# Etude numérique du comportement d'un fluide de Bingham

Dominique Begis

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Dominique Begis. Etude numérique du comportement d'un fluide de Bingham. [Research Report] IRIA-RR-042, IRIA. 1973, pp.38. hal-04715958

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laboratoire de recherche
en informatique
et automatique

# Etude numérique du comportement d'un fluide de Bingham

D. Bégis

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Institut de Recherche
d'Informatique
et d'Automatique

Domaine de Voluceau
Rocquencourt
78150 - Le Chesnay
Tél. 954.90.20

Rapport de Recherche n°42
décembre 1973
ETUDE NUMÉRIQUE DU COMPORTEMENT D'UN
FLUIDE DE BINGHAM

D. Begis

(présenté par R. Glowinski)

Le but de cette étude est la vérification numérique de certaines remarques démontrées ou conjecturées sur l'écoulement d'un fluide de Bingham.

Pour la compréhension de cette étude, nous donnerons ici un
court rappel théorique et numérique de ce problème.

Une étude détaillée a été faite dans DUVAUT-LIONS [1], pour
la théorie et dans R. GLOWINSKI, J.L. LIONS, R. TREMOLIERES [1],
M. FORTIN [1] (éléments finis), D. BEGIS [1] (différences finies) pour
l'analyse numérique.

---

In this paper we give the numerical verification of some
demonstrated or conjectured remarks on the flows of Bingham fluids.

For the understanding of this study, we give here a short
recall on the theory and the numerical analysis of this problem.

A large study has been made by DUVAUT-LIONS [1], for the
theoritical part and by R. GLOWINSKI, J.L. LIONS, R. TREMOLIERES [1],
M. FORTIN [1] (finite elements), D. BEGIS [1] (finite differences) for
the numerical analysis one.
ECOULEMENT DU FLUIDE DE BINGHAM.

1. Enoncé du problème.

Soit Ω un ouvert borné de $\mathbb{R}^2$ ; on notera par

$$u = (u_i) \quad \text{le champ des vitesses}$$

$$(1) \qquad \operatorname{Div} u = 0 \quad (\text{l'hypothèse d'incompréssibilité})$$

$$(2) \qquad \frac{\mathrm{d}u_i}{\mathrm{d}t} = \sum_{j=1}^{2} \frac{\partial}{\partial x_j} \sigma_{ij} + f_i \quad (\text{l'équation du mouvement})$$

où $\sigma_{ij}$ et $f_i$ sont les composantes respectivement du tenseur des contraintes et des forces.

$$\sigma_{ij} = - p \delta_{ij}^{\delta} + \sigma_{ij}^{D} \quad (p = \text{pression}, \sigma_{ij}^{D} = \text{déviateur des contraintes.})$$

$$\sigma_{II} = \frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^{2} \sigma_{ij}^{D} \sigma_{ij}^{D}$$

$$D_{ij}(u) = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \quad \text{le tenseur des vitesses de déformation}$$

$$D_{II}(u) = \frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^{2} D_{ij}(u) D_{ij}(u)$$

La loi de comportement du fluide de Bingham s'écrit, g étant une constante positive donnée.

$$(3) \quad \begin{cases} D_{II}(u) = 0 & \Longleftrightarrow \sigma_{II}^{1/2} \le g \\ D_{II}(u) > 0 & \Longleftrightarrow \sigma_{ij} = 2\mu D_{ij}(u) + g \frac{D_{ij}(u)}{D_{II}(u)^{1/2}} - p \delta_{ij} \end{cases}$$

où les scalaires $g$ et $\mu$ sont respectivement le seuil de plasticité et la viscosité du fluide de Bingham.

Remarque 1.1 :

Pour $g = 0$, on retrouve la loi de comportement d'un fluide newtonien.

On complète l'énoncé du problème en donnant les conditions
aux limites

$$
(4) \quad \left\{
\begin{array}{l}
u_N = 0 \quad \text{sur } \Gamma \\[1em]
u_T = u \quad (u \text{ vecteur donné sur } \Gamma) \text{ avec } \vec{u} \cdot \vec{n} = 0 \text{ - condition d'unité}
\end{array}
\right.
$$

et les conditions initiales :

$$
(5) \quad u(x,0) = u_0(x) \quad \text{avec bien sur div } u_0 = 0
$$

2. Formulation variationnelle.

Introduisons

$$
V = \left\{ v \mid v \in (H^1(\Omega))^2, \operatorname{Div} v = 0 \right\}
$$

$$
H = \left\{ v \mid v \in (L^2(\Omega))^2, \operatorname{Div} v = 0 \right\} \qquad V \subset H \subset V', \text{ où } V' \text{ est le dual de } V
$$

$$
V_T = \{ v \mid v \in V, v_N = 0 \text{ sur } \Gamma, v_T = u \text{ sur } \Gamma \}
$$

Posons

$$
(f,g) = \int_{\Omega} \sum_{i=1}^{2} f_i g_i \, dx
$$

$$
a(u,v) = 2 \int_{\Omega} \mu \sum_{i,j=1}^{2} D_{ij}(u) D_{ij}(v) \, dx
$$

$$
j(v) = 2 \int_{\Omega} (D_{II}(v))^{1/2} dx
$$

$$
a(v) = a(v,v) = 4 \int_{\Omega} \mu D_{II}(v) \, dx
$$

Si u est solution de (1) → (5) avec, pour chaque t p.p. dans
]0,T[, T≥0 q.c.q. alors
$$
(6) \left\{
\begin{array}{l}
u(t) \in V_T \\
\\
\displaystyle\int_0^t \frac{du}{dt}v(u,t) + a(u(t),v-u(t)) + gj(v)-gj(u(t)) \ge (f,v-u(t)) \quad \forall v \in V_T \\
\\
u(0) = u_0
\end{array}
\right.
$$

$$
\frac{du}{dt} = \frac{\partial u}{\partial t} + \sum_{j=1}^{2} \frac{\partial u}{\partial x_j} \frac{\partial x_j}{\partial t} = \frac{\partial u}{\partial t} + \sum_{j=1}^{2} u_j \frac{\partial u}{\partial x_j}
$$

$$
\text{On pose } b(u,v,w) = \int_{\Omega} \sum_{ij=1}^{2} u_j \frac{\partial v_i}{\partial x_j} w_i \, dx
$$

$$
(6) \text{ bis } \left( \frac{\partial u}{\partial t}, v-u \right) + b(u,u,v-u) + a(u,v-u) + gj(v) - gj(u) \geq (f,v-u) \quad \forall v \in V_T
$$

Remarque 2.1 :

Pour $g > 0$, on observe des zones rigides au sein de l'écoulement et les zones rigides ($D_{II}(u) = 0$) augmentent avec $g$.

La formulation variationnelle tient compte automatiquement
de la frontière libre entre la région où le fluide se comporte comme
un fluide de Bingham de viscosité µ et la région où le fluide se com-
porte comme un corps rigide.

Théorème 2.1 :

Sous les hypothèses

$f \in L^2(0,T; V')$

$u_0 \in H$

alors il existe une fonction u unique telle que

$$
u \in L^2(0,T; V) \cap L^\infty(0,T; H)
$$

$u' \in L^2(0, T; V')$

et $u$ vérifie (6).
Notons $u_g$ la solution introduite par le théorème 2.1.

**Théorème 2.2 :**

Sous les hypothèses du théorème 1.1, lorsque $g \to 0$ alors

$u_g \to u$ dans $L^2(0,T; V)$ faible

$u'_g \to u'$ dans $L^2(0,T; V')$ faible

où $u$ est la solution de l'équation de Navier-Stokes.

**Remarque 2.2 :**

On montre que l'application $g \mapsto u_g$ est continue

$|u_{g_1}| \ge |u_{g_2}| \quad \text{si } g_1 \le g_2 \quad (\text{cf MM. Cioranescu et Margolis } [1]).$

Numériquement nous avons vérifié cette relation. Cf. Fig. 17.

**Théorème 2.3 :**

Sous les hypothèses du théorème 1.1 et si

$$ egin{cases} f_i \in L^\infty(0,T; L^2(\Omega)) \\ u_\Omega = 0 \end{cases} $$

alors $\exists g_c$ seuil critique tel que $u_g = 0 \quad \forall g \ge g_c$.

**Théorème 2.4 :**

Sous les hypothèses du théorème 1.1, on peut trouver des fonctions $m_{ij}$ (multiplicateurs) telles que
$$
\[
(7) \quad \left\{
\begin{array}{l}
m_{ij} = m_{ji} \in L^\infty(Q) \\
\displaystyle\sum_{i=1}^{2} m_{ii} = 0 \\
\displaystyle\sum_{i,j=1}^{2} m_{ij} m_{ji} \le \frac{g^2}{2} \\
\displaystyle\sum_{i,j=1}^{2} m_{ij} D_{ij}(u) - \frac{g}{\sqrt{2}} (D_{II}(u))^{1/2} = 0 \\
\displaystyle\frac{\partial u_i}{\partial t} - \sum_{j=1}^{2} \frac{\partial}{\partial x_j} (-p \delta_{ij} + \mu \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + 2 m_{ij}) = f_i \\
\displaystyle\frac{\partial u_i}{\partial t} = \frac{\partial u_i}{\partial t} + \sum_{j=1}^{2} u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j}
\end{array}
\right.
\]
$$

Remarque 2.4 :

Ce théorème est très utile numériquement car la non diffé-
rentiabilité de j(v) peut être traitée par une méthode du type dualité.

3. Semi-discrétisation en temps.

Schéma utilisé : Cranck-Nicolson

Pour simplifier on ne prendra pas

$$
b(u^{n+1/2}, u^{n+1/2}, v) \text{ mais } \frac{1}{2} \left\{ b(u^{n+1}, u^{n+1}, v) + b(u^n, u^n, v) \right\}
$$

A chaque pas de temps on est amené à résoudre l'équation
stationnaire suivante : (k = pas de temps)

$$
(8) \quad \left\{
\begin{array}{l}
u_i^{n+1} - \frac{k}{2} \sum_{j=1}^{2} \left\{ \frac{\partial}{\partial x_j} \left( \mu \frac{\partial u_i^{n+1}}{\partial x_j} + 4 m_{ij}^{n+1} \right) - u_j^{n+1} \frac{\partial u_i^{n+1}}{\partial x_j} \right\} + k \frac{\partial p_i^{n+1}}{\partial x_i} = \\
\qquad \qquad u_i^n + k f_i^{n+1} + \frac{k}{2} \sum_{j=1}^{2} \left\{ \frac{\partial}{\partial x_j} \left( \mu \frac{\partial u_i^n}{\partial x_j} \right) - u_j^n \frac{\partial u_i^n}{\partial x_j} \right\} = d_i^n \\
\\
\displaystyle\sum_{i=1}^{2} \frac{\partial u_i^{n+1}}{\partial x_i} = 0 \quad \text{dans } \Omega \\
\\
u_i^{n+1} = u_{i|\Gamma} \quad \text{sur } \Gamma
\end{array}
\right.
$$
où les multiplicateurs $m_{ij}^{n+1}$ vérifient

$$
\left\{
\begin{array}{l}
m_{ij}^{n+1} = m_{ji}^{n+1} \quad \in L^\infty(\Omega) \\
\displaystyle\sum_{i=1}^{2} m_{ii}^{n+1} = 0 \\
\displaystyle\sum_{ij=1}^{2} m_{ij}^{n+1} m_{ij}^{n+1} \le \frac{g^2}{2} \\
\displaystyle\sum_{ij=1}^{2} m_{ij}^{n+1} D_{ij}(u^{n+1}) - \frac{g}{\sqrt{2}} (D_{II}(u^{n+1}))^{1/2} = 0
\end{array}
\right.
$$

Reamrque 3.1 :

Pour des viscosités assez grandes, les vitesses d'écoulement du fluide étant faibles, les termes provenant de la forme trilinéaire b(u^{n+1/2}, u^{n+1/2}, v) peuvent être négligés.

L'intérêt numérique de projeter les multiplicateurs $m_{ij}$ sur un convexe dépendant de $g$ ($\sum_{i=1}^2 (m_{ij}^{n+1})^2 \le \frac{g^2}{2}$) est que dans l'algorithme la valeur des paramètres de maximisation ne dépend pas de $g$.

4. Résolution numérique de l'équation (8).

Résolvant par les différences finies nous avons donc une dis-
crétisation du domaine par des réseaux de pas h.

Les dérivées d'espace sont approchées par des différences centrées de façon à avoir une précision du 2e ordre. Ceci est toujours possible car nous avons des conditions de Dirichlet. En ce qui concerne les multiplicateurs p, $m_{ij}$, nous avons un problème de définition au bord. Et pour avoir également une précision du 2e ordre pour l'approximation des dérivées on considère deux réseaux de discrétisation $\mathbb{R}_0(h)$ et $\mathbb{R}_1(h)$ (un réseau pour la vitesse et les forces, un autre pour les multiplicateurs) décalés l'un par rapport à l'autre de $\frac{h}{2}$ (ce qui élimine la difficulté pour le calcul des multiplicateurs au voisinage
de la frontière)

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

Approximation et convergence classiques

## 5. Schémas de résolution.

Les difficultés sont :

a) Nombre de Reynolds ($\approx \frac{1}{\mu}$) petit :

i) Div $u = 0$

ii) Non différentiabilité de la fonctionnelle $J(v)$

Pour i), on peut passer à une formulation équivalente faisant intervenir la fonction de courant où la contrainte $\text{Div } u = 0$ n'apparaît plus d'une manière explicite ou par une méthode d'éléments finis conformes.

Quant à nous on considère la résolution de (8) comme un problème de minimisation avec contraintes, ce qui revient à la recherche d'un point selle. (Méthode de dualité).

Pour ii), Régularisation : Numériquement les résultats furent décevants.

Dualité : (Cf. théorème 2.4)
Pour simplifier, considérons le cas stationnaire où le nom-
bre de Reynolds est petit (termes de convection ≈ 0) alors la résolu-
tion de (8) est équivalente à la minimisation de J(v).

$$
J(v) = \frac{1}{2} a(v,v) + gj(v) - (f,v) \quad \forall v \in V
$$

$$
\text{Soit D u l'opérateur de composantes } \left\{ D_{ij}(u) \right\} \text{ et K le}
$$
$$
\text{convexe} = \left\{ m \in (L^{\infty}(\Omega))^4 \text{ tel que } |m| \le \frac{q}{\sqrt{2}} \right\}
$$

On introduit le lagrangien L(v,q) sur V x K

$$
L(v,q) = \frac{1}{2} a(v,v) + 2(q, Dv) - (f,v)
$$

D'où

Problème Primal

Problème dual

$$
\begin{cases}
\text{Inf} & J(v) \\
v \in V
\end{cases}
$$

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\text{Trouver le point selle } (u,m) \\
\text{de } L(v,q) \quad \forall v \in V \text{ et } q \in K \\
\text{i.e. } (u,m) \text{ solution de} \\
\quad a(u,v) + 2(m,Dv) = (f,v) \quad \forall v \in V \\
\quad (m-q, Dv) \ge 0 \quad \forall q \in K \blacksquare
\end{array}
\right.
$$

A cause de la non linéarité du problème, on utilise pour la
recherche de point selle un algorithme du type Arrow-Hurwicz :

$u^o, m^o, p^o$ donnés ; connaissant $u^S, p^S, m^S$ on calcule $u^{S+1}, p^{S+1}, m^{S+1}$ de (8) par le schéma suivant :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
u_i^{S+1} = u_i^S - \rho_1 (u_i^S - \frac{k}{2} \sum_{j=1}^{2} (\nabla_j (\mu \nabla_j u_i^S + 4 m_{ij}^S) - u_j^S \nabla_j u_i^S) - d_i^n + k \nabla_i p^S) \\
\\
p^{S+1} = p^S + \rho_p (-\text{div } u^{S+1}) \\
\\
m_K^{S+1} = P_K(m^S + \rho_Q Du^S) \quad \text{i.e. } m_{11}^{S+1/2} = m_{11}^S + \rho_Q \nabla_1 u_1^{S+1}
\end{array}
\right.
\quad i = 1,2
$$
$$ \text{i.e. } m_{22}^{s+1/2} = m_{22}^{s} + \rho_{Q} \nabla_{2} u_{2}^{s+1} $$

$$ m_{12}^{s+1/2} = m_{21}^{s+1/2} = m_{21}^{s} + \frac{\rho_{Q}}{\sqrt{2}} (\nabla_{1} u_{2}^{s+1} + \nabla_{2} u_{1}^{s+1}) $$

$$ \text{Si } |m^{s+1/2}| \begin{cases} \le \frac{g}{\sqrt{2}} & \text{alors } m_{ij}^{s+1} = m_{ij}^{s+1/2} \\ > \frac{g}{\sqrt{2}} & \text{alors } m_{ij}^{s+1} = m_{ij}^{s+1/2} * \frac{g}{\sqrt{2}|m|} \end{cases} $$

**Problème** : Recherche des paramètres optimaux.

b) **Nombre de Reynolds grand.**

Problème de la couche limite.

**Autre difficulté numérique** : Détermination des zones rigides.

Mathématiquement la formulation variationnelle du problème détermine "automatiquement" ces zones rigides.

Numériquement ces zones rigides ont été déterminées par

- **Impression de la valeur de |∇u| au point (ih, jh) i.e.**

$$ ((\nabla_1 u_1)^2 + (\nabla_2 u_2)^2 + \frac{1}{2} (\nabla_1 u_2 + \nabla_2 u_1)^2)_{ij} \quad (\text{Dans les zones rigides } D_{II}(u)=0) $$

à partir de ces valeurs on peut décider que tout point dont la valeur de $|∇u|$ est inférieure à $\varepsilon$ appartient à la zone rigide.

- **Non saturation du multiplicateur m.**

$$ \text{On note } [m, Du] = \sum_{ij=1}^{2} m_{ij} D_{ij}(u) $$

$$ \text{on a } (9) \quad [m, Du] = \frac{g}{\sqrt{2}} |Du| $$

$$ \text{S'il y a saturation i.e. } |m| = \frac{g}{\sqrt{2}} \text{ alors (9) devient} $$

$$ (10) \quad [m, Du] = |m| |Du| $$
D'après l'égalité de Cauchy-Schwarz pour que (10) ait lieu il faut
que Du soit proportionnel à m i.e.

$$
\exists \lambda \neq 0 \text{ tel que } |Du| = \lambda |m| = \lambda \sqrt{\frac{g}{2}} \Rightarrow |Du| \neq 0
$$

S'il n'y a pas saturation pour que l'égalité ait lieu il faut que

$Du = 0$

$$
- \text{Vérification de l'égalité } [m, Du] = \sqrt{\frac{g}{2}} |Du|
$$

Si cette égalité est vérifiée exactement (aux erreurs d'arrondi
près) ⇒ zone fluide, car dans cette zone :

Du = λ√(g/2) et m = √(g/2), ce qui est calculé presque exactement ; par
contre dans les zones rigides, Du est calculé avec des erreurs d'ap-
proximation et m n'a pas complètement convergé.

Dans ces zones l'égalité n'est vérifiée qu'à ε près.

- Equation_de La_vitesse_dans_les zones_rigides.

Le vecteur vitesse est de la forme

$$
(11) \quad \vec{u} = \vec{a} + \vec{b} \wedge \vec{OM}
$$

En effet dans les zones rigides, le tourbillon est constant.

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\text{rot } \vec{u} = C \\
\text{Div } \vec{u} = 0 \\
D_{II}(u) = 0
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \quad (12) \quad
\left\{
\begin{array}{l}
u_1(x_1, x_2) = -\frac{C}{2}(x_2 - \frac{1}{2}) \\
u_2(x_1, x_2) = \frac{C}{2}(x_1 - \frac{1}{2})
\end{array}
\right.
\\[\bigskipamount]
(11) \Leftrightarrow (12) \quad \text{avec} \quad
\vec{a} = \begin{pmatrix} C/4 \\ -C/4 \\ 0 \end{pmatrix}; \quad
\vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ C/2 \end{pmatrix}; \quad
\vec{OM} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{array}
$$

Numériquement l'intérêt de faire imprimer ces tests n'est valable que
pour les points litigieux (entre les zones rigides et fluides).
## 6. Résultats numériques.

Le domaine $\Omega = ]0,1[ \times ]0,1[$

Deux types de problèmes ont été traités.

### 6.1 Problème de la cavité (paroi coulissante).

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

$$ \vec{u}_T \cdot \vec{n} = 0 \quad \begin{cases} u_1^T r = 0 \text{ sauf} \\ u_1(x_1,0) = 1 \end{cases} $$

$$ f(x,t) = 0 \quad \forall (x,t) \in Q $$

Paramètres :

$$ h = \frac{1}{20} $$

$$ \mu = 1 $$

$$ k = 2h^2 = .005 $$

Le paramètre de minimisation $\rho_1 = \frac{\omega}{1+\frac{2k\mu}{h^2}}$ (relaxation non linéaire) où $\omega$ = coefficient de sous les paramètres de maximisation du type $C\rho_1$.

Expérimentalement le bon choix s'est avéré $\forall g$ (vu la projection des $m_{ij}$) : $\omega = .4$ et $C = 18$.

$$ \text{Test d'arrêt : } \sup_{i,x} \left| u_i^{n+1}(x) - u_i^n(x) \right| \le 10^{-5} $$

Nous avons fait plusieurs essais avec des seuils de plasticité différents.

Pour $g = 5$, il faut 245 itérations pour passer de $t = 0$ à $t = k$ et 15 pas de temps pour obtenir un état stationnaire, ce qui demande environ 5 minutes de CII 10070.
Remarque 6.1 :

Lorsque $g$ est grand (de l'ordre de 5 ou plus) la convergence est plus longue au premier pas de temps (le rapport $gj(v)/a(v)$ est de plus en plus grand) mais l'état stationnaire est plus rapidement atteint.

Au premier pas de temps, il faut 82 itérations pour $g = .5$
et 324 itérations pour $g = 10$ ; mais pour $g = .5$ il faut 27 itérations
pour l'obtention de l'état stationnaire or pour $g = 10, 16$ suffisent.

Comportement du fluide.

Pour plusieurs seuils de plasticité (2.5, 5, 10) les figures
1, 2, 3, 4, 5 représentent l'écoulement du fluide (fonction de courant)
ainsi que l'évolution de la forme des zones rigides qui a été détermi-
née par la vérification des tests a) b) c). Ayant une approximation
en différences finies, la forme de ces zones rigides apparaît recti-
ligne, il faudrait lisser ses contours.

Nous remarquons :

6.2 :

Les zones rigides sont fonctions croissantes de $g$.

6.3 :

Dans les zones rigides, le fluide de Bingham se comporte comme un corps rigide. La frontière de ces zones rigides est fixe, c'est le fluide de Bingham qui dans son déplacement change d'état.

Les particules du fluide de Bingham se comportent selon l'in-
tensité du tenseur des contraintes, soit comme un solide ($\sigma_{II} \le g$), soit
comme un fluide de viscosité $\mu$ ($\sigma_{II} > g$).
FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES

SEUIL DE PLASTICITE 2.5
VISCOSITE 1.0
FORCE EXTERIEURE F1(X1,X2,T)= 0.0 F2(X1,X2,T)= 0.0

CONDITIONS AUX LIMITES

COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE 0.0 EN X1=0.1 ET X2=1
COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE 0.0 EN X2=0

CONDITION INITIALE

1.0 EN X2=0
VITESSE INITIALE 0.0

TEMPS 0.005

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT 0.555E-01

VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 0.100E-02

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.100E-01

ZONES RIGIDES

LABORIA D.BEGIS

<caption>Figure 1</caption>
FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES

SEUIL DE PLASTICITE 5.0
VISCOSITE 1.0
FORCE EXTERIEURE F1(X1,X2,T)= 0.0 F2(X1,X2,T)= 0.0

CONDITIONS AUX LIMITES

COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE 0.0 EN X1=0,1 ET X2=1
COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE 0.0 EN X2=0

CONDITION INITIALE

1.0 EN X2=0
VITESSE INITIALE 0.0

TEMPS 0.005

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT 0.522E-01

VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 0.100E-02

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.100E-01

ZONES RIGIDES
FLUIDE DE BINGHAM

## PARAMETRES

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTICITE</td><td>5.0</td></tr><tr><td>VISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE F1(X1,X2,T)= 0.0</td><td>F2(X1,X2,T)= 0.0</td></tr></table>

## CONDITIONS AUX LIMITES

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td><td></td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td><td>EN X1=0.1 ET X2=1</td></tr></table>

## CONDITION INITIALE

<table><tr><td></td><td>1.0</td><td>EN X2=0</td></tr><tr><td>VITESSE INITIALE</td><td>0.0</td><td></td></tr></table>

TEMPS 0.030

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT 0.566E-01
VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 0.100E-02
DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.100E-01
ZONES RIGIDES

LABORIA D.BEGIS

<caption>Figure 3</caption>
FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES

SEUIL DE PLASTICITE 10.0
VISCOSITE 1.0
FORCE EXTERIEURE F1(X1,X2,T)= 0.0 F2(X1,X2,T)= 0.0

CONDITIONS AUX LIMITES

COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE 0.0
COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE 0.0
EN X1=0.1 ET X2=1

CONDITION INITIALE

1.0 EN X2=0
VITESSE INITIALE 0.0

TEMPS 0.005

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT 0.461E-01

VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 0.100E-02

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.100E-01

ZONES RIGIDES

LABORIA D.BEGIS

<caption>Figure 4</caption>
FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES

SEUIL DE PLASTICITE 10.0
VISCOSITE 1.0
FORCE EXTERIEURE F1(X1,X2,T)= 0.0 F2(X1,X2,T)= 0.0

CONDITIONS AUX LIMITES

COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE 0.0 EN X1=0,1 ET X2=1
COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE 0.0 EN X1=0,1 ET X2=1

CONDITION INITIALE

1.0 EN X2=0
VITESSE INITIALE 0.0

TEMPS 0.070

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT 0.436E-01

VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 0.100E-02

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.100E-01

ZONES RIGIDES

LABORIA D.BEGIS
## 6.2 : Problème d'un écoulement révolutif.

- Conditions de Dirichlet homogène avec des forces extérieures non nulles constantes en temps.

$$ \vec{u}|_{\Gamma} = 0 $$

$$ \overrightarrow{\text{rot } f} = 2a \neq 0 \quad \text{on a pris } f_1 = a(x_2 - 1/2) $$

$$ f_2 = -a(x_1 - 1/2) $$

- Pour avoir des zones rigides assez petites pour des seuils de rigidité moyens ($\approx 5$), nous avons pris $a = 300$.

- Nous avons pris les mêmes paramètres que pour le problème de la cavité.

- Pour $g = 5$ il faut 138 itérations pour passer de $t = 0$ à $t = k$ et 38 pas de temps pour obtenir un état stationnaire, ce qui demande environ 8 minutes de CII 10070.

- Vérification des contraintes : à l'état stationnaire les deux contraintes du problème (Div $u = 0$, $(m, Du) = \frac{g}{\sqrt{2}} |Du|$) sont vérifiées en tout point du domaine à moins de $10^{-5}$.

- La remarque 6.1 reste valable.

### Comportement du fluide :

Comme pour le problème de la cavité, on donne l'évolution de la forme des zones rigides et la représentation de l'écoulement du fluide de Bingham pour plusieurs seuils de plasticité ($g = 25,5,10$).

Nous remarquons : sur les figures 6.7.8.9.10.11.12.13.14.

## 6.4 :

Les zones rigides sont fonctions croissantes de $g$.
FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTICITE</td><td>2.5</td></tr><tr><td>VISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>F1(X1,X2,T)= 300*(X2-.5)<br/>F2(X1,X2,T)=-300*(X1-.5)</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr></table>

CONDITION INITIALE

<table><tr><td>VITESSE INITIALE</td><td>0.0</td></tr></table>

TEMPS 0.005

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT 0.144E00
VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 0.100E-02
DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.300E-01
ZONES RIGIDES

LABORIA D.BEGIS

<caption>Figure 6</caption>
FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTICITE</td><td>2.5</td></tr><tr><td>VISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>F1(X1,X2,T)= 300×(X2-.5)<br>F2(X1,X2,T)=-300×(X1-.5)</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr></table>

CONDITION INITIALE

<table><tr><td>VITESSE INITIALE</td><td>0.0</td></tr></table>

TEMPS 0.010

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT 0.250E00
VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 0.100E-02
DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.300E-01
ZONES RIGIDES

LABORIA D.BEGIS

<caption>Figure 7</caption>
FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTICITE</td><td>2.5</td></tr><tr><td>VISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>F1(X1,X2,T)= 300*(X2-.5)<br/>F2(X1,X2,T)=-300*(X1-.5)</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr></table>

CONDITION INITIALE

<table><tr><td>VITESSE INITIALE</td><td>0.0</td></tr></table>

TEMPS 0.040

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

<table><tr><td>VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT</td><td>0.520E00</td></tr><tr><td>VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1</td><td>0.100E-02</td></tr><tr><td>DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES</td><td>0.300E-01</td></tr><tr><td>ZONES RIGIDES</td><td></td></tr></table>

LABORIA D.BEGIS

<caption>Figure 8</caption>
FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTICITE</td><td>5.0</td></tr><tr><td>VISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>F1(X1,X2,T)= 300*(X2-.5)<br/>F2(X1,X2,T)=-300*(X1-.5)</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr></table>

CONDITION INITIALE

<table><tr><td>VITESSE INITIALE</td><td>0.0</td></tr></table>

TEMPS 0.005

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT 0.116E00
VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 0.100E-02
DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.300E-01
ZONES RIGIDES

LABORIA D.BEGIS

<caption>Figure 9</caption>
FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTICITE</td><td>5.0</td></tr><tr><td>VISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>F1(X1,X2,T)= 300x(X2-.5)<br/>F2(X1,X2,T)=-300x(X1-.5)</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr></table>

CONDITION INITIALE

<table><tr><td>VITESSE INITIALE</td><td>0.0</td></tr></table>

TEMPS 0.010

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT 0.198E00
VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 0.100E-02
DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.300E-01
ZONES RIGIDES

LABORIA D.BEGIS

<caption>Figure 10</caption>
FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTICITE</td><td>5.0</td></tr><tr><td>VISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>F1(X1,X2,T)= 300*(X2-.5)<br/>F2(X1,X2,T)=-300*(X1-.5)</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr></table>

CONDITION INITIALE

<table><tr><td>VITESSE INITIALE</td><td>0.0</td></tr></table>

TEMPS 0.040

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

LABORIA D.BEGIS

<caption>Figure 11</caption>
FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTICITE</td><td>10.0</td></tr><tr><td>VISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>F1(X1,X2,T)= 300*(X2-.5)<br/>F2(X1,X2,T)=-300*(X1-.5)</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr></table>

CONDITION INITIALE

<table><tr><td>VITESSE INITIALE</td><td>0.0</td></tr></table>

TEMPS 0.005

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT 0.643E-01
VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 0.100E-02
DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.300E-01
ZONES RIGIDES

LABORIA D.BEGIS

<caption>Figure 12</caption>
FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTICITE</td><td>10.0</td></tr><tr><td>VISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>F1(X1,X2,T)= 300*(X2-.5)<br/>F2(X1,X2,T)=-300*(X1-.5)</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr></table>

CONDITION INITIALE

<table><tr><td>VITESSE INITIALE</td><td>0.0</td></tr></table>

TEMPS 0.010

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

<table><tr><td>VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT</td><td>0.105E00</td></tr><tr><td>VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1</td><td>0.100E-02</td></tr><tr><td>DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES</td><td>0.300E-01</td></tr><tr><td colspan="2">ZONES RIGIDES</td></tr></table>

LABORIA D.BEGIS

<caption>Figure 13</caption>
FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES

<table><tr><td>SEUIL DE PLASTICITE</td><td>10.0</td></tr><tr><td>VISCOSITE</td><td>1.0</td></tr><tr><td>FORCE EXTERIEURE</td><td>F1(X1,X2,T)= 300x(X2-.5)<br/>F2(X1,X2,T)=-300x(X1-.5)</td></tr></table>

CONDITIONS AUX LIMITES

<table><tr><td>COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr><tr><td>COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE</td><td>0.0</td></tr></table>

CONDITION INITIALE

<table><tr><td>VITESSE INITIALE</td><td>0.0</td></tr></table>

TEMPS 0.040

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT 0.186E00
VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 0.100E-02
DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.300E-01
ZONES RIGIDES

LABORIA D.BEGIS

<caption>Figure 14</caption>
### 6.5 :

A un seuil de rigidité g fixé, les zones rigides sont fonctions décroissantes du temps. En effet ayant une force extérieure constante en temps, elle impose une vitesse d'écoulement croissante (en t) au fluide de Bingham dont la viscosité µ ralentit l'écoulement. La fonction $t \to \sigma_{II}(u(t))$ est donc croissante. La fonction $t \to \{x | \sigma_{II}^{1/2}(u(x,t)) \le g\}$ est décroissante et $\{x | \sigma_{II}^{1/2} \le g\} = \{x | D_{II}(u) = 0\}$. Cette remarque est purement "heuristique".

### 6.6 :

Il apparaît une zone rigide de forme circulaire au centre du domaine dans laquelle le fluide de Bingham se comporte comme un solide en rotation. La remarque 6.3 reste valable pour les autres zones rigides qui apparaissent au cours de l'écoulement.

### 6.7 :

Les fonctions $a(v(t))$ et $j(v(t))$ sont des fonctions croissantes du temps. (Cf. figures 15, 16).

Cette remarque 6.7 est une conséquence de 6.5 où nous avions remarqué que $\{x | D_{II}(u(x)) = 0\}$ était une fonciton décroissante du temps. De plus d'après la loi de comportement du fluide de Bingham on a :

$$ 
\begin{align*}
\sigma_{II}^{1/2} \ge g &\Leftrightarrow D_{ij}(u) = \frac{1}{2\mu}\left(1 - \frac{g}{\sigma_{II}^{1/2}}\right)\sigma_{ij}^D \\
\Rightarrow D_{II}(u) &= \frac{1}{4\mu^2}\left(1 - \frac{g}{\sigma_{II}^{1/2}}\right)^2\sigma_{II} \\
D_{II}(u) &= \frac{1}{4\mu^2}\left(\sigma_{II} - 2g\sigma_{II}^{1/2} + g^2\right)
\end{align*}
$$

Or $t \to \sigma_{II}(u(t))$ croissante positive $\Rightarrow (i) t \to \sigma_{II}^{1/2}$ croissante.
Soit $t_1 \ge t_0$ tel que (ii) $\sigma_{II}(u(t_0)) \ge g$ on a :

$$ \sigma_{II}(u(t_1)) \ge \sigma_{II}(u(t_0)) \ge g $$

$$ \begin{aligned} D_{II}(u(t_1)) - D_{II}(u(t_0)) &= \frac{1}{4\mu^2} \left( \sigma_{II}(u(t_1)) - \sigma_{II}(u(t_0)) - 2g\sigma_{II}^{1/2}(u(t_1)) + 2g\sigma_{II}^{1/2}(u(t_0)) \right) \\ &= \frac{1}{4\mu^2} \left( \sigma_{II}^{1/2}(u(t_1)) - \sigma_{II}^{1/2}(u(t_0)) \right) \left[ \sigma_{II}^{1/2}(u(t_1)) + \sigma_{II}^{1/2}(u(t_0)) - 2g \right] \end{aligned} $$

D'après les hypothèses (i) et (ii) on a :

$$ D_{II}(u(t_1)) - D_{II}(u(t_0)) \ge 0 $$

$\Rightarrow t \rightarrow D_{II}(u(t))$ croissante positive

Il en est de même de $t \rightarrow D_{II}^{1/2}(u(t))$ croissante

$\Rightarrow t \rightarrow a(u(t)) = 4\mu \int_{\Omega} D_{II}(u(t)) dx$ et $t \rightarrow j(u(t)) = 2 \int_{\Omega} D_{II}^{1/2}(u(t)) dx$ sont croissantes. ■

Comme pour un temps $t_s < +\infty$ un état stationnaire est obtenu, il est évident que toutes ces fonctions sont également stationnaires $\forall t \ge t_s$.
FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES

SEUIL DE PLASTICITE G
VISCOSITE 1.0
FORCE EXTERIEURE F1(X1,X2,T)=300*(X2-.5) F2(X1,X2,T)=-300*(X1-.5)

CONDITIONS AUX LIMITES

COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE 0.0

COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE 0.0

CONDITION INITIALE

VITESSE INITIALE 0.0

A(U(T))=VISCOSITE*(GRAD(U(X,T)),GRAD(U(X,T)))) L²(D) CROISSANTE EN T

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

LABORIA- D.BEGIS

<caption>Figure 15</caption>
FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES

SEUIL DE PLASTICITE G
VISCOSITE 1.0
FORCE EXTERIEURE F1(X1,X2,T)=300*(X2-.5) F2(X1,X2,T)=-300*(X1-.5)

CONDITIONS AUX LIMITES

COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE 0.0

COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE 0.0

CONDITION INITIALE

VITESSE INITIALE 0.0

J(U(T))=(|GRAD(U(X,T))|,1.0)L²(D) CROISSANTE EN T

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>Figure 16</figcaption></figure>
**6.8 :**

Numériquement nous avons vérifié la remarque 2.2 i.e.

$$|u_{g_1}(t)| \le |u_{g_2}(t)| \quad \text{si } g_1 \ge g_2 \quad \forall t$$

avec $|u(t)| = \sup_{x \in \Omega} |u(x,t)|$

Cf. figure n° 17.

**6.10 :**

A $t_0$ fixé : $g \to j_g(t_0)$ est une fonction convexe décroissante.

Cf. figures n° 18.

**6.11 :**

Soit $u(x,0) = u_0(x) \ne 0$ et $f(x,t) = 0$ alors $\forall N \in N^*$, $N \le K < \infty$ tel que pour $t_0 = Nk$ ($k$ = pas de temps) on ait $u(x,t_0) = 0$. (Démonstration cf. R. Glowinski [1. N°3])

Numériquement nous nous sommes imposés les mêmes conditions que pour le problème précédent mais pour $t \ge .055$ le fluide n'était soumis à aucune force extérieure ($f(x,t) = 0 \forall t \ge .055$).

Cf. figure n° 19.
FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES

SEUIL DE PLASTICITE G
VISCOSITE 1.0
FORCE EXTERIEURE F1(X1,X2,T)=300*(X2-.5) F2(X1,X2,T)=-300*(X1-.5)

CONDITIONS AUX LIMITES

COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE 0.0
COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE 0.0

CONDITION INITIALE

VITESSE INITIALE 0.0

SUP|U<sub>g1</sub>(X,T)| INFERIEUR A SUP|U<sub>g2</sub>(X,T)| SI G1 SUPERIEUR A G2 POUR TOUT T

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

LABORIA- D.BEGIS

<caption>Figure 17</caption>
FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES

SEUIL DE PLASTICITE G
VISCOSITE 1.0
FORCE EXTERIEURE F1(X1,X2,T)=300*(X2-.5) F2(X1,X2,T)=-300*(X1-.5)

CONDITIONS AUX LIMITES

COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE 0.0

COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE 0.0

CONDITION INITIALE

VITESSE INITIALE 0.0

G → J(U(TO)) CONVEXE

<figure><img src="image_22.png" /></figure>
FLUIDE DE BINGHAM

PARAMETRES

SEUIL DE PLASTICITE G
VISCOSITE 1,0
FORCE EXTERIEURE |F|=300*((X1-0,5)²+(X2-0,5)²)¹/² POUR T≤0,055
0,0 > 0,055

CONDITIONS AUX LIMITES

COMPOSANTE NORMALE DE LA VITESSE 0.0
COMPOSANTE TANGENTIELLE DE LA VITESSE 0.0

CONDITION INITIALE

VITESSE INITIALE 0.0

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

LABORIA- D.BEGIS

<caption>Figure 19</caption>
BIBLIOGRAPHIE.

D. BEGIS [1] : Analyse numérique de l'écoulement d'un fluide de Bingham.
Thèse 3ème cycle, Paris 1972.

CIORANESCU, MARGOLIS [1] : Comportement global de l'écoulement d'un fluide de Bingham. (A paraître).

G. DUVAUT, J.L. LIONS [1] : Sur les inéquations en mécanique et en physique. Dunod (Paris 1972).

M. FORTIN [1] : Thèse Paris 1972.

R. GLOWINSKI, J.L. LIONS, R. TREMOLIERES [1] : Analyse numérique des inéquations variationnelles en mécanique et en physique. Dunod (A paraître).

R. GLOWINSKI [1] : Sur l'écoulement d'un fluide de Bingham dans une conduite cylindrique.
Journal de Mécanique 1974 (A paraître).