# Systèmes linéaires homogènes à deux indices

Samer Attasi

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Samer Attasi. Systèmes linéaires homogènes à deux indices. [Rapport de recherche] IRIA-RR-031, IRIA. 1973, pp.59. hal-04715945

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Systèmes linéaires
homogènes
à deux indices

S. Attasi.

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Rapport de Recherche n°31

Septembre 1973
# SYSTÈMES LINÉAIRES HOMOGÈNES A DEUX INDICES

S. Attasi

(Présenté par P. Faurre)

## Résumé :

On introduit une classe de systèmes linéaires discrets à 2 indices, dont on montre qu'elle permet d'approximer tout système linéaire "causal" à 2 indices (réponse impulsionnelle $A_{i,j}$ nul-le pour $i \le 0$ ou $j \le 0$). Cette classe de systèmes admet une représentation d'état généralisant celle des systèmes linéaires stationnaires discrets à un indice. Ainsi, des critères d'observabilité, de commandabilité, de stabilité des représentations d'état, généralisent les critères classiques et permettent de définir les réalisations minimales d'une suite à 2 indices. De plus, ces réalisations minimales forment une classe d'équivalence. Enfin, un critère de rang caractérise les suites "réalisables" et conduit à un algorithme de réalisation minimale.

## Abstract :

A class of linear systems defined over a two dimensional discrete "time set" is introduced, and is shown to approximate any "causal" linear system defined on that "time set". This class admits a state representation generalizing that of stationary, discrete time linear systems. Thus, observability, controllability and stability criteria of the state representations generalize the classical criteria, and enable us to define the set of minimal realizations of a double indexed sequence, {$A_{i,j}$; $i \ge 0$, $j \ge 0$}. Moreover these minimal realizations are a single equivalence class. Finally a rank condition characterizes "realizable" sequences and leads to a minimal realization algorithm.
## SOMMAIRE

<table><thead><tr><th></th><th>Page</th></tr></thead><tbody><tr><td>I - Introduction</td><td>1</td></tr><tr><td>II - Systèmes linéaires homogènes récurrents à deux indices. Systèmes Σ</td><td>2</td></tr><tr><td>III - Commandabilité, observabilité des systèmes Σ</td><td>13</td></tr><tr><td>IV - Commandabilité, observabilité et réalisations minimales</td><td>29</td></tr><tr><td>V - Etude algébrique des systèmes Σ - Algorithme de réalisation minimale</td><td>40</td></tr><tr><td>VI - Conclusion générale</td><td>52</td></tr><tr><td>Références</td><td>53</td></tr></tbody></table>
# I. INTRODUCTION

Le développement récent des télécommunications, et particulièrement de la transmission des signaux d'image (Télévision, vidéophone...) donne toute son importance à une modélisation correcte de ces signaux qui permette un traitement optimal, que ce soit pour le filtrage ou pour la compression et le codage.

De nombreuses méthodes de filtrage ont été développées, qui soit généralisent le filtre de WIENER [LYNE, PISTOR, SHANKS...], soit utilisent les méthodes particulières [OPPENHEIM] soit partent de modèles récursifs particuliers [HABIBI, NAHI]. Pour la compression, les méthodes sont plus empiriques, faute de modèle adapté. On utilise par exemple l'analyse factorielle [MARANO] ou des prédicteurs différentiels [PONCIN] ou des transformations unitaires [HUANG, TRETIAK].

Oependant, aucun travail, à notre connaissance, ne part d'une étude systématique des systèmes linéaires récurrents à deux indices. Une telle étude permettrait d'obtenir une modélisation adéquate, généralisant la modélisation par vecteur d'état, des systèmes linéaires à un indice.

Le travail que nous présentons ici, constitue une étude systématique des systèmes linéaires à deux indices, dans une optique visant à généraliser les résultats classiques sur les systèmes dynamiques linéaires et stationnaires. C'est pourquoi ce travail est à rapprocher des travaux de HO, KALMAN, RISSANEN, SILVERMAN etc...

Enfin, ce travail constitue la base d'une modélisation stochastique des signaux d'image que nous publierons prochainement et qui, à son tour, peut être rapprochée des travaux sur l'étude des réalisations Markoviennes de processus stochastiques [ANDERSON, FAURRE, KAILATH, MEHRA, YOULA...].
## II. SYSTEMES LINEAIRES HOMOGENES

### RECURRENTS A DEUX INDICES

Dans ce chapitre, nous définirons les systèmes considérés, et nous montrerons qu'ils permettent d'approximer une large classe de systèmes linéaires à deux indices.

## II. 1. Définition

### Définition (2.1)

Un système linéaire récurrent à deux indices est une application linéaire $s : U \to Y$ où :

$$ U = \{u = \{u_{i,j}\} ; (i,j) \in \mathbb{Z}^2, u_{i,j} \in \mathbb{R}\} $$

$$ Y = \{y = \{y_{i,j}\} ; (i,j) \in \mathbb{Z}^2, y_{i,j} \in \mathbb{R}\} $$

telle que :

$$ V(i,j) : \exists c_{k,l}^{i,j} \in \mathbb{R}, d_{v,w}^{i,j} \in \mathbb{R} $$

$$ k \in (0, n_1), v \in (0, q_1); n_1 > q_1 $$

$$ l \in (0, n_2), w \in (0, q_2); n_2 > q_2 $$

$$ (2.1) \qquad \sum_{k,l} c_{k,l}^{i,j} y_{i+k,j+l} = \sum_{v,w} d_{v,w}^{i,j} u_{i+v,j+w} $$

### Définition (2.2)

Un système linéaire récurrent est dit homogène si les scalaires $c_{k,l}^{i,j}$, $d_{v,w}^{i,j}$ ne dépendent pas de $(i,j)$ :

$$ c_{k,l}^{i,j} = c_{k,l}, \quad d_{v,w}^{i,j} = d_{v,w} $$

### Remarque

Cette propriété d'homogénéité correspond à la stationnarité pour les systèmes linéaires à un indice.
Dans la suite, on considérera uniquement des systèmes homogènes qui seront désignés $\sigma_o$.

## II. 2. Transformée en z à deux variables - Fonction de transfert d'un système $\sigma_o$.

### II. 2. 1. Transformée en $(z_1, z_2)$

On définit la transformée en $(z_1, z_2)$ d'une fonction vectorielle de deux variables discrètes, $y(i,j) = y_{i,j}$, par l'équation suivante :

$$ (2.2) \qquad Z[y(i,j)] = Y(z_1, z_2) = \sum_{i,j \in \mathbb{Z}^2} y_{i,j} z_1^{-i} z_2^{-j} $$

Cette transformée généralise la transformée en z classique, et posède les propriétés suivantes :

$$ (2.3) \quad Z[y(i+p, j+q)] = z_1^p z_2^q Z[y(i,j)]. $$

$$ (2.4) \quad Z[x(i,j) * y(i,j)] = Z[x(i,j)]Z[y(i,j)] = X(z_1, z_2) Y(z_1, z_2) $$

où * désigne la convolution discrète à deux indices.

$$ (2.5) \quad Z[\varphi_x(i,j)] = X(z_1, z_2) X^T(\frac{1}{z_1}, \frac{1}{z_2}) $$

où $\varphi_x(i,j)$ désigne la fonction d'autocorrélation de la fonction discrète $x(i,j)$.

### II. 2. 2. Fonction de transfert d'un système $\sigma_o$.

En appliquant la transformée en $(z_1, z_2)$ aux deux membres de l'équation (2.1) dans laquelle $c_{k,l}^i = c_{k,l}$ et $d_{v,w}^i = d_{v,w}$, on obtient :

$$ \sum_{k \in (0, n_1)} c_{k,l} z_1^k z_2^l Y(z_1, z_2) = \sum_{v \in (0, q_1)} d_{v,w} z_1^v z_2^w U(z_1, z_2) \\ l \in (0, n_2) \qquad w \in (0, q_2) $$
où $Y(z_1,z_2)$ et $U(z_1,z_2)$ désignent respectivement les transformées en $(z_1,z_2)$ des suites $y_{i,j}$ et $u_{i,j}$.

Cela donne :

$$ (2.6) \qquad \frac{\displaystyle\sum_{v \in (o,q_1)} d_{v,w} z_1^v z_2^w}{U(z_1,z_2)} = \frac{w \in (o,q_2)}{\displaystyle\sum_{k \in (o,n_1)} c_{k,1} z_1^k z_2^1} $$

### Définition (2.3)

La fraction rationnelle au membre de droite de l'équation (2.6) est dite fonction de transfert du système $\sigma_0$.

### Définition (2.4)

Une fonction rationnelle propre est une fonction rationnelle en $(z_1,z_2)$ telle que le degré du numérateur soit strictement inférieur au degré du dénominateur à la fois en $z_1$ et en $z_2$.

Nous pouvons à présent énoncer le théorème suivant :

### Théorème (2.1)

Les systèmes $\sigma_0$ sont les systèmes linéaires à deux indices, ayant une fonction de transfert rationnelle propre.

### Démonstration

- l'équation (2.6) montre que les systèmes $\sigma_0$ ont une fonction de transfert rationnelle propre.

- inversement, soit une fonction rationnelle propre $R(z_1,z_2)$.

Elle peut s'écrire sous la forme :

$$ R(z_1,z_2) = \frac{\displaystyle\sum_{v,w} d_{v,w} z_1^v z_2^w}{\displaystyle\sum_{k,l} c_{k,l} z_1^k z_2^l} $$
$$
\text{Avec :} \quad \begin{array}{l} k \in (o, n_1) , v \in (o, q_1) \ ; \ n_1 > q_1 \\ l \in (o, n_2) , w \in (o, q_2) \ ; \ n_2 > q_2 \ . \end{array}
$$

Il est clair que le système $\sigma_0$ donné par

$$
\sum_{k,l} c_{k,l} y_{i+k, j+1} = \sum_{v,w} d_{v,w} u_{i+v, j+w}
$$

a pour fonction de transfert $\mathbb{R}(z_1, z_2)$.

II. 3. Systèmes Σ₀.

Définition (2.5)

Un système Σ₀ transforme une suite vectorielle "d'entrée"
en une suite vectorielle de sortie, tel que la relation entre chaque
composante de l'entrée et chaque composante de la sortie soit celle
d'un système σ₀.

Soit p la dimension du vecteur d'entrée
m la dimension du vecteur de sortie

Définition (2.6)

La matrice R(m×p), dont l'élément R(i,j) est la fonction
de transfert de la composante i de la sortie par rapport à la com-
posante j de l'entrée, est dite matrice de transfert du système Σ.

Il découle du théorème (2.1) que les systèmes Σ₀ s'identi-
fient aux systèmes linéaires à deux indices ayant une matrice de
transfert dont tous les éléments sont des fractions rationnelles
propres. De telles matrices, seront dites matrices rationnelles pro-
pres.

Pour trouver une "représentation d'état" pour les systèmes
Σ₀, on est donc conduit à rechercher une forme matricielle canonique
pour les matrices rationnelles propres en (z₁,z₂) qui corresponde
à la forme connue pour les matrices rationnelles propres en z.
Pour ces dernières, on sait que l'on peut écrire [KALMAN 2]

$$
R(z) = H(zI - F)^{-1}G
$$

où H,F,G sont des matrices de dimensions appropriées donnant la
représentation d'état d'un système linéaire à un indice :

$$
\begin{cases}
y_k = H X_k \\
X_{k+1} = F X_k + G u_k .
\end{cases}
$$

La généralisation de ce résultat aux matrices rationnelles
propres en (z₁,z₂) conduirait à rechercher des représentations de
la forme :

$$
R(z_1, z_2) = H(z_1 z_2 I - z_1 F_1 - z_2 F_2 - F_3)^{-1} G
$$

où

$$
R(z_1, z_2) = H(I - z_1 F_1 - z_2 F_2)^{-1} G
$$

etc...

Or, il ne semble pas, à notre connaissance, qu'avec les
outils connus d'algèbre linéaire et de technique des déterminants,
ce problème ait une solution générale. Nous allons cependant intro-
duire une classe de systèmes linéaires à deux indices, notée Σ, à
matrice de transfert rationnelle propre, et nous montrerons qu'elle
permet, outre la généralisation des propriétés classiques des sys-
tèmes linéaires à un indice, d'approximer une très large classe de
systèmes linéaires à deux indices.

II. 4. Réponse impulsionnelle – Introduction du modèle d'état.

II. 4. 1. Réponse impulsionnelle.
## Définition (2.7)

La réponse impulsionnelle d'un système $\Sigma_0$ à entrée scolaire est la suite $\{y_{i,j}:(i,j) \in Z^2\}$ de la sortie du système $\Sigma_0$, lorsque la suite d'entrée est $\{u_{i,j} = \delta_{i,j}\}$ où $\delta_{i,j}$ est le symbole de Kronecker à 2 indices.

## Définition (2.8)

La réponse impulsionnelle d'un système $\Sigma_0$ à entrée vectorielle se définit, comme pour les systèmes linéaires à un indice, en concatenant dans des matrices de dimensions (m×p), les suites de vecteurs de sortie obtenues en excitant successivement chacune des composantes de l'entrée.

La linéarité et l'homogénéité des systèmes $\Sigma_0$, ainsi que les équations (2.4) et (2.6) montrent que la transformée en $(z_1,z_2)$ de la réponse impulsionnelle n'est autre que la matrice de transfert définie précédemment. Ainsi, la réponse impulsionnelle et la matrice de transfert caractérisent, l'une ou l'autre, un système $\Sigma_0$.

## II. 4. 2. Introduction d'un modèle d'état – Systèmes $\Sigma$.

Soit un système linéaire homogène à deux indices dont la relation entrée sortie peut être modélisée par les équations :

$$ (2.7) \qquad \left\{ \begin{aligned} y_{k,1} &= H X_{k,1} \\ X_{k+1,1} &= F_1 X_{k,1+1} + F_2 X_{k+1,1} - F_1 F_2 X_{k,1} + G u_{k,1} \end{aligned} \right. $$

où $u_{k,1}$ est le vecteur d'entrée $\in \mathbb{R}^p$

$y_{k,1}$ est le vecteur de sortie $\in \mathbb{R}^m$

$X_{k,1}$ est le vecteur d'état $\in \mathbb{R}^n$

Les matrices $H,F_1,F_2,G$ ont les dimensions appropriées et vérifient la condition de commutativité

$$ F_1 F_2 = F_2 F_1 . $$
Soient

$R(z_1, z_2)$ la fonction de transfert de ce système.

$A_{i,j}$ la réponse impulsionnelle de ce système.

On obtient aisément en appliquant la définition et les
propriétés de la transformée en $(z_1, z_2)$ :

$$
\begin{align*}
R(z_1, z_2) &= H(z_1 I - F_1)^{-1} (z_2 I - F_2)^{-1} G \\
            &= H(z_2 I - F_2)^{-1} (z_1 I - F_1)^{-1} G
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
A_{i,j} &= H F_1^{i-1} F_2^{j-1} G \quad \text{si } i < 0, j > 0 \\
&= 0 \quad \text{autrement}
\end{align*}
$$

Soit Σ la classe de systèmes admettant un tel modèle ;
il est clair que Σ ⊂ Σ₀ puisque la fonction de transfert R(z₁,z₂)
est une matrice rationnelle propre.

Remarquons en outre que la réponse impulsionnelle et la
matrice de transfert de ces systèmes Σ généralisent formellement
les formes connues pour les systèmes linéaires à un indice, qui
sont :

$$
\begin{align*}
R(z) &= H(zI - F)^{-1} G \\
A_k &= H F^{k-1} G \quad \text{si } k > 0 \\
    &= 0 \quad \text{autrement}
\end{align*}
$$

Enfin, l'importance de l'hypothèse de commutativité des
matrices F₁ et F₂ apparaîtra ultérieurement puisqu'elle nous permet-
tra de définir les notions classiques d'observabilité, de commanda-
bilité, d'équation de Lyapunov, et de réalisation minimale.

II. 5. Etude de l'ensemble des suites {$A_{i,j} = H F_1^{i} F_2^{j} G : i \ge 0, j \ge 0$}.

Les systèmes linéaires homogènes étant indifféremment caractérisés par leur réponse impulsionnelle ou leur matrice de transfert,
nous allons, pour prouver la généralité du modèle Σ introduit au paragraphe (II. 3. 2.), étudier l'ensemble des suites de la forme {ωᵢ,ⱼ = H F₁ᵢ F₂ⱼ G ; i > 0, j > 0}, et montrer que cet ensemble est dense dans des espaces très larges de suites.

**Théorème (2.2)**

L'ensemble Γ des suites de la forme :

$$
\omega = \{ H F_1^i F_2^j G ; i > 0, j > 0 \} \text{ avec } F_1 F_2 = F_2 F_1
$$

est un sous espace vectoriel de l'espace des suites à deux indices.

Démonstration

$$
- \forall \omega \in \Gamma, \forall \alpha \in \mathbb{R} : \alpha\omega \in \Gamma
$$

$$
- \text{si } \omega = \{ H \mathbf{F}_1^i \mathbf{F}_2^j G : i \ge 0, j \ge 0 \}
$$

$$
\bar{\omega} = \{ \bar{H} \bar{\mathbf{F}}_1^i \bar{\mathbf{F}}_2^j \bar{G} : i \ge 0, j \ge 0 \}
$$

$$
\text{Alors } \omega + \bar{\omega} = \{(H, \bar{H}) \begin{bmatrix} \mathbf{F}_1 & 0 \\ 0 & \mathbf{F}_1 \end{bmatrix}^i \begin{bmatrix} \mathbf{F}_2 & 0 \\ 0 & \mathbf{F}_2 \end{bmatrix}^j \begin{bmatrix} G \\ \bar{G} \end{bmatrix} : i \ge 0, j \ge 0 \}. \blacksquare
$$

Théorème (2.3)

Γ contient l'espace γ des suites {ωᵢⱼ; i > 0, j > 0} à sup-
port compact.

Démontrons d'abord le lemme suitant :

Lemme 2.1

Soit K un entier supérieur à 1

$$
\text{Soient :} \quad \begin{gather*} \mathbb{E} = \{(i,j) \in \mathbb{N}^2 : i+j \le K-1, j < K-1\} \\ \mathbb{F} = \{ q \in \mathbb{N} : q \le K(K-1) \} \end{gather*}
$$

L'application f de E dans F définie par :

$$
f(i,j) = (K-1) i + Kj + 1
$$

<u>est injective.</u>
## Démonstration

Supposons par l'absurde que (K-1) $i + Kj + 1 = (K-1) i' + Kj' + 1$ avec par exemple $i \neq i'$

Alors il résulte que :

$$ \frac{K-1}{K} = \frac{j'-i}{i-i'} $$

Or (K-1) et K sont premiers entre eux, la fraction $\frac{K-1}{K}$ est irréductible et l'égalité ci-dessus est impossible.

Donc

$$ i = i', \quad j = j' $$

## Démonstration du théorème 2.3

Γ étant un espace vectoriel, il suffit de montrer que les vecteurs de la base canonique de $\hat{\gamma}$ peuvent tous être générés avec des éléments de Γ.

A cet effet, montrons que pour tout entier $K > 1$ on peut générer chacun des vecteurs de base $e_{n,m}$ ($n + m \le K-1$).

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

Considérons les matrices carrées $\sigma_i$ définies de la manière suivante :

$$ \dim (\sigma_i) = K(K-1) \\ \sigma_i(r,s) = \begin{cases} 1 & \text{si } s-r = i \\ 0 & \text{autrement} \end{cases} $$

$$ \text{On a } \sigma_i = \sigma_1 \sigma_{i-1} = \sigma_1^{i-1} \\ \text{et } \sigma_1^{K(K-1)} = 0 $$
Prenons $F_1 = \sigma_K = \sigma_1^{K-1}$

$$F_2 = \sigma_{K+1} = \sigma_1^K$$

Alors : $F_1^i F_2^j = F_2^j F_1^i = \sigma_1^{(K-1)i+Kj}$

Soit
$$F_1^i F_2^j = \sigma_{(K-1)i+Kj+1} \quad \text{si } i+j \le K-1, j < K-1$$
$$= 0 \quad \text{autrement}$$

Soit la matrice $H = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}$ qui sélectionne la première ligne de $F_1^i F_2^j = \sigma_{(K-1)i+Kj+1}$

On obtient :

$$\begin{align*} H F_1^i F_2^j &= (0 \quad \dots \quad 0 \quad 1 \quad 0 \quad \dots \quad 0) \quad \text{si } i+j \le K-1, j < K-1 \\ &= (0 \quad \dots \quad 0 \quad \dots \quad 0) \quad \text{autrement} \end{align*}$$

Le lemme (2.1) montre que la place du "1" dans la matrice $H F_1^i F_2^j$ caractérise chaque couple $(i,j)$.

Pour générer le vecteur de base $e_{n,m}$ ($n+m < K-1$, $m < K-1$) il suffit de prendre la matrice $G$ de la forme :

$$G = \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} \quad \forall (K-1)n+Km+1$$

On obtiendra alors : $H F_1^i F_2^j G = \begin{cases} 0 & \forall (i,j) \neq (n,m) \\ 1 & \text{si } (i,j) = (n,m) \end{cases}$

Enfin, on génère le vecteur $e_{o,k-1}$ en inversant le rôle de $F_1$ et $F_2$, et en gardant les valeurs de $H$ et $G$ qui ont servi à générer $e_{k-1,o}$.
### Corollaire (2.1)

Γ est dense dans tous les espaces $l_p$ des suites de puis-sance p sommable, pour tout p fini.
En effet, $\gamma \subset \Gamma$, et $\gamma$ est dense dans $l_p$.

### Remarques

i) le théorème (2.3) donne d'une manière naturelle, par la construction même des "réalisations tronquées" l'algorithme d'ap-proximation d'une suite quelconque de $l_p$ (p fini).

Parallèlement toute fonction $H(z_1, z_2)$ analytique pour $|z_1| > 1$, $|z_2| > 1$, pourra être approximée par une fonction du type $H(I-z_1^{-1} F_1)^{-1} (I-z_2^{-1} F_2)^{-1} G$, où les matrices $F_1$ et $F_2$ commutent.

ii) l'algorithme sous jacent au théorème (2.3) peut être aus-si appelé algorithme d'identification dans la mesure où il peut fournir des matrices $(H,F_1,F_2,G)$ correspondant à un tableau tronqué quelconque $A_{(i,j)}$.

Notons cependant que cet algorithme est peu économique en ce sens qu'il fournit une "représentation d'état" de dimensions très élevées. En effet, pour générer la suite $\{A_{i,j}; i+j \le K-1, j < K-1\}$, il résulte de la construction du théorème (2.3), que la "réalisation tronquée" est de dimension $K(K-1)$.

Par ailleurs, nous verrons qu'avec les résultats du chapitre V, une démonstration plus directe du théorème (2.3) est possible. De plus, il apparaîtra que la réalisation de dimension minimale associée à une suite à support compact $\{A_{i,j}; 0 \le i \le N-1, 0 \le j \le M-1\}$, sera de dimension au plus égale au produit $NM$.
## II. 6. Conclusion

Il résulte de ce qui précède que les systèmes Σ introduits par les équations (2.7) permettent d'approximer tous les systèmes linéaires à 2 indices, dont la réponse impulsionnelle $\{A_{i,j}; i > 0, j > 0\}$ est une suite de puissance p sommable quelque soit p fini.

Dans les chapitres suivants, les systèmes Σ seront étudiés systématiquement dans une optique visant à généraliser les résultats classiques de la théorie des systèmes linéaires à un indice.
### III. COMMANDABILITE, OBSERVABILITE,

#### STABILITE DES SYSTEMES Σ.

##### III. 1. Commandabilité des systèmes Σ.

Reprenons les équations (2.7) définissant un système Σ :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
y_{k,1} = H X_{k,1} \\[1em]
X_{k+1,1+1} = F_1 X_{k,1+1} + F_2 X_{k+1,1} - F_1 F_2 X_{k,1} + G u_{k,1}
\end{array}
\right.
$$
X vecteur d'état (nx1)
$$
F_1 F_2 = F_2 F_1
$$

Et intéressons nous à l'équation récurrente :

$$
(3.1) \quad X_{k+1,1+1} = F_1 X_{k,1+1} + F_2 X_{k+1,1} - F_1 F_2 X_{k,1} + G u_{k,1}
$$

###### Définition (3.1)

Le système Σ (ou le triplet (F₁, F₂, G)) est dit commandable si pour tout (k,l) ∈ Z² et pour tout c ∈ Rⁿ, on peut trouver une suite finie de commandes {uᵢⱼ: i ∈ (k-N, k-1), j ∈ (1-M, 1-l)} telle qu'à partir de conditions initiales X_{k-N,} = 0 et X_{.,1-M} = 0, l'équation récurrente (3.1) donne :

$$
(3.2) \qquad X_{k,l} = c
$$

###### Remarque

Si cette notion de commandabilité semble être plutôt une notion d'atteignabilité, il n'en est pas moins vrai qu'elle permet d'aboutir à des conditions algébriques généralisant celles obtenues à partir de la commandabilité des systèmes linéaires à un indice.
### Théorème (3.1)

Le système $\Sigma$ est commandable si et seulement si il existe un entier $N$ tel que la matrice $G_N$ définie par

$$ G_N = \sum_{\substack{i \in (o,N-1) \\ j \in (o,N-1)}} F_1^i F_2^j G G^T F_1^{T^i} F_2^{T^j} \quad (*) $$

soit définie positive.

### Condition suffisante.

Si $G_N > 0$, choisissons la suite de commandes :

$$ \begin{aligned} u_{k-i-1,1-j-1} &= G^T F_1^{T^i} F_2^{T^j} G_N^{-1} \quad &\text{si } 0 \le i \le N-1, 0 \le j \le N-1 \\ &= 0 \quad &\text{autrement} \end{aligned} $$

Alors l'équation (3.1) donne :

$$ X_{k,1} = \sum_{\substack{i \in (o,N-1) \\ j \in (o,N-1)}} F_1^i F_2^j G \quad u_{k-i-1,1-j-1} = G_N G_N^{-1} \quad \Sigma = \Sigma $$

### Condition nécessaire.

Si $\forall N, G_N$ est non inversible, alors il existe un vecteur non nul $\lambda$ tel que :

$$ \Sigma (i,j) \text{ fini, } \lambda' F_1^i F_2^j G = 0 $$

On ne peut alors atteindre l'état $X_{kl} = \lambda$, en effet on aurait

$$ \text{alors : } \lambda = \sum_{\substack{i \in (o,N-1) \\ j \in (o,N-1)}} F_1^i F_2^j G \quad u_{k-i-1,1-j-1} $$

$$ \text{et } \lambda' \lambda = 0 $$

Or ceci contredit l'hypothèse. ■

<footnote>* La notation $F^T$ désigne la matrice transposée de $F$.</footnote>
Nous allons à présent démontrer un résultat qui nous permettra d'introduire une "matrice de commandabilité" dont le rang caractérise la commandabilité du système Σ.

### Théorème (3.2)

Les propositions suivantes sont équivalentes

i) **le système Σ est commandable**

ii) **il existe un entier N tel que la matrice :**

$$C_N = [G, \dots, F_1^i, F_2^j, \dots, F_1^{N-1}, F_2^{N-1}, G], \quad 0 \le i < N-1, \\ 0 \le j < N-1$$

soit de rang plein.

iii) **la matrice $C_N$ ou n est la dimension de l'état X, est de rang plein. la matrice $C_N$ sera appelée matrice de commandabilité du triplet $(F_1, F_2, G)$**.

### Démonstration

L'équivalence (i) ⇔ (ii) découle du théorème (3.1) puisque l'on a :

$$G_N = C_N C_N^T$$

et $G_N$ o = $C_N$ de rang plein

L'équivalence (ii) ⇔ (iii) découle du théorème de Cayley Hamilton appliqué aux matrices $F_1$ et $F_2$. ■

Nous introduisons maintenant un second critère de commandabilité qui découle du théorème (3.1) et qui généralise aussi un critère classique pour les systèmes linéaires à un indice [KALMAN 3].

### Théorème (3.3)

**Le système Σ est commandable si et seulement si l'équation matricielle en P :**
$$ (3.3) \quad P - F_1 PF_1^T - F_2 PF_2^T + F_1 F_2^T PF_1^T F_2^T = G G^T $$

Dans laquelle les matrices $F_1$ et $F_2$ sont asymptotiquement stables, * a une solution unique définie positive.

### Démonstration

En effet, l'équation (3.3) s'écrit :

$$ (P - F_1 PF_1^T) - F_2 (P - F_1 PF_1^T) F_2^T = G G^T $$

Comme $F_2$ est asymptotiquement stable, cette équation en $P-F_1 PF_1^T$ a une solution unique positive semi définie :

$$ P - F_1 PF_1^T = \sum_{j \ge 0} F_2^j G G^T F_1^T F_2^j $$

Comme $F_1$ est asymptotiquement stable et commute avec $F_2$, l'équation ci-dessus a une solution unique positive semi définie :

$$ P = \sum_{i>0, j>0} F_1^i F_2^j G G^T F_1^T F_2^j = G_\infty $$

le théorème devient ainsi une conséquence du théorème (3.1).

## III. 2. Observabilité des systèmes Σ :

Reprenons les équations (2.7) :

$$ \begin{cases} y_{k,1} = H X_{k,1} \\ X_{k+1,1+1} = F_1 X_{k+1,1} + F_2 X_{k+1,1} - F_1 F_2 X_{k,1} + G u_{k,1} \end{cases} $$

### Définition (3.2)

Le système Σ (ou le triplet $(H, F_1, F_2)$) est dit observable,

<footnote>* une matrice F est asymptotiquement stable si ses valeurs propres sont à l'intérieur du cercle unité.</footnote>
si pour tout $(k,l) \in \mathbb{Z}^2$, il existe deux entiers positifs N et M
tels que la connaissance de la sortie :

$$
\{y_{\alpha,\beta} ; k \le \alpha \le k+N, l \le \beta \le l+M\}
$$

et de l'entrée

$$
\{ u_{p,q} ; k \le p \le k+N-1 ; l \le q \le l+M-1 \}
$$

Avec les conditions initiales

$$
\begin{cases}
X_{kl} & \text{quelconque} \\
X_{ij} = 0 & \text{si } i < k \text{ ou } j < l
\end{cases}
$$

détermine d'une manière unique l'état $X_{kl}$.

Théorème (3.4)

Le système Σ est observable si et seulement si il existe
un entier positif N tel que la matrice :

$$
O_N = \begin{bmatrix}
H & & & \\
& HF_1^{i-1} & F_2^{j-1} & \\
& & HF_1^{i-1} & F_2^{j-1} \\
& & & HF_1^{N-1} & F_2^{N-1} \\
& & & & HF_1^{N-1} & F_2^{N-1}
\end{bmatrix} \quad 0 \le i < N-1, 0 \le j < N-1
$$

soit de rang plein.

Démonstration

On vérifie aisément avec les notations de la définition
(3.2) que la suite {$y_{\alpha,\beta} ; \alpha \ge k ; \beta \ge l$} s'écrit :

$$
y_{\alpha,\beta} = H F_1^{\alpha-k} F_2^{\beta-l} X_{k,l} + \sum_{p \in (k,\alpha-1)} F_1^{\alpha-p-1} F_2^{\beta-q-1} G_{u_{p,q}} + q \in (1,\beta-1)
$$
Soit :

$$
(3.5) \quad z_{\alpha,\beta} = y_{\alpha,\beta} - \sum_{\substack{p \in (k,\alpha-1) \\ q \in (1,\beta-1)}} F_1^{\alpha-p-1} F_2^{\beta-q-1} G \cdot u_{p,q} = H \cdot F_1^{\alpha-k} F_2^{\beta-l} \cdot X_{k,l}
$$

On peut ainsi former le système matriciel :

$$
\begin{bmatrix} z_{k,1} \\ \vdots \\ z_{\alpha,\beta} \\ \vdots \\ z_{K+N-1,1+N-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} H \\ \vdots \\ HF_1^{\alpha} F_2^{\beta} \\ \vdots \\ HF_1^{N-1} F_2^{N-1} \end{bmatrix} \quad X_{k,1} = O_N X_{k,1}
$$

Il est clair à présent que $X_{k,1}$ est déterminé de manière unique si
et seulement si, il existe.N tel que la matrice $O_n$ soit de rang
plein. ■

En appliquant le théorème de Cayley Hamilton aux matrices
$F_1$ et $F_2$ on obtient le théorème suivant :

Théorème (3.5)

Le système Σ (ou le triplet (H, F₁, F₂)) est observable
si et seulement si la matrice O_n (où n est la dimension du vecteur
X) est de rang plein.

La matrice O_n est appelée matrice d'observabilité du
triplet (H, F₁, F₂).

A présent nous énonçons un théorème qui illustre la dua-
lité entre les notions d'observabilité et de commandabilité.
### Théorème (3.6)

Le triplet $(H, F_1, F_2)$ est observable si et seulement si le triplet $(F_1^T, F_2^T, H^T)$ est commandable.

### Démonstration

Ce théorème est une conséquence des théorèmes (3.2) et (3.5) puisque la matrice d'observabilité du triplet $(H, F_1, F_2)$ n'est autre que la transposée de la matrice de commandabilité du triplet $(F_1^T, F_2^T, H^T)$. ■

## III. 3. Stabilité des systèmes Σ.

### III. 3. 1. Définition de la stabilité.

Reprenons l'équation (3.1) en faisant $u_{k,1} = 0$

$$ (3.6) \qquad X_{k+1,1+1} = F_1 X_{k,1+1} + F_2 \dot{X}_{k+1,1} - F_1 F_2 X_{k,1} $$

Il est clair que $X_{ij} = 0 \quad \forall (i,j)$, est un "état d'équilibre" pour l'équation récurrente (3.6).

Nous allons étudier la stabilité de cet "état d'équilibre". Pour cela, nous commencerons par donner 2 définitions de la stabilité dont nous montrerons qu'elles sont équivalentes.

### Définition (3.3)

1ère définition de la stabilité : Le système Σ est dit asymptotiquement stable si à partir de l'état d'équilibre ($X_{i,j} = 0, \forall (i,j)$), une perturbation $X_{u,v} = \alpha$ au point (u,v) induit une suite $\{X_{k,1} ; k \ge u, l \ge v\}$ qui tend vers o lorsque k ou l tendent vers l'infini.

### Théorème (3.7)

Le système Σ est asymptotiquement stable au sens de la définition (3.3) si et seulement si les matrices $F_1$ et $F_2$ sont asymptotiquement stables (valeurs propres de module inférieur à l'unité).
## Démonstration

La valeur de $X_{k,l}$ s'écrit

$$ (3.7) \qquad \begin{aligned} X_{k,l} &= F_1^{k-u} F_2^{l-v} X_{u,v} \quad \text{si } k \ge u, l \ge v \\ &= 0 \qquad \text{autrement} \end{aligned} $$

Le résultat en découle immédiatement. ■

## Définition (3.4)

2ème définition de la stabilité : Le système $\Sigma$ est dit asymptotiquement stable si pour tout $(i,j) \in \mathbb{Z}^2$ et pour toute suite $X(i,.)$, $X(.,j)$ de conditions initiales bornées la suite induite $\{X_{k,l}; k \ge i, l \ge j\}$ tend vers 0 lorsque $k$ et $l$ tendent vers l'infini.

## Théorème (3.8)

Le système $\Sigma$ est asymptotiquement stable au sens de la définition (3.4) si et seulement si les matrices $F_1$ et $F_2$ sont asymptotiquement stables.

## Démonstration

Pour simplifier les notations ramenons les axes de coordonnées au point $(i,j)$ considéré.

La suite $\{X_{k,l}; k \ge 0, l \ge 0\}$ induite par l'équation (3.6) s'écrit alors :

$$ (3.8) \qquad X_{k,l} = F_1^k X(0,l) + F_2^l X(k,0) - F_1^k F_2^l X(0,0) $$

En effet l'équation (3.8) vérifie les conditions initiales $X(k,0)$ et $X(0,l)$. Par ailleurs on vérifie aisément que la suite $\{X_{k,l}; k \ge 0, l \ge 0\}$ donnée par (3.8) vérifie l'équation de récurrence (3.6).

On démontre à présent facilement le théorème :
**Condition nécessaire :**

Supposons que $X_{kl} \to 0$ lorsque $k$ et $l$ tendent vers l'infini, quelque soit la suite $X(k,o)$, $X(o,1)$ de conditions initiales bornées.

Prenons comme conditions initiales :

$$X(k,0) = X(0,0) = 0$$

$$\text{Cela donne : } X_{k,l} = F_1^k X(0,1)$$

Comme $X_{k,l}$ tend vers 0, $F_1$ est asymptotiquement stable.

De même, on montre que $F_2$ est asymptotiquement stable en prenant comme conditions initiales :

$$X(0,j) = X(0,0) = 0$$

**Condition suffisante :**

$F_1$ et $F_2$ sont asymptotiquement stables, l'équation (3.8) implique que $X_{k,l} \to 0$ lorsque $k$ et $l$ tendent vers $+\infty$. ■

Les définitions (3.3) et (3.4) sont donc équivalentes. Pour caractériser la stabilité d'un système $\Sigma$, il suffit donc d'étudier la stabilité asymptotique des matrices $F_1$ et $F_2$.

### III. 3. 2. Fonctions de Lyapunov quadratiques.

**Définition (3.5)**

La fonction $V(X) = X^T P X$ est dite fonction de Lyapunov du système $\Sigma$ régi par l'équation (3.6) si :

i) P est une matrice symétrique positive définie

ii) le long des trajectoires induites par une perturbation $\epsilon$ au point $(i,j)$, elle vérifie :

$$ (3.9) \quad V(X_{k+r,l+s}) \le V(X_{k,l}) \quad \text{si } (k,l) > (i,j), (r,s) > (o,o)^* $$
avec égalité, si et seulement si $X_{k,l} = 0$

<footnote>* La relation d'ordre partiel sur $Z^2$, introduite ci-dessus se définit</footnote>
de la manière suivante :

$$ (k,l) > (i,j) \Leftrightarrow \begin{cases} k \ge i \\ l \ge j \\ (k,l) \ne (i,j) \end{cases} $$

### Remarque :

La définition (3.5) généralise la notion de fonction de Lyapunov pour les systèmes linéaires à un indice [Kalman 3].

L'inéquation (3.9) assure que la fonction de Lyapunov décroît sur toute trajectoire qui "respecte" la relation d'ordre partiel définie sur les points du plan.

Cette définition va nous permettre de prouver un critère de stabilité des systèmes Σ que nous appellerons "théorème de Lyapunov" par analogie avec les systèmes à un indice :

### Théorème (3.9)

**Théorème de Lyapunov** : Le système Σ est asymptotiquement stable si et seulement si il existe une fonction de Lyapunov quadratique pour le système.

### Condition nécessaire

Si le système Σ est asymptotiquement stable, nous avons vu que les matrices $F_1$ et $F_2$ le sont aussi.

D'autre part, en ramenant les axes au point $(i, j)$, on a :

$$ X_{k,l} = F_1^k F_2^l X_{0,0} \quad \text{pour } k \ge 0, l \ge 0 $$

Nous allons montrer que la fonction $V(X_{k,l}) = X_{kl}^T X_{kl}$ est une fonction de Lyapunov.

En effet :

$$ i) X^T X > 0 \quad \text{si } X \ne 0 $$
$$
\begin{array}{l}
ii) V(X_{k,l}) - V(X_{k+1,l}) = X_{kl}^T (I - F_1^T F_1) X_{k,l} \\
V(X_{k,l}) - V(X_{k,l+1}) = X_{kl}^T (I - F_2^T F_2) X_{k,l}
\end{array}
$$

Or comme $F_1$ et $F_2$ sont asymptotiquement stables :

$$
\begin{cases}
I - F_1^T F_1 > 0 \\
I - F_2^T F_2 > 0
\end{cases}
$$

En effet, quelque soit $X \neq 0$, on a :

$$
\begin{align*}
X^T (I - F_i^T F_i) X &= ||X||^2 - ||F_i X||^2 \\
&\ge ||X||^2 (1 - [\sup_i |\lambda F_i|)^2) > 0
\end{align*}
$$

où $\sup_i |\lambda F_i|$ est la valeur du plus grand module des valeurs propres
de la matrice $F_i$ pour $i \in (1,2)$.

Les quantités $V(X_{k,l}) - V(X_{k+1,l})$ et $V(X_{k,l}) - V(X_{k,l+1})$ sont donc strictement positives pour $X_{kl} \neq 0$, et nulles si $X_{kl} = 0$.

On a donc :

$$
V(X_{k,l}) - V(X_{k+r,l+s}) \ge 0 \quad \text{si} \quad (k,l) > (i,j), (r,s) > (o,o)
$$

avec l'égalité si et seulement si $X_{kl} = 0$

La fonction $V(X_{kl}) = X_{kl}^T X_{kl}$ est donc une fonction de Lyapunov.

Condition suffisante.

Si $X' \in P_X$ est une fonction de Lyapunov, il suffit
d'écrire :

$$
V(X_{kl}) - V(X_{k+1,l}) = X_{kl}^T (P - F_1^T P F_1) X_{kl} > 0 \quad \forall X_{kl} \neq 0
$$

$$
V(X_{kl}) - V(X_{k,l+1}) = X_{kl}^T (P - F_2^T P F_2) X_{kl} > 0 \quad \forall X_{kl} \neq 0
$$

<footnote>* La notation $M > 0$ signifie que la forme quadratique associée à la
matrice symétrique $M$ est définie positive.</footnote>
$$ \text{Cela implique : } \begin{cases} P - F_1^T P F_1 > 0 \\ P - F_2^T P F_2 > 0 \end{cases} $$

ce qui entraîne que les matrices $F_1$ et $F_2$ sont asymptotiquement stables. ■

On peut ainsi caractériser les systèmes Σ asymptotiquement stables.:

### Théorème (3.10)

Un système Σ est asymptotiquement stable si et seulement si il existe une matrice P vérifiant :

$$ (3.10) \qquad \begin{cases} P > 0 \\ P - F_1^T P F_1 > 0 \\ P - F_2^T P F_2 > 0 \end{cases} $$

Ce résultat découle immédiatement de la démonstration du théorème (3.9). ■

Nous allons à présent définir une classe très importante de fonctions de Lyapunov car elles réintroduisent l'équation (3.3) que nous avons rencontré pour caractériser la commandabilité des systèmes Σ. Ainsi, cette équation semble généraliser en tout point l'équation de Lyapunov classique pour les systèmes à un indice [Kalman 3] et nous l'appellerons aussi équation de Lyapunov.

### Théorème (3.11)

Soit un système Σ asymptotiquement stable, alors l'ensemble des fonctions $V(X) = X^T P X$ où la matrice P vérifie :

$$ (3.11) \qquad \begin{cases} P > 0 \\ P - F_1^T P F_1 - F_2^T P F_2 + F_1^T F_2^T P F_1 F_2 > 0 \end{cases} $$

constitue une classe de fonctions de Lyapunov pour le système Σ.
Par ailleurs, toute équation en P :

$$ (3.12) \quad \left\{ \begin{array}{l} P - F_1^T P F_1 - F_2^T P F_2 + F_1^T F_2^T P F_1 F_2 = Q \\ Q > 0 \end{array} \right. $$

a une solution unique positive définie.

## Démonstration

Supposons que P vérifie l'inéquation (3.11), et puisque $F_1$ et $F_2$ commutent, écrivons l'équation (3.11) sous les 2 formes :

$$ (3.13) \quad \left\{ \begin{array}{l} (P - F_1^T P F_1) - F_2^T (P - F_1^T P F_1) F_2 > 0 \\ (P - F_2^T P F_2) - F_1^T (P - F_2^T P F_2) F_1 > 0 \end{array} \right. $$

Comme $F_1$ et $F_2$ sont asymptotiquement stables, les inéquations (3.13) donnent :

$$ \left\{ \begin{array}{l} P - F_1^T P F_1 > 0 \\ P - F_2^T P F_2 > 0 \end{array} \right. $$

La fonction $X^T P X$ est donc une fonction de Lyapunov du système Σ.

Par ailleurs, l'équation en P, (3.12) a pour solution :

$$ P = \sum_{\substack{i \ge 0 \\ j \ge 0}} F_1^T F_2^j Q F_1^i F_2^i \quad (\text{cf. théorème 3.3}) $$

Il est clair que $Q > 0 \rightarrow P > 0$.

L'équation (3.12) sera appelée dans la suite équation de Lyapunov à 2 indices.

## Remarque

La réciproque du théorème (3.11) n'est pas vraie. Ainsi, s'il existe P et Q vérifiant l'équation (3.12), $F_1$ et $F_2$ ne sont pas nécessairement asymptotiquement stables (exemple dans le cas scalaire $n = 1$, l'équation (3.12) donne : $\frac{q}{p} = (1-f_1^2)(1-f_2^2)$).
### III. 3. 3. Application de "l'équation de Lyapunov" : Evaluation d'une fonctionnelle quadratique.

Soit l'équation récurrente :

$$ (3.14) \quad X_{k+1,l+1} = F_1 X_{k,l+1} + F_2 X_{k+1,l} - F_1 F_2 X_{k,l} $$ avec les conditions initiales $$ \begin{cases} X_{ij} = 0 & \text{si } i < o \text{ ou } j < o \\ X_{oo} & \text{quelconque.} \end{cases} $$

Nous nous proposons d'évaluer la fonctionnelle quadratique :

$$ (3.15) \quad V(N,M) = \sum_{i=0}^{N} \sum_{j=0}^{M} X_{ij}^{T} Q X_{ij} $$

où Q est une matrice carrée quelconque.

### Théorème (3.12)

La fonctionnelle quadratique définie par les équations (3.14) et (3.15) peut se calculer par l'équation récurrentesuivante :

$$ V(N,M) = X_{oo}^{T} P_{N,M} X_{oo} $$

où la suite $P_{N,M}$ vérifie :

$$ (3.16) \quad P_{N+1,M+1} = F_1^T P_{N,M+1} F_1 + F_2^T P_{N+1,M} F_2 - F_1^T F_2^T P_{N,M} F_1 F_2 + Q $$ pour $N \ge 0, M \ge 0$

avec les conditions initiales :

$$ P_{o,j} = \sum_{k \in (o,j)} F_2^{T K} Q F_2 \quad o \le j \le M $$

$$ P_{i,j} = \sum_{l \in (o,i)} F_2^{l T} Q F_2 \quad o \le i \le N $$

### Démonstration

L'équation (3.14) donne $X_{ij} = F_1^i F_2^j X_{oo}$ pour $i \ge o, j \ge o$
L'équation (3.15) donne alors

$$V(N,M) = \sum_{i=0}^{N} \sum_{j=0}^{M} X_{oo}^{T} F_{1}^{T i} F_{2}^{T j} Q F_{1}^{i} F_{2}^{j} X_{oo}$$

$$\text{Posons } V(N,M) = X_{oo}^{T} P_{NM} X_{oo}$$

Pour que cette égalité reste vraie pour tout $X_{oo}$, on doit avoir :

$$(3.7) \quad P_{NM} = \sum_{i=0}^{N} \sum_{j=0}^{M} F_{1}^{T i} F_{2}^{T j} Q F_{1}^{i} F_{2}^{j}$$

Formons alors la quantité :

$$\Delta P_{NM} = P_{N+1, M+1} - F_{1}^{T} P_{N, M+1} F_{1} - F_{2}^{T} P_{N+1, M} F_{2} + F_{1}^{T} F_{2}^{T} P_{N, M} F_{1} F_{2}$$

L'équation (3.17) donne :

$$\Delta P_{NM} = Q$$

Ceci n'est autre que l'équation (3.16) que nous avions annoncée. ■

**Remarques :**

1) Le théorème (3.12) généralise à son tour un résultat connu des systèmes linéaires à un indice, à savoir que la fonctionnelle quadratique

$$V(N) = \sum_{i=0}^{N} X_{i}^{T} Q X_{i}$$

Avec $X_{i+1} = F_i X_i$ et $X_0$ quelconque

est donnée par : $V(N) = X_0^T P_N^T X_0$

où $P_N$ vérifie l'équation $P_{N+1} = F_N^T P_N F_N + Q$, avec $P_0 = Q$
ii) Si le système Σ est asymptotiquement stable, on peut calculer $J(∞, ∞)$. On obtient par le théorème (3.12) :

$$J(∞, ∞) = X_{∞}^{T} P X_{∞}$$

où P est la valeur d'équilibre de l'équation (3.16).

### III. 4. Conclusion

Les notions de commandabilité, d'observabilité et de stabilité des systèmes Σ, que nous avons introduites généralisent donc bien les notions classiques de la théorie des systèmes linéaires à un indice.

La commandabilité et l'observabilité sont caractérisées par le rang des matrices $C_n$ et $O_n$ de commandabilité et d'observabilité.

L'équation de Lyapunov que nous avons introduite caractérise une classe de fonctions de Lyapunov pour un système asymptotiquement stable. De même, elle permet de caractériser la commandabilité, et d'évaluer une fonctionnelle quadratique à 2 indices.

Le chapitre suivant va nous permettre de généraliser la liaison entre la dimension de la représentation d'état et les propriétés de commandabilité et d'observabilité de cette représentation.
IV. COMMANDABILITE, OBSERVABILITE,
============================
REALISATIONS MINIMALES
========================

IV. 1. Décomposition de "l'espace d'état" associé à une réalisation

Définition (4.1)

Nous dirons que la suite $\{A_{i,j} : i \ge 0, j \ge 0\}$ est réa-
lisable s'il existe un quadruplet $(H, F_1, F_2, G)$ de matrices de dimen-
sions finies, tel que :

$$
(4.1) \qquad A_{i,j} = \text{H} F_1^i F_2^j G \quad \forall i \ge 0, j \ge 0
$$

La réalisation sera notée $(H, F_1, F_2, G)_n$. L'indice n indique la di-
mension des matrices $F_1$ et $F_2$.

Définition (4.2)

Les quadruplets $(H, F_1, F_2, G)_n$ et $(\bar{H}, \bar{F}_1, \bar{F}_2, \bar{G})_n$ sont dits  
équivalents s'ils réalisent la même suite $\{A_{i,j} : i \ge 0, j \ge 0\}$.

Définition (4.3)

Les quadruplets $(H, F_1, F_2, G)_n$ et $(\bar{H}, \bar{F}_1, \bar{F}_2, \bar{G})_n$ sont dits
strictement équivalents s'il existe une matrice inversible $T$ telle

que :

$$
(4.2) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
\bar{F}_1 = T F_1 T^{-1} \\
\bar{F}_2 = T F_2 T^{-1} \\
\bar{G} = T G \\
\bar{H} = H T^{-1}
\end{array}
\right.
$$

Remarques :

i) La définition (4.3) suppose évidemment que les 2 réali-
sations soient de mêmes dimensions.
ii) Il est clair que l'équivalence stricte entraîne l'équivalence, ou peut en effet vérifier que les équations (4.2) entraînent :

$$H F_1^i F_2^j G = \bar{H} \bar{F}_1^i \bar{F}_2^j \bar{G}.$$

Introduisons les suites de matrices $C_k$, et $O_k$ données par :

$$C_k = [G, \dots, F_1^i F_2^j G, \dots F_1^{k-1} F_2^{k-1} G]; 0 \le i \le k-1, 0 \le j \le k-1 \\ \forall k > 0 \\ O_k^T = [H^T, \dots, F_1^{T^i} F_2^{T^j} H^T, \dots F_1^{T^{k-1}} F_2^{T^{k-1}} H^T]; 0 \le i \le k-1, 0 \le j \le k-1$$

tel que l'ordre dans lequel sont rangés les blocs de matrices $F_1^i F_2^j G$ et $H F_1^i F_2^j$, dans $C_k$ et $O_k$, corresponde à la même bijection $\sigma : \mathbb{N}^2 \to \mathbb{N}$.

Si $n$ est la dimension de $F_1$ et $F_2$, il est clair grâce au théorème de Hamilton Cayley que :

$$(4.3) \qquad \begin{aligned} \mathrm{rang}(C_n) &= \mathrm{rang}(C_q) = n_1 \le n & \forall q \ge n \\ \mathrm{rang}(O_n) &= \mathrm{rang}(O_q) = n_2 \le n & \forall q \ge n \end{aligned} $$

L'égalité dans les relations (4.3) est réalisée si et seulement si, ainsi que nous l'avons vu au chapitre III, la réalisation $(H, F_1, F_2, G)_n$ est commandable et observable.

**Lemme (4.1)**

Si les quadruplets $(H, F_1, F_2, G)_n$ et $(\bar{H}, \bar{F}_1, \bar{F}_2, \bar{G})_n$ sont strictement équivalents, avec $T$ pour matrice de changement de base,

Alors :

$$\forall K > 0 \qquad \begin{aligned} \bar{C}_K &= T C_K \\ \bar{O}_K &= O_K T^{-1} \end{aligned}$$

Cela entraîne en particulier que :

$$\begin{aligned} \mathrm{rang}(\bar{C}_n) &= \mathrm{rang}(C_n) = n_1 \le n \\ \mathrm{rang}(\bar{O}_n) &= \mathrm{rang}(O_n) = n_2 \le n \end{aligned}$$
**Démonstration :**

Ce lemme découle d'un calcul immédiat à partir de la
définition de la stricte équivalence.

**Lemme (4.2) :**

Si les quadruplets $(H, F_1, F_2, G)_n$ et $(\overline{H}, \overline{F_1}, \overline{F_2}, \overline{G})_n$ sont équivalents, alors :

$$
\forall K > 0, \bar{O}_K \bar{C}_K = O_K C_K
$$

Démonstration :

En effet, les éléments des matrices $\overline{O}_K \overline{C}_K$ et $O_K C_K$ ne sont autres que des éléments de la suite $\{A_{ij}; i \ge 0, j \ge 0\}$.

Théorème (4.1) :

Soit une **réalisation** $(H, F_1, F_2, G)_n$. Posons $n_1 = \text{rang}(C_n) \le n$.

Alors la **réalisation** $(H, \overline{F}_1, \overline{F}_2, G)_n$ est strictement équivalente à une
**réalisation** $(\overline{H}, \overline{F}_1, \overline{F}_2, \overline{G})_n$ qui a la forme suivante :

$$
(4.4) \quad \overline{F}_i = \begin{bmatrix} \overline{F}_{11,i} & \overline{F}_{12,i} \\ 0 & \overline{F}_{22,i} \end{bmatrix} \quad i \in (1,2) ; \overline{H} = (\overline{H}_1, \overline{H}_2) ; \overline{G} = \begin{bmatrix} \overline{G}_1 \\ 0 \end{bmatrix}
$$

où $(\overline{H}_1, \overline{F}_{11,1}, \overline{F}_{11,2}, \overline{G}_1)_{n_1}$ est une **réalisation commandable équivalente**
à $(H, F_1, F_2, G)_n$.

Démonstration

Soit $T_1$ une matrice formée de $n_1$ vecteurs colonnes de $C_n$ indépendants.

Soit $T_2$ une matrice ($n \times n-n_1$) dont les vecteurs colonnes forment avec les vecteurs colonnes de $T_1$ une base de $\mathbb{R}^n$.
Soit $T = [T_1, T_2]$, et définissons la réalisation $(\bar{H}, \bar{F}_1, \bar{F}_2, \bar{G})_n$ obtenue à partir de $(H, F_1, F_2, G)_n$ par le changement de base $T$.

Remarquons d'abord que les vecteurs colonnes de $C_\infty$ sont tous générés par des combinaisons linéaires de vecteurs colonnes de $T_1$. Il existe donc des matrices $\bar{F}_{11,1}, \bar{F}_{11,2}, \bar{G}_1$ telles que :

$$ \bar{F}_1 T_1 = T_1 \bar{F}_{11,1} $$

$$ \bar{F}_2 T_1 = T_1 \bar{F}_{11,2} $$

$$ G = T_1 \bar{G}_1 $$

En effet, les matrices $F_1 T_1, F_2 T_1, G$ sont des sous matrices de $C_\infty$.

Il s'ensuit que les $n_1$ première colonnes de $\bar{F}_i$ ($i \in (1,2)$) s'écrivent :

$$ T^{-1} \bar{F}_i T_1 = T^{-1} T_1 \bar{F}_{11,i} = \begin{bmatrix} \bar{F}_{11,i} \\ 0 \end{bmatrix} $$

De même

$$ \bar{G} = T^{-1} G = T^{-1} T_1 \bar{G}_1 = \begin{bmatrix} \bar{G}_1 \\ 0 \end{bmatrix} $$

Enfin $\bar{H} = T H = (\bar{H}_1, \bar{H}_2)$.

La réalisation $(\bar{H}, \bar{F}_1, \bar{F}_2, \bar{G})_n$ définie à partir de $(H, F_1, F_2, G)_n$ par le changement de base $T$, est donc bien sous la forme indiquée par les équations (4.4).

A présent on peut vérifier aisément par le calcul que :

$$ H \bar{F}_1^i \bar{F}_2^j G = \bar{H} \bar{F}_1^i \bar{F}_2^j \bar{G} = \bar{H}_1 \bar{F}_{11,1}^i \bar{F}_{11,2}^j \bar{G}_1 $$
De plus, $\bar{F}_{11,1}$ et $\bar{F}_{11,2}$ commutent puisque ce sont des sous matrices
de $\bar{F}_1$ et $\bar{F}_2$.

$(\bar{H}_1, \bar{F}_{11,1}, \bar{F}_{11,2}, \bar{G}_1)_{n_1}$ est donc une réalisation équivalente à

$(H, \bar{F}_1, \bar{F}_2, G)_n$

Enfin, soit $c_{n_1}$ la matrice de commandabilité du triplet $(\bar{F}_{11,1}, \bar{F}_{11,2}, \bar{G}_1)_{n_1}$, on a d'après le lemme (4.1) :

$$
\bar{c}_n = T^{-1} c_n = T^{-1} T_1 c_n = \begin{bmatrix} c_n \\ 0 \end{bmatrix}
$$

On a donc

$$
\operatorname{rang}(c_{n_1}) = \operatorname{rang}(c_n) = \operatorname{rang}(\bar{c}_n) = \operatorname{rang}(c_n) = n_1
$$

La réalisation $(H_1, \bar{F}_{11,1}, \bar{F}_{11,2}, \bar{G}_1)_{n_1}$ est donc commandable. ■

Par dualité, (voir théorème 3.6), on applique le théorème
(4.1) à la matrice d'observabilité transposée, et on obtient le théo-
ème suivant :

Théorème (4.2)

Soit une réalisation $(H, F_1, F_2, G)_n$. Posons $n_2 = \text{rang}(O_n) \le n$
Alors la réalisation $(H, F_1, F_2, G)_n$ est strictement équivalente à une
réalisation $(\bar{H}, \bar{F}_1, \bar{F}_2, \bar{G})_n$ qui a la forme suivante :

$$
(4.5) \quad \bar{F}_i = \begin{bmatrix} \bar{F}_{11,i} & 0 \\ \hline \bar{F}_{12,i} & \bar{F}_{22,i} \end{bmatrix} \quad i \in (1,2) ; \quad \bar{G} = \begin{bmatrix} \bar{G}_1 \\ \hline \bar{G}_2 \end{bmatrix} \quad ; \quad \bar{H} = (\bar{H}_1, \mathbf{0})
$$

où $(\bar{H}_1, \bar{F}_{11,1}, \bar{F}_{11,2}, \bar{G}_1)_{n_2}$ est une réalisation observable équivalente à $(H, \bar{F}_1, \bar{F}_2, G)_n$.
La conjonction des théorèmes (4.1) et (4.2) donne le théorème suivant :

**Théorème (4.3)**

Soit $(H, \mathbb{F}_1, \mathbb{F}_2, G)_n$ une réalisation. Posons
$$n_3 = \text{rang } (O_n C_n) \le n.$$

Alors la **réalisation** $(H, \mathbb{F}_1, \mathbb{F}_2, G)_n$ **est strictement équivalente à une réalisation** $(\bar{H}, \bar{\mathbb{F}}_1, \bar{\mathbb{F}}_2, \bar{G})_n$ **qui a la forme suivante :**

$$ (4.6) \quad \bar{F}_i = \begin{bmatrix} \mathbb{F}_{11,i} & 0 & \mathbb{F}_{13,i} \\ \mathbb{F}_{21,i} & \mathbb{F}_{22,i} & \mathbb{F}_{23,i} \\ 0 & 0 & \mathbb{F}_{33,i} \end{bmatrix} \quad i \in (1,2) : \bar{G} = \begin{bmatrix} \bar{G}_1 \\ \bar{G}_2 \\ 0 \end{bmatrix} ; \quad \bar{H} = (\bar{H}_1, 0, \bar{H}_2) $$

où $(\bar{H}_1, \bar{\mathbb{F}}_{11,1}, \bar{\mathbb{F}}_{11,2}, \bar{G})_{n_3}$ est une réalisation observable et commandable équivalente à $(H, \mathbb{F}_1, \mathbb{F}_2, G)_n$.

**Démonstration :**

L'application successive des théorèmes (4.1) et (4.2) fournit les réalisations $(\bar{H}, \bar{\mathbb{F}}_1, \bar{\mathbb{F}}_2, \bar{G})_n$ et $(\bar{H}_1, \bar{\mathbb{F}}_{11,1}, \bar{\mathbb{F}}_{11,2}, \bar{G}_1)_{\bar{n}_3}$.
La dernière réalisation est commandable, et observable et équivalente à $(H, \mathbb{F}_1, \mathbb{F}_2, G)_n$.

Il reste à montrer que la dimension $\bar{n}_3$ de cette réalisation n'est autre que $n_3$, rang de la matrice $O_n C_n$.

Soit $O_n$, $C_n$ les matrices d'observabilité et de commandabilité de la réalisation $(\bar{H}_1, \bar{\mathbb{F}}_{11,1}, \bar{\mathbb{F}}_{11,2}, \bar{G}_1)_{\bar{n}_3}$.

On a d'après le lemme (4.2) :

$$ O_n C_n = \bar{O}_n \bar{C}_n = \begin{bmatrix} o_n & c_n \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $$
Donc $n_3 = \text{rang}(O_n C_n) = \text{rang}(O_n C_n) = \text{rang}(O_{n_3} O_{n_3}^{-1})$

Par ailleurs, la réalisation $(\overline{\overline{\bar{H}}}_1, \overline{\overline{\bar{F}}}_{11,1}, \overline{\overline{\bar{F}}}_{11,2}, \overline{\overline{\bar{G}}}_1)_{\overline{n}_3}$ étant commandable et observable, les matrices $O_{\overline{n}_3}$ et $C_{\overline{n}_3}$ sont de rang plein égal à $\overline{n}_3$ et on a

$$ \text{rang}(O_{\overline{n}_3} C_{\overline{n}_3}) = \overline{n}_3 $$

Donc $n_3 = \overline{n}_3$. ■

Nous pouvons à présent établir le lien entre l'observabilité la commandabilité et la minimalité (au sens de la dimension minimale du vecteur d'état X).

### Théorème (4.4)

Les propositions suivantes sont équivalentes

i) $(H, F_1, F_2, G)_n$ est observable et commandable

ii) $\text{rang}(O_n C_n) = n$

iii) la réalisation $(H, F_1, F_2, G)_n$ est minimale.

Démonstration :

i) $\iff$ ii) conséquence du théorème (4.3)

iii) $\rightarrow$ ii') conséquence du théorème (4.3)

ii) $\rightarrow$ iii) supposons par l'absurde que : 
$$ \text{rang}(O_n C_n) = n \text{ et } (H, F_1, F_2, G)_n \text{ non minimal} $$

Alors il existe $(\overline{\overline{\bar{H}}}, \overline{\overline{\bar{F}}}_1, \overline{\overline{\bar{F}}}_2, \overline{\overline{\bar{G}}})_{\overline{n}}$ avec $\overline{n} < n$, et tel que :

$$ \overline{O}_n C_n = O_n C_n $$

Cela implique

$$ \text{rang}(O_n C_n) = \text{rang}(\overline{O}_n \overline{C}_n) \le \overline{n} < n. $$

Ceci contredit l'hypothèse. ■
Ayant ainsi défini et identifié l'ensemble des réalisations minimales à celui des réalisations commandables et observables, nous allons étudier la structure de cet ensemble.

# IV. 2. Structure de l'ensemble des réalisations minimales.

Le principal résultat est le suivant :

## Théorème (4.5)

Toutes les réalisations minimales d'une suite $\{A_{i,j} : i \ge 0, j \ge 0\}$ se déduisent entre elles par changement de base.

Nous présentons d'abord quelques résultats préliminaires :

### α) Lemme (4.3)

Si $(H, F_1, F_2, G)_n$ et $(\bar{H}, \bar{F}_1, \bar{F}_2, \bar{G})_n$ sont des réalisations commandables strictement équivalentes. Alors la matrice de passage $T$ est déterminée de façon unique par :

$$ (4.7) \qquad T = \bar{c}_n c_n^+ $$

où $c_n^+$ désigne le pseudo inverse de la matrice de rang plein $c_n$.

### Démonstration

Si $T$ est une matrice de changement de base qui fait passer de la réalisation $(H, F_1, F_2, G)_n$ à la réalisation $(\bar{H}, \bar{F}_1, \bar{F}_2, \bar{G})_n$, le lemme (4.1) implique :

$$ \bar{c}_n = T c_n $$

Or puisque $c_n$ est de rang plein, cette équation a une solution unique donnée par l'équation (4.7).

### β) Lemme (4.4)

Soient $(H, F_1, F_2, G)_n$, $(\bar{H}, \bar{F}_1, \bar{F}_2, \bar{G})_n$ deux réalisations commandables, et soit la matrice $T$ définie par l'équation (4.7).
Alors ces deux réalisations sont strictement équivalentes si et seulement si :

$$ (4.8) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \bar{c}_{n+1} = T c_{n+1} \\ \bar{H} = H T^{-1} \end{array} \right. $$

**Démonstration :**

**Condition nécessaire :**

Découle du lemme (4.3)

**Condition suffisante :**

Supposons donc qu'il existe une matrice T vérifiant les équations (4.7) et (4.8).

Les matrices $F_i C_n$ ($i \in (1,2)$) et $\bar{F}_i \bar{C}_n$ ($i \in (1,2)$) sont des sous-matrices respectivement de $C_{n+1}$ et $\bar{C}_{n+1}$.

L'équation (4.8) implique alors :

$$ \bar{F}_i \bar{C}_n = T \bar{F}_i C_n , \quad i \in (1,2) $$

$$ \text{Soit} \quad \bar{F}_i = T \bar{F}_i C_n \bar{C}_n^+ , \quad i \in (1,2) $$

$$ \bar{F}_i = T \bar{F}_i T^{-1} , \quad i \in (1,2) $$

De même $G$ et $\bar{G}$ sont des sous matrices de $C_{n+1}$ et $\bar{C}_{n+1}$ respectivement.

On a donc :

$$ \bar{G} = T G $$

Les réalisations $(H,F_1,F_2,G)_n$ et $(\bar{H},\bar{F}_1,\bar{F}_2,\bar{G})_n$ sont donc strictement équivalentes.

**Démonstration du théorème (4.5)**

Soient 2 réalisations minimales $(H,F_1,F_2,G)_n$, $(\bar{H},\bar{F}_1,\bar{F}_2,\bar{G})_n$ de la suite $\{A_{i,j} ; i \ge 0, j \ge 0\}$.
On a d'après le lemme (4.2) :

$$ (4.9) \qquad \bar{o}_n \bar{c}_{n+1} = o_n c_{n+1} $$

L'équation (4.9) donne :

$$ (4.10) \qquad \bar{c}_{n+1} = o_n^\top o_n c_{n+1} $$

D'autre part, on peut vérifier par le calcul que :

$$ (4.11) \qquad \bar{o}_n^\top o_n = \bar{c}_n c_n^\top $$

En substituant l'équation (4.11) dans (4.10), on obtient :

$$ \bar{c}_{n+1} = T c_{n+1} $$

$$ \text{Avec} \quad T = \bar{c}_n c_n^\top $$

Et l'équation (4.9) donne alors :

$$ \bar{o}_n = o_n T^{-1} $$

Ceci implique en particulier : $\bar{H} = H T^{-1}$

Ayant trouvé une matrice inversible $T$ satisfaisant les équations (4.7) et (4.8), nous sommes ainsi dans les conditions du lemme (4.4) : les 2 réalisations minimales $(H, F_1, F_2, G)_n$ et $(\bar{H}, \bar{F}_1, \bar{F}_2, \bar{G})_n$ sont strictement équivalentes. ■

### IV. 3. Conclusion

A partir d'une réalisation quelconque $(H, F_1, F_2, G)_n$ d'une suite $\{A_{i,j} ; i \ge 0, j \ge 0\}$ nous avons introduit une décomposition de "l'espace d'état" en somme directe de sous espaces. Cette décomposition est caractérisée par le rang des matrices d'observabilité
et de commandabilité de la réalisation $(H, F_1, F_2, G)_n$, et permet de définir une réalisation commandable et observable, de la même suite $\{A_{i,j} ; i \ge 0, j \ge 0\}$.

Il a été montré ensuite que les réalisations observables et commandables ne sont autres que les réalisations donnant une dimension minimale de "l'espace d'état" (réalisations minimales).

Enfin, l'étude de l'ensemble des réalisations minimales a montré la simplicité de la structure de cet ensemble, à savoir que toutes les réalisations minimales se déduisent entre elles par un changement de base.

Notons que toutes ces propriétés ne sont que l'extension aux suites à 2 indices, des propriétés classiques des réalisations des suites à un indice [KAIMAN 2, SILVERMAN].
# V. ETUDE ALGEBRIQUE DES SYSTEMES Σ.

## ALGORITHME DE REALISATION MINIMALE

Dans la suite, les systèmes Σ considérés seront à entrée scolaire et sortie scolaire ($m = p = 1$).

### V. 1. Représentation algébrique d'un système Σ.

$$
\text{Soit } \begin{array}{l} \Omega = \{\omega = \{\omega_{i,j}\} ; i \le 0, j \le 0, \omega_{i,j} \in \mathbb{R}\} \\ \Gamma = \{\gamma = \{\gamma_{i,j}\} ; i > 0, j > 0, \gamma_{i,j} \in \mathbb{R}\} \end{array}
$$

A toute suite {$A_{i,j} ; i > 0, j > 0$} on peut associer une
application linéaire $f : \Omega \to \Gamma$, caractérisée par :

$$
(5.1) \quad f(e_{1-i,1-j}) = \begin{bmatrix} A_{i,j} & A_{i+1,j} & \cdots \\ A_{i,j+1} & \cdots & \cdots \\ \cdots & \end{bmatrix} \quad \text{où } e_{i,j} \text{ désigne la suite } \{\omega_{k,l} = \delta_{i-k,j-l}\}^* .
$$

De plus, si l'on définit les opérateurs de translation
canonique de la manière suivante :

$$
\forall \{\omega_{i,j}\} \in \Omega : \begin{array}{l} \sigma_{\Omega_1}\{\omega_{i,j}\} = \{\omega_{i+1,j}\} \\ \sigma_{\Omega_2}\{\omega_{i,j}\} = \{\omega_{i,j+1}\} \end{array}
$$

$$
\forall \{\gamma_{i,j}\} \in \Gamma : \begin{array}{l} \sigma\Gamma_1(\gamma_{i,j}) = \{\gamma_{i+1,j}\} \\ \sigma\Gamma_2(\gamma_{i,j}) = \{\gamma_{i,j+1}\} \end{array}
$$

L'équation (5.1) implique :

$$
f \circ \sigma_{\Omega_i} = \sigma_{\Gamma_i} \circ f \quad i \in (1,2)
$$

<footnote>\* $\delta_{i-k,j-l}$ est le symbole de Kronecker à 2 indices.</footnote>
## Définition (5.1)

L'application linéaire $f$ définie par les équations (5.1) est dite réalisable s'il existe un système $\Sigma$ ayant comme réponse impulsionnelle la suite $\{A_{i,j} : i > 0, j > 0\}$.

Dans ces conditions, il découle des propriétés de linéarité et d'homogénéité des systèmes $\Sigma$, que ceux ci sont entièrement décrits par les applications $f$ correspondantes.

# IV. 2. Caractérisation des applications $f$ réalisables

## Théorème (5.1):

L'application linéaire $f$ définie par les équations (5.1) est réalisable si et seulement si, elle est de rang fini. De plus, si $f$ est réalisable, son rang est égal à la dimension de la réalisation minimale.

## Condition nécessaire :

Si $f$ est réalisable, il existe un quadruplet $(H, F_1, F_2, G)_n$ avec $F_1 F_2 = F_2 F_1$, tel que

$$ \forall i > 0, j > 0 : H F_1^i F_2^j G = A_{i,j} $$

Soit $\sigma : \mathbb{N}^2 \to \mathbb{N}$ une bijection de $\mathbb{N}^2$ dans $\mathbb{N}$, $f$ peut alors être représentée par une matrice infinie définie par

$$ \mathcal{H}(\sigma(i,j), \sigma(k,l)) = A_{i+k, j+l} = HF_1^{i+k}F_2^{j+l}G = (HF_1^i F_2^j)(F_1^k F_2^l)G $$

On peut alors remarquer que $\mathcal{H}$ peut s'écrire :

$$ (5.2) \qquad \mathcal{H} = O_{\infty} C_{\infty} $$

où $O$ et $C$ sont les matrices d'observabilité et de commandabilité définies au chapitre IV.

Il s'ensuit que le rang de l'application $f$ (ou de la matrice $\mathcal{H}$) est égal à la dimension de la réalisation minimale.
**Condition suffisante :**

Nous démontrons d'abord le lemme suivant :

**Lemme (5.1) :**

Les propositions suivantes sont équivalentes :

i) Le quadruplet $(H, F_1, F_2, G)_n$ est une réalisation de $\Sigma$.

ii) $\Sigma$ peut être décrit par les équations :

$$ (5.3) \qquad \left\{ \begin{array}{l} y_{i,j} = H X_{i,j} \\ X_{i+1,j+1} = F_1 X_{i,j+1} + F_2 \dot{X}_{i+1,j} - F_1 F_2 X_{i,j} + G u_{i,j} \end{array} \right. $$

où $\{u_{i,j}, (i,j) \in \mathbb{Z}^2\}$ et $\{y_{i,j} ; (i,j) \in \mathbb{Z}^2\}$ sont respectivement les suites d'entrée et de sortie de $\Sigma$.

iii) Il existe deux suites :

$$ \{\sigma_1(k,l) ; (k,l) \in \mathbb{Z}^2, \sigma_1(k,l) \in \mathbb{R}^n\} $$

$$ \{\sigma_2(k,l) ; (k,l) \in \mathbb{Z}^2, \sigma_2(k,l) \in \mathbb{R}^n\} $$

telles que le système $\Sigma$ puisse être décrit par les équations :

$$ (5.4) \qquad \left\{ \begin{array}{l} y_{k,l} = H X_{k,l} \\ X_{k+1,l} = F_1 X_{k,l} + \sigma_2(k,l) \\ X_{k,l+1} = F_2 X_{k,l} + \sigma_1(k,l) \\ X_{k+1,l+1} = F_1 F_2 X_{k,l} + \sigma_1(k,l) F_2 \sigma_2(k,l) + G u_{k,l} \end{array} \right. $$

où $\{u_{k,l} ; (k,l) \in \mathbb{Z}^2\}$ et $\{y_{k,l} ; (k,l) \in \mathbb{Z}^2\}$ sont respectivement les suites d'entrée et de sortie de $\Sigma$.

**Démonstration du lemme 5.1**

i) $\iff$ ii) découle de la définition d'une réalisation

iii)→ ii) si la suite $\{X_{kl}, (k,l) \in \mathbb{Z}^2\}$ vérifie les équations (5.4), il suffit de former le membre de droite de l'équation
(5.3) pour constater que celle-ci est vérifiée.

ii) $\rightarrow$ iii) On introduit les suites $\{\sigma_1(k,l);(k,l) \in \mathbb{Z}^2\}$ et $\{\sigma_2(k,l);(k,l) \in \mathbb{Z}^2\}$ données par :

$$ (5.5) \qquad \sigma_1(k,l) = \sum_{-\infty}^{k-1} F_1^{k-i-1} G u_{i,1} \\ \sigma_2(k,l) = \sum_{-\infty}^{l-1} F_2^{l-j-1} G u_{k,j} $$

ou de manière équivalente par :

$$ (5.6) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \sigma_1(k,l) = F_1 \sigma_1(k-1,l) + G u_{k-1,l} \\ \sigma_2(k,l) = F_2 \sigma_2(k,l-1) + G u_{k,l-1} \\ \sigma_i(-\infty, \cdot) = \sigma_i(\cdot, -\infty) = 0 \quad ; \ i \in (1,2) \end{array} \right. $$

On vérifie alors que la suite $\{X_{k,l} ; (k,l) \in \mathbb{Z}^2\}$ vérifie les équations (5.4) où les suites $\{\sigma_1(k,l) ; (k,l) \in \mathbb{Z}^2\}$ et $\{\sigma_2(k,l) ; (k,l) \in \mathbb{Z}^2\}$ sont données par (5.6).

## Démonstration de la condition suffisante du théorème 5.1.

Supposons que l'application $f$ soit de rang fini $n$.
Nous savons [KALMAN 1, RISSANEN] qu'elle peut être factorisée à travers un espace vectoriel $X$ isomorphe à l'image de $f$ dans $\Gamma$, suivant le schéma algébrique suivant :

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

où $p$ est une application linéaire injective de $X$ dans $\Gamma$.
$q$ est une application linéaire surjective de $\Omega$ dans $X$.
Cette factorisation est dite canonique.
Supposons donc réalisée une factorisation canonique de f à travers l'espace vectoriel X.

Soit $U_1 : \text{l'espace des suites de la forme } [\dots u_{-n} \dots u_{-1}] ; u_k \in \mathbb{R}$

$U_2 : \text{l'espace des suites de la forme } \begin{bmatrix} u_{-1} \\ \vdots \\ u_{-n} \\ \vdots \end{bmatrix} ; u_k \in \mathbb{R}$

$j_1 : \text{l'injection canonique de } U_1 \text{ dans } \Omega$

$j_2 : \text{l'injection canonique de } U_2 \text{ dans } \Omega$

$j : \text{l'injection canonique de } \mathbb{R} \text{ dans } \Omega$.

Nous introduisons alors les diagrammes algébriques suivants :

i) 1er diagramme

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

ce diagramme induit une application unique $\theta_1 : U_2 \times X \rightarrow X$

$\theta_1$
En effet, l'application $q$ étant surjective, cette application $\theta_1$ se détermine en utilisant la propriété de commutativité de $f$ avec les opérateurs de décalage, et l'existence d'une application unique $p^{-1}$, inverse de l'application injective $p$, définie sur l'image de $p$ dans $\Gamma$. On obtient alors :

$$ (5.7) \quad \forall (u_2,x) \in U_2 \times X : \theta_1(u_2,x) = p^{-1} \circ \sigma \Gamma_1 \circ \text{op}(x) + q \circ j_2(u_2) $$

## ii) 2ème diagramme

En permutant les indices 1 et 2, dans le diagramme i), on définit une application $\theta_2$ unique :

$$ U_1 \times X \xrightarrow{\theta_2} X $$

donnée par :

$$ (5.8) \quad \forall (u_1,x) \in U_1 \times X : \theta_2(u_1,x) = p^{-1} \circ \sigma \Gamma_2 \circ \text{op}(x) + q \circ j_1(u_1) $$

## iii) 3ème diagramme

<figure><img src="image_6.png" /></figure>
Pour les mêmes raisons que précédemment, ce diagramme
induit une application unique θ₃ :

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

donnée par :

$$
\forall (u, u_1, u_2, \dots) \in \mathbb{R}^p \times U_1 \times U_2 \times X :
$$

$$
(5.9) \quad \theta_3(u, u_1, u_2, x) = p^{-1} o \sigma \Gamma_1 o \sigma \Gamma_2 o p(x) + (p^{-1} o \sigma \Gamma_1 o p) o(q \circ j_1)(u_1) \\
\phantom{(5.9) \quad \theta_3(u, u_1, u_2, x) = } + (p^{-1} o \sigma \Gamma_2 o p) o(q \circ j_2)(u_2) \\
\phantom{(5.9) \quad \theta_3(u, u_1, u_2, x) = } + q \circ j(u)
$$

Posons maintenant :

$$
(5.10) \quad \left\{
\begin{array}{l}
F_1 = p_0^{-1} \sigma \Gamma_1 \circ p \\
F_2 = p_0^{-1} \sigma \Gamma_2 \circ p \\
G = q \circ j \\
H = \mathcal{P} \circ p \quad \text{ou } \mathcal{P} \text{ est l'opérateur de projection} \\
\text{canonique de } \Gamma \text{ sur } \mathbb{R}.
\end{array}
\right.
$$

$$
(5.11) \quad \begin{cases} (q_{oj_2}) (u_2) = \sigma_2 \\ (q_{oj_1}) (u_1) = \sigma_1. \end{cases}
$$

En substituant les équations (5.10) et (5.11) dans les
équations (5.7), (5.8) et (5.9) définissant les applications θ₁,
θ₂, θ₃, on retrouve les équations (5.4) du lemme (5.1).

Le quadruplet $(H, F_1, F_2, G)_n$ ainsi défini est donc une réa-
lisation d'un système $\Sigma$ représenté par l'application $f$.
Il découle enfin de la condition nécessaire de ce théorème que la réalisation $(H, F_1, F_2, G)_n$ est de dimension minimale puisque sa dimension est égale au rang de l'application $f$.

### V. 3. Construction de la réalisation canonique - Algorithme de réalisation.

Il s'agit de réaliser pratiquement la décomposition canoni-que de l'application linéaire $f$, en produit d'une application surJECTIVE $q$, et d'une application INJECTIVE $p$, suivant le diagramme :

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

L'application $f$ peut être représentée par une matrice in-finie $A$ en introduisant une bijection $\sigma : \mathbb{N}^2 \to \mathbb{N}$, la matrice $B$ étant définie par :

$$B(\sigma(i,j), \sigma(k,l)) = A_{i+k, j+l}$$

où $\{A_{i,j} : i \ge 0, j \ge 0\}$ désigne la suite définissant l'application $f$.

Soit $c_{i,j}$ le vecteur ligne de $B$ donné par

$$c_{i,j} = \{A(\sigma(i,j), \sigma(k,l)) : k \ge 0, l \ge 0\}$$

Pour factoriser l'application $f$, ou de manière équivalente la matrice $B$, il convient de rechercher une procédure adéquate de la recherche du rang de cette matrice, compte tenu de sa forme parti-culière.
Le lemme suivant nous indique la procédure à suivre :

**Lemme (5.2)**

Si pour (i,j) donné, on a :

$$
(5.12) \quad \int_{i,j}^{A} = \sum_{(p,q) \in D^{P,q}} \int_{p,q}^{A} \quad \text{D domaine inclus dans } \mathbb{N}^{2}
$$

Alors :

$$
(5.13) \quad \forall (\alpha, \beta) \in \mathbb{N}^2 : \quad \int_{i+\alpha, j+\beta}^{A} = \sum_{(p,q) \in D^{P,q}} \int_{p+\alpha, q+\beta}^{A}.
$$

Démonstration :

L'équation (5.12) se traduit par :

$$
A_{i+k, j+1} = \sum_{(p,q) \in D^{P,q}} C^{C}_{p,q} A_{p+k, q+1} \quad \forall (k,l) \in \mathbb{N}^{2}
$$

Elle implique en particulier que :

$$
(5.14) \quad A_{i+\alpha+k, j+\beta+1} = \sum_{(p,q) \in D^{P,q}} C^{C}_{p,q} A_{p+\alpha+k, q+\beta+1} \quad \forall (k,l) \in \mathbb{N}^{2}
$$

Or l'équation (5.14) n'est autre qu'une traduction de l'équation
(5.13).

Ce résultat conduit à la procédure suivante, pour la re-
cherche des lignes $A_{ij}$ indépendantes entre elles :

-Étape i = o

Soit $a_0$ le premier indice $j$ pour lequel la ligne $a_{0,a_0}^j$ est linéairement dépendante des lignes $\{a_{0,p}^j : p < a_0\}$.

Il resulte du lemme (5.2) que pour tout k ∈ N, la ligne aok est
linéairement dépendante des lignes {A<sub>o,p</sub> ; p < a<sub>o</sub>}.
### -Étape i

Soit $a_i$ le premier indice $j$ pour lequel la ligne $\mathcal{H}_{i,a_i}$ est linéairement dépendante des lignes $\{\mathcal{H}_{p,q} : p \le i, q < a_p\}$. Il résulte du lemme (5.2) que pour tout $(n,m) \in \mathbb{N}^2$, les lignes $\{\mathcal{H}_{n,m} : m \ge a_i\}$ sont linéairement dépendantes des lignes $\{\mathcal{H}_{i,j} : i \le n, j < a_i\}$. De plus, les lignes $\{A_{i,j} : i \le n, j < a_i\}$ sont indépendantes entre elles d'après la construction même de la suite $a_0, a_1, \dots, a_n$. On est donc sûr par ce procédé de repérer toutes les lignes $\mathcal{H}_{i,j}$ indépendantes.

Remarquons enfin, que toujours en vertu du lemme (5.2) la suite $a_0, a_1, \dots$ est décroissante.

Pour illustrer la procédure suivie, nous donnons l'exemple hypothétique suivant :

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIG. 5.1</figcaption></figure>
Les points $(i,j)$ marqués d'une croix représentent les lignes $\mathcal{A}_{i,j}$ indépendantes entre elles. Les points $(i,j)$ marqués d'un rond représentent les lignes $\mathcal{A}_{i,j}$ linéairement dépendantes des précédentes. Les flèches pleines et pointillées indiquent le chemin poursuivi.

Utilisant cette procédure, il est assez aisé de factoriser la matrice $\mathcal{A}$. Il s'agit en effet de définir 2 matrices $P$ et $Q$ de rang plein, dont les éléments courants sont $p(\sigma(i,j),r)$ et $Q(r,\sigma(k,1))$, et vérifient :

$$ \mathcal{A}(\sigma(i,j), \sigma(k,1)) = \sum_r P(\sigma(i,j),r)Q(r, \sigma(k,1)) $$

Nous proposons la méthode de décomposition suivante :

i) On construit un diagramme du type de la figure (5.1) par la méthode que nous avons indiquée précédemment. Soit $M$ l'ensemble des $(i,j)$ marqués d'une croix, $C_M$ le complémentaire de $M$ dans $\mathbb{N}^2$.

ii) Pour chaque indice $(i,j)$ appartenant à $M$, on introduit une nouvelle ligne $Q_r$ de $Q$, donnée par

$$ \mathcal{A}(\sigma(i,j), \sigma(k,1)) = Q(r, \sigma(k,1)) \quad \forall (k,1) \in \mathbb{N}^2 $$

Autrement dit :

$$ \mathcal{A}_{ij} = Q_r . $$

Afin que l'équation (5.15) soit vérifiée, on doit poser pour l'indice $(i,j)$ considéré :

$$ P(\sigma(i,j),s) = \delta_{sr} $$

Ainsi la matrice $Q$ sera formée des lignes indépendantes de la matrice $\mathcal{A}$.

iii) Pour compléter la matrice $P$, il suffit de déterminer la relation de dépendance linéaire, qui caractérise chacune des lignes $\mathcal{A}_{i,j}$ de la matrice $\mathcal{A}$, correspondant à un indice $(i,j)$ appartenant à $C_M$.

<footnote>* $\delta_{sr}$ symbole de Kronecker.</footnote>
La forme générale des matrices P et Q sera alors :

$$
P = \begin{array}{c}
\begin{array}{c}
\downarrow r \\
\left[
  \begin{array}{ccccccc}
    1 & 0 & \cdots & 0 \\
    0 & 1 & \cdots & 0 \\
    \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & -0 \\
    \gamma_1 & \gamma_2 & \cdots & 0 \\
    0 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
    \beta_1 & \beta_2 & \beta_3 & \beta_4 & 0 & \cdots & -0
  \end{array}
\right] \\
\vdots
\end{array} \\
\sigma(k,l)
\end{array}
\leftarrow \sigma(i,j)
$$
$Q = r \rightarrow (\text{lignes indépendantes de la matrice } \mathcal{H} \text{ ).})$

Les équations (5.10) donnent alors la réalisation mini-
male $(H, F_1, F_2, G)_n$ associée aux matrices P et Q obtenues.

Remarquons que cette réalisation s'obtient très aisément
grâce à la forme particulière de la matrice P :

La matrice H est constituée de la 1ère ligne de P, soit

$$
H = (1 \ 0 \ \ldots \ 0)
$$

La matrice G est constituée de la 1ère colonne de Q

. Les opérateurs σΓ₁op et σΓ₂op sont représentés par les matrices
P₁ et P₂ définies par :

$$
P_1(\sigma(i,j),r) = P(\sigma(i+1,j),r)
$$

$$
P_2(\sigma(i,j),r) = P(\sigma(i,j+1),r)
$$

On peut remarquer d'autre part, que l'antécédent par p
d'un vecteur y appartenant à l'image de p, s'obtient immédiatement,
en conservant les composantes de y correspondant aux lignes σ(i,j)
de P pour les indices (i,j) ∈ M.

Il s'ensuit que les matrices $F_1$ et $F_2$ sont constituées
respectivement des lignes de $P_1$ et $P_2$ correspondant aux indices
$(i,j) \in M$.

V. 4. Réalisation d'une suite à support compact.

Il résulte de la construction précédente que l'applica-
tion f associée à une suite à support compact {$A_{i,j} : 0 \le i \le N-1, o \le j \le M-1$}, est au plus de rang NM. En effet, toutes les lignes {$\int_{p,q}^j : p \ge N \text{ ou } q \ge M$} de la matrice $\int_j$ seront dans ce cas iden-
tiquement nulles.

L'application du théorème (5.1) montre alors que toute
suite à support compact {$A_{i,j} : 0 \le i \le N-1, 0 \le j \le M-1$} est réa-
lisable, et que les réalisations minimales sont de dimension au
plus égale au produit NM.

V. 5. Conclusion

L'algorithme que nous proposons permet donc d'obtenir
directement une réalisation minimale d'une suite {$A_{i,j} : i \ge 0, j \ge 0$}
donnée.

Cet algorithme a été mis en oeuvre en FORTRAN, et avec
succès, par CIERGET et RONDEPIERRE, sur un calculateur 9080 de la
CII.
VI. CONCLUSION GENERALE

Ainsi, nous avons introduit une classe de systèmes liné-
aires à 2 indices qui permet d'approximer tout système linéaire à
2 indices ayant une réponse impulsionnelle {$A_{i,j} : i > 0, j > 0$}
de puissance p-sommable.

Plus généralement, toute suite {$A_{i,j} : i \ge 0, j \ge 0$}
de puissance p-sommable peut être approximée par une suite
$\omega = \{\omega_{i,j} = H F_1^i F_2^j G : i \ge 0, j \ge 0\}$.

D'autre part, l'étude que nous avons faite de ces systèmes
a permis de généraliser l'ensemble des propriétés classiques des
systèmes linéaires stationnaires à un indice.
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