premier cas, on obtient que le transfert de $\text{St}(G)$ est la différence des traces
tordue de l'induite $|\cdot| \times 1 \times |\cdot|^{-1}$ et de la trace tordue de la représentation triviale, l'action de $\theta$ est celle qui est donnée par la normalisation de Whittaker. On remarque que l'induite $|\cdot| \times 1 \times |\cdot|^{-1}$ a exactement deux sous-quotients irréductibles dont la classe d'isomorphie est stable sous l'action de $\theta$ qui sont la représentation triviale de $\text{GL}_3(F)$ et la représentation de Steinberg; chacune de ces représentations a multiplicité un et hérite de la « bonne » action de $\theta$ quand on a normalisé l'action de $\theta$ sur l'induite de façon à commuter à la fonctionnelle de Whittaker. Donc la trace tordue de l'induite est exactement la somme des traces tordues. Ainsi la trace tordue de $\tilde{\text{St}}(G)$ se calcule en faisant la différence des traces tordues comme dans A.3 ce qui donne le résultat cherché. Dans le cas de $G = \text{SO}(3)$, c'est encore plus simple car l'induite à considérer est $|\cdot|^{1/2} \times |\cdot|^{-1/2}$ qui est de longueur exactement deux contenant comme sous-quotients irréductibles la représentation de Steinberg et la représentation triviale.

Il reste le cas où $G = \mathbf{SO}(2)$ déployé ou non. Ici $\text{St}(G)$ est la représentation triviale du tore. On va d'abord traiter (avec l'aide de Waldspurger) le cas de $\mathbf{SO}(2)$ non déployé. Le cas archimédien (dont on n'a pas besoin ici) est partiellement traité dans [23] il manque juste l'interprétation d'un signe en termes de facteurs de transfert. On considère la représentation induite $1 \times \eta$ de $\mathbf{GL}_2(F)$ où $\eta$ est le caractère quadratique déterminant une extension $E$ de $F$ tel que $\mathbf{SO}(2)$ soit les éléments de normes un de $E^\times$. On note $\tilde{\pi}$ l'extension de cette représentation à $\tilde{\mathbb{G}}_2$ en imposant que $\tilde{\pi}(\theta)$ préserve le modèle de Whittaker. On peut décrire facilement $\tilde{\pi}(\theta)$ (c'est analogue à [23]): notons $B$ le sous-groupe de Borel de $\mathbf{GL}_2(F)$ et $B_0$ son intersection avec $\mathbf{SL}_2(F)$. Alors la restriction de $\text{Ind}_B^{\mathbf{GL}_2(F)}(1 \otimes \eta)$ à $\mathbf{SL}_2(F)$ est exactement $\text{Ind}_{B_0}^{\mathbf{SL}_2(F)}(1 \otimes \eta)|_{B_0}$, c'est-à-dire l'induite du caractère $\eta$ de $B_0$ à $\mathbf{SL}_2(F)$. Or cette dernière induite est la somme de deux sous-modules irréductibles, $\pi^+ \oplus \pi^-$ où par définition $\pi^+$ est la sous-représentation ayant le modèle de Whittaker. On remarque qu'ici $\theta(g) = g/\det(g)$ et en particulier $\theta$ agit trivalement sur $\mathbf{SL}_2(F)$. Ainsi $\tilde{\pi}(\theta)$ agit nécessairement par $+1$ sur $\pi^+$. Évidemment $\tilde{\pi}(\theta)$ ne peut être identiquement $1$ sinon $\pi(g) = \pi(\theta(g))$ pour tout $g \in \mathbf{GL}_2(F)$ ce qui force le caractère central de $\pi$ à être trivial alors qu'il ne l'est pas. Ainsi $\tilde{\pi}(\theta)$ vaut nécessairement $-1$ sur $\pi^-$. Pour $g \in \mathbf{SL}_2(F)$, le caractère de $\tilde{\pi}$ en $g\theta$ est exactement $\pi^+(g) - \pi^-(g)$. Cette différence de caractères a été calculée en termes d'endoscopie pour $\mathbf{SL}_2(F)$ par Labesse et Langlands : c'est le transfert endoscopique du caractère trivial du même $\mathbf{SO}(2, F)$ mais ce n'est pas la même correspondance endoscopique. En retenant les définitions, on vérifie que si $\delta \in \mathbf{SO}(2, F)$ correspond à $g \in \mathbf{SL}_2(F)$ (ou plutôt à sa classe de conjugaison stable) dans l'endoscopie pour $\mathbf{SL}_2(F)$ alors $\delta^2$ correspond à la classe de conjugaison stable de $g$ pour l'endoscopie
tordue pour $\mathbf{GL}_2$. Fort heureusement, pour un tel couple $(\delta, g)$ on a l'égalité des facteurs de transfert

$$ \Delta_{\mathbf{SL}_2(F)}(\delta, g) = \Delta_{\mathbf{GL}_2(F)} \cdot \theta(\delta^2, g). $$

Soit donc $g \in \mathbf{SL}_2(F)$ tel que les valeurs propres de $g$ soient $(\alpha(g), \alpha(g)^{-1})$ avec $\alpha(g)$ dans $E^\times$. Nécessairement $\alpha(g)$ est de norme un et détermine donc un élément $\delta \in \mathbf{SO}(2, F)$. Ainsi $\delta$ et $\delta^{-1}$ sont les éléments de $\mathbf{SO}(2, F)$ tel que le facteur de transfert $\Delta_{\mathbf{SL}_2(F)}(\delta, g)$ est non nul et d'après [32], on a l'égalité de caractères :

$$ \pi^+(g) - \pi^-(g) = \sum_{\delta \in \mathbf{SO}(2,F)} \Delta_{\mathbf{SL}_2(F)}(\delta, g). $$

D'après ce que l'on a vu ci-dessus, pour ce point $g$, le terme de gauche est le caractère tordu de $\tilde{\pi}$ et celui de droite est $\sum_{\delta \in \mathbf{SO}(2,F)} \Delta_{\mathbf{GL}_2(F)} \cdot \theta(\delta^2, g)$ et ce sont les deux éléments $\delta^2$ qui correspondent à la classe de conjugaison tordue stable de $g$. On obtient donc bien $z = 1$.

Il reste le cas où $\mathbf{SO}(2, F)$ est déployé, c'est-à-dire $\mathbf{SO}(2, F) \simeq F^\times$. Dans ce cas, $\mathbf{SO}(2, F)$ n'est pas associé à une donnée endoscopique elliptique de $\tilde{G}_2$ mais est à une donnée endoscopique elliptique de l'espace de Levi $\tilde{M} := (F^\times \times F^\times) \cdot \theta$ où $\theta(t, t') = (t'^{-1}, t^{-1})$. Le transfert des fonctions est alors facile :

$$ \tilde{f} \mapsto \int_{F^*} \tilde{f}_{\tilde{M}}(tt'^{-1}, t') dt'. $$

L'analogue de la représentation $\tilde{\pi}$ du paragraphe précédent est tout simplement l'induite irréductible du caractère trivial du Borel de $\mathbf{GL}_2(F)$, l'action de $\theta$ étant l'action triviale et la formule de transfert des caractères est alors immédiate. $\square$

### A.5. Le cas des représentations $\theta$-induites

Le transfert commute à l'induction c'est une des propriétés clés mais on va utiliser cette propriété uniquement dans un cas très particulier. On suppose que $G$ est déployé, il contient donc un sous-groupe parabolique, $P$, de Levi isomorphe à $\mathbf{GL}_n(F)$; si $G \neq \mathbf{SO}(2n)$ à conjugaison près, il n'y a même qu'un seul tel sous-groupe parabolique, par contre si $G = \mathbf{SO}(2n)$, il y en a deux qui sont conjugués sous $\mathbf{O}(2n, F)$. On fixe $\omega$ une représentation cuspidale irréductible unitaire de $\mathbf{GL}_n(F)$. Soit $\mu$ un caractère de $F^\times$; on considère d'une part la représentation induite $\pi(\mu) := \text{Ind}_P^G(\omega\mu)$ de $G$ (si $G = \mathbf{SO}(2n)$ on fixe l'un des choix) et d'autre part la représentation induite de $\mathbf{GL}_N(F)$, $\tilde{\pi}(\mu)$ qui est soit $\omega\mu \times \omega^*\mu^{-1}$ si $N = 2n$ soit $\omega\mu \times 1 \times \omega^*\mu^{-1}$ si $N = 2n+1$. On munit $\tilde{\pi}(\mu)$ de l'action de $\theta$ qui fixe la fonctionnelle de Whittaker;
cette action coïncide avec l'action canonique de $\theta$ suivante : on note $V_\omega$ un espace dans lequel on réalise $\omega$; alors $\omega\mu$ se réalise évidemment dans $V_\omega$ sans aucun choix supplémentaire. Par contre, on fixe un automorphisme $A$ qui identifie l'espace de $\omega^*$, $V_{\omega^*}$ avec $V_\omega$ et qui entrelace l'action de $\omega^*$ avec l'action $g \in \mathbf{GL}_n(F) \mapsto \omega(J_n^{-1}tg^{-1}J_n)$. La représentation induite se réalise dans l'espace des fonctions sur $\mathbf{GL}_N(F)$ lisses à support compact modulo le bon parabolique et à valeurs dans $V_\omega \otimes V_{\omega^*}$. Alors $\theta$ agit naturellement sur cet espace par

$$ \forall g \in \mathbf{GL}(N, F), \quad \theta.f(g) = A^{-1} \otimes Af(\theta(g)). $$

Cette action coïncide avec l'action de $\theta$ préservant la fonctionnelle de Whittaker. La trace tordue se calcule via le terme constant comme la trace tordue pour la représentation $\omega\mu \otimes \omega^*\mu^{-1}$ de $(\mathbf{GL}_n(F) \times \mathbf{GL}_n(F))\theta'$ où $\theta'(g, g') = (\theta_n(g'), \theta_n(g))$ (avec $\theta_n$ défini comme $\theta$). L'endoscopie avec $\mathbf{GL}_n(F)$ est alors triviale. On déduit du fait que le transfert commute à l'induction, l'égalité de transfert :

$$ \forall \tilde{f} \in \tilde{\mathcal{H}}_N, \quad \mathrm{Tr}_{\theta_N}(\tilde{\pi}(\mu)(\tilde{f})) = \mathrm{Tr}(\pi(\mu)(f^G)). $$

Il faut remarquer que $f^G$ est invariant sous l'action de $\mathbf{O}(2n, F)$ si $G = \mathbf{SO}(2n, F)$ est déployé et que ce résultat ne dépend donc pas du choix du parabolique pour définir $\pi(\mu)$.

## A.6. Globalisation d'après Arthur et Chenevier-Clozel

Le paragraphe qui suit est tiré de [10, 6.2.2]; comme dans cette référence il est supposé que le corps de nombres sur lequel on se place a « beaucoup » de places archimédiennes et que nous voulons le résultat sur $\mathbb{Q}$, on redonne les arguments. De plus on a ajouté une construction tirée de [18] qui permet de ne pas avoir de problème avec les caractères centraux des représentations des groupes classiques. Là aussi on dévie du cadre de [18], puisque dans cet article c'est le cas de $\mathbf{SO}(2n+1)$ qui était traité alors que l'idée nous sert justement à traiter le cas des groupes classiques ayant un centre. La situation est donc maintenant globale, notre groupe classique $G$ est défini sur un corps de nombres, noté $F$.

Le premier résultat utilisé est un résultat local démontré en [7, §5.1] (voir aussi [20]): on fixe $\pi$ une série discrète de $G(\mathbb{R})$ et on considère $f_{\pi, st}$. Ici $f_{\pi, st}$ est la somme des pseudo-coefficients pour les séries discrètes de $G(\mathbb{R})$ dans le même paquet stable que $\pi$. C'est une fonction cuspidale et stable. Alors les intégrales orbitales de $f_{\pi, st}$ sont nulles en tout point non semi-simple.

On fixe un caractère infinitésimal $\nu$ de $G(\mathbb{R})$ que l'on suppose entier et loin des murs. Cela entraîne que pour toute représentation $\pi_\infty$ de $G(\mathbb{R})$ unitaire,
$\pi_\infty$ est une série discrète : en effet d'après [46], une telle représentation est l'une des représentations construites par Vogan et Zuckermann ([60]). Or ces représentations n'ont un caractère infinitésimal « loin des murs » que si elles sont des séries discrètes. On reprend aussi la notation de [10, 6.2.2], $mv$ avec $m \in \mathbb{N}$ pour faire tendre $v$ vers l'infini dans une chambre de Weyl fixée et évidemment $mv$ est toujours entier et loin des murs. On remarque alors aussi que quand $mv$ est fixé, les séries discrètes de $G(\mathbb{R})$ ayant ce caractère infinitésimal sont dans un unique paquet de Langlands si $G \neq \text{SO}(2n)$ et par contre sont dans deux paquets de Langlands conjugués sous $O(2n, \mathbb{R})$ si $G = \text{SO}(2n)$. On note donc $f_{mv,st}$ la somme des pseudo-coefficients comme ci-dessus. On remarque aussi pour la suite que si $\pi_v$ est une série discrète de $G(\mathbb{R})$ de caractère infinitésimal $v$, son caractère central ne dépend que de $v$, on le note $\chi_v$ (cela n'a d'intérêt que si $G(\mathbb{R})$ a un centre non trivial) et $\chi_{mv} = \chi_v$ : en effet pour calculer le caractère central, on écrit $\pi_v$ comme sous-quotient d'une série principale ; dans cette série principale les exposants des caractères par leur multiple par $m$ sans changer leur restriction à $-1 \in \mathbb{R}$ et la nouvelle série principale contient comme sous-quotient une série discrète de caractère infinitésimal $mv$. D'où l'assertion.

On fixe $V$ un nombre fini de places de $\mathbb{Q}$ contenant la place archimédienne, le $V_{ram}$ de [42] (c'est-à-dire toutes les places de petites caractéristiques résiduelles) et telles que le lemme fondamental tordu soit vrai hors de $V$. On suppose que $V$ a au moins deux places finies. On en fixe une, notée $v_0$ et on suppose que $G(\mathbb{Q})$ est déployé en cette place (la condition n'est restrictive que si $G = \text{SO}(2n)$ est quasi-déployé non déployé). En la place $v_0$, on note $F_0$ le complété de $\mathbb{Q}$ et on fixe une représentation cuspidale irréductible unitaire $\omega_0$ de $\text{GL}_n(F_0)$ telle que pour tout caractère non ramifié $\nu$ de $F_0^\times$, la représentation $\omega_0\nu$ n'est pas isomorphe à sa contragrédiente $\omega_0^*\nu^{-1}$. Alors pour tout $\nu$ comme précédemment et pour tout parabolique $P$ de $G(F_0)$ de sous-groupe de Levi $\text{GL}_n(F_0)$ l'induite $\text{Ind}_P^{G(F_0)} \omega_0\nu$ est irréductible. On reprend une idée de [18] : on fixe une fonction $f_0$ sur $G(F_0)$ dont la composante de Paley-Wiener est nulle pour toute composante $(M, \sigma)$ où $M$ est un sous-groupe de Levi de $G(F_0)$ différent de $\text{GL}_n(F_0)$ ou égal à $\text{GL}_n(F_0)$ mais alors $\sigma \nmid \omega\nu$ pour tout $\nu$ caractère unitaire non ramifié de $F_0^\times$. On impose en plus à $f_0$ de vérifier $f_0(1) \neq 0$ ce qui ne pose pas de problème en utilisant la formule de Plancherel. On note $\chi_\omega$ le caractère central de $\omega$ et on remarque que pour $z$ dans le centre de $G(F_0)$ (c'est-à-dire $z=1$ ou $z=-1$ ce qui ne peut se produire que si $G \neq \text{SO}(2n+1)$), on a $z.f_0 = \chi_\omega(z)f_0$.

On définit $\tilde{f}_0 \in I(\tilde{G}_N)$ de tel sorte que $f_0$ en soit un transfert : la composante de Paley-Wiener de cette fonction est nulle sauf sur la composante associée à $\tilde{M}$, $\tilde{\omega}$ où $\tilde{M}$ est le transfert du Levi $M = \text{GL}_n(F_0)$ de $G(F_0)$ et $\tilde{\omega}$ est le transfert de $\omega$ c'est-à-dire essentiellement $\omega \otimes \omega$ ou $\omega \otimes \omega \otimes 1$. Et les
termes constants de $\tilde{f}_0$ ont pour transfert le terme constant de $f_0$ pour ces
Levi mais l'opération de transfert est ici assez évidente.

On fixe $\nu$ et $\omega$ et on demande à $\omega$ d'avoir comme caractère central restreint
au centre de $\mathbf{G}(\mathbb{R})$ le caractère $\chi_\nu$. On note $V'$ le sous-ensemble de $V$ dont on
a enlevé $v_0$ et l'infini. Pour toute place $v$ de $\mathbb{Q}$ dans $V'$, on fixe $f_v$ un pseudo-
coefficient de la représentation de Steinberg. On note $1_{KV}$ la fonction caracté-
ristique du compact $\mathbf{G}(\mathcal{O}_v)$. Alors la fonction $f^G(mv) := 1_{KV} f_0 f_{mv} \times_{v \in V'} f_v$
est invariante sous l'action du centre de $\mathbf{G}(\mathbb{Q})$. C'est en plus une fonction
cuspidale en au moins deux places et dont les intégrales orbitales en les élé-
ments non semi-simples sont nulles (car cela est vrai pour $f_{mv}$). On fixe
aussi $\tilde{f}_{mv}$ une fonction cuspidale de $I_{cusp}(\tilde{G}_N)$ dont le transfert à $\mathbf{G}(\mathbb{R})$
est la fonction $f_{mv}$ et, pour tout $v \in V'$, une fonction cuspidale dans
$I_{cusp}(\tilde{G}_N(F_{v'}))$ qui a $f_{v'}$ comme transfert à $\mathbf{G}(F_{v'})$ (ici on utilise bien que
ce ne soit pas utile le fait que $f_{v'}$ est naturellement dans $SI_{cusp}^G$). On pose
$\tilde{f}(mv) := 1_{\tilde{K}^V} \tilde{f}_0 \tilde{f}_{mv} \times_{v \in V'} \tilde{f}_v$ où $\tilde{K}^V$ est $\mathbf{GL}_N(\mathcal{O}^V)$. $\theta_N$. Comme la notation
le suggère, $f^G$ est un transfert de $\tilde{f}$ pour l'endoscopie tordue.

Soit $c^V$ un caractère pour l'algèbre de Hecke sphérique de $\mathbf{G}(\mathbb{Q}^V)$ et $\tilde{c}^V$ son transfert à $\mathbf{GL}_N(\mathbb{Q}^V)$. Pour $m, \nu, \omega$ comme ci-dessus, on fixe aussi $\mu_0$ un caractère non ramifié de $F_0^\times$ et on note $\Pi^G(c^V, m\nu, \mu_0)$ l'ensemble des représentations automorphes de carré intégrable de $\mathbf{G}(\mathbb{A}_{\mathbb{Q}})$ ayant les propriétés suivantes :

• elles ont $mv$ comme caractère infinitésimal à l'infini,

* elles sont non ramifiées hors de V et se transforment sous le caractère $c^V$ pour l'action de l'algèbre de Hecke sphérique,

• en les places de $V'$, ce sont des représentations de Steinberg

* en $v_0$, elles sont isomorphes à l'une des induites $\text{Ind}_P(\mu_0 \otimes \omega)$ pour $P$ l'un des paraboliques de $G(F_0)$ de Levi $\mathbf{GL}_n(F_0)$.

On note $\tilde{\pi}(\tilde{c}^V, mv, \mu_0)$ la représentation de $\mathbf{GL}_N(\mathbb{A}_{\mathbb{Q}})$ qui hors de $V$ est la représentation non ramifiée correspondant à $\tilde{c}^V$ qui en toute place de $V'$ est le transfert de la représentation de Steinberg de $\mathbf{G}(F_{v'})$ et qui en $v_0$ est l'induite $\omega\mu_0 \times \omega^*\mu_0^{-1}$ si $N$ est pair et de $\omega\mu_0 \times \omega^*\mu_0^{-1} \times 1$ si $N$ est impair.

Arthur a démontré le résultat suivant (en des termes différents) ; on note
ici $i(G)$ la constante $i(\tilde{G}_N, G)$ qui intervient dans la stabilisation de la for-
mule des traces, la seule chose importante pour nous est que c'est un nombre
rationnel positif.

THÉORÈME A.3 ([10, 6.2.2]). — *Pour m suffisamment grand, il existe c<sup>V</sup> et µ<sub>0</sub> tel que l'ensemble Π<sup>G</sup>(c<sup>V</sup>, mv, µ<sub>0</sub>) soit non vide. Alors π(c<sup>V</sup>, mv, µ<sub>0</sub>) est une représentation automorphe qui intervient dans la partie discrète de la formule des traces pour G<sub>N</sub>.*
De plus pour toute fonction $\tilde{f}_V^\infty$ dans $\otimes_{v \in V - \{\infty\}} I(\tilde{G}_N(F_v))$ dont on note $f_V^{G,\infty}$ un transfert à $G(Q_{V-\{\infty\}})$ on a l'égalité de transfert :

$$ \mathrm{Tr}_{\theta_N}(\tilde{\pi}(\tilde{c}^V, m\nu, \mu_0)(\tilde{f}_V^\infty f_{m\nu} 1_K^V)) = i(G) \sum_{\pi \in \Pi^G(c^V, m\nu, \mu_0)} m(\pi) \mathrm{Tr}(\pi(f_V^{G,\infty} f_{m\nu} 1_{K^V})), $$

où $m(\pi)$ est un entier positif.

**Démonstration.** — On reprend la démonstration de loc. cit. On note $I_{geo}^G(\cdot)$ et $I_{spec}^G(\cdot)$ le côté géométrique et le côté spectral de la formule des traces pour $G$ et $SI_{geo}^G$ le côté géométrique de la formule des traces stables pour $G$ et $I_{geo}^{\tilde{G}_N}$, $I_{spec}^{\tilde{G}_N}$ les côtés de la formule des traces tordues; on a supprimé le $V$ de la notation mais c'est bien pour cet ensemble de places fixé que ces objets sont définis. La première remarque est que $\tilde{f}_{m\nu}$ n'a de transfert non nul que pour la donnée endoscopique associée à $G(\mathbb{R})$. Ainsi la stabilisation de la formule des traces pour $\tilde{G}_N(\mathbb{Q}) = GL_N(\mathbb{Q})$. $\theta$ se réduit à :

$$ I_{geo}^{\tilde{G}_N}(\tilde{f}(m\nu)) = i(G) SI_{geo}^G(f^G(m\nu)). $$

Mais de même $f_{m\nu}$ est dans $SI_{cusp}(G(\mathbb{R}))$ et ses transferts aux groupes endoscopiques elliptiques propres de $G(\mathbb{R})$ sont nuls d'où encore :

$$ SI_{geo}^G(f^G(m\nu)) = I_{geo}^G(f^G(m\nu)). $$

La fonction $f^G(m\nu)$ est cuspidale en au moins deux places; le côté géométrique de la formule des traces se réduit donc aux intégrales orbitales. En plus $f_{m\nu}$ a ses intégrales orbitales non semi-simple nulles et ce côté géométrique se réduit donc à une somme avec des coefficients explicites (des volumes) pour les intégrales semi-simples. La dépendance de ses intégrales quand $m$ grandit est explicité par Harish-Chandra comme le montre [10]. Cela assure que $I_{geo}^G(f^G(m\nu))$ est certainement non nul pour $m$ grand si la somme des intégrales orbitales en les éléments centraux de $G(\mathbb{Q})$ est non nulle. Or la fonction $f^G(m\nu)$ est invariante sous l'action de ce centre par construction et il suffit donc que $f^G(m\nu)(1) \neq 0$. Or il est clair que $1_{K^V}(1) = 1$, $f_{m\nu}(1)$ n'est pas nul par le calcul d'Harish-Chandra, $f_0(1) \neq 0$ car on l'a construit comme cela et pour tout $v \in V$ tel que $f_v$ est un pseudo-coefficient d'une représentation de Steinberg, on a aussi $f_v(1) \neq 0$ par la formule de Plancherel. D'où la non nullité cherchée.

Ainsi on a aussi une non nullité du côté spectral :

$$ I_{spec}^{\tilde{G}_N}(\tilde{f}(m\nu)) = I_{spec}^G(f^G(m\nu)) \neq 0, $$

pour $m$ suffisamment grand. Comme $f^G(m\nu)$ est non ramifié hors de $V$, il existe un caractère $c^V$ comme ci-dessus tel que $G(A_\mathbb{Q})$ ait des représentations
non ramifiées hors de V se transformant suivant le caractère $c^V$ pour l'algèbre de Hecke sphérique et intervenant dans la partie discrète de la formule des traces pour G. En transférant à $\tilde{G}_N$, on trouve donc une représentation automorphe $\tilde{\pi}(c^V)$ de $GL_N(\mathbb{A}_{\mathbb{Q}})$ invariante sous $\theta$ et dont la $\theta$-trace n'annule pas la fonction $\tilde{f}(mv)$. Par les théorèmes de multiplicité un fort, cette représentation est uniquement déterminé par le choix de $c^V$ ou plutôt son transfert $\tilde{c}^V$.

Montrons que cette représentation a les propriétés formulées dans l'énoncé : d'abord on considère la place archimédienne. On note $\tilde{\pi}_{\infty}$ la composante de $\tilde{\pi}(c^V)$. On rappelle que $\tilde{f}_{mv}$ est une fonction cuspidale. On écrit la $\theta$-trace de $\tilde{\pi}_{\infty}$ dans le groupe de Grothendieck des $\theta$-représentations avec comme base les induites de représentations $\theta$-elliptiques. Et $\tilde{f}_{mv}$ est de trace nulle sur les induites propres, il ne reste que la contribution des $\theta$-elliptiques mais comme $\tilde{f}_{mv}$ est un pseudo-coefficient de la représentation $\theta$-elliptique de caractère infinitésimal $\tilde{m}\nu$ (le transfert de $mv$) le caractère infinitésimal de $\tilde{\pi}_{\infty}$ est aussi $\tilde{m}\nu$. Quand on écrit $\tilde{\pi}(c^V)$ comme induite de représentation de carré intégrable, on voit que le fait que $mv$ soit loin des murs force $\tilde{\pi}_{\infty}$ à être cette représentation $\theta$-elliptique. Cela force en même temps $\tilde{\pi}(c^V)$ à être une induite de représentations cuspidales (et pas seulement de représentations de carré intégrable).

On considère maintenant une place $v \in V$ qui n'est ni l'infini ni $v_0$. Avec la même démonstration que ci-dessus on vérifie que $\tilde{\pi}(c^V)_v$ est un sous-quotient de la série principale qui admet aussi le transfert de la représentation de Steinberg comme sous-quotient. En utilisant le fait que $\tilde{\pi}(c^V)_v$ est nécessairement une induite de composantes locales de représentations cuspidales (globales) cela force $\tilde{\pi}(c^V)_v$ à être en plus tempérée (bien que l'on ne connaisse pas la conjecture de Ramanujan) ; il n'y a plus de choix si $G \neq SO(2n)$, $\tilde{\pi}(c^V)_v$ est nécessairement la représentation de Steinberg. Et si $G = SO(2n)$ c'est nécessairement l'induite $\text{St}(2n) \times \eta_v$ où $\eta_v$ est le caractère quadratique déterminant la forme orthogonale.

Il reste la place $v_0$ ; traitons le cas où $G = Sp(2n)$ sinon il faut enlever $\mu_3$ dans ce qui suit. En utilisant le fait que $\text{Tr} \tilde{\pi}(c^V)_{v_0}(\tilde{f}_0) \neq 0$, on voit qu'il existe des caractères non ramifiés $\mu_1, \mu_2, \mu_3$ tels que $\tilde{\pi}(c^V)_{v_0} = \omega\mu_1 \times \omega^*\mu_2 \times \mu_3$. Comme cette représentation est nécessairement autoduale (en tenant aussi compte des propriétés de $\omega$), on a $\mu_2 = \mu_1^{-1}$ et $\mu_3^2 = 1$. Mais le caractère central de cette représentation est nécessairement trivial car il fait partie de la donnée endoscopique liée à G et donc $\mu_3 = 1$. Ainsi en posant $\mu_0 := \mu_1$, on a montré la totalité des propriétés voulues.

On écrit la stabilisation de la partie discrète de la formule des traces pour $\tilde{G}_N$ conformément à [42]. En fixant le caractère $\tilde{c}^V$, dans ce côté spectral il
n'y a que la trace tordue de $\tilde{\pi}(c^V)$. Dans la stabilisation, a priori d'autres données endoscopiques elliptiques que $G$ peuvent apparaître mais on ne calcule les distributions que sur les fonctions $\tilde{f}_V^\infty 1_{\tilde{K}^V} \tilde{f}_{m\nu}$ (avec les notations de l'énoncé). Le fait que les transferts de $\tilde{f}_{m\nu}$ sont nuls sauf pour la donnée endoscopique elliptique liée à $G$, simplifie la stabilisation de la manière suivante : pour tout $\tilde{f}_V^\infty$

$$ \mathrm{Tr}_{\theta_N}(\tilde{\pi}(\tilde{c}^V, m\nu, \mu_0)(\tilde{f}_V^\infty f_{m\nu} 1_{\tilde{K}^V})) = i(G) \sum_{\pi \in \Pi^G(c^V, m\nu)} m(\pi) \mathrm{Tr}(\pi(f_V^{G,\infty} f_{m\nu} 1_{K^V})), \quad (A.4) $$

où $\Pi^G(c^V, m\nu)$ est l'ensemble des représentations automorphes de $G(\mathbb{A})$ non ramifiées hors de $V$ et y correspondant au caractère $c^V$ de l'algèbre de Hecke sphérique et ayant $m\nu$ comme caractère infinitésimal; $m(\pi)$ est la multiplicité dans la partie discrète stable du côté spectral. On a déjà vu que l'on pouvait enlever le mot stable et $m(\pi)$ est donc la multiplicité dans la partie discrète de la formule des traces pour $G$ et cette multiplicité est positive car la régularité du caractère infinitésimal fait que l'on ne voit pas les termes venant des paraboliques propres. Il reste juste à montrer que l'on peut encore remplacer $\Pi^G(c^V, m\nu)$ par $\Pi^G(c^V, m\nu, \mu_0)$ : pour cela on remarque que l'égalité (A.4) est une égalité de transfert en toute place de $V$ sauf la place archimédienne. Mais on sait que le terme de gauche est un transfert de la représentation irréductible et stable $\otimes_{v \in V - \{\infty, v_0\}} \mathrm{St}_v \otimes \mathrm{Ind}_P^G(\omega\mu_0)$ (il n'y a pas à distinguer suivant les deux paraboliques possibles si $G = \mathbf{SO}(2n)$ car le transfert des fonctions donnent une fonction invariante sous $\mathbf{O}(2n)$). Avec l'indépendance linéaire des caractères on obtient l'assertion cherchée. Et ceci finit la démonstration du théorème. $\square$

COROLLAIRE A.4. — Le facteur de transfert $z(\psi)$ est égal à 1 dès que $m$ est suffisamment grand (où $\psi$ est le paramètre de Langlands du paquet de séries discrètes de caractère infinitésimal $m\nu$).

Démonstration. — On reprend les définitions et notations du théorème précédent. On remarque que pour tout $\tilde{f}_V^\infty$ on a l'égalité de transfert :

$$ \mathrm{Tr}_{\theta_N}(\otimes_{v \in V - \{\infty\}} \tilde{\pi}(c^V, m\nu, \mu_0)(\tilde{f}_V^\infty)) = \mathrm{Tr}(\otimes_{v \in V - \{\infty, v_0\}} \mathrm{St}_v \otimes \mathrm{Ind}_P^G \omega \mu_0(f_V^{G,\infty})). $$

On reporte dans le théorème en utilisant aussi le lemme fondamental hors de $V$ et on trouve finalement

$$ \mathrm{Tr}_{\theta_N}(\tilde{\pi}(c^V, m\nu, \mu_0)_\infty(\tilde{f}_{m\nu})) = i(G) \sum_{\pi \in \Pi^G(c^V, m\nu, \mu_0)} m(\pi) \mathrm{Tr}(\pi_\infty(f_{m\nu})). $$

Et comme $f_{m\nu}$ est la somme des pseudo-coefficients pour toutes les séries discrètes de $G(\mathbb{R})$ ayant $m\nu$ comme caractère infinitésimal, le terme
de droite vaut exactement $i(G) \sum_{\pi \in \Pi_G(c^V, m_\nu, \mu_0)} m(\pi)$. Le terme de gauche vaut avec (A.1) $z(\psi)^{-1}$. Comme $z(\psi)$ est de valeur absolue 1, cela force $z(\psi) = 1$. $\square$

## A.7. Le cas général

On reprend la même construction que précédemment en suivant encore [10, 6.2.2]. Mais maintenant on a le résultat aux places archimédiennes dès que le caractère infinitésimal est suffisamment grand. On a toujours le résultat aux places p-adiques si l'on ne considère que les représentations de Steinberg. On fixe donc une extension de $\mathbb{Q}$ ayant au moins deux places archimédiennes. On fixe $u$ l'une de ces places archimédiennes et on fixe un paquet de séries discrètes en cette place indexé par un paramètre $\psi$; on considère encore un pseudo-coefficient dans $SI_{cusp}(G(\mathbb{R}))$ relatif à ce paquet et on note $\psi$ le paramètre de Langlands du paquet. On fixe aussi $V$ un ensemble fini de places contenant $V_{ram}$ (cf. [42]) et en ces places, quand elles sont p-adiques, on s'intéresse comme ci-dessus à des représentations de Steinberg. Aux places archimédiennes, on a soit la place $u$ où on a fixé le paquet de séries discrètes soit des places où encore une fois on s'autorise un caractère infinitésimal tendant vers l'infini en étant loin des murs.

**THÉORÈME A.5.** — Le facteur de transfert $z(\psi)$ est égal à 1.

**Démonstration.** — C'est exactement la même démonstration que ci-dessus. On n'a pas besoin de la place $v_0$ introduite ci-dessus et de la représentation induite en cette place puisqu'elle n'était là que pour ne pas devoir imposer aux paquets de séries discrètes considérés d'avoir un caractère central trivial. Mais maintenant on a réglé le cas de tous les paquets de séries discrètes aux places archimédiennes dès que le caractère infinitésimal est grand. $\square$

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