# Mise en oeuvre efficace d'une radiogoniométrie au sens du maximum de vraisemblance via un algorithme parcimonieux quasi Gauss-Newton

Thomas Aussaguès, Anne Ferréol, Alice Delmer, Pascal Larzabal

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Thomas Aussaguès, Anne Ferréol, Alice Delmer, Pascal Larzabal. Mise en oeuvre efficace d'une radiogoniométrie au sens du maximum de vraisemblance via un algorithme parcimonieux quasi Gauss-Newton. XXXème Colloque Francophone de Traitement du Signal et des Images (GRETSI 2025), Aug 2025, Strasbourg, France. hal-05229089

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Submitted on 29 Aug 2025

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Thomas Aussaguès¹, ² ID, Anne Ferréol¹, ², Alice Delmer¹ ID & Pascal Larzabal² ID, (1) THALES, (2) Université Paris-Saclay, SATIE UMR CNRS 8029

# 1. INTRODUCTION À LA GONIOMÉTRIE

**Goniométrie** : estimation des directions d'arrivée $\{\theta_1, ..., \theta_M\}$ à partir des signaux reçus $x(t)$ sur un réseau d'antennes

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

Applications : ✶ recherche de victimes, ✶ industrie 4.0, ✶ guerre électronique

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

De nombreux estimateurs ont été proposés : Capon, MUSIC, Maximum de Vraisemblance (MV):

X MUSIC : performances dégradées dans des scénarios difficiles

X MV : grande complexité de mise en œuvre

X Pas possible d'identifier plus de sources que d'antennes

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Estimateur parcimonieux exploitant le modèle de la covariance vectorisée [1]:

✓ Augmentation du nombre de sources identifiables

✓ Meilleures performances dans des scénarios difficiles

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Équivalence entre les estimateurs parcimonieux et le MV après **blanchiment** [2] : implémentation du MV au travers de l'estimateur parcimonieux

Estimateur parcimonieux : minimisation d'un critère régularisé par la norme $\ell_0$ via l'**algorithme à gradient proximal** [3] :

X Vitesse de convergence limitée par la corrélation entre les vecteurs du dictionnaire !

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Goniométrie d'un émetteur localisé en $\theta = 45^\circ$ à l'aide de réseau de N = 4 antennes</figcaption></figure>

## Contributions

Exploitation des **effets du blanchiment** afin :

✓ D'accélérer **substantiellement** la convergence de l'algorithme à gradient proximal

✓ Tout en rendant **équivalente** les dernière itérations à celles d'une **méthode du second-ordre** dont le coût est bien plus élevé

# 2. MATRICE DE COVARIANCE VECTORISÉE

On considère un réseau de $N$ antennes sur lequel sont reçus les signaux de $M$ sources de directions $\Theta = \{\theta_1, ..., \theta_M\}$.

## MODÈLE CLASSIQUE

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

Matrice de mélange
$$x(t) = A(\Theta)s(t) + n(t)$$
$$\text{Bruit blanc gaussien circulaire } C\mathcal{N}(0, \sigma^2 I_N)$$
$$y/\lambda_0$$
$$y/\lambda_0$$
$$y/\lambda_0$$

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

## LE MODÈLE DE MATRICE DE COVARIANCE VECTORISÉE

Matrice de mélange du réseau virtuel

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

Vecteur des puis-
sances des souces :
$\gamma_{\Theta} = \text{diag}(R_s)$

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✓ Identification d'au plus $N^2 - 1$ sources avec une **meilleure** résolution

Réseau à 4 antennes et réseau virtuel associé

## MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE SUR LE MODÈLE DE LA MATRICE DE COVARIANCE VECTORISÉE

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Équivalence entre les estimateurs parcimonieux et le MV: sous l'hypothèse d'un bruit blanc gaussien [2] : les critères associés possèdent le même minimumseur global

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Blanchiment: erreur d'estimation gaussienne **corrélée** $C\mathcal{N}(0, \Gamma) \rightarrow$ erreur d'estimation gaussienne **blanche** $C\mathcal{N}(0, I_N^2)$

$$y = Wr = B_w(\Theta)\gamma_{\Theta} + \delta_w \quad \text{avec} \quad W = \Gamma^{-1/2}, B_w(\Theta) = WB(\Theta), \delta_w = W\delta$$

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

Objectif : mettre en œuvre le MV via un estimateur parcimonieux

# 3. ESTIMATION PARCIMONIEUSE : MODÉLISATION ET FORMULATION DU PROBLÈME

## REPRÉSENTATION PARCIMONIEUSE DE L'OBSERVATION y

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Hypothèse : les directions des sources $\{\theta_1, ..., \theta_M\}$ appartiennent à une grille de directions prédéfinies $\{\varphi_1, ..., \varphi_G\}$

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

À des fins de calibration, la réponse du réseau $b(\varphi_g)$ est enregistrée dans toutes les directions $\varphi_g$ appartenant à une grille prédéfinies

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Ces enregistrements peuvent également être utilisés dans le cadre de l'estimation parcimonieuse !

$$y = B_w(\varphi)\gamma + \delta_w$$

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Parcimonieux ? y est obtenu à partir de *peu* de vecteur du dictionnaire $B_w(\varphi)$

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Directions des sources $\theta_1, ..., \theta_M$ : indices des $M$ composantes non-nulles de $\gamma$

## FORMULATION DU PROBLÈME D'ESTIMATION PARCIMONIEUSE

X $G \gg N^2$ : le problème est sous-déterminé $\Rightarrow$ Utilisation d'un *a priori* de parcimonie : formulation régularisé

$$\hat{\gamma} = \arg\min_{\gamma} J(\lambda, \gamma) \quad \text{avec} \quad J(\lambda, \gamma) = f(\gamma) + g(\lambda, \gamma) = \frac{1}{2} \underbrace{\|y - B_w(\varphi)\gamma\|^2}_{\text{Attache aux données}} + \underbrace{g(\gamma)}_{\text{Pénalité}}$$

☐ Pénalité $g$ : pseudo-norme $\ell_0$, Continuous Exact $\ell_0$ CEL0 [4] (approximation de $\ell_0$), norme $\ell_1$...

☐ Paramètre de régularisation $\lambda$ : équilibre la pénalité $g$ vis-à-vis du terme d'attache aux données $\Rightarrow$ contrôle la position du min. global du critère

☐ $\lambda$ choisi tel que le MV et $J$ partagent le même **min. global** [2]

☐ $J(\lambda, \cdot)$ est minimisé via l'**Algorithme à Gradient Proximal** [3] :

**Algorithme 1 : Algorithme à Gradient Proximal**

Entrées : $y$, $B_w(\varphi)$, $\gamma^{(0)}$, $\lambda$, $\beta$

Sortie : $\gamma^{(i)}$

$i \leftarrow 0$

tant que critère d'arrêt pas satisfait faire

$$\nabla f(\gamma^{(i)}) = B_w^H(\varphi) (B_w(\varphi)\gamma^{(i)} - y)$$

$$\tilde{\gamma}^{(i+1)} = \gamma^{(i)} - \beta \nabla f(\gamma^{(i)})$$

$$\gamma^{(i+1)} = \text{prox}_g^{\lambda\beta}(\tilde{\gamma}^{(i+1)})$$

$i \leftarrow i + 1$

fin

Interprétation : **algorithme Majoration - Minimisation** [5] :

$$\gamma^{(k+1)} = \arg\min_{\gamma} \left\{ \begin{array}{l} f(\gamma^{(k)}) + \langle \nabla f(\gamma^{(k)}), \gamma^{(k)} - \gamma \rangle + \frac{1}{2\beta} \|\gamma^{(k)} - \gamma\|^2 + g(\gamma) \le J(\lambda, \gamma) \\ \text{Majorant } Q(\lambda, \gamma) \text{ de } J(\lambda, \gamma) \end{array} \right\}$$

# 4. UN ALGORITHMÈ À GRADIENT PROXIMAL QUASI GAUSS-NEWTON

## UN ALGORITHMÈ À GRADIENT PROXIMAL À PAS VARIABLE

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Le pas $\beta$ contrôle la **vitesse de convergence**. Pour assurer la convergence vers un **point critique** de $J, \beta \in ]0, \frac{1}{L}$ [avec $L = \lambda_{max}(B_w^H(\varphi)B_w(\varphi))$] [5]

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X Pour des dictionnaires contenant des vecteurs fortement **corrélés** $\beta \ll 1$ : convergence très lente...

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Introduction d'un pas variable $\beta_i$ [6] $\beta_i = \lambda_{max}(B_{w,S^{(i)}}(\varphi)^H B_{w,S^{(i)}}(\varphi))$ avec $B_{w,S^{(i)}}(\varphi)$ la restriction de $B_w(\varphi)$ au support du vecteur estimé à la $i$-ème itération $S^{(i)} = \text{supp}(\gamma^{(i)})$

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Interprétation : $\uparrow \beta \Leftrightarrow$ considérer des majorants $Q_k$ plus fins

## EXPLOITATION DES EFFETS DU BLANCHIMENT

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Blanchiment : **orthogonalise** les colonnes associées aux directions des sources [7]

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Ainsi, au fur et à mesure des itérations, et **après blanchiment**, la hessienne $B_w^H S^{(i)} B_w, S^{(i)} \to I$

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Les lignes de niveaux du critères deviennent circulaires et donc $1/\beta_i$ devient une bonne approximation de la hessienne redandt compte de la géométrie circulaire

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Le gradient de $f$ est prémultiplié par une approximation de la Hessienne

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Schéma d'optimisation du second ordre grâce au blanchiment

Pas de blanchiment

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Blanchiment

☐ Scénario 2D : réseau circulaire à 4 antennes, $M = 2$ sources de directions $\{\theta_1, \theta_2\} = \{(0.5, -0.30), (-0.75, 0.29)\}$, RSB = 10 dB, $K = 400$, pas de grille 0.1

Algo. classique / pas de blanchiment

Algo. accéléré / pas de blanchiment

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[1] Joseph S. Picard and Anthony J. Weiss. "Direction finding of multiple emitters by spatial sparsity and linear programming". In: *ISCIT 2009*.

[2] Thomas Aussaguès et al. "Looking for Equivalence between Maximum Likelihood and Sparse DOA Estimators". In: *EUSIPCO 2024*.

[3] Patrick L. Combettes and Jean-Christophe Pesquet. *Proximal Splitting Methods in Signal Processing*. 2010. arXiv: 0912. 3522.

[4] Emmanuel Soubies, Laure Blanc-Féraud, and Gilles Aubert. "A Continuous Exact 10 penalty (CEL0) for least squares regularized problem". In: *SIAM Journal on Imaging Sciences* (2009).

[5] Amir Beck and Marc Teboulle. "A fast Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm with application to wavelet-based image deblurring". In: *ICASSP 2009*. 2009.

[6] Pierre Ablin et al. "Learning step sizes for unfolded sparse coding". In: *Advances in Neural Information Processing Systems*. Vol. 32. 2019.

[7] Thomas Aussaguès et al. "Whitening Effects for ML-DOA Estimation using a Sparse Representation of Array Covariance". In: *ICASSP 2025*.