où $n(\mathcal{V}_i, t)$ est la concentration (en nombre) de particules d'un volume donné $\mathcal{V}_i$ au temps $t$, $\beta(\mathcal{V}_i, \mathcal{V}_j)$ est la fréquence de collision entre des particules de volume $\mathcal{V}_i$ et $\mathcal{V}_j$, et $\alpha$ est l'efficacité de collision (qui mesure le nombre de collisions donnant lieu à l'adhésion des deux objets). Le premier terme dans le membre de droite de l'équation (3.3) traduit la formation de nouveaux agrégats d'un volume $\mathcal{V}_i$ produits par les collisions successives de paires de particules/agrégats de tailles plus petites (telles que la somme des volumes est égal à $\mathcal{V}_i$). Le second terme rend compte de la disparition de particules ayant un volume $\mathcal{V}_i$ à cause de leur agglomération avec d'autres objets en suspension. À noter que la présence du pré-facteur $1/2$ devant le premier terme est nécessaire pour éviter de compter deux fois chaque collision dans la somme.

Depuis lors, plusieurs discrétisations ont été proposées pour résoudre numériquement l'équation PBE (3.3) (cf. par exemple [38, 64]). Dans les travaux pionniers de Smoluchowski, une équation discrétisée uniforme a été utilisée : elle consiste à définir un agrégat de taille $k$ comme étant composé de $k$ particules primaires. Dans ce cas, l'EDP discrétisée est donnée par le système d'équations différentielles suivant

$$ \frac{\partial n_t(k)}{\partial t} = \frac{1}{2} \sum_{j=1}^{k-1} \alpha(k-j, j)\beta(k-j, j)n_t(k-j)n_t(j) - n_t(k) \sum_{j=0}^{\infty} \alpha(k,j)\beta(k,j)n_t(j) \quad (3.4) $$

où $n_t(k)$ est la concentration (en nombre) d'agrégats de 'taille k' à un temps donné $t$ ($k \in \mathbb{N}$). L'inconvénient de cette discrétisation simple est que, si le système est composé de $N$ particules initialement, il faut considérer toutes les tailles allant de 1 à $N$ pour décrire le système, ce qui devient rapidement inadapté dans les situations réelles où le nombre de particules est très grand. Pour ces raisons, d'autres discrétisations ont été proposées plus récemment en utilisant des 'tailles' non uniformes de particules (par exemple avec une loi de puissance). Ces autres formes de discrétisations demandent une attention particulière pour conserver la masse dans le système [64].

L'intérêt de ces approches PBE est qu'elles sont compatibles avec le niveau de description utilisé dans les simulations CFD fondées sur une approche par champ [91, 126]. En effet, ces méthodes donnent directement une information sur la concentration en particules dans chacun des volumes élémentaires définissant le domaine physique.

### Limitations des approches PBE

Néanmoins, les formulations PBE ont été développées en faisant un certain nombre d'hypothèses qui limitent leur champ d'application [128]. En particulier, il est important de noter que ces méthodes PBE sont des approches cinétiques, qui décrivent principalement l'évolution moyenne de la taille des objets dans un écoulement. Cela implique les conditions suivantes :

* Seules les collisions binaires sont prises en compte (les collisions à trois particules ou plus sont négligées). Cela implique que ces approches sont limitées à des écoulements pas trop denses (pour que les collisions à plusieurs particules soient négligeables).

* Les particules sont supposées réparties uniformément dans chaque volume où l'approche PBE est appliquée, de sorte que la probabilité de collision entre deux particules est indépendante de leur position dans le domaine.

* Les collisions sont supposées indépendantes les unes des autres dans le volume de contrôle. Ainsi, les corrélations entre des collisions successives (liées par exemple à la turbulence [11]) ne sont pas prises en compte.

* La structure de chaque agrégat n'est pas connue spécifiquement (seul son volume ou sa masse équivalente sont connus).
Enfin, il est important de rappeler que les formulations PBE nécessitent de connaître a-priori la fréquence $\beta$ et l'efficacité $\alpha$ des collisions. Ces informations peuvent venir de simulations réalisées à une échelle plus fine (par exemple, comme celles décrites précédemment dans la Section 3.2). De manière générale, il n'existe des formules approchées de ces noyaux de collision que dans des cas spécifiques :

* La fréquence de collision $\beta$ peut être estimée lorsque l'on suppose que le taux de collision est indépendant des interactions interparticulaires (qui sont de courte portée). Dans ce cas, des formules analytiques approchées existent pour des particules ayant un mouvement Brownien pur, ou bien pour des particules dans un écoulement cisaillé, ou encore pour des particules dans un écoulement turbulent homogène et isotrope ainsi que pour des particules en sédimentation [38]. Dans les situations plus complexes (comme un écoulement turbulent en proche paroi), il n'existe pas de formules approchées pour les fréquences de collision. Par exemple, si l'on considère un écoulement turbulent avec de grandes particules inertielles qui sédimentent, il n'est pas clair si la fréquence de collision dans ce cas peut s'obtenir en sommant celle pour les écoulements turbulents et celle pour la sédimentation pure.

* L'efficacité de collision ne peut être approchée par une formule analytique que dans le cas de particules soumises à un mouvement Brownien uniquement (ce qui donne une loi de type Arrhenius) [38].

### 3.3.2 Méthode à probabilité de collisions

Durant mon post-doctorat à l'IMP PAN, j'ai commencé à développer une approche stochastique pour le traitement de l'agglomération de particules compatibles avec l'approche hybride (couplant des modèles RANS pour le fluide à un modèle Lagrangien stochastique). Plus récemment, j'ai participé avec Kerlyns Martinez et Mireille Bossy au développement d'un algorithme amélioré permettant d'appliquer ce genre d'approches à des écoulements non-homogènes.

**Méthodologie** : Dans l'approche Lagrangienne stochastique, chaque particule numérique peut représenter en réalité un grand nombre de particules réelles : c'est ce que l'on appelle des super-particules (notamment dans la communauté des nuages). La difficulté qui se présente alors est que des collisions peuvent avoir lieu au sein d'une même super-particule tout aussi bien qu'entre deux super-particules. Ainsi, il est nécessaire d'avoir une approche probabiliste qui rend compte de l'effet de l'agglomération sur l'évolution temporelle des tailles des objets en suspension.

Dans l'article E.3, nous avons proposé une approche consistant à traiter l'agglomération entre des paires de super-particules choisies aléatoirement (comme dans [112]) mais en se donnant la fréquence et l'efficacité de collision (comme dans les approches PBE). Nous avons choisi de discrétiser les super-particules pour que chacune d'elle ne contienne que des particules réelles d'une taille donnée. Cela permet de déterminer facilement la fréquence et l'efficacité de collision. L'algorithme ainsi obtenu consiste en 5 étapes (illustrées sur la Figure. 3.6) :

1. Tout d'abord, on choisit le nombre de paires de parcelles $N_{pairs}$ pour lesquelles l'agglomération sera traitée. Ici, pour des raisons liées au ratio entre le temps de calcul et la précision requise, nous avons retenu un nombre de paires égal à $N_{pairs} = N_{sp} \ln(N_{sp})/2$ (où $N_{sp}$ est le nombre de super-particules dans le volume considéré $V_C$).

2. Ensuite, on choisit aléatoirement des paires de parcelles pour lesquelles l'agglomération sera calculée explicitement. Ce tirage est réalisé en utilisant un algorithme d'échantillonnage avec remplacement (ce qui assure la même probabilité de tirer chaque paire possible).
<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>FIGURE 3.6 – Illustration du fonctionnement de l’algorithme proposé pour la traitement de l’agglomération dans des approches hybrides.</figcaption></figure>

3. L'étape suivante consiste à calculer le nombre de particules qui s'agglomèrent dans chaque paire tirée à l'étape b. Pour ce faire, on a recours à une approche statistique où l'on génère aléatoirement le nombre d'événements d'agglomération $N_{agg,ij}$ entre deux super-particules (nommées i et j) en tirant dans une distribution de Poisson avec le paramètre $N_{agg,ij}^{mean}$. Ce dernier correspond au nombre moyen d'événements d'agglomération entre les objets dans les super-particules i et j pendant le pas de temps. Il est donné par :

$$N_{agg,ij}^{mean} = \alpha_{i,j} \beta_{ij} \frac{N_{pairs}^{max} N_{part,i} N_{part,j} \Delta t}{N_{pairs} \nu_C}, \quad (3.5)$$

où $N_{part,i}$ et $N_{part,j}$ sont les nombres de particules réelles dans les super-particules i et j. Le facteur $N_{pairs}^{max}/N_{pairs}$ a été introduit dans [112] pour compenser le fait que chaque paire sera traitée (en moyenne) tous les $N_{pairs}^{max}/N_{pairs}$ pas de temps. Dans le cas présent, le nombre maximal de paires est égal à $N_{pairs}^{max} = N_{parc}(N_{sp} + 1)/2$.

4. Connaissant le nombre d'événements d'agglomération $N_{agg,ij}$, l'agglomération des particules peut être traitée. Dans le cas où $N_{agg,ij} = 0$, rien ne se passe. Dans le cas contraire, $N_{agg,ij}$ particules de chaque super-particule participent à une agglomération. En conséquence, leur poids statistique est réduit alors que le poids statistique d'une autre superparticule (l'une de celles correspondant à des tailles $i+j$) est augmenté (si nécessaire, une nouvelle super-particule peut être créée).

5. Une fois toutes les agglomérations calculées et traitées, un algorithme de tri a été ajouté afin d'homogénéiser le poids statistiques des super-particules (et ainsi éviter un nombre excessif de super-particules dans le domaine). Pour cela, on impose une valeur minimale (et maximale) pour le poids statistique des super-particules : les petites parcelles sont donc fusionnées (si possible) pour conserver un nombre de parcelles raisonnable.

Les étapes b-e sont répétées pour chaque cellule du domaine de simulation et pour chaque pas de temps.

Plus récemment, cet algorithme a été amélioré pour traiter le cas d'écoulements complexes où la répartition des particules dans le domaine n'est pas homogène. Ce genre de situations peut arriver fréquemment dans les écoulements atmosphériques (par exemple, la dispersion en aval d'un bâtiment). Néanmoins, l'utilisation d'une approche fondée sur les noyaux de collision implique que les particules doivent être réparties uniformément sur chacun des volumes $V_C$ dans
lesquels cet algorithme est appliqué. Dans les approches hybrides, ces volumes correspondent aux mailles utilisées pour le calcul de la phase fluide. Cependant, ces mailles ne sont pas forcément faites pour respecter cette contrainte d'uniformité. Dans l'article E.5, nous avons donc développé un algorithme permettant de décomposer le domaine en fonction de la répartition spatiale des particules. Cet algorithme (appelé D2SD pour "Data-Driven Spatial Decomposition") prend directement les informations sur la position de toutes les particules dans le domaine pour proposer une décomposition optimale du domaine respectant la contrainte d'uniformité. Dans l'article E.6, l'efficacité numérique de l'algorithme D2SD a été améliorée pour le rendre applicable aux simulations CFD réalisées dans des situations réelles. Pour ce faire, deux types de modifications ont été introduites : d'abord, l'algorithme de recherche d'une décomposition optimale a été simplifié en se donnant la valeur optimale (limitant ainsi le temps de calcul à chaque fois que l'algorithme D2SD est appliqué) ; ensuite, nous avons ajouté des conditions pour ne pas ré-actualiser la décomposition proposée par D2SD à chaque pas de temps de la simulation (via des critères sur le déplacement des particules et sur les variations de concentration).

<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>(a) Image de la position de particules de 100 µm (points noirs) dans un écoulement turbulent (isocontours du taux de dissipation de l'énergie turbulente).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>(b) Décomposition spatiale donnée par l'algorithme D2SD amélioré à partir des positions de particules (figure de gauche).</figcaption></figure>

FIGURE 3.7 – Illustration de la façon dont l'algorithme D2SD permet de décomposer le domaine en respectant la contrainte de répartition spatiale des particules. Simulations réalisées dans le cas d'un écoulement turbulent dans un canal plan avec un obstacle.

**Résultats** : Grâce à tous ces développements, nous avons pu récemment appliquer le modèle d'agglomération stochastique au cas de la dispersion turbulente de particules dans le sillage d'un obstacle. Ce cas a été choisi car il est représentatif des écoulements atmosphériques (dispersion d'aérosols près de bâtiments) et induit une concentration non-uniforme des particules (voir Figure 3.7). Ainsi, l'application combinée du modèle d'agglomération et de l'algorithme D2SD permet de réaliser des simulations de l'agglomération de particules dans des géométries complexes en limitant l'erreur numérique liée à la discrétisation spatiale (ici sous forme de mailles).

Bien que prometteurs, ces résultats montrent néanmoins que l'utilisation de formulations de type champ-moyen (ici PBE) dans le contexte des approches hybrides nécessite de faire très attention à la cohérence des modèles utilisés. Cela peut engendrer des coûts numériques supplémentaires qui peuvent remettre en question le choix d'une certaine formulation (selon la précision et le coût de calcul acceptables dans des applications pratiques).
## 3.4 Perspectives

Ces travaux ouvrent la voie à de nouvelles recherches, dont je liste ci-dessous celles qui me paraissent le plus importantes :

**Approche probabiliste généralisée** : le modèle stochastique présenté dans la Section 3.3.2, bien que satisfaisant à l'heure actuelle, pose des questions sur la pertinence du recours à des formulations fondées sur les noyaux de collision dans le contexte des approches hybrides (de type champ-moyen/PDF). En effet, comme je l'ai montré, cela nécessite l'introduction d'algorithmes supplémentaires pour limiter l'erreur numérique induite par la discrétisation spatiale. Il serait peut-être plus pertinent de repartir des travaux sur l'approche probabiliste permettant de calculer la fréquence de collision (cf. Section 3.2.3) et de la généraliser dans le cas qui n'est pas sur-amorti. La principale difficulté est que des formules analytiques ne sont pas disponibles dans ce cas là. Néanmoins, il serait intéressant (moyennant quelques hypothèses simplificatrices) de développer une version approchée (qui devra prendre en compte non seulement la distance initiale et finale entre les paires de particules, mais aussi les vitesses relatives initiales et finales).

**Modèle pour les événements corrélés** : Des simulations DNS récentes ont révélé le rôle joué par la turbulence, qui peut induire des événements de collision successives (liées à des zones où la vorticité est intense). Ce genre d'événements corrélés n'est pas du tout pris en compte dans les approches de type champ-moyen. L'une des pistes d'amélioration consiste donc à revisiter ces approches macroscopiques pour y inclure des modifications rendant compte de ces événements corrélés.

**Approches multi-échelles pour la morphologie d'agrégats** : En dehors de l'approche MCAC, toutes les approches que j'ai explorées jusqu'ici ne permettent pas de prédire la morphologie des agrégats formés. Et même dans l'approche MCAC, la dynamique des particules est simplifiée. L'une des questions qui reste à explorer est de caractériser comment la morphologie des agrégats changent en fonction de la manière dont il se forme (collisions induites par sédimentation ou par la turbulence, particules peu ou pas adhésives, effets de la capillarité, etc.). Néanmoins, cela nécessite d'avoir recours à des approches multi-échelles. En particulier, même en utilisant des approches DEM pour calculer la morphologie des agrégats dans un écoulement turbulent, il est nécessaire de se donner une loi pour les forces de contact. Or, comme indiqué dans une revue récente [39], ces forces ont non seulement des origines multiples (van der Waals, électrostatique, capillarité) mais elles peuvent changer au cours du temps (par exemple, lorsqu'il y a du frittage, “sintering” en anglais, c'est-à-dire une modification de la zone de contact). Ces phénomènes ont lieu à des échelles nanoscopiques et peuvent être explorés via des simulations de type dynamique moléculaire (cf. Fig. 3.8). L'un des axes de recherche que j'envisage dans le futur proche est d'avoir recours à des approches multi-échelles, typiquement en couplant des simulations MD (pour calculer la friction ou l'adhésion entre des grains individuels rugueux), des simulations de type PR-DNS + DEM (pour prédire la morphologie des agrégats au cours du temps) et des approches macroscopiques (dont les paramètres d'entrée seront fournis par les simulations DEM).
<figure><img src="image_38.png" /></figure>

FIGURE 3.8 – Illustration de la façon dont les simulations MD peuvent être utilisées pour calculer des courbes forces-déplacement entre des nanoparticules. Reproduit avec la permission de [80]. Copyright 2017 American Chemical Society.

**Agglomération de particules non-sphériques** : En lien avec les récents travaux sur les sphéroïdes (voir Chapitre 4), l'une des améliorations à apporter à ces modèles serait de rendre compte de l'agglomération de tels sphéroïdes. Néanmoins, cela nécessitera des simulations à l'échelle microscopique voire des expériences pour comprendre en détail comment la morphologie d'agrégats formés par des sphéroïdes diffère de celle des agrégats de sphères.
# Chapitre 4

## Dynamique lagrangienne de particules non-sphériques

### 4.1 Introduction

**Contexte** : De nombreux travaux sur le transport de particules ont été menés en considérant le cas de particules sphériques [62]. Néanmoins, les particules en suspension dans un écoulement ont des formes très variées (cf. revues sur le sujet [138, 151, 85, 155, 36]). Certaines ont des formes allongées, comme les fibres dans l'industrie du papier [85, 25, 56], les polymères dans les écoulements non-Newtoniens [29, 138], ou bien les algues dans les milieux marins. D'autres particules ont une forme aplatie, comme les déchets plastiques ou les feuilles d'arbre dans les milieux aquatiques (e.g. les rivières). Dans d'autres cas, les particules peuvent être presque sphériques mais s'agglomérer pour former des structures complexes, comme par exemple des chaînes connectant plusieurs particules dans le cas des diatomées en suspension dans la mer [72, 51, 108].

Dans le cas des particules non-sphériques, leur dynamique n'est plus seulement donnée par l'évolution de leur position $\mathbf{X}_p$ et de leur vitesse de translation $\mathbf{U}_p$ mais également par l'évolution de leur orientation $\mathbf{P}_p$ et de leur vitesse de rotation $\boldsymbol{\Omega}_p$. Cela implique que le vecteur d'état $\mathbf{Z}_p$ soit étendu pour prendre en compte au moins l'une de ces deux variables supplémentaires. En effet, alors que la rotation n'est pas souvent prise en compte pour des particules sphériques, c'est un paramètre clé dans la dynamique de particules allongées comme pour la formation de papier (où l'enjeu est d'obtenir une fine couche de fibres entrelacées suffisamment résistante). Les études récentes [155] ont révélé que la dynamique des particules allongées est plus riche et complexe, avec par exemple des mouvements de retournement brusque de l'orientation.

Un autre aspect important des particules non-sphériques est lié à leur déformabilité. Historiquement, cet aspect a été largement étudié dans le cas de bulles/gouttes [24, 86] et dans le cas de fibres ou de polymères [85]. Ces travaux ont donné lieu à des modèles dédiés qui rendent compte de la capacité de ces objets à se déformer sous l'action de l'écoulement. En lien avec les sciences des matériaux, une distinction est faite entre trois types de déformation : celles induites par tension (liées à l'extensibilité d'un objet qui peut s'allonger ou se rétrécir), celles induites par flexion (liées à la flexibilité d'un objet, qui peut se plier ou se tordre) et celles induites par torsion (où l'objet vrille sur lui-même).
**Verrous** : L'une des principales difficultés rencontrées est le choix de modèles réduits pertinents qui permettent de reproduire les phénomènes jugés importants. Ce choix est d'autant plus délicat pour les modèles implémentés dans des codes CFD à grande échelle, c'est-à-dire lorsque les phénomènes à l'échelle microscopique sont simplifiés voire parfois négligés. Historiquement, ces simplifications ont été faites pour permettre d'aborder un sujet complexe, multi-échelle et trans-disciplinaire (voir le Chapitre 1). Puis, à mesure des avancées théoriques et des progrès numériques, les modèles ont été enrichis. Néanmoins, il est encore usuel d'approcher la dynamique des particules de forme complexe par celle de particules ayant une géométrie plus simple (par exemple une sphère ou un sphéroïde). Ces approximations sont généralement motivées par l'étude de la dynamique des particules : il existe en effet des formules empiriques connues pour les forces hydrodynamiques (comme la traînée) dans le cas de géométries simples, ce qui facilite grandement les simulations. Par exemple, ces approximations ont permis d'étudier finement la dynamique de sphéroïdes dans des écoulements turbulents, notamment pour quantifier l'impact de leur forme et de leur inertie (voir les travaux DNS en turbulence homogène isotrope [155, 8] ou en canal plan [156, 107, 89, 90, 125]). Néanmoins, lorsqu'il s'agit plus généralement de particules non-sphériques déformables, la phénoménologie est plus complexe et les expressions pour les forces hydrodynamiques ne sont pas forcément connues. Par ailleurs, les modèles doivent également rendre compte de la déformation de ces particules sous l'effet de l'écoulement. Les récentes avancées en matière de mesures expérimentales ont permis de fournir également des données pour compléter cette compréhension fine et la validation de modèles (voir par exemple les travaux sur la conformation de fibres allongées dans un écoulement de von Kármán [20, 153]). Enfin, comme c'est le cas dans les écoulements polymériques, il est parfois nécessaire d'inclure dans les modèles l'effet que ces particules ont sur l'écoulement lui-même (comme les polymères qui peuvent localement affecter la viscosité du mélange) et les effets liés à la dynamique collective (lorsque la concentration en particules est élevée).

**Objectifs** : En lien avec les verrous scientifiques identifiés précédemment, les objectifs de ces travaux sont multiples :

i. Formuler une description mécanique réduite d'objets ayant une forme allongée et étant déformables (comme les fibres ou les polymères), à l'aide d'un petit nombre de degrés de liberté pertinents ;

ii. Proposer un modèle adapté pour rendre compte de la dynamique de translation et de rotation de ces objets flexibles ;

iii. Proposer un modèle rendant compte de la déformation de ces objets (tension, flexion et/ou torsion).

Ce chapitre permet ainsi d'illustrer comment des formulations de plus en plus simplifiées peuvent émerger grâce à des approches multi-échelles. En particulier, dans le contexte de l'art de la modélisation, cela montre l'intérêt de réaliser des simulations avec plusieurs niveaux de descriptions, notamment pour que les modèles macroscopiques s'inspirent des phénomènes observés dans les simulations à un niveau de description plus fin.

**Hypothèses** : Dans ce chapitre, je me focalise sur le cas de particules allongées (appelées fibres par la suite) et non sur des particules de forme plane. Ce choix est motivé par le fait qu'il y a déjà un grand nombre de données expérimentales et/ou théoriques disponibles sur la dynamique de fibres [85, 56, 108] alors que les données sur les particules de forme plane proviennent surtout de
travaux théoriques/numériques sur les ellipsoïdes aplatis (dits oblongs) [155]. Ce choix est aussi motivé par des considérations liées à la modélisation : il est plus aisé de décrire une particule allongée avec un nombre restreint de degrés de liberté (les particules aplaties nécessitent plus de points pour décrire toute la surface pouvant se déformer).

Une autre hypothèse de ces travaux est que les fibres ont une taille inférieure à la plus petite échelle de l'écoulement fluide (l'échelle de Kolmogorov dans un écoulement turbulent). D'un point de vue numérique, cette taille infinitésimale des particules permet de considérer que les particules sont ponctuelles, c'est-à-dire qu'une particule est remplacée numériquement par le suivi de la position de son centre de gravité. Par ailleurs, je me concentre sur le cas de suspension diluées, c'est-à-dire avec une concentration très faible. La combinaison de ces deux hypothèses permet de négliger l'influence des fibres sur l'écoulement (puisqu'il n'y a pas d'effet de sillage sur des particules individuelles infinitésimales et que les effets de l'ensemble des particules sur l'écoulement turbulent sont statistiquement négligeables). Enfin, je ne prends pas en compte les collisions entre ces objets (cela reste une piste d'amélioration pour des développements ultérieurs).

**Méthodologie** : Pour aborder ce sujet, j'ai suivi une approche multi-échelle, qui consiste à développer des modèles macroscopiques à partir d'informations obtenues via des simulations à une échelle plus fine. Comme illustré sur la Figure 4.1, trois échelles de modélisation ont été considérées :

<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>FIGURE 4.1 – Schéma des 3 niveaux de description de fibres allongées déformables.</figcaption></figure>

**Échelle micro** - une fibre déformable peut être approximée à l'échelle de la particule comme un corps mince ("Slender-Body" en anglais). Cela permet de décrire la déformabilité de la fibre en utilisant la théorie des poutres, c'est-à-dire comme un objet cylindrique allongé dont la déformation est donnée par la théorie d'Euler-Bernoulli. Ce genre de description microscopique est couplée avec des simulations numériques directes (DNS) de l'écoulement fluide turbulent.

**Échelle méso** - une fibre déformable peut être décrite comme une chaîne articulée, c'est-à-dire comme un ensemble de points connectés entre eux. La complexité du modèle dépend du nombre de degrés de liberté choisi pour décrire une fibre, c'est-à-dire du nombre de points discrets représentant la fibre ainsi que du modèle pour la connectivité entre chaque point (e.g., segment inextensible, ressort extensible, etc.). Ces chaînes articulées comprennent notamment les descriptions simplifiées avec peu de degrés de liberté comme les dumbbells (deux points connectés par un segment) ou trumbbells (trois points consécutifs connectés par deux segments) [154, 118, 4].
**Échelle macro** - en simplifiant encore, une fibre déformable peut être approximée par un sphéroïde rigide ou déformable. La complexité vient du fait que le modèle doit rendre compte de la rotation de ce sphéroïde en fonction de l'écoulement (qui dépend de la vitesse et du gradient de vitesse local) et aussi de l'évolution de la forme du sphéroïde (ce qui a un impact ensuite sur sa dynamique).

Je détaille par la suite les travaux menés en les classant en fonction de leur niveau de description (allant de l'approche microscopique vers l'approche macroscopique). Cette décomposition ne reflète pas la temporalité de mes travaux, puisque j'ai commencé à aborder le cas de particules non-sphériques en me focalisant d'abord sur le cas des chaînes articulées. Suite à ces résultats prometteurs, un projet de collaboration entre l'Université Côte d'Azur et EDF R&D a permis de financer deux thèses : l'une suivant l'approche microscopique (travaux de Sofia Allende) et l'autre suivant l'approche macroscopique (travaux de Lorenzo Campana). Cet aspect multi-échelle était au cœur du projet POPART entre 2017 et 2021, qui reposait sur la réalisation et l'analyse des simulations microscopiques pour alimenter des modèles macroscopiques qui sont ensuite validés grâce aux données des simulations microscopiques. Le projet POPART était fondé sur l'échange d'informations entre les approches microscopiques et les approches macroscopiques. À noter que cet échange d'information se fait dans les deux sens, puisque les simulations microscopiques fournissent des informations statistiques détaillées utiles pour améliorer l'approche macroscopique qui, en retour, initie de nouvelles études au niveau microscopique en fonction des enjeux et des besoins de l'approche macroscopique.

## 4.2 Simulations microscopiques

Ces travaux de recherche ont été réalisés par Sofia Allende lors de sa thèse entre 2018 et 2021 (encadrée par Jérémie Bec principalement).

**Méthodologie** : Ces simulations microscopiques consistent à coupler trois calculs :

* Des simulations numériques directes (DNS) d'un écoulement turbulent homogène et isotrope (HIT pour "Homogeneous Isotropic Turbulence"). Elles sont obtenue par l'intégration des équations de Navier-Stokes pour un fluide Newtonien incompressible (cf. Eqs. (1.3) et (1.4)). Pour ce faire, le solveur spectral LaTu (développé par Holger Homann de l'Observatoire de la Côte d'Azur) a été utilisé avec $4096^3$ points de collocation et un forçage qui maintient l'énergie cinétique constante dans les deux premiers termes de la décomposition en série de Fourier [65]. Une fois qu'un état statistiquement stationnaire est établi, on obtient un écoulement homogène isotrope dont le nombre de Reynolds calculé sur la base des échelles de Taylor vaut $Re_λ = 730$.

* Un suivi Lagrangien de particules ponctuelles sans inertie (traceur). Pour ce faire, l'écoulement est ensemencé de plusieurs millions de traceurs, le long desquels le gradient de vitesse complet est enregistré avec une période égale à $\tau_\eta/4$ (où $\tau_\eta = \sqrt{\nu/\varepsilon}$ est l'échelle de temps de Kolmogorov). La durée totale de la simulation a été choisie plus grande que le temps de retournement des structures à grande échelle $\tau_L = \epsilon^{-1/3} L^{2/3}$ et ce afin de réaliser des statistiques sur des temps longs. Ici, on a choisi $t \simeq 734 \tau_\eta$ (soit $t \simeq 3.8 \tau_L$ puisque $\tau_L \simeq 190 \tau_\eta$) [5].

* La déformation de fibres est intégrée ensuite le long d'un grand nombre de trajectoires obtenues par le calcul précédent. Pour ce faire, on a recours au modèle de corps mince pour décrire la déformation d'une fibre inextensible et sans inertie dans un écoulement
visqueux. Dans ce cas, la dynamique d'une fibre de longueur $\ell$ et de rayon $a$ est approximée par l'équation suivante [140, 150, 149, 82] :

$$ \partial_t \mathbf{X} = \mathbf{U}_f(\mathbf{X}, t) + \frac{1}{\mu} \mathbb{D} \left[ \partial_s (T \partial_s \mathbf{X}) - E \partial_s^4 \mathbf{X} \right] \quad (4.1) $$

avec la contrainte d'inextensibilité $|\partial_s \mathbf{X}|^2 = 1$, le tenseur $\mathbb{D} = \mathbb{I} + \partial_s \mathbf{X} \partial_s \mathbf{X}^\mathrm{T}$ et le scalaire $\mu = 8\pi \rho_f \nu_f / b$ (obtenu dans l'asymptotique de corps minces, $b = -\ln((a/\ell)^2 e) \gg 1$). L'équation (4.1) donne la déformation d'une fibre en décrivant les coordonnées d'un ensemble de points le long de la fibre : $\mathbf{X}(s, t)$ est la position indexée par sa coordonnée curviligne $s \in [-\ell/2, \ell/2]$. L'équation (4.1) fait apparaître le module de flexion $E$ (défini comme $E = Y I$, avec $Y$ le module de Young de la fibre et $I$ son moment d'inertie) et $T(s, t)$ la tension le long de la fibre.

À travers l'équation (4.1), il devient évident qu'une fibre se déforme sous l'action des contraintes exercées par le fluide. Dans le cas présent, c'est l'évolution de la vitesse du fluide le long de la fibre $\mathbf{U}_f(\mathbf{X}, t)$ qui induit cette déformation. Dans la limite des fibres ponctuelles, il est possible d'approximer cette vitesse en utilisant l'information sur la vitesse du fluide à la position du centre de gravité de la fibre $\mathbf{X}_g$ et sur le gradient de vitesse $A_{ij}(t) = \partial_j \mathbf{U}_{f,i}(\mathbf{X}_g, t)$, supposé constant à ces échelles-là. Cela donne :

$$ \mathbf{U}_f(\mathbf{X}, t) \approx \mathbf{U}_f(\mathbf{X}_g, t) + A(t) (\mathbf{X} - \mathbf{X}_g) \quad (4.2) $$

Par ailleurs, la tension $T(s, t)$ correspond au multiplicateur de Lagrange associé à la contrainte d'inextensibilité de la fibre $|\partial_s \mathbf{X}|^2 = 1$. Cette tension est intrinsèquement non locale. L'équation pour la tension est obtenue en imposant la contrainte $\partial_t |\partial_s \mathbf{X}|^2 = 0$, ce qui donne :

$$ \partial_s^2 T - \frac{1}{2} |\partial_s^2 \mathbf{X}|^2 T = 3E |\partial_s^3 \mathbf{X}|^2 + \frac{7}{2} E \partial_s^2 \mathbf{X}^\mathrm{T} \partial_s^4 \mathbf{X} - \frac{\mu}{2} \partial_s \mathbf{X}^\mathrm{T} A(\mathbf{X}, t) \partial_s \mathbf{X}, \quad (4.3) $$

Ces équations sont complétées par des conditions aux extrémités de la fibre. L'absence de contraintes aux extrémités donne des conditions limite sur la tension $T|_{\pm\ell/2} = 0$ et sur les dérivées partielles aux extrémités $\partial_s^2 \mathbf{X}|_{\pm\ell/2} = 0$ et $\partial_s^3 \mathbf{X}|_{\pm\ell/2} = 0$.

La résolution numérique de l'équation (4.1) est faite en utilisant un schéma semi-implicite à différence finie (comme dans [150]), avec la contrainte d'inextensibilité obtenue par une procédure de pénalisation. Chaque fibre est discrétisée spatiallement avec $N = 201$ points le long de la coordonnée curviligne de la fibre. Le pas de temps utilisé est de $5 \times 10^{-4} \tau_\eta$. Cette discrétisation temporelle étant plus fine que celle fournie par le suivi Lagrangien de traceurs, une interpolation linéaire a été ajoutée pour accéder au gradient de vitesse le long de la trajectoire d'une particule avec une fréquence plus élevée.

**Résultats sur l'orientation des fibres** : Dans l'article B.1, nous avons étudié l'orientation et la déformation de 4.000 trajectoires uniformément distribuées dans le domaine. Cette dynamique a été caractérisée en fonction du paramètre de flexibilité $\mathcal{F}$ défini comme le rapport entre l'échelle de temps lié à l'élasticité de la fibre et l'échelle de temps du gradient de vitesse turbulent :

$$ \mathcal{F} = \frac{8\pi \rho_f \nu \ell^4}{b E \tau_\eta}. \quad (4.4) $$
En d'autres termes, une faible valeur (respectivement une grande valeur) du paramètre $\mathcal{F}$ cor-
respond au cas d'une fibre très rigide (respectivement très flexible). Ce paramètre influence di-
rectement la dynamique de fibres, au même titre que le nombre de Reynolds (constant dans ces
simulations), et que l'inertie des particules (considérée comme négligeable dans le cas présent).

L'analyse des résultats numériques a montré que les fibres ont tendance à se comporter
souvent comme des bâtonnets rigides. En effet, la figure 4.2 montre que, le long de la trajectoire
d'une fibre, la distance entre les deux extrémités de la fibre $R(t) = |\mathbf{X}(\ell/2, t) - \mathbf{X}(-\ell/2, t)|$
est très souvent proche de la longueur de la fibre $R \sim \ell$. Dans ce cas, la fibre est dans un état
quasiment entièrement étiré, c'est-à-dire comparable à un bâtonnet rigide. Le comportement des
fibres flexibles dévie de celui d'un bâtonnet rigide lors des événements où un flambage a lieu,
c'est-à-dire quand la fibre se déforme sous l'effet de la contrainte exercée par le fluide (voir aussi
l'encart à droite de la figure 4.2).

<figure><img src="image_40.png" /><figcaption>FIGURE 4.2 – Évolution temporelle de la distance entre les extrémités $R(t)$ le long de la trajectoire d'une fibre et pour trois valeurs de la flexibilité $\mathcal{F}$. Zoom sur la zone montrant la fibre dans un état étiré (à gauche) et dans un état de flambage vers $t/\tau_\eta = 440$ (à droite).</figcaption></figure>

Suite à ces premières observations, nous avons également fait une analyse plus approfondie
en comparant la dynamique d'une fibre à celle d'un bâtonnet rigide. Lorsque la fibre est dans
un état étiré, le vecteur tangent à la fibre est constant tout le long de la fibre $\partial_s \mathbf{X} = \mathbf{P}_p$. Cela
donne l'équation suivante pour la tension :

$$
T(s,t) = -\frac{\mu}{4} \dot{\gamma}(t) \left( s^2 - \frac{\ell^2}{4} \right), \quad (4.5)
$$

En remplaçant cette tension dans l'équation (4.1), on obtient que l'orientation du bâtonnet **P**_p est solution de l'équation de Jeffery [150, 69] :

$$
\frac{d}{dt} \mathbf{P}_p = \mathbf{A} \mathbf{P}_p - \dot{\gamma} \mathbf{P}_p, \quad \text{avec} \quad \dot{\gamma}(t) = \mathbf{P}_p^\mathrm{T} \mathbf{A}(t) \mathbf{P}_p. \qquad (4.6)
$$

Le 1<sup>er</sup> terme dans le membre de droite traduit le fait que le tenseur de gradient de vitesse A induit un cisaillement et une rotation de P_p alors que le 2<sup>nd</sup> terme vient compenser la composante de compression/étirement induite par ˙γ pour assurer un bâtonnet de longueur constante |P_p| = 1. Afin de comparer la dynamique d'une fibre et d'un bâtonnet, nous avons donc résolu en
parallèle chacune des équations puis nous avons quantifié les différences entre les deux objets. Ces observations ont confirmé la similitude du comportement des deux objets.

Ces résultats ont été utilisés par la suite pour justifier le choix de modéliser une fibre flexible inextensible par un bâtonnet rigide à l'échelle macroscopique (voir Section 4.3.2). En effet, leur comportement étant similaire, il est intéressant de remplacer la dynamique complexe de la fibre par une dynamique d'un sphéroïde puisqu'il peut être décrit par un nombre de degrés de liberté bien plus faible.

## Résultats sur la fragmentation des fibres
Dans l'article F.1, nous avons également analysé comment une fibre flexible et inextensible peut se fragmenter, c'est-à-dire se briser en plusieurs morceaux de plus petite taille. Pour cela, nous avons considéré deux types de fragmentation, à savoir : la fragmentation par tension, la fragmentation par flexion. La fragmentation par torsion est négligée puisque l'on s'intéresse à des fibres plus petites que l'échelle de Kolmogorov, où l'écoulement est considéré comme linéaire à ces échelles. Par ailleurs, nous nous sommes focalisés sur le cas de matériaux dits fragiles ("brittle" en anglais), c'est-à-dire qui se fracturent dès qu'un certain seuil est dépassé. D'un point de vue numérique, cela permet de simplifier l'analyse en comparant les valeurs des tensions d'extension et de flexion à des valeurs seuils.

* Une fibre peut se fragmenter par tension lorsque la contrainte d'étirement exercée sur la fibre dépasse un certain seuil $T^*$. On a vu précédemment dans l'équation (4.5) que, quand la fibre est dans un état étiré, la tension suit une loi parabolique qui atteint son maximum au milieu de la fibre

$$T_{\max} = \frac{\mu \dot{\gamma} \ell^2}{16}. \qquad (4.7)$$

Cela implique qu'une fibre dans un état étiré se fragmente forcément au milieu lorsque la contrainte de cisaillement dépasse un certain seuil donné par $\dot{\gamma}^* = 16 T^* / (\mu \ell^2)$. En choisissant une valeur de ce seuil, il est alors possible de suivre l'évolution de la taille des fibres présentes dans l'écoulement. C'est ce qui est illustré sur la figure 4.3, qui montre qu'une fibre peut se fragmenter successivement en plusieurs morceaux. Par contre, chaque événement de fragmentation par tension donne lieu à deux fragments de même taille puisque la fibre se fracture en son milieu (là où la tension est maximale).

<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>FIGURE 4.3 – Schéma montrant une fibre soumise à une contrainte d'extension par le fluide (en haut à gauche) et l'évolution de la tension dans cette fibre (en bas à gauche). Évolution du nombre de fragments en fonction du temps et de la valeur du taux de cisaillement dans une simulation numérique (à droite).</figcaption></figure>
Dans l'article F.1, nous avons aussi caractérisé la fréquence à laquelle la tension devient suffisamment grande pour induire une fragmentation. En particulier, étant donné une valeur du seuil fixée $T^*$, la probabilité qu'une fibre se fragmente par tension est directement reliée à la probabilité que la valeur du gradient de vitesse dépasse ce seuil. Cela donne :

$$ \lambda_T(T^*) \propto \Pr(\dot{\gamma} > 16 T^* / (\mu \ell^2)). \quad (4.8) $$

En étudiant l'évolution de ce taux de fragmentation en fonction de la tension critique $T^*$, nous avons remarqué qu'il est indépendant de la valeur de la flexibilité de la fibre $\mathcal{F}$. Par ailleurs, nous avons montré que ce taux de fragmentation peut s'exprimer par une loi de type exponentielle étirée lorsque la tension critique est grande (typiquement quand $T^* / (\mu \ell^2) \gg \tau_\eta^{-1}$) alors que le taux de fragmentation se comporte comme une loi log-normale dans le cas où $T^* / (\mu \ell^2) \sim \tau_\eta^{-1}$ (le détail des lois approchées est donné dans l'article F.1). Cette estimation du taux de fragmentation est complétée par l'estimation de la taille des fragments obtenus, qui est ici toujours égale à la moitié de la taille initiale de la fibre. L'intérêt de ce genre de loi est qu'elle peut être directement utilisée dans des modèles macroscopiques fondés sur la dynamique de population (cf. Chapitre 3).

* Une fibre peut peut aussi se fragmenter par flexion lors d'un événement de flambage (lui-même issu d'une contrainte de compression). Dans ce cas, on a vu précédemment que le flambage a lieu lorsque la contrainte de compression dépasse une certaine valeur seuil. Cela peut s'exprimer par une flexibilité instantanée dépassant le seuil $\mathcal{F}_{loc}$. Néanmoins, pour déterminer les endroits où une fibre se fracture par flexion, il est nécessaire de connaître la courbure locale de la fibre $\kappa$ et de déterminer quand et où cette courbure dépasse un certain seuil $\kappa > \kappa^*$.

<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>FIGURE 4.4 – Schéma montrant une fibre lors d'un événement de flambage (à gauche) ainsi que la courbure associée au mode excité lors du 1er événement de fragmentation au temps $t = t_1$ (milieu) puis les différents états des fragments créés lors des fragmentations successives (à droite).</figcaption></figure>

Pour cela, nous avons fait une analyse linéaire des événements de flambage dans l'article F.1 pour déterminer la forme que prend la fibre en fonction de la contrainte exercée (lié au mode excité) ainsi que les valeurs de courbure le long de la fibre. Cela a permis de suivre l'évolution des fragments en fonction du temps (voir figure 4.4). En particulier, on observe que, contrairement au cas de la fragmentation par tension, les fragments obtenus ici ont des tailles qui dépendent du mode excité lors du flambage.

L'analyse a également permis d'estimer le taux de fragmentation. Pour cela, il suffit de réaliser que la condition nécessaire pour qu'une fibre se fragmente par flexion est que sa
courbure dépasse une valeur seuil $\kappa > \kappa^*$ pendant une durée plus courte le temps de compression $\alpha\dot{\gamma}$ (où $\alpha$ est une constante de l'ordre de l'unité). Cela donne la probabilité de fragmentation au bout d'un temps $t$ suivante (en supposant que la fibre part d'une courbure $\kappa_0$ au temps $t_0$) :

$$ \lambda_K(\kappa^*) \propto \Pr(\dot{\gamma} < -[(1024/\alpha) \log(\kappa^*/\kappa_0)]/(\tau_\eta \mathcal{F})). \quad (4.9) $$

Comme précédemment, la distribution peut donc s'approximer par une exponentielle étirée pour de grandes valeurs du cisaillement et par une loi log-normale pour de faibles valeurs du cisaillement. En complément de ce taux de fragmentation, nous avons également estimé la taille des fragments générés. Pour ce faire, nous avons considéré que, pour une valeur de $\mathcal{F}_{loc}$ donnée, le mode le plus instable est de l'ordre de $n \approx \sqrt{F_{loc}/32}/\pi$. Dans ce cas, les fragments auront une taille proche de $\ell' = \ell/(n+1)$. Cela donne alors une approximation de la probabilité qu'une fibre se fracture en fragments de taille $\ell'$

$$ \Pr(\ell \to \ell') \propto \frac{\ell/\ell'}{\mathcal{F}} e^{-a'(\ell/\ell')/\sqrt{\mathcal{F}}} \quad (4.10) $$

où $a'$ est une constante. Ces formulations pour le taux de fragmentation et la taille des fragments générés peuvent être directement appliqué dans des modèles macroscopiques utilisant les approches de dynamique de population (cf. Chapitre 3).

## 4.3 Modèle réduit

### 4.3.1 Chaînes de billes connectées

Lors de mon séjour post-doctoral à l'Observatoire de la Côte d'Azur entre 2016 et 2018, j'ai commencé à travailler sur la dynamique de particules non-sphériques en me focalisant sur le cas de chaînes articulées en suspension dans un écoulement simplifié (ici élongationnel).

**Méthodologie** : Dans ces travaux, nous avons considéré une suspension de chaînes inertielles et librement articulées en suspension dans un écoulement simple mais avec prise en compte du mouvement Brownien. Chaque chaîne est représentée comme une chaîne de Kramers [78, 145], c'est à dire constituée de $N + 1$ points reliés entre eux par $N$ liaisons rigides inextensibles (voir aussi la figure 4.5 à gauche). Chaque point $i$ possède une position notée $\mathbf{X}_i$ et est maintenu à une distance fixe de ses voisins consécutifs (appelée distance de Kuhn). Les points sont supposés correspondre à des particules ponctuelles ayant une masse constante $m_i = m_p$.

Suivant la 2$^{nde}$ loi de Newton, le mouvement de chaque point $\mathbf{X}_i$ est donné par :

$$ m_p \frac{d^2 \mathbf{X}_i}{dt^2} = -\zeta \left[ \frac{d\mathbf{X}_i}{dt} - \mathbf{U}_f(\mathbf{X}_i, t) \right] + \sqrt{2k_B T \zeta} \eta_i + \lambda_i (\mathbf{X}_i - \mathbf{X}_{i-1}) - \lambda_{i+1} (\mathbf{X}_{i+1} - \mathbf{X}_i), \quad (4.11) $$

Le premier terme dans le membre de droite correspond à la force de traînée exerçée par le fluide sur le point de masse $m_p$ ($\zeta$ étant le coefficient de traînée). Le second terme rend compte des fluctuations liées au mouvement Brownien ($T_f$ étant la température du fluide, $k_B$ la constante de Boltzmann et $\eta_i$ un bruit blanc isotrope). Les deux derniers termes correspondent aux interactions avec les éléments précédents et suivants dans la chaîne (contrainte d'inextensibilité).
Contrairement aux modèles de type points-ressorts où la tension entre deux points consécutifs est donnée par un modèle de ressort (e.g., loi de Hooke [135]), la tension est donnée ici par un multiplicateur de Lagrange associés à la contrainte d'inextensibilité $|\xi_i| = |\mathbf{X}_i - \mathbf{X}_{i-1}| = \ell_K$. Ceci implique que

$$ \frac{d}{dt} |\mathbf{X}_i - \mathbf{X}_{i-1}|^2 = \frac{d^2}{dt^2} |\mathbf{X}_i - \mathbf{X}_{i-1}|^2 = 0. \qquad (4.12) $$

On peut ainsi réécrire l'équation (4.11) directement pour les connecteurs $\xi_i$ :

$$ \begin{aligned} \frac{d^2 \xi_i}{dt^2} = & -\frac{\zeta}{m_p} \left[ \frac{d\xi_i}{dt} - \xi_i \cdot \nabla U_f \right] + 2\lambda_i \xi_i - \lambda_{i+1} \xi_{i+1} \\ & -\lambda_{i-1} \xi_{i-1} + \sqrt{\frac{2k_B T \zeta}{m_p^2 \ell_K^2}} (\eta_i - \eta_{i-1}), \end{aligned} \qquad (4.13) $$

Par ailleurs, nous nous sommes focalisés sur un écoulement élongationnel simple en 2D. Il s'agit d'un écoulement de compression dans la direction y et d'étirement dans la direction x. Dans ce cas, le gradient de vitesse s'écrit simplement sous la forme

$$ \nabla U_f = \begin{pmatrix} \sigma & 0 \\ 0 & -\sigma \end{pmatrix}, \qquad (4.14) $$

où $\sigma > 0$ est le taux de cisaillement.

L'équation (4.13) a été résolue en utilisant une méthode de type Euler-Maruyama du 1er ordre avec un pas de temps $\Delta t$ (les détails sont donnés dans l'article B.2).

**Résultats sur la dynamique de chaînes** : La dynamique de telles chaînes a été caractérisée en fonction de deux paramètres (à savoir le nombre de Stokes et le nombre de Péclet) et ce pour deux observables (une qualifiant la longueur de la chaîne et une seconde pour son orientation). Ces choix ont été faits puisque leur dynamique ne dépend que de trois paramètres sans dimension : le nombre de Stokes $St = \sigma m/\zeta$ (qui mesure le rapport entre le temps de réponse d'une particule à des fluctuations du fluide et le temps de variation de la vitesse du fluide), le nombre de Péclet $Pe = \sigma \ell_K^2 \zeta / (k_B T)$ (qui mesure le rapport entre le temps de diffusion et le temps d'advection) et le nombre de points dans la chaîne $N$ (c'est-à-dire le nombre de degrés de liberté). Concernant les observables, nous avons choisi de mesurer l'extension de la chaîne le long de la direction d'étirement $x$ en calculant la distance entre les deux extrémités selon $x$ :

$$ \mathcal{L}(t) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \mathrm{sign} \, \xi_i^x(t), \qquad (4.15) $$

Pour mesurer l'orientation de la chaîne, nous avons utilisé une mesure similaire, à savoir l'orientation moyenne entre chacun des points consécutifs :

$$ \mathcal{F}(t) = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N-1} \mathrm{sign} \, \xi_i^x(t) \mathrm{sign} \, \xi_{i+1}^x(t). \qquad (4.16) $$

Les résultats des simulations ont montré que les chaînes sont très fréquemment dans des états d'équilibre correspondant soit à un état complètement déplié, soit à un état complètement replié
(voir aussi la figure 4.5). Ces deux états ont longuement été étudiés dans le cas des polymères [28, 29] et ont récemment été étudiés dans la communauté multiphasique [138, 82]. Dans le cas présent, l'état déplié ("stretched state" en anglais) est atteint lorsque la composante d'étirement fluide prédomine par rapport aux fluctuations thermiques, alors que l'état replié ("coiled state") correspond au cas où les fluctuations dominent. Nous avons aussi caractérisé la transition entre ces deux états, appelée "Coil-Stretch Transition" (cf. article B.2).

<figure><img src="image_43.png" /><figcaption>FIGURE 4.5 – Schéma montrant une chaîne de Kramers dans un écoulement élongationnel (à gauche). Simulations montrant les deux états stationnaires obtenues (replié et étiré) ainsi que les distributions de longueur entre les deux extrémités $\mathcal{L}$ et de l'orientation le long la direction d'étirement $\mathcal{F}$ (encart).</figcaption></figure>

Fort de ces premiers résultats, nous nous sommes intéressés à d'autres approches pour simuler les particules non-sphériques. En particulier, nous avons envisagé plusieurs types d'approches pour les simulations macroscopiques : celles avec des dumbbells ou trumbbells, et celles avec des sphéroïdes. C'est justement ces dernières que nous avons développées dans le cadre de simulations macroscopiques (voir Section 4.3.2 suivante).

### 4.3.2 Ellipsoïdes et sphéroïdes

En parallèle des travaux sur les simulations microscopiques (voir Section 4.2), les travaux de thèse de Lorenzo Campana ont porté sur le développement d'un modèle macroscopique compatible avec les simulations macroscopiques d'un écoulement turbulent via des approches de type RANS (plus de détails sur ces approches ont été donnés dans le chapitre 2).

**Orientation de sphéroïdes** : Les simulations microscopiques ont montré que les fibres flexibles, inextensibles et infinitésimales se comportent la plupart du temps comme des bâtonnets rigides, exception faite des événements de retournement (cf. Section 4.2). Ces observations nous ont confortés dans le choix d'une approche de modélisation simplifiée fondée sur le suivi de sphéroïdes. Les sphéroïdes correspondent à des ellipsoïdes de révolution (voir aussi la figure 4.6). Ils sont décrits à l'aide d'un seul paramètre : le rapport d'aspect $\lambda = a/c$, qui mesure la longueur du sphéroïde le long de l'axe de révolution $a$ par rapport à la longueur dans les deux autres directions $c$. Dans la suite, on utilise plutôt le facteur de forme $\Lambda = (\lambda^2 - 1)/(\lambda^2 + 1)$.

La dynamique de translation de sphéroïdes inertiels est obtenue en résolvant les équations de
<figure><img src="image_44.png" /><figcaption>FIGURE 4.6 – Illustration des différentes types d'ellipsoïdes en fonction du rapport d'aspect $\lambda = c/a$ (c étant la longueur selon l'axe $\hat{z}$ dans le référentiel de la particule et $a = b$ les longueurs dans les deux autres directions) : sphéroïde allongé (à gauche), sphère (au milieu) et sphéroïde aplati ou oblong (à droite).</figcaption></figure>

Jeffery, qui s'expriment sous la forme [156, 107, 43, 88, 141] :

$$ 
\begin{aligned}
\frac{d\mathbf{X}_p}{dt} &= \mathbf{V}_p \\
\frac{d\mathbf{V}_p}{dt} &= \mathbf{g} + \frac{\nu_f \rho_f}{m_p} \mathbf{Q}^{-1} \hat{\mathbf{K}} \mathbf{Q} (\mathbf{V}_f - \mathbf{V}_p)
\end{aligned}
\quad (4.17) $$

où $\mathbf{X}_p$ est la position du sphéroïde, $\mathbf{V}_p$ sa vitesse et $\omega_p$ sa vitesse angulaire, $\nu_f$ la viscosité du fluide, $\rho_f$ sa densité, $\mathbf{g}$ la gravité, et $m_p = 4\rho_p\pi abc/3$ la masse du sphéroïde ayant une densité $\rho_p$. L'équation (4.17) ressemble beaucoup à celle obtenues dans le cas de particules sphériques (cf. Chapitre 2), à la différence près que la force de traînée s'exprime sous une forme tensorielle avec la matrice $\hat{\mathbf{K}}$ [110] :

$$ \hat{\mathbf{K}} = 16\pi abc \begin{pmatrix} (\chi_{p,0} + a^2\chi_{p,1})^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & (\chi_{p,0} + b^2\chi_{p,2})^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & (\chi_{p,0} + c^2\chi_{p,3})^{-1} \end{pmatrix} \quad (4.18) $$

Cette matrice est diagonale uniquement lorsqu'elle est exprimée dans le repère local associé à la particule $(\hat{x}, \hat{y}, \hat{z})$. La matrice de rotation $\mathbf{Q}$ permet de passer du repère global $(x, y, z)$ au repère local attaché à la particule $(\hat{x}, \hat{y}, \hat{z})$.

Les équations de Jeffery contiennent également une équation d'évolution de la dynamique de rotation des sphéroïdes. Cette équation est dérivée de celle donnée précédemment dans l'équation (4.6), mais exprimée dans le repère local. Par souci de concision, les détails de ces équations ne sont pas donnés ici (cf. articles sur le sujet [156, 107, 43, 88, 141]). L'intérêt de ces équations de Jeffery est qu'elles sont compatibles avec des simulations exactes d'un écoulement fluide. De plus, elles ne requièrent qu'une information sur la vitesse instantanée et sur le gradient de vitesse à la position de chaque particule ponctuelle.

**Modèle stochastique pour l'orientation dans un écoulement turbulent** : Dans notre cas, on souhaite établir un modèle compatible avec les descriptions réduites d'un écoulement turbulent (de type RANS). Pour ces raisons, on ne peut pas directement utiliser les équations de Jeffery puisque l'on n'a pas accès à l'information sur la vitesse instantanée et le gradient de vitesse à la position de chaque particule. Il faut donc développer un modèle permettant de
rendre compte des fluctuations du gradient de vitesse aux échelles non résolues par la simulation de type RANS. Pour ce faire, l'idée retenue a été de décomposer le tenseur du gradient de vitesse en sa partie symétrique $\mathbb{S}$ (liée à la déformation) et sa partie antisymétrique $\mathbb{O}$ (lié à la rotation). Ensuite, nous avons écrit ces tenseurs du gradient de vitesse comme des variables stochastiques :

$$ 
\begin{aligned}
d\mathbb{S}(t, \mathbf{X}_p(t)) &= \langle \mathbb{S} \rangle dt + dF^s, \\
d\mathbb{O}(t, \mathbf{X}_p(t)) &= \langle \mathbb{O} \rangle dt + dF^a.
\end{aligned} 
\quad (4.19) 
$$

Ces équations sont obtenus par élimination des variables rapides, puisque l'on suppose ici que les fluctuations rapides du gradient de vitesse sont modélisées alors que les fluctuations moyennes (lentes) sont prises en compte sans approximation. En imposant la contrainte d'incompressibilité et en remarquant que les termes non-linéaires sont surtout dus à la contrainte d'inextensibilité du sphéroïde, on obtient l'équation suivante :

$$ 
\begin{aligned}
dp_i(t) = & \underbrace{\Lambda(\langle S_{ij} \rangle p_j - p_i p_k \langle S_{kl} \rangle p_l) dt}_{\text{Étape de déformation moyenne}} + \underbrace{\langle O_{ij} \rangle p_j dt}_{\text{Étape de rotation moyenne}} \\
& - \underbrace{\frac{1}{2}(b^+)^2 \Lambda^2 p_i dt + \frac{1}{2} b^+ \Lambda(dB_{ij}^s p_j - p_i p_k dB_{kl}^s p_l)}_{\text{Étape de déformation Brownienne renormalisée}} + \underbrace{-\frac{1}{2}(b^-)^2 p_i dt + \frac{1}{2} b^- dB_{ij}^a p_j}_{\text{Étape de rotation Brownienne}}
\end{aligned} 
\quad (4.20) 
$$

qui fait intervenir trois paramètres $b$, $b^+$ et $b^-$. Ces derniers sont liés aux temps de corrélation de la partie symétrique $\tau_s$ et anti-symétrique $\tau_a$ du gradient de vitesse :

$$ \bar{b} = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{\tau_s}{5\tau_\eta^2}} , \quad b^+ = \sqrt{\frac{\tau_s}{5\tau_\eta^2}} , \quad b^- = \sqrt{\frac{\tau_a}{3\tau_\eta^2}} \quad (4.21) $$

Dans ces travaux, nous avons considéré que $\tau_a = \tau_s$ en première approximation, ce qui simplifie la paramétrisation du modèle à un seul paramètre : le nombre de Kubo $Ku = \tau_a/\tau_\eta$.

**Implémentation numérique** : L'implémentation numérique de ce modèle pour l'orientation de sphéroïdes sans inertie a été réalisée en ayant recours à des algorithmes par étapes fractionnées. Le principe est d'appliquer successivement les quatre opérateurs identifiés dans l'équation (4.20) et d'ajouter une étape supplémentaire de renormalisation (pour imposer numériquement la contrainte d'inextensibilité). L'intérêt de ce genre de fractionnement est qu'il permet de développer des algorithmes spécifiques pour chacune des sous-étapes. Dans le cas présent, l'étape de déformation moyenne est résolue en diagonalisant la matrice de déformation et en cherchant les vecteurs & valeurs propres de cette matrice. L'étape de rotation moyenne est traitée de manière exacte avec la formule de Rodrigues [132]. Les étapes de déformation et rotation Brownienne sont calculées avec un schéma d'Euler semi-implicite pour bien traiter les termes de dérive.

**Résultats numériques sur l'orientation de sphéroïdes sans inertie** : Ce modèle stochastique a été validé en comparant les résultats numériques obtenus avec ceux de DNS sur l'orientation de sphéroïdes dans un écoulement turbulent homogène et isotrope. Le modèle a également été testé dans le cas d'un écoulement turbulent en canal plan à $Re_\tau = 395$, qui implique un écoulement anisotrope dans les régions proches des parois. Les premiers tests ont été réalisés avec le modèle tel qu'il a été décrit précédemment, c'est-à-dire en faisant l'approximation d'isotropie du gradient de vitesse. Cette hypothèse correspond à l'approximation à l'ordre
<figure><img src="image_45.png" /><figcaption>FIGURE 4.7 – Résultats des simulations macro (symboles) et micro (lignes) sur l'orientation de différents sphéroïdes en fonction de la distance à la paroi dans un canal plan turbulent.</figcaption></figure>

0 (où l'on néglige l'anisotropie du gradient) et permet de faire un premier état des lieux sur les limites du modèle et les besoins de développements futurs. Les résultats sont visibles sur la figure 4.7, obtenus en imposant $Ku = 1$ et en prenant $\tau_\eta = \tau_\theta$ (bulk) pour le calcul des paramètres du modèle ($\bar{b}, b^+, b^-$). Même si cette approximation doit encore être justifiée avec des mesures DNS fines, on peut déjà constater que les résultats sont en assez bon accord avec les simulations microscopiques. En particulier, le modèle est capable de reproduire le fait que les sphéroïdes ont une orientation isotrope loin des parois (comme dans un écoulement HIT). Par contre, en proche paroi, les sphéroïdes allongés ont tendance à être alignés avec la direction principale de l'écoulement $x$ alors que les disques sont parallèles à la paroi (donc alignés avec $y$). Bien que ces résultats soient qualitativement retrouvé par le modèle, il existe des différences quantitatives dans le comportement en proche paroi. Cela est vraisemblablement dû à l'anisotropie du gradient de vitesse qui n'a pas été prise en compte dans le modèle pour les fluctuations du gradient. Par ailleurs, le modèle donne des résultats symétriques entre les valeurs positives et négatives du facteur de forme $\Lambda$. Cela n'est pas le cas dans les simulations DNS, probablement à cause de la non-réversibilité en temps des gradients de vitesse le long de trajectoires Lagrangiennes.

## 4.4 Perspectives

Je liste ci-dessous certaines des pistes de réflexion et d'amélioration futures pour la simulation de la dynamique de particules non-sphériques en suspension dans un écoulement.

**Particules 2D** : Dans nos travaux, nous nous sommes focalisés sur le cas de particules allongées et flexibles puisque cela permet d'avoir un nombre limité de degrés de liberté pour décrire ces objets (cf. Fig. 4.8a). Plus généralement, les particules flexibles allongées ont été étudiées dans différentes communautés scientifiques selon l'application visée (par exemple l'ADN et les polymères [138], les micro-organismes [74] ou les fibres [85]). Plus récemment, les travaux sur les particules non-sphériques dans la communauté des écoulements multiphasiques ont donné lieu à des simulations sur le transport de sphéroïdes de forme variée, allant des sphéroïdes allongés aux sphéroïdes aplatis [155]. Néanmoins, les problématiques liées aux plastiques dans les milieux marins [7] nécessitent d'être capable de comprendre et de modéliser la dynamique d'objets 2D déformables. Ces thématiques soulèvent des nouvelles questions, notamment sur la façon de décrire la morphologie de tels objets avec un nombre de degrés de liberté le plus limité possible. Par exemple, dans le cas de surfaces 2D (telles les feuilles, cf. Fig. 4.8b), il est envisageable d'utiliser un en-
semble de points régulièrement espacé pour former une grille décrivant l'intégralité de la surface (comme pour des feuilles d'arbre [133]). Le suivi de cet ensemble de points devra ensuite être couplé à des méthodes de reconstruction de l'interface (utilisant les propriétés physiques de flexibilité du matériau) pour reconstruire la morphologie approchée de la surface. Ces développements futurs devraient ainsi bénéficier de rapprochement avec les travaux existants sur la mécanique des matériaux.

<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>(a) Description d'une fibre allongée (par segments connectés).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>(b) Description d'une feuille d'arbre (par quadrillage de la surface). Reproduit avec la permission de [133]. Copyright 2014, American Society of Plant Biology.</figcaption></figure>

FIGURE 4.8 – Illustration de la façon dont des particules non-sphériques peuvent être décrites : cas d'objets 1D (à gauche) et d'objets 2D (à droite).

**Modèle stochastique avec inertie** : Le modèle stochastique présenté précédemment a été développé en se focalisant sur le cas des particules sans inertie. Une des améliorations possibles du modèle consiste ainsi à l'étendre au cas de particules ayant une inertie de rotation. Pour ce faire, l'une des pistes possibles est d'introduire un temps de relaxation pour la rotation de la particule (similaire au temps de relaxation pour la dynamique de translation des particules). Dans ce cas, l'équation de l'orientation $\mathbf{P}_p$ d'un sphéroïde peut s'écrire comme

$$ \frac{d\mathbf{P}_p}{dt} = - \frac{\mathbf{P}_p - \mathbf{P}_p(\tau_p = 0)}{\tau_{rot}}. \qquad (4.22) $$

où $\mathbf{P}_p(\tau_p = 0)$ est l'orientation calculée dans le cas d'un sphéroïde sans inertie (donc avec le modèle précédent). La validation d'un tel modèle pourra se faire grâce à de nouvelles simulations numériques à l'échelle microscopique (et également en s'inspirant de résultats obtenus récemment sur la dynamique de chaînes de particules dans des écoulements turbulents avec ou sans inertie [117, 143]).

**Particules de taille inertielle** : Ces travaux peuvent également être adaptés pour étudier le cas de particules de taille inertielle, c'est-à-dire ayant une taille plus grande que la plus petite échelle du fluide (l'échelle de Kolmogorov pour un écoulement turbulent). D'un point de vue microscopique, des simulations DNS ont déjà été réalisées avec des fibres plus grandes que l'échelle de Kolmogorov en venant récupérer l'information sur le gradient de vitesse localement à chaque point de la fibre (décrite comme un corps mince). Ces résultats pourront être comparés aux simulations réalisées dans un canal plan en considérant une fibre inertielle comme une chaîne de sphéroïdes oblongs connectés entre
eux [33, 34]. Cela nécessiterait néanmoins le développement de nouveaux modèles rendant compte de la dynamique de telles particules.

**Modèles sur la dynamique à deux points** : Comme dans les autres chapitres, ces résultats prometteurs ouvrent aussi la voie à des travaux sur la dynamique à deux points et à deux temps. Selon moi, il devient maintenant pertinent de développer des modèles stochnastiques plus perfectionnés qui rendent compte des phénomènes à deux points et deux temps. Ces modèles devront être alimentés par l'analyse de résultats numériques obtenus avec des simulations microscopiques (de type DNS).
# Chapitre 5

## Conclusion générale

Dans ce mémoire, j’ai résumé les travaux de recherche que j’ai effectués ces dix dernières années sur la thématique des particules en suspension dans des écoulements turbulents et de leur modélisation. Ces travaux ont été réalisés avec un certain nombre de collaborateurs, que je remercie encore puisque, sans eux, je ne serais pas parvenu à faire autant fructifier ces travaux.

À travers les différents exemples de modèles développés dans le contexte de la remise en suspension et du transport en proche paroi (cf. Chapitre 2), puis dans le thème de l’agglomération de particules (cf. Chapitre 3) et dans le cadre des particules non-sphériques (cf. Chapitre 4), j’espère avoir illustré la démarche de modélisation que j’ai introduite dans le Chapitre 1 et que j’ai suivie tout au long de mon parcours de recherche. C’est cette même démarche que je compte poursuivre dans la suite de mes travaux pour améliorer les modèles existants pour les écoulements turbulents à phase dispersée. Car, dans l’art de la modélisation (cf. Section 1.2.5), j’ai montré que les modèles sont en évolution permanente (mais pas forcément constante dans le temps). C’est d’autant plus vrai dans le contexte des écoulements à phase dispersée puisqu’ils font intervenir une grande variété de phénomènes et toute une gamme d’échelles spatiales et temporelles. Cela laisse le champ libre à de multiples améliorations possibles des modèles, dont un certain nombre que je compte faire avancer dans les années à venir.
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Postface

Pour clôturer ce mémoire, je cite une partie du livre d'Arthur Koestler intitulé “Le Cri d'Ar-
chimède : la découverte de l'Art et l'art de la découverte”, où l'auteur donne sa propre vision de
l'histoire de la Science ª :

L'histoire de la science comporte dans un perpétuel retour des cycles de diffé-
renciation suivis de réintegrations à un niveau plus élevé; l'on passe de l'unité à la
diversité et à des structures plus généralisées d'unité dans la diversité. [...]

Les diverses phases du cycle historique correspondent aux étapes caractéristiques
de la découverte individuelle : les périodes d'anarchie créatrice, à la période d'in-
cubation : l'apparition d'une nouvelle synthèse, à l'acte bisociatif. La synthèse peut
apparaître d'un coup, provoquée par une seule découverte ; ou graduellement [...].
Toute grande révolution scientifique a un aspect constructif et un aspect destructif :
la ruine des doctrines figées et le chaos fertile qui en résulte correspondent à la phase
régressive de l'individu qui recule pour mieux sauter. Enfin le processus de vérifica-
tion et d'élaboration des découvertes individuelles se reflète au plan de l'histoire en
tant que renforcement de la frontière récemment conquise - et c'est le développement
d'une nouvelle orthodoxie, le durcissement de la matrice collective, qui finalement se
bloque, et le cycle recommence.

La phase décisive du cycle historique, l'aube d'une nouvelle synthèse se présente comme un confluent de branches scientifiques antérieurement distinctes, ou comme un croisement entre disciplines ou techniques expérimentales différentes. Le rassemblement des données de l'expérience est d'une importance essentielle, mais cette collecte, comme l'interprétation des données, est un processus sélectif guidé par des considérations théoriques. L'histoire de chaque science montre que des observations et des expériences qui, à première vue, semble contredire une théorie n'aboutissent pas nécessairement à l'abandon de cette théorie; et vice versa des théories neuves [...] ont été édifiées sur des données depuis longtemps disponibles, en redessinant la mosaïque des faits.

Aveuglement, intégrations défectueuses, et autres formes de la pathologie indivi-
duelle des idées, se reflètent, démesurément grossies, dans l'histoire de la science ; et

<footnote>a. Voir la fin du chapitre "L'évolution des idées", pages 253-254 (Editions Les Belles Lettres, 2011).</footnote>
la force de l'habitude dans l'esprit de l'individu se reflète dans le conservatisme des écoles et des corps constitués, qui a entravé le progrès pendant des années, parfois des siècles.

Le progrès de la science n'est donc ni continu ni cumulatif au sens strict. Les dé-
couvertes sont souvent oubliées ou négligées et refaites plus tard. L'histoire est pleine
de controverses qui prouvent que le même ensemble de "données objectives", voire
la même "expérience cruciale" peuvent s'interpréter de plus d'une manière. Aucune
preuve expérimentale ne peut donner au savant la certitude absolue : et la diffé-
rence de "vérifiabilité" entre divers types de propositions scientifiques et artistiques
n'est qu'une question de degrés [...]. Certaines controverses scientifiques sont résolues
par l'accumulation des preuves ; d'autres s'achèvent dans une synthèse qui embrasse
les deux théories en présence ; d'autres encore sont de pseudo-controverses, où s'ex-
priment les points de vue et le modes - ces dernières aussi subjectives, bien souvent,
que les modes artistiques.

Finalement, il y a lieu de distinguer entre les progrès réalisés dans la précision
des propositions scientifiques et l'importance des renseignements qu'elles donnent.
Celle-ci dépend du genre de questions auxquelles les propositions veulent répondre ;
l'histoire indique que les questions changent en même temps que les valeurs selon les
périodes et les cultures.

Cela résume très bien la façon dont je conçois actuellement mes pérégrinations scientifiques.
C'est-à-dire, en apportant ma modeste pierre à un édifice dont la construction a commencé il
y a de cela bien des siècles et qui se poursuivra pour bien des siècles encore (si tant est qu'il
se finisse un jour). En utilisant une autre analogie plus proche de mon domaine scientifique, je
dirais que ma contribution est telle une goutte d'eau dans l'océan en mouvement constant et
parfois tumultueux de la science. Mais l'histoire des sciences montre bien que cet océan ne peut
exister sans une multitude de gouttes d'eau<sup>b</sup>.

<footnote>b. Toute similitude avec les méthodes Lagrangiennes pour les écoulements multiphasiques (comme SPH) n'est évidemment pas fortuite.</footnote>
# Appendices
<figure><img src="image_48.png" /></figure>
# Annexe A

## Résumé du parcours et des contributions scientifiques du candidat

## Liste des productions scientifiques

**Prénom & Nom :** Christophe HENRY

**Position académique :** Chercheur permanent au sein de l'équipe Calisto, INRIA Sophia Antipolis, Méditerranée

**Publications :**
19 articles de revue parus ou acceptés,
2 articles de conférence,
1 article court,
1 chapitre de livre,
5 articles soumis/en préparation.

**Statistiques :**
citations : >600,
h-index : 9,
i10-index : 9.

**Liens :**
Googlescholar
Site web
# Résumé de mon parcours

À travers mes 10 années de recherche en Europe, j'ai acquis une expertise dans le domaine de la simulation numérique et le développement de modèles dans le contexte des écoulements turbulents chargés en particules. Mon parcours de recherche est détaillé dans mon CV ci-dessous.

## Expérience professionnelle :

**11/2021 -**

**Fonction : Chercheur permanent**

**Location : INRIA Sophia Antipolis Méditerranée, Équipe CaliSto (France)**

**Thème : Modèles stochastiques, approches Lagrange-Lagrange**

**11/2018 - 10/2021**

**Fonction : Chercheur Junior**

**Location : INRIA Sophia Antipolis Méditerranée, Équipe CaliSto (France)**

**Thème : Modèles stochastiques, particules dans l'environnement**

**10/2016 - 09/2018**

**Fonction : Post-doctorant**

**Location : Observatoire de la Côte d'Azur (OCA), Laboratoire Lagrange**

**Thème : DNS, transport turbulent, particules non-sphériques et déformables**

**02/2014 - 09/2016**

**Fonction : Associé de recherche**

**Location : Institute of Fluid-Flow Machinery, Multiphase Flow Dept.**

**Thème : Modèles, Dépôts multicouches, resuspension, consolidation**

**10/2012 - 02/2014**

**Fonction : Post-doctorant**

**Location : Institute of Fluid-Flow Machinery, Multiphase Flow Dept**

**Thème : Modèles macroscopiques, agglomération & fragmentation**
# Annexe B

## Particules non sphériques

### B.1 Article sur la dynamique de fibres en turbulence

<table><tr><td>Auteurs</td><td>Sofia Allende, Christophe Henry, and Jérémie Bec</td></tr><tr><td>Paru dans</td><td>Physical Review Letters, 121, 154501 (2018)</td></tr><tr><td>Titre</td><td>Stretching and Buckling of Small Elastic Fibers in Turbulence</td></tr><tr><td>DOI</td><td>10.1103/PhysRevLett.121.154501</td></tr><tr><td>Abstract</td><td>Small flexible fibers in a turbulent flow are found to be as straight as stiff rods most of the time. This is due to the cooperative action of flexural rigidity and fluid stretching. However, fibers might bend and buckle when they tumble and experience a strong enough local compression. Such events are similar to an activation process, where the role of temperature is played by the inverse of Young's modulus. Numerical simulations show that buckling occurs very intermittently in time. This results from unexpected long-range Lagrangian correlations of the turbulent shear.</td></tr></table>
## B.2 Article sur la dynamique de chaînes inextensibles

<table><tr><td>Auteurs</td><td>Christophe Henry, Giorgio Krstulovic, and Jérémie Bec</td></tr><tr><td>Paru dans</td><td>Physical Review E, 98, 023107</td></tr><tr><td>Titre</td><td>Tumbling dynamics of inertial inextensible chains in extensional flow</td></tr><tr><td>DOI</td><td>10.1103/PhysRevE.98.023107</td></tr><tr><td>Abstract</td><td>This paper investigates the effect of inertia on the dynamics of elongated chains to go beyond the overdamped case that is often used to study such systems. For that purpose, numerical simulations are performed considering the motion of freely jointed bead-rod chains in an extensional flow in the presence of thermal noise. The coil-stretch transition and the tumbling instability are characterized as a function of three parameters : the Péclet number, the Stokes number, and the chain length. Numerical results show that the coil-stretch transition remains when inertia is present and that it depends nonlinearly on the Stokes and Péclet numbers. Theoretical and numerical analyses also highlight the role of intermediate stable configurations in the dynamics of elongated chains : chains can indeed remain trapped for a certain time in these configurations, especially while undergoing a tumbling event.</td></tr></table>
# Annexe C

## Conditions de bord et loi de paroi

### C.1 Article sur les conditions limites et la consistance des modèles

<table><tr><td>Auteurs</td><td>Meïssam L. Bahlali, Christophe Henry, and Bertrand Carissimo</td></tr><tr><td>Paru dans</td><td>Boundary-Layer Meteorology, 174, 275-296</td></tr><tr><td>Titre</td><td>On the Well-Mixed Condition and Consistency Issues in Hybrid Eulerian/Lagrangian Stochastic Models of Dispersion</td></tr><tr><td>DOI</td><td>10.1007/s10546-019-00486-9</td></tr><tr><td>Abstract</td><td>We clarify issues related to the expression of Lagrangian stochastic models used for atmospheric dispersion applications. Two aspects are addressed : the need to verify the well-mixed criterion and the correspondence between Eulerian and Lagrangian turbulence models when they are combined in practical simulations. In particular, it is recalled that the fulfillment of the well-mixed criterion depends only on the proper incorporation of the mean pressure-gradient term as the mean drift term of the Langevin equation. New consistency issues between duplicate fields within Eulerian/Lagrangian hybrid formulations are also brought out, especially regarding turbulence models, boundary conditions, and divergence-free condition. Such hybrid methods, where mean flow quantities calculated with an Eulerian approach are provided to the Lagrangian approach, are commonly used in atmospheric dispersion simulations for their numerical efficiency. Nevertheless, it is shown that serious inconsistencies can result from coupling Eulerian and Lagrangian models that do not correspond to the same level of description of the fluid turbulence.</td></tr></table>
# Annexe D

## Resuspension

### D.1 Article décrivant l'implémentation numérique d'un modèle de resuspension

<table><tr><td>Auteurs</td><td>Christophe Henry, and Jean-Pierre Minier</td></tr><tr><td>Paru dans</td><td>Journal of Aerosol Science, 77, 168–192 (2014)</td></tr><tr><td>Titre</td><td>A stochastic approach for the simulation of particle resuspension from rough substrates : Model and numerical implementation</td></tr><tr><td>DOI</td><td>10.1016/j.jaerosci.2014.08.005</td></tr><tr><td>Abstract</td><td>This paper presents a Lagrangian stochastic model to simulate colloid resuspension from rough surfaces. For that purpose, the extension of a recent proposition is discussed as well as the details of its numerical implementation. The basis of this model is a dynamical approach which reproduces explicitly the different steps involved in a three-stage scenario of particle resuspension where particles are set in motion (first stage); roll/slide along a rough surface due to varying force moments (second stage); and can be detached when a large-scale asperity is hit (third stage). The model treats separately hydrodynamic forces (drag force), adhesion forces (mainly due to interface chemical effects) and surface roughness through a two-level description (small-scale asperities and large-scale asperities) within a unified approach that combines the effects of fluid mechanics, interface chemistry and material properties. A description of the key points of the model brings forward the important role played by the number of small-scale asperities in contact with each particle; the pivot point around which particles can roll; the streamwise kinetic energy acquired as particles roll/slide along the surface; the probability to hit a large-scale asperity and the prediction of the actual detachment. Specific methods to simulate the trajectories of these stochastic processes are detailed and validated in a step-by-step manner with a specific emphasis put on the interplay between adhesion forces and particle dynamics. Finally, once each step has been separately assessed, the complete model is evaluated by comparing predictions to a realistic resuspension test-case for airborne colloids, showing that good and consistent numerical predictions are obtained with reasonable time steps.</td></tr></table>
## D.2 Article indiquant les limites des modèles de resuspension

<table><tr><td>Auteurs</td><td>Christophe Henry, and Jean-Pierre Minier</td></tr><tr><td>Paru dans</td><td>Journal of Aerosol Science, 118, 1–13 (2018)</td></tr><tr><td>Titre</td><td>Colloidal particle resuspension : On the need for refined characterisation of surface roughness</td></tr><tr><td>DOI</td><td>10.1016/j.jaerosci.2018.01.005</td></tr><tr><td>Abstract</td><td>This paper highlights the role played by surface roughness on the resuspension of nano- and micro-sized particles and, in particular, the need to extract more information from measurements of the surface profile than typical values such as the average roughness Ra and the rms roughness R<sub>rms</sub> (usually obtained through AFM or SEM measures). For that purpose, standard experimental measurements of surface roughness are analysed. Then, numerical results obtained with a stochastic model for particle resuspension are analysed and compared to experimental data. This analysis reveals that particle resuspension can only be properly captured with more detailed representations of surface roughness that include information on the distribution of the curvature radius and surface coverage of roughness features.</td></tr></table>
## D.3 Article montrant le rôle des collisions entre particules dans la resuspension

<table><tr><td>Auteurs</td><td>Amir Banari, Christophe Henry, Rafael Henrique Fank Eidt, Pierre Lorenz, Klaus Zimmer, Uwe Hampel, and Gregory Lecrivain</td></tr><tr><td>Paru dans</td><td>Physical Review Fluids, 6, L082301 (2021)</td></tr><tr><td>Titre</td><td>Evidence of collision-induced resuspension of microscopic particles from a monolayer deposit</td></tr><tr><td>DOI</td><td>10.1103/PhysRevFluids.6.L082301</td></tr><tr><td>Abstract</td><td>The present letter addresses the resuspension of microscopic glass particles from a monolayer bed into a turbulent gas flow. With an intermediate surface coverage, here set to about 10 % of the field of view, we report two distinct detachment mechanisms. At relatively low flow velocities, few loosely adhering particles move on the wall to eventually collide with neighboring particles resulting in a clustered resuspension. At higher fluid velocities, mostly individual particles resuspend due to their interaction with the turbulent flow. The resuspension curve, showing the remaining particle fraction as a function of the flow velocity, exhibits a strong bimodal character, that has not been reported so far.</td></tr></table>
# Annexe E

## Agglomération

### E.1 Article décrivant une approche fine pour l'agglomération de particules avec un critère d'efficacité de collision

<table><tr><td>Auteurs</td><td>Christophe Henry, Jean-Pierre Minier, Jacek Pozorski, and Grégory Lefèvre</td></tr><tr><td>Paru dans</td><td>Langmuir 29, 13694-13707 (2013)</td></tr><tr><td>Titre</td><td>A New Stochastic Approach for the Simulation of Agglomeration between Colloidal Particles</td></tr><tr><td>DOI</td><td>10.1021/la403615w</td></tr><tr><td>Abstract</td><td>This paper presents a stochastic approach for the simulation of particle agglomeration, which is addressed as a two-step process : first, particles are transported by the flow towards each other (collision step) and, second, short-ranged particle-particle interactions lead either to the formation of an agglomerate or prevent it (adhesion step). Particle collisions are treated in the framework of Lagrangian approaches where the motions of a large number of particles are explicitly tracked. The key idea to detect collisions is to account for the whole continuous relative trajectory of particle pairs within each time step and not only the initial and final relative distances between two possible colliding partners at the beginning and at the end of the time steps. The present paper is thus the continuation of a previous work (Mohaupt M., Minier, J.-P., Tanière, A., 2011, A new approach for the detection of particle interactions for large-inertia and colloidal particles in a turbulent flow, International Journal of Multiphase Flow, Vol. 37, pp. 746-755) and is devoted to an extension of the approach to the treatment of particle agglomeration. For that purpose, the attachment step is modelled using the DLVO theory (Derjaguin and Landau, Verwey and Overbeek) which describes particle-particle interactions as the sum of van der Waals and electrostatic forces. The attachment step is coupled with the collision step using a common energy balance approach, where particles are assumed to agglomerate only if their relative kinetic energy is high enough to overcome the maximum repulsive interaction energy between particles. Numerical results obtained with this model are shown to compare well with available experimental data on agglomeration. These promising results assert the applicability of the present modelling approach over a whole range of particle sizes (even nanoscopic) and solution conditions (both attractive and repulsive cases).</td></tr></table>
## E.2 Article décrivant une approche fine pour l'agglomération de particules prenant en compte le résultat de la collision

<table><tr><td>Auteurs</td><td>Christophe Henry, Jean-Pierre Minier, Mikaël Mohaupt, Christophe Profeta, Jacek Pozorski, and Anne Tanière</td></tr><tr><td>Paru dans</td><td>International Journal of Multiphase Flow, 61, 94–107 (2014)</td></tr><tr><td>Titre</td><td>A stochastic approach for the simulation of collisions between colloidal particles at large time steps</td></tr><tr><td>DOI</td><td>10.1016/j.ijmultiphaseflow.2014.01.007</td></tr><tr><td>Abstract</td><td>This paper presents a new approach for the detection and treatment of colloidal particle collisions. It has been developed in the framework of Lagrangian approaches where a large number of particles is explicitly tracked. The key idea is to account for the continuous trajectories of both colliding partners during a time step that is not restricted. Unlike classical approaches which consider only the distances between a pair of particles at the beginning and at the end of each time step (or assume straight-line motion in between), we model the whole relative, and possibly diffusive, trajectory. The collision event is dealt with using the probability that the relative distance reaches a minimum threshold (equal to the sum of the two particle radii). In that sense, the present paper builds on the idea of a previous work. However, in this first work, the collision event was simulated with a simplified scheme where one of the collision partners was removed and re-inserted randomly within the simulation domain. Though usually applied, this treatment is limited to homogeneous situations. Here, an extension of the stochastic model is proposed to treat more rigorously the collision event via a suitable evaluation of the time and spatial location of the collision and an adequate calculation of subsequent particle motion. The resulting collision kernels are successfully compared to theoretical predictions in the case of particle diffusive motion. With these promising results, the feasibility of simulating the collisional regime over a whole range of particle sizes (even nanoscopic) and time steps (from a ballistic to a purely diffusive regime) with a numerical method of reasonable computational cost has been confirmed. The present approach thus appears as a good candidate for the simulation of the agglomeration phenomenon between particles also in complex non-homogeneous flows.</td></tr></table>
E.3 Article décrivant une approche macroscopique pour l'agglomération de particules

<table><tr><td>Auteurs</td><td>Christophe Henry, K. Karin Norrfors, Michal Olejnik, Muriel Bouby, Johannes Luetzenkirchen, Susanna Wold, and Jean-Pierre Minier</td></tr><tr><td>Paru dans</td><td>Adsorption, 22, 503-515 (2016)</td></tr><tr><td>Titre</td><td>A refined algorithm to simulate latex colloid agglomeration at high ionic strength</td></tr><tr><td>DOI</td><td>10.1007/s10450-015-9714-4</td></tr><tr><td>Abstract</td><td>This study is focussed on the simulation of particle agglomeration at relatively high ionic strength using a refined stochastic algorithm developed in the context of parcel-tracking approaches. For that purpose, experimental data of both diffusion-limited and reaction-limited aggregation of latex particles were obtained using Dynamic Light Scattering techniques for different initial particle sizes (diameters ranging from 24 nm to 495 nm) and at various chemical conditions (ionic strength between 0.5 M and 2 M with NaCl or CaCl<sub>2</sub> solutions). The experimental data collected have been compared to numerical results obtained with the refined parcel-tracking algorithm for particle agglomeration which has been developed. Results show that the evolution of the aggregate diameters over time can be properly captured by the present model with the value of the aggregate fractal dimension that is extracted from experimental data.</td></tr></table>
## E.4 Article sur l'accrétion de petites particules sur une particule de grande taille

<table><tr><td>Auteurs</td><td>Robin Vallée, Christophe Henry, Elie Hachem, and Jérémie Bec</td></tr><tr><td>Paru dans</td><td>Physical Review Fluids, 3, 024303 (2018)</td></tr><tr><td>Titre</td><td>Inelastic accretion of inertial particles by a towed sphere</td></tr><tr><td>DOI</td><td>10.1103/PhysRevFluids.3.024303</td></tr><tr><td>Abstract</td><td>The problem of accretion of small particles by a sphere embedded in a mean flow is studied in the case where the particles undergo inelastic collisions with the solid object. The collision efficiency, which gives the flux of particles experiencing at least one bounce on the sphere, is found to depend upon the sphere Reynolds number only through the value of the critical Stokes number below which no collision occurs. In the absence of molecular diffusion, it is demonstrated that multiple bounces do not provide enough energy dissipation for the particles to stick to the surface within a finite time. This excludes the possibility of any kind of inelastic collapse, so that determining an accretion efficiency requires modeling more precisely particle-surface microphysical interactions. A straightforward choice is to assume that the particles stick when their kinetic energy at impact is below a threshold. In this view, numerical simulations are performed to describe the statistics of impact velocities at various values of the Reynolds number. Successive bounces are shown to enhance accretion. These results are put together to provide a general qualitative picture on how the accretion efficiency depends upon the nondimensional parameters of the problem.</td></tr></table>
E.5 Article décrivant un algorithme pour une meilleure précision dans la simulation de l'agglomération

<table><tr><td>Auteurs</td><td>Kerlyns Martínez Rodríguez, Mireille Bossy, Radu Maftei, Seyedafshin Shekarforush, and Christophe Henry</td></tr><tr><td>Paru dans</td><td>Applied Mathematical Modelling, 90, 582–614 (2021)</td></tr><tr><td>Titre</td><td>New spatial decomposition method for accurate, mesh-independent agglomeration predictions in particle-laden flows</td></tr><tr><td>DOI</td><td>10.1016/j.apm.2020.08.064</td></tr><tr><td>Abstract</td><td>This article presents a new data-driven spatial decomposition algorithm that allows the splitting of a domain containing point particles into elementary cells, each cell containing a spatially-uniform distribution of particles. For that purpose, the algorithm relies on the use of statistical information for the spatial distribution of particles and then extracts an optimal spatial decomposition. After evaluating the convergence and accuracy of the algorithm on homogeneous and inhomogeneous cases, this optimal spatial decomposition is applied to study the case of particle agglomeration. Indeed, in CFD context, recent developments on numerical simulations of particle agglomeration in complex and turbulent flows increasingly resort to Euler-Lagrange approaches. These methods are coupled with population balance equation (PBE)-like algorithms to compute agglomeration inside each cell of the Eulerian mesh. One of the key issues with such approaches is related to the spatially-uniform condition, i.e. agglomeration should be computed on a set of particles that are uniformly distributed locally in each cell. Yet, CFD simulations in realistic industrial/environmental cases often involve non-homogeneous concentrations of particles (due to local injection or accumulation in specific regions). We show that more accurate and mesh-independent predictions of particle agglomeration are made possible by the application of this new data-driven spatial decomposition algorithm.</td></tr></table>
E.6 Article décrivant un algorithme pour une meilleure précision dans la simulation de l'agglomération

<table><tr><td>Auteurs</td><td>Kerlyns Martínez Rodríguez, Mireille Bossy, and Christophe Henry</td></tr><tr><td>Paru dans</td><td>International Journal of Multiphase Flow, 149, 103962 (2022)</td></tr><tr><td>Titre</td><td>Particle agglomeration in flows : Fast data-driven spatial decomposition algorithm for CFD simulations</td></tr><tr><td>DOI</td><td>10.1016/j.ijmultiphaseflow.2021.103962</td></tr><tr><td>Abstract</td><td>Computational fluid dynamics simulations in practical industrial/environmental cases often involve non-homogeneous concentrations of particles. In Euler-Lagrange simulations, this can induce the propagation of numerical error when the number of collision/agglomeration events is computed using mean-field approaches. In fact, mean-field statistical collision models allow to sample the number of collision events using a priori information on the frequency of collisions (the collision kernel). Yet, since such methods often rely on the mesh used for the Eulerian simulation of the fluid phase, the particle number concentration within a given cell might not be homogeneous, leading to numerical errors. In this article, we apply the data-driven spatial decomposition (D2SD) algorithm to control such error in simulations of particle agglomeration. Significant improvements are made to design a fast D2SD version, minimising the additional computational cost by developing re-meshing criteria. Through the application to some practical simulation cases, we show the importance of splitting the domain when computing agglomeration events in Euler/Lagrange simulations, so that within each elementary cell there is a spatially uniform distribution of particles.</td></tr></table>
E.7 Article sur la morphologie d'aggrégats obtenus par des simulations à l'échelle microscopique

<table><tr><td>Auteurs</td><td>José Morán, Christophe Henry, Alexandre Poux, and Jérôme Yon</td></tr><tr><td>Paru dans</td><td>Carbon, 182, 837-846 (2021)</td></tr><tr><td>Titre</td><td>Impact of the maturation process on soot particle aggregation kinetics and morphology</td></tr><tr><td>DOI</td><td>10.1016/j.carbon.2021.06.085</td></tr><tr><td>Abstract</td><td>Mature soot aggregates exhibit a morphology which is currently mimicked by diffusion-limited aggregation (DLCA) codes, i.e. with a sticking probability = 1 when two aggregates collide. Nevertheless, nascent soot particles may grow in the reaction-limited aggregation regime (RLCA), i.e. with a sticking probability << 1. Yet, it remains to be seen how fast the transition from RLCA to DLCA occurs for soot particles and what is the impact on aggregation kinetics, particle size distribution and morphology. This work intends to fill this gap by exploring the aggregation of soot particles formed in a laminar premixed flame through numerical simulations. Results show that the transition from RLCA to DLCA is very fast and produces a moderate impact on soot formation dynamics and morphology. However, soot particles mass bulk density is found to play an important role and should be considered in future simulations of soot formation in flames.</td></tr></table>
# Annexe F

## Fragmentation

### F.1 Article sur la fragmentation de fibres en turbulence

<table><tr><td>Auteurs</td><td>Sofia Allende, Christophe Henry, and Jérémie Bec</td></tr><tr><td>Paru dans</td><td>Philosophical Transactions of the Royal Society A, 378, 20190398 (2020)</td></tr><tr><td>Titre</td><td>Dynamics and fragmentation of small inextensible fibres in turbulence</td></tr><tr><td>DOI</td><td>10.1098/rsta.2019.0398</td></tr><tr><td>Abstract</td><td>The fragmentation of small, brittle, flexible, inextensible fibres is investigated in a fully developed, homogeneous, isotropic turbulent flow. Such small fibres spend most of their time fully stretched and their dynamics follows that of stiff rods. They can then break through tensile failure, i.e. when the tension is higher than a given threshold. Fibres bend when experiencing a strong compression. During these rare and intermittent buckling events, they can break under flexural failure, i.e. when the curvature exceeds a threshold. Fine-scale massive simulations of both the fluid flow and the fibre dynamics are performed to provide statistics on these two fragmentation processes. This gives ingredients for the development of accurate macroscopic models, namely the fragmentation rate and daughter-size distributions, which can be used to predict the time evolution of the fibre size distribution. Evidence is provided for the generic nature of turbulent fragmentation and of the resulting population dynamics. It is indeed shown that the statistics of break-up is fully determined by the probability distribution of Lagrangian fluid velocity gradients. This approach singles out that the only relevant dimensionless parameter is a local flexibility which balances flow stretching to the fibre elastic forces. This article is part of the theme issue 'Fluid dynamics, soft matter and complex systems: recent results and new methods'.</td></tr></table>
<figure><img src="image_49.png" /></figure>