ANNALES MATHÉMATIQUES BLAISE PASCAL

FRANÇOIS GEOFFRIAU

Sur le centre de l'algèbre enveloppante d'une
algèbre de Takiff

*Annales mathématiques Blaise Pascal, tome 1, n° 2 (1994), p. 15-31*

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# Sur le centre de l'algèbre enveloppante d'une algèbre de Takiff

FRANÇOIS GEOFFRIAU

**RÉSUMÉ** - L'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie semi-simple est un module libre sur son centre. Le but de cet article est de démontrer, par la méthode de Kostant ([5]), un résultat analogue pour les algèbres de Takiff associées à une algèbre de Lie semi-simple.

## On the center of the enveloping algebra of a Takiff algebra

**ABSTRACT** - The enveloping algebra of a semisimple Lie algebra is a free module over its center. We prove (with the Kostant method [5]) a similar result for the Takiff algebra associated to a semisimple Lie algebra.

### 1. INTRODUCTION

1.1. – Dans cet article, $k$ est un corps commutatif, algébriquement clos et de caractéristique nulle. Tous les espaces vectoriels et algèbres considérés sont définis sur $k$, et les algèbres de Lie sont, sauf mention du contraire, de dimension finie. Nous renvoyons à [4] pour les concepts généraux utilisés.

1.2. – Soit $g$ une algèbre de Lie semi-simple de rang $\ell$. Notons $\tilde{g}$ l'algèbre de Takiff associée à $g$; c'est le produit semi-direct de $g$ par son espace vectoriel sous-jacent (considéré comme algèbre de Lie abélienne), relativement à la représentation adjointe. Comme espace vectoriel, $\tilde{g}$ s'identifie à $g \times g$ et les crochets sont donnés par

$$ [(x_0, x_1), (y_0, y_1)] = ([x_0, y_0], [x_1, y_1] + [y_0, x_1]) $$

pour tous $(x_0, x_1), (y_0, y_1) \in \tilde{g}$.

Nous considérerons $g$ comme une sous-algèbre de $\tilde{g}$ par l'injection qui à $x \in g$ associe $(x, 0) \in \tilde{g}$.
1.3. – L'algèbre de Lie $\tilde{g}$ n'étant pas semi-simple, sa forme de Killing est dégénérée, mais il existe une forme bilinaire $\mathcal{B}$ non dégénérée et invariante sous l'action de $\tilde{g}$ définie par

$$ \mathcal{B}((x_0, x_1), (y_0, y_1)) = \mathcal{K}(x_0, y_1) + \mathcal{K}(x_1, y_0) $$

où $\mathcal{K}$ est la forme de Killing de $g$. Ceci permet d'identifier $\tilde{g}$ et $\tilde{g}^*$ en tant que $\tilde{g}$-modules.

1.4. – Soit $N$ l'ensemble des éléments nilpotents de $g$. Soit $P$ et $\tilde{P}$ les ensembles des éléments réguliers de $g$ et de $\tilde{g}$ respectivement (un élément d'une algèbre de Lie est dit régulier si son centralisateur est de dimension minimale).

D'après [6] 3.8, un élément $(x_0, x_1)$ de $\tilde{g}$ est régulier si et seulement si $x_0$ est un élément régulier de $g$.

1.5. – Soit $J$ l'ensemble des fonctions polynomiales de $S(\tilde{g}^*)$ invariantes sur $\tilde{g}$ et $J_+$ l'ensemble des éléments de $J$ sans terme constant. Notons $\tilde{V}$, l'ensemble des zéros de l'idéal $J_+S(\tilde{g}^*)$ de $S(\tilde{g}^*)$.

Soit $p_1, \dots, p_\ell$ des générateurs homogènes et algébriquement indépendants de l'algèbre des polynômes $g$-invariants de $S(g^*)$ ([4] 7.3.5 et 11.1.4).

Pour tout entier $i$ tel que $1 \le i \le \ell$, définissons les fonctions polynomiales $P_i, Q_i$ sur $\tilde{g}$ par : pour tout $x = (x_0, x_1) \in \tilde{g}$

$$ P_i(x_0, x_1) = p_i(x_0), $$

$$ Q_i(x_0, x_1) = dp_i(x_0) \cdot x_1. $$

D'après [6] 4.5(ii), la famille de polynômes $(P_i, Q_i)_{1 \le i \le \ell}$ est un système de générateurs homogènes et algébriquement indépendants de $J$. L'ensemble $\tilde{V}$ est alors l'ensemble des zéros de la famille de polynômes $(P_i, Q_i)_{1 \le i \le \ell}$,

$$ \tilde{V} = \{(x_0, x_1) \in \tilde{g} \mid p_i(x_0) = 0, dp_i(x_0) \cdot x_1 = 0, i = 1, \dots, \ell\}. $$

L'isomorphisme de $\tilde{g}$-modules entre $\tilde{g}$ et $\tilde{g}^*$ permet, par prolongement, d'identifier $S(\tilde{g})$ et $S(\tilde{g}^*)$ en tant que $\tilde{g}$-modules. Par conséquent $Y(\tilde{g})$, l'ensemble des éléments $\tilde{g}$-invariants de $S(\tilde{g})$, s'identifiant à $J$, est lui aussi un anneau de polynômes ainsi que, par symétrisation, $Z(\tilde{g})$ le centre de $U(\tilde{g})$.

1.6. – Soit $\tilde{G}$ le groupe adjoint algébrique de $\tilde{g}$. C'est le groupe engendré par les automorphismes élémentaires de $\tilde{g}$, ([2] proposition 1 p159, théorème 14 p175 et corollaire 3 p123) puisque l'algèbre de Lie $\tilde{g}$ est engendrée par ses éléments nilpotents (en effet, $g$ étant semi-simple, est engendrée par ses éléments nilpotents et tous les éléments de $(0, g)$ sont nilpotents).

Soit $G$ le groupe adjoint algébrique de $g$, il s'identifie à un sous-groupe de $\tilde{G}$ et ce dernier est engendré par $G$ et les exponentielles des éléments de $\text{ad}(0, g)$.

1.7. – Pour $x \in g$, le rang de la famille $(dp_1(x), \dots, dp_\ell(x))$ sera noté $\text{rg } d\pi_x$.
## 2. IRRÉDUCTIBILITÉ DE LA VARIÉTÉ $\tilde{V}$

### 2.1. LEMME – L'ensemble $\tilde{V} \cap \tilde{P}$ est un ouvert non vide de $\tilde{V}$ et il se compose d'une seule $\tilde{G}$-orbite.

**DÉMONSTRATION** – D'après [4] 1.11.5, $\tilde{P}$ est une partie ouverte de $\tilde{g}$ et donc $\tilde{V} \cap \tilde{P}$ est une partie ouverte de $\tilde{V}$. Il est clair que les ensembles $\tilde{V}$ et $\tilde{P}$ sont stables sous l'action de $\tilde{G}$.

D'après [4] 8.1.3(i), les zéros de la famille $p_1, \dots, p_\ell$ sont les éléments nilpotents de $g$ et pour tout $x \in g$, $Q_i(x, 0) = dp_i(x) \cdot 0 = 0$, $i = 1 \dots \ell$, ainsi $\tilde{V} \cap g = N$.

Comme $(x_0, x_1)$ est régulier dans $\tilde{g}$ si et seulement si $x_0$ est régulier dans $g$, $\tilde{V} \cap \tilde{P} \cap g = N \cap P$. L'ensemble $N \cap P$ est non vide d'après [4] 8.1.1(i) et donc $\tilde{V} \cap \tilde{P}$ est non vide.

Soit $(z_0, z_1) \in \tilde{V} \cap \tilde{P}$, $z_0$ est un élément nilpotent régulier de $g$. Alors pour tout $y \in g$, $e^{ad(0,y)}(z_0, z_1) = (z_0, z_1 + [y, z_0])$. Cet élément appartient à $\tilde{V}$, d'où

$$dp_i(z_0) \cdot (z_1 + [y, z_0]) = Q_i(z_0, z_1 + [y, z_0]) = 0.$$

Il en résulte que $z_1 + [g, z_0]$ est inclus dans $\bigcap_{i=1,...,\ell} \ker dp_i(z_0)$. Or $z_0$ étant régulier, ces deux ensembles sont des sous-espaces affines de $g$ de dimension $n - \ell$. Ils sont donc égaux, et il existe $y \in g$ tel que

$$z_1 + [y, z_0] = 0, \\ e^{ad(0,y)}(z_0, z_1) = (z_0, 0).$$

Ainsi $(z_0, z_1)$ et $z_0$ appartiennent à la même orbite.

D'après [4] 8.1.3(iv), l'ensemble $N \cap P$ est constitué d'une seule orbite sous l'action de $G$. Ainsi $\tilde{V} \cap \tilde{P}$ est constitué d'une seule $\tilde{G}$-orbite.

### 2.2. LEMME – Soit $X$ la variété des zéros communs d'une famille de $r$ polynômes sur $\mathbb{k}^n$. Si $X$ est la réunion d'une famille de fermés irréductibles $(F_i)_{1 \le i \le n}$ telle que

$$\dim F_i < \dim F_1 = n - r \quad \forall i = 2, \dots, n$$

alors $X$ est une variété irréductible.

**DÉMONSTRATION** – Soit $Y$ une composante irréductible de $X$, alors

$$Y = Y \cap X = Y \cap \bigcup F_i = \bigcup Y \cap F_i$$

Pour chaque $i$, $Y \cap F_i$ est une partie fermée de $Y$, donc $Y$ étant irréductible, toutes les parties $Y \cap F_i$ sont vides sauf une. Ainsi, il existe un entier $i$ tel que $Y \subseteq F_i$. Or, la variété $X$ étant définie par une famille de $r$ polynômes, ses composantes irréductibles ont une dimension supérieure ou égale à $n - r$ ([8] corollaire 5 p57). Donc d'après [3] proposition 2 p91, $n - r \le \dim Y \le \dim F_i$, et $i = 1$. Par conséquent $X$, réunion de ses composantes irréductibles, est égal à $F_1$ qui est irréductible.
2.3. – Nous avons montré (lemme 2.1) que la sous-variété $\tilde{V} \cap \tilde{P}$ est un ouvert non vide de $\tilde{V}$ composé d'une seule $\tilde{G}$-orbite. Donc $\tilde{V} \cap \tilde{P}$ est irréductible de dimension

$$ \dim \tilde{G} \cdot x = \dim \tilde{g} - \dim \tilde{g}^x = \dim \tilde{g} - \chi(\tilde{g}) = 2(\dim g - l) $$

où $x \in \tilde{g}$ est nilpotent régulier et où $\chi(\tilde{g}) = 2l$ est l'indice de $\tilde{g}$ ([6] 2.8).

2.4. **THÉORÈME** – Pour toute algèbre de Lie semi-simple $g$, la variété $\tilde{V}$ est irréductible.

**DÉMONSTRATION** – Supposons que l'algèbre de Lie $g$ soit produit de deux algèbres de Lie semi-simples $g^{(1)}$ et $g^{(2)}$. Alors les algèbres $S(g^{(1)*})$ et $S(g^{(2)*})$ s'injectent naturellement dans $S(g^*)$. Si $(p_1^{(1)}, \dots, p_{\ell(1)}^{(1)})$ (resp. $(p_1^{(2)}, \dots, p_{\ell(2)}^{(2)})$) est une famille de générateurs homogènes et algébriquement indépendants de l'algèbre des polynômes $g^{(1)}$-invariants (resp. $g^{(2)}$-invariants) de $S(g^{(1)*})$ (resp. $S(g^{(2)*})$) alors la famille de polynômes $(p_1^{(1)}, \dots, p_{\ell(1)}^{(1)}, p_1^{(2)}, \dots, p_{\ell(2)}^{(2)})$ est une famille de générateurs homogènes et algébriquement indépendants de l'algèbre des polynômes $g$-invariants de $S(g^*)$

La variété $\tilde{V}$ est donc le produit des variétés $\tilde{V}^{(1)}$ et $\tilde{V}^{(2)}$. Si ces deux dernières variétés sont irréductibles, alors $\tilde{V}$ l'est aussi ([3] corollaire de la proposition 7 p52). Par conséquent, nous pouvons supposer que $g$ est une algèbre de Lie simple.

Soit $\eta: \tilde{V} \to g$ la projection de $\tilde{V}$ sur $g$ qui à $(x_0, x_1)$ associe $x_0$, l'image de $\eta$ est l'ensemble $N$ des éléments nilpotents de $g$.

Soit $x \in N$. L'idéal des polynômes s'annulant sur la variété $N$ étant engendré par $p_1, \dots, p_\ell$, l'espace tangent de Zariski de $N$ en $x$, $T_x(N)$, est l'intersection des noyaux de $dp_1(x), \dots, dp_\ell(x)$. Ainsi, la fibre $\eta^{-1}(x)$ est égale à $(x, T_x(N))$, et sa dimension est $\dim g - \text{rg } d\pi_x$.

Les fonctions polynomiales $p_1, \dots, p_\ell$ étant $g$-invariantes, pour tout $\alpha \in G$, $T_{\alpha(x)}(N) = \alpha(T_x(N))$. Ainsi, la variété $\eta^{-1}(G \cdot x)$ est irréductible, car image de la variété irréductible $G \times T_x(N)$ par le morphisme surjectif $(\alpha, y) \mapsto (\alpha(x), \alpha(y))$ ([3] T4 p186). Et, comme le morphisme de $\eta^{-1}(G \cdot x)$ sur $G \cdot x$ déduit de $\eta$ est un morphisme équivariant d'espaces homogènes pour $G$, donc d'après [9] théorème 4.3.3, on a

$$ \dim \eta^{-1}(x) = \dim \eta^{-1}(G \cdot x) - \dim G \cdot x, \\ \dim \eta^{-1}(G \cdot x) = \dim g - \text{rg } d\pi_x + \dim g - \dim g^x = 2 \dim g - \text{rg } d\pi_x - \dim g^x. $$

De plus, l'orbite $G \cdot x$ est localement fermée ([9] lemme 4.3.1). Donc $\eta^{-1}(G \cdot x)$ est localement fermé, la projection $\eta$ étant une application continue pour la topologie de Zariski. Ainsi, la variété est ouverte dans son adhérence qui est donc irréductible ([3] T2 p185). Cette dernière a, par conséquent, la même dimension que $\eta^{-1}(G \cdot x)$ ([3] proposition 2 p91).
La variété $N$ est la réunion finie d'orbites $O_i$ ([4] 8.1.3). Ainsi

$$ \tilde{V} = \eta^{-1}(N) = \bigcup \eta^{-1}(O_i) = \bigcup \overline{\eta^{-1}(O_i)}. $$

De plus, pour toute orbite $O_i$ de $N, \overline{\eta^{-1}(O_i)}$ est une partie fermée irréductible de $\tilde{V}$. Donc, d'après le lemme 2.2, pour prouver que la variété $\tilde{V}$ est irréductible, il suffit de montrer que

$$ \dim \overline{\eta^{-1}(O_i)} < 2(\dim g - l) $$

pour toute orbite $O_i$ sauf pour l'orbite des éléments réguliers qui est de dimension $2(\dim g - l)$.

Il nous reste donc à démontrer que, pour tout $x \in g$ nilpotent non régulier,

$$ \dim \eta^{-1}(G \cdot x) < 2(\dim g - l), $$

$$ 2 \dim g - \mathrm{rg} \, d\pi_x - \dim g^x < 2(\dim g - l), $$

$$ 2l < \mathrm{rg} \, d\pi_x + \dim g^x. $$

ce qui est fait dans les points suivants pour chaque type d'algèbre de Lie simple.

2.5. – Lorsque l'algèbre de Lie $g$ est une algèbre de Lie simple classique, à tout $x \in g$ nilpotent, est associée une suite d'entiers strictement positifs $\lambda(x) = (\lambda_1, \dots, \lambda_k)$ qui caractérise l'orbite de $x$. Ces entiers sont les diviseurs élémentaires de la matrice sous-jacente dans la représentation naturelle de $g$.

R. W. Carter exprime ([1] chapitre 13) la dimension du centralisateur de $x$ en fonction des entiers $r_i$ ($i \in N$) où $r_i = \mathrm{card}\{j \mid 1 \le j \le k, \lambda_j = i\}$ et R. W. Richardson exprime ([7] chapitre 4) le rang de $d\pi_x$ en fonction de $\lambda(x)$.

2.6. – Si $g$ est une algèbre de Lie de type $A_l$ :

Soit $x \in g$, nilpotent non régulier, $\lambda(x)$ est déterminée par

$$ \begin{gathered} \lambda(x) = (\lambda_1, \dots, \lambda_k), \\ \lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \dots \ge \lambda_k \ge 1, \\ \lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_k = l + 1. \end{gathered} $$

Et alors

$$ \begin{gathered} \mathrm{rg} \, d\pi_x = \lambda_1 - 1, \\ \dim g^x = \sum_{i \ge 1} \left( \sum_{j \ge i} r_j \right)^2 - 1, \end{gathered} $$
donc

$$
\begin{align*}
\mathrm{rg} \, d\pi_x + \dim g^x &= \lambda_1 + \sum_{i \ge 1} \left( \sum_{j \ge i} r_j \right)^2 - 2 \\
&= \lambda_1 + \sum_{i \ge 1} i r_i^2 + \sum_{i < j} 2 i r_i r_j - 2 \\
&\ge \lambda_1 + \lambda_1 r_1^2 + 2 \sum_{1 \le i \le \lambda_1 - 1} i r_i r_{\lambda_1} + \sum_{1 \le i \le \lambda_1 - 1} i r_i^2 - 2 \\
&\ge 2 \lambda_1 r_{\lambda_1} + \lambda_1 (r_{\lambda_1} - 1)^2 + 2 \sum_{1 \le i \le \lambda_1 - 1} i r_i + \sum_{1 \le i \le \lambda_1 - 1} i r_i^2 - 2 \\
&\ge 2 \sum_{1 \le i \le \lambda_1} i r_i + \lambda_1 (r_{\lambda_1} - 1)^2 + \sum_{1 \le i \le \lambda_1 - 1} i r_i^2 - 2 \\
&\ge 2(\ell + 1) + \lambda_1 (r_{\lambda_1} - 1)^2 + \sum_{1 \le i \le \lambda_1 - 1} i r_i^2 - 2 \\
&\ge 2\ell + \lambda_1 (r_{\lambda_1} - 1)^2 + \sum_{1 \le i \le \lambda_1 - 1} i r_i^2.
\end{align*}
$$

Si $r_{\lambda_1} \ge 2$, alors

$$
\mathrm{rg} \, d\pi_x + \dim g^x \ge 2\ell + \lambda_1 (r_{\lambda_1} - 1)^2 > 2\ell.
$$

Sinon, $x$ étant non régulier, $\lambda_1$ est distinct de $\ell+1$, $k \ge 2$, $\lambda_2 < \lambda_1$ et

$$
\mathrm{rg} \, d\pi_x + \dim g^x \ge 2\ell + \lambda_2 r_{\lambda_2}^2 > 2\ell.
$$

2.7. – Si $g$ est une algèbre de Lie de type $B_\ell$ :

Soit $x \in g$, nilpotent non régulier, $\lambda(x)$ est déterminée par

$$
\begin{align*}
\lambda(x) &= (\alpha_1, \alpha_1, \dots, \alpha_k, \alpha_k, \beta_1, \dots, \beta_h), \\
\alpha_1 &\ge \alpha_2 \ge \dots \ge \alpha_k \ge 1, \\
\beta_1 &> \beta_2 > \dots > \beta_h \ge 1; \quad \beta_i \text{ impair,} \\
2\alpha_1 + 2\alpha_2 + \dots + 2\alpha_k + \beta_1 + \beta_2 + \dots + \beta_h &= 2\ell + 1.
\end{align*}
$$

Quitte à réordonner la suite $\lambda(x)$, nous pouvons supposer que

$$
\begin{align*}
\lambda(x) &= (\lambda_1, \dots, \lambda_k), \\
\lambda_1 &\ge \lambda_2 \ge \dots \ge \lambda_k \ge 1, \\
\lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_k &= 2\ell + 1, \\
\text{si } \lambda_i \text{ est pair, } r_{\lambda_i} \text{ est pair.}
\end{align*}
$$
Et alors

$$
\operatorname{rg} d\pi_x := E\left(\frac{1}{2}\lambda_1\right),
$$
$$
\dim g^x = \frac{1}{2} \sum_{i \ge 1} \left(\sum_{j \ge i} r_j\right)^2 - \frac{1}{2} \sum_{i \text{ impair}} r_i,
$$

où $E(z)$ est la partie entière de $z$ ($z \in \mathbb{R}$). Donc si $\lambda_1$ est pair, $r_{\lambda_1} \ge 2$ et

$$
\begin{align*}
\operatorname{rg} d\pi_x + \dim g^x &= E\left(\frac{1}{2}\lambda_1\right) + \frac{1}{2}\sum_{i \ge 1} \left(\sum_{j \ge i} r_j\right)^2 - \frac{1}{2}\sum_{i \text{ impair}} r_i \\
&= E\left(\frac{1}{2}\lambda_1\right) + \frac{1}{2}\sum_{i \ge 1} i r_i^2 + \sum_{i<j} i r_i r_j - \frac{1}{2}\sum_{i \text{ impair}} r_i \\
&= E\left(\frac{1}{2}\lambda_1\right) + \frac{1}{2}\sum_{i \text{ pair}} i r_i^2 + \sum_{i<j} i r_i r_j + \frac{1}{2}\sum_{i \text{ impair}} r_i(i r_i - 1) \\
&\ge \frac{1}{2}\lambda_1 r_{\lambda_1}^2 + \sum_{1 \le i \le \lambda_1 - 1} i r_i r_{\lambda_1} \\
&\ge \lambda_1 r_{\lambda_1} + \sum_{1 \le i \le \lambda_1 - 1} i r_i \\
&\ge 2\ell + 1 \\
&> 2\ell.
\end{align*}
$$

Si $\lambda_1$ est impair, alors

$$
\begin{align*}
\operatorname{rg} d\pi_x + \dim g^x &= E\left(\frac{1}{2}\lambda_1\right) + \frac{1}{2}\sum_{i \ge 1} \left(\sum_{j \ge i} r_j\right)^2 - \frac{1}{2}\sum_{i \text{ impair}} r_i \\
&= E\left(\frac{1}{2}\lambda_1\right) + \frac{1}{2}\sum_{i \ge 1} i r_i^2 + \sum_{i<j} i r_i r_j - \frac{1}{2}\sum_{i \text{ impair}} r_i \\
&\ge \frac{1}{2}(\lambda_1 - 1) + \frac{1}{2}\sum_{i \ge 1} i r_i^2 + \sum_{1 \le i \le \lambda_1 - 1} i r_i r_{\lambda_1} - \frac{1}{2}\sum_{i \ge 1} r_i \\
&\ge \frac{1}{2}(\lambda_1 - 1) + \sum_{1 \le i \le \lambda_1 - 1} i r_i + \frac{1}{2}r_{\lambda_1}(\lambda_1 r_{\lambda_1} - 1) + \frac{1}{2}\sum_{1 \le i \le \lambda_1 - 1} r_i(i r_i - 1) \\
&\ge \frac{1}{2}(\lambda_1 - 1) + 2\ell + 1 - \lambda_1 r_{\lambda_1} + \frac{1}{2}r_{\lambda_1}(\lambda_1 r_{\lambda_1} - 1) + \frac{1}{2}\sum_{1 \le i \le \lambda_1 - 1} r_i(i r_i - 1) \\
&\ge 2\ell + \frac{1}{2}(\lambda_1 - 1) + \frac{1}{2}(r_{\lambda_1} - 2)(\lambda_1 r_{\lambda_1} - 1) + \frac{1}{2}\sum_{1 \le i \le \lambda_1 - 1} r_i(i r_i - 1).
\end{align*}
$$
Si $r_{\lambda_1} \ge 3$, alors

$$rg d\pi_x + \dim g^x \ge 2\ell + \frac{1}{2}(r_{\lambda_1} - 2)(\lambda_1 r_{\lambda_1} - 1) > 2\ell.$$

Si $r_{\lambda_1} = 2$, alors $\lambda_1$ est distinct de 1 (car $\lambda(x)$ ne peut être égal à (1, 1)) et

$$rg d\pi_x + \dim g^x \ge 2\ell + \frac{1}{2}(\lambda_1 - 1) > 2\ell.$$

Si $r_{\lambda_1} = 1$, $x$ étant non régulier, $\lambda_1$ est distinct de $2\ell + 1$, $k \ge 2$, $\lambda_2 < \lambda_1$ et

$$rg d\pi_x + \dim g^x \ge 2\ell + \frac{1}{2}r_{\lambda_2}(\lambda_2 r_{\lambda_2} - 1) > 2\ell$$

car $\lambda(x)$ est distinct de $(\lambda_1, 1)$, $\lambda_1$ étant impair.

2.8. — Si $g$ est une algèbre de Lie de type $C_\ell$ :

Soit $x \in g$, nilpotent non régulier, $\lambda(x)$ est déterminée par

$$\begin{align*}
\lambda(x) &= (\alpha_1, \alpha_1, \dots, \alpha_k, \alpha_k, 2\beta_1, \dots, 2\beta_h), \\
\alpha_1 &\ge \alpha_2 \ge \dots \ge \alpha_k \ge 1, \\
\beta_1 &> \beta_2 > \dots > \beta_h \ge 1, \\
\alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_k + \beta_1 + \beta_2 + \dots + \beta_h &= \ell.
\end{align*}$$

Quitte à réordonner la suite $\lambda(x)$, on peut supposer que

$$\begin{align*}
\lambda(x) &= (\lambda_1, \dots, \lambda_k), \\
\lambda_1 &\ge \lambda_2 \ge \dots \ge \lambda_k \ge 1, \\
\lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_k &= 2\ell, \\
\text{si } \lambda_i \text{ est impair, } r_{\lambda_i} \text{ est pair.}
\end{align*}$$

Et alors

$$\begin{align*}
\operatorname{rg} d\pi_x &= E(\frac{1}{2}\lambda_1), \\
\dim g^x &= \frac{1}{2} \sum_{i \ge 1} \left(\sum_{j \ge i} r_j\right)^2 + \frac{1}{2} \sum_{i \text{ impair}} r_i.
\end{align*}$$
Donc si $\lambda_1$ est impair, $r_{\lambda_1} \ge 2$ et

$$
\begin{align*}
\operatorname{rg} d\pi_x + \operatorname{dim} g^x &= E\left(\frac{1}{2}\lambda_1\right) + \frac{1}{2} \sum_{i \ge 1} \left(\sum_{j \ge i} r_j\right)^2 + \frac{1}{2} \sum_{i \text{ impair}} r_i \\
&= E\left(\frac{1}{2}\lambda_1\right) + \frac{1}{2} \sum_{i \ge 1} i r_i^2 + \sum_{i<j} i r_i r_j + \frac{1}{2} \sum_{i \text{ impair}} r_i \\
&\ge \frac{1}{2} \lambda_1 r_{\lambda_1}^2 + \sum_{1 \le i \le \lambda_1 - 1} i r_i r_{\lambda_1} + \frac{1}{2} r_{\lambda_1} \\
&\ge \lambda_1 r_{\lambda_1} + \sum_{1 \le i \le \lambda_1 - 1} i r_i + \frac{1}{2} r_{\lambda_1} \\
&\ge 2\ell + \frac{1}{2} r_{\lambda_1} \\
&> 2\ell.
\end{align*}
$$

Si $\lambda_1$ est pair, alors

$$
\begin{align*}
\operatorname{rg} d\pi_x + \operatorname{dim} g^x &= E\left(\frac{1}{2}\lambda_1\right) + \frac{1}{2} \sum_{i \ge 1} \left(\sum_{j \ge i} r_j\right)^2 + \frac{1}{2} \sum_{i \text{ impair}} r_i \\
&= \frac{1}{2}\lambda_1 + \frac{1}{2} \sum_{i \ge 1} i r_i^2 + \sum_{i<j} i r_i r_j + \frac{1}{2} \sum_{i \text{ impair}} r_i \\
&\ge \frac{1}{2}\lambda_1 + \frac{1}{2}\lambda_1 r_{\lambda_1}^2 + \sum_{1 \le i \le \lambda_1 - 1} i r_i r_{\lambda_1} + \frac{1}{2} \sum_{1 \le i \le \lambda_1 - 1} i r_i^2 \\
&\ge \lambda_1 r_{\lambda_1} + \sum_{1 \le i \le \lambda_1 - 1} i r_i + \frac{1}{2}\lambda_1(r_{\lambda_1} - 1)^2 + \frac{1}{2} \sum_{1 \le i \le \lambda_1 - 1} i r_i^2 \\
&\ge 2\ell + \frac{1}{2}\lambda_1(r_{\lambda_1} - 1)^2 + \frac{1}{2} \sum_{1 \le i \le \lambda_1 - 1} i r_i^2.
\end{align*}
$$

Si $r_{\lambda_1} \ge 2$, alors

$$
\operatorname{rg} d\pi_x + \operatorname{dim} g^x \geq 2\ell + \frac{1}{2}\lambda_1(r_{\lambda_1} - 1)^2 > 2\ell.
$$

Sinon, $x$ étant non régulier, $\lambda_1$ est distinct de $2\ell$, $k \ge 2$, $\lambda_2 > \lambda_1$ et

$$
\operatorname{rg} d\pi_x + \operatorname{dim} g^x \geq 2\ell + \frac{1}{2}\lambda_2 r_{\lambda_2}^2 > 2\ell.
$$

2.9. – Si $g$ est une algèbre de Lie de type $D_\ell$ :
Soit $x \in g$, nilpotent non régulier, $\lambda(x)$ est déterminée par

$$ 
\begin{aligned}
\lambda(x) &= (\alpha_1, \alpha_1, \dots, \alpha_k, \alpha_k, \beta_1, \dots, \beta_h), \\
\alpha_1 &\ge \alpha_2 \ge \dots \ge \alpha_k \ge 1, \\
\beta_1 &> \beta_2 > \dots > \beta_h \ge 1; \quad \beta_i \text{ impair,} \\
2\alpha_1 + 2\alpha_2 + \dots + 2\alpha_k + \beta_1 + \beta_2 + \dots + \beta_h &= 2\ell.
\end{aligned}
$$

Quitte à réordonner la suite $\lambda(x)$, nous pouvons supposer que

$$ 
\begin{aligned}
\lambda(x) &= (\lambda_1, \dots, \lambda_k), \\
\lambda_1 &\ge \lambda_2 \ge \dots \ge \lambda_k \ge 1, \\
\lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_k &= 2\ell, \\
\text{si } \lambda_i \text{ est pair, } r_{\lambda_i} \text{ est pair.}
\end{aligned}
$$

L'expression de $\dim g^x$ est

$$ \dim g^x = \frac{1}{2} \sum_{i \ge 1} \left( \sum_{j \ge i} r_j \right)^2 - \frac{1}{2} \sum_{i \text{ impair}} r_i = \frac{1}{2} \sum_{i \ge 1} i r_i^2 + \sum_{i < j} i r_i r_j - \frac{1}{2} \sum_{i \text{ impair}} r_i. $$

Le calcul de $\mathrm{rg} \, d\pi_x$ distingue plusieurs cas. Si $\lambda(x) = (2\ell - i, i)$ où $i$ est un entier impair inférieur ou égal à $\ell$,

$$ \mathrm{rg} \, d\pi_x = \frac{1}{2}(2\ell - i + 1), $$

et alors

$$ \mathrm{rg} \, d\pi_x + \dim g^x = \frac{1}{2}(2\ell - i + 1) + \ell + i - 1 \ge 2\ell + \frac{1}{2}(i - 1) > 2\ell. $$

L'élément $x$ étant non régulier, $d\pi_x < \ell$ ([4] 8.5.3) et $i > 1$.

Si $\lambda(x) = (\ell, \ell)$ lorsque $\ell$ est pair,

$$ \mathrm{rg} \, d\pi_x = \frac{1}{2}\ell, $$

et alors

$$ \mathrm{rg} \, d\pi_x + \dim g^x = \frac{1}{2}\ell + 2\ell > 2\ell. $$

Si $k \ge 3$, alors

$$ \mathrm{rg} \, d\pi_x = E(\frac{1}{2}\lambda_1). $$
Donc si $\lambda_1$ est pair, $r_{\lambda_1} \ge 2$ et

$$
\begin{align*}
\operatorname{rg} d\pi_x + \operatorname{dim} g^x &= E\left(\frac{1}{2}\lambda_1\right) + \frac{1}{2} \sum_{i \ge 1} ir_i^2 + \sum_{i < j} ir_i r_j - \frac{1}{2} \sum_{i \text{ impair}} r_i \\
&\ge \frac{1}{2}\lambda_1 + \frac{1}{2} \sum_{i \text{ pair}} ir_i^2 + \sum_{i < j} ir_i r_j + \frac{1}{2} \sum_{i \text{ impair}} r_i (ir_i - 1) \\
&\ge \frac{1}{2}\lambda_1 r_{\lambda_1}^2 + \sum_{1 \le i \le \lambda_1 - 1} ir_i r_{\lambda_1} + \frac{1}{2}\lambda_1 \\
&\ge \lambda_1 r_{\lambda_1} + \sum_{1 \le i \le \lambda_1 - 1} ir_i + \frac{1}{2}\lambda_1 \\
&\ge 2\ell + \frac{1}{2}\lambda_1 \\
&> 2\ell.
\end{align*}
$$

Si $\lambda_1$ est impair, alors

$$
\begin{align*}
\operatorname{rg} d\pi_x + \operatorname{dim} g^x &= E\left(\frac{1}{2}\lambda_1\right) + \frac{1}{2} \sum_{i \ge 1} ir_i^2 + \sum_{i < j} ir_i r_j - \frac{1}{2} \sum_{i \text{ impair}} r_i \\
&\ge \frac{1}{2}(\lambda_1 - 1) + \frac{1}{2} \sum_{i \ge 1} ir_i^2 + \sum_{1 \le i \le \lambda_1 - 1} ir_i r_{\lambda_1} - \frac{1}{2} \sum_{i \ge 1} r_i \\
&\ge \frac{1}{2}(\lambda_1 - 1) + \sum_{1 \le i \le \lambda_1 - 1} ir_i + \frac{1}{2} r_{\lambda_1} (\lambda_1 r_{\lambda_1} - 1) + \frac{1}{2} \sum_{1 \le i \le \lambda_1 - 1} r_i (ir_i - 1) \\
&\ge \frac{1}{2}(\lambda_1 - 1) + 2\ell - \lambda_1 r_{\lambda_1} + \frac{1}{2} r_{\lambda_1} (\lambda_1 r_{\lambda_1} - 1) + \frac{1}{2} \sum_{1 \le i \le \lambda_1 - 1} r_i (ir_i - 1) \\
&\ge 2\ell + \frac{1}{2}(\lambda_1 - 1) + \frac{1}{2} r_{\lambda_1} (\lambda_1 r_{\lambda_1} - 2\lambda_1 - 1) + \frac{1}{2} \sum_{1 \le i \le \lambda_1 - 1} r_i (ir_i - 1).
\end{align*}
$$

Si $r_{\lambda_1} \ge 4$, alors

$$
\operatorname{rg} d\pi_x + \operatorname{dim} g^x \geq 2\ell + \frac{1}{2} r_{\lambda_1} (\lambda_1 r_{\lambda_1} - 2\lambda_1 - 1) \geq 2\ell + 2 > 2\ell.
$$

Si $r_{\lambda_1} = 3$, alors $\lambda_1$ est distinct de 1 (car $\lambda(x)$ ne peut être égal à $(1, 1, 1)$) et

$$
\operatorname{rg} d\pi_x + \operatorname{dim} g^x \geq 2\ell + \frac{1}{2} r_{\lambda_1} (\lambda_1 r_{\lambda_1} - 2\lambda_1 - 1) \geq 2\ell + \frac{3}{2} (\lambda_1 - 1) > 2\ell.
$$

Si $r_{\lambda_1} = 2$, $k$ étant supérieur ou égal à 3, $\lambda_3 < \lambda_1$ et

$$
\begin{align*}
\operatorname{rg} d\pi_x + \operatorname{dim} g^x &\ge 2\ell + \frac{1}{2}(\lambda_1 - 1) + \frac{1}{2}r_{\lambda_1}(\lambda_1 r_{\lambda_1} - 2\lambda_1 - 1) + \frac{1}{2}r_{\lambda_3}(\lambda_3 r_{\lambda_3} - 1) \\
&\ge \frac{1}{2}(\lambda_1 - 3) + \frac{1}{2}r_{\lambda_3}(\lambda_3 r_{\lambda_3} - 1) \\
&> 2\ell.
\end{align*}
$$
En effet $\lambda_1 \ge 3$, $\lambda_1$ étant impair, et $\lambda_3 r_{\lambda_3} \ge 2$, $\lambda(x)$ étant distinct de $(\lambda_1, \lambda_1, 1)$.
Si $r_{\lambda_1} = 1$, $\lambda_2 < \lambda_1$ et

$$
\begin{align*}
\operatorname{rg} d\pi_x + \operatorname{dim} g^x \geq 2\ell + \frac{1}{2}(\lambda_1 - 1) &+ \frac{1}{2}r_{\lambda_1}(\lambda_1 r_{\lambda_1} - 2\lambda_1 - 1) \\
&+ \frac{1}{2} \sum_{1 \leq i \leq \lambda_1 - 1} r_i(\mathrm{ir}_i - 1) \\
&\geq 2\ell - 1 + \frac{1}{2}r_{\lambda_2}(\lambda_2 r_{\lambda_2} - 1) + \frac{1}{2} \sum_{1 \leq i \leq \lambda_2 - 1} r_i(\mathrm{ir}_i - 1).
\end{align*}
$$

Trois sous-cas apparaissent alors. Si $r_{\lambda_2} \ge 3$, alors

$$
\operatorname{rg} d\pi_x + \operatorname{dim} g^x \geq 2\ell - 1 + \frac{1}{2}r_{\lambda_2}(\lambda_2 r_{\lambda_2} - 1) \geq 2\ell - 1 + \frac{3}{2}(3\lambda_2 - 1) \geq 2\ell + 2 > 2\ell.
$$

Si $r_{\lambda_2} = 2$, alors

$$
\operatorname{rg} d\pi_x + \operatorname{dim} g^x \geq 2\ell - 1 + \frac{1}{2}r_{\lambda_2}(\lambda_2 r_{\lambda_2} - 1) \geq 2\ell - 1 + 2\lambda_2 - 1 \geq 2\ell + 2 > 2\ell
$$

$\operatorname{car} \lambda_2 \ge 2$, $\lambda(x)$ étant distinct de $(\lambda_1, 1, 1)$.

Si $r_{\lambda_2} = 1$, alors $k$ étant supérieur ou égal à 3, $\lambda_3$ est strictement inférieur à $\lambda_2$
qui est un entier impair supérieur ou égal à 3. Ainsi

$$
\begin{align*}
\operatorname{rg} d\pi_x + \operatorname{dim} g^x &\geq 2\ell - 1 + \frac{1}{2}r_{\lambda_2}(\lambda_2 r_{\lambda_2} - 1) + \frac{1}{2}r_{\lambda_3}(\lambda_3 r_{\lambda_3} - 1) \\
&\geq 2\ell + \frac{1}{2}(\lambda_2 - 3) + \frac{1}{2}r_{\lambda_3}(\lambda_3 r_{\lambda_3} - 1) \\
&> 2\ell
\end{align*}
$$

$\operatorname{car} \lambda_3 r_{\lambda_3} > 2$, $\lambda(x)$ étant distinct de $(\lambda_1, \lambda_2, 1)$.

2.10. – Pour les algèbres de Lie simples exceptionnelles, nous suivons les notations de [1] quant aux dénominations des orbites nilpotentes.

Soit $x \in g$, nilpotent. La dimension du centralisateur de $x$ est calculée dans
[1] chapitre 13 et le rang de $d\pi_x$ est calculé en appendice pour les algèbres de
Lie simples exceptionnelles (le rang de $d\pi_x$ est égal au nombre d'exposants de
$(g, x)$, [7] chapitre 2).

2.11. – Si $g$ est une algèbre de Lie de type $E_6$ :

Le rang *l* de *g* est 6. Pour toutes les orbites nilpotentes non régulières, la
dimension du centralisateur *g*^* d'un des éléments *x* de l'orbite est strictement
supérieure à 12 sauf pour les orbites $E_6(a_3)$, $D_5$ et $E_6(a_1)$, mais alors

<table><thead><tr><th>orbite nilpotente</th><th>dim g<sup>x</sup></th><th>rg dπ<sub>x</sub></th><th>rg dπ<sub>x</sub> + dim g<sup>x</sup></th></tr></thead><tbody><tr><td>E<sub>6</sub>(a<sub>3</sub>)</td><td>12</td><td>3</td><td>15</td></tr><tr><td>D<sub>5</sub></td><td>10</td><td>4</td><td>14</td></tr><tr><td>E<sub>6</sub>(a<sub>1</sub>)</td><td>8</td><td>5</td><td>13</td></tr></tbody></table>

2.12. — Si $g$ est une algèbre de Lie de type $E_7$ :

Le rang $\ell$ de $g$ est 7. Pour toutes les orbites nilpotentes non régulières, la dimension du centralisateur $g^x$ d'un des éléments $x$ de l'orbite est strictement supérieure à 14 sauf pour les orbites $E_6$, $E_7(a_3)$, $E_7(a_2)$ et $E_7(a_1)$, mais alors

<table><thead><tr><th>orbite nilpotente</th><th>dim g<sup>x</sup></th><th>rg dπ<sub>x</sub></th><th>rg dπ<sub>x</sub> + dim g<sup>x</sup></th></tr></thead><tbody><tr><td>E<sub>6</sub></td><td>13</td><td>4</td><td>17</td></tr><tr><td>E<sub>7</sub>(a<sub>3</sub>)</td><td>13</td><td>4</td><td>17</td></tr><tr><td>E<sub>7</sub>(a<sub>2</sub>)</td><td>11</td><td>5</td><td>16</td></tr><tr><td>E<sub>7</sub>(a<sub>1</sub>)</td><td>9</td><td>6</td><td>15</td></tr></tbody></table>

2.13. — Si $g$ est une algèbre de Lie de type $E_8$ :

Le rang $\ell$ de $g$ est 8. Pour toutes les orbites nilpotentes non régulières, la dimension du centralisateur $g^x$ d'un des éléments $x$ de l'orbite est strictement supérieure à 16 sauf pour les orbites $E_7$, $E_8(a_4)$, $E_8(a_3)$, $E_8(a_2)$ et $E_8(a_1)$, mais alors

<table><thead><tr><th>orbite nilpotente</th><th>dim g<sup>x</sup></th><th>rg dπ<sub>x</sub></th><th>rg dπ<sub>x</sub> + dim g<sup>x</sup></th></tr></thead><tbody><tr><td>E<sub>7</sub></td><td>16</td><td>5</td><td>21</td></tr><tr><td>E<sub>8</sub>(a<sub>4</sub>)</td><td>16</td><td>4</td><td>20</td></tr><tr><td>E<sub>8</sub>(a<sub>3</sub>)</td><td>14</td><td>5</td><td>19</td></tr><tr><td>E<sub>8</sub>(a<sub>2</sub>)</td><td>12</td><td>5 ou 6</td><td>17 ou 18</td></tr><tr><td>E<sub>6</sub>(a<sub>1</sub>)</td><td>10</td><td>7</td><td>17</td></tr></tbody></table>

2.14. — Si $g$ est une algèbre de Lie de type $F_4$ :

Le rang $\ell$ de $g$ est 4. Pour toutes les orbites nilpotentes non régulières, la dimension du centralisateur $g^x$ d'un des éléments $x$ de l'orbite est strictement
supérieure à 8 sauf pour les orbites $F_4(a_2)$ et $F_4(a_1)$, mais alors

<table><thead><tr><th>orbite nilpotente</th><th>dim g<sup>x</sup></th><th>rg dπ<sub>x</sub></th><th>rg dπ<sub>x</sub> + dim g<sup>x</sup></th></tr></thead><tbody><tr><td>F<sub>4</sub>(a<sub>2</sub>)</td><td>8</td><td>2</td><td>10</td></tr><tr><td>F<sub>4</sub>(a<sub>1</sub>)</td><td>6</td><td>3</td><td>9</td></tr></tbody></table>

2.15. — Si $g$ est une algèbre de Lie de type $G_2$ :

Le rang $\ell$ de $g$ est 2. Pour toutes les orbites nilpotentes non régulières, la dimension du centralisateur $g^x$ d'un des éléments $x$ de l'orbite est supérieure strictement à 4 sauf pour l'orbite $G_2(a_1)$, mais alors

<table><thead><tr><th>orbite nilpotente</th><th>dim g<sup>x</sup></th><th>rg dπ<sub>x</sub></th><th>rg dπ<sub>x</sub> + dim g<sup>x</sup></th></tr></thead><tbody><tr><td>G<sub>2</sub>(a<sub>1</sub>)</td><td>4</td><td>1</td><td>5</td></tr></tbody></table>

2.16. **PROPOSITION** — L'idéal $J_+S(\tilde{g}^*)$ de $S(\tilde{g}^*)$ est un idéal premier.

**DÉMONSTRATION** — La variété $\tilde{V}$ est irréductible et les fonctions polynomiales $P_1, \dots, P_\ell, Q_1, \dots, Q_\ell$ sont linéairement indépendantes en tout point de $\tilde{V} \cap \tilde{P}$ ([6] 3.8). Donc, d'après [4] 11.2.3, l'idéal $J_+S(\tilde{g}^*)$ est premier.

### 3. L'ALGÈBRE ENVELOPPANTE MODULE LIBRE SUR SON CENTRE

3.1. **LEMME** — Soit $h_1, \dots, h_k \in S(\tilde{g}^*)$, linéairement indépendants modulo $J_+S(\tilde{g}^*)$. Il existe une partie ouverte non vide $\Omega$ de $\tilde{g}$ telle que pour tout $x \in \Omega$, les fonctions $h_1|_{\tilde{G}_x}, \dots, h_k|_{\tilde{G}_x}$ soient linéairement indépendantes.

**DÉMONSTRATION** — Soit $x_0 \in \tilde{V} \cap \tilde{P}$ et soit $\lambda_1, \dots, \lambda_k \in k$ tels que

$$ (\lambda_1 h_1 + \dots + \lambda_k h_k)|_{\tilde{G}_x} = 0. $$

D'après le lemme 2.1, l'ensemble $\tilde{V} \cap \tilde{P}$ est un ouvert non vide constitué d'une seule $\tilde{G}$-orbite, donc

$$ (\lambda_1 h_1 + \dots + \lambda_k h_k)|_{\tilde{V} \cap \tilde{P}} = 0. $$

La variété $\tilde{V}$ étant irréductible, $\tilde{V} \cap \tilde{P}$ est dense dans $\tilde{V}$ et

$$ (\lambda_1 h_1 + \dots + \lambda_k h_k)|_{\tilde{V}} = 0. $$

De plus, l'ensemble des polynômes de $S(\tilde{g}^*)$ s'annulant sur $\tilde{V}$ est l'idéal $J_+S(\tilde{g}^*)$ (2.16), donc

$$ \lambda_1 h_1 + \dots + \lambda_k h_k \in J_+S(\tilde{g}^*) $$
Ainsi $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ sont nuls et $h_1|_{\tilde{G} \times x_0}, \dots, h_k|_{\tilde{G} \times x_0}$ sont linéairement indépendants.

Soit $\theta$ l'application de $\tilde{G} \times \tilde{g}$ dans $\tilde{g}$ qui à $(\alpha, x)$ associe $\alpha(x)$. Pour tout entier $i$ tel que $1 \le i \le k$, posons $\ell_i = h_i \circ \theta$. Chaque application $\ell_i$ est une fonction régulière sur $\tilde{G} \times \tilde{g}$, il existe donc ([3] proposition 9 p35) des fonctions régulières $\phi_{i,s}$ sur $\tilde{G}$ et des applications polynômes $\zeta_{i,s}$ ($1 \le s \le p$) sur $\tilde{g}$ telles que pour tout couple $(\alpha, x)$ de $\tilde{G} \times \tilde{g}$,

$$ \ell_i(\alpha, x) = \sum_{s=1}^{p} \phi_{i,s}(\alpha) \zeta_{i,s}(x). $$

Soit $(\phi_1, \dots, \phi_q)$ une base de l'espace vectoriel engendré par la famille finie $(\phi_{i,s})_{1 \le i \le k, 1 \le s \le q}$. Il existe alors des applications polynômes $\psi_{i,s}$ ($1 \le i \le k$, $1 \le s \le q$) sur $\tilde{g}$ telles que pour tout couple $(\alpha, x)$ de $\tilde{G} \times \tilde{g}$,

$$ \ell_i(\alpha, x) = \sum_{s=1}^{q} \phi_s(\alpha) \psi_{i,s}(x). $$

Soit $x \in \tilde{g}$. Les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) $h_1|_{\tilde{G} \times x}, \dots, h_k|_{\tilde{G} \times x}$ sont linéairement indépendantes;

(ii) $\ell_1|_{\tilde{G} \times \{x\}}, \dots, \ell_k|_{\tilde{G} \times \{x\}}$ sont linéairement indépendantes;

(iii) la matrice $M(x) = (\psi_{i,s}(x))_{1 \le i \le k, 1 \le s \le q}$ est de rang $k$.

D'après le début de la démonstration, il existe $x_0 \in \tilde{g}$ tel que les assertions précédentes soient vérifiées. Ainsi $q$ est supérieur ou égal à $k$ et il existe une matrice $k \times k$ extraite de $M(x_0)$ dont le déterminant $D(x_0)$ est non nul. La fonction $D$ de $\tilde{g}$ sur $k$ est une application polynomiale de $\tilde{g}$. Soit $\Omega$ l'ensemble des $x \in \tilde{g}$ tel que $D(x)$ soit non nul. C'est un ouvert non vide de $\tilde{g}$. Pour tout $x \in \Omega$, $D(x)$ étant non nul, la matrice $M(x)$ est de rang $k$ et donc $h_1|_{\tilde{G}x}, \dots, h_k|_{\tilde{G}x}$ sont linéairement indépendantes.

**3.2. LEMME** – Soit $H$ un supplémentaire gradué de $J_+S(\tilde{g}^*)$ dans $S(\tilde{g}^*)$. L'application linéaire $f: H \otimes J \to S(\tilde{g}^*)$ ; $h \otimes j \mapsto hj$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels.

Ainsi $S(\tilde{g}^*)$ est un $J$-module libre.

**DÉMONSTRATION** – Nous avons $S^0(\tilde{g}^*) = H_0 \subseteq H \subseteq HJ$. Supposons que $S^0(\tilde{g}^*) + \dots + S^k(\tilde{g}^*) \subseteq HJ$ alors

$$ S^{k+1}(\tilde{g}^*) = H_{k+1} + J_+(S^0(\tilde{g}^*) + \dots + S^k(\tilde{g}^*)) \subseteq H + J_+HJ \subseteq HJ, $$

donc $S(\tilde{g}^*) = HJ$ et ainsi $f$ est surjective.
Soit $h_1, \dots, h_k \in H$ linéairement indépendants sur $k$. L'ensemble $H$ étant un supplémentaire de $J_+ S(\tilde{g}^*)$, $h_1, \dots, h_k$ sont linéairement indépendants modulo $J_+ S(\tilde{g}^*)$. Soit $j_1, \dots, j_k \in J$ tels que $h_1 j_1 + \dots + h_k j_k = 0$.

Soit $\Omega$ l'ensemble défini au lemme 3.1 pour $h_1, \dots, h_k$ et soit $x \in \Omega$. Alors

$$ (h_1 j_1 + \dots + h_k j_k)|_{\tilde{G}_x} = 0, $$

$$ (j_1(x)h_1 + \dots + j_k(x)h_k)|_{\tilde{G}_x} = 0, $$

$$ j_1(x) = \dots = j_k(x) = 0, $$

car les applications $j_1, \dots, j_k$ sont constantes sur $\tilde{G}_x$, et car les fonctions $h_1|_{\tilde{G}_x}, \dots, h_k|_{\tilde{G}_x}$ sont linéairement indépendantes.

Les fonctions polynomiales $j_1, \dots, j_k$ sont nulles sur l'ouvert non vide $\Omega$ de $\tilde{g}$, elles sont donc nulles sur $\tilde{g}$ et $h_1, \dots, h_k$ sont linéairement indépendantes sur $J$. Ainsi $f$ est injective.

Par conséquent $S(\tilde{g}^*)$ s'identifie à $H \otimes J$ et toute base de l'espace vectoriel $H$ est une base du $J$-module $S(\tilde{g}^*)$.

### 3.3. THÉORÈME – a) L'algèbre symétrique $S(\tilde{g})$ est un $Y(\tilde{g})$-module libre.

b) L'algèbre enveloppante $\mathcal{U}(\tilde{g})$ est un $Z(\tilde{g})$-module libre.

### DÉMONSTRATION – a) Reprenons les notations du lemme 3.2. L'ensemble $Y(\tilde{g})$ est l'image de $J$ par l'isomorphisme de $S(\tilde{g}^*)$ sur $S(\tilde{g})$, notons $H'$ l'image de $H$ par cet isomorphisme.

Alors, d'après 3.2, l'application linéaire $f': H' \otimes Y(\tilde{g}) \to S(\tilde{g}); h \otimes j \mapsto hj$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels. Ce qui entraîne que $S(\tilde{g})$ est un $Y(\tilde{g})$-module libre.

b) Soit $H''$ l'image de $H'$ par la symétrisation de $S(\tilde{g})$ sur $\mathcal{U}(\tilde{g})$ et l'application linéaire $f''$: $H'' \otimes Z(\tilde{g}) \to \mathcal{U}(\tilde{g}); h \otimes z \mapsto hz$.

La filtration de $\mathcal{U}(\tilde{g})$ induit une filtration sur $Z(\tilde{g})$ et sur $H''$. L'application $f''$ est compatible avec ces filtrations et définit donc, par passage au gradué, une application

$$ \mathrm{gr}(f'') : \mathrm{gr}(H'') \otimes \mathrm{gr}(Z(\tilde{g})) \to \mathrm{gr}(\mathcal{U}(\tilde{g})). $$

Les ensembles $\mathrm{gr}(\mathcal{U}(\tilde{g})), \mathrm{gr}(Z(\tilde{g}))$ et $\mathrm{gr}(H'')$ s'identifient à $S(\tilde{g}), Y(\tilde{g})$ et $H'$ respectivement ($H$ étant gradué par construction, $H'$ est gradué) et l'application $\mathrm{gr}(f'')$ s'identifie à $f'$. D'après a), $f'$ est bijective, il en est donc de même de $\mathrm{gr}(f'')$ et de $f'$. Ainsi $\mathcal{U}(\tilde{g})$ est un $Z(\tilde{g})$-module libre.

### 3.4. – Soit $m$ un entier non nul. Considérons l'algèbre de Lie $g_m$ quotient de l'algèbre de Lie de dimension infinie $g_\infty = g \otimes_k k[T]$ par l'idéal $\sum_{n \ge m+1} g \otimes T^n$. Lorsque $m = 1$, $g_1$ s'identifie à l'algèbre de Takiff associée à $g$.

On peut conjecturer que l'algèbre enveloppante de $g_m$ est un module libre sur son centre. Nous l'avons prouvé lorsque l'algèbre de Lie $g$ est produit d'algèbres isomorphes à $sl(2, k)$. Le point qu'il reste à démontrer dans le cas général est l'irréductibilité de la variété $\tilde{V}$.
## REMERCIEMENT

Je remercie M. Brion qui m'a donné d'utiles indications pour la démonstration du théorème 2.4.

## RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES

1. R. W. CARTER, *Finite groups of Lie type: Conjugacy classes and complex characters*, John Wiley and Sons, Chichester - New York, 1985.

2. C. CHEVALLEY, *Théorie des groupes de Lie, tome II, groupes algébriques*, Hermann & Cie, éditeurs, 1951.

3. J. DIEUDONNE, *Cours de géométrie algébrique tome 2*, Collection Sup, Presses Universitaires de France, 1974.

4. J. DIXMIER, *Algèbres enveloppantes*, Cahiers scientifiques, fascicule 37, Gauthier-Villars, 1974.

5. B. KOSTANT, *Lie group representations on polynomial rings*, Amer. J. Math., 85, p327-404, 1963.

6. M. RAÏS ET P. TAUVEL, *Indice et polynômes invariants pour certaines algèbres de Lie*, J. reine angew. Math., 425, p123-140, 1992.

7. R. W. RICHARDSON, *Derivatives of invariant polynomials on a semisimple Lie algebra*, Miniconference on harmonic analysis and operators algebras, Camberra, Proc. Centre of Math. Anal. Austral. Nat. Univ., 1987.

8. I. R. SHAFAREVICH, *Basic algebraic geometry*, Springer Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 1977.

9. T. A. SPRINGER, *Linear algebraic groups*, Progress in Mathematics, Birkhäuser, 1981.

François GEOFFRIAU
Département de Mathématiques,
URA CNRS 1322
Université de Poitiers

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