du mobile AA de dimension D, soit une dimension $\frac{D}{2}$. Or, si $T = \frac{D}{V}$, on a $\frac{D}{2V} = \frac{T}{2}$, autrement dit le temps est de moitié, est égal à $\frac{T}{2}$. Comme il s'agit du même temps, on a bien que le temps est égal à sa moitié, $T = \frac{T}{2}$. En faisant le même raisonnement dans l'ordre inverse, on obtiendrait un temps double, $T = 2T$.

Cette lecture concorde avec le reproche que fait Aristote : Zénon croit à tort qu'un corps de même dimension se mouvant à la même vitesse se meut en un temps égal aussi bien le long d'un corps en mouvement que le long d'un corps en repos ; autrement dit il ignore la relativité de la vitesse.

### 5.4.3 Continu et discret ?

Il a souvent été remarqué que ces deux arguments, apparemment sophistiques dans une perspective aristotélicienne continuiste, devenaient beaucoup plus forts, et peut-être insurmontables, dans une perspective atomiste. C'est-à-dire, plus précisément, qui pose qu'il y a des grandeurs, temps et mouvement minimaux, en sorte que, 1/ le mouvement minimal consiste dans le fait qu'en un minimum de temps un minimum de grandeur est parcouru, et 2/ le temps admet des parties constituantes atomiques qui sont des maintenants. Dans cette perspective, le temps a des parties constituantes dans lesquelles le mobile semble irrémédiablement en repos (= dans un même lieu durant un temps fini), et la différence des vitesses relatives devient énigmatique. Dans notre version simplifiée du Stade, on doit en conclure, si on veut éviter la conclusion zénonienne, que le C de gauche n'a jamais (en aucun temps) croisé le B de droite.

Comme nous l'avons indiqué, rien ne nous semble permettre de conclure que Zénon s'oppose à des adversaires ou des théories particulières. En revanche, la différence même de procédé est en soi instructive. Dans l'Achille comme la Dichotomie, Zénon utilise un principe d'itération indéfinie, alors que dans la Flèche il utilise à la fois un principe d'universalité et un principe de minimalité, et que dans le Stade il utilise un principe d'égalité et la notion de grandeurs bien déterminées. Nous devrions reconnaître ici une dualité, qui est tout simplement celle des deux branches argumentatives dans les apories
du continu. Pour rappel, dans l'aporie (supposée) de l'Un et du Multiple, Zénon utilisait l'égalité nécessaire à soi des éléments fondamentaux composant la grandeur, pour proclamer leur unité; puis, il utilisait la nécessité que ces éléments aient eux-mêmes une grandeur, pour proclamer – à cause de la divisibilité accompagnant la grandeur – leur caractère foncièrement multiple.

À partir de cette matrice (qu'elle se soit ou non trouvée littéralement dans les textes), Zénon déploie ses apories du Petit et du Grand, puis du Limité et de l'Illimité. Nous proposons, dans le tableau 5.1, une manière dont la matrice pourrait se déployer parallèlement, dans le domaine de la composition de la grandeur et dans celui du mouvement. Nous restons cependant agnostique quant à la question de la valeur historique ou philologique de cette matrice, et ne nions pas que d'autres dispositifs sont certainement possibles.

## 5.5 L'Achille et la Dichotomie

Aristote nous dit :

> Le premier est qu'il n'y a pas de mouvement parce que ce qui se déplace doit atteindre (*aphikesthai*) la moitié avant de parvenir au terme (*to proteron eis to hêmisu deîn aphikesthai to pheromènon ê pros to telos*); nous en avons traité auparavant.

> Le second est celui qu'on appelle “l'Achille”. Il consiste à dire que le plus lent ne sera jamais rattrapé (*katalêphthêsetai*) dans sa course par le plus rapide. Il est en effet auparavant nécessaire que le poursuivant arrive (*eltheîn*) à l'endroit d'où le fuyard s'est élancé, de sorte qu'il est nécessaire que le plus lent ait toujours quelque avance.

> Cet argument est aussi le même que celui de la procédure dichotomique, mais il en diffère en ce que la grandeur supplémentaire n'est pas divisée par moitié. Que le plus lent ne soit pas rattrapé résulte de l'argument, mais cela advient pour la même raison que pour la dichotomie (dans les deux cas en effet, il se produit qu'on ne parvient pas jusqu'à la limite quand la grandeur est divisée d'une certaine façon...), de sorte qu'il est nécessaire que la solution soit identique. Mais penser que ce qui a de l'avance n'est pas rattrapé est faux; en effet, tant qu'il a de l'avance,
<table><caption>TAB. 5.1 : La matrice argumentative</caption><thead><tr><th colspan="2">Un (égalité à soi des étants)</th><th colspan="2">Multiple (grandeur et donc divisibilité des étants)</th></tr><tr><th>Principe d'atomisation de l'unité</th><th>Principe de totalisation des unités</th><th>Processus d'illimitation de l'unité</th><th>Processus d'intotalisation des unités</th></tr></thead><tbody><tr><td>Rien n'a de grandeur du fait que chacune des choses multiples est identique à soi, et une. (Petit)</td><td>Les choses qui sont sont limitées en multiplicité, car il est nécessaire qu'elles soient aussi nombreuses qu'elles sont, et ni davantage ni moins. (Limité)</td><td>Chaque chose est grande au point d'être illimitée, car elle possède une grandeur et un surplus, et que le même argument vaut pour le surplus. (Grand)</td><td>Les choses qui sont sont illimitées en multiplicité, car entre les choses qui sont, il y en a toujours d'autres. (Illimité)</td></tr><tr><td>Le mobile est au repos, car il est toujours, dans un minimum de temps, dans un espace égal. (Flèche)</td><td>Le temps est égal à son double, car un mobile traverse dans le même temps une multiplicité simple et une multiplicité double. (Stade)</td><td>Le mobile ne traverse jamais une distance, car celle-ci est composée d'une distance et d'un surplus, et que le même argument vaut pour le surplus. (Dichotomie)</td><td>Le plus rapide ne rattrape jamais le plus lent, car entre les deux il y a toujours d'autres distances. (Achille)</td></tr></tbody></table>
il n'est pas rattrapé ; mais il est pourtant rattrapé, si l'on accorde qu'il est possible de traverser
complètement (*diexienai*) une distance limitée.

Il y a quelque chose de remarquable dans le texte d'Aristote, c'est qu'en dépit du fait qu'il s'agisse du chapitre où il présente en bonne et due forme les arguments de Zénon contre le mouvement, le terme d'infini, *apeiron*, n'y figure pas du tout<sup>19</sup>. Le plus proche de ce terme auquel on parvienne est dans l'expression « on ne parvient pas jusqu'à la limite », « mê *aphikneîsthai pros to peras* ». Donc il faut noter que la présentation canonique des paradoxes de Zénon ne comprend l'infini que sur le mode strictement négatif de l'impossibilité de parvenir à la limite. C'est particulièrement frappant pour le cas de l'Achille, qui n'est évoqué par Aristote qu'en ce passage.

La question qui va se poser est la suivante : pouvons-nous savoir si l'infini, l'illimité,
jouait un rôle littéral dans une formulation originelle de ces arguments par Zénon, et si
oui, lequel ?

5.5.1 Le problème de la Dichotomie

L'infini est bien sûr omniprésent dans le passage auquel Aristote nous renvoie, et où
il a déjà traité du paradoxe de la Dichotomie (LM R17<sup>20</sup>) :

C'est pourquoi l'argument de Zénon admet faussement qu'il n'est pas possible de traverser (*dieltheîn*) les illimités ni de toucher (*apsasthai*) individuellement (*kath'hékaston*) des illimités dans un temps limité.

En effet, c'est en deux sens que l'on dit illimités et la longueur et le temps et de manière générale tout ce qui est continu -- soit selon la division, soit par rapport aux extrémités. Or il n'est pas possible de toucher des illimités selon la quantité (*kata to poson*) dans un temps limité, mais les illimités selon la division c'est possible, car le temps lui-même est illimité de cette manière. En conséquence, ce qui arrive est que c'est dans un illimité, et non dans un

<footnote n="19">19. Et pas davantage à propos des deux autres paradoxes.</footnote>

<footnote n="20">20. Nous modifions ici quelque peu la traduction LM, pour coller davantage au texte, car leurs efforts de clarification nous semblent finir par obscurcir le raisonnement elliptique d'Aristote.</footnote>
limité, que l'on parvient à traverser l'illimité, et que c'est avec des illimités, non des limités, que l'on touche les illimités.

À ce texte fait écho un autre passage du livre VIII (> LM R18) où Aristote revient sur sa première solution pour la déclarer en un certain sens insatisfaisante.

Nous commençons par expliquer ces textes avant d'interroger leur valeur de source et ce qu'ils nous disent de l'argument de Zénon.

Le contexte du premier texte est le suivant : au début du livre VI de la *Physique*, Aristote veut établir une théorie de la proportionnalité entre longueur et temps dans le mouvement. Il veut établir que pour un mouvement donné à une vitesse donnée (qu'Aristote suppose en général constante), à la moitié ou au double du temps correspondent la moitié ou le double de la grandeur parcourue, et vice versa. En sorte que dans un mouvement constant, le temps se divise ou se multiplie, y compris à l'infini, en même temps que la grandeur. Aristote écrit<fnref n="21" /> :

> En outre, par les raisonnements usuels aussi il est manifeste que, si le temps est continu, la grandeur l'est aussi, puisqu'on en traverse (dierkhetai) la moitié en une moitié de temps et, en général, une plus courte en un temps plus court, car les mêmes divisions vaudront pour le temps et pour la grandeur. Et si n'importe lequel des deux est illimité, l'autre aussi, et de la manière dont l'un est illimité, l'autre le sera aussi ; par exemple, si le temps est illimité par les extrémités, la longueur le sera aussi par les extrémités ; s'il l'est pas la division, la longueur le sera aussi par la division ; si le temps l'est des deux manières, la grandeur le sera aussi des deux manières.

Cette solidarité de la grandeur et du temps (qui en tant que telle est problématique et mériterait commentaire, mais ce n'est pas le lieu), va servir de motif de réfutation à un argument de Zénon, qui est évoqué à cette occasion dans la suite immédiate.

L'argument de Zénon (que l'on sait être la Dichotomie) admet faussement deux impossibilités distinctes, mais liées, qui sont marquées grammaticalement dans le texte grec : l'impossibilité de *traverser* des illimités (à l'accusatif), et l'impossibilité de *toucher*

<footnote n="21">21. *AristPhys*, p. 260, nous modifions légèrement pour harmoniser.</footnote>
individuellement des illimités (au génitif), en un temps limité. Le terme *apeiron* est en lui-même indéterminé, mais le texte distingue les deux problèmes, comme cela est montré dans le dédoublement de la solution à la fin. Le fait de toucher individuellement renvoie apparemment à une multitude d'individus, de même que le fait de traverser renvoie à ce qu'Aristote appelle un "continu", et ici apparemment à une longueur. Ce dédoublement de l'illimité ne doit pas nous surprendre, puisqu'il se retrouve à l'identique dans les apories du continu, les choses plurielles étant déclarées 1/ chacune tellement grandes qu'elles sont illimitées, et 2/ collectivement illimitées en multitude.

Puisque nous savons que la Dichotomie énonce l'impossibilité du mouvement, nous pouvons en conclure que le raisonnement est supposé être que pour qu'il y ait mouvement il faut qu'en un temps fini le mobile ait traversé un infini du type d'une longueur et ait touché individuellement des choses en une multitude infinie<fnref n="22" />. Mais le parcours de l'une et la traversée des autres sont impossibles, donc il n'y a pas de mouvement.

Aristote va répondre aux deux impossibilités, mais sa réponse est elliptique. Il com-
mence par faire une distinction, évoquée dans le passage qui précède immédiatement, qui
va expliquer l'erreur contenue dans le raisonnement de Zénon. La distinction porte sur
l'illimité dans les choses *continues* : celles-ci peuvent être dites illimitées selon la *division*
ou selon les extrémités. Que signifie ce “selon”? Cela signifie, dans le cas de la *division*,
que ce relativement à quoi la grandeur continue manque de limitation, c’est la division,
le processus de division. C’est-à-dire que celui-là ne saurait être mené à un terme final,
être complété. Dans le cas de l’*extrémité*, cela signifie que la grandeur continue manque
d’extrémités qui viendraient lui mettre un terme dans l’extension. Elle n’est pas limitée
*quant aux extrémités*, c’est-à-dire que des extrémités ne la limitent pas.

La solution d'Aristote va alors reposer sur l'illimitation selon la division, qui est
(à l'évidence) ce qui lie ensemble les deux problèmes de la grandeur illimitée et de la

<footnote n="22">22. Du fait que « ce qui se déplace doit atteindre la moitié avant de parvenir au terme ». Il est assez irrésistible ici de reprendre les raisonnements de l'aporie du continu : la distance à parcourir, du fait de la dichotomie, contient une grandeur, et une grandeur, et une grandeur, et ainsi de suite à l'infini, ce qui la rend, en quelque manière vague, illimitée; et les parties de grandeur à parcourir ou à atteindre ou toucher individuellement sont en quantité illimitée, puisque pour toute quantité limitée de celle-ci, il en reste toujours de nouvelles à parcourir. Voir tableau 5.1.</footnote>
multitude illimitée. Car la multitude illimitée n'est elle-même que la conséquence et le corrélat de la division de la grandeur – illimitée selon la division. Et comme le passage précédent a montré que la division de la grandeur était strictement parallèle à la division du temps, à toute partie individuelle de la grandeur qui doit être touchée correspond *ipso facto* une partie individuelle du temps.

C'est comme ça que nous parvenons à comprendre la phrase sinon étrange : « Or il n'est pas possible de toucher des illimités selon la quantité dans un temps limité, mais les illimités selon la division c'est possible, car le temps lui-même est illimité de cette manière. » Il faudrait comprendre que dans un temps limité, on ne peut en effet toucher une par une des choses qui soient données en une *quantité illimitée*, mais qu'on peut les toucher une par une si elles sont illimitées en tant que produites par une division illimitée, par la division illimitée de la grandeur au sein de laquelle elles se trouvent. Et ce qui rend possible cela, c'est que tout temps dit “limité” est en fait illimité selon la division, et contient lui-même des parties illimitées. Le raisonnement contenu dans cette phrase elliptique serait alors le suivant :

> « On ne peut toucher, une par une, des choses données comme illimitées en quantité que dans un temps illimité selon les extrémités. En revanche, on peut toucher une par une, dans un temps limité (selon les extrémités), des choses données comme illimitées dans le processus de division d'une grandeur (grandeur limitée selon les extrémités mais illimitée selon la division), car tout temps est lui-même illimité selon la division, et contient des parties illimitées en chacune desquelles est touchée une des parties de la grandeur. »

Le corollaire de ce raisonnement, la seule manière de faire sens de la négation, est néanmoins la chose importante suivante, qui est de parfaite orthodoxie aristotélicienne, et qui est que les choses données comme illimitées dans le processus de division ne sont pas données comme illimitées en quantité. On y reviendra.

Aristote peut alors conclure quant aux deux problèmes : « c'est dans un illimité (selon la division), et non dans un limité, que l'on parvient à traverser l'illimité (selon la division), et c'est avec des illimités (obtenus dans la division), non des limités, que l'on
touche les illimités (eux-mêmes obtenus dans la division). »

Le contexte immédiat du second passage est la distinction entre une coupure donnée en puissance et une coupure donnée en acte dans le continu, plus précisément l'énoncé du fait qu'une grandeur contenant une coupure en acte n'est pas à proprement parler *continue*.

Aristote écrit<fnref n="23" /> :

> Il faut répondre de la même manière aussi à ceux qui posent la question de l'argument de Zénon [et considèrent<fnref n="24" />] qu'il faut toujours traverser la moitié (*ei aei to bêmisu diienai deî*), qu'elles sont illimitées (*taûta d'apeira*), et qu'il est impossible de parvenir à traverser jusqu'au bout des choses illimitées (*ta d'apeira adunatov diexeltheîn*), ou, comme d'autres formulent différemment la question que pose ce même argument, quand ils pensent que dans le même temps que le mouvement couvre la moitié, il faut compter d'abord la moitié qui advient chaque fois, de sorte que quand on a entièrement traversé la totalité (*hôte dielthontos tên holên*), il se produit qu'on aura compté un nombre illimité (*apeiron sumbainei êritbmêkenai arithmon*). Or ceci est, de l'aveu général (*homologoumenos*), impossible.

Dans nos premiers exposés sur le mouvement, nous avons donné une solution par le fait que le temps possède en lui-même des illimités (*dia toû ton khronon apeira ekhein en hautô*), car il n'est en rien absurde qu'en un temps illimité on traverse (*dierkbetai*) des illimités, et l'illimité existe de la même façon dans la longueur et dans le temps. Toutefois cette solution était suffisante par rapport à la demande (*pros men ton erôtônta*) (car on demandait si, dans un temps limité, on pouvait traverser complètement (*diexeltheîn*) ou compter (*arithmêsai*) des illimités), mais elle n'est pas suffisante par rapport à la chose elle-même et à la vérité (*pros de to prâgma kai tûn alêtheian*). Si, en effet, laissant de côté la longueur et la question de savoir si l'on peut traverser complètement des illimités en un temps limité, on se demande cela à propos du temps lui-même (car le temps possède des divisions illimitées), cette solution ne suffira plus.

<footnote n="23">23. 263a4-22, d'abord LM R18 puis ARISTOTE, *Premiers Analytiques* cit., p. 366, nous modifions légèrement à nouveau.</footnote>

<footnote n="24">24. Exclu par LM, mais ni Stevens ni Pellegrin</footnote>
Notons une première chose, qui est que ce texte confirme l'interprétation selon laquelle on peut dire, du fait que le temps est illimité selon la division, qu'il possède en lui-même des choses en multitude illimitée, ce qui le met à la hauteur de toucher des choses en multitude illimitée. Une deuxième chose et que dans ce texte on ne parle plus de toucher des illimités, mais de les compter, ce qui implique du moins de les "prendre" ou "appréhender" un par un, ce qui est une traduction possible de « *haptô* ».

## 5.5.2 Apeiron dans la Dichotomie

Ces textes peuvent-ils servir de source historique sur une supposée formulation originelle de l'argument de la Dichotomie ?

La question est finalement indécidable, pour toujours la même raison : il n'y a pas pour nous, en la matière, de hors-texte, ni même de texte autre, mais nous devons nous limiter presque entièrement au témoignage d'Aristote, qui ne sépare pas vraiment l'énoncé de Zénon de sa possible réception et réfutation. Il parle bien d'un argument de Zénon, mais aussi de ceux qui l'emploient et l'énoncent, voire ceux qui le reformulent. Ainsi, par exemple, le fait que le texte en 233a rappelle par sa construction double le double emploi de l'illimité dans les apories du continu pourrait être un signe d'authenticité zénonienne, mais aussi bien le signe d'un effort de systématisation de la part de ceux (les Mégariques ?) qui reprennent ses arguments. Nous ne pouvons donc pas entièrement distinguer entre ce qui serait l'argument d'origine et ce qui se présente comme sa réception immédiate, comme la variété possible des interprétations envisageables.

Ce que nous savons, c'est que le pivot de l'argument est un principe de dichotomie de la grandeur à parcourir, utilisant l'ordre inhérent au mouvement pour dire qu'il faut d'abord parcourir la moitié avant d'avoir parcouru le tout. De ce principe même, Aristote nous offre deux versions :

> Le premier [argument de Zénon] est qu'il n'y a pas de mouvement parce que ce qui se déplace doit atteindre (*aphikesthai*) la moitié avant de parvenir au terme (*to proteron eis to bêmisu dein aphikesthai to pheromenon ê pros to telos*)
ceux qui posent la question de l'argument de Zénon [et considèrent?] qu'il faut toujours tra-
verser la moitié (ei aei to bêmisu diienai deî)

La deuxième formulation est beaucoup plus concentrée et elliptique, et on peut consi-
dérer que le “toujours” a ici le sens quasi technique du renvoi à un raisonnement itératif.
Notons que la formule « il faut toujours traverser la moitié » nous rappelle structu-
rellement ce qu’Aristote présente comme la conclusion de l’Achille : « il est nécessaire
que le plus lent ait toujours quelque avance », aei ti proekhein anagkaîon to braduteron.
Pourquoi arrivons-nous à un “toujours”? Parce qu’il y a possibilité d’un raisonnement
itératif, chaque itération d’une étape (traversée partielle, course partielle) replaçant le
mobile dans une situation analogue où le raisonnement peut être réitéré.

Il nous semble qu’il y a deux grandes hypothèses possibles : ou bien l’argument de
la Dichotomie comprenait une référence à l’illimité et s’énonçait comme l’impossibilité
que ce dernier soit entièrement traversé, ou peut-être comme l’impossibilité qu’il soit
entièrement traversé en un temps limité (Aristote étant ambigu sur ce point) ; ou bien
il ne comprenait pas une telle référence, mais énonçait directement, à la suite du rai-
sonnement itératif sur l’opération de dichotomie, qu’on ne parvenait jamais au terme
du mouvement par le fait même que l’on devait toujours parvenir jusqu’à une moitié
restante<sup>25</sup>. Dans cette seconde hypothèse, on comprendrait la référence à l’infini comme
une justification postérieure de l’argument, par des penseurs enthousiastes, face à une
première et facile accusation de sophisme. Nous croyons trouver, dans Aristote, un cer-
tain nombre d’indications qui vont dans ce sens et qui suggèrent cette accusation, au
cours de la réfutation de l’Achille.

5.5.3 Apeiron dans l'Achille

Nous nous permettons de citer encore une fois l’argument.

<footnote n="25">25. On peut même envisager que l’argument originel était suffisamment bref et elliptique pour être interprété selon le sens régressif : il faut d’abord parvenir à la moitié, mais auparavant à la moitié de cette moitié, etc. Comme plusieurs commentateurs l’ont vu, tant qu’à ne pas savoir ce qui dans Aristote est de Zénon, nous ne pouvons pas exclure cette hypothèse intéressante et qui ne change pas le fond de notre propos : que l’essence de l’argument repose dans l’inachevabilité ou l’inentamabilité comme résultat du raisonnement itératif.</footnote>
Le second est celui qu'on appelle “l'Achille”. Il consiste à dire que le plus lent ne sera jamais rattrapé (katalêphthêsetai) dans sa course par le plus rapide (to bradutaton oudepote kata-lêphthêsetai theon bupo toû takhistou). Il est en effet auparavant nécessaire que le poursuivant arrive (eltheîn) à l'endroit d'où le fuyard s'est élancé (emprosthen gar anagkaion eltheîn to diô-kon hothen hôrmêsen to pheûgon), de sorte qu'il est nécessaire que le plus lent ait toujours quelque avance (hôste aei ti proekhein anagkaîon to braduteron).

Cet argument est aussi le même que celui de la procédure dichotomique, mais il en diffère en ce que la grandeur supplémentaire n'est pas divisée par moitié. Que le plus lent ne soit pas rattrapé résulte de l'argument, mais cela advient pour la même raison que pour la dichotomie (dans les deux cas en effet, il se produit qu'on ne parvient pas jusqu'à la limite quand la grandeur est divisée d'une certaine façon...), de sorte qu'il est nécessaire que la solution soit identique. Mais penser que ce qui a de l'avance n'est pas rattrapé est faux ; en effet, tant qu'il a de l'avance, il n'est pas rattrapé ; mais il est pourtant rattrapé, si l'on accorde qu'il est possible de traverser complètement (diexienai) une distance limitée.

Notons que si Aristote n'a pas de doute sur le fait que l'Achille est essentiellement une version du même argument que la Dichotomie, il doit néanmoins, remarquablement, prendre la peine d'expliquer pourquoi. Et il semble qu'on puisse interpréter son ex-plication comme une suggestion du fait que l'infini n'apparait pas, littéralement, dans l'Achille.

La phrase décisive est : « Que le plus lent ne soit pas rattrapé résulte de l'argument, mais cela advient pour la même raison que pour la dichotomie (dans les deux cas en effet, il se produit qu'on ne parvient pas jusqu'à la limite quand la grandeur est divisée d'une certaine façon...), de sorte qu'il est nécessaire que la solution soit identique. ».

Nous comprenons ainsi ce passage : le processus de Dichotomie est une manière de diviser la grandeur qui ne nous fait pas parvenir jusqu'à sa limite, limite qui nous est donnée par hypothèse<fnref n="26" /> ; tant qu'on maintient ce processus de division, on ne sort pas de la grandeur donnée, et on peut dire qu'il reste toujours une grandeur à diviser et que l'on ne l'achève jamais. Cela est évident pour la Dichotomie, mais pas pour l'Achille, qui

<footnote n="26">26. Puisque dans la Dichotome nous nous efforçons en vain de traverser une grandeur limitée.</footnote>
ne nous donne pas d'emblée la limite. Or, c'est ce qu'Aristote affirme ici : pour l'Achille aussi il y a bien une limite, un point où le plus rapide rattrape le plus lent, mais le procédé de Zénon est tel qu'il divise la grandeur – limitée – totale de manière à se tenir toujours à l'intérieur de celle-ci. Simplement, il ne la divise pas par deux.

Vient alors la solution et l'accusation elliptique de sophisme : « Mais penser que ce qui a de l'avance n'est pas rattrapé est faux ; en effet, tant qu'il a de l'avance, il n'est pas rattrapé ; mais il est pourtant rattrapé ». Le sophisme consiste à se donner un procédé qui ne nous fait jamais sortir d'une certaine grandeur, et à affirmer qu'on a prouvé qu'on n'en sortait jamais, alors que tout ce que l'on a prouvé est que, tant que l'on n'en sortait pas, on n'en sortait pas. Tant qu'il reste une distance à parcourir, la course n'est pas achevée ; tant que le plus lent a de l'avance, il n'est pas rattrapé. Autrement dit le sophisme consiste à prendre au sens absolu un "toujours" et un "jamais", qui devraient en fait être relativisés à l'opération mobilisée dans l'argument. D'où l'affirmation, une fois le charme rompu : « mais il est pourtant rattrapé, si l'on accorde qu'il est possible de traverser complètement une distance limitée. »

Nous percevons dans les textes d'Aristote, à tort ou à raison, le sentiment très in-
téressant que les paradoxes de l'Achille et de la Dichotomie sont de mauvais arguments
dont on n'arrive pourtant pas à se débarrasser. Au moins pour l'Achille, un premier ni-
veau d'analyse le considère comme un stupide sophisme sur le sens de "toujours", selon
lequel, certes, la tortue a "toujours" de l'avance dans la répétition des trajets partiels,
mais au sens seulement où Achille ne la rattrape pas tant qu'il ne la rattrape pas.

Bien entendu, cela n'est pas le dernier mot d'Aristote, il ne croit pas s'en tenir
quitte pour autant. Le deuxième niveau d'analyse tient à nouveau l'argument pour un
sophisme, mais déjà plus subtil, et fait intervenir pour une première fois l'infini, l'illimité.
Ce dernier est-il déjà littéralement présent dans un texte de Zénon, ou découle-t-il d'une
défense postérieure de l'argument ? Cela n'est plus à ce stade d'une importance décisive,
si seulement l'on tient compte du fait que :

* L'illimité découle directement de la présence d'un raisonnement itératif entraînant une accumulation
* Nous savons en fait qu'il est de bonne pratique zénonienne d'en faire découler l'illimité et nous savons comment cela peut être effectué

On peut donc imaginer une sorte de première réponse à l'accusation de sophisme : « Non, il n'y a pas là le sophisme stupide que vous supposez, car le raisonnement itératif qui se tient dans les limites de la grandeur à parcourir implique que cette grandeur contienne l'illimité, cela même qui ne saurait être entièrement traversé. »

### 5.5.4 La question du temps limité

La première réponse d'Aristote à l'argument de la Dichotomie, en 233a, peut se dire ainsi en une phrase : « vous prétendez qu'il est impossible de traverser la grandeur illimitée en un temps limité, mais au sens où la grandeur est illimitée, le temps aussi l'est, et au sens où le temps est limité, la grandeur l'est aussi », où l'on doit comprendre implicitement une réponse à l'argument suivant : « pour qu'il y ait mouvement il faut qu'on puisse traverser une grandeur en un temps limité, mais la grandeur est illimitée, or il est impossible de traverser un illimité en un temps limité, donc le mouvement est impossible ».

Or, en 263a, Aristote reconnait que la solution ne convient pas, en vertu d'une sorte de seconde réponse imaginaire (ou réelle ?) à l'accusation de sophisme : « Vous manquez encore entièrement le principe de l'argument. Que le temps lui aussi admette la division illimitée ne fait rien à la question : pour qu'un mouvement puisse s'accomplir, il faut qu'un illimité soit *entièrement traversé*, ne serait-ce que l'illimité contenu dans le temps. Mais un illimité ne peut jamais avoir été *entièrement traversé*. »

Aristote reconnait en 263a que la question du temps limité et de la grandeur illimitée est finalement une distraction inutile par rapport « à la chose même et à la vérité » du pro- blème. La question est : cette distraction vient-elle de Zénon lui-même, de ses défenseurs, ou d'Aristote ? Ce dernier renvoie la distraction à ce qui était « la demande » à laquelle il a suffisamment répondu, le défi logique qu'il a techniquement résolu. Mais veut-il dire par là ce que littéralement soulevait Zénon, ce qu'un adversaire contemporain a objecté à Aristote, ou ce qu'Aristote lui-même s'était mis au défi de résoudre ?
On peut voir que dans ce même texte il distingue entre le problème soulevé dans la demande, et le problème de Zénon en soi, qui doit être résolu. La demande se caractérise comme « la longueur et la question de savoir si l'on peut traverser complètement des illimités en un temps limité », alors que le problème en soi, dans sa formulation elliptique, énonçait qu'« il faut toujours traverser la moitié (ei aei to bêmisu dienai deî), qu'elles sont illimitées (taûta d'apeira), et qu'il est impossible de parvenir à traverser jusqu'au bout des choses illimitées(ta d'apeira adunaton diexeltheîn) ».

Dans son mea culpa, Aristote revient sur sa solution première et sur l'essence de ce qu'elle énonçait : qu'il est possible de traverser un illimité du moment que le temps pris pour cela est à la hauteur de cette illimitation. Mais cela ne résout pas l'impossibilité de le traverser complètement. La nuance s'exprime ici dans le choix entre deux verbes, ou entre deux variantes des mêmes verbes : dans l'ensemble des passages, les verbes *diíeimi* et *diérkhomai* expriment indifféremment le fait de traverser, mais leurs variantes *diexerkhomai* et *diexeimi* expriment spécifiquement le fait de traverser complètement, d'achever la traversée de quelque chose.

Ainsi Aristote reconnait que le problème n'est pas celui de la finitude du temps, du trop peu de temps pour achever une tâche, mais celui de l'illimité comme essentiellement inachevable, cet illimité fut-il celui du temps lui-même. On comprend ainsi le véritable sens de l'exigence d'un temps "fini", limité : la finitude du temps signifie exactement, strictement, le dépassement de la tâche envisagée, le passer-outre, le laisser derrière soi, l'avoir traversé complètement. Dire qu'on peut traverser complètement un illimité en un temps illimité ne veut rien dire, car rien ne peut avoir été traversé complètement dans le temps illimité, puisque lui-même, par définition, ne parvient jamais à son terme.

### 5.5.5 L'interprétation métrique et l'inachevabilité

Nous pouvons alors, après un long détour, évoquer l'interprétation traditionnelle de l'Achille qui en fait une erreur mathématique, ignorante de la possibilité d'une série infinie convergente, ou en général un sophisme<fnref n="27" /> de la quantité, laissant entendre que, de l'infinité des parties à l'infinité de grandeur, la conséquence est bonne.

<footnote n="27">27. Ou parfois un bon argument, les hypothèses adéquates ayant été supposées, comme chez Caveing.</footnote>
Il faut ici faire preuve de nuance et rappeler un point déjà soulevé à propos de l'argument du Grand : à supposer que Zénon ait formulé, pour la Dichotomie (comme il est somme toute vraisemblable) et/ou l'Achille (comme rien ne l'indique vraiment) le problème en terme d'« illimité », il serait dans son style d'avoir laissé le qualificatif d'« illimité » dans la plus grande indétermination possible. Nous l'avons vu qualifier une chose de « tellement grande qu'elle est illimitée » avec un argument qui la montrait composée d'une grandeur, et d'une grandeur, et d'une grandeur, à l'infini; on ne peut l'innocenter d'avoir repris ici ce procédé pour qualifier le parcours d"illimité" en général.

Néanmoins, Aristote témoigne du fait que l'immédiate réception de l'argument a très bien compris que cela ne le rendait pas sophistique pour autant. Pour une raison simple, dont Aristote témoigne encore, et qui est que pour l'impossibilité du mouvement, la composition du parcours en une grandeur, et une grandeur, et une grandeur à l'infini est *exactement* le type d'illimitation requis. Que l'expression soit de Zénon ou de ses successeurs, il était très rapidement très clair que l'illimitation problématique se comprenait adéquatement sous la forme de la nécessité de toucher une par une les moitiés successeuses illimitées. On peut noter ici deux choses sur le procédé d'Aristote : d'une part, sa réfutation en 233a est parfaitement adéquate à une compréhension de l'illimitation de la grandeur comme décrite ci-dessus, quand il montre que le temps aussi est illimité en ce sens qu'il contient des illimités, quoi qu'il soit limité selon les extrémités ; d'autre part, il ne cherche pas du tout dans ce passage à réfuter l'idée que la grandeur est illimitée selon les extrémités, contrairement à ce qu'on pourrait anticiper, il ne semble pas croire que l'erreur ou le sophisme de ses adversaires repose dans cette croyance, mais veut monter l'illimitation du temps. Et de plus, en 239b le problème est formulé comme un échec à atteindre la limite, cette limite étant la limite selon les extrémités : témoignant du fait qu'il semble connaissance commune, du moins dans le contexte de réception de l'argument à l'époque d'Aristote, que l'illimitation dans la composition par parties successeuses n'implique pas le dépassement de toute limite selon les extrémités. Comme il a déjà été suggéré plus haut, la possibilité de la convergence d'une série infinie est en sens *démontrée* par le paradoxe de la Dichotomie, et on peut aller jusqu'à penser qu'elle le
conditionne. Mais l'essence de l'argument n'est pas là.

L'essence de l'argument repose dans le raisonnement itératif, qui en décomposant
le mouvement rend la tâche de la traversée structurellement analogue aux étapes du
raisonnement elles-mêmes. Le mouvement se produisant par succession dans le temps,
le découpage de l'opération de pensée mime la composition du déplacement (chaque
“ensuite” du raisonnement valant pour un “après” du mouvement), et le premier résul-
tat d'un raisonnement itératif étant l'inachevabilité de l'opération à la base du raison-
nement, on doit en conclure parallèlement à l'inachevabilité du mouvement lui-même.
Dans l'interprétation régressive de l'argument le découpage de l'opération de pensée
mime à nouveau la composition du déplacement, en ce sens qu'il est indiqué qu'à chaque
élément théoriquement produit doit correspondre une partie réelle du mouvement, et
la structure de l'ordre est conservée, mais sur un mode inverse et symétrique, en sorte
que l'inachevabilité de l'opération remontant l'ordre du temps produit symétriquement
l'inentamabilité de la série des parcours partiels impliquée en tout mouvement.

5.6 La nature du problème et les solutions antiques et modernes

5.6.1 Du continu au mouvement

Si nous nous en tenons à une vue lointaine et systématique des possibilités de réception et de solution des problèmes du mouvement dans l'Antiquité, il nous sera possible d'aller très vite en capitalisant sur ce que nous avons dit précédemment<fnref n="28" />, les perspectives sur le logos, l'actualité, la réalité naturelle et le continu se maintenant au sein des différentes perspectives philosophiques. Il y a, néanmoins, une complication spécifique aux problèmes du mouvement, qui, pour rester schématique, produit au sein du camp atomistique la sophistication “Dialectique” ou “Mégarique” de Diodore Cronos, et scinde le camp potentialiste entre, d'un côté, les potentialistes orthodoxes, et de l'autre les hétérodoxes partisans du saut (théorie de Damascius).

<footnote n="28">28. Cf. la section 4.3.1 et l'annexe D.</footnote>
Pour le dire de façon générale, dans les apories du continu le problème consistait dans la contradiction entre l'exigence de la présence effective des parties et l'exigence d'universelle divisibilité, ce qui rendait impossible de trouver des entités réelles stables avec lesquelles composer le monde.

Comme nous l'avons vu, il y a une constellation de possibilités d'approche du problème qui toutes renoncent à la constitution d'une théorie réaliste, descriptivement vraie, et non-contradictoire, de la nature sensible. Mais parmi les approches *réalistes* ne se satisfaisant pas de l'éléatisme (de l'impossibilité du mouvement), il y a finalement deux grandes voies, que nous reformulons dans leurs versions canoniques, respectivement atomistes et aristotéliennes : ou bien celle qui admet la composition du tout de l'univers et des objets sensibles en général, et maintient l'exigence que cette composition soit une composition par des êtres réels actuellement existants, mais qui nie la propriété d'universelle divisibilité, décrivant alors les entités fondamentales, les étants réels, comme des *atomes*, des insécables indépassablement *uns* ; ou bien la voie qui admet la composition du tout de l'univers et la propriété d'universelle divisibilité, mais scinde l'exigence de division et composition entre l"en acte" et l"en puissance", admettant la potentialité de division d'êtres actuellement et réellement existants, et non actuellement composés.

Le réalisme ensembliste continuiste contemporain, lui, accepte les *deux* exigences, et annule leur contradiction par une grande sophistication conceptuelle qui lui permet de maîtriser *différemment* l'infinité et la totalité. L'ensemblisme admet une grandeur dont les entités élémentaires n'ont aucune grandeur et ne contribuent pas (individuellement) à la grandeur, donc des *atomes* mathématiques, avec lesquels il reste possible de faire une théorie de la continuité. Quoi que de nombreux penseurs<fnref n="29" /> aient pu juger que l'ensemblisme nous faisait perdre l'essence de la continuité, il n'en reste pas moins une réponse efficace et authentique aux apories de Zénon<fnref n="30" />.

On peut trouver des inconvénients à chacune de ces trois solutions ; et l'on pourrait

<footnote n="29">29. Par exemple Peirce et René Thom.</footnote>

<footnote n="30">30. Réponse qui d'ailleurs est tentée depuis fort longtemps, et effectivement réussie seulement avec la théorie des ensembles : les textes modernes sur la question témoignent des tentatives de composer le continu avec des "atomes mathématiques".</footnote>
peut-être, avec Kant ou Hegel, soutenir que la contradiction ne peut pas vraiment trouver une résolution réaliste ; mais dans la limite des cadres posés par chacune des démarches, on peut dire qu'une réponse authentique a été apportée. La pluralité composant la totalité sensible est réelle (prémisse anti-parménidienne), et il est en droit possible de désigner les véritables entités constituant le monde (prémisse réaliste), tout en évitant en chaque point la contradiction<fnref n="31" />.

Le problème semble plus délicat quand la question du mouvement entre en jeu.

### 5.6.2 La logique diodoréenne

En effet, comme on l'a vu, la contradiction intervient à deux niveaux dans les apories du mouvement. À un premier niveau il y a de la contradiction du mouvement et du repos : les étants ne peuvent être plusieurs, car il faudrait qu'ils soient et en mouvement et en repos<fnref n="32" />. À un second niveau, le mouvement est en soi contradictoire<fnref n="33" />. Or, nos écoles philosophiques réalistes ne veulent pas seulement soutenir la pluralité, et donc éviter la contradiction que Zénon établit en général et systématiquement entre des prédicats opposés ; elles veulent également soutenir le mouvement contre l'immobilisme éléatique.

La contradiction interne au mouvement provient du fait que celui-ci impose la structure générale de l'avant et de l'après ; et, avec elle : la dépendance de l'après vis-à-vis de l'avant, la continuité – au sens d'ininterruption –, et l'universelle différentiation selon l'avant et l'après de n'importe quel élément du mouvement.

Pour l'atomisme, la Dichotomie et l'Achille ne font pas problème, car les atomistes refusent tout bonnement l'inachevabilité du processus, en même temps que l'universelle divisibilité du parcours. L'atomisme soutient classiquement une atomicité du mouvement

<footnote n="31">31. Nous rappelons encore une fois comment : pour les atomistes, les étants sont véritablement uns, et en rien multiples ; ils sont minimalement petits, mais pas au moins de n'être rien de la grandeur, et leurs composés sont chacun exactement grands à proportion du nombre exact d'étants qui les composent ; et ils peuvent être collectivement en quantité illimitée, mais non pas illimités en ce sens qu'il serait impossible d'en fixer une totalité stable, qui ne dût pas toujours être plus grande qu'elle-même. Pour les aristotéliciens, les étants sont tous actuellement uns et potentiellement multiples ; relativement grands et petits par rapport à n'importe quelle mesure actuellement une, choisie arbitrairement ; strictement limités en quantité en acte, mais potentiellement illimités.</footnote>

<footnote n="32">32. Du moins on peut proposer une telle interprétation. Nous nous expliquons sur son principe en 1.3.</footnote>

<footnote n="33">33. Dans la mesure où dans les arguments zénoniens le repos n'est pas démontré directement, mais à travers une réduction à l'absurde du mouvement.</footnote>
impliquée par l'atomicité de la grandeur étendue<fnref n="34" /> (en vertu d'un argument très souvent présent dans la tradition : si l'on peut diviser en deux le mouvement de traversée d'un atome, il faut penser qu'on a aussi divisé en deux l'atome). En revanche, le Stade et la Flèche sont potentiellement très problématiques. Même si l'on ne peut pas dire que ces deux arguments aient été pensés spécifiquement contre une théorie atomistique, il est manifeste en revanche qu'ils lui posent un problème très sensible. Car si le mouvement lui-même est atomistique, cela veut dire que le mobile occupe chacune de ses positions durant un temps non nul, ce qui rend difficilement résistible la conclusion selon laquelle il y est au repos, et donc toujours au repos, au sens de la Flèche. Et même si l'on refusait cette conclusion générale, le Stade permet vraisemblablement de montrer qu'un mouvement atomistique imposerait une discontinuité interne au mouvement, soit sous la forme d'une interruption dans le temps des mobiles relativement plus lents, soit sous la forme d'un “saut” dans l'espace des mobiles relativement plus rapides. Les traditions atomistiques ont généralement accepté ces conséquences, et on trouve notamment chez Diodore une défense sophistiquée du fait qu'on puisse dire qu'un mobile s'est mu quoi qu'on ne puisse jamais dire qu'il se meuve, notion qui pourrait avoir été reprise par Épicure<fnref n="35" />.

### 5.6.3 L'aristotélisme en difficulté

Pour les aristotéliciens, la Flèche et le Stade sont à peu près simplement des so-phismes, qui peuvent être éliminés par les distinctions logiques adéquates ou par la négation de l'universalité du “maintenant”, ou en général la négation de la composition du mouvement par des positions immobiles successives<fnref n="36" />.

<footnote n="34">34. Nous faisons ici une simplification, identifiant l'atome – qui littéralement ne peut pas être découpé – avec le « sans-partie » qui n'admet aucune division même théorique. La question est discutée de savoir s'il y a en effet une distinction entre les deux dans l'atomisme, et notamment une différence entre ce qui avait pu être développé par Démocrite, et les nouveautés qu'a pu introduire Épicure, avant ou après sa rencontre avec les arguments de Diodore. En tout état de cause, l'important pour nous est qu'il y ait bien en fin de compte un sans-partie absolu qui compose la grandeur, que celui-ci soit ou non techniquement « l'atome », et c'est ce sans-partie que nous appelons en général « atome ». Voir sur ces points LS, sect. 9.</footnote>

<footnote n="35">35. SEXTUS EMPIRICUS, *Against the Physicists* cit., p. 97-102 et LS, sect. 11.</footnote>

<footnote n="36">36. Les maintenants ne peuvent être que des limites, extrinsèquement posées, au sein d'un continu temporel qui exprime la continuité du mouvement : ainsi, surtout, ils ne sont pas des parties du temps,</footnote>
En revanche, la Dichotomie et l'Achille (admettons de les considérer ici comme un unique argument), doivent être pris en une plus soigneuse considération. La solution aristotélicienne "historique" semble rester la même que pour le continu : il s'agit de nier que les divisions soient données en acte, et qu'il y ait par conséquent à *effectivement achever* une quelconque série illimitée; celle-ci ne se produisant que dans l'esprit du sophiste qui reprend les arguments de Zénon. Mais il y a une vraie différence entre cette réponse dans le cadre de la *grandeur* continue, et cette réponse dans le cadre du *mouvement* continu : c'est qu'un aristotélicien pouvait dire à bon droit que la division de la grandeur n'était pas actuellement donnée et qu'une grandeur divisible pouvait être actuellement une, car le mouvement zénonien de division était *entièrement extrinsèque* à la composition de la grandeur – la grandeur n'avait pas à *attendre* d'être composée par les parties découpées par Zénon. En revanche, un mouvement n'est pas réellement donné comme une *unité* en acte, mais sa nature même est d'imposer la *constitution progressive*, et la permanente différenciation selon l'avant et l'après. Il est concordant à la réalité même du mouvement, qu'avant de pouvoir s'achever il doive s'accomplir à moitié, et il paraît difficile de refuser que l'accomplissement de cette moitié ne soit pas quelque chose de suffisamment réel pour déterminer un nouveau mouvement partiel à accomplir et la moitié de ce nouveau mouvement partiel.

Nous avons personnellement tiré cette objection de l'article de Pierre Bayle (1647 - 1706) sur Zénon d'Élée, où elle ainsi opposée à Aristote<fnref n="37" /> :

> Mais quand même on accorderait cet infini en puissance, qui deviendrait un infini actuel par la division actuelle de ses parties, on ne perdrait pas ses avantages<fnref n="38" />, car le mouvement est une chose qui a la même vertu que la division. Il touche une partie de l'espace sans toucher l'autre, et il les touche toutes les unes après les autres : n'est-ce pas les distinguer actuellement ? N'est-

<footnote>le temps n'est pas *composé* de maintenants et il n'y a pas de sens à décrire comme repos ni comme mouvement ce qui se passe à un instant ; parce que *rien ne s'y passe*, il ne constitue pas un temps.</footnote>

<footnote n="37">37. Pierre Bayle, *Dictionnaire historique et critique*, 4 t., Amsterdam-Leyde-La Haye-Utrecht 1740, Rem. F, p. 539. Sur le rapport de Bayle à Zénon en général, nous nous permettons de renvoyer à notre précédent travail, Pierrot Seban, *Zénon d'Élée à l'âge classique. Sur une réponse dogmatique et une reprise fidéiste*, mené sous la direction de M. Jean Seidengart, Mémoire de M2, Université Paris Ouest Nanterre, 2012.</footnote>

<footnote n="38">38. C'est-à-dire qu'on garderait l'avantage dans la joute argumentative menée contre Aristote.</footnote>
ce pas faire ce que ferait un géomètre sur une table, en tirant des lignes qui désignassent tous les demi-pouces ? il ne brise pas la table en demi-pouces ; mais il y fait néanmoins une division qui marque la distinction actuelle des parties : et je ne crois pas qu'Aristote eût voulu nier que si l'on tirait une infinité de lignes sur un pouce de matière, on n'y introduisit une division qui réduirait en infini actuel ce qui n'était selon lui qu'un infini virtuel. Or ce qu'on ferait à l'égard des yeux en tirant ces lignes sur un pouce de matière, il est sûr que le mouvement le fait à l'égard de l'entendement. Nous concevons qu'un mobile en touchant successivement les parties de l'espace les désigne, et les détermine comme la craie à la main. Mais de plus quand on peut dire que la division d'un infini est achevée, n'a-t-on pas un infini actuel ? Aristote et ses sectateurs ne disent-ils pas qu'une heure contient une infinité de parties ? Quand donc elle est passée, il faut dire qu'une infinité de parties ont existé actuellement les unes après les autres. Est-ce un infini en puissance ? n'est-ce pas un infini actuel ? Disons donc que sa distinction est nulle, et que l'objection de Zénon conserve toute sa force.

Notons que Bayle ne croit pas une seconde dans la validité de la distinction entre l'en acte et l'en puissance; mais il propose ici de l'accorder pour montrer qu'elle n'est d'aucune utilité pour résoudre la Dichotomie, en sorte que non seulement, selon Bayle, Aristote ne parvient pas à résoudre les problèmes de composition du continu, mais même s'il y parvenait (et c'est là tout ce qui compte pour nous) cela ne lui permettrait pas de résoudre les problèmes du mouvement.

Cet argument de Bayle nous a immédiatement paru avoir une grande force de conviction. Non pas qu'il fasse nécessairement céder un aristotélicien fidèle : Aristote lui-même semble s'en être tenu à sa réponse potentialiste, maintenant l'unité profonde des mouvements continus (en tant que continus, leur essence et leur être est d'être uns) et posant des exigences très strictes à l'actualité d'une division<fnref n="39" />. Mais il n'en reste pas moins qu'une objection de ce type devrait avoir suffisamment de force pour faire reculer un potentialiste, pour établir une différence au sein du "camp" potentialiste entre ceux qui sont prêts à avaler la pilule de l'unité indivise véritable de ce qui se constitue dans la

<footnote n="39">³⁹. Notamment, imposant que, pour qu'il y ait division d'un mouvement homogène, soit réalisée une forme ou l'autre de l'arrêt, cf. *Physique*, VIII, 8.</footnote>
progression, et ceux qui la refusent.

Pour établir la pertinence de l'argumentation baylienne dans le contexte antique, deux choses seraient alors nécessaires : évidemment, d'abord, que l'on puisse trouver une version de cette objection effectivement attestée dans un texte antique ; et idéalement, ensuite, que l'on constate en effet la bifurcation du camp potentialiste, c'est-à-dire qu'on trouve un texte admettant la continuité indivise de la grandeur, mais la refusant pour le mouvement, rejoignant à ce propos quelque chose comme une solution atomistique. Or nous pouvons bel et bien exhiber l'un et l'autre de ces textes.

## L'objection sceptique

Le premier a pour auteur Sextus Empiricus (IIe siècle ap. J.C.) et constitue peut-être la formulation la plus aboutie de l'aporie zénonienne de l'inachevable que l'on puisse trouver dans l'Antiquité – sous la forme, en fait, de l'inentamable, de la Dichotomie inversée. En effet, elle pose le problème en terme de l'impossibilité qu'un mouvement puisse commencer s'il suppose de parcourir une série de portions sans débuts, tout en réfutant à l'avance la réponse consistant à dire que le mouvement n'est pas vraiment divisé – en vertu d'un principe d'omni-différenciation indissociable du mouvement lui-même<fnref n="40" /> :

(2)<fnref n="41" /> Prenant les choses dans l'ordre, procédons à notre examen critique en commençant par la première position, celle d'après laquelle toutes ces choses [i.e. les corps, les lieux et les temps] se divisent à l'infini. Ceux qui la défendent disent que le corps mû franchit la totalité de l'intervalle divisible en un seul et même temps : il ne commence pas par couvrir la première partie de l'intervalle par sa propre première partie, et ensuite la seconde dans l'ordre, mais il parcourt la totalité de l'intervalle divisible d'un seul coup et en bloc. (3) Mais voilà qui est absurde, et en conflit de diverses manières avec les apparences manifestes. Car si, pour prendre le cas des corps sensibles qui sont sous nos yeux, nous nous représentons quelqu'un qui court le long de l'intervalle d'un stade, il tombera parfaitement sous le sens que notre coureur doit

<footnote n="40">40. Sextus Empiricus, *Contre les professeurs*, X, 123-6; 139-42 (LS 50F). Nous citons LONG et SEDLEY, *Les Stoïciens* cit., p. 307-9.</footnote>

<footnote n="41">41. La numérotation des parties du texte est celle de LS.</footnote>
franchir d'abord le premier demi-stade, et ensuite le second dans l'ordre. Croire qu'il franchit
d'un seul coup l'intervalle entier du stade est complètement absurde. Et si nous divisions le
second demi-stade en deux quarts, il parcourra évidemment en premier le premier quart ; et
de même si nous poussions plus loin la division. S'il court le long du stade illuminé, il est
manifeste qu'il ne projettera pas son ombre sur le stade d'un seul coup, mais d'abord sur une
de ses parties, puis sur une autre en second, puis sur une autre en troisième. Et s'il courait le
long du mur, en le touchant de sa main enduite de vermillon, il n'enduirait pas de couleur la
totalité du mur du stade en un seul et même temps, mais dans l'ordre, et en commençant par
le commencement. Ce que notre argument a montré dans le cas des choses sensibles, nous
devons donc l'accepter aussi dans celui des choses intelligibles<sup>42</sup> [...] (4) Telles sont donc
les difficultés que rencontrent les gens que nous avons mentionnés s'ils soutiennent que le
mouvement s'effectue sur un intervalle en bloc. Mais les difficultés sont encore beaucoup plus
grandes si l'on soutient qu'il s'effectue, non pas en bloc sur un intervalle divisible, mais d'abord
sur sa première partie, et ensuite sur sa seconde partie. En effet, si c'est ainsi que s'effectue le
mouvement, compte tenu de ce que toutes choses, les corps, les lieux, les temps, se divisent
à l'infini, il n'y aura pas de commencement du mouvement. Car pour que quelque chose se
meuve sur un intervalle d'une coudée, il faut qu'il parcoure d'abord la première demi-coudée,
et ensuite la seconde dans l'ordre. Mais pour franchir même le premier intervalle d'une demi-
coudée, il lui faut traverser le premier quart de l'intervalle d'une coudée, puis alors seulement le
second ; et de même <le premier cinquième> s'il était divisé en cinq, et le premier sixième s'il
était divisé en six. Puisque donc, du fait de la division à l'infini, la première partie de toute chose
a elle-même encore une première partie, il est nécessaire qu'il n'y ait jamais de commencement
du mouvement, parce que les parties de l'intervalle et celles du corps sont inépuisables, et que
tout ce que l'on peut en prendre possède encore des parties. (5) Contre ceux qui disent que
les corps, les lieux et les temps se divisent à l'infini (ce sont les gens du Portique), voilà donc
une réponse appropriée.

L'argument est explicitement opposé aux Stoïciens, mais on reconnaît dans les thèses

<footnote n="42">42. C'est-à-dire les choses que nous concevons, mais ne percevons pas. En l'occurrence il s'agit des parties trop petites pour être perçues comme distinctes.</footnote>
qui leur sont attribuées une réponse apparemment équivalente à la solution aristotéli-
cienne : la division est bien infinie, mais cela ne veut pas dire que la matière soit composée
d'une quantité actuellement infinie de parties<fnref n="43" /> ni que le mouvement suppose la travers-
sée d'une infinité effective d'étapes. Comme le remarquent Long et Sedley, cette réponse
semble relativement solide contre les apories du continu et les argumentaires atomistes
qui les reprennent, mais elle devient problématique pour répondre à l'argument de la
Dichotomie. En effet, on est contraint d'accorder que le mouvement lui-même opère une
division effective, et s'il opère bien cette division alors le mouvement ne peut même pas
commencer. Que signifierait de ne pas l'accorder ? Cela consiste, nous rapporte Sextus,
à dire que « le corps mû franchit la totalité de l'intervalle divisible en un seul et même
temps », « d'un seul coup et en bloc ». Attention, il ne faut pas supposer ici que l'on
parle d'un mouvement atomistique ou d'un saut, ou d'un mouvement instantané : il
s'agit simplement de dire que l'étendue temporelle nécessaire pour traverser l'intervalle
n'est elle-même pas effectivement divisée, mais qu'il y a bien un mouvement parfaite-
ment un, considérable comme bloc indivis (qu'il qu'il soit supposé continu et progressif).
Il s'agit donc bien de la réponse aristotélicienne.

La nouveauté damascienne

Le second texte appartient à l'Antiquité tardive, et atteste le fait d'un penseur ac-
ceptant le réquisit de continuité, et la distinction entre l'en acte et l'en puissance dans
la composition de la grandeur, mais produisant néanmoins une théorie du mouvement
par sauts : à savoir Damascius (458 - 550 ap. J.C.), le dernier scholarque de l'école néo-
platonicienne d'Athènes. La théorie de Damascius est finalement encore aujourd'hui peu
connue, mais elle est véritablement remarquable, elle a notamment pour elle d'offrir toute
l'efficacité de l'atomisme, sans son pire inconvénient qui est son caractère irréconciliable
avec la continuité et l'incommensurabilité géométrique.

En effet l'atomisme oblige à abandonner la continuité spatio-temporelle et impose

<footnote n="43">43. Rigoureusement, cela veut dire en fait qu'il n'y a pas une chose telle que « la multiplicité des parties par lesquelles un corps est composé ». Cf. LS 50.</footnote>
FIG. 5.1 : Variation continue des sauts damasciens dans la rotation d'un cône au cours d'une section démiurgique

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

qu'il y ait, entre n'importe quels deux corps ou mouvements, un rapport *rationnel*. Mais la théorie de Damascius ne fait rien de tel : elle maintient strictement la continuité dans l'étendue. Mais elle compose le temps de « sections démiurgiques », intervalles de l'ad-venue à l'être au sein desquels il y a rigoureuse simultanéité du devenir, quoi que leur structure demeure continue (au sens où elles composent des mouvements théoriquement découpables à l'infini). Si l'on conçoit, par exemple, la rotation d'un cône, durant cha-cune des sections démiurgiques, discrètes, le sommet reste immobile et le cercle à la base accomplit le plus grand des déplacements, tandis que les sections intermédiaires accom-plissent des déplacements intermédiaires (variant de façon continue du sommet jusqu'à la base)¹⁴.

### 5.6.4 L'ensemblisme

Quant à l'ensemblisme contemporain, il est dans une situation similaire à celle d'Aristote en ce sens qu'il croit lui aussi que sa solution aux apories du continu s'exporte sans défaut aux apories du mouvement. Mais contrairement à Aristote, cela l'amène à nier

<footnote n="44">44. Voir figure 5.1. On trouve l'exposé de cette position en Damascius, *Commentaire du Parménide de Platon*, t. 3, texte établi par : Leender Gerrit Westerink, trad. du grec, annot. et introd. par Joseph Combès, 4 t., Collection des universités de France, Les Belles Lettres, 2002, (R. II, 228-42), pp. 171-93, ainsi que, avec discussion, dans *Simplicius*. Voir, outre les notes et références dans l'édition des Belles Lettres, Richard Sorabji, *Time, creation and the continuum. Theories in antiquity and the early middle ages*, Duckworth, 1983, chapitre V.</footnote>
tout bonnement qu'il y ait un problème du mouvement, qu'il y ait un problème spécifique
à l'achèvement dans le temps d'une série infinie.
<figure><img src="image_24.png" /></figure>
Deuxième partie

L'inachevable aujourd'hui
<figure><img src="image_25.png" /></figure>
# Chapitre 6

## Y a-t-il aporie de l'inachevable ?

Les chapitres qui précédent avaient pour intention de présenter le *paradoxe de la Dichotomie* comme l'élaboration par Zénon d'une *aporie de l'achevabilité* par l'usage du *raisonnement itératif*. Supposant cette aporie comprise, et acceptée, on pourrait alors la considérer dans sa pleine ampleur théorique, et envisager les possibilités *a priori* d'en fournir une solution.

Il nous faut néanmoins auparavant nous confronter à la possibilité d'un *refus* de l'aporie. La prémisse commandant ce travail est justement que toute une tradition, particulièrement forte au XXe siècle, vient nier la réalité du problème ou nier au moins que le problème insiste encore aujourd'hui. Ce que nous avons nommé la solution *standard* du paradoxe estime que l'argumentation de Zénon prouve en effet – les hypothèses de continuité adéquates étant admises – que l'achèvement d'un mouvement implique l'achèvement d'un infini. Mais elle répond simplement que cet achèvement doit être reconnu comme possible. Parmi les commentateurs récents de Zénon, et dans la continuité d'une perspective qui remonte à Paul Tannery<fnref n="1" />, *via* la mise au premier plan du problème par Bertrand Russell<fnref n="2" />, c'est l'avis en particulier de Jonathan Barnes<fnref n="3" /> ou Richard Sorabji<fnref n="4" />.

<footnote n="1">1. TANNERY, « Le concept scientifique du continu » cit.</footnote>

<footnote n="2">2. Bertrand Russell, *Our Knowledge of the External World as a Field for Scientific Method in Philosophy*, George Allen & Unwin Limited, 1914.</footnote>

<footnote n="3">3. Barnes, p. 261-73.</footnote>

<footnote n="4">4. SORABJI, *Time, creation and the continuum*, cit., p. 327-328.</footnote>
dans le domaine anglophone, comme de Maurice Caveing² ou Jules Vuillemin³ dans le domaine francophone. En termes de tradition philosophique il s'agit de la sagesse dominante au sein de la tradition analytique, telle qu'on la trouve par exemple exprimée dans la synthèse philosophique fournie par la *Stanford Encyclopedia*⁴. Il faut donc en venir à affronter directement ce problème, à poser directement la question : y a-t-il une aporie de l'inachevable ?

## 6.1 Argumenter en faveur de l'inachevable

> Caveat : Le contenu de cette section ne doit pas être considéré comme un argument complet, mais comme le plan général ou l'esquisse d'un tel argument, proposée afin de donner une vision d'ensemble du propos. Il comporte de nombreuses affirmations insuffisamment justifiées ou clarifiées qui le seront plus loin dans ce travail.

Il serait tentant, et il reste à certains égards réellement pertinent, de présenter la situation en termes d'un désaccord épistémique s'avérant en pratique irréductible. Une certaine tradition philosophique, remontant peut-être à Zénon lui-même ou du moins Aristote, et encore vivante aujourd'hui, est prête à accepter comme prémisse non démontrée qu'il est impossible qu'un infini soit achevé. À des fins d'abréviation, notons cette prémisse Z.

Z : Il est impossible qu'une tâche inachevable au sens de Zénon ait été achevée.

Par « tâche inachevable au sens de Zénon », nous entendons une tâche qui consiste en une série d'opérations successives strictement ordonnées à partir d'une opération initiale, et telle que de chacune des opérations de la série résulte la possibilité de poursuivre la tâche en menant une nouvelle opération<fnref n="5" />. Par le fait qu'une tâche « ait été achevée », nous entendons le fait qu'ayant commencé, en un certain temps, par sa première opération, et les opérations successives ayant toujours été menées dans leur ordre (y compris temporel)

<footnote n="5">5. CAVEING, Zénon d'Éléa cit.</footnote>

<footnote n="6">6. VUILLEMIN, « De la régression à l'infini comme moyen de réfutation » cit.</footnote>

<footnote n="7">7. HUGGETT, « Zeno's Paradoxes » cit.</footnote>

<footnote n="8">8. Cf. la section 3.2 et l'interlude p. 121.</footnote>
strict, il se trouve un temps postérieur où tout ce qui pouvait être accompli de cette tâche
l'a été.

Nous devons d'emblée noter trois choses. Premièrement nous ne formulons pas primi-
tivement la prémisse en question en terme d"infini". Comme nous l'avons déjà développé
et y reviendrons, l'infini comme quantité est pour nous second par rapport au caractère
inachevable de la procédure itérative. Plus encore, nous ne souhaitons pas du tout affir-
mer en général qu'il est impossible qu'une quantité infinie de tâches aient été accomplies,
cela n'est pas ce que nous prétendons. Deuxièmement, pour des raisons qui seront plus
nettement explicitées par la suite, nous sommes réticent à donner une reformulation ex-
tensionnelle, quantifiée, de ce qui constitue un « achèvement ». Nous serions prêt à dire,
à la rigueur, que nous prenons « l'être achevé » primitivement, la spécification de ce qui
peut constituer l'achèvement ou l'être achevé d'une tâche déterminée commandant po-
tentiellement une enquête nouvelle pour chaque objet. Tout cela devrait s'éclaircir par la
suite. Nous reconnaissions néanmoins qu'il est au moins a priori vraisemblable de refor-
muler l'être achevé d'une tâche I sous la forme : « Il existe un temps t tel que pour toute
opération o constituant la tâche I, il est vrai à t que o a été accompli ». Troisièmement,
nous différencions cette prémisse Z, objet légitime de contestation, d'une autre prémisse
qui pourrait au contraire, nous le croyons, être admise par tous et toutes : qu'une tâche
inachevable au sens de Zénon ne peut pas, au présent, être achevée ou s'achever. C'est
ce point universellement admissible qui lui confère le titre d"inachevable". Notons cela
par Z'.

Z' : Il est impossible qu'une tâche inachevable au sens de Zénon s'achève, ait un achèvement.

Par le fait qu'une tâche « s'achève » ou « ait un achèvement » nous entendons le fait qu'ayant commencé, elle parvienne *dans le temps*, en un certain *présent*, à quelque chose *qui l'achève*, comme lorsqu'un mouvement continu atteint sa limite (quand la raclette du laveur de carreau parvient au bord de la vitre) ou qu'une série discrète d'opérations atteint sa dernière opération (quand l'application des règles logiques permet d'écrire l'énoncé recherché qui était à déduire), ou que la bouilloire siffle enfin.
On le notera, c'est parce qu'une tâche inachevable au sens de Zénon est en soi inachevable, c'est-à-dire qu'elle n'admet pas quelque chose comme un dernier terme ou un état conclusif auquel elle pourrait parvenir, qu'elle ne peut a fortiori avoir un achèvement dans le temps<fnref n="9" />. On voit qu'on peut passer de Z' à Z si on admet simplement le lemme L suivant, qu'on doit accepter de ne pas entendre comme une tautologie, malgré la tentation grammaticale :

> L : Tout ce qui peut être achevé peut s'achever. Réciproquement, il est impossible que ce qui ne peut s'achever soit achevé.

Si certain.e.s philosophes soutiennent au contraire qu'après tout il est bien concevable qu'on puisse en avoir fini avec une tâche infinie successive et aller au-delà d'elle, s'ils et elles refusent la prémisse Z, il se peut qu'en un sens les tenants de la première tradition n'aient rien à leur répondre. Si l'on considère par exemple la présentation qui est faite du problème par Jonathan Barnes, nous comprenons qu'il ne se juge pas lui-même en position de prouver qu'un tel achèvement (au sens ordinaire) est possible, mais qu'il considère en revanche qu'aucun bon argument n'a jamais été formulé en faveur de son impossibilité. Prenant acte de sa soigneuse analyse, sur laquelle nous reviendrons en détail<fnref n="10" />, et prenant acte des 60 ans depuis lesquels se publient des articles sur le problème connexe des supertasks sans que personne n'ait été convaincu de cette impossibilité par un argument, il ne sera pas ici entrepris de véritablement donner un argument conclusif en sa faveur, du moins d'une manière qui serait satisfaisante pour celles et ceux qui ne l'acceptent pas déjà comme prémisse. Il se peut qu'il s'agisse d'une tâche vaine. L'impossibilité d'achever l'infini dans le déroulement successif est bien, pour les tenants d'une certaine tradition à laquelle nous prêtons voix ici<fnref n="11" />, un point d'évidence, au même

<footnote n="9">9. De nouveau, nous sommes quelque peu réticent à donner une reformulation extensionnelle quantifiée, mais de nouveau nous reconnaissons qu'il est au moins a priori vraisemblable de reformuler l'achèvement sous la forme : « Il existe une opération o telle que si l'opération o est accomplie la tâche a été achevée, et il existe un temps t tel que l'opération o est accomplie à t. ».</footnote>

<footnote n="10">10. Cf. la section 7.1.</footnote>

<footnote n="11">11. Il ne nous paraît pas impossible de rattacher à cette tradition pratiquement l'ensemble des philosophes antiques pour lesquels nous sommes en mesure de discerner un jugement sur ce point (voir section 5.6), ainsi que les tenants de toutes les traditions aristotéliciennes et atomistes médiévales et modernes – ainsi que Kant et Hegel, Bergson, James et Whitehead, Hermann Weyl et toute la tradition</footnote>
sens aujourd'hui que lorsqu'Aristote pouvait déclarer que « sur ce point tout le monde s'accorde<sup>12</sup> ». Bien entendu, nous nous acquitterons au moins de la tâche d'exposer le plus nettement possible *ce qui est pensé* en elle, de clarifier ce que nous pensons quand nous accordons qu'il y a aporie<sup>13</sup>.

Nous est-il néanmoins possible d'aller plus loin, si nous souhaitons ne pas nous contenter du face à face de deux positions en désaccord sur les prémisses ? Oui et non.

Oui, nous le pouvons. En un premier sens, parce que du point de vue des participants de l'impossibilité il ne s'agit pas seulement d'un désaccord, mais il y a également quelque chose de l'ordre du malentendu ou de la méprise à l'œuvre dans la longue histoire moderne des réponses à Zénon. Dans la discussion du problème, depuis Grégoire de Saint-Vincent, Descartes et Leibniz, mais surtout plus récemment et on ne peut plus nettement dans la réflexion sur les *supertasks*, nous croyons percevoir que quelque chose est perdu de l'intention de départ, que le problème a été déplacé sur un autre terrain ou que les termes en ont été changés. Si l'on ne peut produire un argument convaincant, il importe du moins d'expliquer pourquoi nous ne sommes pas satisfait par le compte rendu que l'autre camp donne de notre problème. Mais en réalité le problème est plus profond que cela. Le malentendu, le déplacement, a toujours pu avoir lieu, on le voit à l'œuvre déjà chez Aristote (qui finalement se corrige), et ceux mêmes de "notre camp" s'en sont plus d'une fois rendus coupables, au risque de rendre leur argumentation inefficace ou incompréhensible. Nous pouvons décrire ce dont il est question en une phrase, qu'il faudra bien entendu éclaircir : il s'agit d'une substitution d'un problème de *l'être fait* à un problème du *faire*. Autrement dit la discussion tend à dériver sur le problème

<footnote>constructiviste, voire, en osant entendre chez eux une doctrine philosophique du même ordre et sur le même plan, aussi bien Brouwer que Hilbert, pour citer quelques grands noms.</footnote>

<footnote n="12">12. Cf. la section 9.4.2.</footnote>

<footnote n="13">13. On trouve un refus encore plus explicite de cette perspective, en opposition aux analyses de James et Whitehead, chez R. M. Blake : "If, finally, after all such explanations and qualifications, it should // still be asserted that a temporal process, in view merely of the fact that in one highly peculiar sense of the word it 'can have no end,' can therefore in no sense of the word 'come to an end,' or that it can not get completed, or that to complete it would take foreover, I should be able to regard such an assertion only as a bit of perfectly gratuitous and wholly ungrounded dogmatism." R.M. Blake, « The Paradox of Temporal Process », *The Journal of Philosophy*, 23, 24 (1926), p. 645-654, p. 652-3. Cf. 170-185 William James, *Some Problems of Philosophy. A Beginning of an Introduction to Philosophy*, Longmans, Green, & Co., 1911, p. 177-180; Alfred North Whitehead, *Science and the Modern World*, The MacMillan Company, 1925</footnote>
de la totalité infinie, selon qu'elle est ou non jugée cohérente ou possible, et non à rester concentrée sur le problème de l'achèvement, de l'effectuation d'un acte.

Nous le pouvons en un second sens. Quand un affrontement théorique en est réduit à l'acceptation ou au refus d'une prémisse, la discussion se rétracte sur la question des raisons *a priori* de trouver ou non la prémisse vraisemblable. Suivant ce qui est jugé sur ce point, la charge de la preuve se trouvera incomber à l'un ou l'autre camp – le camp de l'invraisemblance. Or nous pouvons proposer un argument à deux versants, visant justement à renverser la charge de la preuve. D'une part il est possible de légitimer d'au moins *partir* de l'acceptation de **Z**, d'avoir son acceptation comme présomption ; d'autre part on peut tenter de montrer l'inadéquation des raisons apparentes de refuser **Z**. Si tout cela se trouvait accepté, il reviendrait aux partisans de la possibilité de tenter de nous convaincre. En réalité, de façon plus réaliste, mais aussi pour des raisons concep- tuelles plus profondes, nous ne croyons pas tant pouvoir convaincre que devoir faire notre possible pour expliquer où nous nous tenons et pourquoi.

Pourquoi pouvons-nous trouver raisonnable d'avoir l'acceptation de **Z** pour point de départ ? Les raisons apparaîtront variées, mais elles cachent une unité réelle. D'abord, nous croyons pouvoir dire avec quelque confiance que l'acceptation de **Z** est la réac- tion “naïve”, non-informée, la plus commune et naturelle, à l’écoute du problème. À ce titre elle est comme un point de départ pré-théorique. Ensuite, nous en avons déjà dit un mot, nous croyons possible d’affirmer que le *statu quo* jusqu’à la fin du XIXe siècle, était celui d’une reconnaissance relativement consensuelle de l’impossibilité d’achever une tâche infinie<fnref n="14" />. De plus, nous croyons pouvoir soutenir que ce postulat demeure implicitement reconnu, à peu près en l’état, dans un certain nombre de pratiques ma- thématiques contemporaines qui sont les pratiques constructives<fnref n="15" />. Nous notons enfin

<footnote n="14">14. Il faudrait préciser : chez les auteurs philosophiquement rigoureux, dans leurs moments rigoureux. Il y a certainement eu des exceptions, notamment à partir du XVIe siècle, mais ces exceptions, pour des raisons profondes, confirment généralement la règle.</footnote>

<footnote n="15">15. Nous avons conscience du lourd engagement que représente ce point. Pour le dire en une phrase, il est implicitement admis, dans des réflexions sur des domaines réellement mathématiques, où au- cune contrainte physique, contingente, n’est posée, mais qui s’intéressent spécifiquement à des objets qui doivent être construits étape par étape par un opérateur, que ces objets peuvent être arbitrairement grands et complexes mais qu’il n’y a pas de sens de poser, même en théorie, l’achèvement d’une construc- tion *infinie* de ce genre. Nous pensons à l’informatique théorique ou à la théorie de la démonstration.</footnote>
que nier **Z**, c'est-à-dire affirmer la possibilité que soit achevée une telle tâche, consiste en pratique à nier **L** (si on suppose **Z'** admise par tous et toutes), c'est-à-dire à affirmer que peut être achevée quelque chose qui ne peut pas, au présent, s'achever, ce qui est prima facie problématique<fnref n="16" />. Ayant tout ceci pour point de départ, nous posons la question suivante : qu'est-ce qui peut au contraire rendre vraisemblable la possibilité de l'achèvement, la négation de notre prémisse **Z** dont l'acceptation fut longtemps le statu quo ?

Nous croyons qu'il y a essentiellement deux réponses à cette question. La première est, paradoxalement, l'argument de Zénon lui-même. Trouvant l'analyse du mouvement convaincante, mais refusant la conclusion selon laquelle le mouvement est impossible, nous sommes porté à conclure que ce qui fondait cette impossibilité, à savoir **Z**, doit être rejeté. Mais cette réponse ne peut pas être suffisante, au sens où si elle apporte en effet une motivation pour nier **Z**, elle ne constitue pas à proprement parler une justification, elle ne nous dit rien de nouveau sur le problème. Si on suppose que l'on part de l'acceptation de **Z**, il ne s'agit alors que d'un abandon pur et simple de cette même prémisse face à la première réelle difficulté rencontrée. Pour anticiper sur un point qui sera développé plus loin, nous tenons à la prémisse en vertu d'une certaine pré-conception de ce que doit être le mouvement, et nous ne sommes pas prêts à payer le prix de son abandon pour simplement sauver la cohérence d'une notion de mouvement quelle qu'elle soit. La même chose formulée sur un plan historique ferait remarquer qu'en fait, l'analyse zénonienne n'a jamais été une raison suffisante d'abandonner la prémisse **Z** tant qu'une vraie raison conceptuelle intrinsèque n'était venue la remettre en cause.

La seconde est donc la seule réelle justification, tant conceptuellement que, de fait, historiquement : il s'agit d'éléments de la mathématique moderne, qui semblent nous permettre de penser des objets contredisant l'interdit posé par **Z**, présentant des in-achevables achevés. Or s'ils peuvent faire l'objet d'un discours mathématique cohérent, ces objets obtiennent une consistance et une vraisemblance *a priori* très grande. Nous

<footnote n="16">16. Ce point demande également une plus grande élucidation. Il y a en fait certainement des choses qui, à première vue, peuvent se trouver achevées sans s'être jamais achevées au présent. Nous clarifions cette question dans la section suivante, cf. p. 215.</footnote>
croyons que quiconque observe l'ensemble de la littérature soutenant la fausseté de Z pourra constater que c'est essentiellement là la seule et unique raison. Nous en avons donné et en donnerons des exemples. Mais *a contrario*, apparaît alors l'unité profonde de nos raisons *a priori* de soutenir Z : elles partent toutes, d'une manière ou d'une autre, d'une *ignorance* de ces éléments de mathématiques. L'attitude naïve, parce qu'elle est tout simplement ignorante de ces théories ; il en va de même pour la philosophie ayant historiquement précédé, sinon l'élaboration mathématique en général d'objets de ce genre, du moins leur élaboration suffisamment rigoureuse sur un plan formel et conceptuel ; et enfin, le point de vue interne à certaines pratiques mathématiques contemporaines serait simplement expliqué par le fait qu'elles ne traitent pas, en interne, d'objets de ce genre. L'unique et déjà fort conséquente raison de nier Z aurait de surcroît comme effet d'expliquer et de rendre obsolète d'un même mouvement les fausses raisons de l'admettre *a priori*. Cette présentation de la situation est en réalité fort commune, et a probablement le plus de force chez celui qui en est, en substance, l'initiateur principal, à savoir Bertrand Russell<fnref n="17" />.

Seulement voilà, c'est en ce point précis que nous croyons que se situe quelque chose de l'ordre de la méprise ou du malentendu. C'est ici que nous croyons que le passage par les théories mathématiques et leur formalisme conduit à changer en quelque façon le problème posé. Ainsi, l'existence de théories mathématiques cohérentes sur certains objets ne peut plus du tout fonctionner comme indice de vraisemblance, parce qu'en croire ainsi serait toujours commettre la substitution de *l'être fait au faire*. L'étude d'un objet mathématique qu'on appellera informellement "transfini", c'est-à-dire qui semble enfreindre l'interdit posé par Z, considère un tel objet dans l'ignorance volontaire de la possibilité de venir à bout de sa constitution dans le temps. Et les mathématiques dites « constructives » ont ici ce privilège qu'elles sont celles qui s'intéressent dans l'abstrait à des processus de constitution progressifs du type de ceux décrits par Zénon. Nous renverserions alors l'analyse : loin que la mathématique contemporaine vienne rendre obsolète le consensus ancien, c'est au contraire du point de vue de la bonne compréhension de ce

<footnote n="17">17. RUSSELL, *Our Knowledge of the External World* cit.</footnote>
consensus qu'on doit déclarer l'irrelevance du motif mathématique. Si les mathématiques "transfinies" au sens large sont l'unique raison de renoncer à l'affirmation de Z, et si elles ne sont pas en fait une telle raison, il n'y aurait aucune raison à proprement parler.

Tout ceci ayant été dit, il reste néanmoins que non, nous ne croyons pas pouvoir vraiment sortir d'une situation d'opposition de principe. Cela s'explique par la combinaison de deux points.

Le premier point est le suivant : quoi que du point de vue des partisans de Z, tout discours sur l'être fait ignorant de la problématique du faire est sans pertinence, symétriquement, il n'y a vraisemblablement aucune chance d'exhiber une contradiction au niveau de l'être fait, c'est-à-dire aucune chance d'apporter un argument conclusif en faveur de Z. On pourrait tenir l'échec du camp "finiste" dans le débat sur les supertasks comme une sorte de "confirmation expérimentale" de ce point. Mais on peut aussi tenter de le justifier a priori<fnref n="18" />.

Tous les arguments qui sont propres à la littérature des supertasks examinent pro et contra l'impossibilité de l'être achevé de certains processus infinis, c'est-à-dire discutent du fait de savoir si une contradiction (du type : lampe ni allumée ni éteinte) peut être dérivée de l'hypothèse de leur être achevé. Max Black, dans la présentation originelle du problème, dit qu'il ne pense pas que cela ait un sens de parler de l'être achevé d'une tâche infinie, mais qu'il va néanmoins en parler pour tenter de montrer que l'on peut tirer une contradiction de sa supposition. Sa stratégie consiste à mettre en équivalence plusieurs processus infinis en sorte que l'impossibilité de l'un entraîne supposément l'impossibilité de tous les autres. Or le résultat, depuis les premières réponses faites par Richard Taylor et J. Watling à Max Black, est toujours que les dispositifs dont l'être achevé est plausiblement contradictoire sont des dispositifs en eux-mêmes inconséquents, insuffisamment définis, générant une discontinuité, ou qui n'admettent aucun achèvement possible en général. Dans tous les cas, ce n'est pas l'être achevé de l'infini en tant que tel qui produit la potentielle contradiction, et dans tous les cas la course zénonienne est innocente de tous les défauts qui la produisent. En somme il semble toujours impossible de prouver l'impossibilité de l'achèvement de l'infini de façon suffisamment générale, c'est-à-dire qui comprenne le cas zénonien. Mais si tel est

<footnote n="18">18. Voir, sur tout cela, le chapitre ⁷ et notamment la section ⁷.7.</footnote>
le cadre de la discussion, du point de vue du problème de Zénon il ne fallait vraiment pas
se donner cette peine. En effet, par construction, le processus zénonien est un processus
inacheable, infini, dont l'être achevé, si on le suppose possible, est bien déterminé, bien
connu, non-contradictoire. En effet cet être achevé est simplement le fait d'être arrivé en un
point depuis un autre point. On pouvait s'attendre à ce qu'un tel résultat ne puisse jamais
apparaître comme en lui-même impossible ou contradictoire. En sorte que, quelle que soit
la contradiction produite par la supposition de l'être achevé d'un autre processus infini,
on pouvait savoir *a priori* que cette contradiction résultait d'une propriété du processus
infini que ne partage pas le processus zénonien, en sorte que jamais celui-ci ne pourrait
être concerné par la contradiction. Mais du point de vue du problème de Zénon, tout cela
manifeste également un malentendu. Car le dernier point que nous avons soulevé pourrait
être ainsi reformulé : qu'il y ait des situations parfaitement ordinaires et non-contradictoires
en elles-mêmes dont on peut montrer qu'elles sont l'être achevé d'un processus infini, c'est
précisément ce que Zénon a cherché à prouver. Jamais donc la contradiction, si contradiction
il y a, ne pourra se trouver dans l'hypothèse d'un état au-delà de la course inacheable,
dans son être achevé, mais au contraire Zénon a cherché à exhiber la seule contradiction
qu'il puisse y avoir, et qui est que tout mouvement présuppose l'être achevé de quelque
chose qui est *intrinsèquement inacheable*. Autrement dit nous savions dès le départ que
la contradiction, si contradiction il y a, ne pouvait se trouver que dans le *rapport* entre la
possibilité d'achever effectivement *au présent* un processus et le fait qu'il y ait un temps où
ce processus se trouve entièrement achevé.

Le second point nous mène encore plus loin : la justification de l'impossibilité qu'un
processus zénonien ait un achèvement effectif, ou la justification du principe selon lequel
il ne saurait y avoir un "être achevé" sans "achèvement" effectif, cette justification ne
saurait être en dernière instance qu'une forme d'intuition de la temporalité. Il s'agirait
de quelque chose comme, pour parler le langage kantien, une "proposition synthétique
a priori" sur la nature du temps, qui n'a lieu d'être que si le temps est compris comme
"passage", comme ce que Bergson appelait « durée » ou « temps réel », ou comme mani-
festant la "réalité du mouvement" irréductible au fait de se trouver à diverses positions
ou états en divers instants. Cette intuition *a priori* du temps est aussi peut-être celle
qui est implicitement reconnue dans les pratiques mathématiques constructives, telles
qu'elles sont en fait déjà à l'œuvre justement dans les arguments itératifs de Zénon. En l'absence de cette intuition, le premier point soulevé précédemment – sur l'impossibilité de trouver une contradiction dans l'ordre de l'être fait – énonce en substance que rien ne devrait nous convaincre de Z. Or cette intuition disparaît entièrement dans la vision que l'on dira “russellienne” du temps – pour simplifier –, et avec elle alors bel et bien tout problème de Zénon d'Élée, ce que tant Bertrand Russell que Adolf Grünbaum avaient correctement vus<sup>19</sup>. C'est pourquoi ce que nous avons présenté comme *aporie de l'inachevabilité* est pour nous essentiellement une *aporie du passage*. Et en ce point, finalement, notre discours prend fin, car cette section n'est pas le lieu approprié où défendre l'idée que le temps est davantage que l'ensemble de ses instants<sup>20</sup>.

Tout ceci forme un programme conséquent. Nous commencerons à le remplir en formulant à proprement parler un argument (fort simple) en faveur de Z, à partir de Z', par L. Cela impliquera une seconde tâche, que nous avons déjà annoncée, et qui consiste à clarifier et élucider le lemme L, qui par lui-même n'est pas satisfaisant.

## 6.2 L'argument in forma

Nous allons proposer une mise en forme de ce que nous considérons comme le fond de l'argument de Zénon sur l'impossibilité du mouvement, tel que, selon nous, il est correctement compris et accepté en dernière analyse par Aristote. L'argument déduisant Z est une sous-partie de cet argument.

Intuitivement, l'argument que nous voulons faire consiste à dire que Zénon a montré que pour qu'un mouvement ait lieu, il faut que se termine quelque chose qui ne peut se terminer, ou (dans la version inversée de la Dichotomie) que commence quelque chose qui ne peut commencer. Nous sommes conscient que l'énoncé ainsi formulé passe pour un sophisme, dans la mesure où on peut analyser différemment les deux occurrences de « commencer<sup>21</sup> ». Nous ne prétendons pas que cet énoncé soit une pure contradiction

<footnote n="19">19. Adolf Grünbaum, *Modern Science and Zeno's paradoxes*, Allen et Unwin, 1968.</footnote>

<footnote n="20">20. Voir sur ce point le chapitre 8.</footnote>

<footnote n="21">21. Par exemple, respectivement « avoir une borne inférieure dans le temps » et « avoir un premier élément ».</footnote>
logique, de forme "P et Non-P". Nous voulons dire qu'une même intuition de ce que signifie le commencement ou la terminaison d'une tâche dans le temps nous impose de *lier* indissolublement les deux aspects qui peuvent être séparés par analyse. C'est cette intuition que nous voulons mettre en forme. Nous prévenons dès l'abord que nous n'utiliserons pas une logique quantifiée, mais un élémentaire enchaînement de propositions en langue naturelle, quitte à discuter de possibles analyses quantifiées des propositions en jeu quand cela s'avèrera utile<fnref n="22" />.

1/ Si un mouvement est accompli, alors une série zénonienne est achevée<fnref n="23" />.

2/ Pour qu'un processus itératif (enchaînement d'une série discrète d'étapes se réalisant une par une dans un ordre strict) puisse être achevé, il faut qu'il puisse s'achever<fnref n="24" />.

3/ Pour qu'un processus itératif s'achève, il faut qu'advienne ce qui constituerait pour lui un achèvement intrinsèque.

4/ L'achèvement intrinsèque d'un processus itératif est l'arrivée à un terme ultime<fnref n="25" />.

5/ Une série zénonienne est un processus itératif sans terme ultime.

A/ Une série zénonienne n'a pas d'achèvement intrinsèque (4, 5)

B/ Une série zénonienne ne peut pas s'achever. (A, 3)

C/ Une série zénonienne ne peut pas être achevée. (B, 2)

D/ Aucun mouvement ne peut être accompli. (C, 1)

On voit que C correspond à **Z**, B à **Z'**, et que 2 joue le rôle de **L**.

Supposons l'inférence admise. Quelles sont les voies d'évitement de la conclusion ?

5 est vraisemblablement hors de doute. Restent donc 1, 2, 3, 4.

Il nous paraît qu'il y a alors deux grandes possibilités :

<footnote n="22">22. Par fidélité à ce que nous croyons être la formulation originelle de Zénon, nous mènerons l'argument relativement à l'achèvement, et non au commencement. Néanmoins, on priera lectrices et lecteurs de supposer sous-entendu un raisonnement entièrement parallèle relatif au commencement ; si nous croyons l'argument de l'achèvement plus primitif et plus logiquement pur, il se peut que l'argument du commencement soit plus intuitivement convaincant, et nous ne nous priverons pas de l'évoquer à l'occasion en faisant comme s'il avait été également explicité.</footnote>

<footnote n="23">23. Symétriquement : Si un mouvement est accompli, alors une série zénonienne inversée a commencé.</footnote>

<footnote n="24">24. Symétriquement : Pour qu'un processus itératif puisse avoir commencé, il faut qu'il puisse commencer. De même pour la suite.</footnote>

<footnote n="25">25. À titre de comparaison, on dirait de même : 4' / L'achèvement intrinsèque d'un changement continu est l'arrivée à la limite de ce mouvement, au point de son plein accomplissement (pour ainsi dire la borne supérieure de ce changement continu).</footnote>
- ou bien réfuter d'une manière ou d'une autre l'analyse zénonienne du mouvement, et par suite rejeter la prémisse 1. On peut alors accepter sans dommage la conclusion C, comme le fait selon nous Aristote; une acceptation de la prémisse C est d'ailleurs une excellente motivation pour rejeter la prémisse 1.

- ou bien rejeter la conclusion C, c'est-à-dire trouver ce qu'il y a à redire à la "logique du commencement" invoquée dans l'argument et fondée sur 2, 3 et 4. Il n'y a alors plus d'obstacle majeur à accepter 1, rendue simplement inoffensive par la nouvelle logique du commencement, et c'est explicitement là la position de Jonathan Barnes ou Richard Sorabji.

Nous reconnaissons et faisons remarquer que cette alternative est pratiquement équivalente à l'alternative proposée par Jonathan Barnes entre le refus des prémisses par lui numérotées (1) et (2) :

(1) Si quelque chose bouge il accomplit une infinité de tâches.

(2) Rien ne peut accomplir une infinité de tâches.

Nous nous expliquons longuement dans notre analyse de son interprétation sur nos raisons d'éviter ces formulations, c'est-à-dire d'introduire directement le concept d'infini dans l'argument<fnref n="26" />.

Conformément à l'entreprise menée, c'est la seconde possibilité générale que nous examinerons ici, celle qui rejette la conclusion C, ce qui nous donnera l'occasion de nous expliquer sur le sens que nous donnons à nos propositions. En effet, comme nous avons omis d'en donner une interprétation quantifiée, elle ne sont pas dépourvues d'ambiguïté. Par « achèvement intrinsèque » d'un processus, nous entendons ce qui constitue, pour ce processus, un achèvement, indépendamment de toute référence au temps. Par exemple l'achèvement intrinsèque d'un raisonnement est l'énoncé (ou la dérivation) de sa conclusion, abstraitement considéré et indépendamment de la question de savoir s'il y a bien un temps où le raisonnement a effectivement été mené à terme. L'achèvement intrinsèque d'une course est le contact avec la ligne d'arrivée, indépendamment de la question

<footnote n="26">26. Cf. [7, 1].</footnote>
de savoir si la course a bien été, dans le temps, menée jusqu'au bout par un individu. Attention néanmoins; il est crucial de noter que par « achèvement intrinsèque » nous ne voulons pas désigner un état tel que si cet état est atteint le processus se trouve effectivement mené à terme. Un tel état pourrait être nommé un « achèvement extrinsèque ». Il va de soi que rien n'empêche, en général, un inachevable au sens de Zénon d'avoir un achèvement extrinsèque. Ce fait est compris dans l'énoncé même de l'argument de la Dichotomie : si un mouvement est accompli, alors un inachevable a été achevé, autrement dit le fait de se trouver à une position différente de sa position de départ est un tel achèvement extrinsèque pour des inachevables. Mais il paraît également clair que le processus inachevable *lui-même* ne peut parvenir à un état d'achèvement, car tous les états auxquels *il* parvient sont, par construction, des états qui entraînent la poursuite du processus. Nous supposons la notion d'achèvement intrinsèque suffisamment éclaircie. La prémisse 4 énonce ce qui, pour un processus du type de l'enchaînement d'une série discrète d'opérations, peut constituer un tel achèvement intrinsèque. Ce qui nous intéresse dans les processus zénoniens est leur *inachevabilité intrinsèque* au sens de l'achevabilité qui vient d'être défini<fnref n="27" />. La prémisse 3, dès lors, énonce que l'achèvement effectif, dans le temps, d'un processus (ce que nous appelions le fait qu'il “s'achève au présent”) dépend directement de l'advenue effective, au présent où a lieu l'achèvement, d'un *achèvement intrinsèque* du processus. C'est à cette prémisse 3 qu'équivaut foncièrement le jugement selon lequel, puisque la course zénonienne d'Achille n'a (intrinsèquement) pas de fin, elle ne saurait se *finir* dans le temps. C'est cette prémisse 3 qui exprime la fausse tautologie que nous évoquions en début de section, selon laquelle il est impossible que se termine (dans le temps) ce qui ne saurait (intrinsèquement) se terminer. La prémisse 2, enfin, affirme que l'être achevé, au passé, d'un processus de ce type, implique son achèvement au présent, implique qu'il y ait eu un temps de cet achèvement.

Le rejet de la conclusion C semble pouvoir de nouveau se déployer en deux stratégies : ou bien le refus de B qui est fondé sur 3 et 4, ou bien le refus de 2. Dans le premier cas

<footnote n="27">27. Cette inachevabilité intrinsèque résulte du caractère itératif des opérations décrites par Zénon. Et elle est, d'après notre analyse, ce qui est au fondement des raisonnements itératifs. Cf. le chapitre 3.</footnote>
on s'en tient à un sens commun de « s'achever » et on refuse les conditions fortes que 3 et 4 tentent d'imposer à l'achèvement. Dans le second cas, on accepte un sens fortement déterminé de « s'achever », mais on refuse que l'être achevé en dépende.

La première stratégie correspond à une forme de dédramatisation. On accorde, peut-être selon un principe de conformité au sens commun, qu'on doit pouvoir dire d'un processus itératif ayant été achevé qu'il s'est achevé au présent (c'est-à-dire que son achèvement a été présent, a eu lieu). D'où l'acceptation de la prémisse 2. Mais on nie que cet achèvement doive être fortement dépendant de la nature du processus ou des événements en jeu. On peut en effet définir des sens parfaitement satisfaisants du commencement et de l'achèvement, y compris pour des processus zénoniens, qui permettent de distinguer en général entre les processus qui ont eu ou non un achèvement, ou un commencement. Après tout, tout comme le processus continu qu'il recouvre, un processus zénonien a une borne inférieure et une borne supérieure, c'est-à-dire des instants ou temps tels qu'en tout temps antérieur le processus n'a pas commencé (respectivement, ne s'est pas terminé) et en tout temps postérieur le processus a commencé (respectivement s'est terminé). On peut alors définir comme le fait d'avoir de telles bornes le fait d'« avoir un commencement » et d'« avoir un achèvement<fnref n="28" /> ». Si on veut bien tolérer au moins temporairement le concept d'“achèvement intrinsèque” et concéder la prémisse 4 qui le détermine, c'est par conséquent la prémisse 3 qui fera l'objet de notre rejet, celle qui surdétermine la notion d'achèvement.

La seconde stratégie consistera à concéder le sens précis de « l'achèvement » établi par la prémisse 3 (les prémisses 3 et 4 pouvant alors être toutes deux comprises comme des *définitions stipulatives* de ce qu'on décide d'appeler “achèvement” et “achèvement intrinsèque”), mais à nier alors le principe posé par 2, selon lequel l'être achevé suppose l’“achèvement” (tel qu'il vient d'être défini). Il faut donc à présent examiner de plus près cette prémisse 2. On voit qu'elle dérive comme un cas particulier de notre lemme

<footnote n="28">28. On voit l'efficacité de la définition dans le cas du commencement : ce critère suffit à distinguer, parmi deux processus « ayant », en un sens, « commencé », c'est-à-dire ayant pris en partie place dans le passé, entre d'une part un processus sempiternel, ayant réellement toujours déjà eu lieu et donc n'ayant jamais eu de commencement, et d'autre part un processus zénonien dont on peut dire qu'il “a eu” un commencement même s'il n'a pas de première étape.</footnote>
L, qui lui donnerait donc une justification; mais on aura également remarqué que nous ne faisions pas pleinement emploi de ce lemme. La raison en est que, pris dans sa pleine généralité, sans limitation, le lemme L est problématique. Il donne en effet lieu dans de nombreux cas à des complications nécessitant des explications et des précisions dont nous voulions préserver le très simple argument zénonien. Nous donnerons deux exemples de ces complications qui nous semblent à tous égards instructives.

Nous considérons une proposition du type « tout processus temporel qui s'est achevé a aussi dû avoir un achèvement », et symétriquement « tout processus temporel qui a commencé a aussi dû avoir un commencement ». Le premier contre-exemple concerne directement Zénon, car il concerne les éléments du continu. Et il a donné lieu, chez Sorabji, à l'affirmation selon laquelle Aristote rejetait explicitement notre lemme L dans le cas des processus temporels. Plus généralement, Barnes nous semble avoir argumenté contre des versions de L au nom de certaines analyses de continu qui se trouvent déjà dans Aristote et qui n'ont été que réaffirmées par la mathématique contemporaine. Il nous importe au contraire grandement d'établir qu'Aristote soutient une version de la prémisse 2, et même plus largement une version du lemme L. De quoi s'agit-il ? Il y a bel et bien dans le livre III de la *Physique* d'Aristote de fines analyses des changements dans le continu établissant que dans le continu il y a des choses qui ne peuvent pas avoir de premier terme ou de début. Il suffit de considérer par exemple « l'avoir changé » comme tel. À l'instant où débute le changement, l'avoir changé ne commence pas d'avoir lieu (il n'est pas vrai que la chose commence a avoir changé), mais à tout instant postérieur, il est vrai que la chose a commencé d'avoir changé, sans que son avoir changé ait eu un commencement, sans qu'il y ait eu un instant de ce commencement. En vertu de la densité des instants dans le continu, si le changement a un premier instant, l'avoir changé ne peut en avoir un. Mais nous ne croyons pas que ces analyses soient des raisons pour douter de 2, ni qu'elles l'étaient pour Aristote. Pour la simple raison que « l'avoir changé » n'est pas un processus temporel, il est au mieux un moment du processus temporel réel qu'est le changement. Or un changement a toujours en lui sa borne inférieure – son point de départ –, et sa borne supérieure – son achèvement (ou son interruption). Il y a un instant du
commencement du changement, celui où la cause de ce changement entre en contact avec la chose qu'elle commence à changer, et il y a un instant de l'achèvement, au sens large, du changement, qui est l'instant à partir duquel le changement n'a plus lieu (soit qu'il ait atteint son plein accomplissement et qu'il atteigne un achèvement à proprement parler, soit qu'il soit interrompu). Nous croyons pouvoir supposer claire la différence entre les cas de genre et le cas qui nous occupe. Nous croyons par ailleurs pouvoir exhiber un texte où est directement affirmée cette nécessité que ce qui a commencé ait un commencement, dans une expérience de pensée plaisamment symétrique avec l'argument zénonien<fnref n="29" />.

Cela ne veut pas dire, cependant, qu'il soit impossible de faire un argument généralisé de l'impossibilité du mouvement, fondé directement sur la densité des instants dans le continu, sans passer par un inachevable zénonien. Nous pensons qu'on peut trouver un argument approchant dans Aristote.

L'idée qu'une version de la prémisse 2 est au moins implicitement acceptée par Aristote a été directement contestée par Richard Sorabji, dans son interprétation du « paradoxe de l'instant cessant ». Ce paradoxe énonce que le « maintenant » ne peut pas devenir différent (que l'instant présent ne peut pas changer), parce qu'il ne peut pas devenir différent en devenant lui-même, qu'il ne peut pas devenir différent en devenant un instant immédiatement postérieur à lui-même, car un tel instant n'existe pas, et qu'il ne peut pas devenir différent en devenant un instant strictement postérieur, parce que s'il devient un tel instant sans devenir les instants intermédiaires, ceux-ci se trouvent tous, de fait, contemporains, ce qui par définition n'est jamais le cas de deux instants distincts. Aristote ne donne pas explicitement et clairement de solution à cette aporie qu'il pose au début de son étude du temps. La réponse donnée par Sorabji consiste à citer des textes d'Aristote qui selon lui affirment que *les processus temporels n'ont pas à commencer*, ce qui serait un rejet pur et simple de la question posée par l'aporie, et une négation directe de la prémisse 2. Mais les textes que cite Sorabji à ce propos ne disent pas du tout, à notre avis, que les *processus temporels* ne doivent pas avoir de commencement ! Ils disent qu'ils ne requièrent pas eux-mêmes de procès temporel de *venue à l'existence* (sans quoi on serait forcés à une régression à l'infini). Cela est très différent. Nous croyons qu'il faut faire preuve sur ce point de conservatisme et maintenir la réponse classique et constante d'Aristote au problème : « le temps n'est pas composé de

<footnote n="29">29. Cf. *Traité du Ciel*, I, 5, 272a7-20.</footnote>
maintenants ». Il reste à comprendre en quoi cela constitue une réponse. Demander quand le maintenant cesse d'être présent, c'est-à-dire quel "nouveau maintenant" il devient, est une mauvaise question, parce que le maintenant est une coupure, qui n'existe que si elle est effectivement opérée par une coupe. Que le temps ne soit pas composé de maintenants veut dire aussi qu'il est absurde de supposer que les maintenants existent "tous", parce qu'il est absurde de supposer que "toutes" les coupures aient été effectuées. Or demander « à quel "maintenant" postérieur tel "maintenant" donné cesse d'exister » suppose qu'il existe un ensemble des maintenants sur lequel on peut mener une recherche, mais la réalité est qu'on a des processus temporels continus, dont les limites ne sont que cela, des limites. Le maintenant est réel, mais il est la limite entre deux processus temporels qu'on peut bien appeler « passages du temps ». Ces passages n'ont pas besoin à leur tour de processus temporels de venue à l'existence, cela est bien entendu, mais cela ne les prive pas pour autant d'un commencement et d'une fin. Le présent est la fin du passé et le commencement du futur, et plus généralement tel « maintenant » est la fin d'un processus temporel antérieur et le début d'un processus temporel postérieur.

Pour Aristote, le fait que d'un maintenant on ne puisse pas considérer le « maintenant suivant » signifie précisément que les maintenants ne sont pas donnés comme ensemble. Si à la question : “quand le maintenant a-t-il cessé d'exister ?” on doit et peut répondre : “à n'importe quel maintenant postérieur”, la raison profonde en est que dans le temps on n'a de réel que des intervalles continus dont les “maintenants” sont des limites.

Mais réciproquement, si « le temps n'est pas composé de maintenants » est la réponse à l'aporie, c'est qu'en retour l'aporie est valide si on suppose que le temps est composé de maintenants, c'est-à-dire, croyons-nous, si on suppose que le temps est un ensemble de maintenants possibles qui tous sont, ont été ou seront actuels (présents). Le passage du temps doit alors être pensé comme l'actualisation progressive (le “devenir présent” progressif) de tous ces maintenants. Et il devient légitime de demander quel maintenant va devenir actuel en premier après le maintenant actuel, puisqu'il est impossible que plusieurs le deviennent simultanément. L'argument se fonderait sur l'idée que la supposition de l'existence de tous les instants, et l'intuition de la progressivité, du passage réel du temps, nous conduisent à exiger un « point suivant ». L'actualité de tous les éléments pose une exigence de successivité, de consécution. (Or le consécutif est la relation entre deux éléments telle qu'aucun élément du même genre n'est donné entre eux, ce qui n'est jamais le cas pour les instants ou les
points. Les instants ne pouvant être consécutifs ne peuvent être contigus, et ne peuvent continus. Aristote peut déduire analytiquement la non-compositionnalité du continu.)

L'argument de la Dichotomie pourrait alors être généralisé à partir de l'argument de la cessation de l'instant, en le généralisant aux points dans tout phénomène continu :

6/ Si la réalisation strictement progressive (c'est-à-dire sans simultanéité, sous le régime du "1 à la fois") de tâches ponctuelles est possible, alors à tout moment on doit pouvoir demander quelle est la tâche qui doit être effectuée par la suite. Et par conséquent il y a une de ces tâches qui suit immédiatement de chacune de ces tâches donnée.

7/ Si tous les points possibles d'un parcours ont été, sont, ou seront actuellement atteints par le mouvement sur ce parcours, le mouvement est la réalisation strictement progressive de tâches ponctuelles (à savoir l'actualisation progressive des points).

E/ Si tous les points possibles d'un parcours ont été, sont, ou seront actuels, alors si un mouvement est possible il existe une actualisation d'un point qui suive immédiatement l'actualisation d'un point donné. (6, 7)

8/ Il est impossible que l'actualisation d'un point suive immédiatement de l'actualisation d'un point donné.

F/ Si tous les points possibles d'un parcours ont été, sont, ou seront actuels, le mouvement sur ce parcours est impossible. (E, 8)

Le postulat qui jouerait le rôle de la prémisse 1 serait donc :

9/ Tous les points possibles d'un parcours ont été, sont ou seront actuels.

D'où se tire :

G/ Le mouvement est impossible (sur quelque parcours que ce soit). (F, 9)

Mais même à supposer qu'on puisse différencier entre les processus temporels et les parties abstraites de ces processus, un problème demeure concernant une généralisation de la prémisse 2. En effet, considérons des processus historiques ou temporels du type : la féodalité européenne, le mouvement cubiste, la révolution russe, ou l'enfance. Nous souhaitons pouvoir continuer à parler de telles entités, nous les considérons comme des processus temporels, et il nous semble sensé de dire au moins de certains d'entre eux qu'ils se sont achevés, au sens fort où ils sont parvenus à terme, tout ce dont ils relèvent ayant été réalisé. Mais nous serions bien à mal d'affirmer qu'ils ont eu un jour, au présent, quelque chose comme un *achèvement*, ne serait-ce que parce qu'il paraît impossible de
déterminer un instant, même en théorie, où ils auraient pris fin. Et il se peut qu'il soit même à proprement parler impossible de déterminer pour certains d'entre eux quelque chose comme un achèvement intrinsèque. Cependant, là encore, quoi que techniquement la prémisse puisse être prise en défaut dans sa littéralité, nous ne croyons pas qu'il y ait cause de la rejeter, surtout pour le cas zénonien. Les contre-exemples donnés ici relèvent tous d'une manière ou d'une autre du vague, de phénomènes relativement indéterminés, dont l'achèvement et l'être achevé, notamment, sont irréductiblement flous, tous points qui ne concernent résolument pas une série zénonienne. Nous pourrions donc maintenir la prémisse dans le cas de processus ainsi entièrement déterminés, c'est-à-dire où ce qui est susceptible de rentrer dans leur constitution est déterminable a priori.

Même si d'autres contre-exemples d'un nouveau type devaient être proposés, nous posons néanmoins le lemme **L** comme une règle générale dont les exceptions techniques doivent être délivrées au cas par cas. La conviction derrière l'affirmation de **Z** est qu'une exception de ce genre ne peut certainement pas être accordée à un processus itératif ou plus généralement à tout processus dont tous les éléments sont entièrement déterminés et tous donnés « en acte ».

Mais nous en revenons alors à la question de l'intuition. C'est le degré approprié de largesse dans la délivrance d'exceptions qui est l'objet d'une intuition du temps, et plus précisément d'une intuition du passage : concevant la progression réelle des processus pleinement déterminés, nous situant en pensée dans leur présent, nous déclarons intolérable que ces processus puissent avoir été achevés sans que leur achèvement ait pu effectivement avoir lieu au présent. Et c'est là le ressort véritable, selon nous, des arguments de Zénon contre le mouvement. Il y a cependant une autre raison conduisant à l'inverse à accorder très généreusement des exceptions à la règle **L**, et à les accorder spécifiquement à des processus dont tous les éléments sont bien déterminés dans le temps. Cette raison est la conception d'un temps dépourvu de quelque chose comme ce que nous appelons le passage, ou sur lequel du moins aucune intuition du passage ne saurait se prononcer en raison. Comme nous l'avons dit plus haut, cette réponse est explicitement celle donnée par Bertrand Russell et par Adolf Grünbaum.
Nous n'entreprendrons pas cependant de discuter ce point maintenant. Mais nous poursuivrons, dans le prochain chapitre, notre tâche de clarification et de renversement de la charge de la preuve en expliquant, par des commentaires détaillés, ce que nous trouvons insatisfaisant dans les arguments de nos adversaires, pourquoi nous croyons que les seuls motifs pouvant donner a priori une vraisemblance à la négation de Z ne sont pas des motifs légitimes, c'est-à-dire ce pourquoi de notre point de vue il y a méprise ou malentendu.
<figure><img src="image_26.png" /></figure>
# Chapitre 7

## La méprise contemporaine

Nous entreprenons ici la troisième des tâches que nous nous sommes fixées au chapitre précédent, à savoir la tentative de réfutation des raisons de nier Z. Pour ce faire, nous commencerons par commenter et discuter les textes contemporains qui concluent à la possibilité de l'achèvement d'une tâche infinie, d'abord et y compris dans le contexte du commentaire de Zénon d'Élée.

Pour cela, nous voudrions commencer en considérant le cas particulier du soigneux exposé de Jonathan Barnes, dans son essai sur les Présocratiques<fnref n="1" />. On y trouve une version particulièrement intelligente, élaborée, et prudente d'une position générale qu'on pourrait trouver, comme nous l'avons dit, chez d'autres auteurs. Barnes prend en compte suffisamment d'aspects du problème pour qu'il soit a priori difficile de considérer une méprise de sa part. Nous voudrions montrer néanmoins en quel sens on peut dire qu'il se donne les conditions pour passer structurellement à côté de ce problème qui pour nous autres insiste. L'examen du travail de Barnes nous conduira naturellement à discuter le problème dit des "supertasks".

<footnote n="1">1. Barnes, p. 261-73.</footnote>
## 7.1 Préface : Jonathan Barnes et l'absence de preuves

Nous rappelons que la démarche de Jonathan Barnes dans son ouvrage consiste, outre des soigneux et concis comptes rendus historiques, à examiner la rigueur et la force démonstrative des raisonnements que l'on trouve chez les auteurs présocratiques, de la même manière que s'il s'agissait de raisonnements proposés par ses collègues universitaires, dans une ignorance volontaire de l'historicité qui caractérise le style dont cet ouvrage donne un exemple réellement paradigmaticque. Une telle démarche, qui a sa légitimité et son intérêt, présente d'une manière générale un inconvénient qui est qu'elle tend à systématiquement critiquer un argument sur la base d'une conceptualité et d'une logique qui n'ont, peut-être, été élaborées qu'en réponse à l'argument lui-même, produisant ainsi une forme très particulière d'anachronisme théorique à laquelle d'autres traditions historiographiques peuvent se montrer immédiatement très sensibles<fnref n="2" />. Pour la Dichotomie, néanmoins, nous croyons que cette démarche pose un problème plus spé-cifique et plus grave, à savoir le remplacement d'une problématique par une autre. Du fait, peut-être, d'une trop grande confiance dans la neutralité de cette archi-conceptualité qu'est la théorie des ensembles pour la tradition que représente Jonathan Barnes.

L'argument général de Barnes est le suivant : il commence par dégager les deux propositions essentielles de l'argument de Zénon qui sont à l'origine de la contradiction :

(1) Si quelque chose bouge il accomplit une infinité de tâches.

(2) Rien ne peut accomplir une infinité de tâches.

La première de ces propositions est ce qui est supposé prouvé par Zénon, et la seconde est « tenue pour un truisme<fnref n="3" /> ».
Après avoir écarté les raisons de nier le premier point (soit parce qu'elles sont en soi mauvaises, soit parce que le chapitre n'est pas le lieu de les

<footnote n="2">2. Dans le commentaire de Zénon, il y a néanmoins un moment où il embrasse pleinement la perspective inverse. Il relève en effet que le Stade, argument tellement méprisé par la tradition, a peut-être justement pour vertu d'imposer la considération de la différence des vitesses comme essentielle, point conceptuel qui ne va pas nécessairement de soi. On ne peut qu'être reconnaissant devant son effort de sauver un argument de l'opprobre. Pour une discussion plus générale du style de lecture historiographique, voir l'annexe B.</footnote>

<footnote n="3">3. Barnes, p. 263.</footnote>
discuter), Barnes se concentre sur la seconde prémisse. Il va suggérer 7 manières de la défendre qui ont pu être proposées, et décréter que les 7 sont de mauvais arguments en sa faveur. Sa conclusion est finalement qu'aucune preuve de (2) n'est satisfaisante, mais qu'il n'est pas non plus en son pouvoir de démontrer sa fausseté, et que c'est historiquement la volonté de croire (2) qui a rendu l'argument de la Dichotomie si fascinant et en a produit autant de défenses et de discussions. C'est cette absence de prétention de prouver la possibilité de l'achèvement infini qui rend difficile de faire de réelles objections à cet auteur. Dans l'ensemble, nous croyons que Jonathan Barnes a raison. Que tout ce qu'il dit est vrai, et qu'il est impossible de prouver (2) étant donné la manière qu'il a d'entendre la thèse et les conditions de preuves qu'il s'est données. Encore une fois donc, à un certain niveau il n'y aurait rien à rétorquer à Barnes, celui-ci ayant catégoriquement banni tout appel à l'intuition en faveur d'une thèse, "intuition" étant considéré par lui comme « le nom clément donné au préjugé spontané » et le « guide des dupes ».

Reprenons en détail sa discussion des 7 différentes voies :

I. La première voie d'argumentation est la voie qui dérive une infinité métrique à partir de l'infinité des parties, nous en avons déjà discuté et nous nous accordons avec Barnes sur cette question.

II. La seconde voie d'argumentation est intéressante, et consiste à conclure à l'infinité du temps requis pour accomplir une infinité de tâches, sous la supposition que le temps n'est pas lui-même un continu mais doit être constitué de moments élémentaires. Là encore nous nous accordons avec Barnes sur l'essentiel : c'est une thèse étrange et qui pose de multiples difficultés, quoi qu'elle ait des partisans modernes (Barnes semble faire référence à des philosophes analytiques contemporains, et il est possible de trouver des argumentations en ce sens dans la tradition médiévale et encore chez Bayle), Aristote semble la réfuter en 233a mais ultimement elle n'est pas la seule raison possible pour défendre l'impossibilité de l'infini, et l'argument se pose aussi bien sans référence à la finitude du temps, au point que Barnes est

<footnote n="4">4. "'intuition' -- the kind name for untutored prejudice" et "intuition is a fool's guide in this as in every other branch of philosophy", *Barnes*, p. 267. Ici et dans la suite, c'est nous qui traduisons.</footnote>
enclin à postuler que la finitude du temps n'était pas mentionnée dans l'argument d'origine mais qu'il s'agissait essentiellement de la traversée entière d'une tâche infinie, en général. Nous avons déjà dit notre accord sur ce point.

III. La troisième voie d'argumentation est la première où ce que nous lisons comme un biais interprétatif ensembliste se manifeste. Jonathan Barnes examine en réalité plusieurs lignes argumentatives différentes, qu'il trouve dans Aristote. C'est la seconde qui nous intéresse, où il s'agit d'examiner une variante de (2), variante aristotélicienne affirmant qu'une infinité *potentielle* peut-être traversée « incidemment », mais qu'une infinité actuelle ne le peut pas. Barnes cite alors le passage selon nous décisif de la *Physique* relativement à Zénon, 263b3-9.

> Par conséquent, il faut répondre à celui qui demande s'il est possible de parcourir une infinité soit dans le temps soit dans la longueur, que d'une certaine manière c'est possible, d'une autre pas : si elle est en acte c'est impossible, mais en puissance c'est possible, car quelqu'un qui se meut de façon continue a parcouru par accident une infinité, mais pas au sens absolu, car c'est un accident pour la ligne d'être une infinité de moitiés, mais son essence et son être sont autres¹.

Voilà le commentaire de Barnes :

> Ainsi (2) serait vrai si le fait de toucher [un point donné] impliquait l'existence actuelle de [ce point]; mais en fait, les [points] n'ont besoin d'exister que potentiellement, et cela leur est permis. Je pense que tout cela n'a guère d'effet pour un Zénonien honnête : Aristote ne fait qu'affirmer que b peut toucher les [points] infiniment nombreux, à condition qu'il ne les touche qu"incidemment" et qu'ils n'existent que "en puissance". — Le jargon aristotélicien ne masquant que partiellement le fait qu'Aristote nous propose une dénégation de la prémisse (2), et non un argument contre elle².

<footnote n="5">5. *AristPhys*, p. 366.</footnote>

<footnote n="6">6. Une traduction plus naturelle de *kata sumbebêkos* qui est traditionnellement rendu par l'expression « par accident».</footnote>

<footnote n="7">7. "Thus (2) would be true if touching [a given point] involved the actual existence of [this point]; but in fact, the [points] need only exist potentially, and that they may do. All that, I think, has little effect on any honest Zenonian : Aristotle simply asserts that b can touch the infinitely many [points], provided that he touches them 'incidentally' and they exists 'potentially'. — The Aristotelian jargon only partially disguises the fact that Aristotle is offering a denial of, not an argument against, premiss (2)." *Barnes*, p. 267</footnote>
Si nous croyons qu'un honnête Zénonien ne saurait se tenir pour satisfait par la
réponse aristotélicienne, nous ne pensons néanmoins aucunement que cette réponse offre
un jargon sans pertinence pour l'argument. Et nous avons du mal à croire que Barnes
juge qu'Aristote offre une dénégation de la prémisse (2). Le point décisif pour nous, et
à vrai dire troublant, dans le commentaire de Barnes, est qu'il ne semble pas parvenir
à considérer l'infinité potentielle des parties autrement que comme infinité des parties
potentielles, comme ensemble ou collection infinie des parties potentielles, c'est-à-dire des
parties ayant par ailleurs la propriété de ne pas avoir été actualisées. Or, il nous semble
que la première propriété de la potentialité – pour ainsi dire le trait le plus élémentaire
de sa grammaire – est que ce qui est dit exister potentiellement n'est pas suffisamment
déterminé d'avance pour pouvoir être rassemblé dans une totalité ou compté pour un.
Le point de l'infinité potentielle des parties est qu'il n'y a pas lieu de compter ces parties
parce qu'il n'y a pas un nombre ou une quantité telle qu'il y en a exactement autant
que ce nombre ou cette quantité. Une autre manière de le dire serait qu'au sens de
l'extension ensembliste, ces parties n'existent absolument pas (même pas en tant que
parties possibles), mais qu'elles pourraient seulement exister. Le commentaire que fait
Barnes des propos d'Aristote nous semble significatif du fait que la problématique de la
constitution d'un ensemble infini, et la problématique de la totalisation et de la venue à
l'existence comme telles semblent échapper à son examen<fnref n="8" />.

IV. C'est à propos de la quatrième voie que l'on parvient à des considérations qui touchent à l'essence du problème que nous essayons de soulever. Dans la reformulation de Barnes, cette voie se fonde sur deux prémisses :

(a) Des suites infinies de tâches, par définition, n'ont pas de dernier membre,

(b) Il est impossible de compléter une série d'opérations dont aucune n'est la dernière.

Barnes va montrer que ces deux prémisses sont fausses.

<footnote n="8">8. Ce point est déjà magnifiquement exprimé par Benardete, dont l'exposé sur Zénon est difficilement dépassable, et qui s'étonne quant à lui de l'incapacité de W.D. Ross à comprendre la réponse aristotélicienne. Cf. BENARDETE, *Infinity* cit., 6-7 et plus généralement tout le premier chapitre.</footnote>
Il montre que la première prémisse (a) est fausse, en proposant un exemple de séquence infinie de termes ayant un premier et un dernier terme, assignable sans difficulté dans un parcours para-zénonien<fnref n="10" /> :

<figure><img src="image_27.png" /></figure>

On peut considérer que ce raisonnement est particulièrement symptomatique, à deux égards :

* En premier lieu, il exemplifie un procédé général qui peut avoir quelque chose d'agaçant pour un tenant d'une autre tradition philosophique. Barnes prend ici la peine de donner un contre-exemple à une proposition qu'il a lui-même choisie, alors que la proposition en question, prise dans toute sa généralité, manque en dernière analyse tout à fait de pertinence. Un argument est décomposé en une série de propositions fondamentales dont dérive la conclusion, puis ces propositions générales sont réfutées, par souci légitime de rigueur logique mais sans souci de savoir si la réfutation est en elle-même pertinente relativement à l'argument de départ. Voici ce que nous voulons dire dans l'exemple en question : il est vrai que la prémisse (a), littéralement entendue, est fausse et admet des contre-exemples. Mais les contre-exemples manifestent, par leur manque de pertinence relativement à l'intention du problème d'origine, que la prémisse (a) n'a pas été entendue comme il l'aurait fallu. Le contre-exemple de Barnes n'est pas pertinent, ne fonctionne pas vraiment comme contre exemple, parce que sa suite infinie *inclut* une sous-suite infinie qui, elle, n'a pas de dernier terme et se trouve donc inachevable d'après la prémisse (b), rendant la série totale *a fortiori* inachevable<fnref n="10" />. Barnes a donc raison de rejeter la prémisse (a) telle qu'il l'a littéralement entendue, mais elle peut sans

<footnote n="9">9. Le mobile avant de parvenir au bout, doit parvenir à la moitié. Mais avant de parvenir à la moitié, il doit parvenir à la moitié du parcours le séparant de la moitié, puis à la moitié du parcours restant jusqu'à la moitié, puis à la moitié du parcours restant et ainsi de suite à l'infini. Une fois arrivé à la moitié, il devra aller jusqu'au terme, mais avant cela parvenir à la moitié du parcours restant. Et avant cela à la moitié de ce parcours, et avant cela à la moitié, et ainsi de suite à l'infini. Barnes, p. 268</footnote>

<footnote n="10">10. Le contexte de rigueur analytique nous oblige à chipoter nous-même et à préciser que Barnes aurait pu *également* donner l'exemple d'une suite infinie dont toute sous-suite possède un dernier terme, mais dans ce cas la suite infinie connaitrait au moins une sous-suite manquant d'un *premier* terme, ce qui est le problème symétrique de la suite inentamable.</footnote>
perte être remplacée par une autre prémisse (a') qui est que toute suite infinie
strictement ordonnée comporte une sous-suite sans premier ou sans dernier terme.

* En second lieu, il manifeste que Barnes est prêt à donner comme exemple de suite une construction qui présuppose non seulement que cela a un sens de considérer une totalité infinie donnée d'éléments strictement ordonnés, mais au sein de laquelle certains éléments viennent *après* une infinité supposée complète. Il ne s'agit pas de nier, bien entendu, que la constitution de telles suites soit mathématiquement possible et légitime, mais de soulever le fait que le sens d'un tel usage de l'*après*, et du sens de ce qui est entrepris dans l'activité mathématique de construction des séries infinies, est justement ce qui est mis en question.

Pour réfuter la seconde prémisse (b), il procède en deux étapes, qui sont les réfutations de deux interprétations possibles de la prémisse.

* La première interprétation repose sur l'idée que « finir une série de tâches signifie accomplir son dernier membre » (or la suite n'a pas de dernier membre, donc, etc.).

À nouveau, il va nier la pertinence de cette proposition, en disant que même des suites finies n'ont pas forcément de dernier membre et peuvent néanmoins, sans doute possible, être achevées, et que la vraie condition pour l'achèvement d'une série de tâches est que *tous* ses membres soient accomplis. C'est indéniable, mais c'est là aussi, à nouveau, la manifestation du phénomène que nous soulevions plus haut : la réfutation est entièrement inadaptée au sens que peut prendre la prémisse dans l'argument. L'exigence d'accomplir le dernier terme ne se pose pas si l'ordre strict des éléments de la série n'est pas aussi nécessairement l'ordre strict dans lequel les tâches doivent se trouver accomplies. S'il est possible d'accomplir sans ordre particulier une infinité d'éléments de la série, alors l'exigence d'accomplir un dernier membre ne se pose pas. Mais toutes ces conditions sont bien spécifiées par la situation zénonienne. Par ailleurs, la réfutation manifeste encore une fois la présupposition du cadre ensembliste : la formulation du bon critère se dit chez Barnes<fnref n="11" /> : « Si S est l'ensemble des tâches {$x_1, x_2, \dots, x_n, \dots$}, alors b a complété S si et seulement

<footnote n="11">11. Barnes, p. 268.</footnote>
si b a accompli chaque $x_i$ ». La suite rend clair qu'il entend l'avoir achevé d'un tel ensemble comme le fait qu'il existe un temps t où la condition précédente est réalisée.

* Mais une fois la première interprétation niée, il reconnait qu'il reste possible de voir un problème, et suggère une nouvelle interprétation de la seconde prémisse, selon laquelle : « finir une série de tâches signifie arriver à sa fin, or une série S infinie de tâches n'a pas de fin, donc. », ce qui est en effet le principe de la défense du paradoxe que nous entendons relever, et que Barnes qualifie franchement de « mauvais argument<sup>12</sup> ». Il nous faut donc examiner soigneusement son traitement de ce point.

Son idée est que l'argument est mauvais et repose lui-même sur une équivoque. En effet, dire que « b ne peut pas arriver à la fin de la série S de ses tâches » peut vouloir dire deux choses non-équivalentes :

(3) Pour tout temps t, pour tout entier n, si à t, b a accompli exactement n tâches de S, alors il existe un entier j tel qu'il existe une tâche numérotée j que b n'a pas accomplie à t

(4) Pour tout temps t, il existe un entier j tel que, à t, b n'a pas encore accomplie la tâche numérotée j.

Barnes affirme que (3) se déduit en effet de l'hypothèse zénonienne, et doit être admise dans le cadre de l'argument, et que (4) est bien équivalente à (2) (la prémisse de départ selon laquelle « une tâche infinie ne peut être accomplie »), mais que (4) ne découle pas de (3), contrairement à ce que le "mauvais argument" jouant sur « l'équivoque » semble sous-entendre, d'après Barnes. Pour faire dériver (4) de (3), il faut ajouter une prémisse supplémentaire :

(5) Pour tout temps t il existe un entier n tel que, à t, b a accompli exactement n tâches.

<footnote n="12">12. Barnes, p. 268.</footnote>
On peut alors bien déduire (4) de (3), mais la contraposée de (5), qui lui est équivalente, est :

(5') Il n'existe pas de temps t tel que, à t, b a accompli une infinité de tâches

Ce qui, dit Barnes, équivaut à nouveau à la proposition (2) qui était en question au départ et devait être justifiée par (b).

Barnes conclut donc que l'argument en faveur de (b) peut, ou bien dire que quand on a accompli un nombre fini de tâches on n'en a pas accompli un nombre infini, ce qui est un truisme qui ne fait rien à l'affaire, ou bien affirmer qu'on ne peut pas accomplir un nombre infini de tâches, c'est-à-dire réaffirmer (2), ce qui constitue une pétition de principe.

Il nous faut expliquer en détail pourquoi le raisonnement de Barnes nous paraît profondément insatisfaisant. Le point essentiel est que nous ne pensons pas du tout que sa prémisse (4) corresponde à ce que nous voulons affirmer quand nous affirmons qu'on ne peut pas achever une tâche infinie au sens de Zénon. Mais puisqu'il affirme que (4), et encore plus nettement (5'), est équivalent à (2), nous devons en conclure que nous n'avons en fait jamais été d'accord sur l'interprétation qu'il convenait de faire de la prémisse (2) elle-même. Si par

(2) Rien ne peut accomplir une infinité de tâches.

Ce que Barnes entend est :

(5') Pour tout b, il n'existe pas de temps t tel que, à t, b a accompli une infinité de tâches

C'est-à-dire en fait, comme Barnes l'a clairement fait comprendre :

(5') Pour tout b, il n'existe pas de temps t tel que, à t, b a accompli un ensemble de tâches S tel que le cardinal de S est supérieur ou égal à $N_0$, ou strictement supérieur à n $\forall n \in \mathbb{N}$
Alors nous (incluant dans ce nous tant Zénon qu'Aristote) n'avons jamais voulu soutenir (2)<fnref n="13" />. L'accomplissement d'une infinité de tâches ne veut pas dire, ne peut pas vouloir dire, dans un contexte zénonien, l'existence d'un temps t tel qu'à ce temps une quantité infinie de tâches a été accomplie. Il se peut parfaitement qu'on puisse dire qu'une infinité de tâches aient été accomplies sans qu'une "tâche infinie" au sens de Zénon l'ait été, s'il se trouve qu'une infinité de tâches ont été accomplies simultanément.

Dire que la tâche zénonienne est infinie ne veut pas dire que la totalité de ses membres a un cardinal transfini, mais cela veut dire immédiatement qu'elle ne peut pas s'achever, qu'elle est inachevable. Dire qu'elle est inachevable, cela n'est pas simplement dire en général qu'elle n'a pas de dernier terme, mais qu'où que ce soit qu'on en soit arrivé de la tâche, il en reste encore à accomplir. Ce qui, certes, implique (3), mais ne s'y réduit pas ; et surtout ce qui n'a rien à voir avec (4). La prémisse (4),

(4) Pour tout temps t, il existe un entier j tel que, à t, b n'a pas encore accompli la tâche numérotée j,

procède déjà en incluant la totalité numérotée des tâches dans la globalité du temps,
et Barnes a alors beau jeu de remarquer que cela ne peut poser problème que si l'on
présuppose l'impossibilité d'un accomplissement infini. Mais l'idée derrière l'impossibilité
est plus directe que cela : la tâche zénonienne est *intrinsèquement* inachevable, non pas
inachevable par rapport au temps. Non pas inachevable en ceci qu'en tout temps qu'on
en a accompli une partie, il en reste à accomplir, ni en ceci qu'en aucun temps on ne
peut l'avoir entièrement accomplie, mais inachevable *tout court*, en elle-même, au sens
où elle n'a pas de fin dans son ordre propre. Et le problème est que son inscription dans
le temps du passage relie son ordre propre à l'ordre temporel de l'avant et de l'après,
et qu'il faut alors que ce qui ne peut pas être considéré comme totalité accomplie du
point de vue de son propre déroulement puisse malgré tout s'accomplir totalement dans
le temps, suivant son propre déroulement inachevable.

<footnote n="13">13. Plus rigoureusement, Aristote soutient en fait très certainement (2) aussi, puisqu'il soutient certainement (5'), mais ce n'est pas ce qui pose problème ici, ce que « tout le monde s'accorde à reconnaitre comme impossible » et qui fonde la pertinence d'un argument zénonien.</footnote>
Malheureusement, nous ne croyons pas que cela soit en mesure de convaincre Jona-
nathan Barnes, et ultimement sommes contraint de faire reposer l'incompatibilité entre
l'inachevable et le passage temporel sur une intuition de la progressivité, cette intuition
qui est le « guide des dupes » selon Barnes. Nous tenterons plus tard de défendre cette
intuition en soutenant qu'elle est impliquée dans certaines branches de la pratique mathé-
matique; nous voudrions pour le moment nous permettre de renverser, pour un instant,
la charge de la preuve. En effet, qu'est-ce qui convainc Barnes, et tous les membres de
la tradition qu'il représente, qu'il n'est pas catégoriquement impossible que soit achevée
dans le temps une tâche qui n'a pas de fin? Comment pourrait-il chercher à nous en
convaincre ?

Si l'on considère tout temps en général, et que l'on veut décider s'il est ou non
possible d'avoir accompli une tâche infinie, alors on est condamné en effet à la pétition
de principe. Et il semble que toute sa discussion revient finalement à une remarque de
Descartes emblématique de la solution moderne, et que Barnes finalement paraphrase
presque : “si on suppose que le mobile a parcouru un nombre d'étapes finies, la tâche
n'est pas accomplie, mais si on suppose qu'il en a parcouru un nombre actuellement infini,
alors il n'y a plus de problème.” En somme le moyen de se débarrasser du problème
est de construire l'ensemble infini des tâches à accomplir et de dire que chacune des
tâches de cet ensemble est une tâche toujours déjà accomplie quand on se trouve au-
delà de l'instant de convergence du mouvement zénonien où, par construction, toutes se
trouvent ayant été accomplies. Mais la présence d'une telle infinité inachevable au sein
du temps fini, autorisant le dépassement du paradoxe, est précisément le paradoxe lui-
même, est la réaffirmation de ce qu'il affirme. Cela n'entame pas l'argument de Barnes,
puisque celui-ci n'essaie pas vraiment de prouver cette possibilité, mais c'est bien ce
qui est évoqué par ceux qui veulent nous convaincre. La construction mathématique
qui représente la réussite de l'achèvement d'une tâche infinie est, et ne peut qu'être, la
répétition de la construction de Zénon ou d'une construction équivalente, mais oublieuse
de la problématique de l'achèvement de la série d'actes, grâce à sa reformulation dans
un cadre totalisant ensembliste. C'est à la racine de ce dispositif qu'il faudra remonter.
V. La cinquième voie repose sur l'idée de progrès et l'impossibilité de véritablement progresser à mesure qu'on avance dans les étapes de la série zénonienne. Cette voie nous intéresse à première vue beaucoup, car nous pouvons y entendre de nouveau l'essence de l'impossibilité, l'essence de l'illimitation impliquée par le raisonnement itératif : le fait qu'en son sein on ne saurait jamais progresser. Mais le traitement qu'en fait Barnes consiste en une discussion sur le terme de *progrès* qui, à notre sens, se détourne de l'essence de ce qui était en question.

VI et VII. Ses sixième et septième voies, en revanche, reviennent bien au problème essentiel de la fin d'une tâche infinie, via le commentaire de la littérature sur ce qui est connu dans le domaine analytique comme les "supertasks", qui sont définies en général comme les tâches comportant une infinité d'étapes ou de parties, le problème étant la possibilité de leur plein accomplissement dans le temps. Il nous faut donc à présent affronter ce domaine de discussion qui cherche manifestement à atteindre le cœur de notre sujet. Nous verrons, nous essaierons de le montrer, que les participants au débat manquent malgré tout l'essence de la question telle que nous pouvons la comprendre, en ne parvenant pas à penser spécifiquement l'exigence de ne pas se donner la totalité d'emblée.

En passant à l'examen de ce nouveau domaine textuel, nous nous en tenons là pour ce qui regarde le commentaire suivi du travail de Jonathan Barnes, en espérant avoir su lui rendre justice.
## 7.2 Introduction : Les *supertasks*, une occasion manquée

La littérature sur les *supertasks*<sup>14</sup>, que nous traduirons désormais par « supertâches », nous place à nouveau dans la situation d'embarras que nous évoquions au début du chapitre. Elle forme un corpus très important, ayant déployé depuis une soixantaine d'années une grande richesse d'argumentations soignées, à l'issue desquelles il paraît raisonnable de renoncer à produire un argument convaincant en faveur de l'impossibilité d'une tâche infinie, sans pourtant que cette impossibilité nous paraisse être remise en cause. Nous tenterons néanmoins de rendre compte de ce qui, à nouveau, nous paraît constituer des renoncements (parfois tout à fait conscients) au problème fondamental qui était posé à l'origine par les défenseurs de l'impossibilité.

On pourrait décrire de façon générale la démarche fondamentale du domaine de la manière suivante : les auteurs produisent en pensée une situation de tâche infinie en un temps arbitrairement court, qu'ils nomment « supertâche », situation plus ou moins analogue, selon les cas, au dispositif de Zénon. Cela, dans l'espoir de faire émerger de cette expérience une contradiction bien identifiable (l'exemple canonique étant une lampe qui – prétend l'argument – ne peut être ni allumée ni éteinte, situation dite de la «lampe de Thomson»). Les participants au débat académique discutent alors de la validité du raisonnement qui a produit la contradiction, cherchant parfois à préciser des variations

<footnote n="14">14. Sur les *supertasks*, on se rapportera pour commencer aux deux articles récents et complémentaires de la Stanford, Jon Pérez Laraudogoitia, « Supertasks », in ZALTA (éd.), *The Stanford Encyclopedia of Philosophy* cit., https://plato.stanford.edu/archives/spr2016/entries/spacetime-supertasks/ et John Manchak et Bryan W. Roberts, « Supertasks », in ZALTA (éd.), *The Stanford Encyclopedia of Philosophy* cit., https://plato.stanford.edu/archives/win2016/entries/spacetime-supertasks/. Nous recommandons aussi fortement deux articles très clairs et très riches des années 1990 qui offrent un soigneux panorama de la position infinitiste majoritaire, et dont nous tirons beaucoup même si nous ne pouvons pas les commenter en détail : J. Earman et J.D. Norton, « Infinite Pains. The Trouble with Supertasks », in *Benacerraf and His Critics*, sous la dir. d'A. Morton et S. Stich, Blackwell, Oxford 1996, p. 231-261, Teun Koetsier et Victor Allis, « Assaying Supertasks », *Logique et Analyse. Nouvelle série*, 40, 159 (sept. 1997), p. 291-313. Les articles classiques sont ceux de Black, Thomson, Benacerraf, et Chihara, que nous commentons en détail, Max Black, « Achilles and the Tortoise », *Analysis*, XI, 5 (1951), p. 91-101, J.F. Thomson, « Tasks and super-tasks », *Analysis*, XV, 1 (1945), p. 1-13, Paul Benacerraf, « Tasks, Super-Tasks, and the Modern Eleatics », *The Journal of Philosophy*, 59, 24 (1962), p. 765-784, C. Chihara, « On the Possibility of Completing an Infinite Task », *Philosophical Review*, LXXIV (1965), p. 74-87, J.F. Thomson, « Comments on Professor Benacerraf's Paper », in Wesley C. Salmon (éd.), *Zeno's Paradoxes*, Bobbs-Merrill, Indianapolis 1970, p. 130-138. Et, comme nous le développerons, une des plus profondes analyses du problème se trouve selon nous dans l'article de 2007 de Yuval Dolev, « Super-tasks and Temporal Continuity », *The Jerusalem Philosophical Quarterly*, 56 (2007), p. 313-329.</footnote>
dans les situations théoriques susceptibles de produire ou non un résultat impossible. À chaque fois, les situations discutées se révèlent en réalité *hétérogènes* à la situation zénonienne qui était parfois l'inspiration originaire. Au sens où la contradiction – possible – de la situation analysée n'entraîne pas d'elle-même l'impossibilité de la course d'Achille. L'aporie de l'inachevabilité se présente donc comme un cas *plus général* du problème, qui parfois n'est plus du tout traité directement à mesure que les situations théoriques se raffinent. Il reste que toutes les situations de supertâches sont manifestement *aussi* des instances d'un problème zénonien d'inachevabilité, et le problème de l'inachevable ou de l'inentamable continue toujours de hanter cette littérature.

Pour limiter le domaine d'examen et nous concentrer sur l'essentiel, nous ne parlerons que des lieux où le problème général semble directement envisagé, mettant notamment de côté les articles qui ne considèrent que la possibilité *physique* dans un cadre théorique donné (notamment newtonien ou einsteinien) de certains mouvements infinis discontinus (parfois très pittoresques), ou en général tous les articles qui s'intéressent à de *nouvelles* situations d'infinité pour elles-mêmes, et autres interrogations spécifiques du même ordre. Tous ces problèmes forment en effet un domaine de recherche indépendant qui a été, et en particulier dans les vingt dernières années, remarquablement florissant, mais qui a pour caractéristique de *tenir pour acquise* la possibilité *générale* de l'achèvement des tâches infinies, afin d'en explorer les limites théoriques. En somme, nombre de ces articles ont consciemment *laissé derrière eux* le problème de l'inachevable, en le considérant comme réglé, ce qui contraste avec les articles fondateurs et tous ceux que nous commenterons, qui tentent du moins explicitement d'affronter ce problème.

Afin de présenter le corpus à la lumière de notre problématique, nous commencerons par en présenter pour ainsi dire la préhistoire, c'est-à-dire que nous offrirons l'analyse de lieux de l'histoire de la philosophie qui peuvent être considérés comme partie prenante de ce domaine de réflexion. Sur les quatre auteurs ici envisagés, trois sont généralement bien connus et cités par les contemporains. Nous profitons de l'occasion pour présenter le quatrième – troisième dans l'ordre chronologique – en un plus grand détail.
## 7.3 Les précurseurs, de Zénon à Weyl, 450 av. J.-C. - 1949

### 7.3.1 Zénon

Que Zénon soit l'ancêtre de la discussion sur les tâches infinies va de soi, et est universellement constaté. Nous ne reprendrons pas ici l'analyse de l'Achille et de la Dichotomie, mais nous voulons simplement rappeler quelques-unes de nos conclusions :

* Il n'est pas certain que "l'infini" ait eu originellement un rôle littéral dans l'argumentation de Zénon. La formulation originelle semble pouvoir se contenter d'énoncer que le mobile doit toujours auparavant atteindre la moitié.

* Nous avons caractérisé ce raisonnement zénonien comme un des usages possibles du raisonnement itératif, usage peut-être le plus simple en ce qu'il ne passe pas par la notion d'infini, mais fait directement fond sur le caractère inachevable des procédures itératives, en transférant l'inachevabilité de la procédure argumentative à l'inachevabilité du mouvement, du fait d'une identité de structure entre les étapes du raisonnement et l'achèvement successif des parcours partiels. L'accomplissement du mouvement présupposant l'achèvement des parcours partiels, et ce dernier étant de nature à ce qu'on ne puisse en avoir fini avec lui, le mouvement est impossible.

* Nous ne prétendons pas que cette analyse de Zénon constitue un *nouvel* argument contre la possibilité des supertâches. Nous reconnaissons volontiers que cet argument *présuppose* cette impossibilité, se la donne comme prémisse, et se contente de montrer qu'on peut mettre le mouvement sous la dépendance d'une telle tâche admise comme impossible.

### 7.3.2 Aristote

Nous avons déjà considéré le corpus aristotélicien en tant que source sur Zénon. Nous ne voulons pas revenir ici sur ces points, ni considérer la nature de la solution aristotélicienne, mais nous voulons considérer Aristote de nouveau comme source, comme témoin d'un débat argumentatif manifestement de nature semblable au débat contemporain sur
les supertâches, en ce qu’il part de Zénon pour tenter d’éclaircir l’impossibilité avec de nouvelles expériences de pensée. Nous pensons à ce fameux passage<fnref n="15" /> :

> Il faut répondre de la même façon à ceux qui objectent l'argument de Zénon et considèrent que, s'il faut toujours passer par la moitié, et que celles-ci soient infinies [en multitude], il est impossible de parcourir l'infini. Ou encore, certains objectent le même argument différemment, considérant que, en même temps que le mouvement se fait sur la moitié, on compte d'abord chaque moitié advenue, de telle sorte que, quand on a parcouru le tout, on en arrive à avoir compté un nombre infini ; et cela, de l'aveu général, est impossible.

Nous revenons ailleurs sur ce passage<fnref n="16" /> et sur le contexte argumentatif vers lequel il renvoie. Comme précurseur des supertâches, il procède en ramenant la tâche infinie zénonienne à un autre type de tâche infinie censée manifester l'impossibilité. Mais il est important de relever que, contrairement aux articles sur les supertâches, on ne trouve pas ici un *argument* à proprement parler contre l'impossibilité d'achever une tâche infinie. Nous pouvons juger au contraire qu'ici encore cette impossibilité est présupposée. Quelle est pourtant la nature de cette impossibilité *admise de façon générale (homologoumenos)* ? Nous croyons plausible qu'il s'agisse de l'impossibilité intrinsèque de l'achèvement de la procédure de compte. L'« avoir compté un nombre infini », produisant un accomplissement d'une opération jamais-cessant, est jugée intrinsèquement impossible. Cette impossibilité, nous l'avons déjà suggérée, n'est pas l'impossibilité de l'infini actuel ou de sa présence dans le fini. Quoique ces choses soient bien jugées impossibles par Aristote, il nous semble qu'elles ne peuvent faire l'objet d'une *admission générale* dans le contexte de la discussion, et ce ne peut donc ici être la prémisse en question.

### 7.3.3 Jean Buridan

Nous profitons du contexte de la discussion pour introduire une autre littérature ayant plus d'un point de contact avec les supertâches, et probablement moins connue.

<footnote n="15">15. *Physique*, VIII, 263a5-11, *AristPhys*, p. 365, nous modifions légèrement la traduction.</footnote>

<footnote n="16">16. Cf. *9.4.2*.</footnote>
Nous en devons la connaissance à l'indispensable recueil de Joël Biard et Jean Cely-
rette<fnref n="17" />. Le contexte général est le très riche travail philosophique sur l'infini mené au
XIVᵉ siècle à partir de la détermination de Dieu comme infini par Henri de Gand et de
l'introduction d'arguments mathématiques en métaphysique par Duns Scot, ainsi que
de la redécouverte européenne du corpus physique aristotélicien<fnref n="18" />. De ces deux points
de départ a émergé une tradition de reprise et sophistication logique des arguments et
concepts aristotéliciens dans le contexte d'un monothéisme infinitaire, parfois pour aller
à l'encontre des conclusions aristotéliennes sur les questions concernant l'infini<fnref n="19" />, par-
fois pour réaffirmer ces conclusions dans le nouveau cadre théologico-logique. Au sein de
cette tradition, certains auteurs ont réfléchi à des problèmes touchant aux tâches man-
quant d'un premier ou d'un dernier terme. Faute de connaître plus à fond le domaine,
nous le présenterons uniquement au travers de l'auteur que les éditeurs nous mettent à
disposition, à savoir Jean Buridan<fnref n="20" /> (c. 1300 – c. 1360). Plus précisément, nous com-
mentons les *Questions à la Physique d'Aristote*<fnref n="21" />, livre III, question 16 : « S'il y a une
ligne spirale infinie<fnref n="22" /> ».

Le point de départ qu'admet ici Buridan (parce qu'il en a précédemment traité)
est le même réquisit de continuité qui nous intéresse depuis le début, et que Buridan
formule en disant qu'aucun continu n'est composé d'indivisibles et qu'en retour toute
ligne et toute partie de ligne est divisible<fnref n="23" />. Il est important de noter, pour le fond de ce
qui nous intéresse plus généralement dans cette section, que les conclusions de Buridan
seront ultimement, nous le pensons, de bonne orthodoxie aristotélicienne. C'est-à-dire
qu'il n'admettra rien en fin de compte qu'Aristote ne serait prêt pour ainsi dire à contre-
signer. Notamment il conclura en dernière instance que l'infini ne peut s'affirmer que
syncatégorématiquement, et non catégorématiquement, c'est-à-dire ici, et en simplifiant,

<footnote n="17">17. BIARD et CELEYRETTE, *De la théologie aux mathématiques* cit.</footnote>

<footnote n="18">18. Cf. *ibid.*, p. 9-10.</footnote>

<footnote n="19">19. Grégoire de Rimini comptant parmi les plus brillants rénovateurs, cf. *ibid.*, p. 197-219.</footnote>

<footnote n="20">20. *ibid.*, p. 253-279.</footnote>

<footnote n="21">21. Jean Buridan, *Quaestiones super octo libros Physicorum Aristotelis. (Secundum ultimam lecturam)*, éd. établie et introd. par Paul J.J.M. Bakker et Michiel Streijger, comment. d'Edith D. Sylla, Brill, 2016; cf. aussi Hans Thijssen, *John Buridan's Tractatus de infinito*, Ingenium Publishers, 1991.</footnote>

<footnote n="22">22. « *Utrum linea aliqua gyrativa sit infinita* »</footnote>

<footnote n="23">23. BIARD et CELEYRETTE, *De la théologie aux mathématiques* cit., p. 263.</footnote>
qu'on ne dit une chose infinie qu'au sens où elle résulte d'un processus qui peut toujours être continué au-delà de toute donnée finie, non au sens où elle constituerait une chose effectivement accomplie comme infinie<fnref n="24" />.

Le procédé qu'il décrit commence par dégager les « parties proportionnelles » d'une colonne B aux extrémités A et C, c'est-à-dire des parties successives qui ont de proche en proche le même rapport, ici un rapport de moitié. Il s'agit en somme de “parties zénoniennes”, pour ainsi dire, de la colonne : sa moitié à partir de A, puis son quart, puis son huitième, et ainsi de suite<fnref n="25" />. Buridan pose alors une série de « conclusiones » (thèses). La **première conclusion** est que si on commence le processus à l'extrémité A en direction de l'extrémité C de la colonne, un raisonnement itératif montre qu'il ne saurait y avoir, en partant de A, une **dernière** de ces parties proportionnelles, ni, en partant de C, une **première**<fnref n="26" />. La **seconde conclusion** est qu'aucune de ces parties proportionnelles n'englobe l'extrémité C (car une telle partie proportionnelle serait nécessairement la dernière). Dans la **troisième conclusion**, Buridan envisage alors le parcours de la colonne par un mobile, à partir de l'extrémité C, et montre qu'aucune des parties proportionnelles ne sera atteinte avant toutes les autres (autrement elle serait la dernière)<fnref n="27" />.

Mais il montre en **quatrième conclusion** que la propriété d'écart par rapport au point C introduit un ordre strict des parties proportionnelles en sorte que le mobile partant de C ne peut non plus en atteindre plusieurs simultanément. La **cinquième conclusion** est que si une spirale s'enroule successivement autour de chacune de ces parties proportionnelles, alors elle est infinie, au sens où sa longueur est supérieure à une infinité de fois la circonférence de la spirale, et au sens où elle ne peut jamais trouver de terme parce que la succession des parties n'a pas de terme<fnref n="28" />. La **sixième** est qu'en

<footnote n="24">24. Pour une caractérisation plus précise de ces concepts, cf. 9.2.2.</footnote>

<footnote n="25">25. Voir figure 7.1.</footnote>

<footnote n="26">26. Dans le texte de Buridan, nous ne sommes pas certains si les extrémités A et C doivent être comprises comme des circonférences ou comme des points sur ces circonférences. Cela n'a pas en dernière instance de conséquence, nous parlerons de circonférences quand il n'y aura pas besoin de préciser davantage, et au besoin de points pris sur elles à partir d'un point A et le long d'une hauteur de la colonne passant par A, hauteur que la spirale devra croiser à chaque tour.</footnote>

<footnote n="27">27. Voir figure 7.2.</footnote>

<footnote n="28">28. Voir figure 7.3.</footnote>
<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>FIG. 7.2 : Absence d'une ultime partie</figcaption></figure>

<figure><img src="image_29.png" /></figure>
<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>FIG. 7.4 : La double spirale infinie</figcaption></figure>

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

partant d'un point D au milieu de la colonne, on peut reproduire la division infinie en
direction de A, en sorte que si on pose une spirale simplement infinie comme dans le
cinquième point, on doit accorder une nouvelle spirale doublement infinie contenue entre
A et C<fnref n="29" />.

Jean Buridan va alors mener deux séries de discussions à propos du dispositif qu’il
a mis en place. La première porte sur le parcours du mobile en ligne droite à partir de
l’extrémité C, et réfléchit à ce qu’on pourrait appeler la “grammaire” du verbe « com-
mencer » dans un contexte où l’espace est pensé comme continu, poursuivant le travail
d’Aristote dans la *Physique* et sur un mode remarquablement similaire aux discussions
menées sur ces points dans la tradition analytique<fnref n="30" />. Sa *septième conclusion* est alors
que dans la “dernière partie du temps” où le mobile n’a pas encore parcouru la co-
lonne (c’est-à-dire par définition : pour toute partie du temps, arbitrairement courte,
qui comprend comme son dernier instant l’instant où le mobile se trouve en contact

<footnote n="29">29. Voir figure 7.4</footnote>

<footnote n="30">30. Voir par exemple SORABJI, *Time, creation and the continuum* cit., chap. 2 et 22 à 26.</footnote>
avec l'extrémité C, c'est-à-dire où le mobile n'a encore parcouru aucune partie de la colonne, mais est entrée en contact avec la colonne)), on peut dire que le mobile "commence", en ce temps, à parcourir les parties proportionnelles de la colonne, en prenant « commencer » "négativement". C'est-à-dire, par définition, au sens où pour tout temps immédiatement postérieur il est vrai que des parties proportionnelles ont été parcourues. Parallèlement, sa **huitième conclusion** est que dans la "première partie du temps" où il parcourt la colonne (c'est-à-dire, parallèlement, pour toute partie du temps, arbitrairement courte, qui comprend l'instant où le mobile est en contact avec l'extrémité C ainsi qu'au moins un instant postérieur où une partie de la colonne a été parcourue), le mobile "commence" à toucher les parties proportionnelles, en prenant « commencer » "positivement". Au sens cette fois où dans tout temps strictement antérieur à un tel "premier temps", aucune partie proportionnelle n'a été parcourue.

Sa **neuvième conclusion** est que, comme le temps est infiniment divisible, il y a une infinité de tels temps où le mobile "commence" le parcours des parties proportionnelles, tant au sens "négatif" qu'au sens "positif". En effet, pour toute "dernière" ou "première" partie arbitrairement choisie, il est toujours possible d'en choisir une plus courte.

On peut faire un premier bilan sur la sophistication et la rigueur de l'analyse menée ici. On remarque d'abord que la complexité de la grammaire du commencement dans un contexte continu est pleinement reconnue, comme elle l'était déjà chez Aristote et Platon<fnref n="31" />. L'emploi du verbe « commencer » est pour autant maintenu dans sa légitimité, grâce à deux opérations : la première est la distinction entre un emploi négatif et un emploi positif du verbe, la seconde étant apparemment la restriction de l'application du verbe à des *temps*, et non à des *instants*. Le négatif comme le positif étant alors l'un et l'autre définis en référence aux *temps* respectivement immédiatement postérieurs ou

<footnote n="31">31. Dans un contexte continu tel qu'il est compris entre Aristote et, au moins, Buridan, les instants ne sont que des *limites*, et pas des *parties* du temps. Et par suite un instant n'est jamais successif à autre instant (ils sont "denses", dans le vocabulaire contemporain). Ainsi si l'on passe par exemple du repos au mouvement, le même instant semble jouer comme dernier instant du repos et premier instant du mouvement, sans qu'il soit acceptable de dire que le mobile est en repos et en mouvement au même instant. Et plus généralement, si on pose un instant comme premier instant du mouvement (ou de son achèvement), il est impossible qu'existe un premier instant de l'être mu (ou de l'avoir été achevé). Autrement dit dans le continu il est impossible qu'il y ait un dernier ou premier instant pour *tout* ce qui est dicible en général.</footnote>
antérieurs. La conséquence, qu'exprime la neuvième conclusion de Buridan, est qu'il n'y a pas de détermination catégorique, unique, “du” temps où commence quelque chose, mais qu'une infinité de tels temps peuvent être arbitrairement déterminés.

Mais que le commencement ait lieu toujours dans un temps implique, ce qui constitue la **dixième conclusion**, que dans tout temps où le mobile *commence* à toucher des parties proportionnelles, il commence à en toucher *plusieurs*, sans pour autant en toucher plusieurs simultanément. Un problème semble alors surgir quand on prend le commencement au sens négatif. En effet, le temps du commencement au sens négatif est défini comme le temps tel que pour tout temps postérieur la chose a commencé. Maintenant, comme pour tout temps postérieur *plusieurs* parties proportionnelles sont touchées, il semblerait qu'on puisse en conclure que dans un même et unique temps qui commence négativement à toucher, il y a plusieurs parties proportionnelles que ce même temps commence à toucher autrement dit qu'il commence à les toucher toutes simultanément. Mais Buridan reconnait ce problème, à raison, comme grammatical, et lui donne une solution grammaticale.

Vient alors la discussion finale, qui est le sommet de l'argumentation et répond à la question principale : « y a-t-il une ligne spirale infinie ? » La question est vite réglée, par la positive, quand « infini » est pris au sens *syncatégorématique*, ce qui fait l'objet de la **onzième conclusion** : la ligne tracée autour des n premières parties proportionnelles (qui est de longueur par conséquent supérieure à n fois la circonférence de la colonne) peut toujours être prolongée au-delà, puisque ces parties vont à l'infini. Ainsi, pour toute grandeur p de la spirale (p comprise entre n et n+1 fois la circonférence de la colonne), cette grandeur peut être dépassée. Le véritable enjeu théorique va porter sur la spirale infinie au sens *catégorématique*, qui sera ultimement refusée.

Le très ingénieux argument de Jean Buridan va procéder par une mise en parallèle entre le tracé de la spirale et le tracé d'une ligne droite d'un point A de l'extrémité vers un point C de l'extrémité opposée. La **douzième conclusion** commence par noter qu'aucune telle ligne droite parcourant la colonne n'est infinie en grandeur (ni catégoriquement, ni même syncatégoriquement). En effet, elle trouve un terme à sa
grandeur finie si elle atteint le terme C. Si elle ne l'atteint pas, elle est par construction inférieure au segment AC fini, et donc démontrablement finie puisque l'infini est par définition ce qui dépasse toute grandeur finie.

La **treizième conclusion** établit le parallèle entre les lignes spirales et des lignes droites, grâce à une procédure inductive<fnref n="32" /> : pour tout mouvement de spirale autour d'une partie proportionnelle (d'un point p à un point p') il existe un segment de droite qui va de p à p'. Si maintenant on trace un second tour, on a aussi un second segment de droite, soit deux segments de droite successifs et continus, qui forment visiblement un unique segment de droite. Et ainsi de suite à l'infini, avec l'infinité des segments proportionnels formant un unique segment continu qui suit l'infinité des tours de la spirale. On peut noter qu'il s'agit ici de lignes *achevées*, entièrement tracées et n'étant pas considérées comme en cours de constitution (c'est l'aspect "catégorématique", ou "en acte").

Sur la base de cette correspondance entre spirales achevées et lignes achevées, Buridan va interroger, dans la **quatorzième conclusion**, le cas de la spirale infinie tracée à travers toutes les moitiés de la colonne B, celle dont on interroge l'existence catégorématique. Il pose que la correspondance avec une ligne droite doit se maintenir pour elle aussi. C'est ici que l'argumentation faillit, du point de vue de la logique de l'induction, point qu'il est impossible d'expliquer sans anachronisme; néanmoins, du moment qu'on garde à l'esprit qu'il s'agit bien d'un anachronisme, il ne peut être qu'instructeur. En effet, ce que Buridan a montré par induction (si on admet la validité de son induction incomplète pour tous les cas finis), c'est que, pour tout n entier, à une spirale à n tours correspond un segment de droite unique et fini composé des n segments proportionnels correspondants. Mais s'il veut étendre la conclusion à des spirales infinies, ayant un "nombre" de tours éventuellement catégorématiquement infini, une induction ordinaire ne suffit pas. Pour passer au cas de la spirale infinie à $ω$ tours, il faudrait lui adjoindre une étape d'induction transfinie, qui énonce que l'induction se maintient lors d'un passage à la limite si elle est vraie pour tous les termes menant à cette limite. Il est pourtant intéressant de suivre le raisonnement de Buridan jusqu'au bout, quitte à

<footnote n="32">32. Qui est très nettement une induction incomplète, cf. 3.5.2.</footnote>
le relativiser. Admettons que la correspondance se maintienne dans le transfini, sur le mode d'un "prolongement naturel" pour ainsi dire, et considérons quelle pourrait être une telle droite correspondante, s'il y en avait une. La conclusion quatorze est donc que s'il existait une ligne spirale *catégoriquement* infinie, tracée à travers toutes les moitiés de la colonne B, mais pas au-delà de toutes (c'est-à-dire n'atteignant aucun point qui soit au-delà de toutes les moitiés proportionnelles), alors la ligne droite correspondante, de même, serait tracée à travers toutes les moitiés proportionnelles, mais pas au-delà de toutes (en vertu de l'extension au cas infini de la propriété des cas finis que tout ce qui est traversé par la spirale est traversé par la droite correspondante, et que rien d'autre n'est traversé par elle).

La quinzième conclusion va administrer le coup de grâce qui va mener à la réponse finale à la question : une telle *ligne droite* correspondante ne saurait exister. C'est-à-dire qu'elle ne saurait exister comme droite *effectivement tracée*, menée d'un point à un autre, achevée. Plus précisément, dans les termes de Buridan : « Il n'y a aucune ligne droite, une, tracée à travers toutes ces moitiés, qui ne soit tracée au-delà de toutes<fnref n="33" />. »

Ce résultat est obtenu immédiatement via la prémisse selon laquelle une ligne droite *effectivement tracée, et n'étant pas infinie*, doit avoir un terme (et, vice versa, une ligne droite ayant un terme est finie). Maintenant, ou bien la ligne droite atteint ou dépasse C, ou bien elle ne parvient pas jusqu'à C. Si elle atteint ou dépasse C, la ligne droite va au-delà des parties proportionnelles, ce qui est contre l'hypothèse. Si elle ne parvient pas jusqu'à C, étant inférieure à la ligne AC finie elle est elle-même finie, et elle a donc un terme en vertu de la prémisse. Ce terme doit par hypothèse être strictement antérieur à C. Mais alors il y a des parties proportionnelles qui ne sont pas traversées par la ligne, ce qui de nouveau est contre l'hypothèse. Donc aucune ligne conforme à l'hypothèse ne saurait exister.

La conclusion de Jean Buridan est remarquable et mérite d'être citée<fnref n="34" /> :

> Donc il n'y a aucune droite tracée à travers toutes ces parties qui ne soit tracée au-delà de

<footnote n="33">33. BIARD et CELEYRETTE, *De la théologie aux mathématiques* cit., p. 270.</footnote>

<footnote n="34">34. Ibid.</footnote>
toutes. Et s'il y en avait une, elle serait infinie, ce qui est contre la douzième conclusion. La conséquence est patente puisqu'elle n'est ni terminée au terme C ni à un autre terme, comme on vient de le dire.

Ici il nous faut préciser ce que nous percevons comme le fond de l'affaire et ce qui relie implicitement toute cette discussion avec le problème des supertâches. L'élément crucial, pour nous, est cette prémisse explicitement énoncée selon laquelle « ce qui est fini a un terme ». La preuve de la quinzième conclusion nous donne des indications suffisantes pour déterminer ce que signifie ici « avoir un terme » : anachronistiquement parlant et pour simplifier, il s'agit d'être un "intervalle fermé" (dans la topologie usuelle sur $\mathbb{R}$), ou plus simplement d'être tracé d'un point à un autre. La prémisse de Buridan est donc que tout ce qui est *un et fini* est un intervalle fermé, et vice versa, tout ce qui est un intervalle fermé est fini. Nous voulons souligner ici la chose suivante : Buridan parle, nous l'avons rappelé, de droites *achevées*, entièrement accomplies, en acte. Il ne présuppose pas, notons-le, que ce qui est ainsi achevé doit être fini (au contraire, il essaie de prouver ce point, dans le cas de la spirale). Mais ce qu'il présuppose, c'est que si une droite est finie, donc bornée, il faut qu'elle soit finie et achevée, et donc qu'elle soit tracée d'un point à un point, et donc contienne sa borne comme limite. Si elle était achevée et ne s'achevait pas sur une limite, il faudrait inévitablement en conclure qu'elle est achevée comme infinie.

Autrement dit, quand Jean Buridan montre que pour toute spirale à n tours il existe une droite à n parties proportionnelles qui lui correspond, mais qu'il ne peut pas exister une droite correspondante pour la droite spirale infinie achevée, catégorématique, il entend justement montrer que cette spirale infinie ne peut pas être achevée, ne peut être que syncatégorématique, que décrire un processus de tracé dans le fini toujours contnuable (inachevable au sens de Zénon), et que de même la droite correspondante, qui va toujours plus près de C, mais sans jamais l'atteindre, infiniment proche de C, ne peut exister que syncatégorématiquement, parce qu'elle aussi ne fait que décrire un processus de tracé toujours continuable.

Le rapprochement avec la lampe de Thomson vient directement quand on s'interroge,
en retour, sur la ligne spirale correspondante à au segment AC complet, c'est-à-dire, supposément, la spirale qui arrive à C et donc *dépasse* l'infinité des tours précédents. Comme la lampe de Thomson, allumée ou éteinte sans qu'on puisse comprendre comment elle a pu s'allumer (ou s'éteindre) pour en arriver là, si la spirale arrive à C ou à n'importe quel autre point de la circonférence passant par C (par exemple pour continuer ses tours de manière plus raisonnable, non zénonienne), il est impossible de penser qu'elle soit *arrivée* à ce point, parce qu'elle ne peut y arriver depuis nulle part, il n'y a aucun tracé menant à un point de la circonférence, parce que le tracé de l'infinité des tours n'est pas quelque chose qui s'achève, quelque chose qui parvient quelque part, qui soit pensable comme catégorématique.

La conclusion de Buridan est énoncée proprement dans la **seizième conclusion**, qu'il n'y a pas une spirale tracée à travers toutes les parties proportionnelles, puisqu'elle devrait correspondre à une ligne droite impossible, ce qui, dans la **conclusion principale**, lui permet de dire qu'aucune n'est catégoriquement infinie. Nous avons cru intéressant de commenter ce parcours théorique remarquable.

### 7.3.4 Hermann Weyl

Hermann Weyl, écrivant juste avant que ne se lance le débat sur les supertâches dans la revue *Analysis*, propose dans son ouvrage classique un bref examen de ce que Zénon nous indique du continu, comparant à l'occasion l'accomplissement de la tâche zénonienne à l'achèvement, par une machine, du compte de tous les entiers.

L'impossibilité de concevoir le continu comme un être rigide ne peut être formulée de manière plus conséquente que dans le célèbre paradoxe de Zénon, celui // d'Achille et de la tortue. La remarque que les sommes partielles successives $1 - 1/2n (n = 1, 2, 3, ...)$ de la série $1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + ...$

ne croît pas au-delà de toutes limites, mais converge vers 1, par quoi nous croyons de nos jours résoudre le paradoxe, est sans doute pertinente et éclairante. Cependant, si le segment de longueur 1 consiste réellement en un nombre infini de sous-segments de longueur $1/2, 1/4, 1/8...,$ comme des touts coupés à la hache, alors il est incompatible avec le caractère de l'infini
comme « inachevable<fnref n="35" /> », qu'Achille ait pu les traverser tous. Si l'on admet cette possibilité,
il n'y a aucune raison pour qu'une machine ne soit pas capable d'achever une série infinie
d'actes distincts de décision dans une période de temps finie; disons qu'après avoir fourni le
premier résultat après 1/2 minute, le second après un autre 1/4 de minute, le troisième 1/8
de minute plus tard que le second, etc. il serait possible de cette manière, à supposer que le
pouvoir réceptif du cerveau fonctionne de même, d'effectuer une traversée de tous les nombres
naturels et, par là même, un choix disjonctif concernant n'importe quelle question d'existence
au sujet des nombres naturels<fnref n="36" /> !

Quoique Weyl soit ici extrêmement elliptique, nous pouvons comprendre l'idée d'une
vision « rigide » du continu comme contredisant la distinction entre des parties don-
nées seulement en puissance et un tout donné en acte comme un<fnref n="37" />. Et si la manière la
meilleure de montrer l'inadéquation d'une telle vision rigide est le dispositif de Zénon,
c'est du fait que si l'on suppose que les parties proportionnelles sont "toutes là" dans le
continu du mouvement, le parcours d'Achille doit être décrit comme l'achèvement d'un
inachevable. Il est remarquable ici que Weyl ait, plus de 2000 ans plus tard, un réflexe
identique à celui Aristote (qu'il peut cependant avoir en tête, quoiqu'il ne le cite pas),
qui est précisément le geste fondateur des supertâches : dire qu'admettre la possibilité
de l'achèvement de l'incomplétable reviendrait à admettre (par impossible) l'achèvement
des nombres entiers. Ce qu'il exprime dans un point d'exclamation valant comme « mo-
dus tollens silencieux<fnref n="38" /> ». Ce que Weyl ajoute au geste d'Aristote, c'est le fait que cette
absurdité manifestant l'achèvement de l'énumération des nombres équivaut elle-même à
un achèvement de la théorie des nombres. Ce point est fascinant pour une raison que
nous ne pourrons explorer que plus tard, qui est que certains commentateurs récents,

<footnote n="35">35. « *incompletable* » . Carlos Lobo traduit : « ...avec le caractère de l'infini, "qu'on ne peut combler", qu'Achille ... »</footnote>

<footnote n="36">36. Hermann Weyl, *Philosophy of Mathematics and Natural Science*, Princeton University Press, 1949, p. 41-2, traduction Carlos Lobo modifiée par nous, Hermann Weyl, *Philosophie des mathématiques et des sciences de la nature*, trad. de l'anglais par Carlos Lobo, préf. de Françoise Balibar et Carlos Lobo, MétisPresses, Genève 2017.</footnote>

<footnote n="37">37. Voir notamment une autre version de ce texte où il développe davantage ce point, Hermann Weyl, « Levels of Infinity », (1930), in *Levels of Infinity*, Selected Writings on Mathematics and Philosophy, éd. établie, trad. de l'allemand, annot. et introd. par Peter Pesic, Dover, New York 2009, p. 25-43, p. 26-7.</footnote>

<footnote n="38">38. Pour reprendre l'élégante expression de EARMAN et NORTON, « Infinite Pains » cit.</footnote>
depuis au moins une remarque de Putnam et Benacerraf<sup>39</sup>, ont pris au sérieux cette remarque et en ont conclu que non seulement il fallait admettre la possibilité conceptuelle des supertâches (ce qui pour Weyl était encore évidemment absurde), mais en tirer la conséquence que Weyl en tire, c'est-à-dire la possibilité d'achever la théorie des nombres avec toutes les conséquences métamathématiques qu'une telle possibilité suggère<sup>40</sup>.

Des auteurs que nous commentons ici, tous ceux qui précèdent admettaient d'une manière ou d'une autre comme évidente l'impossibilité de l'achèvement de l'inachevable. La littérature sur les supertâches commence véritablement quand sa possibilité est discutée directement.

## 7.4 Le problème des *Supertasks*, de Black à Thomson, 1951-1954

Comme nous l'avons annoncé en début de section, nous allons procéder à une sélection à certains égards drastique au sein de la littérature, pour ne garder que les articles qui nous paraissent tenter de nous informer directement sur le problème en jeu, c'est-à-dire le problème de l'achèvement d'une tâche infinie, et qui ne présupposent pas cette question spécifique comme en général réglée.

Considérée du point de vue de l'aporie de l'inachevable, l'histoire de la recherche sur les supertâches est celle d'un échec, qui se répète tragiquement d'une décennie sur l'autre; non seulement l'échec des partisans de l'inachevabilité des tâches infinies (nommons les "impossibilistes") à convaincre leurs adversaires (nommons les "possibilistes"), mais plus profondément, selon nous, leur échec à demeurer fidèles, dans leurs arguments mêmes, à l'intuition fondamentale qui les motive. Il est évident que cela n'empêche en rien l'impressionnante rigueur et ingéniosité des participants des deux bords, et qu'ils ne manquent pas d'explorer de fascinants détails et de produire de magnifiques exposés touchant à l'essence de ce qui est en question. Notamment, les manières les meilleures

<footnote n="39">39. Paul Benacerraf et Hilary Putnam (éd. et introd.), *Philosophy of Mathematics*, 2ᵉ éd., Cambridge University Press, 1983, Introduction, p. 20.</footnote>

<footnote n="40">40. À ce sujet, cf. l'encadré page 504.</footnote>
de rendre compte de cet échec perpétuel proviennent des meilleurs passages des articles
de cette même littérature. Ainsi nous serons amené à donner un caractère quelque peu
circulaire à notre exposition : nous procèderons dans l'ordre chronologique, qui corres-
pond après tout à peu près à un ordre logique, mais avec un œil rétrospectif, analysant
le début à l'aide des résultats de la fin – et de nos propres thèses – lorsque cela permet
de favoriser l'intelligibilité.

La première partie de l'histoire des supertâches à proprement parler prend presque
entièrement place dans les volumes XI à XV de la revue *Analysis*, entre 1951 et 1954.
Dans l'ordre de parution, nous examinerons les articles de Black, Taylor, Watling et
enfin Thomson qui donne son nom à la fameuse lampe.

7.4.1 Max Black, *Achilles and the Tortoise* (1951)

L'article de Max Black n'est pas seulement l'article inaugural de la longue tradition
de recherche sur les supertâches, il est aussi peut-être l'exemple le plus manifeste d'une
discussion qui touche de bout en bout le problème de l'inachevable et qui, nous le pensons,
est profondément animée par ce problème, mais échoue finalement à le défendre et à le
mettre en avant. Il est l'origine de notre tragédie de l'échec.

Le point de départ de la discussion est, comme il se doit, l'argument de l'Achille,
que l'auteur présente en termes assez classiques : puisqu'Achille doit toujours de nou-
veau parvenir au point où la tortue s'est portée, il ne peut jamais la rattraper. L'enjeu
devenant de trouver la faille dans l'argumentation. L'auteur rappelle alors les objections
d'usage, et notamment le fait que la mathématique est capable de calculer le point de
rendre, la série se trouvant convergente. Mais il fait à ce sujet deux remarques décis-
sives : d'abord, que le calcul du "total" d'une série infinie n'est pas vraiment le calcul
du résultat de la somme d'une infinité de termes, parce qu'à la lettre il est impossible
de mener une pareille somme; mais qu'il s'agit du calcul de la limite, c'est-à-dire de
la valeur que la série approche infiniment (cette remarque sera amenée à jouer un rôle
à plusieurs reprises dans la littérature); ensuite et du même coup, que la réponse ma-
thématique échoue à affronter la difficulté logique qui est d'avoir à accomplir une série
infinie d'actes – ce pour quoi, il vient de le rappeler, la convergence n'est d'aucune aide.

Comme nous, il rappelle que certains mathématiciens<fnref n="41" /> ont affirmé que croire à l'impossibilité logique d'accomplir un tel exploit n'était que le signe d'un défaillance de l'imagination, et c'est contre ce point exactement qu'il entend argumenter, défendant, lui aussi, l'idée qu'il y a là de la part des mathématiciens quelque chose de la méprise ou de la confusion, confusion résultant d'une perspective erronée sur la nature des entités mathématiques impliquant l'infini :

> Je soutiendrai que l'expression « série infinie d'actes » est contradictoire, et que si ce point n'est pas aperçu, cela est l'effet d'une confusion entre une série d'actes et une série de nombres engendrés par une certaine loi mathématique (par « acte » je veux dire quelque chose qui se distingue de ce qui l'entoure en ayant un début et une fin déterminés)<fnref n="42" />.

Et, remarquablement, entreprenant de montrer la contradiction de l'achèvement d'une série infinie d'actes, il reproduit à son tour ce qui avait été exactement le geste de Hermann Weyl, et avant lui encore le geste d'Aristote ou plutôt des adversaires théoriques dont celui-ci reproduit l'argumentation en *Physique*, VIII : réduire l'achèvement de la série infinie, que Zénon est censé exhiber, à une opération de compte infini achevé dont il entend manifester l'absurdité :

> Afin d'établir ce point au moyen d'une illustration, je m'efforcerai d'exhiber quelques unes des conséquences absurdes qui découlent du fait de parler de « compter un nombre infini de billes ». Et à cet effet je me permettrai, par commodité, de parler du compte d'un nombre

<footnote n="41">41. Il nomme en particulier Louis Couturat, mais cette attribution n'est pas tout à fait juste, voir n. 45. On pourrait plus justement considérer Blake et bien sûr Russell (BLAKE, « The Paradox of Temporal Process » cit.; Bertrand Russell, « The Limits of Empiricism », *Proceedings of the Aristotelian Society*, XXXVI (1934-1935)).</footnote>

<footnote n="42">42. “I am going to argue that the expression, ‘infinite series of acts’, is self-contradictory, and that failure to see this arises from confusing a series of act with a series of numbers generated by some mathematical law. (By an ‘act’ I mean something marked off from its surroundings by having a definite beginning and end.)” BLACK, « Achilles and the Tortoise » cit., p. 95, nous traduisons. Il nous semble qu’il y a une maladresse dans la formulation de Max Black, que celui-ci, sauf erreur de notre part, ne rectifie pas explicitement par la suite : on ne peut pas vraisemblablement défendre que l’expression « série infinie d’actes » est en elle-même contradictoire, cela serait, pour reprendre le vocabulaire aristotélicien, affirmer le caractère contradictoire de tout infini même en puissance. Au vu de l’argumentation qu’il va déployer, et de la façon dont il a été compris par la suite, ce qu’il déclare contradictoire est l’idée qu’une série infinie d’actes puisse elle-même constituer un acte, ou une tâche, ou en général quelque chose qui puisse être considéré comme un tout possiblement effectuable en entier, comme quelque chose pouvant être effectivement accompli.</footnote>
infini de billes, comme si je croyais que cette manière de parler était censée. Mais je souhaite qu'il soit bien compris, tout du long, que je ne crois pas en fait qu'une telle manière de parler soit sensée, et mon objectif est de révéler, parlant ainsi, l'absurdité de cette manière de parler. Il pourrait sembler que compter constitue un « acte » d'un genre très spécial, mais j'espère pouvoir montrer que des considérations identiques s'appliquent à une série infinie d'un genre d'actes quelconque¹³.

Ainsi nous voyons que Black se rattache directement, à la suite de Weyl, à la tradition aristotélicienne, à ceci près qu’à la différence de ces deux précédents auteurs Black ne croit pas qu’il suffise de *pointer* vers l’idée d’un compte infini pour que son absurdité apparaisse comme manifeste à tous – Hermann Weyl se permettant un point d’exclamation valant comme « *modus tollens* silencieux », et Aristote assurant du caractère *homologoumenos* de l’impossibilité. Black affronte, peut-être pour la première fois explicitement et directement, des adversaires qui affirment qu’il est *possible* d’achever une tâche infinie.

Contre ces dernier Black va vouloir montrer que l'impossibilité d'accomplir une tâche infinie n'est pas « une question de temps », une question quantitative, mais bien une question de principe. Couturat disant explicitement :

> Quand vous dites qu'une collection infinie ne pourra jamais être numérotée tout entière, il ne s'agit pas là d'une impossibilité intrinsèque et logique, mais d'une impossibilité pratique et matérielle : c'est tout simplement une question de temps¹⁴.

Les adversaires que se donne Black défendent, comme le feront plus tard de nombreux commentateurs dont Sorabji, qu'une temporalité elle-même zénonienne (c'est-à-dire telle

<footnote n="43">43. “In order to establish this by means on an illustration I shall try to make plain some of the absurd consequences of talking about ‘counting an infinite number of marbles’. And in order to do this I shall find it convenient to talk about counting an infinite number of marbles as if I supposed it was sensible to talk in this way. But I want it to be understood all the time that I do not think it sensible to talk in this way, and my aim in so talking is to show how absurd this way of talking is. Counting may seem a very special kind of ‘act’ to choose, but I hope to be able to show that the same considerations will apply to an infinite series of any kinds of acts.”
ibid.</footnote>

<footnote n="44">44. Louis Couturat, *De l'infini mathématique*, Félix Alcan, Paris 1896, p. 462, cité en n.1 p. 96 de l'article de Black.</footnote>
que le temps nécessaire pour accomplir chaque tâche successive décroît exponentielle-
ment) permet d'avoir le temps nécessaire<fnref n="45" />.

La réponse de Black consiste d'abord à défendre l'idée qu'on ne me prescrit pas véritablement une tâche à accomplir si rien de ce que je pourrais faire en général ne compterait comme la satisfaction de cette prescription. En ce sens, si on me prescrit de compter une collection qui est en fait infinie, c'est une tromperie, parce qu'en aucun sens je ne saurais accomplir la prescription. C'est-à-dire qu'il n'y a réellement pas de tâche à accomplir, puisque c'est par construction une tâche qui ne finit pas, qui ne s'arrête pas. Et Max Black distingue, avec raison, ce problème de celui de compter la totalité des brins d'herbe dans Hyde Park, tâche à laquelle je peux répondre qu'elle est trop difficile et que je n'en ai pas le temps, alors que cela manifesterait une *confusion* que de répondre cela à quelqu'un me demandant de compter une collection infinie, sous la forme de la prescription d'une tâche à accomplir (dans la mesure où aucun temps et aucune aide ne pourrait me permettre d'accomplir cette tâche).

Puisque, cependant, les « mathématiciens » ne reconnaissent pas spontanément ce caractère absurde dans le cas des tâches infinies, Max Black entreprend d'élaborer une série d'expériences de pensée portant sur des « machines infinies » et censées manifester l'absurdité de la notion. Il commence par décrire une machine infinie “Alpha”, censée déplacer successivement des billes depuis un réservoir infini, plein, à gauche, vers un réservoir infini, vide, à droite, dans une temporalité zénonienne en sorte de finir (par hypothèse) d'en déplacer une infinité en 4 minutes, le temps ne cessant de décroître

<footnote n="45">45. Avant d'en venir au cœur de la réponse de Max Black, nous voudrions rappeler le principe de la réponse que nous proposerions ici : Louis Couturat a raison de dire qu'il s'agit d'une « question de temps », à ceci près qu'il ne s'agit pas de la *quantité* de temps, mais de la *nature* du temps. Il est de la nature de ce que nous pensons comme la temporalité qu'une tâche sans fin ne peut y être achevée. Et, comme Aristote l'avait déjà parfaitement exposé, le genre de réponse consistant à montrer que la structure infinie se trouve aussi dans le temps accueillant la tâche infinie ne fait que reproduire le problème un niveau plus bas : si le passage du temps implique lui aussi qu'une infinité soit achevée, alors il est impossible que du temps soit passé. La temporalité zénonienne permet de placer le compte infini dans le fini, mais pas de *l'achever* dans le fini puisqu'elle-même ne s'achève pas. Notons cependant que l'attribution à Couturat de l'opinion contraire ne reflète pas le propos que celui-ci expose effectivement dans son ouvrage de 1896. Au contraire, dans un passage cherchant à défendre la possibilité logique de la considération de l'infini comme totalité véritable et nombre authentique, Couturat procède en séparant cette question de celle de l'achevabilité. Son argument est que la numérotation infinie vaut comme numérotation complète, quoi qu'on ne la considère pas comme achevée dans un temps présent.</footnote>
entre deux déplacements, en sorte qu'après 4 minutes la machine est arrêtée, le réservoir de gauche vide et le réservoir de droite plein<sup>46</sup>.

A priori, pour le problème de l'inachevable, le dispositif semble parfait : manifestement la tâche de la machine n'a pas de fin, rien qu'elle puisse faire qui compte comme un achèvement, et pourtant par construction elle est censée s'être arrêtée. Mais les choses ne s'arrêtent pas là, car une certaine machine Bêta fait un pas supplémentaire dans la même direction en manifestant mieux encore l'essence de ce qu'est un inachevable au sens de Zénon.

La machine Bêta est une machine Alpha, qui a pour fonction de vider son réservoir de gauche dans son réservoir de droite, à ceci près que : son réservoir de gauche contient une bille unique et on lui adjoint un mécanisme, fonctionnant aussi "à vitesse zénonienne", replaçant perpétuellement une bille dans le réservoir de gauche dans l'intervalle de temps entre deux efforts de la machine pour déplacer une bille (s'il s'en trouve au moins une), de gauche à droite. L'argument de Black consiste alors à soulever le simple point selon lequel la machine Alpha et la machine Bêta ont conceptuellement exactement la même tâche à accomplir, à savoir mener successivement des billes de gauche à droite dans un contexte où il est garanti a priori que chaque étape du transfert la replace dans une situation où il y a de nouveau une bille à transférer.

La mise en équivalence de la machine Alpha avec la machine Bêta illustre parfaitement, par conséquent – et ici c'est nous qui parlons – le fait que « l'infini » n'est pas premièrement, du moins dans le cas d'un processus, une « grande quantité », mais est d'abord une situation itérative où chaque opération, par construction, reconduit à une situation où on doit à nouveau accomplir l'opération, en sorte qu'intrinsèquement, le processus ne peut pas finir. Dire que la machine Alpha a une « infinité » de billes à transférer, du point de vue de ce qu'est un processus de transfert (et pas un calcul sur des ordinaux), signifie d'abord que, quoiqu'elle fasse en termes de transfert de billes, elle

<footnote n="46">46. Black fait la remarque intéressante selon laquelle quoique certainement des raisons physiques contingentes empêchent une telle machine d'exister, il suppose qu'une discussion sur la possibilité concep-tuelle de l'achèvement de l'infini peut néanmoins se dérouler de façon satisfaisante au niveau d'une telle expérience de pensée.</footnote>
est garantie d'en avoir toujours d'autres à transférer.

Cette première équivalence entre machines Alpha et Bêta supposée admise, Max Black peut argumenter en faveur d'une seconde équivalence, qui est qu'achever le processus, pour la machine Bêta, alors qu'un mécanisme garantit que tout ce qu'elle accomplit est vain, serait comme tenter de remplir trois trous avec deux piquets en alternant leurs positions. Le fait d'accélérer le processus, à rythme zénonien, ne nous aidera manifestement pas à le faire, car aucune étape ne nous rapproche du but, en sorte qu'à chaque fois il reste de nouveau un trou à remplir. C'est une opération, affirme l'auteur, logiquement impossible à achever.

Il offre alors la plaisante allégorie d'Hercule coupant une tête de l'hydre qui repousse plus vite qu'il ne la coupe, alors même qu'il accélère à rythme zénonien. L'accélération ne l'aidera manifestement pas à achever sa tâche vaine. Et pour ceux qui soutiendrait que la machine Bêta pourrait néanmoins, on ne sait comment, accomplir sa tâche infinie, Black fait remarquer qu'une machine Bêta est en substance équivalente à deux machines Alpha symétriques branchées l'une sur l'autre et opérant alternativement, l'une pour mener la bille, unique, de gauche à droite, l'autre pour renvoyer cette même bille de droite à gauche. Si l'on affirme qu'à l'issue du processus zénonien, la machine Bêta doit avoir accompli son but, c'est que la première machine Alpha doit avoir réussi à renvoyer la bille à droite. Mais alors symétriquement la seconde machine Alpha doit aussi avoir accompli son but et la bille doit se trouver à la fois à gauche et à droite, ce qui cette fois devrait bien constituer une contradiction.

Max Black va par la suite développer d'autres machines résolvant divers détails qu'on pourrait lui objecter, mais toujours dans l'idée que toutes ces machines sont équivalentes du point de vue de la possibilité logique et qu'il s'agit simplement de trouver celle qui exhibe le mieux la contradiction. Et il insiste également sur le fait que, quoiqu'il ait voulu montrer l'impossibilité d'achever une opération de compte infini, rien de spécifique au fait de compter n'a été utilisé dans l'argumentation, et que celle-ci vaudrait pour n'importe quelle opération qui implique une succession d'actes bien distingués par un début et une fin dans le temps et l'espace.
Il nous faut ici, néanmoins, admettre franchement l'échec de Max Black et le diagnos-
tiquer pleinement, quitte à anticiper sur nombre de développements qui soulevés par les
auteurs postérieurs. Notre thèse est la suivante, et elle demeurera à l'identique à chaque
fois qu'un auteur tentera d'argumenter en faveur de l'impossibilité des tâches infinies
achevées : l'argument ne peut jamais être concluant si on omet de poser en principe
qu'une condition pour qu'une tâche (de type itératif) ait été entièrement accomplie est
le fait qu'elle ait pu s'accomplir effectivement (condition correspondant à la prémisse
2 de notre argument[47], et que nous nommerons désormais le « *postulat d'achevabilité* »). En effet, comme de nombreux commentateurs, à partir notamment de Taylor et
Benacerraf, le soulèveront – pas toujours à propos de Black, mais dans des contextes
similaires – il est faux que l'argument ait établi en général une « contradiction » à
l'achèvement d'une tâche infinie, et il est faux que toutes ses machines soient réellement
« équivalentes » ; d'une manière générale, les machines et diverses expériences de pensée
entendant montrer l'impossibilité de l'achèvement d'une tâche infinie sont à la fois 1/
trop spécifiques pour porter sur la question générale d'un tel achèvement, 2/ trop peu
déterminées, dans la description de leur fonctionnement, pour qu'on puisse légitimement
conclure au caractère ou non contradictoire de leur résultat supposé. On remarque que
ces deux problèmes semblent aller en direction contraire, et l'analyse usuelle de l'échec
de l'argument procède en effet sous la forme d'un dilemme : ou bien on en reste à une
description plutôt vague de la machine, mais alors il n'est pas vrai que le résultat soit
*logiquement contradictoire*, ou bien on détermine précisément la machine en sorte qu'en
effet elle produise une contradiction, mais cette contradiction ne résulte alors pas de
l'achèvement d'une tâche infinie *comme tel*, mais des spécifications contradictoires de la
machine qu'on a décrite.

Par exemple, on peut analyser la machine Alpha en termes de transfert de billes
numérotées selon un ordinal transfini, à partir de la première. À chaque étape n du
processus zénonien, la machine transfère la bille numérotée n. Peut-elle logiquement
avoir achevé sa tâche infinie (tout postulat d'achevabilité mis à part) ? *Cela dépend de*

<footnote n="47">47. Cf. [6, 2].</footnote>
quelle est sa tâche ! Est-ce de transférer une infinité de billes (une quantité $\aleph_0$) ? Auquel cas l'hypothèse indique qu'elle a effectivement accompli cette tâche à l'instant décisif postérieur à toutes les étapes zénoniennes. Est-ce à dire qu'il n'y a plus aucune bille dans le réservoir de gauche ? Cela dépend. Si on suppose que les billes à gauche sont indexées sur l'ordinal $\omega$, l'hypothèse suggère que le réservoir est vide. Mais cela ne s'impose pas logiquement, il se peut qu'elles soient numérotées selon un ordinal supérieur à $\omega$, auquel cas il peut en rester un nombre fini ou infini. Le point est que la situation résultante ne saurait être qualifiée de *logiquement contradictoire*. Peut-être que les ordinaux transfinis ne sauraient censément être appliqués à des situations de ce type, mais cela n'est pas ce que l'argument cherchait à prouver, et certainement personne ne dira qu'un résultat ordinal est *logiquement contradictoire*, car on voit mal comment cela ne reviendrait pas à affirmer l'inconsistance de l'arithmétique des ordinaux transfinis elle-même<sup>48</sup>.

Il vaut la peine d'insister sur ce point dès à présent, car il fait beaucoup pour clarifier la situation : postulat d'achevabilité ou non, tout le monde reconnaît qu'il y a quelque chose de malaisant dans l'idée d'une supertâche véritable ayant été achevée ; et certains d'entre nous souhaiterions pouvoir conclure à son impossibilité, d'une manière ou d'une autre (du moins son impossibilité physique, et peut-être davantage). Mais notre ambition de preuve d'impossibilité est *a priori* bornée : certainement nous savons que l'idée d'un état postérieur à une série infinie et déterminé par cette série infinie (un état *limite*, au sens technique de ce terme) n'est pas une idée *logiquement contradictoire*.

Considérons maintenant la machine Bêta. Peut-elle accomplir sa tâche ? De nouveau, cela dépend. Supposons que la machine soit censée vérifier à intervalles prescrits s'il y a ou non une bille à gauche, et, si oui, la transférer à droite. Et supposons que le mécanisme adjoint observe lui aussi s'il y a ou non une bille à gauche, et en transfère une à gauche s'il ne s'en trouve aucune et qu'il y en a une de disponible à droite. Si la tâche de la machine Bêta est d'avoir effectué une infinité de transferts de gauche à droite, elle a en effet accompli cette tâche au temps t, quel que soit le résultat en termes de billes à

<footnote n="48">48. Nous ne sommes pas le premier à soulever ce point. Nous en avons notamment trouvé une version dans KOETSIER et ALLIS, « Assaying Supertasks » cit., p. 303</footnote>