# La Matière Noire Galactique Comme Nécessité Relativiste

Nicolas Poupart

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# La Matière Noire Galactique Comme Nécessité Relativiste

Nicolas Poupart, Chercheur Indépendant (2016)
12269 rue Lévis, Mirabel, Québec, Canada (J7J 0A6)
(450) 939-2167
nicolas.poupart@yahoo.fr

## Introduction

Depuis le postulat de l'existence d'une matière noire (masse noire) galactique par Vera Rubin pour expliquer la platitude des courbes de rotation galactique¹,²,³, aucune explication convaincante sur la nature de cette masse noire ne fut apportée. Les tentatives pour expliquer cette masse manquante par une forme invisible de matière baryonique ordinaire fut en grande partie réfutée par les programmes MACHO⁴, EROS⁵ et AGAPE⁶, il en est de même pour les explications utilisant de la matière non-baryonique ordinaire. Les nombreuses tentatives de détection d'une forme de particule exotique, pouvant expliquer cette masse manquante, se sont également toutes soldées par un échec. De même, le nouvel accélérateur du CERN semble confirmer que la physique se limite au modèle standard et l'existence d'une particule exotique est de moins en moins probable⁷,⁸,⁹.

Il semble également extrêmement difficile, voir impossible, d'expliquer ce phénomène avec la théorie de la gravitation actuelle soit la gravitation de Newton (GN) ou la relativité générale (RG). Une alternative consiste à modifier la gravitation¹⁰,¹¹ de manière à adapter celle-ci au changement de régime au niveau galactique. Par contre, un tel projet se butte à la prodigieuse adéquation de la RG à la réalité phénoménologique¹²,¹³ et à l'existence physique de la matière noire¹⁴,¹⁵.

L'explication proposée dans le présent article est de nature entièrement différente. La masse noire n'est pas une forme de matière réelle quelconque, elle n'est pas non plus un épiphénomène causé par la gravitation. La masse noire est en fait une conséquence nécessaire de la mécanique relativiste (MR) soit de la combinaison de la mécanique classique (MC) et de la relativité restreinte (RR). Il sera démontré que cette masse relativiste est nécessaire si un corps comme une galaxie peut physiquement s'effondrer dans une boule compacte. Cette explication fait abstraction des forces de la physique et est donc une explication purement mécanique.

## L'existence d'un état de boule compacte

Le théorème du rayon limite de Schwarzschild se dérive simplement de GN et du postulat de la vitesse de la lumière comme vitesse limite. En effet, il suffit de poser que la vitesse de libération $V = \sqrt{(2GM/R_s)}$ est égale à $c$ ce qui donne $R_s = 2GM/c^2$. Il est également connu que la RG permet de dériver la même équation.

L'axiome fondamental de notre démonstration est qu'une galaxie puisse se contracter en une boule compacte possédant un rayon proportionnel à la masse soit $R_α = αM$. La seule contrainte est que le rayon $R_α$ soit beaucoup plus petit que celui de la galaxie compactée, ce qui limite le choix de $α$. Pour simplifier les calculs par la suite, nous poserons $β = α c^2/2$ et donc $R_α = 2βM/c^2$ [D1].

Nous considérerons deux modèles pour la dynamique de cette boule compacte soit : 1) la boule rigide en rotation relativiste à vitesse angulaire constante $v(r) = ωr$ et 2) la boule d'énergie homogène à vitesse linéaire constante $ω(r) = v/r$. La boule rigide nécessite l'existence d'une force de liaison, inexistante en MR seule, alors qu'une simple force de frottement produirait une homogénéisation des vitesses.
Dans le cas de la boule rigide, le spin est défini comme $a = \omega/\omega_{max}$ et dans le cas de la boule d'énergie homogène $a = \omega(r)/\omega_{max}(r)$. La valeur du spin est une constante et en posant $\omega = \omega(R)$ et $\omega_{max} = \omega_{max}(R)$ alors dans les deux cas $a = \omega(r)/\omega_{max}(r) = \omega(R)/\omega_{max}(R) = \omega/\omega_{max}$.

## L'énergie et le moment cinétique de la boule en rotation relativiste

Commençons par calculer la masse *M* d'une boule rigide de rayon *R* en rotation relativiste autour d'un axe central. Soit $\rho(r)$ la masse volumique relativiste à la distance *r* de l'axe de rotation et $\rho_0$ la masse volumique inerte sur l'axe de rotation (aucune dilatation relativiste de la masse). La masse volumique relativiste est $\rho(r) = \rho_0/\sqrt{1-v(r)^2/c^2}$. La hauteur du cylindre élémentaire à la distance *r* de l'axe de rotation est $h(r) = 2\sqrt{[R^2-r^2]}$ et son volume est donnée par $V(r) = 2\pi rh(r) dr$.

On a donc, en tenant compte de la variation relativiste de la masse en intégrant de 0 à *R* :
$$M = \int \rho(r) V(r) dr = \int \rho(r) 2\pi rh(r) dr = 2\pi \rho_0 R^2 \int \frac{2\sqrt{[R^2-r^2]}}{\sqrt{[1-v(r)^2/c^2]}} d[r^2/2R^2] = 2\pi \rho_0 R^3 \int \frac{\sqrt{[1-r^2/R^2]}}{\sqrt{[1-v(r)^2/c^2]}} d[r^2/R^2].$$

1) Dans le cas où la boule est rigide et tourne à la vitesse angulaire constante $\omega_{max} = c/R$ (vitesse maximale à l'équateur) nous avons $M = 2\pi\rho_0 R^3 \int \sqrt{[1-r^2/R^2]}/\sqrt{[1-(r\omega_{max})^2/c^2]} d[r^2/R^2] = 2\pi\rho_0 R^3 \int \sqrt{[1-r^2/R^2]}/\sqrt{[1-c^2r^2/c^2R^2]} d[r^2/R^2] = 2\pi\rho_0 R^3 \int d[r^2/R^2] = 2\pi\rho_0 R^3$. Donc $M = 2\pi\rho_0 R^3$ [L1]. Puisque $M_0 = 4\pi\rho_0 R^3/3$ (masse volumique par le volume de la boule) alors $M = 3M_0/2$. Le gain d'énergie $M_r = M - M_0$ lorsque $a = 1$ est donc au maximum $M_r = M_0/2$ [T1].

2) Dans le cas où la boule est d'énergie homogène et tourne à la vitesse linéaire constante $v = r\omega(r)$ nous avons $M = 2\pi\rho_0 R^3 \int \sqrt{[1-r^2/R^2]}/\sqrt{[1-(r\omega(r))^2/(r\omega_{max}(r))^2]} d[r^2/R^2] = 2\pi\rho_0 R^3/\sqrt{1-a^2} \int \sqrt{[1-r^2/R^2]} d[r^2/R^2] = 4\pi\rho_0 R^3/\sqrt{1-a^2} \int r\sqrt{[1-r^2/R^2]} dr = 4\pi\rho_0 R^3/3\sqrt{1-a^2}$ [L2]. Puisque que $M_0 = 4\pi\rho_0 R^3/3$ (masse volumique par le volume de la boule) alors $M = M_0/\sqrt{1-a^2}$. Le gain d'énergie $M_h = M - M_0 = M_0(1/\sqrt{1-a^2}) - 1$) [T2] tend donc vers l'infini avec le spin de la boule ($a = 1$) et est nul pour un spin nul ($a = 0$).

Il est maintenant possible de calculer le moment d'inertie relativiste de la boule : $I = \int r^2 dm = \int r^2 \rho(r) V(r) dr = \int r^2 \rho(r) 2\pi rh(r) dr = 2\pi \rho_0 R^4 \int \frac{2\sqrt{[R^2-r^2]}}{\sqrt{[1-v(r)^2/c^2]}} d[r^4/4R^4] = \pi \rho_0 R^5 \int \frac{\sqrt{[1-r^2/R^2]}}{\sqrt{[1-v(r)^2/c^2]}} d[r^4/R^4]$.

1) Dans le cas où la boule est rigide et tourne à la vitesse angulaire constante $\omega_{max} = c/R$ (vitesse maximale à l'équateur) nous avons $I = \pi \rho_0 R^5 \int \sqrt{[1-r^2/R^2]}/\sqrt{[1-(r\omega_{max})^2/c^2]} d[r^4/R^4] = \pi \rho_0 R^5 \int \sqrt{[1-r^2/R^2]}/\sqrt{[1-c^2r^2/c^2R^2]} d[r^4/R^4] = \pi \rho_0 R^5$. Donc $I = \pi \rho_0 R^5$ et par [L1] $I_r = 1/2MR^2$.

2) Dans le cas où la boule est d'énergie homogène et tourne à la vitesse linéaire constante $v = r\omega(r)$ nous avons $I = \pi \rho_0 R^5 \int \sqrt{[1-r^2/R^2]}/\sqrt{[1-(r\omega(r))^2/(r\omega_{max}(r))^2]} d[r^4/R^4] = \pi \rho_0 R^5/\sqrt{1-a^2} \int \sqrt{[1-r^2/R^2]} d[r^4/R^4] = \pi \rho_0 R^5/\sqrt{1-a^2} \int 4r^3\sqrt{[1-r^2/R^2]} dr = 8\pi \rho_0 R^5/15\sqrt{1-a^2}$. Donc $I = 8\pi \rho_0 R^5/15\sqrt{1-a^2}$ et par [L2] $I_r = 2MR^2/5$.

Le moment cinétique relativiste de la boule rigide tournant à la vitesse maximale est donc donné par $J_r = I_r\omega = 1/2MR^2\omega$ [T3], ce qui n'est pas très différent du moment non-relativiste $J = 3MR^2\omega/5$. Notre calcul n'est pas ici exact car $J_r$ devrait donc varier de $3MR^2\omega/5$ pour un spin de $a = 0$ à $1/2MR^2\omega$ pour un spin de $a = 1$. Le moment cinétique relativiste de la boule rigide d'énergie homogène est quant à lui $J_h = I_h\omega = 2MR^2\omega/5$ [T4], ce calcul est par contre exact.

## La production de masse noire

Posons une boule rigide en rotation relativiste possédant un rayon $R_\alpha$ donc par [T3] $J = I\omega = 1/2MR_\alpha^2\omega$ [L3]. Puisque $a = \omega/\omega_{max}$ et $\omega_{max} = c/R_\alpha$ alors $\omega = ac/R_\alpha$ et par [L3] $J = 1/2acMR_\alpha$ [L4]. Par [D1] et [L4]
nous obtenons $J_{br} = a\beta M^2/c$ [T5], ce qui est exactement le moment cinétique calculé¹⁶ par Kerr si $\beta = G$. Ainsi, le moment d'inertie du trou noir de Kerr, indépendamment de son spin, est celui d'une boule rigide dont la surface tourne à la vitesse de la lumière. En reprenant le même calcul avec la boule d'énergie homogène on obtient par [T4] et [D1] $J_{bh} = 4a\beta M^2/5c = 4J_{br}/5$ [T6].

Pour pratiquement tous les corps rigides $I = \phi MR^2$ tel que $\phi$ est une constante caractérisant la forme du corps : $\phi = 1$ pour l'anneau, $\phi = 1/2$ pour le disque, $\phi = 2/3$ pour la sphère et $\phi = 3/5$ pour la boule. Puisque $\omega = V/R$, il en découle que $J_\phi = I\omega = (\phi MR^2)(V/R) = \phi MRV$ [T7].

Si un tel corps se compacte dans une boule possédant le rayon $R_\alpha$ alors par [T5] $J_f = a\beta M^2/c$ et par [T7] $J_i = \phi MRV$. Par conséquent, par la conservation du moment cinétique $J_i = J_f$ et donc $a = \phi R V c / \beta M$. Pourtant, si on utilise comme valeurs celles de la Voie lactée¹⁷,¹⁸ $R = 3.3 \times 10^{20}$, $V = 2.2 \times 10^5$, $M = 2 \times 10^{42}$ et $\phi = 1$ et $\beta = G$ nous obtenons un spin de $a = 262$, ce qui n'est pas une valeur admise car $a \in [0,1]$. En fait, il faudrait modifier d'un ordre de grandeur au moins trois paramètres pour obtenir une valeur possible. Pire, il faudrait multiplier par un facteur la masse $M$ pour s'approcher d'une valeur admise alors que celle-ci est la masse totale comprenant déjà la masse noire.

Notre calcul est incorrect car la boule finale et la galaxie initiale ne sont pas dans le même repère galiléen. En effet, la masse de $J_i$ est en fait la masse baryonique seule alors que la masse de $J_f$ est la masse totale dilatée par la vitesse relativiste produite par la rotation. Par conséquent, pour conserver la masse-énergie identique de l'état initial à l'état final, il faut contracter celle de l'état final. Il s'agit très exactement d'un changement de référentiel galiléen relativiste nécessitant l'introduction d'un facteur de Lorentz. Puisque l'unité du moment cinétique est le $kg \times m^2/s$ alors $\gamma^2 = J_i/J_f$ car $\gamma^2 = (1/\gamma)kg \times (\gamma^2)m^2/(1/\gamma)$s ceci permet d'écrire $\gamma^2 = J_i/J_f = \phi R V c / a \beta M$ [T8] et d'obtenir en posant $\phi = a = 1$ et $\beta = G$ $\gamma = M/M_0 \approx 16$. Ce qui est beaucoup plus que la dilatation maximale de $M = 3M_0/2$ par [T1], nous devons en conclure que la boule compacte n'est pas rigide.

En reprenant le même calcul pour la boule d'énergie homogène on obtient par [T6] et [T7] $\gamma^2 = J_i/J_f = 5\phi R V c / 4a\beta M$ [T9] et en posant $\phi = a = 1$ et $\beta = G$ on obtient pour la Voie-lactée $\gamma = M/M_0 \approx 18$. Ce qui est, ici, une valeur d'énergie admise par [T2].

Pour obtenir une meilleure approximation, il est possible de modéliser une galaxie spirale par un disque de densité surfacique $\sigma_0$ homogène de masse $M = \sigma_0 \pi R^2$. Il est par la suite possible de diviser ce disque en anneaux de masses $m(r) = \sigma_0 2\pi r dr$, de moments d'inertie $I(r) = m(r) r^2$ et de moments cinétiques $J(r) = I(r) \omega(r)$ avec $\omega(r) = V/r$ soit une vitesse de rotation constante pour tout le disque. En intégrant $J(r)$ de $0$ à $R$ nous obtenons $J = 2MRV/3$, donc par [T7] $\phi = 2/3$ ce qui donne avec les valeurs de la Voie lactée appliquées à [T8] $\gamma = M/M_0 \approx 13$ ou $\gamma = M/M_0 \approx 15$ en utilisant [T9].

Si on compare l'équation de la boule rigide $a\gamma^2 = \phi R V c / \beta M$ avec celle de la boule d'énergie homogène $a\gamma^2 = 5\phi R V c / 4\beta M$ on s'aperçoit qu'il s'agit pratiquement de la même équation à un petit facteur multiplicatif près. Puisque l'équation du moment cinétique de la boule rigide est identique à celle obtenue en utilisant le trou noir de Kerr, celle-ci sera favorisée. Par contre, pour ne pas contredire la valeur des énergies par la limite de la boule rigide, nous utiliserons l'énergie de la boule homogène $a\gamma^2 = \phi R V c / \beta M$ et $\gamma = M/M_0 = 1/\sqrt{1-a^2}$ [T10].

## La relation de Tully-Fisher baryonique

En utilisant [T10] et $\beta = G$ alors $a\gamma^2 = \phi R V c / GM$, le rayon $R$ étant le rayon maximal de la galaxie, $V$ la vitesse de rotation linéaire à la bordure et $M$ la masse galactique totale, il est possible d'appliquer le
théorème du viriel¹⁹ $M = 2V^2R/G$. En posant $a \approx 1$, il est ainsi possible d'obtenir
$\gamma^2 = (M/M_0)^2 \approx \phi RV_c/GM$ puis $8V^5R^2/M_0^2 \approx \phi cG^2$ en appliquant le viriel et donc $V^5 \approx \phi cG^2(M_0^2/8R^2)$. En
modélisant simplement la galaxie par un disque d'épaisseur $e$ et de densité homogène $\sigma_0$, nous obtenons
$M_0 = \pi\sigma_0eR^2$ soit $R^2 = M_0/\pi\sigma_0e$ par conséquent $V^5 \approx M_0(\pi\sigma_0e)(\phi cG^2/8)$ ce qui implique une relation du
type $M_0 \propto V^5$. Par contre, ce calcul néglige le coefficient $(\pi\sigma_0e)$ auquel il ne manque que la
multiplication par $R^2$ pour obtenir $M_0$. Posons $e = R/b$ alors $M_0 = \pi\sigma_0(R^3/b)$ [L5] et donc $\ln(M_0) =
\ln(\pi\sigma_0/b) + 3\ln(R)$ [L6], par conséquent, en posant $M_0^\kappa = \pi\sigma_0(R/b)$ alors $\kappa = [\ln(\pi\sigma_0/b) + \ln(R)]/\ln(M_0)$ ce
qui permet d'obtenir $\kappa = [\ln(\pi\sigma_0/b) + \ln(R)]/[\ln(\pi\sigma_0/b) + 3\ln(R)]$ par [L5] et [L6]. Puisque $\pi\sigma_0/b$ est
dans l'ordre de $10^{-2}$ et $R$ dans l'ordre de $10^{20}$ alors $\kappa \approx 1/3$ et par conséquent $V^5 \approx M_0^{4/3}(\phi cG^2/8)$ ce qui
implique une relation du type $M_0 \propto V^{3.75}$. Cette relation est en accord parfait avec la loi de Tully-Fisher
baryonique²⁰ $V^{3.5} \propto M_0 \propto V^4$ et il est par conséquent possible de dériver cette loi sans modifier la
gravitation de Newton²¹ ou la relativité générale.

Discussion sur le déterminisme mécanique

Puisqu'une galaxie peut se contracter en boule compacte possédant une grande quantité d'énergie cinétique et que cette énergie se retrouve, par la relativité, sous forme de masse-énergie, il faut se poser la question d'où provient cette énergie. Par la conservation de l'énergie, si cette énergie ne provient pas d'une source extérieure au système, elle doit pré-exister dans la galaxie avant sa compactification. Ainsi, il doit donc exister une quantité phénoménale d'énergie sous forme de masse-énergie dans la galaxie. Si la cause de la compactification est la gravitation alors puisqu'il s'agit bien d'une force interne au système, cette énergie doit se trouver quelque-part dans le champ d'énergie gravitationnelle.

Le problème dans notre explication est que la masse énergie se retrouvant dans un système dépend d'un destin potentiel. En effet, si le destin d'un système est de ne pas s'effondrer en trou noir car il ne possède pas la masse critique²² de Chandrachekar, il devrait produire beaucoup moins de masse noire. Comment les autres forces interagissent avec la gravitation pour contrôler cette production de masse est, pour l'instant, un mystère.

Prédiction théorique

Puisqu'une galaxie se trouve à être un repère galiléen comparable à un corps à vitesse constante, la transformation de Lorentz classique de composition des vitesses devrait donc être utilisée. Ceci entraîne par conséquent un décalage de la fréquence de la lumière d'une galaxie émettrice de radiation à une galaxie réceptrice de cette radiation. Ce décalage intrinsèque est distinct du décalage gravitationnel.

Ainsi, d'une galaxie émettrice de radiation $1/\gamma_e = M_0 e/M_c$ à une galaxie réceptrice de la radiation $1/\gamma_r = M_0 r/M_r$, il est possible de tirer les équivalents vitesses $v_c = c\sqrt{1-1/\gamma_c^2}$ et $v_r = c\sqrt{1-1/\gamma_r^2}$ pouvant se composer en $v = (v_r - v_c)/[1+(v_r v_c/c^2)]$ ce qui donne un décalage $z \approx \sqrt{[(1+v/c)/(1-v/c)]} - 1$. Ce phénomène peut entraîner pour la Voie lactée des décalages intrinsèques compris entre $z \approx -1\%$ et $z \approx 8\%$. Ce décalage devrait affecter le décalage vers le rouge mais également la mesure des phénomènes réguliers comme les pulsars (dilatation et contraction du temps).

La relation de Tully-Fisher est la plus importante mesure secondaire de mesures de distances d'un large ensemble de galaxies spirales, elle possède une influence notable sur le calcul classique (par création d'échelles de distances) de la constante de Hubble et des erreurs persistent de façon inexplicable²³.
Russell (2005)²⁴,²⁵ après une analyse exhaustive conclu à un décalage vers le rouge intrinsèque pouvant
excéder 5000 km/s et une tendance nette aux décalages vers le rouge plus important que les décalages vers le bleu. Le résultat de cette analyse est en parfait accord avec notre prédiction.

Conclusion

Les résultats obtenus ne sont que de simples conséquences de l'application de la mécanique relativiste (MR) au problème de la contraction d'un corps de taille galactique en une boule possédant le rayon de Schwarzschild, aucune autre hypothèse sur la nature de la gravitation ne fut utilisée. Un premier résultat surprenant est que le moment cinétique relativiste d'une boule rigide, possédant le rayon de Schwarzschild, est strictement celui calculé par Kerr en utilisant la relativité générale (GR). Il faut donc conclure que, d'un point de vue strictement mécanique, le moment d'inertie d'un trou noir est identique à celui d'une boule rigide tournant à vitesse maximale et que son énergie est probablement celle d'une boule d'énergie homogène.

Le second résultat obtenu est que l'énergie cinétique de rotation d'une boule résultant de la compactification d'un système de taille galactique est énorme, plus de treize fois sa propre masse dans le cas de la Voie lactée. Si ce phénomène de compactification peut se produire bel et bien par la seule force interne de la gravitation, sans aucun apport d'énergie extérieur au système alors, par la loi de la conservation de l'énergie, cette énergie existe bel et bien quelque part dans le système avant la compactification. Puisque ce surplus d'énergie ne peut être stocké de façon mécanique dans la galaxie, il s'agit nécessairement d'énergie stocké dans le champ gravitationnel. Ce surplus d'énergie permet de dériver parfaitement la relation de Tully-Fisher et se corrèle ainsi aux quantités de matière (masse) noire galactiques. Tout ceci permet d'affirmer que cette conséquence mécanique nécessaire est bien la cause de la matière noire galactique.

Le troisième résultat obtenu est une conséquence du fait que sans apport énergétique extérieur, le système est dans le même référentiel galiléen avant et après la compactification. Par conséquent, un phénomène de décalage intrinsèque devrait survenir entre galaxies émettrices et réceptrices de radiation. Cette prédiction expérimentale nouvelle, permettant de calculer précisément ce décalage à partir de la masse noire galactique, offre une possibilité de réfutation expérimentale de cette théorie. Il faut remarquer que si cette théorie s'avère fausse, il faudra fortement se questionner sur la consistance de la mécanique relativiste.
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