# Pratiques d'une enseignante et activités d'apprentissage d'un élève en grande difficulté : une analyse des influences réciproques en didactique des mathématiques

Jessica Ayala

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Jessica Ayala. Pratiques d'une enseignante et activités d'apprentissage d'un élève en grande difficulté : une analyse des influences réciproques en didactique des mathématiques. Education. Paris Descartes, 2019. Français. NNT: tel-03941573

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Submitted on 16 Jan 2023

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# Université de Paris

École doctorale « Sciences humaines et sociales : cultures, individus, sociétés »
(ED 180)

Laboratoire « Education, discours, apprentissages » (EA 4071)

## Pratiques d'une enseignante et activités d'apprentissage d'un élève en grande difficulté : une analyse des influences réciproques en didactique des mathématiques

Par Jessica Ayala

Thèse de doctorat pour l'obtention du grade de docteur en sciences de l'éducation
de l'Université Paris Descartes.

Spécialité : didactique des mathématiques

Dirigée par Éric Roditi

Présentée et soutenue publiquement le 10 décembre 2019

Devant un jury composé de :

M. Denis Butlen

Professeur des universités

Université Cergy-Pontoise

Rapporteur

Mme. Magali Hersant

Professeure des universités

Université de Nantes

Rapporteure

Mme. Cécile Allard

Maitresse des conférences

Université Paris-Est Créteil

Jury

M. Éric Roditi

Professeur des universités

Université Paris Descartes

Directeur

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# Résumé

Résumé :

Cette recherche vise à mettre au jour les pratiques d'une enseignante et les apprentissages mathématiques d'un élève en grande difficulté dans un contexte d'enseignement individuel. Le corpus constitué pour cette étude comprend un ensemble de vidéos de séances d'enseignement-apprentissage du nombre et du calcul s'étalant sur une période de trois ans. Il comprend également le cahier de bord tenu par l'enseignante ainsi que plusieurs entretiens avec elle portant sur ses objectifs, ses difficultés et réussites ainsi que ses interprétations des résistances et des progrès de son élève.

L'étude réalisée est fondée par des théories produites en didactique des mathématiques et en psychologie. L'analyse des apprentissages de l'élève s'appuie sur les nombreuses recherches menées en psychologie sur la construction du nombre ainsi que sur la théorie des champs conceptuels de Vergnaud et le concept de Zone Proximale de Développement de Vygotski (1933,1997). Les pratiques de l'enseignante sont étudiées en référence à la double approche didactique et ergonomique développée par Robert & Rogalski, aux travaux de Bruner sur le processus d'étayage et, d'un point de vue plus global, sur la théorie de l'activité de Leontiev reprise par Leplat et Robert & Rogalski.

Les résultats obtenus mettent au jour les influences de l'enseignement dispensé sur l'apprentissage réalisé et, réciproquement, des activités de l'élève sur les choix de l'enseignante. Les progrès lentement et difficilement accomplis par l'élève sont en effet mis en rapport avec ses activités pour réaliser les tâches mathématiques conçues par l'enseignante. Les résultats révèlent également que les troubles dont l'élève est porteur, les intérêts ou les appréhensions dont il témoigne et les besoins relationnels qu'il exprime, concourent à conditionner fortement les situations proposées par l'enseignante, contrainte à des révisions et ajustements permanents de son enseignement.

Mots clés : didactique des mathématiques, pratique enseignante, étayage, apprentissages numériques, difficulté scolaire.
# Teaching practices of a teacher and learning activities of a student with important disabilities: An analysis of mutual influences in mathematics education

## Abstract:

This research work aims to show the practices of a teacher and the learning achievements of a student with great learning disabilities. The type of teaching in which we are interested here is that of a one to one based teacher/student context. The body of this research work includes a series of videos that show the teaching method and learning abilities of numbers and calculations during a period of three years. This work also includes the teaching diary of the teacher as well as different interviews that aim to know her goals, the difficulties and success that she encountered and her own interpretations of the resistance and progress of her student.

The theoretical framework of this study is rooted in various psychology and didactics of mathematics theories. The analysis of the learning abilities of the student was done on the basis of numerous research works in psychology that focus on the construction of numbers. Different theories such as Vergnaud's Theory of Conceptual Fields or Vygotski's concept of Proximal Zone of Development will be also highlighted in this work. The practices of the teacher will be analyzed based on the didactic and ergonomic double approach of Robert & Rogalski, on Bruner's concept of Scaffolding, and more globally on Leontiev's Activity Theory redeveloped by Leplat, Robert and Rogalski.

The results of this study show the link between the teaching method and the progress in learning made by the student, and reciprocally how his activity and progress influence the teacher's choices. The results of this study also show how the student's learning disorder, his fears, his relational needs but also his various interests, all have an impact on the way the teacher builds her teaching strategy and is permanently brought to revise it and perform various adjustments.

**Keywords:** Mathematics education, teaching practices, scaffolding, learning numbers, academic difficulties.
# Título: Prácticas de una docente y actividades de aprendizaje de un alumno en gran dificultad: un análisis de las influencias reciprocas en didáctica de matemáticas

## Resumen:

Esta investigación tiene como objetivo revelar las prácticas de una docente y el aprendizaje matemático de un alumno con gran dificultad de aprendizaje en un contexto de enseñanza individual. El corpus para este estudio consiste en un conjunto de videos de sesiones de enseñanza-aprendizaje de los números y cálculo numérico realizado en un periodo de tres años. También incluye el cuaderno de planificación de la docente y varias entrevistas con ella sobre sus objetivos, dificultades y éxitos, así como sus interpretaciones de la resistencia y el progreso de su alumno.

El estudio se basa en teorías producidas en didáctica de las matemáticas y en psicología. El análisis del aprendizaje del alumno se basa en los numerosos estudios realizados en psicología sobre la construcción del número, así como en la teoría de los campos conceptuales de Vergnaud y el concepto de la Zona de Desarrollo Próximo de Vygotski. Las prácticas del profesor se estudian haciendo referencia al doble enfoque didáctico y ergonómico desarrollado por Robert & Rogalski, al trabajo de Bruner sobre el andamiaje y, desde un punto de vista más global, a la teoría de la actividad de Leontiev retomada por Leplat y Robert & Rogalski.

Los resultados obtenidos revelan las influencias de la enseñanza proporcionada sobre el aprendizaje realizado y recíprocamente de las actividades del alumno sobre las decisiones del profesor. El progreso lento y difícilmente logrado por el alumno son puestos en relación con sus actividades en la realización de las tareas matemáticas diseñadas por el maestro. Los resultados también revelan que los trastornos de aprendizaje del alumno, sus intereses, temores y sus necesidades interpersonales, contribuyen a condicionar fuertemente las situaciones propuestas por el docente, las cuales están sujetas a revisiones y ajustes permanentes de su enseñanza.

**Palabras claves:** didáctica de las matemáticas, práctica docente, andamiaje, aprendizajes numéricos, dificultad escolar.
Remerciements

À mes parents, Maria Alicia et Silvio. Merci d'avoir accepté mon départ du Chili et de m'avoir toujours fait ressentir votre amour, votre présence et votre soutien inconditionnel malgré la distance qui nous sépare.

Toute ma gratitude à mon directeur de thèse, Éric Roditi, pour ses conseils précieux, pour sa motivation qui m'a donné la persévérance d'aller toujours plus loin dans mon travail, pour ses relectures méticuleuses et pour son accompagnement enrichissant qui ont permis à cette thèse de devenir ce qu'elle est actuellement, à savoir l'aboutissement de nombreuses années d'investissement qui j'en suis sûr permettront d'avoir un regard un peu plus éclairé sur les influences réciproques en didactique des mathématiques pour des élèves en grande difficulté.

J'aimerai également remercier deux personnes sans qui cette thèse n'aurait pas été possible. Il s'agit d'Élodie, l'enseignante de notre sujet d'étude et de Julien notre élève en situation de grande difficulté. Cette longue période d'enseignement et d'apprentissage que vous avez passé ensemble a été une source majeure et importante d'analyse, d'information et d'avancement dans l'établissement d'une meilleure compréhension des difficultés qui ont jalonné votre exercice réciproque et mutuel.

Un grand merci à Émilie Corrège pour ce matériel précieux que tu as partagé avec moi, mais également tout le temps que tu m'as consacré au cours de ces nombreuses années à discuter autour de ce sujet de recherche, mais encore et bien évidemment sur beaucoup d'autres sujets intéressants.

Toute ma gratitude aussi au Programme BECAS CHILE de la Comisión Nacional de Investigación Científica y Tecnológica (CONICYT) pour le financement qui m'a été attribué dans le cadre de ce projet d'étude.

Je ne veux pas oublier deux personnes en particulier qui ont été une source d'inspiration au cours de ma formation en tant qu'enseignante : Janet Sepúlveda Farías, merci d'avoir cru toujours en mes capacités ; Ruth Galindo merci d'avoir semé en moi cette passion de la recherche en éducation, particulièrement en didactique des mathématiques.
Un grand merci également à l'ensemble des personnes qui m'ont soutenu ou aidé durant ces nombreuses années : à mes sœurs Claudia, Carolina et mes beaux-frères Andrés et Jaime, pour votre soutien à distance. Nous partageons cet amour pour l'enseignement et cela dans différents contextes. Vous êtes une source d'inspiration pour moi !

Mes remerciements vont de même à ma belle-famille Marie-Christine, Paul, Jérôme, Aurélie et Céline Bonelle, avec qui j'ai pu partager l'avancement de mon travail. À mes amis et collègues, en particulier Elaine Lawson, merci pour ton amitié, ton soutien permanent et tes corrections en anglais.

Je souhaite remercier également et de façon particulière mon époux Christophe qui m'a accompagné durant ces trois dernières années de thèse et dont le soutient a été sans faille, la patience à toute épreuve et l'aide très précieuse. Merci pour tes relectures de mon français parfois approximatif, d'avoir pu interpréter mes idées et de les avoir rendus plus compréhensibles, pour tes vacances sacrifiées, pour l'amour, le courage et la confiance que tu as sus me transmettre lorsque j'en avais besoin afin de mener à terme ce travail, pour tes contributions qui m'ont permis de passer plus agréablement ces dernières années de thèse.

Pour terminer, je voudrais remercier une personne qui depuis quelques mois n'est plus là, ma tante Amanda Ayala, merci de m'avoir inspiré cet amour pour l'enseignement avec ton exemple en tant que professeure pendant plus de 50 ans.
# Sommaire

<table><tr><td>Résumé</td><td>2</td></tr><tr><td>Remerciements</td><td>5</td></tr><tr><td>Sommaire</td><td>7</td></tr><tr><td>Chapitre 1 : Genèse, cadrage théorique, problématisation et méthodologie générale</td><td>16</td></tr><tr><td>1. Genèse de la recherche</td><td>17</td></tr><tr><td>1.1. Vers un début de problématisation : les contraintes de la grande difficulté d'apprentissage</td><td>18</td></tr><tr><td>1.2. Différents regards de la difficulté d'apprentissage</td><td>19</td></tr><tr><td>1.3. Le processus d'enseignement-apprentissage : « effet maître » ou « effet élève » ?</td><td>21</td></tr><tr><td>1.4. Le contexte de notre étude : Élodie et Julien</td><td>25</td></tr><tr><td>2. Cadrage théorique et problématique de la thèse</td><td>26</td></tr><tr><td>2.1. Axes de réflexion et questionnement</td><td>26</td></tr><tr><td>2.1.1. Des questions sur les spécificités d'apprentissage des élèves en grande difficulté et les contraintes qui pèsent sur les enseignants</td><td>27</td></tr><tr><td>2.1.2. Des questions sur la spécificité de l'enseignement individualisé</td><td>28</td></tr><tr><td>2.1.3. Des questions sur le savoir enseigné</td><td>29</td></tr><tr><td>2.2. Cadrage théorique général de la thèse</td><td>30</td></tr><tr><td>2.2.1. La théorie de l'activité</td><td>31</td></tr><tr><td>2.2.1.1. Tâche et activité</td><td>32</td></tr><tr><td>2.2.1.2. Sujet et situation</td><td>33</td></tr><tr><td>2.2.1.3. La double régulation de l'activité</td><td>34</td></tr><tr><td>2.2.2. La théorie de la double approche</td><td>35</td></tr><tr><td>2.2.3. L'approche socio-constructiviste</td><td>38</td></tr><tr><td>2.2.4. La théorie des champs conceptuels et l'apprentissage mathématique</td><td>40</td></tr><tr><td>2.3. Problématique générale de la thèse</td><td>42</td></tr><tr><td>2.3.1. Travaux didactiques sur l'enseignement spécialisé et problématisation</td><td>43</td></tr><tr><td>2.3.2. Explicitation des objectifs de la recherche</td><td>47</td></tr><tr><td>2.3.3. Intérêts potentiels de cette étude</td><td>48</td></tr><tr><td>3. Méthodologie générale</td><td>49</td></tr><tr><td>3.1. Le corpus de données construit pour la thèse</td><td>50</td></tr></table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>3.1.1.</td>
      <td>Le dispositif et le traitement des données</td>
      <td>50</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1.1.1.</td>
      <td>Une analyse basée sur l'observation des vidéos des séances filmées en classe</td>
      <td>51</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1.1.2.</td>
      <td>Les entretiens avec l'enseignante</td>
      <td>51</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1.1.3.</td>
      <td>Les notes du « cahier de bord »</td>
      <td>54</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1.1.4.</td>
      <td>Les séances sélectionnées et leurs transcriptions</td>
      <td>55</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1.2.</td>
      <td>La fiabilité de la reconstitution de l'enseignement d'Élodie</td>
      <td>56</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.</td>
      <td>Éléments méthodologiques pour l'analyse des pratiques d'Élodie et de l'activité de Julien</td>
      <td>57</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.1.</td>
      <td>Niveaux d'observation et d'analyses</td>
      <td>57</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.1.1.</td>
      <td>Niveau global d'analyse des pratiques de l'enseignante</td>
      <td>58</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.1.2.</td>
      <td>Niveau local d'analyse à partir des tâches prescrites et leur déroulement en classe</td>
      <td>59</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.2.</td>
      <td>Une analyse croisée des pratiques de l'enseignante et des activités de l'élève</td>
      <td>61</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.</td>
      <td>Plan général de la thèse</td>
      <td>63</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Chapitre 2 : Spécificités de l'enseignement et de l'apprentissage dans le cas des élèves en grande difficulté, repères didactiques sur le nombre entier et le calcul</td>
      <td>64</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Introduction</td>
      <td>65</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.</td>
      <td>La grande difficulté d'apprentissage</td>
      <td>66</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.1.</td>
      <td>Quelques traits communs repérés par Perrin-Glorian et Butlen</td>
      <td>67</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.1.1.</td>
      <td>Difficultés langagières</td>
      <td>67</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.1.2.</td>
      <td>Difficultés cognitives et conséquences en mathématiques</td>
      <td>68</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.1.3.</td>
      <td>Des élèves isolés du travail collectif</td>
      <td>69</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.2.</td>
      <td>La grande difficulté d'apprentissage et sa prise en charge en France</td>
      <td>71</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.2.1.</td>
      <td>L'École et les élèves en grande difficulté d'apprentissage</td>
      <td>71</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.2.1.1.</td>
      <td>« La grande difficulté » dans les documents officiels</td>
      <td>72</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.2.1.2.</td>
      <td>Les modalités de scolarisation</td>
      <td>75</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.2.1.3.</td>
      <td>Élèves en difficulté, difficultés d'enseignement</td>
      <td>76</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.2.2.</td>
      <td>Perspective neurocognitive sur la grande difficulté d'apprentissage</td>
      <td>78</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.2.2.1.</td>
      <td>De la recherche d'une définition du trouble de l'apprentissage à l'acceptation du concept</td>
      <td>79</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.2.2.2.</td>
      <td>Les intervenants auprès d'élèves en difficulté d'apprentissage</td>
      <td>82</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.2.2.3.</td>
      <td>La « guérison du symptôme » et la « double tâche »</td>
      <td>83</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.2.2.4.</td>
      <td>Manque d'informations, manque de formation</td>
      <td>84</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.2.3.</td>
      <td>Perspective didactique</td>
      <td>86</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table><tbody><tr><td>1.2.3.1.</td><td>Quelques travaux effectués en classes ordinaires</td><td>86</td></tr><tr><td>1.2.3.2.</td><td>Quelques travaux effectués en classes spécialisées</td><td>89</td></tr><tr><td>1.3.</td><td>Quelques caractéristiques personnelles de Julien</td><td>92</td></tr><tr><td>1.3.1.</td><td>L'élève Julien : présentation à partir de son passé scolaire</td><td>93</td></tr><tr><td>1.3.2.</td><td>L'élève Julien : une présentation à partir des renseignements fournis par Élodie</td><td>93</td></tr><tr><td>2.</td><td>L'enseignement et l'apprentissage du nombre au cas spécifique de Julien</td><td>97</td></tr><tr><td>2.1.</td><td>Le concept de nombre</td><td>97</td></tr><tr><td>2.1.1.</td><td>Approches mathématiques du nombre entier naturel</td><td>98</td></tr><tr><td>2.1.2.</td><td>Approche neurocognitive du nombre entier naturel</td><td>100</td></tr><tr><td>2.2.</td><td>Les représentations et utilisations du nombre</td><td>101</td></tr><tr><td>2.2.1.</td><td>Les représentations du nombre</td><td>101</td></tr><tr><td>2.2.2.</td><td>Les utilisations du nombre</td><td>101</td></tr><tr><td>2.3.</td><td>Le nombre est-il inné ou acquis ? Lorsque les scientifiques s'opposent</td><td>102</td></tr><tr><td>2.4.</td><td>La théorie conceptuelle et l'apprentissage du nombre</td><td>105</td></tr><tr><td>2.4.1.</td><td>La théorie des champs conceptuels</td><td>105</td></tr><tr><td>2.4.1.1.</td><td>La notion de schème</td><td>107</td></tr><tr><td>2.4.1.2.</td><td>Le schème du dénombrement</td><td>108</td></tr><tr><td>2.5.</td><td>La construction du concept du nombre</td><td>109</td></tr><tr><td>2.5.1.</td><td>Les petites quantités et le subitizing</td><td>110</td></tr><tr><td>2.5.2.</td><td>Le dénombrement un à un des quantités discrètes</td><td>111</td></tr><tr><td>2.5.3.</td><td>Stratégies pour dénombrer des quantités</td><td>112</td></tr><tr><td>2.5.4.</td><td>La charge cognitive du dénombrement</td><td>113</td></tr><tr><td>2.5.5.</td><td>L'utilisation de la suite numérique chiffrée</td><td>115</td></tr><tr><td>2.6.</td><td>Compter et calculer</td><td>116</td></tr><tr><td>2.6.1.</td><td>La pratique du comptage</td><td>116</td></tr><tr><td>2.6.2.</td><td>Les collections-témoins organisées</td><td>117</td></tr><tr><td>3.</td><td>Quel enseignement pour Julien ?</td><td>119</td></tr><tr><td>3.1.</td><td>Des situations avec un « fort potentiel adidactique »</td><td>119</td></tr><tr><td>3.2.</td><td>S'appuyer sur des supports adaptés pour offrir davantage d'autonomie à l'élève</td><td>121</td></tr><tr><td>3.2.1.</td><td>L'utilisation des collections-témoins</td><td>121</td></tr><tr><td>3.2.2.</td><td>L'utilisation de la bande numérique</td><td>123</td></tr><tr><td>3.3.</td><td>Des modalités de travail qui privilégient l'entrée ludique et une attention à la dimension affective</td><td>125</td></tr></tbody></table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>4. CONCLUSION</td>
      <td>126</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>Chapitre 3 : Analyse des pratiques d'enseignement d'Élodie et de l'activité de Julien</b></td>
      <td><b>127</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Introduction</td>
      <td>128</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1. Analyse globale des pratiques d'Élodie</td>
      <td>129</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.1. Le contexte d'activité de l'enseignante</td>
      <td>129</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.2. Le contexte professionnel de l'enseignante et sa reprise d'étude en sciences de l'éducation</td>
      <td>131</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.2.1. L'enregistrement des séances d'enseignement</td>
      <td>132</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.2.2. Une étude bibliographique sur la question des apprentissages chez les élèves en grande difficulté et sur l'enseignement du nombre</td>
      <td>132</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.2.3. Participation à des séminaires sur les enfants dyspraxiques ayant des troubles d'apprentissage</td>
      <td>133</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.2.4. Observation d'un atelier en mathématiques, dédié à l'enseignement du nombre dans une classe de CLIS</td>
      <td>134</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.3. Analyse globale des mathématiques enseignées</td>
      <td>134</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.3.1. Les difficultés de Julien en mathématiques</td>
      <td>135</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.3.2. La constitution du champ mathématique</td>
      <td>136</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.3.3. Le champ mathématique défini par l'enseignante</td>
      <td>137</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.3.4. L'organisation des contenus et leur présentation à Julien</td>
      <td>138</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2. Les tâches prescrites et leurs déroulements en classe</td>
      <td>140</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.1. Les tâches prescrites</td>
      <td>140</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.2. Éléments pour l'analyse a priori des tâches prescrites</td>
      <td>142</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.2.1. Les variables didactiques</td>
      <td>142</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.2.1.1. Les variables didactiques des tâches de dénombrement</td>
      <td>143</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.2.1.2. Les variables didactiques pour les tâches additives</td>
      <td>144</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.2.2. Les connaissances en jeu et les énoncés des types de tâches</td>
      <td>145</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.2.3. Les procédures envisageables</td>
      <td>146</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.2.3.1. Les procédures en lien avec les tâches de dénombrement</td>
      <td>146</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.2.3.2. Les procédures pour les tâches additives</td>
      <td>147</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.3. Éléments d'analyse du déroulement des séances</td>
      <td>149</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.3.1. Précisions sur l'analyse de l'activité de Julien</td>
      <td>150</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.3.1.1. Éléments pour l'analyse des réussites et des erreurs de l'élève</td>
      <td>150</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.3.1.2. Éléments d'analyse de la qualité de communication de Julien avec son enseignante</td>
      <td>152</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>2.3.2.</td>
      <td>Composantes médiative et relationnelle-affective</td>
      <td>153</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.3.2.1.</td>
      <td>Éléments pour l'analyse de la composante médiative</td>
      <td>154</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.3.2.2.</td>
      <td>Éléments pour l'analyse de la composante relationnelle-affective</td>
      <td>156</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.</td>
      <td>Analyse des tâches prescrites et de leurs déroulements en classe</td>
      <td>158</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1.</td>
      <td>Les types de tâches et leur distribution au cours des trois années d'enseignement</td>
      <td>159</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.</td>
      <td>Première année : Novembre 2012 à juin 2013</td>
      <td>160</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.1.</td>
      <td>Tâches de type A : Créer une collection d'objets dont le cardinal est égal à un nombre donné sous forme chiffrée ou par représentation de constellations</td>
      <td>161</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.1.1.</td>
      <td>Les différentes tâches et leur contexte</td>
      <td>161</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.1.1.1.</td>
      <td>Tâches de type A dans le contexte des « Jetons et boites à compter »</td>
      <td>162</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.1.1.2.</td>
      <td>Tâche de type A dans le contexte des « Petites voitures et places de parking »</td>
      <td>164</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.1.1.3.</td>
      <td>Tâche de type A dans le contexte « Les cailloux »</td>
      <td>165</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.1.2.</td>
      <td>Analyse a priori des tâches de type A</td>
      <td>166</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.1.2.1.</td>
      <td>Procédures lorsque le cardinal est indiqué par une constellation</td>
      <td>166</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.1.2.2.</td>
      <td>Procédures lorsque le nombre est indiqué par une écriture chiffrée</td>
      <td>168</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.1.3.</td>
      <td>Analyse du déroulement des tâches de type A</td>
      <td>171</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.1.3.1.</td>
      <td>Analyse du déroulement : les activités de l'élève</td>
      <td>172</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.1.3.1.1.</td>
      <td>Création d'une collection d'objets, dont le cardinal est donné par une constellation</td>
      <td>173</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.1.3.1.2.</td>
      <td>Création d'une collection d'objets, dont le cardinal est donné par un nombre avec son écriture chiffrée</td>
      <td>174</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.1.3.1.3.</td>
      <td>Qualité de la communication de Julien avec son enseignante</td>
      <td>178</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.1.3.2.</td>
      <td>Analyse du déroulement : les activités de l'enseignante</td>
      <td>179</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.1.3.2.1.</td>
      <td>Les analyses des activités de l'enseignante qui relèvent de la composante médiative</td>
      <td>180</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.1.3.2.2.</td>
      <td>Les analyses des activités de l'enseignante qui relèvent de la composante relationnelle-affective</td>
      <td>182</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.1.3.2.3.</td>
      <td>Analyse de la composante cognitive</td>
      <td>184</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.2.</td>
      <td>Tâches de type B : Créer une collection équipotente à une autre avec éloignement dans l'espace des deux collections</td>
      <td>187</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.2.1.</td>
      <td>Les tâches de type B et leurs contextes</td>
      <td>188</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.2.1.1.</td>
      <td>Tâches de type B dans le contexte des « Voitures et places de parking »</td>
      <td>188</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.2.1.2.</td>
      <td>Tâches de type B dans le contexte des « Passagers et places de train ou de bus »</td>
      <td>191</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.2.1.3.</td>
      <td>Tâches de type B dans le contexte des « Escargots, salades ou tomates »</td>
      <td>193</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.2.2.</td>
      <td>Analyse a priori des tâches de type B</td>
      <td>195</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.2.2.1.</td>
      <td>Procédures pour déterminer le cardinal de la première collection</td>
      <td>196</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.2.2.2.</td>
      <td>Procédures pour constituer la collection équipotente à la première</td>
      <td>200</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.2.3.</td>
      <td>Analyse du déroulement des tâches de type B</td>
      <td>202</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.2.3.1.</td>
      <td>Analyse du déroulement : les activités de Julien</td>
      <td>203</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.2.3.1.1.</td>
      <td>Compréhension initiale de l'énoncé</td>
      <td>204</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>3.2.2.3.1.2.</td>
      <td>Reconnaissance du cardinal de la première collection</td>
      <td>206</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.2.3.1.3.</td>
      <td>Constitution de la collection équipotente à la première collection</td>
      <td>208</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.2.3.1.4.</td>
      <td>Validation de l'égalité des cardinaux par la correspondance terme à terme des deux collections</td>
      <td>211</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.2.3.2.</td>
      <td>Une analyse globale selon les contextes</td>
      <td>213</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.2.3.3.</td>
      <td>Qualité de la communication de Julien avec son enseignante</td>
      <td>215</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.2.3.4.</td>
      <td>Analyse du déroulement : les activités de l'enseignante</td>
      <td>217</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.2.3.4.1.</td>
      <td>Analyses des activités de l'enseignante qui relèvent de la composante médiative</td>
      <td>218</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.2.3.4.2.</td>
      <td>Les analyses des activités de l'enseignante qui relèvent de la composante relationnelle-affective</td>
      <td>221</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.2.3.4.3.</td>
      <td>Analyse de la composante cognitive</td>
      <td>223</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.</td>
      <td>Deuxième année : Décembre 2013 à novembre 2014</td>
      <td>227</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.1.</td>
      <td>Tâches de type B : Créer une collection équipotente à une autre avec éloignement dans l'espace des deux collections</td>
      <td>228</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.1.1.</td>
      <td>Les tâches de type B et leurs contextes</td>
      <td>229</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.1.1.1.</td>
      <td>Tâches de type B dans le contexte des « Escargots, salades et tomates »</td>
      <td>229</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.1.1.2.</td>
      <td>Tâches de type B dans le contexte des « Petites voitures et places de parking »</td>
      <td>232</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.1.2.</td>
      <td>Analyse a priori des tâches de type B</td>
      <td>235</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.1.2.1.</td>
      <td>Procédures pour déterminer le cardinal de la première collection</td>
      <td>235</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.1.2.2.</td>
      <td>Procédures pour constituer la collection équipotente à la première</td>
      <td>238</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.1.3.</td>
      <td>Analyse du déroulement des tâches de type B</td>
      <td>239</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.1.3.1.</td>
      <td>Analyse du déroulement : les activités de l'élève</td>
      <td>240</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.1.3.1.1.</td>
      <td>Compréhension initiale de l'énoncé</td>
      <td>241</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.1.3.1.2.</td>
      <td>Reconnaissance du cardinal de la première collection</td>
      <td>242</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.1.3.1.3.</td>
      <td>Constitution de la collection équipotente à la première collection</td>
      <td>244</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.1.3.1.4.</td>
      <td>Validation de l'égalité des cardinaux par la correspondance terme à terme des deux collections</td>
      <td>246</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.1.3.2.</td>
      <td>Une analyse globale selon les contextes</td>
      <td>247</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.1.3.3.</td>
      <td>Qualité de la communication de Julien avec son enseignante</td>
      <td>248</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.1.3.4.</td>
      <td>Analyse du déroulement des activités de l'enseignante</td>
      <td>250</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.1.3.4.1.</td>
      <td>Analyses des activités de l'enseignante qui relèvent de la composante médiative</td>
      <td>250</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.1.3.4.2.</td>
      <td>Les analyses des activités de l'enseignante qui relèvent de la composante relationnelle-affective</td>
      <td>253</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.1.3.4.3.</td>
      <td>Analyse de la composante cognitive</td>
      <td>254</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.2.</td>
      <td>Tâches de type C : Créer une collection d'objets dont le cardinal est le résultat d'une addition à effectuer</td>
      <td>256</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.2.1.</td>
      <td>Les tâches de type C et son contexte : Le jeu « Sauver les poissons ! »</td>
      <td>257</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.2.2.</td>
      <td>Analyse a priori des tâches de type C</td>
      <td>259</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.2.2.1.</td>
      <td>Procédures pour reconnaître les constellations</td>
      <td>260</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
3.3.2.2.2. Procédures pour déterminer le cardinal de la réunion des deux collections.................................................. 261

3.3.2.2.3. Procédures pour créer la collection de poissons .................................................................................... 263

3.3.2.3. Analyse du déroulement des tâches de type C.................................................................................. 265

3.3.2.3.1. Analyse du déroulement : les activités de l'élève .................................................................................. 265

3.3.2.3.1.1. Compréhension initiale de l'énoncé de la tâche .................................................................................. 267

3.3.2.3.1.2. Reconnaissance distinctive des deux constellations des dés.................................................... 267

3.3.2.3.1.3. Déterminer le cardinal de la réunion des deux constellations des dés.................................................. 269

3.3.2.3.1.4. Constitution de la collection des poissons .................................................................................... 271

3.3.2.3.2. Qualité de la communication de Julien avec son enseignante .................................................................... 273

3.3.2.3.3. Analyse du déroulement : les activités de l'enseignante........................................................................ 274

3.3.2.3.3.1. Analyse des activités de l'enseignante qui relèvent de la composante médiative.................. 275

3.3.2.3.3.2. Analyse des activités de l'enseignante qui relèvent de la composante relationnelle-affective .................................................................................................................................................... 278

3.3.2.3.3.3. Analyse de la composante cognitive.................................................................................... 279

3.4. Troisième année : Novembre 2014 à juin 2015.................................................................................. 281

3.4.1. Tâches de type C : Créer une collection d'objets dont le cardinal est le résultat d'une addition à effectuer.................................................................................................................................................. 282

3.4.1.1. Les tâches de type C et leur contexte : Le Jeu « Sauver les poissons ! » ........................................ 283

3.4.1.2. Analyse a priori des tâches de type C.................................................................................. 286

3.4.1.2.1. Procédures pour reconnaître les constellations .................................................................................. 286

3.4.1.2.2. Procédures pour déterminer le cardinal de la réunion de deux collections de dés .................... 288

3.4.1.2.3. Procédures pour créer la collection de poissons .................................................................................. 290

3.4.1.3. Analyse du déroulement des tâches de type C.................................................................................. 290

3.4.1.3.1. Analyse du déroulement : les activités de l'élève .................................................................................. 291

3.4.1.3.1.1. Compréhension initiale de l'énoncé .................................................................................... 292

3.4.1.3.1.2. Reconnaissance distinctive des deux constellations des dés.................................................... 293

3.4.1.3.1.3. Détermination du cardinal de la réunion des deux constellations des dés.................................................. 294

3.4.1.3.1.4. Constitution de la collection des poissons.................................................................................... 296

3.4.1.3.2. Qualité de la communication de Julien avec son enseignante .................................................................... 298

3.4.1.3.3. Analyse du déroulement : les activités de l'enseignante........................................................................ 299

3.4.1.3.3.1. Les analyses des activités de l'enseignante qui relèvent de la composante médiative................ 300

3.4.1.3.3.2. Les analyses des activités de l'enseignante qui relèvent de la composante relationnelle-affective .................................................................................................................................................... 302

3.4.1.3.3.3. Analyse de la composante cognitive.................................................................................... 303

3.4.2. Tâches de type D : Déterminer le cardinal de deux collections réunies et associer le résultat à son écriture chiffrée .................................................................................................................. 304

3.4.2.1. Les tâches de type D et leur contexte .................................................................................. 305

3.4.2.1.1. Le jeu « Le douze barré » .................................................................................................................... 305

3.4.2.1.2. Le jeu de « La cage aux nombres » ........................................................................................................ 307
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>3.4.2.2.</td>
      <td>Analyse a priori des tâches de type D</td>
      <td>309</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4.2.2.1.</td>
      <td>Procédures pour reconnaitre les collections</td>
      <td>310</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4.2.2.2.</td>
      <td>Procédures pour déterminer le nombre dont la représentation chiffrée est à recouvrir par un jeton bleu</td>
      <td>311</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4.2.2.3.</td>
      <td>Procédures pour associer son écriture chiffrée au nombre obtenu</td>
      <td>314</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4.2.3.</td>
      <td>Analyse du déroulement des tâches de type D</td>
      <td>315</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4.2.3.1.</td>
      <td>Analyse du déroulement : les activités de l'élève</td>
      <td>316</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4.2.3.1.1.</td>
      <td>Compréhension initiale de l'énoncé</td>
      <td>317</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4.2.3.1.2.</td>
      <td>Reconnaissance distinctive des deux constellations des dés ou des deux nombres en écriture chiffrée</td>
      <td>318</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4.2.3.1.3.</td>
      <td>Détermination du cardinal lors de la réunion des deux constellations des dés ou des deux nombres chiffrés</td>
      <td>319</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4.2.3.1.4.</td>
      <td>Association du cardinal à son écriture chiffrée</td>
      <td>322</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4.2.3.2.</td>
      <td>Qualité de la communication de Julien avec son enseignante</td>
      <td>323</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4.2.3.3.</td>
      <td>Analyse du déroulement : les activités de l'enseignante</td>
      <td>324</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4.2.3.3.1.</td>
      <td>Analyse des activités de l'enseignante qui relèvent de la composante médiative</td>
      <td>325</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4.2.3.3.2.</td>
      <td>Analyse des activités de l'enseignante qui relèvent de la composante relationnelle-affective</td>
      <td>329</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4.2.3.3.3.</td>
      <td>Analyse de la composante cognitive</td>
      <td>330</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Conclusions générales et perspectives de la recherche</td>
      <td>332</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.</td>
      <td>Avant-propos</td>
      <td>333</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.</td>
      <td>Interroger les influences réciproques dans les processus d'enseignement-apprentissage : problématique et méthodes</td>
      <td>333</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.1.</td>
      <td>Une problématique posée dans le contexte de la grande difficulté scolaire</td>
      <td>334</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.2.</td>
      <td>Une méthodologie qui croise les analyses de l'enseignement et de l'apprentissage</td>
      <td>336</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.</td>
      <td>Les évolutions des pratiques enseignantes d'Élodie et des apprentissages de Julien</td>
      <td>339</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.</td>
      <td>Bilan de la première année : « adaptation et essais »</td>
      <td>339</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4.</td>
      <td>Bilan de la deuxième année : « instabilité et premiers acquis »</td>
      <td>343</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.5.</td>
      <td>Bilan de la troisième année : « stabilité et consolidation des acquis »</td>
      <td>347</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.</td>
      <td>Pratiques d'enseignement et activités d'apprentissage : les principes sous-jacents et les tensions qui en découlent</td>
      <td>351</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.1.</td>
      <td>Première tension : « Enseignante novice – Experte »</td>
      <td>352</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.</td>
      <td>Deuxième tension : « Instruction - Relation »</td>
      <td>353</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.</td>
      <td>Troisième tension : « Double tâche - Zéro tâche »</td>
      <td>354</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.4.</td>
      <td>Quatrième tension : « Manipulation - Abstraction »</td>
      <td>355</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.5.</td>
      <td>Cinquième tension : « Symbolique - Verbal - Matériel »</td>
      <td>356</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.6.</td>
      <td>Sixième tension : « Pédagogique - Ludique »</td>
      <td>358</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table><tr><td>5. CONCLUSION</td><td>359</td></tr><tr><td>BIBLIOGRAPHIE</td><td>360</td></tr><tr><td>LISTE DES FIGURES</td><td>373</td></tr><tr><td>LISTE DES TABLEAUX</td><td>374</td></tr><tr><td>ANNEXES</td><td>377</td></tr><tr><td>Annexe 1 : Corpus de vidéos sélectionnés pour la thèse</td><td>378</td></tr><tr><td>1<sup>ère</sup> année : Novembre 2012 à Juin 2013</td><td>378</td></tr><tr><td>2<sup>ème</sup> année : Décembre 2013 à Novembre 2014</td><td>380</td></tr><tr><td>3<sup>ème</sup> année : Novembre 2014 à juin 2015</td><td>382</td></tr><tr><td>Annexe 2 : Codage des tâches</td><td>383</td></tr><tr><td>Tâches de type A : 1<sup>ère</sup> année</td><td>383</td></tr><tr><td>Tâches de type B : 1<sup>ère</sup> année</td><td>387</td></tr><tr><td>Tâches de type B : 2<sup>ème</sup> année</td><td>399</td></tr><tr><td>Tâches de type C : 2<sup>ème</sup> année</td><td>417</td></tr><tr><td>Tâches de type C : 3<sup>ème</sup> année</td><td>432</td></tr><tr><td>Tâches de type D : 3<sup>ème</sup> année</td><td>443</td></tr><tr><td>Annexe 3 : Entretien avec l'enseignante (juin 2013)</td><td>457</td></tr><tr><td>Annexe 4 : Nombre de pages du cahier de bord de l'enseignante</td><td>460</td></tr><tr><td>Première année</td><td>460</td></tr><tr><td>Deuxième année</td><td>460</td></tr><tr><td>Troisième année</td><td>461</td></tr></table>
# Chapitre 1 :

## Genèse, cadrage théorique, problématisation et méthodologie générale
# 1. Genèse de la recherche

Le point de départ de cette recherche est porté par un intérêt personnel pour les questions d'enseignement-apprentissage chez les élèves en grande difficulté d'apprentissage et par une volonté d'en approfondir les spécificités, tant du point de vue des élèves que du point de vue des enseignants qui les prennent en charge. Mes formations, en tant qu'enseignante (avec spécialisation en psychopédagogie) ainsi qu'en didactique des mathématiques, m'ont amenée à préciser mon intérêt pour ce sujet en le spécifiant aux éléments concernés dans la mise en œuvre de l'apprentissage des mathématiques de ces élèves, c'est-à-dire à la mobilisation de leurs connaissances dans des situations où celles-ci sont pertinentes.

Lors de mes expériences avec des élèves en grande difficulté d'apprentissage et durant mes entretiens avec des enseignants en lien avec ces derniers, j'ai pu constater l'existence d'une forme de réciprocité des difficultés rencontrées. D'une part, l'élève en grande difficulté d'apprentissage vit une scolarisation difficile avec une série d'échecs. L'étiquette d'« élève en difficulté » dévalorisante dont il est affublé entraîne une perte de confiance et d'estime de soi. Ses difficultés soulèvent un sentiment d'impuissance et un refus au travail scolaire. L'entourage, de son côté (parents, famille, amis), est également affecté par ce marquage social.

D'autre part le fait de parler d'élèves « en grande difficulté » implique également de parler d'enseignants « en difficulté d'enseignement ». La prise en charge de ces élèves impose des contraintes et des aménagements de planning, ainsi que des adaptions au niveau des pratiques. Cela concerne notamment les séquences pédagogiques, leur préparation, leur mise en œuvre et leur adaptation, mais aussi les supports et les outils qui seront proposés aux élèves. Une étude réalisée pour le Ministère de l'Éducation Nationale, de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche adressée aux enseignants dans le cadre de la grande difficulté (Chi-Lan Do, 2007) signale :

> « L'enseignant confronté à l'élève en grande difficulté scolaire vit un double et inconfortable paradoxe : il voudrait prendre lui-même cet élève en charge sous peine de se sentir coupable d'abandon, et il voudrait pouvoir apporter des réponses appropriées aux besoins multiples de cet élève sous peine de se sentir incompétent. En même temps, il est conscient qu'il ne
pourra venir seul à bout de la grande difficulté scolaire. Ces représentations sont perceptibles dans le premier et dans le second degré, comme si les enseignants réagissaient en fonction d'une appartenance professionnelle, d'une "culture commune" qui unifient un discours globalement très normatif. » (2007, p. 14)

Comprendre les contraintes et difficultés de ces deux acteurs (professeur et élève) dans le processus d'enseignement et d'apprentissage fait partie intégrante de l'objectif de cette étude. Une analyse de ces pratiques d'enseignement et d'apprentissage nous permettra de mieux comprendre les fonctionnements associés à ce processus, ainsi que les évolutions des apprentissages et les influences réciproques dans ce contexte singulier.

## 1.1. Vers un début de problématisation : les contraintes de la grande difficulté d'apprentissage

En se conformant au rapport « Le traitement de la grande difficulté scolaire au collège et à la fin de la scolarité obligatoire » présenté par Hussenet & Santana (2004), le terme « grande difficulté d'apprentissage » implique : « l'expression d'un drame personnel pour l'élève concerné. Elle est aussi la révélation d'une limite de l'efficacité d'une école confrontée à des inégalités sociales et économiques redoutables. Elle est enfin annonciatrice d'une insertion sociale et économique difficile, voire d'un danger d'exclusion sociale » (Hussenet & Santana, 2004, p.9). Elle révèle également une problématique plus profonde et peu étudiée, celle du statut de l'élève en grande difficulté dans les processus d'enseignement et d'apprentissage. Le qualificatif de « grande difficulté » est appliqué aux élèves qui sont en échec scolaire constant. Cette définition de l'échec scolaire : « (...) est institutionnelle, un élève réussit quand l'école le déclare suffisant et échoue quand elle le déclare insuffisant ». (Ibid.)

Selon ce même rapport, la question de la grande difficulté pose plusieurs problèmes : les difficultés d'adaptation des élèves à la structure scolaire, l'orientation dans des classes spécialisées, le redoublement, l'affectation dans des filières professionnelles dévalorisées à tort ou à raison, les difficultés de passage d'un cycle à l'autre, l'insuffisance ou l'absence de certification scolaire, etc.

Selon différentes études, trois sources principales liées à la difficulté peuvent être distinguées : celle propre à l'élève (capacité d'apprentissage, sensibilité à la difficulté
scolaire, comportement, personnalité, etc.), celle portée par le système (organisations d'accueil de ces élèves, personnels chargés de ces élèves – leur effectif, mais aussi leur formation, etc. – attitudes pédagogiques, démarches didactiques, etc.), celle enfin induite par l'environnement (familial, mais aussi l'environnement des pairs ou des adultes de tout statut dans les différentes institutions spécialisées, etc.). Ces sources et les effets qui en découlent sont étudiés avec une attention variable à chacune d'elles suivant les courants de recherche, suivant aussi leur influence sur les sphères politiques et sociales (les sources considérées dans les études varient ainsi de manière substantielle suivant que ces études sont menées en sociologie ou en psychologie par exemple, et suivant la place que ces disciplines prennent dans le discours dominant sur l'école).<fnref n="1" /> Pour cette recherche nous voudrions adopter un point de vue didactique pour centrer notre analyse sur les élèves possédant de grandes difficultés qui affectent leurs capacités d'apprentissage. Ces dernières affectent majoritairement et de manière significative les domaines du langage et des mathématiques. Ce point de vue didactique peut toutefois se comprendre différemment, nous précisons notre positionnement à ce sujet dans les sections qui suivent.

## 1.2. Différents regards de la difficulté d'apprentissage

Les multiples travaux scientifiques réalisés sur la problématique des élèves en difficulté d'apprentissage en mathématiques révèlent deux perspectives différentes : « La première perspective est essentiellement centrée sur l'identification et la description de dysfonctionnements propres à l'élève, tandis que la seconde perspective s'intéresse plutôt au fonctionnement du système didactique et aux phénomènes particuliers qui caractérisent les relations entre la production de l'élève, la situation effective d'enseignement et la spécificité du savoir à apprendre » (Rajotte, Giroux & Voyer 2014, p. 68)

Dans le premier point de vue, les difficultés d'apprentissage sont assignées à l'élève. Ce dernier est considéré comme un sujet avec des caractéristiques structurelles et fonctionnelles singulières qui doivent être prises en compte. Le rôle de l'enseignant est alors de trouver les méthodes et les stratégies adaptées afin d'aider l'élève à pallier à ses difficultés et à ses lacunes. Cette perspective s'appuie principalement sur les travaux issus de la psychologie

<footnote n="1">¹ L'inspection générale de l'éducation nationale, qui avait constitué une commission, aujourd'hui disparue, sur les « Elèves en difficulté », a retenu cette classification.</footnote>
développementale, de la neuropsychologie et des sciences cognitives (Giroux, 2013).

Dans la deuxième perspective didactique, « les difficultés d’apprentissage ne sont pas considérées sous l’angle strict de dysfonctionnements propres à l’élève » (Giroux, 2015, p.4)

La considération de dysfonctionnements prend en effet en compte le contexte et les caractéristiques de la situation, mais également une réflexion sur la spécificité du savoir et de l’interaction didactique entre l’élève et l’enseignant (Perrin-Glorian, 1993). Cette acception renvoie à une définition de la didactique des disciplines comme un champ de recherche sur l’acquisition et de la transmission de savoirs précis. Dans le cas de la didactique des mathématiques, Artigue & Douady (1986) signalent :

> « La didactique des mathématiques est l'étude de processus de transmissions et d'acquisition des différents contenus de cette science, et qui se propose de décrire et d'expliquer les phénomènes relatifs aux rapports entre son enseignement et son apprentissage. Elle ne se réduit pas à chercher une bonne manière d'enseigner une notion fixée. » (1986, p. 69)

Néanmoins, les théories didactiques produites en didactique des mathématiques et dont disposent actuellement les chercheurs restent essentiellement liées au fonctionnement de la classe et de l'institution scolaire, sans prendre en compte l'élève dans sa singularité, son histoire, sa complexité, etc. Dans notre article : « Inégalités sociales et apprentissages en mathématiques : les énoncés des exercices seraient-ils eux-mêmes différenciateurs ? », nous signalons que : « L'élève ne peut toutefois se réduire à un sujet apprenant, influencé seulement par des facteurs épistémologiques et didactiques en lien avec les savoirs à acquérir » (Ayala & Roditi, 2014, p.3).

Ainsi, dans l'analyse didactique des processus d'enseignement et d'apprentissage, nous tentons de proposer, par notre thèse, une contribution aux travaux où l'élève est considéré non seulement pour son rapport au savoir, mais aussi pour ses caractéristiques personnelles, familiales, scolaires et sociales qui ne sont pas sans influencer les interactions didactiques et donc ses apprentissages. Nous proposons également d'élargir le regard porté sur l'enseignant, comme indiqué ci-après.

En ce qui concerne les enseignants, les approches en didactique et ergonomique (Rogalski & Robert, 2002) considèrent les pratiques des enseignants non seulement en fonction des apprentissages qu'elles peuvent induire chez les élèves, mais également en fonction de leur
organisation en lien avec de multiples contraintes qui couvrent différents domaines de leurs pratiques (institutionnelles, professionnelles, personnelles, etc.). De ce point de vue, l'étude des pratiques considère l'enseignant comme un sujet, à la fois pour ses caractéristiques individuelles mais également pour son inscription dans une activité professionnelle, institutionnelle et sociale. À ce sujet Roditi (2011) mentionne :

> « L'enseignant y est considéré comme un individu en situation de travail dont les activités visent différentes finalités. Certaines sont essentielles et concernent la construction de connaissances mathématiques par les élèves, mais d'autres sont aussi poursuivies, professionnelles ou personnelles, qui dépendent des contextes institutionnels et sociaux dans lesquels s'inscrivent les pratiques de l'enseignant et son histoire. » (2011, p. 126)

Cela implique que les éléments qui déterminent les activités de l'enseignant sont à la fois situées du côté de la situation de travail (les aspects institutionnels, sociaux et personnels de ses pratiques) mais également situées du côté de la situation d'apprentissage qu'il produit pour l'élève. Ces activités ne sont pas indépendantes les unes des autres (Roditi, 2011). Prendre en compte toutes ces dimensions, y compris les influences qui viennent directement ou indirectement des élèves dont il prend en charge l'enseignement, nous semble indispensable pour comprendre sa pratique, notamment les décisions qu'il prend et les ajustements qu'il réalise. Nous approfondissons cette question de l'influence réciproque entre l'élève et l'enseignant dans la section suivante.

## 1.3. Le processus d'enseignement-apprentissage : « effet maître » ou « effet élève » ?

Les pratiques enseignantes ont longtemps été étudiées en éducation avec une approche de type « processus-produit » dans laquelle s'établit le fait que les pratiques des enseignants influencent l'apprentissage des élèves (« effet-maître ») par les situations d'apprentissage proposées et conduites en classe ; par les adaptations réalisées en fonction de différents critères – relatifs à la classe, à des élèves, à des réponses produites ou non, etc. – par les gestes réalisés et les attitudes pédagogiques adoptées, etc. Dans ce type de recherche, les auteurs identifient les activités des enseignants (les processus) pour les mettre en relation avec les apprentissages des élèves (les produits) (Tupin, 2003, Bru, 2006). Et c'est bien une relation de cause à effet que les auteurs cherchent à établir. Les corrélations mises au jour,
comme toutes les corrélations, ne constituent pas des preuves de relations de causalité. Aussi est-il permis de considérer que, si corrélation il y a, la relation n'est pas unidirectionnelle et que les élèves et leurs apprentissages constituent réciproquement un facteur qui influence l'enseignement.

Les sociologues ont assez tôt adopté un point de vue où les apprentissages ne sont pas que les produits de l'enseignement, mais aussi des élèves eux-mêmes, et plus précisément de leur travail. Les travaux menés en sociologie et portant sur le « métier élève » ont ainsi permis de contrecarrer une « conception de l'enfance considérée comme un simple objet passif d'une socialisation prise en charge par des institutions en termes de reproduction sociale » (Sirota, 1998, p. 3). Le thème de l'élève pensé comme un acteur de son destin scolaire et social a gagné les travaux de recherche en sociologie ; on peut citer par exemple le travail de Perrenoud (1994) et son ouvrage bien connu intitulé « Métier d'élève et sens du travail ». D'après Sirota, le métier élève est défini par Perrenoud comme l'apprentissage des règles du jeu :

> « Le métier d'élève est ici défini avant tout comme l'apprentissage des règles du jeu. Être bon élève, ce n'est pas seulement être capable d'assimiler des savoirs et des savoir-faire complexes. C'est aussi être disposé à "jouer le jeu", à exercer un métier d'élève qui relève du conformisme, autant que de la compétence. Assimiler le curriculum c'est devenir l'indigène de l'organisation scolaire, devenir capable d'y tenir son rôle d'élève sans troubler l'ordre ni exiger une prise en charge particulière. » (Sirota, 1993 p.89)

Dans le domaine de la didactique, c'est l'enfant en situation de « sujet enseigné » qui est considéré, et c'est ce sujet qui est qualifié d'« élève » (Ayala & Roditi, 2014). Concernant l'apprentissage, le point de vue théorique adopté sur l'élève est, suivant les auteurs, à la fois constructiviste et interactionniste. Pour Roditi (2011), l'enseignement est un processus interpersonnel et intentionnel dans lequel l'activité de l'élève et celle de l'enseignant interagissent de façon constante. À ce sujet, il signale que :
« La première activité est celle de l'enseignant, elle produit une situation pour l'élève. La seconde activité est celle de l'élève, elle est co-déterminée par l'élève-lui-même et la situation produite par l'enseignant. Lorsque l'activité de l'enseignant est l'enseignement, ces activités en cascade se déroulent dans la même unité de temps et de lieu : la séance en classe.
» (Roditi, 2011, p.100)

Dans la théorie des situations didactiques, l'élève a un statut de « joueur » et l'enseignant fait jouer le jeu ; l'élève accepte les normes du jeu (contrat didactique) et agit en mesure des interactions. Brousseau (2010) définit « le contrat didactique » comme : « un ensemble d'obligations réciproques et de "sanctions" que chaque partenaire de la situation didactique impose ou croit imposer, explicitement ou implicitement, aux autres » (2010, p.6)

D'autre part, dans la théorie anthropologique du didactique, Chevallard (1992) considère l'élève d'abord comme un sujet de l'institution scolaire. Dans cette théorie, il développe différentes formes de rapport à un objet de savoir, dont les rapports personnels et les rapports institutionnels. Dans les travaux, les sujets sont toujours considérés à l'aune des institutions auxquelles ils appartiennent, la notion de rapport personnel reste par conséquent encore théorique, d'autant que certains auteurs inscrivant leurs travaux dans ce cadre, conçoivent le rapport personnel comme une composante de rapports institutionnels, les institutions considérées étant toutes celles auxquelles le sujet appartient pour partie.

Si l'on revient à l'enseignant, de nombreuses recherches montrent que les pratiques d'enseignement sont variables et qu'il est possible d'observer différents degrés de variabilité intra- et inter-individuelle (Murillo, 2009). Crahay (1989, 2002) – cité par Murillo dans sa thèse de doctorat (2009) – mentionne plusieurs études anglophones sur ce sujet : Good & Grouws, 1975 ; Shavelson & Dempsey-Atwood, 1976 ; Bernard & Leclerc, 1985 ; Postlethwaite, 1985. En outre, des études plus récentes montrent une variabilité intra-enseignants des pratiques (Bru, 2002 ; Roditi, 2003). Cette variabilité peut être attribuée à celle des situations que l'enseignant est amené à conduire en classe, mais elle peut également être appréhendée comme un « effet élèves ». Autrement dit, les élèves – par leur niveau scolaire, leur attitude, leur engagement dans l'activité mathématique, leurs connaissances, leurs réponses correctes ou erronées, etc. – influencent les pratiques enseignantes. En ce sens, l'enseignant exerce un contrôle partiel sur la situation d'apprentissage. Il est impossible, d'une part, de savoir à l'avance la façon dont l'élève, les élèves ou la classe réagiront face à la
situation proposée, il est évident d'autre part que l'effet de l'activité enseignante sur les élèves se prolonge au-delà de la classe, en lien avec d'autres interventions (pairs, parents, etc.). C'est en ce sens que la double approche conçoit la classe comme un « système dynamique ouvert » (Rogalski, 2003). En outre, les conséquences de la dynamique engagée sont à prendre en compte par l'enseignant : quelle que soit la préparation et la programmation de la séquence, celui-ci sera amené à l'adapter en situation, aux réactions des élèves où à des événements non prévus (Vinatier & Altet, 2008).

D'ailleurs, les études menées sur l'efficacité des enseignements montrent qu'une même pratique peut avoir des effets différents en termes d'apprentissages d'une classe à l'autre et même d'un élève à l'autre (Bressoux, 1994). Dans ce processus, l'acquisition des connaissances passe par une interaction constante entre l'élève, l'enseignant et le savoir avec des adaptations permanentes des deux sujets. Nous envisageons donc pour notre travail de recherche cette interaction comme une relation interpersonnelle dans laquelle les comportements de l'enseignant et de l'élève sont soumis à une influence réciproque. Chaque sujet modifiant son comportement en fonction des réactions de l'autre. Altet (1994) signale que cette interaction est en grande partie verbale mais aussi : « non verbale, latente ; elle est sous-tendue par des perceptions réciproques, des attentes, des représentations, des rôles de part et d'autre, qui interagissent mutuellement » (1994, p. 125).

Ces recherches nous conduisent à penser les fonctions réciproques de l'enseignant et de l'élève dans la situation d'enseignement-apprentissage. L'enseignant n'est pas considéré comme celui qui transfère les connaissances, mais comme celui qui aide l'élève à les construire. De ce fait le projet d'enseignement géré par l'enseignant a une incidence sur l'activité de l'élève et la façon dont ce dernier met en œuvre la tâche qui lui est confiée, mais aussi sur les difficultés qu'il rencontre et comment il les surmonte. De même la performance de l'élève et tous les signes qu'il exprime dans ce processus ont un effet sur les pratiques de l'enseignant, sur sa façon d'agir et d'adapter la mise en œuvre de son projet. Nous pensons le processus d'enseignement et apprentissage comme co-construit par les acteurs enseignant et élèves, en prenant en compte leurs connaissances et expériences passées, leurs activités présentes et leurs interactions qui résultent de leur relation dans ce processus. Pour nous, l'élève est donc actif, c'est un sujet acteur « de » et « sur » la relation avec l'enseignant, et qui influence donc également, même si ce n'est que partiellement, les choix et décisions de l'enseignant.
Comprendre comment s'articule cette relation didactique dans le contexte particulier de la « grande difficulté d'apprentissage » fait partie intégrante de notre préoccupation dans cette recherche. À cet effet, il nous a été nécessaire d'établir un cadre d'analyse qui permette de repérer finement les phénomènes didactiques et les évolutions qui émergent de la relation « professeur-élève ». Dans la partie qui suit nous allons décrire le contexte singulier qui caractérise notre étude, cela nous permettra ensuite de préciser le cadre d'analyse que nous avons construit, en lien avec notre questionnement, mais en lien aussi avec notre contexte d'étude.

## 1.4. Le contexte de notre étude : Élodie et Julien

Afin de mieux comprendre la relation didactique « professeur-élève » qui guide les deux protagonistes que sont l'enseignant et l'élève, et de mieux comprendre ainsi comment se construisent à la fois la pratique d'enseignement et l'apprentissage mathématique, nous avons choisi de mettre en œuvre une démarche qualitative issue d'une « étude de cas ». Il ne s'agit pas ici d'un « cas » au sens parfois attribué où le cas a valeur de généralité par les caractéristiques qu'il partage avec une population qui est celle étudiée à travers le cas, il s'agit simplement d'exprimer qu'il est question d'une situation d'enseignement et d'apprentissage particulière, que nous analyserons parce que, selon nous, les résultats produits par nos analyses concernent potentiellement d'autres situations d'enseignement et d'apprentissage engageant d'autres protagonistes que ceux étudiés dans cette recherche, sans que nous sachions *a priori* lesquels. Nous reviendrons bien sûr sur cette question à l'issue de notre travail.

Nous allons donc étudier de façon approfondie l'interaction didactique entre une enseignante et un élève en situation d'apprentissage. Comparée aux situations ordinairement étudiées en didactique des mathématiques, cette situation est particulière à plus d'un titre ; l'élève n'est pas scolarisé en contexte ordinaire, l'enseignement n'est pas collectif, mais individuel, et l'enseignante est expérimentée, mais n'a jamais enseigné individuellement à des élèves en situation de handicap, elle n'a d'ailleurs suivi aucune formation spécifique pour enseigner à des élèves dans cette situation.

Cet élève que nous appellerons Julien – pour des raisons de confidentialité – a été scolarisé en CLIS (« classe pour l'inclusion scolaire », c'est-à-dire une classe spécialisée pour des enfants
présentant des troubles d'apprentissage). Il a été diagnostiqué avec une dyspraxie visuo-
spatiale à l'âge de 5 ans. Au moment où les premiers échanges didactiques, sur lesquels se
portent notre étude, ont été réalisés, Julien avait 9 ans. Il présentait également des problèmes
au niveau du langage et un retard global de développement avec un niveau d'apprentissage de
la lecture analogue à celui d'un enfant de grande section de maternelle. Quant aux
mathématiques, son niveau était celui d'un enfant de petite section de maternelle ; la lecture
des chiffres et des nombres et le dénombrement n'étaient en effet pas encore acquis. Nous ne
poursuivons pas ici la présentation de Julien, nous la reprendrons de façon plus approfondie
ultérieurement.

L'enseignante, que nous appellerons Élodie – pour des raisons de confidentialité également –, avait en charge d'enseigner les mathématiques à cet élève. Élodie était alors professeure d'école sans expérience dans l'enseignement spécialisé. À l'époque où les séances ont eu lieu, l'enseignante débutait parallèlement une formation en Master de sciences de l'éducation, formation durant laquelle elle a suivi des cours de didactique des mathématiques dont certains portaient particulièrement sur l'apprentissage du nombre. C'est dans ce contexte particulier que notre recherche se déroule. Afin de mieux en exposer les tenants et aboutissants, nous allons aborder dès maintenant la problématique et le cadrage théorique de celle-ci.

2. Cadrage théorique et problématique de la
thèse

Notre recherche porte donc sur la pratique du professeur et sur les activités de l'élève, tous les
deux engagés dans une situation d'enseignement et d'apprentissage des mathématiques, et
cela dans un contexte d'enseignement individuel spécialisé. Nous indiquons ci-après les
questions au cœur de notre travail ; cela nous conduira à expliciter les références théoriques
qui nous ont permis d'aborder ces questions, à préciser la problématique de la recherche puis
la méthodologie générale élaborée pour répondre à cette problématique.

2.1. Axes de réflexion et questionnement

Les premières observations, prémices du sujet de cette recherche, nous ont permis d'établir un
début de problématisation avec différents axes de réflexion et de questionnement que nous
abordons ci-dessous.
2.1.1.Des questions sur les spécificités d'apprentissage des élèves en grande difficulté et les contraintes qui pèsent sur les enseignants

Nous nous interrogerons dans ce travail sur les spécificités des apprentissages mathématiques d'élèves en grande difficulté d'apprentissage. Il ne s'agit pas d'aborder cette question de manière générale, mais bien de nous pencher sur le cas d'un élève particulier dont nous cherchons à mettre au jour les activités par lesquelles il construit ses connaissances, avec les obstacles rencontrés, ses craintes et ses déceptions, mais aussi ses victoires, ses joies et ses satisfactions. Nous avons donc choisi de centrer notre analyse sur le cas d'un élève particulier, Julien, atteint de divers troubles (retard du langage, troubles visuo-praxiques, troubles cognitifs) qui affectent ses capacités de dénombrement et de calcul.

En outre, nous nous interrogerons également sur les contraintes qui pèsent sur les enseignants qui doivent faire face aux grandes difficultés d'apprentissages de leurs élèves. Nous essayerons ainsi de trouver les leviers leur permettant de construire des savoirs, ici des savoirs relatifs au nombre et à ses usages. Encore une fois, ce n'est pas la généralité que nous cherchons à dépeindre, mais le cas d'une enseignante que nous cherchons à analyser et à comprendre, une enseignante non spécialisée, intéressée par sa formation puisqu'elle suit un Master de sciences de l'éducation, qui a pour la première fois la charge d'enseignement à un élève en situation de handicap. Une enseignante qui partage toutefois de nombreuses caractéristiques avec ses collègues placés dans la même situation, y compris de ceux qui enseignent en classe ordinaire et qui ont, comme elle, à définir un projet pour enseigner une notion mathématique, à le mettre en œuvre en classe en l'adaptant à ses élèves, et en l'ajustant au cas de chacun d'eux. Notre attention portera en particulier sur le projet de l'enseignante (choix des contenus, organisation, situations de mises en jeu des connaissances, prévision du déroulement, etc.), sur sa spécificité compte tenu de l'élève qu'elle a en charge, sur les adaptations qu'elle opère en fonction des obstacles qu'elle rencontre, notamment en lien avec des aspects relationnels et cognitifs de son élève qui présente à la fois un trouble du langage, un trouble visuo-praxique et un retard de développement, mais aussi à l'inscription de son travail dans ses dimensions institutionnelles et sociales (liées aux programmes de référence, instructions officielles, choix des collègues dans un contexte analogue, attentes des parents, etc.).
2.1.2.Des questions sur la spécificité de l'enseignement individualisé

Nous nous interrogerons sur les particularités de l'enseignement individualisé, pour ses conséquences sur l'activité de l'enseignant et de l'élève, en particulier sur le développement de la relation interpersonnelle qui se noue nécessairement au fil du temps dans cette relation duelle.

La spécificité de l'enseignement individualisé implique une attention différente aux variables observées habituellement en didactique des mathématiques. Du côté de l'enseignant, le poids des contraintes sociales et institutionnelles est moins important que dans l'enseignement ordinaire, notamment lorsque le développement cognitif de l'élève ne permet pas d'envisager qu'il atteigne les objectifs définis par les programmes pour des élèves de sa classe d'âge. L'organisation de l'enseignement repose davantage sur des critères pédagogiques et didactiques définis par l'enseignant lui-même, en lien avec ce qu'il considère comme des possibles atteignables pour son élève, ce qui le conduit à définir des objectifs en termes d'apprentissages, à choisir les contenus qu'il va enseigner, à effectuer des aménagements par rapport aux situations didactiques standardisées, à choisir ou concevoir des ressources matérielles adaptées à l'élève. C'est à une très grande liberté pédagogique que l'enseignant doit faire face, avec un soutien par la norme institutionnelle beaucoup plus faible que dans l'enseignement ordinaire. La gestion de cette liberté est très intéressante pour la recherche que nous conduisons car elle constitue une source beaucoup plus importante sur la singularité de la pratique de l'enseignant que dans l'enseignement ordinaire. L'influence de ses conceptions des mathématiques, de leur enseignement et de leur apprentissage, tant sur le plan cognitif que médiatif, y est en effet beaucoup plus intense.

Du côté de l'élève, l'attention du chercheur sur son apprentissage est beaucoup plus forte que celle accordée à chacun d'eux dans l'observation des situations de classe ordinaires. L'analyse de ses connaissances en lien avec les activités produites pour réaliser les tâches proposées pourra être très fine, et la relation entre ce qui est proposé par l'enseignant et ce qui apparaît comme développement possible chez l'élève pourra être beaucoup plus précise. Dans l'enseignement individualisé, l'élève bénéficie en effet d'une personne (l'enseignant) qui lui est totalement dédiée, qui l'accompagne et le guide dans ses apprentissages, mais aussi qui pourra lui apporter un soutien psychologique affectif quand il se trouvera en difficulté voire
en échec, qui pourra aussi marquer positivement chacune de ses réussites, aussi minimes
soient-elles, eu égard aux objectifs poursuivis.

2.1.3. Des questions sur le savoir enseigné

L'acquisition de la notion du nombre chez l'enfant a beaucoup été travaillée dans la recherche en psychologie du développement et en didactique. La richesse et la finesse des résultats obtenus pourront être très utiles dans cette recherche. Dans l'enseignement ordinaire, le professeur a la charge de nombreux élèves et son enseignement se cale bien souvent sur une approximation des connaissances des élèves et de leurs développements possibles car ces connaissances et ces possibles sont différents pour chacun d'eux. La norme institutionnelle, celle constituée par le manuel de la classe, par l'expérience antérieure ou celle des collègues guident l'enseignant. Ainsi, les savoirs enseignés relèvent de catégories qui peuvent être assez approximatives, comme le révèlent les expressions des enseignants souvent entendues à propos de leurs constats effectués en classe ordinaire : « la comptine n'est pas encore acquise », « là, ils en sont encore dans le comptage... », etc.

La littérature fait référence à des situations diverses de manipulations, de jeux, de situations-
problèmes, etc. qui sont autant de révélateur des acquisitions fines de l'enfant quant à la
notion de nombre comme expression de la quantité ou comme expression de la position dans
un ensemble ordonné. Cette construction progressive chez l'enfant continue avec l'acquisition
des stratégies de calcul afin de lui permettre de résoudre différents problèmes (de
comparaison, de distribution, de partage, d'augmentation, etc.), de renforcer sa
compréhension du nombre et d'améliorer ses méthodes de calcul.

Dans le contexte de la grande difficulté d'apprentissage, les acquisitions généralement
constatées sur les enfants (élèves) au cours de leur développement (de leurs apprentissages)
sont perturbées à cause des troubles particuliers dont chaque élève est affecté. Cela implique
que les enseignants doivent avoir non seulement une connaissance précise de la notion à
enseigner (à la fois en tant qu'objet de savoir mathématique et en tant qu'objet
d'enseignement), mais aussi de la connaissance des spécificités d'apprentissage liées au(x)
trouble(s) dont ses élèves peuvent chacun être porteurs. Les élèves qui présentent un trouble
visuo-praxique peuvent par exemple avoir beaucoup de mal à construire le fait qu'à une
collection donnée corresponde un cardinal qui lui correspond : la situation de dénombrement
est particulièrement difficile à réaliser pour eux, et ils trouvent donc souvent un nombre différent à chaque fois qu'ils tentent de compter les objets de la collection.

Dans le cas de l'apprentissage de Julien et de l'enseignement d'Élodie, nous nous interrogerons sur les enjeux mathématiques et les enjeux d'apprentissages dont le nombre est l'objet. Cette question nécessite une référence précise à la littérature sur l'apprentissage du nombre : sur le concept de nombre et sur l'apprentissage du concept c'est-à-dire, en référence à la théorie des champs conceptuels de Vergnaud (1991), de ses propriétés, de ses représentations, des situations qui le mettent en jeu et des schèmes associés. Ainsi outillé, nous procéderons à une analyse fine des savoirs en jeu dans les processus d'enseignement et d'apprentissage observés, ainsi qu'à une analyse des difficultés qui viennent perturber les apprentissages de Julien, en lien avec les divers troubles dont il est affecté.

Afin d'analyser les pratiques d'enseignement et les activités d'un élève en grande difficulté d'apprentissage, nous aurons donc besoin d'éléments théoriques qui touchent à l'enseignement et à l'apprentissage des mathématiques, mais également de repères concernant l'apprentissage du nombre et de son enseignement.

## 2.2. Cadrage théorique général de la thèse

Afin d'analyser les activités de l'élève et les pratiques de l'enseignante, nous avons basé notre étude sur la théorie de l'activité et de la double approche didactique et ergonomique d'Aline Robert et de Janine Rogalski (2002). Pour la construction du nombre, nous nous appuierons sur la théorie des champs conceptuels de Vergnaud (1989) et plus précisément sur de nombreux travaux menés depuis ceux de Piaget en psychologie (dont des synthèses comme « Les chemins du nombre » ou « La conquête du nombre et ses chemins chez l'enfant<fnref n="2" /> ») regroupant de nombreux auteurs qui traitent de la question, ou encore en didactique des mathématiques (sur le concept « d'énumération » notamment). Pour étudier les apprentissages nous nous appuierons sur des recherches en psychologie telles que les théories de Piaget et Vygotsky, et particulièrement sur le concept de Zone Proximale de Développement (ZPD par la suite) de Vygotsky pour apprécier la précision des ajustements entre les tâches proposées par l'enseignante et les accompagnements effectuées au regard des connaissances de l'élève.

<footnote n="2">² Bideaud, Meljac, Fischer, 1991</footnote>
En outre, les théories sur la médiation sociale, ainsi que le concept d'étayage de Bruner, vont nous permettre d'analyser les interactions entre ces deux acteurs. En ce qui concerne les difficultés liées aux troubles qui affectent Julien, nous nous appuierons sur des recherches en neuropsychologie qui constitue le domaine où ces questions sont le plus traitées.

Nous indiquons ci-après plus en détail ce que nous retenons de ces théories, dans l'ordre où nous les avons évoquées précédemment, et donc en commençant par la théorie de l'activité.

### 2.2.1. La théorie de l'activité

La théorie de l'activité permet de rendre compte des processus en jeu dans l'activité d'un sujet, dans l'évolution de son activité et dans le développement du sujet qui peut en résulter. Cette acception renvoie à celle de Rogalski (2008) qui fait référence à la théorie de Leontiev (1975/1984) plutôt qu'à celle développée plus récemment par Ensgeström (1987) :

> « L'objet de cette théorie est une activité finalisée et motivée : par ses actions, le sujet vise l'atteinte de buts de sa tâche, et ce sont les mobiles de son activité qui sont le moteur de son action. La théorie vise l'analyse des processus en jeu chez le sujet agissant, et les processus par lesquels son activité évolue et par lesquels il se développe » (Rogalski 2008, p. 23)

Rogalski se base sur deux notions fondamentales en ce qui concerne la théorie de l'activité : le sujet et la situation. Elle différencie également, comme toujours en psychologie ergonomique, la tâche et l'activité qui sont respectivement du côté de la situation et du sujet. (Robert, 2008)

Nous aborderons les éléments principaux qui fondent la théorie de l'activité et ce que nous en tirerons pour notre analyse des processus d'enseignement et d'apprentissage dans les situations où l'enseignante Élodie et l'élève Julien sont engagés. Les concepts organisateurs de la théorie de l'activité que nous allons retenir pour cette analyse sont : la tâche, l'activité (avec des déterminants relatifs à la situation et au sujet) et la double régulation de l'activité (en retour des résultats produits sur la situation et sur le sujet lui-même) telle que décrite par Leplat (1997).
2.2.1.1. Tâche et activité

L'analyse des rapports entre la tâche et l'activité ou la situation et le sujet a largement été développée dans le cadre du travail humain. Selon Leontiev, l'activité réfère à « un but donné dans des conditions déterminées » (Leontiev, 1975/1984, p.118). Dans notre contexte d'étude, nous utilisons ces notions dans le cadre d'une situation scolaire.

Tout d'abord, la tâche a toujours un objet qu'il s'agit de transformer ou d'étudier. La transformation ou l'étude constitue le but de la tâche. Pour réaliser la tâche qui lui a été prescrite, le sujet va déployer une activité dont le but peut s'avérer différent de celui de la tâche : cette réponse peut en effet varier suivant la représentation que le sujet a construit de la tâche ou en fonction des connaissances qu'il a du ou des objets portés par la tâche. La tâche prescrite est interprétée, redéfinie avant d'être réalisée. On parle alors de tâche effective pour désigner celle que le sujet a réalisée par son activité.

Du point de vue de la psychologie ergonomique (Rogalski, 2003), l'activité est la réponse que le sujet met en œuvre pour accomplir une tâche, elle comprend les actes extériorisés mais aussi ce qu'on ne voit pas, les hypothèses, les prises de décision, etc. À propos de l'activité, Rogalski précise :

> « L'activité est ce que développe un sujet lors de la réalisation de la tâche : non seulement ses actes extériorisés, mais aussi les inférences, les hypothèses qu'il fait, les décisions qu'il prend, dans ce qu'il fait et ce qu'il se retient de faire; l'activité comprend aussi la manière dont le sujet gère son temps, et également son état personnel – en termes de charge de travail, de fatigue, de stress, et aussi de plaisir pris au travail » (Rogalski, 2008, p. 24)

Ces concepts de tâche et d'activité nous permettront d'interpréter les mesures mises en place par Élodie en ce qui concerne la conception et la réalisation de ses cours, depuis leur préparation jusqu'à leur mise en œuvre, avec les réajustements qu'elle est amenée à réaliser en classe (nous disons « en classe » pour désigner le lieu de l'enseignement, même si ce dernier est en fait réalisé au domicile des parents de Julien, sans la présence des parents, dans une pièce où beaucoup de matériel « scolaire » est disponible). Ces mêmes concepts nous permettront d'interpréter ce que fait Julien en fonction de la tâche qui lui a été prescrite par l'enseignante jusqu'à la réalisation, plus ou moins réussie, de cette dernière.
2.2.1.2. Sujet et situation

L'analyse des rapports entre le sujet et la situation a largement été développée dans le cadre
du travail humain ; Rogalski (2008) précise à propos de l'enseignement, et plus généralement
de la formation :

« On s'intéresse à un sujet individualisé, qui a des intentions, des compétences (un potentiel de ressources et de contraintes propres), le sujet n'est pas seul maître de ses buts ni de ses moyens. Il agit dans une situation de formation qui comporte un système de ressources et de contraintes » (Rogalski 2008, p.28)

Dans le cadre de notre étude, deux sujets sont engagés dans de successives situations d'enseignement et d'apprentissage. Élodie, l'enseignante, apprend progressivement à connaître son élève, ses connaissances du domaine numérique et ses troubles. En même temps, ses propres connaissances de l'enseignement et de l'apprentissage du nombre évoluent car elle est en formation à l'université. Elle possède une expérience de professeure mais enseigne pour la première fois dans un contexte individuel. Elle met également en place des objectifs d'enseignement pour Julien qui sont mis à l'épreuve pars ses divers troubles, accompagnés de pressions qu'il exerce afin d'éviter la réalisation des tâches qu'il perçoit comme susceptibles de le mettre en échec.

Julien possède peu de connaissances numériques, il est très peu scolarisé et lorsqu'il est à
l'école, l'objectif de l'enseignante de la classe est plutôt la socialisation que l'acquisition de
connaissance. Il a l'habitude de travailler à la maison, avec un adulte, mais il supporte mal la
difficulté, tout en étant soucieux de satisfaire les attentes d'Élodie. Il cherche donc à
comprendre les situations qui lui sont proposées, il essaie de faire, ou de faire en sorte que son
enseignante fasse quand il doute de ses capacités. Le temps de l'apprentissage est long, sa
capacité d'attention n'est pas très grande, il fatigue vite et le sentiment d'insécurité bloque
souvent son activité.

On le comprend bien avec ces quelques éléments, les situations (tâche et contexte) auxquelles chacun des deux protagonistes doivent faire face peuvent apparaître d'une part comme ordinaires, mais du fait du contexte de la situation et des caractéristiques des sujets, la relation sujet-situation est bien particulière et c'est aussi elle que nous analyserons en étudiant les pratiques d'Élodie et les activités de Julien.
2.2.1.3. La double régulation de l'activité

Dans des situations d'apprentissage, l'activité de l'élève est très orientée par la réalisation de
la tâche proposée par l'enseignant, cela explique que son analyse s'appuie d'abord sur une
analyse préalable de la tâche. Toutefois, dans une vision « idéale » du processus, l'activité de
l'élève ne se limite pas à la réalisation de la tâche : une fois cette tâche réalisée, d'une part la
situation de l'élève a changé – et la suite à venir dépendra de l'(auto-)évaluation du produit de
l'activité –, et d'autre part la production de l'élève a un effet sur l'élève lui-même, notamment
si la réalisation de la tâche était accompagnée d'une réflexion sur ce qu'il y avait à apprendre
de cette tâche et de cette réalisation. À ce sujet Rogalski (2007) situe le processus
d'apprentissage et de développement dans un modèle de « double régulation » dans lequel
l'activité a des effets, d'une part sur la situation et d'autre part sur le sujet-lui-même avec en
lien ce qui motive son activité. Il en est de même pour l'enseignant. Roditi (2011) donne un
exemple de cette double régulation de l'activité de l'enseignant :

« Centrons-nous sur le cas d'un élève qui s'engage dans la réalisation de la tâche, il réfléchit et il prend la parole (c'est son activité) pour affirmer que la figure est un carré ; sa réponse est un produit de son activité. L'enseignant analyse la conformité de cette réponse à la tâche proposée, cela peut être considéré comme une activité d'évaluation. L'activité engendre un double effet, d'une part sur la situation dans laquelle l'enseignant est engagé, et d'autre part sur l'enseignant lui-même en tant que sujet » (Roditi, 2011, p.101)

Cette notion de double-régulation renvoie donc à la dynamique de l'activité et au fait qu'elle
modifie à la fois l'état de la situation et celui de l'acteur qui agit. Il y a une double régulation
car l'activité est liée à un double système de déterminants : la situation (la tâche et son
contexte) et le sujet lui-même (enseignant ou élève). Les résultats de l'activité sur la situation
et les effets de l'activité sur le sujet sont susceptibles d'engendrer une nouvelle activité. Dans
le cas des situations d'enseignement et d'apprentissage, il ne faut pas négliger que deux sujets
sont à considérer de manière non indépendante : d'une part chacun agit directement sur l'autre
et sur la relation intersubjective, et d'autre part l'activité de chacun a aussi en retour un effet
sur cette relation intersubjective enseignant-élève.

Ces concepts issus de la théorie de l'activité seront mobilisés dans nos analyses de la pratique
de l'enseignante et de l'activité de son élève.
2.2.2.La théorie de la double approche

La théorie des situations didactiques et la théorie anthropologique du didactique ont été développées et ont évolué pour permettre d'analyser des séquences d'enseignement avec une focale sur les objectifs d'apprentissage des élèves et leur éventuelle réalisation ou sur la qualité de leur réalisation. La double approche didactique et ergonomique des pratiques d'enseignement des mathématiques (Robert & Rogalski, 2002) vise en outre à prendre en compte le fait que l'enseignant est un humain en situation de travail, avec des contraintes propres à son métier, qui vise l'apprentissage de ses élèves mais aussi la réalisation d'objectifs qui lui sont propres. Perrin-Glorian & Robert (2005) signalent ainsi :

> « L'enseignant n'est pas libre dans sa classe, il est coincé entre plusieurs impératifs, éventuellement contradictoires. Ces contraintes impératives qui sont en jeu, liées à l'institution, à la composition des classes, au métier et à chaque individu, ont des conséquences sur le choix des enseignants et les déroulements. L'institution impose des programmes, des horaires et des normes, les classes sont souvent très hétérogènes, le métier a ses habitudes et des attentes, notamment ente collègues, les parents peuvent peser, et chaque enseignant doit "durer", calibrer les risques qu'il peut prendre, respecter un minimum de confort et des conceptions cohérentes qui deviennent très stables au fils des ans et de l'expérience » (Perrin-Glorian & Robert, 2005, p.99)

Le travail enseignant, comme tout travail, est également investi par le professeur. Roditi (2011) l'indique :

> « (...) les enseignants sont considérés comme des personnes en situation de travail, avec une prise en compte des contraintes qu'ils rencontrent et des marges de manœuvre qu'ils investissent, collectivement et individuellement, dans l'exercice de leur métier » (Roditi 2011, p.46)

Les pratiques enseignantes sont donc déterminées par des finalités professionnelles et personnelles. Les finalités professionnelles impliquent l'ensemble des activités que l'enseignant exerce dans un système institutionnel et social déjà établi, dans le but de répondre aux attentes de ce système. Les finalités personnelles sont issues de ce contexte et relèvent des motivations propres à l'enseignant.
Avec cet ancrage théorique, l'analyse des situations réelles d'enseignement demande de considérer l'enseignant comme un individu en situation de travail : son activité répond à des objectifs d'enseignement ainsi qu'à des contraintes professionnelles et personnelles. Pour analyser les pratiques enseignantes d'Élodie, nous nous appuierons sur cette théorie qui conjugue une approche psycho-ergonomique et une approche didactique de l'activité d'enseignement. Le couplage de la théorie de l'activité et de la double approche permet d'imbriquer : « les analyses des activités des élèves à des analyses des activités de l'enseignant liées à l'exercice du métier » (Robert, 2008, p.14). En cadrant notre recherche par ces théories, nous concevons la pratique enseignante comme l'ensemble des activités de l'enseignant qui se terminent par ce qu'il met en œuvre en classe : « tout ce qu'il pense, dit ou ne dit pas, fait ou ne fait pas, sur un temps long, avant, pendant et après la classe » (Robert, 2008b, p.59) et nous concevons les activités de l'élève comme des intermédiaires entre l'enseignement et les apprentissages. Ces activités résultent en effet en partie de ce que l'enseignant organise en classe, et de ces activités résultent des apprentissages.

Ces pratiques comportent différents types d'activités : l'organisation de l'enseignement sur l'année scolaire, la définition des contenus, la préparation des séquences d'enseignement, la mise en place des séquences, l'évaluation des acquis des élèves, etc. Par ailleurs, ces pratiques s'alimentent des expériences professionnelles et du vécu des enseignants. Roditi (2001) signale ainsi à propos de l'activité de préparation des cours :

> « Une étude de pratiques d'enseignants doit donc prendre en compte l'activité de préparation des cours à double titre : elle fait partie du travail de l'enseignant et elle repose sur des connaissances professionnelles dont certaines sont issues de la pratique » (Roditi, 2001, p.201).

Par notre travail de recherche, nous tenterons de mettre en lumière les pratiques et les évolutions de l'enseignement d'Élodie à Julien. D'un point de vue plus méthodologique, cette analyse des pratiques enseignantes repose sur ce que Robert & Rogalski (2002) indiquent comme une combinaison de différentes composantes. En lien avec les activités de l'élève que l'enseignante cherche à provoquer, nous retenons tout d'abord les composantes : cognitive et médiative :
- **La composante cognitive** : elle comporte ce qui correspond aux décisions de l'enseignante sur les contenus, les tâches, leur organisation dans la séquence, les modalités de gestion, etc. Cette composante met en lumière l'itinéraire cognitif choisi par l'enseignante, ses conceptions par rapport aux contenus, à leur enseignement et à leur apprentissage. La composante cognitive s'apprécie en étudiant les tâches prévues pour l'élève lors d'une séance et les contenus qu'elles mettent en œuvre.

- **La composante médiative** : elle comporte les échanges, les improvisations, la dévolution, les consignes, l'accompagnement de l'élève par l'enseignant dans la réalisation de la tâche, les validations, les institutionnalisations. (Robert, 2002). Cet accompagnement assure une fonction d'étayage qui se manifeste notamment par l'enrôlement dans la tâche, les aides apportées, l'identification du savoir mis en jeu (Rogalski, 2002).

Par ailleurs, l'analyse des pratiques nécessite d'accéder à d'autres informations que celles qu'on peut tirer des analyses des séances et de leurs déroulements, des informations auxquelles nous avons accès grâce à nos entretiens avec l'enseignante, des informations concernant trois autres composantes : institutionnelle, sociale et personnelle :

- **La composante institutionnelle** : elle recouvre chez Robert & Rogalski (2002) la prise en compte des programmes officiels, des manuels scolaires, des horaires, etc. Nous ne développons pas davantage cette composante car elle ne permet pas de caractériser de façon particulière les pratiques d'Élodie dans la mesure où les marges de manœuvre sont extrêmement grandes dans ce contexte d'enseignement individuel, hors temps scolaire, à un élève en situation de handicap.

- **La composante sociale** : elle recouvre les types de relations que l'enseignant établit lors de sa pratique avec ses collègues, avec la direction de l'établissement, avec les représentants de l'institution, avec les parents, etc. Ces relations peuvent influencer ses décisions. Ici encore, mise à part la référence aux parents de Julien, l'analyse de cette composante des pratiques d'Élodie dans notre travail restera sommaire.

- **La composante personnelle** : elle prend en compte les représentations de l'enseignant sur la notion à enseigner et sur son enseignement, et notamment l'impact de son histoire personnelle sur son travail. Elle comporte également ses représentations en
lien avec son métier, ses conceptions concernant l'enseignement et sa profession, sa
formation, etc. Cette composante en revanche sera richement analysée dans notre
recherche.

Complétons notre outillage théorique pour l'analyse des activités de Julien par quelques concepts issus de l'approche socioconstructiviste de l'apprentissage, notamment les travaux de Vygotski et de Bruner.

2.2.3.L'approche socio-constructiviste

L'approche socio-constructiviste héritée de Piaget et Vygotski partage avec l'approche
constructiviste piagétienne le fait qu'elle considère le sujet (l'élève) comme l'artisan de la
construction de ses connaissances sur les objets, connaissances qui ne sont a priori ni dans les
objets ni chez le sujet, mais qui se construisent par la relation du sujet aux objets. Selon
Vandebrouck et al (2013), les connaissances sur les objets se construisent à partir des actions
sur ces objets (pas seulement des actions physiques mais aussi des opérations mentales). Le
sujet s'engage dans l'action avec une intention de résultat ou des attentes liées à la
connaissance sur l'objet. C'est l'objet et l'effet observé qui déclenche un ajustement de
l'action. Vandebrouck et al (2013) précisent :

« C'est l'objet d'action qui est retenu de la situation : la comparaison entre l'état attendu de cet objet et l'effet observé déclenche un ajustement de l'action. L'effet en retour (feedback) sur le sujet qui n'est pas explicitée (...) va modifier l'action "en amont", par une adaptation des connaissances et des schèmes d'action. » (2013, p.10-11)

Par ailleurs à ce sujet, le système de restructuration des connaissances est expliqué en termes d'une dialectique entre assimilation et accommodation. Le développement des structures de connaissance résulte d'un double processus : déséquilibration et rééquilibration.

Voici un exemple donné par Barnier (2009) dont les travaux portent notamment sur le tutorat
dans l'enseignement et la formation :

« L'élève pense qu'il va pouvoir résoudre le problème en le ramenant (processus d'assimilation) à des savoirs et des savoir-faire qu'il maîtrise déjà. S'il n'y parvient pas, il va se retrouver déstabilisé par cet échec temporaire. Il peut alors prendre conscience des limites, des insuffisances de sa méthode de traitement actuel du problème auquel il est
confronté. D'où déséquilibre, déstabilisation, situation de conflit cognitif. Il peut persévérer, essayer de revisiter ce qu'il sait et construire ce qui lui manque, (processus d'accommodation) afin d'adapter sa manière de s'y prendre et son système de savoirs et de savoir-faire pour les ajuster aux exigences de la situation-problème. Si ce type d'effort aboutit, la résolution du problème s'accompagnera d'une amélioration dans la manière dont l'élève mobilise ses savoirs et son savoir-faire pour en faire des outils de résolution de problèmes. Le déséquilibre surmonté par la résolution peut provoquer des réajustements, des restructurations de connaissances, une meilleure intégration de connaissances nouvelles, une meilleure capacité à réinvestir ce que l'élève sait pour résoudre des problèmes. »
(Barnier, 2009, p. 9)

En comparaison avec le constructivisme, l'approche sociocognitive ou socioconstructiviste considère l'apprentissage comme : « le produit d'activités sociocognitives liées aux échanges didactiques enseignant-élèves et élèves-élèves. Dans cette perspective, l'idée d'une construction sociale de l'intelligence est prolongée par l'idée d'une auto-socio-construction des connaissances par ceux qui apprennent. » (Barnier, 2009, p. 9)

D'ailleurs, la théorie de Vygotski éclaire le rapport entre l'apprentissage et le développement de l'enfant. Pour cet auteur, le développement de la conceptualisation chez l'enfant se distingue notamment par les concepts « quotidiens » ou « spontanés » issus de la vie courante de l'enfant et des concepts « scientifiques » enseignés ; ces derniers influençant l'apprentissage et le développement de l'enfant. Dans cette perspective, l'éducation apparaît comme un élément fondamental : « À travers l'éducation, l'apprentissage constitue l'aspect moteur du développement intellectuel dans la mesure où il permet à l'enfant et à l'élève de s'approprier tout un héritage culturel. L'enseignement devient alors prioritaire, et l'école apparaît comme le lieu privilégié où se mettent en place les fonctions psychiques supérieures et où s'effectuent les apprentissages. » (Barnier, 2009, p.10)

Vygotski développa également le concept de « Zone Proximale de Développement (ZPD) ». Celle-ci est définie comme : « La disparité entre l'âge mental, au niveau présent de développement, qui est déterminé à l'aide des problèmes résolus de manière autonome, et le niveau qu'atteint l'enfant lorsqu'il résout des problèmes non plus tout seul, mais en collaboration » (Vygotski, [1934] 1997, p. 35).
Ce concept de ZPD met en évidence l'importance de la médiation de l'enseignant dans le cas des situations scolaires. Pour notre recherche, nous serons particulièrement attentifs aux médiations proposées par l'enseignante, dans le cas où son élève ne parvient pas à réaliser une tâche de manière autonome, mais où il y parvient en collaboration avec l'enseignante, en gardant donc une certaine responsabilité mathématique dans la réalisation de la tâche. De telles médiations nous semblent en effet porteuses d'apprentissages potentiels.

Citons enfin les travaux de Jérôme Bruner qui suivirent ceux de Vygotski et où le rôle de l'enseignant est analysé à travers la mise en œuvre de processus d'étayage (scaffolding). L'étayage consiste à : « prendre en main ceux des éléments de la tâche qui excèdent initialement les capacités du débutant, lui permettant ainsi de concentrer ses efforts sur les seuls éléments qui demeurent dans son domaine de compétences et de les mener à terme » (Bruner, 1983, p. 263).

Bruner met en lumière six fonctions de l'étayage : « l'enrôlement », « la réduction des degrés de liberté », « le maintien de l'orientation », « la signalisation des caractéristiques dominantes », « le contrôle de la frustration » et « la démonstration ou présentation des modèles de solution ». Par ailleurs, le langage joue un rôle fondamental dans les processus d'étayage, ce concept et les six fonctions associées nous seront particulièrement utiles pour l'analyse de la composante médiative des pratiques d'Élodie.

Entrons maintenant dans des considérations théoriques spécifiques aux contenus mathématiques enjeux des situations d'enseignement et d'apprentissage que nous étudierons.

### 2.2.4.La théorie des champs conceptuels et l'apprentissage mathématique

Une analyse didactique des pratiques d'enseignement et des activités d'apprentissage nécessite la connaissance précise de la notion en jeu, à la fois en tant qu'objet de savoir mathématique, en tant qu'objet d'enseignement et en tant qu'objet d'apprentissage. Notre recherche va nous amener à nous interroger sur les enjeux dont le nombre et le calcul sont l'objet à un niveau de connaissance tel que celui de Julien. Cette question nécessite une analyse du savoir, des situations qui mettent en jeu ce savoir en vue de leur apprentissage et des processus d'apprentissage de ce savoir en fonction des connaissances déjà construites. Elle nécessite en outre généralement une analyse du contexte institutionnel dans lequel sont
engagés les protagonistes, elle nécessitera aussi ici de rapporter l'ensemble de ces analyses aux troubles variés dont Julien est affecté.

La théorie des champs conceptuels de Vergnaud (1991) a comme objectif de fournir un cadre permettant de comprendre « les filiations et les ruptures entre les connaissances », tout en rendant compte du processus de conceptualisation des structures mathématiques. À ce sujet Bessot signale :

> « C'est une théorie psychologique du concept, ou mieux encore de la conceptualisation du réel... Sa principale finalité est de fournir un cadre qui permette de comprendre les filiations et les ruptures entre connaissances, chez les enfants et les adolescents, en entendant par "connaissances" aussi bien les savoir-faire que les savoirs exprimés » (Bessot, 2015, p. 1).

Selon Vergnaud, c'est à travers des problèmes et en fonction des procédures mises en œuvre pour la résolution de ces problèmes dans lesquels interviennent un concept que ce dernier acquiert du sens pour un sujet. La théorie qu'il a développée permet d'analyser le savoir en jeu en tant qu'il est objet d'apprentissage et d'accorder une place spécifique aux sujets, notamment par le fait que le concept de schème fait partie intégrante de la théorie. C'est pourquoi nous avons adopté ce cadre théorique pour l'analyse des savoirs en jeu. Il sera également un appui à l'étude des processus cognitifs intervenant dans l'activité de l'élève dans des situations de réalisation des tâches mathématiques. Vergnaud (1990) définit un concept comme un triplet de trois ensembles : C (s, I, S), tels que :

s : Ensemble des situations qui donnent du sens au concept (la référence)

I : l'ensemble des invariants sur lesquels repose l'opérationnalité des schèmes (le signifié)

S : l'ensemble des formes langagières et non langagières qui permettent de représenter symboliquement le concept, ses propriétés, les situations et les procédures de traitement (le signifiant)

L'apprentissage d'un élève dépend ainsi des situations qu'il étudie (en classe notamment), du contenu mathématique qu'elles comportent mais aussi de l'organisation de la rencontre entre l'élève et le savoir. Dans ce sens, les apprentissages sont analysés du point de vue de la conceptualisation et de l'organisation des connaissances. Comme l'indiquent Brousseau
(1990) ou Douady (1994), l'introduction des notions est fondamentale pour la prise de sens, ainsi que les dynamiques entre l'ancien et le nouveau, et entre la contextualisation et la décontextualisation ; les formulations orales et écrites sont également fondamentales sous des degrés divers.

En ce qui concerne spécifiquement la question du nombre, nous y reviendrons plus loin, mais nous pouvons déjà signaler que, d'après la littérature, l'apprentissage du nombre entier à l'âge scolaire de 6 ans environ repose sur la résolution de problèmes où le nombre possède une fonction de mémoire de la quantité ou de mémoire de la position dans un ensemble ordonné, où les nombres également sont déterminés par dénombrement (pour la quantité) ou comptage (pour la position) mais aussi par calcul. La mobilisation des différentes représentations du nombre – les désignations langagières orales ou écrites ainsi que les désignations symboliques – concourt de manière fondamentale à cet apprentissage.

Cette question spécifique sera donc approfondie ultérieurement, une fois que nous aurons indiqué notre problématique et notre méthodologie générale.

## 2.3. Problématique générale de la thèse

La singularité de l'élève en grande difficulté exige de l'enseignant un ajustement des situations ordinaires tant en amont que pendant leur déroulement, et donc un ajustement de ses pratiques en fonction de l'élève auquel il s'adresse. Cet ajustement dépasse celui que Brousseau (1990) cité par Crahay (2013) signalait en évoquant la dynamique provoquée par des situations didactiques où l'élève produit des adaptations de ses connaissances anciennes afin de répondre à la situation et ainsi apprendre des savoirs visés qui sont en jeu dans les situations didactiques rencontrées :

> « L'enseignement consiste à provoquer chez l'élève les apprentissages projetés en le plaçant dans des situations appropriées auxquelles il va répondre "spontanément" par des adaptations. Il s'agit donc de déterminer quelles sont les adaptations qui correspondent aux savoirs et aux connaissances visées et à quelles circonstances elles répondent ». (Crahay, 2013, p. 3)
2.3.1. Travaux didactiques sur l'enseignement spécialisé et problématisation

Dans le contexte des élèves en grande difficulté d'apprentissage, plusieurs contraintes pèsent sur les enseignants : l'organisation scolaire de la prise en charge de la difficulté, la définition des contenus qui n'est pas précisée car la référence officielle reste celle des programmes nationaux, la délimitation des différents temps scolaires entre ceux de l'enseignement ordinaire et ceux de l'enseignement spécialisé, etc. L'effectif limité et l'attention qui doit être apportée à chaque élève en fonction de ses troubles conduit à rendre fragile l'équilibre en permanence recherché entre les exigences qui seront productrices d'apprentissage et les adaptations qui risquent d'entamer le potentiel didactique que possédaient les situations originelles quant à l'apprentissage mathématique des élèves. Et, même si ce facteur apparaît moins souvent que d'autres dans les analyses didactiques classiques, le facteur relationnel constitue également une préoccupation de l'enseignant qui doit entretenir la confiance de son élève, d'une part en lui-même quant à sa capacité à progresser et d'autre part en son professeur quant à sa capacité à l'aider à progresser. Sans compter la confiance des parents et de l'institution dans la pertinence du travail réalisé. Nous n'étudierons pas directement ce dernier aspect, la question globale que nous nous posons en abordant cette recherche est de savoir, sur l'exemple précis d'Élodie et de Julien, comment s'articulent les pratiques d'enseignement et les activités d'apprentissage, c'est-à-dire quelles sont les influences de l'enseignement sur l'apprentissage et, réciproquement, quelles sont les influences des activités de l'élève sur la pratique enseignante du professeur.

À l'instar de ce que proposent Ginestié & Tricot (2013), en nous intéressant à l'activité de l'enseignant et à celle de l'élève – sur un exemple précis d'enseignant, d'élève et de contenu d'enseignement –, nous cherchons à mieux mettre en lumière certains mécanismes à l'œuvre dans ce système relationnel dynamique et complexe produit par la situation d'enseignement et d'apprentissage. Non seulement, cette élucidation nous apparaît constituer un enjeu majeur à l'heure où sont mise en doute les effets des RASED<fnref n="3" /> (Bonnard, Giret & Sauvageot, 2017), mais en outre, cette élucidation dans le cas d'un enseignement individuel chez un élève en situation de handicap qui exige une grande adaptation de l'enseignement ordinaire nous

<footnote n="3">³ Le Réseau d'Aides Spécialisées aux Élèves en Difficulté</footnote>
semble pouvoir servir de loupe grossissante sur des phénomènes qui ont lieu aussi en classe
ordinaire et qui pour être appréciés nécessiteraient la mise en œuvre d'une méthodologie très
lourde de suivi d'élèves sur un très long terme.

Quelques recherches en didactique des mathématiques (Butlen & Pezard 1992 ; Perrin-Glorian, 1993) ont déjà permis de détecter certaines particularités liées à l'apprentissage des mathématiques chez les élèves en difficulté. Le rapport rédigé par Butlen, Pezard & Masselot (2015) décrit ces caractéristiques :

> « Une difficulté à capitaliser les connaissances et un manque de confiance dans les connaissances anciennes, une certaine carence dans les représentations mentales et une absence fréquente de projet implicite de réinvestissement se traduisant souvent par une grande difficulté à identifier les enjeux d'apprentissage des situations qui leur sont proposées, une difficulté à changer de point de vue et un manque de flexibilité cognitive s'accompagnant souvent d'une recherche d'algorithmes et de règles, une difficulté à gérer les tâches complexes et une demande de relation privilégiée à l'adulte. » (Butlen, et al, 2015, p.5)

D'autres études ont aussi permis de détecter certaines caractéristiques liées à l'enseignement
des mathématiques chez les élèves en difficulté issus des classes ordinaires et spécialisées.
Certaines recherches portent sur l'étude du fonctionnement des interactions didactiques et
plus spécifiquement sur l'identification des phénomènes didactiques (Giroux & René de
Cotret, 2001 ; Cherel, 2005 ; Roiné, 2009 ; Brousseau, 1999). Celle de Liraud & Roditi
(2016) a montré que des apprentissages sont possibles si les situations et interactions
didactiques proposées en éducation spécialisée sont suffisamment consistantes, si l'enseignant
ménage aux élèves une responsabilité mathématique importante et si un travail langagier
spécifique porte sur ce qui doit être retenu du travail effectué. Mais les recherches réalisées
par Perrin-Glorian (1992) et Butlen et al (2004) révèlent aussi des pratiques compensatoires
chez les enseignants conduisant à réduire leurs exigences. Des aides qui simplifient souvent
les tâches initiales, en proposant des tâches algorithmisées, réduites, et une absence fréquente
de phases d'institutionnalisation.

Les phénomènes didactiques identifiés éclairent les interactions dans l'enseignement
spécialisé, mais ils mettent surtout en évidence les conditions de recrutement et les contraintes
Dans la recherche conduite par Liraud & Roditi (2016) en RASED, il s'agissait d'évaluer les bénéfices d'un dispositif d'enseignement des problèmes additifs finement construit du point de vue didactique. Dans l'étude que nous menons, c'est plutôt une compréhension des dynamiques d'enseignement-apprentissage que nous visons en concentrant notre analyse sur l'intervention individuelle d'une enseignante auprès d'un élève en grande difficulté d'apprentissage. Nous étudierons ce que l'enseignante propose à l'élève pour lui enseigner le nombre et le calcul, les activités de l'élève pour effectuer les tâches proposées, les interactions entre l'enseignante et son élève, les ajustements produits et les apprentissages réalisés. Il s'agira en outre, dans cette situation « ordinaire » d'enseignement (au sens où aucune intervention de la recherche n'est venue influencer les choix de l'enseignante), d'analyser comment la relation au sein du binôme « enseignante-élève » se construit, agit et évolue l'un en fonction de l'autre au fil du temps.

Cette étude et donc celle d'un cas singulier d'enseignement et d'apprentissage, d'une enseignante et d'un élève, sans que nous cherchions à définir les caractéristiques partagées avec une population plus vaste d'enseignants et d'élèves. Par cette étude, en nous appuyant sur les travaux antérieurs menés en didactique des mathématiques, sur les pratiques enseignantes et sur l'enseignement spécialisé, nous cherchons à mieux rendre compte des processus en jeu dans cette dynamique d'enseignement-apprentissage dans le cas de la grande difficulté d'apprentissage. Plus généralement parlant, nous pensons aussi que cela peut s'appliquer à toute situation où un enseignant cherche à enseigner et un élève essaie d'apprendre, en s'ajustant l'un à l'autre par un jeu d'influences réciproques. L'enjeu de notre recherche est donc d'enrichir les études de pratiques menées en didactique des mathématiques et plus largement en sciences de l'éducation, par une mise au jour de ce jeu d'influence réciproque, de la finesse des ajustements didactiques et relationnels. Il est aussi d'enrichir la documentation des pratiques d'enseignement à des élèves relevant de l'enseignement spécialisé. Il est enfin de nous questionner sur la pertinence d'aborder une telle problématique générale par une recherche inscrite en didactique des mathématiques, mobilisant principalement des outils conceptuels et méthodologiques construits en didactique des mathématiques.
### 2.3.2. Explicitation des objectifs de la recherche

Comprendre comment s'ajustent les pratiques de l'enseignante et les activités d'apprentissage de cet élève en grande difficulté d'apprentissage constitue donc l'objectif principal de cette étude. Cet objectif conduit à en poursuivre plusieurs, qui correspondent à des questions qui guideront nos analyses.

Du côté de l'enseignante :

- Quelles sont les tâches proposées ? Avec quels savoirs sous-jacents sur le nombre et le calcul et avec quels enjeux d'apprentissage quant à ces savoirs, les tâches sont-elles mises en œuvre ?

- Quelles sont les procédures envisageables, avec quelles conséquences pour les apprentissages visés ?

- Quelles sont les conditions matérielles de la réalisation de ces tâches, en lien avec le trouble visuo-praxique qui touche Julien ?

- Quelle est la consigne précise et quelle autonomie mathématique laisse-t-elle à Julien ?

Du côté de l'élève :

- Quelles sont ses réussites et ses difficultés pour réaliser les tâches proposées ?

- Quelles sont les procédures mises en œuvre et quelles informations sur ses connaissances peut-on en tirer ?

- En quoi l'étayage de l'enseignante lui permet-il de réaliser avec elle ce qu'il ne parvenait pas à réaliser seul ? Quelles conséquences peut-on en tirer sur sa zone proximale de développement quant au nombre et au calcul ?

Du côté de la relation entre l'enseignante et l'élève :

- Comment Julien réagit-il aux tâches proposées par Élodie ? Comment ses réactions influencent-elles l'enseignement d'Élodie ?

- Comment Élodie réagit-elle en fonction de l'activité mathématique de Julien et de ses réactions ? Quels étayages propose-t-elle ? Comment aide-t-elle Julien à accepter la difficulté rencontrée, à la surmonter ? Comment accompagne-t-elle ses réussites ?

À propos de l'évolution des pratiques de l'enseignante, des apprentissages de l'élève et de leur relation :
- Comment évoluent au cours du temps les pratiques d'Élodie : les tâches proposées ?
ses étayages ? Quelles relations y a-t-il entre cette évolution et celle des connaissances
de Julien ou de ses réactions vis-à-vis du travail mathématique à effectuer ?

- Julien parvient-il à accroître ses connaissances du nombre et du calcul ? Comment évoluent ses réactions vis-à-vis du travail mathématique à effectuer ?

- Comment évolue la relation entre Élodie et Julien ?

Par les analyses que nous mettrons en œuvre pour répondre à ces questions, nous cherchons à rendre compte des pratiques d'enseignement d'une enseignante (sans expérience dans l'enseignement spécialisé) et des activités d'apprentissage en mathématique d'un élève en « grande difficulté » afin d'appréhender à la fois leurs évolutions et leurs influences réciproques au sein de leur interaction didactique. De ce fait, nous tentons d'aborder ces questions pour comprendre comment se co-construisent les pratiques de l'enseignante, les connaissances de l'élève, et la relation qui lie les acteurs du binôme « professeur, élève ».

2.3.3. Intérêts potentiels de cette étude

Cette recherche vise donc à comprendre les pratiques enseignantes et les activités d'un élève,
y compris de leurs évolutions au cours du temps et des influences réciproques qu'elles
exercent les unes sur les autres. Dans le contexte d'une classe entière, l'analyse des influences
réciproques est difficilement réalisable. Les recherches que nous avons pu lire sur les
pratiques des enseignants ne mettaient pas finement au jour comment les élèves influencent
ces pratiques : par leur origine scolaire et sociale, leur conduite vis-à-vis de l'ordre scolaire,
leurs connaissances et activités mathématiques, les interactions qu'ils provoquent par leurs
questions, leurs erreurs, etc. La question est d'ailleurs difficile à traiter car le professeur prend
en compte les informations qu'il saisit à propos de tous les élèves, mais pas forcément de
manière égale d'un élève à l'autre.

En menant notre recherche dans un contexte d'enseignement individuel, nous espérons donc
mettre au jour finement les phénomènes didactiques issus de cette relation d'enseignement-
apprentissage. L'intérêt principal de cette étude est donc qu'elle devrait permettre de pouvoir
observer et d'analyser précisément les effets d'un nombre suffisant de facteurs pour saisir les
pratiques de l'enseignante, les activités de l'élève et leurs influences réciproques. Nous
pensons qu'une telle étude pourrait être utile à de futures analyses d'interactions entre un
enseignant et un élève, telles qu'on les trouve régulièrement en classe ordinaire mais qui n'ont jamais été étudiées de manière longitudinale, même si du fait de la multiplicité des informations traitées par l'enseignant, des adaptations seraient à apporter, tant du point de vue de la problématique que du point de vue méthodologique.

Un autre intérêt de cette recherche est de nourrir l'ensemble des travaux déjà menés en didactique des mathématiques sur l'enseignement à des élèves en difficultés d'apprentissage. Nous faisons en effet l'hypothèse (et nous espérons que notre travail permettra de la valider) qu'une étude fondée disciplinairement par la didactique des mathématiques permettra de produire une compréhension profonde des processus à l'œuvre quand un professeur enseigne des mathématiques à un élève atteint de troubles divers et quand cet élève cherche à réaliser les tâches qui lui sont proposées, avec les moyens dont il dispose et compte tenu des troubles dont il est affecté.

Malgré tous ces intérêts que nous percevons en amont de ce travail, nous avons conscience des limites que présente une telle étude. Nous n'avons pas les moyens de savoir quel est le degré de généralisation possible des résultats qui seront produits, et nous ne saurons pas quels autres résultats nous aurions pu obtenir en analysant une autre dyade « professeur-élève ». Néanmoins, comme pour tout travail qualitatif, nous pensons que nos résultats viendront enrichir ceux produits par les travaux dont les problématiques rejoignent en partie celle que nous nous proposons de traiter dans cette thèse, d'une part en enrichissant le corps de connaissances sur ce sujet, et d'autre part en étant utiles pour l'étude d'autres cas.

Voyons à présent, d'un point de vue général, avec quel outillage méthodologique nous avons traité cette problématique.

## 3. Méthodologie générale

La méthodologie générale à adopter devra nous permettre d'analyser les pratiques d'enseignement auprès d'un élève en grande difficulté d'apprentissage, les activités mathématiques de cet élève et les influences réciproques qu'elles exercent les unes sur les autres, y compris par la médiatisation relationnelle entre l'enseignante et son élève. Cette section a pour objectif de présenter les réponses aux besoins méthodologiques rencontrés dans le cadre de cette recherche afin de traiter les questions posées dans notre problématique. Nous y présentons également le corpus constitué pour cette étude, et c'est par là que nous
commençons.

## 3.1. Le corpus de données construit pour la thèse

Le travail de recherche ne se limite pas à une simple lecture des données empiriques. La méthodologie conduit à mettre en correspondance différentes « pièces » du corpus afin de construire un discours cohérent sur le monde observé en s'appuyant sur l'analyse de différentes données recueillies : entretiens, vidéos, etc. Ce travail qui aboutit à une interprétation cohérente et solide des données recueillies sur l'objet étudié en fonction des questions de recherche est le travail que nous projetons de mener dans cette thèse. Il s'agit donc d'une recherche tournée vers la compréhension des phénomènes sur lesquels nous nous interrogeons. Nous avons en outre cherché à rendre compte des interprétations de l'enseignante sur sa propre pratique d'enseignement, en ce sens, notre thèse s'inscrit dans une démarche de recherche compréhensive.

Les méthodes de recherche que nous avons conçues visent par conséquent l'interprétation de nos données empiriques sur les pratiques d'enseignement, les activités d'apprentissages et la relation entre l'enseignant et l'élève, le tout en lien avec le savoir sur le nombre et le calcul. Ces données sont principalement extraites de vidéos de séances d'enseignement qui ont été filmées et de plusieurs entretiens avec l'enseignante.

### 3.1.1. Le dispositif et le traitement des données

Le matériel d'étude est constitué d'un ensemble de séances d'enseignements enregistrées sur les notions de nombre et de calcul. Compte tenu des difficultés de Julien quant à l'acquisition de ces notions, les séances proposées par Élodie qui sont liées au traitement de ces notions s'étalent sur une période de trois ans, d'octobre 2012 à juin 2015. Au moment où nous avons cessé de recueillir les données pour notre étude, tous les objectifs d'apprentissage n'étaient pas atteints, mais nous avons jugé, puisqu'il faut bien circonscrire le matériel d'étude, qu'une étape importante était franchie et que les questions posées dans la thèse pouvaient être étudiées à l'aune de ce matériel. Signalons enfin que les séances d'enseignement sont très courtes, car Julien n'arrive pas à se concentrer très longtemps. Nous avons ainsi recueilli 77 séances d'enseignement pour cette recherche, soit l'équivalent de 339 minutes (5 heures et 39 minutes) d'enregistrement en comptant, pour chaque séance, le temps écoulé entre le moment
où commence véritablement l'enseignement du nombre et du calcul et le moment où l'enseignante indique verbalement que la séance est terminée. La durée moyenne d'une séance est donc de 4 minutes et 24 secondes.

### 3.1.1.1. Une analyse basée sur l'observation des vidéos des séances filmées en classe

Nous travaillons à partir de données issues de l'observation des vidéos des séances filmées en classe (rappelons que nous indiquons « en classe » même si la classe est au domicile des parents de Julien, l'enseignement s'effectuant sans la présence des parents). Précisons que pour éviter de perturber l'enseignement, il a été décidé avec l'enseignante que nous ne serons pas présents pendant les séances de mathématiques : Julien aurait été trop perturbé et nous aurions ainsi perdu le matériel que nous souhaitions recueillir, celui qui porte sur un enseignement ordinaire entre un professeur et son élève en grande difficulté d'apprentissage. L'ensemble des séances retenues pour nos observations, et qui constituent le corpus de vidéos de notre thèse, sont des séances dites « complètes » c'est-à-dire qu'elles présentent un début et une clôture. Elles concernent toutes le sujet de l'acquisition du nombre et du calcul ; plus précisément les tâches mathématiques qui y sont réalisées portent sur le nombre comme outil pour désigner la quantité ou la position ainsi que sur des situations additives très élémentaires.

Rappelons que le corpus vidéo ainsi constitué comporte 77 séances, représentant 339 minutes d'enregistrement et s'étalant sur une période de trois ans. Les séances se répartissent par année selon les effectifs suivants :

<table><caption>Tableau 1 : Périodes, nombre de séances et durée des enregistrements</caption><thead><tr><th>Séances filmés</th><th>Première année</th><th>Deuxième année</th><th>Troisième année</th><th>Total général</th></tr></thead><tbody><tr><th>Périodes</th><td>Novembre 2012 à juin 2013</td><td>Décembre 2013 à Novembre 2014</td><td>Novembre 2014 à juin 2015</td><td>Novembre 2012 à juin 2015</td></tr><tr><th>Nombre de séances</th><td>28 séances</td><td>33 séances</td><td>16 séances</td><td>77 séances</td></tr><tr><th>Temps cumulé des séances (minutes)</th><td>49 min.</td><td>140 min.</td><td>150 min.</td><td>339 min.</td></tr></tbody></table>

### 3.1.1.2. Les entretiens avec l'enseignante

Pour la constitution du corpus, les vidéos des séances filmées ont été complétées par des entretiens auprès de l'enseignante. Alors que les observations des vidéos ont conduit à l'élaboration de descriptions et d'interprétations des situations observées, les entretiens nous
ont permis d'approcher les points de vue de l'un des protagonistes de ces situations avec son propre éclairage ; il est question ici bien sûr de l'enseignante, des entretiens avec Julien n'auraient sans doute pas apporté davantage que les informations que nous avons pu recueillir en observant ses réactions face au travail demandé par Élodie. Ces entretiens avec l'enseignante ont alors une valeur importante au regard de l'élaboration des analyses, non seulement elle nous donne accès aux interprétations de l'enseignante, mais elles nous ont aussi permis parfois de trancher : quand plusieurs interprétations de certaines décisions d'Élodie étaient possibles, nous avons finalement indiqué celui que nous retenions à partir des entretiens.

Par ces entretiens, nous avons complété le corpus de vidéos afin de mieux comprendre les logiques sous-jacentes de l'enseignement d'Élodie concernant le nombre et le calcul, de ses choix didactiques, de ses impressions et de ses contraintes. Nous cherchons en effet à identifier ce que l'enseignante prend en considération lorsqu'elle planifie ses tâches ainsi que les choix didactiques qu'elle effectue. À cet effet, nous avons élaboré des entretiens de type semi-structuré de longue durée. Ceux-ci s'appuient sur un protocole construit à partir de certains thèmes, laissant aussi place à une certaine liberté et adaptation des questions en fonction du discours de l'enseignante. Ces catégories concernent : le parcours professionnel de l'enseignante, la rencontre avec l'élève, la planification générale de l'enseignement, les choix didactiques et la conception de l'apprentissage chez l'élève, le déroulement de l'enseignement, etc. Ces entretiens ont été enregistrés à l'aide d'un dictaphone. Ils ont pour objectif d'apporter un éclairage différent sur ce qui s'est passé pour l'enseignante, en lui faisant verbaliser le sens de ses conduites, de ses actions matérielles ou mentales à un moment donné, choisi par elle ou repéré sur une vidéo. Il s'agit donc d'une part de circonstancier plus précisément ses interventions et, en croisant les interprétations, de mieux faire ressortir des données ce qui constitue l'activité de l'enseignante, ses objectifs, ses motivations, ses choix, ses satisfactions et déceptions, etc.

Ci-dessous nous donnons un exemple des thèmes abordés et des questions posées à Élodie au début de son enseignement :
<table><caption>Tableau 2 : Thèmes et questions abordées lors des entretiens de longue durée avec Élodie</caption><thead><tr><td>Thèmes</td><td>Questions liées aux thèmes</td></tr></thead><tbody><tr><td>Parcours professionnel de l'enseignante. Rencontre avec Julien</td><td>Quel est votre parcours professionnel en tant qu'enseignante ?<br/>Avez-vous déjà enseigné auprès d'élèves en difficulté ou d'élèves handicapés ?<br/>Comment avez-vous rencontré Julien ? etc.</td></tr><tr><td>Planification des séances d'enseignement et choix de l'enseignante</td><td>Quels étaient les connaissances de Julien sur le dénombrement ?<br/>Pourquoi avez-vous privilégié certains types de situation de dénombrement plutôt que d'autres ?<br/>Comment avez-vous fait le choix des matériels ? etc.</td></tr><tr><td>Déroulement des séances d'enseignement</td><td>Quelles difficultés avez-vous rencontré au moment de la mise en place des séances d'enseignement avec Julien ? (Au décodage de l'énoncé, à la démarche de résolution, à la manière de travailler, à la compréhension de la tâche, etc. ?)<br/>Quels réajustements ont été faits en cours de route ?<br/>Ces difficultés étaient-elles prévues ou nouvelles pour vous ?<br/>Les difficultés que vous aviez prévues ont-elles été surmontées ? etc.</td></tr></tbody></table>

Des entretiens de courte durée ont également été réalisés à l'occasion de rencontres régulières avec Élodie. Celles-ci avaient pour objectif de clarifier les prises de décisions observées dans le processus d'enseignement, la manière de présenter une situation ou la réaction de l'enseignante face à un événement imprévu et pour lequel le besoin de comprendre les intentions ou les réactions de celle-ci se sont fait ressentir, etc. Ainsi l'ensemble des échanges avec l'enseignante s'est étalé sur les trois années d'enseignement, mais également sur une dernière période que nous avons nommé « post-enseignement », pendant laquelle nous avons recueilli des informations complémentaires au sujet des réajustements réalisés, des ressentis d'Élodie en lien avec cette expérience et des informations quant à la situation de Julien faisant suite à ces trois années. Nous récapitulons ci-dessous dans une grille le nombre d'entretiens que nous avons réalisés et leur temps cumulé :

<table><caption>Tableau 3 : Quantification des entretiens réalisés avec Élodie</caption><thead><tr><th>Entretiens réalisés</th><th>Première année</th><th>Deuxième année</th><th>Troisième année</th><th>Post-enseignement</th><th>Total</th></tr></thead><tbody><tr><th>Périodes</th><td>Décembre 2012 à juin 2013</td><td>Décembre 2013 à Novembre 2014</td><td>Novembre 2014 à juin 2015</td><td>Juin 2015 à mai 2018</td><td>Décembre 2012 à septembre 2018</td></tr><tr><th>Nombre d'entretiens de longue durée</th><td>1 entretien de longue durée</td><td>2 entretiens de longue durée</td><td>2 entretiens de longue durée</td><td>2 entretiens de longue durée</td><td>7 entretiens de longue durée</td></tr><tr><th>Temps cumulé d'entretiens de longue durée</th><td>30 min.</td><td>75 min.</td><td>61 min.</td><td>83,56 min.</td><td>249,56 min.</td></tr><tr><th>Nombre d'entretiens de courte durée</th><td>1 entretien de courte durée</td><td>2 entretiens de courte durée</td><td>2 entretiens de courte durée</td><td>3 entretiens de courte durée</td><td>8 entretiens de courte durée</td></tr><tr><th>Temps cumulé d'entretiens de courte durée</th><td>15 min.</td><td>15 min.</td><td>35 min.</td><td>55 min.</td><td>120 min.</td></tr><tr><th>Total de Temps cumulé (minutes)</th><td>45 min.</td><td>90 min.</td><td>96 min.</td><td>138,56 min.</td><td>369,56 min.</td></tr></tbody></table>
Nous observons que la totalité des échanges avec l'enseignante s'est ainsi élevée à presque 6 heures et 9 minutes pour un total de 15 entretiens.

3.1.1.3. Les notes du « cahier de bord »

Dans notre corpus, nous avons également intégré les notes qu'Élodie a rédigées dans son « cahier de bord ». Ce cahier est rempli après chaque séance d'enseignement, il est laissé aux parents de Julien comme une sorte de « compte rendu ». Dans ce cahier, Élodie consigne des aspects concernant le déroulement de la classe, sa pratique et l'activité de Julien, ses impressions, etc. À titre informatif, nous partageons ci-dessous un exemple des notes tirées du cahier de bord d'Élodie :

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1 : Notes prises par Élodie dans son « cahier de bord » après une séance d'enseignement.</figcaption></figure>

(Datées du 11/12/2012)

Pour cette étude nous avons pu ainsi recueillir un nombre important de notes issues de ce « cahier de bord ». Celles-ci nous ont permis notamment d'étudier les impressions de l'enseignante pendant le déroulement des séquences avec Julien.

Ci-dessous nous partageons une grille récapitulative du nombre de pages que nous avons pu recueillir du cahier de bord d'Élodie en lien avec leur période correspondante.
<table><caption>Tableau 4 : Quantification des pages du « carnet de bord » de l'enseignante</caption><thead><tr><th>Nombre de pages du carnet de bord</th><th>Première année</th><th>Deuxième année</th><th>Troisième année</th><th>Total</th></tr></thead><tbody><tr><th>Périodes</th><td>1er octobre 2012 au 31 janvier 2013</td><td>4 septembre 2014 au 30 octobre 2014</td><td>1 décembre 2014 au 26 juin 2015</td><td>1er octobre 2012 à 26 juin 2015</td></tr><tr><th>Nombre de pages</th><td>134 pages</td><td>30 pages</td><td>70 pages</td><td>234 pages</td></tr></tbody></table>

Nous avons ainsi recueilli un ensemble de 234 pages sur une période s'étalant d'octobre 2012 à juin 2015.

### 3.1.1.4. Les séances sélectionnées et leurs transcriptions

Les enregistrements des séances sélectionnées ont fait l'objet d'une transcription intégrale. Chaque transcription a été découpée en cycles d'interaction « enseignante-élève ». Un « cycle d'interaction » débute lorsque l'enseignante communique avec l'élève et se termine par le départ de l'enseignante ou une nouvelle observation de sa part.

Cette transcription intégrale a pris la forme de verbatim, pour lequel nous avons numéroté les lignes de façon codifiée, afin d'identifier les extraits des transcriptions correspondants à l'enseignante et à l'élève. Exemple : P1 (professeur interaction 1) et E1 (élève interaction 1). Le niveau zéro (P0 et E0) correspond quant à lui à la consigne donnée par l'enseignante et à la première réaction de l'élève.

En outre, les extraits des transcriptions ont tous été traités avec un format particulier : nous avons noté la date, la tâche prescrite, le matériel et le contexte.

Ci-dessous un exemple de transcription réalisée à partir d'une séance observée :
Vidéo 1

Tâche type A

Cycles
d'interaction

Situation ou matériel : « Jetons et boite à compter » avec constellations (5)

<table><caption>Figure 2 : Exemple de transcription à partir d'une séance observée</caption><tr><td>P0</td><td>(CONSIGNE) : Combien t'en mets dans celle-là ? (constellation 5)</td></tr><tr><td>E0</td><td>1, 2.... Et... (l'élève regarde la constellation, mais il ne compte pas)</td></tr><tr><td>P1</td><td>Combien il en faut ? (constellation 5)</td></tr><tr><td>E1</td><td>4</td></tr><tr><td>P2</td><td>Regarde. Compte les petits points sur le carré vert (constellation 5)</td></tr><tr><td>E2</td><td>1, 2, 3, 4. et (l'élève fait le pointage et la verbalisation dans la constellation, il se trompe en comptant 2 points pour 1). Il dit 4 au lieu de 5.</td></tr><tr><td>P3</td><td>Tu es sûr ? On recommence ?</td></tr><tr><td>E3</td><td>Oyeeee....</td></tr><tr><td>P4</td><td>Je t'aide ?</td></tr><tr><td>E4</td><td>Oui</td></tr><tr><td>P5</td><td>Alors, regarde, regarde-moi (l'enseignante fait le pointage avec sa main, et elle compte la constellation affichée 1, 2, 3, 4, 5)</td></tr><tr><td>E5</td><td>L'élève regarde</td></tr><tr><td>P6</td><td>Et tu avais mis combien de jetons ? (l'élève en avait mis 3)</td></tr><tr><td>E6</td><td>L'enseignante compte et prend les 3 jetons.</td></tr><tr><td>P7</td><td>5 (il en avait mis que 3)</td></tr><tr><td>E7</td><td>On compte ensemble ? Les deux comptent ensemble.</td></tr><tr><td>E8</td><td>L'enseignante met chaque jeton dans la boite : 1, 2, 3</td></tr><tr><td>P9</td><td>L'élève compte avec elle : 1, 2, 3...</td></tr><tr><td>E9</td><td>Il en manque là ? ... 4 et 5</td></tr><tr><td>P10</td><td>L'élève ajoute le 4 et le 5</td></tr><tr><td>E10</td><td>Très bien.</td></tr><tr><td>E11</td><td>Silence</td></tr><tr><td>P11</td><td>Allez, combien il faut en mettre là ? On l'a vu plusieurs fois, tu reconnais ça ? (constellation de 4)</td></tr><tr><td>E12</td><td>L'élève met avec sa main 1, 2, 3 yayaya...</td></tr><tr><td>P12</td><td>Tu es sûr ?</td></tr><tr><td>E12</td><td>L'élève ajoute 4, et il dit 4</td></tr><tr><td>P12</td><td>D'accord</td></tr><tr><td>E12</td><td>(Silence)</td></tr></table>

### 3.1.2. La fiabilité de la reconstitution de l'enseignement d'Élodie

L'objectif principal des entretiens était d'avoir accès à une analyse réfléchie d'Élodie sur ses propres pratiques. Ils nous ont aussi permis d'accroître la fiabilité de la reconstitution de son enseignement au sein de notre corpus. Malgré tout le soin apporté à la classification des fichiers (vidéos), il faut en effet rester très prudent : par exemple, les dates indiquées sur l'ordinateur ne sont pas fiables car elles correspondent à celles de l'enregistrement du fichier sur le disque dur et non à celle de l'enregistrement de la séance. Ainsi, pour nous assurer de la
fiabilité de la reconstitution de l'enseignement, nous avons interrogé l'enseignante à ce sujet au cours de divers entretiens et nous lui avons demandé de corriger ce qui ne correspondait pas au déroulement de l'enseignement.

La constitution du corpus et les conditions de cette constitution étant indiquées, développons à présent les éléments méthodologiques qui ont conduit au traitement des données du corpus.

## 3.2. Éléments méthodologiques pour l'analyse des pratiques d'Élodie et de l'activité de Julien

À partir de la théorie de l'activité et de la double approche, nous avons précédemment élaboré une liste d'objectifs à atteindre par les analyses des données issues de notre corpus. Nous envisageons donc d'analyser les pratiques enseignantes d'Élodie par l'étude de ses dimensions cognitives et médiatives, mais aussi personnelles et institutionnelles, étude après laquelle nous envisageons d'effectuer une recomposition permettant une interprétation cohérente de ses pratiques. Ce travail s'effectuera de manière renouvelée au cours du temps, cela nous donnera accès à l'évolution des pratiques d'Élodie. D'autre part, nous envisageons d'analyser les activités de Julien, en prenant en compte à la fois sa dimension cognitive et affective. Comme pour les pratiques d'Élodie, ces analyses étant renouvelées au cours du temps, nous pourrons accéder à l'évolution des connaissances de Julien. À travers ces analyses, nous nous intéresserons enfin à la relation enseignante-élève et à son évolution au cours des trois années d'observation.

Nous développons ci-après la méthodologie générale mise en œuvre pour étudier les pratiques de l'enseignante et les activités de l'élève à partir d'observations des vidéos des séances, c'est-à-dire des vidéos de ce que Robert & Rogalski (2002) appellent le déroulement en classe.

### 3.2.1. Niveaux d'observation et d'analyses

Comprendre les phénomènes didactiques en jeu dans la situation d'enseignement-apprentissage et les interactions « enseignante-élève » qui en découlent est l'un des principaux enjeux de cette étude. Nous avons mis en œuvre une méthodologie qui croise les pratiques d'enseignement et les activités d'apprentissage et qui vise à cerner les influences réciproques des deux acteurs engagés dans la situation.
Nous allons maintenant développer les grandes étapes de la méthodologie utilisée, en indiquant nos choix d'indicateurs pris sur les pratiques de l'enseignante, sur les activités de l'élève et sur la relation enseignante-élève. Notre méthodologie vise à reconstituer les logiques d'action de l'enseignante et de l'élève en passant du niveau global à un niveau local d'analyse. En ce qui concerne les pratiques enseignantes d'Élodie, en croisant les analyses des composantes définies dans la double approche à ces deux échelles d'observation, nous cherchons à relever des régularités et des variabilités et à les utiliser pour produire une interprétation cohérente des phénomènes observés. En croisant ces analyses avec celles des activités de Julien, nous cherchons à mettre en lumière les influences réciproques qui, à la fois, organisent le déroulement de l'enseignement et conditionnent les apprentissages de l'élève.

Nous allons maintenant décrire ces niveaux d'observation et d'analyse.

### 3.2.1.1. Niveau global d'analyse des pratiques de l'enseignante

Le niveau global d'analyse concerne les contenus choisis, les connaissances visées, ainsi que la progression et l'organisation que l'enseignante a donnée à son enseignement. En ce sens, notre étude des pratiques de l'enseignante prend en compte l'activité de préparation des cours. En référence aux instructions officielles ou aux manuels, en fonction de ce qu'elle pense qu'elle doit enseigner, l'enseignante prépare ses cours. Elle définit ce qui fera partie intégrante de la séquence et ce qui n'en fera pas partie. Cet ensemble des contenus mathématiques est le « le champ mathématique du scénario de la séquence », un terme utilisé par Éric Roditi (2001) dans sa thèse sur les pratiques enseignantes :

> « L'ensemble des contenus mathématiques que l'enseignant prévoit d'aborder durant la séquence d'enseignement est ainsi limité par ce que nous appellerons "le champ mathématique du scenario de la séquence". » (Roditi, 2001, p. 203)

L'enseignant organise les contenus de la séquence en fonction de l'importance qu'il souhaite leur accorder, de l'ordre dans lequel il croit qu'il sera préférable de les présenter à l'élève, des constatations qu'il effectue, etc. (Roditi, 2003)

Dans le cadre de notre étude, nous nous intéressons donc à la progression qu'Élodie construit pour son enseignement, à l'organisation mise en place, à l'ordre adopté pour le travail sur les
différents contenus, mais également à ses choix didactiques et à son interprétation de
l'apprentissage de Julien compte tenu des connaissances qu'elle a perçues, de ses attentes, des
difficultés anticipées et rencontrées, etc. Ainsi, nous analyserons comment Élodie construit un
programme de travail pour Julien afin de lui faire acquérir la notion de nombre, en tenant
compte de ses difficultés et de ses troubles. Pour délimiter le champ mathématique, nous
avons repéré les notions abordées, c'est-à-dire ce qui du nombre est à apprendre dans chaque
séance, et les compétences visées c'est-à-dire ce que Julien doit apprendre à faire pour
construire de nouvelles connaissances.

Remarquons que les éléments que nous venons de citer relève de la composante cognitive et que son analyse est particulièrement intéressante pour comprendre les pratiques d'Élodie car elle s'adresse à un élève en situation de handicap. Rappelons-le, les enseignants ont, dans ce contexte, une plus grande liberté de programmation que dans l'enseignement en classes ordinaires, ce qui les implique davantage que leurs collègues dans le processus de transposition didactique.

À ce niveau global de l'analyse, en ce qui concerne les composantes institutionnelles et sociales, les chercheurs étudient généralement la prise en compte des programmes officiels, des manuels scolaires, des horaires, etc. Notre recherche se déroulant dans un contexte d'enseignement individuel, hors cadre scolaire et avec un élève reconnu en grande difficulté d'apprentissage, nous nous attacherons uniquement à mettre en rapport ce que propose Élodie et ce qui apparaît dans les textes officiels et la littérature sur l'enseignement du nombre. En ce qui concerne la composante sociale, nous examinerons la relation d'Élodie avec les parents de Julien et l'enseignante spécialisée de la CLIS dans laquelle Julien est accueilli.

3.2.1.2. Niveau local d'analyse à partir des tâches prescrites et leur déroulement en classe

Le niveau local d'analyse concerne ici les tâches et leur déroulement dans les interactions enseignante-élève. Nous cherchons à rendre compte des performances et réactions de Julien que nous interprétons en fonction des tâches qu'il doit réaliser et de ses connaissances que nous pouvons inférer des séances précédentes. Nous portons aussi attention à distinguer ce qu'il parvient à réaliser seul, ce qu'il parvient à réaliser avec l'aide de son enseignante, et ce qu'il ne parvient pas à réaliser, même avec l'étayage d'Élodie. Quant à cette dernière, nous nous attachons, dans ces analyses locales, à analyser la composante cognitive de sa pratique à
partir des tâches qu'elle propose à Julien, mais aussi la composante médiative de sa pratique, composante au sujet de laquelle Robert (2008) indique :

> « Les choix correspondant aux déroulements, les improvisations, les discours, l'enrôlement des élèves, la dévolution des consignes, l'accompagnement des élèves dans la réalisation de la tâche, les validations, les expositions de connaissances qui incrémentent la *composante médiative* » (2008, p.58)

Nous chercherons donc à observer et à interpréter les adaptations que l'enseignante effectue en fonction des performances et réactions de son élève ainsi que des modalités relationnelles et affectives établies par ces deux acteurs. Rappelons que la revue des travaux sur l'enseignement en contexte spécialisé a notamment mis en évidence l'importance des interventions et aides personnalisées des enseignants, avec une gestion du groupe principalement individuelle, mais aussi que ces aides étaient fréquemment sans lien direct avec les processus de construction de connaissances à propos des savoirs en jeu dans les situations mathématiques proposées.

Au sujet des interactions enseignante-élève, nous retiendrons tous les discours mathématiques et non strictement mathématiques qui servent à désigner et à organiser les connaissances, ainsi que toutes les aides verbales ou non. En travaillant sur les enregistrements des séances observées, nous nous sommes limités aux interventions d'Élodie et de Julien qui concernent la tâche et sa réalisation. Toutes les interventions hors de ce cadre n'ont pas été prises en compte : bien entendu, Élodie salue Julien quand elle arrive, elle lui demande de ses nouvelles, etc. Par l'analyse des interactions « enseignante-élève » qui surviennent durant les séances mathématiques à proprement parler – indication de la tâche, réalisation, etc. – nous souhaitons analyser finement comment se co-construisent l'enseignement d'Élodie et l'apprentissage de Julien.

En ce qui concerne l'activité de Julien, nous réaliserons une étude de ses performances (réussites et erreurs) en tenant compte du degré d'accompagnement par Élodie, et de ses réactions (désaccord, hésitation, accord, etc.) tout au long des interactions. L'observation des performances et des réactions s'effectuant à chaque interaction, les observables recueillis seront suffisamment nombreux pour que leur analyse et celle de leur évolution puisse s'appuyer sur des éléments quantitatifs.
En ce qui concerne les pratiques d'Élodie, l'étude au niveau local commencera donc par une analyse des tâches proposées, ainsi que des conditions matérielles de réalisation en fonction des troubles de Julien. Ces analyses mettront en lumière les procédures possibles pour leur réalisation et les inférences qu'on peut en tirer quant aux connaissances de Julien s'il met en œuvre telle ou telle procédure et avec quelle performance. Ces analyses qui relèvent de la composante cognitive reposeront notamment sur des résultats déjà établis quant à l'apprentissage du nombre et du calcul. Quant à la composante médiative, comme déjà indiqué, nous nous appuierons sur les apports de Bruner quant à l'étayage pour analyser les aides apportées à la réalisation des tâches. Cela nous permettra en outre d'analyser l'ajustement des interventions d'Élodie au développement des connaissances de Julien : que les aides ne soient pas trop fortes si Julien est capable de réaliser seul la tâche, qu'elles lui permettent de réussir, c'est-à-dire que les interventions d'Élodie soient adaptées à la ZPD de Julien. Nous porterons également attention à la mise en relation entre les aides d'Élodie et les performances de Julien ce qui nous permettra de nourrir notre étude des influences réciproques entre enseignement et apprentissage. En outre, pour analyser ce qui relève de la relation entre Élodie et Julien, nous avons considéré une composante « relationnelle affective » qui se traduit notamment dans les interactions enseignante-élève : par les réactions de Julien d'une part, et par les aides d'Élodie qui ne relève pas des savoirs d'autre part.

Ces deux approches globale et locale des pratiques d'enseignement d'Élodie et des activités d'apprentissage de Julien se complèteront pour nous permettre de produire une interprétation cohérente de la pratique d'Élodie, de l'activité de Julien et de leur évolution au cours des trois années de prise en charge. En outre, cela nous permettra de nous prononcer quant aux influences réciproques qui adviennent dans ce processus d'enseignement-apprentissage.

### 3.2.2. Une analyse croisée des pratiques de l'enseignante et des activités de l'élève

En utilisant la théorie de l'activité comme le proposent Robert et Rogalski dans l'ouvrage coordonné par Vandebrouck (2008), nous serons en mesure de croiser nos analyses des pratiques de l'enseignante et des activités mathématiques de l'élève. Roditi (2013) a proposé une modélisation des influences réciproques entre l'enseignant et l'élève en se référant à la théorie de l'activité et à la double régulation de l'activité telles que décrites par Rogalski (2008) d'après Leplat (1997) :
« L'activité en classe de l'enseignant produit un effet sur chaque élève (éveiller sa curiosité, l'encourager, provoquer de l'angoisse, etc.) et sur l'enseignant lui-même (le stimuler, le satisfaire, le fatiguer, créer de la tension, etc.). Certaines interventions de l'enseignant ont un effet simultané sur la situation pour l'élève, sur l'élève et sur la relation élève-situation, c'est le cas par exemple lorsque l'enseignant donne une indication pour simplifier la tâche à réaliser. De la même manière, l'activité de l'élève produit un effet sur l'enseignant (le satisfaire, le décevoir, le surprendre, etc.) et sur l'élève lui-même (conforter ses connaissances ou les déstabiliser, l'étonner, le décourager, etc.). » (Roditi, 2013, p.172)

Cette modélisation met en relation dynamique l'activité de l'enseignant et celle de l'élève. L'enseignant crée les conditions propices à l'apprentissage, provoque l'activité de l'élève et l'accompagne en fonction des indices perçues à partir du produit de l'activité de l'élève. Nous nous inspirons de cette modélisation pour croiser les analyses des activités d'Élodie et de Julien et pour appréhender, comme déjà indiqué, les activités de l'enseignante et de l'élève dans une relation de « co-construction » plutôt que de considérer celles de l'élève comme un effet de celles de l'enseignante. Ainsi, même s'il est nécessaire de traiter séparément l'enseignement et l'apprentissage dans un premier moment de l'analyse, notre objectif consiste bien à travailler sur les influences réciproques au cœur du processus d'enseignement-apprentissage dans lequel est engagé la dyade enseignante-élève.

Du point de vue méthodologique, nous avons choisi d'organiser les analyses par ordre chronologique et par types de tâches mathématiques en étudiant de manière systématique les pratiques d'Élodie, les activités de Julien et la relation entre ces pratiques et activités. Cela nous permettra d'en montrer les évolutions non seulement des unes et des autres, mais aussi des unes en fonction des autres. De ce fait nous analyserons aussi les tâches et les aides proposées à l'élève en fonction de ses activités antérieures et présentes, ainsi que les progrès de Julien en fonction des tâches et des aides proposées par Élodie.

La présentation des ancrages théoriques de notre recherche, de la problématisation et de la méthodologie générale nous ont permis de rendre compte des objectifs poursuivis dans notre thèse et d'en indiquer l'intérêt scientifique. Présentons à présent le plan général de la thèse, ce qui nous permettra d'indiquer les compléments théoriques et méthodologiques qui seront apportés avant d'effectuer les analyses des données construites à partir du corpus.
# 4. Plan général de la thèse

La thèse est organisée en trois chapitres de longueurs inégales. Le premier qui se termine a permis de rendre compte du cadre théorique de notre recherche, de la problématique qu'elle se pose de traiter et de la méthodologie générale mise en œuvre pour y parvenir.

Au cours du deuxième chapitre nous reviendrons sur certains aspects issus de la littérature à propos de la grande difficulté d'apprentissage afin d'outiller plus précisément nos analyses des activités de Julien. Nous effectuerons une synthèse des résultats qui ont été produits par des recherches menées en psychologie et en didactique des mathématiques sur l'enseignement et l'apprentissage du nombre et du calcul ; synthèse que nous utiliserons. Il s'agira là d'outiller nos analyses de l'enseignement d'Élodie et des activités de Julien en tenant compte des spécificités liées aux troubles qui affectent l'élève.

Dans le troisième chapitre qui sera beaucoup plus long que les deux premiers, nous développerons d'une part, l'analyse globale de la pratique d'Élodie et de ses logiques sous-jacentes, et d'autre part, l'analyse locale de sa pratique, celle des activités de Julien et celle de leurs évolutions au cours des trois années d'enseignement observées.

Nous conclurons cette recherche en indiquant les aspects majeurs qui caractérisent la pratique d'Élodie et son évolution, ainsi que ceux qui caractérisent les activités de Julien et ses apprentissages. Nous tenterons alors enfin de mettre en évidence les effets des dynamiques liées aux influences réciproques entre pratiques de l'enseignante et activités de l'élève et de nous interroger ainsi sur la légitimité qu'il y aurait à considérer qu'enseignement et apprentissage entretiennent plutôt une relation conduisant à une co-construction plutôt qu'une relation univoque de cause à effet.

Abordons à présent, au cours du deuxième chapitre de cette thèse, l'utilisation que nous pourrons faire des travaux relatifs aux spécificités de la « grande difficulté d'apprentissage » et de ceux qui traitent de l'enseignement et de l'apprentissage du nombre et du calcul.
# Chapitre 2 :

Spécificités de l'enseignement et de
l'apprentissage dans le cas des élèves
en grande difficulté, repères
didactiques sur le nombre entier et le
calcul
# Introduction

Après avoir, dans le chapitre 1, développé les principes généraux qui guident notre recherche, nous souhaitons, dans une première partie de ce chapitre 2, approfondir les spécificités de l'enseignement et de l'apprentissage dans le cas des élèves en grande difficulté. La « grande difficulté » renvoie souvent à une réalité du système scolaire ; celle d'élèves qui, à un moment de leur scolarité, se retrouvent en échec, ou qui, dans les cas les plus sévères, le sont depuis le début de leur scolarité. Ces élèves ne parviennent pas à atteindre les compétences attendues en référence aux exigences de l'institution et des enseignants eux-mêmes. La littérature professionnelle et scientifique identifie des causes très variées à ces constats, et les priorités accordées à chaque type de causes éventuelles varient sensiblement suivant les ancrages disciplinaires et théoriques des chercheurs. Nous voudrions ainsi préciser quelques points qui seront importants pour nos analyses des pratiques d'enseignement d'Élodie et des apprentissages de Julien, d'une part sur les élèves exprimant des difficultés qui affectent leurs capacités d'apprentissage, d'autre part sur l'enseignement qui leur est adressé, en analysant la littérature au prisme des différentes orientations institutionnelles, psycho-cognitive et didactique.

Dans la seconde partie de ce chapitre 2, nous présenterons des apports de la littérature sur l'enseignement et l'apprentissage du concept du nombre, en insistant notamment sur ses représentations, ses utilisations, ainsi que sur les situations dans lesquelles il est mobilisé. La construction du nombre n'est pas indépendante du développement cognitif de l'enfant ; aussi, ferons-nous référence à différents travaux sur la construction du nombre, ainsi qu'aux théories développementales de Piaget et de Vygotsky. Comme indiqué dans le chapitre 1, nous ferons référence également à la théorie des champs conceptuels de Gérard Vergnaud qui fournit un cadre d'analyse relatif à la conceptualisation en mathématiques. Nous complèterons ces apports sur le nombre par une analyse particulière des processus de quantification (notamment du dénombrement) et des premiers calculs arithmétiques.

En nous appuyant sur la première partie de ce chapitre, nous spécifierons ces généralités au cas de Julien afin d'envisager un inventaire des possibles pour un enseignement du nombre et du calcul qui lui soit adapté.
# 1. La grande difficulté d'apprentissage

Il n'y a pas un unique profil scolaire de l'élève en grande difficulté d'apprentissage, et si nous retenons l'idée qu'il puisse en exister, alors il est important d'admettre qu'un tel profil est marqué par la singularité de l'élève et qu'il est complexe. Il est notamment marqué par l'histoire et le contexte social et familial de l'élève ainsi que par son itinéraire scolaire. Néanmoins, quels que soient l'âge de l'élève, le niveau ou le mode de scolarisation, certaines spécificités traversent l'hétérogénéité de la population scolaire en grande difficulté. À commencer par l'utilisation du concept de « grande difficulté » qui pose sur l'élève une étiquette qui peut être stigmatisante et entraîner des conséquences négatives pour lui comme pour son environnement, notamment celle d'une forme de désengagement. Souvent, ces élèves sont entourés d'enseignants embarrassés. Pertes de confiance en soi, manque de motivation et blocages sont couramment évoquées par les deux types d'acteurs. C'est le cas notamment lorsque les élèves en grande difficulté résistent aux dispositifs que l'institution scolaire met en place *via* les enseignants spécialisés pour essayer de les accompagner et de les soutenir dans leurs processus d'apprentissage. Pour les élèves qui ne répondent pas comme on pourrait l'attendre, le chemin du décrochage scolaire n'est jamais loin.

Dans cette première partie du chapitre 2 après avoir rappelé quelques traits récurrents mentionnés il y a bientôt trente ans dans les travaux de didactique des mathématiques de Perrin-Glorian (1993), nous documenterons le travail qui peut être mené avec les élèves en grande difficulté à partir d'études conduites pour le ministère de l'Éducation nationale et à partir de recherches menées en neuropsychologie. Ensuite nous retournerons à la didactique des mathématiques pour mentionner de potentielles perspectives s'appuyant sur des recherches conduites dans le contexte de l'enseignement spécialisé. Enfin, nous reviendrons sur le cas de notre étude, à savoir Julien. Cette première partie du chapitre 2 nous permettra de compléter ce qui a déjà été abordé et développé précédemment par quelques précisions en lien avec notre recherche.
## 1.1. Quelques traits communs repérés par Perrin-Glorian et Butlen

L'identification des élèves considérés comme en grande difficulté d'apprentissage s'avère relativement complexe puisqu'il faut considérer ce qui tient aux caractéristiques de l'élève, à sa famille et à son environnement social, mais aussi à son histoire scolaire, à son rapport à l'école et aux savoirs, etc.

En nous inspirant des travaux réalisés par Perrin-Glorian (1993) dans l'enseignement spécialisé, nous distinguons des axes d'analyse de la difficulté qui sont communs chez les élèves en grande difficulté d'apprentissage : celui du langage, celui des composantes cognitives générales (attention, mémoire, métacognition, etc.), celui des mathématiques, notamment au niveau des connaissances et du rapport à cette discipline, et celui du plan plus général lié aux contextes psychologiques et sociales dans lesquels l'élève évolue. Les apports de différents auteurs quant à ces axes d'analyse sont développés ci-dessous.

### 1.1.1. Difficultés langagières

Les travaux menés par Perrin-Glorian (1993) montrent que les élèves en difficulté éprouvent des difficultés d'expression, à l'oral comme à l'écrit, et s'expriment le plus souvent uniquement en termes d'action. Ces problèmes langagiers provoquent en outre des difficultés dans la prise d'information et dans la structuration des données. Ainsi, la plupart de ces enfants n'arrivent que très laborieusement à prendre en compte plusieurs conditions simultanées. Ces difficultés langagières empêchent l'élève de se créer des représentations mentales qui vont l'aider à conceptualiser les notions. À cet effet, Perrin-Glorian signale :

> « L'imprécision du langage et l'absence d'habitude de se formuler à soi-même les questions et les procédures de résolution engagées pendant la recherche d'un problème contribuent sans doute à la difficulté de certains élèves à se créer les représentations mentales intermédiaires qui seraient des points d'appui de la conceptualisation » (1993, p. 17)

Focalisons-nous à présent sur les difficultés relatives aux composantes cognitives générales et aux mathématiques.
### 1.1.2. Difficultés cognitives et conséquences en mathématiques

Les mathématiques sont la seconde discipline scolaire, après la langue (lue, parlée et écrite), dans laquelle les élèves rencontrent des difficultés ; et pour les élèves pour lesquels ces difficultés commencent très tôt, on les constate notamment dans la construction du concept du nombre. Perrin-Glorian (1993) interprète ces difficultés par le fait que les élèves concentrent leur attention sur l'action plutôt que sur ce qui doit en être retenu, elle mentionne à ce propos : « un divorce net entre les situations d'action visant à donner du sens aux notions enseignées et l'institutionnalisation qui est faite ensuite par le maître » (2013, p. 12)

Cette didacticienne remarque également un manque de mise en relation des connaissances, aussi bien entre les connaissances anciennes qu'avec celles qui sont en cours d'acquisition. Cela se manifeste, selon elle, parce que les connaissances antérieures ne sont pas assez solides et bien organisées pour pouvoir s'y référer, et ainsi construire un pont d'une connaissance vers une autre. Le manque de lien entre les connaissances touche aussi les situations proposées et affecte l'enjeu d'enseignement :

> « Les expériences semblent se juxtaposer sans qu'il y ait chez ces élèves, d'interaction entre l'ancien et le nouveau. Chaque expérience est nouvelle, ou plus exactement, seul le contexte est reconnu : "on a plié des bandes de papier, on a découpé des rectangles" ... Ce phénomène est sans doute lié à l'absence de connaissances antérieures solides et bien organisées auxquelles se référer, et contribue à son tour au manque d'organisation et d'intégration des savoirs nouveaux ». (Ibid., p. 14)

Dans le cadre de ses travaux sur le calcul mental, Denis Butlen (2007) signale aussi que chez les élèves en difficulté, il existe une tendance à ne pas prendre en compte la complexité des situations mathématiques, aussi bien quant à la résolution des problèmes que quant à ce qui doit en être retenu :

> « Les élèves en difficulté cherchent à utiliser le plus possible des algorithmes afin d'économiser leur pensée. Dès le début de l'apprentissage d'une notion, ils construisent des règles de fonctionnement, qui bien souvent, ne tiennent compte que d'une partie de l'information et ont des domaines de validité très restreints, voire nuls » (2007, p. 108)
Dans le champ cognitif, les travaux de Perrin-Glorian précisent que les élèves qui ont des difficultés d'apprentissage ont du mal à modifier leur comportement lors d'un changement d'activité. Cette auteure déclare :

> « (...) des élèves restent sur une consigne précédente ou continuent à utiliser les procédures qui convenaient pour l'activité précédente. De plus, certains élèves ont du mal à tenir compte de deux relations en même temps. Une notion abordée dans un contexte est difficile à réutiliser dans un autre contexte. Cela rend aussi plus difficiles les changements de cadre. »

(Perrin-Glorian, 1993, p. 14)

En outre, toujours selon cette même auteure, une autre source de difficulté chez ce type d'élèves provient de leur manque de capacité à distinguer entre le réel et la mathématique qui est à construire à partir du réel :

> « Le fait de travailler sur des situations concrètes nécessite aussi de distinguer ce qui relève de la logique mathématique et de la logique du quotidien qui ne coïncident pas toujours. Cette difficulté existe pour tous les élèves mais les rapports que ceux-ci entretiennent avec les mathématiques, l'école et le savoir en général, leur facilitent plus ou moins cette distinction. » (Ibid.)

### 1.1.3.Des élèves isolés du travail collectif

La perte de motivation, la souffrance engendrée par la frustration répétée, le sentiment d'abandon, le rejet de l'école et du travail scolaire sont souvent vécus par les élèves en grande difficulté. Perrin-Glorian a notamment repéré un manque de motivation et une certaine difficulté à se concentrer sur les tâches proposées. Elle mentionne également certaines conséquences en lien avec le travail collectif :

> « Cela peut avoir des répercussions sur l'acceptation de certaines formes de travail, notamment le travail en groupes, et rend difficile les phases de bilan collectif. La difficulté de communication avec les pairs, liée au manque de socialisation, fait que des élèves faibles ont peur de ne pas pouvoir s'exprimer ou d'avoir le dessous dans un groupe, les décisions y étant souvent prises avec des arguments d'autorité. » (Ibid., p. 17)
Malgré toutes les difficultés et leurs origines décrites ci-dessus, et dont nous devons avoir conscience pour rendre compte des processus d'apprentissage mathématiques de Julien, l'élève en grande difficulté d'apprentissage sur lequel porte notre recherche, nous souhaitons ne pas considérer cet élève seulement pour les décalages négatifs indéniables qu'il présente en comparaison des autres élèves, mais comme un sujet singulier, avec une histoire particulière, un rapport personnel au monde comme conséquence de cette histoire, avec ses conceptions et avec ses capacités autant que ses difficultés. C'est à ce prix, nous semble-t-il, que nous serons amenés à comprendre comment Julien apprend, et sans doute, par conséquent, comment Élodie lui enseigne le nombre et le calcul.

Au sujet de ce regard à porter sur les élèves en grande difficulté afin de pouvoir les aider dans leurs apprentissages, Cormier (2008), dans son cours polycopié intitulé « La difficulté d'apprendre » qui s'attarde notamment sur l'apprentissage du nombre et du calcul et qui s'adresse aux enseignants spécialisés de l'académie de Nantes, signale qu'il faut considérer ces élèves comme des sujets à de multiples titres :

« Il ne faut donc pas ignorer l'élève en difficulté ou handicapé comme sujet singulier :

- de son rapport au monde,

- de ses apprentissages,

- de ses représentations et conceptions des choses,

- de sa manière de penser et de sentir,

- de son rapport à lui-même et à sa propre image,

- de son histoire personnelle d'être en relation avec d'autres,

- de (son rapport à) ses propres difficultés,

- de ses propres changements intérieurs » (2008, p. 4)

Les regards sur la grande difficulté d'apprentissage et les prises en charge possibles sont variées ; dans la section suivante nous en proposons une synthèse – pour le cas de la France – construite à partir d'études menées pour l'Éducation nationale et de travaux en neuropsychologie. Nous nous intéressons à ces résultats afin de documenter nos analyses à venir des pratiques d'enseignement d'Élodie et des activités d'apprentissages mathématiques de Julien.
## 1.2. La grande difficulté d'apprentissage et sa prise en charge en France

Les études réalisées sur la grande difficulté d'apprentissage relèvent d'approches différentes dont trois types se distinguent et regroupent les approches pour lesquelles les difficultés sont inhérentes à l'élève, celles pour lesquelles elles sont dépendantes de l'environnement et celles qui les considèrent comme découlant du système didactique. Ainsi le rapport « Le traitement de la grande difficulté scolaire au collège et à la fin de la scolarité obligatoire » présenté par Hussenet & Santana (2004) recense trois grandes causes de la difficulté scolaire :

> « La plupart des spécialistes de l'école et des auteurs distinguent trois grandes causes de la difficulté scolaire : celles propres à l'élève (capacité d'apprentissage, comportement et personnalité), celles liées au système (organisation, attitude pédagogique, démarche didactique), celles enfin induites par l'environnement (elles ont été et sont encore largement privilégiées sous l'influence de la sociologie, science humaine qui a pris la place de la psychologie dans le discours dominant sur l'école). » (2004, p.10)

Notons que ce rapport date d'une quinzaine d'année et que, sous l'effet de l'essor de l'influence des neurosciences, c'est sans doute plutôt les causes attribuables à l'élève qui dominent actuellement dans le discours sur l'école avec notamment l'émergence de l'attention aux « dys » (dyslexiques, dyspraxiques, dyscalculiques, etc.). Développons ces différentes approches et, à cet effet, adoptons les trois points de vue suivants : institutionnel, cognitif et didactique.

### 1.2.1. L'École et les élèves en grande difficulté d'apprentissage

La grande difficulté d'apprentissage est abordée sous de multiples dénominations : troubles d'apprentissage, élèves à besoins particuliers, élèves en situation de handicap, etc. Cette diversité témoigne plutôt d'un manque de caractérisation que d'une variété de la difficulté elle-même. Ce constat émerge notamment à la lecture des documents officiels.
1.2.1.1. « La grande difficulté » dans les documents officiels

Une étude menée par l'Inspection générale de l'Éducation Nationale concernant le traitement
de « la grande difficulté » réalisée par Delaubier & Saurat au cours de l'année 2013 signale
que la notion de « grande difficulté » ne fait l'objet d'aucune définition précise. Cette étude
mentionne d'ailleurs que, dans les documents officiels français, l'expression « grande
difficulté » n'apparait pas. En revanche, des expressions proches sont utilisées comme celle
de « difficultés persistantes » ou « graves et permanentes » et que l'on peut trouver en
particulier dans les articles suivants : L. 321-4 et L. 332-4 du code de l'éducation. Ainsi nous
pouvons lire :

« Il s'agit d'une disposition, toujours en vigueur, de la loi n° 75-620 du 11 juillet 1975 relative à l'éducation, dite "loi Haby" :

“Dans les écoles et les collèges, des aménagements particuliers et des actions de soutien sont prévus au profit des élèves qui éprouvent des difficultés. Lorsque celles-ci sont graves et permanentes, les élèves reçoivent un enseignement adapté”. (Article 7). Cet article à portée législative est également repris, avec une légère inflexion, dans la partie réglementaire :

- pour les écoles, dans l'article D. 321-3

“Des aides spécialisées et des enseignements adaptés sont mis en place au profit des élèves qui éprouvent des difficultés graves et persistantes”.

- pour les collèges, dans l'article D. 332-7

“Des enseignements adaptés sont organisés dans le cadre de sections d'enseignement général et professionnel adapté, pour la formation des élèves qui connaissent des difficultés scolaires graves et durables.” » (2013, p. 3)

Delaubier & Saurat signalent également que « Si l'expression "grande difficulté" est absente du code de l'éducation, le mot "difficulté" est à l'inverse fréquent » (Ibid.) et que son usage réfère à des réalités différentes :

« La notion de difficulté n'est jamais définie et son extension semble variable d'un texte à l'autre. Parfois très large, elle englobe l'ensemble des "difficultés sensorielles, motrices ou
intellectuelles" (article D. 321-1 du code de l'éducation), les "troubles spécifiques du langage oral et/ou écrit, telle la dyslexie" (article L. 321-4) ou les difficultés liées à la santé (article L. 111-1) ; parfois, plus restreinte, elle se distingue du handicap (L. 321-2) ou des "besoins éducatifs particuliers" (D. 332-6). » (Ibid., p.4)

Selon ces mêmes auteurs, l'expression « grande difficulté » figure dans quelques circulaires, mais dans des contextes différents. Ces circulaires sont les suivantes : circulaire n° 2012-201 du 18 décembre 2012 et n° 2013-060 du 10 avril 2013. Ces auteurs indiquent ainsi :

> « Par exemple, dans deux circulaires récentes, elle désigne les élèves pris en charge par les RASED et ceux qui sont scolarisés en SEGPA, c'est à dire ceux qui sont considérés comme en "difficulté grave et durable" dans les articles déjà cités du code de l'éducation. » (Ibid., 4)

En ce qui concerne la quantification des élèves dit en difficulté, le rapport intitulé « Le traitement de la grande difficulté scolaire au collège et à la fin de la scolarité obligatoire » rédigé par Hussenet & Santana (2004) mentionne des imprécisions, y compris dans la distinction entre élèves en difficulté et élèves en grande difficulté :

> « Si la difficulté scolaire à la fin de l'école obligatoire est définie comme la non maîtrise de compétences générales attendues, alors 15% des élèves seront considérés en difficulté ou en grande difficulté.

> - Si elle s'apprécie à partir des notes obtenues au diplôme national du brevet (DNB), alors on dénombrera 8% d'élèves en grande difficulté (moins de 7/20 au contrôle continu).

> - Si l'on choisit de la mesurer par la persistance de difficultés de lecture alors, selon les moments de la prise d'information et selon les types d'enquêtes, ce sont entre 4 et 15% des élèves (ou anciens élèves) que l'on classera dans la catégorie "en difficulté" (ou sortis de la scolarité obligatoire en situation d'échec).

> - Si l'on retient les sorties sans qualification, ce qui est à la fois fréquent en France et dans le monde, ce seront de 14 à 20% de jeunes qui seront considérés en grande difficulté scolaire et en conséquence empêchés d'accéder à l'emploi dans des conditions acceptables et donc en risque d'exclusion sociale. » (Hussenet & Santana, 2004, p. 32)

Nous observons que la variation des critères génère des proportions différentes de jeunes en difficulté ou en échec allant de 5 % à 20 %. Ces variations de critères et d'effectifs reflètent
des différences de conception de la grande difficulté et ne concernent pas, par conséquent, les mêmes types d'élèves. Certains peuvent réussir à acquérir les compétences de base, d'autres en revanche seront en échec perpétuel tout au long de leur scolarité. Par ailleurs, cette hétérogénéité des approches ne prend pas non plus en considération le fait que la difficulté (grande ou non) peut être multiple : un élève peut être par exemple à la fois précoce et dyslexique...

Enfin, nous pouvons retrouver dans l'article intitulé « “Grande difficulté” scolaire : de quoi et de qui parle-t-on ? » rédigé par Anthony Lozac'h et publié sur le blog de l'« Éducation du SE-Unsa », un bilan<fnref n="4" /> réalisé à partir du rapport de Delaubier & Saurat (2013) cité précédemment qui mentionne les trois éléments permettant de caractériser la grande difficulté. Ainsi, nous lisons :

> « Pour les rapporteurs, trois éléments semblent caractériser la grande difficulté scolaire :
> Bien que relative, l'appréciation renvoie à des élèves éloignés de la norme scolaire :

* Elle n'est pas attachée à un profil d'élève particulier. Les situations sont diverses et complexes

* La grande difficulté suppose une certaine durée, s'opposant à la difficulté passagère.

Son utilisation entraîne trois conséquences négatives :

* Elle appose durablement sur l'élève une étiquette dévalorisante

* Cette catégorie est indéterminée, sauf par l'impuissance du système à élaborer une réponse

* Son aspect résistant ou persistant conduit les acteurs à une certaine résignation, voire à un déterminisme »

Ce rapide aperçu de l'usage de la notion de « grande difficulté d'apprentissage » au sein des documents officiels nous a permis de constater une véritable absence de clarté qui ne peut que nuire au repérage et recensement des élèves éprouvant ce genre de situations, ainsi qu'à l'attribution et la mise en œuvre de moyens pour leur venir en aide.

<footnote n="4">4 https://ecolededemain.wordpress.com/2014/01/15/grande-difficulte-scolaire-de-quoi-et-de-qui-parle-t-on/</footnote>
1.2.1.2. *Les modalités de scolarisation*

Les modalités de scolarisation d'un élève « en difficulté » ou « grande difficulté » à l'école primaire dépendent fondamentalement de son Projet Personnalisé de Scolarisation (PPS). Ce projet est élaboré par la « Maison départementale des personnes handicapées » (MDPH) dont dépend l'élève après évaluation de ses besoins. Selon le projet, l'élève peut bénéficier d'aides telles que la présence d'un auxiliaire de vie scolaire, l'attribution d'un enseignant référent ou la mise à disposition de matériaux pédagogiques adaptés.

À l'école, la scolarité peut être effectuée en totalité ou de manière partielle ; elle peut se dérouler dans une classe « ordinaire » ou dans une Classe d'Inclusion Scolaire (CLIS). Dans ce cas, l'élève bénéficie d'un enseignement adapté à son besoin spécifique.

Au collège, les élèves qui sont reconnus « en difficulté grave et durable », bénéficient d'un mode de scolarisation spécifique, les Sections d'enseignement Général et Professionnel Adapté (SEGPA). La circulaire n°2015-176 du 28 octobre 2015 concernant les enseignements adaptés précise : « Elles offrent une prise en charge globale dans le cadre d'enseignements adaptés, fondée sur une analyse approfondie des potentialités et des lacunes de ces élèves. » Cette modalité de scolarisation a pour objectif d'amener l'élève à l'obtention d'un diplôme qui lui permette de s'intégrer à la vie professionnelle.

Depuis la loi du 11 février 2005 qui donne à chaque enfant en situation de handicap le droit de suivre sa scolarité dans l'établissement scolaire, les effectifs des élèves en situation de handicap scolarisés en milieu ordinaire ont augmenté (de 80 % en neuf ans, entre 2006 et 2015). Malgré les efforts mis en place pour renforcer la prise en charge des élèves en difficulté, les Inspections générales révèlent des lacunes concernant la mise en place des projets personnalisés et la formation du personnel, notamment dans l'enseignement secondaire. Le Rapport sur la mise en œuvre de la loi du 11 février 2005 dans l'éducation nationale de l'Inspection générale de l'Éducation nationale, signale :

« Ce bilan “globalement positif” doit cependant être nuancé. Si l’effectif des élèves reconnus en situation de handicap a progressé rapidement, cette évolution, dont il faut rappeler qu’elle avait été engagée bien avant 2005, n’a pas été associée à une réduction aussi sensible de la population accueillie en milieu spécialisé. De même, il a été observé des entrées tardives (voire très tardives, au cours du secondaire) dans le “statut d’handicapé”. À ce stade,
les inspections générales constatent qu’à côté d’un effet “intégratif” incontestable, ne serait-
ce que par le développement des poursuites d’études, la loi du 11 février 2005 conduit, sans
doute, à étendre le champ du handicap vers des élèves qui, jusque-là, ne bénéficiaient pas
des dispositions liées à cette reconnaissance. La mission s’interroge aussi sur la difficulté des
acteurs à concevoir de véritables parcours de scolarisation, en particulier dans le second
degré. Des mesures sont prises, des “orientations” sont décidées, des dispositifs sont installés,
mais ils ne trouvent pas leur cohérence dans un projet construit, préparant l’inclusion
sociale et professionnelle. La faiblesse de la préparation de l’orientation à partir du collège a
été plusieurs fois soulignée. Sans doute faut-il voir là l’effet conjugué d’une prise en compte
insuffisante du handicap par les acteurs de l’orientation et du manque de “PPS” conformes à
l’esprit de la loi et enracinés dans le projet de vie des jeunes handicapés. Sur ce point, la loi
n’est pas encore complètement appliquée. » (Caraglio & Debaubier 2012, p. 121)

De telles mentions dans ce rapport révèlent les défis qui restent à relever par l'institution scolaire française, à l'aune des principes énoncés depuis bientôt quinze ans, concernant les modalités de scolarisation des élèves en difficulté et la formation adéquate des personnels ayant la responsabilité de la prise en charge de ces élèves.

Après avoir abordé la question de la scolarisation, attardons-nous à présent sur celle de l'enseignement proposé à ces élèves en grande difficultés scolaire.

1.2.1.3. Élèves en difficulté, difficultés d'enseignement

La confrontation des enseignants avec la grande difficulté scolaire relève d'une réalité
complexe et variable. C'est ce que montre l'étude rédigée par Chi Lan Do pour le Ministère
de l'Éducation Nationale, de l'Enseignement supérieur et de la Recherche intitulée « Les
représentations de la grande difficulté scolaire par les enseignants. Année scolaire 2005-
2006 » et publiée en 2007. Cette étude indique en effet :

« Une convergence des réponses de la part des enseignants qui peuvent se répartir en trois
groupes de taille presque égale :

- un tiers de “combatifs” (33,5 % des professeurs des écoles et 30,1 % des professeurs de collège),
- un tiers de "dévoués" (31,7 % des professeurs des écoles et 31 % des professeurs de collège),

- un tiers de "découragés" (29,6 % des professeurs des écoles et 33,1 % des professeurs de collège) » (Chi-Lan Do, 2007, p. 27)

Cette étude révèle une certaine « souffrance des enseignants » face à une réalité qui dépasse leur possibilité d'y faire face. Le manque de moyens, de compétences, de formation, provoque alors chez les enseignants un sentiment d'impuissance et d'incertitude sur leurs pratiques.

Selon le rapport de Delaubier & Saurat (2013), les enseignants identifient généralement et assez facilement « les élèves en grande difficulté » selon des critères scolaires, comportementaux, sociaux, etc., leur profil s'éloigne de la moyenne du groupe à l'intérieur d'une même école. Cette reconnaissance résulte sans aucun doute d'une fréquentation quotidienne mais également plus personnelle de ces élèves dans le cadre d'une aide personnalisée. L'élève en grande difficulté est celui qu'on prend à part, celui qui attire l'attention des autres collègues, des enseignants spécialisés, psychologues, etc.

L'étude intitulée « Les représentations de la grande difficulté scolaire par les enseignants. Année scolaire 2005-2006 » indique également comment les enseignants s'accordent à caractériser l'élève en grande difficulté scolaire :

> « De manière globale, les enseignants s'accordent à caractériser l'élève en grande difficulté scolaire par son incapacité à progresser et à s'adapter au système éducatif et ce, selon trois degrés : l'élève qui a du mal à s'adapter au système, l'élève non adapté au système, l'élève inadapté à un système lui-même inadapté à sa difficulté. Les enseignants sont également sensibles au manque ou à l'absence de motivation, à la perte de l'intérêt et du sens de venir à l'école, à une rupture de communication conduisant à la marginalisation et à l'isolement, au "mal-être". » (Chi-Lan Do. 2007, p. 10)

Près de la moitié des professeurs expriment : « que ce dont l'élève en grande difficulté aurait le plus besoin, en dehors d'une prise en charge scolaire, est retrouver l'estime de soi (43,2 % des professeurs des écoles, 44,8 % des professeurs de collège) et avoir confiance (27 % et 25,8 %) » (Ibid.)

La prise en charge d'un élève en grande difficulté constitue un grand défi pour l'enseignant qui a la charge de mettre en place un dispositif « adéquat » visant, malgré les difficultés et le
retard acquis, à le faire progresser et à lui permettre d'acquérir les connaissances de base.
Selon cette même étude, l'enseignant confronté à la grande difficulté scolaire vit un double
paradoxe :

> « L'enseignant confronté à l'élève en grande difficulté scolaire vit un double et inconfortable paradoxe : il voudrait prendre lui-même cet élève en charge sous peine de se sentir coupable d'abandon, et il voudrait pouvoir apporter des réponses appropriées aux besoins multiples de cet élève sous peine de se sentir incompétent. » (Ibid., p. 14)

Le second paradoxe conduit les enseignants à s'interroger en profondeur sur les caractéristiques des troubles qui affectent les élèves qu'ils doivent prendre en charge. Ils sont d'ailleurs demandeurs de formation sur ces troubles. Cette interrogation sur l'élève et liée à une interrogation sur leur action : faut-il faire autre chose ou autrement que ce qui se fait en classe ? Quelles adaptations doivent être mises en place ?

Les travaux fondés par une approche neurocognitive de la grande difficulté proposent quelques réponses à ces questions, même si leur validité est parfois contestée pour des raisons que nous allons également examiner, nous proposons de nous attarder dès maintenant sur ce sujet.

### 1.2.2. Perspective neurocognitive sur la grande difficulté d'apprentissage

L'approche neurocognitive conduit à distinguer les enfants en difficulté d'apprentissage selon les types de déficits à l'origine de la difficulté et qui peuvent concerner, entre autres, les capacités visuo-spatiales, la mémoire, le langage, l'attention, la planification, le traitement de l'information, etc. Cette approche se concentre en effet sur des difficultés d'apprentissage qui ne peuvent être attribuées à l'enseignement dispensé – ou à son absence – au contexte social ou familial, etc. Les difficultés rencontrées par ces enfants peuvent se révéler importantes et persistent malgré les interventions et la différenciation pédagogique dont ils ont pu bénéficier tout au long de leur scolarité primaire. Cette catégorisation conduit à ne pas aborder la grande difficulté d'apprentissage de manière globale, mais à distinguer entre les origines de ces difficultés qualifiées de « troubles de l'apprentissage ».
1.2.2.1. De la recherche d'une définition du trouble de l'apprentissage à l'acceptation du concept

Les troubles de l'apprentissage sont considérés comme des « handicaps invisibles ». Ils peuvent être source de difficultés d'intégration scolaire et sociale avec des répercussions sur le vécu individuel de l'enfant, mais aussi au sein de son environnement familial. Bien qu'il existe un accord assez large sur le terme de « troubles de l'apprentissage », il n'existe pas de définition universellement acceptée. Tremblay (2010), dans sa thèse de doctorat de psychologie où il tente de comparer statistiquement les dispositifs et les effets de l'enseignement spécialisé et de l'inclusion dans des classes ordinaires en Belgique, commence par revenir sur le processus de définition du concept de trouble de l'apprentissage, il indique :

> « Kirk (1962), le père du terme de troubles d'apprentissage, fut évidemment le premier à proposer une définition (...) Ce dernier définit ces troubles comme : Un retard, un trouble ou un délai de développement dans l'un ou plusieurs des processus du langage, de la lecture, de la prononciation, de l'écriture ou du calcul résultant d'un possible dysfonctionnement cérébral et non d'un retard mental, d'une privation sensorielle ou de facteurs culturels ou pédagogiques. » (Kirk, 1962, p. 263 cité par Tremblay 2010, p. 16)

Il expose ensuite une série d'évolution de la définition ou de controverses à son propos, chacune visant à la fois à être opératoire pour la recherche et utile pour la pratique. Il conclut à ce sujet qu'aucune n'a donné satisfaction, chacune étant porteuses de postulats plus ou moins implicites sur la difficulté scolaire qui ne peuvent pas être vérifiés ni acceptés sans équivoque. Il indique alors que le consensus s'établit globalement sur des classifications descriptives et a-théoriques qui, malgré les différences de formulation sont très convergentes. Il constate également que ce choix concentre l'attention sur les causes intrinsèques au sujet plutôt qu'extrinsèque.

Une définition qui semble servir de référence mondiale est celle de l'Organisation Mondiale de la Santé (OMS) qui utilise le terme de « troubles spécifiques du développement des acquisition scolaires » pour définir les troubles des apprentissages. Elle définit les troubles des apprentissages comme :

> « Troubles dans lesquels les modalités habituelles d'apprentissage sont altérées dès les premières étapes du développement. L'altération n'est pas seulement la conséquence d'un manque
d'occasions d'apprentissage ou d'un retard mental et elle n'est pas due à un traumatisme cérébral ou à une atteinte cérébrale acquise ». (CIM, 2017, p. 220)

L'Association Américaine de Psychologie (APA) regroupe au sein du « Diagnostic and Statistical Manual of Mental Disorders » (DSM 5) les troubles de la lecture, de l'écriture et du calcul sous le terme « Troubles spécifiques d'apprentissages », en définissant les critères de diagnostiques de la façon suivante :

« A. Difficultés à apprendre et à utiliser des compétences scolaires ou universitaires, comme en témoigne la présence d'au moins un des symptômes suivants ayant persisté pendant au moins 6 mois, malgré la mise en place de mesures ciblant ces difficultés :

1- Lecture de mots inexacte ou lente et réalisée péniblement (...)

2- Difficultés à comprendre le sens de ce qui est lu (...)

3- Difficultés à épeler (...)

4- Difficultés d'expression écrite (...)

5- Difficulté à maîtriser le sens des nombres, les données chiffrées, ou le calcul (...)

6- Difficulté avec le raisonnement mathématique (...)

B. Les compétences scolaires ou universitaires perturbées sont nettement en-dessous du niveau escompté pour l'âge chronologique du sujet et ce de manière quantifiable. Cela interfère de façon significative avec les performances scolaires, universitaires ou professionnelles, ou avec les activités de la vie courante, comme le confirment des tests de niveau standardisé administrés individuellement ainsi qu'une évaluation clinique complète.
(...)

C. Les difficultés d'apprentissage débuteront au cours de la scolarisation mais peuvent ne pas se manifester entièrement tant que les demandes concernant ces compétences scolaires ou universitaires altérées ne dépassent pas les capacités limitées du sujet (...)

D. Les difficultés d'apprentissage ne sont pas mieux expliquées par un handicap intellectuel, des troubles non corrigés de l'acuité visuelle ou auditive, d'autres troubles neurologiques ou mentaux, une adversité psychosociale, un manque de maitrise de la langue de
l'enseignement scolaire ou universitaire ou un enseignement pédagogique inadéquat. » (Mini DSM-5 en français, 2016, p 32-33)

Les conséquences de ces points de vue font que le trouble est diagnostiqué d'abord par l'échec scolaire puis par des tests spécifiques précisant les apprentissages pour lesquels des troubles sont constatés, cet échec ne correspondant pas à une déficience intellectuelle généralisée. Les troubles d'apprentissage ont ainsi d'abord été associés à la lecture, à l'écriture, à l'arithmétique, au raisonnement mathématique, etc. Le langage oral lui-même n'était pas concerné. Un trouble de l'apprentissage de la lecture, par exemple, est ainsi caractérisé par un écart négatif entre le niveau d'acquisition et celui qui serait attendu compte tenu des possibilités intellectuelles.

On retrouve aujourd'hui une désignation de ces troubles de l'apprentissage par des termes composés du préfixe « dys » et d'un suffixe indiquant l'objet du trouble :

- Le langage : dysphasie ;

- La lecture : dyslexie ;

- L'orthographe : dysorthographie ;

- L'écriture, le dessin : dysgraphie ;

- Le geste : dyspraxie

Tremblay (2010) conclut que la base de la définition des troubles est essentiellement symptomatique et qu'elle ne dit rien de la cause des troubles. En outre, la classification obtenue ne porte que sur une petite facette du sujet qui ne peut être réduit à une catégorie. Il cite Barron (1998) qui indique que de nombreux professionnels se montrent insatisfaits des classifications comme outil de diagnostic. Ces critiques touchent la confiance en un modèle accordant une trop grande importance à la fidélité comme expression de la validité, c'est-à-dire confondant la précision de l'outil de diagnostic et l'objet du diagnostic.

Les troubles d'apprentissage sont ainsi diagnostiqués au cours des premières années de la période scolaire de l'enfant (avant d'entrer à l'école primaire ou pendant les sept premières années de la vie). Ils peuvent avoir des degrés différents selon les sujets. Les enseignants qui prennent en charge les élèves atteints de troubles prennent généralement en compte l'élève de manière plus globale que les spécialistes de la rééducation dont les interventions se focalisent sur les troubles de manière spécifique. Les enseignants prennent ainsi généralement en
compte le processus de développement de l'enfant en ce qui concerne son âge, son aspect cognitif et psychoaffectif, l'évolution de ses troubles mais également son environnement.

L'approche de la grande difficulté d'apprentissage par ces différents critères a des conséquences sur les modalités d'intervention auprès des élèves présentant des troubles. Nous allons dès à présent les évoquer, en commençant par les difficultés que rencontrent les intervenants.

### 1.2.2.2. Les intervenants auprès d'élèves en difficulté d'apprentissage

La difficulté d'apprentissage confronte les enseignants à une réalité à laquelle ils ont généralement été peu préparés. Dans la majorité des cas, les enseignants se déclarent d'autant plus démunis que les élèves sont en grande difficulté, et cela touche aussi bien les difficultés dont les causes sont extrinsèques qu'intrinsèques. En ce qui concerne les premières, dans son article intitulé « La définition des élèves en difficulté en ZEP<fnref n="5" /> : le discours des enseignants de l'école primaire », Monfroy (2002) signale que le sentiment d'impuissance des enseignants est l'aboutissement d'un raisonnement qui se construit sur la base d'un processus d'individualisation des élèves en difficulté qui sont, dès lors, perçus comme des « cas », qui apparaissent toujours singuliers, atypiques et qui les laisse démunis pour répondre de manière spécifique au « cas ». Selon cette auteure :

> « Ces difficultés propres aux enseignants sont la plupart du temps exprimées sur le registre du manque (de moyens, d'outils, de réponses, de compétences, de formation) et de l'impuissance (à agir, à trouver des solutions, des remédiations). » (Monfroy, 2002, p.36)

En ce qui concerne les difficultés dont les causes sont intrinsèques, en s'appuyant sur les recherches en neuropsychologie, Mazeau & Le Lostec (2010) et Huron (2011) indiquent deux points de vigilance importants dans l'intervention chez les élèves en difficulté d'apprentissage, la « guérison du symptôme » et « la double tâche », sur lesquels les enseignants et rééducateurs leur semblent manquer d'attention. Nous développons ce point de vue ci-après.

<footnote n="5">5 Zones d'Éducation Prioritaire</footnote>