# La conjecture YH (suite) : Preuve complète du théorème fondamental et nouvelles applications

Ahmed Friâa, Mohamed Naceur Ammar

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Ahmed Friâa, Mohamed Naceur Ammar. La conjecture YH (suite) : Preuve complète du théorème fondamental et nouvelles applications. 2025. hal-05435840

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Preprint submitted on 5 Jan 2026

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# The YH Conjecture (continued): Complete Proof of the
fundamental Theorem and New Applications

## La conjecture YH (suite) : Preuve complète du théorème
fondamental et nouvelles applications

Ahmed Friâa¹, Mohamed Naceur Ammar²

### Abstract

We stated in an earlier note [1] a new conjecture, called YH. The proof of this conjecture relies on a fundamental theorem. This theorem asserts that every even integer greater than or equal to 6 and congruent to 0 or 4 modulo 6 satisfies the following property: « it can be written as a sum of two prime numbers, one of which has a larger twin prime ». In [1], we provided a partial proof of this theorem.

In the present note, we give a complete proof of this fundamental theorem. To this end, we argue by induction and by contradiction, and we associate with each even integer that does not satisfy this property a nonnegative characteristic integer. We distinguish two cases: the case where this characteristic integer is nonzero, and the case where it is equal to zero. In both cases, we reach a contradiction.

In this way, we complete, in an irrefutable manner, the proof of the fundamental theorem, the validity of the YH conjecture, and its applications to the proofs of the Goldbach conjecture, the twin prime conjecture, and Dubner's conjecture.

Beyond the applications to these classical conjectures established in [1], we provide in the present note new applications, including a new elementary proof of Bertrand's postulate (also known as Chebyshev's theorem).

All results proved in this note are useful for an illustrative approach to the YH conjecture via graph theory. This graph-based approach is currently being finalized.

The method we adopt relies only on classical mathematical concepts and can therefore be regarded as self-consistent. It thus has the advantage of being accessible to—and capable of being disseminated among—a very broad community of mathematicians and mathematics students.
# Résumé

Nous avons énoncé dans une précédente note [1] une nouvelle conjecture baptisée YH. La démonstration de cette conjecture repose sur un théorème fondamental. Ce théorème stipule que tout entier pair supérieur ou égal à 6 et congru à 0 *ou* 4 modulo 6 vérifie la propriété « il s'écrit comme une somme de deux nombres premiers dont l'un admet un jumeau supérieur ». Nous avons fourni dans [1] une preuve partielle de ce théorème.

Dans la présente note, nous donnons une preuve complète de ce théorème fondamental. Pour ce faire, nous raisonnons par récurrence et par l'absurde et associons à chaque nombre pair ne vérifiant pas cette propriété un entier caractéristique positif ou nul. Nous distinguons les deux cas : le cas où cet entier caractéristique est non nul, et le cas où cet entier vaut zéro. Dans les deux cas, nous aboutissons à une contradiction.

Ainsi on achève de façon irréfutable la preuve du théorème fondamental, et la validité de la conjecture YH, et de ses applications à la preuve des conjectures de Goldbach, des nombres premiers jumeaux et de Dubner.

Hormis les applications prouvées dans [1] à ces conjectures classiques, nous fournissons dans la présente note de nouvelles applications, notamment une nouvelle preuve élémentaire du postulat de Bertrand ou théorème de Tchebychev.

Tous les résultats prouvés dans cette note sont utiles pour une approche illustrative de la conjecture YH par la théorie des graphes. Cette approche par les graphes est en cours de finalisation.

La démarche que nous avons adoptée ne repose que sur des concepts mathématiques classiques et peut être considérée par conséquent comme étant auto-consistante. Elle présente ainsi l'avantage de pouvoir être démocratisée auprès d'une communauté très large de mathématiciens ou d'étudiants en mathématiques.

**Mots clés** : Conjecture YH - Théorème fondamental – Preuve - Postulat de Bertrand – Théorème de Tchebychev

# Remerciements

Les auteurs expriment leur gratitude au jeune Wiem Dali, ingénieur en mathématiques appliquées et calcul scientifique, pour sa contribution à des simulations informatiques en lien avec la présente note.

Les auteurs dédient ce travail au Professeur Mohamed Amara, ancien recteur de l'université de Tunis et premier tunisien spécialiste de la théorie des nombres.

1. **Ahmed Friâa**, ancien professeur à l'ENIT, Université Tunis Al-Manar, Tunisie. Courriel : afriaa49@gmail.com

2. **Mohamed Naceur Ammar**, ancien professeur à Sup'Com Tunis, Université de Carthage, Tunisie. Courriel : mohamed.ammar.77@polytechnique.org
# 1. Introduction

Nous avons introduit dans une précédente note [1] une nouvelle conjecture baptisée YH. La preuve de cette conjecture résulte d'un théorème fondamental dont nous avons fourni une preuve partielle.

Ce théorème fondamental stipule que tout entier pair supérieur ou égal à 6 et congru à 0 ou 4 modulo 6 s'écrit comme une somme de deux nombres premiers dont l'un admet un jumeau supérieur. Nous apportons dans la section 2 une preuve complète de ce théorème. Nous raisonnons par récurrence et par l'absurde, et associons à chaque nombre pair ne vérifiant pas cette propriété un entier caractéristique positif ou nul. Nous considérons alors deux cas : le cas où cet entier caractéristique est non nul, et le cas où cet entier vaut zéro. Dans les deux cas nous aboutissons à une contradiction. Comme il a été prouvé dans [1], la validité de la conjecture YH en découle : une suite de triplets formés de trois entiers pairs successifs constitue un recouvrement de l'ensemble des entiers pairs supérieurs ou égaux à 6. Autrement dit, les trois sous-ensembles d'entiers pairs $H_0, H_1$ et $H_2$ forment une partition de l'ensemble des entiers pairs supérieurs ou égaux à 6.

Dans la section 3, nous donnerons une preuve élémentaire du postulat de Bertrand. Ce postulat stipule que pour tout entier $n$ strictement supérieur à 1, il existe au moins un nombre premier compris entre $n$ et $2n$. La nouvelle preuve est basée exclusivement sur la conjecture YH.

Nous établissons dans la section 4 d'autres propositions énoncées comme lemmes préliminaires, en lien avec ou résultant de la conjecture YH. Ces lemmes sont utiles pour une approche illustrative de la conjecture YH par la théorie des graphes.

# 2. Théorème fondamental

## 2.1. Rappels des notations

N est l'ensemble des entiers naturels, et $\mathbb{Z}$ l'ensemble des entiers relatifs.

Pour tout entier naturel $a$, on note :

$$J_a = \begin{cases} \emptyset, & \text{si } a = 0 \\ \{0, 1, \dots, (a-1)\}, & \text{si } a \neq 0 \end{cases}$$

$A$ étant un sous-ensemble d'entiers, $\alpha$ et $\beta$ des entiers donnés dans $\mathbb{Z}$, on définit :

$$\alpha + \beta A = \{\alpha + \beta a, a \in A\}$$

Pour $A$ et $B$ des sous-ensembles de $N$, on définit :

$$A \setminus B = \{a \in A \text{ et } a \notin B\}$$

Pour $(a, b) \in \mathbb{N}^2$, $a \le b$, on utilisera indifféremment les notations :

$$[a, b] = \{k \in \mathbb{N} \text{ tel que } a \le k \le b\} \text{ ou } [a, b] = a + J_{b+1-a}$$

$P$ est l'ensemble infini des nombres premiers ordonnés et supérieurs ou égaux à 3 (tous impairs),

$$P = \{p_0, p_1, \dots, p_n, \dots\}$$
$$p_0 = 3; p_1 = 5; p_2 = 7; p_3 = 11; \dots$$

$P^+$ est l'ensemble des nombres premiers admettant un nombre premier jumeau supérieur,

$$P^+ = \{p \in P \text{ tel que } p + 2 \in P\}$$

$P^-$ est l'ensemble des nombres premiers admettant un nombre premier jumeau inférieur,

$$P^- = \{p \in P \text{ tel que } p - 2 \in P\}$$

On note :

$$P_5 = \{p \in P \text{ tel que } p = 5 \text{ modulo } 6\}$$

$$P_1 = \{p \in P \text{ tel que } p = 1 \text{ modulo } 6\}$$

$$P_3 = \{3\}$$

$P_5$ et $P_1$ sont infinis en vertu du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet, et leurs éléments sont ordonnés comme suit :

$$P_5 = \{p_5(0), p_5(1), \dots, p_5(n), \dots \} \text{ avec } p_5(0) = 5; p_5(1) = 11; \dots$$

$$P_1 = \{p_1(0), p_1(1), \dots, p_1(n), \dots \} \text{ avec } p_1(0) = 7; p_1(1) = 13; \dots$$

On déduit alors la partition suivante de $P$ :

$$P = P_1 \cup P_3 \cup P_5$$

Nous omettrons de mettre les indices 1 ou 5 dans la notation des éléments ordonnés de $P_1$ et $P_5$, quand il n'y a pas d'ambiguïtés.

De même, puisque pour $p \in P_1$, $p + 2 \notin P$, nous avons de façon évidente :

$$\begin{cases} P^+ \subset \{3\} \cup P_5 \\ P^- \subset \{5\} \cup P_1 \end{cases}$$

Soient $G$ l'ensemble des nombres entiers pairs supérieurs ou égaux à 6, qui vérifient la conjecture de Goldbach,

$$ (2.1) \qquad G = \{a \in \mathbb{N} + 2 \mid \text{tel qu'il existe } p, q \in P \text{ vérifiant } a = p + q\} $$

et $G^+$ l'ensemble des nombres entiers pairs, défini par :

$$ (2.2) \qquad G^+ = \{a \in G \mid \text{tel qu'il existe } p \in P \text{ et } q \in P^+ \text{ vérifiant } a = p + q\} $$

On définit les sous-ensembles $H_0, H_1, H_2$, et $H$ d'entiers pairs par :

$$ (2.3) \qquad \begin{cases} H_0 = 7 + P \\ H_2 = G^+ \setminus H_0 \\ H_1 = [G \setminus (H_0 \cup H_2)] \cap [-2 + G^+] \end{cases} $$

$$ (2.4) \qquad H = H_0 \cup H_1 \cup H_2 $$

Les sous-ensembles $H_0, H_1$ et $H_2$ sont par construction deux à deux disjoints et tous inclus dans l'ensemble $G$.

On introduit les triplets ordonnés, formés de trois entiers pairs successifs, comme suit :
$$
(2.9) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
T_0 = \{6, 8, 10\} \\
\text{Pour tout } i \in \mathbb{N}, T_i = 6i + T_0
\end{array}
\right.
$$

En vertu de la table 4.2,

$$
(2.10) \qquad \bigcup_{i=0}^{20} T_i = [6,130] \cap (6 + 2\mathbb{N}) \text{ est inclus dans } H
$$

Nous avons par ailleurs pu vérifier par des simulations informatiques que :

$$
(2.11) \quad \bigcup_{i=0}^{n} T_i \subset H \text{ pour un entier } n \text{ de l'ordre de } 10^6
$$

2.2. Enoncé et preuve du théorème fondamental

Théorème 2.2.1.

$$
(2.12) \qquad \text{Pour tout } a \in 6 + 2\mathbb{N}, \text{ si } a^* \in \{0, 4\}, \text{ alors } a \in G^+
$$

Preuve :

On procède par récurrence sur $a \in 6 + 2\mathbb{N}$.

La proposition (2.12) est vraie pour $a \in 6 + 2\mathbb{N}$, $a \le 10^6$.

On suppose que (2.12) est vraie pour tout $a' \in 6 + 2\mathbb{N}$, $a' < a$ où $a \in 6 + 2\mathbb{N}$, assez grand et tel que $a^* \in \{0, 4\}$.

On va alors montrer que $a \in G^+$.

Pour ce faire, on raisonne par l'absurde, et on adopte donc les hypothèses suivantes :

$H1$ : Pout tout $a' \in 6 + 2\mathbb{N}$ tel que $a' < a$ et $a'^* \in \{0, 4\}$, $a' \in G^+$.

$H2 : a \notin G^+$.

On pose :

$$
(2.13) \qquad E(a) = \{q \in P^+ \setminus \{3\} ; \exists p \in P_{1+a^*} \text{ tel que } p + q < a\}
$$

Il est évident que $E(a)$ est non vide, les quatre plus petits entiers dans $P^+\{3\}$, soit $\{5, 11, 17, 29\}$, étant dans $E(a)$ pour $a$ assez grand.

En considérant $m \in \mathbb{N}^*$ tel que $\text{Card}E(a) = m + 1$, on ordonne les éléments de $E(a)$ comme
suit :

$$
(2.14) \qquad E(a) = \{q(i) ; i \in J_{m+1}\}
$$

où

$$
(2.15) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
P\text{out tout } i \in J_m, q(i) < q(i+1) \\
q(0) = 5 = \min E(a); q(m) = \max E(a)
\end{array}
\right.
$$

L'hypothèse H2 entraine que :

$$
(2.16) \quad \text{Pout tout } i \in J_{m+1}, \delta(i) = a - q(i) \notin P \text{ et } \delta(i) = 1 + a^* \bmod 6
$$
On introduit l'entier $\varepsilon \in \{0, 1\}$ dépendant de $a$, $\varepsilon$ étant défini par :

$$ (2.17) \qquad \begin{cases} \varepsilon = 1, & \text{si } a^* = 0 \\ \varepsilon = 0, & \text{si } a^* = 4 \end{cases} $$

En vertu de la définition (2.14), on pose pour tout $i \in J_{m+1}$ :

$$ (2.18) \qquad p(\varphi_{\varepsilon}(i)) = \max\{p \in P_{1+a^*} \text{ tel que } p + q(i) < a\} $$

Notons que l'application $\varphi_{\varepsilon} : J_{m+1} \to \mathbb{N}$ associe à tout $i \in J_{m+1}$ l'ordre de l'entier premier $\max\{p \in P_{1+a^*} \text{ tel que } p + q(i) < a\}$ dans l'ensemble ordonné $P_{1+a^*}$.

On a alors :

Pour tout $i \in J_m$,

$$ (2.19) \qquad p(\varphi_{\varepsilon}(i+1)) \le p(\varphi_{\varepsilon}(i)) $$

Comme $a' = a - 6$ vérifie l'hypothèse de récurrence $H1$, on déduit en vertu de (2.19) et du fait que $a \notin G^+$, qu'il existe $k \in J_{m+1}$ tel que :

$$ (2.20) \qquad a - 6 = p(\varphi_{\varepsilon}(k)) + q(k) $$

On conviendra dans la suite que $k$ est le plus petit entier vérifiant (2.20).

Soit,

$$ (2.21) \qquad k = \min\{i \in J_{m+1} / p(\varphi_{\varepsilon}(i)) + q(i) = a - 6\} $$

Comme, d'une part, $q(0) = 5$, $q(1) = 11$, $q(2) = 17$, et d'autre part $a \notin G^+$, on a nécessairement :

$$ (2.22) \qquad k \ge 2 $$

Ces notations et résultats étant précisés, on considère l'ensemble $F(a)$ défini par :

$$ (2.23) \qquad F(a) = \{i \in J_{m+1} \text{ tel que } p(\varphi_{\varepsilon}(i)) + 23 < a\} $$

On déduit alors de (2.25) et (2.26) :

$$ (2.24) \qquad k \in F(a) \text{ et } \min F(a) \le k $$

On pose :

$$ (2.25) \qquad i(a) = \min F(a) $$

L'entier $i(a)$ est un entier caractéristique de $a \in 6 + 2\mathbb{N}$ et $a \notin G^+$.

On va alors considérer les deux cas suivants :

**Cas-1 : $i(a) > 0$**

On a donc :

$$ (2.26) \qquad i(a) \ge 1 $$

En vertu de (3.13), on déduit :
$$
(2.27) \qquad p(\varphi_{\varepsilon}(k)) + 23 < a < p(\varphi_{\varepsilon}(0)) + 23
$$

D'où les inégalités

$$
(2.28)
$$

$$
p(\varphi_{\epsilon}(0)) + q(0) < p(\varphi_{\epsilon}0) + q(1) < p(\varphi_{\epsilon}(0)) + q((2) \le a - 6 < a < p(\varphi_{\epsilon}(0)) + 23
$$

On considère alors la séquence $(b_0, b_1, b_2, b_3, b_4)$ constituée des 5 entiers définis par :

$$
(2.29) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
b_0 = p(\varphi_\epsilon(0)) + q(0) \\
b_1 = p(\varphi_\epsilon 0) + q(1) \\
b_2 = p(\varphi_\epsilon(k)) + q(k) = a - 6 \\
b_3 = a \\
b_4 = p(\varphi_\epsilon(0)) + 23
\end{array}
\right.
$$

On a donc les inégalités suivantes :

$$
(2.30) \qquad b_0 < b_1 < b_2 < b_3 < b_4
$$

Comme $b_3 = a \notin G^+$ et $a^* = b_i^*$ pour tout $i \in J_5$, les entiers $b_i$ sont distants d'un multiple de 6.

En utilisant le principe des tiroirs de Dirichlet, on aboutit à une contradiction avec

$$
(2.31) \qquad b_4 - b_0 = 23 - q(0) = 18
$$

D'où le résultat $a \in G^+$ dans ce cas.

**Cas-2 : i(a) = 0**

On définit dans ce cas l'entier $j$ par :

$$
(2.32) \qquad j = \max\{i \in J_{m+1} \text{ tel que } p(\varphi_{\epsilon}(i)) = p(\varphi_{\epsilon}(0))\}
$$

On va procéder en trois étapes :

- Dans une première étape, on montrera que $j < m$ ou encore que l'on ne puisse pas avoir $p(\varphi_{\epsilon}(m)) = p(\varphi_{\epsilon}(0))$.

- Dans la deuxième, on montrera que $j = k$.

- Dans la troisième étape, on mettra en évidence une contradiction, ce qui achève la preuve par l'absurde.

On considère donc les lemmes suivants.

**Lemme 2.2.2.**

L'entier $j$ défini par (2.37) vérifie :

$$
(2.33) \qquad j < m
$$

Preuve :

On suppose a contrario que :

$$
(2.34) \qquad j = m
$$
Autrement dit :

$$
(2.35) \qquad \forall i \in J_{m+1}, p(\varphi_{\varepsilon}(i)) = p(\varphi_{\varepsilon}(0))
$$

Comme :

$$
(2.36) \qquad p(\varphi_{\epsilon}(m)) + q(m) \leq p(\varphi_{\epsilon}(k)) + q(k) = a - 6
$$

On en déduit compte tenu de (2.18) :

$$
(2.37) \qquad p(\varphi_{\epsilon}(m)) + q(m) = a - 6 < p(\varphi_{\epsilon}(m) + 1) + q(m)
$$

Or

$$
(2.38) \qquad 5 + 2\epsilon \le p(\varphi_{\epsilon}(m))
$$

$$
\epsilon \text{ étant défini par (2.17) : } \begin{cases} \epsilon = 1, & \text{si } a^* = 0 \\ \epsilon = 0, & \text{si } a^* = 4 \end{cases}
$$

Il existe alors $i \in J_{m+1}$ tel que :

$$
(2.39) \qquad q(i) = \max\{q \in E(a) \text{ tel que } 5 + 2\epsilon + q < a\}
$$

D'où en vertu de (2.20) :

$$
(2.40) \qquad q(i) = q(m)
$$

On en déduit :

$$
(2.41) \qquad 5 + 2\epsilon + q(m) = q(0) + q(m) + 2\epsilon < a
$$

$$
(2.42) \qquad p(\varphi_{\epsilon}(0)) = p(\varphi_{\epsilon}(m)) \geq q(m) + 2\epsilon
$$

Soit,

$$
(2.43) \qquad a - 6 = p(\varphi_{\epsilon}(m)) + q(m) \geq q(m) + 2\epsilon + q(m)
$$

D'où

$$
(2.44) \qquad a - 4 + 2\epsilon > a - 6 \geq 2q(m)
$$

Or

$$
(2.45) \qquad (a - 4 + 2\epsilon)^* \in \{0, 4\}
$$

Donc en vertu de l'hypothèse de récurrence H1,

$$
(2.46) \qquad a - 4 + 2\epsilon = p(\varphi_{\epsilon}(m)) + 2 + q(m) + 2\epsilon \in G^{+}
$$

Il existe alors $p \in P_{1+a^*}$, et $q(i) \in E(a)$, $i \in J_{m+1}$ tels que :

$$
(2.47) \qquad a - 4 + 2\epsilon = p + q(i)
$$

Comme $q(i) \le q(m)$, il vient :

$$
(2.48) \qquad p \ge p(\varphi_{\epsilon}(m)) + 2 + 2\epsilon
$$

Comme $p(\varphi_{\epsilon}(m) + 1)$ est le successeur de $p(\varphi_{\epsilon}(m))$ dans $P_{1+a^*}$ et $p \in P_{1+a^*}$, on en déduit :
$$ (2.49) \qquad p \geq p(\varphi_{\varepsilon}(m) + 1) $$

Et

$$ (2.50) \quad a - 4 + 2\varepsilon = p + q(i) \geq p(\varphi_{\varepsilon}(m) + 1) + q(i) = p(\varphi_{\varepsilon}(i) + 1) + q(i) > a $$

Ce qui constitue une contradiction.

D'où le résultat $j < m$.

Ainsi s'achève la première étape.

**Lemme 2.2.3.**

Les entiers $k$ et $j$ étant définis respectivement par (2.26) et (2.37), on a :

$$ (2.51) \qquad j = k $$

Soit,

$$ (2.52) \quad \max\{i \in J_{m+1} / p(\varphi_{\varepsilon}(i)) = p(\varphi_{\varepsilon}(0)) \} = \min\{i \in J_{m+1} / p(\varphi_{\varepsilon}(i)) + q(i) = a - 6 \} $$

**Preuve :**

On a :

$$ (2.53) \qquad p(\varphi_{\varepsilon}(j)) + q(j) \leq p(\varphi_{\varepsilon}(k)) + q(k) = a - 6 $$

Et comme :

$$ (2.54) \qquad p(\varphi_{\varepsilon}(k)) \leq p(\varphi_{\varepsilon}(j)) = p(\varphi_{\varepsilon}(0)) $$

On en déduit :

$$ (2.55) \qquad q(j) \leq q(k) $$

On suppose que cette inégalité est stricte :

$$ (2.56) \qquad q(j) < q(k) $$

On considère alors les deux cas possibles :

$$ \text{Cas-1 : } p(\varphi_{\varepsilon}(j)) = p(\varphi_{\varepsilon}(k)) $$

On a dans ce cas :

$$ (2.57) \qquad p(\varphi_{\varepsilon}(j)) + q(j) < p(\varphi_{\varepsilon}(j)) + q(k) < a < p(\varphi_{\varepsilon}(j)) + q(j + 1) $$

D'où

$$ (2.58) \qquad q(j) < q(k) < q(j + 1) $$

Ce qui est impossible.

$$ \text{Cas-2 : } p(\varphi_{\varepsilon}(j)) > p(\varphi_{\varepsilon}(k)) $$

On a alors dans ce cas :

$$ (2.59) \qquad k < j \text{ et } p(\varphi_{\varepsilon}(j)) \leq p(\varphi_{\varepsilon}(k)) $$
Ce qui contredit l'hypothèse $p(\varphi_\varepsilon(j)) > p(\varphi_\varepsilon(k))$ adoptée dans ce cas.

Ainsi, on aboutit à une contradiction dans les deux cas.

D'où le résultat : $j = k$.

Ainsi s'achève la deuxième étape.

En vertu des deux lemmes 2.2.2. et 2.2.3., on a alors les inégalités suivantes :

$$ (2.60) \qquad p(\varphi_{\varepsilon}(m)) \le \dots \le p(\varphi_{\varepsilon}(k+1)) < p(\varphi_{\varepsilon}(k)) = \dots = p(\varphi_{\varepsilon}(0)) $$

On en déduit les inégalités suivantes :

$$ (2.61) \qquad p(\varphi_{\varepsilon}(k+1)) + 23 < p(\varphi_{\varepsilon}(k+1)+1) + 23 \le p(\varphi_{\varepsilon}(k)) + 23 $$

$$ (2.62) \qquad p(\varphi_{\varepsilon}(k)) + 23 < p(\varphi_{\varepsilon}(k+1)) + q(k+1) \le p(\varphi_{\varepsilon}(k)) + q(k) = a-6 $$

$$ (2.63) \qquad a-6 < a < p(\varphi_{\varepsilon}(k+1)+1) + q(k+1) \le p(\varphi_{\varepsilon}(k)) + q(k+1) $$

On pose :

$$ (2.64) \qquad a = q(k+1) + \delta(k+1) \text{ et } a' = q(k) + \delta(k+1) $$

On déduit alors des inégalités (2.62) à (2.64) :

$$ (2.65) \qquad p(\varphi_{\varepsilon}(k+1)) < \delta(k+1) < p(\varphi_{\varepsilon}(k+1)+1) $$

Comme $q(k+1) \in P_5$ et $a^* \in \{0,4\}$, on déduit de (2.69) et de l'hypothèse H2 ($a \notin G^+$) :

$$ (2.66) \qquad \delta(k+1) = 1 + a^* \text{ modulo } 6 \text{ et } \delta(k+1) \notin P $$

Et par suite :

$$ (2.67) \qquad a^* \in \{0,4\} $$

Comme en outre $a' < a$, on déduit de l'hypothèse de récurrence H1 :

$$ (2.68) \qquad a' \in G^+ $$

Ce qui implique l'existence de $(p, q) \in P_{1+a^*} \times P^+$ tel que :

$$ (2.69) \qquad p(\varphi_{\varepsilon}(k+1)) + q(k) < a' = q(k) + \delta(k+1) = p + q < p(\varphi_{\varepsilon}(k+1)+1) + q(k) $$

On distingue les deux cas possibles $p = p(\varphi_\varepsilon(k))$ et $p < p(\varphi_\varepsilon(k))$, le cas $p > p(\varphi_\varepsilon(k))$ étant à exclure du fait que :

$$ p(\varphi_{\varepsilon}(0)) = \max\{p(\varphi_{\varepsilon}(i)); i \in J_{m+1}\} \text{ et } q(0) = 5 $$

**Cas 2.1 :** $p = p(\varphi_\varepsilon(k))$

On a dans ce cas :

$$ (2.70) \qquad a' = q(k) + \delta(k+1) = p+q $$

On déduit alors de (2.69) et du fait que $p(\varphi_\varepsilon(k+1)+1) \le p(\varphi_\varepsilon(k))$ :
$$
(2.71) \qquad \left\{ \begin{array}{l} q \le q(k) \\ q = q(k), \text{ si } p(\varphi_{\varepsilon}(k+1)+1) = p(\varphi_{\varepsilon}(k)) \end{array} \right.
$$

En reportant dans (2.69), il vient :

$$
(2.72) \qquad
$$

$$
\left\{
\begin{array}{l}
p(\varphi_{\varepsilon}(k+1)) + q(k) < a' = q(k) + \delta(k+1) = p(\varphi_{\varepsilon}(k)) + q < p(\varphi_{\varepsilon}(k+1)+1) + q(k) \\
\qquad q \le q(k)
\end{array}
\right.
$$

On en déduit en particulier puisque $\delta(k + 1) \notin P$,

$$
(2.73) \qquad \delta(k + 1) > p(\varphi_{\varepsilon}(k))
$$

Ce qui contredit (2.65).

Cas 2.2 : $\mathbf{p} < \mathbf{p}(\varphi_{\varepsilon}(\mathbf{k}))$

On déduit dans ce cas les inégalités suivantes, en vertu du fait qu'il ne peut exister un nombre
premier appartenant à $P_{1+a^*}$ et strictement compris entre $p(\varphi_{\varepsilon}(k+1))$ et $p(\varphi_{\varepsilon}(k+1)+1)$
qui sont consécutifs dans $P_{1+a^*}$ :

$$
(2.74) \qquad p + q(k) < a' = q(k) + \delta(k+1) = p + q < p(\varphi_{\epsilon}(k+1) + 1) + q(k)
$$

Ce qui implique en particulier :

$$
(2.75) \qquad q > q(k) \text{ et } \delta(k+1) < p \le p(\varphi_{\epsilon}(k))
$$

Ce qui contredit également (2.65).

Finalement, dans les deux cas possibles, on arrive à une contradiction.

Le cas $i(a) = 0$ est donc incompatible avec l'hypothèse $H2, a \notin G^+$.

Ainsi s'achève la preuve par récurrence. D'où (2.12).

Le théorème fondamental est ainsi démontré dans sa généralité.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>
### 3. Postulat de Bertrand ou Théorème de Tchebychev

Le postulat de Bertrand affirme qu'entre un nombre entier supérieur à 1 et son double, il existe toujours au moins un nombre premier. Enoncé par Joseph Bertrand en 1845, ce postulat est aussi connu sous le nom de théorème de Tchebychev, depuis que Pafnouti Tchebychev l'a démontré en 1850 [2].

En 1919, Srinivasa Ramanujan donne du postulat de Bertrand une démonstration plus simple [3].

En 1932, Paul Erdös, à l'occasion de sa première publication, à l'âge de 19 ans, publie une démonstration entièrement élémentaire [4] dans laquelle il utilise les coefficients binomiaux.

Nous fournissons dans cette section une nouvelle preuve de ce postulat, qui est basée exclusivement sur la conjecture YH.

#### 3.1. Enoncé et preuve du postulat

##### Théorème de Tchebychev 3.1.1.

Pour tout entier $n$ stritement supérieur à 3,

$$ (3.1) \qquad \text{il existe au moins un nombre premier } p \text{ tel que } n < p < 2n $$

**Preuve :**

On distingue les deux cas suivants :

###### Cas-1 : $n$ impair, $n > 3$

On pose :

$$ (3.2) \qquad \begin{cases} a = 2n + 2, & \text{si } n = 1 \text{ modulo } 6 \\ a = 2n + 4, & \text{si } n = 3 \text{ modulo } 6 \\ a = 2n + 6, & \text{si } n = 5 \text{ modulo } 6 \end{cases} $$

On a alors :

$$ (3.3) \qquad a \in 6 + 2\mathbb{N} \text{ et } a^* = 4 $$

D'où en vertu du théorème fondamental ou de la conjecture YH :

$$ (3.4) \qquad a \in G^+ $$

Il existe donc un couple de nombres premiers $(p, q) \in P_5 \times P^+$ tel que :

$$ (3.5) \qquad a = p + q $$

Le cas $p < n + 1$ et $q < n + 1$ donnant $p + q < 2n + 2 \le a$, est à exclure.

D'où l'un au moins des deux entiers premiers $p$ et $q$, par exemple $p$, vérifie :

$$ (3.6) \qquad p \ge n + 2 > 5 $$

On en déduit que :

$$ (3.7) \qquad n < p < 2n $$
**Cas-2 : n pair, n ≥ 4**

Notons que le cas $n = 4$ vérifie trivialment la propriété puisque $4 < 5 < 8$.

On suppose donc que $n > 4$.

En posant $m = n - 1$, on se ramène au cas précédent.

D'où, il existe au moins un nombre premier $p$ vérifiant :

$$ (3.8) \qquad m < n < p < 2m < 2n $$

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

Nous énonçons alors le nouveau théorème suivant.

**Théorème 3.1.2.**

Pour une infinité d'entiers $n$ stritement supérieurs à 3,

$$ (3.9) \qquad \text{il existe au moins un nombre premier } p \in P^+ \text{ tel que } n < p < p + 2 < 2n $$

**Preuve :**

Nous avons déjà montré dans [1] comme corollaire de la conjecture YH que l'ensemble $P^+$ est infini.

Donc l'ensemble $\{a \in 6 + 2\mathbb{N} \text{ tel que } a^* = 4 \text{ et } a \in P^+ \setminus \{3\} + P^+\}$ est infini.

D'où le résultat.

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

Il est à noter que si la conjecture de Dubner exposée dans [1] est valide, la proposition (3.9) est alors vérifié pour tout entier $n$ assez grand.
# 4. D'autres résultats en lien avec la conjecture YH

## 4.1. Modélisation par les graphes

On se place désormais dans le cadre de la théorie des graphes.

On considère dans la suite l'entier $a \in 6 + N$ défini par :

$$ (4.1) \qquad a = 6(n + 1) + 4 \text{ où } n \in N \text{ fixé} $$

On a alors

$$ (4.2) \qquad a \in H_2 \text{ et } a^* = 4 $$

### Définitions 4.1.1.

Soit $\Gamma_n = (V, E)$ le graphe orienté où $V$ désigne l'ensemble des sommets et $E$ l'ensemble des arcs, défini de la façon suivante :

Chaque sommet du graphe, désigné de façon générique par $V_i$, correspond à l'entier pair $(a - 2i)$, $i$ étant un entier tel que $(a - 2i) \ge 6$. Le sommet $V_0$ correspond à l'entier $a$.

Les sommets du graphe sont définis par :

$$ (4.3) \qquad \begin{cases} \text{Pour } i \in N \text{ tel que } (a - 2i) \ge 6, \\ \begin{cases} V_i = A_i, \text{ si } (a - 2i) \in H_0 \\ V_i = B_i, \text{ si } (a - 2i) \in H_1 \\ V_i = C_i, \text{ si } (a - 2i) \in H_2 \end{cases} \end{cases} $$

Les arcs du graphe sont tous du type $(V_i, V_{i+1})$ et vérifient les règles de transition, toutes issues de la définition des sous-ensembles $H_0, H_1$ et $H_2$ :

$$ (4.4) \qquad \begin{cases} \text{Si } V_i = A_i, \text{ alors } V_{i+1} \in \{A_{i+1}, C_{i+1}\} \\ \text{Si } V_i = B_i, \text{ alors } V_{i+1} \in \{A_{i+1}, C_{i+1}\} \\ \text{Si } V_i = C_i, \text{ alors } V_{i+1} \in \{A_{i+1}, B_{i+1}, C_{i+1}\} \end{cases} $$

### Proposition 4.1.2.

Le graphe $\Gamma_n = (V, E)$ est acyclique et vérifie de façon évidente la propriété suivante :

$$ \text{Pout tout entier } k \text{ tel que } (a_n - 2k) \ge 6, $$

un chemin de $V_0$ à $V_k$ comprend exactement $k$ arcs et est par conséquent de longueur $k$.

Cette longueur $k$ commune à tous les chemins de $V_0$ à $V_k$ est appelée **profondeur du graphe**.

Nous énonçons dans la suite des résultats sous forme de lemmes, tous en lien avec la conjecture YH.

Appelés lemmes préliminaires, ces résultats sont utiles pour une approche illustrative de la conjecture YH dans le cadre de la modélisation par les graphes.

Ces illustrations sont en cours de finalisation.
## 4.2. Des lemmes préliminaires

Pour $a \in 6 + 2N$, on considère la division euclidienne de $a$ par 30, puis la division euclidienne du reste par 6.

L'entier $a$ s'écrit alors de façon unique :

$$ (4.5) \qquad \begin{cases} a = 30\Phi_1(a) + 6\Phi_0(a) + a^* \\ \text{où } \Phi_1(a) \in \mathbb{N}, \Phi_0(a) \in J_5, a^* \in \{0, 2, 4\} \end{cases} $$

On suppose désormais que $a$ est assez grand, soit :

$$ (4.6) \qquad \Phi_1(a) \neq 0 $$

Si on applique les mêmes divisions euclidiennes à un nombre premier $p \in P$, on obtient :

$$ (4.7) \qquad \begin{cases} p = 30\Phi_1(p) + 6\Phi_0(p) + p^* \\ \text{où } \Phi_1(p) \in \mathbb{N}, \Phi_0(p) \in J_5, p^* \in \{1, 3, 5\} \end{cases} $$

Ce qui implique,

Ou bien

$$ (4.8) \qquad \begin{cases} p^* \in \{1, 5\}, \text{ si } \Phi_0(p) \neq 0 \\ p^* = 1, \text{ si } \Phi_1(p) \neq 0 \text{ et } \Phi_0(p) = 0 \end{cases} $$

Ou bien

$$ (4.9) \qquad p = p^* \in \{3, 5\} $$

**Lemme 4.2.1.**

Pour tout $p \in \mathbb{N}$,

$$ (4.10) \qquad \text{Si } p, p+2, p+4 \text{ sont tous des nombres premiers, alors } p=3 $$

**Preuve :**

Si $p, p+2, p+4$ sont des nombres premiers, alors ils sont tous congrus à 1 ou à 2 mod 3.

On en déduit que $p \neq 1 \mod 3$ et $p \neq 2 \mod 3$. D'où $p = 0 \mod 3$.

Comme $p$ est premier, $p=3$.

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

**Lemme 4.2.2.**

Pour tout $a \in 6 + 2N$, pour tout $i \in \mathbb{N}$,

$$ (4.11) \qquad \begin{cases} \text{Si } a, a+2, a+4 \in G^+, \\ \text{alors } a+4 \in (3+P) \cup (5+P) \cup (7+P) \end{cases} $$

**Preuve :**

$$ \text{On écrit :} \qquad \begin{cases} a = p(0) + q(0), \text{avec } p(0), q(0) \text{ et } q(0) + 2 \in P \\ a + 2 = p(1) + q(1), \text{avec } p(1), q(1) \text{ et } q(1) + 2 \in P \\ a + 4 = p(2) + q(2), \text{avec } p(2), q(2) \text{ et } q(2) + 2 \in P \end{cases} $$

Si pour tout $j \in J_3$, $q(j) \neq 3$ et $p(j) \neq 3$, alors
Pour tout $j \in J_3$, $q(j) = 2 \text{ modulo } 3 \text{ et } p(j) = 1 \text{ ou } 2 \text{ modulo } 3$.

Donc les entiers $a \text{ modulo } 3, a + 2 \text{ modulo } 3 \text{ et } a + 4 \text{ modulo } 3 \in \{0, 1\}$, ce qui est impossible.

On en déduit qu'il existe $j \in J_3$, tel que $q(j) = 3$.

D'où (4.11).

■

**Lemme 4.2.3.**

Pour tout $a \in 6 + 2\mathbb{N}$, pour tout $i \in \mathbb{N}$ tel que $7 + 2i \in P$ (respectivement $P^+$),

$$ (4.12) \qquad \text{Si } a \in H_0, \text{ alors } a + 2i \in G \text{ (respectivement } G^+). $$

**Preuve :**

Notons d'abord qu'en vertu du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet, l'ensemble $\{i \in \mathbb{N} \text{ tel que } 7 + 2i \in P\}$ est infini.

En vertu de l'infinitude de l'ensemble $P^+$ prouvée dans [1] comme corollaire de la conjecture YH, l'ensemble $\{i \in \mathbb{N} \text{ tel que } 7 + 2i \in P^+\}$ est aussi infini.

Il suffit alors d'écrire $a$ sous la forme $a = 7 + p$ où $p \in P$ pour prouver (4.8).

■

**Lemme 4.2.4.**

Pour tout $a \in 6 + 2\mathbb{N}$,

$$ (4.13) \qquad \text{Si } a \in H_0, \text{ alors } a + 4 \notin H_1 \text{ et } a - 4 \notin H_1 $$

**Preuve :**

Il suffit d'écrire $a = 7 + p$ avec $p \in P$. On en déduit alors que :

$$ a + 4 = 11 + p \text{ et } a - 4 = 3 + p. $$

■

**Lemme 4.2.5.**

Pour tout $a \in 6 + 2\mathbb{N}$,

$$ (4.14) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \text{Si } a \in G^+ \text{ et } a^* = 2, \text{ alors } a \in 3 + P_5 \\ \text{Pour tout } a \in 6 + 2\mathbb{N}, \text{ alors } a \in 3 + P_5 \end{array} \right. $$

**Preuve :**

Notons d'abord que $a \in G^+$ implique que $a \in H_0 \cup H_2$.

Comme $a \in G^+$, il existe $p, q$ et $q + 2 \in P$, tels que $a = p + q$. On considère les écritures suivantes déduites de (4.7) :

$$ (4.15) \qquad p = 30\Phi_1(p) + 6\Phi_0(p) + p^* \text{ et } q = 30\Phi_1(q) + 6\Phi_0(q) + q^* $$

On suppose que $p \neq 3$. On distingue alors les deux cas suivants :

**Cas 1 : $\Phi_1(q) \neq 0$**

On a dans ce cas, $\Phi_0(q) \neq 0$ et $q^* \in \{1, 5\}$

En outre, $p^* \in \{1, 5\}$. La seule possibilité pour satisfaire $a^* = 2$ est alors $p^* = q^* = 1$.

D'où $q + 2 \notin P$. Cas à exclure.
### Cas 2 : $q = q^* \in \{3, 5\}$

On en déduit alors que $a = p + 3$ où $p = 30\Phi_1(p) + 6\Phi_0(p) + 5$, $\Phi_0(p) \neq 0$.

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

#### Lemme 4.2.6.

Pour tout $a \in 6 + 2\mathbb{N}$,

$$ (4.16) \qquad a \in H_0 \cap G^+ \text{ si et seulement si } a^* = 0 \text{ ou bien } a \in 3 + P_5 $$

**Preuve :**

D'abord, il y a lieu de noter que pour $a \in H_0$, $a^* \in \{0, 2\}$.

Le résultat découle du théorème fondamental et du lemme précédent.

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

#### Lemme 4.2.7.

Pour tout $a \in 6 + 2\mathbb{N}$ tel que $\Phi_1(a) \neq 0$,

$$ (4.17) \qquad \text{Si } 6\Phi_0(a) + a^* \in \{2, 4, 10, 12, 16, 22, 28\}, \text{ alors } a \notin H_0. $$

$$ (4.18) \qquad \text{Si } 6\Phi_0(a) + a^* = 8, \text{ alors } a \notin H_2. $$

**Preuve :**

Pour $a \in H_0$, il existe $p \in P$ tel que $a = 7 + p$.

D'où

$$ \left\{ \begin{array}{l} p = 30\Phi_1(a) + 6\Phi_0(a) + a^* - 7, \\ \text{et } p \notin P \text{ pour } 6\Phi_0(a) + a^* \in \{2, 4, 10, 12, 16, 22, 28\}. \end{array} \right. $$

(4.19) est ainsi démontrée.

Pour $a \in H_2$ et $a^* = 2$, $a \in 3 + P_5$, en vertu du lemme 4.2.5.

Il existe $p \in P_5$ tel que $a = 3 + p$.

D'où

$$ \left\{ \begin{array}{l} p = 30\Phi_1(a) + 6\Phi_0(a) + a^* - 3 \\ \text{et } p \notin P \text{ pour } 6\Phi_0(a) + a^* = 8. \end{array} \right. $$

Ce qui prouve (4.18).

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

#### Lemme 4.2.8.

Pour tout $a \in 6 + 2\mathbb{N}$ tel que $\Phi_1(a) \neq 0$,

$$ (4.19) \qquad \text{Card}\{a' \in 6 + 2\mathbb{N} \text{ tel que } a' \le a \text{ et } a' \in H_0\} \sim \pi(a-7) = (a-7)/\ln(a-7) $$

**Preuve :**

Comme $H_0 = 7 + P$, le résultat découle, d'une part, du fait que :

$$ (4.20) \qquad \text{Card}\{a' \in 6 + 2\mathbb{N} \text{ tel que } a' \le a \text{ et } a' \in H_0\} = \text{Card}\{p \in P \text{ tel que } p \le a - 7\} $$

Et, d'autre part, du théorème des nombres premiers.

<figure><img src="image_9.png" /></figure>
# 5. Conclusion

Dans la présente note, nous avons fourni une preuve complète du théorème fondamental.

Dans une note précédente [1], on a démontré que ce théorème est la clé pour prouver la conjecture YH.

Cette conjecture YH s'est avérée forte et féconde en matière d'applications.

En effet, elle nous a permis d'apporter des preuves aux conjectures de Goldbach et des nombres premiers jumeaux, comme elle a permis de démontrer une variante de la conjecture de Dubner. Ce qui a fait l'objet de la note précédente [1].

Comme de nouvelles applications, nous avons, d'une part, fourni une preuve élémentaire du postulat de Bertrand ou théorème de Tchebychev, et introduit un nouveau cadre pour une modélisation par la théorie des graphes, d'autre part. Cette approche par les graphes s'appuie sur des résultats énoncés sous forme de lemmes préliminaires, tous en lien avec la conjecture YH.

Comme perspective, nous comptons finaliser les travaux en cours, et donner une illustration de la conjecture YH en adoptant la théorie des graphes comme cadre.

## Bibliographie :

1. A. Friâa et M. N. Ammar, « New Conjecture: Application to the proof of the Goldbach and the Twin Prime Conjectures », prepublished in HAL, id hal-05435818v1

2. Tchebichef 1852 « (présenté à l'Académie impériale de Saint-Pétersbourg, en 1850) », publié en 1852, pendant un voyage en Europe occidentale (France, Angleterre, Allemagne). La démonstration du postulat de Bertrand est contenue dans les pages 371-382

3. (en) S. Ramanujan, « A proof of Bertrand's postulate », *Journal of the Indian Mathematical Society*, XI, 1919, p. 181-182. — *Collected Papers of Srinivasa Ramanujan*, 1927, p. 208-209 ; reprint. Chelsea Publishing Company, New York, 1962.

4. P. Erdös, « Beweis eines Satzes von Tschebyschef », *Acta Sci. Maths (Szeged)*, vol. 5 (1930-1932, 1932, p. 194-198.