<figure><img src="image_91.png" /><figcaption>Fig. 2: Global and local reference frames for the computation of the vector field distribution at $\mathbf{r}$, radiated by a source centered over $\mathbf{r}_s$.</figcaption></figure>

A Gaussian pulse will be used throughout the paper, with a Fourier spectrum

$$P(\omega) = e^{-(\omega-\omega_c)^2/2B_e^2}, \quad (4)$$

with $B_e$ the equivalent bandwidth of the pulses.

In order to orient the main lobe along any direction $\hat{r}_{inc}$, with arbitrarily oriented polarization, (3) is considered as defined within the local reference frame shown in Fig. 2 in grey with primed quantities, reoriented with respect to the global reference frame through a rotation matrix $\mathbf{R}$.

The spherical unit vectors $\hat{u}_i(\mathbf{r})$ of the global reference frame are juxtaposed into a matrix $\mathbf{U}(\mathbf{r})$, and the same is done for the unit vectors $\hat{u}'_i(\mathbf{r}')$ of the local reference frame into a matrix $\mathbf{U}'(\mathbf{r}')$. The local-frame field $\mathbf{E}'(\mathbf{r}')$ then appears to the global frame as $\mathbf{R}\mathbf{E}'(\mathbf{r}')$ and can be decomposed into the global unit-vector representation as

$$\mathbf{E}_s(\mathbf{r}, \omega) = \mathbf{U}^{\mathrm{T}}(\mathbf{r}) \mathbf{R} \mathbf{U}'(\mathbf{r}') \mathbf{E}'_s(\mathbf{r}', \omega), \quad (5)$$

knowing that $\mathbf{E}'_s(\mathbf{r}', \omega) = \mathbf{E}_s(\mathbf{r}', \omega)\hat{\varphi}$, as of (3); T is the matrix transpose.

Since (3) makes use of the scalar Green's function, it can only account for far-field radiation. This is not an issue, since the source-radiated field distribution over the auxiliary surfaces has a relay role, as recalled in Sec. II.

Eq. (3) is also needed in order to predict the reference (theoretical) field distribution that GTR is expected to produce. It can be computed by using a plane-wave spectrum (PWS) representation of the radiated field, which corresponds to the far-field radiation [18], and thus coincides with (3) as sampled over a spherical surface centered at the origin of the global reference frame. The value chosen for the radius $R$ of this test surface has no impact on the PWS computation, as long as $R$ is much larger than the radii of the auxiliary surfaces.

The refocused field distribution can then be computed by switching the direction of the plane waves from outbound to inbound, yielding

$$\mathbf{E}_{\mathrm{GTR}}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{2\pi} \int d\omega \, e^{j\omega t} \int d\hat{\mathbf{k}} \, \mathbf{E}_s^*(\mathbf{R}\hat{\mathbf{k}}, \omega) e^{j\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}, \quad (6)$$

<figure><img src="image_92.png" /><figcaption>Fig. 3: The hemispherical field scanner with the excitation antenna (a) and the electro-optical probe (b) used during the experimental validation. Notice that the scanner has two arms, one mobile and the other used as a mechanical support, passing through the $xy$ plane.</figcaption></figure>

with $*$ the complex conjugation, $k$ the propagation constant and $\hat{k}$ the direction of propagation of each plane wave composing the wavefront. The integration over $\hat{k}$ is limited to the directions covered by the auxiliary surfaces, in this case only the $2\pi$ steradian of the upper half space, i.e., the region spanned by the field scanner described in Sec. IV.

## IV. EXPERIMENTAL SETUP

Experimental tests were based on the setup shown in Fig. 3. It consisted of a reverberation chamber, of dimensions $6 \times 3.5 \times 2.5 \, \mathrm{m}^3$, made of galvanised steel. A mechanical stirrer is present but not rotated during the tests, in order to have a static environment, which is a fundamental requirement in order to ensure the best performance in a complex environment [20]. A stirrer can still be of practical interest, as it effectively reduces degeneracies in the modal response of a medium, as due to symmetries.

The electric Green's function, underpinning the synthesis of the excitation signals discussed in Sec. II, is sampled thanks to a dielectric robot. The robot was designed in order to weakly perturb a propagation medium as it moves a probe over a hemispherical surface [21]. The radius of this surface is equal to 1.18 m and can be modified manually, by operating on the probe holder, in order to sample the electric Green's function over two concentric surfaces, as required by Sec. II.

The electric field tangential to the hemispherical surface was sampled with an electro-optical probe, manufactured by Enprobe (model EFS-105). These probes have a flat frequency response up to 3 GHz and are sensitive to phase shifts, making them capable of capture information necessary for time-domain analysis. They are also linearly polarized, with a cross-polarization rejection higher than 40 dB. The $\vartheta$ and $\varphi$ tangential scalar components of the electric field were sampled by repeating the scan after rotating the probe by 90 degrees.

Choosing a frequency range for these experiments is a critical decision. On the one hand, increasing frequency enables
<figure><img src="image_93.png" /><figcaption>Fig. 4: Layout of the scanned planar area, as part of the xy plane.</figcaption></figure>

the synthesis of finer focal spots, which would be interesting to test as capable of higher spatial resolution; on the other hand, the robot would introduce stronger perturbations and thus risk degrading the coherence of the field [21]: it would then be harder to understand if errors were due to limitations in GTR or perturbations from the robot. Moreover, the frequencies should be chosen as to ensure that the chamber stays diffusive, i.e., avoiding extended frequency regions where no resonant mode is accessible. For the above chamber, a minimum frequency of about 500 MHz can be considered as safe in this respect, as modal overlapping, partly enabled by moderate losses, ensures that enough degrees of freedom are available [22]. These considerations should be regarded as a conservative requirement, being based on the behaviour of a reverberation chamber excited by a single harmonic signal. As TR applications cover bandwidths that would span a large number of resonant modes of a chamber, standard requirements for modal overlapping can be relaxed. Losses also have an impact on the efficiency of TR and GTR, as they directly control the intensity of the generated wavefront for a given input peak power [10].

For our experiments we settled for the bandwidth 1.5 ÷ 2.5 GHz as a good compromise between spatial resolution and robot perturbation. The two hemispherical surfaces were then set 3.5 cm apart, i.e., about a quarter of wavelength at 2 GHz; this choice ensures that for all the frequencies considered the sampled field distributions will be maximally uncorrelated, in order to avoid any redundancy [23]. The angular sampling was set to 2 degrees, corresponding to a spatial sampling of about 4 cm, in order to have data close enough to ensure a meaningful spatial interpolation. Robot movements are fully automated and controlled through an optical-fiber interface linked to a personal computer.

A single excitation antenna was used, close to the stirrer, as visible in Fig. 3. The antenna was a conical monopole, about 30 cm about the metallic floor, set obliquely. In fact, because of the diffusive nature of waves propagating in the chamber, the features of the antenna have no importance on the final results, though different excitation signals would then be needed (see Sec. II); the orientation chosen was in fact motivated by the need to avoid any symmetry in the setup, which could reduce the number of degrees of freedom on the field.

Transfer functions between the antenna and the field probe were measured by means of a vector network analyzer (Rohde & Schwarz ZVB8). Frequency sampling needs to be chosen carefully, in order to avoid time aliasing, due to the relatively long relaxation time of the chamber, around 1 µs; 5000 frequency samples were acquired, with a step of 200 kHz, thus a maximum time window of 5 µs.

The data thus collected were used for the synthesis of the excitation signals, using (2). Equally important are the data needed in order to image the field distributions generated by these excitation signals. In order to avoid scanning a surface for each excitation signal used, as it would be necessary for a time-domain excitation, we rather used a two-step approach, requiring a post-processing phase. The idea is again to sample the electric Green's function but this time over the surface over which the wavefront generated with GTR is to be imaged. These samples are therefore no longer used for synthesis, but rather for checking the accuracy of theoretical predictions. Knowing these samples, later referred to as $Π(r, ω)$, the field distributions can be computed as explained in Sec. V.

To this effect, a styrofoam block was introduced, oriented as to have one of its surfaces tangent to the xy plane, hereafter referred to as the planar monitor. It was used for holding the electro-optical probe over a Cartesian grid graved over its surface; the sampling distance was set to 3.1 cm. The region shown in Fig. 4 was manually scanned, measuring the two tangential polarizations at each point. The normal component was not measured, since it was already proven that time-reversed wavefronts excited in a reverberation chamber present the same accuracy in the three field components, independently of the source used [24].

## V. IMAGING WAVEFRONTS

Given the transfer functions $Π(r, ω)$ between the excitation antenna and a position $r$ over the planar monitor, the time-domain field generated by an excitation signal $x(t)$ with a Fourier spectrum $X(ω)$ can be retrieved by computing

$$E(r, t) = \frac{1}{2\pi} \int d\omega \, \Pi(r, \omega) X(\omega) e^{j\omega t}. \quad (7)$$

The analysis of the accuracy of the wavefronts generated by GTR is based on sources with $\psi_s = 40$ degrees (see Sec. III); Sec. VI-C also considers the case $\psi_s = 10$ degrees. The angular distributions of these two wavefronts, i.e, the modulus of their PWS, are shown in Fig. 5.

Apart from Sec. VI-C, all the results involve wavefronts evolving in time as Gaussian pulses with $B_e = 500$ MHz, in order to ensure a high contrast between the coherent wavefronts and the background diffuse contribution. The rationale is to create the conditions for judging unambiguously if the wavefronts generated with GTR do indeed evolve as in free-space conditions. The effects of reducing the bandwidth and/or the focusing power are discussed in Sec. VI-C, where they are shown to be two facets of the same problem.

In this section we first consider the generation of a Gaussian wavefront propagating along the direction $\vartheta = \varphi = 90$ degrees, towards the floor. Its polarization is set to be tangent
<figure><img src="image_94.png" /><figcaption>Fig. 5: Angular distribution of the Gaussian beams used throughout the experimental validation: (a) $\psi_s = 40$ degrees, (b) $\psi_s = 10$ degrees.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_95.png" /><figcaption>Fig. 6: An example of excitation signals obtained with GTR, for the wavefronts shown in Fig. 11, for a normal incidence along the *y* axis (top figure) and an oblique one, tilted by 40 degrees along the *xy* plane (bottom figure).</figcaption></figure>

to the planar monitor, i.e., to the plane xy, or a $\hat{\varphi}$-polarized wave. The focus is set in the center of the imaged region.

Combining the data collected with the setup described in Sec. IV together with the theoretical wavefront distribution at the auxiliary surfaces $\Sigma_i$ as in (2), we obtained the excitation signals expected to reproduce the wavefront within the chamber. Two examples of such signals are presented in Fig. 6, encoding the information needed for generating focusing wavefronts along two directions of incidence. They share the same envelope, as this is directly controlled by the relaxation response of the medium.

Rather than synthesizing these signals in time domain and injecting them into the chamber through the antenna, we proceeded as explained at the beginning of this section. The field distribution over the planar monitor was then computed at a few time instants, in order to observe the focusing wavefront as it approaches the focal region.

Figs. 7 and 8 present the evolution of the $E_x$ component of the field, respectively theoretically and experimentally. The results closely agree both in the time and space evolution.

<figure><img src="image_96.png" /><figcaption>Fig. 9: Distributions of the horizontal ($E_x$) and vertical ($E_y$) field components expected (left column) and measured (right column) at $t = 0$. Linear correlation between the theoretical and experimental results is 97% for $E_x$ and 94% for $E_y$. Results normalized to the peak of the norm of the respective electric fields.</figcaption></figure>

The existence and intensity of the background fluctuations can be appreciated in Fig. 8 for $t = -5$ ns, when the wavefront is expected to be negligible. The field distribution then resembles closely a speckle distribution, with cells about half a wavelength wide.

The coherent evolution of the generated wave is further confirmed in Fig. 8 at $t = 3$ ns, where the distribution matches that of a wavefront reflected by the floor and moving back upwards. The divergence and delay are in good accordance with the total distance travelled from the focus.

Hereafter only results for $t = 0$ will be discussed. The focal instant can be regarded as the most important one, as it shows the wavefront that would impinge onto an system if it was present in the chamber in the first place, also during the sampling of Green's functions. It would be impossible to image the impinging field distribution in this last case, since the scattered field would overlap with it; tests carried out in the conditions described in this paper therefore provide precious information for the definition of applications that could benefit from GTR performance.

Fig. 9 shows the two measured field components for $t = 0$, compared to those expected for the convergent version of the Gaussian wavefront. Data match very closely, providing an explanation for our showing only the horizontal component $E_x$ of the electric field, which is also the dominant one.

## VI. WAVEFRONT FIDELITY

Having verified the accurate reproduction of the convergent wavefront, it is fundamental to assess whether GTR can generate it with the same accuracy even when its focus and directions of arrival are changed. The theoretical derivations in [9] concluded that the homogeneous characteristics of diffusive media should ensure a comparable reproduction for any set of parameters, at least on average.
<figure><img src="image_97.png" /><figcaption>Fig. 7: Theoretical distributions of the horizontal field component $E_x$ expected over the region shown in Fig. 4, for $\psi_s = 40$ degrees, $B_e = 500$ MHz. Results normalized to the peak of the norm of the electric field at $t = 0$.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_98.png" /><figcaption>Fig. 8: Field distributions of $E_x$ measured over the region shown in Fig. 4, for $\psi_s = 40$ degrees, $B_e = 500$ MHz. At $t = -5$ ns, only background fluctuations are visible; at $t = 3$ ns the wavefront propagates back after reflecting on the metallic floor. Results normalized to the peak of the norm of the electric field at $t = 0$.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_99.png" /><figcaption>Fig. 10: Measured field distributions for $E_x$, for $\psi_s = 40$ degrees, $B_e = 500$ MHz and $t = 0$, as the position of their focus is displaced horizontally, by 20 cm steps. Linear correlation between the four field distributions is above 95%. Results normalized to the peak of the norm of the electric field at $t = 0$ for the original central position shown in Fig. 9.</figcaption></figure>

### A. Moving the focal spot

The field distribution observed at $t = 0$ was studied as the position of the focal spot changes. Four positions were considered, following a sequence of 20 cm horizontal displacements. The results are shown in Fig. 10 for the dominant field component, $E_x$. An excellent fidelity was found, with both the field structure and its amplitude practically unchanged.

### B. Changing direction of arrival

The next test was to verify the wavefront fidelity when the direction of arrival changes. Since rotations would also affect the orientation of the main polarization, it is now necessary to study the polarization vector of the field. Five directions were considered, for $\varphi$ changing from -40 to 40 degrees around the initial direction, in steps of 20 degrees.

The results are shown in Fig. 11, where theoretical field distributions are compared with those found in practice. The agreement is again satisfying, with the focal regions practically identical to theoretical predictions. As discussed in Sec. VI-C, the regions outside the focal region are more strongly affected by random fluctuations inherent in the use of a diffusive medium; as a result, the agreement is not perfect outside the focal region.

### C. Focusing and contrast

Previous results were obtained in optimal conditions, choosing wavefronts both confined in time (wide bandwidth) and in space (high values of $\psi_s$). The reason for the optimal performance for this case can be understood by recalling that wavefront-related quantities (e.g., received signals) present a mixture of coherent components, i.e., the wavefront meant to be generated, and incoherent ones, i.e., the random background fluctuations observed in the field distributions. It was shown

<figure><img src="image_100.png" /><figcaption>Fig. 11: Vector field distributions (theoretical on the left and measured on the right), for $\psi_s = 40$ degrees, $B_e = 500$ MHz and $t = 0$, for wavefronts impinging along a direction of arrival $\hat{r}_{inc} \in xy$, rotated by 20 degree steps, from -40 degrees to 40 degrees with respect to the $\hat{y}$ axis. Results are normalized to the peak value of each field distribution. Linear correlation coefficients between experimental and theoretical spatial distributions of the field norm are 95%, 94%, 93%, 93% and 92%, from top to bottom.</figcaption></figure>

in [25] that the ratio between the average energy densities conveyed by these two components is fixed by the statistical properties of the medium itself; e.g., for a diffusive medium it is equal to one.

This result has a very practical implication: if the coherent energy is fixed, then depending on how it is shaped, the instantaneous power can take very different values. For instance, if energy is shaped into a short pulse, the peak to energy ratio will be maximized, leading to a peak in the coherent component, making it stay well above the background fluctuations. On the contrary, if a narrower bandwidth is chosen, the energy will be spread over a larger time interval,
<figure><img src="image_101.png" /><figcaption>Fig. 12: Comparison between $E_x$ field distributions obtain for two Gaussian beams, with $\psi_s = 40$ degrees (left column) and $\psi_s = 10$ degrees (right column), as the equivalent bandwidth $B_e$ changes. Notice how the focal region is hardly affected for $\psi_s = 40$ degrees, even for a relatively narrow bandwidth, as opposed to the case for $\psi_s = 10$ degrees. Results are normalized to the peak value of each field distribution. Linear correlation coefficients between experimental and theoretical spatial distributions are, from top to bottom, 97%, 95%, 94% and 93%, for $\psi_s = 40$ degrees and 94%, 93%, 87% and 73%, for $\psi_s = 10$ degrees.</figcaption></figure>

hence a lower peak instantaneous power, with a subsequent risk of having it drowned into the background fluctuations.

This reasoning leads to conclude that both time and spatial focusing play the same role: weakly converging wavefronts, somewhat closer to plane waves over regions spanning several wavelengths, also spread energy over space. Examples going in this sense are shown in Fig. 12, where wavefronts with different combinations of bandwidth and angular convergence are considered. For the same bandwidth, the focal region can be shown to be about 6 times larger when $\psi_s = 10$ degrees than for $\psi_s = 40$ degrees. As a result, in order to maintain

a similar contrast between the coherent wavefront and the background in the two cases, a bandwidth about 6 times larger is required for $\psi_s = 10$ degrees. This conclusion is consistent with the observation of similar background fluctuations in the results for $B_e = 250$ MHz (for $\psi_s = 10$ degrees) and $B_e = 50$ MHz (for $\psi_s = 40$ degrees).

In short, bandwidth and angular divergence do not put into question the ability of GTR to generate accurate wavefronts, but rather need to be regarded as design parameters that impact the margin between the wavefront and the background fluctuations.

## VII. CONCLUSIONS

GTR was applied to a reverberation chamber, as a way of generating coherent focusing wavefronts. These were proven to create focal regions very close to those theoretically computed. Moreover, their features were practically independent of their direction of arrival or position.

The results shown make clear that the appearance of the wavefronts is not due to a local compensation of the medium response, but corresponds to an actual wavefront interacting with the medium boundaries, as proven by the reflections shown in Fig. 8.

GTR is therefore an effective way of generating arbitrary focusing wavefronts with a single antenna. Its main limitations are the need for a low-perturbation field scanner and sufficiently high space-time focusing, which make it better suited to the generation of pulsed wavefronts.

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# On the Influence of Medium Statistics on the Robustness of Time-Reversal Transmissions

Andrea Cozza, Senior Member, IEEE, Florian Monsef, Member, IEEE

**Abstract**—The problem of predicting the performance of Time-Reversal Transmissions (TRT) in a time-varying complex medium is addressed in this paper. The loss of coherence in the propagation medium and its nominal energy contrast are proven sufficient to predict the average loss of quality in received signals. In particular, it is shown how a perturbation in the medium affects in a different way coherent focusing and background fluctuations. In the extreme case of a diffusive medium (e.g., Rayleigh channels), the fluctuations intensity is unaltered. The predictions of the proposed theoretical models are validated against experimental results measured in a reverberation chamber, where a mechanical paddle (stirrer) acts as the source of perturbation in the medium. It is confirmed that, depending on the medium statistics, perturbations can have a varying impact on TRT performance.

**Index Terms**—Time-reversal transmissions, complex media, perturbation analysis.

## I. INTRODUCTION

Waves propagating through complex media are subjected to a potentially large number of scattering events, generating multiple propagation paths and ultimately leading to phenomena like time-spreading of pulses and frequency selectivity, making signal transmissions less predictable and reliable.

Time-reversal transmissions (TRT) have been studied in the last few years as a potential solution to counter these effects, by providing the best replica of a target signal at the receiver, while at the same time focusing a substantial portion of the energy around it [1], [2]. Most applications are based on a direct implementation of standard time reversal as described in [3]. In short, in order to have a received signal as close as possible to a target signal $p(t)$, the transmitted signal has a Fourier spectrum of the kind $P(\nu)H^*(\nu)M(\nu)$, where $\nu$ is the frequency variable and $H(\nu)$ is the transfer function between the transmitter and the receiver. $M(\nu)$ is a weighting function that represents the effects of equalization and compensation schemes that have been used for improving TRT [4].

The main weakness of TRT is that even in collaborative configurations, where it makes sense to assume $H(\nu)$ to be known, propagation media may change over time. As a matter of fact, real-life propagation scenarios are hardly static, as they often involve moving people/vehicles, and also receiving and transmitting antennas can change position/orientation, e.g., when hand-held mobile terminals are used. Time-varying propagation can be taken into account, by periodically sounding the

medium response and transfer functions, but this can clearly be done only at discrete times. In between them, TRT risk using signals that no longer represent an accurate description of the medium, resulting in a loss of coherence and ultimately a reduced performance. This problem has been addressed in a few papers, mostly empirically and essentially with the aim of assessing what degree of perturbation would still provide an acceptable performance [5]–[8]. In diffusive media, such as large cavities, indoor propagation and heavily built urban structures, TRT can be so sensitive that it has been proposed for detecting perturbations in the first place [9].

A case therefore exists to understand under what conditions TRT are more of less sensitive to perturbations. This paper brings some insight into this issue, by demonstrating how the statistical behavior of a medium results into a different sensitivity to perturbations. The predictions of the proposed models are validated against experimental results, confirming their accuracy.

## II. RESIDUAL FLUCTUATIONS AND CONTRAST

Signals received with TRT in static media can be expressed as

$$y(t) = \int_{B_T} d\nu P(\nu) |H(\nu)|^2 e^{i2\pi\nu t} \quad (1)$$

where $H(\nu)$ is the transfer function between the transmitting antenna and the receiver and $B_T$ is the bandwidth over which the spectrum $P(\nu)$ of the target signal $p(t)$ is defined. For any medium significantly different from free space, $H(\nu)$ would not be a monotonous function of frequency, presenting minima or even nulls over certain frequencies due to reflections and in general interactions with boundary elements. Modelling $H(\nu)$ as a random process, fluctuations in $y(t)$ appear as the result of deviations from line-of-sight transmissions.

The effectiveness of TRT can be measured by first separating the received signal $y(t)$ as done in [10]

$$y(t) = \alpha p(t) + f(t), \quad (2)$$

i.e., as made up of a coherent portion proportional to $p(t)$ and residual fluctuations $f(t)$. Projecting the received signal onto the target one yields

$$\alpha = \langle Y(\nu), P(\nu) \rangle = \int_{B_T} d\nu Y(\nu) P^*(\nu), \quad (3)$$

choosing $p(t)$ to have unit energy, here meant as for a mathematical signal, i.e., the square of its $L_2$ norm. A direct consequence of (2) is the orthogonality of $f(t)$ and $p(t)$.

A natural metric is therefore the energy contrast $\Lambda$ [10], which measures the ratio between the energy $E_c = \alpha^2$ of the

Part of the work here reported was funded by the French National Research Agency through the grant ANR-12-ASTR-0005, MIMOCHIC project, within the framework of the 2012 ASTRID program.

A. Cozza and F. Monsef are with PIEM, GeePs (UMR 8507), 11 rue Joliot-Curie, 91192 Gif-sur-Yvette, France. Contact e-mail: andrea.cozza@ieee.org.
the case of a Rayleigh or diffusive medium. Introducing the TRT function $W(\nu) = |H(\nu)|^2$, [10] demonstrated that the second-order statistics of $W(\nu)$ provide a direct estimate of the energy contrast as $\langle \Lambda \rangle = \zeta_W^{-2}$, where $\zeta$ is the square of the standard deviation normalized to the mean. This relationship is useful as it gives a straightforward understanding of the performance of TRT as a function of the medium statistics and complexity. Nevertheless, it only holds for the average behavior of a medium, so that $\Lambda$ can exceed the value one on a local basis, as observed in Sec. IV.

Once the energy contrast is known, it can be translated into a peak contrast, measuring the ratio of the peak of coherent focusing and the rms amplitude of the background fluctuations [10].

### III. EFFECTS OF PERTURBATIONS ON TRT

We consider a nominal transfer function $H_o(\nu)$ for the unperturbed medium and $H(\nu)$ the one found at the time of transmission, after the perturbation event has occurred. It is convenient to express this modified function as a linear combination of the original function plus a random process $\delta H(\nu)$ modelling the effect of the perturbation, i.e.,

$$H(\nu) = \rho H_o(\nu) + \delta H(\nu), \quad (5)$$

with $\rho$ the linear correlation coefficient between the original and modified functions. By definition, $\delta H(\nu)$ is orthogonal to $H_o(\nu)$, i.e., their projection

$$\langle \delta H(\nu), H_o(\nu) \rangle = \int_{B_T} d\nu \, \delta H(\nu) H_o^*(\nu) = 0. \quad (6)$$

The perturbation is assumed not to affect the statistical moments of field-related quantities, but only their specific random realizations. This assumption makes sense when the perturbation does not change either the complexity of the medium or the overall rate of energy dissipated. Under this assumption, introducing the average energies of $H(\nu)$ and $H_o(\nu)$, in the sense of squared $L_2$ norms, i.e., defined as the

$$\mathcal{E}_H = \int_{B_T} d\nu \, \langle |H(\nu)|^2 \rangle, \quad (7)$$

with $\langle \cdot \rangle$ the expected value, it is therefore straightforward to prove that

$$\mathcal{E}_{\delta H} = (1 - \rho^2) \mathcal{E}_{H_o}, \quad (8)$$

by enforcing the condition

$$\mathcal{E}_H = \mathcal{E}_{H_o} \quad (9)$$

and (6).

In case of no perturbation, the Fourier spectrum of the received signal is

$$Y_o(\nu) = |H_o(\nu)|^2 P(\nu), \quad (10)$$

while, after a perturbation occurs, one would obtain

$$Y(\nu) = H(\nu) H_o^*(\nu) P(\nu), \quad (11)$$

yielding, after (5),

$$Y(\nu) = \rho |H_o(\nu)|^2 P(\nu) + \delta H(\nu) H_o^*(\nu) P(\nu). \quad (12)$$

<figure><img src="image_102.png" /><figcaption>Fig. 1: $\mathcal{E}_f/\mathcal{E}_{f,o}$ as a function of $\rho$ and $\Lambda_o$.</figcaption></figure>

The degradation in the energy contrast in case of a perturbation is naturally measured by the ratio $\Lambda/\Lambda_o$, for which we need to compute the new energies for the coherent part of the received signal and the background fluctuations. The coherent energy $Y_c$ after the perturbation has occurred is given by

$$\mathcal{E}_c = \rho^2 \mathcal{E}_{c,o}, \quad (13)$$

by recalling (5), (6) and using (19).

The average energy of the background fluctuations in the perturbed case reads

$$\mathcal{E}_f = \int_{B_T} d\nu |Y(\nu) - Y_c(\nu)|^2, \quad (14)$$

which can be simplified, thanks to (19), into

$$\mathcal{E}_f = \rho^2 \mathcal{E}_{f,o} + \int_{B_T} d\nu \, \langle |\delta H(\nu)|^2 \rangle \langle |H_o(\nu)|^2 \rangle. \quad (15)$$

Following (8),

$$\mathcal{E}_f = \rho^2 \mathcal{E}_{f,o} + (1 - \rho^2) \mathcal{E}_{c,o}, \quad (16)$$

so that

$$\mathcal{E}_f / \mathcal{E}_{f,o} = \rho^2 (1 - \Lambda_o) + \Lambda_o. \quad (17)$$

Eq. (17) implies that the level of fluctuations in signals received in the perturbed medium should not be expected to be same experienced in the nominal configuration. Fig. 1 shows a contour-level plot of (17); it should be noticed how, for any $\Lambda_o \neq 1$, perturbing the medium could either lead to weaker or stronger fluctuations, for a same loss of coherence.

Still, even in the case of a reduction in the fluctuations for $\Lambda_o < 1$, the contrast systematically reduces after a perturbation, as found by combining (13) and (17)

$$\Lambda/\Lambda_o = \left[ 1 + \left( \frac{1}{\rho^2} - 1 \right) \Lambda_o \right]^{-1}. \quad (18)$$

Fig. 2 shows how the above ratio depends on the nominal energy contrast and $\rho$. According to (17), the dependence on $\Lambda_o$ is purely due to the changing intensity of background fluctuations, since the received coherence energy is not expected to depend on $\Lambda_o$.
<figure><img src="image_103.png" /><figcaption>Fig. 2: $\Lambda/\Lambda_o$ as a function of $\rho$ and $\Lambda_o$.</figcaption></figure>

## IV. EXPERIMENTAL VALIDATION

In order to validate the implications of our models, access to a medium capable of supporting different field statistics is needed. A reverberation chamber is the ideal facility for these tests since, depending on the degree of overlapping in the frequency responses of its resonant modes, it can support field propagations with a varying $\Lambda_o$. Modal overlapping, and as a consequence $\Lambda_o$, can be controlled by changing frequency, as demonstrated in [11], [12].

Moreover, reverberation chambers are routinely equipped with at least one metallic paddle acting as a field stirrer, which is a practical way of perturbing the medium in a controllable and reproducible way. But stirrers are usually designed and operated in order to (ideally) generate independent random realizations when rotated. This would ideally lead to only two values of $\rho$, either 0 or 1. We rather need to define rotation steps in the stirrer in order to evenly sample the entire range of values taken by $\rho$. As a result, the fact that the chosen angles of rotation of the stirrer are small should not come as a surprise.

Two monocone antennas were used as receiver and transmitter. They were positioned on either side of the stirrer, in order to reduce the incidence of line-of-sight paths, so that modifications in the stirrer position would have an impact on the maximum number of propagation paths within the chamber.

The transfer function between the two antennas was measured with a vector network analyzer from Rohde & Schwarz, model ZVB8, operated between 200 MHz and 700 MHz; the transfer functions were sampled with 40 kHz steps. This approach allows a sufficiently fine frequency step, in order to avoid any aliasing in the relatively long impulse responses of the chamber, around $4 \mu s$.

The $\Lambda_o$ that the setup can produce were assessed from the transfer functions $H(\nu)$, as explained in [10], by estimating the normalized variance of $W(\nu) = |H(\nu)|^2$. Three central frequencies were chosen, 300, 510 and 695 MHz, where the chamber behaves in a distinctly different way. A bandwidth $B_T = 30$ MHz was chosen for the excitation around each frequency, as a compromise between spectral resolution and

<figure><img src="image_104.png" /><figcaption>Fig. 3: Comparison between experimental (circles) and theoretical (dashed lines) relationships for the effect of a perturbation in a medium and the energy of the fluctuations at the receiver, for $\Lambda_o$ equal to 0.32 (red), 0.67 (black) and 1.32 (blue).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_105.png" /><figcaption>Fig. 4: As in Fig. 3, but here studying the modifications in the coherent energy at the receiver.</figcaption></figure>

statistical uncertainty. For this choice, $\Lambda_o$ was found to be equal to 0.32, 0.67 and 1.32, respectively, for the three central frequencies. These values correspond to the stirrer parked at its original position, in static conditions.

The stirrer was then put in motion by 1-degree steps. For each step, the transfer function was measured, and the procedure repeated 14 times. For each frequency the linear correlation between the original transfer function and the perturbed ones was computed, together with the resulting modification in energy contrast, coherent and background-fluctuation energy at the receiver. Notice that these quantities were computed by directly observing the received signals; no approximation was considered here. These results are shown in Figs. 3, 4 and 5 and compared to the theoretical models
<figure><img src="image_106.png" /><figcaption>Fig. 5: As in Fig. 3, but here studying the modifications in the energy contrast at the receiver.</figcaption></figure>

derived before.

The models appear to be accurate, as they correctly predict the strong dependence of the background-fluctuation energy on different values of the static $\Lambda_o$. Also, the coherent energy at the receiver is also confirmed to be practically insensitive to $\Lambda_o$ and proportional to $\rho^2$. It is therefore confirmed that the main reason for a varying robustness is the changing level of background fluctuations.

## V. CONCLUSIONS

Simple theoretical models here derived predict accurately how perturbations in the transfer functions of a complex medium affect TRT. The main result is the strong sensitivity of the intensity of background fluctuations to the statistics of the unperturbed medium; the coherent energy at the receiver is on the contrary unaffected by the medium statistics and directly controlled by the level of perturbation of the medium.

The accuracy of these models implies that knowing second-order statistics of a medium transfer functions and its level of potential loss of coherence are sufficient to predict the degradation in TRT schemes and related applications.

## APPENDIX

This appendix proves that given a random process $G(\nu)$ and a piece-wise smooth spectrum $P(\nu)$ of mathematical energy $\mathcal{E}_p$, the following approximation holds

$$ \int_{B_T} d\nu G(\nu) |P(\nu)|^2 \approx \int_{B_T} d\nu \langle G(\nu) \rangle |P(\nu)|^2 \approx \langle G(\nu_c) \rangle \mathcal{E}_P, \quad (19) $$

as long as the coherence bandwidth $B_c^G$ of $G(\nu)$ is much smaller than that of $|P(\nu)|^2$, $B_c^P$. The integral can be computed over a sequence of $N$ contiguous frequency bands $B_i$ centered at $\nu_i$, covering the entire $B_T$, chosen such that

$B_c^P > B_i \gg B_c^G$. In this way, $|P(\nu_i)|^2$ can be approximated as a constant over each $B_i$

$$ \int_{B_T} d\nu G(\nu) |P(\nu)|^2 \approx \sum_{i=1}^{N} |P(\nu_i)|^2 \int_{B_i} d\nu G(\nu). \quad (20) $$

Each integral acts as an estimator of the ensemble average of $G(\nu_i)$, since $B_i$ spans a multitude of independent realizations, thus the first approximation in (19). In case of an average independent from frequency, the second approximation in (19) is obtained.

## REFERENCES

[1] A. Derode, A. Tourin, J. de Rosny, M. Tanter, S. Yon, and M. Fink, "Taking advantage of multiple scattering to communicate with time-reversal antennas," *Physical Review Letters*, vol. 90, no. 1, p. 14301, 2003.

[2] R. Qiu, C. Zhou, N. Guo, and J. Zhang, "Time reversal with MISO for ultrawideband communications: Experimental results," *Antennas and Wireless Propagation Letters*, IEEE, vol. 5, no. 1, pp. 269–273, Dec 2006.

[3] M. Fink, "Time reversal of ultrasonic fields. I. Basic principles," *IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics and Frequency Control*, vol. 39, no. 5, pp. 555–566, 1992.

[4] H. Song, W. Hodgkiss, W. Kuperman, M. Stevenson, and T. Akal, "Improvement of time-reversal communications using adaptive channel equalizers," *Oceanic Engineering*, IEEE Journal of, vol. 31, no. 2, pp. 487–496, April 2006.

[5] A. Tourin, A. Derode, and M. Fink, "Sensitivity to perturbations of a time-reversed acoustic wave in a multiple scattering medium," *Physical review letters*, vol. 87, no. 27, p. 274301, 2001.

[6] L. Liu, D. G. Albert, and D. K. Wilson, "The effect of changing scatterer positions on acoustic time-reversal refocusing in a 2D urban environment at low frequencies," *Journal of Geophysics and Engineering*, vol. 4, no. 3, p. 276, 2007. [Online]. Available: http://stacks.iop.org/1742-2140/4/i=3/a=S06

[7] D. Liu, S. Vasudevan, J. Krolik, G. Bal, and L. Carin, "Electromagnetic time-reversal source localization in changing media: Experiment and analysis," *Antennas and Propagation, IEEE Transactions on*, vol. 55, no. 2, pp. 344–354, 2007.

[8] M. Yavuz and F. Teixeira, "On the sensitivity of time-reversal imaging techniques to model perturbations," *Antennas and Propagation, IEEE Transactions on*, vol. 56, no. 3, pp. 834–843, March 2008.

[9] B. T. Taddese, T. M. Antonsen, E. Ott, and S. M. Anlage, "Sensing small changes in a wave chaotic scattering system," *Journal of Applied Physics*, vol. 108, no. 11, p. 114911, 2010.

[10] A. Cozza and F. Monsef, "Multiple-source time-reversal transmissions in random media," *Antennas and Propagation, IEEE Transactions on*, vol. 62, no. 8, pp. 4269–4281, Aug 2014.

[11] A. Cozza, "The Role of Losses in the Definition of the Overmoded Condition for Reverberation Chambers and Their Statistics," *IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility*, no. 53, pp. 296–307, 2010.

[12] F. Monsef and A. Cozza, "Average number of significant modes excited in a mode-stirred reverberation chamber," *Electromagnetic Compatibility, IEEE Transactions on*, vol. 56, no. 2, pp. 259–265, 2014.
# CHAPITRE 4

## Mesure d'antenne en milieu échogène

Le but de ce chapitre est de présenter les travaux réalisés dans le but de réduire les temps de mesure de diagramme de rayonnement d'antenne. Les protocoles de mesure proposés vont à l'encontre des principes classiques de ce type de mesures qui bannissent les échos. Ceux-ci sont vus comme des signaux intempestifs.

L'idée proposée consiste ici au contraire à utiliser l'information portée par les échos dans un milieu maîtrisé afin de pouvoir accélérer les mesures. Le travail a été proposé dans le cadre d'une thèse menée et soutenue par Mouad Djedidi en octobre 2016.

Le travail de thèse est parti d'une modélisation champ lointain avec une structure permettant l'exploitation d'échos. Le travail proposé a évolué et peut être subdivisé en trois étapes : la pertinence du modèle proposé par rapport aux distances mises en jeu dans un set-up de mesures, la manière d'appréhender la technique d'inversion du problème par rapport aux incertitudes de mesure, les configurations mettant en jeu plus d'un écho.

### I Modélisation du problème dans le cas monoécho

Dans les représentations que l'on propose, on adopte une approche d'optique géométrique où les ondes sont « vues » comme des rayons. On suppose donc que les dispositifs mis en jeu ont des dimensions grandes devant la longueur d'onde du signal émis. Le but est de pouvoir mesurer le diagramme de rayonnement, noté $F_Φ$ associé à une antenne. Le principe de la mesure proposée repose sur le fait de maîtriser l'environnement de mesure afin de générer des échos contrôlés. Le set-up de base consiste à placer une plaque réfléchissante (infiniment conductrice) sur un des côtés de l'antenne à caractériser. Dans un premier temps, on considère le cas d'école d'une plaque infinie. Deux scénarios ont été considérés : le cas d'une polarisation parallèle à la plaque (cas d'une polarisation *TM*) et le cas d'une polarisation inscrite dans le plan perpendiculaire à la plaque (cas d'une polarisation *TE*).

On a limité l'étude aux cas des antennes à polarisation linéaire. Les antennes sous test (AST) considérées sont une antenne biconique et un dipole demi longueur d'onde dont on donne les représentations, le paramètre $S_{11}$ et les bandes de fonctionnement Fig. 4.1. En outre dans le cadre de cette section, une hypothèse de simple plaque a été utilisée, mettant en jeu comme précisé ci-après un écho utile à la mesure du diagramme de rayonnement.

L'exemple du cas *TM* est représenté Fig. 4.2. On y voit la sonde de mesure représentée par le carré bleu. On constate que le trajet direct entre l'AST et la sonde, caractérisé par une distance $r_0$, permet d'échantillonner la valeur de $F_Φ$ pour un angle donné $Φ_0$ et que l'écho (parcourant une distance $r_1$) dû à la plaque réfléchissante permet d'échantillonner une autre
<figure><img src="image_107.png" /><figcaption>FIGURE 4.1 – Antennes utilisés pour l’analyse du concept proposé : (a) dimensions des AST (b) Coefficients de réflection $S_{11}$ correspondants et bandes de fonctionnement.</figcaption></figure>

valeur de $F_\Phi$ pour un angle distinct $\Phi_1$. L'hypothèse d'un plan infini permet de remplacer l'effet de la plaque réfléchissante par le placement d'une image comme représentée sur la partie droite de la Fig. 4.2. Les conditions limites sur la plaque amènent la source image à une polarisation inverse ; le diagramme $F_\Phi$ est donc également inversé, l'inversion étant repérable par le petit ergo sur la Fig. 4.2. La distance séparant l'image de la sonde est notée $r_1$.

En supposant la fonction de Green en champ lointain, le set-up de mesure de la Fig. 4.2 (cas TM) peut se résumer sous la forme matricielle suivante :

$$ \begin{bmatrix} E_z(f_0) \\ E_z(f_1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{r_0}e^{-j\frac{2\pi}{c}f_0r_0} & \frac{1}{r_1}e^{-j\frac{2\pi}{c}f_0r_1} \\ -\frac{1}{r_0}e^{-j\frac{2\pi}{c}f_1r_0} & \frac{1}{r_1}e^{-j\frac{2\pi}{c}f_1r_1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F_\Phi(\phi_0) \\ F_\Phi(\phi_1) \end{bmatrix}, \quad (4.1) $$

ou en forme plus compacte,

$$ E_z = G_{TM} F_\Phi. \quad (4.2) $$

Comme on le constate, l'équilibrage du système algébrique nécessite d'avoir recours à deux fréquences $\{f_0, f_1\}$ pour lesquelles le diagramme de rayonnement est supposé inchangé. Nous reviendrons sur ce point plus loin.

Le cas TE quant à lui ne nécessite pas de diversité fréquencielle dans sa version basique - on peut en effet montrer que cela revient à poser le système suivant :

$$ \begin{bmatrix} E_x \\ E_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{r_0}e^{-jkr_0} \sin \phi_0 & -\frac{1}{r_1}e^{-jkr_1} \sin \phi_1 \\ \frac{1}{r_0}e^{-jkr_0} \cos \phi_0 & -\frac{1}{r_1}e^{-jkr_1} \cos \phi_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F_\phi(\phi_0) \\ F_\phi(\phi_1) \end{bmatrix}, \quad (4.3) $$

soit,

$$ E_{xy} = G_{TE} F_\Phi. \quad (4.4) $$

Quel que soit le cas de polarisation considéré, le but est d'inverser les matrices de Green ($G_{TE}$ et $G_{TM}$) pour récupérer les diagrammes de rayonnement. Toutefois, avant de s'intéresser à la manière de procéder à l'inversion du problème, il est utile de souligner que la modélisation adoptée comporte des hypothèses dont il convient de vérifier le degré de justification.
<figure><img src="image_108.png" /><figcaption>FIGURE 4.2 – Principe de la mesure exploitant les échos. (a) La sonde est placée à une distance $r_0$ de l'AST et l'écho parcourt une distance $r_1$. (b) Schéma équivalent utilisant le principe des images mettant en évidence la mesure de deux points du diagramme en une mesure.</figcaption></figure>

## II Pertinence du modèle proposé

La modélisation utilisée dans (4.2) et (4.4) suppose que la mesure effectuée est à champ lointain et que le champ résulte de deux sources émettant en espace libre. Dans cette section, nous allons aborder la pertinence des hypothèses soutenant le modèle proposé en analysant trois aspects. Le premier aspect porte sur l'estimation de la distance minimale à partir de laquelle l'hypothèse de champ lointain et comparer la distance trouvée à la distance de Fraunhoffer; cette dernière étant une distance régulièrement prise pour délimiter le début de zone de champ lointain(balanis1992antenna). Les deux autres aspects portent sur les effets de la plaque. D'une part, la simple présence de la plaque amène des réflexions intempestives. D'autre part, la plaque étant de taille finie, des risques de diffraction par les bords est à étudier.

### II.1 Hypothèse de Champ lointain

Pour cette étude on résume ici les résultats de simulation obtenus à l'aide du logiciel FEKO. Les deux types d'antennes (biconique et dipole) ont été considérées. Comme précédemment les cas TM (émission symétrique) et TE ont été mis en oeuvre. L'erreur, notée $\epsilon_{FF}$, est ici définie comme l'écart relatif entre le modèle champ lointain (associé à la fonction de Green notée G) et le champ obtenu par simulation, tel que :

$$ \epsilon_{FF} = \frac{\|\mathbf{E}_{\text{sim}} - \mathbf{G}\mathbf{F}_{\text{sim}}\|}{\|\mathbf{G}\mathbf{F}_{\text{sim}}\|}, \qquad (4.5) $$

où $\mathbf{E}_{\text{sim}}$ est le champ obtenu par simulation et $\mathbf{F}_{\text{sim}}$ est le diagramme de rayonnement de l'antenne en espace libre obtenu par une simulation distincte (en espace libre).

La Fig. 4.3 met en lumière les ordres de grandeur de $\epsilon_{FF}$ obtenus pour le cas TM en espace libre. On constate que pour une distance de $15\lambda_0$ on atteint des atténuations de -35 à -40 dB.
<figure><img src="image_109.png" /><figcaption>FIGURE 4.3 – Erreur $\epsilon_{FF}$ en module (dB) pour le cas TM (isotrope) - (a) cas du dipole (b) cas de l'antenne biconique</figcaption></figure>

Il est toujours difficile d'estimer si cette atténuation est en absolue « satisfaisante ». Il faudra
la comparer aux autres sources d'erreur qui interviennent.

Le réflexe pour la communauté de la mesure d'antenne pourrait être de considérer la dis-
tance de Fraunhoffer comme distance « seuil » pour le champ lointain. Il est intéressant de se
rappeler d'où vient cette distance pour ne pas tomber dans un réflexe « recette ». La distance
de Fraunhoffer est une estimation de la distance à partir de laquelle le terme de phase de l'in-
tégrale de rayonnement peut être vu comme indépendant de la distance - c'est cette hypothèse,
rappelons-le, qui permet d'isoler le diagramme de rayonnement dans l'expression d'un champ
lointain. En toute rigueur le terme de phase n'est pas indépendant de la distance (SELVAN et
JANASWAMY 2017).

Considérons une ouverture circulaire de diamètre D et un point à une distance d pris dans la direction du maximum de rayonnement. On peut montrer qu'une erreur systématique de (kD²/8.d) existe au premier ordre dans le terme de phase. La distance de Fraunhoffer accepte une erreur de π/8 menant à la distance typique d<sub>FF</sub> = 2D²/λ. Cette distance ne présuppose donc aucune atténuation spécifique. Pour les deux antennes considérées, antenne biconique et demi-longueur d'onde, on a respectivement d<sub>FFbicone</sub> = 2λ et d<sub>FFHWD</sub> = λ/2.

On reporte sur une ligne de coupe (face à l'AST) l'évolution du module de l'erreur relative¹ mais également l'évolution de l'erreur de phase² sur la Fig. 4.4. Pour le cas du dipole, on constate des erreurs de l'ordre de -20dB aux distances de Fraunhoffer ; quant aux erreurs de phase on obtient 22° et 12° pour la HWD et la biconique respectivement ; pour obtenir une atténuation de -40 dB des distances proches de 2λ₀ et 15λ₀ doivent être considérées, soit 4 d<sub>FFHWD</sub> et 7.5 d<sub>FFbicone</sub> respectivement.

Nous nous sommes également intéressés au cas TE, i.e., le cas pour lequel les axes des
antennes sont inscrits dans le plan perpendiculaire à la plaque supposée infinie. On s'intéresse

$$
1. \epsilon_{\|E_z\|} = \left\| \frac{\|E_{\text{sim}}\| - \|G F_{\text{sim}}\|}{\|G F_{\text{sim}}\|} \right\|
$$

2. $\epsilon_{\angle E_z} = \angle E_z - \angle G F_{\text{sim}}$
<figure><img src="image_110.png" /><figcaption>FIGURE 4.4 – Evolution des erreurs sur le module (a) $\epsilon_{||E_z||}$ et la phase (b)$\epsilon_{\angle E_z}$, pour le cas TM isotrope.</figcaption></figure>

aux coordonnées cartésiennes $(x, y)$ par souci de comparaison expérimentale ultérieure. La sonde électro-optique étant un dipôle linéaire, les coordonnées polaires type $E_\theta$ sont décomposées sur les axes cartésiens. En procédant comme pour le cas de polarisation précédente, on obtient l'erreur, définie par (4.5), sur la Fig 4.5.

On constate que les niveaux d'erreur suivent une topographie anisotrope à l'image du diagramme de rayonnement. A ce stade il est difficile d'évaluer le niveaux d'erreur acceptable, i.e., de savoir à quel degré d'inexactitude on peut espérer une approximation permettant une inversion satisfaisante du problème. L'inversion du problème inclura d'autres sources d'erreur L'idée est à ce stade de l'étude de dégrossir toutes les sources d'erreur avec un ordre de grandeur à l'appui. Une autre source d'erreur est liée à la diffraction par l'antenne.

## II.2 Diffraction de l'antenne

La présence de la plaque induit une réflexion qui se rétro-propage vers l'antenne sous test (AST). Quand cette réflexion atteint l'AST, il y a un effet de diffraction sur l'antenne. Le modèle considéré ne prend pas en compte cette contribution indésirable. Pour évaluer la contribution de cette partie diffractée, plusieurs simulations ont été menées. Deux simulations indépendantes en espace libre avec la présence de l'AST d'une part et de son image d'autre part - on obtient alors les champs notés respectivement $E_{sim}^{LOS}$ et $E_{sim}^{im}$ ; une troisième simulation incluant la présence de la plaque considérée infinie génère un champ noté $E_{sim}^{h\infty}$. On peut alors isoler la partie diffractée, notée $E_d^{AST}$ telle que,

$$ 
\begin{gathered}
\mathbf{E}_d^{\text{AST}} = \| \mathbf{E}_{\text{sim}}^{h\infty} - \mathbf{E}_{\text{sim}}^{\text{LOS}+\text{im}} \|, \\
\text{où } \mathbf{E}_{\text{sim}}^{\text{LOS}+\text{im}} = \mathbf{E}_{\text{sim}}^{\text{LOS}} + \mathbf{E}_{\text{sim}}^{\text{im}}
\end{gathered}
\qquad (4.6)
$$

L'impact de l'AST est alors évalué en comparant le champ diffracté aux deux champs contrôlés $E_{sim}^{LOS}$ et $E_{sim}^{im}$ par l'intermédiaire de la variable $\epsilon_i^d$ définie telle que,

$$ \epsilon_i^d = \left\| \frac{\mathbf{E}_d^{\text{AST}}}{\mathbf{E}_i} \right\|^2, \quad i = 0, 1, \qquad (4.7) $$
<figure><img src="image_111.png" /><figcaption>FIGURE 4.5 – Erreur obtenue en espace libre [dB] sachant l'hypothèse de champ lointain - cas TE : (a) $\epsilon(E_x)_{\text{HWD}}$ (b) $\epsilon(E_y)_{\text{HWD}}$ (c) $\epsilon(E_x)_{\text{biconique}}$ (d) $\epsilon(E_y)_{\text{biconique}}$</figcaption></figure>
l'indice 0 renvoyant au cas du champ direct et l'indice 1 renvoyant au cas du champ émis par l'antenne image. La Fig. 4.6 met en évidence les rapports obtenus en dB pour les antennes étudiées dans le cas TM ; pour le cas TE les mêmes ordres de grandeur sont obtenus. En somme, on constate que les ordres de grandeur sont analogues au cas précédent, i.e., à l'erreur liée à l'hypothèse de champ lointain. En analysant de près les résultats on arrive au bilan suivant :

- L'influence de la plaque (effet ping-pong) sur le rayonnement de l'antenne en espace libre semble négligeable en première approximation sachant les dimensions de la zone de mesure.

- Comme attendu, les zones proches de l'AST montrent des niveaux élevés d'erreur sachant l'approximation champ lointain utilisée dans le modèle. Même la contribution de l'image est perturbée proche de l'AST à cause du champ diffracté, qui est alors du même ordre de grandeur.

- Le mode TE permet de voir que les directions pour lesquelles l'émission est faible (zeros de diagramme de rayonnement) sont très fortement entâchées d'erreur. Cela est dû à la superposition des composantes radiales de la partie réactive du champ ainsi qu'au champ diffracté par l'AST. On verra que l'utilisation d'une régression permet de contourner cet inconvénient.

## II.3 Plaque de dimension finie

Le modèle proposé s'appuie sur l'hypothèse d'une plaque de taille infinie. En pratique, les dimensions étant évidemment finies, un risque de diffraction par les bords a été étudié. L'idée a été de voir si les dimensions alignées sur les dimensions de la zone de test pouvaient être jugées comme suffisantes.

Pour cette étude, le dipôle a été utilisé en mode TE et TM. Une étude théorique type GTD (Geometric Theory of Diffraction) a été menée. Celle-ci prévoit un effet important de la diffraction par les bords proche de la paroi pour la partie directe ou Line of Sight (LOS). On renvoie au manuscrit de thèse pour des détails<fnref n="3" />. Dans les résultats obtenus Fig. 4.8, il apparaît que la diffraction par les bords de la plaque a peu d'influence sur la partie rayonnée par l'AST (la partie LOS) pour laquelle l'erreur passe sous la barre des -40 dB, et ce, y compris proche de la paroi.

Par-contre on constate que la diffraction par les bords a un sérieux impact sur la partie rayonnée par l'image avec des niveaux d'erreur <fnref n="4" /> de l'ordre de -20 dB (voire supérieur, cf graphe en haut à droite de la Fig. 4.8) sur l'essentiel de la zone de test. Cela s'explique encore une fois par la divergence de l'onde émise par l'image qui atteint des niveaux semblables à la partie diffractée par les bords de la paroi. Il ressort de ces résultats préliminaires que même pour une plaque de dimension de 10 à 20 $λ_0$ l'effet de diffraction par les bords ne peut être négligé sur la partie image. On pourrait réduire la distance AST-paroi afin de réduire la distance de l'image et donc augmenter le contraste entre la partie image et la partie diffractée. Cela se ferait au profit de la partie diffractée par l'antenne, i.e., la partie diffractée par l'antenne augmente avec la réduction de la distance AST-paroi. Une approche plus efficace a consisté à modifier les bords de la plaque comme montré Fig. 4.9.

On obtient alors les résultats données Fig. 4.10. On constate une réelle amélioration dans le cas TM pour lequel l'erreur passe sous la barre des -40dB dans la majeure partie de la zone de test. Pour le cas TE les résultats sont également meilleurs que pour une plaque purement

<footnote n="3">3. p.83 du manuscrit de thèse</footnote>

<footnote n="4">4. erreur définie de manière analogue à la relation (4.7) où $E_{d}^{AST}$ est remplacé par $E_{d}^{paroi}$.</footnote>
<figure><img src="image_112.png" /><figcaption>FIGURE 4.6 – Cartographie de l’erreur liée au champ diffracté par l’antenne sous test en mode TM ; plaque en $x_p = 10\lambda_0$ : (a) $\epsilon_0^d$, (dipôle) (b) $\epsilon_1^d$ (dipôle) (c) $\epsilon_0^d$ (biconique) (d) $\epsilon_1^d$ (biconique).</figcaption></figure>
<figure><img src="image_113.png" /><figcaption>FIGURE 4.7 – Configuration considérée sachant une plaque de dimension finie afin d’en évaluer l’effet de diffraction par les bords.</figcaption></figure>

rectangulaire; en revanche la réduction des niveaux d'erreur est moins importante que pour le cas TM. Cela a nécessité de se pencher sur une méthode d'inversion suffisamment robuste et/ou d'utiliser d'autres degrés de liberté telle que la diversité fréquencielle pour cette polarisation. Ces points sont abordés un peu plus loin dans ce chapitre.

III Inversion du problème

Ayant en main les ordres de grandeur des différences sources de perturbation par rapport au
modèle champ lointain adopté, il convient de résoudre le système décrit par (4.2) et (4.4). Une
première approche a consisté à s'intéresser au nombre de conditionnement 5 des matrices mises
en jeu. Plusieurs idées ont été testées afin de d'améliorer le conditionnement des matrices de
Green. Cette étude a permis de mettre en lumière des zones optimales pour le placement de la
sonde de mesure. Une part importante de la thèse a porté sur cette partie.

### III.1 Nombre de conditionnement dans l'approche classique

Comme présenté jusqu'ici on s'intéresse à deux types de polarisations (TM, TE) sachant que
ces deux cas représentent la décomposition qui devra être prise en compte pour un cas 3D<fnref n="6" />.

Une partie du travail a consisté à pouvoir déterminer de manière analytique des lieux géomé-
triques permettant d'assurer un nombre de conditionnement minimal afin de ne pas amplifier
les erreurs et les incertitudes lors de l'inversion directe du problème. Pour rappel, le nombre de
conditionnement, noté ici $\kappa$, est optimal s'il vaut 1 ; plus $\kappa$ est grand plus les incertitudes et les
erreurs risquent d'affecter le résultat issu de l'inversion.

<footnote n="5">5. dont nous rappelons l'intérêt peu après</footnote>

<footnote n="6">6. Ce cas n'ayant pas été approfondi dans le cadre de la thèse encadrée</footnote>
<figure><img src="image_114.png" /><figcaption>FIGURE 4.8 – Errur obtenue sur le diagramme de rayonnement de l’antenne dipôle en fonction de la position de la sonde et impact des champs diffractés par les bords et les angles de coin. La plaque est tronquée en h$_{y}$ = [−5λ$_{0}$, 10λ$_{0}$] et h$_{z}$ = ±5λ$_{0}$ et positionnée en x$_{p}$ = 10λ$_{0}$ (a) erreur sur l’amplitude de la partie directe (TM), UFBW = 4% (b) erreur sur l’amplitude UFBW = 4% (c) TE LOS amplitude error, basic model (d) TE image amplitude error, basic model.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_115.png" /><figcaption>FIGURE 4.9 – Bords de la plaque arrondis afin de réduire la diffraction par les arêtes de la plaque.</figcaption></figure>

Dans l'étude du cas TM il est ressorti que les intersections d'une hyperbole et d'un cercle d'Appolonius définissent les zones optimales. Ces lieux ont été mis en évidence par une approche où la corrélation, notée $\rho$, entre lignes de la matrice a été déterminée analytiquement à défaut de pouvoir le faire directement avec $\kappa$ (DJEDIDI 2016). Dans le cas TE les lieux sont des cercles. On rappelle que le cas TM nécessite une diversité fréquentielle, i.e., une bande de fréquence $\Delta f$ de travail, contrairement au cas TE.

La Fig. 4.11 met en évidence les zones optimales pour les deux cas de polarisation considérées. On constate comme montré Fig. 4.11a que les zones loin de la plaque (i.e. placée en $x_p = 10\lambda_0$) sont à privilégier dans le cas TM. On constate également que le $\kappa$ est minimal le long des intersections entre les lieux précités précédemment. Avec l'utilisation d'une bande relative plus large, on a alors un jeu d'hyperboles et plusieurs zones optimales apparaissent comme le montre la Fig. 4.11b ; les largeurs de ces zones dépendent de la bande utilisée. Pour le cas TE en revanche, on constate que la zone à privilégier se situe près de la plaque (cf. Fig. 4.11c). L'utilisation de la diversité fréquencielle pour ce cas là permet d'étendre les zones de bons conditionnements, donnant ainsi un plus grand degré de liberté quant au positionnement de la sonde de mesure (Fig. 4.11d).

Comme nous le verrons dans ce qui suit, la méthode d'inversion directe montre rapidement ses limites dans la mesure où chaque point est vu comme indépendant, permettant ainsi au diagramme obtenu d'avoir des discontinuités ou des sauts brusques. Pour éviter ce travers, une inversion par régression procure une robustesse bien adaptée au problème posé.

### III.2 Approche par Régresseurs

La régression linéaire est une technique de modélisation utilisée généralement pour fitter un modèle à des observables. La méthode de loin la plus utilisée est la fameuse régression par moindres carrés (Least Mean Square (LS) (LAWSON et HANSON 1995)). Cette approche
<figure><img src="image_116.png" /><figcaption>FIGURE 4.10 – Exemple de réduction du problème de diffraction par les bords en utilisant des bords recourbés. La partie plate de la plaque a les dimensions suivantes : $h_y = [-5\lambda_0, 10\lambda_0]$ and $h_z = \pm 5\lambda_0$. $x_p = 10\lambda_0$. HWD. (a) Erreur sur l'amplitude de la partie LOS (TM, UFBW = 4%) (b) Amplitude de l'erreur de la partie image (TM, UFBW = 4%) (c) Amplitude de l'erreur de la partie LOS (TE) avec le modèle de base (d) erreur sur la partie image (TE) avec le modèle de base.</figcaption></figure>

est d'autant plus adaptée que le nombre d'échantillons de mesure est important. Sachant $N_m$ positions de mesure, on décompose le diagramme sur une base de $N_r$ fonctions de régression; la somme étant pondérée par une matrice $\beta$, telle que les expressions (4.2) et (4.4) prennent alors la forme suivante :

$$E = GR\gamma, \quad (4.8)$$

où G est la matrice de Green qui coïncide avec $G_{TE}$ ou $G_{TM}$ suivant le cas étudié; R est une matrice $2N_m \times N_r$ et $\gamma$ un vecteur de pondération des fonctions de régression de dimension $N_r$.

Dans cette approche il convient d'avoir un nombre $2N_m$ total d'angles différents bien supérieur au nombre $N_r$ de fonctions de régression. Les poids $\gamma$ deviennent désormais les inconnues qui se déterminent par minimisation; on a donc des estimations $\hat{\gamma}$ de ces poids au sens des moindre
<figure><img src="image_117.png" /><figcaption>FIGURE 4.11 – Relation entre le facteur de projection $\rho$ et le nombre de conditionnement $\kappa(\mathbf{G}_{TM})$. Mise en évidence des positions optimales montrant l'intérêt des hyperboles optimales (tirets) et des cercles de conditionnement (trait plein). La plaque se situe en $x_p = 10\lambda_0$ et une bande relative $\Delta f_b$ de 4% est utilisée : (a) $\kappa(\mathbf{G}_{TM})$ ; (b) $\Delta f_b = 20\%$ ; $\kappa(\mathbf{G}_{TM})$ ; (c) $\kappa(\mathbf{G}_{TE})$ ; (d) $\kappa(\mathbf{G}_{TE})$ avec diversité fréquencielle (bande de 4%).</figcaption></figure>
<figure><img src="image_118.png" /><figcaption>FIGURE 4.12 – Fonctions RBF définies sur un intervalle angulaire de 180°, $N_r = 5$, $s = 36°$.</figcaption></figure>

carrés telles que,

$$ \hat{\gamma} = \operatorname{Arg min} \| \mathbf{G} \mathbf{R} \gamma - \mathbf{E} \|^2. \qquad (4.9) $$

Plusieurs fonctions de régression ont été testées. Dans le cadre des antennes mises en oeuvre, les fonctions de type Gaussiennes (Gaussian Radial Basis Functions ou RBF), notées $R_n(\phi)$, ont été retenues et sont définies telles que,

$$ R_n(\phi) = e^{-\frac{(\phi - \phi_n)^2}{2s^2}}, \qquad (4.10) $$

où $\phi_n$ correspond aux angles sur lesquels les RBF sont centrées; la largeur à mi-hauteur de chacune des fonctions est fixée à 2,355s. La Fig. 4.12 donne une représentation de ces fonctions pour $N_r = 5$ et $s = 36°$. Pour que la régression soit efficace il convient d'avoir un certain recouvrement entre les fonctions.

Une comparaison des résultats obtenus avec une inversion directe et une inversion par régression est illustrée Fig. 4.13. Nous avons considéré le cas de l'antenne dipole en polarisation TE. Pour émuler le bruit expérimental que 'on aurait en pratique, nous avons superposé a posteriori un bruit blanc aux données de simulation avec un SNR de 20 dB. Deux fréquences formant une bande relative de 4% et 10 points de mesure ont été utilisés, soit 20 angles au total. On observe Fig. 4.13a que la régression avec un jeu de 90 fonctions très étroites ($s = 1°$) n'a aucun intérêt par rapport à une inversion classique car chaque point est associé à une fonction et non à une combinaison linéaire de celles-ci. La Fig. 4.13b montre une amélioration par rapport à l'inversion directe avec un jeu de 10 fonctions. Toutefois sachant la largeur à mi-hauteur de chacune d'elle, on se retrouve à utiliser plus de fonctions que nécessaire sachant le diagramme de rayonnement à reproduire et l'inversion n'est alors pas optimale. Si l'on tombe dans l'autre extrême, à savoir prendre peu de fonctions on obtient le résultat de la Fig. 4.13c pour laquelle on a un jeu de trois fonctions - pour ce cas, le centre du diagramme est bien reconstruit pour peu qu'une des fonctions soit centrée sur le lobe principal; les extrémités quant à elles sont mal reconstruites. Le compromis est trouvé Fig. 4.13d où, avec un jeu de 5 fonctions qui se recouvrent, on parvient à reconstruire le diagramme malgré le bruit. L'inversion du problème, on le rappelle, permet de retrouver les poids $\hat{\gamma}$ pour retrouver le diagramme de rayonnement $F_\phi$.

On constate la robustesse de la technique par régression, notamment vis-à-vis du bruit, par rapport à l'inversion directe. Il est à souligner que le vecteur de bruit diffère d'une simulation
<figure><img src="image_119.png" /><figcaption>FIGURE 4.13 – Illustration de l'inversion par régression dans le cas du dipole (cas TE) avec 10 points de mesure (soit 20 angles) $(x, y) = (-9\lambda_0 : 2\lambda_0 : 9\lambda_0, 5\lambda_0)$, $d = 10\lambda_0$. Bruitage des données avec bruit blanc (SNR = 20dB). $\Delta f = 4\%$: (a) RBF regression, $N_r = 90$, $s = 1°$, (b) RBF regression, $N_r = 10$, $s = 36°$, (c) RBF regression, $N_r = 3$, $s = 36°$, (d) RBF regression, $N_r = 5$, $s = 36°$</figcaption></figure>

à l'autre ce qui explique que les résultats de l'inversion directe mène à des résultats qui diffère d'un graphe à l'autre.

L'utilisation de la régression a été étendue à l'étude de l'impact de la dépendence en fréquence du diagramme de rayonnement. Pour le cas TM pour lequel une diversité en fréquence est nécessaire pour équilibrer le système d'équations, l'hypothèse sous-jacente a été de regarder le diagramme de rayonnement comme une donnée indépendante de la fréquence. Même si dans certains cas cette hypothèse peut être justifiée, elle atteint rapidement des limites. On modifie alors le modèle proposé de la manière suivante,
<figure><img src="image_120.png" /></figure>

<figure><img src="image_121.png" /><figcaption>FIGURE 4.14 – Extension du cas simple plaque aux configurations permettant du multi-échos;
(a) Configuration diédrale d’angle $\phi_{in}$ (b) Configuration diédrale, avec $\phi_{in} = 90^{\circ}$</figcaption></figure>

$$E = \alpha GF, \tag{4.11}$$

$$\text{où } \alpha_{TM} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \alpha \end{bmatrix}, \tag{4.12}$$

$$\text{et } \alpha_{TE} = \begin{bmatrix} \alpha_{TM} & 0 \\ \hline 0 & \alpha_{TM} \end{bmatrix}, \tag{4.13}$$

où $\alpha$ rend compte des variations éventuelles du diagramme à la deuxième fréquence choisie, et ce, en phase et en amplitude. Le problème de régression se transforme en un problème de minimisation non-linéaire d'une fonction coût avec deux grandeurs à estimer telles que (TORN et ZILINSKAS 1989),

$$(\hat{\beta}, \hat{\alpha}) = \operatorname{Arg min} \|\alpha GR\beta - E\|^2. \tag{4.14}$$

L'étude de cette partie en est restée à ses balbutiements car elle correspondait à la fin de la thèse et fait partie des points proposés dans la suite de ces travaux.

Tout ce qui a été présenté jusqu'ici avait comme set-up de mesure le cas de la simple plaque. En réalité dès le début de la thèse (DJEDIDI, MONSEF et al. 2014) l'idée était d'utiliser plusieurs échos. Dans ce qui suit nous allons présenter une synthèse des configurations étudiées.

# IV Configurations multi-échos

Les structures considérées permettent de générer plusieurs échos. Durant la thèse, deux types de configurations ont été étudiées : le dièdre et le cas de plaques parallèles.
IV.1 Structures Diédrales

L'idée est ici de créer des sources images en nombre fini, afin de bénéficier de l'information
portée par chacun des échos associé aux images. La structure diédrale consiste à prendre deux
plaques formant un angle donné comme montré Fig. 4.14a. On s'est limité au cas d'un angle
de 90° comme montré Fig. 4.14b où la source réelle est placée respectivement à une distance d_h
et d_v des parois horizontale et verticale.

Comme dans les cas précédents, les études ont porté sur les cas TM et TE. Pour le cas TM,
l'équilibre du système algébrique nécessite le recours à quatre fréquences de par la présence de
quatre sources (1 réelle+3 images) ; le cas TE permet lui de n'utiliser que deux fréquences pour
quatre sources.

L'analyse a porté sur l'étude des zones optimales au sens du conditionnement des matrices,
dans le cas d'inversion directe. Il en est ressorti que la configuration diédrale à angle droit offre
la possibilité d'atteindre des systèmes bien conditionnés utilisant des dimensions d'environne-
ment de mesure de l'ordre de $30\lambda_0$ et des bandes de fréquences de l'ordre de 6%. L'obtention
de systèmes bien conditionnés est plus aisé dans le cas TE et met en jeu des bandes de fré-
quences plus étroites de par la sur-détermination permise par l'utilisation de deux coordonnées
cartésiennes. Dans l'étude menée, on a envisagé d'avoir recours à un système de rotation qui
permettrait de réduire d'un facteur 4 les temps de mesures classiques. Comme dans les cas
précédents, la régression s'est montrée efficace dans sa capacité à réduire les erreurs sur le
diagramme de rayonnement dans une fourchette de +/- 1 dB. Les erreurs sont essentiellement
dues à l'hypothèse de champ lointain ainsi qu'à la diffraction sur l'antenne sous test.

IV.2 Cas des plaques parallèles

Le cas des plaques parallèles est original car il introduit un nombre infini d'images. Afin de
formaliser le problème, une troncature du nombre d'images est indispensable. Le problème dans
ce genre de procédure est de définir un critère suffisamment pertinent pour ne pas perdre de
l'information.

Ce cas est finalement le plus compliqué et paradoxalement, il a éveillé notre intérêt dès le
démarrage de la thèse (DJEDIDI, MONSEF et al. 2014). Il ressort de cette étude que plus le
nombre d'images est important, plus le nombre d'angles accessibles l'est aussi. Toutefois plus
une image est lointaine, plus l'intensité de son champ rayonné devient faible devant les autres
contributions ; les contributions seront donc d'autant plus faibles qu'une image est loin de la
sonde de mesure, d'où l'intérêt de la troncature.

Au niveau mathématique, il ressort que plus le nombre d'images est important plus le condi-
tionnement se dégrade et nécessite, d'une part, de plus grandes dimensions d'environnement de
mesure, et d'autre part, de plus grandes bandes de fréquences utiles à la diversité fréquentielle.
En outre, bien qu'il soit difficile de mettre en équation la capacité à réduire l'effort mécanique
de mesure par rapport aux méthodes classiques, certains scénarios de test ont mis en évidence
une capacité de scan azimuthal complet avec un pas angulaire de 8°, et ce, avec huit points de
mesures.

Le grand nombre d'images implique un nombre important d'angles balayés. Cela est propice
à l'utilisation de la régression. L'utilisation de cette technique a ainsi permis de passer à des
erreurs de ±30 dB par inversion directe à des niveaux d'erreur de l'ordre de ±1 dB.

On renvoie au manuscrit de thèse <fnref n="7" /> pour les détails des résultats qui ont essentiellement portés

<footnote n="7">7. Sec. 5.4 de la thèse de Mouad Djedidi</footnote>
sur l'étude du conditionnement des matrices de Green.

# V Conclusion et perspectives

Le travail de Mouad a permis de mettre un cadre théorique sur la faisabilité de la technique envisagée. Les simulations ont permis d'accéder à des aspects plus quantitatifs.

Les perspectives portent clairement sur la mise en place d'un prototype expérimental. Sur la fin de la thèse Mouad a procédé à des mesures afin d'obtenir un premier retour d'expérience sur la mise en place expérimentale du dispositif.

La perspective dans ce cadre est de proposer la mise en place expérimentale dans le cadre d'une thèse. Celle-ci portera sur l'exploitation d'une plaque réfléchissante pour accélérer les mesures. Une attention particulière doit être portée aux conditions expérimentales qui permettent d'observer un effet miroir "idéal". Les quelques essais réalisés par Mouad ont mis en lumière que cette partie nécessite d'y investir une minutie particulière et du temps.

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## III Brevets

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MONSEF, F. (2013). « Chambre réverbérante à uniformité de champ électromagnétique améliorée ». 1H170260 0310 FR /JBT/PAS.