<table><caption>Tableau 35 : Réactions de Julien suivant les contextes proposés pour les tâches de type B (2ème année)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Contextes des tâches de type B (2ème année)</th><th colspan="8">Réactions de Julien</th><th colspan="2">Total des interactions</th></tr><tr><th colspan="2">Accord</th><th colspan="2">Hésitation</th><th colspan="2">Désaccord</th><th colspan="2">Non verbal</th><th rowspan="2">324</th><th rowspan="2">80%</th></tr></thead><tbody><tr><td>« Escargots, salades et tomates »</td><td>42/324</td><td>13%</td><td>24/324</td><td>7%</td><td>40/324</td><td>12%</td><td>218/324</td><td>68%</td><td></td><td></td></tr><tr><td>« Petites voitures et places de parking »</td><td>13/79</td><td>16%</td><td>5/79</td><td>6%</td><td>12/79</td><td>15%</td><td>49/79</td><td>63%</td><td>79</td><td>20%</td></tr><tr><td>Ensemble</td><td>55/403</td><td>14%</td><td>29/403</td><td>7%</td><td>52/403</td><td>13%</td><td>267/403</td><td>66%</td><td>403</td><td>100%</td></tr></tbody></table>

À la lecture globale du tableau nous pouvons constater le trouble du langage de Julien par les expressions non verbales qui dominent et qui représentent deux tiers des réactions de Julien (66%). Nous observons d'ailleurs une légère augmentation des réactions « non verbales » de l'élève par rapport à l'année précédente (de 61% à 66%) ainsi qu'une diminution sensible des réactions de « désaccord » (de 25% à 13%), à laquelle est associée une augmentation (moindre) des réactions « d'accord » (de 9% à 14%). Malgré la stabilité des résultats indiquant que Julien reste prêt à manifester ses accords, désaccords, hésitations et besoins au cours de cette période, nous soulignons la diminution des réactions de désaccord de l'élève qui témoignent de la construction progressive d'un lien de confiance avec l'enseignante.

L'observation des deux contextes fait apparaître une indépendance des réactions de Julien vis-à-vis de ces derniers. Même s'il manque de moyen pour s'exprimer verbalement, il nous semble important de rappeler et de signaler que Julien a réussi à proposer sa propre méthode de dénombrement à l'aide de la bande numérique dans le contexte des « Escargots, salades et tomates » et ce afin de créer les collections appropriées de salades et de tomates. Dans le contexte des « Petites voitures et places de parking » les réactions verbales de Julien sont légèrement plus importantes et lui servent plutôt à exprimer ses accords et désaccords. En début de tâche nous avions constaté une forme de refus de la part de l'élève, liée probablement aux difficultés vécues l'année précédente. La régulation exercée par Élodie pour le soutenir dans son activité, a provoqué une ouverture plus grande chez Julien à exprimer ses accords et désaccords. On assiste ainsi à la fois à une tension relationnelle plus forte, et à un niveau de confiance plus élevé de l'élève envers son enseignante.

Nous allons maintenant analyser et porter notre attention sur les activités de l'enseignante.
3.3.1.3.4. Analyse du déroulement des activités de l'enseignante

Comme nous l'avons précisé dans nos analyses relatives à l'année précédente, nous avons focalisé l'étude de l'activité de l'enseignante sur les composantes médiative et cognitive, telles que Robert & Rogalski les ont proposées (2002). Rappelons que la composante médiative est liée au discours de l'enseignante et des échanges qu'elle entretient avec les élèves. La composante cognitive est liée quant à elle au traitement des savoirs et à l'itinéraire cognitif proposé aux élèves. Nous avons également utilisé les concepts d'étayage de Bruner (1983) et de zone proximale de développement de Vygotski (1934, 1997). Nous pensons que ces fondements théoriques nous permettront de mieux comprendre comment l'enseignante amène l'élève à réaliser les tâches qu'il n'arrive pas à réaliser seul. À cet effet, nous avons réparti les six fonctions d'étayage proposées par Bruner entre deux composantes, la composante médiative (telle que définie par Robert & Rogalski pour le lien étroit des étayages avec les savoirs en jeu) et la composante relationnelle-affective (où le lien avec le savoir est moins étroit). Les fonctions qui relèvent de la composante médiative sont : « la réduction des degrés de liberté » ; « le maintien de l'orientation » ; « la signalisation des caractéristiques déterminantes » et « la démonstration ou présentation de modèles ». Rappelons parfois que l'enseignante refuse d'aider Julien. Ce refus est considéré comme une contribution à la médiation entre le savoir et l'élève, nous avons donc ajouté le refus d'aide aux quatre fonctions d'étayages afin d'analyser toutes les interventions de l'enseignante relativement à la composante médiative. Deux autres fonctions d'étayage repérées par Bruner : « l'enrôlement » et « le contrôle de la frustration », relèvent dans nos analyses de la composante affective-relationnelle.

Nous allons aborder dans un premier temps, la composante médiative de la pratique de l'enseignante ; puis nous poursuivrons avec la composante relationnelle-affective, pour terminer avec la composante cognitive.

3.3.1.3.4.1. Analyses des activités de l'enseignante qui relèvent de la composante médiative

Comme pour l'analyse menée sur l'année précédente, nous allons répartir selon leur portée médiative, la nature des interventions de l'enseignante dans chacune des 403 interactions
relevées dans l'ensemble des 25 séances filmées (c'est-à-dire les mêmes interactions que celles qui ont été utilisées pour l'analyse de l'activité de Julien). Cela nous permettra de mener une analyse quantitative qui sera complétée par une analyse qualitative des activités de l'enseignante relativement à la composante médiative de ses pratiques. Nous avons pour cela distingué la répartition des interventions de l'enseignante selon les contextes des tâches. Nous retraçons les résultats obtenus dans le tableau suivant.

<table><caption>Tableau 36 : Étayages de l'enseignante relevant de la composante médiative (Tâches de type B, 2ème année)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Contextes des tâches de type B (2ème année)</th><th colspan="6">Aides fortes</th><th colspan="6">Aides modérées à nulles</th></tr><tr><th>La réduction des degrés de liberté</th><th>La démonstration ou présentation de modèles</th><th>Total des interactions</th><th>Le maintien de l'orientation</th><th>La signalisation des caractéristiques déterminantes</th><th>Le refus d'aide</th><th>Total des interactions</th><th>La réduction des degrés de liberté</th><th>La démonstration ou présentation de modèles</th><th>Total des interactions</th><th>Le maintien de l'orientation</th><th>La signalisation des caractéristiques déterminantes</th><th>Le refus d'aide</th><th>Total des interactions</th></tr></thead><tbody><tr><td>« Escargots, salades et tomates »</td><td>83/324</td><td>26%</td><td>19/324</td><td>6%</td><td>102/324</td><td>31%</td><td>36/324</td><td>11%</td><td>113/324</td><td>35%</td><td>73/324</td><td>23%</td><td>222/324</td><td>69%</td></tr><tr><td>« Petites voitures et places de parking »</td><td>18/79</td><td>23%</td><td>11/79</td><td>14%</td><td>29/79</td><td>37%</td><td>9/79</td><td>11%</td><td>9/79</td><td>11%</td><td>32/79</td><td>41%</td><td>50/79</td><td>63%</td></tr><tr><td>Ensemble</td><td>101/403</td><td>25%</td><td>30/403</td><td>7%</td><td>131/403</td><td>33%</td><td>45/403</td><td>11%</td><td>122/403</td><td>30%</td><td>105/403</td><td>26%</td><td>272/403</td><td>67%</td></tr></tbody></table>

L'analyse de la composante médiative révèle le degré d'autonomie laissé à l'élève dans la réalisation de la tâche. Elle s'évalue à travers les différentes interventions de l'enseignante que nous considérons comme des aides fortes lorsqu'il s'agit de « réduction des degrés de liberté », de « démonstration ou de présentation de modèle », alors que nous les considérons comme modérées à nulles lorsqu'il s'agit du « maintien de l'orientation », de la « signalisation des caractéristiques déterminantes » ou du « refus d'aide ».

Dans un premier temps, examinons la répartition des degrés d'aide sur l'ensemble des contextes en comparaison à l'année précédente. Les aides fortes représentent 33% des interventions de l'enseignante ; elles étaient de 38% pour les tâches de type B au cours de l'année précédente. Cela témoigne d'une certaine stabilité et constance qui signe là sans doute une caractéristique de la pratique de l'enseignante : viser l'autonomie de l'élève autant que possible. Le refus d'aide s'élève quant à lui à 26% ; il était de 14% précédemment, ce qui conforte le constat décrit précédemment.

L'examen des deux contextes laisse apparaître des différences d'intervention. Toutefois, malgré ces différences, la répartition entre aides modérées ou fortes reste analogue. Il s'agit donc d'une variabilité qualitative des aides suivant les contextes. Ces différences tiennent, d'une part, au fait que dans le contexte des « Escargots, salades et tomates » l'enseignante
utilise davantage une aide basée sur « la signalisation des caractéristiques déterminantes de la tâche » (35% des cas, soit 113 interactions sur 324), et d'autre part au fait que « le refus d'aide » a été utilisé de préférence dans le contexte des « Petites voitures et places de parking » (41% des cas, soit 32 interventions sur 79). Cette différence s'explique sans doute par le fait que l'élève ait déjà travaillé sur ce dernier contexte et que l'enseignante ait ainsi estimé qu'elle pouvait laisser à l'élève plus d'autonomie afin de qu'il puisse réaliser la tâche. Par contraste, dans les déroulements des tâches relevant du contexte des « Escargots, salades et tomates », nous constatons que les aides directives sont un peu plus fréquentes, ce qui peut s'expliquer par le fait qu'Élodie ait donné ici des consignes plus complexes en jouant sur la distinction entre les tomates et les salades pour constituer les collections équipotentes.

Le croisement des interventions de l'enseignante et des performances de Julien donne un nouveau point de vue sur nos interprétations. En voici une représentation chiffrée.

<table><caption>Tableau 37 : Réussites et échecs de Julien suivant les interventions de l'enseignante (Tâches de type B, 2ème année)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Nature des interventions de l'enseignante<br>au cours des tâches de type B<br>(2ème année)</th><th colspan="4">Performances de Julien</th><th colspan="2">Total des<br>interactions</th></tr><tr><th colspan="2">Réussites</th><th colspan="2">Erreurs</th><th rowspan="2">101</th><th rowspan="2">25%</th></tr></thead><tbody><tr><td>La réduction des degrés de liberté</td><td>49</td><td>49%</td><td>52</td><td>51%</td><td></td><td></td></tr><tr><td>La démonstration ou présentation de modèles</td><td>20</td><td>67%</td><td>10</td><td>33%</td><td>30</td><td>7%</td></tr><tr><td>Le maintien de l'orientation</td><td>21</td><td>47%</td><td>24</td><td>53%</td><td>45</td><td>11%</td></tr><tr><td>La signalisation des caractéristiques déterminantes</td><td>75</td><td>61%</td><td>47</td><td>39%</td><td>122</td><td>30%</td></tr><tr><td>Le refus d'aide</td><td>49</td><td>47%</td><td>56</td><td>53%</td><td>105</td><td>26%</td></tr><tr><td><strong>Ensemble</strong></td><td>214</td><td>53%</td><td>189</td><td>47%</td><td>403</td><td>100%</td></tr></tbody></table>

Nous observons à deux exceptions près, une approximative stabilité des réussites et des échecs de Julien (environ 50% de réussite et 50% d'échecs) et ce, indépendamment des interventions de l'enseignante. La première des deux exceptions concerne la « démonstration ou présentation de modèles » considérée comme une aide forte, qui correspond à 67% de réussites chez Julien. Ce type d'aide a été mise en place en particulier dans le contexte des « Petites voitures et places de parking » lors de l'exécution de la démarche du dénombrement. Elle conduit à une réussite plus fréquente, même si Julien est moins autonome (il ne parvient pas à dénombrer seul les places de parking fixes, rapprochées et nombreuses). La seconde exception concerne la « signalisation des caractéristiques déterminantes de la tâche » qui est une aide de type « modéré » et qui correspond à 61% de réussite chez Julien. Cette dernière a
été particulièrement proposée dans le contexte des « Escargots, salades et tomates » afin que Julien prenne en compte les deux variétés d'aliment pour les escargots. Les taux de réussite élevés sur ce type d'aide témoignent du progrès réalisé par Julien dans sa prise en compte de la consigne, à défaut de sa compréhension globale. Les échecs les plus nombreux (53% des interactions) surviennent lorsque l'aide est refusée ou limitée à un maintien de l'orientation. On retrouve bien ici la volonté de l'enseignante de laisser le maximum d'autonomie à Julien, de lui apporter l'aide minimale nécessaire, en prenant le risque d'un échec (qui survient un peu moins d'une fois sur deux en moyenne). Élodie veut inscrire par ce moyen son action au plus proche de la zone proximale de développement de son élève. Nous retrouvons là des résultats déjà obtenus par les analyses de la pratique d'Élodie au cours de la première année.

Étudions dès maintenant la composante relationnelle-affective de l'enseignante.

### 3.3.1.3.4.2. Les analyses des activités de l'enseignante qui relèvent de la composante relationnelle-affective

Rappelons que pour chaque interaction, l'intervention de l'enseignante a été caractérisée dans sa composante relationnelle-affective suivant qu'elle contribue à l'enrôlement de Julien dans la réalisation de la tâche ou à le soutenir dans le contrôle de sa frustration. Les résultats obtenus mettent en lumière la façon dont Élodie tend à soutenir l'activité de Julien, sans relation directe avec les savoirs qui sont mis en jeu. L'analyse porte donc sur les mêmes interactions que celles de l'analyse précédente : 403 interactions correspondant aux 25 séances filmées. Les résultats sont rassemblés dans le tableau suivant.

<table><caption>Tableau 38 : Étayages de l'enseignante relevant de la composante relationnelle-affective (Tâches de type B, 2ème année)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Contextes des tâches de type B (2ème année)</th><th colspan="4">Composante relationnelle-affective de l'enseignante</th><th colspan="2">Total des interactions</th></tr><tr><th colspan="2">Enrôlement</th><th colspan="2">Contrôle de la frustration</th><th rowspan="2">324</th><th rowspan="2">80%</th></tr></thead><tbody><tr><td>« Escargots, salades et tomates »</td><td>239/324</td><td>74%</td><td>85/324</td><td>26%</td><td></td><td></td></tr><tr><td>« Petites voitures et places de parking »</td><td>55/79</td><td>70%</td><td>24/79</td><td>30%</td><td>79</td><td>20%</td></tr><tr><td><strong>Ensemble</strong></td><td>294/403</td><td>73%</td><td>109/403</td><td>27%</td><td>403</td><td>100%</td></tr></tbody></table>

Nous pouvons observer que, globalement, 73% des interventions de l'enseignante visent à soutenir l'enrôlement de l'élève (soit 294 interactions sur 403) et 27% visent le contrôle de la frustration (soit 109 interventions sur 403). Ces résultats sont presque similaires à ceux de
l'année précédente pour ce type de tâches. Comme nous avons pu l'analyser précédemment, la complexité des tâches de type B (impliquant des connaissances qui ne sont pas encore acquises chez Julien), l'incompréhension des consignes et l'attention de Julien très fluctuante ont amené l'enseignante à privilégier des interventions visant à maintenir l'enrôlement de Julien dans la réalisation des tâches. Notons que cette répartition est analogue à celle constatée pour les tâches de type B dans la première année, cette stabilité signe donc là peut-être la pratique enseignante d'Élodie pour ce type de tâches et avec cet élève.

Dans le contexte des « Escargots, salades et tomates », l'enseignante soutient fermement l'enrôlement de Julien, mais lorsqu'il se détourne de la procédure pour utiliser de lui-même la bande numérique, l'enseignante soutient et encadre sa démarche, même si celle-ci change le déroulement prévu de la tâche. Élodie valide la démarche autonome de Julien afin qu'il puisse développer et renforcer sa confiance en lui. Nous savons que les élèves en difficulté d'apprentissage comme Julien ont souvent une faible estime d'eux-mêmes à cause des échecs répétés qu'ils vivent dans leur parcours scolaire. Élodie consciente de ce phénomène cherche à ce que Julien réussisse autant que possible de lui-même, afin qu'il apprenne et qu'il développe sa confiance en lui. Dans le déroulement des tâches du contexte des « Petites voitures et places de parking », nous avons pu observer une posture plus ouverte chez Julien l'amenant à exprimer ses accords, mais aussi ses désaccords. Par ses interventions, Élodie a cherché à maintenir malgré tout l'enrôlement de son élève afin qu'il réalise la tâche, quitte à ce que la réalisation n'aboutisse pas à une réussite. En conclusion, il apparaît que la pratique de l'enseignante vise à gérer chez son élève une forme de tension entre faire et abandonner, entre faire et prendre le risque d'échouer, entre réussir et apprendre.

Terminons maintenant par une analyse de la pratique enseignante selon la composante cognitive.

### 3.3.1.3.4.3. Analyse de la composante cognitive

La reprise des tâches de type B au cours de cette deuxième année correspondait, pour l'enseignante, à la poursuite d'un objectif primordial : permettre à Julien de réinvestir ses connaissances, les approfondir et les prolonger.

L'analyse des déroulements des tâches de type B sur l'année précédente nous a montré que, même si Julien était parvenu à dénombrer des quantités jusqu'à 6, il n'était pas certain que
soit acquise chez lui la cardinalisation, c'est-à-dire la compréhension de la notion de nombre comme représentant de la quantité. L'observation des vidéos nous montre que le comptage de Julien est encore instable à cause de ses difficultés praxiques, mais aussi des difficultés liées à la nature même du matériel utilisé qui l'empêchent de stabiliser ses connaissances. Nous comprenons alors que le fait de proposer une nouvelle fois ces tâches de type B au cours de cette deuxième année peut permettre à l'enseignante de consolider et d'élargir les connaissances de son élève.

À cette époque Julien était âgé de 10 ans, les élèves de cet âge sont confrontés à des tâches demandant des mises en fonctionnement de connaissances bien plus avancées. L'enseignante est consciente de cet écart. Les tâches proposées durant cette deuxième année apparaissent néanmoins difficiles à Julien (il a ainsi commencé par refuser à les réaliser), à cause de la complexité des consignes, mais aussi par rapport à ses propres compétences (il sait qu'il risque de se tromper quand il doit dénombrer des quantités allant jusqu'à dix). Comme nous l'avons remarqué au cours de la période précédente, la logique qui sous-tend la pratique de cette enseignante consiste néanmoins à complexifier la tâche pour permettre à Julien de mobiliser ses connaissances antérieures dans des situations nouvelles qui demandent des adaptations (rapporter une salade et une tomate par escargot, rapporter un nombre de salades et de tomates différents) et d'initier la construction de nouvelles connaissances (rapporter dix voitures ou deux fois cinq voitures).

Un autre intérêt qui découle de ce type de tâches repose sur la validation de la démarche par la mise en correspondance terme à terme des collections. Cela contribue à accorder plus d'autonomie à l'élève en lui permettant de valider lui-même le produit de son activité, soit en contrôlant sa réussite, soit, dans le cas contraire, à revenir sur son activité et à la modifier pour s'autocorriger.

En résumé, nous pouvons dire que ce qui sous-tend les situations proposées à Julien par son enseignante repose sur la volonté de cette dernière de rendre plus d'autonomie à son élève, c'est-à-dire de le rendre plus responsable mathématiquement parlant par le choix des procédures à mettre en œuvre pour réaliser une tâche connue, pour atteindre une automatisation de ces procédures dans les tâches routinières, pour adapter ces procédures quand les situations sont nouvelles et différentes de celles étudiées auparavant, pour contrôler son activité ou le produit de son activité, et enfin pour assumer la fin de la réalisation de la
tâche ou la nécessité de revenir sur son activité voire de recommencer si cela s'avère nécessaire.

Rappelons plus précisément les objectifs cognitifs poursuivis par l'enseignante en choisissant les trois sous tâches de type B des deux contextes vus précédemment. Sécuriser Julien quant à la possibilité d'agir en reprenant les mêmes matériels que ceux utilisés auparavant : boîtes à compter, voitures, escargots, images de salades et de tomates. Étendre le domaine de validité de sa procédure de dénombrement en le confrontant à des collections allant jusqu'à dix éléments (avec les places de parking et les voitures), mais sans demander d'adaptation de la procédure. D'ailleurs Julien ne comptera jamais deux fois cinq places ni deux fois cinq voitures. Adapter sa procédure de dénombrement à des tâches plus complexes que les tâches routinières, et cela sur des collections dont la taille n'excède pas celle des collections que Julien est capable de dénombrer de manière assez sûre (jusqu'à six éléments). Les deux tâches proposées étaient : 1°) de rapporter non plus une collection équipotente à une première mais deux collections d'objets de catégories distinctes (des salades et des tomates) ; 2°) de rapporter non plus une collection équipotente à une première, mais deux collections respectivement équipotentes à deux premières (autant de salades et de tomates pour l'escargot Blanche que l'escargot Turbo en avait). Nous avons vu que Julien qui avait appris à dénombrer une quantité à l'aide de la bande numérique (en plaçant un objet par case) a pris l'initiative d'utiliser cette même bande numérique pour constituer les collections équipotentes de salades et de tomates (donc en plaçant deux objets par case). S'il apparaît ainsi clairement que ces deux tâches nécessitent des adaptations des procédures stabilisées, il faut remarquer aussi qu'elles nécessitent de ne pas rapporter le bon nombre d'aliments indépendamment de leur nature : il faut rapporter le bon nombre de tomates et le bon nombre de salades, ces nombres pouvant être égaux (cas de la première situation) ou différents (cas de la deuxième situation).

### 3.3.2. Tâches de type C : Créer une collection d'objets dont le cardinal est le résultat d'une addition à effectuer

L'origine de ce type de tâches, où l'élève doit déterminer le cardinal d'une collection à créer en ajoutant deux nombres, est le constat effectué par l'enseignante d'une forme de lassitude chez Julien lorsqu'il doit effectuer des tâches de type B. L'enseignante a alors demandé à la
maman de Julien d'acheter plusieurs jeux. L'objectif consistait à trouver des jeux avec des animaux afin d'inventer des petites histoires à Julien qui correspondent à ses centres d'intérêts dans le but de le motiver à entrer dans la tâche. C'est en proposant une tâche de constitution d'une collection dont le cardinal est à trouver sous la forme d'un jeu que l'enseignante espère motiver Julien. L'élève devra cependant se familiariser avec les éléments de cette nouvelle situation, à savoir les règles du jeu et le matériel à utiliser.

Le jeu inventé par l'enseignante a ainsi été appelé « Sauver les poissons ! ». Il consiste à lancer deux dés et à sortir de prison autant de poissons que le cardinal désigné par les dés. Le nombre de poissons ainsi sauvés à chaque lancé étant égal à la somme des nombres indiqués sur chacune des faces des dés. Dans la mesure où Julien n'identifie pas les constellations du dé, l'objectif visé est que Julien comprenne, d'une part que la réunion de deux collections a pour cardinal la somme des cardinaux de chaque collection, et d'autre part qu'il est possible de désigner un nombre à partir d'une de ses décompositions. Ces connaissances sont essentielles dans la construction de la notion de nombre (Brissiaud, 2007, 2015). La mise en évidence des décompositions des nombres (notamment par des collections-témoins organisées comme le sont les constellations de dés) conduit en effet l'élève à dépasser la représentation des nombres comme une simple suite de « numéros » à énoncer pour compter des objets et en indiquer la quantité. En percevant de façon concrète que chaque nombre supérieur ou égal à 2 peut être décomposé en deux autres nombres plus petits, Julien pourra accéder à des relations numériques qui pourront être mémorisées sous la forme d'images mentales et qui pourront l'amener à l'exécution de différents calculs.

L'analyse des activités de Julien pour traiter ces tâches de type C nous donnera aussi accès à l'évolution de ses connaissances relatives à la reconnaissance des constellations des dés et au dénombrement des quantités, connaissances qui étaient déjà sous-jacentes aux tâches de type A et B proposées précédemment par l'enseignante.

Abordons dès à présent les tâches de type C et leur contexte.

### 3.3.2.1. Les tâches de type C et son contexte : Le jeu « Sauver les poissons ! »

Pour le jeu « Sauver les poissons ! » l'enseignante envisage d'utiliser le matériel suivant : des petits poissons (plus précisément des animaux marins, mobiles, de différentes formes et
couleurs), des petites boites rondes métallisées de différentes couleurs qui représentent « les petites maisons », deux petits dés et une grande boite qui représente « la prison des poissons ».

La photographie ci-dessous illustre le matériel proposé par l'enseignante :

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 13 : Les poissons, les deux dés et les petites maisons proposées pour le jeu « Sauver les poissons ! » (Tâches de type C, 2ème année)</figcaption></figure>

La règle de jeu mise en place par l'enseignante est la suivante : « Nous allons sauver des petits poissons. Il faut lancer les deux dés. Il faut dire exactement le bon nombre et sortir exactement le bon nombre de poissons. Autrement, la prison se referme et nous perdrons les petits poissons. ».

La consigne est fermée et les étapes sont explicitées dans l'énoncé, toutefois il s'agit d'une tâche complexe pour Julien car plusieurs connaissances sont à mettre en œuvre successivement. Premièrement l'enseignante demande la reconnaissance – ou la détermination – des cardinaux des constellations de chacun des deux dés. Deuxièmement elle demande de composer ces quantités, c'est-à-dire de donner le cardinal de la réunion des deux collections (c'est une tâche de composition de grandeurs au sens de Vergnaud, 1982), en utilisant le calcul mental ou une autre procédure. Dans un dernier temps, Élodie demande de sélectionner les poissons situés dans la « prison » selon le cardinal obtenu afin de les en sortir et de les amener chacun dans leur petite maison.
Dans le cadre de ce jeu, l'enseignante a prévu également que l'élève puisse conserver chaque
poisson dans sa « petite maison », avec pour objectif de valider la collection réalisée en
recomptant une seconde fois la collection de poissons qui ont été sauvés.

Dans sa consigne l'enseignante tient également à faire émerger un aspect émotionnel à la
tâche afin de solliciter chez Julien une plus grande implication et motivation dans sa
réalisation. L'appel aux sentiments se retrouve dans la dernière phrase de la consigne qui fait
comprendre que si le bon nombre de poissons n'est pas obtenu, alors les poissons ne seront
pas sauvés car la prison se refermera et les poissons seront perdus.

3.3.2.2. Analyse a priori des tâches de type C

Comme nous l'avons mentionné, ce type de tâches fait intervenir différentes connaissances telles que la reconnaissance des constellations et de leur effectif ou leur dénombrement (la reconnaissance ou le dénombrement peut être fonction de la taille de la collection : reconnaissance pour les petites quantités et dénombrement pour les plus grandes) ainsi que la décomposition et recomposition des quantités. Rappelons que la reconnaissance des constellations a été abordée lors de la première tâche proposée par l'enseignante : la première des tâches de type A. Le dénombrement de collections de cardinal allant jusqu'à 12 a été effectué, quant à lui, lors des tâches de type B. Même si ces connaissances ont déjà été abordées, nous avons vu qu'elles ne sont pas encore stabilisées chez Julien. L'intérêt de ce type de tâches, pour l'enseignante, est de consolider les connaissances de Julien quant au dénombrement de quantités dépassant la dizaine et de travailler à la décomposition et la recomposition de telles quantités. Ce travail occupe une place essentielle dans la construction du nombre, elle est utile dans la résolution de nombreux types de problèmes numériques.

Comme déjà indiqué, pour ces tâches de type C, nous pouvons distinguer trois activités à
réaliser par l'élève : 1°) reconnaître les constellations des dés distinctivement ; 2°) déterminer
le cardinal de la réunion des deux constellations ; 3°) constituer la collection des poissons
selon le cardinal déterminé.

Pour conduire l'analyse *a priori* de ces tâches, nous nous attarderons séparément sur ces trois activités en envisageant les procédures disponibles pour Julien, et nous indiquerons comment celles qu'il mettra en œuvre nous permettront de poser des hypothèses quant à l'état de ses connaissances numériques.
### 3.3.2.2.1. Procédures pour reconnaître les constellations

Pour le jeu « Sauver les poissons ! », l'enseignante a prévu d'utiliser deux petits dés. La taille de ces dés est une variable à prendre en compte pour un élève comme Julien. Ses troubles visuo-praxiques peuvent en effet orienter son activité : comme nous l'expliquons en détail plus loin, telle procédure envisageable pour un élève standard peut être écartée d'emblée par Julien parce que trop difficile à mettre en œuvre pour lui sur un dé de trop petite taille. Deux types de procédures sont possibles pour indiquer le cardinal de la constellation affichée à un dé : le dénombrement ou la reconnaissance directe.

Pour chacun des dés, l'élève pourra en effet dénombrer un à un les points constituant la constellation du dé. Cette procédure apparaît comme très difficile pour Julien compte tenu de ses difficultés visuo-praxiques et de la petite taille des dés qui fait que les points des constellations soient très rapprochés les uns des autres proportionnellement à la taille de ses doigts. Ces facteurs posent en effet problème pour réaliser correctement l'énumération des points du dé, notamment au-delà de deux ou trois. Nous avons d'ailleurs déjà observé ces difficultés lors du déroulement des tâches de type A, lorsqu'Élodie avait proposé à Julien de dénombrer les constellations affichées sur des petites cartes présentant les constellations du dé, les cartes étant pourtant d'une taille bien plus grande que celle des dés proposés ici. L'enseignante avait dû alors accompagner le comptage des points des constellations en pointant chacun d'eux avec son doigt, tout en énonçant le mot-nombre correspondant à chaque pointage.

Il est envisageable aussi que l'élève reconnaisse directement la constellation du dé, et soit donc en mesure de prononcer le mot-nombre associé à la quantité. Remarquons ici qu'un élève peut très bien connaître une constellation et le nombre correspondant sans pour autant savoir que le nombre est bien le cardinal de l'ensemble des points de la constellation. Rappelons, en ce qui concerne plus spécifiquement Julien, que cette reconnaissance des constellations n'était pas acquise alors que son enseignante lui proposait des tâches de type A. Devant la difficulté qu'il éprouvait à dénombrer ces collections, l'enseignante avait alors abandonné et remplacé les cartes affichant des constellations par des cartes affichant des nombres sous forme chiffrée.
Sans doute ce choix de matériel, vu la taille des dés et connaissant les difficultés visuo-
praxiques de Julien, correspond à un objectif d'apprentissage des six constellations du dé et
par conséquent des six nombres qui leur sont associés.

3.3.2.2.2. Procédures pour déterminer le cardinal de la réunion des deux collections

Pour l'activité de détermination du cardinal de la réunion des collections affichées par les deux dés, nous avons distingué trois types de procédures pouvant être mise en œuvre par un élève, celles-ci relèvent : de la reconnaissance globale, du comptage ou du calcul.

Procédure qui relève de la reconnaissance globale immédiate :

Si le nombre affiché par les deux dés n'excède pas quatre, on peut envisager que l'élève appréhende globalement la collection formée par les points des deux dés et en perçoive directement le cardinal. Cette perception immédiate – *subitizing* – est opératoire pour des affichages de dés comme « 1+1 », « 1+2 », « 2+1 » et « 2+2 ». En tenant compte des connaissances de Julien, cette procédure apparaît tout à fait envisageable, notamment pour les quantités jusqu'à 3 que Julien reconnaît bien, comme nous l'avons vu au cours de l'analyse de ses activités pour réaliser les tâches de type B.

Procédures qui relèvent du comptage :

Les premières procédures envisageables relèvent du comptage un à un de l'ensemble des
points constitué par la réunion des deux constellations, en passant éventuellement par un
intermédiaire qui peut être une collection de jetons, une bande numérique, du matériel de
numération comme des boîtes de Picbille, etc. S'il s'agit d'un dénombrement direct des points
représentés par un pointage un à un, l'élève devra synchroniser le pointage et l'énoncé de la
suite verbale numérique du premier au dernier point de la collection. Les difficultés visuo-
praxiques de Julien liées à l'énumération ont déjà été évoquées précédemment, on trouve en
outre une difficulté liée à la connaissance des nombres jusqu'à douze. Nous avons vu
également dans les tâches précédentes, que Julien se trompait régulièrement lorsque les
quantités excédaient six. Il semble donc raisonnable de supposer que l'enseignante, par ce
type de tâches mobilisant deux dés, cherche aussi à faire en sorte que Julien étende le domaine
numérique qu'il maîtrise. L'élève pourra aussi utiliser du matériel à sa disposition tel que la
bande numérique et synchroniser ainsi chaque pointage avec un déplacement sur cette bande.
Cette procédure, s'il sait lire les nombres sous forme chiffrée, lui permettrait de réussir le dénombrement, même si sa connaissance de la suite verbale numérique jusqu'à douze n'est pas encore totalement stabilisée. Il en est de même avec du matériel de numération, comme des boîtes de Picbille par exemple : il devra alors prendre un jeton pour chaque point des dés, les ranger ensuite dans la boîte, pour y lire finalement le nombre de points affiché par les dés.

D'autres procédures qui relèvent encore du comptage sont envisageables, celles-ci reposent sur un surcomptage à partir du nombre affiché par l'un des dés (les élèves choisissent souvent le plus grand, afin d'écourter le surcomptage). Supposons, par exemple, qu'un dé affiche 4 et l'autre 3, l'élève pourra alors conduire le raisonnement suivant : « *Je mets 4 dans ma tête pour le premier dé, je compte ensuite les points de l'autre dé, j'ai alors cinq, six et sept points au total* ». Ce surcomptage peut être réalisé en utilisant un intermédiaire comme les doigts de la main qui sont levés à chaque fois que l'élève passe par un point du second dé et qui sont comptés à partir de 4. Notons que pour Julien, un tel surcomptage à l'aide des doigts de sa main n'est pas vraiment réaliste compte tenu de ses difficultés visuo-praxiques.

## Procédures qui relèvent du calcul :

D'autres procédures relèvent du calcul – avec parfois des possibilités de surcomptage implicite – en s'appuyant éventuellement sur des résultats mémorisés d'addition. Lorsque l'un des deux dés affiche le nombre 1, l'élève peut ajouter 1 au nombre affiché par l'autre dé, cette addition pouvant être assimilé à du surcomptage. À titre d'exemple, si un dé affiche 5 et l'autre 1, l'élève peut tenir le raisonnement suivant : « *Je sais que cinq plus un font six* ». De façon implicite, cette technique peut reposer sur le fait que l'élève ait compris que l'ajout d'une nouvelle unité à une collection renvoie au cardinal qui succède à celui de cette collection dans la comptine numérique. Elle peut aussi passer par une addition qui n'est pas liée aux cardinaux : l'élève ajoute 1 à 5 car 1 et 5 sont les deux nombres affichés par les dés. Pour ce faire, la procédure mise en œuvre peut référer à des cardinaux (l'élève ajoute implicitement une unité à une collection de cinq unités) ou à des ordinaux (l'élève ajoute « un » en disant le nombre qui suit le nombre cinq dans la suite verbale numérique). Chez Julien, cette procédure peut être envisagée dans la mesure des quantités qu'il semble maîtriser. Une procédure analogue peut être envisagée dans le cas où le plus petit nombre affiché par les dés est 2 ; il suffira alors de penser que 2 est égal à « 1+1 » et faire deux fois de suite ce qui a été décrit précédemment.
Lorsque les nombres sont plus grands, la référence à l'ajout d'une unité est moins probable et la méthode peut être alors de construire les sommes recherchées ou de faire appel aux résultats mémorisés de certains calculs. Ces derniers ont déjà pu être travaillés précédemment par l'élève ; nous savons par exemple que cela a été le cas de Julien qui a travaillé les doubles en utilisant des images de cardinaux : deux et deux, trois et trois, quatre et quatre, etc. Dans ce genre de cas, Julien pourra se dire en se remémorant : « je sais que deux et deux font quatre ». En s'appuyant sur de telles connaissances préalables, un élève pourrait déterminer la valeur de somme « 3+4 » sachant que c'est le nombre qui suit le double de 3. Les logiques à l'œuvre peuvent être qualifiées de calculatoires lorsque l'élève reconstruit la valeur d'une somme à partir de résultats mémorisés ou lorsqu'il la connaît par cœur. Du point de vue des objectifs poursuivis par l'enseignante, les logiques calculatoires de composition et décomposition des nombres, en lien avec la logique langagière du calcul, participent à construire à la fois la notion de nombre (en énonçant les mots nombres et ceux de leurs décompositions) et celle du calcul. En ce qui concerne Julien, l'objectif n'est pas encore atteint : nous avons constaté au cours de l'analyse des tâches de type B qu'il exprime certaines difficultés à comprendre et à mémoriser ces relations. Une fois le nombre trouvé, il reste à créer la collection de poissons à sortir de la prison.

### 3.3.2.2.3. Procédures pour créer la collection de poissons

Pour le jeu qui nous concerne, l'enseignante a utilisé des poissons en mousse de taille moyenne. Ces derniers sont de différentes formes et couleurs ce qui facilite l'énumération de la collection (au sens de Briand, 1993, 1999) et donc la procédure de dénombrement. Les formes et couleurs constituent en effet des « marqueurs » afin de repérer les poissons déjà comptés de ceux qui restent à compter. En prenant en compte ces variables, nous pouvons distinguer quatre procédures types que l'élève pourrait mettre en œuvre afin de constituer la collection des poissons.

La première procédure, que nous pourrions qualifier de « primitive », consisterait à saisir une quantité de poissons par estimation approximative, les sortir ainsi de prison et les ranger directement dans les petites maisons sans les avoir préalablement comptés. Cette procédure économique a peu de chance de conduire à la réussite, mais elle peut être mise en œuvre par un élève comme Julien, notamment si des difficultés ont été rencontrées lors de la détermination du nombre de poissons à sauver, car elle est moins coûteuse en attention et en
connaissance à exploiter, nous pensons à l'effort de concentration pour la synchronisation du pointage et du comptage, ainsi qu'à la connaissance de la comptine verbale si le nombre est assez grand. Nous pouvons également imaginer que Julien puisse être davantage intéressé à placer les poissons dans les petites maisons qu'à les dénombrer précisément.

Le deuxième type de procédures permet de s'affranchir de la détermination du nombre indiqué par les dés, simplement en reproduisant avec les poissons les constellations affichées sur chacun des deux dés. Cela demande de bien appréhender visuellement les constellations, ce qui peut poser problème à Julien en raison de son handicap. Alors que ces procédures pourraient apparaître à la fois économiques et efficaces, il nous semble peu probable qu'elles soient mises en œuvre par Julien qui ne va sans doute pas s'appuyer spontanément sur ses faibles compétences visuo-spatiales.

Le troisième type de procédures s'appuie sur l'utilisation de la bande numérique afin de créer la collection de poissons. L'élève, ayant mémorisé la quantité de poissons appropriée, pourra placer un poisson sur chaque case jusqu'à atteindre celle qui désigne la quantité retenue ; il pourra aussi placer directement le premier poisson sur cette case et remplir ensuite les autres cases afin d'éviter d'oublier la quantité de poissons à sortir de prison ; il pourra encore utiliser la bande numérique plutôt comme un moyen d'étayage et de contrôle en réalisant une correspondance terme à terme entre les mots nombres prononcés et les cases sur la bande numérique complétées au fur et à mesure. Ces procédures sont tout à fait envisageables pour Julien qui connaît très bien la bande numérique déjà utilisée au cours des tâches de type B.

Le quatrième type de procédures consiste à utiliser le dénombrement un à un pour constituer la collection des poissons. Celui-ci demandera à l'élève une bonne mémorisation de la quantité à atteindre, ainsi qu'une bonne synchronisation du geste de déplacement des poissons et de la comptine verbale. L'utilisation de poissons de formes et de couleurs facilement identifiables et des « petites maisons », seront autant d'éléments facilitateurs pour distinguer les poissons comptés de ceux qui ne le sont pas encore. Chez Julien, cette technique qui a souvent été utilisée peut être envisageable, même si des confusions peuvent apparaître lorsque le nombre à atteindre est assez grand, notamment en cas de lassitude ou par son manque de connaissance stable de la suite numérique verbale.
### 3.3.2.3. Analyse du déroulement des tâches de type C

Pour mener à bien l'analyse du déroulement de ce jeu, nous avons divisé les séances observées en épisodes, chacun d'eux correspondant à un jeu pour Julien. Au cours de la deuxième période l'analyse de la réalisation des tâches de type C a porté sur 32 épisodes qui ont été observés entre mars et novembre 2014. Ci-dessous un récapitulatif indiquant la période et le nombre d'épisodes de jeu observés :

<table><caption>Tableau 39 : Dates et effectifs des tâches de type C proposées selon les contextes (2ème année)</caption><thead><tr><td>Contexte des tâches de type C (2ème année)</td><td>Nombre des séances</td><td>Nombre d'épisodes de jeu</td><td>Période</td></tr></thead><tbody><tr><td>Jeu : « Sauver les poissons ! »</td><td>8</td><td>32</td><td>Mars - Novembre 2014</td></tr></tbody></table>

Chaque épisode de réalisation d'une tâche de type C a demandé à Julien un investissement cognitif important, ce que l'analyse *a priori* laissait prévoir. Chaque tour de jeu a été entrecoupé de temps de pause, très bénéfiques pour Julien quant à sa concentration.

Comme nous l'avons réalisé lors de l'analyse du déroulement des tâches précédentes (tâches de type A et B), nous avons procédé à deux études : l'une portant sur les activités de Julien et l'autre sur celles de l'enseignante. Concernant l'élève, nous avons réalisé une analyse quantitative et qualitative de ses réussites et de ses échecs au cours de son activité, ainsi que de sa communication avec l'enseignante. Les activités d'Élodie, quant à elles, ont fait l'objet d'une analyse sous trois composantes. La première composante dite médiative porte sur les interactions avec Julien en ce qui concerne le savoir en jeu. La seconde porte sur la modalité relationnelle-affective établie avec l'élève. La troisième composante, dite cognitive, porte sur les choix didactiques de l'enseignante.

Nous allons commencer par étudier les activités de Julien.

#### 3.3.2.3.1. Analyse du déroulement : les activités de l'élève

Nous avons analysé l'ensemble des 8 séances qui comportent 32 épisodes de jeux filmés étalés sur 60 minutes de vidéo, soit en moyenne 7 minutes et 30 secondes par séance. Au total cela comprend 328 interactions entre l'élève et l'enseignante soit en moyenne près de 41 interactions par séance ou encore à peu près 5 interactions par minute.
Comme nous l'avons mentionné dans l'analyse des tâches de type A et B, l'autonomie complète de Julien dans la réalisation des tâches est très rare. L'accompagnement de l'enseignante reste toujours nécessaire. L'activité de Julien est interprétable en fonction du type ou du degré d'accompagnement apporté par l'enseignante. Ainsi, un accompagnement « modéré » révèle un degré fort d'autonomie chez l'élève, alors qu'un accompagnement « fort » révèle un degré important de dépendance vis-à-vis de l'enseignante. Ces informations en lien avec le travail de l'enseignante sont indispensables pour analyser les activités de Julien ainsi que les contextes relationnels dans lesquels surviennent ses réussites et ses échecs.

Afin de mieux cerner l'activité de Julien, nous avons réalisé dans un premier temps une étude quantitative de sa performance évaluée à chaque interaction. Pour ce faire nous avons tenu compte du degré d'accompagnement de l'enseignante en distinguant les réussites et les échecs de Julien selon l'objectif de la tâche. À cet effet, nous avons distingué quatre objectifs : 1°) la compréhension de la consigne initiale de la tâche, 2°) la reconnaissance de chaque constellation des dés, 3°) la détermination du cardinal de la réunion des deux constellations, et 4°) la constitution de la collection des poissons.

Les résultats obtenus sont synthétisés dans le tableau suivant :

<table><caption>Tableau 40 : Réussites et échecs de Julien par sous-tâche et par degré d'accompagnement de l'enseignante
(Tâches de type C, 2ème année)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Sous-tâches de type C (2ème année)</th><th colspan="5">Réussites</th><th colspan="5">Échecs</th><th rowspan="2">Total des interactions</th></tr><tr><th>Acc. modéré</th><th>Acc. fort</th><th>Total</th><th>Acc. modéré</th><th>Acc. fort</th><th>Total</th><th>Acc. modéré</th><th>Acc. fort</th><th>Total</th></tr></thead><tbody><tr><td>Compréhension initiale de l'énoncé de la tâche</td><td>13/33</td><td>39%</td><td>7/33</td><td>21%</td><td>20/33</td><td>61%</td><td>11/33</td><td>33%</td><td>2/33</td><td>6%</td><td>33/33</td><td>39%</td><td>33/328</td><td>10%</td></tr><tr><td>Reconnaissance distinctive des deux constellations des dés</td><td>9/68</td><td>13%</td><td>23/68</td><td>34%</td><td>32/68</td><td>47%</td><td>6/68</td><td>9%</td><td>30/68</td><td>44%</td><td>36/68</td><td>53%</td><td>68/328</td><td>21%</td></tr><tr><td>Détermination du cardinal de la réunion des deux constellations des dés</td><td>18/81</td><td>22%</td><td>39/81</td><td>48%</td><td>57/81</td><td>70%</td><td>9/81</td><td>11%</td><td>15/81</td><td>19%</td><td>24/81</td><td>30%</td><td>81/328</td><td>25%</td></tr><tr><td>Constitution de la collection des poissons</td><td>42/146</td><td>29%</td><td>43/146</td><td>29%</td><td>85/146</td><td>58%</td><td>29/146</td><td>20%</td><td>32/146</td><td>22%</td><td>61/146</td><td>42%</td><td>146/328</td><td>45%</td></tr><tr><td>Ensemble</td><td>82/328</td><td>25%</td><td>112/328</td><td>34%</td><td>194/328</td><td>59%</td><td>55/328</td><td>17%</td><td>79/328</td><td>24%</td><td>134/328</td><td>41%</td><td>328</td><td>100%</td></tr></tbody></table>

Développons les analyses relatives à cette synthèse chiffrée en fonction de chacune des sous-tâches.
### 3.3.2.3.1.1. Compréhension initiale de l'énoncé de la tâche

De même que pour les tâches précédentes (tâches de type A et B), nous observons peu d'interactions entre l'enseignante et l'élève pour cette première sous tâche. Nous en relevons 33 (soit 10% des interactions) alors que les autres activités en comptabilisent chacune entre 68 et 146. Cette faible proportion est due au fait que Julien démarre rapidement le jeu en manifestant sa compréhension de la consigne initiale qui a été donnée par l'enseignante : « *Nous allons sauver des petits poissons. Il faut lancer les deux dés* ». Julien se montre en effet souvent prompt à lancer les dés pour démarrer le jeu.

En ce qui concerne les réussites et les échecs de Julien, nous observons à la différence des tâches de type B (première et deuxième année), 61% de réussites (elles étaient respectivement de 40% et 39%). 39% de réussites correspondent à un accompagnement « modéré » de l'enseignante (soit 13 réussites pour 33 interactions) et 21% correspondent à un accompagnement « fort » (soit 7 réussites pour 33 interactions). La consigne initiale simple qui ne nécessite pas de mettre en relation plusieurs connaissances, ainsi que la motivation de l'élève face à la nature de la tâche initiale – le lancer des deux dés – ont sans doute influencé les résultats positivement de façon exagérée : il est possible en effet que Julien n'ait pas compris comment réaliser la première partie de la consigne : « *Nous allons sauver des petits poissons* » et que l'enseignante sera alors obligée d'y revenir pour que Julien réalise la tâche.

### 3.3.2.3.1.2. Reconnaissance distinctive des deux constellations des dés

Pour cette activité nous observons 53% d'échecs (soit 36 échecs sur 68 interactions). Pour 44% des interactions (soit 30 échecs sur 68 interactions) il s'agit d'échecs malgré un accompagnement « fort » d'Élodie et pour les 9% restant (soit 6 échecs sur 68 interactions) il s'agit d'échecs avec un accompagnement « modéré ». Nous pouvons donc constater un pourcentage important d'échec, et cela malgré un fort soutien de l'enseignante. Ce soutien se retrouve dans les 47% de réussites (32 réussites sur 68 interactions) : on observe 34% de réussite avec un accompagnement fort (23 réussites sur 68 interactions) et seulement 13% de réussite avec un accompagnement modéré (9 réussites sur 68 interactions). Julien manifeste en effet des difficultés à reconnaitre certaines constellations du dé, particulièrement les constellations des cardinaux 4, 5 et 6. Les difficultés de Julien se reflètent très bien avec les
78% d'accompagnements « forts » enregistrés. En revanche pour les constellations du dé : 1, 2 et 3, la performance est bien meilleure. Ces résultats confirment l'hypothèse que nous avions émise quant aux objectifs de l'enseignante : ayant remarqué les difficultés de son élève pour reconnaître les constellations du dé, elle lui a tout de même proposé une situation où cet apprentissage doit être travaillé.

L'observation des vidéos laisse apparaitre lors de certains épisodes, un contournement des règles du jeu par Julien. Parce que les constellations des dés lui sont difficiles à reconnaitre, Julien ne lance pas les deux dés, mais c'est lui-même qui vient choisir volontairement les deux constellations des dés. Julien cherche ainsi à pallier la difficulté qu'il rencontre et dont il a pleinement conscience. Dans un premier temps, l'enseignante le laisse faire, mais refuse cette démarche après quelques épisodes de jeu. Elle lui propose alors de compter un à un les points des constellations des dés. Malgré l'aide apportée, cette activité reste coûteuse pour Julien à cause de ses difficultés visuo-praxiques. La petite taille de chaque dé et la disposition des points des constellations rendent la démarche d'énumération particulièrement difficile pour Julien. L'enseignante a dû ainsi systématiquement guider cette procédure en utilisant ses propres doigts pour effectuer le comptage. Nous avons alors progressivement observé que l'enseignante a dû abandonner cette méthode en préférant donner directement à Julien les mots nombres des deux constellations des dés.

En conclusion nous observons que Julien a fréquemment été en difficulté dans la reconnaissance de certaines constellations de dés. L'enseignante s'attendait certainement à ce problème puisqu'elle avait déjà détecté ce souci lors du déroulement des tâches de type A au cours de la première année d'enseignement. Face à ces difficultés et dans le cadre de ce type de tâches, la réaction de Julien a consisté à contourner la règle du jeu au lieu de pallier au problème tout en la respectant. De cette réaction, nous en déduisons deux aspects en lien avec la dimension affective de son activité et avec sa relation à l'enseignante. D'une part, Julien veut éviter les échecs pouvant engendrer une perte de confiance et une dévalorisation de lui-même (une situation de réussite engendrant au contraire une reconnaissance de ses propres capacités). D'autre part, la relation de confiance établie depuis deux ans avec l'enseignante permet à Julien d'oser ce genre de réaction consistant à contourner la règle du jeu, tout en espérant la validation de son enseignante.
3.3.2.3.1.3. Déterminer le cardinal de la réunion des deux constellations des dés

Nous observons au cours de cette sous-tâche l'obtention de 70% de réussites (soit 57 réussites sur 81 interactions) quant à la détermination du cardinal de la réunion des deux constellations des dés. Plus précisément, nous obtenons 48% de réussites (soit 39 interactions sur 81) avec un accompagnement « fort » de l'enseignante et 22% de réussites (soit 18 interactions sur 81) avec un accompagnement « modéré ». Si le pourcentage de réussites s'avère important, cela est sans aucun doute lié au guidage fort de l'enseignante, c'est ce que nous allons montrer par la suite via l'analyse qualitative des activités de Julien.

Indiquons pour commencer que Julien n'a pas présenté de grandes difficultés à déterminer le cardinal issu de la réunion des constellations 1 et 2. Dans ce contexte, une simple itération de l'unité telle que proposée par l'enseignante lui a suffi pour réussir le dénombrement. Les phrases suivantes d'Élodie sont donc comprises par l'élève : « J'ai 1 et encore 1, ça fait 2 » ou « J'ai 2 et encore 1, ça fait 3 ». En revanche dès que Julien doit déterminer le cardinal d'une collection globale de plus de trois points, il manifeste d'énormes difficultés. L'enseignante lui a alors proposé deux techniques décrites ci-après.

La première technique consiste en un comptage intégral des points en s'aidant des doigts de la main. Elle consiste à représenter les deux quantités sur les doigts des deux mains de Julien, puis à énoncer un mot nombre de la suite numérique verbale en baissant chaque doigt utilisé. Nous avons observé que Julien réussissait plus ou moins à représenter des quantités jusqu'à cinq sur ses propres doigts. Cela constitue en soi une amélioration dans le repérage numérique digital de Julien par rapport aux tâches de type A ; l'élève avait en effet montré beaucoup de difficultés à repérer les quantités sur ses propres doigts. Toutefois, la reconnaissance du cardinal 6 et sa représentation demeure une source de difficulté chez l'élève. Nous avons en effet pu observer que Julien arrive bien à repérer le « 5 » pour représenter des opérations telles que : « 5+1 », « 5+2 », « 5+3 », « 5+4 » et « 5+5 », toutefois lorsqu'on lui demande par exemple de représenter « 6+2 », Julien représente « 5+2 ». L'enseignante s'est alors retrouvée dans l'obligation d'intervenir afin de le guider dans ce type de représentation.

Au niveau du comptage digital, nous avons également observé de grandes difficultés chez Julien. Il n'arrive pas à coordonner le geste consistant à baisser un doigt à chaque fois qu'il
énonce un mot de la suite verbale numérique. L'enseignante a également dû intervenir en effectuant elle-même le comptage en pointant chaque doigt de Julien.

En ce qui concerne la réunion des deux constellations qui dépassent dix : « 6+5 », « 5+6 » et « 6+6 », l'enseignante a souhaité proposer à Julien de représenter la première quantité sur les doigts de sa main et la deuxième quantité sur les doigts de la main de l'enseignante, pour ensuite dénombrer l'ensemble un à un. Cette technique de dénombrement a été très coûteuse du point de vue praxique pour Julien qui a manifesté de très grandes difficultés, notamment au niveau de la synchronisation du geste des doigts et du comptage. En outre, Julien reste perturbé lors du comptage lorsque celui-ci se réalise sur deux mains différentes, la sienne et celle de l'enseignante. Par conséquent et dans ces cas particuliers, l'énoncé des mots-nombres a dû être systématiquement guidé par l'enseignante. Finalement, jusqu'aux derniers jeux de la période 2, la comptine numérique est encore restée très instable chez Julien pour les cardinaux au-delà de dix.

La deuxième technique proposée par Élodie a été celle du surcomptage. À cet effet, l'enseignante a demandé à Julien de se représenter la première quantité « dans sa tête », puis d'y ajouter la seconde en énumérant chaque unité supplémentaire sur les doigts de sa main. Si l'on prend l'exemple d'une relation sous la forme « 4+3 », l'enseignante a alors donné la consigne suivante à Julien : « imagine 4 dans ta tête », puis elle a fait ajouter à l'élève la deuxième quantité en comptant à partir de 4 et en élevant chaque doigt de la main au fil du comptage. L'observation des vidéos montre que Julien présente des difficultés à comprendre cette technique. Il désigne la première quantité et réalise le surcomptage en élevant chaque doigt grâce au guidage de l'enseignante. Pour compenser ses difficultés praxiques, l'enseignante lui a proposé deux matériels : la boite de Picbille et la bande numérique. Rappelons que la boite de Picbille est constituée de deux compartiments, chacun pouvant contenir jusqu'à 5 jetons. Par convention dès qu'un compartiment est rempli, c'est-à-dire qu'il contient 5 jetons, le couvercle est fermé. Cette boite est mise en place par l'enseignante afin que Julien puisse acquérir les relations numériques présentées sous la forme : « 5+n ». Toutefois cette technique est restée coûteuse pour l'élève qui n'est pas arrivé à reconnaitre et à assimiler la quantité 5 lorsque celle-ci est représentée par le compartiment fermé. Nous avons ainsi souvent remarqué que Julien retire le couvercle du compartiment fermé afin de recompter tous les jetons. En ce qui concerne la bande numérique, cette dernière a été utilisée comme une aide visuelle à l'application de la technique de surcomptage afin de vérifier les
calculs réalisés. Malgré les différents moyens mis en œuvre par l'enseignante pour que l'élève parvienne à effectuer un surcomptage, force est de constater qu'il préfère réaliser un comptage à partir de un.

Dans le cas particulier de constellation en double, Julien a rencontré des difficultés analogues à celles décrites précédemment pour déterminer le cardinal des deux constellations réunies. Élodie l'a encore aidé à mettre en œuvre la technique du surcomptage, mais Julien qui n'en comprend pas le principe, revient à la première technique consistant à représenter les quantités avec ses doigts et à compter à partir de un. L'enseignante lui a également proposé dans ce cas précis de regarder des images de « doubles » affichées sur un mur afin de réaliser l'équivalence avec ce qui est affiché par les dés. Julien ne parvient toutefois pas à faire le rapport entre la situation qu'il doit traiter et les images des doubles proposées par l'enseignante.

En résumé, il convient de retenir que Julien ne présente pas de réelle difficulté à déterminer le cardinal des constellations présentées sous la forme « 1+1 », « 1+2 », « 2+1 » et plus généralement « n+1 » ou « 1+n », c'est-à-dire lorsque l'un au moins des deux dés affiche le cardinal 1. Lorsque les deux dés affichent un nombre plus grand, l'enseignante a souhaité proposer deux techniques, l'une de comptage digital et l'autre de surcomptage étayé éventuellement avec la boîte de Picbille. L'analyse des vidéos a montré qu'en dépit de ses difficultés avec le comptage digital, Julien a préféré utiliser cette technique consistant à représenter sur ses doigts les deux quantités à additionner pour en effectuer un dénombrement global. Cette préférence s'explique à la fois par un manque de compréhension du surcomptage et par des échecs répétés lors d'essais de cette technique, et cela malgré l'aide de l'enseignante. Le bilan global n'est donc pas positif, toutefois, certains progrès sont constatés en comparaison avec les tâches de type A : Julien parvient à représenter sur ses doigts des quantités allant jusqu'à 5 et, par le comptage digital, arrive à additionner deux cardinaux au maximum égaux à 5.

### 3.3.2.3.1.4. Constitution de la collection des poissons

Après avoir déterminé le cardinal de la réunion des constellations de chacun des deux dés, Julien doit constituer une collection de poissons ayant ce nombre pour cardinal. Pour cette nouvelle sous-tâche, nous avons identifié 58% de réussites (soit 85 réussites sur 146 interactions) avec des accompagnements « forts » et « modérés » numériquement équivalents.
Nous observons ainsi pour cette sous-tâche une augmentation de 15 points de pourcentage de réussite par rapport aux tâches de type B analysées précédemment. Les réussites passent ainsi de 43% à 58%.

L'observation des vidéos conduit à remarquer que la synchronisation du pointage et du comptage est plus rigoureuse qu'auparavant, il en est de même de l'énonciation de la comptine verbale qui est maintenant distincte jusqu'à dix. Le type de matériel utilisé, à savoir des poissons de taille moyenne et de couleurs différentes, a permis de fluidifier les démarches d'énumération et de constitution de la collection. Par ailleurs, nous avons remarqué la capacité de Julien à s'autocorriger dans son comptage, sans attendre de consigne de la part de l'enseignante. Julien fait ainsi preuve d'une plus grande assurance dans la réalisation de cette sous-tâche.

La difficulté majeure de Julien, comme c'était déjà le cas au cours des sous-tâches précédentes, réside dans la mémorisation du cardinal à atteindre alors qu'il énonce d'autres mots-nombres pour constituer la collection des poissons à sauver. L'enseignante a dû régulièrement lui rappeler cette quantité. Nous supposons que ces erreurs peuvent être liées au fait que Julien est trop « absorbé » par la sous-tâche de constitution de la collection ou peut-être, au contraire, à un déficit de concentration lié éventuellement à des éléments visuels, auditifs ou internes qui viennent le distraire. Nous observons comme précédemment un dénombrement plus instable lorsque les quantités dépassent la dizaine.

Globalement, il convient de retenir que les performances de Julien pour cette sous-tâche de constitution d'une collection de cardinal donné évoluent positivement lorsque deux conditions sont réunies : 1°) le cardinal de la collection ne dépasse pas dix ; 2°) le matériel proposé pour constituer la collection ne soulève pas trop de difficultés praxiques. Certaines erreurs de synchronisation du geste et de la comptine verbale surviennent tout de même, toutefois Julien parvient à les détecter et le recomptage qu'il réalise de façon autonome lui permet de constituer des collections correctes. Ces différents éléments conduisent à pointer le fait que le potentiel de Julien est très dépendant du matériel mis à disposition.
### 3.3.2.3.2. Qualité de la communication de Julien avec son enseignante

Tout comme pour les analyses des déroulements des tâches précédentes des types A et B, la qualité de la communication entre Julien et l'enseignante sera analysée au prisme des interactions verbales et non verbales de l'élève. Rappelons au préalable les importantes difficultés de Julien à s'exprimer verbalement, de nombreux gestes, mimiques ou grognements font partie intégrante de l'expression chez Julien. L'élève communique ainsi peu verbalement et reste souvent silencieux.

Le tableau suivant résume les réactions de Julien au cours des 328 interactions avec son enseignante :

<table><caption>Tableau 41 : Réactions de Julien pour le jeu « Sauver les poissons ! » (Tâches de type C, 2ème année)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Contextes des tâches de type C (2ème année)</th><th colspan="7">Réactions de Julien</th><th rowspan="2">Total des interactions</th></tr><tr><th colspan="2">Accord</th><th colspan="2">Hésitation</th><th colspan="2">Désaccord</th><th colspan="2">Non verbal</th></tr></thead><tbody><tr><td>Jeu : « Sauver les poissons ! »</td><td>20/328</td><td>6%</td><td>7/328</td><td>2%</td><td>25/328</td><td>8%</td><td>276/328</td><td>84%</td><td>328</td><td>100%</td></tr></tbody></table>

Nous pouvons observer que les réactions « non verbales » de Julien constituent la grande majorité de ses interactions avec Élodie, et cela à hauteur de 84%. Des évolutions sont à constater en comparaison aux résultats obtenus pour les tâches de type B (au cours de la deuxième période) ; nous notons en effet une augmentation de 18 points de pourcentage de cette forme d'expression. Elle passe ainsi de 66% à 84%. Si ce nombre peut paraître élevé à première vue, il n'en est pas pour autant sans fondement. L'observation des vidéos laisse en effet apparaître que le manque d'expression verbale chez Julien révèle un niveau plus grand d'acceptation des modalités de gestion de l'enseignante, impliquant un besoin moindre de s'exprimer verbalement. Nous observons ainsi pour les réactions de désaccord, une diminution de 5 points de pourcentage par rapport à la tâche précédente (elles étaient de 13% auparavant). Pour les réactions d'accord, nous obtenons une diminution de 7 points de pourcentage (elles passent de 14% à 6%), quant aux réactions d'hésitation, nous avons une diminution de 5 points de pourcentage (elles étaient de 7% auparavant). Nous pensons que la dimension ludique des tâches de type C a permis à Julien une plus grande implication et motivation dans l'activité, débouchant ainsi sur une expression verbale moins importante que celle constatée pour les tâches précédentes.
Analysons à présent les activités de l'enseignante qui n'ont été jusqu'ici perçue qu'à travers l'étude de celles de Julien.

3.3.2.3.3. Analyse du déroulement : les activités de l'enseignante

Tout comme pour les tâches précédentes, nous commençons l'analyse des activités de l'enseignante par celle de la composante médiative qui est essentielle dans le travail avec Julien et qui est susceptible de nous donner des éléments d'information à exploiter pour l'analyse de la composante cognitive. Nous nous basons sur l'approche de Robert et Rogalski (2002). La composante médiative est liée au discours de l'enseignante et des échanges qu'elle entretient avec l'élève. La composante cognitive est liée quant à elle au traitement des savoirs, et à l'itinéraire cognitif proposé à l'élève.

Le concept d'étayage de Bruner (1983) et celui de zone proximale de développement de Vygotski (1934,1997) nous serviront d'appui sur ce sujet. Le concept d'étayage de Bruner (1983) nous a en effet permis d'effectuer un travail de catégorisation des activités de l'enseignante. Ces activités sont principalement des aides destinées à l'élève afin de l'accompagner dans la résolution des problèmes qu'il ne parvient pas à résoudre seul. Bruner définit six fonctions d'étayage que nous catégorisons en deux composantes : la composante médiative (pour le lien étroit des étayages avec les savoirs en jeu) et la composante affective-relationnelle (où le lien est moins étroit).

Rappelons que les fonctions qui relèvent de la composante médiative sont : « la réduction des degrés de liberté », « le maintien de l'orientation », « la signalisation des caractéristiques déterminantes » et « la démonstration ou présentation de modèles ». Pour notre cas d'étude nous avons ajouté une fonction supplémentaire : « le refus d'aide ». Celui-ci se manifeste lorsque l'enseignante refuse d'aider Julien, considérant qu'il est capable de réaliser l'action de façon autonome.

La composante affective-relationnelle, quant à elle, est associée dans notre étude à l'enrôlement et au contrôle de la frustration.

Nous aborderons dans un premier temps, la composante médiative de la pratique de l'enseignante, puis nous continuerons avec la composante relationnelle-affective, et nous finirons avec la composante cognitive.
### 3.3.2.3.3.1. Analyse des activités de l'enseignante qui relèvent de la composante médiative

Afin d'analyser les activités d'Élodie nous avons réalisé une analyse quantitative des interactions entre l'enseignante et son élève au cours des 32 épisodes filmés. Nous avons complété cette étude par une analyse qualitative des activités de l'enseignante avec Julien. Rappelons qu'au total 328 interactions ont été extraites des vidéos, réparties sur une durée de 60 minutes.

L'analyse de la composante médiative révèle le degré d'autonomie laissé à l'élève dans la réalisation de la tâche. Elle s'évalue à travers les différentes interventions de l'enseignante que nous considérons comme des aides fortes lorsqu'il s'agit de « réduction des degrés de liberté », de « démonstration ou de présentation de modèle », alors que nous les considérons comme modérées à nulles lorsqu'il s'agit du « maintien de l'orientation », de la « signalisation des caractéristiques déterminantes » ou du « refus d'aide ».

Les résultats obtenus sont regroupés dans le tableau suivant :

<table><caption>Tableau 42 : Étayages de l'enseignante relevant de la composante médiative (Tâches de type C, 2ème année)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Contexte des tâches de type C (2ème année)</th><th colspan="5">Aides fortes</th><th colspan="5">Aides modérées à nulles</th></tr><tr><th>La réduction des degrés de liberté</th><th>La démonstration ou présentation de modèles</th><th>Total des interactions</th><th>Le maintien de l'orientation</th><th>La signalisation des caractéristiques déterminantes</th><th>Le refus d'aide</th><th>Total des interactions</th></tr></thead><tbody><tr><td>Jeu : « Sauver les poissons ! »</td><td>96/328 29%</td><td>68/328 21%</td><td>164/328 50%</td><td>26/328 8%</td><td>70/328 21%</td><td>68/328 21%</td><td>164/328 50%</td></tr></tbody></table>

La répartition des différentes aides relevant de la composante médiative de l'enseignante fait ressortir quelques constats. Tout d'abord nous pouvons observer que les aides modérées et fortes varient en proportion égale par rapport aux constats effectués dans l'analyse des tâches de type B : les aides « modérées » passent ainsi de 67% à 50%. Le fait que les aides modérées diminuent correspond à une difficulté accrue de la tâche, mais leur part encore importante témoigne d'une stabilité de la pratique de l'enseignante qui vise à améliorer l'autonomie de Julien.

L'enseignante a eu recourt à la « réduction des degrés de liberté » à hauteur de 29% (soit 96 interactions sur 328). Il s'agit là de la composante principale des interventions de médiation de l'enseignante. Nous observons une légère augmentation de cette dernière, passant de 25% à
29%, en comparaison avec celle observée au cours des tâches de type B. Ce degré d'accompagnement considéré comme « fort » a pour objectif soit d'indiquer à Julien les démarches à réaliser, soit d'attirer son attention sur un point précis ou encore de le mettre en garde contre de potentielles erreurs. Sur l'observation des vidéos cette médiation intervient notamment lors de la reconnaissance des constellations de dés dont l'un des cardinaux est supérieur ou égal à 4 et pour lequel Julien rencontre des difficultés. Suite à une méthode proposée par l'enseignante que Julien a eu beaucoup de difficulté à maîtriser (le dénombrement des points des dés qui sont de petites tailles), celle-ci a préféré abandonner la technique envisagée pour finalement désigner elle-même à Julien les mots nombres des deux constellations des dés. Cette action peut être interprétée de différentes manières : elle peut correspondre à son désir d'accélérer la résolution de la tâche afin d'éviter de trop fatiguer Julien et de le lasser, à sa volonté d'éviter de gérer des difficultés qui paraissent insurmontables à Julien, ou encore de renoncer à faire le lien entre le nombre correspondant à la constellation et son cardinal, ceci afin de conduire l'élève à associer définitivement un nombre à chaque constellation. Cette dernière hypothèse n'est pas irréaliste pour Julien puisque nous avons constaté précédemment qu'il était capable de lever autant de doigts que le nombre représenté par la constellation.

Nous constatons également une forte augmentation des « démonstrations ou présentations de modèles » : 14 points de pourcentage en plus par rapport aux tâches précédentes de type B (elles passent ainsi de 7% à 21%). L'observation des vidéos montre que cette intervention a notamment été proposée lors de la détermination du cardinal de la réunion des deux constellations des dés. Comme nous l'avons vu dans l'analyse des activités de Julien, lorsqu'il manifeste des difficultés à réaliser cette sous-tâche, l'enseignante lui propose une méthode consistant à représenter les deux cardinaux des constellations sur les doigts de ses mains puis de compter l'ensemble à partir de « un », ou encore à réaliser un surcomptage. Ces procédures ont été systématiquement guidées par l'enseignante et choisies intentionnellement dans le but de pallier aux difficultés de Julien.

En ce qui concerne les composantes médiatives dites « modérées à nulles » correspondant à la « signalisation des caractéristiques déterminantes », au « refus d'aide », ou encore au « maintien de l'orientation », nous observons une légère diminution de chacune d'entre elles par rapport aux tâches de type B. La « signalisation des caractéristiques déterminantes » passe ainsi de 30% à 21%, et le « refus d'aide » de 26% à 21%. Ces médiations ont été mises en
place en particulier lors de la dernière activité, à savoir celle de la « constitution de la collection ». Durant cette dernière sous tâche, nous avons pu observer que Julien était capable de créer des collections de poissons sans avoir besoin d'une aide systématique de l'enseignante, d'où une modération du soutien.

Ce que nous pouvons conclure de cette analyse de la composante médiative reflète la logique de la pratique de l'enseignante. Cette logique est fondée sur la mise en place d'un accompagnement à tendance « forte » lorsque l'élève n'arrive pas à se débrouiller tout seul, afin de maintenir l'objectif d'apprentissage. Ce principe se constate notamment lors de la reconnaissance des constellations dont le cardinal est supérieur ou égal à 4, ou lors de la détermination du cardinal de la réunion des deux constellations des dés. Dans ces deux cas, l'enseignante reste toujours disposée à guider la démarche de Julien. Toutefois, lorsque l'élève se montre en capacité d'accomplir la démarche, l'enseignante réduit son accompagnement et accorde plus de liberté à Julien. C'est notamment le cas dans la dernière sous tâche : la constitution de la collection des poissons.

Le croisement des interventions de l'enseignante et de la performance de Julien donne un nouveau point de vue sur nos interprétations. Nous en donnons une synthèse chiffrée dans le tableau suivant :

<table><caption>Tableau 43 : Réussites et échecs de Julien suivant les interventions de l'enseignante (Tâches de type C, 2ème année)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Nature des interventions de l'enseignante<br>au cours des tâches de type C<br>(2ème année)</th><th colspan="4">Performances de Julien</th><th colspan="2">Total des<br>interactions</th></tr><tr><th colspan="2">Réussites</th><th colspan="2">Erreurs</th><th colspan="2"></th></tr></thead><tbody><tr><td>La réduction des degrés de liberté</td><td>54</td><td>56%</td><td>42</td><td>44%</td><td>96</td><td>29%</td></tr><tr><td>La démonstration ou présentation de modèles</td><td>43</td><td>63%</td><td>25</td><td>37%</td><td>68</td><td>21%</td></tr><tr><td>Le maintien de l'orientation</td><td>14</td><td>54%</td><td>12</td><td>46%</td><td>26</td><td>8%</td></tr><tr><td>La signalisation des caractéristiques déterminantes</td><td>44</td><td>63%</td><td>26</td><td>37%</td><td>70</td><td>21%</td></tr><tr><td>Le refus d'aide</td><td>39</td><td>57%</td><td>29</td><td>43%</td><td>68</td><td>21%</td></tr><tr><td><strong>Ensemble</strong></td><td>194</td><td>59%</td><td>134</td><td>41%</td><td>328</td><td>100%</td></tr></tbody></table>

Nous pouvons observer de manière globale un pourcentage de réussites et d'échecs chez Julien respectivement de 59% et 41%. Un examen des réussites selon la nature de l'accompagnement reflète des chiffres assez voisins de la tendance générale, on a donc une faible fluctuation ou variation selon cette nature. Nous obtenons ainsi un minimum de 54% de
réussite lorsque l'aide correspond à un « maintien de l'orientation » et un maximum de 63% lorsque l'aide correspond à une « démonstration ou présentation de modèles » ou encore à une « signalisation des caractéristiques déterminantes ». Ces taux de réussite témoignent à la fois du progrès de l'élève quant à son autonomie, mais aussi à l'ajustement du degré de l'aide de l'enseignante qui, manifestement, essaie d'aider ni trop ni trop peu. Nous pouvons notamment observer ces deux phénomènes en notant que 57% des réussites sont obtenues sans aucune aide de l'enseignante (« refus d'aide »), ce qui correspond à une augmentation de 10 points de pourcentage par rapport au même contexte des tâches précédentes de type B : d'une part le pourcentage de réussite sans aide est analogue au pourcentage de réussite avec aide (Julien ne se démobilise pas quand il est seul à agir) et l'enseignante ne le sur-encadre ni ne le sous-encadre (il ne réussit en proportion ni mieux ni moins bien quand il est seul que quand il est aidé). Ces résultats reflètent donc la pertinence des interventions de l'enseignante dans les processus d'apprentissage de Julien.

### 3.3.2.3.3.2. Analyse des activités de l'enseignante qui relèvent de la composante relationnelle-affective

L'analyse de la composante relationnelle-affective des pratiques de l'enseignante tend à révéler sa façon d'intervenir afin de soutenir la conduite de Julien sans lien direct avec le savoir mis en jeu. Les deux fonctions d'étayage concernées dans cette analyse reposent sur l'« enrôlement » et le « contrôle de la frustration ». L'étude porte sur les mêmes interactions que lors de l'analyse précédente, à savoir les 328 interactions issues des 32 épisodes filmés. Les résultats obtenus sont rassemblés dans le tableau suivant :

<table><caption>Tableau 44 : Étayages de l'enseignante relevant de la composante relationnelle-affective (Tâches de type C, 2ème année)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Contexte des tâches de type C (2ème année)</th><th colspan="4">Composante relationnelle-affective de l'enseignante</th><th colspan="2">Total des interactions</th></tr><tr><th colspan="2">Enrôlement</th><th colspan="2">Contrôle de la frustration</th><th rowspan="2">Total des interactions</th></tr></thead><tbody><tr><td>Jeu : « Sauver les poissons ! »</td><td>262</td><td>80%</td><td>66</td><td>20%</td><td>328</td><td>100%</td></tr></tbody></table>

Dans ces tâches de type C les interventions de l'enseignante visent à soutenir en très grande majorité l'enrôlement de Julien à hauteur de 80% des interactions (soit 262 interactions sur 328). Cette proportion est importante en comparaison à celle observée pour les tâches de type A où le taux était de 43%.
La recherche d'enrôlement de Julien s'exprime à la fois par le guidage de ses actions, par un questionnement, mais également au moyen de reformulations. Les aides visant l'enrôlement sont notamment apparues lorsqu'Élodie s'est aperçue que Julien pouvait tenter de contourner les règles du jeu alors qu'il rencontrait des difficultés à déterminer le cardinal des deux collections des dés et alors qu'il était motivé pour gagner le jeu et sauver les poissons. L'enseignante a par ce principe voulu contrôler la bonne réalisation du jeu et engager Julien à en respecter les règles. Cette recherche d'enrôlement a été d'autant plus forte que l'enseignante a cherché à établir un rythme de jeu régulier, afin d'obtenir une activité de l'élève qui soit « fluide ». Il lui a fallu pour cela amener Julien à la réussite assez rapide des sous-tâches afin qu'il éprouve du plaisir à jouer, c'est-à-dire à réaliser la tâche complète, mais aussi qu'il éprouve la satisfaction d'avoir réalisé la tâche (dimension affective de son activité).

### 3.3.2.3.3.3. Analyse de la composante cognitive

Au cours des tâches de type C, l'enseignante a visé le travail d'une situation additive. Le niveau de complexité des tâches de ce type est plus important que celui des tâches précédentes (A et B) puisque trois sous-tâches mathématiques s'enchaînent pour constituer la tâche globale. À chacune de ces sous-tâches correspond un objectif d'apprentissage : 1°) la reconnaissance des constellations de chacun des dés (à défaut de reconnaissance, l'élève peut déterminer le nombre indiqué en dénombrant les points présents sur la face du dé) ; 2°) la détermination de la somme des cardinaux des deux constellations qui est égale au cardinal de la réunion des deux collections (cette somme peut donc être déterminée par comptage, surcomptage ou calcul) ; 3°) la création d'une collection de poissons à sauver dont le cardinal est le nombre déterminer à l'étape précédente.

Deux aspects, toutefois dépendants, peuvent être distingués pour l'analyse de ce type de tâches : l'aspect ludique et l'aspect cognitif. Le jeu constitue indéniablement un moteur important de l'activité de Julien, en lien avec la satisfaction recherchée par le fait de gagner, mais aussi en lien avec l'intérêt de réaliser des tâches mathématiques : par exemple, additionner les nombres affichés par les dés pour savoir combien de poissons on pourra sauver. Pour un élève en grande difficulté comme Julien, le jeu permet de donner un sens à son activité mathématique ainsi qu'aux savoirs sous-jacents, il lui permet de s'investir davantage que si la demande n'était pas motivée (additionner seulement pour connaître la
somme). Du point de vue cognitif, pour chacune des sous-tâches, nous avons noté une diversité de procédures possibles correspondant à une pluralité de niveaux d'acquisition du nombre ; cette multiplicité des procédures permet à l'enseignante d'ajuster son niveau d'exigence aux capacités de l'élève, elle permet aussi le contrôle du résultat obtenu, et donc une validation indépendante du jugement de l'enseignante. Dans la première sous-tâche, par exemple, l'objectif est que Julien reconnaisse les constellations du dé, c'est-à-dire qu'il soit capable d'associer un nombre à une constellation, ce nombre pouvant être trouvé s'il n'est pas connu ou retrouvé s'il est connu car c'est précisément le cardinal de la collection des points qui composent la constellation. Cette caractéristique est fondamentale du point de vue de l'action de l'enseignante : cela lui permet d'aider l'élève, d'être à ses côtés pour réaliser la tâche, sans dénaturer la réussite puisque la validation est indépendante de l'enseignante. Nous ne détaillons pas les procédures possibles pour les autres sous-tâches, le travail a déjà été réalisé lors de l'analyse *a priori* des tâches de type C.

Un autre intérêt que l'enseignante perçoit pour ce type de tâches repose sur le fait que même si Julien n'a pas toutes les connaissances pour arriver à résoudre le problème posé de façon optimale, le fait qu'il puisse convoquer des connaissances antérieures et réaliser la tâche malgré tout, va contribuer à l'implication de l'élève, au développement de ses capacités d'anticipation et de raisonnement. L'enseignante suppose que tout cela va influencer positivement sa perception de lui-même et de ses possibilités d'agir mathématiquement pour résoudre les problèmes posés.

Au bilan, en dépit de la complexité importante des tâches de type C, nous observons que le fait de les avoir proposées à Julien reste cohérent avec la programmation par l'enseignante de son apprentissage du nombre et de ses décompositions (première étape vers le calcul) à la suite des tâches de type A et B. Nos analyses montrent qu'une logique relative au cognitif sous-tend cette progression établie en fonction des réussites et des apprentissages de Julien. À chaque type de tâches, l'enseignante tend à augmenter la complexité des situations pour viser des connaissances plus élaborées, mais de façon telle que les connaissances acquises restent efficaces, ce qui lui permet de faire l'hypothèse qu'elle pourra interagir avec lui dans sa zone proximale de développement et d'ajuster son enseignement et ses exigences en fonction de la difficulté perçue quitte à ce qu'elle prenne elle-même en charge une partie du travail à réaliser.
Signalons enfin que, contrairement à ce qui avait été observé précédemment, l'enseignante a réussi à trouver du matériel mieux adapté aux difficultés praxiques de l'élève pour la tâche de constitution d'une collection de cardinal donné. Cela a permis à Julien de consolider ses connaissances quant au dénombrement (synchronisation du geste et du comptage verbal), ainsi que son autonomie dans la réalisation de cette tâche. Cela lui a même permis de s'autocorriger lorsqu'il n'était pas sûr de la quantité dénombrée en recomptant les poissons par lui-même. On peut en déduire que ce type de tâches associé avec le matériel en question à contribuer à une meilleure maîtrise de la réalisation de la troisième et dernière sous-tâche. Rappelons toutefois que la taille des dés était trop petite pour permettre à Julien de dénombrer les constellations correctement, et par conséquent pour mettre en lien la constellation, le nombre qu'elle représente et son cardinal.

## 3.4. Troisième année : Novembre 2014 à juin 2015

Au cours de cette dernière année scolaire d'enseignement, deux types de tâches ont été mis en place et observés pour notre étude de l'enseignement-apprentissage du nombre et du calcul par, respectivement, Élodie l'enseignante et Julien l'élève. L'un de ces types de tâches a déjà été proposé l'année précédente, il s'agit des tâches de type C dont la tâche emblématique était de « Sauver les poissons ! » ; quant au second, il s'agit d'un nouveau type de tâches que l'on notera D et que nous décrivons plus loin. Nous rappelons que les tâches de type C avaient pour objectif de « créer une collection d'objets dont le cardinal est le résultat d'une addition à effectuer ». Pour les tâches de type D, l'objectif est de « déterminer le cardinal de deux collections réunies, et d'associer le résultat à son écriture chiffrée ».

Les séances portant sur les tâches de type C se sont déroulées de novembre 2014 à juin 2015. Celles de type D ont été proposées de mars à juin 2015.

Il faut signaler que pour cette dernière année d'enseignement, 16 séances de vidéo concernant l'acquisition du nombre et du calcul ont été observées. Afin de conserver le critère de sélection des séances observées utilisé pour les périodes précédentes, nous avons retenu seulement les séances « complètes », c'est-à-dire comprenant un début et une clôture.

Compte tenu des bons résultats obtenus au cours des tâches C l'année précédente en termes d'engagement chez Julien, l'enseignante a décidé, pour cette dernière année, de poursuivre avec des tâches sous forme de jeu. Elle a ainsi réintroduit le jeu « Sauver les poissons ! » des
tâches de type C puis, en milieu d'année, l'enseignante a introduit deux nouveaux jeux correspondant aux tâches de type D : « La cage aux nombres » et « Le douze barré ». À la différence du jeu « Sauver les poissons ! » où Julien jouait seul, l'enseignante introduit avec ces nouveaux jeux une réalisation « à tour de rôle » : l'enseignante joue alors avec l'élève en ayant un rôle de « compétitrice ».

Le tableau ci-dessous résume les types de tâches proposées, ainsi que le nombre de séances et d'épisodes filmés durant cette dernière année :

<table><caption>Tableau 45 : Types de tâches proposées durant la 3ème année d'enseignement</caption><thead><tr><th>Troisième année</th><th colspan="2">Novembre 2014 à juin 2015</th></tr></thead><tbody><tr><th scope="row">Type de tâches proposées</th><td>Tâches de type C</td><td>Tâches de type D</td></tr><tr><th scope="row">Objectif</th><td>« Créer une collection d'objets dont le cardinal est le résultat d'une addition à effectuer »</td><td>« Déterminer le cardinal de deux collections réunies et associer le résultat à son écriture chiffrée »</td></tr><tr><th scope="row">Nombre d'épisodes filmés</th><td>8 séances correspondant à 29 épisodes de jeu</td><td>8 séances correspondant à 56 épisodes de jeu</td></tr><tr><th scope="row">Périodes</th><td>Novembre 2014 à juin 2015</td><td>Mars 2015 à juin 2015</td></tr></tbody></table>

Pour cette dernière année d'enseignement d'Élodie, nous avons donc retenu 8 séances portant sur des tâches de type C, soit 29 épisodes de jeu représentant 59 minutes et 26 secondes de vidéo. Pour les tâches de type D, nous avons retenu 8 séances, soit 56 épisodes de jeu, représentant 91 minutes et 15 secondes de vidéo.

Abordons dès à présent les tâches de type C qui ont été proposées.

### 3.4.1. Tâches de type C : Créer une collection d'objets dont le cardinal est le résultat d'une addition à effectuer

Ce type de tâches déjà proposé au cours de l'année précédente a permis de mettre en lumière quelques progrès chez Julien. Son autonomie au travail, l'acquisition de certaines connaissances numériques relatives au calcul et au dénombrement des quantités jusqu'à 10 se sont améliorées. De même, du côté d'Élodie, nous avons observé des ajustements plus pertinents lors de ses interventions.
Rappelons que l'objectif visé par l'enseignante est de permettre à Julien de comprendre, d'une part que la réunion de deux collections a pour cardinal la somme des cardinaux de chaque collection, et d'autre part qu'il est possible de désigner un nombre à partir d'une de ses décompositions.

Dorénavant, l'enseignante envisage que Julien puisse passer de l'utilisation des procédures de comptage aux procédures de calcul. Le calcul, comparativement au comptage, exige un plus haut niveau de symbolisation et d'abstraction. L'élève doit être capable d'opérer directement sur les quantités sans nécessairement en avoir des représentations concrètes sous les yeux. Même si cet objectif est poursuivi par l'enseignante, l'utilisation des constellations de dés exprime la volonté d'Élodie de permettre à Julien dans un premier temps d'intérioriser visuellement les décompositions des premiers nombres avant d'opérer sur ces quantités.

Rappelons que le jeu « Sauver les poissons ! » consiste à lancer deux dés et à donner le cardinal de la réunion des deux constellations, puis à sauver le nombre de poissons correspondant au cardinal trouvé. La reprise, durant cette troisième période scolaire, de cette situation s'explique par l'intérêt et le plaisir qu'elle a suscité chez Julien précédemment. Pour cette dernière année d'enseignement, l'objectif d'Élodie est de permettre à Julien de continuer à apprendre et de consolider ses connaissances en y trouvant des satisfactions. Pour la réalisation des tâches de type C, les compétences suivantes sont à mobiliser : la reconnaissance des constellations des dés, la composition et décomposition d'un cardinal, le dénombrement des quantités. Même si ces connaissances ont déjà été abordées par l'enseignante, nous savons qu'elles ne sont pas entièrement stables chez Julien.

Procédons maintenant à l'analyse des tâches de type C durant cette dernière année.

### 3.4.1.1. Les tâches de type C et leur contexte : Le Jeu « Sauver les poissons ! »

Pour le jeu « Sauver les poissons ! », l'enseignante envisage d'utiliser les mêmes matériels que ceux de l'année précédente. Ces derniers sont constitués : de petits poissons (plus précisément des animaux marins, mobiles, de différentes formes et couleurs), de petites boites rondes métallisées qui représentent « les petites maisons » et d'une grande boite qui représente « la prison des poissons ».
À la différence de l'année précédente, l'enseignante a proposé à Julien cette fois-ci de lancer deux types de dés. Le premier type est constitué de deux petits dés classiques, le second d'un « grand dé » et d'un petit dé classique. Le « grand dé » a été spécialement conçu par l'enseignante elle-même et ne présente sur ses faces que les constellations de cardinal 1 et 2. L'enseignante désire par ce biais travailler la décomposition et composition additives des quantités sous la forme « n+1 », « n+2 », par exemple : « 4+2 », « 5+1 », « 6+2 », etc. À cet effet, Élodie demande à l'élève de lancer tout d'abord le petit dé classique et ensuite le « grand dé ».

L'enseignante met également à disposition sur la table une bande où est représentée la « dizaine » (10 points séparés, alignés et consécutifs). Cette bande a déjà été utilisée par l'élève au cours d'exercices précédents dans le but de représenter la dizaine.

La photographie ci-dessous illustre le matériel proposé par l'enseignante pour les tâches de type C :
<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Figure 14 : Les petits poissons, « les petites maisons », les dés, le grand dé et la bande de la dizaine utilisés pour le jeu « Sauver les poissons ! » (Tâches de type C, 3ème année)</figcaption></figure>

La règle de jeu donnée par l'enseignante au cours de cette troisième et dernière période reste la même que celle de la période précédente, à savoir : « Nous allons sauver des petits poissons. Il faut lancer les deux dés. Il faut dire exactement le bon nombre et sortir exactement le bon nombre de poissons. Autrement, la prison se referme et nous perdrons les petits poissons ».

Comme nous l'avons constaté au cours de l'année précédente, la consigne est fermée et les sous-tâches sont explicitées dans l'énoncé, toutefois il s'agit d'une tâche complexe pour Julien impliquant plusieurs connaissances à mettre en fonctionnement. Des connaissances qui, comme nous l'avons constaté par l'analyse de ses activités durant l'année précédente, ne sont pas encore stables chez l'élève, notamment la reconnaissance des constellations de dés et la détermination du cardinal de la réunion de deux collections.
### 3.4.1.2. Analyse *a priori* des tâches de type C

L'analyse *a priori* des tâches de type C de cette troisième année suivra le même fil conducteur que celui de l'année précédente, tout en se focalisant sur les éléments propres à cette nouvelle période.

Ainsi nous distinguons toujours trois activités dans la réalisation des tâches de ce type qui sont : 1°) la reconnaissance distinctive des constellations des dés, 2°) la détermination du cardinal de la réunion des deux collections des dés, 3°) la constitution de la collection des poissons à sauver selon le cardinal déterminé.

L'analyse *a priori* se focalisera sur ces trois activités, qui mettent en fonctionnement le nombre. Les différentes procédures que l'élève pourrait mettre en œuvre en lien avec les actions à mener seront également analysées.

#### 3.4.1.2.1. Procédures pour reconnaître les constellations

Nous avons vu précédemment que l'enseignante a modifié le milieu de travail de Julien par rapport à celui de l'année précédente en ajoutant un nouveau critère lié au lancement des dés, selon que le lancer effectué porte sur deux dés classiques ou sur un grand dé accompagné d'un second dé classique. En tenant compte de ce facteur nous pouvons distinguer différentes procédures que l'élève peut mettre en place. Nous les détaillons ci-après.
## Utilisation de deux petits dés classiques :

Après avoir lancé deux petits dés classiques, Julien peut utiliser deux types de procédures afin de déterminer le nombre associé à chaque constellation affichée par les deux dés. Premièrement, l'élève peut dénombrer un à un les points de la constellation. Cette procédure n'apparaît pas très probable. Lors de l'analyse de la réalisation de cette sous-tâche effectuée l'année précédente, nous avions en effet constaté les grandes difficultés de Julien à effectuer l'énumération – et donc le dénombrement – des points, du fait de la petite superficie du dé et de la disposition des points des constellations à partir de quatre. Élodie avait tenté dans ces cas-là de fournir un guidage du pointage et de l'énoncé de la comptine verbale, mais, devant les difficultés rencontrées par Julien, elle avait finalement décidé d'abandonner cette procédure et s'était résignée à désigner elle-même le mot nombre des constellations de chacun des dés.

Deuxièmement, l'élève pourra indiquer directement les constellations des deux dés après les avoir directement reconnues. Cette démarche est tout à fait envisageable pour Julien pour les petites quantités. Dans l'analyse précédente, nous avions en effet constaté pour ce type de tâches que Julien arrivait à reconnaitre systématiquement les constellations des dés pour les cardinaux 1, 2, 3. Pour les constellations 4, 5 et 6, cette reconnaissance restait encore instable, c'est sur ce point sans doute que l'action de l'enseignante sera portée durant cette nouvelle période.

## Utilisation d'un petit dé classique et du « grand dé » :

Dans le cas où Julien doit utiliser à la fois un petit dé classique et un « grand dé », peu d'éléments nouveaux sont à apporter à l'analyse *a priori* de cette phase du déroulement de la tâche. L'élève pourra énumérer les points des constellations du petit et du grand dé ou reconnaître directement les constellations. Nous pouvons supposer que Julien n'aura pas de difficulté quand les constellations seront celles du 1 ou du 2 (ce qui sera toujours le cas avec le grand dé) ou même du 3, que ce soit par reconnaissance immédiate ou par dénombrement un à un des points de la constellation. En revanche pour les autres constellations du petit dé classique, nous renouvelons les indications données précédemment.
3.4.1.2.2. Procédures pour déterminer le cardinal de la réunion de deux collections de dés

Afin de déterminer le cardinal de la réunion des collections affichées par les deux dés, Julien aura à sa disposition trois types de procédures possibles. L'un relève de la reconnaissance globale, un autre du comptage ou du surcomptage et le dernier du calcul. Nous les détaillons ci-dessous.

Procédure qui relève de la reconnaissance globale immédiate :

Nous pouvons envisager que l'élève appréhende globalement la collection formée par les points des deux dés et en détermine directement le cardinal. Cette perception immédiate (subitizing) est en effet opératoire pour des affichages de dés qui n'excèdent pas quatre, c'est-à-dire « 1+1 », « 1+2 » ou « 2+1 », « 2+2 », « 3+1 » ou « 1+3 ». Compte tenu de ce que nous savons des connaissances de Julien, cette technique est tout à fait envisageable, notamment pour les quantités jusqu'à 3.

Procédures qui relèvent du comptage ou du surcomptage :

La première procédure relevant du comptage est celle qui consiste à dénombrer directement les points des constellations affichées par les dés. Cette procédure, nous l'avons vu, est peu réaliste pour Julien si le dé standard affiche un nombre supérieur à trois, et cela à cause de ses troubles praxiques et visuels.

Une première procédure envisageable est la représentation des constellations des deux dés à l'aide d'éléments comme des jetons, des bâtons, etc. en utilisant la correspondance terme à terme ou l'analogie des constellations. Il revient ensuite à l'élève de dénombrer l'ensemble des éléments ainsi rassemblés. En tenant compte des connaissances de Julien, cette procédure apparaît tout à fait envisageable, lors de l'analyse des tâches de type C, au cours de la deuxième année, nous avions observé que, d'une part, Julien avait été capable de reconnaitre et de représenter quelques constellations de dés, et que, d'autre part, il avait pu dénombrer des quantités jusqu'à 10.

Une deuxième procédure envisageable pour Julien consiste à représenter les quantités issues des deux constellations des dés à l'aide de ses propres doigts ou des doigts de l'enseignante, puis à compter l'ensemble. Nous avons déjà observé qu'en dépit des difficultés rencontrées
lors du comptage digital, cette technique a davantage été utilisée par Julien au cours de l'année précédente pour ce type de tâches.

Une dernière technique envisageable repose sur la mise en place d'une organisation mentale de la tâche à réaliser par l'élève pour déterminer le cardinal : partir du nombre affiché par le petit dé et surcompter en fonction du nombre affiché par le grand dé. Supposons, par exemple, que le petit dé affiche 3 et l'autre 2, l'élève pourra alors conduire le raisonnement suivant : « *Je mets 3 dans ma tête pour le petit dé, je compte ensuite à partir de 3 les points de l'autre dé, quatre, cinq, j'ai alors cinq points* ». Cette technique de surcomptage avait déjà été proposée l'année précédente par l'enseignante, mais nous avions constaté que Julien ne la mobilisait pas, il avait du mal à comprendre ce qu'il faisait s'il ne comptait pas à partir de 1.

## Procédures qui relèvent du calcul :

Le troisième type de procédures utilisables par Julien relève du calcul. Parmi ces procédures, commençons par détailler celles qui consistent à utiliser une itération simple ou double de l'unité. L'itération simple a été utilisée au cours de l'année précédente sur la tâche de type C, cela nous a permis d'observer une bonne maîtrise chez Julien des relations numériques de la forme $n+1$ avec l'aide de l'enseignante : à titre d'exemple, « *J'ai six, j'ajoute encore un, ça fait sept* ». Rappelons que cette technique demande à l'élève de comprendre que l'ajout d'une nouvelle unité à une collection renvoie au nom du cardinal qui suit celui de la collection initiale dans la comptine numérique. Comme le grand dé ne possède que des faces indiquant 1 ou 2, on peut supposer que Julien procède par ce calcul quand le grand dé affiche 1, calcul qu'il pourra effectuer à deux reprises si le grand dé affiche 2 : à titre d'exemple, « *J'ai six affiché sur le petit dé, j'ajoute un, ça fait sept, et encore un, ça fait huit* ».

Une autre procédure qui relève du calcul consiste à utiliser des résultats mémorisés, par exemple savoir que « 6+1=7 » et en déduire que « 6+2=8 ». Toutefois, nous avons déjà constaté lors de nos analyses des activités réalisées par Julien au cours de l'année précédente que cette technique n'était pas envisageable pour lui par le fait qu'il exprime systématiquement le besoin d'une représentation matérielle ou visuelle des quantités pour agir sur elles.
### 3.4.1.2.3. Procédures pour créer la collection de poissons

Pour la création de la collection des poissons, les procédures possibles ont déjà été indiquées lors de l'analyse *a priori* de la tâche proposée l'année précédente avec deux petits dés. Nous avions distingué quatre types de procédures que Julien pouvait utiliser : une procédure primitive consistant à prendre approximativement le nombre de poissons cherchés ; une procédure par reproduction des constellations des dés avec les poissons, procédure qui permet de s'affranchir de toute opération numérique ; une procédure utilisant la bande numérique pour avoir autant de poissons que le nombre indiqué par les dés ; et enfin une procédure utilisant le dénombrement un à un des poissons jusqu'à atteindre le nombre indiqué par les dés.

Compte tenu des progrès effectué par Julien au cours de l'année précédente, nous écartons l'hypothèse qu'il procède approximativement. Nous écartons aussi la possibilité qu'il reproduise spontanément les constellations des dés avec les poissons, il n'a jamais pris l'initiative de ce type de procédures, sans doute à cause de son trouble visuel. Il reste donc envisageable que Julien utilise la procédure qui repose sur l'utilisation de la bande numérique afin de créer la collection des poissons, cette procédure est économique quant aux connaissances à mobiliser, mais elle demande néanmoins la rétention du cardinal, sauf si Julien commence par le nombre représentatif du cardinal de la somme des deux dés pour positionner le premier poisson. L'autre méthode envisageable consiste donc à réaliser directement le dénombrement des poissons. Cette technique a régulièrement été utilisée par l'élève au cours des tâches de type B et C dont les réalisations ont été analysées précédemment. Le matériel composé de poissons de couleurs différentes et des « petites maisons » s'est révélé facilitant, pour le déplacement de ces derniers, mais également pour leur visualisation afin de repérer les éléments déjà comptés de ceux qui restent à compter.

### 3.4.1.3. Analyse du déroulement des tâches de type C

Ce type de tâches a été repris par l'enseignante de novembre 2014 à juin 2015. Dans le cadre de notre analyse, 8 séances dites « complètes » ont été sélectionnées, ce qui correspond à 29 épisodes de jeu. Nous rappelons qu'un épisode représente une séquence de jeu intégral, depuis le lancement des dés jusqu'à la « sauvegarde » des poissons dans leur « maison ».
Ci-dessous est présenté un récapitulatif du contexte proposé et du nombre d'épisodes de jeu observés :

<table><caption>Tableau 46 : Dates et effectifs des tâches de type C proposées selon les contextes (3ème année)</caption><thead><tr><td>Tâches de type C (3ème année)</td><td>Nombre de séances sélectionnées</td><td>Nombre d'épisodes de jeu</td><td>Période</td></tr></thead><tbody><tr><td>Jeu : « Sauver les poissons ! »</td><td>8</td><td>29</td><td>Novembre 2014 à juin 2015</td></tr></tbody></table>

Notre analyse est organisée comme celle des séances de l'année précédente pour le même type de tâches, à savoir deux types d'études : l'une portant sur les activités de l'élève et l'autre portant sur les activités de l'enseignante. Pour l'élève, nous avons réalisé une analyse quantitative et qualitative de ses réussites et de ses échecs au cours de son activité, ainsi que de la qualité de sa communication avec l'enseignante. Les analyses des activités de l'enseignante quant à elles comportent : une composante médiative qui porte sur ses interactions avec Julien en ce qui concerne le savoir en jeu ; une composante relationnelle-affective qui porte sur ces mêmes interactions, mais cette fois en ce qui concerne les aspects affectifs et relationnels établie avec l'élève ; et une composante cognitive basée sur l'analyse de ses choix didactiques.

Nous commencerons notre analyse par l'étude des activités de Julien.

### 3.4.1.3.1. Analyse du déroulement : les activités de l'élève

Nous avons analysé l'intégralité des 8 séances correspondant à 29 épisodes de jeu filmés sur une durée de 59 minutes et 26 secondes de vidéo, soit en moyenne 7 minutes et 18 secondes par séance pour un total de 245 interactions entre l'élève et l'enseignante, représentant ainsi une moyenne de presque 31 interactions par séance ou encore de 4 interactions par minute.

Comme nous l'avons déjà mentionné dans nos analyses précédentes, l'autonomie complète de Julien dans la réalisation d'une tâche est très rare. L'accompagnement de l'enseignante reste ainsi omniprésent. L'analyse de l'activité de Julien tient donc fortement au type ou au degré d'accompagnement apporté par l'enseignante. Ainsi, un accompagnement « modéré » révèle une assez grande autonomie de l'élève, alors qu'un accompagnement « fort » révèle un degré important de dépendance vis-à-vis de l'enseignante.

La première analyse de l'activité de Julien consiste en une étude quantitative de sa performance à chaque interaction tout en tenant compte de la force de l'accompagnement de
l'enseignante et en distinguant les réussites et les échecs selon les objectifs fixés par ce type de tâches. Comme au cours de la période précédente nous avons distingué quatre objectifs : 1°) la compréhension de la consigne initiale ; 2°) la reconnaissance des deux constellations des dés ; 3°) la détermination du cardinal de la réunion des constellations des dés, et 4°) la constitution de la collection des poissons.

Les résultats obtenus sont synthétisés dans le tableau suivant :

<table><caption>Tableau 47 : Réussites et échecs de Julien par sous-tâche et par degré d'accompagnement de l'enseignante (Tâches de type C, 3ème année)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Sous-tâches de type C (3ème année)</th><th colspan="6">Réussites</th><th colspan="6">Échecs</th><th colspan="2">Total des interactions</th></tr><tr><th>Acc. modéré</th><th>Acc. fort</th><th>Total</th><th>Acc. modéré</th><th>Acc. fort</th><th>Total</th><th>Acc. modéré</th><th>Acc. fort</th><th>Total</th><th></th><th></th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>Compréhension de la consigne initiale</td><td>9/29 31%</td><td>8/29 28%</td><td>17/29 59%</td><td>8/29 28%</td><td>4/29 14%</td><td>12/29 41%</td><td>29 12%</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Reconnaissance distinctive des deux constellations des dés</td><td>25/83 30%</td><td>31/83 37%</td><td>56/83 67%</td><td>7/83 8%</td><td>20/83 24%</td><td>27/83 33%</td><td>83 34%</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Détermination du cardinal de la réunion des deux constellations des dés</td><td>36/79 46%</td><td>17/79 22%</td><td>53/79 67%</td><td>17/79 22%</td><td>9/79 11%</td><td>26/79 33%</td><td>79 32%</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Constitution de la collection des poissons</td><td>36/54 67%</td><td>6/54 11%</td><td>42/54 78%</td><td>8/54 15%</td><td>4/54 7%</td><td>12/54 22%</td><td>54 22%</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Ensemble</td><td>106 43%</td><td>62 25%</td><td>168 69%</td><td>40 16%</td><td>37 15%</td><td>77 31%</td><td>245 100%</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Nous détaillons ci-après les analyses relatives à ce tableau.

### 3.4.1.3.1.1. Compréhension initiale de l'énoncé

De même que pour les types de tâches analysées précédemment (tâches de type A, B et C), nous observons peu d'interaction entre l'élève et l'enseignante en ce qui concerne la compréhension de la consigne initiale (29 interactions sur 245 au total). Nous avions auparavant indiqué que Julien tend à agir vite, même s'il n'a pas compris la consigne, et que c'est par les interactions liées aux premières actions que Julien comprend ce qui lui est demandé. Pour cette tâche qui a déjà été réalisée antérieurement, une hypothèse différente pourrait être proposée pour interpréter ce peu d'interactions, il pourrait en effet être dû au fait que Julien ait globalement compris la consigne initiale de la tâche, cette consigne étant analogue à celle utilisée précédemment avec pour seul changement la taille du deuxième dé. Les réussites et la nature des accompagnements nous permettront de confirmer ou d'infirmer cette hypothèse.
En ce qui concerne les réussites et les échecs de Julien quant à la compréhension de la consigne initiale, nous observons 59 % de réussites (soit 17 réussites sur 29 interactions). Ces résultats sont similaires à ceux enregistrés au cours de l'année précédente pour ce même type de tâches (il avait obtenu 60% de réussites). Notons également que 31% des interactions correspondent à une réussite avec un accompagnement « modéré » de l'enseignante (soit 9 réussites sur 29 interactions) et 28% (soit 8 interactions sur 29) correspondent à des réussites avec un accompagnement « fort ». Le degré d'accompagnement de l'enseignante au cours de cette période diffère de la précédente avec un accompagnement « modéré » en baisse de 8 points et un accompagnement « fort » en augmentation de 7 points de pourcentage. Ces résultats tendent à invalider l'hypothèse d'une meilleure autonomie liée à une connaissance antérieure du type de tâches l'observation des vidéos montrent qu'ils sont liés au fait que Julien prend un peu plus de temps à se concentrer pour démarrer la tâche. Nous avons régulièrement observé en effet que lorsque l'enseignante est en train de donner la consigne à Julien, ce dernier reste souvent en train de jouer (avec ses robots et ses voitures), ce qui le distrait énormément. L'enseignante se rend compte de ce manque d'attention et utilise de ce fait un accompagnement plus fort afin de permettre à Julien de se concentrer et d'entrer dans la tâche. Les facteurs envisageables étant très nombreux et pas nécessairement liés à la tâche mathématique à réaliser, nous n'avons pas cherché à expliquer ici ce manque d'attention plus fréquent que durant la période précédente quant à la prise de connaissance de la tâche à réaliser. En revanche, nous restons attentifs, dans les analyses suivantes, à la réussite de Julien qui, si elle était en baisse, nous conduirait à rechercher des interprétations de ce phénomène.

### 3.4.1.3.1.2. Reconnaissance distinctive des deux constellations des dés

Pour l'activité de reconnaissance des constellations des deux dés, nous observons 67% de réussites (soit 56 interactions sur 83). Un taux de réussites important par rapport à l'année précédente, en augmentation de 20 points de pourcentage (de 47% à 67%). Le degré d'accompagnement apporté par l'enseignante relatif à ces 67% de réussites se décompose en 37% d'accompagnement « fort » (soit une hausse de 3 points en comparaison à l'année précédente), et 30% de réussite avec un accompagnement « modéré » (soit une hausse de 17 points de pourcentage). Ces résultats reflètent des progrès importants chez Julien pour cette période et cette sous-tâche. Les résultats ne semblent pas être altérés par le manque de concentration de Julien au moment de la prise de connaissance de la tâche.
L'observation des vidéos nous révèle une meilleure acquisition de la reconnaissance des constellations des dés chez Julien. Il réussit ainsi à reconnaitre plus systématiquement les constellations de type : « 1 », « 2 », « 3 », « 4 » et « 5 ». En revanche nous constatons que la reconnaissance de la constellation désignée par le cardinal « 6 » demeure plus instable. De même que pour l'année précédente, nous avons observé que lorsque que Julien lance les deux dés classiques et que les constellations affichées semblent être difficiles à reconnaitre, ce dernier modifie le résultat du lancer de dés et choisit lui-même les constellations. L'élève cherche ainsi à pallier ses difficultés dont il a conscience et dont il éprouve les effets. L'enseignante a immédiatement interdit cette action à l'élève et lui a alors proposé deux techniques pour reconnaître les constellations affichées par le dé : soit regarder les images des constellations des dés affichées sur le mur pour en faire les équivalences, soit compter les points des constellations des deux dés distinctivement puis de designer le mot nombre pour chacun de ces dés. Enfin, lorsque Julien n'arrive pas à reconnaitre les constellations en utilisant ces deux procédures, l'enseignante lui indique elle-même le mot nombre correspondant à la constellation et lui montre comment elle peut le trouver.

En termes de bilan nous retenons qu'à la différence de l'année précédente, Julien a effectué des progrès en ce qui concerne la reconnaissance des constellations des dés, en lien avec le fort taux de réussite constaté pour cette sous-tâche et cette période (67%). Même si la reconnaissance directe des constellations 1, 2, 3, 4 et 5 semble plus stable chez Julien, celle du cardinal 6 reste toujours difficile. Malgré ses réussites et tout comme au cours de la période précédente, Julien évite de se confronter à ses difficultés en contournant la règle du jeu. Cette tendance tend à montrer son désir d'éviter une situation anxiogène, un échec, voire peut-être même un sentiment d'infériorité qui pourrait affecter sa confiance en soi et son image auprès de l'enseignante. Traitons maintenant la détermination de la somme des nombres affichés par les deux dés.

### 3.4.1.3.1.3. Détermination du cardinal de la réunion des deux constellations des dés

La somme des nombres affichés par les dés est le cardinal de la réunion des constellations de points des deux faces supérieures. La détermination de ce nombre constitue une sous-tâche pour laquelle nous observons 67% de réussites (soit 53 réussites sur 79 interactions). À sous-tâche équivalente, ces résultats sont presque similaires à ceux observés au cours de l'année
précédente. Toutefois le degré d'accompagnement de l'enseignante qui lui est lié en cas de réussite varie de façon conséquente : l'accompagnement « modéré » augmente de 24 points de pourcentage (de 22% il passe à 46%) et celui de l'accompagnement « fort » diminue quant à lui de 26 points de pourcentage (de 48% il passe à 22%). Ces résultats reflètent les progrès de Julien dans l'exécution de cette sous-tâche.

Premièrement, notons que l'observation des vidéos montre que Julien n'a pas présenté de grandes difficultés à déterminer le cardinal issu de la réunion des deux petites constellations telles que : « 1+1 » et « 2+1 ». Nous remarquons aussi des réponses rapides et automatiques de Julien lorsque l'enseignante évoque verbalement des relations numériques de la manière suivante : « Nous avons un, encore un ? » ou « Nous avons deux, encore un ? ». Il semble que Julien s'appuie sur l'itération de l'unité travaillé précédemment pour réaliser ces types de calculs. Sa façon presque instinctive de répondre à l'enseignante illustre une acquisition du principe d'itération à l'unité du calcul simple et donc de la comptine numérique d'une façon conséquente.

Notons deuxièmement que l'utilisation du « grand dé » et du petit dé classique a permis de travailler les relations numériques du type « *n*+1 » et « *n*+2 ». Lors du surcomptage, l'enseignante propose de reconnaitre la constellation du dé classique, puis de surcompter en s'appuyant sur les points de la deuxième constellation affichés sur le « grand dé ». De façon générale, nous avons constaté que Julien n'a pas eu d'énormes difficultés à déterminer le cardinal cherché lorsqu'il était issu de relations de la forme « *n*+1 ». La verbalisation réalisée par l'enseignante a notamment aidé à cet apprentissage : « Nous avons 4 en mémoire, encore un, nous avons 5 » ou « montre 6 avec ta main, encore un, nous avons 7 ». Pour la relation numérique sous la forme « *n*+2 », malgré les aides de l'enseignante, la performance de Julien est restée instable.

Pour des relations numériques plus complexes (cardinal plus grand obtenu par deux dés classiques), Julien a éprouvé des difficultés à déterminer directement la somme. L'enseignante lui a alors proposé d'utiliser la technique du surcomptage pour pallier ce problème. Cette technique est en effet moins coûteuse car elle permet de travailler avec différentes quantités sans la contrainte de ne pas avoir « suffisamment de doigts » pour représenter les quantités qui dépassent la dizaine. Toutefois, comme au cours de la période précédente, cette technique du surcomptage n'a pas été utilisée par Julien, qui a
systématiquement préféré recourir à la technique basique de représentation des quantités sur les doigts de la main à partir de un.

Dans le cadre du calcul des doubles, l'enseignante a systématiquement proposé à Julien soit de réaliser le surcomptage, soit de regarder les images des doubles affichés sur le mur. C'est cette dernière technique économique qui a pris la faveur chez l'élève. Elle a notamment permis à Julien de progressivement mémoriser certains doubles tels que le double de 2 et le double de 5.

Au final, il convient de retenir d'énormes progrès manifestés par l'élève au cours de cette dernière année quant à la détermination des cardinaux. Il est vrai que l'introduction du « grand dé » en remplacement du deuxième dé classique lui a facilité la tâche, néanmoins l'objectif étant resté le même, Julien a réellement fait preuve d'une plus grande réussite autonome, nous pouvons en déduire que la tâche proposée sous cette nouvelle forme cible mieux la zone proximale de développement de Julien.

En ce qui concerne ses acquis, il semble que l'automatisation de certaines relations numériques sous la forme « n+1 » ainsi que de quelques doubles (doubles de 2 et 5) commencent à s'installer progressivement chez lui. Cela a notamment permis à ce que le jeu « Sauver les poissons ! » soit plus dynamique. Néanmoins nous avons aussi constaté que malgré des réussites et progrès importants, Julien n'arrive toujours pas pour le moment à dépasser les procédures de comptage basiques, comme celle du recomptage à partir de un. Julien reste en effet attaché à ce type de technique qui lui assure la réussite. Est-ce dû à une technique mieux maîtrisée lui procurant un plus grand sentiment de sécurité en dépit d'une lourdeur accrue ? Ou est-ce dû au fait que Julien ne parvient toujours pas à progresser dans sa compréhension du nombre, c'est-à-dire à assumer qu'il peut dénombrer une collection sans commencer par « un » s'il connaît déjà le cardinal d'une partie de la collection ? Il reste pour le moment impossible de trancher sur ces questions par les seules analyses de la partie observable de ses activités... Abordons dès à présent la sous-tâche de constitution de la collection de « poissons à sauver ».

### 3.4.1.3.1.4. Constitution de la collection des poissons

Pour cette sous-tâche consistant à constituer la collection des poissons qui pourront être libérés, après détermination du cardinal de la réunion des deux constellations des dés, nous
observons une réussite très importante de Julien. Avec un taux de 78% de réussites (soit 42 réussites sur 54 interactions), nous obtenons une augmentation de 20 points à sous-tâche identique observée au cours de la période précédente.

Parmi ces 78% de réussites, 67% d'entre elles (soit 36 interactions sur 54) correspondent à une réussite avec accompagnement « modéré » de l'enseignante, soit une augmentation de 38 points de pourcentage par rapport à la période précédente (de 29% à 67%), les 11% restants (soit 6 interactions sur 54) correspondent à des réussites avec un accompagnement « fort », soit ici une diminution de 18 points de pourcentage pour le même type d'accompagnement en comparaison à l'année précédente (de 29% à 11%). Ces résultats témoignent des progrès importants que Julien a pu accomplir au cours de cette nouvelle période.

L'analyse qualitative de ses activités apporte quelques compléments quant à la nature de ses progrès. Premièrement, nous avons observé une amélioration de la mémorisation du cardinal déterminé par réunion des deux constellations affichées par les dés. Julien arrive dorénavant à retenir plus facilement le mot nombre pour construire la collection des poissons. Il n'a plus besoin que l'enseignante le lui rappelle systématiquement comme c'était le cas pour les tâches analogues de la période précédente. Nous pouvons en inférer, d'une certaine manière, que la motivation à « sauver les poissons » mais aussi à gagner le jeu, a influencé Julien et l'a amené à être plus attentif dans la mémorisation du cardinal déterminé.

Quant à la démarche de dénombrement, nous avons constaté que la coordination du pointage et de la comptine verbale est devenue plus stable et plus fluide par rapport à la période précédente. Julien se montre ainsi de plus en plus à l'aise dans l'exécution de cette procédure. Il est également capable de vérifier son comptage quand il n'en est pas sûr et de s'autocorriger. La maitrise de la comptine numérique semble stable jusqu'à 10. Pour les nombres 11 et 12 en revanche la suite verbale des mots nombres n'est pas encore acquise.

Pour conclure, nous retenons que les performances de Julien pour cette sous-tâche ont évolué positivement. Il se montre moins tendu et plus sûr de lui. Sa motivation à gagner le jeu influence son niveau d'engagement. Il retient le cardinal et réalise le dénombrement en prenant plaisir à le faire, tout en étant capable de s'autocorriger. Au niveau de la cardinalité, il semble que Julien ait compris que le dernier mot nombre prononcé correspond au cardinal de l'ensemble des éléments (principe de cardinalité au sens de Gelman & Gallistel, 1978). Nous avons pu également observer que Julien arrive à répondre aux questions du type : « combien
de poissons as-tu comptés ? », ou encore « combien de poissons as-tu sauvés ? ». Ces questions ont été régulièrement posées par l'enseignante à Julien après dénombrement. Le fait que Julien puisse y répondre manifeste une prise de recul de l'élève sur la situation et une bonne compréhension des actions qu'il est en train de mener. Ces questions posées par l'enseignante sont un appui pédagogique à la fois pour l'élève mais aussi pour l'enseignante. Elles permettent de faire le point sur la situation et d'évaluer si l'élève a bien assimilé ce qu'il est en train de faire. Les réponses de Julien constituent pour l'enseignante un marqueur de sa progression et un indicateur de sa conduite. La preuve en est que parallèlement aux progrès de Julien nous avons constaté que les aides qu'elle apporte sont moins fortes. L'enseignante poursuit ainsi son objectif de laisser autant que possible Julien autonome dans la réalisation des tâches mathématiques.

### 3.4.1.3.2. Qualité de la communication de Julien avec son enseignante

Tout comme pour les analyses précédentes, la qualité de la communication de Julien avec son enseignante sera étudiée en prenant en compte les réactions verbales et non verbales de l'élève. Rappelons que Julien a d'importantes difficultés à s'exprimer verbalement, il réagit souvent par des gestes, des mimiques ou encore des grognements. En lien avec ses difficultés, Julien communique peu verbalement.

Le tableau suivant résume les réactions de Julien au cours des 245 interactions qui ont eu lieu avec son enseignante au cours de cette tâche de type C et de cette troisième période :

<table><caption>Tableau 48 : Les réactions de Julien au cours des tâches de type C (3ème année)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Contextes des tâches de type C (3ème année)</th><th colspan="8">Réactions de Julien</th><th colspan="2">Total des interactions</th></tr><tr><th colspan="2">Accord</th><th colspan="2">Hésitation</th><th colspan="2">Désaccord</th><th colspan="2">Non verbal</th><th rowspan="2">245</th><th rowspan="2">100%</th></tr></thead><tbody><tr><td>Jeu : « Sauver les poissons ! »</td><td>15/245</td><td>6%</td><td>10/245</td><td>4%</td><td>15/245</td><td>6%</td><td>205/245</td><td>84%</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Comme pour l'année précédente, nous observons que les expressions « non verbales » de Julien qui accompagnent la réalisation de la tâche prédominent. Elles constituent 84% de ses réactions (soit 205 interactions sur 245). Ces résultats sont similaires à ceux de la période précédente pour ces tâches de type C. Comme nous l'avons expliqué dans l'analyse précédente, ce manque d'expression verbale de la part de Julien révèle une acceptation des
modalités de gestion du jeu de l'enseignante impliquant de par ce fait un besoin moindre d'exprimer verbalement ses ressentis.

En termes d'engagement dans la tâche, Julien accorde beaucoup d'importance à gagner le jeu afin de répondre à ses propres attentes et à celles d'Élodie. Ce type de tâches engendre une motivation supplémentaire car elle soutient un enjeu, celui de sauver les poissons. Julien entreprend ainsi la tâche comme une opportunité de montrer à son enseignante ses compétences et d'obtenir ainsi son affection, son approbation. C'est pour ces raisons que Julien décide à différentes reprises de contourner la règle du jeu afin d'éviter les difficultés rencontrées : quand il ne reconnaît pas les constellations des dés, il décide par lui-même de placer une constellation qu'il connaît mieux à la place de celle présente en position face supérieure du dé. Ce geste reflète son désir d'éviter une situation difficile pouvant affecter la réussite du jeu ou encore pouvant affecter la perception de ses compétences par l'enseignante.
Abordons maintenant les activités de l'enseignante.

3.4.1.3.3. Analyse du déroulement : les activités de l'enseignante

Comme précisé précédemment, nous avant conduit l'étude des activités de l'enseignante en les appréhendant selon leur composante médiative et cognitive, telles que Robert & Rogalski les ont définies (2002). Rappelons que la composante médiative est liée au discours de l'enseignante et des échanges qu'elle entretient avec l'élève. La composante cognitive est liée quant à elle au traitement des savoirs et à l'itinéraire cognitif proposé aux élèves.

Nous avons également utilisé le concept d'étayage de Bruner (1983) et celui de zone proximale de développement de Vygotski (1934, 1997). En prenant appui sur ces fondements théoriques, nous avons catégorisé les activités de l'enseignante qui sont principalement des aides apportées à Julien afin de lui permettre de réaliser les tâches qu'il ne parvient pas à résoudre seul. À cet effet, nous les avons réparties selon les six fonctions d'étayage proposées par Bruner entre une composante médiative (pour le lien étroit des étayages avec les savoirs en jeu) et une composante affective-relationnelle (pour des aides où le lien est moins étroit).

Nous rappelons enfin que les fonctions qui relèvent de la composante médiative sont : « la réduction des degrés de liberté » ; « le maintien de l'orientation » ; « la signalisation des caractéristiques déterminantes » ; « la démonstration ou présentation de modèles » ; et « le
refus d'aide » que nous avons ajouté (l'enseignante jugeant Julien apte à réaliser la tâche de façon autonome, c'est-à-dire sans aide). Deux autres fonctions ont été repérées par Bruner, « l'enrôlement » et « le contrôle de la frustration », que nous avons attribuées à la composante relationnelle-affective.

Nous abordons ci-après, premièrement, la composante médiative de la pratique de l'enseignante, puis nous continuerons avec la composante relationnelle-affective, pour ensuite finir avec la composante cognitive.

### 3.4.1.3.3.1. Les analyses des activités de l'enseignante qui relèvent de la composante médiative

Comme pour l'analyse menée sur la période précédente, nous allons catégoriser, selon leur portée médiative, les interventions de l'enseignante dans chacune des 245 interactions relevées au cours des 29 épisodes, ce qui correspond à 59 minutes et 26 secondes de vidéo. Ce sont bien sûr toujours les mêmes interactions que celles qui ont été utilisées lors de l'analyse de l'activité de Julien. Cela nous permettra de déboucher sur une étude quantitative complétée par une analyse qualitative des activités de l'enseignante.

Cette analyse de la composante médiative reflète essentiellement le degré d'autonomie que l'enseignante accorde à l'élève dans l'exécution de la tâche. Nous considérons comme appartenant aux aides dites « fortes » les fonctions de « réduction des degrés de liberté » ou encore de « démonstration ou de présentation de modèles ». Sont catégorisées comme aides « modérées à nulles », les fonctions de « maintien de l'orientation », de « signalisation des caractéristiques déterminantes » ou encore de « refus d'aide ».

Les résultats obtenus sont regroupés dans le tableau suivant :

<table><caption>Tableau 49 : Étayages de l'enseignante relevant de la composante médiative (Tâches de type C, 3ème année)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Contexte des tâches de type C (3ème année)</th><th colspan="5">Aides fortes</th><th colspan="5">Aides modérées à nulles</th></tr><tr><th colspan="2">La réduction des degrés de liberté</th><th colspan="2">La démonstration ou présentation de modèles</th><th colspan="2">Total des interactions</th><th colspan="2">Le maintien de l'orientation</th><th colspan="2">La signalisation des caractéristiques déterminantes</th><th colspan="2">Le refus d'aide</th><th colspan="2">Total des interactions</th></tr></thead><tbody><tr><td>Jeu : « Sauver les poissons ! »</td><td>40/245</td><td>16%</td><td>40/245</td><td>16%</td><td>80/245</td><td>32%</td><td>19/245</td><td>8%</td><td>82/245</td><td>34%</td><td>64/245</td><td>26%</td><td>165/245</td><td>68%</td></tr></tbody></table>

Si nous comparons les résultats à ceux obtenus pour l'année précédente et pour ces mêmes tâches de type C, nous observons que les aides « fortes » représentent 32% des interventions
de l'enseignante sur cette dernière année contre 50% auparavant, soit une diminution de 18 points de pourcentage. Les aides « modérés à nulles » représentent donc 68% des interactions contre 50% au cours de l'année précédente, soit une augmentation de 18 points de pourcentage.

Concernant les aides utilisées par l'enseignante, deux d'entre elles – de type « modérée » – sont en nette augmentation par rapport à l'année précédente. La première correspond à la « signalisation des caractéristiques déterminantes » dont le recourt a eu lieu à hauteur de 34% (soit 82 interventions sur 245) en croissance de 13 points de pourcentage. Ce type de médiation a davantage été proposé lors de la détermination du cardinal et de la constitution de la collection des poissons pour lesquelles nous avons observé que Julien a été capable de se passer d'une aide systématique de l'enseignante. La médiation qui arrive en deuxième position est l'absence d'aide ou plus précisément le « refus d'aide » de la part de l'enseignante. Celle-ci se retrouve en augmentation de 5 points de pourcentage par rapport à la période précédente. Ce type de médiations a été proposé de façon analogue pour les 4 sous-tâches. Ces résultats révèlent le progrès de l'enseignante quant à son objectif d'atteindre autant que possible l'autonomie de Julien.

Ces médiations de type « modérées à nulles » reflètent le niveau de l'assistance apportée par l'enseignante qui évolue en fonction de la performance de l'élève. Élodie diminue la force de son accompagnement à mesure que Julien assume de plus en plus de responsabilités dans l'exécution de la tâche.

Le croisement des interventions de l'enseignante et des performances de Julien laisse apparaître une nouvelle perspective d'analyse. En voici une représentation chiffrée :
<table><caption>Tableau 50 : Réussites et échecs de Julien suivant les interventions de l'enseignante (Tâches de type C, 3ème année)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Nature des interventions de l'enseignante<br>au cours des tâches de type C<br>(3ème année)</th><th colspan="4">Performances de Julien</th><th colspan="2">Total des<br>interactions</th></tr><tr><th colspan="2">Réussites</th><th colspan="2">Erreurs</th><th rowspan="2">40/245</th><th rowspan="2">16%</th></tr></thead><tbody><tr><td>La réduction des degrés de liberté</td><td>22/40</td><td>55%</td><td>18/40</td><td>45%</td><td></td><td></td></tr><tr><td>La démonstration ou présentation de modèles</td><td>28/40</td><td>70%</td><td>12/40</td><td>30%</td><td>40/245</td><td>16%</td></tr><tr><td>Le maintien de l'orientation</td><td>12/19</td><td>63%</td><td>7/19</td><td>37%</td><td>19/245</td><td>8%</td></tr><tr><td>La signalisation des caractéristiques déterminantes</td><td>59/82</td><td>72%</td><td>23/82</td><td>28%</td><td>82/245</td><td>33%</td></tr><tr><td>Le refus d'aide</td><td>47/64</td><td>73%</td><td>17/64</td><td>27%</td><td>64/245</td><td>26%</td></tr><tr><td><strong>Ensemble</strong></td><td>168/245</td><td>69%</td><td>77/245</td><td>31%</td><td>245/245</td><td>100%</td></tr></tbody></table>

Nous pouvons observer de manière globale que les réussites de Julien s'élèvent à 69% indépendamment de la nature des interventions de l'enseignante, soit 10 points de pourcentage de plus pour la même tâche réalisée au cours de la deuxième année. On constate que les taux de réussites par nature d'intervention sont assez proches de la tendance globale (69% de réussite). Nous avons donc peu de variation de la réussite selon la nature de l'intervention, à l'exception près de la « réduction des degrés de liberté » (avec 55% de réussites). De façon générale, ces résultats témoignent, comme nous l'avons déjà remarqué, des progrès de Julien, mais aussi de la pertinence des aides apportées par l'enseignante : nous observons que ces d'aides se situent dans la zone proximale de développement de Julien, elles évoluent en effet par rapport à sa performance.

Étudions maintenant la composante relationnelle-affective de la pratique de l'enseignante.

### 3.4.1.3.3.2. Les analyses des activités de l'enseignante qui relèvent de la composante relationnelle-affective

L'analyse de la composante relationnelle-affective des pratiques de l'enseignante nous révèlent comment cette dernière soutient la conduite de Julien sans lien direct avec le savoir en jeu. Les deux fonctions d'étayage concernées par cette analyse correspondent à « l'enrôlement » et au « contrôle de la frustration ».

Cette analyse de la composante relationnelle-affective porte sur les mêmes interactions que celles de l'analyse précédente, à savoir sur les 245 interactions issues des 29 épisodes de jeu.

Les résultats obtenus sont rassemblés dans le tableau suivant :
<table><caption>Tableau 51 : Étayages de l'enseignante relevant de la composante relationnelle-affective (Tâches de type C, 3ème année)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Contexte des tâches de type C (3ème année)</th><th colspan="4">Composante relationnelle-affective de l'enseignante</th><th rowspan="2">Total des interactions</th></tr><tr><th colspan="2">Enrôlement</th><th colspan="2">Contrôle de la frustration</th></tr></thead><tbody><tr><td>Jeu : « Sauver les poissons ! »</td><td>181</td><td>74%</td><td>64</td><td>26%</td><td>245 100%</td></tr></tbody></table>

Nous observons que 74% des interventions de l'enseignante visent à soutenir l'enrôlement de Julien dans la réalisation de la tâche (soit 181 interactions sur 245) et 26% visent à soutenir le contrôle de la frustration (soit 64 interactions sur 245). Ces résultats sont similaires à ceux rencontrés l'année précédente pour ce type de tâches où nous avions 80% d'« enrôlement » et 20% de « contrôle de la frustration ». Ces résultats témoignent de la stabilité des pratiques de l'enseignante dans sa composante relationnelle-affective. Elles visent avant tout à engager l'action de Julien dans la réalisation de la tâche. Cela se manifeste notamment par une attitude ferme de l'enseignante dans ses interactions avec Julien afin qu'il s'engage dans le travail mathématique proposé. L'enseignante cherche à faire en sorte que Julien réalise complètement la tâche afin d'en retirer un accomplissement et du plaisir à gagner au jeu. Sa fermeté et son désir à ce qu'il accomplisse la tâche jusqu'au bout amènent parfois l'enseignante à réaliser les actions à la place de l'élève lorsque ce dernier n'arrive pas à réaliser son action. Nous avons pu observer un tel comportement notamment lors de la sous-tâche consistant à reconnaitre les constellations des dés. L'enseignante percevant l'importante difficulté rencontrée par Julien, a cherché ainsi à lui éviter au plus vite cette difficulté bloquante afin de lui permettre d'avancer dans la réalisation de la tâche. Nous observons que cette relation entre nos deux protagonistes s'ajuste au fil des influences réciproques de leurs motivations et de leur relation. La dimension affective joue ainsi un rôle important pour Julien.

Passons enfin à la composante cognitive de la pratique de l'enseignante.

### 3.4.1.3.3.3. Analyse de la composante cognitive

La reprise des tâches de type C au cours de cette dernière année correspondait, pour l'enseignante, à la poursuite des mêmes objectifs que ceux poursuivis lors de la période précédente. Nous n'allons pas les réitérer ici. Notons toutefois que l'introduction du grand dé avec seulement deux constellations (1 et 2) a correspondu à la volonté de l'enseignante d'amener Julien à surcompter, voire calculer, plutôt que de dénombrer. Son pari était de lui
proposer ce type de procédures en s'appuyant sur sa compréhension des relations « *n*+1 » ou
« *n*+2 ». Force est de constater que c'est seulement la première relation qui a été apprise par
Julien. Toutefois, l'objectif de l'enseignante était aussi d'étendre et de consolider ses
connaissances numériques en obtenant, par le jeu, un engagement plus important de Julien
dans l'activité mathématique qu'il pourrait trouver amusante. Sur un autre plan, elle souhaitait
enfin que l'accroissement des réussites de Julien et le plaisir de jouer conduiraient à
développer sa confiance en lui et son estime de soi.

3.4.2. Tâches de type D : Déterminer le cardinal de deux collections réunies et associer le résultat à son écriture chiffrée

Compte tenu de la bonne implication et de la performance de Julien dans le cadre d'une
situation de jeu comme celle de « Sauver les poissons ! » (tâches de type C), Élodie a décidé
de renouveler l'expérience, au cours de cette même période d'enseignement, en proposant un
nouveau type de tâches, dit tâches de type D, avec deux tâches ludiques : « Le douze barré »
et « La cage aux nombres ». À la différence du jeu précédent, ces derniers impliquent une
démarche à tour de rôle, c'est-à-dire que l'enseignante va prendre le rôle de « compétitrice »
face à Julien. Ce nouveau rôle marque un changement dans la relation entre les deux
protagonistes. Dans ce nouveau cadre, Élodie joue pour la première fois « contre » Julien pour
qui cette nouvelle configuration est prise comme un défi, celui de gagner face à son
enseignante ! Cela constitue une motivation supplémentaire pour Julien et lui permettra, par
rapport aux situations précédemment étudiées, de prendre davantage conscience de sa
responsabilité dans le choix de sa démarche et dans ses actions, ainsi que de mobiliser plus
encore ses ressources et sa concentration. Selon Élodie, le fait de jouer constitue pour Julien
un moyen attrayant de développer ses compétences cognitives et sociales, ainsi que
d'apprendre le respect des règles (consignes) ou encore l'anticipation d'une action (la sienne
ou celle de l'adversaire) en fonction d'une intention, celle de gagner.

L'objectif mathématique d'Élodie, avec les tâches de type D, est d'automatiser les calculs
simples chez Julien, qu'il en mémorise les résultats, et ainsi faciliter d'autres calculs
l'amenant à mieux comprendre les propriétés des nombres et des opérations d'addition ou de
soustraction. À cet effet, l'enseignante envisage à ce que Julien mobilise ses connaissances de
reconnaissance des constellations des dés, de décomposition et composition des quantités ou
encore de reconnaissance des écritures chiffrées des nombres ; connaissances qui ne sont pas
inconnues pour Julien puisqu'elles ont déjà été travaillées au cours des tâches de types A, B et
C.

Les tâches de type D ont été inspirées à Élodie par une séance de didactique des mathématiques sur l'analyse des pratiques d'enseignement du nombre en début de scolarité lors de sa formation en master. Ensuite, elle a eu la possibilité d'observer, au sein d'une CLIS (classe pour l'inclusion scolaire), des cours donnés par une enseignante spécialisée et expérimentée. L'objectif de ces observations pour Élodie était de comprendre les situations mises en place et les ajustements effectués pour des élèves en difficulté. C'est lors de ces séances qu'Élodie a découvert les deux jeux indiqués précédemment.

L'analyse des tâches de type D et de leur réalisation par Julien en interaction avec son enseignante, nous permettra d'une part, d'appréhender la progression de son acquisition des connaissances déjà visées antérieurement, et d'autre part de rendre compte de l'évolution de la pratique de l'enseignante durant cette dernière année d'enseignement.

Procédons dès maintenant à l'analyse des contextes des tâches de type D.

### 3.4.2.1. Les tâches de type D et leur contexte

Les deux jeux « Le douze barré » et « La cage aux nombres » permettent, pour les besoins d'enseignement, de faire varier les contraintes qui portent sur le matériel utilisé comme sur les consignes données, c'est-à-dire les règles du jeu.

#### 3.4.2.1.1. Le jeu « Le douze barré »

Le jeu « Le douze barré » consiste à barrer les nombres d'une bande numérique allant de 2 jusqu'à 12 en fonction du résultat obtenu en jetant deux dés. Chaque joueur joue à son tour, le gagnant est celui qui aura barré le plus de nombres sur sa bande ou qui aura barré en premier l'intégralité des nombres de sa bande. Les matériels suivants ont été prévus : une bande numérique pour chaque joueur et pour chaque jeu, deux dés classiques et un crayon. La photographie ci-dessous illustre ce matériel.
<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Figure 15 : La bande numérique et les deux dés utilisés pour le jeu « Le douze barré » (Tâche D, 3ème période)</figcaption></figure>

La consigne orale donnée préalablement au commencement du jeu est la suivante :

« On va marquer ici (sur la bande numérique) chacun des nombres de trois à douze. Ensuite chacun à notre tour on lancera les deux dés, et on barrera au fur et à mesure le nombre qu'on trouve en lançant les deux dés. Par exemple : si tu fais 3, tu pourras barrer le numéro 3 ; si tu fais 5 tu barres le 5 ; si tu fais le 12, tu barres le 12 ; et cætera, jusqu'à la fin de la partie. Celui qui a gagné sera celui qui aura barré le plus de nombres sur sa bande, ou bien celui qui aura fini en premier. »

Cette consigne porte un discours descriptif et procédural permettant à Julien d'avoir toutes les informations pour réaliser le jeu. Elle nécessite, pour Julien, de mémoriser ces étapes et leurs conditions d'application.

En ce qui concerne les étapes de jeu, il convient à Julien dans un premier temps de compléter la bande numérique où le nombre 2 est déjà inscrit en écrivant sur celle-ci chaque nombre allant de 3 à 12 de façon ordonnée. L'enseignante a fait de même sur sa bande numérique. L'empressement, constaté précédemment, à se lancer directement dans la partie de jeu pourra
faire oublier à Julien de réaliser l'étape préalable consistant à compléter sa bande numérique ;
nous avons pu le constater.

Dans un second temps, l'enseignante demande à Julien de reconnaître les constellations de chacun des deux dés lancés, puis de composer les quantités obtenues, c'est-à-dire de donner le cardinal de la réunion des deux constellations ou la somme des valeurs affichées, et finalement de barrer le nombre obtenu sur sa bande numérique.

### 3.4.2.1.2. Le jeu de « La cage aux nombres »

Le jeu de « La cage aux nombres » consiste à recouvrir, par un jeton, le nombre d'une grille numérotée de 2 à 12 qui correspond au résultat du lancer de deux dés. Si quelqu'un obtient un nombre déjà recouvert, il ramasse ce jeton. Toutefois, il existe 2 exceptions :

- Si un joueur fait 7, il lui est interdit de ramasser le jeton, il doit déposer un jeton sur ceux qui ont été posés précédemment ;

- Si un joueur fait 2 ou 12, il ramasse tous les jetons présents sur la grille.

La personne gagnante est celle qui ramasse la plus grande quantité de jetons.

Les matériels suivants ont été prévus par l'enseignante : une grille comprenant les nombres allant de 2 à 12, deux dés classiques et des petits jetons bleus suffisamment transparents pour qu'on puisse voir le nombre qu'il recouvre. L'enseignante a également proposé une variante en remplaçant les dés par des « cartes de calcul » qui présentent soit l'addition de deux nombres en écriture chiffrée (chaque nombre étant compris entre 1 et 6), soit deux constellations analogues à celle des dés, soit encore un nombre compris entre 10 et 12 représenté par une pile de jetons pour la dizaine et éventuellement un ou deux jetons pour les unités. Ces variantes ont été introduites afin d'amener Julien à travailler sur les différentes représentations des nombres et à calculer avec elles. Sur la table, l'enseignante a mis également à disposition de Julien deux bandes :

- La bande de la « dizaine » où sont représentés dix points alignés. Cette bande a déjà été proposée pour la réalisation des tâches de type C ;

- Une bande numérique comportant les nombres allant de 1 jusqu'à 12.

Les photographies ci-dessous illustrent le matériel de jeu utilisé.
<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Figure 16 : La grille des nombres, les deux dés et les jetons utilisés pour le jeu de « La cage aux nombres » (Tâche D, 3ème période)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Figure 17 : Les « cartes de calcul » utilisées pour le jeu de « La cage aux nombres » (Tâche D, 3ème période)</figcaption></figure>
La consigne orale envisagée pour ce jeu est la suivante :

« Avec les deux dés nous allons faire des nombres. À chaque fois qu'on trouve un nombre, on place un petit jeton bleu sur le nombre que l'on vient de trouver. Si on répète un nombre on a le droit de prendre le jeton. Sur la case 7 on a une différence par rapport aux autres. Quand on fait 7, on ne peut pas prendre les jetons, on met les jetons dessus. Si on fait 2 ou 12, on ramasse tous les jetons qui sont sur la grille des nombres. Le gagnant est celui qui aura ramassé le plus de jetons. »

Cette consigne est à la fois fermée et complexe. Elle impliquera sans doute un guidage procédural de la part d'Élodie, en répétant toutes les règles du jeu à Julien ; la consigne risque en effet d'être trop difficile à retenir pour Julien (elle nécessite un travail de concentration et de mémorisation important).

Comme précédemment, l'enseignante va diversifier le moyen de générer le nombre sur lequel il faudra placer un jeton : soit en jetant deux dés et en déterminant la somme des cardinaux des constellations affichées (ou en déterminant le cardinal de la réunion des constellations), soit en tirant une carte et en faisant de même avec les constellations affichées sur celle-ci ou en ajoutant les nombres qui y sont indiqués par leur écriture chiffrée, soit enfin en reconnaissant la représentation du nombre affiché par sa dizaine et ses unités isolées éventuelles.

Analysons à présent ces tâches de type D en développant particulièrement le cas des procédures de dénombrement qui entrent en jeu.

### 3.4.2.2. Analyse a priori des tâches de type D

En proposant ces tâches à Julien, l'enseignante vise un renforcement de ses connaissances quant à la reconnaissance, la décomposition et la composition des quantités, qu'elles soient représentées par des constellations ou leur écriture chiffrée. Comme nous l'avons vu lors de l'analyse des tâches précédentes, ces connaissances ne sont pas encore entièrement stables chez Julien.

Si le nombre à recouvrir est déterminé par le lancer des dés, sous l'hypothèse d'une utilisation du nombre par Julien pour réaliser ce type de tâches, nous pouvons distinguer trois activités différentes : 1°) reconnaitre les nombres affichés par les deux constellations ; 2°) déterminer
leur somme ; 3°) associer à cette somme son écriture chiffrée pour la reconnaître sur la grille et la recouvrir par un jeton bleu. Si le nombre est déterminé par une carte où les constellations des dés sont dessinées, la décomposition de la réalisation de la tâche reste identique. Si le nombre est déterminé par une carte indiquant la somme de deux nombres – compris entre 1 et 6 – il faudra alors reconnaître ces deux nombres puis déterminer leur somme et lui associer son écriture chiffrée pour le reconnaître dans la grille et le recouvrir. Enfin, si le nombre est déterminé par une carte où la dizaine et les unités sont représentées, il faudra reconnaître le nombre puis lui associer son écriture chiffrée afin de le reconnaître dans la grille pour le recouvrir.

Dans l'analyse *a priori* qui va suivre, nous nous focaliserons essentiellement sur les deux premières activités communes à toutes les situations matérielles exceptée la dernière : la reconnaissance des deux nombres à ajouter et la détermination de leur somme. Nous traiterons alors la dernière activité, celle de reconnaissance de l'écriture chiffrée de la somme obtenue. Nous envisagerons, dans ces analyses, les différentes procédures que Julien pourrait utiliser, procédures qui nous seraient d'ailleurs révélatrices de certains aspects de ses connaissances numériques.

### 3.4.2.2.1. Procédures pour reconnaitre les collections

Pour reconnaitre une constellation de dé, un nombre en écriture chiffrée ou encore représenté sous forme de la dizaine et de l'unité, Julien pourra faire appel à différents types de procédures que nous allons aborder ci-dessous.

#### Reconnaître une constellation de dé :

Nous avons déjà traité la reconnaissance d'une constellation de dé. Julien pourrait dénombrer un à un les points de la constellation – réelle du dé ou imagée de la carte de calcul –, mais nous avons constaté précédemment ses difficultés à le faire à cause de son trouble visuo-praxique. Julien devra donc reconnaitre directement ou indirectement la constellation : nous avons pu constater que Julien arrive en effet maintenant à reconnaitre directement les constellations des dés allant de 1 à 5. Pour la constellation 6, Julien s'aide des images affichées sur le mur où sont représentées les constellations et les écritures chiffrées associées.
## Reconnaître deux nombres en écriture chiffrée :

Les nombres en écriture chiffrée ont déjà été abordés par Julien tout au long de son enseignement au travers de supports variés (calendriers, bandes numériques, pistes numérotées, tableaux de nombres, etc.). La reconnaissance de ces nombres pourra être directe ou indirecte : soit Julien reconnaît le nombre désigné par son écriture chiffrée, soit il mettra le symbole en relation avec la quantité grâce aux images des nombres affichées sur le mur. Lors de l'analyse des tâches de type A, nous avons pu observer que Julien arrivait à reconnaitre plus ou moins et de façon directe les nombres en écriture chiffrée jusqu'à 5. Lors de l'analyse des tâches de type B, nous avons constaté que Julien arrivait à reconnaitre sur la bande numérique, les nombres en écriture chiffrée jusqu'à 10, il est donc probable qu'il parvienne à se passer de l'aide constituée par l'affichage mural.

## Reconnaître les représentations de la dizaine et de l'unité :

Pour reconnaître les nombres donnés par une carte où la dizaine et les unités sont représentées par une pile de jetons dessinés et quelques jetons isolés, Julien pourra dénombrer un à un chaque représentation de jeton que ce soit ceux de la pile ou les autres. Cette démarche serait vraisemblablement coûteuse pour Julien à cause de ses difficultés visuo-praxiques : les « cartes de calcul » sont en effet de petite taille impliquant aux jetons d'être très rapprochés les uns des autres. Julien pourrait aussi utiliser la bande numérique et faire la comparaison avec la pile des jetons affichés sur les cartes de calcul par correspondance terme à terme et constater ainsi que la pile correspond à dix jetons. Néanmoins, la petite taille des cartes de calcul rend encore cette fois cette procédure difficile à réaliser pour Julien. Enfin, après quelques essais où il serait assisté par son enseignante, il pourrait reconnaitre directement que la pile de jetons en comporte une dizaine. Il lui resterait alors à compter les jetons isolés à partir de dix, ou ajouter le nombre de jetons isolés après l'avoir reconnu par subitizing.

### 3.4.2.2.2. Procédures pour déterminer le nombre dont la représentation chiffrée est à recouvrir par un jeton bleu

En fonction des analyses réalisées précédemment sur les tâches de type C, nous envisageons trois types de procédures que Julien pourrait utiliser pour déterminer le nombre dont la représentation chiffrée est à recouvrir par un jeton bleu et qui est soit le résultat du cardinal de
la réunion de deux constellations affichées par les dés ou leur représentation sur une « carte de calcul » – c'est-à-dire la somme des cardinaux de chaque constellation –, soit le nombre égal à la somme indiquée sur une « carte de calcul ». La première procédure, compte tenu de nos connaissances des compétences de Julien, relève de la reconnaissance globale immédiate et ne pourra être mise en œuvre que si les deux dés affichent des constellations dont le cardinal est de deux au maximum. La seconde procédure relève du comptage des éléments de la constellation formée par la réunion des constellations affichées par les dés ou leur représentation sur une « carte de calcul », cette procédure comprenant éventuellement une étape de reconnaissance de constellation suivie d'un surcomptage. La troisième procédure relève du calcul, avec mobilisation de résultats mémorisés. Détaillons ces procédures ci-dessous.

## Procédures qui relèvent de la reconnaissance globale immédiate :

Lorsque le nombre dont la représentation chiffrée sur la grille est à recouvrir par un jeton bleu est le résultat d'un jeté de dés ou de sa représentation sur une « carte de calcul », Julien pourra appréhender globalement la collection formée par les points des constellations des deux dés et en déterminer directement le cardinal à condition que le cardinal de cette collection n'excède pas quatre. Le nombre est alors déterminé par perception immédiate (*subitizing*), procédure qui devient inefficace quand le cardinal est supérieur à quatre. Notons que la reconnaissance globale immédiate reste possible pour des nombres plus importants si c'est la décomposition du nombre qui est reconnue (cela ne correspond alors plus à du subitizing) : par exemple, lorsque les dés affichent un quatre et un trois et que le nombre sept est immédiatement reconnu. Rappelons que les analyses des tâches antérieures réalisées par Julien avaient montré qu'il ne reconnaissait pas de telles décompositions, la reconnaissance immédiate n'était opératoire que pour des constellations dont l'effectif global ne dépassait pas quatre, ce qui laissait supposer que ce n'était pas la décomposition qui était reconnue par Julien mais bien la quantité par *subitizing*.

## Procédures qui relèvent du comptage ou du surcomptage :

Lorsque le nombre à recouvrir d'un jeton bleu est issu d'un lancer de deux dés ou de son équivalent par tirage d'une « carte de calcul », dans le cas où ce nombre est supérieur à quatre et où le *subitizing* s'avère par conséquent inefficace, Julien pourrait représenter les quantités correspondantes à chaque constellation sur les doigts de chaque main et compter les doigts
ainsi levés. Il faut pour cela qu'aucun dé n'affiche 6. Nous avons vu précédemment que dans
un tel cas, l'enseignante aide son élève en lui proposant d'utiliser les doigts de ses mains pour
afficher 6. Nous avons également observé que cette technique s'avère très coûteuse pour
Julien du fait de son trouble visuo-spatial, mais qu'il l'a davantage utilisée pour réaliser les
tâches de type C. Cette procédure de représentation des quantités suivie d'un comptage peut
être réalisée en utilisant un autre intermédiaire que les doigts de l'élève ou de l'enseignante, la
boite de Picbille par exemple. Une deuxième procédure possible pour la détermination du
cardinal de la réunion de deux collections consiste à utiliser le surcomptage à partir d'un des
deux nombres affichés par les dés. Comme la précédente, cette technique peut être réalisée en
utilisant un intermédiaire tel que les doigts de la main, la bande numérique, la boite de
Picbille, etc. Nous avons constaté précédemment que cette procédure avait déjà été proposée
par l'enseignante pour réaliser les tâches de type C, mais n'a été que rarement utilisée par
Julien qui semble ne pas comprendre le principe de surcomptage en cherchant toujours à
recompter l'ensemble des points des deux constellations à partir d'un, ou l'ensemble des
doigts, etc.

Procédures qui relèvent du calcul ou du calcul mémorisé :

Lorsque le nombre à recouvrir d'un jeton bleu est issu d'un lancer de deux dés ou de son équivalent par tirage d'une « carte de calcul », et que l'un des deux dés affiche 1 ou 2, Julien pourra utiliser sa connaissance des relations numériques de forme « n+1 » ou « n+2 ». L'observation de la réalisation des tâches de type C au cours de la période précédente nous a révélé une bonne performance de Julien quant à l'utilisation de cette technique lorsque celle-ci est verbalisée par l'enseignante de la manière suivante : « j'ai quatre, et encore un, ça fait ... ». Julien semblait en effet comprendre que l'ajout d'une nouvelle unité à une collection se traduit au niveau cardinal par le successeur du nombre qui désigne la première quantité. Autrement dit, Julien semble comprendre que l'ajout d'une unité se traduit par le fait de continuer la comptine numérique en désignant le nombre qui suit celui qui désigne la première quantité.

Une procédure analogue peut être envisagée pour les relations « n+2 » où, suivant le même principe de succession, l'élève serait amené à déclarer : « j'ai quatre, encore un ça fait cinq, et encore un ça fait six ». Dans le cas de Julien, compte tenu de nos précédentes observations, cette technique peut être envisageable si toutefois la verbalisation est étayée
systématiquement par l'enseignante. Pour des relations de type « *n*+*a* » avec *a* supérieur à 2, cette technique relève alors plutôt du surcomptage et dépasse ce que Julien est capable de faire, même avec le soutien de son enseignante.

L'élève pourrait également connaître des sommes et les reconnaître pour déterminer le nombre à recouvrir d'un jeton bleu, ou encore utiliser des sommes connues pour déterminer le nombre cherché. Lors de l'analyse des tâches de type C (réalisées au cours de cette dernière période), nous avons constaté une certaine automatisation chez Julien à reconnaître quelques résultats sous la forme « *n*+1 », ou sous la forme de doubles, tels que les doubles de 2 et de 5. Julien pourrait ainsi s'appuyer sur cette dernière connaissance afin de calculer une somme telle que « 2+3 » selon un raisonnement du type : « *je dois calculer deux plus trois, je sais que deux plus deux font quatre et que trois c'est un de plus que deux, donc deux plus trois font un de plus que quatre c'est-à-dire cinq* ». Cette hypothèse reste toutefois peu probable car très éloignée des raisonnements que Julien a été capable de produire précédemment.

### 3.4.2.2.3. Procédures pour associer son écriture chiffrée au nombre obtenu

Nous n'avons que peu d'éléments à apporter pour l'analyse de la sous-tâche consistant à associer au nombre obtenu – par le lancer de dés par exemple – à son écriture chiffrée sur la bande numérique ou sur la grille. Pour les nombres inférieurs à dix, il s'agira de reconnaître l'écriture du chiffre qui, à lui seul, représente le nombre. Pour les nombres dix, onze et douze, la reconnaissance pourra se faire en considérant d'une part le nombre de chiffres dans l'écriture du nombre (deux au lieu d'un seul) et par le chiffre des unités (zéro pour dix, un pour onze et deux pour douze). Remarquons toutefois que les supports sur lesquels sont présentés les écritures chiffrées des nombres ne sont pas neutres quant à l'activité de l'élève. L'organisation des écritures pourra être en effet exploitée par l'élève pour repérer l'écriture, même s'il ne la reconnaît pas directement. Ainsi, à supposer que l'élève connaisse la comptine numérique jusqu'au nombre dont l'écriture est à reconnaître, et que les écritures soient organisées en file comme dans une bande numérique, l'élève pourrait désigner la bonne écriture sans pour autant la reconnaître en s'appuyant sur l'ordre. Il pourrait ainsi désigner 4 en comptant un, deux, trois, quatre, sans pour autant avoir reconnu l'écriture 4 du nombre quatre. Selon ces considérations, les deux jeux sont assez différents : dans le premier, les écritures chiffrées sont organisées en file, dans le second, ce n'est pas le cas.
Nous allons maintenant effectuer l'analyse du déroulement des tâches de type D.

### 3.4.2.3. Analyse du déroulement des tâches de type D

Les tâches de type D ont été mise en place à partir du mois de mars 2015 et se sont déroulées jusqu'en juin 2015. Dans le cadre de notre analyse, 8 séances ont été retenues. Les séances ont été subdivisées en épisodes de jeu : chaque épisode correspondant au déroulement d'une partie, soit d'Élodie, soit de Julien. Nous avons donc retenu pour cette analyse, 56 épisodes correspondant à des parties de Julien. Les parties jouées par Élodie ne sont peut-être pas sans influence quant aux apprentissages de Julien, mais lorsque l'enseignante joue, les activités de l'élève sont intériorisées et donc inaccessibles à l'observation ; il n'est pas non plus possible d'y accéder par entretien compte tenu des difficultés d'expression de Julien.

Un tableau descriptif des jeux proposés par Élodie et du nombre d'épisodes observés correspondant est donné à titre informatif ci-dessous :

<table><caption>Tableau 52 : Jeux proposés, nombre de séances et d'épisodes, période de déroulement (Tâches de type D, 3ème année)</caption><thead><tr><td>Les contextes des tâches de type D (3ème période)</td><td>Nombre de séances sélectionnées</td><td>Nombre d'épisodes de jeux de Julien</td><td>Période</td></tr></thead><tbody><tr><td>Jeu : « Le douze barré »</td><td>3</td><td>17</td><td>Mars 2015 à mai 2015</td></tr><tr><td>Jeu : « La cage aux nombres »</td><td>5</td><td>39</td><td>Avril 2015 à juin 2015</td></tr><tr><td>Ensemble des séances</td><td>8</td><td>56</td><td>Mars à juin 2015</td></tr></tbody></table>

Il est important de remarquer que les tâches de type C ont été proposée de novembre 2014 à juin 2015 et que les tâches de type D l'ont été de mars 2015 à juin 2015. Cela doit nous conduire en effet à ne pas attendre de progrès de la part de Julien entre les tâches de type C et celles de type D puisqu'elles ont eu lieu sur une période temporelle commune. Toutefois, les analyses pourront mettre en évidence des progrès et les processus qui y ont conduit.

De la même façon que nous l'avons réalisé pour l'analyse du déroulement des tâches des types précédents, nous avons procédé à deux études différentes : l'une portant sur les activités de l'élève et l'autre portant sur les activités de l'enseignante. Pour l'élève, nous avons réalisé une analyse quantitative et qualitative de ses réussites et de ses échecs, ainsi qu'une analyse de la qualité de sa communication avec l'enseignante au cours de son activité. Les activités de l'enseignante quant à elles comportent une analyse de ses interactions avec Julien en ce qui concerne le savoir en jeu (composante médiative), une analyse de la composante relationnelle-
affective établie avec son élève et, pour finir, une analyse de ses choix didactiques qui
relèvent de la composante cognitive.

Nous commençons cette analyse du déroulement en abordant les activités de Julien.

3.4.2.3.1. Analyse du déroulement : les activités de l'élève

Dans le cadre du déroulement des tâches de type D, nous avons analysé l'ensemble des 56 épisodes de jeu correspondant aux 8 séances d'enseignement filmées. L'intégralité de ces dernières représente un total de 91 minutes et 15 secondes de vidéo (soit en moyenne 11 minutes par séance) comportant un total de 310 interactions entre l'élève et l'enseignante, soit en moyenne près de 39 interactions par séance ou encore un peu plus de 3 interactions par minute.

Comme nous l'avons mentionné dans les analyses des tâches précédentes (tâches de type A, B et C), l'autonomie complète de Julien dans la réalisation de la tâche est très rare, de ce fait l'accompagnement de l'enseignante reste toujours nécessaire. L'analyse de l'activité de Julien à laquelle nous allons procéder est donc fonction du type ou du degré d'accompagnement fourni par l'enseignante. Ainsi, un accompagnement dit « modéré » révèle un degré élevé d'autonomie de l'élève, alors qu'un accompagnement dit « fort » révèlera un degré élevé de dépendance vis-à-vis de l'enseignante.

Pour l'analyse de l'activité de Julien, nous avons réalisé une étude quantitative de sa
performance à chaque interaction, en tenant compte du degré d'accompagnement de
l'enseignante. La performance varie également selon les objectifs partiels de réalisation de la
tâche : 1°) la compréhension de la consigne initiale de la tâche ; 2°) la reconnaissance des
deux constellations des dés ou des deux nombres en écriture chiffrée ; 3°) la détermination du
cardinal de la réunion des deux constellations des dés ou la somme des deux nombres chiffrés
et 4°) l'association du nombre obtenu à son écriture chiffrée.

Les résultats de nos observations sont synthétisés dans le tableau suivant.
<table><caption>Tableau 53 : Réussites et échecs de Julien par sous-tâche et par degré d'accompagnement de l'enseignante (Tâches de type D, 3ème année)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Sous-tâches de type D (3ème année)</th><th colspan="6">Réussites</th><th colspan="6">Échecs</th><th rowspan="2">Total des interactions</th></tr><tr><th>Acc. modéré</th><th>Acc. fort</th><th>Total</th><th>Acc. modéré</th><th>Acc. fort</th><th>Total</th><th>Acc. modéré</th><th>Acc. fort</th><th>Total</th></tr></thead><tbody><tr><td>Compréhension initiale de l'énoncé de la tâche</td><td>30/58</td><td>52%</td><td>7/58</td><td>12%</td><td>37/58</td><td>64%</td><td>17/58</td><td>29%</td><td>4/58</td><td>7%</td><td>21/58</td><td>36%</td><td>58/310</td><td>19%</td></tr><tr><td>Reconnaissance des deux constellations des dés ou des deux nombres en écriture chiffrée</td><td>16/57</td><td>28%</td><td>22/57</td><td>39%</td><td>38/57</td><td>67%</td><td>2/57</td><td>3%</td><td>17/57</td><td>30%</td><td>19/57</td><td>33%</td><td>57/310</td><td>18%</td></tr><tr><td>Détermination du cardinal de la réunion des deux constellations des dés ou de la somme des deux nombres chiffrés</td><td>37/122</td><td>30%</td><td>51/122</td><td>42%</td><td>88/122</td><td>72%</td><td>15/122</td><td>12%</td><td>19/122</td><td>16%</td><td>34/122</td><td>28%</td><td>122/310</td><td>39%</td></tr><tr><td>Association du nombre à son écriture chiffrée</td><td>53/73</td><td>73%</td><td>10/73</td><td>14%</td><td>63/73</td><td>86%</td><td>8/73</td><td>11%</td><td>2/73</td><td>3%</td><td>10/73</td><td>14%</td><td>73/310</td><td>24%</td></tr><tr><td>Ensemble</td><td>136/310</td><td>44%</td><td>90/310</td><td>29%</td><td>226/310</td><td>73%</td><td>42/310</td><td>14%</td><td>42/310</td><td>14%</td><td>84/310</td><td>27%</td><td>310/310</td><td>100%</td></tr></tbody></table>

Développons les analyses relatives à ce tableau en fonction de chacune des sous-tâches.

### 3.4.2.3.1.1. Compréhension initiale de l'énoncé

De même que pour tous les types de tâches analysées précédemment (tâches de type A, B et C), nous observons peu d'interactions entre l'élève et l'enseignante (58 interactions sur 310) visant la compréhension initiale de l'énoncé de la tâche. Ce peu d'interaction entre les deux protagonistes s'expliquent par l'empressement et la motivation de Julien à vouloir se lancer directement dans les jeux, tout semblant indiquer qu'il en a compris les règles. Rappelons que pour le jeu « Le douze barré », la consigne initiale consistait à remplir la bande numérique avec les nombres allant de 3 à 12, puis à lancer les deux dés (cette action a été réalisée à chaque début de jeu). Pour le jeu « La cage aux nombres », la consigne initiale consistait simplement soit à lancer les deux dés ou soit à prendre une « carte de calcul ».

La performance de Julien à cette sous-tâche est de 64% de réussites (soit 38 réussites sur 58 interactions). Nous observons une légère augmentation de sa réussite à hauteur de 5 points de pourcentage par rapport aux tâches de type C analysées au cours de cette même dernière année (elles étaient de 59%). Les consignes initiales simples en termes de connaissance ainsi que la motivation de Julien à jouer avec Élodie ont influencé positivement ces résultats.

En ce qui concerne le degré d'accompagnement apporté par l'enseignante, nous constatons une augmentation importante des réussites (21 points de pourcentage en plus) lorsque
l'accompagnement de l'enseignante est « modéré » : elles atteignent ainsi 52% (31% pour les taches de type C de cette même période). Ces résultats reflètent d'une part les acquis de Julien concernant la compréhension des consignes simples comme le fait de lancer les dés ou encore de prendre une carte de calcul, et d'autre part son autonomie relative à réaliser les prérequis nécessaires au jeu du « douze barré » par exemple, consistant à remplir la bande numérique par les écritures chiffrées des nombres allant de 3 à 12.

Les échecs de Julien correspondent au fait qu'il n'a pas été facile pour lui d'intégrer les différentes informations concernant les règles précises de ces deux jeux. Cet apprentissage correspond à une charge cognitive importante pour un tel élève en grande difficulté. Julien n'avait en effet pas assimilé l'ensemble des règles de ces deux jeux avant de commencer à jouer, il a pu ainsi en oublier quelques étapes. Néanmoins, les répétitions des tours de jeu entre Julien et Élodie lui ont permis d'intégrer ces règles.

### 3.4.2.3.1.2. Reconnaissance distinctive des deux constellations des dés ou des deux nombres en écriture chiffrée

Pour la sous-tâche consistant à reconnaitre distinctivement les deux constellations ou les deux nombres en écriture chiffrée, Julien obtient 67% de réussites (soit 38 interactions sur 57) et 33% d'échecs (soit 19 interactions sur 57). Il obtient 28% de réussites (soit 16 interactions sur 57) avec un accompagnement « modéré » de l'enseignante et 39% de réussite (soit 22 interactions sur 57) avec un accompagnement « fort ». Ces résultats sont similaires à ceux obtenus lors des réalisations des tâches de type C analysées au cours de cette dernière année (même pourcentage de réussite et d'échecs, avec 30% de réussites en accompagnement modéré et 37% en accompagnement fort). Ils révèlent une certaine stabilité des acquisitions de Julien, mais aussi de la pratique d'Élodie quant à cette sous-tâche : elle n'a pas renforcé son aide pour accroître les réussites.

Nous avons pu constater que l'accompagnement fort de l'enseignante intervient lorsque que Julien est confronté à des quantités qui lui sont difficiles à reconnaitre. Cela se manifeste par un retour silencieux, ou encore par le fait de contourner les règles en changeant volontairement les cardinaux obtenus. Dans ce genre de cas, l'enseignante intervient tout de suite et désigne les mots nombres associés aux deux constellations, en essayant de faire en sorte qu'il les retienne.
En ce qui concerne les acquisitions de Julien quant à la reconnaissance des constellations des dés, ces dernières demeurent stables. Globalement Julien réussit à reconnaitre les constellations de 1 à 5, mais dès qu'il s'agit de la constellation 6, la reconnaissance devient plus difficile. L'observation des vidéos a d'ailleurs montré que lorsque l'élève exprime un peu d'hésitation face à la reconnaissance d'une constellation, l'enseignante a tendance à donner rapidement le mot nombre qui lui est associé. Ce comportement de sur-étayage nous a empêchés, à plusieurs reprises, de percevoir les réels progrès de Julien quant à la reconnaissance des constellations. En ce qui concerne la reconnaissance des nombres en écriture chiffrée, Julien semble reconnaitre les nombres jusqu'à 6, même si parfois il lui arrive d'en confondre certains comme le 3 et le 5. Concernant la « dizaine » de jetons (« pile de jetons ») et « les unités » isolées (« jetons » isolés) représentées sur certaines cartes de calcul, Julien a manifesté d'énormes difficultés à s'adapter et à transcrire cette forme de représentation. L'enseignante a dû alors palier à cette difficulté en utilisant la bande de la « dizaine » située sur la table afin que Julien puisse mettre en relation ces deux représentations et ainsi lui permettre de reconnaitre le cardinal proposé sur les cartes.

En résumé nous observons une certaine stabilité des connaissances déjà constatées chez Julien – par l’analyse des réalisations des tâches de type C de cette dernière année – quant à la reconnaissance des quantités données sous la forme de constellations, et cela pour des nombres allant de 1 à 5. Concernant la reconnaissance des nombres en écriture chiffrée, nous observons des progrès comparativement aux tâches de type A, pour lesquelles Julien n’arrivait pas à bien les reconnaitre. La reconnaissance de la dizaine et des unités sous une nouvelle forme de représentation en « pile de jetons » et en « jetons » dessinés sur des cartes, a posé de plus grandes difficultés à Julien. Nous supposons que cette façon de représenter les quantités n’a pas suffisamment été assimilées par l’élève, pour qui cette représentation n’est encore liée à aucun équivalent déjà appris.

### 3.4.2.3.1.3. Détermination du cardinal lors de la réunion des deux constellations des dés ou des deux nombres chiffrés

La sous-tâche consistant à déterminer la somme des valeurs affichées par les dés, c'est-à-dire le cardinal de la réunion des deux constellations, est réussie par Julien dans 72% des interactions (soit 88 réussites sur 122 interactions). En comparaison aux tâches de type C nous
constatons une faible amélioration de 5 points de pourcentage (en passant de 67% à 72% de réussites). Retenons ainsi que Julien conserve un taux de réussite important et en légère progression pour cette sous-tâche. L'accompagnement modéré qui lui est associé diminue de 16 points de pourcentage pour s'établir à 30%. Quant à l'accompagnement dit « fort », il augmente de 20 points de pourcentage pour s'établir à 42%. Ces résultats suggèrent que l'amélioration de la réussite générale de Julien est sans doute en bonne partie due au type d'accompagnement fourni par l'enseignante.

L'observation des vidéos nous montre une automatisation des relations numériques de forme « *n*+1 » par Julien. Nous avons en effet remarqué que Julien n'a plus besoin de la verbalisation de l'enseignante pour donner le bon mot-nombre, comme cela a été le cas au début des réalisations des tâches de type C. Dorénavant, Julien donne systématiquement le bon nombre avec rapidité et assurance. Toutefois en ce qui concerne les relations de forme « *n*+2 », Julien ne réussit qu'avec l'aide de la verbalisation de l'enseignante. Il s'agit là néanmoins d'une grande avancée pour l'élève correspondant à une extension de sa zone proximale de développement.

Concernant les relations numériques sous la forme « *n*+5 » et « *n*+10 », la performance de Julien reste également instable. L'écart cognitif à combler est encore pour le moment trop important. Julien a toujours besoin d'une visualisation des quantités afin de réaliser un surcomptage pour traiter ce genre de relations. Ainsi l'utilisation des doigts de la main pour visualiser le 5 et celle de la bande de la dizaine pour visualiser le 10 ont été proposées par l'enseignante et ont été d'une aide utile pour permettre à Julien de réaliser le surcomptage. Là encore, nous constatons que le travail de l'enseignante contribue à faire progresser Julien au sens où il réussit avec son aide des tâches qu'il ne réussissait pas avant, ce qui correspond à une extension de sa zone proximale de développement, c'est-à-dire à un possible apprentissage futur.

Quant à la reconnaissance des doubles, nous constatons chez Julien une automatisation de celle-ci dans les cas des chiffres 2 et 5. Les doubles de 3 et de 4 sont reconnus quant à eux de manière encore instable, Julien ayant besoin systématiquement de se référer aux images de ces doubles ou encore de réaliser un surcomptage à l'aide de la verbalisation de l'enseignante afin de déterminer le cardinal de la collection globale. Pour les doubles de 6, nous avons remarqué une automatisation progressive de ce dernier. Nous inférons que cette acquisition
s'est faite grâce au jeu de « La cage aux nombres » où le double de 6 permettait de ramasser tous les jetons. Cette règle du jeu a semble-t-il renforcé l'effort de Julien pour le reconnaître : montrer qu'il avait obtenu un double 6 lui permettait en effet de se mettre en valeur en remportant tous les jetons et lui procurait ainsi une grande satisfaction. Par ailleurs, nous avons observé une influence de la représentation de ce double sur la performance de Julien : si le double de 6 est représenté sous la forme de constellations de deux dés, Julien réussit facilement à y associer le nombre 12 ; en revanche, lorsque la représentation est sous la forme d'une somme de nombres chiffrés (« 6+6 »), la performance de Julien devient alors plus instable. Il semble ainsi que Julien passe par le support visuel des constellations pour reconnaître le nombre 12 affiché par les dés, il reconnaît beaucoup moins bien en revanche la relation numérique « 6+6=12 » lorsqu'elle est donnée sous forme chiffrée, c'est-à-dire lorsqu'elle est à calculer. Il semble ainsi possible de conclure que les seules relations numériques que Julien arrive à traiter par le calcul sont les relations de type « n+1 » et, avec une réussite plus variable, « n+2 ».

Concernant les relations numériques additives avec des nombres plus grands (chacun d'entre eux supérieur ou égale à 3), Julien rencontre beaucoup de difficultés à réaliser les calculs directement. Pour surmonter ses difficultés, l'enseignante lui a proposé systématiquement l'utilisation de la technique du surcomptage avec rétention en mémoire du cardinal le plus grand complété en s'appuyant sur les doigts de sa main ou les points de la constellation d'un dé. Même si Julien commence à comprendre et à assimiler cette technique, sa performance reste instable, il exprime le besoin de visualiser les quantités ou d'avoir un soutien à la verbalisation par l'enseignante. Si l'on prend l'exemple de la somme « 6+3 », l'enseignante donne la consigne orale suivante à Julien : « imagine 6 dans ta tête », elle fait alors ajouter à l'élève la deuxième quantité en lui faisant lever régulièrement un à un trois doigts au fil du comptage. Même si cette technique n'est pas entièrement assimilée par Julien, si bien qu'il ne la réalise jamais de manière autonome, nous remarquons qu'il l'adopte progressivement à la place du recomptage à partir de « un », ce qu'il faisait principalement auparavant. Là encore, nous concluons sur une extension de sa zone proximale de développement, zone dans laquelle l'enseignante intervient et qu'elle tend à étendre par ses interventions dans les interactions.
Cette sous-tâche consistant à associer son écriture chiffrée au cardinal obtenu conduit Julien à son plus haut score de réussite à hauteur de 86% (soit 63 réussites sur 73 interactions). On peut en conclure avec une certaine assurance que l'association entre un nombre – compris entre un et douze – et son écriture chiffrée ne pose plus de réelles difficultés à Julien. Bien au contraire, nous avons même constaté que Julien a manifesté de l'enthousiasme à réaliser cette étape du jeu. Le degré d'accompagnement apporté par l'enseignante confirme cette bonne performance puisque 73% des réussites sont réalisées en accompagnement modéré contre 14% en accompagnement fort.

Indiquons que nous avons toutefois remarqué une différence notable entre les deux jeux « Le douze barré » et « La cage aux nombres ». Pour ce dernier contexte, le repérage de l'écriture chiffrée du cardinal trouvé y est un peu plus problématique. Les difficultés rencontrées relèvent en fait de son trouble visuo-spatial, elles concernent en effet spécifiquement le repérage de l'écriture chiffrée au sein d'une grille de nombres dont l'organisation est complexe. Ces difficultés n'apparaissent pas dans le premier jeu, « Le douze barré », où les nombres sont organisés linéairement de gauche à droite de 2 à 12. Ainsi, l'organisation spatiale des écritures chiffrées sur le support (grille, bande, etc.) constitue une contrainte qui peut être suffisamment forte pour qu'elle conduise Julien à l'échec dans sa tentative d'associer le cardinal obtenu à son écriture chiffrée sur le support. Plus l'organisation spatiale est « simple » (ici distribution linéaire des écritures chiffrées), moins la charge cognitive que l'élève doit fournir pour repérer les nombres est grande et plus la réussite sera importante. Malgré ce constat, nous ne pensons pas qu'il ne faille jamais proposer de situations de reconnaissance des nombres par leur écriture chiffrée sur des supports où l'organisation est plus complexe que sur une bande numérique. Il nous semble que cette difficulté doit être prise en compte, et qu'il convient d'ajuster la complexité au trouble de l'élève, afin de lui proposer des situations où c'est bien par l'écriture chiffrée qu'il doit reconnaître le nombre, et non par sa position au sein d'une organisation bien établie. En outre, en ce qui concerne plus spécifiquement notre élève, nous constatons qu'il manifeste, en dépit de ses difficultés, une réussite non négligeable sur le jeu de « La cage aux nombres ». Un travail répété de reconnaissance des nombres sur cette grille pourrait aboutir à des résultats équivalents entre les deux jeux, même si, pour des raisons déjà indiquées, cela peut ne pas encore tout à fait correspondre à la reconnaissance des écritures chiffrées indépendamment de leur organisation.
### 3.4.2.3.2. Qualité de la communication de Julien avec son enseignante

Tout comme pour les analyses des déroulements des tâches précédentes (tâches de type A, B et C), la qualité de la communication de Julien avec son enseignante va être abordée ci-après en prenant en compte les interactions verbales et non verbales de l'élève. Rappelons une nouvelle fois les importantes difficultés de Julien à s'exprimer verbalement, il reste par conséquent souvent silencieux et lorsqu'il réagit c'est plutôt par des gestes, des mimiques ou des grognements.

Le tableau suivant résume les réactions de Julien au cours des 310 interactions avec son enseignante :

<table><caption>Tableau 54 : Réactions de Julien suivant les contextes proposés (Tâches de type D, 3ème année)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Contextes des tâches de type D (3ème année)</th><th colspan="8">Réactions de Julien</th><th colspan="2">Total des interactions</th></tr><tr><th colspan="2">Accord</th><th colspan="2">Hésitation</th><th colspan="2">Désaccord</th><th colspan="2">Non verbal</th><th rowspan="2">113/310</th><th rowspan="2">36%</th></tr></thead><tbody><tr><td>Jeu : « Le douze barré »</td><td>20/113</td><td>18%</td><td>1/113</td><td>1%</td><td>12/113</td><td>11%</td><td>80/113</td><td>71%</td><td>113/310</td><td>36%</td></tr><tr><td>Jeu : « La cage aux nombres »</td><td>20/197</td><td>10%</td><td>6/197</td><td>3%</td><td>9/197</td><td>5%</td><td>162/197</td><td>82%</td><td>197/310</td><td>64%</td></tr><tr><td>Ensemble</td><td>40/310</td><td>13%</td><td>7/310</td><td>2%</td><td>21/310</td><td>7%</td><td>242/310</td><td>78%</td><td>310/310</td><td>100%</td></tr></tbody></table>

Nous observons que les expressions « non verbales » de Julien prédominent à hauteur de 78% (soit 242 interactions sur 310), ce qui constitue une légère diminution de 6 points de pourcentage par rapport à la tâche C analysé au cours de cette dernière période. Comme nous l'avons expliqué au cours des analyses des tâches de type C (deuxième et troisième période), l'observation des vidéos nous permet d'interpréter ce manque d'expression verbale comme une acceptation de la part de Julien des propositions de travail mathématique d'Élodie. Quand il est silencieux, Julien se montre en effet concentré et réceptif. Pour les réactions d'accord, nous observons une augmentation de 7 points de pourcentage par rapport aux tâches de type C au cours de cette dernière période. La dimension ludique des jeux et la participation de l'enseignante comme « compétitrice » a sans doute influencé positivement la posture de Julien. Son engagement est actif dès lors qu'il comprend que le jeu a un but, il témoigne d'un réel désir de gagner ce qui a des conséquences favorables quant à son implication (les moments de concentration durent bien davantage que lors des tâches précédentes) et quant à son activité (il met en œuvre des moyens pour gagner). Il semble en outre moins fatigable,
alors que les séances sont désormais plus longues. Il ne se laisse plus distraire par ses jouets,
en les prenant avec lui comme il le faisait auparavant pour se rassurer. L'ensemble de ces
constats constituent pour nous un témoignage clair d'une meilleure assurance, d'une
confiance accrue en lui-même et d'un renforcement de la qualité de sa relation avec Élodie.

3.4.2.3.3. Analyse du déroulement : les activités de l'enseignante

Comme nous l'avons précisé dans toutes nos analyses des réalisations des tâches
précédentes, nous avons effectué l'étude de l'activité de l'enseignante selon les
composantes médiative et cognitive. Nous nous basons pour ce faire sur l'approche de
Robert & Rogalski (2002). Rappelons que la composante médiative est étudiée à travers
le discours de l'enseignante et ses échanges avec son élève. La composante cognitive est,
quant à elle, liée au traitement des savoirs et à l'itinéraire cognitif proposé à l'élève. Pour
soutenir nos analyses, comme déjà indiqué, nous avons principalement utilisé les concepts
d'étayage de Bruner (1983) et de zone proximale de développement de Vygotski (1934,1997).
Le premier nous permettant de catégoriser les activités selon une dimension relative aux types
d'aide apportés à l'élève afin de l'accompagner dans la réalisation des tâches ; le second, déjà
utilisé pour l'analyse des activités de l'élèves, nous permet de qualifier, par rapport aux
apprentissage visés, les choix et ajustements opérés pour définir les tâches et les moduler
durant leur réalisation. Les six fonctions d'étayage proposées par Bruner ont été réparties
entre la composante médiative (telle que définie par Robert et Rogalski pour le lien étroit des
étayages avec les savoirs en jeu) et la composante relationnelle-affective (où le lien avec le
savoir est moins direct). Les fonctions d'étayage que nous avons associées à la composante
médiative sont : « la réduction des degrés de liberté » ; « le maintien de l'orientation » ; « la
signalisation des caractéristiques déterminantes » et « la démonstration ou présentation de
modèles ». À ces fonctions, nous avons ajouté une fonction supplémentaire à la composante
médiative, « le refus d'aide », qui correspond au choix de l'enseignante de laisser Julien
réaliser l'action de façon autonome. Dans nos analyses, les fonctions de l'étayage qui relèvent
de la composante affective-relationnelle sont « l'enrôlement » et « le contrôle de la
frustration ».
Nous abordons dans un premier temps, la composante médiative de la pratique de l'enseignante, nous poursuivons avec la composante relationnelle-affective et finirons avec la composante cognitive.

### 3.4.2.3.3.1. Analyse des activités de l'enseignante qui relèvent de la composante médiative

Afin d'analyser les activités d'Élodie, nous avons effectué une analyse quantitative de ses interactions avec son élève au cours des 56 épisodes de jeu filmés. Nous avons complété cette étude par une analyse qualitative de ses activités avec Julien. Rappelons qu'au total 310 interactions ont été extraites des vidéos, reparties sur une durée de 91 minutes et 15 secondes.

L'analyse de la composante médiative révèle le degré d'autonomie laissé à l'élève dans la réalisation de la tâche. Elle s'évalue à travers les différentes interventions de l'enseignante que nous considérons comme des aides fortes lorsqu'il s'agit de « réduction des degrés de liberté », de « démonstration ou de présentation de modèle », alors que nous les considérons modérées à nulles lorsqu'il s'agit du « maintien de l'orientation », de la « signalisation des caractéristiques déterminantes » ou du « refus d'aide ».

Les résultats obtenus sont rassemblés dans le tableau récapitulatif suivant :

<table><caption>Tableau 55 : Étayages de l'enseignante relevant de la composante médiative (Tâches de type D, 3ème année)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Contexte des tâches de type D (3ème année)</th><th colspan="5">Aides fortes</th><th colspan="8">Aides modérées à nulles</th></tr><tr><th>La réduction des degrés de liberté</th><th>La démonstration ou présentation de modèles</th><th>Total des interventions</th><th>Le maintien de l'orientation</th><th>La signalisation des caractéristiques déterminantes</th><th>Le refus d'aide</th><th>Total des interventions</th></tr></thead><tbody><tr><td>« Le douze barré »</td><td>20/113 18%</td><td>22/113 19%</td><td>42/113 37%</td><td>6 /113 5%</td><td>33/113 29%</td><td>32/113 28%</td><td>73/113 65%</td></tr><tr><td>« La cage aux nombres »</td><td>33/197 17%</td><td>32/197 16%</td><td>65/197 33%</td><td>20/197 10%</td><td>55/197 28%</td><td>57/197 29%</td><td>132 /197 67%</td></tr><tr><td>Ensemble</td><td>53/310 17%</td><td>54/310 17%</td><td>107/310 34%</td><td>26/310 8%</td><td>88/310 28%</td><td>89/310 29%</td><td>203 /310 66%</td></tr></tbody></table>

La répartition des différentes aides relevant de la composante médiative de l'enseignante conduit à faire ressortir quelques constats. Dans un premier temps, nous observons que pour ces dernières tâches de type D, les médiations « fortes » apportées par l'enseignante s'établissent à 34% des interventions et les médiations modérées à nulles à 66% des interventions. Ces résultats sont presque similaires aux tâches de type C analysées au cours de cette dernière période (elles étaient de 33% et 67% respectivement). Ces résultats confirment
la stabilité de la pratique de l'enseignante visant l'autonomie de Julien dans l'exécution des sous-tâches.

Les principales composantes médiatives utilisées dans les interactions avec Julien sont : « le refus d'aide » (29%, soit 89 interventions sur 310) et « la signalisation des caractéristiques déterminantes » (28%, soit 88 interventions sur 310). Ces médiations dites « modérés » ont été majoritairement proposées lors de la compréhension de la consigne initiale de la tâche et de l'association du résultat avec son écriture chiffrée. Comme nous avons pu le voir, Julien n'a pas eu d'énormes difficultés à réaliser ces sous-tâches. « Le maintien de l'orientation » constitue une part faible des étayages, preuve que Julien ne s'écarte pas souvent des procédures adaptées à la réalisation des tâches proposées.

En ce qui concerne les aides dites « fortes », l'observation des vidéos montre qu'elles ont été mises en place lors de la reconnaissance du cardinal des deux collections et lors de la détermination du cardinal de la réunion des deux collections. Nous avons déjà indiqué qu'il s'agit là des deux sous-tâches qui posent le plus de difficulté à Julien. Concernant la reconnaissance du cardinal des collections, nous avons pu observer, tel que cela a été le cas pour les tâches de type C, que lorsque Julien manifeste une hésitation devant la reconnaissance d'une constellation, d'un nombre en écriture chiffrée ou d'une représentation de la dizaine et de l'unité, l'enseignante prend rapidement à sa charge cette reconnaissance en lui désignant elle-même le cardinal. Une première interprétation possible de ce sur-étayage suppose que l'enseignante craint que Julien ne se fatigue trop et souhaite qu'il puisse continuer à s'enthousiasmer dans la réalisation de la tâche. Une seconde interprétation repose sur le fait que l'enseignante désire montrer à Julien l'avantage qu'il aurait à bien connaître les constellations et les chiffres ; cela lui permettrait de les reconnaître et l'aiderait ainsi à gagner. Aussi lui donne-t-elle les réponses, en espérant qu'il les apprenne, plutôt qu'il les retrouve systématiquement par comptage, ce qu'il parvient à faire, mais pas de façon systématique, et avec un effort tel qu'il ne retient pas le résultat obtenu. Lorsqu'il cherche à déterminer lui-même le cardinal affiché par les dés ou les « cartes de calcul », l'enseignante laisse l'initiative de la procédure à Julien – recomptage, surcomptage, etc. – et accompagne la mise en œuvre de la procédure par un guidage et une verbalisation systématique afin d'éviter les erreurs et donc qu'une même constellation puisse être associée indifféremment à 5 ou à 6 par Julien. Quand Julien ne prend pas l'initiative de la procédure, Élodie l'engage dans un recomptage en utilisant les différentes méthodes et les verbalisations suivantes :
- Le surcomptage avec la rétention en mémoire du cardinal le plus grand complété par la suite de la comptine numérique succédant au cardinal retenu en levant chaque doigt de la main pour chacun des cardinaux cités au fil du comptage. Par exemple pour une relation sous la forme « 4+2 », nous obtenons le descriptif oral suivant : « nous gardons quatre en mémoire, nous ajoutons un doigt, nous avons cinq, et encore un doigt nous avons six » ;

- Le surcomptage en utilisant deux dés, le second complétant le premier. Pour une relation sous la forme « 6+4 », nous obtenons le descriptif oral suivant : « voici, nous avons six (premier dé), nous comptons le deuxième dé avec mon doigt : sept, huit, neuf et dix, donc nous avons dix » ;

- Le surcomptage en utilisant la bande numérique. Pour une relation sous la forme « 4+3 », nous obtenons le descriptif oral suivant : « voici, nous avons quatre, nous avançons de un, nous arrivons à cinq, encore un, nous arrivons à six et encore un, nous arrivons à sept ».

Pour la mise en œuvre de ces méthodes, l'enseignante met en place un pilotage serré de l'avancée des actions de Julien, avec l'objectif qu'il puisse arriver à déterminer le bon cardinal à chaque fois, sans doute afin de lui ouvrir aussi la possibilité de mémoriser la constellation et son nombre associé. Toutefois, nous n'assistons jamais à un moment où l'enseignante insiste sur la relation entre la constellation et le nombre obtenu, comme si la perception qu'elle a du trouble visuel de Julien ne lui laissait pas espérer que ce court moment d'institutionnalisation lui permette de mémoriser les associations constellation-nombre croisées au cours des jeux.

En résumé, nous observons que les interventions d'Élodie illustrent sa détermination à amener Julien jusqu'à la fin des jeux commencés, même si les objectifs des sous-tâches ne sont pas tous atteints de manière autonome. L'assistance fournie par l'enseignante est déterminée par les acquis et les difficultés que rencontre Julien ; autrement dit, Élodie intervient pour accompagner les activités de son élève qui sont au cœur de sa zone proximale de développement. Cette logique du travail d'enseignement se constate également par la mise en place d'un accompagnement plus fort lorsque Julien n'arrive pas à se débrouiller seul même avec une aide modérée ; autrement dit, en dehors de la zone proximale de développement de son élève, l'enseignante prend la main pour que la sous-tâche soit réalisée et qu'il poursuive la réalisation de la tâche globale. C'est en particulier le cas lors de la reconnaissance des