1.2.2.3. La « guérison du symptôme » et la « double tâche »

Mazeau & Le Lostec (2010) développent certains constats quant à la prise en charge d'un enfant en difficulté. Cette prise en charge démarre suite à un diagnostic faisant le constat d'un symptôme. Ce symptôme risque alors d'être considéré comme « l'anomalie » qu'il est nécessaire de rééduquer. L'intervention se concentre souvent sur la « guérison » du symptôme. Cela peut générer des pratiques mal orientés comme, par exemple, le fait de proposer plus d'exercices, plus d'entraînements, le fait d'isoler chaque symptôme et de traiter chacun d'entre eux comme un trouble autonome, etc.

Par ailleurs, dans les pratiques des rééducateurs et des enseignants, les auteurs indiquent qu’il est fréquent d’observer l’enfant dans des situations de « double tâche ». La notion de double tâche a été introduite pour expliquer la difficulté à laquelle est confronté l’enfant dont on exige la réalisation simultanée de deux tâches qui ne sont pas encore automatisées.

Dans la réalisation de tâches habituelles, la plupart des processus perceptifs, sensori-moteurs et cognitifs se déroulent sans qu’il y ait besoin d’exercer un contrôle intentionnel ou une régulation sur l’exécution de la tâche. Par contre, les tâches nouvelles (non automatisées) ou en cours d’acquisition nécessitent une attention et un contrôle volontaire car elles requièrent le contrôle et la régulation de différents paramètres qui ne sont pas encore bien coordonnés ou maîtrisés. À ce sujet Mazeau & Le Lostec (2010) signalent :

> « En effet, toute tâche non automatisée (donc non routinière pour le sujet, qu’il s’agisse d’un problème, d’une activité en cours d’apprentissage ou d’une rééducation) absorbe une grande partie (voire la totalité) des ressources attentionnelles disponibles. On dit aussi qu’elle a, pour le sujet, un “coût cognitif” important. » (2010, p. 22)

Et elles ajoutent :

> « Une conséquence immédiate de ce fait est que lorsqu'une tâche requiert d'importants contrôles attentionnels (tâche nouvelle, en cours d'acquisition ou qui sollicite des systèmes pathologiques de type « dys- »), alors cette tâche ne peut être réalisée qu'isolément, souvent partiellement, durant un temps réduit, avec lenteur et fatigue, tout en faisant l'objet d'une exécution médiocre » (ibid.)
Or, du fait de certains troubles, pour les enfants qui en sont porteurs, il y a des tâches qu'ils ne
pourront jamais vraiment automatiser. C'est sans doute le cas de Julien sur lequel nous
reviendrons dans une section à part. Pour de nombreuses tâches scolaires comme écouter un
cours et prendre des notes, réciter la suite verbale numérique et pointer de façon synchronisée
les éléments d'une collection afin de la dénombrer, effectuer une opération et écrire les
chiffres en les positionnant correctement, etc. il y a deux tâches à effectuer dont une est
« normalement » automatisée, l'autre étant dédiée à l'apprentissage. Dans les exemples
précédents, la tâche d'écriture est supposée automatisée, comme celle de pointer ou d'aligner
les chiffres. Mais pour un élève atteint de certains troubles (comme pour une personne devant
gérer en même temps deux actions volontaires non automatisées), aucune des deux tâches
n'est automatisée, les deux tâches ont par conséquent un coût cognitif important, l'élève est
en situation de « double tâche ».

En conséquence, pour ces auteurs, il est nécessaire que l'enseignant soit formé de manière à
evaluer le coût cognitif de la tâche proposée à l'enfant, en prenant en compte les tâches
partielles qui composent la tâche proposée, et, parmi ces tâches partielles, celles qui, pour lui,
sont déjà automatisées et celles qui ne le sont pas. Qu'en est-il de cette formation ? C'est la
question que nous nous posons dans la section suivante.

1.2.2.4. Manque d'informations, manque de formation

Selon le rapport sur « Le traitement de la grande difficulté au cours de la scolarité obligatoire » de Delaubier & Saurat (2013), malgré la masse d'informations recueillies par les enseignants, la connaissance de l'élève en grande difficulté reste incomplète. Ce rapport institutionnel met en lumière que les enseignants déclarent manquer de deux types d'informations pour prendre en charge les difficultés d'apprentissage : des informations concernant les élèves eux-mêmes et des informations portant sur la nature de leurs difficultés.

Concernant les informations sur les élèves, ce rapport mentionne que certains enseignants déclarent n'avoir aucune information sur leurs élèves en grande difficulté (handicapés) de la part des spécialistes à qui ils sont confiés pour des bilans ou pour des aides : psychologues, orthophonistes, rééducateurs, etc. Le manque de temps et de disponibilité semble être les raisons de cette déconnexion. Delaubier & Saurat (2013) indiquent :
« Les enseignants ne disposent que trop rarement, ou trop partiellement, des informations issues des autres professionnels, qu'il s'agisse des aides externalisées (orthophonistes, psychiatres, rééducateurs, etc.), des interventions sociales ou des bilans réalisés, à l'interne, par les médecins, les infirmiers, les psychologues ou les maîtres spécialisés. Cette question est bien sûr très sensible, car la réponse se heurte inévitablement aux règles déontologiques et à la protection des données personnelles. » (2013, p. 44)

Concernant la nature des difficultés, le rapport révèle que certains enseignants déclarent n'avoir aucune idée de la nature même du trouble ou du handicap de l'élève. Toutefois, selon ce même rapport, les enseignants peuvent décrire sans problèmes les lacunes, les manques de leurs élèves et repérer les champs où les écarts avec ce qui est attendu sont les plus marqués. Cela ne suffit cependant pas à faire face à la difficulté, et les enseignants manquent d'un bagage nécessaire pour enseigner aux élèves porteurs de troubles de l'apprentissage ou de troubles comportementaux. Les auteurs mentionnent en effet :

« Beaucoup d'enseignants ont semblé être, au cours des visites, très démunis face à la complexité des situations qu'ils devaient assumer. Ils manquaient visiblement d'un minimum de connaissances, d'outillage, même modestes, nécessaires pour appréhender la grande difficulté. » (Ibid. p.45)

Ce constat rejoint celui de Mazeau & Le Lostec (2010) que nous avons déjà cité selon lesquelles il existe, chez les enseignants, une méconnaissance des mécanismes pathologiques qui sous-tendent les déficiences. Par exemple dans le cas du dénombrement d'une collection, la non-conscience des constituants praxiques et/ou visuo-spatiaux conduisent les enseignants à proposer des tâches qui ne sont pas adaptées aux besoins de l'élève en difficulté et qui le mettent en difficulté. Plus généralement, elles déclarent :

« Cela permet de mieux comprendre que ce n'est pas le fond de l'activité scolaire, c'est-à-dire l'accès au sens, à la signification, au concept, à l'apprentissage de la notion, qui pose problème, mais bien la forme, c'est-à-dire le type de support et sa nature même qui le met en situation d'échec. » (2010, p. 154)

Si l'approche neuroscientifique tend à préconiser une attention à la forme et au support en lien avec les troubles dont les élèves sont l'objet, il reste que l'analyse du lien entre la tâche – y
compris la forme et le support – et l’apprentissage qui peut en découler reste indispensable. La perspective didactique, tant sur les classes ordinaires que sur les classes spécialisées, apporte de nombreuses informations à ce sujet. C’est celle que nous allons maintenant aborder.

### 1.2.3. Perspective didactique

Les didactiques des disciplines constituent un champ de recherches portant sur l'acquisition et la transmission de savoirs précis, c'est-à-dire sur les conditions dans lesquelles le sujet « élève » est placé pour apprendre et dans lesquelles le sujet « professeur » est placé pour enseigner. Pour Douady (1984), la didactique propose d'expliquer les phénomènes liés aux rapports entre l'enseignement et l'apprentissage d'une notion. C'est de ce point de vue que nous allons maintenant aborder la question de la difficulté d'apprentissage, et plus particulièrement celle qui concerne les apprentissages mathématiques.

Les recherches en didactique des mathématiques sur la question de l'enseignement- apprentissage dispensé aux élèves en difficulté portent d'une part sur les classes ordinaires et d'autre part sur les classes spécialisées. Dans leur majorité, elles traitent de la mise en place des dispositifs permettant de prévenir les difficultés des élèves ou d'y remédier.

#### 1.2.3.1. Quelques travaux effectués en classes ordinaires

En ce qui concerne les travaux réalisés dans l'enseignement ordinaire, nous pouvons mentionner notamment les recherches menées dans des classes faibles du primaire et du début du collège (Perrin-Glorian, 1993 ; Butlen & Pézard, 1992). Ces recherches ont permis d'identifier certaines difficultés récurrentes, dont les caractéristiques sont mentionnées dans un rapport sur les difficultés d'apprentissage des élèves en mathématiques réalisé par Butlen, Charles-Pezard & Masselot :

- « Une difficulté à capitaliser les connaissances et un manque de confiance dans les connaissances anciennes,

- Une certaine carence dans les représentations mentales et une absence fréquente de projet implicite de réinvestissement se traduisant souvent par une grande difficulté à identifier les enjeux d'apprentissage des situations qui leur sont proposées,
- Une difficulté à changer de point de vue et un manque de flexibilité cognitive s'accompagnant souvent d'une recherche d'algorithmes et de règles,

- Une difficulté à gérer les tâches complexes et une demande de relation privilégiée à l'adulte » (2015, p. 10)

Dans leurs travaux, Butlen et al (2015), ont essayé également de caractériser les pratiques des enseignants face à ces élèves. Ainsi nous pouvons lire :

> « Ces pratiques se caractérisent par des scénarios d'enseignement proposant des tâches réduites, algorithmisées, des anticipations très rapides sur les difficultés potentielles des élèves se traduisant par une baisse des exigences du professeur, une absence fréquente, voire systématique de phases de synthèse et d'institutionnalisation, une individualisation non contrôlée des enseignements comme du traitement des comportements » (Ibid., p. 6)

D'autres recherches dans le domaine de la difficulté d'apprentissage ont conduit à la proposition de modèles d'intervention ou d'orientation. Nous mentionnons en particulier les travaux de Julo (1995) et Vannier (2006).

Julo a étudié les difficultés de résolution des problèmes mathématiques chez les élèves en difficulté d'apprentissage. Cet auteur liste une série d'interventions possibles en posant la question de la force de l'aide, et en insistant sur le fait que plus une aide est forte, plus la part du problème que l'élève ne réalise pas est forte également. Selon Julo, les difficultés à résoudre des problèmes proviendraient pour certaines d'anomalies dans l'activité de la représentation (structuration) du problème. Il propose à ce sujet un modèle d'aide, dit de « multi-représentation », qui consiste à proposer parallèlement au problème donné, d'autres problèmes ayant les mêmes caractéristiques (mêmes structures, mêmes valeurs numériques et mêmes solutions). À ce propos Julo déclare :

> « En termes d'aide, cette modalité de multiprésentation est l'une des plus "légères" que l'on puisse imaginer en ce sens qu'elle ne guide d'aucune manière les élèves vers la solution ou vers une procédure de résolution. L'aide apportée se situe au niveau de la représentation du problème et prouve donc qu'il est possible de favoriser la mise en place de cette représentation en préservant tout le versant opératoire de la démarche de résolution (élaboration de stratégies et de procédures). » (Julo, 2000, p. 5)
Vannier (2006) quant à elle s’interroge sur les compétences à développer chez les enseignants en vue d’améliorer l’efficacité de leur enseignement auprès de ces élèves en difficulté d’apprentissage. Elle propose ainsi un élargissement du concept de tutelle :

> « Nous proposons un élargissement de la définition de la tutelle à toute intervention sur l’activité de l’élève allant du choix de la situation à la mise en exergue d’un savoir. La définition de quatre niveaux d’intervention hiérarchisés situe ainsi l’activité de tutelle de l’enseignant (au sens strict du terme) dans une perspective plus large de médiation culturelle (Vygotski, 1985). » (Vannier, 2006, p. 174)

Les quatre niveaux d'intervention définis par Vannier sont : choisir la situation ; faire émerger le problème ; aider à la résolution du problème, favoriser l'entrée dans la culture. Les trois dernières ne peuvent manquer de rappeler les situations de dévolution, d'action et de formulation, et d'institutionnalisation. Mais le point de vue de l'auteure est bien celui de l'étayage, dans la lignée des travaux de Bruner, avec une approche culturelle de l'apprentissage. Comme elle l'écrit :

> « Le point de vue psychologique sur la tutelle s'est donc enrichi d'une dimension épistémologique. (...) Ce travail d'élaboration théorique précise la proposition de Vergnaud (1994) qui distingue, pour sa part, deux grandes catégories d'actes dans l'activité de l'enseignant : le choix de la situation (niveau 1 d'intervention) et l'action sur les composantes du schème de l'élève (niveau 3). » (Ibid., 2006, p. 175-176)

Ses observations l'ont conduite aux constatations suivantes sur le rôle du langage dans la conceptualisation des notions :

> « L'un des principaux résultats de cette recherche est relatif au manque d'étayage de l'activité de formulation des élèves. Si la verbalisation des procédures est fréquemment sollicitée et ce, dès l'école maternelle, les enseignants se retrouvent le plus souvent très démunis face à la pauvreté relative des énoncés obtenus. Or, en référence à une théorie de l'activité cognitive qui place la conceptualisation au fond de l'action (Piaget, 1974 ; Vergnaud, 1996), la mise en mots du : “comment” et du “pourquoi” de la réussite reste le moyen privilégié pour transformer des “connaissances-en-acte” sous-jacentes à la production d'une solution, en savoirs mathématiques, inscrits dans une culture donnée. La question du
développement des compétences langagières des élèves est par conséquent centrale pour
permettre au langage de jouer son rôle d'aide à la conceptualisation. » (Vannier, 2006,
p. 185)

Cette forme d'articulation entre des concepts de didactique des mathématiques et des concepts hérités de la psychologie de Vygotski et Bruner nous semble particulièrement porteuse pour notre propre recherche.

Toujours ancrés en didactique des mathématiques, les travaux que nous allons présenter ont été réalisés en classes spécialisées, nous en retirerons quelques pistes pour notre étude.

### 1.2.3.2. Quelques travaux effectués en classes spécialisées

En ce qui concerne les recherches en didactique des mathématiques menées dans l'enseignement spécialisé, nous souhaitons mentionner notamment celles réalisées par Giroux & René de Cotret (2011), ainsi que Cherel (2005). Ces recherches sont orientées sur l'analyse du travail des enseignants au sein des classes spécialisées. À titre d'exemple, l'étude réalisée par Giroux & René de Cotret (2001) cité par Giroux (2013) sur le temps didactique en classe de « doubleurs »<fnref n="6" /> montre une évolution différente du temps didactique au sein de deux classes de mathématiques : une classe de doubleurs et une classe ordinaire. Les résultats de cette comparaison ont mis en évidence deux phénomènes didactiques (Giroux, 2013) :

> « Deux distinctions majeures entre les deux systèmes sont dégagées au plan des marqueurs temporels et permettent de caractériser la progression du savoir dans la classe de doubleurs : 1) économie du savoir ; 2) algorithmisation des objets de savoirs » (2013, p. 64)

Ces pratiques ne manquent pas de rappeler celles de Butlen et al. déjà mentionnées, elles sont considérées comme « économiques » quant au temps d'enseignement, et permettent de produire des réponses justes (attention à la réussite davantage qu'à l'apprentissage). Les connaissances ainsi acquises sont effectives dans des situations similaires à celles de l'apprentissage, mais ne sont pas utilisées dans des situations différentes.

<footnote n="6">6 Le terme en français de France est « redoublants »</footnote>
En outre, dans l'analyse comparative du fonctionnement de deux classes ordinaires (2ᵉ et 3ᵉ année de scolarité primaire) et d'une classe spéciale, Cherel (2005) cité par Giroux (2013) pointe certaines caractéristiques propres à la classe spéciale quant à l'organisation des contenus mathématiques et « le surinvestissement » de quelques savoirs par rapport à d'autres. Ce choix volontaire de l'enseignant est révélateur du rapport entre ces savoirs : soit il existe des savoirs plus importants auquel cas l'enseignant va abandonner ceux qu'il juge secondaires, soit il existe des savoirs jugés trop difficiles auquel cas ils seront également abandonnés (Giroux, 2013).

En ce qui concerne la mise en place des modèles d'intervention, mentionnons les travaux de Belmas (2003), Dias & Tièche Christinat (2012), Assude, Perez, Tambone & Vérillon (2011) et Liraud (2013).

Les travaux de Belmas (2003) sur l'apprentissage de la proportionnalité chez des élèves en échec scolaire en SEGPA, montrent que les symbolisations sont des outils psychologiques au service de la conceptualisation. À cet effet, Belmas propose deux types d'outils de symbolisation : le langage naturel et les schématisations pour aider les élèves dans la résolution des problèmes de proportionnalité. Il montre ainsi l'impact de ces médiations sémiotiques sur le raisonnement mathématique :

> « Sur un plan très général, il paraît important, pour ces élèves, de favoriser l'expression symbolique à la fois sur le plan langagier et sur le plan graphique. Bien que le langagier soit transversal à toutes les activités de conceptualisation, on peut aussi souligner que l'association des différents types de symbolisation (langagières et non-langagières), le passage de l'un à l'autre (changement de registre) peuvent provoquer des ruptures de la pensée. Le changement de registre, qui implique une conversion cognitive d'un type de représentation à une autre, déstabilise, ce qui peut contribuer à débloquer les conceptualisations. Cette variation des accompagnements de symbolisation correspond à une multiplication des médiations proposées aux élèves en très grande difficulté scolaire afin de construire une représentation opératoire de la réalité. » (Belmas, 2003, p. 185)

Les travaux de Dias & Tièche Christinat (2012) mettent en évidence l'importance d'un milieu « robuste » – au sens de la théorie des situations didactiques – qui permet aux élèves de l'enseignement spécialisé de développer leur potentiel. À ce sujet, ces auteurs déclarent :
« Il est en effet nécessaire d'anticiper la diversité des réactions des élèves dont une partie d'entre eux peut passer outre les rétroactions du milieu et ne pas entrer dans un véritable processus d'apprentissage. Il s'agit en quelque sorte de redéfinir un environnement dont les différents éléments constitutifs doivent contribuer à un équilibre en son sein grâce à un bon ratio alliance/antagonisme. De cette stabilité dépend la réussite du processus enseignement apprentissage. » (2012, p. 1069)

Nous souhaitons également citer une étude sur l'apprentissage du nombre aux élèves à besoins éducatifs particuliers dans un contexte de classe CLIS réalisé par Assude, Perez, Tambone et Vérillon (2011). Cette étude comporte la mise en place d'une situation problème « Garages et voitures » qui a été validée dans un contexte de classe ordinaire. Cette situation a été proposée avec quelques aménagements pour les élèves de classe CLIS, sans pour autant perturber son enjeu de savoir. Les résultats de cette étude montrent les évolutions des apprentissages des élèves en ce qui concerne les techniques de dénombrement utilisées et l'efficacité de ce type de situation. À ce propos, ces auteurs déclarent :

« Cette situation “robuste” est adaptable pour prendre en compte les besoins éducatifs particuliers d’élèves en situation de handicap car elle permet, tout en gardant sa richesse conceptuelle, de jouer sur des variables didactiques pour faciliter leur participation et veiller en même temps à ce que les règles constitutives du jeu leur demeurent accessibles. »
(Assude et al., 2011, p. 19)

Mentionnons enfin la thèse de doctorat de Liraud (2013), encadrée par Maury et Roditi, qui a permis d'évaluer les effets de la mise en place d'un dispositif d'aide à la résolution de problèmes additifs chez des élèves en difficulté d'apprentissage pris en charge par le RASED<fnref n="7" />. Les résultats obtenus (Liraud & Roditi, 2016) ont permis de montrer l'existence d'une évolution cognitive chez ces élèves validant ainsi les choix didactiques opérés pour construire les situations d'enseignement. L'analyse des activités de ces élèves a permis de rendre compte de la variabilité de leurs progrès :

« Les résultats positifs obtenus confirment les choix didactiques et montrent une variabilité des progrès chez ces élèves qui dépend de leur niveau initial ainsi que de leur engagement

<footnote n="7">7 Réseau d'Aides Spécialisées aux Élèves en Difficulté</footnote>
dans une activité mathématique authentique : résolution de problèmes, réflexion sur les
procédures possibles et justification des méthodes efficaces. » (2016, p. 2)

Au cours de cette première partie nous avons cherché à mieux rendre compte de l'acceptation la
notion de « grande difficulté » dans le monde scolaire et scientifique, en examinant son
traitement au prisme de diverses approches (institutionnelle, psycho-cognitive et didactique).
Il ressort de cet examen que deux points de vue coexistent, l'un privilégiant les causes
extrinsèques, l'autre les causes intrinsèques. Le second point de vue est aujourd'hui dominant,
il conduit à penser la difficulté en termes de troubles spécifiques ce qui risque de conduire à
une vision parcellaire de l'enfant. Ce point de vue est celui adopté par les neuroscientifiques
qui mettent en garde l'enseignement quant au choix des modalités des tâches proposées,
invoquant que les modalités mêmes peuvent être la source des difficultés davantage que
l'apprentissage des notions visées. Les recherches en didactique des mathématiques, où
l'attention est portée spécifiquement sur les questions d'enseignement et d'apprentissage de
contenus mathématiques spécifiques, montrent de leur côté que des progrès quant à
l'apprentissage sont possibles, mais que ce qui semble pénaliser le plus les élèves en difficulté
réside dans une forme d'inadéquation entre les tâches proposées aux élèves – ou
l'accompagnement de leur réalisation – et les activités que ces élèves devraient développer
pour construire les connaissances relatives aux savoirs enseignés.

Ces éléments constituent autant de repères pour étudier l'enseignement – à propos du nombre
et du calcul – proposé par Élodie à Julien (élève en grande difficulté d'apprentissage), ainsi
que les activités réalisées par cet élève et les influences réciproques qui s'exercent entre ces
deux protagonistes. Avant cette étude, nous souhaitons approfondir, dans la partie qui suit, la
présentation précédente de Julien ; nous y aborderons son passé d'élève, considéré en grande
difficulté d'apprentissage et issu d'une CLIS où les apprentissages du langage oral et de
l'écrit n'ont pas été réalisés, ni celui du nombre et du calcul. Par conséquent Julien ne sait ni
compter jusqu'à dix, ni dénombrer une collection d'objets, quel que soit son cardinal.

1.3. Quelques caractéristiques personnelles de Julien

Dans la suite de notre analyse nous allons décrire quelques caractéristiques personnelles de
Julien. Au vu des différentes perspectives sur la grande difficulté qui ont été mentionnées
précédemment, nous allons nous focaliser sur les difficultés identifiées de cet élève et sur les enseignements dont il pourrait bénéficier.

### 1.3.1. L'élève Julien : présentation à partir de son passé scolaire

Julien est un enfant qui présente de graves difficultés d'apprentissage en français et en mathématiques. À 9 ans, la lecture et l'écriture n'étaient pas encore acquises, ni le dénombrement et le calcul. Les évaluations psychologiques indiquent que Julien présente un retard mental léger et un retard global du développement (langage et cognition). Une dyspraxie visuo-spatiale a également été détectée à l'âge de 5 ans.

Au début de notre recherche (année 2012), Julien avait 9 ans et était scolarisé à mi-temps dans une école élémentaire en CLIS (classe pour l'inclusion scolaire, classe dédiée aux élèves en situation de handicap permettant une scolarisation à temps partiel en milieu ordinaire). Dans cette classe, l'enseignante spécialisée se déclarait démunie et dépassée face aux résultats très faibles de Julien et face à son manque d'implication dans les tâches scolaires. L'enseignante était persuadée de ne plus pouvoir le faire progresser dans les conditions imposées par ce type de classe. Elle a donc suggéré aux parents de Julien de rechercher un enseignant qui puisse lui apporter un enseignement « plus personnalisé ». Les parents ont alors suivi cette recommandation et ont sollicité un intervenant extérieur à l'école afin d'accompagner individuellement Julien, à la maison, tous les matins, dans ses apprentissages en français et en mathématiques. C'est ainsi qu'Élodie, professeure des écoles en disponibilité pour suivre un master de sciences de l'éducation, a accepté de prendre en charge Julien.

### 1.3.2. L'élève Julien : une présentation à partir des renseignements fournis par Élodie

Nous n'avons pas fait passer d'évaluation à Julien, nous ne l'avons d'ailleurs jamais rencontré car nous avions souhaité ne pas gêner les séances d'enseignement par notre présence. Pour rendre compte plus précisément des difficultés de Julien (langagières, en mathématiques, cognitives et affectives), nous nous basons sur les renseignements fournis par Élodie lors des premiers entretiens, ainsi que sur les notes qu'elle a pu rédiger sur son « cahier de bord ».
## Difficultés langagières :

Souffrant de troubles du langage, Julien a d'importantes difficultés à s'exprimer verbalement. Il réagit souvent par des gestes, mimiques ou grognements. À cause de ces difficultés, Julien communique peu verbalement. L'écriture n'est pas encore acquise. À ce sujet, dans un entretien l'enseignante signale :

> « Julien n'était pas du tout entré dans l'écrit et ayant des difficultés de langage importantes (il ne forme pas de phrases, il confond certains sons et exprime essentiellement ses idées en juxtaposant des mots), je ne pouvais donc pas m'appuyer sur ses explications pour comprendre le " pourquoi il a fait ça ". » (Extrait de l'entretien avec Élodie, décembre 2012)

## Difficultés en mathématiques :

Le comptage et le dénombrement ne sont pas acquis par Julien au moment de sa prise en charge par Élodie. Durant les premières années de scolarisation, le processus de dénombrement lui fut enseigné à l'école à travers différentes situations. À la maison, ses parents se sont également appliqués à le lui enseigner. Toutefois, malgré ces divers enseignements, Julien n'est jamais arrivé à maitriser cette procédure.

Durant les premiers mois de prise en charge, Élodie a observé que Julien n'accordait aucun sens à la réalisation du processus de dénombrement. À ce sujet, l'enseignante signale le fait suivant :

> « Julien ne prononçait pas les mots-nombres de la chaine verbale numérique au-delà de 2 ou 3, alors qu'en dehors de tout contexte, il était capable de l'énoncer jusqu'à 10. » (Extrait de l'entretien avec Élodie, décembre 2012)

Julien présentait également une mauvaise coordination du geste de pointage et d'énoncé de la chaine numérique verbale. Il n'avait pas de stratégie pour trier les éléments comptés de ceux qui restaient à compter. Julien ne savait pas dénombrer les collections dont le cardinal allait au-delà de 3, mais il répondait souvent correctement à la question « combien » pour de petites
quantités. Malgré tout, il était parfois difficile de savoir s'il répondait correctement par hasard, par comptage des objets ou par subitizing<fnref n="8" />.

## Difficultés métacognitives :

Julien présentait également des difficultés de concentration et d'attention. Il avait de réelles difficultés à suivre et à finir une étape de travail, sa déconcentration arrivant très rapidement. En ce qui concerne sa mémoire, Julien n'arrivait pas à retenir les informations d'un énoncé de problème, les éléments d'une consigne ou les résultats partiels, oubliant ainsi souvent le nombre qu'il venait de prononcer au cours d'un dénombrement. À ce sujet, l'enseignante déclare :

> « Julien a beaucoup de mal à se concentrer, notamment lors des activités, il est toujours en train de jouer avec différents objets. Le temps de concentration de Julien est très court dans chaque activité. » (Extrait de l'entretien avec Élodie, décembre 2012)

## Difficultés psycho-affectives :

Julien présente aussi un refus à toute tâche scolaire, notamment celles abordant les mathématiques. Il éprouve régulièrement un sentiment d'échec qui se manifeste par une anxiété dans ses activités scolaires, par un manque de motivation, et par un évitement des nouvelles situations. À ce sujet, l'enseignante signale :

> « J'ai tout de suite remarqué que Julien avait plus de difficulté à entrer dans les apprentissages mathématiques qu'en lecture. Son sentiment d'échec face à cette tâche et son manque d'assurance ont un impact important sur son apprentissage. » (Extrait de l'entretien avec Élodie, décembre 2012)

Pour illustrer nos propos sur les diverses difficultés rencontrées avec Julien au début de sa prise en charge, nous donnons ci-dessous un exemple extrait des premières notes prises par l'enseignante lors d'une séance d'enseignement.

<footnote n="8">⁸ Il s'agit de la perception d'une quantité sans avoir recours au comptage.</footnote>
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 3 : Notes prises par Élodie dans son « cahier de bord » lors d'une séance d'enseignement au début de la prise en charge de Julien. (Datées du 08/10/2012)</figcaption></figure>

Cette description des difficultés de Julien permet d'en comprendre l'importance sinon l'origine. Comme nous l'avons signalé, les élèves en grande difficulté depuis l'origine de la scolarité présentent souvent un retard de 3 ou 4 ans quant aux apprentissages ; et Julien ne fait pas exception. Les échecs précoces en CP, les redoublements successifs, l'orientation vers des classes d'adaptation spécialisées font notamment partie du tableau classique de leur histoire scolaire. Ces élèves ont donc vécu des expériences répétées d'échec et de déplaisir portant gravement atteinte à leur sentiment de compétence et leur estime de soi, engendrant de par ce fait la mise en place de mécanismes de défense.

En prenant en compte les difficultés de Julien, l'enseignante a déterminé que le processus de dénombrement devait être retravaillé afin qu'il puisse accéder à la conceptualisation de la cardinalité, qu'il y avait là comme un préalable à tout enseignement du domaine numérique. Cet objectif a constitué un véritable défi car l'instabilité du processus de quantification conduit à des résultats variables pour différents dénombrements de la même collection d'objets et vient par conséquent comme un obstacle à la construction du concept de cardinalité. Cette instabilité du processus de quantification s'explique par le fait que plusieurs capacités qui devraient s'automatiser sont mobilisées : l'élève doit énoncer oralement ou
mentalement la chaîne verbale numérique ; et de façon synchronisée, il doit pointer chaque objet, soit avec le doigt, soit avec les yeux ; il doit mentaliser une organisation de l'ensemble de la collection pour éviter les oublis et les doubles comptages. Mazeau & Le Lostec, face à Élodie, pourraient évoquer le piège de la double tâche ou même de la triple tâche : Julien est affecté par un trouble du langage qui pèse sur l'automatisation de l'énoncé de la comptine numérique, par un trouble visuo-praxique qui rend difficile le pointage digital ou visuel, et rend difficile également l'appréhension globale de la collection pour l'organiser afin de compter chaque objet en une seule fois. Serait-il néanmoins possible de proposer à Julien des tâches qui garderaient un réel potentiel pour qu'il construise le concept de cardinalité et de nombre et qui lui éviterait l'énorme coût cognitif de la « double tâche » ?

Dans la deuxième partie de ce chapitre, nous allons approfondir les connaissances acquises sur l'enseignement et l'apprentissage du nombre afin de répondre à cette question et, plus largement, de construire des outils d'analyse des connaissances de Julien, des situations proposées par Élodie et des activités de son élève. À cette fin, nous convoquerons des travaux menés en psychologie du développement, en didactique des mathématiques et en neuropsychologie.

## 2. L'enseignement et l'apprentissage du nombre au cas spécifique de Julien

Nous proposons dans cette deuxième partie du chapitre 2, de réaliser une étude préliminaire de ce que recouvre la notion de nombre et son acquisition chez l'enfant, notamment celle du dénombrement d'une quantité. Pour ce faire nous souhaitons éclaircir dans un premier temps le concept de nombre.

### 2.1. Le concept de nombre

Difficile d'énoncer une définition du concept de nombre qui reste valide pour tous les ensembles de nombres. Nous n'avons d'ailleurs trouvé aucun dictionnaire qui en propose une, et des dictionnaires qui d'ailleurs indiquent que ce concept ne peut être défini. Par exemple, le « Trésor de la Langue Française Informatisé » indique à l'entrée nombre :
« Concept de base des mathématiques, une des notions fondamentales de l'entendement que l'on peut rapporter à d'autres idées (pluralité, ensemble, correspondances) mais qu'on ne peut définir. »

Afin de rester dans le domaine qui concerne notre étude, nous porterons notre regard sur le concept de nombre entier naturel pour lequel des définitions mathématiques ont été produites. Nous examinerons aussi une proposition issue de la psychologie cognitive.

### 2.1.1. Approches mathématiques du nombre entier naturel

En ce qui concerne l'approche mathématique, nous pouvons mentionner deux conceptions du nombre entier naturel : une qui se base sur une construction par successeur (et qui repose donc sur l'aspect ordinal du nombre), et une autre approche qui définit le nombre comme un cardinal. Nous voulons expliquer ces deux conceptions en nous référant au travail effectué par Mounier (2010) dans sa thèse de doctorat sur l'analyse de l'enseignement de la numération au CP.

Giuseppe Peano mathématicien et philosophe italien a été le pionnier de l'approche formaliste des mathématiques. Il a produit une définition du nombre entier naturel qui repose sur la fonction « successeur ». En voici une définition proposée par Mounier (2010, p. 27) :

L'ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ est défini de la manière suivante à un isomorphisme près :

(1) 0 est un élément de $\mathbb{N}$.

(2) Il existe une bijection $S \subset \mathbb{N}$ sur $\mathbb{N} \setminus \{0\} : x \to S(x)$, $S(x)$ est appelé le successeur de $x$.

(3) Si une partie $M$ de $\mathbb{N}$ contient $0$ et le successeur de tout élément de $M$, alors $M = \mathbb{N}$.

Ceci permet en particulier d'établir axiomatiquement le raisonnement par récurrence :

Soit $P$ une assertion qui dépend d'un entier naturel $n$, notée de ce fait $P_n$. Si $P_0$ est vraie et si l'implication ($P_n$ vraie entraine $P_{S(n)}$ vraie) est vraie pour tout entier $n$, alors $P_n$ est vraie pour tout entier $n$.

Les opérations telles que l'addition et la multiplication sont alors définies par récurrence grâce aux successeurs.

Pour deux entiers $n$ et $m$, $n+m := S(n + S^{-1}(m))$ ; $n \times m := n \times S^{-1}(m) + n$.

L'associativité, la commutativité, l'existence d'éléments neutres pour les deux opérations, ainsi que la distributivité sont alors des conséquences (non triviales) de ces définitions.

La structure d'ordre total est par contre une conséquence immédiate.

<caption>Figure 4 : Définition du nombre entier naturel selon une approche par successeur proposée par Mounier</caption>
La conception cardinale du nombre entier naturel relève d'une autre conception où les nombres renvoient à la quantification des éléments des ensembles finis. Cette deuxième conception a été formalisée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle. Voici quelques commentaires de Mounier à son propos :

« Deux ensembles ont le même cardinal quand ils sont équipotents, c'est-à-dire en bijection. Ceci définit une relation d'équivalence sur les ensembles. Dans la théorie axiomatique des ensembles, l'axiome du choix permet de mettre un bon ordre sur tout ensemble et de choisir dans chaque classe d'équivalence un ensemble qui la représente : c'est le cardinal. Les opérations telles que l'addition et la multiplication sont définies immédiatement grâce à l'union et au produit cartésien (à définir).

$\text{card}(A) + \text{card}(B) := \text{card}(A \cup B)$ pour A et B disjoints.

$\text{card}(A) \times \text{card}(B) := \text{card}(A \times B)$

L'associativité, la commutativité, l'existence d'éléments neutres pour les deux opérations, ainsi que la distributivité sont alors de (simples) conséquences de ces définitions. » (Ibid., p. 27-28)

Les deux définitions de ces deux mathématiciens reposent chacune sur un aspect différent du nombre entier naturel dont les psychologues et didacticiens estiment que c'est par leur synthèse que l'enfant construit la connaissance du concept de nombre :

- L'aspect ordinal pour lequel le nombre indique une position dans une suite ordonnée d'objets.

- L'aspect cardinal pour lequel le nombre indique la quantité des éléments qui constituent un ensemble fini, c'est-à-dire dans la vie courante, la quantité d'objets présents dans une collection.

Les psychologues du développement, à commencer par Piaget, ont beaucoup œuvré pour rendre compte de l'apprentissage du nombre (dans la suite, quand nous écrivons nombre, c'est le nombre entier naturel que nous désignons). Les neurosciences, se positionnant par opposition aux courants piagétien et post-piagétiens, proposent une approche quelque peu différente. Nous nous expliquons brièvement à ce sujet ci-après.
2.1.2. Approche neurocognitive du nombre entier naturel

Pour les chercheurs en neuropsychologie, le nombre est d'abord considéré comme une idée,
un concept abstrait en lien avec les objets du monde, que ces objets soient matériels ou
sonores. Par exemple, Cohen (2012) définit le nombre comme : « (...) une propriété très
abstraite d'un groupe d'objets, qui ne change pas, qu'on déplace les objets, qu'on change leur
couleur, leur forme, qu'on les voie ou qu'on les entende » (2012, p. 125).

En outre, dans un article intitulé « L’évaluation des troubles de calcul et du traitement des nombres », Pesenti, Seron & Noël (2014) signalent : « Au niveau le plus élémentaire, le nombre est une propriété d’une collection d’objets du monde extérieur (la numérosité) qui doit être reconnue (opération de quantification) et représentée mentalement » (2014 p. 605).

Une telle mention indiquant que les objets du monde possèdent la propriété et non que la propriété est construite par le sujet dans son rapport au monde, constitue malgré la finesse de la différence, un marqueur clair de l'opposition des neuroscientifiques au constructivisme piagétien. Ces deux citations de neuroscientifiques sur le nombre permettent aussi d'entrevoir deux conceptions de ce dernier :

- Une conception psychologique où le nombre reste référé aux collections d'objets même s'il en est une abstraction.

- Une conception mathématique où le nombre est *a priori* indépendant des objets du monde concret.

Au début de l'apprentissage du nombre, le travail du lien avec les objets du monde reste le moyen de construire la connaissance de ce concept, même si les deux théorisations mathématiques renvoient à deux aspects du concept, l'aspect ordinal et l'aspect cardinal, qui sont partie prenante de son apprentissage pour les psychologues comme pour les neuroscientifiques. Développons à présent ce que recouvre l'apprentissage du nombre dans ces champs scientifiques, en commençant par les représentations et les utilisations du nombre.
## 2.2. Les représentations et utilisations du nombre

Comprendre la notion du nombre commence chez l'enfant par la conception de ses différentes représentations et de ses utilisations.

### 2.2.1. Les représentations du nombre

Les nombres sont représentés de différentes façons : orale, gestuelle, analogique, écriture chiffrée, etc. Nous pouvons distinguer deux types de représentations, analogiques et langagières, auxquelles s'ajoutent les représentations mentales.

La représentation concrète la plus souvent utilisée chez le jeune enfant pour représenter les petites quantités est celle des doigts de la main (ou des deux mains). Ensuite, cette représentation évoluera vers une forme générique (figurée) de la quantité, une constellation plus organisée comme celles des dés, des dominos, des cartes à jouer, etc.

Les représentations langagières courantes sont numérales (en mots : un, deux, trois...etc.) ou numériques (en chiffres : 1, 2, 3 ...etc.). Pour les enfants sourds à qui l'on enseigne la langue des signes, les nombres peuvent également être représentés par des signes utilisant les mouvements des deux mains. Pour les enfants déficients visuels, on peut aussi enseigner l'écriture braille qui est un système d'écriture tactile à points saillants.

Les représentations mentales sont des « images » mentales du nombre sur lesquelles notre intelligence peut travailler. Ces représentations mentales ont été travaillées dans le champ des sciences cognitives.

Les représentations du nombre sont partie prenante de sa conceptualisation dans la mesure où elles permettent non seulement au nombre de désigner la position (par son aspect ordinal) ou la quantité (par son aspect cardinal), et pour certaines d'entre elles de calculer afin de prévoir une position ou une quantité sans effectuer l'opération matérielle qui permettrait de la connaître.

### 2.2.2. Les utilisations du nombre

Très tôt, les nombres sont utilisés dans différentes situations scolaires ou de la vie quotidienne. C'est à partir de ces situations que l'apprentissage du nombre va se développer
progressivement. En référence à la théorie des champs conceptuels, Roditi (2005) indique les
situations dans lesquelles peuvent intervenir un nombre et les différentes représentations de
celui-ci. Il distingue quatre types de situations :

A. La désignation : « le nombre est utilisé comme une étiquette, comme un nom. C'est par exemple le cas lorsqu'on indique un numéro : le TGV 5118 relie Lille et Grenoble, l'indicatif téléphonique de l'Île-de-France est le 1 et celui des mobiles est le 6... » (Roditi, 2005, p. 38)

B. Le rangement : « le nombre permet de repérer les objets désignés les uns par rapport aux autres. Si l'on vous indique de prendre la troisième rue à droite, vous saurez qu'il vous faut en passer une, en passer encore une autre, mais tourner à la suivante... » (Ibid.)

C. La quantification : « L'activité de quantification consiste à répondre à la question "Combien ?". Les mathématiciens distinguent le dénombrement de la mesure suivant que les éléments de la collection à évaluer se comptent un à un ou non. » (Ibid., p. 39)

D. Le calcul et les opérations : « Le calcul permet de déterminer le résultat des opérations effectuées qui, à un niveau élémentaire, répondent à trois fonctions : comparer des grandeurs, évaluer la variation d'une grandeur ou déterminer le bilan d'une composition de plusieurs grandeurs ou de plusieurs variations... » (Ibid.)

Les nombres sont utilisés dans la vie quotidienne comme un outil pour résoudre divers problèmes, afin de mémoriser une quantité, de comparer les tailles de collections, de partager une quantité, etc. Cette familiarité que les adultes ont progressivement construite avec les nombres repose-t-elle sur un déjà-là, présent dès les premiers jours de la vie, ou est-elle le pur produit d'un apprentissage socialement organisé ? C'est cette question que nous abordons maintenant et qui, comme nous l'avons déjà signalé brièvement précédemment, distingue – sinon oppose – les scientifiques spécialistes de l'apprentissage du nombre.

## 2.3. Le nombre est-il inné ou acquis ? Lorsque les scientifiques s'opposent...

L'apprentissage du nombre chez l'enfant est étudié depuis de très nombreuses années par plusieurs chercheurs et dans différents domaines. Ces études reposent de manière explicite ou
implicite sur deux positions quant à la question : le nombre est-il inné ou acquis ? Une question fondamentale lorsqu’il s’agit de l’enseignement et de l’apprentissage de cette notion (Roditi, 2005).

La première position dite « innéiste du nombre » postule qu’il existe une certaine sensibilité numérique chez les enfants dès leur très jeune âge. Nous pouvons citer en particulier les travaux réalisés par Gelman & Gallistel (1978) où les auteurs défendent que le comptage des enfants est guidé par cinq principes. Ces principes sont exposés en français dans les travaux de Lecointre, Lépine & Camos (2005) :

> « Le principe de correspondance "un à un" stipule que chaque élément compté ne peut être associé qu'à une seule étiquette. La connaissance de cette règle ne se reflète pas dans le fait que l'enfant utilise la séquence standard pour compter mais dans l'existence d'étiquettes propres à chaque item. Un enfant qui compte en utilisant une séquence inventée peut donc suivre ce principe à condition qu'il ne mentionne pas deux fois le même mot-nombre au cours de son dénombrement.

Pour satisfaire au principe d'ordre stable, l'enfant doit utiliser la même séquence de mot-nombres pour le dénombrement de différentes collections. L'enfant peut donc compter « un, deux, cinq » pour une collection de trois items et "un, deux, cinq, huit" pour une collection de quatre items.

Le principe de cardinalité est satisfait quand l'enfant a compris que le mot-nombre associé au dernier item compté a une signification particulière. Le dernier nombre, qu'il soit ou non le nombre correct dans la séquence standard, représente le cardinal de la collection. Ce principe est considéré comme su quand l'enfant cite le dernier mot-nombre quand on lui demande combien il y a d'objets dans une collection qu'il vient de dénombrer.

Le principe d'abstraction est la capacité qu'a l'enfant de savoir ce qui peut être compté. Ce principe ne guide pas le comptage en lui-même, mais définit les domaines auxquels le comptage peut être appliqué. Un enfant qui comprend que le comptage peut être appliqué à toute sorte d'item doit être capable de compter des collections d'objets homogènes mais également des collections hétérogènes (objets qui diffèrent en couleur, taille, forme et arrangement) et même des actions ou des sons.
Le principe de non-pertinence de l'ordre correspond au fait que quel que soit l'ordre dans lequel les objets sont comptés, de droite à gauche ou de gauche à droite, ou en débutant par l'un quelconque des éléments, le résultat reste inchangé » (Lecointre et al, 2005, p. 3-4)

Selon Gelman & Gallistel, ces cinq principes existent chez l'enfant avant même qu'il ait une quelconque expérience du dénombrement et sont disponibles très tôt chez ce dernier, c'est ce qu'indique Roditi (2005) :

> « Ces principes seraient disponibles très tôt chez l'enfant, beaucoup plus tôt que ne l'indique le modèle piagétien, c'est leur mise en œuvre simultanée qui serait à construire par le jeune enfant. » (2005, p. 48)

Dans ce modèle, le nombre se construit tout d'abord dans sa dimension ordinale par conjugaison des trois premiers principes (Roditi, 2005). En outre, dans ce modèle, les erreurs de dénombrement réalisées par l'enfant sont considérées comme résultats de la difficulté de mettre en œuvre de manière coordonnée tous ces principes.

Dans les textes des auteurs qui réfèrent leurs travaux aux neurosciences, il est fréquent de lire des dénominations des théories de l'apprentissage du nombre qui laissent penser que les cinq principes de Gelman et Gallistel sont constitutifs de l'apprentissage du nombre : ils désignent ainsi par exemple par « les principes avant » les théories qui supposent – comme les auteurs de référence – une acquisition innée des principes, et par « les principes après » les théories qui supposent plutôt que les principes s'acquierenent par exposition à l'enseignement, que cet enseignement soit familial ou scolaire. Deux réflexions nous semblent devoir être avancées. La première est que l'examen même des principes montre qu'ils décrivent éventuellement les critères que respecte quelqu'un qui sait dénombrer, mais qu'ils ne permettent pas de rendre compte d'un processus d'apprentissage : les principes ne s'apprennent pas, c'est leur coordination qui s'apprend. La seconde est que tous les scientifiques qui travaillent sur l'apprentissage du nombre ne prennent pas ces principes comme référence de l'apprentissage, Brissiaud (1992) explique même qu'il y en a peu :

> « "Les chemins du nombre" (Bideaud, Meljac & Fischer 1991), contient non seulement une contribution de Gelman, mais aussi d'autres chercheurs américains et francophones. Il montre clairement que la quasi-totalité des auteurs ne partagent pas le point de vue de Gelman. »
> (Brissiaud, 1992, p. 42)
Ce point de vue innéiste s'oppose au courant constructiviste piagétien. Piaget est sans doute le premier psychologue à avoir tenté de rendre compte à la fois de processus et de critères qui permettent de rendre compte de l'apprentissage du nombre par l'enfant. Selon lui, les connaissances résultent de l'activité mentale du sujet en interaction avec son milieu. Il est fondé sur l'hypothèse que l'individu modifie ses modèles mentaux par rapport au sens qu'il donne à ses expériences. Cet auteur défend une position constructiviste interactionnelle de l'apprentissage où l'enfant organise son monde au fur et à mesure qu'il apprend en s'adaptant ; il le construit par ses propres actions, sous l'influence de l'évolution de sa perception et de sa compréhension. Selon ce modèle, l'enfant construit ses connaissances progressivement dans son interaction avec le milieu et selon différent processus comme celui d'assimilation et d'accommodation :

> « Piaget distingue notamment “l’assimilation” où le sujet apprend des connaissances nouvelles sans reconsidérer les anciennes, de “l’accommodation” où le sujet doit recomposer les connaissances anciennes pour intégrer les nouvelles. » (Roditi, 2005, p. 9)

Après avoir mentionné cette opposition qui apparaît fréquemment dans la littérature neuroscientifique sur l'apprentissage du nombre, il convient à présent d'indiquer quelques résultats importants qui nous permettront d'analyser l'enseignement d'Élodie, les activités de Julien ainsi que son apprentissage du nombre et du calcul. Ces résultats sont mentionnés dans les sections suivantes, nous commencerons par ceux de Vergnaud qui constituent notre référence quant à la conceptualisation et qui portent sur l'apprentissage du nombre dans une perspective héritée de sa théorie des champs conceptuels.

## 2.4. La théorie conceptuelle et l'apprentissage du nombre

Nous retenons de la théorie des champs conceptuels de Vergnaud (1991) le cadre d'analyse qu'elle constitue du rapport élève-savoir-enseignement et qui, dans la lignée des travaux de Piaget, fixe quelques repères sur l'apprentissage du dénombrement.

### 2.4.1. La théorie des champs conceptuels

La notion de champs conceptuels de Vergnaud, pose l'existence de systèmes de concepts organisés. Pour Vergnaud (1990) cité par Margolinas (2005) : « [La] principale finalité [de la
théorie des champs conceptuels] est de fournir un cadre qui permette de comprendre les
filiations et les ruptures entre connaissances, chez les enfants et les adolescents, en entendant
par ‘connaissances’ aussi bien les savoir-faire que les savoirs exprimés. » (2005, p. 4)

La notion de base de cette théorie est celle de concept qui n’est pas, pour les concepts
mathématiques, l’objet intellectuel construit par les mathématiciens et dégagé de toutes les
questions qui lui ont donné naissance, mais au contraire un triplet composé à la fois : des
situations dans lequel le concept est opérationnel ; des invariants qui rendent opératoires les
schèmes relatifs au concept ; et des représentations du concept, de ses propriétés, des
procédures de traitement et des situations. Dans le cas des nombres entiers naturels on
comprend que les situations qui interrogent la quantité d’éléments ou la position d’un élément
dans un ensemble ordonné participent du concept, qu’il en est de même des propriétés qui
rendent opératoires le schème du dénombrement et les calculs arithmétiques, et que c’est aussi
le cas des formes langagières et symboliques qui représentent les nombres, les opérations et
l’égalité des nombres.

La référence à ces trois composantes du concept est nécessaire à la compréhension de ce que signifie la « représentation » d'un concept pour un sujet. Vergnaud (2011) explique ainsi que : « La représentation n'est ni une bibliothèque, ni un dictionnaire ; c'est une instance éminemment active. Au bout du compte, les schèmes sont une composante première de la représentation » (2011, p. 48). Il indique également que : « La fonctionnalité de la représentation vient de deux raisons principales et complémentaires : elle organise l'action, la conduite, et plus généralement l'activité, tout en étant elle-même le produit de l'action et de l'activité (c'est le concept de schème qui exprime le mieux cette idée) ; elle permet une certaine simulation du réel, et donc l'anticipation » (Vergnaud, 2007, p. 10).

En ce qui concerne les connaissances construites relativement à un concept, Vergnaud (1991) indique qu’il est nécessaire de concevoir ce concept dans l’ensemble de toutes les situations ou qui lui donnent du sens. À l’ensemble de ces situations, il associe l’ensemble des problèmes ou tâches présentées aux élèves. C’est selon lui à travers des situations à comprendre et des problèmes à résoudre qu’une notion acquiert du sens pour un sujet. L’étude du développement et du fonctionnement d’un concept chez un sujet repose sur une analyse du traitement des situations qui donnent du sens au concept, sachant que Vergnaud (1990) cité par Perrenoud (2011) distingue deux catégories de classe de situations :
1. « des classes de situations pour lesquelles le sujet dispose dans son répertoire, à un moment donné de son développement et sous certaines circonstances, des compétences nécessaires au traitement immédiat de la situation ;

2. des classes de situations pour lesquelles le sujet ne dispose pas de toutes les compétences nécessaires, ce qui l'oblige à un temps de réflexion et d'exploration, à des hésitations, à des tentatives avortées, et le conduit éventuellement à la réussite, éventuellement à l'échec »
(Perrenoud, 2011, p. 54)

Ces deux types de situations ne mobilisent pas les mêmes organisations chez les sujets. Dans la première situation, la gestion est dirigée par un schème unique, alors que dans la deuxième plusieurs schèmes qui devront être accommodés peuvent être mis en place pour résoudre le problème. Détaillons plus précisément la notion de schème.

### 2.4.1.1. La notion de schème

La notion de schème est centrale dans la théorie des champs conceptuels. Cette notion est empruntée à Piaget qui l'avait empruntée à Kant (Vergnaud, 1991). Elle est définie comme une organisation invariante de l'activité pour une classe de situations donnée. Vergnaud (2011) ajoute :

- « Le schème s'adresse à une classe de situations. On peut donc en droit lui associer des quantificateurs universels qui permettent d'en définir la portée et les limites. Le schème est lui-même un universel, comme le concept.

- C'est l'organisation qui est invariante, non pas la conduite observable ; les schèmes ne sont pas des stéréotypes. Si certains schèmes engendrent des conduites relativement stéréotypées, ce n'est pas le cas de la plupart d'entre eux : ils engendrent des conduites différentes en fonction des valeurs des variables de situation.

- Le schème n'organise pas que la conduite observable, mais également l'activité de pensée sous-jacente » (2011, p. 43)

Deuxièmement, Vergnaud (2011) signale que le schème est organisé par quatre éléments :

« Il est formé nécessairement de quatre composantes :

- un but, des sous-buts et anticipations ;

- des règles d'action, de prise d'information et de contrôle ;
- des invariants opératoires : concepts-en-acte et théorèmes-en-acte ;

- des possibilités d'inférence en situation » (Ibid.)

Le caractère opératoire du schème est dû au fait que l'action puisse varier selon les déterminants de la situation, c'est ce qui permet l'adaptabilité du schème à des situations nouvelles et non une simple répétition de la conduite opératoire. La fonction adaptative de la connaissance doit donner une place centrale à sa dimension opératoire qui est modelée par le schème. Ainsi, le développement des schèmes se fait par un processus d'assimilation/accommodation. À ce sujet Vergnaud mentionne :

> « Cette adaptation peut éventuellement se faire sans grande difficulté, par combinaisons, adjonctions et différenciations simples, à partir des premières situations qu'ils permettent de maitriser, éventuellement aussi par de véritables révolutions, c'est-à-dire des transformations et des recombinaisons radicales. » (Vergnaud, 1991 p. 82)

Par ailleurs, la référence au schème permet d'une part, de rendre compte des compétences et des erreurs au niveau des organisations cognitives ; à ce sujet Vergnaud déclare :

> « Le concept de schème, forme d'organisation de l'activité pour une certaine classe de situations, permet de décrire et d'analyser les compétences qui mettent en jeu des conceptualisations complexes. » (Vergnaud 2011, p.48)

Cet aspect nous semble important dans notre étude de l'activité de Julien pour essayer d'identifier ses connaissances, de comprendre les erreurs qu'il peut commettre et d'analyser ses apprentissages. Comme le concept sur lequel porte notre étude est celui de nombre entier naturel, il est essentiel d'approfondir le schème du dénombrement.

### 2.4.1.2. Le schème du dénombrement

Vergnaud cité par Roditi (2009) signale que le schème « comporte à la fois l'organisation des gestes, des formes langagières, des opérations de pensées, des interactions sociales qui permettent de traiter une classe de situations ». Un exemple clair peut être représenté par le schème de dénombrement des petites collections À ce sujet Vergnaud déclare :

> « Le schème du dénombrement chez un enfant de 5 ou 6 ans : Ce schème comporte une organisation du parcours spatial de la main, du doigt et des yeux, en liaison avec les objets à
dénombrer d'une part, avec l'émission à voix haute de la suite des nombres d'autre part, de manière à établir une correspondance biunivoque : principe d'exhaustivité (on les compte tous sans en oublier aucun) et principe d'exclusivité (on ne compte pas deux fois le même). Une autre caractéristique du schème concerne la marque énonciative de la cardinalisation : le dernier mot-nombre prononcé représente le cardinal de tout l'ensemble et non pas le dernier élément. Cette marque énonciative consiste soit dans la répétition (1, 2, 3, 4, 5...5), soit dans l'accentuation (1, 2, 3, 4... 5). » (Vergnaud, 1991, p. 80)

Un dénombrement peut échouer à cause d'une mauvaise adaptation du schème, d'une représentation erronée, d'un théorème en acte-faux, d'une mauvaise coordination du geste et la comptine numérique, etc. Vergnaud (2001) mentionne :

> « Ainsi le dénombrement consiste en un ensemble de gestes, qui impliquent le corps tout entier et pas seulement le cerveau, et qui repose sur des conceptualisations mathématiques. Ces conceptualisations peuvent le cas échéant faire défaut, comme on l'observe chez certains enfants : mauvaise coordination temporelle et spatiale des gestes, absence de cardinalisation. » (Vergnaud, 2011, p. 40)

Au regard des divers troubles qui affectent Julien, il est compréhensible de le voir se heurter à certaines difficultés lorsqu'il s'agit pour lui de dénombrer : son trouble du langage nuit à la qualité de l'énonciation de la suite verbale numérique, son trouble visuo-praxique nuit à la qualité du pointage, de la synchronisation et de la correspondance biunivoque. Ces difficultés nuisent donc à son apprentissage, mais aussi le conditionnent : Élodie doit prendre en compte ses difficultés à dénombrer pour adapter son enseignement du nombre. Au-delà du dénombrement, nous souhaitons également développer quelques repères sur la construction du concept de nombre.

## 2.5. La construction du concept du nombre

La construction du concept du nombre se développe progressivement au cours de l'enfance au travers de différentes activités, dont celles de quantification. En vue de la résolution de problèmes, ces situations requièrent une action sur des collections (action essentiellement mentale si les objets à dénombrer sont disposés de manière telle qu'un pointage visuel soit possible, ou concrète s'ils ne sont pas distinguables immédiatement comme le seraient des
allumettes dans une boîte), mais également une représentation des quantités sous diverses formes (dessins, schémas, doigts de la main, etc.). Ces activités impliquent diverses procédures : dénombrement par pointage visuel ou digital, avec une éventuelle réorganisation de la collection dont le cardinal est cherché ; appui sur les doigts pour effectuer un surcomptage ou un décomptage ; calculs utilisant des résultats mémorisés comme les décompositions des premiers nombres, les compléments à cinq ou à dix, les doubles puis les tables d'addition, etc.

Dans le cadre de notre recherche, nous nous focaliserons sur les situations de quantification qui sont les situations les plus fréquemment proposées par Élodie lors de son enseignement. Les procédures de quantification sont diverses, nous allons donc les détailler ci-après en commençant par le subitizing qui concerne les toutes petites quantités.

### 2.5.1. Les petites quantités et le subitizing

Par une perception globale et immédiate, il est possible de visualiser la quantité sans avoir besoin de la dénombrer, à condition que cette quantité soit suffisamment petite. Cette procédure est nommée « subitizing », elle ne nécessite aucun comptage, elle ne repose donc pas sur le schème du dénombrement décrit précédemment. Le subitizing permet une quantification exacte des collections à condition que leur taille reste limitée jusqu'à 4 éléments en moyenne (Bideaud, Lehalle & Vilette, 2004).

La nature du processus de subitizing a fait l'objet de diverses hypothèses théoriques pour expliquer à la fois l'étendue limitée des quantités sur lesquelles ce processus est opératoire : Lecointre, Lépine & Camos (2005) ainsi que Trick & Pylyshyn (1993, 1994) cités par Lecointre et al. (2005) proposent une explication du subitizing et de sa limite à 4 éléments. Selon eux, le subitizing et le dénombrement seraient des effets de la construction de notre système visuel :

> « Lors du traitement visuel, il existerait une étape parallèle (pré-attentive) qui dirigerait le subitizing et une étape sérielle (attentionnelle) qui dirigerait le dénombrement. » (Lecointre et al, 2005, p. 19)
Ce processus opèrerait seulement si les objets sont suffisamment identifiables dans l'espace.
Au contraire Gelman & Gallistel (1991), toujours cités par Lecointre et al (2005), supposent
qu'il n'y aurait pas de réelle différence entre subziting et dénombrement : le subitizing serait
un dénombrement très rapide et non verbal. Cela nous semble important d'indiquer cette
procédure, même si les différences théoriques d'interprétation du processus ne concernent pas
particulièrement notre recherche. En effet, compte tenu du trouble visuo-spatial de Julien, il
sera nécessaire de distinguer si cette technique sera utilisée dans le cas des quantités
inférieures ou égales à 3 ou si Julien devra mettre en œuvre le schème du dénombrement qui
concerne généralement des quantités supérieures. Si Julien accède à la reconnaissance
immédiate de la quantité, la question « Combien y en a-t-il ? », pourrait être complétée par la
question « Peux-tu les compter ? », ce qui lui permettrait de prendre conscience de
l'opérationnalité du dénombrement un à un ainsi que du lien entre le mot-nombre qu'il faut
pour répondre à la question « Combien ? » et celui sur lequel le comptage se termine. Cette
prise de conscience joue un rôle important dans l'acquisition de la cardinalisation.

2.5.2. Le dénombrement un à un des quantités discrètes

Dénombrer une collection d'objets signifie déterminer combien cette collection comporte
d'objets. Selon cette définition, le subitizing est donc une procédure de dénombrement,
toutefois, dans la littérature, le terme est souvent réservé aux collections plus nombreuses que
4 éléments ce qui nécessite une procédure impliquant le schème décrit précédemment à partir
des travaux de Vergnaud. Toutefois, comme l'avait signalé Gréco (1962) cité par Vilette
(1996), le schème ainsi décrit laisse un doute quant au statut du dernier mot-nombre
prononcé : l'enfant qui répond par ce nombre à la question « combien ? » a-t-il conscience
que sa réponse est le cardinal de la collection ? Brissiaud (1989) précise : « On dit qu'un
enfant sait dénombrer une collection quand le dernier mot-nombre qu'il prononce n'est pas un
simple numéro, mais représente à lui seul la quantité de tous les objets. » (Brissiaud, 1989,
p. 107).

Cette question du sens accordé aux mots-nombres prononcés ne concerne pas que le dernier.
Dans la réalisation du dénombrement, ce n'est pas seulement en effet le dernier mot-nombre
prononcé qui est susceptible de représenter une quantité. Brissiaud (1989) précise : « S'il
s'agit de dénombrer des objets déplaçables et que l'enfant procède comme il est indiqué. (...)
il est vraisemblable que chacun des mots-nombres prononcés référera à une quantité. »
(Brissiaud, 1989, p. 107).

Brissiaud (1989) distingue ainsi le « comptage numérotage » du dénombrement et soulève la
difficulté de certains élèves de passer de l'une à l'autre :

« Pour accéder au dénombrement à partir du comptage-numérotage, l'enfant doit accorder une double signification au dernier mot-nombre prononcé : lorsqu'il est prononcé pour la première fois, au cours du comptage, le dernier mot-nombre a le même statut que les autres mots-nombres, il s'agit d'un numéro qui distingue un objet ("le sept", par exemple). L'enfant doit alors changer la signification de ce mot-nombre pour qu'il représente la quantité de tous les objets : on passe de "le sept" à "les sept". » (Ibid. p.108)

Si ces différences théoriques sont importantes, il reste qu'il n'est pas facile pour l'enseignant d'établir que l'enfant a bien compris que le dernier mot-nombre représente la quantité de la collection. Par ailleurs, le possible manque de lien entre le comptage et la détermination de la quantité d'objets présents dans une collection est accentué par le fait que le comptage est une pratique culturelle qui dépasse la détermination des quantités. Ainsi l'enfant est souvent encouragé à réciter la comptine numérique ou à compter des objets sans pour autant que soit recherché l'apprentissage du rapport entre le dernier mot-nombre et la quantité (Brissiaud, 1989).

Dans le cas d'un élève affecté d'un trouble praxique visuo-spatial, comme c'est le cas de Julien, le principe de cardinalité est difficile à acquérir car les comptages successifs n'aboutissent pas toujours au même dernier mot-nombre, les erreurs de comptage font ainsi obstacle à la stabilisation des connaissances.

2.5.3. Stratégies pour dénombrer des quantités

Au cours du dénombrement, l'enfant « générique » met au point de nouvelles stratégies ou
méthodologie qui lui permettent d'être plus efficace dans le dénombrement, c'est à dire de le
faire plus vite et avec moins d'erreurs. À ce sujet Lecointre, Lépine & Camos (2005)
signalent :
« À partir de 6 ans, la procédure serait acquise et le développement du dénombrement se caractériserait alors par une augmentation de la vitesse et de l'efficacité sous le double effet de l'accroissement général de la vitesse de traitement et de l'exercice répété de cette procédure. » (2005, p. 10)

Par ailleurs, les études de Aoki (1977) et Newman, Friedman et al. (1987) cités par Lecointre, Lépine et al. (2005) montrent que les enfants de 6 ans ont tendance à ajuster leurs stratégies de dénombrement directement en fonction de la taille des groupes. Ainsi les enfants préferent compter par exemple par deux quand les groupes sont constitués de deux items, par trois pour les groupes de trois, etc. Nous pouvons lire : « Ainsi, ils préfèrent le comptage par deux quand les groupes sont constitués de deux items, par trois pour les groupes de trois et par quatre pour ceux de quatre, même si, à cet âge, cet effet n'est pas significatif. » (Ibid.).

Chez l'enfant, les stratégies de dénombrement vont donc dépendre de son âge et de ses capacités cognitives. Au cours des premières expériences, la stratégie dite « un à un » est privilégiée pour effectuer le dénombrement. Plus tard, il expérimente de nouvelles stratégies plus efficientes. Dans le cas des élèves comme Julien, le trouble visuo-praxique provoque une telle charge cognitive que la variété des stratégies est peu disponible, et que le choix d'une stratégie semble davantage aléatoire.

### 2.5.4. La charge cognitive du dénombrement

Une analyse fine de l'activité de dénombrement va nous permettre d'identifier précisément les difficultés qui peuvent apparaître, et notamment pour des élèves atteints de troubles visuo-praxiques comme c'est le cas de Julien.

Pour dénombrer « un à un » une collection d'objets, l'enfant se sert d'un pointage séquentiel, manuel ou visuel. Dans le pointage manuel l'enfant fixe les objets et les pointe avec son doigt. Cette utilisation du doigt est un point d'appui pour lui (Lecointre, Lépine & Camos, 2005). Dans le pointage visuel, l'enfant se sert uniquement de son regard. Dans les deux cas, il doit aussi coordonner l'énonciation de la comptine numérique et son pointage digital ou visuel de telle façon que pour chaque mot-nombre mentionné corresponde un et un seul objet.

Selon différentes études (Margolinas & Wozniak, 2012 ; Fayol, 1990 ; Camos et al. 1998, etc.) les performances de pointage et d'énonciation chez l'enfant seraient différents selon
certains paramètres tels que : la taille de la collection, la couleur et la forme des éléments, la disposition spatiale des objets, la possibilité de toucher les éléments. Dans le cas des élèves en grande difficulté comme Julien, ces variables apparaissent comme essentielles pour moduler la difficulté de la tâche de pointage, c'est-à-dire pour rendre plus ou moins facile l'évitement des erreurs d'énumération comme le double pointage ou l'omission. Rappelons qu'à la suite de Briand (2000), les didacticiens nomment « énumération » ce savoir qui n'est généralement pas enseigné à l'école et qui conduit, devant une collection, à pointer tous les éléments une et une seule fois.

Le dénombrement implique donc des compétences mnésiques ainsi que les fonctions exécutives de planification et d'attention. Les compétences mnésiques mobilisent deux types de mémoire : la mémoire à long terme (requise pour la mémorisation de la suite numérique) et la mémoire de travail (requise pour savoir quel est le dernier mot-nombre prononcé et pouvoir ainsi énoncer le suivant lorsqu'un nouvel élément de la collection est pointé). Les fonctions exécutives regroupent la logique, la stratégie, la résolution de problèmes et le raisonnement. Ces fonctions exécutives interviennent dans les opérations logico-mathématiques où il faut anticiper et planifier un résultat. Dans la réalisation du dénombrement, pour exécuter la sous-tâche d'énumération comme pour synchroniser le pointage et l'énoncé de la suite numérique verbale, l'enfant fait appel à une planification, une organisation et une mémorisation de ses propres actions. Cette organisation est dépendante de la nature des éléments à dénombrer, ainsi que de leur présentation. Dans le cas des enfants en grande difficulté comme Julien, les fonctions exécutives sont souvent perturbées par leurs différents troubles (du langage, visuo-praxiques, etc.). Cela a pour conséquence de provoquer une gêne importante dans la stabilisation de leurs connaissances.

Rappelons enfin le rôle fondamental du langage dans l'apprentissage du dénombrement. Pour Vergnaud (1991), les activités langagières et cognitives jouent un rôle fondamental dans le fonctionnement de la pensée, notamment dans le processus de conceptualisation. Ces concepts et théorèmes permettent à l'enfant d'en extraire l'information essentielle et d'en inférer les règles d'action et d'anticipation. Ainsi, Vergnaud (1991) explique :
« Les mathématiques sont une connaissance et non pas un langage : même si les mathématiques constituées peuvent être représentées par des textes, des énoncés et des mots, et par des représentations symboliques algébriques, graphiques ou autres, ce sont les concepts et les théorèmes qui constituent le contenu des mathématiques, non pas les formes langagiers et symboliques, qu'ils prennent. » (1991, p. 79-80)

Dans le cas du dénombrement, le schème qui lui est associé est lié directement à l'activité langagière prenant sa fonction dans un ensemble de gestes perceptivo-moteurs (Vergnaud, 1991). Chez les élèves touchés par des difficultés langagières et visuo-praxiques comme Julien, l'exécution du dénombrement qui repose à la fois, et de manière synchronisée, sur une activité d'énoncé d'une suite de mots et sur une activité de pointage des éléments d'une collection qu'il faut organiser implicitement, constitue une tâche à fort coût cognitif ce qui la rend très difficile.

### 2.5.5. L'utilisation de la suite numérique chiffrée

Généralement, les premières acquisitions concernant le nombre sont liées à l'énonciation de la suite orale des mots-nombres, avec des périodes différentes où les mots ne sont d'abord pas véritablement segmentés, après ils le sont mais l'enfant ne peut compter qu'en commençant à partir de « un », puis à partir de n'importe quel nombre, puis à l'envers, etc. L'attribution d'une quantité à un mot-nombre se développe généralement après que la chaine verbale soit bien segmentée. Parallèlement l'enfant peut apprendre à reconnaître les chiffres, comme il reconnaît les lettres, mais l'apprentissage de la suite écrite des nombres se fait ultérieurement, en commençant par la suite des nombres à un chiffre, puis des nombres à deux chiffres avec une étape délicate constituée par l'apprentissage de la référence à la dizaine, référence qui n'est pas utilisée dans la suite verbale puisque l'on dit « onze, douze treize, etc. » et non « dix-un, dix-deux, dix-trois, etc. ». Vient alors l'apprentissage du système de numération de position et le fait de comprendre (selon ce système) que la valeur d'un chiffre dépend de sa position sérielle dans la séquence de chiffres, parcourue de droite à gauche (unité, dizaine, centaine, etc.).

Pour les élèves atteints d'un trouble du langage, la chaine numérique verbale reste longtemps instable, ce qui pose problème pour le dénombrement. D'autres raisons à cette instabilité peuvent être évoquées : difficultés de mémorisation, troubles cognitifs, problèmes
attentionnels, etc. L'utilisation de supports représentant la chaine numérique organisée par ordre croissant et comportant différentes représentations des nombres (chiffrées, mais aussi avec des constellations comme celles des dés ou des doigts de la main) peut constituer un point d'appui pour stabiliser la connaissance des nombres dans leurs aspects ordinal et cardinal, de même qu'un étayage pour utiliser la suite numérique peut être un point d'appui, même si sa connaissance n'est pas encore stabilisée.

Nous insistons ici sur l'importance du comptage dans le dénombrement, sans oublier que le calcul est aussi fondamental, ce que défend Brissiaud depuis plusieurs décennies déjà et de façon parfois polémique.

## 2.6. Compter et calculer

Pour Brissiaud (1989) : « Calculer c'est mettre en relation des quantités, directement à partir de leurs représentations numériques, sans passer par la réalisation physique d'une ou plusieurs collections dont les éléments seraient dénombrés. » (1989, p. 149). Selon cet auteur, deux composantes sont à la base de l'acquisition du calcul arithmétique : la pratique du comptage et l'usage des collections témoins organisées. Nous abordons ces deux composantes ci-dessous.

### 2.6.1. La pratique du comptage

Les stratégies de comptage pour effectuer un calcul comme une addition, « 4+3 » par exemple, sont variées ; la plus précoce est celle du « recomptage » ou « recompter le tout ». Ainsi, l'enfant peut représenter une quantité de 4 bâtons en comptant un à un les bâtons dessinés, puis représenter 3 bâtons de manière analogue, et enfin recompter tous les bâtons dessinés, de 1 à 7. Dans le recomptage, l'enfant calcule par dénombrement. Il peut aussi représenter les deux nombres 4 et 3 sur les doigts de ses mains puis recompter les doigts levés. Une stratégie analogue utilisée pour soustraire consiste à « recompter le reste ». Par exemple, pour calculer « 5 – 3 », l'enfant peut dessiner 5 bâtons, en barrer 3 puis compter les bâtons qui ne sont pas barrés. En utilisant des objets, il peut prendre 5 petites voitures, en enlever 3, et compter alors ce qui reste.

Avec la pratique, cette stratégie de comptage évolue jusqu'à une stratégie dite du « surcomptage ». Par exemple pour effectuer « 4+3 », l'élève surcompte à partir de 4 : il dit 4, lève un doigt en disant 5, lève un deuxième doigt en disant 6 et lève un troisième doigt en
disant 7. L'élève s'arrête après avoir levé trois doigts qu'il reconnait sur sa main, ce qui suppose qu'il garde en mémoire la quantité à ajouter (à savoir ici 3) tout au long du surcomptage. De même, pour soustraire, l'élève peut utiliser une procédure de « décomptage » si le nombre à soustraire est petit par rapport au nombre de départ, pour « 7 – 2 » par exemple. Pour effectuer « 7 – 5 », il préférera sans doute surcompter à partir de 5 jusqu'à 7 et lire le résultat sur ses doigts : il dit 5, lève un doigt en disant 6, un autre doigt en disant 7 ; il s'arrête alors et lit sur sa main qu'il a levé deux doigts et répond que « 7 – 5 = 2 ». Progressivement, le surcomptage est remplacé par d'autres méthodes plus élaborées. À ce propos, Meyer (2015) déclare :

> « Cette stratégie, où l'élève dénombre tout depuis le début (en partant de 1 et en s'aidant parfois de ses doigts), est progressivement remplacée par un surcomptage où l'élève compte à partir du plus grand terme. Néanmoins, cette stratégie ne doit pas perdurer et sera remplacée elle aussi par des stratégies de comptage plus élaborées (passage à la dizaine, groupement, dégroupement...) ou par des connaissances arithmétiques automatisées comme les faits numériques. » (2015, p. 40)

Pour des élèves comme Julien, affectés d'un trouble praxique et oculomoteur, les procédures de calcul autres que « recompter le tout » pour ajouter et « recompter le reste » pour soustraire ont un coût cognitif très important et sont donc particulièrement difficiles à acquérir. Ils présentent par conséquent un retard par rapport à leurs pairs concernant les stratégies de calcul par surcomptage ou décomptage. L'utilisation de procédures plus élaborées ou de collections témoins peut être enseignée, même si le surcomptage et le décomptage ne sont pas encore acquis.

### 2.6.2. Les collections-témoins organisées

L'utilisation de collections-témoins (qui peuvent être des configurations de doigts ou des constellations – comme celle des dés – concrètes ou dessinées) comme représentation de quantités sous forme kinesthétique et visuelle est fondamentale pour amener l'enfant vers le calcul (Brissiaud, 1989). Celle-ci aide à la mémorisation des relations numériques utilisées dans le calcul (décomposition et recomposition). Elle privilégie les relations numériques dont la mémorisation est plus facile et conduit à des procédures se référant à ces relations comme l'appui sur les doubles, le retour à cinq, le passage à la dizaine. Elle met en évidence des
additions différentes qui aboutissent à un même résultat ou, ce qui revient au même, le fait qu'une même valeur cardinale peut être décomposée de diverses manières (Bideaud et al, 2004).

Progressivement l'interconnexion de ces composants va donner lieu à l'abstraction et à la généralisation des relations numériques et du calcul arithmétique. À ce sujet Bideaud et al, déclarent :

> « L'arithmétisation progressive de la suite de nombre qui se poursuit va conduire à une nouvelle étape, celle de l'abstraction et de la généralisation des relations logiques inhérentes à la série numérique nécessaires à la compréhension et à l'utilisation des algorithmes de calcul. » (2004, p. 240)

L'un des enjeux de l'enseignement d'Élodie, l'enseignante de Julien, consiste à amener son élève à acquérir des stratégies de comptage puis de passer de ces stratégies à des stratégies de calcul. Compte tenu des troubles dont Julien est porteur et de leur importance, il s'agit là d'un véritable défi. Elle accompagnera son élève dans ses apprentissages en lui proposant des situations variées et en l'accompagnant dans la mise en œuvre de différentes procédures.

Nous pourrons ainsi voir qu'elle commencera par le comptage, qu'elle lui enseignera l'utilisation de différents matériels (bande numérique, boite de Picbille, etc.), puis qu'elle l'incitera progressivement à mémoriser certains résultats (résultats des tables d'addition, de doubles), à s'appuyer sur la numération (recherche de compléments à 10) et à dépasser ainsi l'utilisation de la comptine numérique (comptage, surcomptage, décomptage) pour atteindre des procédures de calculs s'appuyant sur des faits numériques et des propriétés arithmétiques des nombres et des opérations.

Avant d'analyser plus précisément et concrètement les séances d'enseignement du nombre et du calcul qui ont été abordées avec Julien, nous proposons de revenir, dans le chapitre trois que nous allons maintenant initier et à la lumière des deux précédents, sur les spécificités de l'enseignement et de l'apprentissage dans le cas des élèves en grande difficulté, et d'autre part sur l'acquisition du nombre, le tout en lien avec le cas de Julien.
## 3. Quel enseignement pour Julien ?

En nous appuyant sur la synthèse des résultats concernant l'enseignement et l'apprentissage du nombre et en prenant en compte les difficultés de Julien, nous allons envisager dans ce qui suit les situations qui pourraient lui être proposées dans le cadre d'un enseignement du nombre et du calcul.

### 3.1. Des situations avec un « fort potentiel adidactique »

En didactique des mathématiques, la « théorie des situations » élaborée par Brousseau en 1998, fonde le fait que des « situations » d'enseignement puissent favoriser l'acquisition de nouvelles connaissances par un choix judicieux de supports (tâches, moyens matériels, etc.) et de contrat didactique. Selon cette théorie, l'enseignement est censé proposer notamment à l'élève des situations lui permettant de construire son rapport à l'objet de connaissance selon les réponses aux exigences d'un milieu plutôt que selon les attentes de l'enseignant. Ce type de situation est nommé « situation adidactique ».

Au sein de cette théorie, les difficultés des élèves ne sont pas considérées en tant qu'anomalies de l'apprentissage, mais sont analysées comme une opportunité : « (...) d'agir au niveau des situations d'apprentissage, d'en manipuler les caractéristiques pour obtenir les changements d'attitudes souhaités. » (Brousseau, 1981, p. 9).

Dans le contexte de l'enseignement aux élèves en difficulté d'apprentissage, le milieu d'une situation adidactique est difficile à réaliser, Giroux (2013) signale à ce sujet :

> « Si le milieu doit contraindre les choix, il doit également comporter un espace de liberté de décisions, sinon, l'élève ne peut être tenu responsable de ses décisions même si ces dernières s'avèrent efficaces. Le calibrage de cet espace de liberté est très délicat à réaliser dans l'enseignement auprès des élèves en difficulté comme le montrent les études. S'il est trop grand, le milieu n'est pas suffisamment contraignant pour favoriser l'engagement mathématique de l'élève. Si l'espace est trop restreint, l'action de l'élève ne repose pas sur une réelle décision et ne permet pas une véritable mise à l'épreuve des connaissances mathématiques engagées. » (Giroux, 2013, p.80)
C'est précisément dans l'élaboration de situations adidactiques adéquates que les chercheurs observent les plus grandes difficultés dans l'enseignement spécialisé. À ce sujet Giroux (2013) signale qu'il existe des : « a) difficultés d'assoir ces situations sur des connaissances construites antérieurement ; b) difficultés à faire fonctionner la dévolution, autrement dit, de mettre en place un milieu qui favorise le fonctionnement autonome des élèves en leur offrant des rétroactions lisibles. » (2013, p. 67).

Différents auteurs refusent donc de ne proposer aux élèves en difficultés que des activités de répétition de ce qui a été montré par l'enseignant et suggèrent l'utilisation de situations à dimensions adidactiques (Salin 2006) ou de situations où la résolution se trouve au moins en partie à la charge de l'élève (Mary & Theis, 2007). Ces auteurs suggèrent ainsi que dans le contexte de l'enseignement à des élèves en grande difficulté, les tâches doivent offrir un espace d'autonomie à l'élève afin qu'il puisse prendre des décisions tout en bénéficiant du regard attentif de l'enseignant qui pourra intervenir dans les moments clés et dans un but d'encadrement de la démarche d'apprentissage. L'espace d'autonomie s'apprécie en fonction de l'écart entre ce que sait l'élève et ce qui lui sera enseigné. À ce sujet Conne, Favre & Giroux (2006) déclarent :

> « L'enseignant veille à ce que les mathématiques qu'il propose aux élèves leur soient accessibles. À cette fin, il évalue l'écart entre ce que fait l'élève et les mathématiques qu'il a l'intention d'enseigner pour le maintenir à son optimum. Cet écart, en effet, ne doit pas être trop important pour que l'objet d'enseignement soit à la portée de l'élève, mais doit pourtant rester suffisant pour motiver un apprentissage. » (2006, p. 126)

Une manière de penser l'optimum de l'écart entre ce que fait l'élève et les mathématiques à lui enseigner est de chercher à anticiper les situations pour lesquelles l'élève sera capable d'agir selon sa décision, même s'il ne peut réussir seul, mais qu'il pourra réussir avec l'accompagnement de l'enseignant. Autrement dit, en référence à Vygotski, il apparaît nécessaire de travailler sur des situations avec un fort potentiel adidactique et se situant dans la Zone Proximale de Développement de l'élève (ZPD). Cette zone est située entre le niveau réel de développement que l'enfant possède lors de la résolution d'une tâche et son niveau potentiel qui est rendu accessible à l'aide d'un adulte. Lorsque l'enseignant propose de telles situations, tout en donnant un accompagnement adapté aux connaissances de l'élève, il
semble raisonnable de penser que cette zone se déplace progressivement favorisant un « élargissement » des connaissances et des compétences chez l'élève.

Dans le cas de Julien, compte tenu des troubles praxiques et visuels qui l'affectent, les tâches propices à l'apprentissage du nombre et du calcul ont un coût cognitif particulièrement important. Il serait donc envisageable que lui soient proposées des tâches qui lui permettent de prendre des décisions et d'agir, même si son action est partiellement accompagnée par l'enseignante afin d'alléger son coût cognitif. Cela permettrait ainsi à Julien de réaliser des tâches mathématiques qui seraient échouées s'il était laissé seul pour les réaliser ; et c'est en veillant à l'adaptation de l'accompagnement que l'enseignante permettra de ne pas affaiblir le potentiel didactique de la situation.

## 3.2. S'appuyer sur des supports adaptés pour offrir davantage d'autonomie à l'élève

La recherche d'autonomie de travail chez l'élève en grande difficulté peut reposer sur l'utilisation de supports adaptés à ses besoins, évitant ainsi que l'étayage de l'enseignant lui-même soit indispensable. Dans le cas de Julien, l'utilisation de certains supports peut soutenir son activité. L'analyse que nous avons réalisée des résultats sur l'acquisition des connaissances numériques nous a permis de détecter quelques repères qui pourraient se révéler pertinents pour l'enseignement du nombre auprès de Julien. À cet effet, nous présentons quelques propositions de supports qui pourraient compenser partiellement ses difficultés et lui rendre ainsi possible l'accès aux savoirs, tout en lui offrant un maximum d'autonomie pour qu'il puisse décider de son action et agir.

### 3.2.1. L'utilisation des collections-témoins

Comme nous l'avons vu précédemment, une des principales difficultés pour certains enfants repose sur la compréhension de l'aspect cardinal du nombre. Certains enfants comptent les objets d'une collection, ils donnent comme réponse le dernier mot-nombre prononcé sans forcément en comprendre sa cardinalité. Dans le contexte de l'enseignement du nombre, l'utilisation de représentations telles que les collections-témoins peuvent favoriser cette conceptualisation. À ce sujet Brissiaud (1989) déclare : « En effet, les constellations et les
configurations de doigts permettent une représentation rapide de la quantité correspondante,
grâce à la configuration spatiale qui leur est associé. » (1989, p. 142).

Pour cet auteur, apprendre aux enfants à se représenter des quantités au travers de collections-
témoins favorise la décomposition et la composition de quantités et ainsi également la
compréhension du nombre. À ce sujet Guedin (2013) signale :

« En effet, avant de pouvoir calculer sur deux quantités, il faut savoir se représenter correctement ces quantités. L'étape de dénombrement réussie permet la mise en place juste des images mentales des nombres, à la fois en tant qu'entité globale, mais aussi et surtout sous la forme de décompositions de deux sous-quantités. » (Guedin, 2013, p. 57)

Les travaux de Margolinas & Wozniak (2012) proposent trois types de représentations écrites des quantités qui laissent apparaitre des collections intermédiaires : Les constellations de dés, les représentations des mains aux doigts levés et les cartes à points. Nous analyserons ces trois types de figurations en indiquant les apports et les contraintes qu'ils peuvent induire chez un élève en grande difficulté tel que Julien.

Les constellations de dés :

L'utilisation de dés ou de cartons représentant des constellations de dés est envisageable pour un enfant en difficulté. Ces représentations sont très importantes pour soulager la mémoire de travail chez l'enfant (Mazeau & Le Lostec, 2010). Dalla Piazza (2011) suggère l'utilisation de constellations (chiffrées de 1 à 5 et représentées par des points disposés tels que sur les dominos) comme référence analogique à la notion de quantité et de s'appuyer sur la droite numérique pour travailler les notions d'ajout et de retrait de petites collections.

Les cartes à points :

Il s'agit de représentations qui s'appuient sur des organisations de dix points suivant différentes règles. Des cartes à points ont été conçues à l'issue d'un projet mis en place par Brégeon (2003). Sur ces types de représentations, certaines propriétés sont faciles à distinguer, comme la relation de complément à dix, les doubles et les moitiés, certaines relations additives, etc. Brégeon (2003) cité par Margolinas & Wozniak (2012), signale qu'il est nécessaire de : « donner aux enfants des images mentales des premiers nombres qui soient potentiellement riches en propriétés et en possibilités de conceptualisations. » (2012, p. 107).
## Les représentations des mains aux doigts levés :

Pour plusieurs auteurs, l'utilisation des mains aux doigts levés peut être considéré comme un moyen qui va permettre progressivement à l'enfant d'extraire des régularités, de comprendre des relations entre différentes collections ou entre le nombre et la quantité, de passer du concret à l'abstrait, ou encore du perceptif au conceptuel. Toutefois, les recherches réalisées dans le champ neuropsychologique signalent que cette représentation ne constitue pas une tâche propice pour les enfants atteint de troubles visuo-praxiques comme Julien. Par conséquent, Mazeau & Le Lostec (2010) signalent :

> « La notion de quantité et les premiers calculs sont étayés par l'organisation des doigts. Concernant les jeunes dyspraxiques, il n'est pas ni possible ni souhaitable de leur demander de produire eux-mêmes ces configurations (gêne fréquente à la dissociation des doigts, fréquents troubles du schéma corporel et/ou agnosie digitale, difficulté practo-spatiale à reproduire des configurations manuelles particulières) ni de les dessiner (incapacité dans toutes les activités grapho-spatiales). » (2010, p.82)

Nous pensons ainsi que les deux premiers types de représentations que sont les constellations des dés et les cartes à points peuvent faciliter la construction mentale du nombre chez Julien : associer des quantités à des images mentales peut en effet limiter l'effet de ses troubles visuels à l'origine de difficultés de repérage des quantités quand les objets sont organisés de façon trop aléatoire. En ce qui concerne l'utilisation des doigts pour compter, surcompter et décompter, l'enseignante évaluera sans doute s'il est judicieux ou non pour Julien d'apprendre à s'appuyer sur cette collection témoin malgré les éventuels troubles dont il pourrait être affecté.

### 3.2.2. L'utilisation de la bande numérique

La bande ou file numérique représente la suite ordonnée de mots-nombres accompagnés de leur écriture chiffrée et éventuellement d'une représentation de la quantité correspondante (constellations, carte à points, doigts des mains), au moins pour les premiers nombres. L'utilisation de la bande numérique pour déterminer le nombre d'éléments d'une collection permet d'organiser le comptage et d'aider à l'énumération. La bande numérique peut aussi
s'utiliser pour réaliser des ajouts ou des retraits sur de petites quantités et pour repérer une
position.

Pour Brissiaud, l'utilisation de la file numérique s'avère importante pour aider l'enfant à traduire des mots-nombres en écritures chiffrées et inversement pour retrouver comment se dit un nombre donné par son écriture chiffrée. À ce sujet Brissiaud (1989) signale : « Comme, chez l'enfant, la connaissance des mots-nombres précède généralement celle des chiffres, la mise en relation de l'ordre oral et de l'ordre écrit, grâce à l'utilisation d'une file numérique de référence, leur permet donc de retrouver l'écriture ou la lecture d'un nombre. » (1989, p. 129).

Par ailleurs pour cet auteur la lecture des écritures chiffrées en tant que représentations de quantités est fondamentale : « Il convient donc d'être particulièrement attentif à favoriser la lecture des écritures chiffrées en tant que représentations de quantités, de peur que ces écritures ne restent longtemps des numéros. » (Ibid., p. 140).

À cet effet, l'utilisation de la file numérique, si les quantités correspondantes sont représentées, peut aider l'enfant à associer à chaque mot-nombre son écriture en chiffre(s) et la quantité qu'il désigne. Brissiaud poursuit :

> « C'est ainsi que l'emploi d'une file numérique écrite peut aider les enfants à apprendre l'usage des chiffres, mais le pédagogue doit favoriser au maximum une " lecture cumulée " de cette file numérique. Il doit le plus souvent possible faire expliciter que si une case contient le chiffre " 8 ", c'est parce que " huit, c'est tout ça ". » (Ibid.)

L'utilisation du calendrier permet de développer la dimension ordinale du nombre ; des activités peuvent être proposées pour tisser le lien entre la dimension ordinale et cardinale. Toutefois, l'utilisation d'autres supports où l'organisation des nombres est aléatoire (grilles de lotos, compteurs, etc.) restreint ces usages du nombre.

Toutes les considérations qui viennent d'être développées portent sur le contenu des tâches à proposer, mais ne disent rien des modalités à envisager pour le travail de l'élève comme pour celui de l'enseignant. Cette dimension essentielle est l'objet de la section suivante.
### 3.3. Des modalités de travail qui privilégient l'entrée ludique et une attention à la dimension affective

La perception qu'un enfant se fait de ses propres compétences a un impact considérable sur sa manière de se fixer des objectifs, sur les stratégies d'apprentissages qu'il va développer et sur sa performance. Plus généralement, Espinosa (2016) déclare : « Le concept de soi se construit à travers les expériences quotidiennes et les comparaisons que l'on effectue entre soi et les autres. » (2016, p. 146).

Dans le cas des élèves en échec scolaire, la perception qu'ils ont d'eux-mêmes est altérée par les échecs successifs rencontrés au cours de leur parcours scolaire et par les jugements des autres (enseignants, familles, camarades, etc.). En conséquence le rapport aux tâches scolaires est porteur de ces échecs et des souffrances qui en découlent. De ce fait, il y a un risque pour qu'un élève en grande difficulté choisisse de façon systématique les actions les moins risquées, l'exposant le moins possible au risque de l'échec. Cela peut également le conduire à adopter des stratégies d'évitement des tâches scolaires. Une telle situation ne peut que constituer un frein sinon un obstacle à l'apprentissage scolaire.

Selon certains auteurs, une situation ludique peut amener ce type d'élèves dans de meilleures conditions d'apprentissage qu'une situation scolaire plus classique.

> « Le jeu favorise la motivation à l'apprentissage sur différents plans. Il soutient positivement l'estime et la confiance en soi, l'engagement, le désir de persévérer et d'accomplir une tâche. Le plaisir de jouer, le défi, l'aspect compétitif, l'interaction entre les joueurs, l'effet d'entraînement et la possibilité de gagner des points, l'excitation et l'enthousiasme suscités par la participation au jeu sont d'autres facteurs de motivation. » (Sauvé, Renaud & Gauvin, 2007, p. 100)

La proposition de situations ludiques peut permettre un changement de rapport aux tâches scolaires qui sont souvent mal vécues par les élèves en difficulté, et débloquer ainsi des attitudes réticentes. L'expérience de la réussite, par le jeu, peut engendrer une reconnaissance des compétences de l'élève et une augmentation de sa confiance en lui. Cela peut alors le motiver à rechercher le succès et à retrouver un sentiment de joie et de fierté dans l'apprentissage. En outre, le jeu offre un contexte pour la réflexion et l'action reposant sur des
règles et des objectifs précis, il place ainsi l'élève dans un rôle plus autonome, actif et participatif. D'après Pelay (2011) :

> « Lorsque l'enfant joue, il assume (avec d'autres joueurs) la responsabilité d'être autonome par rapport à l'enjeu ludique si bien que le processus de dévolution est directement lié au maintien des enfants dans l'activité : l'animateur fait vivre les enjeux ludiques de son animation et fait confiance à la situation adidactique. Si les enfants jouent, alors ils développeront d'eux-mêmes des stratégies et réaliseront les apprentissages permis par la situation. Demander la solution à l'animateur " tuerait " le jeu, car l'activité ludique repose justement sur les décisions autonomes et libres de l'enfant. » (2011, p. 53)

## 4. CONCLUSION

Ce chapitre s'appuie sur les recherches en didactique des mathématiques, en psychologie et en sciences cognitives. Il récapitule quelques résultats essentiels sur les spécificités de l'enseignement auprès d'élèves en grande difficulté ainsi que sur l'enseignement et l'apprentissage du nombre et du calcul. Il nous a permis de construire de nombreux repères, d'une part pour l'analyse des tâches et des activités visant la construction de connaissances numériques en tenant compte des troubles qui affectent Julien, et d'autre part pour l'analyse des enjeux d'enseignement, des contraintes auxquelles l'enseignante Élodie devra répondre afin de concevoir un enseignement adapté pour Julien et des aides ou des adaptations qu'elle pourra lui proposer.

Dans le chapitre qui suit (chapitre 3), après avoir présenté les compléments méthodologiques nécessaires pour notre étude, nous effectuerons les analyses des pratiques d'enseignement d'Élodie, des activités d'apprentissage de Julien et des influences réciproques des deux partenaires de cette relation didactique sur leurs actions respectives.
Chapitre 3 :
Analyse des pratiques d'enseignement
d'Élodie et de l'activité de Julien
# Introduction

Au cours de ce chapitre nous chercherons à reconstituer l'enseignement d'Élodie et l'apprentissage de Julien au moyen de l'analyse des activités de l'enseignante et de l'élève telles qu'elles ont été recueillies par les films, les entretiens et les notes portées sur le cahier de bord.

Tout d'abord nous présenterons une analyse globale de l'enseignement d'Élodie, dans laquelle nous aborderons le contexte d'action de l'enseignante et l'élaboration de son projet d'enseignement pour Julien. Rappelons que la planification est une activité centrale de l'enseignement. Elle participe d'une démarche rationnelle afin de préparer la mise en œuvre de l'enseignement, mais elle est aussi le fruit d'habitudes et de normes, pas toujours interrogées, et d'ailleurs pas toujours faciles à comprendre du fait des évolutions de programmes, des différences significatives entre les manuels, et des points de vue divergents exprimés sur certaines questions, comme celle de l'enseignement du nombre, ainsi que nous l'avons vu dans le chapitre précédent.

Dans un second temps, nous présenterons une analyse plus locale de l'enseignement d'Élodie qui comprendra une étude des tâches prescrites et du déroulement en classe des activités qui en découlent : celles de Julien pour réaliser les tâches prescrites, celles d'Élodie pour accompagner la réalisation des tâches de manière à favoriser l'apprentissage de Julien. Ces dernières comprennent nécessairement à la fois des éléments de préparation et d'organisation du scenario, mais surtout des improvisations et des adaptations en classe, en réponse aux activités de Julien qui influencent nécessairement celles de son enseignante. L'analyse effectuée des pratiques d'Élodie porte donc d'une part sur sa conception de l'enseignement à un élève en difficulté d'apprentissage tel que Julien comme sur sa perception de ses capacités à lui enseigner le nombre et le calcul, et d'autre part sur les contenus enseignés, les compétences mathématiques travaillées, les types de tâches proposés, les choix didactiques effectués ainsi qu'enfin sur ses propres impressions quant à son travail, à sa relation avec Julien, à son influence sur son apprentissage ainsi qu'à ses difficultés en lien avec celles de son élève.

Nous commençons par une analyse globale des pratiques d'Élodie, en rappelant quelques éléments de contextes déjà indiqués à propos de son parcours, puis nous développerons les
outils des analyses plus locales qui ont été effectuées, tant sur les activités de Julien que sur les pratiques d'Élodie et sur leurs influences réciproques.

# 1. Analyse globale des pratiques d'Élodie

La méthodologie indiquée dans le premier chapitre consiste à reconstituer les logiques d'action de l'enseignante et celles de l'élève en passant d'un niveau global à un niveau local. En ce qui concerne les pratiques d'Élodie, en croisant les analyses des composantes définies dans la double approche (Robert & Rogalski, 2002) et menées à ces différentes échelles, nous cherchons à en percevoir les régularités et variabilités, ainsi qu'éventuellement des phénomènes didactiques particuliers à ce type de contexte.

Nous allons débuter cette analyse globale des pratiques par une étude du contexte dans lequel l'enseignement d'Élodie prend place.

## 1.1. Le contexte d'activité de l'enseignante

La mise en œuvre de l'enseignement nécessite de naviguer sans cesse entre le respect des contraintes institutionnelles, la singularité des contextes locaux et les perceptions des déroulements des activités. En ce sens, l'interprétation que fait l'enseignant des informations en provenance de son milieu est déterminante. Les choix effectués en découlent pour une part, et pour une autre part de son histoire personnelle et professionnelle. À ce sujet Rogalski signale :

> « Du côté de l'enseignant, les déterminants de son activité sont évidemment ses compétences vis-à-vis du contenu enseigné et vis-à-vis de l'intervention didactique sur les élèves : ce sont aussi les représentations qu'il se fait de son travail, et l'autonomie qu'il se donne pour agir, et que nous distinguons de l'espace de liberté que lui donne la prescription. » (Rogalski, 2007, p. 4)

Dans cette étude, le contexte de travail d'Élodie est particulier à double titre, d'une part elle intervient auprès d'un élève en grande difficulté d'apprentissage, porteur de différents troubles, et d'autre part elle intervient dans un contexte d'enseignement individuel où la connaissance de l'élève et la relation qu'elle entretient avec lui prennent une place bien plus importante que dans un enseignement collectif. Plusieurs questions se posent à elle. Comment
prendre en considération l’intégralité des singularités de cet élève en grande difficulté d’apprentissage ? Quel type d’enseignement lui proposer ? Quel type d’évaluation peut-on mener ? Etc.

Comme indiqué précédemment, au moment de la prise en charge de Julien, Élodie réalisa dans un premier temps, un travail de prise d’informations au sujet des difficultés scolaires rencontrées par Julien, à la fois auprès de ses parents et de son enseignante spécialisée en CLIS. Cette enseignante se sentait dépassée par le manque d’implication de Julien et était persuadée de ne plus pouvoir le faire progresser dans les conditions imposées par la classe. L’enseignante spécialisée en CLIS a présenté le niveau de compétence scolaire de Julien, en le situant en termes d’apprentissage de la lecture comme étant celui d’un enfant de grande section de maternelle et en mathématiques comme celui d’un enfant de petite section de maternelle. Cette enseignante a également mentionné le fait qu’il a été très difficile de proposer à Julien des tâches « scolaires » car le refus de s’y engager était régulier notamment pour les mathématiques. Les réunions avec l’enseignante spécialisée et l’équipe éducative, en présence de l’orthophoniste, ont aussi permis à Élodie de prendre également connaissance des difficultés qui impactent Julien, en termes de communication, de troubles du langage et de troubles visuo-praxiques. Élodie a finalement recueilli des informations importantes concernant les troubles de l’élève, son niveau d’acquisition et ses comportements face aux tâches scolaires auxquelles il a été confronté (refus, manque de motivation, frustration face à l’échec, évitement face aux situations nouvelles, etc.).

Les pratiques d'un enseignant ne se réduisent pas seulement à ses activités de préparation des cours et à leurs mises en œuvre en classe, elles possèdent également une dimension sociale liée à l'exercice du métier. À ce sujet Roditi (2011) mentionne :

> « Ainsi, les contextes que je considère pour appréhender l’activité de l’enseignant ne se réduisent pas à la classe, son niveau, son effectif et sa composition plus ou moins hétérogène scolairement ou socialement. Parce qu’il exerce dans un établissement scolaire, je prends en compte le fait que l’enseignant dépend de ses collègues, des autres professionnels et des parents d’élèves. Je considère aussi qu’il appartient à un milieu professionnel plus vaste, qu’il se réfère à des manières d’agir collectivement construites, que ses pratiques sont conformes ou en décalage avec elles, et qu’il les a d’abord connues en tant qu’élève, puis en tant que futur professionnel durant sa formation initiale. » (2011, p. 104)
Appréhender la pratique de l'enseignant implique donc de connaitre sa situation professionnelle et les réseaux relationnels auxquels il appartient professionnellement. C'est pourquoi nous allons maintenant présenter plus précisément le contexte professionnel et social d'Élodie.

## 1.2. Le contexte professionnel de l'enseignante et sa reprise d'étude en sciences de l'éducation

Lorsqu'elle prend Julien en charge (année scolaire 2012-2013), Élodie est professeure des écoles avec sept ans d'expérience dans l'enseignement primaire. Elle avait, rappelons-le, demandé une « mise à disposition » – c'est-à-dire un congé non rémunéré – afin de suivre une formation de Master en Sciences de l'Éducation. Son intérêt et sa motivation personnelle pour cette formation étant la réponse à un désir d'améliorer ses pratiques et éventuellement de faire évoluer son parcours professionnel. À ce sujet, Élodie déclare :

> « Lorsque j'ai commencé mon master formateur d'enseignant, je me suis mise en disponibilité de mon académie d'origine et j'ai commencé à prendre en charge, en cours particulier, tous les matins, un élève, Julien âgé de 8 ans, en situation de handicap et scolarisé à mi-temps en CLIS. Je n'avais jusqu'alors jamais enseigné en classe spécialisée et ne possédais pas de diplôme ni de formation pour cet enseignement. » (Extrait de l'entretien avec Élodie, décembre 2012)

Elle n'avait donc jamais travaillé dans l'enseignement spécialisé et n'avait jamais eu d'expérience avec des élèves en grande difficulté d'apprentissage. Cette enseignante a été contactée par les parents de Julien afin qu'elle puisse lui fournir, comme conseillé par l'enseignante de la CLIS, un enseignement à la maison qui soit « adapté » à ses besoins. Il s'agit donc là d'un cadre d'intervention particulier hors du contexte scolaire classique où cette enseignante a l'habitude d'enseigner. Un contexte singulier aménagé pour répondre au désir des parents de faire apprendre à leur fils Julien les savoirs fondamentaux. À ce sujet, Élodie mentionne le fait suivant :

> « Les parents de Julien très impliqués dans ses apprentissages m'ont fourni tout le matériel dont j'avais besoin, et ont créé chez eux, un environnement de " classe " pour me permettre de travailler au mieux avec Julien. » (Extrait de l'entretien avec Élodie, décembre 2012)
La formation de master suivi par l'enseignante, dont les cours de didactique des mathématiques et en particulier celui portant sur les premiers apprentissages du nombre et du calcul, a participé à son questionnement sur ses pratiques avec Julien et à prendre quelques décisions que nous décrivons ci-après. C'est aussi dans ce contexte que nous avons fait la connaissance d'Élodie et que nous lui avons proposé de suivre son travail avec Julien dans le cadre d'une recherche doctorale que nous souhaitions effectuer sur la question de l'enseignement des mathématiques à des élèves en grande difficulté d'apprentissage.

### 1.2.1. L'enregistrement des séances d'enseignement

Souhaitant prendre du recul et se questionner par rapport à ses pratiques, Élodie a accepté que son enseignement soit l'objet de nos recherches et, à cette fin, de filmer les séances d'enseignement mises en place afin que Julien puisse acquérir la notion de nombre. Les premières questions qui se sont posées à l'enseignante étaient aussi liées à l'évaluation des progrès de l'élève. Les enregistrements pouvaient répondre à ce questionnement car ils facilitaient l'analyse des activités de Julien, pas toujours facile à réaliser pendant le temps de l'enseignement :

> « Je me suis alors demandée comment je pourrais faire acquérir la notion de nombre à cet élève qui a tellement de difficultés, comment je pourrais évaluer ses progrès et comment trouver des critères permettant de pointer ses acquis. J'ai donc accepté de filmer mes séances avec Julien en me disant que je pourrais sûrement les analyser sur un temps long et que je pourrais en relever des changements. » (Extrait de l'entretien avec Élodie, mai 2013)

Afin de ne pas trop gêner le déroulement des séances de cette enseignante et de ne pas distraire l'attention de l'élève, un téléphone mobile a été utilisé pour filmer les séances. Celui-ci était placé sur la table de travail de l'élève en compagnie de l'enseignante.

### 1.2.2. Une étude bibliographique sur la question des apprentissages chez les élèves en grande difficulté et sur l'enseignement du nombre

Consciente de ses propres limites, l'enseignante a initié une démarche d'autoformation en commençant par une recherche bibliographique sur les enjeux épistémologiques et
didactiques de l'enseignement du nombre et sur les spécificités des élèves en grande
difficulté :

« Je me suis renseignée dans différents ouvrages sur l'enseignement du nombre comme celui de Margolinas, les ouvrages d'Ermel pour les classes de maternelle, les recherches de Fayol, de Brissiaud, etc. En ce qui concerne les enfants en difficulté d'apprentissage, j'ai consulté les ouvrages de Huron et Mazeau, etc. » (Extrait de l'entretien avec Élodie, mai 2013)

Cette étude a permis à l'enseignante d'avoir notamment une vision plus précise de l'acquisition du concept du nombre et du calcul, ainsi que de certaines caractéristiques de l'apprentissage des élèves atteints de troubles analogues à ceux de Julien.

1.2.3. Participation à des séminaires sur les enfants dyspraxiques ayant des troubles d'apprentissage

L'observation de ses propres pratiques sur les vidéos réalisées ainsi que les réflexions sur l'enseignement qui ont émergé de ses cours de didactique des mathématiques ont conduit Élodie à assister à différents séminaires sur les enfants dyspraxiques et à obtenir ainsi une meilleure compréhension des difficultés spécifiques et une meilleure perception des moyens à mettre en place. Cela lui a aussi permis de se rendre compte de la complexité du cas de Julien, de ses difficultés liées à ses troubles cognitifs et langagiers, qu'elle ne pouvait pas comprendre auparavant à l'aune du seul diagnostic de trouble visuo-praxique. Cette démarche de renseignement entreprise par l'enseignante lui a donc fait réaliser la complexité du cas de Julien : retard de développement cognitif, difficultés métacognitives, visuelles, praxiques et de langage. Élodie a donc décidé de ne pas se tenir aux discours des personnes qu'elle avait rencontrées, mais d'essayer de connaître et de comprendre elle-même les difficultés de l'élève par le biais de l'observation, et de tenter d'élaborer des pistes d'intervention (situations, adaptations) afin de l'amener vers un apprentissage effectif. À ce sujet, l'enseignante signale :

« Je ne me suis pas centrée sur les difficultés d'un enfant dyspraxique car le cas de Julien est plus complexe, les difficultés importantes de langage associées aux difficultés d'apprentissage des mathématiques ne me permettaient pas de faire un choix sur un type d'apprentissage en particulier. » (Extrait de l'entretien avec Élodie, mai 2013)
#### 1.2.4. Observation d'un atelier en mathématiques, dédié à l'enseignement du nombre dans une classe de CLIS

Lors de ses cours de didactique des mathématiques, Élodie a rencontré une enseignante spécialisée. Cette dernière l'a invité à participer à un atelier de mathématiques au sein de sa CLIS. Les observations réalisées au cours de cet atelier ont permis à Élodie d'analyser l'activité de cette enseignante spécialisée, notamment en ce qui concerne le discours apporté ainsi que les aides qu'elle a pu utiliser avec les élèves. Ces observations lui ont également permis de découvrir de nouvelles situations didactiques, dont différents jeux mathématiques comme « La cage aux nombres » ou « Le douze barré » qu'Élodie proposera à Julien au cours de sa dernière année d'enseignement. À ce sujet, l'enseignante déclare :

> « Mes observations avec cette enseignante spécialisée m'ont permis de découvrir quelles sont les difficultés que ces élèves peuvent rencontrer sous différentes situations. Elles m'ont permis également de connaitre quelques jeux de mathématiques que j'ai mis en place avec Julien. » (Extrait de l'entretien avec Élodie, novembre 2014)

L'analyse du contexte professionnel et social dans lequel Élodie évolue, en lien notamment avec son expérience de professeure et son statut d'étudiante en master, nous ont permis de constater que les informations reçues en provenance de son entourage l'ont amenée à compléter sa formation de manière théorique (par ses cours, la lecture de différents travaux et la participation à des séminaires) et pratique (par l'observation d'une classe où travaille une enseignante spécialisée) et à en tirer des conséquences pour mieux définir l'enseignement à proposer à Julien.

### 1.3. Analyse globale des mathématiques enseignées

Notre étude des pratiques de l'enseignante prend donc en compte la préparation des cours. En référence aux instructions officielles ou aux manuels, en fonction de ce qu'elle pense devoir enseigner, l'enseignante prépare ; elle définit ce qui fera partie intégrante de la séquence et ce qui n'en fera pas partie. Cet ensemble des contenus mathématiques est ce que Roditi (2001), dans sa thèse sur les pratiques enseignantes, appelle « le champ mathématique du scénario de la séquence » :
« L'ensemble des contenus mathématiques que l'enseignant prévoit d'aborder durant la séquence d'enseignement est ainsi limité par ce que nous appellerons " le champ mathématique du scenario de la séquence " . » (2001, p. 203).

Ainsi, nous nous intéresserons à la manière dont Élodie a prévu de faire acquérir la notion du nombre à Julien, tout en prenant en compte ses difficultés. Le champ mathématique et la progression des contenus ont été déterminés à partir des observations des séances filmées et du « cahier de bord » de l'enseignante. Il s'agit donc davantage des contenus enseignés et de leur organisation dont nous rendons compte que de leur prévision. Toutefois, les notes du cahier de bord et les entretiens permettront de mieux accéder à ce que projetait l'enseignante et à quoi elle a renoncé, ce qu'elle n'avait pas prévu et qu'elle a improvisé, etc.

Avant de détailler cette analyse globale des contenus mathématiques enseignés, nous allons revenir temporairement sur les difficultés en mathématiques de Julien afin d'approfondir sa connaissance du nombre et de mieux comprendre ainsi les enjeux de la préparation de cet enseignement.

### 1.3.1. Les difficultés de Julien en mathématiques

Selon les informations recueillies par Élodie et auxquelles nous avons eu accès, le processus de dénombrement a été enseigné à Julien à l'école, puis repris par ses parents qui ont essayé de le faire travailler à la maison. Lorsqu'Élodie a commencé à observer pour la première fois Julien dans des situations de dénombrement, il lui sembla qu'il avait développé des manières d'agir un peu systématiques, sans leur donner du sens. Il utilisait le dénombrement dans des tâches dont la consigne était « compte le nombre d'objets » ou « combien as-tu d'objets ? » dans un champ numérique restreint (de 1 à 4 objets). Sa technique semblait instable avec une mauvaise coordination de la comptine numérique et du pointage. Julien présentait également une difficulté à prendre en compte la collection d'objets dans son ensemble pour organiser le comptage.

En nous appuyant sur les travaux portant sur le nombre et le dénombrement étudiés dans le chapitre précédent, nous pouvons repérer et décrire les différentes difficultés de Julien de la façon suivante :
- Julien ne prononce pas les mots-nombres de la chaine verbale numérique au-delà de 2 ou 3.

- Il présente une mauvaise coordination du pointage et de la chaine orale ; ce qui provoque des erreurs dans la correspondance terme à terme.

- Aucune stratégie ne ressort pour séparer les éléments comptés de ceux qui restent à compter.

- Julien ne reconnait pas les quantités au-delà de 3. Il s'avère par contre être capable de répondre à la question « Combien ? » pour les petites quantités, peut-être par hasard ou en utilisant le subitizing.

En prenant en compte les renseignements qu'elle a obtenus d'autre personnes et à l'issue de ses propres constats, l'enseignante a jugé que le processus de dénombrement devait être retravaillé afin que Julien puisse accéder à la conceptualisation de la cardinalité. Rappelons que nous avons vu que ce processus de quantification n'est pas facile à acquérir par des élèves atteints de troubles analogues à ceux de Julien. En effet, durant le processus de dénombrement, plusieurs capacités sont mobilisées : l'élève doit énoncer oralement ou mentalement la chaîne numérique et, de façon synchronisée, il doit pointer chaque objet, en évitant les oublis et les doubles comptages. Cette activité est particulièrement difficile du fait du phénomène de double-tâche (ou même de triple ou quadruple tâche) qui est engendré par les troubles cognitifs, langagiers, visuo-praxiques et de l'attention.

### 1.3.2. La constitution du champ mathématique

Pour constituer « le champ mathématique » de l'enseignement d'Élodie, nous avons procédé en quatre étapes à partir des observations et des transcriptions réalisées des enregistrements des différentes séances, des notes prises par Élodie dans son « cahier de bord », ainsi que des différents entretiens réalisés avec l'enseignante :
<table><caption>Tableau 5 : Démarche de constitution du champ mathématique de l'enseignement d'Élodie</caption><thead><tr><th></th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>Étape 1</td><td>Nous sommes partis de l'observation des séances de mathématiques enregistrées pendant les séquences d'enseignement. Nous avons repéré les difficultés de Julien lors des séances sur la notion de nombre, nous avons alors décidé de sélectionner ces séances et de les transcrire.</td></tr><tr><td>Étape 2</td><td>Nous avons lu les notes qu'Élodie a prises dans son « cahier de bord » lors du déroulement de ces séances décrivant les difficultés qu'elle a pu rencontrer.</td></tr><tr><td>Étape 3</td><td>Selon les observations et les transcriptions qui ont été faites, nous avons repéré les tâches de dénombrement et de calcul prescrites à Julien tout au long de l'enseignement d'Élodie.</td></tr><tr><td>Étape 4</td><td>Nous avons sollicité Élodie pour qu'elle lise cette reconstitution de l'enseignement à plusieurs reprises afin d'estimer sa fidélité.</td></tr></tbody></table>

Nous allons maintenant continuer notre analyse en détaillant le champ mathématique tel que nous l'avons reconstruit avec la coopération d'Élodie.

### 1.3.3. Le champ mathématique défini par l'enseignante

Le contexte d'enseignement étant particulier, l'enseignante ne s'est pas référée spécifiquement aux programmes scolaires. Cette analyse ne sera donc pas spécifiée par rapport aux compétences attendues à un niveau scolaire donné mais en fonction des connaissances antérieures de Julien. Rappelons que l'enseignante spécialisée a présenté le niveau d'apprentissage en mathématiques de Julien comme celui d'un enfant de petite section de maternelle.

Après avoir observé les séances enregistrées, nous pouvons délimiter dans un premier temps le champ mathématique de l'enseignement proposé par Élodie pour ce qui concerne le nombre et dans un second temps pour ce qui concerne le calcul. Pour l'enseignante, le nombre prend son sens avec la notion de quantité qui sera utilisée dans des situations variées de dénombrement ; son acquisition sera évaluée en fonction de la complexité des situations et de la taille de l'empan numérique. Les situations permettront de créer un « besoin » impliquant l'utilisation des nombres et faisant ressortir la notion de quantité. Plus tard, quelques situations feront intervenir les nombres pour repérer une position dans un ensemble ordonné. L'acquisition de stratégies de calcul est également indispensable selon l'enseignante pour permettre à l'élève de conceptualiser la notion de nombre. Elle a ainsi proposé des situations à Julien pour qu'il puisse établir des relations numériques et les utiliser comme outils de calcul, par exemple en s'appuyant sur les doubles ou les compléments à 5. Ces relations numériques,
difficiles à acquérir pour Julien ont fait l'objet d'un apprentissage progressif en fonction des
nombres connus.

Nous allons maintenant poursuivre en abordant l'organisation des contenus et leur présentation à l'élève.

1.3.4. L'organisation des contenus et leur présentation à Julien

L'enseignant organise les contenus de la séquence en fonction de l'importance qu'il souhaite
leur accorder, de l'ordre dans lequel il croit qu'il sera préférable de les présenter à l'élève, des
constatations qu'il effectue, etc. Dans notre étude nous nous intéressons à la progression
qu'Élodie donne à son enseignement, en fonction de ses options didactiques mais aussi de sa
conception de l'apprentissage de Julien compte tenu notamment de ses troubles, de ses
difficultés anticipées ou constatées, etc.

En termes d'organisation, il est à remarquer qu'Élodie n'a pas planifié son enseignement sur du long terme. La plupart du temps, sa planification était réalisée semaine par semaine. Cela lui permettait notamment de prendre du recul sur ses pratiques et sur l'activité de Julien afin de changer éventuellement les situations et d'améliorer les adaptations proposées. À ce sujet, Élodie signale :

« Pour proposer un enseignement " adapté " au cas de Julien, il m'a fallu sur un temps assez long, prendre des renseignements sur l'acquisition des connaissances mathématiques chez l'enfant et plus particulièrement sur l'acquisition du dénombrement, relever des " aides " ou des " variables " pour adapter ces enseignements. D'autre part, j'ai observé Julien et effectué au quotidien des réajustements et j'ai souvent improvisé en utilisant le matériel disponible en fonction de l'attitude positive de Julien et de son engagement dans la tâche proposée. »
(Extrait de l'entretien avec Élodie, juillet 2015)

La modalité d'enseignement instaurée par Élodie vis-à-vis de Julien fut donc le résultat
d'observations, d'improvisations et de réajustements permanents. Nous présentons ci-dessous
les contenus de son enseignement ainsi que leur organisation au cours des trois années
d'enseignement :
<table><caption>Tableau 6 : Organisation des contenus par année d'enseignement</caption><thead><tr><th rowspan="2">Organisation des contenus<br>(Novembre 2012 à juin 2015)</th><th>Première année</th><th>Deuxième année</th><th>Troisième année</th></tr><tr><th>Novembre 2012 à<br>juin 2013</th><th>Décembre 2013 à<br>Novembre 2014</th><th>Novembre 2014 à<br>juin 2015</th></tr></thead><tbody><tr><td>Dénombrement d'une collection</td><td>X</td><td>X</td><td>X</td></tr><tr><td>Mémoriser un nombre, une quantité pour créer une<br>collection avec/sans éloignement dans l'espace</td><td>X</td><td>X</td><td></td></tr><tr><td>Compareer deux collections</td><td>X</td><td>X</td><td></td></tr><tr><td>Produire une collection de même cardinal qu'une autre.</td><td>X</td><td>X</td><td></td></tr><tr><td>Dénombrer des collections en utilisant<br>les groupements en dizaines, ou le double d'une collection</td><td></td><td>X</td><td>X</td></tr><tr><td>Effectuer des décompositions et des compositions de<br>nombres</td><td></td><td>X</td><td>X</td></tr><tr><td>Anticiper le résultat d'une action sur les quantités</td><td></td><td>X</td><td>X</td></tr><tr><td>Calcul réfléchi : calculer des sommes du type « n+1 »,<br>« n+2 », « 5+n », « 10+n » et « n+n »</td><td></td><td>X</td><td>X</td></tr></tbody></table>

Développer la capacité à dénombrer des quantités en étant vigilant au fait que les nombres prononcés soient bien des représentants des quantités a été l'un des premiers objectifs d'Élodie. Cet objectif a d'ailleurs toujours été présent au cours des trois années d'enseignement. Nous observons que durant la première année le point de départ de l'enseignante a été fondé sur des contenus déjà traités tout au long du parcours scolaire de Julien : le dénombrement, la mémorisation d'une quantité, la comparaison de collections et la production d'une collection de même cardinal qu'une autre. Ces contenus ont tous été travaillés, à plusieurs reprises et avec différentes quantités. À la fin de la deuxième année, l'enseignante a voulu aborder l'anticipation des résultats afin d'introduire le calcul réfléchi sur de petites quantités au moyen de processus de comptage et de surcomptage. La dernière et troisième année d'enseignement a été consacrée à l'acquisition et l'automatisation du calcul réfléchi. Cette progression des contenus a été mise en place au fil du temps et s'est fondée sur les appréciations qu'Élodie a pu se faire des acquis de Julien au fil des années.

Cette description globale du scenario d'enseignement d'Élodie nous a permis de pouvoir positionner l'itinéraire cognitif prévu pour l'élève par l'enseignante. Nous allons maintenant poursuivre en présentant les éléments méthodologiques qui vont nous permettre de réaliser une analyse locale des tâches prescrites et de leurs déroulements en classe.
## 2. Les tâches prescrites et leurs déroulements en classe

Notre approche locale de l'enseignement d'Élodie va s'appuyer sur l'étude des tâches proposées à Julien, ainsi que sur leurs déroulements en classe. Nous cherchons ainsi à comprendre la pratique d'enseignement d'Élodie et l'activité d'apprentissage en mathématiques de Julien avec un regard attentif aux phénomènes d'influences réciproques, de co-construction de l'enseignement et de l'apprentissage. Au sein de la relation enseignante-élève, les actions de l'un comme de l'autre ont un effet sur leurs propres activités, mais aussi sur celles de l'autre. Il ne s'agit pas de mesurer ni d'évaluer l'efficacité de l'activité enseignante ou de la performance de l'élève, mais bien de saisir la complexité et le caractère dynamique de cette relation enseignement-apprentissage. Ainsi nous portons, dans nos analyses des activités de l'enseignante et de celles de l'élève, une attention toute particulière à leurs interactions, leurs influences, ainsi qu'à leurs expériences qui résultent de la relation qu'ils entretiennent. L'élève est bien considéré comme un acteur de la construction de ses connaissances qui agit aussi sur sa relation à l'enseignante et qui influence donc également ses choix d'enseignement. C'est dans cette perspective que nous voudrions, pour la suite, positionner nos analyses.

### 2.1. Les tâches prescrites

Les tâches prescrites à l'élève, dans leur succession, constituent un indicateur des conceptions de l'enseignement des mathématiques d'Élodie, de sa perception des possibilités d'apprentissage de son élève, de son attention aussi aux besoins de Julien qui peuvent se lire dans la réalisation des tâches comme dans certaines réactions ou dans l'expression de certains sentiments. Globalement, deux genres de tâches ressortent : les tâches de dénombrement et les tâches additives. Cette catégorisation est réalisée en fonction des types de stratégies envisagées pour la réalisation de la tâche. Au sein de ces deux groupes, se dégagent quatre types de tâches que nous noterons A, B, C et D et qui visent une diversification des représentations et une utilisation du dénombrement et du calcul sous différents contextes. Nous les détaillons dans le tableau ci-dessous :
<table><caption>Tableau 7 : Nature et types de tâches prescrites par l'enseignante</caption><thead><tr><th>Nature des tâches</th><th colspan="2">Types de tâches prescrites par Élodie</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">Tâches de dénombrement</td><td>Tâches de type A</td><td>« Créer une collection d'objets dont le cardinal est donné sous forme chiffrée ou par une représentation de constellation »</td></tr><tr><td>Tâches de type B</td><td>« Créer une collection équipotente à une autre avec éloignement dans l'espace des deux collections »</td></tr><tr><td rowspan="2">Tâches additives</td><td>Tâches de type C</td><td>« Créer une collection d'objets dont le cardinal est le résultat d'une addition à effectuer »</td></tr><tr><td>Tâches de type D</td><td>« Déterminer le cardinal de deux collections réunies et associer le résultat à son écriture chiffrée »</td></tr></tbody></table>

Les tâches mises en place par l'enseignante ont pour objectif de faire acquérir à Julien le concept de nombre dans son aspect ordinal et cardinal, en incluant les écritures chiffrées et en l'amenant sur le chemin des premiers calculs arithmétiques. À cet effet, la connaissance de la nature des difficultés de l'élève en lien avec ses troubles est fondamentale pour l'enseignante. C'est à cet effet que durant la première année, Élodie a expérimenté différentes situations lui permettant à la fois de détecter les difficultés de Julien, son niveau de connaissance et de renforcer ses acquis. Rappelons que les choix des tâches proposées ont été influencés par les cours de didactique de mathématiques suivis par l'enseignante et durant lesquels lui ont été présentées diverses situations de dénombrement et de calcul, par ses lectures et les séminaires qu'elle a suivis ainsi que, plus tardivement, par ses observations d'une enseignante spécialisée enseignant le nombre en CLIS.

Les tâches de types A et B (tâches de dénombrement) conduisent l'élève à utiliser le dénombrement pour constituer une collection. L'enseignante juge en effet que les tâches où l'élève doit seulement dénombrer une collection ne sont pas suffisantes pour faire acquérir que le nombre est un représentant de la cardinalité. En ce qui concerne les tâches de type C et D (tâches additives), elles ont pour objectif de permettre à Julien d'abandonner progressivement le comptage au profit du calcul. Elles ont pour objectif de pousser l'élève à mettre en place des stratégies variées de comptage, de calcul ou mixtes. Nous approfondirons l'analyse de ces différents types de tâches ultérieurement au cours de ce chapitre 3.

Avant cela, nous voulons détailler quelques principes méthodologiques qui vont nous aider à réaliser cette analyse plus locale du projet d'enseignement d'Élodie.
## 2.2. Éléments pour l'analyse *a priori* des tâches prescrites

Comme l'explique Charnay (2003), l'analyse *a priori* se fonde sur un ensemble d'analyses concernant les connaissances en jeu, sur les stratégies possibles pour réaliser la tâche, sur les raisonnements qui peuvent être mise en œuvre, sur des hypothèses sur les solutions que l'élève peut obtenir qu'elles soient correctes ou non, sur les difficultés qu'il peut rencontrer et les erreurs qu'il peut commettre, sur l'étude des variables didactiques et de leurs effets sur le travail de l'élève, sur les modifications ou encore les adaptations possibles, etc.

Comme nous avons pu le voir brièvement précédemment, deux genres de tâches ressortent du projet d'enseignement d'Élodie : les tâches de dénombrement et les tâches additives. C'est sur cette base que nous allons aborder à présent les différents éléments entrant en ligne de compte dans l'analyse *a priori* des tâches prescrites. Pour cela nous commencerons par les variables didactiques.

### 2.2.1. Les variables didactiques

Pour Brousseau (1982 b) lors d'une résolution de problème, les variables didactiques pertinentes sont celles qui permettent d'agir sur les apprentissages. À ce sujet Brousseau déclare :

> « Ces variables sont pertinentes à un âge donné dans la mesure où elles commandent des comportements différents. Ce seront des variables didactiques dans la mesure où en agissant sur elles, on pourra provoquer des adaptations et des régulations : des apprentissages. »

(Brousseau, 1982 b, p.47)

Pour les élèves en grande difficulté d'apprentissage comme Julien, un changement de contexte, de matériel, d'énoncé, etc. sont autant de variables qui peuvent avoir un impact sur son activité. Dans le cadre de notre étude, nous allons décrire ci-dessous les variables didactiques des tâches de dénombrement et des tâches additives.
### 2.2.1.1. Les variables didactiques des tâches de dénombrement

Nous utilisons le travail de Margolinas & Wozniak (2012) dans leur ouvrage « Le nombre à l'école maternelle » qui distinguent trois variables didactiques importantes dans des situations de dénombrement et d'énumération :

- **Le caractère déplaçable ou non des objets** : Les objets déplaçables peuvent être physiquement mis en relation terme à terme. Ce qui n'est plus possible avec une collection d'objets non déplaçables (fixes). Ainsi, la fixité des objets engendre une difficulté supplémentaire, celle de rendre plus difficile l'action de distinction des éléments déjà comptés, des éléments qui restent à compter.

- **Le caractère plus ou moins identifiable des collections en jeu** : Si chacune des collections à apparier est facilement identifiable dans sa nature et dans leur lien, telle que des voitures et des places de parking par exemple, l'élève sera plus à l'aise d'apparier ces éléments. En revanche, dans le cas de deux collections d'objets très distincts sans lien direct, il sera plus difficile pour un élève – notamment si comme Julien il présente un trouble du développement – d'apparier ces collections ou de comparer leurs cardinaux.

- **Association des deux collections** : La non concordance de taille entre les objets de deux collections à comparer peut constituer une difficulté par perturbation de la pertinence du dénombrement. Ainsi, si la taille d'une collection de fruits et à comparer à une autre, le fait que ces fruits soient des pamplemousses d'une part et des cerises d'autre part pourrait troubler l'élève et lui rendre plus difficile l'association des fruits un à un du fait qu'il faut beaucoup de cerises pour avoir la même quantité (masse) de fruits qu'avec un pamplemousse.

Les trois variables didactiques que nous venons de décrire, à savoir la mobilité, le caractère identifiable et le facteur associatif des collections, seront pris en compte dans notre analyse des tâches prescrites.

D'autres variables qui peuvent également faciliter ou non le dénombrement sont détaillées ci-après :
- **La couleur et la forme des objets** : Le dénombrement est plus facile si les objets sont de couleurs ou de formes différentes en comparaison à une collection composée d'objets homogènes (même couleur et même forme). Ces différences peuvent en effet permettre à l'élève d'avoir des repères quant aux objets déjà comptés, des objets encore à compter. La couleur ou la forme constitue ainsi l'équivalent d'un marqueur des objets. Pour un élève atteint d'un trouble praxique, comme c'est le cas de Julien, si les objets sont de trop petites ou de trop grandes tailles, les difficultés de manipulation s'ajoutent à celles liées à l'énumération.

- **La disposition spatiale des objets à dénombrer** : Il est notamment possible d'alléger l'effort de la mémoire en construisant une procédure adaptée à l'organisation des objets, notamment lorsqu'ils ne sont pas déplaçables. Une collection structurée spatialement (linéaire, en lignes-colonnes, figurée, etc.) peut donner des repères spatiaux à l'élève afin d'énumérer les objets à dénombrer. En revanche une organisation aléatoire constitue une difficulté pour la réalisation de la tâche. Dans un tel cas, c'est l'élève lui-même, qui doit alors constituer des repères pour énumérer et exécuter le comptage. Dans le cas d'un élève affecté comme Julien d'un trouble visuo-praxique, si la collection à dénombrer est par exemple une collection de points, le fait qu'ils soient petits et rapprochés constitue une difficulté plus grande que s'ils étaient de taille moyenne et assez espacés.

### 2.2.1.2. Les variables didactiques pour les tâches additives

L'apprentissage des stratégies de calcul se nourrit des connaissances sur les quantités et la numération. Par rapport aux tâches proposées, nous avons repéré deux variables qu'Élodie a pris en compte :

- **Les nombres (quantités) en jeu** : Cette variable peut favoriser certaines stratégies. Par exemple, le surcomptage est plus facile pour ajouter un petit nombre qu'un grand nombre à un autre nombre. Ajouter un grand nombre à un petit pourra occasionner une utilisation implicite de la commutativité, mais ajouter deux grands nombres pourra compromettre la procédure de surcomptage. Des compositions ou décompositions classiques peuvent être utilisées pour calculer, par exemple si l'un des nombres à
ajouter est « cinq », la connaissance des faits numériques du type « 5+n » pourra être
utilisée.

- Les représentations utilisées : Les choix de représentation des nombres influent sur les stratégies utilisées par l'élève. Lorsque par exemple deux nombres à ajouter sont représentés par des collections, un élève pourra compter les objets de la réunion des deux collections, mais si l'un d'eux est donné sous forme chiffrée, il sera conduit à passer au surcomptage.

2.2.2. Les connaissances en jeu et les énoncés des types de tâches

Une tâche mathématique est caractérisée par les connaissances (anciennes ou nouvelles) qu'elle mobilise ou demande d'adapter chez l'élève (à sa disposition ou non). L'analyse de la mise en application de ses connaissances ou de la manière de réaliser une tâche va nous permettre de détecter les activités possibles en lien avec l'énoncé considéré. À ce sujet Robert (2008) signale :

« L'analyse *a priori* d'un énoncé consiste donc à se demander, compte tenu du programme,
de la place des exercices dans ce qu'a fait le professeur, quelle utilisation de leurs
connaissances précises, nouvelles et anciennes, les élèves vont avoir à faire en travaillant sur
cet énoncé » (2008, p. 48)

Il nous faudra considérer également pour l'élève si les connaissances sont ou non indiquées
dans l'énoncé. Si celles-ci ne sont pas signalées explicitement, cela suppose alors que l'élève
devra engager un travail de réflexion sur la connaissance à appliquer en l'adaptant au besoin.
Robert (2008) explique :

« D'autres tâches nécessitent des adaptations de connaissances qui sont en partie moins
indiquées : on parle de niveau de mise en fonctionnement mobilisable. Le travail des élèves
n'est en effet pas analogue selon qu'ils doivent rechercher les connaissances à utiliser (travail
du pourquoi ou de quoi) ou mettre en fonctionnement (en l'adaptant) des connaissances
indiquées (travail du comment). Si c'est à l'élève de reconnaitre les connaissances à utiliser,
on parle de niveau de mise en fonctionnement disponible. » (2008, p. 49)
Pour notre analyse nous allons prendre comme référence la typologie des tâches proposées par Robert (2008) :

- Les tâches simples ou isolés (TSI) où l'application des connaissances explicites est immédiate sans adaptations ni mélanges et où une seule connaissance est mise en œuvre.

- Les tâches nécessitant des adaptations de connaissances qui sont en parties indiquées, c'est le niveau mobilisable de mise en fonctionnement.

- Les tâches pour lesquelles l'élève doit reconnaitre les connaissances à utiliser, c'est le niveau disponible de mise en fonctionnement.

Cette typologie des tâches nous permettra de repérer le degré de mise en fonctionnement des connaissances attendu par les énoncés proposés à Julien et d'apprécier le niveau de ses activités en fonction du type d'énoncé.

### 2.2.3. Les procédures envisageables

Au cours de l'apprentissage du dénombrement et du calcul, l'élève met en place différentes procédures pour résoudre les tâches proposées. Ces procédures correspondent à la représentation que l'élève se fait de la tâche, mais aussi à son niveau de conceptualisation des contenus mathématiques en jeu dans la tâche. Nous chercherons, dans l'analyse *a priori* des tâches proposées, à mettre en évidence les différentes stratégies possibles de Julien pour réaliser les tâches de dénombrement et additives.

#### 2.2.3.1. Les procédures en lien avec les tâches de dénombrement

Le dénombrement est une tâche complexe fondée principalement sur deux activités majeures à coordonner : l'énoncé verbale de la suite numérique selon un ordonnancement correct, et la réalisation d'un pointage manuel ou visuel de l'ensemble des éléments d'une collection moyennant le fait de ne pas en omettre ni d'en réitérer l'un ou plusieurs d'entre eux. La coordination assure une correspondance un à un entre les noms de nombre et les objets de la collection, afin que chaque nombre prononcé indique le cardinal des objets comptés, en particulier le dernier qui indique le cardinal de la collection à dénombrer (Camos, 2002).
### La procédure de dénombrement un à un :

Au début de l'acquisition du comptage verbal et des capacités de dénombrement, l'enfant aura tendance à tout compter en commençant à partir de « un », puis progressivement cette procédure sera remplacée par le surcomptage. Il faut attendre l'âge de 6 ans pour qu'il n'y ait plus de conflit entre les deux composantes du dénombrement et que les enfants soient plus rapides et plus efficace (Meyer, 2015).

Les élèves présentant des troubles visuo-spatiaux et praxiques présentent un retard concernant les stratégies de dénombrement par rapport à leurs pairs. En effet, ils ont souvent recours à la stratégie de base « un à un » à cause de leur handicap. D'autre part les concernant, l'utilisation du geste du pointage digital est particulièrement déficiente. Le passage à un contrôle visuel du dénombrement qui constitue la suite naturelle du pointage gestuel, reste très difficile pour ces enfants (Lecointre, Lépine, & Camos, 2005).

### La procédure de surcomptage :

La stratégie « un à un » est progressivement remplacée par un surcomptage où l'élève commence à recompter à partir du plus grand terme. Ainsi, pour une collection de 8 éléments, si l'élève détecte un regroupement de 5 éléments et de 3 autres en marge, il pourra alors commencer à effectuer l'énumération en commençant à partir de 5 puis en ajoutant les 3 éléments manquants soit « un à un » (cinq, six, sept et huit), ou en une seule fois si ces 3 éléments sont également regroupés dans l'énumération (cinq et trois, huit). Il est possible de faire l'hypothèse que cette dernière procédure relève alors davantage d'un calcul que d'un surcomptage, toutefois, les élèves entrainés à compter de deux en deux, de trois en trois, etc. pourraient compter cinq et trois huit avec un passage de cinq à huit qui relève davantage du comptage que de l'addition, c'est-à-dire en convoquant les nombres pour leur aspect ordinal plutôt que cardinal. Dans cette stratégie, l'élève récite donc la comptine numérique à partir de la première quantité de la collection et continue en « pointant » les objets de la deuxième collection, soit un par un, soit aussi par groupes si la disposition le permet et que le subitizing des quantités supplémentaires est possible.

### 2.2.3.2. Les procédures pour les tâches additives

Le passage du comptage au calcul et à l'utilisation de stratégies de calcul est un véritable défi d'apprentissage pour les élèves. Il est l'aboutissement d'un dispositif d'enseignement amenant
les élèves à abandonner les procédures relevant du comptage pour élaborer des procédures relevant du calcul (Brissiaud, 1989). C'est d'ailleurs quand les nombres deviennent plus grands que les procédures de type « calcul » prennent toute leur efficacité. À ce sujet, dans le texte qu'ils ont rédigé dans le document officiel « ressources pour faire la classe » d'accompagnement des programmes scolaires français de 2008, les inspecteurs de l'Éducation nationale Bolsius & Gros signalent :

« Il s'agit là d'un véritable apprentissage que l'enseignant doit accompagner en proposant aux élèves des situations variées les incitant progressivement :

– À dépasser la première utilisation de la comptine numérique : surcomptage, décomptage.

– À mémoriser certains résultats : doubles, tables d'addition, moitié.

– À s'appuyer sur la numération : recherche de compléments à 10, arbre de calcul.

– À utiliser des outils : calcul par bonds sur une file numérique, utilisation de tableau des nombres, compteurs...

L'apprentissage de la numération et celui du calcul ne peuvent se faire que conjointement.

Les procédures de calcul se nourrissent de la connaissance de la numération et en même temps lui donnent du sens. » (Bolsius & Gros, 2010, p.35)

Pour aider le passage du comptage au calcul, l'enseignant peut donc jouer notamment sur deux variables : les nombres en jeu et les représentations utilisées. Ces deux variables sont détaillées ci-après :

## – Les nombres en jeu :

En prenant en compte la taille des nombres, l'enseignant peut privilégier les stratégies suivantes :

« – deux petits nombres : recomptage sur les doigts, reconnaissance visuelle globale ;

– un grand nombre et un petit : surcomptage, décomptage ;

– deux grands nombres : utilisation de la numération (groupement des paquets de 10) ou calcul ;

– nombres inclus dans le champ numérique des tables : utilisation du calcul ;

– nombres multiples de 10 : extrapolation de résultats connus avec utilisation de la numération » (Bolsius & Gros, 2010, p.35)
## Les représentations de nombres utilisées :

Les élèves rencontrent à l'école maternelle principalement trois types de représentation du nombre : verbale, concrète ou imagée, et symbolique. Chacune de ces représentations met en jeu différentes facettes du nombre et donc des connaissances de l'élève. En outre, la capacité à passer d'une représentation à une autre constitue un indicateur du niveau d'acquisition du concept de nombre. Il est possible de nuancer un peu ce schéma dans le cas de l'enseignement à des élèves qui, comme Julien, sont porteurs de troubles praxiques et visuels. Ainsi par exemple, si la représentation d'un nombre par une constellation de dé peut évoquer une représentation imagée et permettre de ce fait le comptage un à un des points pour retrouver la quantité, il faut aussi remarquer que si le dessin est de petite taille, l'élève atteints de troubles visuo-praxiques sera par force conduit à considérer la constellation comme une représentation symbolique, car il lui sera impossible de compter les points qui sont trop rapprochés et de trop petite taille. D'ailleurs, le passage d'un grand dessin à un petit dessin peut constituer un levier de mémorisation des constellations et de passage du comptage « un à un » au surcomptage ou au calcul.

Dans le cas des tâches additives, la stratégie choisie par l'élève révèle également ses acquisitions. Par exemple dans le cas d'une somme représentée par une constellation « 4 et 2 », l'élève pourra, par niveau croissant d'acquisition du nombre et du calcul, utiliser une stratégie de comptage « un à un », de surcomptage ou bien encore de calcul direct.

Nous allons maintenant aborder les éléments à prendre en compte dans l'analyse du déroulement des séances.

## 2.3. Éléments d'analyse du déroulement des séances

L'analyse du déroulement des séances est particulièrement centrée sur l'évolution des apprentissages de Julien et des pratiques d'Élodie, ainsi que sur les effets de la relation mutuelle qu'ils entretiennent. Cette analyse s'effectuera à partir des séances d'enseignement filmés afin d'étudier l'activité de Julien et celle de l'enseignante. Parmi les séances filmées (elles sont très courtes, rappelons-le, compte tenu des problèmes de concentration de Julien) nous n'avons retenues que celles qui aboutissent : il arrivait souvent que Julien ne parvienne pas à maintenir son attention et son enseignante était alors contrainte d'arrêter la séance d'enseignement des mathématiques. Les séances ainsi filmées et retenues dans notre corpus
sont au nombre de 77. Chaque séance a été découpée en unités que nous avons nommé « échanges » et qui comprend une intervention de l'enseignante et une intervention (verbale, gestuelle, orale) de Julien. Ce découpage a été choisi pour rendre compte des influences réciproques des actions (y compris verbales) de l'enseignante et de son élève. Cela a d'autant plus été rendu possible car l'activité autonome de Julien est quasiment absente, elle s'inscrit en effet toujours dans des interactions avec l'enseignante.

### 2.3.1. Précisions sur l'analyse de l'activité de Julien

L'analyse du déroulement des séances comporte en particulier une étude des activités de Julien. Celle-ci porte sur la compréhension de la tâche et sur sa réalisation. À ce propos, nous proposons une analyse quantitative des réussites et des échecs de l'élève, ainsi qu'une analyse qualitative détaillée de l'activité de Julien. Ces analyses prennent en considération les procédures ainsi que les difficultés praxiques ou visuelles éventuelles qu'il rencontre. Il faut également remarquer que l'analyse qualitative de la réalisation de la tâche comprend différentes informations concernant les aides proposées par Élodie car, comme nous l'avons déjà indiqué, Julien n'est quasiment jamais autonome.

#### 2.3.1.1. Éléments pour l'analyse des réussites et des erreurs de l'élève

Pour l'analyse des réussites et des erreurs de Julien, nous avons utilisé un dispositif de codage des transcriptions des séances observées en classe, l'analyse nous permettant de faire ressortir les réussites et les erreurs en les rattachant aux enjeux d'apprentissage de la situation. Dans la grille ci-dessous, nous illustrons quelques exemples de types de réussite que nous avons pu repérer au cours des types de tâches A et B, associés à leur codage et les interactions observées :
<table><caption>Tableau 8 : Types de réussite, codages et exemples repérés au cours des tâches de type A et B</caption><thead><tr><th>Types de réussites</th><th>Codages</th><th>Exemples repérés dans les séances observées</th></tr></thead><tbody><tr><td>Réussite dans la compréhension initiale de l'énoncé de la tâche</td><td>RCI</td><td>Élodie : « Donc, qu'est-ce que tu vas prendre pour remplir tous ces parkings ? Qu'est-ce que tu vas chercher ? »<br>Julien : « Voiture, bébé voiture » (séance 51)<br>Élodie : « Les escargots ont très faim. Donc cette fois-ci, on va essayer de ne pas oublier les salades d'accord ? On va donner à chacun une salade et une tomate. Parce que lui (un escargot) n'est pas très content car dans l'exercice précédent, il lui manquait quoi à lui ? »<br>Julien : « une salade »<br>Élodie : « oui, il lui manquait une salade, donc on va retourner là-bas et on va essayer de ramener ce qu'il faut » (séance 30)</td></tr><tr><td>Réussite dans la reconnaissance d'un nombre sous forme chiffrée</td><td>RRCC</td><td>Élodie : « Mets des voitures selon le chiffre de la caisse. »<br>Julien : (L'élève met 2 voitures dans la caisse 2, puis il compte) « un et deux ».<br>Élodie : « très bien ! » (séance 4)<br>Élodie : « Regardes bien là » (L'enseignante indique le numéro de la case de la boite à compter. Elle montre le chiffre 5). « C'est combien ça ? »<br>Julien : « 5 ! » (L'élève met chaque jeton face à chaque doigt de sa main)<br>Élodie : « ça y est on est à 5 ! »<br>Julien : (L'élève met chaque jeton dans la case de la boite avec le chiffre 5) (séance 2)</td></tr><tr><td>Réussite dans la constitution de la collection d'objets</td><td>RCC</td><td>Élodie : « Tu me mets les passagers dans le panier, et ensuite nous irons les mettre dans les places de train. »<br>Julien : (L'élève prend un passager de la boite et il le met dans le panier, puis il compte) « un ». (Il prend ensuite un deuxième passager et il compte) « deux », (puis un autre, et ce jusqu'à 4).<br>Élodie : « super ! » (séance 11)<br>Élodie : « Donc tu as deux solutions : soit tu prends 5 et tu refais 5, ou tu prends 10 comme tu veux. »<br>Julien : (L'élève prendre les voitures, il les met dans le plateau en comptant un à un chaque voiture jusqu'à 10) (séance 21)</td></tr></tbody></table>

Pour accéder le plus fidèlement possible aux connaissances et aux apprentissages de Julien, il nous avait semblé nécessaire de qualifier ses réussites et ses échecs en distinguant les cas où il travaille avec le soutien de l'enseignante ou plutôt en autonomie. Toutefois, les observations montrent que, du fait de ses troubles visuo-praxiques et de son retard de développement, l'autonomie de Julien est très rare, ce qui rend impossible l'analyse en ces termes. Il s'est avéré plus convaincant de distinguer deux types de modalités d'accompagnement du travail de l'élève par l'enseignante d'un point de vue topogénétique suivant la marge de manœuvre restant à l'élève pour accomplir la tâche :
- Un accompagnement qualifié de « modéré » lorsque l’enseignante sollicite l’élève par des questions, lorsqu’elle valide une étape et l’encourage, etc. ;

- Un accompagnement qualifié au contraire de « fort » lorsque l’enseignante le guide dans ses gestes pour réaliser la tâche ou bien lui suggère la réponse, par exemple lorsqu’elle perçoit sa lassitude ou sa nervosité.

Ainsi un accompagnement dit « modéré » révèlera un degré d’autonomie assez conséquent chez l’élève dans la réalisation de la tâche, alors qu’un accompagnement dit « fort » révèlera un degré élevé de dépendance vis-à-vis de l’enseignante. Le type d’accompagnement de la réalisation de la tâche utilisé par l’enseignante va aussi nous permettre d’entrevoir les apprentissages de Julien et, au contraire, ce qui résiste.

Nous terminons la présentation de nos outils sur l’analyse des activités de Julien par ceux qui portent sur sa communication avec l’enseignante. La communication est un élément essentiel dans l’apprentissage chez les enfants en difficulté, or il s’avère que les troubles cognitifs et langagiers de Julien ont un impact important sur sa capacité à s’exprimer verbalement.

### 2.3.1.2. Éléments d’analyse de la qualité de communication de Julien avec son enseignante

Nous nous questionnons ici sur la qualité de la communication que Julien entretient avec son enseignante. Il faut rappeler que les troubles de langage dont souffre Julien font que, la plupart du temps, il interagit à travers des gestes, grognements ou mimiques. Suite à l’observation des séances, nous avons pu relever quatre fonctions récurrentes de la communication de Julien durant ses interactions avec Élodie : exprimer le désaccord, l’accord, l’hésitation ou ne pas s’exprimer (rester silencieux). Ces quatre types de communications ont été relevés de manière systématique. À titre informatif, nous présentons ci-dessous dans un tableau les types de communication de Julien, accompagnés de leur codage et de quelques exemples repérés au cours des séances filmées :
<table><caption>Tableau 9 : Types de communication, codages et exemples repérés lors des séances enregistrées</caption><thead><tr><th>Types de communication</th><th>Codages</th><th>Exemples repérés dans les séances observées</th></tr></thead><tbody><tr><td>Julien ne s'exprime pas verbalement</td><td>PE</td><td>Élodie : (L'enseignante prend vite la voiture, et la remet sur le panier). « Tu vas trop vite. Tu te rappelles ? On a le droit de dire un mot quand notre doigt touche une voiture. D'accord ? »<br>Julien : (Silence) (séance 51)<br><br>Élodie : « Tu vas ramener combien de voitures ? »<br>Julien : (Silence) (Séance 10)</td></tr><tr><td>Julien exprime son accord (réponse positive)</td><td>ACC</td><td>Élodie : « Très bien ! tous les parkings sont remplis, il n'y a plus de petites voitures dans le petit panier. Tu as donc réussi l'exercice, bravo ! »<br>Julien : (L'élève crie en montrant sa satisfaction) (Séance 52)<br><br>Élodie : « moi, je crois que quand tu te concentres, tu sais très bien le faire. Maintenant tu es... »<br>Julien : « fort ! » (séance 51)<br><br>Élodie : « Donc, tu sais maintenant ce qu'il faut faire dans cet exercice. Est-ce que tu te sens prêt à y aller ? »<br>Julien : « oui » (séance 52)</td></tr><tr><td>Julien exprime son désaccord (réponse négative) ou son insatisfaction (refus de la tâche scolaire)</td><td>PACC</td><td>Élodie : « ... Est-ce que tu vas aller tout de suite la chercher (la voiture) ? »<br>Julien : « non, c'est dur » (séance 51)<br><br>Élodie : « Pas crier ! »<br>Julien : « 4, 5... » (Il s'arrête et il dit) « ah, c'est dur ! » (séance 51)<br><br>Élodie : « Remplis tout d'abord le train, on regardera après la vidéo »<br>Julien : « yyayayayay » (séance 14)<br><br>Élodie : « Je compte avec toi ? »<br>Julien : « Non » (séance 51)</td></tr><tr><td>Julien hésite (le doute)</td><td>H</td><td>Élodie : « Tu es sûr de toi ? »<br>Julien : « Non » (séance 14)<br><br>Élodie : « On finit ça ! »<br>Julien : (L'élève met un deuxième passager, et il compte) « 2 », (il met un 3ème passager et il compte) « trois », (puis il retire ce dernier, et dit ensuite) « ça y est ! »<br>Élodie : « Tu es sûr ? »<br>Julien : « Non » (séance 16)</td></tr></tbody></table>

### 2.3.2. Composantes médiative et relationnelle-affective

Dans le cadre de cette analyse locale des processus d'enseignement-apprentissage, nous nous
attacherons donc aussi à analyser la pratique enseignante d'Élodie : sa composante cognitive à partir des tâches qu'elle propose à Julien et de leur organisation temporelle (dont les outils que nous mettrons en œuvre ont déjà été décrits précédemment) ; et sa composante médiative à partir des interactions qu'elle entretient avec Julien. Comme l'indiquent Robert et Rogalski dans la double approche, ces composantes, après recomposition, nous permettront d'obtenir une forme de cohérence dans notre interprétation des pratiques de l'enseignante. Dans la pratique de nos analyses, nous avons dû attendre d'avoir effectué le travail sur la composante médiative avant de pouvoir effectuer celui sur la composante cognitive car les interventions de l'enseignante nous ont permis souvent de comprendre les choix cognitifs en fonction des réactions de Julien. Sans doute davantage que dans l'enseignement ordinaire où ce phénomène est plus implicite et rarement accessible au chercheur, dans l'enseignement spécialisé, les adaptations de l'organisation de l'enseignement s'effectuent non pas en amont de l'enseignement en fonction des séquences antérieures, mais bien au fur et à mesure de la séquence d'enseignement en cours.

### 2.3.2.1. Éléments pour l'analyse de la composante médiative

Pour rendre compte pleinement des activités d'aide de l'enseignante au cours des séances d'enseignement, compte tenu des spécificités de l'élève qui a besoin d'être soutenu à la fois sur le plan cognitif et sur le plan affectif, il a été nécessaire de prendre en charge, non seulement ce qui relève de la composante médiative telle que Robert et Rogalski l'ont définie (2002), mais aussi des activités d'accompagnement de Julien où le savoir visé passe en arrière-plan des enjeux d'enseignement, sans disparaître totalement. Le concept d'étayage de Bruner (1983) nous est apparu cohérent avec la double approche du fait du lien théorique fort qu'il entretient avec le concept de Zone Proximale de Développement (ZPD) auquel se réfère Robert & Rogalski pour définir la composante médiative.

Bruner défendait une pédagogie par la découverte, soutenue par un tuteur :

> « Ce soutien consiste essentiellement pour l'adulte à "prendre en mains" ceux des éléments de la tâche qui excèdent initialement les capacités du débutant, lui permettant ainsi de concentrer ses efforts sur les seuls éléments qui demeurent dans son domaine de compétence et de les mener à terme. » (Bruner, 1983, p. 263)
Le concept d'étayage intègre également un aspect affectif, comme nous le développons plus loin. Ainsi, ce concept nous a permis d'effectuer pleinement le travail de catégorisation des activités de l'enseignante qui sont principalement des aides apportées à Julien pour lui permettre de réaliser les tâches proposées et donc de résoudre un problème qu'il ne parvient pas à résoudre seul. Cet état de fait que nous avons déjà rencontré durant l'analyse des activités de Julien, nous avait conduits à catégoriser ses réussites et ses échecs en tenant compte de l'autonomie qui lui était laissée pendant la réalisation des tâches. Tel que défini par Bruner, le concept d'étayage se décline selon différentes fonctions que nous allons reprendre et contextualiser aux tâches de dénombrement proposées par Élodie. Parmi les fonctions d'étayage définies par Bruner, il apparaît que quatre d'entre elles concernent au premier plan le savoir en jeu dans l'activité de l'élève, il s'agit de : « la réduction des degrés de liberté » ; « le maintien de l'orientation » ; « la signalisation des caractéristiques déterminantes » ; « la démonstration ou présentation de modèles ». Ces fonctions de l'étayage relèvent alors au sens propre de la composante médiative telle que la définissent Robert et Rogalski.

Dans cette analyse de la composante médiative nous voudrions évaluer également le degré d'autonomie laissé à l'élève dans la réalisation de la tâche. Ce degré sera évalué à la hauteur de la force des interventions de l'enseignante, nous avons ainsi distingué : les aides dites « fortes » qui laissent une faible autonomie à l'élève et les aides dites « modérées » qui lui laisse une autonomie plus grande. Cette force dépend donc directement de la fonction de l'aide, nous considérons comme « aides fortes » celles qui impliquent une « réduction des degrés de liberté », ou encore une « démonstration ou présentation de modèles ». D'autre part, nous considérons comme modérées, celles qui comprennent un « maintien de l'orientation » et une « signalisation des caractéristiques déterminantes ». Nous avons également introduit dans la composante médiative, une catégorie supplémentaire à celles de Bruner pour rendre compte du fait que, parfois, l'enseignante se refuse à aider l'élève, estimant qu'il est capable d'effectuer seul ce qu'il y a à faire, et qu'en même temps elle l'encourage sur le plan affectif afin de le sécuriser dans la réalisation autonome de certaines parties de la tâche. Nous avons nommé cette catégorie supplémentaire le « refus d'aide ».

Ci-après figure un tableau descriptif des activités d'aide qui relèvent de la composante médiative, ainsi que de leur codage selon la fonction d'étayage concernée, en association avec quelques exemples repérés au cours des séances :
<table><caption>Tableau 10 : Activités d'étayage relevant de la composante médiative : codages et exemples lors des séances enregistrées</caption><thead><tr><th>Types d'aides</th><th>Fonctions d'étayage relevant de la composante médiative</th><th>Codages</th><th>Exemples repérés dans les séances observées</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="4">Aides fortes</td><td rowspan="3">Réduction des degrés de liberté</td><td rowspan="3">RL</td><td>Élodie : « Combien de passagers va tu chercher ? C'est bien 4 ? »<br>Julien : « 4 ! » (séance 11)</td></tr><tr><td>Élodie : « Tu lui donnes quoi à lui ? Une salade et une to... ? »<br>Julien : « mate » (séance 37)</td></tr><tr><td>Élodie : « 6 et 6, ça fait 12. C'est beaucoup ? Alors on va essayer de sauver les 12 poissons » (séance 57)</td></tr><tr><td rowspan="3">Démonstration ou présentation de modèles.</td><td rowspan="3">DEM</td><td>Élodie : « Alors, voyons, je vais le faire avec toi »<br>(l'enseignante fait réciter la comptine numérique à l'élève, au moyen de ses doigts) (séance 14)</td></tr><tr><td>Élodie : « Je te montre, regarde ! Passe-moi ton doigt, je te montre comment on fait » (L'enseignante prend le doigt de l'élève et elle compte avec lui) (séance 51)</td></tr><tr><td>Élodie : « Alors, montre-moi 6 avec tes doigts. Alors on va ajouter 1 doigt » (L'enseignante prends la main de Julien, et il ajoute un doigt), « est ce que tu sais combien ça fait cela ? » (séance 59)</td></tr><tr><td rowspan="8">Aides modérées à nulles</td><td rowspan="3">Maintien de l'orientation</td><td rowspan="3">MO</td><td>Élodie : « Allez ! on peut les mettre (les jetons) dans la case 5 ! »<br>Julien : (met les jetons dans la case 5) (séance 2)</td></tr><tr><td>Élodie : « Tu sais qu'est-ce que tu vas mettre dans chaque parking ? » (séance 53)</td></tr><tr><td>Élodie : « Attention ! n'oublie pas que la bouche doit parler en même temps que tu déplaces les objets avec ton doigt. Il faut faire attention et aller doucement » (séance 58)</td></tr><tr><td rowspan="3">Signalisation de caractéristiques déterminantes</td><td rowspan="3">SCD</td><td>Élodie : « Tu as réussi. Ils ont chacun une salade et une tomate, car tu as bien réfléchi » (séance 30)</td></tr><tr><td>Élodie : « Super ! Ils ont (les escargots) chacun quelque chose à manger, le plat est vide. Défi réussi ! » (séance 28)</td></tr><tr><td>Élodie : « Alors, tu vas maintenant mettre toutes les voitures dans le parking pour voir si tu as bien réussi l'exercice. Normalement tu dois avoir une voiture pour chaque parking » (séance 52)</td></tr><tr><td rowspan="3">Refus d'aide</td><td rowspan="3">RA</td><td>Élodie : « Tu sais comment tu dois faire ? Tu as la technique en tête ? Tu n'as pas besoin d'aide ? »<br>Julien : « non » (séance 51)</td></tr><tr><td>Élodie : « Alors je te prête mon doigt pour compter ? »<br>Julien : « non » (séance 59)</td></tr><tr><td>Élodie : « Est-ce que tu es sûr de toi ou tu veux que je t'aide à recompter ? On recompte tous les deux, ensemble ? »<br>Julien : « non » (séance 14)</td></tr></tbody></table>

### 2.3.2.2. Éléments pour l'analyse de la composante relationnelle-affective

Deux autres fonctions d'étayage ont été relevées par Bruner où le savoir est relégué au second plan de l'interaction et qui ne relèvent par conséquent pas strictement de la composante
médiative. Toutefois, nous avons remarqué que les aides proposées par Élodie à Julien pouvaient toujours se décrire selon deux dimensions, l'une où le savoir est directement concerné et qui relève donc de la composante médiative (comme nous venons de le voir), et une autre où c'est plutôt la dimension relationnelle et affective qui est concernée. Nous avons de ce fait décidé de coder chaque aide selon ces deux dimensions, l'une relevant de la composante médiative et l'autre relevant d'une composante que nous avons nommée « composante relationnelle-affective ». Pour rester fidèle à nos observations dans nos interprétations, nous avons en effet jugé important de prendre en compte cette autre dimension des aides proposées par Élodie. En nous référant aux travaux de Bruner, nous avons repéré que les deux fonctions des aides qui pouvaient être rattachées à cette composante étaient : « l'enrôlement » et « le contrôle de la frustration ».

Nous illustrons dans le tableau descriptif ci-dessous les activités d'étayages relevant de la composante relationnelle-affective, associées à leur codage, par quelques exemples repérés au cours des diverses séances :

<table><caption>Tableau 11 : Activités d'étayage relevant de la composante relationnelle-affective : codages et exemples repérés lors des séances enregistrées</caption><thead><tr><td>Fonctions d'étayage relevant de la composante relationnelle-affective</td><td>Codages</td><td>Exemples repérés au cours des séances observées</td></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="3">Contrôle de la frustration</td><td rowspan="3">CF</td><td>Élodie : « Très bien, tous les parkings sont remplis » (séance 52)</td></tr><tr><td>Élodie : « Tu veux que je t'aide à recompter. Tu veux qu'on recompte les deux ensemble » (séance 11)</td></tr><tr><td>Élodie : « Est-ce que tu te sens prêt d'y aller ? » (séance 52)</td></tr><tr><td rowspan="3">Enrôlement</td><td rowspan="3">E</td><td>Élodie : « On y va ! Allez ! c'est parti » (séance 50)</td></tr><tr><td>Élodie : « Finis ça, tout d'abord, tiens (les voitures) » (séance 54)</td></tr><tr><td>Élodie : « Alors, avant de partir qu'est-ce que tu dois faire ? On pose un peu les jouets, car je crois qu'ils t'empêchent de réfléchir ! » (séance 55)</td></tr></tbody></table>

Pour rendre pleinement compte des deux dimensions médiative et relationnelle-affective des aides de l'enseignante, nous reprenons ce tableau en indiquant les fonctions d'étayage qui, pour ces mêmes aides, relèvent de la composante médiative, cette fois en repartant des exemples et en allant vers leur catégorie :
<table><caption>Tableau 12 : Activités d'étayage relevant de la composante relationnelle-affective : codage et exemples repérés lors des séances enregistrées</caption><thead><tr><td>Exemples repérés au cours des séances observées</td><td>Fonctions d'étayage relevant de la composante médiative</td><td>Codages</td></tr></thead><tbody><tr><td>Élodie : « Très bien, tous les parkings sont remplis » (séance 52)</td><td>Signalisation de caractéristiques déterminantes</td><td>SCD</td></tr><tr><td>Élodie : « Tu veux que je t'aide à recompter. Tu veux qu'on recompte les deux ensemble » (séance 11)</td><td>Démonstration ou présentation de modèles.</td><td>DEM</td></tr><tr><td>Élodie : « Est-ce que tu te sens prêt d'y aller ? » (séance 52)</td><td>Maintien de l'orientation</td><td>MO</td></tr><tr><td>Élodie : « On y va ! Allez ! c'est parti » (séance 50)</td><td>Maintien de l'orientation</td><td>MO</td></tr><tr><td>Élodie : « Finis ça (la collection de voitures), tout d'abord, tiens (les voitures) » (séance 54)</td><td>Réduction des degrés de liberté</td><td>RL</td></tr><tr><td>Élodie : « Alors, avant de partir qu'est-ce que tu dois faire ? On pose un peu les jouets, car je crois qu'ils t'empêchent de réfléchir ! » (séance 55)</td><td>Maintien de l'orientation</td><td>MO</td></tr></tbody></table>

Dans la partie qui suit nous allons présenter les résultats de l'analyse locale de l'enseignement d'Élodie et des apprentissages de Julien.

## 3. Analyse des tâches prescrites et de leurs déroulements en classe

Afin de rendre compte les activités d'Élodie et de Julien sous un regard de co-construction de l'enseignement et de l'apprentissage, nous avons effectué une analyse croisée des pratiques de l'enseignante et des activités de l'élève. De ce fait nous avons choisi d'organiser les analyses par ordre chronologique et par types de tâches proposés en étudiant de manière systématique les pratiques d'Élodie, les activités de Julien et la relation entre ces pratiques et ces activités. Cette lecture nous permettra de mieux percevoir les influences réciproques en jeu dans le processus d'enseignement-apprentissage, ainsi que les évolutions de la pratique d'Élodie et des apprentissages de Julien au cours des trois années d'enseignement. De ce fait nous analyserons aussi les tâches et les aides proposées à l'élève à la lumière de ses activités antérieures et présentes, ainsi que les progrès de Julien en fonction des tâches et des aides proposées par Élodie.

Pour mieux appréhender ce processus d'enseignement et d'apprentissage, nous nous sommes appuyés sur trois types d'analyses :
- Une analyse quantitative et qualitative de l'activité de Julien. Cette analyse comporte à la fois ses réussites, ses erreurs et ses réactions pendant la réalisation de la tâche. Les analyses tiennent compte à la fois des tâches prescrites (savoirs en jeux, niveau de mise en fonctionnement, variables didactiques, matériels et contexte, etc.) et des aides de l'enseignante (fortes ou modérées). Les analyses portent sur chacune des interactions du déroulement des séances retenues pour notre recherche.

- Une analyse quantitative et qualitative des pratiques d'Élodie selon ses composantes médiative, relationnelle-affective et cognitive. L'analyse selon les composantes médiative et relationnelle-affective s'appuie sur les mêmes interactions que précédemment, en se concentrant cette fois sur les activités de l'enseignante, notamment sur le type d'accompagnement qu'elle procure au cours de réalisation de la tâche et en particulier sur les aides qu'elle apporte à Julien. L'analyse de la composante cognitive de la pratique de l'enseignante porte sur les décisions de l'enseignante quant au choix des tâches proposées, à leur organisation dans la séquence, aux adaptations effectuées au cours du déroulement, etc.

## 3.1. Les types de tâches et leur distribution au cours des trois années d'enseignement

Les tâches proposées par Élodie se sont inscrites dans un travail du dénombrement et d'initiation au calcul additif spécifiquement mis en œuvre pour Julien au fil des trois années d'enseignement qui se sont écoulées. L'analyse locale de ce projet s'appuie sur quatre types de tâches (A, B, C et D) qui se sont étalés de novembre 2012 à juin 2015. Nous avons procédé à une étude par ordre chronologique en couvrant toute la période d'enseignement. Cet ordre nous permettra de rende compte de l'évolution des apprentissages de l'élève, aussi bien que des pratiques de l'enseignante.

Le corpus de données sélectionnées est constitué de 77 séances, représentant environ 339 minutes d'enregistrement comprises dans une période de trois ans. La distribution des tâches proposées à Julien au cours des trois années d'enseignement a été récapitulée dans le tableau qui suit :
<table><caption>Tableau 13 : Distribution des types de tâches par année et par période d'enseignement accompagnée du nombre de séances sélectionnées et de leur durée d'enregistrement</caption><thead><tr><th>Année d'enseignement</th><th>Première année</th><th>Deuxième année</th><th>Troisième année</th><th>Total général</th></tr></thead><tbody><tr><th scope="row">Périodes</th><td>Novembre 2012 à Juin 2013</td><td>Décembre 2013 à Novembre 2014</td><td>Novembre 2014 à Juin 2015</td><td>Novembre 2012 à Juin 2015</td></tr><tr><th scope="row">Types de tâches</th><td>Types de tâche A et B</td><td>Types de tâche B et C</td><td>Types de tâche C et D</td><td>Types de tâche A à D</td></tr><tr><th scope="row">Nombre de séances</th><td>28 séances</td><td>33 séances</td><td>16 séances</td><td>77 séances</td></tr><tr><th scope="row">Temps cumulé des séances (minutes)</th><td>49 min.</td><td>140 min.</td><td>150 min.</td><td>339 min.</td></tr></tbody></table>

Les tâches proposées par Élodie varient en fonction de contraintes imposées pour amener l'élève à utiliser le dénombrement et les stratégies de calcul. Nous observons que certaines tâches ont été proposées sur différentes périodes (années), c'est le cas en particulier de la tâche B et de la tâche C. Nous allons donc tout d'abord nous pencher sur la première année d'enseignement.

## 3.2. Première année : Novembre 2012 à juin 2013

L'objectif d'Élodie au cours de cette première année consiste à stabiliser chez Julien ses connaissances sur les premiers nombres. Pour ce faire, Élodie va proposer des situations où Julien devra utiliser le dénombrement afin de constituer une collection de taille donnée (jusqu'à 5) ou encore de réaliser une collection de quantité égale à la collection proposée (jusqu'à 10) avec éloignement dans l'espace. Le tableau ci-après résume les types de tâches proposés ainsi que le nombre de séances filmées durant la première année :

<table><caption>Tableau 14 : Types de tâches proposées durant la 1ère année d'enseignement</caption><thead><tr><th>Première année d'enseignant</th><th colspan="2">Novembre 2012 à Juin 2013</th></tr><tr><th>Types des tâches proposées</th><th>Tâches de type A</th><th>Tâches de type B</th></tr></thead><tbody><tr><th scope="row">Objectif</th><td>« Créer une collection d'objets dont le cardinal donné est sous forme chiffrée ou par représentation de constellation »</td><td>« Créer une collection équipotente à une autre avec éloignement dans l'espace des deux collections »</td></tr><tr><th scope="row">Nombre de séances filmées</th><td>8</td><td>20</td></tr><tr><th scope="row">Périodes</th><td>Novembre 2012 à Juin 2013</td><td>Février 2013 à Juin 2013</td></tr></tbody></table>

Au cours de cette première année, nous avons retenu 28 des séances filmées, sur le critère que le film comporte à la fois le début et la fin de la séance, dont 8 correspondants aux tâches de type A et 20 aux tâches de type B. Élodie a traité ces deux types de tâches en alternance : les
tâches de type A entre novembre 2012 et juin 2013, et les tâches de type B entre février et
Juin 2013.

3.2.1. Tâches de type A : Créer une collection d'objets dont le cardinal est égal à un nombre donné sous forme chiffrée ou par représentation de constellations

La création d'une collection d'objets dont le cardinal est égal à un nombre donné est un type
de tâches un peu plus exigeant que celui qui consiste à dénombrer une collection d'objets
donnée. L'élève doit en effet mémoriser le nombre d'objets qu'il doit atteindre, tout en
dénombrant ces objets. Les tâches relevant de ce type se distinguent par la manière dont le
cardinal est communiqué à l'élève (il peut être dit ou donné par écrit sous forme chiffrée ou
par une représentation organisée ou non sous forme de constellation connue comme celles des
doigts de la main ou des dés). Elles se distinguent aussi par la permanence éventuelle de ce
cardinal, c'est le cas s'il est donné sous forme écrite et que les objets de la collection sont près
du support écrit, en revanche ce n'est pas le cas si le nombre est donné oralement ou si les
objets à récupérer sont loin du support écrit indiquant le cardinal à atteindre. Elles se
distinguent enfin par des variables matérielles comme la taille des objets, la possibilité
éventuelle de les déplacer, le fait que les objets soient distinguables ou non, etc.

3.2.1.1. *Les différentes tâches et leur contexte*

L'objectif d'Élodie pour ce premier type de tâches a d'abord été de tester les acquis de Julien sur de petites quantités allant jusqu'à 5. Ce fut pour l'enseignante une façon de faire un état des lieux des connaissances de Julien en proposant une mobilisation de ses connaissances antérieures.

Pour aborder les tâches de type A, Élodie propose trois contextes d'apprentissage proches de ceux que connaît Julien et que nous détaillons plus loin : « Jetons et boites à compter », « Petites voitures et places de parking » et « Les cailloux ». Nous effectuons l'analyse des tâches correspondant à ces différents contextes en respectant l'ordre chronologique dans lequel elles ont été proposées à Julien.
3.2.1.1.1. Tâches de type A dans le contexte des « Jetons et boites à compter »

L'enseignante a choisi d'utiliser des jetons et des boites à compter que Julien avait déjà manipulés lors de séances antérieures. Les boites à compter sont composées de 5 compartiments alignés. Au-dessus de chacun d'eux, des cartes comportant des nombres ou des constellations peuvent être affichées pour représenter les quantités à constituer (nombres de 1 à 5). Ces constellations sont celles qui sont représentés sur les dés ou les dominos. Dans le cas où ce sont des constellations qui sont affichées, l'enseignante propose cinq exemples et donc une seule boite à compter ; en revanche dans le cas où des nombres sont affichés, l'enseignante propose dix exemples et met donc deux boîtes à compter à disposition de Julien. Une photographie illustrant le matériel proposé par l'enseignante pour ce type de tâches est présentée ci-après :
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 5 : Boîtes à compter numérotées par constellations ou par chiffres proposées dans le contexte des « Jetons et boites à compter » (Tâches de type A, 1ère année)</figcaption></figure>

La question posée par l'enseignante est la suivante : « *Combien de jetons peux-tu mettre dans cette boîte à compter ?* ». Cette question est fermée, mais la mise en œuvre d'un dénombrement n'est pas explicite. Par cette question qui lui a déjà été posée maintes fois auparavant, Julien sait que l'enseignante attend aussi qu'il remplisse chaque compartiment de la boîte à compter en fonction de la carte affichée. Julien sait également qu'il ne lui est pas demandé de faire seul le travail pour tous les compartiments de la boîte, mais de les traiter un par un et de passer d'un compartiment au suivant seulement lorsque le travail effectué sur un compartiment a été validé.
On comprend ici que l'enseignante verbalise la consigne à l'aide d'une question courte
utilisant un vocabulaire restreint et souvent répété afin d'éviter à Julien d'avoir à se confronter
à des phrases trop complexes pour lui alors qu'elle peut supposer qu'il est capable de réaliser
les tâches proposées.

3.2.1.1.2. Tâche de type A dans le contexte des « Petites voitures et places de parking »

Ce qui différencie ce contexte du précédent est que les jetons sont remplacés par des petites
voitures en plastique. L'enseignante ne proposera pas d'indiquer le nombre de voitures avec
des cartes représentant des constellations, mais uniquement par des nombres sous leur écriture
chiffrée. En outre, Julien ne devra remplir, pour réaliser la tâche, qu'une seule boîte à
compter. Par ce contexte, l'enseignante permet à Julien, qui joue souvent avec ces petites
voitures, de donner du sens au fait d'en mettre un certain nombre dans les compartiments
qu'elle appelle « places de parking » pour renforcer le lien avec le contexte des petites
voitures. Une photographie illustrant ce matériel est proposée ci-dessous.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 6 : Boites à compter numérotées et petites voitures colorées proposées dans le contexte des « Petites voitures et places de parking » (Tâches de type A, 1ère année)</figcaption></figure>

La photographie montre que les voitures sont de couleurs différentes alors que les jetons ne
l'étaient pas. Nous reviendrons sur ce changement, qui constitue un jeu sur les variables
didactiques de la situation, au moment de l'analyse *a priori* des tâches proposées à Julien par l'enseignante.

Dans ce contexte, la question posée par l'enseignante est la même que dans celui des jetons, si ce n'est qu'elle remplace le terme de « jeton » par celui de « petite voiture ». Elle ne remplace pas, en revanche, le terme de « boîte à compter » par « place de parking, sans doute afin d'effectuer le moins de modifications possibles (cognitivement parlant) pour aider Julien à reconnaître la tâche à réaliser.

3.2.1.1.3. Tâche de type A dans le contexte « Les cailloux »

Dans le troisième contexte proposé pour ce même type de tâches, le seul changement par rapport à celui des petites voitures consiste dans le remplacement de ces dernières par des cailloux. L'enseignante a choisi de faire travailler Julien avec de vrais cailloux, qui se ressemblent beaucoup par leur forme, leur taille et leur couleur, mais qui, dans le détail, sont tous différents. Cet aspect du matériel, déjà évoqué pour les petites voitures, sera repris lors de l'analyse *a priori*. La photographie suivante illustre ce matériel :

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 7 : Boites à compter numérotées et cailloux proposés dans le contexte « Les cailloux » (Tâches de type A, 1ère année)</figcaption></figure>

Pour des raisons déjà explicitées, la question posée par l'enseignante est toujours la même, seul le matériel change d'un contexte à l'autre et le terme de « petites voitures » est remplacé
cette fois-ci par celui de « cailloux ». Il faut noter enfin que la taille des objets proposés est
bien compatible avec celle des compartiments dans lesquels ils doivent être placés.

3.2.1.2. Analyse a priori des tâches de type A

Afin d'éviter les répétitions inutiles, dans la mesure où les tâches de type A regroupent ici trois contextes qui ne changent principalement que par le matériel utilisé, nous proposons une seule analyse *a priori* pour ces trois contextes où nous indiquons les particularités de chacun d'entre eux. Les procédures générales à mettre en œuvre par l'élève sont précisées, puis elles sont approfondies en fonction des variables didactiques dont certaines ont déjà été évoquées lors de la présentation du matériel utilisé pour ces tâches.

De manière générale, pour toutes les tâches de type A, il s'agit pour l'élève de créer, à cinq ou à dix reprises, une collection d'objets dont le cardinal est égal à un nombre donné sous forme de constellation ou sous forme chiffrée. À cette époque Julien était âgé de neuf ans, les élèves de cet âge sont confrontés à des tâches numériques demandant des mises en fonctionnement de connaissances bien plus avancées, mais l'enseignante adapte bien sûr ses demandes aux capacités de Julien. En outre, les tâches numériques de type A ne nécessitent qu'une application simple et isolée des connaissances (Hache & Robert, 2013) dans la mesure où les cardinaux des collections à constituer sont donnés et où les objets sont disponibles à proximité. Nous verrons qu'il n'en sera pas de même pour les tâches de type B.

Deux situations matérielles sont à distinguer pour effectuer l'analyse *a priori* des tâches de type A suivant que le cardinal de la collection à constituer est donné sous forme de constellation ou sous forme chiffrée ; en outre, la nature des objets à placer dans les compartiments de la boîte à compter constitue une variable didactique dont la portée sera analysée.

3.2.1.2.1. Procédures lorsque le cardinal est indiqué par une constellation

Bien que l'enseignante demande à Julien d'indiquer le nombre de jetons à placer dans les compartiments de la boîte à compter, l'élève pourrait mettre en œuvre des procédures qui lui permettraient d'obtenir le bon nombre de jetons sans pourtant savoir combien il en a placés.

Ces procédures envisageables sont détaillées ci-après tandis que l'activité de constitution de la
collection de jetons, ou d'autres objets dans le cas des autres tâches, sera examinée dans l'analyse des tâches où le cardinal est indiqué par un nombre donné avec sa représentation chiffrée.

### Procédure de correspondance terme à terme :

Pour chaque compartiment, il apparaît possible *a priori* de pointer un élément de la constellation puis de lui associer la mise d'un jeton dans le compartiment et de continuer ainsi jusqu'à passer tous les éléments de la constellation. La correspondance terme à terme alors effectuée permettrait à Julien d'obtenir le bon nombre de jetons sans toutefois les avoir placés dans le compartiment après les avoir dénombrés.

Il faut noter que cette démarche n'est pas induite par la consigne de l'enseignante qui demande combien de jetons il faut placer dans la boîte à compter. Cette procédure ne semble donc pas celle qui pourra être mise en œuvre par l'élève. Il faut signaler en outre que cette démarche semble difficilement réalisable dans le cas de Julien compte tenu de ses difficultés praxiques : elle demande en effet de coordonner d'une part le pointage efficace des points de la constellation qui figurent sur une carte dont la surface est limitée et d'autre part le dépôt, jeton par jeton, dans le compartiment. Nous pourrons d'ailleurs constater, à l'analyse du déroulement, que les différentes tâches de type A proposée par l'enseignante correspondent à une adaptation aux difficultés, notamment praxiques, de son élève.

### Reproduction de la constellation :

Il est également envisageable que l'élève, avant de placer les jetons dans un compartiment, cherche à reproduire la constellation figurant sur la carte. Ainsi, toujours sans avoir dénombré les jetons à mettre dans la boîte à compter, Julien pourrait finalement parvenir à y placer le bon nombre de jetons. Ici encore, la procédure ne correspond pas à la consigne de l'enseignante. En outre elle suppose que Julien soit capable d'effectuer le travail en deux étapes : constituer la collection de jetons analogues à la constellation puis mettre cette collection dans le compartiment correspondant. Une telle procédure qui ne pose pas beaucoup moins de difficultés praxiques que la précédente pourrait être observée dans le déroulement.

### Reconnaissance de la quantité par subitizing :

Lorsque la constellation représente un nombre au plus égal à trois, l'élève pourrait reconnaitre (visuellement) directement la quantité et utiliser cette reconnaissance immédiate pour prendre
autant de jetons qu'indiqués. Notons qu'ainsi, il n'est pas obligatoire, même si cela demeure
possible, que l'élève associe le mot-nombre correct à cette quantité perçue. Dans ce cas,
l'élève répondrait exactement à la consigne de l'enseignante, ce qui semble envisageable
compte tenu des connaissances de Julien.

Dénombrement des points de la constellation pour déterminer la quantité :

Lorsque le cardinal est indiqué par une constellation, si l'élève ne la reconnaît pas et si la quantité dépasse les trois unités, il lui reste possible de dénombrer les points de la constellation. Il faut remarquer d'une part que cette procédure est coûteuse pour Julien compte tenu de ses difficultés praxiques car, comme cela a déjà été indiqué, la surface des cartes n'est pas très grande. D'autre part, puisque les points de la carte ne sont pas déplaçables, l'énumération nécessaire au dénombrement de ces points pose des difficultés d'organisation qui peuvent se révéler trop importantes pour cet élève.

Reconnaissance de la constellation pour déterminer la quantité :

Enfin, lorsque le cardinal est indiqué par une constellation, il est envisageable que l'élève
reconnaisse la quantité indiquée. S'il connaît les mots-nombres associés à ces quantités, il
pourra répondre à la question posée par l'enseignante avant de tenter de constituer la
collection de jetons à placer dans la boîte à compter. Comme annoncé en amont, cette dernière
étape du travail est détaillée dans l'analyse des tâches où la quantité est donnée par une carte
indiquant le nombre sous sa forme chiffrée.

Les procédures qui viennent d'être décrites, la dernière mise à part, ne peuvent pas être
envisagées si la carte comporte un nombre avec son écriture chiffrée, le choix d'afficher une
constellation ou un nombre sous forme chiffrée constitue donc une variable didactique
importante dans la détermination du cardinal de la collection d'objets à placer dans la boîte à
compter.

3.2.1.2.2. Procédures lorsque le nombre est indiqué par une écriture chiffrée

Lorsque le cardinal de la collection à constituer est indiqué par une carte représentant une constellation reconnue par l'élève ou représentant un nombre sous sa forme chiffrée, la tâche restant à réaliser est la constitution de la collection d'objets qu'il faudra placer dans le
compartiment de la boîte à compter. Avant d'analyser l'activité correspondante, il faut préciser qu'il est envisageable que la reconnaissance de la constellation ou de l'écriture chiffrée soit erronée, mais que toutefois la constitution de la collection soit cohérente avec le cardinal annoncé. Les connaissances sous-jacentes à la reconnaissance du nombre et à la constitution de la collection sont en effets différentes. Un élève pourrait ainsi dire « quatre » alors que le nombre affiché est « cinq » et réaliser une collection de quatre objets, conformément au nombre qu'il avait annoncé. L'activité de constitution de la collection devrait alors être considérée comme correcte bien que ne correspondant pas au nombre affiché.

Il reste que l'activité de constitution d'une collection connaissant son cardinal peut prendre différentes formes qui dépendent en partie de la nature des objets qui composent la collection, la nature de ces objets constituant ainsi une deuxième variable didactique de la situation. Le fait que les objets à placer dans les compartiments soient proches ou éloignés de la boîte à compter constitue une troisième variable didactique qui ne sera pas examinée ici car l'enseignante a choisi de laisser les objets à côté de la boîte à compter.

Les difficultés praxiques de Julien imposent une attention très particulière à l'activité de constitution de la collection à placer dans le compartiment pour un élève de cet âge. Il est donc essentiel de s'attarder sur l'activité d'énumération après avoir noté l'importance, comme pour tout élève et pour Julien en particulier, de la connaissance de la comptine numérique.

## Placement des objets un par un dans la boîte à compter :

Une première procédure envisageable est que l'élève place les objets un par un dans le compartiment de manière synchronisée à l'énoncé de la suite verbale numérique. Dans le cas particulier de Julien le fait de placer les objets dans le compartiment peut poser des difficultés autres que la difficulté classique de synchronisation du geste et de la récitation de la suite des nombres. Le premier d'entre eux est la préhension des objets qui par leur forme ou par leur taille peut être plus ou moins aisée (Julien peut ne pas parvenir du premier coup à se saisir d'un objet ou en prendre plusieurs en une seule fois), vient ensuite le fait de placer l'objet dans le compartiment et non pas à côté. Tout échec partiel pouvant constituer une source d'erreur et de découragement chez cet élève.