## A.2 Définition de la formule du calcul de l'aide

S'il existe trois types d'aides personnelles au logement (aide personnalisée au logement, allocation logement familiale et allocation logement sociale), la formule de ces aides est la même en ce qui concerne le secteur immobilier locatif. En effet, la section relative aux allocations logement (articles D. 842-1 à 842-4 du CCH) renvoie aux articles définissant le calcul de l'aide personnalisée au logement.

La formule du calcul des aides personnelles au logement du secteur locatif est définie aux articles D. 823-16 et suivants du CCH.

L'article D. 823-16 du CCH définie la formule du calcul du montant mensuel de l'aide mensuelle (Af). La formule est la suivante :

$$Af = L + C - Pp$$

Cet article définit ensuite les différents éléments du calcul :

1. « Af » est l'aide mensuelle issue de la formule de calcul;

2. « L » est le loyer éligible, correspondant au loyer principal pris en compte dans la limite d'un plafond fixé par arrêté en fonction de la zone géographique et, sauf dans le cas où le logement occupé est une chambre, de la composition familiale;

3. « C » est le montant forfaitaire au titre des charges, fixé par arrêté en fonction de la composition familiale;

4. « Pp » est la participation personnelle du ménage calculée selon les dispositions de l'article D. 823-17.

Les cinq derniers aliénas de l'article décrivent des opérations de finalisation du calcul.

L'article suivant, D. 823-17 du CCH, détaille la participation personnelle du ménage (Pp). La formule de cet élément la suivante :

$$Pp = P0 + Tp \times (R - R0)$$

L'article D. 823-17 dispose ainsi :

1. « Pp » est la participation personnelle du ménage;

2. « P0 » est la participation minimale calculée selon des modalités précisées par arrêté et qui ne peut être inférieure à un montant minimum défini par arrêté;

3. « Tp » est le taux de prise en compte des ressources du ménage. Il est égal à la somme d'un premier taux en fonction de la composition familiale et d'un second taux en fonction du loyer éligible défini au 2° de l'article D. 823-16. Le second taux est obtenu par l'application de taux progressifs à des tranches successives du loyer éligible, exprimé en proportion d'un loyer de référence en fonction de la composition familiale. Les valeurs du premier taux, les modalités de calcul du second taux et les valeurs des loyers de référence sont fixées par arrêté;
4. « R » représente les ressources du ménage, appréciées selon les modalités prévues à la section 2 du chapitre II du présent titre et arrondies à la centaine d'euros supérieure;

5. « R0 » est un abattement forfaitaire appliqué aux ressources du ménage. Il est fixé par arrêté en fonction de la composition familiale et est revalorisé au 1er janvier de chaque année, en fonction de l'évolution de l'indice des prix à la consommation des ménages hors tabac. Cette évolution est appréciée entre le 1er octobre de l'avant-dernière année précédant la revalorisation et le 1er octobre de l'année précédant la revalorisation. Il est arrondi à l'euro inférieur.

## A.3 Définition du calcul de l'aide

Il est possible de diviser le calcul de l'aide en deux étapes, celle de la définition du montant global (A.3.1), puis celle de la finalisation du calcul (A.3.2).

### A.3.1 Définition du montant

Les éléments du calcul sont attraits aux dépenses du logement, certains aux ressources. Puis, d'autres paramètres rentrent en compte dans le calcul.

**Éléments relatifs au logement** Au sein de l'article D. 823-16 du CCH précité, les éléments de calcul L (équivalence de loyer) et C (montant des charges) sont relatifs au logement. Au sein de l'article D. 823-17 du CCH ci-dessus, l'élément de calcul relatif au logement est la participation personnelle minimale (P0).

*Équivalent de loyer L.* L'article 7 de l'arrêté du 27 septembre 2019 en vigueur à compter du 1er juillet 2022 fixe des montants de plafond de loyers qui diffèrent selon la composition du foyer et de sa zone. Le plafond d'une personne seule avec deux enfants à charge en zone II est de 370,32 + 53,90 euros.

En l'espèce, la composition du ménage est d'une personne seule avec deux enfants à charge au 1er avril 2023. Le montant du loyer est de 500 euros.

$$L = 370,32 + 53,90 = 424,22 \Rightarrow L < 500$$

En conclusion, l'équivalent loyer L est de 424,22 euros.

*Montant des charges C.* L'article 9 de l'arrêté du 27 septembre 2019 en vigueur à compter du 1er juillet 2022 fixe des montants forfaitaires des charges (C) à 56,12 euros pour un bénéficiaire isolé ou un couple sans personne à charge auquel s'ajoutent 12,72 euros par personne supplémentaire à charge.

En l'espèce, la composition du ménage est de une personne seule avec deux enfants à charge au 1er avril 2023.

$$C = 56,12 + 12,72 \times 2 = 81,56$$

En conclusion, le montant forfaitaire des charges est égal à 81,56 euros.
*Participation personnelle minimale P0.* L'article 13 de l'arrêté du 27 septembre 2019 en vigueur à compter du 1er juillet 2022 dispose ainsi que la P0 : « est égale à la plus élevée des deux valeurs suivantes : 8,5% de la somme du loyer éligible défini au 2° de l'article D. 823-16 du même code et du forfait charge ou 36,63 euros.” »

En l'espèce, C et L déterminés auparavant sont respectivement égaux à 81,56 et 424,22.

Il convient donc de faire comparer la somme de C et L multiplié par 8,5% à 36,63 euros, afin de déterminer le montant le plus élevé.

$$ (C + L) \times 8,5\% = 505,78 \times 8,5\% = 42,99 > 36,63 \Rightarrow P0 = 42,99 $$

En conclusion, la P0 est égale à 42,99 euros.

**Éléments relatifs aux ressources** Les modalités générales de l'appréciation des ressources sont précisées aux articles R822-2 du CCH et suivants.

*Ressources du ménage R.* L'article D. 823-17 énonce au 4° que les ressources prises en compte doivent être arrondies à la centaine d'euros supérieure.

En l'espèce, Mme X dispose de 12500 euros de ressources par an.

Les ressources de Mme X tombent déjà sur une centaine d'euros. Il n'y a donc pas besoin d'arrondir les ressources.

$$ R = 12500 $$

En conclusion, les ressources R sont égales à 12500 euros.

*Abattement forfaitaire R0.* En application du 5° de l'article D. 823-17 du CCH, l'article 15 en vigueur de l'arrêté du 27 septembre 2019 décline les montants de l'abattement forfaitaire R0 pour les prestations dues à compter du 1er janvier 2023. Des montants différents sont applicables à Saint-Pierre-et-Miquelon, définis à l'article 47 de cet arrêté. Les montants sont fonction de la composition du foyer.

En l'espèce, le 1er avril, Mme X qui habite seule à Saint-Pierre-et-Miquelon a deux enfants à charge.

Le montant attribué à une personne seule avec deux enfants à charge pour les prestations dues à compter du 1er janvier 2023 est de 9211 euros.

$$ R0 = 9211 $$

En conclusion, l'abattement R0 est égal à 9211 euros.

**Autres paramètres** Taux de participation personnel (Tp). En application du 3° de l'article D. 823-17 du CCH, l'article 14, en vigueur depuis le 1er juillet 2022, de l'arrêté du 27 septembre 2019 détaille la formule pour obtenir le Tp. La formule est la suivante :

$$ Tp = TF + TL $$
Tp est composé de la somme de deux taux, le taux fonction de la taille de la famille (TF) et le taux complémentaire (TL).

*Taux fonction de la taille de la famille (TF)*. Selon le 1° de l'article 14, le TF est fixé, fonction de la taille de la famille.

En l'espèce, la composition familiale de Mme X est une personne seule avec deux personnes à charge.

Il convient de lui appliquer le taux défini pour une personne seule ayant deux personnes à charge, soit 2,38%.

$$TF = 2,38\%$$

*Taux complémentaire (TL)*. Le 2° de l'article 14 précité dispose ainsi :

L représente un taux complémentaire fixé ci-dessous en fonction de la valeur du rapport RL entre le loyer retenu dans la limite du plafond L et un loyer de référence LR.

$$RL = \frac{L}{LR}$$

RL est exprimé en pourcentage et arrondi à la deuxième décimale.

*Loyer de référence (LR)*. Le loyer de référence LR est défini au 2°. Il est fixé et fonction de la composition du foyer. Pour une personne seule ayant une personne à charge, le montant est de 370,32 euros, et 53,90 euros par personne à charge supplémentaire.

En l'espèce, le L a été déterminé ci-dessus et est égal à 424,22 euros. Mme X est une personne seule ayant deux personnes à charge.

$$LR = 370,32 + 53,90 \times 1 = 424,22$$

D'où :

$$RL = \frac{424,22}{424,22} = 100\%$$

Le RL est égal à 100%.

Le 2° de l'article 14 définit des formules avec des taux progressives selon le RL. Pour les RL supérieurs à 75%, la formule est la suivante, arrondi à la troisième décimale :

$$TL = 0,45\% \times 30\% + 0,68\% \times (RL - 75\%)$$

En l'espèce, RL = 100%.
$$ 
\begin{array}{l}
\text{RL} > 75\% \\
\text{TL} = 0,45\% \times 30\% + 0,68\% \times (100\% - 75\%) \\
\text{TL} = 0,00135 + 0,68\% \times 0,25 \\
\text{TL} = 0,00135 + 0,00171 \\
\text{TL} = 0,00305 \\
\text{TL} = 0,305\%
\end{array}
$$

Le TL est égal à 0,305%.

Il convient désormais d'additionner le TF et le TL pour obtenir le Tp.

$$ Tp = 2,38\% + 0,305\% = 2,685\% $$

En conclusion, le Tp est égal à 2,685%.

Dorénavant, tous les éléments ont été déterminés pour calculer le montant de la Pp.

Pour rappel, la formule du montant de la Pp est la suivante :

$$ Pp = P0 + Tp \times (R - R0) $$

En l'espèce, la P0 = 42,99, le Tp = 2,685%, les R = 12500 et le R0 = 9211.

$$ 
\begin{align*}
Pp &= 42,99 + 2,685\%(12500 - 9211) \\
Pp &= 42,99 + 2,685\% \times 3289 \\
Pp &= 42,99 + 88,31 \\
Pp &= 131,30
\end{align*}
$$

En conclusion, la Pp est égale à 131,30 euros.

Dorénavant, tous les éléments ont été déterminés pour caculer le montant de l'aide.

Pour rappel, la formule du montant de l'aide est la suivante :

$$ Af = L + C - Pp $$

En l'espèce, le L = 424,22 et les C = 81,56 et la Pp = 131,30.

$$ Af = 424,22 + 81,56 - 131,30 = 374,48 $$

En conclusion, l'Af est égale à 374,48 euros.
### A.3.2 Finalisation du calcul

Les 5 derniers aliénas de l'article D. 823-16 du CCH prévoit des opérations de finalisation du calcul.

**Dégressivité et suppression** Selon l'aliéna 8 de l'article D. 823-16 du CCH, le montant calculé peut être diminué ou supprimé dans le cas où le loyer dépasse un plafond obtenu par l'application de coefficients multiplicateurs au plafond de loyer fixé au 2° de ce même article du CCH. L'article 10 de l'arrêté de 2019 fixe des coefficients multiplicateurs qui sont fonction de la zone géographique. Celui-ci est fixé à 2,5 (diminution) et à 3,1 (suppression) pour la zone II.

En l'espèce, le plafond de loyer L prédéterminé est égal à 424,22. Mme X habite dans la zone II et son loyer est de 500 euros.

$$424,22 \times 2,5 = 1060,55 > 500$$

En conclusion, il n'y a ni dégressivité ni suppression du montant de l'aide à raison de l'alinéa 8 de l'article D. 823-16 du CCH.

**Minoration forfaitaire** L'article 11 de l'arrêté de 2019 précité fixe à 5 euros la minoration forfaitaire.

En l'espèce, l'AF, avant les opérations de finalisation du calcul est égale à 374,48 euros.

$$374,48 - 5 = 369,48$$

En conclusion, le montant après la minoration forfaitaire est égal à 369,48 euros.

**Contribution au remboursement de la dette sociale** Comme mentionné à l'article D. 823-16 du CCH, l'ordonnance du 24 janvier 1996 relative au remboursement de la dette sociale prévoit la CRDS à son article 14 en vigueur le 1er septembre 2018 sur les aides personnelles au logement. L'article 19 de cette même ordonnance fixe un taux à 0,5%. Selon l'alinéa 10 de l'article D. 823-16 du CCH :

Le montant [...] est diminué d'un montant représentatif des contributions sociales qui s'y appliquent, arrondi à l'euro inférieur, puis majoré de ce montant représentatif.

Toutefois, l'article L0 6413-1 du CGCT rappelle le régime constitutionnel des collectivités territoriales d'outre-mer régies par l'article 74 de la Constitution, qui dispose que :

Les dispositions législatives et réglementaires sont applicables de plein droit à Saint-Pierre-et-Miquelon, à l'exception de celles qui interviennent dans les matières relevant de la loi organique en application de l'article 74 de la Constitution ou dans l'une des matières relevant de la compétence de la collectivité en application du II de l'article L0 6414-1.
De plus, l'archipel de SPM dispose de la compétence en matière d'impôts en vertu de l'article L06414-1 du Code général des collectivités territoriales (CGCT).

Ainsi, en l'absence de dispositions particulières instituant la CRDS à Saint-Pierre-et-Miquelon, la CRDS n'est pas un impôt dédié prélevé sur la collectivité d'outre-mer. En revanche, selon l'alinéa 10 de l'article D. 823-16 du CCH, le montant est arrondi à l'euro inférieur.

En l'espèce, le montant après la minoration forfaitaire est égal à 369,48 euros. Arrondi à l'euro inférieur, il est égal à 369 euros.

En conclusion, le montant est égal à 369 euros.

**Réduction de loyer de solidarité** L'alinéa 11 de l'article D. 823-16 du CCH prévoit une déduction du montant pour les personnes touchant la réduction de loyer de solidarité.

En l'espèce, Mme X ne bénéficie pas de la réduction de loyer de solidarité.

En conclusion, le montant n'est pas diminué.

**Montant minimal** L'article 12 de l'arrêté de 2019 précité fixe un seuil de versement avant application de la contribution au remboursement de la dette sociale (CRDS). Celui-ci est fixé à 10 euros pour les allocations de logement.

En l'espèce, le montant avant application de la CRDS est de 369,48 euros.

$$369,48 > 10$$

En conclusion, le montant peut être versé.

**Montée en charge des aides pour SPM** Les aides au logement ont été établies à SPM par le décret du 21 décembre 2021 portant diverses mesures sur les aides personnelles au logement et relatif aux aides personnelles au logement à Saint-Pierre-et-Miquelon. Le décret instaure une montée en charge des aides progressive jusqu'à 2026. Pour obtenir l'aide finale à verser, il convient d'appliquer la formule suivante à compte du mois de janvier 2022 jusqu'au mois de décembre 2025 :

$$AL_{spm} = AL_{t} \times \left( 1 - \frac{2026 - n}{8} \right)$$

Dans laquelle :

1. « ALspm » est l'aide mensuelle due aux bénéficiaires de l'aide personnelle au logement à Saint-Pierre-et-Miquelon au titre du mois considéré, entre janvier 2022 et décembre 2025;

2. « ALt » est l'aide mensuelle théorique calculée en application des dispositions du livre VIII du code précité, le cas échéant adaptées selon les dispositions de l'article 2 du présent décret;

3. « n » correspond à l'année au titre de laquelle l'aide est due. Les dispositions du présent article peuvent être modifiées par décret.
En l'espèce, Mme X vit à Saint-Pierre-et-Miquelon le 1er avril 2022 date à laquelle elle a effectué sa demande. De plus, l'aide finale est égale à 369,48 euros.

$$ 
\begin{align*} 
\text{ALspm} &= 369 \times \left( 1 - \frac{2026 - 2023}{8} \right) \\ 
\text{ALspm} &= 369 \times (1 - 0,375) \\ 
\text{ALspm} &= 369 \times 0,625 \\ 
\text{ALspm} &= 230,63 
\end{align*} 
$$

À titre conclusif, le montant à verser à Mme X est de 230,63 euros.

# B Sémantique d'évaluation paresseuse pour le calcul par défaut

Cette annexe est destinée aux lectrices familières de la science des langages de programmation et de leur formalisme, car elle est présentée dans le style habituel des articles de recherche de ce domaine de recherche. Elle reprend les notations de l'article [Merigoux, Chataing et Protzenko 2021] dont elle est en quelque sorte une extension.

## B.1 Sémantique du calcul par défaut étendue

<table><caption>Figure 13 – Calcul par défaut avec valeurs de retours explicites et termes d'erreur</caption><tr><td>Type</td><td>τ<sub>0</sub> ::= <code>bool | unit</code><br>| <code>τ → τ</code><br>τ ::= <code>τ<sub>0</sub></code><br>| <code>{τ<sub>0</sub>}</code></td><td>types booléen et unité<br>type fonction<br>type résultat de défaut</td></tr><tr><td>Expression</td><td>e ::= <code>x | s | true | false | ()</code><br>| <code>op(e,...,e)</code><br>| <code>λ (x : τ) . e | e e</code><br>| <code>d | Err</code></td><td>variable, nom de décl., littéraux<br>application d'opérateurs prédéfinis<br>λ-calcul</td></tr><tr><td>Défauts</td><td>d ::= <code>⟨e | e :- e⟩</code><br>| <code>check-empty(e)</code><br>| <code>{e}</code><br>| <code>∅</code></td><td>terme défaut<br>extraction de résultat<br>défaut non vide<br>défaut vide</td></tr><tr><td>Erreurs</td><td>Err ::= <code>Err</code><sup>∅</sup><br>| <code>Err</code><sup>⊗</sup></td><td>terme d'erreur (vide)<br>terme d'erreur (conflit)</td></tr></table>

Nous partons de la sémantique de Catala définie dans Merigoux, Chataing et Protzenko [2021], que nous avons étendue pour différencier les termes vides dans le contexte où ils sont valides (à l'intérieur des termes par défaut), des termes vides d'erreur correspondant à un échec du programme (voir Figure 13). Dans ce but, une nouvelle construction {$e$} correspondant au résultat non-vide de l'évaluation du terme $⟨∅ | true :- e⟩$ est ajoutée. L'opération inverse `check-empty(e)` permet de lever explicitement l'erreur là où un résultat non vide est attendu. Ces ajouts nous permettent de raffiner les règles de typage comme le montre la Figure 14 :
nous introduisons un nouveau type {$\tau_0$} qui signale une valeur de type $\tau_0$ qui peut parfois être s'évaluer vers le terme vide d'erreur.

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure 14 – Typing rules for the default calculus</figcaption></figure>

## B.2 Sémantique paresseuse et évaluation partielle

Afin de définir la sémantique d'évaluation partielle que nous recherchons ici, nous allons raffiner la notion de valeurs, dont il existera plusieurs variantes suivant le contexte, comme montré en Figure 15. Tout d'abord, les valeurs atomiques qui reprennent les valeurs précédentes de la sémantique de Merigoux, Chataing et Protzenko [2021]. Ensuite, les valeurs d'opérations qui stockent en réalité des valeurs partiellement évaluées, puisqu'elles contiennent l'arbre de syntaxe des opérateurs à appliquer pour calculer le résultat final. Ces valeurs d'opérations vont nous permettre d'expliquer le résultat final du calcul en montrant quelles opérations ont été appliquées pour y arriver. Enfin, les valeurs de défaut correspondent aux termes temporaires créés par notre sémantique paresseuse lors de l'évaluation des défauts. En effet, la valeur {$e$} signifie que pendant l'évaluation des exceptions d'un défaut, nous pouvons considérer qu'un terme est non-vide sans en évaluer complètement l'expression $e$.

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 15 – Différents niveaux de valeurs</figcaption></figure>

La Figure 16 présente les règles de notre nouvelle évaluation paresseuse et partielle définie par la réduction $\rightarrow$. Elle est très proche de la réduction originelle définie par Merigoux, Chataing et Protzenko [2021], à deux exceptions près.

Premièrement, il n'y a pas de règles pour évaluer l'application des opérateurs. Ceci permet d'obtenir l'évaluation partielle puisqu'on ne peut pas réduire $op(v_{op}, ..., v_{op})$ qui est une valeur d'opérations. Deuxièmement et cependant, il est nécessaire d'effectuer une réduction plus complète pour les termes qui influent sur le flot de contrôle du programme. C'est le cas à deux endroits : les exceptions des défauts et les justifications des défauts. Pour les exceptions des défauts, il suffit de savoir si le terme réduit strictement vers $\emptyset$ ou pas. Par un argument de typage, on peut avancer que $\emptyset$ apparaît soit tout seul soit après la réduction
<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 16 – Règles de réduction</figcaption></figure>

$$
C ::= \begin{array}{l@{\quad}l}
\cdot e | v_{op} . & \text{évaluation des applications} \\
| \langle \vec{v}_{dft}, \cdot, \vec{e} | e : - e \rangle & \text{évaluation des exceptions}
\end{array}
$$

<caption>Figure 17 – Contextes d'évaluation</caption>

d'un défaut, et donc les règles de la Figure 16 suffisent pour assurer une sémantique stricte
de réduction pour cet objectif. Le contexte {·} a volontairement été omis de la Figure 17, ce
qui matérialise le caractère paresseux de l'évaluation des exceptions des défauts.

Par contre, pour les justifications des défauts, il est nécessaire d'évaluer de manière plus
complète pour obtenir une valeur booléenne qui détermine le résultat du défaut. Un nouveau
contexte correspondant à l'évaluation déterminant le flot de contrôle du programme, $C_{control}$,
défini en Figure 18 permet d'achever ces résultats. Si le langage possédait une construc-
tion conditionnelle classique, l'évaluation de la condition booléenne apparaîtrait aussi dans
$C_{control}$. Dans ce contexte, les règles de réduction précédentes s'appliquent toujours, mais
on ajoute la règle D-EvaluateOperator qui effectue l'évaluation concrète des opérateurs et
produit le résultat concret du calcul sous la forme de valeur atomique.

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Figure 18 – Réduction complète des expressions déterminant le flot de contrôle du programme</figcaption></figure>
## B.3 Cohérence de la sémantique d'évaluation partielle

Nous énonçons maintenant quelques théorèmes de cohérence que cette formalisation devrait satisfaire, dont nous laissons les preuves à des travaux futurs. Dans ces énoncés, on fait référence à la réduction stricte de Merigoux, Chataing et Protzenko [2021] par $\xrightarrow{eager}$, en supposant qu'elle a été adaptée aux extensions de typage de B.1.

**Théorème 1 (Sûreté du typage)** *Pour toute expression bien typée $e : \tau$, alors soit $e$ est une valeur $v_{op}$; soit $e \longrightarrow e' : \tau$.*

**Théorème 2 (Équivalence des sémantiques)** *Soit une expression bien typée $e$, $\tau$. On a les deux sens suivants de l'équivalence :*

- s'il existe $v_{op}$ telle que $e \longrightarrow *v_{op}$, alors il existe $v$ telle que $e \xrightarrow{eager} *v$ et soit $v = Err$, soit $v_{op} \xrightarrow{eager} *v$;

- s'il existe $v$ telle que $e \xrightarrow{eager} *v$, alors il existe $v_{op}$ telle que $e \longrightarrow *v_{op}$ et $v_{op} \xrightarrow{eager} *v$.
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