# Identification des paramètres de conception à partir de mesures incertaines

Emmanuel Pillet, Scott Cogan, Noureddine Bouhaddi

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Emmanuel Pillet, Scott Cogan, Noureddine Bouhaddi. Identification des paramètres de conception à partir de mesures incertaines. 7e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2005, Giens, France. hal-01813041

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# Identification des paramètres de conception
à partir de mesures incertaines

Emmanuel Pillet * — Scott Cogan — Noureddine Bouhaddi

Institut FEMTO-ST UMR 6174, Département LMARC
Université de Franche Comté
24 rue de l'Epitaphe
25000 Besançon

* emmanuel.pillet@edu.univ-fcomte.fr

**RÉSUMÉ.** Le contexte de ce travail est la mise en place d'outils d'aide à la décision en conception robuste de structures mécaniques dans un environnement incertain. Nous proposons d'étudier le problème inverse de l'identification paramétrique des structures mécaniques à partir d'observations incertaines et d'apprécier si le gain d'information obtenu grâce à d'éventuelles mesures expérimentales justifie le coût de ces dernières. Nous utilisons dans cette étude une formulation probabiliste des problèmes inverses qui combine, sous forme de distribution de probabilité, les informations a priori sur les paramètres et les modèles d'incertitudes sur les mesures réelles ou simulées. La distribution a posteriori ainsi construite permet de générer des modèles grâce à une méthode de Monte Carlo. L'étude des modèles obtenus ouvrira alors des pistes au concepteur quant à l'utilité des expériences envisagées ou la pertinence des paramètres identifiés.

**ABSTRACT.** The context of this work is the setting up of decision aiding tools in robust design of mechanical structures in an uncertain environment. We propose to study the inverse problem of the parametric identification of mechanical structures starting from uncertain observations and to appreciate if the information gain obtained thanks to possible experimental measurements justifies the cost of these last. In this study, we use a probabilistic formulation of the inverse problems which combines, in the form of probability distribution, a prior information on the parameters and models of uncertainties on the real or simulated measurements. The a posteriori distribution permit to generate models thanks to a Monte Carlo method. The study of the models obtained will guide the designer as for the usefulness of the experiments considered or the pertinence of the identified parameters.

**MOTS-CLÉS :** identification, mesures incertaines, aide à la décision, Monte Carlo.

**KEYWORDS:** identification, uncertain data, decision aiding, Monte Carlo.
# 1. Introduction

Le problème de l'identification inverse concerne beaucoup de domaines scientifiques et en particulier celui de la dynamique des structures. Le but en est souvent de valider des modèles numériques à partir de mesures expérimentales. Cependant, les données mesurées contiennent systématiquement des incertitudes dues par exemple aux conditions expérimentales, à la précision des l'appareils de mesure ou à l'expérimentateur lui-même. La formulation probabiliste des problèmes inverses développée par Tarantola [TAR 87] permet d'associer une distribution caractéristique des incertitudes expérimentales avec une densité de probabilité *a priori* sur les paramètres de conception à identifier afin d'obtenir une distribution *a posteriori*. Bien que développée pour le domaine géophysique, cette approche a déjà été appliquée en mécanique à des modèles linéaires et non-linéaires mais en se limitant bien souvent à des hypothèses gaussiennes [BEN 95]. Pour rester dans un cadre plus général, nous générerons les modèles de paramètres *a posteriori* grâce à une simulation de Monte carlo (MC) «pilotée» par un algorithme de Metropolis [MET 53, MOS 95, MOS 02]. Toutefois, cette approche par inférence Bayesienne [BAY 63] peut être sujette à discussion notamment à cause de l'utilisation d'une information *a priori* probabiliste. En effet, comment juger qu'une information *a priori* peut être représentée probabilistiquement ? On trouvera dans [SCA 01] une discussion sur les méthodes Bayesiennes et fréquentistes. Admettons que nous voulons représenter un système mécanique par un modèle numérique. Les connaissances actuelles en simulation numérique permettent de s'approcher de la réalité sans avoir recours à l'expérimentation, mais lorsque le degré de précision souhaité sur le modèle augmente, il est souvent nécessaire de faire des mesures expérimentales sur le système réel afin de pouvoir recaler le modèle éléments finis. La première étape pour le concepteur sera d'effectuer une étude de sensibilité pour déterminer les paramètres les plus influents sur les réponses de son modèle. Il se demandera alors quelles caractéristiques de la structure serait-il intéressant de mesurer pour obtenir une information utile sur les paramètres de conception d'intérêt. Est-ce que la mesure de la 5e fréquence propre apportera plus de renseignements ? Est-ce que le coût d'une expérience bien particulière se justifiera par le gain d'information apporté ? Il est évident que sur le plan économique une entreprise cherchera bien souvent à diminuer le temps et les moyens mis à disposition pour les expérimentations. C'est à ce genre de préoccupations que nous nous intéressons dans cet article.

La résolution du problème inverse a donc ici pour but la détermination de modèles pour une prise de décision comme illustré avec la figure 1 tirée de [SCA 00].

Dans un premier temps, nous décrirerons le principe de la méthode de MC utilisée pour inférer sur les données du problème. Puis, nous exposerons la démarche que pourrait avoir un concepteur qui voudrait réaliser des essais pertinants afin d'identifier des paramètres de conception. Finalement, une application viendra illustrer notre propos.
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1 – Problème inverse et prise de décision</figcaption></figure>

## 2. Identification inverse par la méthode de Monte Carlo

### 2.1. Formulation du problème inverse

Soit $\mathbf{m} = \{m^1, m^2, \dots, m^{NM}\}$ le vecteur des NM paramètres $m^k$ d'intérêt. Soit $\mathbf{d} = \{d^1, d^2, \dots, d^{ND}\}$ le vecteur des ND données observables $d^k$. Le problème direct, qui consiste à prédire $\mathbf{d}$ à partir de $\mathbf{m}$, peut être formulé par :

$$ \mathbf{d} = g(\mathbf{m}) \qquad (1) $$

où $g$ est une fonction généralement non-linéaire.

L'estimation des paramètres à partir de la mesure des données observables constitue le problème inverse. En suivant les travaux de Tarantola [TAR 87], la solution Bayésienne de ce problème est la détermination d'une densité de probabilité a posteriori $\sigma_m(\mathbf{m})$ sur l'ensemble $\mathbf{m}$. Cette densité de probabilité s'écrit, à une constante de normalisation près, sous la forme suivante :

$$ \sigma_m(\mathbf{m}) \propto \rho_m(\mathbf{m})\rho_d(\mathbf{d}) \qquad (2) $$

Nous avons donc le produit de deux termes $\rho_m(\mathbf{m})$, densité de probabilité a priori sur $\mathbf{m}$, et $\rho_d(\mathbf{d})$ densité de probabilité rendant compte des incertitudes sur les données observées.

$\rho_m(\mathbf{m})$ représente l'information a priori sur les paramètres, celle-ci ne dépendant pas des mesures pouvant être réalisées. Si a priori on considère que les NM paramètres de $\mathbf{m}$ sont indépendants alors :

$$ \rho_m(\mathbf{m}) = \prod_{k=1}^{NM} \rho_m(m^k) \qquad (3) $$
Ainsi, si l'on supppose que les paramètres $m^k$ sont distribués normalement (de moyenne $\mu_{priori}^k$ et d'écart-type $\sigma_{priori}^k$ cette expression devient :

$$ \rho_m(\mathbf{m}) \propto \exp\left(-\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{\mathrm{NM}} \left(\frac{m^k - \mu_{\mathrm{priori}}^k}{\sigma_{\mathrm{priori}}^k}\right)^2\right) \quad (4) $$

Si de plus, a priori, une corrélation est présumée exister entre les paramètres, $\rho_m(\mathbf{m})$ s'écrit :

$$ \rho_m(\mathbf{m}) \propto \exp\left(-\frac{1}{2}(\mathbf{m} - \mu_{\mathrm{priori}})^t \mathbf{C}_m^{-1} (\mathbf{m} - \mu_{\mathrm{priori}})\right) \quad (5) $$

où $\mu_{priori} = \{\mu_{priori}^1, \dots, \mu_{priori}^{\mathrm{NM}}\}$ et $\mathbf{C}_m$ est la matrice de covariance associée. Ceci reste un exemple, les paramètres pouvant tout aussi bien suivrent une loi uniforme, lognormale ou autre. En fait, comme nous désirons utiliser la méthode de MC, tout ce dont nous avons besoin c'est d'un ensemble de règles probabilistes qui nous permettrons de générer des paramètres à partir de $\rho_m(\mathbf{m})$ [MOS 95].

L'ensemble **d** des données observables provient d'expérimentations qui comme toutes mesures sont entachées d'incertitudes. C'est pourquoi, l'information fournie par **d** est décrite par une densité de probabilité $\rho_d(\mathbf{d})$.

Soient $\mathbf{d}_{obs}$ les données relevées sur les appareils de mesures. En considérant que les incertitudes dues aux mesures sont indépendantes des données observables **d** alors :

$$ \mathbf{d}_{obs} = \mathbf{d} + \varepsilon \quad (6) $$

où $\varepsilon$ est une erreur décrite par la densité de probabilité $f(\varepsilon)$. Dans ce cas :

$$ \rho_d(\mathbf{d}) = f(\varepsilon) = f(\mathbf{d}_{obs} - \mathbf{d}) \quad (7) $$

Si $\varepsilon$ est représentée par une distribution gaussienne de moyenne nulle et de covariance $\mathbf{C}_d$ alors :

$$ \rho_d(\mathbf{d}) \propto \exp\left(-\frac{1}{2}(\mathbf{d} - \mathbf{d}_{obs})^t \mathbf{C}_d^{-1} (\mathbf{d} - \mathbf{d}_{obs})\right) \quad (8) $$

Pour des observations considérées indépendantes les unes des autres, cette expression devient :

$$ \rho_d(\mathbf{d}) = k \exp\left(-\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{\mathrm{ND}} \left(\frac{d^k - d_{\mathrm{obs}}^k}{\sigma_{\mathrm{obs}}^k}\right)^2\right) \quad (9) $$
avec $\sigma_{obs}^k$ l'écart-type associé à la valeur moyenne $d_{obs}^k$.

$\rho_d(\mathbf{d})$ mesure donc la distance entre les observations et les données prédites par la relation (1).

Notre objectif est désormais de générer des modèles paramétriques de densité de probabilité $\sigma_m(\mathbf{m})$. Le traitement analytique de $\sigma_m(\mathbf{m})$ n'étant pas forcément simple lorsque le nombre de paramètres est élevé, nous allons utiliser pour cela la méthode de MC décrite ci-après.

## 2.2. Echantillonnage à partir des règles de Metropolis

Mosegaard et Tarantola [MOS 95, MOS 02] proposent un échantillonnage de la densité de probabilité *a posteriori* à partir de l'algorithmme de Metropolis [MET 53] et de ses règles d'acceptation. Nous considérerons toujours dans cette étude que *a priori* les paramètres sont indépendants et que leurs densités de probabilité *a priori* ont une expression explicite, de même pour les observations. La même hypothèse étant faite sur les observations nous allons donc appliquer les règles de Metropolis à $\rho_m$ puis à $\rho_d$ suivant l'algorithmme suivant :

1) Initialiser à un modèle arbitraire $\mathbf{m}_n$. Calculer $\rho_{m_n} = \rho_m(\mathbf{m}_n)$, $\mathbf{d}_n = g(\mathbf{m}_n)$ et $\rho_{d_n} = \rho_d(\mathbf{d}_n)$.

2) Générer un nouveau modèle $\mathbf{m}_c = \mathbf{m}_n + \text{step}$, où step est un pas aléatoire. Calculer $\rho_{m_c} = \rho_m(\mathbf{m}_c)$.

3) Si $\rho_{m_c} \ge \rho_{m_n}$, le modèle est accepté. Si $\rho_{m_c} < \rho_{m_n}$, décider aléatoirement d'accepter le modèle avec une probabilité d'acceptation $\frac{\rho_{m_c}}{\rho_{m_n}}$. Dans le cas contraire aller en 2). Si le modèle est accepté alors $\mathbf{m}_n = \mathbf{m}_c$, $\rho_{m_n} = \rho_{m_c}$ et aller en 4).

4) Calculer $\mathbf{d}_c = g(\mathbf{m}_c)$ et $\rho_{d_c} = \rho_d(\mathbf{d}_c)$ Si $\rho_{d_c} \ge \rho_{d_n}$, le modèle est accepté. Si $\rho_{d_c} < \rho_{d_n}$, décider aléatoirement d'accepter le modèle avec une probabilité d'acceptation $\frac{\rho_{d_c}}{\rho_{d_n}}$. Dans le cas contraire aller en 2). Si le modèle est accepté alors $\rho_{d_n} = \rho_{m_c}$, stocker $\mathbf{m}_n$ et aller en 2).

Nous obtenons ainsi un ensemble de modèles en accord avec $\sigma_m(\mathbf{m})$ qui permettra de faciliter la prise de décision comme nous le développerons en section 3.

Le pas qui permet de passer d'un modèle $\mathbf{m}_n$ à $\mathbf{m}_c$ est choisi aléatoirement dans une plage dont l'étendue influencera l'efficacité de l'algorithmme. En effet si le taux d'acceptation est élevé, l'ensemble des modèles *a priori* est décrit trop lentement ; si il est faible, nous passons du temps à tester trop de modèles qui sont rejetés. Quelques simulations avec peu de tirages permettront d'ajuster ce pas de manière à retenir 25-50% des modèles proposés.

L'utilisation de la méthode de MC implique le calcul de problèmes directs (1) un grand nombre de fois. Pour un modèle numérique de grande taille et de nombreux paramètres, le coût de calcul est prohibitif, voire pratiquement impossible. Comme les calculs peuvent être différents selon le type d'observation, si l'on groupe les don-
nées résultant d'un même calcul dans un ensemble $d_k$ et que l'on considère comme
indépendantes les incertitudes sur les données, alors $\rho_d(\mathbf{d})$ s'exprime par le produit
$\rho_d(\mathbf{d}) = \prod_{k=1}^{ND} \rho_d(d_k)$. Dans l'algorithme précédent on test d'abord $\rho_d(d_1)$ (corres-
pondant aux données du plus faible temps de calcul), puis $\rho_d(d_2)$ si la transition est
acceptée et ainsi de suite. Cet algorithme «en cascade» devient alors beaucoup plus
efficace.

Lorsque le modèle est jugé «trop lourd », remplacer le modèle complet par un mo-
dèle approché en utilisant un méta-modèle permet de diminuer les temps de calcul.
A chaque donnée observable $d^k$ on peut par exemple associer une surface de réponse
construite à partir de l'interpolation des différents points de réponse obtenus pour di-
vers jeux de paramètres **m**. Le nombre de tirages sur les paramètres pourra aussi être
diminué en utilisant la technique du *Latin Hypercube Sampling* [HEL 03].

3. Préparation des essais et identification paramétrique

Nous allons voir comment l'algorithme précédent peut nous aider à quantifier le
gain d'information apporté par telle ou telle expérience et identifier les paramètres
d'intérêt.

Dans le cadre de la création d'un modèle numérique représentatif du système réel, le
concepteur peut à l'aide de ces connaissances construire un modèle numérique qui lui
servira de référence. Ensuite, après avoir associé une distribution *a priori* assez éten-
due sur les paramètres d'étude (une densité de probabilité uniforme semble alors être
le meilleur choix), il utilisera la méthode de MC décrite précédemment pour déter-
miner les modèles *a posteriori* à partir de la simulation de différents jeux de mesures
incertaines. Ces données seront obtenues grâce aux valeurs déterministes du modèle
de référence, valeurs auxquelles on associera un modèle d'incertitude. Les conditions
limites influençant généralement l'observabilité des paramètres, il est conseillé de ré-
péter les calculs pour différentes configurations ou les différents sous-ensembles de la
struture. On aura donc recensé au préalable les mesures de caractériques (fréquences
propres, déformées, Frf, pesées, etc ...) et les configurations techniquement réali-
sables mais aussi les niveaux d'incertitudes associés. Si à l'examen des résultats une
différence significative apparaît entre les modèles *a priori* et *a posteriori*, alors les
combinaisons de mesures apportant le plus d'information sur les paramètres et ayant
le moins d'éléments en commun, seront retenues. De plus, l'inclusion dans le recen-
sement des différentes mesures réalisables d'une estimation du coût et du temps de
réalisation de chacune d'entre elle, permettra au concepteur d'apprécier les ensembles
d'expériences les moins coûteux.

Les expériences réalisées, le concepteur peut s'attaquer au recalage de son modèle
à partir des techniques existantes ou réutiliser la méthode de MC. Dans ce cas, la re-
cherche de modèles adequats se fera en utilisant les résultats des expériences à la place
de leurs simulations. Le concepteur disposera ainsi de distributions *a posteriori* sur les
paramètres de conception qui l'aideront à choisir une valeur ou une plage de variation
pour chaque paramètre.
### REMARQUE.
— Si l’on envisage de réaliser les expériences sélectionnées, il faut bien être conscient que le choix de celles-ci peuvent reposer sur des hypothèses fortes voire erronées quant à la modélisation des incertitudes expérimentales. Ainsi, dans la pratique, une expérience qui semblait judicieuse en théorie s’avérera en fait inutile.

## 4. Application

L’exemple suivant est tiré de [LAL 90]. Il s’agit d’un rotor modélisé par un arbre, trois disques ($D_1, D_2, D_3$) et deux paliers ($B_1, B_2$) (figure 2).

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2 – Modèle du rotor.</figcaption></figure>

L’arbre d’axe suivant $\vec{X}$ est discrétisé en 13 éléments finis poutre identiques, en flexion dans les plans (XY) et (XZ). Chaque noeud $i$ possède 4 degrés de liberté (ddl) ($v, w, \theta_y, \theta_z$). Les trois disques $D_k$ ($k = 1, 2, 3$) sont modélisés par des masses et inerties localisées aux noeuds 3, 6 et 11. Des éléments ressort linéaire et amortisseur visqueux représentent, dans les deux plans de flexion, les paliers $B_1$ et $B_2$ supposés identiques. Ces éléments sont localisés entre le noeud 1 (noeud 2) et le repère fixe pour $B_1$ (pour $B_2$). De plus un balourd de masse $m_b$ est placé à la distance $d$ ($m_b d = 200$ g.mm) du centre géométrique de l’arbre sur le disque $D_2$, dans le plan (XY). L’amplitude de la réponse à balourd $|U_b|$ est calculée en résolvant le système (pour une fréquence $\Omega$) :

$$(-\Omega^2[M] + j\Omega[B_G] + [K + K_B])U_b = -m_b d\Omega^2 \begin{bmatrix} \sin \Omega t \\ \cos \Omega t \end{bmatrix} \quad (10)$$

Les vitesses critiques du rotor $\Omega_c^i$ ($i = 1, 2, ...$) sont déterminées en calculant les pulsations propres $\omega_i$ ($i = 1, 2, ...$) solutions du problème homogène :

$$(-\omega_i^2[M] + j\omega_i[B_G] + [K + K_B])U_i = 0; \quad i = 1, 2, ... \quad (11)$$
Les détails de la construction de [M], matrice de masse, [B<sub>G</sub>] matrice d'amortissement gyroscopique, [K] matrice de raideur et [K<sub>B</sub>] matrice de raideur des paliers, des systèmes matriciels sont fournis dans [AIT 03]. On notera que l'amortissement dans les paliers a été négligé. Le modèle éléments finis de ce rotor comporte 66 ddl de flexion. Les valeurs nominales des paramètres sont données **tableau 1**.

L'objectif de cette application est de montrer l'évolution des modèles *a priori* aux modèles *a posteriori* suivant les observations simulées et de voir comment choisir les «bonnes » expériences. Les paramètres d'intérêt sont la masse volumique du disque D<sub>3</sub> (ρ<sub>d</sub>), le module d'Young de l'arbre (E<sub>a</sub>) et la raideur du palier B<sub>1</sub> (k<sub>yy</sub>). Une distribution uniforme étendue de 0 à 3 fois la valeur nominale est choisie *a priori* sur ces paramètres. Nous considérerons des incertitudes gaussiennes sur les observations, décrites **tableau 2**, d'écart-type égal à 3% de la valeur nominale. Les différents jeux de mesures simulés sont indiqués dans la légende de la figure 3.

<table><caption>Tableau 1 – Valeurs nominales des paramètres de conception.</caption><thead><tr><th>Paramètres</th><th>Valeur nominale</th></tr></thead><tbody><tr><td>Positions des disques (m)</td><td>L<sub>1</sub> = 0.2; L<sub>2</sub> = L<sub>4</sub> = 0.3; L<sub>3</sub> = 0.5</td></tr><tr><td>Épaisseurs des disques (m)</td><td>e<sub>1</sub> = e<sub>2</sub> = 0.05; e<sub>3</sub> = 0.06</td></tr><tr><td>Rayon arbres (m)</td><td>R<sub>a</sub> = 0.2</td></tr><tr><td>Rayons intérieurs des disques (m)</td><td>R<sup>i</sup><sub>1</sub> = R<sup>i</sup><sub>2</sub> = R<sup>i</sup><sub>3</sub> = 0.05</td></tr><tr><td>Rayons extérieurs des disques (m)</td><td>R<sup>e</sup><sub>1</sub> = 0.12; R<sup>e</sup><sub>2</sub> = R<sup>e</sup><sub>3</sub> = 0.2</td></tr><tr><td>Masse volumique (arbre et disques) (kg.m<sup>-3</sup>)</td><td>ρ<sub>a,d</sub> = 7800</td></tr><tr><td>Module d'Young (N.m<sup>-2</sup>)</td><td>E<sub>a,d</sub> = 2.1 × 10<sup>11</sup></td></tr><tr><td>Coefficient de Poisson</td><td>ν = 0.3</td></tr><tr><td>Raideurs paliers (N.m<sup>-1</sup>)</td><td>k<sub>yy</sub> = 5 × 10<sup>7</sup>; k<sub>zz</sub> = 7 × 10<sup>7</sup><br>k<sub>yz</sub> = k<sub>zy</sub> = 0</td></tr><tr><td>Amortissements paliers (N.m<sup>-1</sup>.s<sup>-1</sup>)</td><td>c<sub>yy</sub> = 5 × 10<sup>2</sup>; c<sub>zz</sub> = 7 × 10<sup>2</sup><br>c<sub>yz</sub> = c<sub>zy</sub> = 0</td></tr></tbody></table>

<table><caption>Tableau 2 – Données observées.</caption><thead><tr><th>Données observées</th><th>Valeur nominale</th></tr></thead><tbody><tr><td>Vitesse critique : Ω<sup>i</sup><sub>c</sub> (i = 1 : 2)</td><td>Ω<sup>i</sup><sub>c</sub> = 3700.7 tr/min<br>Ω<sup>2</sup><sub>c</sub> = 3887.8 tr/min</td></tr><tr><td>Masse totale :</td><td>M<sub>t</sub> = 195.3 kg</td></tr><tr><td>Réponse à balourd<br>(Ω = 5000tr/min) : noeud 6 ;<br>direction <span style="font-size: 1.5em; vertical-align: middle;">Y</span></td><td>y<sub>6</sub> = 3.244 × 10<sup>-6</sup> m</td></tr></tbody></table>

L'ensemble de la méthode présentée a été programmée en langage Matlab [MAT] et intégrée à la plateforme de calcul Aesop développée au LMARC. Les distributions *a posteriori* estimées sur ces paramètres, obtenues par l'algorithme proposé, sont fournis figure 3.
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 3 – Densités de probabilité *a posteriori* estimées.</figcaption></figure>
On constate clairement que le gain d'information varie suivant le type d'observation. Ainsi pour $E_a$, la mesure de $M_t$ seule ou de $y_6$ seule n'est pas informative, $\Omega_c^1$ l'est un peu plus mais s'avère plus utile combinée avec $M_t$. Quant à $\rho_d$, comme on pouvait s'y attendre, la mesure de $M_t$ apparaît comme déterminante dans l'identification de $\rho_d$. Donc, dans un cadre idéal, les mesures de $\Omega_c^1$ et de $M_t$ semblent priomordiales pour identifier ces 2 premiers paramètres. L'ajout d'essais supplémentaires (courbe rouge) ne modifie que sensiblement les distributions *a posteriori*. Sur les 3 paramètres, la raideur $k_{yy}$ est la moins identifiable. Seul le jeu complet des mesures proposées permet de se centrer clairement autour de la valeur nominale.

Nous nous sommes ici seulement basés sur des considérations visuelles, cependant celles-ci permettent de percevoir efficacement les grandes tendances vis à vis du gain d'information à espérer avec les relevés expérimentaux.

## 5. Conclusions

Notre objectif était d'étudier le potentiel d'une approche bayesienne du problème inverse en vue de faciliter la prise de décision, aussi bien pour estimer le gain d'information fourni par les mesures expérimentales que pour identifier les valeurs des paramètres à associer au modèle numérique. Les résultats montrent que pour répondre à ces questions difficiles, l'association de cette formulation bayesienne, permettant d'obtenir une information *a posteriori* à partir de considérations *a priori*, à une méthode de MC, est envisageable.

L'établissement de critères plus fins permettant d'analyser et d'interpréter l'ensemble des résultats compléterons nos recherches. L'application de nos propositions à des systèmes mécaniques concrets est également une de nos directions de travail.

Cependant la simplicité et la généralité de la démarche proposée au concepteur dans ce papier, pourraient plaider en faveur de son utilisation.

## Remerciements

Les auteurs tiennent à remercier le ministère délégué à la recherche du gouvernement français pour son soutient financier (projet supersonique 2003).

## 6. Bibliographie

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