ANNALES
POLONICI MATHEMATICI
XXX (1975)

Inéquations portant sur des systèmes linéaires
de type parabolique et applications à la recherche
de classes d'unicité

par J. CHABROWSKI (Katowice) et G. REYNAUD (Marseille)

Résumé. Soit $u$ la solution d'un système linéaire d'inéquations de type parabolique dans un domaine $\Omega \times (0, T)$. On démontre que l'intégrale $\int_{\Omega} \Phi^2(t, x) u(t, x)^2 dx$ est une fonction décroissante de $t$, où $\Phi$ est une fonction poids de la forme

$$
\exp \left\{ -m \left[ \int_{-1}^{|x|} \frac{ds}{\sqrt{A(s)}} \right]^2 \right\},
$$

$A$ est une fonction continue, strictement positive définie dans $[-1, \infty)$, telle que la fonction $s \exp \left[ -M \int_{-1}^{s} \frac{dt}{\sqrt{A(t)}} \right]$ est bornée pour certain $M$. Comme conséquence on obtient l'unicité du premier problème de Fourier pour les domaines cylindriques non bornés.

**Notations et hypothèses.** Soient $\Omega$ un ouvert de l'espace euclidien $\mathbf{R}^n$, $T$ un réel positif, $S$ le cylindre $\Omega \times [0, T]$. Nous notons $x = (x_1, \dots, x_n)$ un élément de $\mathbf{R}^n$, $|x|$ la quantité $\sqrt{x_1^2 + \dots + x_n^2}$ et $t$ un élément de $[0, T]$.

La boule ouverte de centre l'origine de rayon $\rho$ dans $\mathbf{R}^n$ sera notée $B_\rho$, $S_\rho$ sera la sphère de centre l'origine, de rayon $\rho$, dans $\mathbf{R}^n$.

Nous noterons par : $\omega_\rho$ l'ensemble $B_\rho \cap \Omega$, $\sigma_\rho$ l'ensemble $S_\rho \cap \Omega$, $\Gamma$ la frontière de $\Omega$.

Si $f$ est une fonction différentiable définie dans $S$, nous noterons
par $D_i f$ la dérivée partielle de la fonction $f$ par rapport à la variable $x_i$,
$D_t f$ la dérivée partielle de la fonction $f$ par rapport à la variable $t$.

Soient $u = (u_1, \dots, u_N)$ et $v = (v_1, \dots, v_N)$ des applications définies dans $S$ à valeur dans $\mathbf{R}^N$; nous noterons par : $uv$ la fonction définie par $uv = u_1 v_1 + \dots + u_N v_N$, $D_i u$ l'application définie dans $S$ à valeurs dans $\mathbf{R}^N$, par $D_i u = (D_i u_1, \dots, D_i u_N)$, $D_t u$ l'application définie dans $S$ à valeurs dans $\mathbf{R}^N$, par $D_t u = (D_t u_1, \dots, D_t u_N)$.

Dans toute la suite, $L$ désignera un opérateur linéaire de type parabolique défini par :

$$
Lu \equiv \sum_{ijk} D_i [a_{ijk}^p D_j u_k] - \sum_k D_t a_{p,k} u_k
$$
où $u$ est une application de $S$ dans $\mathbf{R}^N$ vérifiant certaines propriétés et où les coefficients vérifient les propriétés suivantes:

(a) les $\alpha_{ijk}^p$ appartiennent à $C^1(S)$;

(b) il existe une fonction $F$ appartenant à $C(S)$, telle que, pour tout $\xi = (\xi_i^p)$, $\beta = (\beta_i^p)$ appartenant à $\mathbf{R}^{n \times N}$, on ait:

$$ \sum_{ijkp} \alpha_{ijk}^p \xi_i^p \beta_j^k \le \lambda F \sum_{i,j} (\xi_j^p)^2 + \frac{1}{\lambda} \sum_{ijkp} \alpha_{ijk}^p \beta_i^p \beta_j^k $$

et ceci pour tout $\lambda$ réel strictement positif;

(c) $|D_j \alpha_{ijk}^p| \le F_1$ où $F_1$ appartient à $C(S)$;

(d) pour tout $i, j, p, k$, on a : $\alpha_{ijk}^p = \alpha_{ijk}^k$;

(e) les coefficients $a_{p,k}$ sont localement lipschitziens dans $S$ et vérifient pour tout $\beta = (\beta_p)$ appartenant à $\mathbf{R}^N$,

$$ 0 \le G\beta^2 \le \sum_{p,k} a_{p,k} \beta_p \beta_k \le G_1\beta^2; \quad \sum_{pk} D_t(a_{pk}) \beta_p \beta_k \ge -Hu^2, $$

où $G, G_1$ et $H$ appartiennent $C(S)$.

**Introduction.** Dans ce travail, nous avons généralisé une partie des résultats de [3]. Nous introduisons une fonction définie sur $[-1, +\infty[$ que nous noterons toujours par $A$, et qui permettra de généraliser les fonctions poids $\varphi$ qui interviennent dans [3]. Par exemple: dans [3]

$$ \varphi_{m,\beta,\tau}(x, t) = \exp \left\{ - \frac{m(1 + |x|)^{2-\lambda}}{\beta - (t - \tau)} \right\}, $$

alors qu'ici nous définissons la fonction poids $\varphi_{A,m,\beta,\varphi}$ par,

$$ \varphi_{A,m,\beta,\tau}(x, t) = \exp \left\{ - \frac{m}{\beta - (t - \tau)} \left( \int_{-1}^{|x|} \frac{du}{\sqrt{A(u)}} \right)^2 \right\}. $$

Nous verrons que les résultats obtenus alors englobent ceux de [3] en choisissant convenablement la fonction $A$. Il nous semble que le fait le plus important est que la fonction $A$ peut posséder des ,bosses" sans que la classe d'unicité soit changée; exemple: soit l'opérateur:

$$ Lu = D_x([1 + x^2h(x)]D_x u) - D_t u $$

où $h(x)$ est une fonction positive continue vérifiant les propriétés suivantes:

(1) $\max h(x) = 1$,

(2) pour tout entier $n$, $h(x) = 0$ pour $x$ appartenant à $[n, (n+1)/2]$.
Si on applique les résultats de [3], on a un théorème d'unicité pour un tel opérateur dans la classe des fonctions $u$ vérifiant:

$$ue^{-m_1 \operatorname{Log} x} < K,$$

alors qu'ici nous démontrons qu'il y a unicité pour $u$ vérifiant:

$$u \exp -m_1 \left( \int_{-1}^{x} \frac{1}{\sqrt{1 + x^2 h(x)}} \right)^2 < K,$$

c'est-à-dire une classe beaucoup plus grande à savoir la classe des fonctions $u$ vérifiant:

$$ue^{-2m_1 x^2} < k \quad (m_1 \text{ et } k \text{ constantes positives}).$$

**1. DÉFINITION 1.** Nous dirons que l'application $u$ définie dans $S$ à valeur dans $\mathbf{R}^N$ appartient à $[C^{1,2}(S)]^N$ si $u$ appartient à $[C^1(S)]^N$ et si pour tout couple $(i, j)$, $D_i[D_j u]$ est une application continue dans $S$.

**DÉFINITION 2.** Soit $\psi$ une fonction définie dans $\mathbf{R}^n \times [0, T]$ à valeurs dans $\mathbf{R}_+$; on note $\mathcal{K}_\psi$ l'ensemble des applications $v$ appartenant à $[C^{1,2}(S)]^N$, vérifiant les propriétés suivantes,

(1) $v(x, t) = 0$ pour $(x, t)$ appartenant à $\Gamma \times [0, T]$,

(2) $\psi v_p$ appartient à $L^2(S)$ pour tout $p$.

Nous dirons que $v$ est solution du problème I, si $v$ vérifie:

pour tout $r$ supérieur ou égal à $r_0$ ($r_0$ constante positive donnée) et
pour tout $t$ appartenant à $[0, T]$

$$\int_{\omega_r} -2vLvdx \le \int_{\omega_r} [C_1v^2+u \sum_{i,j,k,p} a_{ijk}^p D_i v_p D_j v_k]dx$$

où $C_1$ appartient à $C(S)$ et $u$ est une constante positive ou nulle inférieure à 2.

**DÉFINITION 3.** Soit $A$ une fonction continue, strictement positive définie sur le segment $[-1, +\infty[$.

On notera par : $\mathcal{A}$ la fonction définie par

$$s \to \mathcal{A}(s) = \int_{-1}^{s} \frac{du}{\sqrt{A(u)}},$$

$\psi_A$ la fonction définie dans $\mathbf{R}^n \times [0, T]$ par

$$(x, t) \to \psi_A(x, t) = \exp -m_1 [\mathcal{A}(|x|)]^2,$$

$\varphi_{A,m,\beta,\tau}$ la fonction définie dans $\mathbf{R}^n \times [\tau, \tau + \beta/2]$ par

$$(x, t) \to \varphi_{A,m,\beta,\tau}(x, t) = \exp -m \frac{[\mathcal{A}(|y|)]^2}{\beta - (t - \tau)}$$
où $m_1$, $m$, $\beta$ sont des constantes positives, $\tau$ un réel, et $|y| = \max(|x|, r_0)$ ($\beta < 1$).

**DÉFINITION 4.** Nous dirons que $\mathcal{A}$ vérifie l'hypothèse I ($H_I$) si $s \exp -M_1[\mathcal{A}(s)]^2 \le K_1$, pour $s \ge 0$, où $M_1$ et $K_1$ sont constantes positives.

Il en résulte que $\displaystyle\int_{-1}^{\infty} \frac{ds}{\sqrt{A(s)}} = \infty$.

**DÉFINITION 5.** La fonction $\mathcal{A}$ étant donnée, nous dirons que les coefficients $\overline{HC_1GG_1FF_1}$ vérifient l'hypothèse $\Pi_A$ ($H_{\Pi_A}$) si:

$$ (1) \qquad G_1(x, t) \le K_1 \exp m_0 [\mathcal{A}(|x|)]^2, $$

$$ (2) \qquad \frac{H(x, t) + C_1(x, t)}{G(x, t)} \le K_1 [\mathcal{A}(|x|)]^2, $$

$$ (3) \qquad \frac{F(x, t)}{G(x, t)} \le K_1 A(|x|), $$

$$ (4) \qquad \frac{F_1(x, t)}{G(x, t)} \le K_1 \exp m_0 [\mathcal{A}(|x|)]^2, $$

où $m_0$ est une constante positive.

**THÉORÈME I.** Soit $\mathcal{A}$ donnée vérifiant $H_I$; on suppose que les coefficients $G, G_1, F, F_1, H, C_1$ vérifient $H_{\Pi_A}$.

Soit $v$ appartenant à $K_{vA}$, $v$ solution du problème I, alors il existe deux constantes positives $\beta_1$ et $\beta_2$ indépendantes de $\tau$ telles que si $m \le \beta_1$ et $m/\beta \ge \beta_2$, on ait:

(1) $\displaystyle\int_{\Omega} \sum_{p,k} \varphi_{A,m,\beta,\tau}^2 a_{p,k} v_p v_k dx$ est une fonction décroissante de $t$, pour $t$ appartenant à $[\tau, \tau + \beta/2] \cap [0, T]$ et ceci pour tout $\tau$,

(2) $\displaystyle\int_{\Omega} \sum_{p,k} \varphi_{A,m,\beta,\tau}^2 (x, \tau_1) a_{p,k} v_p v_k dx$ est finie pour tout $t \in ]0, T]$ et tout $\tau_1$ vérifiant $0 < \tau_1 - \tau < \beta/2$,

(3) $\varphi_{A,m,\beta,\tau}^2(x, \tau_1) \sum_{i,j,k,p} a_{ijk}^p D_i v_p D_j v_k$ appartient à $L^1(\Omega \times [\tau_2, T])$ où $\tau_2 > 0$ et $0 < \tau_1 - \tau < \beta/2$.

**Démonstration.** La démonstration de ce théorème se fera en quatre étapes:

**Etape 1.** Nous rappelons un résultat intermédiaire obtenu dans [3]. Soit $\varphi$ une fonction définie dans $\mathbb{R}_+ \times [t_1, t_2]$ à valeurs dans $\mathbb{R}_+$, où $t_1, t_2$
vérifient $0 \le t_1 < t_2 \le T$, vérifiant,

(1) $\varphi$ est lipschitzienne dans tout borné de $R_+ \times [t_1, t_2]$,

(2) $\varphi(|x|, t) = \varphi(r_0, t)$ pour tout $|x| \le r_0$,

(3) les fonctions $t \to \varphi(|x|, t)$ et $|x| \to \varphi(|x|, t)$ sont décroissantes,

(4) $\varphi$ est solution presque partout de l'inégalité suivante,

$$ -\varphi\varphi_t G - \varphi^2[H + C_1] - \frac{32}{2-\mu} F \varphi^2|_{x|=0} \ge 0, $$

où $\varphi|_{|x|}$ représente la dérivée partielle de la fonction $\varphi$ par rapport à la variable $|x|$, et $\varphi_t$ la dérivée partielle par rapport à la variable $t$.

Si $v$ est solution du problème I, alors $v$ vérifie l'inégalité suivante:

$$ \begin{aligned} & \int_{\tau_1}^{\tau_2} \int_{\omega_r} \left[ -\varphi\varphi_t G v^2 + \frac{2-\mu}{2} \varphi^2 \sum_{ijkp} \alpha_{i,j,k}^p D_j v_p D_j v_k \right] dx dt \\ & \le \int_{\tau_1}^{\tau_2} \int_{\omega_r} \sum_{ijkp} 2\varphi^2 v_p \alpha_{i,j,k}^p D_j v_k \cdot \frac{x_j}{|x|} ds dt + \left[ \int_{\omega_r} \sum_{pk} \varphi^2 a_{p,k} v_p v_k dx \right]_{t=\tau_1} \\ & \quad - \left[ \int_{\omega_r} \sum_{pk} \varphi^2 a_{p,k} v_p v_k dx \right]_{t=\tau_2} \end{aligned} $$

où $(\tau_1, \tau_2)$ vérifie $t_1 \le \tau_1 < \tau_2 \le t_2$. On démontre ce résultat en considérant l'identité:

$$ -2\varphi^2 v Lv = - \sum_{i,j,k,p} 2\varphi^2 v D_i [\alpha_{ijk}^p D_j v_k] + \sum_{pk} \varphi^2 v D_t a_{pk} v_k. $$

On obtient par des calculs élémentaires,

$$ \begin{aligned} -2\varphi^2 v Lv \ge & -\sum_{ijkp} D_i [2\varphi^2 v_p \alpha_{ijk}^p D_i v_k] + \sum_{pk} D_t [\varphi^2 a_{pk} v_p v_k] + \\ & + [-2\varphi\varphi_t G - \varphi^2 H - 4\lambda\varphi^2|_{|x|=0} F] v^2 + 2\varphi^2 \left[1 - \frac{2}{\lambda} - \frac{\mu}{2}\right] \sum_{ijkp} \alpha_{ijk}^p D_i v_p D_j v_k, \end{aligned} $$

où $\lambda$ est un réel positif; si on prend $\lambda = 8/2 - \mu$, et si on intégre l'inégalité précédente sur $\omega_r \times [\tau_1, \tau_2]$, $t_1 \le \tau_1 < \tau_2 \le t_2$ et, en utilisant la méthode énoncée dans [3] nous obtenons le résultat.

En effet 1, 2, 3, sont bien vérifiées, il reste à vérifier (4).

Remplaçons $\varphi$ par $\varphi_{A,m,\beta,\tau}$ dans le premier membre de (4): si $|x| < r_0$, on a, en utilisant l'hypothèse $\Pi_A$,

$$ \frac{m[\mathcal{A}(r_0)]^2}{[\beta - (t - \tau)]^2} - K_1[\mathcal{A}(|x|)] \ge \left[ \frac{m}{\beta^2} - K_1 \right] [\mathcal{A}(r_0)]^2, $$
quantité qui est positive si $m/\beta \ge K_1$ (par hypothese $\beta < 1$); si $|x| > r_0$, on obtient,

$$ \left[ \frac{m}{[\beta - (t-\tau)]^2} - K_1 - \frac{128m^2K_1}{(2-\mu)[\beta - (t-\tau)]^2} \right] [\mathcal{A}(r)]^2, $$

quantité qui est positive si $m/\beta \ge 2K_1$ et $m < 2 - \mu/256K_1$.

Donc si $m/\beta \ge 2K_1$ et $m < 2 - \mu/256K_1$, $\varphi_{A,m,\beta,\tau}$ vérifie (1), (2), (3), (4), donc (5) est verifiée si on remplace $\varphi$ par $\varphi_{A,m,\beta,\tau}$.

Etape 3. Montrons que si $v$ appartient à $K_{vA}$, si $m/\beta \ge \max(3M_1+m_1, M_1+2m_0+m_1, m_0+3M_1+m_1)$, alors $\varphi_{A,m,\beta,\tau}$ et $v$ vérifient:

(6) Pour tout $(\tau_1, \tau_2)$ ($\tau \le \tau_1 < \tau_2 \le \tau + \beta/2$), il existe une suite $r_m$ tendant vers l'infini et une suite $R_m$ tendant vers zéro, telles que,

$$ \int_{\tau_2}^{\tau_1} \int_{\tau_m}^{\tau_1} \sum_{ijkp} 2\varphi_{A,m,\beta,\tau}^2 \frac{x_i}{|x|} \alpha_{ijk}^p v_p D_j v_k dS dt \le R_m. $$

Pour démontrer ce résultat considérons l’intégrale,

$$ I(r) = \int_{\tau_1}^{\tau_2} \int_{\omega_r} \sum_{ijkp} 2\varphi_{A,m,\beta,\tau}^2 x_i \alpha_{ijk}^p v_p D_j v_k dx dt, $$

où $\tau_1, \tau_2$ vérifient $\tau \le \tau_1 < \tau_2 \le \tau + \beta/2$, $r > r_0$.

On a:

$$ \begin{aligned} I(r) = & \int_{\tau_1}^{\tau_2} \int_{\omega_r} \sum_{ijkp} D_j [\varphi_{A,m,\beta,\tau}^2 x_i \alpha_{ijk}^p v_p v_k] dx dt - \\ & - \int_{\tau_2}^{\tau_1} \int_{\omega_r} \sum_{ijkp} \left[ \delta_{ij} - \frac{4m}{\beta - (t-\tau)} \mathcal{A}(|x|) \frac{1}{\sqrt{A(|x|)}} \frac{x_i x_j}{|x|} \right] \varphi_{A,m,\beta,\tau}^2 \alpha_{ijk}^p v_p v_k dx dt - \\ & - \int_{\tau_1}^{\tau_2} \int_{\omega_r} \sum_{ijkp} \varphi_{A,m,\beta,\tau}^2 x_i v_p v_k D_j \alpha_{ijk}^p dx dt = B_1 + B_2 + B_3, \end{aligned} $$

où $\delta_{ij}$ est le symbole de Kronecker.

Etudions chaque terme du deuxième membre de l'égalité précédente. Considerons $B_2$;

Si $\sqrt{A(x)} > n^2 \frac{8m}{\beta} \mathcal{A}(|x|) |x|$ en un point de $\mathbf{R}^n \times [\tau_1, \tau_2]$, alors nous avons:

$$ \begin{aligned} & \sum_{ijkp} \left[ \delta_{ij} - \frac{4m}{\beta - (t-\tau)} \mathcal{A}(|x|) \frac{1}{\sqrt{A(x)}} \frac{x_i x_j}{|x|} \right] \alpha_{ijk}^p v_p v_k \\ & \ge \sum_{ijkp} \left[ \delta_{ij} - \frac{1}{n^2} \frac{x_i x_j}{|x|^2} \right] \alpha_{ijk}^p v_p v_k. \end{aligned} $$
Introduisons les formes quadratiques

$$
\mathcal{F}_1 = \sum_{ij} d_{ij} \lambda_i \lambda_j \quad \text{où} \quad d_{ij} = \sum_{pk} \alpha_{ijk}^p v_p v_k,
$$

$$
\mathcal{F}_2 = \sum_{ij} \left[ \delta_{ij} - \frac{1}{n^2} \frac{x_i x_j}{|x|^2} \right] \mu_i \mu_j .
$$

En vertu de l'hypothèse (b), la forme $\mathcal{F}_1$ est positive. De plus,

$$
\mathcal{F}_2 = |\mu|^2 - \sum_{ij} \frac{1}{n^2} \frac{x_i x_j}{|x|^2} \mu_i \mu_j \ge 0,
$$

est aussi une forme quadratique positive. Alors, il est bien connu que:

$$
\sum_{ij} d_{ij} \left[ \delta_{ij} - \frac{1}{n^2} \frac{x_i x_j}{|x|^2} \right] \ge 0, \quad \text{c'est-à-dire,}
$$

$$
\sum_{ijkp} \left[ \delta_{ij} - \frac{1}{n^2} \frac{x_i x_j}{|x|^2} \right] a_{ijk}^p v_p v_k \ge 0.
$$

Si $\sqrt{A}(x) \le n^2 \frac{8m}{\beta} \mathcal{A}(|x|) |x|$, en un point de $\mathbf{R}^n \times [\tau_1, \tau_2]$, alors
nous avons :

$$
\begin{align*}
& - \sum_{ijkp} \left[ \delta_{ij} - \frac{4m}{\beta - (t-\tau)} \mathcal{A}(|x|) \frac{1}{\sqrt{A(|x|)}} \frac{x_i x_j}{|x|} \right] a_{ijk}^p v_p v_k \\
&\le \frac{32m}{\beta} K_1^2 \mathcal{A}(|x|) \sqrt{A(|x|)} \exp[m_0 [\mathcal{A}(|x|)]^2] |x_i| |v_i|^2 \\
&\le \frac{256}{\beta^2} m^2 n^2 K_1^2 [\mathcal{A}(|x|)]^2 |x|^2 |v|^2 \exp m_0 [\mathcal{A}(|x|)]^2.
\end{align*}
$$

Donc, dans tous les cas, nous avons :

$$
B_2 \le \frac{256}{\beta^2} m^2 n^2 K_1^2 \int_{\tau_1}^{\tau_2} \int_{\omega_r} [\mathcal{A}(|x|)]^2 |x|^2 \varphi_{A, m, \beta, \tau}^2 v^2 \exp m_0 [\mathcal{A}(|x|)]^2 dx dt.
$$

En utilisant l'hypothèse $H_1$, nous avons :

$$
\begin{align*}
B_2 \le & \frac{256}{\beta^2} m^2 n^2 K_1^2 \int_{\tau_1}^{\tau_2} \int_{\omega_r} [\mathcal{A}(|x|)]^2 \dot{\exp} - M_1 [\mathcal{A}(|x|)]^2 |x|^2 \times \\
& \times \exp - 2M_1 [\mathcal{A}(|x|)]^2 \exp \left( - \frac{2m}{\beta - (t-\tau)} + 3M_1 \right) [\mathcal{A}(|x|)]^2 v^2 dx dt.
\end{align*}
$$
Remarquons que si $H_1$ est vraie, $[\mathcal{A}(|x|)]^2 \exp -M_1[\mathcal{A}(|x|)]^2$ tend vers zéro quand $|x|$ tend vers l'infini et que $|x|^2 \exp -2M_1[\mathcal{A}(|x|)]^2 \le K_1^2$; comme $v$ appartient à $K_{v,\mathcal{A}}$, si $m/\beta \ge 3M_1+m_1$, nous aurons $B_2 \le R_1$, $R_1$ constante positive.

Considérons $B_3$,

$$B_3 \le \int_{\tau_1}^{\tau_2} \int_{\omega_r} K_1^2 n^2 N^2 |x| \exp\{-M_1[\mathcal{A}(|x|)]^2\} \exp\left\{\left[-\frac{2m}{\beta - (t-\tau)} + M_1 + \right.\right. \\ \left. \left. + 2m_0\right]\right[\mathcal{A}(|x|)]^2\} v^2 dx dt.$$

Donc si $m/\beta \ge M_1 + 2m_0 + m_1$, nous avons:

$$B_3 \le R_2 R_2 \quad \text{constante positive.}$$

Nous avons donc, si $m/\beta \ge \max(3M_1+m_1, M_1+2m_0+m_1)$,

$$I(r) \le \int_{\tau_1}^{\tau_2} \int_{\sigma_r} \sum_{ijkp} \varphi_{A,m,\beta,r}^2 \alpha_{ijk}^p \frac{x_i x_j}{|x|} v_p v_k ds dt + R_1 + R_2,$$

car d'après les hypothèses faites, nous pouvons appliquer le lemme A (voir § 5).

Considérons l'intégrale

$$B_1 = \int_{\tau_1}^{\tau_2} \int_{\sigma_r} \sum_{ijkp} \varphi_{A,m,\beta,r}^2 \alpha_{ijk}^p \frac{x_i x_j}{|x|} v_p v_k ds dt,$$

nous avons,

$$B_1 \le \int_{\tau_1}^{\tau_2} \int_{\sigma_r} 4K_1^2 A(r) |x| \exp \left\{ \left[ -\frac{2m}{\beta - (t-\tau)} + m_0 \right] [\mathcal{A}(|x|)]^2 \right\} v^2 ds dt \\ \le 4K_1^2 \exp \left\{ \left[ -\frac{2m}{\beta} + m_0 \right] [\mathcal{A}(r)]^2 \right\} rA(r) \int_{\tau_1}^{\tau_2} \int_{\sigma_r} v^2 ds dt = J(r).$$

Soit $r_1 > 0$ donné et supposons que pour tout $r \ge r_1$, $J(r) \ge R_3$ ($R_3$ constante positive donnée) nous avons donc, pour tout $r \ge r_1$:

$$\frac{R_3}{A(r)} \le 4rK_1^2 \exp\{-M_1(\mathcal{A}(r))^2\} \cdot \exp\left\{\left(-\frac{2m}{\beta} + \right.\right. \\ \left. \left. + m_0 + M_1\right)[\mathcal{A}(r)]^2\right\} \int_{\tau_1}^{\tau_2} \int_{\sigma_r} v^2 ds dt,$$

d'où:

$$\frac{\sqrt{R_3}}{\sqrt{A(r)}} \le 2K_1^2 \exp \left\{ \frac{1}{2} \left( -\frac{2m}{\beta} + m_0 + M_1 \right) (\mathcal{A}(r))^2 \right\} \sqrt{\int_{\tau_1}^{\tau_2} \int_{\sigma_r} v^2 ds dt}.$$
Intégrons cette inégalité sur $[r_1, \varrho] (\varrho \ge r_1)$ et utilisons l'inégalité de Hölder, nous avons,

$$ \int_{r_1}^{\varrho} \frac{\sqrt{R_3}}{\sqrt{A(s)}} ds \le 2K_1^2 \left[ \int_{r_1}^{\varrho} \exp\{-2M_1[\mathcal{A}(s)]^2\} ds \right]^{1/2} \times \\ \times \left[ \int_{r_1}^{\varrho} \left( \exp\left\{\left(-\frac{2m}{\beta} + m_0 + 3M_1\right)[\mathcal{A}(r)]^2\right\} \int_{\sigma_r}^{\tau_2} \int_{\sigma_r} v^2 ds dt \right) dr \right]^{1/2}. $$

Si on suppose que $m/\beta \ge m_0 + 3M_1 + m_1$, en utilisant $H_1$ et le fait que $v$ appartient à $K_{vA}$, nous avons:

$$ \int_{r_1}^{\varrho} \frac{\sqrt{R_3}}{\sqrt{A(s)}} ds \le 2K_1^3 \left( \int_{r_1}^{\varrho} \frac{1}{\varrho^2} d\varrho \right)^{1/2} \left[ \int_{\tau_1}^{\tau_2} \int_{\omega_\varrho} \exp\{-m_1[\mathcal{A}(|x|)]^2\} v^2 dx dt \right]^{1/2} \le R_4, $$

où $R_4$ est une constante positive indépendante de $\varrho$; ce qui est impossible, car quand $\varrho$ tend vers l'infini, le premier membre de l'inégalité tend vers l'infini.

Donc il existe une suite $r_m$ tendant vers l'infini, telle que si $m/\beta \ge \max(3M_1+m_1, M_1+2m_0+m_1, m_0+3M_1+m_1)$, alors nous avons, $I(r_m) \le R$ ($R$ constante positive indépendante de $m$).

Montrons que pour tout $r_m$, il existe $r'_m \ge r_m$ tel que

$$ I_1(r'_m) = \int_{\tau_1}^{\tau_2} \int_{\sigma_{r'_m}} \sum_{i,j,k,p} 2\varphi_{A,m,\beta,r}^2 x_i a_{ijk}^p v_p D_j v_k ds dt \le R. $$

En effet, si ceci était faux, alors, pour tout $r_p > r_m$, on aurait, $I(r_p) > I(r_m) + (r_p - r_m)R$ qui tendrait vers l'infini quand $r_p$ tendrait vers l'infini, ce qui est impossible.

Ce qui démontre (6) (la suite $r_m$ de (6) est égale à $r'_m$ et $R_m = R/r'_m$).

### Étape 4. Supposons que:

$$ \frac{m}{\beta} \ge \max[2K_1, 3M_1+m_1, M_1+2m_0+m_1, m_0+3M_1+m_1] = \beta_2, $$

et

$$ m \le \frac{2 - \mu}{256K_1} = \beta_1. $$

Alors nous pouvons utiliser l'inégalité (5) dans laquelle nous posons $r = r_m$ et faire tendre $m$ vers l'infini. Les résultats du théorème I découlent immédiatement de cette inégalité (voir aussi [3], théorème 2.1.1).

2. Cas $N=1$. Nous dirons que $v$ est solution du problème II, si $v$ vérifie: $-2vLv \le C_1v^2 + \mu \sum_{ij} a_{ii} D_i v D_j v$, pour tout $(x, t)$ appartenant à
$\Omega \times [0, \tau]$ où $C_1$ appartient à $C(S)$ et $\mu$ est une constante positive ou nulle, inférieure à 2.

**DÉFINITION 6.** Soit $v$ une fonction définie dans $S$ à valeurs dans $\mathbf{R}$, nous définissons deux nouvelles fonctions $v_+$ et $v_-$ par:

$$v_+(x, t) = \max[0, v(x, t)],$$

$$v_-(x, t) = \max[0, -v(x, t)].$$

**DÉFINITION 7.** Soit $\psi$ une fonction définie dans $\mathbf{R}^n \times [0, T]$ à valeurs dans $\mathbf{R}_+$, on note $K_{+\psi}$ (respectivement $K_{-\psi}$) l'ensemble des applications appartenant à $C^{1,2}(S)$ vérifiant les propriétés suivantes:

(1) $v_+(x, t) = 0$ (respectivement $v_-(x, t) = 0$) pour $(x, t)$ appartenant à $\Gamma \times [0, T]$,

(2) $\psi v_+$ (respectivement $\psi v_-$) appartient à $L^2(S)$.

**THÉORÈME II.** Soient : A donnée vérifiant $H_1$, on suppose que les coefficients $H, C_1, G, G_1, F, F_1$ vérifiant $H_{II_A}$, $v$ appartenant à $K_{+\psi_A}$, $v$ solution du problème II, alors il existe deux constantes positives $\beta_1$ et $\beta_2$ indépendantes de $\tau$, telles que si $m \le \beta_1$ et $m/\beta \ge \beta_2$, on ait :

$$(1) \quad \int_{\Omega} \varphi_{A,m,\beta,\tau}^2 \mathbf{a}v_+^2 dx \quad \begin{array}{l} \text{fonction décroissante de } t, \text{ pour } t \text{ appartenant à} \\ \quad \left[ \tau, \tau + \frac{\beta}{2} \right] \cap [0, T] \text{ et ceci pour tout } \tau, \end{array}$$

$$(2) \quad \int_{0 < \tau_1 - \tau < \beta/2} \varphi_{A,m,\beta,\tau}^2(x, \tau_1) \mathbf{a}v_+^2 dx \quad \begin{array}{l} \text{finie pour tout } t \in ]0, T] \text{ et tout } \tau_1 \text{ vérifiant} \\ \text{et tout } \tau_2 \end{array}$$

$$(3) \quad \varphi_{A,m,\beta,\tau}^2(x, \tau_1) \sum_{i,j} a_{ij} D_i v_+ D_j v_+ \quad \begin{array}{l} \text{appartenant à } L^1(\Omega \times [\tau_2, T]), \text{ où} \\ \tau_2 > 0 \text{ et } 0 < \tau_1 - \tau < \beta/2. \end{array}$$

**Démonstration.** A l'aide du lemme B, § 5, nous avons un résultat intermédiaire qui remplace l'étape dans la démonstration du théorème 1, à savoir : si $\varphi$ vérifie $1-2-3-4$, si $v$ est solution du problème II, alors $v_+$ (respectivement $v_-$) vérifie l'inégalité suivante :

$$(5') \quad \begin{aligned} & \int_{\tau_1}^{\tau_2} \int_{\omega_r} \left[ -\varphi \varphi_t G v_+^2 + \frac{2-\mu}{2} \varphi^2 \sum_{ij} a_{ij} D_i v_+ D_j v_+ \right] dx dt \\ & \le \int_{\tau_1}^{\tau_2} \int_{\sigma_r} \sum_{ij} 2\varphi^2 v_+ a_{ij} \frac{x_i}{|x|} D_j v ds dt + \left[ \int_{\omega_r} \varphi^2 \mathbf{a}v_+^2 dx \right]_{t=\tau_1} - \left[ \int_{\omega_r} \varphi^2 \mathbf{a}v_+^2 dx \right]_{t=\tau_2} \end{aligned}$$

qui remplace l'inégalité (5). La suite de la démonstration est identique à la démonstration précédente, sauf que la propriété (6) sera remplacée par (6')
(6) pour tout $\tau_1, \tau_2$ ($\tau \le \tau_1 < \tau_2 \le \tau + \beta/2$), il existe une suite $r_m$ tendant vers l'infini et une suite $R_m$ tendant vers zéro, telles que,

$$ \int_{\tau_1}^{\tau_2} \int_{\sigma} \int_{r_m} \sum_{ij} 2\varphi^2 v_+ a_{ij} \frac{x_i}{|x|} D_j v ds dt \le R_m, $$

qui se démontre d'une manière analogue à (6).

### 3. Applications.

THÉORÈMES D'UNICITÉ. Considérons le système du type parabolique suivant:

$$ L_1 v \equiv Lv + \sum_{ik} b_{ik}^p D_i v_k + c_k^p v_k \equiv Lv + Bv + Cv. $$

On dira que $v$ est solution du problème III, si

$$ v(x, 0) = 0, $$

$$ v(x, t) = 0 \quad \text{pour } (x, t) \text{ appartenant à } \Gamma \times [0, T]. $$

$$ L_1 v = 0. $$

HYPOTHÈSE III. Les $b_{ik}^p$ et $c_k^p$ appartiennent à $C(S)$ et vérifient: pour tout $r \ge r_0$ ($r_0$ constante positive fixée), pour tout $t$ appartenant à $[0, T]$,

$$ \int_{\omega_r} 2v[Bv + Cv]dx \le \int_{\omega_r} [C_1v^2 + \mu \sum_{ijk\nu} a_{ijk}^p D_i v_p D_j v_k] dx $$

où $C_1$ appartient à $C(S)$ et $\mu$ est une constante positive ou nulle inférieure à 2.

THÉORÈME III. Soient: A donnée vérifiant $H_1$, les coefficients $H, C_1, F, F_1, G, G_1$ vérifiant $H_{II_A}$ et $B$ et $C$ vérifiant $H_{III}$, $v$ appartenant à $K_{v_A}$, $v$ solution du problème III, alors $v$ est identiquement nulle dans $S$.

La démonstration est identique à celle du théorème 3.1.1 de [3].
Cas $N = 1$.

HYPOTHÈSE IV. Les $b_i$ et $c$ appartiennent à $C(S)$ et vérifient:

$$ 2v(Bv + Cv) \le C_1v^2 + \mu \sum_{ij} a_{ij} D_i v D_j v $$

ou $C_1$ appartient à $C(S)$ et $\mu$ est une constante positive ou nulle inférieure à 2.

THÉORÈME IV (principe de maximum). Soient: A donnée vérifiant $H_1$, les coefficients $b_i$ et $c$ vérifiant l'hypothèse IV, les coefficients $H, C_1, F, F_1, G, G_1$ vérifiant $H_{II_A}$, soient $u_1$ et $u_2$ appartenant à $K_{v_A}$, solutions de l'équation $L_1 u = 0$, si

$$ u_1(x, t) \le u_2(x, t) \quad \text{pour } (x, t) \text{ appartenant à } \Gamma \times [0, T] \text{ et} $$

$$ u_1(x, 0) \le u_2(x, 0) \quad \text{pour } x \text{ appartenant à } \Omega, $$

$$ \text{alors } u_1(x, t) \le u_2(x, t) \text{ pour } (x, t) \text{ appartenant à } S. $$
Démonstration. Si nous posons $v(x, t) = u_1(x, t) - u_2(x, t)$, alors $v_+(x, 0) = 0$ et $v_+(x, t) = 0$ pour $(x, t)$ appartenant à $\Gamma \times [0, T]$. Il suffit d'appliquer le théorème II pour démontrer ce théorème.

**4. Résultat optimaux.** Nous démontrons ici que dans un certain sens il n'est pas possible d'améliorer les résultats précédents. Nous donnons une solution du problème III, non identiquement nulle, où les coéfficients $H, C_1, F, F_1, G, G_1$ vérifient $H_{II_A}$, la fonction $u$ solution du problème III, vérifie:

$u$ appartient à $K_{\psi_{A,s}}$, où $\psi_{A,s}$ est définie par:

$$ \psi_{A,s} = \exp - [\mathcal{A}(|x|)]^{2+s}. $$

Soit $\mathcal{A}(s)$ une fonction vérifiant $H_I$, soit $\Omega = \mathbf{R}$ et considérons l'équation aux dérivées partielles:

$$ L_2 u = D_x(\sqrt{A}, D_x u) - D_t \frac{u}{\sqrt{A}} = 0. $$

On suppose que $\dot{A}$ vérifie certaines propriétés de telle sorte que $F, F_1, G, G_1, H, C_1$ vérifient $H_{II_A}$.

Nous cherchons la solution $u$ du problème III sous forme de série; formellement nous posons:

$$ u = \sum_{m=0}^{\infty} a_m(x) f^{(m)}(t), $$

où $a_m$ sont des fonctions de la variable $x$ et $f^{(m)}(t)$ est la dérivée $m$-ième d'une fonction de $t$.

En identifiant, nous avons:

$$ \sum_m f^{(m)}(t) D_x(\sqrt{A(|x|)} D_x a_m(x)) - \frac{1}{\sqrt{A(|x|)}} \sum_m a_m(x) f^{(m+1)}(t) = 0. $$

$$ D'\text{où } \sqrt{A} \cdot D_x a_0 = k $$

$$ D_x(\sqrt{A} D_x a_{m+1}) = \frac{1}{\sqrt{A}} a_m. $$

Et si $\mathcal{B}(x) = \int_0^x \frac{dx}{\sqrt{A}}$, nous avons:

$$ a_0 = k \mathcal{B}(x), $$

$$ a_m = \frac{k}{(2m+1)!} [\mathcal{B}(x)]^{2m+1}. $$
Soit $f$ une fonction indéfiniment dérivable, non identiquement nulle
qui s'annule ainsi que toutes ses dérivées pour $t = 0$ et qui vérifie

$$
|f^{(m)}(t)| \le M_1 m^{(1+\delta)m} \quad (\delta \text{ nombre strictement positif}).
$$

(De telles fonctions existent: voir [2].)

On a alors :

$$
|a_m f^{(m)}| \le M_1 k \frac{m^{\delta m} [\mathcal{B}(x)]^{2m+1}}{m!}.
$$

En utilisant la formule de Stirling, on a :

$$
|a_m f^{(m)}| \le M \mathcal{B}(x) \left( \frac{[\mathcal{B}(x)]^2}{m^{1-\delta}} \right)^m \quad M \text{ constante positive indépendante de } m.
$$

Donc $\sum_m a_m f^{(m)}$ est une série uniformément convergente sur tout borné de $\mathbf{R} \times [0, T]$. On peut démontrer facilement que les séries obtenues en dérivant terme à terme sont elles aussi uniformément convergentes sur tout borne de $\mathbf{R} \times [0, T]$, c'est-à-dire que $u = \sum_m a_m f^{(m)}(t)$ appartient à $C^{1,2}(S)$. De plus, $u \le N \mathcal{B}(x) \exp[\mathcal{B}(x)]^{2/(1-\delta)}$ voir [2].

Donc pour $\delta$ assez petit vérifiant $2/(1-\delta) < 2+\epsilon/2$, on montre facilement que $u$ appartient à $K_{\nu_{\Delta,\epsilon}}$.

5. Remarque. Une partie des résultats de [3] s'obtient facilement en choisissant correctement la fonction A.

(1) Si $A(s) = (2+s)^\lambda$, $0 \le \lambda < 2$, nous obtenons les résultats des théorèmes 2.1.1, 2.2.1, 3.1.1, 3.2.1, de [3].

(2) Si $A(s) = (3+s)^2[\text{Log}(3+s)]^\nu$, $0 \le \nu \le 1$, nous obtenons les résultats des théorèmes 2.1.2, 2.2.2, 3.1.2, 3.2.2 de [3].

Nous citons (sans démonstration) les lemmes dont nous avons fait
usage dans les théorèmes précédents

LEMME A. Soit $f$ une fonction définie dans $\bar{\Omega} \times [t_1, t_2]$, lipschitzienne sur tout borné de $\bar{\Omega} \times [t_1, t_2]$ et nulle sur $\Gamma \times [t_1, t_2]$. Alors nous avons, pour tout $t$ appartenant à $[t_1, t_2]$

$$
\int_{\omega_r} D_i f dx = \int_{\sigma_r} f \frac{x_i}{r} ds.
$$

LEMME B. Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$, soit $f$ une fonction appartenant à $C^1(\bar{\Omega})$ et nulle sur $\Gamma \times [t_1, t_2]$, soit $f_+(x) = \max(f(x), 0)$.

On a les résultats suivants :

(1) la fonction $f_+$ admet presque partout dans $\Omega$ des dérivées partielles et si on appelle $\Omega_1$ l'ensemble des points $x$ de $\Omega$ tel que $f(x) > 0$ et $\Omega_2$
l'ensemble des points $x$ de $\Omega$ où $f(x) \le 0$, on a:

les restrictions à $\Omega_1$ de $D_i f_+$ et $D_i f$ sont égales,
la restriction à $\Omega_2$ de $D_i f_+$ est nulle presque partout,

(2) la fonction $f_+$ est lipschitzienne sur tout borné de $\bar{\Omega}$.

Bibliographie

[1] J. Chabrowski, *Sur un système non linéaire d'inégalités différentielles paraboliques dans un domaine non borné*, Ann. Polon. Math. 22 (1969), p. 27-35.

[2] I. M. Gelfand et G. E. Chilov, *Les distributions*, Collection Universitaire de Mathémetiques. Edit. Dunod.

[3] G. Reynaud, *Quelques résultats sur les solutions de systèmes d'inéquations de type parabolique*, Thèse-Université d'Aix-Marseille, N° C.N.R.S.: A.O. 6791.

[4] — Notes aux C.R. Acad. Sci. Paris, 271, série A, 1970, p. 835-274, série A, 1972, p. 636-274, série A 1972, p. 777.

UNIVERSITÉ SILÉSIENNE, KATOWICE
U.E.R., MATHÉMATIQUE – INFORMATIQUE
UNIVERSITÉ DE MARSEILLE – LUMINY

Reçu par la Rédaction le 27. 9. 1972