$$= \begin{pmatrix} 3 & -4 & 2 \\ 0 & -\frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ 0 & \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{pmatrix}$$

Cas où $i := 2$, $j := 3$, $x_i := -\sqrt{2}/2$, $x_j := \sqrt{2}/2$. On a :

$$\begin{aligned} r &:= \sqrt{x_i^2 + x_j^2} \\ &= \sqrt{1/2 + 1/2} \\ &= 1 \end{aligned}$$

et

$$\begin{aligned} R &:= A_3 \\ &:= G\left(i, j, \frac{x_i}{r}, \frac{-x_j}{r}\right) A_2 \\ &= G\left(2, 3, -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) A_2 \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -4 & 2 \\ 0 & -\frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ 0 & \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 3 & -4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Posons :

$$Q := G\left(2, 3, -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) G\left(1, 3, \frac{2\sqrt{2}}{3}, \frac{1}{3}\right) G\left(1, 2, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right).$$

On a :

$$\begin{aligned} Q &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\sqrt{2}/3 & 0 & -1/3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/3 & 0 & 2\sqrt{2}/3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} & 0 \\ -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{2}{3}\sqrt{2} & 0 & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{2}{3} \\ -\frac{1}{6}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} & 0 \\ -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & -2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

On a bien (c'est inutile de le montrer) :

$$\begin{aligned} QA &= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 3 & -4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \\ &= R \end{aligned}$$
$$
G(2, 3, c, s) = G(2, 3, \theta) = \begin{pmatrix} 0 & c & -s \\ 0 & s & c \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
$$

$$
G(3, 2, c, s) = G(3, 2, \theta) = \begin{pmatrix} 0 & -s & c \\ 0 & c & s \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
$$

On commence par un lemme utile.

Lemme D.1.3

Soit $i, j \in \{1, \dots, n\}$ tels que $i \neq j$ et $\theta \in \mathbb{R}$.

(i) On a $G(i, j, \theta) \in O_n(\mathbb{R})$.

(ii) Soit :

$$
X := \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n
$$

$$
\text{avec } r := \sqrt{x_i^2 + x_j^2} \neq 0. \text{ Alors on a :}
$$

$$
G\left(i, j, \frac{x_i}{r}, -\frac{x_j}{r}\right) X = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ r \\ \vdots \\ 0 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \begin{array}{l} i \\ j \end{array}
$$

Démonstration. Dans les deux preuves, on a va utiliser une expression de $G(i,j,\theta)$ avec des symboles de Kronecker.
Pour tous $k,l \in \{1, \dots, n\}$, on a :

$$
[G(i, j, \theta)]_{kl} = s(\delta_{(k,l),(j,i)} - \delta_{(k,l),(i,j)}) + (c-1)(\delta_{(k,l),(i,i)} + \delta_{(k,l),(j,j)}) + \delta_{k,l}
$$

(i) Posons $c := \cos(\theta)$ et $s := \sin(\theta)$. Montrons que $G(i, j, \theta)^T G(i, j, \theta) = I_n$. Pour tous $k, l \in \{1, \dots, n\}$ et comme $s^2 + c^2 = 1$, on a :

$$
\begin{align*}
& [G(i, j, \theta)^T G(i, j, \theta)]_{kl} \\
&= \sum_{h=1}^{n} [G(i, j, \theta)^T]_{kh} [G(i, j, \theta)]_{hl} \\
&= \sum_{h=1}^{n} [G(i, j, \theta)]_{hk} [G(i, j, \theta)]_{hl} \\
&= \sum_{h=1}^{n} \left( s(\delta_{(h,k),(j,i)} - \delta_{(h,k),(i,j)}) + (c-1)(\delta_{(h,k),(i,i)} + \delta_{(h,k),(j,j)}) + \delta_{h,k} \right) \\
&\quad \times \left( s(\delta_{(h,l),(j,i)} - \delta_{(h,l),(i,j)}) + (c-1)(\delta_{(h,l),(i,i)} + \delta_{(h,l),(j,j)}) + \delta_{h,l} \right) \\
&= s^2 \sum_{h=1}^{n} (\delta_{(h,k),(j,i)} - \delta_{(h,k),(i,j)})(\delta_{(h,l),(j,i)} - \delta_{(h,l),(i,j)}) \\
&\quad + (c-1)^2 \sum_{h=1}^{n} (\delta_{(h,k),(i,i)} + \delta_{(h,k),(j,j)})(\delta_{(h,l),(i,i)} + \delta_{(h,l),(j,j)})
\end{align*}
$$
En utilisant la formule de la proposition A.6.2 pour l'inverse d'une matrice triangulaire supérieure, on a :

$$R^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}$$

et ainsi :

$$ 
\begin{align*}
A^{-1} &= R^{-1}Q \\
&= \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & -2 \end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 4 & -2 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
&+ s(c-1) \sum_{h=1}^{n} \left[ (\delta_{(h,k),(j,i)} - \delta_{(h,k),(i,j)})(\delta_{(h,l),(i,i)} + \delta_{(h,l),(j,j)}) + (\delta_{(h,k),(i,i)} + \delta_{(h,k),(j,j)})(\delta_{(h,l),(j,i)} - \delta_{(h,l),(i,j)}) \right] \\
&+ s \sum_{h=1}^{n} \left[ (\delta_{(h,k),(j,i)} - \delta_{(h,k),(i,j)})\delta_{h,l} + \delta_{h,k}(\delta_{(h,l),(j,i)} - \delta_{(h,l),(i,j)}) \right] \\
&+ (c-1) \sum_{h=1}^{n} \left[ (\delta_{(h,l),(i,i)} + \delta_{(h,l),(j,j)})\delta_{h,l} + \delta_{h,k}(\delta_{(h,l),(i,i)} + \delta_{(h,l),(j,j)}) \right] \\
&+ \sum_{h=1}^{n} \delta_{h,k}\delta_{h,l} \\
&= s^2 (\delta_{(i,k),(i,j)}\delta_{(i,l),(i,j)} + \delta_{(j,k),(j,i)}\delta_{(j,l),(j,i)}) \\
&\quad + (c-1)^2 (\delta_{(i,k),(i,i)}\delta_{(i,l),(i,i)} + \delta_{(j,k),(j,j)}\delta_{(j,l),(j,j)}) \\
&\quad + s(c-1) (-\delta_{(i,k),(i,j)}\delta_{(i,l),(i,i)} - \delta_{(i,k),(i,i)}\delta_{(i,l),(i,j)} + \delta_{(j,k),(j,i)}\delta_{(j,l),(j,j)} + \delta_{(j,k),(j,j)}\delta_{(j,l),(j,i)}) \\
&\quad + s (-\delta_{(i,k),(i,j)}\delta_{i,l} - \delta_{i,k}\delta_{(i,l),(i,j)} + \delta_{(j,k),(j,i)}\delta_{j,l} + \delta_{j,k}\delta_{(j,l),(j,i)}) \\
&\quad + (c-1) (\delta_{(i,l),(i,i)}\delta_{i,l} + \delta_{i,k}\delta_{(i,l),(i,i)} + \delta_{(j,l),(j,j)}\delta_{j,l} + \delta_{j,k}\delta_{(j,l),(j,j)}) \\
&\quad + \delta_{k,l} \\
&= s^2 (\delta_{k,j}\delta_{l,j} + \delta_{k,i}\delta_{l,i}) + (c-1)^2 (\delta_{i,k}\delta_{i,l} + \delta_{k,j}\delta_{l,j}) \\
&\quad + s(c-1) \times 0 + s \times 0 + (c-1) (\delta_{i,l} + \delta_{i,k}\delta_{l,i} + \delta_{j,l} + \delta_{j,k}\delta_{l,j}) + \delta_{k,l} \\
&= (s^2 + (c-1)^2 + c-1) (\delta_{k,j}\delta_{l,j} + \delta_{k,i}\delta_{l,i}) + (c-1) (\delta_{i,l} + \delta_{j,l}) + \delta_{k,l} \\
&= \begin{cases} (-c+1) + (c-1) + 1 & \text{si } k=l=i \text{ ou } k=l=j \\ \delta_{k,l} & \text{sinon.} \end{cases} \\
&= \delta_{k,l} \\
&= [I_n]_{k,l}
\end{align*}
$$

D'où le résultat.

(ii) Pour tout $k \in \{1, \dots, n\}$, on a :

$$
\begin{align*}
& \left[ G \left( i, j, \frac{x_i}{r}, -\frac{x_j}{r} \right) X \right]_k \\
&= \sum_{h=1}^{n} \left[ G \left( i, j, \frac{x_i}{r}, -\frac{x_j}{r} \right) \right]_{kh} [X]_h \\
&= \sum_{h=1}^{n} \left( -\frac{x_j}{r} (\delta_{(k,h),(j,i)} - \delta_{(k,h),(i,j)}) + \left(\frac{x_i}{r} - 1\right) (\delta_{(k,h),(i,i)} + \delta_{(k,h),(j,j)}) + \delta_{k,h} \right) x_h \\
&= \left( \frac{-x_j}{r} \delta_{(k,i),(j,i)} + \left(\frac{x_i}{r} - 1\right) \delta_{(k,i),(i,i)} \right) x_i + \left( -\frac{x_j}{r} \delta_{(k,j),(i,j)} + \left(\frac{x_i}{r} - 1\right) \delta_{(k,j),(j,j)} \right) x_j + \delta_{k,k} x_k \\
&= \begin{cases} \left(\frac{x_i}{r} - 1\right) x_i + \frac{x_j}{r} x_j + x_i & \text{si } k=i \\ -\frac{x_j}{r} x_i + \left(\frac{x_i}{r} - 1\right) x_j + x_j & \text{si } k=j \\ x_k & \text{sinon.} \end{cases} \\
&= \begin{cases} r & \text{si } k=i \\ 0 & \text{si } k=j \\ x_k & \text{sinon.} \end{cases}
\end{align*}
$$

D'où le résultat.

<figure><img src="image_10.png" /></figure>
Références

[1] Roger A. Horn, Charles R. Johnson, *Matrix analysis*, Cambridge University Press, (1990).

[2] Denis Serre, *Matrices, Theory and Applications*, Springer, (2000).

[3] Wikipedia, *Invertible matrix # Methods of matrix inversion*.
Par le lemme, la multiplication à gauche par une rotation de Givens est une "double transvection" où l'on fait apparaître un *r* en ligne *i* et un *0* en ligne *j*.

En multipliant successivement à gauche par des rotations de Givens, on peut rendre la matrice triangulaire supérieure et le produit des rotations de Givens donnera la matrice *Q* comme on le verra dans la sous-section suivante.

En multipliant à droite par des rotations de Givens, on obtiendrait une décomposition *RQ* comme dans la section 14.

## D.2 Exemple

Calculons l'inverse de :

$$A := \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$

en utilisant la décomposition *QR* et les rotations de Givens.

Cas où $i := 1, j := 2, x_i := 2, x_j := 2$. On a :

$$\begin{aligned} r &:= \sqrt{x_i^2 + x_j^2} \\ &= \sqrt{2^2 + 2^2} \\ &= 2\sqrt{2} \end{aligned}$$

et

$$\begin{aligned} A_1 &:= G \left( i, j, \frac{x_i}{r}, -\frac{x_j}{r} \right) A \\ &= G \left( 1, 2, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) A \\ &= \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} & 0 \\ -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2\sqrt{2} & -\frac{5}{2}\sqrt{2} & \frac{3}{2}\sqrt{2} \\ 0 & -\frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Cas où $i := 1, j := 3, x_i := 2\sqrt{2}, x_j := -1$. On a :

$$\begin{aligned} r &:= \sqrt{x_i^2 + x_j^2} \\ &= \sqrt{8 + 1} \\ &= 3 \end{aligned}$$

et

$$\begin{aligned} A_2 &:= G \left( i, j, \frac{x_i}{r}, -\frac{x_j}{r} \right) A_1 \\ &= G \left( 1, 3, \frac{2\sqrt{2}}{3}, \frac{1}{3} \right) A_1 \\ &= \begin{pmatrix} 2\sqrt{2}/3 & 0 & -1/3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/3 & 0 & 2\sqrt{2}/3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\sqrt{2} & -\frac{5}{2}\sqrt{2} & \frac{3}{2}\sqrt{2} \\ 0 & -\frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$
$$ = \begin{pmatrix} 3 & -4 & 2 \\ 0 & -\frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ 0 & \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{pmatrix} $$

Cas où $i := 2$, $j := 3$, $x_i := -\sqrt{2}/2$, $x_j := \sqrt{2}/2$. On a :

$$ \begin{aligned} r &:= \sqrt{x_i^2 + x_j^2} \\ &= \sqrt{1/2 + 1/2} \\ &= 1 \end{aligned} $$

et

$$ \begin{aligned} R &:= A_3 \\ &:= G \left( i, j, \frac{x_i}{r}, \frac{-x_j}{r} \right) A_2 \\ &= G \left( 2, 3, -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) A_2 \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -4 & 2 \\ 0 & -\frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ 0 & \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 3 & -4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned} $$

Posons :

$$ Q := G \left( 2, 3, -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) G \left( 1, 3, \frac{2\sqrt{2}}{3}, \frac{1}{3} \right) G \left( 1, 2, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right). $$

On a :

$$ \begin{aligned} Q &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\sqrt{2}/3 & 0 & -1/3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/3 & 0 & 2\sqrt{2}/3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} & 0 \\ -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{2}{3}\sqrt{2} & 0 & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{2}{3} \\ -\frac{1}{6}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} & 0 \\ -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & -2 \end{pmatrix} \end{aligned} $$

On a bien (c'est inutile de le montrer) :

$$ \begin{aligned} QA &= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 3 & -4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \\ &= R \end{aligned} $$
En utilisant la formule de la proposition A.6.2 pour l'inverse d'une matrice triangulaire supérieure, on a :

$$R^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}$$

et ainsi :

$$ 
\begin{align*}
A^{-1} &= R^{-1}Q \\
&= \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & -2 \end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 4 & -2 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}
\end{align*}
$$
Références

[1] Roger A. Horn, Charles R. Johnson, *Matrix analysis*, Cambridge University Press, (1990).

[2] Denis Serre, *Matrices, Theory and Applications*, Springer, (2000).

[3] Wikipedia, *Invertible matrix # Methods of matrix inversion*.