# Essai sur l'hypothèse de Riemann

Yao Maxime Kayi

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Yao Maxime Kayi. Essai sur l'hypothèse de Riemann. 2019. [hal-01923112v2](https://hal.science/hal-01923112v2)

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Preprint submitted on 3 Jun 2019

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# Essai sur l'hypothèse de Riemann

Yao Maxime KAYI

## Résumé

On se propose de donner une démonstration de l'hypothèse de Riemann (HR) qui se base sur la définition de la fonction zêta dans la bande critique.

## Abstract

We propose to give a demonstration of the Riemann Hypothesis (RH) which is based on the definition of the zeta function in the critical band.

## 1 La fonction zêta

La fonction zêta de Riemann[2] se définit dans la bande critique pour un nombre complexe $s$ tel que $0 < R_e(s) < 1$ et $I_m(s) \neq 0$[1], par

$$ \zeta(s) = s \int_{0}^{+\infty} \frac{[x] - x}{x^{1+s}} dx $$

D'après l'équation fonctionnelle¹ établie par Riemann et les propriétés des nombres complexes, on a la propriété suivante:

**Proposition 1** Soit $s$ un zéro non-trivial de la fonction zêta. Alors on a

$$ \zeta(s) = \zeta(\bar{s}) = \zeta(1-s) = \zeta(1-\bar{s}) = 0 $$

## 2 Démonstration de HR

D'après l'équation fonctionnelle, la partie réelle des zéros non-triviaux de la fonction zêta sont compris entre 0 et 1. Considérons la fonction $f$ définie

<footnote n="17">¹⁷ méthodes pour trouver l'équation fonctionnelle sont exposées dans le livre de [1]</footnote>
dans le plan complexe pour $0 < R_e(s) < 1$, par :

$$f(s) = \frac{\zeta(s)}{s} - \frac{\zeta(1 - \bar{s})}{1 - \bar{s}}$$

Pour $s = \alpha + i\beta$, et en notant $u(\alpha, \beta)$ la partie réelle de $f$ et $v(\alpha, \beta)$ la partie imaginaire de $f$ on trouve les expressions suivantes :

$$u(\alpha, \beta) = \int_{0}^{+\infty} ([x] - x) \cos(\beta \ln x)(e^{-(1+\alpha)\ln x} - e^{-(2-\alpha)\ln x})dx$$

$$v(\alpha, \beta) = \int_{0}^{+\infty} ([x] - x) \sin(\beta \ln x)(e^{-(2-\alpha)\ln x} - e^{-(1+\alpha)\ln x})dx$$

Soit $z = a + ib$ un zéro non-trivial de zêta. Alors, d'après la proposition 1 $f(z) = 0$ et ainsi $u(a, b) = v(a, b) = 0$.

$$u(a, b) = 0 \iff \int_{0}^{+\infty} ([x] - x) \cos(\beta \ln x)(e^{-(1+a)\ln x} - e^{-(2-a)\ln x})dx = 0$$

$u(a, b)$ étant fonction de $a$ et de $b$, s'annule pour $a = 1/2$ de même pour $v(a, b)$. A preuve contraire, $f(z) = 0$ ne s'annule que si la partie réelle de $z$ est égale à $1/2$. Or lorsque $f$ s'annule, $\zeta(s)$ et $\zeta(1 - \bar{s})$ s'annulent. On en vient alors à la proposition suivante

**Proposition 2** Soit $s$ un zéro non-trivial de la fonction zêta. Si $R_e(s) = 1/2$ alors $\zeta(s) = \zeta(1 - \bar{s}) = 0$

Avec une des propriétés de la fonction zêta, $\zeta(\bar{s}) = \bar{\zeta}(s)$, on obtient la proposition suivante:

**Proposition 3** Soit $s$ un zéro non-trivial de la fonction zêta. Si $R_e(s) = 1/2$ alors $\zeta(s) = \zeta(\bar{s}) = \zeta(1 - s) = \zeta(1 - \bar{s}) = 0$

Ceci complète la preuve de l'hypothèse de Riemann. A moins qu'on ne trouve d'autres valeurs de $a$ à part $1/2$ qui annulent $u(a, b)$, l'hypothèse de Riemann est vraie.

## References

[1] E. C. TITCHMARSH The Theory of the Riemann Zeta-Function Second edition, 13-14

[2] Océane Borel Travail d'étude mathématique: La fonction zêta de Riemann