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BLAISE PASCAL

ARWA ABBASSI

Cup i-produit sur les algèbres graduées avec symétries et
algèbres de Gerstenhaber

Volume 20, n° 2 (2013), p. 331-361.

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Publication éditée par le laboratoire de mathématiques
de l'université Blaise-Pascal, UMR 6620 du CNRS
Clermont-Ferrand — France
# Cup $i$-produit sur les algèbres graduées avec symétries et algèbres de Gerstenhaber

## ARWA ABBASSI

### Résumé

Dans ce papier, on définit, dans le cadre des algèbres graduées avec symétries la notion de cup $i$-produit introduite par Steenrod dans [11]. En utilisant le cup 1-produit, on montre que la cohomologie associée à une algèbre graduée avec symétries est une algèbre de Gerstenhaber.

## Cup $i$-product on the graded algebras with symmetries and Gerstenhaber algebra

### Abstract

In this paper, we define in the framework of graded algebras with symmetries the notion of cup $i$-product introduced by Steenrod in [11]. With the cup 1-product, we prove that the cohomology of a graded algebra with symmetries is a Gerstenhaber algebra.

## 1. Introduction

Dans ce travail, on définit la notion de cup $i$-produits sur les algèbres graduées avec symétries (AGS en abrégé). Rappelons que pour un anneau commutatif $R$, une AGS est la donnée d'un foncteur

$$T : \mathcal{F}in \to \mathcal{A}_R$$

La catégorie $\mathcal{F}in$ étant celle dont les objets sont les ensembles $[n] = \{0, 1, \dots, n\}, n \ge 0$ et les morphismes sont les applications quelconques. La catégorie $\mathcal{A}_R$ est celle des $R$-algèbres commutatives unitaires (cf. [1] pour plus de détails). Ces AGS sont une généralisation des formes différentielles étendues et des formes différentielles non commutatives introduites

<footnote>Mots-clés: algèbre de Gerstenhaber, algèbres graduées avec symétries et cup $i$-produits.</footnote>

<footnote>Classification math.: 18G55.</footnote>
A. ABBASSI

par Connes (cf. [3]). En utilisant le cup 1-produit, on montre que la co-homologie associée à une AGS est une algèbre de Gerstenhaber. On rappelle que la notion d'algèbre de Gerstenhaber a été introduite par Murray Gerstenhaber (cf. [6]) en 1963. Précisèment, Gerstenhaber a montré que la cohomologie de Hochschild $HH^*(A)$ de toute algèbre associative $A$ peut être munie d'un cup produit de degré 0 et d'un crochet de degré -1. Le cup produit est associatif et commutatif et le crochet munit $HH^*(A)$ d'une structure d'algèbre de Lie graduée. De plus, le crochet est une dérivation pour le produit.

Ce travail est organisé de la façon suivante :

- Dans le premier paragraphe, on rappelle les notions d'algèbres différentielles non commutatives, d'algèbres graduées avec symétries et la notion de cup $i$-produits sur les algèbres différentielles non commutatives.

- Dans le deuxième paragraphe, on définit la notion de cup $i$-produits sur les AGS et on dégage quelques propriétés de ces cup $i$-produits.

- Dans le troisième et dernier paragraphe, on montre que la cohomologie associée à une AGS est une algèbre de Gerstenhaber.

## 2. Rappels

Commençons par rappeler quelques résultats concernant les formes différentielles non commutatives données dans [3] et [7] et la définition des cup $i$-produits sur ces mêmes formes ainsi que leurs propriétés donnés dans [1].

### 2.1. Formes différentielles non commutatives

Soient $k$ un anneau commutatif unitaire et $A$ une $k$-algèbre unitaire. Les formes différentielles étendues de degré $n$ sont les éléments du produit tensoriel de $k$-modules

$$T^n(A) = A \otimes A \otimes \cdots \otimes A$$

(n+1 facteurs). Sur $T^*(A) = \bigoplus_{n \ge 0} T^n(A)$, on définit un opérateur de carré nul :

$$D : T^n(A) \to T^{n+1}(A)$$
par la formule suivante :

$$
\begin{align*}
D(a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n) ={}& 1 \otimes a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n - a_0 \otimes 1 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n \\
& + \cdots + (-1)^{n+1} a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n \otimes 1,
\end{align*}
$$

et un produit

$$
T^n(A) \otimes T^p(A) \longrightarrow T^{n+p}(A),
$$

par la formule

$$
(a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n)(b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_p) = a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_p.
$$

Pour toutes formes $w \in T^n(A)$ et $\theta \in T^p(A)$, la différentielle $D$ vérifie
l'identité de Leibniz :

$$
D(w\theta) = D(w)\theta + (-1)^n wD(\theta).
$$

On a en outre une action à droite du groupe symétrique $S_{n+1}$ sur $T^n(A)$.
En effet, en identifiant $S_{n+1}$ à l'ensemble des permutations de $\{0,1,\cdots n\}$,
l'action est définie par la formule suivante :

$$
(a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n)^\sigma = a_{\sigma(0)} \otimes a_{\sigma(1)} \otimes \cdots \otimes a_{\sigma(n)}.
$$

Pour une $k$-algèbre $A$ on pose $\Omega^0(A) = A$ et $\Omega^1(A)$ le noyau de l'applica-
tion :

$$
\begin{array}{ccc}
A \otimes A & \longrightarrow & A \\
x \otimes y & \longmapsto & xy
\end{array}
$$

Le produit tensoriel étant celui de $k$-modules. En fait le $k$-module $\Omega^1(A)$
est aussi un $A$-bimodule et les formes différentielles non commutatives de
degré $n$ sont les éléments du produit tensoriel de $A$-modules :

$$
\Omega^n(A) = \Omega^1(A) \otimes \Omega^1(A) \otimes \cdots \otimes \Omega^1(A) (n \text{ facteurs de } \Omega^1(A)).
$$

La somme $\Omega^*(A) = \bigoplus_{n \ge 0} \Omega^n(A)$ est une algèbre graduée de manière évi-
dente, le produit de deux formes étant obtenu en juxtaposant les produits
tensoriels. Considérons l'homomorphisme de $k$-modules :

$$
d : \Omega^0(A) \longrightarrow \Omega^1(A),
$$

défini par la formule

$$
d(a) = 1 \otimes a - a \otimes 1.
$$

On a alors l'isomorphisme suivant :

$$
\begin{array}{ccc}
A \otimes A/k & \longrightarrow & \Omega^1(A) \\
x \otimes \bar{y} & \longmapsto & xdy
\end{array}
$$
A. ABBASSI

(Le produit tensoriel étant celui de $k$-modules).

L'ensemble $\Omega^n(A)$ des formes différentielles non commutatives de degré $n$ s'identifie alors au produit tensoriel de $k$-modules :

$$A \otimes A/k \otimes \cdots \otimes A/k(n \text{ facteurs de } A/k).$$

Une forme différentielle non commutative de degré $n$ s'écrit donc comme combinaison linéaire de termes de la forme

$$a_0 da_1 \cdots da_n,$$

et le morphisme $d$ s'étend aux formes de degré $n$ de $\Omega^*(A)$ par la formule

$$d(a_0 da_1 \cdots da_n) = da_0 da_1 \cdots da_n.$$

Ce morphisme est de carré nul et vérifie, pour toutes formes $w \in \Omega^n(A)$ et $\theta \in \Omega^p(A)$, l'identité de Leibniz :

$$d(w\theta) = d(w)\theta + (-1)^n w d(\theta).$$

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a

$$\begin{aligned} \Omega^n(A) \subset (A \otimes_k A) \otimes_A (A \otimes_k A) \otimes_A \cdots \otimes_A (A \otimes_k A) \\ \simeq A \otimes_k A \otimes_k \cdots \otimes_k A = T^n(A). \end{aligned}$$

L'algèbre différentielle graduée $\Omega^*(A)$ est donc incluse dans $T^*(A)$.

Rappelons d'autre part, que si $A$ est une $k$-algèbre commutative, une application

$$f : [n] \to [p],$$

(où pour tout $m \in \mathbb{N}$, $[m]$ désigne l'ensemble $\{0, 1, \cdots, m\}$) induit un morphisme

$$f_* : T^n(A) \to T^p(A),$$

défini par la correspondance

$$a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n \mapsto b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_p,$$

où pour tout $j \in [p]$ :

$$b_j = \begin{cases} \prod_{f(i)=j} a_i & \text{si } f^{-1}(j) \neq \emptyset \\ 1 & \text{sinon} \end{cases}$$

On montre alors que sur les formes étendues de degré $n$ on a

$$D = \sum_{i=0}^{n+1} (-1)^i (\delta_i)_*,$$
où les $\delta_i : [n] \to [n+1]$ sont les opérateurs de cofaces définis par $\delta_i(j) = j$
si $i > j$ et $\delta_i(j) = j + 1$ si $i \le j$ et que

$$ \Omega^n(A) = \bigcap_{i=0}^{n-1} \ker(s_i)_*, $$

où les $s_i : [n] \to [n-1]$ sont les opérateurs de codégénérescence définis
par $s_i(j) = j$ si $i \ge j$ et $s_i(j) = j-1$ si $i < j$.

## 2.2. cup i-produits sur les formes différentielles étendues

Soient $k$ un anneau commutatif unitaire et $A$ une $k$-algèbre unitaire.
Pour tous $p, q \in \mathbb{N}$ et $i \in \mathbb{Z}$, nous allons définir un cup $i$-produit :

$$ T^p(A) \otimes T^q(A) \to T^{p+q-i}(A). $$

Soient donc $p, q \in \mathbb{N}$, $w = a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_p \in T^p(A)$ et $\theta = b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_q \in T^q(A)$. Soit $i \le \min(p, q)$. Si $i$ est pair, on pose

$$ \begin{aligned} w \diamond_i \theta = & \sum \epsilon_\lambda a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_{j_0} b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_{k_0} a_{j_0+1} \otimes a_{j_0+2} \cdots \\ & \otimes a_{j_1} b_{k_0+1} \otimes b_{k_0+2} \otimes \cdots \otimes b_{k_1} a_{j_1+1} \otimes a_{j_1+2} \otimes \cdots b_{k_{\frac{1}{2}-1}} a_{j_{\frac{1}{2}}-1+1} \\ & \otimes a_{j_{\frac{1}{2}-1}+2} \otimes \cdots \otimes a_p b_{k_{\frac{1}{2}-1}+1} \otimes b_{k_{\frac{1}{2}-1}+2} \otimes \cdots \otimes b_q. \end{aligned} $$

Le signe $\epsilon_\lambda$ est la signature de la permutation $\lambda$ de $\{0, 1, \dots, p+q+1\}$
qui envoie la forme

$$ a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_p \otimes b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_q, $$

sur

$$ \begin{aligned} & a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_{j_0} \otimes b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_{k_0} \otimes a_{j_0+1} \otimes a_{j_0+2} \otimes \cdots \otimes a_{j_1} \\ & \qquad \otimes b_{k_0+1} \otimes b_{k_0+2} \otimes \cdots \otimes b_{k_1} \otimes a_{j_1+1} \otimes a_{j_1+2} \otimes \cdots \\ & \qquad \otimes b_{k_{\frac{1}{2}-1}} \otimes a_{j_{\frac{1}{2}-1}+1} \otimes a_{j_{\frac{1}{2}-1}+2} \otimes \cdots \otimes a_p \otimes b_{k_{\frac{1}{2}-1}+1} \otimes b_{k_{\frac{1}{2}-1}+2} \otimes \cdots \otimes b_q. \end{aligned} $$

La somme est prise sur toutes les façons de choisir $\{j_0, \dots, j_{\frac{i}{2}}\}$ et $\{k_0, \dots, k_{\frac{i}{2}}\}$
tels que $j_0 \ge 0$, pour tout $s \le \frac{i}{2} - 1$, $j_s + 1 < j_{s+1}$, $j_{\frac{i}{2}} = p$, $k_0 \ge 1$, pour
tout $s \le \frac{i}{2} - 2$, $k_s + 1 < k_{s+1}$ et $k_{\frac{i}{2}} = q$.
A. ABBASSI

Pour $i$ impair, on pose :

$$ w \prec_i \theta = \sum \epsilon_\lambda a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_{j_0} b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_{k_0} a_{j_0+1} \otimes a_{j_0+2} \cdots \\ \otimes a_{j_1} b_{k_0+1} \otimes b_{k_0+2} \otimes \cdots \otimes b_{k_1} a_{j_1+1} a_{j_1+2} \otimes \cdots \otimes a_{j_{\frac{i-1}{2}}} b_{k_{\frac{i-3}{2}}} +1 \\ \otimes b_{k_{\frac{i-1}{2}}-1} +2 \otimes \cdots \otimes b_q a_{j_{\frac{i-1}{2}}+1} \otimes a_{j_{\frac{i-1}{2}}} +2 \otimes \cdots \otimes a_p. $$

Dans ce cas $\{j_0, \cdots, j_{\frac{i-1}{2}}\}$ et $\{k_0, \cdots, k_{\frac{i-1}{2}}\}$ vérifiant $j_0 \ge 0$, pour tout $s \le \frac{i-1}{2} - 1$, $j_s + 1 < j_{s+1}$, $j_{\frac{i-1}{2}} \le p-1$, $k_0 \ge 1$, pour tout $s \le \frac{i-1}{2} - 1$, $k_s + 1 < k_{s+1}$ et $k_{\frac{i-1}{2}} = q$.

Pour $i < 0$, $i > \min(p, q)$ on pose enfin :

$$ w \prec_i \theta = 0. $$

**Proposition 2.1.** (cf. [1])

Soient $a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_p \in T^p(A)$ et $b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_q \in T^q(A)$.

Pour $i = 0$, on a

$$ a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_p \prec_0 b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_q = a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_p b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_q. $$

Pour $i = 1$, on a la formule suivante :

$$ a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_p \prec_1 b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_q = $$

$$ \sum_{i=0}^{p-1} (-1)^{(p-i)(q+1)} a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_i b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_q a_{i+1} \otimes a_{i+2} \otimes \cdots \otimes a_p. $$

**Proposition 2.2.** (cf. [1])

Soient $w = a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_p \in T^p(A)$ et $\theta = b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_q \in T^q(A)$ et $i \le \min(p, q)$. On a alors

$$ D(w \prec_i \theta) = D(w) \prec_i \theta + (-1)^p w \prec_i D(\theta) + (-1)^{p+q-i} w \prec_{i-1} \theta \\ + (-1)^{p+q+i} \theta \prec_{i-1} w. $$

Rappelons enfin que ces cup $i$-produits permettent de définir (cf. [1]) d'une manière explicite les carrés de Steenrod (cf. [12]) et les carrés de Thomas-Pontrjagin (cf. [13]).

### 3. Algèbres graduées avec symétries

On notera $\mathcal{F}$ en la catégorie dont les objets sont les ensembles $[n] = \{0, 1, \dots, n\}$, $n \ge 0$ et les morphismes sont les applications quelconques. On
notera $\mathcal{A}_R$ la catégorie des $R$-algèbres commutatives unitaires.

**Définition 3.1.** *Une algèbre graduée avec symétries (AGS en abrégé) est la donnée d'un foncteur covariant*

$$T : \mathcal{F}in \to \mathcal{A}_R$$

*Exemple 3.2.*

(1) Soit $A$ une $R$-algèbre commutative unitaire. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $T^n = A^{\otimes n+1}$. Pour toute application $f : [n] \to [p]$, on associe le morphisme de $R$-algèbres $f_* : T^n \to T^p$ défini précédemment. Ce foncteur $T$ définit bien une AGS.

(2) Soit $X$ un ensemble simplicial et $A$ l'anneau simplicial défini par $A_n = \text{App}([n], R)$. Posons $T^n = \text{Mor}(X, A^{\otimes n+1})$. Ce foncteur défini une AGS dont l'algèbre différentielle graduée associée a la même cohomologie que celle de l'ensemble simplicial $X$.

(3) Soient $R$ un $Z$-module de type fini et $A$ le $R$-module libre de base les points de l'intervalle $B = [0, 1]$. Le $R$-module $A^{\otimes n+1}$ est alors isomorphe à $L(B^{n+1})$ avec les notations de [4]. On peut le munir (cf. [5]) d'une topologie qui en fait un groupe abélien topologique. Pour un CW-complexe $X$, on pose $T^n = \text{Mor}(X, A^{\otimes n+1})$. Le foncteur $T$ est une AGS dont l'algèbre différentielle graduée associée a la même cohomologie que celle de l'espace $X$ (cf. [8]).

Un morphisme entre deux AGS, $T$ et $T'$, est défini par la donnée pour chaque $n \ge 0$, d'un morphisme de $R$-algèbres commutatives unitaires $f^n : T^n \to T'^n$ de manière que

$$f^m T(\alpha) = T'(\alpha) f^n,$$

pour tout morphisme $\alpha : [n] \to [m]$ de la catégorie $\mathcal{F}in$.

Soit $A$ une $R$-algèbre commutative unitaire. Notons $\mathcal{D}_R$, la catégorie dont les objets sont les ensembles $[n]$, $n \in \mathbb{N}$ et les morphismes $[n] \to [p]$ sont les morphismes de $R$-modules $A^{\otimes n+1} \to A^{\otimes p+1}$. Considérons la catégorie " linéairisée" $\mathcal{T}\mathcal{F}in$ de $\mathcal{F}in$ qui a les mêmes objets que $\mathcal{F}in$ et $\text{Hom}_{\mathcal{T}\mathcal{F}in}([n], [p])$ est le $R$-module libre de base $\text{Hom}_{\mathcal{F}in}([n], [p])$. L'exemple 3.2.1, permet alors de définir un foncteur

$$\theta : \mathcal{T}\mathcal{F}in \to \mathcal{D}_R.$$
**Théorème 3.3.** (cf. [2])

Pour $A = R[t]$, le foncteur $\theta : \mathcal{T}\mathcal{F}in \to \mathcal{D}_R$ est fidèle.

Soient $n$ et $m \in \mathbb{N}$, $f_{n,m}$ l'inclusion de $[n]$ dans $[n+m]$ et $g_{n,m} : [m] \to [n+m]$ l'application définie par $g_{n,m}(i) = i+n$. Pour toute AGS $T$, on a un morphisme

$$T^n \otimes T^m \to T^{n+m} \otimes T^{n+m}.$$

Celui-ci, composé par la multiplication dans l'algèbre $T^{n+m}$, induit un produit

$$T^n \otimes T^m \to T^{n+m}.$$

La somme directe $T^* = \bigoplus_{n \ge 0} T^n$ munie de ce produit est une algèbre graduée. Par ailleurs, soit

$$D : T^n \to T^{n+1}.$$

le $R$-homomorphisme défini par

$$D = \sum_{i=0}^{n+1} (-1)^i T(\delta_i),$$

où les $\delta_i$ sont les opérateurs cofaces définis précédemment. Alors $D$ est de carré nul et vérifie pour toutes formes $w \in T^n$ et $\theta \in T^m$ l'identité de Leibniz :

$$D(w\theta) = D(w)\theta + (-1)^n wD(\theta).$$

Ainsi, $T^*$ est munie d'une structure d'algèbre différentielle graduée. Pour tout foncteur $T$ définissant une AGS et pour tout $n \ge 0$, on pose :

$$\Omega^n = \bigcap_{i=0}^{n-1} \ker(T(s_i)),$$

où les opérateurs $s_i : [n] \to [n-1]$ sont définis précédemment. La somme $\Omega^* = \bigoplus_{n \ge 0} \Omega^n$ est une sous-algèbre différentielle graduée de $T^*$.

## 4. La définition de cup $i$-produit dans le cadre des algèbres graduées avec symétries

Soit $T$ une AGS. Pour tous $p$ et $q$ dans $\mathbb{N}$ et $i \in \mathbb{Z}$, nous allons définir un cup $i$-produit :

$$T^p \otimes T^q \to T^{p+q-i}.$$
Soit donc $i \leq \min(p, q)$.

Si $i$ est pair, on définit pour tous ensembles $\{j_0, ..., j_{\frac{i}{2}}\}$ et $\{k_0, ..., k_{\frac{i}{2}}\}$ vérifiant $j_0 \geq 0$, pour tout $s \leq \frac{i}{2} - 1$, $j_s + 1 < j_{s+1}$, $j_{\frac{i}{2}} = p$, $k_0 \geq 1$, pour tout $s \leq \frac{i}{2} - 2$, $k_s + 1 < k_{s+1}$ et $k_{\frac{i}{2}} = q$ une application $\alpha : [p] \to [p+q-i]$ par

$$ \alpha(j) = \begin{cases} j & \text{si } 0 \le j \le j_0 \\ j + k_{h-1} - 2h + 1 & \text{si } j_{h-1} + 1 \le j \le j_h \text{ et } 1 \le h \le \frac{i}{2} \end{cases} $$

et une application $\beta : [q] \to [p+q-i]$ par

$$ \beta(k) = \begin{cases} k + j_0 & \text{si } 0 \le k \le k_0 \\ k + j_h - 2h & \text{si } k_{h-1} + 1 \le k \le k_h \text{ et } 1 \le h \le \frac{i}{2} \end{cases} $$

Pour toute AGS $T$, on a alors un morphisme

$$ T^p \otimes T^q \to T^{p+q-i} \otimes T^{p+q-i}, $$

celui-ci, composé par la multiplication dans $T^{p+q-i}$, induit un morphisme

$$ T^p \otimes T^q \to T^{p+q-i}. $$

On pose donc pour tous $w_1 \in T^p$ et $w_2 \in T^q$ :

$$ w_1 \prec_i w_2 = \sum \epsilon_\lambda T(\alpha)(w_1)T(\beta)(w_2). $$

La somme est prise sur toutes les façons de choisir $\{j_0, ..., j_{\frac{i}{2}}\}$ et $\{k_0, ..., k_{\frac{i}{2}}\}$ vérifiant les conditions citées plus haut. Le signe $\epsilon_\lambda$ désigne la signature de la permutation $\lambda$ de $\{0, ..., p+q+1\}$ qui est définie par

$$ \lambda(j) = \begin{cases} j & \text{si } 0 \le j \le j_0 \\ j + k_{h-1} + 1 & \text{si } j_{h-1} + 1 \le j \le j_h \text{ et } 1 \le h \le \frac{i-1}{2} \\ k + j_0 + 1 & \text{si } j = p + k + 1 \text{ et } 0 \le k \le k_0 \\ k + j_h + 1 & \text{si } j = p + k + 1 \text{ et } k_{h-1} + 1 \le k \le k_h \end{cases} $$

Pour $i$ impair, définissons pour tous ensembles $\{j_0, \dots, j_{\frac{i-1}{2}}\}$ et $\{k_0, \dots, k_{\frac{i-1}{2}}\}$ vérifiant $j_0 \ge 0$, pour tout $s \le \frac{i-1}{2} - 1$, $j_s + 1 < j_{s+1}$, $j_{\frac{i-1}{2}} \le p - 1$, $k_0 \ge 1$, pour tout $s \le \frac{i-1}{2} - 1$, $k_s + 1 < k_{s+1}$ et $k_{\frac{i-1}{2}} = q$ l'application $\alpha' : [p] \to [p+q-i]$ par

$$ \alpha'(j) = \begin{cases} j & \text{si } 0 \le j \le j_0 \\ j + k_{h-1} - 2h + 1 & \text{si } j_{h-1} + 1 \le j \le j_h \text{ et } 1 \le h \le \frac{i-1}{2} \\ q + j - i & \text{si } j_{\frac{i-1}{2}} + 1 \le j \le p \end{cases} $$
A. ABBASSI

Notons $\beta'$ l'application $[q] \to [p+q-i]$ définie par

$$ \beta'(k) = \begin{cases} k+j_0 & \text{si } 0 \le k \le k_0 \\ k+j_h-2h & \text{si } k_{h-1}+1 \le k \le k_h \text{ et } 1 \le h \le \frac{i-1}{2} \end{cases} $$

On définit donc le cup-i-produit

$$ T^p \otimes T^q \to T^{p+q-i}, $$

par la correspondance suivante :

$$ w_1 \prec_i w_2 = \sum \epsilon_\lambda T(\alpha')(w_1)T(\beta')(w_2). $$

La somme est prise sur toutes les façons de choisir $\{j_0, \dots, j_{\frac{i-1}{2}}\}$ et $\{k_0, \dots, k_{\frac{i-1}{2}}\}$ vérifiant les conditions citées plus haut. Dans ce cas $\lambda$ est définie par

$$ \lambda(j) = \begin{cases} j & \text{si } 0 \le j \le j_0 \\ j + k_{h-1} + 1 & \text{si } j_{h-1} + 1 \le j \le j_h \text{ et } 1 \le h \le \frac{i-1}{2} \\ j + q + 1 & \text{si } j_{\frac{i-1}{2}} + 1 \le j \le p \\ k + j_0 + 1 & \text{si } j = p + k + 1 \text{ et } 0 \le k \le k_0 \\ k + j_h + 1 & \text{si } j = p + k + 1 \text{ et } k_{h-1} + 1 \le k \le k_h \end{cases} $$

Pour $i < 0$, $i > \min(p,q)$ on pose enfin

$$ w_1 \prec_i w_2 = 0. $$

**Proposition 4.1.** Soient $w_1 \in T^p$, $w_2 \in T^q$.

1: Pour $i = 0$, on a

$$ w_1 \prec_0 w_2 = w_1 w_2. $$

2: Si $w_1$ et $w_2 \in T^n$, on a

$$ w_1 \prec_n w_2 = (-1)^{\frac{n(n+1)}{2}} w_1 \sharp w_2. $$

où $\sharp$ désigne la multiplication de $T^n$.

*Démonstration.*

1: Pour $i = 0$, on a $j_0 = p$ et $k_0 = q$ donc on a $\alpha(j) = j$, $\beta(k) = k+p$ et $\lambda(j) = j$, d'où la formule.

2: Supposons d'abord que $n$ est impair, on a alors pour tout $s \le \frac{n-1}{2} - 1$, $k_s + 1 < k_{s+1}$, $k_0 \ge 1$ et $k_{\frac{n-1}{2}} = n$ donc pour tout $s \le \frac{n-1}{2}$, $k_s = 2s + 1$. D'autre part, on a $j_0 \ge 0$, $j_{\frac{n-1}{2}} \le n-1$
et $j_s + 1 < j_{s+1}$ pour tout $s \le \frac{n-1}{2} - 1$ donc $j_s = 2s$ pour tout $s \le \frac{n-1}{2}$. Donc $\alpha'$ et $\beta' : [n] \to [n]$ sont l'identité, et donc $w_1 \prec_n w_2 = (-1)^{\frac{n(n+1)}{2}} w_1 \sharp w_2$.

Pour *n* pair, la démonstration est la même.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

**Proposition 4.2.** *Soient T une AGS, $w_1 \in \Omega^p$, $w_2 \in \Omega^q$ et $i \le \min(p,q)$. On a alors :*

$$w_1 \prec_i w_2 \in \Omega^{p+q-i}.$$

*Démonstration.* Soit *i* impair. Pour tout $0 \le r \le p+q-i-1$, on a

$$T(s_r)(w_1 \prec_i w_2) = \sum \epsilon_\lambda T(s_r \alpha')(w_1) T(s_r \beta')(w_2).$$

Si $0 \le r < j_0$ ($j_0 \ge 1$), on a $s_r \alpha' = \mu s_r$, où $\mu : [p-1] \to [p+q-i-1]$ est définie par

$$\mu(j) = \begin{cases} j & \text{si } 0 \le j \le j_0 - 1 \\ j + k_h - 2h - 1 & \text{si } j_h \le j \le j_{h+1} - 1 \text{ et } 0 \le h \le \frac{i-1}{2} - 1 \\ q + j - i & \text{si } j_{\frac{i-1}{2}} \le j \le p - 1 \end{cases}$$

donc $T(s_r \alpha')(w_1) = 0$.

Si $j_0 \le r < j_0 + k_0$, on a $s_r \beta' = \tau s_{r-j_0}$, où $\tau : [q-1] \to [p+q-i-1]$ est définie par

$$\tau(k) = \begin{cases} k + j_0 & \text{si } 0 \le k \le k_0 - 1 \\ k + j_{h+1} - 2h - 2 & \text{si } k_h \le k \le k_{h+1} - 1 \text{ et } 0 \le h \le \frac{i-1}{2} - 1 \end{cases}$$

donc $T(s_r \beta')(w_2) = 0$. Il nous reste à montrer le résultat pour $j_0 + k_0 \le r \le p+q-i-1$. On considère pour cela deux cas. Si $j_s + k_s - 2s \le r < j_{s+1} + k_s - 2s - 1$ et $0 \le s \le \frac{i-1}{2}$ (on pose $j_{\frac{i-1}{2}+1} = p$), alors on a $s_r \alpha' = \mu' s_{r-k_s+2s+1}$, où $\mu' : [p-1] \to [p+q-i-1]$ est définie par

$$\mu'(j) = \begin{cases} j & \text{si } 0 \le j \le j_0 \\ j + k_{h-1} - 2h + 1 & \text{si } j_{h-1} + 1 \le j \le j_h \text{ et } 1 \le h \le s \\ j + k_s - 2s - 1 & \text{si } j_s + 1 \le j \le j_{s+1} - 1 \\ j + k_t - 2t - 1 & \text{si } j_t \le j \le j_{t+1} - 1 \text{ et } s+1 \le t \le \frac{i-1}{2} - 1 \\ q + j - i & \text{si } j_{\frac{i-1}{2}} \le j \le p - 1. \end{cases}$$
A. ABBASSI

Si $j_{s+1} + k_s - 2s - 1 \le r < j_{s+1} + k_{s+1} - 2s - 2$ et $0 \le s \le \frac{i-1}{2} - 1$, on a
$s_r \beta' = \tau' s_{r-j_{s+1}+2s+2}$, où $\tau' : [q-1] \to [p+q-i-1]$ est définie par

$$
\tau'(k) = \begin{cases}
k + j_0 & \text{si } 0 \le k \le k_0 \\
k + j_h - 2h & \text{si } k_{h-1} + 1 \le k \le k_h \text{ et } 1 \le h \le s \\
k + j_{s+1} - 2s - 2 & \text{si } k_s + 1 \le j \le k_{s+1} - 1 \\
k + j_{h+1} - 2h - 2 & \text{si } k_h \le j < k_{h+1} - 1 \text{ et } s + 1 \le h \le \frac{i-1}{2} - 1.
\end{cases}
$$

Pour *i* pair, la démonstration est analogue.

☐

**Proposition 4.3.** *Soient T une AGS, $w_1 \in T^p$, $w_2 \in T^q$ et $i \le \min(p,q)$. On a alors :*

$$
D(w_1 \prec_i w_2) = D(w_1) \prec_i w_2 + (-1)^p w_1 \prec_i D(w_2) + (-1)^{p+q-i} w_1 \prec_{i-1} w_2 \\
\phantom{D(w_1 \prec_i w_2) =} + (-1)^{pq+p+q} w_2 \prec_{i-1} w_1.
$$

Démonstration. Pour tous $p$ et $q \in \mathbb{N}$, on notera $f_{p,q}$ l'inclusion de $[p]$ dans $[p+q+1]$ et $g_{p,q} : [q] \to [p+q+1]$ l'application définie par $g_{p,q}(j) = j+p+1$. Soient $i$ pair, $w_1 \in T^p$, $w_2 \in T^q$. On a alors :

$$
w_1 \prec_i w_2 = \sum \epsilon_\lambda T(\nu_{i,p,q}) (T(f_{p,q})(w_1)T(g_{p,q})(w_2)).
$$

où $\nu_{i,p,q} : [p+q+1] \to [p+q-i]$ est l'application qui est définie pour tous
ensembles $\{j_0, \dots, j_{\frac{i}{2}}\}$ et $\{k_0, \dots, k_{\frac{i}{2}}\}$ vérifiant $j_0 \ge 0$, pour tout $s \le \frac{i}{2} - 1$,
$j_s + 1 < j_{s+1}, j_{\frac{i}{2}} = p, k_0 \ge 1$, pour tout $s \le \frac{i}{2} - 2, k_s + 1 < k_{s+1}$ et $k_{\frac{i}{2}} = q$
par

$$
\nu_{i,p,q}(j) = \left\{
\begin{array}{ll}
j & \text{si } 0 \le j \le j_0 \\
j + k_{h-1} - 2h + 1 & \text{si } j_{h-1} + 1 \le j \le j_h \text{ et } 1 \le h \le \frac{i}{2} \\
k + j_0 & \text{si } j = p + k + 1 \text{ et } 0 \le k \le k_0 \\
k + j_h - 2h & \text{si } j = p + k + 1, \quad k_{h-1} + 1 \le k \le k_h \\
& \text{et } 1 \le h \le \frac{i}{2}.
\end{array}
\right.
$$

D'autre part on a

$$
\begin{align*}
D(w_1) \prec_i w_2 &= \sum \epsilon_\lambda T(\nu_{i,p+1,q}) (T(f_{p+1,q}) (D(w_1)) T(g_{p+1,q}) (w_2)) \\
&= \sum \epsilon_\lambda T(\nu_{i,p+1,q}) \sum_{j=0}^{p+1} (-1)^j (T(f_{p+1,q} \circ \delta_j)(w_1) T(g_{p+1,q})(w_2)).
\end{align*}
$$

Puisqu'on a pour tout $0 \le j \le p+1$ :

$f_{p+1,q} \circ \delta_j = \delta_j \circ f_{p,q} \text{ et } \delta_j \circ g_{p,q} = g_{p+1,q},$
donc

$$
D(w_1) \prec_i w_2 = \sum \epsilon_\lambda T(\nu_{i,p+1,q}) \sum_{j=0}^{p+1} (-1)^j T(\delta_j) (T(f_{p,q})(w_1)T(g_{p,q})(w_2)).
$$

Notons aussi que

$$
\begin{align*}
w_1 \prec_i D(w_2) &= \sum \epsilon_\lambda T(\nu_{i,p,q+1}) (T(f_{p,q+1})(w_1)T(g_{p,q+1})(D(w_2)) \\
&= \sum \epsilon_\lambda T(\nu_{i,p,q+1}) \sum_{j=0}^{q+1} (-1)^j T(f_{p,q+1})(w_1)T(g_{p,q+1} \circ \delta_j)(w_2)).
\end{align*}
$$

Or pour tout $0 \le j \le q + 1$ :

$$
f_{p,q+1} = \delta_{p+j+1} \circ f_{p,q} \text{ et } \delta_{p+j+1} \circ g_{p,q} = g_{p,q+1} \circ \delta_j,
$$

donc on a

$$
\begin{align*}
w_1 \prec_i D(w_2) \\
&= \sum \epsilon_\lambda T(\nu_{i,p,q+1}) \sum_{j=0}^{q+1} (-1)^j T(\delta_{p+j+1}) (T(f_{p,q})(w_1)T(g_{p,q})(w_2)).
\end{align*}
$$

Ensuite on a

$$
w_1 \prec_{i-1} w_2 = \sum \epsilon_{\lambda} T(\nu_{i-1,p,q}) (T(f_{p,q})(w_1)T(g_{p,q})(w_2)),
$$

où $\nu_{i-1,p,q} : [p+q+1] \to [p+q+1-i]$ est l'application définie, pour
tous ensembles $\{j_0, \dots, j_{\frac{i}{2}-1}\}$ et $\{k_0, \dots, k_{\frac{i}{2}-1}\}$ vérifiant $j_0 \ge 0$, pour tout
$s \le \frac{i}{2}-2$, $j_s+1 < j_{s+1}$, $j_{\frac{i}{2}-1} \le p-1$, $k_0 \ge 1$, pour tout $s \le \frac{i}{2}-2$,
$k_s+1 < k_{s+1}$ et $k_{\frac{i}{2}-1} = q$, par :

$$
\nu_{i-1,p,q}(j) =
\begin{cases}
j & \text{si } 0 \le j \le j_0 \\
j + k_{h-1} - 2h + 1 & \text{si } j_{h-1} + 1 \le j \le j_h \text{ et } 1 \le h \le \frac{i}{2} - 1 \\
q + j - i + 1 & \text{si } j_{\frac{i}{2}-1} + 1 \le j \le p \\
k + j_0 & \text{si } j = p + k + 1 \text{ et } 0 \le k \le k_0 \\
k + j_h - 2h & \text{si } j = p + k + 1, \quad k_{h-1} + 1 \le k \le k_h \\
& \text{et } 1 \le h \le \frac{i}{2} - 1.
\end{cases}
$$

Enfin on a

$$
w_2 \prec_{i-1} w_1 = \sum \epsilon_{\lambda} T(\nu_{i-1,q,p}) (T(f_{q,p})(w_2)T(g_{q,p})(w_1)),
$$

et comme on a

$$
f_{q,p} = h \circ g_{p,q} \text{ et } g_{q,p} = h \circ f_{p,q}.
$$
A. ABBASSI

L'application $h : [p+q+1] \to [p+q+1]$ étant définie par

$$h(j) = \begin{cases} j+q+1 & \text{si } 0 \le j \le p; \\ j-p-1 & \text{si } p+1 \le j \le p+q+1. \end{cases}$$

donc

$$w_2 \prec_{i-1} w_1 = \sum \epsilon_{\lambda} T(\nu_{i-1,q,p} \circ h)(T(f_{p,q})(w_1)T(g_{p,q})(w_2)).$$

On aura donc

$$D(w_1 \prec_i w_2) = \sum_{r=0}^{p+q+1-i} \epsilon_{\lambda} (-1)^r T(\delta_r) \sum T(\nu_{i,p,q})(T(f_{p,q})(w_1)T(g_{p,q})(w_2)),$$

et

$$\begin{align*} D(w_1) \prec_i w_2 + (-1)^p w_1 \prec_i D(w_2) & \\ & \quad + (-1)^{p+q-i} w_1 \prec_{i-1} w_2 + (-1)^{pq+p+q} w_2 \prec_{i-1} w_1 \\ & = \sum \epsilon_{\lambda} T(\nu_{i,p+1,q}) \sum_{j=0}^{p+1} (-1)^j T(\delta_j) (T(f_{p,q})(w_1)T(g_{p,q})(w_2)) \\ & \quad + (-1)^p \sum \epsilon_{\lambda} T(\nu_{i,p,q+1}) \sum_{j=0}^{q+1} (-1)^j T(\delta_{p+j+1}) (T(f_{p,q})(w_1)T(g_{p,q})(w_2)) \\ & \quad + (-1)^{p+q-i} \sum \epsilon_{\lambda} T(\nu_{i-1,p,q}) (T(f_{p,q})(w_1)T(g_{p,q})(w_2)) \\ & \quad + (-1)^{pq+p+q} \sum \epsilon_{\lambda} T(\nu_{i-1,q,p} \circ h)(T(f_{p,q})(w_1)T(g_{p,q})(w_2)). \end{align*}$$

Si $T$ est l'algèbre des formes différentielles étendues, $w_1 = a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes$
CUP $i$-PRODUIT SUR LES ALGÈBRES

$a_p \in T^p(A)$ et $w_2 = b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_q \in T^q(A)$, on a

$$
\begin{align*}
& \sum_{r=0}^{p+q+1-i} \epsilon_{\lambda}(-1)^r T(\delta_r) \sum T(\nu_{i,p,q}) (a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_p \otimes b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_q) \\
&= \left( \sum \epsilon_{\lambda} T(\nu_{i,p+1,q}) \sum_{j=0}^{p+1} (-1)^j T(\delta_j) \right. \\
& \qquad \left. + (-1)^p \sum \epsilon_{\lambda} T(\nu_{i,p,q+1}) \sum_{j=0}^{q+1} (-1)^j T(\delta_{p+j+1}) + (-1)^{p+q-i} \sum \epsilon_{\lambda} T(\nu_{i-1,p,q}) \right. \\
& \qquad \left. + (-1)^{pq+p+q} \sum \epsilon_{\lambda} T(\nu_{i-1,q,p} \circ h) \right) (a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_p \otimes b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_q),
\end{align*}
$$

donc d'après le théorème 3.5, on a

$$
\begin{align*}
& \sum_{r=0}^{p+q+1-i} \epsilon_{\lambda}(-1)^r \delta_r \sum \nu_{i,p,q} \\
&= \sum \epsilon_{\lambda} \nu_{i,p+1,q} \sum_{j=0}^{p+1} (-1)^j \delta_j + (-1)^p \sum \epsilon_{\lambda} \nu_{i,p,q+1} \sum_{j=0}^{q+1} (-1)^j \delta_{p+j+1} \\
&\quad + (-1)^{p+q-i} \sum \epsilon_{\lambda} \nu_{i-1,p,q} + (-1)^{pq+p+q} \sum \epsilon_{\lambda} \nu_{i-1,q,p} \circ h \sum \epsilon_{\lambda} \nu_{i-1,p,q} \\
&\quad + (-1)^{pq+p+q} \sum \epsilon_{\lambda} \nu_{i-1,q,p} \circ h,
\end{align*}
$$

et

$$
\begin{align*}
& \sum_{r=0}^{p+q+1-i} \epsilon_{\lambda}(-1)^r T(\delta_r) \sum T(\nu_{i,p,q}) \\
&= \left( \sum \epsilon_{\lambda} T(\nu_{i,p+1,q}) \sum_{j=0}^{p+1} (-1)^j T(\delta_j) \right. \\
& \qquad \left. + (-1)^p \sum \epsilon_{\lambda} T(\nu_{i,p,q+1}) \sum_{j=0}^{q+1} (-1)^j T(\delta_{p+j+1}) \right. \\
& \qquad \left. + (-1)^{p+q-i} \sum \epsilon_{\lambda} T(\nu_{i-1,p,q}) + (-1)^{pq+p+q} \sum \epsilon_{\lambda} T(\nu_{i-1,q,p} \circ h) \right).
\end{align*}
$$

Pour $i$ impair, la démonstration est la même.

<figure><img src="image_3.png" /></figure>
A. ABBASSI

**Proposition 4.4.** *Soit T une AGS, $w_1 \in T^n$, $w_2 \in T^p$ et $w_3 \in T^q$. On a alors la formule de Hirsch :*

$$w_1 w_2 \prec_1 w_3 = w_1 (w_2 \prec_1 w_3) + (-1)^{p(q+1)} (w_1 \prec_1 w_3) w_2.$$

*Démonstration.* Pour tous $n, p \in \mathbb{N}$ et $0 \le i \le n-1$, on notera $f_{n,p}$ l'inclusion de $[n]$ dans $[n+p]$, $g_{n,p} : [p] \to [n+p]$ l'application définie par $g_{n,p}(j) = j+n$, $\beta_{i,n,p} : [p] \to [n+p-1]$ l'application définie par $\beta_{i,n,p}(j) = j+i$ et $\alpha_{i,n,p} : [n] \to [n+p-1]$ l'application définie par :

$$\alpha_{i,n,p}(j) = \begin{cases} j & \text{si } 0 \le j \le i; \\ j+p-1 & \text{si } i+1 \le j \le n. \end{cases}$$

Considérons $w_1 \in T^n$, $w_2 \in T^p$ et $w_3 \in T^q$, on a alors :

$$\begin{aligned} w_1 w_2 \prec_1 w_3 = & \sum_{i=0}^{n+p-1} (-1)^{(n+p-i)(q+1)} T(\alpha_{i,n+p,q}) (T(f_{n,p})(w_1) T(g_{n,p})(w_2)) T(\beta_{i,n+p,q})(w_3) \\ & + \sum_{i=0}^{n-1} (-1)^{(n+p-i)(q+1)} T(\alpha_{i,n+p,q} f_{n,p})(w_1) T(\alpha_{i,n+p,q} g_{n,p})(w_2)) T(\beta_{i,n+p,q})(w_3) \\ & + \sum_{i=0}^{p-1} (-1)^{(p-i)(q+1)} T(\alpha_{i+n,n+p,q} f_{n,p})(w_1) T(\alpha_{i+n,n+p,q} g_{n,p})(w_2)) T(\beta_{i+n,n+p,q})(w_3). \end{aligned}$$

Pour $i \le n-1$, on a $\alpha_{i,n+p,q} f_{n,p} = f_{n+q-1,p} \alpha_{i,n,q}$, $\alpha_{i,n+p,q} g_{n,p} = g_{n+q-1,p}$ et $\beta_{i,n+p,q} = f_{n+q-1,p} \beta_{i,n,q}$.

Pour $i \le p-1$, on a $\alpha_{i+n,n+p,q} f_{n,p} = f_{n,p+q-1}$, $\alpha_{i+n,n+p,q} g_{n,p} = g_{n,p+q-1}$ et $\beta_{i+n,n+p,q} = g_{n,p+q-1} \beta_{i,p,q}$.
On a donc :

$$
\begin{align*}
w_1 w_2 \prec_1 w_3 &= (-1)^{p(q+1)} \sum_{i=0}^{n-1} (-1)^{(n-i)(q+1)} \\
&\qquad T(f_{n+q-1,p} \alpha_{i,n,q}) (w_1) T(g_{n+q-1,p}) (w_2) T(f_{n+q-1,p} \beta_{i,n,q}) (w_3) \\
&\qquad + \sum_{i=0}^{p-1} (-1)^{(p-i)(q+1)} \\
&\qquad T(f_{n,p+q-1}) (w_1) T(g_{n,p+q-1} \alpha_{i,p,q}) (w_2) T(g_{n,p+q-1} \beta_{i,p,q}) (w_3) \\
&= (-1)^{p(q+1)} (w_1 \prec_1 w_3) w_2 + w_1 (w_2 \prec_1 w_3). \quad \square
\end{align*}
$$

Remarques 4.5.

(1) On n'a pas en général de relation analogue entre $w_1 \prec_1 w_2 w_3$, $w_1 \prec_1 w_2$ et $w_1 \prec_1 w_3$. Autrement dit, on n'a pas en général $w_1 \prec_1 w_2 w_3 = (w_1 \prec_1 w_2)w_3 + w_2(w_1 \prec_1 w_3)$. Pour le voir il suffit de considérer les formes différentielles étendues $w_1 = a_0 \otimes a_1$, $w_2 = b_0 \otimes b_1 \otimes b_2$ et $w_3 = c_0 \otimes c_1 \otimes c_2 \otimes c_3$. Cependant, on a le résultat suivant.

(2) Soient $p$ un entier premier impair et $T$ une AGS sur $\mathbb{Z}_p$. On a, grâce à la formule de Hirsch, une opération cohomologique (cf. [9] et [10]):

$$ \langle\rangle^p: H^{2n+1}(T^*, \mathbb{Z}_p) \to H^{2np+2}(T^*, \mathbb{Z}_p), $$

définie comme suit :

Soit $a_1$ un cocycle répresente $x \in H^{2n+1}(T^*, \mathbb{Z}_p)$. Pour tout $2 \le i < p$, posons

$$ a_i = \frac{1}{i} a_{i-1} \prec_1 a_1. $$

On a alors $D(a_i) = - \sum_{j=1}^{i-1} a_j a_{i-j}$ et $\tilde{a} = - \sum_{j=1}^{p-1} a_j a_{p-j}$ est un cocycle. De même si $a_1$ est un cobord, il en est alors de même pour $\tilde{a}$. On pose alors

$$ \langle x \rangle^p = \{\tilde{a}\}. $$

**Définition 4.6.** Soient $A$ une $\mathbb{Z}/2$-algèbre commutative unitaire, $n \ge 2$ et $p, q \ge 1$. On définit un morphisme de $\mathbb{Z}/2$-modules

$$ E : T^n(A) \otimes T^p(A) \otimes T^q(A) \to T^{n+p+q-2}(A), $$
A. ABBASSI

par la formule suivante :

$$
\begin{align*}
E(a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n, b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_p, c_0 \otimes c_1 \otimes \cdots \otimes c_q) = & \\
& \sum_{i=0}^{n-2} a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_i b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_p a_{i+1} c_0 \otimes c_1 \otimes \cdots \otimes c_q a_{i+2} \otimes \\
& a_{i+3} \otimes \cdots \otimes a_n + \sum a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_{j_0} b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_p a_{j_0+1} \otimes a_{j_0+2} \otimes \\
& \qquad \cdots \otimes a_{j_1} c_0 \otimes c_1 \otimes \cdots \otimes c_q a_{j_1+1} \otimes a_{j_1+2} \otimes \cdots \otimes a_n.
\end{align*}
$$

La deuxième somme est prise sur toutes les façons de choisir {$j_0, j_1$} tels que $j_0 \ge 0$, $j_0 + 1 < j_1$ et $j_1 \le n - 1$.

**Proposition 4.7.** Soient $A$ une $\mathbb{Z}/2$-algèbre commutative unitaire, $n \ge 2$ et $p, q \ge 1$. Soient $w_1 = a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n \in T^n(A)$, $w_2 = b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_p \in T^p(A)$ et $w_3 = c_0 \otimes c_1 \otimes \cdots \otimes c_q \in T^q(A)$. On a alors :

$$
w_1 \prec_1 w_2 w_3 = w_2(w_1 \prec_1 w_3) + (w_1 \prec_1 w_2)w_3 + DE(w_1, w_2, w_3) + \\ E(D(w_1), w_2, w_3) + E(w_1, D(w_2), w_3) + E(w_1, w_2, D(w_3))
$$

Démonstration. On notera la première somme de $E$ par $E_1$ et la deuxième
par $E_2$. La somme des termes de

$$
E_1(D(w_1), w_2, w_3) + E_1(w_1, D(w_2), w_3) + E_1(w_1, w_2, D(w_3)),
$$

où se situent les 1 donne $DE_1(w_1, w_2, w_3)$.

La somme des termes de

$$
E_2(D(w_1), w_2, w_3) + E_2(w_1, D(w_2), w_3) + E_2(w_1, w_2, D(w_3)),
$$

où se situent les 1 donne $DE_2(w_1, w_2, w_3)$.

Ensuite la somme des termes correspondant au choix de $j_1 = n$ dans

$$
E_2(a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n \otimes 1, w_2, w_3) +
$$

le terme correspondant au $i = n - 1$ dans

$$
E_1(a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n \otimes 1, w_2, w_3)
$$

donne

$(w_1 \prec_1 w_2) w_3.$

La somme des termes correspondant au choix de $j_0 = 0$ dans

$$
E_2(1 \otimes a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n, w_2, w_3) +
$$

le terme correspondant au $i = 0$ dans

$$
E_1(1 \otimes a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n, w_2, w_3)
$$
donne

$$w_2(w_1 \prec_1 w_3),$$

et la somme des termes de

$$E_1(D(w_1), w_2, w_3) = E_1\left(\sum_{s=0}^{n+1} \delta_s(w_1), w_2, w_3\right)$$

correspondant au choix de $i = s - 1$ donne

$$w_1 \prec_1 w_2 w_3.$$

Enfin la somme des termes restant dans

$$E(D(w_1), w_2, w_3) + E(w_1, D(w_2), w_3) + E(w_1, w_2, D(w_3))$$

donne 0.

□

Soient $n \ge 2$, $p$ et $q \ge 1$. Pour tout couple $\{j_0, j_1\}$ vérifiant $j_0 \ge 0$, $j_0+1 < j_1$ et $j_1 \le n-1$, définissons l'application $\varphi_{\{j_0, j_1\}, n, p, q} : [n] \to [n+p+q-2]$ par

$$\varphi_{\{j_0, j_1\}, n, p, q}(j) = \begin{cases} j & \text{si } 0 \le j \le j_0; \\ j+p-1 & \text{si } j_0+1 \le j \le j_1; \\ j+p+q-2 & \text{si } j_1+1 \le j \le n. \end{cases}$$

Pour tout $0 \le i \le n-2$, notons $\phi_{i,n,p,q} : [n] \to [n+p+q-2]$ l'application définie par

$$\phi_{i,n,p,q}(j) = \begin{cases} j & \text{si } 0 \le j \le i; \\ i+p & \text{si } j=i+1; \\ j+p+q-2 & \text{si } i+2 \le j \le n. \end{cases}$$

**Définition 4.8.** Soient $T$ une AGS sur $\mathbb{Z}/2$, $n \ge 2$ et $p, q \ge 1$. On définit le morphisme

$$E : T^n \otimes T^p \otimes T^q \to T^{n+p+q-2}$$

par

$$E(w_1, w_2, w_3) = \sum_{i=0}^{n-2} T(\phi_{i,n,p,q})(w_1)T(\beta_{i,n+q-1,p})(w_2)T(\beta_{i+p,n+p-1,q})(w_3) \\ + \sum T(\varphi_{\{j_0, j_1\}, n, p, q})(w_1)T(\beta_{j_0, n+q-1, p})(w_2)T(\beta_{j_1+p-1, n+p-1, q})(w_3).$$

où les applications $\beta$ sont définies dans la démonstration 4.8.
A. ABBASSI

**Proposition 4.9.** Soient $n \ge 2$ et $p, q \ge 1$. Soient $T$ une AGS sur $\mathbb{Z}/2$, $w_1 \in T^n$, $w_2 \in T^p$ et $w_3 \in T^q$. On a alors l'identité suivante :

$$w_1 \prec_1 w_2 w_3 = w_2(w_1 \prec_1 w_3) + (w_1 \prec_1 w_2)w_3 + DE(w_1, w_2, w_3) + E(D(w_1), w_2, w_3) + E(w_1, D(w_2), w_3) + E(w_1, w_2, D(w_3)).$$

*Démonstration.* Soient $n \ge 2$ et $p, q \ge 1$. On notera $f_{n,p,q}$ l'inclusion de $[n]$ dans $[n+p+q+2]$, $g_{n,p,q} : [p] \to [n+p+q+2]$ l'application définie par $g_{n,p,q}(j) = j+n+1$ et $h_{n,p,q} : [q] \to [n+p+q+2]$ l'application définie par $h_{n,p,q}(j) = j+n+p+2$. Pour tout $0 \le i \le n-2$, on a

$$\phi_{i,n,p,q} = \phi'_{i,n,p,q} \circ f_{n,p,q} \quad \beta_{i,n+q-1,p} = \phi'_{i,n,p,q} \circ g_{n,p,q}$$

et

$$\beta_{i+p,n+p-1,q} = \phi'_{i,n,p,q} \circ h_{n,p,q}$$

où $\phi'_{i,n,p,q} : [n+p+q+2] \to [n+p+q-2]$ est l'application définie par

$$\phi'_{i,n,p,q}(j) = \begin{cases} j & \text{si } 0 \le j \le i; \\ i+p & \text{si } j=i+1; \\ j+p+q-2 & \text{si } i+2 \le j \le n; \\ j+i-n-1 & \text{si } n+1 \le j \le n+p+1; \\ j+i-n-2 & \text{si } n+p+2 \le j \le n+p+q+2. \end{cases}$$

et pour tout couple $\{j_0, j_1\}$ vérifiant $j_0 \ge 0$, $j_0 + 1 < j_1$ et $j_1 \le n-1$, on a

$$\varphi_{\{j_0, j_1\}, n, p, q} = \varphi'_{\{j_0, j_1\}, n, p, q} \circ f_{n, p, q} \quad \beta_{j_0, n+q-1, p} = \varphi'_{\{j_0, j_1\}, n, p, q} \circ g_{n, p, q}$$

et

$$\beta_{j_1+p-1,n+p-1,q} = \varphi'_{\{j_0, j_1\}, n, p, q} \circ h_{n, p, q}$$

où $\varphi'_{\{j_0, j_1\}, n, p, q} : [n+p+q+2] \to [n+p+q-2]$ définie par

$$\varphi'_{\{j_0, j_1\}, n, p, q}(j) = \begin{cases} j & \text{si } 0 \le j \le j_0; \\ j+p-1 & \text{si } j_0+1 \le j \le j_1; \\ j+p+q-2 & \text{si } j_1+1 \le j \le n; \\ j+j_0-n-1 & \text{si } n+1 \le j \le n+p+1; \\ j+j_1-n-3 & \text{si } n+p+2 \le j \le n+p+q+2. \end{cases}$$
On aura donc

$$
E(w_1, w_2, w_3) = \sum_{i=0}^{n-2} T(\phi_i', n, p, q) \\
+ \sum T(\varphi'_{\{j_0, j_1\}, n, p, q}) (T(f_{n, p, q})(w_1)T(g_{n, p, q})(w_2)T(h_{n, p, q})(w_3)).
$$

$$
E(D(w_1), w_2, w_3) =
\left(
  \sum_{i=0}^{n-1} T(\phi'_{i,n+1,p,q}) + \sum T(\varphi'_{\{j_0,j_1\},n+1,p,q}) (T(f_{n+1,p,q})(D(w_1)))
\right)
T(g_{n+1,p,q})(w_2)T(h_{n+1,p,q})(w_3)
$$
$$
= \sum_{i=0}^{n-1} T(\phi'_{i,n+1,p,q}) + \sum T(\varphi'_{\{j_0,j_1\},n+1,p,q})
\left(
  \sum_{s=0}^{n+1} T(f_{n+1,p,q} \circ \delta_s)(w_1)T(g_{n+1,p,q})(w_2)T(h_{n+1,p,q})(w_3)
\right).
$$

Comme pour tout $0 \le s \le n + 1$, on a

$f_{n+1,p,q} \circ \delta_s = \delta_s \circ f_{n,p,q} \quad g_{n+1,p,q} = \delta_s \circ g_{n,p,q}$

et $h_{n+1,p,q} = \delta_s \circ h_{n,p,q}$, alors

$$
E(D(w_1), w_2, w_3) = \left( \sum_{i=0}^{n-1} T(\phi'_{i,n+1,p,q}) + \sum T(\varphi'_{\{j_0,j_1\},n+1,p,q}) \right) \sum_{s=0}^{n+1} T(\delta_s)(T(f_{n,p,q})(w_1)T(g_{n,p,q})(w_2)T(h_{n,p,q})(w_3)).
$$

On a aussi

$$
E(w_1, D(w_2), w_3) = \left( \sum_{i=0}^{n-2} T(\phi'_{i,n,p+1,q}) + \sum T(\varphi'_{\{j_0,j_1\},n,p+1,q}) \right) \left( \sum_{s=0}^{p+1} T(\delta_{s+n+1}) T(f_{n,p,q})(w_1) T(g_{n,p,q})(w_2) T(h_{n,p,q})(w_3) \right),
$$
A. ABBASSI

et

$$
E(w_1, w_2, D(w_3)) = \left( \sum_{i=0}^{n-2} T(\phi'_{i,n,p,q+1}) + \sum T(\phi'_{\{j_0,j_1\},n,p,q+1}) \right) \left( \sum_{s=0}^{q+1} T(\delta_{s+n+p+2}) T(f_{n,p,q})(w_1) T(g_{n,p,q})(w_2) T(h_{n,p,q})(w_3) \right).
$$

D'autre part on a

$$
\begin{align*}
w_1 \prec_1 w_2 w_3 &= \sum_{i=0}^{n-1} T(\alpha_{i,n,p+q})(w_1) T(\beta_{i,n,p+q})(T(f_{p,q})(w_2) T(g_{p,q})(w_3)) \\
&= \sum_{i=0}^{n-1} T(\alpha_{i,n,p+q})(w_1) T(\beta_{i,n,p+q} f_{p,q})(w_2) T(\beta_{i,n,p+q} g_{p,q})(w_3),
\end{align*}
$$

où les applications $\alpha_{i,n,p+q}$, $\beta_{i,n,p+q}$, $f_{p,q}$ et $g_{p,q}$ sont définis dans la dé-
monstration 4.8. Or pour tout $0 \le i \le n-1$, on a

$$
\alpha_{i,n,p+q} = \sigma_{0,q,i,i} \circ f_{n,p,q}, \quad \beta_{i,n,p+q} f_{p,q} = \sigma_{0,q,i,i} \circ g_{n,p,q}
$$

et $\beta_{i,n,p+q} g_{p,q} = \sigma_{0,q,i,i} \circ h_{n,p,q}$, l'application

$$
\sigma_{a,b,c,d} : [n+p+q+2] \to [n+p+q-1]
$$

est définie pour tous $a, b, c$ et $d \in \mathbb{N}$ par

$$
\sigma_{a,b,c,d}(j) = \begin{cases} j+a & \text{si } 0 \le j \le i; \\ j+p+b-1 & \text{si } i+1 \le j \le n; \\ j+c-n-1 & \text{si } n+1 \le j \le n+p+1; \\ j+d-n-2 & \text{si } n+p+2 \le j \le n+p+q+2. \end{cases}
$$

donc

$$
w_1 \prec_1 w_2 w_3 = \sum_{i=0}^{n-1} T(\sigma_{0,q,i,i})(T(f_{n,p,q})(w_1)T(g_{n,p,q})(w_2)T(h_{n,p,q})(w_3)).
$$
De même on montre que

$$w_2(w_1 \prec_1 w_3) = \sum_{i=0}^{n-1} T(\sigma_{p,q,0,i})(T(f_{n,p,q})(w_1)T(g_{n,p,q})(w_2)T(h_{n,p,q})(w_3)),$$

et

$$(w_1 \prec_1 w_2)w_3 = \sum_{i=0}^{n-1} T(\sigma_{0,0,i,n-1})(T(f_{n,p,q})(w_1)T(g_{n,p,q})(w_2)T(h_{n,p,q})(w_3)).$$

Si $T$ est l'algèbre des formes différentielles étendues,

$$w_1 = a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n \in T^n(A), \quad w_2 = b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_p \in T^p(A)$$

$$\text{et } w_3 = c_0 \otimes c_1 \otimes \cdots \otimes c_q \in T^q(A), \text{ on a}$$

$$T(f_{n,p,q})(w_1)T(g_{n,p,q})(w_2)T(h_{n,p,q})(w_3) = a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n \otimes b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_p \otimes c_0 \otimes c_1 \otimes \cdots \otimes c_q,$$

et

$$ \begin{aligned} & \left( \sum_{i=0}^{n-1} T(\sigma_{0,q,i,i}) + T(\sigma_{p,q,0,i}) + T(\sigma_{0,0,i,n-1}) \right) \\ & \qquad (a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n \otimes b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_p \otimes c_0 \otimes c_1 \otimes \cdots \otimes c_q) \\ & = \sum_{s=0}^{n+p+q-1} T(\delta_s) \left( \sum_{i=0}^{n-2} T(\phi'_{i,n,p,q}) + \sum T(\varphi'_{\{j_0,j_1\},n,p,q}) \right) \\ & \qquad + \left( \sum_{i=0}^{n-1} T(\phi'_{i,n+1,p,q}) + \sum T(\varphi'_{\{j_0,j_1\},n+1,p,q}) \right) \sum_{s=0}^{n+1} T(\delta_s) \\ & \qquad + \left( \sum_{i=0}^{n-2} T(\phi'_{i,n,p+1,q}) + \sum T(\varphi'_{\{j_0,j_1\},n,p+1,q}) \right) \sum_{s=0}^{p+1} T(\delta_{s+n+1}) \\ & \qquad + \left( \sum_{i=0}^{n-2} T(\phi'_{i,n,p,q+1}) + \sum T(\varphi'_{\{j_0,j_1\},n,p,q+1}) \right) \sum_{s=0}^{q+1} T(\delta_{s+n+p+2}) \\ & \qquad (a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n \otimes b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_p \otimes c_0 \otimes c_1 \otimes \cdots \otimes c_q), \end{aligned} $$
donc d'après le théorème 3.5 on a

$$
\begin{align*}
\sum_{i=0}^{n-1} \sigma_{0,q,i,i} + \sigma_{p,q,0,i} + \sigma_{0,0,i,n-1} \\
&= \sum_{s=0}^{n+p+q-1} \delta_s \left( \sum_{i=0}^{n-2} \phi'_{i,n,p,q} + \sum \varphi'_{\{j_0,j_1\},n,p,q} \right) \\
&\quad + \left( \sum_{i=0}^{n-1} \phi'_{i,n+1,p,q} + \sum \varphi'_{\{j_0,j_1\},n+1,p,q} \right) \sum_{s=0}^{n+1} \delta_s \\
&\quad + \left( \sum_{i=0}^{n-2} \phi'_{i,n,p+1,q} + \sum \varphi'_{\{j_0,j_1\},n,p+1,q} \right) \sum_{s=0}^{p+1} \delta_{s+n+1} \\
&\quad + \left( \sum_{i=0}^{n-2} \phi'_{i,n,p,q+1} + \sum \varphi'_{\{j_0,j_1\},n,p,q+1} \right) \sum_{s=0}^{q+1} \delta_{s+n+p+2}.
\end{align*}
$$

Ce qui achève la démonstration.

☐

5. Opérations de Browder

Soient $T$ un foncteur définissant une AGS et $T^*$ la $R$-algèbre différen-
tielle graduée associée à $T$. Considérons $w_n \in Z^n(T^*)$ et $\theta_p \in Z^p(T^*)$. On
a alors

$$
\begin{align*}
D(w_n \prec_i \theta_p - (-1)^{i+np} \theta_p \prec_i w_n) &= (-1)^{n+p-i} w_n \prec_{i-1} \theta_p \\
&\quad + (-1)^{np+p+n} \theta_p \prec_{i-1} w_n \\
&\quad - (-1)^{np+i} ((-1)^{n+p-i} \theta_p \prec_{i-1} w_n + (-1)^{np+p+n} w_n \prec_{i-1} \theta_p) = 0.
\end{align*}
$$

Considérons maintenant $\theta_{p-1} \in T^{p-1}$, on a alors

$$
\begin{align*}
w_n \prec_i D(\theta_{p-1}) - (-1)^{i+np} D(\theta_{p-1}) \prec_i w_n \\
&= D((-1)^n w_n \prec_i \theta_{p-1} - (-1)^{i+np} \theta_{p-1} \prec_i w_n).
\end{align*}
$$

Ainsi pour tout *i* et toute AGS *T*, l'application qui à un couple (*w*<sub>*n*</sub>, *θ*<sub>*p*</sub>)
de *T*<sup>*n*</sup> × *T*<sup>*p*</sup> associe *w*<sub>*n*</sub> ≁<sub>*i*</sub> *θ*<sub>*p*</sub> − (−1)<sup>*i+np*</sup>*θ*<sub>*p*</sub> ≁<sub>*i*</sub> *w*<sub>*n*</sub> induit un morphisme

$$
\psi^i : \mathbb{H}^n(T^*) \times \mathbb{H}^p(T^*) \to \mathbb{H}^{n+p-i}(T^*).
$$
**Proposition 5.1.** Soit $T$ une AGS. Pour tout $i \ge 0$, le morphisme

$$ \psi^i : H^n(T^*) \times H^p(T^*) \to H^{n+p-i}(T^*) $$

vérifie les propriétés suivantes :

(1) Pour tout morphisme $f : T \to T'$, on a $\psi^i(f^*, f^*) = f^*\psi^i$.

(2) $\psi^0(w, \theta) = w\theta - (-1)^{np}\theta w$.

(3) $\psi^i(w, \theta) = -(-1)^{i+np}\psi^i(\theta, w)$.

## 6. Algèbre de Gerstenhaber

**Définition 6.1.** Soit $\mathbb{R}^*$ un $R$-module gradué muni de deux produits. Un premier produit

$$ \begin{aligned} \mathbb{R}^p \otimes \mathbb{R}^q & \to \mathbb{R}^{p+q} \\ a \otimes b & \mapsto ab \end{aligned} $$

et un deuxième produit (crochet de Lie)

$$ \begin{aligned} \mathbb{R}^p \otimes \mathbb{R}^q & \to \mathbb{R}^{p+q-1} \\ a \otimes b & \mapsto [a, b] \end{aligned} $$

On dit que $\mathbb{R}^*$ est *une algèbre de Gerstenhaber* si les deux produits satis-
font les conditions suivantes :

- Associativité du premier produit : $a(bc) = (ab)c$.

- Commutativité du premier produit : $ab = (-1)^{|a||b|}ba$.

- Commutativité du deuxième produit : $[b, a] = (-1)^{|a||b|}[a, b]$.

- Identité de Jacobi :

$$ (-1)^{|a||c|}[a, [b, c]] + (-1)^{|a||b|}[b, [c, a]] + (-1)^{|c||b|}[c, [a, b]] = 0. $$

- Identité de Poisson : $[a, bc] = [a, b]c + (-1)^{(|a|-1)|b|}b[a, c]$.

**Théorème 6.2.** Soient $T$ une AGS, $w_1 \in T^n$, $w_2 \in T^p$ et $w_3 \in T^q$. On a alors :

$$ \begin{aligned} & (w_1 \prec_1 w_2) \prec_1 w_3 - (-1)^{(p-1)(q-1)}(w_1 \prec_1 w_3) \prec_1 w_2 \\ & \qquad = (-1)^{q+1}w_1 \prec_1 (w_2 \prec_1 w_3) - (-1)^{q(p-1)}w_1 \prec_1 (w_3 \prec_1 w_2). \end{aligned} $$
A. ABBASSI

Démonstration. On va utiliser les mêmes notations de la proposition 4.7.
Soient donc $w_1 \in T^n$, $w_2 \in T^p$ et $w_3 \in T^q$. On a alors

$$
\begin{align*}
(w_1 \prec_1 w_2) \prec_1 w_3 &= \sum_{r=0}^{p+n-2} (-1)^{(p+n-1-r)(q+1)} T(\alpha_{r,n+p-1,q})(w_1 \prec_1 w_2) T(\beta_{r,n+p-1,q})(w_3) \\
&= \sum_{r=0}^{p+n-2} (-1)^{(p+n-1-r)(q+1)} \sum_{i=0}^{n-1} (-1)^{(n-i)(p+1)} \\
&\qquad T(\alpha_{r,n+p-1,q}\alpha_{i,n,p})(w_1) T(\alpha_{r,n+p-1,q}\beta_{i,n,p})(w_2) T(\beta_{r,n+p-1,q})(w_3).
\end{align*}
$$

et

$$
\begin{align*}
(w_1 \prec_1 w_3) \prec_1 w_2 &= \sum_{s=0}^{n+q-2} (-1)^{(n+q-1-s)(p+1)} T(\alpha_{s,q+n-1,p})(w_1) T(\alpha_{s,q+n-1,p})(w_2) \\
&= \sum_{s=0}^{n+q-2} (-1)^{(n+q-1-s)(p+1)} \sum_{i=0}^{n-1} (-1)^{(n-i)(q+1)} \\
&\qquad T(\alpha_{s,q+n-1,p}\alpha_{i,n,q})(w_1) T(\alpha_{s,q+n-1,p}\beta_{i,n,q})(w_3) T(\beta_{s,q+n-1,p})(w_2).
\end{align*}
$$

On a d'une part :

$$
\begin{align*}
& \sum_{r=0}^{i-1} (-1)^{(p+n-1-r)(q+1)} \sum_{i=1}^{n-1} (-1)^{(n-i)(p+1)} \\
& T(\alpha_{r,n+p-1,q} \alpha_{i,n,p}) (w_1) T(\alpha_{r,n+p-1,q} \beta_{i,n,p}) (w_2) T(\beta_{r,n+p-1,q}) (w_3) \\
&= \sum_{i=r+1}^{n-1} (-1)^{(n-i)(p+1)} \sum_{r=0}^{n-2} (-1)^{(p+n-1-r)(q+1)} \\
& T(\alpha_{r,n+p-1,q} \alpha_{i,n,p}) (w_1) T(\alpha_{r,n+p-1,q} \beta_{i,n,p}) (w_2) T(\beta_{r,n+p-1,q}) (w_3).
\end{align*}
$$

Or pour tous $0 \le r \le n-2$ et $r+1 \le i \le n-1$

$$
\alpha_{r,n+p-1,q} \alpha_{i,n,p} = \alpha_{i+q-1,q+n-1,p} \beta_{r,n,q} \quad \beta_{r,n+p-1,q} = \alpha_{i+q-1,q+n-1,p} \beta_{r,n,q}
$$

et

$$
\alpha_{r,n+p-1,q} \beta_{i,n,p} = \beta_{i+q-1,q+n-1,p}
$$
donc on a

$$
\begin{align*}
& \sum_{r=0}^{i-1} (-1)^{(p+n-1-r)(q+1)} \sum_{i=1}^{n-1} (-1)^{(n-i)(p+1)} \\
& \qquad T(\alpha_{r,n+p-1,q} \alpha_{i,n,p}) (w_1) T(\alpha_{r,n+p-1,q} \beta_{i,n,p}) (w_2) T(\beta_{r,n+p-1,q}) (w_3) \\
&= (-1)^{(p-1)(q+1)} \sum_{i=r+1}^{n-1} (-1)^{(n-i)(p+1)} \sum_{r=0}^{n-2} (-1)^{(n-r)(q+1)} \\
& T(\alpha_{i+q-1,q+n-1,p} \alpha_{r,n,q}) (w_1) T(\beta_{i+q-1,q+n-1,p}) (w_2) T(\alpha_{i+q-1,q+n-1,p} \beta_{r,n,q}) (w_3) \\
&= (-1)^{(p-1)(q+1)} \sum_{s=r+q}^{n+q-2} (-1)^{(n+q-1-s)(p+1)} \sum_{r=0}^{n-2} (-1)^{(n-r)(q+1)} \\
& \qquad T(\alpha_{s,q+n-1,p} \alpha_{r,n,q}) (w_1) T(\beta_{s,q+n-1,p}) (w_2) T(\alpha_{s,q+n-1,p} \beta_{r,n,q}) (w_3).
\end{align*}
$$

En raissonant de même façon, on montre que

$$
\begin{align*}
& \sum_{r=i+p}^{p+n-2} (-1)^{(p+n-1-r)(q+1)} \sum_{i=0}^{n-2} (-1)^{(n-i)(p+1)} \\
& \qquad T(\alpha_{r,n+p-1,q} \alpha_{i,n,p}) (w_1) T(\alpha_{r,n+p-1,q} \beta_{i,n,p}) (w_2) T(\beta_{r,n+p-1,q}) (w_3) \\
&= (-1)^{(p-1)(q+1)} \sum_{s=0}^{i-1} (-1)^{(n+q-1-s)(p+1)} \sum_{i=1}^{n-1} (-1)^{(n-i)(q+1)} \\
& \qquad T(\alpha_{s,q+n-1,p} \alpha_{i,n,q}) (w_1) T(\beta_{s,q+n-1,p}) (w_2) T(\alpha_{s,q+n-1,p} \beta_{i,n,q}) (w_3).
\end{align*}
$$

D'autre part

$$
\begin{align*}
& \sum_{r=i}^{i+p-1} (-1)^{(p+n-1-r)(q+1)} \sum_{i=0}^{n-1} (-1)^{(n-i)(p+1)} \\
& \qquad T(\alpha_{r,n+p-1,q} \alpha_{i,n,p}) (w_1) T(\alpha_{r,n+p-1,q} \beta_{i,n,p}) (w_2) T(\beta_{r,n+p-1,q}) (w_3) \\
&= \sum_{j=0}^{p-1} (-1)^{(p+n-1-j)(q+1)} \sum_{i=0}^{n-1} (-1)^{(n-i)(p+1)-i(q+1)} \\
& \qquad T(\alpha_{i+j,p+n-1,q} \alpha_{i,n,p}) (w_1) T(\alpha_{i+j,p+n-1,q} \beta_{i,n,p}) (w_2) T(\beta_{i+j,p+n-1,q}) (w_3).
\end{align*}
$$

Comme on a, pour tous $0 \le i \le n-1$ et $0 \le j \le p-1$,

$$
\alpha_{i+j,p+n-1,q} \alpha_{i,n,p} = \alpha_{i,n,p+q-1} \quad \alpha_{i+j,p+n-1,q} \beta_{i,n,p} = \beta_{i,n,p+q-1} \alpha_{j,p,q}
$$

et

$$
\beta_{i+j,p+n-1,q} = \beta_{i,n,p+q-1} \beta_{j,p,q}
$$
alors

$$
\begin{align*}
& \sum_{r=i}^{i+p-1} (-1)^{(p+n-1-r)(q+1)} \sum_{i=0}^{n-1} (-1)^{(n-i)(p+1)} \\
& T(\alpha_{r,n+p-1,q}\alpha_{i,n,p})(w_1)T(\alpha_{r,n+p-1,q}\beta_{i,n,p})(w_2)T(\beta_{r,n+p-1,q})(w_3) \\
& = (-1)^{q+1} \sum_{j=0}^{p-1} (-1)^{(p-j)(q+1)} \sum_{i=0}^{n-1} (-1)^{(n-i)(p+q)} \\
& T(\alpha_{i,n,p+q-1})(w_1)T(\beta_{i,n,p+q-1}\alpha_{j,p,q})(w_2)T(\beta_{i,n,p+q-1}\beta_{j,p,q})(w_3) \\
& = (-1)^{q+1} w_1 \prec_1 (w_2 \prec_1 w_3).
\end{align*}
$$

De la même manière, on montre que

$$
\begin{align*}
& \sum_{s=i}^{i+q-1} (-1)^{(n+q-1-s)(p+1)} \sum_{i=0}^{n-1} (-1)^{(n-i)(q+1)} \\
& T(\alpha_{s,q+n-1,p}\alpha_{i,n,q})(w_1)T(\alpha_{s,q+n-1,p}\beta_{i,n,q})(w_3)T(\beta_{s,q+n-1,p})(w_2) \\
& = (-1)^{p+1} w_1 \prec_1 (w_3 \prec_1 w_2).
\end{align*}
$$

D'où l'identité recherchée.

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

**Corollaire 6.3.** Soient $T$ une AGS, $w_1 \in T^n$, $w_2 \in T^p$ et $w_3 \in T^q$. On a alors l'identité de Jacobi

$$
(-1)^{n(q+p)} \psi^1(w_2, \psi^1(w_3, w_1)) + (-1)^{q(n+p)} \psi^1(w_3, \psi^1(w_1, w_2)) + \\ \psi^1(w_1, \psi^1(w_2, w_3) = 0.
$$

Démonstration. Ceci résulte immédiatement du théorème précédent.

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

**Proposition 6.4.** Soient $T$ une AGS sur $\mathbb{Z}/2$, $x \in H^n(T^*)$, $y \in H^p(T^*)$ et $z \in H^q(T^*)$. On a alors l'identité de Poisson suivante

$$
\psi^1(x, yz) = \psi^1(x, y)z + y\psi^1(x, z).
$$

Démonstration. On a

$$
\psi^1(x, yz) = x \prec_1 yz + yz \prec_1 x,
$$

et comme d'après la formule de Hirsch

$$
yz \prec_1 x = y(z \prec_1 x) + (y \prec_1 x)z
$$

Il nous reste donc à montrer que pour tous $w_1 \in Z^n$, $w_2 \in Z^p$ et $w_3 \in Z^q$,
$w_1 \prec_1 w_2 w_3$ a la même classe de cohomologie que $(w_1 \prec_1 w_2)w_3 +
CUP i-PRODUIT SUR LES ALGÈBRES

$w_2(w_1 \prec_1 w_3)$. Pour $n \ge 2$ et $p, q \ge 1$, le résultat découle immédiatement de la proposition 4.15. Pour $n = 1, p$ et $q \ge 1$, on a par définition

$$w_1 \prec_1 w_2 w_3 = T(h)(w_1)T(f_{p,q})(w_2)T(g_{p,q})(w_3)$$

où les applications $f_{p,q}$ et $g_{p,q}$ sont définis dans la démonstration 4.8 et $h : [1] \to [q+p]$ est définie par $h(0) = 0$ et $h(1) = p+q$. Or on a $h = h'\delta_1$ où $h' : [2] \to [q+p]$ est définie par $h'(0) = 0$, $h'(1) = p$ et $h'(2) = p+q$. Puisque $D(w_1) = 0$, on a alors

$$w_1 \prec_1 w_2 w_3 = T(h'\delta_0)(w_1)T(f_{p,q})(w_2)T(g_{p,q})(w_3) + T(h'\delta_2)(w_1)T(f_{p,q})(w_2)T(g_{p,q})(w_3)$$

et comme on a $h'\delta_0 = g_{p,q}h''_q$ et $h'\delta_2 = f_{p,q}h''_p$, où pour tout $s \ge 1$, $h''_s : [1] \to [s]$ vérifiant $h''_s(0) = 0$ et $h''_s(1) = s$, on a donc

$$w_1 \prec_1 w_2 w_3 = T(f_{p,q}h''_p)(w_1)T(f_{p,q})(w_2)T(g_{p,q})(w_3) + T(g_{p,q}h''_q)(w_1T(f_{p,q})(w_2)T(g_{p,q})(w_3)) = (w_1 \prec_1 w_2)w_3 + w_2(w_1 \prec_1 w_3)$$

Pour $p = 0, n$ et $q \ge 1$, on a

$$\begin{aligned} w_1 \prec_1 w_2 w_3 &= \sum_{i=0}^{n-1} T(\alpha_{i,n,q})(w_1)T(\beta_{i,n,q})(T(f_{0,q})(w_2)T(g_{0,q})(w_3)) \\ &= \sum_{i=0}^{n-1} T(\alpha_{i,n,q})(w_1)T(\beta_{i,n,q}f_{0,q})(w_2)T(\beta_{i,n,q})(w_3)) \end{aligned}$$

et comme pour tout $0 \le i \le n-1$, on a $\beta_{i,n,q}f_{0,q} = r_i \circ \delta_0$, où $r_i : [1] \to [n+q-1]$ est définie par $r_i(0) = 0$ et $r_i(1) = i$. On aura donc $T(\beta_{i,n,q}f_{0,q}) = T(r_i \circ \delta_1)$ car $D(w_2) = 0$. Donc

$$w_1 \prec_1 w_2 w_3 = w_2(w_1 \prec_1 w_3)$$

Pour $q = 0, n$ et $p \ge 1$, on a

$$\begin{aligned} w_1 \prec_1 w_2 w_3 &= \sum_{i=0}^{n-1} T(\alpha_{i,n,p})(w_1)T(\beta_{i,n,p})(T(f_{p,0})(w_2)T(g_{p,0})(w_3)) \\ &= \sum_{i=0}^{n-1} T(\alpha_{i,n,p})(w_1)T(\beta_{i,n,p})(w_2)T(\beta_{i,n,p}g_{p,0})(w_3)) \end{aligned}$$

or pour tout $0 \le i \le n-1$, on a $\beta_{i,n,p}g_{p,0} = t_i \circ \delta_0$ où $t_i : [1] \to [n+p-1]$ vérifie $t_i(0) = n+p-1$ et $t_i(1) = p+i$. Et comme $D(w_3) = 0$, donc $T(\beta_{i,n,p}g_{p,0}) = T(t_i \circ \delta_1) = T(g_{n+p-1,0})$. D'où

$$w_1 \prec_1 w_2 w_3 = (w_1 \prec_1 w_2)w_3$$

□

**Proposition 6.5.** *Les deux propositions 5.2.3 et 5.2.5 impliquent que si T est une AGS sur $\mathbb{Z}/2$, alors l'algèbre de cohomologie $H^*(T^*)$ est une algèbre de Gerstenhaber.*
*Remarques 6.6.* La proposition 6.8 induit le fait que :

- Pour toute $\mathbb{Z}/2$-algèbre $A$, la cohomologie de $T^*(A)$ est une algèbre de Gerstenhaber.

- Pour tout espace topologique $X$ qui a le type d'homotopie d'un CW-complexe, l'algèbre de cohomologie $H^*(X, \mathbb{Z}/2)$ est une algèbre de Gerstenhaber.

Références

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[2] ——, « Algèbres graduées avec symétries », *Journal of Algebra* **325** (2011), p. 49–73.

[3] A. CONNES – « Non commutative différential geometry », *Pub. Math. I.H.E.S* **62** (1985), p. 257–360.

[4] J. CUNTZ & D. QUILLEN – « Cyclic homology and nonsingularity », *J. Amer. Math. Soc.* **8** (1995), no. 2, p. 373–442.

[5] A. DOLD & R. THOM – « Une généralisation de la notion d'espace fibré. Application aux produits symétriques infinis », *C. R. Acad. Sci. Paris* **242** (1956), p. 1680–1682.

[6] M. GERSTENHABER – « The cohomology structure of an associative ring », *Ann of Math.* **78** (1963), p. 267–288.

[7] M. KAROUBI – « Formes différentielles non commutatives et cohomology à coefficients arbitraires », *Transaction of the AMS* **347** (1995), p. 4277–4299.

[8] ——, « Formes topologiques non commutatives », *Annales scientifiques. E. N. S.* **28** (1995), p. 477–492.

[9] D. KRAINES – « Massey higher products », *Trans. Amer. Math. Soc.* **124** (1966), p. 431–449.

[10] J. P. MAY – « A general algebraic approach to Steenrod operations », in *The Steenrod Algebra and its Applications (Proc. Conf. to Celebrate N. E. Steenrod's Sixtieth Birthday, Battelle Memorial Inst., Columbus, Ohio, 1970)*, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 168, Springer, Berlin, 1970, p. 153–231.

[11] N. E. STEENROD – « Products of cocycles and extensions of maps », *Ann. of Math. (2)* **48** (1947), p. 290–320.
CUP *i*-PRODUIT SUR LES ALGÈBRES

[12] ________, *Cohomology operations*, Lectures by N. E. Steenrod written and revised by D. B. A. Epstein. Annals of Mathematics Studies, No. 50, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1962.

[13] E. THOMAS – « The suspension of the generalised pontrjagin cohomology operations », *Pacific J. Math.* (1959), p. 897–911.

ARWA ABBASSI

Université de Tunis El Manar

Faculté des Sciences de Tunis

Département de mathématiques

El Manar 2092, Tunisie

abbassi.arwa@yahoo.fr