# Grupo munido de operações algébricas, com uma relação biunívoca com o seu subgrupo, com topologia discreta e espaços topológicos homeomorfos descritos em termos de grafos

Paulo Góis

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Paulo Góis. Grupo munido de operações algébricas, com uma relação biunívoca com o seu subgrupo, com topologia discreta e espaços topológicos homeomorfos descritos em termos de grafos. 2023. hal-04563199v2

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Preprint submitted on 14 May 2024

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Grupo munido de operações algébricas, com uma relação biunívoca com o
seu subgrupo, com topologia discreta e espaços topológicos homeomorfos
descritos em termos de grafos

Por: João Paulo da Silva Pereira

Resumo

Neste artigo foi construído um grupo munido de operações algébricas, com o seu
subgrupo constituído pelas mesmas operações que o compõem. Tal relação foi
definida como uma função $F: G \to H$. Posteriormente foi definido um espaço
topológico $X$ com base no grupo $G$, e um outro $Y$ com base em $H$. Formado por uma
relação biunívoca entre $X$ e $Y$, onde tal relação foi definida por uma função, sendo
esta função composta por outras também contínuas, bijetivas e que admite inversas
também contínuas. Por fim, tal relação foi descrita em termos de grafos, onde
encontrou-se duas possíveis descrições.

Palavras-chave: Topologia Geral; Grupo; Subgrupo; Métrica; Espaço Métrico;
Estrutura Algébrica; Topologia Algébrica; Homeomorfismo; Homeomorfismo; Teoria
dos Grafos.

Summary

In this article, a group equipped with algebraic operations was built, with its subgroup
constituted by the same operations that compose it. Such relation was defined as a
function $F: G \to H$. Subsequently, a topological space $X$ was defined based on the
group $G$, and another $Y$ based on $H$. Formed by a biunivocal relation between $X$ and
$Y$, where such relation was defined by a function, this function being composed of
others that are also continuous, bijective and that admit inverses that are also
Grupo munido de operações algébricas, com uma relação biunívoca com o
seu subgrupo, com topologia discreta e espaços topológicos homeomorfos
descritos em termos de grafos

Por: João Paulo da Silva Pereira

Resumo

Neste artigo foi construído um grupo munido de operações algébricas, com o seu
subgrupo constituído pelas mesmas operações que o compõem. Tal relação foi
definida como uma função $F: G \to H$. Posteriormente foi definido um espaço
topológico $X$ com base no grupo $G$, e um outro $Y$ com base em $H$. Formado por uma
relação biunívoca entre $X$ e $Y$, onde tal relação foi definida por uma função, sendo
esta função composta por outras também contínuas, bijetivas e que admite inversas
também contínuas. Por fim, tal relação foi descrita em termos de grafos, onde
encontrou-se duas possíveis descrições.

Palavras-chave: Topologia Geral; Grupo; Subgrupo; Métrica; Espaço Métrico;
Estrutura Algébrica; Topologia Algébrica; Homeomorfismo; Homeomorfismo; Teoria
dos Grafos.

Summary

In this article, a group equipped with algebraic operations was built, with its subgroup
constituted by the same operations that compose it. Such relation was defined as a
function $F: G \to H$. Subsequently, a topological space $X$ was defined based on the
group $G$, and another $Y$ based on $H$. Formed by a biunivocal relation between $X$ and
$Y$, where such relation was defined by a function, this function being composed of
others that are also continuous, bijective and that admit inverses that are also
continuous. Finally, this relationship was described in terms of "graphs", where two
possible descriptions were found.

Keywords: General Topology; Group; Subgroup; Metric; Metric Space; Algebraic Structure; Algebraic Topology; Homeomorphism; Homeomorphism; Theory of graphs.

Introdução

Primeiramente é necessário saber que é possível construir um grupo munido de operações algébricas e estabelecer uma relação biunívoca com um subgrupo através de uma função contínua entre dois espaços topológicos. Para isso, considere primeiro um grupo $G$ com suas operações algébricas, como a multiplicação e a inversão. Além disso, considere um subconjunto $H$ de $G$, que também é um grupo com relação às mesmas operações. Agora, estabeleça uma relação biunívoca entre $G$ e $H$ através de uma função $F: X \to Y$, onde $X$ e $Y$ são espaços topológicos. Para isso, pode-se tomar $X$ como o espaço topológico $G$, munido de uma topologia adequada (por exemplo, a topologia gerada pela métrica discreta), e $Y$ como o espaço topológico $H$, também com a topologia adequada.

A função $F: G \to H$ pode ser definida de forma que, para cada elemento $g$ em $G$, $F(g)$ seja o correspondente em $H$. Essa função deve ser contínua em relação às topologias em $X$ e $Y$. Para ser contínua, a função $F$ deve satisfazer a propriedade de preservar conjuntos abertos: para todo conjunto aberto $U$ em $H$, a imagem inversa $F^{-1}(U)$ deve ser um conjunto aberto em $G$. Agora, descrevendo em termos de grafo, pode-se dizer que o grafo da função $F$ é um subconjunto do produto cartesiano $G \times H$, onde cada par $(g, h)$ está no grafo se e somente se $f(g) = h$. O grafo da função $F$ pode ser representado como um conjunto de pontos no espaço $G \times H$, onde cada ponto $(g, h)$ está ligado por uma aresta se $f(g) = h$. Note que, para
continuous. Finally, this relationship was described in terms of "graphs", where two
possible descriptions were found.

Keywords: General Topology; Group; Subgroup; Metric; Metric Space; Algebraic Structure; Algebraic Topology; Homeomorphism; Homeomorphism; Theory of graphs.

Introdução

Primeiramente é necessário saber que é possível construir um grupo munido de operações algébricas e estabelecer uma relação biunívoca com um subgrupo através de uma função contínua entre dois espaços topológicos. Para isso, considere primeiro um grupo $G$ com suas operações algébricas, como a multiplicação e a inversão. Além disso, considere um subconjunto $H$ de $G$, que também é um grupo com relação às mesmas operações. Agora, estabeleça uma relação biunívoca entre $G$ e $H$ através de uma função $F: X \to Y$, onde $X$ e $Y$ são espaços topológicos. Para isso, pode-se tomar $X$ como o espaço topológico $G$, munido de uma topologia adequada (por exemplo, a topologia gerada pela métrica discreta), e $Y$ como o espaço topológico $H$, também com a topologia adequada.

A função $F: G \to H$ pode ser definida de forma que, para cada elemento $g$ em $G$, $F(g)$ seja o correspondente em $H$. Essa função deve ser contínua em relação às topologias em $X$ e $Y$. Para ser contínua, a função $F$ deve satisfazer a propriedade de preservar conjuntos abertos: para todo conjunto aberto $U$ em $H$, a imagem inversa $F^{-1}(U)$ deve ser um conjunto aberto em $G$. Agora, descrevendo em termos de grafo, pode-se dizer que o grafo da função $F$ é um subconjunto do produto cartesiano $G \times H$, onde cada par $(g, h)$ está no grafo se e somente se $f(g) = h$. O grafo da função $F$ pode ser representado como um conjunto de pontos no espaço $G \times H$, onde cada ponto $(g, h)$ está ligado por uma aresta se $f(g) = h$. Note que, para
que a relação seja biunívoca, a função $f$ deve ser bijetora, ou seja, deve ser tanto injetora (cada elemento de $G$ é mapeado para um único elemento em $H$) quanto sobrejetora (todo elemento em $H$ é a imagem de pelo menos um elemento em $G$).

Portanto, é possível estabelecer uma relação biunívoca entre um grupo $G$ munido de operações algébricas e um subgrupo $H$ através de uma função contínua $F: G \to H$, com $X$ e $Y$ sendo dois espaços topológicos, e descrever essa relação em termos de grafos através do grafo da função $F$ no espaço $G \times H$.

# Desenvolvimento

## Primeira parte

Atendo-se ao subgrupo normal ($H \subset G$), temos que:

$$ \forall x \in X, g \in G \text{ e } (gxg^{-1}) \in X; $$

$$ \forall y \in Y, g \in G \text{ e } (gyg^{-1}) \in Y; $$

$$ \forall x \in X, h \in H \text{ e } (hxh^{-1}) \in X; $$

$$ \forall y \in Y, h \in H \text{ e } (hyh^{-1}) \in Y. $$

Como $\forall x, y, \exists x^{-1}, y^{-1}$, temos que:

$$ x \cdot x^{-1} = e; $$

$$ y \cdot y^{-1} = e; $$
que a relação seja biunívoca, a função $f$ deve ser bijetora, ou seja, deve ser tanto injetora (cada elemento de $G$ é mapeado para um único elemento em $H$) quanto sobrejetora (todo elemento em $H$ é a imagem de pelo menos um elemento em $G$).

Portanto, é possível estabelecer uma relação biunívoca entre um grupo $G$ munido de operações algébricas e um subgrupo $H$ através de uma função contínua $F: G \to H$, com $X$ e $Y$ sendo dois espaços topológicos, e descrever essa relação em termos de grafos através do grafo da função $F$ no espaço $G \times H$.

# Desenvolvimento

## Primeira parte

Atendo-se ao subgrupo normal ($H \subset G$), temos que:

$$ \forall x \in X, g \in G \text{ e } (gxg^{-1}) \in X; $$

$$ \forall y \in Y, g \in G \text{ e } (gyg^{-1}) \in Y; $$

$$ \forall x \in X, h \in H \text{ e } (hxh^{-1}) \in X; $$

$$ \forall y \in Y, h \in H \text{ e } (hyh^{-1}) \in Y. $$

Como $\forall x, y, \exists x^{-1}, y^{-1}$, temos que:

$$ x \cdot x^{-1} = e; $$

$$ y \cdot y^{-1} = e; $$
$$x + (-x) = e;$$

$$y + (-y) = e.$$

Onde $e$ (o elemento neutro) é a identidade do grupo.

Em um grupo aditivo $(G, +)$, temos que:

$$G \times G \rightarrow G, \text{ onde } \forall (x, y), \text{ temos } c = x + y \in G.$$

Da mesma forma para o subgrupo aditivo de $G$, isto é, $(H, +)$:

$$H \times H \rightarrow H, \text{ onde } \forall (x, y), \text{ temos } d = x + y \in H.$$

Ou seja, para cada par de elementos em $G$ e $H$, temos que ele associa um único elemento $c$ e $d$, respectivamente.

A métrica discreta em um dado conjunto é a métrica que define uma distância $0$ para os pares de elementos iguais ($d(x, y) = 0$) e para os pares de elementos distintos ($d(x, y) = 1$). Portanto, temos a definição:

$$d(x, y) = 0, \text{ se } x = y;$$

$$d(x, y) = 1, \text{ se } x \neq y.$$

Assim, a métrica $d$ define a topologia discreta em $X$, onde todos os seus subconjuntos são abertos.
$$x + (-x) = e;$$

$$y + (-y) = e.$$

Onde $e$ (o elemento neutro) é a identidade do grupo.

Em um grupo aditivo $(G, +)$, temos que:

$$G \times G \rightarrow G, \text{ onde } \forall (x, y), \text{ temos } c = x + y \in G.$$

Da mesma forma para o subgrupo aditivo de $G$, isto é, $(H, +)$:

$$H \times H \rightarrow H, \text{ onde } \forall (x, y), \text{ temos } d = x + y \in H.$$

Ou seja, para cada par de elementos em $G$ e $H$, temos que ele associa um único elemento $c$ e $d$, respectivamente.

A métrica discreta em um dado conjunto é a métrica que define uma distância $0$ para os pares de elementos iguais ($d(x, y) = 0$) e para os pares de elementos distintos ($d(x, y) = 1$). Portanto, temos a definição:

$$d(x, y) = 0, \text{ se } x = y;$$

$$d(x, y) = 1, \text{ se } x \neq y.$$

Assim, a métrica $d$ define a topologia discreta em $X$, onde todos os seus subconjuntos são abertos.
Temos que para todo ponto tomado em X existe um raio r menor que 1, que implica que o x é o único ponto dentro do raio r. Matematicamente, temos:

$$ \forall x \in X, \exists r < 1 \Rightarrow x \subset r. $$

Também temos que cada ponto individual é aberto

$$ \forall x: ]x[ \Rightarrow \text{topologia discreta.} $$

Como

$$ \bigcup_{i=1}^{n} x = )x_1, x_2, ..., x_n(. $$

Então

$$ \bigcup_{i=1}^{n} x \text{ é aberto.} $$

Segunda parte

Vamos considerar que exista outro espaço topológico $Y$, onde $Y \equiv H$. Se existe um homeomorfismo entre esses espaços, então existe uma bijeção entre eles e a função quanto a sua inversa é contínua.

Seja $F: X \to Y$ um homeomorfismo, então;
Temos que para todo ponto tomado em X existe um raio r menor que 1, que implica que o x é o único ponto dentro do raio r. Matematicamente, temos:

$$ \forall x \in X, \exists r < 1 \Rightarrow x \subset r. $$

Também temos que cada ponto individual é aberto

$$ \forall x: ]x[ \Rightarrow \text{topologia discreta.} $$

Como

$$ \bigcup_{i=1}^{n} x = )x_1, x_2, ..., x_n(. $$

Então

$$ \bigcup_{i=1}^{n} x \text{ é aberto.} $$

Segunda parte

Vamos considerar que exista outro espaço topológico $Y$, onde $Y \equiv H$. Se existe um homeomorfismo entre esses espaços, então existe uma bijeção entre eles e a função quanto a sua inversa é contínua.

Seja $F: X \to Y$ um homeomorfismo, então;
- $F$ é bijetora, isto é, $\forall x \in X$, existe um único elemento $y \in Y \mid F(X) = y$ e $\forall y \in Y$, existe um único elemento $x \in X \mid F^{-1}(y) = x$;

- $F$ é contínua, isto é, $\forall U \in Y$, o conjunto $F^{-1}(U)$ é aberto em $X$;

- A inversa de $F$ também é contínua, ou seja, $F^{-1}: Y \to X$ é contínua.

Para que $(f_1: x_1 \to y_1, f_2: x_2 \to y_2, \dots, f_n: x_n \to y_n)$ sejam contínuas elas devem satisfazer a propriedade de simetria, ou por outra, se $F(X) = y$, então $F^{-1}(Y) = x$. Ou melhor, $F$ é invertível e a sua inversão também é uma função.

Se $f_1, f_2, \dots, f_n$ são contínuas, simétricas, e se existe um homeomorfismo $F: X \to Y$ que é contínua e bijetora, então os $n$ espaços topológicos $x_1, x_2, \dots, x_n$ são homeomorfos aos $n$ espaços topológicos $y_1, y_2, \dots, y_n$, respectivamente. Porém, a continuidade e a simetria das funções individuais não são condições suficientes para garantir que os espaços topológicos sejam homeomorfos entre si, pois para isso é necessário provar a existência de um homeomorfismo global. Mas sendo:

$$ \bigcup_{i=1}^{n} F = (f_1 \cup f_2 \cup \dots \cup f_n), \forall (x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n). $$

Há um homeomorfismo global, ou seja, todos os espaços topológicos são conectados.

Definimos o grafo como $(G, H)$, onde $G$ é, neste caso, um conjunto e $H$ um subconjunto de $G$. Pode-se, portanto, definir o isomorfismo entre os dois grafos $X$ e $Y$ como uma bijeção. Assim, temos $F: G(X) \to H(Y) \mid x, y$ são adjacentes em $X$ se e somente se $F(x)$ e $F(y)$ são adjacentes, onde $x$ e $y$ são os vértices. Isso implica que
- $F$ é bijetora, isto é, $\forall x \in X$, existe um único elemento $y \in Y \mid F(X) = y$ e $\forall y \in Y$, existe um único elemento $x \in X \mid F^{-1}(y) = x$;

- $F$ é contínua, isto é, $\forall U \in Y$, o conjunto $F^{-1}(U)$ é aberto em $X$;

- A inversa de $F$ também é contínua, ou seja, $F^{-1}: Y \to X$ é contínua.

Para que $(f_1: x_1 \to y_1, f_2: x_2 \to y_2, \dots, f_n: x_n \to y_n)$ sejam contínuas elas devem satisfazer a propriedade de simetria, ou por outra, se $F(X) = y$, então $F^{-1}(Y) = x$. Ou melhor, $F$ é invertível e a sua inversão também é uma função.

Se $f_1, f_2, \dots, f_n$ são contínuas, simétricas, e se existe um homeomorfismo $F: X \to Y$ que é contínua e bijetora, então os $n$ espaços topológicos $x_1, x_2, \dots, x_n$ são homeomorfos aos $n$ espaços topológicos $y_1, y_2, \dots, y_n$, respectivamente. Porém, a continuidade e a simetria das funções individuais não são condições suficientes para garantir que os espaços topológicos sejam homeomorfos entre si, pois para isso é necessário provar a existência de um homeomorfismo global. Mas sendo:

$$ \bigcup_{i=1}^{n} F = (f_1 \cup f_2 \cup \dots \cup f_n), \forall (x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n). $$

Há um homeomorfismo global, ou seja, todos os espaços topológicos são conectados.

Definimos o grafo como $(G, H)$, onde $G$ é, neste caso, um conjunto e $H$ um subconjunto de $G$. Pode-se, portanto, definir o isomorfismo entre os dois grafos $X$ e $Y$ como uma bijeção. Assim, temos $F: G(X) \to H(Y) \mid x, y$ são adjacentes em $X$ se e somente se $F(x)$ e $F(y)$ são adjacentes, onde $x$ e $y$ são os vértices. Isso implica que
os vértices são adjacentes, ou seja, há um homomorfismo entre os grafos (sendo
redundante).

Como $X \equiv GeY := H|H \subset G$. Podemos, então, definir o espaço $G \times H$, que
é formado por todos os pares ordenados $(x_{1,1}, x_{2,1}, y_{1,1}, y_{2,1}, \dots, x_{n,n}, y_{n,n})$, onde
$x_1, y_1 \in Ge x_2, y_2 \in H$, e após a vírgula temos os índices que fazem referência a
ordem de aparecimento dos vértices do grafo. Ou poderíamos ter o grafo da função
$F$, que é um subconjunto do produto cartesiano $G \times H$.

Conclusão e considerações finais

A função *F* define o homeomorfismo entre os espaços *X* e *Y* através de todas
as funções que compõem o espaço, ou melhor, através de todos os
homeomorfismos locais. A partir do espaço topológico *X* e *Y* é definido os grafos *G* e
*H*, porém, pode-se argumentar que *Y* não pode ser definido a partir de *H*, pois um
espaço topológico não poderia ser concomitantemente discreto e homeomorfo a
outro, a verdade é que podem desde que possuam o mesmo número de pontos,
assim, a sua relação de bijetividade (já que "*H* é menor que *G*") continuará se dando
com um único elemento de *G*, mas ele terá elementos repetidos. Por fim, quando foi
definido *F*: *X* → *Y* um homeomorfismo, *U* também se refere a qualquer conjunto
aberto em *Y*.

Referências

CAMPELLO, Ermínia; IZAR, Sebastião. TOPOLOGIA GERAL: notas de aula - n°5. 2° edição. São José do Rio Preto - SP: Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho", 2010. p. 167.
os vértices são adjacentes, ou seja, há um homomorfismo entre os grafos (sendo
redundante).

Como $X \equiv GeY := H | H \subset G$. Podemos, então, definir o espaço $G \times H$, que
é formado por todos os pares ordenados $(x_{1,1}, x_{2,1}, y_{1,1}, y_{2,1}, \dots, x_{n,n}, y_{n,n})$, onde
$x_1, y_1 \in Ge x_2, y_2 \in H$, e após a vírgula temos os índices que fazem referência a
ordem de aparecimento dos vértices do grafo. Ou poderíamos ter o grafo da função
$F$, que é um subconjunto do produto cartesiano $G \times H$.

Conclusão e considerações finais

A função *F* define o homeomorfismo entre os espaços *X* e *Y* através de todas
as funções que compõem o espaço, ou melhor, através de todos os
homeomorfismos locais. A partir do espaço topológico *X* e *Y* é definido os grafos *G* e
*H*, porém, pode-se argumentar que *Y* não pode ser definido a partir de *H*, pois um
espaço topológico não poderia ser concomitantemente discreto e homeomorfo a
outro, a verdade é que podem desde que possuam o mesmo número de pontos,
assim, a sua relação de bijetividade (já que "*H* é menor que *G*") continuará se dando
com um único elemento de *G*, mas ele terá elementos repetidos. Por fim, quando foi
definido *F*: *X* → *Y* um homeomorfismo, *U* também se refere a qualquer conjunto
aberto em *Y*.

Referências

CAMPELLO, Ermínia; IZAR, Sebastião. TOPOLOGIA GERAL: notas de aula - n°5. 2° edição. São José do Rio Preto - SP: Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho", 2010. p. 167.
SANTOS, José. **Introdução à Topologia**. Porto - Região Norte de Portugal: Universidade do Porto (U. Porto) - Faculdade de Ciências. p. 192.

LAGES, Elon. **Elementos de topologia geral**. Rio de Janeiro: Universidade de São Paulo (USP), 1970. p. 297.

FEOFILOFF, Paulo; KOHAYAKAWA, Yoshiharu; WAKABAYASHI, Y.. **Uma Introdução Sucinta à Teoria dos Grafos**. São Paulo - SP: IME-USP, 12/07/2011. p. 59.

MEDEIROS, Francicarlos. **Uma Introdução à Teoria dos Grupos**. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) - Centro de Ciências Exatas e da Terra, Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Caicó-RN, p. 47. 2018.

SILVA, Thiago. Teoria de Grupos. YouTube, 13 de janeiro de 2021.
SANTOS, José. **Introdução à Topologia**. Porto - Região Norte de Portugal: Universidade do Porto (U. Porto) - Faculdade de Ciências. p. 192.

LAGES, Elon. **Elementos de topologia geral**. Rio de Janeiro: Universidade de São Paulo (USP), 1970. p. 297.

FEOFILOFF, Paulo; KOHAYAKAWA, Yoshiharu; WAKABAYASHI, Y.. **Uma Introdução Sucinta à Teoria dos Grafos**. São Paulo - SP: IME-USP, 12/07/2011. p. 59.

MEDEIROS, Francicarlos. **Uma Introdução à Teoria dos Grupos**. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) - Centro de Ciências Exatas e da Terra, Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Caicó-RN, p. 47. 2018.

SILVA, Thiago. Teoria de Grupos. YouTube, 13 de janeiro de 2021.