# Nouvelle conjecture: Application à la preuve des conjectures de Goldbach et des premiers jumeaux

Ahmed Friâa, Mohamed Naceur Ammar

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Ahmed Friâa, Mohamed Naceur Ammar. Nouvelle conjecture: Application à la preuve des conjectures de Goldbach et des premiers jumeaux. 2025. hal-05435818

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Preprint submitted on 5 Jan 2026

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# New Conjecture: Application to the proof of Goldbach and the Twin Prime Conjectures

## Nouvelle conjecture : Application à la preuve des conjectures de Goldbach et des premiers jumeaux

Ahmed Friâa¹, Mohamed Naceur Ammar²

### Abstract

In this note, we investigate a deep connection between the Goldbach conjecture and the twin prime conjecture through the introduction of a new conjecture. Named YH, this conjecture proves to be richer, offering a new way to characterize even integers in connection with prime numbers.

The proof of the new YH conjecture is based on a fundamental theorem. This theorem states that every even integer greater than or equal to 6 and congruent to 0 or 4 modulo 6 can be expressed as the sum of two prime numbers, one of which has a larger twin prime. We argue by contradiction and associate with each even number that does not satisfy this property a characteristic integer, nonnegative. In this note, we provide a proof of the fundamental theorem in the case where this characteristic integer is nonzero. The case where this integer equals zero will be addressed in a second forthcoming note, owing to the somewhat technical nature of that proof.

As applications of this new conjecture, we show that it directly implies the validity of the two secular conjectures: Goldbach's conjecture (strong version) and the twin prime conjecture. We also formulate another theorem resulting from YH conjecture and we provide a proof of a variant of Dubner's conjecture.

The approach we have adopted relies solely on classical mathematical concepts and can therefore be regarded as self-contained. It thus has the advantage of being accessible to a very broad community of mathematicians and mathematics students.
# Résumé

Nous étudions dans cette note un lien profond entre la conjecture de Goldbach et celle des nombres premiers jumeaux, à travers l'introduction d'une nouvelle conjecture. Baptisée YH, celle-ci s'avère plus riche, offrant une nouvelle façon de caractériser les entiers pairs en lien avec les nombres premiers.

La démonstration de la nouvelle conjecture YH est basée sur un théorème fondamental. Ce théorème stipule que tout entier pair supérieur ou égal à 6 et congru à 0 ou 4 modulo 6 s'écrit comme une somme de deux nombres premiers dont l'un admet un jumeau supérieur. Nous raisonnons par l'absurde et associons à chaque nombre pair ne vérifiant pas cette propriété un entier caractéristique positif ou nul. Nous fournissons dans la présente note une démonstration du théorème fondamental dans le cas où cet entier caractéristique est non nul. Le cas où cet entier vaut zéro fera l'objet d'une deuxième note à paraître, en raison du caractère quelque peu technique de cette preuve.

Comme applications de cette nouvelle conjecture, nous montrons qu'elle implique directement la véracité des deux conjectures séculaires, celle de Goldbach (version forte) et celle des nombres premiers jumeaux. Nous énonçons aussi un autre théorème résultant de la conjecture YH, et apportons une preuve à une variante de la conjecture de Dubner.

La démarche que nous avons adoptée ne repose que sur des concepts mathématiques classiques et peut être considérée par conséquent comme étant auto-consistante. Elle présente ainsi l'avantage de pouvoir être démocratisée auprès d'une communauté très large de mathématiciens ou d'étudiants en mathématiques.

**Mots clés** : Nouvelle conjecture baptisée YH – Preuve des conjectures forte et faible de Goldbach – Preuve de la conjecture des nombres premiers jumeaux – Preuve d'une variante de la conjecture de Dubner.

# Remerciements

Les auteurs expriment leur gratitude au jeune Wiem Dali, ingénieur en mathématiques appliquées et calcul scientifique, pour sa contribution à des simulations informatiques en lien avec la présente note.

Les auteurs dédient ce travail au Professeur Mohamed Amara, ancien recteur de l'université de Tunis et premier tunisien spécialiste de la théorie des nombres.

1. **Ahmed Friâa**, ancien professeur à l'ENIT, Université Tunis Al-Manar, Tunisie. Courriel : afriaa49@gmail.com

2. **Mohamed Naceur Ammar**, ancien professeur à Sup'Com Tunis, Université de Carthage, Tunisie. Courriel : mohamed.ammar.77@polytechnique.org
# Préambule

Les développements conceptuels présentés dans cet article, incluant les énoncés généraux, les idées directrices des preuves des lemmes et théorèmes associés à la nouvelle conjecture YH, ainsi que l'approche globale adoptée, sont dus au Professeur Ahmed Friâa. Le Professeur Mohamed Naceur Ammar a apporté une contribution substantielle à la formulation et la démonstration de certains résultats liés à la conjecture YH, ou en découlant.

Ce travail s'inscrit dans le cadre d'une collaboration étroite, entamée depuis plusieurs années entre les deux auteurs. Cette collaboration a permis d'aborder des problématiques connues et de concevoir des voies originales pour les résoudre.

Il convient de souligner que cette recherche n'a bénéficié d'aucun financement institutionnel ou soutien externe. Elle a été menée de manière totalement indépendante, portée par la passion commune des auteurs pour les mathématiques et par la conviction qu'il est possible d'aborder des conjectures parmi les plus difficiles en s'appuyant exclusivement sur des outils élémentaires conjugués au choix d'une approche judicieuse. Cette démarche se veut également un message d'encouragement à destination des jeunes chercheurs : l'audace intellectuelle et la rigueur peuvent ouvrir des voies nouvelles, même hors des cadres traditionnels.

# 1. Introduction

Nous introduisons dans la présente note une nouvelle conjecture baptisée YH. Pour l'énoncé de cette conjecture, le professeur Ahmed Friâa a été inspiré par une communication privée du jeune collégien Yassine Hammami en 2023.

Cette conjecture établit un lien structurel entre les entiers pairs s'exprimant comme sommes de deux nombres premiers et les configurations caractéristiques des paires de nombres premiers jumeaux. Elle affirme l'existence d'une partition spécifique de l'ensemble des entiers pairs supérieurs ou égaux à 6 en trois sous-ensembles disjoints $H_0, H_1$ et $H_2$. L'énoncé de cette conjecture est donné dans la section 2.

La preuve de cette conjecture repose sur un théorème fondamental énoncé dans la section 3. Ce théorème stipule que tout entier pair supérieur ou égal à 6 et congru à 0 ou 4 modulo 6 s'écrit comme une somme de deux nombres premiers dont l'un admet un jumeau supérieur. Nous raisonnons par récurrence et par l'absurde, et associons à chaque nombre pair ne vérifiant pas cette propriété un entier caractéristique positif ou nul. Nous fournissons dans cette section une démonstration du théorème fondamental dans le cas où cet entier caractéristique est non nul. Le cas où cet entier vaut zéro fera l'objet d'une deuxième note à paraître, en raison du caractère quelque peu technique de cette preuve. Nous en déduisons la validité de la conjecture YH : une suite de triplets formés de trois entiers pairs successifs constitue un recouvrement de l'ensemble des entiers pairs supérieurs ou égaux à 6. Autrement dit, les trois sous-ensembles d'entiers pairs $H_0, H_1$ et $H_2$ forment une partition de l'ensemble des entiers pairs supérieurs ou égaux à 6.

Comme corollaires immédiats de la conjecture YH, nous établissons dans la section 4, la véracité des conjectures forte et faible de Goldbach et de la conjecture des nombres premiers jumeaux. Nous apportons aussi dans cette section une preuve d'une variante de la conjecture de Dubner, et énonçons un nouveau postulat pour cette conjecture.
## 2. La conjecture YH

### 2.1. Notations et définitions

N est l'ensemble des entiers naturels, et $\mathbb{Z}$ l'ensemble des entiers relatifs.

Pour tout entier naturel $a$, on note :

$$J_a = \begin{cases} \emptyset, & \text{si } a = 0 \\ \{0, 1, \dots, (a-1)\}, & \text{si } a \neq 0 \end{cases}$$

A étant un sous-ensemble d'entiers, $\alpha$ et $\beta$ des entiers donnés dans $\mathbb{Z}$, on définit :

$$\alpha + \beta A = \{\alpha + \beta a, a \in A\}$$

Pour A et B des sous-ensembles de $\mathbb{N}$, on définit :

$$A \setminus B = \{a \in A \text{ et } a \notin B\}$$

Pour $(a, b) \in \mathbb{N}^2$, $a \le b$, on utilisera indifféremment les notations :

$$[a, b] = \{k \in \mathbb{N} \text{ tel que } a \le k \le b\} \text{ ou } [a, b] = a + J_{b+1-a}$$

P est l'ensemble infini des nombres premiers ordonnés et supérieurs ou égaux à 3 (tous impairs),

$$P = \{p_0, p_1, \dots, p_n, \dots\}$$

$$p_0 = 3; p_1 = 5; p_2 = 7; p_3 = 11; \dots$$

$P^+$ est l'ensemble des nombres premiers admettant un nombre premier jumeau supérieur,

$$P^+ = \{p \in P \text{ tel que } p + 2 \in P\}$$

$P^-$ est l'ensemble des nombres premiers admettant un nombre premier jumeau inférieur,

$$P^- = \{p \in P \text{ tel que } p - 2 \in P\}$$

On note :

$$P_5 = \{p \in P \text{ tel que } p = 5 \text{ modulo } 6\}$$

$$P_1 = \{p \in P \text{ tel que } p = 1 \text{ modulo } 6\}$$

$$P_3 = \{3\}$$

$P_5$ et $P_1$ sont infinis en vertu du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet, et leurs éléments sont ordonnés comme suit :

$$P_5 = \{p_5(0), p_5(1), \dots, p_5(n), \dots \} \text{ avec } p_5(0) = 5; p_5(1) = 11; \dots$$

$$P_1 = \{p_1(0), p_1(1), \dots, p_1(n), \dots \} \text{ avec } p_1(0) = 7; p_1(1) = 13; \dots$$

On déduit alors la partition suivante de P :

$$P = P_1 \cup P_3 \cup P_5$$
Nous omettrons de mettre les indices 1 ou 5 dans la notation des éléments ordonnés de $P_1$ et $P_5$, quand il n'y a pas d'ambiguïtés.

De même, puisque pour $p \in P_1, p + 2 \notin P$, nous avons de façon évidente :

$$ \begin{cases} P^+ \subset \{3\} \cup P_5 \\ P^- \subset \{5\} \cup P_1 \end{cases} $$

Soient $G$ l'ensemble des nombres entiers pairs supérieurs ou égaux à 6, qui vérifient la conjecture de Goldbach,

$$ (2.1) \qquad G = \{a \in \mathbb{N} \mid \text{tel qu'il existe } p, q \in P \text{ vérifiant } a = p + q\} $$

et $G^+$ l'ensemble des nombres entiers pairs, défini par :

$$ (2.2) \qquad G^+ = \{a \in G, \text{ tel qu'il existe } p \in P \text{ et } q \in P^+ \text{ vérifiant } a = p + q\} $$

On définit les sous-ensembles $H_0, H_1, H_2$, et $H$ d'entiers pairs par :

$$ (2.3) \qquad \left\{ \begin{array}{l} H_0 = 7 + P \\ H_2 = G^+ \setminus H_0 \\ H_1 = [G \setminus (H_0 \cup H_2)] \cap [-2 + G^+] \end{array} \right. $$

$$ (2.4) \qquad H = H_0 \cup H_1 \cup H_2 $$

Les sous-ensembles $H_0, H_1$ et $H_2$ sont par construction deux à deux disjoints et tous inclus dans l'ensemble $G$.

On considère l'application suivante définie par :

$$ \begin{gathered} f : P \times P \to 6 + 2\mathbb{N} \\ \forall (p_i, p_j) \in P \times P, f(p_i, p_j) = p_i + p_j \end{gathered} $$

Il est évident que l'application $f$ n'est pas injective et que son image coïncide avec $G$. La factorisation canonique de $f$ donne la bijection :

$$ F : (P \times P)/\mathcal{R} \to G $$

où $\mathcal{R}$ est la relation d'équivalence classique définie par :

$$ (p_i, p_j) \in \mathcal{R} (p_k, p_l) \text{ si et seulement si } p_i + p_j = p_k + p_l $$

La classe d'équivalence de $a = p_i + p_j$ où $(p_i, p_j) \in P \times P$ comprend tous les couples de nombres premiers dans $P$, dont la somme coïncide avec $a$.

Pour $n \in \mathbb{N}$, on introduit alors le sous-ensemble :

$$ (2.5) \qquad E_n = \{a \in G, \text{ tel qu'il existe } i, j \in \mathbb{N}, 0 \le j \le i \le n, \text{ vérifiant } a = p_i + p_j\} $$

L'ensemble $E_n$ peut aussi être défini à partir d'une matrice carrée d'ordre $n + 1$, en considérant l'application $Q$ définie par :

$$ (2.6) \qquad \left\{ \begin{array}{l} Q : J_{n+1} \times J_{n+1} \to 6 + 2\mathbb{N} \\ \text{Pour tout } (i,j) \in J_{n+1} \times J_{n+1}, Q(i,j) = p_i + p_j \end{array} \right. $$
L'ensemble $E_n$ est alors l'image de $Q$ dans $6 + 2N$. Ce concept a été développé par Ahmed Friâa dans son étude des carrés et des hypercubes magiques.

**Proposition 2.1.1.**

Les sous-ensembles $E_n$ sont emboités. Autrement dit :

$$ (2.7) \qquad \text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, E_0 \subset E_n \subset E_{n+1} $$

En outre, on a

$$ (2.8) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \max E_n = 2p_n \\ 3 + p_{n+1} \le \min(E_{n+1} \setminus E_n) \le 2p_{n+1} \end{array} \right. $$

**Preuve :**

La preuve est évidente.

Il est à noter que (2.8) entraine que les inclusions (2.7) sont strictes et que $E_n$ ne couvre pas nécessairement tous les entiers pairs inférieurs ou égaux à $2p_n$ comme il est illustré dans la table 4.1. ■

<table><caption>TABLE 4.1 - Les éléments des sous-ensembles $E_n$ pour $n \in J_{15}$, coïncidant avec les coefficients d'une matrice triangulaire inférieure $(n+1) \times (n+1)$</caption><thead><tr><th>p<sub>j</sub></th><th>3</th><th>5</th><th>7</th><th>11</th><th>13</th><th>17</th><th>19</th><th>23</th><th>29</th><th>31</th><th>37</th><th>41</th><th>43</th><th>47</th><th>53</th><th>59</th><th>61</th></tr></thead><tbody><tr><th>p<sub>i</sub></th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>3</th><td>6</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>5</th><td>8</td><td>10</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>7</th><td>10</td><td>12</td><td>14</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>11</th><td>14</td><td>16</td><td>18</td><td>22</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>13</th><td>16</td><td>18</td><td>20</td><td>24</td><td>26</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>17</th><td>20</td><td>22</td><td>24</td><td>28</td><td>30</td><td>34</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>19</th><td>22</td><td>24</td><td>26</td><td>30</td><td>32</td><td>36</td><td>38</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>23</th><td>26</td><td>28</td><td>30</td><td>34</td><td>36</td><td>40</td><td>42</td><td>46</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>29</th><td>32</td><td>34</td><td>36</td><td>40</td><td>42</td><td>46</td><td>48</td><td>52</td><td>58</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>31</th><td>34</td><td>36</td><td>38</td><td>42</td><td>44</td><td>48</td><td>50</td><td>54</td><td>60</td><td>62</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>37</th><td>40</td><td>42</td><td>44</td><td>48</td><td>50</td><td>54</td><td>56</td><td>60</td><td>66</td><td>68</td><td>74</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>41</th><td>44</td><td>46</td><td>48</td><td>52</td><td>54</td><td>58</td><td>60</td><td>64</td><td>70</td><td>72</td><td>78</td><td>82</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>43</th><td>46</td><td>48</td><td>50</td><td>54</td><td>56</td><td>60</td><td>62</td><td>66</td><td>72</td><td>74</td><td>80</td><td>84</td><td>86</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>47</th><td>50</td><td>52</td><td>54</td><td>58</td><td>60</td><td>64</td><td>66</td><td>70</td><td>76</td><td>78</td><td>84</td><td>88</td><td>90</td><td>94</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>53</th><td>56</td><td>58</td><td>60</td><td>64</td><td>66</td><td>70</td><td>72</td><td>76</td><td>82</td><td>84</td><td>90</td><td>94</td><td>96</td><td>100</td><td>106</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>59</th><td>62</td><td>64</td><td>66</td><td>70</td><td>72</td><td>76</td><td>78</td><td>82</td><td>88</td><td>90</td><td>96</td><td>100</td><td>102</td><td>106</td><td>112</td><td>118</td><td></td><td></td></tr><tr><th>61</th><td>64</td><td>66</td><td>68</td><td>72</td><td>74</td><td>78</td><td>80</td><td>84</td><td>90</td><td>92</td><td>98</td><td>102</td><td>104</td><td>108</td><td>114</td><td>120</td><td>122</td><td></td></tr></tbody></table>
<table><caption>TABLE 4.2- Les entiers pairs compris entre 6 et 130 répartis entre $H_0$, $H_1$ et $H_2$</caption><thead><tr><th>H<sub>0</sub><br>H<sub>1</sub><br>H<sub>2</sub></th><th>6</th><th>8</th><th>10</th><th>12</th><th>14</th><th>16</th><th>18</th><th>20</th><th>22</th></tr></thead><tbody><tr><th>H<sub>0</sub><br>H<sub>1</sub><br>H<sub>2</sub></th><td>24</td><td>26</td><td></td><td>30</td><td></td><td></td><td>36</td><td>38</td><td></td></tr><tr><th>H<sub>0</sub><br>H<sub>1</sub><br>H<sub>2</sub></th><td></td><td></td><td>28</td><td></td><td>32</td><td>34</td><td></td><td></td><td>40</td></tr><tr><th>H<sub>0</sub><br>H<sub>1</sub><br>H<sub>2</sub></th><td>42</td><td>44</td><td>46</td><td></td><td></td><td>52</td><td>54</td><td></td><td></td></tr><tr><th>H<sub>0</sub><br>H<sub>1</sub><br>H<sub>2</sub></th><td>60</td><td></td><td></td><td>66</td><td>68</td><td></td><td></td><td>74</td><td></td></tr><tr><th>H<sub>0</sub><br>H<sub>1</sub><br>H<sub>2</sub></th><td></td><td>62</td><td>64</td><td></td><td></td><td>70</td><td>72</td><td></td><td>76</td></tr><tr><th>H<sub>0</sub><br>H<sub>1</sub><br>H<sub>2</sub></th><td>78</td><td>80</td><td></td><td></td><td>86</td><td></td><td>90</td><td></td><td></td></tr><tr><th>H<sub>0</sub><br>H<sub>1</sub><br>H<sub>2</sub></th><td></td><td></td><td>82</td><td>84</td><td></td><td>88</td><td></td><td>92</td><td>94</td></tr><tr><th>H<sub>0</sub><br>H<sub>1</sub><br>H<sub>2</sub></th><td>96</td><td></td><td>98</td><td></td><td>104</td><td></td><td>108</td><td>110</td><td></td></tr><tr><th>H<sub>0</sub><br>H<sub>1</sub><br>H<sub>2</sub></th><td></td><td></td><td></td><td>100</td><td>102</td><td></td><td>106</td><td></td><td>112</td></tr><tr><th>H<sub>0</sub><br>H<sub>1</sub><br>H<sub>2</sub></th><td>114</td><td>116</td><td></td><td></td><td>120</td><td>122</td><td></td><td>128</td><td></td></tr><tr><th>H<sub>0</sub><br>H<sub>1</sub><br>H<sub>2</sub></th><td></td><td></td><td></td><td>118</td><td></td><td></td><td>124</td><td>126</td><td>130</td></tr></tbody></table>

On introduit les triplets ordonnés, formés de trois entiers pairs successifs, comme suit :

$$ (2.9) \qquad \begin{cases} T_0 = \{6, 8, 10\} \\ \text{Pour tout } i \in \mathbb{N}, T_i = 6i + T_0 \end{cases} $$

En vertu de la table 4.2,

$$ (2.10) \qquad \bigcup_{i=0}^{20} T_i = [6,130] \cap (6 + 2\mathbb{N}) \text{ est inclus dans } H $$

Nous avons par ailleurs pu vérifier par des simulations informatiques que :

$$ (2.11) \qquad \bigcup_{i=0}^{n} T_i \subset H \text{ pour un entier } n \text{ de l'ordre de } 10^6 $$

Pour $a \in 6 + 2\mathbb{N}$, on considère la division euclidienne de $a$ par 30, puis la division du reste par 6.

L'entier $a$ s'écrit alors de façon unique :

$$ (2.12) \qquad \begin{cases} a = 30\Phi_1(a) + 6\Phi_0(a) + a^* \\ \text{où } \Phi_1(a) \in \mathbb{N}, \Phi_0(a) \in J_5, a^* \in \{0, 2, 4\} \end{cases} $$

On suppose désormais que $a$ est assez grand, soit :

$$ (2.13) \qquad \Phi_1(a) \neq 0 $$

Si on applique les mêmes divisions euclidiennes à un nombre premier $p \in P$, on obtient :
$$
(2.14) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
p = 30\Phi_1(p) + 6\Phi_0(p) + p^* \\
\text{où } \Phi_1(p) \in \mathbb{N}, \Phi_0(p) \in J_5, p^* \in \{1, 3, 5\}
\end{array}
\right.
$$

Ce qui implique,

Ou bien

$$
(2.15) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
p^* \in \{1, 5\}, \text{ si } \Phi_0(p) \neq 0 \\
p^* = 1, \text{ si } \Phi_1(p) \neq 0 \text{ et } \Phi_0(p) = 0
\end{array}
\right.
$$

Ou bien

$$
(2.16) \qquad p = p^* \in \{3, 5\}
$$

2.2. La conjecture YH : énoncé

Nous énonçons ici une nouvelle conjecture qui est baptisée YH. La conjecture YH consiste en
le postulat suivant.

Postulat 2.2.1.

Les sous-ensembles $H_0, H_1$ et $H_2$ forment une partition de $6 + 2\mathbb{N}$.

Autrement dit :

$$
(2.17) \qquad 6 + 2\mathbb{N} = H = H_0 \cup H_1 \cup H_2
$$

avec la condition complémentaire,

$$
(2.18) \qquad \text{Pour tout } a \in H, \text{ si } a \in G \setminus G^{+}, \text{ alors } a^{*} = 2
$$

Notons que, d'après la définition des sous-ensembles $H_0, H_1$ et $H_2$, on a :

$$
(2.19) \qquad (G \setminus G^+) \cap H \subset H_0 \cup H_1
$$

$$
(2.20) \qquad G^+ \cap H \subset H_0 \cup H_2
$$

3. Preuve de la conjecture YH

La preuve de la conjecture repose sur le théorème fondamental suivant.

3.1. Théorème fondamental

Théorème 3.1.1.

$$
(3.1) \qquad \text{Pour tout } a \in 6 + 2\mathbb{N}, \text{ si } a^* \in \{0, 4\}, \text{ alors } a \in G^+
$$

Preuve :

On procède par récurrence sur $a \in 6 + 2\mathbb{N}$.

La proposition (3.1) est vraie pour $a \in 6 + 2\mathbb{N}, a \le 10^6$.

On suppose que (3.1) est vraie pour tout $a' \in 6 + 2\mathbb{N}$, $a' < a$ où $a \in 6 + 2\mathbb{N}$, assez grand et tel que $a^* \in \{0, 4\}$.

On va alors montrer que $a \in G^+$.

Pour ce faire, on raisonne par l'absurde, et on adopte donc les hypothèses suivantes :
$H1$ : Pout tout $a' \in 6 + 2\mathbb{N}$ tel que $a' < a$ et $a'^* \in \{0, 4\}$, $a' \in G^+$.

$H2$ : $a \notin G^+$.

On pose :

$$ (3.2) \qquad E(a) = \{q \in P^+ \setminus \{3\} ; \exists p \in P_{1+a^*} \text{ tel que } p + q < a\} $$

Il est évident que $E(a)$ est non vide, les quatre plus petits entiers dans $P^+ \setminus \{3\}$, soit $\{5, 11, 17, 29\}$, étant dans $E(a)$ pour $a$ assez grand.

En considérant $m \in \mathbb{N}^*$ tel que $CardE(a) = m + 1$, on ordonne les éléments de $E(a)$ comme suit :

$$ (3.3) \qquad E(a) = \{q(i) ; i \in J_{m+1}\} $$

où

$$ (3.4) \qquad \begin{cases} \text{Pout tout } i \in J_m, q(i) < q(i+1) \\ q(0) = 5 = \min E(a) \\ q(m) = \max E(a) \end{cases} $$

L'hypothèse $H2$ entraine que :

$$ (3.5) \qquad \text{Pout tout } i \in J_{m+1}, a - q(i) \notin P $$

On introduit l'entier $\varepsilon \in \{0, 1\}$ dépendant de $a$, $\varepsilon$ étant défini par :

$$ (3.6) \qquad \begin{cases} \varepsilon = 1, \text{ si } a^* = 0 \\ \varepsilon = 0, \text{ si } a^* = 4 \end{cases} $$

En vertu de la définition (3.3), on pose pour tout $i \in J_{m+1}$ :

$$ (3.7) \qquad p(\varphi_{\varepsilon}(i)) = \max\{p \in P_{1+a^*} \text{ tel que } p + q(i) < a\} $$

Notons que l'application $\varphi_{\varepsilon} : J_{m+1} \to \mathbb{N}$ associe à tout $i \in J_{m+1}$ l'ordre de l'entier premier $\max\{p \in P_{1+a^*} \text{ tel que } p + q(i) < a\}$ dans l'ensemble ordonné $P_{1+a^*}$.

On a alors :

Pour tout $i \in J_m$,

$$ (3.8) \qquad p(\varphi_{\varepsilon}(i+1)) \le p(\varphi_{\varepsilon}(i)) $$

Comme $a' = a - 6$ vérifie l'hypothèse de récurrence $H1$, on déduit en vertu de (3.8) qu'il existe $k \in J_{m+1}$ tel que :

$$ (3.9) \qquad a - 6 = p(\varphi_{\varepsilon}(k)) + q(k) $$

On conviendra dans la suite que $k$ est le plus petit entier vérifiant (3.9).

Soit,

$$ (3.10) \qquad k = \min\{i \in J_{m+1} / p(\varphi_{\varepsilon}(i)) + q(i) = a - 6\} $$

Comme, d'une part, $q(0) = 5$, $q(1) = 11$, $q(2) = 17$, et d'autre part $a \notin G^+$, on a nécessairement :
$$
(3.11) \qquad k \geq 2
$$

Ces notations et résultats étant précisés, on considère l'ensemble $F(a)$ défini par :

$$
(3.12) \qquad F(a) = \{i \in J_{m+1} \text{ tel que } p(\varphi_{\varepsilon}(i)) + 23 < a\}
$$

On déduit alors de (3.9) et (3.10) :

$$
(3.13) \qquad k \in F(a) \text{ et } \min F(a) \le k
$$

On pose

$$
(3.14) \qquad i(a) = \min F(a)
$$

L'entier $i(a)$ est un entier caractéristique de $a \in 6 + 2\mathbb{N}$ et $a \notin G^+$.

On va alors considérer les deux cas suivants :

Cas-1 : $i(a) > 0$

On a donc

$$
(3.15) \qquad i(a) \geq 1
$$

En vertu de (3.13), on déduit :

$$
(3.16) \qquad p(\varphi_{\varepsilon}(k)) + 23 < a < p(\varphi_{\varepsilon}(0)) + 23
$$

D'où les inégalités

$$
(3.17) \qquad \begin{aligned}[t] & p(\varphi_{\varepsilon}(0)) + q(0) < p(\varphi_{\varepsilon}0) + q(1) < p(\varphi_{\varepsilon}(0)) + q((2) \le a - 6 < a < p(\varphi_{\varepsilon}(0)) + 23 \\ & \text{On considère alors la séquence } (b_0, b_1, b_2, b_3, b_4) \text{ constituée des 5 entiers définis par :}
\end{aligned}
$$

On considère alors la séquence $(b_0, b_1, b_2, b_3, b_4)$ constituée des 5 entiers définis par :

$$
(3.18) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
b_0 = p(\varphi_\epsilon(0)) + q(0) \\
b_1 = p(\varphi_\epsilon 0) + q(1) \\
b_2 = p(\varphi_\epsilon(k)) + q(k) = a - 6 \\
b_3 = a \\
b_4 = p(\varphi_\epsilon(0)) + 23
\end{array}
\right.
$$

On a donc les inégalités suivantes :

$$
(3.19) \qquad b_0 < b_1 < b_2 < b_3 < b_4
$$

Comme $b_3 = a \notin G^+$ et $a^* = b_i^*$ pour tout $i \in J_5$, les entiers $b_i$ sont distants d'un multiple de 6.

En utilisant le principe des tiroirs de Dirichlet, on aboutit à une contradiction avec

$$
(3.20) \qquad b_4 - b_0 = 23 - q(0) = 18
$$

D'où le résultat $a \in G^+$ dans ce cas.
Cas-2 : $i(a) = 0$

La preuve dans ce cas, qui se trouve quelque peu technique, fera l'objet d'un article à paraître,
ce qui achèvera la démonstration du théorème fondamental.
■

Dans la suite, nous supposerons la validité du théorème fondamental.

3.2. Preuve de la conjecture YH

On considère les triplets d'entiers définis par (2.9). On pose :

Pour tout $i \in \mathbb{N}$, $T_i = \{t_{i,0}, t_{i,1}, t_{i,2}\}$ où $t_{i,0}, t_{i,1}, t_{i,2}$ désignent les entiers pairs successifs suivants :

$$
(3.21) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
t_{i,0} = 6(i + 1) \\
t_{i,1} = 6(i + 1) + 2 \\
t_{i,2} = 6(i + 1) + 4
\end{array}
\right.
$$

On énonce alors le théorème suivant.

Théorème 3.2.1.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$,

$$
(3.22) \qquad \bigcup_{i=0}^{n} T_i \subset H
$$

Et

$$
(3.23) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
\text{Pour tout } a \in \bigcup_{i=1}^{n} T_i, \\
\text{Si } a \in G \setminus G^{+}, \text{ alors } a = 2 \mod 6
\end{array}
\right.
$$

D'où

$$
(3.24) \qquad 6 + 2\mathbb{N} = H = H_0 \cup H_1 \cup H_2
$$

Preuve :

Comme pour tout $i \in \mathbb{N}$,

$$
(3.25) \qquad t_{i,0}^* = 0 \text{ et } t_{i,2}^* = 4
$$

On déduit du Théorème fondamental 3.1.1.,

$$
(3.26) \qquad t_{i,0} \in G^+ \text{ et } t_{i,2} \in G^+
$$

D'où en vertu de la définition des sous-ensembles $H_0, H_1$ et $H_2$,

$$
(3.27) \qquad t_{i,0}, t_{i,2} \in H_0 \cup H_2
$$

Comme $t_{i,2} - 7 = 6(i+1) - 3 \notin P$, et par conséquent $t_{i,2} \notin H_0$, on déduit :

$$
(3.28) \qquad t_{i,0} \in H_0 \cup H_2 \text{ et } t_{i,2} \in H_2
$$

De plus, comme $t_{i,0} \in G^+$, il existe $p \in P_1$ et $q \in P^+ \setminus \{3\}$ dépendant de $i$, tels que :
$$ (3.29) \qquad t_{i,0} = p + q $$

D'où

$$ (3.30) \qquad t_{i,1} = p + q + 2 \in G $$

Deux cas sont alors possibles :

Cas-1 : $t_{i,1} \in G^+$

Dans ce cas, on a donc

$$ (3.31) \qquad t_{i,1} \in H_0 \cup H_2 $$

Cas-2 : $t_{i,1} \notin G^+$

On a deux possibilités :

- Ou bien $t_{i,1} \in H_0$,

- Ou bien $t_{i,1} \notin H_0$, alors comme $t_{i,2} \in G^+$ et compte tenu de la définition du sous-ensemble $H_1$, on en déduit que $t_{i,1} \in H_1$.

Dans ce cas, on a donc

$$ (3.32) \qquad t_{i,1} \in H_0 \cup H_1 $$

Ainsi, pour tout $i \in \mathbb{N}$, on a

$$ (3.33) \qquad T_i \subset H = H_0 \cup H_1 \cup H_2 $$

D'où (3.22).

En outre, (3.23) se déduit triviallement du théorème fondamental.

Comme les triplets $T_i$, $i \in \mathbb{N}$, constituent un recouvrement de $6 + 2\mathbb{N}$, on en déduit (3.24).

Fin de la preuve.

<figure><img src="image_3.png" /></figure>
# 4. Applications de la conjecture YH

Dans cette section, on suppose la validité de la conjecture YH.

## 4.1. La conjecture de Goldbach

La conjecture de Goldbach a fait l'objet de nombreux travaux depuis sa formulation initiale par Christian Goldbach en 1742, reprise par Euler sous la forme suivante :

$$ (4.1) \qquad \begin{cases} \text{Pour tout entier } a \in 4 + 2\mathbb{N}, \\ \text{il existe } p, q \in P \cup \{2\}, \text{ tels que } a = p + q \end{cases} $$

Bien que son énoncé soit d'une grande simplicité, la conjecture demeure à ce jour non démontrée dans le cas général. On rappelle que l'écriture $a = p + q$ n'est pas unique, et qu'un nombre entier pair peut admette des écritures multiples sous cette forme.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 4.1. Illustration graphique de la conjecture de Goldbach [9]</figcaption></figure>

Plusieurs avancées significatives ont néanmoins été réalisées en direction d'une preuve, mobilisant des techniques sophistiquées issues de la théorie analytique des nombres. Parmi les contributions notables, on cite les travaux de Chen Jingrun (1966) [1], Olivier Ramaré (1995) [2], et Terence Tao (2012), qui ont permis de démontrer des versions affaiblies de la conjecture.

Les travaux de Harald Helfgott (2013) [3] constituent l'avancée la plus récente, prouvant que tout entier impair supérieur à 9 peut s'écrire comme somme de trois nombres premiers impairs, ce qui est désigné comme la conjecture faible de Goldbach.

Les vérifications numériques récentes (2014) ont conduit à des résultats impressionnants :

* la conjecture de Goldbach est vérifiée pour tous les entiers pairs jusqu'à $4 \times 10^{18}$ (Tomás Oliveira e Silva, Siegfried Herzog et Silvio Pardi) [4] ;

* la conjecture faible de Goldbach est vérifiée pour tous les entiers impairs jusqu'à $8,875 \times 10^{30}$ (H. A. Helfgott et David J. Platt) [5].

### Théorème 4.1.1. (Conjecture forte)

On a :

$$ (4.2) \qquad H = G = 6 + 2\mathbb{N} $$
### Preuve :

La conjecture YH donne : $H = 6 + 2N$. Or $H \subset G \subset 6 + 2N$,

D'où $H = G = 6 + 2N$. CQFD.

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Nous déduisons en particulier de ce théorème :

$$ (4.3) \qquad \bigcup_{n \in \mathbb{N}} E_n = H = G = 6 + 2N $$

L'application $f : P \times P \to 6 + 2N$ définie dans la section 2 par $f(p_i, p_j) = p_i + p_j$ est donc surjective, et sa factorisation canonique donne une bijection $F$ de $(P \times P)/\mathcal{R}$ sur $6 + 2N$.

Ainsi pour tout $a \in 6 + 2N$, la classe d'équivalence de $F^{-1}(a)$ modulo $\mathcal{R}$ donne toutes les écritures de $a$ comme somme de deux nombres premiers.

Nous sommes en mesure également d'énoncer le théorème suivant :

### Théorème 4.1.2.

Pour tout entier $b \in 9 + 2N$,

et tout nombre premier $r \in P$ tel que $b - r \in 6 + 2N$,

Il existe $p, q \in P$ tels que $b = p + q + r$

### Preuve :

Elle découle trivialment du théorème précédent, puisque $b - r \in 6 + 2N$.

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

Il est à noter que ce théorème est plus fort que la conjecture faible de Goldbach énoncée et prouvée dans [3].
## 4.2. La conjecture des nombres premiers jumeaux

La conjecture de Goldbach partage plusieurs traits avec celle des nombres premiers jumeaux, qui postule l'existence d'une infinité de couples de nombres premiers $(p, p+2)$. Les deux énoncés sont réputés de difficulté comparable, en raison de leur dépendance commune à la distribution des nombres premiers et de leur lien implicite avec l'hypothèse de Riemann. Ces deux conjectures sont associées au huitième problème de Hilbert, formulé en 1900. Des avancées notables sur la conjecture des nombres premiers jumeaux ont été obtenues au cours de la dernière décennie : Zhang [6] démontre l'existence d'une infinité de paires de nombres premiers séparés par moins de 70 millions. Ce résultat a été progressivement amélioré via le projet collaboratif Polymath, projet de mathématiques collaboratives mené par Tim Gowers et Terence Tao [7], réduisant cet écart à 4680 en 2013, puis à 246 en 2014 sans hypothèse supplémentaire, et potentiellement à 6 en admettant une version généralisée de la conjecture d'Elliott-Halberstam.

**Théorème 4.2.1.**

(4.3) L'ensemble des nombres premiers jumeaux est infini.

**Preuve :**

On raisonne par l'absurde. On suppose que l'ensemble $P^+$ des nombres premiers jumeaux (non vide) est fini.

Il existe alors un sous-ensemble $I$ fini de $\mathbb{N}$ non vide tel que $P^+ = \{p_i, i \in I\}$.

On a donc :

(4.4) Pour tout $i \in I, p_i$ et $(p_i + 2) \in P$.

On définit l'entier $a$ par :

(4.5) $$a = 2 \prod_{i \in I} p_i (p_i + 2)$$

Comme $3 \in P^+$, $a \in 6 + 2\mathbb{N}$, et $a = 0 \mod 6$, on en déduit en vertu de la conjecture YH et du théorème fondamental que :

(4.6) $$a \in G^+$$

D'où il existe $p, q$ et $q + 2 \in P$ tels que $a = p + q$. Comme $q \in P^+$, il existe $i_0 \in I$ tel que $q = p_{i_0}$, et $q$ divise $p$. Comme $p > q$, ceci est absurde !

## 4.3. La conjecture de Dubner

On rappelle les définitions suivantes :

$$P^+ = \{p \in P, p \text{ impair tel que } p + 2 \in P\}$$

$$P^- = \{p \in P, p \text{ impair tel que } p - 2 \in P\}$$

On note que :

$$\begin{cases} P^+ \cap P^- = \{5\} \\ P^- = 2 + P^+ \\ P^+ = -2 + P^- \end{cases}$$
**Définition 4.3.1.**

Un nombre premier $p$ est dit $p$-jumeau s'il appartient à $P^+ \cup P^-$.

Dubner a énoncé en 2000 [8] la conjecture suivante :

**Postulat 4.3.2. (Conjecture de Dubner)**

$$ (4.7) \quad \left\{ \begin{array}{l} \text{Pour tout nombre entier pair } a \text{ assez grand } (a > 4208), \\ \text{il existe } p \text{ et } q \text{ deux nombres premiers } p - \text{jumeaux tels que } a = p + q \end{array} \right. $$

Sans apporter de preuve à cette conjecture, Dubner a procédé néanmoins à une vérification de la proposition par un logiciel informatique pour tous les nombres pairs inférieurs à $2 \times 10^{11}$.

Il en a déduit, en excluant l'entier pair 4, l'existence d'un ensemble fini, réunion de 11 triplets d'entiers pairs successifs $\{a, a + 2, a + 4\}$ qui ne vérifient pas cette propriété.

Le tableau 4.2. donne ces 11 triplets.

<table><caption>TABLEAU 4.2. Des triplets d'entiers pairs qui ne vérifient pas (4.7) [8]</caption><thead><tr><th>a</th><th>a + 2</th><th>a + 4</th></tr></thead><tbody><tr><td>94</td><td>96</td><td>98</td></tr><tr><td>400</td><td>402</td><td>404</td></tr><tr><td>514</td><td>516</td><td>518</td></tr><tr><td>784</td><td>786</td><td>788</td></tr><tr><td>904</td><td>906</td><td>908</td></tr><tr><td>1114</td><td>1116</td><td>1118</td></tr><tr><td>1144</td><td>1146</td><td>1148</td></tr><tr><td>1264</td><td>1266</td><td>1268</td></tr><tr><td>1354</td><td>1356</td><td>1358</td></tr><tr><td>3244</td><td>3246</td><td>3248</td></tr><tr><td>4204</td><td>4206</td><td>4208</td></tr></tbody></table>

Nous allons d'abord énoncer le théorème suivant découlant de la conjecture YH.

**Théorème 4.3.3.**

Pour tout $a \in 6 + 2N$,

il existe un nombre premier $p$ et un nombre premier $p - \text{jumeau } q$ tels que :

$$ (4.8) \qquad a = p + q $$

**Preuve :**

D'après la conjecture YH, $a \in H$. On distingue alors les 3 cas suivants :

**1er cas : $a \in H_0$**

Il existe $p \in P$ tel que $a = p + 7$. Comme 7 est un $p - \text{jumeau}$ ($7 \in P^-$), le résultat est démontré.

**2ème cas : $a \in H_2$**

Il existe $p \in P, q \in P^+$, tels que $a = p + q$. Comme $q$ est un $p - \text{jumeau}$, le résultat est démontré.
### 3ème cas : $a \in H_1$

En vertu du théorème 3.2.1, $a - 2 = 0 \bmod 6 \in G^+$. Donc il existe $p \in P, q \in P^+$ tels que $a - 2 = p + q$. D'où $a = p + (q + 2)$. Comme $q + 2$ est un $p - jumeau$ ($q + 2 \in P^-$), le résultat est démontré. ■

Le théorème suivant donne une caractérisation des entiers pairs appartenant à $6 + 2N$ en fonction de leur congruence modulo 6.

**Théorème 4.3.4.**

$$ (4.9) \quad \left\{ \begin{array}{l} \text{Pour tout } a \in 6 + 2N, \\ a = 4 \bmod 6 \text{ si et seulement si } a \in (P^+ + P_5)\backslash(3 + P_5) \\ a = 0 \bmod 6 \text{ si et seulement si } a \in (P^- + P_5)\backslash(5 + P_5) = (P^+ + P_1)\backslash(3 + P_1) \\ a = 2 \bmod 6 \text{ si et seulement si } a \in (P^- + P_1)\backslash(5 + P_1) \end{array} \right. $$

**Preuve :**

Les cas $a = 4 \bmod 6$ et $a = 0 \bmod 6$ résultent directement du théorème fondamental. Le cas $a = 2 \bmod 6$ se déduit facilement du cas $a = 0 \bmod 6$. ■

Le lemme suivant caractérise plus finement les entiers $a \in G^+$ tel que $a = 2 \bmod 6$.

**Lemme 4.3.5.**

$$ (4.10) \quad \left\{ \begin{array}{l} \text{Pour tout } a \in 6 + 2N, \\ \text{Si } a \in G^+ \text{ et } a^* = 2, \text{ alors } a \in 3 + P_5 \end{array} \right. $$

**Preuve :**

Notons d'abord que $a \in G^+$ implique que $a \in H_0 \cup H_2$.

Comme $a \in G^+$, il existe $p, q \text{ et } q + 2 \in P$, tels que $a = p + q$. On considère les écritures suivantes déduites de (2.14) :

$$ (4.11) \quad p = 30\Phi_1(p) + 6\Phi_0(p) + p^* \text{ et } q = 30\Phi_1(q) + 6\Phi_0(q) + q^* $$

On suppose que $p \neq 3$. On distingue alors les deux cas suivants :

#### Cas 1 : $\Phi_1(q) \neq 0$

On a dans ce cas, $\Phi_0(q) \neq 0 \text{ et } q^* \in \{1, 5\}$

En outre, $p^* \in \{1, 5\}$. La seule possibilité pour satisfaire $a^* = 2$ est alors $p^* = q^* = 1$.

D'où $q + 2 \notin P$. Cas à exclure.

#### Cas 2 : $q = q^* \in \{3, 5\}$

On en déduit alors que $a = p + 3 \text{ où } p = 30\Phi_1(p) + 6\Phi_0(p) + 5, \Phi_0(p) \neq 0$. ■

De ce lemme et du théorème 4.3.4, nous déduisons que :

$$ (4.12) \quad (3 + P_5) \subset (P^- + P_1)\backslash(5 + P_1) $$

Revenons maintenant à la conjecture de Dubner.

Les entiers 6 et 8 vérifient de façon évidente (4.7). Nous allons les exclure dans ce qui suit.
En notant que $7 + P^+ = 5 + P^-$, soient les sous-ensembles :

$$ (4.13) \qquad \begin{cases} K_0 = (P^+ + P^+) \setminus (3 + P^+) \\ K_1 = (P^- + P^+) \setminus (5 + P^+) \\ K_2 = (P^- + P^-) \setminus (7 + P^+) \end{cases} $$

$$ (4.14) \qquad K = \{a \in \mathbb{N} \text{ vérifiant } (4.7)\} $$

Par définition, tous les éléments de $K_0 \cup K_1 \cup K_2$ vérifient (4.7).

D'où

$$ (4.15) \qquad K_0 \cup K_1 \cup K_2 \subset K $$

**Lemme 4.3.6.**

Les sous-ensembles $K_0, K_1$ et $K_2$ sont deux à deux disjoints et vérifient :

$$ (4.16) \qquad \begin{cases} \text{Pour tout } a \in K_0, a = 4 \text{ modulo } 6 \\ \text{Pour tout } a \in K_1, a = 0 \text{ modulo } 6 \\ \text{Pour tout } a \in K_2, a = 2 \text{ modulo } 6 \end{cases} $$

**Preuve :**

En notant que $P^- = 2 + P^+$, (4.16) découle alors de la définition des sous-ensembles $K_0, K_1$ et $K_2$, et des propriétés suivantes :

$$ \begin{cases} P^+ \subset \{3\} \cup P_5 \\ P^- \subset \{5\} \cup P_1 \end{cases} $$

D'où les sous-ensembles $K_0, K_1$ et $K_2$ sont deux à deux disjoints.

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

**Lemme 4.3.7.**

Pour tout $a \in 10 + 2\mathbb{N}$ tel que $a = 4 \text{ mod } 6$,

les assertions suivantes sont équivalentes :

$$ (4.17) \qquad \begin{cases} (i) a \in K_0 \\ (ii) a + 2 \in K_1 \\ (iii) a + 4 \in K_2 \end{cases} $$

En outre,

$$ (4.18) \qquad \{a, a+2, a+4\} \subset K \text{ si et seulement si } (i), (ii) \text{ ou } (iii) \text{ est vérifiée.} $$

**Preuve :**

Cela découle trivialement de la définition des sous-ensembles $K_0, K_1$ et $K_2$.

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

On introduit désormais les triplets suivants d'entiers pairs successifs :

$$ (4.19) \qquad \begin{cases} T'_0 = \{10, 12, 14\} \\ \text{Pour tout } i \in \mathbb{N}, T'_i = 6i + T'_0 \end{cases} $$

Pour tout $i \in \mathbb{N}$, $T'_i = \{t'_{i,0}, t'_{i,1}, t'_{i,2}\}$ où $t'_{i,0}, t'_{i,1}, t'_{i,2}$ désignent les entiers pairs successifs suivants :
$$
(4.20) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
t'_{i,0} = 6(i+1) + 4 \\
t'_{i,1} = 6(i+2) \\
t'_{i,2} = 6(i+2) + 2
\end{array}
\right.
$$

On a alors,

$$
(4.21) \qquad t'_{i,0} = 4 \bmod 6 ; t'_{i,1} = 0 \bmod 6 ; t'_{i,2} = 2 \bmod 6
$$

Le théorème qui suit prouve une variante de la conjecture de Dubner.

**Théorème 4.3.8.**

Il existe un sous-ensemble infini I de $\mathbb{N}$ tel que :

$$
(4.22) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
\text{Pour tout } i \in I, T'_{i} \subset K \\
K = \bigcup_{i \in I} T'_{i} = K_{0} \cup K_{1} \cup K_{2}
\end{array}
\right.
$$

Preuve :

D’après le théorème 4.2.1., l’ensemble P+ est infini. Il en est de même pour P−.

D'où $K_0, K_1$ et $K_2$ sont infinis.

On déduit du lemme 4.3.7. qu'il existe un sous-ensemble infini I de $\mathbb{N}$ tel que :

$$
(4.23) \quad \text{Pout tout } i \in I, a_i = 6i - 2 \text{ et } T'_i = \{a_i, a_i + 2, a_i + 4\}
$$

$$
(4.24) \qquad a_i \in K_0, a_i + 2 \in K_1, a_i + 4 \in K_2 \text{ et } K = \bigcup_{i \in I} T'_i
$$

$K_0, K_1$ et $K_2$ forment donc une partition de $K$.

■

Soient

$$
(4.25) \qquad \bar{I} = \{i \in \mathbb{N} \text{ tel que } a_i = 6i - 2 \notin K_0\}
$$

Et

$$
(4.26) \qquad \bar{K} = (10 + 2\mathbb{N})\setminus K
$$

On en déduit :

$$
(4.27) \qquad \bar{I} = (2 + \mathbb{N}) \setminus I \text{ et } \bar{K} = \bigcup_{i \in \bar{I}} T'_{i}
$$

Nous sommes en mesure à présent d'énoncer un nouveau postulat pour la conjecture de Dubner.

**Postulat nouveau 4.3.9. (Conjecture de Dubner)**

L'ensemble $\bar{I}$ est fini. Ou encore :

Il existe un nombre fini de triplets $T'_i$ dont les éléments ne vérifient pas (4.7).
## 5. Conclusion

Dans la présente note, nous avons énoncé une nouvelle conjecture baptisée YH. La preuve de cette conjecture résulte d'un théorème fondamental dont nous avons apporté une preuve partielle.

Cette conjecture s'est avérée forte et féconde en matière d'applications.

En effet, elle nous a permis d'apporter des preuves aux conjectures de Goldbach et des nombres premiers jumeaux, comme elle a permis de démontrer une variante de la conjecture de Dubner.

Comme perspective, nous comptons publier une preuve complète du théorème fondamental, qui est en cours de finalisation. Ce qui permettra d'établir de façon irréfutable la véracité de la conjecture YH.

Nous croyons que la nouvelle approche adoptée apporte un cadre conceptuel nouveau pour la caractérisation des nombres entiers pairs et de leur décomposition en sommes de deux nombres premiers, et ouvre de nouvelles voies pour aborder d'autres problèmes non résolus en théorie des nombres.
Bibliographie :

1. J. R. Chen, « On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes », *Kexue Tongbao*, vol. 11, n° 9, 1966, p. 385-386

2. O. Ramaré, « On Šnirel'man's constant », *Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci.*, vol. 22, n° 4, 1995, p. 645-706).

3. Harald Andrés Helfgott, « The ternary Goldbach problem », dans Sun Young Jang, Young Rock Kim, Dae-Woong Lee and Ikkwon Yie (eds.), *Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Seoul, 2014*, vol. 2, Kyung Moon, p. 391-418.

4. Tomás Oliveira e Silva, Siegfried Herzog et Silvio Pardi, « Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to 4.10¹⁸ », *Math. Comp.*, vol. 83, 2014, p. 2033-2060.

5. H. A. Helfgott et David J. Platt, « Numerical Verification of the Ternary Goldbach Conjecture up to 8.875.10³⁰ », *Exper. Math.*, vol. 22, n° 4, 2013, p. 406-409.

6. Y. Zhang, « Bounded gaps between primes », *Ann. Math.*, vol. 179, 2014, p. 1121-1174.

7. DHJ Polymath, « *Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes* », 2014.

8. Harvey Dubner, « Twin Prime Conjectures », *Journal of Recreational Mathematics*, vol. 30, n° 3, 2000, p. 199-205.

9. Image extraite de Wikipédia