# Une recherche sur le logiciel DERIVE. Rapport.

## Equipe Didirem

► To cite this version:

Equipe Didirem. Une recherche sur le logiciel DERIVE. Rapport.. IREM de Paris. IREM de Paris, Spécial n° 3., 1995, Cahier de DIDIREM, René Cori, 2-86612-121-X. hal-02151027

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INSTITUT
DE RECHERCHE
POUR L'ENSEIGNEMENT
DES MATHEMATIQUES

NUMERO SPECIAL N° 3

DECEMBRE 1995

CAHIER DE DIDIREM

UNE RECHERCHE SUR LE LOGICIEL DERIVE

RAPPORT

EQUIPE DIDIREM

DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES

UNIVERSITE PARIS 7 - DENIS DIDEROT
ETUDE DES MODES D'APPROPRIATION DE CALCULATRICES
COMPLEXES PAR DES ELEVES DE LYCEE ET DES
STRATEGIES DEVELOPPEES PAR LES ENSEIGNANTS POUR
L'INTEGRATION DE CES OUTILS A L'ENSEIGNEMENT DES
MATHEMATIQUES

RAPPORT D'ETAPE
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# INTRODUCTION

Les logiciels incluant une composante de calcul symbolique, que nous nommerons dans ce rapport : "systèmes de mathématiques symboliques" ou plus brièvement SMS, reprenant la terminologie introduite par J.F.Canet dans (Canet, 1994) étaient, jusqu'à il y a peu, réservés aux mathématiciens ou utilisateurs professionnels des mathématiques. Ces dernières années ont vu l'apparition de logiciels, comme le logiciel DERIVE, moins puissants mais a priori suffisamment puissants pour les besoins de l'enseignement secondaire, implémentables sur des micro-ordinateurs relativement modestes voire des calculatrices et enfin, d'un coût raisonnable.

D'une part, l'enseignement ne peut rester aveugle à cette évolution, d'autre part, on imagine aisément que l'intégration réussie de SMS ne va pas aller de soi. Elle risque de remettre en cause, plus profondément encore que l'introduction des calculatrices numériques puis graphiques, les équilibres établis au sein des contenus d'enseignement, notamment les équilibres entre les composantes conceptuelles et techniques de l'enseignement des mathématiques.

Pour soutenir et guider efficacement les évolutions nécessaires ou inévitables, des travaux d'innovation et de recherche sont nécessaires. Il importe de se donner les moyens de dépasser dans ce domaine comme dans d'autres le registre de l'opinion pour arriver à cerner ce que peuvent réellement apporter les SMS à l'enseignement des mathématiques, et ce en fonction des niveaux d'enseignement concernés, pour préciser les conditions d'une gestion efficace de ces nouveaux outils, pour déterminer des formations appropriées pour les enseignants.

C'est dans cette problématique que se situe la recherche menée par l'équipe DIDIREM dans le cadre d'une convention passée en 1993 avec la Direction des Lycées et Collèges du Ministère de l'Éducation Nationale, convention reprise ensuite par la Direction de l'Information et des Technologies Nouvelles (D.I.T.E.N.) de ce même Ministère. Plus précisément, il s'agit ici d'essayer de cerner en quoi l'utilisation d'un logiciel comme DERIVE est susceptible d'agir sur les conceptions et pratiques mathématiques des élèves.

Nous avons fait le choix de nous placer, dans cette recherche, dans des conditions a priori favorables. Nous travaillons principalement avec les élèves d'enseignants familiers avec le logiciel et l'ayant intégré depuis plus d'un an à leur enseignement. Il ne s'agit pas ici en effet d'étudier directement le problème de la diffusion de l'utilisation de DERIVE mais, en amont, de préciser ses potentialités, de cerner des conditions de réalisation de ces potentialités, d'identifier d'éventuels obstacles, de battre en brèche éventuellement certaines idées naïves. Pour une telle étude, le travail avec des "experts" nous semble particulièrement bien adapté.

Sur le plan méthodologique, il nous a semblé nécessaire de croiser dans cette recherche des méthodologies internes et externes. Les questionnaires associés à la méthodologie externe sont destinés à donner une vision relativement large de l'effet sur les représentations et les pratiques. Mais il nous a semblé nécessaire de croiser ce type de données - opinions sur les représentations et pratiques, leur évolution, fournies par les différents acteurs - avec des données concernant directement les pratiques elles-mêmes. C'est cette réalité des pratiques que nous essayons d'approcher via la méthodologie interne d'analyse fine du fonctionnement de quelques situations "typiques". Toujours pour nous situer dans les conditions a priori les plus favorables, nous avons choisis de nous limiter à des situations présentées par des "experts" comme susceptibles de mettre en jeu telle ou telle potentialité du logiciel pour l'enseignement des mathématiques. Les experts sont ici les membres du groupe "Calcul Formel" de la D.I.T.E.N., groupe qui fonctionne depuis trois ans, sous la direction d'Anne Hirlimann.
Précisons que, de manière générale, la recherche est menée en collaboration étroite avec ce groupe aux réunions duquel Michèle Artigue, membre de l'Équipe DIDIREM et responsable de cette recherche, participe depuis octobre 1992.

La recherche s'est déroulée en trois phases :

* La première phase était une phase de mise au point des instruments de la recherche : repérage bibliographique et mise au point d'une grille d'analyse des publications, mise au point d'une grille d'observation et d'analyse des situations, mise à l'essai de la grille sur quelques situations a priori adaptées au niveau collège et lycée, préparation et test des premiers questionnaires, analyse des données recueillies.

* La deuxième phase, est celle où, les instruments ayant été définitivement mis au point, les questionnaires ont été soumis à un échantillon plus large d'enseignants et d'élèves et où l'ensemble des situations "typiques" retenues a fait l'objet d'une expérimentation.

* La troisième phase a été classiquement consacrée à l'analyse des données recueillies dans la deuxième phase et à la rédaction du rapport final.

Ce rapport est constitué de trois parties. La première est consacrée aux questionnaires, la seconde aux observations de situations de classe menées au niveau collège et au niveau lycée. La troisième partie intitulée : synthèse et conclusions résume les principaux apports du travail et propose des pistes de développement ultérieur. Le rapport s'achève enfin par un appendice bibliographique. Des annexes rassemblent des données qui alourdiraient le document principal.

Nous voudrions pour terminer cette introduction remercier tous les professeurs qui ont collaboré à cette recherche, en acceptant de remplir les questionnaires enseignants et de soumettre à leurs élèves les questionnaires élèves. Nous voudrions aussi remercier les membres du groupe "Calcul Formel" de la D.I.T.E.N. dont le soutien a été essentiel au développement de cette recherche et avec lesquels nous souhaitons continuer à collaborer, et tout particulièrement bien sûr, ceux qui nous ont proposé des situations pour l'observation et ont accepté de nous accueillir dans leurs classes : Gilles Aldon, Philippe Bethune, Michèle Dupérier, Guy Juge, Etienne Meyer et Michel Rousselet. Nous remercions aussi les professeurs étrangers, présents dans notre équipe en 1993-94, qui ont collaboré aux observations de classes : Rosa Maria Farfan, Maria Alice Gravina et Marie Winter.

Michèle Artigue, Maha Abboud, Jean Philippe Drouhard, Jean-Baptiste Lagrange
# PREMIÈRE PARTIE
## LE RECUEIL D'INFORMATION PAR QUESTIONNAIRES

### I. INTRODUCTION

Les questionnaires, comme nous l'avons précisé dans l'introduction, ont pour objectif de nous fournir une vision relativement large de l'effet de l'utilisation de DERIVE sur les représentations et pratiques de l'enseignement secondaire.

#### I.1 LE QUESTIONNAIRE ÉLÈVES

Dans la première phase de la recherche, nous avons élaboré, en concertation avec le groupe "Calcul Formel" de la D.I.T.E.N. (groupe D.I.T.E.N. dans la suite), une première version du questionnaire élèves. Cette version a été passée sur les élèves de classes des membres du groupe, à la fin de l'année scolaire. Nous avons ainsi obtenu des réponses de 8 classes : quatre classes de troisième, une classe de seconde, une classe de première S, deux classes de terminale C, représentatives des divers niveaux de l'expérimentation.

Pour cette première version, exploratoire, les réponses aux questions ont volontairement été laissées relativement ouvertes. C'est à partir de l'analyse des réponses à cette première version qu'a été élaborée la deuxième version. Dans cette version, davantage de questions sont fermées, de façon à faciliter le traitement quantitatif des réponses.

#### I.2 LE QUESTIONNAIRE PROFESSEURS

La recherche a pour objet les représentations et pratiques mathématiques des élèves. Il a semblé cependant important, pour compléter l'interprétation des réponses fournies, de rechercher auprès des enseignants des classes concernées, des éléments d'information sur l'intégration du logiciel DERIVE. C'est pourquoi, nous avons aussi élaboré un questionnaire professeur, toujours en collaboration avec les membres du groupe D.I.T.E.N.

#### I.3 LES ENSEIGNANTS CONTACTÉS ET LES RÉPONSES OBTENUES

La deuxième version du questionnaire élèves et le questionnaire professeurs étaient destinés à être soumis, à la fin l'année scolaire 1994, à un large ensemble de classes. Dans un premier temps, nous avons constitué une première liste de 14 enseignants de mathématiques, répartis sur toute la France, familiers de l'utilisation d'environnements informatiques et ayant plusieurs années d'expérience DERIVE, acceptant de participer à l'opération "questionnaires". Cet échantillon a été constitué en s'appuyant sur le réseau IREM et plus particulièrement la commission inter-IREM "Informatique", via les membres du groupe "Calcul Formel" de la D.I.T.E.N. Dans un second temps, une seconde liste de 14 enseignants de mathématiques a été constituée à partir d'informations données lors d'une réunion nationale de formation de responsables académiques. Nous disposions alors, en comptant les 12 membres du groupe D.I.T.E.N. pouvant participer à l'opération, de 40 professeurs volontaires. Nous avons adjoint, à ce groupe, à titre de comparaison, 15 enseignants suivant sur l'année une formation à DERIVE avec l'un des membres du groupe "Calcul Formel" et n'ayant pas auparavant utilisé
DERIVE dans leurs classes, et deux professeurs s'étant fait connaître par la suite. L'échantillon final était donc constitué de 57 enseignants.

Malgré les précautions prises, le taux de retour n'a pas été celui que nous espérions. Les réponses des élèves de 20 classes ont été obtenues, et 25 questionnaires professeurs ont été considérés comme utiles, c'est-à-dire remplis par des professeurs dont les élèves ont effectivement utilisé DERIVE. Nous précisons ces retours catégorie par catégorie, dans le tableau de la page suivante.

Nous avons au début du mois de septembre adressé un courrier à toutes les personnes dont nous étions sans nouvelles, en leur demandant de nous indiquer quelles étaient les raisons de leur désistement. L'ensemble des lettres reçues renvoie à des raisons différentes :

* Pour les professeurs stagiaires, très majoritairement, ceux qui répondent indiquent qu'ils ne se sont pas sentis assez sûrs d'eux à l'issue de la formation pour tenter, dès cette première année, quelque chose dans leur classe.

* Pour les autres catégories, la raison la plus fréquemment avancée est la suivante : des difficultés d'organisation les ont empêchés d'utiliser DERIVE un nombre suffisant de séances pour que la passation du questionnaire ait une quelconque signification. Quelques uns également n'ont pas pu faire passer le questionnaire élève, ou n'ont pu le récupérer, la passation étant prévue à la fin de l'année scolaire, du fait de perturbations d'emplois du temps.

<table><thead><tr><td>Origine</td><td>Nombre de personnes contactées</td><td>Nombre de réponses questionnaire prof</td><td>Nombre de professeurs ayant renvoyé des questionnaires élève</td></tr></thead><tbody><tr><td>Groupe ministériel</td><td>12</td><td>12</td><td>8 (9 classes)</td></tr><tr><td>Première liste</td><td>14</td><td>4</td><td>5</td></tr><tr><td>Stage national</td><td>14</td><td>6 dont 5 utiles</td><td>6</td></tr><tr><td>Autres</td><td>17</td><td>10 dont 4 utiles</td><td>0</td></tr><tr><td>Total</td><td>57</td><td>25 utiles</td><td>19 (20 classes)</td></tr></tbody></table>

## I.4 LES RÉSULTATS

Dans cette partie, nous présentons d'abord un résumé des résultats obtenus à partir de réponses à la première version du questionnaire élève. Nous montrons ensuite comment cette analyse a conduit à la seconde version du questionnaire élève, puis dans une troisième partie les résultats de l'analyse des réponses à ce questionnaire, analyse réalisée en utilisant la méthodologie, notamment d'analyse statistique, mise au point sur le premier questionnaire. La quatrième partie porte sur le questionnaire professeurs. En conclusion de cette partie, nous donnons une synthèse des résultats obtenus à partir des deux versions du questionnaire élèves et des indications supplémentaires obtenues par le questionnaire professeurs.

## II. RÉSULTATS DE LA PREMIÈRE VERSION DU
QUESTIONNAIRE ÉLÈVES

Voici le texte du questionnaire passé dans les 8 classes des professeurs du groupe D.I.T.E.N. à la fin de la première année d'expérimentation (92-93), puis une analyse des réponses obtenues.
## II.1 LE TEXTE DU QUESTIONNAIRE

1.Classe :

2.Etablissement :

3.Sexe :

F

G

4. Quelle calculatrice avez-vous ? Oui Non

Vous permet-elle de :

5.Tracer des Graphiques ? Oui Non

6.Faire du Calcul Formel ? Oui Non
(par exemple développer (2x+1)(x+3)

Si oui, l'utilisez-vous pour :

7.Tracer des Graphiques ? Oui Non

8.Faire du Calcul Formel ? Oui Non

L'utilisez-vous :

9.En cours de maths ? Souvent Rarement

10.A la maison ? Souvent Rarement

11.Pouvez-vous utiliser un micro-ordinateur en dehors du collège ou du lycée ? Oui Non

12.Si oui, l'utilisez-vous :

Souvent

Assez Souvent

Rarement

Jamais

13.Pour quoi faire ?

14.Avez-vous utilisé des logiciels en mathématiques avant cette année scolaire ?

Plus de 10 fois

Entre 3 et 10 fois

1 pou 2 fois

Jamais

15.Aimez-vous utiliser des logiciels en cours de mathématiques ?

Oui

Non

Indifférent

16.Pourquoi ?

17.C'est votre première année d'utilisation de DERIVE : Oui Non

Cette année, vous avez utilisé DERIVE (préciser approximativement le nombre d'heures, le cas échéant) :

18.En classe : heures

19.Au C.D.I. : heures

20.En atelier ou club : heures

21.A la maison : heures
22. Autres (préciser) : heures

A votre avis, apprendre à se débrouiller avec DERIVE, c'est :

23. Facile Oui Non

24. Rapide Oui Non

A votre avis, apprendre à bien se servir de DERIVE, c'est :

25. Facile Oui Non

26. Rapide Oui Non

27. Avez-vous rencontré des difficultés pour apprendre à vous servir de DERIVE ?

Oui Non

28. Si oui, donnez des exemples :

29. Vous sentez-vous maintenant à l'aise avec DERIVE ? Oui Non

30. Quelles commandes utilisez-vous ?

Notez la difficulté pour vous des apprentissages suivants (de 1 = facile à 10 = difficile)

31. (apprentissage au choix de l'enseignant : difficulté moyenne))

32. (apprentissage au choix de l'enseignant : difficile)

33. Apprendre à se servir de votre calculatrice

34. (apprentissage au choix de l'enseignant : facile)

35. Apprendre à utiliser DERIVE

36. Dans ce que DERIVE sait faire, qu'est-ce-qui vous paraît le plus étonnant ?

37. Si l'on pouvait ajouter des possibilités à DERIVE, en priorité vous souhaiteriez :

38. DERIVE peut-il vous aider à faire des mathématiques ?

Oui Non Sans Opinion

39. Pour quoi faire et comment ?

40. A votre avis, est-ce-que c'est différent de faire des mathématiques avec DERIVE ?
Oui Non Sans Opinion

41. Pourquoi ?

42.Est-ce que vous aimeriez avoir DERIVE en permanence pour faire des mathématiques ?

Oui Non Sans Opinion

43. DERIVE peut-il parfois donner des résultats faux ? Oui Non

44. Sur quoi fondez-vous votre opinion ?

45.Parmi les activités avec DERIVE, dites celles qui vous ont le plus intéressé(e) et pourquoi :

46.Parmi les activités avec DERIVE, dites celles qui vous ont le moins intéressé(e) et pourquoi :

47.Y-a-t-il des choses que vous avez l'impression d'avoir mieux comprises et apprises grâce aux activités avec DERIVE ? Si oui, lesquelles ?

48.Est-ce-que vous aimeriez pouvoir utiliser DERIVE pendant les contrôles ?

Oui Non Sans Opinion

49. Pourquoi ?

50.Votre prof de maths vous laisse le choix pour le prochain contrôle : avoir ou non DERIVE, que choisissez-vous ?

Avoir DERIVE

Ne pas avoir DERIVE

Sans Opinion

51.Pourquoi ?

Pour chacune des phrases suivantes dites si vous êtes :

Tout à fait d'accord (1)

Plutôt d'accord (2)

Plutôt pas d'accord (3)

Pas du tout

d'accord (4)

Sans Opinion (5)

<table><tr><td>52.Avec DERIVE, même si on a des difficultés avec le calcul littéral, on peut faire des mathématiques</td><td></td></tr><tr><td>53.Avec DERIVE, il n'y a plus besoin d'apprendre à calculer ou à tracer des courbes, il le fait à notre place</td><td></td></tr><tr><td>54.Ca ne sert à rien de travailler avec DERIVE puisqu'aux contrôles et aux examens, il faut rédiger les calculs et les démonstrations</td><td></td></tr></table>
<table><tr><td>55. Quand on utilise DERIVE, il faut bien organiser son travail sinon on perd beaucoup de temps</td><td></td></tr><tr><td>56. DERIVE, ça donne envie de faire des mathématiques</td><td></td></tr><tr><td>57. DERIVE, c'est compliqué et ça ne sert pas à grand chose pour apprendre des mathématiques</td><td></td></tr><tr><td>58. Quand DERIVE ne donne pas de réponse, c'est que le problème n'a pas de solution</td><td></td></tr><tr><td>59. DERIVE c'est bien pour se donner des idées dans des problèmes difficiles</td><td></td></tr><tr><td>60. DERIVE c'est bien pour contrôler ses réponses</td><td></td></tr><tr><td>61. DERIVE c'est bien pour découvrir des règles de calcul</td><td></td></tr><tr><td>62. DERIVE c'est bien pour exécuter les calculs pénibles</td><td></td></tr><tr><td>63. DERIVE, ça permet de ne pas se noyer dans les calculs quand on résout un problème</td><td></td></tr></table>

## II.2 ANALYSE DES RÉPONSES

Nous rappelons ci-dessous les résultats les plus marquants des premières analyses effectuées. Ces résultats ont été présentés de façon détaillée dans le rapport intermédiaire remis au ministère en décembre 1994.

### ÉQUIPEMENT EN CALCULATRICES ET UTILISATIONS
(QUESTIONS 2 À 10)

Nous avions noté que l'équipement est cohérent avec le niveau des classes, et que les calculatrices sont souvent utilisées à la maison aussi bien qu'en classe (autour de 80%). Seules les classes de Terminale présentaient un score d'utilisation "souvent" plus important "à la maison" qu'en classe.

### POSSIBILITÉS D'ACCÈS A UN ORDINATEUR ET UTILISATIONS
(QUESTIONS 11 À 14)

Les possibilités d'accès à l'ordinateur semblaient élevées, ce qui pouvait indiquer une origine sociale plutôt favorisée. Nous avions cependant noté une utilisation peu intensive des machines, les utilisations principales étant le jeu et le traitement de texte, plus rarement celle de logiciels d'apprentissage scolaire.

### LES LOGICIELS EN MATHÉMATIQUES
(QUESTIONS 14 À 16)

Sauf dans le cas des deux classes de 3ème du collège d'Herblay, l'utilisation antérieure de logiciels en mathématiques semblait marginale. Les élèves de troisième étaient dans leur grande majorité favorables à cette utilisation, les avis étant plus partagés dans les autres classes. Même si les utilisations de l'ordinateur étaient le plus souvent appréciées du fait du changement de pédagogie qu'elles impliquaient, et du rapport différent aux mathématiques qu'elles pouvaient instituer, elle ne semblaient pas apporter, selon l'opinion de ces élèves, une aide décisive à leur compréhension des mathématiques.
## RENCONTRE AVEC DERIVE ET FAMILIARISATION
(QUESTIONS 17 À 35)

Nous avions constaté un nombre d'heures d'utilisation de DERIVE en classe très variable d'une classe à l'autre. Des utilisations "à la maison" pouvaient exister pour des élèves isolés qui annonçaient un nombre d'heures d'utilisation important (80 h). Les autres utilisations étaient très peu rencontrées.

Apprendre à "bien se servir" de DERIVE était généralement considéré comme moins facile et moins rapide qu'apprendre à "se débrouiller" avec le logiciel. Cette différence était plus marquée dans les classes de Première et de Terminale ; nous l'avions expliquée par le fait que ces élèves avaient pu rencontrer des usages du logiciel, particulièrement en analyse et en trigonométrie, impliquant une plus grande complexité de mise en oeuvre.

Le rangement suivant la moyenne des indices de difficultés ne faisait apparaître l'apprentissage de DERIVE ni comme particulièrement facile, ni comme exceptionnellement difficile, mais généralement comme plus difficile que l'apprentissage de la calculatrice.

## PERCEPTION DES POSSIBILITÉS DE DERIVE ET DE SES LIMITES
(QUESTIONS 36 ET 37)

La majorité des fonctionnalités décrites comme "étonnantes" n'étaient pas spécifiques de DERIVE : concernant la rapidité et la complexité des calculs, ainsi que le graphisme, on aurait pu les attribuer à des solveurs, ou à des grapheurs purement numériques, ou à des calculatrices. Peu de réponses témoignaient d'une meilleure conscience de l'apport spécifique du calcul symbolique.

Les propositions de "possibilités à ajouter" allaient dans quatre directions : augmenter l'ergonomie du logiciel, rendre le logiciel capable d'accomplir aussi la part de la tâche qui, dans l'état actuel, reste à la charge de l'élève (mettre en équation, rédiger..), l'explicitation du processus de calcul, faire "tout" avec DERIVE (de la géométrie, de la physique, des langues).

## DERIVE, L'ENSEIGNEMENT ET L'APPRENTISSAGE DES MATHÉMATIQUES (QUESTIONS 38 À 42)

Une série de questions libres permettait d'apprécier qualitativement la façon dont les élèves se représentaient les apports possibles de DERIVE aux apprentissages en mathématiques. Nous avions classé ces réponses en trois groupes. Dans le premier groupe, les élèves considéraient naïvement que la manipulation de DERIVE pourrait se substituer à l'activité mathématique habituelle. Dans le second groupe, les élèves insistaient sur la démarche de calcul, par opposition au résultat, et s'interrogeaient sur l'apport de DERIVE dans ce cadre. Dans le troisième groupe, les élèves soulignaient les apports possibles de DERIVE à un pratique plus réflexive et conceptuelle des mathématiques. Nous avions constaté que les élèves des classes de troisième étaient plus présent dans la première et la troisième direction : nous avions interprété ceci par la coexistence d'une part d'élèves ayant une conception "naïve" de l'algèbre (l'utilisation de DERIVE ayant été centrée sur ce domaine), d'autre part d'élèves dominant suffisamment l'algèbre enseignée à ce niveau pour en envisager une pratique plus conceptuelle.

## ADHÉSION À DES OPINIONS SUR DERIVE
(QUESTIONS 52 À 63)

Il s'agissait d'une série de 13 opinions pour lesquelles les élèves devaient indiquer leur degré d'accord (de "Pas du tout d'accord" à "Tout à fait d'accord"). Nous avions calculé un
pourcentage d'adhésion moyen dans les différentes classes, et montré que les opinions se répartissaient ainsi en quatre classes principales :

* Les opinions où DERIVE apparaissait comme une aide à la démarche de calcul (se donner des idées, exécuter les calculs pénibles, contrôler les réponses...) recueillaient un accord général.

* Les opinions où DERIVE apparaissait comme une aide mais comme une aide plus globale et pouvant impliquer une modification de démarche (on peut réussir même si on a des difficultés, ça permet de ne pas se noyer, il faut organiser son travail, ...) avaient un score moins nettement positif.

* Les opinions impliquant DERIVE dans une pratique plus ouverte et plus "conceptuelle" des mathématiques (ça donne envie, c'est bien pour découvrir, ça aide à comprendre...) obtenaient des scores moyens avec parfois une fréquence élevée de non réponse ou de sans-opinion.

* Les opinions négatives, enfin, (Faire un problème avec DERIVE c'est tricher, DERIVE c'est compliqué...) recueillaient un désaccord assez général.

## II.3 LE DÉPOUILLEMENT DES QUESTIONS FERMÉES À L'AIDE DE L'ANALYSE IMPLICATIVE

Après cette première analyse, nous avons voulu dépasser le simple constat, peu explicatif, d'une hiérarchie des opinions en fonction d'un degré moyen d'adhésion sur la population. Il nous a semblé intéressant d'organiser les opinions en fonction de la simultanéité de leur occurrence chez les élèves : deux opinions a et b pourraient ainsi être reliées si, pour "presque chaque élève", le degré d'adhésion à a était "peu différent" du degré d'adhésion à b. Parmi les méthodes les plus courantes en didactique, nous avons retenu l'analyse implicative (Gras, 1992) pour les raisons suivantes :

* Le calcul de coefficients de corrélation ou de $N^2$ aurait permis de faire apparaître des relations de dépendance entre opinions. L'analyse implicative présentait cependant l'avantage d'établir une relation non symétrique entre les opinions et de les organiser dans un graphe.

* L'analyse factorielle des correspondances aurait fourni une représentation graphique faisant apparaître des proximités entre élèves, de par le degré d'adhésion qu'ils exprimaient aux différentes opinions. Celle-ci nous aurait permis de dégager des groupes d'élèves ayant des profils proches. Néanmoins, les graphes d'implication nous ont paru pouvoir apporter plus d'informations sur l'organisation des représentations.

La notion de base en analyse implicative est l'intensité d'implication. L'intensité d'implication d'une opinion a vers l'opinion b est une mesure de la propension à adhérer à b quand on adhère à a. Si on a une intensité implicative significative de a vers b, cela signifie qu'une personne adhérant à a adhérera significativement plus à b que la personne moyenne. La relation d'implication se représente dans un graphe orienté : une opinion largement partagée "se nourrit" d'opinions plus minoritaires, ce qui permet de dégager des "filiations" particulièrement informatives quand elles sont interprétées en terme de représentation.

Dans ses applications antérieures, l'analyse implicative a concerné surtout des variables binaires. Les questions à quatre modalités de réponse du questionnaire DERIVE nous ont
conduit à des propositions nouvelles concernant le calcul de l'intensité d'implication, et l'interprétation de la relation d'implication dans le cas de ces variables (Lagrange, 1995).

En appliquant la méthode sur la première version, nous avons obtenu des filiations intéressantes, d'une part entre opinions et d'autre part entre classes et opinions. Nous résumons ci-dessous ces résultats. On trouvera une présentation plus détaillée dans (Lagrange, 1994).

## LES IMPLICATIONS OPINION --> OPINION

Nous avons obtenu quatre filiations.

* la première filiation est une filiation de refus de DERIVE, avec deux tendances : dans la première, le logiciel est perçu comme totalement divergent par rapport aux apprentissages mathématiques, alors que dans la deuxième, le refus semble résulter d'une centration sur l'aspect technique de l'activité mathématique.

* la seconde filiation est orientée vers l'utilisation de DERIVE pour "sécuriser" la démarche de calcul.

* dans une troisième filiation, DERIVE apparaît également comme un auxiliaire pour la démarche de calcul, mais l'apport de DERIVE est davantage perçu dans la construction de la démarche, que pour une validation a posteriori.

* la quatrième filiation est plus nettement "conceptuelle".

Les moyennes sur l'effectif des différentes opinions font apparaître que la filiation de "refus" et la filiation "conceptuelle" sont minoritaires par rapport à celles qui sont centrées sur les apports de DERIVE à la démarche de calcul.

## LES IMPLICATIONS CLASSE --> OPINION

Dans les réponses des classes de Troisième à cette première version du questionnaire, on constatait deux tendances. L'une s'orientait vers des filiations centrées soit sur la technique, soit sur un apport faible à la démarche et l'autre vers la filiation conceptuelle. On peut donc penser que ces deux classes de Troisième comprennent des élèves très distincts. Les uns réduisent le calcul à la production d'un résultat, les autres dominent suffisamment les objets algébriques introduits à ce niveau pour envisager d'utiliser DERIVE pour une pratique plus "conceptuelle" des mathématiques.

Les implications issues des classes de Terminale montraient que DERIVE y est vu, plus que dans d'autres classes, comme un auxiliaire pour sécuriser la démarche ou pour construire cette démarche.

## INTÉRÊT DE LA MÉTHODE

Cette organisation des opinions et des classes en filiations a ainsi confirmé l'impression qualitative issue des réponses aux questions libres de la partie "DERIVE, l'enseignement et l'apprentissage des mathématiques". De plus, les filiations dégagées sont reliées aux représentations de l'apport de DERIVE aux apprentissages mathématiques et nous avons pu les mettre en rapport avec les comportements observés dans les séquences en classe. C'est pourquoi nous avons décidé de limiter, dans le second questionnaire, les questions à réponses libres, et de privilégier des questions fermées susceptibles d'être traitées par l'analyse implicative.
### III. PRÉSENTATION DE LA SECONDE VERSION DU
QUESTIONNAIRE ÉLÈVE

La seconde version comporte certaines modifications par rapport à la première version, en fonction de l'analyse rappelée ci-dessus. Nous indiquons ici ces modifications, partie par partie :

#### III.1 ENVIRONNEMENT TECHNIQUE DE L'ÉLÈVE

4. Quelle calculatrice utilisez-vous actuellement ?

Sans changement.

L'utilisez-vous

5. pour tracer des graphiques ? oui ☐ non ☐

6. pour programmer ? oui ☐ non ☐

Nous avons supprimé les questions sur les possibilités des calculatrices, les élèves ne connaissant pas toujours ces possibilités.

La question sur l'utilisation pour faire du calcul formel avait surtout montré des confusions à ce sujet (de nombreux élèves indiquaient qu'ils utilisaient leurs TI81 pour faire du calcul formel). Nous ne l'avons pas conservée. Par contre nous avons inclus une question sur la programmation de façon à repérer les élèves qui font un usage plus poussé de leur calculatrice.

L'utilisez-vous

7. en cours de math ? souvent ☐ rarement ☐

8. à la maison ? souvent ☐ rarement ☐

Sans changement.

Utilisez vous un ordinateur en dehors du lycée pour écrire des textes ?

9. Jamais ☐ Rarement ☐ Assez souvent ☐ Souvent ☐

10. Jouer

11. faire des mathématiques ?

12. autres (précisez) :

Rarement ☐ Assez souvent ☐ Souvent ☐

A partir des réponses à la première version, nous avons "fermé" cette question, en proposant les usages les plus souvent constatés. Il nous sera ainsi plus facile d'opérer un traitement quantitatif.

13. Avez-vous utilisé en classe avant cette année scolaire des logiciels de mathématiques
Jamais ☐ Une ou deux fois ☐ Entre trois et dix fois ☐ Plus de dix fois

14. Parmi les opinions suivantes, cochez les 3 opinions avec lesquelles vous êtes le plus en accord.

☐ J'aime utiliser les logiciels en classe de math, parce que ça change du cours habituel

☐ J'aime utiliser les logiciels en classe de math, parce que ça aide à comprendre les maths
☐ J'aime utiliser les logiciels en classe de math, parce que ça fait voir les maths autrement

☐ Utiliser les logiciels en classe de math, c'est utile parce que ça apprend à utiliser un ordinateur

☐ Utiliser les logiciels en classe de math, c'est utile parce que ça fait gagner du temps

☐ Utiliser les logiciels en classe de math, c'est inutile parce que ça ne prépare pas aux examens

☐ Utiliser les logiciels en classe de math, ça fait perdre du temps

☐ Les logiciels en classe de math, c'est moins commode que la calculatrice

☐ Je n'aime pas utiliser les logiciels en classe de math, parce que je n'aime pas l'ordinateur

☐ Je n'aime pas utiliser les logiciels en classe de math, parce que les logiciels sont inintéressants.

Nous avons de même fermé la question sur l'utilisation des logiciels en cours de mathématiques, en reprenant les opinions les plus couramment émises en réponse à la première version. Ce choix doit permettre un traitement par l'analyse implicative.

### III.2 RENCONTRE AVEC DERIVE ET FAMILIARISATION

Cette année, vous avez utilisé DERIVE (précisez approximativement le nombre d'heures)

15. En classe heures

16. Au CDI heures

17. En atelier ou en club heures

18. A la maison heures

19. Autres, précisez heures

A votre avis, apprendre à se débrouiller avec DERIVE, c'est

20. Facile oui ☐ non ☐

21. Rapide oui ☐ non ☐

A votre avis, apprendre à bien se servir de DERIVE, c'est

22. Facile oui ☐ non ☐

23. Rapide oui ☐ non ☐

24. Vous sentez-vous maintenant à l'aise avec DERIVE ? oui ☐ non ☐

Cochez une case pour chacun des apprentissages suivants

<table><thead><tr><th></th><th>très facile</th><th>plutôt facile</th><th>plutôt difficile</th><th>très difficile</th></tr></thead><tbody><tr><td>25.</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td></tr><tr><td>26.</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td></tr><tr><td>27. Apprendre à utiliser votre calculatrice</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td></tr><tr><td>28.</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td></tr><tr><td>29. Apprendre à utiliser DERIVE</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td></tr></tbody></table>

Nous avons peu modifié cette partie. Les questions 27 et 28, ainsi que la question 30 de la première version, qui demandaient des exemples de difficultés rencontrées, et de commandes
utilisées, ont été supprimées : très peu d'élèves avaient donné des réponses significatives à ces questions.

### III.3 L'APPORT DE DERIVE AUX APPRENTISSAGE

30. Qu'est ce qui, en algèbre ou en analyse, vous a semblé cette année, le plus difficile à apprendre ?

31. Pensez-vous que DERIVE vous a aidé à l'apprendre ? oui ☐ non ☐

32. Pensez-vous que DERIVE aurait pu vous aider à l'apprendre ? oui ☐ non ☐

Précisez :

Les questions 38 à 40 de la première version ont été précisées. Nous avons pensé aider l'élève à répondre, en se référant à un apprentissage précis, qui lui a posé le plus de difficultés.

### III.4 PERCEPTION DES POSSIBILITÉS DE DERIVE ET DE SES LIMITES

33. Dans ce que peut faire DERIVE, qu'est-ce-qui vous paraît étonnant, par rapport à votre calculatrice ?

34. Si l'on pouvait ajouter des possibilités à DERIVE, que souhaiteriez-vous en priorité ?

La question 33 (ex. 36) a été modifiée, de façon à conduire les élèves à centrer leurs réponses de façon plus précise sur les possibilités de DERIVE, par différence avec un autre moyen technologique qui leur est familier.

La partie du questionnaire traitant de la fiabilité de DERIVE a été intégrée sous forme "fermée" aux "opinions" de la fin du questionnaire, de façon à ce que les réponses puissent être traitées avec ces opinions.

### III.5 ACTIVITÉS AVEC DERIVE

35. Parmi les activités faites en classe avec DERIVE, dites celles qui vous ont le plus intéressé, et pourquoi

36. Parmi les activités faites en classe avec DERIVE, dites celles qui vous ont le moins intéressé, et pourquoi

Sans changement.

### III.6 DERIVE POUR LES CONTRÔLES

37. Est-ce que vous aimeriez pouvoir utiliser DERIVE tout le temps ? oui ☐ non ☐
38. Votre professeur de mathématiques vous laisse le choix entre utiliser DERIVE ou pas pour le prochain contrôle. Que choisissez-vous ?

Avoir DERIVE ☐ Ne pas avoir DERIVE ☐ Sans opinion ☐

39. Pourquoi ?

Sans changement.

### III.7 ADHÉSION À DES OPINIONS SUR DERIVE

Pour chacune des phrases suivantes, cochez la case qui correspond le plus à votre opinion

<table><thead><tr><th></th><th>Sans opinion</th><th>Pas du tout</th><th>Plutôt</th><th>pas</th><th>Plutôt</th><th>Tout à fait</th></tr><tr><th></th><th>d'accord</th><th>d'accord</th><th>d'accord</th><th>d'accord</th><th>d'accord</th><th>d'accord</th></tr></thead><tbody><tr><td>40. Avec DERIVE, même si on a des difficultés en algèbre, on peut faire des mathématiques</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td></tr><tr><td>41. Avec DERIVE, il n'y a plus besoin d'apprendre à calculer, il le fait à notre place</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td></tr><tr><td>42. Ca ne sert à rien de travailler avec DERIVE, puisque, aux contrôles et aux examens, il faut rédiger les calculs et les démonstrations</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td></tr><tr><td>43. Quand on utilise DERIVE, il faut bien organiser son travail, sinon on perd beaucoup de temps</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td></tr><tr><td>44. DERIVE, ça donne envie de faire des mathématiques</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td></tr><tr><td>45. DERIVE, ça aide à comprendre les mathématiques</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td></tr><tr><td>46. DERIVE, ça complique plus que ça n'aide pour apprendre des mathématiques</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td></tr><tr><td>47. Quand DERIVE ne donne pas de réponse, c'est que le problème n'a pas de solution</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td></tr><tr><td>48. DERIVE, c'est bien pour avoir une idée du résultat avant de se lancer dans les calculs</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td></tr><tr><td>49. DERIVE c'est bien pour contrôler ses réponses</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td></tr><tr><td>50. DERIVE, c'est bien pour découvrir des règles de calcul</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td><td>☐</td></tr></tbody></table>
51. DERIVE, ça aide surtout quand les ☐
calculs sont longs et pénibles ☐ ☐ ☐ ☐

52. DERIVE, ça permet de résoudre ☐
des problèmes sans se perdre dans les
calculs ☐ ☐ ☐ ☐

53. Avec DERIVE, on peut résoudre ☐
des problèmes différents des exercices
habituels ☐ ☐ ☐ ☐

54. DERIVE, ça fait voir les maths ☐
autrement ☐ ☐ ☐ ☐

55. DERIVE c'est bien car on peut ☐
travailler en même temps sur les
équations et les graphiques ☐ ☐ ☐ ☐

56. Si les données sont rentrées ☐
correctement, on peut faire confiance à
100% au résultat donné par DERIVE ☐ ☐ ☐ ☐

Nous avons ici 17 opinions au lieu de 13 dans la première version. Les questions 48 et 53 ont été précisées par rapport à cette première version. Nous avons inclus 4 questions (45, 53, 54 et 55) visant à proposer un plus large choix relatif à des utilisations "cognitives" de DERIVE : aide à la compréhension, vision différente des problèmes et des mathématiques... Une question (56) sur la fiabilité de DERIVE était incluse (Cf. ci-dessus).

### III.8 QUESTION OUVERTE

Un camarade d'une autre classe te demande _ce qu'on fait de plus en mathématiques_ avec DERIVE.

57. Que lui réponds-tu ?

58. Quels exemples lui donnes-tu ?

Nous avons pensé intéressant de proposer également une question ouverte permettant aux élèves d'exprimer une opinion originale par rapport à celles qui sont proposées de façon "fermée".
# IV. DÉPOUILLEMENT DE LA SECONDE VERSION DU QUESTIONNAIRE ÉLÈVE

Nous exposons ici un dépouillement du questionnaire portant sur l'environnement technologique des élèves, les représentations de l'utilisation de logiciels en mathématiques, l'apprentissage et les représentations de DERIVE. Les résultats obtenus sont très généralement conformes à ceux de la première version du questionnaire que nous avons résumés ci-dessus. Ils portent sur un nombre plus significatif d'élèves (459 dans 20 classes contre 180 dans 8 classes) et bénéficient de la méthodologie de dépouillement que nous avons construite pour la première version. C'est pourquoi nous les présentons en détail ci-dessous. Certaines questions auraient permis de pousser l'étude plus avant pour repérer l'influence des activités menées avec DERIVE sur ces représentations. Sur la durée du contrat, il ne nous a pas été possible d'effectuer ce repérage. Néanmoins, l'étude en profondeur des représentations des élèves que nous présentons ici devrait fournir une base particulièrement solide pour des recherches ultérieures.

## IV.1 LES CLASSES AYANT RÉPONDU AU QUESTIONNAIRE

Le tableau ci-dessous donne la répartition des 20 classes, totalisant 459 élèves, ayant répondu au questionnaire. Les classes de Terminale sont les plus nombreuses, mais on a cependant un nombre significatif de classes dans les autres niveaux.

<table><thead><tr><th>Établissement</th><th>Académie</th><th>Classe</th><th>Filles</th><th>Garçons</th><th>Nb tot</th></tr></thead><tbody><tr><td>C. G. Duhamel</td><td>Versailles</td><td>3eA</td><td>16</td><td>11</td><td>27</td></tr><tr><td>C. de Rouillac</td><td>Poitiers</td><td>3eA</td><td>4</td><td>5</td><td>9</td></tr><tr><td>C. G. Duhamel</td><td>Versailles</td><td>3eC</td><td>18</td><td>6</td><td>24</td></tr><tr><td>C. Carpeaux</td><td>Lille</td><td>3eF</td><td>11</td><td>4</td><td>15</td></tr><tr><td>L. Mistral</td><td>Aix-Marseille</td><td>2</td><td>4</td><td>31</td><td>35</td></tr><tr><td>L. J. Monnet</td><td>Montpellier</td><td>2</td><td>15</td><td>12</td><td>28</td></tr><tr><td>L. J. Perrin</td><td>Lyon</td><td>2</td><td>22</td><td>6</td><td>28</td></tr><tr><td>L. Armand</td><td>Poitiers</td><td>2e</td><td>0</td><td>29</td><td>29</td></tr><tr><td>L. Viete</td><td>Besançon</td><td>2eC</td><td>0</td><td>26</td><td>26</td></tr><tr><td>L. G. Monod</td><td>Versailles</td><td>1eECO2</td><td>14</td><td>5</td><td>19</td></tr><tr><td>L. Sorel</td><td>Caen</td><td>1eS</td><td>5</td><td>15</td><td>21</td></tr><tr><td>L. E. Herriot</td><td>Grenoble</td><td>1eS</td><td>7</td><td>13</td><td>20</td></tr><tr><td>L. J. Brel</td><td>Lyon</td><td>1S3</td><td>7</td><td>23</td><td>31</td></tr><tr><td>L. Voltaire</td><td>Orléans-Tours</td><td>T5C</td><td>14</td><td>18</td><td>33</td></tr><tr><td>L. Th. Deck</td><td>Strasbourg</td><td>TC</td><td>9</td><td>24</td><td>33</td></tr><tr><td>L. Thiers</td><td>Aix-Marseille</td><td>TC</td><td>2</td><td>13</td><td>15</td></tr><tr><td>L.LPI</td><td>Poitiers</td><td>TC</td><td>9</td><td>6</td><td>15</td></tr><tr><td>L. Vx-Condé</td><td>Poitiers</td><td>TC</td><td>3</td><td>7</td><td>10</td></tr><tr><td>L. J. Monnet</td><td>Montpellier</td><td>TC4</td><td>5</td><td>10</td><td>16</td></tr><tr><td>L. Jehan de Beauce</td><td>Orléans-Tours</td><td>TE2</td><td>3</td><td>22</td><td>25</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>Nb Class.</td><td>Nb élèves</td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td>3ème</td><td>4</td><td>75</td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td>2nde</td><td>5</td><td>146</td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td>1ère</td><td>4</td><td>91</td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td>Terminale</td><td>7</td><td>147</td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td>Totaux</td><td>20</td><td>459</td><td></td></tr></tbody></table>
## IV.2 ENVIRONNEMENT TECHNIQUE DE L'ÉLÈVE
(QUESTIONS 4 À 14)

### ÉQUIPEMENT EN CALCULATRICES ET UTILISATIONS

Nous donnons ici un dépouillement par niveau (3ème à Terminale).

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

Le graphique montre que l'utilisation de la calculatrice pour tracer des courbes progresse régulièrement, de 0% en troisième à 100% en terminale. La programmation progresse de même jusqu'en Première, où elle atteint 71%, mais augmente peu en Terminale. La progression sur les graphiques n'est pas étonnante. Par contre les niveaux atteints en programmation paraissent élevés.

Les calculatrices sont utilisées souvent en cours, de la troisième à la Terminale. L'utilisation à la maison progresse de 56% en Troisième à 85 % en Terminale. En Terminale, les élèves utilisent la calculatrice davantage à la maison qu'en classe. Nous avions observé cette "inversion" en dépouillant la première version, et nous l'avions attribuée à l'importance prise par le travail personnel à ce niveau.

### POSSIBILITÉ D'ACCÈS À UN ORDINATEUR ET UTILISATIONS

#### Dépouillement

Nous avons de même procédé à des moyennes par niveau, en attribuant la valeur 0 à la réponse jamais, 1 pour rarement, 2 pour souvent, et 3 pour très souvent.

#### Résultats

Le graphique donne l'évolution des divers types d'utilisation. La moyenne par type d'utilisation est faible. Seuls les jeux en Seconde atteignent une utilisation significative. Les utilisations non proposées dans le questionnaire sont marginales à l'exception du dessin et de la programmation.
<figure><img src="image_5.png" /></figure>

# LES LOGICIELS EN MATHÉMATIQUES

## Dépouillement

Nous avons vu ci-dessus comment l'analyse implicative (Gras, 1992), (Lagrange, 1995), s'est montrée d'un intérêt remarquable pour le dépouillement de questions fermées exprimées sous forme d'un degré d'accord à des opinions. Elle est utilisée à nouveau ici pour mettre en rapport les opinions des élèves sur l'utilisation de logiciels en mathématiques, et étudier l'influence de facteurs comme le niveau de la classe et la durée d'utilisation.

## Résultats

Nous obtenons trois groupes d'opinions organisées en filiations. Les filiations sont figurées dans les tableaux ci-dessous, où chaque opinion est suivie de son taux de réponses positives.
## Groupe 1 Le refus des logiciels

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

Cette filiation est minoritaire, et présente essentiellement en Terminale.

## Groupe 2 L'adhésion.

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

Les opinions favorables rencontrent l'adhésion la plus forte. Elles s'organisent moins linéairement que les opinions défavorables. On peut distinguer trois axes de gauche à droite :

* un axe "utilitaire" où l'apport de l'ordinateur est extérieur aux mathématiques,

* un axe "distraction", plus lié aux mathématiques,

* un axe "compréhension". Il est heureux de constater que, parmi les élèves qui ont eu une utilisation importante des logiciels, ceux qui voient un apport de l'ordinateur à leur compréhension des mathématiques sont significativement plus nombreux.

De façon générale, les élèves de troisième et de seconde sont significativement plus nombreux à partager ces opinions favorables.

## Groupe 3 : Le gain de temps

L'opinion restante est en relation avec deux classes, selon le schéma suivant :
<table><thead><tr><th>Première<br>↓</th><th>Terminale<br>↓</th></tr></thead><tbody><tr><td>Utiliser les logiciels en classe de math, c'est utile parce que ça fait gagner du temps (37 %)</td><td></td></tr></tbody></table>

Les élèves qui partagent cette opinion sont significativement plus nombreux en Première et en Terminale. On peut y voir la centration sur le souci de ne pas perdre de temps.

## IV.3 RENCONTRE AVEC DERIVE ET FAMILIARISATION
(QUESTIONS 15 À 29)

### DURÉE D'UTILISATION

Nous donnons pour chacune des classes un tableau des maximums et des moyennes d'utilisation de DERIVE déclarées par les élèves dans les différents lieux proposés. On trouve une grande diversité d'horaires. L'horaire le plus significatif correspond, comme on pouvait le prévoir, à l'horaire en classe. Il oscille, pour les valeurs moyennes, entre 2 et 15 heures, et ne dépasse 10 heures que dans 5 classes, ce qui reste relativement faible.

Des décalages importants peuvent exister entre les appréciations des élèves de certaines classes sur le nombre d'heures d'utilisation de DERIVE en classe. Nous avions déjà rencontré ce phénomène dans la première version. Certains élèves ne comptent peut-être que les séances où eux-mêmes ont manipulé DERIVE, tandis que d'autres comptent toutes les heures d'utilisation.

On a quelques utilisations en dehors de la classe, principalement à la maison. Le nombre d'heures peut, dans ce cas, être important, mais la moyenne sur la classe est en général pratiquement nulle. Les deux classes qui font exception (J. Brel et Deck) ont disposé de DERIVE en permanence, en classe et hors classe, pendant environ six mois de l'année scolaire. Encore n'est-elle dans ces classes que de 13h et 5h respectivement.

La durée déclarée d'utilisation de DERIVE sera étudiée ci-dessous comme une variable susceptible d'influencer la représentation que se fait l'élève du travail avec le logiciel. Dans le dépouillement du questionnaire professeur, nous retrouverons également la durée d'utilisation de DERIVE comme un indicateur de l'intégration du logiciel par l'enseignant.
<table><thead><tr><th>Classe</th><th>En classe</th><th>CDI</th><th>Club</th><th>Maison</th><th>Autre</th></tr></thead><tbody><tr><td>Carpeaux</td><td>Max</td><td>9</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>3eF</td><td>Moy</td><td>7</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>

<table><tbody><tr><td>G. Duhamel</td><td>Max</td><td>16</td><td>0</td><td>40</td><td>30</td><td>0</td></tr><tr><td>3eA</td><td>Moy</td><td>15</td><td>0</td><td>2</td><td>1</td><td>0</td></tr></tbody></table>

<table><tbody><tr><td>Armand</td><td>Max</td><td>14</td><td>0</td><td>2</td><td>10</td><td>0</td></tr><tr><td>2e</td><td>Moy</td><td>6</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td></tr></tbody></table>

<table><tbody><tr><td>Viete</td><td>Max</td><td>17</td><td>30</td><td>10</td><td>25</td><td>0</td></tr><tr><td>2eC</td><td>Moy</td><td>10</td><td>3</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td></tr></tbody></table>

<table><tbody><tr><td>J. Perrin</td><td>Max</td><td>15</td><td>0</td><td>0</td><td>10</td><td>0</td></tr><tr><td>2</td><td>Moy</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>

<table><tbody><tr><td>J. Brel</td><td>Max</td><td>48</td><td>20</td><td>0</td><td>30</td><td>0</td></tr><tr><td>1S3</td><td>Moy</td><td>14</td><td>4</td><td>0</td><td>13</td><td>0</td></tr></tbody></table>

<table><tbody><tr><td>Sorel</td><td>Max</td><td>20</td><td>3</td><td>20</td><td>20</td><td>0</td></tr><tr><td>1eS</td><td>Moy</td><td>12</td><td>0</td><td>4</td><td>1</td><td>0</td></tr></tbody></table>

<table><tbody><tr><td>LPI</td><td>Max</td><td>8</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>Term</td><td>Moy</td><td>3</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>

<table><tbody><tr><td>Voltaire</td><td>Max</td><td>8</td><td>0</td><td>5</td><td>15</td><td>4</td></tr><tr><td>Term</td><td>Moy</td><td>5</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td></tr></tbody></table>

<table><tbody><tr><td>J. de Beauce</td><td>Max</td><td>10</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>Term</td><td>Moy</td><td>9</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Classe</th><th>En classe</th><th>CDI</th><th>Club</th><th>Maison</th><th>Autre</th></tr></thead><tbody><tr><td>G. Duhamel</td><td>Max</td><td>15</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>10</td></tr><tr><td>3eC</td><td>Moy</td><td>15</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>

<table><tbody><tr><td>Rouillac</td><td>Max</td><td>10</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>3eA</td><td>Moy</td><td>10</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>

<table><tbody><tr><td>Mistral</td><td>Max</td><td>15</td><td>0</td><td>5</td><td>10</td><td>0</td></tr><tr><td>2</td><td>Moy</td><td>14</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td></tr></tbody></table>

<table><tbody><tr><td>J. Monnet</td><td>Max</td><td>10</td><td>3</td><td>2</td><td>2</td><td>0</td></tr><tr><td>2</td><td>Moy</td><td>8</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>

<table><tbody><tr><td>G. Monod</td><td>Max</td><td>7</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td></tr><tr><td>1eECO'2</td><td>Moy</td><td>6</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>

<table><tbody><tr><td>Herriot</td><td>Max</td><td>5</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>1eS</td><td>Moy</td><td>3</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>

<table><tbody><tr><td>Thiers</td><td>Max</td><td>2</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>Term</td><td>Moy</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>

<table><tbody><tr><td>J. Monnet</td><td>Max</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>6</td><td>0</td></tr><tr><td>Term</td><td>Moy</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>

<table><tbody><tr><td>Deck</td><td>Max</td><td>15</td><td>1</td><td>0</td><td>25</td><td>10</td></tr><tr><td>Term</td><td>Moy</td><td>7</td><td>0</td><td>0</td><td>5</td><td>0</td></tr></tbody></table>

<table><tbody><tr><td>Vx-Condé</td><td>Max</td><td>6</td><td>8</td><td>3</td><td>20</td><td>0</td></tr><tr><td>Term</td><td>Moy</td><td>5</td><td>2</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td></tr></tbody></table>
## FAMILIARISATION

Le tableau suivant présente la courbe d'évolution des pourcentages de réponses positives aux questions 20 à 23 de la troisième à la terminale. La facilité d'accès au logiciel, constatée dans la première version se confirme ici. De même nous constatons à nouveau que "bien se servir" de DERIVE est généralement considéré comme moins facile et moins rapide que "se débrouiller", cette différence étant plus marquée dans les classes de Première et de Terminale.

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

## DIFFICULTÉS RENCONTRÉES DANS L'APPRENTISSAGE

Nous avons comparé pour chaque élève, la difficulté ressentie pour l'apprentissage de DERIVE et la difficulté moyenne des apprentissages proposés. Ceci nous a permis de distinguer 4 groupes d'élèves :

* ceux pour qui DERIVE est bien plus facile que la moyenne des apprentissages,

* ceux pour qui DERIVE est plutôt plus facile que la moyenne des apprentissages,

* ceux pour qui DERIVE est plutôt plus difficile que la moyenne des apprentissages,

* ceux pour qui DERIVE est bien plus difficile que la moyenne des apprentissages.

Nous avons fait de même en comparant DERIVE et les calculatrices.

Nous donnons un histogramme pour chaque niveau (noir pour la moyenne des apprentissages, blanc pour la calculatrice). Ils présentent un caractère gaussien, avec relativement peu de différences d'un niveau à l'autre. Seuls les Troisièmes peuvent penser que DERIVE est plus difficile à maîtriser que la calculatrice, mais les calculatrices utilisées à ce niveau ne présentent pas de difficulté d'utilisation.

<figure><img src="image_9.png" /></figure>
<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Seconde</figcaption></figure>

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Première</figcaption></figure>

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Terminale</figcaption></figure>

## IV.4 PERCEPTION DES POSSIBILITÉS DE DERIVE ET DE SES LIMITES (QUESTIONS 33 ET 34)

### POSSIBILITÉS

Nous avons classé les réponses à la question 33 en 9 catégories. Pour chacune de ces catégories, nous donnons le pourcentage de réponses et des exemples de citations d'élèves.

#### Fonctions en Algèbre (24%)

* 3eF Simplifier des fractions. Équations et inéquations

* 3eC D. peut développer, réduire, etc. pas ma calculatrice

* 3eA Notre calculatrice n'est pas programmée pour développer, simplifier, etc. toute une expression par étape

* 2eC Factoriser par exemple ou résoudre des équations

* 2e Nous pouvons transformer une équation. Nous pouvons la développer, la factoriser

* 1S3 Les fonctions, développements, factorisations

* 1eS Le logiciel simplifie des équations avec des inconnues

* 2 Résolution d'équations, simplification d'écriture, toute la partie qui nécessite sur une calculatrice des programmes longs ou qui ne sont pas réalisables

* 2 Ce qui est bien dans Derive et qui me parait étonnant c'est résoudre, factoriser, développer des équations

* 2 Par rapport à ma calculatrice, D. permet de résoudre des équations

* TE2 Simplifications de fonctions
TC Les résolutions sans programmation auparavant d'équations parfois difficiles à résoudre

T5C La simplification de formules. Les courbes.

## Rapidité (20%)

3eC La rapidité de calcul en une fois

3eA Il calcule très rapidement et on le voit marquer sur l'écran

2e D. met peu de temps pour faire le calcul

2 Plus rapide que la calculatrice

1S3 Rapidité des calculs

1eS Vitesse d'exécution des calculs

1eECO2 Rapidité d'exécution, simplicité à l'emploi

1eECO2 D. est très rapide.

TE2 Rien, si ce n'est la rapidité d'exécution

TC² Il va vite

TC D. est plus rapide et peut faire plus de choses.

T5C Calculs plus rapides des dérivées

## Représentations graphiques (20%)

3eC La manière de faire les figures

3eA Les graphiques avec plusieurs couleurs

2e Par rapport à ma calculatrice, l'ordinateur donne des graphiques

1S3 Des agrandissements, des changements d'échelle qui permet de mieux voir un graphe

1eS Le mouvement en 3D pour les graphiques

2 La rapidité à faire des courbes, le dessin est net, et il est en couleur

2 la 3D

2 Travail en parallèle avec les graphiques et les calculs

2 Avoir strictement un cercle, un carré...

2 Les graphiques sont plus faciles à tracer

TC Calcul des primitives, intégrales et dérivées. Dessin d'une suite.

T5C La vitesse de calcul. Les courbes en relief

T5C Graphique en 3D (mais HP486X le fait)

## Fonctions en analyse, en trigo ou dans les complexes (19%)

1S3 Calcul des limites, dérivées

1eS Calcul de dérivée, étude de fonctions

TC Calcul sur les vecteurs. Linéarisation des fonctions trigonométriques

T5C Le calcul de nombres dans C

TC4 Le calcul des limites et la recherche des primitives et dérivées

TC Possibilités avec les suites

## Plus de possibilités (mais pas qualitativement différentes) (19%)

3eC Le nombre d'options

3eA On peut écrire une puissance supérieure à 99, contrairement à la calculatrice

2eC L'écran est plus gros

2e La possibilité de sortir sur imprimante les graphiques ; d'écrire et grapher les fonctions affines par morceaux (conditions, if, then).

2e Beaucoup plus de données et beaucoup plus de graphiques, mémoire plus importante
1eS Une plus grande mémoire

1eECO2 Il y a beaucoup plus de précisions

1eECO2 La précision (le nombre de chiffres après la virgule)

TC Quantité de possibilités offertes par le logiciel

### Rien ou pas de réponse (14%)

3eC Je sais pas

2eC Rien car ma calculatrice est graphique

2 Pas grand-chose

2 Je n'ai pas de calculatrice graphique

TC Rien de vraiment notable

TC Rien, c'est normal, c'est un programme d'ordinateur

### Résultats exacts, fractionnaires, calcul avec des variables (8%)

3eF Simplifier. Donner le résultat sous forme d'une fraction. Équations. Inéquations

3eC C'est que l'on peut mettre dans les calculs des x

3eA On peut inscrire des lettres

3eA C'est qu'à D. on peut mettre des lettres

2eC Graphiques 3D. Résultats justes (non-arrondis). Équation. Simplification

2 On peut entrer une variable; résoudre des systèmes

2 La calculatrice nous donne un résultat approché d'une expression alors que D. nous le donne simplifié

1eS Développer ou simplifier sans devoir mettre des valeurs avec inconnues

1eECO2 La précision (le nombre de chiffres après la virgule), la rapidité de calcul. Le fait qu'on puisse introduire des X et des Y comme bon nous sommes (sic!)

TE2 L'utilisation des variables. C'est-à-dire qu'il fait ses calculs sans se préoccuper des valeurs numériques.

TE2 Elle calcule en fonction des lettres et ainsi donne une valeur exacte alors que ma calculette donne des résultats approchés

TC Création de suites récurrents, résultat littéral

TC D. Permet de trouver la dérivée ou l'intégrale d'une fonction en mode exact alors que la calculatrice donne une valeur approchée

T5C Les résultats sous forme a+b..

T5C Dessins en 3D. Manipuler les inconnues. Expressions littérales

### Exploitation de l'écran (3%)

2eC Les opérations posées autrement, les volumes, les étapes intermédiaires

2e La modification des graphiques (nombre de fenêtres, zoom,...). Pour les équations, l'équation reste affichée et peut être modifiée, même quand le résultat est apparu

TC Les menus sont beaucoup plus accessibles que les touches d'une calculatrice. Scinder l'écran en deux est très utile également

1eECO2 Le fait que l'on peut toujours effacer une erreur sans pour autant recommencer tous les calculs

TE2 La mémorisation (et affichage) en permanence des fonctions à l'écran

TC4 On peut remonter dans chaque ligne de calcul précédente

3eA Avec D. les résultats trouvés antérieurement peuvent être réutilisés tandis qu'avec la calculatrice, il faut refaire les calculs
2e L'équation reste affichée. la modification du graphique

1eS On peut écrire comme sur une feuille

2 La rédaction claire des fractions

### Aide cognitive (2%)

3eF Nous dire si on a faux ou non

3eF Approfondir les explications

2eC Si on a faux à une réponse, le logiciel répond incorrect

2 Les calculs fastidieux

1eECO2 C'est que l'on peut travailler sur des hypothèses

TC4 Le fait qu'il puisse détailler un minimum les calculs

TC TOUTE l'étude d'une fonction peut être faite avec D. contrairement à la calculatrice

TC Méthode de calcul

### FONCTIONNALITÉS À AJOUTER

Nous avons classé les réponses à la question 34 en 7 catégories. Pour chacune de ces catégories, nous donnons le pourcentage de réponses et des exemples de citations d'élèves :

### Rien ou pas de réponse (55%)

2 Je n'ai pas d'idées sur la question

2 Rien de particulier

2 C'est déjà bien équipé

2 Manque de compétences pour m'exprimer sur ce sujet

1S3 Rien car le programme est assez complet

1eS J'y connais rien

1eECO2 D. est un logiciel parfait

TC4 je ne sais pas

TC Je ne connais même pas la moitié des possibilités actuelles, alors...

TC Pas assez de temps sur le logiciel

### Ergonomie : Rapidité des tracés, couleurs, aides sur les fonctions, son, parole... (20%)

3eC Qu'il n'y ait pas de difficultés à charger, programmer

3eA Ce serait bien qu'il nomme les points sur le graphique

3eA Que l'on puisse "écrire" sur la partie graphique

2eC Musique de fond

1S3 Plus de rapidité pour tracer certains graphes

1S3 Plus de mémoire

1S3 Des aides plus extensibles, plus précises. Plus de rapidité

1eS Meilleure facilité de manipulation

1eECO2 Qu'il comprenne plus vite (sans avoir besoin d'appuyer sur les mêmes touches à la fois)

2 Certaines aides à l'écran : ex : sur quelles touches il faut appuyer pour avoir une √ ou pour mettre ^2

2 Il faudrait que ce soit plus rapide

TE2 La parole

TC Prendre les mêmes symboles que dans le cours, comme pour les suites et les complexes

TC L'utilisation de la souris
TC Un mode graphique plus rapide d'accès et plus complet (comme GRAPH'X) + installation de la souris! Calculs plus rapides (pour les termes d'une suite par exemple)

## Démarche, Démonstration, Explications, Détails des calculs, Tuteur (11%)

3eF Qu'il parle! Et nous explique plus précisément

3eC Les théorèmes

3eA Qu'il nous donne des idées pour résoudre un problème difficile

3eA Qu'il donne les étapes de ses calculs

3eA Décomposer les calculs

2eC Rédiger les calculs ou intermédiaire des calculs

2eC Les explications des calculs

2eC De plus amples explications

2eC Avoir un corrigé

2 Je souhaiterais que l'ordinateur montre comment il fait les étapes

1S3 Qu'il donne des cours comme en classe

1S3 Des cours intégrés de maths

1eS Pouvoir voir les étapes des calculs

1eS Les justifications des calculs

1eS Le détail systématique des calculs difficiles (sans qu'on lui en donne l'ordre)

TC Détail des calculs divers.

TC Justification du résultat, vitesse de tracé des graphiques

TC Faire les démonstrations d'inégalités ou les récurrences

TC Explication des formules utilisées pour aboutir à un résultat. Rappel de toutes les formules existantes, par thème (genre de formulaire, mais beaucoup plus complet)

TC Apparition de calculs intermédiaires ou formules pour mieux comprendre les résultats quelquefois surprenants

T5C Une méthode explicative

## Fonctionnalités existantes, mais inconnues des élèves (5%)

2 Qu'il résolve des équations à 3 inconnues

2 Tracer les fonctions du second degré. Résoudre des systèmes du second degré.

2 Les possibilités d'écrire des programmes pour mieux s'y retrouver

2 La résolution des équations du second degré non factorisables

1eS Le produit scalaire

1eS La simplification par la trigonométrie

1eECO2 Les polynômes

1eECO2 Les dérivations

2 Des couleurs!

TC4 Donner les coordonnées point par point de la courbe (fonction Trace sur la calculatrice)

T5C Faire des calculs avec des lettres

TC D ne peut employer qu'une seule fois un "nom" pour une fonction. Ce serait peut-être un défaut à éliminer

TC Faire des calculs avec des complexes (calculer un module, un argument)

## Géométrie (4%)
2 De résoudre les problèmes géométriques non analytiques.

2 Rajouter des possibilités en géométrie

2 Application des transformations du plan

2eC Géométrie dans l'espace

1eS Plus d'options concernant les figures en mouvement

TC4 Simulation des transformations dans l'espace

TC4 De la géométrie, notamment dans l'espace

TC Plus de possibilités pour traiter les problèmes géométriques (produit vectoriel, isométrie, similitude, conique)

## Tâche de l'élève : rédaction, tableau de variations, devoir à la maison... (4%)

3eF Qu'il fasse mes devoirs et les DM de maths

2eC Tracer des tableaux de signes

2e Résolution des problèmes et sa mise en équation

2e Que d'après les données d'un texte la résolution d'un texte soit faite

2e Qu'il résolve nos problèmes de maths

2e Les solutions des prochaines interro

2 Une intelligence capable d'analyser et de trouver un problème (sans passer par une équation ou autres).

1eECO2 Qu'il puisse calculer et résoudre des problèmes difficiles, surtout en géométrie

1eECO2 Pouvoir faire TOUT ce que l'on n'arrive pas à faire à la main... c.à d. ?

1eECO2 Études des limites

TC Qu'il rédige

## Autres fonctionnalités en dehors du champ du calcul formel : autres disciplines, jeux... (2%)

T5C Des jeux

2eC Musique, dessins

1S3 Physique-chimie.

1eS Un moule à gaufre

## ANALYSE

En demandant de situer DERIVE par différence avec la calculatrice, nous voulions mettre en évidence les représentations de ce logiciel en tant que système de calcul symbolique. Nous voulions voir en particulier si les élèves ont des images suffisamment précises des spécificités du calcul symbolique et l'aide qu'il peut apporter. Dans la gamme de réponses obtenues, les représentations les plus précises sont les moins souvent rencontrées :

* Les élèves citent fréquemment les fonctionnalités du logiciel qui les ont le plus frappées : ils sont 24% à citer une utilisation pour un calcul algébrique, et 19% pour une application de l'analyse. On ne peut cependant pas penser qu'une citation de ce type indique que l'élève qui l'exprime a conscience des principes d'un système symbolique : l'élève constate une (des) fonctionnalités qui ont marqué sa pratique, mais n'en tire pas d'appréciation générale.

* Les autres classes de réponse les plus nombreuses sont celles font référence à des propriétés de DERIVE en tant qu'outil technologique : ce sont la rapidité, le graphisme, l'ergonomie.

* Seule une petite minorité d'élèves (8 %) cite les résultats en valeur exacte ou le calcul littéral comme spécificité du logiciel : ils sont ainsi peu nombreux à mettre en évidence une propriété générale des systèmes symboliques.
* Très peu d'élèves (2%) notent que le logiciel leur apporte une aide. Ils sont relativement plus nombreux à demander cette aide dans les améliorations du logiciel : 11% demandent que DERIVE explique sa démarche de calcul, à titre d'aide pour leurs apprentissages ou même se transforme en véritable tuteur.

* Certains élèves souhaiteraient que le logiciel fasse aussi le reste de leur travail (mise en équation, rédaction...). Nous l'avions déjà constaté dans le dépouillement de la première version. Ils sont ici 4%.
## IV.5 MISE EN ÉVIDENCE DES REPRÉSENTATIONS (QUESTIONS 40 À 56)

### PRINCIPES DU DÉPOUILLEMENT

Nous avons conduit le dépouillement des questions 40 à 56 avec le souci de mettre en évidence des "représentations" de DERIVE chez les élèves utilisateurs, ce qui constitue un des thèmes principaux de la recherche. A cette fin, nous avons recherché s'il existe une des "organisation(s)" de ces opinions en système(s) de pensée cohérents, susceptibles d'expliquer les conduites des élèves lors de l'utilisation du logiciel.

Comme nous l'avons souligné ci-dessus (II 3), ceci impose de dépasser la seule mise en évidence d'un degré moyen d'adhésion des élèves utilisateurs de DERIVE à diverses opinions et d'utiliser une méthode d'analyse des données "multidimensionnelle", c'est à dire faisant intervenir des croisements entre variables. Nous avons présenté ci-dessus (II 3) l'analyse implicative et exposé les raisons qui nous ont conduit à choisir cette méthode dans la première version du questionnaire (II 3 ci-dessus), et pour organiser les opinions des élèves sur l'utilisation des logiciels en mathématiques (IV 2 ci-dessus). Nous l'utilisons à nouveau ici pour les mêmes raisons.

Les variables suivantes ont été prises en compte dans l'analyse :

* 17 variables modales correspondant aux 17 opinions sur lesquelles les élèves devaient exprimer un degré d'adhésion. L'organisation de ces variables doit permettre de dégager les représentations. Nous avons donné les valeurs respectives 0, 1/3, 2/3 et 1 aux choix "Pas du tout d'accord", "Plutôt pas d'accord", "Plutôt d'accord", et "Tout à fait d'accord".

* 1 variable numérique (ut. d.) correspondant à la durée totale d'utilisation de DERIVE. La prise en compte de cette variable dans l'analyse doit nous permettre d'examiner si la durée d'utilisation du logiciel a une influence sur les représentations. Pour chaque élève, la valeur de cette variable est calculée en divisant son nombre d'heures d'utilisation de DERIVE (réponse à la question 15), par la durée maximum constatée hors cas particulier (17 h).

* 4 variables binaires correspondant aux 4 niveaux de classes (3ème à Terminale). Elles doivent nous permettre de dégager des représentations préférentielles selon les niveaux de classe.

Les intensités d'implication entre les différentes variables ont été obtenues selon les principes du calcul modal tels qu'énoncés dans (Lagrange, 1995).

### LES IMPLICATIONS OPINION → OPINION

Le tableau ci-dessous donne les scores des différentes opinions (q40 à q56) c'est à dire leur moyenne d'adhésion sur le référentiel. Dans ce tableau comme dans les suivants, nous avons "grisé" les colonnes (et les lignes) correspondant aux questions dont le numéro est multiple de 5, dans le but de faciliter la recherche des intensités relatives à une question donnée.

<table><caption>Le "score" de chacune des opinions</caption><thead><tr><th></th><th>q40</th><th>q41</th><th>q42</th><th>q43</th><th>q44</th><th>q45</th><th>q46</th><th>q47</th><th>q48</th><th>q49</th><th>q50</th><th>q51</th><th>q52</th><th>q53</th><th>q54</th><th>q55</th><th>q56</th></tr></thead><tbody><tr><th>score</th><td>0,59</td><td>0,41</td><td>0,48</td><td>0,68</td><td>0,46</td><td>0,51</td><td>0,3</td><td>0,31</td><td>0,72</td><td>0,85</td><td>0,44</td><td>0,83</td><td>0,72</td><td>0,61</td><td>0,64</td><td>0,75</td><td>0,68</td></tr></tbody></table>
Le second tableau ci-dessous est la matrice des intensités d'implication pour chacun des couples de variables pour lesquels une implication existe. Les valeurs sont données en pourcentage.

<table><caption>La matrice implicative au seuil de 50%</caption><thead><tr><th></th><th>q40</th><th>q41</th><th>q42</th><th>q43</th><th>q44</th><th>q45</th><th>q46</th><th>q47</th><th>q48</th><th>q49</th><th>q50</th><th>q51</th><th>q52</th><th>q53</th><th>q54</th><th>q55</th><th>q56</th></tr></thead><tbody><tr><th>q40</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>68%</td><td>85%</td><td></td><td>90%</td><td>80%</td><td>70%</td><td>85%</td><td>90%</td><td>90%</td></tr><tr><th>q41</th><td>92%</td><td></td><td>98%</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>61%</td><td>59%</td><td></td><td>68%</td><td>80%</td><td>62%</td><td></td><td>74%</td><td>97%</td></tr><tr><th>q42</th><td></td><td></td><td></td><td>60%</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>58%</td></tr><tr><th>q43</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>65%</td><td>63%</td><td></td><td>60%</td><td></td><td></td><td></td><td>57%</td><td></td></tr><tr><th>q44</th><td>83%</td><td></td><td></td><td>57%</td><td></td><td>98%</td><td></td><td></td><td>66%</td><td>73%</td><td></td><td>77%</td><td>86%</td><td>93%</td><td>10%</td><td>93%</td><td>80%</td></tr><tr><th>q45</th><td>80%</td><td></td><td></td><td>50%</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>52%</td><td>54%</td><td></td><td>69%</td><td>85%</td><td>78%</td><td>66%</td><td>78%</td><td>78%</td></tr><tr><th>q46</th><td></td><td>83%</td><td>99%</td><td>76%</td><td></td><td></td><td></td><td>59%</td><td>68%</td><td></td><td></td><td>77%</td><td>58%</td><td>55%</td><td></td><td>54%</td><td>93%</td></tr><tr><th>q47</th><td></td><td>88%</td><td>87%</td><td>89%</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>92%</td><td>79%</td><td>71%</td><td></td><td></td><td>55%</td><td></td></tr><tr><th>q48</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>q49</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>q50</th><td>71%</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>60%</td><td>85%</td><td>97%</td><td>50%</td><td>58%</td><td></td><td>89%</td><td></td><td></td><td></td><td>76%</td><td>74%</td></tr><tr><th>q51</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>94%</td><td>99%</td><td></td><td></td><td>85%</td><td></td></tr><tr><th>q52</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>q53</th><td></td><td></td><td></td><td>52%</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>66%</td><td>64%</td><td></td><td>92%</td><td>91%</td><td></td><td>95%</td><td>88%</td><td>78%</td></tr><tr><th>q54</th><td></td><td></td><td></td><td>69%</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>61%</td><td>76%</td><td></td><td>66%</td><td>86%</td><td></td><td></td><td>98%</td><td>74%</td></tr><tr><th>q55</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>89%</td><td>85%</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>q56</th><td></td><td></td><td></td><td>54%</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>56%</td><td></td><td></td><td>75%</td><td>53%</td><td></td><td></td><td>84%</td><td></td></tr></tbody></table>

<table><caption>La matrice implicative au seuil de 92%</caption><thead><tr><th></th><th>q40</th><th>q41</th><th>q42</th><th>q43</th><th>q44</th><th>q45</th><th>q46</th><th>q47</th><th>q48</th><th>q49</th><th>q50</th><th>q51</th><th>q52</th><th>q53</th><th>q54</th><th>q55</th><th>q56</th></tr></thead><tbody><tr><th>q40</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>#</td><td>#</td><td></td><td>#</td><td>#</td><td>#</td><td>#</td><td>#</td><td>#</td></tr><tr><th>q41</th><td>92%</td><td></td><td>98%</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>#</td><td>#</td><td></td><td>#</td><td>#</td><td>#</td><td></td><td>#</td><td>97%</td></tr><tr><th>q42</th><td></td><td></td><td></td><td>#</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>#</td><td></td></tr><tr><th>q43</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>#</td><td>#</td><td></td><td>#</td><td></td><td></td><td></td><td>#</td><td></td></tr><tr><th>q44</th><td>#</td><td></td><td>#</td><td></td><td>98%</td><td></td><td></td><td></td><td>#</td><td>#</td><td></td><td>#</td><td>#</td><td>93%</td><td>10%</td><td>93%</td><td>#</td></tr><tr><th>q45</th><td>#</td><td></td><td>#</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>#</td><td>#</td><td></td><td>#</td><td>#</td><td>#</td><td>#</td><td>96%</td><td>#</td></tr><tr><th>q46</th><td></td><td>#</td><td>99%</td><td>#</td><td></td><td></td><td></td><td>#</td><td>#</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>q47</th><td>#</td><td>#</td><td>#</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>#</td><td>#</td><td>#</td><td></td><td></td><td>#</td><td>93%</td></tr><tr><th>q48</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>92%</td><td></td><td>#</td><td>#</td><td></td><td></td><td>#</td><td></td></tr><tr><th>q49</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>q50</th><td>#</td><td></td><td>#</td><td>#</td><td>97%</td><td></td><td></td><td></td><td>#</td><td>#</td><td></td><td>#</td><td>94%</td><td>96%</td><td>92%</td><td>#</td><td>#</td></tr><tr><th>q51</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>#</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>q52</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>94%</td><td>99%</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>#</td><td></td></tr><tr><th>q53</th><td></td><td></td><td>#</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>#</td><td>#</td><td></td><td>92%</td><td>#</td><td></td><td>95%</td><td>#</td><td>#</td></tr><tr><th>q54</th><td></td><td></td><td>#</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>#</td><td>#</td><td></td><td>#</td><td>#</td><td></td><td></td><td>98%</td><td>#</td></tr><tr><th>q55</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>#</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>q56</th><td></td><td>#</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>#</td><td></td><td></td><td>#</td><td>#</td><td></td><td></td><td>#</td><td></td></tr></tbody></table>

Dans le troisième tableau ci-dessus, nous avons repris les intensités d'implication, en conservant seulement celles supérieures à 92%, de façon à faciliter la constitution du graphe
implicatif. Les intensités comprises entre 50% et 92% sont indiquées par un #, de façon à pouvoir éventuellement être utilisées dans la fermeture transitive du graphe.

La figure ci-dessous donne le graphe implicatif au seuil 92%. Comme il est classique en analyse implicative, nous avons choisi ce seuil pour obtenir une graphe assez fourni, tout en isolant des filiations. Il s'agit d'un seuil statistique exprimant un degré de confiance attribué à l'analyse. La valeur de 92% est un seuil suffisamment élevé pour que nous ayons confiance dans les conclusions qui découlent de ce graphe.

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

Les opinions ont été portées sur une échelle verticale selon leur score (au sens donné ci-dessus). Les opinions avec lesquelles les élèves sont, en moyenne, le plus en désaccord, sont donc situées dans la partie supérieure du graphe, et de même, les opinions avec lesquelles les élèves sont, en moyenne, le plus en accord, sont donc situées dans la partie inférieure du graphe. Cette présentation est intéressante, car elle permet de visualiser les scores respectifs des variables, en même temps que leurs relations implicatives.

Les flèches portées sur le graphe correspondent à des implications d'intensité supérieure ou égale à 92%. Les flèches "pleines" sont représentatives d'implications dont la fermeture transitive est constituée elle-même d'implications d'intensité supérieure ou égale à 92%. Les flèches pointillées (54 → 55, 50 → 52 et 53 → 51) introduisent dans la fermeture transitive des implications dont l'intensité est comprise entre 50% et 92%.

Voici l'analyse de ce graphe.

**Une opinion "isolée"**
L'opinion 43 (Quand on utilise DERIVE, il faut bien organiser son travail, sinon on perd beaucoup de temps) obtient un score d'adhésion assez positif. Elle ne présente pas d'implication significative, ni vers une autre opinion, ni venant d'une autre opinion. Cette situation "isolée" dans le graphe montre qu'elle ne s'insère pas dans un système.

## Opinions "fédératrices" et filiations

4 opinions "collectent" au moins deux implications de score inférieur, et ne sont pas en relation implicative avec des opinions de score supérieur. Chacune d'entre elle rassemble ou "fédère" des opinions plus minoritaires, en un système que nous appelons "filiation". Nous étudions les filiations ainsi dégagées dans l'ordre des scores croissants.

42. Ca ne sert à rien de travailler avec DERIVE, puisque, aux contrôles et aux examens, il faut rédiger les calculs et les démonstrations

Il s'agit d'une opinion négative sur l'emploi de DERIVE, liée aux contraintes de l'évaluation institutionnelle. Nous regroupons les implications convergeant vers cette opinion dans une filiation "Refus de DERIVE".

56. Si les données sont rentrées correctement, on peut faire confiance à 100% au résultat donné par DERIVE

Cette opinion fait aveuglément confiance aux résultats de DERIVE, éliminant ainsi le contrôle que permettraient le calcul à la main ou les connaissances mathématiques. Nous regroupons les implications convergeant vers cette opinion dans une filiation "Utilisation aveugle des résultats de DERIVE".

55. DERIVE c'est bien car on peut travailler en même temps sur les équations et les graphiques.

En fonction des autres opinions "pointant" vers cette opinion, il convient de retenir surtout une appréciation positive sur les pratiques mathématiques avec DERIVE (DERIVE c'est bien...). Ces autres opinions insistent en effet à divers titres sur le changement de "pratique mathématique" ou la "compréhension". Nous regroupons les implications convergeant vers cette opinion dans une filiation "Apports positifs de DERIVE à l'activité mathématique".

49. DERIVE c'est bien pour contrôler ses réponses.

Dans cette opinion, DERIVE est également vu positivement, mais le logiciel apparaît moins directement impliqué dans la pratique mathématique, puisqu'il intervient seulement comme moyen de contrôle. Nous regroupons les implications convergeant vers cette opinion dans une filiation "DERIVE outil pour faciliter et contrôler les calculs".

Les quatre filiations ainsi distinguées "partagent" certaines opinions (q41 et q50). Elles nous semblent cependant constituer des systèmes bien distincts. Le "Refus de DERIVE" se distingue clairement des autres filiations qui donnent une appréciation positive sur DERIVE. L"Utilisation aveugle des résultats de DERIVE" s'oppose aux autres filiations, en ce qu'elle tend à considérer DERIVE comme un "substitut" à la pratique mathématique, alors que les filiations "Apports positifs de DERIVE à l'activité mathématique" et "DERIVE outil pour faciliter et contrôler les calculs" insistent sur l'insertion de DERIVE dans cette pratique. Ces deux dernières filiations considèrent elle-même l'apport de DERIVE selon deux directions différentes : dans la première, DERIVE apporte réellement un changement aux activités mathématiques (opinion q54) alors que dans la seconde, le logiciel s'ajoute simplement à titre d'aide technique, ou d'outil de contrôle, à une activité mathématique inchangée.
## Filiations et sous-filiations

Les opinions "terminales" ci-dessus "fédèrent" des opinions qui ne sont pas nécessairement elles-mêmes dans une relation implicative. En se restreignant à des suites d'opinions organisées dans une relation implicative, les transitions éventuelles étant assurées au seuil de 92 %, nous distinguons des sous-filiations contribuant à chacune des filiations distinguées ci-dessus.

### La filiation "Refus de DERIVE"

Elle s'organise en deux sous-filiations chacune réduite à deux opinions.

$$46 \rightarrow 42 ("DERIVE compliqué \Rightarrow refus").$$

Le refus de DERIVE est motivé par la "complication" apportée par le logiciel. DERIVE est rejeté car il fait "obstacle" aux mathématiques. Nous vérifierons ci-dessous que cette sous-filiation est liée à des difficultés rencontrées avec le logiciel et/ou l'ordinateur.

$$41 \rightarrow 42 ("DERIVE fonctionnel \Rightarrow refus").$$

Au contraire, DERIVE est ici considéré comme un outil performant, et c'est précisément ce caractère performant qui motive le refus du logiciel : l'élève pense que DERIVE peut le remplacer dans son activité mathématique, et que donc l'utilisation du logiciel élimine la légitimité de cette activité : "DERIVE fait tout, donc il n'y a rien à apprendre".

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

### La filiation "Utilisation aveugle des résultats de DERIVE"

Les opinions q47, q41, et q56 sont présentes dans cette filiation. q47→q56 et q41→q56 sont significatives au seuil choisi. q47→q41 n'est pas significatif à ce seuil. Néanmoins la valeur de l'intensité de cette implication (87%) est trop élevée pour qu'on considère deux branches distinctes. Nous considérons donc une seule filiation regroupant ces trois opinions.

L'opinion q47 constitue une conception fausse des possibilités du calcul formel. En effet, de nombreux problèmes mathématiques sont "non algorithmiques", et le fait qu'un opérateur (humain ou machine) ne puisse en trouver une solution, ne garantit pas qu'il n'en existe pas.

Dans l'implication q47→q56, la confiance dans DERIVE (opinion q56) s'explique donc par cette conception fausse.

Nous avons analysé ci-dessus l'implication q41→q42, où le fait que DERIVE puisse remplacer l'élève dans ses tâches de calcul, conduisait celui-ci à porter une appréciation négative sur l'utilisation de DERIVE. Dans l'implication q41→q56, au contraire, l'élève n'est pas particulièrement troublé par ce fait. Pour lui, l'activité calculatoire peut légitimement être remplacée par une entrée "correcte" des données.
Il existe une implication significative q41 → q40 et une implication q40 → q56 d'intensité 90% donc proche du seuil. L'opinion q40, représentative d'un espoir de remédiation grâce à DERIVE, s'insère donc "presque" dans la filiation "Utilisation aveugle des résultats de DERIVE". Cette filiation serait ainsi partagée assez largement par des élèves présentant des difficultés en algèbre.

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

*La filiation "Apports positifs de DERIVE à l'activité mathématique"*

Les opinions de cette filiation marquent une conception d'assez haut niveau de l'activité mathématique :

"Découverte des règles de calcul" (opinion q50)

"Plaisir des mathématiques" (opinion q44)

"Compréhension" (opinion q45)

"Problèmes différents" (opinion q53)

Le changement dans la vision des mathématiques (opinion q54) est un point de passage obligé.

Il y a par contre, une divergence assez nette entre l'aspect "Compréhension" et l'aspect "Problèmes différents" puisque l'intensité q45 → q53 est de 78% seulement. Les élèves reconnaissant les apports positifs du logiciel à l'activité mathématique, insistent donc pour certains sur un apport à leur compréhension des mathématiques, et pour d'autres, sur le fait qu'ils ont pu se confronter à "d'autres problèmes". Dans la suite, nous distinguerons donc deux sous-filiations :

q45 → q54 → q55 "Apports à la compréhension"

q53 → q54 → q55 "Apports à la résolution de problèmes"
<figure><img src="image_16.png" /></figure>

La filiation "DERIVE outil pour faciliter et contrôler les calculs"

Cette filiation s'organise en deux sous-filiations, chacune représentative d'un type d'aide reconnu par l'élève.

q48 → q49 "Auxiliaire ponctuel". L'aide est assez faible ; elle se réduit à une anticipation du résultat, un peu comme celle que donnerait un recueil d'exercices incluant les solutions.

q52 → q51 → q49 "Auxiliaire en continu" Les implications q52 → q51 et q52 → q49 sont significatives au seuil choisi (92%), et il existe une implication q51 → q49 d'intensité assez proche du seuil. (89%). L'opinion q51 insiste sur l'apport de DERIVE "quand les calculs sont longs et pénibles". L'opinion q52 insiste sur la résolution de problèmes. On a dans cette sous-filiation, une utilisation réfléchie de DERIVE comme auxiliaire technique, ce qui la rapproche de la filiation "Apports positifs" à laquelle elle est d'ailleurs reliée par des implications à transitivité faible.

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

# V. ETUDE DES REPRESENTATIONS

Dans ce paragraphe, nous croisons les représentations (filiations ou sous-filiations) obtenues grâce à l'analyse implicative avec d'autres données issues des réponses des élèves. Nous examinons tout d'abord l'influence sur ces représentations de certaines variables caractéristiques de l'utilisation de DERIVE: niveau de classe, durée d'utilisation, familiarité
avec DERIVE. Puis nous analysons les réponses de chaque élève aux questions ouvertes en fonction de la représentation à laquelle il adhère prioritairement: il s'agit de dégager comment, dans chaque représentation, les élèves voient l'intérêt du logiciel pour leur apprentissage des mathématique, l'avantage que leur procurerait la disponibilité du logiciel, ainsi que leur avis personnel sur DERIVE.

Les deux premières variables ont été introduites dans l'analyse implicative, et nous interprétons les intensités obtenues. Pour la troisième variable, et pour les réponses aux questions ouvertes, nous avons mis au point une méthode permettant, pour chaque représentation, de dégager un certain nombre d'élèves y adhérant prioritairement.

## V.1 INFLUENCE DU NIVEAU DE CLASSE

Quelle est l'influence du niveau de classe (de 3ème à Terminale) sur les représentations des élèves ? Pour répondre à cette question, nous avons introduit dans l'analyse implicative, des variables binaires correspondant à ces niveaux. Le tableau ci-dessous fait apparaître l'intensité des implications Niveau →Opinion (écriture normale) et Opinion → Niveau (italique). L'orientation de l'implication est déterminée par l'effectif des niveaux et n'a pas ici de signification particulière. Comme indiqué dans (Lagrange, 1995), une implication C →O mesure sur une échelle probabiliste la différence entre le taux d'adhésion à O dans C, et le même taux dans le référentiel.

<table><thead><tr><th rowspan="2"></th><th colspan="4">Refus</th><th colspan="4">Aveugle</th><th colspan="5">Apports activité</th><th colspan="4">Outil calcul</th></tr><tr><th>q42</th><th>q46</th><th>q41</th><th>q40</th><th>q56</th><th>q47</th><th>q44</th><th>q45</th><th>q50</th><th>q53</th><th>q54</th><th>q55</th><th>q48</th><th>q49</th><th>q51</th><th>q52</th></tr></thead><tbody><tr><th>3è</th><td>84%</td><td></td><td></td><td>66%</td><td>96%</td><td>77%</td><td>56%</td><td>65%</td><td>64%</td><td></td><td>69%</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>2nd</th><td></td><td>57%</td><td>76%</td><td>91%</td><td>100%</td><td>95%</td><td>87%</td><td>75%</td><td>76%</td><td>76%</td><td>59%</td><td>94%</td><td></td><td></td><td>61%</td><td></td></tr><tr><th>1èr</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>68%</td><td>88%</td><td>87%</td><td>89%</td><td></td><td>94%</td><td>64%</td><td>54%</td><td></td></tr><tr><th>Ter</th><td></td><td>59%</td><td>60%</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>96%</td><td>98%</td><td>70%</td><td>90%</td></tr></tbody></table>

Il résulte du tableau que :

* Les élèves de Troisième sont plus sensibles que les autres niveaux aux contraintes de l'examen.

* Les opinions de la filiation "Utilisation aveugle des résultats de DERIVE" se rencontrent préférentiellement en 3ème et Seconde.

* Les opinions de la filiation "Apports positifs à l'activité mathématique" se rencontrent préférentiellement en Seconde et Première. Pour les Secondes, l'aspect "Grapheur" apparaît le plus appréciable, alors que les Premières s'attachent davantage aux changement de tâche et de perception des maths.

* Les opinions de la filiation "DERIVE outil pour faciliter et contrôler les calculs" se rencontrent préférentiellement en Première et Terminale. Pour les Premières, la composante "anticipation" apparaît primordiale, alors que les Terminales s'attachent à presque tous les aspects de cette filiation.

Le nombre d'élèves par niveau est assez significatif (de 75 à 147). Cependant le nombre de classes par niveau reste faible (de 4 à 7). On constate que, à la différence des autres résultats, les conclusions ci-dessus ne concordent pas totalement avec celles exprimées suite à la
première version du questionnaire. Donc il est possible que des choix des professeurs introduisent des biais dans ces conclusions.

Néanmoins quelques commentaires généraux semblent possibles :

* Le BEPC en fin de troisième expliquerait la sensibilité des Troisièmes aux contraintes de l'examen. La maturité supérieure des élèves de Terminale expliquerait-elle qu'on ne trouve pas cette sensibilité en Terminale, classe marquée par la préparation du baccalauréat ?

* Les élèves de Troisième et Seconde pratiquent l'algèbre avec DERIVE, alors que les autres niveaux abordent l'analyse. La pratique de l'algèbre avec DERIVE pourrait autoriser une confiance trop grande dans le logiciel, alors que, avec l'analyse, on voit mieux ses limites.

* Les élèves conçoivent mieux une pratique "ouverte" du logiciel en Seconde et en Première, qu'en Terminale. A ce niveau, la préparation du baccalauréat impose ses contraintes sur l'activité mathématique et l'utilisation de DERIVE doit satisfaire ces contraintes. Les contraintes de l'examen apparaissent ainsi sous une autre forme qu'en Troisième.

## V.2 INFLUENCE DE LA DURÉE D'UTILISATION DE DERIVE

La durée d'utilisation déclarée par les élèves varie selon les classes de 2h à 17h, et il semble important de la prendre en compte. Un élève qui a utilisé DERIVE 2h n'en aura qu'un aperçu très sommaire. Au contraire, un élève l'ayant fréquenté plus de 15 h aura une vision plus pertinente des possibilités du logiciel, mais aussi des difficultés qu'on peut rencontrer, des situations où l'apport lui paraît attesté, et celles où il est moins évident.

La variable ut. d. correspond à la durée totale d'utilisation de DERIVE. L'analyse implicative fournit des valeurs de l'intensité d'implication de la variable ut. d. vers les différentes opinions (q40 à q56). Ces valeurs permettent de savoir dans quelle mesure l'utilisation de DERIVE a une influence sur l'opinion qu'a l'élève du logiciel. Nous les faisons apparaître, filiation par filiation, dans le tableau ci-dessous.

<table><thead><tr><th></th><th colspan="3">Refus</th><th colspan="3">Aveugle</th><th colspan="6">Apports activité</th><th colspan="4">Outil calcul</th></tr></thead><tbody><tr><th>↗</th><td>q42</td><td>q46</td><td>q41</td><td>q40</td><td>q56</td><td>q47</td><td>q44</td><td>q45</td><td>q50</td><td>q53</td><td>q54</td><td>q55</td><td>q48</td><td>q49</td><td>q51</td><td>q52</td></tr><tr><th>ut. d</th><td></td><td></td><td></td><td>62%</td><td>52%</td><td></td><td>76%</td><td>68%</td><td>60%</td><td>85%</td><td>86%</td><td>81%</td><td>59%</td><td>81%</td><td>77%</td><td></td></tr></tbody></table>

Les implications sont inexistantes ou peu élevées vers les opinions des deux premières filiations.

Les implications vers les opinions de la filiation "Apports positifs de DERIVE à l'activité mathématique" existent toutes et peuvent avoir des intensités assez élevées (bien qu'inférieures au seuil de 92% que nous avons retenu dans l'analyse précédente).

Trois implications sur quatre existent vers la filiation "DERIVE outil pour faciliter et contrôler les calculs". Elles sont en moyenne moins élevées que vers la filiation précédente.

Nous considérons donc que l'utilisation prolongée de DERIVE conduit plutôt à adhérer à la filiation "Apports positifs de DERIVE à l'activité mathématique", et éloigne d'attitudes de refus ou d'une représentation naïve du logiciel. Elle pousserait également à mieux apercevoir les implications "cognitives" de l'utilisation du logiciel, au delà de la simple aide au calcul. Ceci constitue un résultat intéressant et encourageant pour les professeurs qui tentent de dépasser l'utilisation ponctuelle du logiciel et de l'intégrer réellement à leur enseignement.
A l'intérieur de la filiation "Apports positifs de DERIVE à l'activité mathématique ", nous avons mis en évidence plus haut l'absence de liens entre les opinions q45 et q53 qui détermine deux sous filiations, respectivement, "apports à la compréhension" et "apports à la résolution de problèmes". ut. d. →q45 apparaît avec une intensité de 68% peu significative, alors que ut. d. →q53 apparaît avec une intensité de 85% assez significative. Il en résulte que l'utilisation prolongée de DERIVE amène les élèves à identifier l'apport du logiciel comme un élément de changement de l'activité mathématique, plutôt que comme une aide décisive à leur compréhension.

On peut penser que dans les classes qui ont utilisé DERIVE le plus longtemps, le temps passé avec DERIVE a été mis à profit pour des activités de résolution de problèmes différents des exercices habituels, et que les élèves de ces classes associent DERIVE à ces activités, sans nécessairement percevoir une amélioration de leur compréhension.

### V.3 ETUDE D'ELEVES EN FONCTION DE LEUR ADHÉSION À UNE REPRÉSENTATION

Dans le rapport intérimaire de décembre 1994, à la suite des observations, nous avions pensé que la familiarité avec DERIVE constituait un facteur important dans les relations que l'élève entretient avec le logiciel. Cette familiarité peut s'apprécier à l'aide de la réponse fermée à la question q24 : "Vous sentez-vous maintenant à l'aise avec DERIVE ?"

D'autres questions crucales sur les apports de DERIVE étaient posées de façon ouverte, ou sous forme de réponse OUI/NON avec demande de justification.(q30/q32 ; q37/q38/q39 ; q57/q58)

Ainsi, dans les questions q30 à q32, on demandait à l'élève si DERIVE l'a aidé à apprendre ce qui, en algèbre ou en analyse lui a semblé cette année le plus difficile, et sinon, s'il aurait pu. On demandait de préciser sous forme libre.

Dans les questions q37 à q39, on demandait à l'élève s'il aimerait pouvoir utiliser DERIVE tout le temps, puis au prochain contrôle. On demandait de même de justifier sous forme libre.

Dans les questions q57 et q58, on demandait un avis personnel, illustré par un exemple.

Nous avons pensé qu'un classement des élèves en fonction des "filiations" ou "représentations" dégagées ci-dessus pouvait constituer un filtre efficace pour l'interprétation de ces réponses. En effet, les réponses à ces questions sont d'une grande diversité, et des regroupements de réponses comme ceux que nous avons opérés pour les questions q33 et q34 seraient délicats. Ayant déterminé la présence d'une représentation donnée chez un élève à partir de ses réponses aux questions fermées, on peut plus facilement interpréter ses réponses aux questions ouvertes, en fonction de cette représentation. En retour, ces réponses aident à mieux caractériser les représentations.

### MISE EN ÉVIDENCE D'ÉLÈVES ADHÉRANTS À UNE REPRÉSENTATION

Le projet ci-dessus suppose la détermination, pour chaque (sous)filiation, d'un certain nombre d'élèves adhérant aux différentes opinions qui la composent.

Bien que le problème posé soit en apparence de même nature, nous n'avons pas choisi la voie décrite par (Bailleul, 1994). En effet, dans celle-ci, on cherche des individus "contribuant" à une implication a → b, ce qui signifie en fait que leur adhésion à a est inférieure à leur adhésion
à b. Au contraire, nous cherchons des élèves qui adhérent à la fois à a et à b, plus que la moyenne.

La méthode que nous avons adoptée est la suivante :

Pour chaque élève, nous calculons le produit des valeurs des variables correspondant aux opinions de la (sous)filiation. Nous obtenons ainsi une valeur d'adhésion à la (sous)filiation. Le produit permet que cette valeur soit nulle si l'élève n'est pas du tout d'accord avec une seule des opinions de la (sous)filiation.

Ensuite, nous retenons les élèves pour lesquels cette valeur $v$ est significativement supérieure à la moyenne observée $\bar{v}$, c'est-à-dire tels que $P(V > \bar{v}) \le 0,1$, $V$ étant une variable aléatoire de loi normale $N(\bar{v}, var)$, $var$ étant la variance observée. Pour les quelques élèves apparaissant dans deux filiations, nous retenons seulement celle où la valeur de $P(V > \bar{v})$ est la plus faible.

On obtient ainsi 279 élèves classés en 7 groupes représentatifs des 7 (sous) filiations, et nous tirons parti dans la suite des réponses de ces élèves aux différentes questions rappelées ci-dessus.

Quand il s'agit de réponses fermées, il est possible d'établir dans chaque groupe, un pourcentage de réponses positives et de le comparer aux taux dans le référentiel. Le tableau ci-dessous présente ces résultats.

<table><thead><tr><th>Filiations</th><th>Sous-filiations</th><th>nb élèves</th><th>q24 (A l'aise avec DERIVE)</th><th>q31 (Aide à apprendre)</th><th>q32 (Aurait pu aider à apprendre)</th><th>q37 (Avoir DERIVE en perman.)</th><th>q38 (DERIVE pour contrôle)</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">Refus</td><td>DERIVE fonctionnel ⇒ refus</td><td>48</td><td>63%</td><td>19%</td><td>40%</td><td>29%</td><td>53%</td></tr><tr><td>DERIVE compliqué ⇒ refus</td><td>43</td><td>29%</td><td>15%</td><td>34%</td><td>19%</td><td>46%</td></tr><tr><td colspan="2">Utilisation aveugle ...</td><td>35</td><td>64%</td><td>34%</td><td>62%</td><td>45%</td><td>76%</td></tr><tr><td rowspan="2">Apports à l'activité mathématique</td><td>Apports à la compréhension</td><td>38</td><td>82%</td><td>64%</td><td>59%</td><td>71%</td><td>79%</td></tr><tr><td>Apports à la résolution de problèmes</td><td>35</td><td>72%</td><td>27%</td><td>35%</td><td>60%</td><td>63%</td></tr><tr><td rowspan="2">DERIVE outil de calcul</td><td>Auxiliaire en continu</td><td>38</td><td>86%</td><td>23%</td><td>40%</td><td>60%</td><td>81%</td></tr><tr><td>Auxiliaire ponctuel</td><td>42</td><td>68%</td><td>26%</td><td>45%</td><td>54%</td><td>66%</td></tr><tr><td colspan="2">Population totale</td><td>459</td><td>65%</td><td>26%</td><td>47%</td><td>46%</td><td>69%</td></tr></tbody></table>
Les réponses aux questions ouvertes sont d'une grande diversité. Comme nous l'avons indiqué ci-dessus, les représentations doivent servir de filtre pour leur interprétation, et permettre en retour d'enrichir notre compréhension de ces représentation. C'est pourquoi nous retenons seulement les réponses ayant un lien avec ces représentations. Notre méthode consiste donc, pour chacune des 7 (sous)filiations, à rechercher parmi les réponses des élèves de cette (sous)filiation, celles qui sont en rapport direct avec la représentation de DERIVE sous-jacente. Nous analysons ces réponses dans la suite, et nous en donnons des exemples pour illustrer les analyses.

## INFLUENCE DE LA FAMILIARITÉ AVEC DERIVE

La question q24 porte sur la familiarité "actuelle" de l'élève, après la phase d'apprentissage : *Vous sentez-vous maintenant à l'aise avec DERIVE* ? La quatrième colonne du tableau ci-dessus montre, à l'intérieur de deux filiations, des différences significatives entre sous-filiations.

### "Le refus de DERIVE"

Dans cette filiation, 63% des élèves qui refusent DERIVE à cause de son caractère fonctionnel sont à l'aise avec le logiciel; ils sont, de ce point de vue, très peu différents de l'élève moyen. Par contre ceux qui refusent le logiciel à cause de son caractère "compliqué" ne sont plus que 29% à être à l'aise. Ce n'est donc pas le logiciel en lui-même qui fait écran aux mathématiques, mais bien les difficultés que l'élève rencontre dans l'utilisation du logiciel.

On vérifie ainsi l'existence de deux représentations distinctes de DERIVE, déterminées par deux niveaux distincts de familiarité, qui convergent en un même refus du logiciel.

### "DERIVE outil pour faciliter et contrôler les calculs"

Les élèves qui admettent DERIVE seulement comme un outil à des endroits isolés du calcul ont une familiarité avec le logiciel peu différente de l'élève moyen. Au contraire, ceux qui conçoivent une utilisation en continu ont un taux de familiarité très supérieur à la moyenne. Ceci confirme qu'une utilisation de DERIVE "intelligente", "souple", suppose une plus grande familiarité avec le logiciel.

## REPRÉSENTATION DE L'APPORT DE DERIVE AUX APPRENTISSAGES.

Les réponses à la question q31, sont dans leur grande majorité négatives (26 % de oui). Elles sont un peu plus positives à la question q32.

### "Le refus de DERIVE".

On trouve des taux inférieurs aux moyennes dans cette filiation. Pour motiver leur refus, les élèves se placent donc bien sur le terrain des apprentissages, et non sur le seul plan des contraintes de l'évaluation. Pour expliquer cette non-contribution de DERIVE à leurs apprentissages, ils sont nombreux à mettre en avant la non transparence des calculs effectués par le logiciel :

#### "Il donne simplement les réponses sans explication"

Il leur semble que l'utilisation du logiciel aurait dû s'accompagner d'une intervention enseignante plus importante

#### "Si un professeur aurait été tout le temps à notre disposition pour nous aider à apprendre"
On retrouve également dans la sous-filiation "DERIVE compliqué ⇒ refus", les difficultés rencontrées dans l'utilisation du logiciel :

* "Logiciel dur d'abordage"

* "Apports à la compréhension"

Cette sous-filiation est la seule à présenter un taux important de réponses positives à la question q31. Pour les élèves, comprendre avec DERIVE, c'est donc apprendre des mathématiques.

**Les autres sous-filiations "favorables" à DERIVE**

"Apports à la résolution de problèmes" et les deux sous-filiations "Outil de calcul" présentent au contraire un taux faible de réponses positives à la question 31, proche de la moyenne. Pour ces élèves, l'appréciation positive portée sur DERIVE ne semble donc pas résulter d'un apport du logiciel à leurs apprentissages, et l'on trouve, dans ces sous-filiations, les mêmes arguments sur la non-transparence des calculs que dans la filiation du refus : on aime travailler avec DERIVE, car c'est plus pratique, on fait des choses différentes, mais on n'apprend pas davantage.

## SOUHAITS QUANT À LA DISPONIBILITÉ DE DERIVE

* "Le refus de DERIVE".

Peu d'élèves souhaitent disposer de DERIVE en permanence. Cependant près d'un sur deux choisirait d'utiliser DERIVE au prochain contrôle, si cela leur était proposé.

*DERIVE fonctionnel ⇒ refus*

Parmi les explications d'un refus d'utiliser DERIVE, voici des réponses qui confirment l'idée que pour les élèves de cette sous-filiation, le logiciel "fait le travail de l'élève" et que, par là, il perd son intérêt :

* "Car le travail est mâché, il suffit de donner l'énoncé pour avoir la réponse"

* "Il faut pouvoir raisonner par soi-même, sinon dans quelques années nous n'allons plus savoir faire quelque chose sans des programmes sur ordinateur"

*DERIVE compliqué ⇒ refus*

Le choix d'utiliser DERIVE en contrôle est le plus faible dans cette sous-filiation. Les difficultés de l'élève avec le logiciel prennent en effet toute leur importance en temps limité :

* "Personnellement, c'est une perte de temps. Je ne sais pas bien utiliser D. J'ai plus vite fait de calculer moi-même"

* "Trop long à utiliser, erreurs possibles sur le clavier"

* "Utilisation aveugle"

Le choix d'utiliser DERIVE en contrôle est supérieur à la moyenne. Les élèves invoquent le plus souvent la rapidité et l'exactitude des résultats

* "Car cela serait plus rapide et les réponses seront totalement correctes"

* "Car c'est plus rapide et plus efficace"

**Les filiations favorables à DERIVE**
"Apports à la compréhension"

Le taux le plus important d'élèves souhaitant avoir DERIVE en permanence est logiquement obtenu dans cette sous-filiation. Voici des justifications :

"Cela permet de revoir rapidement tout ce qui a été vu, pour bien comprendre certaines choses mal comprises"

"Parce que D., ça aide à comprendre les maths"

"Apports à la résolution de problèmes"

Parmi les filiations favorables à DERIVE, le choix d'utiliser DERIVE en contrôle est le plus faible dans cette sous-filiation. Pour ces élèves, DERIVE est intéressant car il "change les problèmes". Mais pour eux, le logiciel intervient sans doute dans un contrat différent du contrat auquel le contrôle est associé, et c'est pourquoi ils sont moins nombreux à souhaiter l'utiliser en contrôle. Un élève souligne bien que DERIVE "change le contrôle" :

"Les interrogations écrites avec D. sont souvent plus difficiles que les autres"

D'autres élèves, favorables à l'utilisation de DERIVE en permanence, précisent leur opposition à une utilisation en contrôle par référence aux examens :

"Ca ne nous prépare pas aux examens et nous fait prendre de mauvaises habitudes".

Le contrat établi lors de l'examen "fait référence" lorsqu'il s'agit d'un contrôle, et l'élève ne voit pas la place de DERIVE dans ce contrat.

"Auxiliaire en continu".

Au contraire, le choix d'utiliser DERIVE en contrôle est le plus élevé dans cette sous-filiation. Nous avons souligné déjà qu'il s'agit d'élèves ayant une utilisation "souple" de DERIVE, leur permettant sans doute de produire la rédaction attendue à la suite d'une résolution manuelle, tout en bénéficiant de l'aide de DERIVE.

"Cela permet de vérifier les calculs intermédiaires, les études de fonctions, de manière simple et rapide"

"Je trouve qu'il est plus facile de montrer si une solution est vraie ou fausse, plutôt que de chercher une solution"

"D. est intéressant pour vérifier les calculs qui, s'ils sont inexactes, faussent tout le reste du problème"

## AVIS PERSONNEL SUR DERIVE

"Le refus de DERIVE".

Curieusement les avis négatifs sur DERIVE ne sont pas majoritaires parmi les réponses à cette question. Peut-être le libellé de la question conduisait-il les élèves à montrer les aspects positifs du logiciel ("*Que fait-on de plus* ..."). Les avis négatifs éclairent cependant les représentations dans les sous-filiations.

DERIVE fonctionnel ⇒ refus

"On travaille plus rapidement, D. fait les calculs et nous survolons le problème sans y rentrer en profondeur"
"On peut résoudre certaines choses qui ne sont pas de notre niveau. mais à part ça on ne peut rien inventer avec D."

"Difficile à exploiter dans le sens que souvent on fait pas les rapports avec le cours et surtout on est pressés"

La rapidité d'exécution, la possibilité de travailler sur des problèmes plus difficiles sont soulignés en fonction de leurs conséquences négatives sur l'apprentissage.

DERIVE compliqué ⇒ refus

"On perd du temps et on a du mal à finir le programme de math en fin d'année / De 9 heures de math au programme, on passe à 11 voire 12h de maths mais les résultats de la classe ne suivent pas"

"C'est pas terrible, ça n'avance pas beaucoup le travail de maths proprement dit"

A nouveau, il est clair que le refus de DERIVE dans cette sous-filiation se situe bien en fonction des apprentissages, et non relativement aux seuls examens.

## Utilisation aveugle

Les élèves de cette filiation soulignent, plus que d'autres, l'intérêt qu'ils ont trouvé à travailler sur ordinateur.

"On apprend à se servir d'un ordinateur"

"On rédige notre travail sur écran"

## Apports à la pratique mathématique

### Apports à la compréhension

Voici quelques avis permettant de mieux voir comment les élèves de cette sous-filiation se représentent l'apport de DERIVE

"On change sa façon de comprendre les maths, car on en a une autre approche. En quelque sorte, on se donne d'autres moyens pour comprendre les maths / Des suites "

"Grâce à D., on arrive à mieux comprendre les exercices car si on ne comprend pas, D. nous explique à chaque fois / Je lui dirais que je n'avais pas compris les fractions et grâce à D. maintenant j'ai compris!"

"On a eu la chance de travailler avec D. parce qu'on a découvert que sur l'ordinateur, on pouvait découvrir plus de choses qu'en cours normal et en plus, ça nous intéresse plus de taper sur un clavier plutôt que d'écrire nos cours et exercices"

"Esprit d'analyse car on doit voir ce qu'on a planifié comme résolution avant de translater sur D. Donc il faut réfléchir"/ Calcul complexe, ex. savoir mettre les parenthèses pour définir, découper le calcul que l'on veut faire exécuter à D."

Les trois idées qui semblent présentes sont les suivantes : possibilité de points de vue différents sur un sujet mathématique, relation personnelle au logiciel qui permet une relation personnelle aux mathématiques, décentration par rapport au calcul.

### Apports à la résolution de problèmes
Logiquement, des élèves de cette sous-filiation insistent sur les problèmes nouveaux traités avec DERIVE

"Peut-être que l'on peut aborder des exercices intéressants sans que les calculs n'entravent la démarche, ou encore des problèmes différents des exercices habituels. / L'étude des familles de droites"

"Je lui réponds que l'on approfondit des résultats et que l'on change des exercices traditionnels / "Présumés" théorèmes. La voiture"

D'autres élèves insistent sur le changement de mode de travail.

"On travaille davantage et autrement, travail en équipes de deux."

## DERIVE outil pour faciliter et contrôler les calculs

Voici pour chaque sous-filiation, des réponses qui permettent de voir comment les élèves se représentent l'aide de DERIVE dans une pratique mathématique, qui, dans cette filiation, n'est pas modifiée par l'introduction de DERIVE.

### Auxiliaire en continu

Certains élèves insistent sur l'efficacité nouvelle que leur apporte DERIVE

"L'on travaille peut-être plus efficacement"

"Des calculs plus rapides, on apprend à s'organiser / Suites"

"On a une illustration immédiate des exercices effectués"

D'autres insistent sur l'autonomie que leur permet DERIVE

"On gagne du temps car on trouve nos erreurs plus facilement sans appeler le prof"

"Disons que c'est une aide pour s'entraîner en math"

### Auxiliaire ponctuel

Pour certains élèves, l'aide est surtout une vérification a posteriori

"Contrôler correctement les résultats obtenus / Ca permet de voir la correction d'un développement, par exemple"

Pour d'autres, il est plus intéressant de chercher d'abord avec DERIVE, car cela donne une méthode de résolution plus facile.

"On sait dans quelle voie se lancer et en plus D. nous rassure / Par exemple si on doit chercher une primitive et qu'à la main on ne la trouve pas; on demande à D. la primitive et il nous reste plus qu'à vérifier en dérivant"
# VI. LE QUESTIONNAIRE "PROFESSEURS"

Parmi les 32 questionnaires professeurs retournés (Cf. paragraphe I), nous avons fait le choix de dépouiller seulement les 25 réponses de professeurs dont les élèves ont effectivement utilisé DERIVE. En effet, 7 professeurs ont utilisé le logiciel uniquement en phase collective (avec un rétroprojecteur). Leurs élèves n'ont donc pas utilisé le logiciel, et par conséquent, ces professeurs n'entrent pas dans le cadre de notre étude.

## VI.1 LE TEXTE DU QUESTIONNAIRE

Si vous utilisez DERIVE dans plusieurs classes, remplissez s'il vous plaît un questionnaire par classe à partir de la question 4, merci

### I. INFORMATIONS GENERALES

1. Comment avez-vous connu DERIVE ?

2. Avez-vous reçu une formation spécifique à propos de ce logiciel et de son utilisation pour l'enseignement (si oui, préciser) ?

3. Depuis combien de temps utilisez-vous DERIVE

- pour votre usage personnel et la préparation de vos cours ?

- avec vos élèves ?

4. Classe :

5. Nombre d'élèves : F : G :

6. De quel équipement informatique (fixe ou mobile) pouvez-vous disposer dans votre établissement pour l'enseignement des mathématiques dans cette classe ?

7. Y avez-vous facilement accès ? Sinon, quels sont les principaux problèmes rencontrés ?

8. Quels logiciels avez-vous utilisés pendant l'année avec cette classe ?

- occasionnellement (préciser si possible pour chacun le nombre d'utilisations) :

- régulièrement (préciser si possible pour chacun le rythme d'utilisation) :

9. Organisez-vous par ailleurs des activités nécessitant l'utilisation des calculatrices ?

régulièrement occasionnellement rarement jamais

Commentaires éventuels :

10. Comment avez-vous utilisé DERIVE cette année avec les élèves de cette classe ?

- utilisation collective en classe :

Oui Non Nombre de séances :

- TD en salle informatique :

Oui Non Nombre de séances :

<footnote>1Il peut s'agir bien sûr d'une utilisation partielle pendant la séance</footnote>
- autres (préciser) :

11. Vos élèves ont-ils accès à DERIVE en dehors de la classe :

- au CDI ?

Oui

Non

- dans un club mathématique ?

Oui

Non

- autres (préciser) :

12. Si oui, quelle proportion d'élèves profite de ces possibilités :

- régulièrement :

- occasionnellement :

## II. INITIATION A DERIVE

13. Avez-vous organisé une ou plusieurs séances spécifiques pour l'initiation à DERIVE (si oui préciser combien de séances, si non préciser pourquoi) ?

14. Pensez-vous que l'initiation à DERIVE est :

très facile

facile

assez difficile

15. Quelle proportion de vos élèves vous semble maintenant vraiment à l'aise avec DERIVE ?

16. Quelles commandes DERIVE avez-vous introduites et fait utiliser par les élèves (entourer les commandes utilisées régulièrement et souligner les commandes utilisées occasionnellement) :

**Fenêtre algèbre**: Auteur Bâtis Calcul (Dérive - Intègre - Limite - Produit - Somme)
Declare (Fonction - Variable - Matrice - Vecteur) Développe Factor Saute Resol Choix (Simplifie) Options (Notation - Précision) Graph Supprime Simplifie Transfert (Charge - Sauve) Mouv Fenêtre (Inverse - Vers - Ouvre - Coupe) Approx

**Fenêtre de traçage 2D**: Algèbre Centre Supprime Vers Options (Couleur - Affiche - Notation - Précision - Etat) Graph Ech. Zoom

**Fenêtre de traçage 3D**: Algèbre Centre Oeil Focale Grilles Cache Taille Options (Axes - Couleur - Affiche - Notation - Précision) Graph Zoom

**Touches de fonctions**: F1 F2 F3 F4

**Autres commandes** :

17. Avez-vous rencontré certaines difficultés techniques, pédagogiques, dans l'utilisation de DERIVE avec les élèves et si oui lesquelles ?

## III. SEANCES AVEC DERIVE
18. Pour chacune<fnref n="2" /> des séances utilisant DERIVE que vous avez organisées, pouvez-vous préciser :

- le thème de la séance et ses objectifs,

- le mode d'utilisation de DERIVE choisi (collectif, TD avec fonctionnement par binômes ou individuel...),

- ce qu'apporte à votre avis l'utilisation de DERIVE (prise en charge de calculs pénibles, moyen de contrôle, aide à l'exploration et à la formulation de conjectures, aide à la visualisation, articulation entre les cadres algébrique et graphique ...)

## IV. EVALUATION, BILAN

19. Globalement, qu'attendiez-vous de l'utilisation de DERIVE dans cette classe ?

20. Quelles sont les séances qui, à votre avis, ont le mieux marché et pourquoi ?

21. Quelles sont les séances qui, à votre avis, ont le moins bien marché et pourquoi ?

22. Quel bilan faites-vous de l'utilisation de DERIVE dans cette classe (donner une appréciation de 0 à 4 : 0 bilan très négatif, 4 bilan très positif) ?

0 1 2 3 4

23. Pouvez-vous préciser cette appréciation en indiquant :

- ce qui vous a semblé le plus positif dans cette utilisation de DERIVE pour l'enseignement des mathématiques dans cette classe,

- les déceptions éventuelles que vous avez éprouvées par rapport à vos attentes.

24. Si vous aviez une classe comparable l'an prochain :

- utiliseriez-vous de nouveau DERIVE ?

- apporteriez-vous des modifications dans son utilisation (séances modifiées, ajoutées, supprimées, modifications techniques...) et si oui lesquelles ?

<footnote n="2">2 Si vous utilisez DERIVE très fréquemment, répondez aux questions posées pour un ensemble de séances qui vous semble représentatif des utilisations faites et décrivez plus rapidement les autres séances.</footnote>
## VI.2 BUTS DE L'ÉTUDE

Plutôt que de dépouiller de façon exhaustive les nombreux items du questionnaire, nous avons cherché à tirer parti des réponses à certaines questions, en fonction de nos interrogations sur l'utilisation de DERIVE :

1. Quels modes d'utilisation de DERIVE rencontre-t-on dans les classes : durée sur une année, répartition collectif/TD, type d'initiation, fonctionnalités utilisées etc ?

2. Sur quels contenus mathématiques les professeurs conduisent-ils des activités avec DERIVE ? Que pensent-ils a posteriori des ces activités ?

3. Quels types d'activité mathématique les professeurs privilégient-ils quand ils utilisent DERIVE avec les élèves ? Quels apports de DERIVE anticipent-ils dans cette activité ? Dans leur expérience, quels apports ont été reconnus valides ? Quelles ont été leurs déceptions ?

Les données brutes issues des réponses des professeurs ont été regroupées dans des tableaux sur lesquels nous fondons les analyses ci-dessous. Pour des questions de présentation, ces tableaux sont regroupés en annexe page 61. Dans ces tableaux, chaque professeur est repéré par un numéro d'identification de 1 à 25, auquel nous faisons référence entre parenthèses dans les analyses.

## VI.3 MODES D'UTILISATION DE DERIVE

Pour cette partie, nous tirons parti des réponses aux questions 8 (logiciels utilisés régulièrement), 10 (nombre de séances collectives et TD avec DERIVE), 13 (initiation à DERIVE) et 16 (fonctionnalités de DERIVE introduites par le professeur). En fonction des réponses à la question 10, nous déterminons des catégories d'utilisation de DERIVE par les professeurs. Puis nous exploitons cette classification pour interpréter les réponses aux autres questions.

### CATÉGORIES D'UTILISATION

Nous avons déterminé 4 catégories (tableau 1 de l'annexe page 61 ci-dessous) correspondant à des "modes" ou "projets" d'utilisation de DERIVE.

#### Utilisation ponctuelle

Il s'agit de 7 professeurs ayant utilisé DERIVE pour 1 à 5 séances dans l'année. Dans ce cas, il ne s'agit pas d'un "projet d'utilisation", mais plutôt d'une tentative à caractère exploratoire.

#### Utilisation occasionnelle

Ces 8 professeurs ont un projet plus conséquent, mais le logiciel n'est pas utilisé plus d'une fois par mois, ou seulement sur une période réduite de l'année.

#### Utilisation régulière

Ces 6 professeurs ont utilisé DERIVE dans une perspective d'intégration du logiciel aux activités mathématiques. Pour certains (14, 17, 18, 23) cette intégration se fait plutôt par des travaux dirigés réguliers en salle informatique, éventuellement complétés par une utilisation collective. Pour les autres (7, 11), l'utilisation hors salle informatique à l'aide d'un rétroprojecteur est la règle, et les travaux dirigés sont moins nombreux.

#### Utilisation intensive
Ces 4 professeurs réalisent une intégration complète du logiciel dans leur enseignement de mathématiques. Pour deux professeurs (6 et 20), cette intégration s'opère par la réalisation de nombreuses séances collectives et de TD. Chacun des élèves des deux autres professeurs (1 et 3) a à sa disposition un ordinateur avec DERIVE dans les séances de mathématiques.

# EXPLOITATION

## Diversité des modes d'utilisation

La répartition des 25 professeurs dans les 4 catégories ci-dessus, montre que l'utilisation du logiciel peut se faire avec des projets très divers : d'une utilisation à caractère exploratoire jusqu'à une intégration complète. Nous avons écarté les réponses de professeurs dont les élèves n'ont jamais utilisé eux-mêmes le logiciel ; ce mode d'utilisation "entièrement collectif" aurait constitué une catégorie supplémentaire.

## Les professeurs du groupe D.I.T.E.N.

On pouvait s'attendre, à trouver les 12 professeurs du groupe D.I.T.E.N.<fnref n="3" /> dans les deux catégories réalisant l'intégration du logiciel, puisqu'il s'agit d'un objectif explicite de ce groupe. On trouve cependant 4 professeurs du groupe dans les catégories "ponctuel", et "occasionnel". Dans deux cas, les réponses au questionnaire permettent de savoir pourquoi les professeurs n'ont pas poursuivi cet objectif : dans la classe de Math. Spé. de l'un (22) l'utilisation de l'informatique se fait de façon séparée des mathématiques, l'autre (15) utilise de façon intensive d'autres logiciels (Imagiciels, Cabri).

Dans les deux catégories réalisant une intégration significative du logiciel, sur 10 professeurs, on trouve 2 personnes hors groupe D.I.T.E.N.. Ce petit nombre semble indiquer qu'une telle intégration est actuellement difficile en dehors d'un projet institutionnel.

## Les ordinateurs de poche

Deux professeurs du groupe D.I.T.E.N. (identifiés 5 et 17) ont équipé leur classe d'ordinateurs de poche avec DERIVE. On s'étonnera peut-être de trouver ces professeurs dans deux modes d'utilisation distincts. En fait, les ordinateurs de poche semblent exploités de façon assez différente. Dans la classe du professeur 5 (mode "intensif"), l'ordinateur de poche est présent à toutes les séances pour tous les élèves. Dans la classe du professeur 17 (mode "régulier") la mise à disposition d'ordinateurs de poche répond à un besoin d'utilisation en travail personnel ("à la maison"), et d'ailleurs, les ordinateurs de poche sont disponibles seulement trois mois dans l'année et doivent être empruntés pour un temps limité (il n'y en a pas un pour chaque élève). Ce professeur n'utilise pas exclusivement DERIVE : il utilise un grapheur pour 4 séances, et Cabri-géométre pour 6 autres séances. Il réalise donc bien une intégration partielle du logiciel DERIVE.

Sans tirer de conclusion à valeur statistique, on remarquera que ces deux "exploitations" des ordinateurs de poche se situent l'une en Première, l'autre en Terminale. Nous avions déjà remarqué avec les calculatrices que l'utilisation "à la maison" dépassait l'utilisation "en classe" à partir de la classe de Terminale. Peut-être y-a-t-il une détermination forte à faire passer l'utilisation de moyens technologiques dans le domaine privé de l'élève à partir de cette classe.

## L'initiation (cinquième ligne des tableaux page 61)

<footnote n="3">3 Les numéros d'identification des professeurs du groupe ministériel sont soulignés dans les tableaux.</footnote>
On rencontre trois modes d'initiation :

* dans le premier, que nous qualifions de mode "court" (5 professeurs), l'initiation est très courte ou inexistante, les activités commencent d'emblée, et les fonctionnalités (souvent en nombre réduit) sont introduites au fur et à mesure des besoins.

* dans le second mode dit "spécifique" (16 professeurs) une séance au moins est consacrée à une initiation spécifique au logiciel

* dans le troisième mode dit "mixte" (4 professeurs), une même séance permet l'initiation au logiciel et des révisions sur des notions mathématiques.

Dans les réponses des professeurs, il n'est pas toujours facile de déterminer les raisons qui ont conduit au choix d'un mode d'initiation.

* Dans le mode "court", on peut penser que, pour les professeurs, le logiciel présente seulement des caractéristiques techniques qu'il est possible de décrire rapidement, les aspects "mathématiques" du logiciel apparaissant de façon "naturelle" au moment de leur utilisation.

* Le mode "spécifique" correspond souvent à une volonté de permettre une utilisation autonome du logiciel par l'élève : il apparaît particulièrement nécessaire dans des modes d'utilisation individuelle intensif par les élèves (1, 3).

* Le mode "mixte" correspond probablement à la volonté d'intégrer une initiation spécifique au logiciel dans un contrat didactique qui privilégie les mathématiques habituelles.

On constate de façon logique que, dans la catégorie "utilisation intensive", le mode d'initiation est mixte (6) ou spécifique (20, 1, 3).

Les autres catégories ne présentent pas de différences significatives : une ou deux initiations "courtes", une initiation "mixte" et le reste en "spécifique". Il est curieux de constater que, dans la catégorie "ponctuel" par exemple, 5 professeurs sur 7 consacrent une heure ou plus à l'initiation. Doit-on en déduire que, dans leur majorité, les professeurs pensent qu'une initiation conséquente à DERIVE est nécessaire, quelque soit le projet d'utilisation du logiciel ? Et que d'autres pensent qu'il n'y a pas besoin d'initiation spécifique, indépendamment de la durée d'utilisation.

## Les fonctionnalités de DERIVE utilisées par les élèves

* Les fonctionnalités de la fenêtre d'algèbre (Simplification, résolution, développement ...) sont les premières fonctions offertes à l'utilisateur de DERIVE. Elles sont vues dans toutes les classes.

* Les touches de fonction (F3 et F4) permettent la "réutilisation" d'expressions entrées ou obtenues par une action dans DERIVE. Elles permettent un usage plus rationnel du logiciel, tout en conduisant à penser les expressions comme objets manipulables. Elles sont vues dans 17 classes sur 25.

* Les fonctionnalités des fenêtres de tracé (2D et 3D) font de DERIVE un grapheur, et permettent ainsi une interaction entre algèbre et graphisme. La fenêtre de tracé de courbes (Fen. 2D) a été présentée par 16 professeurs sur 25. La fenêtre de tracé des expressions à deux variables (Fen. 3D) a été utilisée dans les classes de 3 professeurs, mais deux de ces professeurs précisent qu'il s'agit seulement d'un "aperçu". On peut donc penser que DERIVE a été utilisé dans la majorité des cas comme grapheur 2D (en concurrence avec la
calculatrice graphique), mais pratiquement pas en 3D. Il est clair que les programmes du secondaire privilégient les fonctions d'une variable, et donc les graphes 2D, mais on aurait pu penser que dans les classes post-baccalauréat, DERIVE aurait été intéressant à utiliser comme grapheur 3D, ce qui n'est pas le cas pour les 3 professeurs enseignant dans ces classes.

Il y a donc des utilisations différenciées qui peuvent s'apercevoir à partir des fonctionnalités utilisées par les élèves. Une surprise est que ces différences ne semblent pas liées aux catégories d'utilisation : dans les différentes catégories d'utilisation, on rencontre en effet des professeurs déclarant présenter seulement la fenêtre d'algèbre, et d'autres présenter pratiquement toutes les fonctionnalités proposées dans le questionnaire.

## VI.4 ACTIVITÉS CONDUITES AVEC DERIVE : CONTENUS, SPÉCIFICITÉS, INSATISFACTIONS.

Comment les professeurs articulent-ils les activités d'utilisation de DERIVE et les notions aux programmes des classes ? Y a-t-il des activités qui ne pourraient avoir lieu sans DERIVE ? Que pensent les professeurs a posteriori des séances qu'ils ont mises en place ?

On peut répondre à ces interrogations à l'aide des réponses à la question 18, où les professeurs décrivent les séances d'utilisation de DERIVE qu'ils ont organisées, en précisant pour certaines séances l'apport attendu de DERIVE et à l'aide des réponses aux questions 20 et 21, où les professeurs précisent respectivement "les séances qui ont le mieux marché", et celles "qui le moins bien marché". A l'aide de ces réponses, nous établissons en colonne 3 du tableau 2 de l'annexe page 61, pour chaque professeur, une série de une à cinq "activités" en précisant, lorsque c'est possible, l'apport de l'utilisation de DERIVE dans ces activités et l'appréciation positive ou négative portée par le professeur à l'issue de cette activité. Les activités sont de "unités de cours", se référant au même sujet, et le temps consacré à chacune de ces activités peut différer notablement d'une réponse à l'autre. Dans certains cas, nous avons pu nous aider de textes écrits par les professeurs en dehors de ce questionnaire, pour mieux comprendre leurs réponses. Le renvoi à ces textes est fait sous forme de notes de bas de pages.

### CONTENUS ET PROGRAMMES DES CLASSES

Dans le tableau 2, nous avons rangé les réponses dans l'ordre des classes (de la 3ème à la Terminale). Le niveau de classe est indiqué en colonne 2. Ceci nous permet de mettre en relation les activités organisées par les professeurs et le niveau de classe auquel ces activités s'adressent.

* Dans les 3 classes de 3ème

* Expressions algébriques, développements, simplifications

* Résolution d'équations et de systèmes

* Équations de droites et géométrie analytique

* Dans les 6 classes de Seconde

* Révisions sur les expressions algébriques

* (In)équations et systèmes linéaires

* Fonctions et représentations graphiques. Familles de courbes
* Géométrie analytique (cercle)

* Dans les 6 classes de Première

* Fonctions et représentations graphiques (effet de transformations algébriques : translations, affinités)

* Expressions, Factorisations, Équations

* Dérivation

* Combinatoire

* Signe d'une expression

* Étude d'une fonction (variations, représentation graphique)

* Trigonométrie

* Dans les 7 classes de Terminale

* Statistique (ajustement linéaire)

* Dérivation, Primitives, Intégration, Équations différentielles

* Étude de fonctions. Recherche de fonctions sous contraintes

* Géométrie analytique, transformations géométriques

* Calculs et équations dans les complexes

* Suites

* Résolution de systèmes par la méthode du pivot

* Courbes paramétrées

* Dans les 3 classes "Post-Baccalauréat"

* Calculs d'intégrales, dérivées, limites

* Équations différentielles

* Suites récurrentes

* Fonction de 2 variables

* Calcul matriciel, déterminants et géométrie analytique

Nous constatons ainsi que les connaissances recherchées dans ces activités s'insèrent dans le contenu normal des programmes de ces classes. Dans les classes de 3ème et de lycée, ces activités couvrent la quasi totalité du programme d'algèbre ou d'analyse, et la géométrie est parfois abordée par le biais de l'analytique.

## LES ACTIVITÉS SPÉCIFIQUES À DERIVE

Nous constatons aussi la présence d'activités difficilement envisageables sans DERIVE

* Étude formelle de méthodes de résolution (4, 9)
* Tracé de familles de courbes (avec la fonction VECTEUR), recherche de fonctions sous contraintes (18, 3, 7)

* Résolution de problèmes ouverts, modélisation (10, 3, 19, 1)

Dans cette catégorie, les activités décrites par les enseignants ne fonctionneraient sans doute pas sans un logiciel de mathématiques symboliques. Elles ne s'éloignent pas des objectifs des programmes des classes, tout en ajoutant une dimension nouvelle à ces objectifs :

* Résolution de problèmes ouverts. Une étude attentive de ces activités dans les classes de lycée de montre qu'elles sont organisées en fonction des contenus notionnels des classes (étude des fonctions, factorisations des polynômes). Dans la classe "BTS + 1", la modélisation contribue fortement à une liaison entre l'enseignement des mathématiques et l'enseignement professionnel. Dans les deux cas, ces activités ont pour but d'ajouter une dimension supplémentaire de motivation, de signification aux contenus.

* Étude des équations et systèmes d'équations. Au delà de la "résolution effective", la dimension formelle est développée : résolution de systèmes généraux, comparaison de méthodes.

* Représentations et problèmes sur les familles de courbes. Ces activités renvoient à l'étude d'ensembles de fonctions, à partir de leurs représentations sous forme de familles de courbes. On peut ainsi avoir une activité de résolution de problème sur des objets "fonctions", ce qui donne une dimension notablement plus générale à la notion de fonction.

Ces activités spécifiques à DERIVE sont importantes à observer dans la perspective d'une diffusion de l'utilisation de S.M.S. dans les classes. Les professeurs pourraient développer des activités de modélisation ayant pour fonction de motiver le travail des élèves et de donner un supplément de signification aux notions. Ils pourraient aussi chercher à ajouter des dimensions supplémentaires aux notions : ils pourrait par exemple plus facilement présenter les fonctions comme éléments d'ensembles, ou dégager plus facilement la notion de solution générale des équations...

Ces activités spécifiques à DERIVE ne sont pas cependant pas majoritaires parmi les activités décrites par les professeurs. On peut penser qu'une raison en est qu'elles sont notablement plus difficiles à mettre en place.

## INSATISFACTIONS SUITE AUX ACTIVITÉS

Dans les appréciations portées sur les séances qu'ils ont organisées, des insatisfactions rapportées par les professeurs sont très riches en informations sur les conditions concrètes de mise en place des activités avec DERIVE :

* Difficultés techniques ou d'appropriation du logiciel (10, 25, 24)

* Mode d'expression des fonctions (2, 9, 12, 15) et mode de simplification des expressions trigonométriques (14) non conforme aux usages mathématiques

* Difficulté pour l'élève de trouver une signification aux feed back de DERIVE (20, 10, 14)

* Non transfert des connaissances nouvelles construites dans DERIVE vers l'environnement habituel (21)

* Choix des objets par le professeur non approprié (5, 19)
* Complexité ou abstraction trop grande dans les activités de résolution (16, 17, 1, 7)

* Difficultés des élèves à articuler algèbre et graphisme (4, 7, 17, 11)

Ces insatisfactions sont à mettre en relation avec les difficultés de l'analyse a priori que nous rapportons dans les observations (partie II). Dans de nombreux cas, il semble en effet que ces insatisfactions soient liées à une prise en compte insuffisante de la spécificité des situations d'apprentissage avec un S.M.S..

Une autre tendance est la sous-estimation des difficultés dans les activités "ouvertes" et dans l'interaction algèbre-graphique : le S.M.S. supprime certains obstacles calculatoires, mais les difficultés inhérentes à ces activités vont bien au delà du calcul.

Les réponses des professeurs ne permettent pas d'analyser plus en profondeur ces insatisfactions. Dans la suite, nous étudierons cette question sous l'angle d'une appréciation plus globale portée par les professeurs sur l'utilisation de DERIVE, en fonction de leurs anticipations.

## VI.5 TYPES D'ACTIVITÉ MATHÉMATIQUE ANTICIPÉE PAR LES PROFESSEURS. ASPECTS POSITIFS CONSTATÉS ET DÉCEPTIONS.

### ANTICIPATIONS SUR L'UTILISATION DE DERIVE EN CLASSE

La lecture des réponses à la question 19 nous permet de dégager trois grandes classes d'arguments en faveur de l'utilisation de DERIVE en classe. Dans l'une, DERIVE apparaît comme un "facilitateur" dans les phases de calcul. Dans une deuxième, DERIVE doit permettre à de nouveaux problèmes d'exister dans la classe. Dans la troisième, DERIVE intervient dans la construction et l'assimilation des connaissances. Ces classes ne réalisent pas une partition de la population des professeurs : des professeurs se situent préférentiellement dans une classe, tandis que d'autres justifient l'introduction de DERIVE en avançant des arguments de plusieurs classes.

Chaque classe d'arguments renvoie en fait à un type singulier d'activité mathématique dans lequel le professeur prévoie l'utilisation de DERIVE : calcul dans la première, résolution de "vrais" problèmes dans la seconde, apprentissage de notions ou techniques par des situations spécifiques dans la troisième.

Nous décrivons ci-dessous ces types d'activité en tirant partie, outre des réponses à la question 19 (colonne 2 du tableau 3 de l'annexe page 61), des apports de DERIVE anticipés ou constatés par les professeurs lorsqu'ils décrivent leurs activités (question 18, colonne 3 du tableau 2 de l'annexe page 61).

### Type 1. DERIVE "facilitateur" dans les phases de calcul : de la validation aux méthodes.

Dans ce type d'activité, DERIVE est vu d'abord comme un moyen commode pour résoudre certaines difficultés de gestion de l'activité calculatoire dans la classe :

* suppléer aux difficultés techniques des élèves (6, 11)

* permettre l'(auto)validation (25)

* se "libérer" des calculs peu signifiants (pénibles (22), cachant la théorie (22) ou les méthodes (24, 10, 11))
Pour certains, l'utilisation de DERIVE va plus loin : on attend un changement de point de vue sur l'activité calculatoire, et l'accent est mis sur les méthodes :

* méthodes vues comme plus importantes que le calcul (11)

* réflexion sur les méthodes (10, 17)

* mémorisation des méthodes (12)

## Type 2. Problèmes, expérimentation

Dans ce type d'activité les professeurs utilisent DERIVE pour introduire un travail de recherche dans la classe :

* Des problèmes qui seraient impossibles sans DERIVE pour motiver les élèves (12)

* De "vrais" problèmes avec de "vraies" valeurs (1) : il s'agit d'activités de modélisation en liaison avec un enseignement professionnel en classe de BTS (1) ou au service de connaissances plus classiques du programme de 1ère (3).

* La possibilité pour les élèves de conjecturer (12), d'expérimenter (18), d'aborder de façon différente la résolution de problèmes (19), de développer leurs "initiatives" (7)

La pédagogie du problème, avec ses composantes "motivation", "modélisation", "ouverture" légitime ainsi l'introduction de DERIVE.

## Type 3. Connaissances, compréhension, notions.

Ces réponses insistent davantage sur l'apport de DERIVE à la construction des connaissances. Dans la première catégorie, la réflexion sur les méthodes apparaît comme un "sous-produit" de l'utilisation de DERIVE. Ici, des apports conceptuels diversifiés sont recherchés à travers des activités spécifiques construites avec DERIVE :

Ces apports peuvent concerner des connaissances en algèbre :

* "règles syntaxiques" (20),

* "sens d'une expression" (21)

ou en analyse :

* compréhension des suites (17)

* "appropriation d'une formule" d'intégration par parties (7)

* primitive comme dérivée inverse (17)

Les apports spécifiques de l'environnement DERIVE sont soulignés :

* Possibilité de faire interagir les aspects graphiques, numériques et algébriques (4, 7, 16, 2)

* Possibilité d'"anticiper" (17, 20), c'est à dire de construire des concepts comme "inverses" (développement comme factorisation inverse, primitive comme dérivée inverse).

## ASPECTS POSITIFS ET DÉCEPTIONS DANS CHAQUE TYPE

Nous rapportons, pour chaque type, les aspects positifs constatés dans les activités, et les déceptions ressenties par rapport aux attentes. Ceci doit permettre d'examiner comment les potentialités de DERIVE s'actualisent dans l'expérience des professeurs.
## Type 1

**Aspects positifs constatés** : autonomie de l'élève dans son travail (5, 15, 10)

**Déceptions** : utilisation pas assez générale pour que DERIVE joue vraiment le rôle assigné : le temps d'utilisation est trop court (8, 13, 25), ou trop discontinu (5), l'interface reste difficile à utiliser (10, 13), la calculatrice reste l'outil de référence (7, 8).

**Commentaire** : Dans cette catégorie les professeurs envisagent DERIVE comme un outil quotidien dans la classe. Ils reconnaissent généralement que l'élève s'approprie suffisamment l'outil pour une utilisation autonome. Leur déception montre cependant que DERIVE ne joue pas pleinement le rôle de facilitateur qu'ils avaient anticipé. L'outil n'est pas suffisamment familier, il reste "coûteux" en temps et en énergie et ainsi ne permet pas réellement de "libérer" l'élève des calculs. Peut-être aussi ces enseignants ont-ils sous-estimé les connaissances mathématiques nécessaire pour piloter le logiciel de façon autonome.

## Type 2

**Aspects positifs constatés** :

* motivation, participation des élèves (1, 12, 23)

* changement d'attitude vis à vis de la recherche de problèmes (1, 3, 19, 4)

**Déceptions** :

Certaines tiennent à la nature "ouverte" des problèmes :

* Difficultés de dévolution du problème (7,3)

* Difficulté de gestion de l'activité de recherche (19)

* Difficultés des élèves relative aux objets du problème (1),

* Difficulté d'évaluation (3)

D'autres sont plus spécifiques de l'environnement DERIVE

* DERIVE peut encourager un processus de "pêche au résultat" plutôt qu'une démarche réflexive (19)

* "Difficulté du professeur à expliquer les réponses données par le logiciel" (9), qui doit se produire particulièrement dans les situations ouvertes.

**Commentaire** :

Comme nous l'avons vu, l'introduction de DERIVE peut permettre un nouvel essor des activités de résolution de problèmes ouverts et de la modélisation. Les élèves y adhérent en général, même si des difficultés de dévolution sont signalées.

L'expérience de certains professeurs montre que les difficultés inhérentes à ces activités ne disparaissent pas avec l'introduction du logiciel et nous avons vu ci-dessus qu'elles pouvaient avoir été minorées au moment de la mise en place des séquences.

A ceci s'ajoutent les caractéristiques des environnements informatiques : le comportement d'essai/erreur autorisé par la facilité des essais sur ordinateur peut éloigner d'une démarche réflexive ; la modification des rôles dans le système d'enseignement, consécutive à l'introduction d'un "oracle" informatique (Drouhard, Paquelier, 1992), met le professeur dans une situation nouvelle, souvent moins confortable que la situation habituelle.
## Type 3

### Aspects positifs constatés :

- Autonomie des élèves (7, 17), utilisation des feed-back de la machine (21)

- Implication dans le travail mathématique : "les élèves parlent de math" (20) ; "travail en profondeur sur les concepts" (17), "concentration sur le phénomène mathématique" (16)

### Déceptions :

- Obstacle des connaissances antérieures des élèves : "Activités d'approfondissement ne fonctionnent pas par suite de "blocages" antérieurs" (17).

- Utilisation réelle de DERIVE non conforme aux prévisions : "Logiciel pas assez souple" (14) ; "Moins facile à utiliser avec les élèves que prévu" (16) ; "Factorisation trop globale" (21).

### Commentaire :

Les professeurs de cette catégorie sont attachés aux apports de DERIVE à la compréhension. Dans leurs constatations, ils insistent sur la qualité du travail mathématique des élèves.

Comme dans la catégorie précédente, des difficultés non anticipées viennent du contexte général d'apprentissage (les connaissances antérieures des élèves) et des caractéristiques de l'environnement DERIVE.
ANNEXE
DONNÉES ISSUES DU QUESTIONNAIRE PROFESSEURS

<caption>Tableau 1</caption>

Ponctuel

<table><caption>Occasionnel</caption><tr><td>Id. Pr.</td><td>2</td><td>8</td><td>10</td><td>16</td><td>19</td><td>22</td><td>24</td></tr><tr><td>Classe(s)</td><td>2nde</td><td>Term. C</td><td>2nde</td><td>Term. C</td><td>1ère S</td><td>Math Spé</td><td>Term. C</td></tr><tr><td>Nb sc. collec</td><td></td><td></td><td>0</td><td></td><td>1</td><td></td><td>0</td></tr><tr><td>Nb sc. TD</td><td>2</td><td>5</td><td>4</td><td>quelques</td><td>3</td><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>Initiation</td><td>mixte</td><td>spécif</td><td>spécif</td><td>spécif.</td><td>spécif.</td><td>court</td><td>court</td></tr><tr><td>Fonctionnalités vues par les élèves</td><td>Algèbre Fen. 2D</td><td>Algèbre Fen. 2D</td><td>Algèbre Fen. 2DTouches fonc.</td><td>Algèbre Fen. 2DTouches fonc.</td><td>Algèbre Fen. 2DTouches fonc.</td><td>Algèbre Fen. 2D</td><td>Algèbre Fen. 2D</td></tr></table>

<table><tr><td>Id. Pr.</td><td>4</td><td>5</td><td>9</td><td>12</td><td>13</td><td>15</td><td>21</td><td>25</td></tr><tr><td>Classe(s)</td><td>1ère ES</td><td>3ème</td><td>Term. C</td><td>Term. C</td><td>2nde</td><td>2nde</td><td>3ème</td><td>2nde</td></tr><tr><td>Nb sc. collec</td><td>2</td><td></td><td>2</td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>?</td></tr><tr><td>Nb sc. TD</td><td>6</td><td>8</td><td>6</td><td>8x2h</td><td>8</td><td>8</td><td>6</td><td>4</td></tr><tr><td>Initiation</td><td>spécif</td><td>court</td><td>spécif</td><td>spécif.</td><td>mixte</td><td>court</td><td>spécif. (coll.)</td><td>court</td></tr><tr><td>Fonctionnalités vues par les élèves</td><td>Algèbre Fen. 2D Touches fonc.</td><td>Algèbre Fen. 2DTouches fonc.</td><td>Algèbre Fen. 2DTouches fonc.</td><td>Algèbre Fen. 2DTouches fonc.</td><td>Algèbre Fen. 2D Touches fonc.</td><td>Algèbre Fen. 2D Touches fonc.</td><td>Algèbre Fen. 3D Touches fonc.</td><td>Algèbre Fen. 3D Touches fonc.</td></tr></table>
Régulier

<table><thead><tr><th></th><th colspan="4">dominante TD</th><th colspan="2">dominante collectif</th></tr></thead><tbody><tr><td>Id. Pr.</td><td>14</td><td>17</td><td>18</td><td>23</td><td>7</td><td>11</td></tr><tr><td>Classe(s)</td><td>1ère S</td><td>Term. C</td><td>2nde</td><td>1ère S</td><td>Term. E</td><td>Math Sup</td></tr><tr><td>Nb sc. collec</td><td>6</td><td>6</td><td></td><td></td><td>utilis. en cours</td><td>impos. à chiffrer</td></tr><tr><td>Nb sc. TD</td><td>8</td><td>9</td><td>14</td><td>2/ mois (module)</td><td>&gt;7</td><td>4</td></tr><tr><td>Initiation</td><td>spécif.</td><td>court</td><td>spécif.</td><td>spécif</td><td>mixte</td><td>spécif</td></tr><tr><td>Fonctionnalités vues par les élèves</td><td>Algèbre Fen. 2D Touches fonc.</td><td>Algèbre Fen. 2D Touches fonc.</td><td>Algèbre Fen. 2D Touches fonc.</td><td>Algèbre</td><td>Algèbre Fen. 2D Touches fonc.</td><td>Algèbre</td></tr></tbody></table>

Intensif

<table><thead><tr><th></th><th colspan="2">TD + collectif</th><th colspan="2">A disposition</th></tr></thead><tbody><tr><td>Id. Pr.</td><td>6</td><td>20</td><td>1</td><td>3</td></tr><tr><td>Classe(s)</td><td>1ère A</td><td>3ème</td><td>BTS+1</td><td>1ère S</td></tr><tr><td>Nb sc. collec</td><td>20</td><td>20</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Nb sc. TD</td><td>10</td><td>12</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Initiation</td><td>mixte</td><td>spécif. (collectif)</td><td>spécif.</td><td>spécif</td></tr><tr><td>Fonctionnalités vues par les élèves</td><td>Algèbre Fen. 2D</td><td>Algèbre Fen. 2D Touches fonc.</td><td>Algèbre Fen. 2D Fen. 3D (aperçu) Touches fonc. (aperçu)</td><td>Algèbre Fen. 2D Fen. 3D (aperçu) Touches fonc.</td></tr></tbody></table>
<table><caption>Tableau 2</caption><thead><tr><th>Id. Pr.</th><th>Classe</th><th>Activités, apports de DERIVE et appréciation</th></tr></thead><tbody><tr><td>5</td><td>3ème</td><td>Activité 1 : Fractions (parenthésage et priorité)<sup>4</sup><br>Apport de DERIVE : DERIVE présente les expressions (presque) comme en math<br>Appréciation : Bien, contrôle par l'élève des expressions entrées. Intérêt de travailler sur ses propres expressions; moins bien: temps non négligeable de prise en main; 2 objectifs c'est trop.<br>Activité 2 : Résolution d'équations ax=b. travailler la technique de résolution<br>Apport de DERIVE : Visualiser immédiatement l'effet d'une commande proposée par l'élève.<br>Appréciation : Bien, élèves expérimentent à leur rythme, acquisition de réflexes utiles; acquisition de mécanismes réinvestissables<br>Activité 3 : Simplification de radicaux (travail technique de réduction d'expressions)<br>Apport de DERIVE : DERIVE, calculateur formel et exact<br>Appréciation : Difficulté sur certaines expressions (3rac20; rac(36+64))</td></tr><tr><td>20</td><td>3ème</td><td>Activité 1 : Reproduire des expressions<sup>5</sup>Apport de DERIVE : Compréhension des règles syntaxiques<br>Activité 2 : Équation d'une droite<br>Apport de DERIVE : Découverte de la notion Appréciation : "Clarte"<br>Activité 3 : Résolution de système<br>Apport de DERIVE : Découverte d'une méthodeAppréciation : Plus facile à comprendre avec DERIVE<br>Activité 4 : Géométrie analytique<br>Apport de DERIVE : Séparer analyse et calcul Appréciation : Bien<br>Activité 5 : Carré de sommes<sup>6</sup><br>Apport de DERIVE : Anticipations de développements</td></tr></tbody></table>

<footnote n="4">⁴ Reproduction d'expressions fractionnaires in (Hirliman, 1994)</footnote>

<footnote n="5">⁵ Reproduction d'expressions fractionnaires in (Hirliman, 1994)</footnote>
<table><tr><td>21</td><td>3ème</td><td>Activité 1 : Écriture expressions<br>Apport de DERIVE : Prise de sens d'une expression<br>Activité 2 : Calculs avec des expressions fractionnaires...<br>Apport de DERIVE : Analyse en sous expressions<br>Activité 3 : Identités remarquables, développement<br>Apport de DERIVE : forme et comparaison sur une expression d'abord<br>numérique, puis avec des variables<br>Appréciation : Transfert plus difficile (nouvelles connaissances)<br>Activité 4 : Factorisations, substitutions...</td></tr><tr><td>2</td><td>2nde<br>TF</td><td>Activité 1 : Résolution d'(in)équations, fonctions affines/morceaux<br>Appréciation : Non. Difficulté de définir un<br>segment<br>Activité 2 : vérif. de calcul et graphiques, résolution approchée d'équations<br>Appréciation : Bien. Illustration ou recherche<br>Activité 3 : Intro. notion de fonction<br>Activité 4 : Limites, asymptotes, solutions équa. diff. Calc. Intégral</td></tr><tr><td>10</td><td>2nde</td><td>Activité 1 : Apprentissage algèbre, valeurs exactes et valeurs approchées<br>Apport de DERIVE : Visualiser valeurs approchées,<br>vérifier factorisations<br>Activité 2 : Tracés, familles de courbes<br>Apport de DERIVE : Grapheur puissant<br>Activité 3 : Conjectures, composition des fonctions<br>Apport de DERIVE : Outil permettant la conjecture et les essais sans<br>risques, ni trop longtemps<br>Appréciation : Pas bien passé. Élèves n'ont pas compris ce que fait le<br>logiciel.<br>Activité 4 : Résolution systèmes linéaires<br>Activité 5 : Équations du 2nd degré</td></tr></table>

<footnote n="6">⁶ Carrés de somme in (Hirliman, 1994)</footnote>
<table><tr><td>13</td><td>2nde</td><td>Activité 1 : Entrer des expressions et les corriger éventuellement<br>Apport de DERIVE : aide à la visualisation<br>Activité 2 : Développements, factorisations<br>Apport de DERIVE : Moyen de contrôle<br>Activité 3 : Travail + conséquent sur les fonctions, systèmes<br>Apport de DERIVE : Prise charge des calculs, conjectures, visualisation, articulation entre cadres.<br>Appréciation : B. Élèves apprécient avoir simultanément résol algé+ repr. graph. Négatif: fonctions définies par des conditionnelles</td></tr><tr><td>15</td><td>2nde</td><td>Activité 1 : Prise en mains (3 Séances) Révisions: fractions, transfo d'expressions, factor et développ+ lecture d'expressions<br>Apport de DERIVE : Moyen de contrôle. Aide pour localiser les erreurs. Aide à lecture d'expressions.<br>Appréciation : trop long et un peu fastidieux.<br>Activité 2 : 4h: Résolution d'(in)équations, de systèmes<br>Apport de DERIVE : Autonomie des élèves, autocorrection. Recherche de pistes pour démarrer un calcul.<br>Appréciation : B. les élèves avaient DERIVE bien en main. J'ai pu consacrer mon temps à l'aide aux élèves ou à les faire réfléchir aux stratégies.<br>Activité 3: recherche de fonctions sous contraintes + recherche d'une erreur de calcul.<br>Apport de DERIVE : prise en charge des calculs, aide à l'exploration, à la conjecture.<br>Activité 4: évaluation avec DERIVE sur des pbs différents des pbs habituels<br>Apport de DERIVE : prise en charge des calculs, aide à l'exploration, aux conjectures<br>Activité 5: visualisation de surfaces, recherche d'expressions pour une surface d'allure donnée.<br>Appréciation : B. Élèves bien entrés dans le travail, ont appréhendé les fonctions de façon qualitative.</td></tr></table>
<table><tr><td>18</td><td>2nde</td><td>Activité 1 : Déclarations, substitutions<br>Activité 2 : Représentations graphique, familles de droite<br>Apport de DERIVE : Définition fonctions affines/intervalle, fonction VECTEUR<br>Appréciation : Mieux marché<br>Activité 3 : Correction partie technique d'un dv /maison<br>Activité 4 : Familles de paraboles et d'hyperboles<br>Activité 5 : Cercle en géométrie plane</td></tr><tr><td>25</td><td>2nde</td><td>Activité 1 : Évaluation d'expressions numériques et littérales (frapper expression en ligne et contrôle de conformité avec l'original<br>Apport de DERIVE : "vérificateur", réflexion sur priorités opératoires<br>Appréciation : Moins bien marché (informatique pas innée)<br>Activité 2 : Vérification de résolution de systèmes du premier degré<br>Appréciation : Mieux marché (élèves plus autonomes)</td></tr><tr><td>3</td><td>1ère S</td><td>DERIVE à disposition de chaque élève sur "Palmtop" en permanence. Deux activités marquantes : 7<br>Activité1 : Nombre de points d'intersection entre une parabole et une courbe du troisième degré.<br>Activité2 : Modélisation du profil d'une voiture<br>Apport de DERIVE : aide à la résolution de systèmes, grapheur</td></tr></table>

<footnote n="7">⁷ Un logiciel de calcul formel dans la classe in (Juge, 1994)</footnote>
<table><tr><td>14</td><td>1ère S</td><td>Activité 1 : Initiation<br>Appréciation : Bien marché<br>Activité 2 : Calculs de dérivées et étude graphiques<br>Apport de DERIVE : Contrôle des résultats<br>Activité 3 : Transformations trigonométriques<br>Apport de DERIVE : Prise en charge des calculs<br>Appréciation : Logiciel pas assez souple et pas toujours facile de comprendre résultat donné par D</td></tr><tr><td>19</td><td>1ère S</td><td>Activité 1 : Initiation : factorisation, développements, équations...<br>Apport de DERIVE : vérification de résolution à la main<br>Activité 2 : Pb ouvert (Factorisation de x<sup>n-1</sup>)<sup>8</sup><br>Appréciation : B. Suscité beaucoup de productions. Reprise en classe entière a fait jaillir beaucoup d'idées (sens de x<sup>-0,5</sup> ?)<br>Activité 3 : Recherche de fonctions dont la dérivée est une fonction donnée<br>Apport de DERIVE : Commande de dérivation (sans connaissance de la commande Intégrale)<br>Appréciation : Mal marché. Exemples proposés trop simples ou trop difficiles.<br>Activité 4 : courbes représentative de f+k (f(x-a))...</td></tr><tr><td>23</td><td>1ère S</td><td>Activité 1 : Construire un objet (nombre, fonction)<br>Activité 2 : Étude de signe, de variations, et représentations graphique</td></tr></table>

<footnote n="8">⁸ Recherche de problème assistée par logiciel de calcul formel in (Hirliman, 1994)</footnote>
<table><tr><td>4</td><td>lère ES</td><td>Activité 1 : Formule du binôme, combinaisons, factorielles (consolidation et généralisation)<br>Apport de DERIVE : Calculs pénibles; médiateur pour reconnaissance de formes, conjecture, contrôle<br>Appréciation : B (motivation ludique)<br>Activité 2 : Manipulation d'équations (étude sur 1 plan formel, comparaisons DERIVE/ méthodes connues)<br>Apport 2 : Prise en charge calculs, accent mis sur le "niveau formel"<br>Appréciation : B<br>Activité 3 : Signe d'une expression et représentation graphique<br>Apport de DERIVE : interaction algèbre/graphisme<br>Appréciation : Surestimation de la capacité à lire une représentation</td></tr><tr><td>6</td><td>lère A</td><td>Activité : Introduction de la notion de fonction dérivée<fnref n="9" />. En première phase, la tangente est obtenue comme "zoom" de la fonction dans un grapheur, puis le nombre dérivé est introduit comme pente de la tangente, et la fonction est découverte à partir de plusieurs valeurs. En seconde phase, DERIVE est utilisé comme "auxiliaire de résolution" pour l'étude de fonctions<br>Apport de DERIVE : "auxiliaire de résolution"</td></tr></table>

<footnote n="9">⁹ Dérivée en Première non scientifique in (Juge, 1994)</footnote>
<table><tr><td>7</td><td>Term. E</td><td>Activité 1 : Calculs de dérivées et de primitives<br>Apport de DERIVE : Révisions, vérification des résultats obtenus à la main, refaire pas à pas<br>Appréciation : bien marché<br>Activité 2 : Suites<br>Apport de DERIVE : exploration, aide à la visualisation (fichier MTH)<br>Activité 3 : Intégration par parties<br>Apport de DERIVE : aide à l'appropriation de la formule. Vérification des calculs faits à la main (pas à pas)<br>Activité 4 : étude de fonctions<br>Apport de DERIVE : DERIVE disponible<br>Activité 5 : Fonctions dont le graphe vérifie des contraintes<br>Apport de DERIVE : Pb ouvert, réinvestissement, cadre graphique/algébrique<br>Appréciation : Moins bien marché</td></tr><tr><td>8</td><td>Term. C</td><td>Activité 1 : Exercices de géométrie analytique<br>Activité 2 : Appropriation du logiciel<br>Activité 3 : Étude fonctions</td></tr><tr><td>9</td><td>Term. C</td><td>Activité 1 : Présentation (calculs simples dans C)<br>Activité 2 : Calculs dans C. Ensemble de points pour une équation dans C<br>Apport de DERIVE : Visualisation immédiate<br>Activité 3 : Suites récurrentes. recherche et découverte de critères de définition et de convergence<br>Apport de DERIVE : Facilité de changement de paramètres<br>Appréciation : Plus. Côté découverte. Bonne participation à la justif théorique<br>Activité 4 : calculs d'aire par méthode des rectangles<br>Apport de DERIVE : calcul formel d'une somme d'aires et passage à la limite<br>Appréciation : Notation (Rieman) difficile à assimiler</td></tr></table>
<table><tr><td>12</td><td>Term. C</td><td>Activité 1 : Pivot de Gauss, dérivation, intégration<br>Apport de DERIVE : mémorisation méthode + contrôle<br>Activité 2 : Suites numériques<br>Apport de DERIVE : Conjectures (exemples, contre-exemples)<br>Appréciation : Difficulté dans la mise en place de l'écriture de récurrence.<br>Activité 3 : Courbes paramétrées<br>Apport de DERIVE : Recherche de lieux géométriques à l'aide de Cabri et de DERIVE<br>Activité 4 : Courbes paramétrées<br>Apport de DERIVE : Exemples, dérivations, construction (articulation algébrique/graphique)<br>Activité 5 : Fonction ln x<br>Apport de DERIVE : Construction point par point avec méthode de Simpson<br>Appréciation : La plus belle Activité: calculs fastidieux faits par PC. On peut se consacrer à l'étude théorique, à la mise en place des équations -> résultat super et comparaison avec la fonction de la machine</td></tr></table>
<table><tr><td>16</td><td>Term.</td><td>Activité 1 : Intro à l'ajustement linéaire</td></tr><tr><td></td><td>C</td><td>Apport de DERIVE : Visualiser, interpréter sans obstacle calcul<br>Appréciation : Oui</td></tr><tr><td></td><td></td><td>Activité 2 : Représenter graphique. fonction et dérivée</td></tr><tr><td></td><td></td><td>Apport de DERIVE : Voir le lien entre les 2 courbes</td></tr><tr><td></td><td></td><td>Appréciation : Oui</td></tr><tr><td></td><td></td><td>Activité 3 : Réso Equa diff</td></tr><tr><td></td><td></td><td>Appréciation : Non, cumulation de difficultés (notions math. phys. + info.)</td></tr><tr><td></td><td></td><td>Activité en 2nde : Construction polygones réguliers<sup>10</sup></td></tr><tr><td></td><td></td><td>Apport de DERIVE : Associer graphique, numérique, algébrique</td></tr><tr><td></td><td></td><td>Appréciation : Intérêt des élèves</td></tr></table>

<footnote n="10">¹⁰ Des activités pour le lycée avec Derive in (Juge, 1994)</footnote>
<table><tr><td>17</td><td>Term. C</td><td>Activité 1 : questions classiques d'analyse<br>Apport de DERIVE : Prise en main logiciel, mise au point<br>Appréciation : Bien<br>Activité 2 : suites (conceptualiser les 2 types de suite du pgm)<br>Apport de DERIVE : comprendre, explorer, approfondir<br>Appréciation : 1ère non réussie (bases) 2nde bien (suites récurrentes fait expliciter fonction)<br>Activité 3 : Recherche de primitives<br>Apport de DERIVE : Vérifier, anticiper<br>Activité 4 : Transfo géométriques (effet sur 1 courbe)<br>Apport de DERIVE : permet à l'élève de se concentrer sur 1 méthode)<br>Appréciation : DERIVE allège le calcul, mais abstraction reste trop grande<br>Activité 5 : Suites (2 groupes avec modalités d'échange)<br>Apport de DERIVE : Vérifier, réfléchir sur la nature des questions</td></tr><tr><td>24</td><td>Term. C</td><td>Activité 1 : Systèmes par méthode du pivot de gauss<br>Apport de DERIVE : se concentrer sur méthode, être libre des calculs, se concentrer sur stabilité des solutions<br>Appréciation : Un peu déroutés au début par manipulations</td></tr><tr><td>11</td><td>Math Sup</td><td>11Activité 1 : Calculs d'intégrales, dérivées, limites déterminants. Les élèves peuvent utiliser DERIVE, mais le correcteur ne devra pas pouvoir "se douter qu'un logiciel de calcul formel a été utilisé"<br>Apport de DERIVE : Prise en charge des calculs<br>Appréciation : Bien marché<br>Activité 2 : Investigation de suites récurrentes à partir des propriétés des fonctions f, fof, ...<br>Apport de DERIVE : DERIVE est utilisé pour les factorisations. La calculatrice graphique est utilisée pour les visualisations<br>Appréciation : Moins bien marché</td></tr></table>

<footnote n="11">¹¹ "Deux utilisations de DERIVE en mathématiques spéciales" in (Hirliman, 1994)</footnote>
<table><caption>Tableau 3</caption><tr><td>22</td><td>Math Spé</td><td>Activité 1 : Minimum d'une fonction réelle de 2 variables réelles<br>Apport de DERIVE : Prise en charge calculs pénibles visualisation<br>Activité 2 : Base de Jordan d'une matrice carrée<br>Apport de DERIVE : Illustrer sur plusieurs exemples numériques la théorie<br>Activité 3 : equa diff y"=f(x) y<br>Apport de DERIVE : Calcul de primitives, développ. de Taylor</td></tr><tr><td>1</td><td>BTS+1</td><td>Activité 1 : Étude classique de fonctions "productique" (4Activités de 2h)<br>Activité 2 : Calcul matriciel (8x2h) pour démonstrations (formelles) et problèmes technologiques (matrices 6x6), et rotations<br>Activité 3 : Géométrie analytique (pour techno tuyasteur): intersections, distances, résolution de surface plane)<br>Appréciation : Bien: supériorité du logiciel sur calculatrice (ex: longueur perpendiculaire commune). négatif: exos où calculs sont longs et nombreux (grand nombre de variables à gérer => nécessité de préparer le travail avant de passer sur machine)</td></tr></table>

<table><thead><tr><td>Id. Pr.</td><td>Apports de DERIVE Dans les activités</td><td>Anticipations (19), aspects positifs et déceptions (23)</td></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td></td><td>1. Motivation pour pbs difficiles 2. apprentissage de logiciels utilisables en entreprise<br><b>Positif</b> : Vrais pbs avec vraies valeurs. Nécessité d'analyser le problème, établir liste de procédures pour arriver à la résolution. Prise de recul-> vraie nature des mathématiques<br><b>Déception</b> : Difficile pour l'élève d'apprécier les résultats numériques. Ordre de grandeur est très obscur -> vrai travail à faire</td></tr><tr><td>2</td><td></td><td>Notation mathématique, lien algèbre graphique, calcul exact ou approché</td></tr></tbody></table>
<table><tr><td>3</td><td>Aide à la résolution de systèmes, grapheur</td><td>Outil facilitant la mise en place de recherche de problèmes<br><b>Positif</b> : Changement de cadre vite intégré par les élèves, maîtrise par les élèves de notations formelles, mise en évidence de la distinction entre recherche de pb (stratégie de résolution), exemples, conjectures, calculs, vérification...<br><b>Déception</b> : Pb des élèves qui n'ont pas su/voulu utiliser le logiciel ? Problèmes liés à l'évaluation...</td></tr><tr><td>4</td><td>Calculs pénibles<br><b>Médiateur pour reconnaissance de formes, conjecture, contrôle</b><br><b>Interaction algèbre/graphisme</b></td><td>Prendre du recul/ connaissances<br><b>Positif</b> : Modification du regard sur les maths</td></tr><tr><td>5</td><td><b>DERIVE</b> Présente les expressions (presque) comme en math<br><b>Visualiser immédiatement l'effet d'une commande proposée par l'élève.</b><br><b>DERIVE</b>, Calculateur formel et exact</td><td>Travail autonome, aborder autrement des notions déjà vues.<br><b>Positif</b> : Élèves travaillent 1 heure en étant attentifs, ne se découragent pas. Objectifs impossibles sans Derive.<br><b>Déception</b> : Impossible sur inéquations et notation scientifique.</td></tr><tr><td>6</td><td><b>"Auxiliaire de résolution"</b></td><td>Les concepts sont introduits à l'aide du graphisme. DERIVE sert comme "auxiliaire de résolution" pour la partie "technique" de l'étude des fonctions.<br><b>Positif</b> : DERIVE remplace avantageusement la feuille de brouillon.<br><b>Déception</b> : Il y a un risque d'identification DERIVE= calcul de la fonction dérivée (l'utilisation des outils info. ne va pas jusqu'à pénétrer la pratique de résolution des problèmes).</td></tr></table>
<table><tr><td>7</td><td>Vérification des résultats obtenus à la main, refaire pas à pas<br>Exploration, aide à la visualisation<br>Aide à l'appropriation d'une formule.<br>Pb ouvert, réinvestissement, cadre graphique/algébrique</td><td>Compréhension des concepts, organisation des tâches calculatoires, initiatives dans un problème ouvert<br>Positif : Recherche d'erreurs et interprétation des erreurs. Autonomie dans la gestion des calculs<br>Déception : Élèves peu motivés par recherche pbs ouverts. calculatrice reste outil privilégié.</td></tr><tr><td>8</td><td></td><td>Auto évaluation, se "débarrasser" de tâches techniques, anticiper (géométrie analytique)<br>Déception : Pas assez utilisé, situer/ calculatrice (bacc.)</td></tr><tr><td>9</td><td>Visualisation immédiate<br>Facilité de changement de paramètres<br>Calcul formel d'une somme d'aires et passage à la limite.</td><td>Changement, familiarisation avec calcul formel<br>Positif : Travail de groupe. Modestie (intégrales qu'on ne sait pas calculer)<br>Déception : Difficulté à expliquer les réponses données par le logiciel</td></tr><tr><td>10</td><td>Visualiser valeurs approchées, vérifier factorisations<br>Grapheur puissant<br>Outil permettant la conjecture et les essais sans risques, ni trop longtemps<br>Centration sur la méthode sans pb de calculs<br>Outil pour découverte d'une méthode, liaison avec graphiques</td><td>Découverte calcul formel, réflexion sur méthodes, assistant en calcul, manipulation courbes et familles, motivation<br>Positif : Assistant à la disposition de l'élève. Il peut expérimenter seul et avoir une meilleure confiance en lui<br>Déception : Interface pas facile à manipuler</td></tr></table>
<table><tr><td>11</td><td>Prise en charge des calculs (factorisations)</td><td>Suppléer aux incapacités calculatoires des élèves<br/>Positif : Certains ont compris que les méthodes importent plus que les techniques calculatoires<br/>Déception : d'autres ont compris le contraire.</td></tr><tr><td>12</td><td>Mémorisation méthode + contrôle<br/>Conjectures (exemples, contre-exemples)<br/>Articulation algébrique/graphique<br/>Calcul de valeurs pour construction point par point</td><td>Un "plus" pour donner du goût, pour attirer les élèves moyens<br/>Positif : Participation effective plus importante<br/>Déception : faiblesse du langage de programmation (pas pour les élèves)</td></tr><tr><td>13</td><td>Aide à la visualisation<br/>Moyen de contrôle<br/>Prise charge des calculs, conjectures, visualisation, articulation entre cadres.</td><td>Appropriation de l'outil par l'élève<br/>Positif : Découverte de l'outil par les élèves (en vue CDI)<br/>Déception : pb de gestion du temps. pb matériels et maîtrise de certaines commandes font perdre de vue les mathématiques.</td></tr><tr><td>14</td><td>Contrôle des résultats<br/>Prise en charge des calculs</td><td>Positif : Meilleure motivation pour l'apprentissage</td></tr><tr><td>15</td><td>Moyen de contrôle. Aide pour localiser les erreurs.<br/>Aide à lecture d'expressions.<br/>Autonomie des élèves, autocorrection. Recherche de pistes pour démarrer un calcul.<br/>Prise en charge des calculs, aide à l'exploration, à la conjecture.</td><td>Une plus grande réflexion sur le travail algébrique, que cette activité soit moins algorithmique dans la mesure où l'élève n'a plus seulement à résoudre le problème posé, mais aussi à retrouver ses erreurs, à analyser les résultats proposés par l'ordinateur.<br/>Positif : Autonomie dans le travail des élèves. Travail de recherche d'erreurs. Travail plus expérimental dans le domaine algébrique.<br/>Déception : Difficultés d'intégration de DERIVE (utilisation trop ponctuelle).</td></tr></table>
<table><tr><td>16</td><td>Visualiser, interpréter sans obstacle calcul<br/>Voir le lien entre 2 courbes<br/>Associer graphique, numérique, algébrique</td><td>Meilleure compréhension des notions mathématiques, manière plus simple d'apprendre et d'enseigner.<br/><b>Positif</b> : Concentration sur le phénomène mathématique, visualisation graphique et accès à l'info.<br/><b>Déception</b> : Moins facile à utiliser avec les élèves que prévu</td></tr><tr><td>17</td><td>Comprendre, explorer, approfondir<br/>Se concentrer sur une méthode<br/>Vérifier, anticiper, réfléchir sur la nature des questions</td><td>Motivation, compréhension, approfondissement, efficacité<br/><b>Positif</b> : Autonomie, travail en profondeur sur les concepts<br/><b>Déception</b> : Activités d'approfondissement ne fonctionnent pas ("blocages" antérieurs)</td></tr><tr><td>18</td><td>Définition fonctions affines/intervalle, fonction VECTEUR</td><td>Recherche et vérification<br/><b>Positif</b> : Pouvoir expérimenter</td></tr><tr><td>19</td><td>Vérification de résolution à la main<br/>Commande de dérivation (pour anticiper primitives)</td><td>Aider les élèves à modifier l'image qu'ils ont de la recherche de problèmes dans un sens plus ouvert, s'écarter de l'idée "si on ne trouve pas dans les 5 mn, c'est qu'on ne connaît pas le cours"<br/><b>Positif</b> : Changement d'image des maths<br/><b>Déception</b> : Lorsque des groupes piétinent, le prof, pris par un autre groupe, peut mettre longtemps à intervenir. Contexte informatique pousse les élèves à faire beaucoup d'essais avec DERIVE, plutôt qu'à prendre un papier.</td></tr><tr><td>20</td><td>Compréhension des règles syntaxiques<br/>Découverte d'une notion ou méthode<br/>Séparer analyse et calcul<br/>Anticipations de développements</td><td>Compréhension de notions, sens des démarches, approfondir ou découvrir de nouveaux aspects<br/><b>Positif</b> : Les élèves "parlent de math" même les plus faibles</td></tr></table>
<table><tr><td>21</td><td>Prise de sens d'une expression et analyse en sous-expressions<br>Forme et comparaison sur une expression d'abord numérique, puis avec des variables</td><td>Aisance et réflexion en calcul littéral (étude des sous-expressions, prise de sens des mots-clé de DERIVE Simplifie, calcul, développe)<br><b>Positif</b> : réflexion sur expressions ressentie comme a-didactique, droit à l'erreur; Meilleure acceptation comme feed-back de la machine.<br><b>Déception</b> : Identification des commandes ambiguë. Factorisation trop globale</td></tr><tr><td>22</td><td>Prise en charge calculs pénibles Visualisation<br>Illustrer la théorie</td><td>Meilleure compréhension de la théorie<br><b>Positif</b> : Prise en charge calculs<br><b>Déception</b> : Pas de programmation, fenêtre graphique</td></tr><tr><td>23</td><td></td><td>Rendre aux maths un statut expérimental souvent négligé<br><b>Positif</b> : Participation active de tous</td></tr><tr><td>24</td><td>Se concentrer sur méthode, être libre des calculs, se concentrer sur stabilité des solutions</td><td>"Libération" des problèmes de calcul</td></tr><tr><td>25</td><td>"Vérificateur", réflexion sur priorités opératoires</td><td>Avoir le temps de s'occuper des élèves en difficulté en déléguant la validation à l'ordinateur<br><b>Positif</b> : Prise de conscience de ce qu'il est nécessaire et aisé de contrôler ses résultats. Le travail du matheux doit se situer en amont de ce que peut faire l'ordinateur (réfléchir et trouver ce que l'ordinateur ne sait pas exécuter)<br><b>Déception</b> : Manque de temps. Séances trop courtes</td></tr></table>
# VII. RÉSULTATS PRINCIPAUX

## VII.1 APPORTS DU QUESTIONNAIRE ÉLÈVE

Le nombre de réponses obtenues aux deux versions du questionnaire, la cohérence entre les résultats obtenus dans les deux versions, ainsi que les méthodes statistiques employées nous permettent de proposer comme résultats un certain nombre de phénomènes mis en évidence dans les classes utilisant DERIVE :

1. Les élèves de ces classes bénéficient d'un environnement technologique favorable : ils ont généralement une calculatrice, et cette calculatrice est graphique à partir des classes de lycée ; ils ont accès à l'ordinateur, principalement pour des jeux et du traitement de texte. En revanche, l'utilisation qu'ils ont eu de logiciels pour apprendre des maths est en général faible.

2. Les opinions sur l'utilisation de logiciels en math s'organisent en trois tendances, l'une de refus, l'autre d'adhésion pour des raisons liées aux apprentissages, la troisième d'adhésion pour des raisons plus banales comme le gain de temps. Les opinions favorables ont dans l'ensemble des taux d'adhésions plus forts que les opinions défavorables.

3. Ces tendances s'affinent avec les opinions sur DERIVE :

* Certains élèves refusent DERIVE parce qu'ils rencontrent des difficultés avec le logiciel. Pour d'autres, le refus est motivé par l'idée que le logiciel peut remplacer l'élève dans son travail mathématique.

* Des élèves apprécient DERIVE pour son apport à leur activité mathématique (principalement en Seconde et Première). Pour certains, une meilleure compréhension des notions est à porter au crédit de DERIVE. Pour d'autres, l'apport se traduit surtout par un changement de la tâche (davantage de vrais problèmes) et de la vision des maths, sans véritable effet sur l'apprentissage. L'utilisation prolongée du logiciel tend à renforcer cette dernière représentation.

* Des élèves insistent sur DERIVE en tant qu'outil de calcul. Ils sont les plus nombreux et sont principalement en Première et Terminale. Parmi ces élèves, ceux qui sont le plus à l'aise avec le logiciel conçoivent une utilisation du logiciel "en continu" pour piloter leurs calculs, et dépassent ainsi la représentation du logiciel comme simple outil de contrôle ou de lecture du résultat.

4. On observe une tendance supplémentaire, avec des élèves surtout en 3ème et Seconde qui font une confiance "aveugle" au logiciel. Ainsi, ils voient DERIVE comme un outil dont toutes les réponses pourraient être acceptées telles quelles sans contrôle, reproduisant ainsi le fonctionnement observé majoritairement chez les élèves quand ils utilisent leur calculatrice (Trouche, 1994). Ceci nous semble à mettre en relation avec l'observation selon laquelle les élèves, dans leur majorité, méconnaissent les caractéristiques de DERIVE comme logiciel de calcul symbolique, et tendent à le considérer comme une "super-calculatrice".

5. Ces tendances, ou représentations de DERIVE sont de nature à interférer avec l'activité de l'élève quand il utilise le logiciel. On ne peut donc les négliger. Les facteurs qui influencent ces représentations sont également importants à prendre en compte. Un élève à l'aise avec le logiciel l'acceptera plus facilement et en aura un usage plus intelligent. Un élève ayant une
utilisation prolongée de DERIVE verra mieux son effet sur sa pratique mathématique (au
delà de la simple aide calculatoire).

6. La question d'un apport à la compréhension reste posée, car les facteurs énoncés ci-dessus ne semblent avoir une grande influence sur ce point.

VII.2 APPORTS DU QUESTIONNAIRE "PROFESSEURS"

Établie à partir des réponses de 25 professeurs dont les élèves ont utilisé DERIVE, l'étude n'a pas de prétention statistique. Néanmoins, elle fournit des éléments qualitatifs intéressants sur les usages réels du logiciel :

1. Les modes d'utilisation peuvent être très divers, d'une simple utilisation ponctuelle à une intégration complète. Un usage régulier ou une intégration complète supposent des conditions institutionnelles particulières : les professeurs sont très peu nombreux à parvenir à cette intégration en dehors du groupe D.I.T.E.N.

2. Certains professeurs privilégient l'utilisation individuelle ou en binôme du logiciel par les élèves, soit par de nombreux travaux dirigés, soit par la mise à disposition d'ordinateurs pour tous les cours. D'autres utilisent davantage le logiciel en mode collectif à l'aide d'un rétroprojecteur. Cette répartition semble ne pas résulter seulement de contingences telles que l'équipement de l'établissement.

3. Les modes d'utilisation semblent avoir peu d'influence sur l'initiation au logiciel et sur les fonctionnalités de DERIVE introduites par le professeur.

4. Les contenus abordés à l'aide du logiciel couvrent une partie importante des programmes d'algèbre et d'analyse des classes de 3ème et de lycée. Certaines approches spécifiques (problèmes ouverts motivant les notions, aspects formels de la résolution d'équations, familles de fonctions) montrent comment l'utilisation de DERIVE peut contribuer à changer de point de vue sur les notions abordées. Mais elles sont minoritaires, car plus difficiles à mettre en place.

5. Pour certains professeurs l'apport de DERIVE se situerait dans les phases calculatoires : il rendrait possible ces phases en jouant le rôle d'auxiliaire de calcul. Ces professeurs constatent généralement que l'utilisation autonome du logiciel par l'élève dans ce cadre est effective, mais qu'elle ne supprime pas toutes les difficultés de l'activité calculatoire. En dehors des difficultés liées à l'interface, la raison la plus souvent invoquée est l'usage discontinu qui ne permet pas l'appropriation. Le logiciel ne devient pas un outil familier au même titre que la calculatrice.

6. D'autres professeurs voient dans l'introduction de DERIVE la possibilité d'aborder des problèmes ouverts, ou de modélisation. Dans l'expérience de ces professeurs, l'utilisation du logiciel rend possible ce type d'activité. Néanmoins les difficultés inhérentes à ces activités ne sont pas seulement calculatoires : les professeurs relèvent que la complexité ou l'abstraction des problèmes, non anticipées dans l'analyse préalable, peuvent être des obstacles pour les élèves. Dans le contexte spécifique de l'utilisation de l'informatique, ceci peut conduire à un comportement de "pêche au résultat" peu réflexif.

7. Une troisième catégorie de réponses insiste sur les apports possibles de DERIVE à la compréhension. Ces apports sont généralement recherchés dans des séances construites spécifiquement. Les difficultés constatées proviennent généralement d'un comportement du logiciel non conforme aux anticipations du professeur. Comme cela se confirmera dans certaines observations de la partie II, celui-ci tend à anticiper le comportement du S.M.S.
qui serait souhaitable pour que la tâche qu'il a prévue prenne du sens. Or il se peut que le comportement réel soit différent, soit pour des raisons contingentes, soit à cause de caractéristiques des S.M.S. Les professeurs tendent à minimiser ces différences dans leurs analyses préalables.

### VII.3 REMARQUES DE SYNTHÈSE

Les résultats obtenus à partir des deux questionnaires tempèrent l'enthousiasme que pourrait entraîner l'apparition d'un outil comme DERIVE. La représentation dominante de DERIVE chez les élèves n'est pas celle d'un apport décisif à la compréhension en mathématiques. Les professeurs soulignent les difficultés qu'ils ont rencontrées dans les usages les plus "cognitifs" du logiciel. Les résultats témoignent sans doute assez bien des limites actuelles des modifications des représentations et des pratiques liées à l'utilisation des SMS.

Ils indiquent également qu'un dépassement de ces limites est possible. Un usage prolongé où DERIVE devient un élément familier de l'environnement de travail de l'élève semble autoriser une utilisation plus souple dans les calculs et une activité mathématique plus ouverte. Il est aussi associé à des appréciations plus positives sur les potentialités de DERIVE pour l'apprentissage.

On peut cependant estimer, au vu des réponses, qu'une utilisation régulière ne suffit pas à elle seule, à faire de DERIVE un instrument efficace d'aide à la compréhension en mathématiques. Sans aucun doute, le choix des situations proposées aux élèves, comme de leur gestion a pour cela un rôle essentiel à jouer. C'est ce que nous chercherons à étudier dans la partie suivante à partir des observations effectuées au collège et au lycée.
DEUXIEME PARTIE

OBSERVATION DE SITUATIONS D'ENSEIGNEMENT
AVEC DERIVE

# I. INTRODUCTION

Cette observation est la seconde composante de la recherche menée. Il s'agit d'aborder ici de manière interne la question de l'évolution des représentations et pratiques mathématiques des élèves à travers l'utilisation du logiciel DERIVE. Comme nous le précisions dans le rapport intermédiaire, cette approche interne nous semble incontournable et doit en particulier aider à mettre en regard les discours tenus par élèves et enseignants sur leurs pratiques et la réalité de ces pratiques. Il s'agit donc d'analyser le fonctionnement des élèves dans des séances d'enseignement utilisant le logiciel DERIVE, d'analyser le rapport aux mathématiques qu'ils y développent, rapport susceptible d'influencer plus globalement leurs représentations et pratiques mathématiques.

Différentes formes d'observation auraient pu être a priori élaborées si l'on considère le problème à l'étude dans cette recherche : l'influence de l'utilisation de DERIVE sur les pratiques et représentations des élèves. Nous aurions pu notamment envisager de centrer l'observation sur une classe précise et, pour cette classe, observer systématiquement toutes les séances utilisant DERIVE. Vu le peu de connaissance que nous avons du fonctionnement réel des élèves sous DERIVE, il nous a semblé préférable, dans ce travail qui a nécessairement donc un aspect exploratoire, de privilégier la diversité : diversité au niveau des classes, des enseignants, des types de situation proposés. Il va de soi que le choix ainsi effectué n'a pas que des avantages. En particulier, il est clair que les observations faites, vu leur caractère ponctuel, ne pourront être directement exploitées pour prouver une évolution des pratiques et représentations des élèves.

Le choix effectué nous semble cependant raisonnable. En effet, ce sont les questionnaires enseignants et élèves qui sont censés nous fournir des informations interprétables en termes d'évolution des représentations et des pratiques. Les observations ont été organisées notamment pour contrôler les informations recueillies à ce niveau externe. Les questionnaires concernant a priori tous les niveaux d'enseignement secondaire à partir de la fin du collège, il nous semble préférable de disposer, via les observations, d'une vision large des pratiques réelles d'enseignement avec DERIVE.

Nous avons donc choisi, pour cette partie, d'observer des situations proposées par les membres du groupe "Calcul Formel" de la D.L.C. - que nous considérons comme des experts - comme des situations susceptibles de mettre en évidence les potentialités offertes à l'enseignement des mathématiques par l'utilisation de DERIVE.

Cette partie de la recherche s'est déroulée en deux temps :

* Quelques observations ont été effectuées d'abord. Elles nous ont essentiellement servi à mettre au point le dispositif d'observation utilisé dans le deuxième temps, à préciser le questionnement initial et les types de situations à observer en priorité.

* Dans un deuxième temps, nous avons observé et analysé précisément le fonctionnement de 8 situations : 4 au collège, 4 au lycée. Les observations au niveau collège ont toutes été réalisées avec le même enseignant, en classe de troisième, les observations de niveau lycée
ont été, à une exception près, toutes réalisées avec des enseignants différents. Le tableau ci-après donne les niveaux concernés et les thèmes :

<table><thead><tr><th>Établissement</th><th>Classe</th><th>Thème</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="3">Collège Duhamel (Herblay)</td><td rowspan="3">2 classes de 3ème</td><td>Parenthésage, fractions</td></tr><tr><td>Généralisation des identités remarquables</td></tr><tr><td>Géométrie analytique</td></tr><tr><td></td><td></td><td>Résolution de systèmes linéaires</td></tr><tr><td>Lycée J.Brel (Vénissieux)</td><td>Première S</td><td>Factorisations de X<sup>n</sup>-1</td></tr><tr><td>Lycée Jehan de Beauce (Chartres)</td><td>Terminale E</td><td>Recherche de fonctions avec contraintes</td></tr><tr><td>Lycée Th.Deck (Guebwiller)</td><td>Terminale C</td><td>Trigonométrie</td></tr><tr><td>Lycée A.Sorel (Honfleur)</td><td>Première S</td><td>Trigonométrie</td></tr></tbody></table>

Précisons que deux des classes observées (celles de Première S et Terminale C) étaient constituées d'élèves disposant de DERIVE en permanence, sur quadernos.

Dans ce chapitre, nous préciserons tout d'abord, dans une première partie, les questions transversales sur lesquelles nous avons choisi de centrer l'analyse des observations, puis nous présenterons, dans une seconde partie, la méthodologie utilisée pour ces observations. Nous reprenons ainsi dans ce rapport les éléments déjà présents dans le rapport intermédiaire qui nous ont semblé indispensables à une lecture autonome. Dans la troisième partie, nous présenterons et analyserons les observations réalisées au collège et, dans la quatrième partie les observations réalisées au lycée.

## II. LES QUESTIONS A L'ETUDE

Nous avions, dans la première phase de la recherche, décidé de centrer l'analyse des observations sur un certain nombre de dimensions transversales :

* Le rôle joué par la familiarité ou non familiarité des élèves avec les environnements informatiques et plus spécifiquement avec le logiciel DERIVE

* Les rapports entre l'environnement DERIVE et l'environnement calculatrice

* L'articulation entre l'ergonomie de DERIVE et le fonctionnement papier / crayon usuel

* La centration sur la démarche, sur les aspects conceptuels de l'apprentissage

* La dimension expérimentale et le niveau d'activité mathématique des élèves

* Le rôle de DERIVE dans le statut et la manipulation des objets algébriques

* L'expertise DERIVE du côté de l'enseignant.

Ces dimensions, à l'exception de la dernière, qui nous semble-t-il, nécessiterait une recherche spécifique, sont celles que nous avons retenues finalement. Nous y avons cependant adjoint
une dimension supplémentaire dont l'intérêt nous est apparu au fil des observations elles-mêmes :

* Les rapports entre les stratégies formelles utilisées par DERIVE, les stratégies favorisées par les utilisations de DERIVE et les stratégies visées par l'enseignement usuel.

Il nous est en effet apparu que, pour comprendre le fonctionnement de certaines des situations observées, il était nécessaire d'analyser les décalages éventuellement existant entre les trois niveaux répertoriés et leurs effets sur le fonctionnement des situations. On touche de fait ici, dans un de leurs aspects particuliers, les questions de transposition informatique et de légitimité épistémologique des environnements informatiques, dont l'importance est particulièrement soulignée par Balacheff dans (Balacheff, 1994).

Nous reprenons ci-après, sans modification, la présentation des six premières dimensions d'analyse effectuée dans le rapport intermédiaire, tout en renvoyant le lecteur à ce rapport intermédiaire pour une présentation plus globale du questionnement relatif aux observations.

## II.1 LE ROLE JOUE PAR LA FAMILIARITE AVEC LE LOGICIEL DERIVE

Comme tout logiciel informatique utilisé dans l'enseignement secondaire en France actuellement, DERIVE n'est pas un instrument en permanence à la disposition des élèves. C'est un objet que l'élève rencontre, sauf contextes très particuliers, uniquement à l'intérieur de l'école, voire même dans certains cas, uniquement dans le cadre des heures de mathématiques. Le contact avec le logiciel est de ce fait un contact épisodique, morcelé. Divers travaux ont montré les problèmes posés par un contact de ce type. Même, pour des logiciels dont l'accès est facile, et cela semble a priori le cas pour DERIVE, se pose la question de l'entretien des connaissances DERIVE nécessaires et celle du parasitage possible de l'activité mathématique par des difficultés situées à ce niveau.

Nous porterons donc dans l'observation une attention particulière à ces questions : quelles connaissances DERIVE sont nécessaires au fonctionnement des situations observées ? Quelles connaissances, sans être indispensables, sont particulièrement utiles ? Celles supposées connues sont-elles réellement disponibles ? Quels problèmes sont éventuellement provoqués par la non disponibilité ? Comment l'enseignant les gère-t-il ? Les problèmes induits par ce type de fonctionnement empêchent-ils une opérationnalisation raisonnable de DERIVE ou sont-ils gérables dans les conditions de fonctionnement actuelles et si oui comment ?

## II.2 DERIVE ET LA CALCULATRICE

A l'inverse de DERIVE, la calculatrice est un outil à la disposition permanente de l'élève. Même si l'enseignement des mathématiques ne prend pas en charge l'apprentissage de son utilisation, elle est dans l'enseignement secondaire un instrument familier à l'élève. Les calculatrices disposant de capacités de calcul formel restent peu répandues mais, de plus en plus, les élèves de lycée disposent de calculatrices graphiques et utilisent les capacités graphiques de leur calculatrice. Dans ce domaine graphique au moins donc, la calculatrice se pose en concurrente de DERIVE.

On peut donc supposer que, si les tâches proposées aux élèves n'exploitent pas vraiment des spécificités propres du logiciel DERIVE, les élèves, excepté si le contrat de la tâche impose l'utilisation de DERIVE, seront plus tentés d'utiliser leur calculatrice que DERIVE, et ceci même si a priori DERIVE semble mieux adapté à la situation proposée.
Nous porterons donc dans l'observation une attention particulière à ces questions. Les tâches proposées mettent-elles réellement en jeu les possibilités spécifiques de DERIVE par rapport aux calculatrices graphiques dans les cadres numérique, algébrique et graphique ou à l'interaction de ces cadres ? Quel outil choisit l'élève s'il a réellement le choix de l'outil ? Comment éventuellement s'opère l'interaction entre les outils disponibles ? Avec quel effet sur le fonctionnement de la situation ? Quel rôle joue ou peut jouer l'enseignant à ce niveau ? Que peut-on en inférer sur les conditions à satisfaire par les situations proposées ?

## II.3 L'ARTICULATION ENTRE L'ERGONOMIE DE DERIVE ET LE FONCTIONNEMENT PAPIER / CRAYON

Les questions précédemment posées rejoignent indirectement celles de l'articulation entre le fonctionnement sous DERIVE et le fonctionnement en papier / crayon (P/C dans la suite). L'élève est habitué à développer ses activités mathématiques dans un environnement P/C essentiellement. Va-t-il intégrer facilement l'utilisation de DERIVE à ce fonctionnement ? Comment vont s'articuler pour lui le travail avec DERIVE et le travail P/C ? Quelles fonctions va-t-il attribuer au logiciel ? Quelles difficultés éventuelles va poser le fonctionnement sous DERIVE et, en particulier, la gestion des informations fournies à l'écran, dans une organisation linéaire qui n'est pas forcément celle utilisée en P/C, sous des registres sémiotiques standardisés qui n'ont pas la souplesse des écritures et représentations diverses utilisées en P/C ?

Il nous semble important dans l'observation d'étudier ces questions via des situations où une certaine autonomie est laissée à l'élève dans son fonctionnement mathématique.

## II.4 LA CENTRATION SUR LA DÉMARCHE, SUR LES ASPECTS CONCEPTUELS

De nombreux auteurs, comme le montre l'appendice bibliographique, soulignent l'intérêt de logiciels comme DERIVE qui, effectuant les calculs techniques à la place de l'élève, lui permettent de se concentrer sur la démarche de résolution d'un problème, voire sur les aspects conceptuels de la tâche.

En fait, est posée, via cette affirmation, la question complexe des rapports entre le technique et le conceptuel. Ces deux aspects de la connaissance ne peuvent être considérés comme indépendants. Quel rôle joue dans la résolution et la compréhension d'un problème le travail technique que l'on y effectue ? Quelles connaissances suppose la possibilité de piloter le technique sans passer par la phase de réalisation effective ? A partir de quel seuil de connaissances, la centration sur la démarche peut-elle être effective, productive ? Comment organiser dans ce registre des situations qui ne fonctionnent pas uniquement avec les élèves qui savent déjà ?

Il nous semble particulièrement important donc d'inclure dans l'observation des situations où cette potentialité de DERIVE soit explicitement mise en jeu et d'étudier ce que nous apprend sur ces questions difficiles l'observation fine du comportement des élèves.

## II.5 LA DIMENSION EXPÉRIMENTALE ET LES QUESTIONS DE NIVEAU D'ACTIVITÉ MATHÉMATIQUE

De nombreux auteurs soulignent également l'intérêt de logiciels comme DERIVE pour le développement d'une démarche expérimentale en mathématique. Divers travaux de recherche ont cependant montré que l'utilisation de logiciels ne s'accompagnait pas nécessairement, dans les classes, d'une réelle activité mathématique des élèves et que se produisait assez facilement