# Un regard sémiotique sur le travail privé des élèves lorsqu'ils résolvent des problèmes complexes

Cécile Allard, Chantal Moussy

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

## To cite this version:

Cécile Allard, Chantal Moussy. Un regard sémiotique sur le travail privé des élèves lorsqu'ils résolvent des problèmes complexes. 2022. hal-05222035

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Preprint submitted on 25 Aug 2025

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UN REGARD SÉMIOTIQUE SUR LE TRAVAIL PRIVÉ DES
ÉLÈVES LORSQU'ILS RÉSOLVENT DES PROBLÈMES
COMPLEXES

Cécile Allard *, Chantal Moussy 2 **.

A SEMIOTIC LOOK AT THE PRIVATE WORK OF PUPILS
WHEN THEY ARE SOLVING COMPLEX PROBLEMS

**Abstract** – This research takes a semiotic look at the traces produced by pupils aged 9-10 when they solve complex problems. To this end, we will study and analyse a corpus of 140 drafts and 5 case studies by comparing the pupils' productions over two consecutive years. We will show the effects of taking the written word into account when solving problems on pupils' procedures.

**Key words:** arithmetic problems, semiotics, heuristic writing

UNA MIRADA SEMIÓTICA AL TRABAJO PRIVADO DE
LOS ALUMNOS CUANDO RESUELVEN PROBLEMAS
COMPLEJOS

**Resumen** – Esta investigación se adentra en la semiótica de los trazos producidos por alumnos de 9-10 años cuando resuelven problemas Para ello, estudiaremos y analizaremos un corpus de 140 borradores y 5 estudios de caso comparando las producciones de los alumnos durante dos años consecutivos. Mostraremos los efectos de tener en cuenta la palabra escrita a la hora de resolver problemas en los procedimientos de los alumnos.

**Palabras-claves:** problemas aritméticos, semiótica, escritura heurística

UN REGARD SÉMIOTIQUE SUR LE TRAVAIL PRIVÉ DES
ÉLÈVES LORSQU'ILS RÉSOLVENT DES PROBLÈMES
COMPLEXES

Cette recherche porte un regard sémiotique sur les traces
produites par des élèves de 9 ans-10 ans lorsqu'ils résolvent des
problèmes complexes Dans cet objectif, nous étudierons et nous
analyserons un corpus de 140 brouillons ainsi que 5 études de
cas en comparant sur deux années consécutives les productions
des élèves. Nous montrerons les effets de la prise en compte de

<footnote>* LDAR, UPEC, cecile.allard@u-pec.fr</footnote>

<footnote>** LDAR, UPEC; chantal.moussy@u-pec.fr</footnote>
l'écrit lors de résolution de problèmes sur les procédures des élèves.

**Mots-Clés** : problèmes arithmétiques, sémiotique, écrit heuristique.

# 1. INTRODUCTION

Les travaux que nous allons présenter ici sont issus de recherches menées dans le cadre d'un Lieu d'Education Associé 2 Territoires En Mathématiques<fnref n="1" />. Ce travail collaboratif mené de 2018 à 2022 implique 15 enseignants de cycle 3 (élèves de 9 ans à 11 ans) ainsi que des chercheurs<fnref n="2" />. Les deux circonscriptions<fnref n="3" /> engagées sont situées dans deux territoires socialement contrastés (8 classes en REP+ et 7 classes hors REP). Notre étude vise à enrichir les recherches portant d'une part sur le processus de représentation (Julo, 1995) et d'autre part sur la construction des inégalités scolaires (Rochex, Coulange, Chesnais, 2011).

En nous limitant à des problèmes arithmétiques verbaux<fnref n="4" /> (Houdement, 2013), nous développons dans cet article ce que nous appelons un regard sémiotique sur des traces laissées par les élèves dans leurs écrits à visée heuristique sur un support nommé « brouillons ». Nous questionnons les relations entre les écrits et le processus de représentation mentale d'un problème au sens de Julo (1995).

<footnote n="1">¹ http://ife.ens-lyon.fr/lea/lea/reseau/les-differents-lea/2tem-reseau-decoles-de-champigny-94-et-beynes-78</footnote>

<footnote n="2">² Cécile Allard, LDAR et Maira Mamede de Circeft-escol sont porteuses du projet</footnote>

<footnote n="3">³ Une circonscription est une unité administrative pilotée par un inspecteur de l'éducation nationale et différents conseillers pédagogiques.</footnote>

<footnote n="4">⁴ Les problèmes arithmétiques verbaux ou à énoncés verbaux s'appuient sur des contextes ou des mises en scène plus ou moins en référence avec un supposé quotidien des élèves, le contenu de ces énoncés différent selon la culture. Ils sont donnés avec des mots et font intervenir peu de symbolisme mathématique. En anglais, on utilise les expressions « word problems » ou « story problems ». (Feyfant, 2015, p. 9)</footnote>
Un regard sémiotique sur le travail privé des élèves lorsqu'ils résolvent des problèmes complexes.

Dans une première partie, nous précisons nos appuis théoriques, puis nous présentons notre méthodologie. Nos résultats portent sur l'analyse de deux corpus que nous allons décrire dans les paragraphes dédiés. Le premier corpus constitué de 140 brouillons nous conduit à élaborer un « catalogue » des signes mobilisés dans des représentations « spontanées » (Hitt, 2004) par les élèves des 15 classes de fin d'école lors de la résolution d'un problème complexe. Le deuxième corpus est constitué de brouillons de 5 élèves résolvant le même problème deux années consécutives. L'analyse des travaux de ces élèves montre le rôle capital de l'écrit dans la construction de la pensée mathématique.

## 2. PARTIE THÉORIQUE

### 2.1 Représentation sémiotique et activité mathématique

La sémiotique est une science : celle des signes et de leurs significations. Elle cherche à décrire « les mécanismes par lesquels la signification se produit, se manifeste et se communique à travers des objets culturels, les diverses pratiques sociales » (Everaert-Desmedt 2008 cité par Houdement 2022). Plusieurs chercheurs<fnref n="5" />, tels, Vergnaud (1990), Chevallard (1995) Duval (1993), Houdement et al (2022), Arzarello (2006), Radford et al (2006), ont montré et développé un intérêt pour l'usage et la signification des signes et des symboles dans l'activité mathématique.

Pour Duval (1993), les mathématiques sont un domaine particulièrement sensible aux questions sémiotiques : en effet, les mathématiques ne sont perceptiblement “visibles” que par leurs représentations sémiotiques. Par exemple, en géométrie, il

<footnote n="5">⁵ Un thème est dédié au relation entre sémiotique et didactique à la 22ème école d'été de didactiques des mathématiques. 16-22 oct 2023 à Bar sur Seine.</footnote>
existe une forme pour représenter un carré, pour autant les
propriétés de ce carré ne sont interprétables qu’à la condition de
les connaitre déjà ou de savoir ce qu’il faut regarder.

Les représentations sémiotiques sont donc des
productions constituées par l'emploi de signes
appartenant à un système de représentation qui a ses
contraintes propres de signifiance et de fonctionnement
pour un individu ou un groupe d'individus. (Duval, 1993,
p. 39)

Pour Duval (1993), le fonctionnement cognitif de la pensée humaine se révèle inséparable de l'existence d'une diversité de registres sémiotiques de représentation et le développement des représentations mentales dépend de l'intériorisation des représentations sémiotiques. Ces représentations sémiotiques nécessaires à l'activité mathématique sont également un moyen d'extérieuriser des représentations mentales à des fins de communication. En ce sens, nous nous demandons lors de la résolution de problèmes complexes numériques relevant des quatre opérations en quoi l'apprentissage et la mobilisation du registre graphique contribue à faire progresser les élèves dans la compréhension de ce qu'est l'activité mathématique.

## 2.2 Représenter des relations et pas seulement le calcul : les représentations graphiques utilisés dans les champs conceptuels de Vergnaud :

Vergnaud, explique que les champs conceptuels, recouvrent
un ensemble de situations. Il montre que les relations en
présence et les opérations de pensées qui les traitent peuvent être
représentées par plusieurs systèmes de signifiants
mathématiques (diagrammes, algébre...) et par plusieurs formes
linguistiques dont il est utile d'évaluer la pertinence et les
limites.

Il ajoute

« Il ne s'agit pas d'une simple classification
d'énoncés, mais plutôt d'une classification des
raisonnements face à des problèmes additifs. Et ce sont
Un regard sémiotique sur le travail privé des élèves lorsqu'ils résolvent des problèmes complexes.

d'abord ces raisonnements que nous cherchons à développer et évaluer chez les élèves. »

Vergnaud, déterminera alors six relations additives : relation partie/partie tout, transformation d'états, composition de relation, comparaison d'états, composition de transformations et transformation d'une relation. Il adoptera les signes suivants dans son ouvrage adressé aux enseignants : le moniteur (Bregeon et al.,1997). Les ronds désignent les transformations et les relations, les carrés désignent les mesures, toujours positives à l'école. Les accolades renvoient à la somme des transformations et des relations alors que la flèche ligne brisée (figure 3) renvoie à la comparaison d'état

Exemple de signes mobilisés dans la présentation des champs conceptuels

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2
3</figcaption></figure>

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure</figcaption></figure>

Pour rendre compte de l'ensemble des situations qui relève du champ additif Vergnaud utilise une variété d'éléments graphiques (carré, disque, accolades, trait, flèches pleines ou avec pointillées, droites ou arrondies...) pour modéliser et représenter les relations entre les données du problème et l'inconnue. Ces éléments graphiques sont stables dans leur usage (par exemple le « disque » indique une relation)

En fonction de la place de l'inconnue, des grandeurs en jeu, de la nature des nombres, il est possible de raffiner chacun des 6
grandes catégories de Vergnaud. Dans le guide pour le maitre du Moniteur (Brégeon et al., 1997), les auteurs expliquent que le plus important n'est pas de connaitre cette classification mais de reconnaitre les structures des différentes catégories de problèmes :

> « De toutes façons, la question de savoir à quelle structure se rapporte un énoncé, indépendamment d'une personne qui le résout, n'a qu'un intérêt limité. Ce qui compte, pour celui qui doit résoudre un problème additif, c'est de savoir : - s'il a facilement à sa disposition une structure qui lui permette de donner du sens à ce problème et de le résoudre ; - s'il est capable de changer de point de vue et de comprendre ce problème dans une autre structure lorsque le cas s'y prête ; - s'il dispose d'un ensemble de structures suffisamment variées pour lui permettre de résoudre les diverses catégories de problèmes » Vergnaud, 1997, p17)

Une hypothèse peut alors être faite : ces représentations graphiques peuvent être un moyen d'identifier des problèmes relevant des mêmes structures à la condition d'être rigoureux quant à l'usage des éléments graphiques.

Notre propos n'est pas d'établir si ces schémas doivent être enseignés mais plutôt d'éclairer sur la finesse des représentations proposées par Vergnaud puis de les mettre en perspectives avec les représentations plus « spontanées » des élèves.

En croisant les recherches (Fagnant, 2013) sur les traces laissées par les élèves et celles de Vergnaud, nous distinguons a priori 5 niveaux de représentation des moins conventionnels au plus conventionnels, par les élèves, que nous détaillons ci-dessous :

## 2.3 Cinq niveaux de représentations graphiques

Nous avons établi ces niveaux en tenant compte de 2 critères principaux : l'aspect conventionnel ou non des signes mobilisés et la mise en relation des données contextuelles et numériques pour le cas de problèmes verbaux.
Un regard sémiotique sur le travail privé des élèves lorsqu'ils résolvent des problèmes complexes.

**Le premier niveau** de représentation correspond aux dessins figuratifs sans mise en relation des données. Ces dessins peuvent être utiles en début de scolarité parce qu'ils constituent un support pour soutenir la mémoire et illustrer le contexte de l'énoncé, mais, ils présentent peu d'intérêt dans la reconnaissance de la structure du problème, selon la valeur des nombres, ces représentations sont aussi les procédures qui donnent une solution (comme dessiner 8 cailloux puis 3, il suffit alors de dénombrer les objets dessinés).

**Le deuxième niveau** de représentation que nous appelons des dessins MER, pour « dessin avec des Mises En Relation entre les données numériques et contextuelles », sont des écrits qui utilisent des signes graphiques empruntés à différents registres de représentation sémiotique (Duval, 1993) qualifiés également « représentations spontanées par (Hitt, 2004) quand ils sont mobilisés par les élèves en dehors d'un apprentissage explicite de ces derniers. Le registre graphique est qualifié alors de peu conventionnel, ils entourent par exemple des nombres (nombres dans des bulles) ou mettent en relation des nombres grâce à des flèches au-dessus desquelles figurent parfois une relation (+5, x7, etc.). Toutefois, ces signes peuvent être interprétés différemment selon les récepteurs. Ces signes, qui ne sont pas le résultat d'un apprentissage spécifique, résultent parfois d'une rencontre en dehors du système scolaire ou d'une utilisation fréquente par certains enseignants. Ils sont alors reconnus par certains élèves comme des outils pouvant être mobilisés dans des situations différentes de celles dans laquelle ils ont été rencontrés.

**Le troisième niveau** est composé de dessins MER conventionnels, c'est à-dire avec des règles d'usage, et partagés par une plus grande communauté que la classe, l'établissement, le système scolaire. Vergnaud (1997, p19) explique que ces schémas « conventionnels » sont adaptés aux différents types d'états : états-grandeurs ou états positions. Ils visent à représenter la quantité ou la position. Nous reprenons ici l'état des réflexions de
Vergnaud sur l'usage du registre sémiotique au regard des grandeurs en jeu.

Pour les états-grandeurs liés à des dénombrements (grandeurs discrètes), les schémas ensemblistes popularisés dans les années 70, peuvent faire apparaître les divers éléments étant ou non figurés, les indications numériques étant souvent placée sous forme d'étiquette. L'addition se représente alors par la réunion des deux ensembles.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>**Figure 4 :** schéma ensembliste</figcaption></figure>

Pour les états grandeurs continues, les schémas les plus courants s'appuient sur la représentation de segments. L'addition se représente alors par la mise bout à bout des segments. Ils sont naturels lorsqu'il s'agit de longueurs et assez adaptables pour d'autres grandeurs continues comme les durées voire les masses mais nettement plus délicats pour d'autres grandeurs.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>**Figure 5 :** schéma en appui sur des segments</figcaption></figure>

Pour les états-positions liés à des rangs d'objets différencies, des symboles quelconques rangés en file et donc susceptibles d'être numérotés sont utilisables. Dérivée du populaire jeu de l'oie, la file des cases numérotées est d'un usage courant en début de scolarité.

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Un regard sémiotique sur le travail privé des élèves lorsqu'ils résolvent des problèmes complexes.

**Figure 6 : schéma « file »**

Pour les états positions liés à des grandeurs mesurables ou simplement repérables les représentations les plus courantes s'appuient sur la droite numérique, l'état position étant alors représenté par un point de cette droite. Une tendance actuelle est de privilégier la droite numérique mais cet outil est complexe en effet, il conduit à représenter les quantités de deux façons différentes.

Par exemple 112 billes et 25 billes

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 7 : droite numérique</figcaption></figure>

**Le quatrième niveau** : Vergnaud indique également un autre niveau de représentation au sujet de ce qu'il appelle les diagrammes. Pour lui cette forme de représentation plus symbolique ne cherche pas à donner une représentation schématique de la quantité ou du rang. Elle est basée sur la différenciation entre états et relations et c'est ce qu'il représente dans ses écrits comme des schémas qui permettent d'identifier les structures. Les schémas qu'il propose relève de ce niveau

**Le dernier et cinquième niveau** de mise en relation des données numériques et contextuelles est celui lié aux symboles opératoires qui embarquent des propriétés sur les nombres et les opérations bien définies.

## 2.4. Réflexions sur la polysémie des signes : l'exemple de la flèche

Nous distinguons dans la suite du texte, les signes mathématiques institutionnalisables car conventionnels comme les symboles opératoires, les signes d'égalité ou d'inégalités avec d'autres signes graphiques comportant une valence « polysémique ». Illustrons cela avec l'exemple des flèches qui
peuvent être utilisées dans d'autres contextes et disciplines que
celui pour lequel ils ont été institutionnalisés.

En mathématiques, les flèches surmontant deux points du
plan $\overrightarrow{AB}$ est utilisée pour distinguer un vecteur d'une distance
entre deux points. Ce codage est un signe conventionnel en
France, mais n'est pas partagé dans tous les pays. En effet, en
Amérique latine, l'écriture $\overrightarrow{AB}$ désigne la droite (AB). Dans le
domaine du calcul, les flèches courbées utilisées pour
représenter la double distributivité de la multiplication par
rapport à l'addition sont des ostensifs (Chevallard, 1995),
souvent exhibés par les enseignants, et sont parfois accompagnés
d'un discours oral mais ils ne sont pas dans ce cas des signes
conventionnels. Ces flèches, quelques fois, lorsqu'elles sont
surmontées d'un nombre, portent à la fois la relation de
distributivité et l'ordre des étapes à réaliser pour distribuer un
facteur sur les différents termes. Elles font alors partie de la
culture mathématique scolaire des élèves de collège sans pour
autant être des signes graphiques appartenant aux registres
symboles conventionnels en mathématique, (Pilet, Allard &
Horoks, 2019).

En mathématiques, la flèche peut être un signe conventionnel (vecteur, fonction), ou être utilisée pour mettre en relation des nombres (distributivité).

Par ailleurs, les flèches sont également utilisées dans d'autres disciplines comme en sciences, en géographie ou bien encore en musique. Dans les schémas légendés ou sur les cartes, ces flèches peuvent pointer des parties d'un corps ou un élément d'une carte et ont donc un usage déictique qui a pour vocation de « désigner et nommer ce qui est pointé ». La flèche en orthographe grammaticale indique également la relation entre le sujet et le verbe. Cette diversité d'utilisation des flèches selon les disciplines montre bien que leurs usages sont corrélés à la culture de la discipline. C'est en cela que nous dirons que certains signes sont « polysémiques ». L'enseignant du premier degré enseigne toutes les disciplines et il est amené à mobiliser les différents sens d'un même signe, il n'est pas porteur d'une
Un regard sémiotique sur le travail privé des élèves lorsqu'ils résolvent des problèmes complexes.

discipline contrairement aux enseignants du second degré. Nous
pensons alors retrouver cette polysémie des usages dans les
écrits des élèves. Les parties suivantes vont se consacrer à la
description de notre méthodologie, à nos analyses et à la
présentation de nos résultats.

3. REPRÉSENTATION ET RÉSOLUTION DE PROBLÈMES :
DES PROCESSUS À L’ŒUVRE.

## 3.1 Analyse a priori centré sur les schémas « conventionnels » du problème Jacques Prévert

Le problème suivant a été proposé deux années de suite en
octobre.

Dans l'école Jacques Prévert, il y a deux classes de CM2. Dans la première classe il y a 13 filles et 15 garçons. Dans la deuxième classe, il y a 29 élèves. Il y a 32 garçons en tout en CM2. Quel est le nombre de filles dans la deuxième classe de CM2 ?

L'analyse a priori réalisée ci-dessous se focalise sur des
représentations graphiques possibles relevant du troisième
niveau.

Ce problème relève du champ additif est constitué de
problèmes de composition d'états portant sur la recherche d'un
état, ou sur la recherche d'une partie d'un état. Pour des élèves
de 9 ans, ce problème ne pose pas a priori de difficultés
majeures en relation avec le contexte, le vocabulaire, les
techniques de calcul. Deux raisonnements pour résoudre ce
problème sont possibles que nous allons associer, sans être
exhaustifs, avec différentes représentations graphiques de niveau
3.

Nous identifions une première réunion correspondant aux
nombres de garçons et de filles de la première classe, une
deuxième réunion qui est la somme de deux inconnues (la
somme du nombre de filles de la deuxième classe et du nombre
de garçons de la deuxième classe) et qui concerne le nombre
d'élèves « 29 élèves » de la seconde classe sans indication sur la répartition entre les filles et les garçons. Nous nommons troisième réunion la somme d'une inconnue (le nombre de garçons de la deuxième classe) et du nombre connu des garçons de la première classe. Cette troisième réunion nous semble la plus difficile à identifier pour les élèves car elle a la particularité d'être à l'intersection des deux autres.

Une première procédure consiste à effectuer d'abord le calcul du nombre d'élèves dans la première classe, puis à déterminer le nombre total d'élèves sur les deux classes, puis en retranchant le nombre de garçons des deux classes à obtenir le nombre de filles total sur les deux classes, pour enfin en retranchant le nombre de filles de la première classe obtenir nombre de filles dans la deuxième classe.

Dans cette procédure, 3 opérations sont enchainées à partir des données connues et des résultats intermédiaires. Nous notons $G_i$ et $F_i$ les étiquettes qui représentent les nombres de garçons ou de filles de la première ou de la seconde classe, $F_T$ et $G_T$ correspondants au qualification totale (nombre totale de garçons ou de filles ou d'élèves). Dans ce raisonnement (1), le point de départ est le calcul du total d'élèves.

$$ (13 F_1 + 15 G_1) + 29 E_2 = 57 E_T $$

$$ 57 E_T - 32 G_T = 25 F_T $$

$$ 25F_T - 13F_1 = 12 F_2 $$

Nous avons cherché quel schéma de niveau 3 il était possible a priori de réaliser en respectant les contraintes suivantes : faire un seul schéma (et non un schéma par opération), indiquer toutes les qualifications (Houdement, 2013), les inconnues et trouver des éléments graphiques pour visualiser les relations. Nous donnons à voir une version ensembliste et segment et nous laissons aux lecteurs la liberté de juger de la lisibilité et de la faisabilité par de jeunes élèves non de ces représentations graphiques relevant du troisième niveau.

<figure><img src="image_9.png" /></figure>
Un regard sémiotique sur le travail privé des élèves lorsqu'ils résolvent des problèmes complexes.

**Figure 8 :** Schéma-bulle du raisonnement (1) portant sur les totaux

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

**Figure 9 :** Schéma en appui sur des segments du raisonnement (1) portant sur les totaux

Le point de départ du deuxième raisonnement concerne le calcul du nombre de garçons au total et d'en déduire le nombre de garçons de la seconde classe, pour ensuite calculer le nombre de filles de la seconde classe.

Dans cette procédure, il est possible d'opérer sur les inconnues et deux opérations seulement sont enchainées.

$$15G_1 + ? = 32 G_T$$

$$17 G_2 + ? = 29 E_2$$

Des représentations graphiques possibles de cette démarche sont proposées ci-dessous.

<figure><img src="image_11.png" /></figure>
<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 11: Schéma segments</figcaption></figure>

Le registre graphique peut être mobilisé également d'au moins deux autres façons. Il est possible en effet pour certains élèves d'effectuer un dessin figuratif présentant les 32 garçons (niveau 1 ou 2). Mais le manque d'informations concernant la répartition des filles et des garçons sur les 29 élèves de la deuxième classe peut mettre un terme à l'utilisation de dessins figuratifs.

Enfin, une quatrième possibilité serait d'organiser les informations sous la forme d'un tableau s'éloignant alors d'une représentation graphique basée sur des signes et des symboles.

<table><caption>Tableau 1 : tableau pour raisonnement (1) ou (2)</caption><thead><tr><th>Classe 1</th><th>Classe 2</th><th>Total</th></tr></thead><tbody><tr><td>13 F<sub>1</sub></td><td>F<sub>2</sub></td><td>F<sub>T</sub></td></tr><tr><td>15G<sub>2</sub></td><td>G<sub>2</sub></td><td>32G<sub>T</sub></td></tr><tr><td>E<sub>1</sub></td><td>29E<sub>2</sub></td><td>E<sub>T</sub></td></tr></tbody></table>

Cette analyse a priori centrée sur des représentations graphiques possibles montre des exemples variés de mobilisation de signes et une lecture plus ou moins aisée des schémas réalisés. Pour les construire une réorganisation des informations est nécessaire ainsi que des usages d'éléments du registre graphique : utilisation des initiales pour qualifier, distinguer qualification des tout et des parties, encercler pour montrer la réunion, le trait et l'étiquette ou la juxtaposition de segments pour indiquer la valeur d'un tout, l'usage des accolades...

Nous avons parfois choisi dans les diverses figures d'indiquer par un point d'interrogation l'inconnue suivie d'une initiale. En faisant de la sorte nous utilisons un signe pour indiquer les
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inconnues en les qualifiant en utilisant des lettres et des indices (? F<sub>T</sub> pour nombre de filles au total). D'autres choix peuvent être réalisés comme dans le tableau à double entrée - absence du point d'interrogation-, il faut alors comprendre que l'absence de données numériques indique que ce sont les résultats à trouver. Dans le paragraphe suivant, nous établissons des liens entre les processus de représentation mentale au sens de Julo (1995) et registre graphique.

## 3.2. Processus à l'œuvre lors de la résolution de problèmes et rôles potentiels de l'écrit

Résoudre le problème Jacques Prévert est le résultat d'une véritable activité mentale et nécessite la construction d'une représentation que Julo (1995) analyse en trois processus simultanés qui interagissent et pour lesquels l'investissement personnel est déterminant.

Le processus d'interprétation et de sélection intervient dès la rencontre avec le problème. Il est fortement dépendant de nos connaissances antérieures et de notre interprétation du contexte sémantique. Certaines informations non pertinentes peuvent être à ce moment-là prises en compte dans la représentation. Par exemple le « deux » de deux classes peut être considéré comme une donnée à intégrer aux calculs, alors que d'autres informations pourtant essentielles à la résolution peuvent être ignorées, ou mal interprétées comme l'expression "32 garçons en tout", compris comme "32 garçons de la seconde classe".

Le processus de structuration consiste en une organisation de ces interprétations en un tout cohérent et relativement stable. La mémoire que nous avons des problèmes déjà rencontrés a un rôle décisif dans la manière dont nous nous représentons un nouveau problème à résoudre, et participe ainsi à la construction et à la structuration de la représentation. Cela nécessite chez les élèves d'avoir la capacité de mobiliser des connaissances, de les rendre disponibles (Robert & al. 2012) et de les adapter au contexte du problème.
Le processus d'opérationnalisation, consiste à passer à l'action effective : calculer, tracer, écrire, raturer... ou à l'action mentale comme émettre des hypothèses ou faire des déductions. Il vise à mettre en œuvre une stratégie et mobilise entre autres des connaissances opératoires conditionnées par la représentation mentale construite. Ce processus d'opérationnalisation peut ne pas être atteint selon la manière dont la représentation mentale s'est construite et selon la disponibilité chez les élèves des structures de base.

Pour Julo, résoudre un problème relève de différents processus dans lequel le contexte joue un rôle ainsi que l'écrit dans le passage à l'action. Nous pensons que l'écrit est un moyen pour « enclencher » les processus d'interprétation et de sélection. Dans la littérature professionnelle, le processus d'interprétation est souvent réduit à la lecture de l'énoncé alors que l'intention du lecteur est bien différente selon la nature du texte. On ne lit pas un texte narratif comme un énoncé de problèmes. La lecture du texte narratif n'induit pas l'usage de l'écrit pour structurer sa pensée.

### 3.3 Une grande variété des problèmes et de raisons de les travailler à l'école.

Selon les problèmes proposés aux élèves, nous pensons que les processus décrits ci-dessus et la mobilisation de l'écrit sont plus ou moins automatisés ou plus ou moins pertinents. Ainsi, en CM1-CM2 le problème suivant est basique : Dans la classe, il y a 12 filles et 13 garçons, combien y a-t-il d'élèves en tout ? À ce niveau de la scolarité, moyennant un entrainement, des connaissances en calcul suffisent pour résoudre un tel problème. L'usage de l'écrit est moins, voire peu, nécessaire. Nous rapprochons alors les processus décrits par Julo et les intentions avec lesquelles les problèmes sont proposés à l'école. La typologie des problèmes de Houdement (2011, 2013) a l'intérêt de prendre en considération ces intentions et les raisonnements mis en œuvre pour les résoudre en lien avec le moment de la scolarité.

Ainsi les problèmes atypiques, basiques et complexes sont distingués comme nous le présentons brièvement. Nous ne les
Un regard sémiotique sur le travail privé des élèves lorsqu'ils résolvent des problèmes complexes.

traitons pas dans cette recherche des problèmes atypiques notamment à cause de la variété des structures en jeu.

Les problèmes **basiques** se présentent sous la forme d'énoncés courts, dont la syntaxe est simple et ne comporte aucune information superflue. Ils se résolvent en utilisant deux données pour en produire une troisième. Les problèmes basiques sont inclus dans la typologie proposée par Vergnaud. D'après Houdement (2013) la fréquence de la résolution de ces problèmes basiques favorise l'automatisation de la reconnaissance des structures dont ils relèvent au regard de différents contextes. Houdement insiste sur le fait que l'automatisation est attendue à des niveaux de classes différents selon la structure en jeu. Proposer des dessins Mer ou des schémas conventionnels est assez simple pour ce type de problèmes

Les problèmes **complexes** sont ceux auxquels nous nous intéressons en particulier. Ils sont décrits comme étant des agrégats de problèmes basiques qui ne sont pas uniquement juxtaposés, mais qui nécessitent la planification en sous-problèmes basiques sous-jacents calculables qui font avancer vers la réponse (Houdement, ibid). La complexité de ce type de problèmes peut venir de la distance, dans l'énoncé, entre des informations qui devront être connectées mais aussi de la distance avec des connaissances entrainées bien plus tôt dans la scolarité. Nous avons produit des représentations graphiques de schémas modélisant le problème complexe de jacques Prévert. Ce problème est constitué de sous problèmes basiques du champ additif ; les schémas des sous problèmes sont assez lisibles mais vouloir mettre en relation dans un seul modèle les trois relations additives produit des représentations inégalement lisibles (la figure 11 est plus lisible avec une réorganisation des données que la figure 8)
# 4. ESPACE DE TRAVAIL PRIVÉ : REFLEXION SUR LES SUPPORTS

Les supports de travail sont, nous semble-t-il des impensés du travail mathématique. Ces derniers ont des effets sur la manière d'organiser sa recherche et participe au contrat didactique comme nous l'avons montré dans (Allard et Butlen, 2019)

## 4.1 Les supports présents dans les classes lors des activités mathématiques.

Les supports de recherche mis à disposition des élèves utilisés en classe lors des séances de résolution de problème sont des éléments à prendre en compte dans l'analyse. L'enquête Praesco (Allard, Masselot, Peltier, Roditi, Tempier 2023), qui interroge un panel significatif de 1 317 enseignants de CM2 sur leurs pratiques en mathématiques et notamment en résolution de problèmes, montre que la résolution de problèmes et la proportionnalité sont considérées comme difficiles à enseigner : respectivement seuls 22 % et 30 % considèrent ces contenus comme faciles. Cette enquête interroge également les enseignants sur l'existence de certains supports à visée heuristique tels les cahiers de brouillons (74 % des enseignants enquêtés déclarent en proposer à leurs élèves) et les ardoises (90 %). L'enquête ne renseigne pas sur les usages effectifs de ces deux supports mais confirme leur présence dans les classes. Il nous semble important de ne pas dissocier l'utilisation d'un support et son adéquation à la fonction de l'écrit.

## 4.2 Des réflexions sur les supports de recherche

Les travaux d'Alcorta (2001, 2002) explorent l'usage de l'écrit sur des brouillons en production d'écrits à l'école et montrent que la maitrise de l'écrit ne s'arrête pas seulement à l'acquisition d'un nouveau code servant d'outil de communication mais est également un outil de pensée et de fonctionnement langagier permettant de structurer nos actions.

Le développement des fonctions mentales, que ce soit la mémoire, l'attention, la pensée ne peut se faire indépendamment des instruments culturels et sociaux dont dispose une société... Autrement dit, pour Vygotski,
Un regard sémiotique sur le travail privé des élèves lorsqu'ils résolvent des problèmes complexes.

comprendre le fonctionnement mental des individus, ce
n'est pas seulement vouloir pénétrer leur intériorité, leurs
cerveaux et voir comment ça fonctionne, c'est aussi
prendre en compte les instruments sociaux qui sont à leur
disposition et grâce auxquels ils peuvent développer leurs
capacités internes (2001, p. 96).

Alcorta ajoute que :

L'écrit permet, sur toute pratique langagière, un retour réflexif qui n'est pas possible à l'oral (2002, p. 132).

Nous reprenons la conclusion d'Alcorta (2001) qui propose de
repenser la place du brouillon à l'école primaire et de prendre en
considération la spécificité du brouillon, qui ne doit pas être
considéré comme :

un produit fini, mais bien comme un espace de
construction, privé et intermédiaire précédant le produit
final, qui offre aux élèves la possibilité de se fabriquer
ses propres outils de pensée. (2001, p. 102).

Atteindre les processus cognitifs des élèves précédemment évoqués est une tâche difficile. C'est pourquoi les traces écrites laissées par les élèves sont des matériaux de recherche sur lesquels nous allons pouvoir nous appuyer pour mieux comprendre ce qui se joue lorsque les élèves cherchent en situation d'enseignement-apprentissage. En effet, les écrits des élèves peuvent constituer des indices sur :

- Les opérations effectuées, les essais ajustements réalisés ;

- La visibilité de la réponse ;

- Les procédures ;

- L'usage de l'écrit pour organiser, mettre en relation des données.

Pour autant,

ces écrits ne sont pas conçus comme le miroir de ce qui
se passe dans la tête des élèves mais au contraire,
comme un outil que les élèves peuvent utiliser pour
construire ce qu'ils ont dans la tête, pour maitriser et
contrôler le processus même de l'écriture la pensée des élèves. Ils constituent pour le chercheur la trace de ce que l'élève a construit au cours de la production écrite.
(Alcorta, 2001, p.98)

Deux supports sont souvent proposés aux élèves des classes en France pour effectuer leur recherche : l'ardoise et le cahier dit de « brouillon »

La surface de travail de l'ardoise est assez réduite et peut être un frein à l'organisation de la recherche. Effectuer des recherches sur une ardoise ne permet ni aux élèves ni à l'enseignant de rendre compte des différents essais ou de les garder en mémoire. C'est pourquoi nous pensons que l'ardoise n'est pas un support qui favorise la recherche (Allard et Butlen, 2018) et (Allard et Moussy, 2022)

Enfin, pour exploiter ce que les élèves produisent, il est alors nécessaire d'être présents dans la classe pour prélever des informations sur ce qu'ils produisent car les élèves peuvent effacer rapidement les traces produites.

Les cahiers de brouillons comportent souvent des lignes seyes. Ce support nourrit la confusion entre un écrit heuristique privé et un écrit pour communiquer. C'est pourquoi les élèves hésitent à laisser des ratures, faire des essais sur ce type de support.

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>**Figure 12.** - Exemple de cahiers d'élèves</figcaption></figure>

Par ailleurs, le format cahier rend l'exploitation du support plus difficile lors des mises en commun, contrairement à une feuille
*Un regard sémiotique sur le travail privé des élèves lorsqu'ils résolvent des problèmes complexes.*

volante ou à une affiche libre.

En cycle 3, l'écrit est souvent mobilisé pour afficher rapidement une réponse ou rédiger la solution d'un problème — un écrit destiné à communiquer — et il revient aux élèves de comprendre que l'écrit peut aussi avoir une fonction heuristique. Les feuilles Seyès, quant à elles, véhiculent souvent l'idée d'une production finalisée et rédigée (fig. 12).

C'est pourquoi nous considérons que l'usage des feuilles blanches en classe est un moyen pragmatique de distinguer un écrit heuristique, à dimension « privée », d'un écrit de communication sur support Seyès. Cette dimension privée devrait, en théorie, libérer l'élève de certaines contraintes et normes habituelles, et favoriser la production de traces intermédiaires avant la rédaction d'un écrit destiné à présenter les résultats.

La feuille blanche peut être utilisée en format portrait ou paysage. Pour les élèves, l'enseignant et le chercheur, il s'agit d'un support qu'il est facile de scanner et d'archiver. C'est pourquoi, dans la suite de l'article, nous l'appellerons « brouillon ».

Afin de préserver cette dimension privée, nous avons instauré, avec les enseignants et les élèves, un contrat explicite : seul l'élève peut autoriser une tierce personne à écrire sur son brouillon. Enfin, il n'est pas demandé aux élèves de formuler des phrases-réponses, mais plutôt de rendre compte de l'état de leur recherche et des essais réalisés.

## 5. Méthodologie

Notre méthodologie vise à rendre possible la comparaison intra et inter personnelle des écrits privés des élèves lors du processus représentationnel au sens de Julio. Nous souhaitions recueillir les représentations graphiques spontanées des élèves
qui se distinguent des calculs et analyser leurs enrichissements
au fil du temps. Pour cela, nous cherchons à construire un
environnement qui puisse faciliter la comparaison des brouillons
des élèves des 15 classes la première année, et le suivi sur deux
ans d'une cohorte de 20 élèves.

Dans le but de réduire les variabilités de déroulement entre les
classes, nous avons co-construit avec les enseignants du LéA un
environnement spécifique commun (Julo, 1995) acceptable par
les 15 classes engagées dans le projet LéA et pour tous les
problèmes complexes (Allard et Cavelier, 2020) présentés aux
élèves lors de l'année 2018 et de l'année 2019. Tout au long de
notre expérimentation, les élèves résolvent les mêmes problèmes
complexes dans les deux territoires et les séances suivent le
même scénario. À la fin de chaque période, nous récupérons
l'ensemble des brouillons des élèves avec leur autorisation.

## 5.1. Présentation du scénario commun au 15 classes

Dans cette partie, nous illustrons nos propos à partir du
problème de Jacques Prévert. Le scénario comporte 8 phases
alternant oral et écrit, travail collectif et individuel (voir
annexe 1 pour une description illustrée et complète).

Les phases 1, 2, 3 et 4 contribuent, d'après nous, au processus
d'interprétation et de structuration des données en favorisant:

- la compréhension lexicale et du contexte de l'énoncé, comme comprendre qu'il puisse exister des écoles avec deux classes de CM2 lorsque les élèves sont scolarisés en classe unique.

- la mémorisation de l'énoncé du problème de manière à favoriser les mises en relation des données numériques et contextuelles

La phase 5 est consacrée à la reprise des brouillons en individuel
à la suite des échanges. Ces cinq premières phases ont été
pensées pour laisser du temps aux élèves pour se construire une
représentation du problème ; nous avons fait le choix de retarder
le moment où ils effectuent des opérations afin d'éviter les essais
infructueux comme tester les quatre opérations avec deux des
nombres de l'énoncé très fréquents dans les classes de REP+ de
notre étude. La phase 6 correspond à la résolution effective du
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problème. La phase 7 constitue un temps d’échange en petit groupe afin de se mettre d’accord sur une solution. La phase 8 est un temps de synthèse durant lequel les enseignants s’appuient sur des affiches réalisées par certains lors de la phase 7 pour réaliser des expositions de connaissances (annexe 1). (Bridoux et al, 2016). Nous retraçons ci-dessous les éléments essentiels des phases 1 à 5 contribuant ainsi à la compréhension de la méthodologie développée.

Nous proposons en annexe 1 une synthèse de ces phases et nous les illustrons par des productions d’élèves en annexe 2.

## 5. 2 Données et limites du recueil pour le suivi de cohorte

Nous avons recueilli pendant 4 ans les brouillons des élèves de 15 classes dont 7 en REP + dans l’académie de Créteil et 8 en classes ordinaires en zone rurale dans l’académie de Versailles. Ces classes sont en moyenne composées de 22 élèves. Pour nos analyses dans ce texte, nous avons exploité 140 brouillons recueillis la première année 2018-2019, à savoir les brouillons de 8 classes dont 5 en REP+. Nous avons priorisé dans nos choix de classes, pour faciliter le suivi de cohortes et la stabilité du contrat didactiques les classes à double niveau CM1/CM2.

Pour le travail plus qualitatif, nous avons sélectionné pour étudier l’évolution des signes graphiques mobilisés une cohorte répartie comme suit : 8 élèves issus de 2 classes hors REP, celles des enseignantes Carole et Sabine, et 11 élèves de REP + issus des classes d’Anne, de Marlène et de Joséphine. Nous reviendrons sur les raisons de ces choix.

# 6. ANALYSE ET RÉSULTATS

## 6.1 Analyse a posteriori des signes mobilisés

Pour analyser les brouillons de la première année, nous avons construit une grille de signes pouvant être mobilisés a priori par les élèves lorsqu'ils résolvent le problème de Jacques
Prévert. Cette analyse repose sur des analyses antérieurs d'essais d'élèves sur d'autres problèmes. Nous avions ainsi retenu un usage possible des flèches ou des traits ou d'accolades (présents dans de nombreux schémas conventionnels), des signes de ponctuation tels les points de suspension et d'interrogation pour désigner les inconnues, des lignes fermées/ouvertes ou des dessins d'élèves comme des formes rectangulaires pour représenter les deux classes.

Nous avons relevé les signes effectivement présents sur les 140 brouillons et inféré sur leurs fonctions. Nous avons relevé les traits, les flèches, les lignes fermées, les accolades. Puis nous en avons induit leurs fonctions que nous indiquons ci-dessous.

## 6.2 Fonctions des flèches d'après l'analyse des brouilles des élèves

Trois grandes fonctions pour la flèche par exemple sont identifiées, pour ce premier niveau d'analyse :

- Désigner

- qualifier des données

- Mettre En Relation (MER)

Un même signe peut avoir différentes fonctions ce qui s'explique car utilisé de manière non conventionnelle, c'est ce que nous illustrons ci-dessous.

La fonction **"désigner"** n'est qu'accessoirement présente dans les brouillons des élèves et elle est parfois difficile à distinguer de la fonction « mise en relation ». Dans l'exemple ci-dessous, la flèche désigne la composition de la classe, mais on peut y voir également une mise en relation entre une donnée contextuelle « la classe » et la composition de cette classe. Dans cet exemple, nous privilégions la piste de la désignation car les informations sont prélevées dans l'ordre d'apparition dans le texte sans recomposition (pas de mention de filles ou de garçons dans la seconde classe, ni lien explicite entre le tout « 32 garçons » et les parties qui le compose)
Un regard sémiotique sur le travail privé des élèves lorsqu'ils résolvent des problèmes complexes.

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>**Figure 13.** Fonction “désigner”</figcaption></figure>

En revanche, la fonction « **qualifier** » est présente dans la moitié des brouillons étudiés. Nous l'identifions dans l'emploi de mots-élèves, filles de la première classe, garçons en tout, des initiales des mots associées à des données numériques de l'énoncé. Les nombres sont écrits avec (figure 14) ou sans qualification (figure 15) de manière à garder en mémoire les données numériques du problème. Pour autant nous n'en déduisons pas une absence de relation, mais une absence de signes pour mettre en relation.

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>**Figure 14.** Pas d'usage de signes</figcaption></figure>

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>**Figure 15.** - Avec qualifications faibles</figcaption></figure>

Pour la fonction Mer, il est également délicat de certifier qu'il y ait une mise en relation effective. La « flèche » va relier plusieurs mots, ou relier un mot et un nombre, c'est pour cela qu'elle représente souvent des mises en relation de données sans préciser la nature de la relation.
<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>**Figure 16.** Fonction MER</figcaption></figure>

Pour la **fonction MER**, une focale a été mise sur la troisième relation (réunion) portant sur les 15 garçons de la première classe et les 32 garçons en tout, car il nous semblait que cette dernière pouvait constituer chez les élèves la relation la plus difficile à représenter.

Les analyses des 140 brouillons montrent que les élèves, quel que soit le territoire, mobilisent assez peu les signes évoqués précédemment. Les accolades sont présentes uniquement sur deux brouillons d'élèves hors REP.

## 6.3 Catégorisation des signes mobilisés par les élèves

Les trois tableaux suivants reprennent de manière synthétique les fonctions des signes et la fréquence où les signes que nous avons relevés.

<table><caption>**Tableau 1.** Fonction « désigner » : associer une valeur à une donnée, annoncer un résultat</caption><thead><tr><td>Fonction : désigner</td><td>Signes et symboles</td><td>sur 140 copies</td></tr></thead><tbody><tr><td>Flèches</td><td>Verticales, horizontales, obliques</td><td>2</td></tr><tr><td>Traits</td><td>Verticaux, horizontaux, obliques</td><td>1</td></tr><tr><td>Accolades</td><td></td><td>1</td></tr></tbody></table>
Un regard sémiotique sur le travail privé des élèves lorsqu'ils résolvent des problèmes complexes.

<table><caption>Tableau 2. Fonction isoler, mémoriser, qualifier</caption><thead><tr><th>Fonction : isoler, mémoriser, qualifier</th><th>Signes et Symboles</th><th>sur 140 copies</th></tr></thead><tbody><tr><td>Nombre</td><td>Écriture chiffrée « 1 » et « 2 » ou en lettres un de ces mots : 1<sup>ère</sup> classe, 2<sup>ème</sup> classe, 1 école,</td><td>113</td></tr><tr><td>Texte/mots</td><td>Mots entiers et des abréviations</td><td>78 mots de contexte (classe, école)</td></tr><tr><td>Lignes fermées</td><td>Ligne qui entoure ou encadre (distingue les données de la 1<sup>ère</sup> et la 2<sup>ème</sup> classe)</td><td>22</td></tr><tr><td>Lignes non fermées</td><td></td><td>4</td></tr><tr><td>Traits</td><td></td><td>9</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Fonction : mettre en relation</th><th>Signes et Symboles</th><th>sur 140 copies</th></tr></thead><tbody><tr><td>Flèches</td><td>Verticales, horizontales, obliques</td><td>5</td></tr><tr><td>Accolades</td><td></td><td>1</td></tr><tr><td>Traits</td><td></td><td>5</td></tr><tr><td>Lignes fermées</td><td></td><td>0</td></tr><tr><td>Lignes non fermées :</td><td></td><td>4</td></tr></tbody></table>
Arcs de cercle

<caption>**Tableau 3.** Fonction : mettre en relation (MER)</caption>

Seuls trois élèves ont utilisé des signes opératoires et tracé des flèches pour relier deux nombres, ou encore des traits pour construire un arbre de calcul.

L'absence de signes non conventionnels peut s'expliquer de deux façons : soit les élèves les connaissent mais n'osent pas les employer en raison d'un effet de contrat, soit ils n'ont pas établi le lien entre ces signes et leur usage heuristique.

En revanche, la plupart exploitent surtout l'espace de leur feuille pour isoler certaines données et les mettre en relation. Ce point sera détaillé ci-après.

## 6.4 Vers hiérarchisation des 9 cas d'usage de l'écrit

L'utilisation de l'espace pour mettre en relation les données nous est alors apparue comme l'un des moyens mobilisés par les élèves pour isoler des données et faire apparaître certaines relations. L'emplacement du nombre « 32 » correspondant au total de la troisième réunion est assez significatif de la difficulté pour les élèves à se représenter et à interpréter la relation. Nous avons relevé neuf cas de dispositions différentes dans les brouillons. Quatre de ces cas ne semblent pas faire état d'une mise en relation des données. Pour valider ou invalider la présence d'une mise en relation des données dans le travail des élèves, nous avons également pris en compte la manière dont ils résolvaient le problème et en particulier comment ils utilisaient l'information portant sur le nombre des garçons de la première et de la deuxième classe.

Les cas 1 à 4 montrent des tendances horizontales et verticales d'utilisation de l'espace pour isoler les informations avec des difficultés à placer le "32 garçons des deux classes" correspondant à la troisième réunion.
Un regard sémiotique sur le travail privé des élèves lorsqu'ils résolvent des problèmes complexes.

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>**Figure 16.** - Le spatial pour isoler les données : cas 1 à 4</figcaption></figure>

Dans les cas 1 à 4, les informations ne sont pas réorganisées, elles sont relevées de manière congruente au texte et sont transcrites avec des mots entiers ou des abréviations. Dans le cas 1, les informations sont juxtaposées horizontalement, alors que dans le cas 3, les informations sont présentées sous forme de liste. Dans les cas 2 et 4, les élèves distinguent des informations concernant chacune des deux classes. Cependant dans ces deux derniers cas, l'information concernant les "32 garçons en tout" est affectée à la deuxième classe. La troisième réunion n'est donc pas perçue comme un tout dont chacune des parties appartient à l'une et l'autre classe.

Un peu plus de la moitié des brouillons (72 sur 140) relèvent des cas 1 à cas 4 (30 cas 1, 17 cas 2, 8 cas 3 et 17 cas 4). C'est-à-dire que même si la donnée « 32 garçons » apparaît, les traces laissées sur les brouillons ne présentaient pas de mise en relation de la 3ème réunion à l'aide de signes ou spatialement (annexe 3).
Les exemples suivants illustrent les cas 1 à 4, Les cas 5 à 8, quant à eux, montrent une prise en compte spatiale de la troisième réunion. Le cas 9 est une représentation tabulaire des données et des inconnues.

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Cas 6</figcaption></figure>

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>Cas 7</figcaption></figure>

<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>Cas 8</figcaption></figure>

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>Cas 9 (tabulaire)</figcaption></figure>

<table><thead><tr><th>1ère<br>classe</th><th>2ème<br>classe</th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>13 F</td><td>? F</td><td></td></tr><tr><td>15 G</td><td>? G</td><td>32 G</td></tr><tr><td colspan="2">29 élèves</td><td></td></tr></tbody></table>

**Figure 17.** - Le spatial pour mettre en relation : Cas 5 à 9

40 brouillons sur 140 montrent une mise en relation de la troisième réunion et relèvent des cas 5 au cas 9. Il est important de noter qu'il y 16 cas sur les 40 qui mobilisent en plus d'une présentation spatiale des signes (flèches, traits, encadrement...)

Les 28 brouillons restant sur les 140 analysés, ont été qualifiés de « incomplets » car il manquait une ou plusieurs données numériques.

$$c \ 2 \ f \ 15 \ g \ 13 \ g \ 32$$

**Figure 18.** - Des informations manquantes
Un regard sémiotique sur le travail privé des élèves lorsqu'ils résolvent des problèmes complexes.

Le tableau suivant synthétise ce premier niveau d'analyse. Les traces écrites laissées sur les brouillons montrent plutôt un usage de l'écrit limité au relevé des données numériques.

<table><thead><tr><th>Sans MER</th><th>Cas 1</th><th>Cas 2</th><th>Cas 3</th><th>Cas 4</th><th>incomplets</th></tr></thead><tbody><tr><td>2018-2019</td><td>30</td><td>17</td><td>8</td><td>17</td><td>28</td></tr></tbody></table>

<table><caption>**Tableau 4.** Synthèse des résultats sur les 140 brouillons année 1 : fréquence des Cas MER de 5 à 9 et Cas sans MER et incomplets de 1 à 4</caption><thead><tr><th>Avec MER</th><th>Cas 5</th><th>Cas 6</th><th>Cas 7</th><th>Cas 8</th><th>Cas 9</th></tr></thead><tbody><tr><td>2018-2019</td><td>10</td><td>13</td><td>2</td><td>15</td><td>0</td></tr></tbody></table>

## 6.5 Les limites d'une représentation graphique ou spatiale satisfaisante

Certaines représentations graphiques peuvent paraitre satisfaisantes, mais ne conduisent pas pour autant les élèves à la solution attendue. La figure 20 ci-dessous présente des indices graphiques pertinents pour autant l'interprétation que l'élève en fait le conduit à réaliser des relations erronées. Nous pourrions proposer de nombreuses hypothèses qui expliquent la division par deux. Celle qui nous semble la plus probable est en relation avec le travail réalisé en calcul réfléchi à cette période de l'année et à la présence du 2 (2 classes) qui pour cet élève devait être utilisé dans un calcul.

(annexe 2 pour le détail des étapes 3, 5 et 6 de cet élève).
<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>**Figure 20.**- Une opérationnalisation inadaptée pour une représentation graphique pertinente : cas 8</figcaption></figure>

Cet exemple conforte l'idée que résoudre un problème, ce n'est pas "traduire" un énoncé verbal en une suite de signes et symboles. En effet,

Savoir traduire correctement n'est possible qu'à partir du moment où l'on domine la question, c'est-à-dire où l'on est capable de la résoudre. (Julo, 1995, p. 58)

Par ailleurs, une représentation graphique correcte selon nos critères n'est pas à interpréter comme le reflet d'une représentation mentale aboutie. Nous proposons, ci-dessous, une analyse qualitative de 4 profils d'élèves selon la justesse de leur réponse l'année 1 puis l'année 2 : Juste-Juste, Juste-Faux, Faux-Juste et Faux-Faux.

## 6.6 Étude de cas pour 5 profils sur 2 années consécutives

Année 1 : cas 4

Année 2 : cas 9
Un regard sémiotique sur le travail privé des élèves lorsqu'ils résolvent des problèmes complexes.

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>**Figure 21 :** Douniazad : élève de Rep+, profil J/J (cas 4 / cas 9)</figcaption></figure>

La première année, Douniazad organise ses données dans l'espace et utilise des traits pour distinguer les deux réunions. La 3e réunion n'est pas réellement représentée, mais cette organisation lui suffit pour communiquer les informations et résoudre le problème. Elle précise qu'elle ne maîtrise plus la soustraction et s'appuie sur le calcul réfléchi pour trouver la différence entre 29 et 17, posant une addition à trou pour obtenir le complément de 15 à 32.

La deuxième année, tous les signes et symboles utilisés précédemment pour relier des données et inconnues sont présentes. Le brouillon, classé en cas 9 (tabulaire), est réalisé dès la première lecture. On observe également un changement dans les procédures : le calcul posé est désormais privilégié et la technique opératoire de la soustraction est bien acquise.

<figure><img src="image_25.png" /></figure>
**Figure 22 : Le cas Iyed : Rep+ profil J/J (cas 5 / cas 8)**

La première année, la prise de notes montre déjà un usage de l'espace pour représenter la troisième réunion. Après la première mise en commun, le chiffre « 32 » est déplacé, signe d'une possible meilleure compréhension. L'élève utilise ensuite des lignes fermées pour isoler les données et des flèches obliques pour illustrer la 3e réunion. Il effectue mentalement les calculs et fournit la bonne réponse, correctement formulée.

La deuxième année, il réutilise un modèle qu'il s'était approprié l'année précédente après la mise en commun. Il indique les inconnues par des points de suspension dans le rectangle de droite, qu'il complète ensuite grâce à ses calculs.

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

**Figure 23 : Le cas Charlotte : Hors Rep, profil F/J, incomplet, cas 7**

La première année, le brouillon de Charlotte est jugé linéaire et incomplet. Nous la classons dans la catégorie « autre » : la mention « 32 garçons » apparaît après la première mise en commun, mais la recherche reste inachevée. Ce cas montre qu'il
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existe un lien entre la difficulté à représenter une relation par un schéma et sa mise en œuvre concrète.

Après la deuxième mise en commun, Charlotte modifie son schéma. Elle reprend un modèle affiché en classe, avec des bulles pour séparer les données et des flèches pour montrer les relations.

En deuxième année, Charlotte parvient à mieux identifier les inconnues et à les représenter. Elle reprend le modèle graphique de l'an passé mais l'adapte : dans la première bulle, elle sépare les effectifs de la 1re classe en 13 filles et 15 garçons ; dans une seconde, elle note le total d'élèves de la 2e classe. Ces deux inconnues (numéros de filles et de garçons de la 2e classe) sont inscrites à l'extérieur de la bulle.

Le nombre « 32 » est placé de manière à montrer qu'il s'appuie sur les deux classes. Toutefois, l'arc et la flèche ne précisent pas encore que « 32 garçons » correspondent à la somme des 15 garçons de la 1re classe et d'un nombre inconnu de garçons de la 2e classe.

En deuxième année, Charlotte trouve finalement la solution attendue.

<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>Figure 24 : Le cas de Lina Hors REP, J/J, cas 1/cas 8</figcaption></figure>
Lors de la première année, la prise de notes initiale de Lina apparaît très linéaire et partielle. Elle complète son brouillon après la mise en commun sans trouver de moyen pour préciser les inconnues. Nous pouvons même affirmer que cet élève avait très bien compris les relations entre les données, mais ne savait peut-être pas comment matérialiser graphiquement sa représentation mentale. Lors de sa modification, l'élève prend un modèle présenté au tableau et qui est constitué de bulles pour isoler les données et de flèches pour matérialiser la 3e réunion. Ce modèle, qu'elle reconnait comme pertinent dès la première année est remobilisé et ajusté en y intégrant des pointilles distinguant les relations garçons/élèves.

<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>Figure 25 : Le cas Mathieu : hors rep profil F/F</figcaption></figure>

A la vue du brouillon de la première année, il est difficile de déterminer la raison pour laquelle l'élève va à la ligne : l'élève prend-t-il des notes sur le modèle d'une dictée, ou affecte-t-il une information par ligne. Il recopie de manière erronée les schémas bulles du tableau.

Sa prise de note lacunaire est qualifiée de cas “autre” et ne montre pas de mise en relation des données pour la troisième réunion. La deuxième année, son brouillon relève du cas 2 de notre typologie et présente une association des données en relation avec les deux premières réunions. Pour autant, le « 32
*Un regard sémiotique sur le travail privé des élèves lorsqu'ils résolvent des problèmes complexes.*

garçons » est toujours placé dans le même espace que les informations relevant de la deuxième réunion. A la suite de la mise en commun, il déplace le 32 pour le placer spatialement entre les deux bulles.

L'utilisation de signes graphiques mémorisés comme des lignes fermées pour isoler et des traits obliques pour relier les deux classes et deux lignes courbes qui se rejoignent sur un point d'interrogation, ne garantit pas une opérationnalisation effective.

## 7. CONCLUSION ET DISCUSSION

Les invitations à écrire, dessiner, ou réaliser un schéma par les élèves sont bien présentes dans les séances de résolution de problèmes. Cependant, les élèves acquièrent ces outils de manière essentiellement opportuniste, le plus souvent à la suite d'une correction au tableau. Les analyses que nous avons réalisées sur de possibles schémas montrent que certains sont plus opportuns à mobiliser que d'autres selon la nature des grandeurs ou des relations en jeu.

Notre étude met en évidence deux résultats principaux sur l'usage heuristique de l'écrit dans l'activité mathématique. D'une part, la construction de celui-ci repose principalement sur les élèves eux-mêmes, comme le montre les productions de l'année 1. Faute d'avoir élaboré des outils adaptés, leurs tentatives de mise en relation des données se traduisent davantage par des rapprochements spatiaux que graphiques. D'autre part, le dispositif expérimental mis en place incite les élèves à réfléchir sur les signes utilisés pour guider leur raisonnement. Pour autant, et compte tenu de la variété des problèmes, l'apprentissage d'un seul modèle de schéma nous semble inopportun. Le développement du raisonnement mathématique a besoin d'être outiller mais nous relevé plusieurs écrits « partiels » dans le sens où les élèves commencent à mettre en relation des données et une fois sur la voie basculent
directement dans la résolution de niveau 5. Nous pensons donc
important de poursuivre cette étude sur l'enseignement des
fonctions heuristiques de l'écrit sans pour autant figer les
représentations graphiques proposées : la flexibilité et
l'adaptabilité en mathématiques sont d'après nous une clé pour
la réussite des élèves.

BIBLIOGRAPHIE

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Un regard sémiotique sur le travail privé des élèves lorsqu'ils résolvent des problèmes complexes.
# ANNEXE 1 : ILLUSTRATION DES PHASES 4 ET 8 DU SCÉNARIO

Phase 1 : Lecture de l'énoncé par l'enseignante. Les élèves n'ont ni stylo ni brouillon.

Phase 2 : Echange collectif oral sur l'énoncé sans le résoudre.

Phase 3 : Relecture de l'énoncé. Les élèves prennent des notes en individuel (feuille et stylo d'une couleur)

Phase 4 : Collective. Comparaison de quelques brouillons qui sont complétés collectivement.

<figure><img src="image_29.png" /></figure>

Phase 5 : Reprise individuelle des brouillons dans un autre couleur (annexe 2)

Phase 6 : Recherche individuelle

Phase 7 : Recherche en groupe le plus souvent constitué d'élèves dont les procédures sont proches.

Phase 8 : Pour les groupes les plus avancés rédaction d'une affiche. Synthèse collective.

<figure><img src="image_30.png" /></figure>
Un regard sémiotique sur le travail privé des élèves lorsqu'ils résolvent des problèmes complexes.

ANNEXE 2 : ILLUSTRATIONS DES PHASES 3, 5 ET 6
DU SCÉNARIO

<table><thead><tr><th colspan="2">Brouillon de Mathieu</th></tr></thead><tbody><tr><td>Phase 3</td><td>2 classe, 12 élèves, la 1ère classe 13 élèves</td></tr><tr><td>Phase 5</td><td>2 classes, 8 élèves, 4 filles, 7 garçons</td></tr><tr><td>Phase 6</td><td>29/13 = 9/13<br>Il y a 16 filles</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th colspan="2">Brouillon de Dounyazad</th></tr></thead><tbody><tr><td>Phase 3</td><td>1ère<br>13 filles<br>15 garçons<br>R<br>2 eme<br>f ?<br>g ?<br>32 garçons en tout</td></tr><tr><td>Phase 5</td><td>Pas de modification</td></tr></tbody></table>
<table><tr><td>Phase 6</td><td><table><tr><td><sup>2</sup>&frasl;<sub>32</sub></td><td>29</td><td>12</td></tr><tr><td>-15</td><td>-17</td><td>+17</td></tr><tr><td>17</td><td>12</td><td>23</td></tr></table><br>Il y a 12 filles dans la 2ème classe<br>Élèves 2014-2015</td></tr></table>

<table><tr><td>Brouillon de Sabine</td></tr><tr><td>Phase 3</td></tr><tr><td>Phase 5</td></tr><tr><td>Phase 6</td></tr></table>
Un regard sémiotique sur le travail privé des élèves lorsqu'ils résolvent des problèmes complexes.

ANNEXE 3 : exemples des cas 1 à 4

Cas 1

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

Cas 2

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

Cas 3

<figure><img src="image_33.png" /></figure>

Cas 4

<figure><img src="image_34.png" /></figure>