LA SISMIQUE FRÉQUENTIELLE, OUTIL POUR
VÉRIFIER LA CONTINUITE DE
LA TRANSMISSION DES CONTRAINTES DANS
UN MASSIF
APPLICATIONS AUX INJECTIONS, VIDES,
VOUTES DE TUNNEL

FREQUENTIAL SEISMIC, TOOL TO CHECK THE
CONTINUITY OF STRESS TRANSMISSION IN A
MASSIF
APPLICATIONS TO INJECTIONS, VOIDS,
TUNNEL VAULTS

Pierre De Sloovere, *PDS Consult, Paris, France*

Pierre Colin, *Corp Environnement, Chevilly-Larue, France*

Jean-Louis Mauss, *Solvay, Saint Fons, France*

Hubert Godin, *Diepsonderingen Verbeke, Kortrijk, Belgique*

Stefano Priano, *Solgeo, Seriate Bergamo, Italie*

Résumé

La sismique fréquentielle est une méthode peu utilisée bien que très puissante pour vérifier la continuité des contraintes dans un massif. Mise au point pour des contrôles d'injection, elle est utile par exemple pour déterminer que le toit d'une exploitation minière est resté stable, même 50 ans après son abandon (cas de Chizeuil). Cela peut l'être aussi pour détecter des karsts inattendus sous des fondations (cas de Tournai).

Le principe en est simple : il s'agit d'émettre un choc mécanique dans un terrain et d'analyser en fréquence le signal reçu par un récepteur en plusieurs points du massif. Le champ de contrainte produit par le choc voit son spectre modifié par le terrain : en milieu continu, le modèle de Kelvin-Voigt montre que les fréquences transmises sont plus élevées si le module élastique est élevé ; il en est de même si la viscosité est élevée. En milieu fracturé, les fractures jouent le rôle d'un filtre passe bas : à toute largeur de fissure correspond une longueur d'onde minimale au-delà de laquelle il n'y a pas transmission de la vibration de part et d'autre de la fracture. En conséquence, les hautes fréquences ne passent que s'il n'y a pas de fissures, si le module élastique est élevé et si la viscosité importante, ce qui est un objectif commun à tout constructeur.

A Chizeuil, sept forages de 50 mètres réalisés au-dessus de l'exploitation ont permis de montrer que les hautes fréquences étaient transmises au-dessus de la mine sur 20 mètres ou
plus avec une remarquable continuité ; aucune basse fréquence n'apparaît, le toit de la mine n'est donc pas fissuré.

L'exemple de Tournai est l'inverse du précédent : une trentaine de forages de 18 mètres de profondeur ont permis de dessiner une carte sommaire des karsts en dessous de fondations en cours de réalisation et de délimiter précisément un certain nombre de secteurs, ce qui a permis de poursuivre la construction avec un maximum d'informations.

## Abstract

Frequential seismic survey is a method which is not often used even very efficient for verifying and assessing the continuity of the stresses in the rock mass. Thus, it has been very efficient for assessing the stability of the roof of a mine chamber, even 50 years after mining (Chizeuil mine). Same accuracy for detecting the karst unexpected under foundations (Tournai site).

The principle is very simple but not so easy for execution: A mechanical shock must be applied in the rock mass for analysing in terms of frequency the signal registered on a receiver in another part of the rock mass. The initial spectrum issued from the shock is modified by the rock mass. In a continuous medium, the Kelvin-Voigt model demonstrates that the frequency is higher if the elastic modulus is high, same for viscosity. In a fractured rock, joints are similar to filters; depending on the thickness of the joint, the specific wavelength is the limit after which the vibration is not transmitted. Thus, the high frequencies are transmitted only if the rock has no joints in case of high elastic model and viscosity.

For the Chizeuil mine, seven 50 m cored boreholes located at the upper edge of a mine chamber were sufficient for demonstrating that the high frequencies were transmitted in a 20 m thick rock beam at the roof level of the cavern below 30 m of fractured rock; thus, the assessment of the conditions for a long term stable roof was performed with the frequential seismic method.

For Tournai site, the frequential seismic was performed for detecting the karstic voids volumes in 3D in order to adapt, or not, the type of soil improvement.

Corresponding author: pdsparis@free.fr

# 1 Introduction

Il est fréquent de se poser la question de savoir si les contraintes induites par une construction sont correctement transmises dans un massif. Les cas les plus classiques se rencontrent lors de constructions en zones karstiques, lors d'une amélioration de sol par injection, jet grouting, ou tout simplement lorsque l'on a affaire à des fondations, neuves ou potentiellement dégradées, dont on ignore le comportement.

Une réponse universelle à cette question est de déterminer si la structure concernée est capable de transmettre complètement un signal sismique sans le perturber plus que ce que renseigne les lois de propagation en milieu élastique, ou plutôt visco-élastique. Dans de nombreux cas la sismique fréquentielle peut répondre à ces questions.

# 2 La sismique fréquentielle

En prenant un modèle visco-élastique et non un modèle élastique - qui induit le mouvement perpétuel – on voit apparaître dans un milieu continu en plus des caractéristiques élastiques habituelles : modules d'Young et module de cisaillement un paramètre de viscosité. Le
modèle de Kelvin-Voigt décrit assez bien les sols poreux, elle s'écrit avec $u(x,t)$ le déplacement d'une particule de sol :

$$ (\lambda + 2\mu) \frac{\partial^2 u_x}{\partial x^2} + (\lambda' + 2\mu') \frac{\partial^2 u_x}{\partial x^2 \partial t} = \rho \frac{\partial^2 u_x}{\partial t^2} $$

On voit apparaître des termes $\lambda'$ et $\mu'$ qui sont les équivalents visqueux des paramètres de Lamé.

Par analogie électrique, Knopoff (1954) a proposé d'introduire le facteur de qualité $Q$, terme d'origine électromagnétique, ce qui réduit à une seule variable les paramètres visqueux.

$$ Q = \frac{(\lambda + 2\mu)}{(\lambda' + 2\mu')} \frac{1}{\omega} $$

* $Q$: facteur de qualité

* $\lambda$ et $\mu$: modules élastique de Lamé

* $\lambda'$ et $\mu'$: paramètres d'atténuation ou paramètres équivalents à ceux de Lamé affectés aux vitesses de déformations

* $\omega$: pulsation

<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>Fig. 1. Décalage en fréquence dans un milieu continu.</figcaption></figure>

Dans un tel milieu la loi de propagation induit que :

* un terrain à module élastique élevé transmet les déplacements sur les hautes fréquences ;

* un terrain à viscosité élevée transmet également les déplacements particuliers sur les hautes fréquences [2, 3, 5].

L'inverse est que les terrains à module élastique faible et à viscosité faible (molle) ne transmettent que les basses fréquences.

Dans un milieu fissuré, toute fissure joue le rôle de filtre en fréquence pour les ondes longitudinales (ondes de compression) : plus la fissure est large, plus la longueur d'onde doit être grande et donc la fréquence basse pour que la vibration soit transmise de part et d'autre de la fissure; autrement dit, plus une fissure est petite, plus elle permet de passer les hautes fréquences.
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Fig. 2. Décalage en fréquence dans un milieu fissuré.</figcaption></figure>

La sismique fréquentielle consiste simplement à produire un champ de contrainte traversant le milieu à étudier et à en déterminer le contenu fréquentiel. Toute modification d'un état de contrainte produit un champ de contrainte qui se propage sous forme d'une onde sismique.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Fig. 3. Schéma d'acquition de type cross-hole.</figcaption></figure>

Le fait de produire ce champ par la chute d'un marteau sur ou dans le terrain n'est qu'une manière efficace en déterminer certaines caractéristiques qui ne peuvent être mesurés si la variation de contrainte est faible ou lente. Dans un milieu continu, les fréquences élevées sont associées à des modules élastiques élevés et de fortes viscosités.

Il en résulte que la transmission d'un signal de haute fréquence entre deux points dans un terrain constitue une condition nécessaire et suffisante pour que les contraintes passent entre ces deux points.

La méthode est indépendante de la nature du terrain, les principes restent vrais, mais les valeurs absolues des fréquences seront différentes dans un béton, un calcaire ou une argile.
La méthode est sécurisante puisque le passage de ces hautes fréquences permet de garantir que les contraintes passent. Par contre, elle peut être pessimiste, puisqu'une seule fissure suffisamment large peut filtrer totalement les hautes fréquences.

# 3 Chizeuil

## 3.1 Contexte et schémas d'acquisition

La mine de Chizeuil est à une centaine de kilomètres au sud de Nevers. C'est un massif primaire dans lequel on a exploité d'abord le chapeau de fer, puis en profondeur la pyrite à fin de produire du fer, de l'acide sulfurique et accessoirement un peu de cuivre. Elle est fermée depuis 1965. Certaines zones de la mine n'ont pas été remblayées et peuvent présenter un risque d'effondrement. Ce risque n'est pas virtuel puisqu'un effondrement ancien est bien

présent sur le site. Toutefois, les différentes études géologiques et géostructurales laissent penser que cette partie de l'exploitation est peu ou pas fissurée et présente des caractéristiques mécaniques suffisantes.

C'est la raison de l'utilisation de la sismique exploitée à la fois dans le domaine fréquentiel, pour la fissuration et dans le domaine temporel pour en extraire les caractéristiques élastiques.

Compte tenu de la géologie du site, exclusivement rocheuse et formée au toit de l'ancienne exploitation de quartzites plus ou moins fissurés, il s'agit typiquement de démontrer que le toit de la cavité n'est pas fissuré sur une hauteur suffisante.

On est donc plus intéressé par le comportement de l'onde de compression qui est celle qui ausculte plus précisément la fissuration. L'essentiel de l'opération consiste donc à obtenir un maximum de trajets en sismique fréquentielle sur des ondes de compression.

Forages et mesures réalisés

7 sondages d'environ 50 mètres de haut formant un hexagone, dont la plupart carottés, ont été

descendus jusqu'au toit de la galerie ; leur direction et inclinaison ont été mesurées. À partir de ces forages, on a pu ausculter 18 panneaux verticaux :

* 6 panneaux radiaux issus du forage O et allant vers les forages A à F,

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Fig. 4. Coupe de la mine de Chizeuil.</figcaption></figure>
* 6 panneaux formant le périmètre de l'hexagone

* 2 fois trois panneaux en triangle.

* 1436 trajets ont été réalisés en ondes de compression

* 339 trajets ont été réalisés en onde de cisaillement

Un générateur d'onde de compression de type sparker (fig. 5 haut) et un émetteur de type marteau de cisaillement (fig. 5 bas) ont été mis en œuvre. Le marteau de cisaillement est rendu solidaire du massif par l'intermédiaire de doigts rétractables visibles sur la photo.

L'utilisation de deux marteaux permet de mesurer les vitesses de propagation de l'onde de compression et de l'onde de cisaillement. On calcule ainsi les modules d'Young et de cisaillement faible déformation.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>**Fig. 5.** Vue du matériel : en haut à gauche émetteur en onde cisaillement ; en bas émetteur d'onde par compression de l'eau ; à droite, installation dans le forage de la sonde réceptrice de l'onde de compression.</figcaption></figure>

Le matériel a été conçu et réalisé par GEOSOL (Seriate Bergamo) et a été mise en œuvre par ses équipes sur ce site

## 3.2 Résultats

Les résultats sont présentés avec la profondeur de l'émetteur et du récepteur et un code de couleur fonction des fréquences transmises.

<table><caption>**Table 1.** Légende des diagrammes.</caption><tr><td>O-08_A-08</td><td>760</td><td>fréquences maximales inférieures à 800 Hertz</td></tr><tr><td>O-08_A-12</td><td>880</td><td>fréquences maximales inférieures à 1000 Hertz</td></tr><tr><td>O-02_A-08</td><td>1120</td><td></td></tr></table>
O-12_A-04 1240 fréquences maximales supérieures à 1200 Hertz

O-12_A-16 1860 fréquences maximales supérieures à 1400 Hertz

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Fig. 6. Trois types de signaux temporels à gauche (0-60 ms), fréquentiels à droite (0-2000 Hertz).</figcaption></figure>

* en haut, signal laissant passer les fréquences jusque 1400 Hertz

* au milieu, les fréquences passent jusque 750 Hertz

* en bas, fréquences limitées à 250 Hertz

Un schéma présentant tous les trajets réalisés en prenant un code de couleur simple montrant :

* trajets en vert : les hautes fréquences passent sans problème : terrain très peu ou pas fissuré défini par une fréquence principale supérieure à 1200 Hertz

* trajets en rouge : les hautes fréquences ne passent pas, fréquence maximale inférieure à 1000 Hertz.

* Les trajets de moyenne fréquence : de 1000 Hertz à 1200 Hertz ne sont pas représentés.
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>**Fig. 7.** Résultats synthétiques pour tout un panneau radial.</figcaption></figure>

Le contenu fréquentiel en terrain essentiellement rocheux est d'abord un détecteur de fissures ; les zones avec de nombreux trajets en vert représentent donc des zones non fissurées à l'inverse des zones en rouge.

Les trajets obliques traversants peuvent passer d'une zone fissurée à une zone fissurée ; on voit donc régulièrement apparaître des trajets marqués en rouge du fait sans doute de fissures
situées dans la zone qui apparaît fissurée. Il apparaît clairement qu'à partir de 18-20 mètres de profondeur, les terrains sont caractérisés par des bonnes caractéristiques mécaniques qui se traduisent par des fréquences supérieures à 1400 Hertz.

L'exploitation en temps des ondes de compression et de cisaillement montrent que les modules d'Young sous faible déformation sont supérieurs à 20 000 MPa et les modules de cisaillement supérieurs à 8 000 Mpa. La constance des mesures et le nombre élevé de mesures garantit en fait que les contraintes sont capables d'être transmises d'une manière homogène sur une forte épaisseur. Les modèles de calcul statique s'appuient ainsi sur des bases solides et confirment la stabilité du toit de cette mine abandonnée.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>**Fig. 8.** Schéma des résultats bruts sur les 18 panneaux entre forages. La représentation met la base des forages au même niveau et montre aisément les zones fracturées en rouge (basses fréquences) et les zones saines en vert (hautes fréquences) montrant l'effet de voûte.</figcaption></figure>

n.b. : les 2 marques rouges visibles en profondeur dans le troisième panneau sont simplement dues à la forte obliquité de ces trajets. Les zones décomprimées se situent dans la partie supérieure.

## 4 Tournai

Le cas du site dans le calcaire primaire de Tournai (Belgique) est assez différent. Des karsts ont été constatés en cours de construction (photo fig. 10). Il fallait vérifier que les fondations sur semelles (fig.9) n'étaient pas situées au-dessus de karsts et quantifier le risque : karsts nettement plus profonds ou petites cavités.

Ici aussi, il s'agissait de savoir si les contraintes induites par les fondations profondes pouvaient se diffuser dans le sol, d'où l'utilisation de la sismique fréquentielle. La sismique fréquentielle a ici été utilisée pour détecter des zones où les fréquences chutaient en dessous d'un seuil. Le matériel utilisé générant majoritairement des ondes de cisaillement était assez différent de celui utilisé à Chizeuil.

Un quadrillage de forages a été réalisé suivant le schéma de la figure 9 ; leur profondeur était de 16 ou 25 mètres.
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Fig. 9. Plan du site et des profils de sismique fréquentielle réalisés sur 30 panneaux.</figcaption></figure>

L'objectif de la sismique fréquentielle est ici de détecter d'éventuelles zones où ne passent que les fréquences ; elles peuvent correspondre à des karsts francs ou à des zones très altérées ou à des fissures. Leur position vis-à-vis des semelles détermine ensuite les actions éventuelles à entreprendre. Les fréquences attendues dans ces terrains altérés et décomprimés proches de la surface sont évidemment inférieures à celles de Chizeuil.
<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Fig. 10. Photo du site et du matériel.</figcaption></figure>

Le signal de la figure 12 est obtenu en profondeur dans une zone saine où on voit que la fréquence de 700 Hz passe. On est donc très logiquement bien en dessous du meilleur contenu fréquentiel de Chizeuil.

Le tableau de la figure 13 représente les résultats d'un panneau entre 0 à 15,35 m de profondeur et montre les fréquences qui ne dépassent pas 200 Hertz, correspondant donc à des zones où la propagation du champ de contrainte s'effectue au travers d'un massif dégradé. La notion de fréquence principale et de fréquence maximale est un peu secondaire et est plus utile en milieu tendre. On peut voir figure 11 que les courbes sont parallèles.

La figure 11 montre le résultat de trois panneaux. À gauche, on montre les fréquences principales et maximales en fonction de la profondeur moyenne de l'émetteur et du récepteur ; à droite, on voit les trajets avec un code de couleur classique : rouge – basses fréquences ; vert – hautes fréquences ; noir – fréquences intermédiaires.
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Fig. 11. Trajets Résultats en représentation pseudo-verticale des fréquences maximales.</figcaption></figure>

* En haut, est représenté le panneau décrit dans le tableau figure 13 ; les fréquences ne dépassant donc pas 200 Hertz.

* Au milieu les résultats sur un panneau nettement plus satisfaisant. Les fréquences oscillent entre 500 et 700 Hertz pour ce panneau.

* En bas, le troisième panneau est divisé en deux parties : jusque 13 mètres de profondeur les fréquences restent basses ; en dessous elles atteignent régulièrement 500 Hertz.
On comprend aisément que la méthode est pessimiste et sécurisante : une seule fissure, une seule poche altérée va dégrader le signal alors que l'information est fournie sur l'ensemble du trajet.

On observe donc les très fortes différences en raies spectrales obtenues sur les différents trajets. C'est l'intérêt de la méthode qui est très discriminante d'autant que l'obtention des spectres est automatique et qu'il est facile d'obtenir les fréquences caractéristiques du spectre.

Les forages réalisés au marteau fond de trou ont permis de détecter certaines zones de fissures et leur profondeur. La sismique fréquentielle a permis de dégager des zones en plan et en profondeur caractéristiques de terrain sain ou dégradé.

Tout ceci a permis de déterminer la géométrie sommaire et les caractéristiques des zones sous les fondations superficielles. Certaines zones ne présentaient pas de risque, d'autres ont dû être consolidées par des injections de fissure.

<table><caption>Table 2. Tableau des résultats issus.</caption><thead><tr><th>Emetteur (m)</th><th>Recepteur (m)</th><th>Trajets</th><th>Fréquence principale (Hertz)</th><th>Fréquence maximale (Hertz)</th></tr></thead><tbody><tr><td>3,40</td><td>0,35</td><td>3,4 &gt; 0,35m</td><td>76</td><td>99</td></tr><tr><td>3,40</td><td>1,35</td><td>3,4 &gt; 1,35m</td><td>76</td><td>100</td></tr><tr><td>3,40</td><td>2,35</td><td>3,4 &gt; 2,35m</td><td>83</td><td>152</td></tr><tr><td>3,40</td><td>3,35</td><td>3,4 &gt; 3,35m</td><td>76</td><td>134</td></tr><tr><td>3,40</td><td>4,35</td><td>3,4 &gt; 4,35m</td><td>99</td><td>167</td></tr><tr><td>3,40</td><td>5,35</td><td>3,4 &gt; 5,35m</td><td>121</td><td>200</td></tr><tr><td>7,40</td><td>5,35</td><td>7,4 &gt; 5,35m</td><td>78</td><td>145</td></tr><tr><td>7,40</td><td>7,35</td><td>7,4 &gt; 7,35m</td><td>83</td><td>160</td></tr><tr><td>7,40</td><td>9,35</td><td>7,4 &gt; 9,35m</td><td>76</td><td>183</td></tr><tr><td>7,40</td><td>11,35</td><td>7,4 &gt; 11,35m</td><td>93</td><td>186</td></tr><tr><td>7,40</td><td>13</td><td>7,4 &gt; 13,35m</td><td>76</td><td>170</td></tr><tr><td>7,40</td><td>15</td><td>7,4 &gt; 15,35m</td><td>76</td><td>140</td></tr><tr><td colspan="3">Moyennes</td><td>84</td><td>153</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 12. Signal (0-1000 Hz) dans du calcaire sain à 24 m de profondeur.</figcaption></figure>
# 5 Conclusions

La sismique fréquentielle n'est qu'une autre manière de faire un essai de sol, utilisant la propagation d'un champ de contrainte. La méthode est universelle, elle s'applique aussi bien aux sols meubles argileux ou sableux où ce sont les caractéristiques visco-élastiques du milieu continu qui jouent je rôle principal, que dans les terrains rocheux où ce sont les discontinuités qui jouent le rôle principal.

On peut souligner que la méthode se prête très bien à l'automatisation, ce qui est plus difficile le cas d'un signal sismique exploité en fonction du temps.

La sismique fréquentielle a été appliquée aux contrôles d'injection, notamment sur les métros parisiens, au contrôle de jet grouting, de fissuration de pieux, de fondations profondes, dans le même esprit que le contrôle de Tournai, ainsi qu'à la détection de remblais anciens dans une galerie secondaire d'Eole.

Les deux approches de Tournai et de Chizeuil sont deux volets d'une même application : la recherche d'une continuité de la propagation de contrainte dans un massif.

L'exploitation du signal couplée en temps et en fréquence sur les ondes de compression et de cisaillement fournit des résultats particulièrement intéressants : l'exploitation en temps fournit les caractéristiques élastiques, l'exploitation en fréquence renseigne sur le chemin des contraintes.

L'approche théorique a été menée parallèlement et indépendamment de ces résultats, la méthode inverse n'a pas à notre connaissance été développée, mais est plutôt difficile du fait que l'on travaille sur des milieux continus et fissurés.

Il est surprenant qu'elle ne soit pas utilisée plus largement ; deux explications sont envisageables : c'est une méthode évidente pour des mécaniciens théoriques, mais cela reste de la géophysique, tandis que pour les géophysiciens, c'est relativement éloigné de leur zone habituelle de travail.

La puissance de la méthode est aussi un inconvénient car certaines conclusions peuvent remettre en cause une opération complète, ce qui induit des grosses responsabilités, difficiles à prendre sur des chantiers de longue durée. Cela a induit des réticences a utilisé cette méthode alors que des méthodes plus confortables ou plus classiques sont disponibles.

# Références

1. M.A. Biot, Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid (1955), Journal of the Acoustical Society of America, pp 168-191

2. L. Knopoff (1955), Small three-dimensional seismic models, Trans. Amer. Geophys. Union, 36, 1029-1034. L. Knopoff (1956), Diffraction of elastic waves, J. Acoust. Soc. Amer., 29, 217-229.

3. Thierry Bourbié et al. (1987), Acoustics of Porous Media Editions TECHNIP, Gulf Publishing Company, 334 pages

4. P. De Sloovere (1990), Etude du comportement de l'argile par analyse en fréquence de l'onde sismique sur le site de stockage de Mol (Belgique) Commission Communautés européennes – Sciences et techniques nucléaires.

5. Louis Girardi (1981), Propagation des vibrations dans les sols homogènes ou stratifiés, Annales de l'Institut Technique du Bâtiment et des Travaux Publics, n°177

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