# Problèmes ouverts à l'école primaire : une manière de varier sa pratique des mathématiques avec un double-niveau

Christine Choquet

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Christine Choquet. Problèmes ouverts à l'école primaire: une manière de varier sa pratique des mathématiques avec un double-niveau. Grand N, Revue de mathématiques, de sciences et technologie pour les maîtres de l'enseignement primaire, 2021, 108, pp.59 à 83. hal-04548355

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Christine CHOQUET-PINEAU

Inspé Académie de Nantes, CREN Université de Nantes

christine.choquet@univ-nantes.fr

Site Inspé de Nantes
4, chemin de Launay Violette
44322 NANTES cedex 3

**Résumé** : Dans cet article, nous présentons des résultats d'une recherche menée sur la pratique du problème ouvert d'un enseignant de cycle 3. Nous comparons deux séances menées par le même professeur des écoles dans une classe de double niveau CM1/CM2 : une séance SQ représentative des séances menées quotidiennement par l'enseignant et une séance SPO dédiée à un problème ouvert, menée plus occasionnellement. Le travail d'analyse se situe dans le cadre de la double approche didactique et ergonomique (Robert et Rogalski 2002) et utilise des résultats sur des profils d'enseignants étudiant en classe de primaire des problèmes ouverts (Choquet 2017). Elle permet de décrire pour les comprendre les choix faits par le professeur et de justifier de l'intérêt de proposer ce type de problèmes en classe de primaire en termes de mise en œuvre, d'enjeux d'enseignement et d'objectifs d'apprentissage pour un double-niveau.

Mots-clés : pratiques enseignantes, problèmes ouverts, double approche, double-niveau, primaire.

INTRODUCTION

Nous menons depuis quelques années une recherche sur les pratiques en mathématiques de
professeurs des écoles (Choquet 2017). Nous avons pu constater, lors de ces recherches mais aussi
dans le cadre d'actions de formation que nous menons, que la pratique du problème ouvert (Arsac
et Mante 2007) à l'école primaire est une des préoccupations de nombreux enseignants travaillant
aux cycles 1, 2 ou 3. De nombreuses questions se posent : comment choisir les énoncés ? dans
quelles ressources ? Comment mettre en œuvre les séances dédiées à des problèmes ouverts ?
Quels objectifs d'apprentissage peuvent être visés pour les élèves de primaire ? Etc.

Afin de proposer des éléments de réponses à ces questions, cet article s'intéresse à la pratique d'un
professeur des écoles de double niveau CM1/CM2¹ (élèves de 8-10 ans) lors de deux séances de
mathématiques préparées et mises en œuvre par cet enseignant : la première (notée SQ) est
représentative des séances de mathématiques menées quotidiennement par l'enseignant et la

<footnote n="1">¹ Cours moyen première et deuxième années</footnote>
Christine CHOQUET-PINEAU

Inspé Académie de Nantes, CREN Université de Nantes

christine.choquet@univ-nantes.fr

Site Inspé de Nantes
4, chemin de Launay Violette
44322 NANTES cedex 3

**Résumé** : Dans cet article, nous présentons des résultats d'une recherche menée sur la pratique du problème ouvert d'un enseignant de cycle 3. Nous comparons deux séances menées par le même professeur des écoles dans une classe de double niveau CM1/CM2 : une séance SQ représentative des séances menées quotidiennement par l'enseignant et une séance SPO dédiée à un problème ouvert, menée plus occasionnellement. Le travail d'analyse se situe dans le cadre de la double approche didactique et ergonomique (Robert et Rogalski 2002) et utilise des résultats sur des profils d'enseignants étudiant en classe de primaire des problèmes ouverts (Choquet 2017). Elle permet de décrire pour les comprendre les choix faits par le professeur et de justifier de l'intérêt de proposer ce type de problèmes en classe de primaire en termes de mise en œuvre, d'enjeux d'enseignement et d'objectifs d'apprentissage pour un double-niveau.

Mots-clés : pratiques enseignantes, problèmes ouverts, double approche, double-niveau, primaire.

INTRODUCTION

Nous menons depuis quelques années une recherche sur les pratiques en mathématiques de
professeurs des écoles (Choquet 2017). Nous avons pu constater, lors de ces recherches mais aussi
dans le cadre d'actions de formation que nous menons, que la pratique du problème ouvert (Arsac
et Mante 2007) à l'école primaire est une des préoccupations de nombreux enseignants travaillant
aux cycles 1, 2 ou 3. De nombreuses questions se posent : comment choisir les énoncés ? dans
quelles ressources ? Comment mettre en œuvre les séances dédiées à des problèmes ouverts ?
Quels objectifs d'apprentissage peuvent être visés pour les élèves de primaire ? Etc.

Afin de proposer des éléments de réponses à ces questions, cet article s'intéresse à la pratique d'un
professeur des écoles de double niveau CM1/CM2¹ (élèves de 8-10 ans) lors de deux séances de
mathématiques préparées et mises en œuvre par cet enseignant : la première (notée SQ) est
représentative des séances de mathématiques menées quotidiennement par l'enseignant et la

<footnote n="1">¹ Cours moyen première et deuxième années</footnote>
deuxième (notée SPO), menée beaucoup plus occasionnellement, est dédiée à l'étude d'un problème ouvert. En analysant et en comparant les deux séances, nous montrons que la recherche/résolution de problèmes ouverts en classe de primaire est un moyen pour le professeur des écoles de varier sa pratique quotidienne des mathématiques dans une classe de double-niveau et de viser le développement de compétences mathématiques chez tous les élèves, notamment comme le préconisent les instructions officielles (MEN 2015, 2018).

En effet, les instructions officielles de l'année 2015 pour l'école élémentaire et le collège regroupent, dans un même cycle 3², les niveaux de première et deuxième années du cours moyen avec la classe de sixième (élèves de 8 à 10 ans). Les programmes concernant l'enseignement des mathématiques dans ce cycle 3 sont présentés, aux professeurs des écoles et aux professeurs de mathématiques de collège, dans un document commun. Dans le prolongement des programmes précédents (MEN 2002, 2008), la résolution de problèmes est placée au centre de cet enseignement et de l'activité des élèves afin de leur permettre d'acquérir des connaissances mathématiques et de développer des compétences :

> La résolution de problèmes constitue le critère principal de la maîtrise des connaissances dans tous les domaines des mathématiques, mais elle est également le moyen d'en assurer une appropriation qui en garantit le sens. La résolution de problèmes permet [...] de montrer comment des notions mathématiques peuvent être des outils pertinents pour résoudre certaines situations. (MEN 2015, p. 190).

Afin de repérer et comprendre les choix faits par l'enseignant, nous revenons, dans une première partie, sur la caractérisation du problème ouvert proposée par l'IREM de Lyon (1988) ainsi que sur la place, plus ou moins explicite, qu'il occupe dans les instructions officielles de l'école primaire depuis l'année 2002. Nous examinons ensuite, en nous appuyant sur des articles déjà publiés dans la revue *Grand N*, ce qu'apporte la recherche en didactique des mathématiques sur les enjeux de son utilisation en classe de primaire ainsi que sur les réussites et les difficultés liées à sa mise en œuvre. L'analyse et la comparaison des deux séances, menées dans le cadre de la double approche permet de mettre en évidence les variabilités entre les deux séances et de justifier de l'intérêt pour la classe de double-niveau de cet enseignant de proposer des séances dédiées à l'étude de problèmes ouverts.

# I. DES PROBLEMES OUVERTS DEPUIS LES ANNEES QUATRE-VINGTS

## 1. Une caractérisation pérenne depuis les années quatre-vingts

Une caractérisation du problème ouvert a été proposée par un groupe de l'IREM de Lyon (Arsac, Germain et Mante, 1988, p. 7) :

*L'énoncé est court.*

*L'énoncé n'induit ni la méthode, ni la solution (pas de questions intermédiaires ni de questions du type « montrer que »). En aucun cas, cette solution ne doit se réduire à l'utilisation ou l'application immédiate des derniers résultats présentés en cours.*

*Le problème se trouve dans un domaine conceptuel avec lequel les élèves ont assez de familiarité. Ainsi, peuvent-ils prendre facilement « possession » de la situation et s'engager dans des essais, des conjectures, des projets de résolution, des contre-exemples.*

<footnote n="2">² Le cycle 2 regroupe les classes du cours préparatoire, des cours élémentaires de première et deuxième années (CP/CE1/CE2) et le cycle 4 regroupe les classes de cinquième, quatrième et troisième du collège (MEN, Bulletin officiel spécial n°11 du 26 novembre 2015).</footnote>
deuxième (notée SPO), menée beaucoup plus occasionnellement, est dédiée à l'étude d'un problème ouvert. En analysant et en comparant les deux séances, nous montrons que la recherche/résolution de problèmes ouverts en classe de primaire est un moyen pour le professeur des écoles de varier sa pratique quotidienne des mathématiques dans une classe de double-niveau et de viser le développement de compétences mathématiques chez tous les élèves, notamment comme le préconisent les instructions officielles (MEN 2015, 2018).

En effet, les instructions officielles de l'année 2015 pour l'école élémentaire et le collège regroupent, dans un même cycle 3², les niveaux de première et deuxième années du cours moyen avec la classe de sixième (élèves de 8 à 10 ans). Les programmes concernant l'enseignement des mathématiques dans ce cycle 3 sont présentés, aux professeurs des écoles et aux professeurs de mathématiques de collège, dans un document commun. Dans le prolongement des programmes précédents (MEN 2002, 2008), la résolution de problèmes est placée au centre de cet enseignement et de l'activité des élèves afin de leur permettre d'acquérir des connaissances mathématiques et de développer des compétences :

> La résolution de problèmes constitue le critère principal de la maîtrise des connaissances dans tous les domaines des mathématiques, mais elle est également le moyen d'en assurer une appropriation qui en garantit le sens. La résolution de problèmes permet [...] de montrer comment des notions mathématiques peuvent être des outils pertinents pour résoudre certaines situations. (MEN 2015, p. 190).

Afin de repérer et comprendre les choix faits par l'enseignant, nous revenons, dans une première partie, sur la caractérisation du problème ouvert proposée par l'IREM de Lyon (1988) ainsi que sur la place, plus ou moins explicite, qu'il occupe dans les instructions officielles de l'école primaire depuis l'année 2002. Nous examinons ensuite, en nous appuyant sur des articles déjà publiés dans la revue *Grand N*, ce qu'apporte la recherche en didactique des mathématiques sur les enjeux de son utilisation en classe de primaire ainsi que sur les réussites et les difficultés liées à sa mise en œuvre. L'analyse et la comparaison des deux séances, menées dans le cadre de la double approche permet de mettre en évidence les variabilités entre les deux séances et de justifier de l'intérêt pour la classe de double-niveau de cet enseignant de proposer des séances dédiées à l'étude de problèmes ouverts.

# I. DES PROBLEMES OUVERTS DEPUIS LES ANNEES QUATRE-VINGTS

## 1. Une caractérisation pérenne depuis les années quatre-vingts

Une caractérisation du problème ouvert a été proposée par un groupe de l'IREM de Lyon (Arsac, Germain et Mante, 1988, p. 7) :

> L'énoncé est court.

> L'énoncé n'induit ni la méthode, ni la solution (pas de questions intermédiaires ni de questions du type « montrer que »). En aucun cas, cette solution ne doit se réduire à l'utilisation ou l'application immédiate des derniers résultats présentés en cours.

> Le problème se trouve dans un domaine conceptuel avec lequel les élèves ont assez de familiarité. Ainsi, peuvent-ils prendre facilement « possession » de la situation et s'engager dans des essais, des conjectures, des projets de résolution, des contre-exemples.

<footnote n="2">² Le cycle 2 regroupe les classes du cours préparatoire, des cours élémentaires de première et deuxième années (CP/CE1/CE2) et le cycle 4 regroupe les classes de cinquième, quatrième et troisième du collège (MEN, Bulletin officiel spécial n°11 du 26 novembre 2015).</footnote>
Celle-ci n'a pas changé depuis le début des années quatre-vingts et cette pérennité montre la pertinence de chacun des trois critères (Choquet 2014). Il s'agit de proposer un problème engageant tous les élèves dans des essais et dans des tentatives de raisonnements permettant de justifier les procédures qu'ils choisissent et leurs résultats.

La caractérisation proposée repose sur des contraintes qui permettent de préciser quels énoncés peuvent être des problèmes ouverts: des énoncés courts, dans un domaine conceptuel familier des élèves. La définition concerne également la formulation des énoncés, la forme qu'ils peuvent prendre, elle précise notamment des objectifs d'apprentissages pour les élèves et en particulier, l'apprentissage d'une démarche scientifique. L'enjeu principal du problème ouvert est défini par les auteurs comme la découverte en classe de mathématiques de la démarche scientifique autrement dit de « mettre les élèves en situation d'essayer, conjecturer, tester, prouver » (Arsac, Germain et Mante 1988, p. 12).

La brièveté de l'énoncé doit permettre à tous les élèves de comprendre rapidement le but du problème et ainsi les inciter à s'engager dans quelques essais et à réfléchir à une stratégie de recherche/résolution. Le choix d'un énoncé court répond donc à une contrainte de motivation des élèves, il permet d'engager un processus de dévolution (Brousseau).

Les auteurs soulignent que les élèves doivent disposer des connaissances nécessaires pour résoudre le problème proposé : « le problème se trouve dans un domaine conceptuel avec lequel les élèves ont assez de familiarité » (Ibid., p. 7). Ce domaine dans lequel se situe le problème est considéré comme « familier » autrement dit, il doit être rapidement reconnu des élèves. « Le temps pour réaliser un essai est assez bref, compte tenu des connaissances et du matériel à utiliser pour le faire [...] » (Ibid., p. 9). Le but est que les essais engagés aboutissent rapidement à quelques résultats ou des idées de résultats et que les élèves parviennent à énoncer rapidement des conjectures cohérentes avec le sujet traité par le problème.

Par ailleurs, afin d'engager toute une classe dans une recherche, la solution ne doit pas paraître trop « évidente aux élèves », elle doit mener à un débat et à la nécessité d'une preuve. Il s'agit de faire attention à ne pas « proposer un problème pour lequel les conjectures immédiates émises par les élèves correspondent à la solution » (Ibid., p. 19).

## 2. Les pratiques des professeurs proposant des problèmes ouverts en classe

### a. L'organisation proposée des séances

L'organisation des séances est également précisée aux enseignants. Il leur est conseillé de donner « [...] la possibilité pour chacun de trouver quelque chose [...] » (Ibid., p. 11), la recherche en classe permet de montrer aux élèves qu'ils sont tous capables de chercher et de trouver quelques résultats, même modestes et ceci grâce au soutien de l'enseignant quand c'est nécessaire. Il s'agit bien en cela d'engager dans une recherche, de soutenir cette recherche et surtout pas de laisser des élèves seuls face à des difficultés ou une impasse. Le travail de groupe est présenté comme permettant de palier une grande partie de ces difficultés. Les élèves sont moins seuls face au problème : « cela évite un découragement éventuel, diminue la peur de ne rien trouver, augmente les chances de production de conjectures dans un délai raisonnable » (Ibid., p. 9).

Après un temps de recherche individuelle puis en petits groupes, une phase de mise en commun permet non seulement de corriger mais surtout de poursuivre le travail de résolution en demandant aux élèves de défendre leurs résultats, de justifier leur conjecture pour convaincre les autres. Les solutions ou pistes de solutions, trouvées par la classe, se trouvent alors enrichies car discutées au préalable dans certains groupes, cela permet d'approfondir les mises en commun.

### b. Une organisation en lien avec des objectifs d'apprentissage

Arsac, Germain et Mante (1988) précisent que l'apprentissage de la démarche scientifique (essayer, conjecturer, tester, prouver) est un des objectifs de la pratique du problème ouvert. Les recherches que
Celle-ci n'a pas changé depuis le début des années quatre-vingts et cette pérennité montre la pertinence de chacun des trois critères (Choquet 2014). Il s'agit de proposer un problème engageant tous les élèves dans des essais et dans des tentatives de raisonnements permettant de justifier les procédures qu'ils choisissent et leurs résultats.

La caractérisation proposée repose sur des contraintes qui permettent de préciser quels énoncés peuvent être des problèmes ouverts: des énoncés courts, dans un domaine conceptuel familier des élèves. La définition concerne également la formulation des énoncés, la forme qu'ils peuvent prendre, elle précise notamment des objectifs d'apprentissages pour les élèves et en particulier, l'apprentissage d'une démarche scientifique. L'enjeu principal du problème ouvert est défini par les auteurs comme la découverte en classe de mathématiques de la démarche scientifique autrement dit de « mettre les élèves en situation d'essayer, conjecturer, tester, prouver » (Arsac, Germain et Mante 1988, p. 12).

La brièveté de l'énoncé doit permettre à tous les élèves de comprendre rapidement le but du problème et ainsi les inciter à s'engager dans quelques essais et à réfléchir à une stratégie de recherche/résolution. Le choix d'un énoncé court répond donc à une contrainte de motivation des élèves, il permet d'engager un processus de dévolution (Brousseau).

Les auteurs soulignent que les élèves doivent disposer des connaissances nécessaires pour résoudre le problème proposé : « le problème se trouve dans un domaine conceptuel avec lequel les élèves ont assez de familiarité » (Ibid., p. 7). Ce domaine dans lequel se situe le problème est considéré comme « familier » autrement dit, il doit être rapidement reconnu des élèves. « Le temps pour réaliser un essai est assez bref, compte tenu des connaissances et du matériel à utiliser pour le faire [...] » (Ibid., p. 9). Le but est que les essais engagés aboutissent rapidement à quelques résultats ou des idées de résultats et que les élèves parviennent à énoncer rapidement des conjectures cohérentes avec le sujet traité par le problème.

Par ailleurs, afin d'engager toute une classe dans une recherche, la solution ne doit pas paraître trop « évidente aux élèves », elle doit mener à un débat et à la nécessité d'une preuve. Il s'agit de faire attention à ne pas « proposer un problème pour lequel les conjectures immédiates émises par les élèves correspondent à la solution » (Ibid., p. 19).

## 2. Les pratiques des professeurs proposant des problèmes ouverts en classe

### a. L'organisation proposée des séances

L'organisation des séances est également précisée aux enseignants. Il leur est conseillé de donner « [...] la possibilité pour chacun de trouver quelque chose [...] » (Ibid., p. 11), la recherche en classe permet de montrer aux élèves qu'ils sont tous capables de chercher et de trouver quelques résultats, même modestes et ceci grâce au soutien de l'enseignant quand c'est nécessaire. Il s'agit bien en cela d'engager dans une recherche, de soutenir cette recherche et surtout pas de laisser des élèves seuls face à des difficultés ou une impasse. Le travail de groupe est présenté comme permettant de palier une grande partie de ces difficultés. Les élèves sont moins seuls face au problème : « cela évite un découragement éventuel, diminue la peur de ne rien trouver, augmente les chances de production de conjectures dans un délai raisonnable » (Ibid., p. 9).

Après un temps de recherche individuelle puis en petits groupes, une phase de mise en commun permet non seulement de corriger mais surtout de poursuivre le travail de résolution en demandant aux élèves de défendre leurs résultats, de justifier leur conjecture pour convaincre les autres. Les solutions ou pistes de solutions, trouvées par la classe, se trouvent alors enrichies car discutées au préalable dans certains groupes, cela permet d'approfondir les mises en commun.

### b. Une organisation en lien avec des objectifs d'apprentissage

Arsac, Germain et Mante (1988) précisent que l'apprentissage de la démarche scientifique (essayer, conjecturer, tester, prouver) est un des objectifs de la pratique du problème ouvert. Les recherches que
nous avons menées depuis plusieurs années sur la pratique des problèmes ouverts à l'école primaire permettent de préciser ces objectifs. Nous avons mis en évidence deux profils de professeurs des écoles (Choquet 2017) :

Certains enseignants proposent aux élèves des problèmes ouverts avec pour enjeu principal de faire chercher les élèves pendant le cours de mathématiques et d'exhiber la solution attendue (profil 1). D'autres enseignants proposent ce type de problèmes en ayant l'enjeu de faire apprendre des mathématiques aux élèves en cherchant et de les amener à développer des compétences de modélisation ou de raisonnement (Profil 2). Ils choisissent, quand ils accompagnent les élèves dans leurs recherches, de leur enseigner, par exemple, qu'un schéma, une représentation peuvent les aider à résoudre un problème. Ou ils décident d'étudier des problèmes ouverts en classe afin, pendant les temps de mise en commun des résultats, d'initier leurs élèves au raisonnement, de les amener à la preuve en mathématiques.

## II. UNE PLACE DANS LES PROGRAMMES DE L'ECOLE PRIMAIRE

Le problème ouvert est dans un premier temps défini pour le professeur de mathématiques enseignant au collège et au lycée et non pour l'école élémentaire (Arsac et al. 1988). Cependant des professeurs des écoles s'emparent également de ce type de problèmes (Charnay 2007) et cela en partie en réponse aux instructions officielles recommandant, en particulier depuis l'année 2002, aux professeurs des écoles de développer chez leurs élèves des comportements de recherche et de raisonnements (Choquet 2014). Afin d'examiner ce choix fait par des professeurs des écoles, nous repérons la place effectivement réservée aux problèmes ouverts dans les programmes de mathématiques des années 2002, 2008, 2015 et 2018.

En 2002, les instructions officielles pour l'école primaire incitent les professeurs d'axer leur enseignement des mathématiques sur la résolution de problèmes (MEN 2002a, p. 64) :

En mathématiques, [...] l'essentiel du programme réside dans l'orientation pragmatique d'un enseignement des mathématiques centré sur la résolution de problèmes. Par-là, les connaissances élaborées dans les différents domaines des mathématiques prennent leur signification. Elles deviennent des instruments disponibles pour traiter nombre de situations [...].

Les enseignants sont encouragés notamment à mettre en œuvre des **problèmes de recherche** afin de permettre à tous les élèves de développer des capacités à chercher, abstraire, raisonner, prouver (Ibid., p. 82). Le but annoncé dans l'introduction du document d'application des programmes (MEN 2002b, p. 7) est de favoriser l'activité même de résolution de problèmes afin

de développer chez les élèves un comportement de recherche et des compétences d'ordre méthodologique : émettre des hypothèses et les tester, faire et gérer des essais successifs, élaborer une solution originale et en éprouver la validité, argumenter. Ces situations peuvent enrichir leur représentation des mathématiques, développer leur imagination et leur désir de chercher, [...].

Toutes ces précisions ne sont pas sans rappeler la caractérisation du problème ouvert et son enjeu principal. Le lien est d'ailleurs explicitement fait dans un document d'accompagnement des programmes (MEN 2005) dédié à la présentation et la mise en œuvre en classe de **problèmes pour chercher**.

Les instructions officielles de l'année 2008, ne reprennent plus explicitement les expressions **problème de recherche** ou **problème pour chercher**. Les programmes de mathématiques précisent néanmoins que la résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l'activité mathématique (MEN 2008, p. 33) et que celle-ci développe le goût de la recherche et du raisonnement (Ibid., p. 22). Il faut attendre le document *Ressources* (MEN 2012) associé à ces programmes pour retrouver explicitement citée un lien avec le problème ouvert et la nécessité de proposer aux élèves des **problèmes inédits** pour eux « [...] visant principalement à permettre aux élèves de prendre des
nous avons menées depuis plusieurs années sur la pratique des problèmes ouverts à l'école primaire permettent de préciser ces objectifs. Nous avons mis en évidence deux profils de professeurs des écoles (Choquet 2017) :

Certains enseignants proposent aux élèves des problèmes ouverts avec pour enjeu principal de faire chercher les élèves pendant le cours de mathématiques et d'exhiber la solution attendue (profil 1). D'autres enseignants proposent ce type de problèmes en ayant l'enjeu de faire apprendre des mathématiques aux élèves en cherchant et de les amener à développer des compétences de modélisation ou de raisonnement (Profil 2). Ils choisissent, quand ils accompagnent les élèves dans leurs recherches, de leur enseigner, par exemple, qu'un schéma, une représentation peuvent les aider à résoudre un problème. Ou ils décident d'étudier des problèmes ouverts en classe afin, pendant les temps de mise en commun des résultats, d'initier leurs élèves au raisonnement, de les amener à la preuve en mathématiques.

## II. UNE PLACE DANS LES PROGRAMMES DE L'ECOLE PRIMAIRE

Le problème ouvert est dans un premier temps défini pour le professeur de mathématiques enseignant au collège et au lycée et non pour l'école élémentaire (Arsac et al. 1988). Cependant des professeurs des écoles s'emparent également de ce type de problèmes (Charnay 2007) et cela en partie en réponse aux instructions officielles recommandant, en particulier depuis l'année 2002, aux professeurs des écoles de développer chez leurs élèves des comportements de recherche et de raisonnements (Choquet 2014). Afin d'examiner ce choix fait par des professeurs des écoles, nous repérons la place effectivement réservée aux problèmes ouverts dans les programmes de mathématiques des années 2002, 2008, 2015 et 2018.

En 2002, les instructions officielles pour l'école primaire incitent les professeurs d'axer leur enseignement des mathématiques sur la résolution de problèmes (MEN 2002a, p. 64) :

En mathématiques, [...] l'essentiel du programme réside dans l'orientation pragmatique d'un enseignement des mathématiques centré sur la résolution de problèmes. Par-là, les connaissances élaborées dans les différents domaines des mathématiques prennent leur signification. Elles deviennent des instruments disponibles pour traiter nombre de situations [...].

Les enseignants sont encouragés notamment à mettre en œuvre des **problèmes de recherche** afin de permettre à tous les élèves de développer des capacités à chercher, abstraire, raisonner, prouver (Ibid., p. 82). Le but annoncé dans l'introduction du document d'application des programmes (MEN 2002b, p. 7) est de favoriser l'activité même de résolution de problèmes afin

de développer chez les élèves un comportement de recherche et des compétences d'ordre méthodologique : émettre des hypothèses et les tester, faire et gérer des essais successifs, élaborer une solution originale et en éprouver la validité, argumenter. Ces situations peuvent enrichir leur représentation des mathématiques, développer leur imagination et leur désir de chercher, [...].

Toutes ces précisions ne sont pas sans rappeler la caractérisation du problème ouvert et son enjeu principal. Le lien est d'ailleurs explicitement fait dans un document d'accompagnement des programmes (MEN 2005) dédié à la présentation et la mise en œuvre en classe de **problèmes pour chercher**.

Les instructions officielles de l'année 2008, ne reprennent plus explicitement les expressions **problème de recherche** ou **problème pour chercher**. Les programmes de mathématiques précisent néanmoins que la résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l'activité mathématique (MEN 2008, p. 33) et que celle-ci développe le goût de la recherche et du raisonnement (Ibid., p. 22). Il faut attendre le document *Ressources* (MEN 2012) associé à ces programmes pour retrouver explicitement citée un lien avec le problème ouvert et la nécessité de proposer aux élèves des **problèmes inédits** pour eux « [...] visant principalement à permettre aux élèves de prendre des
initiatives, de formuler des hypothèses, et d'apprendre à les prouver, (par exemple des problèmes ouverts) [...] » (p. 53).

Depuis la rentrée scolaire de l'année 2016, les première et deuxième années du cours moyen (les classes de CM1 et CM2) sont regroupées avec la première année du collège (la classe de 6ème) dans un même cycle 3 (élèves de 8-11 ans). Les programmes réaffirment la place importante de la résolution de problèmes dans l'enseignement/apprentissage des mathématiques qui doit permettre notamment « *la poursuite du développement des six compétences majeures des mathématiques : chercher, modéliser, représenter, calculer, raisonner et communiquer* » (MEN 2016, p. 10) amorcé lors du cycle 2 de l'école élémentaire. Il est précisé qu'il s'agit pour les élèves « *d'apprendre à s'engager dans une démarche, observer, questionner, manipuler, expérimenter, émettre des hypothèses, en mobilisant des outils ou des procédures mathématiques déjà rencontrées, en élaborant un raisonnement adapté à une situation nouvelle* » (p. 11). Cette injonction est renforcée par une lettre d'accompagnement des programmes (MEN 2018) dédiée à la résolution de problèmes à l'école primaire. Celle-ci réaffirme l'intérêt pour tous les élèves d'être confrontés à des séances dédiées à la recherche/résolution de problèmes afin d'apprendre à chercher et dans le but d'acquérir des méthodes, des démarches de recherche (comme par exemple « *la méthode essai-erreur* ») (p. 3).

### III. DES RESULTATS DE LA RECHERCHE DANS LA REVUE GRAND N

Des recherches en didactique des mathématiques ont été menées afin de repérer les connaissances et les compétences mathématiques en jeu dans la recherche/résolution de problèmes de type ouvert et afin d'étudier leurs mises en œuvre dans des classes de l'école élémentaire. Parmi l'ensemble de ces recherches, nous nous sommes attardés sur les résultats diffusés dans la revue *Grand N* à destination notamment des professeurs des écoles, des formateurs d'enseignants et des étudiants. Ces résultats peuvent être présentés selon trois axes : les enjeux du problème ouvert à l'école élémentaire (Charnay 1993, Bonnet et Clément-Martin 2006), des propositions d'énoncés de problèmes à destination du premier degré (Bessot et al. 1985, Godot 2006, Thomas 2007) ainsi que des exemples d'expérimentation en classe de primaire identifiant des réussites et des difficultés (Lépine 1996, Groupe élémentaire IREM Besançon 2005, Comes 2005, Bonnet et Clément-Martin 2006, Hersant 2008).

#### 1. Les enjeux des problèmes ouverts à l'école primaire

Des comparaisons entre le problème ouvert et d'autres types de problèmes utilisés à l'école primaire (situation-problème, problème de réinvestissement, problème de synthèse, etc.) sont réalisées et donnent des éléments concernant sa mise en œuvre en classe de primaire : il s'agit en priorité de favoriser le développement de capacités de recherche et d'argumentation mais également de valoriser les différences des élèves du point de vue de leurs connaissances mathématiques et de leurs compétences en termes de résolution de problèmes (Charnay 1993). La recherche et résolution de problèmes ouverts permet d'apprendre à faire face à des problèmes inédits, à des situations atypiques. Elle permet aux enseignants de faire prendre conscience aux élèves « *de la puissance de leurs connaissances* » et de les aider à « *développer une attitude positive [...] face aux problèmes* » de mathématiques (Bonnet et Clément-Martin 2006). En effet, l'étude de ce type de problèmes en classe est l'occasion de « valoriser des comportements et des méthodes essentiels pour la construction des savoirs » en l'occurrence « argumenter, débattre, avoir l'esprit ouvert et critique » (Ibid.).

#### 2. Des exemples d'énoncés pour l'école primaire

Des travaux de recherche aboutissent à l'élaboration d'énoncés pour le premier degré répondant à la caractérisation du problème ouvert. Plusieurs exemples ont retenu notre attention.
initiatives, de formuler des hypothèses, et d'apprendre à les prouver, (par exemple des problèmes ouverts) [...] » (p. 53).

Depuis la rentrée scolaire de l'année 2016, les première et deuxième années du cours moyen (les classes de CM1 et CM2) sont regroupées avec la première année du collège (la classe de 6ème) dans un même cycle 3 (élèves de 8-11 ans). Les programmes réaffirment la place importante de la résolution de problèmes dans l'enseignement/apprentissage des mathématiques qui doit permettre notamment « *la poursuite du développement des six compétences majeures des mathématiques : chercher, modéliser, représenter, calculer, raisonner et communiquer* » (MEN 2016, p. 10) amorcé lors du cycle 2 de l'école élémentaire. Il est précisé qu'il s'agit pour les élèves « *d'apprendre à s'engager dans une démarche, observer, questionner, manipuler, expérimenter, émettre des hypothèses, en mobilisant des outils ou des procédures mathématiques déjà rencontrées, en élaborant un raisonnement adapté à une situation nouvelle* » (p. 11). Cette injonction est renforcée par une lettre d'accompagnement des programmes (MEN 2018) dédiée à la résolution de problèmes à l'école primaire. Celle-ci réaffirme l'intérêt pour tous les élèves d'être confrontés à des séances dédiées à la recherche/résolution de problèmes afin d'apprendre à chercher et dans le but d'acquérir des méthodes, des démarches de recherche (comme par exemple « *la méthode essai-erreur* ») (p. 3).

### III. DES RESULTATS DE LA RECHERCHE DANS LA REVUE GRAND N

Des recherches en didactique des mathématiques ont été menées afin de repérer les connaissances et les compétences mathématiques en jeu dans la recherche/résolution de problèmes de type ouvert et afin d'étudier leurs mises en œuvre dans des classes de l'école élémentaire. Parmi l'ensemble de ces recherches, nous nous sommes attardés sur les résultats diffusés dans la revue *Grand N* à destination notamment des professeurs des écoles, des formateurs d'enseignants et des étudiants. Ces résultats peuvent être présentés selon trois axes : les enjeux du problème ouvert à l'école élémentaire (Charnay 1993, Bonnet et Clément-Martin 2006), des propositions d'énoncés de problèmes à destination du premier degré (Bessot et al. 1985, Godot 2006, Thomas 2007) ainsi que des exemples d'expérimentation en classe de primaire identifiant des réussites et des difficultés (Lépine 1996, Groupe élémentaire IREM Besançon 2005, Comes 2005, Bonnet et Clément-Martin 2006, Hersant 2008).

#### 1. Les enjeux des problèmes ouverts à l'école primaire

Des comparaisons entre le problème ouvert et d'autres types de problèmes utilisés à l'école primaire (situation-problème, problème de réinvestissement, problème de synthèse, etc.) sont réalisées et donnent des éléments concernant sa mise en œuvre en classe de primaire : il s'agit en priorité de favoriser le développement de capacités de recherche et d'argumentation mais également de valoriser les différences des élèves du point de vue de leurs connaissances mathématiques et de leurs compétences en termes de résolution de problèmes (Charnay 1993). La recherche et résolution de problèmes ouverts permet d'apprendre à faire face à des problèmes inédits, à des situations atypiques. Elle permet aux enseignants de faire prendre conscience aux élèves « *de la puissance de leurs connaissances* » et de les aider à « *développer une attitude positive [...] face aux problèmes* » de mathématiques (Bonnet et Clément-Martin 2006). En effet, l'étude de ce type de problèmes en classe est l'occasion de « valoriser des comportements et des méthodes essentiels pour la construction des savoirs » en l'occurrence « argumenter, débattre, avoir l'esprit ouvert et critique » (Ibid.).

#### 2. Des exemples d'énoncés pour l'école primaire

Des travaux de recherche aboutissent à l'élaboration d'énoncés pour le premier degré répondant à la caractérisation du problème ouvert. Plusieurs exemples ont retenu notre attention.
Le problème *Les aimants* (Bessot et al. 1985) est conçu pour des élèves de CE1.

<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>Figure 1 : Enoncé *Les aimants* (Bessot et al. 1985, p. 5)</figcaption></figure>

Sa recherche/résolution a trois objectifs principaux : un travail sur les nombres afin de donner un sens aux opérations, la maîtrise de représentations dessinées, la validation de réponses proposées.

Le problème *La roue aux couleurs* (Godot 2006), à destination d'élèves de cycle 3, a pour but de faire découvrir les mathématiques aux élèves de cycle 3 sous un aspect expérimental. Son étude est l'occasion pour les enseignants de « mettre en application les directives officielles et faire de leur classe une véritable petite communauté mathématique » (Godot, p. 16). Il s'agit de « contribuer à donner du sens à cette discipline bien souvent réduite à leurs yeux au calcul » (Ibid, p. 16) et de développer des compétences de recherche et de modélisation.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 2 : *La roue aux couleurs* (Godot 2006, p. 7)</figcaption></figure>

Les problèmes d'optimisation peuvent également être des problèmes ouverts pour le cycle 3. La recherche/résolution des deux problèmes *Les gommettes* et *Les étiquettes* (Thomas 2007) place les mathématiques sous un aspect expérimental, de la même façon que le problème précédent, mais elle permet également d'envisager une approche déductive en demandant aux élèves « de se dégager des exemples et de raisonner en faisant appel à des connaissances de portée générale » (Thomas 2007, p. 32).
Le problème *Les aimants* (Bessot et al. 1985) est conçu pour des élèves de CE1.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1 : Enoncé *Les aimants* (Bessot et al. 1985, p. 5)</figcaption></figure>

Sa recherche/résolution a trois objectifs principaux : un travail sur les nombres afin de donner un sens aux opérations, la maîtrise de représentations dessinées, la validation de réponses proposées.

Le problème *La roue aux couleurs* (Godot 2006), à destination d'élèves de cycle 3, a pour but de faire découvrir les mathématiques aux élèves de cycle 3 sous un aspect expérimental. Son étude est l'occasion pour les enseignants de « mettre en application les directives officielles et faire de leur classe une véritable petite communauté mathématique » (Godot, p. 16). Il s'agit de « contribuer à donner du sens à cette discipline bien souvent réduite à leurs yeux au calcul » (Ibid, p. 16) et de développer des compétences de recherche et de modélisation.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2 : *La roue aux couleurs* (Godot 2006, p. 7)</figcaption></figure>

Les problèmes d'optimisation peuvent également être des problèmes ouverts pour le cycle 3. La recherche/résolution des deux problèmes *Les gommettes* et *Les étiquettes* (Thomas 2007) place les mathématiques sous un aspect expérimental, de la même façon que le problème précédent, mais elle permet également d'envisager une approche déductive en demandant aux élèves « de se dégager des exemples et de raisonner en faisant appel à des connaissances de portée générale » (Thomas 2007, p. 32).
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 3 : *Les gommettes* et *Les étiquettes* (Thomas 2007, p. 2)</figcaption></figure>

Dans ces deux énoncés, il ne s'agit pas « d'anticiper les objectifs du collège, encore moins ses exigences, mais de confronter les élèves à de véritables questions mathématiques » (Ibid., p. 10) et cela dès l'école élémentaire afin de permettre à tous les élèves de développer des compétences mathématiques en lien avec les instructions officielles du premier degré.

Il est par ailleurs souligné, dans chacune de ces études, que l'attitude du maître, les choix qu'il fait pour sa mise en œuvre en classe et les objectifs qu'il fixe sont tout aussi essentiels d'où l'importance à donner à l'analyse d'expérimentations menées en classe. Ce qui a conduit le milieu de la recherche à étudier des expérimentations en classe.

### 3. Des exemples d'expérimentations en classe de primaire

Les analyses de séances dédiées à la recherche/résolution de problèmes ouverts révèlent des réussites et des difficultés de mise en œuvre. Elles concluent d'une part sur l'idée que « *confronter ses élèves à des problèmes ouverts s'avère être un acte pédagogique pertinent* » (Combès 2005, p. 9). En effet lors de ces séances, les enseignants repèrent les acquis de leurs élèves et identifient leurs difficultés. Le problème ouvert est en cela un « *moyen de différenciation d'apprentissage avec un support identique pour tous les élèves d'une même classe* » (Ibid., p. 9). Les situations proposées permettent ainsi pour chacun d'entre eux, à leur propre rythme « *de faire évoluer la représentation [...] de ce qu'est faire des mathématiques* » (Ibid., p. 9).

Les difficultés repérées *a posteriori* apportent des éléments utiles afin de mettre en œuvre des problèmes ouverts. Elles sont liées à une mauvaise compréhension des énoncés mais également à une difficulté pour les enseignants à aider les élèves pendant les temps de recherche (sans résoudre le problème à leur place) ou à mener des débats lors d'une mise en commun des procédures des élèves ainsi qu'à faire qu'ils s'appuient sur leurs résultats de recherche lors de l'élaboration collective d'une solution au problème (Lépine 1996, Irem de Besançon 2005).

La recherche/résolution de tels problèmes permet de faire émerger chez les élèves certaines difficultés mathématiques encore présentes, elle leur permet ainsi « *d'expliciter en situation l'état de certaines de leurs connaissances* » et par suite à l'enseignant de « *remédier en direct* » (Combès 2005, p. 9). Cependant la gestion de séances dédiées à des problèmes ouverts n'est pas considérée
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 3 : *Les gommettes* et *Les étiquettes* (Thomas 2007, p. 2)</figcaption></figure>

Dans ces deux énoncés, il ne s'agit pas « d'anticiper les objectifs du collège, encore moins ses exigences, mais de confronter les élèves à de véritables questions mathématiques » (Ibid., p. 10) et cela dès l'école élémentaire afin de permettre à tous les élèves de développer des compétences mathématiques en lien avec les instructions officielles du premier degré.

Il est par ailleurs souligné, dans chacune de ces études, que l'*attitude du maître*, les choix qu'il fait pour sa mise en œuvre en classe et les objectifs qu'il fixe sont tout aussi essentiels d'où l'importance à donner à l'analyse d'expérimentations menées en classe. Ce qui a conduit le milieu de la recherche à étudier des expérimentations en classe.

### 3. Des exemples d'expérimentations en classe de primaire

Les analyses de séances dédiées à la recherche/résolution de problèmes ouverts révèlent des réussites et des difficultés de mise en œuvre. Elles concluent d'une part sur l'idée que « *confronter ses élèves à des problèmes ouverts s'avère être un acte pédagogique pertinent* » (Combès 2005, p. 9). En effet lors de ces séances, les enseignants repèrent les acquis de leurs élèves et identifient leurs difficultés. Le problème ouvert est en cela un « *moyen de différenciation d'apprentissage avec un support identique pour tous les élèves d'une même classe* » (Ibid., p. 9). Les situations proposées permettent ainsi pour chacun d'entre eux, à leur propre rythme « *de faire évoluer la représentation [...] de ce qu'est faire des mathématiques* » (Ibid., p. 9).

Les difficultés repérées *a posteriori* apportent des éléments utiles afin de mettre en œuvre des problèmes ouverts. Elles sont liées à une mauvaise compréhension des énoncés mais également à une difficulté pour les enseignants à aider les élèves pendant les temps de recherche (sans résoudre le problème à leur place) ou à mener des débats lors d'une mise en commun des procédures des élèves ainsi qu'à faire qu'ils s'appuient sur leurs résultats de recherche lors de l'élaboration collective d'une solution au problème (Lépine 1996, Irem de Besançon 2005).

La recherche/résolution de tels problèmes permet de faire émerger chez les élèves certaines difficultés mathématiques encore présentes, elle leur permet ainsi « *d'expliciter en situation l'état de certaines de leurs connaissances* » et par suite à l'enseignant de « *remédier en direct* » (Combès 2005, p. 9). Cependant la gestion de séances dédiées à des problèmes ouverts n'est pas considérée
comme simple, elle peut même s'avérer délicate (Hersant 2008). « L'expérience que l'enseignant a dans le domaine mathématique semble être non négligeable [...]. De plus, « certaines pratiques installées et intéressantes pour l'apprentissage de savoirs curriculaires semblent se constituer en un frein au déploiement de l'activité mathématique attendue des élèves lors de la recherche [...] » (Hersant 2008, p. 17).

Dans cet article, afin de poursuivre ce travail sur les pratiques enseignantes, nous étudions comment l'usage d'un problème ouvert permet à un enseignant de cycle 3, dans une classe de double-niveau CM1/CM2, de varier sa pratique des mathématiques, de l'enrichir afin de permettre à tous les élèves d'acquérir des connaissances et développer des compétences mathématiques. Pour cela, après avoir présenté le contexte de cette étude, nous proposons une analyse comparative de deux séances menées par le même enseignant : une séance représentative des séances menées quotidiennement par l'enseignant et une séance menée plus occasionnellement (environ deux fois par période de l'année scolaire).

# IV. PRESENTATION DE L'ENSEIGNANT ET DES DEUX SEANCES

Nous avons lors d'une recherche précédente suivi le travail d'un enseignant sur une année scolaire (Choquet 2017). Il a été choisi pour deux raisons : il n'est pas un professeur débutant, il enseigne depuis une vingtaine d'années. Et il travaille, lors de nos observations, depuis huit ans dans la même école, dans une classe de double-niveau CM1-CM2 (élèves de huit à dix ans). Du fait de son ancienneté dans le métier et de son expérience dans ce double-niveau, nous pouvons considérer que sa pratique des mathématiques est stable (Robert 2007). En effet, « les choix de gestion, de déroulement étudiés à une échelle graduée toutes les 5 à 10 minutes, dans des conditions analogues » sont stabilisées autrement dit quasiment identiques, « au bout d'un certain nombre d'années d'exercice du métier » (Robert 2007, p. 302). De ce fait, pour cet article, nous avons choisi d'analyser deux des séances observées qui reflètent la pratique de cet enseignant. Une des deux séances est consacrée à un travail utilisant des fractions décimales en CM1 et, en parallèle, à un travail sur le signe « : » en CM2. Elle est représentative des séances menées chaque jour (SQ). L'autre séance est menée beaucoup plus occasionnellement (une dizaine de fois dans l'année scolaire), elle est représentative des séances dédiées à l'étude d'un problème ouvert (SPO).

Ces deux séances ont été observées, filmées puis transcrites. L'enregistrement vidéo était centré sur l'enseignant, la caméra étant placée au fond de la salle de classe et orientée vers le tableau. Cet enregistrement permet d'avoir accès à l'organisation des séances ainsi qu'aux interactions entre l'enseignant et les élèves. Un entretien, avant et après chacune des deux séances, a été transcrit. Il s'agissait de recueillir des informations concernant les objectifs d'apprentissage fixés par l'enseignant ainsi que son appréciation du travail réalisé par les élèves. Les productions des élèves (des brouillons et des affiches) ont été recueillis afin de rendre compte de leur activité pendant la séance. Ces derniers éléments produits par les élèves nous renseignent également sur l'activité du professeur et nous aident à établir des liens entre la pratique de l'enseignant et l'activité des élèves (Orange 2005).

## 1. La séance SQ

La classe est constituée d'élèves de CM1 et d'élèves de CM2 que l'enseignant choisit de faire travailler en mathématiques sur des activités différentes :
comme simple, elle peut même s'avérer délicate (Hersant 2008). « L'expérience que l'enseignant a dans le domaine mathématique semble être non négligeable [...]. De plus, « certaines pratiques installées et intéressantes pour l'apprentissage de savoirs curriculaires semblent se constituer en un frein au déploiement de l'activité mathématique attendue des élèves lors de la recherche [...] » (Hersant 2008, p. 17).

Dans cet article, afin de poursuivre ce travail sur les pratiques enseignantes, nous étudions comment l'usage d'un problème ouvert permet à un enseignant de cycle 3, dans une classe de double-niveau CM1/CM2, de varier sa pratique des mathématiques, de l'enrichir afin de permettre à tous les élèves d'acquérir des connaissances et développer des compétences mathématiques. Pour cela, après avoir présenté le contexte de cette étude, nous proposons une analyse comparative de deux séances menées par le même enseignant : une séance représentative des séances menées quotidiennement par l'enseignant et une séance menée plus occasionnellement (environ deux fois par période de l'année scolaire).

# IV. PRESENTATION DE L'ENSEIGNANT ET DES DEUX SEANCES

Nous avons lors d'une recherche précédente suivi le travail d'un enseignant sur une année scolaire (Choquet 2017). Il a été choisi pour deux raisons : il n'est pas un professeur débutant, il enseigne depuis une vingtaine d'années. Et il travaille, lors de nos observations, depuis huit ans dans la même école, dans une classe de double-niveau CM1-CM2 (élèves de huit à dix ans). Du fait de son ancienneté dans le métier et de son expérience dans ce double-niveau, nous pouvons considérer que sa pratique des mathématiques est stable (Robert 2007). En effet, « les choix de gestion, de déroulement étudiés à une échelle graduée toutes les 5 à 10 minutes, dans des conditions analogues » sont stabilisées autrement dit quasiment identiques, « au bout d'un certain nombre d'années d'exercice du métier » (Robert 2007, p. 302). De ce fait, pour cet article, nous avons choisi d'analyser deux des séances observées qui reflètent la pratique de cet enseignant. Une des deux séances est consacrée à un travail utilisant des fractions décimales en CM1 et, en parallèle, à un travail sur le signe « : » en CM2. Elle est représentative des séances menées chaque jour (SQ). L'autre séance est menée beaucoup plus occasionnellement (une dizaine de fois dans l'année scolaire), elle est représentative des séances dédiées à l'étude d'un problème ouvert (SPO).

Ces deux séances ont été observées, filmées puis transcrites. L'enregistrement vidéo était centré sur l'enseignant, la caméra étant placée au fond de la salle de classe et orientée vers le tableau. Cet enregistrement permet d'avoir accès à l'organisation des séances ainsi qu'aux interactions entre l'enseignant et les élèves. Un entretien, avant et après chacune des deux séances, a été transcrit. Il s'agissait de recueillir des informations concernant les objectifs d'apprentissage fixés par l'enseignant ainsi que son appréciation du travail réalisé par les élèves. Les productions des élèves (des brouillons et des affiches) ont été recueillis afin de rendre compte de leur activité pendant la séance. Ces derniers éléments produits par les élèves nous renseignent également sur l'activité du professeur et nous aident à établir des liens entre la pratique de l'enseignant et l'activité des élèves (Orange 2005).

## 1. La séance SQ

La classe est constituée d'élèves de CM1 et d'élèves de CM2 que l'enseignant choisit de faire travailler en mathématiques sur des activités différentes :
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 4 SQ : Enoncé proposé aux élèves de CM1 : issu de CAP Maths CM1</figcaption></figure>

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 5 SQ : Enoncé proposé aux élèves de CM2, issu de Cap Maths CM2</figcaption></figure>

Une analyse *a priori* des deux énoncés a été réalisée. L'énoncé proposé aux CM1 amène à un travail sur les fractions décimales en manipulant des surfaces sous forme de bandes de papier (Cf. Annexe 1). Il prépare à la compréhension des écritures à virgules des nombres décimaux (qui seront abordés plus tard dans l'année). L'énoncé proposé aux CM2 vise à apprendre à utiliser à bon escient le singe « : », utilisé notamment dans les écritures en ligne des divisions, tout en mettant en évidence la notion de quotient exact (qui peut être entier ou décimal). La calculatrice est disponible pour chaque élève de CM2.

## 2. La séance SPO

Le même énoncé est distribué à chaque élève de CM1 et de CM2 :
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 4 SQ : Enoncé proposé aux élèves de CM1 : issu de CAP Maths CM1</figcaption></figure>

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 5 SQ : Enoncé proposé aux élèves de CM2, issu de Cap Maths CM2</figcaption></figure>

Une analyse *a priori* des deux énoncés a été réalisée. L'énoncé proposé aux CM1 amène à un travail sur les fractions décimales en manipulant des surfaces sous forme de bandes de papier (Cf. Annexe 1). Il prépare à la compréhension des écritures à virgules des nombres décimaux (qui seront abordés plus tard dans l'année). L'énoncé proposé aux CM2 vise à apprendre à utiliser à bon escient le singe « : », utilisé notamment dans les écritures en ligne des divisions, tout en mettant en évidence la notion de quotient exact (qui peut être entier ou décimal). La calculatrice est disponible pour chaque élève de CM2.

## 2. La séance SPO

Le même énoncé est distribué à chaque élève de CM1 et de CM2 :
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 6 SPO : Enoncé distribué aux élèves de CM1 et CM2 : issu du rallye RMT 2005</figcaption></figure>

Notre analyse *a priori* de l'énoncé prouve que le problème est ouvert pour des élèves de CM1/CM2. Il amène à remobiliser des connaissances sur la numération, sur les nombres entiers et à développer notamment des compétences de calcul, de recherche à savoir s'engager dans une démarche, tester, essayer plusieurs pistes de résolution et de raisonnement afin de prouver que toutes les solutions sont trouvées.

# V. CADRAGE THEORIQUE ET METHODE D'ANALYSE

Afin d'étudier la pratique de cet enseignant, nous nous plaçons dans le cadre théorique de la double approche didactique et ergonomique (Robert et Rogalski 2002). L'approche didactique correspond à l'étude de la pratique de l'enseignant dans sa classe, celle-ci étant analysée en lien avec les objectifs d'apprentissage et les activités des élèves. L'approche ergonomique considère le professeur en tant que professionnel et amène à prendre en compte des buts et des contraintes spécifiques du métier, internes ou externes à la classe.

Cet article montre une méthode d'analyse de la pratique d'un enseignant selon cinq composantes. Deux des cinq composantes, cognitive et médiative, s'intéressent à la préparation de la séance et à sa réalisation dans la classe. Deux autres composantes, institutionnelle et sociale, permettent d'envisager dans l'analyse de la pratique différentes contraintes, internes comme externes, de la profession telles que les instructions officielles, les ressources existantes, le niveau social des élèves, leurs parents, les collègues dans l'école etc. La cinquième composante, personnelle, tient compte des compétences personnelles de l'enseignant, de ses propres représentations des mathématiques et de leur enseignement. Les éléments recueillis selon ces cinq composantes permettent de reconstituer la pratique de l'enseignant, d'identifier des logiques d'action (Robert) de l'enseignant tenant compte non seulement des activités didactiques mais également de contraintes extérieures qui peuvent peser sur lui.

# VI. COMPARAISON DES DEUX SEANCES : DES VARIABILITES REPEREES

L'analyse des deux séances et leur comparaison en utilisant les cinq composantes de la pratique d'un enseignant, dans le cadre de la double approche didactique et ergonomique, nous permettent d'expliquer les choix faits par l'enseignant et les différences observées entre les deux séances. Nous avons classé les résultats d'analyses selon trois axes : le premier axe relève des composantes sociale et institutionnelle, le deuxième plus didactique est en lien avec les composantes cognitive et médiative et le troisième tient compte de la composante personnelle de la pratique de l'enseignant.
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 6 SPO : Enoncé distribué aux élèves de CM1 et CM2 : issu du rallye RMT 2005</figcaption></figure>

Notre analyse *a priori* de l'énoncé prouve que le problème est ouvert pour des élèves de CM1/CM2. Il amène à remobiliser des connaissances sur la numération, sur les nombres entiers et à développer notamment des compétences de calcul, de recherche à savoir s'engager dans une démarche, tester, essayer plusieurs pistes de résolution et de raisonnement afin de prouver que toutes les solutions sont trouvées.

## V. CADRAGE THEORIQUE ET METHODE D'ANALYSE

Afin d'étudier la pratique de cet enseignant, nous nous plaçons dans le cadre théorique de la double approche didactique et ergonomique (Robert et Rogalski 2002). L'approche didactique correspond à l'étude de la pratique de l'enseignant dans sa classe, celle-ci étant analysée en lien avec les objectifs d'apprentissage et les activités des élèves. L'approche ergonomique considère le professeur en tant que professionnel et amène à prendre en compte des buts et des contraintes spécifiques du métier, internes ou externes à la classe.

Cet article montre une méthode d'analyse de la pratique d'un enseignant selon cinq composantes. Deux des cinq composantes, cognitive et médiative, s'intéressent à la préparation de la séance et à sa réalisation dans la classe. Deux autres composantes, institutionnelle et sociale, permettent d'envisager dans l'analyse de la pratique différentes contraintes, internes comme externes, de la profession telles que les instructions officielles, les ressources existantes, le niveau social des élèves, leurs parents, les collègues dans l'école etc. La cinquième composante, personnelle, tient compte des compétences personnelles de l'enseignant, de ses propres représentations des mathématiques et de leur enseignement. Les éléments recueillis selon ces cinq composantes permettent de reconstituer la pratique de l'enseignant, d'identifier des logiques d'action (Robert) de l'enseignant tenant compte non seulement des activités didactiques mais également de contraintes extérieures qui peuvent peser sur lui.

## VI. COMPARAISON DES DEUX SEANCES : DES VARIABILITES REPEREES

L'analyse des deux séances et leur comparaison en utilisant les cinq composantes de la pratique d'un enseignant, dans le cadre de la double approche didactique et ergonomique, nous permettent d'expliquer les choix faits par l'enseignant et les différences observées entre les deux séances. Nous avons classé les résultats d'analyses selon trois axes : le premier axe relève des composantes sociale et institutionnelle, le deuxième plus didactique est en lien avec les composantes cognitive et médiative et le troisième tient compte de la composante personnelle de la pratique de l'enseignant.
# 1. Selon les composantes sociale et institutionnelle

## a. La contrainte sociale

La composante sociale de la pratique renvoie à la dimension sociale du métier d'enseignant (Robert et Rogalski). Elle rend compte de contraintes externes à la classe auxquelles l'enseignant doit faire face, des contraintes telles que la gestion du groupe classe, des relations avec les collègues, les familles, les représentants de l'institution). Dans le cas de notre article, le même enseignant travaille lors des deux séances avec la même classe, la contrainte sociale est donc identique pour les deux séances et n'entre pas dans notre repérage de variabilités.

## b. Les instructions officielles

Les programmes de l'année 2002 demandent aux professeurs des écoles de proposer en classe des **problèmes de recherche**. Un document d'application de l'année 2005, dédié aux **problèmes pour chercher**, leur donne des pistes de mise en œuvre et ces problèmes sont assimilés à des problèmes ouverts (Charnay 2007). Les programmes de l'année 2008 puis 2016 encouragent ensuite les enseignants de l'école primaire à proposer des problèmes à leurs élèves en mathématiques afin d'étudier des savoirs curriculaires et également afin de leur donner le goût de la recherche. Cependant, alors que la commande institutionnelle est claire concernant les savoirs curriculaires, elle l'est beaucoup moins sur les moyens de parvenir à développer des capacités de recherche chez tous les élèves et peu d'éléments sont donnés sur le type de problèmes à étudier en classe pour y parvenir. Néanmoins, le document d'accompagnement de l'année 2018 propose aux enseignants en plus des problèmes additifs et multiplicatifs de proposer aux élèves de cycle 3 « *des problèmes qui ne sont ni additifs, ni multiplicatifs [...] comme, par exemple, des problèmes qu'il faut résoudre par la méthode essai-erreur* ». L'enseignant trouve donc ainsi un encouragement, dans les instructions officielles récentes, à proposer des séances dédiées à des problèmes ouverts.

## c. Les ressources proposées

Nous avons montré (Choquet 2014, 2017) que, pour trouver des énoncés de problèmes ouverts, des enseignants ne consultent pas ou très peu le manuel scolaire de la classe mais se tournent vers des sites internet dédiés à des rallyes mathématiques, des brochures (IREM par exemple) ou les formations auxquelles ils ont participé. L'enseignant, choisit pour notre étude, utilise quotidiennement les manuels *Cap Maths* des niveaux CM1 et CM2. Il ne cherche pas (ou très peu) d'activités ou exercices pour les séances quotidiennes dans d'autres manuels. En revanche, pour préparer la séance SPO, il n'utilise pas de manuels scolaires, il se tourne vers des sites Internet tels que celui associé au rallye mathématique transalpin (ARMT) proposant les énoncés des problèmes de rallyes ayant déjà eu lieu, accompagnée d'une brève analyse *a priori* (Cf. Annexe 2). Il affirme, pendant un des entretiens que d'après lui, les ouvrages *Cap Maths* ne proposent pas de problèmes ouverts (alors que nous en avons repérés) et que d'autres ressources, comme les rallyes mathématiques des années précédentes, lui sont nécessaires pour choisir des énoncés pour sa classe.

Par ailleurs, au-delà du choix des énoncés, cet enseignant nous signale utiliser comme ressource supplémentaire, quand il propose des problèmes ouverts, un document d'accompagnement de l'année 2005. Celui-ci concerne l'organisation de séances dédiées à des problèmes pour chercher et l'enseignant nous confirme en tenir compte dans ses choix de mise en œuvre.

# 2. Selon la composante cognitive

Il s'agit ici, en comparant les préparations de l'enseignant pour les deux séances, de repérer ce qu'il a prévu pour la classe en termes de savoirs en jeu et de mise en œuvre. Les analyses *a priori* des énoncés choisis montrent que les savoirs en jeu dans les activités proposées lors des deux
# 1. Selon les composantes sociale et institutionnelle

## a. La contrainte sociale

La composante sociale de la pratique renvoie à la dimension sociale du métier d'enseignant (Robert et Rogalski). Elle rend compte de contraintes externes à la classe auxquelles l'enseignant doit faire face, des contraintes telles que la gestion du groupe classe, des relations avec les collègues, les familles, les représentants de l'institution). Dans le cas de notre article, le même enseignant travaille lors des deux séances avec la même classe, la contrainte sociale est donc identique pour les deux séances et n'entre pas dans notre repérage de variabilités.

## b. Les instructions officielles

Les programmes de l'année 2002 demandent aux professeurs des écoles de proposer en classe des **problèmes de recherche**. Un document d'application de l'année 2005, dédié aux **problèmes pour chercher**, leur donne des pistes de mise en œuvre et ces problèmes sont assimilés à des problèmes ouverts (Charnay 2007). Les programmes de l'année 2008 puis 2016 encouragent ensuite les enseignants de l'école primaire à proposer des problèmes à leurs élèves en mathématiques afin d'étudier des savoirs curriculaires et également afin de leur donner le goût de la recherche. Cependant, alors que la commande institutionnelle est claire concernant les savoirs curriculaires, elle l'est beaucoup moins sur les moyens de parvenir à développer des capacités de recherche chez tous les élèves et peu d'éléments sont donnés sur le type de problèmes à étudier en classe pour y parvenir. Néanmoins, le document d'accompagnement de l'année 2018 propose aux enseignants en plus des problèmes additifs et multiplicatifs de proposer aux élèves de cycle 3 « *des problèmes qui ne sont ni additifs, ni multiplicatifs [...] comme, par exemple, des problèmes qu'il faut résoudre par la méthode essai-erreur* ». L'enseignant trouve donc ainsi un encouragement, dans les instructions officielles récentes, à proposer des séances dédiées à des problèmes ouverts.

## c. Les ressources proposées

Nous avons montré (Choquet 2014, 2017) que, pour trouver des énoncés de problèmes ouverts, des enseignants ne consultent pas ou très peu le manuel scolaire de la classe mais se tournent vers des sites internet dédiés à des rallyes mathématiques, des brochures (IREM par exemple) ou les formations auxquelles ils ont participé. L'enseignant, choisit pour notre étude, utilise quotidiennement les manuels *Cap Maths* des niveaux CM1 et CM2. Il ne cherche pas (ou très peu) d'activités ou exercices pour les séances quotidiennes dans d'autres manuels. En revanche, pour préparer la séance SPO, il n'utilise pas de manuels scolaires, il se tourne vers des sites Internet tels que celui associé au rallye mathématique transalpin (ARMT) proposant les énoncés des problèmes de rallyes ayant déjà eu lieu, accompagnée d'une brève analyse *a priori* (Cf. Annexe 2). Il affirme, pendant un des entretiens que d'après lui, les ouvrages *Cap Maths* ne proposent pas de problèmes ouverts (alors que nous en avons repérés) et que d'autres ressources, comme les rallyes mathématiques des années précédentes, lui sont nécessaires pour choisir des énoncés pour sa classe.

Par ailleurs, au-delà du choix des énoncés, cet enseignant nous signale utiliser comme ressource supplémentaire, quand il propose des problèmes ouverts, un document d'accompagnement de l'année 2005. Celui-ci concerne l'organisation de séances dédiées à des problèmes pour chercher et l'enseignant nous confirme en tenir compte dans ses choix de mise en œuvre.

# 2. Selon la composante cognitive

Il s'agit ici, en comparant les préparations de l'enseignant pour les deux séances, de repérer ce qu'il a prévu pour la classe en termes de savoirs en jeu et de mise en œuvre. Les analyses *a priori* des énoncés choisis montrent que les savoirs en jeu dans les activités proposées lors des deux
séances ne sont pas du même ordre.

Lors de la séance SQ, les élèves de CM1 et de CM2 travaillent sur des activités différentes mettant en jeu des savoirs également différents. L'activité de CM1 permet aux élèves de s'initier à l'étude de fractions décimales (23/10 ; 240/100 ; etc.) en manipulant des bandes de papier. Les élèves de CM2 travaillent sur l'écriture en ligne d'une division avec le signe « : » et la notion de quotient exact. Les élèves des deux niveaux CM1 et CM2 travaillent séparément. L'enseignant prévoit de se déplacer entre les deux niveaux d'un côté à l'autre de la salle de classe.

Lors de la séance SPO, le même problème est proposé aux CM1 et CM2. Il s'inscrit également dans le domaine numérique (nombres entiers et addition) cependant des compétences liées à la résolution de problème sont prioritairement mises en jeu : le problème vise avant tout à développer des compétences de recherche (mettre en œuvre une procédure personnelle) et de raisonnement (prouver que toutes les solutions sont trouvées). L'enseignant prévoit de déplacer les tables afin d'organiser matériellement un travail de groupes, mais les CM1 et les CM2 ne seront pas mélangés. Puis il envisage une mise en commun avec toute la classe, les élèves des deux niveaux seront ainsi mélangés et pourront échanger sur leurs différentes démarches et réponses.

### 3. Selon la composante médiative

Cette composante permet de rendre compte du déroulement effectif des séances, de ce qui s'est réellement passé afin de comparer avec ce qui était prévu initialement par l'enseignant.

#### a. Le découpage des séances en différentes phases

Ce découpage permet de comparer le déroulement des deux séances SQ et SPO et de rendre compte de la différence d'organisation des deux séances. Les phases, que nous avons identifiées, correspondent aux différents temps d'activité des élèves : les consignes, la recherche individuelle, la recherche en groupes, la mise en commun des résultats et synthèse de la séance. Nous avons repéré pour les deux séances, leur durée (en minutes) ainsi que l'activité du professeur et des élèves et rassemblés les résultats dans les deux tableaux suivants (cf. Tableau 1 et Tableau 2) :

<table><thead><tr><th></th><th>Elèves de niveau CM1</th><th>Elèves de niveau CM2</th></tr></thead><tbody><tr><td>3'</td><td>Lancement de la séance de Mathématiques. Consigne commune : « [...] votre livre [...], les CM2, le temps que je vois les CM1 pour leur dire quoi faire, je veux que vous lisiez l'encadré. »</td><td></td></tr><tr><td>11'</td><td>Professeur (P) : explicitation de l'activité proposée, du matériel à disposition.<br>Elèves (E) : à l'écoute puis début de l'activité en collectif.</td><td>P absent<br>E : Lecture et recherche individuelle</td></tr><tr><td>10'</td><td>P absent<br>E : recherche individuelle ou en binômes</td><td>P : explicitation de l'encadré sous forme de questions/réponses aux élèves. Consigne : « vous allez diviser 1000 par 45 avec la calculatrice et je reviens ».<br>E : à l'écoute, relecture de l'encadré, début de l'activité en collectif.</td></tr><tr><td>5'</td><td>P demande une mise en commun des procédures : « alors, comment vous avez fait ? ». Questions/réponses aux élèves.<br>E : quelques-uns exposent leur procédures pour 23/10, les autres écoutent.</td><td>P absent<br>E : calcul et recherche individuelle</td></tr><tr><td>9'</td><td>P absent<br>E : recherche individuelle ou en binômes</td><td>P : poursuite l'explicitation de l'encadré : « alors, vous avez fait cette division ? ». Questions/réponses aux élèves.<br>Consigne : « maintenant vous faites l'exercice donné ».<br>E : à l'écoute et quelques-uns répondent.</td></tr></tbody></table>

Grand N - n° Afficher la variable numéro, Afficher la variable année (inutile de compléter le pied de page)
séances ne sont pas du même ordre.

Lors de la séance SQ, les élèves de CM1 et de CM2 travaillent sur des activités différentes mettant en jeu des savoirs également différents. L'activité de CM1 permet aux élèves de s'initier à l'étude de fractions décimales (23/10 ; 240/100 ; etc.) en manipulant des bandes de papier. Les élèves de CM2 travaillent sur l'écriture en ligne d'une division avec le signe « : » et la notion de quotient exact. Les élèves des deux niveaux CM1 et CM2 travaillent séparément. L'enseignant prévoit de se déplacer entre les deux niveaux d'un côté à l'autre de la salle de classe.

Lors de la séance SPO, le même problème est proposé aux CM1 et CM2. Il s'inscrit également dans le domaine numérique (nombres entiers et addition) cependant des compétences liées à la résolution de problème sont prioritairement mises en jeu : le problème vise avant tout à développer des compétences de recherche (mettre en œuvre une procédure personnelle) et de raisonnement (prouver que toutes les solutions sont trouvées). L'enseignant prévoit de déplacer les tables afin d'organiser matériellement un travail de groupes, mais les CM1 et les CM2 ne seront pas mélangés. Puis il envisage une mise en commun avec toute la classe, les élèves des deux niveaux seront ainsi mélangés et pourront échanger sur leurs différentes démarches et réponses.

### 3. Selon la composante médiative

Cette composante permet de rendre compte du déroulement effectif des séances, de ce qui s'est réellement passé afin de comparer avec ce qui était prévu initialement par l'enseignant.

#### a. Le découpage des séances en différentes phases

Ce découpage permet de comparer le déroulement des deux séances SQ et SPO et de rendre compte de la différence d'organisation des deux séances. Les phases, que nous avons identifiées, correspondent aux différents temps d'activité des élèves : les consignes, la recherche individuelle, la recherche en groupes, la mise en commun des résultats et synthèse de la séance. Nous avons repéré pour les deux séances, leur durée (en minutes) ainsi que l'activité du professeur et des élèves et rassemblés les résultats dans les deux tableaux suivants (cf. Tableau 1 et Tableau 2) :

<table><thead><tr><th></th><th>Elèves de niveau CM1</th><th>Elèves de niveau CM2</th></tr></thead><tbody><tr><td>3'</td><td>Lancement de la séance de Mathématiques. Consigne commune : « [...] votre livre [...], les CM2, le temps que je vois les CM1 pour leur dire quoi faire, je veux que vous lisiez l'encadré. »</td><td></td></tr><tr><td>11'</td><td>Professeur (P) : explicitation de l'activité proposée, du matériel à disposition.<br/>Elèves (E) : à l'écoute puis début de l'activité en collectif.</td><td>P absent<br/>E : Lecture et recherche individuelle</td></tr><tr><td>10'</td><td>P absent<br/>E : recherche individuelle ou en binômes</td><td>P : explicitation de l'encadré sous forme de questions/réponses aux élèves. Consigne : « vous allez diviser 1000 par 45 avec la calculatrice et je reviens ».<br/>E : à l'écoute, relecture de l'encadré, début de l'activité en collectif.</td></tr><tr><td>5'</td><td>P demande une mise en commun des procédures : « alors, comment vous avez fait ? ». Questions/réponses aux élèves.<br/>E : quelques-uns exposent leur procédures pour 23/10, les autres écoutent.</td><td>P absent<br/>E : calcul et recherche individuelle</td></tr><tr><td>9'</td><td>P absent<br/>E : recherche individuelle ou en binômes</td><td>P : poursuite l'explicitation de l'encadré : « alors, vous avez fait cette division ? ». Questions/réponses aux élèves.<br/>Consigne : « maintenant vous faites l'exercice donné ».<br/>E : à l'écoute et quelques-uns répondent.</td></tr></tbody></table>

Grand N - n° Afficher la variable numéro, Afficher la variable année (inutile de compléter le pied de page)
<table><caption>Tableau 1 : déroulement de la séance SQ</caption><tr><td>7'</td><td>P : proposition d'un bilan. Exposition au tableau de la solution pour 23/10 et 240/100, menée par P<br/>E : à l'écoute, répondent aux questions, écrivent le bilan.</td><td>P absent<br/>E : recherche individuelle</td></tr><tr><td colspan="3">Sonnerie : fin de la séance de mathématiques « on va s'arrêter là pour aujourd'hui ».</td></tr></table>

<table><caption>Tableau 2 : déroulement de la séance SPO</caption><thead><tr><th colspan="2">Elèves des deux niveaux CM1 et CM2</th></tr></thead><tbody><tr><td>4'</td><td>P : <strong>consignes</strong><br/>E : à l'écoute</td></tr><tr><td>3'</td><td>P : se déplace entre les élèves, est silencieux<br/>E : <strong>recherche individuelle</strong></td></tr><tr><td>35'</td><td>P : se déplace entre les groupes, encourage à justifier les résultats, ne donne pas de réponses.<br/>E : se mettent en groupes et <strong>recherchent en groupes</strong></td></tr><tr><td>30'</td><td>P propose une <strong>mise en commun des résultats</strong>, rassemble les élèves devant le tableau et pose des questions sur les méthodes utilisées.<br/>E présentent leur travail au tableau, répondent aux questions de P sur leurs méthodes.</td></tr></tbody></table>

Lors de la séance SQ, l'enseignant choisit de faire travailler séparément les deux niveaux CM1 et CM2. Le tableau 1 montre bien que pendant que l'enseignant donne des explications, échange avec les élèves de CM1, les élèves de CM2 travaillent individuellement sans intervention de l'enseignant. L'enseignant passe ainsi plusieurs fois lors de la séance d'un groupe à l'autre afin de leur permettre d'avancer dans la résolution des problèmes posés à chacun des deux niveaux.

Les durées des phases de recherche des élèves puis des phases de mise en commun des résultats sont très différentes d'une séance à l'autre.

En effet, lors de la séance SQ, l'enseignant reprend beaucoup plus rapidement la main et fait avancer la séance par un questionnement à chaque groupe de niveau CM1 et CM2. Le tableau 1 montre que les élèves de chaque niveau, CM1 ou CM2, ne travaillent jamais plus de 10 à 11 minutes sans intervention et sans questionnement de l'enseignant. Alors que lors de la séance SPO, l'enseignant laisse les élèves avancer dans leur recherche, sans intervenir pendant trente-huit minutes (3 minutes de recherche individuelle puis 35 minutes de recherche en groupes) et ne reprend la main que pendant quinze minutes, en fin de séance pour un temps de mise en commun des résultats.

## b. L'organisation du travail des élèves

De même que la durée des phases, l'organisation du travail de recherche des élèves varie entre les deux séances observées. Le tableau 3 montre une comparaison des deux séances.

<table><thead><tr><th></th><th>SQ</th><th>SPO</th></tr></thead><tbody><tr><th>Consignes</th><td>3 min</td><td>4 min</td></tr><tr><th>Recherche individuelle</th><td>15 min au total</td><td>3 min</td></tr></tbody></table>
<table><caption>Tableau 1 : déroulement de la séance SQ</caption><tr><td>7'</td><td>P : proposition d'un bilan. Exposition au tableau de la solution pour 23/10 et 240/100, menée par P<br/>E : à l'écoute, répondent aux questions, écrivent le bilan.</td><td>P absent<br/>E : recherche individuelle</td></tr><tr><td colspan="3">Sonnerie : fin de la séance de mathématiques « on va s'arrêter là pour aujourd'hui ».</td></tr></table>

<table><caption>Tableau 2 : déroulement de la séance SPO</caption><thead><tr><th colspan="2">Elèves des deux niveaux CM1 et CM2</th></tr></thead><tbody><tr><td>4'</td><td>P : <strong>consignes</strong><br/>E : à l'écoute</td></tr><tr><td>3'</td><td>P : se déplace entre les élèves, est silencieux<br/>E : <strong>recherche individuelle</strong></td></tr><tr><td>35'</td><td>P : se déplace entre les groupes, encourage à justifier les résultats, ne donne pas de réponses.<br/>E : se mettent en groupes et <strong>recherchent en groupes</strong></td></tr><tr><td>30'</td><td>P propose une <strong>mise en commun des résultats</strong>, rassemble les élèves devant le tableau et pose des questions sur les méthodes utilisées.<br/>E présentent leur travail au tableau, répondent aux questions de P sur leurs méthodes.</td></tr></tbody></table>

Lors de la séance SQ, l'enseignant choisit de faire travailler séparément les deux niveaux CM1 et CM2. Le tableau 1 montre bien que pendant que l'enseignant donne des explications, échange avec les élèves de CM1, les élèves de CM2 travaillent individuellement sans intervention de l'enseignant. L'enseignant passe ainsi plusieurs fois lors de la séance d'un groupe à l'autre afin de leur permettre d'avancer dans la résolution des problèmes posés à chacun des deux niveaux.

Les durées des phases de recherche des élèves puis des phases de mise en commun des résultats sont très différentes d'une séance à l'autre.

En effet, lors de la séance SQ, l'enseignant reprend beaucoup plus rapidement la main et fait avancer la séance par un questionnement à chaque groupe de niveau CM1 et CM2. Le tableau 1 montre que les élèves de chaque niveau, CM1 ou CM2, ne travaillent jamais plus de 10 à 11 minutes sans intervention et sans questionnement de l'enseignant. Alors que lors de la séance SPO, l'enseignant laisse les élèves avancer dans leur recherche, sans intervenir pendant trente-huit minutes (3 minutes de recherche individuelle puis 35 minutes de recherche en groupes) et ne reprend la main que pendant quinze minutes, en fin de séance pour un temps de mise en commun des résultats.

## b. L'organisation du travail des élèves

De même que la durée des phases, l'organisation du travail de recherche des élèves varie entre les deux séances observées. Le tableau 3 montre une comparaison des deux séances.

<table><thead><tr><th></th><th>SQ</th><th>SPO</th></tr></thead><tbody><tr><th>Consignes</th><td>3 min</td><td>4 min</td></tr><tr><th>Recherche individuelle</th><td>15 min au total</td><td>3 min</td></tr></tbody></table>
<table><caption>Tableau 3 SQ et SPO : Comparaison des durées des phases</caption><tr><td>Recherche en petits groupes</td><td>0</td><td>35 min</td></tr><tr><td>Mise en commun des résultats</td><td>CM1 : 7 min, CM2 : 9 min</td><td>15 min</td></tr></table>

Lors de la séance SQ, le travail reste individuel alors que lors de la séance SPO, une place conséquente (35 minutes) est laissée aux recherches et aux échanges entre les élèves dans des petits groupes. Des photos (cf. Figures 7 et 8) prises pendant les deux séances donnent également une représentation de l'organisation choisie : un travail individualisé pendant la séance SQ et un travail d'échanges entre élèves pendant la séance SPO.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 7 SQ Un travail individualisé</figcaption></figure>

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 8 SPO Des échanges dans les groupes</figcaption></figure>

Ce choix d'organisation montre que pour l'enseignant, tout se passe comme si le travail sur les nombres décimaux pendant la séance SQ devait se faire individuellement alors que le travail de recherche et de rédaction de solutions, lors de la séance SPO, devait s'organiser en petits groupes et nécessitait des échanges entre les élèves.

Les temps de mise en commun et synthèse sont également différents. Lors de la séance SQ, il s'agit pour lui surtout de corriger les exercices proposés, avec les élèves de CM1 puis avec ceux de CM2, en donnant tour à tour la parole à quelques élèves et en donnant quelques explications sur les solutions attendues (7 minutes avec les élèves de CM1 et 9 minutes avec les élèves de CM2). Lors de la séance SPO, l'enseignant consacre 15 minutes à un temps de mise en commun des démarches et engagent tous les élèves dans la fin de la résolution du problème proposé. Les élèves des deux niveaux sont alors tous rassemblés devant le tableau (cf. Figure 9) et échangent afin de trouver collectivement toutes les solutions, à partir des différentes solutions déjà trouvées par quelques groupes. Aucune différence n'est faite entre les élèves de CM1 et ceux de CM2.

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 9 SPO : une mise en commun collective devant le tableau</figcaption></figure>

### c. L'activité de l'enseignant pendant les séances

Dans le tableau 4, nous avons recensé les différentes interventions de l'enseignant lors des différentes phases de chaque séance. Il montre que l'enseignant ne choisit pas d'intervenir de la même façon lors des deux séances. Lors de la séance SQ, il intervient soit avec les élèves de niveau
<table><caption>Tableau 3 SQ et SPO : Comparaison des durées des phases</caption><tr><td>Recherche en petits groupes</td><td>0</td><td>35 min</td></tr><tr><td>Mise en commun des résultats</td><td>CM1 : 7 min, CM2 : 9 min</td><td>15 min</td></tr></table>

Lors de la séance SQ, le travail reste individuel alors que lors de la séance SPO, une place conséquente (35 minutes) est laissée aux recherches et aux échanges entre les élèves dans des petits groupes. Des photos (cf. Figures 7 et 8) prises pendant les deux séances donnent également une représentation de l'organisation choisie : un travail individualisé pendant la séance SQ et un travail d'échanges entre élèves pendant la séance SPO.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 7 SQ Un travail individualisé</figcaption></figure>

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 8 SPO Des échanges dans les groupes</figcaption></figure>

Ce choix d'organisation montre que pour l'enseignant, tout se passe comme si le travail sur les nombres décimaux pendant la séance SQ devait se faire individuellement alors que le travail de recherche et de rédaction de solutions, lors de la séance SPO, devait s'organiser en petits groupes et nécessitait des échanges entre les élèves.

Les temps de mise en commun et synthèse sont également différents. Lors de la séance SQ, il s'agit pour lui surtout de corriger les exercices proposés, avec les élèves de CM1 puis avec ceux de CM2, en donnant tour à tour la parole à quelques élèves et en donnant quelques explications sur les solutions attendues (7 minutes avec les élèves de CM1 et 9 minutes avec les élèves de CM2). Lors de la séance SPO, l'enseignant consacre 15 minutes à un temps de mise en commun des démarches et engagent tous les élèves dans la fin de la résolution du problème proposé. Les élèves des deux niveaux sont alors tous rassemblés devant le tableau (cf. Figure 9) et échangent afin de trouver collectivement toutes les solutions, à partir des différentes solutions déjà trouvées par quelques groupes. Aucune différence n'est faite entre les élèves de CM1 et ceux de CM2.

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure 9 SPO : une mise en commun collective devant le tableau</figcaption></figure>

### c. L'activité de l'enseignant pendant les séances

Dans le tableau 4, nous avons recensé les différentes interventions de l'enseignant lors des différentes phases de chaque séance. Il montre que l'enseignant ne choisit pas d'intervenir de la même façon lors des deux séances. Lors de la séance SQ, il intervient soit avec les élèves de niveau
CM1 soit avec ceux de CM2. Il travaille ainsi avec un niveau au minimum 5 minutes, au maximum 11 minutes avant de changer de niveau. Ses interventions lui permettent d'identifier les réponses trouvées par des élèves, de les valider ou les invalider et d'encourager les élèves à poursuivre la résolution du problème posé.

Lors de la séance SPO, il est absent des recherches des élèves pendant 38 minutes, il observe les groupes et, s'il échange avec un groupe, c'est pour l'encourager à avancer dans leurs explications mais jamais pour valider ou invalider une réponse produite par les élèves.

<table><caption>Tableau 4 SQ et SPO : comparaison de l'activité de l'enseignant</caption><thead><tr><td></td><td>SQ</td><td>SPO</td></tr></thead><tbody><tr><td>Recherche individuelle</td><td>P est assis devant les élèves soit de CM1, soit de CM2. Il intervient alternativement soit avec les CM1, soit avec les CM2.</td><td>P est au fond de la classe, il observe et n'intervient pas.</td></tr><tr><td>Recherche en petits groupes</td><td>Pas de travail en petits groupes.</td><td>P circule entre les groupes, il encourage les élèves à justifier leurs propositions sans leur dire si c'est correct ou non. Il leur distribue une affiche pour faire part de leurs réponses et démarches.</td></tr><tr><td>Mise en commun des résultats</td><td>P est assis devant les élèves. Les élèves proposent des réponses à P les valide ou les invalide. P pose des questions aux élèves sur les connaissances mathématiques en jeu dans l'exercice.</td><td>P rassemble tous les élèves autour de lui, devant le tableau. Il montre quelques affiches et les encourage à expliquer leur solution. Il leur pose des questions sur leurs démarches.</td></tr></tbody></table>

## d. Les traces écrites des élèves

Les productions des élèves révèlent une partie de leur activité mathématique pendant les deux séances.

Lors de la séance SQ, les élèves travaillent individuellement dans leur cahier de mathématiques. Les élèves du niveau CM1 découpent et y collent les bandes de papier (Cf. Figure 10). Ils réussissent globalement à trouver une décomposition de la fraction $\frac{23}{10}$ demandée à la question A.
CM1 soit avec ceux de CM2. Il travaille ainsi avec un niveau au minimum 5 minutes, au maximum 11 minutes avant de changer de niveau. Ses interventions lui permettent d'identifier les réponses trouvées par des élèves, de les valider ou les invalider et d'encourager les élèves à poursuivre la résolution du problème posé.

Lors de la séance SPO, il est absent des recherches des élèves pendant 38 minutes, il observe les groupes et, s'il échange avec un groupe, c'est pour l'encourager à avancer dans leurs explications mais jamais pour valider ou invalider une réponse produite par les élèves.

<table><caption>Tableau 4 SQ et SPO : comparaison de l'activité de l'enseignant</caption><thead><tr><td></td><td>SQ</td><td>SPO</td></tr></thead><tbody><tr><td>Recherche individuelle</td><td>P est assis devant les élèves soit de CM1, soit de CM2. Il intervient alternativement soit avec les CM1, soit avec les CM2.</td><td>P est au fond de la classe, il observe et n'intervient pas.</td></tr><tr><td>Recherche en petits groupes</td><td>Pas de travail en petits groupes.</td><td>P circule entre les groupes, il encourage les élèves à justifier leurs propositions sans leur dire si c'est correct ou non. Il leur distribue une affiche pour faire part de leurs réponses et démarches.</td></tr><tr><td>Mise en commun des résultats</td><td>P est assis devant les élèves. Les élèves proposent des réponses à P les valide ou les invalide. P pose des questions aux élèves sur les connaissances mathématiques en jeu dans l'exercice.</td><td>P rassemble tous les élèves autour de lui, devant le tableau. Il montre quelques affiches et les encourage à expliquer leur solution. Il leur pose des questions sur leurs démarches.</td></tr></tbody></table>

## d. Les traces écrites des élèves

Les productions des élèves révèlent une partie de leur activité mathématique pendant les deux séances.

Lors de la séance SQ, les élèves travaillent individuellement dans leur cahier de mathématiques. Les élèves du niveau CM1 découpent et y collent les bandes de papier (Cf. Figure 10). Ils réussissent globalement à trouver une décomposition de la fraction $\frac{23}{10}$ demandée à la question A.
<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure 10 SQ : production de deux élèves de CM1 dans leur cahier (Question A)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

Ils écrivent ensuite leurs essais pour la question B (Cf. Figure 11).

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 11 SQ : productions de deux élèves de CM1 que nous avons recopiées (Question B)</figcaption></figure>

Lors de la même séance, les élèves de CM2 lisent d'abord l'encadré proposé puis travaillent avec une calculatrice, en ne notant rien dans leur cahier. Pour l'exercice, dans le deuxième temps de la séance SQ, ils proposent des solutions pour l'exercice 1 et les écrivent dans leur cahier de mathématiques (Cf. Figure 12).

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Figure 12 SQ : Production d'un élève de CM2 (Exercice 1)</figcaption></figure>

Lors de la séance SPO en revanche, les cahiers de mathématiques ne sont pas du tout utilisés. Les élèves travaillent sur des feuilles de brouillon pour les recherches individuelles et en groupes, puis l'enseignant leur demande, pendant la recherche en groupes, de rédiger une affiche qui pourra être exposée à la classe en fin de séance.
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 10 SQ : production de deux élèves de CM1 dans leur cahier (Question A)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

Ils écrivent ensuite leurs essais pour la question B (Cf. Figure 11).

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Figure 11 SQ : productions de deux élèves de CM1 que nous avons recopiées (Question B)</figcaption></figure>

Lors de la même séance, les élèves de CM2 lisent d'abord l'encadré proposé puis travaillent avec une calculatrice, en ne notant rien dans leur cahier. Pour l'exercice, dans le deuxième temps de la séance SQ, ils proposent des solutions pour l'exercice 1 et les écrivent dans leur cahier de mathématiques (Cf. Figure 12).

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Figure 12 SQ : Production d'un élève de CM2 (Exercice 1)</figcaption></figure>

Lors de la séance SPO en revanche, les cahiers de mathématiques ne sont pas du tout utilisés. Les élèves travaillent sur des feuilles de brouillon pour les recherches individuelles et en groupes, puis l'enseignant leur demande, pendant la recherche en groupes, de rédiger une affiche qui pourra être exposée à la classe en fin de séance.
<figure><img src="image_14.png" /></figure>

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Figure 13 SPO : Productions au brouillon de deux groupes</figcaption></figure>

<table><caption>Figure 14 SPO : Affiche exposée au tableau pendant la mise en commun</caption><tr><td>92218</td><td>92308</td><td>93028</td><td>90418</td></tr><tr><td></td><td>90328</td><td>90238</td><td>90148</td></tr><tr><td></td><td>93208</td><td>94108</td><td>94108</td></tr><tr><td></td><td>92038</td><td>91048</td><td>94018</td></tr></table>

Une différence importante est ainsi repérée entre les deux séances. En effet, pour la séance SQ, les élèves gardent une trace de leur propre travail dans leur cahier, ce travail n'est pas corrigé individuellement par l'enseignant mais il leur laisse un peu de temps pour écrire les réponses. En revanche, à la fin de la séance SPO, les élèves ne gardent aucune trace de la recherche dans leur cahier, ils ne gardent ni leurs feuilles de brouillons, ni les affiches ou une copie des affiches. L'enseignant ne distribue pas de synthèse écrite pour cette séance SPO.

Les choix de l'enseignant, notamment pour la séance SPO, montrent qu'il considère le temps de recherche et d'activité des élèves comme la phase de travail la plus importante des séances et n'insiste pas sur une prise en notes détaillée de corrections (Il ne demande pas de recopier des solutions proposées au tableau par exemple).

## 4. Selon la composante personnelle

Les échanges avec l'enseignant, avant et après chacune des deux séances, ont pu nous donner accès à ses représentations personnelles sur l'enseignement des mathématiques avec un double niveau CM1/CM2 juste avant l'entrée au collège pour une partie des élèves de la classe. Ces représentations trouvent leur origine dans l'expérience de cet enseignant dans ce double niveau de cycle 3 ainsi que dans son rapport personnel aux mathématiques et à leur enseignement.

Cet enseignant nous assure que la séance SQ est représentative des séances menées quotidiennement avec cette classe. Il montre de par le choix de mise en œuvre que l'étude des différentes notions mathématiques au programme de chacun des deux niveaux CM1 et CM2 doit se faire séparément, que les deux niveaux ne peuvent travailler les notions mathématiques ensembles. Il explique également que le choix de proposer l'étude de problèmes ouverts est un moyen pour lui de faire des mathématiques à son groupe classe sans séparer CM1 et CM2. Il justifie ce choix par les objectifs d'apprentissage qu'il s'est fixés et qui sont, pour lui commun aux élèves de CM1 et de CM2 : l'acquisition de compétences de recherche et de raisonnement.
<figure><img src="image_15.png" /></figure>

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Figure 13 SPO : Productions au brouillon de deux groupes</figcaption></figure>

<table><caption>Figure 14 SPO : Affiche exposée au tableau pendant la mise en commun</caption><tr><td>92218</td><td>92308</td><td>93028</td><td>90418</td></tr><tr><td></td><td>90328</td><td>90238</td><td>90148</td></tr><tr><td></td><td>93208</td><td>94108</td><td>94108</td></tr><tr><td></td><td>92038</td><td>91048</td><td>94018</td></tr></table>

Une différence importante est ainsi repérée entre les deux séances. En effet, pour la séance SQ, les élèves gardent une trace de leur propre travail dans leur cahier, ce travail n'est pas corrigé individuellement par l'enseignant mais il leur laisse un peu de temps pour écrire les réponses. En revanche, à la fin de la séance SPO, les élèves ne gardent aucune trace de la recherche dans leur cahier, ils ne gardent ni leurs feuilles de brouillons, ni les affiches ou une copie des affiches. L'enseignant ne distribue pas de synthèse écrite pour cette séance SPO.

Les choix de l'enseignant, notamment pour la séance SPO, montrent qu'il considère le temps de recherche et d'activité des élèves comme la phase de travail la plus importante des séances et n'insiste pas sur une prise en notes détaillée de corrections (Il ne demande pas de recopier des solutions proposées au tableau par exemple).

## 4. Selon la composante personnelle

Les échanges avec l'enseignant, avant et après chacune des deux séances, ont pu nous donner accès à ses représentations personnelles sur l'enseignement des mathématiques avec un double niveau CM1/CM2 juste avant l'entrée au collège pour une partie des élèves de la classe. Ces représentations trouvent leur origine dans l'expérience de cet enseignant dans ce double niveau de cycle 3 ainsi que dans son rapport personnel aux mathématiques et à leur enseignement.

Cet enseignant nous assure que la séance SQ est représentative des séances menées quotidiennement avec cette classe. Il montre de par le choix de mise en œuvre que l'étude des différentes notions mathématiques au programme de chacun des deux niveaux CM1 et CM2 doit se faire séparément, que les deux niveaux ne peuvent travailler les notions mathématiques ensembles. Il explique également que le choix de proposer l'étude de problèmes ouverts est un moyen pour lui de faire des mathématiques à son groupe classe sans séparer CM1 et CM2. Il justifie ce choix par les objectifs d'apprentissage qu'il s'est fixés et qui sont, pour lui commun aux élèves de CM1 et de CM2 : l'acquisition de compétences de recherche et de raisonnement.
CONCLUSION ET DISCUSSION

Dans cet article, nous avons comparé deux séances menées dans une classe de double niveau CM1/CM2 par un même professeur des écoles non débutant. Ces comparaisons sont menées dans le cadre théorique de la double approche (Robert), en lien avec les cinq composantes de la pratique des mathématiques : les composantes sociale, institutionnelle, cognitive, médiative et personnelle. Elles permettent de repérer et comprendre les variabilités observées lors des deux séances.

En termes de composante institutionnelle, une première différence concerne les ressources permettant à l'enseignant de choisir des activités et énoncés de problèmes : lors des séances quotidiennes telles que la séance analysée SQ, il utilise des manuels scolaires alors que lors des séances dédiées à un problème ouvert, il se tourne vers des sites Internet tels que celui du rallye RMT.

Ensuite, en lien avec les composantes cognitive et médiative, une différence est repérée dans l'organisation des séances : lors des séances quotidiennes, les élèves des deux niveaux CM1 et CM2 travaillent séparément, sur des activités différentes alors que lors des séances dédiées à des problèmes ouverts, ils travaillent sur le même énoncé et les mises en commun des résultats sont menées en classe entière, CM1 et CM2 ensembles. Par ailleurs, concernant l'organisation du travail des élèves et la pratique de l'enseignant lors des séances quotidiennes, les élèves travaillent individuellement, dans leur cahier de mathématiques et ne cherchent jamais plus de 10 à 11 minutes sans l'enseignant alors que pendant les séances dédiées à des problèmes ouverts, des travaux de groupes sont mis en place et l'enseignant laisse les élèves chercher pendant 35 minutes sans intervenir dans leurs recherches. Lors des séances quotidiennes, des temps de correction sont proposés au fur et à mesure de la séance, en insistant sur les savoirs mathématiques en jeu alors que des mises en commun des résultats sont proposées en fin de séances dédiées à des problèmes ouverts, l'enseignant insistant sur les explications des démarches et donc permettant un développement de compétences de raisonnement.

Les résultats de ces analyses montrent, en lien avec nos recherches précédentes (Choquet 2017) que cet enseignant se situe pour la séance dédiée au problème ouvert dans le profil chercher pour apprendre à raisonner (Profil 2). Il propose lors de cette séance un problème amenant tous les élèves à chercher. Il organise une mise en commun à partir d'un choix parmi les affiches des élèves et d'une hiérarchisation de leurs procédures. En revanche, il n'organise pas de synthèse de la séance, de temps d'institutionnalisation qui permettrait de décontextualiser la situation et d'en retirer des éléments, notamment liés au raisonnement mathématique, pouvant être réutilisés par les élèves lors d'une prochaine séance du même type.

Ce travail permet au-delà de l'analyse de la pratique de l'enseignant lors des deux séances, de valoriser l'intérêt de dédier des séances à l'étude de problèmes ouverts à l'école primaire.

Tout d'abord, le travail de l'enseignant est en accord avec les instructions officielles qui incitent à proposer des problèmes utilisant la méthode d'essai-erreur (MEN 2018). Celles-ci précisent également aux enseignants que des objectifs d'apprentissage pour ce type de séances doivent être fixés a priori de manière explicite. Par exemple, « il convient d'assigner à chaque séquence un objectif d'apprentissage précis ; dans l'exemple de la méthode essai-erreur, il s'agit d'apprendre à chercher, en tâtonnant, en faisant des essais successifs ».

Ensuite, l'intérêt de ces séances se situe également dans le fait que cet enseignant les propose dans le but de chercher pour apprendre à raisonner. Il définit, pour les séances dédiées à des problèmes ouverts, des objectifs d'apprentissage explicites, permettant de viser le développement de compétences de recherche mais aussi de raisonnement. Les séances sont alors préparées et mises en œuvre dans le but d'atteindre ces objectifs.
CONCLUSION ET DISCUSSION

Dans cet article, nous avons comparé deux séances menées dans une classe de double niveau CM1/CM2 par un même professeur des écoles non débutant. Ces comparaisons sont menées dans le cadre théorique de la double approche (Robert), en lien avec les cinq composantes de la pratique des mathématiques : les composantes sociale, institutionnelle, cognitive, médiative et personnelle. Elles permettent de repérer et comprendre les variabilités observées lors des deux séances.

En termes de composante institutionnelle, une première différence concerne les ressources permettant à l'enseignant de choisir des activités et énoncés de problèmes : lors des séances quotidiennes telles que la séance analysée SQ, il utilise des manuels scolaires alors que lors des séances dédiées à un problème ouvert, il se tourne vers des sites Internet tels que celui du rallye RMT.

Ensuite, en lien avec les composantes cognitive et médiative, une différence est repérée dans l'organisation des séances : lors des séances quotidiennes, les élèves des deux niveaux CM1 et CM2 travaillent séparément, sur des activités différentes alors que lors des séances dédiées à des problèmes ouverts, ils travaillent sur le même énoncé et les mises en commun des résultats sont menées en classe entière, CM1 et CM2 ensembles. Par ailleurs, concernant l'organisation du travail des élèves et la pratique de l'enseignant lors des séances quotidiennes, les élèves travaillent individuellement, dans leur cahier de mathématiques et ne cherchent jamais plus de 10 à 11 minutes sans l'enseignant alors que pendant les séances dédiées à des problèmes ouverts, des travaux de groupes sont mis en place et l'enseignant laisse les élèves chercher pendant 35 minutes sans intervenir dans leurs recherches. Lors des séances quotidiennes, des temps de correction sont proposés au fur et à mesure de la séance, en insistant sur les savoirs mathématiques en jeu alors que des mises en commun des résultats sont proposées en fin de séances dédiées à des problèmes ouverts, l'enseignant insistant sur les explications des démarches et donc permettant un développement de compétences de raisonnement.

Les résultats de ces analyses montrent, en lien avec nos recherches précédentes (Choquet 2017) que cet enseignant se situe pour la séance dédiée au problème ouvert dans le profil chercher pour apprendre à raisonner (Profil 2). Il propose lors de cette séance un problème amenant tous les élèves à chercher. Il organise une mise en commun à partir d'un choix parmi les affiches des élèves et d'une hiérarchisation de leurs procédures. En revanche, il n'organise pas de synthèse de la séance, de temps d'institutionnalisation qui permettrait de décontextualiser la situation et d'en retirer des éléments, notamment liés au raisonnement mathématique, pouvant être réutilisés par les élèves lors d'une prochaine séance du même type.

Ce travail permet au-delà de l'analyse de la pratique de l'enseignant lors des deux séances, de valoriser l'intérêt de dédier des séances à l'étude de problèmes ouverts à l'école primaire.

Tout d'abord, le travail de l'enseignant est en accord avec les instructions officielles qui incitent à proposer des problèmes utilisant la méthode d'essai-erreur (MEN 2018). Celles-ci précisent également aux enseignants que des objectifs d'apprentissage pour ce type de séances doivent être fixés a priori de manière explicite. Par exemple, « il convient d'assigner à chaque séquence un objectif d'apprentissage précis ; dans l'exemple de la méthode essai-erreur, il s'agit d'apprendre à chercher, en tâtonnant, en faisant des essais successifs ».

Ensuite, l'intérêt de ces séances se situe également dans le fait que cet enseignant les propose dans le but de chercher pour apprendre à raisonner. Il définit, pour les séances dédiées à des problèmes ouverts, des objectifs d'apprentissage explicites, permettant de viser le développement de compétences de recherche mais aussi de raisonnement. Les séances sont alors préparées et mises en œuvre dans le but d'atteindre ces objectifs.
Enfin, comme nous l'avons montré ici, l'organisation des séances dédiées à des problèmes ouverts est également l'occasion pour l'enseignant de faire travailler ensembles tous les élèves de son double-niveau, ce qu'il ne s'autorise jamais lors des séances quotidiennes.

Ce travail de comparaison de deux séances représentatives de la pratique d'un enseignant nous a permis de mettre en avant la richesse de celle-ci dès lors que l'enseignant s'autorise à la faire évoluer. Nos recherches se poursuivent notamment dans le cadre de recherches collaboratives avec des enseignants expérimentés de cycle 2 ainsi qu'avec des professeurs des écoles débutants afin d'approfondir les résultats obtenus et envisager des formations sur l'enrichissement de la pratique des mathématiques à l'école primaire.

## REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

Arsac, G., Germain, G., Mante, M. (1988) Problème ouvert et situation problème. IREM de Lyon.

Arsac, G., Mante, M. (2007) Les pratiques du problème ouvert. Lyon Sceren CRDP.

Bonnet, N., Clément-Martin, S. (2006) L'évolution d'un problème pour chercher au CM2. *Grand N*, 77, 55-72.

Charnay, R. (1992) Problème ouvert, problème pour chercher. *Grand N*, 51, 77-83.

Charnay, R. (2007) Le problème ouvert à l'école primaire. In ARSAC & al. *Les pratiques du problème ouvert*. Lyon Sceren CRDP.

Choquet, C. (2014) Quelles ressources les enseignants utilisent-ils afin de trouver des énoncés de problèmes ouverts en mathématiques au cycle 3 ? In Actes 41ème colloque COPIRELEM, Arpeme.

Choquet, C. (2016) Quels usages des problèmes du RMT dans la classe ? *Revue de mathématiques pour l'école (RMé)*, 225, 45-50.

Choquet, C. (2017) Profils de professeurs des écoles proposant des problèmes ouverts en mathématiques. *Recherches en Didactique des Mathématiques*, La Pensée Sauvage, 2017, 36 (1), 11-47.

Combès, M. (2005) Un « problème ouvert » en 6ème pour lancer un défi à des classes de cycle 3. *Grand N*, 75, 7-18.

Hersant, M. (2008) « Problèmes pour chercher », des conduites de classe spécifiques. *Grand N*, 81, 57-75.

Irem de BESANCON (2005) La conduite en classe d'une situation de recherche : un exercice périlleux. *Grand N*, 76, 65-74.

Lépine, L. (1996) Tout problème ouvert n'engage pas nécessairement une bonne recherche. *Grand N*, 60, 43-55.

Orange, C. (2005) Une forme d'analyse des pratiques didactiques : l'analyse centrée sur les productions des élèves dans leur diversité. In Altet, M. & al. *L'analyse de pratiques en questions*. Ressources IUFM des Pays de La Loire. 43-50.

Robert, A. (2007) Stabilité des pratiques des enseignants de mathématiques (second degré) : une hypothèse des inférences en formation. *Recherches en Didactique des Mathématiques*. 27/3, 271-312.
Enfin, comme nous l'avons montré ici, l'organisation des séances dédiées à des problèmes ouverts est également l'occasion pour l'enseignant de faire travailler ensembles tous les élèves de son double-niveau, ce qu'il ne s'autorise jamais lors des séances quotidiennes.

Ce travail de comparaison de deux séances représentatives de la pratique d'un enseignant nous a permis de mettre en avant la richesse de celle-ci dès lors que l'enseignant s'autorise à la faire évoluer. Nos recherches se poursuivent notamment dans le cadre de recherches collaboratives avec des enseignants expérimentés de cycle 2 ainsi qu'avec des professeurs des écoles débutants afin d'approfondir les résultats obtenus et envisager des formations sur l'enrichissement de la pratique des mathématiques à l'école primaire.

## REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

Arsac, G., Germain, G., Mante, M. (1988) Problème ouvert et situation problème. IREM de Lyon.

Arsac, G., Mante, M. (2007) Les pratiques du problème ouvert. Lyon Sceren CRDP.

Bonnet, N., Clément-Martin, S. (2006) L'évolution d'un problème pour chercher au CM2. *Grand N*, 77, 55-72.

Charnay, R. (1992) Problème ouvert, problème pour chercher. *Grand N*, 51, 77-83.

Charnay, R. (2007) Le problème ouvert à l'école primaire. In ARSAC & al. *Les pratiques du problème ouvert*. Lyon Sceren CRDP.

Choquet, C. (2014) Quelles ressources les enseignants utilisent-ils afin de trouver des énoncés de problèmes ouverts en mathématiques au cycle 3 ? In Actes 41ème colloque COPIRELEM, Arpeme.

Choquet, C. (2016) Quels usages des problèmes du RMT dans la classe ? *Revue de mathématiques pour l'école (RMé)*, 225, 45-50.

Choquet, C. (2017) Profils de professeurs des écoles proposant des problèmes ouverts en mathématiques. *Recherches en Didactique des Mathématiques*, La Pensée Sauvage, 2017, 36 (1), 11-47.

Combès, M. (2005) Un « problème ouvert » en 6ème pour lancer un défi à des classes de cycle 3. *Grand N*, 75, 7-18.

Hersant, M. (2008) « Problèmes pour chercher », des conduites de classe spécifiques. *Grand N*, 81, 57-75.

Irem de BESANCON (2005) La conduite en classe d'une situation de recherche : un exercice périlleux. *Grand N*, 76, 65-74.

Lépine, L. (1996) Tout problème ouvert n'engage pas nécessairement une bonne recherche. *Grand N*, 60, 43-55.

Orange, C. (2005) Une forme d'analyse des pratiques didactiques : l'analyse centrée sur les productions des élèves dans leur diversité. In Altet, M. & al. *L'analyse de pratiques en questions*. Ressources IUFM des Pays de La Loire. 43-50.

Robert, A. (2007) Stabilité des pratiques des enseignants de mathématiques (second degré) : une hypothèse des inférences en formation. *Recherches en Didactique des Mathématiques*. 27/3, 271-312.
Robert, A. (2008) Une méthodologie pour analyser les activités (possibles) des élèves en classe.
In Vandebrouk, F. (Dir.) *La classe de mathématiques : activité des élèves et pratiques des enseignants*. Octarès Editions. 45-57.

Robert, A., Rogalski, J. (2002) Le système complexe et cohérent des pratiques des enseignants de mathématiques : une double approche. *Revue canadienne de l'enseignement des sciences, des mathématiques et des technologies*. Volume 2, 4, 505-528

Thomas, Y. (2007) Gommettes et étiquettes, des problèmes pour chercher ? *Grand N*, 80, 29-41.

MEN (2002) *Documents d'application des programmes 2002, Mathématiques*. Scérèn CNDP.

MEN (2008) *Programme d'enseignement de l'école primaire*. B.O.E.N. Hors-série n°3, 19 juin 2008.

MEN (2015) *Programme d'enseignement du cycle de consolidation (cycle 3)*. B.O. E.N. spécial n°11, 26 novembre 2015.

MEN (2018) *La résolution de problèmes à l'école élémentaire*. DGESCO. Note de service n° 2018-052.
Robert, A. (2008) Une méthodologie pour analyser les activités (possibles) des élèves en classe.
In Vandebrouk, F. (Dir.) *La classe de mathématiques : activité des élèves et pratiques des enseignants*. Octarès Editions. 45-57.

Robert, A., Rogalski, J. (2002) Le système complexe et cohérent des pratiques des enseignants de mathématiques : une double approche. *Revue canadienne de l'enseignement des sciences, des mathématiques et des technologies*. Volume 2, 4, 505-528

Thomas, Y. (2007) Gommettes et étiquettes, des problèmes pour chercher ? *Grand N*, 80, 29-41.

MEN (2002) *Documents d'application des programmes 2002, Mathématiques. Scérèn CNDP*.

MEN (2008) *Programme d'enseignement de l'école primaire*. B.O.E.N. Hors-série n°3, 19 juin 2008.

MEN (2015) *Programme d'enseignement du cycle de consolidation (cycle 3)*. B.O. E.N. spécial n°11, 26 novembre 2015.

MEN (2018) *La résolution de problèmes à l'école élémentaire*. DGESCO. Note de service n° 2018-052.
# ANNEXE 1

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>## FICHE PROPOSEE AUX ELEVES DE CM1, ISSUE DE CAP MATHS CM1 (SEANCE SQ)</figcaption></figure>

Grand N - n° Afficher la variable numéro, Afficher la variable année (inutile de compléter le pied de page)
# ANNEXE 1

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>## FICHE PROPOSEE AUX ELEVES DE CM1, ISSUE DE CAP MATHS CM1 (SEANCE SQ)</figcaption></figure>

Grand N - n° Afficher la variable numéro, Afficher la variable année (inutile de compléter le pied de page)
# ANNEXE 2

## FICHE PROPOSEE PAR LE SITE ARMT 2005 (SEANCE SPO)

13e RALLYE MATHÉMATIQUE TRANSALPIN -ÉPREUVE 1

janvier, février 2005

©ARMT.2005 p. 8

### 7. LA PLAQUE DE VOITURE (Cat. 4, 5, 6)

La police recherche la voiture d'un voleur.

- un premier témoin a constaté que le numéro de la plaque a cinq chiffres, tous différents,

- un deuxième témoin se souvient que le premier chiffre est 9,

- un troisième témoin a noté que le dernier chiffre est 8,

- un quatrième témoin, qui a 22 ans, a remarqué que la somme des cinq chiffres de la plaque est égale à son âge.

Quel peut être le numéro de la plaque de la voiture que la police recherche ?

Écrivez toutes les possibilités et expliquez comment vous les avez trouvées.

#### ANALYSE A PRIORI

##### Domaine de connaissances

- Arithmétique : addition

- Logique : combinatoire

##### Analyse de la tâche

- Comprendre que la somme des trois chiffres centraux doit être 5 = 22 - (9 + 8). Chercher les décompositions possibles de 5 en somme de 3 termes différents et trouver les 12 combinaisons réalisables avec ces décompositions.

- Noter les 12 numéros de plaque possibles :
  9 014 8, 9 041 8, 9 104 8, 9 140 8, 9 401 8, 9 410 8, 9 023 8, 9 032 8, 9 203 8, 9 230 8, 9 302 8, 9 320 8.

Niveaux : 4 - 5 - 6

Origine : Aoste, Suisse romande et rencontre de Bourg-en-Bresse
# ANNEXE 2

## FICHE PROPOSEE PAR LE SITE ARMT 2005 (SEANCE SPO)

13e RALLYE MATHÉMATIQUE TRANSALPIN -ÉPREUVE 1

janvier, février 2005

©ARMT.2005 p. 8

### 7. LA PLAQUE DE VOITURE (Cat. 4, 5, 6)

La police recherche la voiture d'un voleur.

- un premier témoin a constaté que le numéro de la plaque a cinq chiffres, tous différents,

- un deuxième témoin se souvient que le premier chiffre est 9,

- un troisième témoin a noté que le dernier chiffre est 8,

- un quatrième témoin, qui a 22 ans, a remarqué que la somme des cinq chiffres de la plaque est égale à son âge.

Quel peut être le numéro de la plaque de la voiture que la police recherche ?

Écrivez toutes les possibilités et expliquez comment vous les avez trouvées.

#### ANALYSE A PRIORI

##### Domaine de connaissances

- Arithmétique : addition

- Logique : combinatoire

##### Analyse de la tâche

- Comprendre que la somme des trois chiffres centraux doit être 5 = 22 - (9 + 8). Chercher les décompositions possibles de 5 en somme de 3 termes différents et trouver les 12 combinaisons réalisables avec ces décompositions.

- Noter les 12 numéros de plaque possibles :
  9 014 8, 9 041 8, 9 104 8, 9 140 8, 9 401 8, 9 410 8, 9 023 8, 9 032 8, 9 203 8, 9 230 8, 9 302 8, 9 320 8.

Niveaux : 4 - 5 - 6

Origine : Aoste, Suisse romande et rencontre de Bourg-en-Bresse