noterons $w_0, w_1, w_2$, etc.<fnref n="32" /> C'est ce que nous appellerons les MONDES POSSIBLES, et *W* est donc l'ensemble de tous les mondes possibles. Et pour désigner des mondes possibles quelconques, nous écrirons *w*, $w'$, $w''$...

Notation 4.2 : Mondes possibles

Nous notons *W* l'ensemble de tous les mondes possibles.

Les mondes possibles eux-mêmes seront représentés par les symboles $w_0, w_1, w_2$...

C'est essentiellement par commodité que nous nommons *mondes possibles* ces symboles, car formellement ils ne sont que cela : des symboles. Dans le système, leur rôle est d'étiqueter, d'indexer, ou simplement de nommer des états possibles du monde (à un moment donné), et ce sont ces états possibles du monde qui sont véritablement les mondes possibles. Comme nous l'avons vu précédemment avec la temporalité, ce qui détermine un état particulier du monde, c'est l'ensemble des valeurs que nous donne la fonction d'interprétation *F*. Techniquement, le principe est donc toujours le même : nous allons ajouter un paramètre *w* à la fonction. Ainsi *F* devient une fonction à trois arguments, à savoir : la constante à interpréter, l'instant et le monde possible par rapport auxquels on l'interprète. Par convention, nous choisirons ici l'ordre de notation suivant : le premier argument de *F* est le monde possible, le deuxième l'instant et le troisième la constante interprétée. *F*(*w*, *i*, **dormir**) est donc la dénotation de **dormir** dans le monde *w*, à l'instant *i*. Selon le *w* choisi, cette dénotation, i.e. l'ensemble de tous les dormeurs, pourra varier puisque les différents *w* renvoient à différentes réalités. *W* est donc maintenant un composant de notre modèle intensionnel.

<footnote n="32">³² Comme d'habitude, les indices numériques n'ont en soi aucune signification propre, ils servent simplement à distinguer les symboles entre eux.</footnote>
**Définition 4.4 : Modèle intensionnel (2)**

Un modèle intensionnel $\mathcal{M}$ est constitué d'un ensemble d'individus $\mathcal{A}$, d'un ensemble de mondes possibles $\mathcal{W}$, d'un ensemble d'instants ordonnés $(\mathcal{I}, <)$ et d'une fonction d'interprétation $F$ à trois arguments qui pour chaque monde de $\mathcal{W}$, chaque instant de $\mathcal{I}$ et chaque constante de $\mathcal{Cns}$ nous donne la dénotation de cette constante dans ce monde, à cet instant.

On notera $\mathcal{M} = (\mathcal{A}, \mathcal{W}, \mathcal{I}_<, F)$.

Pour illustrer cela voici un exemple partiel de l'interprétation de **dormir** dans notre modèle-jouet $\mathcal{M} = (\mathcal{A}, \mathcal{W}, \mathcal{I}_<, F)$, avec $\mathcal{W} = \{w_1; w_2; w_3; w_4\}$ :

$$
\begin{array}{l@{\qquad}l}
(49) \quad F(w_1, i_1, \mathbf{dormir}) = \{\text{BRUNO}\} & F(w_2, i_1, \mathbf{dormir}) = \{\text{ALICE} ; \text{BRUNO}\} \\
& F(w_3, i_1, \mathbf{dormir}) = \{\text{BRUNO} ; \text{DINA}\} \\
& F(w_4, i_1, \mathbf{dormir}) = \{\text{BRUNO} ; \text{DINA}\} \\
& F(w_1, i_2, \mathbf{dormir}) = \{\text{CHARLES}\} \\
& \text{etc.}
\end{array}
$$

Ici dans le monde $w_1$ à l'instant $i_1$ seul BRUNO dort, et dans le monde $w_2$ BRUNO et ALICE dorment, etc. Une chose est sûre dans ce mini-modèle $\mathcal{M}$, c'est qu'à l'instant $i_1$, BRUNO dort. Car il est dans la dénotation de **dormir** dans les quatre mondes. On remarque aussi que $w_3$ et $w_4$ sont deux mondes dans lesquels les mêmes individus, BRUNO et DINA, dorment à l'instant $i_1$. Mais cela ne veut pas dire que $w_3$ et $w_4$ étiquettent des états identiques de la réalité. Car dans $w_3$ et $w_4$, à l'instant $i_1$, il se passe par ailleurs beaucoup d'autres choses qui peuvent être différentes. Par exemple on peut imaginer qu'à l'instant $i_1$, Alice est en train de lire un illustré dans $w_3$, mais pas dans $w_4$ (dans ce cas, nous pourrons avoir, par exemple, $F(w_3, i_1, \mathbf{lire}) = \{\langle\text{ALICE, LECOSMOSCHTROUMPF}\rangle\}$ et $F(w_4, i_1, \mathbf{lire}) = \emptyset$).

Cela nous amène à faire plusieurs remarques. D'abord, pour être tout à fait précis,
ce qui étiquette un état particulier et distingué de la réalité ce n'est pas simplement un
monde w, mais un couple ⟨w, i⟩, qui fonctionne comme un couple de coordonnées<fnref n="33" />
d'une configuration donnée et possible du monde. Et d'ailleurs si nous fixons un w et un
i, F nous donnera ce qui équivaut à un de nos anciens modèles extensionnels (une image
figée d'un certain état du monde); de même si nous fixons w et que nous regardons tout
ce que donne F pour tous les i de I, nous obtenons un modèle temporel de §4.2.1 qui
décrit toute l'histoire du monde w.

<footnote n="33">³³ Il serait impropre de parler de coordonnées spatio-temporelles, puisque w ne renvoie pas à une localisation spatiale, mais à une réalité toute entière. Il s'agirait plutôt donc de coordonnées « mondano-temporelles » – terme un peu extravagant, que bien sûr nous n'utiliserons pas ici...</footnote>
## 4 Sémantique intensionnelle

Ensuite, si nous laissons de côté les modèles-jouets, et que nous revenons à une vision plus « réaliste » de ce que doit représenter un modèle intensionnel, nous devons nous poser la question de savoir quels états possibles du monde sont éligibles pour figurer dans *W*. La réponse est très simple : tous. Tout état possible *imaginable* de la réalité, aussi farfelu et éloigné de notre réalité quotidienne soit il, fait partie de *W*. La raison en est que notre système doit pouvoir interpréter toute phrase sémantiquement bien formée, et il n'y a aucune raison d'exclure celles qui racontent des choses extraordinaires ou fantastiques (c'est d'ailleurs ce qui nous permet de lire sans problème de la fiction). Interpréter une phrase implique en quelque sorte de supposer sa vérité (pour établir ses conditions de vérité), et supposer qu'une phrase est vraie revient imaginer un monde où ce qu'elle exprime se réalise. Par conséquent, dans *W*, il y a, entre autres, des mondes où toute l'histoire de Harry Potter est vraie ; et bien sûr, tout un tas d'autres réalités plus ou moins plausibles ou plus ou moins fantaisistes. Introduire *W* dans le modèle c'est accepter de lâcher la bride à l'imagination<fnref n="34" />. Bien sûr, parmi tous les mondes de *W*, il y en a un qui a un statut très particulier et privilégié, c'est le monde réel. Il n'y en a qu'un, c'est celui dans lequel vous et moi nous vivons réellement. Nous aurons plusieurs fois l'occasion de nous y intéresser, mais pour le moment, adoptons simplement la convention de notation $w_0$ pour le représenter<fnref n="35" />.

Par conséquent, on se doute bien que la quantité de mondes qui composent *W* est tout à fait gigantesque, et peut-être même infinie. Car chaque monde représente (ou étingette) un état possible de la réalité, et il suffit d'un détail, même infime, pour distinguer définitivement deux états de la réalité. Techniquement, pour juger que deux mondes $w$ et $w'$ sont distincts, il suffit qu'il existe ne serait-ce qu'un prédicat unaire $P$ de LO et un individu $x$ de $\mathcal{A}$ tels que $x \in F(w, i, P)$ et $x \notin F(w', i, P)$.

Il y a cependant deux limites que nous ne devrons pas nous autoriser à franchir pour définir *W*. La première est que tous les mondes possibles doivent respecter les lois usuelles de la logique, sans quoi notre système sémantique cesserait de fonctionner formellement. Par exemple, nous ne pourrons pas imaginer un monde $w$ dans lequel une formule comme $[\varphi \land \neg \varphi]$ sera vraie. Le second garde-fou est que chaque mot de la langue (et partant chaque prédicat de LO) doit avoir le même sens dans tous les mondes possibles<fnref n="36" />. La raison est que la notion de mondes possibles est avant tout, pour nous, un outil de la sémantique ; nous devons donc d'abord poser la langue comme un système stable que nous séparons du modèle, pour pouvoir ensuite l'étudier. Nous n'aurions aucun intérêt à prendre en compte des mondes hypothétiques dans lesquels la langue serait différente

<footnote n="34">³⁴ Cela peut sembler discorder un peu avec ce qui était mentionné en §4.3.2, où je parlais d'états du monde *en- visageables*, ce qui est moins effréné que de s'intéresser à tous les états du monde imaginables. Mais ici nous définissons le *domaine* de tous les mondes possibles, *W*, qui en soi se doit d'être exhaustif, pour les raisons expliquées *supra*. Bien sûr, par la suite, quand nous serons amenés à quantifier sur les mondes, comme toujours, nous aurons à restreindre contextuellement le domaine, et c'est ainsi que nous retrouverons la notion, plus retenue, de mondes envisageables. C'est ce qu'aborde §4.3.3.4.</footnote>

<footnote n="35">³⁵ Pour représenter le monde réel, on rencontre fréquemment, chez beaucoup d'auteurs, la notation $w_@$, voire $@ -$ coquetteries que nous n'utiliserons pas ici.</footnote>

<footnote n="36">³⁶ Et si un mot est polysémique, il doit conserver la même polysémie dans tous les mondes.</footnote>
de ce qu'elle est en réalité (parce que les mots changeraient de sens), puisque c'est – et ne le perdons pas de vue – la langue en soi qui est l'objet de notre étude<fnref n="37" />.

Enfin, dans le modèle, le domaine des individus *A* est introduit indépendamment de *W*, et est donc en quelque sorte transversal à l'ensemble des mondes possibles. Cela implique que *A* contient tous les individus qui existent, ou ont existé ou existeront, réellement mais aussi tous les individus fictifs comme Dracula, James Bond, R2D2, Lucky Luke, Excalibur... Donc globalement, et dans l'absolu, les individus de *A* sont avant tout des « individus possibles », et ce n'est que *par rapport* à tel ou tel monde de *W* qu'ils acquièrent le statut d'individus réels. À cet effet, un prédicat *exister* ou réel (un peu comparable au prédicat *vivant* que nous avons vu avec la temporalité) peut nous être particulièrement utile : *F*(w, i, *exister*) nous donne l'ensemble des individus et objets qui peuplent réellement le monde w (à l'instant i).

La transversalité de $\mathcal{A}$ nous permet également d'intégrer facilement l'hypothèse des DÉSIGNATEURS RIGIDES de Kripke (1972). Cette hypothèse repose sur l'idée qu'un nom propre, contrairement à une description définie, a cette propriété de toujours référer directement à la même entité, sans médiation sémantique. Ici « toujours » signifie « dans tous les mondes possibles ». Par exemple, le nom *Mozart* désigne le même individu dans tous les mondes ; cela implique qu'il n'y a qu'un seul MOZART dans $\mathcal{A}$, mais cela n'implique pas nécessairement que MOZART est toujours semblable et identique : nous pouvons très bien imaginer des mondes où Mozart satisfait des propriétés très différentes de celles qu'il a eues dans w₀. Par exemple des mondes où Mozart serait mort à 18 ans, ou bien à 75 ans ; des mondes où il serait né cent ans plus tard ; des mondes où il aurait été cordonnier, etc. Cela nous permet de résoudre un étrange paradoxe qui est que, lorsque nous interprétons une proposition comme *si Mozart était né dans une famille de cordonniers...*, nous imaginons un individu fort dissemblable du Mozart historique, tout en sachant que nous ne parlons pas de n'importe qui, mais bien de Mozart.

L'hypothèse des désignateurs rigides est donc un postulat épistémologique ; elle permet de capter une certaine notion d'identité, celle qui correspond à une sorte de permanence et d'unicité référentielles des noms à travers les mondes. Formellement, dans notre système, ce sont les constantes d'individu qui vont jouer le rôle des désignateurs rigides, en respectant la condition suivante.

**Postulat 4.2 : Désignateurs rigides (2)**

Soit un modèle $\mathcal{M} = (\mathcal{A}, \mathcal{W}, \mathcal{I}_<, F)$. Pour toute constante $\alpha \in Cns_0$, quels que soient les mondes w et w' de $\mathcal{W}$ et les instants i et i' de $\mathcal{I}$, $F(w, i, \alpha) = F(w', i', \alpha)$.
Les constantes d'individus de LO sont des DÉSIGNATEURS RIGIDES.

<footnote n="37">³⁷ Évidemment, cette hypothèse de travail pourrait sembler par trop simpliste. Dans la réalité, nous savons bien qu'il peut arriver que des locuteurs ne soient pas d'accord sur le sens de certains mots. Nous dirons alors ici qu'ils ne parlent pas exactement la même langue – il existe d'ailleurs le terme d'idiolecte pour renvoyer à ce fait linguistique. Cette variabilité de système entre locuteurs ne doit pas être irrévocablement négligée dans une étude sémantique, mais l'hypothèse que je fais ici est que ce phénomène ne relève probablement pas de l'intensionnalité : des locuteurs qui ne s'accordent pas sur le sens de certains mots ne se placent pas des mondes différents, mais dans des contextes discordants.</footnote>
Comme avec la temporalité, l'hypothèse des désignateurs rigides enrichie du prédicat **exister** dans LO nous permet d'éviter le piège d'autres paradoxes, qui ont pu tracasser les philosophes, comme ce qu'illustrent les exemples (50).

(50) a. Dracula n'existe pas.

b. Dracula est un vampire, mais il n'existe pas car les vampires n'existent pas.

Il suffit pour cela de ne pas traduire le verbe *exister* au moyen de ∃, mais par le prédicat *exister*. En effet si nous traduisions (50a) par ∄∃x[x = d], nous aurions une contradiction, puisque si la constante d est définie, c'est qu'il existe un individu de A qu'elle dénote, et donc il y a bien dans le domaine une valeur pour x telle que [x = d] est vraie. En revanche, si nous traduisons (50a) par ∄exister(d), le problème disparaît car il suffit que DRACULA ne soit pas dans la dénotation de *exister* dans le monde où l'on se place pour que la formule soit vraie. De même (50b) n'est pas incohérente si l'on considère que la dénotation de *vampire* n'est pas vide mais ne contient que des vampires fictifs et si l'on traduit la dernière phrase par ∀x[vampire(x) → ∄exister(x)] (et non par ∄∃x vampire(x)).

Une dernière remarque qui peut être suscitée par l'ajout des mondes possibles dans le modèle concerne leur statut ontologique. De nombreuses questions ont occupé (et occupent encore) les philosophes et les théoriciens : quelle est la nature exacte des mondes possibles ? Sont-ils des objets de pensée ou des composants de la réalité ? Quelle est leur légitimité métaphysique ? Sont-ils cognitivement pertinents ? etc. Ce sont des débats qui ont leur importance (ne serait-ce que d'un point de vue épistémologique), mais qui, me semble-t-il, sont en dehors de la portée du présent ouvrage<fnref n="38" />. Nous nous contenterons de considérer les mondes possibles comme étant, au minimum, des objets théoriques, c'est-à-dire des éléments nécessaires de la théorie (et donc du système formel). Le fait que W est immense et certainement infini, ne devrait a priori être vu ni comme un obstacle théorique ni comme un égarement empirique. Nous pouvons très bien raisonner sur des objets innombrables, aussi facilement que nous pouvons calculer et raisonner sur les nombres réels sans avoir à stocker dans notre cerveau « l'intégralité » de l'ensemble R. L'essentiel est que les mondes possibles n'empêchent pas notre système de faire des prédictions fiables à partir des analyses que nous y formulons.

Pour enchaîner avec les sections qui suivent, terminons en mentionnant que, bien sûr, l'ajout des mondes possibles comme paramètres pour l'interprétation se répercute au niveau de toutes les expressions interprétables du langage. Concrètement, cela implique que la dénotation de toute expression doit s'exprimer relativement à un modèle, une fonction d'assignation, un monde possible et un instant. Ce sont maintenant autant de paramètres à accoler à notre notation [] pour les valeurs sémantiques. Les mondes possibles sont, comme les instants, des INDICES INTENSIONNELS.

<footnote n="38">³⁸ Pour un aperçu synthétique mais instructif de ces débats, on peut se reporter, entre autres, au chapitre 3 (§3.5) de Gamut (1991b).</footnote>
### Notation 4.3 : Dénotation dans un modèle intensionnel

Soit $\alpha$ une expression de LO, $\mathcal{M}$ un modèle intensionnel, et $g$ une fonction d'assignation de valeurs aux variables de LO.

$[\alpha]^{\mathcal{M}}, w, i, g$ représente la dénotation de $\alpha$ par rapport au modèle $\mathcal{M}$, dans le monde $w$, à l'instant $i$ et relativement à l'assignation $g$.

### 4.3.3.2 Syntaxe de la modalité

Maintenant que nous avons décuplé les modèles en y faisant figurer tous les états *possibles* du monde, nous allons pouvoir rendre compte de l'analyse des modalités au sein de notre système formel. En pratique, cela veut dire que nous allons pouvoir exprimer (i.e. représenter) puis interpréter des énoncés modaux dans le langage LO. Pour ce faire, nous devons d'abord augmenter le vocabulaire et la syntaxe de LO pour y traduire la contribution de tournures comme *il est possible que, il est nécessaire que*, etc.

Comme pour la temporalité avec P et F, nous utilisons deux opérateurs, dits modaux (et empruntés à la logique modale traditionnelle), qui s'appliquent à des formules. Ce sont les opérateurs $\square$, qui exprime le nécessaire, et $\diamond$, qui exprime le possible. Nous les introduisons dans LO à l'aide de la règle syntaxique suivante :

**Définition 4.5 : Syntaxe de $\diamond$ et $\square$**

(Syn.8) Si $\varphi$ est une formule bien formée de LO, alors $\diamond\varphi$ et $\square\varphi$ le sont aussi.

Usuellement, $\diamond\varphi$ se lit « il est possible que $\varphi$ » ou simplement « $\varphi$ est possible », et $\square\varphi$ se lit « il est nécessaire que $\varphi$ » ou « nécessairement $\varphi$ » ou « $\varphi$ est nécessaire »$^{39}$. En ce qui concerne les traductions de phrases de la langue dans LO, $\diamond$ et $\square$ pourront *pour l'instant*, être utilisés pour traduire diverses expressions du possible et du nécessaire. Par exemple, $\diamond\text{dormir}(a)$ sera la traduction commune de (51a-d) et $\square\text{dormir}(a)$ de (52a-d).

(51) a. Il est possible qu'Alice dorme.

b. Il se peut qu'Alice dorme.

c. Alice peut dormir.

d. Alice dort peut-être.

(52) a. Il est nécessaire qu'Alice dorme.

b. Alice dort nécessairement.

<footnote>$^{39}$ Astuce mnémotechnique pour ne pas confondre les deux symboles : le losange $\diamond$ est un carré « en équilibre » sur un de ses angles, et c'est un équilibre fragile : on se dit qu'il va *peut-être* tomber à gauche, *peut-être* tomber à droite ; d'où l'idée de *possible*. Le carré $\square$, lui, est stable, solidement posé sur sa base : on est *sûr* qu'il ne basculera pas ; d'où l'idée de *nécessité*.</footnote>
## 4 Sémantique intensionnelle

c. Alice doit dormir.

d. Forcément Alice dort.

En vérité, toutes ces formulations ne sont pas entièrement équivalentes sémantiquement, et nous verrons plus tard qu'il existe une importante variété de valeurs et de nuances des modalités dans la langue, ce que ◇ et □ semblent masquer. Mais nous verrons aussi qu'il est possible de rendre compte, en partie, de cette variété sémantique tout en conservant cette syntaxe.

Il n'y a pas grand chose de plus à ajouter sur la syntaxe de la modalité dans LO, si ce n'est, encore une fois, que le langage formel nous permet bien sûr d'empiler les opérateurs dans des combinaisons plus ou moins audacieuses telles que □□φ, ◇□◇◇φ, [□φ → □ψ], ◇¬◇¬φ, □P◇φ, etc. Certaines deviennent vite très artificielles dans une perspective d'étude linguistique de la langue, d'autres s'éclairent facilement avec la sémantique des opérateurs modaux.

### 4.3.3.3 Sémantique de la modalité

Rappelons d'abord que maintenant nous écrivons [[φ]]<sup>M, w, i, g</sup> = 1 pour dire que φ est vraie dans le monde w (et à l'instant i, et relativement à l'assignation g) : l'interprétation d'une expression dépend, entre autres, d'un monde possible. Par défaut, lorsque l'on interprète une phrase entière, l'indice de monde possible (i.e. le monde dit d'évaluation) pourra être assimilé au monde réel, mais il faut toujours garder à l'esprit que cet indice peut en théorie être n'importe quel monde de <i>W</i>, et nos règles sémantiques doivent donc valoir pour tout monde w.

Comme nous l'avons vu, le possible et le nécessaire correspondent à des quantifications respectivement existentielles et universelles sur les mondes possibles. Voici donc un premier jet des règles d'interprétation de ◇ et □, en se plaçant dans un modèle intensionnel M = ⟨A, W, I<sub>≤</sub>, F⟩.

**Définition 4.6 : Interprétation de ◇ et □ (1re version)**

(Sém.8) a. [[◇φ]]<sup>M, w, i, g</sup> = 1, ssi il existe un monde w' de <i>W</i> tel que [[φ]]<sup>M, w', i, g</sup> = 1.

b. [[□φ]]<sup>M, w, i, g</sup> = 1, ssi pour tout monde w' de <i>W</i>, [[φ]]<sup>M, w', i, g</sup> = 1.

Il est fondamental de ne pas confondre le monde d'évaluation, qui est le monde de « départ » du calcul et qui est noté w dans les règles ci-dessus, avec le ou les mondes dans lesquels on se rend au cours du calcul pour évaluer la sous-formule φ – mondes nommés w' dans les règles (Sém.8). Le monde d'évaluation nous donne véritablement le point de vue par rapport auquel la modalité s'interprète. Par exemple [[◇φ]]<sup>M, w, i, g</sup> = 1 dit que ◇φ est vraie dans w, ce qui revient à dire que φ est possible dans w ; et ce serait une
erreur de dire, en lisant (Sém.8a), que $\varphi$ est possible dans $w'^{40}$. La vérité de $\diamond\varphi$ dans un monde n'est pas directement corrélée à la vérité de $\varphi$ dans ce même monde, mais à celle de $\varphi$ dans un monde qui peut être différent. On peut ainsi très bien avoir $[[\varphi]]^{M,w,i,g} = 0$ et $[[\diamond\varphi]]^{M,w,i,g} = 1$ (i.e. dans $w$, $\varphi$ est fausse mais reste possible).

Notons que les règles (Sém.8) s'insèrent dans une liste de règles sémantiques qui sont très similaires à celles de la définition 3.5 du chapitre 3 (p. 120), mais pas complètement identiques puisqu'à présent les valeurs sémantiques se calculent relativement aux indices $w$ et $i$. Cependant, au delà de l'ajout de ces paramètres, les règles restent inchangées, en transmettant toujours les mêmes indices $w$ et $i$ (nous ferons un récapitulatif de toutes les règles plus tard dans le chapitre). Par exemple, la règle (Sém.1a) doit se reformuler en : $[[P(\alpha)]]^{M,w,i,g} = 1 \text{ ssi } [[\alpha]^{M,w,i,g} \in [[P]^{M,w,i,g}$. Seules les règles (Sém.8) changent l'indice $w$ au cours du calcul, de même que seules les règles (Sém.7) changeaient l'indice $i$.

En guise d'application, prenons le temps de regarder les deux exercices suivants (des éléments de correction sont donnés juste après).

### Exercice 4.4

En reprenant le modèle-jouet $\mathcal{M}$ esquissé en (49) et rappelé ici :

$F(w_1, i_1, \text{dormir}) = \{\text{BRUNO}\}$

$F(w_2, i_1, \text{dormir}) = \{\text{ALICE} ; \text{BRUNO}\}$

$F(w_3, i_1, \text{dormir}) = \{\text{BRUNO} ; \text{DINA}\}$

$F(w_4, i_1, \text{dormir}) = \{\text{BRUNO} ; \text{DINA}\}$

$F(w_1, i_2, \text{dormir}) = \{\text{CHARLES}\}$

calculez les valeurs suivantes :

1. $[[\diamond\text{dormir}(a)]]^{M,w_1,i_1,g}$

2. $[[\diamond\text{dormir}(a)]]^{M,w_2,i_1,g}$

3. $[[\Box\text{dormir}(a)]]^{M,w_1,i_1,g}$

4. $[[\Box\text{dormir}(b)]]^{M,w_1,i_1,g}$

5. $[[\diamond\text{dormir}(c)]]^{M,w_3,i_1,g}$

6. $[[\neg\Box\text{dormir}(d)]]^{M,w_4,i_1,g}$

7. $[[\diamond\text{dormir}(a) \wedge \diamond\text{dormir}(d)]]^{M,w_4,i_1,g}$

8. $[[\diamond[\text{dormir}(a) \wedge \text{dormir}(d)]]]^{M,w_4,i_1,g}$

### Exercice 4.5

Chaque formule de la liste suivante est équivalente à une autre formule de la liste. Indiquez, en le démontrant, quelles sont ces paires d'équivalences.

1. $\diamond\varphi$

3. $\diamond\neg\varphi$

5. $\neg\diamond\varphi$

7. $\neg\diamond\neg\varphi$

2. $\Box\varphi$

4. $\Box\neg\varphi$

6. $\neg\Box\varphi$

8. $\neg\Box\neg\varphi$

Puis corroborez ces résultats en donnant des traductions en français de chacune des formules.

Dans l'exercice 4.4, on constate assez facilement que $[[\diamond\text{dormir}(a)]]^{M,w_1,i_1,g} = 1$, car il existe bien un monde dans $\mathcal{M}$ où $\text{dormir}(a)$ est vraie à l'instant $i_1$, c'est $w_2$ (en effet $[[\text{dormir}(a)]]^{M,w_1,i_1,g} = 1$). Et $[[\diamond\text{dormir}(a)]]^{M,w_2,i_1,g} = 1$ pour exactement les mêmes

<footnote n="40">40 Pour l'instant l'erreur n'est pas très grave puisque d'après (Sém.8a), si $\varphi$ est vraie dans $w'$, alors $\diamond\varphi$ l'est aussi : en effet, pour que $\diamond\varphi$ soit vraie dans $w'$ il suffit qu'il existe un monde où $\varphi$ est vraie, et par hypothèse ce monde existe, c'est $w'$ lui-même. Mais nous verrons que cette implication ne tient plus forcément quand nous aurons amendé les règles d'interprétation.</footnote>
raisons : ◇ϕ est vraie dans w (à l'instant i) s'il existe un monde où ϕ est vraie (à l'instant i), et ce monde peut très bien être w lui-même. Ces résultats font apparaître une conséquence notable de la sémantique de (Sém.8), et qui est que la dénotation d'une formule modale ne dépend pas du monde dans laquelle nous l'évaluons : si ◇dormir(a) est vraie dans w₁, par définition, elle est vraie dans tous les autres mondes aussi. Cela nous rappelle une observation que nous avions faite en §4.3.2 (p. 208), mais une observation que nous avions nuancée : nous avions remarqué que la dénotation des phrases modales dépend moins du monde d'évaluation que les phrases ordinaires, mais sans aller jusqu'à dire qu'elle en est complètement indépendante. Même si elles captent un élément essentiel de l'interprétation des modalités, nos règles (Sém.8) ne sont donc pas absolument adéquates ; nous aimerions, lorsque nous calculons [[◇ϕ]]<sup>M,w,i,g</sup> ou [[□ϕ]]<sup>M,w,i,g</sup>, que le résultat dépende, au moins un peu, de w. Par rapport au modèle jouet de l'exercice, ce n'est pas dramatique, mais dès que nous revenons à un modèle intensionnel « réaliste », cela devient plus problématique.

En effet, (Sém.8) nous dit que □ϕ signifie que ϕ est vraie dans tous les mondes de W. Et comme W contient tous les mondes imaginables, les seules formules ϕ dont on pourra dire qu'elles sont nécessaires, sont les tautologies, c'est-à-dire les formules qui sont vraies en vertu de leur structure logique. De même, presque toute formule de LO est trivialement une formule possible : il suffit que ϕ soit contingente pour que ◇ϕ soit vraie (car si ϕ est contingente, par définition, on trouvera toujours au moins un monde w de W où ϕ est vraie). Or ce n'est pas du tout ce qui se passe en langue naturelle : on peut parfaitement imaginer une situation (i.e. un monde possible) où (53a) est fausse ; et inversement (53b) peut parfaitement être vraie dans un monde donné, alors que la phrase racine (ici *Max est le coupable*) n'est nullement une contradiction ni une tautologie.

(53) a. Il se peut que Max soit le coupable.

b. C'est forcément Max le coupable.

Évidemment le problème qui se pose ici est toujours le même ; nous l'avions déjà ren-
contré avec la sémantique de la temporalité. Les règles d'interprétation quantifient sur
tout le domaine, ici *W*, alors qu'il serait plus raisonnable de restreindre cette quantifica-
tion à un sous-ensemble pertinent de *W*. Par exemple, si *V* est un ensemble de mondes
strictement inclus dans *W*, et si nous disons que □ϕ est vraie ssi ϕ est vraie dans tous
les mondes de *V*, alors ϕ n'a plus besoin d'être une tautologie, car elle peut par ailleurs
être fausse dans des mondes qui ne sont pas dans *V*. Nous allons voir ci-dessous une
façon assez classique de compléter les règles (Sém.8) et qui intègre ce type de restric-
tion. Pour autant, la définition 4.6 n'est pas entièrement inappropriée dans un système
formel, elle correspond à un type particulier de modalité, qui intéresse plus souvent les
philosophes et les logiciens, et que l'on nomme la **MODALITÉ ALÉTHIQUE**<fnref n="41" />. La modali-
té aléthique est précisément celle par laquelle **nécessaire** est synonyme de **tautologique,**
**possible** synonyme de **contingent** et **impossible** synonyme de **contradictoire**. On peut ren-
contrer ce type de modalité dans la langue naturelle, par exemple dans des énoncés de

<footnote n="41">⁴¹ *Aléthique* vient du grec *alêthês* qui signifie *vrai*. La modalité aléthique est parfois aussi appelée *modalité logique*.</footnote>
logique, comme la formulation d'un syllogisme : si tous les homards sont gauchers et si Alfred est un homard, alors nécessairement Alfred est gaucher. Mais elle est loin d'être la plus usuelle, et pour une plus grande adéquation avec les usages linguistiques, notre système doit être amendé.

### 4.3.3.4 Modèle de Kripke

La façon la plus simple de s'affranchir du problème emprunte à la logique modale classique, et notamment aux travaux de Kripke (1963) et Hintikka (1961). Elle consiste à ajouter de la structure dans $W$, afin d'organiser les mondes possibles entre eux. Cette organisation se présente sous la forme d'une sorte de réseau de mondes, et technique- ment elle est modélisée au moyen d'une relation binaire qui relie certains mondes avec certains autres mondes$^{42}$. Cette relation est habituellement notée $R$ et elle se nomme la RELATION D'ACCESSIBILITÉ du modèle. Et c'est précisément ce qu'elle représente : l'idée qu'à partir d'un monde donné $w$, on peut accéder à certains mondes mais pas à d'autres. Ainsi la notation $w R w'$ signifie que le monde $w$ a accès au monde $w'$, ou que $w'$ est accessible depuis $w$. La relation $R$ trace donc des « chemins » qui nous permettent de passer d'un monde à un autre.

$R$ nous est donnée par le modèle, et dorénavant un modèle intensionnel sera détermi- né par un quintuplet $M = \langle \mathcal{A}, \mathcal{W}, R, I_<=, F \rangle$. C'est ce que l'on appelle couramment un MODÈLE DE KRIPKE. La composante $\langle \mathcal{W}, R \rangle$ du modèle, c'est-à-dire l'ensemble de mondes possibles organisé par $R$, s'appelle une STRUCTURE MODALE (ou parfois un cadre modal, par traduction de l'anglais modal frame).

Illustrons immédiatement cela à l'aide d'un modèle-jouet avec $\mathcal{W}$ contenant quatre monde $w_1, w_2, w_3$ et $w_4$. Et supposons que $R$ soit définie comme suit : $w_1 R w_2, w_2 R w_3, w_2 R w_4, w_3 R w_4, w_3 R w_3, w_4 R w_2$. Il est possible de représenter graphiquement cette structure dans un plan où les mondes sont figurés par des points et la relation $R$ par une série de flèches, comme dans la figure 4.2.

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>FIG. 4.2 : Représentation graphique d'une structure modale</figcaption></figure>

Ce genre de figure peut être utile pour faire des calculs en logique modale, mais ici elle ne nous servira qu'à observer que $R$, d'abord, n'est pas nécessairement symétrique.

<footnote n="42">42 À l'instar de la dénotation d'un prédicat binaire qui relie certains individus de $\mathcal{A}$ avec certains autres individus.</footnote>
Par exemple dans ce modèle, à partir de $w_1$ on accède à $w_2$, mais de $w_2$ on n'accède pas à $w_1$. Autrement dit, $w R w'$ n'équivaut pas à $w' R w$. De même, $w_3$ accède à lui-même, mais ce n'est pas le cas des autres mondes. Cela peut paraître un peu contre-intuitif, mais en principe, une structure modale n'oblige pas $R$ à être réflexive (i.e. à imposer « l'auto-accès » de chaque monde).

Évidemment tout cela semble un peu abstrait ; et ça l'est véritablement. Car la question qui se pose ici est : quelle est au juste la signification de cette notion d'accessibilité entre les mondes encodée par $R$ ? En fait, la réponse dépend fondamentalement de la façon d'interpréter les modalités. Or comme on s'en doute, il y a plusieurs façons de les interpréter, et donc plusieurs façons de définir $R$ et de lui assigner une signification précise. Nous reviendrons sur ce point dans les lignes qui suivent ainsi qu'en §5.4. Mais pour ne pas trop rester dans le vague ici, contentons-nous pour l'instant de considérer que $R$ peut, par exemple, servir à modéliser une idée de proximité, ou plus exactement de ressemblance entre les mondes. En effet, parmi toutes les possibilités que propose $W$, certains mondes peuvent être vus comme assez similaires, parce qu'ils ne diffèrent entre eux que par quelques faits ou quelques détails peu spectaculaires. Ainsi $w R w'$ se comprendra comme « $w$ ressemble suffisamment à $w'$ ». Il est à noter que dans ce cas, et contrairement à l'exemple précédent (qui présentait une structure modale *quelconque*), $R$ sera au moins réflexive et symétrique : $w$ ressemble évidemment à lui-même, et si $w$ ressemble à $w'$, alors $w'$ ressemble à $w$.

Revenons maintenant aux modalités. Leur interprétation tient compte de $R$ comme le montre la version corrigée de (Sém.8) :

**Définition 4.7 : Interprétation de ◇ et □ (2ᵉ version)**

(Sém.8) a. $[\diamond\varphi]^M_{w,i,g} = 1$, ssi il existe un monde $w'$ de $W$ tel que $w R w'$ et $[\varphi]^M_{w',i,g} = 1$.

b. $[\Box\varphi]^M_{w,i,g} = 1$, ssi pour tout monde $w'$ de $W$ tel que $w R w'$, $[\varphi]^M_{w',i,g} = 1$.

Ces règles montrent que lorsque l'on interprète une formule modale par rapport à $w$, on ne quantifie que sur les mondes accessibles à $w$. Nous avons bien ce que nous cherchions. D'une part, les règles ne quantifient pas sur tout $W$, mais seulement sur un sous-ensemble de mondes. Chaque monde $w$ s'associe en effet à un ensemble de mondes particulier (i.e. l'ensemble des mondes $w'$ tels que $w R w'$). Et donc, d'autre part, la dénotation d'une formule modale dépendra du monde d'évaluation puisque le domaine de quantification est directement dépendant de ce monde.

Si nous reprenons l'extrait de modèle de l'exercice 4.4 complété par la structure de la figure 4.2, en vertu des nouvelles règles (Sém.8), nous constatons que $[\diamond\text{dormir}(a)]^M_{w_1,i_1,g} = 1$ (comme auparavant) car $w_1$ accède à $w_2$ et Alice dort dans $w_2$ ; mais à présent $[\diamond\text{dormir}(a)]^M_{w_2,i_1,g} = 0$ car $w_2$ accède à $w_3$ et $w_4$ et dans aucun de
ces deux mondes Alice ne dort. De même **dormir(d)** n'est pas vraie dans tous les mondes du modèle, cependant $[[\Box\mathbf{dormir(d)}]]^{M,w_2, l_1, g} = 1$ car **dormir(d)** est vraie dans $w_3$ et $w_4$ et cela suffit.

L'ajout d'une relation d'accessibilité entre les mondes améliore fondamentalement notre système intensionnel et particulièrement la sémantique des modalités. Mais dans une perspective d'analyse sémantique de la langue, ce n'est pas encore suffisant. Observons par exemple les phrases suivantes :

(54) a. Alice peut jouer de la trompette à l'heure qu'il est.

b. Les domestiques doivent parler anglais à la maîtresse de maison.

Nous pouvons facilement montrer que ces phrases sont ambiguës quant à l'interprétation de *pouvoir* et *devoir*.

Ainsi (54a) peut signifier qu'Alice a le droit de jouer de la trompette (par exemple parce qu'elle a fini ses devoirs et qu'elle a maintenant l'autorisation de pratiquer son instrument). Dans ce cas, on dira que pouvoir exprime une **MODALITÉ DÉONTIQUE**. La modalité déontique est liée à la notion de **devoir**<fnref n="43" /> : le possible déontique correspond à ce qui est *permis*, le nécessaire à ce qui est *obligatoire* et l'impossible à ce qui est *interdit*. Ce sont effectivement des valeurs qu'ont les verbes pouvoir et devoir en français.

Mais (54a) peut se comprendre autrement. Imaginons que ces derniers jours Alice avait une bronchite qui l'affaiblissait et l'essoufflait au point de l'empêcher de souffler dans sa trompette : elle ne pouvait pas jouer de la trompette. Mais maintenant elle est guérie et a récupéré, et le locuteur peut le signaler en énonçant (54a). Nous appellerons cette lecture une **MODALITÉ DYNAMIQUE**<fnref n="44" /> ; il s'agit de la modalité par laquelle le possible renvoie à une idée de capacité ou d'aptitude, ce que le français exprime par pouvoir ou, de manière plus univoque, être capable de, être en état de, être en mesure de...<fnref n="45" />

Plusieurs autres interprétations de (54a) sont certainement disponibles, en affinant les nuances, mais je n'en citerai ici qu'une troisième. C'est celle via laquelle le locuteur manifeste qu'il ne sait pas si Alice est en train de jouer de la trompette actuellement, mais qu'il n'en exclut pas l'éventualité. Dans ce cas, (54a) équivaut à peu près aux paraphrases *il se peut qu'Alice joue de la trompette* et *Alice joue peut-être de la trompette*. Nous sommes alors face à une **MODALITÉ ÉPISTÉMIQUE**. Ce type de modalité se positionne par rapport un ensemble de connaissances factuelles<fnref n="46" /> (du locuteur ou d'un groupe de locuteurs ou éventuellement d'autres personnes), et permet au locuteur d'indiquer son degré de

<footnote n="43">⁴³ Déontique vient du grec deon qui signifie ce qu'il faut faire.</footnote>

<footnote n="44">⁴⁴ Ici *dynamique* ne renvoie pas tant à l'idée de mouvement ; en l'occurrence le terme vient du grec *dynamis* qui signifie, entre autres, la capacité, la faculté. Il se trouve que, dans la littérature sémantique, ce type de modalité a reçu diverses étiquettes, comme *circonstancielle*, *volitionnelle* ou même *habilitative* (en écho à l'anglais *abilitative*)... Selon les auteurs, leur couverture sémantique n'est pas toujours exactement la même (cf. par exemple Portner (2009) pour un inventaire scrupuleux).</footnote>

<footnote n="45">⁴⁵ Notons qu'en français, comme dans beaucoup d'autres langues, il ne semble pas y avoir d'expression nette et simple du « nécessaire dynamique ». On peut éventuellement envisager que cette valeur se réalise par certains emplois de périphrases comme *il est inévitable que, ne pas pouvoir s'empêcher de*, etc. Il n'est pas non plus exclu d'envisager qu'au moins dans certains cas, le futur puisse avoir également cette valeur.</footnote>

<footnote n="46">⁴⁶ Épiстémique vient du grec epistêmê qui signifie le savoir.</footnote>
croyance ou de confiance sur ce qu'il affirme; le nécessaire correspond alors à ce qui est su ou certain, le possible à ce qui est ignoré ou incertain (et l'impossible à ce que l'on sait être faux). C'est cette modalité qui était sous-jacente dans la présentation faite en §4.3.1 lorsque nous parlions d'états du monde « envisageables ».

De façon assez similaire, nous pouvons explicitier plusieurs lectures pour (54b). Les plus saillantes sont la lecture déontique (un règlement oblige les domestiques à parler anglais) et la lecture épistémique (à partir de ce qu'il sait, le locuteur déduit que les domestiques parlent anglais).

Ces exemples suffisent (s'il y avait besoin) à montrer qu'il existe dans la langue une variété non négligeable de valeurs sémantiques des modalités, et que des expressions mo- dales comme pouvoir et devoir sont à cet égard éminemment ambiguës, ou du moins poly- sémiques. Nous avons donc un problème. Si les phrases (54) sont ambiguës, c'est qu'elles devraient recevoir chacune plusieurs traductions sémantiques distinctes. Or dans LO nous n'avons que deux symboles, ◊ et □, pour traduire respectivement pouvoir et devoir. Notre système n'est pas assez précis.

Une solution qui nous vient naturellement pour régler ce problème serait de multiplier les opérateurs modaux. Nous nous donnerions un opérateur pour le possible épistémique, un pour le possible déontique, un pour le possible dynamique, etc. C'est techniquement faisable, mais nous devons voir ce que cela implique sur l'ensemble du système. Ce qui dé- termine la valeur sémantique d'une modalité, c'est précisément la relation d'accessibilité qu'il faut utiliser pour interpréter cette modalité. Cela nous donne l'occasion d'explicitier un peu les significations que peut prendre *R* dans le modèle. Par exemple, si notre mo- dalité est épistémique, alors *w R w'* doit signifier quelque chose comme : tout ce qui est su (par exemple par le locuteur) dans *w* est vrai dans *w'*^47. Si la modalité est déontique, alors *w R w'* signifie à peu près : toutes les lois ou tous les commandements qui sont ac- tifs dans *w* sont effectivement satisfaits (i.e. obéis) dans *w'.* Pour la modalité dynamique, c'est un peu plus complexe : *w R w'* signifie que *w'* est similaire à *w* pour ce qui concerne les faits généraux (ou génériques), les propriétés intrinsèques et stables des choses et des individus, et les circonstances qui les entourent, mais *w* et *w'* peuvent différer quant aux événements particuliers et contingents qui s'y produisent. Notons d'ailleurs que la moda- lité aléthique n'est finalement qu'un cas particulier ; on peut considérer qu'elle se fonde sur une relation *R* qui connecte tous les mondes de *W* avec tous les mondes de *W*. Cela équivaut à une absence de relation d'accessibilité, puisqu'une telle relation n'instaure aucune organisation ou hiérarchie particulière parmi les mondes.

Par conséquent, multiplier les opérateurs modaux implique de multiplier les relations d'accessibilité dans le modèle. Formellement, cela peut se réaliser en se donnant un en- semble de symboles (par exemple des nombres ou des lettres) qui renvoient chacun à une valeur modale particulière. Et pour chaque symbole *n*, nous aurons une relation d'acces- sibilité *R*n dans le modèle et une paire d'opérateurs modaux que nous pourrons noter ◊*n* et □*n* ou ⟨*n*⟩ et [*n*] dans LO. Les règles d'interprétation des modalités seront alors

<footnote>^47 Mais la réciproque ne tient pas : tout ce qui est vrai dans w' n'est pas forcément su (par le locuteur) dans w. Ce que la relation dit c'est, en fait, que w' est compatible avec tout ce qui est su dans w, ou encore que w et w' sont semblables au regard de ce qui est su dans w et diffèrent au regard de ce qui y est ignoré.</footnote>
paramétrées par ces étiquettes $n$, comme par exemple : $\llbracket \langle n \rangle \varphi \rrbracket^{M, w, i, g} = 1$, ssi il existe un monde $w'$ de $\mathcal{W}$ tel que $w R_n w'$ et $\llbracket \varphi \rrbracket^{M, w', i, g} = 1$. Le modèle intensionnel devient donc $\mathcal{M} = \langle \mathcal{A}, \mathcal{W}, \mathcal{R}, I_<(, F) \rangle$, où $\mathcal{R}$ est l'ensemble qui comprend toutes les relations $R_n$ dont nous avons besoin.

C'est là une pratique courante en logique multimodale et elle améliore indéniablement l'expressivité de LO. Pour autant, si l'on approfondit l'étude sémantique des modalités dans la langue, on se rend compte que cette formalisation n'est pas encore parfaitement adéquate. Elle se heurte à quelques paradoxes logiques et pèche encore par quelques limites d'expressivité. Nous reviendrons sur ces problèmes dans le chapitre 9 (vol. 2). Elle masque aussi le fait que le choix exact de la relation d'accessibilité dépend très souvent du contexte. Certes on peut admettre que des expressions comme avoir le droit ou il faut que sont assez univoquement déontiques<fnref n="48" />, de même que il se peut que, peut-être, probablement sont intrinsèquement épistémiques. Mais cela ne suffit pas. Par exemple, les modalités épistémiques s'appuient sur un ensemble de connaissances du monde ; on considère couramment qu'il s'agit vraisemblablement des connaissances du locuteur ou d'un groupe comprenant le locuteur, mais le locuteur (et donc ses connaissances) est un paramètre qui est fixé par le contexte, pas par le modèle. Au mieux il faudrait que $\mathcal{R}$ contienne une relation d'accessibilité épistémique pour chaque locuteur possible à chaque instant de $\mathcal{I}$, mais il nous manquerait encore un mécanisme qui permette de sélectionner celle qui est pertinente dans le contexte.

L'interprétation de modalités déontiques peut aussi dépendre du contexte. Le locuteur qui énonce (55) se réfère implicitement à une certaine autorité qui décrète ce qui est permis, obligatoire, interdit.

(55) Alice a le droit de jouer de la trompette.

Mais quelle est cette autorité ? Le locuteur lui-même ? Le médecin ? Les parents d'Alice ? Le règlement de copropriété ? Le droit pénal ?... À chacune correspond une relation déontique différente, et (55) est, à cet égard, vague, tout en ayant une valeur déontique : peut-être que le docteur a autorisé Alice à jouer de la trompette au vu de son état de santé, mais que ses parents le lui interdisent car il est tard et que cela dérangerait les voisins. L'interprétation exacte de (55) dépend donc d'un certain état mental du locuteur et cela est un paramètre du contexte.

Il existe plusieurs façons d'aménager notre langage LO multimodal pour refléter cette dépendance contextuelle. Une solution simple et propre consisterait à ajouter $\mathcal{R}$ parmi les indices d'évaluation, en écrivant ainsi $\llbracket \varphi \rrbracket^{M, w, R, g}$ pour l'interprétation de $\varphi$. Mais cette option a le défaut de nous obliger à interpréter tous les opérateurs modaux d'une formule avec la même relation $\mathcal{R}$. Or nous n'avons aucune raison de faire cela, au contraire : lorsque plusieurs modalités s'empilent dans une phrase, comme par exemple *Alice doit pouvoir faire cet exercice*, elles ont normalement des valeurs différentes. Nous avons donc plutôt intérêt à exploiter le système des multimodalités $(\langle n \rangle$ et $[n]$) tout en nous servant de l'assignation $g$ pour rendre compte de la sensibilité contextuelle de l'interprétation

<footnote n="48">⁴⁸ Encore que pour falloir, ce n’est pas si sûr...</footnote>
des modaux. Le principe est de traiter les symboles *n* un peu comme des variables : nous faisons en sorte que les assignations *g* soient aussi définies pour l'ensemble de ces symboles, et à chacun d'eux les fonctions *g* assignent une relation de *R*. Ainsi le « choix » de la valeur modale des opérateurs *n* est pas directement déterminé par *n*, il se fait par l'intermédiaire de *g* qui est une composante du contexte. Précisons enfin que cette formalisation ne résout pas tous les problèmes (cf. la question du contenu précis de *R*), mais elle offre suffisamment d'expressivité et de cohérence formelle pour ce qui nous occupe présentement.

### 4.3.3.5 Retour vers le futur

Pour conclure cette section sur les modalités et les mondes possibles ainsi que celle sur la temporalité, revenons un instant sur la critique que nous avions évoquée à propos de la modélisation du futur en §4.2.3 p. 199. Elle portait sur le caractère préétabli des états futurs du monde imposé par *I*. Les arguments que j'avais proposés pour y répondre valent toujours, mais maintenant que notre modèle comporte les mondes possibles, nous disposons d'un outillage qui permet de relativiser avantageusement le problème.

Rappelons que ce qui identifie précisément un état possible de monde, c'est un indice double, c'est-à-dire un couple $\langle w, i \rangle$. Supposons que nous nous placions dans le monde $w_1$ à l'instant $i_1$ (donc dans l'état $\langle w_1, i_1 \rangle$), alors il est raisonnable de considérer que l'ensemble de tous les indices $\langle w_1, i' \rangle$, avec $i' \le i_1$, constitue l'histoire passée de $w_1$ jusqu'à $i_1$. À l'inverse, l'avenir de $\langle w_1, i_1 \rangle$, lui, n'est pas tout tracé, et il peut donc être judicieux d'utiliser plusieurs autres mondes possibles (en plus de $w_1$) pour se donner de multiples alternatives des évolutions possibles et à venir du cours des choses à partir de $\langle w_1, i_1 \rangle$. Le futur de cet état du monde est donc un ensemble d'indices $\langle w, i'' \rangle$ tels que $i_1 < i''$ et w fait partie de l'ensemble des mondes qui peuvent être des continuations de $w_1$ depuis $i_1$. En procédant de la sorte, nous modélisons le cours des choses sous la forme d'une structure branchante où l'histoire du monde (ou plus exactement des mondes) se déploie en se ramifiant continuellement et de plus en plus, en diverses évolutions alternatives. Cette vision du « temps à venir » peut intuitivement se représenter sous la forme d'une arborescence, comme l'illustre la figure 4.3 (ci-contre).

Dans ce genre de représentation graphique, chaque point du plan est un état $\langle w, i \rangle$ et on l'identifie en posant un repère où *I* est l'axe des abscisses et *W* l'axe des ordonnées. Ainsi un état $\langle w, i \rangle$ a pour coordonnées... eh bien $\langle w, i \rangle$ tout simplement<fnref n="49" />. Tous les points qui sont sur une même ligne horizontale (parallèle à *I*) sont des états d'un même monde w à différents instants ; et tous les points sur une même ligne verticale sont toutes les variantes de l'état du monde à un même instant. À partir de $i_1$ chaque branche tracée sur la figure représente une évolution possible du cours de l'histoire. Au fur et à mesure qu'elle avance dans le temps, l'histoire, à chaque intersection, emprunte une des branches qui se présentent et écarte les autres qui deviennent caduques. Ce fais-

<footnote n="49">⁴⁹ Habituellement en mathématiques, on note les coordonnées dans l'ordre inverse : abscisse, ordonnées ; ici, pour faire simple, nous conservons notre notation $\langle w, i \rangle$.</footnote>
<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>FIG. 4.3 : Représentation des futurs branchants de ⟨w₁, i₁⟩</figcaption></figure>

sant elle dessine progressivement le cours de l'histoire advenue, comme l'illustrent les figures 4.4 (page suivante).

Ces figures sont pratiques car elles illustrent très intuitivement le fonctionnement de la structure temporelle branchante. Mais elles ont le défaut de ne pas représenter très fidèlement sa modélisation, et à cet égard, elles peuvent parfois induire en erreur. C'est pourquoi je vais prendre ici le temps d'expliciter un peu la formalisation de ce type de structure.

Nous pouvons d'abord remarquer que dans la figure 4.3, la ramification prend sa source à ⟨w₁, i₁⟩. Mais en réalité, dans le modèle, tout état ⟨w, i⟩ (y compris ceux du « passé ») est à l'origine de sa propre ramification de futurs possibles. Ces embranchements passés ne sont pas représentés dans la figure parce qu'elle se place du point de vue d'état ⟨w₁, i₁⟩, mais en fait ils sont bien là dans le modèle et nous aurions tort de les oublier<sup>50</sup>. Ensuite, en regardant l'évolution sur les trois figures, nous remarquons qu'à partir de i₁, l'histoire part un peu en zigzag (on change de monde) alors que dans le passé de i₁ elle est rectiligne (on est toujours sur w₁). L'histoire passée ne devrait-elle pas être elle aussi en dents de scie ? Ce n'est pas un inoffensif artefact graphique, cela reflète plutôt une trop grande simplification dans la figure. En effet, si nous regardons la figure 4.4b, nous constatons que ⟨w₁, i₃⟩ n'est finalement pas un état avéré du monde w₁ (car c'est semble-t-il bien l'histoire de w₁ que la figure cherche à dessiner) ce qui, formulé ainsi, semble assez contradictoire.

Comme nous nous en doutons, la structure branchante est assurée par une relation d'accessibilité. Mais il s'agit d'une relation un peu particulière car elle doit aussi tenir compte de la temporalité, autrement dit elle dépend du temps. Nous pourrions à cet effet envisager que la relation connecte directement des couples ⟨w, i⟩ plutôt que simplement des mondes ; mais techniquement, il est plus simple et plus satisfaisant de suivre la for-

<footnote n="50"><sup>50</sup> Par exemple pour interpréter des phrases comme *Le Titanic aurait pu ne pas couler*.</footnote>
<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>FIG. 4.4 : Structure branchante du point de vue de $i_2$, puis de $i_3$</figcaption></figure>

malisation proposée par Thomason (1984) dans son système nommé *la sémantique T×W*.
Ce système n'utilise pas, en fait, *une relation d'accessibilité*, mais autant qu'il y a d'instants dans *I*. Chaque relation est donc indexée par un instant *i* et nous la noterons $R_i^{51}$.
Poser $w R_i w'$ signifie que les mondes $w$ et $w'$ partagent la même histoire passée jusqu'à l'instant $i$. En pratique, cela veut dire que pour tout instant $i'$ tel que $i' \le i$, les états du monde $\langle w, i' \rangle$ et $\langle w', i' \rangle$ sont identiques. Cela ne veut pas dire que nous avons le droit d'écrire $\langle w, i' \rangle = \langle w', i' \rangle$, car normalement les mondes $w$ et $w'$ restent distincts ($w \ne w'$), précisément parce qu'à des instants postérieurs à $i$, nous prévoyons que $w$ et

<footnote n="51">51 Thomason la note ≈i car il s'agit d'une relation d'équivalence, c'est-à-dire qu'elle est réflexive, symétrique et transitive.</footnote>
$w'$ renvoient à des états du monde qui ne seront plus identiques. Et c'est ainsi que nous obtenons notre structure de futurs branchants (ou divergents).

Notons que cette relation d'accessibilité engendre elle aussi une valeur particulière de modalité que l'on appelle la MODALITÉ HISTORIQUE (ou parfois également MÉTAPHYSIQUE). Avec cette valeur, le nécessaire correspond à ce qui est inévitable (ou du moins historiquement inévitable, historiquement fixé). L'interprétation d'une formule modale dépend alors à la fois du monde et de l'instant d'évaluation. Par exemple, nous aurons $[\llcorner\varphi\rrcorner]^{M, w, i, g} = 1$, ssi pour tout monde $w'$ de $W$ tel que $w R_i w'$, $[\llcorner\varphi\rrcorner]^{M, w', i, g} = 1$.

Pour que les $R_i$ jouent correctement leur rôle de relations d'accessibilité historiques, il faut contraindre notre modèle à respecter les conditions suivantes. La première est que si $w R_i w'$, alors pour tout $i' < i$, $w R_{i'} w'$; c'est-à-dire que les connexions que la relation établit à l'instant $i$ sont aussi établies dans tout le passé de $i$. Cette condition est nécessaire pour garantir le parallélisme historique entre $w$ et $w'$, mais elle ne suffit pas encore pour dire qu'ils ont le même passé. Pour cela, nous devons faire en sorte que $\langle w, i \rangle$ et $\langle w', i \rangle$ désignent des états du monde identiques, ce qui se réalise en contraignant la fonction d'interprétation $F$ du modèle. $F$ doit être telle que si $w R_i w'$, alors pour tout prédicat $P$ de LO, $F(w, i, P) = F(w', i, P)^{52}$. Ainsi il se passe exactement les mêmes choses dans $\langle w, i \rangle$ et $\langle w', i \rangle$. Et combinée à la condition précédente, cette égalité vaut aussi pour tous les instants antérieurs à $i$. Les mondes $w$ et $w'$ partagent donc bien la même histoire jusqu'à $i$. La structure branchante que nous obtenons peut, plus rigoureusement, se représenter graphiquement comme dans la figure 4.5.

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>FIG. 4.5 : Structure branchante par une relation d'accessibilité historique</figcaption></figure>

Cette figure montre que, formellement, chaque monde de $W$ suit sa propre histoire, linéaire et unique, et ce jusqu'à la fin des temps. Les flèches verticales marquées `----` représentent les relations $R_i$, et donc deux états du monde reliés par ces flèches sont identiques. Bien sûr il y a aussi dans $W$ une multitude de mondes qui ne sont pas du

<footnote n="52">52 Cette égalité vaut aussi pour les constantes d'individu, mais nous l'avions déjà par l'hypothèse des désignateurs rigides.</footnote>
## 4 Sémantique intensionnelle

tout reliés à ceux de la figure (ils ne sont juste pas représentés ici). Supposons maintenant que nous nous considérons dans ⟨w<sub>3</sub>, i<sub>3</sub>⟩. Mais en fait, comme cet état est indiscernable (en soi et par son passé) des cinq autres états de i<sub>3</sub>, nous pourrions tout aussi bien être dans ⟨w<sub>1</sub>, i<sub>3</sub>⟩ ou ⟨w<sub>5</sub>, i<sub>3</sub>⟩, etc. En réalité, nous ne savons pas exactement dans lequel des six états nous sommes. Lorsque le temps aura passé, et que nous nous retrouverons à i<sub>4</sub>, nous en saurons un peu plus. Par exemple à ce moment-là, nous découvrirons que nous ne sommes pas dans w<sub>1</sub> (ni donc dans w<sub>2</sub>) et donc que nous sommes dans un des quatre autres mondes (car ils ne sont pas identiques aux deux premiers). Et ainsi de suite. À i<sub>5</sub> nous découvrirons peut-être que nous sommes dans w<sub>5</sub> ou w<sub>6</sub>, et les alternatives w<sub>3</sub> et w<sub>4</sub> seront devenues caduques.

Cette formalisation de structure branchante repose donc fondamentalement sur une série d'équivalences entre états du monde qui induit, à un moment donné, une indétermination entre les mondes, et donc une relative ignorance des locuteurs sur le monde exact dans lequel ils se situent. Mais ce n'est pas grave (au contraire, cela confirme que nous ne connaissons pas l'avenir). Et à l'arrivée, ce que dessine la figure 4.5 est, dans l'esprit, similaire à ce que suggère intuitivement la figure 4.3. C'est juste que ce qui apparaît, dans cette dernière, comme une simple ligne historique (le passé de ⟨w<sub>1</sub>, i<sub>1</sub>⟩) est en réalité un faisceau de multiples états équivalents. Notons à ce propos que l'ajout d'une structure branchante dans le modèle décuple encore formidablement les proportions de *W*. Par exemple, il existe une quantité inouïe de mondes possibles qui sont jusqu'à présent strictement identiques à notre monde réel et qui ne commenceront à en diverger qu'au xxviiᵉ siècle.

La dernière question qui se pose évidemment c'est : comment utiliser ce type modèle pour rendre compte de la contribution sémantique des expressions linguistiques du futur ? Nous ne la trancherons pas ici, mais nous pouvons voir quels éléments sont utiles pour y répondre. J'ai mentionné en §4.2.3 que le futur linguistique comportait une composante modale. Nous pourrions alors envisager d'introduire un nouvel opérateur, « temporo-modal », qui fait à la fois un décalage sur l'indice *i* et de la quantification sur les *w*. Mais nous pouvons aussi exploiter ce dont nous disposons déjà, en combinant □ (à interpréter avec une relation d'accessibilité historique) et *F*. La force modale associée au futur est très certainement de l'ordre du nécessaire, car les phrases au futur se présentent généralement comme des prédicitions du locuteur. Mais il faudra bien avoir à l'esprit que □*F*φ et *F*□φ ne sont pas équivalentes, la première étant plus forte que la seconde. La traduction la plus satisfaisante du futur est probablement du côté de □*F*, mais en perfec- tionnant l'interprétation du nécessaire, comme nous le verrons au chapitre 9 (vol. 2).

### Exercice 4.6

On interprète □ comme historique. Démontrez, en utilisant par exemple le modèle de la figure 4.5, que □*F*φ et *F*□φ ne sont pas équivalentes.

Et démontrez que [*Pφ* → □*Pφ*] est vraie pour tout *w* et tout *i*.
4.4 Intension et extension

L'ajout de *I* et *W* dans le modèle rend notre système intensionnel, et il gagne ainsi en précision ontologique. Cela augmente significativement l'expressivité de LO, en permettant d'aborder le traitement de la temporalité et des modalités. Mais cela a aussi une conséquence épistémologique très précieuse pour notre théorie, en ce que cela va nous permettre de formaliser précisément la notion de *sens*. Certes le sens est déjà présent dans notre système formel, ce sont les conditions de vérité (ou plus généralement les conditions de dénotation). Techniquement, ces conditions sont des règles de calcul, articulées avec un *si et seulement si* ; les calculs qu'elles permettent s'exécutent dans le système, mais elles-mêmes, telles qu'elles sont formulées, se situent un peu à l'extérieur du système, ou du moins à l'interface entre le système et ses utilisateurs (i.e. nous-mêmes). Formaliser le sens consiste à en faire un objet complètement défini à l'intérieur du système. Il devient alors techniquement plus autonome et plus facilement manipulable, et l'on peut ainsi l'étudier, l'exploiter, le mettre à l'épreuve avec des méthodes scientifiques suffisamment robustes. Et par la même occasion, nous verrons que cette formalisation va nous permettre d'améliorer encore un peu l'expressivité de LO.

4.4.1 Sens et mondes

Commençons par récapituler un point important : pour un modèle donné, la valeur sé-
mantique, c'est-à-dire la *déNOTATION*, d'une expression dépend maintenant d'un monde
possible et d'un instant donnés. Et nous écrivons $\llbracket\varphi\rrbracket^{M, w, i, g} = 1$ pour dire que $\varphi$ est vraie
dans le monde $w$ à l'instant $i$ (et relativement au modèle $M$ et à l'assignation $g$). Ces pa-
ramètres $w$ et $i$ jouent le rôle de points de références sur lesquels s'appuie l'évaluation
sémantique de l'expression. Ils constituent ce que l'on appelle des INDICES. Technique-
ment un indice est ainsi défini comme un couple de coordonnées $\langle w, i \rangle$, qui identifie un
état possible et particulier du monde.

Passons maintenant au *SENS* d'une expression. Et souvenons-nous de la définition fre-
géenne que nous avions adoptée (§2.2, p. 49) : le sens d'une expression est ce qui nous
donne sa dénotation. À l'aide de l'appareil formel que nous avons introduit dans ce cha-
pitre, nous pouvons la reformuler de la manière suivante (pour toute expression *α*).

Point 4.1

Connaître le sens de $\alpha$ c'est être capable de retrouver, pour n'importe quel monde $w$ et n'importe quel instant $i$, quelle est la dénotation de $\alpha$ dans $w$ à $i$.

En effet, si vous connaissez le sens de *moustachu*, alors quel que soit le monde (et l'instant) dans lequel vous vous situez, vous saurez dire si un individu appartient ou non à la dénotation de *moustachu*. De même, pour une phrase ou une formule *φ*, comprendre *φ*, c'est être à même de dire : « donnez-moi un monde *w* (quelconque) et un instant *i*
(quelconque), et je vous dirai si $\varphi$ est vraie ou fausse dans $\langle w, i \rangle$ ». Car rappelons-nous qu'un indice $\langle w, i \rangle$ donné fournit une description complète d'un état de choses (grâce à la fonction d'interprétation $F$ du modèle).

Le sens est donc une sorte de mécanisme qui, à partir de la donnée d'un état du monde $\langle w, i \rangle$, nous retourne la dénotation (dans $\langle w, i \rangle$). Formellement, un tel mécanisme correspond tout simplement à une FONCTION. Une fonction qui à tout indice $\langle w, i \rangle$ associe la dénotation de l'expression par rapport à cet indice. Un telle fonction s'appelle l'INTENSION d'une expression. Intension sera maintenant pour nous synonyme de sens, de même que extension sera synonyme de dénotation<fnref n="53" />.

**Définition 4.8 : Intension**

Soit $\mathcal{M} = (\mathcal{A}, \mathcal{W}, I_\prec, F)$ un modèle intensionnel, $g$ une fonction d'assignation et $\alpha$ une expression interprétable de LO.

L'INTENSION de $\alpha$ est la fonction $\langle w, i \rangle \mapsto [[\alpha]]^{M, w, i, g}$, c'est-à-dire la fonction
qui à tout monde $w$ de $\mathcal{W}$ et tout instant $i$ de $I$ associe l'extension de $\alpha$ dans
$\langle w, i \rangle$.

L'intension de $\alpha$, en tant que fonction, a pour ensemble de départ l'ensemble de tous
les couples $\langle w, i \rangle$, qui se note $\mathcal{W} \times I$. L'ensemble d'arrivée de la fonction, lui, dépend de
la nature de $\alpha$. Si $\alpha$ est un prédicat unaire, alors son intension associe à chaque $\langle w, i \rangle$ un
ensemble d'individus, i.e. un sous-ensemble de $\mathcal{A}$ ; l'ensemble d'arrivée de la fonction
est donc l'ensemble de tous les sous-ensembles de $\mathcal{A}$, qui se note $\mathcal{P}(\mathcal{A})$. Par exemple,
l'intension du prédicat **dormir** est cette fonction qui nous révèle l'ensemble des dormeurs
pour chaque état du monde :

$$
(56) \quad \mathcal{W} \times I \to \mathcal{P}(\mathcal{A}) \\
\qquad \langle w, i \rangle \mapsto \begin{array}{l} \text{l'ensemble des dormeurs de } \mathcal{A} \text{ dans } \langle w, i \rangle, \\ \text{i.e. } [[\text{dormir}]]^{M, w, i, g} \end{array}
$$

Ce qui peut sembler curieux dans (56), c'est que cette fonction ne fait pas apparaître
la « définition » du verbe ou prédicat dormir (comme on parle d'une définition de dic-
tionnaire qui nous donne, informellement, le sens d'un mot). Nous retrouvons là la dis-
cussion de la fin du chapitre 2 (§2.5). Rappelons que nous n'ouvrons pas le capot de la

<footnote n="53">⁵³ Les notions d'intension et d'extension sont relativement anciennes en philosophie. Intension est originellement synonyme de compréhension. Par exemple, l'intension d'un concept est l'ensemble des traits caractéristiques qui le définissent en propre et l'opposent aux autres concepts. L'extension d'un concept est en quelque sorte son « étendue » dans le monde, c'est-à-dire la classe des objets qui l'instancient. De même, la définition par extension d'un ensemble est l'énumération complète de son contenu ; sa définition par intension est la spécification des conditions nécessaires et suffisantes que doit satisfaire un objet pour en être un élément. L'assimilation du sens à l'intension de la logique modale remonte essentiellement à Carnap (1947), et la formalisation (sous forme de fonction) que nous adoptons ici reprend notamment celle de Kripke (1963).</footnote>
sémantique lexicale, et de fait nous n’explicitons pas les détails de l’analyse sémantique du prédicat dans la fonction (56). Mais non explicite ne veut pas dire absent ; le sens du prédicat est compris dans (56), c’est l’ensemble des conditions qui font que la fonction sait toujours retrouver la dénotation correcte. Ce qui importe dans l’approche que nous suivons ici, c’est que l’objet formel défini en (56) a les mêmes propriétés que ce que nous concevons informellement comme le sens de dormir. Nous attendons du sens qu’il détermine la dénotation à partir de toute donnée de l’état du monde ; c’est ce que fait la fonction intension, et cela nous suffit<fnref n="54" />. Si par la suite, nous trouvons que l’intension a des propriétés qui contreviennent à ce que devrait être le sens, alors il sera temps de revenir sur cette hypothèse (en la supprimant, en l’amendant ou en la relativisant), mais en attendant, notre identification du sens à l’intension convient à notre programme de formalisation sémantique.

L’intension d’un prédicat unaire, donc une fonction de $W \times I$ vers $\mathcal{P}(A)$, s’appelle une **propriété**. Il s’agit d’un terme technique de la théorie, mais il converge bien avec l’usage courant et informel que nous faisons du mot **propriété**<fnref n="55" />.

L’intension d’un prédicat binaire associe à tout indice un ensemble de couples d’individus. L’ensemble de tous les couples composés d’éléments de $\mathcal{A}$ se note $\mathcal{A} \times \mathcal{A}$ (ou $\mathcal{A}^2$) et l’ensemble de tous les ensembles possibles de couples se note $\mathcal{P}(\mathcal{A} \times \mathcal{A})$ (ou $\mathcal{P}(\mathcal{A}^2)$). Par exemple, l’intension du prédicat **regarder** est donc une fonction de $W \times I$ vers $\mathcal{P}(\mathcal{A} \times \mathcal{A})$ :

$$ (57) \qquad \begin{aligned} W \times I &\to \mathcal{P}(\mathcal{A} \times \mathcal{A}) \\ \langle w, i \rangle &\mapsto \begin{array}{l} \text{l'ensemble de tous les couples } \langle x, y \rangle \text{ tels que } x \text{ regarde } y \\ \text{dans } \langle w, i \rangle, \text{i.e. } \llbracket \text{regarder} \rrbracket^{M, w, i, g} \end{array} \end{aligned} $$

Une telle fonction, i.e. donc le sens d’un prédicat binaire, s’appelle une **RELATION INTENSIONNELLE**, ou parfois aussi une **RELATION EN INTENSION**. Il en va de même pour tout autre prédicat *n*-aire, dont l’intension est une fonction de $W \times I$ vers $\mathcal{P}(\mathcal{A}^n)$ (et que l’on nomme également une relation intensionnelle).

L’intension d’un terme est une fonction beaucoup plus simple, qui va de $W \times I$ vers $\mathcal{A}$. En ce qui concerne les constantes d’individus (et les noms propres), tant que nous nous plaçons sous l’hypothèse des désignateurs rigides, leur intension n’est pas très spec- taculaire<fnref n="56" />. En effet l’intension de *a* est simplement :

<footnote n="54">⁵⁴ Notons d’ailleurs que, formellement, nous manipulions déjà des intensions depuis un petit moment : par l’intermédiaire de la fonction d’interprétation *F* du modèle. C’est une sorte de « super-fonction intension » qui pour chaque constante non logique du langage représente la fonction qui donne son extension pour tout indice $\langle w, i \rangle$. *F* interprète le vocabulaire de base de LO (i.e. livre son sens), mais les intensions que nous définissons ici valent pour toute expression du langage.</footnote>

<footnote n="55">⁵⁵ En tout rigueur, il sera donc fautif d’appeler **propriété** la dénotation d’un prédicat, même si c’est ce que nous avons fait occasionnellement dans les chapitres précédents. Cela dit, il faut avouer qu’il est parfois pratique – pour alléger les explications – de regrouper sous une même dénomination le symbole (prédicat), la dénotation (ensemble) et le sens (fonction), en les appelant indistinctement des propriétés, dans une acception informelle.</footnote>

<footnote n="56">⁵⁶ Mais rappelons que nous pouvons aussi nous autoriser à exclure quelques constantes de cette hypothèse, comme *m* de Miss France par exemple.</footnote>
4 Sémantique intensionnelle

$$
(58) \quad \mathcal{W} \times \mathcal{I} \longrightarrow \mathcal{A} \\
\langle w, i \rangle \longmapsto \text{ALICE}
$$

Elle renvoie toujours la même valeur, il s'agit d'une fonction constante. Une telle fonction constitue un objet intensionnel un peu appauvri, mais qui est, somme toute, assez conforme à l'intuition que nous avons sur la sémantique des noms propres, à savoir qu'ils n'ont pas vraiment de sens (du moins qu'ils n'ont pas de sens au même titre que les substantifs par exemple<fnref n="57" />). Et il faudra bien prendre garde à ne pas confondre (ni assimiler) l'individu ALICE (l'extension de a) et la fonction (58) (l'intension de a), car ce sont des objets formels de natures différentes. L'intension d'un terme s'appelle un CONCEPT D'INDIVIDU. Elle prend toute sa dimension lorsque le terme en question est une description définie, comme 1x président(x, u) (en posant que u dénote les États-Unis) :

$$
(59) \quad \mathcal{W} \times \mathcal{I} \to \mathcal{A} \\
\langle w, i \rangle \mapsto \begin{array}{l} \text{l'unique individu qui est président des USA dans } \langle w, i \rangle, \\ \text{i.e. } [[1x \text{ président}(x, u)]]^{M, w, i, g} \end{array}
$$

(59) est le concept *le-président-des-USA*, et nous voyons qu'en tant que fonction, il peut
« s'incarner » en différents individus selon les indices *w* et *i* donnés en arguments.

L'intension d'une description définie (i.e. d'un 1-terme) nous donne également l'occasion d'examiner un cas de figure particulier, celui des présuppositions. En effet, d'après l'interprétation que nous avons donnée à 1, si nous prenons un état du monde ⟨w, i⟩ dans lequel il n'y a pas de président des USA (pour une raison quelconque, par exemple le pays serait devenu une monarchie...), alors [[1x président(x, u)]]<sup>M, w, i, g</sup> n'est pas défini. Et cela se répercute directement sur l'intension de l'expression. Ce n'est pas un problème, au contraire ; cela nous permet de gérer (en partie !) les présuppositions dans notre système. L'intension est une fonction sur 𝒲 × 𝓅, et les fonctions ne sont pas toujours définie sur tout leur ensemble de départ<fnref n="58" />. Ainsi, lorsque l'on présente une fonction donnée, il est très utile de préciser ce que l'on appelle son *domaine de définition*, qui est le sous-ensemble de l'ensemble de départ pour les éléments duquel la fonction donne une valeur (nous y reviendrons au chapitre suivant, §5.3.4.3). Pour les intensions, leur domaine de définition est déterminé via les présuppositions. Le principe est le suivant : si α est une expression qui présuppose ψ, alors l'intension de α n'est définie que pour les indices ⟨w, i⟩ tels que [[ψ]]<sup>M, w, i, g</sup> = 1.

Enfin, l'intension d'une formule $\varphi$ est une fonction de $W \times I$ vers $\{0; 1\}$. C'est la
fonction qui pour chaque indice $\langle w, i \rangle$ renvoie la valeur « oui, $\varphi$ est vraie dans $\langle w, i \rangle$ »
ou « non, $\varphi$ est fausse dans $\langle w, i \rangle$ » :

<footnote n="57">⁵⁷ Et cela transparaît dans le fait qu’en pratique, contrairement aux autres GN, nous n’avons pas besoin de comprendre un nom propre, ce qui compte c’est simplement de savoir ce qu’il dénote.</footnote>

<footnote n="58">⁵⁸ Comme certaines fonctions numériques qui ne sont pas définies pour tous les nombres. Par exemple la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ n'est pas définie pour 0, et, sur les nombres réels, $x \mapsto \sqrt{x}$ n'est pas définie pour les nombres négatifs.</footnote>
$$
(60) \quad
\begin{array}{r@{\,}c@{\,}l@{\quad}l}
\mathcal{W} \times \mathcal{I} & \to & \{0; 1\} & \\
\langle w, i \rangle & \mapsto & \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
  1 \text{ si } \varphi \text{ est vraie dans } \langle w, i \rangle \\
  0 \text{ sinon}
\end{array}
\right.
\end{array}
$$

Nous retrouvons bien là le principe de la sémantique vériconditionnelle qui dit que
connaître le sens d'une phrase, c'est être capable de juger de sa vérité en fonction des
informations sur le monde. L'intension d'une formule s'appelle une **PROPOSITION**<fnref n="59" />. Le ta-
bleau 4.1 récapitule les différents types d'intensions pour chaque catégorie d'expressions
de LO.

<table><caption>TAB. 4.1 : Extensions et intensions des différentes catégories de LO</caption>
  <thead>
    <tr>
      <th>Catégories d'expressions</th>
      <th>Extension (dénotation)</th>
      <th>Intension (sens)</th>
    </tr>
  </thead>
  <tbody>
    <tr>
      <td>formule φ (phrase)</td>
      <td>une valeur de vérité 0 ou 1</td>
      <td>une fonction W × I → {0; 1} = une PROPOSITION</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>terme, constante (N propre, GN défini)</td>
      <td>un individu de A</td>
      <td>une fonction W × I → A = un CONCEPT D'INDIVIDU</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>prédicat unaire (N, Adj, GV)</td>
      <td>un ensemble d'individus (∈ P(A))</td>
      <td>une fonction W × I → P(A) = une PROPRIÉTÉ</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>prédicat binaire (V transitif,...)</td>
      <td>un ensemble de couples d'individus (∈ P(A × A))</td>
      <td>une fonction W × I → P(A × A) = une RELATION INTENSIONNELLE</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

Nous avons examiné l'intension des termes, mais qu'en est-il des variables ? Nous pouvons leur assigner aussi une intension, en appliquant la définition 4.8. Par exemple, pour la variable *x*, son intension est la fonction qui à tout indice $\langle w, i \rangle$ associe l'extension de *x* dans $\langle w, i \rangle$ relativement à *M* et *g*, c'est-à-dire $\llbracket x \rrbracket^{M, w, i, g}$. Et par définition, cette extension vaut *g(x)*. L'intension de *x* est donc :

$$
(61) \quad \mathcal{W} \times \mathcal{I} \to \mathcal{A} \\
\langle w, i \rangle \mapsto g(x), \text{ i.e. } \llbracket x \rrbracket^{M, w, i, g}
$$

Il s'agit là encore d'une fonction constante puisque le résultat ne dépend pas de l'ar-
gument ⟨w, i⟩. Cela ne devrait pas être déroutant car les variables non plus n'ont pas
vraiment de sens : elles se contentent de pointer plus ou moins arbitrairement sur un
objet du domaine et ce pointage n'est pas déterminé par l'état possible du monde auquel
le locuteur se réfère. En revanche, l'intension de x dépend de l'assignation g, qui fait
partie du contexte.

<footnote n="59">⁵⁹ Attention, il ne faudra pas confondre une proposition qui est le sens d'une phrase et ce qu'on appelle une proposition en syntaxe (cf. propositions subordonnées, principales, indépendantes...). Il se trouve qu'elles portent le même nom en français ; l'anglais les distingue par *proposition et clause*, respectivement.</footnote>
## 4 Sémantique intensionnelle

Cela nous amène à faire quelques observations importantes. D'une part :

### Point 4.2

L'intension, c'est-à-dire le sens, d'une expression ne dépend pas de l'état du monde dans lequel on se place pour évaluer cette expression.

Car le sens est bien ce qui est constant d'un état du monde à l'autre : par exemple le sens du mot *dormir* (ou du prédicat *dormir* dans LO) ne change pas selon qui dort ou ne dort pas dans telle ou telle situation. Et c'est bien ce qui est reflété par la formalisation des intensions en tant que fonction sur les indices : puisque leur travail est de fournir une valeur pour *tout* indice, elles font une généralisation, c'est-à-dire une *abstraction* sur les $(w, i)$, elles ne dépendent pas des indices<fnref n="60" />.

D'autre part, d'après la définition 4.8 et ce que nous venons de voir au sujet des variables :

### Point 4.3

L'intension d'une expression dépend d'un modèle et d'une fonction d'assignation.

Comme nous avons mis dans le modèle tout ce qui est possible et imaginable, nous pouvons difficilement le faire varier<fnref n="61" />. Au contraire, les assignations peuvent varier sans problème (elles sont un peu conçues pour cela), et par conséquent une expression donnée pourra ne pas avoir le même sens selon l'assignation choisie pour l'interpréter. Supposons une fonction $g_1$ qui assigne à la variable $x$ la valeur ALICE. Avec cette assignation, l'intension de la formule (62b), traduction de la phrase (62a), est la fonction qui retourne 1 pour tous les états du monde dans lesquels ALICE fait partie des dormeurs. Avec $g_1$, (62b) est sémantiquement équivalente à dormir(a).

(62) a. Elle dort.

b. dormir($x$)

Et si nous interprétons (62b) avec $g_2$ telle que $g_2(x) = \text{DINA}$, alors la formule est équivalente à dormir(d).

<footnote n="60">⁶⁰ Cette indépendance de la fonction vis-à-vis de ses arguments peut dérouter de prime abord lorsque l'on n'est pas très familier de la notion de fonction. Car, certes, la valeur précise que retourne la fonction-intension dépend bien, à chaque fois, de l'indice particulier qu'on lui donne. C'est le propre d'une fonction : son travail est de mettre en rapport un argument (ici un indice) avec une valeur (i.e. un résultat). Mais le mécanisme qui établit ce rapport vaut pour n'importe quel argument. C'est pourquoi une fonction, en soi et globalement, ne dépend pas de ses arguments, car elle fait le même « calcul » pour tous les arguments.</footnote>

<footnote n="61">⁶¹ En fait, le modèle comprend la définition du sens des « mots » par l'intermédiaire de F. Ainsi dans notre approche, changer de modèle revient essentiellement à changer de langue.</footnote>
Nous avons pris l'habitude de considérer que les assignations sont un composant du contexte, et de ce fait, le point 4.3 ne fait rien d'autre que nous rappeler ce qui est bien connu en sémantique, à savoir que le sens dépend du contexte.

Les points précédents et la définition 4.8 nous permettent également d'inférer que l'intension d'une expression est sa valeur sémantique indépendante de w et de i (mais dépendante de M de g). Comme nous utilisons [[·]] pour représenter les valeurs sémantiques, nous avons une notation évidente pour l'intension d'une expression α, c'est [[α]]<sup>M,g</sup>.

**Notation 4.4**

Soit $\mathcal{M} = (\mathcal{A}, \mathcal{W}, I_<=, F)$ un modèle intensionnel, $g$ une fonction d'assignation et $\alpha$ une expression interprétable de LO. L'intension de $\alpha$ relativement à $\mathcal{M}$ et $g$ se note $[[\alpha]]^{\mathcal{M},g}$.

Cela ressemble à notre manière de noter la dénotation (i.e. l'extension) de $\alpha$ dans les chapitres 2 et 3<sup>62</sup>. Mais nous ne ferons pas la confusion, car maintenant notre système est (et restera) intensionnel : les indices $w$ et $i$ sont des paramètres indispensables pour définir, et donc noter, l'extension. Par conséquent, $[[\alpha]]^{\mathcal{M},g}$ peut apparaître comme une écriture « incomplète » ; et c'est voulu. L'intension de $\alpha$ est une fonction et $[[\alpha]]^{\mathcal{M},g}$ est le nom de cette fonction ; à ce titre, c'est aussi ce que l'on appelle un *foncteur*, c'est-à-dire le symbole qui représente la fonction dans les notations formelles (comme $F$ et $g$ sont des foncteurs dans les notations mathématiques $F(w, i, a)$ et $g(x)$). Nous pouvons donc donner à cette fonction (ou ce foncteur) $[[\alpha]]^{\mathcal{M},g}$ des arguments attendus, c'est-à-dire des indices $\langle w, i \rangle$, en les accolant entre parenthèses comme nous faisons habituellement<sup>63</sup>. Ainsi nous pouvons écrire $[[\alpha]]^{\mathcal{M},g}(w, i)$ ; c'est la valeur que retourne la fonction $[[\alpha]]^{\mathcal{M},g}$ pour l'indice $\langle w, i \rangle$, ce qui, par définition, est la dénotation de $\alpha$ dans $\langle w, i \rangle$, autrement dit $[[\alpha]]^{\mathcal{M},w,i,g}$.

**Point 4.4**

Quels que soient $\alpha$, $\mathcal{M}$, $g$, $w$ et $i$, $[[\alpha]]^{\mathcal{M},g}(w, i) = [[\alpha]]^{\mathcal{M},w,i,g}$.

Ces deux notations sont, par définition, équivalentes.

<footnote n="62"><sup>62</sup> À ce propos, certains auteurs, comme Dowty, Wall & Peters (1981), utilisent des notations différentes pour bien distinguer les deux ; ils écrivent $[[\alpha]]_{\mathcal{e}}^{\mathcal{M},g}$ pour l'intension de $\alpha$.</footnote>

<footnote n="63"><sup>63</sup> Notons à cet égard que généralement en mathématiques, les notations en chevrons $\langle \rangle$ et en parenthèses $()$ ne sont que des variantes graphiques équivalentes pour représenter les listes et les *n*-uplets. Donc $\langle w, i \rangle$ est la même chose que $\langle w, i \rangle$.</footnote>
4.4.2 Simplifications et interlude graphique

Comme promis en §4.2.3, nous allons à présent opérer une simplification du système,
en abandonnant provisoirement $I_<$ . Cette simplification n’a pour but que d’alléger nos no-
tations et nos descriptions des intensions dans les formulations que nous serons amenés
à manipuler lorsque le système LO se perfectionnera encore dans les chapitres suivants.
Elle va un peu affaiblir notre langage LO (P et F disparaissent) et diminuer la précision
du modèle (les futurs branchants de §4.3.3.5 ne sont plus implémentés), mais, que l’on
se rassure, tout cela reviendra, sous une forme légèrement différente, dans le chapitre 7
(vol. 2). Le gain en simplification est que seuls les mondes possibles vont jouer le rôle
des indices intensionnels. Ainsi le domaine des intensions devient simplement $W$, et
les dénotations sont plus sobrement notées $[\alpha]^{M,w,g}$. Une conséquence est que, pour
nous maintenant, les termes « états du monde » et « mondes possibles » seront utili-
sés comme des synonymes. Et partout où, précédemment, nous écrivions $\langle w, i \rangle$ nous
écrirons dorénavant simplement w.

Ensuite, nous avons vu précédemment que le sens d'une phrase, i.e. une *proposition*, est une fonction qui pour tout indice (*w*) nous renvoie la valeur vrai (1) ou faux (0). C'est donc une fonction qui fait du *tri* parmi les indices, et ainsi elle « divise » l'ensemble de tous les indices (*W*) en deux sous-ensembles : d'une part, l'ensemble de tous les états du monde où la phrase est vraie, et d'autre part celui qui contient tous les états où elle est fausse. Or la connaissance du premier de ces sous-ensembles et la connaissance de la fonction intension sont complètement équivalentes, puisque les deux nous disent exactement dans quels états du monde la phrase est vraie. Par conséquent, si nous le voulons, nous pouvons – sans risque – adopter une vision alternative de ce qu’est l’intension d’une phrase : c’est l’ensemble de tous les indices où cette phrase est vraie.

Point 4.5

L'intension d'une formule $\varphi$ peut être assimilée à l'ensemble de tous les indices pour lesquels $\varphi$ est vraie.

Cette assimilation d'une fonction qui se projette sur {0 ; 1} avec un ensemble est très
importante pour notre formalisme – à tel point que je prendrai le temps d'y revenir plus
longuement dans le prochain chapitre. En effet, ce sera pour nous particulièrement pra-
tique, de temps en temps, de raisonner sur les propositions en les considérant comme
des ensembles d'indices, parce que les ensembles sont souvent des objets plus simples à
manipuler que des fonctions. Mais il faudra bien garder à l'esprit qu'il ne s'agit que d'une
assimilation ; techniquement un ensemble n'est pas la même chose qu'une fonction, et
en toute rigueur, si nous voulons représenter les propositions en tant qu'ensembles de
mondes, nous devons adopter une notation spécifique, [[φ]]<sup>M,g</sup> par exemple<sup>64</sup>. Ainsi nous

<footnote n="64">⁶⁴ Ce n’est pas une notation consacrée dans la littérature ; je l’introduis ici pour bien marquer la distinction de nature entre [[φ]]<sup>M,g</sup> et [[φ]]<sup>M,g</sup>, même si nous nous autoriserons à nommer les deux des propositions.</footnote>
pouvons définir : $\llbracket\varphi\rrbracket_e^{M,g} = \{w \in W \mid \llbracket\varphi\rrbracket^{M,w,g} = 1\}$. Et de cette manière, nous disposons maintenant de trois variantes pour notifier qu'une formule $\varphi$ est vraie dans un monde $w : \llbracket\varphi\rrbracket^{M,w,g} = 1$, $\llbracket\varphi\rrbracket^{M,g}(w) = 1$ et $w \in \llbracket\varphi\rrbracket_e^{M,g}$.

La conception ensembliste des propositions nous permet d'en donner une visualisation graphique très simple et parfois très pratique. En effet, nous pouvons dessiner des propositions sur un plan où chaque point représente un monde possible (ainsi ce plan figure tout *W*'). Une proposition, en tant qu'ensemble de mondes, se dessine comme un ensemble de points, i.e. une surface du plan. C'est ce qu'illustre la figure 4.6 pour une formule $\varphi$ quelconque.

<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>FIG. 4.6 : Représentation graphique de $\llbracket\varphi\rrbracket_e^{M,g}$ et $\llbracket\neg\varphi\rrbracket_e^{M,g}$</figcaption></figure>

Ces représentations graphiques nous montrent qu'il est aisé de définir compositionnellement la version intensionnelle des connecteurs vérifonctionnels. Ainsi l'intension de la négation d'une formule, c'est bien évidemment le *complémentaire* par rapport à *W* de l'intension de cette formule. De même, comme le montrent les figures 4.7, intensionnellement la conjonction correspond à *l'intersection* et la disjonction à *l'union* de propositions. Autrement dit : $\llbracket\varphi \wedge \psi\rrbracket_e^{M,g} = \llbracket\varphi\rrbracket_e^{M,g} \cap \llbracket\psi\rrbracket_e^{M,g}$ et $\llbracket\varphi \vee \psi\rrbracket_e^{M,g} = \llbracket\varphi\rrbracket_e^{M,g} \cup \llbracket\psi\rrbracket_e^{M,g}$.

<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>FIG. 4.7 : Représentation graphique de $\llbracket\varphi \wedge \psi\rrbracket_e^{M,g}$ et $\llbracket\varphi \vee \psi\rrbracket_e^{M,g}$</figcaption></figure>

La représentation graphique de $\llbracket\varphi \rightarrow \psi\rrbracket_e^{M,g}$ est moins intuitive (il faut se souvenir que $\varphi \rightarrow \psi$ équivaut à $\neg\varphi \vee \psi$), et il n'est pas souvent utile de la dessiner. En revanche,
la représentation graphique de la conséquence logique (cf. 4.5.2), elle, est très simple et très utile : $\varphi \models \psi$ ssi $\llbracket \varphi \rrbracket_e^{M,g} \subseteq \llbracket \psi \rrbracket_e^{M,g}$. Cela montre, si c'était encore nécessaire, que l'implication matérielle et la conséquence logique ne doivent pas être confondues. Graphiquement, avec l'implication on fabrique une nouvelle proposition à partir du dessin de deux propositions données, alors qu'avec la conséquence on dessine une relation, ou un rapport « géométrique », entre deux propositions.

Profitons-en également pour revenir un instant sur ce que nous avons vu précédemment sur les présuppositions. Supposons qu'une formule $\varphi$ contienne un élément qui présuppose un contenu qui se représente par la formule $\psi$. Nous ne connaissons qu'un symbole de LO qui fait cela, c'est 1 (mais rien n'empêche d'en définir d'autres si le besoin s'en fait sentir). Par exemple, la formule $\mathbf{chauve}(1x \mathbf{rdf}(x))$ présuppose qu'il existe un et un seul roi de France (rdf), ce qui peut se représenter par la formule $\exists x[\mathbf{rdf}(x) \wedge \forall y[\mathbf{rdf}(y) \leftrightarrow y = x]]$. Si nous dessinons $\llbracket \varphi \rrbracket_e^{M,g}$, i.e. l'ensemble des mondes où $\varphi$ est vraie, nous respecterons forcément la condition $\llbracket \varphi \rrbracket_e^{M,g} \subseteq \llbracket \psi \rrbracket_e^{M,g}$ (l'ensemble des mondes où le roi de France est chauve est inclus dans l'ensemble des mondes où il existe un et un seul roi de France). Mais dans ce cas, $\llbracket \neg \varphi \rrbracket_e^{M,g}$ ne sera le complémentaire de $\llbracket \varphi \rrbracket_e^{M,g}$ par rapport à tout $\mathcal{W}$ (comme dans la figure 4.6), mais seulement par rapport à $\llbracket \psi \rrbracket_e^{M,g}$ ; autrement dit $\llbracket \neg \varphi \rrbracket_e^{M,g} = \llbracket \psi \rrbracket_e^{M,g} - \llbracket \varphi \rrbracket_e^{M,g}$ (l'ensemble des mondes de $\llbracket \psi \rrbracket_e^{M,g}$ privé de ceux de $\llbracket \varphi \rrbracket_e^{M,g}$), et donc $\llbracket \neg \varphi \rrbracket_e^{M,g} \subseteq \llbracket \psi \rrbracket_e^{M,g}$.

<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>FIG. 4.8 : Représentation graphique $\varphi$ et $\neg \varphi$ présupposant $\psi$</figcaption></figure>

La situation est légèrement différente (graphiquement) dans les cas où l'on analyse une phrase de la langue comme présupposant un certain contenu sans que cette présupposition soit directement prise en charge par un symbole de LO. Mais le principe reste le même. Au chapitre 1, nous avions vu qu'une phrase comme (63a), par exemple, a une contribution sémantique qui peut se diviser en deux parts : un contenu présupposé (63b) et un contenu « proféré » (63c) qui correspond à ce que nous tenons habituellement pour les conditions de vérité, et donc le sens, de la phrase (puisque nous laissons généralement de côté les présuppositions dans nos traductions en LO).

(63) a. Seul Lancelot est amoureux de Guenièvre.

b. présupposé : Lancelot est amoureux de Guenièvre. (amoureux(l, g))
c. proféré : *Tout individu amoureux de Guenièvre est Lancelot.*
(∀x[amoureux(x, g) → x = l])

Résumons (63b) par la formule $\psi$ et (63c) par $\varphi$. Nous pouvons dessiner leurs intensions comme sur la figure 4.9 – $\llbracket \psi \rrbracket_e^{M,g}$ est l'ensemble qui recouvre la partie inférieure du plan et $\llbracket \varphi \rrbracket_e^{M,g}$ l'ensemble de droite dont une partie de la frontière est tracée en pointillés. Et là, même si $\varphi$ est ce que nous utiliserions pour traduire (63a), la véritable intension de (63a), en tenant compte de la présupposition, est en fait seulement la partie hachurée dans la figure. La partie supérieure de $\llbracket \varphi \rrbracket_e^{M,g}$ (délimitée par des pointillés) contient les mondes où *personne* n'aime Guenièvre, et ce sont bien des mondes où $\varphi$ (63c) est (trivialement) vraie<fnref n="65" />. Donc ici encore l'intension réelle de la phrase sera un ensemble inclus dans l'intension de sa présupposition ($\llbracket (63a) \rrbracket_e^{M,g} \subseteq \llbracket \psi \rrbracket_e^{M,g}$); de même pour l'intension de la négation de (63a)) ($\llbracket \neg(63a) \rrbracket_e^{M,g} = \llbracket \psi \rrbracket_e^{M,g} - \llbracket \varphi \rrbracket_e^{M,g}$).

<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>FIG. 4.9 : Intension d'une phrase exprimant $\varphi$ en présupposant $\psi$</figcaption></figure>

Exercice 4.7

Démontrez que les écritures $\llbracket \varphi \rrbracket^{M,w,g} = 1$ et $w \in \llbracket \varphi \rrbracket_e^{M,g}$ disent la même chose.

### 4.4.3 Expression des intensions dans le langage

Nous allons ici aborder un problème qui avait déjà été identifié, et en grande partie expliqué, par Frege (1892b) : le problème de ce qu'il appelait les dénotations indirectes. La notion d'intension introduite précédemment va nous permettre de formaliser une solution à ce problème, en reprenant notamment le système que propose Montague (1973).

#### 4.4.3.1 Le problème des complétives

Pour nous sensibiliser au problème des dénotations indirectes, commençons par nous interroger sur la manière dont nous pourrions traduire, et donc analyser, compositionnellement des phrases qui contiennent une subordonnée complétive comme (64) :

(64) Charles pense qu'Alice est en colère.

<footnote n="65">⁶⁵ Car rappelons que lorsque l'antécédent d'une implication est faux, l'implication est vraie.</footnote>
## 4 Sémantique intensionnelle

En admettant que *Alice est en colère* se traduise simplement par **colère**(a), et en tenant compte du fait que **penser** est un verbe transitif, nous pouvons tout d'abord être tenté de proposer la traduction suivante :

(65) **penser**(c, **colère**(a))

Mais nous savons que cela n'est qu'une tentation à laquelle nous ne devrions pas oser céder, car la syntaxe de LO ne nous autorise pas, pour l'instant, à écrire (65). En effet **colère**(a) est une formule et pour cette raison elle ne peut pas apparaître en tant qu'argument d'un prédicat binaire comme **penser**.

Cependant, s'il le faut, nous pouvons toujours envisager d'amender la syntaxe de LO en ajoutant une règle qui autorise (65) et ainsi permette de traduire le sens de (64). Une telle règle serait de la forme : si $\alpha$ est un terme, si $P$ est un certain prédicat binaire (comme **penser**, **croire**, **dire**, **vouloir**...) et si $\varphi$ est une formule, alors $P(\alpha, \varphi)$ est une formule bien formée de LO. Cela nous permettrait d'écrire dans LO ce que l'on appelle des expressions du second ordre, c'est-à-dire qui enchâssent des formules comme arguments de prédicats.

Mais si nous nous accordons le droit d'écrire (65), nous devons aussitôt vérifier la justesse de ses conditions de vérité. A priori, nous pouvons interpréter (65) par la règle sémantique (Sém.1b) (p. 120) ; ses conditions de vérité s'établiront alors comme suit :

$$ (66) \quad \llbracket \mathbf{penser}(c, \mathbf{colère}(a)) \rrbracket^{M, w, g} = 1 \\ \text{ssi } \langle \llbracket c \rrbracket^{M, w, g}, \llbracket \mathbf{colère}(a) \rrbracket^{M, w, g} \rangle \in \llbracket \mathbf{penser} \rrbracket^{M, w, g}. $$

Nous savons que $\llbracket c \rrbracket^{M, w, g} = \text{CHARLES}$, mais que vaut $\llbracket \mathbf{colère}(a) \rrbracket^{M, w, g}$ ? Cela dépend de $w$, mais ce qui est sûr, c'est que c'est une valeur de vérité, 0 ou 1, puisqu'il s'agit d'une formule. Par conséquent (65) est vraie dans $w$ ssi $\langle \text{CHARLES}, 1 \rangle$ ou $\langle \text{CHARLES}, 0 \rangle$ (selon qu'Alice est ou non en colère dans $w$) appartient à la dénotation de **penser** dans $w$. Or cela présuppose qu'un prédicat comme **penser** dénoterait une relation entre des individus (comme **CHARLES**) et des valeurs de vérité (0 ou 1). Mais cela est évidemment absurde ! On ne pense pas des valeurs de vérité ; les objets de pensée sont des objets bien plus sophistiqués, ce sont... eh bien ce que l'on appelle justement des « pensées ». De manière générale, ces verbes qui enchâssent une complétive et qui sont pour la plupart des verbes d'attitude propositionnelle (cf. p. 179) expriment une attitude cognitive d'un individu vis-à-vis du contenu d'une phrase (déclarative). Et le contenu d'une phrase, c'est son sens (ou son intension), c'est-à-dire une **proposition**.

Si nous considérons ainsi que le second argument de **penser** est une proposition, c'est-à-dire que **penser** dénote une relation entre un individu et une fonction de $W$ vers $\{0 ; 1\}$ (ou un ensemble de mondes possibles), nous pouvons arriver à une analyse sémantique correcte pour une phrase comme (65)<fnref n="66" />. Il suffit tout simplement de considérer que dans tout monde $w$, **penser** met en relation chaque individu du modèle avec chaque proposition que cet individu estime être vraie dans $w$. Concrètement, il faut que la dénotation de **penser** soit un ensemble de couples de la forme $\langle X, P \rangle$, où $P$ est une proposition. De

<footnote n="66">⁶⁶ Car les propositions, en tant que fonctions de $W$ vers $\{0 ; 1\}$, sont bien présentes et accessibles dans le modèle.</footnote>
même, la dénotation de **vouloir** dans w sera l'ensemble de tous les couples ⟨x, p⟩ tels que x souhaite voir p devenir vraie dans w. C'est là le principe de base de l'interprétation de tout verbe d'attitude propositionnelle.

Pour autant, tout n'est pas encore réglé pour LO car notre règle (Sém.1b) ne peut pas interpréter correctement (65). En effet (Sém.1b) calcule – comme il se doit – le couple formé de l'extension des arguments du prédicat d'attitude propositionnelle. Or nous venons de voir que pour déterminer l'extension de la phrase globale, ce n'est pas l'extension de la complétive qu'il faut prendre en compte, mais son intension. En pratique, il y a plusieurs façons de régler cela. Une première solution « simple » consiste à dire que puisque nous avons eu recours à une règle syntaxique spéciale pour former (65), il est normal d'introduire aussi une règle sémantique ad hoc pour interpréter ce type de formule. Cette règle est la suivante : [[P(α, φ)]]<sup>M, w, g</sup> = 1 ssi ⟨[α]⟩<sup>M, w, g</sup>, [[φ]⟩<sup>M, g</sup> ∈ [[P]⟩<sup>M, w, g</sup>. Ce qui est crucial ici, c'est que la règle nous fait calculer [[φ]]<sup>M, g</sup> et non [[φ]]<sup>M, w, g</sup>. Une autre façon de procéder consiste à enrichir LO, pour le rendre plus encore expressif, et en contrepartie nous pourrons interpréter (65) avec (Sém.1b) sans ajouter de règle supplémentaire. C'est ce que nous allons voir à présent.

4.4.3.2 Dénotation indirecte : ^ et v

Frege (1892b) identifiait le problème qui nous occupe en disant que dans certains
contextes, des expressions de la langue ont une dénotation inhabituelle, indirecte. Et
il ajoutait que la dénotation indirecte d'une expression, c'est précisément son sens habituel – autrement dit, pour nous, son intension. Et c'est bien ce que nous avons observé supra : une subordonnée complétive est une phrase qui ne dénote pas ce que dénote habituellement une phrase (i.e. une valeur de vérité) mais une proposition, c'est-à-dire son propre sens. Cela d'ailleurs ne concerne peut-être pas seulement les subordonnées, et de manière générale, nous pouvons en bref faire le constat que parfois certaines expressions dénotent leur sens.

Or notre système sémantique intensionnel nous permet de formaliser ce phénomène en le répercutant au niveau des traductions dans LO. Fondamentalement les expressions de LO ont pour vocation de représenter le sens d'expressions de la langue ; mais comme le sens détermine la dénotation (pour tout indice), dans nos calculs, ces expressions nous servent aussi à représenter les dénotations. Supposons maintenant qu'une expression *E* de la langue se traduise ordinairement par *α* dans LO ; nous saurons alors que la dénotation de *E* (par rapport à *w*) sera la dénotation de *α* (par rapport à *w*). Et si ensuite il se trouve que *E* apparaisse dans un environnement où elle a sa dénotation indirecte, nous ne voudrons pas alors qu'elle se retrouve avec la même dénotation que *α*. Il nous suffira donc d'assigner à *E* une autre traduction. Et cette traduction devra être une expression de LO qui dénote *l'intension* de *α*.

La sémantique intensionnelle dispose d’un opérateur qui réalise exactement cela. Il se note ^ et se place devant une expression de LO pour former l’expression qui dénote le sens de la première<fnref n="67" />. Nous l’introduisons dans LO via les deux règles suivantes.

<footnote n="67">⁶⁷ Dans ces pages, j’appellerai le symbole ^ l’opérateur d’intensionnalisation. Il n’y a pas vraiment, dans la littérature, de terme consacré pour le nommer, même si on trouve parfois celui d’intenseur.</footnote>
**Définition 4.9 : Syntaxe et sémantique de ^**

(Syn.9) Si $\alpha$ est une expression bien formée de LO, alors $^\alpha\alpha$ est aussi une expression bien formée de LO.

$$ (\text{Sém.9}) \quad [[^\alpha\alpha]]^{M, w, g} = \text{la fonction } w' \mapsto [[\alpha]]^{M, w', g}. \\ \text{Autrement dit : } [[^\alpha\alpha]]^{M, w, g} = [[\alpha]]^{M, g}. $$

À sa manière, ^ est lui aussi un opérateur modal. Mais il est plus « puissant » que ◇ et □, car (Syn.9) parle d'expressions bien formées, et pas seulement de formules : ^ peut aussi se placer devant une constante, un prédicat, une variable... Par commodité, nous appellerons ici *expression intensionnelle* toute expression de LO de la forme ^$\alpha$.

La règle (Sém.9) montre que, comme il se doit, la dénotation de $^\alpha$ ne dépend pas du monde dans lequel nous l'évaluons. Autrement dit, quel que soit $w$, $[[^\alpha\alpha]]^{M, w, g}$ aura toujours la même valeur, puisque $^\alpha\alpha$ dénote le sens de $\alpha$ et que, comme nous l'avons vu, le sens est constant d'un monde à l'autre. Ainsi $[[^\text{colère}(a)]]^{M, w, g}$ est une proposition, que nous pouvons ramener à l'ensemble de tous les mondes dans lesquels Alice est en colère.

Nous pouvons maintenant traduire dans LO des phrases comme (64) en réaménageant la règle syntaxique *ad hoc* de la manière suivante : si $\alpha$ est un terme, si $P$ est un prédicat d'attitude propositionnelle et si $\varphi$ est une formule, alors $P(\alpha, ^\varphi)$ est une formule bien formée de LO. Notons qu'il faudra aussi veiller à ajouter une règle similaire pour certains prédicats ternaires, etc. Nous verrons dans le chapitre suivant comment reformuler de telles règles de manière plus efficace, générique et élégante. En attendant, nous pouvons déjà traduire (64) par :

(67) **penser(c, ^colère(a))**

Cette formule s'interprète directement au moyen de (Sém.1b) qui va tester si la dénotation de c (un individu) est bien en relation de « croyance » avec la dénotation de $^\text{colère}(a)$ (une proposition), conformément à ce que nous avons posé comme type de dénotation pour **penser**.

L'opérateur ^ permet donc d'intégrer littéralement la proposition d'analyse de Frege formulée en termes de dénotations indirectes. Même si l'on peut parfois s'en passer pour analyser certains phénomènes (cf. par exemple la piste suggérée en §4.4.3.1), il revêt une importance notoire en sémantique intensionnelle, en particulier depuis les travaux de Montague (1973) qui a généralisé fondamentalement l'usage de la notion de dénotation indirecte et d'expressions intensionnelles (nous y reviendrons dans le chapitre 6).

Et si, dans une telle perspective, le recours à ^ est amené à se multiplier, il s'avère assez naturellement utile de munir notre système de l'opérateur inverse, c'est-à-dire l'opérateur qui restitue l'extension, dans le monde d'évaluation courant, de toute expression intensionnelle. C'est donc en quelque sorte l'opérateur « d'extensionnalisation » ; il se note v et nous l'introduisons dans LO par les deux règles suivantes.
**Définition 4.10 : Syntaxe et sémantique de $\vee$**

(Syn.10) Si $\alpha$ est une expression intensionnelle de LO (i.e. de la forme $\^\beta$), alors $\^\alpha$ est aussi une expression de LO.

$$ (\text{Sém.10}) \quad [[\^\alpha]]^{M, w, g} = [[\alpha]]^{M, w, g}(w) $$

La règle (Syn.10) dit que $\vee$ est supposé ne se placer que devant $\^$ (mais il acquerra plus de liberté formelle dans le prochain chapitre), ce qui est normal étant donnée son interprétation. Celle-ci, (Sém.10), nous fait simplement calculer la valeur que $\alpha$ fournit pour le monde $w$. Car, par hypothèse, $\alpha$ est une expression intensionnelle, donc $[[\alpha]]^{M, w, g}$ est une fonction sur $\mathcal{W}$ à laquelle on peut donner un indice $w$ en argument. Formellement, il serait inexact de dire que $[[\^\alpha]]^{M, w, g}$ est l'extension de $\alpha$ dans $w$ (car l'extension de $\alpha$ est... une intension) ; en fait $\alpha$ étant de la forme $\^\beta$, $[[\^\alpha]]^{M, w, g}$ est précisément l'extension de $\beta$ dans $w$, i.e. $[[\beta]]^{M, w, g}$. Autrement dit, par définition, $\vee$ annule l'effet de $\^$.

**Théorème 4.1**

Pour toute expression $\alpha$ de LO et pour tout modèle $\mathcal{M}$, tout monde $w$ et toute assignation $g : [[\^\alpha]]^{M, w, g} = [[\alpha]]^{M, w, g}$.

La démonstration est immédiate. Par (Sém.10), $[[\^\alpha]]^{M, w, g} = [[\^\alpha]]^{M, w, g}(w)$, et par (Sém.9), $[[\^\alpha]]^{M, w, g} = [[\alpha]]^{M, w, g}$ ; donc $[[\^\alpha]]^{M, w, g} = [[\alpha]]^{M, w, g}(w)$, ce qui par définition vaut $[[\alpha]]^{M, w, g}$.

Certes, au stade où nous en sommes, l'utilité pratique de $\vee$ peut sembler un peu spé-cieuse : si $\vee$ ne sert qu'à annuler $\^$, autant ne pas mettre $\^$ dès le départ... Mais nous verrons par la suite que le rôle de $\vee$ ne se réduit pas à ce que présente le théorème ci-dessus et qu'il peut avoir d'autres usages plus pertinents. En particulier, nous verrons que la com-binaison inverse ne s'annule pas toujours : $\^\alpha$ n'est pas nécessairement équivalent à $\alpha$.

#### 4.4.3.3 Retour aux lectures de re et de dicto

Il est temps pour nous d'entreprendre de boucler la boucle en revenant à l'ambiguïté de re vs de dicto qui nous occupait en début de chapitre.

Nous avons maintenant à notre disposition des éléments d'analyse sémantique qui nous permettent *presque* de résoudre le problème. « Presque », car nous allons voir que tout n'est pas encore gagné, en particulier en ce qui concerne les GN définis ; il nous faudra encore avancer dans le perfectionnement de LO (chapitre 5) pour parvenir à un traitement suffisamment satisfaisant du problème. Mais nous pouvons déjà avoir un bon aperçu de l'analyse formelle de l'ambiguïté lorsqu'elle concerne les GN indéfinis (que nous avions esquissée en §4.1.1). Revenons pour cela à l'exemple (68).
(68) Alice croit qu’un vampire l’a mordue (pendant la nuit).

Cette phrase comporte une subordonnée complétive (qui est d’ailleurs ce qui correspond au contexte opaque responsable de l’ambiguïté), que nous allons traduire en utilisant ^. Commençons par la lecture *de dicto* de *un vampire*. Rappelons que dans ce cas, (68) s’interprète comme : Alice croit que *ce qu’elle pense être un vampire* l’a mordue. Autrement dit, l’existence du vampire qui l’a mordue est « localisée » dans les croyances d’Alice (et il se peut tout à fait que dans le monde d’évaluation les vampires n’existent pas). La traduction de (68) est alors (69) :

(69) **croire(a, ^∃x [vampire(x) ∧ mordre(x, a)])**

Le second argument de **croire** est $^{^∃x}$[vampire(x) ∧ mordre(x, a)] qui dénote la proposition équivalant à l’ensemble de tous les mondes possibles dans lesquels il y a un vampire qui a mordu Alice. Et (69) est vraie dans un monde w ssi Alice est, dans w, en relation de croyance avec cette proposition – c’est-à-dire qu’elle estime que w appartient à cet ensemble de mondes (mais rien n’oblige à ce que w soit réellement un élément de cet ensemble, pour peu qu’Alice ait une vision erronée de l’état du monde w).

Avec la lecture *de re* de *un vampire*, (68) signifie quelque chose comme : il y a un vampire (réel) tel qu’Alice croit qu’il l’a mordue. Cela nous donne immédiatement la clé pour traduire cette interprétation dans LO :

(70) ∃x [vampire(x) ∧ croire(a, ^mordre(x, a))]

Dans (70), ce que croit Alice, c'est la proposition dénotée par $^{^mordre(x, a)}$, c'est-à-dire l'ensemble de tous les mondes dans lesquels $g(x)$ a mordu Alice, où $g$ est l'assignment courante (au moment où l'on interprète cette expression). Dans tous ces mondes, $g(x)$ peut être ou non un vampire (selon les mondes), en revanche, $g(x)$ sera toujours le même individu (car l'interprétation de la proposition dépend de $g$, i.e. elle n'affecte pas $g$). L'identité de cet individu est fixé en amont de la formule par $∃x$ (qui modifie l'assignment de départ pour donner une certaine valeur à $x$) et par **vampire(x)** (qui demande que cette valeur de $x$, $g(x)$, soit un vampire dans le monde où l'on évalue globalement (70)). Ainsi (70) est vraie dans un monde w ssi il existe dans w un individu qui est vampire et tel qu'Alice croit qu'il l'a mordue<fnref n="68" />.

L'exercice 4.8 p. 246 permet d'appréhender plus en détail de mécanisme interpréta-
tif qui distingue les lectures *de re* et *de dicto*. Les analyses (69) et (70) nous montrent

<footnote n="68">⁶⁸ Les lecteurs attentifs auront cependant remarqué que (70) n’implique pas en l’état l’existence réel du vampire, dans le sens du prédicat exister que nous avons introduit en §4.3.3.1. En effet, dans w, le vampire x pourrait être un individu fictif. Est-ce à dire que la lecture de re doit être corrigée en ∃x [vampire(x) ∧ exister(x) ∧ croire(a, ^mordre(x, a))] pour correctement l’opposer à la lecture de dicto ? Ce n’est pas certain (même si c’est une question qui mériterait d’être approfondie). Si (70) n’implique pas l’existence d’un vampire dans w, elle reste néanmoins compatible avec une telle existence. Et cela peut suffire pour la lecture de re. Ce qui importe surtout pour cette lecture, c’est que le locuteur qualifie x de vampire dans le monde d’évaluation (que ce vampire soit fictif ou réel) ; alors que pour la lecture de dicto x est qualifié de vampire au sein des croyance d’Alice ; ainsi avec (70), Alice peut ne pas penser que celui qui l’a mordue est un vampire.</footnote>
que, comme nous l'avions prévu en début de chapitre, l'ambiguïté de re vs de dicto peut s'expliquer en termes de différence de portées relatives du GN et de ^ : nous obtenons la lecture de dicto lorsque le GN est interprété dans la portée de ^, et la lecture de re lorsqu'il est interprété à l'extérieur. C'est en fait l'opérateur ^ (ainsi également que les opérateurs modaux) qui crée dans LO ces contextes opaques qui nous occupent depuis le début. Nous comprenons maintenant pourquoi : hors de la portée de ^, le GN est interprété par rapport au monde d'évaluation globale de la phrase (et que, par défaut, le locuteur assimilera au monde réel), alors que dans la portée de ^, il est interprété par rapport à tous les mondes qui rendent vraie la proposition enchâssée. Mais l'exercice 4.10 va nous montrer que finalement l'histoire n'est peut-être pas aussi simple que cela. Par ailleurs, comme annoncé précédemment, cette analyse bloque encore sur les GN définis, mais, en l'occurrence, à cause d'une limite d'expressivité formelle de LO.

Reprenons notre exemple récurrent (71) :

(71) Œdipe₁ voulait épouser sa₁ mère.

Sans entrer dans les détails de l'analyse syntaxique et sémantique, nous allons d'abord faire l'hypothèse – très raisonnable – que la subordonnée infinitive [épouser sa₁ mère] se traite comme les complétives que nous avons vues jusqu'ici (ainsi cette infinitive équivalait à qu'il₁ épouse sa₁ mère). En traduisant sa₁ mère par 1y mère(y, œ), nous obtenons très facilement l'analyse pour la lecture de dicto ; il suffit d'avoir 1y mère(y, œ) dans la portée de ^ :

(72) vouloir(œ, ^épouser(œ, 1y mère(y, œ)))

Pour tout monde w, 1y mère(y, œ) dénote l'unique individu de A qui est la mère d'Œ-dipe dans w. Donc^[épouser(œ, 1y mère(y, œ))] dénote la proposition qui correspond à l'ensemble de tous les mondes w dans lesquels Œdipe épouse celle qui est sa mère dans w. Et (72) sera vraie dans le monde d'évaluation si, dans ce monde, Œdipe est en relation de vouloir avec cette proposition (il se trouve que, sémantiquement, le verbe vouloir pose une relation qui exprime non seulement le désir mais aussi la croyance, c'est-à-dire que si un individu veut ou souhaite que la proposition p se réalise, c'est qu'il considère que le contenu de p est compatible avec ses croyances).

Maintenant, pour rendre compte de la lecture de re, il faudrait faire en sorte que 1y mère(y, œ) s'interprète en dehors de la portée de ^, mais nous n'avons tout simplement aucun endroit où le placer dans la formule. Car n'oublions pas que 1y mère(y, œ) est un terme, et pas une sous-formule<fnref n="69" />. La seule option qui s'offre à nous, en désespoir de cause, est la traduction (73), où 1y mère(y, œ) et 1z vouloir(œ, ^épouser(œ, z)) seront évalués et identifiés dans le même monde :

<footnote n="69">⁶⁹ Il serait donc complètement fautif de proposer 1y mère(y, œ)∧ vouloir(œ, ^épouser(œ, y)), car ce n'est pas une expression bien formée de LO (on ne peut connecter par ∧ que des *formules*). De même 1y [mère(y, œ)∧ vouloir(œ, ^épouser(œ, y))] ne convient pas non plus, car même si c'est une expression bien formée de LO, il ne s'agit pas globalement d'une formule et cela ne peut être la traduction d'une phrase (cette expression dénote l'unique individu qui est la mère d'Œdipe et qu'il veut épouser).</footnote>
## 4 Sémantique intensionnelle

$$ (73) \quad 1y \text{ mère}(y, \text{œ}) = 1z \text{ vouloir}(\text{œ}, \text{^épouser}(\text{œ}, z)) $$

Mais c'est peu satisfaisant. D'abord sémantiquement, même si elle présente les bonnes conditions de vérité, la formule (73) présuppose par ailleurs qu'Œdipe ne voulait épouser qu'une seule personne, présupposition qui, en dépit de nos connaissances usuelles du monde, n'est pas du tout présente dans (71). Ensuite, sur le plan compositionnel, cette traduction nous fait passer par une périphrase qui consiste en *la mère d'Œdipe est celle qu'Œdipe veut épouser*, et il semble peu plausible que la grammaire du français nous mène simplement de (71) à (73). Nous préférerions une traduction dans LO dont la structure logique soit plus proche de celle de (71). Nous aboutissons donc à un semi-échec, et qui est, en grande partie, lié à un problème de compositionnalité ; les chapitres 5 et 6 se consacrent intensivement à ce problème, et les développements de LO que nous y aborderons vont nous permettre de donner à (71) une traduction qui soit plus dans l'esprit de (70), c'est-à-dire avec la contribution sémantique du GN correctement placée en dehors de la portée de ^(sans passer par l'égalité artificielle de (73)).

Notons, pour terminer, qu'à ce stade, il peut être intéressant d'examiner le problème en revisitant l'approche alternative que nous avions envisagée au chapitre 3, §3.3.4.2, pour l'analyse des GN définis. Selon cette approche, la contribution sémantique de ces GN se réalise au moyen de variables localement libres (et non des t-termes) en traitant séparément le contenu présupposé par le défini. Cela change significativement la donne. Je ne vais pas présenter explicitement cette option ici, elle va faire l'objet de l'exercice 4.9, et nous verrons que la situation se retrouve inversée : la lecture *de re* du défini se traduit simplement, mais nous butons un peu sur sa lecture *de dicto*.

### Exercice 4.8

Reprenons en détail l'analyse d'un GN indéfini ambigu comme en :

(a) Sue pense qu'un républicain va remporter l'élection.

Pour simplifier l'exercice, nous considérerons que le groupe verbal *va remporter l'élection* se traduit par le prédicat à une place élu (ainsi *élu(x)* signifie *x* est ou sera élu); de plus nous ne tiendrons pas compte du temps verbal.

Soit le modèle-jouet suivant $\mathcal{M} = \langle \mathcal{A}, \mathcal{W}, F \rangle$, avec $\mathcal{A} = \{\text{BARRY} ; \text{JOHNNY} ; \text{SUE}\}$, et $\mathcal{W} = \{\text{w}_1 ; \text{w}_2 ; \text{w}_3 ; \text{w}_4 ; \text{w}_5 ; \text{w}_6 ; \text{w}_7 ; \text{w}_8\}$.

On supposera que dans le modèle $\mathcal{M}$, on ne peut pas être à la fois républicain et démocrate, et qu'une seule personne peut remporter l'élection. Le tableau 4.2 nous donne les dénotations de **républicain**, **démocrate** et **élu** dans $\mathcal{M}$. Et complétons ce modèle, en ajoutant que dans les mondes $w_1$ et $w_7$, SUE croit la proposition $\{w_1 ; w_2 ; w_3 ; w_6\}$, dans les mondes $w_2$, $w_3$ et $w_4$, elle croit la proposition $\{w_2 ; w_4 ; w_6 ; w_8\}$, et dans les mondes $w_5$, $w_6$ et $w_8$, elle croit la proposition $\{w_1 ; w_3 ; w_5 ; w_7\}$.

Dans tout cet exercice, nous manipulerons les intensions des formules (i.e. les propositions) directement comme des ensembles de mondes.

1. Quelle est l'intension de $\exists x[\text{républicain}(x) \land \text{élu}(x)]$ dans $\mathcal{M}$ et par rapport à une assignation $g$ quelconque ?

2. Quelle est l'intension de $\text{élu}(x)$ dans $\mathcal{M}$, par rapport à une assignation $g_1$ telle que $g_1(x) = \text{BARRY}$ ? Et par rapport à l'assignation $g_2$ telle que $g_2(x) = \text{JOHNNY}$ ?
<table><caption>TAB. 4.2 : Interprétations de **républicain**, **démocrate** et **élu** dans M</caption><tr><td>F(w<sub>1</sub>, républicain) = {BARRY ; JOHNNY},<br/>F(w<sub>1</sub>, démocrate) = Ø,<br/>F(w<sub>1</sub>, élu) = {BARRY};</td><td>F(w<sub>5</sub>, républicain) = {JOHNNY},<br/>F(w<sub>5</sub>, démocrate) = {BARRY},<br/>F(w<sub>5</sub>, élu) = {BARRY};</td></tr><tr><td>F(w<sub>2</sub>, républicain) = {BARRY ; JOHNNY},<br/>F(w<sub>2</sub>, démocrate) = Ø,<br/>F(w<sub>2</sub>, élu) = {JOHNNY};</td><td>F(w<sub>6</sub>, républicain) = {JOHNNY},<br/>F(w<sub>6</sub>, démocrate) = {BARRY},<br/>F(w<sub>6</sub>, élu) = {JOHNNY};</td></tr><tr><td>F(w<sub>3</sub>, républicain) = {BARRY},<br/>F(w<sub>3</sub>, démocrate) = {JOHNNY},<br/>F(w<sub>3</sub>, élu) = {BARRY};</td><td>F(w<sub>7</sub>, républicain) = Ø,<br/>F(w<sub>7</sub>, démocrate) = {BARRY ; JOHNNY},<br/>F(w<sub>7</sub>, élu) = {BARRY};</td></tr><tr><td>F(w<sub>4</sub>, républicain) = {BARRY},<br/>F(w<sub>4</sub>, démocrate) = {JOHNNY},<br/>F(w<sub>4</sub>, élu) = {JOHNNY};</td><td>F(w<sub>8</sub>, républicain) = Ø,<br/>F(w<sub>8</sub>, démocrate) = {BARRY ; JOHNNY},<br/>F(w<sub>8</sub>, élu) = {JOHNNY};</td></tr></table>

3. Quelle est l'intension de **penser(s, ^élu(x))** par rapport à $g_1$ ? Et par rapport à $g_2$ ?
(s dénote SUE, naturellement)

4. Quelle est l'intension de $\exists x[\text{républicain}(x) \land \text{penser}(s, ^{\text{élu}}(x))]$ ?

5. Quelle est l'intension de $\text{penser}(s, ^{\exists} \exists x[\text{républicain}(x) \land \text{élu}(x)])$ ?

Exercice 4.9

Selon l'approche explicitement présuppositionnelle (cf. §3.3.4.2, chapitre 3) de l'analyse des définis, une phrase comme $\text{Œdipe a épousé sa mère}$ se traduira par $\text{épouser}(\text{o}, x)$ (ou éventuellement par $\text{épouser}(\text{o}, x) \land \text{mère}(x, \text{o})$) sachant que par présupposition, nous savons que dans le contexte d'énonciation, $x$ dénote l'unique individu qui est « mère d'Œdipe » (formellement la présupposition se traduit donc par $\exists x[\text{mère}(x, \text{o}) \land \forall y[\text{mère}(y, \text{o}) \leftrightarrow y = x]]$).

Donnez la traduction de $\text{Œdipe voulait épouser sa mère}$ d'abord pour la lecture *de re* de sa mère. Puis expliquez la difficulté qui se pose pour sa traduction avec la lecture *de dicto*.

Exercice 4.10

Cet exercice, en plus d'être une application de ce qui est présenté dans cette section, met le doigt sur un « petit » problème d'analyse sémantique.

(a) [C'est l'anniversaire de Paul. Ses amis ont décidé d'organiser une fête surprise chez lui. Et ils ont opté pour une soirée déguisée. Tous ses amis hommes ont choisi de se déguiser en femmes : en héroïnes de bande-dessinée. Et leurs déguisements étaient si bien réussis que sur le moment, quand il est arrivé...] Paul a cru que tous les hommes qui étaient là étaient des femmes.

La phrase qui nous intéresse ici est la dernière de ce paragraphe ; le texte en italique est là pour fixer un contexte et orienter la compréhension. Cette phrase est ambiguë (au moins théoriquement).

1. Explicitez les deux lectures en donnant, en français, deux paraphrases (ou gloses) précises et suffisamment distinctes de la dernière phrase de (a).

2. Prouvez qu'il s'agit bien d'une ambiguïté en utilisant la méthode vue au chapitre 1.
## 4 Sémantique intensionnelle

3. Traduisez les deux lectures en LO<fnref n="70" />.

4. L'ambiguïté de la phrase ne saute pas aux yeux car une des deux lectures est assez peu naturelle. De laquelle s'agit-il ? Et essayer d'expliquer pourquoi elle est si peu naturelle.

5. Cet exercice montre que la dernière phrase de (a) est intrigante car elle remet en cause quelque chose que nous avons vu dans un chapitre précédent. De quoi s'agit-il ?

## 4.5 Récapitulatif et conclusions

### 4.5.1 LO intensionnel

Pour conclure ce chapitre, prenons le temps de récapituler les modifications que l'intensionnalisation a apporté à notre langage sémantique LO.

Rappelons d'abord quelques définitions de base. *Var* est l'ensemble de toutes les variables. $Cns_0$ est l'ensemble des constantes d'individus, et pour tout nombre entier $n$ pertinent, $Cns_n$ est l'ensemble des constantes de prédicats $n$-aires. $Cns$ regroupe toutes les constantes (i.e. de $Cns_0$, $Cns_1$, $Cns_2$, $Cns_3$, etc.). Les éléments de $Cns_0$ et ceux de *Var* sont des termes. Les éléments de $Cns$ sont des éléments de *Var* ainsi que les formules sont expressions bien formées de LO. Toutes les autres expressions bien formées sont spécifiées dans la syntaxe suivante.

**Définition 4.11 : Syntaxe de LO**

(Syn.1) Si $\alpha$ est un terme et $P$ une constante de $Cns_1$, alors $P(\alpha)$ est une formule;

b. Si $\alpha$ et $\beta$ sont des termes et $P$ une constante de $Cns_2$, alors $P(\alpha, \beta)$ est une formule;

c. Si $\alpha, \beta$ et $\gamma$ sont des termes et $P$ une constante de $Cns_3$, alors $P(\alpha, \beta, \gamma)$ est une formule;

d. etc.

(Syn.2) Si $\alpha$ et $\beta$ sont des termes, alors $\alpha = \beta$ est une formule;

(Syn.3) Si $\varphi$ est une formule, alors $\neg\varphi$ est une formule;

(Syn.4) Si $\varphi$ et $\psi$ sont des formules, alors $[\varphi \land \psi]$, $[\varphi \lor \psi]$, $[\varphi \rightarrow \psi]$ et $[\varphi \leftrightarrow \psi]$ sont des formules;

(Syn.5) Si $\varphi$ est une formule et $\upsilon$ une variable, alors $\forall \upsilon \varphi$ et $\exists \upsilon \varphi$ sont des formules;

(Syn.6) Si $\varphi$ est une formule et $\upsilon$ une variable, alors $\tau \upsilon \varphi$ est un terme;

(Syn.7) Si $\varphi$ est une formule et si $n$ est un nombre entier, alors $[n]\varphi$ et $\langle n \rangle \varphi$ sont des formules;

<footnote n="70">⁷⁰ Ne traduisez pas la relative *qui étaient là*, elle n'est pas déterminante pour l'exercice.</footnote>
(Syn.8) Si $\alpha$ est une expression bien formée, alors $^\alpha\alpha$ est une expression bien formée, et c'est une expression intensionnelle ;

(Syn.9) Si $\alpha$ est une expression intensionnelle, alors $^\alpha\alpha$ est une expression bien formée.

Nous voyons que les expressions bien formées de LO ne sont plus seulement des formules – précisément par l’ajout des règles (Syn.8) et (Syn.9). Et notons également que cette syntaxe en soi est incomplète (et donc imparfaite), car si (Syn.8) nous permet de créer des expressions intensionnelles, aucune autre règle ne les réutilise pour les insérer dans des expressions plus complexes (à part (Syn.9) mais qui le fait de manière encore trop simpliste). Nous avions déjà mentionné cela en §4.4.3.2, et en toute rigueur, nous devrions ajouter des compléments aux règles (Syn.1), produisant des formules comme $P(^\alpha\varphi)$, $P(\alpha, ^\alpha\varphi)$, $P(\alpha, ^\alpha\varphi, \beta)$... pour certaines constantes $P$ des ensembles $Cns_n$<fnref n="71" />. Mais autorisons nous à ne pas surcharger davantage cette définition 4.11, car nous allons voir dans le prochain chapitre une façon de remettre proprement et rigoureusement de l’ordre dans ces règles (sans avoir donc à faire des cas particuliers pour l’enchâssement de propositions).

La règle (Syn.7) introduit les opérateurs modaux en adoptant l’option des multimodali-tés, c’est-à-dire que nous nous autorisons à les multiplier à volonté pour autant d’entiers $n$ qui nous conviennent. Et pour nous aligner avec les notations traditionnelles, nous continuerons à utiliser $\square$ et $\diamond$ comme de simples variantes typographiques de $[0]$ et $\langle 0 \rangle$.

Nous n’avons pas repris les opérateurs temporels $P$ et $F$, puisque, comme annoncé, la temporalité sera réintroduite au chapitre 7 (vol. 2) sous une forme légèrement différente. Notre modèle intensionnel se retrouve ainsi allégé (provisoirement) de $I$.

**Définition 4.12 : Modèle intensionnel**

Un modèle intensionnel $\mathcal{M}$ est défini comme une structure $\langle \mathcal{A}, \mathcal{W}, \mathcal{R}, F \rangle$ où $\mathcal{A}$ est un ensemble d’individus, $\mathcal{W}$ un ensemble de mondes possibles, $\mathcal{R}$ un ensemble de relations d’accessibilité sur $\mathcal{W}$, et $F$ une fonction d’interprétation qui pour tout monde $w$ de $\mathcal{W}$ et toute constante de $Cns$ associe la dénotation de cette constante dans $w$.

$\mathcal{R}$ est un ensemble fini qui se compose d’une série de $m + 1$ relations d’accessibilité que nous allons nommer en les indiçant numériquement successivement de la manière suivante : $R_0, R_1, R_2, ..., R_m$. Et par convention, nous posons que $R_0$ est la relation d’ac-cessibilité aléthique, c’est-à-dire celle qui relie chaque monde de $\mathcal{W}$ avec tous les autres (elle correspond donc à tout l’ensemble $\mathcal{W} \times \mathcal{W}$).

<footnote n="71">⁷¹ Ces constantes seront les traductions de verbes qui prennent une complétive en argument, et ils peuvent être de diverses arités, notamment d’arité 1 pour traduire les tours impersonnels en *il semble que*, *il paraît que*, ou d’arité 3 pour les verbes comme *promettre*, *annoncer*, etc.</footnote>
## 4 Sémantique intensionnelle

Et rappelons, pour être tout à fait précis, que l'ensemble d'arrivée de la fonction $F$ dépend du type de constante qu'elle interprète. Pour les constantes de $Cns_0$ cet ensemble est $\mathcal{A}$, pour les constantes de $Cns_1$ c'est $\mathcal{P}(\mathcal{A})$ (l'ensemble de tous les sous-ensembles de $\mathcal{A}$), pour les constantes de $Cns_2$ c'est $\mathcal{P}(\mathcal{A}^2)$ (l'ensemble de tous les ensembles de couples d'éléments de $\mathcal{A}$), etc. Autrement dit, pour les constantes de $Cns_n$, avec $n > 0$, l'ensemble d'arrivée de $F$ est $\mathcal{P}(\mathcal{A}^n)$.

L'interprétation, c'est-à-dire le calcul de la dénotation, d'une expression $\alpha$ de LO se fait par rapport à un modèle $\mathcal{M}$, un monde possible $w$ de $\mathcal{W}$ et une fonction d'assignation $g$. Jusqu'à présent les assignations étaient des fonctions de $\mathcal{Var}$ vers $\mathcal{A}$; dorénavant elles seront également définies entre $\mathbb{N}$ (l'ensemble des entiers naturels) et l'intervalle d'entiers $[0, m]$ (où $m$ est l'indice de la « dernière » relation de $\mathcal{R}$). Ainsi à tout nombre entier, les fonctions $g$ associent un entier compris entre 0 et $m$. Et par convention, nous posons la contrainte que pour toute assignation $g$, $g(0) = 0$.

La dénotation de $\alpha$ est donc sa valeur sémantique indicée par ces trois paramètres : $[\alpha]^M, w, g$. Et par définition, l'intension de $\alpha$ est sa valeur sémantique relative seulement à $\mathcal{M}$ et $g$, $[\alpha]^M, w, g$, c'est-à-dire la fonction sur $\mathcal{W}$ définie par $w \mapsto [\alpha]^M, w, g$.

### Définition 4.13 : Interprétation des variables et des constantes

Soit un modèle $\mathcal{M} = (\mathcal{A}, \mathcal{W}, \mathcal{R}, F)$ et $g$ une fonction d'assignation :

- si $v$ est une variable de $\mathcal{Var}$, $[v]^M, w, g = g(v)$;

- si $a$ est une constante de $Cns$, $[a]^M, w, g = F(w, a)$.

### Définition 4.14 : Interprétation des expressions bien formées

Soit un modèle $\mathcal{M} = (\mathcal{A}, \mathcal{W}, \mathcal{R}, F)$ et $g$ une fonction d'assignation.

(Sém.1) a. $[P(\alpha)]^M, w, g = 1 \text{ ssi } [\alpha]^M, w, g \in [P]^M, w, g$;
b. $[P(\alpha, \beta)]^M, w, g = 1 \text{ ssi } \langle[\alpha]^M, w, g, [\beta]^M, w, g\rangle \in [P]^M, w, g$;
c. $[P(\alpha, \beta, \gamma)]^M, w, g = 1 \text{ ssi } \langle[\alpha]^M, w, g, [\beta]^M, w, g, [\gamma]^M, w, g\rangle \in [P]^M, w, g$;
d. etc.

(Sém.2) $[\alpha = \beta]^M, w, g = 1 \text{ ssi } [\alpha]^M, w, g = [\beta]^M, w, g$;

(Sém.3) $[-\varphi]^M, w, g = 1 \text{ ssi } [\varphi]^M, w, g = 0$;

(Sém.4) a. $[[\varphi \wedge \psi]]^M, w, g = 1 \text{ ssi } [\varphi]^M, w, g = 1 \text{ et } [\psi]^M, w, g = 1$;
b. $[[\varphi \vee \psi]]^M, w, g = 1 \text{ ssi } [\varphi]^M, w, g = 1 \text{ ou } [\psi]^M, w, g = 1$;
c. $[[\varphi \rightarrow \psi]]^M, w, g = 1 \text{ ssi } [\varphi]^M, w, g = 0 \text{ ou } [\psi]^M, w, g = 1$;
d. $[[\varphi \leftrightarrow \psi]]^M, w, g = 1 \text{ ssi } [\varphi]^M, w, g = [\psi]^M, w, g$;
(Sém.5) a. $[[\exists v\varphi]]^{M, w, g} = 1$ ssi il existe au moins un individu $d$ de $\mathcal{A}$ tel que $[[\varphi]]^{M, w, g[d/\varphi]} = 1$;

b. $[[\forall v\varphi]]^{M, w, g} = 1$ ssi pour tout individu $d$ de $\mathcal{A}$, $[[\varphi]]^{M, w, g[d/\varphi]} = 1$;

(Sém.6) $[[nv\varphi]]^{M, w, g} = d$ ssi $d$ est l'unique individu de $\mathcal{A}$ tel que $[[\varphi]]^{M, w, g[d/\varphi]} = 1$;

(Sém.7) a. $[[\langle n \rangle \varphi]]^{M, w, g} = 1$ ssi il existe un monde $w' \in \mathcal{W}$ tel que $w R_{g(n)} w'$ et $[[\varphi]]^{M, w', g} = 1$;

b. $[[n]\varphi]]^{M, w, g} = 1$ ssi pour tout monde $w' \in \mathcal{W}$ tel que $w R_{g(n)} w'$, alors $[[\varphi]]^{M, w', g} = 1$;

(Sém.8) $[[^\alpha\alpha]]^{M, w, g} = [[\alpha]]^{M, g}$, c'est-à-dire la fonction $w' \mapsto [[\alpha]]^{M, w', g}$;

(Sém.9) $[[^\gamma\alpha]]^{M, w, g} = [[\alpha]]^{M, w, g(w)}$.

Les règles (Sém.7) présentent précisément l'interprétation « contextualisée » des opérateurs modaux. La relation d'accessibilité utilisée pour interpréter $\langle n \rangle$ et $[n]$ est $R_{g(n)}$ qui dépend bien de $g$. Cependant pour $n = 0$, i.e. $\diamond$ et $\square$, comme $g(0) = 0$ et que $R_0$ est la relation aléthique, nous savons que $\diamond$ et $\square$ représentent forcément les modalités aléthiques.

### 4.5.2 Validités et conséquence logique

La vérité d'une formule dépend d'un modèle, d'un monde et d'une assignation. En adaptant la définition 3.6 (p. 121) du chapitre précédent, nous pouvons dire qu'une formule $\varphi$ est satisfaite par $\mathcal{M}$, $w$ et $g$ ssi $[[\varphi]]^{\mathcal{M}, w, g} = 1$, et nous noterons $\mathcal{M}, w, g \models \varphi$ ou $\models_{\mathcal{M}, w, g} \varphi$. À partir de là, la logique modale nous permet de définir un certain nombre de notions de validités.

**Définition 4.15 : Validités dans LO intensionnel**

Soit $\mathcal{M} = \langle \mathcal{A}, \mathcal{W}, \mathcal{R}, F \rangle$ un modèle intensionnel, $w$ un monde de $\mathcal{W}$ et $g$ une assignation.

1. $\mathcal{M}, w \models \varphi : \varphi$ est valide par rapport à $\mathcal{M}$ et $w$ ssi pour toute assignation $g$, on a $\mathcal{M}, w, g \models \varphi$.

2. $\mathcal{M}, g \models \varphi : \varphi$ est valide par rapport à $\mathcal{M}$ et $g$ ssi pour tout monde possible $w$ de $\mathcal{W}$, on a $\mathcal{M}, w, g \models \varphi$.

3. $\mathcal{M} \models \varphi : \varphi$ est valide par rapport à $\mathcal{M}$ ssi pour tout monde possible $w$ de $\mathcal{W}$ et toute assignation $g$, on a $\mathcal{M}, w, g \models \varphi$.

4. $\models \varphi : \varphi$ est valide ssi pour tout modèle $\mathcal{M}$, on a $\mathcal{M} \models \varphi$.
4 Sémantique intensionnelle

La validité 1 rappelle celle vue au chapitre 3, et elle dit simplement que $\varphi$ est vraie dans le monde $w$ quel que soit le contexte (i.e. $g$). Ainsi, ici encore, la plupart des formules qui contiennent des variables libres (comme par exemple $x = a$ ou **dormir**($x$)) ne pourront pas être « valides-1 ». Mais comme nous avons pris le parti de gérer l'interprétation des modalités au moyen de $g$, cette définition a également un impact sur les formules qui contiennent un opérateur modal. Pour un monde $w$ donné, par exemple pour avoir $M, w \models \langle n \rangle \mathbf{dormir}(a)$, il faudrait que $\mathbf{dormir}(a)$ soit possible dans $w$ pour **toutes** les valeurs modales proposées par $\mathcal{R}$ ; cela dépend cruciallement de $w$, mais si (comme il se doit) $\mathcal{R}$ contient une suffisamment grande variété de relations d'accessibilité, il n'est pas complètement impossible de trouver une assignation $g$ (i.e. une relation $R_{g(n)}$) qui rende $\langle n \rangle \mathbf{dormir}(a)$ fausse dans $w$. Il en va de même pour des formules plus générales, comme par exemple $[n]\varphi \rightarrow \varphi$.

La validité 2 est, elle, beaucoup plus forte. Elle dit que $\varphi$ est vraie dans tous les mondes de $\mathcal{W}$, pour une assignation donnée. Et du fait que nous avons décidé de mettre dans $\mathcal{W}$ tous les mondes possibles imaginables (car nous n'avions pas de raison d'en exclure), nous voyons que cette validité 2 exclut (*presque*) toutes les vérités contingentes, c'est-à-dire les formules qui, intuitivement, nous semblent avoir des valeurs de vérité variables. *Presque*, car il y a encore quelques exceptions ; par exemple, si nous considérons l'assignation $g_1$ telle que $g_1(x) = \text{ALICE}$, alors la formule $x = a$ sera « valide-2 » par rapport à $g_1$[^72]. Cette formule peut traduire la phrase *C'est Alice*, qu'il est assez difficile de compter comme une tautologie standard. Pourtant, dans un contexte fixé où il est établi que le démonstratif *ce* désigne *ALICE*, la phrase se retrouve nécessairement vraie. En ce qui concerne les formules comprenant des opérateurs modaux, la validité 2 est utile pour mettre en évidence certaines propriétés logiques des différents types de modalité (car $g$ étant fixée, nous savons pour tout opérateur à quelle modalité il renvoie). Par exemple si $R_{g(n)}$ est une relation d'accessibilité épistémique, alors quelle que soit $\varphi$, nous aurons $M, g \models [n]\varphi \rightarrow \varphi$, car si $\varphi$ est sue (i.e. $[n]\varphi$) alors, par définition, $\varphi$ est vraie. En revanche, si $R_{g(n)}$ est une relation déontique, alors cette validité ne tient plus, car pour n'importe quelle $\varphi$[^73], on peut toujours trouver des mondes où $\varphi$ est obligatoire (i.e. $[n]\varphi$) mais pas respectée.

Les validités 3 et 4 correspondent à la traditionnelle validité logique. Selon ces définitions, ni $x = a$ ni $[n]\varphi \rightarrow \varphi$ ne sont valides. Évidemment, ce qui devrait nous préoccuper ici, c'est ce qui distingue la validité 3 et la validité 4. En théorie, elles sont nettement différentes (et la validité 4 est bien sûr la plus forte), mais en pratique, du fait des choix que nous avons fait pour constituer notre système, elles s'avèrent très proches. D'après les définitions que nous avons posées, nous pourrions décrire la validité 3 comme correspondant aux nécessités aléthiques *par rapport à un modèle donné* et la validité 4 comme correspondant aux tautologies de la logique classique. Cependant, formuler les choses ainsi peut paraître incohérent et prêter à confusion, précisément parce qu'en §4.3.3.3 nous avons défini les nécessités aléthiques comme identiques aux tautologies logiques.

<footnote>[^72]: Toujours sous l'hypothèse que les constantes sont des désignateurs rigides et que *a* dénote *ALICE* dans tous les mondes.</footnote>

<footnote>[^73]: À condition, bien sûr, que $\varphi$ ne soit pas contradictoire.</footnote>
Nous allons donc prendre le temps d'examiner un peu plus précisément cet apparent
paradoxe *infra* (§4.5.3).

À l'instar de la validité, nous pouvons, en sémantique intensionnelle, définir plusieurs
conséquences logiques. Mais nous n'allons pas toutes les passer en revue, car il n'y en
a qu'une qui est vraiment intéressante pour nous, et elle est donnée dans la définition
4.16.

**Définition 4.16 : Conséquence logique**

Soit $\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n$ et $\psi n + 1$ formules de LO. On dit que $\psi$ est une conséquence
logique de $\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n$, i.e. $\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n \models \psi$, ssi, pour tout modèle $\mathcal{M}$, tout monde
$w$ et toute assignation $g$ tels que $\mathcal{M}, w, g \models \varphi_1$, $\mathcal{M}, w, g \models \varphi_2, ...$ et $\mathcal{M}, w, g \models \varphi_n$,
on a aussi $\mathcal{M}, w, g \models \psi$.

Nous pouvons également définir l'équivalence logique, comme nous l'avons fait dans
les chapitres précédents (à partir de $\varphi \models \psi$ et $\psi \models \varphi$, par exemple). L'équivalence lo-
gique, comme la validité et la conséquence, concerne les formules. Or maintenant que
nous somme passés à l'intensionnalité, nous pouvons définir une notion plus puissante,
qui s'applique à toute expression de LO et dont l'équivalence logique sera un cas parti-
culier. Pour la distinguer, nous l'appellerons l'équivalence sémantique, et elle correspond
simplement à l'identité de sens, i.e. d'intension.

**Définition 4.17 : Équivalence sémantique**

Soit $\mathcal{M}$ un modèle intensionnel, et $\alpha$ et $\beta$ deux expressions bien formées de LO.
On dit que $\alpha$ et $\beta$ sont sémantiquement équivalentes dans $\mathcal{M}$ ssi, pour toute assi-
gnation $g, [[\alpha]]^{\mathcal{M},g} = [[\beta]]^{\mathcal{M},g}$.

Pour que cette notion soit particulièrement profitable, il est utile de la poser en généra-
lisant sur les assignations comme le fait la définition (afin notamment d'éviter que $x$ soit
parfois équivalente à $y$, ce qui peut être handicapant par endroits). Nous pouvons égale-
ment la généraliser pour tout modèle $\mathcal{M}$, mais à l'arrivée cela ne fera guère de différence
(cf. §4.5.3).

L'équivalence sémantique nous permet de formuler un théorème simple et pratique
qui concerne la substitution d'expressions. Nous avons vu, au début de ce chapitre, que
le principe d'extensionnalité n'est pas respecté dans la langue : si l'on remplace, dans une
phrase, une expression par une autre ayant la même dénotation (pour un monde donné
donc), la dénotation de la phrase (dans ce même monde) n'est pas forcément préservée.
Cela se produit notamment si la substitution est opérée dans la portée d'un opérateur
modal ou de $^$. Et donc le principe d'extensionnalité n'est pas non plus respecté dans LO