$$ \int_{\mathcal{V}_s} |f(\omega+k) - f(\omega)|^p dV \le C ||f||_m^p |k|^\gamma $$

where $\gamma$ is a positive constant.

If the angle between $k$ and the tangent plane to $V_s$ is less than $\delta/2$ then we can find another vector $k_1$ of length $|k_1| = |k|$ and such that the angles between $k-k_1$ and the tangent to $V_s+k$, and between $k_1$, and the tangent to $V_s$, are not less than $\delta/2$ (if $V_s$ has the properties described in II then $V_s+k$ has these properties also provided that $k$ is short enough).

We get the vector $k_1$

$$ \begin{aligned} \left( \int_{\mathcal{V}_s} |f(\omega+k) - f(\omega)|^p dV \right)^{1/p} &\le \left( \int_{\mathcal{V}_s} |f(\omega+k) - f(\omega+k_1)|^p dV \right)^{1/p} \\ &\le \left( \int_{\mathcal{V}_s} |f(\omega+k_1) - f(\omega)|^p dV \right)^{1/p} \\ &= \left( \int_{\mathcal{V}_{s+k}} |f(\omega) - f(\omega+k-k_1)|^p dV \right)^{1/p} + \left( \int_{\mathcal{V}_s} |f(\omega) - f(\omega+k_1)|^p dV \right)^{1/p} \end{aligned} $$

each of two above integrals can be estimated by means of Lemma 3. Thus in both cases the integral under consideration tends uniformly to 0 and the proof is completed; the estimate of lemma 3 can obviously be extended by continuity to the whole of $W_m^p(\Omega)$.

## References

[1] E. Ehrling, On a type of eigenvalue problems for certain elliptic differential operators, Mathematica Scandinavica 2 (1954), p. 267-287.

[2] K. K. Golovkin, DAN SSSR 134, No. 1 (1960), p. 19-22.

[3] L. Nirenberg, Remarks on strongly elliptic partial differential equations, Communications on Pure and Applied Mathematics 8 (1955), p. 649-675.

[4] S. L. Sobolev, Some applications of functional analysis in mathematical physics (in Russian), Moscow 1950.

[5] P. Szeptycki, A simple proof of an embedding theorem of the Kondrashev type, Bull. Acad. Pol. Sci., Série des Sci. math., astr. et phys., VI, No. 9 (1958), p. 561-564.

Reçu par la Rédaction le 14. 12. 1960

## Approximation des opérateurs de J. Mikusiński par des fonctions continues

par

C. FOIAŞ (Bucureşti)

Soit $C[0, \infty)$ l'espace des fonctions continues définies sur $[0, \infty)$ muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact de $[0, \infty)$. Par rapport à la convolution, $C[0, \infty)$ devient un domaine d'intégrité dont le corps $\mathfrak{M}$ des quotients formels $\frac{f}{g}$, $f, g \in C[0, \infty)$, est l'espace des opérateurs de J. Mikusiński (¹). Une suite $\left\{ \frac{f_n}{g_n} \right\}$ converge vers $\frac{f}{g}$ (dans $\mathfrak{M}$), s'il existe des représentations $\frac{f_n}{g_n} = \frac{f'_n}{g'_n}$, $\frac{f}{g} = \frac{f'}{g'}$ telles que $f'_n \to f'$ (dans $C[0, \infty)$) (²).

Un problème naturel est de savoir si tout opérateur $\frac{f}{g} \in \mathfrak{M}$ peut être approché par une suite $\{k_n\}$, $k_n \in C[0, \infty)$. Il est évident que si $g$ est nulle dans un voisinage de l'origine, alors cela n'est pas toujours vrai. Dans cette note nous montrons que la propriété ci-dessus a lieu dès que $g$ n'est pas identiquement nulle au voisinage de l'origine.

Je tiens à remercier M. J. Mikusiński qui a bien voulu me proposer ce problème (au cours du Colloque d'Analyse Numérique tenu à Cluj, décembre 1960).

Nous commençons par établir une proposition préliminaire dont notre résultat sera une conséquence immédiate.

LEMME. *Soient $f, g$ des fonctions sommables dans $[0, T]$, $g$ non nulle presque partout au voisinage de 0; alors il existe une suite de fonctions $k_n$ continues dans $[0, T]$ telle que $\{g \ast k_n\}$ converge en moyenne vers $f$.*

Démonstration. Dans le cas contraire, en vertu du théorème de Banach et de Hahn et du théorème sur la représentation des fonctionnelles linéaires continues sur l'espace des fonctions sommables sur $[0, T]$,

<footnote>(¹) Voir J. Mikusiński, *Operational calculus* 1959.</footnote>

<footnote>(²) Op. cit., p. 144.</footnote>
il existerait une fonction $\Phi(t)$ mesurable et essentiellement bornée telle que

$$ (1) \qquad \int_0^T f(t) \Phi(t) \, dt \neq 0 $$

et

$$ (2) \qquad \int_0^T (g \ast k)(t) \Phi(t) \, dt = 0, $$

quelle que soit la fonction continue $k$. En posant $\Psi(t) = \Phi(T-t)$,
$$ \int_0^T k(t)(g \ast \Psi)(T-t) \, dt = k \ast (g \ast \Psi)(T) = \int_0^T (g \ast k)(t) \Phi(t) \, dt = 0, $$
d'ou l'on déduit que $g \ast \Psi = 0$ presque partout. En vertu du théorème de Titchmarsh et de l'hypothèse faite sur $g$ on a $\Psi = 0$ presque partout, ce qui contredit (1).

Nous pouvons maintenant démontrer notre

**THÉORÈME.** Pour tout opérateur $\frac{f}{g} \in \mathfrak{M}$ tel que $g$ n'est pas identiquement nulle au voisinage de l'origine, il existe un' suite $\{k_n\}$, $k_n \in C[0, \infty)$, telle que $k_n \to \frac{f}{g}$ dans $\mathfrak{M}$.

**Démonstration.** D'après le Lemme, il existe des fonctions $k_n$ continues sur $[0, n]$ telles que

$$ (3) \qquad \int_0^n |(g \ast k_n)(t) - f(t)| dt < \frac{1}{n}. $$

Ceci entraîne $|1 \ast g \ast k_n - 1 \ast f| \le 1/n$ pour $0 \le t \le n$. On peut supposer que $k_n \in C[0, \infty)$, ce qui ne restreint pas la généralité. Cela étant, on a $1 \ast g \ast k_n \to 1 \ast f$ dans $C[0, \infty)$, donc

$$ k_n = \frac{1 \ast g \ast k_n}{1 \ast g} \to \frac{1 \ast f}{1 \ast g} = \frac{f}{g} \quad \text{dans } \mathfrak{M}, $$

la division étant ici entendue comme l'opération inverse de la convolution.

Ajouté pendant la correction. Le résultat ci-dessus a été implicitement obtenu par M. I. Fenyő (qui nous a obligamment attiré l'attention) dans son ouvrage *Á Mikusiński-féle operátorfogalom és dísztribúció fogalma közti kapesolatról*, Á Magyar Tud. Akad. Mat. és Fiz. Tud. Osztályának Kőzleményei 8 (1958), p. 385-392.

Reçu par la Rédaction le 24. 12. 1960

Weak* bases in conjugate Banach spaces

by

I. SINGER (Bucharest)

**Introduction.** The notion of a basis introduced by J. Schauder [8] has a natural extension to topological linear spaces [2]. A basis in a topological linear space $U$ is such a sequence $\{x_n\} \subset U$ that to every $x$ in $U$ there corresponds a unique sequence $\{a_n\}$ of scalars for which the following equation holds:

$$ (1) \qquad x = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x_n. $$

Convergence of the series is that of the topology on $U$. Here the coefficients are obviously additive and homogeneous functionals on $U$:

$$ (2) \qquad a_n = \varphi_n(x), \quad n = 1, 2, \dots $$

When all these coefficient functionals are continuous on $U$, the basis $\{x_n\}$ is called [2] a Schauder basis.

In the present paper we shall examine the particular case when $U$ is the conjugate space $E^*$ of a Banach space $E$ (over the real or complex field), endowed with its weak topology $\sigma(E^*, E)$; this space is locally convex. In this case we shall use for the bases and the Schauder bases of $U$, the terms: weak* basis and weak* Schauder basis of $E^*$, respectively.
We shall also use the notation $\sum_{n=1}^{\infty} a^n$ for the series in the weak topology $\sigma(E^*, E)$; thus,

$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n^* g_n = g \quad (g_n, g \in E^*) $$

means that

$$ \sum_{n=1}^{\infty} g_n(x) = g(x) \quad \text{for all } x \in E. $$

In § 1 we show an example of a weak* basis which is not a weak* Schauder basis. § 2 contains our main result which is the construction of a $\sigma(E^*, E)$-separable conjugate Banach space $E^*$ in which there exists