### Constitution d'une collection qui est ensuite placée dans la boîte à compter :

Une deuxième procédure envisageable repose sur le fait que l'élève commence par réaliser la collection dont le cardinal est fixé avant de la déplacer dans un compartiment. Cette procédure simplifie la tâche qui consiste à déposer les jetons dans le compartiment, mais elle complexifie celle de l'énumération des objets puisque ceux qui sont déjà comptés et ceux qui restent à compter ne sont plus distingués entre ceux qui sont dans le compartiment et ceux qui n'y sont pas. Comme dans toutes les activités d'énumération, différents facteurs sont à prendre compte pour analyser la difficulté de la tâche. Ici, la nature des objets constitue une variable didactique dans la mesure où la réalisation et le contrôle de l'énumération peuvent prendre des formes différentes suivant que les objets sont des jetons (même taille, même forme et même couleur), des voitures (même taille, même forme, mais de couleurs différentes) ou des cailloux (tailles différentes mais proches, formes différentes mais proches et couleurs différentes).

L'influence de la nature des objets sur l'activité apparaît clairement. Sans entrer davantage dans le détail pour tous les objets proposés par l'enseignante, indiquons par exemple qu'il est plus aisé pour Julien de réaliser une collection de trois objets dans le cas où ces objets sont des voitures car il peut les choisir de couleurs différentes et contrôler ainsi son activité, tandis que lorsque les objets sont des jetons de même couleur, le contrôle est plus difficile, il l'est également parce que les jetons peuvent se superposer ce qui n'est pas le cas pour les voitures ou les cailloux.

### Placement des objets dans la boîte à compter après en avoir pris un nombre approximatif :

Une procédure qui peut apparaître comme intermédiaire entre celles que nous venons de décrire consiste à se saisir d'une quantité d'objets correspondant approximativement au cardinal souhaité et de lâcher les objets un par un dans le compartiment tout en énonçant la suite verbale numérique. Cette troisième procédure peut apparaître comme économique mais la facilité de sa mise en œuvre dépend de la nature des objets, notamment de leur forme et de leur taille. C'est ainsi plus difficilement envisageable avec les voitures qu'avec les jetons ou les cailloux.

On le comprend, la réalisation de ces trois tâches analogues mobilisant du matériel lié aux trois contextes différents pourra donner lieu à des activités différentes de la part de Julien,
activités qui devraient contribuer à la construction de sa connaissance des premiers nombres, pour leur fonction cardinale. Il apparaît plus difficile en revanche de saisir les raisons qui ont conduit Élodie à proposer ces tâches, avec ces contextes et dans cet ordre : par exemple, la difficulté des tâches, contrairement à ce qui est ordinairement observé chez les enseignants, n'est pas ordonnée dans le sens croissant. De fait, les raisons qui expliquent les choix d'Élodie quant à la deuxième et à la troisième tâche qui ont été proposées à Julien trouvent leur source dans le déroulement même des tâches qui les précèdent. Ainsi, nous n'aborderons pas l'analyse de la composante cognitive de la pratique de l'enseignante après l'analyse *a priori* des tâches, mais seulement après l'analyse du déroulement de leur réalisation.

### 3.2.1.3. Analyse du déroulement des tâches de type A

Les tâches de type A ont été mises en place pour la première fois en novembre 2012. Pour cette analyse nous avons retenu 8 séances qui ont eu lieu entre novembre 2012 et juin 2013, séances qui ont été choisies, comme indiqué précédemment, parce qu'elles étaient complètes (les vidéos ayant pu en effet être incomplètes soit pour des raisons techniques soit parce que Julien a interrompu son travail par lassitude). Nous avons analysé l'ensemble de ces 8 séances filmées étalées sur un total d'environ 8 minutes et 38 secondes, soit en moyenne un peu plus de 1 minute par séance. L'ensemble de ces séances représente ainsi un total de 68 interactions entre l'élève et l'enseignante, soit en moyenne près de 8 interactions par séance.

Ce type de tâches ayant été présenté par l'enseignante sous trois contextes différents, nous indiquons ci-dessous le nombre de séances ainsi que la période de déroulement pour chacune des tâches proposées relatives à ces trois différents contextes :

<table><caption>Tableau 15 : Dates et effectifs des tâches de type A proposées selon les contextes (1ère année)</caption><thead><tr><th>Contextes des tâches de type A (1<sup>ère</sup> année)</th><th>Désignation des quantités</th><th>Nombre de séances analysées</th><th>Périodes</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">&laquo; Les jetons et boites à compter &raquo;</td><td>Constellation</td><td>1</td><td rowspan="2">Novembre 2012 à Décembre 2012</td></tr><tr><td>Écriture chiffrée</td><td>2</td></tr><tr><td>&laquo; Les petites voitures et places de parking &raquo;</td><td>Écriture chiffrée</td><td>3</td><td>Décembre 2012 à Avril 2013</td></tr><tr><td>&laquo; Les cailloux &raquo;</td><td>Écriture chiffrée</td><td>2</td><td>Mai 2013 à Juin 2013</td></tr><tr><td colspan="2">Ensemble des séances</td><td>8</td><td>Novembre 2012 à Juin 2013</td></tr></tbody></table>
Dans un premier temps, Élodie a donc choisi de commencer à travailler les tâches de type A dans le contexte des jetons et de proposer la désignation des quantités de jetons à placer dans les cases par des cartes représentant des constellations. L'enseignante a rapidement abandonnée ce type de désignation pour des raisons qui seront explicitées lors de l'analyse du déroulement. Dans toutes les autres tâches qu'elle proposera par la suite, les quantités seront alors désignées par des cartes comportant des écritures chiffrées. Dans un deuxième temps, elle change également de contexte en proposant d'utiliser des petites voitures à la place des jetons, les cases de la boîte à compter représentant alors des parkings pour les voitures ; les quantités de voitures à placer, comme indiqué précédemment, seront désignées par des cartes à écritures chiffrées. Nous verrons que ce nouveau contexte de travail est plus attirant pour Julien. Dans un troisième temps, l'enseignante change encore de contexte et propose un matériel qu'elle qualifie de « plus concret » en remplaçant les petites voitures en plastique par de vrais cailloux ; les quantités à placer dans les cases restant désignées par des cartes avec écritures chiffrées.

### 3.2.1.3.1. Analyse du déroulement : les activités de l'élève

Comme mentionné précédemment, pour cette analyse des activités de l'élève, nous avons réalisé une analyse quantitative de ses réussites et de ses échecs au cours de ses échanges avec Élodie, analyse que nous avons complétée avec une étude qualitative de la réalisation de la tâche. Cette analyse des performances est aussi fonction du type ou du degré d'accompagnement apporté par l'enseignante. Ainsi, un accompagnement dit « modéré » témoigne d'une certaine autonomie de l'élève, alors qu'un accompagnement dit « fort » correspond à un degré important de dépendance de l'activité de Julien vis-à-vis de l'enseignante. Rappelons aussi que Julien n'est jamais réellement autonome dans la réalisation des tâches, ce qui explique que l'accompagnement de l'enseignante soit toujours présent.

Pour des raisons didactiques déjà expliquées, nous distinguons le cas où la tâche correspond à la création d'une collection dont le cardinal est donné soit par une constellation, soit par un nombre sous sa forme chiffrée.
3.2.1.3.1.1. Création d'une collection d'objets, dont le cardinal est donné par une constellation

Pour l'ensemble des séances analysées, nous rappelons qu'une seule séance a porté sur la création d'une collection dont le cardinal était proposé par une constellation. Cette séance correspond au contexte des « Jetons et boites à compter » et elle a été réalisé au début de la prise en charge de Julien par Élodie en novembre 2012. Au total 13 échanges sont repérés dans cette séance qui dure 1 minute et 13 secondes, ce qui correspond en moyenne à un échange toutes les 5 à 6 secondes. Ces 13 échanges se distinguent par leur objectif : compréhension de la consigne, reconnaissance du cardinal de la collection à constituer et constitution de la collection d'objets. À chacun de ces échanges, la réussite ou l'échec de Julien a été relevé en tenant compte de l'accompagnement de l'enseignante. Nous en tirons ainsi un bilan quant à la performance de l'élève.

Les résultats obtenus sont synthétisés dans le tableau suivant :

<table><caption>Tableau 16 : Réussites et échecs de Julien dans la reconnaissance d'un cardinal sous forme de constellation par sous-tâche et par degré d'accompagnement pour les tâches de type A (1ère année)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Sous-tâches de type A (1ère année)</th><th colspan="4">Réussites</th><th colspan="4">Échecs</th><th rowspan="2">Total des interactions</th></tr><tr><th>Acc. modéré</th><th>Acc. fort</th><th>Total</th><th>Acc. modéré</th><th>Acc. fort</th><th>Total</th></tr></thead><tbody><tr><td>Compréhension initiale de l'énoncé de la tâche</td><td>3/6</td><td>50%</td><td>2/6 33%</td><td>5/6 83%</td><td>0/6 0%</td><td>1/6 17%</td><td>1/6 17%</td><td>6 46%</td></tr><tr><td>Reconnaissance d'un nombre sous forme de constellation</td><td>0/4</td><td>0%</td><td>0/4 0%</td><td>0/4 0%</td><td>4/4 100%</td><td>0/4 0%</td><td>4/4 100%</td><td>4 31%</td></tr><tr><td>Constitution de la collection d'objets</td><td>1/3</td><td>33%</td><td>0/3 0%</td><td>1/3 33%</td><td>1/3 33%</td><td>1/3 33%</td><td>2/3 67%</td><td>3 23%</td></tr><tr><td>Ensemble</td><td>4/13</td><td>31%</td><td>2/13 15%</td><td>6/13 46%</td><td>5/13 38%</td><td>2/13 15%</td><td>7/13 54%</td><td>13 100%</td></tr></tbody></table>

Nous pouvons observer que malgré la bonne réussite dans la compréhension de la consigne (5 réussites pour 6 échanges soit 83% de réussite), Julien ne parvient pas à reconnaître un cardinal donné sous forme de constellation (0 réussite sur 4 échanges soit 0% de réussite) et cela quel que soit la constellation à 3, 4 ou 5 points. Afin que Julien puisse déterminer le nombre exact de points constituant la constellation affichée, tout en tenant compte de ses difficultés de reconnaissance, Élodie lui a proposé de pointer avec son doigt chaque point constituant la constellation tout en énonçant le mot-nombre correspondant à chaque pointage. Cette méthode a été très coûteuse pour Julien sur les plans cognitif et affectif, il a commis de nombreuses erreurs de pointage, de coordination entre pointage et énoncé des mots-nombres
ainsi que des erreurs portant sur la suite des mots-nombres à énoncer. Les difficultés les plus lourdes ont concerné l’énumération. L’observation de la vidéo montre en effet que son trouble visuo-praxique l’empêche d’aborder simultanément la collection et les unités de la collection, cela le conduit à oublier certains points de la constellation ou, au contraire, à les pointer deux fois. Élodie a finalement dû renoncer à le laisser faire seul et s’est alors engagée à le guider dans son comptage de manière systématique afin qu’il réussisse, même si elle est bien consciente qu’il n’est pas en mesure de réellement parvenir à effectuer ce dénombrement.

Afin de construire la collection de jetons, Julien prend dans sa main une grande quantité de ces derniers qu'il tente de lâcher un à un dans la case de la boite à compter tout en énonçant, de façon synchronisée, les mots-nombres de la comptine numérique. Sa performance reste toutefois faible à cause d'erreurs liées à une difficulté praxique : il lui arrive en effet de lâcher deux jetons en même temps sans modifier l'énoncé de la chaîne numérique, ou au contraire en n'omettant de compter certains jetons tombés par deux sans qu'il ne l'ait voulu et sans qu'il ne s'en rende compte, c'est à dire sans les enlever de la case de la boite à compter. L'enseignante dans ce cas, essaie d'aider Julien en lui signalant les erreurs, en lui demandant de recommencer, en lui permettant d'enlever les jetons tombés à tort dans la case de la boîte à compter, etc.

Suite à cette séance, l'enseignante ne proposera plus à Julien de constituer des collections de cardinal donné par une constellation. Le cardinal sera dorénavant indiqué par un nombre avec son écriture chiffrée.

3.2.1.3.1.2. Création d'une collection d'objets, dont le cardinal est donné par un nombre avec son écriture chiffrée

Dans l'ensemble des séances filmées, nous en avons repéré sept dont la création d'une collection a été proposée par un nombre donné sous sa forme chiffrée. Ces séances correspondent aux trois contextes : « Jetons et boites à compter », « Petites voitures et places de parking » et « Les cailloux ». Ces séances ont été mises en place tout au long de la première année d'enseignement d'Élodie c'est-à-dire de novembre 2012 à juin 2013. Nous effectuons l'analyse quantitative des réussites et échecs de Julien, d'abord en regroupant ces séances puis en les distinguant par contexte. Ces contextes ayant été proposés dans l'ordre
chronologique, cela nous permettra à la fois de différencier l'analyse qualitative et de rendre compte des progrès éventuels de Julien.

Dans l'ensemble des sept séances qui correspondent à 8 minutes et 15 secondes d'interaction (soit en moyenne 1 minute et 10 secondes d'interaction par séance), nous avons repéré 55 échanges entre l'enseignante et son élève (soit en moyenne un échange toutes les 9 secondes). Comme mentionné précédemment, les réussites et les erreurs de Julien ont été distinguées en fonction de l'objectif de l'interaction : compréhension de la consigne, reconnaissance du cardinal de la collection à construire, et construction de la collection.

Les résultats obtenus sont présentés dans le tableau suivant :

<table><caption>Tableau 17 : Réussites et échecs de Julien dans la reconnaissance d'un cardinal sous forme chiffrée par sous-tâche et par degré d'accompagnement pour les tâches de type A (1ère année)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Sous-tâches de type A (1ère année)</th><th colspan="5">Réussites</th><th colspan="5">Échecs</th><th colspan="2">Total des interactions</th></tr><tr><th>Acc. modéré</th><th>Acc. fort</th><th>Total</th><th>Acc. modéré</th><th>Acc. fort</th><th>Total</th><th>Acc. modéré</th><th>Acc. fort</th><th>Total</th><th></th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>Compréhension de la consigne initiale</td><td>12/22</td><td>55%</td><td>7/22</td><td>32%</td><td>19/22</td><td>86%</td><td>3/22</td><td>14%</td><td>0/22</td><td>0%</td><td>3/22</td><td>14%</td><td>22</td><td>40%</td></tr><tr><td>Reconnaissance d'un nombre sous forme chiffrée</td><td>5/17</td><td>29%</td><td>2/17</td><td>12%</td><td>7/17</td><td>41%</td><td>9/17</td><td>53%</td><td>1/17</td><td>6%</td><td>10/17</td><td>59%</td><td>17</td><td>31%</td></tr><tr><td>Constitution de la collection d'objets</td><td>13/16</td><td>81%</td><td>2/16</td><td>13%</td><td>15/16</td><td>94%</td><td>1/16</td><td>6%</td><td>0/16</td><td>0%</td><td>1/16</td><td>6%</td><td>16</td><td>29%</td></tr><tr><td>Ensemble</td><td>30</td><td>55%</td><td>11</td><td>20%</td><td>41</td><td>75%</td><td>13</td><td>24%</td><td>1</td><td>2%</td><td>14</td><td>25%</td><td>55</td><td>100%</td></tr></tbody></table>

La construction d'une collection de cardinal donné est un type de tâches qui est déjà connu de Julien. Nous observons une réussite relativement bonne quant à la compréhension de la consigne (19 réussites pour 22 échanges soit 86% de réussite) alors que l'accompagnement de l'enseignante est fréquemment modéré (c'est le cas de 12 échanges sur 22 soit pour 55% des échanges) : Julien sait assez bien ce qui est attendu de lui.

En ce qui concerne la reconnaissance d'un nombre, nous observons une meilleure réussite de Julien lorsque le nombre est donné sous forme chiffrée (7 réussites sur 17 échanges soit 41% de réussite) que lorsqu'il est donné sous forme de constellation (0% de réussite). Malgré cette meilleure performance, nous avons repéré d'importantes difficultés quant à la reconnaissance des écritures chiffrées. Le tableau ci-dessous distingue les réussites et les échecs de Julien suivant les nombres proposés (allant de 1 à 5) :
<table><caption>Tableau 18 : Réussites et échecs de Julien dans la reconnaissance des écritures chiffrées pour la tâche A (1ère année)</caption><thead><tr><td>Nombre chiffrée proposée</td><td>Réussites</td><td>Échecs</td></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>3</td><td>0</td></tr><tr><td>2</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>3</td><td>0</td><td>3</td></tr><tr><td>4</td><td>2</td><td>4</td></tr><tr><td>5</td><td>3</td><td>2</td></tr><tr><td>Total</td><td>9</td><td>10</td></tr></tbody></table>

Si Julien semble bien reconnaître le chiffre 1, il apparaît moins bien discerner les chiffres 2 et 4 et l'observation de la vidéo montre qu'il confond les chiffres 3 et 5. En tenant compte de ces difficultés, Élodie a finalement indiqué verbalement et de manière systématique (sauf pour le nombre 1) les nombres affichés sur les cases. Ce choix d'Élodie est motivé par son désir de ne pas mettre Julien en situation de ne pas poursuivre la réalisation de la tâche avec le cardinal attendu. Elle prévoit des séances spécifiquement dédiées à l'apprentissage des chiffres (ces séances figurent dans son cahier-journal). L'observation des vidéos montre, en outre, que ces difficultés sont très anxiogènes pour Julien qui prend les cartes où figurent les nombres et les retourne pour ne plus les voir et ne plus avoir, ainsi, à les lire.

Quant à la constitution des collections d'objets, la performance de Julien est très bonne puisqu'il parvient à obtenir 15 réussites sur 16 échanges soit 94% de réussite ; précisons en outre que les aides de l'enseignante sont généralement modérées (13 accompagnements modérés sur les 16 échanges soit 81% d'accompagnements modérés). Rappelons de même que nous avions observé, lorsque le nombre était donné sous forme de constellation, que Julien prenait un nombre approximatif de jetons en main et rencontrait des difficultés à les lâcher un à un ainsi qu'à coordonner l'énoncé de la suite verbale et du lâcher de jetons. Pour éviter les erreurs liées à ces difficultés, Élodie a proposé à Julien d'effectuer une étape intermédiaire, dans le contexte des « Jetons et boîte à compter » et dans celui des « Petites voitures et places de parking », une adaptation qu'elle changera lors du passage au contexte « Les cailloux ». Cette étape intermédiaire consiste à représenter le nombre cardinal de la collection avec les doigts de la main, à poser sa main sur la table puis à placer un objet (jeton ou voiture) devant chaque doigt « levé ». L'un des objectifs de cette démarche était aussi d'amener Julien à réaliser et à comprendre que les doigts de sa main constituent un outil lui
permettant de bien faire le lien entre le nombre affiché sur la case de la boîte à compter et le
nombre de jetons à y placer. L'observation des vidéos a toutefois montré que cette étape
intermédiaire a constitué une charge cognitive et praxique importante pour Julien qui a
énormément eu de difficulté à se repérer sur les doigts de ses mains. Une erreur a ainsi été
repérée quant à la correspondance terme à terme des doigts et des petites voitures lorsque
l'aide de l'enseignante était seulement modérée. Cette étape intermédiaire dans la réalisation
de la tâche a engendré également fatigue et déconcentration chez Julien, qui, progressivement
au cours des séances, a refusé de réaliser la tâche demandée. L'enseignante n'a pas pu laisser
Julien construire la collection de façon autonome. De ce fait, l'aide modérée ainsi apportée a
permis de constituer les collections demandées à Julien qui n'est pas apparu en capacité d'y
parvenir seul. L'analyse de l'activité de l'élève, à travers les vidéos, n'a pas permis de
trancher entre un apprentissage mathématique gêné dans sa réalisation par un trouble
praxique, et un travail effectué dans sa zone proximale de développement sans aboutir à
l'apprentissage mathématique visé. Des signes de frustration de l'enseignante ont également
pu être perçus sur les vidéos face aux difficultés praxiques de son élève et à son incapacité à
repérer les apprentissages qu'elle visait. Dans le dernier contexte dit « Les cailloux », l'élève
a placé directement les objets un à un dans le compartiment, et cela de manière synchronisée
avec l'énoncé de la suite verbale numérique. Le fait que Julien ait pris les cailloux un à un
peut être vu comme une conséquence de la tâche intermédiaire au cours de laquelle il avait
également pris un à un les jetons ou les petites voitures pour les mettre en correspondance
terme à terme avec les doigts « levés » de sa main. L'observation des vidéos des séances lors
du contexte dit « Les cailloux » a montré d'autre part que le geste était plus fluide
qu'auparavant et que Julien avait commis moins d'erreurs d'énumération. Le bilan global
quant à la réussite de construction des collections de cardinal donné est finalement assez
satisfaisant compte tenu des difficultés visuo-praxiques de Julien.

Le tableau ci-dessous indiquant les réussites et les échecs de Julien selon les contextes des
tâches de type A fait apparaître un progrès chez l'élève qui, au fur et à mesure de
l'enseignement reçu, parvient à améliorer son score de réussite tout en bénéficiant d'un
accompagnement le plus souvent modéré pour réaliser les tâches proposées.
<table><caption>Tableau 19 : Réussites et échecs de Julien par contextes proposés et par degré d'accompagnement de l'enseignante pour les tâches de type A (1ère année)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Contextes des tâches de type A (1ère année)</th><th colspan="6">Réussites</th><th colspan="6">Échecs</th><th colspan="2">Total des interactions</th></tr><tr><th colspan="2">Acc. modéré</th><th colspan="2">Acc. fort</th><th colspan="2">Total</th><th colspan="2">Acc. modéré</th><th colspan="2">Acc. fort</th><th colspan="2">Total</th><th rowspan="2">34</th><th rowspan="2">50%</th></tr></thead><tbody><tr><td>« Jetons et boites à compter »</td><td>14/34</td><td>41 %</td><td>8/34</td><td>24 %</td><td>22/34</td><td>65%</td><td>9/34</td><td>26 %</td><td>3/34</td><td>9 %</td><td>12/34</td><td>35%</td><td>17</td><td>25%</td></tr><tr><td>« Les petites voitures et places de parking »</td><td>6/17</td><td>35 %</td><td>4/17</td><td>24 %</td><td>10/17</td><td>59%</td><td>7/17</td><td>41 %</td><td>0/17</td><td>0 %</td><td>7/17</td><td>41%</td><td>17</td><td>25%</td></tr><tr><td>« Les cailloux »</td><td>13/17</td><td>76 %</td><td>1/17</td><td>6 %</td><td>14/17</td><td>82%</td><td>3/17</td><td>18 %</td><td>0/17</td><td>0 %</td><td>3/17</td><td>18%</td><td>17</td><td>25%</td></tr><tr><td>Ensemble</td><td>33/68</td><td>49%</td><td>13/68</td><td>19%</td><td>46/68</td><td>68%</td><td>19/68</td><td>28%</td><td>3/68</td><td>4%</td><td>21/68</td><td>31%</td><td>68</td><td>100%</td></tr></tbody></table>

Nous constatons de façon assez claire dans le tableau ci-dessus, des progrès de Julien au cours du dernier contexte « Les cailloux » par rapport aux autres contextes des tâches de type A. Pour une part, l'accompagnement modéré de l'enseignante dans le cadre des réussites augmente substantiellement par rapport au contexte précédent des « Petites voitures et places de parking » (une différence de 41 points de pourcentage). D'autre part, nous observons que l'accompagnement fort de l'enseignante diminue de manière importante : 18 points de pourcentage par rapport au contexte des « Petites voitures et places de parking ». Cela nous révèle une certaine autonomie de la part de Julien qui réussit à réaliser la tâche sans avoir besoin d'un guidage important de la part de l'enseignante comme cela a été le cas pour les deux autres contextes.

### 3.2.1.3.1.3. Qualité de la communication de Julien avec son enseignante

Les troubles dont souffre Julien rendent difficile sa communication avec les autres et en particulier avec Élodie, notamment au début de l'enseignement. Une étude relative à cette communication a été effectuée à partir des déroulements des tâches de type A à D. Cette étude n'apporte pas beaucoup d'information pour les tâches de type A qui se situent dans la première année d'enseignement, elle révèle surtout l'incapacité de Julien à se faire comprendre et le silence dans lequel il reste souvent malgré les efforts de l'enseignante pour l'aider à s'exprimer.

Nous avons simplement relevé, durant les interactions, si Julien manifestait un accord, un désaccord, une hésitation ou s'il restait sans se manifester verbalement. Le tableau ci-dessous
résume les réactions de Julien au cours des 68 interactions qui ont été relevées durant les déroulements des tâches de type A.

<table><caption>Tableau 20 : Réactions de Julien suivant les contextes proposés pour les tâches de type A (1ère année)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Contextes des tâches de type A (1ère année)</th><th colspan="8">Réactions de Julien</th><th colspan="2">Total des interactions</th></tr><tr><th colspan="2">Accord</th><th colspan="2">Hésitation</th><th colspan="2">Désaccord</th><th colspan="2">Non verbal</th><th rowspan="2">34/68</th><th rowspan="2">50%</th></tr></thead><tbody><tr><td>« Jetons et boites à compter »</td><td>9/34</td><td>26%</td><td>1/34</td><td>3%</td><td>2/34</td><td>6%</td><td>22/34</td><td>65%</td><td>17/68</td><td>25%</td></tr><tr><td>« Les petites voitures et places de parking »</td><td>2/17</td><td>12%</td><td>0/17</td><td>0%</td><td>0/17</td><td>0%</td><td>15/17</td><td>88%</td><td>17/68</td><td>25%</td></tr><tr><td>« Les cailloux »</td><td>2/17</td><td>12%</td><td>0/17</td><td>0%</td><td>0/17</td><td>0%</td><td>15/17</td><td>88%</td><td>17/68</td><td>25%</td></tr><tr><td>Ensemble</td><td>13/68</td><td>19%</td><td>1/68</td><td>1%</td><td>2/68</td><td>3%</td><td>52/68</td><td>76%</td><td>68/68</td><td>100%</td></tr></tbody></table>

Nous pouvons observer que Julien témoigne très peu de ses hésitations ou de ses désaccords, il parvient parfois à exprimer son accord avec Élodie (dans 19% des interactions), mais reste le plus souvent dans l'incapacité de réagir aux attentes de son enseignante autrement que par des gestes, des mimiques ou des grognements (76% de réactions non verbales). Il semble probable, et l'enseignante émet aussi cette hypothèse, que Julien préfère ne pas communiquer pour se protéger de l'exigence scolaire, même si ses activités témoignent d'une réussite croissante, comme nous l'avons vu précédemment. Nous verrons, lors de l'analyse du déroulement des réalisations des tâches des types B à D, que Julien évolue quant à sa capacité à communiquer avec son enseignante.

Nous pouvons aborder dès maintenant l'analyse du déroulement des tâches de types A du point de vue des activités de l'enseignante.

### 3.2.1.3.2. Analyse du déroulement : les activités de l'enseignante

Comme nous l'avons précisé précédemment, nous avons focalisé l'étude de l'activité de l'enseignante sur les composantes médiative et cognitive, telles que Robert & Rogalski les ont proposées (2002). Rappelons que la composante médiative est liée au discours de l'enseignante et des échanges qu'elle entretient avec les élèves. La composante cognitive est liée quant à elle au traitement des savoirs et à l'itinéraire cognitif proposé aux élèves. Nous avons également utilisé les concepts d'étayage de Bruner (1983) et de zone proximale de développement de Vygotski, (1934,1997). Nous pensons que ces fondements théoriques nous permettront de mieux comprendre comment l'enseignante amène l'élève à réaliser les
tâches qu'il n'arrive pas à réaliser seul. De ce fait pour chacune des 68 interactions repérées dans les déroulements des tâches de type A, nous avons été amenée à coder les interventions de l'enseignante, à la fois sur la composante médiative et sur la composte relationnelle-affective.

### 3.2.1.3.2.1. Les analyses des activités de l'enseignante qui relèvent de la composante médiative

Nous avons analysé l'ensemble des 8 séances filmées, ce qui représente au total 8 minutes et 38 secondes de vidéo, soit en moyenne 1,04 minutes par séance, et comportant au total 68 interactions entre l'élève et l'enseignante soit en moyenne près de 8,5 interactions par séance et 8,11 interactions par minute. Ce sont les mêmes 68 interactions que celles qui ont été utilisées précédemment pour, au vu de l'activité de Julien, analyser les procédures qu'il met en œuvre avec plus ou moins de réussites.

L'analyse de la composante médiative reflète le degré d'autonomie laissé à Julien dans l'exécution des types de tâches. Les interventions de l'enseignante sont considérées comme des aides « fortes » lorsqu'il s'agit de « réduction des degrés de liberté », de « démonstration ou présentation de modèles », et comme des aides « modérés à nulles » lorsqu'il s'agit du « maintien de l'orientation », de la « signalisation des caractéristiques déterminantes » ou du « refus d'aide ».

Nous avons ainsi effectué une analyse par contexte proposé de la composante médiative. Cette analyse a laissé apparaitre une évolution des aides apportées par l'enseignante au cours du déroulement des tâches de type A. Nous pouvons observer celle-ci-dans le tableau suivant :

<table><caption>Tableau 21 : Étayages de l'enseignante relevant de la composante médiative (Tâches de type A, 1ère année)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Contextes des tâches de type A (1ère année)</th><th colspan="6">Aides fortes</th><th colspan="6">Aides modérées à nulles</th></tr><tr><th>La réduction des degrés de liberté</th><th>La démonstration ou présentation de modèles</th><th>Total des interactions</th><th>Le maintien de l'orientation</th><th>La signalisation des caractéristiques déterminantes</th><th>Le refus d'aide</th><th>Total des interactions</th></tr></thead><tbody><tr><td>« Jetons et boites à compter »</td><td>3/34</td><td>9%</td><td>10/34</td><td>29%</td><td>13/34</td><td>38%</td><td>7/34</td><td>21%</td><td>9/34</td><td>26%</td><td>5/34</td><td>15%</td><td>21/34</td><td>62%</td></tr><tr><td>« Les petites voitures et places de parking »</td><td>1/17</td><td>6%</td><td>4/17</td><td>24%</td><td>5/17</td><td>29%</td><td>3/17</td><td>18%</td><td>5/17</td><td>29%</td><td>4/17</td><td>24%</td><td>12/17</td><td>71%</td></tr><tr><td>« Les cailloux »</td><td>2/17</td><td>12%</td><td>1/17</td><td>6%</td><td>3/17</td><td>18%</td><td>0/17</td><td>0%</td><td>8/17</td><td>47%</td><td>6/17</td><td>35%</td><td>14/17</td><td>82%</td></tr><tr><td>Ensemble</td><td>6/68</td><td>9%</td><td>15/68</td><td>22%</td><td>21/68</td><td>31%</td><td>10/68</td><td>15%</td><td>22/68</td><td>32%</td><td>15/68</td><td>22%</td><td>47/68</td><td>69%</td></tr></tbody></table>
L'analyse de la répartition globale des interventions de l'enseignante selon la composante
médiative permet de faire émerger quelques résultats quant à ces interventions. Les aides
fortes représentent 31% des interventions de l'enseignante (soit 21 interventions sur 68) et les
aides modérées à nulles représentent quant à elles 69% des interventions d'Élodie (soit 48
interventions sur 68). Ces résultats montrent la perspective d'autonomisation de l'enseignante,
alors que Julien acquiert de nouvelles connaissances. L'enseignante envisage qu'il puisse les
réinvestir, en lui donnant une autonomie relative dans l'exécution des sous tâches.

L'observation des vidéos montrent que l'enseignante recourt peu à des étayages visant le
maintien de l'orientation (15%). Cela s'explique par des séances très courtes et le fait que
Julien ait peu l'occasion d'agir dans d'autres directions que celles nécessaires à la réalisation
des tâches proposées. Nous remarquons également que, les interventions d'Élodie visent assez
peu à réduire les degrés de liberté de l'action de Julien, ce qui, comme précédemment, tient au
fait que les tâches proposées ne laissent pas une grande latitude quant à leur réalisation. Si
Élodie montre parfois à Julien ce qu'il doit faire, cette manière de l'aider reste assez peu
fréquente (22%), elle lui préfère souvent des aides lui laissant une autonomie relative, en
signalant des caractéristiques déterminantes de la tâche (32%) ou encore une autonomie totale
en refusant de lui venir en aide autrement que par des encouragements (22%).

L'analyse par contexte qui, rappelons-le, correspond à une analyse chronologique puisque les
contextes ont été proposés au fil du temps de l'enseignement, laisse apparaître une évolution
importante des aides de l'enseignante. Ces aides sont le reflet d'une amélioration des relations
entre Élodie et Julien ainsi que des progrès de ce dernier. On constate en effet une diminution
des interventions de l'enseignante lui illustrant ce qu'il doit faire (la démonstration ou
présentation de modèles passe ainsi de 29% à 34% puis chute à 6% seulement des
interventions sur le troisième et dernier contexte). Parallèlement, on obtient une augmentation
des interventions où l'enseignante aide l'élève à faire ressortir les raisons pour lesquelles il
échoue ou il réussit (la signalisation des caractéristiques déterminantes passe de 26% à 29%
puis à 47% des interventions). On remarque également que Julien comprend mieux ce qu'il
doit faire afin de réaliser les tâches qui lui sont demandées, impliquant par conséquent un
besoin moindre de la part de l'enseignante de maintenir l'orientation de son activité (le
maintien de l'orientation passe de 21% à 18% puis à 0% des interventions). Enfin, Julien
gagne en autonomie (les refus d'aide passent en effet de 15% à 24% puis à 35%). Ces
résultats témoignent à la fois du progrès de Julien et d'une prise en compte de celui-ci par
Élodie dans ses interventions médiatives qui accompagnent la réalisation des tâches de type A.

Le croisement des interventions de l'enseignante et des performances de Julien laisse apparaître une nouvelle perspective d'analyse. En voici une représentation chiffrée :

<table><caption>Tableau 22 : Réussite et échecs de Julien suivant les interventions de l'enseignante pour les tâches de type A (1ère année)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Nature des interventions de l'enseignante au cours des tâches de type A (1ère année)</th><th colspan="4">Performances de Julien</th><th colspan="2">Total des interactions</th></tr><tr><th colspan="2">Réussites</th><th colspan="2">Erreurs</th><th rowspan="2">13/68</th><th rowspan="2">19%</th></tr></thead><tbody><tr><td>La réduction des degrés de liberté</td><td>9/13</td><td>69%</td><td>4/13</td><td>31%</td><td></td><td></td></tr><tr><td>La démonstration ou présentation de modèles</td><td>6/8</td><td>75%</td><td>2/8</td><td>25%</td><td>8/68</td><td>12%</td></tr><tr><td>Le maintien de l'orientation</td><td>4/10</td><td>40%</td><td>6/10</td><td>60%</td><td>10/58</td><td>17%</td></tr><tr><td>La signalisation des caractéristiques déterminantes</td><td>16/20</td><td>80%</td><td>4/20</td><td>20%</td><td>20/68</td><td>29%</td></tr><tr><td>Le refus d'aide</td><td>11/15</td><td>73%</td><td>4/15</td><td>27%</td><td>15/68</td><td>22%</td></tr><tr><td><strong>Ensemble</strong></td><td>46/68</td><td>68%</td><td>22/68</td><td>32%</td><td>68/68</td><td>100%</td></tr></tbody></table>

Sur l'intégralité de la tâche A, nous constatons un taux de réussite chez Julien s'élevant à hauteur de 68%, quant à ses échecs ces derniers atteignent respectivement 32%. Les taux de réussite élevés qui sont obtenus témoignent du progrès de l'élève dans l'exécution des sous-tâches A, ainsi que de la pertinence des types d'aides apportées par l'enseignante. Toutefois, en ce qui concerne « le maintien de l'orientation » considéré comme une aide dite modérée à nulle, nous observons des réussites moins fréquentes chez Julien (40% de réussites). Ce type d'aide a été mis en place en particulier dans le contexte des « Jetons et boite à compter » lors de l'exécution de la démarche du dénombrement. Ces résultats révèlent qu'en dépit de la volonté de l'enseignante à maintenir l'orientation et ainsi la concentration de Julien à la sous-tâche, tout en lui laissant une autonomie relative dans son action, cela n'a pas permis en grande majorité de conduire à une réussite.

### 3.2.1.3.2.2. Les analyses des activités de l'enseignante qui relèvent de la composante relationnelle-affective

Pour l'analyse du déroulement, nous nous attardons également sur les modalités relationnelles que l'enseignante entretient avec son élève. En référence à la double approche ergonomique et didactique des pratiques d'enseignement développée par Robert & Rogalski (2002), ces
analyses pourraient être associées à la composante médiative ; toutefois nous avons préféré séparer celles-ci et les indiquer comme composante relationnelle-affective des pratiques de l'enseignante. Les actes posés par Élodie qui sont repérés dans cette catégorie ne sont pas en effet fondamentalement liés aux savoirs en jeu : il s'agit de ce qui, chez Bruner (1983), correspond plutôt, comme nous le verrons, à l'enrôlement et au contrôle de la frustration.

À chacune des interventions de l'enseignante, une lecture quant à la composante relationnelle-affective peut en être tirée. En effet, lorsqu'Élodie intervient, cela lui permet toujours, soit de motiver Julien pour qu'il s'engage dans la réalisation de la tâche proposée (enrôlement), soit de le féliciter ou de l'encourager afin de l'aider à surmonter sa peur d'échouer ou à surmonter son stress devant la difficulté de la tâche à réaliser (contrôle de la frustration). Les résultats ainsi obtenus sont rassemblés dans le tableau suivant :

<table><caption>Tableau 23 : Étayages de l'enseignante relevant de la composante relationnelle-affective (Tâches de type A, 1ère année)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Contextes des tâches de type A (1ère année)</th><th colspan="4">Composante relationnelle-affective de l'enseignante</th><th colspan="2">Total des interactions</th></tr><tr><th colspan="2">Enrôlement</th><th colspan="2">Contrôle de la frustration</th><th rowspan="2">34/34</th><th rowspan="2">100%</th></tr></thead><tbody><tr><td>« Jetons et boites à compter »</td><td>18/34</td><td>53%</td><td>16/34</td><td>47%</td><td></td><td></td></tr><tr><td>« Les Petites voitures et places de parking »</td><td>7/17</td><td>41%</td><td>10/17</td><td>59%</td><td>17/17</td><td>100%</td></tr><tr><td>« Les cailloux »</td><td>4/17</td><td>24%</td><td>13/17</td><td>76%</td><td>17/17</td><td>100%</td></tr><tr><td>Ensemble</td><td>29/68</td><td>43%</td><td>39/68</td><td>57%</td><td>68/68</td><td>100%</td></tr></tbody></table>

L'analyse de la composante relationnelle-affective de la pratique d'Élodie révèle davantage de résultats par l'examen de son évolution dans le temps – repérée par les contextes des tâches – que par celui de la répartition globale entre enrôlement et contrôle de la frustration. Les interventions de l'enseignante visant à soutenir l'enrôlement de son élève sont en effet décroissantes au cours du temps (elles passent de 53% à 41% puis à 24% des interventions) ce qui témoigne du fait que Julien et de plus en plus volontaire pour réaliser les tâches proposées et qu'il sait de mieux en mieux faire ce qui est attendu. Parallèlement, les interventions visant le contrôle de la frustration vont croissantes (elles passent de 47% à 59% puis à 76% des interventions) du fait de la part de plus en plus importante des interventions d'Élodie pour féliciter Julien et lui témoigner ainsi de sa satisfaction quant à ses réussites au cours de la réalisation des tâches proposées.
3.2.1.3.2.3. Analyse de la composante cognitive

L'analyse de la composante cognitive, contrairement à ce qui peut se faire quant aux pratiques des professeurs qui enseignent dans les classes ordinaires, n'aurait pas été possible après l'analyse *a priori* car la connaissance des déroulements des tâches s'est avérée indispensable pour comprendre les choix de l'enseignante quant aux tâches proposées à son élève qui présente divers troubles cognitifs développementaux et visuo-praxiques. Julien étant à peu près capable de dénombrer une petite collection d'objets (cardinal environ égal à dix), Élodie s'est proposée de lui permettre de développer une connaissance davantage cardinale qu'ordinale du nombre en lui demandant de construire une collection d'objets de cardinal donné. Différents travaux, dont ceux de Brissiaud (1988, 1992) qui sont bien connus des enseignants, attestent du fait que des enfants sont capables de « compter » des objets et de produire le dernier mot-nombre prononcé sans pour autant attribuer de valeur cardinale à leur réponse : les mots-nombres sont attribués aux objets par simple numérotage, le dernier d'entre eux est énoncé comme réponse à la question « combien ? » non par « cardinalisation » du comptage, mais pour répondre à l'attente de l'adulte qui ne se satisfait pas du comptage seul. L'enseignante connaît bien ces travaux qu'elle a étudiés dans le cadre du Master de sciences de l'éducation qu'elle a suivi à l'université Paris Descartes. Cela explique qu'elle propose à son élève de réaliser d'autres tâches où la dimension cardinale du nombre peut être convoquée autrement que lors d'un dénombrement d'une petite collection.

Afin d'encourager les activités de Julien qui mettent en jeu la dimension cardinale du nombre, Élodie avait programmé, dans un premier temps, de lui donner à effectuer des tâches de construction de collections d'objets disponibles, à proximité et déplaçables, collections dont le cardinal est donné sous forme écrite (afin de lui éviter les oublis éventuels), c'est-à-dire des tâches de type A. Le fait que les objets soient des jetons lui semblait adapté au fait que la collection devait être déposée dans la boîte à compter. Indiquer les cardinaux par des constellations ou des nombres sous forme chiffrée permettait, selon l'enseignante, de renforcer la construction cardinale du nombre en le conduisant à faire le lien entre l'équipotence et la correspondance terme à terme.

Les tâches ont donc été adaptées et la programmation qui a suivi a alors pris en compte différentes difficultés rencontrées par Julien, et qui n'avaient pas été anticipées par Élodie dans un premier temps. Ainsi l'enseignante a-t-elle dû abandonner le travail avec les
représentations des nombres par des constellations car Julien, d'une part ne connaissait pas ces constellations, et d'autre part n'était pas capable de dénombrer les points qui les composaient. La fonction attribuée à cette configuration de la tâche s'est donc révélée impossible à atteindre. Élodie a alors décidé d'indiquer les cardinaux des collections à construire uniquement avec des cartes indiquant des nombres sous forme chiffrée. L'apprentissage des constellations (doigts de la main ou dés) devait, selon elle, faire l'objet d'un enseignement spécifique. L'enseignante n'avait pas non plus prévu que son élève se saisirait de plusieurs jetons à la fois et tenterait de les laisser tomber dans les cases de la boîte à compter. Si cette procédure correspond bien à celle qu'un expert pourrait mobiliser, elle correspond très mal à Julien dont les troubles praxiques ne lui permettent pas de lâcher les jetons l'un après l'autre en les comptant (problème d'énumération, Briand, 2000 ; Margolinas & Wozniak, 2012).

C'est la lassitude exprimée par Julien face à ses difficultés praxiques qui a conduit Élodie à changer partiellement de matériel en remplaçant les jetons par des petites voitures. Elle avait par ailleurs remarqué que Julien appréciait particulièrement de travailler avec elles et espérait ainsi que Julien accepterait de renouveler ses efforts avec ce nouveau matériel. L'analyse *a priori* effectuée précédemment indique que les couleurs des voitures constituent une aide à l'énumération, mais l'enseignante n'a semble-t-il pas pris cette caractéristique en compte puisqu'elle a proposé à Julien de réaliser la tâche d'énumération en s'aidant des doigts de sa main (les cardinaux en jeu étaient au plus égaux à 5). Cette étape intermédiaire offrait selon elle une occasion de faire le lien entre le nombre à atteindre et sa dimension cardinale puisque le nombre à atteindre était matérialisé d'une part par les doigts et d'autre part par la collection de petites voitures mise en correspondance terme à terme avec celle des doigts. Sans doute Élodie a-t-elle saisi cette opportunité pour faciliter la tâche de Julien en tenant compte de ses difficultés visuo-praxiques, mais ni les vidéos ni les entretiens ne permettent de supposer qu'elle a proposé cette étape supplémentaire pour renforcer la cardinalité (en substitution des constellations). Comme indiqué dans l'analyse du déroulement, pour des raisons analogues à celles rencontrées dans l'usage des constellations, les troubles praxiques de Julien n'ont pas permis à cette étape intermédiaire de jouer son rôle dans l'acquisition du concept de cardinalité : Julien supportait mal en effet de garder des doigts repliés avec sa main posée sur la table, cela le déconcentrait et l'empêchait de faire le travail autrement qu'avec une aide importante d'Élodie. Néanmoins, comme l'a montré l'analyse du déroulement, Julien a pu
faire quelques progrès et donc vivre des situations de réussite dans la réalisation de cette tâche encore trop difficile pour lui en l'absence d'aide.

Le choix du troisième contexte était pour l'enseignante un moyen de permettre à Julien de montrer ses progrès avec un matériel différent, moins ludique, moins marqué affectivement (Julien aimait beaucoup ces petites voitures) mais facilement manipulable. Elle a ainsi proposé différents étayages pour permettre à Julien de mettre en œuvre une procédure de dénombrement adaptée à son trouble praxique : prendre un caillou du tas et dire « un » en le mettant à part grâce à un geste du bras, puis prendre un autre caillou et dire « deux » en le mettant avec le premier, et ainsi de suite. Julien pouvait ainsi recompter ses cailloux avant de les déposer dans la boîte à compter. L'analyse des déroulements a alors montré que Julien avait effectué des progrès dans la réalisation de cette tâche et qu'il était devenu plus autonome dans celle-ci. Ses performances ne permettent néanmoins pas de penser que la dimension cardinale du nombre se soit réellement construite chez cet élève, ce qui explique d'ailleurs les autres types de tâches proposées par l'enseignante pour atteindre cette construction. Il peut toutefois finalement être constaté que les tâches proposées à l'élève ne couvrent pas toute la richesse exploitable des tâches de type A consistant à produire une collection d'objets de cardinal donné. L'enseignante semble en être globalement consciente. Elle dispose des connaissances théoriques lui permettant de programmer son enseignement – sans doute grâce à la formation en sciences de l'éducation qu'elle suit tout en enseignant les mathématiques à Julien –, mais elle apprend encore, d'une part à enseigner cette notion qu'elle a peu eu l'occasion d'enseigner durant ses années antérieures d'expérience professionnelle, et d'autre part à connaître les particularités de son élève qui reste porteur de troubles importants, tant au niveau de son développement cognitif qu'au niveau de ses habiletés visuo-praxiques. L'analyse des tâches de type B qui lui ont été proposés ainsi que celle des déroulements des réalisations de ces tâches viendront enrichir ces premières analyses de la composante cognitive des pratiques de l'enseignante.
### 3.2.2. Tâches de type B : Créer une collection équipotente à une autre avec éloignement dans l'espace des deux collections

Pour l'ensemble de notre étude, nous appellerons tâches de type B, l'ensemble des tâches pour lesquelles il s'agit de construire en une seule fois, une collection équipotente à une autre collection avec une contrainte d'éloignement dans l'espace des deux collections.

Selon les informations de l'enseignante, ces tâches de type B avaient déjà été proposées à Julien lors des tâches de type A en utilisant les voitures et les cases des boîtes à compter comme places de parking, mais sans la contrainte de remplir les cases de la boîte à compter en une seule fois. Julien prenait alors souvent une quantité de voitures inférieure à 5 pour commencer à remplir les cases. L'enseignante lui permettait de faire plusieurs trajets pour parvenir à remplir ces dernières jusqu'au nombre attendu. Dorénavant avec ces tâches de type B, l'enseignante a voulu imposer la construction de la collection équipotente en une seule fois. L'objectif fixé est d'apprendre à Julien à se servir d'un nombre prédéfini afin de réaliser cette collection équipotente. Dans notre cas, cela consistera à prendre la quantité de voitures adaptée pour compléter les cases de la boîte à compter. Au cours des différentes tâches de type B, des contextes et des contraintes variées seront proposés afin d'aider Julien à réaliser cet apprentissage. À cette fin, les tâches portent sur des quantités suffisamment grandes (10 objets) pour être difficilement repérables dans leur ensemble.

À la différence des tâches de type A, où Julien a été amené à créer une collection dont le cardinal était donné sous forme chiffrée ou sous forme de constellation, ces tâches de type B envisage à ce que Julien puisse utiliser le nombre comme un outil. D'une part, à ce qu'il puisse assimiler que le nombre conserve la mémoire ou plutôt est porteur d'une quantité, et d'autre part qu'il apprenne que si deux collections ont le même nombre d'éléments alors elles peuvent être mises en correspondance terme à terme.

En outre, la correspondance terme à terme devrait idéalement permettre à Julien de valider ses actions sans recours systématique à l'enseignante. La validation prendrait alors tout son intérêt : c'est le recours à la correspondance terme à terme qui permettrait à Julien de savoir s'il a bien pris le même nombre de voitures que de places de parking par exemple, ou, sinon, qu'il serait amené à recompter les voitures pour expliquer son erreur. Il est à remarquer d'ores
et déjà que la dyspraxie de Julien risque fort de ne le conduire que rarement à cette coïncidence des deux cardinaux, celui des places de parking et celui des voitures par exemple, et cela même en dépit d'avoir compté les deux fois jusqu'au même nombre. Il risque donc d'avoir du mal à saisir pourquoi la correspondance terme à terme ne se réalise pas toujours entre les deux collections.

Remarquons enfin que l'exécution par Julien des tâches de type B nous permettra – comme à l’enseignante – d’appréhender l’évolution de ses connaissances concernant le dénombrement des quantités. Ces connaissances étaient déjà sous-jacentes aux tâches de type A proposées précédemment par l’enseignante. Les tâches de type B pourront donc nous révéler les évolutions de ces connaissances déjà visées antérieurement.

Nous allons analyser maintenant les différentes tâches de type B proposées par l'enseignante au cours de cette première année d'enseignement.

### 3.2.2.1. Les tâches de type B et leurs contextes

Pour concevoir les tâches de type B, l'enseignante s'est inspirée de situations similaires proposées dans le cadre de recherche et présentées lors des cours de didactique des mathématiques qu'elle a suivi durant son master. Élodie a adapté ces situations en prenant en compte les matériels disponibles et les goûts de Julien afin de faciliter son engagement et son attention.

Pour aborder ces tâches de type B, Élodie a choisi de proposer trois contextes : « Voitures et places de parking », « Passagers et places de train ou de bus » et « Escargots, salades ou tomates ».

#### 3.2.2.1.1. Tâches de type B dans le contexte des « Voitures et places de parking »

L'enseignante a choisi de proposer le contexte des « Voitures et places de parking » déjà connu et travaillé par Julien dans le cadre des tâches de type A. À cet effet, l'enseignante a proposé l'utilisation de voitures métallisées ou en plastique de couleur. Les places de parking, quant à elles, sont représentées de deux façons différentes : des places de parking indépendantes et mobiles dessinées par l'enseignante sur papier (chaque morceau de papier
représente une place de parking) ou des places de parking représentées par les cases de deux boîtes à compter avec cinq cases par boîte et donc avec dix places au total.

L'enseignante a prévu d'utiliser un panier pour transporter la collection des voitures. La taille du panier permet de contenir toutes les petites voitures plastiques. En revanche, pour les voitures métallisées qui sont plus grandes que les voitures en plastique, le panier est un peu petit pour toutes les contenir. Cette contrainte peut gêner Julien tant pour remplir le panier que pour le transporter sans faire tomber de voitures.

Deux tables éloignées sont mises en place dans une même pièce. Sur la première table sont distribuées les places de parking. Les voitures et le panier sont disposés quant à eux sur la seconde table un peu plus loin dans la même pièce.

La photographie qui suit illustre le matériel proposé par l'enseignante pour ce contexte relatif aux tâches de type B :
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 8 : Le panier, les types de voitures et de places de parking dans le contexte des « Voitures et places de parking » (Tâches de type B, 1ère année)</figcaption></figure>

La consigne donnée par l'enseignante pour ce contexte est la suivante : « *Tu dois mettre une voiture dans chaque parking. Tu dois prendre toutes les voitures d'un seul coup. Tu auras gagné la partie si tous les parkings sont remplis* ».

L'enseignante verbalise la consigne en donnant à l'élève les indications lui permettant de savoir s'il a réussi ou non, mais elle ne lui indique pas les procédures à réaliser. La difficulté de cette consigne est la contrainte : « *Tu dois prendre toutes les voitures d'un seul coup* ». Ainsi, Julien n'aura plus le droit de remplir les places de parking à plusieurs reprises, comme il le faisait avant. Il devra donc trouver une procédure lui permettant de prendre en une seule fois les voitures nécessaires pour remplir les places de parking : par exemple, comme nous le verrons dans l'analyse *a priori*, dénombrer les places de parking, retenir ce nombre et prendre le même nombre de voitures à déposer respectivement dans chaque place de parking.
3.2.2.1.2. Tâches de type B dans le contexte des « Passagers et places de train ou de bus »

Dans ce nouveau contexte, l'enseignante a décidé d'utiliser les jouets de Julien. Ce choix avait pour objectif d'améliorer son engagement dans la réalisation de la tâche. Les élèves en grande difficulté comme Julien montrent en effet rapidement un manque de motivation dans la réalisation des tâches qui leurs sont proposées et pour lesquelles ils se sont retrouvés plusieurs fois de suite en échec quant à leur réalisation.

Au cours de cette période, Julien jouait souvent avec des figurines de différentes formes et couleurs. Élodie a alors choisi d'incorporer ces éléments auxquels Julien montre de l'attachement afin de les utiliser pour constituer un nouveau contexte, celui dit des « passagers ».

Concernant les places de train ou de bus, ces dernières sont proposées comme un ensemble de places distinctes dessinées sur une feuille de papier. Pour transporter les passagers, Élodie a proposé l'utilisation d'un panier rouge de taille moyenne. Une fois encore, la taille du panier demeure un peu petite par rapport à la taille des objets à rapporter, certaines figurines étant relativement grandes.

Sur la première table, qui contient les places de train ou de bus, l'enseignante met également à disposition de Julien une bande numérique dont il pourra se servir s'il le souhaite.

Une photographie du matériel proposé par l'enseignante pour ce type de tâches est illustrée ci-après :
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 9 : Les places de train ou de bus et les passagers proposés dans le contexte des « Passagers et places de train ou de bus » (Tâches de type B, 1ère année)</figcaption></figure>

La question posée par l'enseignante pour les tâches de ce contexte est la suivante : « *Combien de passagers on peut mettre pour les places de train ou de bus ?* ». Nous observons que l'enseignante a changé la consigne par rapport au contexte précédent (celui des « Voitures et places de parking »). Cette fois-ci la question porte sur le nombre de passagers. Il n'est pas demandé d'aller chercher en une seule fois les passagers, ni de contrôler qu'à chaque passager correspond bien une place et qu'il ne reste pas de place vide. Toutefois, il est possible que la demande reste la même, et que l'enseignante ait profité de l'expérience de Julien au cours du contexte précédent pour simplifier la consigne, tout en indiquant l'importance de savoir le nombre de passager à aller chercher.
Ce changement de consigne peut toutefois amener des difficultés de compréhension chez l'élève qui s'autorisera alors peut-être à faire plusieurs allers-retours pour remplir les places de train ou de bus, même s'il a auparavant déterminé combien de passagers il fallait pour remplir le bus ou le wagon du train.

3.2.2.1.3. Tâches de type B dans le contexte des « Escargots, salades ou tomates »

Un dernier contexte a été proposé par l'enseignante pour ces tâches de type B, le contexte dit des « Escargots, salades ou tomates ». Elle utilise pour ce faire des images d'escargots, de salades vertes et de tomates, qu'elle a réalisées elle-même. Le choix de ce contexte est en réalité fondé sur les goûts de Julien, qui manifeste une attirance particulière pour les escargots depuis quelques séances au cours de cette dernière période.

Les salades et les tomates ne seront pas transportées dans le panier du contexte précédent mais sur un plateau mieux adapté à la situation proposée, en particulier parce que les salades et les tomates sont des images et non des objets. La taille du plateau est une variable à prendre en compte également ; il est en effet trop grand pour être déplacé facilement par Julien alors que cette taille n'était pas nécessaire compte tenu de celle des images des salades et des tomates relativement petites.

Une photographie du matériel proposé par l'enseignante pour ce type de tâches est illustrée ci-après :
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 10 : Images d'escargots, de salades et de tomates proposées dans le contexte des « Escargots, salades ou tomates » (Tâches de type B, 1ère année)</figcaption></figure>

La consigne proposée par l'enseignante est verbalisée comme suit : « *Tu regardes bien tous les escargots et tu réfléchis. On va essayer de le faire en une fois sans se tromper, d'accord ? Tu utilises la technique que tu veux. Allez ! Ramène à chacun une salade ou une tomate.* ».

Nous observons que l'énoncé est plus long et plus explicite, mais aussi plus ouvert. En effet, la connaissance du dénombrement qui permet de ramener à chaque escargot une salade ou une tomate n'est plus explicite dans la consigne. Julien devra donc lui-même mettre en œuvre sa connaissance du nombre pour ramener en une seule fois les salades ou les tomates. La contrainte consistant à « le faire en une fois » est de nouveau présente dans la consigne. Elle a
pour objectif de conduire à l'utilisation du nombre afin de limiter les trajets à réaliser et ainsi associer à chaque escargot une salade ou une tomate.

### 3.2.2.2. Analyse a priori des tâches de type B

Effectuons dès maintenant une analyse *a priori* de ces trois tâches de type B en développant particulièrement les procédures qui correspondent à l'utilisation du nombre. Il faut remarquer en effet et tout d'abord que l'utilisation du nombre n'est pas indispensable en soit. Expliquons cela avec le contexte des places de parking.

Si Julien disposait d'un crayon et d'une feuille de papier, il pourrait marquer d'un bâton chaque place de parking par exemple, et prendre une voiture par bâton marqué. Il pourrait ainsi prendre le bon nombre de voitures sans toutefois connaître ce nombre. De même, si les places de parking ne sont pas représentées par les cases des boîtes à compter mais par des illustrations dessinées sur des morceaux de papier, Julien pourrait disposer ces derniers de manière à créer une forme particulière, telle une croix par exemple, pour représenter cinq places de parking. Il pourrait alors reproduire cette forme avec les voitures et ainsi, une fois encore, prendre le bon nombre de voitures sans connaître ce nombre. Il s'agit là d'une équivalence géométrique qui n'a nul besoin en soi de faire intervenir la maîtrise du dénombrement. Cette possibilité est d'autant plus facile à réaliser que le nombre est petit. Nous savons toutefois que l'enseignante a proposé ce type de tâches afin que Julien utilise le nombre comme outil de réflexion et ainsi transporter la quantité sans transporter la collection elle-même. Cependant nous avons vu pour les tâches précédentes que Julien ne parvenait que rarement à réaliser une tâche sans l'aide de son enseignante. Il est donc prévisible qu'elle lui apporte également un soutien, non en lui demandant de dessiner des bâtons permettant de transporter une quantité, mais bien plutôt qu'il sache déterminer combien de places de parking sont à combler, et donc combien de voitures il doit aller chercher.

Sous l'hypothèse d'une utilisation du nombre, nous pouvons distinguer différentes activités de l'élève, qui si elles sont mal réalisées pourront causer l'échec de la tâche : 1°) déterminer le cardinal de la collection présentée sur la première table ; 2°) conserver le nombre en mémoire tout en se déplaçant pour aller à la deuxième table ; 3°) créer la collection selon le cardinal mémorisé ; 4°) rapporter la collection créée de la seconde à la première table 5°) valider par une correspondance terme à terme des deux collections qu'elles sont bien équipotentes.
Dans l'analyse qui va suivre, nous nous focaliserons essentiellement sur la première et la troisième activité ou sous-tâche qui sont celles qui mettent en fonctionnement le nombre. Comme nous l'avons déjà dit, un échec lors des autres activités est également source d'échec pour la réalisation de la tâche toute entière. Ces échecs ne sont pas à exclure, il se pourrait en effet que Julien oublie le nombre trouvé en allant de la première à la seconde table simplement par distraction sur le trajet. Il se pourrait également qu'il perde durant le transport des éléments de la collection constituée, etc.

Ces deux activités correspondent à des sous-tâches qui seront donc étudiées ci-après dans l'analyse *a priori*. Nous envisagerons les différentes procédures que Julien pourrait utiliser pour les effectuer, procédures qui nous permettront d'ailleurs de mettre en lumière certains aspects de ses connaissances numériques. À cet effet, il nous a fallu prendre en compte également les particularités des trois contextes proposés par l'enseignante.

### 3.2.2.2.1. Procédures pour déterminer le cardinal de la première collection

#### Contexte des « Voitures et places de parking »

Le contexte des « Voitures et places de parking » donne lieu à différentes procédures pour déterminer la quantité des places de parking selon que ces dernières sont proposées individuellement sur des morceaux de papier ou avec des boîtes à compter. Bien que la disposition des places de parkings individuelles soit libre, l'enseignante les a proposées alignées, si bien que, pour les deux types de matériel, la disposition spatiale des places de parking était linéaire facilitant ainsi le comptage et le pointage de l'élève.

Prenant en compte les particularités de ce contexte, il est envisageable pour Julien d'utiliser deux procédures différentes afin de déterminer le nombre de place de parking et donc la quantité exacte de voitures à ramener pour les remplir.

#### Dénombrement une à une des places de parking pour déterminer leur quantité :

Julien pourra utiliser le dénombrement un à un pour déterminer le cardinal de la collection des places de parking et donc la quantité des petites voitures à apporter. Cette procédure nécessite de connaître la suite numérique, de synchroniser le pointage des places de parking avec l'énoncé de la suite numérique, et enfin d'associer le dernier mot-nombre prononcé au
cardinal de la collection. Cette procédure, on le sait, est coûteuse pour Julien du fait de ses difficultés visuo-praxiques. Toutefois, la disposition linéaire des places de parking et la possibilité de les déplacer (pour celles qui sont représentées sur des morceaux de papier), peut faciliter cette procédure. En revanche, lorsque les places de parking ne peuvent être déplacées, la procédure est rendue plus difficile à mettre en œuvre. Dans les deux cas, différents types d'erreurs peuvent être envisagées : les cases ne sont pas pointées au rythme de l'énonciation de la comptine numérique ; la distinction entre les places comptées et celles qui restent à compter est incorrecte. Pour ces raisons, qui peuvent d'ailleurs se compenser, l'élève risque de sauter les cases des boîtes à compter, ou de doubler le comptage pour une même case. Toutefois la disposition linéaire des places de parking et le matériel proposé par l'enseignante peuvent permettre à Julien (en tant qu'objectif d'apprentissage) d'améliorer et de consolider sa synchronisation du geste avec l'énoncé de la comptine verbale.

Remarquons en outre que si les places de parking sont représentées par les cases des deux boîtes à compter, nous obtenons une taille de collection de 10 places. Ce nombre est suffisamment grand pour laisser une probabilité non négligeable à l'apparition d'une erreur, comme nous avons déjà pu le constater dans la réalisation des tâches de type A. L'enseignante avait alors proposé la création de collections jusqu'à 5 éléments en constatant que des erreurs apparaissaient déjà.

## La reconnaissance et l'utilisation de groupements :

Lorsque les places de parking sont représentées par les cases de deux boîtes à compter (de 5 compartiments chacune), il serait possible pour Julien, de retenir qu'il y a deux fois 5 places de parking. Cette reconnaissance pourrait éviter les erreurs dues à une méconnaissance de la comptine. Il semble toutefois peu probable qu'il envisage cette possibilité ; elle pourrait néanmoins lui être indiquée par l'enseignante, si elle y pense.

## Contexte des « Passagers et places de train ou de bus »

Le contexte des « Passagers et places de train ou de bus » a été mis en place avec la finalité de stabiliser les connaissances de Julien. Dans ce contexte la taille des collections des places de train ou de bus proposée pouvait varier entre 4 et 6 places. Ici encore, l'élève devra utiliser le dénombrement un à un des places de train ou de bus afin de déterminer leur cardinal et donc la quantité de passagers à transporter.
Nous ne reviendrons pas sur ce qui a déjà été dit au sujet du dénombrement d'une collection, mais nous insisterons uniquement sur les points communs et les différences en lien avec le contexte précédent. Les contraintes sont assez similaires aux précédentes lorsque les places de parking correspondaient aux cases des boîtes à compter. D'une part les places sont toujours alignées, comme l'étaient les places de parking, et d'autre part les places ne sont pas mobiles, mais fixes. Ce contexte va donc exiger de Julien un niveau de maitrise du geste plus fin que lorsque les places de parking étaient déplaçables. Néanmoins comme la collection des places reste inférieure à 10, la probabilité d'apparition d'une erreur sera elle aussi limitée. Les contraintes liées à ce nouveau contexte semblent davantage ajustées aux difficultés de Julien. Cela révèle à la fois le désir de l'enseignante à ce que Julien puisse dépasser le stade du dénombrement des objets mobiles pour parvenir à dénombrer des objets non mobiles, tout en minimisant la probabilité d'apparition d'une erreur en limitant le cardinal de la collection.

## Contexte des « Escargots, salades ou tomates »

Le contexte des « Escargots, salades ou tomates » a été proposé selon l'enseignante pour consolider certaines connaissances chez Julien. Dans ce contexte la taille des collections proposées a pu varier de 4 à 7 escargots. L'enseignante a choisi d'utiliser des escargots déplaçables, mais cette fois, l'organisation spatiale initiale de la collection n'a plus été linéaire. Elle est en effet présentée soit de façon rectangulaire (les escargots étant placés aux quatre sommets et sur les côtés du rectangle) ou par une constellation analogue à celle d'un dé (pour les nombres de 3 à 6). L'organisation rectangulaire a pour objectif de conduire l'élève à décider d'un point de départ et d'un sens de déplacement ; l'organisation par constellation, quant à elle, doit permettre à Julien de mémoriser ces dispositions et leur cardinal afin d'appliquer la reconnaissance globale de la forme de la collection pour déterminer directement son cardinal.

Prenant en compte toutes ces particularités, Julien pourra mettre en œuvre deux procédures pour déterminer la quantité de salades ou de tomates à apporter.

## Dénombrement un à un des escargots pour déterminer leur quantité :

Si l'élève utilise le dénombrement un à un des escargots, il ne lui est pas utile de conserver leur disposition spatiale, on peut donc supposer qu'il les compte en les déplaçant afin de distinguer ceux qui sont comptés de ceux qui sont encore à compter. Cette possibilité de
déplacer les escargots et la taille de la collection proposée étant limitée (de 4 à 7 escargots),
cela peut faciliter le dénombrement et accroitre les chances de réussite de Julien. Si toutefois
il ne pense pas ou ne s'autorise pas à déplacer les escargots, la disposition non linéaire de la
collection à dénombrer constitue une difficulté. Comme nous l'avons déjà explicité, lorsque
les escargots sont présentés le long d'un rectangle, il est attendu par l'enseignante, qui sera
sans doute conduite à l'y aider, que Julien repère un point de départ et un sens de déplacement
pour effectuer correctement l'énumération de la collection et donc son dénombrement.

Reconnaissance globale des configurations :

Lorsque la disposition des escargots est analogue à une des constellations présente sur les
faces d'un dé, il est envisageable de penser que l'élève pourrait reconnaitre directement leur
quantité. Dans le cas de Julien, nous avons déjà observé lors de l'analyse de la réalisation des
tâches de type A, que cette reconnaissance des constellations du dé n'était pas acquise.
L'enseignante cherche ici à renouveler l'expérience d'enseignement de ces constellations qui
constitueront pour Julien, comme pour tous les élèves, un point d'appui pour des tâches
ultérieures, notamment de compositions et décompositions numériques. Reste que Julien
pourrait retenir la constellation (dans sa forme) sans lui associer son cardinal afin de
constituer la collection de salades ou de tomates, mais cette hypothèse est peu réaliste compte
tenu des déficiences de l'élève en question.

Quel que soit le contexte, une fois déterminé le cardinal de la première collection (places de
parking, places de train ou de bus, ou encore nombre d'escargots), Julien devra mémoriser ce
cardinal et se rendre à la deuxième table où sont proposés des objets (des voitures, des
figurines ou des salades et des tomates), éventuellement sous forme imagée. Il devra alors
constituer une collection équipotente de ces objets qui devront être apportés à la première
table en vue de contrôler que la correspondance terme à terme se réalise correctement et que
cela correspond à l'équipotence des deux collections.

Nous nous attachons maintenant à l'analyse *a priori* de cette tâche de constitution de la
collection équipotente à la première. Les tâches de type A sont du même type que cette tâche,
aussi nous nous attarderons particulièrement aux spécificités des contextes proposés en
fonction des particularités de Julien.
3.2.2.2.2. Procédures pour constituer la collection
équipotente à la première

Comme nous l'avons déjà vu lors de l'analyse des tâches de type A, différents facteurs sont à prendre en compte lorsque l'on constitue une collection. La nature des objets (taille, forme, couleur, etc.) constitue une variable à considérer notamment pour envisager les procédures d'un élève possédant des difficultés visuo-praxiques comme c'est le cas pour Julien. L'organisation ou disposition des objets dans l'espace influence également directement la réalisation de la tâche de constitution de la collection. Nous allons analyser, pour chacun des contextes proposés, les procédures que l'élève peut être amené à mettre en œuvre dans la constitution de la collection équipotente à la première.

Contexte des « Voitures et places de parking »

Dans le contexte des « Voitures et places de parking », l'enseignante a choisi d'utiliser des voitures de deux types : des petites voitures en plastique de même forme mais de couleurs différentes et des voitures métallisées de taille moyenne, de formes différentes et de couleurs différentes également. Comme nous l'avons vu au cours de l'analyse des tâches de type A où ces voitures en plastique ont déjà été proposées, la taille réduite des voitures peut rendre difficile la manipulation et par conséquent la procédure de dénombrement pour un élève tel que Julien. En revanche, les couleurs différentes peuvent jouer un rôle de marqueur et aider ainsi à distinguer les objets comptés de ceux qui ne l'ont pas encore été ; ce qui simplifie évidemment la tâche d'énumération. Les voitures métallisées sont quant à elles plus faciles à manipuler, leur forme et leur couleur variables, permettent aussi de faciliter l'énumération. Quant à la taille des collections des voitures, qui doit correspondre au nombre de places de parking, elle peut aller jusqu'à 10, cela implique à l'élève de connaitre la comptine numérique jusqu'à 10, ou encore de savoir qu'il y a deux fois 5 places et qu'il faut donc deux fois 5 voitures. À défaut, l'élève devra coordonner le pointage et l'énoncé de la comptine sans erreur jusqu'à 10.

L'analyse *a priori* doit également envisager des procédures qui peuvent ne pas conduire à la réalisation correcte de la tâche. Pour ce contexte nous avons distingué trois types de procédures que Julien pourrait mettre en œuvre pour constituer la collection des voitures. Premièrement, Julien pourra faire appel à des procédures primitives comme se saisir d'une quantité de voitures en faisant une estimation approximative, sans les compter. Une telle
procédure a peu de chance de conduire à la réussite, mais elle peut être choisie par Julien qui vient de dénombrer les places de parking car elle est moins coûteuse en concentration. C'est alors la correspondance terme à terme qui permettra de valider ou pas sa démarche.

Deuxièmement, Julien pourra utiliser le dénombrement en déplaçant les voitures afin de constituer la collection. La difficulté résidera alors dans la synchronisation du pointage et du comptage.

Troisièmement, il est possible enfin de constituer une collection en utilisant des configurations spatiales de regroupements connus par l'élève. Néanmoins nous avions constaté pour les tâches de type A que, lorsque le nombre de voitures à prendre était indiqué par une constellation, Julien ne reconnaissait que celles des tout petits nombres (jusqu'à 3), ce qui pouvait s'assimiler à une reconnaissance par subitizing. Une telle démarche ne doit donc pas être considérée comme envisageable pour Julien.

## Contexte des « Passagers et places de train ou de bus »

Dans le contexte des « Passagers et places de train ou de bus », rappelons que le matériel proposé par l'enseignante comportait des passagers sous forme de figurines en plastique très variées en termes de taille, de couleur et de forme. Ces différentes variations de critères sont facilitateurs pour l'énumération, toutefois, il faut préciser que certaines figurines qui ne tiennent pas debout peuvent gêner Julien lors de la réalisation du pointage et du comptage verbal. En effet l'élève aura tendance et souhaitera sans doute mettre debout ces figurines afin de les préparer à aller dans le train ou dans le bus. Accaparé et distrait par le fait de mettre une figurine debout, il est vraisemblable qu'il puisse oublier le nombre auquel il était arrivé ou le nombre qu'il doit atteindre ou même les deux. En supposant que Julien ait transporté les passagers jusqu'au train ou au bus, il faut encore remarquer à propos des passagers, que certaines figurines sont trop grandes pour les places de train ou de bus qui ont été dessinées sur une feuille de papier. Ce dernier point pourrait également gêner la mise en correspondance terme à terme entre les passagers et les places. Ces précisions étant apportées, rappelons que Julien pourrait procéder par estimation pour constituer sa collection de passagers (en une ou plusieurs fois même puisque la consigne a changé pour cette deuxième tâche de type B), mais qu'il ne pourrait pas utiliser la procédure de reconnaissance d'une constellation car les places de train ou de bus sont alignées.
Contexte des « Escargots, salades ou tomates »

Dans le contexte des « Escargots, salades ou tomates », rappelons que les salades et les tomates proposées ne sont pas des modèles réduits en plastique mais des images dessinées par l'enseignante elle-même sur du papier. La facilité de manipulation de ces objets est une variable à considérer ici car les images peuvent facilement se superposer, elles peuvent parfois se coller entre elles ou aux doigts. Tout cela peut provoquer une gêne pour cet élève dyspraxique dans l'exécution du dénombrement des salades et des tomates.

Comme pour les autres contextes, Julien pourra prendre une quantité approximative de salades ou de tomates pour créer la collection. Comme les escargots sont parfois présentés sous forme de constellation, l'élève pourra dans ce cas mémoriser l'organisation spatiale et tenter de la reproduire avec les salades et les tomates. Ce n'est alors pas la notion de nombre qui aura permis la mémoire de la quantité et son transport, mais plutôt celle de l'organisation spatiale des objets. Il pourra enfin s'appuyer sur le dénombrement des escargots pour constituer une collection de salades et de tomates équipotente. Comme nous l'avons vu, le dénombrement des salades et des tomates est rendu délicat par la difficulté de manipulation des images qui peuvent se superposer, coller entre elles ou aux doigts, ce qui ne manquera pas de déconcentrer Julien pour qui toute manipulation constitue un véritable effort.

3.2.2.3. Analyse du déroulement des tâches de type B

Ces tâches de type B ont été mises en place pour la première fois au début de l'année 2013 ainsi que sur plusieurs périodes au cours de cette année civile et ce sous différents contextes. Ci-après figure un tableau récapitulatif des contextes proposés et du nombre de séances analysées.

<table><caption>Tableau 24 : Dates et effectifs des tâches de type B proposées selon les contextes (1ère année)</caption><thead><tr><td>Contextes des tâches de type B (1ère année)</td><td>Nombre de séances analysées</td><td>Périodes</td></tr></thead><tbody><tr><td>« Voitures et places de parking »</td><td>9</td><td>Février 2013 à Novembre 2013</td></tr><tr><td>« Passagers et places de train ou de bus »</td><td>6</td><td>Juin 2013</td></tr><tr><td>« Escargots, salades ou tomates »</td><td>5</td><td>Novembre 2013 à Décembre 2013</td></tr><tr><td>Ensemble des séances</td><td>20</td><td>Février 2013 à Décembre 2013</td></tr></tbody></table>
Dans un premier temps, l'enseignante a choisi de travailler sur ces tâches de type B en utilisant le contexte des « Voitures et places de parkings ». En fin d'année scolaire, l'enseignante a poursuivi ce travail en apportant des modifications quant au contexte devenant ainsi celui des « Passagers et places de train ou de bus ». À la rentrée scolaire suivante, Élodie a instauré un nouveau contexte dit des « Escargots, salades ou tomates » tout en poursuivant le travail avec celui des « Voitures et places de parking ». Au total, 9 séances ont été analysées avec ce dernier contexte (celui des « Voitures et places de parking »). Ces séances se sont déroulées entre février et novembre 2013. Dans le contexte des « Passagers et places de train ou de bus », 6 séances ont été analysées, et pour celui des « Escargots, salades ou tomates », 5 séances. Au total pour ces tâches de type B, pas moins de 20 séances ont donc été analysées entre février et décembre 2013.

Comme nous l'avons fait pour l'analyse du déroulement des tâches de type A, nous avons procédé à deux études : l'une portant sur les activités de l'élève Julien et l'autre portant sur les activités de l'enseignante Élodie. L'étude des activités de Julien comprend une analyse quantitative et qualitative de ses réussites et de ses échecs. Nous avons également étudié la qualité de sa communication avec l'enseignante. Quant à l'enseignante, l'étude de ses activités englobe une analyse de ses interactions avec Julien en ce qui concerne le savoir en jeu (composante médiative), une analyse de la modalité relationnelle-affective établie avec l'élève et, pour finir, l'analyse de ses choix didactiques, qui relèvent de la composante cognitive.

Nous commencerons donc l'analyse du déroulement en étudiant les activités de Julien.

### 3.2.2.3.1. Analyse du déroulement : les activités de Julien

Nous avons analysé l'ensemble des 20 séances filmées étalées sur un total de 40 minutes et 38 secondes de vidéo, soit en moyenne 2 minutes par séance. L'ensemble représente ainsi un total de 259 interactions entre l'élève et l'enseignante soit en moyenne près de 13 interactions par séance ou encore un peu plus de 6 interactions par minute.

Comme nous l'avons mentionné dans l'analyse des tâches de type A, l'autonomie complète de Julien dans la réalisation des tâches est très rare. L'accompagnement de l'enseignante reste donc toujours présent. Nous avons pu distinguer deux types d'accompagnement en fonction de la marge de manœuvre restant à disposition de l'élève : un accompagnement que nous
avons qualifié de « modéré » lorsque l’enseignante sollicite l’élève par des questions, lorsqu’elle valide une de ses actions, etc. ; et un accompagnement que nous avons qualifié de « fort » lorsque l’enseignante guide la démarche de l’élève ou bien lui suggère la réponse. Ces informations qui portent sur le travail de l’enseignante sont indispensables pour analyser les activités de Julien ainsi que les contextes dans lesquels surviennent ses réussites et ses échecs.

Pour l’analyse de l’activité de Julien, comme pour les tâches de type A, nous avons réalisé dans un premier temps, une étude quantitative de ses réussites et de ses échecs à chaque interaction, en tenant compte de la force de l’accompagnement de l’enseignante et en distinguant ses réussites de ses échecs, d’une part selon l’objectif de la tâche, et d’autre part selon les contextes proposés. Dans le cadre de cette première analyse, nous rappelons également que nous distinguons quatre activités de Julien : la compréhension de la consigne initiale, la reconnaissance du cardinal de la première collection d’objets, la constitution de la collection équipotente à la première collection et la validation par une correspondance terme à terme des deux collections. Les résultats obtenus sont synthétisés dans le tableau suivant :

<table><caption>Tableau 25 : Réussites et échecs de Julien par sous-tâche et par degré d’accompagnement de l’enseignante pour les tâches de type B (1ème année)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Sous-tâches de type B (1ère année)</th><th colspan="6">Réussites</th><th colspan="6">Échecs</th><th rowspan="2">Total des interactions</th></tr><tr><th>Acc. modéré</th><th>Acc. fort</th><th>Total</th><th>Acc. modéré</th><th>Acc. fort</th><th>Total</th><th>Acc. modéré</th><th>Acc. fort</th><th>Total</th></tr></thead><tbody><tr><td>Compréhension initiale de l'énoncé</td><td>1/10</td><td>10%</td><td>3/10</td><td>30%</td><td>4/10</td><td>40%</td><td>3/10</td><td>30%</td><td>3/10</td><td>30%</td><td>3/10</td><td>60%</td><td>10/259</td><td>4%</td></tr><tr><td>Reconnaissance du cardinal de la première collection</td><td>14/56</td><td>25%</td><td>18/56</td><td>32%</td><td>32/56</td><td>57%</td><td>13/56</td><td>23%</td><td>11/56</td><td>20%</td><td>24/56</td><td>43%</td><td>56/259</td><td>22%</td></tr><tr><td>Constitution de la collection équipotente à la première collection</td><td>28/103</td><td>27%</td><td>20/103</td><td>20%</td><td>48/103</td><td>47%</td><td>32/103</td><td>31%</td><td>23/103</td><td>22%</td><td>55/103</td><td>53%</td><td>103/259</td><td>40%</td></tr><tr><td>Validation de l'égalité des cardinaux par la correspondance terme à terme des deux collections</td><td>51/90</td><td>57%</td><td>10/90</td><td>11%</td><td>61/90</td><td>68%</td><td>22/90</td><td>24%</td><td>7/90</td><td>8%</td><td>29/90</td><td>28%</td><td>90/259</td><td>35%</td></tr><tr><td>Ensemble</td><td>94/259</td><td>36%</td><td>51/259</td><td>20%</td><td>145/259</td><td>56%</td><td>70/259</td><td>27%</td><td>44/259</td><td>17%</td><td>111/259</td><td>44%</td><td>259</td><td>100%</td></tr></tbody></table>

Développons les analyses relatives à ce tableau en étudiant chacune de ses sous-tâches.

### 3.2.2.3.1.1. Compréhension initiale de l'énoncé

L’effectif des interactions relatives à la compréhension de la consigne initiale de la tâche est très faible, 10 interactions seulement vis à vis d’un intervalle de 56 à 103 interactions pour les autres sous-tâches sur un total de 259 interactions. Ce faible effectif s’explique par le fait que
Julien démarre souvent l'activité sans avoir compris la consigne. L'enseignante laisse toutefois faire l'élève, en lui donnant progressivement des consignes complémentaires. Les réussites et les échecs de Julien confirment la volonté de l'élève de se lancer dans la tâche, indépendamment de ce qui lui est précisément demandé. Nous observons ainsi 40% de réussites et par conséquent 60% d'échecs, suivi d'un accompagnement « fort » de l'enseignante pour les trois quarts des réussites.

Un retour qualitatif sur ces activités selon les contextes propres aux tâches proposées permet de se rendre compte du travail et des progrès de Julien.

En début d'année 2013, sous le contexte des « Voitures et places de parking » nous avons souvent observé que Julien se lance dans l'exécution de la tâche sans attendre que l'enseignante finalise la consigne. Ainsi, nous avons remarqué que l'élève se déplace vers la deuxième table pour chercher les voitures sans même avoir compté les places de parking au préalable. L'enseignante a de ce fait dû reformuler la consigne et obliger Julien à recommencer. La nouveauté de cette situation, l'incompréhension de ce qu'il y a à faire ou encore l'attirance des petites voitures chez Julien, a certainement conduit ce dernier à agir de façon précipitée. Il faut ajouter à cela que l'activité de Julien n'est jamais indépendante d'une dimension affective. L'élève ne veut pas en soi qu'Élodie soit déçue, par conséquent, Julien se sent pousser à agir, même de façon précipitée, pour répondre à son attente.

Vers le milieu de l'année 2013, nous avons observé une évolution du comportement de Julien pour les tâches portant sur le contexte des « Passagers et places de train ou de bus », Julien ne se précipite plus au moment de la consigne donnée par l'enseignante mais au contraire attend celle-ci mais n'agit pas en conséquence, préférant commencer à jouer avec ses jouets en attendant l'aide de l'enseignante pour agir. Cette réaction de l'élève illustre son manque d'assurance et toujours cette volonté de ne pas décevoir son enseignante afin de ne pas se retrouver en situation d'échec, comme c'était le cas précédemment.

En fin d'année 2013, pour les contextes des « Voitures et places de parking » et des « Escargots, salades ou tomates », nous avons observé que Julien attend généralement la consigne de l'enseignante puis agit seul. Julien a ainsi assimilé ce type de tâches et mémorisé ce qui lui est demandé, lui permettant d'être plus sûr de lui et de prendre l'initiative pour agir.
En résumé, ces éléments témoignent d'une évolution et d'un progrès chez Julien quant à ses réactions en lien avec la consigne initiale. L'aspect répétitif des tâches de ce type a permis de transmettre la compréhension de l'objectif à atteindre, impulsant également chez Julien de l'assurance à agir seul et sans attendre les aides de l'enseignante.

Examinons maintenant la réalisation de la tâche et commençons par la détermination du cardinal de la première collection.

### 3.2.2.3.1.2. Reconnaissance du cardinal de la première collection

Dans cette sous-tâche qui correspond à la reconnaissance de la quantité présente dans la première collection d'objets, nous observons une réussite globale de 57% dont 32% (18 réussites sur 56 interactions) lorsque l'accompagnement de l'enseignante est « fort », et 25% (14 réussites sur 56 interactions) lorsqu'il est « modéré ». Nous constatons que si le pourcentage de réussites est important, il l'est souvent grâce au guidage ferme de l'enseignante. Détaillons l'activité de l'élève correspondant à cette première étape de la réalisation de la tâche.

Dans le contexte des « Voitures et places de parking », Julien s'est servi du dénombrement un à un avec pointage des places de parking pour en déterminer la quantité. Cette procédure a été mise en œuvre pour les places de parkings individuelles et mobiles. Rappelons que dans ce cas, la taille de la collection des places de parking était de 5 au maximum. Nous avons souvent pu constater que Julien réussissait à pointer en une fois et une seule chaque place de parking sans en omettre une, et cela, tout en indiquant le nombre correspondant au pointage.

Lorsque les places de parking sont représentées par les compartiments des deux boîtes à compter, l'activité de Julien et sa performance sont bien différentes. Il ne parvient pas en effet à mettre en relation chaque boîte avec le cardinal de 5. Ces boîtes avaient pourtant été proposées par l'enseignante pour faciliter le dénombrement en utilisant le comptage de 5 en 5. Mais cette méthode n'est pas acquise et Julien lui préfère celle qu'il connait déjà : le dénombrement avec pointage un à un des objets de la collection. Cependant, l'observation des vidéos montre que l'élève a eu des difficultés à énumérer les places de parking. Julien n'a pas réussi en effet à pointer une fois et une seule chaque place de parking sans en omettre. Les compartiments étant collés les uns aux autres, Julien ne parvient pas à les pointer
correctement. Il en saute certains qu'il ne prend par conséquent pas en compte dans son comptage. De plus, le manque de maîtrise de la suite numérique verbale jusqu'à 10 a fait obstacle à la réalisation de la tâche. L'enseignante a dû lui faire répéter la démarche plusieurs fois, sans que les progrès soient significatifs d'une séance à une autre. La réalisation de la tâche par Julien se heurte ainsi aux limites liées à ses difficultés praxiques et à son retard de langage.

L'enseignante a modifié les contraintes d'enseignement en passant au contexte des « Passagers et places de train ou de bus ». Les places deviennent ainsi bien espacées et leur nombre varie entre 4 et 6 uniquement. Dans ce contexte, Julien a encore utilisé le dénombrement avec pointage un à un pour déterminer le cardinal de la collection des places de train ou de bus. L'observation des vidéos fait souvent apparaître, peut-être pour des raisons de sécurité affective, que Julien procède à l'énumération tout en gardant à la main ses jouets (voitures, avions, camions etc.). Cela provoque des erreurs de synchronisation entre pointage et énoncé de la suite numérique verbale. Élodie a dû alors reprendre le dénombrement avec l'élève et guider cette démarche.

Dans le dernier contexte des « Escargots, salades ou tomates », la taille de la collection des escargots, qui sont déplaçables, a pu varier entre 4 et 7 éléments. Julien utilise ici encore comme procédure le dénombrement avec pointage un à un pour déterminer la quantité d'escargots. Ces derniers à l'inverse des places de parking ou des places assises de train ou de bus, ne sont pas disposés linéairement mais dans la plupart des cas sous forme rectangulaire. Julien a manifesté certaines difficultés à se repérer dans le cadre de cette nouvelle organisation, l'obligeant à repérer un élément de départ et un trajet de façon à ne passer qu'une seule fois par tous les escargots. Ainsi Julien s'est montré désorganisé ou perdu face à ce nouveau contexte en l'absence de stratégie établie d'énumération. Sans repère de départ, sans anticipation de trajectoire, Julien a alors doublé quelques fois son pointage et son comptage. Élodie a dû ainsi intervenir pour l'aider à mettre en place des stratégies facilitant la tâche d'énumération (au sens de Briand et Margolinas), comme par exemple, le fait de retourner l'image de l'escargot dès que celle-ci a été comptée. Ces stratégies ont montré leur efficacité et ont permis à Julien de faire moins d'erreurs au cours du dénombrement des escargots.
Pour résumer, nous avons observé d'une part que Julien a rencontré des difficultés lors du dénombrement des collections d'objets proposés, bien que disposés linéairement, fixes (non déplaçables) et très rapprochés. Pour Mazeau (2010), cette difficulté est typique des enfants ayant des troubles visuo-dyspraxiques. Julien a également rencontré des difficultés relatives à l'énumération lorsque les objets proposés n'étaient pas alignés. Ces difficultés peuvent tenir à l'énumération seule, ou peut-être encore au fait que la synchronisation entre le pointage et l'énoncé des mots-nombres n'apparaisse pas indispensable à Julien. Toutefois, il semble que cette synchronisation soit recherchée puisque pour les collections d'objets déplaçables, Julien a manifesté de meilleures performances, et de meilleure encore lorsque ces objets étaient disposés en ligne. Rappelons enfin que la taille de la collection est une variable qui ne reste pas sans effet sur le succès de Julien. En effet, de plus grandes difficultés apparaissent avec des collections d'objets de cardinal supérieur à 6.

Abordons dès maintenant la tâche de constitution de la collection équipotente à celle de départ, et ce globalement puis pour chaque contexte proposé.

### 3.2.2.3.1.3. Constitution de la collection équipotente à la première collection

Le tableau synthétique précédent fait apparaître que pour la constitution de la collection équipotente, la réussite globale n'est que de 47% (27% lorsque l'accompagnement est modéré et 20% lorsqu'il est fort). Le taux de pourcentage d'échecs s'élève alors à 53% réparti en 31% lorsque l'accompagnement d'Élodie est « modéré » et 22% lorsqu'il est « fort ». Ces résultats illustrent les difficultés rencontrées par Julien dans la réalisation de cette tâche qui, soulignons-le à nouveau, est plus complexe que celle de dénombrer une collection d'objets : il faut se remémorer le nombre d'objets à atteindre tout en dénombrant les objets de la collection qui se constitue au fur et à mesure.

De fait, Julien oublie souvent le cardinal compté de la première collection d'objets et crée des collections avec des quantités manifestement inventées comme pour poursuivre un but à atteindre. L'enseignante a alors dû régulièrement reformuler la consigne en rappelant systématiquement la quantité à atteindre, à savoir le cardinal de la première collection. Pour la constitution de la collection proprement dite (la seconde collection), on retrouve des difficultés déjà rencontrées à savoir : Julien commet des erreurs lorsque les quantités sont supérieures à 6, il oublie de pointer un ou plusieurs éléments ou il compte encore plus d'une
fois le même objet. Toutefois nous avons remarqué que ces difficultés ne sont pas présentes chez Julien lorsque les quantités ne dépassent pas 6. Dans ce cas, nous avons observé que la synchronisation du pointage et du comptage est plus rigoureuse et l'énonciation de la comptine verbale plus distincte. Détaillons son activité en fonction des contextes proposés.

Dans le contexte des « Voitures et places de parking », Julien continue de procéder par dénombrement un à un pour créer la collection des voitures. Des différences de performance sont observables suivant la taille de la collection des voitures à constituer. Pour la constitution d'une collection de 4 éléments, l'enseignante a proposé des voitures métallisées de tailles moyennes. Julien n'a pas manifesté de réelles difficultés avec ce type de voitures, il a en effet été capable d'associer le geste à la comptine numérique jusqu'à 4. En revanche lorsque la collection de voitures comportait 10 éléments, les voitures proposées étaient celles en plastique de taille plus petite et cela a rendu la tâche plus difficile pour Julien ; l'observation des vidéos montre qu'il prend souvent deux petites voitures en même temps, alors qu'il n'en compte qu'une seule.

Dans le contexte des « Passagers et places de train ou de bus », afin de constituer la collection des passagers (de 4 à 6 éléments), Julien a toujours utilisé le dénombrement un à un, et en particulier par déplacement des figurines. Cela lui a permis de distinguer plus facilement les figurines constituant la future équipe de passagers de celles qui restaient disponibles. Nous avons pu observer que les difficultés de Julien ne sont pas directement liées à la taille de la collection ni à ses difficultés praxiques, elles sont en revanche plutôt liées à la nature des objets utilisés : lorsque Julien prend une figurine pour en faire un futur passager de train ou de bus, il tente de la mettre debout ; or certaines figurines ne tiennent pas facilement debout, ce qui a notamment perturbé l'activité de Julien. Nous avons ainsi remarqué que lorsqu'un passager tombe, Julien abandonne souvent le comptage en cours pour tenter de le remettre debout. Même lorsqu'il y parvient, cela trouble encore son activité : il oublie le nombre atteint ou celui à atteindre et se perd dans son dénombrement. Ainsi, malgré ses progrès quant au dénombrement (de la collection des places de train ou de bus), Julien reste souvent en échec dans la constitution de la collection des passagers.

Pour le dernier contexte des « Escargots, salades ou tomates », nous avons observé des difficultés qui, encore une fois, tenaient à la nature du matériel utilisé. Comme nous l'avions déjà signalé dans la description des contextes, le fait que les salades et tomates soient
dessinées sur du papier a impliqué qu’elles restent souvent coller entre elles ou aux doigts de
Julien, ce qui a particulièrement gêné le dénombrement et donc la réalisation de la collection.
Malgré cela, nous avons observé une persistance de l’élève dans son activité et une attitude a
souvent corrigé de façon autonome son comptage.

Au bilan, il convient de retenir que ce n’est pas Julien qui transporte la mémoire de la quantité
d’une table à l’autre, c’est son enseignante qui lui rappelle le nombre de places ou d’escargots
lorsqu’il arrive à la table des voitures, des passagers ou des salades et tomates. En ce qui
concerne plus spécifiquement la constitution de la collection équipotente, nous avons observé
des performances chez Julien qui ont évolué avec le temps et les contextes. Ces performances
ont révélé une progression significative lorsque deux conditions étaient réunies : d’une part
que le nombre ne dépasse pas 6 et d’autre part que le matériel ne soulève pas trop de
difficultés praxiques. Nous avons en effet pu observer que Julien a toujours été capable de
constituer des collections jusqu’à 6 éléments ; au-delà, sa performance est alors devenue
irrégulière et ses échecs issus de diverses causes, par exemple : il commet une erreur de
pointage ou de synchronisation entre pointage et comptine numérique, il oublie les mots-
nombres de la suite verbale numérique, il se trompe dans l’énumération en oubliant des objets
déjà comptés qu’il recompte une seconde fois, ou encore il oublie un objet qui ne sera de ce
fait pas du tout compté. L’enseignante a alors dû lui faire répéter cette démarche de
dénombrement à plusieurs reprises, avec le risque de trouver parfois des résultats différents,
ce qui ne rend pas aisé l’acquisition de l’indifférence de l’ordre dans le principe du
dénombrement. En outre, les contraintes concernant la nature du matériel n’ont pas facilité
également la stabilisation de ses connaissances. Toutefois et malgré toutes ces difficultés,
nous avons remarqué qu’avec le dernier contexte des « Escargots, salades et tomates » en fin
d’année 2013, Julien a été capable de reconnaître ses erreurs, et de les corriger lui-même en
recommençant depuis le début. Cela reflète peut-être une acquisition progressive chez Julien
des critères à respecter pour que la procédure de dénombrement conduise sans erreur au
cardinal de la collection. Cela constitue en soi un apprentissage du fait même qu’il y ait un
cardinal de la collection. Un autre apprentissage porte sur le fait que deux collections ayant le
même cardinal peuvent être mises mutuellement en correspondance terme à terme, c’est cet
aspect que nous abordons maintenant et qui doit conduire à la validation de l’étape
précédente.
3.2.2.3.1.4. Validation de l'égalité des cardinaux par la correspondance terme à terme des deux collections

En ce qui concerne la validation de l'égalité des cardinaux des deux collections par leur mise en correspondance terme à terme, nous observons globalement une réussite de Julien s'élevant à 68% des interactions dont 57% de réussites (soit 51 interactions sur 90) lorsque l'accompagnement d'Élodie est dit « modéré », et 11% de réussites (soit 10 interactions sur 90), lorsqu'il est dit « fort ». Il s'entend que ces scores ne sont relatifs qu'au fait que Julien parvient à réaliser la correspondance terme à terme, non au fait qu'il associe à ce succès sa conséquence sur l'égalité des cardinaux, c'est-à-dire à une réelle prise de conscience que le nombre de places de parking correspond à celui des voitures, que le nombre de places de train ou de bus correspond également à celui des passagers, ou encore que le nombre d'escargots correspond à celui des salades et des tomates. Et cela même si son enseignante lui demande, lorsqu'il effectue la correspondance terme à terme, de dénombrer simultanément les deux collections en énonçant un mot-nombre à chaque mise en correspondance.

Dans le contexte des « Voitures et places de parking », nous observons encore des performances différentes lorsque les places de parking sont individuelles et mobiles ou lorsqu'elles sont représentées par deux boîtes à compter de 5 places chacune, immobiles et liées les unes aux autres. Dans le premier cas, effectuer la correspondance terme à terme ne pose pas en soi de réelles difficultés à Julien. La synchronisation de la comptine numérique et la mise en correspondance terme à terme est correctement réalisée ce qui conduit Julien à retrouver la – même – cardinalité des deux collections. En revanche pour le second cas, Julien rencontre encore des difficultés liées à son manque de performance praxique. Nous avons en effet pu observer des erreurs provoquées par une mauvaise synchronisation du geste d'association terme à terme des deux collections et de l'énoncé de la comptine numérique. Il arrive aussi que Julien réussisse à déposer une voiture dans chaque compartiment des boîtes à compter, mais sans énoncer les mots-nombres associés. Durant les premières séances, l'enseignante avait accepté et validé cette procédure, mais ultérieurement, elle a imposé à Julien d'effectuer le geste de mise en correspondance terme à terme de manière synchronisée avec l'énoncé de la comptine numérique. Cette nouvelle exigence complexifie la tâche et constitue une source d'erreurs pour Julien, malgré les motivations justifiées et compréhensibles de l'enseignante à imposer l'exercice d'un tel comptage oral.
Nous avons également observé des erreurs liées à la cardinalité. C'est le cas lorsque l'élève ne rapporte pas une collection isocardinale à la première (souvent, une ou deux voitures sont manquantes ou en trop). Nous avons remarqué alors que, dans son désir de bien remplir toutes les places de parking, Julien énonce parfois un mot nombre sans pour autant remplir une place de parking, ce qui lui permet d'arriver au bout de la collection des places en y déposant une dernière voiture tout en disant le bon mot-nombre « dix », sans qu'il y ait isocardinalité des deux collections. Ce type de réaction est très intéressant, même s'il reste des zones d'ombres quant aux interprétations possibles. Que compte Julien lorsqu'il énonce un mot-nombre ? Une place de voiture ? Une voiture ? Une correspondance entre place et voiture ? Lorsqu'il lui manque une voiture et qu'il passe une place tout en disant le mot-nombre, que compte-t-il ? Que signifie pour lui le nombre énoncé en laissant une place vide ? Julien arrive-t-il à faire un lien entre le contenant (la place) et le contenu (la voiture) ? Ou, les deux sont-ils imbriqués ou équivalents inconsciemment chez Julien et ce même en l'absence de l'une des deux entités ? Apporter une réponse certaine à ces questions restera toujours ambigu, chaque proposition relevant de l'ordre de la supposition ; tout comme il était impossible pour l'enseignante d'accéder aux connaissances de son élève. Toujours est-il que le fait que Julien « triche » pour parvenir à faire coïncider le dernier mot-nombre « dix » avec la dernière correspondance entre une voiture et une place de parking signifie qu'il a bien assimilé d'une certaine façon la finalité de ce qu'il doit faire, ou plus exactement de ce à quoi il doit parvenir. Le chemin pour y arriver quant à lui est certes détourné. Cette forme de « triche » a rapidement été invalidée par l'enseignante qui, peut-être devant l'impossibilité d'interpréter la procédure de Julien pour inférer ces connaissances, a préféré lui montrer (en des termes, bien sûr, plus simples que ceux que nous utilisons dans nos analyses) que le défaut de correspondance terme à terme est le signe d'une erreur effectuée lors de la constitution de la collection de voitures et ainsi lui montrer aussi les conséquences à en tirer quant à la validation de l'équipotence.

Dans le contexte des « Passagers et places de train ou de bus », nous avons observé chez Julien des difficultés de réalisation de la correspondance terme à terme. Ces difficultés sont davantage liées à la nature des passagers et des places de train ou de bus, qu'à une difficulté conceptuelle. Certains passagers sont en effet trop grands pour tenir sur les places de train ou de bus. En outre, comme nous l'avons déjà indiqué, Julien tient à ce que les passagers soient debout ou certaines figurines ne sont pas assez stables et tombent. Tout cela perturbe l'élève dans sa réalisation de mise en correspondance terme à terme des deux collections. Il s'ensuit
que l'énoncé de la suite numérique verbale de manière synchronisée avec l'association d'un
passager et d'une place de train ou de bus est également perturbé.

Dans le dernier contexte des « Escargots, salades ou tomates », nous avons obtenu une
meilleure performance de Julien. Dans la plupart des cas, il a été capable d'associer chaque
élément de la seconde collection (salade ou tomate) une fois et une seule à chaque élément de
la première collection (escargot) et ce en énonçant de manière synchronisée la suite
numérique verbale jusqu'à 6 (taille de la collection d'escargots proposée). Néanmoins, nous
avons constaté certaines erreurs dues au fait que les images des salades et des tomates
restaient parfois collées entre elles ou sur les doigts de Julien, ce qui a naturellement perturbé
l'activité de mise en correspondance terme à terme. Il est important de souligner combien la
réussite d'un tel élève à ce type de tâches est conditionnée par les qualités matérielles qui
doivent permettre à ce que l'activité se déroule de manière continue, sans interruptions liées à
des problèmes praxiques qui peuvent parasiter la mise en œuvre de ces procédures (de
pointage, de mise en correspondance, de comptage, etc.).

En résumé nous constatons que Julien a souvent été capable de procéder à la validation de
l'équipotence des deux collections tout en retrouvant leur cardinal grâce à un comptage
synchronisé lors de la mise en correspondance terme à terme. Toutefois, cette double activité
synchronisée (mise en correspondance des deux collections et énumération) s'est souvent
trouvée perturbée à cause de ses difficultés visuo-praxiques en lien avec la nature des objets
utilisés. Les analyses effectuées laissent penser qu'à la fin de l'année 2013, lorsque les
conditions matérielles le permettaient, Julien est devenu capable de déterminer le cardinal
d'une collection comportant au maximum six éléments, mais également de réaliser une
collection de même cardinal et de valider l'équipotence des deux collections tout en
retrouvant leur cardinal par un comptage synchronisé de la mise en correspondance terme à
terme. Au-delà de six éléments ou lorsque le matériel pose quelques difficultés praxiques, les
erreurs sont alors plus fréquentes.

3.2.2.3.2. Une analyse globale selon les contextes

Notre analyse de l'activité de Julien a révélé des différences qualitatives suivant les contextes
proposés et qui conduisent ainsi à une étude plus quantitative afin de mettre en lumière les
éventuels progrès de Julien qui ont été perçus.
Les résultats du relevé des réussites et des échecs de Julien suivant les contextes et les degrés d'accompagnement sont reportés dans le tableau suivant :

<table><caption>Tableau 26 : Réussites et échecs de Julien par contexte proposé et par degré d'accompagnement de l'enseignante pour les tâches de type B (1ère année)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Contextes des tâches de type B (1ère année)</th><th colspan="6">Réussites</th><th colspan="6">Échecs</th><th colspan="2">Total des interactions</th></tr><tr><th>Acc. modéré</th><th>Acc. fort</th><th>Total</th><th>Acc. modéré</th><th>Acc. fort</th><th>Total</th><th>Acc. modéré</th><th>Acc. fort</th><th>Total</th><th></th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>« Voitures et places de parking »</td><td>48/108</td><td>44%</td><td>14/108</td><td>13%</td><td>62/108</td><td>57%</td><td>33/108</td><td>31%</td><td>13/108</td><td>12%</td><td>46/108</td><td>43%</td><td>108</td><td>42%</td></tr><tr><td>« Passagers et places de train ou de bus »</td><td>26/99</td><td>26%</td><td>22/99</td><td>22%</td><td>48/99</td><td>48%</td><td>28/99</td><td>28%</td><td>24/99</td><td>24%</td><td>52/99</td><td>53%</td><td>99</td><td>38%</td></tr><tr><td>« Escargots, salades ou tomates »</td><td>19/52</td><td>37%</td><td>15/52</td><td>29%</td><td>34/52</td><td>65%</td><td>9/52</td><td>17%</td><td>9/52</td><td>17%</td><td>18/52</td><td>35%</td><td>52</td><td>20%</td></tr><tr><td>Ensemble</td><td>93/259</td><td>36%</td><td>51/259</td><td>20%</td><td>144</td><td>55%</td><td>69/259</td><td>26%</td><td>46/259</td><td>18%</td><td>116</td><td>45%</td><td>259</td><td>100%</td></tr></tbody></table>

Nous constatons une performance et un accompagnement qui varient suivant les contextes proposés.

Commençons par l'accompagnement. Il est modéré dans 75% des interactions (soit 81 interactions sur 108) dans le contexte des « Voitures et places de parking » ; dans 54% des interactions (soit 54 interactions sur 99) dans le contexte des « Passagers et places de train ou de bus » et dans 54% des interactions également (soit 28 interactions sur 52) dans le contexte des « Escargots, salades ou tomates ». Comme nous l'avons indiqué dans l'analyse qualitative, les deux derniers contextes posent davantage de difficultés praxiques, cela semble expliquer que l'accompagnement de l'enseignante soit plus fort pour ces deux contextes.

Quant à la performance de Julien, nous observons 57% de réussite (soit 62 interactions sur 108) dans le contexte des « Voitures et places de parking », 48% de réussite (soit 48 interactions sur 99) dans le contexte des « Passagers et places de train ou de bus » soit 9 points de pourcentage de réussite en moins, et enfin 65% de réussite (soit 34 interactions sur 52) dans le contexte des « Escargots, salades ou tomates », soit un progrès de 17 points de pourcentages par rapport au contexte précédent des « Passagers et places de train ou de bus », ce qui en fait le contexte avec le plus de réussite. Nous observons également un progrès lorsque l'accompagnement de l'enseignante est « modéré » dans les deux contextes où les difficultés praxiques sont très présentes, les réussites de Julien passent en effet de 26% à 37% soit un progrès de 11 points de pourcentage. L'ensemble de ces constats confirment les progrès de Julien constatés lors de l'analyse qualitative. Ils témoignent du fait que Julien progresse en autonomie et en efficacité dans l'exécution des tâches de type B, et cela malgré
les difficultés praxiques rencontrées. Les éléments apportés dans l'analyse qualitative nous permettent d'inférer que ces progrès témoignent d'une stabilisation des connaissances de Julien. Elles témoignent aussi sans doute de l'efficacité des aides apportées par l'enseignante, c'est ce que nous étudierons lors de l'analyse de l'activité d'Élodie. Avant cela, étudions dans ce qui suit, l'évolution de la qualité de la communication de Julien avec son enseignante.

### 3.2.2.3.3. Qualité de la communication de Julien avec son enseignante

Comme nous l'avons mentionné dans l'analyse des déroulements des tâches de type A, la qualité de communication de Julien avec l'enseignante est étudiée en prenant en compte les interactions verbales et non verbales de l'élève.

Souffrant de troubles du langage, rappelons que Julien a d'importantes difficultés à s'exprimer verbalement avec l'enseignante. Il réagit souvent par des gestes, mimiques ou grognements. À cause de ses difficultés, Julien communique ainsi peu verbalement, et reste souvent silencieux.

La réalisation des tâches de type B, nous a permis de constater des évolutions dans la verbalisation de Julien par rapport à celles de type A. Le tableau suivant résume les réactions de Julien au cours des 259 interactions avec son enseignante :

<table><caption>Tableau 27 : Réactions de Julien suivant les contextes proposés pour les tâches de type B (1ère année)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Contextes des tâches de type B (1ère année)</th><th colspan="8">Réactions de Julien</th><th rowspan="2">Total des interactions</th></tr><tr><th colspan="2">Accord</th><th colspan="2">Hésitation</th><th colspan="2">Désaccord</th><th colspan="2">Non verbal</th></tr></thead><tbody><tr><td>« Voitures et places de parking »</td><td>14/108</td><td>13%</td><td>4/108</td><td>4%</td><td>25/108</td><td>23%</td><td>65/108</td><td>60%</td><td>108/259</td><td>42%</td></tr><tr><td>« Passagers et places de train ou de bus »</td><td>7/99</td><td>7%</td><td>4/99</td><td>4%</td><td>31/99</td><td>31%</td><td>57/99</td><td>57%</td><td>99/259</td><td>38%</td></tr><tr><td>« Escargots, salades ou tomates »</td><td>3/52</td><td>6%</td><td>3/52</td><td>6%</td><td>9/52</td><td>17%</td><td>37/52</td><td>71%</td><td>52/259</td><td>20%</td></tr><tr><td>Ensemble</td><td>24/259</td><td>9%</td><td>11</td><td>4%</td><td>65</td><td>25%</td><td>159</td><td>61%</td><td>259</td><td>100%</td></tr></tbody></table>

Globalement, nous pouvons observer que les réactions « non verbales » de Julien constituent la grande majorité de ses réactions à hauteur de 61%. Si ce nombre peut paraître élevé, il faut se rappeler qu'il était de 76% lors de la réalisation des tâches de type A. Nous remarquons de ce fait une diminution de 15 points de pourcentage de son expression non verbale. Poursuivant la comparaison avec le type de tâches précédent, nous constatons en outre, une
importante augmentation des expressions verbales de désaccord qui passent de 3% (tâches A) à 25% (tâches B), soit une augmentation de 22 points de pourcentage. Nous constatons enfin une légère augmentation des réactions d'hésitation (elles passent de 1% à 4% des interactions soit un accroissement de 3 points de pourcentage par rapport à la tâche de type A). Ces réactions de désaccord et d'hésitation chez Julien expriment sa gêne devant les contraintes imposées à chaque changement de contexte et face aux difficultés praxiques rencontrées en lien avec le matériel proposé.

En concentrant notre attention sur l'année 2013 durant laquelle a eu lieu la réalisation des tâches de type B, nous constatons que diverses évolutions ont eu lieu.

Dans le contexte des « Voitures et places de parking », Julien se montrait perdu lors des premières réalisations de la tâche, cela s'est notamment manifesté par des réactions verbales de « désaccord » (à hauteur de 23%, soit 25 interactions sur 108). Élodie a alors décidé de reformuler ses consignes afin d'encourager Julien à la tâche. Cette modalité d'interaction a engendré quelques réactions verbales « d'accord » chez l'élève (à hauteur de 13%, soit 14 interactions sur 108).

Dans le contexte des « Passagers et places de train ou de bus », Julien s'est montré plus engagé que lors du précédent contexte. Nous pouvons inférer que la nouveauté de ce contexte et l'utilisation de ses jouets pour représenter les passagers a motivé l'engagement de Julien dans une tâche qu'il connaissait déjà puisqu'abordée dans le contexte précédent. Néanmoins lors de la constitution de la collection, Julien a manifesté davantage de réactions de « désaccord » (à hauteur de 31%, soit 31 interactions sur 99). Celles-ci ont été causées par les difficultés rencontrées lors de la manipulation de certains passagers que Julien ne parvenait pas à faire tenir debout ou dont la taille était trop grande pour les places de train ou de bus.

Pour le dernier contexte des « Escargots, salades ou tomates » nous observons que les expressions de « désaccord » diminuent de 14 points de pourcentage (en passant ainsi de 31% à 17%). Les réactions « non verbales » augmentent quant à elles réciproquement de 14 points de pourcentage (elles passent de 57% à 71%); cela s'explique par une plus grande fluidité de Julien dans sa démarche que lors du contexte précédent. L'élève possède une meilleure connaissance des démarches qui lui permettront de réaliser la tâche avec succès. Par conséquent, il a moins besoin d'exprimer verbalement ses ressentis et donc moins besoin de les adresser à son enseignante Élodie.
En résumé, nous pouvons observer que les réactions de Julien sont souvent liées aux contraintes de la tâche. Face aux difficultés praxiques qu'il rencontre, l'élève n'a pas peur d'exprimer verbalement ses désaccords ou ses hésitations à l'enseignante. Cela témoigne d'une relation de confiance de l'élève vis-à-vis de son enseignante. Une relation qui est devenue plus importante et plus liante entre les deux protagonistes que dans celle de la période précédente lors de la réalisation des tâches de type A.

Analysons maintenant le déroulement de la tâche du point de vue de l'enseignante.

3.2.2.3.4. Analyse du déroulement : les activités de l'enseignante

Comme nous l'avons précisé au cours de notre analyse des activités de l'enseignante dans le cadre de la tâche A, nous rappelons que notre étude s'est focalisée sur la composante médiative telle que Robert & Rogalski l'on définit (2002). Nous avons pour cela utilisé le concept d'étayage de Bruner (1983) et celui de zone proximale de développement. Notons que le concept d'étayage représente le type d'aide qu'une personne plus experte (enseignant) peut fournir à une personne moins experte (élève), dans une situation où cette dernière ne peut pas se débrouiller toute seule. Ce concept d'étayage de Bruner (1983) nous a permis d'effectuer un travail de catégorisation des activités d'Élodie qui sont principalement des aides apportées à Julien pour lui permettre de réaliser les tâches proposées et donc de résoudre un problème qu'il ne parvient pas à résoudre seul. Ce concept d'étayage se décline selon ses différentes fonctions que nous allons reprendre et contextualiser aux tâches proposées par Élodie afin d'analyser ses activités d'enseignement avec son élève. À cet effet, nous avons pris en considération les six fonctions d'étayage définies par Bruner que nous avons catégorisé en deux composantes : la composante médiative et la composante affective-relationnelle. Les fonctions qui relèvent de la composante médiative sont : « la réduction des degrés de liberté » ; « le maintien de l'orientation » ; « la signalisation des caractéristiques déterminantes » ; « la démonstration ou présentation de modèles ». En ce qui concerne la composante affective-relationnelle nous avons choisi : « l'enrôlement » et « le contrôle de la frustration ».

Nous allons maintenant aborder les activités de l'enseignante qui relèvent de la composante médiative.
### 3.2.2.3.4.1. Analyses des activités de l'enseignante qui relèvent de la composante médiative

Rappelons que la composante médiative concerne le savoir en jeu et il regroupe quatre fonctions : « la réduction des degrés de liberté » ; « le maintien de l'orientation » ; « la signalisation des caractéristiques déterminantes » et « la démonstration ou présentation de modèles ». Nous avons ajouté une fonction supplémentaire sur « le refus d'aide » lorsque l'enseignante refuse d'aider Julien volontairement, considérant qu'il est capable de réaliser l'action tout seul.

Afin d'analyser les activités d'Élodie nous avons réalisé une analyse quantitative des interactions entre l'enseignante et son élève au cours des 20 séances filmées. Nous avons complété également cette étude par une analyse qualitative des activités de l'enseignante. Au total 259 interactions ont été prises en compte, représentant 40 minutes et 38 secondes de séances. Ce sont bien sûr les mêmes interactions que celles qui ont été utilisés pour l'analyse de l'activité de Julien.

Cette analyse de la composante médiative reflète le degré d'autonomie que l'enseignante accorde à l'élève dans l'exécution de la tâche. Nous considérons comme appartenant aux aides dites « fortes » : les fonctions de réduction des degrés de liberté ou encore de démonstration ou de présentation de modèles. Sont catégorisées comme aides « modérées » à « nulles » : les fonctions de maintien de l'orientation, de signalisation des caractéristiques déterminantes ou encore de refus d'aide.

Les résultats obtenus sont regroupés dans le tableau suivant :

<table><caption>Tableau 28 : Étayages de l'enseignante relevant de la composante médiative (Tâches de type B, 1ère année)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Contextes des tâches de type B (1ère année)</th><th colspan="6">Aides fortes</th><th colspan="6">Aides modérées à nulles</th></tr><tr><th>La réduction des degrés de liberté</th><th>La démonstration ou présentation de modèles</th><th>Total des interactions</th><th>Le maintien de l'orientation</th><th>La signalisation des caractéristiques déterminantes</th><th>Le refus d'aide</th><th>Total des interactions</th></tr></thead><tbody><tr><td>« Voitures et places de parking »</td><td>18/108 17%</td><td>34/108 31%</td><td>52/108 48%</td><td>7/108 6%</td><td>40/108 37%</td><td>9/108 8%</td><td>56/108 52%</td></tr><tr><td>« Passagers et places de train ou de bus »</td><td>18/99 18%</td><td>9/99 9%</td><td>27/99 27%</td><td>19/99 19%</td><td>36/99 36%</td><td>17/99 17%</td><td>72/99 73%</td></tr><tr><td>« Escargots, salades ou tomates »</td><td>10/52 19%</td><td>8/52 15%</td><td>18/52 35%</td><td>6/52 12%</td><td>19/52 37%</td><td>9/52 17%</td><td>34/52 65%</td></tr><tr><td>Ensemble</td><td>46/259 18%</td><td>51/259 20%</td><td>97/259 37%</td><td>32/259 12%</td><td>95/259 37%</td><td>35/259 14%</td><td>162/259 63%</td></tr></tbody></table>
Si nous comparons les résultats de la tâche B par rapport à ceux de la tâche A précédente, nous observons que les aides dites « fortes » représentent 37% des interventions de l'enseignante contre 31% auparavant, soit une augmentation de 6 points de pourcentage. Quant aux aides dites « modérées à nulles », elles représentent 63% des interactions contre 69% auparavant, soit une diminution proportionnellement inverse de 6 points de pourcentage. Ces résultats sont liés aux difficultés rencontrées par Julien dans l'exécution des tâches de type B, présentant un niveau de difficulté plus important que celui des tâches de type A.

En ce qui concerne les aides modérées, l'enseignante a eu recourt à hauteur de 37% à la « signalisation des caractéristiques déterminantes » pour aider Julien (soit l'équivalent de 95 interactions sur 259). Ce type d'accompagnement modéré a fourni à l'élève une aide basée sur des consignes faisant émerger les raisons pour lesquelles il échoue ou réussit. Nous observons une légère augmentation de ce type d'accompagnement par rapport à la tâche A (plus 5 points de pourcentage). Élodie considère que Julien est capable d'agir avec un peu plus d'autonomie par rapport à la tâche précédente, car il fait preuve d'une meilleure connaissance des objectifs de la tâche.

En outre, l'analyse par contexte montre une évolution des médiations de l'enseignante. Nous remarquons par exemple, dans le premier contexte dit des « Voitures et places de parking », que l'enseignante utilise « la démonstration ou présentation de modèles » dans 31% de ses interventions (soit 34 interactions sur 108). À cause des difficultés de dénombrement chez Julien pour des collections de 10 éléments, Élodie a en effet dû guider de manière systématique le comptage et le pointage des places de parking et des voitures. Cette démonstration consistait à entrer en interaction avec les doigts de Julien et à les placer dans la bonne direction, à leur faire exécuter le geste correctement. Un type d'aide qui laisse peu d'autonomie à Julien. Nous constatons également que les « refus d'aide » de la part d'Élodie sont peu nombreux (seulement 8% de ses interventions, soit 9 interactions sur 108). L'enseignante se montre donc dans la plupart des cas disponible pour aider Julien dans sa démarche. Toutefois nous pouvons observer que cette modalité d'intervention évolue pour les contextes des « Passagers et places de train ou de bus » et des « Escargots, salades ou tomates ». Dans le contexte des « Passagers et places de train ou de bus », la « démonstration ou présentation de modèles » de la part de l'enseignante diminue à 22%. Nous pouvons attribuer les résultats de ce contexte, au fait que la taille de la collection d'objets ne dépasse pas les 7 éléments, impliquant pour Julien un moindre besoin d'un guidage du pointage et de la
comptine numérique, ces quantités étant mieux maitrisées. En outre, nous remarquons une augmentation des « refus d'aide » de l'enseignante par rapport au premier contexte (plus 9 points de pourcentage). Ce constat montre le désir de l'enseignante de donner plus d'autonomie à Julien considérant qu'il peut agir tout seul dans certains cas.

Dans le contexte des « Escargots, salades ou tomates », nous pouvons constater que même si les résultats sont presque similaires par rapport au contexte précédent, l'observation des vidéos nous montre une légère augmentation de la « démonstration ou présentation de modèles » (plus 6 points de pourcentage). Nous attribuons cette augmentation aux difficultés liées à la nature des objets utilisés (salades et tomates) pour lesquels Julien a besoin d'un plus grand guidage du geste et de la comptine numérique. Nous avons également remarqué que l'enseignante évite de donner autant que possible des aides à l'élève sauf dans le cas où il existe de réelles difficultés quant à la manipulation des objets.

Le croisement des interventions de l'enseignante et des performances de Julien laisse apparaître une nouvelle perspective d'analyse. En voici une représentation chiffrée que nous pouvons observer dans le tableau suivant :

<table><caption>Tableau 29 : Réussites et échecs de Julien suivant les interventions de l'enseignante pour les tâches de type B (1ère année)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Nature des interventions de l'enseignante au cours des tâches de type B (1ère année)</th><th colspan="4">Performances de Julien</th><th colspan="2">Total des interactions</th></tr><tr><th colspan="2">Réussites</th><th colspan="2">Erreurs</th><th rowspan="2">46</th><th rowspan="2">18%</th></tr></thead><tbody><tr><td>La réduction des degrés de liberté</td><td>19</td><td>41%</td><td>27</td><td>59%</td><td></td><td></td></tr><tr><td>La démonstration ou présentation de modèles</td><td>26</td><td>51%</td><td>25</td><td>49%</td><td>51</td><td>20%</td></tr><tr><td>Le maintien de l'orientation</td><td>21</td><td>66%</td><td>11</td><td>34%</td><td>32</td><td>12%</td></tr><tr><td>La signalisation des caractéristiques déterminantes</td><td>58</td><td>61%</td><td>37</td><td>39%</td><td>95</td><td>37%</td></tr><tr><td>Le refus d'aide</td><td>20</td><td>57%</td><td>15</td><td>43%</td><td>35</td><td>14%</td></tr><tr><td>Ensemble</td><td>144</td><td>56%</td><td>115</td><td>44%</td><td>259</td><td>100%</td></tr></tbody></table>

Sur l'intégralité de la tâche B, nous constatons un taux de réussite chez Julien s'élevant à hauteur de 56%, quant à ses échecs ces derniers atteignent 44%. Si nous comparons ces résultats par rapport à la tâche A précédente, nous obtenons une baisse de 8% des réussites chez Julien, et une augmentation proportionnellement inverse de ses échecs avec 8% en plus. Ces résultats révèlent d'une part la présence de contraintes plus fortes pendant les
interventions de l'enseignante et d'autre part une complexité plus grande vis-à-vis de la tâche
à accomplir par Julien.

Globalement parlant, l'amplitude des écarts à la moyenne en termes de réussites reste faible. Les résultats obtenus évoluent dans une fourchette restreinte autour des 56%. Nous constatons néanmoins une exception par rapport à la « réduction des degrés de liberté » où Julien affiche une réussite de 41%. Ce genre de médiation dite « forte » fondée sur des consignes verbales a davantage été proposée par l'enseignante pour aider Julien en particulier lors de la reconnaissance du cardinal de la première collection, sous-tâche pour laquelle il présentait des difficultés. Ces résultats révèlent la volonté de l'enseignante à ce que Julien agisse conformément aux consignes verbales qui lui ont été données. Cependant, nous constatons à la vue du taux de réussite que ce type d'aide n'a pas été très pertinent pour l'élève.

En ce qui concerne les réussites les plus importantes chez Julien, nous pouvons observer que les aides concernant le « maintien de l'orientation » ainsi que la « signalisation des caractéristiques déterminantes de la tâche » produisent respectivement 66% et 61% de réussites chez l'élève. Ces types d'aides « modérés » lui ont permis d'avoir une influence positive sur son activité. Nous pouvons inférer que ces médiations interviennent dans sa zone proximale de développement. Julien montre ici, d'une certaine manière, qu'il est capable d'ajuster ces actions en suivant les interventions de son enseignante.

3.2.2.3.4.2. *Les analyses des activités de l'enseignante qui relèvent de la composante relationnelle-affective*

L'analyse de la composante relationnelle-affective des pratiques de l'enseignante révèlent sa façon d'intervenir pour soutenir la conduite de Julien sans lien direct avec le savoir en jeu. Les deux fonctions d'étayage concernées dans cette analyse sont « l'enrôlement » et « le contrôle de la frustration ». Cette analyse se porte sur les mêmes interactions que celle de la composante médiative, à savoir : 259 interactions issues des 20 séances filmées. Les résultats obtenus sont rassemblés dans le tableau suivant :
<table><caption>Tableau 30 : Étayages de l'enseignante relevant de la composante relationnelle-affective (Tâches de type B, 1ère année)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Contextes des tâches de type B (1ère année)</th><th colspan="4">Composante relationnelle-affective de l'enseignante</th><th colspan="2">Total des interactions</th></tr><tr><th colspan="2">Enrôlement</th><th colspan="2">Contrôle de la frustration</th><th rowspan="2">108</th><th rowspan="2">42%</th></tr></thead><tbody><tr><td>« Voitures et places de parking »</td><td>85/108</td><td>79%</td><td>23/108</td><td>21%</td><td></td><td></td></tr><tr><td>« Passagers et places de train ou de bus »</td><td>67/99</td><td>68%</td><td>32/99</td><td>32%</td><td>99</td><td>38%</td></tr><tr><td>« Escargots, salades ou tomates »</td><td>31/52</td><td>60%</td><td>21/52</td><td>40%</td><td>52</td><td>20%</td></tr><tr><td>Ensemble</td><td>183/259</td><td>71%</td><td>76/259</td><td>29%</td><td>259</td><td>100%</td></tr></tbody></table>

L'analyse de la composante relationnelle-affective de la pratique d'Élodie révèle une évolution de ses interventions en comparaison à celles des tâches de type A. Dans ces tâches de type B les interventions de l'enseignante visent à soutenir l'enrôlement de Julien en moyenne à hauteur de 71% (soit 183 interactions sur 259). Cela représente 28 points de pourcentage de plus que pour les tâches de type A. L'enseignante cherche ainsi à établir un « enrôlement » plus ferme et plus conséquent de l'activité de l'élève, qui a fait preuve au cours de cette période d'une plus grande déconcentration et fatigue en comparaison aux tâches de type A. Ce type d'interaction vise également à une mobilisation de l'attention systématique de l'élève dans les moments où il semble se déconcentrer.

La complexité de ce type de tâches concernant les connaissances et les compétences cognitives à mettre en œuvre a engendré des périodes de déconcentration et de fatigue chez l'élève.

En outre, nous avons pu constater également des évolutions du type d'intervention de l'enseignante selon le contexte. Nous observons ainsi que le type de médiation fondé sur l'enrôlement diminue progressivement dans l'ordre chronologique de chaque contexte (il passe de 79% à 68%, puis à 60%). Inversement contraire à celle-ci, cela implique que les interventions visant le contrôle de la frustration augmentent progressivement (elles passent de 21% à 32%, puis à 40%). En ce sens, nous pouvons constater que le premier contexte proposé par Élodie était connu de l'élève, celui des « Voitures et places de parking ». Le fait d'utiliser des voitures et des boîtes à compter comme places de parking, semblait être adapté selon l'enseignante au lien affectif de Julien et à l'expérience que ce dernier possède avec ce type de matériels (voitures et boîtes à compter déjà utilisées dans le cadre de tâche de type A). Toutefois, Élodie a rapidement pu constater, malgré un contexte déjà connu par l'élève, que ce type de tâches le mettait en difficulté. Des réactions de « désaccord » commencent à se
manifester de la part de Julien à cause d'une incompréhension des consignes et des difficultés rencontrées dans le dénombrement des collections. L'enseignante a alors de ce fait mis en place un enrôlement ferme afin d'aider Julien à réaliser les tâches.

Le contexte des « Passagers et places de train ou de bus » a quant à lui, attirait l'attention de l'élève. Toutefois les matériels utilisés n'étaient pas véritablement adaptés aux objectifs fixés pour ce type de tâches. Ainsi certains passagers (trop grands et qui tombaient constamment) ont engendré de nombreuses erreurs de dénombrement et des réactions de mécontentement chez Julien. Une telle situation ne semblait pas être prévue par l'enseignante. Ces difficultés ont ainsi demandé des efforts de sa part pour essayer d'aider Julien à contrebalancer ces contraintes. Ses interventions ont alors suscité quelques changements par rapport au contexte précédent, elles se sont notamment focalisées à encourager l'élève et à lui donner un peu plus d'autonomie.

Le dernier contexte des « Escargots, salades ou tomates » s'est vu également proposer d'utiliser des matériels qui eux aussi ont été une source de difficulté pour l'élève. L'utilisation des salades et des tomates dessinées sur papier, difficiles à manipuler, ont complexifié la procédure de dénombrement chez l'élève qui a ainsi manifesté son mécontentement mais dans une moindre mesure par rapport au contexte précédent. Nous avons ainsi remarqué que Julien au cours de cette période a fait preuve de persévérance dans la réalisation de la tâche malgré les difficultés rencontrées, en commençant notamment par corriger ses propres erreurs. Élodie est consciente de ce changement de posture chez Julien et a donc fait le choix de contrôler sa frustration et de l'encourager à continuer dans la tâche malgré les erreurs auxquelles il a dû faire face.

### 3.2.2.3.4.3. Analyse de la composante cognitive

Pour ces tâches de type B, l'enseignante a envisagé à ce que Julien puisse se servir de sa connaissance du nombre pour créer une collection équipotente à une autre collection, et cela avec éloignement dans l'espace des deux collections. Le niveau de complexité de ce type de tâches est donc bien plus important que celui des tâches de type A. En effet pour rappel, les tâches A demandent « uniquement » à l'élève, après avoir reconnu le cardinal par son écriture chiffrée ou sa représentation par une constellation, de construire une collection ayant ce même cardinal en puisant parmi des objets disponibles à proximité et déplaçables. Les contraintes sont donc moins élevées que dans le cadre des tâches B. L'idée de ce nouveau type de tâches
est venue à l'enseignante par l'influence des cours de didactique des mathématiques qu'elle a suivi en parallèle aux activités qu'elle exerce avec Julien. Élodie a de ce fait adapté une situation de recherche présentée durant ces cours, et elle a proposé cette approche en le mettant à disposition sous trois contextes différents.

L'analyse des déroulements des tâches de type B nous a alors montré que, même si Julien était parvenu en quelques séances à dénombrer des quantités jusqu'à 5 (notamment dans le dernier contexte), il n'était pas certain qu'il ait acquis la cardinalisation et la compréhension de la notion de nombre comme représentant de la quantité. L'observation des vidéos nous montre d'autre part que le comptage de Julien reste instable à cause de ses difficultés praxiques. Ainsi pour une même collection, Julien peut compter 5 objets et dans un second temps en recompter 6. Cette instabilité rend évidemment difficile l'attribution d'un cardinal à une collection et par conséquent il s'avère d'autant plus difficile pour l'élève de consolider ses connaissances du concept de nombre et son assimilation. Élodie consciente de cela, est de ce fait incertaine que Julien comprenne l'assimilation du nombre énoncé à la fin de son comptage d'avec sa quantité. Un autre aspect dont l'enseignante a conscience face à cette instabilité du dénombrement découlant des difficultés praxiques de Julien, repose sur la compréhension ou non du fait que, pour lui, deux collections dont il sait qu'elles sont équipotentes peuvent obligatoirement être mises en correspondance terme à terme, et inversement. Si les tâches de type B peuvent paraître ambitieuses compte tenu des difficultés de l'élève, le point de vue de l'enseignante consiste à espérer qu'il puisse les résoudre au moins partiellement et que progressivement les étapes réussies lui permettent de construire des connaissances numériques supplémentaires. Détaillons cette analyse.

Même si le comptage des quantités n'est pas encore stable chez Julien, l'enseignante a pris la décision de continuer son enseignement en proposant des tâches plus complexes comme celles de type B. Abordons une comparaison des deux types de tâches. La première étape de la tâche B reste plus simple qu'une tâche de type A car il s'agit seulement de dénombrer une collection. La deuxième étape quant à elle est équivalente à une tâche de type A, il s'agit de construire une collection de cardinal donné. Le fait que Julien considère le cardinal de la première collection comme celui qu'il doit prendre en compte pour construire la seconde collection constitue un moyen de considérer le nombre comme une trace transportable de la quantité. Il est possible et même vraisemblable que les aides de l'enseignante l'amènent à faire ce qu'il faut sans accorder à son action le sens qui vient d'être explicité. Toutefois, ces
activités dissociées lui permettront de poursuive la construction de ses connaissances du
dénombrement et de la construction de collections à partir d'un cardinal donné. Au cours des
différents contextes, Julien sera amené à dénombrer des places de parking, des places de train
ou des escargots puis à créer des collections équipotentes de voitures, de passagers ou de
salades et tomates. Autrement dit, la logique qui sous-tend sa pratique est qu'il est préférable
de complexifier la tâche pour permettre de consolider des connaissances antérieures et initier
en sus la construction de nouvelles connaissances, plutôt que d'attendre que les premières
connaissances soient stabilisées avant de lui proposer d'en construire de nouvelles. Un intérêt
que l'enseignante perçoit dans les tâches de type B est que, même si Julien n'en comprend pas
les fondements dès la première fois, la mise en correspondance terme à terme des deux
collections constitue un critère de validation de son travail. Cela peut contribuer à le rendre
plus autonome, à savoir qu'il a réussi si la correspondance terme à terme se réalise ou à
revenir sur son activité dans le cas contraire. Cela peut aussi permettre à l'enseignante de
l'aider à conquérir cette autonomie. En d'autres termes, empruntés à la théorie des situations
didactiques, cela lui permet de déléguer au milieu – antagoniste – la validation de l'activité
réalisée et de se positionner comme médiatrice entre Julien et les savoirs parce qu'elle est
capable d'interpréter la réponse du milieu.

Attardons-nous maintenant sur l'itinéraire dessiné par les trois contextes des tâches de type B. On a pu percevoir qu'ils ont été proposés avec le souci de stimuler Julien en le faisant travailler avec du matériel qu'il affectionne, sans toujours anticiper les difficultés praxiques inhérentes à ce matériel. Dans un premier temps, Élodie a proposé un contexte connu par l'élève, celui des « Voitures et places de parking ». Rapidement elle a pu constater que, indépendamment du fait que ce contexte était connu de Julien, la tâche à réaliser n'avait pas été comprise. Julien s'est lancé dans la création de la collection de voitures sans savoir quelle était la quantité nécessaire pour compléter les places de parking. Élodie a donc été amenée à proposer un étayage du type « démonstration ou présentation de modèles », c'est-à-dire un accompagnement « fort » qui laisse peu d'autonomie à son élève et qui le conduit sans doute à compter les places parking puis les voitures, sans mobiliser le nombre de places de parking comme mémoire de la quantité en lien avec la collection de voitures qui lui sera associée. Toutefois, l'enseignante n'apparaît pas démissionnaire. Au contraire, elle change de contexte, en utilisant du matériel auquel Julien est attaché – ses propres jouets –, pour reprendre différemment la même tâche en espérant que ce qui a été acquis avec le contexte précédent
permettra de laisser la place à de nouveaux apprentissages. Elle propose ainsi le contexte des « Passagers et places de train ou de bus » qui attire particulièrement l'attention de Julien à cause des figurines qu'il affectionne. Nous avons vu malgré tout à plusieurs reprises que ce matériel n'était pas tout à fait adapté aux objectifs de la tâche car certaines figurines, soit tombaient constamment, soit étaient trop grandes par rapport aux places de train ou de bus dessinées. En dépit de ces difficultés, nous avons constaté que les interventions de l'enseignante avaient changé de nature par rapport au contexte précédent. Élodie voulant donner plus d'autonomie à Julien, s'est contentée d'apporter des aides plus modérées, fondées sur « la signalisation des caractéristiques déterminantes » de la tâche. Ayant conscience que la tâche n'était pas entièrement réalisée par Julien et que des connaissances restaient donc à construire, elle a alors proposé un troisième contexte dit des « Escargots, salades ou tomates ». Ce nouveau contexte a alors été mis en place d'une part pour éviter la lassitude de Julien et d'autre part pour éviter qu'il ne fasse que reproduire des procédures en améliorant seulement leur mise en œuvre. Malgré les difficultés praxiques qui ont encore pu être rencontrées (telles les images des salades et des tomates qui parfois collaient aux doigts de Julien), l'analyse du déroulement confirme que dans la réalisation des tâches sous ce troisième contexte, Julien a gagné en autonomie. En outre, l'enseignante est intervenue en demandant à Julien d'apporter une justification à ses actions, ce qui lui a permis progressivement de se rendre compte de ses réussites et de ses erreurs. Ce type d'accompagnement, moins directif, a été rendu possible du fait d'un accroissement de la performance de Julien au cours de ce dernier contexte. Les actions de l'élève sont devenues plus fluides en ce qui concerne la synchronisation du pointage et de l'énoncé verbale de la suite numérique. Julien a ainsi montré plus d'assurance dans sa démarche afin de déterminer le cardinal de la première collection d'objets et de valider l'équipotence des collections par une mise en correspondance terme à terme.

En conclusion, dans cette analyse des taches de type B, il apparaît que la programmation des tâches est à la fois adaptée aux connaissances de Julien, mais aussi à celles qu'il doit construire. Les changements de contextes et les étayages proposés visent à travailler dans la zone proximale de développement de l'élève. Nous observons encore des difficultés de la part de l'enseignante à anticiper les problèmes liés à l'utilisation des matériels pédagogiques pour un élève présentant, comme Julien, des troubles d'ordre praxiques. Néanmoins, l'analyse du déroulement de chacun des contextes nous a permis d'observer des progrès chez l'élève quant au dénombrement (synchronisation du pointage et du comptage), quant à la réalisation d'une
collection de cardinal donné et quant au contrôle de l'équipotence par la mise en
correspondance terme à terme. Nous ne pouvons toutefois pas nous assurer que la cardinalité
a été strictement acquise chez l'élève au sens où il n'a pas été de sa propre initiative de
déterminer le cardinal de la première collection afin de constituer une collection équipotente.

3.3. Deuxième année : Décembre 2013 à novembre 2014

Durant cette deuxième année, deux types de tâches ont été proposées : La tâche B (créer une
collection équipotente à une autre avec éloignement dans l'espace des deux collections),
reprise par l'enseignante, et une nouvelle tâche C dont l'objectif est de créer une collection
d'objets dont le cardinal est le résultat d'une addition à effectuer. Ces tâches visent à une
consolidation des connaissances de Julien quant à la création des collections équipotentes
ainsi qu'à l'introduction au traitement de situations de type additives.

Il est à signaler que l'historique des tâches de type B décrit dans le cahier de l'enseignante mentionne une mise en place de ce type de tâches à partir d'octobre 2013, néanmoins nous n'avons eu accès aux séances filmées qu'à partir de décembre 2013. Les séances portant sur les tâches de type C ont été proposées quant à elles à partir du mois de mars 2014 et jusqu'en novembre 2014. La nature des situations rencontrées dans ce nouveau type de tâches marque un changement par rapport aux situations précédentes. Élodie introduit en effet une situation qu'elle qualifie de « jeu » auprès de Julien. Les séances pour ces tâches de type C ont été subdivisées en épisodes : chaque épisode correspondant à un « tour de jeu » pour Julien. Au total, 32 épisodes de jeu ont été analysés pour ce type de tâches. Ces épisodes s'inscrivent au sein de 8 séances.

Le tableau ci-dessous indique les types de tâches proposées ainsi que le nombre
d'épisodes (ou de séances) filmés au cours de cette deuxième année :
<table><caption>Tableau 31 : Types des tâches proposées durant la 2ème année d'enseignement</caption><thead><tr><th>Deuxième année d'enseignement</th><th colspan="2">Décembre 2013 à Novembre 2014</th></tr></thead><tbody><tr><th scope="row">Types des tâches proposées</th><td>Tâches de type B</td><td>Tâches de type C</td></tr><tr><th scope="row">Objectif</th><td>« Créer une collection équipotente à une autre avec éloignement dans l'espace des deux collections »</td><td>« Créer une collection d'objets dont le cardinal est le résultat d'une addition à effectuer »</td></tr><tr><th scope="row">Nombre de séances ou d'épisodes filmés</th><td>25 séances</td><td>8 séances correspondant à 32 épisodes de jeu</td></tr><tr><th scope="row">Périodes</th><td>Décembre 2013 à mai 2014</td><td>Mars 2014 à décembre 2014</td></tr></tbody></table>

Au cours de cette deuxième année, nous avons donc analysé 25 séances filmées concernant la tâche B, soit l'équivalent de 80 minutes et 4 secondes de vidéo. Quant à la tâche C, l'analyse s'est étalée sur 60 minutes de vidéo ce qui correspond à 8 séances. Au final ce n'est pas moins de 2 heures et 20 minutes de vidéo qui correspondent à ces deux types de tâches qui ont composé notre corpus d'analyses sur cette deuxième année.

Abordons dès à présent les tâches de type B qui ont été proposées.

### 3.3.1. Tâches de type B : Créer une collection équipotente à une autre avec éloignement dans l'espace des deux collections

Ces tâches de type B ont déjà été proposées au cours de la première année d'enseignement d'Élodie. Les analyses des déroulements ont porté sur les activités et performances de Julien, sur les activités et pratiques de l'enseignante, et notamment sur les interactions entre Julien et son enseignante ainsi que sur les adaptations de l'enseignante aux performances de Julien. Les analyses effectuées ont révélé des évolutions chez Julien au niveau de son autonomie au travail ainsi qu'à celui de son niveau d'acquisition de certaines connaissances numériques comme le dénombrement de petites quantités. Nous avons également pu observer des évolutions concernant les interventions de l'enseignante en lien avec ces acquisitions.

Rappelons que ces tâches de type B envisagent de permettre à Julien de comprendre et d'assimiler le fait que le nombre sert d'une part à garder la mémoire d'une quantité et d'autre part à réaliser une collection équipotente à la première, sans passer par la correspondance terme à terme des deux collections, correspondance qui pourra en revanche être mise en œuvre pour contrôler que les deux collections sont bien équipotentes, c'est-à-dire qu'elles ont
bien le même nombre d'éléments. Cette compréhension doit permettre à l'élève de savoir, par exemple, s'il a bien pris le même nombre de passagers que de places de train, et que si c'est le cas, alors il y a nécessairement autant de passagers que de places de train, ce qu'il peut contrôler par une mise en correspondance des passagers et des places. Chez Julien cette correspondance terme à terme risque de ne pas être réalisée correctement à cause de ses difficultés praxiques. Elle risque également de ne pas être réussie parce que les différentes contraintes éprouvées lors du dénombrement des collections ont pu être source d'erreurs dans la détermination du nombre de places ou dans la constitution de la collection des passagers.

Pour cette deuxième année, l'objectif de l'enseignante consiste à consolider les acquis de Julien sur le dénombrement des quantités. Il s'agit là selon elle d'un point essentiel afin de permettre à Julien d'acquérir la notion de nombre. Nous voulons maintenant aborder l'analyse des différentes tâches de type B proposées par l'enseignante au cours de cette deuxième année d'enseignement. Dans toutes les analyses à venir, nous ne reprendrons pas les détails donnés quant aux activités envisageables à la réalisation du dénombrement de la collection initiale, au transport de la cardinalité, à la constitution de collections équipotentes et de leur transport vers la collection initiale ou encore au contrôle de l'équipotence par mise en correspondance terme à terme. Nous nous attacherons principalement à analyser les nouveautés présentes dans les nouvelles situations proposées par l'enseignante à son élève.

### 3.3.1.1. Les tâches de type B et leurs contextes

Pour aborder ces tâches de type B, l'enseignante a proposé deux contextes déjà connus et abordés au cours de la première année d'enseignement, à savoir ceux des : « Petites voitures et places de parking » et des « Escargots, salades et tomates ».

Nous effectuerons l'analyse des tâches de type B en fonction de leur contexte et en suivant l'ordre chronologique dans lequel ces tâches ont été proposées.

#### 3.3.1.1.1. Tâches de type B dans le contexte des « Escargots, salades et tomates »

Pour ce premier contexte, l'enseignante a choisi d'utiliser les mêmes images de salades et de tomates (dessinées sur des papiers) que celles utilisées durant l'année précédente. Les escargots quant à eux sont représentés sur des images déplaçables et individuelles.
À la différence de l'année précédente, l'enseignante a prévu d'utiliser deux types de panier pour que l'élève puisse y déposer les collections de salades et de tomates afin de les transporter vers la collection d'escargots :

- Un plateau transparent de taille moyenne dont la taille et la forme permettent de contenir et de visualiser toutes les salades et les tomates ;

- Un grand plateau rouge utilisé au cours de la période précédente pour ce même contexte. Comme nous avons déjà pu le constater, la taille du plateau est très grande par rapport à la taille des salades et des tomates.

En termes de cardinalité, la taille des collections d'escargots, de salades et de tomates varie entre 2 et 6 éléments. Sur la première table contenant les escargots, l'enseignante met également à disposition de Julien une bande numérique dont il pourra se servir s'il le souhaite. Cette bande numérique contient la liste des nombres allant de 1 jusqu'à 10. Sous le nombre chiffré il est possible de visualiser la constellation correspondante, et cela pour les quantités 4, 5 et 6. Rappelons que l'utilisation de la bande numérique a déjà été proposée par l'enseignante lors d'activités précédentes. L'objectif de cette bande est de permettre à Julien de repérer les nombres de la suite numérique et d'associer ces nombres à des quantités.

Une photographie illustrant le matériel proposé par l'enseignante pour ce type de tâches est présentée ci-dessous :
<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure 11 : La bande numérique, les images d'escargots, les types de panier, les salades et les tomates proposées dans le contexte des « Escargots, salades et tomates » (Tâches de type B, 2ème année)</figcaption></figure>

Bien que l'enseignante ait utilisé le même type de matériel que l'année précédente, les consignes et les situations proposées à l'élève au cours de cette deuxième période vont changer par rapport aux enjeux fixés par l'enseignante. Ainsi pour ce premier contexte, l'enseignante a proposé deux types de situations :

**Première situation :**

> « Tu vois ces escargots. On va leur chercher à chacun : une salade et une tomate. Parce qu'aujourd'hui ils ont faim. Utilise la technique que tu veux ».

Cette situation sollicite l'élève à un niveau plus important de mise en fonctionnement du concept de nombre et donc d'abstraction. En effet, la connaissance du dénombrement qui permet de rapporter à chaque escargot une salade et une tomate n'est plus explicitée dans la consigne. Julien doit également discerner la quantité des salades de celle des tomates. À cet effet, il faudra reconnaître dans un premier temps, la quantité d'escargots et par conséquent en déduire le nombre de salades et de tomates à récupérer. Nous pensons que la constitution de
ces deux collections différentes (salades et tomates) peut engendrer des difficultés de compréhension de la consigne et de mémorisation des deux quantités. En effet, nous avons déjà remarqué que Julien cherche beaucoup à se repérer par rapport aux consignes précédentes dont il a eu connaissance. Or précédemment, il n'y avait pas deux collections de nourriture à rapporter aux escargots, mais une seule. Notons cependant qu'il ne s'agit pas non plus d'apporter une quantité d'aliment égale au double du nombre d'escargots : ce serait le cas si Julien devait rapporter deux tomates à chaque escargot, ou s'il devait rapporter deux salades à chaque escargot, mais dans cette situation, il doit rapporter une tomate et une salade à chaque escargot. Toutefois, ce niveau de compréhension requis, qui s'avère plus élevé que lors des tâches précédentes, devrait permettre à Julien de développer une attention plus fine en ce qui concerne la différentiation des éléments (salades et tomates) et à la mémorisation des quantités.

**Deuxième situation :**

« Turbo (1<sup>er</sup> escargot), il a déjà eu à manger. Est-ce que tu sais combien de salades et de tomates a eu Turbo ? Est-ce que tu vois Blanche (2<sup>e</sup> escargot) à côté ? Elle aimerait avoir la même chose. Est-ce que tu pourrais lui donner exactement la même quantité ? ».

Cette deuxième situation invite l'élève à constituer une collection de salades et de tomates de même cardinal qu'une autre collection de référence, et cela avec éloignement dans l'espace des deux collections. La procédure de dénombrement qui permet de déterminer la quantité de salades et de tomates qu'il faut apporter à Blanche (2<sup>e</sup> escargot) est cette fois explicite dans la consigne : « Est-ce que tu sais combien de salades et de tomates a eu Turbo ? ». Cette explicitation est un facteur facilitant la tâche de l'élève, toutefois la mémorisation simultanée de deux quantités différentes (salades et tomates) constitue une charge cognitive plus importante, et peut par conséquent engendrer des oublis chez Julien au moment de construire les deux collections.

3.3.1.1.2. Tâches de type B dans le contexte des « Petites voitures et places de parking »

Comme au cours de la première année, l'enseignante a choisi d'utiliser les mêmes voitures plastiques miniaturisées, dont la couleur peut être soit identique ou soit différente selon les cas. Il en est de même pour les places de parking, ces dernières sont représentées comme lors
de la première période, à savoir par les cases fixes de deux boites à compter à cinq compartiments chacune soit dix places au total.

L'enseignante a prévu également d'utiliser deux types de « panier » afin que l'élève puisse y déposer les collections des petites voitures, et ainsi les transporter plus facilement vers les places de parking :

- un grand plateau rouge, où il est possible de contenir et de visualiser les collections des petites voitures ;

- un panier rouge de taille moyenne qui permet de contenir les petites voitures, mais avec lequel la visibilité sur la collection est plus difficile. Cette contrainte pourra être une gêne chez Julien pour remplir le panier avec les petites voitures.

Sur la première table sont réparties les places de parking. Sur celle-ci, l'enseignante met également à disposition de Julien une bande numérique dont il pourra se servir s'il le souhaite.

Sur une deuxième table, éloignée de la première, dans la même pièce, nous retrouvons les petites voitures et le « panier ». Rappelons enfin que la taille de la collection des places de parking est de 10, ces places correspondent aux compartiments des deux boîtes à compter qui en contiennent 5 chacune.

Une photographie du matériel proposé par l'enseignante pour ce type de tâches est illustrée ci-après :
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 12 : Les petites voitures en plastique, les places de parking et les types de panier proposés dans le contexte des « Petites voitures et places de parking » (Tâches de type B, 2ème année)</figcaption></figure>

La consigne donnée par l'enseignante est la même que celle donnée lors de l'année précédente : « On va aller chercher des petites voitures pour remplir toutes les places de parking en une seule fois. Allez ! ». Julien sait donc ce que l'enseignante attend de lui. La difficulté de cette consigne repose sur la contrainte : « en une seule fois », qui exige que l'élève mette en œuvre une procédure complexe reposant sur le dénombrement des places de parking, la mémorisation de ce nombre, la constitution de la collection des petites voitures, leur transport et la vérification de l'équipotence par mise en correspondance terme à terme des petites voitures et des places de parking. Bien que cette situation ait déjà été travaillée précédemment et que Julien ait utilisé la technique du dénombrement « un à un » pour créer la collection demandée, la taille des collections proposées (10 éléments), nous l'avons précédemment remarqué, rend la tâche difficile à Julien. Nous avions en effet observé chez l'élève au cours de la première année, une instabilité de la procédure de dénombrement (pointage un à un des éléments, énoncé de la suite numérique et synchronisation des deux activités) du fait de ses troubles cognitifs et visuo-praxiques qui occasionnent des erreurs dont
la probabilité d'apparition devient très forte dès que la taille de la collection dépasse les 6 éléments. Cette démarche est de ce fait toujours instable. Toutefois la proposition de l'enseignante consistant à travailler avec cette quantité vise précisément à permettre à Julien de consolider ses acquis afin que la procédure mise en place reste efficace même avec une telle quantité.

### 3.3.1.2. Analyse *a priori* des tâches de type B

Pour l'analyse *a priori* des tâches de type B de cette deuxième année, nous nous appuierons sur celle qui a été conduite au cours de la première période ; cela nous évitera des répétitions inutiles. Toutefois, nous rappellerons les éléments essentiels afin que chaque analyse possède son autonomie. Comme pour l'année précédente, nous distinguons cinq étapes dans la réalisation de la tâche (chacune pouvant donner lieu à un échec) : 1°) déterminer le cardinal de la collection présentée sur la première table ; 2°) conserver le nombre en mémoire tout en se déplaçant pour aller à la deuxième table ; 3°) créer la deuxième collection selon le cardinal mémorisé ; 4°) rapporter la collection créée de la seconde vers la première table ; 5°) valider par une correspondance terme à terme l'équipotence des deux collections. Pour cette analyse, compte tenu des changements induits par les nouvelles tâches de cette deuxième période, nous nous focaliserons sur la première et la troisième étape. À cet effet, nous allons considérer les différentes procédures utilisables, procédures qui nous permettront également de révéler certains aspects des connaissances numériques de l'élève. Prenons en compte dans un premier temps les particularités des deux contextes proposés par l'enseignante.

#### 3.3.1.2.1. Procédures pour déterminer le cardinal de la première collection

#### Contexte des « Escargots, salades et tomates »

Rappelons qu'avec ce contexte, deux situations sont proposées : dans la première Julien doit rapporter à chaque escargot une salade et une tomate ; dans la seconde, Julien doit rapporter à un deuxième escargot, les mêmes aliments que ceux mangés par le premier. L'analyse *a priori* est distinguée pour chaque situation.
## Première situation

Pour la première situation, la taille des collections proposées varie entre 3 et 6 escargots. À la différence de ce qui a été proposée durant la première période, l'organisation spatiale initiale de la collection d'escargots est linéaire, ce qui facilite la tâche d'énumération et donc celle de dénombrement. Julien pourra mettre en œuvre deux procédures afin de déterminer la quantité de salades et de tomates à rassembler : si la quantité n'est que de trois, il pourra la reconnaître par subitizing, si elle est plus élevée, il devra procéder par dénombrement un à un des escargots.

Rappelons toutefois une observation effectuée au cours de la période précédente : lorsque Julien est confronté à une collection de trois éléments, sans doute à cause de son trouble visuo-praxique, il ne procède pas par subitizing, il utilise le dénombrement un à un. C'est également ainsi qu'il procèdera si la quantité d'escargots est supérieure à 3. La complexité de la tâche, liée au fait de rapporter à la fois une tomate et une salade pour chaque escargot, nous invite à ne pas sous-estimer *a priori* les simplifications que Julien pourrait effectuer pour ne pas se confronter à cette complexité ou parce qu'il n'arriverait pas à la comprendre. Il semble ainsi envisageable que l'élève ne prenne pas en compte la quantité d'escargots, qu'il se focalise sur « une salade et une tomate », et que de ce fait il ne ramène uniquement qu'une salade et qu'une tomate pour l'ensemble des escargots. S'il prend en compte le nombre d'escargots, alors deux possibilités sont à distinguer : soit Julien prend le même nombre de tomates puis le même nombre de salade (ou l'inverse), soit Julien prend une salade et une tomate autant de fois qu'il y a d'escargots. Ces deux possibilités pourront donner lieu à des échanges avec son enseignante, notamment si la question de l'équivalence des procédures vient à se poser.

## Deuxième situation

Pour cette deuxième situation, nous avons observé une variation de 2 à 6 éléments quant à la taille des collections de salades et de tomates déposées devant le premier escargot appelé Turbo. L'organisation spatiale de ces éléments est aléatoire, elle n'est pas structurée. La situation demandera donc que l'élève se crée des repères au cours du dénombrement afin de procéder à l'énumération en évitant le double comptage, ou l'oubli, de certains éléments de la collection. Cette absence de structuration des collections, compte tenu de ce que nous avons observé au cours de la première période, risque de poser problème à Julien : c'était déjà le cas
en effet lorsqu'il devait dénombrer des escargots organisés de façon rectangulaire. Prenant en compte toutes ces particularités, comme dans le cas de la première situation, Julien pourra mettre en œuvre deux types de procédures pour déterminer le cardinal des collections de salades et de tomates déposées devant l'escargot dénommé Turbo : le subitizing si la quantité est inférieure ou égale à 3, le dénombrement un à un sinon. Il pourra faire de même pour constituer une quantité analogue de salades et de tomates pour le second escargot nommé Blanche. Rappelons toutefois la difficulté supplémentaire présente dans cette situation : Julien doit déterminer les quantités respectives de salades et de tomates du premier escargot et mémoriser ces deux cardinaux simultanément, dans le déplacement, et dans la construction des deux collections équipotentes d'aliments pour le deuxième escargot. Si dans la situation précédente Julien avait choisi de prendre le bon nombre de tomates puis le bon nombre de salades (ou inversement), alors il pourra adapter sa procédure en distinguant seulement le nombre de salades et le nombre de tomates. Si, en revanche, il avait pris à chaque fois une salade et une tomate, alors il devra revoir complètement sa procédure, ce qui risque de le mettre en difficulté. Là encore, les échanges avec l'enseignante seront sans doute intéressants à analyser pour comprendre les logiques mises en œuvre par Julien pour réaliser ces tâches.

## Contexte des « Petites voitures et places de parking »

Le contexte des « Petites voitures et places de parking » a déjà été proposé par l'enseignante au cours de la période précédente. Sous cette période, la taille des collections des places de parking a toujours été de 10 éléments, ces places correspondant aux compartiments des deux boîtes à compter. Compte tenu des troubles visuo-praxiques de Julien, la fixité et la proximité des cases de la boite à compter constituent une difficulté pour le pointage un à un, difficulté qui peut aussi être à l'origine d'erreurs de synchronisation du pointage et de l'énoncé de la comptine verbale par un effet de déconcentration de l'élève sur ces deux tâches à réaliser simultanément. Le fait que les places de parking soient représentées par les cases des deux boîtes à compter (de 5 compartiments chacune) donne à l'élève la possibilité de reconnaître et d'utiliser ces groupements de 5 pour déterminer la quantité de petites voitures à récupérer ; néanmoins comme nous avons déjà pu le constater lors de nos analyses des tâches de type B au cours de la période précédente, cette procédure est inaccessible pour Julien qui ne sait pas que deux fois 5 font 10. Une telle connaissance relative aux relations additives (5+5=10) ou multiplicatives (2×5=10) entre nombres serait d'ailleurs difficile à lui faire acquérir puisque celle de cardinal et de nombre pour indiquer la quantité n'est pas encore stabilisée.
3.3.1.2.2. Procédures pour constituer la collection
équipotente à la première

La réalisation d'une seconde collection équipotente à la première, et ce à distance l'une de l'autre, a déjà été analysée lors de l'étude des tâches proposées et réalisées durant la première période. Nous ne reprendrons donc pas intégralement les analyses, nous insisterons sur les permanences et changements essentiels compte tenu des variations de contexte, c'est-à-dire des variations relatives à la nature des objets des deux collections et à leur organisation dans l'espace. Comme précédemment nous distinguerons les deux contextes proposés.

Contexte des « Escargots, salades et tomates »

Rappelons que, dans ce contexte des « Escargots, salades et tomates », les salades et les tomates proposées sont des images dessinées sur papier. Nous avons déjà vu que la manipulation de ces objets n'était pas aisée. En effet les images peuvent facilement se superposer, se coller entre elles ou encore aux doigts. Sauf évolution de la dextérité de Julien, nous pouvons faire l'hypothèse que les images vont encore constituer un facteur de difficulté dans l'exécution de la tâche, notamment pour la composante « énumération » de la tâche. Rappelons à ce propos que l'enseignante avait proposé à Julien de tourner chaque escargot au moment du comptage afin de repérer celles qui avaient été comptées de celles qui ne l'avaient pas encore été.

Nous pouvons distinguer deux types de procédures auxquelles Julien pourrait se référer afin de constituer la collection des salades et des tomates : l'une où Julien prend approximativement des salades et des tomates (procédure qui donne peu de chances de réussir) et l'autre où il procède par dénombrement. Dans le premier cas il pourra utiliser la correspondance terme à terme afin de valider ou d'invalider les quantités apportées, mais comme il doit effectuer un seul trajet, il ne pourra pas utiliser la correspondance terme à terme pour améliorer son résultat. S'il procède en revanche par dénombrement, Julien pourra, comme durant la première période, constituer la collection de salades et de tomates en déplaçant les aliments déjà comptés. Nous avions d'ailleurs repéré quelques progrès en fin de première période : la technique consistant à tourner chaque salade ou tomate après comptage, proposée par l'enseignante, avait permis à Julien d'être moins fortement gêné par le matériel (images en papier) lors de l'exécution du dénombrement. Toutefois ici, il reste que la procédure demandera dans un premier temps à Julien de comprendre qu'il faut constituer
deux collections différentes, à savoir –celle des salades et celle des tomates, puis qu’il faut mémoriser ces quantités afin de constituer les collections équipotentes.

## Contexte des « Petites voitures et places de parking »

Dans ce contexte des « Petites voitures et places de parking », nous avons déjà indiqué auparavant que les voitures choisies par l’enseignante ne sont pas les grandes métallisées, mais les petites en plastique coloré. Nous avions remarqué, durant la première période, que la taille réduite des voitures avait pu rendre difficile leur manipulation, Julien ayant déplacé parfois deux petites voitures au lieu d’une seule pour effectuer le dénombrement. De même, les couleurs pouvaient jouer également un rôle de « marqueur » facilitant la tâche d’énumération en permettant d’aider Julien à distinguer les petites voitures comptées de celles qui ne l’étaient pas encore. La taille de la collection des petites voitures (10 éléments) demande à ce que l’élève connaisse la comptine verbale jusqu’à 10 et qu’il la réalise verbalement sans erreur, à moins qu’il procède en distinguant les boîtes à compter c’est-à-dire en comptant deux fois 5 places de parking et donc deux fois 5 voitures.

Comme précédemment, il est possible que l’élève procède de manière approximative, sans compter, mais après le contrôle de l’équipotence par correspondance terme à terme, il ne pourrait pas corriger une erreur éventuelle sur la quantité transportée, car il n’a le droit qu’à un seul trajet. Il est donc plus probable qu’il utilise le dénombrement, malgré la probabilité accrue d’échec pour des quantités supérieures à 6. Rappelons ici encore que des progrès avaient été constatés en fin de première période sur un tel contexte.

### 3.3.1.3. Analyse du déroulement des tâches de type B

Durant la deuxième année, les tâches de type B ont été proposées par l’enseignante une première fois le 10 décembre 2013 et une dernière fois le 12 mai 2014, et cela avec des tâches situées dans les deux contextes des « Escargots, salades et tomates » et des « Petites voitures et places de parking ». Ci-dessous nous indiquons la répartition des séances selon les contextes proposés :
<table><caption>Tableau 32 : Dates et effectifs des tâches de type B proposées selon les contextes (2ème année)</caption><thead><tr><td>Contextes des tâches de type B (2ème année)</td><td>Nombre de séances analysées</td><td>Périodes</td></tr></thead><tbody><tr><td>« Escargots, salades et tomates »</td><td>20</td><td>Décembre 2013 à mai 2014</td></tr><tr><td>« Petites voitures et places de parking »</td><td>5</td><td>Avril 2014 à mai 2014</td></tr><tr><td>Ensemble des séances</td><td>25</td><td>Décembre 2013 à mai 2014</td></tr></tbody></table>

Comme indiqué au début de cette section 3.2, au total, 25 séances portant sur les tâches de type B ont été observées entre décembre 2013 et mai 2014 ; 20 dans le contexte des « Escargots, salades et tomates » et seulement 5 en avril et mai 2014 dans le contexte des « Petites voitures et places de parking ».

Comme pour l'analyse du déroulement des tâches proposées l'année précédente, nous avons procédé à deux études, la première portant sur les activités de l'élève Julien et la seconde portant sur celles de l'enseignante Élodie. L'étude des activités de Julien comprend une analyse quantitative et qualitative de ses réussites et de ses échecs, ainsi qu'une étude de la qualité de sa communication avec l'enseignante. Quant à cette dernière, l'étude de ses activités englobe une analyse de ses interactions avec Julien portant sur le savoir en jeu (cette analyse relève donc de la composante médiative de sa pratique), une analyse de la modalité relationnelle-affective établie avec l'élève et, pour finir, l'analyse de ses choix et adaptations didactiques (qui relèvent donc de la composante cognitive).

### 3.3.1.3.1. Analyse du déroulement : les activités de l'élève

Nous avons analysé l'ensemble des 25 séances filmées ce qui représente au total 80 minutes et 4 secondes de vidéo, soit en moyenne 3 minutes et 12 secondes par séance. Au total, cela représente 403 interactions entre l'élève et l'enseignante soit en moyenne près de 16 interactions par séance et 5 interactions par minute.

Comme nous l'avons mentionné précédemment l'analyse de la performance de Julien est fondée sur un bilan de ses réussites et de ses échecs, performances qui sont aussi fonction du type ou degré d'accompagnement apporté par l'enseignante. Ainsi, un accompagnement « modéré » témoigne d'une certaine autonomie de l'élève, alors qu'un accompagnement « fort » correspond à un degré important de dépendance de l'activité de Julien vis-à-vis de l'enseignante. Rappelons aussi que Julien n'est jamais réellement autonome dans la réalisation des tâches, ce qui explique que l'accompagnement de l'enseignante soit toujours
présent. Rappelons enfin que notre unité d'analyse est celle d'une interaction, et que pour chacune d'elle, nous avons réalisé, dans un premier temps, une étude quantitative des réussites et des échecs en tenant compte du degré d'accompagnement de l'enseignante et de l'objectif de l'interaction. Quatre objectifs ont été distingués : 1°) la compréhension de la tâche ; 2°) la détermination du cardinal de la première collection d'objets ; 3°) la constitution de la collection équipotente ; et 4°) la validation par correspondance terme à terme des deux collections.

Les résultats obtenus sont synthétisés dans le tableau suivant :

<table><caption>Tableau 33 : Réussites et échecs de Julien par sous-tâches et par degré d'accompagnement de l'enseignante pour les tâches de type B (2ème année)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Sous-tâches de type B (2ème année)</th><th colspan="6">Réussites</th><th colspan="6">Échecs</th><th colspan="2">Total des interactions</th></tr><tr><th>Acc. modéré</th><th>Acc. fort</th><th>Total</th><th>Acc. modéré</th><th>Acc. fort</th><th>Total</th><th>Acc. modéré</th><th>Acc. fort</th><th>Total</th><th>Total des interactions</th><th>Total des interactions</th></tr></thead><tbody><tr><td>Compréhension initiale de l'énoncé</td><td>1/44</td><td>2%</td><td>16/44</td><td>36%</td><td>17/44</td><td>39%</td><td>5/44</td><td>11%</td><td>22/44</td><td>50%</td><td>27/44</td><td>61%</td><td>44</td><td>11%</td></tr><tr><td>Reconnaissance du cardinal de la première collection</td><td>16/76</td><td>21%</td><td>24/76</td><td>32%</td><td>40/76</td><td>53%</td><td>16/76</td><td>21%</td><td>20/76</td><td>26%</td><td>36/76</td><td>47%</td><td>76</td><td>19%</td></tr><tr><td>Constitution de la collection équipotente à la première collection</td><td>37/145</td><td>26%</td><td>24/145</td><td>17%</td><td>61/145</td><td>43%</td><td>50/145</td><td>34%</td><td>34/145</td><td>23%</td><td>84/145</td><td>57%</td><td>145</td><td>36%</td></tr><tr><td>Validation de l'égalité des cardinaux par la correspondance terme à terme des deux collections</td><td>72/138</td><td>53%</td><td>24/138</td><td>17%</td><td>96/138</td><td>70%</td><td>29/138</td><td>21%</td><td>13/138</td><td>9%</td><td>42/138</td><td>30%</td><td>138</td><td>34%</td></tr><tr><td>Ensemble</td><td>126/403</td><td>31%</td><td>88/403</td><td>22%</td><td>214/403</td><td>53%</td><td>100/403</td><td>25%</td><td>89/403</td><td>22%</td><td>189/403</td><td>47%</td><td>403</td><td>100%</td></tr></tbody></table>

Développons, ligne par ligne, l'analyse de ces résultats.

### 3.3.1.3.1.1. Compréhension initiale de l'énoncé

Nous observons, comme pour la première année, peu d'interactions lors de l'explication de la consigne initiale. Nous relevons en effet 44 interactions entre l'enseignante et l'élève, alors que les autres objectifs impliquent un nombre d'interactions allant de 76 à 145. Comme déjà indiqué, la faiblesse de l'effectif s'explique par le fait que, de manière générale, Julien démarre rapidement l'activité, et cela sans nécessairement avoir compris toute la consigne. Élodie accepte cet état de fait tout en reformulant le cas échéant les consignes au cours de l'activité de l'élève. En ce qui concerne les réussites et les échecs de Julien, nous observons 61% d'échecs (soit 27 échecs pour 44 interactions) et 39% de réussites (soit 17 réussites pour
44 interactions), et ce malgré un « fort » accompagnement de l'enseignante dans 86% des interactions. Même si ces résultats reflètent les difficultés de Julien à comprendre la consigne, ils révèlent aussi sa volonté d'agir au-delà des difficultés rencontrées.

Ainsi, dans les tâches relatives au contexte des « Escargots, salades et tomates », nous avons constaté que Julien se lance souvent dans la réalisation de la tâche sans en avoir compris l'objectif, cela le conduit par exemple à se lever pour aller chercher des salades et des tomates avant même de savoir de combien il en a besoin. Dans le contexte des « Petites voitures et places de parking », nous avons observé, alors que l'enseignante donnait la consigne initiale, que Julien commençait à jouer avec le matériel ou qu'il répondait négativement à la question de l'enseignante « tu es prêt ? » par « non », « c'est très dur ! » ou encore « je ne veux pas ». Au cours de cette période en effet, la relation de l'élève avec l'enseignante s'est révélée être d'une proximité accrue, et Julien n'a pas eu peur de lui montrer ouvertement ses doutes, ses peurs et ses frustrations. Sans doute cette attitude de refus a-t-elle était liée au souvenir de l'année précédente pendant laquelle Julien avait réalisé que ce type de tâches était très difficile pour lui.

En résumé, nous avons retrouvé des réactions qui reflètent les difficultés de Julien à comprendre la tâche, même si les contextes peuvent apparaître sécurisants car déjà connus, difficultés auxquelles s'ajoute sans doute le souvenir des échecs passés. Julien semble alors agir sans réfléchir, peut-être parce que l'action apaise l'angoisse ressentie, peut-être parce que commencer à agir lui permet de montrer qu'il n'abandonne pas, qu'il décide de continuer malgré la difficulté, peut-être dans l'attente d'une aide d'Élodie qui a gagné sa confiance. Cette nouvelle posture vis-à-vis de la tâche à réaliser doit, nous semble-t-il, être considérée comme un progrès de l'élève quant à son engagement à la tâche.

Examinons maintenant la réalisation de la première sous tâche.

### 3.3.1.3.1.2. Reconnaissance du cardinal de la première collection

Nous observons une réussite de 53% dans la reconnaissance du cardinal de la première collection d'objets (soit 40 réussites pour 76 interactions). Elle était de 57% lors de la première période. Nous constatons ainsi une relative stabilité puisque la baisse n'est que de 4 points de pourcentage et que l'accompagnement n'a pas évolué : comme précédemment, 32%
des interactions sont des réussites avec accompagnement « fort » (soit 24 réussites sur 76 interactions), et 21% (soit 16 réussites sur 76 interactions) au lieu de 27% sont des réussites avec un accompagnement « modéré » de l'enseignante. Détaillons, selon les contextes, l'analyse de l'activité de l'élève correspondant à cette première étape de la réalisation de la tâche.

Dans le contexte des « Escargots, salades et tomates », la taille de la collection d'escargots varie entre 2 et 6 éléments, les escargots sont déplaçables et Julien utilise le dénombrement avec pointage un à un pour déterminer la quantité d'escargots qui a été disposée linéairement. L'observation des vidéos fait apparaître que les réussites de Julien les plus fréquentes se produisent précisément dans ce contexte particulier conjuguant à la fois une taille restreinte des collections proposées et une organisation linéaire des escargots. Dans le contexte des « Petites voitures et places de parking », nous observons, comme au cours de la période précédente, que Julien ne parvient pas à associer à chaque boîte le cardinal 5 ; Julien ne peut donc pas envisager une méthode reposant sur les multiples de 5. Aussi s'appuie-t-il sur une méthode qu'il connait mieux, à savoir le dénombrement avec pointage un à un des objets de la collection. Comme au cours de la période précédente, la nature des places de parking proposées (places fixes et rapprochées) ainsi que la taille proposée (10 éléments) ont rendu difficile la procédure de dénombrement avec pointage un a un. Toutefois, nous avons observé que la comptine numérique est de mieux en mieux maîtrisée, et, même si la synchronisation du geste et du comptage verbal reste toujours instable, nous avons noté une plus grande fluidité dans la réalisation de ces actions. En outre, à la différence de la première année, Élodie a souvent proposé une aide basée sur des consignes procédurales plutôt que sur un guidage complet. Cela peut témoigner des progrès de Julien qui a gagné en autonomie et en confiance dans la réalisation des tâches, même s'il commet encore des erreurs.

Au bilan, nous retenons que Julien reste en difficulté lorsque la taille des collections d'objets est supérieure à 6 ou lorsque les objets des collections à dénombrer sont fixes et rapprochés (comme c'est le cas pour les compartiments des boîtes à compter). Cette difficulté est typique des élèves présentant des troubles visuo-praxiques (Mazeau, 2010). Mais même si les difficultés perdurent, nous observons des progrès quant à l'acquisition de la comptine numérique qui tend à se stabiliser, et Julien parvient plus fréquemment à coordonner le geste et la comptine verbale pour des quantités supérieures à 6.
Abordons maintenant la constitution de la collection équipotente à celle de départ.

### 3.3.1.3.1.3. Constitution de la collection équipotente à la première collection

En ce qui concerne la constitution de la collection équipotente à la première collection, nous observons encore une certaine stabilité des performances de Julien : 43% de réussite (soit 61 succès sur 145 interactions) ce qui correspond à 4 points de pourcentage en baisse par rapport à l'année précédente. 26% des interactions conduisent à des réussites avec accompagnement modéré de l'enseignante et 17% avec un accompagnement fort. A l'inverse, 23% des interactions correspondent à des échecs malgré un accompagnement modéré et 34% malgré un accompagnement « fort ». Ces résultats témoignent des difficultés de Julien face à cette sous-tâche. Nous avons souvent observé que Julien oublie le cardinal de la première collection d'objets et constitue des collections avec des quantités inventées : problème de mémorisation de la quantité initiale. En ce qui concerne la constitution de la collection équipotente, nous retrouvons les mêmes difficultés que lors de la période précédente : Julien oublie de pointer un ou plusieurs éléments ou encore il compte plus d'une fois le même objet. Toutefois, comme précédemment, nous avons observé que le dénombrement est devenu plus fluide pour les quantités supérieures à 6, et l'observation des vidéos laisse apparaître que l'énonciation de la comptine verbale est plus distincte et que la synchronisation du pointage et du comptage est plus précise.

Dans la première situation du contexte des « Escargots, salades et tomates », Julien utilise une procédure que nous n'avions pas anticipé pour réaliser les deux collections de salades et de tomates : la correspondance terme à terme. Après avoir durant quelques séances constituées indistinctement une collection de salades et de tomates, Julien a pris l'initiative d'aller chercher la bande numérique (rappelons que la bande est un matériel toujours mis à disposition sur la première table). Julien utilise cette dernière afin de repérer la quantité exacte de tomates et de salades à prendre en compte pour parvenir aux résultats escomptés. Ainsi en fonction du nombre d'escargots, Julien prend le même nombre de tomates puis le même nombre de salades (ou l'inverse) et les dépose devant chaque nombre chiffré de la bande numérique en effectuant une correspondance terme à terme. Cette technique avait déjà été proposée par Élodie pour d'autres situations de dénombrement. Dans cette situation, elle soulage le travail puisqu'elle permet de constituer simultanément le même nombre de tomates
et de salades. Toutefois, comme nous l'avons déjà observé, Julien reste assez maladroit, il dépose souvent les salades et les tomates imparfaitement sur les bonnes cases provoquant ainsi des erreurs de quantité. Notons aussi que parfois, il prend indistinctement une image de salade ou de tomate. Malgré ces erreurs, qui ont toujours été corrigées au fur et à mesure par l'enseignante, Julien a continué à utiliser la bande numérique à chaque fois qu'il avait besoin de construire des collections de salades et de tomates. Élodie qui n'avait pas prévu que Julien utilise la bande numérique, adapte son expérience et le transfert de connaissance en fonction de cette nouvelle situation. L'enseignante a donc choisi de soutenir la démarche proposée par Julien, même si cela change ce qu'elle avait prévu. Dans la deuxième situation où il faut apporter à l'escargot Blanche les mêmes aliments que ceux de l'escargot Turbo, Julien utilise de nouveau la bande numérique. Remarquons cette fois en revanche, que c'est l'enseignante qui a mis cet outil à disposition sur la seconde table afin que Julien puisse s'en servir. Les erreurs de catégorisation (confusions entre salades et tomates) sont moins nombreuses que lors de la situation précédente. Enfin, indiquons que le matériel constitué des images des salades et des tomates a de nouveau posé des difficultés de manipulation à Julien, même si ce dernier en vient à vérifier ses actions et à se rendre compte par lui-même de ses erreurs tout en s'autocorrigeant.

Le contexte des « Petites voitures et places de parking » quant à lui, ne nous apprend rien de nouveau : Julien utilise toujours le dénombrement par déplacement un à un, et il rencontre quelques difficultés liées à la manipulation des petites voitures. Toutefois, nous avons pu observer une amélioration de la synchronisation du pointage et du comptage verbal, ainsi qu'une meilleure mémorisation de la suite numérique pour les quantités supérieures à 6.

Pour résumer, indiquons que nous avons observé des performances fluctuantes en fonction des contextes proposés. Ces performances révèlent des acquisitions plus solides quant au dénombrement d'une petite quantité, mais aussi des difficultés quant à la mémoire et l'attention. Comme au cours de l'année précédente, nous avons constaté que ce n'est pas l'élève qui transporte la mémoire de la quantité d'une table à l'autre, mais c'est toujours son enseignante qui lui rappelle le nombre de places ou d'escargots lorsqu'il arrive à la seconde table où se trouvent les collections de petites voitures, de salades et de tomates à constituer. Ces considérations relativisent le niveau de conceptualisation du nombre par Julien et questionne sur sa possibilité de construire pleinement le sens du nombre entier tant que ses problèmes de mémoires et d'attention perdurent. En ce qui concerne l'acquisition de certaines
procédures, nous avons constaté des difficultés persistantes de manipulation et de coordination du geste de pointage et de comptage verbal qui conduisent à des échecs plus fréquents pour les quantités supérieures à 6. Malgré tout, ces difficultés sont en baisse et il semble se confirmer que la comptine numérique jusqu'à 10 soit devenue plus stable par rapport à l'année précédente. En ce qui concerne l'engagement de Julien, nous avons pu l'observer prendre des initiatives et s'investir davantage dans la tâche malgré les difficultés rencontrées et la frustration qui en découle : il en est ainsi de l'utilisation de la bande numérique afin de constituer les collections équipotentes et du contrôle de son activité pour s'autocorriger. Julien exprime sa motivation à continuer et à ne pas abandonner, il est plus engagé dans la réalisation des tâches qu'au cours de l'année précédente, il manifeste un niveau d'autonomie plus important et un désir de bien faire face à l'enseignante.

Terminons maintenant avec la réalisation de la sous-tâche de validation par correspondance terme à terme.

3.3.1.3.1.4. Validation de l'égalité des cardinaux par la correspondance terme à terme des deux collections

Nous observons globalement que Julien a obtenu 70% de réussites (soit 96 réussites sur 138 interactions) dans la mise en correspondance terme à terme des deux collections, ce qui constitue en soi un pourcentage similaire à celui observé lors de la première année (il était de 68%, la différence n'est donc que de 2 points de pourcentage). Ces réussites ne s'obtiennent pas grâce à un guidage fort d'Élodie : 53% des interactions (soit 72 interactions sur 138) correspondent en effet à des réussites avec un accompagnement modéré de l'enseignante, contre 17% avec un accompagnement fort.

Dans le contexte des « Escargots, salades et tomates », les erreurs de constitution des collections équipotentes étaient plutôt liées à un manque de compréhension de l'objectif de la tâche : « déposer une salade et une tomate pour chaque escargot ». La mise en correspondance a permis d'aider Julien à progressivement mieux comprendre la consigne et à constater l'inadéquation des collections rapportées.

Dans le contexte des « Petites voitures et places de parking », nous avons observé une meilleure performance de Julien quant à la mise en correspondance terme à terme d'une voiture et d'une place de parking, avec une synchronisation du geste et de la comptine
numérique correctement réalisée jusqu'à 10, sauf dans quelques cas où des erreurs dans la suite numérique verbale ont été corrigées par l'élève lui-même avec l'aide de l'enseignante. Ces éléments font ainsi apparaître ici une amélioration de la procédure par rapport à l'année précédente.

Ce qui ressort finalement de l'analyse de l'activité de Julien quant à la validation par mise en correspondance terme à terme des deux collections et qui confirme ce que nous venons juste de mentionner précédemment pointe vers une amélioration de la réussite de l'élève en comparaison à l'année précédente. En ce qui concerne la cardinalisation de la collection, on ne peut toutefois pas être certain qu'elle soit bien acquise par Julien qui ne répète jamais le dernier mot nombre et ne parle jamais de la collection dans son ensemble.

Ces analyses nous conduisent maintenant à changer de point de vue, avec un regard non plus par sous-tâches, mais cette fois-ci par contextes.

### 3.3.1.3.2. Une analyse globale selon les contextes

Nous avons ci-dessous analysé les interactions de Julien, à savoir leur réussite ou échec en en fonction du contexte et du degré d'accompagnement (modéré ou fort) de l'enseignante. Les résultats obtenus sont reportés dans le tableau suivant.

<table><caption>Tableau 34 : Réussites et échecs de Julien par contexte proposé et par degré d'accompagnement de l'enseignante pour les tâches de type B (2ème année)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Contextes des tâches de type B (2ème année)</th><th colspan="6">Réussites</th><th colspan="4">Échecs</th><th colspan="2">Total des interactions</th></tr><tr><th>Acc. modéré</th><th>Acc. fort</th><th>Total</th><th>Acc. modéré</th><th>Acc. fort</th><th>Total</th><th>Acc. modéré</th><th>Acc. fort</th><th>Total</th><th></th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>« Escargots, salades et tomates »</td><td>101</td><td>31%</td><td>71</td><td>22%</td><td>172</td><td>53%</td><td>82</td><td>25%</td><td>70</td><td>22%</td><td>152</td><td>47%</td><td>324</td><td>80%</td></tr><tr><td>« Petites voitures et places de parking »</td><td>25</td><td>32%</td><td>17</td><td>22%</td><td>42</td><td>53%</td><td>18</td><td>23%</td><td>19</td><td>24%</td><td>37</td><td>47%</td><td>79</td><td>20%</td></tr><tr><td>Ensemble</td><td>126</td><td>31%</td><td>88</td><td>22%</td><td>214</td><td>53%</td><td>100</td><td>25%</td><td>89</td><td>22%</td><td>189</td><td>47%</td><td>403</td><td>100%</td></tr></tbody></table>

Nous constatons une performance et un accompagnement qui ne varient que très peu d'un contexte à l'autre. Pour la performance de Julien, nous observons 53% de réussite (soit 172 interactions sur 324) dans le contexte des « Escargots salades et tomates ». Il en va de même avec le contexte des « Petites voitures et places de parking » avec un taux de réussite de 53% (soit 42 interactions sur 79).
En ce qui concerne l'accompagnement de l'enseignante, il est modéré dans 56% des interactions (soit 183 interactions sur 324) dans le contexte des « Escargots salades et tomates » et dans 55% des interactions (soit 43 interactions sur 79) dans le contexte des « Petites voitures et places de parking ». Cela traduit un accompagnement analogue dans les deux contextes proposés au cours de cette période. La stabilité de ces résultats, à savoir la réussite de l'élève et l'accompagnement de l'enseignante indépendamment du contexte, nous conduit à faire l'hypothèse suivante d'une forme de dépendance entre les deux : plus l'élève est en difficulté, plus l'enseignante est encline à apporter un accompagnement fort, et à l'inverse, plus l'élève est en réussite, plus l'enseignante peut considérer comme suffisant d'apporter un accompagnement modéré. Ainsi, c'est en fonction de la réussite ou de l'échec de l'élève que l'enseignante calibre la force de son accompagnement, de manière à lui laisser suffisamment d'autonomie, mais aussi à garantir qu'il ne se retrouve pas trop souvent en situation d'échec. Autrement dit, c'est l'activité de Julien qui conduit son enseignante à ajuster son accompagnement, et cela dans le cadre d'un pilotage global assuré par l'enseignante.

Étudions maintenant l'évolution de la qualité de la communication de l'élève avec son enseignante.

3.3.1.3.3. Qualité de la communication de Julien avec son enseignante

Comme nous l'avons fait pour l'année précédente, nous allons examiner les réactions de Julien en fonction des contextes proposés. Rappelons que Julien présente d'importants troubles du langage qui rendent difficile le fait qu'il puisse s'exprimer verbalement, la plupart du temps, il interagit à travers des gestes, grognements ou mimiques.

Le tableau ci-dessous résume les réactions de l'élève au cours des 403 interactions avec son enseignante.