# Application des techniques d'homogénéisation pour l'analyse tridimensionnelle d'échangeurs de chaleur à plaques et ondes

Johan Dib, François Bilteryst, Jean-Louis Batoz, Ivan Lewon

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Johan Dib, François Bilteryst, Jean-Louis Batoz, Ivan Lewon. Application des techniques d'homogénéisation pour l'analyse tridimensionnelle d'échangeurs de chaleur à plaques et ondes. 7e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2005, Giens, France. hal-01813000

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Submitted on 12 Jun 2018

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Application des techniques d'homogénéisation pour l'analyse tridimensionnelle d'échangeurs de chaleur à plaques et ondes.

Johan Dib¹,² — François Bilteryst¹ — Jean-Louis Batoz¹ — Ivan Lewon²

¹ Equipe de Recherche en Mécanique et Plasturgie
Institut Supérieur d'Ingénierie de la Conception (GIP-InSIC)
27 rue d'Hellieule, F-88100 Saint-Dié-des-Vosges
e-mails : francois.bilteryst@insic.fr, jean-louis.batoz@insic.fr

² Nordon Cryogénie
25bis rue du Fort, BP 87, F-88194 Golbey cedex
e-mail : ivan.lewon@nordon-cryogenie.fr

RÉSUMÉ. La spécificité et la complexité des échangeurs de chaleur à ondes et plaques imposent le développement de logiciels spécialisés dédiés à la modélisation de leur comportement. La communication présente une application tridimensionnelle d'une nouvelle technique d'homogénéisation, prenant en compte la direction de la périodicité. Cette approche est comparée avec d'autres méthodes classiques d'homogénéisation.

ABSTRACT. The complexity and specificity of the brazed aluminium plate-fin heat exchangers require special software development for the modelling of their behaviour. In this paper, a new homogenisation technique that takes into account periodic direction is implemented for a 3D case. This method is compared to some other classical approaches.

MOTS-CLÉS : échangeur de chaleur, homogénéisation volumique périodique, modélisation élément finis.

KEYWORDS: heat exchanger, periodic homogenization, finite element simulation.
# 1. Introduction

L'entreprise NORDON CRYOGENIE, établie à Golbey, Vosges, France, est un des cinq fabricants mondiaux d'échangeurs de chaleur. L'industrie des procédés cryogéniques de séparation ou de purification de mélanges gazeux fait largement appel aux échangeurs à plaques brasées en aluminium pour leur capacité d'échange exceptionnelle et leur excellente résistance à basses températures. Parmi les principales applications détaillées dans (Alpema, 2000), on retrouve la production et liquéfaction d'oxygène, azote et argon, le traitement des hydrocarbures, l'extraction par voie cryogénique des gaz, la conception d'appareils d'hélium liquide, ...

Une description de ces appareils est présentée dans (Alpema, 2000) et figure 1.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Figure 1.** Composants d'un échangeur à plaques et ondes brasées</figcaption></figure>

Dans son principe de base, un tel échangeur de chaleur est constitué d'un assemblage de différents passages.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>**Figure 2.** Schéma d'un passage</figcaption></figure>

Chacun de ces passages (figure 2) résulte de l'assemblage de deux tôles planes parallèles séparées par un garnissage de hauteur constante, fermé sur sa périphérie par des barres en ménageant deux ouvertures, l'une pour l'entrée, l'autre pour la sortie de fluide. Le garnissage se présente sous la forme d'ondes (figure 1) dont les directions principales assurent l'écoulement du fluide à traiter. Les échanges de
chaleur entre les passages ont lieu au travers d'une tôle de séparation, les ondes de chaque passage assurant, outre la résistance mécanique du bloc assemblé, une forte augmentation de la capacité d'échange. Le principe peut être étendu jusque 18 circuits de propriétés différentes selon la complexité du procédé. Enfin, la liaison entre toutes les pièces mises en contact avec les tôles de séparation est réalisée par brasage sous vide, le raccordement de l'échangeur à la tuyauterie usine étant lui assuré par la mise en place de têtes sur les orifices des ouvertures des passages (figure 1).

Ces appareils sont soumis à des contraintes toujours plus sévères : pression élevée (100 bars), écarts de température élevés et transitoires violents, tout en exigeant une fiabilité irréprochable. La spécificité de ces appareils construits à l'unité rend impossible le recours à des essais ou du prototypage. Comme il n'existe pas d'outils commerciaux satisfaisant à ces besoins, la société est contrainte de développer la majeure partie de ses outils logiciels. De nombreuses simulations numériques multiphysiques sont déjà réalisées dans l'entreprise à l'aide d'outils spécialisés. Cependant, l'analyse mécanique globale d'un échangeur par des méthodes classiques de discrétisation par éléments finis reposerait sur des millions d'éléments du fait de l'ordre de grandeur des dimensions des composants devant la taille globale d'un échangeur atteignant plusieurs mètres. La communication présente les avancées actuelles dans le développement d'un logiciel métier basé sur la modélisation par éléments finis volumiques permettant l'analyse du comportement global et l'analyse des têtes d'entrée et de sortie. Une partie importante des travaux porte sur la détermination par les techniques d'homogénéisation d'une librairie de comportements thermoélastiques tridimensionnels équivalents de domaines d'échangeur constitué d'un ou plusieurs passages aux garnissages différents.

## 2. Approches et modélisations par les techniques d'homogénéisation

Tout processus d'homogénéisation consiste à substituer à la structure fortement hétérogène, un volume homogène présentant un comportement équivalent en faisant appel à la notion de volume élémentaire représentatif (VER) de la microstructure. L'objectif commun à chaque méthode est de relier les contraintes $\Sigma = \langle \sigma \rangle = \frac{1}{|\bar{Y}|} \int_Y \sigma dY$ et déformations $E = \langle \varepsilon \rangle = \frac{1}{|\bar{Y}|} \int_Y \varepsilon dY$ macroscopiques, moyennes spatiales sur le VER, noté $Y$, de leurs homologues microscopiques respectives $\sigma$ et $\varepsilon$. Ce lien, utilisant la description microscopique de la structure via le VER, détermine alors la loi de comportement homogénéisée reliant $\Sigma$ à $E$. L'estimation de ces propriétés mécaniques équivalentes s'appuie ici sur deux approches : la méthode des modules effectifs dite de Hill-Mandel (Hill, 1964), dont on peut retrouver le détail dans (Willis, 2001), et une nouvelle approche, dite d'homogénéisation volumique périodique et intitulée HVP dans la suite, prenant en compte la (les) direction(s) de périodicité géométrique. Il convenait notamment de
les confronter afin de trouver un compromis, fonction de la taille du VER, entre
taille (temps de calcul) et exactitude du modèle pour un futur logiciel métier.

Suivant la méthode des modules effectifs, l’approche cinématique en déformation consiste à résoudre un problème classique d’élasticité à déformations homogènes sur le contour du VER, c’est-à-dire vérifiant des conditions aux limites en déplacement **u**(**x**) = **E**.**x** sur ce bord. On montre alors que les modules de rigidité homogénisés s’obtiennent par la résolution de six problèmes élémentaires posés sur le VER **Y** :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\mathrm{div}(\sigma(\mathbf{x})) = \mathbf{0}, \quad \sigma(\mathbf{x}) = \mathbf{h}(\mathbf{x}): \varepsilon(\mathbf{u}(\mathbf{x})), \quad \varepsilon(\mathbf{u}(\mathbf{x})) = \mathrm{grad}_s(\mathbf{u}(\mathbf{x})) \quad \text{dans } \mathcal{Y} \\
\mathbf{u}(\mathbf{x}) = \mathbf{0} \quad \text{sur le bord } \partial\mathcal{Y}, \quad \varepsilon_{kh} = E_{kh}^* \quad \text{dans } \mathcal{Y}
\end{array}
\right.
\qquad [1]
$$

La résolution de [1] conduit à l'estimation des rigidités homogénisées

$$
h_{ijkh}^{\text{hom}} = \langle h_{ijkh} \rangle - \langle \sigma_{ij}(\chi^{kh}) \rangle \quad [2]
$$

où $\chi^{kh}$ est la solution de [1] pour une déformation initiale $E^*$ telle que $E_{kh}^* = 1$ et $E_{ij}^* = 0$ si $(i, j) \neq (k, h)$. La solution est obtenue par éléments finis volumiques classiques, et le deuxième terme de [2] par le calcul de la moyenne des contraintes sur le VER ou par des considérations énergétiques. L'estimation de ces propriétés équivalentes est d'autant plus précise que la taille retenue du VER est grande.

L’approche HVP utilise ce constat que le VER précédent est constitué d’un assemblage périodique d’un « grand » nombre de cellules de base dans une ou plusieurs directions. Le champ de déplacements solution du problème de départ peut s’écrire en toute généralité **u**(**x**) = **u**<sup>L</sup>(**x**) + **u**<sup>CL</sup>(**x**) + **u**<sup>P</sup>(**x**), où **u**<sup>L</sup>(**x**) = **E**.**x** représente le champ de déplacements correspondant à une déformation **E** d’un domaine homogène sans hétérogénéités géométriques, **u**<sup>CL</sup> un terme correcteur de couche limite et **u**<sup>P</sup> un champ périodique dans **Y** (hors couche limite) rendant compte des hétérogénéités. En tenant compte de cette décomposition, les coefficients de rigidité équivalents peuvent simplement être obtenus par la résolution de problèmes élémentaires posés sur la seule cellule de base en tenant compte, outre des six déformations initiales unitaires, des conditions de périodicité selon la (les) direction(s) de périodicité géométrique du VER, les autres parties du contour de la cellule de base périodique étant soumises à des conditions homogènes en déplacements. Cette approche appelée ici HVP permet ainsi d’exprimer les rigidités homogénisées par l’équation [2], où $\chi^{kh}$ est la solution du problème élémentaire venant d’être décrit pour une déformation initiale $E^*$ telle que $E_{kh}^* = 1$ et $E_{ij}^* = 0$ si $(i, j) \neq (k, h)$.

3. Application numérique

3.1. *Confrontation avec la méthode des modules effectifs (Hill-Mandel)*

L’approche décrite précédemment est appliquée pour un cas 2D en déformation plane et comparée à la méthode des modules effectifs. Les estimations, suivant cette
méthode de Hill-Mandel, des rigidités homogénéisées liant $\Sigma$ à $E$ par $\langle\Sigma_{11}, \Sigma_{22}, \Sigma_{33}, \Sigma_{12}, \dots\rangle^T = [\mathbf{H}] \cdot \langle E_{11}, E_{22}, E_{33}, E_{12}, \dots\rangle$ ont donc été effectuées pour différentes tailles de VER définies comme multiples de la cellule de base dans deux directions différentes, alors que dans la mise en œuvre HVP, le VER est formé de l'unique cellule de base de la figure 3. Ainsi, la périodicité dite verticale par la suite (direction y figure 3) sera caractéristique de l'homogénéisation d'un bloc échangeur constitué d'un empilement de passages identiques, tandis que la périodicité horizontale (direction x figure 3) sera associée à l'homogénéisation du comportement d'un seul passage.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>**Figure 3.** Cellule de base 2D (2921 éléments T3)</figcaption></figure>

La figure 4 montre les évolutions de deux de ces coefficients calculés avec Code_Aster, ainsi que l'influence significative de la direction de périodicité sur le comportement équivalent.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>**Figure 4.** Evolution de l'elasticité homogénéisée en fonction de la taille du VER.</figcaption></figure>

Toutefois, les simulations ont montré que la stabilité de la valeur de ces modules $H_{ik}$ est plus ou moins vite atteinte suivant le coefficient estimé et la direction de la périodicité. Ces valeurs stables sont comparables avec celles de la HVP (figure 4). Une comparaison similaire, non présentée ici, avec les méthodes asymptotiques – voir à ce titre par exemple (Aoubiza et al., 2000), (Cartraud, 2003) – a également montré la pertinence des résultats issus de la HVP.
## 3.2. Application tridimensionnelle

L'application de la HVP a été effectuée pour une cellule de base tridimensionnelle (figure 5), la direction de périodicité étant « horizontale » et représentative d'un passage d'échangeur. La rigidité homogénéisée est listée dans la figure 5. On retrouve les mêmes ordres de grandeur que dans le cas 2D.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 5. Rigidité homogénéisée pour une cellule de base tridimensionnelle</figcaption></figure>

Le tableau suivant montre l'influence du maillage pour une hauteur d'onde donnée :

<table><caption>Tableau 1. Influence du maillage.</caption><thead><tr><th rowspan="3">Nombre d'éléments tétraédriques</th><th colspan="8">Elasticité Homogénéisée</th></tr><tr><th colspan="8">(MPa)</th></tr><tr><th>11</th><th>22</th><th>33</th><th>44</th><th>55</th><th>66</th><th>12</th><th>13</th><th>23</th></tr></thead><tbody><tr><td>8884</td><td>17409,70</td><td>16512,08</td><td>2808,31</td><td>-6,44</td><td>1811,76</td><td>253,58</td><td>1316,61</td><td>841,87</td><td>186,78</td></tr><tr><td>75575</td><td>17278,98</td><td>16451,55</td><td>2504,38</td><td>9,05</td><td>1674,50</td><td>274,26</td><td>1343,21</td><td>766,17</td><td>207,21</td></tr><tr><td>181385</td><td>17243,63</td><td>16427,20</td><td>2423,79</td><td>13,33</td><td>1657,63</td><td>276,00</td><td>1349,93</td><td>744,26</td><td>208,49</td></tr></tbody></table>

## 4. Conclusion

La méthode d'homogénéisation HVP a été développée pour une hétérogénéité géométrique. Sa comparaison à d'autres méthodes sur un cas 2D montre le bon accord des résultats et conduit à choisir la HVP qui a l'avantage d'être plus efficace en temps de calcul. La modélisation complète d'un échangeur nécessite toutefois de prendre en compte l'ensemble des hétérogénéités matérielles et géométriques 3D, des effets de bords (barres, raccords et zones de distribution), des chargements spécifiques (pression, température), ce qui fera l'objet des travaux à venir.

## 5. Bibliographie

* Alpema, *The standards of the brazed aluminium plate-fin exchanger manufacturer's association*, Second Edition, 2000, (https://www.alpema.org)

* Aoubiza B., Taghite M.B., Lanchon-Ducauquis H., *On the computation of the thermoelastic characteristics of a perforated plate of heat exchanger*, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 182, p 39-53, 2000.
Cartraud P., *Contribution à l'analyse asymptotique et à l'homogénéisation de structures périodiques*, Habilitation à diriger des recherches, Ecole Centrale de Nantes, 2003.

Hill R., *Theory of mechanical properties of fiber-strengthened material : I Elastic behaviour*, J. Mech. Phys. Solids, Vol.12, p199, 1964.

Willis J.R., *Mechanics of composites*, Cours Ecole Polytechnique, 2001.