## 4.3.1 Présentation

Nous cherchons à estimer la préférence d'un joueur pour une de ses actions d'après l'agent dont on étudie l'intention. Pour fixer les idées, on dira « agent i » lorsque l'on parlera de l'agent dont on étudie l'intention et « agent j, k, l... » lorsqu'on parlera d'un autre agent du jeu.

En théorie des jeux, une stratégie d'utilité maximale est celle permettant au joueur d'obtenir le score maximal. Nous allons associer l'utilité de l'action d'un agent j d'après l'agent i au score maximum que l'agent j pourrait atteindre après avoir effectué l'action. Étant donné que les agents imaginent plusieurs mondes possibles, une même action aura généralement des effets différents. La valeur d'une action dépendra donc du monde considéré et de l'état des connaissances des agents.

Prenons pour exemple le jeu simplifié de Hanabi, présenté en figure 4.1. Pour rappel, les joueurs ne voient pas leur carte, le joueur 1 a la carte 1, le joueur 2 a la carte 2 et dans la pioche se trouve donc la carte 3. C'est au joueur 2 de jouer, il peut poser sa carte, la défausser ou donner un indice. Le joueur 1 ne peut que faire l'action *noop* (ne rien faire).

Pour le joueur 1, il y a deux mondes possibles, le monde $w_1$ où il a la carte 1 et le monde $w_2$ où il a la carte 3. Le joueur 1 se dit que s'il avait la carte 1 alors le joueur 2 le verrait et il hésiterait entre avoir la carte 2 ou la carte 3 : les mondes $w_1$ et $w_6$. Dans l'autre cas, si le joueur 1 avait la carte 3, le joueur 2 hésiterait entre avoir la carte 2 et avoir la carte 1 : les mondes $w_2$ et $w_3$.

Dans le cas où le joueur 1 pense que $w_1$ est le monde réel, il pense que le joueur 2 hésite entre avoir la carte 2 et avoir la carte 3. Regardons les effets des actions du joueur 2, présentés en figure 4.3.

Si le joueur 2 pose sa carte, dans le cas où il a la carte 2, cette carte va dans la défausse car la carte 1 n'est pas posée. Les joueurs gagnent un jeton échec, donc le jeu s'arrête, ils marquent 0 point. Si le joueur 2 pose sa carte et qu'il a la carte 3, de la même façon, la carte va dans la défausse, les joueurs gagnent un jeton échec, le jeu s'arrête, les joueurs marquent 0 point. Dans les deux mondes que le joueur 2 envisagerait d'après le joueur 1 si le monde $w_1$ était réel, l'action de poser sa carte lui rapporte 0 point. Dans $w_1$ l'utilité de l'action du joueur 2 de poser sa carte d'après le joueur 1 est donc de 0.

Si le joueur 2 défausse et qu'il a la carte 2, la carte 2 va dans la défausse, il n'est plus possible de faire une pile de plus de 1, le score maximal sera donc de 1. Le joueur 1 ayant la carte 1, il pourra la poser pendant son tour, les joueurs marqueront alors 1 point, score maximal. Le score maximal atteignable après l'action du joueur 2 est donc 1.

Si le joueur 2 défausse et qu'il a la carte 3, la carte 3 va dans la défausse, il n'est plus possible de faire une pile de plus de 2, soit un score maximal de 2. Après avoir joué, le joueur 2 piochera alors la carte 2. Au tour du joueur 1, il pourrait poser sa carte 1 et, à nouveau au tour du joueur 2, celui-ci pourra poser la carte 2, formant une pile de 2 et donnant un score de 2. Il existe donc une suite d'actions permettant d'obtenir le score de 2 et c'est donc le score maximal atteignable dans ce cas. Il faut noter qu'il suffit qu'il existe une suite d'actions permettant d'obtenir ce score pour le « valider ». Les actions entreprises dans cette suite d'actions pourraient ne pas être considérées comme les plus utiles au moment de les jouer et donc ne pas être effectuées réellement.

L'action de défausser pour le joueur 2 permet d'obtenir dans un cas le score maximal de 1 et dans l'autre un score maximal de 2. D'après le joueur 1, les deux mondes étant équivalents pour le joueur 2, ils sont considérés comme équiprobables, on fait donc la moyenne des scores. Dans $w_1$ l'utilité de l'action du joueur 2 de défausser d'après le joueur 1 est donc de 1,5.

Enfin si le joueur 2 donne un indice et qu'il a la carte 2, le joueur 1 saura à présent qu'il a la carte 1, le score maximal serait a priori de 3 : si le joueur 1 pose ensuite sa carte 1, il piochera la carte 3, le
<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>FIGURE 4.3 – Effets des actions du joueur 2 dans le cas où le joueur 1 pense que $w_1$ est le monde réel.</figcaption></figure>

joueur 2 jouera la carte 2 et pour finir le joueur 1 posera la carte, formant une pile de 3. Il existe donc une suite d'actions permettant d'obtenir le score de 3 et c'est le score maximal que l'on peut atteindre.

Si le joueur 2 donne un indice et qu'il a la carte 3, le joueur 1 saura qu'il a la carte 1 et le score maximal serait a priori de 3 : si le joueur 1 pose sa carte, il piochera alors la carte 2, le joueur 2 pourra défausser sa carte et le joueur 1 posera la carte 2 formant une pile de 2, le jeu s'arrêtera là. En effet, le joueur 1 ayant pioché la dernière carte, le jeu s'arrête à son tour suivant, la carte 3 du joueur 2 est dans tous les cas inutile. Le score 2 est donc le score maximal atteignable.

L'action de donner un indice donne un score de 3 dans un cas, de 2 dans l'autre cas. Dans $w_1$ l'utilité de donner un indice pour le joueur 2 d'après le joueur 1 est donc de 2,5.

D'après le joueur 1, si $w_1$ est le monde réel, l'action la plus utile du joueur 2 serait de donner un indice. Pour le joueur 1, le joueur 2 jouerait forcément l'action de donner un indice si $w_1$ était le monde réel.

Nous avons donc obtenu l'action la plus utile pour le joueur 2 d'après le joueur 1 dans le cas où le joueur 1 imagine qu'il a la carte 1. Il faut à présent étudier le cas où il a la carte 3.

Dans ce cas, l'action du joueur 2 de poser sa carte aurait une utilité de 1, l'action de défausser une utilité de 0,5 et enfin l'action de donner un indice une utilité de 1,5 (voir l'annexe B.1 pour le calcul). Pour le joueur 1, le joueur 2 jouerait forcément l'action de donner un indice si $w_2$ était le monde réel. Ici, nous avons donc un exemple où l'action la plus utile serait la même dans tous les deux cas. On peut tout de même constater que la valeur de son utilité est différente dans les deux cas.
## 4.3.2 Définitions

Le règlement d'un jeu prévoit en général l'attribution d'un score à chaque agent pendant le jeu ou du moins, un vainqueur et des perdants à la fin du jeu (qu'on peut faire correspondre à des scores de 1 et 0). Lors du calcul de l'utilité, ce qui nous intéresse est le score réalisé par le joueur à la fin du jeu et non pas le score courant. Il nous faut donc définir la fin du jeu et la façon dont remonter le score.

La fin d'un jeu est caractérisée par le fait qu'aucune action ne peut plus être entreprise, c'est donc un modèle ne possédant plus d'actions légales. Un modèle correspondant à un état de jeu final est appelé terminal et on dira qu'un modèle est *terminal* si l'un des joueurs n'a plus d'actions légales.

Les actions étant maintenant des actions indéterminées, il faut redéfinir la légalité d'une action. Dans la première modélisation, une action était légale si sa précondition était vérifiée dans tous les mondes indistinguishables du monde réel, monde réel compris. Les actions indéterminées étant à présent des ensembles d'actions, on dira qu'une action indéterminée est légale/jouable dans un modèle si chaque monde indistinguishable du monde réel vérifie la précondition d'au moins une action de l'action indéterminée. Pour rappel, les préconditions étant par définition insatisfiables entre elles, un monde ne peut pas vérifier la précondition de plus d'une action.

**Définition 24 (action atomique indéterminée légale/jouable)** Soit une signature de jeu $J = (\mathbb{P}, A, N)$, soit un modèle $M^w = (W, R, \pi, f_r, g)$, soit $a_\alpha^i$ une action atomique indéterminée de l'agent $\alpha$, on dit que $a_\alpha^i$ est légale/jouable dans le modèle $M^w$ si et seulement si $\forall w_i \in [w]_\alpha, \exists a_j \in a_\alpha^i$ tel que $\models_{w_i}^{M} \text{pre}(a_j)$. On note $A_{\alpha,w}^{i,l}$ l'ensemble des actions légales dans le modèle $M^w$ pour l'agent $\alpha$.

Pour les actions complètes indéterminées, cela est un peu plus compliqué. En effet, une action complète indéterminée est formée à partir d'un n-uplet d'actions atomiques indéterminées. Il faut donc que chaque action atomique indéterminée de ce n-uplet soit jouable dans le modèle. On est alors sûr que l'une des actions complètes de l'action complète indéterminée a sa précondition vérifiée par le monde réel puisqu'au moins une action indéterminée de chaque agent a sa précondition vérifiée dans le monde réel. Encore une fois, les préconditions des actions complètes sont insatisfiables entre elles, un monde ne pourra vérifier la précondition de plus d'une action complète.

**Définition 25 (action complète indéterminée légale/jouable)** Soit une signature de jeu $J = (\mathbb{P}, A, N)$, soit un modèle $M^w = (W, R, \pi, f_r, g)$.

On note $C_w^{i,l}$ l'ensemble des actions complètes indéterminées légales dans le modèle $M^w$, l'ensemble des actions complètes indéterminées issues de tous les n-uplets d'actions atomiques indéterminées de $\times_{\alpha \in N} A_{\alpha,w}^{i,l}$.

Soit $a_\alpha^i$ une action indéterminée de l'agent $\alpha$, on note $C_w^{i,l}(a_\alpha^i)$ ensemble des actions complètes indéterminées légales issu de $a_\alpha^i$ dans le modèle $M^w$ l'ensemble $C_w^{i,l}(a_\alpha^i) = C_w^{i,l} \cap C^i(a_\alpha^i)$.

On peut à présent définir un modèle terminal comme un modèle ayant un ensemble des actions complètes indéterminées vide.

**Définition 26 (modèle terminal)** Soit une signature de jeu $J = (\mathbb{P}, A, N)$, soit un modèle $M^w = (W, R, \pi, f_r, g)$, on dit que $M^w$ est terminal si et seulement si $C_w^{i,l} = \emptyset$

Nous allons à présent définir notre utilité pour une action indéterminée. Cette utilité sera appelée utilité S.M.A. (score maximal accessible). Par hypothèse il nous est donné une fonction associant à chaque modèle et pour chaque agent un score. Comme présenté dans l'exemple, pour chaque action, pour chaque monde indistinguishable du monde réel on regarde le score maximal accessible pour l'agent dans le modèle engendré. On appelle *score maximal accessible* le score final qu'obtiendrait le joueur dans la meilleure
configuration pour lui des actions complètes qui seront réalisées. En somme, on fait comme si le monde considéré était le monde réel et que tous les joueurs cherchaient à ce que le joueur considéré obtienne le meilleur score. L'utilité d'une action est alors la moyenne sur chaque monde indistinguishable, de la moyenne des scores maximaux accessibles des modèles engendrés par les actions complètes indéterminées issues de l'action atomique indéterminé considérée. Lorsque le modèle engendré est terminal, cette utilité est simplement le score.

**Définition 27 (utilité S.M.A)** Soit une signature de jeu $J = (\mathbb{P}, A, N)$, soit un modèle $M^w = (W, R, \pi, f_r, g)$, soit score une fonction qui associe à chaque modèle et chaque agent une valeur réelle. On appelle sma score maximal accessible le réel suivant :

$$ \text{sma}(M^w; \alpha) = \begin{cases} \max_{c^i \in C_w^{i,l}} \text{sma}(M^w_{|c^i}, \alpha) & \text{si } C_w^{i,l} \neq \emptyset \\ \text{score}(M^w, \alpha) & \text{sinon} \end{cases} $$

Soit $\alpha$ un agent, soit $a^i \in A_{\alpha,w}^{i,l}$ une action indéterminée légale pour l'agent $\alpha$ dans le modèle $M^w$, on appelle $u(M, w, \alpha, a^i)$ utilité S.M.A de l'action $a^i$ pour l'agent $\alpha$ dans le modèle $M^w$ le réel suivant :

$$ u(M, w, \alpha, a^i) = \sum_{w_i \in [w]_{\alpha}} \frac{\sum_{c^i \in C_w^{i,l}} \frac{\text{sma}(M^w_{|c^i}, \alpha)}{|C_w^{i,l}(a^i_{\alpha})|}}{|[w]_{\alpha}|} $$

### 4.3.3 Remarques

Cette proposition de définition de l'utilité est une première approximation de ce que pourrait être la préférence d'un joueur pour une de ses actions. Une amélioration pourrait être de prendre le score moyen accessible plutôt que le score maximal accessible. Cependant, cette méthode demanderait d'explorer l'ensemble des modèles qui pourraient être engendrés plutôt que de simplement chercher le chemin d'actions nous amenant au score maximal final.

Une troisième approximation consisterait à prendre en compte les actions préférées des autres joueurs lors du calcul du score moyen accessible. Les calculs des actions préférées s'influenceraient les uns les autres sans a priori de certitude de convergence. Cela pourrait s'apparenter à un calcul d'équilibre de Nash.

Enfin, dans la suite, il ne sera fait mention que d'utilité sans évoquer son origine. En effet, en plus du fait que cette définition d'utilité n'est qu'une approximation, elle ne prend pas en compte des préférences de jeu hors-score que pourrait avoir le joueur. On partira donc du principe que l'utilité des actions sera donnée.

## 4.4 Intention

### 4.4.1 Meilleures actions

L'idée de base pour calculer l'intention d'un joueur est identique : un joueur a l'intention d'obtenir une propriété si celui-ci effectue l'action qui d'après lui est la plus susceptible de lui amener cette propriété. Il faut néanmoins modifier le calcul afin de prendre en compte la nouvelle modélisation des actions. Mais il faut surtout intégrer la notion d'utilité. En effet, l'agent ne pensera plus que les autres joueurs effectueront une de leurs actions au hasard mais qu'ils choisiront parmi les actions les plus utiles.

Il faut d'abord intégrer l'utilité à la définition d'un modèle. Une telle association sera appelée *modèle à action mesurée* ou simplement *modèle mesuré*.
**Définition 28 (modèle mesuré)** Soit une signature de jeu $J = (\mathbb{P}, A, N)$, soit un modèle $M^w = (W, R, \pi, f_r, g)$, soit $u$ une fonction d'utilité qui associe un nombre réel à chaque élément de $W \times N \times \cup_{\alpha \in N} g(\alpha)$. On appelle modèle mesuré le couple $(M^w, u)$.

Nous pouvons à présent définir l'ensemble des actions légales les plus utiles dans un modèle mesuré.

**Définition 29 (actions indéterminées légales les plus utiles)** Soit une signature de jeu $J = (\mathbb{P}, A, N)$, soit un modèle mesuré $(M^w, u)$, soit un agent $\alpha$. On note $A_{\alpha,w}^*$ l'ensemble des actions atomiques indéterminées légales les plus utiles pour l'agent $\alpha$ dans le modèle mesuré $(M^w, u)$ l'ensemble $A_{\alpha,w}^* = \{a^i \in A_w^{i,l} \text{ tel que } \forall b^i \in A_w^{i,l}, u(M, w, \alpha, a^i) \ge u(M, w, \alpha, b^i)\}$.

Soit $a_\alpha^i$ une action indéterminée de l'agent $\alpha$, soit $c^i$ une action complète indéterminée, on dit que $c^i$ est une action complète indéterminée la plus utile issue de $a_\alpha^i$ dans le modèle $M^w$ si $c^i$ est issu d'un n-uplet $(a_1^i, ..., a_n^i) \in A_{1,w}^* \times \dots \times \{a_\alpha^i\} \times \dots \times A_{n,w}^*$. On note $C_w^*(a_\alpha^i)$ l'ensemble des actions complètes indéterminées légales les plus utiles issues de $a_\alpha^i$ dans le modèle $M^w$.

On peut se demander si choisir a priori l'action la plus utile lorsque les autres joueurs choisissent leur action la plus utile également reste toujours l'action la plus utile. En théorie des jeux, l'équilibre de Nash est la situation où chaque joueur joue une stratégie optimale compte tenu de la stratégie des autres joueurs.

Cependant ici on ne parle pas de stratégie mais d'une seule action, on ne peut donc pas calculer l'équilibre de Nash du jeu. De plus, une approximation de cet équilibre de Nash serait compliqué à calculer pour deux raisons. La première est qu'il faut effectuer une approximation des gains potentiels de l'action. La deuxième est que les joueurs n'ont pas une connaissance complète du jeu, il y a donc un ensemble de mondes possibles pour le joueur, dans chacun de ceux-ci les actions peuvent avoir des effets différents et les autres joueurs peuvent avoir des actions différentes suivant le monde considéré.

Nous ferons donc l'hypothèse de première approximation que l'action la plus utile reste l'action la plus utile quand les autres agents effectuent leur action la plus utile.

La définition du calcul de l'intention reprend la définition 17 de la première modélisation et donc la définition 14 du rapport de présence d'une propriété au sein d'un modèle. Maintenant, le calcul de la valeur d'une action indéterminée $a^i$ depuis un modèle mesuré $(M^w, u)$ pour un joueur $\alpha$ pour une formule $\phi$ à $k$ tours se fait en trois strates : on calcule (1) la moyenne sur les mondes indistinguishables du monde réel pour le joueur $\alpha$ de (2) la moyenne sur l'ensemble des actions complètes indéterminées jouables les plus utiles issues de l'action indéterminée $a^i$ de (3) la valeur à $k-1$ tours des modèles résultant de ces actions.

La valeur d'un modèle pour un joueur est toujours la valeur maximale des valeurs des actions jouables pour le joueur. En effet, la notion d'utilité n'a pas à apparaître pour le joueur étudié puisqu'on est en train d'évaluer parmi l'ensemble de ses actions, l'action la plus susceptible de lui apporter la propriété considérée. Pour rappel, on considère que le joueur n'est pas en capacité de résoudre le jeu, c'est-à-dire obtenir la stratégie optimale. C'est pour cette raison qu'il se fixe des objectifs à court terme. On part donc du principe que le joueur ne prend pas en compte, a priori, l'utilité de ses actions lors de son choix.

Lorsque $k=0$, la valeur d'un modèle est égale au rapport de présence de la formule parmi les mondes indistinguishables du monde réel pour le joueur.

Enfin, certaines actions peuvent précipiter la fin du jeu. La valeur d'un modèle à cinq tours est a priori non définie si le modèle est terminal et qu'il n'y a plus de prochains tours. Deux solutions semblent pouvoir convenir. Soit on part du principe qu'aucun modèle n'existe dans cinq tours, donc aucune propriété ne peut être vérifiée et ainsi on fixerait la valeur du modèle à 0. Soit on part du principe que le jeu est alors figé, et que le modèle est alors valable pour un nombre infini de tours suivants. La valeur du modèle serait alors le rapport de présence de la formule dans le modèle. C'est cette deuxième
possibilité qui a été retenue. En effet dans l'autre cas, une formule telle que « le joueur a gagné » pourrait se retrouver fausse si le nombre de tour devient trop grand. Alors une action menant à la victoire du joueur pourrait ne plus être une « meilleure action » pour que le joueur gagne si le nombre de tours $k$ est trop grand.

De plus, il est plus facile d'adapter les modèles ou les formules pour que ces dernières soient étudiés précisément dans cinq tours (en ajoutant une variable « compte-tours» par exemple et donc les modèles qui se terminent avant auraient une valeur nulle) lorsqu'on fige l'état des modèles que de faire l'inverse lorsqu'on fixe comme valeur nulle les modèles terminaux. En effet, il ne semble pas possible dans ce dernier cas d'adapter les modèles ou les formules pour regarder, par exemple, la meilleure action pour gagner au bout de trois tours en prenant en compte les modèles se terminant en moins de trois tours.

**Définition 30 (valeur d'un modèle mesuré et d'une action)** Soit une signature de jeu $J = (\mathbb{P}, A, N)$, un modèle mesuré $(M^w, u)$, soit $\alpha$ un agent, soit $\phi$ une formule et soit $k$ un entier naturel, on appelle $v(M^w, \alpha, \phi, k)$ valeur du modèle mesuré $(M^w, u)$ d'après l'agent $\alpha$ pour la formule $\phi$ à $k$ tours le réel suivant :

$$v(M^w, u, \alpha, \phi, k) = \max_{a_{\alpha}^i \in A_{\alpha,w}^{i,l}} \sum_{w_i \in [w]_{\alpha}} \frac{\sum_{c_j \in C_{w_i}^*(a_{\alpha}^i)} \frac{v(M^w_{|c_j}, u, \alpha, \phi, k-1)}{|C_{w_i}^*(a_{\alpha}^i)|}}{|[w]_{\alpha}|} \quad \text{si } k \ge 1 \text{ et } M^w \text{ non-terminal}$$
$$v(M^w, u, \alpha, \phi, k) = \text{pr}_{M^w}^{\alpha}(\phi) \text{ sinon}$$

Soit $a_{\alpha}^i \in A_{\alpha,w}^{i,l}$ une action jouable du joueur $\alpha$ dans le modèle mesuré $(M^w, u)$, on appelle $v_{a_{\alpha}}(M^w, u, \alpha, \phi, k)$ valeur de l'action $a_{\alpha}$ depuis le modèle mesuré $(M^w, u)$ d'après l'agent $\alpha$ pour la formule $\phi$ à $k \ge 1$ tours le réel suivant :

$$v_{a_{\alpha}^i}(M^w, u, \alpha, \phi) = \sum_{w_i \in [w]_{\alpha}} \frac{\sum_{c_j \in C_{w_i}^*(a_{\alpha}^i)} \frac{v(M^w_{|c_j}, u, \alpha, \phi, k-1)}{|C_{w_i}^*(a_{\alpha}^i)|}}{|[w]_{\alpha}|}$$

### Remarque

C'est dans la définition des valeurs des modèles et des actions que réside la justification de la contrainte des préconditions des actions composant une action indéterminée insatisfiables entre elles. En effet, en supposant que plusieurs actions d'une action indéterminée soit jouables, il faudrait pouvoir identifier au sein de l'action indéterminée, quelles actions sont jouables. Ceci afin de pouvoir compter les modèles engendrés dans le calcul de la valeur d'un modèle. Cela complexifierait davantage un calcul déjà difficile. Qui plus est, comme déjà mentionné, on peut déjà représenter tous les jeux à actions publiques.

## 4.4.2 Premier exemple

Prenons pour exemple le jeu simplifié de Hanabi, dont l'état initial est présenté en figure 4.1. Pour rappel, les joueurs ne voient pas leur carte, le joueur 1 a la carte 1, le joueur 2 a la carte 2 et dans la pioche se trouve donc la carte 3. Cette fois c'est au joueur 1 de jouer, il peut poser sa carte, la défausser ou donner un indice. Le joueur 2 ne peut que faire l'action *noop* (ne rien faire). À un tour, la prise en compte de l'utilité des actions du joueur 2 n'a pas d'intérêt puisqu'il n'y a qu'une seule action pour lui. On va donc regarder l'intention du joueur 1 à deux tours concernant la formule $\neg e$. C'est-à-dire que l'on étudie l'intention du joueur 1 quant au fait qu'ils n'aient pas gagné de jeton échec au bout de deux tours.

Au premier tour le joueur 1 pourra effectuer l'une de ses trois actions : poser, défausser et indice, notées $p, d, i$. Le joueur 2 ne pourra que faire l'action *noop*. Les actions complètes seront donc également
notées *p*, *d*, *i*. Au deuxième tour, le joueur 1 ne pourra effectuer que l'action *noop* quand le joueur 2 pourra effectuer l'une de ses trois actions : poser, défausser et indice, notées *p*, *d*, *i*. Les actions complètes seront également notées *p*, *d*, *i*.

Dans l'état initial, le joueur 1 ne sait pas s'il possède la carte 1 ou 3 mais sait que le joueur 2 possède la carte 2. Il y a donc deux modèles à prendre en compte, le modèle $M_1$ où le joueur 1 a la carte 1 et le modèle $M_2$ où le joueur 1 a la carte 3. On va rendre mesurés ces modèles par l'association de l'utilité *u* proposée en section 4.3. Enfin pour plus de clarté dans les figures, les éléments associés au joueur 1 seront en rouge et les éléments associés au joueur 2 seront en bleu.

## Action défausser

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>FIGURE 4.4 – États possibles du jeu Hanabi pour les trois premiers tours lorsque le joueur 1 commence par défausser</figcaption></figure>

Commençons l'étude de l'intention avec l'action défausser du joueur 1 représentée en figure 4.4. Dans le cas où le joueur 1 pense avoir la carte 1, en défaussant, sa carte se retrouve dans la défausse, et il pioche la carte 3, on se retrouve donc dans le modèle $M_1$. Dans ce modèle, il n'y a qu'un seul monde possible et le joueur 2 peut effectuer ses trois actions.

Si le joueur 2 pose sa carte, celle-ci part dans la défausse, les joueurs gagnent un jeton échec, le jeu s'arrête. On se trouve donc dans le modèle $M_2$. Dans ce modèle terminal, les joueurs marquent un score de 0. L'utilité de l'action *p* pour le joueur 2 dans le modèle $M_2$ est donc 0.
Si le joueur 2 défausse, sa carte part dans la défausse. On se retrouve dans le modèle $M_{|d,d}^{w_1}$. Dans ce modèle, les joueurs n'ont plus que la carte 3 en main sans avoir posé la carte 1 et 2. Ils ne peuvent donc pas former de pile et marquer des points. L'utilité de l'action $d$ pour le joueur 2 dans le modèle $M_{|d}^{w_1}$ est aussi de 0.

Si le joueur 2 donne un indice, on se retrouve dans le modèle $M_{|d,i}^{w_1}$. Dans ce modèle, les joueurs n'ont plus que les cartes 2 et 3 en jeu sans avoir posé la carte 1. Ils ne peuvent donc pas former de pile et marquer des points. L'utilité de l'action $i$ pour le joueur 2 dans le modèle $M_{|d}^{w_1}$ est aussi de 0.

Les trois actions ont la même utilité, donc ce sont toutes des actions d'utilité maximale. L'ensemble $A_{\alpha,w}^*$ des actions légales les plus utiles est alors l'ensemble $\{p, d, i\}$. Il faut donc prendre en compte ces trois actions dans le calcul de l'intention.

Dans le modèle $M_{|d,p}^{w_1}$, les joueurs ont un jeton échec, le rapport de présence de la formule $\neg e$ est donc $pr_{M^{w_1}_{|d}}^{J1}(\neg e) = 0$. Dans les modèles $M_{|d,d}^{w_1}$ et $M_{|d,i}^{w_1}$, les joueurs n'ont pas de jeton échec, le rapport de présence de la formule $\neg e$ est donc $pr_{M^{w_1}_{|d}}^{J1}(\neg e) = 1$. La valeur du modèle mesuré ($M_{|d}^{w_1}, u$) est donc de $\frac{0+1+1}{1} = 2/3$.

Dans le cas où le joueur 1 pense qu'il a la carte 3, en défaussant, cette carte va dans la défausse, il pioche la carte 1 et le jeu se terminera à son prochain tour. On se retrouve dans le modèle $M_{|d}^{w_2}$. Dans ce modèle il n'y a qu'un seul monde possible et le joueur 2 peut effectuer ses 3 actions.

Si le joueur 2 pose sa carte, celle-ci part dans la défausse, les joueurs gagnent un jeton échec, le jeu s'arrête. On se trouve donc dans le modèle $M_{|d,p}^{w_2}$. Dans ce modèle terminal, les joueurs marquent un score de 0. L'utilité de l'action $p$ pour le joueur 2 dans le modèle $M_{|d}^{w_2}$ est donc 0.

Si le joueur 2 défausse, sa carte part dans la défausse. On se retrouve dans le modèle $M_{|d,d}^{w_2}$. Dans ce modèle, le joueur 1 pourra poser sa carte 1 et les joueurs marqueront 1 point. L'utilité de l'action $d$ pour le joueur 2 dans le modèle $M_{|d}^{w_2}$ est de 1.

Si le joueur 2 donne un indice, on se retrouve dans le modèle $M_{|d,i}^{w_2}$. Dans ce modèle, il n'y a plus qu'un tour, celui du joueur 1. Il pourra poser sa carte 1 et ils marqueront 1 point. L'utilité de l'action $i$ pour le joueur 2 dans le modèle $M_{|d}^{w_2}$ est aussi de 1.

Les trois actions n'ont pas la même utilité, les actions $d$ et $i$ ont une utilité de 1 quand l'action $p$ n'a qu'une utilité de 0. L'ensemble $A_{\alpha,w}^*$ des actions légales les plus utiles est alors l'ensemble $\{d, i\}$. Il ne faut donc prendre en compte que ces deux actions dans le calcul de l'intention. Dans les deux modèles $M_{|d,d}^{w_2}$ et $M_{|d,i}^{w_2}$, les joueurs n'ont pas de jeton échec, le rapport de présence de la formule $\neg e$ est alors de 1. La valeur du modèle mesuré ($M_{|d}^{w_2}, u$) est donc de $\frac{1+1}{2} = 1$.

L'action de défausser pour le joueur 1 donne une valeur de $2/3$ dans un cas et de 1 dans l'autre cas. La valeur de l'action $d$ pour le joueur 1 dans le modèle mesuré ($M^{w_1}, u$) pour la formule $\neg e$ à deux tours vaut donc $v_d(M^{w_1}, u, 1, \neg e, 2) = \frac{2/3+1}{2} = 5/6$.

## Action poser

Les modèles possibles générés par l'action poser du joueur 1 sont présentés en figure 4.5. Dans le cas où le joueur 1 pense avoir la carte 1, l'action poser fait poser sur la table la carte 1, il pioche alors la carte 3 et le jeu se terminera à son prochain tour. Dans ce modèle $M_{|p}^{w_1}$ il n'y a qu'un seul monde possible et le joueur 2 peut effectuer ses trois actions.

Si le joueur 2 pose sa carte, celle-ci se place alors sur le 1, formant une pile de deux cartes. On se trouve donc dans le modèle $M_{|p,p}^{w_1}$. Lors de son tour suivant, le joueur 1 pourra placer sa carte 3, les
<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>FIGURE 4.5 – États possibles du jeu Hanabi pour les trois premiers tours lorsque le joueur 1 commence par poser</figcaption></figure>

joueurs marqueront alors 3 points. L'utilité de l'action *p* pour le joueur 2 dans le modèle $M_{|p}^{w_1}$ est donc 3.

Si le joueur 2 défausse, sa carte part dans la défausse. On se retrouve dans le modèle $M_{|p,d}^{w_1}$. Dans ce modèle, le joueur 1 ne pourra pas poser sa carte 3 et les joueurs ne marqueront donc que 1 point. L'utilité de l'action *d* pour le joueur 2 dans le modèle $M_{|p}^{w_1}$ est de 1.

Si le joueur 2 donne un indice, on se retrouve dans le modèle $M_{|p,i}^{w_1}$. Dans ce modèle, il n'y a plus qu'un tour, celui du joueur 1. Il ne pourra pas poser sa carte 3 et ils ne marqueront que 1 point. L'utilité de l'action *i* pour le joueur 2 dans le modèle $M_{|p}^{w_1}$ est aussi de 1.

L'action la plus utile pour le joueur 2 dans le modèle $M_{|p}^{w_1}$ est donc l'action de poser *p*. Il ne faut donc prendre que cette action dans le calcul de l'intention du joueur 1. Dans le modèle $M_{|p,p}^{w_1}$, les joueurs n'ont pas de jeton échec, le rapport de présence de $\neg e$ est donc de 1. La valeur du modèle $M_{|p}^{w_1}$ est ainsi de $\frac{1}{1} = 1$.

Dans le cas où le joueur 1 pense qu'il a la carte 3, en posant sa carte celle-ci va dans la défausse, les joueurs gagnent un jeton échec et le jeu s'arrête. On se retrouve dans le modèle $M_{|p}^{w_2}$ qui est donc un modèle terminal. Dans ce modèle, le joueur 2, comme le joueur 1, n'a pas d'action jouable. Comme tout modèle terminal, la valeur de ce modèle à k tours est simplement le rapport de la présence de la formule. Ici les joueurs ont un jeton échec, le rapport de présence de la formule $\neg e$ vaut 0. La valeur du modèle
$M_{|p}^{w_2}$ est égale à 0.

L'action de poser pour le joueur 1 donne une valeur de 1 dans un cas et de 0 dans l'autre cas. La valeur de l'action $p$ pour le joueur 1 dans le modèle mesuré ($M^{w_1}, u$) pour la formule $\neg e$ à 2 tours vaut donc $v_p(M^{w_1}, u, 1, \neg e, 2) = \frac{2/3+1}{2} = 1/2$.

Action indice

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>FIGURE 4.6 – États possibles du jeu Hanabi pour les trois premiers tours lorsque le joueur 1 commence par donner un indice</figcaption></figure>

Les modèles possibles générés par l'action de donner un indice du joueur 1 sont présentés en figure 4.6. Dans le cas où le joueur 1 pense avoir la carte 1, lorsqu'il donne l'indice au joueur 2 qu'il a la carte 2, le fait que le joueur 2 a la carte 2 devient une connaissance commune. On se retrouve dans le modèle $M_{|i}^{w_1}$ dans lequel il n'y a plus que deux mondes maintenant que tout le monde sait que le joueur 2 a la carte 2. Les deux mondes sont indistinguishables pour le joueur 1 : le monde où le joueur 1 a la carte 1 et celui où il a la carte 3.

Dans le cas où le joueur 1 pense que $w_1$ est le monde réel, on se trouve donc dans le modèle $M_{|i}^{w_1}$, le joueur 2 a ses trois actions jouables. L'action la plus utile du joueur 2 est alors celle où il donne un indice, le score maximal accessible sera alors de 3, ses deux autres actions, $p$ et $d$ donnant respectivement des
scores maximaux accessibles de 0 et de 1. Dans le modèle $M_{|i,i}^{w_1}$ engendré par l'action la plus utile, le rapport de présence de la formule $\neg e$ est de 1.

Dans le cas où le joueur 1 pense que $w_2$ est le monde réel, on se trouve donc dans le modèle $M_{|i}^{w_2}$, le joueur 2 a ses trois actions jouables. Les actions les plus utiles du joueur 2 sont alors défausser et donner un indice, donnant des scores maximaux accessibles de 1, l'action de poser donnant un score maximal accessible de 0. Dans les deux modèles $M_{|i,d}^{w_2}$ et $M_{|i,i}^{w_2}$ engendrés par les actions les plus utiles, le rapport de présence de la formule $\neg e$ est de 1.

La valeur du modèle mesuré est alors la moyenne sur les deux mondes indistinguishables de la valeur des modèles engendrés par les actions complètes les plus utiles $v(M_{|i}^{w_1}, u, 1, \neg e, 1) = \frac{\frac{1}{1} + \frac{1+1}{2}}{2} = 1$

Dans le cas où le joueur 1 pense que le monde réel est le monde $w_2$, l'action de donner un indice donne dans cet exemple un modèle identique au cas où le joueur pensait que le monde $w_1$ était le monde réel, à la différence près que le monde considéré comme réel n'est pas le même. Le calcul de l'intention est donc identique au cas précédent. La valeur du modèle $M_{|i}^{w_2}$ est donc $v(M_{|i}^{w_2}, u, 1, \neg e, 1) = \frac{\frac{1}{1} + \frac{1+1}{2}}{2} = 1$

L'action de donner un indice pour le joueur 1 donne une valeur de 1 dans un cas et de 1 dans l'autre cas. La valeur de l'action $i$ pour le joueur 1 dans le modèle mesuré ($M^{w_1}, u$) pour la formule $\neg e$ à deux tours vaut donc $v_i(M^{w_1}, u, 1, \neg e, 2) = \frac{1+1}{2} = 1$.

## Conclusion

Dans cet exemple, pour le joueur 1, l'action $d$ a une valeur de 5/6, l'action $p$ une valeur de 1/2 et l'action $i$ une valeur de 1. L'action de plus grande valeur concernant la formule $\neg e$ à deux tours est donc l'action de donner un indice. Si le joueur commence par donner un indice, on en conclut qu'il avait l'intention que les joueurs ne gagne pas un jeton échec. Intuitivement, cela semble sensé de commencer par donner un indice pour éviter de faire des erreurs par la suite.

### 4.4.3 Deuxième exemple

Ce deuxième exemple est plus court mais sert à montrer un point important. L'exemple est celui d'un employé sortant de son bureau, il peut soit aller à la cafétéria où il a une chance sur deux croiser un de ses patrons, soit de prendre l'ascenseur. L'ascenseur lui permettra soit d'aller au premier étage où il va forcément croiser un autre de ses patrons, soit d'aller au deuxième étage où ses patrons ne vont jamais.

La meilleure chose à faire pour l'employé s'il veut voir un de ses patrons c'est de commencer par prendre l'ascenseur. C'est aussi la meilleure option s'il souhaite ne pas les voir. On ne peut donc conclure quant à son intention de voir ou de ne pas voir ses patrons s'il se dirige vers l'ascenseur.

Il ne sera donc plus suffisant que le joueur fasse l'une des meilleures actions pour obtenir une propriété. Il faudra également que cette action ne fasse pas partie des meilleures actions pour obtenir la propriété inverse.

### 4.4.4 Définition

La définition de l'intention nécessite toujours la définition de l'ensemble des meilleures actions. Cette définition est similaire à celle de la première modélisation, elle est juste mise à jour de par l'utilisation d'actions atomiques indéterminées.
**Définition 31 (ensemble des meilleures actions d'un modèle mesuré)** Soit une signature de jeu $J = (\mathbb{P}, A, N)$, un modèle mesuré $(M^w, u)$, soit $\alpha$ un agent, soit $\phi$ une formule et soit $k$ un entier naturel, on appelle Best$(M^w, u, \alpha, \phi, k)$ l'ensemble des meilleures actions depuis le modèle mesuré $(M^w, u)$ d'après l'agent $\alpha$ pour obtenir la formule $\phi$ dans $k$ tours :

$$ \text{Best}(M_w, u, \alpha, \phi, k) = \{a \in A_{\alpha,w}^{i,l} \mid \forall b \in A_{\alpha,w}^{i,l} v_a(M^w, u, \alpha, \phi, k) \ge v_b(M^w, u, \alpha, \phi, k)\} $$

# 4.5 Propriétés

## 4.5.1 Opérateur

On peut définir un nouvel opérateur d'intention. Un agent a l'intention d'obtenir une propriété en effectuant une action $a$ si cette action est l'une des meilleures actions pour obtenir la propriété, si toutes les actions ne permettent pas avec autant de chance d'obtenir la propriété et en plus si l'action $a$ n'est pas également l'une des meilleures actions pour obtenir la propriété contraire.

**Définition 32 (intention)** Soit une signature de jeu $J = (\mathbb{P}, A, N)$, un modèle mesuré $(M^w, u)$, soit $\alpha$ un agent, soit $\phi$ une formule, soit $k$ un entier et $a^i \in A_{\alpha,w}^l$ une action atomique indéterminée :

$$ \begin{array}{l} - M, w, \models I_{\alpha}^{a^i} X^k \phi \text{ si et seulement si } a^i \in \text{Best}(M^w, u, \alpha, \phi, k), a^i \notin \text{Best}(M^w, u, \alpha, \neg \phi, k) \text{ et} \\ \phantom{- M, w, \models I_{\alpha}^{a^i} X^k \phi \text{ si et seulement si }} \text{Best}(M^w, u, \alpha, \phi, k) \neq A_{\alpha,w}^{i,l} \end{array} $$

Comme pour la première modélisation la formule $M, w, \models I_{\alpha}^{a^i} X^k \phi$ se lit : dans le monde $w$ du modèle $M$, si l'agent $\alpha$ effectue l'action $a^i$ alors il a l'intention d'obtenir $\phi$ en $k$ tours.

## 4.5.2 Extension de DEL

Comme pour la première modélisation, il nous faut étendre la logique DEL. Étant donné que l'on a changé la définition et la notation des actions, on va redéfinir les deux opérateurs $[a]$ et $AX$. Pour rappel une formule $[a]\phi$ se lit « la formule $\phi$ est vraie après l'action $a$ » et la formule $AX\phi$ se lit « la formule $\phi$ est vraie après n'importe quelle action » .

$$ - M, w, \models [c^i]\phi \text{ si et seulement si } M|_{c^i}, w, \models \phi $$

$$ - M, w, \models AX\phi \text{ si et seulement si } \forall c^i \in C_w^{i,l}, M, w, \models [c^i]\phi $$

Le langage $\mathbb{L}$ est l'ensemble des formules $\phi$ définies par la grammaire suivante en BNF :

$$ \phi ::= \top \mid p \mid \neg \phi \mid \phi \land \phi \mid K_{\alpha}\phi \mid [c^i]\phi \mid AX\phi $$

$$ \psi ::= \top \mid \phi \mid \neg \psi \mid \psi \land \psi \mid K_{\alpha}\psi \mid [c^i]\psi \mid AX\psi \mid I_{\alpha}^{a^i} X^k \phi $$

Comme pour la précédente modélisation, ce langage n'accepte pas l'imbrication de l'opérateur $I_{\alpha}^{a^i} X^k$.

## 4.5.3 Propositions

### Présentation

Nous reprenons à nouveau les propositions présentées dans la première modélisation.

Pour rappel on utilise $K_{\alpha}AXK_{\alpha}$ à la place de $K_{\alpha}$. C'est nécessaire car dans notre modélisation quand on écrit $I_{\alpha}^{a^i} X\phi$ nous exprimons le fait que l'agent a l'intention d'obtenir $\phi$ dans l'état suivant.

Voici une liste de principes vérifiés par notre opérateur d'intention :
**Proposition 2**

1. $| \models I_{\alpha}^{a} X \phi \rightarrow \neg K_{\alpha} AX K_{\alpha} \neg \phi$ (cohérence intention-connaissance)

2. $| \models I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \rightarrow \neg K_{\alpha} (AX K_{\alpha})^{k} \neg \phi$ (k-tours cohérence intention-connaissance)

3. $| \nvDash I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \rightarrow K_{\alpha} (AX K_{\alpha})^{k} \phi$ (k-tours incomplétude intention-connaissance)

4. $| \nvDash K_{\alpha} (AX K_{\alpha})^{k} \phi \rightarrow I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi$ (k-tours incomplétude connaissance-intention)

5. $| \nvDash (I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \wedge K_{\alpha} (AX)^{k} (\phi \rightarrow \psi)) \rightarrow I_{\alpha}^{a} X^{k} \psi$ (absence d'effet secondaire)

6. $| \models \neg I_{\alpha}^{a} X^{k} \perp$ (cohérence)

7. $| \models I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \rightarrow \neg I_{\alpha}^{a} X^{k} \neg \phi$ (serialité)

8. $| \models I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \rightarrow K_{\alpha} I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi$ (interaction)

9. $| \models \neg I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \rightarrow K_{\alpha} \neg I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi$ (interaction)

10. Depuis $\phi \leftrightarrow \psi$ déduire $I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \leftrightarrow I_{\alpha}^{a} X^{k} \psi$ (indépendance de la syntaxe)

**Démonstration**

Ce nouvel opérateur d'intention vérifie les mêmes propriétés que celui de la première modélisation à l'exclusion de la propriété 7. En effet, grâce à la nouvelle définition de l'opérateur d'intention, celui-ci vérifie maintenant la cohérence interne des intentions.

Seule la proposition 7 sera démontrée ici. Les démonstrations des autres propositions sont similaires aux démonstrations de la première modélisation et sont présentées en annexe B.3.

**Proposition 2.7**

$$| \models I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \rightarrow \neg I_{\alpha}^{a} X^{k} \neg \phi$$

**Preuve :** Par définition si $| \models I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi$ alors $a^{i} \notin Best(M^{w}, u, \alpha, \neg \phi, k)$. Ce qui implique $\nvDash I_{\alpha}^{a} X^{k} \neg \phi$.

## 4.6 Limitations

Dans cette deuxième modélisation nous avons pu corriger des problèmes de la première modélisation. Les actions des autres joueurs ne sont plus considérées comme aléatoires. L'introduction de la notion d'utilité d'une action, se rapprochant de la notion d'utilité d'une stratégie en théorie des jeux, permet de marquer une préférence dans le choix des actions des joueurs et de modéliser les jeux à actions publiques. De plus, l'opérateur d'intention vérifie à présent la cohérence interne des intentions.

Cependant il manque toujours la modélisation des actions semi-privées afin de pouvoir modéliser tous les jeux (par exemple la pioche d'une carte). L'utilisation des modèles d'évènement, nécessaire à la représentation des actions semi-privées, générerait une modélisation très complexe. En effet, il faut associer à chaque agent un ensemble de modèles d'évènement correspondant à ses actions dont il faudra gérer la légalité à chaque tour. De plus, une action complète étant une action combinée de tous les agents, il faut gérer le croisement de plusieurs modèles d'évènement ensemble. Enfin, il faudrait également prendre en compte le fait que des actions seraient plus utiles que d'autres. En effet un modèle d'évènement peut correspondre à l'effet de plusieurs actions différentes. Lors du calcul de l'intention, des modèles d'évènement pourraient se voir modifier afin de ne garder que les actions les plus utiles a priori. Ce dernier point fait l'objet d'un exemple dans l'annexe B.6. Cette modification du modèle d'évènement est une complexification importante.
5

ESTS et intention

Les deux précédentes modélisations DEL présentaient des problèmes quant à la modélisation des actions semi-privées. Avec ESTS il n’y a pas besoin de décrire les actions des différents joueurs, celles-ci sont simplement mentionnées dans les transitions entre les mondes possibles. Il n’y a donc plus besoin d’une part d’utiliser la notion d’action indéterminée ni de vérifier la légalité d’une action dans un monde possible. De plus, l’usage de l’utilité dans le calcul de l’intention, servant à décrire la préférence d’un joueur vis-à-vis d’une de ses actions, sera lui aussi simplifié. Cependant, le problème présenté dans la fin de la deuxième modélisation concernant des actions a priori indistinguishables devenant distinguishables suite au calcul de leur utilité ne sera pas résolu.

Néanmoins, ESTS modélise un jeu complet, l'association d'un de ces modèles avec une histoire, créant un ESTS pointé, ce qui va nous permettre d'intégrer l'intention comme un opérateur. Ceci nous permettra de raisonner sur l'intention.

Cette modélisation a été présentée à ICTAI 2021 [CSGLdL21].

**5.1 Définitions**

Les définitions de la section 1.4 seront adaptées pour intégrer l'association des actions aux agents et plus tard la notion d'utilité.

Comme déjà expliqué, les actions ne sont que mentionnées dans ESTS. Il est donc plus simple de décrire une action complète comme un ensemble d'actions de chaque joueur. Leurs effets pouvant être naturellement différents, il n'y a pas besoin de notion d'action indéterminée. On peut donc reprendre la définition 15 de la première modélisation.

**Définition 33 (ensemble des actions complètes)** Soit une signature de jeu $J = (\mathbb{P}, A, N)$ on appelle action complète le n-uplet $c = (a_1, ..., a_n) \in A^N$. On notera $c(\alpha)$ l'action de l'agent $\alpha$ au sein de l'action $c$. On notera également $C$ l'ensemble des actions complètes issues de $A^N$.

**Définition 34 (ESTS)** Soit une signature de jeu $J = (\mathbb{P}, N, A)$, on appelle ESTS (Epistemic State Transition System) le tuple $M = (W, R, \delta, \pi)$ où $R = \{R_\alpha | \alpha \in N\}$, tel que

- $W$ est un ensemble non vide de mondes

- $R_{\alpha} \subseteq W \times W$ est une relation d'équivalence, spécifiant les mondes indistinguishables pour l'agent $\alpha$.

- $\delta: W \times C \to W$ est une fonction partielle spécifiant les transitions entre les mondes.

- $\pi: W \to 2^{\mathbb{P}}$ est une fonction de valuation
On va à présent définir les actions légales. Contrairement aux deux premières modélisations, cette définition intervient a posteriori de la construction du modèle. En effet, le modèle étant déjà construit on va regarder à quel moment quelle action intervient dans une transition. En DEL, les actions légales étaient définies pour un modèle, correspondant aux actions dont les préconditions étaient vérifiées dans le monde réel. Ici, ayant un modèle représentant toutes les possibilités du jeu, on peut considérer que chaque monde pourrait être le monde réel. On va donc définir un ensemble d'actions légales pour chaque monde. Ces actions légales correspondent simplement à l'ensemble des actions définissant une transition depuis ce monde vers un autre. La définition est tout de même très semblable aux définitions des modélisations en DEL.

**Définition 35 (Action légale)** Soit une signature de jeu $J = (\mathbb{P}, N, A)$, soit un ESTS $\mathbb{M} = (W, R, \delta, \pi)$, soit un monde $w \in W$, on note $C_w^l$ l'ensemble des actions complètes légales dans le monde $w$ c'est-à-dire $C_w^l = \{c \in C \text{ tel que } \delta(w, c) \text{ est défini}\}$. On note $A_{\alpha,w}^l$ l'ensemble des actions légales pour l'agent $\alpha$ dans le monde $w : A_{\alpha,w}^l = \{a \in A_\alpha \text{ tel que } c \in C_w^l \text{ et } c(\alpha) = a\}$.

Enfin on note $\delta_\alpha(w, a)$ l'ensemble des mondes atteignables depuis le monde $w$ lorsque l'agent $\alpha$ effectue l'action $a$ c'est-à-dire : $\delta_\alpha(w, a) = \{\delta(w, c) \text{ tel que } c \in C_w^l \text{ et } c(\alpha) = a\}$.

De manière analogue à la définition 26 des modèles terminaux, on va définir un monde comme terminal lorsque celui-ci n'a pas d'action légale, c'est-à-dire un monde qui n'est à l'origine d'aucune transition.

**Définition 36 (Monde terminal)** Soit une signature de jeu $J = (\mathbb{P}, A, N)$, soit un ESTS $\mathbb{M} = (W, R, \delta, \pi)$, soit $w \in W$ on dit que le monde $w$ est terminal si et seulement si $C_w^l = \emptyset$. On note $T$ l'ensemble de tous les mondes terminaux de $W$.

Pour rappel de la définition 10 d'une histoire d'un ESTS, une histoire est une séquence finie de mondes et d'actions : $(w_1, c_1, w_2, ..., c_{n-1}, w_n)$. On va alors noter $h_k$ pour nommer le $k$-ième monde de l'histoire $h$, $h_f$ pour désigner le dernier monde de l'histoire et $h_k(\alpha)$ l'action exécutée par l'agent $\alpha$ lors de la $k$-ième action de l'histoire $h$. Enfin on note $h_{\ge k}$ pour désigner la partie de l'histoire $h$ commençant à l'étape $k$ et $h.h'$ la concatenation de $h$ et $h'$ où $h_f = h'_1$.

En outre, on notera $[w]_\alpha$ l'ensemble des mondes vérifiant $\forall w_i \in [w]_\alpha, w R_\alpha w_i$.

Le couple formé d'un ESTS et d'une histoire dans cet ESTS est appelé ESTS pointé.

**Définition 37 (ESTS pointé)** Soit une signature de jeu $J = (\mathbb{P}, A, N)$, soit un ESTS $\mathbb{M} = (W, R, \delta, \pi)$ et $h$ une histoire sur $\mathbb{M}$, on appelle ESTS pointé le couple $(\mathbb{M}, h)$.

Enfin on associe aux modèles ESTS un langage logique afin d'y construire des raisonnements. Ce langage est similaire aux langages de DEL, avec les opérateurs $\neg, \wedge, \vee$ et $K$ auxquels on ajoute les opérateurs $\llcorner$ et $\lambda X$. Une formule $K_\alpha\phi$ se lit « l'agent $\alpha$ sait que $\phi$ est vrai ». Une formule du type $[c]\phi$ se lit « la formule $\phi$ est vraie après l'action $c$ ». Une formule comme $AX\phi$ se lit « la formule $\phi$ est vraie après n'importe quelle action » :

$$ \neg \models_w^K K_\alpha \phi \text{ si et seulement si pour tout monde } w_j \text{ tel que } w R_\alpha w_j \text{ on a } \models_{w_j}^M \phi $$

$$ \neg \models_w^K [c] \phi \text{ si et seulement si pour tout } \delta(w, c) \text{ on a } \models_{\delta(w,c)}^M \phi $$

$$ \neg \models_w^K AX\phi \text{ si et seulement si } \forall c \in C_w^l \models_w^K [c]\phi $$
## 5.2 Contraintes

La première contrainte concerne les actions légales. Dans un jeu, même si le joueur pense que plusieurs mondes sont possibles, ses actions disponibles sont les mêmes indépendamment du « vrai » monde. Il faut donc s'assurer dans un ESTS que l'ensemble des actions légales de l'agent est le même pour tous les mondes d'une même classe d'équivalence. Cette contrainte est appelée « exécutabilité » [Sho04, Ågo06] et était également une contrainte dans la définition des actions en DEL.

**Définition 38 (exécutabilité)** Soit une signature de jeu $J = (\mathbb{P}, A, N)$, soit un ESTS $\mathcal{M}$, on dit que le modèle $\mathcal{M}$ vérifie la contrainte d'exécutabilité si $\forall \alpha \in N, \forall w_i, w_j \in W$ tel que $w_i R_{\alpha} w_j$ on a $A_{\alpha, w_i}^l = A_{\alpha, w_j}^l$

<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>FIGURE 5.1 – Exemple de deux modèles ESTS pointés, celui de gauche ne vérifie pas la contrainte d'exécutabilité, celui de droite si</figcaption></figure>

Dans la figure 5.1 nous pouvons voir l'exemple de deux modèles ESTS pointés. Dans le modèle $\mathcal{M}_1$, l'action $b$ est jouable dans le monde $w_1$ mais ne l'est pas dans le monde $w_2$. Or ces deux mondes sont indistinguishables pour le joueur, le modèle ne vérifie donc pas la contrainte d'exécutabilité. Dans le modèle $\mathcal{M}_2$, les deux mondes $w_1$ et $w_2$ possèdent les même actions jouables $a$ et $b$. Il vérifie donc la contrainte d'exécutabilité.

Enfin la deuxième contrainte concerne également les actions des joueurs. Dans un jeu à actions simultanées, les joueurs choisissent leur action indépendamment du choix des autres. Ainsi lorsqu'on a deux joueurs ayant chacun deux actions possibles, nous nous retrouvons donc avec quatre actions complètes possibles. Ceci était naturel dans les deux modèles DEL présentés précédemment. Cependant dans un ESTS, ce sont les actions complètes qui sont définies avant les actions atomiques des joueurs. On associe à chaque action complète un ensemble d'actions atomiques correspondant à chaque joueur. De ce fait, si à partir d'un monde $w$ les actions $c_1 = (a, c)$ et $c_2 = (b, d)$ apparaissent, il faut aussi que les actions $c_3 = (a, d)$ et $c_4 = (b, c)$ apparaissent. Dans le cas contraire, les joueurs ne pourraient pas choisir librement leurs actions, leur choix dépendrait du choix des autres. On appelle cette contrainte « pouvoir-jouer ».
**Définition 39 (pouvoir-jouer)** Soit une signature de jeu $J = (\mathbb{P}, A, N)$, soit un ESTS $\mathcal{M}$, on dit que le modèle $\mathcal{M}$ vérifie la contrainte pouvoir-jouer si $\forall w \in W, C_w^l = \times_{\alpha \in N} A_{\alpha,w}^l$.

<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>FIGURE 5.2 – Exemple de deux modèles ESTS pointés, celui de gauche ne vérifie pas la contrainte de pouvoir-jouer, celui de droite si</figcaption></figure>

Dans la figure 5.2 nous pouvons voir l'exemple de deux modèles ESTS pointés. Dans le modèle $\mathcal{M}_1$, le joueur 1 a deux actions $a$ et $b$ possibles, et le joueur 2 a deux actions $c$ et $d$ possibles. Cependant lorsque le joueur 1 fait l'action $b$, le joueur 2 ne peut que faire l'action $c$. Le choix d'actions du joueur 2 n'est pas indépendant du choix d'actions du joueur 1. Ce modèle $\mathcal{M}_1$ ne vérifie donc pas la contrainte de pouvoir-jouer. Dans le modèle $\mathcal{M}_2$ les deux joueurs peuvent choisir leur action indépendamment du choix de l'autre joueur. Ce modèle vérifie la contrainte de pouvoir-jouer.

**Théorème 1** Soit une signature de jeu $J = (\mathbb{P}, A, N)$, soit un ESTS pointé $(\mathcal{M}, h)$ vérifiant la contrainte de pouvoir-jouer, soit un monde $w \in W$, si $\forall \alpha \in N, \exists a_\alpha \in A_\alpha^l$ alors $\delta(w, (a_1, ..., a_n))$ est défini.

**Preuve** : L'ESTS vérifiant la contrainte de pouvoir-jouer, on a $C_w^l = \{c \in C \text{ tel que } \delta(w, c) \text{ est défini}\}$ et on a $C_w^l = \times_{\alpha \in N} A_{\alpha,w}^l$. Donc si $\forall \alpha \in N, \exists a_\alpha \in A_\alpha^l$ alors $\delta(w, (a_1, ..., a_n))$ est défini puisque $(a_1, ..., a_n) \in \times_{\alpha \in N} A_{\alpha,w}^l$.

**Définition 40 (ESTS valide)** Soit une signature de jeu $J = (\mathbb{P}, A, N)$, soit un ESTS pointé $(\mathcal{M}, h)$, on dit que le ESTS $\mathcal{M}$ est valide s'il vérifie les contraintes d'exécutabilité et de pouvoir-jouer.

## 5.3 Utilité

### 5.3.1 Présentation

Dans l'étude de l'intention d'un joueur, la prise en compte du choix d'actions des autres joueurs est importante. En effet, ceux-ci ne choisissent pas leurs actions aléatoirement, ils ont des préférences, qui peuvent aussi varier durant le jeu. L'utilité est la valeur représentant cette préférence.

Dans les modélisations précédentes, un modèle représentait l'état épistémique correspondant à un seul tour de jeu, une action n'apparaissait donc qu'une fois au maximum dans chaque modèle avant que
l'on ne passe au modèle suivant. Un ESTS contenant tous les états possibles du jeu, la même action peut apparaître à plusieurs endroits (voir l'exemple en sous-section 1.4.2). Il faut donc localiser l'utilité de l'action dans le moment considéré du jeu. Pour rappel en ESTS, une transition est caractérisée par le monde d'origine et l'action entreprise. C'est la raison pour laquelle l'utilité sera dans cette modélisation associée à un couple monde-action.

**Définition 41** Soit une signature de jeu $J = (\mathbb{P}, A, N)$, soit un ESTS $\mathbb{M} = (W, R, \delta, \pi)$, on appelle $u$ utilité toute fonction qui associe à un triplet $(w, \alpha, a) \in W \times N \times A_{\alpha,w}^l$ un réel. On appelle ESTS mesuré le tuple $\mathbb{M} = (W, R, \delta, \pi, u)$.

Cette définition d'un ESTS est légèrement différente de la définition originale [JZPZ16]. Cette der-
nière, plutôt que de faire appel à une fonction d'utilité, faisait appel à une fonction de monde gagnant
stipulant quel monde était gagnant pour chaque agent. Et comme déjà annoncé, cette définition d'utilité
s'éloigne de celle d'utilité dans les jeux sous forme extensive où elle n'est définie que dans les mondes
terminaux. Elle se rapproche de celle utilisée dans la modélisation précédente, celle d'un retour d'une
fonction d'évaluation de la possibilité de gagner depuis un monde.

**5.3.2 Exemple d'utilité**

Comme mentionné précédemment, l'utilité des mondes est donnée dans cette modélisation. Les raisons de ne pas avoir une utilité intrinsèque à cette modélisation sont les mêmes que pour la modélisation précédente en DEL : cela permet de rester général et, qui plus est, les utilités pour certains agents et jeux peuvent être particulières. Cependant nous allons donner un calcul d'utilité afin d'être en mesure d'étudier des exemples généraux.

Le calcul d'utilité est similaire à celui utilisé dans la précédente modélisation. Il repose sur le concept initial d'utilité : à partir d'un monde, la stratégie la plus utile est la stratégie qui permet au joueur d'obtenir le score le plus élevé. Une stratégie étant l'ensemble des actions qu'effectuera le joueur jusqu'à la fin du jeu. Cependant, ici nous ne nous intéressons qu'à une action, la première action d'une stratégie éventuelle, car, pour rappel, on se place dans la tête d'un joueur qui n'est pas en capacité d'imaginer une stratégie complète. De plus, il y a d'autres joueurs en jeu, ceux-ci vont eux aussi chercher à obtenir un score maximal et vont donc affecter le déroulement du jeu. Le calcul de l'utilité d'une action peut se révéler extrêmement compliqué. On effectue donc une approximation : on considère que l'ensemble des autres joueurs vont se coordonner afin que le joueur obtienne le score maximal. Le calcul de l'utilité répond donc à la question suivante : à partir d'un monde, quel est le score maximal accessible pour un joueur si tous les joueurs se coordonnent ? Ce score maximal serait a priori différent pour chaque joueur.

Trois autres approximations simples sont identifiables. L'approximation du score moyen accessible, l'approximation du pire score accessible et une approximation reposant sur une moyenne de score accessible choisi aléatoirement. L'utilité du score maximal accessible a été choisie, car elle simple à calculer et qu'elle peut correspondre à une utilité « optimiste » . De plus, il n'est pas sur que l'on puisse qualifier d'équilibré/raisonnable le score moyen accessible ni de pessimiste le pire score accessible.

La définition repose sur l'existence d'une fonction score qui associe à tout monde terminal une valeur réelle. Cette hypothèse est vérifiée par tous les jeux (1, 0 et -1 pouvant coder une partie gagnée, un match nul ou une partie perdue dans les jeux sans scores).

**Définition 42 (score maximal accessible)** Soit une signature de jeu $J = (\mathbb{P}, A, N)$, soit un ESTS $(\mathbb{M}, h)$, on appelle score toute fonction qui associe à un agent $\alpha \in N$ et à un monde terminal $w \in W$ une valeur réelle.

Soit un monde $w \in W$, on appelle sma score maximal accessible pour l'agent $\alpha$ depuis le monde $w$
la fonction vérifiant : sma($\alpha, w$) = $\max_{w_f \in T} |\exists h' | h'_1 = w \text{ et } h'_f = w_f \text{ score}(\alpha, w_f)$
Comme dans la modélisation précédente, il faut prendre en compte le fait que les autres joueurs peuvent jouer différentes actions en simultané. Il faut aussi prendre en compte le fait que le joueur imagine plusieurs mondes possibles, a priori il ne sait donc pas quel sera l'effet de son action. Nous avons donc comme pour la modélisation précédente, une double moyenne : une moyenne sur les actions simultanées possibles et une moyenne sur les mondes que le joueur imagine.

**Définition 43 (utilité S.M.A.)** Soit une signature de jeu $J = (\mathbb{P}, A, N)$, soit un ESTS $\mathbb{M} = (W, R, \delta, \pi)$, soit une fonction score score, on appelle utilité S.M.A. la fonction d'utilité vérifiant pour chaque monde $w \in W$, chaque agent $\alpha \in N$ et chaque action $a \in A_{\alpha,w}^l$ :

$$u(w, \alpha, a) = \sum_{w_i \in [w]_{\alpha}} \frac{\sum_{w_j \in \delta_{\alpha}(w_i, a)} \frac{sma(\alpha, w_j)}{|\delta_{\alpha}(w, a)|}}{|[w]_{\alpha}|}$$

## 5.4 Intention

### 5.4.1 Rappel

Le principe de base du calcul de l'intention est le même que pour les deux modélisations précédentes : au regard d'une propriété, le joueur a-t-il effectué l'action qu'il pensait la plus à même de lui apporter cette propriété ? Ce principe a ensuite été augmenté de deux autres principes. L'un stipule qu'il faut aussi des actions qui ne mènent pas vers la propriété. L'autre principe stipule que l'action permettant d'obtenir la propriété ne doit pas être aussi l'action permettant d'obtenir la propriété contraire.

Ainsi, un agent a l'intention d'obtenir une propriété $\phi$ en k tours en effectuant l'action $a$ si :

1. du point de vue de l'agent, l'action $a$ est l'une des meilleures actions pour obtenir $\phi$. C'est le principe de base.

2. du point de vue de l'agent, il y a au moins une autre action qui ne permet pas d'obtenir $\phi$ ou au moins avec des chances plus faibles. En effet, si toutes les actions permettent d'obtenir $\phi$ avec la même chance alors le choix de l'agent n'a pas d'impact et on ne peut donc pas conclure quant à une quelconque intention.

3. du point de vue de l'agent, l'action $a$ ne fait pas partie des meilleures actions pour obtenir $\neg\phi$. En effet, lorsqu'une même action permet à la fois d'obtenir $\phi$ et $\neg\phi$ l'intention de l'agent est ambiguë et on ne peut donc pas conclure quant à l'intention de l'agent.

Les deux premiers principes impliquent un quatrième principe.

**Théorème 2** Si un agent a l'intention d'obtenir une propriété $\phi$ en k tours en effectuant l'action $a$ alors l'agent pense que l'action $a$ permet avec une chance non nulle d'obtenir la propriété $\phi$ en k tours.

Démonstration : si l'action $a$ ne permettait pas d'obtenir la propriété $\phi$ alors qu'elle ferait partie des meilleures actions, cela signifierait que toutes les autres actions auraient une chance plus faible d'obtenir $\phi$. Or il n'y a pas plus petite chance que 0, toutes les actions auraient alors une chance de 0. Il n'y aurait donc pas d'action avec des chances plus faibles, ce qui contredirait le deuxième principe.

### 5.4.2 Définitions

Les définitions suivantes ne sont que des adaptations des définitions de la modélisation précédente, la différence étant que dans cette modélisation, un modèle représente un jeu entier. L'état épistémique
courant est alors déterminé lors du choix d'un monde du modèle comme monde réel. Les différentes définitions ne sont plus liées à des modèles, mais à des mondes du modèle.

Afin de définir l'intention, il faut commencer par définir l'ensemble des meilleures actions. Comme pour les modélisations précédentes, cela passe par la définition de la valeur d'une action. Cette valeur re-présente les chances que l'action permette au joueur d'obtenir la propriété considérée. Les autres joueurs interagissant aussi, il faut prendre en compte leurs actions. Comme dans la modélisation précédente, cette prise en compte passe par la notion d'actions les plus utiles. En effet, a priori, un joueur ne choisit pas aléatoirement l'une de ses actions disponibles, il a des préférences. Cette préférence est modélisée par la fonction d'utilité $u$. On part du principe que le joueur choisira l'une de ses actions les plus utiles lorsqu'il jouera.

**Définition 44 (actions les plus utiles d'un monde)** Soit une signature de jeu $J = (\mathbb{P}, A, N)$, soit un ESTS mesuré valide $\mathbb{M} = (W, R, \delta, \pi, u)$, soit un monde $w \in W$, on appelle $A_{\alpha,w}^*$ l'ensemble des actions les plus utiles pour l'agent $\alpha$ dans le monde $w$ l'ensemble $A_{\alpha,w}^* = \{a \in A_{\alpha,w}^l | \forall b \in A_{\alpha,w}^l, u(w, \alpha, a) \ge u(w, \alpha, b)\}$

Enfin on appelle $C_w^*(\alpha, a)$ ensemble des actions complètes les plus utiles lorsque l'agent $\alpha$ effectue l'action $a$, l'ensemble $C_w^*(\alpha, a) = A_{1,w}^* \times \dots \times A_{\alpha-1,w}^* \times \{a\} \times A_{\alpha+1,w}^* \times A_{n,w}^*$.

Pour rappel, en théorie des jeux, une stratégie d'utilité maximale est la stratégie que choisira un joueur s'il est rationnel. L'équilibre de Nash correspond à l'état ou chaque joueur choisit sa stratégie la plus utile compte tenu du choix des autres joueurs. Comme pour la précédente modélisation, on ne cherchera pas à calculer l'équilibre de Nash. Déjà, car l'équilibre de Nash se calcule non pas pour une action, mais pour un enchaînement d'actions jusqu'à la fin du jeu. De plus, car une approximation de cet équilibre est également difficile à calculer compte tenu du fait qu'il faut faire une approximation du gain potentiel de l'action et prendre en compte le fait que le jeu est à information incomplète.

Pour simplifier, on fera donc encore l'hypothèse qu'une action d'utilité maximale reste l'action d'utilité maximale lorsque les autres joueurs choisissent leur action d'utilité maximale.

La définition de la valeur d'une action n'est elle aussi qu'une adaptation de celle de la modélisation précédente. Ici il faut préciser le monde dans lequel intervient l'action et il n'est plus question de valeur d'un modèle, mais de valeur d'un monde. Le calcul fait encore appel au rapport de présence d'une formule.

**Définition 45 (Rapport de présence ESTS)** Soit une signature de jeu $J = (\mathbb{P}, A, N)$, soit un ESTS $\mathbb{M} = (W, R, \delta, \pi)$, soit un monde $w \in W$, soit un agent $\alpha$ et une formule $\phi$ on appelle $pr(w, \alpha, \phi)$ rapport de présence de la formule $\phi$ pour l'agent $\alpha$ dans les mondes équivalents à w le réel :

$$pr(w, \alpha, \phi) = \frac{|\{w_i \in [w]_{\alpha} \text{ tel que } \models_{w_i} \phi\}|}{|[w]_{\alpha}|}$$

**Définition 46 (Valeur d'un monde et d'une action)** Soit une signature de jeu $J = (\mathbb{P}, A, N)$, soit un ESTS mesuré valide $(\mathbb{M}, h)$, soit un monde $w$, un agent $\alpha$, un nombre de tours $k$ et une formule $\phi$, on appelle $v(w, u, \alpha, \phi, k)$ valeur du monde $w$ pour l'agent $\alpha$ pour la formule $\phi$ à $k$ tours le réel suivant :

$$v(w, u, \alpha, \phi, k) = \max_{a_{\alpha} \in A_{\alpha, w}^l} \sum_{w_i \in [w]_{\alpha}} \frac{\sum_{c_j \in C_{w_i}^*(\alpha, a)} \frac{v(\delta(w_i, c_j), \alpha, \phi, k-1)}{|C_{w_i}^*(\alpha, a)|}}{|[w]_{\alpha}|} \quad \text{si } k \ge 1 \text{ et } w \text{ non-terminal}$$

$$v(w, \alpha, \phi, k) = pr(w, \alpha, \phi) \quad \text{si } k = 0 \text{ ou } w \text{ est terminal}$$
Soit une action $a \in A_{\alpha,w}^l$, on appelle $v_a(w, u, \alpha, \phi, k)$ valeur de l'action $a$ dans le monde $w$ pour l'agent $\alpha$ pour la formule $\phi$ à $k \ge 1$ tours le réel suivant :

$$v_a(w, u, \alpha, \phi, k) = \sum_{w_i \in [w]_{\alpha}} \frac{\sum_{c_j \in C_{w_i}^*(\alpha, a)} \frac{v(\delta(w_i, c_j), \alpha, \phi, k-1)}{|C_{w_i}^*(\alpha, a)|}}{|[w]_{\alpha}|}$$

Enfin on peut définir l'ensemble des meilleures actions pour un agent depuis un monde.

**Définition 47 (ensemble des meilleures actions)** Soit une signature de jeu $J = (\mathbb{P}, A, N)$, soit un ESTS mesuré valide $(\mathbb{M}, h)$, soit un monde $w$, un agent $\alpha$, un nombre de tours $k$ et une formule $\phi$, on appelle Best($w, u, \alpha, \phi, k)$ l'ensemble des meilleures actions depuis le monde $w$ d'après l'agent $\alpha$ pour obtenir la formule $\phi$ dans $k$ tours :

$$\text{Best}(w, u, \alpha, \phi, k) = \{a \in A_{\alpha,w}^l, \forall b \in A_{\alpha,w}^l, v_a(w, u, \alpha, \phi, k) \ge v_b(w, u, \alpha, \phi, k)\}$$

On va montrer que l'ensemble des meilleures actions est partagé par les mondes indistinguishables pour l'agent.

**Théorème 3** Soit une signature de jeu $J = (\mathbb{P}, A, N)$, soit un ESTS mesuré valide $(\mathbb{M}, h)$, soit un monde $w$, un agent $\alpha$, un nombre de tours $k$ et une formule $\phi$ alors $\forall w' \in [w]_{\alpha}$, Best($w, u, \alpha, \phi, k) = Best(w', u, \alpha, \phi, k)$

**Preuve :** Premièrement, dans le système S5, $\forall w' \in [w]_{\alpha}$, $[w]_{\alpha} = [w']_{\alpha}$. Deuxièmement, de par la définition des actions légales $\forall w' \in [w]_{\alpha}$, $A_{\alpha,w'}^l = A_{\alpha,w}^l$. Ainsi $\forall w' \in [w]_{\alpha}$, $\forall a \in A_{\alpha,w}^l$, $v_a(w, u, \alpha, \phi, k) = v_a(w', u, \alpha, \phi, k)$. Ce qui conduit à $\{a \in A_{\alpha,w}^l, \forall b \in A_{\alpha,w}^l, v_a(w, u, \alpha, \phi, k) \ge v_b(w, u, \alpha, \phi, k)\} = \{a \in A_{\alpha,w'}^l, \forall b \in A_{\alpha,w'}^l, v_a(w', u, \alpha, \phi, k) \ge v_b(w', u, \alpha, \phi, k)\}$.

Finalement on a bien que $\forall w' \in [w]_{\alpha}$, Best($w, u, \alpha, \phi, k) = Best(w', u, \alpha, \phi, k)$.

### 5.4.3 Exemple

En exemple de cette modélisation, reprenons le jeu simplifié de Hanabi. Pour rappel, dans celui-ci il y a trois cartes en jeu (1,2 et 3), chaque joueur (il y en a deux) reçoit une carte et tour à tour, les joueurs peuvent poser leur carte, défausser ou donner un indice à l'autre joueur. Les joueurs peuvent donner deux indices en tout et ne doivent pas faire d'erreur en posant une mauvaise carte, le but étant de faire la pile de cartes 1-2-3. Un joueur n'est pas en capacité de voir sa carte, mais peut voir la carte de l'autre joueur.

Ici le joueur 1 a reçu la carte 1, le joueur 2 a reçu la carte 2 et la carte 3 est toujours dans la pioche. C'est au joueur 1 de jouer et nous allons nous intéresser à l'intention du joueur 1 quant au fait que les joueurs n'aient pas fait d'erreur au bout de deux tours. Cette propriété est représentée par la formule $\neg e$. Cette étude a déjà été traitée dans la modélisation précédente (voir section 4.4.2).

Une représentation partielle de l'ESTS de cet exemple est présentée en figure 5.3. Afin que la figure soit lisible, elle ne prend en compte que les états possibles depuis les mondes $w_{01}$ et $w_{02}$. Ces deux mondes représentent les mondes possibles pour le joueur 1 à l'état initial du jeu, celui-ci sachant que le joueur 2 a la carte 2 et que lui-même hésite entre avoir la carte 1 ou 3. Dans le calcul de l'intention du joueur 1, cela nous suffira, ce calcul ne prendra en effet en compte que les mondes issus de ces deux mondes $w_{01}$ et $w_{02}$. De plus, pour la même raison de lisibilité, la figure ne représente que les états possibles pour les trois premiers tours (tours 0, 1 et 2). On pourra remarquer que cet ESTS est valide.

Pour sa première action, le joueur 1 peut soit poser sa carte, soit défausser, soit donner un indice au joueur 2. Le joueur 2 lui ne peut rien faire. Les actions complètes sont ainsi notées (p,n), (d,n) et (i,n).
À la suite de cette action, dans tous les cas sauf un, le joueur 2 pourra soit poser sa carte, soit défausser, soit donner un indice, et le joueur 1 ne pourra rien faire. Les actions complètes seront alors (n,p), (n,d) et (n,i). Dans le monde $w_{16}$, aucune action ne pourra être entreprise puisque les joueurs ayant fait une erreur, le jeu sera terminé.

Dans ce modèle, l'histoire du jeu est la suivante $h = (w_{01}, (i, n), w_{11}, (n, i), w_{21})$. Le monde réel est le monde $w_{01}$, le joueur 1 donne un indice au joueur 2 ce qui amène au monde $w_{11}$. Dans ce monde, le joueur 1 hésite toujours entre avoir la carte 1 ou 3. Le joueur 2 lui donne alors également un indice, le dernier, et on se retrouve dans le monde $w_{21}$. La suite de l'histoire n'est pas représentée, mais de manière optimale, le joueur 1 posera sa carte 1 et piochera la carte 3, puis le joueur 2 posera sa carte 2 et le joueur 1 terminera par poser la carte 3.

La figure 5.4 présente le rapport de présence de la formule $\neg e$ et le score maximal accessible pour les mondes du tour 2. Elle présente également la valeur des mondes du tour 1 pour la formule $\neg e$ mais aussi pour la formule $e$. En effet, il faut vérifier qu'une meilleure action pour la formule $\neg e$ ne le soit pas également pour la formule opposée $e$. Les flèches bleues représentent les actions les plus utiles pour le joueur 2, elles pointent toutes vers un monde de score maximal accessible le plus élevé localement. L'explication de ces résultats a déjà été donnée dans l'exemple de la modélisation précédente dans la section 4.4.2.

De cette figure, on peut extraire les informations suivantes concernant l'intention du joueur 1 vis-
à-vis de la formule $\neg e$: la valeur de l'action « indice » est de $\frac{1+1}{2} = 1$, celle de l'action « défausser »
est $\frac{1+2/3}{2} = 5/6$ et celle de l'action « poser » est $\frac{1+0}{2} = 1/2$. On remarque que l'on a bien les mêmes
valeurs que dans la modélisation précédente. Pour la formule $e$, les résultats sont : $\frac{0+0}{0} = 0$ pour l'action
« indice », $\frac{0+1/3}{2} = 1/6$ pour l'action « défausser » et $\frac{0+1}{2} = 1/2$ pour l'action « poser ».

Le joueur 1 a l'intention de ne pas être en échec au bout de deux tours lorsqu'il choisit l'action « indice ». Celle-ci est la meilleure action pour la formule $\neg e$ et ne l'est pas pour la formule $e$.

Grâce à l'histoire de ce modèle, on sait que le joueur 1 a choisi cette action « indice ». On peut donc conclure que le joueur 1 avait effectivement l'intention de ne pas être en échec au bout de deux tours au début du jeu.

L'histoire nous permettant maintenant de raisonner sur l'intention, la section suivante définit un opé-
rateur d'intention et démontre quelques-unes de ses propriétés.
<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>FIGURE 5.3 – États possibles du jeu Hanabi pour les trois premiers tours.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>FIGURE 5.4 – Valeurs et scores maximaux accessibles des états possibles du jeu Hanabi pour les trois premiers tours.</figcaption></figure>
## 5.5 Définition d'un premier opérateur d'intention

### 5.5.1 Définition

Comme pour les deux premières modélisations, on peut définir une intention vis-à-vis d'une action. En reprenant la définition de la deuxième modélisation : un agent a l'intention d'obtenir une propriété en effectuant une action a si l'action est l'une des meilleures actions pour obtenir cette propriété, si, de plus, toutes les actions ne permettent pas avec autant de chance d'obtenir cette propriété et si, enfin, l'action a n'est pas également une des meilleures actions pour obtenir la propriété contraire.

**Définition 48 (opérateur d'intention)** Soit une signature de jeu $J = (\mathbb{P}, A, N)$, soit un ESTS mesuré valide $\mathbb{M}$, soit un monde $w$, un agent $\alpha$, une action $a \in A_{\alpha,w}^l$, un nombre de tours $k$ et une formule $\phi$, on note :

$$ \begin{array}{l} \mathbb{M}, w \models I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \text{ si et seulement si } a \in \text{Best}(w, u, \alpha, \phi, k), a \notin \text{Best}(w, u, \alpha, \neg \phi, k) \text{ et} \\ \text{Best}(w, u, \alpha, \phi, k) \neq A_{\alpha,w}^{l} \end{array} $$

Comme pour la première modélisation la formule $M, w, \models I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi$ se lit : dans le monde $w$ du modèle $M$, si l'agent $\alpha$ effectue l'action $a$ alors il a l'intention d'obtenir $\phi$ en $k$ tours.

Le langage $\mathbb{L}$ est l'ensemble des formules $\phi$ définies par la grammaire suivante en BNF :

$$ \phi ::= \top \mid p \mid \neg \phi \mid \phi \land \phi \mid K_{\alpha} \phi \mid [a] \phi \mid AX \phi $$

$$ \psi ::= \top | \phi | \neg \psi | \psi \land \psi | K_{\alpha} \psi | [c] \psi | AX \psi | I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi $$

Comme pour les modélisations précédentes, le langage n'accepte pas l'imbrication de l'opérateur $I_{\alpha}^{a} X^{k}$.

### 5.5.2 Propositions

Nous reprenons à nouveau les propositions présentées dans la première modélisation.

Pour rappel nous utilisons $K_{\alpha}AXK_{\alpha}$ à la place de $K_{\alpha}$. C'est nécessaire, car dans notre modélisation quand nous écrivons $I_{\alpha}^{a}X\phi$ nous exprimons le fait que l'agent a l'intention d'obtenir $\phi$ dans l'état suivant.

L'opérateur vérifie les mêmes propositions que pour la deuxième modélisation. C'est attendu puisque les définitions sont identiques. Les démonstrations sont similaires et sont présentées en annexe B.4.

**Proposition 3**

1. $\models I_{\alpha}^{a} X \phi \rightarrow \neg K_{\alpha} AX K_{\alpha} \neg \phi$ (cohérence intention-connaissance)

2. $\models I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \rightarrow \neg K_{\alpha} (AX K_{\alpha})^{k} \neg \phi$ (k-tours cohérence intention-connaissance)

3. $\not\models I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \rightarrow K_{\alpha} (AX K_{\alpha})^{k} \phi$ (k-tours incomplétude intention-connaissance)

4. $\not\models K_{\alpha} (AX K_{\alpha})^{k} \phi \rightarrow I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi$ (k-tours incomplétude connaissance-intention)

5. $\not\models (I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \land K_{\alpha} (AX)^{k} (\phi \rightarrow \psi)) \rightarrow I_{\alpha}^{a} X^{k} \psi$ (absence d'effet secondaire)

6. $\models \neg I_{\alpha}^{a} X^{k} \perp$ (cohérence)

7. $\models I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \rightarrow \neg I_{\alpha}^{a} X^{k} \neg \phi$ (sérialité)

8. $\models I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \rightarrow K_{\alpha} I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi$ (interaction)

9. $\models \neg I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \rightarrow K_{\alpha} \neg I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi$ (interaction)

10. Depuis $\phi \leftrightarrow \psi$ déduire $I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \leftrightarrow I_{\alpha}^{a} X^{k} \psi$ (indépendance de la syntaxe)
## 5.6 Définition d'un deuxième opérateur d'intention

### 5.6.1 Définition

Dans cette modélisation nous pouvons définir un deuxième opérateur d'intention qui est plus proche de ce que nous voulons obtenir. Les opérateurs d'intention précédents nous donnaient l'intention d'un joueur si celui-ci choisissait telle ou telle action. Le nouvel opérateur que nous allons définir ici va, lui, donner l'intention au moment t d'un joueur et ce, car nous connaissons l'action qui sera entreprise grâce à l'histoire.

**Définition 49 (opérateur d'intention)** Soit une signature de jeu $J = (\mathbb{P}, A, N)$, soit un ESTS mesuré valide $(\mathbb{M}, h)$, soit un monde $w$, un agent $\alpha$, un nombre de tours $k$ et une formule $\phi$, on note :

$$— \mathbb{M}, w, h \models I_{\alpha} X^k \phi \text{ si et seulement si } \exists j \text{ tel que } h_j \in [w]_{\alpha}, h_j(\alpha) \in \text{Best}(w, u, \alpha, \phi, k), h_j(\alpha) \notin \text{Best}(w, u, \alpha, \neg \phi, k) \text{ et } \text{Best}(w, u, \alpha, \phi, k) \neq A_{\alpha,w}^l$$

La formule $\mathbb{M}, w, h, \models I_{\alpha} X^k \phi$ se lit alors : « Dans un monde $w$ de l'ESTS pointé, le joueur $\alpha$ a eu l'intention d'obtenir $\phi$ dans $k$ tours » On remarque donc que l'intention d'un joueur est la même pour tous les mondes qu'il considère indistinguishables. Cette caractéristique est intuitive et elle est également portée par le fait que l'ensemble des meilleures actions est identique pour les mondes indistinguishables entre eux.

**Théorème 4** Soit une signature de jeu $J = (\mathbb{P}, A, N)$, soit un ESTS mesuré valide $(\mathbb{M}, h)$, soit un monde $w$, un agent $\alpha$, un nombre de tour $k$ et une formule $\phi$ :

$$— \mathbb{M}, w, h \models I_{\alpha} X^k \phi \text{ si et seulement si } \forall w_i \in [w]_{\alpha}, \mathbb{M}, w_i, h \models I_{\alpha} X^k \phi.$$

**Preuve :** (implication droite) Si on a $\mathbb{M}, w, h \models I_{\alpha} X^k \phi$ alors par définition $\exists j$ tel que $h_j \in [w]_{\alpha}$, $h_j(\alpha) \in \text{Best}(w, u, \alpha, \phi, k)$, $h_j(\alpha) \notin \text{Best}(w, u, \alpha, \neg \phi, k)$ et $\text{Best}(w, u, \alpha, \phi, k) \neq A_{\alpha,w}^l$. Or, étant dans le système S5, si $w_i \in [w]_{\alpha}$ et $w_j \in [w]_{\alpha}$ alors $w_i \in [w_j]_{\alpha}$. Donc $\forall w_i \in [w]_{\alpha}$ on a $h_j \in [w_i]_{\alpha}$. C'est-à-dire $\forall w_i \in [w]_{\alpha}, \mathbb{M}, w_i, h \models I_{\alpha} X^k \phi$.

(implication gauche) Si on a $\forall w_i \in [w]_{\alpha}, \mathbb{M}, w_i, h \models I_{\alpha} X^k \phi$ alors en particulier pour $w \in [w]_{\alpha}$ on a $\mathbb{M}, w_i, h \models I_{\alpha} X^k \phi$.

On adapte le langage de façon transparente. L'histoire du jeu n'intervenant que dans la définition de l'intention, elle n'a dans les autres cas qu'un rôle de témoin.

$$— \mathbb{M}, w, h \models p \text{ si et seulement si } w_j \in \pi(p)$$

$$— \mathbb{M}, w, h \models \top$$

$$— \mathbb{M}, w, h \models \neg \psi$$

$$— \mathbb{M}, w, h \models \neg \psi \text{ si et seulement si } \mathbb{M}, w, h \models \neg \psi$$

$$— \mathbb{M}, w, h \models \phi \wedge \psi \text{ si et seulement si } \mathbb{M}, w, h \models \phi \text{ et } \mathbb{M}, w, h \models \psi$$

$$— \mathbb{M}, w, h \models \psi \vee \phi \text{ si et seulement si } \mathbb{M}, w, h \models \psi \text{ ou } \mathbb{M}, w, h \models \phi \text{ ou les deux}$$

$$— \mathbb{M}, w, h \models \psi \rightarrow \phi \text{ si et seulement si } \mathbb{M}, w, h \models \psi \text{ implique } \mathbb{M}, w, h \models \phi$$

$$— \mathbb{M}, w, h \models \psi \leftrightarrow \phi \text{ si et seulement si } \mathbb{M}, w, h \models \psi \rightarrow \phi \text{ et } \mathbb{M}, w, h \models \phi \rightarrow \psi$$

$$— \mathbb{M}, w, h \models K_{\alpha} \psi \text{ si pour tous les mondes } w_i \in [w]_{\alpha} : \mathbb{M}, w_i, h \models \psi$$

$$— \mathbb{M}, w, h \models [c] \phi \text{ si et seulement si } \mathbb{M}, \delta(w, c), h \models \phi$$

$$— \mathbb{M}, w, h \models AX \phi \text{ si et seulement si } \forall c \in C_w^l, \mathbb{M}, w, h \models [c] \phi$$
Le langage $\mathbb{L}$ est l'ensemble des formules $\phi$ définies par la grammaire suivante en BNF :

$$ \phi ::= \top \mid p \mid \neg \phi \mid \phi \land \phi \mid K_{\alpha}\phi \mid [c]\phi \mid AX\phi $$

$$ \psi ::= \phi \mid \neg \psi \mid \psi \land \psi \mid I_{\alpha}X^k\phi \mid K_{\alpha}I_{\alpha}X^k\phi \mid K_{\alpha} \neg I_{\alpha}X^k\phi $$

Il est à noter que le langage n'accepte pas des formules du type $K_{\beta}I_{\alpha}X^k\phi$ où l'opérateur de connaissance et d'intention ne sont pas associés au même agent. Dans les définitions précédentes de l'opérateur d'intention cela était possible puisqu'il est concevable qu'un autre agent sache qu'une action d'un autre agent est la meilleure pour obtenir une propriété. Cependant ici, l'opérateur d'intention définit l'intention d'un joueur à un moment donné et non pas vis à vis d'une action. Et a priori, un agent ne sait pas ce qu'il se passe dans la tête d'un autre joueur.

Le langage n'accepte pas non plus l'imbrication de l'opérateur $I_{\alpha}X^k$.

## 5.6.2 Propositions

### Présentation

Voici une liste de principes vérifiés par notre opérateur d'intention. Ce sont encore une fois les mêmes propositions que pour les deux opérateurs précédents. On représente donc bien la même intention. Les démonstrations de ces propriétés, similaires aux précédentes, sont présentées en annexe B.5.

### Proposition 4

1. $\models I_{\alpha}X\phi \rightarrow \neg K_{\alpha}AXK_{\alpha}\neg\phi$ (cohérence intention-connaissance)

2. $\models I_{\alpha}X^k\phi \rightarrow \neg K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^k\neg\phi$ (k-tours cohérence intention-connaissance)

3. $\not\models I_{\alpha}X^k\phi \rightarrow K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^k\phi$ (k-tours incomplétude intention-connaissance)

4. $\not\models K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^k\phi \rightarrow I_{\alpha}X^k\phi$ (k-tours incomplétude connaissance-intention)

5. $\not\models (I_{\alpha}X^k\phi \land K_{\alpha}(AX)^k(\phi \rightarrow \psi)) \rightarrow I_{\alpha}X^k\psi$ (absence d'effet secondaire)

6. $\models \neg I_{\alpha}X^k\perp$ (cohérence)

7. $\models I_{\alpha}X^k\phi \rightarrow \neg I_{\alpha}X^k\neg\phi$ (serialité)

8. $\models I_{\alpha}X^k\phi \rightarrow K_{\alpha}I_{\alpha}X^k\phi$ (interaction)

9. $\models \neg I_{\alpha}X^k\phi \rightarrow K_{\alpha} \neg I_{\alpha}X^k\phi$ (interaction)

10. Depuis $\phi \leftrightarrow \psi$ déduire $I_{\alpha}X^k\phi \leftrightarrow I_{\alpha}X^k\psi$ (indépendance de la syntaxe)

D'autres propriétés intéressantes sont présentées ci dessous et sont démontrées également en annexe B.5 :

### Proposition 5

1. Depuis $\phi$ on ne peut pas déduire $I_{\alpha}X^k\phi$. (nécessitation)

2. $\not\models I_{\alpha}X^k(\phi \rightarrow \psi) \rightarrow (I_{\alpha}X^k\phi \rightarrow I_{\alpha}X^k\psi)$ (axiome K)

3. $\models I_{\alpha}X^k\top$ (axiome N)

4. $\not\models I_{\alpha}X^k(\phi \land \psi) \rightarrow (I_{\alpha}X^k\phi \land I_{\alpha}X^k\psi)$ (axiome M)

5. $\not\models (I_{\alpha}X^k\phi \land I_{\alpha}X^k\psi) \rightarrow I_{\alpha}X^k(\phi \land \psi)$ (axiome C)

6. $\not\models (I_{\alpha}X^k\phi \lor I_{\alpha}X^k\psi) \rightarrow I_{\alpha}X^k(\phi \lor \psi)$ (axiome C)

7. $\not\models I_{\alpha}X^k(\phi \land \psi) \rightarrow I_{\alpha}X^k(\phi \lor \psi)$ (axiome C)
5.7 Limitation

Cette modélisation apporte deux avantages par rapport aux modélisations précédentes. Elle est plus légère à gérer et nous permet la définition de deux opérateurs d'intention, notamment le deuxième opérateur d'intention, plus proche de la caractérisation de l'intention recherchée.

Cependant, la construction d'un ESTS est plus compliquée à réaliser et à expliquer.

D'autre part, même si les ESTS savent gérer les actions semi-privées, notre modélisation de l'intention basée sur l'ESTS ne le permet pas. En effet, comme dans l'exemple de la section B.6, deux actions a priori indiscernables pour un joueur peuvent devenir discernables lorsque l'utilité est prise en compte.

Une solution pourrait être de supprimer les mondes issus de l'action indiscernable. Cependant, les règles régissant la création d'un ESTS ne permettent pas, en l'état, de s'assurer que cela soit suffisant pour le prendre compte dans le calcul de l'intention. Qui plus est, il faudrait être en mesure ensuite de sélectionner la partie résultante de l'ESTS.

<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>FIGURE 5.5 – Exemple de deux modèles ESTS différents mais présentant les mêmes caractéristiques épistémiques</figcaption></figure>

Dans la figure 5.5 sont présentés deux ESTS. Ces deux modèles dépeignent les mêmes états épistémiques, les actions a et b étant des actions a priori indiscernables. L'idée de supprimer les mondes issus de l'action la moins utile aurait l'effet escompté dans le modèle M₁ mais pas dans le modèle M₂.
# Conclusion et Perspectives

## 6.1 Conclusion

Il existe différentes façons de modéliser l'intention et elles s'appuient toutes sur une représentation de l'état du monde par le joueur. Une des particularités des modélisations proposées ici est que l'intention n'est pas donnée dans les exemples, elle est extraite à partir de l'étude de ces mêmes exemples. L'idée est qu'à partir des actions disponibles et de l'action finalement réalisée, on est en capacité d'en déduire l'intention d'un agent.

La logique épistémique dynamique offre un formalisme afin de représenter les connaissances d'agents sur le monde. Sa partie dynamique gère l'évolution de l'état épistémique au fur et à mesure que des évènements altèrent le monde et les connaissances des agents. Cependant même si la capacité de cette logique à représenter les connaissances est avancée, sa capacité à représenter les événements est plus faible. Par exemple, les actions ne sont pas nativement associées à un agent. Il n'est donc pas possible d'identifier quelle action est à quel joueur et de ce fait d'en extraire une intention.

La première modélisation proposée modifie légèrement la logique épistémique dynamique afin de pouvoir associer les actions aux agents qui les effectuent. Cette modélisation propose une application directe de l'idée selon laquelle l'intention de l'agent peut se déterminer à partir du choix qu'il a fait. Pour cela, à une propriété donnée (plus précisément une formule logique donnée), on va associer une valeur pour chaque action de l'agent, correspondant à la capacité de l'action à mener l'agent vers un monde qui possède cette propriété. On dira alors que l'agent avait l'intention d'obtenir la propriété lorsque l'action entreprise avait la valeur maximale parmi toutes ses actions disponibles, sauf si toutes les actions avaient la même valeur. Ceci nous permet alors de définir un opérateur d'intention ayant des propriétés intéressantes vérifiées par d'autres modélisations de l'intention.

Cette première modélisation a ses limites. Premièrement, peu d'actions sont modélisables, les actions semi-privées ne sont pas par exemple pas prises en compte et seule une partie des actions publiques le sont. Une action comme « le joueur pose sa troisième carte » n'est pas possible. Le deuxième problème vient de la prise en charge des autres agents. En effet, afin d'estimer les effets d'une de ses actions, l'agent doit prendre en compte les actions qu'effectueront les autres agents. Dans cette première modélisation les autres agents sont considérés comme des dés, effectuant aléatoirement une des actions disponibles.

La deuxième modélisation propose ainsi des évolutions, la première étant que les actions sont définies différemment. On utilise des « actions indéterminées » formées d'un ensemble d'actions afin de représenter davantage d'actions, comme typiquement l'action « le joueur pose sa troisième carte ». L'autre évolution introduit le concept d'utilité qui représente la préférence d'un agent concernant ses actions. Il est à noter que cette préférence est en fait la préférence estimée par l'agent dont on étudie l'intention concernant les actions des autres agents. Reprenant la notion d'utilité de la théorie des jeux, lors du calcul
de l'intention, ce ne sont que les actions d'utilité maximale qui sont prises en compte. Enfin, la définition de l'intention est elle aussi modifiée. Il ne suffit plus d'effectuer une action ayant une valeur maximale pour obtenir une propriété pour en déduire l'intention. Il faut également que cette action ne soit pas la meilleure pour obtenir la propriété contraire.

D'autres problèmes se présentent alors face à cette deuxième modélisation. L'utilisation d'actions indéterminées complique la représentation des jeux. Qui plus est, les actions indéterminées ne permettent pas de représenter les actions semi-privées comme par exemple la pioche d'une carte par un joueur.

La troisième modélisation change de formalisme afin de proposer une solution aux problèmes. Les ESTS (Epistemic State Transition System) ne représentent pas que l'état épistémique à un moment du jeu mais l'ensemble des états épistémiques que pourra avoir un jeu. C'est donc un ensemble d'états épistémiques liés les uns aux autres par des actions. L'avantage est que ce formalisme ne demande pas de définir les effets d'une action, sa mention suffit. Cela simplifie grandement la représentation des actions et permet même de représenter les actions semi-privées. De plus, étant donné que l'on a ensemble des états possibles, on peut associer une histoire à la représentation. L'histoire étant l'ensemble des états et actions réellement traversés. Ceci nous permet alors de définir un autre opérateur d'intention se rapprochant davantage de ce que l'on souhaite obtenir. Cette modélisation est celle apportant les résultats les plus intéressants sur l'intention.

Cependant, elle possède quelques lacunes. Les actions semi-privées sont représentables dans les ESTS mais leur prise en compte dans le calcul de l'intention n'est pas gérée. Des actions indistinguishables pouvant devenir distinguishables lors de la prise en compte de l'utilité définirait une action semi-privée différente. Qui plus est, dans les deux premières modélisations, la définition des actions permettaient de générer les modèles épistémiques suivants à partir des précédents. Les ESTS ne mentionnant que les actions sans les définir créent une difficulté pour générer les différents modèles épistémiques constituant les ESTS eux-mêmes.

## 6.2 Perspectives

Il existe plusieurs axes d'approfondissement qui vont être présentés ici. Les perspectives du premier axe se concentrent sur le calcul de l'intention. Le deuxième axe se concentre plus sur l'amélioration des formalismes des modélisations. Et enfin un dernier axe qui vise plutôt la validation et l'utilisation des modélisations.

### 6.2.1 Calcul de l'intention

#### Spécificité de la formule

Notre modélisation de l'intention vise principalement à vérifier qu'un agent ait cherché à obtenir une propriété. Cette propriété se formalise par une formule logique. Au sein des mondes considérés comme possible par l'agent lorsque l'action est entreprise, plus la formule est vérifiée par des mondes, plus l'intention d'obtenir la propriété sera considérée comme grande.

Cependant cette méthode pose un problème. En effet, on pourrait imaginer une formule qui serait spécifique à un état épistémique *M*. C'est-à-dire une formule qui sera vérifiée par la plupart des mondes de cet état épistémique *M* mais qui ne serait pas vérifiée par les mondes d'autres états épistémiques. De ce fait, la valeur de l'action menant vers cet état *M* serait forcément plus grande que la valeur des autres actions. Ce qui nous conduit à conclure que l'agent avait l'intention d'obtenir *M* s'il effectue l'action.

En d'autres termes, plus une formule est spécifique à un modèle, plus effectuer l'action menant à ce modèle sera considéré comme intentionnel.
Ce n’est pas un problème en soi. En effet, lorsqu’il n’y a que deux actions, que l’une nous permet de gagner et l’autre de perdre, il paraît naturel de dire que l’agent avait l’intention de gagner malgré que la formule "le joueur a gagné" est tout à fait spécifique à l’un des états. D’un autre côté, pour des formules plus compliquées, cela peut altérer la conclusion de l’intention. Par exemple, prenons la formule signature d’un état épistémique, c’est la formule qui n’est vérifiée que par cet état épistémique et aucun autre. On obtiendrait comme résultat que l’agent avait l’intention d’obtenir cette propriété. Cependant, a priori, un agent a plutôt l’intention d’obtenir un ensemble de propriété qu’un état épistémique précis.

C’est un défaut de la méthode de calcul de l’intention et nous n’avons pas vraiment de pistes de recherche à proposer dans le but de trouver une solution à ce problème.

## Mondes non-équiprobables

Dans toutes les modélisations proposées, les mondes possibles sont considérés comme équiprobables. La justification est que les mondes dit possibles sont les mondes indistinguishables du monde réel.

Cet argument s’appuie sur une considération forte du lien d’indistinguishability des mondes. Mais d’autres points de vue sont possibles. Par exemple, prenons un dés de 7 faces ayant deux 6. En jettant le dé sans regarder le résultat, nous retrouvons face à 6 mondes indistinguishables, dont l’un est en fait deux fois plus probables. Des versions de la logique épistémique existent déjà pour représenter ce genre de cas [vES14, FHM90, Koo03], associant en général des poids aux mondes. Il serait d’ailleurs facile d’intégrer ces poids au calcul de l’intention. En effet, pour rappel, le calcul de la valeur d’une action fait une moyenne des mondes indistinguishables. Il suffit d’intégrer le poids des mondes a cet endroit.

On peut noter qu’il est possible d’intégrer cette notion de mondes plus probables dans la logique actuelle. Par exemple, dans le cas du dé à 7 face, on pourrait imaginer numéroté les 6 afin d’avoir deux mondes représentant tous les deux une face 6. Le calcul de l’intention prenant alors deux mondes 6 en considération, ce qui représente de manière plus rudimentaire un monde deux fois plus probables qu’un autre.

## Mesure de l’intentionnalité

Dans ce travail, l’obtention d’une propriété est dite intentionnelle lorsque, entre autres, l’action entreprise faisait partie des meilleures actions. Cependant on donne cette conclusion sans regarder l’ensemble des meilleures actions. Supposons qu’il n’y ait qu’une seule meilleure action, il y aurait donc qu’une bonne façon d’obtenir la propriété. Alors que si la plupart des actions de l’agent étaient des meilleures actions, le choix de son action serait peut-être moins corrélu à l’intention d’obtenir la propriété. En bref, plus il y a d’actions dans l’ensemble des meilleures actions, moins on aurait de certitude quant à l’intention d’obtenir la propriété. D’ailleurs, lorsque toutes les actions disponibles sont des meilleures actions, on considère que l’agent n’a pas d’intention.

On pourrait donc introduire une mesure de l’intentionnalité, qui serait une fonction du nombre de meilleures actions comparées au nombre total d’actions disponibles. Il n’y a pas d’à priori quant à la nature de la fonction : affine, exponentielle, logarithmique... Cette fonction pourrait aussi dépendre des meilleures actions pour obtenir la propriété contraire.

## Agent infiniment intelligent

L’ensemble des calculs pour obtenir la valeur d’une action ou d’un modèle suppose que l’agent est capable de tout imaginer, de tout prendre en compte. En effet, on suppose qu’il est capable d’imaginer les états épistémiques suivants, pour chacun des mondes qu’il imagine et chacune des actions possibles. Cela semble difficilement possible pour un joueur humain.
L'idée serait donc de limiter les capacités de l'agent. Par exemple, certaines logiques associent aux formules une valeur représentant sa difficulté. Elle est fonction du nombre de variables propositionnelles et du nombre de connecteurs utilisés. On pourrait ainsi ne prendre en compte que les formules d'une difficulté inférieure à un certain nombre.

Un autre exemple de limitation pourrait se faire au niveau des connaissances. Une limitation pourrait s'inscrire au niveau du nombre de variables propositionnelles que pourrait se représenter un agent. Cela aurait une conséquence directe sur le nombre de mondes possibles qu'il imaginerait. Des travaux sur ces concepts sont présentés dans l'article « Semantics for Knowledge and Change of Awareness » [DF14] de Hans van Ditmarsch et Tim French.

Enfin, on pourrait mesurer la complexité du calcul de l'intention. Le calcul sur 3 tours dans jeu ou il n'y a que 2 actions est, à priori, plus facile qu'un calcul sur 2 tours d'un jeu possédant 10 actions. Cependant il faut aussi prendre en compte l'incertitude de l'agent sur le monde, lié au nombre de mondes possibles, augmentant le nombre d'effets possibles d'une action.

## Valeur MaxMax et MaxMin

Dans le calcul de la valeur d'une action et d'un modèle, le choix a été fait de faire des moyennes sur les sorties pour rendre compte d'une vision probabiliste de l'agent. Ce n'est pas évidemment la seule façon de faire des choix.

Une autre façon de faire est de choisir l'action nous permettant d'obtenir le gain le plus fort. Par exemple, lorsqu'on joue au loto, on paye 2 euros dans l'espoir de gagner plus alors que l'espérance de gain du jeu est inférieur à 2 euros. Dans un choix probabiliste, on ne jouerait pas alors que dans un choix optimiste, on joue. Une façon d'intégrer cette façon de choisir au calcul de valeur d'un état peut se faire en remplaçant le rapport de présence :

$$v(M^w, u, \alpha, \phi, k) = \begin{cases} 1 & \text{si } \exists w_i \in [w]_\alpha \text{ tel que } \models_{w_i}^M \phi \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} \quad \text{si } k = 0 \text{ ou si } D^w \text{ est terminal}$$

Il existe aussi le choix pessimiste qui vise à faire le choix nous permettant d'obtenir la perte la plus petite possible. Autrement dit, parmi les différents choix, c'est le choix qui dans le pire des cas et mieux que les pires des cas des autres choix. Une façon de l'incorporer au calcul de l'intention serait la suivante (encore une fois en remplaçant le rapport de présence) :

$$v(M^w, u, \alpha, \phi, k) = \begin{cases} 0 & \text{si } \exists w_i \in [w]_\alpha \text{ tel que } \models_{w_i}^M \neg \phi \\ 1 & \text{sinon} \end{cases} \quad \text{si } k = 0 \text{ ou } D^w \text{ est terminal}$$

## 6.2.2 Formalisme

La modélisation ESTS est l'une des plus abouties concernant l'intention puisqu'elle propose un opérateur d'intention. Malgré cela, l'étude des jeux comprenant des actions semi-privées laisse à désirer. Pour rappel les actions semi-privées sont des actions qui se confondent avec d'autres actions pour certains des agents. Ces actions a priori indiscernables peuvent devenir discernables lorsque leur utilité est différente.

Les ESTS sont capables de représenter les actions semi-privées, mais pour les prendre en compte lors du calcul de l'intention il faudrait des ajustements. D'abord imposer que chaque monde de l'ESTS soit issu d'une action, c'est un ajustement facile. Ainsi on pourrait modifier l'ESTS en supprimant les mondes venant d'actions moins utiles. Il faudrait ensuite gérer la propagation de la suppression des mondes tout le long de l'ESTS, c'est la partie compliquée de l'ajustement.
## 6.2.3 Validation et utilisation

Dans le travail présenté, il n'y a aucune mention de la complexité des logiques et des outils utilisés. L'idée étant que l'étude de l'intention se fait après que le jeu se soit déroulé, il n'y avait pas de limite de temps. Les outils de l'étude pouvaient être aussi compliqués que l'on souhaitait. Cependant une étude de la complexité serait intéressante qui plus est si l'on envisage de bâtir un programme.

Il serait intéressant aussi de confronter la modélisation de l'intention à la réalité humaine. C'est-à-dire d'effectuer des expériences avec des jeux où les joueurs donneraient à chacun de leur tour leur intention. On pourrait alors vérifier que l'intention trouvée par notre modélisation ressemble à l'intention humaine auquel cas des ajustements pourraient être éventuellement opérés.

Enfin, la création d'un programme utilisant les formalismes donnés permettrait à la fois de vérifier rapidement l'intention des agents mais également de vérifier la viabilité des modélisations. Dans le cas où les calculs seraient trop longs on pourrait utiliser des limitations sur la capacité de l'agent voir des modifications sur la modélisation de l'intention.
Annexes
# Annexe A

## Démonstrations de la partie 1

### A.1 Démonstration des axiomes D et 4

On va démontrer les théorèmes D et 4 à partir des axiomes du système S5, c'est à dire :

— axiome K : $B_{\alpha}(\psi \rightarrow \phi) \rightarrow (B_{\alpha}\psi \rightarrow B_{\alpha}\phi)$

— axiome 5 : $\neg B_{\alpha}\psi \rightarrow B_{\alpha}(\neg B_{\alpha}\psi)$

— axiome T : $B_{\alpha}\psi \rightarrow \psi$

Pour rappel, le symbole $B_a$ et le symbole $\Box$ représentent la même notion. De plus, la possibilité $\diamond$ peut s'écrire comme $\neg\Box\neg$. Pour plus de simplicité, la démonstration utilisera les symboles $\Box$ et $\diamond$. Commençons avec le théorème D :

1. axiome T : $\Box A \rightarrow A$

2. avec la réécriture de $\Box$ avec $\diamond : \neg\diamond\neg A \rightarrow A$

3. contraposée de l'implication : $\neg A \rightarrow \diamond\neg A$

4. en changeant de variables on obtient une autre écriture du théorème T : $A \rightarrow \diamond A$

5. de la ligne 1, 4 et du Modus Ponens on a $\Box A \rightarrow \diamond A$

6. en réécrivant $\diamond$ en $\Box$ : $\Box A \rightarrow \neg\Box\neg A$ : théorème D

Pour le théorème 4 cela se passe en 4 étapes. Première étape :

1. axiome 5 : $\neg\Box A \rightarrow \Box\neg\Box A$

2. 1+contraposée : $\neg\Box\neg\Box A \rightarrow \Box A$

3. 2+réécriture : $\diamond\Box A \rightarrow \Box A$ : axiome 5$\diamond$

Deuxième étape :

1. hypothèse : $A \rightarrow B$

2. 1+RN : $\Box(A \rightarrow B)$

3. 2+K : $\Box A \rightarrow \Box B$

4. 1+2+3 : $\frac{A \rightarrow B}{\Box A \rightarrow \Box B}$ : règle RM

Troisième étape :

1. axiome 5 : $\neg\Box\neg A \rightarrow \Box\neg\Box\neg A$

2. axiome T : $\Box\neg A \rightarrow \neg A$

3. 2+contraposée : $A \rightarrow \neg\Box\neg A$
$$4. 3+1 : A \rightarrow \Box \neg \Box \neg A$$

$$5. 4+\text{réécriture} : A \rightarrow \Box \diamond A : \text{théorème B}$$

Quatrième étape :

$$1. \text{axiome 5} : \diamond : \diamond \Box A \rightarrow \Box A$$

$$2. 1+\text{RM} : \Box \diamond \Box A \rightarrow \Box \Box A$$

$$3. \text{théorème B +RM} : \Box A \rightarrow \Box \diamond \Box A$$

$$4. 2+3 : \Box A \rightarrow \Box \Box A : \text{théorème 4}$$

Ainsi le théorème D signifie ici que si l'agent sait A alors il ne sait pas que A est faux. Le théorème 4 stipule simplement que l'agent sait ce qu'il sait.
# Annexe B

## Démonstrations et exemples de la partie 2

### B.1 Utilité du joueur 2 dans l'exemple simplifié de hanabi

<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>FIGURE B.1 – Modèle épistémique du jeu simplifié hanabi</figcaption></figure>

Pour rappel, nous avons pris l'exemple du jeu simplifié de hanabi, présenter en figure B.1. Pour rappel, les joueurs ne voient pas leur carte, le joueur 1 à la carte 1, le joueur 2 à la carte 2 et dans la
pioche se trouve donc la carte 3. C'est au joueur 2 de jouer, il peut poser sa carte, la défausser ou donner un indice. Le joueur 1 ne peut que faire l'action *noop* (ne rien faire).

Pour le joueur 1, il y a deux mondes possibles, le monde $w_1$ où il a la carte 1 et le monde $w_2$ où il a la carte 3. Le joueur 1 se dit que s'il avait la carte 1 alors le joueur 2 le verrait et il hésiterait entre avoir la carte 2 ou la carte 3 : les mondes $w_1$ et $w_6$. Dans l'autre cas, si le joueur 1 avait la carte 3, le joueur 2 hésiterait entre avoir la carte 2 et avoir la carte 1 : les mondes $w_2$ et $w_3$.

Dans le cas où le joueur 1 pense que $w_2$ est le monde réel, il pense que le joueur 2 hésite entre avoir la carte 2 et avoir la carte 1. Regardons les effets des actions du joueurs 2.

S'il pose sa carte, dans le cas où il la carte 2, cette carte va dans la défausse car la carte 1 n'est pas posée. Les joueurs gagnent un jeton échec, donc le jeu s'arrête, ils marquent 0 points. S'il pose sa carte et qu'il a la carte 1, il commence la pile et il pioche la carte 2. Le joueur 1 pourra alors donner un indice, le joueur 2 terminera en posant sa carte 2. En effet, le joueur 2 a pioché la dernière carte, le jeu s'arrête a son tour, la carte 3 est donc inutile. Le score maximal est de 2. En faisant la moyenne sur les mondes imaginés, l'utilité de l'action du joueur 2 de poser sa carte d'après le joueur 1 est donc de 1.

S'il défausse et qu'il a la carte 2, la carte 2 va dans la défausse, on ne peut plus faire de pile de plus de 1, le score maximal sera donc de 1. Le joueur 2 pioche la carte 2. Le joueur 1 pourra donner un indice, et le jouera 2 pourra terminer en posant la carte 1. Le score maximal atteignable après l'action du joueur 2 est donc 1. S'il défausse et qu'il a la carte 1, la carte 1 va dans la défausse, on ne peut plus faire de pile, soit un score maximal de 0. En faisant la moyenne sur les mondes imaginés, l'utilité de l'action du joueur 2 de défausser sa carte d'après le joueur 1 est donc de 0.5.

Enfin s'il donne un indice et qu'il a la carte 2, le jouera 1 saura a présent qu'il a la carte 3, le score maximal serait toujours de 3. Dans cette configuration, le joueur 1 a la carte 3, le joueur 2 a la carte 2 et dans la pioche se trouve la carte 1. Il faut que l'un des joueurs possède la carte 1 pour la poser et commencer la pile. Si le joueur 1 défausse sa carte 3 pour prendre la carte 1, il ne pourra la poser qu'au prochain tour quand se terminera le jeu, marquant un score de 1. Si le joueur 1 donne un indice, permettant au joueur 2 de défausser son 2 pour prendre la carte 1, le score maximal sera également de 1. Le score maximal maximum atteignable est donc de 1.

S'il donne un indice et qu'il a la carte 1, le jouera saura qu'il a la carte 1 et le score maximal serait toujours de 3. Si le joueur 1 donne un indice, le joueur 2 pourra jouer sa carte 1 et il piochera la carte 2. Le joueur 1 peut à nouveau donner un indice et le joueur 2 terminant en posant la carte 2. Donnant un score de 2 qui est aussi le score maximal atteignable.

En faisant la moyenne sur les mondes imaginés, l'utilité de l'action du joueur 2 de donner un indice d'après le joueur 1 est donc de 1.5.

## B.2 Exemple théorique de la section 4.4.3

Ce deuxième exemple est théorique et servira à mettre en exemple un élément important de la modélisation de l'intention. Dans ce jeu il n'y a qu'un seul joueur "joueur 1", l'ensemble $\mathbb{P}$ est formé de $\{p, q, r, s\}$ et l'ensemble des actions est formé des actions $\{a, b, p, q\}$. L'action $a$ est défini comme $a = (s, \{p : p, q : \top, r : r, s : \bot\})$, l'action $b = (s, \{p : p, q : q, r : \bot, s : \bot\})$, l'action $p = (q, \{p : \top, r : r, q : \bot, s : s\})$, l'action $q = (q, \{p : \bot, r : r, q : \top, s : s\})$. La fonction d'utilité $u$ dans cette exemple ne sera que mentionné puisque n'ayant qu'un seul joueur, il n'y a pas a prendre en compte la préférence d'autres agents.

La fonction d'association des actions indéterminées $g$ donne ici l'ensemble des singletons $A_{J1}^i =$
{{a}, {b}, {p}, {q}}. En d'autres termes, les actions atomiques indéterminées issues de ces actions atomiques ne sont formées que d'une seule action atomique chacune. En fait, les actions ici ne requièrent pas l'utilisation du concept d'action indéterminée mais cela n'empêche pas leur modélisation.

De plus n'ayant qu'un seul joueur, les actions complètes ne seront formées qu'à partir d'une seule action atomique indéterminée. N'étant constituée que d'une seule action atomique, il n'y aura qu'une action complète générée par chaque action atomique indéterminée. Et ainsi, les actions complètes indéterminées ne seront formées que par une action complète. Théoriquement, l'ensemble $C^i$ est égal à $C^i = {{{{(a)}}}, {{(b)}}}, {{{(p)}}}, {{{(q)}}}$. Pour simplifier, et devant la non-ambiguïté que représentera l'écriture, on notera les 4 actions complètes indéterminées {a, b, p, q}.

On va cette fois-ci regarder l'intention du joueur à deux tours par rapport à la formule $p$ et la formule $\neg p$.

<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>FIGURE B.2 – L'ensemble des modèles possibles pour le joueur 1 des deux premiers tours du deuxième exemple</figcaption></figure>

Dans l'état initial de cette exemple, le joueur 1 imagine deux mondes possibles, un monde où $p$ et $s$ sont vraies et un monde où $r$ et $s$ sont vraies. Cette exemple est représenté en figure B.2, le modèle réel est le modèle $M_{w_1}$. Il y a alors deux actions légales, l'action $a$ et l'action $b$. Le joueur 1 imaginant deux mondes possibles, il y a à chaque fois deux modèles à traiter pour chaque action. On va commencer en étudiant la valeur de l'action $b$.
### action b

Si le joueur 1 commence par l'action b, dans le cas où le modèle réel est $M^{w_1}$, l'action b nous amène vers le modèle $M_{|b}^{w_1}$. D'après la définition de l'action b, le joueur 1 imagine deux mondes possibles, l'un où p est vraie, l'autre où tout est faux.

Dans ce modèle, il n'y a aucune action légale, c'est donc un modèle terminal. L'intention à un tour d'une formule est égale au rapport de présence de cette formule. Pour la formule p, ce rapport de présence est égal à 0.5 et donc pour la formule $\neg p$ cette valeur est égale à 0.5.

Dans le cas où le joueur 1 imagine que c'est $w_2$ le monde réel, l'action b sur le modèle $M^{w_2}$ nous amène vers le modèle $M_{|b}^{\prime w_2}$. Dans ce modèle le joueur 1 imagine deux mondes, l'un ou p est vraie et l'autre où tout est faux. Ce modèle est équivalent (identique au monde réel près) au précédent ce qui est attendu ici. En effet c'est exactement la même action complète qui est appliquée sur un modèle équivalent.

De la même façon donc le modèle $M_{|b}^{\prime w_2}$ est terminal et la valeur de ce modèle à 1 tours concernant la formule p vaut 0,5 et la valeur pour la formule $\neg p$ vaut également 0,5.

La valeur de l'action b depuis le modèle mesuré ($M^{w_1}$, u) pour le joueur 1 concernant la formule p à deux tours vaut $v_b(M^{w_1}, u, 1, p, 2)^{\frac{0,5+0,5}{2}} = 0.5$. Concernant la valeur de l'action pour la formule $\neg p$: $v_b(M^{w_1}, u, 1, \neg p, 2)^{\frac{0,5+0,5}{2}} = 0.5$.

### action a

Si le joueur 1 commence par l'action b, dans le cas où le monde réel est le monde $w_1$, l'action a nous amène vers le modèle $M_{|a}^{w_1}$. D'après la définition de l'action a, le joueur 1 imagine deux mondes possibles, l'un où p et q sont vraies, l'autre où q et r sont vraies. Dans ce modèle il y a deux actions légales p et q.

Si le joueur 1 effectue l'action p dans le modèle $M_{|a}^{w_1}$, cela engendre le modèle $M_{|a,p}^{w_1}$. Ce modèle comporte deux mondes indistinguishables pour le joueur 1, dans chacun des deux mondes p est vraie. Le rapport de présence pour la formule p vaut 1 et pour la formule $\neg p$ vaut 0.

Si le joueur 1 effectue l'action p dans le modèle $M_{|a}^{w_2}$, cela engendre le modèle $M_{|a,p}^{w_2}$. Ce modèle est équivalent au précédent, la valeur de ce modèle à 0 tours est donc 1 pour la formule p et 0 pour la formule $\neg p$.

La valeur de l'action p étant la moyenne des valeurs des modèles qu'elle peut engendrer, cette valeur vaut alors $\frac{1+1}{2} = 1$ pour la formule p et $\frac{0+0}{2} = 0$ pour la formule $\neg p$.

Si le joueur 1 effectue l'action q dans le modèle $M_{|a}^{w_1}$, cela engendre le modèle $M_{|a,q}^{w_1}$. Ce modèle comporte deux mondes indistinguishables pour le joueur 1, dans chacun des deux mondes p est faux. Le rapport de présence pour la formule p vaut 0 et pour la formule $\neg p$ vaut 1.

Si le joueur 1 effectue l'action q dans le modèle $M_{|a}^{w_2}$, cela engendre le modèle $M_{|a,q}^{w_2}$. Ce modèle est équivalent au précédent, la valeur de ce modèle à 0 tours est donc 0 pour la formule p et 1 pour la formule $\neg p$.

La valeur de l'action q est la moyenne des valeurs des modèles qu'elle peut engendrer. Cette valeur vaut alors $\frac{0+0}{2} = 0$ pour la formule p et $\frac{1+1}{2} = 1$ pour la formule $\neg p$.

La valeur du modèle mesuré ($M_{|a}^{w_1}$, u) est égale à la valeur maximale des actions légales les plus utiles de ce modèle. Ici, n'ayant pas d'autre joueur, toutes les actions légales sont les plus utiles. Nous avons donc deux actions p et q. Concernant la formule p, c'est l'action p qui a la valeur maximal, égale à 1. Concernant la formule $\neg p$ c'est l'action q qui a la valeur maximal, égale à 1. De ce fait la valeur du modèle mesuré ($M_{|a}^{w_1}$, u) pour le joueur 1 concernant la formule p à 1 tours est $v(M_{|a}^{w_1}$, u, 1, p, 1) = 1$.
Concernant la formule $\neg p$ cette valeur est $v(M_{|a}^{w_1}, u, 1, \neg p, 1) = 1$.

A présent, si le joueur 1 commence par l'action *a*, dans le cas où il pense que le monde réel est le monde $w_2$, l'action a nous amène vers le modèle $M_{|a}^{w_2}$. Ce modèle est équivalent au modèle $M_{|a}^{w_1}$, les résultats du calcul de l'intention concernant les formules *p* et $\neg p$ seront les mêmes : $v(M_{|a}^{w_2}, u, 1, p, 1) = 1$ et $v(M_{|a}^{w_2}, u, 1, \neg p, 1) = 1$.

Les valeurs de l'actions *a* sont donc $v_a(M^{w_1}, u, 1, p, 2)^{\frac{1+1}{2}} = 1$ pour la formule *p* et pour la formule $\neg p$ $v_a(M^{w_1}, u, 1, \neg p, 2)^{\frac{1+1}{2}} = 1$.

Conclusion

Pour la formule *p* la meilleure action est l'action *a* avec une valeur de 1 contre 0.5 pour l'action *b*. Mais, l'action *a* est aussi la meilleure action pour obtenir la formule $\neg p$ à 2 tours. Cette action *a* est donc la meilleure action pour obtenir *p* et son contraire $\neg p$ à 2 tours. Intuitivement, il semble incohérent de dire qu'une personne à l'intention dans le même temps de rester chez elle et de sortir. Dans ce cas de figure, on ne peut donc pas conclure quant à l'intention du joueur d'obtenir la propriété *p* ou $\neg p$.

B.3 Démonstrations des propositions de la deuxième modélisation

Pour rappel, les propositions sont les suivantes :

1. $\models I_{\alpha}^{a} X \phi \rightarrow \neg K_{\alpha} AX K_{\alpha} \neg \phi$ (intention-connaissance cohérence)

2. $\models I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \rightarrow \neg K_{\alpha} (AX K_{\alpha})^{k} \neg \phi$ (k-tours intention-connaissance cohérence)

3. $\not\models I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \rightarrow K_{\alpha} (AX K_{\alpha})^{k} \phi$ (k-tours intention-connaissance incomplétude)

4. $\not\models K_{\alpha} (AX K_{\alpha})^{k} \phi \rightarrow I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi$ (k-tours connaissance-intention incomplétude)

5. $\not\models (I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \wedge K_{\alpha} (AX)^{k} (\phi \rightarrow \psi)) \rightarrow I_{\alpha}^{a} X^{k} \psi$ (absence d'effet secondaire)

6. $\models \neg I_{\alpha}^{a} X^{k} \perp$ (cohérence)

7. $\models I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \rightarrow \neg I_{\alpha}^{a} X^{k} \neg \phi$ (serialité)

8. $\models I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \rightarrow K_{\alpha} I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi$ (interaction)

9. Depuis $\phi \leftrightarrow \psi$ déduire $I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \leftrightarrow I_{\alpha}^{a} X^{k} \psi$ (indépendance de la syntaxe)

B.3.1 Lemmes

Pour démontrer ces propositions il nous faut commencer par démontrer quatre lemmes.

**Lemme 5** $M, w \models K_{\alpha} AX K_{\alpha} \phi$ implique $\text{Best}(M^w, u, \alpha, \phi, 1) = A_{\alpha, w}^{i,l}$

**Preuve** : Si la formule $M, w \models K_{\alpha} AX K_{\alpha} \phi$ est vraie, alors par définition $\forall w' \in [w]_{\alpha}, M, w' \models AX K_{\alpha} \phi$ est vrai. Pour chaque $w' \in [w]_{\alpha}$ on aura alors $\forall c^i \in C_{w'}^{i,l}, M_{|c^i}, w', \models K_{\alpha} \phi$, ce qui implique de part la définition de l'opérateur $K_{\alpha}$ que $\text{pr}_{M|c^i}^{\alpha}(\phi) = 1$. Donc $\forall w' \in [w]_{\alpha}, \forall c^i \in C_{w}^{i,l}, \text{pr}_{M|c^i}^{\alpha}(\phi) = 1$.

Or :

$$v_{a_{\alpha}^{i}}(M^{w}, u, \alpha, \phi) = \sum_{w_i \in [w]_{\alpha}} \frac{\sum_{c_j \in C_{w_i}^*} \frac{\text{pr}_{M|c_j}^{\alpha} w_i(\phi)}{|C_{w_i}^*(a_{\alpha}^i)|}}{|[w]_{\alpha}|}$$
Ce qui donne $\forall a^i \in A_{\alpha,w}^{i,l}$ :

$$v_{a_{\alpha}^{i}}(M^{w}, u, \alpha, \phi) = \sum_{w_{i} \in [w]_{\alpha}} \frac{\sum_{c_{j} \in C_{w_{i}}^{*}(a_{\alpha}^{i})} \frac{1}{|C_{w_{i}}^{*}(a_{\alpha}^{i})|}}{|[w]_{\alpha}|}$$

Ceci amène à $\forall a \in A_{\alpha,w}^{i,l}, v_{a_{\alpha}^{i}}(M^{w}, \alpha, \phi, 1) = 1$ vérifiant ainsi que $\text{Best}(M^{w}, \alpha, \phi, 1) = A_{\alpha,w}^{i,l}$.

**Lemme 6** $M, w \models K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^{k}\phi$ implique $\forall a \in A_{\alpha,w}^{i,l}, v_{a_{\alpha}^{i}}(M^{w}, u, \alpha, \phi, k) = 1$.

**Preuve :** Cette démonstration va se faire par récurrence.

On a déjà montré dans le lemme 5 que $M, w, \models K_{\alpha}AXK_{\alpha}\phi$ implique que $\forall a \in A_{\alpha,w}^{i,l}$,
$v_{a_{\alpha}}(M^{w}, u, \alpha, \phi, 1) = 1$. Pour la suite de la récurrence partons de l'hypothèse que
$M, w \models K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^{k-1}\phi$ implique $\forall a^i \in A_{\alpha,w}^{i,l}, v_{a_{\alpha}^i}(M^{w}, u, \alpha, \phi, k-1) = 1$ et que la formule
$M, w \models K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^{k}\phi$ est vraie.

Par hypothèse, $\forall w' \in [w]_{\alpha}, \forall a^i \in A_{\alpha,w}^{i,l}, \forall c^i \in C_{w}^{i,l}$, on a $M|_{c} \models K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^{k-1}\phi$ vrai et donc
$\forall w' \in [w]_{\alpha}, \forall a^i \in A_{\alpha,w}^{i,l}, \forall c^i \in C_{w'}^{i,l}, v(M_{|c^i}^{w'}, u, \alpha, \phi, k-1) = 1$.

Pour rappel la valeur d'une action indéterminée est :

$$v_{a_{\alpha}^{i}}(M^{w}, u, \alpha, \phi) = \sum_{w_{i} \in [w]_{\alpha}} \frac{\sum_{c_{j} \in C_{w_{i}}^{*}(a_{\alpha}^{i})} \frac{v(M_{|c_{j}^{w_{i}}, u, \alpha, \phi, k-1})}{|C_{w_{i}}^{*}(a_{\alpha}^{i})|}}{|[w]_{\alpha}|}$$

On a alors $\forall w' \in [w]_{\alpha}, \forall a^i \in A_{w,\alpha}^{i,l}$ :

$$\sum_{c_j \in C_{w_i}^*(a_\alpha^i)} \frac{1}{|C_{w_i}^*(a_\alpha^i)|} = 1$$

Puis $\forall a^i \in A_{w,\alpha}^{i,l}$

$$v_{a_{\alpha}^{i}}(M^{w}, u, \alpha, \phi, k) = \sum_{w_{i} \in [w]_{\alpha}} \frac{1}{|[w]_{\alpha}|} = 1$$

En conclusion on obtient bien $\forall a^i \in A_{\alpha,w}^{i,l}, v_{a_{\alpha}}(M^{w}, u, \alpha, \phi, k) = 1$.

**Lemme 7** $M, w \models K_{\alpha}AXK_{\alpha}\neg\phi$ implique $\text{Best}(M^{w}, u, \alpha, \phi, 1) = A_{\alpha,w}^{i,l}$

**Preuve :** Si la formule $M, w \models K_{\alpha}AXK_{\alpha}\neg\phi$ est vraie, alors par définition $\forall w' \in [w]_{\alpha}, M, w' \models AXK_{\alpha}\neg\phi$ est vrai. Pour chaque $w' \in [w]_{\alpha}$ on aura alors $\forall c^i \in C_{w'}^{i,l}, M|_{c^i}, w', \models K_{\alpha}\neg\phi$, ce qui implique de part la définition de l'opérateur $K_{\alpha}$ que $\text{pr}_{M|_{c^i}^{w'}}^{\alpha}(\phi) = 0$. Donc $\forall w' \in [w]_{\alpha}, \forall c^i \in C_{w}^{i,l}, \text{pr}_{M|_{c^i}^{w'}}^{\alpha}(\phi) = 0$. Ceci amène à $\forall a^i \in A_{\alpha,w}^{i,l}, v_{a_{\alpha}^i}(M^{w}, u, \alpha, \phi, k) = 0$ vérifiant ainsi que $\text{Best}(M^{w}, u, \alpha, \phi, 1) = A_{\alpha,w}^{i,l}$.

**Lemme 8** $M, w \models K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^{k}\phi$ implique $\forall a \in A_{\alpha,w}^{i,l}, v_{a_{\alpha}^{i}}(M^{w}, u, \alpha, \phi, k) = 0$.

**Preuve :** Cette démonstration va se faire par récurrence.

On a déjà montré dans le lemme 7 que $M, w, \models K_{\alpha}AXK_{\alpha}\phi$ implique que $\forall a^i \in A_{\alpha,w}^{i,l}$,
$v_{a_{\alpha}^i}(M^{w}, u, \alpha, \phi, 1) = 0$. Pour la suite de la récurrence partons de l'hypothèse que
$M, w \models K_\alpha(AXK_\alpha)^{k-1}\phi$ implique $\forall a^i \in A_{\alpha,w}^{i,l}, v_{a_\alpha}(M^w, u, \alpha, \phi, k-1) = 0$ et que la formule $M, w \models K_\alpha(AXK_\alpha)^k \neg \phi$ est vraie.

Par hypothèse, $\forall w' \in [w]_\alpha, \forall a \in A_{w',\alpha}^{i,l}, \forall c^i \in C_{w'}^{i,l}$, on a $M_{|c^i}, w' \models K_\alpha(AXK_\alpha)^{k-1}\phi$ vrai et donc
$\forall w' \in [w]_\alpha, \forall a^i \in A_{w',\alpha}^{i,l}, \forall c^i \in C_{w'}^{i,l}, v(M_{|c^i}^{w'}, u, \alpha, \phi, k-1) = 0$.

Pour rappel la valeur d'une action indéterminée est :

$$v_{a_{\alpha}^{i}}(M^{w}, u, \alpha, \phi) = \sum_{w_{i} \in [w]_{\alpha}} \frac{\sum_{c_{j} \in C_{w_{i}}^{*}(a_{\alpha}^{i})} \frac{v(M_{|c_{j}}^{w_{i}}, u, \alpha, \phi, k-1)}{|C_{w_{i}}^{*}(a_{\alpha}^{i})|}}{|[w]_{\alpha}|}$$

On a alors $\forall w' \in [w]_\alpha, \forall a^i \in A_{w,\alpha}^{i,l}$ :

$$\sum_{c_j \in C_{w_i}^*(a_\alpha^i)} \frac{0}{|C_{w_i}^*(a_\alpha^i)|} = 0$$

Puis $\forall a^i \in A_{w,\alpha}^{i,l}$

$$v_{a_{\alpha}}(M^{w}, u, \alpha, \phi, k) = \sum_{w_{i} \in [w]_{\alpha}} \frac{0}{|[w]_{\alpha}|} = 0$$

En conclusion on obtient bien $\forall a^i \in A_{\alpha,w}^{i,l}, v_{a_\alpha}(M^w, u, \alpha, \phi, k) = 0$.

## B.3.2 Démonstrations

### Proposition 2.1 et 2.2

$$\models I_{\alpha}^{a^i} X^k \phi \rightarrow \neg K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^k \neg \phi$$

**Preuve :** La preuve de la proposition 2.2, qui généralise la proposition 2.1, se fait par l'absurde. Supposons que l'on ait à la fois $M, w \models I_{\alpha}^{a^i} X^k \phi$ et $M, w \models K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^k \neg \phi$. Dans ce cas, d'après le lemme 8, $\forall a^i \in A_{\alpha,w}^{i,l}$,

$v_a^i(M^w, u, \alpha, \neg \phi, k) = 0$ c'est à dire $\text{Best}(M^w, u, \alpha, \phi, 1) = A_{\alpha,w}^{i,l}$. Or $M, w \models I_{\alpha}^{a^i} X^k \phi$ implique que $\text{Best}(M^w, u, \alpha, \phi, 1) \neq A_{\alpha,w}^{i,l}$.

### Proposition 2.3

$$\not\models I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \rightarrow K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^{k} \phi$$

**Preuve :** La preuve de cette proposition se fait par l'absurde avec le lemme 6 et on le fera pour $k=1$. Supposons que l'on ait à la fois $M, w \models I_{\alpha}^{a^i} X^k \phi$ et $M, w \models K_{\alpha}AXK_{\alpha}\phi$. Dans ce cas, d'après le lemme 6, $M, w \models K_{\alpha}AXK_{\alpha}\phi$ implique $\text{Best}(M^w, u, \alpha, \phi, 1) = A_{\alpha,w}^{i,l}$. Or $M, w \models I_{\alpha}^{a^i} X^k \phi$ implique $\text{Best}(M^w, u, \alpha, \phi, 1) \neq A_{\alpha,w}^{i,l}$, ce qui démontre la proposition.

### Proposition 2.4

$$\not\models K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^k \phi \rightarrow I_{\alpha}^{a^i} X^k \phi$$

**Preuve :** Le lemme 6 nous permet d'écrire que $M, w \models K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^k \phi$ implique $\text{Best}(M^w, u, \alpha, \phi, k) = A_{\alpha,w}^{i,l}$. Or par définition $M, w \not\models I_{\alpha}^{a^i} X^k \phi$ si $\text{Best}(M^w, u, \alpha, \phi, k) = A_{\alpha,w}^{i,l}$.
**Proposition 2.5**

$$ \not\models (I_{\alpha}^{a_i} X^k \phi \wedge K_{\alpha}(AX)^k (\phi \to \psi)) \to I_{\alpha}^{a_i} X^k \psi $$

**Preuve :** Afin de montrer cette invalidité, un contre exemple suffira et on le montrera pour $k=1$. On va reprendre l'exemple présenté en figure B.3. Dans celui-ci, depuis le modèle $M$ nous avons deux actions indéterminées $a$ et $b$ qui nous amènent vers les modèles $M|_a$ et $M|_b$. Les actions indéterminées sont simples ici puisque constituées d'une seule action chacune. L'action $a$ est constituée de l'action $a = (\top, \{p : \top, q : \top\})$ et l'action $b$ est constituée de l'action $b = (\top, \{p : \bot, q : \top\})$

L'utilité ne joue ici aucun rôle puisqu'il n'y a qu'un seul joueur. Dans le modèle $M|_a$ il n'y a qu'un monde où $p$ et $q$ sont vrais et donc $p \to q$ est vrai également. Dans le modèle $M|_b$ il y a un seul monde où $q$ est vrai et donc $p \to q$ est vrai aussi. On a alors depuis le modèle $M: M, w \models K_{\alpha}AX(p \to q)$.

<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>FIGURE B.3 – Contre exemple pour l'effet secondaire</figcaption></figure>

L'action $a$ a une valeur pour la propriété $p$ de $v_a(M^w, u, \alpha, p, 1) = 1$ et l'action $b$ a une valeur de $v_b(M^w, u, \alpha, p, k) = 0$. On a donc $M, w \models I_{\alpha}^a Xp$.

L'action $a$ a une valeur pour la propriété $q$ de $v_a(M^w, u, \alpha, p, 1) = 1$ et l'action $b$ a une valeur de $v_b(M^w, u, \alpha, q, k) = 1$. Nous n'avons donc pas $M, w \models I_{\alpha}^a Xq$ puisque $\text{Best}(M^w, u, \alpha, q, 1) = A_{\alpha,w}^{i,l}$
En résumé, on a bien $M, w \models I_{\alpha}^a Xp \wedge K_{\alpha}(AX)(p \to q)$ mais on n'a pas $M, w \models I_{\alpha}^a Xq$.

**Proposition 2.6**

$$ \models \neg I_{\alpha}^{a_i} X^k \bot $$

**Preuve :** Par définition, on a $M, w \models K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^k \top$, ce qui implique d'après le lemme 7 que $\text{Best}(M^w, u, \alpha, \bot, k) = A_{\alpha,w}^{i,l}$. Or par définition si $\text{Best}(M^w, u, \alpha, \bot, k) = A_{\alpha,w}^{i,l}$ alors $\models \neg I_{\alpha}^{a_i} X^k \bot$.

**Proposition 2.8**

$$ \models I_{\alpha}^{a_i} X^k \phi \to K_{\alpha} I_{\alpha}^{a_i} X^k \phi $$

**Preuve :** Par définition la valeur d'une action est :

$$ v_{a_{\alpha}^{i}}(M^{w}, u, \alpha, \phi) = \sum_{w_i \in [w]_{\alpha}} \frac{\sum_{c_j \in C_{w_i}^* (a_{\alpha}^i)} \frac{v(M_{|c_j}^{w_i}, u, \alpha, \phi, k-1)}{|C_{w_i}^* (a_{\alpha}^i)|}}{|[w]_{\alpha}|} X^k \phi $$
Cela implique $\forall w' \in [w]_\alpha, v_{a_\alpha}^i(M^{w'}, u, \alpha, \phi) = v_{a_\alpha}^i(M^w, u, \alpha, \phi)$. Ceci amène à $\forall w' \in [w]_\alpha$, $\text{Best}(M^{w'}, u, \alpha, \phi, k) = \text{Best}(M^w, u, \alpha, \phi, k)$.

Par définition $\forall w' \in [w]_\alpha, A_{\alpha,w'}^{i,l} = A_{\alpha,w}^{i,l}$.

Ainsi si $a^i \in \text{Best}(M^w, u, \alpha, \phi, k)$ et $\text{Best}(M^w, u, \alpha, \phi, k) \neq A_{\alpha,w}^{i,l}$ alors $\forall w' \in [w]_\alpha$ on a $a^i \in \text{Best}(M^{w'}, u, \alpha, \phi, k)$ et $\text{Best}(M^{w'}, u, \alpha, \phi, k) \neq A_{\alpha,w'}^{i,l}$. Donc $M, w \models I_\alpha^{a^i} X^k \phi$ implique que $\forall w' \in [w]_\alpha$ on a $M, w' \models I_\alpha^{a^i} X^k \phi$. En d'autres termes $M, w \models I_\alpha^{a^i} X^k \phi$ implique $M, w \models K_\alpha I_\alpha^{a^i} X^k \phi$.

**Proposition 2.9**

$$ \models \neg I_{\alpha}^{a^i} X^k \phi \rightarrow K_{\alpha} \neg I_{\alpha}^{a^i} X^k \phi $$

**Preuve :** Par l'absurde si on a $M, w \models \neg I_\alpha^{a^i} X^k \phi$ et qu'il existe un monde $w' \in [w]_\alpha$ tel que $M, w' \models I_\alpha^{a^i} X^k \phi$. Alors d'après la proposition 2.8 on aurait $M, w' \models K_\alpha I_\alpha^{a^i} X^k \phi$ et donc par définition de l'opérateur $K_\alpha, M, w \models I_\alpha^{a^i} X^k \phi$ or on a $M, w \models \neg I_\alpha^{a^i} X^k \phi$.

**Proposition 2.10**

$$ \text{Depuis } \phi \leftrightarrow \psi \text{ déduire } I_{\alpha}^{a^i} X^k \phi \leftrightarrow I_{\alpha}^{a^i} X^k \psi $$

**Preuve :** Si $\models \phi \leftrightarrow \psi$ alors $\forall M, \forall w, M, w, \models \phi \leftrightarrow M, w, \models \psi$.

Donc $\forall M, \forall w, \forall \alpha, pr_{M^w}^{\alpha}(\phi) = pr_{M^w}^{\alpha}(\psi)$.

Ainsi pour $k = 1, \forall M, \forall w, \forall \alpha, \forall a_\alpha^i \in A_{\alpha,w}^{i,l}$ :

$$ \sum_{w_i \in [w]_\alpha} \frac{\frac{\mathrm{pr}_{M^w}^{\alpha} w_i(\phi)}{\sum_{c_j \in C_{w_i}^*(a_\alpha^i)} \frac{|C_{w_i}^*(a_\alpha^i)|}{| [w]_\alpha |}}}{\sum_{w_i \in [w]_\alpha} \frac{\mathrm{pr}_{M^w}^{\alpha} w_i(\psi)}{\sum_{c_j \in C_{w_i}^*(a_\alpha^i)} \frac{|C_{w_i}^*(a_\alpha^i)|}{| [w]_\alpha |}}} $$

C'est à dire $\forall M, \forall w, \forall \alpha, \forall a_\alpha^i \in A_{\alpha,w}^{i,l}, v_{a_\alpha}^i(M^w, \alpha, \phi, 1) = v_{a_\alpha}^i(M^w, \alpha, \psi, 1)$

Et par récurrence pour $k \ge 1, \forall M, \forall w, \forall \alpha, \forall a_\alpha^i \in A_{\alpha,w}^{i,l}$ :

$$ \sum_{w_i \in [w]_\alpha} \frac{\frac{\sum_{c_j \in C_{w_i}^*(a_\alpha^i)} \frac{v(M_{|c_j}^w, u, \alpha, \phi, k-1)}{|C_{w_i}^*(a_\alpha^i)|}}{|[w]_\alpha|}}{\sum_{w_i \in [w]_\alpha} \frac{\sum_{c_j \in C_{w_i}^*(a_\alpha^i)} \frac{v(M_{|c_j}^w, u, \alpha, \psi, k-1)}{|C_{w_i}^*(a_\alpha^i)|}}{|[w]_\alpha|}} $$

C'est à dire $\forall M, \forall w, \forall \alpha, \forall a_\alpha^i \in A_{\alpha,w}^{i,l}, v_{a_\alpha}^i(M^w, \alpha, \phi, k) = v_{a_\alpha}^i(M^w, \alpha, \psi, k)$

Ce qui nous amène à $\text{Best}(M^w, u, \alpha, \phi, k) = \text{Best}(M^w, u, \alpha, \psi, k)$ pour tout $w, \alpha, k$. Et donc on a $\models I_\alpha^a X^k \phi$ si et seulement si $\models I_\alpha^a X^k \psi$
## B.4 Démonstrations des propositions de la première définition de la mo-délisation ESTS

Pour rappel les propositions sont les suivantes :

1. $| \models I_{\alpha}^{a} X \phi \rightarrow \neg K_{\alpha} AX K_{\alpha} \neg \phi$ (intention-connaissance cohérence)

2. $| \models I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \rightarrow \neg K_{\alpha} (AX K_{\alpha})^{k} \neg \phi$ (k-tours intention-connaissance cohérence)

3. $| \not\models I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \rightarrow K_{\alpha} (AX K_{\alpha})^{k} \phi$ (k-tours intention-connaissance incomplétude)

4. $| \not\models K_{\alpha} (AX K_{\alpha})^{k} \phi \rightarrow I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi$ (k-tours connaissance-intention incomplétude)

5. $| \not\models (I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \wedge K_{\alpha} (AX)^{k} (\phi \rightarrow \psi)) \rightarrow I_{\alpha}^{a} X^{k} \psi$ (absence d'effet secondaire)

6. $| \models \neg I_{\alpha}^{a} X^{k} \perp$ (cohérence)

7. $| \models I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \rightarrow \neg I_{\alpha}^{a} X^{k} \neg \phi$ (serialité)

8. $| \models I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \rightarrow K_{\alpha} I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi$ (interaction)

9. Depuis $\phi \leftrightarrow \psi$ déduire $I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \leftrightarrow I_{\alpha}^{a} X^{k} \psi$ (indépendance de la syntaxe)

### B.4.1 Lemmes

Afin de démontrer les propositions, il faut d'abord commencer par montrer quatre lemmes.

**Lemme 9** $\mathbb{M}, w \models K_{\alpha} AX K_{\alpha} \phi$ implique $\text{Best}(w, u, \alpha, \phi, 1) = A_{\alpha, w}^{l}$

**Preuve** : Si la formule $\mathbb{M}, w \models K_{\alpha} AX K_{\alpha} \phi$ est vraie, alors par définition $\forall w' \in [w]_{\alpha}, \mathbb{M}, w' \models AX K_{\alpha} \phi$ est vrai. Pour chaque $w' \in [w]_{\alpha}$ on aura alors $\forall c \in C_{w'}^{l}, \mathbb{M}, \delta(w', c) \models K_{\alpha} \phi$, ce qui implique de par la définition de l'opérateur $K_{\alpha}$ que $\text{pr}(\delta(w', c), \alpha, \phi) = 1$. Et donc en particulier, $\forall w' \in [w]_{\alpha}, \forall a \in A_{\alpha, w}^{l} = A_{w', \alpha}^{l}, \forall c \in C_{w}^{*}(\alpha, a), \text{pr}(\delta(w', c), \alpha, \phi) = 1$.

Or :

$$v_a(w, u, \alpha, \phi, 1) = \sum_{w_i \in [w]_{\alpha}} \frac{\sum_{c_j \in C_{w_i}^*(\alpha, a)} \frac{\text{pr}(\delta(w_i, c_j), \alpha, \phi)}{|C_{w_i}^*(\alpha, a)|}}{|[w]_{\alpha}|}$$

Ce qui donne $\forall a \in A_{\alpha, w}^{l}$ :

$$v_a(w, u, \alpha, \phi, 1) = \sum_{w_i \in [w]_{\alpha}} \frac{\sum_{c_j \in C_{w_i}^*(\alpha, a)} \frac{1}{|C_{w_i}^*(\alpha, a)|}}{|[w]_{\alpha}|}$$

Ceci amène à $\forall a \in A_{\alpha, w}^{l}, v_a(w, u, \alpha, \phi, 1) = 1$ vérifiant ainsi que $\text{Best}(w, u, \alpha, \phi, 1) = A_{\alpha, w}^{l}$.

**Lemme 10** $\mathbb{M}, w \models K_{\alpha} (AX K_{\alpha})^{k} \phi$ implique $\forall a \in A_{\alpha, w}^{l}, v_a(w, u, \alpha, \phi, k) = 1$.

**Preuve** : Cette démonstration va se faire par récurrence.

On a déjà montré dans le lemme 9 que $\mathbb{M}, w \models K_{\alpha} AX K_{\alpha} \phi$ implique que $\forall a \in A_{\alpha, w}^{l}, v_a(w, u\alpha, \phi, 1) = 1$. Pour la suite de la récurrence partons de l'hypothèse que $\mathbb{M}, w \models K_{\alpha} (AX K_{\alpha})^{k-1} \phi$ implique $\forall a \in A_{\alpha, w}^{l}, v_a(w, u, \alpha, \phi, k-1) = 1$ et que la formule $\mathbb{M}, w \models K_{\alpha} (AX K_{\alpha})^{k} \phi$ est vrai.

Par hypothèse, $\forall w' \in [w]_{\alpha}, \forall a \in A_{\alpha, w}^{l}, \forall c \in C_{w'}^{*},$ on a $\mathbb{M}, \delta(w', c) \models K_{\alpha} (AX K_{\alpha})^{k-1} \phi$ vrai et donc $\forall w' \in [w]_{\alpha}, \forall a \in A_{\alpha, w}^{l}, \forall c \in C_{w'}^{*}, v(\delta(w', c), u, \alpha, \phi, k-1) = 1$.
Pour rappel la valeur d'une action est :

$$v_a(w, u, \alpha, \phi, k) = \sum_{w_i \in [w]_{\alpha}} \frac{\sum_{c_j \in C_{w_i}^*(\alpha, a)} \frac{v(\delta(w_i, c_j), u, \alpha, \phi, k-1)}{|C_{w_i}^*(\alpha, a)|}}{|[w]_{\alpha}|}$$

On a alors $\forall w' \in [w]_{\alpha}, \forall a \in A_{w,\alpha}^l$ :

$$\sum_{c_j \in C_{w_i}^*(\alpha, a)} \frac{1}{|C_{w_i}^*(\alpha, a)|} = 1$$

Puis $\forall a \in A_{w,\alpha}^l$

$$v_a(w, u, \alpha, \phi, k) = \sum_{w_i \in [w]_{\alpha}} \frac{1}{|[w]_{\alpha}|} = 1$$

En conclusion on obtient bien $\forall a \in A_{\alpha,w}^l, v_a(w, u, \alpha, \phi, k) = 1$.

## B.4.2 Démonstrations

### Proposition 3.1 et 3.2

$$\models I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \rightarrow \neg K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^{k} \neg \phi$$

**Preuve :** La preuve de la proposition 3.2, qui généralise la proposition 3.1, se fait par l'absurde. Supposons que l'on ait à la fois $\mathbb{M}, w \models I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi$ et $\mathbb{M}, w \models K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^{k} \neg \phi$. Dans ce cas, d'après le lemme 10, $\forall a \in A_{\alpha,w}^{l}, v_a(w, u, \alpha, \neg \phi, k) = 1$ c'est à dire $\text{Best}(w, u, \alpha, \neg \phi, k) = A_{\alpha,w}^{l}$. Or $\text{Best}(w, u, \alpha, \phi, k) \subseteq A_{\alpha,w}^{l}$, ce qui implique que $\text{Best}(w, u, \alpha, \phi, k) \subseteq \text{Best}(w, u, \alpha, \neg \phi, k)$. Mais d'après la définition de $\mathbb{M}, w \models I_{\alpha}^{a} X \phi$ on a $a \in \text{Best}(w, u, \alpha, \phi, k)$ et $a \notin \text{Best}(w, u, \alpha, \neg \phi, k)$. Ceci contredit l'affirmation précédente. On ne peut pas donc avoir à la fois $\mathbb{M}, w \models I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi$ et $\mathbb{M}, w \models K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^{k} \neg \phi$ vraies.

### Proposition 3.3

$$\not\models I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \rightarrow K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^{k} \phi$$

**Preuve :** La preuve de cette proposition se fait par l'absurde avec le lemme 10 et on le fera pour $k=1$. Supposons que l'on ait à la fois $\mathbb{M}, w \models I_{\alpha}^{a} X \phi$ et $\mathbb{M}, w \models K_{\alpha}AXK_{\alpha} \phi$. Dans ce cas, d'après le lemme 10, $\mathbb{M}, w \models K_{\alpha}AXK_{\alpha} \phi$ implique $\text{Best}(w, u, \alpha, \phi, 1) = A_{\alpha,w}^{l}$. Or $\mathbb{M}, w \models I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi$ implique $\text{Best}(w, u, \alpha, \phi, 1) \neq A_{\alpha,w}^{l}$, ce qui démontre la proposition.

### Proposition 3.4

$$\not\models K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^{k} \phi \rightarrow I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi$$

**Preuve :** Le lemme 10 nous permet d'écrire que $M, w \models K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^{k} \phi$ implique $\text{Best}(w, u, \alpha, \phi, k) = A_{\alpha,w}^{l}$. Or par définition $M, w \not\models I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi$ si $\text{Best}(w, u, \alpha, \phi, k) = A_{\alpha,w}^{l}$.
**Proposition 3.5**

$$ \nvDash (I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \wedge K_{\alpha}(AX)^{k}(\phi \rightarrow \psi)) \rightarrow I_{\alpha}^{a} X^{k} \psi $$

<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>FIGURE B.4 – Contre exemple pour l’effet secondaire</figcaption></figure>

**Preuve :** Afin de montrer cette invalidité, un contre exemple suffira et on le montrera pour $k=1$. On va prendre l’exemple présenté en figure B.4. Dans celui-ci, depuis le monde $w_1$ initial nous avons deux actions $a$ et $b$ qui nous amène vers les mondes $w_2$ et $w_3$. L’utilité ne joue ici aucun rôle puisqu’il n’y a qu’un seul joueur. Dans le monde $w_2$ $p$ et $q$ sont vrais et donc $p \rightarrow q$ est vrai également. Dans le monde $w_3$ seul $q$ est vrai et donc $p \rightarrow q$ est vrai aussi. On a alors : $M, w \models K_{\alpha}AX(p \rightarrow q)$.

L’action $a$ a une valeur pour la propriété $p$ de $v_a(w_1, u, \alpha, p, 1) = 1$ et l’action $b$ a une valeur de $v_b(w_1, u, \alpha, p, k) = 0$. On a donc $M, w \models I_{\alpha}^{a}Xp$.

L’action $a$ a une valeur pour la propriété $q$ de $v_a(w_1, u, \alpha, p, 1) = 1$ et l’action $b$ a une valeur de $v_a(w_1, u, \alpha, p, k) = 1$. Nous n’avons donc pas $M, w_1 \models I_{\alpha}Xq$ puisque $\text{Best}(M^w, u, \alpha, q, 1) = A_{\alpha,w}^l$.

En résumé, on a bien $M, w_1 \models I_{\alpha}^{a}Xp \wedge K_{\alpha}(AX)(p \rightarrow q)$ mais on n’a pas $M, w_1 \models I_{\alpha}^{a}Xq$.

**Proposition 3.6**

$$ \models \neg I_{\alpha}^{a} X^{k} \perp $$

**Preuve :** Par définition, on a $M, w \models K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^{k\top}$, ce qui implique d’après le lemme 10 que $\text{Best}(w, u, \alpha, \top, k) = A_{\alpha,w}^l$. Donc il n’existe pas d’action $a \in A_{\alpha,w}^l$ tel que $a \in \text{Best}(w, u, \alpha, \perp, k)$ et $a \notin \text{Best}(w, u, \alpha, \top, k)$. Par conséquent $\models \neg I_{\alpha}^{a}X^{k}\perp$.
**Proposition 4.7**

$$ \models I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \rightarrow \neg I_{\alpha}^{a} X^{k} \neg \phi $$

**Preuve :** Par définition si on a $\models I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi$ alors $a \notin \text{Best}(w, u, \alpha, \neg \phi, k)$. Ce qui implique $\not\models I_{\alpha}^{a} X^{k} \neg \phi$.

**Proposition 3.8**

$$ \models I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \rightarrow K_{\alpha} I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi $$

**Preuve :** D'après le théorème 3, $\forall w' \in [w]_{\alpha}, \text{Best}(w, u, \alpha, \phi, k) = \text{Best}(w', u, \alpha, \phi, k)$ et pour rappel $\forall w' \in [w]_{\alpha}, A_{\alpha, w'}^{l} = A_{\alpha, w}^{l}$.

Ainsi si on a une action $a$ tel que $a \in \text{Best}(w, u, \alpha, \phi, k), a \notin \text{Best}(w, u, \alpha, \neg \phi, k)$ et $\text{Best}(w, u, \alpha, \phi, k) \neq A_{\alpha, w}^{l}$ alors $\forall w' \in [w]_{\alpha}, a \in \text{Best}(w', u, \alpha, \phi, k), a \notin \text{Best}(w', u, \alpha, \neg \phi, k)$ et $\text{Best}(w', u, \alpha, \phi, k) \neq A_{\alpha, w'}^{l}$.

En d'autre termes $\models I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \rightarrow K_{\alpha} I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi$.

**Proposition 3.9**

$$ \models \neg I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \rightarrow K_{\alpha} \neg I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi $$

**Preuve :** Par l'absurde si on a $M, w \models \neg I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi$ et qu'il existe un monde $w' \in [w]_{\alpha}$ tel que $M, w' \models I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi$. Alors d'après la proposition 3.8 on aurait $M, w' \models K_{\alpha} I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi$ et donc par définition de l'opérateur $K_{\alpha}, M, w \models I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi$ or on a $M, w \models \neg I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi$.

**Proposition 3.10**

Depuis $\phi \leftrightarrow \psi$ déduire $I_{\alpha}^{a} X^{k} \phi \leftrightarrow I_{\alpha}^{a} X^{k} \psi$

**Preuve :** Si $\models \phi \leftrightarrow \psi$ alors $\forall M, \forall w, M, w, \models \phi \leftrightarrow M, w, \models \psi$.

Donc $\forall M, \forall w, \forall \alpha, \text{pr}_{Mw}^{\alpha}(\phi) = \text{pr}_{Mw}^{\alpha}(\psi)$.

Ainsi pour $k=1, \forall M, \forall w, \forall \alpha, \forall a \in A_{\alpha, w}^{l}$ :

$$ \sum_{w_i \in [w]_{\alpha}} \frac{\sum_{c_j \in C_{w_i}^*(\alpha, a)} \frac{\text{pr}(\delta(w_i, c_j), \alpha, \phi)}{|C_{w_i}^*(\alpha, a)|}}{|[w]_{\alpha}|} $$

$$ = \sum_{w_i \in [w]_{\alpha}} \frac{\sum_{c_j \in C_{w_i}^*(\alpha, a)} \frac{\text{pr}(\delta(w_i, c_j), \alpha, \psi)}{|C_{w_i}^*(\alpha, a)|}}{|[w]_{\alpha}|} $$

C'est à dire $\forall M, \forall w, \forall \alpha, \forall a \in A_{\alpha, w}^{l}, v_{a\alpha}(w, u, \alpha, \phi, 1) = v_{a\alpha}(w, u, \alpha, \psi, 1)$

Et par récurrence pour $k \ge 1, \forall M, \forall w, \forall \alpha, \forall a \in A_{\alpha, w}^{l}$ :

$$ \sum_{w_i \in [w]_{\alpha}} \frac{\sum_{c_j \in C_{w_i}^*(\alpha, a)} \frac{v(\delta(w_i, c_j), \alpha, \phi, k-1)}{|C_{w_i}^*(\alpha, a)|}}{|[w]_{\alpha}|} $$
$$= \sum_{w_i \in [w]_{\alpha}} \frac{\sum_{c_j \in C_{w_i}^*(\alpha, a)} \frac{v(\delta(w_i, c_j), \alpha, \psi, k-1)}{|C_{w_i}^*(\alpha, a)|}}{|[w]_{\alpha}|}$$

C'est à dire $\forall M, \forall w, \forall \alpha, \forall a \in A_{\alpha,w}^l, v_{a\alpha}(w, u, \alpha, \phi, k) = v_{a\alpha}(w, u, \alpha, \psi, k)$

Ce qui nous amène à Best(w, u, α, φ, k) = Best(w, u, α, ψ, k) pour tout w, α, k. Et donc on a
$|\mathcal{I}_{\alpha}^{a} X^{k}\phi$ si et seulement si $|\mathcal{I}_{\alpha}^{a} X^{k}\psi$

## B.5 Démonstrations des propositions de la deuxième définition de la mo-délisation ESTS

Pour rappel les propositions sont les suivantes :

1. $|\mathcal{I}_{\alpha}X\phi \rightarrow \neg K_{\alpha}AXK_{\alpha}\neg\phi$ (intention-connaissance cohérence)

2. $|\mathcal{I}_{\alpha}X^k\phi \rightarrow \neg K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^k\neg\phi$ (k-tours intention-connaissance cohérence)

3. $|\mathcal{I}_{\alpha}X^k\phi \rightarrow K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^k\phi$ (k-tours intention-connaissance incomplétude)

4. $|\mathcal{I}_{\alpha}K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^k\phi \rightarrow \mathcal{I}_{\alpha}X^k\phi$ (k-tours connaissance-intention incomplétude)

5. $|\mathcal{I}_{\alpha}X^k\phi \wedge K_{\alpha}(AX)^k(\phi \rightarrow \psi)) \rightarrow \mathcal{I}_{\alpha}X^k\psi$ (absence d'effet secondaire)

6. $|\neg \mathcal{I}_{\alpha}X^k\bot$ (cohérence)

7. $|\mathcal{I}_{\alpha}X^k\phi \rightarrow \neg \mathcal{I}_{\alpha}X^k\neg\phi$ (serialité)

8. $|\mathcal{I}_{\alpha}X^k\phi \rightarrow K_{\alpha}\mathcal{I}_{\alpha}X^k\phi$ (interaction)

9. Depuis $\phi \leftrightarrow \psi$ déduire $\mathcal{I}_{\alpha}X^k\phi \leftrightarrow \mathcal{I}_{\alpha}X^k\psi$ (indépendance de la syntaxe)

### B.5.1 Lemmes

Afin de démontrer les propositions, il faut d'abord commencer par montrer deux lemmes.

**Lemme 11** $M, w, h \models K_{\alpha}AXK_{\alpha}\phi$ implique $\mathcal{Best}(w, u, \alpha, \phi, 1) = A_{\alpha,w}^l$

**Preuve** : Si la formule $M, w \models K_{\alpha}AXK_{\alpha}\phi$ est vraie, alors par définition $\forall w' \in [w]_{\alpha}, M, w' \models AXK_{\alpha}\phi$ est vrai. Pour chaque $w' \in [w]_{\alpha}$ on aura alors $\forall c \in C_{w'}^l, \delta(w', c) \models K_{\alpha}\phi$, ce qui implique de part la définition de l'opérateur $K_{\alpha}$ que $\mathrm{pr}(\delta(w', c), \alpha, \phi) = 1$. Et donc en particulier, $\forall w' \in [w]_{\alpha}, \forall a \in A_{\alpha,w}^l = A_{w',\alpha}^l, \forall c \in C_w^*(\alpha, a), \mathrm{pr}(\delta(w', c), \alpha, \phi) = 1$.

Or :

$$v_a(w, u, \alpha, \phi, 1) = \sum_{w_i \in [w]_{\alpha}} \frac{\sum_{c_j \in C_{w_i}^*(\alpha, a)} \frac{\mathrm{pr}(\delta(w_i, c_j), \alpha, \phi)}{|C_{w_i}^*(\alpha, a)|}}{|[w]_{\alpha}|}$$

Ce qui donne $\forall a \in A_{\alpha,w}^l$ :

$$v_a(w, u, \alpha, \phi, 1) = \sum_{w_i \in [w]_{\alpha}} \frac{\sum_{c_j \in C_{w_i}^*(\alpha, a)} \frac{1}{|C_{w_i}^*(\alpha, a)|}}{|[w]_{\alpha}|}$$

Ceci amène à $\forall a \in A_{\alpha,w}^l, v_a(w, u, \alpha, \phi, 1) = 1$ vérifiant ainsi que $\mathcal{Best}(w, u, \alpha, \phi, 1) = A_{\alpha,w}^l$.

**Lemme 12** $M, w, h \models K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^k\phi$ implique $\forall a \in A_{\alpha,w}^l, v_a(w, u, \alpha, \phi, k) = 1$.
**Preuve :** Cette démonstration va se faire par récurrence.

On a déjà montré dans le lemme 11 que $M, w, h \models K_{\alpha}AXK_{\alpha}\phi$ implique que $\forall a \in A_{\alpha,w}^{l}, v_{a}(w, u, \alpha, \phi, 1) = 1$. Pour la suite de la récurrence partons de l'hypothèse que $M, w, h \models K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^{k-1}\phi$ implique $\forall a \in A_{\alpha,w}^{l}, v_{a}(w, u, \alpha, \phi, k-1) = 1$ et que la formule $M, w, h \models K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^{k}\phi$ est vraie.

Par hypothèse, $\forall w' \in [w]_{\alpha}, \forall a \in A_{\alpha,w}^{l}, \forall c \in C_{w'}^{*}$, on a $M, \delta(w', c), h \models K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^{k-1}\phi$ vrai et donc $\forall w' \in [w]_{\alpha}, \forall a \in A_{\alpha,w}^{l}, \forall c \in C_{w'}^{*}, v(\delta(w', c), u, \alpha, \phi, k-1) = 1$.

Pour rappel la valeur d'une action est :

$$v_a(w, u, \alpha, \phi, k) = \sum_{w_i \in [w]_{\alpha}} \frac{\sum_{c_j \in C_{w_i}^*(\alpha, a)} \frac{v(\delta(w_i, c_j), u, \alpha, \phi, k-1)}{|C_{w_i}^*(\alpha, a)|}}{|[w]_{\alpha}|}$$

On a alors $\forall w' \in [w]_{\alpha}, \forall a \in A_{w,\alpha}^{l}$ :

$$\sum_{c_j \in C_{w_i}^*(\alpha, a)} \frac{1}{|C_{w_i}^*(\alpha, a)|} = 1$$

Puis $\forall a \in A_{w,\alpha}^{l}$

$$v_a(w, u, \alpha, \phi, k) = \sum_{w_i \in [w]_{\alpha}} \frac{1}{|[w]_{\alpha}|} = 1$$

En conclusion on obtient bien $\forall a \in A_{\alpha,w}^{l}, v_a(w, u, \alpha, \phi, k) = 1$.

## B.5.2 Démonstrations

### Proposition 4.1 et 4.2

$$\models I_{\alpha}X^{k}\phi \rightarrow \neg K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^{k}\neg\phi$$

**Preuve :** La preuve de la proposition 4.2, qui généralise la proposition 4.1, se fait par l'absurde. Supposons que l'on ait à la fois $M, w, h \models I_{\alpha}X^{k}\phi$ et $M, w, h \models K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^{k}\neg\phi$. Dans ce cas, d'après le lemme 12, $\forall a \in A_{\alpha,w}^{l}$, $v_{a}(w, u, \alpha, \neg\phi, k) = 1$ c'est à dire Best(w, u, \alpha, \neg\phi, 1) = $A_{\alpha,w}^{l}$. Or Best(w, u, \alpha, \phi, 1) $\subseteq$ $A_{\alpha,w}^{l}$, ce qui implique que Best(w, u, \alpha, \phi, 1) $\subseteq$ Best(w, u, \alpha, \neg\phi, 1). Mais d'après la définition de $M, w, h \models I_{\alpha}X\phi$, il existe $a \in A_{\alpha,w}^{l}$ tel que $a \in Best(w, u, \alpha, \phi, 1)$ et $a \notin Best(w, u, \alpha, \neg\phi, 1)$. Ceci contredit l'affirmation précédente. On ne peut pas donc avoir à la fois $M, w, h \models I_{\alpha}X^{k}\phi$ et $M, w, h \models K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^{k}\neg\phi$ vrais.

### Proposition 4.3

$$\not\models I_{\alpha}X^{k}\phi \rightarrow K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^{k}\phi$$

**Preuve :** Afin de montrer cette invalidité, un contre exemple suffira et nous le ferons pour $k=1$. Reprenons l'exemple du jeu hanabi simplifié de la section 5.4.3, présenter en figure 5.3. On va regarder l'intention du joueur 1 concernant le fait de ne pas faire d'erreur après un tour. On va donc regarder la formule $\neg e$. Le joueur 1 à 3 actions : poser, défausser et donner un indice. Le joueur 2 ne peut que rien
faire : « noop ». Dans ce cas, l'action « noop » étant la seule action du joueur 2, c'est donc forcément son action la plus utile. Le joueur 1 imagine deux mondes possibles, les mondes $w_{01}$ et $w_{02}$.

Dans ce cadre, l'action du joueur 1 de donner un indice à une valeur de $\frac{1+1}{2} = 1$. L'action de poser à une valeur de $\frac{1+0}{2} = 0.5$ et l'action de défausser à une valeur de $\frac{1+1}{2} = 1$. L'ensemble des meilleurs actions concernant la formule $\neg e$ est donc formé des actions défausser et donner un indice. Concernant la formule $\neg\neg e$, la meilleure action est l'action de poser.

L'histoire du jeu étant $h = (w_{01}, (i, n), w_{11}, (n, i), w_{21})$, nous vérifions donc la formule $M, w_{01}, h \models I_1 X \neg e$.

Cependant, l'action $(p, n)$ depuis le monde $w_{02} \in \{w_{01}\}_1$ nous amène vers le monde $w_{16}$ où $M, w_{16}, h \not\models \neg e$. Donc nous n'avons pas la formule $M, w_{01}, h \models K_1 AX K_1 \neg e$.

**Proposition 4.4**

$$ \models \neg K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^{k}\phi \rightarrow I_{\alpha}X^{k}\phi $$

**Preuve :** Le lemme 12 nous permet d'écrire que $M, w, h \models K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^{k}\phi$ implique $\text{Best}(w, u, \alpha, \phi, k) = A_{\alpha,w}^{l}$. Or par définition $M, w, h \not\models I_{\alpha}X^{k}\phi$ si $\text{Best}(w, u, \alpha, \phi, k) = A_{\alpha,w}^{l}$.

**Proposition 4.5**

$$ \models \neg (I_{\alpha}X^{k}\phi \land K_{\alpha}(AX)^{k}(\phi \rightarrow \psi)) \rightarrow I_{\alpha}X^{k}\psi $$

**Preuve :** Afin de montrer cette invalidité, un contre exemple suffira et on le montrera pour $k=1$. Reprenons encore une fois l'exemple du jeu hanabi simplifié de la section 5.4.3, présenter en figure 5.3. Nous allons montrer un contre exemple où $\phi = \neg e$ et $\psi = J_2 : 2$, c'est à dire le joueur 2 a la carte 2.

Nous avons $M, w_{01}, h \models I_1 X \neg e$ comme montré dans la démonstration de la proposition 4.3.

Depuis ce monde $w_{01}$, l'ensemble des mondes concernés pour vérifier la formule $K_1 AX \neg e \rightarrow J_2 : 2$ sont les mondes $w_{11}$ à $w_{16}$. Dans chacun de ces mondes, la formule $\neg e \rightarrow J_2 : 2$ est vraie. Nous avons donc bien $M, w_{01}, h \models K_1 AX (\neg e \rightarrow J_2 : 2)$.

Cependant, depuis ce monde $w_{01}$, il y a 2 mondes indistinguishables pour le joueur 1 : $w_{01}$ et $w_{02}$. Depuis ces deux mondes $w_{01}$ et $w_{02}$ l'ensemble des actions nous amène vers des mondes ($w_{11}$ à $w_{16}$) où le joueur 1 sait que le joueur 2 a la carte 2. Nous avons donc $M, w_{01}, h \models K_1 AX K_1 (J_2 : 2)$. D'après le lemme 11, cela implique que $\text{Best}(w_{01}, u, \alpha, \phi, 1) = A_{\alpha,w_{01}}^{l}$. D'après la définition de l'intention, le joueur 1 n'a donc pas l'intention que le joueur 2 a la carte 2 après son tour : $M, w_{01}, h \not\models I_1 X (J_2 : 2)$.

En conclusion nous avons bien $I_{\alpha}X^{k}\phi \land K_{\alpha}(AX)^{k}(\phi \rightarrow \psi)$ sans avoir $I_{\alpha}X\psi$.

**Proposition 4.6**

$$ \models \neg I_{\alpha}X^{k}\perp $$

**Preuve :** Par définition, on a $M, w, h \models K_{\alpha}(AXK_{\alpha})^{k}\top$, ce qui implique d'après le lemme 12 que $\text{Best}(w, u, \alpha, \top, k) = A_{\alpha,w}^{l}$. Donc il n'existe pas d'action $a \in A_{\alpha,w}^{l}$ tel que $a \in \text{Best}(w, u, \alpha, \bot, k)$ et $a \notin \text{Best}(w, u, \alpha, \top, k)$. Par conséquent $\models \neg I_{\alpha}X^{k}\perp$.
**Proposition 4.7**

$$ \models I_{\alpha}X^{k}\phi \rightarrow \neg I_{\alpha}X^{k}\neg\phi $$

**Preuve :** Par définition si $M, w, h \models I_{\alpha}X^{k}\phi$ est vrai, alors il existe j tel que $h_{j} \in [w]_{\alpha}$ et $h_{j}(\alpha) \notin \text{Best}(w, u, \alpha, \neg\phi, k)$. Donc par conséquent $M, w, h \models \neg I_{\alpha}X^{k}\neg\phi$.

**Proposition 4.8**

$$ \models I_{\alpha}X^{k}\phi \rightarrow K_{\alpha}I_{\alpha}X^{k}\phi $$

**Preuve :** Par définition si $M, w, h \models I_{\alpha}X^{k}\phi$ est vrai, alors $\forall w' \in [w]_{\alpha}$ on a $M, w', h \models I_{\alpha}X^{k}\phi$. Ce qui rend vrai $M, w', h \models K_{\alpha}I_{\alpha}X^{k}\phi$.

**Proposition 4.9**

$$ \models \neg I_{\alpha}X^{k}\phi \rightarrow K_{\alpha} \neg I_{\alpha}X^{k}\phi $$

**Preuve :** Par l'absurde si on a $M, w \models \neg I_{\alpha}X^{k}\phi$ et qu'il existe un monde $w' \in [w]_{\alpha}$ tel que $M, w' \models I_{\alpha}X^{k}\phi$. Alors d'après la proposition 4.8 on aurait $M, w' \models K_{\alpha}I_{\alpha}X^{k}\phi$ et donc par définition de l'opérateur $K_{\alpha}, M, w \models I_{\alpha}X^{k}\phi$ or on a $M, w \models \neg I_{\alpha}X^{k}\phi$.

**Proposition 4.10**

Depuis $\phi \leftrightarrow \psi$ déduire $I_{\alpha}X^{k}\phi \leftrightarrow I_{\alpha}X^{k}\psi$

**Preuve :** Si $\models \phi \leftrightarrow \psi$ alors $\forall M, \forall w, M, w, \models \phi \leftrightarrow M, w, \models \psi$.

Donc $\forall M, \forall w, \forall \alpha, pr_{Mw}^{\alpha}(\phi) = pr_{Mw}^{\alpha}(\psi)$.

Ainsi pour k=1, $\forall M, \forall w, \forall \alpha, \forall a \in A_{\alpha,w}^{l}$ :

$$ \sum_{w_i \in [w]_{\alpha}} \frac{\sum_{c_j \in C_{w_i}^*(\alpha, a)} \frac{pr(\delta(w_i, c_j), \alpha, \phi)}{|C_{w_i}^*(\alpha, a)|}}{|[w]_{\alpha}|} $$

$$ = \sum_{w_i \in [w]_{\alpha}} \frac{\sum_{c_j \in C_{w_i}^*(\alpha, a)} \frac{pr(\delta(w_i, c_j), \alpha, \psi)}{|C_{w_i}^*(\alpha, a)|}}{|[w]_{\alpha}|} $$

C'est à dire $\forall M, \forall w, \forall \alpha, \forall a \in A_{\alpha,w}^{l}, v_{a_{\alpha}}(w, u, \alpha, \phi, 1) = v_{a_{\alpha}}(w, u, \alpha, \psi, 1)$

Et par récurrence pour $k \ge 1, \forall M, \forall w, \forall \alpha, \forall a \in A_{\alpha,w}^{l}$ :

$$ \sum_{w_i \in [w]_{\alpha}} \frac{\sum_{c_j \in C_{w_i}^*(\alpha, a)} \frac{v(\delta(w_i, c_j), \alpha, \phi, k-1)}{|C_{w_i}^*(\alpha, a)|}}{|[w]_{\alpha}|} $$

$$ = \sum_{w_i \in [w]_{\alpha}} \frac{\sum_{c_j \in C_{w_i}^*(\alpha, a)} \frac{v(\delta(w_i, c_j), \alpha, \psi, k-1)}{|C_{w_i}^*(\alpha, a)|}}{|[w]_{\alpha}|} $$

C'est à dire $\forall M, \forall w, \forall \alpha, \forall a_{\alpha} \in A_{\alpha,w}^{l}, v_{a_{\alpha}}(w, u, \alpha, \phi, k) = v_{a_{\alpha}}(w, u, \alpha, \psi, k)$

Ce qui nous amène à Best($w, u, \alpha, \phi, k$) = Best($w, u, \alpha, \psi, k$) pour tout $w, \alpha, k$. Et donc on a $\models I_{\alpha}X^{k}\phi$ si et seulement si $\models I_{\alpha}X^{k}\psi$
### B.5.3 Propositions 5

Pour rappel, les propositions sont les suivantes :

1. $\nvdash I_{\alpha}X^k(\phi \rightarrow \psi) \rightarrow (I_{\alpha}X^k\phi \rightarrow I_{\alpha}X^k\psi)$ (axiome K)

2. $\nvdash I_{\alpha}X^k\top$ (axiome N)

3. $\nvdash I_{\alpha}X^k(\phi \wedge \psi) \rightarrow (I_{\alpha}X^k\phi \wedge I_{\alpha}X^k\psi)$ (axiome M)

4. $\nvdash (I_{\alpha}X^k\phi \wedge I_{\alpha}X^k\psi) \rightarrow I_{\alpha}X^k(\phi \wedge \psi)$ (axiome C)

5. $\nvdash (I_{\alpha}X^k\phi \vee I_{\alpha}X^k\psi) \rightarrow I_{\alpha}X^k(\phi \vee \psi)$

6. $\nvdash I_{\alpha}X^k(\phi \wedge \psi) \rightarrow I_{\alpha}X^k(\phi \vee \psi)$ (nécessitation)
7. Depuis $\phi$ on ne peut pas déduire $I_{\alpha}X^k\phi$.

#### Proposition 5.1

Depuis $\phi$ on ne peut pas déduire $I_{\alpha}X^k\phi$

**Preuve :** Par l'absurde, si l'on a $\models \phi$ alors on aurait $\models K_{\alpha}AX(\phi)$. Or on sait (proposition 4.4) que $\nvdash K_{\alpha}AX(\phi) \rightarrow I_{\alpha}X(\phi)$. On ne peut donc pas déduire $I_{\alpha}X^k\phi$ depuis $\phi$.

#### Proposition 5.2

$$ \nvdash I_{\alpha}X^k(\phi \rightarrow \psi) \rightarrow (I_{\alpha}X^k\phi \rightarrow I_{\alpha}X^k\psi) $$

<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>FIGURE B.5 – Contre exemple pour l'axiome K</figcaption></figure>
**Preuve :** Afin de montrer cette invalidité, nous allons prendre l'exemple présenté en figure B.5 constitué de six mondes et deux variables *p* et *q*. Dans exemple, il y a un monde initial *w*₁. Depuis celui-ci, l'action *a* nous amène vers le monde *w*₂ qui est indistinguishable des mondes *w*₂ et *w*₄. L'action *b* nous mène vers le monde *w*₅ qui lui est indistinguishable du monde *w*₆. L'histoire associé à ce modèle commence par le monde *w*₁, emprunte l'action *a* et termine au monde *w*₃. Nous allons regarder l'intention de l'agent concernant les formules *p* → *q*, *p* et *q* à 1 tour.

L'action *a* nous permet d'obtenir la formule *p* → *q* dans 2 cas sur 3, la formule *p* dans 2 cas sur 3 et la formule *q* dans 1 cas sur 3. L'action *b* quant à elle nous permet d'obtenir la formule *p* → *q* dans 1 cas sur 2, la formule *p* dans 1 cas sur 2 et la formule *q* dans 1 cas sur 2. L'action *a* est la meilleure action pour obtenir *p* → *q* et *p* et l'action *b* est la meilleure pour obtenir la formule *q*.

Ainsi nous avons $M, w_1, h \models I_\alpha X(p \rightarrow q)$, $M, w_1, h \models I_\alpha X(p)$ mais on n'a pas $M, w_1, h \models I_\alpha X(q)$.

**Proposition 5.3**

$$ \not\models I_{\alpha} X^{k \top} $$

**Preuve :** Exemple simple, un modèle est composé d'une action *a* qui nous mène d'un monde *w*₁ vers un monde *w*₂. L'histoire de ce modèle est simplement (*w*₁, *a*, *w*₂). Depuis le monde *w*₁ l'action *a* nous amène vers un monde où la formule *⊤* est vrai c'est donc une des meilleures actions pour obtenir *⊤*. C'est également la seule action disponible donc on a pas *M, w₁, h \models I_α X^{k \top}*

**Proposition 5.4**

$$ \not\models I_{\alpha} X^{k}(\phi \land \psi) \rightarrow (I_{\alpha} X^{k} \phi \land I_{\alpha} X^{k} \psi) $$

**Preuve :** Dans l'exemple de la figure B.5 on a $M, w_1, h \models I_\alpha X(p \land q)$ et $M, w_1, h \models I_\alpha X(p)$ puisque l'action *a* est la meilleure pour obtenir (*p* ∧ *q*) et *p* mais on n'a pas $M, w_1, h \models I_\alpha X(q)$ puisque c'est l'action *b* la meilleure pour obtenir la formule *q*.

**Proposition 5.5**

$$ \not\models (I_{\alpha} X^{k} \phi \land I_{\alpha} X^{k} \psi) \rightarrow I_{\alpha} X^{k} (\phi \land \psi) $$

**Preuve :** Afin de montrer cette invalidité, nous allons prendre un nouvel exemple présenté en figure B.6. Dans cette exemple nous avons un monde initial *w*₁ duquel part deux actions *a* et *b*. L'action *a* nous amène vers le monde *w*₂ indistinguishable des mondes *w*₂ et *w*₄. L'action *b* nous mène vers le monde *w*₅ indistinguishable du monde *w*₆. L'histoire commence en *w*₁, emprunte l'action *b* et finit par le monde *w*₅.

L'action *a* nous permet d'obtenir la formule *p* ∧ *q* dans 1 cas sur 3, la formule *p* dans 1 cas sur 3 et la formule *q* dans 0 cas sur 3. L'action *b* nous permet d'obtenir la formule *p* ∧ *q* dans 0 cas sur 2, la formule *p* dans 1 cas sur 2 et la formule *q* dans 0 cas sur 2. L'action *a* est la meilleure pour obtenir *p* et pour obtenir *q*, l'action *b* est la meilleure pour obtenir *p* ∧ *q*.

Ainsi on a $M, w_1, h \models I_\alpha X(p) \land I_\alpha X(q)$ mais on n'a pas $M, w_1, h \models I_\alpha X(p \land q)$.
<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>FIGURE B.6 – Contre-exemple pour l’axiome C</figcaption></figure>

**Proposition 5.6**

$$ \nvDash(I_{\alpha}X^k\phi \lor I_{\alpha}X^k\psi) \rightarrow I_{\alpha}X^k(\phi \lor \psi) $$

**Preuve** : Dans l'exemple de la figure B.5, l'action a est la meilleure pour obtenir la formule $p$, l'action b est la meilleure pour obtenir les formules $p \lor q$ et $q$. Pour rappel l'action effectuée dans l'histoire est l'action a. On a alors $M, w_1, h \models I_{\alpha}X(p)$ donc $M, w_1, h \models I_{\alpha}X(p) \lor I_{\alpha}X(q)$ mais on n'a pas $M, w_1, h \models I_{\alpha}X(p \lor q)$.

**Proposition 5.7**

$$ \nvDash I_{\alpha}X^k(\phi \land \psi) \rightarrow I_{\alpha}X^k(\phi \lor \psi) $$

**Preuve** : Dans l'exemple de la figure B.5, l'action a est la meilleure pour obtenir la formule $p \land q$ et l'action b est la meilleure pour obtenir la formule $p \lor q$. Pour rappel, l'action effectuée dans l'histoire est l'action a. On a donc $M, w_1, h \models I_{\alpha}X(p \land q)$ mais on n'a pas $M, w_1, h \models I_{\alpha}X(p \lor q)$.

## B.6 Exemple limitation des modèles d'évènements les plus utiles

Le but de cet exemple est de montrer comment la prise en compte de l'utilité dans la modélisation d'une action de jeu pouvait en modifier son modèle d'action correspondant.

L'exemple est ici celui d'un jeu à deux joueurs avec deux carte A et B. Le joueur 1 n'a pas de carte, le joueur 2 reçoit la carte B, la carte A reste posée sur la table, rien n'est caché, tout est su.
<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>FIGURE B.7 – L’ensemble des modèles possibles du jeu</figcaption></figure>

Le joueur 2 à a sa disposition deux actions possibles, soit prendre les deux cartes, les mettre sous la table, les échanger et les replacer sur la table. Soit il peut prendre les cartes, les mettre sous la table, ne pas les échanger et les remettre sur la table. Cette fois-ci les cartes seront cachées au joueur 1 mais visibles pour le joueur 2. En d'autres termes, le joueur 2 peut effectuer deux actions différentes qui seront indistinguishables pour le joueur 1. Le joueur 1 lui n'a que l'action de ne rien faire *noop*. Les modèles d'évènements de ces deux actions sont équivalents (modèle d'évènement identique à l'action réel près). Ce modèle correspond aux actions d'échanger et de laisser liées entre elles par une relation d'indistinguishabilité du joueur 1. Cet exemple est représenté en figure B.7. Après l'une ou l'autre des actions du joueur 2, le joueur 1 imagine deux mondes possibles, l'un où le joueur 2 a la carte A, l'autre où il a carte B. Le monde réel dépendant de l'action du joueur 2.

Le joueur 2 marque un score de 1 s'il a la carte A après qu'il ait joué et un score de 0 s'il a la carte B. L'action d'échanger est donc plus utile pour le joueur 2. Dans la tête du joueur 1, le joueur 2 va forcément effectuer l'action d'échanger. Lors du calcul d'intention, l'action de laisser ne sera donc pas prise en compte. Ceci ne change pas seulement le nombre d'actions du joueur 2 à prendre en compte mais également le modèle d'évènement des actions restantes. Ici par exemple, pour le joueur 1 l'action d'échanger est plus utile que l'action de laisser, ces deux actions deviennent donc distinguables pour le joueur 1. Le modèle d'évènement de l'action d'échanger n'est donc plus que formé par l'action d'échanger. Le modèle épistémique résultant sera alors lui aussi changé, ne contenant plus que le monde où le joueur 2 à échanger les cartes. Les modèles prisent en compte lors du calcul de l'intention sont donc différents. Cette modélisation est présenté en figure B.8.

Nous ne retrouvons donc avec deux modélisations différentes du jeu. L'une globale et réel, représentant l'ensemble des cas possibles. L'autre subjectif et virtuel, représentant le regard du joueur sur le jeu.
<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>FIGURE B.8 – L’ensemble des modèles possibles les plus utiles du jeu</figcaption></figure>
Bibliographie

[Ågo06] Thomas ÅGOTNES. « Action and Knowledge in Alternating-Time Temporal Logic ». *Synthese*, 149:375-407, 2006. 5.2

[BDRV01] Patrick BLACKBURN, Maarten DE RIJKE, et Yde VENEMA. *Modal Logic*. Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science. Cambridge University Press, 2001. Ouvrage (auteur). 1.1.1

[BMH05] Alexandru BALTAG, Lawrence MOSS, et Wiebe HOEK. « Logics for Epistemic Programs », volume 139, pages 1-60. 12 2005. 1.3.4

[BMS98] Alexandru BALTAG, Lawrence S. MOSS, et Slawomir SOLECKI. « The Logic of Public Announcements, Common Knowledge, and Private Suspicions ». Dans *Proceedings of the 7th Conference on Theoretical Aspects of Rationality and Knowledge*, TARK '98, page 4356, San Francisco, CA, USA, 1998. Morgan Kaufmann Publishers Inc. 1.3.4

[Bra87] Michael E. BRATMAN. *Intention, Plans and Practical Reason*. Harvard University Press, 1987. (document), 2.1, 5, 6, 2.1.2, 7, 9, 2.3, 3.4.3

[BVBW06] Patrick BLACKBURN, Johan VAN BENTHEM, et Frank WOLTER. *Handbook of Modal Logic*, volume 3. Elsevier, novembre 2006. ISSN 1570-2464. 1.1.1

[CGLd20] Nathalie CHETCUTI-SPERANDIO., Alix GOUDYME., Sylvain LAGRUE., et Tiago de LIMA. « First Steps for Determining Agent Intention in Dynamic Epistemic Logic ». Dans *Proceedings of the 12th International Conference on Agents and Artificial Intelligence - Volume 2 : ICAART*, pages 717-724. INSTICC, SciTePress, 2020. 4

[CH96] Maxwell John CRESSWELL et George Edward HUGHES. *A New Introduction to Modal Logic*. Routledge, 1996. 1.1.1

[CL90] Philip R. COHEN et Hector J. LEVESQUE. « Intention is choice with commitment ». *Artificial Intelligence*, 42(2):213-261, 1990. 2.2.1, 3.4.3, 3.4.3

[CSGLdL21] Nathalie CHETCUTI-SPERANDIO, Alix GOUDYME, Sylvain LAGRUE, et Tiago de LIMA. « Checking Agent Intentions in Games». Dans *2021 IEEE 33rd International Conference on Tools with Artificial Intelligence (ICTAI)*, pages 815-822, 2021. 5

[DF14] Hans DITMARSCH et Tim FRENCH. « Semantics for Knowledge and Change of Awareness ». *Journal of Logic, Language and Information*, 23, 06 2014. 6.2.1

[DHK05] Hans DITMARSCH, Wiebe HOEK, et Barteld KOOI. « Dynamic Epistemic Logic with Assignment ». Dans *Proceedings of the Fourth International Joint Conference on Autonomous Agents and Multiagent Systems*, AAMAS '05, page 141148, New York, NY, USA, 2005. Association for Computing Machinery. 1.3.3

[dL14] Tiago de LIMA. « Alternating-time temporal dynamic epistemic logic ». *Journal of Logic and Computation*, 24(6):1145-1178, 2014. 3.2
[EMAC17] Markus EGER, Chris MARTENS, et Marcela ALFARO CORDOBA. « An intentional AI for Hanabi ». Dans *Conference on Computational Intelligence in Games*, pages 68–75, 2017. (document)

[EMNT18] Thorsten ENGESSER, Robert MATTMÜLLER, Bernhard NEBEL, et Michael THIELSCHER. « Game Description Language and Dynamic Epistemic Logic Compared ». Dans *Proceedings of the Twenty-Seventh International Joint Conference on Artificial Intelligence, IJCAI-18*, pages 1795–1802. International Joint Conferences on Artificial Intelligence Organization, 7 2018. 4.1.3

[FC12] Brian F. CHELLAS. « Modal Logic ». *Cambridge University Press*, pages 3–160, 2012. 1.1.1

[FHM90] Ronald FAGIN, Joseph Y. HALPERN, et Nimrod MEGIDDO. « A logic for reasoning about probabilities ». *Information and Computation*, 87(1):78–128, 1990. Special Issue : Selections from 1988 IEEE Symposium on Logic in Computer Science. 6.2.1

[FHMV03] Ronald FAGIN, Joseph Y. HALPERN, Yoram MOSES, et Moshe Y. VARDI. « Reasoning about knowledge ». *MIT Press*, pages 1–232, 2003. 1.2.1

[GCSLDL19] Alix GOUDYME, Nathalie CHETCUTI-SPERANDIO, Sylvain LAGRUE, et Tiago DE LIMA. « Intention et logique épistémique dynamique ». Dans *Rencontres des Jeunes Chercheurs en Intelligence Artificielle (RJCIA 2019)*, pages 1–9, Toulouse, France, juillet 2019. Co-localisées avec la Plate-Forme Intelligence Artificielle (PFIA 2019). 4

[GT14] M GENESERETH et M THIELSCHER. *General Game Playing*. Morgan & Claypool, 2014.

[Hin62] Jaakko HINTIKKA. « Knowledge and belief : an introduction to the logic of the two notions ». *Ithaca, N.Y. : Cornell University Pres*, 1962.

[HM92] Joseph Y. HALPERN et Yoram MOSES. « A guide to completeness and complexity for modal logics of knowledge and belief ». *Artificial Intelligence*, 54(3):319–379, 1992. 1.2.2

[IPS10] Thomas F. ICARD, E. PACUIT, et Yoav SHOHAM. « Joint revision of belief and intention ». Dans *Proceedings of KR2010*, pages 572–574, 2010. 2.4.2

[JZPZ16] Guifei JIANG, Dongmo ZHANG, Laurent PERRUSSEL, et Heng ZHANG. « Epistemic GDL : A Logic for Representing and Reasoning about Imperfect Information Games ». Dans *Proceedings of the Twenty-Fifth International Joint Conference on Artificial Intelligence, IJCAI 2016*, pages 1138–1144, 2016. (document), 1.4.1, 5.3.1

[JZPZ21] Guifei JIANG, Dongmo ZHANG, Laurent PERRUSSEL, et Heng ZHANG. « Epistemic GDL : A logic for representing and reasoning about imperfect information games ». *Artificial Intelligence*, 294:103453, 2021. (document), 1.4.1

[KL10] Shakil M. KHAN et Yves LESPÉRANCE. « A Logical Framework for Prioritized Goal Change ». Dans *Proc. of 9th Int. Conf. on Autonomous Agents and Multiagent Systems (AAMAS 2010)*, pages 283–290, 2010. 3.4.3

[Koo03] Barteld KOOI. « Probabilistic Dynamic Epistemic Logic ». *Journal of Logic, Language and Information*, 12, 09 2003. 6.2.1

[Kri59] Saul Aaron KRIPKE. « Semantical Analysis of Modal Logic ». *The Journal of Symbolic Logic*, 1959. 1.1.3

[Lew69] David Kellogg LEWIS. « Convention : A Philosophical Study ». 1969. 1.2.4
[MH95] John-Jules Ch. MEYER et Wiebe van der HOEK. *Epistemic Logic for AI and Computer Science*. Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science. Cambridge University Press, 1995. 1.2.1

[Pla07] Jan PLAZA. « Logics of Public Communications ». *Synthese*, 158(2):165-179, 2007. 1.3.2

[RG95] Anand S. RAO et Michael P. GEORGEFF. « BDI-agents : From Theory to Practice ». Dans *Proceedings of the First International Conference on Multiagent Systems (ICMAS95)*, pages 312-319, 1995.

[RG98] Anand S. RAO et Michael P. GEORGEFF. « Decision Procedures for BDI Logics ». *Journal of Logic and Computation*, 8(3):293-342, 1998. (document), 2.3, 3.4.3

[Roy09] Olivier ROY. « A dynamic-epistemic hybrid logic for intentions and information changes in strategic games ». *Synthese*, 171(2):291-320, 2009. 2.5, 3.4.3, 3.4.3

[Sho04] Pierr-Yves SHOBBENS. « Alternating-time logic with imperfect recall ». *Electronic Notes in Theoretical Computer Science*, 85(2):82-93, 2004. 5.2

[Sho09] Yoav SHOHAM. « Logical Theories of Intention and the Database Perspective ». *Journal of Philosophical Logic*, 38:633-647, 2009. 2.4.1, 3.4.3

[sta] « Game Definition Language, http://games.stanford.edu/games/gdl.html, Accédé : 2022-01-04 ».

[Thi10] Michael THIELSCHER. « A General Game Description Language for Incomplete Information Games ». Dans *Proceedings of the Twenty-Fourth AAAI Conference on Artificial Intelligence*, pages 994-999, 2010.

[Thi17] Michael THIELSCHER. « GDL-III : A Description Language for Epistemic General Game Playing ». Dans *Proceedings of the Twenty-Sixth International Joint Conference on Artificial Intelligence (IJCAI-17)*, pages 1276-1282, 2017. (document)

[vD01] Hans P. van DITMARSH. « The description of game actions in Cluedo ». *Technical Report*, 2001. 1.3.4

[vDv⁺20] Marc VAN ZEE, Dragan DODER, Leendert VAN DER TORRE, Mehdi DASTANI, Thomas ICARD, et Eric PACUIT. « Intention as commitment toward time ». *Artificial Intelligence*, 283:103270, 2020. 2.4.2

[vES14] Jan van EIJCK et François SCHWARZENTRUBER. « Epistemic Probability Logic Simplified ». volume 10, 08 2014. 6.2.1

[vvHK15] Hans VAN DITMARSCH, Wiebe VAN DER HOEK, Joseph Y. HALPERN, et Barteld KOOL, éditeurs. *Handbook of Epistemic Logic*. College Publications, 2015. 1.2.1

[Woo00] Michael WOOLDRIDGE. *Reasoning about Rational Agents*. The MIT Press, 2000. 3.4.3
Résumé

Les décisions des agents rationnels sont dirigées par leurs intentions, dans le sens que l’agent exécute l’action qui va le mener le plus probablement vers la situation dont les propriétés étaient intentionnellement recherchées. En utilisant cette vision, cette thèse propose plusieurs modélisations de l’intention permettant de vérifier une intention : soit une description d’un jeu, un état et l’action exécutée par un agent donné, la méthode vérifie si l’agent avait l’intention d’atteindre une situation ou une certaine propriété « p » est vérifiée. Nous utilisons des logiques avec des opérateurs épistémiques et temporels pour raisonner sur des jeux de plus en plus complexes et nous l’étendons avec des opérateurs d’intentions. Nous montrons que ces opérateurs satisfont les principes de la thèse d’asymétrie de Bratman et nous les comparons à d’autres théories de l’intention.

**Mots-clés :** Intelligence artificielle, Représentation des connaissances et raisonnement, Intention, Logique épistémique dynamique, Jeux à information incomplète

Abstract

Rational agents decisions are driven by their intentions, in the sense that agents execute actions that most probably lead to situations where their intentions are achieved. Using that insight, this thesis proposes a method for intention checking : let a description of a game, a state and the action executed by the agent at the given state, the method checks whether the agent acted with the intention to reach a situation where some proposition p is true. We use logics with epistemic and temporal operators to reason about games more and more complex and extend it with intention operators. We show that these operators satisfy the principles of Bratmans Asymmetry Thesis, and we also compare it to other theories of intention.

**Keywords :** Artificial intelligence, Knowledge representation and reasoning, Intention, Dynamic epistemic logic, Imperfect information games