# Systèmes linéaires positifs non stationnaires

Michel Clerget

► To cite this version:

Michel Clerget. Systèmes linéaires positifs non stationnaires. [Rapport de recherche] IRIA-RR-065, IRIA. 1974, pp.83. hal-04715969

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laboratoire de recherche
en informatique
et automatique

# Systèmes linéaires positifs non stationnaires

M.Clerget

83p.

Institut de Recherche
d'Informatique
et d'Automatique

Domaine de Voluceau
Rocquencourt
78150 - Le Chesnay
Tél. 954.90.20

Rapport de Recherche n° 65

avril 1974
# SYSTEMES LINÉAIRES POSITIFS NON STATIONNAIRES

M. Clerget

Présenté par P. Faurre

## Résumé :

On s'intéresse aux modèles linéaires non stationnaires (modèles d'état) de processus déterministes ou stochastiques et plus spécialement à la notion de positivité associée à ces modèles. On démontre un "Lemme Positif Réel" dans le cas non stationnaire et l'on étudie l'ensemble $P(\cdot)$ de ses solutions. Après quelques applications, la mise en oeuvre d'un algorithme d'identification (toujours pour le cas non stationnaire) est présentée.

## Abstract :

Linear state models of non stationary determinist or stochastic processes are considered and more particularly the associated positivity notion. A non stationary Positive Real Lemma is proved and the set $P(\cdot)$ of its solutions studied. After some applications, implementation of a new identification algorithm (for the non stationary case as well) is presented.
# Sommaire

Ce travail concerne une classe de fonctions (désignons les par $\Lambda(.,.)$) utilisées dans l'étude des modèles linéaires de processus. Plus précisément, ces fonctions $\Lambda(.,.)$ représentent une réponse impulsionnelle étendue si le processus est déterministe et une covariance s'il est stochastique.

On sait depuis les travaux d'ANDERSON, FAURRE, KALMAN, POPOV, WILLEMS, YACOUBOVITCH et d'autres que la notion de positivité attachée à ce type de fonctions conduit à des résultats très intéressants dans divers domaines. A la base de ces résultats, le "lemme positif réel" est le critère algébrique qui donne une condition nécessaire et suffisante de positivité. Or, les différentes démonstrations de ce lemme et les développements qui en découlent concernaient jusqu'ici les seuls processus stationnaires. Il était intéressant de s'affranchir de cette hypothèse de stationnarité.

Après les rappels des chapitres 1 et 2, le chapitre 3 est donc consacré à un lemme positif réel "non-stationnaire". Il introduit un ensemble de "solutions" étudié au chapitre 4. Le chapitre 5 est relatif à deux solutions extrémales spécialement utiles pour les applications. Quelques unes de ces applications sont présentées aux chapitres 6 et 7. Enfin il fallait, une fois donné un processus, disposer d'un algorithme factorisant la fonction $\Lambda(.,.)$ associée sous une forme permettant d'appliquer le lemme positif réel ; un tel algorithme est présenté au chapitre 8, qui donn par ailleurs diverses applications numériques.
Notations

1) Pour toute fonction matricielle $F(\cdot)$, on notera :

• $F(t)$ ou $F_t$ la valeur à l'instant $t$ de cette fonction

• $F'(t)$ la transposée de $F(t)$ et $F'(.)$ la fonction associée.

• $\bar{F}(t)$ la valeur à l'instant $-t$ : $\bar{F}(t) = F(-t)$.

• rg [$F_t$] le rang de $F_t$.

• Ker [$F_t$] le noyau de $F_t$.

2) $F \ge G$ (resp. $F > G$) désigne la relation d'ordre partiel sur un ensemble de matrices carrées symétriques :

$$ F \ge G \text{ (resp. } F > G\text{)} \iff F-G \ge 0 \text{ (resp. } F - G > 0\text{)} $$

3) Nous dirons qu'un ensemble $\mathcal{P}$ de matrices $P$ est positif (et nous noterons $\mathcal{P} > 0$) si $\mathcal{P}$ est constitué de matrices définies positives.

4) Enfin $E\{x\}$ désigne l'espérance mathématique du vecteur aléatoire $x$.
P L A N

<table><thead><tr><th></th><th></th><th>Page</th></tr></thead><tbody><tr><td>Chapitre 1 :</td><td>Réalisations de systèmes dynamiques linéaires</td><td></td></tr><tr><td></td><td>Rappels :</td><td>2</td></tr><tr><td>Chapitre 2 :</td><td>Réalisations markoviennes - Rappels :</td><td>10</td></tr><tr><td>Chapitre 3 :</td><td>Lemme positif réel pour les systèmes linéaires non stationnaires :</td><td>15</td></tr><tr><td>Chapitre 4 :</td><td>Etude de l'ensemble P(.)</td><td>25</td></tr><tr><td>Chapitre 5 :</td><td>Calcul de P*(.) et P*(.):</td><td>33</td></tr><tr><td>Chapitre 6 :</td><td>Applications du lemme positif réel à l'étude des systèmes dissipatifs :</td><td>39</td></tr><tr><td>Chapitre 7 :</td><td>Applications du lemme positif réel aux problèmes de filtrage :</td><td>44</td></tr><tr><td>Chapitre 8 :</td><td>Calcul d'une représentation - Résultats :</td><td>49</td></tr><tr><td colspan="2">Complément sur le cas discret :</td><td>60</td></tr><tr><td colspan="2">Annexes et bibliographie :</td><td>62</td></tr></tbody></table>
# Chapitre I

## Réalisations de systèmes dynamiques linéaires - Rappels

### 1. Systèmes dynamiques - Notions de base.

On qualifie de système dynamique tout ce qui génère une grandeur * unique, la sortie (ou observation), à partir d'une autre, l'entrée (ou commande), étant entendu que seules les entrées passées peuvent influencer les sorties futures (causalité).

La donnée d'un opérateur entrée/sortie (causal) décrit donc un système dynamique. Ce mode de description dit "externe" nécessite de connaître toute l'histoire passée des entrées pour déterminer la sortie.

Pour cette raison, on lui préfère souvent une *description interne* (ou par modèle d'état) obtenue en paramétrisant les relations d'entrée/sortie. On introduit ainsi un intermédiaire - l'état - qui représente la "mémoire" du système. Les entrées sont alors considérées comme des moyens d'action sur l'état (par le biais de la fonction de transition $\varphi$), la sortie étant liée à l'état par un opérateur sans mémoire (fonction de sortie $r$) suivant le diagramme fonctionnel suivant :

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Les fonctions $\varphi$ et $r$ doivent satisfaire certaines conditions de cohérence et de régularité. On trouvera en annexe 1.A. une définition plus précise où ces conditions sont énoncées.

<footnote>* Les grandeurs considérées dans ce chapitre sont déterministes et vectorielles.</footnote>
Une fois établi un modèle d'état de système dynamique, il importe de préciser comment s'opère exactement l'influence entrée-état ou état-sortie, pour pouvoir répondre à des questions telles que :

* une action sur l'entrée permet-elle de passer d'un état donné à un autre ?

* l'observation des sorties permet-elle de connaître l'état initial $x(t_0)$ du système ?

C'est là qu'interviennent les notions bien connues de commandabilité-observabilité. Comme il subsiste concernant ces notions, pourtant classiques, un certain flou dans la terminologie (parle t'on par exemple de commandabilité en temps fini ou infini, ou encore de commandabilité différentielle ?), il a paru utile de préciser en annexe 1.B. les définitions adoptées.

Rappelons pour terminer qu'un système dynamique est stationnaire si $\phi$ et $r$ commutent avec l'opérateur de décalage temporel. Par "non stationnaire", on entendra "non nécessairement stationnaire".

## 2. Notion de réalisation pour une classe de systèmes dynamiques linéaires.

On considère une classe de systèmes dynamiques $\Sigma$ (décrits par des opérateurs entrée/sortie) pour lesquels :

- l'espace d'état est de dimension finie,

- le temps est continu,

- $\phi$ est linéaire en $x$ et $u$ ; $r$ est linéaire en $x$.

### Définition 1.1

On appelle réalisation de dimension $n$ du système $\Sigma$, si elle existe, un modèle de la forme :

$$ 
\begin{aligned}
\dot{x}(t) &= F(t) x(t) + G(t) u(t) \\
z(t) &= H(t) x(t)
\end{aligned} 
\qquad (1-1) 
$$
où : . x(.) ∈ ℝⁿ, u(.) ∈ ℝⁿ, z(.) ∈ ℝⁿ sont les vecteurs d'état,
d'entrée et de sortie, u(.) étant pris à support compact
et de carré sommable (hypothèse 1-2).

. F(.), G(.), H(.) matrices d'évolution, de commande et d'ob-
servation, de dimensions appropriées sont supposées conti-
nues sur ℝ (hypothèse 1-3).

Par extension, on désignera par réalisation de Σ le
triplet {F(.), G(.), H(.)}ⁿ(noté aussi {F,G,H}ⁿ_t l'exposant n rap-
pelant la dimension et l'indice t le temps). ■

Il est clair qu'un tel modèle, quand il existe, n'est
pas unique. En effet, la base de coordonnées utilisée pour décrire
l'état est arbitraire puisque l'opérateur entrée/sortie initial ne
contient sur elle aucune information. Ceci signifie que F(.) est
totalement non spécifiée (exception faite pour sa dimension). Il y
a évidemment des choix plus ou moins heureux : ainsi on prendra de
préférence des F(.) continues, bornées et uniformément asymptotique-
ment stables.

3. Réponse impulsionnelle - Fonction de pondération - Réponse im-
pulsionnelle étendue associées à une réalisation.

Théorème 1.1 [S1]

Sous les hypothèses (1-2) et (1-3) (non minimales) et
pour toute phase initiale (t₀, x₀), le système (1-1) admet presque
partout sur ℝ une solution unique z(t) absolument continue, de car-
ré localement sommable définie sur (t₀, ∞) par :

$$
z(t) = H(t) \Phi(t, t_o)x(t_o) + \int_{t_o}^{t} H(t) \Phi(t, \tau) G(\tau) u(\tau) \, d\tau \quad (1-4)
$$

La matrice de transition Φ (t,τ) égale à X(t) X⁻¹(τ) pour toute
solution régulière X(t) de X̂(t) = F(t) X(t) vérifie la loi de compo-
sition

$$
\Phi(t_1, t_2) \Phi(t_2, t_3) = \Phi(t_1, t_3)
$$
**Hypothèses** : Pour que l'état x soit parfaitement déterminé, il res-
te à spécifier une condition initiale que l'opérateur entrée/sortie
donné laisse arbitraire. Nous supposerons dans la suite que pour
un instant initial $t_o$ fixé :

$$
x(t_o) = 0 \tag{1-5}
$$

$$
\varphi(t, t_0, \cdot, \cdot) = 0 \quad \forall t \ge t_0 \text{ et } r(t_0, \cdot, \cdot) = 0 \quad (1-6)
$$

Il est possible de choisir $t_o$ égal à - ∞, si tiennent
les hypothèses suivantes :

• F(·), H(·), G(·) sont bornées (1-7)

- F(.) est uniformément asymptotiquement stable (1-8)

(ce qui assure que $\lim_{|t-t_o| \to \infty} |\varphi(t,t_o,o,o)| = 0$)

Définition 1-2

On appellera alors :

• réponse impulsionnelle $H(\cdot, \dots)$ la fonction :

$$
H(t, \tau) = \begin{cases} H(t) \Phi (t, \tau) G(\tau) & \text{si } t \ge \tau \\ 0 & \text{si } t < \tau \end{cases} \tag{1-9}
$$

• **fonction de pondération K(**...) une fonction.:

$$
\mathcal{K}(t, \tau) = H(t) \Phi(t, \tau) G(\tau) \quad \forall (t, \tau) \in \mathbb{R}^2 \quad (1-10)
$$

• réponse impulsionnelle étendue Λ(**...) la fonction :

$$
\Lambda(t, \tau) = \begin{cases} \mathcal{H}(t, \tau) & \text{si } t \ge \tau \\ \mathcal{H}'(\tau, t) & \text{si } t < \tau \end{cases} \quad (1-11)
$$

et on dira que le triplet {F(·), G(·), H(·)} est une **représentation**
de $\mathcal{H}(·, ·)$, $\mathcal{K}(·, ·)$ ou $\Lambda(·, ·)$ si $\mathcal{H}(·, ·)$, $\mathcal{K}(·, ·)$ ou $\Lambda(·, ·)$ peuvent
s'écrire respectivement sous la forme (1-9), (1-10) ou (1-11).
Comme on peut le voir sur l'expression (1-4), la réponse impulsionnelle caractérise entièrement les relations d'entrée/sortie. Autrement dit les ensembles de triplets {$F(\cdot), G(\cdot), H(\cdot)$} réalisant $\Sigma$ et ceux représentant $\mathcal{H}(\cdot, \cdot)$ sont identiques.

On notera d'autre part que $\Lambda(\cdot, \cdot)$ est définie de façon unique à partir de $\mathcal{H}(\cdot, \cdot)$, alors que plusieurs fonctions de pondération peuvent correspondre à la même réponse impulsionnelle (il y a cependant unicité dans le cas où $\mathcal{H}(\cdot, \cdot)$ étant réelle et analytique a un prolongement unique pour $t < \tau$). Les représentations de $\Lambda(\cdot, \cdot)$ ou $\mathcal{K}(\cdot, \cdot)$ sont des sous-ensembles de réalisations de $\Sigma$.

### 4. Existence d'une réalisation.

On peut utiliser le critère suivant :

#### Théorème 1-2 [K8]

Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction de pondération $\mathcal{K}(t, \tau)$ soit représentable est qu'elle soit séparable, i.e :

$$ \mathcal{K}(t, \tau) = \Psi(t) \Theta(\tau) \quad \forall (t, \tau) \in \mathbb{R}^2 $$

avec $\Psi(\cdot)$ et $\Theta(\cdot)$ matrices continues, de dimensions finies.

### 5. Rappel de quelques notions concernant une réalisation donnée.

#### Définition 1-3

Une réalisation {$F,G,H$}$_t^n$ sera dite :

**bornée** si $F(\cdot), G(\cdot), H(\cdot)$ sont bornées sur $\mathbb{R}$.

**stationnaire** : si $F(\cdot), G(\cdot)$ et $H(\cdot)$ sont constantes.

**($F,G$)-semi-stationnaire ou ($H-F$)-semi-stationnaire** si $F(\cdot)$ et $G(\cdot)$ ou $H(\cdot)$ et $F(\cdot)$ sont constantes.

** périodique** si $F(\cdot), G(\cdot), H(\cdot)$ sont périodiques de même période.

**minimale** (en tant que réalisation d'un système $\Sigma$) s'il n'existe pas d'autre réalisation de dimension inférieure.
commandable, observable, reconstructible... etc. si le modèle d'état qu'elle constitue a la propriété correspondante. uniforme si elle est bornée et uniformément commandable et observable. ■

Il existe un grand nombre de résultats concernant ces différentes notions. Quelques uns d'entre eux sont rappelés en annexe (1-C).

Nous nous contenterons ici de souligner que, contrairement à ce qui se passe en stationnaire, il n'est pas vrai dans le cas général qu'une réalisation commandable et observable soit minimale (mais les réalisations dites de rang constant possèdent cette propriété ; cf. annexe 1-C).

# 6. Transformations et relations d'équivalence dans un ensemble de réalisations.

On a vu que la description d'un système dynamique par modèle d'état n'était pas unique. Il peut être intéressant de considérer l'ensemble $\mathcal{R}$ des réalisations d'un système donné $\Sigma$.

On peut d'abord chercher quel est l'ensemble des transformations qui, opérant sur une réalisation donnée dans $\mathcal{R}$, fournisent une autre réalisation de $\mathcal{R}$. Il s'agit du groupe $T_a$ des transformations algébriques :

$$ T_a = \{ \theta : \theta[\{F,G,H\}] = \{(TF+T^\circ)T^{-1}, TG, HT^{-1}\} \} $$

avec $T(.)$ matrice régulière de fonctions de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$.

(ces transformations correspondent tout simplement à un changement de base sur l'état dans le modèle 1-1).

On peut aussi chercher les transformations qui permettent de demeurer dans un sous-ensemble $\mathcal{R}_0$ de $\mathcal{R}$ (celles pour lesquelles $\mathcal{R}_0$ est dit "fermé"), ou celles qui conservent une propriété donnée.
On est alors amené à considérer divers sous-ensembles de $T_a$ tels que le groupe des transformations topologiques ou celui des transformations de Lyapunov (cf. annexe 1-D).

A chacun des groupes ainsi définis, on associe une **relation d'équivalence** (deux réalisations étant équivalentes si l'on passe de l'une à l'autre par une transformation du groupe).

On définira également les relations d'équivalence suivantes: deux réalisations sont **H**-équivalentes, **K**-équivalentes, **Λ**-équivalentes si elles ont respectivement même fonction $H(.,..)$, $K(.,..)$, ou $Λ(.,..)$.

Enfin, dans une classe d'équivalence donnée, il pourra être utilisé de définir une **réalisation canonique**, ayant une forme ou des propriétés particulières.

On trouvera en annexe 1-D un certain nombre de résultats relatifs à ces transformations et relations d'équivalence. Nous retiendrons celui-ci :

**Théorème 1-3.**

L'ensemble des représentations de dimension minimale d'une fonction de pondération $K(.,..)$ est classe d'équivalence pour l'équivalence algébrique.

## 7. Généralisation du modèle 1-1.

On peut généraliser comme suit le modèle précédent :

$$ 
\begin{aligned}
x(t) &= F(t) x(t) + G(t) u(t) \\
y(t) &= H(t) x(t) + J(t) u(t)
\end{aligned} 
\qquad (1-13) 
$$

l'expression (1-4) devient alors :

$$ y(t) = H(t) \Phi (t, t_o) x(t_o) \int_{t_o}^{t} H(t) \Phi (t, \tau) G(\tau) u(\tau) d\tau + J(t) u(t) $$

et la réponse impulsionnelle :
$$ \mathcal{H}(t, \tau) = \begin{cases} H(t) \Phi(t, \tau) G(\tau) + J(t) \delta(t-\tau) & \text{si } t \ge \tau \\ 0 & \text{si } t < \tau \end{cases} $$

Une réalisation sera donc un quadruplet de matrices $\{F,G,H,J\}$ où $J$ est la matrice du terme impulsionnel dans $\mathcal{H}(t,\tau)$ et $\{F,G,H\}$ une réalisation au sens de la définition (1-2).

## 8. Conclusion.

On retiendra surtout de ces rappels la présentation de la fonction $\Lambda(.,.)$, réponse impulsionnelle étendue d'un système dynamique.

Cette fonction, que nous retrouverons au chapitre 2, associée à des modèles de processus stochastiques, fait l'objet des principaux résultats présentés ici.
# Chapitre II

## Réalisations markoviennes - Rappels

### 1. Processus à représentation markovienne.

Soit un processus gaussien centré $y(t)$ (de caractéristiques stochastiques entièrement décrites par sa covariance $E\{y(t)y'(\tau)\} = \Lambda(t, \tau)$).

On cherche à modéliser $y(t)$ à l'aide d'un processus markovien auxiliaire $x(t)$ et d'un bruit blanc $[V]_t$. La démarche est un peu analogue à celle qui nous a conduit à la notion de système dynamique, en ce sens que le processus $x(t)$ représente la "mémoire" stochastique du processus $y(t)$ et le bruit blanc $[V]_t$ l'"entrée" (ou information) stochastique au temps $t$ (notons qu'ici les caractéristiques de cette entrée ne font pas partie des données).

Une définition plus formelle est la suivante :

#### Définition 2-1 [F10].

Un processus gaussien centré $y(t)$ est dit admettre une représentation markovienne, s'il existe un processus markovien $x(t)$, non nécessairement de même dimension, et un bruit blanc $w(t)$ tels que :

$$y(t) = H(t) x(t) + w(t) \quad (2-1) \quad \blacksquare$$

Avant de généraliser la notion de réalisation markovienne donnée dans FAURRE [F10] on rappellera quelques propriétés des processus gaussiens markoviens.

#### Théorème 2-1 [F10].

Le processus gaussien centré $x(t)$ à valeurs dans $\mathbb{R}^n$, de covariance $\Lambda_x(t, \tau)$, de variance $\Lambda_x(t, t) > 0$ est markovien si et seulement
lement si la matrice projecteur $\Phi(t,\tau) = \Lambda_X(t,\tau) \Lambda_X^{-1}(\tau,\tau)$ vérifie
la loi de composition :

$$
\Phi(s_1, s_2)\Phi(s_2, s_3) = \Phi(s_1, s_3) \qquad s_1 > s_2 > s_3 \tag{2-2}
$$

De plus, si $\Phi(t,\tau)$ est dérivable en $t_+$ pour $t = \tau$, alors
$\Phi$ est prolongeable ($\Phi(\tau,t) = \Phi^{-1}(t,\tau)$ si $\tau < t$), dérivable en $t$
partout et il existe une matrice $n \times n, F(t),$ telle que :

$$
\frac{\partial \Phi}{\partial t}(t, \tau) = F(t) \Phi(t, \tau); \quad \frac{\partial \Phi}{\partial \tau}(t, \tau) = - \Phi(t, \tau) F(\tau) \quad (2-3)
$$

Théorème 2-2 [F10].

Soit $x(t)$ un processus gaussien centré dont la covariance
$\Lambda_X(t, \tau)$ vérifie les deux hypothèses :

i) $\Lambda_X(t, \tau)$ est dérivable en $t_+$ pour $t = \tau$,

ii) $\Lambda_X(t,t)$ est absolument continue par rapport à $t$.

x(t) est markovien si et seulement s'il vérifie l'équation différen-
tielle stochastique :

$$
\mathrm{d}x(t) = \mathrm{F}(t) x(t) \mathrm{d}t + \mathrm{d}V(t) \quad (2-4)
$$

$$
\text{où} \quad F(t) = \begin{bmatrix} \frac{\partial \Phi}{\partial t} & (t, \tau) \\ \frac{\partial \Phi}{\partial t_+} & (t, \tau) \end{bmatrix}_{t=\tau} \qquad (2-5)
$$

et $V(t)$ est un processus gaussien à accroissements indépendants de
covariance $\Lambda_V(t, \tau) = \int_0^{\min(t, \tau)} Q(\alpha) \, d\alpha$

$$
\text{avec } Q(\alpha) = \hat{\Lambda}_X(\alpha, \alpha) - F(\alpha) \Lambda_X(\alpha, \alpha) - \Lambda_X(\alpha, \alpha) F'(\alpha) \quad (2-6)
$$

2. Réalisations markoviennes.

Définition 2-2.

On appelle **réalisation markovienne non stationnaire** (si
elle existe) d'un processus gaussien centré $y(t)$ un modèle de la
forme

$$
\dot{x}(t) = F(t) x(t) + v(t) \quad (2-7)
$$

$$
y(t) = H(t) x(t) + w(t) \tag{2-8}
$$
où : . x(t) est un processus gaussien markovien (de variance P(t))

. [$V_W_t$] est un bruit blanc de covariance :

$$
E\{[V_W_t]^2 [v'w']_\tau\} = \begin{bmatrix} Q(t) & S(t) \\ S'(t) & R(t) \end{bmatrix} \delta(t-\tau) \quad (2-9)
$$

et pour lequel les hypothèses suivantes sont satisfaites :

. (F,L) est une paire totalement commandable (si Q = LL')(2-10)

. (H,F) est une paire totalement observable (2-11)

. F,H,G = [PH' + S], R sont continues sur R ■ (2-12)

On peut faire ici des remarques similaires à celles du
chapitre précédent. Les lois statistiques de y n'impliquent rien
sur la base utilisée pour décrire x, ni sur la condition initiale
x(t₀).

Cette dernière peut être de nature stochastique. Nous choi-
sirons un vecteur x(t₀) stochastiquement indépendant de v_s et w_s, s≥t₀
centré et de variance E{x(t₀)x'(t₀)} = P₀ où P₀ est une matrice
positive semie définie symétrique arbitraire. Il peut être commode le
cas échéant, d'avoir P(t₀) = P₀ = 0
(2-13)

On peut prendre $t_0$ égal à $-\infty$ si l'on a

. F et H bornées, (2-14)

. F uniformément asymptotiquement stable (2-15)

et il est clair que la condition initiale P(t₀) = P₀ a une influence
décroissante à mesure que t₀ tend vers -∞ (autrement dit, à la li-
mite, deux P₀ différentes conduisent à la même matrice P(.)).

Notons enfin que si Λ(t,τ) est stationnaire, il existe
des choix particuliers de F et P₀ pour lesquels F,G et H sont des
matrices constantes (si t₀ est fini, P₀ ne doit pas être supposée
nulle ; ceci entrainerait que l'une des matrices F,G ou H varie).
## Calcul de $\Lambda(t,\tau)$ en fonction des éléments de la réalisation.

On sait que la solution de l'équation différentielle stochastique (2-7) peut s'écrire pour $t > t_o$ :

$$x(t) = \Phi(t, t_o)x(t_o) + \int_{t_o}^{t} \Phi(t, \tau) v(\tau) d\tau \quad (2-16)$$

de (2-13) et (2-16) on déduit que pour $t$ et $\tau \ge t_o$ :

$$E\{x_t x'_{\tau}\} = \Phi(t, \tau) P(\tau) 1(t-\tau) + P(t) \Phi'(\tau, t) 1(\tau-t) \quad (2-17)$$

où :

$$\bullet P(t) = E\{x_t x'_{\tau}\} = \Phi(t, t_o) P_o \Phi'(t, t_o) + \int_{t_o}^{t} \Phi(t, \tau) Q(\tau) \Phi'(t, \tau) d\tau$$

* $1(\alpha) = 0, 1/2, 1$ suivant que $\alpha$ est négatif, nul ou positif.

En tenant compte de (2-8) et (2-17) dans l'expression de $E\{y_t y'_{\tau}\} = \Lambda(t,\tau)$, on obtient, si $G(.)$ désigne la fonction $G(.) = P(.)H'(.)+S(.)$:

$$\Lambda(t, \tau) = H(t) \Phi(t, \tau) G(\tau) 1(t-\tau) + G'(t) \Phi'(\tau, t) H'(\tau) 1(\tau-t) \\ + R(t) \delta(t-\tau) \quad (2-18)$$

## Définition 2-3

On dira que $\{F(.), G(.), H(.), R(.)\}$ représente une covariance donnée $\Lambda(\cdot, \cdot)$ si la matrice $\Phi(\cdot, \cdot)$ associée à $F(.)$ et les matrices $G(.), H(.), R(.)$ vérifient (2-18). ■

Il est clair que formellement nous sommes ramenés dans les cas déterministe et stochastique, à une étude identique des réalisations d'une fonction $\Lambda(\cdot, \cdot)$ du type (2-18). Demeure en particulier tout ce qui concerne transformations et relations d'équivalence (cf. chap 1, § 6).

Une différence importante doit toutefois être soulignée : La donnée d'une représentation de $\Lambda(\cdot, \cdot)$ définit complètement une réalisation de système dynamique dans le cas déterministe. Ce n'est
pas le cas pour une réalisation markovienne dans le cas stochastique. Le choix de la variance $P_t$ de $x_t$, constitue un degré de liberté supplémentaire, comme le précise le théorème suivant :

**Théorème 2-3.**

L'ensemble des réalisations markoviennes d'un processus y(.) de covariance $\Lambda(.,.)$ donnée par (2-18) est caractérisé dans une base donnée par les équations (2-7), (2-8) et l'ensemble des matrices P symétriques telles que $Vt \in R$ :

$$FP + PF' - \hat{P} = -Q \qquad (2-19)$$

$$G - PH' = S \qquad (2-20)$$

$$P \geq 0 \qquad (2-21)$$

$$\begin{bmatrix} Q & S \\ S' & R \end{bmatrix} \geq 0 \qquad (2-22) \quad \square$$

On vient de le voir, un modèle (2-7), (2-8) excité par le bruit blanc de covariance (2-9) génère un processus y(.) de covariance $\Lambda(.,.)$ de la forme (2-18).

Inversement, un processus de covariance (2-18) ne peut être généré par un tel modèle que s'il existe des matrices $P(.),Q(.)$ $S(.)$ vérifiant (2-20), (2-19) (caractère markovien de $x$, théorème (2-2)) et si de plus :

$$\begin{bmatrix} Q & S \\ S' & R \end{bmatrix} \geq 0 \qquad P \geq 0$$

car ce sont des covariances.
# Chapitre III

## Lemme positif réel pour les systèmes linéaires non stationnaires

### 1. Introduction

On considère les fonctions matricielles $\Lambda(.,.) : \mathbb{R}^{2 \to \mathbb{R}} \stackrel{m \times m}{\times}$ de la forme suivante :

$$ \Lambda(t, \tau) = H(t) \Phi(t, \tau) G(\tau) (1(t-\tau) + G'(t) \Phi'(\tau, t) H'(\tau) 1(\tau-t)) + R(t) \delta(t-\tau) \quad (3-1) $$

où : $1(x) = 0,1/2$, 1 pour $x$ respectivement négatif, nul, positif, $\Phi(.,.)$ est la matrice de transition associée à la $nxn$ matrice $F(.)$ (i.e vérifiant (2-2) et (2-3)), $H(.)$, $F(.)$, $G(.)$, $R(.)$ de dimensions appropriées sont continues et bornées sur $\mathbb{R}$. $R(.)$ est symétrique et définie positive.

On fait de plus les hypothèses suivantes (3-2) :

i) la paire $(H_t, F_t)$ est totalement observable sur $\mathbb{R}$.

ii) la paire $(F_t, G_t)$ est totalement commandable sur $\mathbb{R}$.

iii) la matrice $F_t$ est uniformément asymptotiquement stable.

Nous avons vu comment ces fonctions intervenaient dans l'étude des réalisations de systèmes dynamiques et dans celle des réalisations markoviennes de processus gaussiens.

L'objet du présent chapitre est d'étendre au cas non stationnaire le "lemme positif réel" (voir FAURRE [F10]).

### 2. Définition (3-1)

La fonction matricielle $\Lambda(.,.)$ définie précédemment est de type réel non négatif (réel positif) sur $\mathbb{R}$ si, quelle que soit la fonction $u(.) \in \mathcal{U}$ $\{u(.) : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^m, \text{ non identiquement nulle, à$
support compact, de carré sommable } on a :

$$
U' \Lambda U_t = \int_{t_o}^{t} \int_{t_o}^{t} u'(\alpha) \Lambda(-\alpha, -\beta)u(\beta) \, d\alpha \, d\beta \geq 0 \quad (>0)
$$

3 - <u>Lemme positif réel dans le cas non stationnaire.</u>

Théorème 3-1 (lemme positif réel)

Soit Λ(.,..) de la forme (3-1), telle que les hypothèses
(3-2) soient satisfaites. Λ(.,..) est de type réel non négatif sur R
si et seulement s'il existe P(.), Q(.), S(.) définies sur R (P et Q
symétriques, P dérivable) telles que :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\text{FP} + \text{PF}' - \dot{\text{P}} = -Q \qquad (3-3) \\
\\
\text{G} - \text{PH}' = S \qquad (3-4) \\
\\
\text{P} > 0 \qquad (3-5) \\
\\
\begin{bmatrix} \text{Q} & \text{S} \\ \text{S}' & \text{R} \end{bmatrix} \ge 0 \qquad (3-6)
\end{array}
\right.
\qquad \blacksquare
$$

Sous-ensemble de commandes Σ(t₀, t, ξ)

On désignera par $\mathcal{E}(t_o, t, \xi)$ l'ensemble des fonctions u de $\mathcal{U}$ transférant le système

$$
\dot{x}(\alpha) = F'(-\alpha)x(\alpha) + H'(-\alpha)u(\alpha)
$$

de la phase (t₀,0) à la phase (t,ξ).

On peut écrire aussi, d'après les hypothèses faites :

$$
\mathcal{E}(t_o, t, \xi) = \{ u \in \mathcal{U} ; \text{ pour } x(\alpha) = \int_{t_o}^{\alpha} \Phi'(-\beta, -\alpha) H'(-\alpha) u(\beta) d\beta, \\
\text{et } \alpha \in [t_o, t], x(t) = \xi \}
$$

On notera que $\mathcal{E}(t_o, t, \xi)$ est non vide d'après l'hypothèse (3-2)$_i$

Nous aurons besoin, pour démontrer le lemme positif réel, du
résultat suivant :
### Lemme 3.2

Sous l'hypothèse* ($\overline{F'}$, $\overline{H'}$) totalement commandable, quels que soient :

i) les temps $t_o$ et $t \in \mathbb{R}$, $t_o$ fixé, $t > t_o$

ii) l'état $\xi$

iii) la commande $u(.) \in \mathcal{E}(t_o, t, \xi)$

iv) le triplet $\{P,Q,S\}_\alpha$ vérifiant (3-3) et (3-4) $V_\alpha > t_o$,

on peut écrire :

$$ U' \Lambda U_t = \xi' \overline{F}_t \xi + \int_{t_o}^{t} [x'u']_{\alpha} \left[ \frac{\overline{Q}}{\overline{S}} \frac{\overline{S}}{\overline{H}} \right]_{\alpha} \left[ \frac{x}{u} \right]_{\alpha} d\alpha \quad (3-7) $$

sous la contrainte :

$$ x(\alpha) = \int_{t_o}^{t} \Phi'(-\beta, -\alpha) H'(-\beta) u(\beta) \, d\beta \quad ; \quad x(t_o) = 0, x(t) = \xi \quad (3-8) $$

ou encore :

$$ \dot{x}(\alpha) = \overline{F}'(-\alpha)x(\alpha) + \overline{H}'(-\alpha)u(\alpha) \quad ; \quad x(t_o) = 0, x(t) = \xi. \quad (3-9) $$

### Démonstration du lemme (3-2)

$$ \text{Soit donc } t_o \text{ fixé. Posons } V(t, \xi) = \int_{t_o}^{t} [x'u']_{\alpha} \left[ \frac{\overline{Q}}{\overline{S}} \frac{\overline{S}}{\overline{H}} \right]_{\alpha} \left[ \frac{x}{u} \right]_{\alpha} d\alpha $$

Les relations (3-3) et (3-4) donnent :

$$ V(t, \xi) = \int_{t_o}^{t} \left\{ \begin{aligned} & -x' \left[ \overline{F} \overline{P} + \overline{P} \overline{F}' \right] x + x' \overline{P} x \right\}_{\alpha} + 2 \left\{ x' \left[ \overline{G} - \overline{P} \overline{H}' \right] u \right\}_{\alpha} \\ & + \left\{ u' \overline{R} u \right\}_{\alpha} d\alpha \end{aligned} \right. $$

$$ (3-9) \text{ entraine : } \{-x' \left[ \overline{F} \overline{F} + \overline{P} \overline{F}' \right] x\}_{\alpha} = \{x' \overline{F} \left[ -\dot{x} + \overline{H}'u \right] + \left[ -\dot{x} + u' \overline{H} \right] \overline{P} x\}_{\alpha} $$

D'autre part : $\overline{P}'(.) = - \overline{P}(.)$ et $V(t, \xi)$ s'écrit alors :

$$ V(t, \xi) = \int_{t_o}^{t} \left\{ \begin{aligned} & - \frac{d}{dt} (x' \overline{P} x) \right\}_{\alpha} + \left\{ x' \overline{G} u \right\}_{\alpha} + \left\{ u' \overline{G} x \right\}_{\alpha} + \left\{ u' \overline{R} u \right\}_{\alpha} d\alpha $$

$$ V(t, \xi) = -\xi' \overline{P}_t \xi + \int_{t_o}^{t} \left\{ x' \overline{G} u \right\}_{\alpha} + \left\{ u' \overline{G}' x \right\}_{\alpha} + \left\{ u' \overline{R} u \right\}_{\alpha} d\alpha $$

<footnote>* On rappelle que $\overline{F}(t)$ désigne la matrice $F(-t)$</footnote>
En remplaçant $x$ par sa valeur tirée de (3-8), on voit ap-
paraitre au second membre l'expression de $U' \wedge U_t$ telle qu'elle
résulte de la définition de $\Lambda$ et le lemme est démontré.

Démonstration de la condition nécessaire

Par suite des hypothèses faites, on pourra prendre
$t_o = -\infty$ ($\mathcal{E}(t,\xi)$ désignant $\mathcal{E}(-\infty,t,\xi)$).

Soit alors $\Lambda(\cdot, \cdot)$ de type réel non négatif sur $\mathbb{R}$. Définissons $P^*(\cdot)$ par :

$$
\bar{\xi}' P_t^* \xi = \inf_{u \in \mathcal{E}(t, \xi)} \quad U' \wedge U_t \quad (3-10)
$$

Cette définition est bien cohérente ; en effet :

{U' Λ U_t, u ∈ E(t,ξ)} ensemble de scalaires positifs
ou nuls admet un infimum L(t,ξ) (positif ou nul et unique)

D'autre part $L(t, \xi)$ est une forme quadratique en $\xi$. Il
suffit pour le montrer de vérifier que :

$$
\begin{equation} \tag{3-11}
\begin{cases}
L(t, \lambda \xi) = \lambda^2 L(t, \xi) \\
L(t, \xi + \eta) + L(t, \xi - \eta) = 2 L(t, \xi) + 2 L(t, \eta)
\end{cases}
\end{equation}
$$

Soient les commandes $u \in \mathcal{E}(t, \xi)$ et $v \in \mathcal{E}(t, \lambda\xi)$. Alors :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\lambda u \in \mathcal{E}(t, \lambda \xi) \text{ d'où } L(t, \lambda \xi) \le \lambda^2 U' \Lambda U \\
\text{donc } L(t, \lambda \xi) \le \lambda^2 L(t, \xi) \hfill (3-13)
\end{array}
\right.
$$

$$
\lambda^{-1} v \in \mathcal{E}(t, \xi) \text{ d'où } L(t, \xi) \le \lambda^{-2} v' \wedge U \vee \\
\text{donc } L(t, \xi) \le \lambda^{-2} L(t, \lambda \xi). \tag{3-14}
$$

(3-13) et (3-14) prouvent (3-11).

Soient de plus les commandes $u_1 \in \mathcal{E}(t, \xi+\eta)$ et $u_2 \in \mathcal{E}(t, \xi-\eta)$

$$
\begin{cases}
u_1 + u_2 = u_3 \in \mathcal{E}(t, 2\xi) \text{ d'où } L(t, 2\xi) \le U'_3 \wedge U_3 \\
u_1 - u_2 = u_4 \in \mathcal{E}(t, 2\eta) \text{ d'où } L(t, 2\eta) \le U'_4 \wedge U_4
\end{cases}
$$
$$
\begin{gather*}
\text{Or } U'_3 \wedge U_3 + U'_4 \wedge U_4 = 2 U'_1 \wedge U_1 + 2 U'_2 \wedge U_2 \\
\text{donc } 2\mathcal{L}(t, \xi) + 2\mathcal{L}(t, \eta) \le \mathcal{L}(t, \xi+\eta) + \mathcal{L}(t, \xi-\eta) \quad (3-15)
\end{gather*}
$$

L'inégalité inverse se démontre de la même manière en
partant de $v_1 \in \mathcal{E}(t, \xi)$ et $v_2 \in \mathcal{E}(t, \eta)$. D'où (3-12).

Si on impose que P* soit symétrique, (3-10) définit
bien une matrice unique, non négative définie sur $\mathbb{R}$. Montrons
qu'elle est de plus dérivable.

$P^*(\cdot)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ :

En écrivant le lemme (3-2) pour la phase (t+Δt, ξ) et le triplet {0,0,G}, on obtient :

$$
\xi' \bar{P}_{t+\Delta t}^* \xi = \inf_{u \in \mathcal{E}(t+\Delta t, \xi)} \int_{-\infty}^{t+\Delta t} [x'u']_\alpha \begin{bmatrix} 0 & \bar{G} \\ \bar{G}' & \bar{R} \end{bmatrix}_\alpha \begin{bmatrix} x \\ u \end{bmatrix}_\alpha \, da
$$

Si $(t, \xi)$ appartient à la trajectoire de l'espace des pha-
ses réalisant l'infimum, le principe d'optimalité permet d'écrire :

$$
\begin{align}
\xi' \bar{P}_{t+\Delta t}^* \xi ={}& \inf_{u \in \mathcal{E}(t, \xi^-)} \int_{-\infty}^{t} [x'u']_{\alpha} \begin{bmatrix} 0 & \bar{G} \\ \bar{G}' & \bar{R} \end{bmatrix}_{\alpha} \begin{bmatrix} x \\ u \end{bmatrix}_{\alpha} \, da \nonumber \\
& + \inf_{u \in \tilde{\mathcal{E}}(t+\Delta t, \xi)} \int_{t}^{t+\Delta t} [x'u']_{\alpha} \begin{bmatrix} 0 & \bar{G} \\ \bar{G}' & \bar{R} \end{bmatrix}_{\alpha} \begin{bmatrix} x \\ u \end{bmatrix}_{\alpha} \, da \tag{3-16}
\end{align}
$$

$\tilde{\mathcal{E}}(t+\Delta t, \xi)$ étant l'ensemble des commandes de $\mathcal{U}$
transférant le système $(\bar{F}', \bar{H}')$ de la phase $(t, \xi^-)$ à la phase $(t+\Delta t, \xi)$.

Le premier infimum au second membre de (3-16) est égal à
$\xi^{-'} \bar{P}_{t}^{*} \xi^{-}.$
La quantité sous le signe somme dans le second infimum peut s'écrire ($u$ est localement sommable) :

$$
\begin{align*}
\inf_{u \in \tilde{\mathcal{E}}(t+\Delta t, \xi)} \int_{t}^{t+\Delta t} [x'u']_{\alpha} \begin{bmatrix} 0 & \bar{G} \\ \bar{G}', & \bar{R} \end{bmatrix}_{\alpha} \begin{bmatrix} x \\ u \end{bmatrix}_{\alpha} \, d\alpha \\
&= \Delta t \left[ \inf_{u_o \text{ constante }} \left\{ [\xi u_o'] \begin{bmatrix} 0 & \bar{G} \\ \bar{G}', & \bar{R} \end{bmatrix}_{t} \begin{bmatrix} \xi \\ u_o \end{bmatrix} \right\} \right] + o(\Delta t^2)
\end{align*}
$$

Donc :

$$
\xi' [\bar{P}_{t+\Delta t}^* - \bar{P}_t^*] \xi = \xi^{-'} \bar{P}_{t+\Delta t}^* \xi^{-} - \xi^{-} \bar{P}_t^* \xi + o(\Delta t^2) + \Delta t \text{ [constante]}
$$

soit :

$$
\xi' \frac{[\bar{P}_{t+\Delta t}^* - \bar{P}_t^*]}{\Delta t} \xi = [\xi^{-} + \xi'] \bar{P}_t^* \left[ \frac{\xi^{-} - \xi}{\Delta t} \right] + \frac{o(\Delta t^2)}{\Delta t} + \text{constante.}
$$

pour toute phase $(t,\xi)$. D'après les hypothèses faites, la tra-
jectoire optimale est dérivable : $\frac{\xi^{-} - \xi}{\Delta t}$ tend vers une limite finie
quand $\Delta t$ tend vers 0.

La démonstration du fait que $P^*(.)$ est strictement posi-
tive est remise au chapitre suivant.

Soient alors sur $\mathbb{R}$ :

$$
i) Q^*_t = -[FP^* + P^*F']_t + \dot{P}^*_t
$$

ii) $S^*_t = G_t - P^*_t H'_t$

iii) $u \in \mathcal{E}(t, \xi)$

$$
\begin{align*}
\text{iv) } v \in \mathcal{E}(t+\Delta t, \zeta) \text{ avec } & \cdot \Delta t > 0 \\
& \cdot v(\cdot) \equiv u(\cdot) \text{ sur } ]-\infty, t] \\
& \cdot v(\cdot) = v_o \text{ constante sur } \\
& \phantom{\cdot v(\cdot) = } ]t, t+\Delta t]
\end{align*}
$$

Ecrivons le lemme (3-2) pour le triplet {P*, Q*, S*} et
pour chacune des commandes u(.) et v(.). On peut soustraire les
deux expressions obtenues membre à membre ; ceci donne :
$$
\begin{align*}
& (V' \Lambda V_{t+\Delta t} - \zeta' \bar{P}_{t+\Delta t}^* \zeta) - (U' \Lambda U_t - \xi' \bar{P}_t^* \xi) \\
&= \int_t^{t+\Delta t} [x'v'_o]_a \begin{bmatrix} \bar{Q}^* & \bar{S}^* \\ \bar{S}^* & \bar{R} \end{bmatrix}_a \begin{bmatrix} x \\ v_o \end{bmatrix}_a \, da \\
&= \Delta t [\xi' v'_o] \begin{bmatrix} \bar{Q}^* & \bar{S}^* \\ \bar{S}^* & \bar{R} \end{bmatrix}_t \begin{bmatrix} \xi \\ v_o \end{bmatrix} + O(\Delta t^2)
\end{align*}
$$

D'après la définition de $P^*_t$, $V' \Lambda V_t - \zeta' \bar{P}^*_t \zeta \ge 0 \quad \forall t \in \mathbb{R}$

Donc :

$$
\Delta t[\xi'v'_o] \begin{bmatrix} \bar{Q}^* & \bar{S}^* \\ \bar{S}^* & \bar{R} \end{bmatrix}_t \begin{bmatrix} \xi \\ v_o \end{bmatrix} \ge -O(\Delta t^2) - (U'\Lambda U_t - \xi'\bar{P}^*_t \xi)
$$

Or pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $u(\cdot)$ et $\Delta t_o$ tels que :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
0(\Delta t_o^2) < \displaystyle\frac{\varepsilon \Delta t_o}{2} \quad (\text{par définition de } O(\Delta t^2)) \\[1em]
(U' \Lambda U_t - \xi' \bar{P}_t^* \xi) < \displaystyle\frac{\varepsilon \Delta t_o}{2} \quad (\text{par définition de } P^*(\cdot))
\end{array}
\right.
$$

$$
\text{Donc : } [\xi'v'_o] \begin{bmatrix} \bar{Q}^* & \bar{S}^* \\ \bar{S}^* & \bar{R} \end{bmatrix}_t \begin{bmatrix} \xi \\ v_o \end{bmatrix} > -\varepsilon \quad \forall \varepsilon > 0
$$

$$
\text{soit : } [\xi'v'_o] \begin{bmatrix} \bar{Q}^* & \bar{S}^* \\ \bar{S}^* & \bar{R} \end{bmatrix}_t \begin{bmatrix} \xi \\ v_o \end{bmatrix} \ge 0
$$

Les vecteurs $\xi$ (totalité commandabilité) et $v_o$ étant arbitraires,
on a bien :

$$
\begin{bmatrix} \bar{Q}^* & \bar{S}^* \\ \bar{S}^* & \bar{R} \end{bmatrix}_t \ge 0 \quad \forall t \in \mathbb{R}
$$
soit :

$$ \begin{bmatrix} Q^* & S^* \\ S^* & R \end{bmatrix}_t \geq 0 \quad \forall t \in \mathbb{R} $$

ce qui achève de démontrer la condition nécessaire.

**Démonstration de la condition suffisante :**

S'il existe {$P,Q,S$}$_t$ vérifiant (3-3) à (3-6) le second membre de (3-7) est non négatif et par suite du lemme (3-2), $U' \Lambda U_t$ est non négative.

### 4. Problème continu et problème continu dual

A toute représentation {$F,G,H,R$} d'une fonction $\Lambda(.,.)$ de type réel non négatif sur $\mathbb{R}$, le lemme positif réel associe un ensemble $\mathcal{P}(.)$ de fonctions matricielles $P(.)$ solutions de (3-3) à (3-6).

**Définition (3-2)**

On appelle **problème continu {$F,G,H,R$}** le problème consistant à rechercher l'ensemble $\mathcal{P}(.)$.

**Définition (3-3)**

On appelle **problème continu dual {$\tilde{F},\tilde{G},\tilde{H},\tilde{R}$}** (du problème {$F,G,H,R$} associé à $\Lambda(t,\tau)$) le problème continu {$\tilde{F}',\tilde{H}',\tilde{G}',\tilde{R}'$} associé à $\tilde{\Lambda}(t,\tau) = \Lambda(-t,-\tau)$.

**Théorème (3-3)**

$\mathcal{P}$ et l'ensemble $\tilde{\mathcal{P}}$ dual sont simultanément vide ou non vide. ■

On voit en effet, en revenant à la définition de la forme quadratique $U' \Lambda U_t$, que $\Lambda(t,\tau)$ et $\Lambda(-t,-\tau)$ sont simultanément de type réel non négatif.
## 5. Enoncés équivalents du lemme positif réel.

Le théorème (3-3) permet d'écrire immédiatement :

### Théorème 3-4

$\Lambda(\dots)$ est de type réel non négatif sur $\mathbb{R}$ si et seulement s'il existe $\hat{P}(\cdot), \hat{Q}(\cdot), \hat{S}(\cdot)$ définies sur $\mathbb{R}$ ($\hat{F}$ et $\hat{Q}$ symétriques, $\hat{P}$ dérivable) telles que

$$ 
\left\{ 
\begin{array}{l}
F' \hat{P} + \hat{P} F + \hat{P} = - \hat{Q} \qquad (3-15) \\
H' - \hat{P} G = \hat{S} \qquad (3-16) \\
\hat{P} > 0 \qquad (3-17) \\
\left[ \begin{array}{cc} \hat{Q} & \hat{S} \\ \hat{S}' & \hat{R} \end{array} \right] \ge 0 \qquad (3-18)
\end{array}
\right. 
$$

$\mathbb{R}$

Désignons par $\hat{\mathcal{P}}(\cdot)$ l'ensemble des fonctions $\hat{P}(\cdot)$ solutions de (3-15) à (3-18) pour une représentation $\{F,G,H,R\}$ de $\Lambda(\dots)$ donnée.

Il suffit alors d'appliquer le théorème (3-1) à la fonction $\tilde{\Lambda}(\dots)$ pour voir que $\tilde{\mathcal{P}}(\cdot) = \{\tilde{\mathcal{P}}(\cdot)\}$ constitue l'ensemble $\hat{\mathcal{P}}(\cdot)$ cherché.

### Remarque :

La triple équivalence suivante résume les trois théorèmes précédents :

$$ \Lambda \text{ de type réel} \iff \mathcal{P}(\cdot) \neq \emptyset \iff \tilde{\mathcal{P}}(\cdot) \neq \emptyset \iff \hat{\mathcal{P}}(\cdot) \neq \emptyset $$

### Théorème 3-5

$\Lambda(\dots)$ est de type réel non négatif sur $\mathbb{R}$ si et seulement s'il existe $P(\cdot), I(\cdot), N(\cdot)$ définies sur $\mathbb{R}$ telles que

$$ 
\left\{ 
\begin{array}{l}
FP + PF' - \hat{P} = -LL' \qquad (3-19) \\
G - PH' = LN' \qquad (3-20) \\
R = NN' \qquad (3-21) \\
P > 0 \qquad (3-22)
\end{array}
\right. 
$$

$\mathbb{R}$
En effet, la matrice $\begin{bmatrix} Q & S \\ S' & R \end{bmatrix}$ du théorème (3-1) étant positive semi définie peut être factorisée sous la forme :

$$ \begin{bmatrix} Q & S \\ S' & R \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} L \\ N \end{bmatrix} \begin{bmatrix} L' & N' \end{bmatrix} $$

ce qui démontre le théorème.

### Remarques :

Les résultats précédents demeurent valides sur un intervalle $]-T, T]$ si la valeur de $t_o = -T$ choisie est finie. Dans ce cas, l'hypothèse d'asymptotique stabilité n'est plus nécessaire.

Les différentes hypothèses de continuité peuvent être remplacées par des hypothèses de continuité par morceaux. Les relations du lemme restent alors vérifiées "par morceaux".

## 6 - Conclusion.

Le lemme positif réel stationnaire a de très nombreuses applications (identification stochastique et filtrage [F10], hyperstabilité [P2], systèmes dissipatifs [W5], réseaux électriques [A17] par exemple).

On vient d'établir une généralisation simple de ce lemme au cas non stationnaire et l'on verra ci-dessous comment différentes applications connues se généralisent également.
# Chapitre 4

## Etude de l'ensemble $\mathcal{P}(.)$

Les résultats de ce chapitre généralisent au cas non stationnaire des résultats démontrés dans FAURRE [F10], et GERMAIN [G1]. On rappelle que $\mathcal{P}(.)$, en abrégé $\mathcal{P}$, désigne l'ensemble des fonctions matricielles $P(.)$ solutions du problème continu $\{F,G,H,R\}$. On notera $\mathcal{P}_t$ l'ensemble des matrices $P_t$.

### 4-1 Propriétés fondamentales. Maximum et minimum de $\mathcal{P}$. Dualité.

#### Théorème 4-1.

$\mathcal{P}$ est un ensemble convexe, fermé, défini positif * admettant un maximum $P^*$ et un minimum $P_*$.

Les fonctions $\bar{P}^{-1}$ constituent l'ensemble $\tilde{\mathcal{P}}$ solution du problème dual $\{\bar{F}', \bar{H}', \bar{G}', \bar{R}\}$.

Enfin, $\mathcal{P}_t$ croit ou décroit (au sens de la relation d'inclusion) si respectivement $R_t$ croit ou décroit (au sens de la relation d'ordre définie sur les matrices). ■

La démonstration du théorème découle directement des lemmes suivants :

#### Lemme 4-2 (dualité)

Si $\mathcal{P}$ est défini positif et non vide, pour tout élément $P$ de $\mathcal{P}$, $\bar{P}^{-1}$ est solution du problème continu dual. ■

* $\mathcal{P}_t$ est dit défini positif ("$\mathcal{P}_t > 0$") s'il est constitué de matrices définies positives. $\mathcal{P}$ est défini positif si $\mathcal{P}_t$ l'est pour tout $t$.
Pour tout P de $\mathcal{P}(Q)$ et $S$ étant les matrices associées)

on a :

$$ i) \quad P^{-1} > 0 $$

$$ \text{ii)} \quad \begin{bmatrix} -F'P^{-1}-P^{-1}F-[\bar{P}'] & H'-P^{-1}G \\ H-G'P^{-1} & R \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -P^{-1} & 0 \\ 0 & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Q & S \\ S' & R \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -P^{-1} & 0 \\ 0 & -P^{-1} \end{bmatrix} \ge 0 $$

Donc $P^{-1}$ appartient à $\hat{\mathcal{P}} = \tilde{\mathcal{P}}$ (théorème 3-4) et le lemme est démontré.

**Lemme 4-3** (solutions extrémales).

Tout $\mathcal{P}$ défini positif, non vide est un ensemble convexe, fermé, admettant un maximum $P^*$ et un minimum $P_*$ ; autrement dit :

$$ P_* \le P \le P^* \quad \forall P \in \mathcal{P} \quad \blacksquare $$

Soit $P$ dans $\mathcal{P}$, le lemme (3-2) permet d'écrire pour toute phase $(t, \xi)$ et compte tenu de la définition de $P^*$ :

$$ \xi' \bar{P}_t^* \xi = \xi \bar{P}_t \xi + \inf_{u \in \mathcal{E}(t, \xi)} \int_{-\infty}^{t} [x'u']_{\alpha} \begin{bmatrix} \bar{Q} & \bar{S} \\ \bar{S}' & \bar{R} \end{bmatrix}_{\alpha} \begin{bmatrix} x \\ u \end{bmatrix}_{\alpha} \, d\alpha $$

d'où l'on déduit que $P^*$ est maximum dans $\mathcal{P}$ (l'infimum du second membre est non négatif).

$\mathcal{P}$ admettant un maximum, c'est aussi le cas pour son dual $\tilde{\mathcal{P}}$ et l'on peut définir la fonction $P_*$ par :

$$ P_* = [\bar{P}^*]^{-1} $$

Cette fonction $P_*$ est minimum dans $\mathcal{P}$. En effet, pour tout élément $P$ de $\mathcal{P}$, $P^{-1}$ appartient à $\tilde{\mathcal{P}}$ (lemme 4-2) et par conséquent $P^{-1} \le \tilde{P}^*$, soit $P \ge [\tilde{P}^*]^{-1} = P_*$.

Le caractère convexe de $\mathcal{P}$ se démontre immédiatement.
### Remarque

L'hypothèse suivant laquelle la paire (F,G) est totalement commandable est utilisée pour définir $P_*$.

### Lemme 4-4

Si $\mathcal{P}$ est non vide, les propriétés "$\mathcal{P}$ est défini positif" et "$P^*$ est définie positive" sont équivalentes. ■

Si $P^*$ est définie positive, $[\bar{P}^*]^{-1} = \tilde{P}_*$ l'est également, donc aussi $[\tilde{P}^*]^{-1} = P_*$. ■

Or pour tout P dans $\mathcal{P}$, $[P-P_*]$ est semie définie positive. $\mathcal{P}$ est donc défini positif. La réciproque est triviale.

### Lemme 4-5

Soient :

$\mathcal{P}_t^1$ non vide, solution du problème $\{F,G,H,R\}$ à l'instant t.

$\mathcal{P}_t^1$ solution du problème $\{F,G,H,R+\Delta R\}$ à l'instant t.

alors :

i) $\Delta R_t \ge 0$ entraine $\mathcal{P}_t^1 \subseteq \mathcal{P}_t^1$

ii) $\Delta R_t < 0$ entraine $\mathcal{P}_t^1 = \emptyset$ ou $\mathcal{P}_t^1 \subseteq \mathcal{P}_t^1$ ■

Pour tout $P_t$ dans $\mathcal{P}_t$ et $\Delta R_t \ge 0$, la matrice :

$$ \begin{bmatrix} Q & S \\ S' & R + \Delta R \end{bmatrix}_t = \begin{bmatrix} Q & S \\ S' & R \end{bmatrix}_t + \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \Delta R \end{bmatrix}_t $$

est semie définie positive (comme somme de deux matrices semie définies positives).

Par conséquent, $P_t$ appartient à $\mathcal{P}_t^1$ et le premier point est démontré. Le second se démontre de façon analogue.
**Lemme 4-6**

Tout ensemble $\mathcal{P}_t$ non vide est défini positif. ■

Soit $\mathcal{P}_t^1$ solution à l'instant $t$ du problème $\{F,G,H,R+I\}$.

Tout élément $P_t$ de $\mathcal{P}_t$ appartient aussi à $\mathcal{P}_t^1$ (lemme 3-5) et par conséquent (lemme 2-2) :

$$ \xi' \bar{P}_t^{1*} \xi = \xi' \bar{P}_t \xi + \inf_{u \in \mathcal{E}(t, \xi)} \left\{ \int_{-\infty}^{t} [x'u']_{\alpha} \begin{bmatrix} \bar{Q} & \bar{S} \\ \bar{S}' & \bar{R} \end{bmatrix}_{\alpha} \begin{bmatrix} x \\ u \end{bmatrix}_{\alpha} \right. \\ \left. + \int_{-\infty}^{t} u'u_{\alpha} \, d\alpha \right\} $$

soit

$$ \xi' \bar{P}_t^{1*} \xi > \inf_{u \in \mathcal{E}(t, \xi)} \int_{-\infty}^{t} u'u_{\alpha} \, d\alpha $$

Or, d'après un résultat classique de commande optimale :

$$ \inf_{u \in \mathcal{E}(t, \xi)} \int_{-\infty}^{t} u'u_{\alpha} \, d\alpha = \xi' \bar{W}_t^{-1} \xi \quad (4-1) $$

où West la matrice de commandabilité de $(\bar{F}', \bar{H}')$, définie positive par l'hypothèse. Si $\rho_t$ désigne la plus petite valeur propre (strictement positive) de $\bar{W}_t^{-1}$, il vient :

$$ \xi' \bar{P}_t^{1*} \xi > \xi' \bar{W}_t^{-1} \xi > \rho_t \quad ||\xi||^2 \quad \forall (t, \xi) \quad (4-2) $$

donc $P_t^{1*} > 0$ et $\mathcal{P}_t^1 > 0$ d'où $\mathcal{P}_t > 0$ (lemme 3-5).

## 4-2 Représentation paramétrique de $\mathcal{P}$ dans le cas régulier.

Nous nous restreindrons pour la fin du chapitre au cas régulier ($R > 0$).

Les développements de $[F_{10}]$ ou $[W_5]$ se généralisent facilement au cas non stationnaire et nous nous contenterons d'énoncer le théorème suivant :
**Théorème 4-7** (Description paramétrique de $\mathcal{P}$; cas continu régulier).

Dans le cas continu et régulier, l'ensemble $\mathcal{P}$ a la représentation paramétrique :

$$P = P_{*} + \delta P \qquad (4-3)$$

$[\delta P]^{-1}$ étant solution de l'équation linéaire en $\pi$ :

$$\dot{\pi} + F'_{*} \pi + \pi F_{*} = - H' R^{-1} H - A \qquad (4-4a)$$

$$\text{avec:} \qquad F_{*} = F - S_{*} R^{-1} H \qquad (4-4b)$$

et $A$ décrivant le cône des fonctions matricielles semi-définies positive. De plus la matrice $[Q-SR^{-1}S']$ associée à $P$ est telle que

$$Q - SR^{-1}S' = \delta P \ A \ \delta P \qquad (4-5)$$

La description donnée ci-dessus est valable à l'exception d'un ensemble de mesure nulle pour lequel $[P-P_{*}]_{t}(\ge 0)$ n'est pas invariable.

**Corollaire 4-8**

Les extrema de $\mathcal{P}$ sont liés par la relation :

$$\frac{d}{dt}([P*-P_{*}]^{-1}) + F'_{*}[P*-P_{*}]^{-1} + [P*-P_{*}]^{-1}F_{*} = -H'R^{-1}H \quad (4-6)$$

**4-3 Ensemble $\mathcal{P}$ et coercivité.**

**Définition 4-1**

On dit que l'opérateur $\Lambda : u \to U\Lambda U$ est coercif (ou que la forme quadratique $U\Lambda U$ est coercive) s'il existe une constante positive $\rho$ telle que :

$$U\Lambda U > \rho ||u||^2 \qquad \forall u \in \mathcal{U}$$

**Théorème 4-10**

Si $\Lambda$ est coercif, $[P*-P_{*}]$ est définie positive. ■

Pour toute représentation $\{F,G,H,R\}$ de $\Lambda(.,.)$, la fonction $\Lambda^\circ$ représentée par $\{F,G,H,R-\rho I\}$ est de type réel non négatif (se re-
porter à la définition). Soit alors $P^°$ appartenant à $\mathcal{P}^°$ ($\subset \mathcal{P}$). Pour toute phase $(t,\xi)$ le lemme (3-2) permet d'écrire :

$$
\begin{align*}
\xi' [\bar{P}^* - \bar{P}^°]_t \xi &= \inf_{u \in \mathcal{E}(t, \xi)} \left\{ \begin{aligned}[t]
& \int_{-\infty}^{t} [x'u']_{\alpha} \begin{bmatrix} \bar{Q}^° & \bar{S}^° \\ \bar{S}^° & \bar{R}^° - \rho I \end{bmatrix}_{\alpha} \begin{bmatrix} x \\ u \end{bmatrix}_{\alpha} \\
& + \rho u'u_{\alpha} \, d\alpha \end{aligned} \right\} \\
&> \rho \inf_{u \in \mathcal{E}(t, \xi)} \int_{-\infty}^{t} u'u_{\alpha} \, d\alpha \\
&> \rho \xi' W_t^{-1} \xi
\end{align*}
$$

où W est la matrice de commandabilité définie positive par hypothèse
de $(\bar{F}', \bar{H}')$. Donc :

$$
P^* - P_* > P^* - P^o > \rho \bar{W}^{-1} > 0 \quad (4-7) \quad \blacksquare
$$

Le théorème suivant donne, sous une hypothèse un peu plus
forte une triple équivalence qui généralise celle donnée par GERMAIN
[G1, th. 4-2] dans le cas stationnaire.

Théorème 4-11

Pour le problème continu et régulier {F,G,H,R} et sous les
hypothèses :

- (H,F) uniformément totalement observable

- R uniformément minorée,

les propositions suivantes sont équivalentes :

i) L'opérateur $\Lambda$ est coercif et uniformément majoré sur R.
Autrement dit, pour deux constantes $\rho$ et $\lambda$ :

$$
0 < \rho \|u\|^2 < U'\Lambda U < \lambda \|u\|^2 \quad (4-8)
$$

ii) il existe deux constantes $\alpha$ et $\beta$ telle que :

$$
0 < \alpha I < P^* - P_* < \beta I < + \infty \quad (4-9)
$$

iii) La matrice F* définie en (4-4b) est exponentiellement
asymptotiquement stable.
## Démonstration

### i) → ii)

On vient de le voir [cf. (4-7)] : $P^* - P_* > \rho \bar{W}^{-1}$

D'autre part, d'après (4-9) et pour toute phase $(t, \xi)$ :

$$ \xi' [\bar{P}^* - \bar{P}_*]_t \quad \xi < \xi' \bar{P}^* \quad \xi < \lambda \quad ||u^*||_t^2 $$

$$ \text{avec :} \quad u_t^* = -[\bar{H} \quad W^{-1} \quad \xi]_t $$

Or l'hypothèse d'uniforme totale observabilité de $(H,F)$ entraîne :

$$ 0 < \varepsilon_1 I < W < \varepsilon_2 I < + \infty $$

et (4-9) est démontré.

### ii) → iii)

$(F', \bar{H}')$ et $(F^*, \bar{H}')$ sont simultanément uniformément totalement commandables, comme on peut le voir en revenant aux matrices de commandabilité.

La relation (4-6) considérée comme équation de Lyapunov implique alors la condition iii) (voir référence [A10]).

### iii) → i)

$F$ vérifiant la condition iii) et du fait que $F,G,H,R$ sont bornées, il est clair que

$$ U' \Lambda U < \lambda ||u||^2 $$

d'où l'on déduit que :

$$ P \le P^* < \mu I \quad \forall P \in \mathcal{P} \qquad (4-10) $$

Choisisons dans (4-4a) une matrice $A(.)$ égale à $I$. Ce choix engendre dans la représentation paramétrique une matrice $P^° = P_* + \delta P^°$ telle que pour une constante positive $\alpha$ :

$$ \delta P^° > \alpha I \qquad (4-11) $$

$$ Q^° - S^° R^{-1} S^°' = [\delta P^°]^2 > \alpha^2 I \qquad (4-12) $$
D'après (4-10) et du fait que G et H sont bornées, il existe une constante s telle que : *

$$ ||S^{\circ}||_{\infty} \leq ||G||_{\infty} + ||P^{\circ}||_{\infty} ||H^{\prime}||_{\infty} \leq s \quad (4-13) $$

Soit alors $\rho$ dans l'intervalle $]0, \min (r, \alpha r^2(s^2+2\alpha^2)^{-1})[$ où $r = ||R||_{\infty}$ ; on peut affirmer que :

$$ Q^{\circ} - S^{\circ}[R - \rho I]^{-1} S^{\circ} \geq 0 \quad (4-14) $$

en effet :

$$ Q^{\circ} - S^{\circ}[R-\rho I]S^{\circ} = [Q^{\circ}-S^{\circ}R^{-1}S^{\circ}] - \rho S^{\circ}R^{-1}[R-\rho I]^{-1}S^{\circ} \quad (4-15) $$

or $||R-\rho I||_{\infty} = r - \rho$ et pour le $\rho$ choisi :

$$ ||\rho S^{\circ} R^{-1} [R - \rho I]^{-1} S^{\circ}||_{\infty} < \alpha^2 \quad (4-16) $$

(4-15) et (4-16) impliquent (4-14) qui équivaut à

$$ \begin{bmatrix} Q^{\circ} & S^{\circ} \\ S^{\circ} & R-\rho I \end{bmatrix} \geq 0 $$

$P^{\circ}$ est donc solution du problème $\{F,G,H,R-\rho I\}$ et $\Lambda^{\circ}$ est de type réel non négatif. Donc $\Lambda$ est bien coercif.

$$ ||A||_{\infty} = \sup_{t \in \mathbb{R}} ||A(t)|| $$

<footnote>* La norme $||\cdot||_{\infty}$ est définie de la manière suivante :</footnote>
# Chapitre V

## Calcul de $P*(.)$ et $P_{*}(.)$

### 5-1. Matrices $P(t,\tau)$ et $Q(t,\tau)$

Nous ne traiterons ici que le cas régulier coercif. Définissons $P(t,\tau)$ pour $\tau > 0$ par :

$$ \xi' P(-t, \tau) \xi = \inf_{u \in \mathcal{E}_\tau(t, \xi)} U' \Lambda U_t \quad (5-1) $$

où $\mathcal{E}_\tau(\xi,t)$ est le sous ensemble des commandes de $\mathcal{E}(t,\xi)$ qui sont de longueur $\tau$ au plus (non vide d'après l'hypothèse de **totale observabilité de** $(H_t, F_t)$).

Pour les mêmes raisons que celles avancées au chapitre 3 pour $P*(.)$, cette définition est cohérente et la matrice symétrique ainsi définie est unique, semi définie positive et dérivable par rapport à $t$.

Soient alors les matrices $Q(t,\tau)$ et $S(t,\tau)$ associées à $P(t,\tau)$ par les relations :

$$ \begin{cases} -Q(t, \tau) = F(t)P(t, \tau) + P(t, \tau)F'(t) - \frac{\partial P}{\partial t}(t, \tau) & (5-2) \\ S(t, \tau) = G(t) - P(t, \tau)H'(t) & \end{cases} $$

Notons d'abord que, pour toute phase $(t,\xi)$ on peut, d'après le lemme (3-2) écrire $\xi'P(-t,\tau)\xi$ sous la forme :

$$ \xi' P_{-t, \tau} \xi = \inf_{u \in \mathcal{E}_\tau(\xi, t)} \{ \xi' P_{-t, \tau} \xi + \int_{-\infty}^{t} [x'u']_\alpha \begin{bmatrix} Q_{-\alpha, \tau} & S_{-\alpha, \tau} \\ S'_{-\alpha, \tau} & R_{-\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ u \end{bmatrix}_\alpha d\alpha \} $$
soit :

$$
\inf_{u \in \mathcal{E}_{\tau}(\xi, t)} \int_{-\infty}^{t} [x'u']_{\alpha} \begin{bmatrix} Q_{-\alpha, \tau} & S_{-\alpha, \tau} \\ S'_{-\alpha, \tau} & R_{-\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ u \end{bmatrix} \, d\alpha = 0 \quad (5-4)
$$

x satisfaisant bien entendu la contrainte (3-8) – (3-9), ce qui n'est
pas répété dans la suite.

D'autre part, toujours d'après le lemme (3-2),

on a :

$$
\xi' P_{-t, \tau+\Delta\tau} \xi = \inf_{u \in \mathcal{E}_{\tau+\Delta\tau}(t, \xi)} \{ \xi' P_{-t, \tau} \xi + \int_{-\infty}^{t} [x'u']_{\alpha} \begin{bmatrix} Q_{-\alpha, \tau} & S_{-\alpha, \tau} \\ S'_{-\alpha, \tau} & R_{-\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ u \end{bmatrix} \, d\alpha \}
$$

soit :

$$
\xi' [P_{-t, \tau+\Delta\tau} - P_{-t, \tau}] \xi = \inf_{u \in \mathcal{E}_{\tau+\Delta\tau}(t, \xi)} \int_{-\infty}^{t} [x'u']_{\alpha} \begin{bmatrix} Q_{-\alpha, \tau} & S_{-\alpha, \tau} \\ S'_{-\alpha, \tau} & R_{-\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ u \end{bmatrix}_{\alpha} \, d\alpha
$$

Si $(t-\Delta\tau, \xi^{-})$ appartient à la trajectoire optimale et de la même façon qu'on a obtenu la relation (3-16), on peut écrire (les matrices sous le signe somme ne sont pas réecrites)

$$
\begin{align*}
\inf_{u \in \mathcal{E}_{\tau+\Delta\tau}(t, \xi)} \int_{-\infty}^{t} [\quad] [\quad] [\quad] \, d\alpha &= \\
& \inf_{u \in \mathcal{E}_{\tau}(t-\Delta\tau, \xi^{-})} \int_{-\infty}^{t-\Delta\tau} [\quad] [\quad] [\quad] \, d\alpha + \\
& \inf_{u \in \hat{\mathcal{E}}} \int_{t-\Delta\tau}^{t} [\quad] [\quad] [\quad] \, d\alpha \tag{5-5}
\end{align*}
$$

où $\hat{\mathcal{E}}$ désigne l'ensemble des commandes de $\mathcal{U}$ transférant le système $(\bar{F}', \bar{H}')$ de la phase $(t-\Delta\tau, \xi^{-})$ à la phase $(t, \xi)$.
D'après (5-4) le premier infimum du second membre de (5-5) est nul.

D'autre part, dans l'intervalle $[t-\Delta\tau, t]$, la fonction $u$ peut être approximée par $u(\alpha) = u_0 + u_1\alpha + u_2\alpha^2$.

Il vient donc, dans le cas régulier :

$$ \inf_{u \in \mathcal{E}_{\tau+\Delta\tau}(t, \xi)} \int_{-\infty}^{t} [u] \, du = \qquad (5-5) $$

$$ \Delta\tau[\xi'Q_{-t,\tau}\xi + u_0' R_{-t}u_0 + 2\xi' S_{-t,\tau}u_0] + O(\Delta\tau^2) $$

$u_0$ étant donnée par $u_0 = -R_{-t}^{-1}S'_{-t,\tau}\xi$.

Donc :

$$ \xi' [P_{-t, \tau+\Delta\tau} - P_{-t, \tau}] \xi = \Delta\tau \xi' [Q_{-t, \tau} - S_{-t, \tau} R_{-t}^{-1} S'_{-t, \tau}] \xi + O(\Delta\tau^2), $$

soit en passant à la limite et puisque $\xi$ est quelconque :

$$ \frac{\partial P}{\partial \tau}(-t, \tau) = Q(-t, \tau) - S(-t, \tau)R^{-1}(-t)S'(-t, \tau) \quad \forall t \in \mathbb{R} $$

ou encore :

$$ \frac{\partial P}{\partial \tau}(t, \tau) = Q(t, \tau) - S(t, \tau)R^{-1}(t)S'(t, \tau) \quad \forall t \in \mathbb{R} \qquad (5-6) $$

Les relations (5-2) et (5-6) donnent les dérivées partielles de $P(t, \tau)$ par rapport à $t$ et $\tau$. Il reste à vérifier que les dérivées croisées sont égales.

D'après (5-6), on peut écrire :

$$ \frac{\partial P}{\partial \tau \partial t} = \frac{\partial Q}{\partial \tau} + F[Q - SR^{-1}S'] + [Q - SR^{-1}S']' F' $$
Substituons à Q et $\frac{\partial Q}{\partial \tau}$ leurs valeurs tirées de (5-2) :

$$ \frac{\partial P}{\partial \tau \partial t} = \frac{\partial P}{\partial t \partial \tau} + F[\frac{\partial P}{\partial t} - \frac{\partial P}{\partial \tau}] + [\frac{\partial P}{\partial t} - \frac{\partial P}{\partial \tau}]F' - F[FP+PF'+SR^{-1}S'] \\ - [FP+PF'+SR^{-1}S']F' \quad (5-7) $$

Il suffit alors de remplacer dans (5-7) $SR^{-1}S'$ par son expression $- \frac{\partial P}{\partial \tau} - FP - PF' + \frac{\partial P}{\partial t}$ tirée de (5-6) et (5-2) pour aboutir à l'identité des dérivées croisées.

On peut énoncer le théorème suivant :

### Théorème 5-1

La matrice $P(t, \tau)$ définie en (5-1) vérifie :

$$ \frac{\partial P}{\partial \tau}(t, \tau) = -F(t)P(t, \tau) - P(t, \tau)F'(t) + \frac{\partial P}{\partial t}(t, \tau) \\ -[G(t)-P(t, \tau)H'(t)]R^{-1}(t)[G'(t)-H(t)P(t, \tau)] \quad (5-8) $$

Soit $t$ fixé, comme $\mathcal{E}_\tau(t, \xi) \subset \mathcal{E}(t, \xi)$, $P(t, \tau)$ est monotone non croissante quand $\tau$ croit et bornée inférieurement par $P^*(t)$. $P(t, \tau)$ admet donc une limite quand $\tau$ tend vers l'infini et cette limite ne peut être différente de $P^*(t)$ (par définition).

En revenant par ailleurs à la définition (5-1), on voit que $P(t, \tau)$ est solution maximale à l'instant $t$ pour le problème $\{F,G,H,R\}$ restreint à un intervalle $]t-\tau, t_1[$ contenant $t$.

Dans ces conditions, étant donnée l'hypothèse de coercivité et de la même manière qu'en (4-1), on peut écrire pour toute phase $(t, \xi)$ :

$$ \xi' P(-t, \tau) \xi > \rho \xi' W_{t, \tau}^{-1} \xi \\ \text{avec } W_{t, \tau} = \int_{t-\tau}^{t} \Phi'(\tau-t, -\alpha) \bar{H}'(\alpha) \bar{H}(\alpha) \Phi(\tau-t, -\alpha) \, d\alpha $$
Or F et H sont bornées. En faisant tendre $\tau$ vers zéro, il vient donc :

$$ \lim_{\tau \to 0} ||W_{t, \tau}^{-1}|| = \lim_{\tau \to 0} ||P(-t, \tau)|| = +\infty \quad \forall t \in \mathbb{R} $$

Comme $P(t, \tau) > P^*(t)$ est inversible, on peut définir :

$$ \Omega(t, \tau) = P^{-1}(-t, \tau) \quad (5-9) $$

et il est clair que :

$$ \text{i) } \lim_{\tau \to \infty} \Omega(., \tau) = P^*(.) $$

$$ \text{ii) } \lim_{\tau \to 0} \Omega(., \tau) = 0 $$

Nous avons démontré le résultat suivant

### Théorème 5-2

La fonction $\Omega(.,.)$ définie par (5-9) et (5-1) est telle que

$$ \text{i) } \lim_{\tau \to \infty} \Omega(., \tau) = P^*(.) \quad (5-10) $$

$$ \text{ii) } \lim_{\tau \to 0} \Omega(., \tau) = 0 \quad (5-11) $$

et vérifie l'équation :

$$ \begin{aligned} \frac{\partial \Omega}{\partial \tau}(t, \tau) ={}& \bar{F}'(t)\Omega(t, \tau) + \Omega(t, \tau) \bar{F}(t, \tau) - \frac{\partial \Omega}{\partial t}(t, \tau) \\ & + [\bar{H}'(t) - \Omega(t, \tau)\bar{G}(t)]R^{-1}(t)[\bar{H}(t) - \bar{G}'(t)\Omega(t, \tau)] \quad (5-12) \quad \blacksquare \end{aligned} $$

### 5-2. Corollaire (5-3)

L'intégration de (5-12) à partir des conditions initiales :

$$ \Omega(., 0) = 0 $$

$$ \Omega(t_0, .) = 0 $$

donne la solution minimale pour le problème {$F,G,H,R$} en temps fini débutant à l'instant $t_0$. ■
Quand $t_0$ tend vers $-\infty$, $\Omega$ tend vers $P_*$, (nous ne pouvons rien dire sur la manière de converger).

La dualité donne des résultats similaires pour la solution maximale.

### Remarque

Si l'on se place dans le cas particulier stationnaire, on voit sur (5-1) que $P(t,\tau)$ et $\Omega(t,\tau)$ sont constantes en $t$. (5-11) et (5-12) redonnent les algorithmes trouvés par FAURRE [F10].
# Chapitre VI

## Applications du lemme positif réel à l'étude des systèmes dissipatifs

### 1 - Notions énergétiques associées aux systèmes dynamiques - rappels

#### Définition 6-1

Soit un système dynamique $\Sigma$ et deux fonctions
$$S(t,x) : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+ \quad ; \quad w_t : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$

On dit que le triplet $\{\Sigma, w, S\}$ est dissipatif (ou encore que $\Sigma$ est dissipatif relativement à $w$ et $S$), si l'inégalité de dissipation :

$$S(t_o, x_o) + \int_{t_o}^{t_1} w_\alpha \, d\alpha \geq S(t_1, x_1)$$

est satisfaite pour tout $\{t_1 \geq t_o, x_o \in X_{t_o}, u \in \mathcal{U}\}$ avec :
$$w_t = w_t(u(t), r(\varphi(t, t_o, x_o, u))) \text{ et } x_1 = \varphi(t_1, t_o, x_o, u).$$

Les fonctions $S$ et $w$ sont appelées respectivement **énergie potentielle** et **fonction puissance**.

#### Remarque

Si $S$ est différentiable, l'inégalité de dissipation est équivalente à sa forme différentielle :

$$\left[ \frac{dS(t,x)}{dt} \right] \text{ le long des trajets de phase.} \quad \leq w_t(u,r(x,u)) \\ v(x \in X_t, u \in \mathcal{U})$$
Nous aurons dans la suite à utiliser les hypothèses suivantes :

V S, Θ (τ, x°) telle que :

$$
1) \min_{x \in X_{\tau}} S(\tau, x) = S(\tau, x^*) = 0 \quad (6-1)
$$

2) $X_t$ est totalement atteignable depuis $x^* \quad \forall t > \tau$

(6-2)

(autrement dit il existe une phase où S s'annule et toute phase ultérieure est atteignable depuis elle).

Théorème et définition (6-1)

On appelle énergie disponible la fonction S<sup>d</sup> : R x X --> R<sup>+</sup>
définie par :

$$
S^d(t,x) = \sup_{u \in \mathcal{U}, t_1 \ge t} \left\{ - \int_t^{t_1} w_\alpha \, d\alpha \right\} \quad (6-3) \\
(t,x) \to
$$

et énergie de transfert la fonction S^r : R x X --> R+ définie sous l'hypothèse (6-1) par :

$$
S^r(t,x) = \inf_{\substack{u \in \mathcal{U}, t_{-1} \le t \\ (t_{-1}, x^*) \to (t,x)}} \left\{ - \int_{t-1}^{t} w_{\alpha} \, d\alpha \right\} \quad (6-4)
$$

les notations ";(t,x)→" et ";(t_{-1},x^*)→(t,x)" indiquant que l'ex-
tremum est pris le long des trajectoires de phase respectivement
débutant à (t,x) et joignant (t_{-1},x^*) à (t,x).

Théorème 6-2 [W5]

Un système Σ est dissipatif si et seulement si l'énergie
disponible est finie. De plus, dans ce cas, quelle que soit l'éner-
gie potentielle S considérée

1 - 0 ≤ S^d ≤ S et S^d constitue une énergie potentielle possible.

2 - S ≤ S^r et, sous l'hypothèse (6-2), S^r est finie et constitue une énergie potentielle possible.
En appelant $\mathcal{S}$ l'ensemble des fonctions énergies potentielles possibles et si l'on remarque que $S^\alpha = \alpha S^1 + (1-\alpha)S^2$ satisfait l'inégalité de dissipation ($\alpha \in [0,1] : S^1, S^2 \in \mathcal{S}$) on peut énoncer le corollaire suivant :

**Corollaire (6-3)**

Pour tout système dissipatif $\Sigma$ satisfaisant les hypothèses (6-1) et (6-2), $\mathcal{S}$ est un ensemble fermé convexe admettant pour maximum $S^r$ et pour minimum $S^d$.

**2 - Application du lemme positif réel aux systèmes dissipatifs.**

Plaçons nous dans le cas particulier des systèmes $\Sigma$ du type (1-13), tels que $m = p$ ("multipoles") et prenons pour fonction puissance $w_t = u'_t y_t = \frac{1}{2} (u'_t y_t + y'_t u'_t)$.

De la même manière qu'au chapitre 3 (pour $P*$), on démontre que $S^r$ et $S^d$, extrêma de fonctionnelles quadratiques sous contrainte linéaire, sont quadratiques. D'après le théorème (6-2) un système $\Sigma$ sera donc dissipatif si et seulement s'il existe $S_t$ de la forme $S_t = 1/2 x'_t \hat{P}_t x_t$ satisfaisant l'inégalité de dissipation.

Celle-ci prise sous sa forme différentielle s' exprime comme suit :

$$x' \hat{P} [Fx+Gu] + [x'F'+u'G'] \hat{P}_x + x' \hat{P}_x - u' [Hx+Jx] - [x'H'+u'J'] u \le 0 \quad (6-5)$$

En posant :

$$ 
\begin{aligned}
-\hat{Q} &= \hat{P}F + F'\hat{P} + \hat{P}^\circ \\
\hat{R} &= J + J' \\
\hat{S} &= H' - \hat{P}G
\end{aligned}
 $$

on voit que (6-5) revient à imposer que :

$$ \begin{bmatrix} \hat{Q} & \hat{S} \\ \hat{S}' & \hat{R} \end{bmatrix} \ge 0 $$
Autrement dit, et d'après le théorème (3-4), le système Σ est dissipatif si et seulement si la fonction Λ(..) associée est de type réel non négatif.

On peut donc énoncer le théorème suivant :

**Théorème 6-4**

Un système dynamique Σ est dissipatif pour la fonction puissance w : u'y si et seulement si la fonction Λ(..) associée au système est de type réel non négatif.

L'ensemble des énergies potentielles quadratiques est décrit par l'ensemble $\hat{\mathcal{P}}$ des matrices $\hat{\mathcal{P}}$ solutions de (3-15), (3-18), les maxima et minima de cet ensemble étant respectivement l'énergie de transfert et l'énergie disponible. ■

**3 - Application du lemme positif réel à la stabilité des systèmes bouclés sans mémoire.**

On considère une boucle u = -Ψ(y) fermée sur un système dynamique Σ non stationnaire du type (1-12).

L'ensemble est schématisé par la figure suivante :

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

**Théorème 6-4**

Si la fonction Λ(..) associée au système dynamique Σ est de type réel non négatif alors, pour toute entrée u(.) telle que :

$$u'_t y_t \le 0 \quad \forall t \quad (6-5)$$

le système bouclé est stable.
Par hypothèse, il existe $\hat{P}$ appartenant à l'ensemble $\hat{\mathcal{P}}$ défini au théorème 3-4.

Considérons alors la fonction $V(x,t) = x'_t \hat{P}_t x_t$ c'est une fonction de Lyapunov. En effet :

$$ \begin{bmatrix} \frac{\partial V}{\partial t} \end{bmatrix} = x' \hat{P} [Fx+Gu] + [x'F'+4u'G] \hat{P} + x' \hat{P} \hat{u} x $$ 
le long des trajectoires

$$ \frac{\partial V}{\partial t} = - x' \hat{Q} x - 2 x' \hat{S} u - u' \hat{R} u + 2 y' u $$

$$ \frac{\partial V}{\partial t} \le - x' \hat{Q} x - 2 x' \hat{S} u - u' \hat{R} u \quad \text{d'après (6-5)} $$

soit, d'après le théorème (3-4)

$$ \begin{bmatrix} \frac{\partial V}{\partial t} \end{bmatrix} \le 0. $$ 
le long des trajectoires.

### Remarques

On ne suppose rien sur $\Psi$, qui peut être un opérateur quelconque (le cas échéant de nature stochastique). Il suffit que l'hypothèse (6-5) soit remplie.

Le théorème n'est autre que la généralisation au cas non stationnaire du célèbre théorème de POPOV [P1].
# Chapitre VII

## Applications du lemme positif réel
au problème du filtrage

### 1. Lemme positif réel et réalisations markoviennes

La comparaison des expressions (2-19), (2-22) d'une part et (3-3), (3-6) d'autre part, montre l'application directe du lemme positif réel à l'étude des réalisations markoviennes d'un processus y(·). A savoir : il y a correspondance biunivoque entre réalisations markoviennes de y(·) et matrices P(·) associées par le lemme positif réel à la covariance Λ(.,.) du processus.

Le lemme positif réel constitue une condition nécessaire et suffisante pour l'existence de réalisations markoviennes.

Nous allons voir par ailleurs que dans un problème de filtrage linéaire, le filtre est une réalisation particulière (ce qui découle de KAILATH [K1]'), plus précisément, la réalisation markovienne associée à la solution P* définie plus haut (ceci est fait dans FAURRE [F10] pour le cas stationnaire ; la démonstration donnée ici adopte une approche différente).

### 2. Le problème de filtrage linéaire (cas régulier)

On observe un processus gaussien centré y(.) dont on sait qu'il se décompose sous la forme

$$y(t) = z(t) + w(t) \quad t \ge t_o \quad (7-1)$$

où : . w(.) est un bruit blanc (on peut le supposer centré et on désignera par R(.) sa covariance),

<footnote>* où la notion de réalisation markovienne n'est pas abordée en tant que telle.</footnote>
z(t) est un processus centré de variance finie tel que

$$E\{w_t z'_{\tau}\} = 0 \quad \text{pour } t_o \le \tau < t \quad (7-2)$$

(w_t est décorrelé des valeurs passées de z).

### Définition 7-1

On appelle **meilleure estimée linéaire** dans le problème de filtrage, la variable aléatoire :

$$\hat{z}(t) = E\{z(t)/y(\sigma), t_o \le \sigma \le t\}$$

et **erreur de filtrage** la variable aléatoire :

$$\tilde{z}(t) = z(t) - \hat{z}(t)$$

Le problème de filtrage consiste à calculer $\hat{z}(t)$ et le **filtre** désigne le processus de calcul.

### Théorème 7-1 [K1], [K2]

Le processus $v(.)$ appelé **innovation** du processus $y(.)$ et défini par :

$$v(t) = y(t) - \hat{z}(t) = \tilde{z}(t) + w(t) \quad (7-3)$$

est un **bruit blanc** de même covariance que $w(.)$.

Processus et innovation sont liés par un **opérateur linéaire causal** et il existe $g(t, \tau)$ unique tel que

$$\hat{z}(t) = \int_{t_o}^{t} g(t, \tau)v(\tau)d\tau \quad (7-4)$$

avec : $E\{\tilde{z}_t v'_{\tau}\} = 0 \quad \text{pour } \tau \le t$

## 3. Filtrage des processus à réalisations markoviennes

Considérons la classe particulière des processus $y(t)$ dont la covariance $\Lambda(.,.)$ est du type réel non négatif (c'est-à-dire ceux admettant des réalisations markoviennes). On dispose au départ (déduite des observations $y(.)$ d'une représentation $\{F,G,H,R\}$ de $\Lambda$.
Le problème de filtrage que nous nous posons consiste à trouver la meilleure estimée $\hat{x}(t)$ (à partir de la représentation de $\Lambda$ étant donnée). Nous l'aborderons dans le seul cas régulier ($R \to 0$).

### Théorème (7-2)

Si le processus observé $y(.)$ admet des réalisations markoviennes, alors le filtre est la réalisation markovienne associée à la solution $P_*$.

Par abus de langage, nous dirons qu'un processus $x(.)$ solution de (2-7) et (2-8) pour la représentation de $\Lambda$ donnée est une **réalisation de y**. Le théorème peut se démontrer en trois étapes

α) Si $x$ est une **réalisation de y**, $\hat{x} = E\{x/y\}$ l'est également.

D'après le théorème (7-1), il existe $h(t, \tau)$ tel que :

$$x(t) = \int_{t_o}^{t} h(t, \tau) v(\tau) d\tau \quad (7-5)$$

$$\text{avec : } E\{\tilde{x}_t v'_{\tau}\} = 0 \quad \text{pour } \tau < t \quad (7-6)$$

D'où :

$$E\{x_t v'_{\tau}\} = \int_{t_o}^{t} h(t,s) E\{v(s)v'(\tau)\} ds \quad \tau < t \quad (7-7)$$

et d'après le théorème (7-1) :

$$E\{x_t v'_{\tau}\} = h(t, \tau) R(\tau) \quad \tau < t$$

Donc :

$$\hat{x}(t) = \int_{t_o}^{t} E\{x_t v'_{\tau}\} R_{\tau}^{-1} v_{\tau} d\tau \quad (7-8)$$
En dérivant (7-8) par rapport à t et en désignant par $T(t)$ la matrice :

$$ T(t) = E\{x_t v'_t\} R_t^{-1} \quad (7-9) $$

On obtient :

$$ \hat{x}(t) = F(t)x(t) + T(t)v(t) \quad (7-10) $$

qui avec (7-3) démontre le premier point.

Le gain $T(t)$ s'exprime de la manière suivante :

$$ 
\begin{align*}
T_t &= \left[ E\{x_t \tilde{x}'_t\} H'_t + E\{x_t v'_t\} \right] R_t^{-1} \\
T_t &= \left[ E\{(\hat{x}_t + \tilde{x}_t) \tilde{x}'_t\} H'_t + E\{x_t v'_t\} \right] R_t^{-1} \tag{7-11} \\
T_t &= [\Sigma H' + S] R^{-1}
\end{align*}
$$

où la variance $\Sigma$ de l'erreur de filtrage $\tilde{x}$ vérifie l'équation de Riccati :

$$ \Sigma = F\Sigma + \Sigma F' - [\Sigma H' + S]R^{-1}[H\Sigma + S'] \quad (7-12) $$

β) Pour deux réalisations $x_1$ et $x_2$ de y les réalisations associées $\hat{x}_1$ et $\hat{x}_2$ (voir α) sont identiques.

On peut écrire (7-12) pour chacun des processus $x_1$ et $x_2$ dont les variances vérifient d'autre part (cf. 2-6)

$$ \hat{P}_i = F P_i + P_i P' + Q_i \quad i = 1,2 $$

D'où, par soustraction et pour $i = 1,2$ :

$$ [\hat{\Sigma}_i - \hat{P}_i] = F[\Sigma_i - P_i] + [\Sigma_i - P_i]F' - [\Sigma_i H' + S_i]R^{-1}[H\Sigma_i + S'_i] $$

soit, en posant $\pi_i = \Sigma_i - P_i$

$$ \hat{\pi}_i = F\hat{\pi}_i + \hat{\pi}_i F' - [\hat{\pi}_i H' + G]R^{-1}[H\hat{\pi}_i + G] \quad i = 1,2 \quad (7-13) $$

On sait [B3], [B4] que cette équation admet une solution globale unique pour toute condition initiale (ce résultat demeure si $t_0$ tend vers $-\infty$)
Donc $\pi_1 = \pi_2 = \pi$

et $T_i = [\Sigma_i H' + S_i] = P_i H' + S_i + \pi H' = G + \pi H'$ pour $i = 1,2$

soit $T_1 = T_2$

$\hat{x}_1$ et $\hat{x}_2$ étant solutions de la même équation différentiel-
le stochastique sont deux réalisations identiques de y, ce qui dé-
montre le second point.

$\gamma)$ Pour toute réalisation $x$ de $y \hat{x} = x_*$ (de variance $P_*$)

En effet, $\text{var}\{x/y\} \le \text{var}\{x\}$ pour toute réalisation $x$, et $P_*$ est solution minimale dans $\mathcal{P}$.

## 4 - Conclusion

Il est maintenant bien connu que le filtre de Kalman-Bucy donne la meilleure estimée de tout processus gaussien markovien $x$ observé au moyen d'un processus $y$ lié à $x$ par des relations données du type (2-7)-(2-8). On sait que sa mise en œuvre nécessite la connaissance **a priori** de la covariance du bruit $[V_w]$, dont l'estimation est souvent irréalisable dans la pratique. Des techniques telles que le filtrage adaptatif [cf. M6] permettent, il est vrai, de remédier à cet inconvénient.

L'approche que nous avons suivie est différente.

Elle consiste à :

- partir d'une **représentation externe** (covariance) du processus observé $y$.

- établir le lien avec l'ensemble des **représentations internes** de $y$ par modèle linéaire. Chacune de ces représentations fait intervenir un processus gaussien markovien $x$.

On vient de voir que pour chacun de ces processus $x$, le filtre est une représentation interne particulière, la même pour tous.

En fin de compte, on a obtenu le filtre optimal à partir de la seule covariance du processus observé.
# Chapitre VIII

## Calcul d'une représentation - Résultats numériques

### 1. Introduction

Les développements précédents supposent connue une représentation de $\Lambda(.,.)$ sous la forme (3-1). On se pose maintenant le problème de déterminer les éléments de cette représentation à partir des signaux observés. Plus précisément, une fois estimées à partir de ces signaux les valeurs de $\Lambda(t,\tau)$ pour tout couple $(t,\tau)$, on cherche à séparer cette fonction sous la forme :

$$ \Lambda(t, \tau) = A(t)B(\tau)1(t-\tau)+B'(t)A'(\tau)1(\tau-t)+R(t)\delta(t-\tau) \quad (8-1) $$

Le moyen d'obtenir une représentation de $\Lambda(.,.)$ à partir des matrices A,B,R est ensuite connu (se reporter par exemple à [A19]).

### 2. Généralités sur la méthode proposée.

Notons tout d'abord que la nécessité de mettre en oeuvre des techniques digitales conduit à travailler en discret, sur des $\Lambda(i,j)$ échantillonnés.

Pour le cas stationnaire, le premier algorithme résolvant ce problème a été introduit par B.L. HO [H1]. Il présente l'inconvénient n'étant pas récursif de mal se prêter à l'utilisation en temps réel. L'algorithme de RISSANEN [R4], [R5], [F9] répond lui à cette préoccupation. En non stationnaire peu de choses semble-t-il ont été écrites sur le sujet. Des très intéressants résultats de SILVERMAN [S6], on ne peut guère tirer de méthode vraiment applicable dans la pratique (du fait qu'il faut détecter dans une matrice fonction de $(t,\tau)$ une sous matrice de rang constant pour tout $(t,\tau)$).

<footnote>* On laisse de côté le problème (important) de l'estimation des $\Lambda(t,\tau)$.</footnote>
Tout en étant de portée relativement générale, la méthode que nous présentons ne résoud pas le problème global, puisqu'on y recherche A et B sous la forme particulière suivante :

$$A(i) = H F_1^i \qquad (8-2)$$

$$B(j) = F_2^j G \qquad (8-3)$$

ce qui revient à factoriser $\Lambda(.,.)$ comme suit :

$$\Lambda(i,j) = H F_1^i F_2^j G \quad \text{pour } i > j \qquad (8-4)$$

Cette démarche permet d'utiliser certains résultats démontrés par ATTASI dans [A19] sur les images stationnaires. Nous en décrivons ici une mise en œuvre pratique qui généralise celle de RISSANEN dans le cas stationnaire.

Nous ne redonnerons pas les démonstrations qui figurent dans [A19]. Nous ne rappellerons pas non plus la procédure utilisée en stationnaire, mais il pourra être intéressant de se reporter pour comparaison à [F9] dont la suite garde intentionnellement le plan. Enfin, comme dans [F9], nous traiterons seulement le cas monovariable ($m = 1, p = 1$).

### 3. Représentation algèbrique de systèmes linéaires

On peut regarder un système linéaire discret à deux indices comme défini par une application linéaire $f$ opérant du "passé" vers le "futur", de l'espace vectoriel $\Omega = \{ \omega = \{\omega_{-i,-j}, i \ge 0, j \ge 0, \omega_{i,j} \in \mathbb{R}\} \text{des suites d'entrée vers l'espace vectoriel } \Gamma = \{ \gamma = \{\gamma_{kl}\}, k > 0, l > 0, \gamma_{kl} \in \mathbb{R}\} \text{des suites de sortie :} $

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>figure 8-1</figcaption></figure>
Définissons dans les espaces $\Omega$ et $\Gamma$ (de dimension infinie)
les **opérateurs** suivants :

- opérateurs de décalage $\overline{\Psi}_{\Omega_1}, \overline{\Psi}_{\Omega_2}$, et $\overline{\Psi}_{\Gamma_1}, \overline{\Psi}_{\Gamma_2}$ :

$$ \overline{\Psi}_{\Omega_1}[\{\omega_{-i,-j}\}] = \{\omega_{-i-1,-j}\} \text{ et } \overline{\Psi}_{\Gamma_2}[\{\omega_{-i,-j}\}] = \{\omega_{-i,-j-1}\} $$

$$ \overline{\Psi}_{\Gamma_1}[\{\gamma_{k+1,l}\}] = \{\gamma_{k+1,l}\} \text{ et } \overline{\Psi}_{\Gamma_2}[\{\gamma_{k,l}\}] = \{\gamma_{k,l+1}\} $$

- opérateur $\gamma_1$ de projection canonique de $\Gamma$ sur $\mathbb{R}$ :

$$ \gamma \xrightarrow{\gamma_1} \gamma_{11} $$

- opérateur $\gamma_2$ d'injection canonique de $\mathbb{R}$ dans $\Omega$ :

$$ u \xrightarrow{\gamma_2} \{\{\omega_{-i,-j}\}, \omega_{00} = u, \omega_{-i-j} = 0 \text{ ailleurs}\} $$

L'application $f$ sera dite **factorisée** à travers l'espace d'état $X$ de dimension finie $n$, si et seulement si il existe un diagramme commutatif :

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

La factorisation $f = p \cdot q$ sera **canonique** si et seulement si $q$ est surjective et $p$ injective, ce qui entraîne que l'espace d'état est de dimension minimale [K8].

Les éléments $\{\overline{\Psi}_{\Omega_1}^i \cdot \overline{\Psi}_{\Omega_2}^j [\gamma_2(1)]\}, (i,j) \in \mathbb{N}^2$ constituent une base $\mathcal{B}$ de $\Omega$ et leurs transformés par $f : \{\gamma_{k,l}\} = \{\Lambda_{i+k,j+l}\}$
caractérisent l'application $f$ donnée.

Pour revenir à une représentation matricielle plus com-
mode, on fait choix d'une bijection quelconque $\sigma$ de $\mathbb{N}^2$ dans $\mathbb{N}$
($\mathbb{N}^2$ et $\mathbb{N}$ ont même cardinal) qui permet de représenter l'application
$f$ par la matrice symétrique $\mathcal{A}$ telle que :

$$
\mathcal{A}[\sigma(i,j), \sigma(k,l)] = \Lambda(i+k, j+l)
$$

Il va sans dire bien entendu que, réciproquement, la don-
née d'un ensemble $\{\Lambda(i,j)\}$ ou d'une matrice $\mathcal{A}$ caractérise une ap-
plication $f$.

Convention

Pour allèger l'écriture, on notera $A_{i,j}$ la $\sigma(i,j)^{\text{ième}}$
ligne $A_{\sigma(i,j)}$ de $\mathcal{A}$. Cette convention s'appliquera aussi à d'autres matrices.

Théorème 8-1

Soit donc {$\Lambda(i,j)$} donnée associée à une matrice $\mathcal{A}$
rang fini. Supposons que l'application $f$ correspondante admette
une factorisation canonique $p \cdot q$.

Une décomposition particulière des $\Lambda(i,j)$ sous la forme
(8-4), ou $F_1$ et $F_2$ commutent et sont de dimension minimale *, sera
constituée par les matrices $H, F_1, F_2, G$ représentant respectivement
dans la base $\mathcal{B}$ les applications :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
h = \gamma_1 \cdot p \\[1em]
f_1 = p^{-1} \cdot \bigwedge_{\Gamma_1} \cdot p \quad \text{avec } p^{-1} \cdot p = I \quad \text{(identité dans X)} \\[1em]
f_2 = p^{-1} \cdot \bigwedge_{\Gamma_2} \cdot p \qquad (8-6) \\[1em]
g = q \cdot \gamma_2
\end{array}
\right.
$$

<footnote>* au sens de minimalité dans une décomposition 8-4.</footnote>
La démonstration de ce théorème fondamental est donnée dans [A19]. Indiquons simplement que l'idée est d'introduire dans des diagrammes algébriques la transition des états. L'analogie de ces résultats avec le cas stationnaire est évidente (cf.[F9]).

### 4. Algorithme récursif du cas monovariable.

Dans ce qui suit, nous choisirons pour bijection $\sigma$, l'application $\sigma(i,j) = (i-1)nmax + j+1$ qui numérote dans l'ordre lexicographique tous les couples $(i,j)$, $0 \le i \le nmax-1$, $0 \le j \le nmax-1$ (étant admis a priori que $n < nmax$). On notera que ce choix particulier permet de simplifier les explications sans altérer la généralité des démonstrations.

Pour utiliser le théorème 8-1, on cherche à factoriser l'application $f$ ou de manière équivalente, la matrice $\mathcal{A}$.

#### 4.1. Recherche du rang de la matrice $\mathcal{A}$.

##### Théorème 8-2

Si pour $(i,j)$ donné, il existe un ensemble fini $\mathcal{D}^{i,j} \subset \mathbb{N}^2$ tel que :

$\mathcal{A}_{i,j} \text{ est combinaison linéaire de } \{\mathcal{A}_{p,q} ; (p,q) \in \mathcal{D}^{i,j}\} \quad (8-7)$

alors, pour tout $(a,b) \in \mathbb{N}^2$ :

$$ \mathcal{A}_{i+a, j+b} \text{ est combinaison linéaire des lignes} \\ \{ \mathcal{A}_{r,s} ; (r,s) \in \mathcal{D}^{i+a, j+b} \} \qquad (8-8) $$

où $\mathcal{D}^{i+a, j+b}$ est le translaté de $\mathcal{D}^{i,j}$ par la translation $(a,b)$.

##### Démonstration

(8-7) signifie que pour le couple $(i,j)$ :

$$ \Lambda_{i+k, j+1} = \sum_{p,q} c_{pq} \Lambda_{p+k, q+1} \quad \forall (k,l) \in \mathbb{N}^2 \quad (8-9) $$
En écrivant (8-9) pour $k = a + k'$, $l = b + l'$, $(k', l') \in \mathbb{N}^2$, on obtient (8-8).

### Corollaire 8-3

Soit pour un nombre fini de couples $(i,j)$ satisfaisant (8-7) :

$$ egin{cases} \mathcal{N}^{i,j} = \{(i+a, j+b) \mid (a,b) \in \mathbb{N}^2\} \\ \text{et} \\ \mathcal{D} = U_{(i,j)} \mathcal{D}^{i,j} \\ \mathcal{N} = U_{(i,j)} \mathcal{N}^{i,j} \end{cases} $$

et supposons que :

(i) les points de $\mathcal{D}$ correspondant à des lignes indépendantes de $\mathcal{A}$.
(8-10)

$$ (ii) \quad \mathcal{D} \cup \mathcal{N} = \mathbb{N}^2 \qquad (8-11) $$

alors le rang de $\mathcal{f}$ est égal au nombre $n$ de points dans $\mathcal{D}$.

En effet, les points de $\mathcal{N}$ correspondent à des lignes de $\mathcal{A}$ qui sont chacune combinaison linéaire de $p$ autres lignes de $\mathcal{A}$ avec $p \le n$. Les $n$ lignes de $\mathcal{A}$ associées aux points de $\mathcal{D}$ constituent donc une base de $\{\mathcal{A}_{pq} \mid (p,q) \in \mathbb{N}^2\}$ puisqu'en outre, elles sont indépendantes.

On déduit de ce corollaire, pour la bijection $\sigma$ choisie, le critère suivant.

### Critère 8-4

Soient :

• $\{a_i\}$ la suite décroissante des plus petits entiers tels que $A_i, a_i$ soit la première ligne de $A$ indépendante des lignes $\{A_{p,q} \mid 0 \le p \le i, 0 \le q < a_p\}$ précédentes.

• $i_{\max}$ le plus petit entier $i$ tel que $a_i = 0$

Le rang de $\mathcal{f}$ est égal au nombre de points du domaine $\mathcal{D} = \{(i,j) \in \mathbb{N}^2; 0 \le i < i_{\max}, 0 \le j < a_j\}$ soit :

$$ \left[ \begin{array}{c|c} \text{imax}-1 & \\ n = \sum_{1}^{n} & a_j \end{array} \right. $$
Cette factorisation s'effectuera récursivement (en même temps que la détermination de $n$) au moyen de l'algorithme suivant :

$$ \underset{\mathcal{P}=1}{\overset{\text{étape 0}}{\mathcal{Q}}} = \mathcal{A}_{0,0} $$

### étape(i,j)

A ce stade, $\mathcal{Q}$ est constituée de $p+1$ lignes indépendantes de $\mathcal{A}: \mathcal{A}_{\sigma_0} \dots \mathcal{A}_{\sigma_p}$. On a pu former une matrice $\mathcal{S}, (p+1) \times (p+1)$, régulière :

$$ \mathcal{S}(r,s) = \mathcal{A}(\sigma_r, \gamma_s) \quad r,s=0,\dots,p \quad (8-13) $$

$$ \text{Si } (b)_{i,j} = \mathcal{A}[\sigma(i,j), \gamma_s] \quad s=0,\dots,p \quad (8-14) $$

$$ \text{alors } (\alpha)_{i,j} = \mathcal{S}^{-1}(b)_{i,j} $$

Comparons les vecteurs lignes $(\alpha)_{i,j} = \mathcal{Q}$ et $\mathcal{A}_{i,j}$ :

- ou bien une inégalité significative est détectée ($\mathcal{A}_{i,j}$ est indépendantes des lignes $\mathcal{A}_{\sigma_i}$ précédentes pour $i = 0, \dots, p$) On borde $\mathcal{P}$ par $[\begin{smallmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{smallmatrix}]$ et $[0, \dots, 1]$ et l'on reporte $\mathcal{A}_{i,j}$ dans $\mathcal{Q}$.

Puis on forme une nouvelle matrice $\mathcal{S}$ (par addition d'une ligne et d'une colonne) d'où l'on déduit $\mathcal{S}^{-1}$.

- ou bien on augmente $\mathcal{P}$ de la ligne $(\alpha)_{i,j}$ sans changer $\mathcal{Q}$ ni $\mathcal{S}$.

### Remarque

Les matrices $\mathcal{P}$ (parce qu'elle contient toutes les lignes d'une matrice unité) et $\mathcal{Q}$ (parce qu'elle est régulière) correspondent bien à des applications respectivement injective et surjective.

## 4.3. Simplification de la procédure et construction de $H, F_1, F_2, \dots, G$.

Il faut se rappeler que la factorisation de $\mathcal{A}$ ne nous intéresse par en tant que telle, mais dans la mesure seulement où
elle permet de trouver H, F₁, F₂, G. On peut allèger considérablement les calculs en tenant compte des points suivants :

- Il est inutile de considérer les étapes (i,j) pour lesquelles i > i max, le plein rang étant déjà atteint.

- D'autre part, <u>aucun calcul</u> n'est à faire pour les étapes (i,j) telles que $j \ge a_{i-1}$. Ce dernier point découle du théorème ci-dessous.

**Théorème 8-5**

Soit $\mathcal{P}$ de la forme (8-12). Si $y = [y_{\sigma_1} \dots y_{\sigma_2} \dots y_{\sigma_n}]'$ est un vecteur de $p(X)$, l'antécédent $p^{-1}(y)$ de y dans X est le vecteur :

$$x = [y_{\sigma_1} \ y_{\sigma_2} \dots \ y_{\sigma_n}]' . \quad \blacksquare$$

La démonstration est immédiate. Comme d'après le théorème (8-1), on compose $p^{-1}$ à $\prod_{i} p(i=1,2)$, il suffit de calculer les lignes $\mathcal{P}_{i,j}$ de $\mathcal{P}$ pour tous les (i,j) tels que $\mathcal{P}_{i-1,j}$ ou $\mathcal{P}_{i,j-1}$ (si elles existent) sont les lignes de matrice identité D'où le critère énoncé.

**Corollaire 8-6**

Les matrices H, F₁, F₂, G s'obtiennent ainsi :

1) H = première ligne de $\mathcal{P}$ = [1 0 0 0 ...]

2) G = première colonne de $\mathcal{Q}$

3) si $\mathcal{P}^1$ et $\mathcal{P}^2$ sont déduites de $\mathcal{P}$ par décalage :

$$\{ \mathcal{P}_{i,j}^1 \} = \{ \mathcal{P}_{i-1,j} \} \text{ et } \{ \mathcal{P}_{i,j}^2 \} = \{ \mathcal{P}_{i,j-1} \},$$

les matrices F₁ et F₂ sont constituées respectivement des lignes $\sigma_1 \dots \sigma_n$ de $\mathcal{P}^1$ et $\mathcal{P}^2$. ■

La figure 8-4 donne l'organigramme général.
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>figure 8-4</figcaption></figure>

4.4. Remarques-Exemples.

Le rang de la matrice $A$ détermine l'ordre de la représentation.
Or ce rang "théorique" est plus ou moins accessible en pratique, à cause
des différentes erreurs et du fait qu'une indépendance linéaire n'est
toujours appréciée qu'à "$\epsilon$ près".

$\epsilon$ variant, on obtiendra divers ordres pour les quels la suite $\Lambda(i,j)$
de départ est plus ou moins bien approximée.
Quatre exemples sont donnés en annexe. Le premier part d'une suite $\Lambda(i,j)$ pour laquelle il est visible que la matrice $\Lambda$ associée est de rang 4. On obtient effectivement, pour une valeur donnée de $\epsilon$, une représentation "éxacte" d'ordre 4. Il se trouve qu'une valeur supérieure de $\epsilon$ donne également une représentation éxacte, mais d'ordre 3. Ceci nous amène à souligner que le terme de minimalité du théorème (8-1) concerne uniquement des quadruplets $\{H,F_1,F_2,G\}$ où $F_1$ et $F_2$ commutent (ce qui est le cas à l'ordre 4 pour l'exemple considéré, mais pas à l'ordre 3).

Dans les exemples suivants, la suite de départ est générée par un quadruplet de matrices $\{H,F_1,F_2,G\}$ où les matrices $F_1$ et $F_2$ sont diagonales et telles que la distance maximale entre valeurs propres diminue du premier au dernier éxemple. Comme on pouvait s'y attendre, l'ordre de la représentation trouvée pour un $\epsilon$ donné diminue dans le même temps.
Complément sur le cas discret

Nous n'avons considéré jusqu'ici que le cas des modèles continus ($t \in \mathbb{R}$), mais il convient de noter qu'on peut "transcrire" en discret ($t \in \mathbb{Z}$) les développements précédents.

Ainsi les relations (3-3) à (3-6) du lemme positif réel deviennent :

$$ F_k P_k F'_k - P_{k+1} = -Q_k \qquad k \in \mathbb{Z} \qquad (C-1) $$

$$ G_k - F_k P_k H'_k = S_k \qquad (C-2) $$

$$ \Lambda_k^\circ - H_k P_k H'_k = R_k \qquad (C-3) $$

$$ \begin{bmatrix} Q_k & S_k \\ S'_k & R_k \end{bmatrix} \ge 0, \quad P_k > 0 \qquad (C-4) $$

(ces relations généralisent celles, (4-28) à (4-31, de [F10]).

Seul le lemme (4-2) relatif à la dualité demande dans le cas discret une démonstration différente que nous donnons ici.

**Lemme.**

Si $P(.)$ est solution du problème discret $\{F,G,H,\Lambda^\circ\}$, $\pi(.)$ est solution du problème dual $\{\bar{F}',\bar{H}',\bar{G}',\bar{\Lambda}^\circ\}$ où $\pi(.)$ est la fonction définie pour tout $k$ par :

$$ \pi(k) = P^{-1}(-k+1) \quad \blacksquare $$

Dans un changement de base de matrice $T(.) = [P(.)]$ les relations (C-1) à (C-4) deviennent ($P(.)$ est égal à $I$ dans la nouvelle base) :

$$ \begin{cases} \hat{F}_k \hat{F}'_k - I = \hat{Q}_k \\ \hat{G}_k - \hat{F}_k \hat{H}'_k = \hat{S}_k \\ \hat{\Lambda}_k^\circ - \hat{H}_k \hat{H}'_k = \hat{R}_k \end{cases} \qquad (C-5) $$

$$ \hat{G}_k - \hat{F}_k \hat{H}'_k = \hat{S}_k \qquad (C-6) $$

$$ \hat{\Lambda}_k^\circ - \hat{H}_k \hat{H}'_k = \hat{R}_k \qquad (C-7) $$

$$ \text{avec} \quad \begin{bmatrix} \hat{Q}_k & \hat{S}_k \\ \hat{S}'_k & \hat{R}_k \end{bmatrix} \ge 0 \qquad (C-8) $$
Considérées pour chaque k dans Z les relations (C-5) à (C-8) signifient que chaque problème **stationnaire** {$\hat{F}_k, \hat{G}_k, \hat{H}_k, \hat{\Lambda}_k^\circ$} admet I pour solution.

On sait alors (cf [F10]) que les problèmes **stationnaires** {$\hat{F}'_k, \hat{H}'_k, \hat{G}'_k, \hat{\Lambda}'_k$} admettent $[I]^{-1} = I$ pour solution, ce qui peut s'écrire :

$$ \left\{ \hat{F}'_k \hat{F}_k - I = - Q_k^1 \qquad (C-9) \right. $$

$$ \left. \hat{H}'_k - \hat{F}'_k \hat{G}_k = S_k^1 \qquad (C-10) \right. $$

$$ \left. \hat{\Lambda}'_k - \hat{G}'_k \hat{G}_k = R_k^1 \qquad (C-11) \right. $$

$$ \text{avec} \qquad \begin{bmatrix} Q_k^1 & S_k^1 \\ S_k^1 & R_k^1 \end{bmatrix} \ge 0 \qquad (C-12) $$

En remplaçant $\hat{F}, \hat{G}, \hat{H}, \hat{\Lambda}^\circ$ par leurs valeurs en fonctions de $F, G, H, \Lambda^\circ$ dans (C-9) à (C-12), on obtient les relations du lemme positif réel qui signifient que $\pi(\cdot)$ est solution du problème dual {$\tilde{F}, \tilde{G}, \tilde{H}, \tilde{\Lambda}'_k$} = {$\bar{F}', \bar{H}', \bar{G}', \bar{\Lambda}'_k$}.
# ANNEXES et BIBLIOGRAPHIE

- Annexe 1 : Systèmes dynamiques.

- Annexe 2 : Programme et exemples.

- Bibliographie.
# Annexe 1-A. Modèle d'état d'un système dynamique Σ.

## Définition A-1 [W3], [W5]

Un tel modèle est défini par les ensembles $U_t$, $Y_t$, $\mathcal{N}_t$, $\mathcal{Y}_t$, $X_t$, T et les applications $\varphi$ et $r$ où :

i) T espace de temps est un sous ensemble ordonné de $\mathbb{R}$.

ii) '$\mathcal{N}$' et '$\mathcal{Y}$' espaces "d'entrée" et "de sortie" sont des ensembles de fonctions $u(\cdot)$ et $y(\cdot)$ définies sur T et prenant valeurs à l'instant $t$ dans les espaces vectoriels $U_t$ et $Y_t$.

iii) $X_t$ est l'espace d'état à l'instant $t$ et sa dimension est la dimension du système (supposé constante).

iv) Pour $t_0$ fixé dans T et $t \ge t_0$, $\varphi$ est une application de $X_{t_0} \times \mathcal{N}_t$ dans $X_t$ telle que :

$$a) \varphi(t_1, t_0, x_0, u_1) = \varphi(t_1, t_0, x_0, u_2) \text{ si } u_1 = u_2,$$

$$V_{t_0} \le t \le t_1 \quad (\text{déterminisme}).$$

$$b) \varphi(t_0, t_0, x_0, u) = x_0 \quad (\text{consistance}).$$

$$c) \varphi(t_2, t_0, x_0, u) = \varphi(t_2, t_1, \varphi(t_1, t_0, x_0, u), u) \quad (\text{propriété de groupe}).$$

$\varphi$ fournit l'état à un instant donné en fonction de l'entrée et des conditions initiales.

vi) l'application $r$ de $X_t \times U_t$ dans $Y_t$ donne la sortie en fonction de l'état et de l'entrée.
$r_t(\varphi(t, t_0, x_0, u), u(t))$ définie pour $t \ge t_0$ est la restriction à $(t_0, \infty)$ d'un élément de $\mathcal{Y}$.

Nous ne considérons que des **systèmes dynamiques réguliers**, pour lesquels $\varphi$ et $r$ sont continues pour $t \ge t_0$.

## Annexe 1-B. Notions concernant l'influence entrée-état ou état-sortie - Définitions.

1 - L'état $x$ est dit **atteignable** au temps $t$ (on dit aussi la phase $(x,t)$ est atteignable) si :

$$\exists t_{-1} \le t < t, \exists u_{-1} \text{ tels que } x = \varphi(t, t_{-1}, 0, u_{-1})$$

L'état $x$ est dit **commandable** au temps $t$ si :

$$\exists t_1 \ge t, \exists u_1 \text{ tels que } \varphi(t_1, t, x, u_1) = 0$$

On obtient les notions complémentaires dites respectivement d'atteignabilité ou commandabilité :

- en **temps fini**, en imposant que $t_1$ ou $t_{-1}$ soit fini.

- en **temps donné** en imposant que $t - t_{-1}$ ou $t_1 - t$ soit donné.

- **différentielle** (on dit aussi totale) en imposant que $|t - t_{-1}|$ ou $|t - t_1|$ soit arbitrairement petit.

- **uniforme**, en imposant l'existence d'une fonction $\alpha$ continue, telle que :

$$\max_{t, t_1} (t, t_1) \quad \quad \left| \left| u_1^2 \right| \right. \quad \forall \sigma \le \alpha (\left| x \right|) \quad i = 1, -1 \\ \min_{t, t_1}$$

L'état $x_1$ est dit **connecté** à $x_2$ si :

$$\exists t_1 \le t_2, \exists u \text{ tels que } x_2 = \varphi(t_2, t_1, x_1, u)$$

2 - L'état $x$ est dit **observable** à $t$ et **reconstructible** à $t$ si respectivement :

- l'ensemble $\{y(\sigma), \sigma \ge t\}$ correspondant à $\{u(\sigma) = 0, \sigma \ge t\}$ détermine $x$ de façon unique.

- l'ensemble $\{y(\sigma), \sigma \le t\}$ correspondant à $\{u(\sigma) = 0, \sigma \le t\}$ détermine $x$ de façon unique.

On peut de la même manière que ci dessous définir les notions d'observabilité-reconstructibilité **en temps fini** ou **différentielle**, ainsi qu'une notion d'observabilité uniforme :

$\exists t_1 > t \quad \exists \beta : R \to R \text{ monotone croissante avec } \beta(0) = 0 \text{ telle que :}$

$$\int_{t}^{t_1} \left| \left| y(\sigma, \varphi(\sigma, t, x, 0), 0) \right| \right|^2 d\sigma \le \beta \left| \left| x \right| \right|$$

et de reconstructibilité uniforme :

$\exists t_1 < t, \exists \beta : R \to R \text{ monotone décroissante avec } \beta(0) = 0 \text{ telle que :}$

$$\int_{t-1}^{t} \left| \left| y(\sigma, \varphi(\sigma, t-1, x, 0), 0) \right| \right|^2 d\sigma \le \beta \left| \left| \varphi(t, t-1, x, 0) \right| \right|$$

3 - Un espace d'état sera dit **complètement commandable**, **observable** etc..., si toute phase $(x,t)$ a la propriété correspondante (si ce n'est vrai qu'à un instant $t$ particulier, on prévoiera "complètement commandable à l'instant $t$"). Dans le cas de propriété uniforme les fonctions $\alpha$ et $\beta$ définies ci-dessus doivent être communes à toutes les phases.
# Annexe I-C Propriétés de commandabilité observabilité pour une réalisation $[F,G,H]$ de système dynamique.

Les théorèmes qui suivent permettent d'obtenir en termes de réalisations des critères algébriques de commandabilité-observabilité. Avant de les énoncer, nous introduirons les matrices et scalaires suivants :

## Définition C-1.

A toute réalisation donnée, on peut associer les matrices :

$$ egin{cases} W(t \mid t_1, t_2) = \int_{t_1}^{t_2} \Phi(t, \tau) G(\tau) G'(\tau) \Phi'(t, \tau) \, d\tau \\ M(t \mid t_1, t_2) = \int_{t_1}^{t_2} \Phi'(\tau, t) H'(\tau) H(\tau) \Phi(\tau, t) \, d\tau \\ G(t \mid t_1, t_2) = M(t \mid t_1, t_2) W(t \mid t_1, t_2) \end{cases} $$

et

$$ C_k(t) = [G (\Delta G) \dots (\Delta^{k-1} G)]_t $$

$$ O_k(t) = [H'(\delta H)' \dots (\delta^{k-1} H)']_t $$

$$ \Gamma_{i,j}(t) = O_i(t) C_j(t) $$

où : $\delta$ et $\Delta$ désignent les opérateurs définis par :

$$ (\Delta G) = \frac{dG}{dt} - FG \quad \text{et} \quad (\Delta H) = \frac{dH}{dt} + HF $$

D'autre part, les matrices $W(t \mid t, t_1)$ et $M(t \mid t, t_1)$ sont symétriques, semi définies positives, de rang monotone non décroissant avec $t_1$ (et borné par n). Il existe donc un intervalle $[a,b]$ sur lequel $W(a \mid a, b)$ et $M(a \mid a, b)$ atteignent leur rang maximum $r_o$ et $r_o$. On appellera $\underline{r}$ le rang de $G(a \mid a, b)$. ($r_o \le \min(r_o, r_o) \le \max(r_o, r_o) \le n$)

## Remarque :

Les matrices $C_k$ et $O_k$ ne sont définies qu'à la condition que $F(\cdot), G(\cdot), H(\cdot)$ soient respectivement k-2,k-1,k-1 fois différentiables par morceaux, hypothèse supposée acquise chaque fois qu'on utilisera ces matrices.

## Théorème C-1 [K6], [KB], [W5].

$$ (x,t) \text{ atteignable} \iff \exists t_{-1} < t \quad t,q \quad x \in \mathcal{I}_m W(t \mid t_{-1}, t) $$

$$ (x,t) \text{ commandable} \iff \exists t_1 > t \quad t,q \quad x \in \mathcal{I}_m W(t \mid t, t_1) $$

$$ (x,t) \text{ non reconstructible} \iff \forall t_{-1} < t \quad x \in \ker M(t, t_{-1}, t) $$

$$ (x,t) \text{ non observable} \iff \forall t_1 > t \quad x \in \ker M(t \mid t, t_1) $$

## Corollaire C-2

$$ \Sigma \text{ complètement atteignable} \text{ à } t \iff \exists t_{-1} < t \quad t,q \quad \text{rg}[W(t_1 \mid t_{-1}, t)] = n $$

$$ \Sigma \text{ complètement commandable} \text{ à } t \iff \exists t_1 > t \quad t,q \quad \text{rg}[W(t \mid t, t_1)] = n $$

$$ \Sigma \text{ complètement reconstructible} \text{ à } t \iff \exists t_{-1} < t \quad t,q \quad \text{rg}[M(t_1 \mid t_{-1}, t)] = n $$

$$ \Sigma \text{ complètement observable} \text{ à } t \iff \exists t_1 > t \quad t,q \quad \text{rg}[M(t \mid t, t_1)] = n $$

$$ \Sigma \text{ uniformément commandable} \iff \forall t, \exists t_1 > t, \exists \varepsilon_1 > 0 \quad t,q \quad \varepsilon_1 I < W(t \mid t, t_1) $$

$$ \Sigma \text{ uniformément observable} \iff \forall t, \exists t_1 > t, \exists \varepsilon_2 > 0 \quad t,q \quad \varepsilon_2 I < M(t \mid t, t_1) $$

## Théorème C-3 [S1], [S8].

1) Une condition suffisante de complète commandabilité à l'instant $t$ pour $\Sigma$ est qu'il existe $t_1 > t$ tel que $rg[C_n(t_1)] = n$

2) Cette condition est nécessaire si $F(\cdot)$ et $G(\cdot)$ sont analytiques.

3) $\Sigma$ est totalement commandable sur $[t_1, t_2]$ si et seulement si :

$$ \text{rg}[C_n(\cdot)] = n \quad \text{presque partout sur } [t_1, t_2] $$

4) $\Sigma$ est uniformément commandable sur $[t_1, t_2]$ si et seulement si :

$$ \text{rg}[C_n(\tau)] = n \quad \forall \tau \in [t_1, t_2] $$

Les critères correspondants existent avec la matrice $\mathcal{O}$ pour les notions d'observabilité.

## Définition C-2

On dit qu'un triplet $[F,G,H]$ est de rang constant $(q_o, q_\alpha)$ s'il existe $(k,1) \subset \mathbb{N}^2$ tel que pour tout $t$ :

$$ \cdot \text{rg}[C_k] = \text{rg}[C_{k+1}] = q_o $$

$$ \cdot \text{rg}[C_1] = \text{rg}[C_{1+1}] = q_o $$

On appellera **indice de commandabilité** $\alpha$ et **indice d'observabilité** $\beta$ les plus petits entiers $k$ et $l$ pour lesquels ces relations sont satisfaites. ($\alpha$ et $\beta$ peuvent être supérieurs à $\alpha$.)
**Théorème C-4** [K6].

`{F,G,H}ⁿ est minimal, en tant que représentation de sa fonction de pondération K(....) si et seulement si r = n. De plus, si r < n, la dimension des réalisations minimales de K(....) est r. ■`

Il n'est pas vrai, en général qu'un triplet {F,G,H}ⁿ commandable et observable soit minimal en tant que réalisation d'un système Σ.(alors qu'il l'est comme représentation de sa fonction de pondération).

Un triplet {F,G,H}de rang constant possède cependant cette propriété, ainsi qu'un certain nombre d'autres, que nous résumerons dans le théorème suivant :

**Théorème C-5** [S6].

Soit {$F,G,H$}ⁿ réalisation de rang constant d'un système Σ ; alors

i) $v\{(k,1) : k > \alpha, 1 > \beta\}, rg[C_k] = q_c$ et $rg[C_1] = q_0$

ii) $rg[\Gamma_{\beta\alpha}(\cdot)]$ est une constante $q$ ($q < \min(q_c, q_0) \le \max(q_c, q_0) \le n$)

iii) {$F,G,H$}ⁿ est commandable (resp. observable) si et seulement si $q_c = n$ (resp. $q_0 = n$)

iv) {$F,G,H$} est minimale (simultanément comme réalisation de Σ et représentation de $K(.,..)$) si et seulement si $q = n$.

**Annexe 1-D Transformations et relations d'équivalence dans un ensemble de réalisations.**

Soit un système dynamique Σ. Désignons par $\mathcal{R}^n$ l'ensemble des réalisations de Σ. D'autre part, $\mathcal{R}^m$ est une fonction de pondération pour Σ, on notera $\mathcal{R}_k^m$ l'ensemble des représentations de $\mathcal{K}(.,..)$ ayant une dimension n donnée.

**Définition D-1**

Dans le groupe $T_a$ des transformations algébriques :

$T_a = \{ \theta : \theta[\{F,G,H\}] = \{(TF+\hat{T})T^{-1}, TG,HT^{-1}\}, \det T > 0 \}, \text{ on définit les sous-ensembles suivants (ayant également une structure de groupe) :}$

• groupe $T_p$ des **transformations topologiques** :

$$T_p = \{ \theta \in T_a : \|T\| < k_1, \|T^{-1}\| < k_2 \}$$

• groupe $T_c$ des **transformations de Lyapunov** :

$$T_1 = \{ \theta \in T_p : \| \hat{T} \| < k_3 \}$$

• groupe $T_s$ des **transformations strictes** :

$$T_s = \{ \theta \in T_1 : T() \text{ constante} \}$$

• groupe $T_{ep}$ des **transformations de Lyapunov périodiques** :

$$T_{ep} = \{ \theta \in T_1 : T(t+c) = T(t), c \text{ constante} \}.$$

**Définition D-2** [A2]

Un sous-ensemble $\mathcal{R}_v$ de $\mathcal{R}$ sera dit **fermé** pour le groupe $T_v$ si :

$$v[F,G,H] \in \mathcal{R}_v, \quad v\theta \in T_v, \quad \theta[\{F,G,H\}] \in \mathcal{R}_v.$$

On appellera **groupe maximal** $T_M(\mathcal{R})$ l'union des groupes T pour lesquels $\mathcal{R}_v$ est fermé. $T_M$ représente le groupe des transformations qui conservent une propreté caractéristique de $\mathcal{R}_v$(ou son contraire).

**Théorème D-1** [Y2].

Sur $[a,b]$, $\mathcal{R}_k^r$ est classe d'équivalence pour l'équivalence algébrique.\* De plus dans $\mathcal{R}_k^n$ existe une réalisation canonique $\{0,0,\Psi^n\}$ avec $\theta' = (\theta'_1, \theta'_2, 0, 0)$ et $\Psi = (\Psi_1, 0, \Psi_3, 0)$

où : . $(0,\theta_1,\Psi_1)^r$ est représentation de $\mathcal{K}(.,..)$ commandable et observable sur $[a,b]$.

• $(0,\theta_2,0)^{r_c-r}$ est commandable sur $[a,b]$.

• $(0,0,\Psi_3)^{r_o-r}$ est observable sur $[a,b]$.

les constantes $a,b,r_o,r_c$ ayant la même signification qu'en annexe C.

**Théorème D-2** [M1].

Le sous-ensemble des représentations dans $\mathcal{R}_k^r$ respectivement (F,G) semi stationnaire, (H,F) semi-stationnaire, stationnaire est classe d'équivalence pour l'équivalence stricte (sous réserve d'existence).

**Théorème D-3** [S5].

Le sous-ensemble des représentations dans $\mathcal{R}_k^r$ qui sont uniformes est classe d'équivalence pour l'équivalence de Lyapunov (sous réserve d'existence).

**Théorème D-4** [A2].

Le groupe $T_M$ correspondant aux sous-ensembles des représentations dans $\mathcal{R}_k^r$ qui sont respectivement stables, asymptotiquement stables, ou uniformément stables est $T_p$ (sous réserve d'existence).

<footnote>\* Il n'est pas de même, en général, pour les représentations de $\mathcal{H}(.,.)$.</footnote>
**Théorème D-5** [A2].

Le sous ensemble des représentations dans $\Lambda_k^R$ qui sont périodiques est classe d'équivalence pour l'équivalence associée à $T_{ep}$ (sous réserve d'existence).

**Théorème D-6** (sur les réalisations de rang constant) [S1], [S6].

Le sous ensemble des réalisations d'un système $\mathcal{L}$ qui sont de rang constant est classe d'équivalence pour l'équivalence algébrique, les indices $\alpha$ et $\beta$ et les matrices $\Gamma_{\beta,\alpha+1}$ et $\Gamma_{\beta+1,\alpha}$ étant des invariants du sous ensemble.

D'autre part, dans cette classe existe une première réalisation "canonique" $\{0,G,H\}$ de rang constant, avec $G' = [G'_1,G'_2,0,0]$, $H = [H_1,0,H_3,0]$ où :

$$ \begin{cases} \{0, G_1, H_1\}^q \text{ est de rang constant } (q,q) \\ \{0, G_2, 0\}^{q_c-q} \text{ est de rang constant } (q_c-q, 0) \\ \{0, 0, H_3\}^{q_0-q} \text{ est de rang constant } (0, q_0-q) \end{cases} $$

et une seconde $\{\tilde{F}, \tilde{G}, \tilde{H}\}$ avec

$$ \tilde{F} = \begin{bmatrix} F_{11} & 0 & F_{13} \\ F_{12} & F_{22} & F_{23} \\ 0 & 0 & F_{33} \end{bmatrix}; \quad \tilde{G} = \begin{bmatrix} G_1 \\ G_2 \\ 0 \end{bmatrix}; \quad \tilde{H} = [H_1, 0, H_3] $$

où $\{F_{11}, G_1, H_1\}^q$ est une réalisation commandable et observable (i.e minimale) et de rang constant.

**Remarque**

De la propriété d'invariance de $\Gamma_{\beta,\alpha+1}$ (ou $\Gamma_{\beta+1,\alpha}$) on déduit un critère permettant de savoir si un système admet une réalisation de rang constant, stationnaire ou périodique, à savoir que $\Gamma_{\beta,\alpha+1}$ (ou $\Gamma_{\beta+1,\alpha}$) possède la propriété considérée.
ANNEXE 2-A. Programme.

LISTING DU PROGRAMME.

FORTRAN LS,CO

AE-1

1: COMMON H(5),G(5),F1(5,5),F2(5,5),A(11,11),S(5,5),SI(5,5),NMA2

2: INTEGER 8INDIC(6)

3: DIMENSION P(36,11),INDIC(5)

4: NMAX=6

5: C PARTIE I

6: C -------

7: C NMA=NMAX-1 EST LA DIMENSION FINALE MAX POSSIBLE.POUR LA MODIFIER CHANGER LES

8: C CARTES NMAX=DIMENSION,COMMON ET INTEGER(PROG.ET S.PROG.)

9: C NEX=NB. C'EXEMPLES TRAITES.IORDR=DIMENSION POUR CHACUN.

10: 110 FORMAT(SF10.5)

11: NMA=NMAX-1

12: NMA1=2*NMA

13: NMA2=2*NMA+1

14: NMAXC=NMAX*NMAX

15: READ 5CC ,NEX

16: 500 FORMAT(I2)

17: DO 100 III=1,NEX

18: PRINT 8CC,III

19: 800 FORMAT(1H,10CX,11HEXEMPLE NC ,12,,39X,15(1H*),//)

20: PRINT 8C2

21: 8C2 FORMAT(//,40X,9HI-DANNEES//,40X,9(H-)//)

22: C LECTURE ET IMPRESSION DES DONNEES.SI IORDR=0,DONNEE DIRECTE DES A(I,J).

23: READ 5CC,IORDR

24: IF(IORDR)3,2,0

25: 2 READ 5CC,NA

26: DO 2C1 C=1,NMA2

27: DO 2C1 I=1,NMA2

28: 201 A(I,J)=C.

29: READ 11C,((A(I,J),C=1,NA),I=1,NA)

30: PRINT 3C1

31: 3C1 FORMAT(//10X,21+SUITE A(I,J) INITIALE//)

32: PRINT 3CC,((A(I,J),C=1,11),I=1,11)

33: 3CC FORMAT(1X,21E10.3)

34: G9 T9 21

35: 3 READ 11C,(H(I),I=1,IORDR)

36: READ 11C,(G(I),I=1,IORDR)

37: READ 11C,((F1(I,J),C=1,IORDR),I=1,IORDR)

38: READ 11C,((F2(I,J),C=1,IORDR),I=1,IORDR)

39: C CALCULE DES A(I,J) 'NON EQUITES' A PARTIR DES PARAMETRES LUS.

40: CALL CALA(IORDR)

41: C 'BRLITAGE' EVENTUEL DE CES A(I,J).DISTRIBUTION NORMALE,MAYENNE MU,ECART SIGMA.

42: SIGMA=C.

43: IF(SIGMA)7,8,7

44: 7 IG=0

45: IRN1=2*(2*34-2)+1

46: IALFA=2**18+3

47: MU=C.

48: DO 4 I=1,NMA

49: DO 4 J=1,NMA2

50: CALL RANDBM(SIGMA,MU,IG,IALFA,IFN1,SN1,SN)

51: I1=2*I

52: I2=I1-1

53: A(I1,J)=A(I1,J)+SN

54: 4 A(I2,J)=A(I2,J)+SN1

55: C IMPRESSIONS.

56: 8 CALL IMPRES(IORDR)

57: 21 PRINT 8C4

58: 8C4 FORMAT(//,37X,12HII-RESULTATS,,37X,12(1H-)//)
## PARTIE II

59: C

60: C

---

61: C INITIALISATIONS.EPS=PRECISION POUR APPRÉCIER UNE INDEPENDANCE LINEAIRE.

62: M18RC=C

63: ITI=1

64: C BALAYAGE SLR EPSILON

65: D9 1000 IEPS=1,61

66: EPS=EXP(ALOG(1.E-06)*(61.-FLOAT(IEPS))/60.)

67: D9 23 I=1,NMAX

68: 23 &NDIC(I)=C

69: D9 24 I=1,NMA2

70: D9 24 I=1,NMAXC

71: .24 P(I,1)=C.

72: C TRAITEMENT ETAPE 1.

73: ICHAC=1

74: P(1,1)=1.

75: S(1,1)=A(1,1)

76: &NDIC(1)=1

77: SI(1,1)=1./A(1,1)

78: I8RDR=1

79: INDIC(1)=1

80: G(1)=A(1,1)

81: IAIM1=NMAXC

82: IAI=NMAXC

83: C TRAITEMENT ETAPE II.

84: D9 90C II=2,NMAXC

85: CALL SIGINV(II,II,I1,I2,NMAX)

86: IF(TAIM1.EG.1) G9 T9 65

87: IF((TAIM1.LT.)AND.(J.LT.NMAX))G9 T9 900

88: IF(J.EG.NMAX).TAIM1.IAI

89: C CALCLL DE (ALPHA)(I,J)

90: 25 D9 28 L=1,18RDR

91: D9 28 K=1,18RDR

92: CALL CASE(II,&NDIC(K),RES)

93: 28 P(II,L)=P(II,L)+RES*SI(K,L)

94: IF(TAI=0)SOC,3C,3C

95: C TEST D'INDEPENDANCE,

96: 3C D9 4C L=1,NMAXC

97: CALL CASE(II,L,RES)

98: TEMP=RES

99: D9 42 M=1,18RDR

100: CALL CASE(INDIC(M),L,RES)

101: 42 TEMP=TEMP+P(II,M)*RES

102: IF(ABS(TEMP)-EPS)40,60,60

103: 4C CONTINUE

104: C TRAITEMENT CAS DEFENDANT,

105: IAI=0

106: G9 T9 SOC

107: C TRAITEMENT CAS INDEPENDANT,

108: 6C IF(NMA-18RDR)648,648,602

109: 6C2 I8RDR=18RDR+1

110: INDIC(18RDR)=II

111: D9 61 L=1,18RDR

112: 61 P(II,L)=C.

113: CALL SIGINV(II,II,I1,I2,I1,I2,NMAX)

114: G(18RDR)=A(II,12)

115: P(II,18RDR)=1.

116: IG=18RDR-1

117: D9 64 K=1,18

118: CALL CASE(II,&NDIC(K),RES)

119: 64 S(18RDR,K)=RES

120: CALL CHBICB(INDIC,&NDIC,18RDR,EPS)

121: CALL INVERT(S,SI,18RDR,ICH8C,RES)

122: IF(ICH8C)648,648,900

123: SOC CONTINUE

124: ITI=1

125: G9 T9 65
126: C PARTIE III
127: C
128: C TESTS POUR IMPRESSION,
129: 648 ITI=ITI-1
130: IF(ITT)1000,649,65
131: 649 PRINT 815,EPS
132: 815 FORMAT(5+H DIMENSION EXCESSIVE OU PIVOT TRAP PETIT POUR EPSILON *
133: *,E10.3)
134: G8 TO 1000
135: 65 IF(MTORDR-19RDR)660,1000,660
136: 660 MTORDR=19RDR
137: C CALCLL DE F,F1,F2,G,
138: D8 66 I=1,19RDR
139: I1=INDIC(I)+NMAX
140: I2=INDIC(I)+1
141: D8 68 =1,19RDR
142: F1(I,J)=P(I1,J)
143: 68 F2(I,J)=P(I2,J)
144: 66 F(I)=F(1,I)
145: C CALCLL DE LA SUITE A(I,J) FINALE.DISTANCE AVEC LA SUITE INITIALE,
146: D8 9C I=1,NA2
147: D8 9C =1,NA2
148: 9C P(I,J)=A(I,J)
149: CALL CALA(19RDR)
150: ZMAX=C,
151: D9 94 I=1,NA2
152: D9 94 =1,NA2
153: P(I,J)=P(I,J)-A(I,J)
154: IF(ABS(P(I,J))-ZMAX)94,94,93
155: 93 ZMAX=ABS(P(I,J))
156: 94 CONTINLE
157: PRINT 812,EPS
158: 812 FORMAT(//,21+H A PARTIR DE EPSILON=E10.3,42H ,L'ALGORITHM DONNE P
159: *BUR REPRESENTATION =)
160: PRINT 813,ZMAX
161: 813 FORMAT(3X,27H (PRECISION SUR LES A(I,J)=E10.3,2H )/)
162: CALL IMPRES(19RDR)
163: PRINT 814
164: 814 FORMAT(/,55(2h-·)/)
165: 1000 CONTINLE
166: STOP

## REMARQUES.

- Une indépendance linéaire est appréciée à EPS près. On effectue sur EPS un balayage logarithmique. Au fur et à mesure que EPS grandit, l'algorithme donne des représentations d'ordre décroissant approximant la suite A(i,j) initiale.

- Rôle des différents sous-programmes :

Sous-programme CALA : calcul de la suite A(i,j) générée par un quadruple H, F₁, F₂, G.

Sous-programme CASE : sélection de A(i+k,j+1). Résultat dans RES.

Sous-programme CHDICO : choix d'un noveau vecteur colonne de $\tilde{S}$.
Le vecteur choisi fait un angle maximum avec le sous espace des vecteurs colonnes précédents (utilisation des déterminants de GRAM).
INDIC et ONDIC contiennent les nombres $\sigma_i$ et $\gamma_j$ (avec $\tilde{S}(i,j)=A(\sigma_i, \gamma_j)$).

Sous-programme IMPRES : impression des résultats.

Sous programme INVERT : inversion de matrice et calcul de déterminant.

Sous programme RANDOM : "bruitage" initial d'une suite A(i,j).

Sous programme SIGINV : calcul de $(i,j)=\bar{\sigma}^1(II)$. - 69 -
EXEMPLE NO 1

I-DONNEES

SUITE A(1,0) INITIALE

•100E 01 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00
•250E 00 •250E 00 •250E 00 •250E 00 •250E 00 •250E 00 •250E 00 •250E 00 •250E 00 •250E 00 •250E 00
•000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00
•000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00
•000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00
•000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00
•000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00
•000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00
•000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00
•000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00
•000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00 •000E 00

II-RESULTATS

A PARTIR DE EPSILON •100E-C5 •L'ALGORITHME DONNE POUR REPRESENTATION •
(PRECISION SUR LES A(1,0) •000E 00)

MATRICE F

•1000E C1 •0000E CC •0000E CO •0000E 00

MATRICE G

•1000E 00
•0000E 00
•2500E 00
•2500E 00

MATRICE F1

•0000E CC •0000E CO •1000E C1 •0000E 00
•0000E CC •0000E CO •0000E CO •1000E 01
•0000E CC •0000E CO •0000E CO •0000E 00
•0000E CC •0000E CO •0000E CO •0000E 00

MATRICE F2

•0000E CC •1000E C1 •0000E CO •0000E 00
•0000E CC •0000E CO •0000E CO •0000E 00
•0000E CC •0000E CO •0000E CO •1000E 01
•0000E CC •0000E CO •0000E CO •0000E 00

SUITE A(1,0) GENERE PAR CES MATRICES: suite initiale.

A PARTIR DE EPSILON •631E-C1 •L'ALGORITHME DONNE POUR REPRESENTATION •
(PRECISION SUR LES A(1,0) •000E 00)

MATRICE F

•1000E C1 •0000E CO •0000E 00

MATRICE G

•1000E C1
•0000E 00
•2500E 00

MATRICE F1

•0000E CC •0000E CO •1000E C1
•2500E CC •2500E CO •0000E 00
•0000E CC •0000E CO •0000E 00

MATRICE F2

•0000E CC •1000E C1 •0000E CO
•0000E CC •0000E CO •0000E 00
•2500E CC •2500E CO •0000E 00

SUITE A(1,0) GENERE PAR CES MATRICES: suite initiale.
## II-RESULTATS

DIMENSION EXCESSIVE OU PIVOT TRAP PETIT POUR EPSILON • 100E-05

PARTIE DE EPSILON • 126E-C5 L'ALGORITHME DONNE POUR REPRESENTATION •
(PRECISION SLR LES A(I,J)) • 225E-C4 )

MATRICE H

•1000E C1 •0000E CC •0000E CO •0000E 00

MATRICE G

•1000E C1
•1260E C1
•3160E CC
•6930E CC

MATRICE F₁

•4000E CC •1000E C1 •2980E-C7 •52154E-C7
•7400E-C8 •4000E CC •1000E C1 •22352E-C7
•700E-C7 •7400E-C7 •4000E CO •1000E C1
•23132E CC •12663E C1 •29767E C1 •24380E C1

MATRICE F₂

•0000E CC •1000E C1 •0000E CC •0000E CO
•0000E CC •1000E CC •0000E C1 •0000E CO
•0000E CC •1000E CC •0000E CO •1000E C1
•23132E CC •12663E C1 •29767E C1 •28380E C1

SLITE A(I,J) GENEREES PAR CES MATRICES

•10E C1 •126E C1 •918E CC •693E CC •539E CO •430E CO •350E CO •290E CO •244E CO •207E CO •177E CO
•50E CC •414E C1 •326E CC •262E CC •215E CO •178E CO •150E CO •127E CO •109E CO •94E-C1 •818E-C1
•19E CC •160E C1 •132E CC •110E CC •925E-C1 •787E-C1 •675E-C1 •582E-C1 •505E-C1 •441E-C1 •396E-C1
•81CE-C1 •676E-C1 •571E-C1 •486E-C1 •417E-C1 •360E-C1 •312E-C1 •272E-C1 •239E-C1 •210E-C1 •185E-C1
•38E-C1 •300E-C1 •259E-C1 •223E-C1 •193E-C1 •168E-C1 •147E-C1 •130E-C1 •114E-C1 •101E-C1 •893E-C2
•15E-C1 •139E-C1 •115E-C1 •104E-C1 •912E-C2 •801E-C2 •706E-C2 •623E-C2 •552E-C2 •495E-C2 •435E-C2
•739E-C2 •644E-C2 •544E-C2 •495E-C2 •436E-C2 •385E-C2 •341E-C2 •302E-C2 •269E-C2 •235E-C2 •213E-C2
•34E-C2 •306E-C2 •270E-C2 •238E-C2 •211E-C2 •187E-C2 •166E-C2 •148E-C2 •137E-C2 •117E-C2 •105E-C2
•167E-C2 •147E-C2 •130E-C2 •115E-C2 •103E-C2 •912E-C3 •813E-C3 •725E-C3 •647E-C3 •578E-C3 •517E-C3
•80E-C3 •71E-C3 •634E-C3 •564E-C3 •502E-C3 •448E-C3 •400E-C3 •357E-C3 •319E-C3 •286E-C3 •257E-C3
•392E-C3 •388E-C3 •310E-C3 •277E-C3 •247E-C3 •221E-C3 •197E-C3 •176E-C3 •158E-C3 •141E-C3 •125E-C3

PARTIR DE EPSILON •50E-C4 L'ALGORITHME DONNE POUR REPRESENTATION •
(PRECISION SLR LES A(I,J)) • 391E-C3 )

MATRICE H

•1000E C1 •0000E CC •0000E CO

MATRICE G

•1000E C1
•1260E C1
•9180E CC

MATRICE F₁

•39978E CC •69355E CC •45618E-C3
•12647E-C3 •40054E CC •10004E C1
•34856E CC •15220E C1 •17604E C1

MATRICE F₂

•0000E CC •1000E C1 •0000E CO
•0000E CC •1000E CC •1000E C1
•3484E CC •15215E C1 •21601E C1

SLITE A(I,J) GENEREES PAR CES MATRICES

•18E C1 •126E C1 •918E CC •693E CC •539E CO •430E CO •350E CO •290E CO •243E CO •206E-C1 •177E-C0
•50E CC •414E C1 •326E CC •262E CC •214E CO •178E CO •150E CO •127E CO •109E CO •94E-C1 •818E-C1
•19E CC •160E C1 •132E CC •110E CC •925E-C1 •785E-C1 •673E-C1 •581E-C1 •504E-C1 •44CE-C1 •386E-C1
•21E-C1 •676E-C1 •270E-C1 •485E-C1 •416E-C1 •359E-C1 •312E-C1 •272E-C1 •238E-C1 •21CE-C1 •185E-C1
•39E-C1 •300E-C1 •257E-C1 •222E-C1 •193E-C1 •168E-C1 •147E-C1 •130E-C1 •114E-C1 •101E-C1 •896E-C2
•15E-C1 •137E-C1 •115E-C1 •104E-C1 •911E-C2 •801E-C2 •706E-C2 •625E-C2 •553E-C2 •491E-C2 •437E-C2
•73E-C2 •645E-C2 •563E-C2 •495E-C2 •437E-C2 •386E-C2 •342E-C2 •304E-C2 •27CE-C2 •24CE-C2 •214E-C2
•34E-C2 •306E-C2 •270E-C2 •239E-C2 •211E-C2 •188E-C2 •167E-C2 •149E-C2 •132E-C2 •118E-C2 •105E-C2
•167E-C2 •147E-C2 •131E-C2 •116E-C2 •103E-C2 •918E-C3 •818E-C3 •729E-C3 •651E-C3 •581E-C3 •520E-C3
•80E-C3 •71E-C3 •637E-C3 •567E-C3 •505E-C3 •451E-C3 •402E-C3 •359E-C3 •321E-C3 •287E-C3 •257E-C3
•39E-C3 •38E-C3 •312E-C3 •279E-C3 •249E-C3 •222E-C3 •198E-C3 •177E-C3 •159E-C3 •142E-C3 •127E-C3
A PARTIR DE EPSILON. •38E-02 •L'ALGORITHME DONNE POUR REPRESENTATION •
(PRECISION SLR LES A(I,J)) •28E-C1 )

MATRICE F

•1000CE C1 •0000CE CC

MATRICE G

•1800CE C1

•1260CE C1

MATRICE F1

•4000CE CC •1000CE C1

•52817E CC •10831E C1

MATRICE F2

•0000CE CC •1000CE C1

•52816E CC •14831E C1

SUITE A(I,J) GENEREE PAR CES MATRICES

<table><tr><td>•1ACE C1</td><td>•126E C1</td><td>•918E CC</td><td>•696E CC</td><td>•547E 00</td><td>•444E 00</td><td>•370E CC</td><td>•314E 00</td><td>•270E CC</td><td>•235E CC</td><td>•205E 00</td></tr><tr><td>•540E CC</td><td>•414E CC</td><td>•329E CC</td><td>•269E CC</td><td>•225E 00</td><td>•192E 00</td><td>•166E 00</td><td>•144E 00</td><td>•127E CC</td><td>•112E 00</td><td>•986E-C1</td></tr><tr><td>•19F0 CC</td><td>•163E CC</td><td>•137E CC</td><td>•118E CC</td><td>•102E CC</td><td>•890E-01</td><td>•782E-01</td><td>•689E-01</td><td>•609E-C1</td><td>•540E-C1</td><td>•4785E-C1</td></tr><tr><td>•841E-01</td><td>•722E-01</td><td>•627E-01</td><td>•548E-C1</td><td>•482E-01</td><td>•426E-01</td><td>•377E-01</td><td>•334E-01</td><td>•296E-C1</td><td>•263E-C1</td><td>•233E-C1</td></tr><tr><td>•386E-01</td><td>•335E-01</td><td>•298E-C1</td><td>•263E-C1</td><td>•233E-01</td><td>•206E-01</td><td>•183E-01</td><td>•162E-01</td><td>•144E-C1</td><td>•128E-C1</td><td>•114E-C1</td></tr><tr><td>•184E-01</td><td>•162E-01</td><td>•144E-C1</td><td>•128E-C1</td><td>•113E-01</td><td>•100E-01</td><td>•893E-02</td><td>•793E-02</td><td>•705E-C2</td><td>•626E-C2</td><td>•557E-C2</td></tr><tr><td>•885E-02</td><td>•795E-02</td><td>•700E-C2</td><td>•622E-C2</td><td>•552E-02</td><td>•491E-02</td><td>•436E-02</td><td>•388E-02</td><td>•344E-C2</td><td>•306E-C2</td><td>•272E-C2</td></tr><tr><td>•433E-02</td><td>•385E-02</td><td>•342E-C2</td><td>•304E-C2</td><td>•270E-C2</td><td>•240E-C2</td><td>•213E-02</td><td>•189E-02</td><td>•168E-C2</td><td>•156E-C2</td><td>•133E-C2</td></tr><tr><td>•211E-02</td><td>•188E-02</td><td>•147E-C2</td><td>•148E-C2</td><td>•132E-C2</td><td>•117E-C2</td><td>•104E-02</td><td>•926E-03</td><td>•823E-03</td><td>•732E-C3</td><td>•651E-C3</td></tr><tr><td>•103E-02</td><td>•918E-03</td><td>•816E-C3</td><td>•725E-C3</td><td>•645E-C3</td><td>•573E-03</td><td>•509E-03</td><td>•453E-C3</td><td>•403E-C3</td><td>•358E-C3</td><td>•318E-C3</td></tr><tr><td>•505E-C3</td><td>•449E-03</td><td>•399E-C3</td><td>•355E-C3</td><td>•315E-C3</td><td>•280E-C3</td><td>•249E-03</td><td>•221E-03</td><td>•197E-03</td><td>•175E-C3</td><td>•156E-C3</td></tr></table>

A PARTIR DE EPSILON. •631E-C1 •L'ALGORITHME DONNE POUR REPRESENTATION •
(PRECISION SLR LES A(I,J)) •166E (C)

MATRICE H

•1000CE C1

MATRICE G

•1800CE C1

MATRICE F1

•3000CE CC

MATRICE F2

•7000CE CC

SUITE A(I,J) GENEREE PAR CES MATRICES

<table><tr><td>•1PCE C1</td><td>•136E-01</td><td>•882E CC</td><td>•617E 00</td><td>•432E 00</td><td>•303E CC</td><td>•212E 00</td><td>•148E 00</td><td>•104E CC</td><td>•776E-C1</td><td>•508E-C1</td></tr><tr><td>•540E CC</td><td>•279E CC</td><td>•265E CC</td><td>•185E 00</td><td>•130E 00</td><td>•908E-01</td><td>•635E-C1</td><td>•445E-C1</td><td>•311E-C1</td><td>•218E-C1</td><td>•153E-C1</td></tr><tr><td>•168E CC</td><td>•115E CC</td><td>•794E-C1</td><td>•556E-C1</td><td>•349E-C1</td><td>•272E-01</td><td>•191E-01</td><td>•133E-C1</td><td>•934E-C2</td><td>•654E-C2</td><td>•449E-C2</td></tr><tr><td>•466E-01</td><td>•402E-01</td><td>•238E-C1</td><td>•167E-C1</td><td>•117E-C1</td><td>•817E-02</td><td>•572E-02</td><td>•400E-C2</td><td>•280E-C2</td><td>•196E-C2</td><td>•1475E-C2</td></tr><tr><td>•144E-01</td><td>•122E-01</td><td>•714E-C2</td><td>•500E-C2</td><td>•350E-C2</td><td>•245E-02</td><td>•172E-02</td><td>•120E-C2</td><td>•941E-C3</td><td>•628E-C3</td><td>•4125E-C3</td></tr><tr><td>•437E-02</td><td>•294E-02</td><td>•214E-C2</td><td>•140E-C2</td><td>•105E-02</td><td>•745E-03</td><td>•515E-C3</td><td>•360E-C3</td><td>•275E-C3</td><td>•177E-C3</td><td>•124E-C3</td></tr><tr><td>•131E-02</td><td>•110E-03</td><td>•635E-03</td><td>•490E-C3</td><td>•318E-03</td><td>•221E-03</td><td>•154E-C3</td><td>•108E-C3</td><td>•754E-C4</td><td>•530E-C4</td><td>•371E-C4</td></tr><tr><td>•124E-03</td><td>•274E-03</td><td>•193E-C3</td><td>•139E-C3</td><td>•545E-C4</td><td>•662E-04</td><td>•463E-C4</td><td>•324E-C4</td><td>•207E-C4</td><td>•156E-C4</td><td>•111E-C4</td></tr><tr><td>•114E-03</td><td>•272E-04</td><td>•579E-C4</td><td>•405E-C4</td><td>•224E-C4</td><td>•108E-C4</td><td>•130E-C4</td><td>•973E-C5</td><td>•671E-C5</td><td>•477E-C5</td><td>•374E-C5</td></tr><tr><td>•844E-04</td><td>•744E-04</td><td>•174E-04</td><td>•122E-04</td><td>•811E-04</td><td>•701E-04</td><td>•417E-04</td><td>•202E-C6</td><td>•214E-C6</td><td>•143E-C6</td><td>•120E-C6</td></tr><tr><td>•1</td><td>•1</td><td>•1</td><td>•1</td><td>•1</td><td>•1</td><td>•1</td><td>•1</td><td>•1</td><td>•1</td><td>•1</td></tr></table>
EXEMPLE NO 3

-----------------

I-CONNEES

MATRICE H

•6000E CC •6000E CC •6000E 00 •6000E CC •6000E 00

MATRICE G

•6000E CC
•6000E CC
•6000E CC
•6000E CC
•6000E CC

MATRICE F1

•5100E CC •5000E CC •5000E 00 •5000E CC •5000E 00
•5000E CC •5000E CC •5000E 00 •5000E CC •5000E 00
•5000E CC •5000E CC •5000E 00 •5000E CC •5000E 00
•5000E CC •5000E CC •5000E 00 •5000E CC •5000E 00
•5000E CC •5000E CC •5000E 00 •5000E CC •5000E 00

MATRICE F2

•5500E CC •5000E CC •5000E 00 •5000E CC •5000E 00
•5000E CC •5000E CC •5000E 00 •5000E CC •5000E 00
•5000E CC •5000E CC •5000E 00 •5000E CC •5000E 00
•5000E CC •5000E CC •5000E 00 •5000E CC •5000E 00
•5000E CC •5000E CC •5000E 00 •5000E CC •5000E 00

SUITE A(1,0) GENEREE PAR CES MATRICES

•18CE 01 •103E 01 •585E 00 •334E 00 •191E 00 •109E 00 •623E-01 •356E-01 •204E-01 •117E-01 •670E-02
•954E 00 •544E 00 •311E 00 •177E 00 •101E 00 •579E-01 •432E-01 •190E-01 •109E-01 •623E-02 •357E-02
•506E 00 •239E 00 •165E 00 •942E-01 •539E-01 •308E-01 •177E-01 •101E-01 •590E-02 •332E-02 •191E-02
•265E 00 •153E 00 •877E-01 •501E-01 •287E-01 •164E-01 •941E-02 •539E-02 •309E-02 •177E-02 •102E-02
•143E 00 •815E-01 •466E-01 •267E-01 •153E-01 •875E-02 •502E-02 •288E-02 •165E-02 •948E-03 •545E-03
•758E-01 •434E-01 •248E-01 •142E-01 •814E-02 •467E-02 •268E-02 •154E-02 •882E-03 •507E-03 •291E-03
•403E-01 •231E-01 •132E-01 •757E-02 •434E-02 •249E-02 •143E-02 •821E-03 •472E-03 •271E-03 •156E-03
•215E-01 •123E-01 •704E-02 •404E-02 •232E-02 •113E-02 •763E-03 •439E-03 •252E-03 •145E-03 •835E-04
•403E-01 •231E-01 •132E-01 •757E-02 •434E-02 •249E-02 •143E-02 •821E-03 •472E-03 •271E-03 •156E-03
•215E-01 •123E-01 •704E-02 •404E-02 •232E-02 •113E-02 •763E-03 •439E-03 •252E-03 •145E-03 •835E-04
•114E-01 •655E-02 •374E-02 •215E-02 •124E-02 •710E-03 •408E-03 •218E-03 •126E-03 •723E-04 •416E-04 •340E-04
•605E-02 •345E-02 •200E-02 •115E-02 •661E-03 •380E-03 •218E-03 •126E-03 •723E-04 •416E-04 •340E-04
•325E-02 •186E-02 •107E-02 •615E-03 •353E-03 •203E-03 •117E-03 •673E-04 •388E-04 •223E-04 •129E-04

II-RESULTATS

A PARTIR DE PREMIER • 100E-05 • L'ALGORITHME CONNE POUR REPRESENTATION •
(PRECISION SUR LES A(1,0) • 128E-05 )

MATRICE H

•1000E 01 •5000E 00

MATRICE G

•1800E C1

•1020E C1

MATRICE F1

•4000E-01 •1000E C1

•3253E 00 •1111E C1

MATRICE F2

•5000E 00 •1000E 01

•3253E 00 •1141E C1

SUITE A(1,0) GENEREE PAR CES MATRICES

•18CE 01 •103E 01 •585E 00 •334E 00 •191E 00 •109E 00 •623E-01 •356E-01 •204E-01 •117E-01 •670E-02
•954E 00 •544E 00 •311E 00 •177E 00 •101E 00 •579E-01 •332E-01 •190E-01 •109E-01 •623E-02 •357E-02
•506E 00 •239E 00 •165E 00 •943E-01 •539E-01 •308E-01 •177E-01 •101E-01 •590E-02 •332E-02 •191E-02
•265E 00 •153E 00 •877E-01 •501E-01 •287E-01 •164E-01 •941E-02 •539E-02 •309E-02 •177E-02 •102E-02
•143E 00 •815E-01 •466E-01 •267E-01 •153E-01 •875E-02 •502E-02 •288E-02 •165E-02 •948E-03 •545E-03
•758E-01 •434E-01 •248E-01 •142E-01 •814E-02 •467E-02 •268E-02 •154E-02 •882E-03 •507E-03 •291E-03
•403E-01 •231E-01 •132E-01 •757E-02 •434E-02 •249E-02 •143E-02 •821E-03 •472E-03 •271E-03 •156E-03
•215E-01 •123E-01 •704E-02 •404E-02 •232E-02 •113E-02 •763E-03 •439E-03 •252E-03 •145E-03 •835E-04
•403E-01 •231E-01 •132E-01 •757E-02 •434E-02 •249E-02 •143E-02 •821E-03 •472E-03 •271E-03 •156E-03
•215E-01 •123E-01 •704E-02 •404E-02 •232E-02 •113E-02 •763E-03 •439E-03 •252E-03 •145E-03 •835E-04
•114E-01 •655E-02 •374E-02 •215E-02 •124E-02 •710E-03 •408E-03 •218E-03 •126E-03 •723E-04 •416E-04 •340E-04
•605E-02 •345E-02 •200E-02 •115E-02 •661E-03 •380E-03 •218E-03 •126E-03 •723E-04 •416E-04 •340E-04
•325E-02 •186E-02 •107E-02 •615E-03 •353E-03 •203E-03 •117E-03 •673E-04 •388E-04 •223E-04 •129E-04
A PARTIR DE L'ESTABLISSEMENT, L'ALGEBRITHE DONNE POUR REPRESENTATION
(PRECISION SUR LES A(1,1)) = .703E-03 )

MATRICE F

.10000E C1

MATRICE G

.18000E C1

MATRICE F1

.53000E CC

MATRICE F2

.57000E CC

SUITE A(1,1) GENEREE PAR CES MATRICES

<table><tr><td>.18CE 01</td><td>.103E 01</td><td>.588E 00</td><td>.333E 00</td><td>.19CE 00</td><td>.108E 00</td><td>.617E-01</td><td>.352E-01</td><td>.201E-01</td><td>.114E-01</td><td>.652E-02</td></tr><tr><td>.954E 00</td><td>.444E 00</td><td>.31CE 00</td><td>.177E 00</td><td>.101E 00</td><td>.574E-01</td><td>.327E-01</td><td>.186E-01</td><td>.106E-01</td><td>.606E-02</td><td>.345E-02</td></tr><tr><td>.506E 00</td><td>.288E 00</td><td>.164E 00</td><td>.936E-01</td><td>.534E-01</td><td>.304E-01</td><td>.173E-01</td><td>.988E-02</td><td>.563E-02</td><td>.321E-02</td><td>.183E-02</td></tr><tr><td>.268E 00</td><td>.153E 00</td><td>.871E-01</td><td>.496E-01</td><td>.283E-01</td><td>.161E-01</td><td>.919E-02</td><td>.524E-02</td><td>.299E-02</td><td>.17CE-02</td><td>.970E-03</td></tr><tr><td>.142E 00</td><td>.815E-01</td><td>.441E-01</td><td>.263E-01</td><td>.150E-01</td><td>.855E-02</td><td>.487E-02</td><td>.278E-02</td><td>.158E-02</td><td>.902E-03</td><td>.514E-03</td></tr><tr><td>.753E-01</td><td>.429E-01</td><td>.245E-01</td><td>.139E-01</td><td>.795E-02</td><td>.453E-02</td><td>.258E-02</td><td>.147E-02</td><td>.839E-03</td><td>.478E-03</td><td>.273E-03</td></tr><tr><td>.399E-01</td><td>.227E-01</td><td>.13CE-01</td><td>.739E-02</td><td>.421E-02</td><td>.240E-02</td><td>.137E-02</td><td>.780E-03</td><td>.445E-03</td><td>.253E-03</td><td>.144E-03</td></tr><tr><td>.211E-01</td><td>.121E-01</td><td>.647E-02</td><td>.392E-02</td><td>.223E-02</td><td>.127E-02</td><td>.725E-03</td><td>.413E-03</td><td>.236E-03</td><td>.134E-03</td><td>.766E-04</td></tr><tr><td>.112E-01</td><td>.615E-02</td><td>.344E-02</td><td>.208E-02</td><td>.114E-02</td><td>.674E-03</td><td>.384E-03</td><td>.219E-03</td><td>.125E-03</td><td>.712E-04</td><td>.406E-04</td></tr><tr><td>.594E-02</td><td>.336E-02</td><td>.193E-02</td><td>.110E-02</td><td>.676E-03</td><td>.357E-03</td><td>.204E-03</td><td>.116E-03</td><td>.662E-04</td><td>.377E-04</td><td>.215E-04</td></tr><tr><td>.315E-02</td><td>.176E-02</td><td>.102E-02</td><td>.583E-03</td><td>.332E-03</td><td>.149E-03</td><td>.108E-03</td><td>.615E-04</td><td>.351E-04</td><td>.200E-04</td><td>.114E-04</td></tr></table>

EXEMPLE NO 4

-----------------

I-CONNEES

MATRICE F

.60000E CC .60000E CC .60000E CC .60000E CC .600000E CC

MATRICE G

.60000E CC
.60000E CC
.60000E CC
.60000E CC
.60000E CC

MATRICE F1

.55100E CC .55100E CC .55100E CC .55100E CC .55100E CC .55100E CC .55100E CC .55100E CC .55100E CC

MATRICE F2

.55500E CC .55500E CC .55500E CC .55500E CC .55500E CC .55500E CC .55500E CC .55500E CC .55500E CC

SUITE A(1,1) GENEREE PAR CES MATRICES

<table><tr><td>.18CE 01</td><td>.100E-01</td><td>.588E 00</td><td>.311E 00</td><td>.173E 00</td><td>.965E-01</td><td>.538E-01</td><td>.299E-01</td><td>.167E-01</td><td>.929E-02</td><td>.518E-02</td></tr><tr><td>.995E 00</td><td>.584E 00</td><td>.309E 00</td><td>.172E 00</td><td>.948E-01</td><td>.534E-01</td><td>.297E-01</td><td>.166E-01</td><td>.922E-02</td><td>.514E-02</td><td>.286E-02</td></tr><tr><td>.584E 00</td><td>.307E 00</td><td>.171E 00</td><td>.551E-01</td><td>.530E-01</td><td>.295E-01</td><td>.164E-01</td><td>.916E-02</td><td>.510E-02</td><td>.284E-02</td><td>.158E-02</td></tr><tr><td>.504E 01</td><td>.170E 00</td><td>.544E-01</td><td>.526E-01</td><td>.293E-01</td><td>.163E-01</td><td>.909E-02</td><td>.506E-02</td><td>.282E-02</td><td>.157E-02</td><td>.875E-03</td></tr><tr><td>.168E 00</td><td>.536E-01</td><td>.522E-01</td><td>.291E-01</td><td>.162E-01</td><td>.903E-02</td><td>.503E-02</td><td>.280E-02</td><td>.156E-02</td><td>.869E-03</td><td>.484E-03</td></tr><tr><td>.931E-01</td><td>.518E-01</td><td>.249E-01</td><td>.141E-01</td><td>.896E-02</td><td>.499E-02</td><td>.278E-02</td><td>.155E-02</td><td>.863E-03</td><td>.481E-03</td><td>.268E-03</td></tr><tr><td>.515E-01</td><td>.287E-01</td><td>.140E-01</td><td>.890E-02</td><td>.493E-02</td><td>.276E-02</td><td>.154E-02</td><td>.857E-03</td><td>.477E-03</td><td>.266E-03</td><td>.148E-03</td></tr><tr><td>.255E-01</td><td>.187E-01</td><td>.838E-02</td><td>.492E-02</td><td>.274E-02</td><td>.153E-02</td><td>.851E-03</td><td>.474E-03</td><td>.264E-03</td><td>.147E-03</td><td>.819E-04</td></tr><tr><td>.157E-01</td><td>.577E-02</td><td>.449E-02</td><td>.272E-02</td><td>.152E-02</td><td>.844E-03</td><td>.470E-03</td><td>.262E-03</td><td>.146E-03</td><td>.813E-04</td><td>.453E-04</td></tr><tr><td>.471E-02</td><td>.441E-02</td><td>.270E-02</td><td>.151E-02</td><td>.838E-03</td><td>.467E-03</td><td>.260E-03</td><td>.145E-03</td><td>.807E-04</td><td>.450E-04</td><td>.251E-04</td></tr><tr><td>.428E-02</td><td>.268E-02</td><td>.149E-02</td><td>.832E-03</td><td>.464E-03</td><td>.258E-03</td><td>.144E-03</td><td>.801E-04</td><td>.446E-04</td><td>.249E-04</td><td>.139E-04</td></tr></table>
## II-RESULTATS

A PARTIR DE EPSILON. •100E-CS •L'ALGORITHME DONNE POUR REPRESENTATION •
(PRECISION SLR LES A(I,J)) •589E-07 )

MATRICE H

•1000E C1 •0000E CC

MATRICE G

•1200E C1
•10026E C1

MATRICE F1

•34559E-02 •1000E C1
•31025E CC •11100E C1

MATRICE F2

•00000E CC •1000E C1
•31025E CC •11140E C1

SUITE A(I,J) GENEREE PAR CES MATRICES

<table><tbody><tr><td>•120E C1</td><td>•100E C1</td><td>•558E CC</td><td>•311E CC</td><td>•173E 00</td><td>•965E-01</td><td>•538E-01</td><td>•299E-01</td><td>•167E-01</td><td>•925E-02</td><td>•518E-02</td></tr><tr><td>•595E CC</td><td>•554E CC</td><td>•309E CC</td><td>•172E 00</td><td>•558E-01</td><td>•534E-01</td><td>•297E-01</td><td>•166E-01</td><td>•922E-02</td><td>•514E-02</td><td>•286E-02</td></tr><tr><td>•550E CC</td><td>•307E CC</td><td>•171E CC</td><td>•951E-01</td><td>•530E-01</td><td>•295E-01</td><td>•164E-01</td><td>•916E-02</td><td>•510E-02</td><td>•284E-02</td><td>•158E-02</td></tr><tr><td>•304E CC</td><td>•175E CC</td><td>•544E-01</td><td>•526E-01</td><td>•293E-01</td><td>•163E-01</td><td>•909E-02</td><td>•506E-02</td><td>•282E-02</td><td>•157E-02</td><td>•875E-03</td></tr><tr><td>•142E CC</td><td>•936E-01</td><td>•522E-01</td><td>•291E-01</td><td>•162E-01</td><td>•903E-02</td><td>•503E-02</td><td>•280E-02</td><td>•156E-02</td><td>•865E-03</td><td>•484E-03</td></tr><tr><td>•931E-01</td><td>•515E-01</td><td>•289E-01</td><td>•161E-01</td><td>•896E-02</td><td>•499E-02</td><td>•278E-02</td><td>•155E-02</td><td>•863E-03</td><td>•481E-03</td><td>•268E-03</td></tr><tr><td>•515E-01</td><td>•287E-01</td><td>•160E-01</td><td>•890E-02</td><td>•496E-02</td><td>•276E-02</td><td>•154E-02</td><td>•857E-03</td><td>•477E-03</td><td>•266E-03</td><td>•148E-03</td></tr><tr><td>•282E-01</td><td>•156E-01</td><td>•883E-02</td><td>•492E-02</td><td>•274E-02</td><td>•153E-02</td><td>•851E-03</td><td>•474E-03</td><td>•264E-03</td><td>•147E-03</td><td>•819E-04</td></tr><tr><td>•157E-01</td><td>•877E-02</td><td>•489E-02</td><td>•272E-02</td><td>•152E-02</td><td>•844E-03</td><td>•470E-03</td><td>•262E-03</td><td>•146E-03</td><td>•807E-04</td><td>•450E-04</td></tr><tr><td>•871E-02</td><td>•485E-02</td><td>•276E-02</td><td>•151E-02</td><td>•838E-03</td><td>•467E-03</td><td>•160E-03</td><td>•145E-03</td><td>•807E-04</td><td>•456E-04</td><td>•251E-04</td></tr><tr><td>•432E-02</td><td>•268E-02</td><td>•149E-02</td><td>•832E-03</td><td>•464E-03</td><td>•258E-03</td><td>•144E-03</td><td>•801E-04</td><td>•446E-04</td><td>•249E-04</td><td>•139E-04</td></tr></tbody></table>

A PARTIR DE EPSILON. •514E-CS •L'ALGORITHME DONNE POUR REPRESENTATION •
(PRECISION SLR LES A(I,J)) •666E-CS )

MATRICE H

•1000E C1

MATRICE G

•1200E C1

MATRICE F1

•55300E CC

MATRICE F2

•55700E CC

SUITE A(I,J) GENEREE PAR CES MATRICES

<table><tbody><tr><td>•120E C1</td><td>•170E C1</td><td>•558E CC</td><td>•311E CC</td><td>•173E 00</td><td>•965E-01</td><td>•538E-01</td><td>•299E-01</td><td>•167E-01</td><td>•925E-02</td><td>•517E-02</td></tr><tr><td>•595E CC</td><td>•554E CC</td><td>•309E CC</td><td>•172E 00</td><td>•558E-01</td><td>•534E-01</td><td>•277E-01</td><td>•166E-01</td><td>•922E-02</td><td>•514E-02</td><td>•286E-02</td></tr><tr><td>•550E CC</td><td>•307E CC</td><td>•171E CC</td><td>•951E-01</td><td>•530E-01</td><td>•295E-01</td><td>•164E-01</td><td>•916E-02</td><td>•510E-02</td><td>•284E-02</td><td>•158E-02</td></tr><tr><td>•304E CC</td><td>•175E CC</td><td>•544E-01</td><td>•526E-01</td><td>•293E-01</td><td>•163E-01</td><td>•909E-02</td><td>•506E-02</td><td>•282E-02</td><td>•157E-02</td><td>•875E-03</td></tr><tr><td>•142E CC</td><td>•936E-01</td><td>•522E-01</td><td>•291E-01</td><td>•162E-01</td><td>•903E-02</td><td>•503E-02</td><td>•280E-02</td><td>•156E-02</td><td>•865E-03</td><td>•484E-03</td></tr><tr><td>•931E-01</td><td>•515E-01</td><td>•289E-01</td><td>•161E-01</td><td>•896E-02</td><td>•499E-02</td><td>•278E-02</td><td>•155E-02</td><td>•862E-03</td><td>•480E-03</td><td>•268E-03</td></tr><tr><td>•515E-01</td><td>•287E-01</td><td>•160E-01</td><td>•890E-02</td><td>•496E-02</td><td>•276E-02</td><td>•154E-02</td><td>•856E-03</td><td>•477E-03</td><td>•266E-03</td><td>•148E-03</td></tr><tr><td>•282E-01</td><td>•156E-01</td><td>•883E-02</td><td>•492E-02</td><td>•274E-02</td><td>•153E-02</td><td>•850E-03</td><td>•474E-03</td><td>•264E-03</td><td>•147E-03</td><td>•818E-04</td></tr><tr><td>•157E-01</td><td>•877E-02</td><td>•489E-02</td><td>•272E-02</td><td>•152E-02</td><td>•844E-03</td><td>•470E-03</td><td>•262E-03</td><td>•146E-03</td><td>•812E-04</td><td>•453E-04</td></tr><tr><td>•871E-02</td><td>•485E-02</td><td>•276E-02</td><td>•151E-02</td><td>•838E-03</td><td>•467E-03</td><td>•260E-03</td><td>•145E-03</td><td>•807E-04</td><td>•445E-04</td><td>•250E-04</td></tr><tr><td>•432E-02</td><td>•268E-02</td><td>•149E-02</td><td>•832E-03</td><td>•464E-03</td><td>•258E-03</td><td>•144E-03</td><td>•801E-04</td><td>•446E-04</td><td>•248E-04</td><td>•138E-04</td></tr></tbody></table>
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