# Approche probabiliste du contrôle non destructif des structures pétrolières pour l'évaluation de leur intégrité mécanique

Antoine Rouhan, Franck Schoefs, Jacques Labeyrie

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Antoine Rouhan, Franck Schoefs, Jacques Labeyrie. Approche probabiliste du contrôle non destructif des structures pétrolières pour l'évaluation de leur intégrité mécanique. Revue Française de Mécanique, 2000, 4, pp.235-241. hal-01005272

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# Approche probabiliste du contrôle non destructif des structures pétrolières pour l'évaluation de leur intégrité mécanique

## Probabilistic analysis of non-destructive testing of offshore structures for evaluating their mechanical integrity

Antoine Rouhan†, Franck Schoefs†, Jacques Labeyrie‡

† Laboratoire de Génie Civil de Nantes Saint-Nazaire (France)
Faculté des sciences, 2 rue de la Houssinière, BP92208
44332 Nantes Cedex 03

‡ IFREMER (France)
Centre de Brest,
Technopole Pointe du Diable, BP 70,
29280 Plouzané Cedex

### Résumé

La surveillance et la maintenance des ouvrages en mer font l'objet de recherches méthodologiques sur la requalification, et technologiques sur l'évolution des propriétés des matériaux, des sollicitations dans le temps ou la réduction des coûts d'exploitation. L'utilisation de résultats d'inspection in situ, à partir des techniques de contrôle non destructif, est une composante essentielle de la réévaluation et du maintient de l'intégrité des structures dans leur fonction. Il est toujours utile de proposer des méthodes de ré-actualisation des informations et des calculs, ainsi que des outils d'aide à la décision en appui des campagnes d'inspection de maintenance et de réparation. Compte tenu des aléas et des incertitudes inhérentes à toute activité humaine prise dans son environnement, les approches conceptuelles de type probabiliste sont nécessaires. Les sources de variabilité sont à quantifier pour situer le nouvel état de l'ouvrage en terme de comportement mécanique, et pour permettre une planification des inspections qui réponde aux options de réduction des coûts d'exploitation dans le respect des exigences réglementaires et opérationnelles de sécurité. Le travail présenté ici contribue à l'effort méthodologique d'évaluation de l'endommagement par détection d'une fissure, et aborde le délicat problème d'une définition mécaniste de l'intégrité des structures (durée de vie résiduelle d'un sous-ensemble structurel, critère au niveau global). Le domaine de l'exploitation pétrolière offshore est depuis longtemps impliqué dans ces approches. On trouve ainsi l'opportunité de tester et d'illustrer les méthodes développées dans un contexte bien établi.

### Abstract

Structures monitoring and maintenance is submitted to various research programs on requalification analyses and decision aid-tools. Specially in the feature of structural integrity reassessment, in-situ inspections data are asked to provide rational informations from Non-Destructive Techniques (NDT). The challenge is to get the mechanical sense of informations on the presence or not of cracks, and more on their typology (process of growth, size, ...). It is a question of proposing updating calculation methods, as well as rational decision aid-tools in order to conduct Inspection, Maintenance, and Repair campaigns. Taking into account uncertainties and hazards due to human activity and especially in the implementation of Non-Destructive Techniques, specific probabilistic approaches are necessary. This source of variability must be analyzed by looking at its contribution to mechanisms of data reassessment (structural integrity) and decision (inspection schedules). In the scope of this article, a methodological application of the crack probability detection concept to the structural integrity evaluation is proposed in order to assess the remaining life of a structural subset. It is necessary to optimize the inspection schedules in order to increase efficiency and to reduce costs. Offshore platforms are choose for illustrations.
# 1 Introduction

Les ouvrages de génie civil sont conçus et dimensionnés pour une durée d'exploitation spécifiée pendant laquelle ils doivent remplir une fonction définie. Durant leur période de service, les équipements techniques et les éléments structuraux font l'objet d'une maintenance. En première approche on peut noter les inspections sur l'état de la structure par des contrôles visuels et les études de conformité par rapport à l'évolution des règlements. Les ouvrages à vocation industrielle de type barrage hydroélectrique, centrale nucléaire ou plate-forme pétrolière offshore sont confrontés à des conditions particulières de fonctionnement (sollicitations en « milieu hostile ») et répondent à des exigences fortes de sécurité. Les dommages structurels peuvent avoir des conséquences majeures au niveau humain, environnemental et économique. Ces parcs d'ouvrages sont donc soumis, au cours de leur exploitation, à des campagnes réglementées et strictes d'inspections. L'évolution dans la stratégie globale d'inspection, de maintenance et de réparation est une réflexion permanente. Les systèmes d'exploitation en fin de durée de vie posent des questions spécifiques comme le maintien en service, la réhabilitation ou le démantèlement de la structure : problématique dite de requalification des structures [Goy99]. Dans tous les cas il est demandé de dresser l'état structurel à un instant donné suite aux inspections, et de prévoir son évolution dans le temps. La connaissance régulière et exhaustive de l'état de la structure a des coûts associés et dépend de la capacité d'analyse du moment. On cherche alors à définir un optimum relatif. En matière d'inspection, il existe un grand nombre de techniques de contrôle destructif (carottage de parois en béton) ou non destructif (auscultations ultrasonores ou électromagnétiques des structures métalliques, détection de membres inondés). On est ainsi amené à les classer suivant un critère relatif, qui correspond à leur apport pour un objectif de surveillance bien défini.

De part l'environnement opérationnel des contrôles (réalisation in situ) et la nature de l'optimisation recherchée, les mesures réalisées donnent un signal bruité de l'état réel de la structure. Une approche conceptuelle probabiliste est nécessaire. On interprète alors les différents niveaux d'information en terme de probabilité ; qu'il s'agisse de la capacité à détecter un défaut structurel macroscopique (probabilité de détection et de fausse alarme) ou bien du niveau détectable par telle ou telle technique (probabilité que le défaut détecté ait une dimension donnée). Ces notions sont de plus interdépendantes et ne constituent qu'une partie de l'information probabiliste environnant le contrôle. On propose dans un premier temps de répertorier les différents niveaux d'information issus de campagnes de mesures. Les PoD (Probability of Detection) ont un rôle central. C'est pourquoi on analyse les limites et avantages de leur usage. Elles interviennent dans les procédures de ré-actualisation des données (niveau d'endommagement et mesure d'intégrité structurelle) et de planification des inspections. Une approche bayesienne permet de présenter un formalisme structurant les applications. Les illustrations proviennent du domaine de l'exploitation pétrolière offshore, qui est impliqué depuis longtemps dans ce type d'investigation [Bar93, Mar98]. Les structures offshore étudiées sont constituées d'assemblages de tubes métalliques soudés appelées structures Jacket. Notons que le parc existant est important, de l'ordre de 8000.

On étudie ensuite la question de l'évaluation du niveau de sécurité structurelle à l'issue d'une campagne d'inspection. Lorsqu'un endommagement local est constaté, il faut fournir en particulier une estimation de la durée de vie résiduelle de l'élément considéré sous sollicitations en fatigue. La chaîne de calcul allant de l'information sur l'état structurel observé, prenant en compte l'environnement et les sollicitations dues à la houle, jusqu'à l'estimation de la durée de vie résiduelle de l'élément de structure s'inscrit dans cette démarche. Le passage d'un endommagement local à l'évaluation du comportement global de la structure en tant que système est décrit par une approche de type mécanique de la rupture. Un délicat problème est de définir par un critère mécanique la notion d'intégrité structurelle au regard d'un état d'endommagement structurel observé. On envisage une formulation à l'aide de marges de sécurité, montrant l'intérêt de critères basés sur des considérations énergétiques.
## 2 Approche probabiliste du contrôle non destructif

L'évaluation de l'intégrité structurelle d'un ouvrage en service oblige à un constat sur l'état d'endommagement de la structure à un instant donné. Ces informations s'obtiennent généralement par des inspections sur la base d'un programme de contrôles non destructif. Les plus élémentaires font appel aux sens de perception : odeurs, vibrations, sons habituels, inspection visuelle (couleur, forme, ...). L'indication est globale mais superficielle. Les difficultés de localisation et souvent d'inaccessibilité des dommages potentiels nécessitent la mise en oeuvre de techniques adaptées et souvent lourdes. Les coûts induits sont importants. Le choix des noeuds à inspecter s'avère critique, surtout dans le cas de structures de grande dimension et de construction complexe. C'est là qu'intervient le besoin d'orienter la procédure par l'identification à priori des zones dites sensibles, c'est à dire là ou le risque de dommage est élevé (nocivité d'un dommage). Le résultat d'inspection est une interprétation de la mesure effectuée. La chaîne acquisition-interprétation conditionne la décision. Cette opération de filtrage est différente suivant la technique mise en oeuvre. En effet, pour une même information recherchée, présence/absence de fissure par exemple, on dispose de plusieurs techniques d'inspection possibles, lesquelles reposent sur des principes physiques de détection non directement comparables. Pour chaque technique utilisée on obtient une réponse et une sensibilité différentes en fonction d'un certain nombre de paramètres comme :

- les caractéristiques du matériau et des dimensions testées,

- la mise en oeuvre du contrôle,

- l'environnement (Température, radioactivité, milieu sous-marin, ...),

- le comportement et la qualification de l'opérateur.

Les programmes d'inspection posent la question du bon emploi (ratio coût/efficacité) de ces techniques diverses. Obtenir des résultats homogènes sur la connaissance de l'état structurel a conduit à inter-calibrer l'ensemble des techniques CND. Ceci revient à caractériser les performances dans des conditions opératoires données et bien maîtrisées (proche des conditions in-situ). C'est un moyen d'établir une classification, et de réduire les coûts d'exploitation en utilisant judicieusement le savoir faire existant.

### 2.1 Les contraintes opérationnelles

Par la suite, on s'inscrit dans la problématique de l'exploitation pétrolière offshore. Les plates-formes considérées sont des assemblages tubulaires cylindriques soudés. Les principaux dommages constatés sont les fissures dites de fatigue situées aux noeuds de la structure, plus particulièrement, au niveau des cordons de soudure. Les conditions opérationnelles des inspections des ouvrages sont particulièrement difficiles :

- L'inspection est effectuée par des plongeurs, et des ROV (remote operate vehicle) pour les grandes profondeurs. La mise en oeuvre des techniques de contrôle non destructif est du ressort d'un agent spécialisé dans la mesure,

- Pour les plates-formes situées en Mer du Nord par exemple, le travail se fait sous des conditions de basses températures, et de courants, houle et vents importants,

- La visibilité est réduite (turbidité et grande profondeur)

- La présence de bio-salissures marines telles que algues et coquillages, nécessite en préalable un nettoyage long et coûteux,

- Le repérage des noeuds sur l'ensemble d'une grande structure est complexe et source d'erreurs,

- Les nombreuses tempêtes réduisent beaucoup les périodes opérationnelles des inspections.

Les techniques CND utilisées donnent accès à des informations sur un endommagement lié à la fissuration. Les résultats d'inspection peuvent être erronés : le technicien peut conclure en la présence d'une fissure qui n'existe pas en fait, ou bien ne pas répertorier une fissure existante. Les conditions opérationnelles expliquent pour une large part ce risque. L'ensemble de ces aléas est à formaliser. On a donc recours à une approche probabiliste. Les enjeux sont importants car il s'agit de donner une mesure fiable de l'état mécanique résiduel d'une structure. Par la suite, nous ne considérerons pas les sources d'erreurs grossières, notamment en ce qui concerne le repérage des
## 2.2 Définir la probabilité de détection

La définition d'une « probabilité de détection » (PoD) répond au besoin de caractériser, sous la forme d'un indicateur de fiabilité, l'aptitude d'une technique à détecter correctement des défauts dans des conditions opératoires données. Il convient de cerner les limites et les avantages dans l'usage de cette notion. Par la suite, on appellera détection, la présence d'un signal de mesure.

La figure 1 rappelle les caractéristiques générales d'une inspection dite « discrète ».

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Résultats possibles d'une inspection</figcaption></figure>

La classe est définie par $c = \{l \mid l \in [l_c; l_{c+1}]\}$ où $l$ est la longueur de fissure.

Pour $n(c)$ essais sur une classe $c$ de taille (réelle) de fissure donnée :

- on a détecté $n_b(c)$ vraies fissures.

- on a détecté $n_f(c)$ fissures inexistantes.

- on a n'a pas détecté $n_n(c)$ existantes de la classe.

- on a recensé $n_r(c)$ absences de fissure sur les cordons non fissurés.

Au total, on a : $n(c) = n_b(c) + n_f(c) + n_n(c) + n_r(c)$

D'un point de vue inspection réelle, on a :

- $n(c) = n_b(c) + n_f(c)$ détections. Ceci inclut donc “bonnes” et “fausses” détections.

- $n(c) = n_n(c) + n_r(c)$ absences détection. Ceci inclus donc tubes non fissurés et manques de détection de fissures.

Pour évaluer la qualité des résultats d'inspections, on recherche les indicateurs donnés par la proportion des bonnes détections, et la proportion des fausses détections. Il s'agit dans une formalisation probabiliste de justifier la probabilité de bonne détection (PoD), et la probabilité des fausses détections, plus couramment nommée probabilité de fausse alarme (PFA). Si on définit une PoD, comme étant le rapport du nombre de fissures détectées sur le nombre total de fissures existantes, on ne définit pas rigoureusement une probabilité, puisque ce rapport peut-être supérieur à 1, à cause des fausses détections :
$$ \frac{\text{nb de fissures détectées}}{\text{nb total de fissures de la classe}} = \frac{n_f(c) + n_b(c)}{n_1(c)} > 1 \text{ dans certains cas.} $$

La probabilité de bonne détection est définie comme le rapport entre les bonnes détections et le nombre total de fissures existantes. Elle s'écrit alors :

$$ p_b(c) = \frac{n_b(c)}{n_1(c)} = \frac{n_b(c)}{n_b(c) + n_n(c)} $$

La probabilité de fausse alarme est elle, définie par :

$$ p'_{f}(c) = \frac{n_{f}(c)}{n_{0}(c)} = \frac{n_{f}(c)}{n_{f}(c) + n_{r}(c)} $$

Les courbes PoD décrivent la variation des probabilités de détection par classes de longueur de fissure : pour chaque classe c, on reporte la PoD associée. On obtient ainsi la courbe PoD, sous la forme d'une fonction discrète empirique (voir figures 2). Par lissage on peut ajuster un modèle de courbes théoriques. Il existe de nombreux modèles, différents selon les techniques d'inspection [Ber78, Ich85].

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Courbe PoD discrète et continue</figcaption></figure>

## 2.3 Construction d'une courbe PoD et théorie de la décision

Nous venons de définir les notions de probabilités associées aux détections discrètes et à un dénombrement empirique. Cette définition peut être étendue en faisant appel à la théorie des tests et de la décision, selon le principe de Neyman et Pearson. Ceci permet de définir des seuils de détection, et en particulier d'avoir accès aux erreurs de détection. Le problème posé est de choisir le « mieux possible », à partir d'observations (échantillon d'une variable aléatoire parente X) dans quel état se trouve le système observé. On considère les quatre réponses possibles pour une détection donnée (voir figure 1). Posons :

- hypothèse $H_0$ : absence de fissure.

- hypothèse $H_1$ : présence de fissure.

On définit, une fois la détection faite, $p_1$ et $p_2$, les probabilités d'erreur suivantes :

- risque de première espèce $p_1$ qui consiste à rejeter $H_0$ à tord. C'est la **probabilité de fausse alarme**.

- risque de seconde espèce $p_2$ qui consiste à accepter $H_0$ à tord. C'est la **probabilité de manquer une fissure**.

Par suite, la probabilité de bonne détection est donnée par $1 - p_2$. On définit également :

- le niveau du test $\alpha = 1 - p_1 = 1 - PFA$

- la puissance du test $1 - p_2 = PoD$

Plus le niveau du test est élevé, moins on fait de mauvaises détections, et plus la puissance du test est élevée, plus le nombre de bonnes détections augmente. On appellera région critique $R_c$, l'ensemble des réalisations de X qui
conduisent à écarter $H_0$, au profit de $H_1$. Soit $X$ la variable aléatoire de densité $f_0(x)$ sous l'hypothèse $H_0$, de densité $f_1(x)$ sous l'hypothèse $H_1$ :

$$ 
\begin{aligned}
\text{Proba}(R_c | H_0) &= p_1 = \int_{R_c} f_0(x)dx \\
\text{Proba}(R_c | H_1) &= 1 - p_2 = \int_{R_c} f_1(x)dx
\end{aligned}
$$

On ne peut maximiser $1 - p_2$ (puissance du test) tout en minimisant $p_1$ (les deux intégrales ont même domaine d'intégration). La démarche consiste donc à se fixer une valeur de $p_1$ (probabilité de fausse alarme) et de calculer le domaine $R_c$ optimal tel que $1 - p_2$ (probabilité de bonne détection) soit maximale. La région critique optimale $R_{co}$ est l'ensemble des réalisations $x = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ vérifiant :

$$ L(x) = \prod_{i=1}^{n} \frac{f_1(x_i)}{f_0(x_i)} > k $$

où $k$ est le seuil de détectabilité, déterminé par la condition $\text{Proba}(R_c | H_0) = p_1$. La décision sur le test, à l'issu de la mesure sera donc :

décider $H_1$ si $L(x) > k$

D'une manière rationnelle, $p_1$ et $p_2$ peuvent être obtenues par une procédure de calibration de l'appareil CND, et caractérisent ses performances dans des conditions opératoires fixées. Tout utilisateur devra se conformer à ce protocole établi s'il veut pouvoir afficher à son compte les caractéristiques $p_1$ et $p_2$. Remarquons que la PoD et la PFA sont issues de populations différentes.

Quant à la performance, elle est donnée par la courbe probabilité de bonne détection en fonction de la probabilité de fausse alarme. En termes statistiques, on regarde la puissance du test à un niveau donné. C'est ce qu'on appelle la courbe ROC (Receiver Operating Characteritic).

L'ensemble de cette nouvelle approche est justifiée par la nécessité de faire reposer la démarche empirique prévalante sur les probabilité de détection, par une approche probabiliste et statistique faisant appel à la théorie des tests et de la décision.

## 2.4 Usage des probabilités de détection

Les PoD sont largement utilisées dans la littérature, mais seules elles sous-tendent une information partielle de la qualité de la détection. Les résultats de tests de calibration des techniques CND offshores [Bar93], montrent en effet un niveau de PFA non négligeable. On a vu au 2.3 que la PFA était due aux bruits de mesure. L'évaluation de la PFA dépend donc beaucoup des conditions opératoires, c'est-à-dire de tout ce qui va perturber la mesure (environnement marin, état et qualification du plongeur, qualité de nettoyage du noeud, etc.), mais aussi la sensibilité de la technique CND aux signaux de bruit. D'autre part, pour évaluer la qualité de la mesure, les tests de calibration sont très lourds à mettre en oeuvre et nécessitent un grand nombre d'échantillons. Pour l'évaluation des PoD, l'échantillon est la fissure ou le défaut, tandis que pour la PFA, l'échantillonnage du bruit est beaucoup plus difficile à caractériser, même dans une campagne de calibration bien contrôlée. Ceci explique en partie pourquoi la PFA n'est jamais réellement considérée, bien qu'elle soit déterminante pour qualifier une technique CND. Si l'on se réfère au 2.2 l'évaluation de la PFA suppose de déterminer le nombre de détections « blanches » $n_0(c)$. La détection « blanche » est une action de l'opérateur qui valide l'absence de fissure. Dans le cadre d'une procédure d'inspection continue (parcours progressif de la circonférence d'un cordon de soudure) la difficulté est alors de définir une telle population de référence. La définition de cette détection « blanche » est évidente pour la technique appelée « Flood Member Detection » (Détection des membres inondés par ultrasons ou rayons) car la détection résulte en une manipulation simple. La PFA se définit alors sans difficulté. Elle est beaucoup moins facile pour la technique dite MPI (Magnetic Particle Inspection), où l'opérateur, doit observer
les agglomérats d'une poudre magnétique colorée se concentrant au droit des fissures et défauts, et décider ensuite de la présence de fissures ou non. La question est alors de proposer une population de longueurs unitaires de référence sur laquelle on a validé l'absence de fissure. Enfin, on peut considérer que prendre en compte des fissures qui n'existent pas est conservatif vis à vis de la fiabilité structurelle. Cependant dans un contexte économique, où la réduction des coûts d'inspection est un enjeu important et où les réparations sont d'un coût élevé, il est opportun que toute détection soit effective et que la décision à prendre contienne l'éventualité d'une fausse alarme. Notons qu'une fausse alarme déclenche des scénarios d'endommagement structural et d'évaluation d'intégrité totalement fictifs pour l'ouvrage considéré. Il est donc souhaitable de privilégier une technique de CND ayant une PFA faible comme caractéristique de la qualité de détection.

# 3 Les inspections pour l'évaluation de l'intégrité structurelle.

## 3.1 De l'endommagement local à la durée de vie résiduelle de l'élément

Les structures de type Jacket considérées sont constituées d'assemblages tubulaires soudés. Etant de type treillis elles sont à ce titre fortement redondantes. Une ruine globale ne peut donc être engendrée que par une succession de ruines locales, décrivant un chemin de ruine. L'analyse système considère une modélisation de type série / parallèle de l'ensemble pour constituer un arbre de défauts. A partir de la probabilité d'occurrence des ruines locale et de calculs booléens, on peut encadrer la probabilité de ruine globale [Lab98]. Les chargements dimensionnants sur ce type de structures non résonnantes relèvent du comportement quasi-statique en environnement extrême et de la fatigue à longue durée de vie. On s'intéresse ici aux fissures dites de fatigue, c'est à dire à processus de propagation essentiellement conditionné par un chargement cyclique. Nous rappelons ici un critère d'intégrité structurelle classique. Il est basé sur l'endommagement local lié à la fissure, et sur la durée de vie résiduelle de l'élément. La définition de la ruine locale d'un élément structurel s'appuie sur la définition d'un critère de ruine exprimé en général sous la forme explicite d'une marge de sécurité M. La probabilité de ruine locale vaut alors :

$$P_f = \text{Proba}(M \le 0) \qquad (1)$$

Pour le type de structure envisagé, les événements de ruine majeurs des composants intacts sont le flambement et la plastification aux extrémités. Pour une structure fissurée, on ajoute un critère relatif au niveau de fissuration. Compte tenu du résultat des inspections (taille de fissure), les méthodes proposées ici s'appuient sur la mécanique de la rupture plutôt que sur des approches de type S-N (courbes de Wöehler). On définit pour cela une taille de fissure critique $a_c$ et la marge s'exprime [Mad87] :

$$M_c = a_c - a_N \qquad (2)$$

où $a_N$ est la taille de la fissure après N cycles de chargement. Pour cette présentation, on ne considère comme grandeur que la taille de la fissure. $a_c$ et $a_N$ étant des variables indépendantes, on peut exprimer la marge (équation 2) à partir de la fonction d'endommagement local [Guo92], qui prend la forme suivante dans le cas d'un chargement d'amplitude constante :

$$\Psi(M_c) = \Psi(a_c) - \Psi(a_N) \qquad (3)$$

où $\Psi$ est une fonction monotone croissante. Cette équation s'appuie sur l'expression probabilisée de la loi de Paris et Erdogan [Ort85] et repose sur la connaissance de l'état de fissuration $a_0$ avant les N cycles. La variabilité peut alors avoir deux origines :

- une variabilité intrinsèque résultant notamment des conditions de sollicitations environnementales (aléa naturel de l'environnement marin) et de l'incertitude sur l'état de fissuration initial $a_0$.

- l'incertitude sur les modèles mécaniques de calcul de chargement sur la structure ou de propagation de fissure.
L'information statistique issue des campagnes d'inspection conditionne le calcul de la probabilité de ruine exprimée à partir de l'équation 3. Localement, on définit ainsi deux types d'événements concernant le résultat de l'inspection :

- $E_i$ : aucune fissure n'a été détectée après $N_i$ cycles de chargement

- $E_i^*$ : une fissure de taille $a_i$ a été détectée après $N_i$ cycles de chargement

L'événement $E_i^*$ renvoie quant à lui à l'incertitude sur la taille de la fissure a (PoS) et s'écrit : $a_N = a$.

La probabilité de ruine associée à la marge $\Psi(M_c)$ conditionnée par tout ces événements s'écrit alors :

$$P_{fc}(N) = \text{Proba}(M_c \le 0 | (E_i, E_j^*)) \\ \text{avec } N_i < N$$

La proposition de prise en compte d'une information statistique plus large (PFA) modifie de manière sensible le calcul. Nous proposons donc dans ce qui suit un ensemble plus complet pour la définition des événements liés aux résultats d'inspection :

- $E_{1i}$ = présence d'une fissure réelle, sachant que l'on a fait une détection,

- $E_{2i}$ = présence d'une fissure réelle, sachant que l'on a rien détecté,

- $E_{3i}$ = absence de fissure réelle, sachant que l'on a fait une détection,

- $E_{4i}$ = absence de fissure réelle, sachant que l'on a rien détecté.

Avec un formalisme probabiliste on peut écrire :

$$ \begin{aligned} \text{Proba}(E_{1i}) &= \text{Proba}(X = 1 | d(X) = 1) \\ \text{Proba}(E_{2i}) &= \text{Proba}(X = 1 | d(X) = 0) \\ \text{Proba}(E_{3i}) &= \text{Proba}(X = 0 | d(X) = 1) \\ \text{Proba}(E_{4i}) &= \text{Proba}(X = 0 | d(X) = 0) \end{aligned} $$

où X est la variable aléatoire qui vaut 1 si il y a réellement une fissure, 0 sinon, et d(X) est la fonction de décision, résultat de la mesure CND; d(X) = 1 si on a détecté une fissure et 0 si on ne détecte rien. On réécrit ces expressions en utilisant les formules de Bayes. Soient A et B deux événements, alors on a :

$$\text{Proba}(A | B) = \frac{\text{Proba}(A \cap B)}{\text{Proba}(B)}$$

comme $B = (B \cap A) \cup (B \cap \bar{A})$, alors :

$$\text{Proba}(B) = \text{Proba}(B | A)\text{Proba}(A) + \text{Proba}(B | \bar{A})\text{Proba}(\bar{A})$$

On peut également écrire : $\text{Proba}(A \cap B) = \text{Proba}(B | A)\text{Proba}(A)$ d'où

$$\text{Proba}(A | B) = \frac{\text{Proba}(A \cap B)}{\text{Proba}(B)} = \frac{\text{Proba}(B | A)\text{Proba}(A)}{\text{Proba}(B | A)\text{Proba}(A) + \text{Proba}(B | \bar{A})\text{Proba}(\bar{A})}$$

En identifiant A à X = 1 et B à d(X) = 1, on obtient pour $E_{1i}$ :

$$\text{Proba}(E_{1i}) = \frac{\text{Proba}(d(X) = 1 | X = 1)\text{Proba}(X = 1)}{\text{Proba}(d(X) = 1 | X = 1)\text{Proba}(X = 1) + (1 - \text{Proba}(X = 1))\text{Proba}(d(X) = 1 | X = 0)}$$

On voit que, $\text{Proba}(d(X) = 1 | X = 1)$ est la PoD de X, et $\text{Proba}(d(X) = 1 | X = 0)$ est la probabilité de fausse alarme. On note $\gamma = \text{Proba}(X = 1)$ la probabilité de présence d'une fissure in-situ. On peut donc écrire :

$$\text{Proba}(E_{1i}) = \frac{\gamma \text{PoD}(X)}{\gamma \text{PoD}(X) + \text{PFA}(X)(1-\gamma)} = \frac{1}{1 + \frac{(1-\gamma) \text{PFA}(X)}{\gamma \text{PoD}(X)}}$$

On remarque l'influence des PFA pour l'évaluation de la probabilité de défaillance. Les distributions de taille fissures que l'on trouve réellement en service dépendent de nombreux facteurs : fabrication, âge de la structure...

L'approche proposée inscrit clairement les aspects décisionnels liés aux CND comme une fonction du ratio PoD sur PFA.
## 3.2 Définition d'une intégrité structurelle

La fissuration est un critère d'endommagement de type local, les aspects structurels n'intervenant que lors des redistributions d'efforts. Il permet donc d'évaluer la faiblesse, en terme probabiliste, d'un composant dans une analyse de type système. Une connexion avec des critères de type décisionnels est à rechercher. En effet, il est particulièrement délicat de transcrire la complexité des mécanismes décisionnels (planification des réparations, des inspections ...) au niveau local au travers du seul critère de longueur de fissure critique.

On recherche ici un critère de type global par des considérations de transfert d'énergie. La conséquence d'une fissure de taille importante pour des structures fortement hyperstatiques est l'apparition de degrés de liberté. Or, au niveau global, ces structures posent des problèmes d'état limite, notamment de service, dans le cas où les déplacements, du pont de plate-forme par exemple, sont trop importants. Il est donc intéressant d'analyser l'apparition de ruines successives dans leur contribution au déplacement vis à vis du chargement considéré. On définit alors un critère basé sur l'énergie de déformation de la structure. A partir d'une analyse éléments-finis, la formulation peut prendre la forme :

$$W(S, \theta, t) = \sum_{\text{noeuds}} \frac{1}{2} u^T K u$$

où

- W est l'énergie globale interne,

- S est le niveau de sollicitation (variable aléatoire),

- θ représente l'ensemble de l'information statistique disponible sur l'état de la structure (tailles de fissures, PoD, PFA)

- t est le paramètre temporel directement relié au nombre de cycles N,

- K est la matrice de rigidité globale,

- u est le vecteur des déplacements nodaux.

La fonctionnelle W représente un processus stochastique indexé par le temps t. Une perte d'intégrité se traduit par une rupture dans ce processus et il s'agit alors de détecter ces ruptures. Des algorithmes spécifiques basés sur la théorie des grandes déviations existent et ont déjà été implémentés des études liées à l'identification d'états de mer en situation de tempête [Lab90].

# 4 conclusion

Une approche probabiliste de la requalification d'ouvrages existants est présentée dans cet article. A partir des théories de la décision et de la détection, on démontre l'importance de la probabilité de détection et de fausse alarme, dans l'utilisation des résultats issus des inspections à base de contrôles non destructifs. Ces probabilités sont ensuite introduites dans l'évaluation de l'intégrité structurelle d'un élément, à partir d'un critère de ruine de type endommagement local. Enfin, on donne une définition d'un critère de ruine global, basé sur des considérations énergétiques.

# Références

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[Mad87] Madsen H.O., Skjong R.K, Tallin A.G., Kirkemo F. – Probabilistic fatigue crack growth analysis of offshore structures, with reliability updating through inspection. Dans : *Marine Strcucture Reliability Symposium*, Octobre 1987. – 601 pavonia avenue, suite 400, Jersey City, New Jersey 07306, Octobre 1987.

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[Ort85] Ortiz K., Kiremidjan. – Time series analysis of fatigue crack growth data. *Engineering fracture mechanics*, 1985.