# Système d'inégalités aux différences finies du type elliptique

par MARIAN MALEC (Cracovie)

**Résumé.** Dans la note on considère un système d'inégalités aux différences finies du type elliptique

$$ 
\begin{gathered}
\sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}^{M} r_{l}^{Mij} + \sum_{j=1}^{n} b_{ij}^{M} r_{l}^{Mj} + \sum_{\mu=1}^{p} c_{l\mu}^{M} r_{\mu}^{M} \geq -\epsilon_{1l}(h), \\
\sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}^{M} r_{l}^{Mij} + \sum_{i=1}^{n} b_{ij}^{M} r_{l}^{Mj} + \sum_{\mu=1}^{p} c_{l\mu}^{M} r_{\mu}^{M} \leq \epsilon_{2l}(h)
\end{gathered}
\quad (l = 1, \dots, p)
$$

où $r_l^{Mj}$ et $r_l^{Mij}$ désignent les quotients aux différences finies pour les dérivées partielles $\partial r_l/\partial x_i$ et $\partial^2 r_l/\partial x_i \partial x_j$ respectivement, au point nodal $M$.

On prouve que si les inégalités mentionnées sont satisfaites, on peut estimer supérieurement la valeur maximale de $r_l^M$ et inférieurement la valeur minimale de $r_l^M$.

1. Dans la présente note on considère un système d'inégalités aux différences finies du type elliptique

$$ 
\begin{gathered}
\sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}^{M} r_{l}^{Mij} + \sum_{j=1}^{n} b_{ij}^{M} r_{l}^{Mj} + \sum_{\mu=1}^{p} c_{l\mu}^{M} r_{\mu}^{M} \geq -\epsilon_{1l}(h), \\
\sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}^{M} r_{l}^{Mij} + \sum_{j=1}^{n} b_{ij}^{M} r_{l}^{Mj} + \sum_{\mu=1}^{p} c_{l\mu}^{M} r_{\mu}^{M} \leq \epsilon_{2l}(h)
\end{gathered}
\quad (l = 1, \dots, p),
$$

où $r_l^{Mj}$ et $r_l^{Mij}$ ($l = 1, \dots, p$, $i = 1, \dots, n$, $j = 1, \dots, n$) désignent les quotients aux différences finies pour les dérivées partielles $\partial r_l/\partial x_i$ et $\partial^2 r_l/\partial x_i \partial x_j$ respectivement, au point nodal $M$.

On prouve que si les inégalités (1.1) sont satisfaites, on peut estimer supérieurement la valeur maximale de $r_l^M$ et inférieurement la valeur minimale de $r_l^M$ (théorèmes 1 et 2).

Il est à noter que les inégalités aux différences finies du type elliptique ont été déjà analysées dans [1], où on a examiné les inégalités (1.1), mais seulement dans le cas particulier où $p = 1$.
Dans ce travail nous supposons que, chaque indice *l* étant fixé, la
matrice $[a_{ij}^M]$ à une diagonale dominante (voir (3.2)).

Cette hypothèse est plus forte que celle qui demande que la matrice
$[a_{ij}^M]$ soit positive (voir [3], p. 106). Donc les inégalités (1.1) ne comprennent
pas toutes les inégalités elliptiques possibles.

Le résultat de notre étude peut être utilisé dans la démonstration
de la convergence, de même que dans l'estimation de l'erreur de la mé-
thode des différences finies pour un système d'équations non linéaires
partielles elliptiques (voir [2]).

2. Supposons que $N$ est un nombre naturel et $m_1, \dots, m_n$ sont des nombres entiers et soit

$$
\begin{align*}
M &= (m_1, \dots, m_n), \\
Z &= \{M: 0 \le m_i \le N, i = 1, \dots, n\}, \\
Z_1 &= \{M: 1 \le m_i \le N, i = 1, \dots, n\}, \\
Z_2 &= \{M: 0 \le m_i \le N-1, i = 1, \dots, n\}.
\end{align*}
$$

Introduisons les notations suivantes :

$$
\begin{equation} \tag{2.2}
\begin{aligned}
-i(M) &= (m_1, \dots, m_{i-1}, m_i-1, m_{i+1}, \dots, m_n) && (M \in Z_1), \\
i(M) &= (m_1, \dots, m_{i-1}, m_i+1, m_{i+1}, \dots, m_n) && (M \in Z_2)
\end{aligned}
\end{equation}
\[
(i = 1, \dots, n).
\]
$$

On suppose qu’à chaque multi-indice $M \in Z$ correspond un système
de nombres réels

$$
(2.3) \qquad r^M = (r_1^M, \dots, r_p^M)
$$

et on admet que

$$
r_i^{Mi} = \frac{1}{2h} (r_i^{i(M)} - r_i^{-i(M)}),
$$

$$
(2.4) \quad r_l^{+Mij} = \frac{1}{2h^2} \left( -r_l^{i(M)} - r_l^{j(M)} - r_l^{-i(M)} - r_l^{-j(M)} + 2r_l^M + r_l^{i(j(M))} + r_l^{-i(-j(M))} \right),
$$

$$
r_l^{-Mij} = \frac{1}{2h^2} (r_l^{i(M)} + r_l^{j(M)} + r_l^{-i(M)} + r_l^{-j(M)} - 2r_l^M - r_l^{i(-j(M))} - r_l^{-i(j(M))})
$$

$$
(i = 1, \dots, n, j = 1, \dots, n, l = 1, \dots, p, M \in \mathbb{Z}_1 \cap \mathbb{Z}_2)
$$

où $h$ est un nombre positif.

3. Dans tout ce travail nous admettrons que les hypothèses suivantes sont satisfaites:
1) la valeur maximale et minimale de $r_l^M$ sur l'ensemble Z est atteinte dans l'ensemble $Z_1 \cap Z_2$, c'est-à-dire

$$
\begin{equation} \tag{3.1}
\begin{aligned}
\max_{M \in Z} & r_l^M = r_l^{A^{(l)}} && (A(l) \in Z_1 \cap Z_2), \\
\min_{M \in Z} & r_l^M = r_l^{B^{(l)}} && (B(l) \in Z_1 \cap Z_2) \quad (l = 1, \dots, p);
\end{aligned}
\end{equation}
$$

2) les nombres $c_l^{A^{(l)}}$, $c_l^{B^{(l)}}$, $b_{ij}^{A^{(l)}}$, $b_{ij}^{B^{(l)}}$, $a_{ij}^{A^{(l)}}$, $a_{ij}^{B^{(l)}}$, $L, K, \Gamma$ et $g$ sont
donnés et tels que

$$
\begin{equation} \tag{3.2}
\begin{aligned}
c_{ii}^{A^{(l)}} \le L < 0, \quad 0 \le c_{i\mu}^{A^{(l)}} \le K (\mu \ne 1), \quad c_{ii}^{B^{(l)}} \le L, \quad 0 \le c_{i\mu}^{B^{(l)}} \le K (\mu \ne 1), \\
|b_{ij}^{A^{(l)}}| \le \Gamma, \quad |b_{ij}^{B^{(l)}}| \le \Gamma,
\end{aligned}
\end{equation}
$$
$$
0 < g \le a_{ii}^{A^{(l)}} - \sum_{\substack{j=1 \\ j \ne i}}^{n} |a_{ij}^{A^{(l)}}|, \quad g \le a_{ii}^{B^{(l)}} - \sum_{\substack{j=1 \\ j \ne i}}^{n} |a_{ij}^{B^{(l)}}| \quad (l=1, \dots, p, \mu=1, \dots, p, j=1, \dots, n, i=1, \dots, n)
$$

et

$$
(3.3) \qquad \frac{g}{h} - \frac{\Gamma}{2} \ge 0, \quad L + K(p-1) < 0;
$$

3) les égalités suivantes sont satisfaites

$$
(3.4) \quad a_{ij}^{A^{(l)}} = a_{ij}^{A^{(l)}}, \quad a_{ij}^{B^{(l)}} = a_{ij}^{B^{(l)}} \quad (l = 1, \dots, p, \ i = 1, \dots, n, \ j = 1, \dots, n).
$$

4. THÉORÈME 1. Supposons que les hypothèses de 3 sont satisfaites et que

$$
(4.1) \quad \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}^{A^{(l)}} r_i^{A^{(l)}ij} + \sum_{j=1}^{n} b_{ij}^{A^{(l)}} r_i^{A^{(l)}j} + \sum_{\mu=1}^{p} c_{i\mu}^{A^{(l)}} r_{\mu}^{A^{(l)}} \ge -\epsilon_{11}(h) \quad (l=1, \dots, p)
$$

où $\epsilon_{11}(h)$ ($l=1, \dots, p$) sont des nombres non négatifs et

$$
(4.2) \quad r_l^{A^{(l)ij}} = \begin{cases} r_l^{-A^{(l)ij}} & \text{lorsque } a_{ij}^{A^{(l)}} \le 0 \text{ ou } i=j, \\ r_l^{+A^{(l)ij}} & \text{lorsque } a_{ij}^{A^{(l)}} \ge 0 \text{ et } i \ne j \end{cases}
$$

(voir (2.4)).

Dans toutes ces hypothèses,

$$
(4.3) \quad r_k^{A^{(k)}} \le - \frac{\epsilon_1(h)}{L + K(p-1)} \quad \text{où} \quad r_k^{A^{(k)}} = \max_{1 \le l \le p} r_l^{A^{(l)}} \quad \text{et} \quad \epsilon_1(h) = \max_{1 \le l \le p} \epsilon_{11}(h).
$$

Démonstration. Nous raisonnerons par l'absurde. Admettons
que l'inégalité (4.3) ne soit pas vérifiée, c'est-à-dire

$$
(4.4) \qquad r_k^{A^{(k)}} > - \frac{\epsilon_1(h)}{L + K(p-1)}.
$$
En utilisant la définition (4.2) et en tenant compte de (3.4), nous obtenons

$$
\begin{equation} \tag{4.5}
\begin{aligned}
& \sum_{i,j=1}^{n} a_{kij}^{A(k)} \cdot r_k^{A(k)ij} + \sum_{j=1}^{n} b_{kj}^{A(k)} \cdot r_k^{A(k)j} + \sum_{\mu=1}^{p} c_{k\mu}^{A(k)} \cdot r_{\mu}^{A(k)} \\
& = \frac{1}{\hbar} \sum_{i=1}^{n} \left[ \frac{1}{\hbar} \left( a_{kii}^{A(k)} - \sum_{j \neq i}^{n} |a_{kij}^{A(k)}| \right) + \frac{1}{2} b_{ki}^{A(k)} \right] (r_k^{i(A(k))} - r_k^{A(k)}) + \\
& \qquad + \frac{1}{\hbar} \sum_{i=1}^{n} \left[ \frac{1}{\hbar} \left( a_{kii}^{A(k)} - \sum_{j \neq i}^{n} |a_{kij}^{A(k)}| \right) - \frac{1}{2} b_{ki}^{A(k)} \right] (r_k^{-i(A(k))} - r_k^{A(k)}) + \\
& \qquad + \frac{1}{2\hbar^2} \sum_{\substack{i,j=1 \\ i \neq j}}^{n} |a_{kij}^{A(k)}| \left[ (r_k^{i(s(k;i,j)f(A(k)))} - r_k^{A(k)}) + \right. \\
& \qquad \qquad \left. + (r_k^{-i(-s(k;i,j)f(A(k)))} - r_k^{A(k)}) \right] + \sum_{\mu=1}^{p} c_{k\mu}^{A(k)} \cdot r_{\mu}^{A(k)}
\end{aligned}
\end{equation}
$$

où

$$
(4.6) \qquad s(k; i, j) = \begin{cases} +1 & \text{pour } a_{kij}^{A(k)} \ge 0, \\ -1 & \text{pour } a_{kij}^{A(k)} \le 0. \end{cases}
$$

Il résulte des hypothèses (3.2) et (3.3) que

$$
\begin{equation} \tag{4.7}
\begin{aligned}
& \frac{1}{\hbar} \left( a_{kii}^{A(k)} - \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^{n} |a_{kij}^{A(k)}| \right) + \frac{1}{2} b_{ki}^{A(k)} \ge \frac{g}{\hbar} - \frac{\Gamma}{2} \ge 0, \\
& \frac{1}{\hbar} \left( a_{kii}^{A(k)} - \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^{n} |a_{kij}^{A(k)}| \right) - \frac{1}{2} b_{ki}^{A(k)} \ge \frac{g}{\hbar} - \frac{\Gamma}{2} \ge 0
\end{aligned}
\end{equation}
$$

$(i = 1, \dots, n)$

tandis qu’à partir de (3.1) on a

$$
\begin{align*}
& r_k^{i(A(k))} - r_k^{A(k)} \le 0, && r_k^{-i(A(k))} - r_k^{A(k)} \le 0, \\
(4.8) \qquad & r_k^{i(s(k;i,j)f(A(k))} - r_k^{A(k)} \le 0, && r_k^{-i(-s(k;i,j)f(A(k))} - r_k^{A(k)} \le 0
\end{align*}
$$

$(i = 1, \dots, n, j = 1, \dots, n).$
Remarquons aussi que

$$
\begin{align*}
(4.9) \quad \sum_{\mu=1}^{p} c_{k\mu}^{A(k)} r_{\mu}^{A(k)} &= c_{kk}^{A(k)} r_{k}^{A(k)} + \sum_{\substack{\mu=1 \\ \mu \neq k}}^{p} c_{k\mu}^{A(k)} r_{\mu}^{A(k)} \\
&\le c_{kk}^{A(k)} r_{k}^{A(k)} + \sum_{\substack{\mu=1 \\ \mu \neq k}}^{p} c_{k\mu}^{A(k)} r_{\mu}^{A(k)} \le c_{kk}^{A(k)} r_{k}^{A(k)} + \sum_{\substack{\mu=1 \\ \mu \neq k}}^{p} c_{k\mu}^{A(k)} r_{k}^{A(k)} \\
&\le c_{kk}^{A(k)} r_{k}^{A(k)} + K(p-1) r_{k}^{A(k)} \le L r_{k}^{A(k)} + K(p-1) r_{k}^{A(k)} \\
&= [L+K(p-1)] r_{k}^{A(k)} < -\epsilon_{1}(h) \le -\epsilon_{1k}(h)
\end{align*}
$$

(voir (4.4)).

Des formules (4.5)-(4.9) nous obtenons

$$
(4.10) \quad \sum_{i,j=1}^{n} a_{kij}^{A(k)} r_{k}^{A(k)ij} + \sum_{j=1}^{n} b_{kj}^{A(k)} r_{k}^{A(k)j} + \sum_{\mu=1}^{p} c_{k\mu}^{A(k)} r_{\mu}^{A(k)} < -\epsilon_{1k}(h)
$$

ce qui est contraire à l'hypothèse (4.1).

La démonstration du théorème 1 est ainsi achevée.

5. THÉORÈME 2. Si les conditions de 3 sont satisfaites et

$$
(5.1) \quad \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}^{A(l)} r_{i}^{B(l)ij} + \sum_{j=1}^{n} b_{lj}^{A(k)} r_{l}^{B(l)j} + \sum_{\mu=1}^{p} c_{l\mu}^{B(l)} r_{\mu}^{B(l)} \le \epsilon_{2l}(h) \quad (l = 1, \dots, p)
$$

où $\epsilon_{2l}(h)$ ($l = 1, \dots, p$) sont des nombres non négatifs, tandis que $r_l^{B(l)ij}$ est défini d'une façon analogue à $r_i^{A(l)ij}$ (voir (4.2)), alors

$$
(5.2) \quad r_k^{B(k)} \ge \frac{\epsilon_2(h)}{L + K(p-1)} \quad \text{où } r_k^{B(k)} = \min_{1 \le l \le p} r_l^{B(l)} \quad \text{et} \quad \epsilon_2(h) = \max_{1 \le l \le p} \epsilon_{2l}(h).
$$

La démonstration du théorème 2 étant pareille à celle du théorème 1,
il est inutile de la présenter.

Trawaux cités

[1] M. Malec, *Inégalités aux différences finies du type elliptique*, Bull. Acad. Polon. Sci., Sér. Sci. Math., Astronom. Phys. 13 (1975), p. 859-863.

[2] – *Schéma des différences finies pour un système d'équations non linéaires partielles elliptiques aux dérivées mixtes et avec des conditions aux limites du type de Dirichlet, ce fascicule, p. 241-246.*

[3] A. Mostowski et M. Stark, *Elementy algebry wyższej*, PWN, 1958.

Reçu par la Rédaction le 9. 4. 1974