# Files d'attente avec dependance de l'etat et application à un système de communication multilignes

Guy Pujolle

► To cite this version:

Guy Pujolle. Files d'attente avec dependance de l'etat et application à un système de communication multilignes. [Rapport de recherche] IRIA-RR-315, IRIA. 1978, pp.12. hal-04716565

HAL Id: hal-04716565

https://inria.hal.science/hal-04716565v1

Submitted on 1 Oct 2024

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License
RIA

laboria

Institut de Recherche
d'Informatique
et d'Automatique

Domaine de Voluceau
Rocquencourt
B. P. 105 78150 - Le Chesnay
France
Tél.: 954 90 20

laboratoire de recherche
en informatique
et automatique

FILES D'ATTENTE AVEC
DEPENDANCE DE L'ÉTAT
ET APPLICATION
À UN SYSTÈME DE
COMMUNICATION MULTILIGNES

Guy PUJOLLE

Rapport de Recherche N° 315

Juin 1978

<figure><img src="image_2.png" /></figure>
FILES D'ATTENTE AVEC DÉPENDANCE DE L'ÉTAT ET APPLICATION
A UN SYSTEME DE COMMUNICATION MULTILIGNES

Guy Pujolle

Résumé :

A l'aide d'une approximation par les processus de diffusion, une solution est obtenue au problème non résolu de calculer la distribution de probabilité à l'état stationnaire du nombre de clients d'une file d'attente dont le temps de service dépend de l'état du système. En particulier les systèmes GI/G/m, qui ont m serveurs indépendants, possèdent avec cette méthode une solution simple et explicite.

Une application au temps de réponse d'un système multilignes de transmission de données est traitée en détail. Une comparaison est effectuée avec le système comprenant une seule ligne physique dont la vitesse totale est égale à la somme des vitesses des canaux du système multilignes.

Abstract :

We obtain the steady state probabilities of the number of customers in a queue with state dependent service time. These probabilities are computed through a diffusion approximation. In particular this yields a simple and explicit solution for the GI/G/m systems with m independent servers. We treat in detail the application to the computation of the response time of a multilink system. We compare a single resource system of capacity C with m resources each of capacity C/m.
# INTRODUCTION

Les systèmes de files d'attente GI/G/1 dont le temps de service dépend de l'état du système n'ont pas été résolus jusqu'à présent. Nous en proposons ici une solution obtenue à l'aide d'une approximation par les processus de diffusion. Un cas particulier de ce type de files est donné par les systèmes GI/G/m (m serveurs indépendants) très souvent utilisés dans la pratique.
Nous trouvons une solution simple utilisant l'équation aux diffusions avec barrière absorbante et retour instantané au point 1. Cette solution a de plus l'avantage de ressembler à celle du cas M/M/1 avec dépendance de l'état qui est connu depuis longtemps.

La validité de cette approche est prouvée en comparant sur des exemples les solutions obtenues, soit à des résultats exacts dans lesquels cas connus (M/M/1 avec dépendance de l'état), soit à des résultats obtenus par simulation.

Une application au temps de réponse d'un faisceau de lignes, utilisé pour la transmission de données est taitée en détail. La liaison entre deux calculateurs est obtenue par l'intermédiaire de plusieurs lignes physiques qui sont indépendantes les unes des autres. Ce système de transmission est comparé à un système comprenant une seule ligne physique mais dont la vitesse totale est égale à la somme des vitesses des canaux du système multilignes.

## GENERALITES SUR L'APPROXIMATION PAR LES PROCESSUS DE DIFFUSION

Par manque de moyens, de nombreux systèmes de files d'attente ont été étudiés à l'aide d'approximations fluides. Dans ce cas, les processus d'entrée et de service sont définis par leurs moyennes. L'approximation par les processus de diffusion permet des variations de cette moyenne en introduisant les deux premiers moments des distributions des arrivées et des services. Ceci définit parfaitement une loi normale (ou Gaussienne). Or justement les variables aléatoires que nous voulons approximer sont obtenues par des sommes de variables aléatoires indépendantes, donc de distribution tendant vers une loi normale.

Soit $N(t)$ le nombre de clients dans une station au temps $t$. C'est la différence du nombre de clients arrivés et du nombre de ceux qui ont terminé leur service depuis l'instant origine. C'est encore la différence de deux processus de distributions normales donc un processus de distribution normale en supposant leur indépendance. C'est là une autre difficulté puisque généralement le processus de départ est dépendant du processus des arrivées. Cependant, si le nombre de clients dans le système n'est pas nul, l'indépendance est vérifiée. C'est pour cette raison que l'approximation par les processus de diffusion a d'abord été appliquée à des systèmes saturés ou à forte charge : Gaver [1].

Le processus de saut $N(t)$ peut être approximé par un processus continu $X(t)$ dont les variations $\Delta X(t)$ sont normalement distribuées de moyenne $\beta\Delta t$ et $\alpha\Delta t$. Le processus $X(t)$ est défini par l'équation différentielle
stochastique $dX(t) = \beta dt + z(t)(\alpha dt)^{1/2}$ où $z(t)$ est un bruit blanc, (proces-
sus Gaussien de moyenne nulle et de variance unité). S'il n'y a pas de condi-
tion de frontière imposée au processus $X(t)$, celui-ci décrit alors un mouve-
ment brownien dont la distribution de probabilité $f(x_o,x,t)$ doit satisfaire
à l'équation :

$$
\frac{\partial f(x_o, x, t)}{\partial t} = \frac{\alpha}{2} \frac{\partial^2 f(x_o, x, t)}{\partial x^2} - \beta \frac{\partial f(x_o, x, t)}{\partial x},
$$

où $x_o$ est la valeur initiale et :

$$
f(x_o, x, t) = \text{prob} \left\{ x \le X(t) \le x+dx \mid X(0) = x_o \right\}.
$$

Cette équation est l'équation aux diffusions ou équation de Fokker Planck.

Pour des raisons de simplification, dans toute la suite, nous
supposerons que $X(0) = 0$.

Etant donné que X(t) ≥ 0 dans une file d'attente, plusieurs sortes
de barrières peuvent être utilisées sur la frontière (Feller [2]) dont deux
principalement : les barrières réfléchissantes et les barrières absorbantes.
Dans le second cas, on peut y adjoindre un processus de retour instantané [3],
c'est-à-dire que le processus saute directement de la frontière à un point de
l'axe réel. Dans ce cas, l'équation aux diffusions doit être modifiée et
complétée pour tenir compte de l'absorption et du retour instantané [4] :

$$
\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\alpha}{2} \frac{\partial^2 f(x,t)}{\partial x^2} - \beta \frac{\partial f(x,t)}{\partial x} + \Lambda Q(t) \delta(x-t)
$$

$$
\frac{dQ(t)}{dt} = - \Lambda Q(t) + \lim_{x \to 0} \left( - \beta f(x,t) + \frac{1}{2} \alpha \frac{\partial f(x,t)}{\partial x} \right)
$$

où $\delta(x-\rho)$ est la fonction de Dirac au point $\rho$, point du retour instantané, $\Lambda^{-1}$ est le temps moyen de la période oisive et $Q(t)$ la probabilité d'être sur la frontière au temps $t$.

Les files d'attente du type GI/G/1 ont été étudiées avec les deux
sortes de barrières au point x = 0 : Kobayashi [5], Gelenbe [4]. Il a été
montré dans divers articles que l'approximation obtenue en passant par
l'intermédiaire des processus de diffusion était du même ordre que celle
donnée par la simulation. L'avantage de l'analyse mathématique est évidemment
la rapidité d'obtention des résultats. L'extension au cas de réseaux généraux
est traitée dans [6] et [7] ; enfin plusieurs classes de clients peuvent
être prises en compte dans [8].
Nous nous intéressons ici aux systèmes de files d'attente GI/G/1 dont le temps de service dépend de l'état du système. Ce type de système n'a de solution connue que dans le cas où les intervalles de temps entre arrivées et les temps de service sont markoviens. Un cas particulier de ce type de phénomène d'attente est donné par les files GI/G/m (processus d'arrivée et de service généraux, m guichets de service) qui sont très souvent utilisés dans la pratique.

FILE GI/G/1 DONT LE TEMPS DE SERVICE DEPEND DE L'ETAT DU SYSTEME

Prenons le cas général d'une file d'attente GI/G/1 dans laquelle la distribution du temps de service dépend de l'état du système. Cette dépendance intervient par l'intermédiaire de μ(n) et Ks(n), respectivement le taux et le carré du coefficient de variation du temps de service lorsqu'il y a n clients dans la station. Ces deux fonctions peuvent être rendues continues par une quelconque méthode : μ(x) et Ks(x), x ∈ ℝ+, de telle sorte que l'équation aux diffusions ait un sens. Cependant, seules nous importerons les valeurs aux points entiers : μ(n) et Ks(n), n ∈ IN.

A l'état d'équilibre la distribution du nombre de clients dans la file peut être approximée par une loi normale de moyenne β et de variance α. L'utilisation de l'équation aux diffusions avec barrière réfléchissante a été essayée mais elle ne donne que des expressions compliquées débouchant sur un calcul numérique complexe. Ici nous utiliserons l'équation aux diffusions avec barrière absorbante et retour instantané au point 1.

Soit A(t) et D(t) le nombre de clients entrés et sortis de la file entre les instants 0 et t. Le nombre de clients dans la file au temps t est donné par $N(t) = A(t) - D(t)$. Si l'on regarde le changement du nombre de clients dans la file entre les instants t et t+ Δt, que nous appelerons ΔN(t), nous avons immédiatement :

$$ \Delta N(t) = N(t+\Delta t) - N(t) = \Delta A(t) - \Delta D(t). $$

A partir du théorème de la limite centrale, la distribution de probabilité de ΔN(t) est bien approximée par une loi normale de moyenne :

$$ \beta(x) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{E[\Delta N(t)/N(t) = x]}{\Delta t} = \lambda - \mu(x) $$

et de variance :

$$ \alpha(x) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\mathrm{Var}[\Delta N(t)/N(t) = x]}{\Delta t} = \lambda K_a + \mu(x) K_s(x). $$
L'équation aux diffusions avec barrière absorbante, retour instan-
tané au point 1 et à l'état d'équilibre (c'est-à-dire lorsque $t \to \infty$) devient :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{1}{2} \frac{d^2[\alpha(x)f(x)]}{dx^2} - \frac{d[\beta(x)f(x)]}{dx} = - \lambda p(o) \delta(x-1) \\[1.5ex]
\displaystyle \lim_{x \to 0} \left[ \frac{1}{2} \frac{d[\alpha(x)f(x)]}{dx} - \beta(x)f(x) \right] = \lambda p(o) \\[1.5ex]
\lim_{x \to 0} f(x) = 0
\end{array}
\right.
$$

où $p(o)$ est la probabilité que le système soit vide. Nous noterons encore
$p(i)$ la probabilité que la file contienne i clients.

La solution de l'équation sans second membre est de la forme :

$$
f(x) = \frac{C(x)}{\alpha(x)} \exp \left[ 2 \int_{0}^{x} \frac{\beta(t)}{\alpha(t)} dt \right] = \frac{C(x)}{\alpha(x)} \exp[\gamma(x)].
$$

La valeur de C(x) est déterminée par le second membre de l'équation différen-
tielle et par les deux autres relations :

$$
C(x) = \int_{0}^{x} 2\lambda p(o)[1 - \phi_{1}] \exp[-\gamma(u)] du = 2\lambda p(o) \int_{0}^{\min(x, 1)} \exp[\gamma(u)] du
$$

où $\phi_1$ est la fonction de Heaviside au point 1.

Le calcul de $p(o)$ directement en utilisant $p(o) + \int_0^\infty f(x)dx = 1$
est impossible, aussi nous allons suivre la voie suivante :

- nous discrétisons tout de suite la fonction $f(x)$ :

$$
f(n) = \frac{C(n)}{\alpha(n)} \exp \left[ 2 \int_{0}^{n} \frac{\beta(t)}{\alpha(t)} dt \right], n \in \mathbb{N}
$$

- nous supposons que les fonctions $\alpha(t)$ et $\beta(t)$ sont des fonctions en escalier. Dans l'intervalle $[n-1, n]$, nous supposons que $\beta(t) = \lambda - \mu(n)$ et $\alpha(t) = \lambda Ka + \mu(n) K_s(n)$.

La fonction $f(n)$ devient :

$$
f(n) = \frac{C(n)}{\alpha(n)} \exp \left[ 2 \left( \frac{\beta(1)}{\alpha(1)} + \frac{\beta(2)}{\alpha(2)} + \dots + \frac{\beta(n)}{\alpha(n)} \right) \right].
$$

En posant $\hat{\rho}(k) = \exp [2 \frac{\beta(k)}{\alpha(k)}]$, $f(n)$ s'écrit sous la forme :

$$
f(n) = \frac{C(n)}{\alpha(n)} \prod_{k=1}^{n} \hat{\rho}(k)
$$
Comme $\alpha(t)$ est une fonction en escalier $C(\alpha) = 0$ et pour tout $i = 1,2,3, \dots$, $C(i) = \lambda p(o) \frac{\alpha(1)}{\beta(1)} [\hat{\rho}(1) - 1]$.

Donc pour tout $n$ :

$$ \frac{C(n)}{\alpha(n)} = p(o) \frac{\lambda \alpha(1)}{\beta(1)} \cdot \frac{\hat{\rho}(1) - 1}{\alpha(n)} = C v(n) $$

où :

$$ v(n) = \frac{1}{\alpha(n)} \quad \text{et} \quad C = p(o) \frac{\lambda}{\mu(1)} \cdot \frac{\lambda K_a + \mu(1) K_s(1)}{\lambda K_a + \mu(n) K_s(n)} \cdot \frac{\hat{\rho}(1) - 1}{\mu(1) - 1} $$

Nous obtenons donc une solution générale de la forme :

$$ p(n) = C v(n) \prod_{k=1}^{n} \hat{\rho}(k) \text{ où } \hat{\rho}(k) = \exp\left[\frac{2\beta(k)}{\alpha(k)}\right]. $$

La valeur de $p(o)$ est obtenue en normalisant la probabilité $p$. Lorsque cela est possible, nous utiliserons la technique de Kobayashi [5] qui consiste à prendre la valeur de $p(o)$ exacte si elle est connue et de normaliser le reste de la distribution de probabilité sur la valeur $1 - p(o)$. Nous utiliserons dans la suite cette technique pour calculer la distribution de probabilité marginale d'une file GI/G/m.

La solution générale que nous venons de trouver a l'avantage d'une part d'être simple et d'autre part de ressembler à celle du cas M/M/1 avec dépendance de l'état qui s'écrit sous la forme :

$$ p(x) = p(o) \prod_{k=1}^{n} \rho(k) \quad \text{où} \quad \rho(k) = \frac{\lambda}{\mu(k)} $$

### Remarque

Une règle heuristique nous a permis de trouver une solution encore plus simple dans le cas général ; les résultats numériques étant aussi bons. Soit $C = \sum_{n \to \infty} K_s (1 + \frac{1-\rho}{2})$ ou $\sum_{n \to \infty} K_s = \lim_{n \to \infty} K_s(n)$ et $\hat{\rho} = \lim_{n \to \infty} \lambda/\mu(n)$ alors nous pouvons prendre :

$$ p(n) = p(o) \prod_{k=1}^{n} \hat{\rho}(k) \quad \text{où } p(o) \text{ est déterminé par :} $$

$$ p(o) = \left[ C + \sum_{n=1}^{\infty} \prod_{k=1}^{n} \hat{\rho}(k) \right]. $$
Cas particulier
=============

Supposons qu'à partir d'un certain nombre de clients m dans la file
la distribution du temps de service ne varie plus : ∀k ≥ m µ(k) = µ(k+1) et
Ks(k) = Ks(k+1) alors les probabilités p(n) ont une forme explicite. En
particulier soit la station GI/G/m avec m serveurs identiques, chacun ayant
le même taux µ et le même carré du coefficient de variation Ks. La probabi-
lité qu'il y ait n clients dans le système, à l'état d'équilibre, p(n) est
obtenue par les formules du cas général dans lesquelles :

µ(n) = µ min (n,m) et Ks(n) = Ks, c'est-à-dire :

$$
\text{si } 0<n<m \quad p(n) = [1-p(o)]C \hat{\rho}(1)\hat{\rho}(2) \dots \hat{\rho}(n) \text{ où } \hat{\rho}(n) = \exp\left[\frac{2(\lambda-n\mu)}{\lambda K a + n\mu K s}\right]
$$

$$
\text{si } n \ge m \quad p(n) = [1-p(o)]C \hat{\rho}(1)\hat{\rho}(2) \dots \hat{\rho}(m-1)[\hat{\rho}(m)]^{n-m+1}
$$

$$
p(o) = [1 + \rho_{(1)} + \rho_{(1)}\rho_{(2)} + \dots + \frac{\rho_{(1)}\rho_{(2)}\dots\rho_{(m-1)}}{1 - \rho(m)}]^{-1} \quad \text{ou} \quad \rho(i) = \lambda/\mu(i)
$$

$$
\text{et} \quad C = \left[ \sum_{i=1}^{\infty} p(i) \right]^{-1} = \left[ \hat{\rho}(1) + \hat{\rho}(1)\hat{\rho}(2) + \dots + \frac{\hat{\rho}(1)\hat{\rho}(2)\dots\hat{\rho}(m-1)}{1 - \hat{\rho}(m)} \right]^{-1}
$$

Pour valider cette solution, nous avons comparé les résultats obtenus
par ces formules (ou par celles de la méthode heuristique) à celles obtenues
par simulation dans les cas non markoviens et aux solutions classiques dans les
cas markoviens. La technique de simulation que nous avons utilisée ici est la
méthode des blocs dont une bonne description peut être trouvée dans
Leroudier [9]. Pour ne pas compliquer le tableau des comparaisons, nous
n'avons fait figurer que le centre de l'intervalle de confiance.

Remarque
=========

Si m = 1, nous retrouvons les résultats de diffusions de la file
GI/G/1, c'est-à-dire :

$$
\begin{cases}
p(n) = \rho(1-\hat{\rho})\hat{\rho}^{n-1} \\
p(o) = 1 - \rho
\end{cases}
$$
<table><thead><tr><th></th><th></th><th></th><th>λ = 0.4</th><th>λ = 0.8</th><th>λ = 1.2</th><th>λ = 1.6</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="6">2 serveurs</td><td rowspan="2">ERL2</td><td>SIMUL</td><td>.380</td><td>.911</td><td>1.732</td><td>3.626</td></tr><tr><td>DIFFU</td><td>.329</td><td>.822</td><td>1.554</td><td>3.489</td></tr><tr><td rowspan="2">EXP</td><td>EXACT</td><td>.417</td><td>.952</td><td>1.875</td><td>4.444</td></tr><tr><td>DIFFU</td><td>.396</td><td>.898</td><td>1.824</td><td>4.409</td></tr><tr><td rowspan="2">HYP2</td><td>SIMUL</td><td>.450</td><td>1.026</td><td>2.280</td><td>5.757</td></tr><tr><td>DIFFU</td><td>.572</td><td>1.166</td><td>2.419</td><td>6.209</td></tr><tr><td rowspan="6">3 serveurs</td><td rowspan="2">ERL2</td><td>SIMUL</td><td>.396</td><td>.820</td><td>1.297</td><td>1.867</td></tr><tr><td>DIFFU</td><td>.320</td><td>.747</td><td>1.174</td><td>1.669</td></tr><tr><td rowspan="2">EXP</td><td>EXACT</td><td>.401</td><td>.819</td><td>1.294</td><td>1.913</td></tr><tr><td>DIFFU</td><td>.375</td><td>.758</td><td>1.238</td><td>1.870</td></tr><tr><td rowspan="2">HYP2</td><td>SIMUL</td><td>.404</td><td>.837</td><td>1.358</td><td>2.052</td></tr><tr><td>DIFFU</td><td>.520</td><td>.911</td><td>1.475</td><td>2.319</td></tr><tr><td rowspan="6">4 serveurs</td><td rowspan="2">ERL2</td><td>SIMUL</td><td>.396</td><td>.802</td><td>1.203</td><td>1.650</td></tr><tr><td>DIFFU</td><td>.317</td><td>.736</td><td>1.134</td><td>1.527</td></tr><tr><td rowspan="2">EXP</td><td>EXACT</td><td>.400</td><td>.802</td><td>1.216</td><td>1.660</td></tr><tr><td>DIFFU</td><td>.370</td><td>.733</td><td>1.148</td><td>1.608</td></tr><tr><td rowspan="2">HYP2</td><td>SIMUL</td><td>.397</td><td>.805</td><td>1.220</td><td>1.666</td></tr><tr><td>DIFFU</td><td>.494</td><td>.850</td><td>1.290</td><td>1.838</td></tr></tbody></table>

APPLICATION A L'ETUDE DU COMPORTEMENT D'UN SYSTEME MULTILIGNES

Les liaisons entre calculateurs ou entre noeuds dans un réseau d'ordinateurs sont généralement obtenues par l'intermédiaire de lignes physiques uniques entre deux points donnés. L'idée d'en mettre plusieurs n'est pas neuve et par exemple le réseau d'ordinateurs TRANSPAC des PTT française doit utiliser cette possibilité. Cependant, aucune étude de performance de ces deux types de liaison n'a permis une comparaison détaillée (excepté la comparaison par simulation d'un protocole adaptable sur les deux types de liaison [10]).
Plusieurs avantages sont apportés par les systèmes multilignes :

- si une défaillance se produit sur l'une des lignes, les communications ne sont pas pour autant coupées entre les deux noeuds ;

- si le faisceau de ligne n'est plus suffisant pour acheminer le trafic, on peut rajouter une nouvelle ligne sans difficulté.

L'étude que nous nous proposons de mener ici est la comparaison d'un système de transmission obtenu par l'intermédiaire de plusieurs lignes physiques indépendante les unes des autres et d'un système comprenant une seule ligne physique mais dont la vitesse totale est égale à la somme des vitesses des canaux du système multilignes.

Nous supposons que les transmissions s'effectuent par l'intermédiaire de messages. Par exemple si le système considéré est un réseau à commutation de paquets comme CYCLADES ou TRANSPAC, les messages sont en réalité des paquets de données qui sont commutés de noeud en noeud depuis leur point origine jusqu'à leur point de destination.

Les deux systèmes que nous voulons comparer sont décrits sur la figure 1. Le temps de réponse qui est notre critère de comparaison du système multilignes est obtenu par l'approximation aux diffusions alors que l'autre système est étudié par la formule :

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 1</figcaption></figure>

exacte de Khinchin-Pollaczek. Nous avons supposé que les inter-arrivées étaient distribuées exponentiellement.

Le résultat de cette étude est extrêmement simple, la ligne unique est toujours meilleure que le système multilignes. Lorsque le coefficient de variation du temps de service devient grand (supérieur à 5) et lorsque le taux de trafic approche de 1 (supérieur à 0,5), les résultats sont toutefois du même ordre de grandeur.
Comme les approximations par les diffusions majorent les résultats dans cette zone, nous pouvons considérer que le système multilignes est meilleur.

Dans la plupart des cas, la concentration de puissance dans un seul processeur permet d'obtenir de meilleures performances.

BIBLIOGRAPHIE

[1] Gaver, D.P., "Diffusion approximations and models for certain congestion problems", J. Appl. prob 5, 607-623, 1968.

[2] Feller, W., An introduction to probability theory and its applications, Vol II, Wiley, New-York, 1966.

[3] Bharuda - Reid A.T., Elements of the theory of Markov processes and their applications. Mc Graw-Hill, New-York, 1960.

[4] Gelenbe E., "On approximate computer system models", J. ACM 22, 2, 261-269, 1975.

[5] Kobayashi H., "Application of the diffusion approximation to queueing networks I", J. ACM 21, 2, 316-328, 1974.

[6] Reiser M. et Kobayashi H., "Accuracy of the diffusion approximation for some queueing systems", IBM J. Res. Revel 18, 2, 110-124, 1974.

[7] Gelenbe E. et Pujolle G., "The behaviour of a single queue in a general queueing network", Acta-Informatica 7, 123-136, 1976

[8] Gelenbe E. et Pujolle G., "A diffusion model for multiple class queueing networks" proc. of the 3rd International Symposium on Modelling and performance Evaluation of Computer System, Bonn, 1977.

[9] Leroudier J., "Systèmes adaptatifs à mémoire virtuelle", Thèse d'Etat, Université de Grenoble, 1977.

[10] Le Goff H. "Evaluation of error and flow control techniques intended for a multiple line connection" Computer network protocols Symposium, Liège, Belgique, 1978.