(ou dernier) terme. La conséquence recherchée est donc le caractère *introuvable* d'un élément premier ou dernier supposé indispensable. Cela concerne typiquement des séries produites par des relations qu'on appelle *transitives* et *asymétriques* dans le langage mathématique moderne.

Un exemple acceptable de relation asymétrique et transitive dans la langue courante est la relation “être le descendant de” : cette relation est transitive, ce qui veut dire par exemple que si Jésus est le descendant de David, et si David est le descendant d'Abraham, alors nécessairement Jésus est le descendant d'Abraham : la relation “être le descendant de” se transmet. La relation est aussi asymétrique, ce qui veut dire que David ne peut en aucun cas être son propre descendant, et que si David est le descendant d'Abraham, Abraham ne peut en aucun cas être le descendant de David : la relation “être descendant de” est toujours dans un seul sens entre des personnes différentes. La conséquence est qu'une relation de ce type ne peut jamais faire de *boucle*, retourner à son point de départ : en effet, si on disait que Jésus est le descendant de David, David le descendant d'Abraham, et, en bouclant, qu'Abraham est à son tour le descendant de Jésus, on devrait dire, à cause de la transitivité de la relation, qu'Abraham est le descendant de David et le descendant de lui-même, ce qui est interdit par l'asymétrie de la relation.

Si on a besoin qu'une relation de ce type commence ou se termine quelque part, ait un premier ou un dernier terme, et qu'on peut lui appliquer un raisonnement itératif, alors on a une régression à l'infini.

Un exemple courant en est la preuve de la nécessité de poser des axiomes ou des principes non démontrés pour mener une démonstration. En effet, si ni une tautologie (P parce que P) ni un raisonnement circulaire (P parce que Q et Q parce que P) ne sont acceptables, alors l'exigence de *tout* démontrer permet un raisonnement itératif : pour démontrer une proposition il faudra certains principes, puis d'autres principes pour démontrer ces premiers principes, puis de nouveaux principes encore pour démontrer ceux-là, et ainsi de suite. On ne trouvera donc jamais des principes véritablement premiers. Or on a besoin, pour mener une démonstration, de pouvoir *commencer* quelque part, d'avoir une première proposition comme prémisse à partir de laquelle commencer l'enchaînement déductif, ce qui est rendu impossible par la régression à l'infini ! Il faut
donc mener une démonstration à partir d'*axiomes* c'est-à-dire de principes admis mais non démontrés. CQFD. C'est un raisonnement de ce genre auquel il est vraisemblablement fait allusion par Aristote en *Métaphysique* Γ, 4, 1006a6-9¹⁰, et qui se retrouve d'une autre manière et avec une autre intention dans les 5 modes sceptiques, chef-d'œuvre du scepticisme antique transmis par Sextus Empiricus<fnref n="11" /> et attribué à Agrippa<fnref n="12" />, qui aboutit en toute généralité à la suspension de l'assentiment.

Voilà le texte de Sextus Empiricus, *Esquisses Pyrhoniennes*, I, 164-169¹, nous soulignons :

Les sceptiques plus récents nous ont transmis cinq modes de la suspension de l'assentiment :
le premier qui part du désaccord, le second, selon lequel on est renvoyé à l'infini (*eis ápeiron ekbállonta*), le troisième selon le relatif, le quatrième est l'hypothétique, le cinquième le diallèle.

Celui qui part du désaccord est celui par lequel nous découvrons qu'à propos de la chose examinée il s'est trouvé, aussi bien dans la vie quotidienne que parmi les philosophes, une dissension indécidable qui nous empêche de choisir quelque chose ou de le rejeter, nous menant finalement à la suspension de l'assentiment.

Celui qui s'appuie sur la régression à l'infini (*bo dè apò tês eis ápeiron ekptóseos*) est celui dans lequel nous disons que ce qui est fourni en vue d'emporter la conviction sur la chose proposée à l'examen a besoin d'une autre garantie, et celle-ci d'une autre, *et cela à l'infini, de sorte que, n'ayant rien à partir de quoi nous pourrons commencer d'établir quelque chose, la suspension de l'assentiment s'ensuit*.

Le mode selon le relatif, comme nous l'avons dit plus haut, est celui dans lequel l'objet réel apparaît tel ou tel relativement à ce qui le juge et à ce qui est observé conjointement, et sur ce qu'il est selon la nature nous suspendons notre assentiment.

Nous avons le mode qui part d'une hypothèse quand les dogmatiques étant renvoyés à l'infini, ils partent de quelque chose qu'ils n'établissent pas mais jugent bon de prendre simplement et sans démonstration, par simple consentement.

Le mode du diallèle arrive quand ce qui sert à assurer la chose sur laquelle porte la recherche a besoin de cette chose pour emporter la conviction ; alors n'étant pas capables de prendre l'un pour établir l'autre, nous suspendons notre assentiment sur les deux.

<footnote n="10">10. Il ne faut pas oublier néanmoins que selon Aristote l'impossibilité de tout démontrer, c'est-à-dire de tout démontrer par syllogisme, ne veut pas dire qu'il est impossible de suffisamment justifier voire de prouver de manière non-syllogistique les premiers principes.</footnote>

<footnote n="11">11. Vers le IIe siècle apr. J.-C.</footnote>

<footnote n="12">12. Probablement Ier siècle apr. J.-C.</footnote>
L'enjeu des *modes* (*tropoi*) est d'élaborer un catalogue de procédures générales capable de produire sur le praticien un certain effet, à savoir la suspension de l'assentiment, la suspension de l'acquiescement à un jugement comme pouvant être dit vrai de manière justifiée.

Les modes du *relatif* et du *désaccord*, figures universelles du scepticisme, mettent en place
le problème : les objets varient selon le point de vue (*relatif*), et il y a en général désaccord
irréconciliable sur tous les points (*désaccord*), ce qui doit conduire à s'abstenir de donner
son assentiment. Mais si on pense qu'il pourrait y avoir une justification qui permettrait de
privilégier une position contre les autres, alors, soit une telle justification : la question se pose
de nouveau de savoir pourquoi il faudrait lui accorder son assentiment. Si on ne lui accorde
pas, alors on ne l'accorde pas non plus à la proposition de départ qui n'est plus justifiée. Si
on lui accorde au nom d'une tierce justification, alors la question se pose une nouvelle fois
pour celle-ci, et ainsi de suite. Alors de trois choses l'une : ou bien on est conduit en cercle,
mais alors selon le *diallèle* (le "*réciproque*") on doit suspendre son assentiment à l'égard de la
totalité du cercle ; ou bien on est *renvoyé à l'infini*, mais alors « nous n'avons rien à partir de
quoi commencer », comme le dit très exactement Sextus : le procès de justification doit avoir
quelque chose par quoi *commencer*, et s'il ne peut commencer notre accord d'assentiment
ne le peut pas non plus ; ou bien enfin on s'arrête quelque part, mais alors on en reste
au mode de l'hypothèse, et l'assentiment à la proposition de départ demeure sur un mode
hypothétique (fictif, sur le mode du *comme si*) et non pas assertorique (thétique, sur le
mode du *cela est tel*).

On voit que le problème dans ce genre de raisonnement n'est pas du tout le *surplus*
de principes. Ce n'est pas qu'on a *trop* de principes, que leur nombre est "trop grand"
ou dépasse toute grandeur donnée : le problème est que, du fait de l'inachevabilité de
la *procédure* de justification, et du caractère transitif et asymétrique de la *relation* de
justification, on ne trouve *pas du tout* de principe sur lequel s'appuyer, c'est-à-dire par
lequel commencer une démonstration<fnref n="13" />.

<footnote>a. Sextus Empiricus, *Esquisses pyrrhoniennes*, trad. du grec, comm. et introd. par Pierre Pellegrin, Points, Seuil, 1997, p. 141-143.</footnote>

<footnote n="13">13. Sur la question des conditions conceptuelles qui rendent pertinent et valide un argument par régression à l'infini, on ne saurait suffisamment recommander la très belle étude de Jules Vuillemin, « De la régression à l'infini comme moyen de réfutation. Commentaire aux textes de la *Métaphysique* », Troisième étude, in Jules Vuillemin, *De la Logique à la Théologie. Cinq Études sur Aristote*, Flammarion, 1967, p. 127-146. Pour des raisons théoriques qui forment l'essentiel du projet de cette thèse, nous sommes en désaccord avec Vuillemin sur l'interprétation de Zénon et sur les conditions mathématiques de vérité des raisonnements d'Aristote; néanmoins sa mise en dialogue d'Aristote et Russell sur la question des</footnote>
On peut être tenté d'interpréter comme une régression à l'infini en ce sens strict un autre des arguments de Zénon qui est l'argument "contre la localisation", dans le cadre de l'aporie du lieu (si elles sont plusieurs, elles ont toutes un lieu et aucune n'a de lieu). On pourrait comprendre l'aporie comme ayant dans l'ensemble la forme suivante : *si elles sont plusieurs, toutes les choses ont un lieu. Mais si une chose a un lieu, ce lieu est, il a donc un lieu, qui est, et ainsi de suite.* Dans la version rapportée par Simplicius (LM D13b) la conclusion de cet argument est « Le lieu n'est donc pas », ce qui est une bonne manière de dire qu'aucune chose n'a de lieu. Mais pourquoi serions-nous amenés à conclure que le lieu n'est pas ? Pourquoi la preuve de *l'infinité* des lieux est-elle une preuve de leur *inexistence* ? Nous n'avons pas les moyens ici d'appuyer une hypothèse sur des données ou des sources, mais une manière de le comprendre serait de poser une forme de régression à l'infini : la relation de localisation serait considérée comme asymétrique et transitive, et comme exigeant une fin, un dernier terme. Autrement dit pour que quelque chose soit véritablement *située*, ait un lieu, il faudrait qu'on puisse désigner un lieu comme *le* lieu de cette chose ou à défaut le lieu des lieux de cette chose. Mais s'il y a progrès à l'infini de la localisation, ce lieu véritable est introuvable, et il n'y a pas du tout de localisation<fnref n="14" />.

Il existe encore un emploi différent du raisonnement itératif, qui ne cherche pas cette fois l'inachevabilité elle-même, ni l'infinité, ni l'introuvabilité, mais au contraire cherche à prouver de façon directe, positive et générale l'obtention d'une certaine *propriété* sur toutes les choses d'un certain type, quand il est possible de placer ces choses les unes à la suite des autres dans un *ordre strict*. Nous voulons parler du raisonnement par récurrence.

<footnote>conditions logiques de la régression à l'infini est très profonde et forme l'inspiration principale de cette section.</footnote>

<footnote n="14">14. Il nous semble que c'est par exemple l'interprétation qu'en donne Marwan Rashed, quoiqu'il l'insère dans une perspective historique très différente de celle que nous proposons. Cf. RASHED, *Alexandre d'Aphrodise, Commentaire perdu à la Physique d'Aristote (Livre IV-VIII)*, cit., p. 38-39.</footnote>
## 3.5 Itératif et récurrence dans les mathématiques grecques

Pourquoi s'intéresser au raisonnement itératif ? Tout ce développement est mené dans un but précis, qui est le dégagement d'une notion et d'un usage de l'infini, notion et usage de type mathématique, mais qui précèdent conceptuellement et historiquement les conceptions modernes standards ; à savoir l'infinité comprise comme l'inachevabilité d'une procédure, et l'infini compris comme l'horizon d'une telle procédure inachevable. Afin d'expliquer pourquoi la mathématique contemporaine ne peut pas constituer une réponse aux paradoxes de Zénon d'Élée sur le mouvement, nous cherchons à montrer que l'infini ensembliste de Cantor, Dedekind et Zermelo se situe à un niveau vraiment différent de l'objectivité mathématique, niveau que Jean-Michel Salanskis appelle l'objectivité corrélatивé par distinction d'avec l'objectivité constructive. C'est-à-dire que l'existence et les propriétés d'ensembles infinis dans une construction axiomatique ne peuvent pas résoudre un problème tel que celui de l'Achille, situé essentiellement au niveau des procédures de construction où se situe toujours l'infini comme inachevable<sup>15</sup>.

D'après le métaconstructivisme de Salanskis, c'est l'induction, ou raisonnement par récurrence, qui témoigne du mode d'obtention de la vérité dans l'objectivité constructive : le raisonnement par récurrence nous montre qu'une propriété se dit en vérité de tous les objets de la construction, parce que cette propriété est maintenue par la procédure de construction elle-même. Et c'est parce que nous maîtrisons l'activité constructive que nous pouvons connaître les objets qu'elle produit. Or le raisonnement par récurrence fait évidemment usage d'un raisonnement itératif, et en est une application directe. En retour, il nous paraît plus que probable que l'emploi démonstratif du raisonnement itératif par Zénon doit nous renvoyer à son emploi à l'époque, et avant peut-être Zénon, dans le domaine mathématique. Ce qui conduit à poser la question suivante : quels pouvaient être les usages mathématiques du raisonnement itératif à l'époque de Zénon et avant lui (et en particulier : était-il employé dans des démonstrations par récurrence) ? Cela permettra de situer dans le paradoxe dans un contexte argumentatif plus large

<footnote n="15">15. Sur le métaconstructivisme, voir l'ensemble de la section 10.2.</footnote>
et plus complet, et d'autre part de soumettre les catégories du métaconstructivisme, élaborées pour penser les mathématiques modernes, à l'épreuve du nouveau matériau historique que constituent les corpus mathématiques grecs anciens.

Il se trouve que la question de la présence du raisonnement inductif en Grèce ancienne a été récemment « rendue plus confuse », quoique de façon lumineuse, par un article fascinant de Fabio Acerbi<sup>16</sup> qui mérite pour notre propos d'être examiné dans un certain détail.

Acerbi distingue au cours de l'article plusieurs formes similaires de raisonnement, qui ont pour point commun non seulement l'emploi d'un raisonnement itératif, mais le fait de toujours porter sur des objets strictement ordonnés : le principe de descente (ou de "descente infinie"; c'est-à-dire : "de descente inachevable"), l'induction *incomplète*, et l'induction *complète* ou raisonnement par récurrence.

## 3.5.1 Descente infinie

Le principe de descente infinie est une forme de preuve (indirecte) par régression à l'infini. On en trouve des exemples dans les corpus conservés, notamment sous la forme d'une réduction à l'impossible concernant les nombres entiers : si une hypothèse sur un certain entier A a pour conséquence (itérative) qu'il existe une infinité de nombres entiers (positifs) plus petits que A, alors l'hypothèse est fausse, car cela est impossible. On voit que le raisonnement repose non seulement sur l'itération qui permet d'obtenir l'infinité, mais aussi sur une certaine propriété d'ordre : les nombres commencent quelque part, par l'unité, et entre l'unité et n'importe quel nombre entier il y a une certaine quantité épuisable de nombres. On trouve un tel raisonnement dans la démonstration extrêmement simple du théorème VII, 31 des *Éléments*<sup>17</sup> :

<footnote n="16">16. "My aim is to increase the confusion on this subject", écrit-il après avoir fait état du débat contemporain (Fabio Acerbi, « Plato : *Parmenides* 149a7-c3. A Proof by Complete Induction ? », *Archive for History of Exact Sciences*, 55 (2000), p. 57-76, p. 58).</footnote>

<footnote n="17">17. Euclide d'Alexandrie, *Les Éléments*, t. 2 : *Livres V-VI : Proportions et similitude* ; *Livres VII-IX : Arithmétique*, trad. du grec et comm. par Bernard Vitrac, 4 t., Presses Universitaires de France, 1994, p. 339-340. Dans cette démonstration, comme dans celle que nous commenterons plus bas et à vrai dire dans toutes les démonstrations des livres arithmétiques d'Euclide, on trouve dans les sources des figures où chaque nombre nommé dans la démonstration est figuré par un segment. Nous ne reproduisons pas ces figures, car elles ne semblent jouer aucun rôle dans la démonstration. Il nous paraissait important</footnote>
*Tout nombre composé est mesuré par un certain nombre premier.*

Soit un nombre composé A. Je dis que A est mesuré par un certain nombre premier.

En effet, puisque A est composé, un certain nombre le mesurera. Qu'il le mesure et que ce soit B. Et si B est premier, ce qui était prescrit aura été fait. S'il est composé, un certain nombre le mesurera. Qu'il le mesure et que ce soit C. Et puisque C mesure B et que B mesure A, le [nombre] C mesure donc aussi A. Et, d'une part si C est premier, ce qui était prescrit aura été fait, d'autre part s'il est composé, un certain nombre le mesurera. Alors l'investigation étant poursuivie de cette façon, un certain nombre premier sera trouvé qui mesurera [A]. Car s'il ne s'en trouvait pas, des nombres en quantité illimitée mesureraient le nombre A, dont chacun serait plus petit que le précédent; ce qui est impossible dans les nombres. Donc un certain nombre premier sera trouvé qui mesurera le [nombre] précédent et qui mesurera aussi A.

Donc tout nombre composé est mesuré par un certain nombre premier. Ce qu'il fallait démontrer.

Pour qu'on puisse comprendre la démonstration, il faut d'abord rappeler quelques simples points de vocabulaire euclidien : en général dans le corpus grec, le “nombre” (*arithmós*) est défini comme « multitude composée d’unités<fnref n="18" /> ». Non seulement donc il s’agit uniquement des entiers naturels, mais même “1” n’est pas considéré comme un “nombre” dans cette définition, puisque 1 n’est pas une multitude. Cette manière de présenter les choses n’est pas absolument universelle, et parfois elle oblige à compliquer les démonstrations, mais elle est particulièrement marquée dans cette partie du livre VII sur les nombres premiers. On dit ensuite qu’un nombre A “mesure” un autre nombre B quand il en est le diviseur, c’est-à-dire, selon ce que suggère la formulation d’Euclide, quand on peut prendre A un certain nombre de fois et obtenir exactement B. Un “nombre composé” est alors défini simplement comme un nombre mesuré par un autre nombre. La définition du nombre premier devient alors claire : « 12. Un nombre premier est celui [qui est] mesuré par la seule unité<fnref n="19" /> ». Il faut comprendre par là qu’on ne peut le composer par

<footnote>de signaler ce fait quoique nous ne puissions pas en entreprendre ici un commentaire qui demanderait d'introduire toute une interprétation de la pratique d'Euclide en général.</footnote>

<footnote n="18">18. VII, déf. 2 : « Et un nombre est la multitude composée d'unités », « B. Aritbmòs dè tò ek monádon sugkeimenon plêtbos. » *ibid*., p. 249</footnote>

<footnote n="19">19. *ibid*., p. 256.</footnote>
addition qu'en partant de "1", et que rien d'autre, notamment aucun nombre, ne peut
le composer. (On voit qu'à part la grande différence de vocabulaire et de conception, ces
notions sont jusque là néanmoins équivalentes aux notions modernes habituelles).

Une fois cela dit et compris, la démonstration devrait être transparente.

Comment peut-on décrire son fonctionnement, dans la perspective qui nous occupe ?
On pourrait dire qu'il s'agit d'un raisonnement itératif sous condition. C'est-à-dire que
l'itération est sous condition qu'on ne trouve pas de nombre premier mesurant (c'est-à-
dire de diviseur). Dès que l'on trouve un nombre premier, le processus s'arrête ; mais tant
que l'on trouve un composé, on est autorisé à reproduire l'opération. Supposer alors qu'on
ne trouve jamais de nombre premier mesurant, donc que la condition est toujours réalisée,
implique que le processus de dégagement de nouveaux nombres composés mesurants est
inachevable et que ceux-ci sont en quantité illimitée, ce qui est impossible. On voit
donc que le raisonnement itératif sous condition consiste en un dilemme entre d'une
part la proposition à démontrer (un nombre composé est mesuré par un certain nombre
premier) et d'autre part le processus inachevable qui produit l'illimité, donc l'impossible,
sous condition de négation de la proposition à démontrer (aucun nombre premier ne
mesure un certain nombre composé). La proposition à démontrer est alors retrouvée,
dans cette seconde branche du dilemme, par application du tiers-exclu (selon la procédure
habituelle). Les deux branches du dilemme conduisant à la même conclusion, celle-ci est
prouvée en général.

3.5.2 Induction complète et incomplète

Qu'est-ce que l'induction complète, ou démonstration par récurrence, ou plus exactement comment la caractériser sans présupposer des concepts modernes ? Dans son article, Fabio Acerbi dégage 4 éléments qui doivent être présents dans une démonstration pour qu'on puisse la reconnaître spécifiquement comme une induction complète<fnref n="20" /> :

A. *Établir la base de l'induction* : c'est-à-dire démontrer que la propriété voulue est

<footnote n="20">20. Nous paraphrasons et explicitons ACERBI, « Plato : *Parmenides* 149a7-c3. A Proof by Complete Induction ? » cit., p. 60</footnote>
vraie du premier terme de la suite.

B. Énoncer l'étape inductive et la reconnaitre comme absolument générale : c'est-à-dire énoncer que si la propriété est vraie pour un terme donné de la suite, quel qu'il soit, alors nécessairement elle sera vraie pour le terme suivant.

C. Prouver cette étape inductive, en reconnaissant que la preuve vaut, à nouveau, en toute généralité.

D. Reconnaitre la généralité de la conclusion : c'est-à-dire en conclure que la propriété est vraie pour tout terme de la suite, quel qu'il soit<fnref n="21" />.

Il faut noter immédiatement une chose, c'est qu'à première vue la démonstration par récurrence ne contient pas de raisonnement itératif. En elle on ne trouve pas du tout mention explicite de la possibilité de répéter une opération, d'un inachevable, d'un illimité ou d'un "et ainsi de suite".

Ce mode de démonstration est indéniablement valide, à chaque fois qu'on a une suite ordonnée à partir d'un premier élément. Mais pourquoi est-il valide ? Qu'est-ce qui le rend vrai ? Pour parler comme Kant, du fait qu'une propriété est vraie pour le premier terme d'une suite et que si elle est vraie pour un certain terme alors elle sera vraie pour le suivant, il ne découle pas analytiquement que la propriété est vraie pour tous les termes de la suite. Si je prends en compte ces deux propositions et uniquement ces deux propositions, rien n'est dit en elles qui m'assure que la propriété est vraie pour par exemple le 1000ᵉ terme de la suite, puisque je ne sais pas *a priori* si elle est vraie pour le 999ᵉ. Comment puis-je m'en convaincre ? Comment puis-je garantir que le raisonnement est toujours vrai ?

Il y a en fait deux manières naturelles de le faire. La première est la descente infinie :
je dis que la propriété est vraie de tout terme de la suite. En effet, soit un terme de la

<footnote n="21">21. On donne un exemple trivial de démonstration par récurrence pour fixer les idées : *Tout multiple de 6 est divisible par 2, c'est-à-dire a une moitié entière*. (A.) En effet 6 est divisible par deux, car $3 + 3 = 6$. (B.) En outre si un certain multiple M de 6 est divisible par 2, alors le multiple suivant, $M+6$, est aussi divisible par deux. (C.) En effet, soit un multiple M de 6 divisible par deux, et soit H sa moitié entière. Alors le multiple suivant $M + 6 = H+H + 6 = H+3 + H+3$, c'est-à-dire que $H+3$ est une moitié entière de $M+6$. (D.) Donc tout multiple de 6 est divisible par 2. CQFD.</footnote>
suite pour lequel la propriété est fausse. Si la propriété est fausse pour lui, alors elle est fausse pour son prédécesseur. Mais alors elle est fausse pour le prédécesseur de celui-ci. Et ainsi de suite à l'infini. Or c'est impossible, car le nombre n'a pas une infinité de prédécesseurs (« cela est impossible dans les nombres »). Donc, etc.

La seconde est justement *l'induction incomplète*, qui peut se formuler ainsi : « La propriété est vraie du premier terme, et donc du second terme. Et donc du troisième, et ainsi de suite, sans qu'on puisse être arrêté quelque part. » Il s'agit donc d'un raisonnement itératif, qui énonce une poursuite à l'infini du fait que l'itération du passage au successeur (et de la vérification de la propriété pour ce successeur) reproduit les conditions de sa réitération.<fnref n="22" />. C'est exactement de cette manière que Blaise Pascal justifie l'emploi de l'induction complète dans le texte qui est généralement reconnu comme sa première utilisation consciente comme un schème démonstratif général pouvant s'appliquer à toutes sortes d'objets bien ordonnés pourvus que ceux-ci soient bien ordonnés (Nous citons le *Traité du triangle arithmétique* (1654), *Conséquence douzième*<fnref n="23" />) :

> Quoique cette proposition ait une infinité de cas, j'en donnerai une démonstration bien courte, en supposant 2 lemmes.

> Le 1, qui est évident de soi-même, que cette proportion se rencontre dans la seconde base ; car il est bien visible, que f est à s comme 1 est à 1.

> Le 2, que si cette proportion se trouve dans une base quelconque, elle se trouvera nécessairement dans la base suivante.

<footnote n="22">22. Dans les mathématiques modernes, la justification à la Zénon n'est pas en elle-même satisfaisante selon les critères d'exigence formalistes, et le raisonnement par récurrence est généralement justifié par un axiome spécial, au moins depuis l'axiomatisation de l'arithmétique par Peano. Il s'agit d'un axiome de second-ordre c'est-à-dire qui ne porte pas seulement sur les objets ou les nombres, mais sur les propriétés s'appliquant à ces objets, énonçant donc que pour toute propriété, si on peut faire A. et C. alors on peut faire D. On peut aussi en réalité (y compris selon l'exigence formaliste) démontrer sa validité à partir du principe de bon ordre, qui énonce que si quelque chose est vrai d'un ou plusieurs termes d'une suite bien ordonnée, alors il existe un *premier* (ou *plus petit*) terme de la suite pour lequel cette chose est vraie. On dit alors : supposons qu'un terme de la suite n'ait pas la propriété. Alors il existe un premier terme de la suite qui n'a pas la propriété. Mais alors en vertu de B., son prédécesseur (qui existe forcément puisqu'en vertu de A. le premier terme de la suite a la propriété et il est le seul à ne pas avoir de prédécesseur) n'a pas non plus la propriété. Il y a donc un terme qui n'a pas la propriété précédant le premier à ne pas avoir la propriété, ce qui est absurde. Donc, etc. Un tel principe et la démonstration à partir de lui aurait peut-être été théoriquement possible pour les anciens, mais ne semble correspondre à rien d'attesté. De plus, la manière la plus naturelle de justifier le principe de bon ordre est de nouveau la descente infinie.</footnote>

<footnote n="23">23. Cf. ACERBI, « Plato : *Parmenides* 149a7-c3. A Proof by Complete Induction ? » cit., p. 57, Blaise Pascal, *Euvres Complètes*, éd. établie et annot. par Jacques Chevalier, Gallimard, 1954, p. 103</footnote>
D'où il se voit qu'elle est nécessairement dans toutes les bases : car elle est dans la seconde base par le premier lemme ; donc par le second elle est dans la troisième base, donc dans la quatrième, et à l'infini.

Après quoi Pascal prouve le lemme 2.

Comment fonctionne cet argument exactement, si on en déplie les étapes logiques ?

*On démontre qu'une proportion se retrouve dans toutes les bases.*

1. Elle se trouve dans la première des bases considérées (qui est la seconde base) (lemme 1).

2. Si elle se trouve dans une base quelconque, elle se trouvera nécessairement dans la suivante (lemme 2).

3. S'il est vrai qu'elle se trouve dans la seconde base et que si elle se trouve dans une base quelconque elle se trouve dans la suivante, alors elle se trouve aussi dans la troisième, et donc dans la quatrième, et ainsi de suite à l'infini (raisonnement itératif, induction *incomplète*).

4. Si elle se trouve dans la seconde, la troisième, la quatrième base, et ainsi de suite à l'infini, alors elle se trouve dans toutes les bases (en vertu de la successivité exhaustive des bases; cette étape est implicitement admise par Pascal dans la dernière phrase).

5. Donc elle se trouve dans toutes les bases (*modus ponens* appliqué deux fois, d'abord à 1, 2 et 3, puis à 3 et 4).

Si on appelle “usage conscient de l’induction complète” la prise de conscience du fait que l’on peut démontrer une propriété en toute généralité grâce aux seuls deux premiers lemmes vérifiés pour cette propriété, on pourrait dire que cette prise de conscience équivaut à la prise de conscience d’une proposition intermédiaire, que l’on peut en effet raisonnablement voir dans la dernière phrase du texte de Pascal :
4'. Donc s'il est vrai qu'elle se trouve dans la seconde base et que si elle se trouve dans une base quelconque elle se trouve dans la suivante, alors elle se trouve dans toutes les bases (en vertu de 3., 4., et la transitivité de l'implication).

Et à la conscience du fait que cette proposition sera également vraie pour toute propriété portant sur les termes d'une suite strictement ordonnée, ce qui, au moins chez Pascal, reposait manifestement sur la confiance en la validité du raisonnement itératif.

Qu'est-ce qui différencie l'induction complète de l'induction incomplète si la première repose traditionnellement sur la seconde ? La frontière n'est pas toujours nette, et il y a depuis longtemps une controverse sur le sujet parmi les historiens<fnref n="24" />. On a une induction clairement incomplète si on n'énonce pas l'étape inductive dans sa généralité ou si on ne la démontre pas dans sa généralité (si donc B. ou C. se trouve manquant), mais qu'on se contente de dire que la propriété est vraie pour le premier terme, puis de montrer que de ce fait elle est vraie pour le second, et de ce fait pour le troisième, et de dire par exemple : « et on pourra le prouver semblablement dans la suite ». C'est-à-dire que l'on n'envisage pas l'étape inductive dans sa pleine généralité, mais l'on suggère simplement la validité d'un raisonnement *analogue* pour tous les points de départ qui pourront se présenter. Un deuxième trait distinctif de l'induction complète est l'explicitation du fait que l'on peut tirer une propriété générale sur une catégorie d'objets à partir seulement d'un cas particulier et d'une propriété inductive, donc à partir d'une proposition portant sur un particulier et d'une proposition portant sur le rapport entre deux particuliers en général. En somme il s'agit du passage aux étapes 4. et surtout 4'. dans notre reconstruction de Pascal. Or il est historiquement manifeste que ce passage n'est pas trivial ni innocent, mais implique un certain mode d'approche et de considération des objets et de la généralité.

Rien ne le manifeste plus clairement peut-être que les démonstrations d'Euclide où on a voulu voir l'emploi d'une induction complète, mais qui procèdent en réalité d'une manière très différente. Au point qu'un regard moderne peut y voir comme un effort

<footnote n="24">24. Controverse qui a culminé en 1994 dans deux articles de Fowler et Unguru, cf. ACERBI, « Plato : Parmenides 149a7-c3. A Proof by Complete Induction ? » cit., p. 57-58 et ici même la sous-section suivante.</footnote>
obstiné pour ne pas employer l'induction complète là où elle devrait s'imposer. Nous prenons en particulier la proposition IX, 8 des Éléments<fnref n="25" /> :

> Si des nombres en quantité quelconque sont continûment en proportion à partir de l'unité, d'une part le troisième à partir de l'unité sera un carré ainsi que ceux [qu'on prend] en en sautant un [sur deux]; d'autre part le quatrième sera un cube ainsi que tous ceux [qu'on prend] en en sautant deux, et le septième à la fois cube et carré, ainsi que ceux [qu'on prend] en en sautant cinq.

Que des nombres en quantité quelconque, A, B, C, D, E, F soient continûment en proportion à partir de l'unité. Je dis que, d'une part le troisième à partir de l'unité, B, est un carré, ainsi que tous ceux [qu'on prend] en en sautant un [sur deux]; d'autre part le quatrième C est un cube ainsi que tous ceux [qu'on prend] en en sautant deux, et le septième F est à la fois cube et carré ainsi que tous ceux [qu'on prend] en en sautant cinq.

En effet, puisque comme l'unité est à A, ainsi est A relativement à B, autant de fois donc l'unité mesure le nombre A et A [mesure] B. Mais l'unité mesure le nombre A selon les unités [qui sont] en lui ; et donc A mesure B selon les unités [qui sont] en A. Donc A se multipliant lui-même a produit B ; donc B est un carré. Et puisque B, C, D sont continûment en proportion, que B est un carré, D est un carré aussi (VIII.22). Alors pour les mêmes raisons, F est aussi un carré. Semblablement nous démontrerons alors que tous ceux [qu'on prend] en en sautant un [sur deux] sont aussi des carrés. Je dis alors que le quatrième [nombre] à partir de l'unité, C, est un cube ainsi que tous ceux [qu'on prend] en en sautant deux. En effet puisque comme l'unité est à A, ainsi est B relativement à C, autant de fois donc l'unité mesure le nombre A et B [mesure] C. Or l'unité mesure le nombre A selon les unités [qui sont] dans A ; et donc B mesure C selon les unités [qui sont] en A ; donc A multipliant B a produit C. Or puisque d'une part A se multipliant lui-même a produit B, d'autre part multipliant B a produit C, le [nombre] C est donc un cube. Et puisque C, D, E, F sont continûment en proportion, que C est un cube, F aussi est donc un cube (VIII. 23). Mais il a été démontré aussi [qu'il est] carré ; le septième à partir de l'unité est donc à la fois cube et carré. Semblablement alors nous démontrerons que tous ceux [qu'on prend] en sautant cinq [nombres] sont à la fois cube et carré. Ce qu'il fallait

<footnote n="25">25. Nous citons EUCLIDE D'ALEXANDRIE, Éléments V-IX cit., p. 419-420.</footnote>
démontrer<fnref n="26" />.

Une clarification pour commencer : que signifie « des nombres continûment en proportion à partir de l'unité » ? Il s'agit d'une suite ordonnée de nombres A, B, C, D..., tels qu'il y a autant de fois l'unité dans A qu'il y a de fois A dans B et B dans C, etc. Il s'agit en somme de ce que nous appellerions une suite de puissances de A, qui commence par 1. On remarque une perturbante complication au niveau de la numérotation, qui fait que « le troisième nombre en partant de l'unité » est bien B et non C, c'est-à-dire que 1 compte comme le premier terme de la suite, alors même que 1 n'est pas un nombre dans la terminologie d'Euclide ! Le résultat est que, ce que nous appellerions les puissances paires ($A^2, A^4, A^6$) sont ici des nombres de rang *impair* (le troisième, le cinquième, le septième... en partant de l'unité), et inversement.

La démonstration emploie deux résultats précédents, les propositions 22 et 23 du livre VIII, concernant respectivement le carré et le cube, qui énoncent que si 3 (resp. 4) nombres sont continûment en proportion et que le premier est un carré (resp. un cube) alors le troisième (resp. le quatrième) aussi est un carré (resp. un cube)<fnref n="27" />. Armés de ces résultats, comment pourrions-nous établir une démonstration par récurrence ? Conformément à l'analyse faite plus haut, nous procéderions ainsi (pour des raisons de brièveté, nous ne traitons que le cas du carré, celui du cube étant structurellement identique) :

> Parmi les nombres continûment en proportion à partir de l'unité, les troisième, cinquième et tous ceux pris en en sautant un sur deux sont des carrés.

En effet, soit des nombres continument en proportion à partir de l'unité : 1, A, B, C, D, E, F, etc..

$$p^{2m} = (p^m)^2$$

$$p^{3m} = (p^m)^3$$

$$p^{6m} = (p^{3m})^2 = (p^{2m})^3$$

<footnote n="26">26. À des fins de clarté, nous indiquons le "contenu" de la démonstration tel qu'on l'enseignerait aujourd'hui : tout nombre entier de la forme $p^n$ avec p entier, et n respectivement pair (n = 2m avec m entier), divisible par 3 (n = 3m, avec m entier) ou divisible par 6 (n = 6m, avec m entier), est respectivement le carré, le cube ou le carré et le cube d'autres nombres entiers. Ce qui algébriquement se montre en moins de temps qu'il n'en faut pour le dire :</footnote>

<footnote n="27">27. Les adjectifs "carré" et "cube" attribués à des nombres entiers ont en pratique le même sens dans les Éléments que pour nous.</footnote>
1. 1 est carré, donc B est carré (par VIII, 22).

2. Si un terme de la suite est carré, alors celui pris à sa suite en en sautant un est aussi carré (par VIII, 22).

3. S'il est vrai que 1 et B sont carrés et que si un terme est carré, alors celui pris à sa suite en en sautant un est aussi carré, alors aussi D, F, et ainsi de suite à chaque fois qu'on en sautera un, à l'infini, sont carrés (raisonnement itératif, induction incomplète).

4. Si 1, B, D, F, et ainsi de suite à chaque fois qu'on en sautera un, à l'infini, sont carrés, alors tous les nombres continûment en proportion pris en en sautant un à partir de l'unité sont carrés (en vertu de l'ordre successif exhaustif de ces nombres).

5. Donc tous les nombres continûment en proportion pris en en sautant un à partir de l'unité sont carrés (*modus ponens*). Ce qu'il fallait démontrer.

Ceci étant posé, nous pouvons entreprendre une comparaison avec le raisonnement d'Euclide et nous demander ce que ne fait pas Euclide que nous faisons ici, et ce qu'il fait que nous ne faisons pas ? Une première chose, qui n'est pas essentielle à notre propos, est qu'Euclide ne peut pas partir du principe que 1 est carré (et d'ailleurs cube) ce qui lui éviterait d'avoir à traiter à part les cas de B et C. Il ne le peut pas parce que “carré” et “cube” caractérisent des nombres et que 1 n'est pas considéré comme un nombre. Mais nous aurions pu tenir compte de ça et ajouter simplement une ligne.

D'autre part, il est remarquable que Euclide a l'air d'énoncer bel et bien les étapes, 1, 2, et 3 : il fait un raisonnement itératif, remarquant qu'à chaque fois qu'on part d'un carré et qu'on saute un nombre, on tombe sur un nouveau carré, ce qui nous permet de réitérer l'opération. En outre il en conclut bien que « tous ceux [qu'on prend] en en sautant un » sont carrés. Ne fait-il pas une induction complète ? Non, pour les deux raisons majeures que nous avions vues plus haut. D'une part, il n'énonce pas l'étape inductive dans toute sa généralité, en dépit des apparences. La proposition VIII, 22, est bien donnée en toute généralité, mais elle n'équivaut pas à l'étape inductive.
Ce qu'énonce VIII, 22 est que le troisième nombre d'une suite de trois nombres en proportions dont le premier est un carré, est aussi un carré. On pourrait utiliser ce théorème pour formuler l'étape inductive dans toute sa généralité, en disant : donc pour tout nombre de la suite, s'il est un carré, celui qu'on prend en un sautant un est aussi un carré. Mais ce n'est pas ce que dit Euclide! Euclide dit que la proposition VIII, 22 pourra être appliquée dans le cas de D (en remarquant que B, C, D est une telle suite), et également dans le cas de F (en remarquant que D, E, F est une telle suite), et semblablement (mais pas identiquement) dans les autres cas. Ce pourquoi le verbe est au futur : « semblablement nous démontrerons alors... ». La seconde et principale raison peut-être est que *ce n'est pas la même proposition qu'Euclide essaie de démontrer*, quoique le résultat en soit le même! En effet Euclide ne démontre pas par récurrence une propriété d'une puissance sur deux, mais il démontre par induction incomplète cette propriété pour un nombre sur deux *dans une quantité donnée de nombres en proportion*.

Il énonce : soit un certain groupe de nombres en proportions, cette propriété sera vraie pour un nombre sur deux de ce groupe, dans l'ordre de la proportion. Il vise donc des quantités finies ! Or c'est conceptuellement très différent. En effet, dans un tel groupe fini de nombres, la série successive des opérations de démonstration de la propriété pourrait en théorie être achevée, menée à bout pour chacun des termes concernés, et c'est pour cela qu'il y a un sens à dire qu'il « démontrera », au futur, la propriété pour tous les termes concernés, même si c'est d'une manière idéale. Donnez-moi un groupe de nombres en proportion continue, et je vous démontrerai par itération que la propriété est vraie d'un nombre sur deux de ce groupe, pour chacun de ces nombres. Néanmoins la généralité est bien obtenue, la proposition est finalement démontrée pour *n'importe quelle* puissance paire, mais cela *n'est pas* grâce au raisonnement par récurrence ! C'est au contraire grâce au fait que la généralité est (quasiment) toujours obtenue dans les raisonnements d'Euclide qui opèrent (quasiment) toujours sur des cas généraux<sup>28</sup> : la proposition est

<footnote n="28">28. Pour un examen soigneux de la question de la généralité des démonstrations dans Euclide, cf. Fabio Acerbi, « Perché una dimostrazione geometrica greca è generale », in *La scienza antica e la sua tradizione*, IV Seminario di studi Gargnano, 13-15 oct. 2008, sous la dir. de G. Micheli et F. Franco Repellini, Cisalpino, Milano 2011, p. 25-80</footnote>
démontrée *pour une quantité donnée de nombres dans une certaine proportion*, mais pour *n'importe quelle quantité donnée de nombres selon n'importe quelle proportion*, donc finalement pour toutes les puissances paires ; de la même manière qu'un raisonnement d'Euclide sur *un triangle* porte sur *n'importe quel triangle*.

3.5.3 Présence et absence dans les corpus

De tout ce qui précède, on peut retenir les deux faits suivants : 1/ on trouve des em-
plois de raisonnement itératif dans les corpus mathématiques grecs, à travers différentes
formes logiques ; 2/ là où Euclide semble employer l'induction complète, ou paraît devoir
l'employer, il ne l'emploie en fait pas.

La question de l'existence de l'induction complète dans l'Antiquité grecque a fait l'ob-
jet d'un débat parmi les spécialistes, débat qui a culminé en 1994 dans une controverse
entre S. Unguru et D. Fowler, dont le commentaire occupe la première partie de l'article
d'Acerbi. À l'issue de son analyse logique, méthodologique et philologique, Fabio Acerbi
est en mesure de tirer deux conclusions<sup>29</sup> : d'une part, malgré les arguments d'Unguru,
on ne peut pas exclure a priori et pour des raisons de principe que les Grecs aient pu
l'employer. Le raisonnement d'Acerbi consiste à dire que les arguments d'Unguru les
plus pertinents (reposant sur l'inexistence dans l'Antiquité d'une conception abstraite
du nombre) ne portent pas sur la possibilité pour un.e grec.que d'employer l'induction
incomplète, mais sur sa capacité à le conceptualiser comme un mode de raisonnement
abstrait valable pour une classe générale de propriétés (selon une distinction que fait
Acerbi entre l'Induction Complète, possible pour les Grec.que.s, et le *Principe* d'Induc-
tion Complète uniquement moderne). Dans le même esprit, Unguru juge que l'Induction
Complète nécessite l'idée d'une fonction qui *associe* chaque élément d'un groupe à un
nombre entier, en sorte à former une suite ordonnée, et la notion d'une totalité telle
que "tous les nombres entiers", deux choses qui sont en a priori absentes de la pratique
grecque. Mais Acerbi répond avec raison que si en effet ces deux éléments sont absents
de la pratique grecque, et si leur absence rend impossible d'une part la conception de

<footnote n="29">29. ACERBI, « Plato : Parmenides 149a7-c3. A Proof by Complete Induction？」 cit., p. 62-63.</footnote>
l'Induction comme schème démonstratif, d'autre part son emploi à un plein niveau de généralité, elle n'empêche pas pour autant son emploi dans des cas suffisamment simples où l'ordre strict des éléments est suffisamment manifeste, et en concevant la conclusion non comme s'appliquant à "l'ensemble des nombres" ou "l'ensemble infini des éléments de la suite", mais simplement à "tout nombre" ou "tout élément". Ces deux points semblent suffisamment clairs à l'examen de la proposition IX, 8 : les nombres se succédant selon une certaine proportion ont un ordre unique imposé par cette proportion, et Euclide peut tirer une conclusion générale sur n'importe quel nombre d'une suite.

D'un autre côté, malgré les efforts de plusieurs commentateurs et les reconstructions de Fowler, on ne trouve pas dans les corpus mathématiques anciens un emploi de l'induction complète. L'argument de Fowler consiste à dire (grossièrement parlant) que certains modes de démonstrations attestés, comme la descente infinie et l'appel au principe de bon ordre, sont équivalents avec l'Induction Complète, qui est donc a priori possible à l'époque, et qui doit selon Fowler avoir été employée dans certaines circonstances mathématiques, d'une manière que Fowler reconstitue, quoique justement il ne trouve pas de textes pour l'attester. Acerbi a plusieurs arguments méthodologiques contre cette démarche, mais il remarque notamment que la notion "d'équivalence" logique entre des modes de raisonnements n'a de sens que si ces modes de raisonnements sont conceptualisés comme tels et qu'on est en mesure de prouver leur équivalence, ce qui n'est pas trivial. Il énonce la chose suivante<fnref n="30" /> :

## Au contraire, je ne crois pas que PIC [le Principe d'Induction Complète] et PD [le Principe de

<footnote n="30">30. « Rather, I believe that PCI [the Principle of Complete Induction] and PD [the Principle of Descent] cannot be regarded as ‘equivalent’ (I consider it obvious that they cannot be historically equivalent) for [the following] series of reasons : they are not so 1) from the point of view of intuitive evidence – which, when one has to ‘choose’ a proof technique instead of another, has a decisive weight; 2) since they involve very different logico-mathematical concepts. We cannot presume that different concepts can be grasped with equal ease (for instance the concept of decreasing sequence in PD or the notion of property defined on an infinite collection of objects in PCI; or, as Mueller (p.79) rightly points out, ‘unlike the principle of induction, the least number principle or the denial of infinitely descending chains does not seem to depend upon a genuinely structural conception of the positive integers. For these principles can be understood solely in terms of the Euclidean conception of numbers as finite concatenations of units.’); 3) since every distinct technique employed to prove the same theorem gives it a different meaning, (if nothing else) because it changes the net of propositions needed to achieve the proof. Moreover, 4) to speak of equivalence is meaningful only after PCI and PD have been recognised as such, and after logical techniques have been developed to give sense to this equivalence. Even in this case, an equivalence proof can be highly nontrivial. » *ibid*, n. 21 p. 63, nous traduisons.</footnote>
Descente] puissent être jugés “équivalents” (je considère comme évident qu’ils ne sauraient être équivalents historiquement) pour [la série de raisons suivantes]: ils ne le sont pas 1) du point de vue de l’évidence intuitive -- ce qui, lorsqu’il s’agit de “choisir” entre deux techniques de preuve, pèse d’une façon décisive ; 2) dans la mesure où ils mobilisent des concepts logico-mathématiques très différents. Nous ne pouvons pas présupposer que différents concepts sont saisis avec une égale facilité (comme, par exemple, le concept de suite décroissante dans PD et la notion de propriété définie sur une collection infinie d’objets dans PIC ; ou encore, comme le remarque justement Mueller<sup>31</sup> (p.79) « contrairement au principe d’induction, le principe du plus petit nombre ou le refus de chaînes de descente infinie ne semblent pas reposer sur une conception véritablement structurelle des entiers positifs. Car ces principes peuvent se comprendre en termes de la conception euclidienne des nombres comme concaténations finies d’unités. ») ; 3) dans la mesure où chaque technique distincte employée pour prouver un même théorème lui donne un sens différent, parce que (à tout le moins) elle change le réseau de propositions nécessaires à l’aboutissement de la preuve. Qui plus est, 4) parler d’équivalence n’a de sens que lorsque PIC et PD ont été identifiés comme principes logiques, et après que des techniques logiques ont été développées pour donner un sens à leur équivalence. Même alors, une preuve d’équivalence peut s’avérer tout à fait non triviale.

Mais c’est après avoir mené cette ferme clarification de la question, en établissant que l’idée d’un Principe d’Induction Complète n’est pas accessible aux Grec.que.s, mais que l’emploi de l’Induction Complète l’est, quoi qu’on ne la trouve pas dans les corpus mathématiques connus, que Acerbi entreprend de « rendre la situation plus déroutante », en relevant qu’il existe en fait un exemple grec de plein droit de l’Induction complète, mais *hors* des œuvres mathématiques, dans le *Parménide* de Platon.

<footnote n="31">31. I. Mueller, *Philosophy of Mathematics and Deductive Structure in Euclid’s Elements*, MIT Press, Cambridge (Mass.) 1981.</footnote>
## 3.6 Récurrence mathématique chez Platon et Aristote

### 3.6.1 Le texte du *Parménide*

Avec Euclide nous étions malgré tout très loin de Zénon et de la question de savoir quelles pratiques mathématiques pouvaient lui être contemporaines. Le corpus euclidien est post-aristotélicien, donc postérieur à une génération qui a entièrement assimilé et développé l’œuvre des éléatiques. Le *Parménide* en revanche, non seulement nous fait remonter l’histoire de la philosophie, mais nous renvoie directement à Zénon et à sa réception platonicienne.

Voici le passage, 149a7-c3, dans la traduction de Brisson<fnref n="32" /> à laquelle nous ajoutons la numérotation (entre parenthèses) d'Acerbi :

**Parménide**

(1) Par voie de conséquence, deux termes constituent le minimum obligé pour qu'il y ait contact.

**Jeune Aristote**

Le minimum obligé.

**Parménide**

(2) Or, si, à ces deux termes, un troisième vient s'ajouter à la suite, il y aura trois termes, et deux contacts.

**Jeune Aristote**

Oui.

**Parménide**

(3) Et de la sorte, chaque fois qu'une nouvelle unité vient s'ajouter, ne vient s'ajouter qu'un seul contact ; (4) d'où il résulte que les contacts sont en reste d'une unité sur le nombre des termes.

<footnote n="32">32. PLATON, *Parménide* cit., p. 175-176.</footnote>
(5) En effet, d'autant les deux premiers<sup>33</sup> dépassaient en nombre le nombre des contacts, (6) d'autant exactement, à partir de là et dans la suite, le nombre total des termes dépasse le nombre de tous les contacts ; (7) [car] à mesure qu'une unité s'ajoute à la série des nombres, à mesure un contact s'ajoute aux contacts<sup>34</sup>.

Jeune Aristote

La déduction est juste.

Parménide

(8) Par voie de conséquence, quel que soit le nombre des termes impliqués, les contacts leur sont toujours numériquement inférieurs d'une unité.

Jeune Aristote

C'est vrai.

Après quoi :

Parménide

Or, en tout cas, s'il y a un seul terme et non pas deux, il ne saurait y avoir contact.

Jeune Aristote

Comment cela se pourrait-il en effet ?

Il y a deux éléments troublants dans ce raisonnement. D'une part, comme le fait remarquer Acerbi, en concluant immédiatement « or, s'il y a un seul terme et non pas deux, il ne saurait y avoir contact », Parménide n'utilise *pas du tout* la conclusion du raisonnement qu'il vient d'obtenir, mais uniquement son *point de départ* qu'il avait supposé donné. D'autre part, il faut une interprétation extrêmement spécifique de la notion de "contact" pour ne pas que les prémisses du raisonnement deviennent complètement fausses (on

<footnote n="33">33. Brisson traduit : « les deux premiers termes », mais l'interprétation d'Acerbi conduit à ne pas compléter ainsi la phrase.</footnote>

<footnote n="34">34. Cette phrase est un peu ambiguë : « éde går tò loipòn háma hén te tò arithmò prosgígnetai kaì mía hápsis taîs hápseis. » Acerbi traduit : “for afterwards, when an additional term is added, also one contact to the contacts [is added].”</footnote>
pourrait tout à fait imaginer une situation dans laquelle l'ajout d'un n-ème terme ajoute potentiellement entre 0 et n-1 nouveaux contacts). Le raisonnement ne marche en fait que si on imagine quelque chose comme une réalisation physique de la série des nombres elle-même, ou d'une série analogue où les "contacts" se font selon la succession strictement linéaire. C'est ce qui est établi plus haut dans le dialogue, 148e : « Tout ce qui doit être en contact avec quelque chose ne doit-il pas être situé à la suite de ce avec quoi il doit être en contact, puisqu'il occupe précisément l'endroit attenant à celui où se trouve ce avec quoi il est en contact ? ». Pour la question de savoir à quoi peut renvoyer cette restriction, cf. la section suivante.

Voilà la structure du raisonnement par Induction Complète établie par Acerbi<fnref n="35" /> :

> « *Quel que soit le nombre des termes impliqués, les contacts leur sont toujours numériquement inférieurs d'une unité.* » (énoncé en (8))

A. Établir la base de l'induction, (1) : « deux termes constituent le minimum obligé pour qu'il y ait contact. » La suite du texte rend clair que cette phrase signifie qu'il y a un unique contact si il y a exactement 2 termes, autrement dit : s'il y a 2 termes les contacts leur sont numériquement inférieurs d'une unité.

B. Énoncer l'étape inductive et la reconnaitre comme absolument générale : en (2), l'étape inductive est prouvée pour le premier pas qui est le passage de 2 termes à 3 termes. En (5), (6), elle est énoncée dans toute sa généralité, en référence au cas particulier illustré par (2) : « (5) En effet, d'autant les deux premiers dépassaient en nombre le nombre des contacts, (6) d'autant exactement, à partir de là et dans la suite, le nombre total des termes dépasse le nombre de tous les contacts »<fnref n="36" /> Avec Acerbi on peut noter que (5) et (6) insistent particulièrement sur la généralité de l'induction en énonçant l'invariance de la différence, sans référence à la nature particulière de la différence qui est conservée.

<footnote n="35">35. ACERBI, « Plato : *Parmenides* 149a7-c3. A Proof by Complete Induction？」 cit., p. 65-66.</footnote>

<footnote n="36">36. Il y a ici encore une difficulté de traduction. Brisson comprend que (5) renvoie au cas énoncé en (1), où il y a 2 termes et une différence de 1, et comprend que (6) énonce que la différence est la même pour un nombre quelconque de termes. Avec des arguments extrêmement détaillés reposant sur l'analyse du grec, Acerbi soutient que (5) renvoie à la *transition* de 2 termes à 3 termes illustrée en (2), et que (6) énonce que la *transition* de n'importe quel nombre de termes au nombre suivant a la même propriété de conservation de la différence.</footnote>
C. Prouver cette étape inductive, en reconnaissant que la preuve vaut, à nouveau, en toute généralité. Le motif de la preuve est énoncé en (3) et (7) : « chaque fois qu'une nouvelle unité vient s'ajouter, ne vient s'ajouter qu'un seul contact²⁷ », ce qui est en effet a priori vrai pour des contacts dans une série strictement linéaire telle que "Parménide" l'envisage ici. Cela permet de prouver l'étape inductive (qui énonce que la différence entre deux totaux est invariante) par appel implicite à une propriété élémentaire de l'égalité et de l'inégalité (si à chaque fois que s'ajoute un terme, s'ajoute également un contact, alors le fait d'ajouter un terme ne change rien à la différence entre le total des termes et le total des contacts; si on ajoute un égal à des inégaux, leur différence est maintenue).

D. Reconnaitre la généralité de la conclusion, (8) : « Par voie de conséquence, quel que soit le nombre des termes impliqués, les contacts leur sont toujours numériquement inférieurs d'une unité. » La généralité est suffisamment marquée par « quel que soit » et « toujours ».

On peut simplifier et reconstituer ainsi l'argument :

1. Quand la totalité des termes est de 2, il y a 1 contact, soit 1 contact de moins qu'il y a de termes.

2. Or, à chaque fois que l'on ajoute une unité au nombre des termes, on ajoute un unique contact.

3. Donc, à chaque fois qu'on ajoute un terme, la différence (de 1) entre le nombre total des termes et le nombre des contacts est conservée.

4. Donc quel que soit le nombre des termes impliqués, les contacts leur sont toujours numériquement inférieurs d'une unité.

Ce qui fait de ce raisonnement une induction complète nettement distincte des inductions incomplètes que l'on trouve chez Euclide est 1/ la formulation générale d'une étape

<footnote n="37">37. Le terme qui est traduit par « chaque fois » est « *aei* », terme qui se retrouve fréquemment dans Zénon et qui, d'après Acerbi, « combine l'idée de validité atemporelle avec celle d'opération répétée indéfiniment ». Cette analyse nous paraît parfaitement concordante avec notre lecture du raisonnement itératif comme liant l'inachevabilité d'une opération à sa *réitérabilité a priori*.</footnote>
inductive, qui se distingue de l'énoncé d'un ou deux premiers pas inductifs et de l'appel
à la possibilité de « raisonner semblablement » pour les cas suivants, et 2/ l'énoncé
d'une propriété valable pour tout nombre dans une série progressive indéfinie. Acerbi<sup>38</sup>
remarque à cet égard que le raisonnement fonctionne naturellement, car les objets sur
lesquels il s'applique se confondent avec la suite des entiers naturels (ce qui évite d'avoir
à traiter celle-ci comme une variable indépendante, d'une manière nécessairement mo-
derne), et que cette fusion se manifeste dans des ambiguïtés grammaticales chez Platon
dans le passage entre la totalité des termes et le nombre de cette totalité.

En ce qui concerne l'emploi du raisonnement itératif, nous aurions différentes re-
marques. La première est qu'il est implicitement employé comme probablement dans
toute preuve par récurrence précédant le formalisme moderne. La seconde est qu'il se
manifeste dans les expressions qui suggèrent la répétition, comme « à mesure ». Surtout,
il est évoqué par le terme *aei*. Acerbi dit : « La forme *aei* + participe en 149b2 est bien attestée
dans la littérature technique comme une formulation standard pour une opération indéfiniment répétée. Il
est important de noter que cette formulation est également présente dans d'autres reliques de mathématiques
formalisées pré-euclidiennes. » Or ce terme est également très fréquent dans les textes qui
nous restent de Zénon.

Acerbi<sup>39</sup> a un certain nombre d'arguments pour soutenir que ce passage consiste en
la reprise platonicienne de textes mathématiques. Un premier point que nous avons in-
diqué est que le raisonnement dans son ensemble ne sert à rien dans l'argumentation de
Parménide, suggérant que Platon désire ici avant tout citer quelque chose<sup>40</sup>. Outre une
série d'indices de vocabulaire discordants avec les habitudes de Platon, Acerbi remarque
qu'une partie du texte, (5)-(7), est d'un caractère plus abstrait, et suggère une pratique
plutôt générale et cohérente du raisonnement sur des séries de nombres croissants, no-
tamment du fait que l'invariance de la différence a été prouvée en toute généralité (le cas
d'une différence de 1 étant traité comme cas particulier), ce qui « suggère l'existence d'une
source dans laquelle l'argument a été discuté à un plus grand degré de généralité » (p. 68)<sup>41</sup>. Il trouve à

<footnote n="38">38. ACERBI, « Plato : *Parmenides* 149a7-c3. A Proof by Complete Induction？」 cit., p. 67.</footnote>

<footnote n="39">39. Ibid., p. 68.</footnote>

<footnote n="40">40. Cf. p. 101.</footnote>

<footnote n="41">41. On peut d'ailleurs ajouter que le passage du Parménide d'où ce texte est extrait est plus généra-</footnote>
tout cela une confirmation textuelle dans un passage en partie parallèle d'Aristote dans
les *Premiers Analytiques*, I, 25, 42b5-16<sup>42</sup>.

3.6.2 Les *Premiers Analytiques*

mais lorsqu'on atteint la conclusion au moyen de déductions préliminaires ou de plusieurs
moyens termes en série continue, par exemple AB au moyen de C et D, de la même façon le
nombre des termes excèdera d'une unité celui des prémisses. En effet, le terme additionnel
sera posé ou bien à l'extérieur ou bien à l'intérieur ; mais dans les deux cas il en résulte que
les intervalles seront moins nombreux d'une unité que les termes ; or les prémisses sont en
nombre égal à celui des intervalles.

Cependant, les prémisses ne seront pas toujours en nombre pair et les termes en nombre
impair ; mais alternativement, lorsque les prémisses seront en nombre pair, les termes seront
en nombre impair, et lorsque les termes seront en nombre pair, les prémisses seront en nombre
impair. Car en même temps qu'on ajoute un terme, à quelque endroit qu'on l'ajoute, on ajoute
une prémisse ; de sorte que, puisque les unes étaient en nombre pair et les autres en nombre
impair, il faut nécessairement que cela alterne lorsqu'on procède à la même addition de part
et d'autre.

L'objet du chapitre 25 du livre I des *Premiers Analytiques*, dans les termes de Michel
Crubellier, est<sup>43</sup> :

de présenter des relations numériques entre le nombre des termes, des prémisses et des conclu-
sions à l'intérieur de schémas déductifs plus ou moins complexes ; dans l'idée, apparemment,
qu'il existe des rapports déterminés qui sont caractéristiques de la forme déductive (au point
qu'ils pourraient servir de critères objectifs pour déterminer si un argument donné est correc-
tement construit ou non...).

Il s'agit de l'étude des éléments de la forme syllogistique. Dans sa version la plus
fondamentale et la plus simple, le syllogisme se présente sous la forme d'un raisonnement

<footnote>lement saturé de références à des résultats mathématiques.</footnote>

<footnote n="42">42. Aristote, *Premiers Analytiques*, Organon III, trad. du grec, comm. et introd. par Michel Crubellier, GF Flammarion, 2014, p. 122.</footnote>

<footnote n="43">43. *Ibid*., p. 283.</footnote>
à 1 conclusion, 2 prémisses et 3 termes A, B et C (1 terme de plus qu'il n'y a de prémisses), deux termes A et C qui figurent dans la conclusion et le moyen terme B qui permet de les relier, comme dans la forme suivante :

I. Tous les A sont B.

II. Tous les B sont C.

Tous les A sont C<sup>44</sup>.

Si chacune des 2 prémisses fait l'objet d'une déduction par syllogisme (« *lorsqu'on atteint la conclusion au moyen de déductions préliminaires* »), chacune est remplacée par 2 nouvelles prémisses et pour chacune de ces déductions on a un nouveau moyen terme. En sorte que le nombre de prémisses reste pair (4) et le nombre de termes impairs (5), avec toujours un terme en plus qu'il n'y a de prémisses, et le raisonnement peut être itéré pour obtenir 8 prémisses et 9 termes, 16 prémisses et 17 termes, etc. :

I. Tous les A sont D.

II. Tous les D sont B.

Donc tous les A sont B.

III. Tous les B sont E.

IV. Tous les E sont C.

Donc tous les B sont C.

Donc tous les A sont C<sup>45</sup>.

Mais on voit que le raisonnement peut alors également se présenter comme une chaîne continue reliant un premier terme A avec un dernier terme C grâce à une multitude de termes intermédiaires D, B, E, etc. Cette chaîne a un nombre pair (égal à une puissance

<footnote n="44">44. Cf. fig. 3.1.</footnote>

<footnote n="45">45. Cf. fig. 3.2 et 3.3.</footnote>
de 2, en vérité) de prémisses et un nombre impair de termes égal au nombre de prémisses
+ 1. On peut alors généraliser à toutes les sortes de chaînes continues de moyens termes,
et on obtient ce dont parle le passage d'Aristote cité plus haut. Dans le cas général,
Aristote va énoncer qu'il reste vrai que le nombre de termes est égal au nombre de
prémisses + 1, mais qu'en revanche il se peut que le nombre de termes soit pair et le
nombre de prémisses impair<sup>46</sup>. L'exemple donné par Aristote, de la démonstration de
AB (c'est-à-dire la conclusion "Tous les A sont B" par (les moyens termes) C et D est
le suivant :

I. Tous les A sont C

II. Tous les C sont D

III. Tous les D sont B

Donc tous les A sont B.

Le point intéressant pour nous est qu'Aristote prouve ces propriétés (ou plutôt fait allusion aux moyens de les prouver) en se fondant sur leur caractère variant ou invariant avec l'ajout successif d'un terme.

Pour comprendre la portée de ce qui est dit ici, et le rapport avec le texte de Plat-
ton, il faut préciser d'emblée que contrairement à ce qu'on serait naturellement porté à
croire, les *lettres* dans le texte d'Aristote ne sont pas des *variables* tenant lieu pour des
*individus* dans une théorie formelle des *énoncés*. Ce sont les noms utilisés pour désigner
des *sommets de graphes* qui figurent la *forme* des raisonnements, comme A, B, Γ dans
les *Éléments* d'Euclide sont des noms utilisés pour désigner (la plupart du temps) des
points sur la figure qui accompagne la démonstration<sup>47</sup>. Ainsi les "termes" (*horos*) dont

<footnote n="46">46. Cf. fig. 3.4</footnote>

<footnote n="47">47. Crubellier dit : « Il n'est pas interdit de penser que les éditions les plus anciennes (sur papyrus) étaient illustrées de telles figures, et qu'Aristote s'y référait de la même façon que, dans les traités zoologiques, il renvoie ses lecteurs à des planches de dissections » *ARISTOTE, Premiers Analytiques* cit., p. 381. Voir encore *Ibid*., p. 20-24, 378-384. Sur la fonction des lettres dans les diagrammes mathématiques grecs, voir en priorité Reviel Netz, *The Shaping of Deduction in Greek Mathematics. A study in cognitive history*, Ideas in Context, Cambridge University Press, 1999, ainsi que Kenneth Manders, « The Euclidean Diagram », (1995), in Paolo Mancosu (éd. et introd.), *The Philosophy of Mathematical Practice*, Oxford University Press, 2008, chap. 4, p. 80-133.</footnote>
parle Aristote ne sont pas des mots, mais des sommets, et les “intervalles” (diastema)
entre ces termes sont des arêtes. Nous citons de nouveau Crubellier¹⁸ :

terme (horos) Définition donnée au chapitre I, 1 : « J'appelle terme l'élément qui résulte de la décomposition d'une prémisse, ainsi le prédicat et ce à quoi il est attribué » (24b16-17). Cet emploi technique de horos n'est pas attesté avant Aristote. Le mot ayant en grec ancien le sens de “limite”, cela suggère que son usage logique dérive de la pratique des graphes, dans lesquels une proposition est représentée par l“intervalle” (“arc”) entre deux sommets. [...] [L]e mot “terme” ne vise pas spécifiquement un item linguistique, mais bien une réalité en général.

Rapporté à cette pratique de la forme logique, on voit que le texte d'Aristote porte
sur des propriétés élémentaires de graphes orientés particulièrement simples (qui ont
notamment cette particularité d'être strictement linéaires : ils ne forment pas de boucle,
ils ne comportent aucun sommet isolé). Chaque intervalle ou arête de ces graphes re-
présente une proposition qui relie deux termes, un des termes tenant lieu du sujet et
l'autre du prédicat. Chez Aristote, l'orientation de l'arête va du prédicat vers le sujet
(cela nous étant très contre-intuitif, nous inversons le sens de l'orientation, ce qui ne
change rien). Dans la théorie complète du syllogisme, les arêtes peuvent être de plu-
sieurs types différents, selon que la proposition est universelle ou particulière, positive
ou négative. Si on se limite au cas de la première figure déductive, dite classiquement
"Barbara", qui raisonne uniquement sur des propositions universelles positives (comme
dans les exemples que nous avons donnés plus haut : Tous les A sont B, etc.), alors la
constitution d'un syllogisme valide se réduit à la constitution d'un graphe où la conclu-
sion serait une arête reliant les termes extrêmes dans ce qui s'apparente à une somme de
vecteurs (cf. figure 3.1). La série des figures 3.1 à 3.7 illustre les différentes possibilités
de déductions auxquelles nous avons fait allusion ou qui sont évoquées par Aristote.

Selon Acerbi<fnref n="49" /> (nous paraphrasons), le texte donne le sentiment qu'Aristote retra-

<footnote n="48">48. ARISTOTE, *Premiers Analytiques* cit., p. 375.</footnote>

<footnote n="49">49. ACERBI, « Plato : Parmenides 149a7-c3. A Proof by Complete Induction ? » cit., p. 70.</footnote>
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIG. 3.1</figcaption></figure>

Forme élémentaire du syllogisme :
3 termes, 2 prémisses.

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIG. 3.2</figcaption></figure>

Passage à une forme dédoublée :
5 termes, 4 prémisses.

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>FIG. 3.3</figcaption></figure>

Forme doublement dédoublée :
9 termes, 8 prémisses.

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>FIG. 3.4</figcaption></figure>

Forme allongée et enchaînée :
6 termes, 5 prémisses.
<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>FIG. 3.5</figcaption></figure>

Forme élémentaire allongée par l'intérieur :
4 termes, 3 prémisses.

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>FIG. 3.6</figcaption></figure>

Forme élémentaire allongée par l'extérieur :
4 termes, 3 prémisses.

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>FIG. 3.7</figcaption></figure>

Deuxième allongement, cette fois par l'intérieur :
5 termes, 4 prémisses.
vaille et mélange deux arguments qu'il exprime sous une forme extrêmement condensée en omettant leur plus grande part. L'argument le plus simple énonce que les prémisses sont en nombre pair si les termes sont en nombre impair, et vice versa. Sa preuve – qui est très rapidement donnée dans la dernière phrase de la citation – est parallèle à la preuve donnée dans Platon, pour autant qu'Aristote la développe : il énonce que si les un.e.s sont pair.e.s et les autres impair.e.s, leurs propriétés seront échangées à chaque fois qu'on ajoutera un terme, car on ajoutera du même coup une prémisse (et, d'une part, c'est une propriété élémentaire du pair et de l'impair qu'ils passent de l'un dans l'autre chaque fois qu'on ajoute 1, d'autre part on sait que pour le syllogisme élémentaire à deux prémisses, on a les prémisses en nombre pair (2) et les termes en nombre impair (3)). Acerbi remarque que si en l'état le texte ne fournit en aucun cas une preuve correcte par Induction Complète, il faut se rappeler que dans le corpus aristotélicien, constitué principalement de notes ou d'éléments liés à une exposition orale, on ne trouve presque jamais une preuve correctement et complètement formalisée ; et qu'au contraire Aristote emploie très fréquemment des preuves mathématiques raffinées d'une manière raccourcie et retravaillée. On doit donc penser qu'il est bien fait allusion ici à une preuve par Induction Complète.

Le second argument auquel il est fait allusion suggère une technique plus poussée :
en effet, on y voit une distinction entre l'ajout d'un terme à l'intérieur ou à l'extérieur du graphe<sup>50</sup>, et la reconnaissance que la distinction ne change rien à leurs rapports numériques (cf. fig. 3.5 et 3.6). La suite immédiate du texte<sup>51</sup> confirme cette analyse plus sophistiquée :

> Mais les conclusions n'auront plus la même relation ni avec les termes ni avec les prémisses ;
> car, lorsqu'on ajoute un seul terme, on ajoute des conclusions en nombre inférieur d'une unité à
> celui des termes déjà posés, car c'est seulement par rapport au dernier terme que cette addition
> ne produit pas de conclusion nouvelle, alors qu'elle en produit par rapport à tous les autres.
> Ainsi, si l'on ajoute à la série ABC le terme D, on ajoute du même coup deux conclusions, l'une

<footnote n="50">50. Acerbi remarque que cette distinction concernait directement le raisonnement de Parménide, mais suggère que Platon l'a omise pour ne pas ralentir le fil du dialogue.</footnote>

<footnote n="51">51. 42b17-27, ARISTOTE, *Premiers Analytiques* cit., p. 122-123</footnote>
par rapport à A et l'autre par rapport à B ; même chose dans les autres cas. Et même lorsqu'il est
inséré à l'intérieur de la série, cela se passera de la même façon, car c'est seulement par rapport
à un seul terme qu'il ne produira pas de conclusion nouvelle<fnref n="52" />. De sorte que les conclusions
seront beaucoup plus nombreuses, et que les termes, et que les prémisses.

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>FIG. 3.8</figcaption></figure>

Engendre une nouvelle
conclusion pour chaque
terme sauf le dernier (ou
le premier).

La forme résultante est
identique. Engendre une
nouvelle conclusion pour
chaque terme sauf le suc-
cesseur du nouveau terme
ajouté.

Dans le mode de représentation graphique des syllogismes que nous avons adopté, les conclu-
sions intermédiaires équivalent en quelque sorte à des diagonales entre les sommets de ce qui
s'apparente à un polygone aux arêtes orientées.

Aristote s'intéresse cette fois au nombre des conclusions qu'on peut tirer de la chaîne
de prémisses, en énonçant le théorème simple mais remarquable que l'ajout d'un terme
n + 1 à une chaîne à n termes entraîne n − 1 nouvelles conclusions. Il est vrai que la
conclusion qu'il en tire est plutôt vague : « les conclusions seront beaucoup plus nombreuses,
et que les termes, et que les prémisses », mais on peut penser qu'il renvoie ici à une table de
résultats effectivement calculés. Dans l'exemple qu'il donne, les conclusions se retrouvent
en nombre égal aux prémisses et en donc en nombre inférieur aux termes, mais dès l'ajout
d'un cinquième terme les conclusions prennent le dessus et très vite dépassent en effet de
beaucoup les deux autres sommes (puisqu'on a une série 1 + 2 + 3 + 4 + ... comparée aux
séries 2 + 1 + 1 + 1 + ... et 3 + 1 + 1 + 1 + ... Comme la conclusion se réfère à des proportions
particulières toujours croissantes, l'emploi de l'induction complète n'est pas forcément

<footnote n="52">52. Cf. fig. 3.8</footnote>
approprié dans ce cas précis, à moins que l'on suppose que les mathématiciens aient eu
les moyens d'exprimer quelque chose d'à peu près équivalent à :

Pour une chaîne déductive à n termes, quel que soit n, le nombre de conclusions est égal à $\sum_{m=1}^{n-2} m$, ou $(n-1) * (n-2)/2$

On a dans tous les cas, de l'avis d'Acerbi, le signe d'une référence à des théorèmes relativement élaborés d'une théorie combinatoire, qui semble être une source commune à Aristote et à Platon. Et s'il est vrai qu'on ne trouve pas de trace explicite de cet aspect *combinatoire* chez Platon, le simple fait qu'il emploie le même mot grec *horos* est fortement suggestif, d'autant que nous savons qu'historiquement la combinatoire est un terrain naturel pour le développement du raisonnement par récurrence<fnref n="53" />.

Si l'on doit passer par de fins indices textuels chez les philosophes, c'est pour la raison suivante : aucun traité de combinatoire grec ne nous est parvenu, alors même qu'il existe des indices forts qu'une telle chose ait pu exister et ait été perdue (mais la question est disputée parmi les historiens). À cet égard les données que l'on trouve chez Aristote suggèrent plus précisément qu'ait existé une forme de théorie élémentaire des graphes, ou de théorie combinatoire raisonnant à partir de graphes. On peut relever une autre chose encore ; Michel Crubellier dit la chose suivante dans son introduction aux *Premiers Analytiques*<fnref n="54" /> :

Aristote [prépare] la démarche analytique [par] une méthode d'examen qui à ma connaissance n'a pas d'équivalent chez les géomètres : la construction systématique et l'inventaire exhaustif des configurations qui peuvent être produites à partir d'un petit nombre d'éléments de base.

L'exemple le plus manifeste de cette méthode est l'examen de tous les schémas déductifs a priori possibles dans les chapitres 4 à 6 du Livre I : ils sont engendrés de façon combinatoire avant d'être discutés et validés ou rejetés.

Cette remarque de Crubellier contraste la démarche d'Aristote avec ce qui nous reste
du corpus mathématique grec, essentiellement géométrique, où on ne trouve pas de telles

<footnote n="53">53. ACERBI, « Plato : Parmenides 149a7-c3. A Proof by Complete Induction ? » cit., p. 70.</footnote>

<footnote n="54">54. ARISTOTE, *Premiers Analytiques* cit., p. 23.</footnote>
procédures combinatoires. Or tout ce qui précède suggère que cette méthode d'examen pourrait bien être *empruntée* à une science antique pour nous perdue.

Sur toutes ces questions, et notamment sur la question du rapport du texte d'Aristote à celui de Platon et de la manière dont leur micro-détail textuel peut être ou non indicatif de sources communes, Fabio Acerbi procède à un examen plus complet et plus mesuré, auquel on se reportera. Il suggère à l'issue de ce travail que la source mathématique commune pourrait être la mystérieuse arithmétique pythagoricienne.

Quoi qu'il en soit, il peut finalement tirer les conclusions suivantes : 1/ on peut tenir pour acquis que des preuves par Induction Complète avaient été développées dans le contexte de l'arithmétique pré-euclidienne, leur structure logique étant suffisamment bien comprise, et estimée assez délicate pour que Platon en fasse une présentation soignée.
2/ On peut tenir également pour acquis que les preuves par Induction Complète sont absentes des œuvres mathématiques postérieures qui ont été conservées, même dans des cas où elles serviraient “naturellement”.

Selon Acerbi<fnref n="55" />, cela nous indique que cette technique de preuve n'avait pas été bien comprise dans sa généralité. L'hypothèse qu'il va soulever est que du fait de cette mauvaise compréhension un certain nombre de problèmes ou de dangers ont pu être soulevés, ce qui aurait conduit à l'élimination de l'Induction (et même, à notre sens, du raisonnement itératif) dans les écrits postérieurs, autant qu'il était possible. En particulier, dans les entreprises de compilation et systématisation des résultats antérieurs, que sont par exemple les *Éléments* d'Euclide, l'Induction aurait été tant que possible remplacée par le procédé de démonstration sur un cas indéterminé valant en général, comme nous avons eu l'occasion de le voir pour la démonstration IX, <fnref n="56" />. Il trouve un indice en faveur de cette hypothèse dans certains témoignages sur le paradoxe connu sous le nom de “Sorite” ou “Petit-à-petit”, avec lequel nous parviendrons à la conclusion de ce chapitre.

<footnote n="55">55. ACERBI, « Plato : *Parmenides* 149a7-c3. A Proof by Complete Induction ? » cit., p. 72.</footnote>

<footnote n="56">56. Cf. section 3.5.2.</footnote>
### 3.7 Conclusion : Le Sorite et l'empirie

#### Histoire

L'emploi du raisonnement par Induction Complète implique d'avoir une entière
confiance en la validité du raisonnement itératif. On a vu que le raisonnement itéra-
tif, faute d'être strictement nécessaire pour justifier l'emploi de l'Induction Complète,
était du moins ce qui rendait vrai cette Induction, au moins dans une conception des ma-
thématiques précédant le formalisme moderne. En effet le raisonnement itératif appliqué
à l'étape inductive nous dit qu'aussi loin qu'on aille dans la suite des termes, on pourra
propager la propriété qui était vraie du premier terme. Or un terme quelconque de la
suite étant (par hypothèse) un point auquel on finit par arriver en poursuivant indéfini-
ment aussi loin qu'on veut, on peut conclure que la propriété est vraie pour ce terme, et
on peut donc le conclure pour tous les termes (ou n'importe quel terme<fnref n="57" />). Une fois cette
confiance suffisamment établie, on peut se permettre de ne faire allusion à l'itération que
de manière distante ou machinale (par exemple par l'emploi du terme traditionnel *aei*),
voire ne pas du tout y faire allusion, et le raisonnement par récurrence peut prendre une
complète autonomie vis-à-vis du raisonnement itératif<fnref n="58" />. Pour employer le raisonnement
par récurrence en bonne conscience, il faut donc pouvoir être sûr que la capacité de
l'itération à transmettre une propriété à n'importe quel terme d'une suite ordonnée est
bien fondée. Or l'argument du Sorite, ou Petit-à-petit, semble devoir remettre en cause
précisément ce point. Et s'il est surtout connu dans sa version populaire qui porte sur
un "tas" éponyme<fnref n="59" />, Acerbi remarque que la tradition nous en transmet une version

<footnote n="57">57. Cette conclusion cesse néanmoins d'être valide pour les objets qui constituent la grande invention de Georg Cantor : les ensembles bien ordonnés *transfinis*, dont certains termes sont situés pour ainsi dire "après un infini" et n'ont pas de prédécesseur à partir duquel réitérer l'étape inductive. C'est pourquoi le raisonnement par récurrence sur des objets de ce type, indispensable à la théorie des ensembles, demande un troisième lemme, qui est *l'induction transfinie*.</footnote>

<footnote n="58">58. Comme il le fait dans l'arithmétique axiomatisée de Peano.</footnote>

<footnote n="59">59. Le nom "Sorite" dérive de *soros*, le tas. On rappelle pour mémoire les deux versions populaires les plus connues du paradoxe : le *Tas* et le *Chauve*. Un grain de sable ne forme pas un tas. Mais si un ensemble de grains de sable ne forme pas un tas, alors ajouter un grain de sable n'en fait pas un tas. Donc un ensemble d'un million de grains de sable ne forme pas un tas de sable. Un homme avec 20000 cheveux sur la tête n'est pas chauve. Si quelqu'un n'est pas chauve et qu'il perd un cheveu, cela ne le rend pas chauve. Donc un homme sans cheveux sur la tête n'est pas chauve.</footnote>
particulièrement proche du contexte mathématique qui nous concerne ici<fnref n="60" /> :

> Il n'est pas vrai que deux soit un petit nombre et que trois ne le soit pas ; il n'est pas vrai non plus que cette dernière conclusion soit vraie et que quatre ne soit pas (un petit nombre) ; ainsi jusqu'à dix-<mille<fnref n="61" />> ; or, deux est un petit nombre ; dix-<mille> l'est donc aussi.

On rappelle le principe de fonctionnement d'un tel argument : il s'agit d'un raisonnement inductif partiel, qui mène l'induction jusqu'au point où elle se révèle absurde. La base est évidente : 2 est un petit nombre<fnref n="62" />. L'étape inductive est aussi difficilement contestable : si un nombre est un petit nombre, alors son successeur est aussi un petit nombre ; autrement dit une quantité ne devient pas *subitement* grande si on se contente de lui ajouter une unité. Mais alors on peut conduire petit-à-petit à la conclusion, jugée légitimement absurde, selon laquelle 10000 (ou le nombre que l'on voudra) est un petit nombre<fnref n="63" />.

D'après Acerbi<fnref n="64" />, on est fortement encouragé à considérer ce paradoxe comme une critique *explicite* des preuves inductives (ou une forme de parodie montrant leur absence de fondement). D'une part en effet on y trouve comme chez Platon une coïncidence entre les termes de la suite et la variable numérique assignée à ces termes, puisque le raisonnement porte sur les nombres. D'autre part, il se présente comme une *extension* du raisonnement inductif à des prédicats pour lesquels il ne peut pas marcher (ceux que l'on appelle aujourd'hui en général des prédicats *vagues*). Or, étendre un raisonnement à des prédicats qui montrent son invalidité est le procédé typique d'un argument *ad hominem*

<footnote n="60">60. Nous citons Diogène Laërce, « Livre VII », in *Vies et doctrines des philosophes illustres*, sous la dir. de Marie-Odile Goulet-Cazé et alii., trad. du grec, annot. et introd. par Richard Goulet, La Pochotèque, Le livre de poche, 1999, p. 773-917, p. 844.</footnote>

<footnote n="61">61. Les manuscrits disent : « dix », mais Richard Goulet et d'autres corrigent en « dix-mille » en supposant une erreur de lecture d'un signe dans les manuscrits anciens. Cette correction a l'avantage de donner sens à l'argument en lui rendant sa fonction *paradoxale* sans en changer en quoi que ce soit la structure.</footnote>

<footnote n="62">62. Cela est superlativement vrai : on a vu que dans la conception grecque usuelle, 2 est *le plus petit nombre*.</footnote>

<footnote n="63">63. Là encore, dix-mille, si c'est bien de ce nombre dont il s'agit, a ceci d'intéressant qu'il est *le plus grand nombre* pour lequel il existe un mot dans la langue naturelle grecque, qui compte jusqu'aux "myriades". Sur la conception et nomination des grands nombres dans la Grèce hellénistique, voir notamment Reviel Netz, « The Goal of Archimedes' *Sand Reckoner* », *Apeiron*, 36, 4 (2003), p. 251-290 et Reviel Netz, *Ludic Proof. Greek Mathematics and the Alexandrian Aesthetic*, Cambridge University Press, 2009, chapitre 1.</footnote>

<footnote n="64">64. [ACERBI], « Plato : *Parmenides* 149a7-c3. A Proof by Complete Induction ? » cit., p. 73.</footnote>
cherchant à rejeter une forme démonstrative. Acerbi suggère que ce sont des difficultés de ce genre, et l'incapacité à circonscrire clairement le genre de prédicats pour lesquels le raisonnement inductif est valide, qui ont pu conduire à son rejet implicite ou explicite dans les œuvres postérieures au profit des preuves sur un particulier indéterminé valant pour le cas général.

## Philosophie

Ces faits et hypothèses historiques nonobstant, nous avons de bonnes raisons, modernes, de croire que le raisonnement itératif et l'induction qu'il permet sont indispensables. Cela est manifeste dans l'approche intuitionniste des mathématiques telle qu'on la voit à l'œuvre dans les travaux de Brouwer ou Heyting, mais tout aussi bien dans les approches métamathématique de Hilbert ou Turing. Selon la perspective métaconstruktiviste de Jean-Michel Salanskis, que nous reprenons ici, la confiance dans le constructif et dans l'itératif fonde plus généralement la *communauté mathématicienne* elle-même, rend possible sa pratique et autorise seule la construction axiomatique de mondes ensemblistes, par idéalisation des résultats de l'activité itérative. Que pouvons-nous conclure, relativement à tout cela, face au défi au bien-fondé de l'induction que représente le Sorite, et à la situation d'une mathématique antique qui *retire* sa confiance à l'itération – au profit de la démonstration sur un cas indéterminé valant généralité – ? Il y a, croyons-nous, une même réponse à offrir aux deux aspects du problème, qui repose sur les notions de prédicat et d'opération *non-empiriques*.

Pourquoi le Sorite produit-il un résultat absurde, si ses prémisses sont vraies (il est indéniablement vrai que si quelqu'un est chevelu et qu'il perd un cheveu il ne devient pas chauve pour cela) et si le raisonnement itératif est valide ? C'est parce que les prédicats qu'il met en jeu sont des prédicats *empiriques*, c'est-à-dire des prédicats qui relèvent nécessairement d'un *jugement d'expérience a posteriori*. C'est ce mode du jugement qui permet à la fois que l'étape inductive soit vraie et que l'induction soit absurde. En effet, supposons que soit fait le jugement empirique qu'un nombre est petit, qu'un homme est chevelu, ou qu'un groupe de grains ne forme pas un tas. Il est alors vrai que ce
jugement est de telle nature qu'il est indifférent à une variation minimale du type :
ajouter ou enlever une unité, un cheveu, ou un grain de sable. Une fois ce jugement
effectué, il se maintiendra à travers une telle variation, et c'est ce qui rend vrai le lemme
inductif. Mais si l'opération se répète, le jugement ne pourra plus être maintenu, et devra
être ultimement abandonné au profit d'un jugement entièrement nouveau qui décidera
empiriquement que l'homme est chauve, le nombre grand, et le groupe, un tas. Ce qui
rend cela possible est qu'en *droit* le jugement peut changer sans même qu'il soit besoin
d'ajouter ou enlever une unité, un cheveu ou un grain. Car rien ne peut garantir a priori
qu'en fermant les yeux, en tournant la tête ou en pensant à autre chose, on n'en vienne
pas à modifier le jugement originel, sans que pourtant rien n'ait changé. C'est parce que
le jugement ne peut pas être émis a priori, mais doit être effectué empiriquement, que son
invariance elle-même empirique ne peut garantir aucune stabilité. Si un homme est (jugé
empiriquement) chevelu et qu'on lui ôte un cheveu, le jugement qui l'a prononcé chevelu
se maintiendra, mais il pourra être renversé au simple prix d'un clignement d'œil. L'étape
inductive est (empiriquement) vraie à l'échelle d'une unique opération, à la condition
que le jugement originel soit maintenu présent à l'esprit, mais rien ne peut garantir a
priori que ce jugement puisse être maintenu sur un nombre quelconque d'itérations dans
n'importe quelle circonstance. Et l'on sait empiriquement que cela n'est jamais le cas.

Ce n'est pas le lieu de faire une étude entière du problème du Sorite, mais il faut faire
remarquer qu'on ne peut pas échapper au paradoxe en rajoutant un prédicat intermé-
diaire du type : "ni grand ni petit", "ni chauve ni chevelu", etc., tout simplement parce
que le paradoxe se formule de nouveau à l'égard de ce nouveau prédicat : si un homme
sans cheveux est clairement chauve, alors par induction un homme avec la moitié de ses
cheveux est aussi clairement chauve et n'est pas ni chauve ni chevelu. La répétition du
paradoxe est rendue possible justement du fait que le jugement "ni chauve ni chevelu" est
lui aussi un jugement empirique qui peut arbitrairement varier d'une manière similaire.

Usuellement, une opération susceptible de modifier un prédicat empirique est elle-
même une opération empirique, dont le résultat doit être estimé par un jugement *a
posteriori* (enlever un cheveu, ajouter un grain de sable) : une telle opération est suscep-
tible d'échouer, ou d'avoir des conséquences inattendues (le tas de sable peut s'effondrer). Pour constituer un Sorite capable de *mettre en doute* la validité du raisonnement mathématique inductif, il convenait au contraire de l'appliquer à une opération mathématique qu'on appellera *non-empirique*, c'est-à-dire qui n'est pas capable de varier en fonction des circonstances et dont le résultat est déterminable *a priori* : l'opération de *passage au successeur* dans la suite des nombres entiers. Mais c'est en évaluant ce résultat selon un jugement empirique (le nombre résultant est-il grand ou petit ?) que l'argument du Petit-à-petit le rend à son tour empirique, et invalide l'induction menée sur l'opération. S'il est vrai qu'une fois le jugement fermement émis la variation minimale ne suffit pas à l'annuler, rien ne peut garantir *a priori* que cette situation perdure dans la répétition : si le jugement est conservé dans une itération, puisqu'il est empirique on ne peut *a priori* le savoir transporté, reconduit par la réitération indéfinie. Et l'on sait empiriquement qu'il ne l'est en fait pas.

Nous pouvons alors revenir à Zénon et au mode sur lequel ses paradoxes fonctionnent. S'ils ne sont rien de tel que le Sorite, c'est qu'ils prennent place dans un domaine entièrement *a priori*, au niveau d'une pensée pure de la continuité, de la pluralité, de la grandeur ou du mouvement. Sur un tel terrain la continuité n'est pas un prédicat empirique, mais une grandeur continue est *a priori* divisible en de nouvelles grandeurs continues. La dichotomie est alors une opération *non-empirique* : menée sur une grandeur indéterminée et valant en toute généralité pour n'importe quelle grandeur, elle reproduit en s'effectuant les conditions de sa ré-effectuation, et peut alors être répétée indéfiniment, en sorte que la série de ses itérations ne peut jamais être achevée, jamais parvenir à son terme.
<figure><img src="image_16.png" /></figure>
Interlude anachronique

Des hypothèses sur la continuité de l'étendue et du mouvement, ainsi que sur la
structure d'ordre propre au mouvement et au temps, permettent d'énoncer les deux
propositions suivantes :

(1) Pour tout $p$, si un mouvement doit être accompli depuis $p$, le mobile doit
auparavant être parvenu à la moitié $p'$ du parcours.

(2) Pour tout $p$, si un mobile parvient à la moitié $p$ du parcours, il doit accomplir un mouvement depuis $p$.

On voit qu'à l'issue de chacune des deux propositions nous sommes renvoyés à l'autre.
Cela nous entraîne dans une chaîne d'applications successives.

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

On convient de noter les points « $p^n$ » selon la convention suivante :

$p^0 = p$

$p^{n+1} = p^n,$

On note « étape **n** » l'étape du raisonnement où nous appliquons la proposition (1) à $p^n$. Nous commençons en envisageant un mouvement hypothétique depuis un point de départ $p$.

« Si un mouvement doit être accompli depuis $p$ »
Étape 0 = (1) Le mobile doit auparavant être parvenu à la moitié *p*' du parcours.

(2) Le mobile doit accomplir un mouvement depuis *p*'.

Étape 1 = (1) Le mobile doit auparavant être parvenu à la moitié *p'* du parcours.

(2) Le mobile doit accomplir un mouvement depuis *p''*.

...

Étape **n** = (1) Le mobile doit auparavant être parvenu à la moitié $p^{n+1}$ du parcours.

(2) Le mobile doit accomplir un mouvement depuis $p^{n+1}$.

...

À l'issue de chaque étape **n**, nous pouvons également ajouter un item $i_n$ à la liste cumulée des moitiés successives qui doivent auparavant être atteintes :

$$I = \{p', p'', \dots, p^n, p^{n+1}\}$$

Ou alternativement ajouter un élément à la proposition conjonctive cumulative suivante :

> « Si un mouvement doit être accompli depuis *p*, le mobile doit auparavant être parvenu à la moitié *p'*, et à la moitié *p''*, ..., et à la moitié $p^n$, et à la moitié $p^{n+1}$ »

Un mouvement de recul et réflexion sur la procédure déductive et son caractère circulaire nous permet d'énoncer la méta-proposition suivante :

> « Pour toute étape à laquelle parvient le processus (ici processus à la fois d'énumération et de parcours des moitiés successives), le processus n'est pas achevé à cette étape. »

Quand un processus itératif (c'est-à-dire d'enchaînement d'une série discrète d'étapes se réalisant une par une dans un ordre strict) a la propriété précédente, nous disons qu'il est une série zénonienne ou qu'il est inachevable (au sens de Zénon).

Quand un tel processus donne lieu à un cumul de termes successifs différents, nous constatons qu'à chaque étape **n** le cumul croît et qu'il ne cesse donc de croître au-delà de tout **n**. Nous disons d'un tel cumul qu'il est *infini*, quand il croît ainsi au-delà de tout cumul **n**.
Nous appelons « argument itératif » le méta-argument qui conclut qu'un processus itératif est inachevable au sens de Zénon.

Nous pouvons alors formuler les propositions suivantes :

« Si un processus est une série zénonienne et qu'il donne lieu à un résultat qui est le cumul de résultats toujours différents à chaque étape, ce résultat est infini. » Cette proposition est mise en jeu dans les preuves d'infinité.

« Si un processus zénonien atteint chacun des termes successifs d'une série en prouvant successivement de chacun d'eux qu'il a une certaine propriété, et que pour certaines entités x, chacune d'elle est atteinte pour un certain n à la nième étape du parcours successif de la série, alors pour chacune des entités x le processus zénonien peut prouver qu'elle a la propriété. » Cette proposition est au principe du raisonnement dit d'induction incomplète.

« Si une certaine hypothèse sur un certain terme fait qu'un processus mené à partir de ce terme est zénonien et donne lieu à un cumul, et que par ailleurs il est impossible que le processus mené à partir de ce terme donne lieu à un cumul infini, alors l'hypothèse est fausse. » Cette proposition est au principe du raisonnement de descente infinie.

« Si l'on sait que, une certaine entité étant supposée résulter d'une étape d'un processus, ne pourrait pas donner lieu à un nouveau résultat dans une nouvelle étape du processus, et que le processus est zénonien, alors une telle entité ne peut pas exister. » Cette proposition est au principe de la régression à l'infini.

Enfin, « Si pour s'accomplir un phénomène doit donner lieu à l'achèvement d'une série zénonienne, ce phénomène ne peut pas s'accomplir », qui donne lieu aux arguments itératifs contre le mouvement.
<figure><img src="image_18.png" /></figure>
# Chapitre 4

## La dialectique du continu

### 4.1 L’argument en faveur du Grand

On reprend encore une fois l’argument en faveur du Grand tel qu’il nous est livré
dans Simplicius<fnref n="1" />.

> « Après avoir antérieurement montré que rien n’a de grandeur du fait que chacune des choses multiples est identique à soi, et une », Zénon montre que : « chacune des choses multiples [...] [e]st illimitée du fait que en vertu de la division à l’infini, il existe toujours quelque chose en deçà de ce qui est prélevé. »

Ce qui est énoncé ainsi :

> Ayant d'abord montré que « Si ce qui est n'avait pas de grandeur, il ne serait pas non plus », il ajoute : « Mais si elle est, il est nécessaire que chaque chose possède une grandeur et une épaisseur et que quelque chose d'elle soit distinct d'autre chose. Et le même argument vaut pour le surplus. En effet, celui-là possèdera une grandeur et quelque chose sera en surplus. Or c'est la même chose de le dire une fois et de le dire toujours. Car rien de tel ne sera dernier, et il n'y aura rien qui ne soit en relation avec un autre. Ainsi, si plusieurs choses sont, il est nécessaire qu'elles soient et petites et grandes, petites au point de n'avoir aucune grandeur, et grandes au point d'être illimitées. »

<footnote n="1">1. Pour une analyse plus fouillée historiquement de la présentation de Simplicius, nous renvoyons de nouveau à LOUGUET, *Les Usages de l'infini chez les penseurs présocratiques* cit., p. 203-241.</footnote>
L'aporie du Grand et du Petit part de l'exigence de composition décrite en 2.4, c'est-
à-dire qu'elle est menée sous l'hypothèse « elles sont plusieurs » qui doit être comprise
comme équivalente à l'hypothèse de la divisibilité de la grandeur, et donc à la divisibilité
du tout de la grandeur en une pluralité d'étants desquels il est composé. Elle parvient
alors aux deux résultats parallèles suivants : l'égalité à soi même de chaque chose rend
cette chose une. Autrement dit aucune des choses ne doit pouvoir se réduire à une multi-
plicité d'éléments autres qu'elle qui la constituent réellement. Or cela implique qu'aucune
des choses ne peut avoir de grandeur, car en vertu de l'hypothèse de divisibilité, toute
grandeur est en fait composée d'une pluralité.

Mais d'un autre côté, sous la même hypothèse l'Inexistence du Sans Grandeur montre
que chacune des choses doit avoir une grandeur si elle doit être une des choses qui
constituent le tout de la grandeur. Soit donc une des choses ayant grandeur. En vertu de
l'hypothèse de divisibilité, elle est composée d'une grandeur et d'une autre grandeur en
surplus. Ce surplus est lui aussi composé d'une grandeur et d'une grandeur en surplus,
et « c'est la même chose de le dire une fois et de le dire toujours ». Autrement dit on
peut tenir sur toute chose un raisonnement itératif portant l'opération de dichotomie,
qui révèle la chose comme composée d'une quantité illimitée de grandeurs. Ainsi, nous
dit Zénon, chaque chose est grande et tellement grande qu'elle est infiniment grande.
Mais le résultat est ambigu.

4.1.1 L'interprétation métrique

Comme nous l'avons suggéré au chapitre 3, le point difficile dans l'interprétation de
cet argument réside dans la compréhension de sa conclusion. Il est conclu que les choses
qui sont, sont grandes au point d'être illimitées, *ápeira*, à la suite d'un raisonnement
itératif qui prouve de façon conclusive que chacune est composée d'une grandeur, et
d'une autre grandeur et ainsi de suite à l'infini. Or il est très raisonnable de juger que
cette conclusion n'est pas valide, qu'elle ne découle en fait pas de ce qui est prouvé.
Voici la réponse parfaitement légitime qui est généralement donnée à un argument de ce
type : il est parfaitement possible (et à vrai dire inévitable) pour une grandeur continue
d'être composée d'une infinité de grandeurs, à condition que celles-ci soient décroissantes d'une manière convenable. Notamment, toute grandeur continue est décomposable "à la Zénon", en sa moitié et son quart et son huitième, etc., car la série des $1/2^n, 0 < n < \infty$ converge vers 1. Une autre manière de comprendre le paradoxe et d'y répondre consiste à dire que la grandeur totale reste constante à chaque étape de la décomposition. Supposons la grandeur donnée. Si elle est divisée en deux, la grandeur totale du résultat devient la somme de 2 grandeurs égales à la moitié de la première. À la seconde itération, on a 4 grandeurs égales au quart, puis 8 grandeurs égales au huitième, et ainsi de suite à l'infini, la somme restant toujours constante. Ces deux réponses sont tout simplement exactes. On notera que l'une et l'autre ne comprennent pas la situation décrite de la même façon, qu'il n'y a pas complet accord sur la manière dont il faut comprendre le processus de division décrit par Zénon. S'agit-il de diviser la grandeur en deux, puis de diviser chaque morceau obtenu en deux et ainsi de suite ? Ou de procéder plus classiquement "à la Zénon", en considérant la moitié, puis la moitié de la moitié restante, puis la moitié du quart restant, etc. ? C'est de cette seconde façon que Caveing comprend le texte, et elle paraît en effet plus simple et naturelle. Notre position est que l'argument de Zénon est pensé d'une telle façon que la question n'est pas vraiment pertinente. Néanmoins de nombreuses interprétations ou reprises, y compris dans l'Antiquité, ont considéré la première version, celle où chaque morceau obtenu est par la suite divisé.

En tous les cas, il semble qu'une mathématique presque élémentaire soit capable de le
réfuter<fnref n="2" />. Mais cela n'est possible qu'à la condition qu'on en fasse une interprétation déjà
mathématisée, et plus précisément *métrique*. Elles font dire à Zénon que chaque chose
ayant grandeur est constituée d'une somme de grandeurs *divergente*, c'est-à-dire qui croît
au-delà de toute *mesure*. Cette interprétation est légitime, dans la mesure où Zénon nous
demande bel et bien de penser ce qu'il en est de la *grandeur* d'une somme de grandeurs,

<footnote n="2">2. Caveing argumente en détail pour soutenir que Zénon et ses adversaires devaient savoir qu'une série infinie peut être convergente. Outre qu'à notre avis en effet Zénon lui-même en fournit la *preuve* avec l'argument contre le mouvement dit de la "Dichotomie", nous ne pensons pas que la question soit pertinente, comme la suite le rendra clair. Les objections que nous voudrions présenter à l'interprétation de Caveing étant générales et de principe, nous n'examinerons pas sa lecture de chacun des arguments, mais nous discutons sa position générale dans une section à part, cf. 2.1.</footnote>
et que la théorie de la mesure de ces sommes est ultimement l'approche correcte de
ce problème. Et dans une telle interprétation, l'argument de Zénon est indéniablement
fautif. Mais cette perspective pose un certain nombre de problèmes si l'on s'en tient au
texte. En effet, comment procèdent les deux réfutations mathématiques reconstituées
plus haut ? La première considère une série de grandeurs décroissantes, c'est-à-dire dont
la mesure diminue de moitié pour chacun des éléments. Elle suppose donc que chacun des
éléments a une grandeur déterminée (c'est-à-dire mesurée), qui est une certaine fraction
de la grandeur totale de la chose. Semblablement, la seconde réfutation part du principe
que la chose a une grandeur mesurable déterminée et montre que cette grandeur reste
constante, comme on devrait s'y attendre, à chaque étape d'une décomposition infinie,
du fait de la diminution constante de la mesure des éléments composants.

En vertu du mode de lecture dialectique des paradoxes de Zénon<sup>3</sup>, nous voudrions
soutenir que l'interprétation métrique n'est pourtant pas la plus fondamentale, et qu'elle
introduit dans le texte une conceptualité qui n'y est pas contenue. Non pas certes, nous
y insistons, que la lecture métrique en soit une lecture fausse. Zénon ne distingue pas
explicitement son argumentation d'une argumentation métrique, et il joue à notre sens
très certainement sur une indétermination sémantique, au contraire, quand il conclut
à la « grandeur illimitée » du fait de l'illimitation de la somme des grandeurs. Il reste
que les réfutations mathématiques ont le défaut de présupposer que l'on peut mesurer
une chose et opérer une comparaison entre différentes grandeurs selon le Grand et le
Petit. Or cette possibilité est précisément ce qui est en question dans l'aporie du Grand
et du Petit. Dans la mesure où celle-ci conclut que toute chose est à la fois grande et
petite, si petite qu'elle n'a aucune grandeur et si grande qu'elle est illimitée, elle conteste
justement d'avance la possibilité d'une comparaison de ce type.

> Il y a une manière encore différente d'interpréter l'argument et de le voir comme fautif, en considérant que Zénon y décrit une *situation impossible* : sous prétexte que chaque grandeur peut être divisée en un nombre toujours plus grand de morceaux, il supposerait que l'on peut demander *quelle est la taille* du "dernier" morceau, du résultat ultime de la division infinie.

<footnote n="3">3. Cf. l'annexe B.</footnote>
Si on suppose la décomposition à la première manière (chaque segment obtenu se trouvant divisé à son tour), on peut alors envisager *l'exhaustion de l'opération* puis la recomposition à partir des éléments derniers, et dire que de deux choses l'une : ou bien le résultat ultime *n'a pas de grandeur*, auquel cas la grandeur s'est résolue dans le néant, car une somme quelconque d'éléments sans grandeurs ne forme pas une grandeur ; ou bien il a une grandeur, auquel cas la grandeur est infiniment grande, car la somme d'une infinité d'éléments d'une grandeur donnée est elle-même infinie. Cette configuration est à peu près ce qui est envisagé par Porphyre dans l'argument qu'il attribue à Parménide¹:

> Il y avait un autre argument de Parménide qui croyait montrer au moyen de la dichotomie que l'étant est seulement un, et qu'il est sans parties et indivisible. Car, dit-il, s'il était divisible, qu'on le coupe en deux, et ensuite chacune de ces parties encore en deux, et, dit-il, cette procédure ayant été toujours répétée, il est évident que, ou bien il restera certaines grandeurs ultimes, infimes et indivisibles, mais infinies en multitude, et que le tout sera composé de parties infimes, mais infinies en multitude ; ou bien, il aura disparu et ne pourra plus se décomposer en rien et sera composé du rien ; conséquences qui sont <l'une et l'autre> absurdes. Donc, il ne sera pas divisé, mais demeurera un. Et de fait, puisqu'il est partout semblable, s'il est divisible, il le sera partout semblablement, et non ici oui et là non. Qu'on le divise alors partout ; il est dès lors évident que de nouveau il ne restera rien, mais il aura disparu, et s'il est composé, il sera à nouveau composé du rien. Car s'il reste quelque chose, il n'aura pas encore été divisé partout. Si bien que, dit-il, il est manifeste aussi d'après ces considérations que l'étant sera indivisible, sans parties et un.

Cet argument est conceptuellement bien plus riche que celui de Zénon, dont il diffère largement. Il est généralement accepté que cet argument de Porphyre n'est qu'une sophistication tardive. Une différence fondamentale est justement le fait qu'est ici envisagé un état final à l'issue du processus infini, ce que Zénon, si nos analyses sont correctes, ne fait pas, considérant d'abord l'infini comme inachevabilité. L'idée d'inachevabilité semble justement exclure que la question de l'état final ait un sens.

Néanmoins, les choses ne sont pas si simples. C'est qu'on ne peut comprendre la relation entre l'argument infinitiste porphyrien (pseudo-parménidien) et l'argument itératif zénonien qu'en faisant intervenir un troisième argument identifié comme atomiste, mais dont le ressort fondamental est *l'actualisme*. Il s'agit de la justification de l'atomiste démocritéen à partir d'une aporie de la divisibilité, dans le traité *De la génération et la corruption* d'Aristote²:
Il y a de faire une aporie à poser un corps ou une grandeur partout divisible et à poser la possibilité effective de cette division. Car, qu'est-ce qui pourra bien échapper à la division ? Si, en effet, le corps est partout divisible et que cette possibilité soit effective, il se trouverait simultanément aussi partout divisé, même si la division n'a pas eu lieu simultanément (et même si cela avait été le cas, il n'y aurait rien d'impossible). Qu'il s'agisse par conséquent aussi bien d'un procédé par moitiés que de tout autre type, si le corps est par nature partout divisible, nulle impossibilité à ce qu'il soit divisé, puisque même s'il y avait des choses divisées dix mille fois dix mille fois, il n'y aurait rien d'impossible -- et peu importe que personne n'ait sans doute la capacité d'effectuer une telle division.

Puis donc que le corps a partout cette propriété, qu'il soit divisé. Que restera-t-il donc ? Une grandeur, c'est en effet impossible : ce serait en effet quelque chose de non-divisé, or le corps, avons-nous dit, est partout divisible. Pourtant, s'il ne subsiste ni corps ni grandeur mais seulement la division, le corps sera ou bien fait à partir de points, et les choses qui en seront composées seront sans grandeur, ou bien il ne sera rien du tout, de sorte qu'il pourrait bien n'être engendré de rien ni n'être composé de rien -- et le tout quant à lui ne sera rien d'autre qu'une apparence.

Nous ne pouvons pas entreprendre ici un commentaire complet de l'argument ni discuter de l'identification de sa source et de savoir si elle remonte au-delà d'Aristote¹. Mais il nous faut faire une série de remarques sur la forme argumentative. Que l'argument suggère une inspiration zénonienne va suffisamment de soi pour qu'il n'y ait pas besoin d'y insister, d'autant qu'Aristote va immédiatement après évoquer un argument semblable à l'Inexistence du sans grandeur et une apparente aporie du lieu. Néanmoins, on prendra soin de noter qu'il n'y est pas fait allusion à un processus itératif, encore moins à un processus itératif achevé comme dans l'argument porphyrien. De même, la conclusion selon laquelle « les choses seront sans grandeur » est bien identique à une conclusion zénonienne, mais l'argument qui y parvient n'a rien à voir avec ce dont témoigne Simplicius pour Zénon. On rappelle que pour celui-ci, il s'agissait de dire que chacune des choses (c'est-à-dire des choses élémentaires, réellement existantes) était sans grandeur, du fait de leur simplicité, et de même que chacune des choses élémentaires était infiniment grande. Ici au contraire, comme dans l'argument rapporté par Porphyre, les grandeurs nulles et infinies sont prédiquées des composés, à partir d'un raisonnement sur les composants ultimes. Chez Zénon, elle portait directement sur chacun des étants, ceux dont on supposait qu'ils étaient.

Toujours est-il que le ressort argumentatif dans le texte d'Aristote, celui qui nous permet
de parler d'un état de totale division, nous semble reposer sur la nature de la *possibilité*,
non sur l'itérativité. Si toute grandeur est divisible, et divisible en tout point, et que cette
divisibilité est vraiment possible⁹, alors on peut exiger la réalisation de *tous les possibles*
en matière en division, admettre la réalité de cette division. Le ressort de l'argument *n'est
pas* l'achèvement de l'infini, mais la soumission du possible à l'actuel. Et la réponse aristo-
télicienne consistera à magnifiquement discuter du sens de « tous » et à nier que parler de
« tous » les points de division possible ait un sens. Voir, sur la nature de la réponse atomiste
à Zénon qui est en même temps une reprise de celui-ci, la section 4.3.1 plus bas.

Notre hypothèse serait que Porphyre, à la suite d'intermédiaires que nous ignorons, ac-
complit une synthèse entre l'argument zénonien (itératif) et l'argument rapporté par Aristote
(actualiste) ; mais nous n'avons pas de quoi soutenir ce point au-delà de sa vraisemblance à
première vue.

4.1.2 L'interprétation structurelle

Dès lors, du fait qu'il se situe en amont de la possibilité de la mesure, nous voudrions
suggérer que l'argument en faveur du Grand est susceptible d'une interprétation qu'on
pourrait dire « structurelle » – ou topologique. Il consiste essentiellement à montrer
que du fait qu'elle contient des infinités d'infinis, toute grandeur quelle qu'elle soit est
indistinguishable structurellement, par ce qui relève de sa composition interne, de toute
autre grandeur ; c'est-à-dire que le continu, sous l'hypothèse de divisibilité, présente à
tout niveau une indistinction à l'égard de la grandeur. Chaque grandeur, à l'instar du
tout, est divisible en une infinité de grandeurs, qui chacune est pareillement divisible en
une infinité de grandeurs, et c'est la même chose de dire cela une fois et de le dire toujours.
Ainsi la moindre partie du continu contient pareillement des mondes infiniment vastes
et ne se distingue d'aucune autre si on n'introduit pas, extérieurement, une métrique
qui permet en surplomb d'assigner et de comparer les grandeurs. On peut commencer

<footnote>a. Porphyre est lui-même cité par Simplicius, *In Phys.*, p.139.26-27. Nous citons : *ibid*., p. 207-8</footnote>

<footnote>b. I 2, 316a14-29. Nous citons Aristote, *De la génération et la corruption*, éd. établie, trad. du grec, annot. et introd. par Marwan Rashed, Collection des universités de France, Les Belles Lettres, 2005, p. 8-9.</footnote>

<footnote>c. Voir pour commencer les notes de l'éditeur et traducteur du texte Marwan Rashed, qui adopte une lecture historique très différente de la notre, mais dont nous partageons l'interprétation philosophique.</footnote>

<footnote>d. Et de telle nature que la division en un point n'empêche jamais la division en un autre point, du fait de la densité des points de division.</footnote>
par la différence des grandeurs relatives, mais l'analyse de la grandeur seule conduit directement à l'indistinction vers l'infiniment grand. En somme, l'enquête dialectique conclurait que la pensée de la continuité et de la composition arrive à des contradictions réelles – c'est-à-dire réellement pensées dans la chose – qui ne sont évitées que par l'ajout d'une conceptualité métrique extrinsèque. Celle-ci impose d'avance que soit donnée une grandeur servant de mesure, par rapport à laquelle déterminer les grandeurs en général.

Ce lieu aporétique de la pensée doit être évidemment dépassé dans sa limitation, puisque nous avons à penser des différences de grandeurs dans le continu ; mais cela ne veut pas dire pour autant qu'il *disparaisse* absolument ou qu'il n'en reste rien de *vrai*. Au contraire, la pensée du continu l'a en un sens constamment réaffirmé et assumé. Ainsi, nous n'inventons pas pour l'occasion et à seule fin de sauver Zénon cette idée du caractère extrinsèque de la mesure, mais elle devrait être au contraire familière de quiconque connaît les problèmes philosophiques relatifs au continu et à la grandeur.

> Si on comprend l'argument en faveur du Grand comme nous l'avons suggéré, on est par exemple conduit à le rapprocher d'arguments modernes du type de la question aporétique qui demande si l'on peut concevoir un changement tel que la multiplication par 2 de toutes les grandeurs de l'univers. Ce changement semble théoriquement faire sens par rapport à une métrique extérieurement assignée aux grandeurs, mais d'un autre côté n'avoir aucun effet, être même indistinguishable d'une absence totale de changement, tout point de comparaison par lequel assigner la différence ayant été emporté dans le changement.

Plus généralement, la théorie mathématique et la philosophie l'accompagnant ont constamment repris la problématique que nous lisons dans Zénon sous la forme de la possibilité de projeter n'importe quel continu arbitrairement grand dans n'importe quel continu arbitrairement petit.

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

> Chaque point ou sous-segment du petit segment a un correspondant dans le grand
Dans les formulations ensemblistes qui sont devenues communes au XXᵉ siècle, on va jusqu’à démontrer que la puissance du continu est unique, c’est-à-dire que l’ensemble des points d’un segment arbitrairement petit est “aussi grand” (équipotent) à l’ensemble des points d’un espace de dimension arbitrairement grande. En sorte à ce que la possibilité de transformer un continu dans un autre par redistribution est tout à fait générale.

Du côté philosophique, cette possibilité hante la méditation classique sur le continu qui, depuis le texte de Pascal sur les deux infinis jusqu’aux étangs contenus dans les poissons de Leibniz et à la pluralité des mondes de Fontenelle¹, nous met au cœur du problème de l’inassignabilité de la grandeur. Un de nos passages préférés sur le sujet se trouve chez Malebranche (1638 - 1715), qui écrit dans la Recherche de la vérité, Livre I, chapitre VI² :

> Car la raison nous apprend que le plus petit de tous les corps ne serait point si petit s'il était seul, puisqu'il est composé d'un nombre infini de parties, de chacune desquelles Dieu peut former une terre, qui ne serait qu'un point à l'égard des autres jointes ensembles.

Il faut savoir lire la précision technique à travers le style élégant du père Malebranche.

> « Le plus petit de tous les corps » est une hyperbole, tout le propos du passage étant précisément qu’il n’existe pas un corps minimal, mais qu’aussi petit que soit un corps il admet la division à l’infini en de plus petits corps. Il faut lire d’une manière également non-technique ou bien superlative le terme de “point”, qui n’indique pas ici littéralement un point mathématique sans dimension. On comprend mieux le passage en termes d’arbitraire mathématique : Soit un corps aussi petit que l’on veut. Sa petitesse est strictement relative à l’échelle qui est celle de notre propre corps. En lui-même et en vertu des propriétés du continu, il est divisible à l’infini et peut contenir l’équivalent de ce que contient un corps aussi grand que l’on veut. Seul créé, il formerait un univers fini, et l’on pourrait mettre tout ce que contient la Terre dans une de ses parties aussi petite que désirée, c’est-à-dire ayant un rapport de petitesse arbitraire avec le tout.

Les passages et arguments que l’on pourrait citer dans l’ensemble de l’histoire des mathématiques et de la philosophie sont en vérité innombrables. Il ne s’agit pas en tout

<footnote>a. Cf. respectivement Blaise Pascal, *Les Pensées*, éd. établie, annot. et introd. par Léon Brunschvicg, Librairie Hachette et Cie, Paris 1904, fr. 72, pp. 70-92; G.W. Leibniz, *Principes de la philosophie [Monadologie]*, (1714), in *Principes de la Nature et de la Grâce. Monadologie. Et autres textes 1703-1716*, éd. établie, annot. et préf. par Christiane Frémont, GF Flammarion, 1996, § 67, p. 257; Fontenelle, *Entretiens sur la pluralité des mondes*, (1742), éd. établie et comm. par Christophe Martin, GF Flammarion, 1998</footnote>

<footnote>b. Nicolas Malebranche, *De la recherche de la vérité. Livres I-III*, (1674, 1712), éd. établie et annot. par Jean-Christophe Bardout, Vrin, 2006, p. 162.</footnote>
cela de suggérer que Zénon “anticipe” en aucun sens des résultats mathématiques ou
philosophiques postérieurs, ni que ceux-ci soient en quelque sorte contenus d’avance dans
ce qu’il affirme. Nous sommes convaincu par l’image de Zénon proposée par Jonathan
Barnes (et déjà par Platon, croyons-nous), qui le représente comme un penseur ingénieux
et brillant, mais pas profond; saisissant au contraire chaque occasion qui se présente de
mener une argumentation destructrice. Il ne doit pas être considéré comme un grand
précurseur, et on ne peut le tenir pour responsable du destin herméneutique du problème
du continu, mais on peut lire dans les quelques traces que nous avons de lui une fidélité
à la dialectique simple du continu et de sa division, et que c’est cela qui donne leur
importance à ses paradoxes.

Quelle que soit l'estime que l'on décide finalement d'accorder à l'argument, nous
croyons nécessaire d'admettre en toute manière qu'il est possible d'en faire une lecture
liant directement l'infinité de la division (et réciproquement de la composition) et l'im-
possibilité d'assigner des grandeurs ou de comprendre la différence de grandeur sans la
présupposer. Nous avons en effet un témoignage direct (quoique tardif) de la postérité
de l'argument de Zénon, qui le reformule exactement en ces termes. Il s'agit d'un pas-
sage du texte de Plutarque (c. 46 - c. 125) *Des notions communes contre les Stoïciens*,
dans lequel il s'oppose à la doctrine stoïcienne de l'infinie divisibilité de la matière et
du mélange intégral entre les substances. Il y aurait beaucoup à dire sur l'ensemble du
passage, mais on retrouve la trace de l'argument de Zénon dans la partie qui suit¹:

(1) Il est également contraire à notre notion qu'il n'y ait dans la nature des corps ni extrémité, ni première ou dernière partie auxquelles se termine la grandeur du corps, mais qu'il apparaisse toujours quelque chose au-delà de toute grandeur donnée, précipitant ainsi l'objet dans l'infini et dans l'indéterminé. En effet, il ne sera pas possible de concevoir une grandeur plus grande ou plus petite qu'une autre, si la progression des parties à l'infini appartient semblablement aux deux [...] (2) Pourtant, comment peut-il manquer d'être évident que l'homme est constitué de plus de parties que le doigt de l'homme, et inversement que le monde en a davantage

<footnote n="4">4. 1078e-1079a, A.A. Long et D.N. Sedley (éd. et comm.), *Les Philosophes hellénistiques*, t. 2 : *Les Stoïciens*, trad. de l'anglais par Jacques Brunschwig et Pierre Pellegrin, 3 t., GF Flammarion, 2001, p. 303</footnote>
que l'homme ? Tout le monde sait cela et tout le monde le comprend, à moins d'être devenu stoïcien ; mais quand on devient stoïcien, on dit le contraire, et l'on croit que l'homme n'est pas constitué de plus de parties que le doigt, ni le monde que l'homme. En effet, la division broie les corps à l'infini, et entre infinis, aucun n'est plus grand ni plus petit...

Le contexte est celui de l'examen des “paradoxes” stoïciens. On trouve en effet dans le stoïcisme antique une pratique systématique de l'affirmation “paradoxale” au sens usuel du terme, c'est-à-dire s'écartant voire allant à l'encontre du sens ou de l'opinion commune, souvent en menant un raisonnement prenant les termes du sens commun à la lettre. Dans l'ouvrage d'où ce texte est tiré, Plutarque procède justement à une réargumentation en faveur des notions communes et contre les affirmations paradoxales, à savoir ici : « il y a autant de parties dans le tout que dans la partie ». Plutarque formule ici très précisément ce que nous lisions dans Zénon : « En effet, il ne sera pas possible de concevoir une grandeur plus grande ou plus petite qu'une autre, si la progression des parties à l'infini appartient semblablement aux deux ». Ce texte fait d'ailleurs nettement écho à un passage du *De rerum natura* de Lucrèce (c. 90 - c. 55 av. J.-C.):

> Et, faute d'un minimum, les éléments les plus petits
> seront constitués d'une infinité de parties,
> puisque la moitié d'une moitié toujours aura
> une moitié, sans limite à la division.
> Quelle différence existera-t-il encore
> entre l'ensemble et la plus petite des choses ?
> Aucune : si infini que soit foncièrement
> l'ensemble universel, les corps les plus petits
> seront constitués de parties tout aussi infinies.
> Mais la droite raison se révolte et proteste :
> l'esprit ne peut le croire, enfin tu dois te rendre.

<footnote n="5">5. Lucrèce, *De la nature*, trad. du latin, annot. et introd. par José Kany-Turpin, 2ᵉ éd., GF Flammarion, 1998, v. 615-624, p. 87.</footnote>
## 4.2 L’argument du Limité et de l’Illimité

On rappelle le texte de Simplicius :

> Zénon écrit ceci, que je cite littéralement : « Si plusieurs choses sont, il est nécessaire qu'elles soient aussi nombreuses qu'elles sont, et ni en nombre supérieur à elles ni en nombre inférieur. Or si elles sont aussi nombreuses qu'elles sont, elles seront limitées. Si plusieurs choses sont, les choses qui sont sont illimitées; car entre les choses qui sont, il y en a toujours d'autres, et de nouveau entre celles-là d'autres encore. Et ainsi les choses qui sont sont illimitées. »

Les problèmes liés à cet argument sont du même ordre que pour le précédent : on ne sait pas exactement quel est le mécanisme mis en jeu dans le procédé d'illimitation, et il y a différentes manières de comprendre, mathématiquement parlant, ce qui est en jeu dans cette illimitation, qui changent l'estime que l'on peut avoir de l'argument. Et comme pour le précédent, nous croyons que l'on se tient plus proche de la conceptualité mise en jeu par Zénon lorsqu'on en fait un argument encore pertinent aujourd'hui.

### 4.2.1 Le mécanisme d'illimitation

Nous commençons par traiter rapidement la question délicate du mécanisme d'illimitation, qui n'a pas véritablement d'importance pour notre propos. Simplicius dit explicitement que c'est un procédé *dichotomique* qui permet d'affirmer qu'il y a toujours d'autres choses entre les choses qui sont. Mais comme on l'a suggéré plus haut, il ne nous donne pas vraiment de raison en faveur de cette hypothèse, qui n'est pas imposée par le texte qu'il cite. On imagine néanmoins facilement comment soutenir un mécanisme de ce type : Les choses qui sont doivent être des grandeurs distinctes. Soit la totalité composée d'une collection de ces grandeurs. Chacune par un procédé de dichotomie se révèle être composée de deux grandeurs distinctes. Entre deux grandeurs données, on peut par conséquent toujours désigner une troisième. On peut donc nommer de nouvelles grandeurs entre chacune des premières grandeurs, en sorte à former une seconde totalité. Et le processus peut être répété de nouveau. Et ainsi de suite. Pour des raisons diverses,
Barnes et Caveing sont tous deux partisans d'une solution de ce genre. Palmer néan-
moins n'est pas satisfait et considère que le texte nous indique plutôt que l'argument
repose sur une sorte d'axiome de la distinction : "si deux choses sont distinctes, il doit
exister une chose entre elles pour les distinguer", et sur le postulat que les choses qui
sont, sont distinctes. L'illimitation suit alors en effet naturellement, car Zénon impose
une propriété de densité : entre les choses qui sont il y en a d'autres, puis d'autres encore
entre les premières et les secondes, etc.

Les deux interprétations ont leurs avantages et leurs défauts. Elles font l'une et
l'autre intervenir des déterminations qui ne sont pas dans le texte cité par Simplicius
(respectivement la *divisibilité* et la *distinction*). La première a l'avantage de reposer sur
un mécanisme bien attesté chez Zénon, tandis que la seconde se donne plus simplement
à lire dans le texte tel qu'il nous est transmis. Ce qui nous importe davantage est la
reconnaissance du raisonnement itératif. Le principe général qui le fonde est : « *si plus
sieurs choses sont, entre les choses qui sont il y en a toujours (aei) d'autres* ».
Le « toujours », « *aei* », indique la généralité en même temps qu'il suggère déjà l'ité-
rabilité infinie : soit une collection quelconque de choses qui sont, on pourra en trouver
d'autres (*hétera*, n'appartenant pas à la collection considérée) situées entre ces choses
– et peu importe au fond par quel moyen, du moment qu'on en admet un. On a alors
obtenu une nouvelle collection ou totalité de choses. Chaque itération reproduisant par
conséquent les conditions de sa réitération, on en conclut que le procédé d'augmentation
de la totalité des choses est inachevable ; en retour, la quantité de la totalité des choses
peut elle aussi être qualifiée d'illimitée (*ápeira*). Mais que veut-on dire par là ?

### 4.2.2 L'interprétation selon le fini et l'infini

Ce caractère illimité ou infini des choses est compris comme contredisant leur carac-
tère “limité” ou “déterminé” (*peperasména*). La manière la plus naturelle aujourd’hui de
comprendre l’opposition est d’y lire une opposition du fini et de l’infini au sens mathé-
matique moderne usuel. D’un côté les choses forment une totalité finie c’est-à-dire qui
correspond à un des entiers naturels (il y a mille, ou un million, ou un milliard de choses,
mais en tout cas il y a un nombre entier de ces choses). De l'autre leur totalité est infinie c'est-à-dire qu'elle est plus grande que tout nombre entier. Avec les prémisses posées par Zénon, qui fondent une propriété de densité, cette seconde conclusion est assurément obtenue : quel que soit le nombre supposé au départ, par ajouts successifs indéfinis on est sûr de dépasser à une certaine étape tout nombre fini donné. Le point plus délicat est l'argument en faveur du Limité. Son principe nous paraît proprement fascinant : les choses sont limitées, car « il est nécessaire qu'elles soient aussi nombreuses qu'elles sont, et ni en nombre supérieur à elles ni en nombre inférieur ». La compréhension moderne de l'argument le reconstituera de la manière suivante : d'un côté Zénon établit la densité des choses et conclut à leur infinité ; d'un autre côté il soutient qu'il doit y avoir une quantité déterminée de ces choses, et comme il est Grec (ou plus généralement : par préjugé) il considère qu'il n'existe de nombre que fini, égal à un des entiers naturels¹. Si l'on admet cependant avec Cantor et la théorie des ensembles qu'il existe des cardinaux transfinis, il n'y aura pas de contradiction entre l'infinité des choses et l'exigence qu'il existe un nombre de leur totalité. On pourra même aller plus loin et remarquer que le nombre de ces choses obtenues par itération indéfinie est bien déterminable et qu'il s'agit de $\aleph_0$. La mathématique post-cantorienne n'a aucun scrupule à passer à la limite des opérations d'ajouts d'éléments pour considérer la totalité globale résultant d'une opération inachevable, et elle décrète pouvoir connaître la grandeur (le cardinal) d'une pareille totalité.

Cette lecture, de même que la lecture métrique de l'argument en faveur de l'illimité en grandeur, est absolument légitime et mérite d'être examinée un peu plus en détail. Une première chose à remarquer est qu'elle devient plus ou moins absurde si on suppose que chez Zénon la branche en faveur de l'infinité soutient que les choses forment une totalité infinie déterminée, au sens moderne du mot. Car on ne pourrait plus supposer alors que Zénon considère que toute totalité déterminée ayant grandeur est finie. Il faut donc soutenir une opposition entre d'un côté les totalités nombrables déterminées,

<footnote n="6">6. Il faut noter ici que le terme de nombre, *arithmos*, n'apparaît pas dans le texte de Zénon, quoiqu'il soit naturel de l'introduire en français. Le grec utilise simplement un adjectif et deux comparatifs : *hósa*, *pleíona*, *eláttona*, autant, plus, moins. Sur la distinction antique entre nombre et multiplicité, cf. 9.4.3.</footnote>
strictement finies (*peperasména*) et de l'autre les quantités indéterminées *croissant* au-delà de toute limite assignable et qu'on peut qualifier d'illimitées ou infinies (*ápeira*).
Ainsi comprise, l'aporie de Zénon appelle un commentaire classique : les mathématiques anciennes opposent une considération du nombre comme nombre fini à une conception de l'infini comme simple progrès au-delà de tout nombre fini donné. Zénon fait usage de cette opposition pour fonder son aporie, en posant successivement l'exigence de l'existence d'un nombre et la propriété de croissance indéfinie. Cette aporie, néanmoins, n'est plus opérante dans la conception mathématique moderne selon laquelle le fini et l'infini sont deux propriétés qui peuvent se dire de totalités déterminées, en sorte qu'il existe des nombres infinis. À partir de ses prémisses Zénon peut alors conclure, dans une optique moderne, à l'infinité des choses, mais plus à leur finitude ! Et l'aporie est supprimée, car rien n'est paradoxal dans la considération de totalités infinies.

Cette vision des choses a du vrai, mais on peut lui faire un reproche qui n'est pas des moindres : elle fait *perdre en généralité* à l'argument, qui était en lui-même remarquablement abstrait. Nous voulons dire que l'argument utilise un concept de *détermination* ou *limitation* qui ne repose ni sur la notion de nombre ni sur la notion usuelle de finitude (comprise en référence à l'égalité à un entier naturel, ou d'une quelconque autre manière).

### 4.2.3 L'interprétation selon le totalisé et l'intotalisable

Il nous faut à nouveau être clair : nous ne prétendons pas que Zénon a une conception précise de la notion abstraite de *détermination*, qui soit explicitement *distincte* de la notion de *finitude* et plus générale qu'elle. Son propos se maintient manifestement dans une grande primitivité, en-deçà de telles distinctions conceptuelles fines et jouant sur leur ambiguïté. Mais ce fait même permet que son argument garde une pertinence pour le cas le plus général. Ainsi, quel est le concept de détermination, limitation ou finitude qui est développé dans le texte ? Il repose sur la notion d'égalité quantitative à soi d'une multiplicité. L'égalité quantitative à soi (le "autant et ni plus ni moins, en quantité") fonde l'existence d'une quantité bien délimitée des choses. Or, ce que le procédé d'illi-
mitation ruine, c'est précisément cette égalité à soi : en vérité, pour toute multiplicité donnée de choses, il y en a toujours d'autres et toujours plus qu'il y en a, et non pas *autant*.

Il est vrai qu'on pourra faire remarquer avec raison que la densité, ou la possibilité de toujours désigner d'autres choses entre deux choses données, ne vient pas forcément contredire l'égalité quantitative à soi, si justement on a affaire à une totalité infinie. Si l'on considère par exemple l'ensemble des *rationnels*, celui-ci a bien une cardinalité déterminée ($\aleph_0$), et le fait qu'il existe toujours d'autres rationnels entre deux rationnels donnés (dans l'ordre usuel des rationnels) ne vient pas contredire cette cardinalité ou cette égalité à soi, car ces nouveaux rationnels désignables à l'infini sont déjà compris dans l'ensemble infini donné au départ. Mais nous ne croyons pas que ce soit là l'essentiel.

Peu importe ce qui garantit que les éléments nouvellement produits n'appartaient pas d'avance à l'ensemble de départ. On pourrait se reposer ici sur l'exigence de composition et ses différentes conséquences que nous avons déjà pu examiner : les choses qui composent le continu doivent avoir une grandeur et être unes, distinctes des autres, élémentaires. Si l'on opte pour la lecture selon laquelle l'illimitation est obtenue par dichotomie, la division en deux d'une chose est alors telle que les deux moitiés viennent en quelque sorte *remplacer* la première, ou ce qu'on croyait être une grandeur se révèle *en fait* être la grandeur elle-même et un surplus de grandeur, une grandeur surnuméraire *nouvelle*. Si l'on opte pour la lecture selon laquelle c'est l'exigence d'un intermédiaire fondant la distinction qui produit l'illimitation, on se reposera peut-être sur une idée d'ordre strictement définie : la totalité est composée de choses rigidement successives la composant, mais en réfléchissant sur la nécessité de les distinguer on doit réviser ce qu'on avait posé comme ordre de succession en introduisant pour ainsi dire $A+B/2$ entre A et B.

Le point important est que, le caractère réellement surnuméraire des nouveaux éléments étant garanti, on montre que la totalité est toujours nécessairement incomplète, que les choses sont en fait intotalisables, ne peuvent former une multiplicité égale à elle-même. L'important est que l'inachevabilité du processus interdit l'établissement d'un point d'arrêt et d'un *compte juste* de la multiplicité des choses.

De même on pourrait nous objecter qu'avec Zénon nous mettons apparemment en équivalence le fait d'ajouter des éléments à un ensemble et le fait de changer la grandeur ou la cardinalité de cet ensemble, équivalence que la mathématique cantorienne (ou déjà ses
précurseurs scolastiques comme Grégoire de Rimini) a réfutée. Si un ensemble est infini, lui ajouter de nouveaux éléments ne lui fera pas en général changer de cardinalité, ou autrement dit le tout n'est pas toujours plus grand que sa partie stricte. Mais à nouveau, le point qui nous importe est que l'argument reste valide même de façon moderne, *dans tous les cas où on peut garantir* que la cardinalité elle aussi s'accroît en général. Il faut certainement changer le détail des procédures, mais pas la structure générale.

Or, ceci étant posé, on peut se rendre compte que le paradoxe de Zénon a en réalité un analogue contemporain dont devraient être familier.e.s celles et ceux à qui les objections examinées à l'instant sont venues à l'esprit, car il concerne l'existence des ordinaux transfinis. En effet, dans le domaine du fini, on peut dire que les nombres, les ordinaux, sont plusieurs. S'ils sont plusieurs, il faut qu'ils soient autant qu'ils sont, et ni plus ni moins, donc qu'ils aient une quantité déterminée, ou un *cardinal*. La théorie des ensembles nous donne les moyens de définir comme un objet rigoureux cette quantité déterminée, et nous l'appelons $\aleph_0$ et nous appelons $\omega$ l'ensemble des ordinaux finis qui a cette grandeur $\aleph_0$ déterminée. Mais $\omega$ est lui-même un ordinal *transfini* (le premier), dont $\aleph_0$ est le cardinal transfini, et la théorie des ensembles nous dit justement qu'il existe plusieurs de ces ordinaux et cardinaux transfinis. Si nous prenons la théorie des ensembles au sérieux, ne devons-nous pas penser que ces ordinaux et cardinaux existent, et qu'ils existent tous autant qu'ils sont ? Mais s'ils existent tous autant qu'ils sont, et ni plus ni moins, il doit y en avoir une certaine quantité, une multiplicité d'une certaine grandeur, et ni plus grande ni plus petite ni indéterminée. Or la meilleure théorie qu'on ait de la quantité, la seule applicable en cette affaire, serait justement la théorie des cardinaux transfinis : cette quantité déterminée serait un cardinal transfini. Mais soit une multiplicité d'ordinaux ayant un cardinal déterminé X. Alors le théorème de Cantor nous dit que l'ensemble des parties de cette multiplicité a une cardinalité $2^X$ strictement supérieure à X, ce qui, parce que les cardinaux correspondent tous à des ensembles d'ordinaux, implique qu'il y a strictement d'avantage d'ordinaux que dans la multiplicité considérée au départ. Comme ce raisonnement vaut pour toute multiplicité d'ordinaux quelle qu'elle soit, on en conclut que la multiplicité des ordinaux est illimitée, inachevable, dépassant toute limite et toute totalisation possible. Ce qui était en effet le jugement de Cantor. Si cet argument marche, c'est parce qu'il reproduit les mêmes conditions que l'argument de Zénon : il affirme que pour toute multiplicité donnée de la chose considérée, un certain procédé (ici le passage à l'ensemble des parties) garantit qu'il y en a une multiplicité plus grande, et le raisonnement
peut être répété pour la nouvelle multiplicité obtenue, ce qui garantit l'inachevabilité du
processus d'accroissement.

Ce paradoxe de l'existence des ordinaux, si on peut le considérer ainsi, est réellement
élémentaire en ce qui concerne la théorie des ensembles elle-même, il ne nous apprend rien
de nouveau; mais nous ne cherchions pas du tout ici à soutenir le caractère paradoxal de la
théorie des ensembles. Ce que nous voulons souligner est la portée véritable de l'argument
de Zénon, le fait qu'il n'est pas en lui-même limité à une théorie pré-cantorienne de l'infini,
mais qu'il porte en général sur toute considération d'existence de produits d'une opération
inachevable d'accroissement. Et à ce titre, pour être élémentaire le paradoxe de l'existence
des ordinaux n'en pointe pas moins vers ce que l'on pourrait appeler "le difficile réalisme"
de l'univers ensembliste, et la volonté persistante mais philosophiquement problématique
de vouloir considérer les ensembles et notamment les ordinaux comme "tous" actuellement
existants, comme formant une multiplicité réelle, alors que la théorie elle-même semble
imposer de les considérer comme résultats abstraits et intotalisables d'un procès inachevable.
La notion de *classe*, dans ses différentes versions formelles ou informelles, est le premier pas
dans la tentative de "réaliser" une totalité des ordinaux, ou une totalité des ensembles, mais
avec elle on perd la possibilité générale d'évaluer la quantité ou de faire des opérations sur
les éléments pour former de nouveaux objets.

## 4.3 Conclusion : La dialectique du continu et le système des réponses possibles

On trouve dans la séquence d'arguments zénoniens rapportée par Simplicius une série
d'apories dégagées de l'examen du continu, quand celui-ci est considéré sous l'angle de la
pluralité. On comprend ici comme pluralité à l'œuvre dans le continu, sa divisibilité en
parties distinctes et la manière dont il en est composé. On pourrait dire que Zénon mène
dans ces arguments la *dialectique* du continu, au sens hégélien du terme et conformément
à l'analyse de cet auteur. Hegel comprend en effet ces passages comme une "dialectique
de la matière", ce qui est une manière de comprendre le continu comme la substance de
l'univers sensible comme en effet cela semble à l'œuvre dans le contexte éléatique. Voilà
comment il introduit le passage de Simplicius<fnref n="7" /> :

[N]ous trouvons également chez Zénon la véritable *dialectique objective*... [qui est] non pas un mouvement de notre seul discernement, mais un mouvement démontré à partir de l'essence de la chose même, c'est-à-dire du concept pur du contenu... [Elle est] la considération immanente de l'objet : il est pris pour soi, sans présupposition, sans idée ni devoir-être, et non selon des rapports, des lois ou des raisons extérieures. On s'installe entièrement dans la chose, on considère l'objet en lui-même, et on le prend selon les déterminations qu'il comporte. Ainsi considéré il montre alors lui-même qu'il contient des déterminations opposées et donc se supprime. [...] La véritable dialectique ne laisse absolument rien à son objet : ce n'est pas sous un aspect seulement qu'il serait défectueux ; il se dissout au contraire dans toute sa nature. [...] La dialectique zénonienne de la matière est restée jusqu'à présent irréfutée ; on n'est pas encore allé au-delà...

Ces contradictions apparemment inhérentes à la pensée du continu, seul Hegel pou-
vait bien sûr les célébrer comme l'analyse correcte de sa contradiction réelle<fnref n="8" />. Dans
l'Antiquité, elles ne pouvaient être reçues ainsi<fnref n="9" />, ce qui signifie, on peut au moins le
supposer, que chacune des traditions philosophiques se confrontant à la pensée de la
matière étendue devait se donner des moyens de répondre à ces apories.

Nous avons sur ce sujet peu de sources directes en dehors des textes d'Aristote et
Platon. Il est cependant peut-être permis de considérer comment peut se mettre en
place à partir de Zénon et jusqu'à la période hellénistique, à mesure que les différentes
écoles philosophiques se constituent et s'affrontent, un système des différentes réceptions
possibles des apories. Le défi éléatique semblait interdire de penser en un logos rigoureux

<footnote n="7">7. G.W.F. Hegel, *Leçons sur l'histoire de la philosophie, Tome 1 : La Philosophie Grecque. Des Origines à Anaxagore*, éd. établie, trad. de l'allemand et annot. par Pierre Garniron, 7 t., Bibliothèque d'histoire de la philosophie, Vrin, 1971, p. 138-141.</footnote>

<footnote n="8">8. De même qu'il est sauf erreur le seul auteur de la tradition à penser non seulement que les arguments contre le mouvement ne sont pas des sophismes, mais qu'ils sont la pensée correcte du mouvement : « Réfuter des objections signifie montrer leur nullité, comme si elles devaient cesser d'exister, comme si elles ne devaient même pas être faites. Mais il est nécessaire de penser le mouvement comme Zénon l'a pensé, et aussi de prolonger soi-même cette manière de poser le mouvement », [ibid.], p. 146.</footnote>

<footnote n="9">9. À l'exception possible de Pyrrhon, si l'interprétation qui fait de lui un penseur de la contradiction réelle, et non un sceptique, est correcte. Cf. sur ce point, pour commencer, Richard Bett, « Pyrrho », in ZALTA (éd.), *The Stanford Encyclopedia of Philosophy* cit., https://plato.stanford.edu/archives/win2014/entries/pyrrho/.</footnote>
la pluralité, la division et la composition du tout de l'existant. Comment était-il possible
de réagir à un tel défi? Fallait-il s'y plier et se soumettre à l'éléatisme? Ou fallait-il
renoncer à l'idée que nous pouvons avoir une connaissance scientifique du réel, renoncer
à la science, renoncer même peut-être à la philosophie? Ou au contraire, fallait-il refuser
les conclusions de Zénon, considérer que ses raisonnements partaient de suppositions
fausses sur la nature, ou manquaient de faire les distinctions logiques nécessaires<sup>10</sup> ?
Nous proposons dans la suite une tentative d'élaboration, plutôt spéculative, de ce que
pourrait être un système des réponses et réceptions. Nous tenterons de nous reposer
autant que faire se peut sur les données historiques, mais il nous faut reconnaître dès
l'abord que par notre systématisme même nous allons nécessairement au-delà de ce
qui est véritablement attestable. Nous persistons néanmoins dans cette tentative, pour
deux raisons : d'abord pour le simple profit de clarification et enrichissement théorique
qu'elle promet ; et ensuite parce que lorsqu'il s'agit de problèmes aussi centraux pour la
philosophie antique de la nature que ceux soulevés par Zénon, et d'arguments dont on
connait la présence diffuse dans l'Antiquité même quand leur origine zénonienne n'est
plus considérée, il nous semble permis d'interroger un système philosophique sur un
point même qu'il n'a pas explicitement traité (ou pour lequel nous n'avons plus trace
de sa réponse explicite), du moment que ce point appartient à l'horizon théorique et
argumentatif du système ou qu'il en explicite une tension plus ou moins latente.

Il se peut également qu’un second mot d’explication s’impose : pourquoi, dans une
thèse sur les paradoxes de Zénon contre le mouvement, considérer le système des réponses
à Zénon dans l’Antiquité au niveau des *apories du continu*, et avant même d’aborder
l’étude des *apories du mouvement* ? Précisément pour exhiber le fait que les paradoxes du
mouvement ne sont pas *réductibles* aux problèmes du continu. Pour montrer en quoi ils
se distinguent, et en quoi une solution apportée aux apories du continu ne vaut pas pour
autant comme solution des paradoxes contre le mouvement. Cela étant dit, on verra que
le système des *tentatives* de réponse aux paradoxes du mouvement semble reproduire à

<footnote n="10">10. Pour l'esquisse d'un développement de ce que signifie en général de répondre à un paradoxe, voir l'annexe C.</footnote>
quelques exceptions intéressantes près le système des réponses aux paradoxes du continu.

### 4.3.1 La division

Voilà donc une proposition d'exposé d'un tel système. La forme que nous adoptons consiste à envisager une succession de choix théoriques relatifs aux grands problèmes soulevés par l'aporie du continu, chacun de ces choix engageant sur une grande voie philosophique elle-même amenée à se subdiviser. En somme nous proposons une procédure de *division* des positions philosophiques antiques, possibles ou réelles, relatives aux apories du continu<fnref n="11" />. Nous l'offrons sous la forme d'un schéma arborescent, 4.1, accompagné d'une narration théorique qui le commente.

Quel est, au départ, le problème, la difficulté face à laquelle se trouve la pensée ? Un présupposé constant du discours, qui semble aussi une évidence de la perception et de l'expérience ordinaire, est qu'il y a une pluralité de choses ; et même plus précisément que la réalité extérieure, le tout qui nous entoure, est composé d'une pluralité de choses sensibles. Cela constitue la thèse commune T. Or, certains arguments, menés rigoureusement à partir de prémisses communes, réduisent cette thèse commune à la contradiction, en sorte que la raison paraît nous contraindre à affirmer la négation, non-T, de la thèse qui s'imposait avec évidence. Comment faut-il recevoir cette situation aporétique, c'est-à-dire embarrassante ?

La première division qui s'impose, la première décision différentiante qui va déterminer le type d'attitude à adopter et le sens que l'on donne à la situation, a pour critère ce qu'on va appeler faute de mieux le *réalisme*. Par "réalisme" nous entendons ici exactement la position suivante : *Il y a une théorie descriptive, cohérente et correcte de la réalité extérieure ou du cosmos sensible*. Selon que l'on décide ou non de s'engager dans la voie du réalisme ainsi compris, l'attitude envers Zénon va nécessairement être très différente. Commençons par considérer la branche réaliste : si on désire affirmer l'existence ou la possibilité d'une théorie cohérente et correcte, il va falloir, en un sens très fort, *résoudre* les paradoxes, nier qu'ils puissent parvenir à une conclusion véridique, puisque l'exigence

<footnote n="11">11. En ce qui concerne le choix de ce mode d'exposition, voir l'annexe D.</footnote>
<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>TAB. 4.1 : Réponses antiques à l'aporie du continu</figcaption></figure>

**Réalisme** : Il y a une théorie descriptive cohérente et correcte de la réalité extérieure ou cosmos sensible.

**Pluralisme** : Il y a une pluralité de choses. Il y a divisibilité et composition du tout.

**Actualisme** : Tout ce qui est est actuel. Tout ce qui est possible est comptable.

**Continuisme** : Il y a division à l'infini de toute étendue. La géométrie décrit correctement l'étendue.

**Aléthéisme** : Il y a une science, un logos absolument vrai.

**Dialéthéisme** : Il y a des contradictions vraies absolument.

**Philosophie** : Il faut faire confiance dans le logos et ses lois, y compris pour fonder la pratique.
de cohérence impose d'éviter la contradiction. Et on va alors leur opposer ce que l'on
juge être la *bonne* description de la réalité. À condition, bien sûr, que l'on rejette la thèse
paradoxale non-T, autrement dit que l'on soutienne la thèse *pluraliste* du sens commun :
le *pluralisme* est par conséquent le premier critère de division de la branche réaliste.
Mais y a-t-il seulement dans l'Antiquité des *réalistes*, au sens défini ici, qui rejettent le
pluralisme ? Cette position est exactement celle que Luc Brisson semble assigner aux
Éléates eux-mêmes<sup>12</sup>, Parménide et Mélissos, en considérant d'après les indications de
Platon et du reste de la tradition antique que leur objet est bien l'univers sensible (*pan*).

Au niveau du réalisme pluraliste, branche à qui il revient en propre d'avoir le *souci*
de Zénon, on trouve une opposition majeure, qui est à certains égards la clé de la com-
préhension des apories du continu et de leur impact dans la philosophie grecque, à savoir
l'opposition du *continuisme* et de l'*actualisme*. Il faut noter qu'il n'est pas *a priori*, ou
disons *analytiquement*, évident que les deux voies doivent être en opposition. On pourrait
*à priori* imaginer un actualisme continuiste (on y reviendra), ou une position à la fois
anti-actualiste et anti-continuiste. Néanmoins, les deux voies semblent *historiquement*
contraires dans l'Antiquité grecque, et il semble que ce soit les apories zénoniennes du
continu qui structurent l'opposition. On divisera premièrement la branche du réalisme
pluraliste selon le critère actualiste, selon que la pensée prenne parti en sa faveur ou
au contraire élabore une doctrine qui le refuse. L'actualisme pourrait être défini comme
la doctrine selon laquelle tout ce qui est réel est actuel, est en acte, l'actuel étant ici à
distinguer du potentiel ou du virtuel. Notamment, tout ce qu'il y a est susceptible d'être
rassemblé dans une totalité du donné. Relativement à Zénon, l'actualisme se comprend
en fait mieux en partant de sa négation, qui est l'invention aristotélicienne de la distinc-
tion entre ce qui est et se dit en acte, et ce qui est et se dit en puissance. Comme on l'a
dit et comme il est bien connu, cette distinction vient enrichir logiquement le problème
en reconnaissant que toute grandeur admet divisibilité et que le processus de division est
inachevable, mais en niant qu'il faille considérer comme en acte ou donnée toute division
possible.

<footnote n="12">12. Cf. PLATON, *Parménide* cit., Introduction. et ici même, n. 33 p. 41.</footnote>
Soit alors l'aporie de l'Un et du Multiple : on s'accorde à reconnaitre que les étants qui doivent composer le continu doivent pour cela être un, égaux à eux-mêmes et non pas à une multiplicité d'éléments autres qu'eux. Les étants qui composent le continu sont en effet un *en acte*. Et l'on accorde également volontiers que pour composer le continu, les étants doivent eux-mêmes avoir grandeur et extension, et être par conséquent multiples, car divisibles. Mais multiples, ils le sont seulement *en puissance*. Ils sont *susceptibles* de division, mais *actuellement* uns.

Soit l'aporie du Grand et du Petit : on ne reconnait pas que les étants doivent être si petits qu'ils n'ont aucune grandeur, car on n'accorde pas que la grandeur soit incompatible avec l'unité en acte. Et on ne reconnait pas que les étants doivent être si grands qu'ils sont illimités, ou ayant tous la même structure que le tout. Car l'illimitation de leur division n'est qu'en puissance et n'est rien d'autre que la capacité passive de toute grandeur de recevoir une division. En acte, en revanche, tous les étants se distinguent réellement dans leur structure, et un procédé déterminé de découpage effectivement et actuellement mené, aussi loin qu'il aille, maintiendra toujours la différence de taille et de structure entre tous les étants.

Soit l'aporie du Limité et de l'Illimité : on reconnait que les étants, s'ils composent actuellement le continu, doivent être autant qu'ils sont et ni moins ni davantage, et par suite être en quantité limitée. On admet aussi volontiers qu'ayant grandeur, chacun de ces étants est susceptible d'une division et de devenir une pluralité d'étants, et l'on reconnait par suite l'illimitation de la quantité des choses qui sont ; mais uniquement en puissance, c'est-à-dire que l'on admet qu'il n'y a pas une totalité terminale et maximale des étants qui sont, mais qu'il pourrait toujours y en avoir davantage¹. Et ainsi de suite. La nouvelle distinction en main nous a permis d'éliminer la contradiction à laquelle était réduite la thèse T de la pluralité, tout en maintenant l'ensemble des prémisses de Zénon, et notamment la prémisse de continuité selon laquelle toute grandeur est divisible. L'invention aristotélicienne est tellement puissante que la notion de divisibilité en puissance et unité en acte a été invinciblement associée sinon identifiée à la notion de continuité à partir d'Aristote et au moins jusqu'au début du XXe siècle – voire jusqu'à aujourd'hui pour un ensemble de traditions de pensée.

<footnote>a. Pour simplifier, nous supposons ici que l'argument de l'illimité est fondé sur une pratique de division ou dichotomie. Si l'on considère, de façon tout à fait légitime (cf. 4.2), qu'il est fondé sur le concept de *distinction* imposant l'existence d'un *intermédiaire*, il faut engager beaucoup plus d'éléments théoriques concernant la composition et/ou la limite pour y répondre, tant selon l'aristotélisme que selon l'atomisme. Mais le fond doctrinaire de l'affaire n'en sera pas changé.</footnote>
On peut noter que malgré des compréhensions très différentes de la matière, de la continuité, et de la logique, mais sans que cela change foncièrement d'un point de vue doctrinaire la manière de réfuter Zénon, la solution potentialiste semble être aussi, dans l'Antiquité, celle des Stoïciens<fnref n="13" />.

En suivant le fil historique, il aurait pu être préférable de considérer d'abord le critère continuiste, et de caractériser l'atomisme par le rejet de celui-ci, et l'aristotélisme par son acceptation, dans la mesure où les premières réponses atomistes semblent avoir précédé la solution aristotélicienne, comme Aristote lui-même en témoigne<fnref n="14" />. Mais, après lui, le courant atomiste a su se maintenir, et, accompagné des courants Mégarique et Dialectique, se caractériser contre l'Aristotélisme et le Stoïcisme comme une pratique philosophique refusant d'accorder une réalité inéliminable à ce qui est en puissance ou de nature dispositionnelle. Mais, soucieux de maintenir l'exigence actualiste et face aux apories de Zénon et à la quasi-identification de la doctrine du continu avec la notion de divisibilité seulement en puissance, ces courants philosophiques ont dans l'Antiquité abandonné la voie du continuisme. On pourra caractériser celle-ci par le critère suivant : *il y a division à l'infini de l'étendue; toute grandeur étendue est divisible; la géométrie est correcte dans sa description de l'étendue sensible.* L'atomisme compris en général comme doctrine s'oppose systématiquement à ce critère : il affirme qu'il y a division et composition du tout de l'étendue, mais que la division ne s'étend pas à l'infini mais jusqu'à des composants élémentaires. Il affirme que ces composants élémentaires, qui ont une grandeur ou sont du moins susceptibles de composer la grandeur, ne peuvent pas à leur tour être divisés (ce qui leur vaut le nom d'atomes, littéralement insécables). Par force ou de bonne grâce, il doit reconnaitre (et les continuistes ne manquent pas de lui

<footnote n="13">13. Pour aborder l'étude de ce point, et pour plus de précision, consulter l'indispensable A.A. Long et D.N. Sedley (éd. et comm.), *Les Philosophes hellénistiques*, trad. de l'anglais par Jacques Brunschwig et Pierre Pellegrin, 3 t., GF Flammarion, 2001, traduction de : *The Hellenistic Philosophers*, éd. établie, trad. du grec et comm. par A.A. Long et D.N. Sedley, Cambridge University Press, 1987 (ci-après LS), en particulier la section 50.</footnote>

<footnote n="14">14. Sur le caractère structurant de l'opposition de l'en acte et de l'en puissance relativement à l'aporie du continu, et sur le rôle déterminant des arguments éléatiques dans l'origine de l'atomisme ancien aux yeux même d'Aristote, voir ici même l'encadré p. 128, et plus généralement *De la génération et de la corruption*, I 2, 315a25-317a31, et I 8, 324b35-325b5, ainsi que les textes et les commentaires de LS, sections 8-11.</footnote>
faire remarquer) qu'il rend la géométrie fausse ou impraticable. Ainsi, leur position sort de l'aporie en renonçant à l'une de ses prémisses pour échapper à sa conclusion.

Soit alors l'aporie de l'Un et du Multiple : on admettra expressément que tout étant censé composer en effet le tout de l'étendue doit être un. Mais, ou bien l'on niera que toute grandeur soit divisible, déclarant au contraire que les grandeurs élémentaires composant le continu sont insécables ; ou bien on niera que seule une grandeur puisse composer la grandeur ou que les éléments de la grandeur doivent être homogènes à celle-ci : considérant en tout cas que les unités composant l'étendue sont des unités absolues, n'admettant pas la multiplicité.

Soit l'aporie du Grand et du Petit : on admettra ou l'on n'admettra pas que les étants soient si petits qu'ils n'ont aucune grandeur, selon la stratégie choisie pour répondre à l'argument du Multiple. Mais l'on refusera absolument quoi qu'il en soit que tout étant soit si grand qu'il est illimité, ou que chaque étant ait une structure indiscernable de celle du tout de la grandeur : au contraire, le grand et le petit de la grandeur sont parfaitement déterminés par le nombre actuel d'atomes, eux-mêmes structurellement simples, composant la grandeur. Le refus de l'hypothèse de divisibilité empêche ici toute constitution d'un raisonnement itératif.

Soit l'argument du Limité et de l'Illimité : l'atomisme applaudira des deux mains l'idée que la totalité des étants composant réellement l'univers doit être bien déterminée, et ainsi limitée en ce qu'il faut qu'il y en ait autant qu'il y en a, et ni plus ni moins. Mais il sera entièrement insensible à l'argument selon lequel, pour une totalité d'étants donnée, il y en a davantage, n'admettant pas la division des étants élémentaires ni l'infinie composition de la matière. Il faut apporter ici une précision importante pour la question de l'infini dans l'Antiquité. Les atomistes, compris cette fois de façon restreinte comme les membres de la tradition allant de Leucippe et Démocrite à l'Épicurisme, sont généralement caractérisés par l'affirmation de l'infinité de l'univers, et l'existence d'une pluralité infinie de mondes, *a fortiori* d'une quantité infinie d'étants élémentaires ou atomes. Mais cela ne doit pas les amener à soutenir la branche "illimitée" de l'argument de Zénon, mais bien au contraire la branche "déterminée", "délimitée" (*peperasmenos*). Ce qu'ils nient est bien l'illimitation, comprise comme illimitation de la division et la multiplication des étants, autrement dit l'existence possible d'une procédure inachevable d'accroissement. Ils soutiennent au contraire très rigoureusement l'exigence selon laquelle les étants composants la grandeur doivent être
tous autant qu'ils sont, ce qui ne les empêche pas de soutenir par ailleurs que la quantité de ces étants est illimitée au sens où aucun compte ne saurait l'épuiser et où les étants et les mondes dépassent tout nombre en quantité, sont littéralement innombrables. Voir encore sur ce point 9.4.2.

Dans l'Antiquité, c'est ici semble-t-il que doit se terminer la branche réaliste plura-
liste, au point de l'opposition entre continuisme et actualisme. Ou bien tout ce qui est
pensable est actuel, peut être considéré comme donné dans une totalité, ou bien la réa-
lité est divisible à l'infini et la grandeur est continue. La mathématique contemporaine,
pourtant, sous la forme de la théorie des ensembles, offre en ce point une tierce possi-
bilité philosophique, sur laquelle Bertrand Russell a fameusement bâti, et une partie de
la philosophie contemporaine à sa suite<fnref n="15" />. Le continuisme actualiste admet la vérité de
la géométrie, il admet que toute grandeur est divisible et qu'une division puisse aller à
l'infini. Mais, fort de la construction ensembliste, il est prêt à considérer comme totalité
donnée l'ensemble des résultats d'une procédure inachevable (annulant ainsi l'aporie du
Limité et de l'Illimité), prêt à ce que la grandeur continue soit composée de ce qui n'a
aucune grandeur (annulant l'aporie de l'Un et du Multiple, et l'aporie du Grand et du
Petit).

Ayant épuisé la branche réaliste jusque dans l'anticipation du contemporain, on peut
alors remonter l'arborescence jusqu'au premier sommet, pour considérer l'ensemble des
traditions antiques qui, face à la contradiction que la raison manifeste dans le sensible, ne
ressentent pas le souci d'une résolution, car elles ne croient pas en une théorie rationnelle
et cohérente du sensible. Ne pas avoir le souci de l'aporie ne dispense cependant pas de la
recevoir, de l'intégrer dans sa conception. On peut alors opérer les distinctions requises.

La première question est la suivante : en rejetant le réalisme, l'idée d'une théorie cohé-
rente du sensible, rejetons-nous pour autant toute idée d'une science, d'un logos absolu-
ment vrai ? Nommons aléthéisme l'admission d'un tel logos. Si on le rejette, rejetons-nous
pour autant la philosophie elle-même, considérée par exemple comme l'exigence d'accor-

<footnote n="15">15. En réalité cette tierce possibilité philosophique hantait potentiellement l'Europe depuis au moins le XIVe siècle. On trouve par exemple chez Grégoire de Rimini des raisonnements allant dans le sens de l'existence actuelle de toutes les parties possibles du continu. Cf. Joël Biard et Jean Celeyrette (éd.), *De la théologie aux mathématiques. L'infini au XIVe siècle*, Les Belles Lettres, 2005, p. 197-219.</footnote>
der sa confiance dans le logos et ses lois, y compris pour fonder la pratique? Si on rejette jusqu'à la philosophie, notre pratique du discours peut être qualifiée de sophistique, au sens de la pratique de Gorgias et Protagoras. Si le discours produit des contradictions, cela ne nous choque alors point, car le discours est pour nous essentiellement puissance d'une chose et de son contraire, outil politique et rhétorique dépendant des personnes et des circonstances, et sur lequel on ne saurait se fonder. Si, au contraire, on maintient l'exigence philosophique quoique l'on ait abandonné l'idée d'une science, d'un logos de la vérité, on tend alors au scepticisme tel qu'il se manifeste chez Sextus Empiricus. Si nous avons de bonnes raisons de croire dans la réalité de la pluralité, et aussi de bonnes raisons de croire en son irréalité, nous pouvons suspendre notre jugement et ne rien affirmer.

Mais si l'on maintient qu'il y a un discours de vérité, une science, tout en rejetant l'idée d'un discours cohérent sur le sensible, est-ce que cela signifie qu'il y a quand même un discours vrai mais non-cohérent sur le sensible, une science de la réalité extérieure qui pense celle-ci comme en soi incohérente ? Cette position, soutenant que les contradictoires sont vrais du monde, pourrait être nommée dialéthéisme. Nous n'avons pas la certitude qu'une telle position ait été soutenue d'une manière susceptible d'intégrer en elle les arguments de Zénon. Mais si elle a existé, elle aurait pu être celle de Pyrrhon d'Élis, selon l'interprétation “métaphysique” de sa doctrine du « ou mallon », « pas davantage »<fnref n="16" />. En un sens, on pourrait dire que la doctrine de Pyrrhon ainsi reconstituée constitue une forme de réalisme des contradictoires, mais nous avons désiré la séparer des autres formes de réalismes pour que les distinctions soient fonction du type de regard porté sur la contradiction soulevée par les arguments de Zénon.

Si on ne soutient pas, en revanche, qu'il y ait une science contradictoire, ou une science de la vérité de l'inconsistant, il faut admettre que cette science n'est pas une science du monde sensible. Cette place dans l'arbre, comme nous aurons l'occasion de l'examiner, pourrait être celle de Platon, soutenant dans le Parménide qu'il n'y a pas à s'émouvoir de la contradiction et l'inconsistance dans le sensible, mais qu'il faudrait

<footnote n="16">16. Cf. par exemple BETT, « Pyrrho » cit.</footnote>
s'émerveiller de ce que la même contradiction soit démontrée dans les intelligibles, dans les véritables objets de la science<sup>17</sup>. Cette position platonicienne pourrait également être, quoique cela mériterait une nouvelle division, la position éléatique, du moins selon les interprétations qui refusent de faire de Parménide un penseur de l'univers étendu.

<footnote n="17">17. 128e-130a</footnote>
<figure><img src="image_21.png" /></figure>
# Chapitre 5

## Contre le mouvement

### 5.1 La paraphrase d'Aristote

Nonobstant sa splendide dialectique du continu, la célébrité de Zénon provient presque exclusivement de quatre arguments apparemment dirigés contre le mouvement, restitués par Aristote au chapitre 9 du livre VI de sa *Physique*. Le contexte du passage est le suivant :

Dans la *Physique*, ou, pour traduire plus littéralement le titre du texte qui nous est transmis, les *Leçons de Physique*<fnref n="1" />, Aristote entreprend ni plus ni moins de fonder une science de la nature comme telle et d'en exposer les éléments les plus généraux. Déterminant la nature comme un principe de mouvement et de changement, il va consacrer la grande majorité de l'ouvrage, à partir du troisième livre, à l'étude du changement, étudiant dans les livres III et IV les éléments se présentant comme des conditions du mouvement, à savoir l'infini, le continu, le lieu, le vide et le temps, puis dans les livres V à VII traite du changement en général et plus particulièrement, notamment dans le livre VI, du *mouvement local* ou *déplacement*, qui pour diverses raisons a un rôle privilégié dans l'étude de la nature<fnref n="2" />. Dans les premiers chapitres du livre VI est menée une étude

<footnote n="1">1. Sur la nature de ce texte, il faut consulter le magnifique article de Jacques Brunschwig, qui constitue aussi une première introduction à la philologie, Jacques Brunschwig, « Qu'est-ce que "la Physique" d'Aristote? », in *La Physique d'Aristote*, et les conditions d'une science de la nature, sous la dir. de François De Gandt et Pierre Souffrin, Séminaire d'Epistémologie et d'Histoire des Sciences de Nice, Vrin, 1991, p. 11-40.</footnote>

<footnote n="2">2. Le huitième et dernier livre a un statut un peu à part, traitant spécifiquement des conditions causales</footnote>
serrée des rapports entre le mouvement et le repos, leurs limites, et le temps et l'instant ou maintenant, démontrant en général que tout mouvement comme tout repos doivent prendre place dans un temps continu et encore divisible. Ayant traité du rapport entre repos et instant, Aristote enchaîne dans le chapitre 9 en relevant à ce sujet une erreur de raisonnement chez Zénon, dans un argument qu'il rapporte de façon allusive, supposant apparemment chez son auditoire une connaissance préalable de celui-ci. Cela n'est pas la première fois qu'Aristote procède ainsi dans la *Physique*, on a un passage semblable dans le livre IVº à propos de l'argument contre le lieu, et plus haut dans le livre VIº à propos d'une version de la Dichotomie. Mais ici, à l'occasion de cette réfutation, il entreprend un exposé en bonne et due forme des arguments de Zénon contre le mouvement, consacrant à leur analyse et réfutation ce qui constitue la quasi-intégralité du chapitre 9, dont le ton paraît spécialement didactique et professoral.

La restitution des arguments contre le mouvement dans ce livre est, sauf erreur de notre part, la seule source première que nous ayons à leur sujet (toutes les autres dérivant de celle-ci), ou du moins la seule qui soit généralement reconnue. Même à leur égard, il n'y a pas de consensus sur leur nature, sur si elles sont au moins partiellement des *citations*, témoignages directs de mots employés par Zénon, ou de simples reconstructions sans valeur philologique.

La résolution aristotélicienne de Zénon mérite d'être considérée dans le cadre de l'ensemble de son système. Dans cette section, nous considèrerons le texte d'Aristote exclusivement comme source, mais pour préserver le contexte nous recopions l'ensemble du passage¹:

> Mais Zénon raisonne mal : [LM D16a] Si, en effet, dit-il, toute chose est toujours en repos quand elle est dans un [scil. endroit] égal, et que ce qui se meut est toujours dans le moment

<footnote>de l'existence d'un mouvement en général dans l'univers, argumentant pour une existence éternelle du mouvement ayant pour cause ultime un premier moteur immobile.</footnote>

<footnote n="3">3. 209a24.</footnote>

<footnote n="4">4. 233a21.</footnote>

<footnote n="5">5. *Physique*, VI, 9, 239b5-240a18. Nous soulignons les passages équivalents aux passages numérotés dans LM dont nous reprenons les traductions, et nous graissons en particulier ce qu'Aristote présente comme *conclusion* de l'argument.</footnote>
présent¹, la flèche qui se déplace est immobile. Mais cela est faux. Car le temps n'est pas composé d'indivisibles moments présents, pas plus que ne l'est aucune autre grandeur.

[D1] Il existe quatre arguments de Zénon sur le mouvement qui présentent des difficultés pour ceux qui cherchent à les résoudre. [D14] Le premier est qu'il n'y a pas de mouvement parce que ce qui se déplace doit atteindre la moitié avant de parvenir au terme ; nous en avons traité auparavant.

[D15a] Le second est celui qu'on appelle “l'Achille”. Il consiste à dire que **le plus lent ne sera jamais rattrapé dans sa course par le plus rapide**. Il est en effet auparavant nécessaire que le poursuivant arrive à l'endroit d'où le fuyard s'est élancé, de sorte qu'il est nécessaire que le plus lent ait toujours quelque avance. Cet argument est aussi le même que celui de la procédure dichotomique, mais il en diffère en ce que la grandeur supplémentaire n'est pas divisée par moitié. [R19] Que le plus lent ne soit pas rattrapé résulte de l'argument, mais cela advient pour la même raison que pour la dichotomie (dans les deux cas en effet, il se produit qu'on ne parvient pas jusqu'à la limite quand la grandeur est divisée d'une certaine façon : ce qui s'ajoute dans celui-ci [i.e. le deuxième argument] est qu'il n'en ira même pas ainsi dans le cas théâtral de l'individu le plus rapide lancé à la poursuite du plus lent²], de sorte qu'il est nécessaire que la solution soit identique. Mais penser que ce qui a de l'avance n'est pas rattrapé est faux ; en effet, tant qu'il a de l'avance, il n'est pas rattrapé ; mais il est pourtant rattrapé, si l'on accorde qu'il est possible de traverser complètement une [scil. distance] limitée.

Voici donc deux arguments ; [D16b] Le troisième vient juste d'être mentionné ; il consiste à dire que **la flèche qui se déplace est immobile**. [R20] Cela se produit parce qu'on suppose que le temps est composé d'instants³ ; en effet, si on n'accorde pas cela, il n'y aura pas argument [i.e. la conclusion ne suivra pas.].

[D18] Le quatrième est celui de corps de mêmes dimensions qui se meuvent à une vitesse égale dans un stade et passent le long d'autres corps de mêmes dimensions en sens opposé, les

<footnote n="6">6. Le terme employé ici et traduit par « moment présent » par LM est l'adverbe “maintenant” (nûn) dans un emploi substantivé : « le maintenant ». On comprend généralement ce terme comme à peu près équivalent à notre terme “d'instants”, et il faut noter que c'est le terme qu'utilise systématiquement Aristote dans la *Physique*, y compris de façon technique.</footnote>

<footnote n="7">7. Ici nous modifions la traduction pour faire valoir le superlatif. Ce morceau de phrase est traduit de diverses façons et fait l'objet de diverses interprétations sur lesquelles nous revenons plus loin.</footnote>

<footnote n="8">8. Ou de “maintenants”, nûn, cf. n. 3 p. 3.</footnote>
uns partant de l'extrémité du stade, les autres du milieu, cas dont il résulte, à ce qu'il croit, que **la moitié d'un temps est égale au double**. [R21] Le paralogisme consiste à penser qu'un corps de même dimension se mouvant à la même vitesse se meut en un temps égal aussi bien le long d'un corps en mouvement que le long d'un corps en repos. Mais cela est faux. Par exemple, appelons AA les corps de même dimension qui sont en repos ; BB ceux qui partent du milieu [du stade], et qui sont égaux aux premiers en nombre et en grandeur ; et CC ceux qui partent de l'extrémité [du stade], qui sont égaux en nombre et en grandeur, et ont une vitesse égale aux B. Il s'ensuit que, quand ils se meuvent le long l'un de l'autre, le premier B parvient au dernier [B] en même temps que le premier C [parvient au dernier B] ; et il s'ensuit aussi que [le premier] C a franchi tous les B, et [le premier] B seulement la moitié [des A], de sorte que le temps est de moitié ; en effet, chacun est le long de l'autre durant un temps égal. Et il s'ensuit en même temps que [le premier] B a franchi tous les C ; en effet, le premier C et le premier B parviendront aux extrémités situées à l'opposé simultanément, [le premier C] se trouvant le long de chacun des B et de chacun des A pendant un temps égal, comme il dit, parce que les uns et les autres passent un temps égal à côté des A.

## 5.2 L'objet des arguments

Revoici les quatre arguments dans l'ordre et la formulation elliptique aristotélicienne :

1. Le premier est qu'il n'y a pas de mouvement parce que ce qui se déplace doit atteindre la moitié avant de parvenir au terme.

2. Le second qu'on appelle l'Achille consiste à dire que **le plus lent ne sera jamais rattrapé dans sa course par le plus rapide** parce que le poursuivant devant toujours auparavant parvenir à l'endroit d'où le fuyard s'est élancé, le fuyard a toujours quelque avance.

3. Le troisième consiste à dire que **la flèche qui se déplace est immobile**, car

<footnote n="9">9. Nous avons modifié la traduction et surtout l'interprétation des pronoms et des ellipses, ne par-
venant pas à comprendre celle de LM. Ceux-ci reconnaissent que le texte est difficile à établir et la
reconstruction controversée. Nous suivons (à peu près) l'interprétation de Simplicius, reprise par Pierre
Pellegrin (ARISTOTE, *Physique* cit., p. 347-8), et la restitution du texte donnée par Palmer.</footnote>
toute chose est toujours en repos quand elle est dans un endroit égal et que ce qui se meut est toujours dans le moment présent.

4. Le quatrième consiste à dire que la moitié du temps est égale au double quand des corps de mêmes dimensions se meuvent à une vitesse égale dans un stade et passent le long d'autres corps de mêmes dimensions en sens opposé, les uns partant de l'extrémité du stade, les autres du milieu.

La tradition et les écoles interprétatives sont unanimes à considérer que Zénon offre là quatre arguments contre le mouvement. Nous voudrions cependant faire remarquer qu'à la lettre, il n'y a qu'un seul des quatre arguments qui ait pour objet explicite l'inexistence ou l'impossibilité du mouvement, et il s'agit de celui qui procède par la dichotomie.

Rappelons l'hypothèse interprétative générale : Zénon a rédigé un ouvrage contenant de très nombreux arguments contre l'hypothèse « si elles sont plusieurs », qu'il nous faut comprendre comme l'idée que le tout de la grandeur (notamment le tout de la grandeur du monde) est divisible en une pluralité d'entités qui le composent. Ces arguments procèdent en déduisant, à partir de l'hypothèse de la pluralité, des prédicats directement contraires s'appliquant aux choses plurielles (si elles sont plusieurs, elles sont à la fois finies et infinies, etc.), réduisant l'hypothèse à la contradiction. Parmi ces couples de prédicats contraires, Platon suggère que l'on pouvait trouver "semblable et dissemblable", "uns et multiples", et, donc, "en mouvement et en repos".

Si les arguments contre le mouvement prennent place dans un tel cadre, il faut les considérer tous ensemble comme formant une branche de la démonstration double, dont l'autre branche démontrait la nécessité du mouvement à partir de l'hypothèse de la pluralité. Nous ignorons la nature de cette démonstration, trop peu spectaculaire, si elle a seulement existé, pour nous avoir été conservée. Pour démontrer au contraire la nécessité du repos, Zénon procède manifestement par une réduction à l'impossible de l'hypothèse du mouvement, le repos étant mis en équivalence avec l'absence de mouvement.

La Dichotomie sert adéquatement et explicitement le rôle d'une réduction à l'impossible de l'hypothèse du mouvement, étant donnée l'hypothèse de la pluralité : on ne
conçoit pas de mouvement si tout est un ; mais si la grandeur est divisible, et qu'une chose se déplace au sein de la grandeur divisible, alors on peut notamment diviser la grandeur à parcourir en deux parties égales, et « ce qui se déplace doit atteindre la moitié avant de parvenir au terme. » Mais selon une ligne de raisonnement qui a été élaborée dans le contexte des arguments cités par Simplicius, « cela revient au même de le dire une fois et de le dire toujours », autrement dit la division de la distance en deux moitiés produit une nouvelle moitié à parcourir, c'est-à-dire reproduit les conditions de la division. Le raisonnement itératif montre l'inachevabilité du processus de division, et l'infinité des étapes à parcourir. Mais qu'il y ait un mouvement en général demande au moins à ce qu'un mouvement en général puisse s'achever. Le mouvement étant prouvé illimité dans ses étapes successives, autrement dit inachevable, cela est impossible ; autrement dit il n'y a pas de mouvement.

Dans cet argument (nous reviendrons dans un instant à la justification de cette interprétation) nous reconnaissions des traits caractéristiques de ce qui nous est rapporté de Zénon par Simplicius<sup>10</sup> : l'argument est extrêmement abstrait et général, sans aucune référence à des choses communes ; il se contente d'utiliser les déterminations immanentes à l'objet examiné (le mouvement suppose la progression au sein de la grandeur, supposée ici divisible, l'argument considère donc uniquement la progression dans les parties supposées réelles de cette grandeur) ; il utilise un raisonnement itératif conduisant à une illimitation ; il va droit à la démonstration de ce qu'il veut montrer<sup>11</sup>.

Les trois autres arguments se distinguent avant tout par une particularité : tous portent sur une forme de situation concrète, ou sont pour ainsi dire “illustrés”. On peut même être plus précis et noter qu’ils produisent un raisonnement potentiellement très général, mais font figurer un particulier dans leurs étapes ou leur conclusion : le raisonnement de “l’Achille” n’avait nul besoin de faire référence à une course, et de porter sur un poursuivant et un fuyard, a fortiori nul besoin de faire référence à Achille. La “Flèche”, telle qu’elle est restituée par Aristote, raisonne directement sur tout mobile

<footnote n="10">10. Mis à part bien entendu le dialogue sur le grain de mil, face auquel nous admettons une certaine perplexité.</footnote>

<footnote n="11">11. Même si la démonstration est techniquement “indirecte”, comme dans l’argument contre le lieu.</footnote>
quel qu'il soit, et pourtant la conclusion porte sur « la flèche qui se déplace ». Dans le “stade”, la mention du “stade”, justement, paraît parfaitement superflue. En outre, ils ne paraissent pas directement adaptés à leur fonction supposée de réfutation du mouvement. Il est vrai qu'ils déduisent une apparente absurdité, et semblent soutenir l'incohérence du mouvement. On peut aisément, et les commentateurs depuis l'Antiquité ont été unanimes à le faire, les considérer comme des réductions à l'absurde. Mais outre que la démonstration serait alors significativement plus contournée que le reste de ce qui a survécu de Zénon, tous introduisent de nouvelles déterminations, ne serait-ce que le *maintenant*, la *différence des vitesses*, ou la *différence des directions*. On peut donc dire que ces trois arguments sont *plus concrets*, en deux sens du terme : à la fois parce qu'ils comportent des références à des entités particulières concrètes, et parce qu'ils comportent une plus grande richesse de déterminations, leur objet ressemblant davantage en cela à des objets du sens commun.

Que faire de tout cela ? On peut se contenter de relever la différence de style, qui après tout n'est pas interdite à Zénon. On pourrait aussi suggérer que ces trois arguments entendent plus directement montrer *l'inconsistance des idées du sens commun*, ou des discours communs sur le monde sensible apparent. Qu'ils ne sont pas tant des démonstrations de l'impossibilité du mouvement que de la contradiction cachée dans les discours et les idées que contredit l'éléatisme (aussi bien les idées populaires que celles de théories adverses, pour revenir à l'hypothèse pythagoricienne). Après tout, Parménide et les Éléates sont communément connus comme des négateurs du *mouvement*, en plus d'être des négateurs de la *pluralité*. Si l'ouvrage de Zénon entend “tourner en ridicule” les contradicteurs de Parménide sur la question de la pluralité, on ne doit pas trouver trop surprenant que, dans ce même ouvrage ou peut être ailleurs, il tourne en ridicule, par d'autres moyens stylistiques, les contradicteurs de Parménide sur la question du mouvement<fnref n="12" />.

<footnote n="12">12. Nous pouvons dire un mot sur une question qui revient souvent dans la question de l'interprétation de Zénon, qui est celle de savoir si nous devons dire que Zénon tente de prouver l'impossibilité du mouvement, ou son impensabilité, ou son irrationalité, etc., dans une perspective qui part souvent du principe qu'il serait aberrant d'attribuer à Zénon l'intention stupide de prouver la non-existence de ce qui est pour nous toutes et tous évident. Mais cette question n'est pas si intelligible qu'il y parait. En</footnote>
## 5.3 Le nombre et l'ordre des arguments

Avant les arguments eux-mêmes, Aristote nous indique qu'ils sont au nombre de quatre, et il les énonce dans un certain ordre. Il n'y a pas, néanmoins, de consensus sur la valeur de ces informations. Le texte d'Aristote dit exactement la chose suivante (LM D1, DK A25)¹³ :

> Il existe quatre arguments de Zénon sur le mouvement qui présentent des difficultés pour ceux qui cherchent à les résoudre.

La traduction de Laks et Most est relativement littérale, et elle préserve en français l'ambiguïté du grec : y a-t-il en tout quatre arguments de Zénon sur le mouvement, arguments qui, par ailleurs, présentent des difficultés, ou Aristote veut-il parler de quatre arguments particulièrement intéressants et difficiles, parmi ceux que Zénon a soulevés contre le mouvement ? L'ambiguïté est relevée par Simplicius. De même, l'ordre dans lequel les arguments sont donnés pourrait être leur ordre de présentation par Zénon, ou simplement l'ordre dans lequel Aristote décide de les énoncer.

Sur la question du nombre des arguments, il y a une source antique qui contredit le nombre de quatre, à savoir le commentaire d'Élias aux *Catégories* d'Aristote (LM D3), qui donne le nombre de cinq. Nous croyons que le commentaire d'Élias n'est pas ici fiable

<footnote>effet nous n'avons pas de concept général de l'impensabilité ou de l'irrationalité tel que nous pourrions dire avec confiance qu'il est entendu pareillement par Zénon et par nous, et nous manquons tout à fait d'éléments vraiment signifiants pour attribuer une épistémologie un tant soit peu développée à Zénon. Ce que nous savons, c'est qu'il a formulé des arguments qui réduisent à la contradiction directe des hypothèses, en vue semble-t-il de montrer que celles-ci sont intenables. Qu'il prouve l'impossibilité du mouvement au sens de la réduction à l'impossible est bien la seule chose positive que nous pouvons dire, indépendamment de la manière dont nous pouvons lui assigner ou non un projet philosophique. Ce mystère sur l'intention d'un argument littéralement incroyable nous renvoie en fait à la question parménidienne, et à la question du rapport entre les deux parties du *Poème* et le statut du domaine de l'opinion. Nous ne voulons pas entrer dans cette question, mais on trouve dans l'ouvrage de Benardete une caractérisation extrêmement séduisante de ce qui pourrait être un parménidisme de Zénon, que nous ne résistons pas à citer, quoi que nous ne sommes pas certain d'en partager les thèses : "Did Zeno really believe that there is no motion? We can scarcely credit that possibility. Even if we grant that his sceptical conclusions appear to follow logically in a dialectical discussion, yet to believe them seems next door to madness when one consider the facts. How, then, did Zeno understand the import of his paradoxes? As a disciple of Parmenides, he was led to transcend sense-perception and to disregard it on the ground that 'one ought to follow the argument'. This, then, was the great legacy of Parmenides to philosophy: 'One ought to follow the argument', the λόγος; one's own personal sentiments are unimportant. The question of belief simply does not arise. At any rate, it does not arise in the way that we are inclined to expect it to arise. For though it is impossible to suppose that Zeno actually believe that there is no motion, it is not difficult to suppose that he really believed his arguments to be irrefutable.".
José A. Benardete, *Infinity. An Essay in Metaphysics*, Clarendon Press, Oxford 1964, p. 2-3.</footnote>
et ne peut pas compter comme source indépendante. Il semble en fait qu'il compile ici différentes sources d'informations, et on peut peut-être expliquer le nombre de cinq en référence à un autre argument contre le mouvement attribué à Zénon par Diogène (LM D17<sup>14</sup>) :

> Zénon supprime le mouvement en disant : « Ce qui se meut ne se meut ni dans le lieu où il est ni dans celui où il n'est pas. »

Dans DK, cet argument est identifié à l’argument de la “Flèche”, et les éditeurs le considèrent comme une authentique source textuelle. Mais comme de nombreux commentateurs l’ont remarqué, l’identification à la “Flèche” ne fonctionne pas vraiment, tant sur le plan argumentatif que sur le plan stylistique. L’argument cité par Diogène est absolument général et ne porte pas sur une flèche ou un quelconque objet déterminé. Il prouve directement l’impossibilité du mouvement, et ne parle pas d’un paradoxe interne au mouvement énonçant que « l’objet qui se déplace est immobile ». Enfin, il se fonde sur un dilemme logique disjonctif (ou bien… ou bien…) relatif au *lieu*, et non sur une propriété de l’*instant*. À tous égards il ne s’agit pas du même argument. Remarquons qu’il n’est pas pour autant exclu qu’il s’agisse d’une citation de l’ouvrage de Zénon, d’un véritable cinquième argument zénonien contre le mouvement. En effet, les traits qui servent à le distinguer de la “Flèche” sont aussi des traits qui l’assimilent au style des autres arguments que nous supposons appartenir à l’ouvrage. L’hypothèse reste pourtant très peu fondée. D’une part le témoignage de Diogène n’est pas très ferme : un peu plus loin, dans la *Vie* de Pyrrhon, l’argument est repris comme argument sceptique en général, et il n’est pas du tout mentionné dans la *Vie* de Zénon (pas plus qu’il ne lui est attribué par une autre source indépendante) ; d’autre part et surtout, Sextus Empiricus attribue beaucoup plus fermement cet argument à Diodore Cronos<sup>15</sup>, et la forme est généralement caractéristique de cet auteur, notamment le dilemme disjonctif<sup>16</sup>. Qu’il

<footnote n="14">14. *Vies*, 9.72 (Vie de Pyrrhon).</footnote>

<footnote n="15">15. SEXTUS EMPIRICUS, *Esquisses pyrrhoniennes* cit., III, 71, p. 407 et II, 245, p. 345, Sextus Empiricus, *Against the Physicists*, trad. du grec, annot. et introd. par Richard Bett, Cambridge University Press, 2012, II. 87-96, pp. 97-9.</footnote>

<footnote n="16">16. SEDLEY, « Diodorus Cronus and Hellenistic Philosophy » cit., p. 84-85.</footnote>
y ait possibilité de confusion entre les arguments de Zénon et Diodore n’est d’ailleurs qu’un des signes de la postérité zénonienne chez ce dernier.

Mis à part l’argument diodoréen et le compte d’Élias, nous n’avons aucune source indépendante pour trancher si Zénon est ou non l’auteur d’exactement quatre arguments contre le mouvement.

En ce qui concerne l’ordre dans lequel les arguments nous sont présentés, différents commentateurs ont tenté de les organiser systématiquement, généralement selon une distinction du continu et du discret, parfois sous la forme d’un *dialogue* continu qui fait passer d’un argument à l’autre par une variation dans les hypothèses soumises par un adversaire imaginaire. Les tentatives de ce genre sont certainement intéressantes, et valent pour ainsi dire “en soi”, ou pour la postérité philosophique<fnref n="17" />. Il est néanmoins possible d’indiquer certaines de leurs limitations. Outre qu’elles manquent souvent de support historique concret, elles présentent peut-être l’inconvénient de mettre les quatre arguments sur le même plan, en dépit de leur différence stylistique; de plus, elles introduisent souvent une distinction théorique entre continuisme et atomisme, qui ne semble pas vraiment avoir lieu d’être comme telle chez Zénon – en ce sens que rien n’indique que Zénon s’attaque successivement à des *adversaires* différenciés, ou des *théories* multiples.

Cela ne veut pas dire que l’opposition du continu et du discret est sans pertinence ici, et nous allons nous même nous risquer, dans la section suivante, à une systématisation des arguments.

## 5.4 La Flèche et le Stade

Nous ne nous étendrons pas sur les arguments de la Flèche et du Stade, pour plusieurs raisons. La principale est que ces arguments ne font remarquablement *pas* usage d’un procédé itératif, et par conséquent ne concernent pas directement les problèmes que nous voulons soulever ici. La seconde est que le texte même des arguments, *a fortiori*

<footnote n="17">17. Elles se rattachent d'ailleurs à une ancienne tradition interprétative, remontant au moins à Sextus Empiricus, qui met sous forme de dialogue continu les modes d'Agrippa ou des arguments contre le mouvement manifestement d'origine zénonienne sans qu'il semble lui-même avoir conscience de cette origine. Cf. SEXTUS EMPIRICUS, *Esquisses pyrrhoniennes* cit., I, 170-7, pp. 143-7, III, 76-7, pp. 409-10.</footnote>
l'interprétation qu'il convient d'en faire, sont contestés, et que ces questions débordent, à nouveau, le champ de cette étude. Nous entrerons aussi peu que possible dans les débats interprétatifs, et nous contenterons de quelques remarques sur la forme argumentative et la relation entre les quatre arguments transmis par Aristote, et entre ceux-ci et les apories du continu transmises par Simplicius.

Citons à nouveau notre source, pratiquement unique, aristotélicienne :

> Mais Zénon raisonne mal : [LM D16a] Si, en effet, dit-il, toute chose est toujours en repos quand elle est dans un [scil. endroit] égal, et que ce qui se meut est toujours dans le maintenant, la flèche qui se déplace est immobile. Mais cela est faux. Car le temps n'est pas composé d'indivisibles maintenants, pas plus que ne l'est aucune autre grandeur.

[...]

[D16b] Le troisième [...] [argument de Zénon présentant des difficultés] vient juste d'être mentionné ; il consiste à dire que la flèche qui se déplace est immobile. [R20] Cela se produit parce qu'on suppose que le temps est composé de maintenants ; en effet, si on n'accorde pas cela, il n'y aura pas argument [i.e. la conclusion ne suivra pas.].

[D18] Le quatrième est celui de corps de mêmes dimensions qui se meuvent à une vitesse égale dans un stade et passent le long d'autres corps de mêmes dimensions en sens opposé, les uns partant de l'extrémité du stade, les autres du milieu, cas dont il résulte, à ce qu'il croit, que la moitié d'un temps est égale au double. [R21] Le paralogisme consiste à penser qu'un corps de même dimension se mouvant à la même vitesse se meut en un temps égal aussi bien le long d'un corps en mouvement que le long d'un corps en repos. Mais cela est faux.

Par exemple, appelons AA les corps de même dimension qui sont en repos ; BB ceux qui partent du milieu [du stade], et qui sont égaux aux premiers en nombre et en grandeur ; et CC ceux qui partent de l'extrémité [du stade], qui sont égaux en nombre et en grandeur, et ont une vitesse égale aux B. Il s'ensuit que, quand ils se meuvent le long l'un de l'autre, le premier B parvient au dernier [B] en même temps que le premier C [parvient au dernier B]; et il s'ensuit

<footnote n="18">18. Comme indiqué plus haut, nous avons modifié la traduction et surtout l'interprétation des pronoms et des ellipses, ne parvenant pas à comprendre celle de LM. Ceux-ci reconnaissent que le texte est difficile à établir et la reconstruction controversée. Nous suivons (à peu près) l'interprétation de Simplicius, reprise par Pierre Pellegrin (ARISTOTE, *Physique* cit., p. 347-8), et la restitution du texte donnée par Palmer.</footnote>
aussi que [le premier] C a franchi tous les B, et [le premier] B seulement la moitié [des A], de sorte que le temps est de moitié ; en effet, chacun est le long de l'autre durant un temps égal. Et il s'ensuit en même temps que [le premier] B a franchi tous les C ; en effet, le premier C et le premier B parviendront aux extrémités situées à l'opposé simultanément, [le premier C] se trouvant le long de chacun des B et de chacun des A pendant un temps égal, comme il dit, parce que les uns et les autres passent un temps égal à côté des A.

Nous nous en tiendrons ici aux interprétations minimales que nous pouvons faire des textes.

## 5.4.1 La Flèche

La Flèche pose deux postulats :

1. Toujours (en tout temps), ce qui se trouve dans un intervalle égal à lui-même est au repos.

2. Toujours (en tout temps), ce qui se meut est dans le maintenant.

Et il en tire la conclusion selon laquelle « La flèche qui se déplace est immobile », et plus généralement, semble-t-il, « le mobile est au repos ».

Pour parvenir à la conclusion, il semble manquer la prémisse suivante, à première vue inoffensive, qui complète le raisonnement :

3. Dans le maintenant, un mobile se trouve dans un intervalle égal à lui-même.

D'où l'on tire :

A. Un mobile se trouve toujours dans un intervalle égal à lui-même (par 2 et 3).

B. Un mobile est toujours au repos (par A et 1).

Si tel est bien l'argument, on pourrait lui opposer une objection évidente, qui consisterait à nier tout simplement la première prémisse, et à dire qu'être au repos consiste, non pas à se trouver dans un temps dans un égal, mais – au moins – à être dans un même
égal dans *plusieurs* temps distincts. Mais l'objection aristotélicienne ne se formule pas ainsi, et semble concéder d'une certaine manière la première prémisse, et porter sur la deuxième, ou sur la manière d'interpréter la deuxième. Aristote refuse que l'on affirme que le mobile soit toujours dans le maintenant, ou qu'on puisse tirer de cette affirmation l'idée d'une *universalité temporelle* du maintenant. Il refuse que l'on comprenne qu'être dans un temps consiste universellement à être dans des maintenants. En effet, on re-marque que ces arguments font un usage très différent du « toujours », « *aei* », qui ne renvoie plus à une itération indéfinie, mais, semble-t-il, à une *composition universelle*. Pour Aristote, si on accordait la composition du temps à partir de *minima* – qui seraient les maintenants –, l'argument porterait, parce qu'il permettrait de passer de ce qui vaut « dans le maintenant » à ce qui vaut « en tout temps ».

### 5.4.2 Le Stade

Le Stade est moins clair, mais nous en retenons l'interprétation minimale suivante, dont le détail nous importe peu :

Un corps d'une dimension donnée (disons D) et d'une vitesse donnée V traverse un corps d'une certaine dimension (reprenons D à nouveau) en un certain temps T donné. On aurait

$$V = \frac{D}{T}, \quad D = V * T, \quad T = \frac{D}{V}$$

Soit maintenant le dispositif suivant, où deux mobiles BB et CC de dimension égale D, se mouvant à vitesse égale V mais dans des directions opposées, se croisent le long d'un objet immobile AA de même dimension D :

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

Le mobile CC a, durant ce déplacement à vitesse V, croisé entièrement le mobile BB de dimension D. Si $V = \frac{D}{T}$, le temps a donc été de T. Mais il a aussi croisé la moitié