которой может быть написан с помощью двух свободных генераторов $a$ и $b$ в следующем сокращённом виде: $a^{n_1}b^{n_2}...a^{n_k}b^{n_k}$, где $k = 1, 2, ..., a_{n_1}$ и $a_{n_k}$ пробегают значения 0, ±1, ±2, ... и $a^0 = b^0 = c$.

Группа $G$, очевидно, не коммутативна, так как напр. $ab \neq ba$ вследствие одновначности сокращённого вида всякого её элемента. Отображение $\omega$, определённое в ней формулой

$$ \omega(a^{n_1}b^{n_2}...a^{n_k}b^{n_k}) = a^{-n_1}b^{-n_2}...a^{-n_k}b^{-n_k}, $$

является автоматрфизмом с единственной пеподвижной точкой $c$.

Конечно, нельзя заключать по этому примеру, что и в случае непрерывных сократимых операций, определённых для действительных чисел, односторонняя автодистрибутивность не влечёт за собою двусторонней: она влечёт за собой двустороннюю, если только операция дифференцируема.

3. Из теоремы 4 видно, что можно ожидать решения уравнения автодистрибутивности приведением его к уравнению бисимметрии, поскольку выполнены условия квазигруппы. В § 2 было осуществлено на деле такое приведение, даже при гораздо более общих условиях. Именно, вместо разрешимости уравнения $x \cdot y = z$ предполагалась лишь двусторонняя сократимость.

## ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1] Я. Ацель (J. Acsél), *О теории средних*, Coll. Math. 4 (1956), стр. 33-55.

[2] — On mean values, Bull. Amer. Math. Soc. 54 (1948), стр. 392-400.

[3] Л. Фукс (L. Fuchs), On mean systems, Acta Math. Hung. 1 (1950), стр. 303-320.

[4] М. Госсу (M. Hosszú), On the functional equation of autodistributivity, Publicationes Mathematicae 3 (1953), стр. 83-87.

[5] В. Кнастер (B. Knaster), Sur une équivalence pour les fonctions, Coll. Math. 2 (1949), стр. 1-4.

[6] Д. Ц. Мурдох (D. C. Murdoch), Structure of Abelian quasi-groups, Trans. Amer. Math. Soc. 49 (1941), стр. 392-409.

[7] Ц. Рыкль-Нардзевский (C. Ryll-Nardzewski), Sur les moyennes, Studia Math. 11 (1949), стр. 31-37.

Reçu par la Rédaction le 2. 7. 1956

## SUR CERTAINES REPRÉSENTATIONS DES FONCTIONS D'ENSEMBLE À VARIATION BORNÉE (I)

(INTÉGRALE INDÉFINITE - FONCTION D'ENSEMBLE)

PAR
J. POPRUVENKO (ŁÓDŹ)

1. Fonctions d'ensemble à variation bornée. Désignons par $\mathcal{M}$ un espace abstrait, par $E$ un sous-ensemble variable de $\mathcal{M}$, par $\mathcal{M}$ un $\sigma$-corps (= famille $\sigma$-additive et complémentative) d'ensembles de $\mathcal{M}$.

Soit $F(E)$ une fonction réelle, d'ensemble définie dans $\mathcal{M}$ et soit

$$ (1) \quad E = E_1 + E_2 + \dots + E_k, \quad E_i \in \mathcal{M}, \quad E_k E_j = 0, \quad (i \neq j). $$

Posons $\sigma = |F(E_i)| + \dots + |F(E_k)|$ et $V_F(E) = \sup\{\sigma\}$, cette borne étant prise par rapport à toutes les décompositions de $E$ de la forme (1).

DÉFINITION. Une fonction $F(E)$ sera dite à variation bornée dans $\mathcal{M}$ lorsque $V_F(E) < \infty$ quel que soit $E \in \mathcal{M}$.

Si $\mathcal{M}$ coincide avec la famille de tous les sous-ensembles de $\mathcal{M}$, $F(E)$ sera dite à variation bornée (comparer [1], p. 171).

La fonction $V_F(E)$, qui est définie également pour tout $E \in \mathcal{M}$, représente alors la variation totale de $F(E)$.

Notons les propriétés suivantes, faciles à vérifier:

(i₁) $E$ étant un ensemble de $\mathcal{M}$, pour qu'une fonction $F$ s'annule identiquement dans la famille de tous les ensembles de $\mathcal{M}$ contenus dans $E$, il faut et il suffit que $\text{von ait } V_F(E) = 0$.

(i₂) La fonction $V_F(E)$ est à variation bornée en même temps que $F(E)$.

(i₃) $V_F(E)$ est une fonction monotone non décroissante de l'ensemble $E$.

(i₄) Une fonction à variation bornée dans $\mathcal{M}$ y est bornée.

(i₅) Une fonction additive dans $\mathcal{M}$ y est à variation bornée.

2. Théorème de décomposition. Désignons par $\mathfrak{S}$ la famille de tous les ensembles $\mathcal{H}$ de $\mathcal{M}$ pour lesquels la relation $\mathcal{Z} \subset \mathcal{H}$ entraîne $\mathcal{Z} \in \mathcal{M}$. Soit $\mathfrak{B}$ un $\sigma$-corps contenu dans $\mathcal{M}$ et ayant la propriété suivante:

<footnote>(*) Quel que soit l'ensemble $\mathcal{E}$ de $\mathcal{M}$, il existe un ensemble $\mathcal{B}$ de tel que $\mathcal{B} \subset \mathcal{E}$ et $(\mathcal{E} - \mathcal{B}) \in \mathfrak{S}$.</footnote>
On voit de suite que $\mathfrak{H}$ est une famille $\sigma$-additive et héréditaire, déterminée par $\mathfrak{M}$ d'une façon univoque (qui peut d'ailleurs se réduire à l'ensemble vide seul); on voit aussi qu'il existe des familles $\mathfrak{B}$ ayant la propriété (*), car la famille $\mathfrak{M}$ elle-même en est un exemple.

Ayant choisi un $\mathfrak{B}$ quelconque, mais fixe, admettons que la fonction $F(E)$ satisfasse aux 3 conditions suivantes:

1. $F(E)$ est à variation bornée dans $\mathfrak{M}$;

2. $F(E)$ est additive pour chaque couple d'ensemble séparables ($\mathfrak{B}$)$^1$ qui appartiennent à $\mathfrak{M}$;

3. $F(E)$ est $\sigma$-additive dans $\mathfrak{B}$.

On a alors le théorème suivant:

THÉORÈME I. 1. Chaque fonction réelle $F(E)$ satisfaisant aux conditions 1º-3º est représentable sous la forme

$$ (2) \qquad F(E) = \varphi(E) + G(E), $$

où $\varphi(E)$ satisfait à l'égalité

$$ (3) \qquad \varphi(EH_0) = \varphi(E) $$

pour un certain ensemble $H_0 \in \mathfrak{H}$ et pour tout $E \in \mathfrak{M}$ et $G(E)$ est une fonction $\sigma$-additive s'annulant identiquement dans $\mathfrak{H}$.

2. Cette représentation est unique.

Démonstration. Déterminons le nombre $\lambda$ par la formule

$$ \lambda = \sup_{V_F(E)} \cdot \text{pour } E \in \mathfrak{H}. $$

Il résulte des propriétés 1º et (*) (vu $(i_2)-(i_4)$) que $\lambda$ est un nombre non négatif fini et qu'il existe un ensemble $H_0$ assujetti à la condition

$$ (4) \qquad H_0 \in \mathfrak{H} \cdot \mathfrak{B}, $$

tel que $V_F(H_0) = \lambda$. En outre, on a en vertu de $(i_3)$ et de la définition du nombre $\lambda$

$$ (5) \qquad V_F(H) = \lambda \quad \text{pour } H \supset H_0, H \in \mathfrak{H}. $$

Posons

$$ (6) \qquad \varphi(E) = F(EH_0). $$

La fonction $\varphi(E)$, définie par (6) pour tout $E \in \mathfrak{M}$, satisfait à l'égalité (3): $\varphi(EH_0) = F(EH_0 \cap H_0) = F(EH_0) = \varphi(E)$.

Cela étant, désignons par $\mathfrak{M}$ le $\sigma$-corps de tous les ensembles de $\mathfrak{M}$ contenus dans $\mathfrak{M}-H_0$.

En premier lieu, $F(E)$ s'annule pour tout ensemble de la famille $\mathfrak{H}$ contenu dans $\mathfrak{M}-H_0$; car, $H$ étant un tel ensemble, si l'on avait, pour un certain $H' \subset H'$, $F(H') \neq 0$, on aurait nécessairement $V_F(H_0+H') > V_F(H_0) = \lambda$, contrairement à (5). On a donc $F(H') = 0$.

En second lieu, la fonction $F(E)$ est $\sigma$-additive dans $\mathfrak{M}$.

Pour le montrer, donnons-nous une suite infinie $\{E_n\}$ d'ensembles de $\mathfrak{M}$, sans points communs deux à deux. Posons $E_n = B_n+H_n$ pour $n=1, 2, \dots$, où $B_n$ et $H_n$ sont choisis conformément à la propriété (*). D'après 2º on a $F(E_n) = F(B_n)+F(H_n)$, d'où, puisque $F(H_n) = 0$,

$$ (7) \qquad F(E_n) = F(B_n). $$

Pareillement, en tenant compte de la relation $B_iB_j = 0$ ($i \neq j$), on obtient en vertu des conditions 2º et 3º:

$$ \begin{align*} F\left(\sum_{n=1}^{\infty} E_n\right) &= F\left(\sum_{n=1}^{\infty} B_n + \sum_{n=1}^{\infty} H_n\right) = \\ &= F\left(\sum_{n=1}^{\infty} B_n\right) + F\left(\sum_{n=1}^{\infty} H_n\right) = F\left(\sum_{n=1}^{\infty} B_n\right) = \sum_{n=1}^{\infty} F(B_n), \end{align*} $$

d'où, en vertu de (7),

$$ F\left(\sum_{n=1}^{\infty} E_n\right) = \sum_{n=1}^{\infty} F(E_n). $$

Nous avons ainsi démontré que la fonction $F(E)$ est $\sigma$-additive dans $\mathfrak{M}$ et qu'elle s'annule pour tout ensemble de la famille $\mathfrak{H}$ appartenant à $\mathfrak{M}$. En posant

$$ (8) \qquad G(E) = F[E(\mathfrak{M}-H_0)] \quad (E \in \mathfrak{M}), $$

on obtient une fonction ayant les mêmes propriétés relativement au $\sigma$-corps $\mathfrak{M}$.

Les fonctions $\varphi(E)$ et $G(E)$ satisfont à l'égalité (2).

En effet, d'après 2º et (4), on a $F(E) = F(EH_0)+F[E(\mathfrak{M}-H_0)]$ pour tout $E \in \mathfrak{M}$; de là, d'après (6) et (8), l'égalité (2).

La première assertion de notre Théorème est ainsi démontrée.

Pour prouver la seconde, supposons que l'on ait, outre l'égalité (2), encore la formule

$$ (9) \qquad F(E) = \varphi_1(E) + G_1(E), $$

les sommandes $\varphi_1$ et $G_1$ étant soumis aux mêmes conditions que $\varphi$ et $G$. Dans ces hypothèses, l'égalité $\varphi(E)-\varphi_1(E) = G_1(E)-G(E)$ montre que la différence $\varphi(E)-\varphi_1(E)$ s'annule identiquement dans $\mathfrak{H}$; on a donc

<footnote>$^1$ Deux ensembles $E_1$ et $E_2$ sont dits séparables ($\mathfrak{B}$) lorsqu'il existe un ensemble $B$ de $\mathfrak{B}$ tel que $E_1 \subset B$ et $E_2 \subset \mathfrak{M}-B$.</footnote>
$\varphi(H) = \varphi_1(H)$ pour tout $H \in \mathfrak{S}$. Ceci étant, soit $H_1$ un ensemble de $\mathfrak{S}$ tel que $\varphi_1(EH_1) = \varphi_1(E)$ pour tout $E \in \mathfrak{M}$; il vient:

$$ \varphi(E) = \varphi(EH_0) = \varphi_1(EH_0) = \varphi_1(EH_0H_1), \\ \varphi_1(E) = \varphi_1(EH_1) = \varphi(EH_1) = \varphi(EH_1H_0), $$

d'où il résulte, d'après la relation $EH_0H_1 \in \mathfrak{S}$, $\varphi_1(E) = \varphi(E)$, donc aussi $G_1(E) = G(E)$.

Le Théorème I est démontré.

**3. Aleph inaccessibles<fnref n="2" />).** n étant un nombre cardinal indénombrable, désignons par $P(n)$ la proposition suivante:

$P(n)$ Il n'existe aucun aleph inaccessible $\le n$.

L'importance de cette proposition pour la théorie des ensembles est bien connue. Nous allons étudier les conséquences qu'elle entraîne pour les fonctions d'ensemble à variation bornée.

Soient $\mathfrak{N}$ un ensemble de puissance $n$, $X$ son sous-ensemble variable, $F(X)$ une fonction réelle définie pour tout $X \subset \mathfrak{N}$.

Démontrons le lemme suivant:

**LEMME I.** Si $F(X)$ est à variation bornée, la condition $P(n)$ entraîne l'existence d'une suite, finie où dénombrable, d'ensembles $N_0, N_1, N_2, \dots$, sans points communs deux à deux, tels que:

$$ \mathfrak{N} = N_0 + N_1 + \dots, \\ F(Z) = 0 \quad \text{pour} \quad Z \subset N_i \quad (i = 1, 2, \dots), \\ \text{et} \\ \bar{N}_0 = \mathfrak{N}_0. $$

Démonstration. Cet énoncé est une conséquence immédiate du „Théorème de recouvrement de la théorie générale des ensembles” de M. Sierpiński [6, p. 214] qu'on ne sait démonterer jusqu'à présent qu'à l'aide de l'hypothèse $P(n)$.

Pour démontrer notre Lemme, considérons la classe de tous les sousensembles $Y$ de $\mathfrak{N}$ tels que $V_F(Y) > 0$. Comme toute famille d'ensembles disjoints de cette classe est, d'après $(i_2)$ et $(i_4)$, au plus dénombrable, il existe en vertu du théorème précité une suite finie ou dénombrable d'ensembles $N_1^*, N_2^*, \dots, N_i^*, \dots$ tels que $V_F(N_i^*) = 0$, dont la somme recouvre l'espace $\mathfrak{N}$ à un ensemble dénombrable, $N_0$, près. En posant $N_i = N_i^*$ et $N_i = (N_1^* + \dots + N_i^*) - (N_1^* + \dots + N_{i-1}^*)$ pour $i = 2, 3, \dots$, on obtient, vu $(i_1)$ et $(i_3)$, une suite $N_0, N_1, \dots$ satisfaisant aux conditions du Lemme 1.

On en déduit facilement, en s'appuyant sur $(i_3)$, le

**LEMME II.** Soit $F(X)$ une fonction à variation bornée qui s'annule pour tout $X = (p)$, $p \in \mathfrak{M}$. Alors, si la proposition $P(n)$ est vraie, tout sous-ensemble $X$ de $\mathfrak{M}$ peut être représenté sous la forme d'une somme, finie ou dénombrable,

$$ (\alpha) \qquad X = X_1 + X_2 + \dots, $$

où les ensembles $X_n$, sans points communs deux à deux, satisfont à la condition

$$ (\beta) \qquad F(Z) = 0 \quad \text{pour} \quad Z \subset X_n \quad (n = 1, 2, \dots) $$

(comparer [7], p. 153, corollaire 3, première partie).

Supposons maintenant qu'une fonction $F(E)$ ($E \in \mathfrak{M}$), assujettie aux conditions 1°-3°, satisfasse en outre à la condition

$$ 4^\circ F(p) = 0 \quad \text{lorsque} \quad (p) \in \mathfrak{M}. $$

Soit $m = \bar{\mathfrak{M}}$. Démontrons le

**THÉORÈME II.** Soit $F(E)$ assujettie aux conditions 1°-4°. Alors:

1. La proposition $P(m)$ entraîne, pour la fonction $\varphi(E)$ de la formule (2), la propriété suivante:

(**) Quel que soit $E \in \mathfrak{M}$, il existe une suite $X_0, X_1, \dots$ d'ensembles satisfaisant aux conditions:

$$ (\gamma) \qquad \sum_{i=0}^{\infty} X_i = E, \quad X_i \in \mathfrak{M}, \quad X_i X_j = 0 \quad \text{pour } i \neq j; $$

$$ (\delta) \qquad \varphi(Z) = 0 \quad \text{pour} \quad Z \subset X_i, \quad Z \in \mathfrak{M} \quad (i = 0, 1, \dots). $$

2. Il existe au plus une représentation de $F(E)$ sous la forme d'une somme de deux fonctions, dont l'une satisfait à la condition (**) et l'autre s'annule identiquement dans $\mathfrak{S}$ et est $\sigma$-additive dans $\mathfrak{M}$.

Démonstration. Pour démontrer la première assertion du Théorème, reprenons la formule (6). La fonction $\varphi$, considérée comme fonction d'un sous-ensemble $X$ de $H_0$,

$$ \varphi(X) = F(XH_0) = F(X) \quad (X \subset H_0), $$

satisfait aux conditions du Lemme II avec $\mathfrak{N} = H_0$.

Supposons la proposition $P(m)$ vraie et soit $E = EH_0 + E(\mathfrak{M} - H_0)$ un ensemble quelconque de $\mathfrak{M}$. Comme $\bar{H}_0 = n \le m = \bar{\mathfrak{M}}$, le nombre cardinal $n$ satisfait sûrement à la condition $P(n)$. Donc, en appliquant Lemme II à l'ensemble $X = EH_0$, on obtient une suite d'ensembles disjoints $X_1, X_2, \dots$ satisfaisant aux conditions $(\alpha)$ et $(\beta)$. Complétons cette

<footnote n="2">²) Un aleph $\aleph_n$ est dit inaccessible s'il est régulier (c'est-à-dire s'il n'est pas somme de moins de $\aleph_n$ nombres cardinaux, dont chacun est $< \aleph_n$) et si son indice $\alpha$ est un nombre ordinal de deuxième espèce.</footnote>
suite en posant $X_0 = E(M - H_0)$; d'après (3) on aura $\varphi(Z) = 0$ pour tout $Z \subset X_0$ appartenant à $\mathfrak{M}$. Ainsi, les conditions (γ) et (δ) sont réalisées par la suite $X_0, X_1, ...$.

Vérifions maintenant la seconde assertion. Admettons que l'on ait

$$F(E) = \varphi_1(E) + G_1(E) = \varphi_2(E) + G_2(E),$$

où les fonctions $\varphi_i(i = 1, 2)$ jouissent de la propriété (**) et les $G_i(i = 1, 2)$ sont $\sigma$-additives dans $\mathfrak{M}$ et s'annulent identiquement dans $\mathfrak{H}$. Il s'en suit, comme il est facile de voir, que la fonction $\chi(E) = \varphi_1(E) - \varphi_2(E)$ est $\sigma$-additive dans $\mathfrak{M}$ et qu'elle satisfait à la condition (**) en tant que différence de deux fonctions qui y satisfont. Il en résulte que

$\chi(E)$ est identiquement nulle,

d'où l'identité $\varphi_1(E) = \varphi_2(E)$, donc aussi $G_1(E) = G_2(E)$.

Le Théorème II est entièrement démontré.

En posant dans la démonstration de la première partie $E = \mathfrak{M}$, on obtient le

**COROLLAIRE I.** La proposition P(m) entraîne l'existence d'une décomposition de Vespape M en sommandes disjoints,

$$\mathfrak{M} = X_0 + X_1 + \dots,$$

où les ensembles $X_i$ appartiennent à $\mathfrak{M}$ et satisfont à la condition

$$F(E) = G(E) \quad \text{pour } E \in X_i, E \in \mathfrak{M} \quad (i = 0, 1, 2, \dots).$$

**4. Applications analytiques.** Admettons maintenant que, dans le $\sigma$-corps $\mathfrak{M}$, il existe une mesure $\mu(E)$, finie et non identiquement nulle; admettons de plus que la famille des ensembles de mesure $\mu$ nulle coïncide avec $\mathfrak{H}$. Désignons par $M$ la classe de toutes les mesures $\mu$ ayant cette propriété<fnref n="2" />). Dans ces hypothèses la fonction $G(E)$ devient absolument continue par rapport à chaque mesure $\mu \in \mathfrak{M}$; les Théorèmes I-II entraînent alors le résultat suivant:

**THÉORÈME III.** Soit $\mu \in \mathfrak{M}$. Si la proposition P(m) est vraie, toute fonction $F(E)$ satisfaisant aux conditions 1°-4° peut être représentée – et d'une seule manière – sous la forme (2), où $G(E)$ est $\sigma$-additive dans $\mathfrak{M}$ et absolument continue par rapport à $\mu$ et $\varphi(E)$ jouit de la propriété (**).

En vertu de $(i_2)$, on en déduit le

**COROLLAIRE II.** Soit $\mu \in \mathfrak{M}$. Si la proposition P(m) est vraie, toute fonction réelle $F(E)$ qui est $\sigma$-additive dans $\mathfrak{M}$ et qui s'annule pour tout ensemble $(p)$ de $\mathfrak{M}$ composé d'un seul point est absolument continue dans $\mathfrak{M}$ par rapport à la base $\mu$.

Car, dans ces conditions, la fonction $\varphi(E)$, qui est alors également $\sigma$-additive, disparaît identiquement en vertu de la propriété (**). On a donc d'après (2): $F(E) = G(E)$.

D'après les recherches fondamentales de M. O. Nikodym sur l'intégration dans les espaces abstraits, toute fonction $\sigma$-additive qui est absolument continue dans $\mathfrak{M}$ par rapport à une base quelconque peut être représentée sous la forme d'une intégrale indéfinie, et réciproquement (voir [3], surtout p. 179, Théorème IV).

Ce résultat, réuni au Corollaire II, entraîne le théorème suivant:

**THÉORÈME IV.** 1. Pour qu'une fonction réelle $F(E)$ définie dans $\mathfrak{M}$ soit représentable sous la forme d'une intégrale indéfinie, il faut et il suffit qu'elle soit $\sigma$-additive dans $\mathfrak{M}$.

2. Si la proposition P(m) est vraie, la condition nécessaire et suffisante pour que $F(E)$ soit représentable sous la forme d'une intégrale indéfinie prise par rapport à une base $\mu \in \mathfrak{M}$ est qu'elle soit $\sigma$-additive dans $\mathfrak{M}$ et qu'elle s'annule pour tout ensemble $F = (p)$ de $\mathfrak{M}$ composé d'un seul point.

Démonstration de 1. Si $F(E)$ est $\sigma$-additive dans $\mathfrak{M}$, il en est de même de la fonction $\beta(E) = V_F(E)$; de plus, la relation $\beta(E) = 0$ entraîne $F(E) = 0$, ce qui exprime que $F(E)$ est absolument continue par rapport à la base $\beta$. Il existe donc, comme l'a démontré M. Nikodym, une fonction $f(p)$ ($p \in \mathfrak{M}$), mesurable par rapport au $\sigma$-corps $\mathfrak{M}$, telle que

$$F(E) = \int_{\mathbb{E}} f(p) d\beta.$$

D'autre part, la $\sigma$-additivité d'une intégrale indéfinie prise par rapport à une base quelconque est un fait élémentaire de la théorie de l'intégration.

Démonstration de 2. L'hypothèse P(m) admise, la suffisance de nos conditions résulte directement du Corollaire II, rapproché du théorème de M. Nikodym cité plus haut.

Pour en établir qu'elles sont nécessaires, il suffit de montrer que $F((p)) = 0$ lorsque $(p) \in \mathfrak{M}$. Or la relation $(p) \in \mathfrak{M}$ entraîne nécessairement $(p) \in \mathfrak{H}$, ce qui donne, pour chaque mesure $\mu$ appartenant à $\mathfrak{M}$, $\mu((p)) = 0$; il en résulte

$$F((p)) = \int_{(p)} g(q) d\mu = 0.$$

Le Théorème IV est ainsi démontré.

<footnote n="2">²) Remarquons que si la proposition P(m) est vraie, toute mesure extérieure $\mu^*(E)$, finie et non identiquement nulle, ayant $\mathfrak{M}$ pour $\sigma$-corps d'ensembles mesurables $\mu$, y détermine une mesure $\mu$ appartenant à $\mathfrak{M}$.</footnote>
Les intégrales qui figurent dans ces énoncés sont prises au sens de Radon-Nikodym.

Les résultats qui viennent d’être établis sont vrais pour chaque mesure de Carathéodory qui s’annule en tout point, donc aussi pour la mesure de Lebesgue (comparer [4], p. 40-45).

Tirons une conséquence de cette dernière remarque.

Interprètons $\mathcal{M}$ comme l'intervalle $0 \le x \le 1$ et soit $\mathcal{M}$ le $\sigma$-corps de tous les ensembles mesurables ($L$) de cet intervalle; supposons $F(E)$ $\sigma$-additive dans $\mathcal{M}$ et satisfaisant à la condition $F((x)) = 0$ pour tout $x \in \mathcal{M}$; enfin, soit (2) la décomposition canonique de Lebesgue de la fonction $F(E)$ (voir p. ex. [5], p. 33-35, aussi [2], p. 419-424).

Alors, si l'hypothèse $P(2^{\aleph_0})$ est vraie$^4$, deux cas seulement peuvent se présenter: ou bien $\varphi(E)$ est identiquement nulle, quelle que soit $F(E)$ satisfaisant aux conditions posées tout à l'heure; ou bien il existe un aleph inaccessible $\le 2^{\aleph_0}$.

## TRAVAUX CITÉS

## INSTITUT MATHÉMATIQUE DE L'ACADÉMIE POLONAISE DES SCIENCES

Reçu par la Rédaction le 6. 4. 1956

# REMARQUES SUR LES MESURES DANS LES ESPACES PRODUITS

PAR

N. DINCULEANU (BUCAREST)

1. Soit $K$ un ensemble d'indices et pour tout $s \in K$ soit $X_s$ un espace et $T_s$ une tribu$^1$) de parties de $X_s$. Soit $E$ l'espace produit $\bigcup_{s \in K} X_s$ et, pour toute partie finie $I \subset K$, soit $E^I$ l'espace produit $\bigcap_{s \in I} X_s$ et $T^I = \bigcap_{s \in I} T_s$ la tribu engendrée par les parties de la forme $\bigcap_{s \in I} A_s$, où $A_s \in T_s$ pour tout $s \in I$. Soit $P(A)$ une mesure d'finie sur le clan$^2$) $T$ des parties cylindriques, dénombrablement additive sur la tribu $\text{pr}_T^{-1}(T^I)$ quelle que soit la partie finie $I \subset K$. On sait que, sous certaines conditions supplémentaires ([3], [5], [6], [7]), $P(A)$ est d'nombrablement additive sur $T$. Dans cette note on démontre deux théorèmes analogues aux théorèmes (A) et (B) de [5].

2. Soient $E$ l'espace et $T$ le clan d'finis plus haut, et $P(A)$ une mesure d'finie sur $T$, d'nombrablement additive sur la tribu $\text{pr}_T^{-1}(T^I)$ quelle que soit la partie finie $I \subset K$. Pour toute partie finie $I \subset K$ et $t \in K$, il existe ([2], p. 95-96) une mesure conditionnelle $P(z^I, \text{pr}_t^{-1}(A_t))$ définie sur $E^I \times T_t$, qui vérifie pour tout $M \in T^I$ les égalités

$$ \int_M P(z^I, \text{pr}_t^{-1}(A_t)) P_I(dz^I) = P(\text{pr}_T^{-1}(M) \cap \text{pr}_t^{-1}(A_t)), $$

où $z^I \in E^I$ et $P_I(A) = P(\text{pr}_T^{-1}(A))$ pour tout $A \in T^I$.

On dit qu'une mesure conditionnelle $P(z^I, \text{pr}_t^{-1}(A_t))$ est régulière par rapport aux tribus $(S^I, S_t)$, où $S^I \subset T^I$ et $S_t \subset T_t$, s'il existe une fonction $P(z^I, A_t)$ définie sur $E^I \times S_t$ telle que:

(a) $P(z^I, A_t)$ est $(S^I)$-mesurable comme fonction de $z^I$, quel que soit $A_t \in S_t$;

(b) $P(z^I, A_t)$ est dénombrablement additive comme fonction de $A_t$, quel que soit $z^I \in E^I$;

<footnote>[1] S. Banach, *Sur une classe de fonctions d'ensemble*, Fund. Math. 6 (1924), p. 170-188.</footnote>

<footnote>[2] H. Hahn, *Theorie der reellen Funktionen*, Berlin 1921.</footnote>

<footnote>[3] O. Nikodym, *Sur une généralisation des intégrales de Radon*, Fund. Math. 15 (1930), p. 131-179.</footnote>

<footnote>[4] J. Popruženko, *Sur la représentation analytique de certaines classes de fonctions additives d'ensemble*, Bull. Acad. Pol. Sci., Classe III, Série A (1940-1946), p. 35-49.</footnote>

<footnote>[5] S. Saks, *Theory of the integral*, Warszawa 1937.</footnote>

<footnote>[6] W. Sierpiński, *Sur un théorème de recouvrement dans la théorie générale des ensembles*, Fund. Math. 20 (1933), p. 214-220.</footnote>

<footnote>[7] A. Tarski, *Drei Überdeckungssätze der allgemeinen Mengenlehre*, ibidem 30 (1938), p. 132-155.</footnote>

<footnote>[8] S. Ulam, *Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre*, ibidem 16 (1930), p. 140-150.</footnote>

<footnote>$^4$ Cette hypothèse a été introduite par M. Ulam (voir [8], p. 140-141).</footnote>

<footnote>$^1$ Une $\sigma$-algèbre dans la terminologie de P. Halmos [3]. Voir aussi [5].</footnote>

<footnote>$^2$ Une algèbre d'après Halmos [3]. Voir aussi [5].</footnote>