## 3 ANNEXE 3 : AIDER L'ELEVE « JUSTE CE QU'IL FAUT », UN EXEMPLE D'ORGANIGRAMME D'AIDE

Nous reprenons à notre compte l'existence d'une tension soulignée par Vannier M.P. (2002) à propos de l'étayage. Le professeur doit gérer au quotidien une contradiction. Il doit créer les conditions permettant à l'élève de s'engager dans l'activité et donc pour cela l'aider mais aussi lui permettre de résoudre de manière autonome le problème posé. Il doit aussi assurer un contrôle effectif sur cet engagement afin de permettre les apprentissages visés.

Le dosage de l'aide à apporter à l'élève provisoirement incapable de résoudre seul le problème devient un enjeu crucial de l'enseignement à des élèves en difficulté en mathématiques.

Il faut aider l'élève à élaborer une démarche de résolution sans pour autant lui fournir clés en main cette démarche. Il faut lui donner assez d'informations pour qu'il puisse mobiliser les connaissances nécessaires sans pour autant résoudre à sa place le problème.

Illustrons par un exemple notre propos. Nous allons décrire ici des démarches de résolution observées lors d'une passation d'entretiens individuels. Les interactions ne font alors intervenir que deux partenaires : l'élève observé et l'expérimentateur. Une résolution en classe pourrait utiliser d'autres leviers comme par exemple des moments collectifs et des interactions entre élèves.

Des élèves de fin de cycle trois de l'école élémentaire doivent résoudre le problème suivant :

* Trouver 3 nombres consécutifs dont la somme est égale à 108.

* Si besoin, le terme « consécutif » est explicité. Un exemple peut être donné : 2, 3, 4.

* Décrivons dans un premier temps les démarches des élèves capables de résoudre au moins en partie le problème.

* Les démarches des élèves

Des élèves de collège ayant quelques rudiments d'algèbre pourraient résoudre ce problème ainsi :

Appelons n le plus petit des trois nombres consécutifs, alors :

$$n + (n + 1) + (n + 2) = 108$$

$$3n + 3 = 108$$

$$3n = 105$$

$$n = 105 / 3 = 35$$

Les trois nombres sont donc 35, 36 et 37.

Cette formalisation dépasse les compétences des élèves de cycle 3 de l'école élémentaire, ceux-ci mobilisent deux types de démarches que nous décrivons ci-dessous.
## 3.1 Les démarches susceptibles de conduire à la solution

La première démarche fait appel à la division<fnref n="2" />, la seconde est basée sur une évaluation de l'ordre de grandeur des nombres recherchés et sur un ajustement par essais, erreurs et encadrement<fnref n="3" />.

Les procédures de division : des élèves reconnaissent une structure multiplicative. Certains vont rechercher le nombre qui multiplié par 3 « donne » 108. D'autres vont diviser 108 par 3. Ils trouvent assez rapidement 36. Ils vont ensuite proposer une suite de trois nombres susceptibles de répondre à la question.

Les procédures d'ajustement : D'autres élèves évaluent mentalement un ordre de grandeur des nombres cherchés. Ils proposent par exemple 20, 21, 22 et vérifient leur proposition en calculant la somme $20 + 21 + 22 = 63$. Ils vont dans un second temps, en évaluant l'écart entre la somme obtenue et 108 reconsidérer leur première évaluation et proposer une seconde suite de nombres :

$$30, 31, 32; 30 + 31 + 32 = 93; \text{« trop petit »}$$

$$40, 41, 42; 40 + 41 + 42 = 123; \text{« trop grand »}$$

$$35, 36, 37; 35 + 36 + 37 = 108; \text{gagné!}$$

## 3.2 Les difficultés à surmonter

Nous avons relevé plusieurs difficultés devant être surmontées lors de la mise en œuvre de chacune de ces deux stratégies.

### 3.2.1 L'oubli d'une contrainte

Dans chaque cas, l'élève peut oublier une des deux contraintes de la consigne : « trouver trois nombres consécutifs ». Plusieurs élèves de la catégorie des « diviseurs » proposent par exemple 36, 36 et 36.

Le professeur doit alors faire un choix : soit rappeler l'énoncé, soit demander à l'élève de vérifier son résultat. En général, les élèves s'aperçoivent rapidement de leur erreur et proposent une suite de nombres adaptée à cette contrainte par exemple dans le cas précédent, ils peuvent proposer : 36 + 37 + 38⁴.

### 3.2.2 La vérification de la solution annoncée

Une autre difficulté commune aux deux stratégies réside dans la mobilisation par les élèves de moyens de contrôle. Ainsi les élèves produisant la suite 36 - 37 - 38 peuvent ne pas en vérifier la pertinence et donc produire une solution erronée.

<footnote n="2">² Nous désignerons le premier type de démarche par l'expression « procédures de division » et nous qualifierons les élèves qui l'emploient de « diviseurs ».</footnote>

<footnote n="3">³ Nous désignerons le second type de démarche par l'expression « essais et encadrement ». Les élèves qui l'emploient seront appelés des « encadreurs ».</footnote>

<footnote n="4">⁴ Les élèves ont en effet très souvent « le réflexe » d'incrémenter de 1, le premier nombre.</footnote>
Le professeur peut alors demander une vérification du résultat. Il peut aussi proposer
au départ un énoncé incluant cette consigne<fnref n="5" /> :

Trouver 3 nombres consécutifs dont la somme est égale à 108. Justifier votre résultat.

La vérification attendue est la comparaison de la somme des trois nombres et de 108.

Deux cas peuvent se présenter. Constatant son erreur, l'élève peut proposer une autre solution. Il peut aussi rejeter la démarche amorcée et en adopter une autre ou bien ne plus savoir quoi tenter. La démarche de résolution débouche alors sur un blocage.

### 3.2.3 La procédure de division par deux

Certains élèves ayant « senti » une division divisent 108 par 2. Si on leur demande de dire pourquoi, ils déclarent qu'ils essaient de diviser par deux car cela leur paraît le plus simple. Ils trouvent alors 54.

L'élève produit alors une solution<fnref n="6" /> par exemple du type 54, 55, 56.

Après vérification spontanée ou sollicitée de sa proposition, plusieurs cas peuvent se présenter : l'abandon de la procédure de division au profit d'une procédure par essai et encadrement, le blocage ou enfin la réitération d'une division par deux.

Etudions ce dernier cas.

Des élèves divise 54 par 2 à nouveau, justifiant ce calcul par un argument analogue à celui formulé pour la première division.

L'élève trouve 27. Il propose alors par exemple 27, 28 et 29. Un nouveau calcul de la somme lui fait constater son erreur (84 au lieu de 108).

Deux cas peuvent alors se présenter : le blocage (très rare) et le passage à une procédure d'ajustement. Cette dernière est très souvent mobilisée, elle s'accompagne d'un calcul systématique de la somme (pour évaluer l'écart à 108 et ajuster les nombres en fonction) et conduit au succès. En effet, le nombre 27 est suffisamment proche de l'un des trois nombres cherchés pour que l'élève adopte cette stratégie.

Quand l'expérimentateur demande ensuite à l'élève de rédiger sa solution et de la justifier, ce dernier produit une formulation du type :

$$35, 36, 37 \text{ car } 35 + 36 + 37 = 108.$$

Le plus souvent, l'élève ne décrit pas la démarche (erronée) qui l'a conduit au résultat mais se contente d'en formuler la dernière étape.

Nous sommes ici en présence d'une démarche erronée conduisant à un résultat. Cette démarche est alors omise, la rédaction définitive ne traduit plus que des arguments mathématiquement acceptables.

<footnote n="5">⁵ La présence de cette contrainte dans l'énoncé ne se traduit pas de manière significative par la production d'une vérification.</footnote>

<footnote n="6">⁶ Il peut aussi proposer 54, 54, 54.</footnote>
Cette démarche au départ erronée est finalement productrice de succès et doit pouvoir
exister de manière implicite dans les classes.

3.2.4 Une difficulté liée à un « écart au but » trop important

Décrivons maintenant une difficulté source d'échec très souvent observée chez les élèves en difficulté en mathématiques. Elle est associée à une procédure d'ajustement.

Des élèves « ajusteurs » proposent par exemple comme premier essai 10, 11, 12 (quand ce n'est pas 10, 10, 10). La somme calculée 33 est trop éloignée du résultat 108 pour les encourager à continuer dans cette voie. Ne sachant plus quoi faire, ils abandonnent la recherche.

Un encouragement de l'expérimentateur du type « propose trois autres nombres, continue » est souvent inopérant. Ce dernier ne peut proposer tout de suite un ordre de grandeur ; ce serait prendre en charge de manière trop importante la difficulté pour l'élève.

Etudions maintenant deux aides susceptibles de lever l'obstacle sans pour autant « tuer
le problème », c'est-à-dire le résoudre à la place de l'élève.

<u>Aide n°1</u> : L'expérimentateur peut solliciter l'ordre de grandeur d'un nombre de la suite recherchée. Cette demande est plutôt efficace pour des élèves du type « diviseurs ». Il est alors conduit à résoudre plus ou moins explicitement la multiplication à trous :

$$
\square x 3 = 108
$$

Aide n°2 : L'expérimentateur peut aussi proposer l'énoncé suivant :

Trouve trois nombres consécutifs dont la somme est 12. Vérifie ton résultat

Nous avons constaté que cette aide, plutôt destinée aux élèves « ajusteurs » permet de lever la difficulté. En effet l'élève en échec détermine assez facilement l'ordre de grandeur du résultat 3, 4, 5 ou ajuste sa réponse aisément. Il prend ainsi conscience d'un ordre de grandeur. Pour être efficace, cet énoncé simplifié ne doit pas être proposé avant l'énoncé complexe. Le réinvestissement ne serait pas alors assuré.

Nous pouvons proposer un organigramme structurant les diverses aides apportées aux élèves en cas de blocage.

**<u>3.3 Un organigramme d'aides adaptées aux démarches des élèves</u>**
<figure><img src="image_6.png" /></figure>
# 4 ANNEXE 4 : ETUDE DE DIFFERENTS MATERIELS DE NUMERATION

## 4.1 Matériel proposé :

**Non lié à un fichier :**

Cubes emboîtables, bûchettes, matériel multibase, monnaie, abaques, bouliers, calculatrices

**Plutôt lié à un fichier :**

Boîtes (J'apprends les maths Retz) et bouliers, cartes à points (Millemaths Nathan), jeu du casino (Euromaths Hatier), cartes avec constellations (Capmaths Hatier), boîte à compter (Place aux maths Bordas), tableaux de nombres (Ermel), jeu du banquier (Ermel), calculatrices (Ermel et collection Mosaique), les fourmillions (Ermel)

**Commun à tous les fichiers :**

Bande numérique, compteurs, monnaie

## 4.2 Mise en situation :

Demander aux stagiaires d'apporter le matériel utilisé en classe en numération, y compris le fichier maths. Compléter avec notre matériel.

**Par groupes, identifier, pour chaque matériel :**

- Le point de vue qu'il permet de travailler (groupement, échange, aspect algorithmique, position des chiffres)

- Ce qu'il prend en charge

- Les compétences qu'il nécessite

## 4.3 Synthèse par les formateurs

Tous les matériels ne sont pas équivalents car ils ne travaillent pas tous le même aspect de la numération d'où la nécessité d'utiliser plusieurs matériels complémentaires.

**Le matériel permettant de travailler l'aspect groupement ou échange ou les deux :**

**Les « uns » qui demeurent :** les bûchettes, les cubes emboîtables, les constellations : dans la dizaine, chaque unité reste présente. Seul un lien (par ex un élastique) change l'appellation. On peut toujours reprendre la position initiale pour retrouver la première appellation (seulement groupement)
**Les « uns » qui s'échangent mais restent visibles** : le matériel multibase, l'utilisation de sachets transparents, le jeu du casino, les cartes à points, les carrelages : l'échange fait disparaître le « un » initial dans un tout, mais les unités restent visibles. Le retour en arrière nécessite un échange inverse (échange avec groupement visible).

**Les « uns » qui disparaissent mais laissent une trace** : les boîtes (J'apprends les maths), de façon générale tout matériel groupé dans des boîtes opaques (groupement, pas vraiment échange) Cas particulier : les « uns » qui disparaissent en se transformant en un autre « un » en changeant de couleur ou d'aspect : le jeu du casinobis (Euromaths), la monnaie, le jeu du banquier (échange)

**Remarque** : différences entre les cartes à points de Millemaths et les boîtes (J'apprends les maths)

La disposition est différente ainsi que le mode de remplissage : J'apprends les maths privilégie les groupements par 5 et permet l'analogie avec les 5 doigts de la main ; Millemaths privilégie les doubles, l'aspect pair ou impair. Dans J'apprends les maths, il y a les couvercles qui cachent les unités. Dans Millemaths, les unités restent visibles de l'autre côté de la carte ; l'utilisation de cartes transparentes permet de travailler les compléments à 10 et l'addition avec passage à la dizaine.

Ces matériels permettent de visualiser les nombres sans recompter les unités (comme les constellations)

**Les « uns » qui parlent selon la position** : les abaques, les bouliers (échange et position)

**Le matériel permettant de travailler l'aspect algorithmique** : explorer la suite numérique de 1 en 1, de 10 en 10...

- Les abaques préparent cet aspect

- La bande numérique

- Les tableaux et spirales de nombres

- Les compteurs (un lien peut être fait avec les abaques)

- Les calculatrices

Ces matériels peuvent aussi servir à l'apprentissage des techniques opératoires de l'addition et de la soustraction.

Il est important de réfléchir à ce qui est pris en charge par le matériel : pour les abaques et les compteurs, il faut travailler la règle d'utilisation alors que, par exemple, les boîtes (J'apprends les maths) prennent complètement en charge le groupement par 10.

**La numération orale** : pas vraiment de matériel sinon les étiquettes « mots nombres »

C'est un travail particulier par rapport à la numération écrite.
## 4.4 Des exemples d'activités

A partir de la **bande numérique** : trouver des nombres cachés, colorier les cases de 2 en 2, de 5 en 5, de 10 en 10. Reconstituer une bande numérique à partir de morceaux. Utilisation comme référence pour ajouter, enlever (calcul réfléchi)

A partir de **tableaux de nombres** (ou de spirales) : jeu du château (Ermel CP)

Les fourmillions (Ermel CP)

Les carrelages (Ermel CP)

Jeu du casino (Euromaths)

Jeu du banquier (Ermel CP)

**Calculatrice** : Afficher la suite des nombres : lien entre le suivant (le précédent) et ajouter 1 (enlever 1). Afficher un nombre dont on fait le portrait (« afficher le nombre qui contient quatre dizaines et vingt-sept unités »). Comment modifier un chiffre d'un nombre (unités, dizaines, centaines), afficher un nombre en interdisant certaines touches (afficher 50 sans utiliser la touche 5 : recenser les procédures utilisées).

## 4.5 Place de la manipulation en mathématiques

Extraits des programmes à fournir aux stagiaires et à commenter

**La manipulation en mathématiques :**

Pour **dévoluer le problème** : Donner un exemple (Problèmes pour chercher)

Pour **valider les solutions** : Les mathématiques servent à anticiper. Le matériel est seulement évoqué sur une fiche, il peut servir à valider. (Jeu de la boîte)

Comme **aide pour les élèves** : ne pas imposer l'utilisation du matériel si les élèves peuvent travailler directement sur les nombres. Le matériel devient un outil de différenciation.
# 5 ANNEXE 5 : DOCUMENT RESSOURCE SUR LE CALCUL MENTAL

La différenciation entre les deux cycles C2 et C3 se fera par le choix des variables numériques (nombres entiers plus ou moins grands du CP au CM2, nombres décimaux à partir du CM1) et par le choix des opérations (essentiellement addition et soustraction au Cycle 2, les quatre opérations à partir du CM1).

*Les phrases en italique non gras concernent plus particulièrement le CP.*

## 5.1 Jeux pouvant être proposés à tous les niveaux

**Jeux de mémoire visuelle ou auditive** : Mémoriser des nombres seulement écrits ou énoncés ; les restituer tels quels ou avec un traitement numérique (ranger dans l'ordre croissant ou décroissant, ajouter ou enlever 1, 10, multiplier ou diviser par un nombre donné...)

**Jeu du furet** : compter, décompter de n en n (n entier à un, deux, ou trois chiffres) ; cas particulier des multiples de n (en particulier n = 10) ou de n décimal à partir du CM1.

L'activité est collective et orale. Le maître interroge les élèves à tour de rôle dans un ordre quelconque. Un certain rythme doit être maintenu pour amener les élèves à calculer rapidement.

**Jeux de portrait : plusieurs modalités possibles :**

- Le maître choisit un nombre. Les élèves posent des questions, auxquelles il n'est répondu que par oui ou par non, pour le trouver.

- Le maître fait le portrait d'un nombre. Les élèves doivent le trouver ; il peut y avoir plusieurs solutions possibles ; ex : « Je suis entre 600 et 700 ; mon chiffre des dizaines est 8 ; mon chiffre des unités est la moitié de mon chiffre des dizaines » ; ou bien : « Je suis entre 100 et 200 ; je ne suis pas plus grand que 150 ; j'ai 13 dizaines ; mon chiffre des unités est plus petit que celui des dizaines » ; ou bien : « Je contiens 14 unités et 2 dizaines ».

- A partir d'une liste de nombres écrite au tableau, le maître fait le portrait d'un des nombres. Les élèves doivent le trouver à partir des infirmations données. Ex : les nombres écrits au tableau sont : 27, 35, 55, 75, 54, 135, 202, 88. Le nombre cherché est tel que : « Il n'a pas trois chiffres, il se termine par 5, le chiffre des unités n'est pas le même que celui des dizaines, le chiffre des unités est plus grand que le chiffre des dizaines ».

**Jeu du nombre caché** : Le maître choisit un nombre. Les élèves doivent le trouver en proposant des nombres. Le maître répond « trop grand » ou « trop petit ». (le maître peut proposer au départ un intervalle dans lequel il choisit son nombre).

**Jeu de l'autobus** : (à partir du CE1) « Dans un autobus il y a n voyageurs ; à un arrêt, il en monte a et il en descend b ; combien y a-t-il de voyageurs dans l'autobus quand il repart ? ».
Le but de ce jeu est d'amener les élèves à composer les deux transformations successives, c'est-à-dire à calculer d'abord $a - b$ puis $n + (a - b)$. Pour cela, le maître peut jouer sur certaines variables : la taille des nombres, la présence ou non de questions intermédiaires. En particulier, des valeurs de $a$ et $b$ assez grandes, mais proches l'une de l'autre amènent à composer : ex : $n = 15$, $a = 27$, $b = 29$.

**Jeu de la chaîne** : à partir d'un nombre de départ, on applique des transformations successives $(+, -, x)$, il faut trouver le résultat final.

**Le nombre pensé** : l'inconnue peut être le nombre de départ ou le nombre d'arrivée. ex : « Je pense à un nombre ; je lui enlève 76 et je trouve 47 ; à quel nombre ai-je pensé ? »

Si l'inconnue est la règle, le jeu devient celui de la règle pensée (appelé aussi « drôles de couples ») : on donne 2 ou plusieurs couples de nombres ; il faut trouver la règle sous-jacente. La règle peut être ajouter $n$, enlever $n$, multiplier ou diviser par $n$, ou une combinaison de deux de ces règles : ex : $x \rightarrow 3x + 5$ ou $x \rightarrow 2x - 1$.

**Le compte est bon ; cas particulier : objectif zéro** :

Il faut atteindre (ou se rapprocher le plus possible) d'un nombre cible à partir de quatre nombres donnés en les combinant avec les 4 opérations.

**Le jeu de Syracuse** : (seulement à partir du CM1) on part d'un nombre $n$ ; s'il est pair, on le divise par 2 ; s'il est impair, on le multiplie par 3 et on ajoute 1. On arrive toujours à 1.

Ex : 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

**Vrai ou faux ?** avec la moitié, le double, le tiers, le quart... ex : « la moitié de 700 est 350, vrai ou faux ?»

En plus des activités décrites ci-dessus, citons aussi les nombreuses situations de jeux stratégiques ou non, utilisant des supports classiques (dés, dominos, cartes...) mettant en jeu des décompositions numériques ou des calculs simples.

## 5.2 Activités en liaison avec la numération

**Ecrire en chiffres les nombres** : 5 dizaines, 8 dizaines et 3 unités, 32 dizaines et 5 unités, 80 centaines, 150 dizaines...

**Nombre de dizaines, centaines, unités de mille** : combien y a-t-il de dizaines dans 53, 546, de centaines dans 1758, d'unités de mille dans 145000...

**Encadrement** : encadre le nombre 46 par les deux multiples de 10 les plus proches, le nombre 981 par les deux multiples de 10 les plus proches, par les deux multiples de 100 les plus proches...

**Cas des nombres décimaux** : (à partir du CM1)

Passer d'une écriture à une autre (écriture à virgule, fractionnaire, sous la forme « 7 unités et 61 centièmes ») ; en particulier décomposer un nombre décimal en utilisant l'entier immédiatement inférieur : 36,07 = 36 + 0,07 ou 36,07 = 36 + 7/100
Compléments à l'unité supérieure de nombres ayant un chiffre après la virgule : de 7,2 à 8 ou de 9,5 à 10...

Encadrer un décimal entre deux entiers consécutifs

Encadrer un décimal entre deux décimaux : « encadrer le nombre 3,05 par deux nombres s'exprimant en dixièmes »

Intercaler un décimal entre deux décimaux.

## 5.3 Points d'appui pour la mémorisation

L'entraînement n'est pas le seul ressort de la mémorisation. Une bonne représentation mentale des nombres, la compréhension des opérations en jeu et une élaboration progressive des résultats constituent l'autre facette de l'aide à la mémorisation. Pour des élèves en phase d'apprentissage, les résultats additifs ou multiplicatifs simples sont d'abord reconstruits (avant d'être produits instantanément), en utilisant plusieurs points d'appui.

**Les appuis pour l'addition :**

- Utilisation de la suite numérique, par surcomptage

- Appui sur les doubles connus

- Utilisation de la commutativité de l'addition : 2 + 9 c'est 9 + 2

- Utilisation de décompositions par rapport à 5 :

$$8 + 7 = 5 + 3 + 5 + 2 = 10 + 3 + 2 = 10 + 5 = 15$$

- Utilisation du passage à la dizaine, avec les compléments à 10 : 8 + 5 = (8 + 2) + 3

**Pour la multiplication, on peut s'appuyer sur :**

- les résultats rapidement connus des tables de 2 et de 5 (cycle 2)

- le comptage de n en n pour retrouver un résultat à partir d'un résultat mémorisé

- la connaissance des carrés

- la commutativité de la multiplication

- le fait que multiplier par 4, c'est doubler 2 fois...

Mémoriser les tables est le résultat d'un long processus. Plusieurs conditions doivent être réunies pour une bonne mémorisation.

La compréhension des opérations en jeu. Elles doivent avoir du sens pour l'élève (quel sens donner au calcul 6 x 8 ?)

Prise de conscience de l'intérêt qu'il peut y avoir à disposer d'un répertoire de résultats. Le répertoire est progressivement organisé, complété et structuré en tables.
Prise de conscience du fait que certains résultats sont mémorisés et qu’un répertoire mental est entrain de se constituer.

Capacité à utiliser ce qu’on sait pour obtenir d’autres résultats « six fois huit, c’est huit de plus que cinq fois huit ». La mise en place de points d’appui est donc une étape décisive de la mémorisation.

Entraînement des résultats mémorisés. Attention à ne pas procéder toujours par ordre croissant

Connaître ses tables, ce n’est pas seulement être capable de dire instantanément n’importe quel résultat. Connaître 7 x 6, c’est être capable de dire que ça fait 42, mais c’est aussi être capable de répondre à 7 x ? = 42 ; 6 x ? = 42 ; 42 : 7 = ? ; 42 : 6 = ? ; de produire 6 x 7 et 7 x 6 comme décompositions multiplicatives de 42.

## 5.4 Activités en liaison avec les opérations

Au cycle 2, ces activités feront intervenir essentiellement l’addition et la soustraction, très peu la multiplication. Au CE2, elles feront intervenir l’addition, la soustraction et un peu la multiplication. A partir du CM1, on centrera davantage sur la multiplication mais aussi sur la division.

Les nombres décimaux pourront intervenir au CM1 mais surtout au CM2.

La mention « calcul réfléchi » signale qu’une automatisation n’est pas exigée. Les procédures sont alors diverses et les élèves doivent pouvoir choisir celle qui, de leur point de vue, est la mieux adaptée. L’explicitation des procédures et le débat organisé autour de leur validité favorise les progrès des élèves.

Ne pas oublier qu’avant d’être automatisé, tout calcul a le plus souvent d’abord été obtenu au moyen d’un calcul réfléchi, pendant un temps plus ou moins long.

### 5.4.1 Activités additives et soustractives :

Ajouter ou retrancher 1, 2 et 5, en particulier pour les nombres inférieurs à 20 (assurer la synonymie des expressions « ajouter 1 et avancer de 1 », « soustraire 1 ou retrancher 1 et reculer de 1 » ; le comptage de 2 en 2 ou de 5 en 5 en avant ou en arrière constitue un point d’appui)

Décomposer un nombre inférieur à 10 à l'aide du nombre 5 ; décomposer un nombre compris entre 10 et 20 à l'aide du nombre 10

Additionner deux nombres dont la somme est inférieure à 10 et décomposer un nombre inférieur à 10 sous forme additive

Maîtrise du répertoire additif : tables d’addition, compléments, différences et décompositions associées : ex : 6 + 7 = ? ; 6 + ? = 13 ; 7 + ? = 13 ; 13 – 6 = ? ; 13 – 7 = ? ; Décompositions additives de 10.

Compléments à 10 ou à 20, 100, 1000..., aux dizaines ou centaines supérieures : compléments de 430 à 500 puis de 2430 à 2500
### 5.4.2 Additions et soustractions mentales :

Ajouter ou retrancher entre elles des dizaines, des centaines, des milliers (Ex : 20 + 30, 50 - 20, 200 + 300, 8000 - 5000)

Calculer des sommes ou des différences du type : 20 + 7, 27 - 7, 200 pour aller à 237, 300 + 60, 360 - 60, 2000 + 42 en liaison avec la numération parlée.

Ajouter ou soustraire un nombre entier (inférieur à 10) d'unités, de dizaines, de centaines, de milliers...à un nombre quelconque : 76 + 3, 385 + 50, 525 - 30... (calcul réfléchi au Cycle 2)

Ajouter ou soustraire des nombres entiers ronds, des nombres quelconques : 31 - 18, 450 - 180, 2600 + 1400 (calcul réfléchi)

Calculer des sommes de plusieurs nombres entiers en regroupant des termes « qui vont ensemble » : 47 + 180 + 60 + 53 + 20 (calcul réfléchi)

Calculer des sommes ou des différences de nombres décimaux dans des cas simples : 5,6 + 2,4 ; 7,2 - 2,5... (Calcul réfléchi)

Complément d'un nombre décimal ayant 2 chiffres après la virgule au nombre entier immédiatement supérieur : complément à 1 de 0,45... (Calcul réfléchi)

Calculer des écarts ou des compléments sur des nombres de deux ou trois chiffres (calcul réfléchi au Cycle 2)

Garder la distance : écrire plusieurs différences égales : 958 - 792 = 968 - 802 =... (Calcul réfléchi)

Adapter des stratégies utilisables pour soustraire, selon qu'on a à soustraire un « petit nombre » ou un « grand nombre » (calcul réfléchi au Cycle 2)

Connaître les relations additives entre multiples de 25 inférieurs à 100 ou multiples de 250 inférieurs à 1000 : 75 = 50 + 25 ; 1000 - 750 = 250

Connaître quelques relations entre certains nombres entiers et décimaux : 2,5 + 2,5 = 5 ; 7,5 + 7,5 = 15

### Encadrements par dizaines ou centaines consécutives

Différentes écritures d'un nombre (calcul réfléchi)

Calculer certaines sommes de deux nombres décimaux, en particulier ajouter un entier et un nombre décimal ayant un chiffre après la virgule : 15 + 2,6 ; 2,5 + 0,5 ; 4,8 + 0,6 ...

### 5.4.3 Activités multiplicatives :

Connaître les doubles des nombres inférieurs à 10 et les moitiés correspondantes (point d'appui pour d'autres résultats)
Connaître les doubles et les moitiés correspondantes de nombres clés : 10, 20, 30, 40, 50, 100, 200, 300, 400, 15, 25 (cycle 2)

Tables de multiplication, d'abord par 2 et par 5. Recherche d'un facteur, quotients et décompositions associés : combien de fois 8 dans 48 ? Dans 50 ? Diviser 48 par 6 ou 50 par 8, décomposer 48 sous forme de produits de deux nombres inférieurs à 10.

Situer un nombre entre 2 résultats d'une table de multiplication : 37 est compris entre deux multiples de 7 : 5 x 7 et 6 x 7

En dehors de celles de 2 et de 5, la mémorisation des tables de multiplication relève du cycle3. Mais, dès la fin du cycle 2, tous les résultats peuvent être reconstruits par les élèves (calcul réfléchi)

Multiplication ou division par des puissances de dix : la règle des zéros : (multiplication par 10 ou par 100 à partir du CE1, par les puissances de 10 au CM1, multiplication et division au CM2 d'abord sur les entiers puis sur les décimaux en particulier au CM2).

Faire la relation avec la numération écrite : 13 x 10, c'est 13 dizaines

### 5.4.4 Multiplications mentales :

Calculs de produits ou de quotients sur des dizaines ou des centaines entières : 40 x 2, 30 x 4, 300 x 7, 30 x 50...

Calculer les doubles, moitiés, quadruples et quarts de nombres entiers, lorsque le calcul reste simple : double de 35, moitié de 42, 240, 360 ou de 700, quart de 120 ou de 600 puis moitié de nombres impairs (calcul réfléchi)

Produits d'un nombre à 2 chiffres par un nombre à 1 chiffre (calcul réfléchi)

Produits d'un nombre à 2 chiffres par un nombre à 2 chiffres particulier (Multiple de 10, 11, 15, 19, 22, 25, 33, 50...). Dans ce dernier cas, les élèves peuvent écrire des calculs intermédiaires (calcul réfléchi)

Produits simples d'un nombre décimal par un entier : 0,8 x 7 ; 0,6 x 5 ; 1,2 x 3 ; 1,2 x 6...

### 5.4.5 Divisions mentales :

158 : 2 305 : 5 549 : 9 568 : 8 ... en décomposant : 305 = 300 + 5 ; 549 = 540 + 9 ... (calcul réfléchi)

### 5.4.6 Produits égaux :

Déterminer différentes écritures d'un même nombre sous la forme d'un produit de 2 facteurs ; déterminer si plusieurs écritures multiplicatives sont égales sans les calculer explicitement (ex : 8 x 36 et 12 x 24), utiliser la décomposition d'un nombre en produits de facteurs pour calculer mentalement des produits (ex : 18 x 36 = 2 x 9 x 9 x 4 = 81 x 8 = 648) (calcul réfléchi)
Connaître et utiliser les relations entre des nombres « repères » entiers ou décimaux : 25 est le quart de 100, la moitié de 50, le tiers de 75, 15 est la moitié de 30,...relations entre 0,25 ; 0,5 ; 0,75 et 1...

### 5.4.7 Encadrements par des multiples successifs

(En liaison avec la Technique Opératoire de la division)

Pour chaque opération (somme, différence, produit), travailler sur l'ordre de grandeur du résultat (calcul approché)

Il s'agit souvent de repérer le nombre « rond » (dizaine ou centaine entière, millier entier) le plus proche d'un nombre donné.

Ex : Donner un résultat approché du produit 12 x 38...

Le produit 12 x 81 est-il entre 900 et 1000 ou entre 1600 et 1800 ?

Parmi les nombres suivants, quel est le plus proche de 725 x 37 ? 2680, 27000, 16000, 200000.

Parmi les nombres suivants, quel est le plus proche du quotient entier de 6052 divisé par 17 ? : 36, 98, 356.

## 5.5 Résolution mentale de problèmes

Il s'agit de problèmes classiques plus ou moins complexes faisant intervenir une opération (addition, soustraction, multiplication ou division) et des nombres assez « simples » pour ne pas compliquer les calculs. L'élève doit reconnaître rapidement l'opération sous-jacente et calculer mentalement la solution.

Le maître lit le problème deux fois. On peut autoriser l'élève à prendre en note les données qui lui semblent utiles, mais la résolution doit être mentale ; on ne doit pas « poser l'opération ».

## 5.6 Modalités de mise en oeuvre

Les activités proposées sont essentiellement orales sauf dans le cas d'un calcul réfléchi où l'élève peut être autorisé à noter par écrit des calculs intermédiaires (risque de saturation de la mémoire de travail). La nécessité de calculer mentalement amène les élèves à abandonner les algorithmes écrits (nécessitant de nombreuses mises en mémoire, ils sont souvent coûteux à l'oral) et à mettre en œuvre des procédures révélatrices des conceptions qu'ils se font des nombres. Ces nouvelles procédures font intervenir des décompositions additives ou multiplicatives liées à la numération décimale et aux propriétés des opérations. L'élève choisit une procédure d'après un souci d'économie pouvant porter sur la mémoire, la disponibilité des décompositions des nombres, la difficulté des calculs intermédiaires...

Les séances de calcul mental sont quotidiennes et peuvent être de deux types :
1. Des séances courtes de 5 à 10 minutes maximum où le travail est collectif oral (on pourra par exemple utiliser l'ardoise). Les élèves doivent répondre assez rapidement, le rythme doit être soutenu, de manière à favoriser la concentration des élèves. Lors de ces séances, quelques procédures peuvent être explicitées mais on vise plutôt une certaine automatisation et de la rapidité (par ex, connaissance des tables, des compléments à 10 ou à la dizaine supérieure, règle des zéros...).

2. Des séances plus longues (pouvant durer jusqu'à 20 minutes) où le maître aura le souci de faire expliciter et confronter les procédures. En effet, ce sont en général les élèves les moins performants qui comptent « un à un » ou qui « posent l'opération dans la tête ». Par contre, ce sont souvent les élèves les plus habiles qui proposent des techniques plus économiques, s'appuyant sur des décompositions de nombres. Le rôle du maître est de favoriser la diffusion de ces nouvelles procédures à toute la classe. Cela devrait amener les élèves en difficulté à abandonner leurs anciennes procédures pour en adopter de nouvelles, plus performantes. La confrontation des procédures permet un enrichissement individuel et/ou collectif. Certaines procédures peuvent être pointées comme souvent efficaces, mais liberté doit être laissée à l'élève de choisir la procédure qu'il est le mieux à même de porter à son terme.

Les séances de calcul mental sont des temps de travail intensif pour les élèves. D'un point de vue individuel, les élèves doivent travailler vite (bien que la rapidité ne soit pas un objectif en soi), changer plus ou moins rapidement de techniques, explorer de nouvelles procédures... D'un point de vue collectif, l'explicitation des procédures utilisées permet aux élèves de les comparer, d'effectuer un choix et donc d'enrichir leurs capacités opératoires. Cela amène souvent une réelle émulation dans la classe.
# 6 ANNEXE 6 : DOCUMENT RESSOURCE SUR LA GEOMETRIE

## 6.1 Géométrie au CP-CE1

### Extraits des documents d'application des programmes

(...) La simple observation d'objets ne suffit pas pour assurer une maîtrise correcte de ces connaissances. C'est en construisant des objets de nature géométrique et en résolvant des problèmes que l'élève sera progressivement amené à concevoir certaines propriétés, à les formuler et à les utiliser... Au cycle 2, lors de la résolution de la plupart des problèmes de géométrie, les élèves vont d'abord prélever des propriétés de façon perceptive, puis être amenés à utiliser les instruments de géométrie pour vérifier les hypothèses émises. (...) Au cycle 2, toutes les propriétés utilisées peuvent d'abord être perçues, avant d'être vérifiées à l'aide d'instruments.

(...)

Les activités proposées doivent être finalisées et avoir un but clairement identifié par les élèves, en particulier dans des problèmes où il s'agit de comparer, reproduire, construire, identifier ou décrire des objets géométriques.

(...)

Aide au choix des activités :

### 6.1.1 Reconnaissance de figures planes

- CAP Maths CP p 98 (formes superposables) ; p 104 (triangles)

- Millemaths CP p 38-39 ; p 68-69

- EuroMaths CP p 79 ; p 116

- Place aux Maths CP p 117 (empreintes) ; p 124

### 6.1.2 Classement de figures

- EuroMaths CE1 p 74-75 (identifier des polygones) ; p 102 (identifier divers quadrilatères)

- CAP Maths CE1 p 82 « Ecris P dans les polygones. Barre les figures qui ne sont pas des polygones » ; p 126

- Diagonale CE1 p 49 ; p 73

« Jeu du portrait »

### 6.1.3 Reproduction / Construction de figures planes
### 6.1.3.1 Importance du choix et du jeu sur les variables :

- la figure :

- Les éléments qui la composent

- Analyse « immédiate »

- Analyse qui s'appuie sur des éléments non tracés (besoin de mettre en évidence des alignements (activités préliminaires Millemaths CE1 p 28), de prolonger des segments, de repérer le milieu d'un segment, des perpendiculaires, des parallèles ...)

- Support : papier uni, quadrillé (activités sur le repérage des cases ou des nœuds à faire avant ! Millemaths CE1 p 32-33) ou pointé ; présence d'éléments de codage (segments de même longueur, mesures, angles droits ...)

- Place : affichée au tableau, distribuée à chaque élève

- les contraintes pour la reproduction :

- support : papier uni, quadrillé ou pointé

- échelle

- figure à compléter (choix des éléments déjà présents : des points, des segments, ...)

- outils disponibles (règle, équerre, compas, calque...)

### 6.1.3.2 Exemples :

CAP Maths CP p 43, 50 et 52 (terminer la frise) ; p 62 (quadrillage)

Millemaths CP p 36-37 ; p 66-67

EuroMaths CP p 25 (à main levée) ; p 27 et 40 (à main levée et à la règle) ; p 62 (sur des réseaux différents) ; p 72-73 (sur quadrillages) ; p 81 (à main levée et avec des gabarits) ; p 108-109 (avec la règle et le compas)

Place aux Maths CP p 109 ; p 118

EuroMaths CE1 p 17 (à main levée puis à la règle) ; p 29 « Complète dans les deux quadrillages pour que les deux dessins soient identiques » ; p 103 (papier pointé) ; p 131 « termine la rosace commencée, reproduis-la à côté » ; p 146 « Complète les figures pour qu'elles soient semblables au modèle » ; p 151 « Reproduis la construction avec les outils de ton choix »

Millemaths CE1 p 28-29 « Reproduis ce dessin en reliant les points avec ta règle » ; « termine le dessin en utilisant ta règle » ; p 87-88 « Reproduis la figure » (papier quadrillé) ; p 141 n°3 « termine le dessin avec ta règle »

CAP Maths CE1 p 46 « Reproduis avec la règle » (points déjà placés) ; p 50-51 (traits déjà tracés) ; p 79 et 95 (sur quadrillage) ; p 144 « on a commencé à reproduire la figure, complète-la »
Spirales CE1 p 62 « Utilise ta règle et le fond quadrillé pour reproduire les figures de ce dessin
– Commence par placer les points de repère sur les nœuds du quadrillage » (cahier)

Diagonale CE1 p 28 ; p 126

### 6.1.4 Description de figures planes

EuroMaths CP p 117

Place aux Maths CP p 129

A quelle figure correspond chaque description ?

Millemaths CE1 p 140-141

EuroMaths CE1 p 103 « recopie le message qui décrit la figure » ; p 147 n° 6

### 6.1.5 Associer une figure à son programme de construction

EuroMaths CE1 p 147 n° 5

### 6.1.6 IV Agrandissement, réduction de figures

CAP Maths CE1 p 147 « On a commencé à reproduire la figure en plus grand.
Complète-la."

Diagonale CE1 p 122

Le tangram :

EuroMaths CE1 p 80-81

Spirales CE1 p 34

Les polyminos :

Pavages

Millemaths CP p 114-115

EuroMaths CP p 82

Symétrie, translation, rotation

## 6.2 Géométrie plane au CE1-CE2

### Extraits des documents d'application des programmes

(...) Permettre aux élèves de se familiariser avec les objets du plan et de l'espace et de passer progressivement d'une géométrie où les objets et leurs propriétés sont contrôlés par la perception à une géométrie où ils le sont par un recours à des instruments et par la connaissance de certaines propriétés (...)
(...)

Comparator, reproduire, décrire, construire, représenter des objets géométriques (figures planes, solides) ou des assemblages d'objets.

A travers ces activités, les élèves élaborent et utilisent les premiers concepts géométriques, en leur donnant du sens : alignement, perpendicularité, parallélisme, longueurs, angles. Ils prennent conscience de certaines propriétés des objets et ils acquièrent des éléments de vocabulaire : face, arête, sommet, côté, segment, milieu, droite (synonyme au cycle 3 de ligne droite), droites perpendiculaires, droites parallèles, angle ainsi que les noms de quelques solides et de quelques figures planes. Enfin, ils développent des compétences techniques liées au maniement d'instruments de dessin : règle et équerre (pour vérifier des alignements, tracer des droites perpendiculaires, des droites parallèles), compas (pour tracer des cercles ou des arcs de cercles, pour reporter des longueurs), gabarit (pour comparer ou reporter des angles), calque.

Figures planes : triangle, triangle rectangle, triangle isocèle, triangle équilatéral ou régulier, carré, rectangle, losange, cercle

Aide au choix des activités :

## 6.2.1 Reconnaissance de figures planes

EuroMaths CE1 p 74-75 (identifier des polygones) ; p 102 (identifier divers quadrilatères)

CAP Maths CE1 p 82 « Ecris P dans les polygones. Barre les figures qui ne sont pas des polygones » ; p 126

Diagonale CE1 p 49 ; p 73

L'heure des maths CE2 p 163 ; p 169 (juxtaposer des triangles)

Jeu du portrait avec une famille de figures planes (analyser des figures planes ; identifier des polygones à partir de leurs propriétés)

EuroMaths CE2 p 96-97

L'heure des maths CE2 p 181

CAP Maths CE2 p 51

Identifier visuellement des figures simples dans des figures complexes :

CAP Maths CE2 p 71

EuroMaths CE2 p 127

Spirales CE2 p 75 ; p 90 ; p 118

CAP Maths CE2 p 117 « Parmi ces figures, lesquelles sont superposables à la figure dessinée à l'intérieur du cercle ? » ; p 127
## Classement de figures

Diagonale CE2 p 28-29

### 6.2.2 Reproduction de figures planes

#### 6.2.2.1 Importance du choix et du jeu sur les variables :

**la figure :**

- éléments qui la composent

- analyse « immédiate »

- analyse qui s'appuie sur des éléments non tracés (besoin de mettre en évidence des alignements (activités préliminaires millemaths CE1 p 28 ; Euromaths CE2 p 23), de prolonger des segments (activités préliminaires CapMaths CE2 p 6), de repérer le milieu d'un segment, des perpendiculaires, des parallèles ...)

- support : papier uni, quadrillé (activités sur le repérage des cases ou des noeuds à faire avant ! Millemaths CE1 p 32-33 ; Euro maths CE2 p 12 ) ou pointé ; présence d'éléments de codage (segments de même longueur, mesures, angles droits ...)

- place : affichée au tableau, distribuée à chaque élève

**les contraintes pour la reproduction :**

- support : papier uni, quadrillé ou pointé

- échelle

- figure à compléter (choix des éléments déjà présents : des points, des segments, ...)

- outils disponibles (règle, équerre, compas, calque)

#### 6.2.2.2 Exemples :

EuroMaths CE1 p 17 (à main levée puis à la règle) ; p 29 « Complète dans les deux quadrillages pour que les deux dessins soient identiques » ; p 103 (papier pointé) ; p 131 « termine la rosace commencée, reproduis-la à côté » ; p 146 « Complète les figures pour qu'elles soient semblables au modèle » ; p 151 « Reproduis la construction avec les outils de ton choix »

Millemaths CE1 p 28-29 « Reproduis ce dessin en reliant les points avec ta règle » ; « termine le dessin en utilisant ta règle » ; p 87-88 « Reproduis la figure » (papier quadrillé) ; p 141 n°3 « termine le dessin avec ta règle »

CAP Maths CE1 p 46 « Reproduis avec la règle » (points déjà placés) ; p 50-51 (traits déjà tracés) ; p 79 et 95 (sur quadrillage) ; p 144 « on a commencé à reproduire la figure, complète-la »
Spirales CE1 p 62 « Utilise ta règle et le fond quadrillé pour reproduire les figure de ce dessin – Commence par placer les points de repère sur les nœuds du quadrillage » (cahier)

Diagonale CE1 p 28 ; p 126

L'heure des maths CE2 p 170 ; p 90 (les techniques de reproduction : quadrillage, calque, pliage, papier pointé)

EuroMaths CE2 p 38-39 « Complète dans les deux quadrillages pour que les deux figures soient identiques » ; « observe le modèle et les différentes reproductions. Mets une croix sous celle qui est identique au modèle. Corrige les autres » ; p 77 n°5 ; p 106 (en utilisant le cercle) ; p 164-165 (analyser des figures complexes ... pour les reproduire)

CAP Maths CE2 p 33 « Reproduis avec ta règle mais sans mesurer. Utilise les traits et les points déjà tracés » p 60 ; p 63 (quadrillage) ; p 97 et 104 « Géomie a commencé à reproduire la figure. Termine-la en utilisant ta règle, mais sans mesurer. » ; p 110 ; 114 et 129 « On a commencé à reproduire la figure. Termine-la. » (arcs de cercle) ; p 151 « Reproduis sur une feuille de papier blanc cette figure. »

Spirales CE2 p 46-47

Diagonale CE2 p 44-45 ; p 103 ; p 160-161

### 6.2.3 Construction de figures planes

*A partir d'un dessin à main levée*

Euromaths CE2 p 177 « Construis la figure en observant le dessin à main levée et les indications qui sont données » ; p 181 ; CAP Maths CM1 p 79

*A partir d'une suite d'étapes dessinées où les nouveaux tracés apparaissent successivement (avec ou sans commentaires)*

L'heure des maths CE2 p 172-173

*A partir d'une liste d'instructions (choix du vocabulaire ...)*

Euromaths CE2 p 177 « Complète la figure déjà commencée en suivant le programme » ; « Trace la figure en suivant le programme » ; p 181 « Construis la figure en suivant le programme de construction » Diagonale CE2 p 161

*A partir d'une liste d'instructions non suffisantes*

CAP Maths CE2 p 170 n° 4 et 5

### 6.2.4 Description de figures planes

*A quelle figure correspond chaque description ?*

Millemaths CE1 p 140-141

EuroMaths CE1 p 103 « recopie le message qui décrit la figure » ; p 147 n° 6
CAP Maths CE2 p 110 « Parmi ces descriptions, lesquelles correspondent à la figure ?
Coche-les » ; p 112

EuroMaths CE2 p 77 n°4

## Associer une figure à son programme de construction

EuroMaths CE1 p 147 n° 5

EuroMaths CE2 p 176-177 « mets une croix devant les messages qui permettent de construire exactement cette figure » ; « Quelle figure correspond à ce programme de construction ? » ;

L'heure des maths CE2 p 171

## Ecrire ou compléter un programme de construction

EuroMaths CE2 p 177 « Complète le programme qui permettra de réaliser la figure ci-dessous sans voir le modèle »

CAP Maths CE2 p 170

Diagonale CE2 p 161

## 6.2.5 Agrandissement, réduction de figures

CAP Maths CE1 p 147 « On a commencé à reproduire la figure en plus grand. Complète-la. »

Diagonale CE1 p 122

CAP Maths CE2 p 133 « Millie a commencé à reproduire la figure, mais en plus grand. Les deux segments déjà tracés sont ceux en vert sur le modèle. Termine. » (changement d'orientation)

Spirales CE2 p 130-131

Le tangram :

EuroMaths CE1 p 80-81

Spirales CE1 p 34

L'heure des maths CE2 p 162 ; p 166 (autre puzzle)

CAP Maths CE2 p 62

Pavages

Symétrie, translation, rotation
## 6.3 Géométrie plane au CM1-CM2

### Extraits des documents d'application des programmes

(...) Permettre aux élèves de se familiariser avec les objets du plan et de l'espace et de passer progressivement d'une géométrie où les objets et leurs propriétés sont contrôlés par la perception à une géométrie où ils le sont par un recours à des instruments et par la connaissance de certaines propriétés (...)

(...)

Comparator, reproduire, décrire, construire, représenter des objets géométriques (figures planes, solides) ou des assemblages d'objets.

A travers ces activités, les élèves élaborent et utilisent les premiers concepts géométriques, en leur donnant du sens : alignement, perpendicularité, parallélisme, longueurs, angles. Ils prennent conscience de certaines propriétés des objets et ils acquièrent des éléments de vocabulaire : face, arête, sommet, côté, segment, milieu, droite (synonyme au cycle 3 de ligne droite), droites perpendiculaires, droites parallèles, angle ainsi que les noms de quelques solides et de quelques figures planes. Enfin, ils développent des compétences techniques liées au maniement d'instruments de dessin : règle et équerre (pour vérifier des alignements, tracer des droites perpendiculaires, des droites parallèles), compas (pour tracer des cercles ou des arcs de cercles, pour reporter des longueurs), gabarit (pour comparer ou reporter des angles), calque.

Figures planes : triangle, triangle rectangle, triangle isocèle, triangle équilatéral ou régulier, carré, rectangle, losange, cercle

Aide au choix des activités :

### 6.3.1 Reconnaissance de figures planes

#### 6.3.1.1 Identifier visuellement des figures simples dans des figures complexes

Diagonale CM1 p 124 activités 1

Optimath CM2 p 97

#### 6.3.1.2 Classement de figures

Le Nouvel Objectif Calcul CM2 p 33 ; p 36-37

Diagonale CM2 p 66

Optimath CM2 p 93 ; p 96 (propriétés)

### 6.3.2 Reproduction de figures planes
### 6.3.2.1 Importance du choix et du jeu sur les variables :

**la figure :**

- éléments qui la composent

- analyse « immédiate »

- analyse qui s'appuie sur des éléments non tracés (besoin de mettre en évidence des alignements (activités préliminaires millemaths CE1 p 28 ; Euromaths CE2 p 23), de prolonger des segments (activités préliminaires CapMaths CE2 p 6), de repérer le milieu d'un segment, des perpendiculaires, des parallèles ...)

- support : papier uni, quadrillé (activités sur le repérage des cases ou des nœuds à faire avant ! Millemaths CE1 p 32-33 ; Euro maths CE2 p 12) ou pointé ; présence d'éléments de codage (segments de même longueur, mesures, angles droits ...)

- place : affichée au tableau, distribuée à chaque élève

**les contraintes pour la reproduction :**

- support : papier uni, quadrillé ou pointé

- échelle

- figure à compléter (choix des éléments déjà présents : des points, des segments, ...)

- outils disponibles (règle, équerre, compas, calque)

### 6.3.2.2 Exemples :

CAP Maths CM1 fiche 5 : « tu dois reproduire sur papier uni, avec tes instruments de géométrie, la figure dessinée sur ta fiche. Fais équipe avec ton voisin » ; fiche 11 ; p 27, fiches 18 et 21 (avec calque) ; fiche 90 « on a commencé à reproduire les figures. Termine en utilisant uniquement ta règle, mais sans mesurer. Pour t'aider, tu peux faire des tracés sur les modèles. » ; fiche 91 « Reproduis chacune des figures sur du papier uni. » ; fiche 92 ; fiche 93

Diagonale CM1 p 64 (papier pointé) p 65 (quadrillage cahier)

Spirales CM1 p 6-7 ; p 18-19 ; p 90-91

Le Nouvel Objectif Calcul CM2 p 30 (« Dans les figures A et B, retrouve les traits qui ont servi à les construire et qui ont été effacés. Reproduis-les sur du papier quadrillé puis sur du papier uni ») ; p 36 ; p 38-39 ; p 66-67

Diagonale CM2 p 21

Optimath CM2 p 109

### 6.3.3 Construction de figures planes
A partir d'un dessin à main levée

Euromaths CE2 p 177 « Construis la figure en observant le dessin à main levée et les indications qui sont données » ; p 181 ; CAP Maths CM1 p 79

A partir d'une suite d'étapes dessinées où les nouveaux tracés apparaissent successivement (avec ou sans commentaires)

Diagonale CM1 p 64 activité 1

Diagonale CM2 p 18 ; p 20-21

A partir d'une description

CAP Maths CM1 p 147 « Construis caque figure décrite sur une feuille de papier pointé » fiche 96

Diagonale CM2 p 106

A partir d'une liste d'instructions (choix du vocabulaire ...)

Euromaths CE2 p 177 « Complète la figure déjà commencée en suivant le programme » ; « Trace la figure en suivant le programme » ; p 181 « Construis la figure en suivant le programme de construction »

Spirales CM1 p 119

Le Nouvel Objectif Calcul CM2 p 35 (n° 5 « Réalise le programme suivant ») ; p 39 ; p 68-69

Diagonale CM2 p 20 (avec figure) ; p 67 ; p 68-69 ; p 106 ; p 108-109 ; p 146-147

Optimath CM2 p 13-14 ; p 71 ; p 94

### 6.3.4 Description de figures planes

A quelle figure correspond chaque description ?

EuroMaths CE2 p 77 n°4

CAP Maths CM1 : fiche 4, fiche 111 et p 161

Spirales CM1 p 62 ; p 72

Diagonale CM2 p 19 ; p 109

Optimath CM2 p 16 ; p 97

Jeu du portrait

CAP Maths CM1 fiche 77 p 111 ; p 118
## Associer une figure à son programme de construction

EuroMaths CE2 p 176-177 « mets une croix devant les messages qui permettent de construire exactement cette figure » ; « Quelle figure correspond à ce programme de construction ? » ;

Le Nouvel Objectif Calcul CM2 p 31

## Ecrire une description

Ecris une description pour chacune de ces figures :

Un rectangle, un triangle, un rectangle isocèle, un carré

CAP Maths CM1 p 120 ; p 131 : positions de points ; fiche 110 et p 161 ; p 164
« Donne une description de la figure A qui permet de la reconnaître parmi ces autres figures » ; p 168 « Rédige une description qui permet de reconnaître cette figure parmi toutes les autres »

Optimath CM2 p 17

## Ecrire ou compléter un programme de construction

EuroMaths CE2 p 177 « Complète le programme qui permettra de réaliser la figure ci-dessous sans voir le modèle »

Spirales CM1 p 119

Le Nouvel Objectif Calcul CM2 p 68-69

Diagonale CM2 p 107

Optimath CM2 p 69 ; p 94 ; p 97 (« Remets dans le bon ordre les étapes de la construction ... »)

### 6.3.5 Agrandissement, réduction de figures

CAP Maths CE2 p 133 « Millie a commencé à reproduire la figure, mais en plus grand. Les deux segments déjà tracés sont ceux en vert sur le modèle. Termine. » (Changement d'orientation)

CAP Maths CM1 fiche 83 « on a commencé à reproduire une figure mais en plus grand. Le carré est déjà tracé, termine la reproduction » ; p 170 et fiches 113 et 114 ; p 171

Spirales CM1 p 102-103

Le Nouvel Objectif Calcul CM2 p 148-151

Diagonale CM2 p 137

Optimath CM2 p 146 ...
Le tangram :

CAP Maths CM1 p 75

Le Nouvel Objectif Calcul CM2 p 32

Pavages

Symétrie, translation, rotation

## 6.4 Les solides : Les classes de problèmes

### 6.4.1 Décrire :

**Verbalement** : apprentissage et/ou réinvestissement du vocabulaire géométrique. Faire prendre conscience de la nécessité d'utiliser un vocabulaire commun

Nécessite à la fois d'identifier ses caractéristiques (sa catégorie, le nom des éléments qui le composent, les propriétés géométriques et métriques) et de les désigner en utilisant le vocabulaire adéquat.

Le vocabulaire relatif aux solides à acquérir à l'école élémentaire est limité : cube, pavé droit (parallélépipède rectangle au cycle 3), face, arête, sommet pour les deux cycles. Toutefois, les documents d'application précisent que d'autres mots peuvent être introduits mais que leur utilisation n'est pas exigible : polyèdre, boule, cylindre, prisme, pyramide, cône.

### 6.4.2 Représenter un solide :

#### 6.4.2.1 A l'aide d'un patron

La représentation d'un polyèdre à l'aide d'un patron nécessite d'identifier les différentes faces et leur agencement les unes par rapport aux autres. Lorsque le solide est disponible, il peut servir de gabarit pour reproduire les faces et être retourné successivement sur chaque face pour accoler les faces les unes aux autres. Toutefois, un contrôle doit être exercé simultanément pour vérifier, d'une part, que la face n'a pas été déjà reproduite et, d'autre part, que toutes les faces ont été tracées. Ce contrôle peut être simplifié si les faces sont de couleurs différentes ou si les formes des faces sont différentes entre elles.

Lorsque le polyèdre n'est pas disponible pour servir de gabarit, les formes des faces et leur nombre doivent être identifiés. La reproduction des faces nécessite la reproduction de figures planes. L'agencement des faces, pour réaliser le patron, s'obtient en éclatant mentalement le polyèdre, ce qui est une procédure complexe. Celle-ci ne peut s'acquérir qu'à partir de l'éclatement réel des polyèdres.

#### 6.4.2.2 A l'aide de vues

La difficulté majeure réside dans le fait de distinguer les différentes vues et d'accepter de ne représenter qu'une partie de ce qui est vu réellement.
On pourra présenter ce type de situation avec des pavés droits, des cubes éventuellement des prismes droits à base triangulaire et des assemblages des cubes. La situation où le solide choisi est tel que l'empreinte ne correspond pas à la vue paraît trop complexe pour des élèves de ce niveau.

### 6.4.2.3 Faire acquérir la notion de plan

« Le travail sur la perspective cavalière relève du collège : seules les activités relatives à la lecture de telles représentations sont envisagées au cycle 3 (reconnaissance de certains solides ou mise en correspondance du solide réel avec une représentation en perspective) »

## 6.4.3 Reconnaître un solide parmi plusieurs :

### 6.4.3.1 A partir d'une description verbale

Nécessite de comprendre les termes employés, de comparer avec les autres solides et de distinguer le solide décrit soit par élimination, soit par recomposition.

Dans le cas où il s'agit de reconnaître un polyèdre d'après sa description, si la procédure faisant appel à la perception ne suffit pas, son identification fera très souvent appel à la reconnaissance des faces qui le composent. Les procédures reprennent celles qui sont impliquées dans le cas de figures planes.

### 6.4.3.2 D'après sa représentation en perspective cavalière

« Seules des activités relatives à la lecture de telles représentations sont envisagées en cycle 3 »

On peut travailler sur les conventions liées aux arêtes cachées.

On peut repérer les différences de propriétés entre le solide et ses représentations en perspective : toutes les faces et les arêtes ne sont pas nécessairement représentées. Les faces du solide ne conservent pas toutes leur forme sur le dessin. Les angles droits sur le solide ne sont pas forcément droits sur le dessin. Les longueurs des arêtes ne sont pas toutes conservées sur le dessin.

La reconnaissance d'un solide à partir de sa représentation en perspective cavalière ne provient que d'une imprégnation culturelle avec ce mode de représentation. B. Parzysz parle de connivence qui permet de décrypter le dessin.

### 6.4.3.3 D'après sa représentation sous forme de vues

La prise en compte des différentes vues d'un solide s'avère un processus complexe. Les élèves, dans un premier temps, mélangent souvent plusieurs vues. Aussi, la reconnaissance d'un solide à partir de plusieurs vues paraît une situation non adaptée aux élèves de l'école primaire. Cette situation peut être proposée en la simplifiant de façon à se limiter à des solides identifiables grâce à une seule vue. Elle reste malgré tout difficile ...
Le cas où la vue de dessus et l'empreinte sont assimilables permet de concrétiser cette vue de dessus. Une manipulation consistant à poser le solide sur l'empreinte suffit à reconnaître le solide. Pour conceptualiser la notion d'empreinte, la manipulation doit servir de validation après la réflexion.

### 6.4.3.4 D'après sa représentation sous forme de patron

**Reconnaître, parmi plusieurs propositions, le patron d'un solide**

Suivant les patrons proposés, la prise en compte du nombre de faces peut ou non suffire à identifier le patron correspondant au solide présenté. Si le nombre de faces ne permet pas de reconnaître le patron, la nature des faces doit être analysée. Si cette identification ne permet pas de répondre à la question, le questionnement de l'agencement des faces est indispensable éclatement mental du solide ou reconstitution mentale du solide à partir du patron).

**A partir d'un patron, retrouver le solide**

Elle peut faire intervenir le nombre de faces, la nature des faces, leur agencement.

**Trouver le, ou les, patrons d'un solide**

Compléter un assemblage de surfaces planes pour qu'il devienne le patron d'un solide.

### 6.4.3.5 D'après une ou plusieurs photos

Les difficultés varient selon les solides et selon les photos, la possibilité ou non de déplacer les objets ou de se déplacer autour des objets. Les élèves doivent trouver la position du photographe devant l'objet.

Une description verbale ou un patron de solide permettent de retrouver le solide parmi d'autres. Mais à partir d'une représentation plane ou d'une photo, il n'est pas toujours possible de reconnaître un solide, car ces représentations masquent certaines informations. La reconnaissance, si elle a lieu, ne pourra se faire que perceptivement et ne pourra être prouvée.

Il est nécessaire d'analyser les différents solides en présence pour identifier leurs distinctions.

### 6.4.4 Construire un solide :

#### 6.4.4.1 D'après sa description verbale

Décrire un solide pour que d'autres puissent le construire, les solides proposés sont alors limités aux polyèdres simples. La description en termes de catégorie de solides peut suffire (cube, pavé droit ...) si un matériel déterminé (de type polydron) peut être utilisé dans sa construction. La nécessité de recourir aux mesures n'intervient que si la construction doit s'effectuer avec du papier. L'interdiction d'employer des mots désignant les catégories de solides dans la description oblige à prendre en compte la description des différentes surfaces qui composent le solide et donc, pour un polyèdre le nombre de faces de différentes natures.
### 6.4.4.2 D'après une représentation donnée en perspective cavalière ou sous forme de vues ou de photos

Les procédures de construction dépendent du matériel fourni.

La construction d'un objet d'après sa représentation donnée sous forme de patron ne présente pas vraiment d'intérêt puisqu'il s'agit simplement de découper le patron et de le plier pour former le solide.

## 6.4.5 Reproduire un solide :

### 6.4.5.1 A partir d'un modèle quand on dispose de matériel

Nécessite la reconnaissance des différentes faces composant le solide, mais pas obligatoirement leur nombre.

Lorsque le matériel est éloigné, celle-ci devient plus complexe et nécessite d'avoir recours au dénombrement des faces. (Par exemple bon de commande ...)

A l'aide de tiges ou de pailles

### 6.4.5.2 A partir d'un modèle quand on dispose de papier uni ou quadrillé

N'implique pas obligatoirement la construction d'un patron. Chaque élément de la surface du solide peut être reproduit un par un, pour être ensuite accolé à un autre avec du ruban adhésif.

Le solide peut servir de gabarit ou non (reproduction de figures planes). On peut aussi donner une feuille sur laquelle sont reproduites plusieurs figures géométriques, dont certaines représentent les faces du solide ...

Les situations de construction et de reproduction dépendent du support proposé : matériel (polydron ...) ou papier (uni ou quadrillé).

## 6.4.6 Classer des solides :

### Classer des solides selon un critère donné

Déterminer le critère de classement pour des solides déjà classés

Compléter le classement de solides, le critère étant à déterminer.

Le critère peut concerner soit des propriétés géométriques ou métriques, soit des catégories de solides.

Le critère nombre de faces ou nombre de sommets ne correspond pas à une catégorie de polyèdres ...

D'autres critères peuvent être pris en compte comme la nature des faces (polygones réguliers ou non), la présence d'une ou plusieurs faces identiques ou non ...
# 7 ANNEXE 7 : DOCUMENT RESSOURCE SUR LES PROBLEMES NUMERIQUES STANDARDS

## 7.1 Tableau n°1 : critères de construction des problèmes

<table><thead><tr><th>Données numériques Opérations</th><th>2 données</th><th>3 données</th><th>une donnée inutile</th></tr></thead><tbody><tr><td>Addition</td><td>état final n°4<br>état initial n°5</td><td>état final n°12<br>composée de transformations n°16</td><td>réunion n°10<br>état initial n°3</td></tr><tr><td>Soustraction</td><td>complément n°15<br>état initial n°19</td><td>état final n°6<br>composée de transformations n°7</td><td>Distance n°1<br>composée de transformations n°21</td></tr><tr><td>Multiplication</td><td>addition réitérée n°1<br>Aire n°8</td><td>addition réitérée n°20<br>Volume n°13</td><td>addition réitérée n°2<br>Produit cartésien n°24</td></tr><tr><td>Division</td><td>Répartition (reste nul) n°17<br>multiplication inverse (aire) n°22</td><td>répartition (avec reste) n°9<br>division avec reste n°14</td><td>division (reste nul) n°23<br>multiplication inverse n°18</td></tr></tbody></table>

## 7.2 Enoncés des 24 problèmes du test

Problème 1 : (x, 2,s) : Pour réaliser un pull, Sylvie achète 18 pelotes de laine à 20 F la pelote ; calcule le montant de la dépense.

Problème 2 : (x, di, s) : Une famille de 3 personnes séjourne pendant 6 jours à la résidence "des 3 îles" ; le tarif journalier de la pension est de 200 F par personne ; calcule le montant de la dépense.

Problème 3 : (+,di, c) : Marie fête son anniversaire le 22 septembre : elle a 11 ans. Elle dit à sa maman : "j'ai exactement 32 ans de moins que toi !". Quel est l'âge de Maman ?

Problème 4 : (+,2,s) : Hier, j'ai lu jusqu'à la page 134 de mon livre ; aujourd'hui, j'ai lu 27 pages ; à quelle page en suis-je maintenant ?
Problème 5 : (+,2,c) : Pierre a perdu 15 billes à la récréation ; il lui en reste 20 ; combien avait-il de billes avant ?

Problème 6 : (-,3,s) : Dans un autobus, il y a 38 personnes ; au premier arrêt, 8 personnes descendent ; au second arrêt, 6 personnes descendent ; combien y a-t-il de personnes dans l'autobus quand il repart ?

Problème 7 : (-,3,c) : Au premier arrêt d'un autobus, 12 personnes montent ; au second arrêt, 4 personnes descendent ; au troisième arrêt, 5 personnes descendent ; y a-t-il plus ou moins de voyageurs dans l'autobus quand il repart ? Combien en plus ou en moins ?

Problème 8 : (x,2,c) : Un quadrillage rectangulaire comporte 34 carreaux sur la longueur et 20 carreaux sur la largeur ; combien ce quadrillage a-t-il de carreaux ?

Problème 9 : (division avec reste, s) : On doit répartir 50 pommes dans des corbeilles de 8 pommes chacune ; combien peut-on remplir de corbeilles ? Combien reste-t-il de pommes ?

Problème 10 : (+,di, s) : Dans une ville, il y a 3 écoles ; dans la première, on compte 150 élèves ; dans la seconde, 58 élèves ; dans la troisième, 70 élèves ; combien y a-t-il d'élèves dans cette ville ?

Problème 11 : (-,di, s) : Jean part de Paris, doit passer par Melun et être à Fontainebleau à 10 heures ; la distance Paris-Fontainebleau est de 65 km et il y a 15 km de Melun à Fontainebleau ; quelle est la distance entre Paris et Melun ?

Problème 12 : (+,3,s) : Dans un autobus, il y a 36 personnes ; au premier arrêt, 3 personnes montent ; au second arrêt, 12 personnes montent ; combien y a-t-il de personnes dans l'autobus quand il repart ?

Problème 13 : (x,3,c) : Dans une boîte, on dispose 5 morceaux de sucre sur la longueur, 3 morceaux sur la largeur et 4 morceaux sur la hauteur ; combien de morceaux de sucre y a-t-il dans la boîte ?

Problème 14 : (division avec reste, c) : Avec ses bottes de sept lieux, le petit Poucet se déplace de ville en ville ; il fait des pas de 8 km ; s'il parcourt 50 km, combien de pas va-t-il faire ?

Problème 15 : (-,2,s) : Dans un parking, il y a 100 places ; ce matin, 67 places sont occupées, combien reste-t-il de places libres ?

Problème 16 : (+,3,c) : Au premier arrêt d'un autobus, 10 personnes montent ; au second arrêt, 3 personnes montent ; au troisième arrêt, 8 personnes montent ; y a-t-il des personnes en plus ou en moins dans l'autobus quand il repart après le troisième arrêt ? Combien en plus ou en moins ?

Problème 17 : (:, 2, s) : On répartit 126 œufs dans des boîtes de 6 ; combien de boîtes peut-on remplir ?

Problème 18 : (:, di, c) : Pour Noël, Jean, qui dispose de 250 F, a décidé d'offrir le même livre à ses 4 amis ; il paye 208 F ; quel est le prix d'un livre ?
Problème 19 : (-, 2, c) : J'ai maintenant 200 F dans ma tirelire ; on vient de me donner 50 F en cadeau ; combien avais-je avant ?

Problème 20 : (x, 3, s) : Une famille de trois personnes part à la montagne pendant 6 jours ; le tarif journalier de la pension est de 200 F par personne ; quel est le montant de la dépense ?

Problème 21 : (-, di, c) : La distance entre chaque arrêt d'un autobus est d'environ 1500m ; au premier arrêt, 10 personnes montent ; au second arrêt, 3 personnes descendent ; au troisième arrêt, 5 personnes montent ; y a-t-il plus ou moins de voyageurs dans l'autobus quand il repart après ce troisième arrêt ? Combien en plus ou en moins ?

Problème 22 : (-, 2, c) : Un quadrillage rectangulaire comporte 168 carreaux en tout ; il y a 4 carreaux sur la largeur ; combien y a-t-il de carreaux sur la longueur ?

Problème 23 : (-, di, s) : Un rallye cycliste comporte 105 km ; le départ est à 7 heures le matin ; les relais sont distants de 5 km ; chaque participant doit pointer au départ, à chaque relais, et à l'arrivée ; combien de fois doit-il pointer ?

Problème 24 : (x, di, c) : Un restaurant propose un menu du jour à 70 F ; il y a 4 choix possibles pour l'entrée, 3 choix possibles pour le plat principal et 2 choix possibles pour le dessert ; combien de menus différents peut-on constituer ?
# 8 ANNEXE 8 : QUELQUES ELEMENTS DE LA SEANCE OBSERVEE AU COURS DU STAGE D'ECOLE

La séance comporte deux phases : la première concerne le calcul mental et la seconde la résolution de problème.

## Calcul mental : Quadruples et quarts (ERMEL CM1 p 478)

Il s'agit d'amener les élèves à calculer rapidement les quadruples et les quarts de nombres inférieurs à 1000.

Après avoir rappelé que le quart c'est la moitié de la moitié et que le quadruple, c'est le double du double, les élèves ont quatre calculs à effectuer sur ardoise<fnref n="7" />. Le professeur relève les ardoises indiquant des solutions différentes et invite les élèves à commenter les résultats affichés. La phase d'explicitation des procédures justes et/ou erronées est conduite par l'enseignant de manière à amener les élèves à valider eux-mêmes leurs réponses ou celles des autres, à distinguer les erreurs selon leur nature (« erreur de consigne », « erreur de procédure », « erreur de calcul »...) en les hiérarchisant implicitement.

## Résolution de problème

La situation proposée s'inspire de la situation « Les fromages »<fnref n="8" /> (ERMEL CM1: p 277 - 280). A partir d'un document indiquant quantités et prix correspondants pour divers produits, les élèves doivent interpréter les informations données et en rechercher d'autres : rechercher le prix de x grammes connaissant le prix au kg ou, inversement, rechercher la quantité connaissant le prix.

Le déroulement comporte une phase d'enrôlement permettant de mesurer le degré de familiarité des élèves avec le contexte (types de fromages, poids, prix, prix au kg...) et les informations données. Dans un deuxième temps les élèves doivent résoudre un problème<fnref n="9" /> à propos duquel l'enseignante précise : « *Ce qui m'importe le plus c'est votre façon de faire, c'est pas le résultat ! Tu fais ce que tu veux du moment que tu l'expliques !* ». La mise en commun des résultats trouvés est conduite sensiblement de la même manière que celle de la phase de calcul mental. A la suite de celle-ci, les élèves ont une nouvelle tâche<fnref n="10" /> à réaliser individuellement sur leur cahier qui ne sera pas reprise collectivement au cours de cette séance.

## 8.1.1 Calcul mental : Le quart et le quadruple

Rappel : le quart c'est la moitié de la moitié

Le quadruple, c'est le double du double

<footnote n="7">⁷ Trouver le quart de 24, le quart de 14 €, le quart de 26 € le quadruple de 4,50 €</footnote>

<footnote n="8">⁸ L'objectif annoncé est de : - savoir interpréter les informations reliant la quantité d'un certain produit et son prix grâce au modèle de la proportionnalité ; - savoir utiliser la proportionnalité, notamment les propriétés de linéarité pour résoudre des problèmes de recherche de quatrième proportionnelle ; - réinvestir le travail réalisé dans la situation « le prix des morilles » dans un contexte proche où la proportionnalité intervient de façon identique.</footnote>

<footnote n="9">⁹ On vous dit que 400 g de comté coûtent 5 €. Combien coûteraient 600 g de Comté ?</footnote>

<footnote n="10">¹⁰ Voir annexe</footnote>
Les élèves ont quatre calculs à effectuer sur ardoise : Trouver le quart de 24 ; le quart de 14 € ; le quart de 26 € ; le quadruple de 4,50 €

P. relève les ardoises indiquant des solutions différentes et invite les élèves à
commenter les résultats affichés

Explicitation des procédures justes et/ou erronées

Exemple : procédure erronée pour 24, un élève propose 11

« la moitié de 20 c'est 10, la moitié de 4 c'est 2 et la moitié de 2 c'est 1 »
pour 14 €, un élève propose 4,30 €.

« ....la moitié de 7 y a pas ...du coup la moitié de 6 c'est 3 et en rajoutant 1 € ça fait 4 €

P. : Pourquoi le 4 € n'est pas possible ?

É : Parce que 4 et 4 ça fait 8 !

Affichage des résultats pour le quart de 26 €

6,05 € 7,50 € 6,50 € 13 €

P. : Dites moi ce que vous en pensez ;

Tu prends n'importe quelle ardoise.

É : 13, ça ne se peut pas ! 13 c'est la moitié de 26... il n'a pas fait la moitié de la moitié !

P. : invite à classer le type d'erreur

« c'est un problème de consigne ! »

É : 7,50 ce n'est pas possible parce que 7 + 7 ça fait 14 et 50 et 50 ça fait 1 €

« C'est un problème de calcul »

Affichage des résultats pour le quadruple de 4,50 €

18€ 14€ 17€ 18,50€ 16,50€ 6€

P. : est-ce qu'il y a des résultats qu'on peut éliminer déjà ? (qui sont plus graves que d'autres)

É : 6€

Explicitation successive des procédures

14 € 3 x 4 et 4 x 0,50 erreur de consigne 3 x pour le quadruple !

18 € le double de 50 ça fait 1 €, le double de 4 ça fait 8 €, j'ai rajouté 1 € à 8 € ça fait 9 €, le double de 9 € ça fait 18 €

17 € l'erreur de Y, il n'a fait que 2 fois 50 !

18,50 € « je laisse les 50 centimes de côté ; 4 x 4 ça fait 16 ! et 4 x 5 ça fait 25 !
c'est une erreur de table !

16,50 € il a compté une seule fois 50 !

2. Situation du Ermel CM1 : Les fromages (p 283 - 285)

Phase d'enrôlement

P. : Qu'est-ce que vous connaissez comme fromage ?
les élèves évoquent différentes sortes de fromages

P. : Aujourd'hui on va parler de 5 fromages (au tableau 5 colonnes sont matérialisées)

P. affiche une feuille A4 dans chacune des deux premières colonnes

<table>
  <tr>
    <td>Comté</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Poids : 400 g</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Prix : 5€</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Soit le kg :</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>12,50€</td>
  </tr>
</table>

<table>
  <tr>
    <td>Brie</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Poids : 250 g</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Prix : 3,50€</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Soit le kg : 14€</td>
  </tr>
</table>

P. : Quelles informations nous donnent ces affiches ?

P. : Qu'est-ce qui est le plus cher ?
Lequel est le plus cher ?
Les élèves ont du mal à répondre ... obstacle langagier du « soit le kg » que P. va finir par barrer.

Pas clair entre le prix du paquet le moins cher et le prix au kilo

## Problème posé aux élèves

On vous dit que 400 g de Comté coûtent 5 €.

Combien coûteraient 600 g de Comté ?

P. : Ce qui m'importe le plus c'est votre façon de faire, ce n'est pas le résultat !

Tu fais ce que tu veux du moment que tu l'expliques !

### Mise en commun

15 € 39,70 € 7,50 € 7 € 8 €

P. : on peut faire du tri là-dedans, il y a déjà des résultats qu'on peut éliminer !

É : 39,70 € c'est impossible !

Ça dépasse le prix du kilo !

É : c'est pareil pour 15 €

P. barre les deux réponses erronées

P. : maintenant les autres, il faut bien qu'on se mette d'accord !

P. : Alors qui a trouvé 8 € ?

É : 400 + 200 ça fait 600 g. à 200, j'ai marqué 3 €

P. : Pourquoi ?

É : 400 ça fait 5, j'ai enlevé 2, ça fait 3

Etc.

## Nouvelle tâche

Trois fromages supplémentaires : Feuille A4 au tableau

<table><tr><td>Camembert</td></tr><tr><td>Poids : 200 g</td></tr><tr><td>Prix : ......€</td></tr><tr><td>Soit le kg :</td></tr><tr><td>12,50€</td></tr></table>

<table><tr><td>Fromage des Pyrénées</td></tr><tr><td>Poids : ...... g</td></tr><tr><td>Prix : 5€</td></tr><tr><td>Soit le kg : 20€</td></tr></table>

<table><tr><td>Roquefort</td></tr><tr><td>Poids : 400 g</td></tr><tr><td>Prix : 6€</td></tr><tr><td>Soit le kg :</td></tr><tr><td>.........€</td></tr></table>

Travail individuel sur cahier / P. : vous pouvez commencer par le fromage de votre choix mais essayez de les faire tous !

Constat = les élèves ont du mal à réaliser la tâche !!!!!

Pas de mise en commun

Voir les cahiers des élèves
# 9 ANNEXE 9 : TRAME DE L'EXPOSE SUR LA NUMERATION

Il existe des situations de référence (situations incontournables) de six ou sept types que l'on peut catégoriser comme suit. Elles sont reprises aux différents niveaux de la scolarité en adaptant le domaine numérique.

## 9.1 Les situations d'échanges pour travailler l'écriture du nombre

On peut dire qu'il s'agit toujours de construire le nombre mais ici on insiste davantage sur l'écriture, la désignation des nombres que sur les calculs sur les nombres.

Ces situations sont incontournables au cycle 2. Elles permettent d'explorer les règles d'échanges qui justifient le système de numération de position. Au CP c'est la situation de type « jeu du banquier » et au CE1, c'est le « jeu du caissier ». L'évolution se traduit au niveau de la règle d'échanges (un contre cinq, puis un contre dix) et tout le travail sur la monnaie.

## 9.2 Les situations de groupements (rendus nécessaires quand il s'agit de dénombrer des collections importantes)

Pour les CP, il s'agira de construire des stratégies pour dénombrer rapidement et de manière fiable des collections de 30 à 100 objets et au CE de plusieurs centaines voire milliers. Ces situations amènent à constater que l'utilisation des paquets de dix puis des paquets de paquets va faciliter la détermination de l'écriture du cardinal qui pourra être d'abord traduit sous la forme d'une écriture additive. L'évolution du CP au CM2 se fait au niveau du passage de collections réelles à des collections représentées sous différentes formes. Dans ERMEL les situations « les fourmillions » (CP), « les cahiers » (CE1), « les craies » (CE2), « les trombones » (CM1) et « les tickets de cantine » (CM2) entrent dans cette catégorie.

## 9.3 Les situations qui amènent à repenser les groupements par rapport aux échanges

Il s'agit de répondre à la question : à quoi sert la numération ?

- à lire dans l'écriture d'un nombre des informations liées aux échanges ou aux groupements qui ont été effectués (Exemples de situations dans ERMEL : « les craies »; « stockage » « les daltons » « les timbres », « les tickets de cantine », « les trombones »).

- à structurer les ensembles de nombres à partir de leurs écritures canoniques mais aussi à partir de décompositions plutôt canoniques

- à construire des algorithmes opératoires efficaces

- à faciliter l'usage des systèmes métriques

Au travers des évaluations, on constate un déficit en CE2 et en sixième. Par exemple, à la question « Dans 238, combien de paquets de dix ? », 50 % réussissent à répondre en CE2 mais peu lisent directement la réponse « sur le nombre ». En sixième, on observe 80 % de réussite et seulement un élève sur deux qui mobilise des connaissances sur la numération.
## 9.4 Les situations de découverte du point de vue algorithmique (dans les deux systèmes de numération) qui amènent à regarder comment s'enchaînent les écritures

Toutes les activités autour des compteurs (avec des chiffres ou avec des mots) et des calculatrices entrent dans cette catégorie en liaison avec un travail avec les abaques. Un travail autour des familles de nombres comme la situation du « jeu du château » en CP / CE1. La structuration des nombres est également en jeu dans les situations utilisant la droite numérique comme « les fils numériques » ou encore celle qui consiste à fabriquer le « livre du million » : chaque page contient mille nombres (famille des mille).

## 9.5 Les situations d'exploration des règles de la numération orale (écrite avec des mots traduits par des nombres)

Il s'agit de faire travailler les élèves sur ce qui distingue les deux systèmes de numération.

## 9.6 Les situations autour du passage de la numération écrite (chiffrée) de position à la numération orale (utilisant des mots)

On ne peut se limiter à des dictées de nombres. Un travail spécifique est à mener.

Exemple : « les mots nombres » sur ERMEL

2347 lu « deux mille trois cent quarante-sept » soit

$$2 - 1000 - 3 - 100 - 40 - 7$$

$$2000 + 300 + 47$$

2347
# 10 ANNEXE 10 : DES PROCEDURES PERSONNELLES AUX PROCEDURES EXPERTES

a) Nous développons ci-dessous quelques idées sur ce point (inspirées du document d'accompagnement<fnref n="11" />).

Le passage de procédures personnelles à des procédures expertes n'est pas spontané. Il nécessite un apprentissage.

Plus précisément et sur un exemple : de l'équivalence entre recherche d'un complément et soustraction à partir d'un problème : Un autocar qui peut transporter 60 personnes est complet. 45 adultes y sont installés. Tous les autres passagers sont des enfants. Combien y a-t-il d'enfants dans l'autocar ?

On peut considérer trois appuis possibles :

- **L'appui sur des situations** : (justifier l'équivalence) transformer le problème (verbalement) en un problème que les élèves savent résoudre à l'aide d'une soustraction. Mais aussi recours à d'autres situations, par exemple celle de la boîte. **Ainsi deux écritures peuvent être associées à la recherche de la réponse** : une de type « recherche du complément » (a + ... = b) associée au problème initial : l'autre de type « soustraction » (b - a = ...) associée au problème posé au moment de la validation.

- **L'appui sur le calcul mental** : (faire fonctionner l'équivalence) pour calculer 100 – 98, le plus simple est de rechercher le complément de 98 à 100 ; inversement, pour calculer mentalement le complément de 5 à 200, le plus simple consiste à soustraire 5 à 200. Ainsi demander de calculer une différence de faible écart ou un complément d'un nombre à un autre beaucoup plus grand serait propice à la construction des équivalences entre calcul d'une différence et recherche d'un complément ; le tout étant accompagné de formulations orales adéquates : Que faut-il ajouter à 45 pour avoir 60 ? Quel nombre obtient-on en soustrayant 45 de 60 ? Quelle est la différence entre 45 et 60 ?

- **L'appui sur les écritures symboliques** : (exprimer l'équivalence) Etant donnés trois nombres (23 ; 18 ; 41), trouver toutes les écritures additives ou soustractives avec ces trois nombres. La demande de formulations orales aide aussi l'élève à relier entre elles différentes significations « Quel est le nombre qui ajouté à 18 donne 41 ? » ; « Quelle est la différence (ou l'écart) entre 18 et 41 ? »

**Utiliser ces différents appuis pour amener l'élève à utiliser directement la procédure experte.**

b) Nous reprenons les résultats de nos propres recherches relatives à l'analyse des pratiques enseignantes, notamment l'explicitation de certains gestes professionnels supposés efficaces

**Un autre exemple en numération** : Pour faire évoluer les procédures vers une procédure experte

<footnote n="11">¹¹ ajouter les références</footnote>
En s'appuyant sur une analyse « à chaud » des productions effectives des élèves, l'enseignant va faire apparaître une certaine hiérarchie des procédures lors du bilan / synthèse (méthode de Sébastien) qui repose sur plusieurs gestes. Pour décrire les procédures obtenues, l'enseignant fait le choix de ne pas interroger les élèves loin de la solution et d'organiser la mise en commun de la procédure la plus primitive à la plus experte en reformulant parfois à la place des élèves sur la base des écrits produits en restant très près de celles-ci. Ainsi il fait croire que les élèves sont passés par toutes les étapes et rend collectif (public) les productions en débouchant sur la procédure la plus proche de la procédure experte. L'étayage des productions des élèves et l'organisation de celles-ci vise à mettre en avant une certaine continuité.

Dans ERMEL, les auteurs privilégient la multiplicité des procédures, aident l'enseignant à les envisager mais éludent le moment de la synthèse (Comment les trier ? Dans quel ordre interroger les élèves ?) et supposent que l'élève est capable de formuler un minimum ses procédures.

On identifie ici une contradiction qui peut être attribuée au « constructivisme ». On peut considérer toutes les procédures, sans les hiérarchiser au départ mais il ne faut pas que ça dure trop longtemps, et il faudra tout de même faire émerger la procédure experte.

A la question : à partir de quel moment on institutionnalise ? On peut dire que si on attend 80 % de réponses : non ! donc on peut raisonnablement répondre autour de 50 % : oui ; sinon on prend un certain risque au niveau de l'avancement du programme et il faudra fournir un moyen pour arriver à la procédure. En effet, on ne peut pas repousser trop loin l'institutionnalisation.

L'enseignant propose systématiquement comme ci-dessous (tableau) différentes écritures dont celles faisant directement intervenir la numération.

<table><caption>Tableau établi à partir de l'activité « les craies » de ERMEL CE2</caption><thead><tr><th></th><th>Boîtes et étuis</th><th>Centaines et dizaines</th></tr></thead><tbody><tr><td>80 craies</td><td>... boîtes et ... étuis</td><td>80 c'est ... centaines et ... dizaines</td></tr><tr><td>350 craies</td><td>... boîtes et ... étuis</td><td>350 c'est ... centaines et ... dizaines</td></tr><tr><td>1250 craies</td><td>... boîtes et ... étuis</td><td>1250 c'est ... centaines et ... dizaines</td></tr><tr><td>930 craies</td><td>... boîtes et ... étuis</td><td>930 c'est ... centaines et ... dizaines</td></tr></tbody></table>
Enfin, il est important d'accompagner cette situation de l'activité inverse (pour l'activité « les craies », il s'agit de l'activité « les stocks ») et d'exercices de réinvestissement de moins en moins contextualisés. Par exemple (pour les Daltons), il s'agit d'envisager d'abord un autre habillage puis une première décontextualisation (combien de paquets de 10 ? combien de dizaines ?) et ensuite une décontextualisation plus poussée (sans habillage), (Combien de dizaines dans 1260 ? dans 1428 ?) pour que cela devienne un geste automatisé, et enfin proposer différents contextes et faire remarquer l'invariant (relevant de la numération) et au bout du compte, travailler hors contexte.
# 11 ANNEXE 11 : DES PISTES POUR ADAPTER ERMEL A DES ELEVES DE ZEP

Cette adaptation peut se faire à plusieurs niveaux (les références concernent les éditions 1993-1997 de ERMEL). Il s'agit de pistes pour mieux utiliser cet ouvrage en fonction du public. Il ne s'agit pas de toutes les mettre en œuvre mais d'effectuer un choix en fonction des notions, de situations et du moment.

## 11.1 Elaguer complètement une ou plusieurs situations dans une progression donnée

Pour le CP, on peut par exemple supprimer les situations des boîtes empilées et des boîtes alignées et les remplacer par des jeux de bataille qui travaillent les mêmes compétences de comparaison de nombres. (Période1-quinzaine2-.Ermel p 67 à 73) idem « Maisons à construire » (Période 3 – quinzaine 2, Ermel 306 - 307 ...) il s'agit d'un jeu d'échange ... le Jeu du banquier paraît suffisant.

Choisir deux situations sur trois entre « Le nombre cible », p143 Les marelles p150 et le mini-yam p153...

Différencier au niveau des élèves et conserver pour les élèves les plus à l'aise les situations suivantes : Les camions, Les tandems, Les footballeurs (Période 1 – quinzaine 3 et Période 2, quinzaine 1, Ermel p 65 et 66)

De façon générale, on peut supprimer des situations de réinvestissement lourdes en organisation matérielle comme le jeu de la marchande de jouets (Période 4, quinzaine 3, Ermel p 161-162) qui est une variante de la situation de la marchande p 159.

Pour le CE1 : ex de la situation « le couloir » : il s'agit de mesurer la longueur d'une partie de l'école, par exemple le couloir, avec les chaussures puis de convertir cette mesure en centimètres. L'activité est intéressante car elle permet d'introduire la conversion 100 centimètres valent 1 mètre. Mais elle est susceptible de débordement et coûteuse en temps (mise en place de la situation, prise de mesure : choix d'une chaussure, décompte du nombre de fois qu'il faut déplacer la chaussure –toujours la même- recueil des données, conversion nombre de chaussures/centimètres (en ayant mesuré la chaussure), conversion centimètres/mètres... ); le tout est prévu en une séance de 45 minutes.

Pour le CE2 : éliminer tout ce qui concerne l'introduction des notations décimales en CE2 à partir de la monnaie. « Achetez des glaces » pp.405 - 408

Ou encore : « des chiffres pour écrire les nombres » où il s'agit de trouver combien de fois on utilise un chiffre donné pour numéroter les 78 pages d'un livre pp.305-311 (situation très longue, surtout la phase 3)

Pour le CM1 : numération égyptienne ou multiplication égyptienne ; divisibilité par 4 p172

Pour le CM2 : toutes les situations qui concernent l'euro et les situations de change : « change » p 303 ; « la monnaie européenne : l'euro » p 324 ; « les devises » p 511
Adapter les situations utilisant des francs, certains documents sont obsolètes, à
réactualiser ! : graphique de la situation « musique » p 80 ; « Magnétoscope » p 91 « tickets
de caisse » p 194 pour cette situation, comment valider les choix quant à l'ordre de grandeur,
la manière « d'arrondir » ? ? ? ; « soldes » p 329. Utilité de : « entre parenthèses » p 210 à
condition de faire des activités avec la calculatrice (voir document d'accompagnement) ;
« rien que des trous » p 216 ; « Profil de la Loire » p 291 ; « freinage d'une voiture : distance
d'arrêt » p 345

11.2 Changer l'ordre des situations dans la progression proposée

Certaines situations venant en seconde ou troisième position peuvent être mieux
adaptées à des élèves de ZEP.

Pour le CE1 : on peut inverser les supports droite numérique et spirale des nombres (p.360). La spirale des nombres est à la droite numérique ce que le tableau des nombres est à la bande numérique, pour le passage de 10 en 10 et de 1 en 1.

Pour le CE2 : beaucoup de situations relèvent du calcul mental ou rapide et peuvent être faites à d'autres périodes. D'autres peuvent être faites en libre service : « labynombre » p 358

Pour le CM1, dans le chapitre sur la proportionnalité, la situation « graduations » n'est peut-être pas bien placée au début : mieux vaudrait celle des bandes colorées ou celle des recettes qui viennent par la suite.

11.3 Élaguer seulement la dernière phase d'une situation

Lorsque cela ne remet pas en cause le sens des notions : souvent, dans cette dernière
phase, les nombres sont plus grands, les calculs plus complexes, ce qui rend l'activité
vraiment plus difficile.

Pour le CE2 : « des chiffres pour écrire les nombres » pp.305-311 (situation très longue, surtout la phase 3)

Pour le CM1 : dans « les deux (périmètre et aire) font la paire ! », l'activité n°3 (p381) ne semble pas indispensable.

De même dans « combien de produits » p 181 où il faut trouver toutes les
décompositions multiplicatives de nombres, on n'est pas obligé de le faire pour tous les
nombres de 1 à 100...

Pour le CM2 : « feuille A3 » p 470 : comment obtenir, à partir d'une feuille A3 pesant 10 g, un morceau pesant 1,4 g ?

On peut aussi élaguer la première phase, par ex où il s'agit d'inventer la règle
« Pénélope » p179
## 11.4 « Alléger » la situation par le choix des variables didactiques :

Le choix des variables numériques est souvent fondamental, de même que le choix du matériel fourni aux élèves : quel matériel, à quel moment ? En géométrie ou dans le travail sur les grandeurs, le choix des figures et des supports est aussi très important. Le choix des variables didactiques peut déboucher sur une différenciation.

Pour le CM2, dans les problèmes pour chercher : « Somme et différence » p 63 : recherche des cas d'impossibilité... (on peut se contenter d'un constat) ; les critères de divisibilité, les nombres premiers « Combien de produits » p 163 ; le « concours de divisions » p 206

Pour le CMI, dans le travail sur les aires où il faut ranger des figures selon leur aire (p 389) on peut proposer des figures moins complexes.

Pour le CE2 : « Qui a le plus grand nombre ? » p 342-344. Le travail peut être oral, l'écrit n'apportant pas grand-chose...

Pour le CE1 : (p. 335) « le caissier 2». Les élèves acheteurs doivent demander au caissier de leur faire de la monnaie puis ils doivent faire l'appoint du montant de ce qu'ils achètent. Le caissier dispose de suffisamment de monnaie pour rendre ce qu'il faut lors des achats des acheteurs. Il peut y avoir des discussions sur le « bien fondé » de faire de la monnaie chez le commerçant chez qui on achète. Le caissier peut toujours rendre la monnaie. Pour éviter des discussions sans grand intérêt et pour obliger les élèves à demander qu'on leur fasse de la monnaie, on peut mettre en place (comme il est suggéré dans ERMEL) un banquier (le professeur) et (non suggéré) ne pas donner la monnaie suffisante au caissier de sorte que les élèves soient obligés de passer chez le banquier pour faire de la monnaie. Cette dernière disposition permet à l'enseignant de savoir qui a demandé de la monnaie et qui a fait une erreur lors de cette demande (ce sont les élèves qui doivent dire le nombre de pièces ou de billets qui doit leur être remis en échange de leur billet).

## 11.5 Etre moins exigeant dans la formulation écrite des procédures

On peut se contenter parfois d'une explicitation orale : dans beaucoup de situations, on demande aux élèves d'expliciter par écrit leurs procédures : en ZEP, c'est beaucoup plus difficile qu'ailleurs. Le travail de formulation doit être en grande partie pris en charge par le maître. De même lorsque les élèves ont à argumenter par écrit par rapport à des écrits d'autres élèves.

Pour le CE2 : « Qui a le plus grand nombre ? » p 342-344. Le travail peut être oral, l'écrit n'apportant pas grand-chose...

Pour le CMI : comparaison d'aires de rectangles (p353) ; comparaison de nombres décimaux (p 429)

Pour le CM2 : « le mobilier de l'école » p 86 pour l'analyse collective des différentes rédactions ...
## 11.6 Importance de l'ancrage du nouveau dans l'ancien : nécessité de phases de rappel plus nombreuses, plus régulières

Plutôt que de multiplier les environnements d'apprentissage (multiplicité des situations), il vaudrait mieux sélectionner quelques situations de référence, à reprendre éventuellement en cours d'année mais aussi au cours du cycle. Beaucoup de situations du CP liées à la numération peuvent être reprises au CE1 avec des nombres plus grands (tableau ou spirale des nombres, jeu de cible, ...)

Au CM2, se référer à ce qui a été fait ou non au CM1 notamment pour les fractions et les décimaux, la division, la proportionnalité ... et si besoin reprendre la situation de référence qui a permis de donner du sens à la notion

Ne pas négliger les activités d'entraînement (thème 5 au CM2)

## 11.7 Importance de l'institutionnalisation

Faire le point sur les connaissances que l'on vient de travailler, sur ce qui est important, ce qu'il faut retenir..., relier avec les connaissances anciennes.

Cette institutionnalisation n'est pas toujours explicite dans le ERMEL. Il manque l'équivalent des aide-mémoire que l'on trouve dans d'autres manuels.

Au cycle 3, on peut proposer un cahier mémoire qui se construit tout au long de l'année et représente le savoir institutionnalisé.

Pour le CE1, p. 378 « les billes » : sur un dessin, déterminer quelle est la bille la plus proche de la bille noire. Une partie importante de l'institutionnalisation doit porter sur la mise en évidence des gestes incontournables pour produire une mesure correcte ; repérer toujours par rapport au même endroit (point, lieu). Par exemple extrémité des ficelles (dont il faudra ensuite comparer les mesures de longueur) repère sur les bandes de carton. Autre geste ; placer ces repères toujours de la même façon sur les objets à mesurer (sinon les distances changent et les comparaisons pourront être faussées).

Pour le CE1, p. 360 « la spirale des nombres » (période 3 quinzaine 3). Ce qui est à institutionnaliser se présente sous forme de remarques. Une dizaine correspond à un tour de spirale, pour ajouter ou retrancher plusieurs dizaines on reste sur le même « rayon » et on se déplace d'autant qu'il est nécessaire. Une unité correspond au déplacement entre un nombre et celui qui est juste à côté (à gauche ou à droite) sur la même spirale, pour ajouter ou retrancher une ou plusieurs unités on reste sur la même spirale.

Pour le CE2 : les craies (p288) ou les Daltons

## 11.8 A propos des T.O. : Un manque d'institutionnalisation dans ERMEL.

Or les élèves de ZEP ont besoin de références. Il n'est pas souhaitable de laisser chacun se débrouiller avec sa technique (c'est le cas de la soustraction au CM1). Proposer des aide-mémoire pour les différentes T.O. enseignées : addition, soustraction, multiplication, division.
L'algorithme de l'addition au CP et au CE1 est abordé par le problème d'une commande commune avec la règle « on ne peut commander plus de 9 objets isolés à la fois ». On est alors amené à faire des échanges « 10 contre 1 ». Puis un parallèle est fait avec l'écriture en colonne et la retenue.

Les abaques (en feuilles ou tiges) interviennent comme aide ou comme validation du résultat. Là aussi on fait un parallèle avec l'écriture en colonne et la retenue.

Dans le cahier de l'élève (CP et CE1), les additions demandées sont toujours écrites en ligne. Il n'y a pas d'addition posée.

Pour la T.O. de la multiplication, on peut conseiller un découpage 1 chiffre/2 chiffres ou plus au multiplicateur entre le CE1 et le CE2.

On peut aussi simplifier l'organisation de certaines situations, par exemple certaines situations de communication parfois complexes à mettre en œuvre ou lorsque l'on demande un travail par deux : voir ce que cela apporte...
# 12 ANNEXE 12 : AIDES APPORTEES (SITUATIONS DE COMPAGNONNAGE)

## 12.1 Quelques éléments sur la technique opératoire de l'addition

Comme nous l'avions suggéré, il est important de faire apparaître sur une affiche l'ordre des différentes étapes du déroulement de la technique (y compris la façon de disposer les nombres au départ). On peut aussi faire apparaître la « récitation » associée (Euromaths CP).

On peut utiliser différents contextes pour donner du sens à la retenue : la monnaie (Ateliers Hachette), le jeu « dix contre 1 » (Diagonale CP), les abaques. L'important est de bien faire comprendre que la retenue correspond à un échange 10 contre 1. Cela s'appuie sur les règles de la numération écrite (signification des chiffres dans l'écriture d'un nombre).

Il faut penser à faire varier la taille des nombres et le nombre de termes de la somme $(27+345+7)$.

L'utilisation du tableau de numération (Euromaths CE1) avec au moins trois colonnes peut être une aide pour les élèves en difficulté. Mais ils devront s'en dispenser progressivement.

## 12.2 Suggestions pour la préparation d'une séquence sur la multiplication au CE2 :

Les élèves ont déjà rencontré la multiplication au CE1. Au CE2, il s'agit de revenir sur le sens de l'écriture multiplicative et de mettre en place la technique opératoire (basée sur la propriété de distributivité de la multiplication par rapport à l'addition et sur la « règle des zéros »).

### 12.2.1 Concernant le sens de la multiplication

La fiche p 44 d'Optimath (Hachette) demande à être enrichie :

- écrire le nombre d'éléments d'une collection d'objets disposés en lignes et en colonnes (au moins 100) sans les dénombrer un à un : 4 écritures seront privilégiées ( 12 x 17 ; 17 x 12 ; 12 + 12 + ... + 12 et 17 + 17 + ... + 17) et l'égalité sera établie entre ces 4 écritures. Voir par exemple Euromaths CE2 p 66-67 (p 66 : on peut se contenter de la collection d'objets organisée sans la première ligne et la première colonne) ou Euromaths CE1 p 132 et 133

- coder aussi sous forme multiplicative le nombre d'éléments de collections disposées en paquets et en vrac. Dans ce dernier cas, cela revient à chercher différentes écritures multiplicatives pour un même nombre (par exemple $36 = 2 \times 18 = 9 \times 4 = 12 \times 3 = ...$). Décoder une écriture multiplicative (par exemple, dessiner une collection de 17 x 24 points ...)

- proposer des petits problèmes pouvant se résoudre en utilisant la multiplication : de type bon de commande, ... (en relation avec le sens « addition réitérée » : les deux nombres n'ont pas le même statut)
- aborder la notion de multiple et construire les tables de multiplication, par exemple en utilisant la situation des « sauts du kangourou » Euromaths CE2 p 90

Au fur et à mesure des activités proposées construire la table de Pythagore

### 12.2.2 Concernant la technique opératoire de la multiplication

On peut commencer par le calcul du produit d'un nombre à 2 ou 3 chiffres par un nombre à un chiffre puis par un nombre à 2 chiffres (un seul nombre à décomposer puis les deux). On utilise le découpage de quadrillages pour illustrer la distributivité de la multiplication sur l'addition. Le découpage privilégié fait intervenir la numération décimale (346 = 300 + 40 + 6).

Il faut donc déjà avoir vu la « règle des zéros » (multiplication par 10, 100, 1000) en liaison avec la compréhension de la numération, puis les calculs du type $15 \times 20 = (15 \times 2) \times 10$ ; $15 \times 30$ ; $15 \times 200 = (15 \times 2) \times 100$ ...

Les fiches multiplication (2) et (3) d'Optimath CE2 peuvent être utilisées. Voir aussi Euromaths CE2 p 104-105 et p 124-125 et p 126 et p 130 (dans les deux dernières pages, on arrive à la technique usuelle de multiplication en colonne).

L'apprentissage de cette technique opératoire doit se répartir sur une bonne partie de l'année.

En parallèle, proposer des séances de calcul mental pour la mémorisation des tables, la règle des zéros, la mise en œuvre de procédures de calcul réfléchi (par exemple on sait que $7 \times 7 = 49$ et on trouve $8 \times 7 = 49 + 7 = 56$ ...), la résolution mentale de problèmes ...

### 12.3 Suggestions pour une progression sur la division au CM1 :

Pour travailler le sens de la division, proposer aux élèves différentes situations de division avec reste nul ou non nul (recherche de la valeur d'une part, du nombre de parts, comptage en avant d'un nombre de sauts de même longueur pour se rapprocher d'un nombre cible sans le dépasser, recherche du nombre atteint par comptage en arrière de n en n à partir d'un nombre donné ...). Au départ, les élèves utilisent des procédures empiriques : additions successives, soustractions successives (utilisant ou non des multiples simples du diviseur), recherche de multiples du diviseur pour s'approcher le plus possible du dividende. En privilégiant la procédure des soustractions successives de multiples simples du diviseur, on construit la technique opératoire standard de la division. Au CM1, les élèves recherchent par encadrement le nombre de chiffres du quotient, construisent si nécessaire un répertoire des multiples du diviseur et posent la division en faisant apparaître les soustractions.

Il nous semble que dans le fichier « Pour comprendre les maths », certaines situations peuvent être données aux élèves. Toutefois nous proposons d'intégrer ces situations dans une progression plus complète (plus détaillée) comme par exemple celle du « Nouvel Objectif Calcul CM1 ».
Dans cette progression, les situations de découverte sont intéressantes en adaptant
peut-être les valeurs numériques aux capacités des élèves (les nombres sont généralement très
grands et les quotients obtenus ont souvent 3 chiffres : on peut alors diminuer le dividende de
façon à obtenir un quotient à deux chiffres ...). Le travail sur la division s'accompagne d'un
travail sur la notion de multiples (Division (4)). La leçon « Division (5) », liée à la
proportionnalité, n'est peut-être pas indispensable. De même, dans la leçon « Division (6) », il
ne nous semble pas utile de donner aux élèves d'autres algorithmes de la division posée que
l'algorithme standard. L'aide-mémoire reprenant l'ensemble des étapes de la technique nous
semble tout à fait clair ; il peut être proposé aux élèves et constituer un affichage référent dans
la classe.

La situation de découverte « A pas de géant » (« Division (1) ») est sans doute difficile (contexte, vocabulaire, données numériques). On peut la remplacer par la situation extraite de ERMEL CM1 (p 249) intitulée « Le jeu de la cible » dont l'habillage est moins confus et qui induit l'utilisation de la droite numérique comme support pour visualiser les différents sauts.

Parallèlement en calcul mental, on peut proposer des multiplications à trous (quel est
le nombre qui, multiplié par 10, donne 120 ? ...), un travail sur la « règle des zéros » ( N
multiplié par 10, 100, 1000) et un travail sur les encadrements ( situer 43 entre deux résultats
de la table de multiplication par 6 ). Ces activités peuvent être décontextualisées ou à mettre
en œuvre pour la résolution de « petits » problèmes ( « J'ai 123 œufs à répartir dans des boîtes
de 12. Combien de boîtes puis-je remplir ? Combien reste-t-il d'œufs ? » ).

12.4 Quelques éléments de progression sur la notion d'aire au CM1

12.4.1 Approche et construction de la notion d'aire

Deux surfaces ont même aire si et seulement si elles ont la même étendue (ou si et seulement si elles occupent la même place). Deux surfaces de formes différentes, de dimensions différentes peuvent avoir même aire.

La définition de Cap maths (guide des activités p 83) nous semble tout à fait
convenable.

On dit que deux surfaces ont la même aire :

Si l'une peut se superposer exactement à l'autre

Si, après transformation de l'une des surfaces (par découpage), on peut recouvrir l'autre exactement avec les morceaux de la première.

Les activités proposées visent donc à reconnaître, classer, construire des surfaces de même aire, mais de forme différente. On peut aussi ranger des surfaces de la plus petite aire à la plus grande ou inversement.

Voir Cap maths CM1 livre de l'élève p 33, 34, 35 ; guide des activités p 81-86

Nouvel objectif calcul CM1 p 137

On peut aussi travailler à partir du tangram et faire réaliser des formes différentes à partir des mêmes pièces : elles ont alors même aire.
### 12.4.2 Renforcement de la notion

Voir les activités de Cap maths (guide des activités p 119-120 ; livre de l'élève p 58-59)

### 12.4.3 Mesure des aires avec une unité

Il s'agit de mesurer une aire avec une unité non conventionnelle (utilisation de papier quadrillé, triangulé, de pavages...). Cette phase est indispensable pour bien faire comprendre la notion d'unité. Elle se justifie quand on doit comparer l'aire de surfaces non comparables par découpage.

Activités dans Cap maths (guide des activités p 119-120 ; livre de l'élève p 60, 61), dans le Nouvel objectif calcul CM1 p 138, 139

On peut faire la liaison avec les fractions (voir Nouvel objectif calcul CM1 p 141-143)

### 12.4.4 Unités usuelles d'aires

Il n'y a rien à dire d'original. Tous les manuels travaillent ces notions. Elles seront reprises au CM2.

### 12.4.5 Différencier aire et périmètre

Il s'agit de voir avec les élèves que deux figures qui ont même aire n'ont pas forcément même périmètre et inversement. Ces deux grandeurs varient indépendamment l'une de l'autre.

Pour cela on peut, à partir d'un rectangle, faire construire d'autres rectangles (par découpage ou en gardant le même nombre de carreaux unités) qui auront la même aire mais pas nécessairement le même périmètre.

On peut aussi faire construire des rectangles ayant même périmètre et faire calculer leur aire qui sera différente.

ERMEL CM1 p 373-383 propose une activité de ce type.

On peut aussi poser le problème : étant donné une surface, comment faire pour diminuer son aire et agrandir son périmètre ? (On peut faire un trou ou faire des entailles)

De façon générale, quand on rend convexe une surface qui ne l'est pas au départ, on augmente son aire et on diminue son périmètre.

Ce problème de différenciation sera repris au CM2 où les élèves devraient avoir une meilleure maîtrise de ces notions.
Notre site WEB

http://iremp7.math.jussieu.fr

IREM Université Paris7
Case 7018
2 Place Jussieu
75251 Paris cedex 05
**TITRE :**

ACCOMPAGNEMENT EN MATHEMATIQUES DE PROFESSEURS DES ECOLES
NOUVELLEMENT NOMMES DANS DES ECOLES DE MILIEUX DEFAVORISES DE
L'ANALYSE DE PRATIQUES A DES SCENARIOS DE FORMATION : (ZEP/REP).
RAPPORT DE RECHERCHE (volume 1)

**AUTEURS :**

Butlen D., CHARLES PEZARD M., MAsselot P., SAyac N.

**RESUME :**

Nous nous intéressons aux pratiques en mathématiques de professeurs des écoles nouvellement nommés dans des écoles de ZEP/REP scolarisant des élèves issus de milieux très défavorisés. Nos recherches précédentes ont permis de mettre en évidence une typologie de ces pratiques ainsi que des manques dans la formation initiale des professeurs d'école pour enseigner dans ces milieux difficiles.

Partant de l'identification de certains de ces manques, nous avons construit, expérimenté et évalué un scénario de formation. Il s'agit d'accompagner des professeurs d'école affectés en première nomination en ZEP/REP durant leurs deux premières années d'exercice. Notre but est d'agir sur les pratiques des professeurs afin d'améliorer les apprentissages des élèves de milieux socialement défavorisés mais aussi d'accroître l'efficacité des enseignants concernés et d'améliorer leurs conditions d'exercice du métier au quotidien. Cette recherche devrait également amener à mieux comprendre comment se forment les pratiques enseignantes.

Le scénario de formation proposé comporte principalement trois types de situations : des situations d'information et de questionnement, des situations de compagnonnage, des situations d'échange et de mutualisation des pratiques. Il s'organise autour de quatre dialectiques. Nous décrivons les différents stages (de prise de fonction, d'école...) au cours desquels s'est déroulée la formation.

Nous donnons aussi des premiers résultats sur les facteurs à prendre en compte dans la formation de la pratique d'un professeur d'école débutant : ces facteurs sont bien sûr liés à la composante personnelle mais aussi beaucoup à la composante institutionnelle (ressources utilisées dans l'école, niveau de classe, direction de l'école...). En même temps, nous esquissons un affinement de la catégorisation des pratiques en trois i-genres proposée dans nos recherches précédentes.

**MOTS CLES :**

ZEP ; pratiques des enseignants ; professeurs des écoles débutants ; accompagnement ; scénario de formation ; formation des pratiques ; i-genres ; didactique des mathématiques ; mathématiques ; formation continue ; néo-titulaires.

Editeur : IREM
Université PARIS 7-Denis Diderot
Directeur responsable de la
publication : R. CORI
Case 7018 - 2 Place Jussieu
75251 PARIS Cedex 05
Dépôt légal : 2007
ISBN : 2-86612-287-9