# Utiliser les vibrations induites par vortex et la théorie du contrôle pour extraire de l'énergie d'un écoulement

Philippe Meliga, Jean-Marc Chomaz, François Gallaire

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Philippe Meliga, Jean-Marc Chomaz, François Gallaire. Utiliser les vibrations induites par vortex et la théorie du contrôle pour extraire de l'énergie d'un écoulement. CFM 2011 - 20ème Congrès Français de Mécanique, Aug 2011, Besançon, France. hal-03422905

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# Utiliser les vibrations induites par vortex et la théorie du contrôle pour extraire de l'énergie d'un écoulement

P. Meligaª, J.-M. Chomazᵇ, F. Gallaireᶜ

a. M2P2, CNRS-Universités d'Aix-Marseille, 13451 Marseille

b. LadHyX, CNRS-Ecole Polytechnique, 91128 Palaiseau

c. LFMI, Ecole Polytechnique Federale de Lausanne, CH1015 Lausanne, Suisse

## Résumé :

Nous utilisons un modèle asymptotique développé à faible nombre de Reynolds afin d'étudier la dynamique forcée d'un cylindre circulaire soumis à des vibrations induites par vortex. Nous analysons l'orbite des cycles limites qui s'établissent à temps long, et montrons qu'il est possible d'optimiser la quantité d'énergie qui peut être extraite du système en appliquant une vitesse de soufflage/aspiration à la paroi du cylindre, dont l'amplitude est proportionnelle au déplacement de la structure.

## Abstract :

We use an asymptotic model developed at low Reynolds numbers in order to investigate the forced dynamics of a circular cylinder experiencing vortex-induced vibrations. We analyze the orbit of the limit cycles prevailing at large times, and show that the magnitude of energy that can be harnessed from the flow can be optimized by applying a blowing and suction velocity at the cylinder wall, whose amplitude is proportional to the cylinder displacement.

**Mots clefs :** vibrations induites ; récupération d'énergie ; contrôle

## 1 Introduction

Le sillage d'un cylindre circulaire est instable vis à vis de petites perturbations dès que le nombre de Reynolds excède la valeur critique $Re_* \sim 47$. Cette instabilité, qui est à l'origine de l'apparition du phénomène de lâcher tourbillonnaire, provoque la bifurcation vers un état périodique (bifurcation de Hopf) où le cylindre est soumis à des efforts instationnaires, ceux-ci pouvant induire en retour une vibration induite par vortex (VIV) de la structure. [1]

Nous étudions ici les VIV au voisinage du nombre de Reynolds critique $Re_*$ en combinant développements asymptotiques et méthodes de réceptivité. L'avantage de cette approche est double. D'une part, la dynamique du sillage n'est pas décrite par l'intermédiaire d'un modèle empirique, mais provient d'une étude asymptotique exacte des équations de Navier-Stokes. D'autre part, nous définissons une balance dominante permettant de considérer que le cylindre reste fixe à l'ordre dominant.

Nous appliquons ce modèle au problème de la production d'énergie suivant l'approche proposée par Bernitsas et al. [2]. Celle-ci repose sur l'idée qu'un système de récupération d'énergie induit un terme d'amortissement structural dans l'équation gouvernant le déplacement du cylindre. En retour, le système dissipe une quantité d'énergie qui peut être extraite par un dispositif approprié, par exemple, de l'électricité est produite si le cylindre déplace périodiquement un aimant dans une bobine. Notre but est ici de montrer qu'il est possible d'utiliser des stratégies de contrôle pertinentes afin de favoriser l'apparition de VIV dans le système, et d'optimiser la quantité d'énergie dissipée par amortissement structural.
## 2 Formalisme théorique

Nous présentons tout d'abord le modèle non-linéaire développé pour l'étude des VIV au voisinage du Reynolds critique. Nous passons en revue ici les principales caractéristiques du modèle, les détails techniques étant documentés par Meliga & Chomaz [3].

Nous considérons un cylindre monté sur ressorts dans la direction verticale (figure 1) et soumis à un écoulement incident. La dynamique de l'écoulement est gouvernée par les équations de Navier-Stokes incompressibles, alors que celle du cylindre, que l'on suppose être une simple translation sans rotation, est gouvernée par une équation d'oscillateur harmonique amorti. Le problème fait donc intervenir 4 paramètres, le nombre de Reynolds (basé sur le diamètre du cylindre et la vitesse de l'écoulement incident), la fréquence naturelle du cylindre $\omega_s$, le coefficient d'amortissement structural $\gamma$, et le nombre de masse $m$, c'est à dire le ratio des densités du cylindre et du fluide.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Configuration de cylindre monté sur ressorts.</figcaption></figure>

Notre modèle non-linéaire provient d'un développement asymptotique effectué au voisinage du seuil de l'instabilité. Nous introduisons un petit paramètre $\epsilon$ représentant l'ordre de grandeur des perturbations dans le fluide, et faisons l'hypothèse qu'un déplacement du cylindre à l'ordre $\epsilon^3$ appliqué à la résonance est suffisant pour forcer le développement et la saturation de perturbations d'ordre $\epsilon$ sur un temps caractéristique d'ordre $1/\epsilon^2$. Nous supposons également que l'amortissement et le detuning entre la fréquence naturelle du cylindre et la fréquence du lâcher tourbillonnaire sont d'ordre $\epsilon^2$, et que le nombre de masse est d'ordre $1/\epsilon^4$. Cette balance, quoique non-triviale, permet de ramener tous les effets au même ordre en $\epsilon$, et garantit que le modèle ainsi obtenu est le plus général possible.

Nous utilisons une méthode multi-échelle dans laquelle deux problèmes (un pour le fluide, et un pour le déplacement du centre de masse du cylindre) sont résolus simultanément à chaque ordre en $\epsilon$. On peut alors montrer que l'amplitude des perturbations dans le fluide, notée $\mathcal{A}$ et celle du déplacement, notée $\mathcal{Y}$, sont gouvernées par un système d'équations non-linéaires (ou équations d'amplitude) de la forme :

$$ \frac{d\mathcal{A}}{dt} = \lambda \left( \frac{1}{\text{Re}_*} - \frac{1}{\text{Re}} \right) \mathcal{A} - \mu \mathcal{A} |\mathcal{A}|^2 + \alpha \mathcal{Y}, \quad (1a) $$

$$ \frac{d\mathcal{Y}}{dt} = [-\omega_*\gamma + i(\omega_s - \omega_*)]\mathcal{Y} + \frac{\beta}{\omega_*m}\mathcal{A}. \quad (1b) $$

Les coefficients $\lambda$ et $\mu$ dans (1a) sont calculés en suivant la méthode adjointe documentée dans Sipp & Lebedev [4], de même que le coefficient $\alpha$ décrivant l'effet du déplacement de la structure (assimilable ici à celui d'une vitesse de soufflage et aspiration appliquée à la paroi d'un cylindre fixe). Le coefficient $\beta$ dans (1b) est lui assimilable à un coefficient de trainée. Tous calculs faits, nous obtenons par une normalisation appropriée :

$$ \lambda = 9.153 + 3.239i, \quad \mu = 308.9 - 1025i, \quad \alpha = 0.03492 + 0.01472i, \quad \beta = 1. \quad (2) $$

Nous montrons dans Meliga & Chomaz [3] que ce modèle asymptotique est capable de reproduire en grande partie la phénoménologie des VIV. Nous y caractérisons les cycles limites non linéaires, c'est à dire les orbites périodiques atteintes par le système à temps asymptotiquement long, sur lesquelles les mouvements du fluide et de la structure sont synchronisés. Enfin, nous y démontrons que l'amplitude du déplacement peut être exprimée sous la forme d'une fonction implicite des 4 paramètres du problème.
## 3 Application à l'extraction d'énergie

L'existence de cycles limites revêt un intérêt pratique pour qui souhaite extraire de l'énergie d'un tel système. D'une part, toutes les quantités sont périodiques sur le cycle limite. La variation d'énergie mécanique sur une période est donc nulle, et le travail reçu de la force de trainée instationnaire est donc entièrement dissipé par amortissement structural. D'autre part, il est possible de démontrer que dans notre formalisme asymptotique, l'énergie dissipée en moyenne sur une période est une fonction quadratique du déplacement

$$ \mathcal{E} = 2\omega_s\gamma\frac{1}{T}\int_0^T \left(\frac{dy_s}{dt}\right)^2 dt = 4\omega_s\omega_*^2\gamma|\mathcal{Y}|^2. \quad (3) $$

Le problème est rendu complexe par l'existence d'un comportement hystérétique, conséquence de l'existence simultanée de plusieurs cycles limites. Ce point est illustré sur la figure 2 où nous présentons l'amplitude du déplacement en fonction de la fréquence naturelle du cylindre, pour $Re = 50$ et $\gamma = 0.01$. Nous considérons deux nombres de masses, $m = 10000$ (courbe grise correspondant approximativement au cas de l'acier dans l'air), pour lequel il existe un unique cycle limite, et $m = 200$ (courbe noire), pour lequel il existe jusqu'à trois cycles limites. Ces résultats sont en fait génériques : quelque soit l'ensemble des paramètres considéré, il existe toujours soit un, soit trois cycles limites, ce qui signifie que le cycle haut, c'est à dire le cycle limite sur lequel l'amplitude de déplacement est maximale, est le seul cycle d'intérêt pratique.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Amplitude du déplacement $|\mathcal{Y}|$ calculé sur le cycle limite en fonction de la fréquence naturelle du cylindre, pour $m = 10000$ (courbe grise) et $m = 200$ (courbe noire). Pour chaque courbe, l'amplitude maximale a été normalisée à la valeur unité - $Re = 50, \gamma = 0.01$.</figcaption></figure>

Supposons à présent que le nombre de Reynolds et le nombre de masse sont fixés. L'intuition suggère l'existence de paramètres structurels (fréquence naturelle, coefficient d'amortissement) permettant de maximiser la quantité d'énergie dissipée. En effet, le système doit être à l'accrochage pour que l'amplitude du déplacement (et donc l'énergie dissipée) soit significative, ce qui réduit la plage de fréquences possibles d'après les résultats produits ci-dessus. Par ailleurs, l'énergie dissipée tend vers zéro dans les limites $\gamma \gg 1$ (le travail reçu de la force de trainée est quasi-nul en raison de la faible amplitude du déplacement) et $\gamma \ll 1$ (le déplacement atteint une valeur indépendante du coefficient d'amortissement [5]).

À titre d'illustration, la distribution d'énergie dissipée sur le cycle haut est présentée sur la figure 3 pour $Re = 50$ et $m = 10$, ce nombre de masse correspondant approximativement au cas de l'acier dans l'eau. Cette carte est le résultat de $\sim 10^6$ calculs réalisés dans le plan $(\omega_s, \gamma)$. Il existe une discontinuité, représentée par la ligne rouge, correspondant aux paramètres pour lesquels le système transitionne d'un état hystérétique à un état non-hystérétique (l'hystéresis étant indiquée par les lignes obliques). D'autre part, les résultats confirment l'existence d'un maximum global (indiqué par le triangle inversé) pour $\omega_s \cdot = 1.08$ et $\gamma \cdot = 0.023$. Pour le nombre de Reynolds et le nombre de masse
choisis, ces valeurs sont donc celles qui doivent être utilisées afin d'optimiser la quantité d'énergie extraite de l'écoulement. Toutefois, il convient de noter que cet optimal se situe au bord de la ligne de discontinuité. Les conséquences peuvent être désastreuses pour l'application, puisque de légères imprécisions dans le choix des paramètres structurels sont susceptibles d'amener le système en dehors de la zone d'hystéresis, et donc de réduire considérablement la quantité d'énergie récupérée.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 3 – Energie dissipée par amortissement structural sur le cycle haut - isocontours dans le plan $(\omega_s, \gamma)$ pour Re = 50, m = 10.</figcaption></figure>

## 4 Optimisation des cycles limites

Nous proposons ici d'utiliser des techniques classiques de contrôle des écoulements afin d'accroître la quantité d'énergie récupérable et d'améliorer la robustesse du point d'opération. Nous supposons qu'un actuateur situé à la paroi du cylindre impose une vitesse de soufflage/aspiration localisée. Il existe donc trois degrés de liberté, la position de l'actuateur $\theta_c$, l'amplitude de la vitesse de contrôle, et son incidence $\vartheta$ par rapport au vecteur tangent à la paroi.

Le modèle asymptotique doit être modifié afin de prendre en compte l'effet de ce contrôle. Nous faisons donc l'hypothèse supplémentaire qu'une vitesse d'ordre $\epsilon^3$ appliquée à la résonance est suffisante pour forcer le développement de perturbations à l'ordre $\epsilon$. Ceci conduit à une équation modifiée pour l'amplitude “fluide” :

$$ \frac{dA}{dt} = \lambda \left( \frac{1}{\text{Re}_*} - \frac{1}{\text{Re}} \right) A - \mu A |A|^2 + \alpha Y + \eta, \quad (4) $$

alors que l'équation de la structure (1b) demeure inchangée [3]. Le coefficient $\eta$ peut s'écrire sous la forme

$$ \eta = \chi \mathcal{U}_c, , \quad (5) $$

où $\mathcal{U}_c$ est l'amplitude de la vitesse de contrôle, et $\chi$ est le coefficient de réceptivité défini par

$$ 2\chi = \hat{p}_{1*}^{\dagger} \sin\vartheta + \frac{1}{\text{Re}_*} \sin\vartheta (\nabla \hat{u}_{1*}^{\dagger} \cdot \mathbf{n}) \cdot \mathbf{n} + \frac{1}{\text{Re}_*} \cos\vartheta (\nabla \hat{u}_{1*}^{\dagger} \cdot \mathbf{n}) \cdot \mathbf{t}. \quad (6) $$

Dans (6), $\hat{p}_{1*}^{\dagger}$ et $\hat{u}_{1*}^{\dagger}$ sont les composantes de pression et de vitesse du mode global adjoint, calculé au seuil de l'instabilité dans le cas d'un cylindre fixe [4], $\mathbf{n}$ (resp. $\mathbf{t}$) est le vecteur normal à la paroi (resp. le vecteur tangent), et toutes les quantités adjointes sont estimées à la position de l'actuateur.

Dans la suite, nous imposons $\theta_c = 1.54 (\sim 88^{\circ})$ et $\vartheta = 1.85 (\sim 106^{\circ})$ afin de maximiser la valeur absolue du coefficient de réceptivité : l'actuateur est donc situé près du point de décollement, et la vitesse de contrôle est quasiment une vitesse normale. Pour déterminer l'amplitude du contrôle, nous utilisons le cadre du contrôle proportionnel : supposons que l'état du système est connu grâce à une mesure du déplacement du cylindre. En retour, l'actuateur applique le contrôle avec un gain $k$ et un déphasage $\varphi$, de sorte que

$$ \mathcal{U}_c = k e^{i\varphi} Y = \kappa Y, \quad \text{avec} \quad \kappa = k e^{i\varphi}, \quad (7) $$
et

$$ \eta = \chi\kappa\mathcal{Y}. \qquad (8) $$

L'équation (9) peut donc être réécrite sous la forme

$$ \frac{d\mathcal{A}}{dt} = \lambda \left( \frac{1}{\text{Re}_*} - \frac{1}{\text{Re}} \right) \mathcal{A} - \mu \mathcal{A} |\mathcal{A}|^2 + (\alpha + \chi\kappa) \mathcal{Y}. \qquad (9) $$

et tous les résultats obtenus dans le cas non contrôlé peuvent être transposés en appliquant la transformation

$$ \alpha \rightarrow \alpha + \chi\kappa, \qquad (10) $$

y compris les expressions analytiques du déplacement et de l'énergie dissipée.

À ce stade, l'analyse consiste à déterminer la valeur du coefficient de feedback $\kappa$ permettant de maximiser le gain

$$ \mathcal{G}(\kappa) = \mathcal{E}(\kappa) - \mathcal{C}(\kappa), \qquad (11) $$

où $\mathcal{C}$ représente la quantité d'énergie cinétique dépensée sur une période par l'actuateur :

$$ \mathcal{C} = |\kappa|^2 |\mathcal{Y}|^2. \qquad (12) $$

Pour cela, nous utilisons le cadre de l'optimisation sous contrainte. La fonctionnelle de coût est simplement définie par $\mathcal{J} = -\mathcal{G}$ (le signe moins permet de s'assurer que le gain optimal correspond à un minimum de la fonctionnelle, de sorte que les methodes de minimisation traditionnelles s'appliquent). Le problème d'optimisation est résolu par une méthode de gradient conjugué : à chaque itération, la fonctionnelle de coût est calculée dans la direction de descente. Si le système est hysterétique, les trois fonctionnelles de coût sont calculées et seul le cycle limite conduisant au minimum du gain est sélectionné.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 4 – Isocontours du gain $\mathcal{G}$ dans le plan $(\omega_s, \gamma)$ pour $\text{Re} = 50, m = 10$.</figcaption></figure>

Les résultats de la procédure sont illustrés sur la figure 4, où nous présentons la distribution du gain optimal $\mathcal{G}$ obtenue en résolvant ~ 2500 problèmes d'optimisation dans le plan $(\omega_s, \gamma)$. Ces résultats mettent en évidence l'existence d'un maximum global $\mathcal{G}_\bullet$ pour $\omega_{s\bullet} = 1.10$ et $\gamma_\bullet = 0.023$, le coefficient de feedback étant alors tel que $|\kappa_\bullet| = 0.0408$ and $\arg \kappa_\bullet = -0.164$. L'efficacité du contrôle, définie par le ratio

$$ \zeta = \frac{\mathcal{G} - \mathcal{E}|_{\kappa=0}}{\mathcal{E}|_{\kappa=0}}, \qquad (13) $$

est de $\zeta \sim 3.5\%$ à l'optimum. Toutefois, le résultat le plus spectaculaire est que le maximum global est localisé dans une région du plan où les variations du gain sont continues. Ceci est illustré plus en détails sur la figure 5 où nous traçons l'évolution du gain le long de l'axe $\gamma = \gamma_\bullet$ (la ligne noire avec cercles correspond au cas contrôlé, alors que la ligne grise avec triangles inversés correspond au cas
non contrôlé, pour lequel le gain est simplement égal à l'énergie dissipée). Le contrôle rend le système bien plus robuste. Ainsi, si la fréquence naturelle du cylindre excède sa valeur optimale de seulement 2%, la quantité d'énergie extraite décroît de 4% si le contrôle est appliqué, mais de presque 100% dans le cas inverse, l'efficacité atteignant alors $\zeta \sim 500\%$.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 5 – Gain en fonction de la fréquence naturelle du cylindre le long de l'axe $\gamma = \gamma_0$. La courbe noire avec cercles correspond au cas contrôlé, alors que la courbe grise avec triangles inversés correspond au cas non contrôlé - Re = 50, $m = 10$.</figcaption></figure>

# 5 Conclusions

Nous avons utilisé un modèle asymptotique non linéaire afin d'étudier la dynamique forcée d'un cylindre circulaire soumis à des vibrations induites par vortex. Nous avons caractérisé l'effet des paramètres structurels sur la quantité d'énergie qui peut être extraite du système par un dispositif approprié. Nous avons également montré que dans la gamme de nombre de Reynolds considérée, l'application d'une vitesse de soufflage/aspiration proportionnelle au déplacement du cylindre permet d'augmenter sensiblement le gain en énergie, et surtout d'améliorer la robustesse du système de manière spectaculaire. Notre démarche actuelle consiste à généraliser cette approche au cas de structures souples, qui requièrent la prise en compte des variations de l'écoulement dans la dimension transverse.

# Références

[1] Williamson, C. H. K., Govardhan, R. 2004 Vortex-induced vibrations. *Annu. Rev. Fluid Mech.* **36** 413-455

[2] Bernitsas, M. M., Raghavan, K., Ben-Simon, Y., Garcia, E. M. H. 2008 Vivace (vortex induced vibration aquatic clean energy) : a new concept in generation of clean and renewable energy from fluid flow. *J. Offshore Mech. Arctic Engng* **130** 041101(1-15)

[3] Meliga, P., Chomaz, J.-M. 2011 An asymptotic expansion for the vortex-induced vibrations of a circular cylinder. *J. Fluid Mech.* **671** 137-167

[4] Sipp, D., Lebedev, A. 2007 Global stability of base and mean flows : a general approach and its applications to cylinder and open cavity flows. *J. Fluid Mech.* **593** 333-358

[5] Skop, R. A., Balasubramanian, S. 1997 A new twist on an old model for vortex-induced vibrations. *J. Fluids Struct.* **11** 395-412