$$ - \delta' |_{T_t^N=T} = \frac{1}{||T||^3} (t_{i_o} \mathbb{E}(c \psi(c)) - ||T||^2 \mathbb{E}(a_{i_o}^N \psi(c))) , $$

et d'autre part

$$ - \delta' \cdot N |_{T_t^N=T} = \frac{1}{||T||^3} (t_{i_o} \mathbb{E}(c \psi(c)) - ||T||^2 \mathbb{E}(a_{i_o}^N \psi(c))) , $$

d'où

$$ (VI.5) \qquad \left\{ \begin{aligned} |\delta' - \delta'^N| |_{T_t^N=T} &= \frac{1}{||T||} |\mathbb{E}((a_{i_o} - a_{i_o}^N) \psi(c))| \\ &\le \frac{1}{||T||} (\mathbb{E}(a_{i_o} - a_{i_o}^N)^2)^{1/2} (\mathbb{E}(\psi^2(c)))^{1/2} \end{aligned} \right. $$

Concernant le second terme, on a

$$ (VI.6) \qquad \mathbb{E}(a_{i_o}^N - a_{i_o})^2 = \mathbb{E}(\sum_{|k|>N} x_k \hat{s}_{i_o-k})^2 = \epsilon_{i_o,N}^2 , $$

les autres majorations étant immédiates. ■
BIBLIOGRAPHIE

[1] R. AZENCOTT, G. RUGET - Mélanges d'équations différentielles et grands écarts à la loi des grands nombres.
Z. Wahrscheinlichkeitsth - 38, pp. 1-54 (1977).

[2] W. FELLER - *An introduction to probability theory and its applications*
Vol. II, J. Wiley & Sons.

[3] S. LANG - *Introduction aux variétés différentiables*. Dunod 1967.

[4] L. LJUNG - *Analysis of recursive stochastic algorithms*
IEEE - AC-22 n° 4 pp. 551-575 (1977).

[5] L. LJUNG - *Consistency of the least squares identification method*
IEEE AC pp. 779-781 (Octobre 1976).

[6] Y. SATO - *A method of self-recovering equalization for multilevel*
amplitude modulation.
IEEE Comm. pp. 679-682 (June 1975).
# IV - APPLICATIONS ET RESULTATS NUMERIQUES

## 1. - EXEMPLES TESTS

### 1.1. - Ligne téléphonique

Cet exemple est destiné à illustrer les résultats théoriques des chapitres II et III. A cet effet nous avons pris une ligne téléphonique réelle mais le système de transmission que nous avons utilisé ne correspond pas aux réalisations pratiques pour les grandes vitesses. Nous employons ici la modulation d'une seule porteuse (cf. figures 1 et 3 du chapitre I) avec simple échantillonnage en sortie. Ceci nous permet d'avoir une présentation plus simple des résultats : ce n'est pas un avantage mais une pénalisation en qualité (convergence, précision) par rapport au fonctionnement normal pour lequel nous donnons des exemples plus loin.

Rappelons que le système est donc pour nous :

<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>Figure A</figcaption></figure>

ou éventuellement :

<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>Figure B</figcaption></figure>

avec :

* a_n données transmises. Elles sont à 8 niveaux {±7, ±5, ±3,±1}
elles sont générées par simulation d'une loi uniforme sur [0,1] et découpage
de [0,1] en huit intervalles égaux associés aux 8 niveaux.
• S est le canal de transmission : il est composé de la ligne téléphonique proprement dite et des filtres additifs en entrée et sortie. Dans la suite lorsque nous parlerons de canal ou ligne nous supposerons inclus les filtres additifs. S nous est donné par sa réponse impulsionnelle représentée sur la figure 1 (nous verrons au paragraphe 2 comment elle est obtenue). La figure 2 représente cette réponse échantillonnée avec un pas en temps $\Delta t = \frac{1}{3200}$ s. Les données d'entrée étant à 8 niveaux on obtient ainsi un débit de 9600 bits/s, débit binaire choisi pour tous nos essais. On a $S = (s_k)$ avec $-10 \le k \le 10$ : la ligne est définie par 21 coefficients; ses caractéristiques sont :

$$ \text{Energie} \qquad E_S = \sum_{k=10}^{+10} s_k^2 = 1,4777 $$

$$ \text{Distorsion} \quad D_S = \sum_{k \neq 0} s_k/s_o = 1,2432 $$

• $b_n$ : bruit additif en sortie de ligne. Il est obtenu par simulation d'une gaussienne d'écart-type $\sigma = 0.1\sqrt{2}$, ce qui correspond à un niveau de bruit rencontré en pratique.

$$ \cdot x_n \text{ : observation en sortie de ligne } x_n = \sum_{k=-10}^{+10} a_{n-k} s_k + b_n $$

• $D_1$ : détecteur à seuil; il quantifie $x_n$ à la valeur d'entrée la plus proche; par exemple si $-6 \le x_n \le -4$ $D_1$ donne 5. $D_1$ nous donne donc le nombre de données (ou signaux) erronées par reconstruction directement en sortie de ligne. $D_2$ est un autre détecteur à seuil après égalisation.

• $R^n$ est un filtre blanchisseur. Il comporte 21 coefficients. Il est calculé par un algorithme adaptatif.

• $y_n$ sortie du filtre blanchisseur; suite de v.a décorrélées de même variance que $a_n$. On a

$$ y_n = \lambda \left( x_n - \mathbb{E}\left(x_n/x_{n-1}, x_{n-2}, \dots\right) \right), \quad \lambda \text{ tel que } \mathbb{E} y_n^2 = \mathbb{E} a_n^2 $$

Si on note

$$ \tilde{y}_n = x_n - \mathbb{E}(x_n/x_{n-1}, \dots) = x_n - \tilde{R} \tilde{X}_n $$
$$
\text{avec } t \tilde{X}_n = (x_{n-1}, \dots, x_{n-20}) \quad \tilde{R} \tilde{X}_n = \sum_{k=1}^{20} \tilde{r}_k x_{n-k}
$$

$$
\text{On cherche } \min \mathbb{E}(x_n - \tilde{R} \tilde{X}_n)^2
$$

ce qui donne l'algorithme de gradient stochastique

$$
\begin{equation} \tag{1.1}
\begin{cases}
\tilde{R}^{n+1} = \tilde{R}^n + \rho \tilde{X}_n (x_n - \tilde{R} \tilde{X}_n) \text{ et donc} \\
R^{n+1} = \lambda (1, -\tilde{r}_1, \dots, -\tilde{r}_{20})
\end{cases}
\end{equation}
$$

• Hⁿ = égaliseur adaptatif défini par 21 coefficients; il est donné par l'algorithme d'identification aveugle présenté et étudié aux chapitres II et III :

$$
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
H^{n+1} &= H^n - \tau X_n (c_n - \alpha \operatorname{sgn}(c_n)) \\
X_n &= (x_{n-10}, \dots, x_n, \dots, x_{n+10}) \quad \alpha = \frac{\mathbb{E} a_n^2}{\mathbb{E}|a_n|} = 5,25
\end{aligned}
\right.
\tag{1.2}
\end{equation}
$$

(pour l'introduction du filtre blanchisseur cf. III. 3.6).

Cet algorithme travaillant avec des lignes inconnues quelconques,
nous n'avons jamais cherché au cours des essais numériques, à optimiser
la valeur du pas de gradient τ : les valeurs utilisées se situent autour
de 10⁻³ - 10⁻⁴.

Premiers résultats numériques :

- Figure 3 : Egaliseur "exact" c'est-à-dire calculé avec la connaissance des données d'entrée et utilisation de l'algorithme de Robbins-Monro.

- Figure 4 : Filtre blanchisseur; le premier coefficient du filtre a été omis pour permettre la représentation des suivants qui sont très faibles.

- Figure 5 : Egaliseur obtenu par l'algorithme (1.2).

- Figure 6 : Evolution du nombre de données erronées après quantification

① Par $D_1$ (cf. figure A) en sortie de ligne il y a environ 80% d'erreurs.
② Par $D_2$ (cf. figure A) au cours des itérations de (1.2) du calcul de $H^n$.

La reconstitution de la séquence d'entrée se fait sans erreur après 3500 données soit après un peu plus d'une seconde ($\tau$ n'est évidemment pas optimal).

③ Par $D_2$ (cf. figure B) : au cours des itérations du calcul simultané du filtre blanchisseur et de l'égaliseur. Les résultats sont voisins de ② ; l'amélioration au cours des itérations est due au blanchisseur dont nous allons voir l'influence.

- Figure 7 : Evolution du nombre de données reconstruites erronées obtenues par $D_2$ (cf. figure B) mais on suppose ici que le blanchisseur a été pré-calculé (donné par figure 4) : on constate que, bien qu'ayant des coefficients très faibles, son influence est très favorable. En pratique, cela n'est guère intéressant car si on ajoute aux 2000 signaux de convergence donnés par cette figure, ceux qui sont nécessaires pour calculer le blanchisseur on n'a pas de gain.

- Figures 8, 9 et 10 : en sortie d'égaliseur on calcule l'erreur quadratique moyenne par paquet de 250 signaux (non quantifiés évidemment). Ces courbes correspondent respectivement aux courbes ② figure 6, ③ figure 6 et figure 7.

L'algorithme où l'on calcule simultanément le blanchisseur et l'égaliseur est légèrement supérieur à l'algorithme (1.2) seul. Il a en effet tendance à diminuer le nombre de signaux perdus et la convergence de l'erreur quadratique moyenne est améliorée. Par contre, il est un peu plus compliqué et si on veut supprimer le blanchisseur lors du relais par l'algorithme classique de Robbins-Monro, on est obligé de faire le relais en parallèle (les coefficients du blanchisseur étant évidemment différents avec et sans blanchisseur).

### Remarque

L'algorithme de Robbins-Monro (cf. chapitre I (3.9)) marche très bien et converge très rapidement avec un taux d'erreur pouvant atteindre 20%. Si on utilise (1.2) avec $\tau$ décroissant par exemple en 3 étapes et si on le
remplace par l'algorithme (3.9) chapitre I avant convergence complète
il est très facile d'obtenir ainsi une phase d'accrochage inférieure à 0,5 s.

Nous allons maintenant donner quelques résultats numériques qui sont
une illustration directe des points théoriques des chapitres II et III. Les
algorithmes que nous utilisons réalisent la minimisation d'un potentiel
défini et étudié au chapitre III : cette étude nous a conduit à représenter
les lignes de plus grande pente par la figure 2 (chapitre III). Nous savons
d'autre part, par le chapitre II que les trajectoires des algorithmes de
gradient stochastique convergent vers les lignes de plus grande pente du
potentiel lorsque $\tau \to 0$. Les trajectoires aléatoires suivies par la ligne
globale (pour $\tau$ petit) lors des itérations de gradient et pour des initia-
lisations différentes doivent donc nous donner approximativement la figure 2
chapitre III : c'est ce que représente la figure 11 (pour les deux coeffi-
cients maximaux de la ligne globale).

Les figures suivantes illustrent le résultat de convergence (chapitre
II) pour ces trajectoires :

- Figure 12 : Evolution des deux coefficients maximaux de la ligne globale après convergence en fonction de $\tau$ : agitation d'une trajectoire autour du point de convergence pour deux valeurs de $\tau$ ($2.10^{-4}$ et $2.10^{-5}$).

- Figure 13 : nous avons repris la valeur initiale de la courbe (1) figure 11.

Les courbes (1), (2) et (3) représentent trois trajectoires analogues à
(1) figure 11 pour trois valeurs de $\tau$ ($2.10^{-4}$, $10^{-4}$, $2.10^{-5}$).

Courbe (4) : convergence de l'algorithme de Robbins-Monro pour $\tau = 2.10^{-5}$.

- Figure 14 : pour $\tau = 2.10^{-5}$ nous avons représenté trois trajectoires analogues à (3) figure 13 ou (1) figure 11.

- Figure 15 : en prenant 5 trajectoires comme pour la figure 14 nous avons représenté la trajectoire moyenne (courbe (1)) et l'enveloppe des 5 trajectoires (courbes (2) et (3)). Nous avons donc ici une représentation du tube de convergence donné par le résultat du chapitre II.
<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>Figure 1 Réponse impulsionnelle de la ligne</figcaption></figure>
<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>**Figure 2** Réponse impulsionnelle échantillonnée</figcaption></figure>
<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>Figure 3 Inverse exacte</figcaption></figure>

<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>Figure 4 Filtre blanchisseur</figcaption></figure>
<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>Figure 5 Inverse calculée</figcaption></figure>
<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>Figure 6 Evolution du nombre de données erronées</figcaption></figure>

① Sortie de ligne

② après égaliseur

③ après égaliseur + blanchisseur
<figure><img src="image_37.png" /></figure>

**Figure 7** Evolution du nombre de données erronées (avec blanchisseur précalculé)
<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>**Figure 8** Evolution de l'erreur quadratique moyenne (correspondant à figure 6)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>Figure 9 Evolution de l'erreur quadratique moyenne (correspondant à ③ figure 6)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_40.png" /><figcaption>**Figure 10** Evolution de l'erreur quadratique moyenne (correspondant à figure 7)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>Figure 11 Trajectoires du gradient stochastique illustrant les lignes de plus grande pente du potentiel</figcaption></figure>
<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>**Figure 12** Agitation de la trajectoire autour du point de convergence</figcaption></figure>
<figure><img src="image_43.png" /><figcaption>**Figure 13** Quelques trajectoires sur la ligne globale; ①② et ③ pour différentes valeurs de τ; ④ pour l'algorithme de Robbins-Monro.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_44.png" /><figcaption>Figure 14 3 trajectoires pour une même valeur initiale ($\tau = 2.10^{-5}$)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_45.png" /><figcaption>Figure 15 Tube de convergence et trajectoire moyenne (2) et (3) : enveloppe de 5 trajectoires dont la moyenne est (1).</figcaption></figure>
## 1.2. - Cas d'école

Nous nous donnons a priori la réponse impulsionnelle représentée par la figure 16 (exemple tiré de la référence [3] chapitre I). La loi d'entrée est maintenant la loi uniforme sur [-2, +2]. Les essais numériques sont analogues à ceux de l'exemple 1.1 et donnent les résultats suivants :

- Figure 17 : inverse "exacte" c'est-à-dire calculée en connaissant les entiers.

- Figure 18 : inverse obtenue par l'algorithme d'identification aveugle (1.2).

- Figure 19 : filtre blanchisseur obtenu par (1.1).

- Figure 20 : égaliseur après blanchisseur.

On constate ici que contrairement à l'exemple précédent, l'influence du blanchisseur est considérable.

- Figures 21 et 22 : évolution de l'erreur quadratique moyenne respectivement avec et sans blanchisseur (pour 21 le blanchisseur est supposé précalculé, donné par la figure 19).
<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>Figure 16 Réponse impulsionnelle avec son échantillonnage</figcaption></figure>
<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>Figure 17 Egaliseur "exact" (entrées connues)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>**Figure 18** Egaliseur en identification aveugle</figcaption></figure>
<figure><img src="image_49.png" /><figcaption>Figure 19 Filtre blanchisseur</figcaption></figure>

<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>Figure 20 Egaliseur après blanchisseur</figcaption></figure>
<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>Figure 21 Erreur quadratique moyenne (avec blanchisseur)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>Figure 22 Erreur quadratique moyenne (sans blanchisseur)</figcaption></figure>
## 2. - LIGNES DU RESEAU EN FONCTIONNEMENT NORMAL

Commençons par rappeler brièvement le système de transmission utilisé :
la modulation d'amplitude de deux porteuses en quadrature (cf. § 2.2 chapitre I).

<figure><img src="image_53.png" /><figcaption>Figure C</figcaption></figure>

Le débit de transmission est de 9600 bits/s. En entrée nous aurons
deux suites de données à 4 niveaux [±3, ±1] ce qui est légèrement diffé-
rent du diagramme CCITT pour cette vitesse de transmission (cf. figure 7
chapitre I). Ce choix ne présente aucun avantage mais nous l'avons fait
pour des raisons de commodité de simulation.

Une ligne téléphonique nous est donnée par deux courbes :

- distorsion d'affaiblissement,

- distorsion de temps de groupe.

Distorsion d'affaiblissement A(f) : si $H_2(f)$ est la fonction de transfert de la ligne on donne la courbe d'évolution de $1/|H_2(f)|^2$ en fonction de la fréquence f : par exemple $A(f) = 10 \log_{10} |H_2(f)|^{-2}$ en DB (décibels) (ou de manière équivalente en Neper).

Pour les différents types de lignes, des caractéristiques minimales
(ou gabarit) ont été définies par le CCITT : elles donnent les limites
maximales de variation de la distorsion (cf. figure 23).
Distorsion de temps de groupe θ(f) : en fonction de la fréquence f on donne la courbe θ(f) = dφ/df (φ = phase) (cf. figure 24). Là aussi un gabarit a été défini par le CCITT.

Ces deux courbes définissent donc H₂(f) et on peut, en prenant la transformée de Fourier, calculer la réponse impulsionnelle de ligne (à un décalage près en temps qui est sans importance pour nous).

En fait le problème est ici un peu plus compliqué : il faut rajouter les filtres émission et réception H₁(f). Il faut notamment considérer que l'on a en amont et en aval deux filtres fictifs qui transforment les impulsions de Dirac du modèle en bande de base que l'on veut obtenir en impulsions carrées que l'on réalise en pratique. H₁(f) est modélisé par la figure D ci-dessous.

<figure><img src="image_54.png" /><figcaption>Figure D</figcaption></figure>

Le support ne présentant pas de caractéristique symétrique (impaire pour la phase ou paire pour l'amplitude) autour de la fréquence porteuse $f_o$ : on a donc intéraction entre les deux voies en quadrature et, par voie de conséquence, interférence entre les signaux des deux canaux comme entre les signaux d'un même canal.

On a donc ici :

$$ (2.1) \qquad \begin{bmatrix} X_1(f) \\ X_2(f) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} H_{11}(f) & H_{12}(f) \\ H_{21}(f) & H_{22}(f) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_1(f) \\ E_2(f) \end{bmatrix} $$

$(E_1(f)$ et $X_1(f)$ étant respectivement les spectres des signaux d'entrée et de sortie).
Par raison de symétrie on a $H_{12} = -H_{21}$ et $H_{11} = H_{22}$ et le calcul
donne à partir de $H'(f)$ :

$$
(2.2) \quad \left\{
\begin{aligned}
H_{11}(f) &= \frac{1}{2} \{A(f_o+f) \exp j[B(f_o) - B(f_o+f)] + A(f_o-f) \exp -j[B(f_o) - \\
&\qquad \qquad \qquad B(f_o-f)]\} \\
H_{12}(f) &= \frac{1}{2} \{A(f_o+f) \exp j(B(f_o) - B(f_o+f)) - \frac{\pi}{2}\} + A(f_o-f) \exp -j(B(f_o) - \\
&\qquad \qquad \qquad B(f_o-f) - \frac{\pi}{2}\}
\end{aligned}
\right.
$$

Reprenons maintenant le système en bande de base équivalent avec
égaliseur en sortie (cf. figure 10 chapitre I).

<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>Figure E</figcaption></figure>

$a_{1,n}$ et $a_{2,n}$ sont les deux suites d'entrée à 4 niveaux. Le canal
de transmission est donc donné par deux réponses impulsionnelles $S_1$ et $S_2$
qui sont donc les transformées de Fourier inverses de $H_{11}$ et $H_{22}$ données
par (2.2).

Si on note $A_{i,n}$ et $X_{i,n}$ ($i = 1,2$) les suites d'entrée et de sortie,
on a donc :
$$
(2.3) \quad \left\{
\begin{aligned}
X_{1,n} &= A_{1,n} * S_1 + A_{2,n} * S_2 \\
X_{2,n} &= A_{2,n} * S_1 - A_{1,n} * S_2
\end{aligned}
\right.
$$

Pour reconstruire chacune des séquences d'entrée il faut donc deux filtres : un pour supprimer les interférences entre les signaux de la suite d'entrée et l'autre pour supprimer les interférences de la deuxième suite avec la première. Les algorithmes utilisés ici sont rigoureusement identiques au cas d'une seule porteuse (nous n'avons cependant pas fait d'essais avec insertion d'un filtre blanchisseur).

La seule différence avec les essais du paragraphe précédent est que
nous utilisons ici un double échantillonnage : chaque réponse impulsion-
nelle est définie par 41 coefficients : 21 représentent un échantillonnage
avec un pas $\Delta t = 1/3200$ s et 20 sont les valeurs d'un échantillonnage avec
le même pas mais décalé du précédent de $\frac{\Delta t}{2}$ . Ceci nous permet de générer
un double échantillonnage du signal de sortie : EP et ES sont les deux
échantillons (décalés de $\frac{\Delta t}{2}$) que nous distinguons pour plus de commodité.
Chaque filtre de l'égaliseur est lui aussi défini par un double échantil-
lonnage; il comporte 31 coefficients : 21 coefficients travaillent sur EP
et 10 sur ES.

On a donc $X_{1,n} = (x_{1,n}^P, x_{1,n}^S)$ avec par exemple la numérotation :

<figure><img src="image_56.png" /></figure>

$$
\begin{gather*}
X_{1,n} * H_1 \text{ est ici } = \sum_{k=-15}^{+15} h_{1,k} w_{n-k} \quad \text{avec } W = (w_{n-k}) \text{ défini par} \\
W = (x_{1,n-10}^P, \dots, x_{1,n-5}^P, x_{1,n-5}^S, x_{1,n-4}^P, \dots, x_{1,n}^P, x_{1,n}^S, \dots, x_{1,n+10}^P)
\end{gather*}
$$

Chaque itération d'algorithmes ayant lieu tous les Δt.
Les données et résultats numériques sont les suivants :

- Figure 23 : distorsion d'affaiblissement d'une ligne de type M102.

- Figure 24 : distorsion de temps de groupe pour la même ligne.

- Figure 25 : réponses impulsionnelles de la ligne.

① directe, correspondant à $H_{11}(f)$ (cf (2.2)); donne les interférences entre symboles d'une même suite d'entrée.

② quadrature; correspondant à $H_{12}(f)$; donne les interférences des symboles d'une suite d'entrée sur la sortie de l'autre.

- Figure 26 : double échantillonnage des réponses précédentes.

- Figure 27 : coefficients des filtres de l'égaliseur.

① coefficients de $H_1$

② coefficients de $H_2$

les coefficients de $H_2$ étant petits nous n'avons représenté que l'échantillonnage principal.

- Figure 28 : évolution du taux d'erreur

① en sortie de ligne : 50 à 60%

② au cours des itérations de l'algorithme d'accrochage aveugle.

On a un taux d'erreur nul après 1000 données (sur chaque suite d'entrée) c'est-à-dire moins d'un tiers de seconde.

- Figure 29 : évolution de l'erreur quadratique moyenne (par paquet de 250 signaux) en sortie d'égaliseur.

La ligne suivante que nous avons considérée est constituée par : 3 voies HF + 20 km fil 8/10 + 2 ponts d'alimentation.
Les figures 30 à 37 donnent les résultats analogues aux figures
23 à 29.

Les figures 34 et 35 correspondent à $\tau = 2.10^{-4}$ et 36 et 37 cor-
respondent à $\tau = 10^{-4}$.
<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>Figure 23 Distorsion d'affaiblissement (type M102)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_58.png" /><figcaption>Figure 24 Distorsion de temps de groupe (M102)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_59.png" /><figcaption>Figure 25 Réponses impulsionnelles</figcaption></figure>

① directe

② quadrature
<figure><img src="image_60.png" /><figcaption>Figure 26 Double échantillonnage des réponses impulsionnelles (correspondant resp. à ① et ② figure 25)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_61.png" /><figcaption>Figure 27 Coefficients des filtres de l'égaliseur</figcaption></figure>
<figure><img src="image_62.png" /><figcaption>Figure 28 Evolution du nombre de données erronées</figcaption></figure>

<figure><img src="image_63.png" /><figcaption>Figure 29 Evolution de l'erreur quadratique moyenne</figcaption></figure>
<figure><img src="image_64.png" /><figcaption>Figure 30 Distorsion d'affaiblissement (①) et de temps de groupe (②)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_65.png" /><figcaption>Figure 31 Réponses impulsionnelles</figcaption></figure>

① directe

② quadrature
<figure><img src="image_66.png" /><figcaption>Figure 32 Double échantillonnage des réponses impulsionnelles (cf figure 31)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_67.png" /><figcaption>Figure 23 Coefficients des filtres de l'égaliseur</figcaption></figure>
<figure><img src="image_68.png" /><figcaption>Figure 34 Evolution du nombre de données erronées</figcaption></figure>

<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>Figure 35 Evolution de l'erreur quadratique moyenne</figcaption></figure>
<figure><img src="image_70.png" /><figcaption>Figure 36 Evolution du nombre de données erronées</figcaption></figure>

<figure><img src="image_71.png" /><figcaption>Figure 37 Evolution de l'erreur quadratique moyenne</figcaption></figure>