Sur un problème de M. Kuratowski concernant
la propriété de Baire des ensembles.

Par

W. Sierpiński (Varsovie).

M. Kuratowski m'a posé le problème suivant:

E étant un ensemble linéaire qui jouit de la propriété de Baire <fnref n="1" />),
l'ensemble plan Q formé de toutes les parallèles à une droite fixe me-
nées par les points de E, jouit-il nécessairement de la propriété de
Baire?

Le but de cette Note est de prouver (en utilisant un résultat
de M. Lusin) que si 2<sup>N</sup> = N₁, la réponse est négative <fnref n="2" />).

En effet, M. Lusin a démontré récemment que si 2<sup>N<sub>0</sub></sup> = N<sub>1</sub>, il
existe un ensemble non dénombrable L de nombres irrationnels de
l'intervalle (0, 1) qui ne jouit pas de la propriété de Baire (par
rapport à l'intervalle (0, 1)) et qu'il existe une fonction ψ(x) définie
et continue dans l'ensemble N de tous les nombres irrationnels de
l'intervalle (0, 1), à valeurs distinctes sur N et telle que l'ensemble
K = ψ(L) est toujours de 1<sup>re</sup> catégorie <fnref n="3" />).

Désignons par J l'ensemble de tous les points (x, y) du plan, tels
que x ∈ N et y = ψ(x): la fonction ψ(x) étant continue dans N,
l'ensemble J est évidemment homéomorphe à N, donc un G<sub>δ</sub>. Pa-
reillement l'ensemble J<sub>1</sub> de tous les points (x, y) du plan, tels que
x ∈ L et y = ψ(x), est homéomorphe à L. Donc, l'ensemble J<sub>1</sub> ne
jouit pas de la propriété de Baire, puisque, comme j'ai démontré <fnref n="4" />),

tout ensemble homéomorphe à un ensemble jouissant de la propriété
de Baire jouit de cette propriété, et l'ensemble L (homéomorphe
à J₁) ne jouit pas de la propriété de Baire.

Désignons maintenant par *E* l'ensemble de tous les points (*x*, *y*)
du plan, tels que *x* = 0 et *y* ∈ *K*: c'est donc un ensemble toujours
de 1<sup>re</sup> catégorie (en tant que superposable avec *K*), donc un ensemble
linéaire (situé sur l'axe OY) jouissant de la propriété de Baire. Soit *Q*
l'ensemble-somme de toutes les parallèles à l'axe OX menées par
les points de l'ensemble *E*. Je dis que l'ensemble plan *Q* ne jouit
pas de la propriété de Baire.

En effet, admettons que l'ensemble Q jouisse de la propriété de
Baire. L'ensemble J jouissant de la propriété de Baire (en tant qu'un G₀
plan) et le produit de deux ensemble jouissants de la propriété de
Baire jouissant (comme on sait) de cette propriété, nous concluons
que l'ensemble QJ jouit de la propriété de Baire. Or, comme on
voit sans peine (la fonction ψ(x) étant à valeurs distinctes sur N),
on a QJ = J₁: l'ensemble J₁ jouirait donc de la propriété de Baire,
ce qui n'est pas le cas, comme nous avons vu plus haut.

L'ensemble Q ne jouit pas donc de la propriété de Baire. Nous
avons ainsi démontré que si 2<sup>N<sub>0</sub></sup> = N<sub>1</sub>, la réponse au problème de
M. Kuratowski est négative.

De l'hypothèse que la réponse au problème de M. Kuratowski
est positive (ce qui n'est pas le cas, comme nous avons démontré,
tout au moins si 2<sup>N<sub>0</sub></sup> = N<sub>1</sub>), hypothèse que j'ai regardé (faussement)
comme une vérité évidente, j'ai tiré dans le vol. XI de ce journal,
p. 304—305, la conséquence que l'image géométrique d'une fonction
(d'une variable réelle) jouissant de la propriété de Baire est toujours
un ensemble (plan) jouissant de la propriété de Baire. Or, ce n'est
pas le cas, si 2<sup>N<sub>0</sub></sup> = N<sub>1</sub>.

En effet, définissons la fonction φ(y) de la variable réelle y
comme il suit. Si y non ∈ K, posons φ(y) = -1. Si y ∈ K, il existe
un nombre x de L bien déterminé, tel que y = φ(x) (puisque
K = φ(L) et la fonction ψ(x) est à valeurs distinctes sur L): nous
poserons φ(y) = x.

La fonction φ(y) d'une variable réelle y jouit évidemment de la
propriété de Baire (puisque l'ensemble E[y[φ(y) ∓ 1] = K est tou-
jours de 1re catégorie). Or, son image géométrique H, c'est-à-dire
l'ensemble de tous les points (x, y) du plan, tels que x = φ(y), ne

<footnote n="1">¹) Quant à la définition de la propriété de Baire des ensembles voir p. ex.
Fund. Math., t. IV, p. 319.</footnote>

<footnote n="2">²) Cf. C. R. Paris, t. 197, p. 1716.</footnote>

<footnote n="3">³) Voir N. Lusin, *Fund. Math.*, t. XXI, p. 119–122 et W. Sierpiński, *Fund. Math.*, t. XXII, p. 21.</footnote>

<footnote n="4">⁴) *Fund. Math.*, t. IV, p. 319.</footnote>
jouit pas de la propriété de Baire, puisque, si $H$ jouissait de cette propriété, il en serait de même de l'ensemble $H - E[x = -1]$ qui coïncide évidemment avec $J_1$, et comme nous savons, l'ensemble $J_1$ ne jouit pas de la propriété de Baire.

Donc, si $2^\aleph = \aleph_1$, il existe une fonction d'une variable réelle qui jouit de la propriété de Baire et dont l'image géométrique ne jouit pas de la propriété de Baire.

Voici encore une remarque due à M. Kuratowski.

En conservant les notations utilisées plus haut, posons

$$f(x, y) = 1 \text{ si } (x, y) \in Q, \text{ et } f(x, y) = 0 \text{ si } (x, y) \text{ non } \in Q.$$

La fonction de deux variables réelles $f(x, y)$ ne jouit pas de la propriété de Baire, puisque l'ensemble $Q$ ne jouit pas de la propriété de Baire. Or, la fonction $f(x, y)$ dépend évidemment seulement de $y$, et si l'on pose, pour $x$ et $y$ réels, $f(x, y) = \vartheta(y)$, la fonction $\vartheta(y)$ d'une variable réelle $y$ jouit de la propriété de Baire (puisque $E[\vartheta(y) \neq 0] = K$ et $K$ est un ensemble toujours de première catégorie).

Donc, si $2^\aleph = \aleph_1$, une fonction d'une variable réelle qui jouit de la propriété de Baire, considérée comme une fonction de deux variables réelles, peut ne jouir pas de la propriété de Baire.

Ou encore, posons, pour $x$ et $y$ réels: $F(x, y) = y$ — ce sera évidemment une fonction continue de deux variables réelles $x, y$. La fonction $g(x, y) = F(x, \vartheta(y))$ est, comme on voit sans peine, la fonction caractéristique de l'ensemble (plan) $Q$, donc une fonction qui ne jouit pas de la propriété de Baire. Donc:

Si $2^\aleph = \aleph_1$, il existe une fonction de deux variables réelles qui ne jouit pas de la propriété de Baire et qui est une fonction continue (de deux variables réelles) de fonctions (d'une variable réelle) jouissant de la propriété de Baire.

(Pour les fonctions d'une variable réelle, ainsi que pour les fonctions de deux variables réelles de fonctions de deux variables réelles, un tel cas est, comme on sait, impossible).

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

## On Linearly Measurable Plane Sets of Points of Upper Density $1/2$.

By

J. Gillis (Cambridge, England).

§ 1. The general theory of linear measure and measurability of plane sets of points is due to Carathéodory <fnref n="1" />), Gross <fnref n="2" />) and Esterman <fnref n="3" />); but Besicovitch <fnref n="4" />), in a paper to which I shall refer as (B), was the first to investigate the geometrical properties of linearly measurable plane sets. Later, Besicovitch and Walker <fnref n="5" />), proved a further important result, and, although their actual theorem is irrelevant to my present purpose, I shall have to make frequent use of the arguments they use to establish some of their auxiliary theorems. When doing so, I shall refer to their paper as (B and W). I proved to state some definitions and the relevant known theorems.

§ 2. Let $A$ be a plane set of points and $p$ an arbitrarily chosen positive number; let $U(p, A)$ denote a finite or denumerable set of convex areas $\{U_k(p, A)\}$ such that:

(I) every point of $A$ is interior to at least one of the areas $U_k(p, A)$, and

(II) the diameter $d_k$ of $U_k(p, A)$ is less than $p$ for each $k$; then the lower bound of $\sum_U d_k$ is denoted by $L_p$. As $p$ decreases,

<footnote n="1">1) Über das lineare Maß von Punktmengen. Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Math.-Phys. Klasse, (1914).</footnote>

<footnote n="2">2) Monatshefte für Math. und Physik (1918).</footnote>

<footnote n="3">3) Abhandlungen aus dem Math. Sem. der Hamb. Univ. (1925).</footnote>

<footnote n="4">4) Math. Annalen (1927), pp. 422-464.</footnote>

<footnote n="5">5) Proc. of the London Math. Soc, Ser. 2, Vol. 32, Part 2, pp. 142-153.</footnote>