# Valeurs scalaires définies sur des pôles - Interpolation d’un champ scalaire

Exemple : la carte du prix moyen des maisons par commune

On dispose au départ de données sur un certain nombre de points isolés appelés pôles et notés P1, P2, ..., Pi , ...Pn (par exemple le prix moyen vi des maisons par commune rapporté au centre Pi de la commune i).

Une interpolation scalaire (un scalaire est un nombre réel) de ces pôles, est un moyen de calculer la valeur en n’importe quel autre point P de l’espace en restant " cohérent " avec les valeurs connues aux pôles. Le résultat est un champ scalaire c’est-à-dire une fonction f qui permet d’associer à tout point P de l’espace une valeur scalaire v = f(P) qui est le prix du terrain au lieu P. Tout le problème consiste à définir précisément ce qu’on entend par " cohérence " avec les données initiales. Toute interpolation doit, par définition, retrouver les données initiales vi associées aux pôles Pi, c’est-à-dire vi = f(Pi) pour i variant de 1 à n. Mais il existe une infinité de manières d’interpoler des pôles qui sont issues de différentes méthodes paramétrables. Il faut donc préciser les conditions de cohérence que l’on souhaite et choisir l’interpolation en conséquence. Une de ces conditions est par exemple l’isotropie spatiale, c’est-à-dire le fait qu’elle donne des résultats indépendamment de toute direction privilégiée (les axes des X et des Y sont souvent des directions particulières dans les interpolations polynomiales couramment proposées dans les logiciels). Mais il existe bien d’autres propriétés de cohérence que l’on ne peut décrire ici (voir [Langlois 94] ) qui nous ont amené à définir une interpolation basée sur un modèle gravitaire. En effet, la contribution relative gi(P) d’un pôle Pi à la valeur v en un point P est inversement proportionnelle à une puissance de la distance entre P et Pi . Ce qui se traduit par une formule du type :

où la contribution relative gi(P) est définie par

la fonction hj(P) étant la fonction d’attraction du pôle Pj sur le point P, de la forme

où mj est la masse du pôle Pj ,(mj est une constante si les pôles sont équipondérés)

Le champ scalaire obtenu, qui est un modèle mathématique spatialement continu, est ensuite discrétisé pour pouvoir être stocké. Pour le cartographier, on peut calculer des courbes d’isovaleur, ou isolignes, ce qui n’est pas non plus un problème simple. Il donne lieu à différentes stratégies selon la qualité graphique, topologique, des résultats à atteindre. Ces calculs utilisent aussi des méthodes d’interpolation.

# Valeurs vectorielles définies sur des pôles : vecteurs de déviation unipolaire

Exemple : les distances-temps

On cherche à exprimer, par exemple, les disparités de vitesses de transport, donc de temps d’accès sur un réseau depuis une ville donnée (le pôle principal Pi) vers les autres villes du réseau (les pôles secondaires Pj). On dispose des temps de transport tij entre la ville i et les autres villes j du réseau. Sur chaque pôle secondaire Pj on définit un vecteur de déviation vj qui est établi à partir de l’accessibilité depuis le pôle principal. Pour chacun des pôles secondaires Pj on calcule le rapport cij entre la distance à vol d’oiseau dij et une "distance déformée" d’ij, qui est celle parcourue dans le même temps tij mais à la vitesse moyenne sur le réseau, on a alors :

On peut essayer alors de traduire spatialement ces disparités de temps d’accès, en déformant l’espace. On détermine ainsi des points P’j, qui sont les images déformées des points initiaux Pj par l’homothétie de centre Pi et de rapport cij qui est définie par:

La carte initiale reste non déformée si les vitesses de transport sont constantes sur tout le réseau. Si un trajet se fait à une vitesse supérieure à la moyenne, alors dij>d’ij et cij<1, donc le Point P’j se rapproche de Pi. Si la vitesse est inférieure à la moyenne, il s’en éloigne. On voit donc très bien que la carte du réseau déformé, ne correspond pas à une réalité physique, c’est une parabole (raconter dans l’espace une histoire qui se rapporte aux vitesses de transport). Il faut donc en avoir bien compris la règle. Si les disparités de vitesses sont d’ailleurs trop grandes, le résultat sera illisible, la déformation sera telle que la carte sera pliée sur elle-même en de nombreux endroits, comme chiffonnée.

# L’interpolation vectorielle

Exemples : le recalage d’une carte

l’anamorphose

Lorsqu’on dispose des vecteurs de déviation associés aux pôles Pi, on peut chercher à construire un champ vectoriel f, qui à tout point P de l’espace associe un vecteur v. Cela permet de déformer toute la carte (ou l’image), et pas seulement les pôles du réseau. On se trouve ici devant un problème d’interpolation plus général que pour les prix des terrains. La méthode utilisée est une généralisation de la méthode scalaire permettant d’interpoler des données multidimensionnelles [Langlois-Denain 95]. On cherche donc une fonction vectorielle f qui associe à tout point P du plan un vecteur v = f(P), sachant que pour chaque pôle Pi on aura aussi vi = f(Pi).

On peut utiliser cette interpolation vectorielle par exemple pour réaliser une déformation élastique du plan à partir de points de calage, par exemple pour corriger géométriquement une image ou une carte.

Les cartes en anamorphose vectorielle reposent donc sur la construction d’un champ vectoriel de déformation : en chaque point P de l’espace se définit un vecteur f(P) qui permet de calculer la position finale P’ après déformation, par

# Logiciels utilisés

- L’interpolation scalaire et vectorielle, l’anamorphose vectorielle (unipolaire ou multipolaire), les cartes en isolignes sont construites par différents modules du logiciel EdiCart

- Adobe Illustrator a permis l’habillage final des cartes