# Résolution numérique de problèmes de convection et de transfert de chaleur

Dominique Begis

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Dominique Begis. Résolution numérique de problèmes de convection et de transfert de chaleur. [Rap-
port de recherche] IRIA-RR-015, IRIA. 1973, pp.58. hal-04715992

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en informatique
et automatique

# Résolution numérique de problèmes de convection et de transfert de chaleur

Dominique Begis

Institut de Recherche
d'Informatique
et d'Automatique

Domaine de Voluceau
Rocquencourt
78150 - Le Chesnay
Tél. 954.90.20

Rapport de Recherche n° 15

mars 1973
RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DE PROBLEMES
DE CONVECTION ET DE TRANSFERT DE CHALEUR

Dominique Begis

(présenté par M. Glowinski)

RESUME

Nous proposons ici l'étude numérique de deux problèmes de convection et d'un problème de transfert de chaleur. Le modèle des deux premiers problèmes est l'équation de Navier-Stokes couplée à celle de la chaleur. Le dernier problème est une application numérique du problème de transfert de chaleur dans un fluide de Bingham dont la viscosité dépend de la température. Les notions théoriques de ce problème se trouvent dans un article de DUVAUT-LIONS [2].
P L A N

Pages

CHAPITRE I : PROBLEMES DE CONVECTION ET DE TRANSFERT
DE CHALEUR

1

1 - Equations de Navier-Stokes couplées à celle
de la chaleur.

1

2 - Problème de transfert de chaleur dans un fluide de Bingham dont la viscosité dépend de la température.

5

3 - Formulation variationnelle.

8

4 - Semi-discretisation en temps.

13

5 - Méthode de résolution numérique.

17

CHAPITRE II : ESSAIS NUMERIQUES

24

1 - Problème 1 : Navier-Stokes + chaleur.

24

- Problème 1.1

24

- Problème 1.2

38

2 - Problème de transfert de chaleur.

46

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# CHAPITRE I : PROBLEMES DE CONVECTION ET DE TRANSFERT DE CHALEUR

## 1 - Équations de Navier-Stokes couplées à celle de la chaleur.

On étudie les équations de convection évolutives dans un domaine ouvert borné $\Omega = ]0,d[x]0,d[de \mathbb{R}^2$ de frontière régulière. Nous allons préciser ici l'ensemble des équations correspondantes ainsi que les types de problèmes que nous nous proposons de résoudre numériquement.

### 1. Enoncé des problèmes

On désigne par :

$$ (1.1) \qquad u(x,t) \text{ le vecteur vitesse d'un fluide visqueux incompressible de composantes } (u_1(x,t), u_2(x,t)) $$

$$ (1.2) \qquad p(x,t) \text{ la pression} $$

$$ (1.3) \qquad \theta(x,t) \text{ la température} $$

On considère $E$ un sous ensemble compact de $\Omega$

$$ (1.4) \qquad f(x,t) \text{ une source de chaleur.} $$

### 1.1 - Définitions

(1.5) $\mu$ représente la viscosité du fluide

(1.6) $\beta$ le coefficient de dilatation cubique

(1.7) $g$ la constante de gravitation

(1.8) $\rho_o$ le poids spécifique du fluide

(1.9) $\gamma$ le coefficient de conductivité thermique

(1.10) $\delta_{ij}$ le symbole de Kronecker
Les équations sont les suivantes :

$$
(1.11) \qquad \frac{\partial u_1}{\partial t} - \mu \Delta u_1 + u_1 \frac{\partial u_1}{\partial x_1} + u_2 \frac{\partial u_1}{\partial x_2} + \frac{1}{\rho_o} \frac{\partial p}{\partial x_1} = 0
$$

$$
(1.12) \qquad \frac{\partial u_2}{\partial t} - \mu \Delta u_2 + u_1 \frac{\partial u_2}{\partial x_1} + u_2 \frac{\partial u_2}{\partial x_2} + \frac{1}{\rho_o} \frac{\partial p}{\partial x_2} + g \beta \theta = 0
$$

$$
(1.13) \qquad \frac{\partial u_1}{\partial x_1} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2} = 0
$$

$$
(1.14) \qquad \frac{\partial \theta}{\partial t} - \chi \Delta \theta + u_1 \frac{\partial \theta}{\partial x_1} + u_2 \frac{\partial \theta}{\partial x_2} = f
$$

**Problème 1.1.** On considère une pièce rectangulaire où l'on chauffe à température constante $\theta_1$ le mur gauche et à température constante $\theta_o$ le mur droit, $\theta_1$ étant strictement supérieur à $\theta_o$. La pièce est chauffée linéairement entre les valeurs $(\theta_1, \theta_o)$ au temps = 0. Dans cette pièce on considère un fluide faiblement visqueux (on peut prendre par exemple de l'air qui se meut à très faible vitesse. Sa viscosité est très faible(de l'ordre de $10^{-5}$)). Nous avons aucune source de chaleur. Ceci se traduit par $f=0$

Conditions initiales 1.1.

$$
(1.15) \qquad u_1(x_1,x_2,0) = u_2(x_1,x_2,0) = 0
$$

$$
(1.16) \qquad \theta = \theta_1 \quad \text{pour } x_1 = 0 \text{ et } 0 \le x_2 \le d
$$

$$
(1.17) \qquad \theta = \theta_o \quad \text{pour } x_1 = d \text{ et } 0 \le x_2 \le d
$$

$$
(1.18) \qquad \theta = \theta_1 - x_1 (\theta_1 - \theta_o) / d \quad \text{pour } x_2 = 0, d \text{ et } 0 \le x_2 \le d
$$

Conditions aux limites : 1.1

$$
(1.19) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \bar{u}(x_1,x_2,t) = 0 \quad \text{sur } \Sigma \\[1em] (1.20) \qquad \theta(x_1,0,t) = \theta_1 \\[1em] (1.21) \qquad \theta(x_1,d,t) = \theta_o \end{array} \right.
$$

$$
(1.20) \qquad \theta(x_1, 0, t) = \theta_1
$$

$$
(1.21) \qquad \theta(x_1, d, t) = \theta_o
$$
**Problème 1.2.** Nous avons en E une source de chaleur (i.e. $f(x) \neq 0$ pour $x \in E$). Sur les parois, nous n'imposons pas une température donnée mais des conditions de déperdition de chaleur (du type Fourier).

**Conditions initiales 1.2.**

$$ (1.22) \qquad u(x_1,x_2,0) = 0 $$

$$ (1.23) \qquad \theta(x_1,x_2,0) = 0 $$

**Conditions aux limites : 1.2**

$$ (1.24) \qquad u(x_1,x_2,0) = 0 \quad \text{sur } \Sigma $$

$$ (1.25) \qquad \frac{\partial \theta}{\partial n} + \mathcal{L} \theta = 0 \quad \text{sur } \Sigma \text{ où } \mathcal{L} \text{ est une fonction de } (x_1,x_2) \\ \text{positive.} $$

$$ \mathcal{L}(x) = 0 \quad \text{mur isolant } \left( \frac{\partial \theta}{\partial n} = 0 \right) $$

$$ \mathcal{L}(x) > 0 \quad \text{correspond aux fenêtres (deperdition)} $$

## 1.2 - Détermination des constantes (on donne les valeurs des Ctes pour l'air).

Soit $q$ la densité de courant calorifique, $q$ est proportionnel à la chute de température

$$ (1.26) \qquad q = - k \Delta \theta \quad (\text{loi de Fourier}) $$

où $k$ est le coefficient de conduction thermique

$$ (k \approx 0.021 \text{ Kcal/m}^2\text{hC}^\circ \text{ à } 20^\circ \text{ et pression de } 760 \text{ mm}). $$

La conductivité calorifique est donnée par l'équation de Fourier :

$$ (1.27) \qquad \rho_o c_p \frac{\partial \theta}{\partial t} - k \Delta \theta + \sum_{j=i}^{2} u_j \frac{\partial \theta}{\partial x_j} = f $$
où C<sub>p</sub> est la chaleur spécifique à pression constante

$$
(1.28) \qquad C_p = 0,240 \text{ Kcal/Kg C}^\circ
$$

On a bien l'équation

$$
(1.29) \quad \frac{\partial \theta}{\partial t} - \frac{\partial k}{\rho_o c_p} \Lambda \theta_+ + \sum_{j=i}^{2} u_j \frac{\partial \theta}{\partial x_j} = f
$$

Donc le coefficient de conductivité thermique χ est égal à :

$$
(1.30) \quad \frac{k}{\rho_o C_p} = \frac{0.021}{1.293 * 0.24} = 0.0763 \text{ m}^2\text{/h à } 20^\circ\text{C}.
$$

Viscosité de l'air :

viscosité γ = viscosité cinématique μ/ρ

$$
\text{or} \quad \mu = \frac{A \sqrt{\theta_K}}{1 + \frac{B}{\theta_K}}
$$

pour l'air A=1,42 10<sup>-6</sup> poiseuille et B=102,5 à 20° θ<sub>K</sub>=293° K

$$
(1.31) \quad \Rightarrow \quad \mu = 1,82 \ 10^{-5} \text{ poiseuille et } \gamma = \frac{\mu}{\rho} = \frac{1.82}{1.293} = 1.4 \ 10^{-5}
$$

On définit également 2 paramètres pour le problème 1.1 le nombre
de Rayliegh A

$$
(1.32) \quad A = (\theta_1 - \theta_o) \frac{gd^3}{\theta_o v} \chi
$$

et le nombre de Prandtl σ

$$
(1.33) \quad \sigma = \gamma / \chi
$$
2 - **Problème de transfert de chaleur dans un fluide de Bingham dont la viscosité dépend de la température.**

Nous nous proposons ici l'étude numérique du champ de vitesses et de températures dans un fluide de Bingham en mouvement en tenant compte de la variation de la viscosité avec la température. L'étude théorique de ce problème a été faite dans DUVAUT-LIONS [ 2 ], cependant nous donnerons ici un court rappel théorique de ce problème. Le fluide est supposé incompressible. Les relations de comportement du fluide de Bingham sont celles exposées, par exemple, dans DUVAUT-LIONS [ 1 ].

2.1 - **Enoncé du problème**

On étudie les équations dans un domaine ouvert borné Ω de R²
de frontière Γ régulière.

$$
(2.1) \qquad \Omega = ]0,1[ \times ]0,1[
$$

$$
(2.2) \qquad Q = \Omega \times ]0,T[ \quad , T > 0
$$

$$
(2.3) \qquad \Sigma = \Gamma \times ]0,T[ , \quad T > 0
$$

L'hypothèse d'incompressibilité se traduit par

$$
(2.4) \quad \operatorname{Div} (\vec{u}) = 0 \quad \text{i.e.} \quad \sum_{i=1}^{2} \frac{\partial u_i}{\partial x_i} = 0
$$

On introduit les notations suivantes :

Dij (u) le tenseur des vitesses de déformations défini par

$$
(2.5) \qquad D_{ij} (u) = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)
$$

$$
(2.6) \qquad D_{II}(u) = \frac{1}{2} \mathcal{D}_{ij}(u) D_{ij}(u)
$$
On a l'équation du mouvement

$$
(2.7) \qquad \frac{du_i}{dt} = \sum_{j=i}^{2} \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + f_{1i}
$$

où f_i et σ_{ij} sont les composantes respectivement des forces et du
tenseur des contraintes.

$$
(2.8) \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ij}^{D} - p \delta_{ij}
$$

p désigne la pression et $\sigma_{ij}^D$ le déviateur des contraintes.

On pose

$$
(2.9) \qquad \sigma_{II} = \frac{1}{2} \sigma_{ij}^{D} \qquad \sigma_{ij}^{D} = \frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^{2} \sigma_{ij}^{D} \quad (\sigma_{ij}^{D})^{2}
$$

$$
(2.10) \qquad \sum_{i=1}^{2} \sigma_{ii}^{D} = 0.
$$

On introduit le scalaire positif

(2.11) g désignant le seuil de plasticité et la fonction

(2.12) μ(θ) désignant la viscosité fonction donnée de la température θ telle que

$$
(2.13) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
\theta \rightarrow \mu(\theta) \text{ est continue sur } \mathbb{R} \\
0 < \theta_0 \le \mu(\theta) \le \theta_1 < +\infty \quad \forall \theta
\end{array}
\right.
$$

La loi de comportement est alors

$$
(2.14) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\sigma_{ij} = 2\mu(\theta)D_{ij}(u) + g \frac{D_{ij}(u)}{(D_{II}(u))^2} - p \delta_{ij} \Leftrightarrow D_{II}(u) > 0 \\
\frac{1}{2} \sigma_{II}^2 \le g \Leftrightarrow D_{II}(u) = 0.
\end{array}
\right.
$$
Le champ de température $θ(x,t)$ doit obéir à l'équation
de conservation de l'énergie

$$
(2.15) \qquad \frac{de}{dt} = \sum_{i,j=1}^{2} \sigma_{ij}^{D} D_{ij}(u) - \sum_{i=1}^{2} \frac{\partial q_i}{\partial x_i} + \hat{f}_2
$$

$$
où \quad \frac{de}{dt} = \frac{\partial e}{\partial t} + \sum_{j=1}^{2} u_j \frac{\partial e}{\partial x_j}
$$

e désigne l'énergie interne spécifique

`{q_i}` est le vecteur flux de chaleur

$\hat{f}_2$ est la production voluminique de chaleur

$$
e = C_p \theta
$$

$$
(2.16) \qquad q_i = -k \frac{\partial \theta}{\partial x_i}
$$

où Cp : chaleur spécifique à pression constante

k : coefficient de conduction thermique

alors (2.15) devient

$$
(2.17) \qquad C_p \frac{\partial \theta}{\partial t} = 4 \mu(\theta) D_{II}(u) + 2g(D_{II}(u))^2 + k \Delta \theta + \hat{f}_2
$$

on introduit

$$
(2.18) \qquad \begin{gathered} F(\theta, u) = 4 \mu(\theta) D_{II}(u) + 2g(D_{II}(u))^2 \frac{1}{2} \\ \chi = \frac{k}{C_p} \quad \text{et} \quad f_2 = \frac{\hat{f}_2}{C_p}^2 \end{gathered}
$$

d'où on obtient

$$
(2.19) \qquad \frac{d\theta}{dt} - \chi \Delta \theta = \frac{1}{C_p} F(\theta, u) + f_2
$$
Les équations sont (2.6) (2.9) (2.15) et (2.19).

### Les conditions aux limites :

$$ (2.20) \qquad u(x,t) = 0 \quad \text{sur } x \in \Gamma $$

$$ (2.21) \qquad \frac{\partial \theta}{\partial n} + q \chi \theta = 0 \quad \text{sur } \Sigma \quad q > 0 $$

conditions du type Fourier (déperdition)

### Conditions initiales

$$ (2.22) \qquad \left\{ \begin{array}{l} U(x,o) = 0 \\ \theta(x,o) = 0 \end{array} \right. $$

## 3 - Formulation variationnelle des deux problèmes.

$$ (3.1) \qquad V = \{ \vec{v} \mid \vec{v} \in (H_0^1(\Omega))^2, \, \text{Div} \, \vec{v} = 0 \} $$

$$ (3.2) \qquad H = \{ \vec{v} \mid \vec{v} \in (L^2(\Omega))^2, \, \text{Div} \, \vec{v} = 0 \} $$

nous avons alors

VCHCV' où V'est le dual de V si on a identifié H à son dual.

On pose :

$$ (3.3) \qquad a(\theta; u, v) = 2 \int_{\Omega} \mu(\theta) D_{ij}(u) D_{ij}(v) \, dx $$

$$ (3.4) \qquad b(u,v,w) = \sum_{i,j=1}^{2} \int_{\Omega} u_j \frac{\partial v_i}{\partial x_j} w_i \, dx. $$
**Lemme 3.1** : La forme trilinéaire $b(u,v,w)$ est continue sur $VxVxV$.

$$ 
\begin{align*} 
b(u,u,u) &= 0 \quad \forall u \in V \\ 
b(u,v,u) &= -b(u,u,v) 
\end{align*} 
$$

Cf. par exemple LIONS [1].

**3.1 - Problème 1** : $\mu(\Theta)$ est constant

On pose

$$ (3.5) \qquad b_1(u, \varphi, \Theta) = \sum_{i=1}^{2} \int_{\Omega} u_i \frac{\partial \varphi}{\partial x_i} \Theta dx \quad \text{sur } VxV_{\Theta}xV_{\Theta} $$

$$ (3.6) \quad \text{où} \quad V_{\Theta} = H^1(\Omega) \quad \text{pour le problème 1.2} $$

$$ V_{\Theta} = \{ \varphi \mid \varphi \in H^1(\Omega), \varphi(x_1,o) = \theta_1 \text{ et } \varphi(x_1,d) = \theta_o \} $$

pour le problème 1.1.

**Lemme 3.2** : La forme trilinéaire $b_1(u,\varphi,\Theta)$ est continue sur $VxV_{\Theta}xV_{\Theta}$ (en raison des inégalités de Sobolev et de Holder).

$$ b_1(u, \varphi, \Theta) = 0 \quad \forall u \in V \quad \text{et} \quad \varphi \in V_{\Theta} $$

$$ b_1(u, \varphi, \Theta) = -b_1(u, \Theta, \varphi) \quad \forall u \in V \text{ et } \varphi, \Theta \in V_{\Theta} $$

Comme $\Theta, \varphi \in H^1(\Omega)$ nous avons donc $\gamma(\Theta)$ et $\gamma(\varphi)$ définies $\in H^{\frac{1}{2}}(\Gamma)$

Nous définissons la formule bilinéaire continue sur $(H^1(\Omega))^2$ et $H^1(\Omega)$ - coercive.

$$ (3.7) \qquad a_1(\Theta, \varphi) = \chi \sum_{i=1}^{2} \int_{\Omega} \frac{\partial \Theta}{\partial x_i} \frac{\partial \varphi}{\partial x_i} dx + \int_{\Gamma} \ell(x) \Theta \varphi d\sigma $$

pour le problème 1.2.
Quant au problème 1.1 on prend

$$
(3.8) \qquad a_l(\theta, \varphi) = \chi \sum_{i=1}^{2} \int_{\Omega} \frac{\partial \theta}{\partial x_i} \frac{\partial \varphi}{\partial x_i} dx \quad \forall \theta, \varphi \in V_{\theta}
$$

les équations (1.11), (1.12), (1.13), (1.14) peuvent se mettre sous
la forme variationnelle suivante :

$$
(3.9) \qquad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
(u'(t),v)+a(u(t),v)+b(u(t),u(t),v) + \beta g(\theta(t) \delta_{12},v)=0 \quad \forall v \in V
\end{array}
\right.
$$

$$
(3.10) \qquad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
(u'(t), \varphi) + a_1(\theta(t), \varphi) + b_1(u(t), \theta(t), \varphi) = (f(t), \varphi) \quad \forall \varphi \in V_{\theta}
\end{array}
\right.
$$

**Lemme 3.3** : On a équivalence entre (1.11), (1.12), (1.13), (1.14)
et (3.9), (3.10) (ceci est dû principalement au théorème de De Ralim).

**Théorème 3.1 :**

Soient $f, u_0$ et $\theta_0$ donnés avec

$$
f \in L^2(0,T;V')
$$

$u_o \in H$

$$
\theta_o \in L^2(\Omega)
$$

Alors il existe un couple de fonctions (u,θ) unique tel que

$$
u \in L^2(0,T;V) \cap L^\infty(0,T;H)
$$

$$
\theta \in L^2(0,T; V) \cap L^\infty(0,T; L^2(\Omega))
$$

$$
u' \in L^2(0, T; V')
$$

$$
\theta' \in L^2(0, T; V_{\theta}')
$$

et $(u,\theta)$ vérifie (3.9), (3.10) avec $u_0=u(x,\theta)$ et $\theta_0=\theta(x,0)$.
D'après le théorème d'existence et d'unicité de la solution du problème de Navier-Stokes et les faits que $b_1(u(t), \theta, \theta) = 0$, $(\lambda_0, \theta) \ge 0$ et $a_1(\theta, \theta)$ soit $H^1(\Omega)$ coercive on obtient facilement la démonstration du théorème 3.1.

Pour plus de détails consulter CHERNYAKOV [1] ou ZENOUDA [1].

## 3.2 - **Problème 2** : $\mu(\theta)$ dépend de la température.

En posant

$$ (3.11) \qquad j(v) = 2 \int_{\Omega} (D_{II}(v))^{\frac{1}{2}} dx $$

on a la solution suivante

$$ (3.12) \qquad a(\theta; u, u) + gj(u) = \int_{\Omega} F(\theta, u) dx $$

D'où l'inéquation suivante

$$ (3.13) \qquad \begin{aligned} & (u'(t), v-u(t)) + a(\theta; u(t), v-u(t)) + b(u(t), u(t), v-u(t)) \\ & \qquad + gj(v) - gj(u(t)) \ge (f(t), v-u(t)) \quad \forall v \in V \end{aligned} $$

**Remarques techniques** : On néglige les termes $\sum_{j=1}^2 u_j \frac{\partial \theta_j}{\partial x_j}$ (donc $\frac{\partial \theta}{\partial t} = \frac{\partial \theta_j}{\partial x_j}$) et on introduit des solutions "très faibles" de l'équation.

Il est démontré l'existence d'une solution faible de ce problème dans DUVAUT-LIONS [2] . La démonstration de l'unicité de la solution reste un problème ouvert.

Nous énoncerons ici quelques théorèmes donnés dans l'article précité.

**Théorème 3.2** : On choisit $\beta$ tel que $1 < \beta < 3/2$

$$ f_1 \in L^2(0,T;V') $$

$$ f_2 \in L^1(\Omega) $$

$$ u_o \in H $$

$$ \theta_o \in L^1(\Omega) $$
alors il existe $u_i, \theta$

$$u \in L^2(0,T;V)$$

$$u' \in L^2(0,T;V')$$

$$\theta \in L^\beta(Q)$$

vérifiant (3.13) (2.19)

**Théorème 3.3** : Sous les hypothèses précédentes, on peut trouver des fonctions $m_{ij}$ (les multiplicateurs) telles que :

$$m_{ij} = m_{ji} \in L^{\infty}(Q)$$

$$\sum_{i=1}^{2} m_{ii} = 0$$

$$\left( \sum_{i,j=1}^{2} m_{ij} \right)^{\frac{1}{2}} \ll g/\sqrt{2}$$

$$\sum_{i,j=1}^{2} m_{ij} D_{ij}(u) - \frac{g}{\sqrt{2}} \left( \sum_{i,j=1}^{2} (D_{ij}(u))^2 \right)^{\frac{1}{2}} = 0 \quad \text{p.p. ds } Q$$

$$\frac{\partial u_i}{\partial t} - \sum_{j=1}^{2} \left( \frac{\partial}{\partial x_j} (\mu(\theta) \frac{\partial u}{\partial x_j} + u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j} - 2 \frac{\partial m_{ij}}{\partial x_j}) \right) + \frac{\partial p}{\partial x_i} = f_{1i} ; i=1,2$$

$$\frac{\partial \theta}{\partial t} - \chi \Delta \theta = \frac{1}{c_p} F(\theta, u) + f_2$$

$$u_i = 0 \text{ sur } \Sigma,$$

$$k \frac{\partial \theta}{\partial u} + q\theta = 0 \text{ sur } \Sigma$$

$$u(x,0) = u_0(x)$$

$$\theta(x,0) = \theta_0(x).$$

**Remarque** : Ici aussi les multiplicateurs $m_{ij}$ sont des outils très précieux pour la résolution numérique du problème.
## 4 - Méthodes de résolution. Semi-discrétisation en temps.

Pour les deux problèmes, le schéma de discrétisation en temps est le schéma de CRANK-NICOLSON.

On prend pour les deux équations le même pas de discrétisation en temps $k=T/N$ ou $N \in \mathbb{N}$.

Vu le schéma employé, on a intérêt à prendre deux réseaux de discrétisation en temps $\mathcal{R}^{t-\frac{1}{2}}$ et $\mathcal{R}^{t}$ (un réseau pour la température, un autre pour les vitesses) décalés l'un par rapport à l'autre de $k/2$.

$$ (4.1) \qquad \mathcal{R}^{t-\frac{1}{2}} = \{ (n-\frac{1}{2})k, n \in \mathbb{N}; n \le N \} $$

$$ (4.2) \qquad \mathcal{R}^{t_o} = \{nk, n \in \mathbb{N}; n \le N. \} $$

On note donc :

$$ (4.3) \qquad \theta = \theta\left((n - \frac{1}{2})k, x\right) $$

$$ (4.4) \qquad u^n = u(nk, x) $$

### Intérêt des deux réseaux en temps :

Si l'on est au temps $nk$ on connaît donc $\theta^{n-\frac{1}{2}}$ et $u^n$. On calcule d'abord $\theta^{n+\frac{1}{2}}$ par l'équation (1.43) pour cela on a besoin de $u^n$ que l'on connaît puis on calcule $u^{n+1}$ par l'équation (1.24) qui fait intervenir $\theta^{n+\frac{1}{2}}$ connue. Donc aucune moyenne en temps ne s'avère nécessaire pour le schéma de CRANK-NICOLSON. Cependant pour le calcul de $\theta^{\frac{1}{2}}$, on est obligé au premier pas de temps de faire une moyenne. Connaissant $\theta(x,0)$, nous avons donc :

$$ (4.5) \qquad \frac{\theta^{-\frac{1}{2}} + \theta^{\frac{1}{2}}}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial \theta}{\partial t} \approx \frac{2}{k} \theta^{\frac{1}{2}} $$
Ceci revient à calculer $\theta^{\frac{1}{2}}$ avec un pas de temps $\frac{k}{2}$

Nous allons définir par récurrence une suite de couples $(\theta^{n-\frac{1}{2}}, u^n)$ de $V_\theta \times V$.

On pose

$$ (4.6) \qquad u^{n+\frac{1}{2}} = \frac{u^{n+1} + u}{2} $$

$$ (4.7) \qquad \theta^n = \frac{\theta^{\frac{n+1}{2}} + \theta^{\frac{n-1}{2}}}{2} $$

4.1. Supposant connus $(\theta^0, u^0)$, $(\theta^{\frac{1}{2}}, u^1)$, ..., $(\theta^{n-\frac{1}{2}}, u^n)$ on définit $(\theta^{n+\frac{1}{2}}, u^{n+1})$ comme solutions dans $V_\theta \times V$.

$$ (4.8) \qquad \left( \frac{\theta^{n+\frac{1}{2}} - \theta^{n-\frac{1}{2}}}{k}, \varphi \right) + a_1(\theta^n, \varphi) + b_1(u^n, \theta^n, \varphi) = (f^n, \varphi) \quad \forall \varphi \in V_\theta $$

$$ (4.9) \qquad \left( \frac{u^{n+1} - u^n}{k}, v \right) + a\left(u^{n+\frac{1}{2}}, v\right) + b\left(u^{n+\frac{1}{2}}, u^{n+\frac{1}{2}}, v\right) + b_0\left(\theta^{n+\frac{1}{2}}, \delta_{1,2}, v\right) = 0 \quad \forall v \in V $$

Pour simplifier on ne prendra pas $b\left(\frac{u^{n+1}+u^n}{2}, \frac{u^{n+1}+u^n}{2}, v\right)$ mais $\frac{1}{2}b(u^{n+1}, u^{n+1}, v) + \frac{1}{2}b(u^n, u^n, v)$ le système (4.8), (4.9) s'écrit :

$$ (4.10) \qquad \begin{aligned} & (\theta^{n+\frac{1}{2}}, \varphi) + \frac{k}{2} a_1 (\theta^{n+\frac{1}{2}}, \varphi) + \frac{k}{2} b_1 (u^n, \theta^{n+\frac{1}{2}}, \varphi) \\ &= \frac{k}{2} (f^{n+\frac{1}{2}} + f^{n-\frac{1}{2}}, \varphi) + (\theta^{n-\frac{1}{2}}, \varphi) - \frac{k}{2} a_1 (\theta^{n-\frac{1}{2}}, \varphi) \\ &\quad - \frac{k}{2} b_1 (u^n, \theta^{n-\frac{1}{2}}, \varphi) \quad \forall \varphi \in V_\theta \end{aligned} $$

$$ (4.11) \qquad \begin{aligned} & (u^{n+1}, v) + \frac{k}{2} a(u^{n+1}, v) + \frac{k}{2} b(u^{n+1}, u^{n+1}, v) = \\ & \quad - \beta g_o k (\theta^{n+\frac{1}{2}}, \delta_{1,2}, v) + (u^n, v) - \frac{k}{2} a(u^n, v) - b(u^n, u^n, v) \end{aligned} \quad \forall v \in V $$
$u_n$ et $\theta^{n-\frac{1}{2}}$ étant connu

$$
\begin{align}
(4.12) \qquad \left( (d^n, \varphi) = \frac{k}{2} \left( f^{n+\frac{1}{2}} + f^{n-\frac{1}{2}} \right), \varphi \right) + \left( \theta^{n-\frac{1}{2}}, \varphi \right) - \frac{k}{2} a_1 \left( \theta^{n-\frac{i}{2}}, \varphi \right) \nonumber \\
&\qquad - \frac{k}{2} b_1 \left( u^n, \theta^{n-\frac{1}{2}} \right), \varphi \right) \nonumber \\
&\qquad \text{u}^n \text{ et } \theta^{n+\frac{1}{2}} \text{ étant maintenant connues on pose :}
\end{align}
$$

$$
\begin{align}
(4.13) \qquad (c^n, v) &= - \beta g_o k (\theta^{n+\frac{1}{2}} \delta_{i,2}, v) + (u^n, v) - \frac{k}{2} a(u^n, v) - b(u^n, u^n, v) \nonumber \\
&\qquad (\theta^{n-\frac{1}{2}}, u^n) \text{ étant connu nous cherchons } (\theta^{n+\frac{1}{2}}, u^{n+1}) \nonumber
\end{align}
$$

solution du système suivant

$$
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
& (\theta^{n+\frac{1}{2}}, \varphi) + \frac{k}{2} a_1 (\theta^{n+\frac{1}{2}}, \varphi) + \frac{k}{2} b_1 (u^n, \theta^{n+\frac{1}{2}}, \varphi) = (d^n, \varphi) \\
& (u^{n+1}, v) + \frac{k}{2} a(u^{n+1}, v) + \frac{k}{2} b(u^{n+1}, u^{n+1}, v) = (c^n, v)
\end{aligned}
\right.
\qquad \forall \varphi \in V_\theta \text{ et } v \in V
\end{equation}
$$

Ce système (4.14) s'interprète ainsi :

$$
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
(4.15) \qquad \displaystyle\theta^{n+\frac{1}{2}} - \frac{\chi k}{2} \Delta \theta^{n+\frac{1}{2}} + \frac{k}{2} \sum_{i=1}^{2} u_i^n \frac{\partial \theta}{\partial x_i}^{n+\frac{1}{2}} = d^n \\[1.5em]
(4.16) \qquad \displaystyle\frac{\partial \theta}{\partial n}^{n+\frac{1}{2}} + 1 \theta^{n+\frac{1}{2}} = 0 \quad \text{sur } \Gamma \text{ou } \theta^{n+\frac{1}{2}}(x,o) = \theta_1 \quad \text{et } \theta^{n+\frac{1}{2}}(x,d) = \theta_o \\[1.5em]
(4.17) \qquad \displaystyle u_i^{n+1} - \frac{k}{2} \mu \Delta u_i^{n+1} + \frac{k}{2} \sum_{j=1}^{2} u_j^{n+1} \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + k \frac{\partial p}{\partial x_i}^{n+1} = c_i^n ; \quad i = 1,2 \\[1.5em]
(4.18) \qquad \displaystyle \sum_{i=1}^{2} \frac{\partial u_i}{\partial x_i}^{n+1} = 0 \quad \text{dans } \Omega \\[1.5em]
(4.19) \qquad u^{n+1} = u_{\Gamma} \quad \text{sur } \Gamma .
\end{array}
\right.
\end{equation}
$$

Nous avons donc à chaque pas de temps à résoudre le système (4.14).
4.2. Supposant connue $(\theta^0, u^0)$, $(\theta^{\frac{1}{2}}, u^1)$, ..., $(\theta^{n-\frac{1}{2}}, u^n)$ on définit $(\theta^{n+\frac{1}{2}}, u^{n+1})$ comme solutions dans $L^\beta(\Omega) \times V$ du système suivant :

$$ \frac{\theta^{n+\frac{1}{2}} - \theta}{k} - \chi \Delta \theta^n = \frac{1}{C_p} F(\theta^n, u^n) + f_2^{n+\frac{1}{2}} $$

$$ k \frac{\partial \theta}{\partial n} + q \theta^{n+\frac{1}{2}} = 0 \text{ sur } \Gamma $$

$$ \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{k} - \sum_{j=1}^{2} \left( \frac{\partial}{\partial x_j} \left( \mu \left( \theta^{n+\frac{1}{2}} \right) \frac{\partial u_j}{\partial x_j} \right) + u_j^{n+\frac{1}{2}} \frac{\partial u_i}{\partial x_j} - 2 \frac{\partial m_j}{\partial x_j} \right) + \frac{\partial p_i}{\partial x_i} = f_{1i}^{n+1} ; \quad i=1,2 $$

$$ u_i^{n+1} = 0 \text{ sur } \Sigma $$

$$ \sum_{i=1}^{2} \frac{\partial u_i^{n+1}}{\partial x_i} = 0 \text{ dans } \Omega $$

$$ \text{avec} \qquad m_{ij}^{n+1} = m_{ji}^{n+1} $$

$$ \sum_{k=1}^{2} m_{kk}^{n+1} = 0 $$

$$ \sum_{i,j=1}^{2} m_{ij}^{n+1} m_{ij}^{n+1} \le g^2/2 \quad \text{p,p. dans } \Omega $$

$$ \sum_{i,j=1}^{2} m_{ij}^{n+1} D_{ij}(u^{n+1}) - \frac{g}{\sqrt{2}} \left( \sum_{i,j=1}^{2} D_{ij}(u^{n+1})^2 \right)^{\frac{1}{2}} = O p \cdot p. $$

dans $\Omega$

### Remarque 4.1

Pour le calcul de $F(\theta^n, u^n) = 4 \mu(\theta^n) D_{II}(u^n) + 2g(D_{II}(u^n))^{\frac{1}{2}}$ on ne connaît que $u^n$ et $\theta^{n-\frac{1}{2}}$.

$\theta^n = \frac{\theta^{n+\frac{1}{2}} + \theta^{n-\frac{1}{2}}}{2}$ n'est pas connu mais $\mu(\theta)$ étant une fonction continu en $\theta$, $2$ on peut numériquement considérer $\mu(\theta^{n-\frac{1}{2}})$ au lieu de $\mu(\theta^n)$.
## 5 - Méthode de résolution numérique

Les dérivées d'espace sont approchées par des différences centrées de façon à avoir une précision du deuxième ordre. Ceci est toujours possible pour la fonction $f$ car sur $Γ$ nous avons des conditions de Dirichlet.

En ce qui concerne les multiplicateurs $p$, $m_{ij}$ nous avons un problème de définition au bord. Pour avoir une précision du deuxième ordre tout en ayant des dérivées ne faisant intervenir que des points voisins distants de $h$ ; $h$ étant le pas de discrétisation en espace ; on considère deux réseaux de discrétisation $\mathbb{R}_0(h)$ et $\mathbb{R}_1(h)$ (un réseau pour la vitesse, la température et les forces, un autre pour les multiplicateurs) décalés l'un par rapport à l'autre de $\frac{h}{2}$ de façon que le réseau des multiplicateurs élimine toute difficulté pour le calcul des multiplicateurs au voisinage de la frontière tout en conservant la précision du deuxième ordre.

### 5.1 - Discrétisation.

#### Notations

On garde les mêmes notations qui ont été définies dans BEGIS [1]. On considère les mêmes espaces de fonctions et produits scalaires. Pour la compréhension des notations que nous employerons, nous allons rappeler ici les notations essentielles.

$\sigma_h^{(M)}$ = pavé ouvert de centre $M$ et de côté $h$

$$ \Omega_h = \{ M \in \mathbb{R}_0(h) \text{ t.q. } \sigma_h^{(M)} \cap \Omega \neq \emptyset \} $$

$\chi_h^M(x)$ = fonction caractéristique des pavés $\sigma_h^{(M)}$

$v_h^o = \{ u_h \mid u_h(x) = \sum_{M \in \Omega_h^o} u_h^M \chi_h^M(x) \text{ nulles sur } \Gamma_h^o \}$

$$ (\operatorname{div}_h (v_h^o))_{i-\frac{1}{2}, j-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2h} \left( v_{i, j-\frac{1}{2}}^1 - v_{i-1, j-\frac{1}{2}}^1 + v_{i-1, j}^2 - v_{i-\frac{1}{2}, j}^2 \right) $$

$v_h = \{ \vec{v}_h \mid \vec{v}_h \in v_h^o \times v_h^o \text{ et } \operatorname{div}_h(\vec{v}_h) = 0 \}$
$$
\hat{\nabla}_{h_i} u_h(x) = \frac{1}{h} \left( u_h \left(x + \frac{h}{2} \vec{e}_i \right) - u_h \left(x - \frac{h}{2} \vec{e}_i \right) \right)
$$

$q_h$ = opérateur de $V_h \rightarrow L^2(\Omega)$ défini par

$$
q_h v_h = \sum_{M \in \Omega_h} v_h^M \chi_h^M(x)
$$

$$
b_h(u_h, v_h, w_h) = \sum_{i,j=1}^{2} \int_{\Omega} q_h u_h^j(x) \hat{\nabla}_{hj} q_h v_h^i(x) q_h w_h^i(x) \, dx
$$

$$
\forall u_h, v_h, w_h \in V_h
$$

$$
a_h(u_h, v_h) = \mu \sum_{i,j=1}^{2} \int_{\Omega} \hat{\nabla}_{hj} q_h u_h^i(x) \hat{\nabla}_{hj} q_h v_h^i(x) dx
$$

$$
\forall v_h, u_h \in V_h
$$

De plus on considère

5.1 - **Problème 1**

$$
5.1) \quad V_h^\theta = \{ \theta_h \mid \theta_h(x) = \sum_{M \in \Omega_h} \theta_h^M \chi_h^M(x) \} \text{ pour le problème 1.2}
$$

$$
5.2) \quad V_h^\theta = \{ \theta_h \mid \theta_h(x) = \sum_{M \in \Omega_h} \theta_h^M \chi_h^M(x), \theta_h(x_1, 0) = \theta_1, \text{ et } \theta_h(x_2, d) = \theta_o \}
$$
pour le problème 1.1.

On munit $V_h^\theta$ du produit scalaire

$$
5.3) \quad (( \theta_h, \varphi_h ))_h = \int_{\Omega} q_h \theta_h(x) q_h \varphi_h(x) dx + \sum_{i=1}^{2} \int_{\Omega} \hat{\nabla}_{hi} q_h \theta_h(x) \hat{\nabla}_{hi} q_h \varphi_h(x) dx \\
= h^2 \sum_{M \in \Omega_h} ( \theta_h^{(M)} \varphi_h^{(M)} + \sum_{i=1}^{2} ( \hat{\nabla}_{hi} \theta_h^{(M)} ) \hat{\nabla}_{hi} \varphi_h^{(M)} )
$$
On note $||\theta_h||_h^\theta$ la norme correspondante

On définit

$$ (\theta_h, \varphi_h)_{\Gamma_h}^{\theta} = \int_{\Gamma_h} q_h \theta_h(x) q_h \varphi_h(x) \, d\sigma $$

la forme trilinéaire $b_{1h}(\vec{u}_h, \hat{\theta}_h, \varphi_h)$ définie sur $V_h \times (V_h^\theta)^2$.

$$ \begin{aligned} (5.4) \qquad b_{1h}(\vec{u}_h, \theta_h, \varphi_h) &= \sum_{i=1}^{2} \int_{\Omega} q_h u_h^i(x) \hat{\nabla}_{h_i} q_h \theta_h(x) q_h \varphi_h(x) dx \\ &= h^2 \sum_{(ih,jh) \in \Omega_h} \frac{1}{h} \left( u_{ij}^1 (\theta_i + \frac{1}{2}, j - \theta_i - \frac{1}{2}, j) + u_{ij}^2 (\theta_i, j + \frac{1}{2}, \theta_i - \frac{1}{2}) \right) \varphi_{ij} \end{aligned} $$

La température étant définie au point $(ih,jh) \in \Omega_h$ nous avons par interpolation les valeurs de $\theta_i + \frac{\epsilon}{2}, j$ et $\theta_i, j + \frac{\epsilon}{2}$ (où $\epsilon = 1$ ou $-1$).

Ainsi, nous avons pour les dérivées premières une approximation centrée de pas 2h.

**Lemme 3.1** on a si $\vec{u}_h \in V_h$ et $\theta_h \in V_h^\theta$

$$ (5.5) \qquad b_{1h}(\vec{u}_h, \theta_h, \varphi_h) = 0 $$

$$ (5.6) \qquad \left\{ \begin{array}{l} b_{1h}(\vec{u}_h, \theta_h, \varphi_h) = 0 \\ b_{1h}(\vec{u}_h, \theta_h, \varphi_h) = - b_{1h}(\vec{u}_h, \varphi_h, \theta_h). \end{array} \right. $$

La démonstration est du même type que pour $b_h(u_h, v_h, w_h)$.

On définit également la forme bilinéaire $a_{1h}(\theta_h, \varphi_h)$ sur $V_h^\theta \times V_h^\theta$.

**Problème 1.1** : $a_{1h}(\theta_h, \varphi_h) = \chi((\varphi_h, \varphi_h))_{h}^{\theta} \quad \text{où } \theta_h, \varphi_h \in V_h^{\theta} -$

**Problème 1.2** : $a_{1h}(\theta_h, \varphi_h) = \chi((\theta_h, \varphi_h))_{h}^{\theta} + (\ell \theta_h, \varphi_h)_{h}^{\theta} \Gamma_h$

On a $(\theta_h, u_h) \in V_h^\theta \times V_h$ solutions du système

$$ \begin{cases} (\theta_h, \varphi_h) + \frac{k}{2} a_{1h}(\theta_h, \varphi_h) + \frac{k}{2} b_{1h}(\vec{u}_h, \theta_h, \varphi_h) = (d_h, \varphi_h) \\ (u_h, v_h) + \frac{k}{2} a_h(u_h, v_h) + \frac{k}{2} b_h(u_h, u_h, v_h) = (c_h, v_h) \\ \forall (\varphi_h, v_h) \in V_h^\theta \times V_h. \end{cases} \quad (5.7) $$
On note $(d_h, v_h)$ et $(c_h, v_h)$ les discretisés de $(d, v)$ et $(c, v)$ définis respectivement en (4.12), (4.13).

**Théorème 5.1** : Sous les propriétés et hypothèses précédentes, le système (5.7) admet une solution unique $(\theta_h, u_h) \in V_h^0 \times V_h$ telle que :

$$ (5.8) \qquad \lim_{h \to 0} p_h u_h = p \quad \text{pu dans } (L^2(\Omega))^6 $$

$$ (5.9) \qquad \lim_{h \to 0} p_h \theta_h = p\theta \quad \text{dans } (L^2(\Omega))^3 $$

où $(\theta, u)$ est solution du système (4.14).

La démonstration est identique à celle donnée pour l'approximation de la solution du problème de l'écoulement d'un fluide newtonien) (ou non newtonien) cf. FORTIN [1].

## 5.2 - Grands nombres de Reynolds

Pour des grands nombres de Reynolds (de l'ordre de $10^{-5}$, ce qui est le cas de l'air) on a des problèmes de précision pour les termes $\sum_{j=1}^2 u_j \frac{\partial u_j}{\partial x_j}$ provenant de la forme bilinéaire $b(u, u, v)$, il en est de même pour des petites valeurs du coefficient $\chi$ (de l'ordre de $10^{-4}$) on a des problèmes de précision pour les termes $\sum_{j=1}^2 u_j \frac{\partial u_j}{\partial x_j}$ provenant de la forme trilinéaire $b_1(u, v, \phi)$.

On a fait des essais numériques avec une discrétisation faisant intervenir les 4 points voisins pour les dérivées partielles du 1er ordre. Cf. FROMM [1].

## 5.2 - Discrétisation de la dérivée première dans les termes.

$$ \sum_{j=1}^{2} u_j \frac{\partial u_j}{\partial x_j} \text{ et } \sum_{j=1}^{2} u_j \frac{\partial u_j}{\partial x_j} $$

$$ u_1 \frac{\partial u_1}{\partial x_1} + u_2 \frac{\partial u_2}{\partial x_2} $$
$$
(5.10) \qquad u_1 \frac{\partial \theta}{\partial x_1} \text{ est approximée par :}
$$

a) pour les points M=(ih,jh) tq ((i+2)h,(j+2)h) ∈ Ωh

i) Si $u_{ij}^1 > 0$

$$
(5.11) \qquad u_{ij}^1 * \frac{1}{6h} * (2 \theta_{i+1,j} + 3\theta_{ij} - 6\theta_{i-1,j} + \theta_{i-2,j})
$$

$$
ii) \text{Si } u_{ij}^2 < 0
$$

$$
(5.12) \qquad u_{ij}^1 * \frac{1}{6h} * \left( -2\theta_{i-1,j} - 3\theta_{ij} + 6\theta_{i+1,j} - \theta_{i+2,j} \right)
$$

b) pour les points M ∈ T_h on n'a aucun problème car u_{ij}^1 = 0
sur Γ_h.

c) pour les points M=(ih,jh) tels que ((i-1)h,jh) ∈ Γh

i) si $u_{ij}^1 > 0$; partant de la condition aux limites $\frac{\partial \theta}{\partial u} + \ell\theta = 0$ et $\theta_{i-1,j} - \theta_{i,j} = 0$

$$
- \frac{\theta_{i,j} - \theta_{i-2,j}}{2h} + \ell\theta_{i-1,j=0},
$$

d'où

$$
(5.13) \qquad \theta_{i-2,j} = \theta_{i,j} - 2 \operatorname{th} \theta_{i-1,j}
$$

En remplaçant $\theta_{i-2,j}$ dans (5.11) par la valeur trouvée en (5.13)
on approxime (5.10) par

$$
(5.14) \qquad u_{ij}^1 * \frac{1}{6h} * \left( 2 \theta_{i+1,j} + 4 \theta_{ij} - (6+2 \operatorname{th}) \theta_{i-1,j} \right)
$$

$$
ii) \text{ si } u_{ij}^1 < 0 \text{ même formule que (5.12)}
$$
d) pour les points M=(ih,jh) tels que $((i+1)h,(j+1)h) \in \Gamma_h$
il n'y a aucun problème au bord, on a les mêmes formules (5.11)
et (5.12)

e) pour les points $M=(ih,jh)$ tels que $((i+1)h,jh) \in \Gamma_h^*$

i) si $u_{ij}^1 > 0$ on a la formule (5.11)

ii) si $u_{ij}^1 < 0$ on a

$$ \frac{\theta_{i+2,j} - \theta_{ij}}{2h} + \theta_{i+1,j} = 0 $$

d'où

$$ (5.15) \qquad \theta_{i+2,j} = \theta_{ij} - 2th \theta_{i+1,j} $$

En reportant (5.15) dans (5.12) on obtient

$$ (5.16) \qquad u_{ij}^1 \times \frac{1}{6h} \times (-2 \theta_{i-1,j} - 4 \theta_{ij} + (6+2ih) \theta_{i+1,j}) $$

Pour le terme $u_2^2 \frac{\partial \theta}{\partial x_2}$ on a la même discrétisation.

Pour les termes $\sum_{j=1}^2 u_j^2 \frac{\partial u_i}{\partial x_j}$ on a la même approximation sauf pour les
points distants de h de la frontière où l'on approche $\frac{\partial u_i}{\partial x_j}$ par des
différences centrées de pas 2h.

## Intérêt d'une telle discrétisation

Ce type de discrétisation donne un schéma d'approximation
d'ordre 3 stable dans $L^\infty(\Omega)$ cf. FROMM [1].

## 5.3 - Schémas numériques de résolution.

Connaisant $u^n, \dots, u^{n-\frac{1}{2}}$
Passage de $\theta^{n-\frac{1}{2}}$ à $\theta^{n+\frac{1}{2}}$ : L'équation (2.15) est linéaire en 0, on résout cette équation linéaire par la méthode de relaxation.

Les termes de la matrice correspondante doivent être calculés à chaque pas de temps car ils font intervenir $u^n$.

Connaissant $u^n$, $\epsilon^{n+\frac{1}{2}}$

Passage de $u^n$ à $u^{n+1}$ :

La résolution de (4.17), (4.18), (4.19) est identique à la résolution des équations du Chapitre I dans BEGIS [ 1 ] .

Nous employons le même algorithme que celui décrit dans FORTIN [ 1 ] ou BEGIS [ 1 ] (1'algorithme d' Arrow Hurwicz).

Test d'arrêt : On a pris le même test d'arrêt pour les 2 équations. La valeur supérieure de la valeur absolue de la différence de 2 itérés inférieur à $10^{-5}$.

## 5.4 -- Problème 2

La discrétisation de ce problème est la même que celle définie pour la résolution numérique de l'écoulement d'un fluide de Bingham. Cf. par exemple FORTIN [1] par la méthode des éléments finis et BEGIS [1] par la méthode des différences finies. A part que $\mu$ dépend de $x$, ce qui n'apporte pas de difficultés en considérant $\mu$ définie sur le réseau $R_1(h)$ (réseau des multiplicateurs).
# CHAPITRE II : RESULTATS NUMERIQUES

Pour chaque type de problèmes, on ne donnera que quelques essais numériques.

## 1 - **Problème 1** : Navier-Stokes couplée à la chaleur

### 1.1. **Problème 1.1**

On donne deux essais numériques l'un avec l'approximation habituelle de la dérivée première, l'autre avec l'approximation donnée en 5.2 Chapitre I. Tous deux avec les mêmes paramètres.

Les pas de discrétisation sont :

$$ (1.1) \qquad h=1/20 \text{ (en espace)} $$

$$ (1.2) \qquad k=2h=1/10 \text{ (en temps)} $$

le coefficient de conductivité thermique

$$ (1.3) \qquad \chi=10^{-3} $$

la viscosité

$$ (1.4) \qquad \mu=10^{-4} $$

les bornes de la température sont :

$$ (1.5) \qquad \theta_0 = 1. $$

$$ (1.6) \qquad \theta_1 = 1.1. $$

les paramètres de résolution :

Pour l'équation en θ on choisit comme omega de surelaxation

$$ (1.8) \qquad \omega = 1.5 $$
Pour u: (voir notation en (3.21) et (3.22) du Chapitre I dans BEGIS [I])

$$
(4.8) \qquad \rho_1 = 0.3 \text{ (}\rho \text{ de minimisation dans Arrow Hurwicz)}
$$

$$
(4.9) \qquad \rho_2 = 0.5 \quad k=0.05. \quad (\rho \text{ de minimisation dans Arrow-Hurwicz})
$$

D'après les définitions (1.32) et (1.33) du Chapitre I on a

$$
(4.10) \qquad A = \frac{(\theta_i - \theta_o) g}{\theta_o v \chi} = \frac{10 * 9,8 * 1,3}{1 * 10^{-4} * 10^{-3}} \approx 10^9
$$

$$
(4.11) \qquad \sigma = 0.1
$$

1.1.1. <u>Approximation habituelle</u>

<table>
  <thead>
    <tr>
      <th>Pas de temps</th>
      <th>n<sup>b</sup><sub>d'iter.</sub> en θ</th>
      <th>N<sup>b</sup><sub>d'iter.</sub> en u</th>
      <th>Sup<sub>x</sub> |u<sub>1</sub>(x)|</th>
      <th>Sup<sub>x</sub> |u<sub>2</sub>(x)|</th>
    </tr>
  </thead>
  <tbody>
    <tr>
      <td>10 ; t=1.</td>
      <td>18</td>
      <td>22</td>
      <td>0.10</td>
      <td>0.10</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>20 ; t=2.</td>
      <td>24</td>
      <td>22</td>
      <td>0.20</td>
      <td>0.21</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>30 ; t=3.</td>
      <td>25</td>
      <td>29</td>
      <td>0.28</td>
      <td>0.33</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>40 ; t=4.</td>
      <td>39</td>
      <td>26</td>
      <td>0.35</td>
      <td>0.46</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>50 ; t=5.</td>
      <td>40</td>
      <td>27</td>
      <td>0.38</td>
      <td>0.52</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>100 ; t=10.</td>
      <td>59</td>
      <td>24</td>
      <td>0.47</td>
      <td>0.45</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>150 ; t=15.</td>
      <td>77</td>
      <td>36</td>
      <td>0.74</td>
      <td>0.55</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

Pour faire 150 pas de discrétisation en temps, il faut 35 minutes
de 10.070.

1.1.1. <u>Approximation 5.2.</u>

Pour les 15 premiers pas de temps nous obtenons une convergence
aussi rapide qu'en 1.1.1.
par exemple :

pas 10 : il faut 20 itérations en θ et 25 en u

pas 15 : il faut 23 itérations en θ et 59 en u

par contre au pas 20 la convergence est très lente pour la
résolution de l'équation en u.

Quant aux résultats, ils sont assez comparables

par exemple au pas 10,

on a pour $u_1$ la valeur sup=0.102 pour 0.104 en 4.1.1.
$u_2$ =0.095 0.104

les courbes isothermes ont la même configuration.

Remarque 1.1 : Il est difficile de représenter graphiquement l'évo-
lution du fluide. Il y a une nette déformation des lignes de courant.
Nous donnons tout de même l'évolution de la fonction de courant et
des courbes isothermes.

1.2. Vu le choix des paramètres χ et μ on peut être septique
sur la validité des résultats.
TEMPS 0.10

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT -0.239E-02

VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 -0.200E-02

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES -0.200E-02

TEMPS 0.99

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT -0.239E-01

VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 -0.200E-02

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES -0.200E-02

TEMPS 1.99

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT -0.468E-01

VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 -0.200E-02

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES -0.200E-02

TEMPS 2.99

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT -0.673E-01

VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 -0.200E-02

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES -0.200E-02
TEMPS 3.99

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT -0.822E-01

VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 -0.200E-02

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES -0.200E-02

TEMPS 4.99

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT -0.868E-01

VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 -0.200E-02

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES -0.200E-02

TEMPS 5.99

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT -0.817E-01

VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 -0.200E-02

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES -0.200E-02

TEMPS 6.99

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT -0.709E-01

VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 -0.200E-02

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES -0.200E-02
TEMPS 9.99

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

Valeur maximum de la fonction de courant -0.578E-01

Valeur de la fonction sur la ligne 1 -0.200E-02

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES -0.200E-02

TEMPS 8.99

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

Valeur maximum de la fonction de courant -0.471E-01

Valeur de la fonction sur la ligne 1 -0.200E-02

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES -0.200E-02

TEMPS 9.99

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

Valeur maximum de la fonction de courant -0.448E-01

Valeur de la fonction sur la ligne 1 -0.200E-02

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES -0.200E-02

TEMPS 10.99

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

Valeur maximum de la fonction de courant -0.480E-01

Valeur de la fonction sur la ligne 1 -0.200E-02

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES -0.200E-02
TEMPS 11.99

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT -0.533E-01

VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 -0.200E-02

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES -0.200E-02

TEMPS 12.99

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT -0.533E-01

VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 -0.200E-02

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES -0.200E-02

TEMPS 13.99

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT -0.533E-01

VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 -0.200E-02

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES -0.200E-02

TEMPS 14.99

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT -0.610E-01

VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 -0.200E-02

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES -0.200E-02
TEMPS 15.99

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT -0.599E-01

VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 -0.200E-02

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES -0.200E-02

TEMPS 17.99

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT -0.666E-01

VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 -0.200E-02

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES -0.200E-02

TEMPS 19.99

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT -0.756E-01

VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 -0.200E-02

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES -0.200E-02

TEMPS 21.99

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT -0.855E-01

VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 -0.200E-02

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES -0.200E-02
TEMPS 0.10

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE. 11.0

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE. 1 1.0

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.5

TEMPS 0.99

<figure><img src="image_24.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE. 11.0

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE. 1 1.0

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.5

TEMPS 1.99

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE. 11.0

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE. 1 1.0

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.5

TEMPS 2.99

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE. 11.0

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE. 1 1.0

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.5
TEMPS 3.99

<figure><img src="image_27.png" /></figure>

1

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 11.0

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 1.0

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.5

TEMPS 4.99

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

1

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 11.0

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 1.0

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.5

TEMPS 5.99

<figure><img src="image_29.png" /></figure>

1

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 11.0

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 1.0

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.5

TEMPS 6.99

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

1

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 11.0

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 1.0

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.5
TEMPS 3.99

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

1

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 11.0

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 1.0

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.5

TEMPS 8.99

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

1

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 11.0

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 1.0

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.5

TEMPS 9.99

<figure><img src="image_33.png" /></figure>

1

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 11.0

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 1.0

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.5

TEMPS 10.99

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

1

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 11.0

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 1.0

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.5
TEMPS 11.99

<figure><img src="image_35.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 11.0

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 1.0

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.5

TEMPS 12.99

<figure><img src="image_36.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 11.0

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 1.0

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.5

TEMPS 13.99

<figure><img src="image_37.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 11.0

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 1.0

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.5

TEMPS 14.99

<figure><img src="image_38.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 11.0

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 1.0

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.5
TEMPS 10.09

<figure><img src="image_39.png" /></figure>

1

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 11.0

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 1.0

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.5

TEMPS 19.99

<figure><img src="image_40.png" /></figure>

1

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 11.0

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 1.0

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.5

TEMPS 19.99

<figure><img src="image_41.png" /></figure>

1

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 11.0

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 1.0

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.5

TEMPS 21.99

<figure><img src="image_42.png" /></figure>

1

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 11.0

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 1.0

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.5
TEMPS 25.99

<figure><img src="image_43.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE. 11.0

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 1.0

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.5

TEMPS 27.99

<figure><img src="image_44.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE. 11.0

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 1.0

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.5

TEMPS 29.99

<figure><img src="image_45.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE. 11.0

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 1.0

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.5

TEMPS 39.99

<figure><img src="image_46.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE. 11.0

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 1.0

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 0.5
1.2. **_Problème 1.2_** :

On a une source de chaleur $f(x,t)$ constante en temps.

$$
(1.12) \qquad f(x,t) = \begin{cases} 10 & \text{pour } x \in E \\ 0 & \text{pour } x \in \partial E \end{cases} \quad \forall t
$$

on donne une représentation du compact E

<figure><img src="image_47.png" /></figure>

On donne ici trois essais numériques avec des viscosités et des
coefficients de conductivité différents.

$$
(1.13) \qquad h=1/20
$$

$$
(1.14) \qquad \ell(x) \text{ est constante sur } \Gamma \text{ à } 0.1
$$

$$
(1.15) \qquad k=5h
$$

$$
(1.16) \qquad \omega = 1.5
$$

$$
(1.17) \qquad \rho_1 = 0.3
$$

$$
(1.18) \qquad \rho_2 = 0.1 \quad k = 0.025.
$$
$$ \begin{array}{l} \text{1.2.1 :} \quad \begin{array}{l} \text{Viscosité} = 1.4 \times 10^{-5} \\ \text{Conductivité} = 10^{-3} \end{array} \end{array} $$

<table><thead><tr><th>Pas de temps</th><th>Iter. en θ</th><th>Nb d'iter en u</th><th>Sup |u₁(x)|</th><th>Sup |u₂(x)|</th><th>Sup θ(x)</th></tr></thead><tbody><tr><td>10 ; t=2.5</td><td>29</td><td>35</td><td>0.32</td><td>0.13</td><td>24,3</td></tr><tr><td>20 ; t=5.</td><td>43</td><td>42</td><td>0.51</td><td>0.14</td><td>40,3</td></tr><tr><td>30 ; t=7.5</td><td>68</td><td>41</td><td>0.39</td><td>0.50</td><td>48,7</td></tr><tr><td>40 ; t=10</td><td>64</td><td>47</td><td>0.35</td><td>0.35</td><td>53,3</td></tr><tr><td>50 ; t=12.5</td><td>49</td><td>41</td><td>0.37</td><td>0.29</td><td>56,3</td></tr></tbody></table>

$$ \begin{array}{l} \text{1.2.2. :} \quad \begin{array}{l} \text{Viscosité} = 1.4 \times 10^{-5} \\ \text{Conductivité} = 10^{-5} \end{array} \end{array} $$

<table><thead><tr><th>Pas de temps</th><th>Nb Iter en θ</th><th>Nb d'iter en u</th><th>Sup |u₂(x)|</th><th>Sup |u₂(x)|</th><th>Sup θ(x)</th></tr></thead><tbody><tr><td>10 ; t=2,5</td><td>46</td><td>36</td><td>0.32</td><td>0.13</td><td>24,9</td></tr><tr><td>20 ; t=5.</td><td>67</td><td>40</td><td>0.46</td><td>0.14</td><td>49,9</td></tr><tr><td>30 ; t=7.5</td><td>128</td><td>41</td><td>0.36</td><td>0.48</td><td>74,9</td></tr><tr><td>40 ; t=10</td><td>126</td><td>39</td><td>0.39</td><td>0.43</td><td>100</td></tr><tr><td>50 ; t=125</td><td>484</td><td>44</td><td>0.41</td><td>0.39</td><td>124</td></tr></tbody></table>

**Remarque 1.3** : Dans l'exemple 1.2.2. la valeur supérieure de la température est nettement plus grande qu'à l'exemple 1.2.1. ceci est dû à la très faible conductivité. La chaleur stagne au près de la source au lieu de se dissiper.

1.2.3. : pour comparer avec l'exemple 1.2.1. on prend :

$$ \text{Viscosité} = 10^{-3} $$

$$ \text{Conductivité} = 10^{-3} $$
<table><thead><tr><th>Pas de temps</th><th>Nb d'iter en θ</th><th>Nb d'iter en</th><th>Sup |u|</th><th>Sup |u|<sub>2</sub></th><th>Sup θ</th></tr></thead><tbody><tr><td>10 ; t=2.5</td><td>51</td><td>51</td><td>0,248</td><td>0,328</td><td>26,15</td></tr><tr><td>20 ; t=5.</td><td>250</td><td>52</td><td>0,313</td><td>0,648</td><td>37,51</td></tr><tr><td>30 ; t=7.5</td><td>250</td><td>45</td><td>0,454</td><td>0,714</td><td>42,56</td></tr><tr><td>40 ; t=10.</td><td>250</td><td>50</td><td>0,582</td><td>0,685</td><td>44,84</td></tr><tr><td>50 ; t=12.5</td><td>250</td><td>48</td><td>0,576</td><td>0,670</td><td>45,92</td></tr><tr><td>60 ; t=15.</td><td>250</td><td>46</td><td>0,578</td><td>0,670</td><td>46,74</td></tr><tr><td>70 ; t=17.5</td><td>250</td><td>52</td><td>0,585</td><td>0,683</td><td>47,66</td></tr><tr><td>80 ; t=20</td><td>250</td><td>55</td><td>0,550</td><td>0,633</td><td>48,30</td></tr><tr><td>90 ; t=22.5</td><td>250</td><td>49</td><td>0,515</td><td>0,601</td><td>48,57</td></tr><tr><td>100 ; t=25.</td><td>250</td><td>49</td><td>0,496</td><td>0,586</td><td>49,03</td></tr></tbody></table>

Nous donnons l'évolution de la fonction de courant et des courbes isothermes.
TEMPS 2.49

<figure><img src="image_48.png" /></figure>

<table><tr><td>VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE</td><td>26.1</td></tr><tr><td>VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1</td><td>0.5</td></tr><tr><td>DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES</td><td>5.0</td></tr></table>

TEMPS 4.39

<figure><img src="image_49.png" /></figure>

<table><tr><td>VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE</td><td>37.5</td></tr><tr><td>VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1</td><td>0.5</td></tr><tr><td>DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES</td><td>5.0</td></tr></table>

TEMPS 9.49

<figure><img src="image_50.png" /></figure>

<table><tr><td>VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE</td><td>42.5</td></tr><tr><td>VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1</td><td>0.5</td></tr><tr><td>DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES</td><td>5.0</td></tr></table>

TEMPS 9.99

<figure><img src="image_51.png" /></figure>

<table><tr><td>VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE</td><td>44.8</td></tr><tr><td>VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1</td><td>0.5</td></tr><tr><td>DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES</td><td>5.0</td></tr></table>
TEMPS 12.49

<figure><img src="image_52.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 45.9

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 0.5

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 5.0

TEMPS 14.93

<figure><img src="image_53.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 46.9

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 0.5

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 5.0

TEMPS 17.49

<figure><img src="image_54.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 47.6

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 0.5

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 5.0

TEMPS 19.99

<figure><img src="image_55.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 48.3

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 0.5

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 5.0
TEMPS 22.49

<figure><img src="image_56.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 48.5

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 0.5

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 5.0

TEMPS 27.49

<figure><img src="image_57.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 49.7

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 5.0

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 5.0

TEMPS 32.49

<figure><img src="image_58.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 51.3

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 10.0

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 5.0

TEMPS 37.49

<figure><img src="image_59.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 52.9

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 0.5

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 5.0
TEMPS 2.43

<figure><img src="image_60.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT -0.272E-01

VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 -0.500E-02

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES -0.500E-02

TEMPS 4.99

<figure><img src="image_61.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT -0.940E-01

VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 -0.500E-02

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES -0.500E-02

TEMPS 7.49

<figure><img src="image_62.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT -0.111E00

VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 -0.500E-02

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES -0.500E-02

TEMPS 9.99

<figure><img src="image_63.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT -0.122E00

VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 -0.500E-02

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES -0.500E-02
TEMPS 14.99

<figure><img src="image_64.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT -0.90E-01

VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 -0.500E-02

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES -0.500E-02

TEMPS 13.49

<figure><img src="image_65.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT -0.629E-01

VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 -0.500E-02

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES -0.500E-02

TEMPS 24.99

<figure><img src="image_66.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT -0.470E-01

VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 -0.500E-02

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES -0.500E-02

TEMPS 37.49

<figure><img src="image_67.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA FONCTION DE COURANT -0.412E-01

VALEUR DE LA FONCTION SUR LA LIGNE 1 -0.500E-02

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES -0.500E-02
## 2 - **Problème 2** : Transfert de chaleur dans un fluide de Bingham.

Pour la résolution numérique, nous sommes obligés de définir
quelques paramètres.

### a) Paramètres de discrétisation :

en espace : $h = 1/20 = .05$

en temps : $k = .1 * h = .005$

### b) Initialisation et données des forces :

$C_p = .2$

$u(x,0) = 0$ et $\theta(x,0) = 0$

$$ \text{(forces de rotation du fluide)} \quad \left\{ \begin{array}{l} f_{11}(x,t) = 300 (x_2 - .5) \\ f_{12}(x,t) = - 300 (x_1 - .5) \end{array} \right. $$

$$ \text{(source de chaleur)} \quad f_2(x,t) = \begin{cases} 300 & \text{dans } E \\ 0 & \text{dans } \mathcal{C} \cap E \end{cases} $$

<figure><img src="image_68.png" /></figure>

On se donne également la fonction $\mu(\theta)$ représentant la viscosité en fonction de $\theta$.

$$ \left\{ \begin{array}{l} \mu(\theta) = - \arctan(15) + \frac{\pi}{2} \\ \frac{\pi}{2} \le \mu(\theta) \le 0.02. \end{array} \right. $$
c) Paramètres de résolution

Dans l'algorithme d'Arrow-Hurwicz on prend des paramètres de minimisation et de maximisation variables en espace et en temps.

On pose

$$
\omega_1^{n+1} = \frac{\omega_1^n}{1 + (.7)^n \left( \frac{\mu_{\text{max}}^n}{2} - \frac{\mu_{\text{min}}^n}{2} \right)}
$$

avec $\omega_1^0 = .14$

On définit $\text{ROI}^n(x,y)$ le paramètre de minimisation au temps $nk$ défini au point $(x,y) \in \mathbb{R}_0^+(h)$ par :

$$
\text{ROI}^n(x,y) = \frac{\omega_1^n}{1 + \frac{2k \mu^n(x,y)}{h^2}}
$$

$\text{RP}^n(x,y)$ (respectivement $\text{RQ}^n(x,y)$ le paramètre de maximisation en $P$ (pression) (resp. en $Q$ (multiplicateurs affectés à $J(V)$) au temps $nk$ défini au point $(x,y) \in \mathbb{R}_1^+(h)$ (réseau des multiplicateurs) par

$$
\mathrm{RP}^n(x,y) = 3.2 \ (\cdot 95)^n * \mathrm{SP}^n(x,y)
$$

$$
\mathrm{RQ}^n(x,y) = 3.2 \ (\cdot 95)^n * \mathrm{SP}^n(x,y)
$$

$$
\text{où } \text{SP}^n(x,y) = \frac{1}{4} \left( 4 + \frac{2k}{h^2} \left( \mu^n(x_1 + \frac{1}{2}, x_2 + \frac{1}{2}) + \mu^n(x_1 + \frac{1}{2}, x_2 - \frac{1}{2}) \right. \right. \\
\left. \left. + \mu^n(x_1 - \frac{1}{2}, x_2 + \frac{1}{2}) + \mu^n(x_1 - \frac{1}{2}, x_2 - \frac{1}{2}) \right) \right).
$$

Le choix de ces paramètres a été fait en fonction des paramètres choisis dans la résolution de l'inéquation de Bingham à μ constant (cf. BEGIS [1]) et de la croissance de la fonction μ(θ).

$\omega$: oméga de relaxation dans la résolution de l'équation en $\theta$ .
## 2.1 - On prend

le seuil de plasticité g = 2.5

la conductivité thermique χ = 1

<table><thead><tr><th>Temps</th><th>ω</th><th>ω<sub>1</sub></th><th>Ecart</th><th>N<sub>b</sub> d'iter</th><th>N<sub>b</sub> d'iter</th><th>Sup |u|</th><th>Sup θ</th><th>Sup |div u|</th></tr><tr><th></th><th></th><th></th><th>Viscosité</th><th>en u</th><th>en θ</th><th></th><th></th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>.005</td><td>1.5</td><td>0.908</td><td>1.548</td><td>330</td><td></td><td>.459</td><td>3</td><td>10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>.010</td><td>1.5</td><td>0.066</td><td>1.147</td><td>320</td><td>27</td><td>1.09</td><td>3.80</td><td>4.10<sup>-4</sup></td></tr><tr><td>.015</td><td>1.5</td><td>0.058</td><td>.792</td><td>240</td><td>26</td><td>1.66</td><td>4.23</td><td>3.10<sup>-4</sup></td></tr><tr><td>.020</td><td>1.5</td><td>0.056</td><td>.381</td><td>180</td><td>26</td><td></td><td></td><td>2.10<sup>-4</sup></td></tr><tr><td>.030</td><td>1.5</td><td>0.055</td><td>.111</td><td>160</td><td>28</td><td>3.40</td><td>7.46</td><td>2.10<sup>-4</sup></td></tr><tr><td>.055</td><td>1.0</td><td>0.054</td><td>.001</td><td>180</td><td>250</td><td>6.08</td><td>16.76</td><td>3.10<sup>-4</sup></td></tr></tbody></table>

On donne l'évolution de la fonction de courant, de la viscosité et des courbes isothermes.

### Remarque 2.1 :

On voit graphiquement que la température s'élève moins vite dans les zones rigides vu que le transfert de chaleur n'intervient pas. Ce phénomène se traduit sur l'équation en θ

$$ \frac{\partial \theta}{\partial t} - \chi \Delta \theta = 2F(\theta, u) + f_2 $$

$$ \text{or } F(\theta, u) = 4 \mu(\theta) D_{II}(u) + 2g(D_{II}(u))^2 $$

$$ \text{Donc } F(\theta, u) = 0 \text{ dans les zones rigides i.e. } D_{II}(u) = 0 $$

$$ F(\theta, u) > 0 \text{ dans les zones fluides car} $$

$$ \mu(\theta) \text{ et } D_{II}(u) > 0. $$
TEMPS 0.010

<figure><img src="image_69.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 3.8

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 0.3

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 1.0

TEMPS 0.015

<figure><img src="image_70.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 4.2

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 0.3

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 1.0

TEMPS 0.030

<figure><img src="image_71.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 7.4

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 1.0

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 1.0

TEMPS 0.055

<figure><img src="image_72.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 16.7

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 4.0

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 1.0
## 2.2 On prend

Le seuil de plasticité g : 10

La conductivité thermique χ = 1.

<table><thead><tr><th>temps</th><th>ω</th><th>ω₁</th><th>Ecart<br>Viscosité</th><th>Nb d'iter<br>en u</th><th>Nb d'iter<br>en θ</th><th>Sup |u|</th><th>Sup θ</th><th>Sup |divu|</th></tr></thead><tbody><tr><td>.005</td><td>1.5</td><td>.098</td><td>1.548</td><td>340</td><td></td><td>.227</td><td>3.</td><td>7.10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>.010</td><td>1.5</td><td>.066</td><td>1.515</td><td>350</td><td>27</td><td>.473</td><td>3.72</td><td>10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>.015</td><td>1.5</td><td>.054</td><td>1.349</td><td>350</td><td>25</td><td>.724</td><td>3.99</td><td>4.10<sup>-4</sup></td></tr><tr><td>.020</td><td>1.5</td><td>.048</td><td>.922</td><td>320</td><td>25</td><td></td><td></td><td>3.10<sup>-4</sup></td></tr><tr><td>.025</td><td>1.5</td><td>.046</td><td>.444</td><td>200</td><td>26</td><td></td><td></td><td>2.10<sup>-4</sup></td></tr><tr><td>.030</td><td>1.5</td><td>.046</td><td>.202</td><td>160</td><td>27</td><td></td><td></td><td>2.10<sup>-4</sup></td></tr><tr><td>.055</td><td>.6</td><td>.045</td><td>.019</td><td>160</td><td>200</td><td>2.91</td><td>20.13</td><td>2.10<sup>-4</sup></td></tr><tr><td>.105</td><td>.5</td><td>.048</td><td>0</td><td>160</td><td>250</td><td>5.28</td><td>59.28</td><td>5.10<sup>-4</sup></td></tr><tr><td>.155</td><td>.5</td><td>.048</td><td>0</td><td>310</td><td>250</td><td>7.20</td><td>109.44</td><td>10<sup>-3</sup></td></tr></tbody></table>

## 2.3 g = 10 mais χ = 10<sup>-4</sup>

<table><thead><tr><th>temps</th><th>ω</th><th>ω₁</th><th>Ecart<br>Viscosité</th><th>Nb d'iter<br>en u</th><th>Nb d'iter<br>en θ</th><th>Sup |u|</th><th>Sup θ</th><th>Sup |divu|</th></tr></thead><tbody><tr><td>.005</td><td>1.5</td><td>.091</td><td>1.548</td><td>340</td><td></td><td>.227</td><td>3.</td><td>7.10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>.010</td><td>1.5</td><td>.066</td><td>1.552</td><td>360</td><td>20</td><td>.425</td><td>4.8</td><td>10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>.015</td><td>1.5</td><td>.052</td><td>1.550</td><td>340</td><td>20</td><td>.590</td><td>7.0</td><td>2.10<sup>-3</sup></td></tr></tbody></table>
On donne l'évolution des courbes isothermes pour une conductivité thermique égale respectivement à 1 et $10^{-4}$.

## CONCLUSION

Un problème de contrôle optimal de la température d'un fluide en écoulement bidimensionnel par le flux de chaleur reçu a été étudié par J. HENRY [1] où l'équation d'état est l'équation de Stokes couplée à celle de la chaleur. Chauffant une paroi, on cherche à obtenir à l'instant final une température aussi voisine que possible d'une température idéale.
TEMPS 0.005

<figure><img src="image_73.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 2.9

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 0.5

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGUES CONSECUTIVES 0.5

TEMPS 0.010

<figure><img src="image_74.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 3.9

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 0.5

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGUES CONSECUTIVES 0.5

TEMPS 0.015

<figure><img src="image_75.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 3.9

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 0.5

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGUES CONSECUTIVES 0.5

TEMPS 0.055

<figure><img src="image_76.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 20.1

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 1.0

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGUES CONSECUTIVES 1.0
TEMPS 0.005

<figure><img src="image_77.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 2.9

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 0.3

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 1.0

TEMPS 0.010

<figure><img src="image_78.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 4.8

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 0.3

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 1.0

TEMPS 0.015

<figure><img src="image_79.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 7.0

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 0.3

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 1.0

TEMPS 0.055

<figure><img src="image_80.png" /></figure>

VALEUR MAXIMUM DE LA TEMPERATURE 31.7

VALEUR DE LA TEMPERATURE SUR LA LIGNE 1 0.3

DIFFERENCE ENTRE 2 LIGNES CONSECUTIVES 1.0
BIBLIOGRAPHIE

<table>
  <tr>
    <td>D. BEGIS</td>
    <td>[1] : Analyse numérique de l'écoulement d'un fluide de Bingham. Thèse 3ème Cycle, Paris 1972.</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>P.S. CHERNYAKOV</td>
    <td>[1] : On non stationary free convection in a bounded region, Vychisl. Mat, 1966.</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>G. DUVAUT, J. L. LIONS</td>
    <td>[1] : Sur les équations en mécanique et en physique Chap. VI. Dunod Paris 1972.</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>G. DUVAUT, J.L. LIONS</td>
    <td>[2] : Transfert de chaleur dans un fluide de Bingham dont la viscosité dépend de la température. Journal of Functional Analysis Vol. 11, N° 1, September 1972.</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>M. FORTIN</td>
    <td>[1] : Thèse, Paris 1972.</td>
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  <tr>
    <td>J.E. FROMM</td>
    <td>[1] : A numerical method for computing the non linear, time dependent, buoyant circulation of air in rooms. I.B.M. Research Laboratory San José, California, July 1970.</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>J.L. LIONS</td>
    <td>[1] : Quelques méthodes de résolution du problème aux limites non linéaires. Dunod, Paris 1969.</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>J. HENRY</td>
    <td>[1] : Contrôle optimal d'un problème d'hydro-dynamique. Article LABORIA. A paraître.</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>J.C. ZENOUDA</td>
    <td>[1] : Résolution numérique des équations de Navier-Stokes couplées à celle de la chaleur. Thèse 3ème Cycle, Paris 1970.</td>
  </tr>
</table>