<figure><img src="image_1.png" /></figure>

# Méthodologie optimisée pour la reconstruction tomographique avec ajout d'informations *a priori* pour l'inspection par rayons X

Victor Bussy<fnref n="1" />, Caroline Vienne<fnref n="1" />, Julie Escoda<fnref n="1" />, Valérie Kaftandjian<fnref n="2" />

## Résumé

Cet article propose une méthodologie pour améliorer la qualité de la reconstruction tomographique par rayons X en utilisant la connaissance *a priori* du modèle 3D de l'objet inspecté. Pour cela, la conception assistée par ordinateur (CAO) de l'objet inspecté est intégrée dans les différentes étapes du processus tomographique. Elle permet d'une part de choisir les meilleures vues lors de la phase d'acquisition et d'autre part de réduire le nombre d'inconnues lors de la phase de reconstruction. Cette approche est illustrée sur un exemple issu de la fabrication additive. Les résultats expérimentaux montrent que la méthode proposée permet d'obtenir des reconstructions de meilleure qualité que les méthodes traditionnelles de reconstruction tomographique à partir d'un nombre de vues restreint. Cette approche ouvre des perspectives intéressantes pour améliorer la qualité des images dans des applications industrielles

## 1. Introduction

La reconstruction tomographique est une technique de contrôle non destructif de plus en plus utilisée par les industriels. Toutefois, elle peine à s'imposer à cause du temps d'acquisition encore trop long des nombreuses projections. Mais depuis peu, on dispose de solutions afin de pouvoir reconstruire un objet en trois dimensions malgré un faible nombre de vues grâce à une stratégie dite *sparse-view CT*. Un moyen efficace de pallier au manque de vues est l'injection d'informations *a priori*. Dans ce papier, nous proposons une méthodologie pour la tomographie qui exploite l'information *a priori* apportée par un modèle CAO 3D. En effet, dans un contexte industriel, les pièces inspectées sont souvent dessinées et usinées par l'industriel lui-même et le modèle CAO est donc souvent disponible. L'approche que nous proposons offre des améliorations à divers niveaux du processus de reconstruction tomographique.

Tout d'abord, l'orientation de l'objet inspecté, le placement du détecteur et de la source peuvent être optimisés en amont de l'expérience grâce à la

connaissance *a priori* de la géométrie de la pièce. De plus, les projections à acquérir peuvent être judicieusement sélectionnées afin de n'utiliser que les plus utiles à la reconstruction.

En étape préalable à cette sélection des vues optimales, basée sur l'intégration du modèle CAO de la pièce dans un simulateur de projections radiographiques, nous proposons une méthode de recalage rapide et robuste.

Lors de l'étape de reconstruction, la connaissance *a priori* de la géométrie de la pièce permet d'inférer de nombreuses informations. Nous présenterons une reconstruction masquée, qui exclut les zones ne contenant pas de matière. Ce point permet de réduire considérablement le nombre de variables, améliorant de fait la qualité de reconstruction.

Finalement, la connaissance *a priori* de la pièce à reconstruire permet aussi d'introduire un terme de régularisation. Dans ce papier, nous présenterons une technique de régularisation, adaptée aux cas industriels, basée sur les *Non Local Means* [1].

Ce papier synthétise ces différentes contributions qui peuvent être exploitées indépendamment ou de manière combinée. Dans les Sections 2 à 5, nous présentons l'état de l'art relatif à chaque problématique, décrivons la méthode que nous avons proposée et la validons sur des données simulées ou réelles obtenues à partir d'un objet issu de la fabrication additive. La Section 6 analyse la méthodologie globale qui consiste à combiner toutes ces optimisations.

## 2. Optimisation de la trajectoire

### 2.1. Le problème du choix des vues

Encore aujourd'hui, la plupart des acquisitions pour la tomographie par rayons X sont effectuées selon une trajectoire circulaire autour de l'objet. Les projections sont prises uniformément, pourtant, beaucoup d'études montrent que ce choix n'est pas optimal. Les informations apportées par les projections sont redondantes et le ratio signal sur bruit souvent peu optimisé.

<footnote n="1">¹Université Paris-Saclay, CEA, LIST, F-91190, Palaiseau, France</footnote>

<footnote n="2">²Laboratory of Vibrations and Acoustics, INSA-Lyon, Villeurbanne, France</footnote>

<footnote>*corresponding author, e-mail: victor.bussy@cea.fr</footnote>
Grâce à la connaissance *a priori* de la géométrie de la pièce, plusieurs méthodes visant à optimiser les angles d'acquisition des projections ont été proposées. Certaines ne se libèrent pas totalement des trajectoires circulaires mais optimisent quand même l'orientation de la pièce [2][3]. La plupart de ces méthodes d'optimisation tentent de réduire l'atténuation des rayons afin limiter les artefacts dus à l'appauvrissement du faisceau de photons (*photon starvation*) et le niveau de bruit de l'image. On peut aussi noter d'autres stratégies qui utilisent un indice de détectabilité afin de privilégier les projections qui maximisent le contraste d'éventuels défauts [4][5]. D'ailleurs, Presenti et al. favorisent aussi les vues pour lesquelles un potentiel défaut est visible afin d'inspecter une pièce sans reconstruction et économiser du temps pour la détection de défauts [6]. Cependant, la plupart de ces méthodes demandent de forts *a priori* sur les potentiels défauts ainsi qu'un temps de calcul rédhibitoire. Cet article propose donc d'utiliser des techniques issues de la *Discrete Empirical Interpolation Method* (DEIM), notamment la QDEIM [7]. Grâce à une décomposition QR avec pivot, cette méthode permet de trier un ensemble de projections par ordre d'importance, afin de n'acquérir que les projections les plus informatives pour la reconstruction. Un sinogramme est simulé grâce à la CAO et un lanceur de rayons réalistes, puis la méthode QDEIM est appliquée sur ce sinogramme afin de sélectionner les vues. Cette méthode ne prend que quelques secondes et ne demande pas de connaissances *a priori* sur les défauts. De plus, elle peut être adaptée pour différents objectifs, tels que la réduction d'un certain artefact, l'absorption ou la visibilité d'une zone d'intérêt [8].

## 2.2. Résultats de la méthode QDEIM

Pour illustrer les résultats de QDEIM, nous utiliserons un échantillon issu d'une fabrication additive arc-fil (ou wire arc additive manufacturing, WAAM), présenté en Figure 1. Pour ce type de fabrication, un modèle CAO est nécessaire, ce qui coïncide avec le besoin de connaissance *a priori* de la méthode QDEIM. Cependant, on remarquera que lors de la fabrication, le soudage à l'arc électrique ne permet pas un contrôle optimal de la géométrie ce qui mène à un objet réel très différent de son modèle 3D, notamment en termes d'aspect de surface. Malgré ce problème, la méthode reste robuste car les projections simulées pour le choix des vues sont de taille 128x128 pixels, ce qui diminue l'impact de l'écart à la CAO. La méthode QDEIM a été appliquée sur un ensemble de 900 projections réparties uniformément sur, une trajectoire circulaire, afin de sélectionner les 360 meilleures projections.

La Figure 2 montre les quatre premières projections sélectionnées par la méthode. On remarque que les vues les plus favorisées par la méthode QDEIM sont celles qui ont des angles saillants visibles car les rayons tangents aux

bords permettent une meilleure reconstruction de ceux-ci [7][8].

Afin de mesurer l'apport de la méthode QDEIM, nous comparons la reconstruction de notre échantillon avec la méthode SART (Simultaneous Algebraic Reconstruction

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1 : Echantillon issu d'une fabrication WAAM étudié.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2 : Quatre premières projections sélectionnées par la méthode QDEIM.</figcaption></figure>

Technique) pour différents échantillonnages autour de la même trajectoire circulaire. Le Tableau 1 résume les résultats obtenus sur la qualité de reconstruction pour la méthode QDEIM, un échantillonnage régulier et aléatoire. En comparaison à la stratégie uniforme, la méthode QDEIM apporte un gain important sur la reconstruction même pour un nombre élevé de projections.
<table><caption>Tableau 1 : Qualité de reconstruction avec 360 projections pour différentes stratégies d'acquisition.</caption><thead><tr><th></th><th>QDEIM</th><th>Uniforme</th><th>Aléatoire</th></tr></thead><tbody><tr><th>PSNR [dB]</th><td>46.53</td><td>45.26</td><td>43.20</td></tr><tr><th>SSIM</th><td>0.8541</td><td>0.8201</td><td>0.6243</td></tr></tbody></table>

Cependant, afin de pouvoir capturer les vues sélectionnées il est nécessaire de mettre la référence et l'objet réel dans le même référentiel.

## 3. Recalage pour l'inspection

### 3.1. Les techniques de recalage

Afin d'intégrer efficacement des informations a priori, un recalage précis de celles-ci avec les données expérimentales est nécessaire. En mettant la reconstruction expérimentale et une simulation réaliste dans le même repère, il est possible d'inférer de l'information et d'inspecter la pièce plus facilement. Ce problème, appelé *Estimation de Pose*, est rencontré dans de nombreux domaines dont la réalité augmentée et la thérapie guidée par l'image. Plusieurs méthodes existent pour recaler la CAO sur les projections. Parmi celles-ci, deux catégories se distinguent, selon la présence ou non de marqueurs. La première catégorie utilise des repères fiduciaux externes dédiés, attachés à l'objet, qui peuvent être utilisés pour recaler les images. Lorsque les correspondances sont connues entre l'espace 3D du monde et l'espace 2D de l'image, le calcul du recalage est presque direct [9].

La deuxième catégorie de techniques de recalage ne repose pas sur des marqueurs mais sur des caractéristiques naturelles. La technique la plus courante consiste à optimiser la position des images simulées jusqu'à converger vers les images expérimentales cibles.

La méthode que nous proposons fait partie de cette dernière catégorie. Cependant, contrairement aux autres méthodes, elle ne nécessite pas de simuler une projection entière, ce qui accélère significativement la procédure [10].

### 3.2. Inverse Perspective Matching

Dans cet exemple, nous utilisons *l'Inverse Perspective Matching* pour recaler le modèle CAO sur deux projections expérimentales de notre pièce de fabrication additive. Les deux projections sont prises à 90° l'une de l'autre. Dans un premier temps, une segmentation watershed est appliquée sur les projections afin de déterminer la zone qui décrit la pièce. Ensuite, les points de l'enveloppe convexe de cette zone vont être mis en correspondance avec les points de l'enveloppe convexe de la CAO 3D. En effet, seuls ces derniers peuvent être responsables des points de l'enveloppe convexe sur la projection. En ne considérant que les enveloppes convexes, *l'inverse perspective matching* est beaucoup

plus rapide que les méthodes qui nécessitent la création de projections complètes [11]. La mise en correspondance est faite en minimisant la distance rayon-point 3D, puis le déplacement optimal est déterminé par la méthode des moindres carrées. Ces étapes sont itérées jusqu'à convergence.

La Figure 3 représente la superposition du modèle CAO aux vues expérimentales. Le recalage obtenu est visuellement satisfaisant mais en raison du fort écart entre le modèle et la pièce réelle, on ne peut aboutir à une superposition parfaite. De plus, un mauvais positionnement de la source ou du détecteur peuvent eux aussi engendrer des erreurs dans le recalage. Afin de quantifier la qualité du recalage, nous proposons de comparer la position et l'orientation globale de la reconstruction de la pièce avec les vues expérimentales et le modèle CAO. La reconstruction est faite grâce aux 900 vues expérimentales sur une trajectoire circulaire et pour un volume de 1228x1228x607 voxels de 100 µm³. Le Tableau 2 montre l'écart entre les centres de masse et l'orientation des axes principaux d'inertie. On remarque que les barycentres sont à 760 µm d'écart et les axes principaux d'inertie de la pièce diffèrent au maximum de 5°. Malgré l'important écart modèle-expérimentale et l'absence du socle dans la CAO, le recalage est satisfaisant. La méthode montre une vraie robustesse sur de nombreuses sources d'erreurs.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 3 (a) : Superposition de la projection expérimentale et du modèle CAO (vue frontale).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 3 (b) : Superposition de la projection expérimentale et du modèle CAO (vue transverse).</figcaption></figure>
<table><caption>Tableau 2 : Evaluation quantitative du recalage par Inverse Perspective Matching appliqué aux données étudiées.</caption><thead><tr><th></th><th>Axe X</th><th>Axe Y</th><th>Axe Z</th></tr></thead><tbody><tr><td>Ecart centre de gravité<br>[voxels]</td><td>5.323</td><td>5.020</td><td>2.056</td></tr><tr><td>Ecart axes<br>principaux[degrés °]</td><td>5.056</td><td>5.055</td><td>0.119</td></tr></tbody></table>

# 4. Reconstruction sur masque

## 4.1. Reconstruction sur support adapté

Afin de réduire le nombre de variables lors de la reconstruction tomographique, il est possible de changer la représentation de l'objet. Certaines études ont essayé de décrire la pièce reconstruite avec des fonctions splines [14], des tétraèdres [15], et même des arbres [16]. Mais grâce à la CAO, on peut simplement induire un masque c'est à dire garder une représentation basée sur des voxels, et se limiter à ceux qui contiennent effectivement de la matière. Grâce au recalage précédent il est facile de prédire la zone adaptée. Ceci est particulièrement utile pour des pièces concaves. Toutefois, afin de prendre en compte l'écart au modèle, le masque est dilaté afin d'être certain de contenir toute la matière de l'objet.

## 4.2. Résultats de la reconstruction masquée

Le masque a été appliqué sur la pièce de fabrication additive. Le schéma de reconstruction est adapté afin d'ignorer les zones hors du masque [11]. La rétroprojection n'est faite que sur les voxels activés par le masque. La Figure 4 montre le résultat sur une reconstruction SIRT (Simultaneous Iterations Reconstruction Technique) avec 360 projections selon une trajectoire circulaire uniforme pour un volume de 1228x1228x607 voxels de 100 µm³. Nous pouvons comparer à gauche la reconstruction FDK (Feldkamp, Davis and Kress) classique et à droite la reconstruction masquée. Les artefacts sont diminués et le contraste au niveau des fissures est beaucoup plus prononcé. Les délimitations de la pièce sont moins floues, ce qui aide à une potentielle segmentation. On remarquera ici que le masque est dilaté de 50 voxels soit 5 mm pour être sûr d'être robuste vis-à-vis de l'état de surface de l'objet réel.

# 5. Régularisation adaptée

## 5.1. Les différents termes de régularisation

Lors de la reconstruction tomographique, la qualité de l'image obtenue dépend de la quantité d'informations disponibles et de la méthode de régularisation utilisée pour traiter les données incomplètes. Si des informations *a priori* sont disponibles sur l'objet à reconstruire, telles que sa forme ou sa texture, il est judicieux de les exploiter pour améliorer la qualité de l'image. Cela permet également de réduire l'impact des artefacts de bruit sur la reconstruction. Dans cette optique, plusieurs méthodes de régularisation ont été proposées pour la reconstruction tomographique, telles que la régularisation parcimonieuse basée sur les gradients (Total Variation), la régularisation basée sur les formes d'onde (Wavelets) ou encore la régularisation basée sur les Non-Local-Means (NLM) [1][12].

Les Non Local Means sont initialement une méthode de débruitage qui exploite les redondances au sein d'une même image. Cependant, si on dispose d'une image de référence *a priori* à laquelle l'image en cours de reconstruction peut être comparée, on peut directement injecter cette information dans la reconstruction. Nous appelons cette méthode les NLM adaptés et elle permet d'améliorer significativement la qualité de la reconstruction tomographique [13]. Ceci revient à inclure le terme de régularisation :

$$R(x) = \sum_{j} \sum_{k \in N_j} \omega(k, j) \cdot (x_j - x_{a \text{ priori}, j})^2$$

Où $x_{a priori}$ représente l'image de référence simulée grâce à la CAO et recalée, x représente la reconstruction, $N_j$ le voisinage du j-ième voxel et $\omega$ le poids local entre l'image *a priori* et la reconstruction. Plus une zone de la reconstruction en cours ressemble à la référence, plus le poids $\omega$ est fort, ce qui fait tendre davantage la reconstruction vers la référence. Au contraire, si deux zones censées être similaires ne se ressemblent pas, le terme de régularisation s'amoindrit. Cette mécanique permet de n'injecter de l'information que dans les zones de confiance, afin de ne pas négliger les éventuels défauts. Le voisinage $N_j$ est choisi de manière à faire le meilleur compromis entre vitesse de calcul et robustesse au recalage. Plus le voisinage est grand, plus le nombre de voxels à comparer aussi, ce qui ralentit la procédure mais permet de palier à un éventuel mauvais recalage.

## 5.2. Les NLM adaptés

Le terme de régularisation a été testé sur le même exemple d'échantillon issu de fabrication additive que précédemment. La reconstruction régularisée est faite avec les Penalized Weighted Least Squares (PWLS) [13], sur 360 projections selon une trajectoire circulaire sur un
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 4 : Coupe de la reconstruction de la pièce de fabrication additive par FDK (gauche) et par reconstruction SIRT masquée (droite).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 5 : Coupe de la reconstruction de la pièce de fabrication additive avec un terme de régularisation induit par les Non Local Means.</figcaption></figure>
volume 1228x1228x607. La Figure 5 montre le résultat obtenu. La pièce apparaît beaucoup plus nette. Les fissures sont clairement visibles. Quelques artefacts subsistent notamment aux angles, mais le résultat reste supérieur aux versions non-régularisées.

## 6. Conclusions

Cet article présente une approche complète de la tomographie par rayons X en se concentrant sur plusieurs aspects clés du processus, notamment la sélection des vues et la reconstruction.

La méthode de choix des vues proposée a démontré son efficacité en permettant une acquisition optimale des données qui minimise les artefacts. En exploitant les caractéristiques uniques de chaque vue, cette approche a permis d'améliorer considérablement la qualité globale de la reconstruction tomographique.

Afin d'inclure efficacement les informations a priori, un recalage est nécessaire. L'Inverse Perspective Matching a été utilisé pour recaler le modèle CAO à partir de deux vues expérimentales perpendiculaires. L'efficacité de cette méthode a été démontré sur un cas expérimental.

Une fois le recalage effectué, il est possible de masquer les voxels inutiles à la reconstruction. L'utilisation de la reconstruction masquée a permis de supprimer efficacement les structures indésirables et les bruits de fond dans les images reconstruites. Grâce à cette technique, une amélioration significative de la clarté et de la précision des résultats a été obtenue, permettant une interprétation plus précise des données.

Enfin, la reconstruction régularisée par NLM a été introduite comme une approche prometteuse pour la tomographie par rayons X. Cette méthode a permis de réduire les artefacts de bruit et d'améliorer la résolution spatiale des images reconstruites en exploitant les similitudes locales entre les voxels. Les résultats ont montré une nette amélioration de la qualité des reconstructions, offrant ainsi de nouvelles perspectives pour des applications industrielles et de recherche.

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