# Quelques modes d'ondes stationnaires : cordes, membrane rectangulaire et circulaire, cavité cylindrique, cavité sphérique, modes transverses électriques et magnétiques

Jean-Marie Malherbe

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Jean-Marie Malherbe. Quelques modes d'ondes stationnaires : cordes, membrane rectangulaire et circulaire, cavité cylindrique, cavité sphérique, modes transverses électriques et magnétiques. Master. France. 2026, pp.36. hal-05487985

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Submitted on 1 Feb 2026

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# Quelques modes d'ondes stationnaires : cordes, membrane rectangulaire et circulaire, cavité cylindrique, cavité sphérique, modes transverses électriques et magnétiques

Jean-Marie Malherbe

Astronome émérite, Observatoire de Paris, PSL Research University, France
Email: Jean-Marie.Malherbe@obspm.fr; ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4180-3729

01 Février 2026

## RESUME

Nous présentons dans ce cours de niveau variable selon les parties traitées (L2 à M1) quelques modes d'ondes stationnaires pouvant survenir au sein de structures à 1 dimension (cordes, modes électromagnétiques TEM), 2 dimensions (membranes rectangulaires ou circulaires) ou 3 dimensions (cavités cylindriques ou sphériques, mode transverse électrique TE ou magnétique TM au sein d'une cavité). Les modes d'ondes stationnaires sont présents dans la vie courante (vibration des cordes), dans l'enveloppe des étoiles comme le Soleil ou encore dans les cavités laser et accélératrices. Leur étude met en jeu l'équation d'Helmoltz et des outils nombreux de fonctions spéciales (Bessel, Legendre, harmoniques sphériques) dont les propriétés sont résumées, et s'applique aux vibrations de quantités scalaires (élongation, pression) ou vectorielles (champs électromagnétiques).

## MOTS CLEF

Ondes stationnaires, cordes, membranes, cavités, cylindre, sphère, électromagnétisme, mode TEM, mode TE, mode TM

## I - INTRODUCTION : EQUATION DES ONDES

L'équation de propagation d'une onde non amortie est du type de d'Alembert :

$$ \Delta f = (1/C^2) \frac{\partial^2 f}{\partial t^2} $$

Où Δ désigne l'opérateur Laplacien et t le temps. $f(x,y,z,t)$ est une vibration scalaire (élongation, pression) ou vectorielle (champ électrique, champ magnétique) et C la vitesse de propagation ou célérité de l'onde (m/s). La vibration peut être transversale à la direction de propagation (cordes, ondes électromagnétiques) ou longitudinale dans la direction de propagation (ondes acoustiques).

Pour la lumière, $C = 3 \times 10^8$ m/s dans le vide, ou $C/n$ dans un milieu d'indice de réfraction $n > 1$.

Le long d'une corde, $C = (T/\mu)^{1/2}$ où T désigne la tension (N) et μ la masse linéique (kg/m). Exemples : cordes d'instruments de musique, caténaires. L'onde de caténaire se propage à 133 m/s environ pour une tension de $2.5 \times 10^4$ N et une masse linéique de 1.4 kg/m.

Dans les fils électriques, sans perte Joule, une onde se propage à la vitesse $V = (LC)^{-1/2}$ où L et C désignent l'inductance (Henry/m) et la capacité (Farad/m) par unité de longueur.
La houle se propage en eau peu profonde à la vitesse $C = (gh)^{1/2}$ où h est la profondeur et g l'accélération de la pesanteur. Près d'une plage, $h = 2$ m donne $v = 4.5$ m/s.

Le long d'une poutre ou dans un liquide, $C = (E/\rho)^{1/2}$ où E désigne le module d'Young (Pa) et $\rho$ la masse volumique (kg/m³). Dans l'eau ($E = 2$ GPa), C est de 1400 m/s ; dans l'acier ($E = 200$ GPa, $\rho = 8000$ kg/m³), C monte à 5000 m/s.

Dans un gaz monoatomique, $C_s = (\gamma R T/M)^{1/2}$ où T désigne la température (K) et M la masse molaire (kg), sachant que $\gamma = 5/3$ est l'exposant adiabatique et $R = 8.32 \text{ JK}^{-1}\text{mole}^{-1}$ est la constante des gaz parfaits. Dans un gaz diatomique, $\gamma = 7/5$. Exemples : ondes acoustiques dans l'air ou dans l'atmosphère d'une étoile. Dans l'air ambient, $C_s$ vaut 330 m/s ; dans la basse atmosphère solaire ($T = 10^4$ K), $C_s = 10$ km/s ; dans la couronne solaire plus chaude ($T = 2 \times 10^6$ K), $C_s = 150$ km/s. Il existe aussi dans l'atmosphère solaire des ondes magnétiques transversales dont la célérité est appelée vitesse d'Alfven $V_a = B/(\mu_0\rho)^{1/2}$ de plusieurs centaines de km/s (B est le champ magnétique local et $\rho$ la masse volumique) ; des ondes magnéto acoustiques y sont également présentes, de vitesse $(C_s^2 + V_a^2)^{1/2}$.

Dans le cadre des **ondes stationnaires**, on va rechercher des quantités scalaires $f(x,y,z,t)$ ou vectorielles $A(x,y,z,t)$ de la forme $f(x,y,z,t) = f(x,y,z) e^{i\omega t}$, ou $A(x,y,z,t) = A(x,y,z) e^{i\omega t}$ (les **vecteurs** seront représentés en caractères gras).

L'équation des ondes $\Delta f = (1/C^2) \partial^2 f/\partial t^2$ devient avec $\partial^2 f/\partial t^2 = - \omega^2 f$ :

$$ \Delta f + (\omega^2/C^2) f = 0 $$

ou

$$ \Delta A + (\omega^2/C^2) A = 0 $$

qui est l'équation d'Helmoltz. L'équation des ondes implique l'opérateur **Laplacien** qui prend différentes formes selon que le problème est traité en géométrie cartésienne, cylindrique ou sphérique, comme nous allons le voir ci après.

**Pour une vibration scalaire** $f(x, y, z, t)$, on a : $\Delta f = \text{div} (\text{grad } f)$

En coordonnées cartésiennes :

$$ \Delta f = \partial^2 f/\partial x^2 + \partial^2 f/\partial y^2 + \partial^2 f/\partial z^2 $$

En coordonnées cylindriques $r, \theta, z$, où $0 \le \theta \le 2\pi$

$$ \text{grad } f = \partial f/\partial r, (1/r) \partial f/\partial \theta, \partial f/\partial z \] $$

$$ \text{div } A = (1/r) \partial(rA_r)/\partial r + (1/r) \partial A_{\theta}/\partial \theta + \partial A_z/\partial z $$

$$ \Delta f = (1/r) \partial(r\partial f/\partial r)/\partial r + (1/r^2) \partial^2 f/\partial\theta^2 + \partial^2 f/\partial z^2 $$

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

En coordonnées sphériques $r, \theta, \varphi$, où $0 \le \theta \le \pi$ et $0 \le \varphi \le 2\pi$

$$ \text{Grad } f = \partial f/\partial r, (1/r) \partial f/\partial \theta, (1/r \sin\theta) \partial f/\partial \varphi \] $$

$$ \text{div } A = (1/r^2) \partial(r^2 A_r)/\partial r + (1/r \sin\theta) \partial(r \sin\theta A_r)/\partial \theta + (1/r \sin\theta) \partial A_{\varphi}/\partial \varphi $$

$$ \Delta f = (1/r) \partial^2(rf)/\partial r^2 + (1/r^2 \sin\theta) \partial(r \sin\theta \partial f/\partial\theta)/\partial\theta + (1/r^2 \sin^2\theta) \partial^2 f/\partial\varphi^2 $$

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

**Pour une vibration vectorielle** $A(x,y,z,t)$, c'est plus délicat, car le **Laplacien vectoriel** est défini par :

$$ \Delta A = \text{grad}(\text{div} A) - \text{rot}(\text{rot} A) $$
En coordonnées cartésiennes, on a $\Delta A = (\Delta A_x, \Delta A_y, \Delta A_z)$ où $\Delta = \partial^2/\partial x^2 + \partial^2/\partial y^2 + \partial^2/\partial z^2$, mais cependant, appliquer la forme scalaire du Laplacien à chacune des 3 composantes du champ vectoriel $\mathbf{A}$ est fausse dans les autres systèmes de coordonnées. Il faut d'abord calculer $\text{rot}\mathbf{A}$, puis $\text{rot}(\text{rot}\mathbf{A})$, et dans le cas où l'on a div $\mathbf{A} = 0$, le calcul se simplifie puisqu' alors $\Delta\mathbf{A} = - \text{rot}(\text{rot}\mathbf{A})$. On est dans ce cas pour les ondes électromagnétiques par exemple, les champs électrique et magnétique étant vectoriels.

En coordonnées cylindriques r, θ, z

$$ \text{rotA} = \left[ \begin{array}{l} (1/r) \frac{\partial A_z}{\partial \theta} - \frac{\partial A_{\theta}}{\partial z}, \\ \frac{\partial A_r}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial r}, \\ (1/r) \left( \frac{\partial(rA_{\theta})}{\partial r} - \frac{\partial A_r}{\partial \theta} \right) \end{array} \right] $$

En coordonnées sphériques r, θ, φ

$$ \text{rotA} = \left[ \begin{array}{l} (1 / \mathrm{rsin}\theta) \left(\frac{\partial(\sin\theta A_{\varphi})}{\partial\theta} - \frac{\partial A_{\theta}}{\partial\varphi}\right), \\ \left(\frac{1}{\mathrm{rsin}\theta}\right) \left(\frac{\partial A_r}{\partial\varphi} - \sin\theta \frac{\partial(rA_{\varphi})}{\partial r}\right), \\ (1/r) \left(\frac{\partial(rA_{\theta})}{\partial r} - \frac{\partial A_r}{\partial\theta}\right) \end{array} \right] $$

## II - ONDES STATIONNAIRES SUR UNE DIMENSION

### II - 1 - Mode électromagnétique d'onde transversale électrique et magnétique

Ce type d'onde électromagnétique à une dimension, de champ électrique $\mathbf{E}$ et magnétique $\mathbf{B}$, se produit par réflexion entre deux plans parfaitement conducteurs, les conditions de la réflexion découlant des équations de Maxwell, sachant que dans un métal parfait, $\mathbf{E}$ et $\mathbf{B}$ sont nul. On a alors pour les champs $\mathbf{E}$ et $\mathbf{B}$ en surface :

Maxwell Gauss : $E_n = \sigma/\varepsilon_0$ où $E_n$ est la composante **normale** à la surface (V/m). $\sigma$ est la densité surfacique de charge (C/m²)

Maxwell Faraday : $E_t = 0$ où $E_t$ est la composante **tangentielle** sur la surface (V/m).

Maxwell Thomson : $B_n = 0$ où $B_n$ est la composante **normale** à la surface (T).

Maxwell Ampère : $B_t = \mu_0 j_s$ où $B_t$ est la composante **tangentielle** sur la surface (T). $j_s$ est la densité surfacique de courant (A/m). Le vecteur $j_s$ est porté par la surface et orthogonal au champ tangentiel $B_t$.

Considérons une onde de la forme $\mathbf{E} = \mathbf{E}(x) e^{i\omega t} \mathbf{e}_y$ et $\mathbf{B} = \mathbf{B}(x) e^{i\omega t} \mathbf{e}_z$

<figure><img src="image_4.png" /></figure>
Les lois de la réflexion imposent sur les plans en $x = 0$ et $x = l$ les conditions suivantes :

$E(0) = E(l) = 0$ (champ tangentiel aux deux plans conducteurs)

$\sigma(0) = \sigma(l) = 0$ (il n'y a pas de composante normale aux deux plans)

$B(0) = \mu_0 j_s(0)$ et $B(l) = \mu_0 j_s(l)$ (existence d'un courant de surface sur les deux plans)

B et E sont liés par la loi $\text{rot } E = - \partial B / \partial t$, soit ici $dE(x)/dx = -i \omega B(x)$, d'où l'on tire
$$B(x) = (i/\omega) dE(x)/dx$$

$E(x)$ est régit par l'équation d'Helmoltz :

$$d^2E/dx^2 + (\omega^2/C^2)E = 0$$

ayant pour solution $E(x) = a e^{ikx} + b e^{-ikx}$ avec $k = \omega/C$, a et b constantes

Appliquons les conditions $E(0) = E(l) = 0$, il vient $a + b = 0$, et $a e^{ikl} + b e^{-ikl} = 0$.

On a donc $b = -a$ et $\sin(ikl) = 0$, d'où les modes $kl = n\pi$ avec n nombre entier. La forme générale des champs électrique et magnétique est alors la suivante, sachant que :

$\text{Re}[e^{i\omega t}] = \cos(\omega t)$ et $\text{Re}[i e^{i\omega t}] = -\sin(\omega t)$, avec $\omega = \omega_n = \frac{n\pi C}{l}$ mode d'ordre n.

$$E(x,t) = \sum_{n \text{ entier}} E_n \sin\left[(n\pi/l)x\right] \cos\left[(n\pi C/l)t\right] \quad \text{où } E_n \text{ est l'amplitude du mode d'ordre n}$$

$$B(x,t) = - \sum_{n \text{ entier}} (E_n/C) \cos\left[(n\pi/l)x\right] \sin\left[(n\pi C/l)t\right] \quad \text{où } (-E_n/C) \text{ est l'amplitude du mode n}$$

$$\text{En } x = 0, \text{ on a } j_s(0,t) = \sum_{n \text{ entier}} (E_n/\mu_0 C) \sin[(n\pi C/l)t] \quad \text{selon Oy}$$

$$\text{En } x = l, \text{ on a } j_s(l,t) = - \sum_{n \text{ entier}} (E_n/\mu_0 C) (-1)^n \sin[(n\pi C/l)t] \quad \text{selon Oy}$$

La longueur d'onde du mode n est $\lambda = 2l/n$ si n est positif, ce sont donc des sous multiples de $2l$. $E(x,t)$ et $B(x,t)$ sont en quadrature de phase. Sur les plans conducteurs, E est nul (nœuds) mais B est maximal (ventres). Entre les plans, les nœuds sont séparés de la distance $l/n$. Il y a donc $(n-1)$ nœuds de champ électrique entre les plans si n est positif.

Le mode fondamental est $n = 1$. Dans ce cas, $\lambda = 2l$, il n'y a aucun nœud de champ électrique entre les plans, mais il y a un nœud de champ magnétique en $x = l/2$, et deux ventres de champ magnétique sur les plans conducteurs.

En $t = 0$, $E(x,0)$ est une série de Fourier (voir annexe 1) en sinus, donc impaire. Si l'on connait la fonction $E(x,0)$, $0 \le x \le l$, il est possible de calculer les coefficients de Fourier $E_n$ comme l'explique l'annexe par symétrisation de $E(x,0)$ par rapport à $x = 0$ pour former une fonction périodique de période $\lambda = 2l$.

En $t = 0$, le champ magnétique $B(0,t)$ est nul dans notre formulation, mais il aurait pu en être autrement si l'on avait choisi une série temporelle de sinus pour $E(x,t)$.

Les modes $\omega_n = n\pi C/l$ sont transverses, électrique et magnétique, et nommés TEM$_n$.

## II - 2 - Cordes vibrantes

Soit une corde tendue de longueur $l$. Notons $y(x,t)$ l'élongation transversale d'un point $M$ de la corde d'abscisse $x$ telle que $0 \le x \le l$. L'élongation obéit à l'équation d'Helmoltz si l'on note $y(x,t) = y(x) e^{i\omega t}$. On a alors $y(x) = a e^{ikx} + b e^{-ikx}$ où $k = \omega/C$. On a alors plusieurs conditions aux limites possibles en $x = 0$ et en $x = l$.
Cas N°1 : $y(0) = y(l) = 0$ (un nœud à chaque extrémité)

alors $y(x) = A_n \sin[(n\pi/l) x]$, n entier positif, $k = \omega/C = n\pi/l$

longueur d'onde $2l/n$

Cas N°2 : $y(0) = 0, y'(l) = 0$ (un nœud en $x = 0$, un ventre en $x = l$, désigne la dérivée)

alors $y(x) = A_n \sin[(n+1/2) \pi x/l]$, n entier positif ou nul, $k = \omega/C = (n+1/2)\pi/l$

dans ce cas, $y(l) = (-1)^n A_n$

longueur d'onde $2l/(n+1/2)$

Cas N°3 : $y'(0) = 0, y(l) = 0$ (un ventre en $x = 0$, un nœud en $x = l$)

alors $y(x) = A_n \cos[(n+1/2) \pi x/l]$, n entier positif ou nul, $k = \omega/C = (n+1/2)\pi/l$

dans ce cas, $y(0) = A_n$

longueur d'onde $2l/(n+1/2)$

Cas N°4 : $y'(0) = 0, y(l) = 0$ (un ventre à chaque extrémité)

alors $y(x) = A_n \cos[(n\pi/l) x]$, n entier positif ou nul, $k = \omega/C = n\pi/l$

dans ce cas, $y(0) = A_n, y(l) = (-1)^n A_n$

longueur d'onde $2l/n$

Par exemple, dans le cas N°1 où $y(0) = y(l) = 0$, on a finalement :

$$y(x,t) = \sum_{n \text{ entier}} A_n \sin\left[(n\pi/l)x\right] \cos\left[(n\pi C/l)t\right], \text{ les modes de vibration sont } \omega_n = \frac{n\pi C}{l}$$

$$\text{En t = 0, } y(x,0) = \sum_{n \text{ entier}} A_n \sin\left[(n\pi/l)x\right]$$

C'est une série de Fourier impaire. Les coefficients $A_n$ se calculent si l'on connaît l'élongation $y(x,0)$ en définissant par symétrisation par rapport à l'origine une fonction impaire de période $2l$ dont les coefficients de Fourier $A_n$ sont explicités dans l'annexe 1. Prenons l'exemple d'une elongation « en triangle isocèle » telle que $y(l/2,0) = 1$.

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Le calcul des coefficients de Fourier donne $A_n = (8 / \pi^2 n^2) \sin(n\pi/2)$ : si n est pair, $A_n$ est nul ; si n est impair, $A_n = (-1)^{(n-1)/2} (8 / \pi^2 n^2)$. L'amplitude des modes décroît en $1/n^2$.

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

Représentation de $y(x, 0)$
par la somme des premiers
modes de la série :

$$\begin{align*} n=1 & \text{ fondamental} \\ n=1+3 & \text{ ..............} \\ n=1+3+5 & \text{ ...........} \\ n=1+3+5+7 & \text{ ....-.-.-.} \\ n=1+3+5+7+9 & \text{ ....-....-...} \end{align*}$$

La convergence est rapide
(en $1/n^2$)
<figure><img src="image_7.png" /></figure>

Représentation de l'élongation y(x,0) par la somme des 9 premiers modes de la série de Fourier dont les coefficients $A_n$ ont été calculés par intégration numérique pour une elongation 1 située en x= 0.1 l (noir), x = 0.2 l (jaune), x = 0.3 l (rouge), x = 0.4 l (bleu clair) et x = 0.5 l (bleu foncé). Trait plein = condition initiale y(x,0) ; tirets = somme des 9 premiers termes de la série de Fourier.

### III - ONDES STATIONNAIRES SUR UNE MEMBRANE A 2 DIMENSIONS

#### III - 1 - Membrane rectangulaire

On considère une membrane rectangulaire telle que $0 \le x \le a$ et $0 \le y \le b$. Nous supposons l'élongation transversale selon Oz, soit $z(x,y,t) = z(x,y) e^{i\omega t}$ obéissant à l'équation d'Helmoltz, où C est la célérité de l'onde :

$$d^2z/dx^2 + d^2z/dy^2 + (\omega/C)^2 z = 0$$

On procède par séparation des variables, en posant $z(x,y) = X(x)Y(y)$, où X et Y sont des fonctions ne dépendant respectivement que de x et de y. On a alors comme solution oscillante :

$$X(x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx}$$

$$Y(y) = A' e^{ily} + B' e^{-ily}$$

Où $k^2 + l^2 = (\omega/C)^2$ pour respecter l'équation d'Helmoltz.

Les conditions aux limites aux frontières du domaine (en x = 0, x = a, y = 0, y = b) vont ensuite imposer les modes de vibration possibles. Nous traitons ci-dessous deux cas parmi plusieurs autres possibles selon que les fonctions X(x) ou Y(y) sont nulles aux frontières (nœuds de vibration), ou bien leurs dérivées X'(x) et Y'(y) (ventres de vibration).

**Cas N°1 :** $z(0,y) = z(a,y) = z(x,0) = z(x,b) = 0$ (nœuds de vibration aux frontières)

Alors $X(x) = A \sin(kx)$ où $ka = m\pi$, d'où $k = m\pi/a$, m entier positif ou nul

$Y(y) = A' \sin(ly)$ où $lb = n\pi$, d'où $l = n\pi/b$, n entier positif ou nul

Dont on déduit les modes de vibration $\omega_{mn}/C = [(m\pi/a)^2 + (n\pi/b)]^{1/2}$
$$X(x) = A_m \sin[(m\pi/a) x]$$

$$Y(y) = A'_{n} \sin[(n\pi/b) y]$$

$$ \text{Et finalement } z(x,y,t) = \sum_{m,n \text{ entiers}} \sum A_{mn} \sin[(m\pi/a)x] \sin[(n\pi/b)y] \cos(\omega_{mn}t) $$

Les coefficients $A_{mn}$ dépendent de la condition initiale $z(x,y,0)$

L'amplitude des modes de vibration est $\sin[(m\pi/a)x] \sin[(n\pi/b)y]$, dont des exemples à $(m,n)$ donné sont représentés sur la figure ci-dessous.

Cas N°2 : $z'(0,y) = z'(a,y) = z'(x,0) = z'(x,b) = 0$ (ventres de vibration aux frontières)

Alors $X(x) = A \cos(kx)$ où ka = mπ, d'où k = mπ/a, m entier positif ou nul

$Y(y) = A' \cos(ly)$ où lb = nπ, d'où l = nπ/b, n entier positif ou nul

Dont on déduit les modes de vibration $\omega_{mn}/C = [(m\pi/a)^2 + (n\pi/b)]^{1/2}$

$$X(x) = A_m \cos[(m\pi/a)x]$$

$$Y(y) = A'_{n} \cos[(n\pi/b)y]$$

$$ \text{Et finalement } z(x,y,t) = \sum_{m,n \text{ entiers}} \sum A_{mn} \cos [(m\pi/a)x] \cos[(n\pi/b)y] \cos(\omega_{mn}t) $$

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

Amplitude de quelques modes d'ordre $(m,n)$. A gauche : modes $(m,n) = (1,1), (2,1), (3,1)$ en bas ; et $(1,2), (2,2), (3,2)$ en haut. A droite : modes d'ordre plus élevé $(m,n) = (1,3), (2,3), (3,3)$ en bas ; et $(4,4), (6,6), (8,8)$ en haut.

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

Les cellules de la granulation solaires ont pour taille caractéristique $a = b = 1000$ km.
On observe des modes d'onde comme le montre le diagramme $(k-\omega)$ ou $(\sigma-v)$ avec $\sigma=k/2\pi=1/\lambda$ en abscisse (fréquence spatiale horizontale en km$^{-1}$) et $v=\omega/2\pi$ en ordonnée (fréquence temporelle en mHz). Les modes acoustiques forment des branches.
La pulsation fondamentale de notre modèle est $\omega = \pi C/a$ (lorsque $a = b$). La granulation solaire peut constituer un exemple de première approximation. La surface solaire à $T = 6000$ K est couverte de granules, cellules convectives (figure ci-dessus) de taille caractéristique voisine de $a = b = 1000$ km. En prenant $C = 10$ km/s (vitesse du son typique à cette température), on trouve $\omega = 0.03$ rd/s soit une fréquence d'environ 5 mHz. Des oscillations de cette fréquence sont visibles par effet Doppler sur les raies spectrales (oscillations verticales du plasma). L'analyse en fréquence (figure ci dessus) dévoile la présence de modes acoustiques dans le diagramme fréquence spatiale horizontale, fréquence temporelle.

Films d'accompagnement :

membranerec0.mp4

Modes $(m,n) = (1,1), (2,1), (3,1), (1,2), (2,2), (3,2)$ oscillant à la pulsation
$\omega_{mn}/C = [(m\pi/a)^2 + (n\pi/b)]^{1/2}$.

membranerec1.mp4

Modes d'ordre plus élevé $(m,n) = (1,3), (2,3), (3,3), (4,4), (6,6), (8,8)$ oscillant à la
pulsation $\omega_{mn}/C = [(m\pi/a)^2 + (n\pi/b)]^{1/2}$.

osc-granulation.mpg

La granulation solaire (en vert) et ses oscillations verticales selon Oz matérialisées par la
vitesse Doppler $V_z$ du plasma, en rouge pour $V_z < 0$, en bleu pour $V_z > 0$.

III - 2 - Membrane circulaire

On considère une membrane circulaire de rayon $R$ telle que $0 \le r \le R$ et $0 \le \theta \le 2\pi$.
Nous supposons l'élongation transversale $\xi$ selon l'axe Oy perpendiculaire au plan $(r, \theta)$,
soit $\xi(r,\theta,t) = f(r,\theta) e^{i\omega t}$ obéissant à l'équation des ondes $\Delta \xi = (1/C^2) \partial^2\xi/\partial t^2$, où $C$ est la
célérité de l'onde.

Cette équation devient alors l'équation de Helmholtz $\Delta f + k^2 f = 0$ avec $k = \omega / C$, dans
laquelle $f$ est seulement une fonction de $(r, \theta)$.

$$
\Delta f = (1/r) \frac{\partial(r \partial f / \partial r)}{\partial r} + (1/r^2) \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2}
$$

De manière a avoir une fonction périodique de période $2\pi$, nous recherchons des solutions
de la forme $f(r,\theta) = y(r) e^{im\theta}$ où $m$ est un nombre entier positif ou nul. L'équation
d'Helmoltz devient alors :

$$
(1/r) \frac{\partial(r \partial y / \partial r)}{\partial r} + (k^2 - m^2 / r^2) y = 0
$$

Que l'on peut développer :

$$
(1/r) \left( \frac{\partial y}{\partial r} + r \frac{\partial^2 y}{\partial r^2} \right) + \left( k^2 - \frac{m^2}{r^2} \right) y = 0
$$

$$
r^2 \frac{\partial^2 y}{\partial r^2} + r \frac{\partial y}{\partial r} + (k^2 r^2 - m^2) y = 0
$$

Il s'agit d'une équation de Bessel (annexe 2) ayant pour solution $y_m = A_m J_m(kr)$ où $k=\omega/C$.
L'élongation pour le mode m s'écrit en prenant une solution réelle en $\cos(m\theta) \cos(\omega t)$ :

$$
\xi_m(r, \theta, t) = A_m J_m(kr) \cos(m\theta) \cos(\omega t)
$$
A noter que les solutions $\xi_m(r,\theta,t)$ et $\xi_n(r,\theta,t)$ sont orthogonales sur $\theta$ entre 0 et $2\pi$ car :

$$ \int_0^{2\pi} \cos(m\theta) \cos(n\theta) d\theta = \pi \delta_{mn} \text{ où } \delta_{mn} \text{ est le symbole de Kronecker.} $$

**Conditions aux limites 1 : $\xi_m(R,\theta,t) = 0$ (élongation nulle ou nœud de vibration sur le pourtour en $r = R$)**

alors $J_m(kR) = 0$ implique $kR = a_{mn}$ zéro d'ordre $n$ ($n$ entier $\ge 1$) de la fonction de Bessel $J_m$ ($m$ entier $\ge 0$), soit une discrétisation des modes de vibration :

$$ k_{mn} = \omega_{mn}/C = a_{mn}/R $$

et en conséquence, $\xi_{mn}(r,\theta,t) = A_{mn} J_m(a_{mn} r/R) \cos(m\theta) \cos[C(a_{mn}/R)t]$

Cependant, il peut s'agit d'une somme de modes $\omega_{mn} = C a_{mn}/R$, sous la forme d'une série infinie pour $m$ entier $\ge 0$, $n$ entier $\ge 1$ :

$$ \xi(r,\theta,t) = \sum_{m,n} A_{mn} J_m(a_{mn} r/R) \cos(m\theta) \cos[C(a_{mn}/R)t] $$

Le fondamental ($m = 0, n = 1$) est donné par $\xi_{01}(r,t) = A_{01} J_0(a_{01} r/R) \cos[C(a_{01}/R)t]$, où $a_{01} = 2.405$, il ne dépend pas de $\theta$ et est à symétrie de révolution.

**Conditions aux limites 2 : $\partial\xi_{mn}/\partial r(R,\theta,t) = 0$ (élongation maximale ou ventre de vibration sur le pourtour en $r = R$)**

alors $J'_m(kR) = 0$ implique $kR = a'_{mn}$ zéro d'ordre $n$ ($n$ entier $\ge 1$) de la dérivée $J'_m$ de la fonction de Bessel $J_m$ ($m$ entier $\ge 0$), soit une discrétisation des modes de vibration :

$$ k_{mn} = \omega_{mn}/C = a'_{mn}/R $$

et en conséquence, $\xi_{mn}(r,\theta,t) = A_{mn} J_m(a'_{mn} r/R) \cos(m\theta) \cos[C(a'_{mn}/R)t]$

Le fondamental ($m = 0, n = 1$) est donné par $\xi_{01}(r,t) = A_{01} J_0(a'_{01} r/R) \cos[C(a'_{01}/R)t]$, où $a'_{01}$ est le premier zéro de $J'_0$, mais comme dans ce cas particulier $J'_0 = -J_1$, c'est aussi le premier zéro de $J_1$, soit $a'_{01} = a_{11} = 3.832$. L'élongation ne dépend pas de $\theta$ et est à symétrie de révolution.

**Mode fondamental $m = 0$ à condition aux limites 1 (élongation nulle en $r = R$)**

$$ \xi(r,t) = \sum_{n} A_{n} J_{0}(a_{0n} r/R) \cos[C(a_{0n}/R)t] $$

et en $t = 0$, on a $\xi(r,0) = \sum_{n} A_{n} J_{0}(a_{0n} r/R) = f(r)$ fonction initiale donnée

Il s'agit du développement de la condition initiale $\xi(r,0) = f(r)$ en série de Fourier-Bessel (voir annexe 2). Les coefficients $A_n$ sont donnés par :

$$ A_n = \left[ \frac{2}{(R J'_0(a_{0n}))^2} \right] \int_0^R r f(r) J_0(a_{0n} r/R) dr $$

On sait que $J'_0 = -J_1$, on peut donc écrire dans ce cas particulier :
$$
A_n = \left[ \frac{2}{(R J_1(a_{0n}))^2} \right] \int_0^R r f(r) J_0(a_{0n} r/R) dr
$$

a₀ₙ étant le zéro d'ordre n ≥ 1 de la fonction de Bessel J₀.

A noter que les fonctions J₀(a₀m r/R) et J₀(a₀n r/R) sont <u>orthogonales pour le poids r car :</u>

$$
\int_0^R r J_0(a_{0m} r/R) J_0(a_{0n} r/R) dr = (R^2/2) J'_0(a_{0n})^2 \delta_{mn} = (R^2/2) J_1(a_{0n})^2 \delta_{mn}
$$

Prenons à titre d'exemple une membrane telle qu'en t = 0, son elongation soit de la forme
f(r)= 1 - r²/R², donc égale à 1 au centre et nulle en périphérie. On a choisi cette condition
initiale de manière à pouvoir calculer analytiquement les coefficients A_n ci-dessus,
l'intégrale s'y prêtant bien pour cette fonction f(r) particulière. On utilisera pour cela les
propriétés des fonctions de Bessel (annexe 2), à savoir :

$$
d(xJ_1)/dx = x J_0
$$

$$
d J_0 / dx = - J_1
$$

$$
A_n = \left[ \frac{2}{(R J_1(a_{0n}))^2} \right] \int_0^R r \left(1 - \frac{r^2}{R^2}\right) J_0(a_{0n} r/R) dr
$$

On pose $x = a_{0n} r/R$

$$
A_n = \left[ \frac{2}{(a_{0n} J_1(a_{0n}))^2} \right] \int_0^{a_{0n}} \left(1 - x^2/a_{0n}^2\right) x J_0(x) dx
$$

$$
A_n = \left[ \frac{2}{(a_{0n} J_1(a_{0n}))^2} \right] \left[ \int_0^{a_{0n}} x J_0(x) \, dx - \int_0^{a_{0n}} \left( \frac{x^3}{a_{0n}^2} \right) J_0(x) \, dx \right]
$$

La première intégrale est simple puisque xJ₀ = d(xJ₁)/dx, elle vaut donc xJ₁. La seconde nécessite une intégration par parties. On écrit :

$$
\int x^3 J_0(x) \, dx = \int x^2 (xJ_0) \, dx = x^2 (xJ_1) - 2 \int x^2 J_1 \, dx
$$

On fait une seconde intégration par parties sachant que $J_1 = -dJ_0/dx$ ; on obtient :

$$
\int x^3 J_0(x) \, dx = x^2 (xJ_1) + 2 \left[ x^2 J_0 - 2 \int x J_0(x) \, dx \right], \text{ puis avec } xJ_0 = d(xJ_1)/dx, \text{ on conclut :}
$$

$$
\int x^3 J_0(x) \, dx = x^2 (xJ_1) + 2 x^2 J_0 - 4 x J_1 = x^3 J_1 + 2 x^2 J_0 - 4 x J_1
$$

Finalement,

$$
\begin{align*}
\int \left(1 - \frac{x^2}{a_{0n}^2}\right) x J_0(x) \, dx &= x J_1 - \left[ \frac{x^3 J_1 + 2 x^2 J_0 - 4 x J_1}{a_{0n}^2} \right] \\
&= J_1 \left( x + \frac{4 x}{a_{0n}^2} - \frac{x^3}{a_{0n}^2} \right) - 2 \frac{x^2}{J_0/a_{0n}^2}
\end{align*}
$$

Entre les bornes 0 et a₀ₙ, cette intégrale vaut 4 J₁(a₀ₙ)/a₀ₙ car J₀(a₀ₙ) = 0

$$
\text{D'où } \underline{A_n} = \left[ \frac{2}{(a_{0n} J_1(a_{0n}))^2} \right] \left[ \frac{4 J_1(a_{0n})}{a_{0n}} \right] = \frac{8}{a_{0n}^3 J_1(a_{0n})}
$$

Les valeurs de a₀ₙ et de J'₀(a₀ₙ) = - J₁(a₀ₙ) sont données dans l'annexe 2, dont on
tire pour n variant de 1 à 9 :

$$
a_{0n} = 2.405 \ 5.520 \ 8.654 \ 11.792 \ 14.931 \ 18.071 \ 21.212 \ 24.352 \ 27.493
$$

$$
J_1(a_{0n}) = 0.519 \ -0.340 \ 0.271 \ -0.232 \ 0.207 \ -0.188 \ 0.173 \ -0.162 \ 0.152
$$

On peut s'intéresser au comportement asymptotique lorsque $n \gg 1$ :

$$
a_{0n} \approx \frac{3}{4} \pi + (n-1)\pi = n\pi - \pi/4
$$

$$
J_1(x) \approx (2/\pi x)^{1/2} \sin(x - \pi/4), \text{ donne alors } J_1(a_0 n) \approx (2/n)^{1/2} (-1)^{n-1}/\pi
$$

Et finalement $A_n \approx [4 \sqrt{2} (-1)^{n-1}]/[\pi^2 n^2 \sqrt{n}]$, varie en $n^{-5/2}$, donc décroît très vite selon n.
On a représenté sur la figure ci-dessous le développement de l'élongation en série de Fourier-Bessel lorsque $t = 0$, en fonction de $r/R$, soit la série :

$$ \xi(r,0) = \sum_{n} A_{n} J_{0}(a_{0n} r/R) $$

On a tracé le mode $n = 1$ (fondamental, en orange), la somme des modes 1 et 2 (rose) et la somme des modes 1, 2 et 3 (bleu). On voit que la série converge au bout de quelques termes vers la fonction $f(r) = 1 - r^2/R^2$ parce que les $A_n$ varient en $n^{-5/2}$ et décroissent ainsi très vite. Les valeurs numériques des coefficients $A_n$ sont indiquées pour n variant de 1 à 8 ($A_1$= 1.10, $A_2$= -0.14, $A_3$= 0.04, etc...). Les pulsations correspondantes sont :

$$ \omega_{0n} = C a_{0n}/R $$

On a reporté sur la figure les pulsations normalisées à C/R, ou modes de vibration, qui ne sont autres que les zéros $a_{0n}$ de la fonction de Bessel $J_0$.

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

## Films d'accompagnement :

### Membrane0.mp4

Modes (m,n) = (0,1), (0,2), (0,3), (0,4), (0,5), (0,6) oscillant à la pulsation $\omega_{mn}/C = a_{mn}/R$ où $a_{mn}$ est le zéro d'orde n de la fonction de Bessel entière $J_m$, soit ici $J_0$

### Membrane1.mp4

Modes (m,n) = (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) oscillant à la pulsation $\omega_{mn}/C = a_{mn}/R$ où $a_{mn}$ est le zéro d'orde n de la fonction de Bessel entière $J_m$, soit ici $J_1$

### Membrane2.mp4

Modes (m,n) = (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) oscillant à la pulsation $\omega_{mn}/C = a_{mn}/R$ où $a_{mn}$ est le zéro d'orde n de la fonction de Bessel entière $J_m$, soit ici $J_2$

### Membrane3.mp4

Modes (m,n) = (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) oscillant à la pulsation $\omega_{mn}/C = a_{mn}/R$ où $a_{mn}$ est le zéro d'orde n de la fonction de Bessel entière $J_m$, soit ici $J_3$
Membrane-fourier-bessel.mp4

Mode m = 0 de vibration d'une membrane telle que, à l'état initial t = 0, son elongation (à symétrie de révolution, donc indépendante de θ) soit de forme parabolique selon :

$$y(r) = 1 - r^2/R^2$$

ce qui permet un calcul analytique des coefficients de Fourier-Bessel, l'élongation y(r,0) pouvant être représentée par une série de Fourier-Bessel.

Ce graphique animé représente l'élongation y(r,t) en fonction de r, pour t variant, avec pour condition aux limites y(R,t) = 0 en r = R.

# IV - ONDES STATIONNAIRES DANS UN VOLUME

## IV - 1 - Cavité sphérique

Nous nous plaçons en coordonnées sphériques et considérons une quantité scalaire (élongation, pression) f(r,θ,φ,t) telle que $0 \le r \le R$, $0 \le \theta \le \pi$ et $0 \le \varphi \le 2\pi$. Dans cette cavité sphérique, on suppose que la célérité des ondes est C = constante. Cela représente bien entendu une extrême simplification si on invoque une étoile où une planète.

L'équation générale des ondes de vitesse C s'écrit $\Delta f = (1/C^2) \partial^2 f/\partial t^2$,

pour laquelle on recherche une solution de la forme $f(r, \theta, \varphi, t) = \Psi(r, \theta, \varphi) e^{i\omega t}$

L'équation des ondes devient alors $\Delta \Psi + k^2 \Psi = 0$ avec $k = \omega / C$, qui est l'équation de Helmholtz. L'expression du Laplacien en coordonnées sphériques, pour une fonction scalaire seulement, est donnée par :

$$\Delta \Psi = (1/r) \frac{\partial^2(\Psi)}{\partial r^2} + (1/r^2) \left[ \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial(\sin\theta \partial\Psi/\partial\theta)}{\partial\theta} + \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2\Psi}{\partial\varphi^2} \right]$$

On recherche une solution par séparation des variables : $\Psi(r, \theta, \varphi) = R(r) \Theta(\theta) \Phi(\varphi)$

En divisant l'équation par $\Psi$, on obtient : $(\Delta \Psi) / \Psi + k^2 = 0$, soit :

$$(1/rR) \frac{\partial^2(rR)}{\partial r^2} + (1/r^2) \left[ \frac{1}{\Theta \sin\theta} \frac{\partial(\sin\theta \partial\Theta/\partial\theta)}{\partial\theta} + \frac{1}{\Phi \sin^2\theta} \frac{\partial^2\Phi}{\partial\varphi^2} \right] + k^2 = 0$$

On isole la partie angulaire en écrivant que :

$$(1/\Theta \sin\theta) \frac{\partial(\sin\theta \partial\Theta/\partial\theta)}{\partial\theta} + (1/\Phi \sin^2\theta) \frac{\partial^2\Phi}{\partial\varphi^2} = -K \quad (\text{constante})$$

On recherche des solutions périodiques en $\varphi$ de sorte que l'on peut poser :

$$(1/\Phi) \frac{\partial^2\Phi}{\partial\varphi^2} = -m^2, \text{ pour m entier}$$

ce qui aboutit à l'équation $\frac{\partial^2\Phi}{\partial\varphi^2} + m^2\Phi = 0$

dont les solutions sont de la forme $\Phi(\varphi) = A e^{im\varphi} + B e^{-im\varphi}$ et de période $2\pi$ en $\varphi$

Avec cette solution en $\varphi$, l'équation en $\theta$ devient :

$$(1/\Theta \sin\theta) \frac{\partial(\sin\theta \partial\Theta/\partial\theta)}{\partial\theta} - \frac{m^2}{\sin^2\theta} + K = 0$$

Pour aborder cette équation, posons $x = \cos\theta$.

Avec ce changement de variable, on obtient :

$$\frac{\partial[(1-x^2) \frac{\partial\Theta}{\partial x}]}{\partial x} + [K - \frac{m^2}{(1-x^2)}] \Theta = 0$$

soit encore

$$(1-x^2) \frac{\partial^2\Theta}{\partial x^2} - 2x \frac{\partial\Theta}{\partial x} + [K - \frac{m^2}{(1-x^2)}] \Theta = 0$$
si nous posons maintenant $K = l(l+1)$, l nombre entier positif ou nul, on ramène cette
équation à une forme connue :

$$
(1-x^2) \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} - 2x \frac{\partial y}{\partial x} + [l(l+1) - \frac{m^2}{1-x^2}] y = 0
$$

ayant pour solution y(x) = P₁<sup>m</sup>(x) qui est une fonction associée de Legendre (annexe 3) :

$$
P_l^m(x) = (1-x^2)^{m/2} \frac{d^m P_l(x)}{dx^m}
$$

avec $P_l(x)$ polynôme de Legendre (annexe 3) $P_l(x) = [1 / (2^l l!)] \frac{d^l(x^2-1)^l}{dx^l}$

$P_l^m(x) = [(1-x^2)^{m/2} / (2^l l!)] \frac{d^{m+l}(x^2-1)^l}{dx^{m+l}}$ ou fonction de Legendre associée, est un polynôme uniquement si m est pair.

L'équation en θ a donc pour solution Θ(θ) = P₁<sup>m</sup>(cosθ) fonction de Legendre associée
pour l entier ≥ 0 et pour m entier tel que - l ≤ m ≤ l

On a par exemple pour les premières fonctions associées de Legendre :

$$
P_0^0(\cos\theta) = 1
$$

$$
P_1^{-1}(\cos\theta) = - \frac{\sin\theta}{2}; P_1^0(\cos\theta) = \cos\theta; P_1^1(\cos\theta) = \sin\theta
$$

$$
P_2^{-2}(\cos\theta) = \frac{\sin^2\theta}{8}; P_2^{-1}(\cos\theta) = -\frac{\sin\theta \cos\theta}{2}; P_2^0(\cos\theta) = \frac{3 \cos^2\theta - 1}{2};
$$

$$
P_2^1(\cos\theta) = 3 \sin\theta \cos\theta; P_2^2(\cos\theta) = 3 \sin^2\theta
$$

Le produit $\Phi(\varphi) \Theta(\theta) = A e^{im\varphi} P_l^m(\cos\theta)$ est appelé <u>harmonique sphérique Y</u><sub>l</sub><sup>m</sup> (θ, φ), ce
sont des fonctions orthogonales (annexe 3), avec un facteur de normalisation A tel que

$$
\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} Y_l^m(\theta, \varphi) Y_{l,m'}(\theta, \varphi) \sin\theta \, d\theta \, d\varphi = \delta_{ll'} \delta_{mm'}
$$

$\delta_{ll'}$, $\delta_{mm'}$ sont les symboles de Kronecker. On a $0 \le \theta \le \pi$ et $0 \le \varphi \le 2\pi$.

$$
Y_l^m(\theta, \varphi) = (-1)^m \left[ \frac{(2l+1)}{(4\pi)} \right]^{1/2} \left[ \frac{\left(l-|m|\right)!}{\left(l+|m|\right)!} \right]^{1/2} e^{im\varphi} P_l^m(\cos\theta)
$$

Remarque 1 : $Y_l^{-m}(\theta, \varphi) = (-1)^m Y_l^m(\theta, \varphi)*$ ou * désigne la quantité conjuguée.

Remarque 2 : $Y_l^0(\theta, \varphi) = [(2l+1)/(4\pi)]^{1/2} P_l(\cos\theta)$

Forme des premières harmoniques sphériques :

$$
l=0, m=0 : \quad Y_0^0 (\theta, \phi) = 1/(4\pi)^{1/2}
$$

$$
l=1, m=0, \pm 1 : \quad Y_1^0 (\theta, \phi) = (3/4\pi)^{1/2} \cos\theta
$$

$$
Y_1^1 (\theta, \phi) = - (3/8\pi)^{1/2} \cos\theta e^{i\phi}
$$

$$
Y_{1^{-1}}^{1}(\theta, \varphi) = (3/8\pi)^{1/2} \cos\theta e^{-i\varphi}
$$

$$
l=2, m=0 : \quad Y_2^0 (\theta, \phi) = -(5/4\pi)^{1/2} \frac{3}{2} \sin^2\theta
$$

Avec cette solution angulaire, la partie radiale se transforme de la façon suivante :

$$
(1/rR) \frac{\partial^2(rR)}{\partial r^2} - \frac{l(l+1)}{r^2} + k^2 = 0 \text{ avec } k = \omega/C
$$

Faisons le changement de variable $x = k r$. Il vient :

$$
\frac{\partial^2 R}{\partial x^2} + \left(\frac{2}{x}\right) \frac{\partial R}{\partial x} + \left[1 - \frac{l(l+1)}{x^2}\right] R = 0, \text{ puis en multipliant par } x^2 :
$$

$$
x^2 \frac{\partial^2 R}{\partial x^2} + 2 x \frac{\partial R}{\partial x} + [x^2 - l(l+1)] R = 0
$$
Si l'on pose $R(x) = S(x) / x^{1/2}$, l'équation ci-dessus devient :

$$x^2 \frac{\partial^2 S}{\partial x^2} + x \frac{\partial S}{\partial x} + [x^2 - (l+1/2)^2] R = 0$$

Il s'agit d'une équation de Bessel demi entière (annexe 2) qui a pour solution

$S(x) = J_{l+1/2}(x)$, ce qui donne $R(x)$ :

$R(x) = x^{-1/2} J_{l+1/2}(x)$ avec :

$$J_{l+1/2}(x) = (-1)^l (2/\pi)^{1/2} x^{l+1/2} (1/x \frac{d}{dx})^l \left[\frac{\sin(x)}{x}\right]$$

Forme des premières fonctions de Bessel demi entières :

$$J_{1/2}(x) = [2/(\pi x)]^{1/2} \sin(x)$$

$$J_{3/2}(x) = [2/(\pi x)]^{1/2} [\sin(x)/x - \cos(x)]$$

On a donc pour la partie radiale $R(r) = (kr)^{-1/2} J_{l+1/2}(kr)$

Ainsi, l'équation de Helmholtz sphérique, périodique en en $(\theta, \varphi)$, a pour solution :

$$\Psi(r, \theta, \varphi) = \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{+l} A_{lm} (kr)^{-1/2} J_{l+1/2} (kr) Y_{lm} (\theta, \varphi)$$

$$\text{Et } f(r, \theta, \varphi, t) = \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{+l} A_{lm} (kr)^{-1/2} J_{l+1/2} (kr) Y_{lm} (\theta, \varphi) e^{i\omega t} \text{ avec } k = \omega/C$$

L'apparition de modes de vibration provient de conditions aux limites en $r = R$ sur la surface de la cavité. Si l'on prend $f(R, \theta, \varphi, t) = 0$, alors :

$$J_{l+1/2}(kR) = 0, \text{ d'où } kR = a_{l+1/2,n} \text{ zéro d'ordre } n \ge 1 \text{ de la fonction } J_{l+1/2}$$

Alors les modes de vibration sont donnés par $k_{ln} = \omega_{ln}/C = a_{l+1/2,n}/R$, l entier $n \ge 0$, $n \ge 1$.

Mode fondamental $l = 0, m = 0$ :

Comme $J_{1/2}(x) = [2/(\pi x)]^{1/2} \sin(x)$, les zéros de cette fonction sont $a_n = n\pi$.

Les modes sont $k_n = \omega_n/C$, $\omega_n = n \pi C/R = 2\pi v_n$ ; ils sont indépendants de $(\theta, \varphi)$

$$f(r, t) = \sum_{n \ge 1} A_n (n \pi r/R)^{-1/2} J_{1/2} (n \pi r/R) e^{in\pi Ct/R}$$

$$f(r, t) = \sum_{n \ge 1} A_n (2/\pi)^{1/2} \sin(n \pi r/R) (n \pi r/R) e^{in\pi Ct/R} \text{ est une somme de sinus cardinaux}$$

$$\text{Le fondamental } n = 1 \text{ donne } \omega_1 = \pi C/R = 2\pi v_1$$

Pour une cavité de la taille du Soleil, $R = 7 \times 10^8$ m et $C = 1.5 \times 10^5$ m/s, vitesse du son pour un gaz d'hydrogène à la température de $10^6$ K. La vibration est par exemple celle de la pression (quantité scalaire). On en déduit une fréquence fondamentale de vibration $v_1 = 1.5 \times 10^{-4}$ Hz, une fréquence très basse qui nécessite de longues observations continues. Ce modèle est cependant trop simpliste pour une étoile, car la célérité des ondes C est très loin d'être une constante dans le volume de rayon R, en raison de la stratification en température. En effet, une étoile est très hétérogène, dans le cas du Soleil la température varie de $1.5 \times 10^7$ K au centre à 6000 K en surface, un rapport proche de 1000.
## Modes d'ordre élevé (l grand) :

Comme $J_{l+1/2}(x) \rightarrow (2 / \pi x)^{1/2} \sin[x - l\pi/2]$, les zéros ont pour valeur asymptotique :
$a_{l+1/2,n} \approx l\pi/2 + n\pi$, qui tend vers $n\pi$ lorsque $n$ est grand.

$$ \omega_{ln} \approx (l/2 + n) \pi C/R = 2\pi v_{ln} $$

En ce qui concerne la solution **générale** en $(k_{ln}r)^{-1/2} J_{l+1/2}(k_{ln}r)$ où $k_{ln} = \omega_{ln}/C = a_{l+1/2,n}/R$ pour la partie radiale, par hypothèse nulle en $r=R$, on l'a représentée sur les figures ci-dessous pour $l=0, n=1,2,3,4,5$ et $l=1, n=1,2,3,4,5$. Elle est multipliée par les harmoniques sphériques $Y_l^m(\theta, \phi)$, où $-l \le m \le l$, qui sont représentées également page suivante.

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Partie radiale en fonction de $r/R$ pour $l=0, n=1,2,3,4,5$ (haut) et $l=1, n=1,2,3,4,5$ (bas).</figcaption></figure>
<figure><img src="image_12.png" /></figure>

Partie angulaire pour l=0,1,2,3,4 (de bas en haut) et -l ≤ m ≤ l (de gauche à droite).
Pour chaque imagette, en abscisse 0 ≤ φ ≤ 2π et en ordonnée 0 ≤ θ ≤ π.

Film d'accompagnement : harmoniques.mp4

Modes $A_{lmn}$ ($k_{ln}r)^{-1/2}$ $J_{l+1/2}(k_{ln}r)$ $P^m(\cos\theta) \cos(m\varphi) \cos(\omega_{ln}t)$ avec $k_{ln} = \omega_{ln}/C = a_{l+1/2,n}/R$

Modes (l,m,n) pour l=0,1,2,3,4 de bas en haut

Pour chaque imagette, en abscisse 0 ≤ φ ≤ 2π, et 0 ≤ θ ≤ π en ordonnée.

De bas en haut et de gauche à droite, les modes (l,m,n) :

(0,0,1), (0,0,2), (0,0,3), (0,0,4), (0,0,5), (0,0,6), (0,0,7), (0,0,8), (0,0,9), (0,0,10)
oscillant à la pulsation $\omega_{0n} = C a_{0n}/R$ où $a_{0n}$ est le zéro d'orde n de la fonction $J_{1/2}$

(1,0,1), (1,0,2), (1,0,3), (1,0,4), (1,0,5), (1,1,1), (1,1,2), (1,1,3), (1,1,4), (1,1,5) oscillant
à la pulsation $\omega_{1n} = C a_{1n}/R$ où $a_{1n}$ est le zéro d'orde n de la fonction $J_{3/2}$

(2,0,1), (2,0,2), (2,0,3), (2,1,1), (2,1,2), (2,1,3), (2,2,1), (2,2,2), (2,2,3), oscillant à la
pulsation $\omega_{2n} = C a_{2n}/R$ où $a_{2n}$ est le zéro d'orde n de la fonction $J_{5/2}$

(3,0,1), (3,0,2), (3,1,1), (3,1,2), (3,2,1), (3,2,2), (3,3,1), (3,3,2) oscillant à la pulsation
$\omega_{3n} = C a_{3n}/R$ où $a_{3n}$ est le zéro d'orde n de la fonction $J_{7/2}$

(4,0,1), (4,0,2), (4,1,1), (4,1,2), (4,2,1), (4,2,2), (4,3,1), (4,3,2), (4,4,1), (4,4,2) oscillant
à la pulsation $\omega_{4n} = C a_{4n}/R$ où $a_{4n}$ est le zéro d'orde n de la fonction $J_{9/2}$

Mode fondamental l = 0 à condition initiale donnée par une fonction de r/R :

$$
f(r, t) = \sum_{n \ge 1} A_n (a_n r/R)^{-1/2} J_{1/2}(a_n r/R) e^{in\pi C t/R} \quad (a_n \text{ zéros de } J_{1/2}, n \text{ entier } \ge 1)
$$

$$
f(r, t) = \sum_{n \ge 1} A_n (2/\pi)^{1/2} \sin(n \pi r/R) / (n \pi r/R) e^{in\pi C t/R} \quad \text{car } a_n = n \pi
$$

$$
\text{et en } t = 0, \text{ on a } f(r,0) = \sum_{n} A_{n} (a_{n} r/R)^{-1/2} J_{1/2}(a_{n} r/R) = g(r) \text{ fonction donnée}
$$

Il s'agit du développement de la condition initiale $f(r,0)$ en série de Fourier-Bessel
(annexe 2). Pour un mode m quelconque et de valeur réelle, on a :

$$
g(r) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n J_m(a_{mn} r/R) r^{1/2} \quad \text{pour } 0 \le r \le R \quad (a_{mn} \text{ zéros de } J_m, n \text{ entier } \ge 1)
$$

$$
\text{où } c_n = \left[ \frac{2}{(R J'_m(a_{mn}))^2} \right] \int_0^R r^{3/2} g(r) J_m(a_{mn} r/R) dr
$$

$J'_m$ est la dérivée première de $J_m$. On a toujours $J'_m(a_{mn}) = J_{m-1}(a_{mn}) = -J_{m+1}(a_{mn})$, ce qui permet un calcul numérique de $J'_m$ à partir de $J_{m-1}$ ou de $J_{m+1}$.
A noter que les fonctions $J_m(a_{mn} r/R)/r^{1/2}$ et $J_m(a_{mp} r/R))/r^{1/2}$ sont orthogonales pour le poids $r^2$ (provient de l'élément de volume $dV = 4\pi r^2 dr$ en coordonnées sphériques) car :

$$ \int_0^R r J_m(a_{mn} r/R) J_m(a_{mp} r/R) dr = (R^2/2) J'_m(a_{mn})^2 \delta_{np} = (R^2/2) J_{m+1}(a_{mn})^2 \delta_{np} $$

Ici avec $m = 1/2$, $J_{1/2}(x) = [2/(\pi x)]^{1/2} \sin(x)$, les zéros de cette fonction sont $a_n = n\pi$ et les modes sont $k_n = \omega_n/C$, $\omega_n = n\pi C/R$

$$ g(r) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n J_{1/2}(n\pi r/R)/r^{1/2} \quad \text{pour } 0 \le r \le R \quad (\text{n entier } \ge 1) $$

$$ \text{où } c_n = \left[ \frac{2}{R} \int_0^{R} \left( \frac{2}{R} J'_{1/2}(n\pi) \right)^2 r^{3/2} g(r) J_{1/2}(n\pi r/R) dr \right]^{1/2} $$

Avec $J_{1/2}(n\pi r/R) = [2R/(n\pi^2 r)]^{1/2} \sin(n\pi r/R)$, on en déduit :

$$ g(r) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \left[ \frac{2R}{n\pi^2} \right]^{1/2} \frac{\sin(n\pi r/R)}{r} \quad \text{pour } 0 \le r \le R \quad (\text{n entier } \ge 1) $$

$$ \text{où } c_n = \left[ \frac{2\sqrt{2}}{\pi \sqrt{n} R \sqrt{R}} J'_{1/2}(n\pi)^2 \right] \int_0^R r g(r) \sin(n\pi r/R) dr $$

Comme $J'_{1/2}(x) = [2/(\pi x)]^{1/2} (\cos(x) - \sin(x)/2x)$,

$J'_{1/2}(n\pi) = [2/(\pi^2 n)]^{1/2} \cos(n\pi) = (-1)^n \frac{\sqrt{2}}{(\pi\sqrt{n})}$, d'où :

$$ \text{où } c_n = \left[ \frac{\pi \sqrt{2n}}{R} \right] \int_0^R r g(r) \sin(n\pi r/R) dr $$

Prenons à titre d'exemple une quantité telle qu'en $t = 0$, son expression soit de la forme $g(r)=1 - r/R$, donc égale à 1 au centre et nulle en périphérie. On a choisi cette condition initiale de manière à pouvoir calculer analytiquement et simplement les coefficients $c_n$ ci-dessus, l'intégrale s'y prêtant bien pour cette fonction simple.

Tous calculs faits, et après plusieurs intégrations par parties pour réduire le degré du polynôme $(r - r^2/R)$ sous l'intégrale, on obtient :

$$ C_n = \frac{2 \int_0^\infty (2R) (1 - \cos(n\pi))}{n^2 \int_0^\infty \pi^2} $$

$$ g(r) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n\pi^3} \left(1 - \cos(n\pi)\right) \frac{\sin(n\pi r/R)}{r/R} \quad \text{pour } 0 \le r \le R \quad (\text{n entier } \ge 1) $$

C'est une somme de sinus cardinaux, dont l'amplitude varie en $1/n^3$, cette série converge donc en quelques termes avec une bonne approximation. La vibration correspondante est une somme de modes $\omega_n = n\pi C/R$ qui s'exprime alors de la façon suivante :

$$ f(r,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n\pi^3} \left(1 - \cos(n\pi)\right) \left[ \frac{\sin(n\pi r/R)}{r/R} \right] \cos(n\pi Ct/R) $$

si n est pair, $1 - \cos(n\pi) = 0$

si n est impair, $1 - \cos(n\pi) = 2$, alors en posant $n = 2p+1$, p entier $\ge 0$, on trouve :

$$ f(r,t) = \sum_{p=0}^{\infty} \frac{8}{(2p+1)\pi^3} \left\{ \frac{\sin[(2p+1)\pi r/R]}{r/R} \right\} \cos\left[(2p+1)\pi Ct/R\right] $$

On a représenté sur le graphique ci-dessous la fonction $f(r,0)$ en noir et sa reconstitution approchée par sommation de quelques termes impairs de la série de Fourier-Bessel, à savoir $n = 1$ (orange), $n= 1 + 3$ (rose), $n= 1 + 3 + 5$ (bleu clair), $n = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11$ (bleu foncé), la convergence est rapide car les termes sont en $1/n^3$.
<figure><img src="image_13.png" /></figure>

## Film d'accompagnement :

### Cavite-fourier-bessel.mp4

Mode fondamental $l = 0, m = 0$ de vibration d'une cavité telle que, à l'état initial $t = 0$, son élongation (à symétrie sphérique, indépendante des angles) soit de forme simple :
$f(r) = 1 - r/R$

ce qui permet un calcul analytique des coefficients de Fourier-Bessel, l'élongation $f(r,t)$ étant représentée par la série de Fourier-Bessel ci dessus.

Le graphique animé représente l'élongation $f(r,t)$ en fonction de $r$, pour $t$ variant, avec pour condition aux limites $f(R,t) = 0$ en $r = R$.

## IV - 2 - Onde stationnaire dans un cylindre à parois conductrices (modes transverses électrique TE et magnétique TM)

Considérons une onde électromagnétique transversale se propageant dans la direction Oz au sein d'un cylindre creux et fermé en $z = 0$ et $z = l$, d'axe Oz, de rayon $R$ et de longueur $l$. Les parois sont des conducteurs parfaits.

Dans un conducteur parfait, comme le cylindre en question, les champs électrique et magnétique sont nuls. Les équations de Maxwell donnent les relations de passage entre l'intérieur de la cavité et les parois. Côté cavité, on a sur la surface du cylindre :

- Pour la composante normale du champ électrique : $E_n = \sigma/\epsilon_0$

- Pour la composante tangentielle du champ électrique : $E_t = 0$

- Pour la composante normale du champ magnétique : $B_n = 0$

- Pour la composante tangentielle du champ magnétique : $B_t = \mu_0 j_s$

Sur l'interface avec le cylindre, il peut y avoir des charges électriques surfaciques $\sigma$ (unité $C/m^2$) et un courant de surface $j_s$ (unité $A/m$).
En coordonnées cylindriques, on aura ainsi sur les parois : $E_{\theta}(R, \theta, z, t) = 0$ pour $r = R$ et $E_r(r, \theta, 0, t) = E_r(r, \theta, l, t) = 0$ pour $z = 0$ et $z = l$.

Dans notre cas, on pose en coordonnées cylindriques pour le champ TE :

$$E_r(r, \theta, z, t) = E_r(r) e^{i(\omega t - kz + m\theta)}$$

$$E_{\theta}(r, \theta, z, t) = E_{\theta}(r) e^{i(\omega t - kz + m\theta)}$$

$$E_z = 0$$

On a donc imposé une périodicité de $2\pi$ selon $\theta$, m étant un entier positif ou nul.

Dans le cylindre, cette onde progressive obéit aux équations suivantes :

$$\text{div}(E) = 0$$

$$\text{rot}(\text{rot}(E)) + (1/C^2) \frac{\partial^2 E}{\partial t^2} = 0 \quad \text{équation de propagation}$$

$$\text{div}E = (1/r) \frac{\partial(rE_r)}{\partial r} + (1/r) \frac{\partial E_{\theta}}{\partial \theta} = 0 \quad \text{donne } \frac{\partial E_{\theta}}{\partial \theta} = - \frac{\partial(rE_r)}{\partial r}$$

$$\text{rot}E = \left[ - \frac{\partial E_{\theta}}{\partial z}, \frac{\partial E_r}{\partial z}, \frac{1}{r} \left( \frac{\partial(rE_{\theta})}{\partial r} - \frac{\partial E_r}{\partial \theta} \right) \right]$$

La première composante de $\text{rot}(\text{rot}(E))$ dans la direction radiale s'écrit en tenant compte du fait que $\frac{\partial E_{\theta}}{\partial \theta} = - \frac{\partial(rE_r)}{\partial r}$ :

$$(1/r^2) \left\{ \frac{\partial[r \frac{\partial(rE_r)}{\partial r}]}{\partial r} + \frac{\partial^2 E_r}{\partial \theta^2} \right\} + \frac{\partial^2 E_r}{\partial z^2} - (1/C^2) \frac{\partial^2 E_r}{\partial t^2} = 0$$

$$\text{Avec } \frac{\partial^2 E_r}{\partial z^2} = -k^2 E_r, \quad \frac{\partial^2 E_r}{\partial \theta^2} = -m^2 E_r, \text{ et } \frac{\partial^2 E_r}{\partial t^2} = -\omega^2 E_r$$

On obtient finalement une équation pour le produit $(rE_r)$ :

$$r^2 \frac{\partial^2(rE_r)}{\partial r^2} + r \frac{\partial(rE_r)}{\partial r} + \left[ \left( \frac{\omega^2}{C^2} - k^2 \right) r^2 - m^2 \right] (rE_r) = 0$$

Il s'agit d'une équation de Bessel (annexe 2) ayant pour solution :

$$E_r = A J_m\left[\left(\frac{\omega^2}{C^2} - k^2\right)^{1/2} r\right] / r \quad \text{avec } m \text{ entier } \ge 0$$

Et finalement, on forme une solution réelle possible où A est une constante :

$$E_r(r, \theta, z, t) = (A/r) J_m\left[\left(\frac{\omega^2}{C^2} - k^2\right)^{1/2} r\right] \sin(m\theta) \cos(\omega t - kz) \quad \text{avec } m \text{ entier } \ge 0$$

Et de $\frac{\partial E_{\theta}}{\partial \theta} = - \frac{\partial(rE_r)}{\partial r}$, on obtient :

$$E_{\theta}(r, \theta, z, t) = (A/m) \left( \frac{\omega^2}{C^2} - k^2 \right)^{1/2} J'_m\left[ \left( \frac{\omega^2}{C^2} - k^2 \right)^{1/2} r \right] \cos(m\theta) \cos(\omega t - kz)$$

Dans cette expression $J'_m$ désigne la dérivée de $J_m$.

Appliquons maintenant la condition aux limites sur le cylindre en $r = R$, à savoir la composante tangentielle au cylindre nulle, soit $E_{\theta}(R, \theta, z, t) = 0$. Il vient :

$$J'_m\left[\left(\frac{\omega^2}{C^2} - k^2\right)^{1/2} R\right] = 0$$

C'est-à-dire $\left[\left(\frac{\omega^2}{C^2} - k^2\right)^{1/2} R = a'_{mn}, a'_{mn}$ étant le zéro d'ordre n de la dérivée $J'_m$ de la fonction de Bessel $J_m$.

Alors $\frac{\omega^2}{C^2} = k^2 + (a'_{mn}/R)^2$ constitue la relation de dispersion des ondes.
Le champ électrique s'exprimera donc sous la forme :

$$E_r(r, \theta, z, t) = m \left( \frac{R}{a'mn} \right) \left( \frac{A}{r} \right) J_m \left( a'mn \frac{r}{R} \right) \sin(m\theta) \cos(\omega t - kz) \quad \text{avec } m \text{ entier } \ge 0$$

$$E_{\theta}(r, \theta, z, t) = A J'_{m}(a'mn \frac{r}{R}) \cos(m\theta) \cos(\omega t - k_{mn}z) \quad \text{avec } k = \left[ \frac{\omega^2}{C^2} - (a'mn/R)^2 \right]^{1/2}$$

$$E_z = 0$$

Remarque pour le calcul numérique de la dérivée $J'_m$ : $J'_m = m J_m / x - J_{m+1}$

C'est une onde progressive transverse électrique (TE). Elle n'existe que si $\omega/C > a'mn/R$ qui constitue la pulsation de coupure du mode (m,n).

Lorsque $a'mn \frac{r}{R} \gg 1$, on peut employer l'expression asymptotique de $J_m$ :

$J_m(a'mn \frac{r}{R}) \approx (2R / \pi a'mn \frac{r}{R})^{1/2} \cos[a'mn \frac{r}{R} - (\pi/2)(n+1/2)]$ où $a'mn$ est le zéro d'ordre n de la dérivée $J'_m$ de $J_m$.

Le produit $\cos[a'mn \frac{r}{R} - (\pi/2)(n+1/2)] \cos(\omega t - kz)$ se recombine sous la forme d'une somme de deux cosinus :

$$\frac{1}{2} \cos[\omega t - kz + a'mn \frac{r}{R} - (\pi/2)(n+1/2)] + \frac{1}{2} \cos[\omega t - kz - a'mn \frac{r}{R} + (\pi/2)(n+1/2)]$$

Il s'agit de la superposition de deux ondes planes, l'une de vecteur d'onde $k_1(-a'mn/R, 0, k)$ et l'autre de vecteur d'onde $k_2(a'mn/R, 0, k)$, l'un correspondant à une onde incidente ($k_2$) sur la paroi du cylindre, l'autre à une onde réfléchie ($k_1$).

Il existe des modes d'ondes stationnaires, dans ce cas, $k = p \pi$ où p est un nombre entier positif ou nul ; leur expression est avec m, p entiers et $a'mn$ zéro de $J'_m$ :

$$E_r(r, \theta, z, t) = A \left( \frac{mR}{a'mn} \right) \left( \frac{1}{r} \right) J_m \left( a'mn \frac{r}{R} \right) \sin(m\theta) \sin(p\pi z/l) \cos(\omega t)$$

$$E_{\theta}(r, \theta, z, t) = A J'_{m}(a'mn \frac{r}{R}) \cos(m\theta) \sin(p\pi z/l) \cos(\omega t)$$

$$E_z = 0$$

La relation de dispersion définit des modes discrets : $\omega_{mnp}^2/C^2 = (p\pi/l)^2 + (a'mn/R)^2$

Le champ magnétique associé s'obtient par l'équation de Maxwell Faraday :

$\text{rot}(\mathbf{E}) = - \partial \mathbf{B} / \partial t$, ce qui donne après quelques calculs fastidieux :

$$B_r(r, \theta, z, t) = (A/\omega) (p\pi/l) J'_m(a'mn \frac{r}{R}) \cos(m\theta) \cos(p\pi z/l) \sin(\omega t)$$

$$B_{\theta}(r, \theta, z, t) = - (A/\omega) (mR/a'mn) (p\pi/l) (1/r) J_m(a'mn \frac{r}{R}) \sin(m\theta) \cos(p\pi z/l) \sin(\omega t)$$

$$B_z(r, \theta, z, t) = - (A/\omega) \left[ \begin{aligned} & (a'mn/R) J''_m(a'mn \frac{r}{R}) + (1/r) J'_m(a'mn \frac{r}{R}) \\ & - (m^2 R/r^2 a'mn) J_m(a'mn \frac{r}{R}) \end{aligned} \right] \cos(m\theta) \sin(p\pi z/l) \sin(\omega t)$$

Remarque pour le calcul numérique des dérivées :

$$J'_m = m J_m / x - J_{m+1} \quad \text{et} \quad J''_m = m(m-1) J_m / x^2 - (2m+1) J_{m+1} / x + J_{m+2}$$
Dans le mode fondamental m = 0, on obtient :

$E_r = 0$

$$E_{\theta}(r,z,t) = A J'_{0}(a'_{0n} r/R) \sin(p\pi z/l) \cos(\omega t)$$

$E_z = 0$

$$B_r(r,z,t) = (A/\omega) (p\pi/l) J'_{0}(a'_{0n} r/R) \cos(p\pi z/l) \sin(\omega t)$$

$B_{\theta} = 0$

$$B_z(r,z,t) = -(A/\omega) [(a'_{0n}/R) J''_{0}(a'_{0n} r/R) + (1/r) J'_{0}(a'_{0n} r/R)] \sin(p\pi z/l) \sin(\omega t)$$

Dans ce cas particulier, on peut exprimer les dérivées sachant que :

$J'_{0}(a'_{0n} r/R) = -J_{1}(a'_{0n} r/R)$

$$J''_{0}(a'_{0n} r/R) = J_{2}(a'_{0n} r/R) - J_{1}(a'_{0n} r/R) [R/(a'_{0n} r)]$$

Les a'0n zéros de J'0 sont donc les zéros a1n de J1 puisque J'0 = -J1

$E_r = 0$

$$E_{\theta}(r,z,t) = -A J_{1}(a_{1n} r/R) \sin(p\pi z/l) \cos(\omega t)$$

$E_z = 0$

$$B_r(r,z,t) = -(A/\omega) (p\pi/l) J_{1}(a_{1n} r/R) \cos(p\pi z/l) \sin(\omega t)$$

$B_{\theta} = 0$

$$B_z(r,z,t) = -(A/\omega) [(a_{1n}/R) J_{2}(a_{1n} r/R) - (2/r) J_{1}(a_{1n} r/R)] \sin(p\pi z/l) \sin(\omega t)$$

Avec p entier et a1n zéros de J1, à savoir pour n variant de 1 à 9 :

$a_{1n} = 3.832, 7.016, 10.173, 13.324, 16.471, 19.616, 22.760, 25.904, 29.047$

L'onde TE n'est pas transverse magnétique.
<figure><img src="image_14.png" /></figure>

Mode TE fondamental m=0, fonctions $J_1(a_{1n} r/R)$ en trait continu et $J_2-2J_1/x$ pour $x = (a_{1n} r/R)$ en tirets, avec $n=1$ (noir), 2 (bleu clair), 3 (bleu foncé), 4 (rouge). $a_{1n}$ est zéro d'ordre $n$ de $J_1$.

A l'inverse, il existe des modes transverses magnétiques (TM) mais qui ne sont pas transverses électriques, utilisés par exemple dans les accélérateurs linéaires de particules pour avoir un champ accélérateur selon Oz.

Voici le mode TM, le calcul étant présenté en détails dans :

https://cnrs.hal.science/hal-05391895

$$B_r(r,\theta,z,t) = A \sin(J_m(a_{mn}r/R)/r) \sin(m\theta) \cos(p\pi z/L) \sin(\omega t)$$

$$B_{\theta}(r,\theta,z,t) = A (a_{mn}/R) J'_{m}(a_{mn}r/R) \cos(m\theta) \cos(p\pi z/L) \sin(\omega t)$$

$$B_z = 0$$

On obtient le champ électrique $\mathbf{E}$ par l'équation de Maxwell Ampère $\mathbf{rot}(\mathbf{B}) = (1/C^2) \partial\mathbf{E}/\partial t$.

$$E_r(r,\theta,z,t) = A \left( \frac{p \pi C^2}{\omega} \right) (a_{mn}/R) J'_m(a_{mn}r/R) \sin(m\theta) \sin(p\pi z/l) \cos(\omega t)$$

$$E_{\theta}(r,\theta,z,t) = A \left( \frac{p \pi m C^2}{\omega} \right) \left[ J_m(a_{mn}r/R) / r \right] \sin(m\theta) \sin(p\pi z/l) \cos(\omega t)$$

$$E_z(r,\theta,z,t) = A \left(\frac{C^2}{\omega}\right) (a_{mn}/R)^2 J_m(a_{mn}r/R) \cos(m\theta) \cos(p\pi z/l) \cos(\omega t)$$

Les $a_{mn}$ sont les zéros de $J_m$.

On rappelle que $J'_m = m J_m / x - J_{m+1}$
Dans le mode fondamental m = 0, on obtient avec $J'_0 = -J_1$ et $a_{0n}$ zéros de $J_0$ :

$$
\begin{cases}
B_r = 0 \\
\\
B_\theta(r,z,t) = -A \left(\frac{a_{0n}}{R}\right) J_1\left(\frac{a_{0n} r}{R}\right) \cos\left(\frac{p\pi z}{L}\right) \sin(\omega t) \\
\\
B_z = 0
\end{cases}
\\
\begin{cases}
E_r = 0 \\
\\
E_\theta = 0 \\
\\
E_z(r,z,t) = A \left(\frac{C^2}{\omega}\right) \left(\frac{a_{0n}}{R}\right)^2 J_0\left(\frac{a_{0n} r}{R}\right) \cos\left(\frac{p\pi z}{l}\right) \cos(\omega t)
\end{cases}
$$

Avec p entier et a₀ₙ zéros de J₀, à savoir pour n variant de 1 à 9 :

$a_{0n} = 2.405, 5.520, 8.654, 11.792, 14.931, 18.071, 21.212, 24.352, 27.493.$

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

Mode TM fondamental m=0, fonctions J₀(a₀ₙ r/R) en trait continu et J₁(a₀ₙ r/R) en tirets, pour n=1 (noir), 2 (bleu clair), 3 (bleu foncé), 4 (rouge). a₀ₙ est zéro d'ordre n de J₀.

A titre d'exemple pour une cavité accélératrice avec p = 0 en n = 1 :

$$
E_z(r,t) = A \left(\frac{C^2}{\omega}\right) \left(\frac{a_{01}}{R}\right)^2 J_0\left(\frac{a_{01} r}{R}\right) \cos(\omega t)
$$

$a_{01} \approx 2.405$ est le premier zéro de la fonction de Bessel $J_0$. Le mode fondamental est :

$$
\omega = C a_{01} / R \approx 2.405 C / R
$$

Pour une cavité de rayon R = 0.1 m, on trouve ω = 7.2 10⁹ rd/s ou une fréquence v = ω/2π de 1.14 GHz (domaine hyperfréquence ou micro-onde). La longueur d'onde associée λ = C/v vaut 0.26 m. On doit avoir pour la longueur de la cavité l = CT/2 = Cπ/ω.
# ANNEXE 1

## COMPLEMENTS SUR LES SERIES DE FOURIER DE FONCTIONS PERIODIQUES

La série de Fourier d'une fonction périodique $f(x)$ de période $T$ est donnée par :

$$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{\frac{2\pi nx}{T}}$$

avec

$$c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) e^{-\frac{2\pi nx}{T}} dx, \text{ et n entier relatif}$$

la formulation classique en sinus et cosinus, avec les coefficients $a_n$ et $b_n$ est :

$$f(x) = a_0/2 + \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \cos(2\pi nx/T) + \sum_{n=1}^{+\infty} b_n \sin(2\pi nx/T)$$

$$\text{avec } c_n = \frac{1}{2}(a_n - i b_n) \text{ pour } n \ge 0 \text{ et } c_{-n} = \frac{1}{2}(a_n + i b_n) \text{ pour } n \ge 0$$

$$\text{soit encore } a_n = c_n + c_{-n} \text{ pour } n \ge 0 \text{ et } b_n = i (c_n - c_{-n}) \text{ pour } n \ge 0$$

$$a_0 = 2c_0 = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) dx$$

$a_0/2$ est la valeur moyenne de la fonction $f(x)$ entre $-T/2$ et $T/2$ ; $b_0$ est nul.

$$a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \cos(2\pi nx/T) dx \quad \text{et} \quad b_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \sin(2\pi nx/T) dx \quad \text{pour } n \ge 0$$

**Théorème de Parseval :**

$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n|^2 = \frac{1}{4} a_0^2 + \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n^2 + b_n^2) = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} |f(x)|^2 dx \quad (\text{énergie des harmoniques})$$

Si $f(x)$ est **paire**, elle se développe en cosinus ($b_n = 0$) ; si elle est **impaire**, sa moyenne est nulle et elle se développe en sinus ($a_n = 0$).

Si $f(x)$ est une fonction connue et définie sur l'intervalle $[0, T]$, on peut former une fonction paire sur l'intervalle $[-T, T]$ par symétrie par rapport à l'axe Oy ou une fonction impaire sur l'intervalle $[-T, T]$ par symétrie par rapport à l'origine, de moyenne nulle, avec $f(0) = 0$. Celà définit alors une fonction périodique de période $2T$.

$$\text{Pour } f(x) \text{ paire sur } [-T, T] : f(x) = a_0/2 + \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \cos(\pi nx/T)$$

$$\text{Où } a_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \cos(\pi nx/T) dx \quad \text{pour } n \text{ entier } \ge 0$$

$$\text{Pour } f(x) \text{ impaire sur } [-T, T] : f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} b_n \sin(\pi nx/T) \quad \text{pour } n \text{ entier } \ge 1$$

$$\text{Où } b_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \sin(\pi nx/T) dx$$

Les fonctions $\sin(\pi nx/T)$ sont **orthogonales** : $(1/T) \int_0^T \sin(\pi nx/T) \sin(\pi nx/T) dx = \frac{1}{2} \delta_{mn}$
Il en est de même pour les $\cos(\pi nx/T)$.
# ANNEXE 2

## COMPLEMENTS SUR LES FONCTIONS DE BESSEL

Les fonctions de Bessel sont solutions de l'équation différentielle :

$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - m^2) y = 0$, où m est un nombre réel quelconque

ayant pour solution $J_m(x) = (x/2)^m \sum_{p=0}^{\infty} (-1)^p \frac{x^{2p}}{(2^p p! (m+p)!)^p}$

Comportement asymptotique, quand $x \to \infty$

$$J_m(x) \to (2 / \pi x)^{1/2} \cos[x - (\pi/2)(m + 1/2)]$$

D'où $J'_m(x) \to - (2 / \pi x)^{1/2} \sin[x - (\pi/2)(m + 1/2)]$ (J' dérivée première, déphasage $1/2 \pi$)

et $J''_m(x) \to - (2 / \pi x)^{1/2} \cos[x - (\pi/2)(m + 1/2)] = - J_m(x)$ (J'' dérivée seconde)

donc quand $x \to \infty$, $J_0(x) \to (2 / \pi x)^{1/2} \cos[x - (\pi/4)]$ et $J_1(x) \to (2 / \pi x)^{1/2} \cos[x - (3\pi/4)]$

Comportement à l'origine, quand $x \to 0$

$$J_m(x) \approx (x/2)^m / m!$$

donc $J_0(x) \to 1$, $J_m(x) \to 0$ pour $m \ge 1$, et par exemple $J_1(x) \approx x/2$

**Propriété générale des fonctions de Bessel :**

$dJ_m/dx = J'_m = J_{m-1} - m J_m/x$ et $dJ_m/dx = J''_m = m J_m/x - J_{m+1}$

On en déduit pour la dérivée seconde : $J'''_m = m(m-1) J_m/x^2 - (2m+1)J_{m+1}/x + J_{m+2}$

Dans le cas particulier où $m = 0, J'_0 = -J_1$. Les zéros de $J_1$ annulent la dérivée de $J_0$. Pour la dérivée seconde, $J''_0 = -J_1/x + J_2$

Désignons par $a_{mn}$ ($n \ge 1$) les zéros des fonctions $J_m$. Des relations ci-dessus, il vient :

$J'_m(a_{mn}) = J_{m-1}(a_{mn})$ et $J'_m(a_{mn}) = -J_{m+1}(a_{mn})$ où $J'_m$ est la dérivée de $J_m$

**Fonctions de Bessel d'indice entier et demi entier :**

Les fonctions de Bessel d'indice m entier ($m = 0, 1, 2$ ...) se rencontrent dans la partie radiale des problèmes à symétrie cylindrique, les fonctions à indice demi entier ($m = 1/2, 3/2, 5/2, ...$) se trouvant en symétrie sphériques.

Voici le comportement **asymptotique** lorsque $x \to \infty$ des premières fonctions de Bessel :

$J_0(x) \to (2 / \pi x)^{1/2} \cos[x - (\pi/4)]$ \quad zéros : $3/4 \pi + n\pi$

$J_{1/2}(x) = (2 / \pi x)^{1/2} \sin(x)$ \quad **vraie valeur** \quad zéros : $n\pi$

$J_1(x) \to (2 / \pi x)^{1/2} \cos[x - (3\pi/4)]$ \quad zéros : $1/4 \pi + n\pi$

$J_{3/2}(x) \to - (2 / \pi x)^{1/2} \cos(x)$ \quad zéros : $1/2 \pi + n\pi$
$$
J_2(x) \rightarrow - (2 / \pi x)^{1/2} \cos[x - (\pi/4)] = -J_0(x)
$$

$$
J_{5/2}(x) \rightarrow - (2 / \pi x)^{1/2} \sin(x) = - J_{1/2}(x)
$$

$$
J_3(x) \rightarrow - (2 / \pi x)^{1/2} \cos[x - (3\pi/4)] = -J_1(x)
$$

$$
J_{7/2}(x) \rightarrow (2 / \pi x)^{1/2} \cos(x) = -J_{3/2}(x)
$$

$$
\text{zéros : } \frac{3}{4} \pi + n\pi
$$

$$
\text{zéros : } n\pi
$$

$$
\text{zéros : } \frac{1}{4} \pi + n\pi
$$

$$
\text{zéros : } \frac{1}{2} \pi + n\pi
$$

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

Fonctions de Bessel Jm(x) pour m entier variant de 0 à 4 (J₀ en rouge, J₁ en jaune, J₂ en vert, J₃ en bleu clair, J₄ en bleu foncé). Seule J₀ vaut 1 à l'origine.

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

Fonction de Bessel J0, sa dérivée première (rouge) et seconde (bleu), et leurs zéros
<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>Fonction de Bessel J1, sa dérivée première (rouge) et seconde (bleu), et leurs zéros</figcaption></figure>

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Fonction de Bessel J2, sa dérivée première (rouge) et seconde (bleu), et leurs zéros</figcaption></figure>

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>Fonction de Bessel J3, sa dérivée première (rouge) et seconde (bleu), et leurs zéros</figcaption></figure>
## Fonctions de Bessel d'indice demi entier, formulation spécifique en sin/cos :

Les fonctions de Bessel d'indice demi entier ($m = 1/2, 3/2, 5/2$...) se rencontrent dans la partie radiale des problèmes à symétrie sphérique impliquant l'opérateur Laplacien.

Si on pose $m = l+1/2$ avec $l$ entier positif ou nul, les fonctions demi entières sont :

$$J_{l+1/2}(x) = (-1)^l (2/\pi)^{1/2} x^{l+1/2} (1/x \, \text{d}/\text{dx})^l [\sin(x)/x]$$

dont le comportement asymptotique est :

$$J_{l+1/2}(x) \rightarrow (2 / \pi x)^{1/2} \sin[x - l \pi / 2]$$

donc quand $x \rightarrow \infty$, $J_{1/2}(x) \rightarrow (2 / \pi x)^{1/2} \sin(x)$ et $J_{3/2}(x) \rightarrow (2 / \pi x)^{1/2} \cos(x)$

A l'origine, quand $x \rightarrow 0$, $J_{1/2}(x) \approx (x/2)^{1+1/2} / (l+1/2)!$ avec $(1/2)! = 1/2 \pi^{1/2}$

$$\text{donc } J_{1/2}(x) \approx (2x/\pi)^{1/2} \text{ et } J_{1}(x) \approx x^{3/2} (2/\pi)^{1/2}$$

### Forme des premières fonctions de Bessel demi entières :

$$J_{1/2}(x) = [2/(\pi x)]^{1/2} \sin(x)$$

$$J_{3/2}(x) = [2/(\pi x)]^{1/2} [\sin(x)/x - \cos(x)]$$

L'équation différentielle suivante se rencontre dans l'équation de Helmholtz :

$$d^2y/dx^2 + (2/x) dy/dx + [1 - l((l+1)/x^2)] y = 0 \text{ avec } l \text{ entier positif ou nul,}$$

Elle a pour solution $y(x) = J_{l+1/2}(x) / x^{1/2}$

<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>Fonctions de Bessel $J_m(x)$ pour $m$ demi entier variant de 0.5 à 4.5 ($J_{1/2}$ en rouge, $J_{3/2}$ en jaune, $J_{5/2}$ en vert, $J_{7/2}$ en bleu clair, $J_{9/2}$ en bleu foncé).</figcaption></figure>
<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>Fonctions de Bessel $J_m(x)/x^{1/2}$ pour m demi entier variant de 0.5 à 4.5 ($J_{1/2}(x)/x^{1/2}$ en rouge, $J_{3/2}(x)/x^{1/2}$ en jaune, $J_{5/2}(x)/x^{1/2}$ en vert, $J_{7/2}(x)/x^{1/2}$ en bleu clair, $J_{9/2}(x)/x^{1/2}$ en bleu foncé). Seule $J_{1/2}(x)/x^{1/2}$ est non nulle à l'origine, de valeur $(2/\pi)^{1/2}$.</figcaption></figure>

### ZEROS DES FONCTIONS J0 à J5 (indice entier)
Rang 1 2 3 4 5 6 7 8 9
J0 2.405 5.520 8.654 11.792 14.931 18.071 21.212 24.352 27.493
J1 3.832 7.016 10.173 13.324 16.471 19.616 22.760 25.904 29.047
J2 5.136 8.417 11.620 14.796 17.960 21.117 24.270 27.421
J3 6.380 9.761 13.015 16.223 19.409 22.583 25.748 28.908
J4 7.588 11.065 14.373 17.616 20.827 24.019 27.199
J5 8.771 12.339 15.700 18.980 22.218 25.430 28.627

### ZEROS DES DERIVEES d/dx[J0] à d/dx[J5] (indice entier)
Rang 1 2 3 4 5 6 7 8 9
J'0 3.832 7.016 10.173 13.324 16.471 19.616 22.760 25.904 29.047
J'1 1.841 5.331 8.536 11.706 14.864 18.016 21.164 24.311 27.457
J'2 3.054 6.706 9.969 13.170 16.348 19.513 22.672 25.826 28.978
J'3 4.201 8.015 11.346 14.586 17.789 20.972 24.145 27.310
J'4 5.318 9.282 12.682 15.964 19.196 22.401 25.590 28.768
J'5 6.416 10.520 13.987 17.313 20.576 23.804 27.010

### ZEROS DES FONCTIONS J0.5 à J5.5 (indice demi entier)
Rang 1 2 3 4 5 6 7 8 9
J0.5 3.142 6.283 9.425 12.566 15.708 18.850 21.991 25.133 28.274
J1.5 4.493 7.725 10.904 14.066 17.221 20.371 23.519 26.666 29.812
J2.5 5.763 9.095 12.323 15.515 18.689 21.854 25.013 28.168
J3.5 6.988 10.417 13.698 16.924 20.122 23.304 26.477 29.643
J4.5 8.183 11.705 15.040 18.301 21.525 24.728 27.916
J5.5 9.356 12.967 16.355 19.653 22.905 26.128 29.333

### ZEROS DES DERIVEES d/dx[J0.5] à d/dx[J5.5] (indice demi entier)
Rang 1 2 3 4 5 6 7 8 9
J'0.5 1.166 4.604 7.790 10.950 14.102 17.250 20.396 23.541 26.685
J'1.5 2.461 6.029 9.261 12.445 15.612 18.769 21.923 25.073 28.221
J'2.5 3.633 7.367 10.664 13.883 17.073 20.247 23.412 26.572 29.727
J'3.5 4.762 8.653 12.018 15.279 18.496 21.690 24.871 28.042
J'4.5 5.868 9.904 13.338 16.642 19.889 23.105 26.303 29.488
J'5.5 6.960 11.130 14.630 17.978 21.256 24.496 27.713

### ZEROS DES DERIVEES d/dx[J0.5(x)/sqrt(x)] à d/dx[J5.5(x)/sqrt(x)]
Rang 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.5 4.493 7.725 10.904 14.066 17.221 20.371 23.519 26.666 29.812
1.5 2.082 5.940 9.206 12.404 15.579 18.743 21.900 25.053 28.203
2.5 3.342 7.290 10.614 13.846 17.043 20.222 23.390 26.553 29.710
3.5 4.514 8.584 11.973 15.245 18.468 21.667 24.850 28.024
4.5 5.647 9.840 13.296 16.609 19.862 23.083 26.283 29.471
5.5 6.756 11.070 14.591 17.947 21.231 24.475 27.694

Table des zéros des fonctions de Bessel entières, demi entières et de leur dérivée
## Séries de Fourier Bessel :

Posons $x = a_{mn} r/R$, où les coefficients $a_{mn}$ (n entier $\ge 1$) sont les zéros de la fonction $J_m$. $r$ est une variable radiale normalisée à un rayon $R$ tel que $J_m(a_{mn} r/R) = 0$ pour $r = R$.

Soit $f(r)$ une fonction définie pour $0 \le r \le R$ telle que $f(R) = 0$. La fonction $f(r)$ peut s'écrire sous la forme d'une série de Fourier Bessel, que l'on rencontre en géométrie cylindrique avec dans ce cas particulier m entier positif ou nul (cependant les formules ci-dessous sont valables pour m nombre réel) :

$$f(r) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n J_m(a_{mn} r/R) \quad \text{pour } 0 \le r \le R, m \text{ réel (n entier } \ge 1\text{)} \\ \text{où } c_n = \left[ \frac{2}{R^2} J'_m(a_{mn}^2) \right] \int_0^R r f(r) J_m(a_{mn} r/R) dr \quad (\text{n entier } \ge 1\text{)}$$

Où $J'_m$ est la dérivée première de $J_m$. On peut remarquer que :
$J'_m(a_{mn}) = J_{m-1}(a_{mn}) = - J_{m+1}(a_{mn})$, quelque soit m réel.

On a tabulé ci dessus les premières valeurs de $a_{mn}$ zéros de $J_m$ pour m entier variant de 0 à 5 et n entier variant de 1 à 9, pour les problèmes en géométrie cylindrique. Et ci-dessous, les valeurs de la dérivée $J'_m(a_{mn})$ sont données.

<table><caption>Table des zéros $a_{mn}$ des fonctions de Bessel $J_m$ et valeur de leur dérivée $J'_m(a_{mn})$</caption><tbody><tr><td>m = 0, n = 1 à 9</td><td>amn =</td><td>2.405</td><td>5.520</td><td>8.654</td><td>11.792</td><td>14.931</td><td>18.071</td><td>21.212</td><td>24.352</td><td>27.493</td></tr><tr><td>J'(amn) =</td><td>-0.519</td><td>0.340</td><td>-0.271</td><td>0.232</td><td>-0.207</td><td>0.188</td><td>-0.173</td><td>0.162</td><td>-0.152</td></tr><tr><td>m = 0.5, n = 1 à 9</td><td>amn =</td><td>3.142</td><td>6.283</td><td>9.425</td><td>12.566</td><td>15.708</td><td>18.850</td><td>21.991</td><td>25.133</td><td>28.274</td></tr><tr><td>J'm(amn) =</td><td>-0.450</td><td>0.318</td><td>-0.260</td><td>0.225</td><td>-0.201</td><td>0.184</td><td>-0.170</td><td>0.159</td><td>-0.150</td></tr><tr><td>m = 1, n = 1 à 9</td><td>amn =</td><td>3.832</td><td>7.016</td><td>10.173</td><td>13.324</td><td>16.471</td><td>19.616</td><td>22.760</td><td>25.904</td><td>29.047</td></tr><tr><td>J'(amn) =</td><td>-0.403</td><td>0.300</td><td>-0.250</td><td>0.218</td><td>-0.196</td><td>0.180</td><td>-0.167</td><td>0.157</td><td>-0.148</td></tr><tr><td>m = 1.5, n = 1 à 9</td><td>amn =</td><td>4.493</td><td>7.725</td><td>10.904</td><td>14.066</td><td>17.221</td><td>20.371</td><td>23.519</td><td>26.666</td><td>29.812</td></tr><tr><td>J'(amn) =</td><td>-0.367</td><td>0.285</td><td>-0.241</td><td>0.212</td><td>-0.192</td><td>0.177</td><td>-0.164</td><td>0.154</td><td>-0.146</td></tr><tr><td>m = 2, n = 1 à 8</td><td>amn =</td><td>5.136</td><td>8.417</td><td>11.620</td><td>14.796</td><td>17.960</td><td>21.117</td><td>24.270</td><td>27.421</td></tr><tr><td>J'(amn) =</td><td>-0.340</td><td>0.271</td><td>-0.232</td><td>0.207</td><td>-0.188</td><td>0.173</td><td>-0.162</td><td>0.152</td></tr><tr><td>m = 2.5, n = 1 à 8</td><td>amn =</td><td>5.763</td><td>9.095</td><td>12.323</td><td>15.515</td><td>18.689</td><td>21.854</td><td>25.013</td><td>28.168</td></tr><tr><td>J'(amn) =</td><td>-0.317</td><td>0.260</td><td>-0.225</td><td>0.201</td><td>-0.184</td><td>0.170</td><td>-0.159</td><td>0.150</td></tr><tr><td>m = 3, n = 1 à 8</td><td>amn =</td><td>6.380</td><td>9.761</td><td>13.015</td><td>16.223</td><td>19.409</td><td>22.583</td><td>25.748</td><td>28.908</td></tr><tr><td>J'(amn) =</td><td>-0.298</td><td>0.249</td><td>-0.218</td><td>0.196</td><td>-0.180</td><td>0.167</td><td>-0.157</td><td>0.148</td></tr><tr><td>m = 3.5, n = 1 à 8</td><td>amn =</td><td>6.988</td><td>10.417</td><td>13.698</td><td>16.924</td><td>20.122</td><td>23.304</td><td>26.477</td><td>29.643</td></tr><tr><td>J'(amn) =</td><td>-0.282</td><td>0.240</td><td>-0.212</td><td>0.192</td><td>-0.177</td><td>0.164</td><td>-0.154</td><td>0.146</td></tr><tr><td>m = 4, n = 1 à 7</td><td>amn =</td><td>7.588</td><td>11.065</td><td>14.373</td><td>17.616</td><td>20.827</td><td>24.019</td><td>27.199</td></tr><tr><td>J'(amn) =</td><td>-0.268</td><td>0.232</td><td>-0.206</td><td>0.188</td><td>-0.173</td><td>0.162</td><td>-0.152</td></tr><tr><td>m = 4.5, n = 1 à 7</td><td>amn =</td><td>8.183</td><td>11.705</td><td>15.040</td><td>18.301</td><td>21.525</td><td>24.728</td><td>27.916</td></tr><tr><td>J'(amn) =</td><td>-0.256</td><td>0.224</td><td>-0.201</td><td>0.184</td><td>-0.170</td><td>0.159</td><td>-0.150</td></tr></tbody></table>

Les fonctions $J_m(a_{mn} r/R)$ pour m donné, n entier $\ge 1$, sont des fonctions **orthogonales** pour le poids r sur l'intervalle $0 \le r \le R$ tel que :
$$
\begin{align*}
\int_0^R r J_m(a_{mn} r/R) J_m(a_{mp} r/R) dr &= (R^2/2) J'_m(a_{mn})^2 \delta_{np} \\
&= (R^2/2) J_{m+1}(a_{mn})^2 \delta_{np} \\
&= (R^2/2) J_{m-1}(a_{mn})^2 \delta_{np}
\end{align*}
$$

Lorsque f(r) s'écrit sous la forme d'une série de fonctions en Jm(r)/r½ que l'on rencontre en géométrie sphérique, avec dans ce cas particulier m demi entier (m = l + ½ où l est un entier positif ou nul), il suffit alors de remplacer f(r) par r½ f(r) dans les formules données ci-dessus et l'on obtient immédiatement :

$$
\begin{cases}
\displaystyle\int_0^\infty \frac{f(r)}{c_n J_m(a_{mn} r/R)/r^{n+1}} \, dr & \text{pour } 0 \le r \le R \quad (n \text{ entier } \ge 1) \\
\\
\text{où } c_n = \left[ \frac{2}{R^2 J'_m(a_{mn})^2} \right] \int_0^R r^{3/2} f(r) J_m(a_{mn} r/R) \, dr \quad (n \text{ entier } \ge 1)
\end{cases}
$$

J'm est la dérivée première de Jm.

On a toujours J'_m(a_mn) = J_{m-1}(a_mn) = - J_{m+1}(a_mn).

On a tabulé ci dessus les premières valeurs de a_mn pour m demi entier variant de 0.5 à 5.5 et n entier variant de 1 à 9, pour application aux problèmes sphériques.
# ANNEXE 3

## COMPLEMENTS SUR LES FONCTIONS ASSOCIEES DE LEGENDRE ET LES HARMONIQUES SPHERIQUES

Considérons l'équation différentielle suivante, dite de Legendre :

$$ (1-x^2) \frac{d^2y}{dx^2} - 2x \frac{dy}{dx} - [l(l+1) + \frac{m^2}{1-x^2}] y = 0 $$

où m est entier et l est entier **positif ou nul**. Cette équation a pour solution la fonction de Legendre associée $P_l^m(x)$. Elle se déduit des polynômes de Legendre $P_l(x)$ (qu'on rencontre dans les développements des potentiels newtoniens ou coulombiens) par la relation :

$$ P_l^m(x) = \frac{(1-x^2)^{m/2} d^m P_l(x)}{dx^m} \text{ pour } -1 \le x \le 1 $$

C'est un **polynôme seulement si m est pair**

$$ P_l(x) \text{ est un polynôme de Legendre, } P_l(x) = \left[ \frac{1}{2^l l!} \right] \frac{d^l(x^2-1)^l}{dx^l} \text{ pour } -1 \le x \le 1 $$

Les fonctions de Legendre associées s'écrivent alors directement :

$$ P_l^m(x) = \left[ \frac{(1-x^2)^{m/2}}{(2^l l!)} \right] \frac{d^{m+l}(x^2-1)^l}{dx^{m+l}} $$

pour $\lfloor l \rfloor \text{ entier} \ge 0$ et pour $m$ entier tel que $-l \le m \le l$

Remarque 1: $P_l^{-m}(x) = (-1)^m \left[ \frac{(l-m)!}{(l+m)!} \right] P_l^m(x)$ pour $m$ entier $> 0$

Remarque 2 : $P_l^0(x) = P_l(x)$ polynôme de Legendre

Remarque 3 : les fonctions de Legendre associées de même m, mais de l différent, sont orthogonales pour le poids 1, c'est-à-dire que, pour une intégrale prise entre -1 et 1 :

$$ \int_{-1}^{1} P_l^m(x) P_{l'}^{m'}(x) dx = \delta_{ll'} \frac{2l+1}{(2l+1)(l+m)!} \text{ (pour } -1 \le x \le 1) $$

Ainsi les fonctions associées de Legendre **normalisées** $F_l^m(x)$ sont :

$$ F_l^m(x) = \left[ \frac{(2l+1)}{2} \frac{(l-m)!}{(l+m)!} \right]^{1/2} P_l^m(x) $$

Car on a : $\int_{-1}^{1} F_l^m(x) F_{l'}^{m'}(x) dx = \delta_{ll'}$ (pour $-1 \le x \le 1$)

Et d'autre part : $F_l^{-m}(x) = (-1)^m F_l^m(x)$

$$ F_l^0(x) = \left[ \frac{(2l+1)}{2} \right]^{1/2} P_l(x) \text{ constituent les polynômes de Legendre normalisés.} $$

En coordonnées sphériques, le produit $\Phi(\varphi) \Theta(\theta) = A e^{im\varphi} P_l^m(\cos\theta)$ est appelé **harmonique sphérique** $Y_l^m(\theta, \varphi)$, avec un facteur de normalisation A tel que

$$ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} Y_l^m(\theta, \varphi) Y_{l',m'}(\theta, \varphi) \sin\theta \, d\theta \, d\varphi = \delta_{ll'} \delta_{mm'} $$

$\delta_{ll'}$ et $\delta_{mm'}$ sont les symboles de Kronecker, avec $0 \le \theta \le \pi$ et $0 \le \varphi \le 2\pi$.
Les harmoniques sphériques sont _orthogonales_ pour le poids sinθ entre 0 et π car les fonctions de Legendre le sont pour le poids 1 sur la variable x ; or x = cosθ implique dx = -sinθ dθ.

Les fonctions $e^{im\varphi}$ sont _orthononales_ pour le poids 1 entre 0 et $2\pi$, c'est-à-dire que $\int e^{im\varphi} e^{-im'\varphi} d\varphi = 2\pi \delta_{mm'}$, l'intégrale étant prise entre 0 et $2\pi$. Ainsi, on a :

$$Y_l^m(\theta, \varphi) = (-1)^m \left[ \frac{(2l+1)}{(4\pi)} \right]^{1/2} \frac{e^{im\varphi}}{(l-|m|)! (l+|m|)!} P_l^m(\cos\theta)$$

Remarque 1 : $Y_l^{-m}(\theta, \varphi) = (-1)^m Y_l^m(\theta, \varphi)*$ ou * désigne la quantité conjuguée.

Remarque 2 : $Y_l^0(\theta, \varphi) = [(2l+1)/(4\pi)]^{1/2} P_l(\cos\theta)$ ne dépend pas de $\varphi$

On peut aussi écrire, avec les fonctions associées de Legendre normalisées $F_l^m(\cos\theta)$ :

$$Y_l^m(\theta, \varphi) = \left[ \frac{(-1)^m}{(2\pi)^{1/2}} \right] e^{im\varphi} F_l^m(\cos\theta)$$

$$\text{D'où l'on tire } Y_l^{-m}(\theta, \varphi) = \left[ \frac{(-1)^m}{(2\pi)^{1/2}} \right] e^{-im\varphi} F_l^{-m}(\cos\theta) = \left[ \frac{1}{(2\pi)^{1/2}} \right] e^{-im\varphi} F_l^m(\cos\theta)$$

Ce qui se résume finalement avec $m > 0$ par :

$$Y_l^{-m}(\theta, \varphi) = \left[ \frac{1}{(2\pi)^{1/2}} \right] e^{-im\varphi} F_l^m(\cos\theta)$$

$$Y_l^0(\theta, \varphi) = \left[ \frac{1}{(2\pi)^{1/2}} \right] F_l^0(\cos\theta)$$

$$Y_l^m(\theta, \varphi) = \left[ \frac{(-1)^m}{(2\pi)^{1/2}} \right] e^{im\varphi} F_l^m(\cos\theta)$$

On peut former des harmoniques réelles en cos(mφ) ou sin(mφ) par combinaison linéaire des harmoniques complexes en $e^{im\varphi}$ et $e^{-im\varphi}$. Par exemple, on peut combiner :
pour $m > 0$, $[Y_l^m(\theta, \varphi) (-1)^m + Y_l^m(\theta, \varphi)]/\sqrt{2}$
et pour $m < 0$, $[Y_l^{-m}(\theta, \varphi) (-1)^m - Y_l^{-m}(\theta, \varphi)]/(i\sqrt{2})$

ce qui conduit aux nouvelles solutions réelles avec $m > 0$ :

$$\left\{ \begin{aligned} Y_l^{-m}(\theta, \varphi) &= \left[ \frac{1}{\pi^{1/2}} \right] \sin(m\varphi) F_l^m(\cos\theta) \\ &= \left[ \frac{(2l+1)}{2\pi} \frac{l\pi}{m\pi} \right]^{1/2} P_l^m(\cos\theta) \sin(m\varphi) \\ Y_l^0(\theta, \varphi) &= \left[ \frac{1}{(2\pi)^{1/2}} \right] F_l^0(\cos\theta) \\ &= \left[ \frac{(2l+1)}{4\pi} \right]^{1/2} P_l(\cos\theta) \\ Y_l^m(\theta, \varphi) &= \left[ \frac{1}{\pi^{1/2}} \right] e^{im\varphi} F_l^m(\cos\theta) \\ &= \left[ \frac{(2l+1)}{2\pi} \frac{l\pi}{m\pi} \right]^{1/2} P_l^m(\cos\theta) \cos(m\varphi) \end{aligned} \right.$$

Forme des premiers polynômes de Legendre :

$$P_0(x) = 1$$

$$P_1(x) = x$$

$$P_2(x) = \frac{3}{2} x^2 - \frac{1}{2}$$

Forme des premières fonctions associées de Legendre :

$$l=0, m=0: \quad P_0^0(x) = 1$$

$$\begin{aligned} l=1, m=0, \pm 1: \quad P_l^0(x) &= x \\ P_l^1(x) &= (1-x^2)^{1/2} \\ P_l^{-1}(x) &= -1/2 (1-x^2)^{1/2} \end{aligned}$$

$$l=2, m=0: \quad P_2^0(x) = \frac{3}{2} x^2 - \frac{1}{2}$$
<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>Polynômes de Legendre $P_l(\cos\theta)$ pour $l = 0$ à 8 en fonction de l'angle $\theta$.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>Fonctions associées de Legendre normalisées $F_l^m(\cos\theta)$ pour $l = 4$ et $m$ variant de 0 à 4 en fonction de l'angle $\theta$. Remarques : $F_l^{-m}(x) = (-1)^m F_l^m(x)$ et $F_l^0(x)$ constitue le polynôme de Legendre normalisé $[(2l+1)/2]^{1/2} P_l(x)$</figcaption></figure>
<figure><img src="image_25.png" /></figure>

Fonctions associées de Legendre normalisées $F_l^m(\cos\theta)$ pour $l = 8$ et $m$ variant de $0$ à $8$ en fonction de l'angle $\theta$. Remarques : $F_l^{-m}(x) = (-1)^m F_l^m(x)$ et $F_l^0(x)$ constitue le polynôme de Legendre normalisé $[(2l+1)/2]^{1/2} P_l(x)$

Forme des premières harmoniques sphériques :

$$l=0, m=0 : Y_0^0 (\theta, \varphi) = 1/(4\pi)^{1/2}$$

$$l=1, m=0, \pm 1 : Y_1^0 (\theta, \varphi) = (3/4\pi)^{1/2} \cos\theta$$
$$Y_1^1 (\theta, \varphi) = - (3/8\pi)^{1/2} \cos\theta e^{i\varphi}$$

$$Y_1^{-1} (\theta, \varphi) = (3/8\pi)^{1/2} \cos\theta e^{-i\varphi}$$

$$l=2, m=0 : Y_2^0 (\theta, \varphi) = -(5/4\pi)^{1/2} 3/2 \sin^2\theta$$

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

Forme des premières harmoniques sphériques, $l = 0$ (bas) à $l=8$ (haut), $m$ variant de $-l$ à $+l$ de gauche à droite. Pour chaque imagette, $\varphi$ en abscisse varie de $0$ à $2\pi$ et $\theta$ en ordonnée de $0$ à $\pi$.
<figure><img src="image_27.png" /></figure>

Détail de la figure ci-dessus. Forme des premières harmoniques sphériques, $l = 0$ (bas) à $l=4$ (haut), m variant de $-l$ à $+l$ de gauche à droite. Pour chaque imagette, $\varphi$ en abscisse varie de 0 à $2\pi$ et $\theta$ en ordonnée de 0 à $\pi$. Pour $m > 0$, l'harmonique réelle est en $\cos(m\varphi)$ et pour $m < 0$, elle est en $\sin(m\varphi)$.