gauche. Et cette supposition vaut également pour le mécanisme adjoint. S'il s'agit en revanche d'en avoir *fini* avec la présence d'une bille à gauche, alors ou bien il y a une bille à gauche à l'issue du processus, ou bien il n'y en a pas, et on peut supposer que le mécanisme adjoint ne va pas tarder à en remettre une. La tâche d'en avoir absolument *fini* avec les billes à gauche est alors dans ce cas en effet impossible à accomplir, mais pas du fait de l'impossibilité d'accomplir une tâche infinie, simplement du fait qu'on a prescrit une tâche impossible (qui se trouve, aussi, être une tâche infinie), du type : « remplir trois trous avec deux piquets ».

Il y a, il est vrai, un problème apparent qui est manifeste dans le problème des piquets, comme dans l'hypothèse selon laquelle la machine Bêta est simplement constituée de deux machines Alpha symétriques. Quel est le résultat à l'issue du procédé zénonien, si on suppose que l'action cesse à l'instant de convergence ? Les trois trous étant supposés équivalents, les deux machines symétriques. La réponse est : *on ne sait pas*, cela n'a pas été prescrit par l'hypothèse. Cela pourtant ne veut pas dire qu'il y a contradiction, simplement qu'il y a indétermination, que l'état limite n'a pas été défini, ou que la symétrie n'est pas respectée (et parfois peut-être ne *peut pas* être respectée). Ce problème se reposera à l'identique pour la lampe dite de Thomson.

Quoique nous ayons entrepris de pleinement jouer le jeu, nous trouvons qu'il y a quelque chose de tragique au fait que la discussion ait été rapidement capturée par la question de contradictions spécifiques exhibées par divers dispositifs plus ou moins sophistiqués. Car il est manifeste que même si un dispositif suffisamment bien décrit produisait une contradiction si l'on postulait qu'il puisse parvenir à terme, cette contradiction ne pourrait jamais être transférée au cas zénonien. Il nous semble clair, pourtant, que Max Black avait bien originellement à l'esprit le problème de l'inachevabilité, l'absurdité à supposer achevé ce qui est par construction inachevable. Croyant explicitement pouvoir exhiber une contradiction dans la supposition d'un être achevé de l'infini, il a mené l'expérience de pensée du compte infini sur un terrain où ultimement elle ne pouvait qu'échouer.

Et en réalité, le texte de Black lui-même trahit le fait, souvent constaté au long
de cette littérature, que les partisans de l'impossibilité ne savent pas tout à fait ce qu'ils veulent, ou prétendent vouloir démontrer la contradiction de l'état final alors qu'ils ont réellement autre chose en tête. La section 18 de son article affirme en effet clairement le lieu où Max Black perçoit le problème : 1/ les supposées tâches infinies sont profondément indéterminées, c'est-à-dire que le processus en tant que tel sous-détermine son résultat, qui doit être postulé plus ou moins arbitrairement (notamment dans le cas des deux machines Alpha symétriques), et 2/ pour toute machine infinie, une forme de discontinuité se manifeste dans le résultat, à l'instant t, par rapport au processus qui précède, au sens où ce résultat n'est pas égal à la limite de ce qui le précède<fnref n="49" />. On le voit le plus clairement de nouveau dans le cas des deux machines Alpha symétriques, cas équivalent à la lampe de Thomson : la série alternant bille à gauche/bille à droite ne converge pas, en sorte que, quel que soit le résultat à l'instant limite, il n'est pas la limite des états précédents.

Ici, nous devons anticiper sur un des tout derniers articles dont nous aurons à parler, à savoir l'article de 2007 de Yuval Dolev<fnref n="50" />. Cet auteur y fait probablement un des plus profonds diagnostics à propos des supertâches. Il estime que la force de conviction des expériences de pensée du type machine infinie ne vient pas du fait qu'elles exhiberaient une contradiction logique (nous avons déjà dit pourquoi cela ne peut pas être le cas au sens strict), mais qu'elles contredisent deux de nos attentes les plus ancrées relatives à la nature des processus temporels, qui correspondant exactement aux deux problèmes que Black soulève ici. Dolev les appelle le principe de « connectabilité » et le principe de « continuité ». On donnera les définitions techniques et rigoureuses de ces deux principes, mais il est possible de les caractériser simplement de la manière suivante : le principe de connectabilité énonce qu'un état d'un processus temporel doit pouvoir être considéré comme le résultat suffisamment déterminé des états qui précédent<fnref n="51" />; le

<footnote n="49">49. En fait il faudrait être plus précis, il est possible d'exhiber des processus infinis n'exhibant pas de discontinuité, notamment le génie progressivement disparaissant de Benaceraff, mais la discontinuité semble toujours valoir dans les cas pertinents (selon l'idée de Thomson dans son article de 1970, si l'on admet la possibilité d'un processus infini il est vraisemblable que l'on admette au moins que ce qui entreprend un tel processus n'est pas condamné à l'anéantissement, cf. 7.5.3).</footnote>

<footnote n="50">50. DOLEV, « Super-tasks and Temporal Continuity » cit.</footnote>

<footnote n="51">51. Yuval Dolev estime qu'il est possible, au moins dans certains cas, de remédier à l'infraction des</footnote>
principe de continuité est défini comme d'habitude, au sens usuel qui est enfreint par la
machine Bêta, à savoir que l'état d'un système physique doit être la limite des états qui
le précèdent.

Nous reviendrons par la suite sur la question de ce que cherchent vraiment à prouver
les partisans de l'impossibilité, mais il faut ici enfoncer le clou en ce qui concerne la
perte tragique du problème de l'inachevable. En effet, la stratégie de Max Black était
explicitement de mettre en équivalence des séries infinies d'actes de façon à conclure
à leur impossibilité générale. Or non seulement, à supposer qu'il ait pu exhiber une
contradiction, celle-ci était produite par un dispositif spécifique et ne pouvait donc être
généralisée aux séries infinies en général, mais plus décisivement, ce qu'il est en effet ca-
pable de généraliser, à savoir l'infraction aux principes de connectabilité et de continuité,
ne s'étend pas à ce qui était la série infinie visée à l'origine : à savoir la série zénonienne.
Celle-ci, en effet, respecte le principe de continuité, l'état immédiatement postérieur à
la série infinie étant la limite des parcours partiels ; et elle respecte *ipso facto* le principe
de connectabilité. Or, Max Black ne renonce pas dans son article à l'ambition d'étendre
sa conclusion à la série zénonienne, puisqu'il conclut, à la manière d'Aristote et de Weyl,
que la description de Zénon est ultimement en quelque façon *fausse*, et doit *l'être* si le
mouvement doit être possible. La maladresse de son argumentation est manifeste : il
conclut à la fausseté de l'hypothèse de Zénon selon laquelle le mobile achève une série
infinie, du fait que selon lui les séries infinies achevées doivent manifester des proprié-
tés impossibles, alors même que la série infinie décrite par Zénon ne manifeste pas ces
propriétés impossibles.

Nous réitérons donc ici notre thèse générale relative aux supertâches : l'intention
originelle de leur étude concerne bien l'aporie de l'inachevable telle qu'elle est manifes-
tée par Zénon, mais le cadre d'étude établi par la littérature est condamné à perdre
immédiatement de vue l'essence du problème en le ramenant à la question de la cohé-
rence d'un certain état accompli. Or nous savions d'avance, par Zénon lui-même, qu'il
existe des situations de séries infinies qui, supposées achevées, produisent un résultat

<footnote>supertâches au principe de connectabilité. Voir notre commentaire de son article.</footnote>
non-problématique. Il faut en conclure qu'aucun argument général contre l'achevabilité d'une série infinie ne saurait être concluant s'il ne revient pas du terrain de l'être achevé au terrain de l'achèvement proprement dit en énonçant un postulat d'achevabilité.

La conclusion de Max Black, nous l'avons déjà indiqué, est tout à fait classique et attendue, c'est-à-dire qu'il manifeste de nouveau son rattachement à la tradition qui court d'Aristote à Weyl : comme il le développe dans la section 22 de son article, si Achille avait à accomplir une infinité d'actes, à entrer en contact avec une infinité de choses, il serait logiquement impossible qu'il rattrape la tortue, mais il n'a pas à le faire parce que tout ce qu'Achille a réellement, physiquement, à parcourir, constitue au plus une multiplicité finie ; l'infinité mise en jeu par Zénon est celle de paires de nombres, utilisées dans une description que nous avons choisie, et, dit l'auteur, il serait absurde de supposer qu'Achille doit faire une infinité de choses simplement parce que nous produisons cette infinité dans notre description, aussi absurde que de supposer qu'un œuf doit faire un effort pour tenir ensemble ses deux moitiés à partir du moment où j'ai entrepris de les numéroter.

Quant à nous, cette conclusion continue de nous paraître un peu courte, pour des raisons que nous avons déjà développées et sur lesquelles nous reviendrons. Nous choisissons de décrire la course d'Achille selon une série infinie, bien sûr, mais qu'est-ce qui rend cette description inadéquate ? Nous ne prétendons pas que l'effort d'Achille doive être proportionné à notre description, son effort reste bien sûr constant quel que soit le découpage. Mais n'avons-nous pas néanmoins, parmi l'infinité des descriptions (vraies) possibles, exhibé une de celles qui manifestent l'impossibilité du mouvement ? Et sinon, pourquoi ? L'analogie de l'œuf nous paraît particulièrement malheureuse, car sauf erreur de notre part l'œuf considéré comme système physique doit bien faire un « effort » pour maintenir sa cohésion en n'importe lequel de ses points (si l'on décide de le représenter comme continu), et cela quelle que soit notre numérotation.

Néanmoins nous reconnaissons en Max Black un remarquable représentant de la lignée aristotélicienne refusant de directement réaliser les éléments de la mathématique dont nous pouvons nous servir dans une description, et sur ce point nous laissons l'auteur
conclure de lui-même :

En résumé : j'ai tenté de montrer que la réfutation mathématique courante des paradoxes de Zénon ne pouvait fonctionner, car elle présuppose tout bonnement qu'Achille peut accomplir une série infinie d'actes. Au moyen de l'illustration de ce qu'impliquerait le compte d'un nombre infini de billes, j'ai tenté de montrer que la notion de série infinie d'actes est en soi contradictoire. En effet, toute chose matérielle, machine ou personne, qui s'efforcerait d'effectuer un nombre infini d'actes s'engagerait à accomplir un mouvement discontinu, et par suite impossible. Mais l'on ne demande pas à Achille de faire ce qui logiquement est impossible ; si cela nous semble être le cas, cela est dû à notre incapacité à bien distinguer le nombre fini de choses réelles que le coureur doit accomplir et la série infinie des nombres par laquelle nous décrivons ce qu'il fait en réalité. Nous produisons l'illusion de tâches infinies à cause du type de mathématiques que nous utilisons pour décrire l'espace, le temps et le mouvement.<fnref n="52" />

### 7.4.2 Watling, *The Sum of an infinite series* (1952)

À la suite de l'article inaugural de Max Black, la revue *Analysis* a accueilli de nombreuses contributions le discutant ou tentant d'y répondre.<fnref n="53" /> Parmi ceux-là, deux retiendront particulièrement notre attention ici : l'article de Watling qui se veut une réfutation de Max Black, niant l'impossibilité de l'achèvement d'une tâche infinie, et l'article de Thomson qui entend l'objection de Watling et réitère néanmoins cette impossibilité.

Nous pouvons déjà remarquer la structure du débat en forme d'un certain aller-retour entre possibilistes et impossibilistes. Cette structure a été très rapidement remarquée par les acteurs eux-mêmes.

<footnote n="52">52. “To summarise : I have tried to show that the popular mathematical refutation of Zeno's paradoxes will not do, because it simply assumes that Achilles can perform an infinite series of acts. By using the illustration of what would be involved in counting an infinite number of marbles, I have tried to show that the notion of an infinite series of acts is self-contradictory. For any material thing, whether machine or person, that set out to do an infinite number of acts would be committed to performing a motion that was discontinuous and therefore impossible. But Achilles is not called upon to do the logically impossible ; the illusion that he must do so is created by our failure to hold separate the finite number of real things that the runner has to accomplish and the infinite series of numbers by which we describe what he actually does. We create the illusion of the infinite tasks by the kind of mathematics that we use to describe space, time, and motion.” BLACK, « Achilles and the Tortoise » cit., p. 101</footnote>

<footnote n="53">53. Notamment Richard Taylor, « Mr. Black on Temporal Paradoxes », *Analysis*, XII, 2 (déc. 1951), p. 38-44, J. O. Wisdom, « Achilles on a Physical Racecourse », *Analysis*, XII, 3 (jan. 1952), p. 67-72, Adolf Grünbaum, « Messrs. Black and Taylor on Temporal Paradoxes », *Analysis*, XII, 6 (juin 1952), p. 144-148, J Watling, « The Sum of an Infinite Series », *Analysis*, XIII, 2 (déc. 1952), p. 39-46, et THOMSON, « Tasks and super-tasks » cit.</footnote>
La première réponse à Max Black est en fait l'article de Taylor, qui a le mérite de pointer avec raison un grand nombre de points insatisfaisants dans l'élaboration du premier (comme nous l'avons nous même fait à notre tour), mais qui a le défaut de reposer principalement sur une accusation de sophisme qui est un complet contresens sur l'entreprise de Max Black : il lui reproche de présupposer, à tort, qu'une tâche infinie a une dernière étape. Or, il semble clair, et de nombreux commentateurs l'ont immédiatement remarqué<fnref n="54" />, que Max Black au contraire analyse parfaitement l'absence de dernière étape d'une série infinie et s'en sert comme *argument substantiel* contre la possibilité de son achèvement. La première réponse véritablement intéressante pour nous est donc celle, l'année suivante, de Watling.

D'une manière générale, nous passerons davantage de temps sur les efforts cherchant à défendre l'impossibilité de l'achèvement de l'infini, car c'est là qu'à lieu avant tout la perte tragique de la problématique du passage. Néanmoins, Watling nous permet de dégager plus nettement encore ce mouvement qui part de la problématique de l'achèvement pour arriver à la problématique détemporalisée de l'être achevé. Ce faisant, il fournit la réponse "possibiliste" la plus importante du débat sur les supertâches : pour achever une série de tâches, il n'est pas en général nécessaire d'en accomplir une dernière, mais il est seulement nécessaire de les accomplir toutes.

Il commence en analysant tout à fait correctement, et comme nous l'avons déjà indiqué, que le principe du raisonnement de Max Black est de se fonder sur l'absence d'un dernier terme d'une série infinie pour conclure à l'impossibilité de son achèvement. Et il remarque, encore avec raison, que ce raisonnement ne fonctionne que si l'on postule qu'il y a une exigence à accomplir un dernier acte pour pouvoir accomplir une tâche qui comporte une série d'actes, et il remarque que Taylor a soulevé une alternative : les accomplir toutes.

Toutefois la démonstration n'est valide que si achever impose d'accomplir un dernier acte, et M.

Taylor a indiqué un sens très adéquat d'achever qui n'impose rien de tel : le sens selon lequel achever un ensemble de tâches consiste à les effectuer toutes. Si une infinité de tâches peut

<footnote n="54">54. Au premier rang desquels se trouve justement Watling que nous examinons immédiatement.</footnote>
être achevée en ce sens, comme je crois qu'on peut le montrer, alors la cohérence logique de l'hypothèse selon laquelle il est possible d'accomplir une infinité de tâches est manifeste<sup>55</sup>.

L'analyse de Watling ne laisse rien à désirer. Cependant, il est extrêmement intéres-
sant d'observer sur le vif les déplacements qu'il effectue dès le début de son article. Il
part du problème de Black concernant l'accomplissement d'une séquence infinie d'actes,
et passe immédiatement dans son commentaire au problème de la possibilité d'accomplir
une quantité infinie de tâches. Comme nous l'avons souligné depuis le début de ce travail,
cela oriente le problème dans une direction très différente, pour la simple raison qu'en
général rien n'interdit qu'une infinité de tâches puissent être accomplies simultanément.
Que ce déplacement ne soit pas sans conséquence se voit au fait que Watling définit
immédiatement l'infini comme ce qui est plus grand que tout nombre fini, et qu'il mène
à partir de ce point de départ toute une argumentation sur un mode détemporalisé;
arguant qu'on ne voit pas pourquoi supposer un achèvement infini serait plus contra-
dictoire que supposer un nombre infini d'étoiles, et reproduisant un argument que l'on
trouve déjà chez Descartes selon lequel tout ce que permet de conclure l'argument de
Zénon c'est que tant qu'un nombre fini d'étapes ont été accomplies, la tâche n'est pas
achevée, mais qu'elle l'est quand un nombre infini l'a été<sup>56</sup>. Nous ne prétendons pas,
notons-le, que Watling n'est pas sensible à la différence entre l'accomplissement d'une
infinité de tâches non séquentielles et l'accomplissement d'une infinité de tâches stric-
tement séquentielles comme celles décrites par Zénon ou Max Black. Il comprend bien
que le problème posé par ces séquences a à voir avec l'absence d'un terme dernier ou
l'absence d'un acte prédécesseur ou d'un acte successeur en un certain point de l'activité.
Mais il traite de nouveau ces problèmes sur un mode détemporalisé, demandant s'il est
requis en général que tout acte ait un successeur.

Tout cela étant dit, nous réitérons notre jugement selon lequel l'analyse de Watling
est correcte. Max Black ayant échoué à présenter la supertâche comme une aporie de

<footnote n="55">55. "However the proof is only valid if finishing does require performing a last act and Mr. Taylor has pointed out a very good sense in which it does not : the sense in which to finish a number of tasks is to do them all. If an infinity of tasks can be finished in this sense, as I think can be shown, then the logical consistency of the supposition that an infinity of tasks can be performed is plain." WATLING, « The Sum of an Infinite Series » cit., p. 39</footnote>

<footnote n="56">56. *Ibid*., p. 39-40.</footnote>
l'inachevable, il est juste de déclarer qu'il n'a pas donné d'argument convaincant au vu de son impossibilité. De plus, Watling poursuit magistralement son analyse en expliquant pourquoi, comme nous l'avons déjà indiqué, les situations décrites par Max Black sont impossibles à achever à cause des conditions inconsistantes qu'on leur a supposées, et non du fait simplement qu'elles impliquent des séquences infinies. Dans notre vocabulaire, la tâche impossible d'Hercule coupant la tête de l'hydre toujours repoussant est impossible parce qu'elle n'a pas d'achèvement extrinsèque : quel que ce soit le résultat, qu'il y ait une tête ou qu'il n'y en ait pas, le combat doit se poursuivre. Admettre l'inconsistance de l'achèvement d'une telle tâche n'implique pas d'admettre celle de l'achèvement d'une tâche ayant un achèvement extrinsèque, mais n'ayant pas d'achèvement intrinsèque. Si les machines Bêta de Black ont pour tâche de faire passer une infinité de billes, alors elles s'arrêtent au bout des quatre minutes, cela que la bille soit alors à gauche, à droite, ou tout à fait anéantie. Si leur tâche est de se débarrasser de la bille, alors en effet elles ne peuvent cesser, mais il est manifeste que la contradiction (comprise comme contradiction *post hoc*, comme impossibilité d'un achèvement extrinsèque) ne repose pas dans l'infinité elle-même. Or, dans l'Achille, il ne saurait à l'évidence y avoir d'impossibilité d'un achèvement extrinsèque, nous savons au contraire parfaitement quel est cet achèvement. Comme le dit Watling :

> Pour résoudre les paradoxes avancés par M. Black, il ne suffit pas d'indiquer qu'il ne faut pas confondre le fait d'achever une infinité d'actes et le fait d'accomplir un dernier acte, il faut aussi remarquer que pour se sortir d'une certaine situation qui nous impose d'accomplir un acte de la série, il faut qu'il se trouve une situation, logiquement possible, dans laquelle il n'est pas nécessaire d'accomplir un acte.

> Achille, fort heureusement, ne manque pas de positions où se tenir en dehors de celles qui se trouvent entre lui et la tortue, et par suite il peut rattraper celle-ci.<fnref n="57" />

Récapitulant les résultats de son analyse, Watling suggère trois conditions pouvant

<footnote n="57">57. “The solution of Professor Black's paradoxes consists not merely in pointing out that finishing an infinity of acts must not be confused with performing the last act, but also in noticing that in order to get out of some situation, one in which an act of the sequence must be performed, a situation in which an act need not be performed must be logically possible. // Achilles, fortunately, has places to be at besides those between him and the tortoise and so he can catch the tortoise.” *ibid*., p. 41</footnote>
empêcher celui qui accomplit une suite infinie d'actes d'en avoir accompli une infinité (ce
à quoi l'infinité elle-même ne suffit pas) : 1/ le manque de temps, si le temps nécessaire
pour accomplir une tâche ne peut pas descendre en dessous d'un certain minimum, ce
qui n'est évidemment pas un problème pour Achille ; 2/ l'impossibilité en général qu'il
y ait un état d'achèvement extrinsèque (problème d'Hercule), toujours pas un problème
pour Achille ; 3/ La condition selon laquelle il est nécessaire que pour tout acte il existe
un acte strictement précédent. Alors pour ainsi dire “l'arrivée” au point final, ou l'acte
mené à partir de cette arrivée, devrait être précédé par un dernier acte de la succession
infinie, or aucun tel acte ne saurait exister<fnref n="58" />. Ce n'est pas une condition inintéressante,
mais comme nous l'avons déjà indiqué elle nous semble en dernière analyse être une
mauvaise généralisation, détemporalisée, du postulat d'achevabilité que nous jugeons au
cœur du problème de Zénon.

**7.4.3 Thomson, *Tasks and super-tasks* (1954)**

Après la réponse soigneuse de Watling, le gant impossibiliste a été relevé par Thom-
son. Néanmoins, nous ne sommes pas le premier à en faire la remarque, l'article originel
de Thomson, si brillant et incisif soit-il, demeure très ambigu, insuffisamment clair quand
à la nature exacte de ses intentions et de ses conclusions. Nous nous proposons donc de
commencer par indiquer comment nous interprétons l'ensemble de son propos, comment
nous reconstituerions son argument (qui, à notre avis, n'a par exemple pas été entière-
ment saisi par Paul Benacerraf) et comment il prend place dans l'histoire que nous nous
efforçons de raconter ici.

Reconstitution de l'argument

Si nous la comprenons correctement, l'idée de Thomson est qu'un certain argument concluant à l'impossibilité du mouvement n'est pas valide, mais que sa validité est admise aussi bien par Black que par Watling. Cet argument repose sur deux prémisses, et si l'on reconnait la validité de l'argument et que l'on ne veut pas de la conclusion affirmant

<footnote n="58">58. *Ibid.*, p. 42.</footnote>
l'impossibilité du mouvement, selon celle des prémisses que l'on accepte l'autre doit être refusée. Dans chaque cas, le partisan d'une des prémisses cherche alors à montrer pourquoi l'autre est fausse, et ce faisant, d'après Thomson, ils produisent l'un et l'autre de mauvais arguments. En effet, une analyse correcte révèlerait que sous une certaine interprétation les deux prémisses sont vraies, mais qu'il y a un sophisme dans la manière dont l'argument les interprète pour mener à la conclusion.

L'argument, non-interprété, est sans surprise le suivant :

*Prémisse 1 : Pour achever un parcours quel qu'il soit, il est nécessaire d'achever un nombre infini de parcours (la prémisse est obtenue grâce à un argument itératif dont Thomson refournit une esquisse).*

*Prémisse 2 : Mais il est logiquement absurde de supposer que quelqu'un a achevé un nombre infini de parcours.*

*Conclusion : Par conséquent, il est absurde de supposer que qui que ce soit ait jamais achevé un parcours.*

Et si notre compréhension est correcte, l'argument interprété par Thomson, tel qu'il est censé rendre les deux prémisses correctes, indiquer la manière dont elles sont utilisées en fait, et exhiber le caractère sophistique de la conclusion, est le suivant :

*Prémisse 1 : Pour toute tâche T qui est un « parcours », il existe un ensemble ordonné de tâches $t_n$ isomorphe à $\omega$, tel que pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$, avoir complété T implique d'avoir complété $t_n$ (tous les $t_n$ se trouvant être aussi des parcours).*

*Prémisse 2 : Il n'existe aucune tâche T pouvant avoir été accomplie, de la forme : « pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$, effectue $t_n$ dans un ensemble ordonné de tâches $t_n$ isomorphe à $\omega$ »*

*Conclusion : Aucune tâche T qui est un parcours ne peut avoir été complétée.*

La faille dans l'argument ainsi énoncé est la suivante : la tâche prescrite dans la prémisse 1, et dont l'être réalisé est déclaré impossible dans la conclusion, n'est pas la tâche prescrite et déclarée absurde dans la prémisse 2. Cette dernière est une supertâche, qui selon Black et Thomson est effectivement absurde. Black jugeant, correctement selon Thomson, qu'une supertâche est absurde, se trouve contraint de donner de mauvais
arguments contre la prémisse 1, et à l'inverse Watling jugeant correctement que la pré-
misse 1 est indéniable, se trouve contraint de donner de mauvais arguments défendant
la possibilité d'une supertâche.

Néanmoins, si tel est bien le fond du propos de Thomson, nous ne pouvons que
manifester notre perplexité et de nouveau notre sentiment que le vrai problème a été
perdu. Il nous faut en effet revenir sur la manière dont Thomson comprend la validité
des deux prémisses et la différence des deux tâches qu'elles prescrivent.

Si nous comprenons correctement, l'argumentation sous-jacente à la prémisse 2 est
celle-ci : si T est une tâche pouvant être accomplie il faut que cela ait un sens de parler
de la réalisation (de l'être réalisé) de T. Une supertâche, qui est constituée d'une infinité
de tâches avec une « fin ouverte » (c'est là l'isomorphie à ω), n'est pas une chose pour
laquelle on peut parler de façon sensée d'un être réalisé. Donc une supertâche n'est pas
une tâche.

Et l'invalidité de la conclusion est prouvée ainsi : Mais l'accomplissement d'une tâche
peut *impliquer* l'accomplissement d'une infinité de tâches sans être une supertâche, donc
on ne peut pas conclure de la prémisse 2 à la conclusion. En somme, achever un parcours
peut bien impliquer une infinité d'autres sous-parcours dont chacun est *ipso facto*, achevé
si le parcours principal est achevé, mais cela ne veut pas dire que la tâche « achever
l'infinité des sous-parcours » est une tâche cohérente ou qu'elle se confond avec la tâche
consistant à accomplir le parcours principal.

La conclusion de Thomson semble devoir être ainsi complétée : parmi les tâches
infinies à la manière de Zénon et de Black, il y en a qui ne font pas sens parce qu'elles
exigent que soit obtenue cette chose absurde qu'est *le résultat d'une supertâche*, en
sorte qu'elles présupposent effectivement une supertâche comme telle. Mais d'autres,
en revanche, peuvent faire sens, parce qu'elles n'exigent pas cette chose absurde. La
course d'Achille a beau sembler présupposer l'accomplissement d'une tâche infinie, elle
ne prescrit pas qu'il y ait une chose telle que la réalisation exacte de la tâche infinie
elle-même, sans plus, ayant un résultat supposé. En effet, toute partie de la course
d'Achille conduit jusqu'à un certain point du parcours, et la course d'Achille entière
conduit jusqu'à son point d'arrivée, mais ni dans la partie ni dans le tout n'est impliqué
une chose telle que : « le résultat de tous les parcours zénoniens partiels et uniquement
eux » (ce qui constituerait la réalisation d'une supertâche au sens de la prémisse 2).
En revanche, la lampe que nous allons décrire dans ce qui suit, de même que certaines
des machines de Black, exigent selon Thomson un résultat déterminé et affiché qui soit
à strictement parler (et par hypothèse) le résultat de la tâche infinie elle-même, ce qui
est (d'après Thomson) absurde. La lampe doit être allumée ou éteinte, la bille à gauche
ou à droite. Si c'est bien cela que Thomson veut signifier, on voit que son argument
doit être rapproché de celui que nous trouvions chez Jean Buridan : à l'infini zénonien
ne peut pas correspondre un parcours effectivement achevé, mais tout parcours achevé
implique quelque chose qui englobe et dépasse un infini zénonien. Mais du même coup
Zénon n'exige pas le résultat d'une supertâche, car la vraie tâche d'Achille est la simple
tâche d'atteindre la limite de la série, ce qui (semble sous-entendre Thomson) n'implique
pas d'avoir achevé la sommation de la série.

Mais si nous demeurons perplexe, c'est pour la raison suivante : nous admettons
parfaitement la différence entre la tâche ordinaire et la supertâche, et nous reconnaissons
tout à fait en quel sens les dispositifs de Max Black et ceux de Thomson semblent exiger
quelque chose comme un résultat déterminé d'une supertâche, ce que l'Achille n'exige
pas. Mais si Achille courant après la tortue achève sa tâche ordinaire, n'achève-t-il pas
aussi, ipso facto, la supertâche (précisément parce qu'il accomplit chacun de ses termes) ?
Et que l'on considère ou non légitime de nommer la supertâche une « tâche » en bonne
et due forme, est-ce que son achèvement n'est pas présupposé par l'achèvement de la
tâche ordinaire ?

Pour être encore plus explicite, nous comprenons la chose ainsi : soit la vraie réponse est au fond similaire à celle d'Aristote : « l'infini n'est là qu'en puissance, au sens où on a le choix entre une infinité de découpages possibles du parcours, leur prolongement est ouvert, mais il n'a pas vraiment à réaliser cette infinité » (ou il n'y a à la réaliser que *par accident*, et ainsi de suite). Soit il n'y a pas du tout de réponse. Sans un complément analogue à celui d'Aristote, la réponse de Thomson semble être qu'Achille ne peut pas
accomplir la tâche zénonienne, parce que celle-ci ne définit pas une tâche avec un point d'arrivée, mais qu'il peut accomplir sa tâche ordinaire parce qu'elle ne consiste pas à accomplir *seulement* une tâche zénonienne. Mais argumentant ainsi, Thomson semble manquer en réalité le problème qu'il semblait lui-même poser, semble commettre un contresens sur l'intention de l'argumentation de Zénon, ainsi que sur celle de ceux qui à sa suite (et dès l'Antiquité) ont associé la course d'Achille avec des supertâches, et en premier lieu celle de compter un nombre infini. Personne en effet n'a jamais prétendu que la tâche ordinaire d'Achille *était* une supertâche, mais ce que Zénon a cherché à montrer est que la supposition de l'achèvement d'une tâche ordinaire quelconque (à condition qu'elle soit continue) *impliquait* l'accomplissement d'une supertâche. Et de même ses successeurs ont cherché à exhiber ce caractère de supertâche de la série zénonienne en la mettant en parallèle avec des inachevables manifestes

Cependant, nous y insistons, cela ne signifie pas que Thomson ait tort de pointer le fait qu'il y a une différence fondamentale entre les supertâches *authentiques* pour ainsi dire et les tâches zénoniennes comme celle d'Achille. La différence est précisément que les premières posent un certain problème spécifique au niveau de leur être achevé, que les dernières ne posent pas<fnref n="59" />. Mais les unes comme les autres posent un problème au niveau de leur *achèvement*, en tant que celui-ci est distinct de leur être achevé<fnref n="60" />. Selon nous, la raison fondamentale pour laquelle la supertâche n'est pas une tâche, au sens de Thomson, le fait qu'elle ne puisse avoir aisément un état résultant d'elle et uniquement d'elle, n'est qu'un indice ou une conséquence du fait plus fondamental qu'elle est un inachevable au sens de Zénon, quelque chose qui ne saurait intrinsèquement prendre fin. En vertu du postulat d'achevabilité, nous exigeons qu'« il soit impossible que tout soit accompli de ce qui ne s'achève jamais », nous exigeons que, de ce que nous menons au présent et qui s'avère ne pas pouvoir prendre fin, nous ne pouvons nous trouver en avoir fini.

<footnote n="59">59. Ou du moins il le semble. Voir cependant le paradoxe de la balle rebondissante, p. 325.</footnote>

<footnote n="60">60. Comme nous l'avons déjà indiqué, conformément à l'analyse de Yuval Dolev nous pouvons juger que les problèmes de l'être achevé sont l'infraction à nos exigences de *connectabilité* et de *continuité* des phénomènes temporels, alors qu'on pourrait dire que le problème de l'achèvement est celui de l'infraction à notre exigence *d'achevabilité* au sens que nous définissons ici.</footnote>
Ainsi l'article de Thomson reproduit la "tragédie" de Black, qui semblait avoir cerné
le problème de l'inachevable pour finalement le perdre. Black commençait par l'intuition
de l'absurdité de l'achèvement d'une tâche infinie, mais la perdait en la réduisant à la
contradiction produite par un certain type d'être achevé. Watling montrait alors juste-
ment que la contradiction exhibée par les séries choisies par Black n'était pas reproduite
par la série zénonienne et que donc la notion de l'être achevé de cette série était possible.
Thomson à son tour renvoie dos à dos les deux auteurs en montrant que l'être achevé
de la série zénonienne n'a (selon lui) en effet aucun sens, mais qu'il n'est pas non plus
nécessaire. La tragédie est répétée, car l'inachèvement comme tel, indépendamment de
l'existence ou non d'un résultat qui n'en est qu'un symptôme, est entièrement perdu de
vue.

En somme, nous croyons qu'originellement, la seule fonction des expériences de pensée
de tâches infinies mises en équivalence avec la tâche zénonienne était d'exhiber plus
nettement pour ainsi dire le « gouffre » impossible entre l'avant et l'après d'une série
inachevable. Mais ce que ces expériences s'avèrent exhiber en fait, ce pour quoi elles
échouent tant logiquement qu'historiquement, est l'inexistence (ou le caractère au moins
problématique) d'un résultat déterminé d'une telle série, ce qui fait dire à Thomson que
si une tâche donnée n'a pas besoin d'un tel résultat la contradiction n'a pas lieu.

Ayant ainsi reconstitué et jugé l'argument dans son ensemble en tant qu'il concerne
la problématique qui nous est propre, nous pouvons commenter certains des éléments
remarquables de son détail.

## Contenu de l'article

Nous avons jusque là commenté le propos d'ensemble de l'article, et la manière dont
il prend place dans l'histoire que nous racontons de la perte du problème de l'inache-
vable. Ainsi, ce qui nous intéressait était d'abord l'interprétation de la prémisse 2 et la
conception du rapport qu'elle entretient avec la prémisse 1. Mais la plus grande partie
de l'article de Thomson consiste à défendre la validité de la prémisse 2, autrement dit
l'absurdité de l'être achevé d'une véritable supertâche. Or, cette défense, si remarquable
soit-elle, va laisser à désirer à deux égards, formant la matière de la réponse très rigou-
reuse de Paul Benacerraf : d'une part Thomson va tout du long rester ambigu sur ce
qu'il cherche exactement à prouver, affirmant tantôt que nous ne comprenons en fait
pas ce que peut être l'être achevé d'une tâche infinie, tantôt que nous savons qu'il est
logiquement absurde, c'est-à-dire apparemment qu'il mène à la contradiction. D'autre
part, comme Benacerraf le montrera et comme Thomson l'admettra dans sa réponse de
1970, le type d'argument qu'il propose ne parvient pas en fait à exhiber précisément une
contradiction logique. Nous voyons que les faiblesses de Thomson sont en substance les
mêmes que celles de Max Black.

Comme nous l'avons dit, Thomson pose le problème en termes de deux prémisses – il faut compléter un nombre infini de trajets/il est logiquement absurde d’avoir complété un nombre infini de taches<sup>61</sup> – et fait remarquer sans doute avec raison que c’est la plausibilité a priori de chacune qui convainc d’abandonner l’autre.

Il considère néanmoins que les deux prémisses ont quelque chose de vrai (sous une
interprétation convenable), mais que (au sens où elles sont toutes deux vraies) l’argument
qui conclut à l’impossibilité du mouvement est invalide.

Après cette introduction (pp. 1 et 2), la première partie de l’article (pp. 2-9) va
consister à rejustifier, après Black et supposément mieux que lui, et contre Taylor et
Watling, la prémisse 2. Puis la seconde partie (pp. 10-14) va consister à montrer que la
prémisse 1, quoique plausiblement vraie, ne contredit pas la prémisse 2<sup>62</sup>.

**Première partie** Thomson commence par baptiser du nom de « supertâche », *su-pertask*, le fait d'avoir accompli un nombre infini de tâches, et la question qu'il pose originellement est de savoir si on en comprend le concept.

Sa première analyse consiste alors, sans employer nommément ces concepts, à indi-
quer les dangers qu'il y a à confondre le catégorématique avec le syncatégorématique.

<footnote n="61">61. “To complete any journey you must complete an infinite number of journeys. [...] But it is logically absurd that someone should have completed all of an infinite number of journeys, just as it is logically absurd that someone should have completed all of an infinite number of tasks. Therefore it is absurd to suppose that anyone has ever completed any journey.” THOMSON, « Tasks and super-tasks » cit., p. 1.</footnote>

<footnote n="62">62. C'est nous qui introduisons cette division en parties qui n'est pas explicite dans le texte.</footnote>
Il note en effet que la compréhension du concept de l'être achevé d'un nombre infini de tâches (catégorématique) n'est pas du tout impliquée par le fait de comprendre, par exemple, la divisibilité infinie (syncatégorématique)<fnref n="63" />. Qu'un morceau de chocolat soit (en vertu d'un argument itératif zénonien) divisible à l'infini, cela veut dire qu'on a au moins $N_0$ choix différents en ce qui concerne le nombre de morceaux en lequel le couper. Mais cela ne veut pas pour autant dire qu'on peut le couper en $N_0$ morceaux<fnref n="64" />.

Son jugement est alors que des auteurs comme Taylor et Watling ont jugé que le catégorématique était plausible et compréhensible, sur la base du syncatégorématique. Quoique non entièrement convaincant, son diagnostic a quelque chose de séduisant : il remarque que si l'on suppose que le syncatégorématique *implique* le catégorématique, on est amené à juger que la négation du second implique en retour la négation du premier, c'est-à-dire l'affirmation selon laquelle les processus sont syncatégorématiquement finis, strictement finis, affirmation qui constituerait alors une confusion du logique et du physique (au sens où il se peut que physiquement il y ait un nombre d'opérations au-delà duquel on ne peut aller, sans que cela veuille dire qu'il est logiquement impossible d'aller au-delà). Or, remarque-t-il, on voit constamment les partisans des opérations infinies accuser les négateurs du catégorématique d'une telle confusion entre le logique et le physique.

> Il y a eu, je crois, une confusion entre le fait de dire (1) on peut concevoir qu'il soit (pratiquement) possible d'accomplir chacun des actes formant un ensemble infini, et de dire (2) on peut concevoir qu'un nombre infini d'actes ait été accomplis. Il a été supposé que (1) impliquait (2). Si je crois que l'on a fait une telle supposition, c'est pour la raison suivante. Supposer que (1) implique (2) revient bien sûr à supposer que quiconque nie (2) doive dès lors nier (1). Or nier (1) nous engage à soutenir la thèse, tout à fait absurde, selon laquelle, (3) pour tout type donné de tâche il existe un entier positif k tel qu'il est concevable que k tâches de ce type ait été accomplies, mais inconcevable, logiquement absurde, que $k + 1$ l'ait été. Mais personne ne soutiendra (3), sinon sous l'effet d'une confusion entre la possibilité logique et la possibilité

<footnote n="63">63. Sur cette distinction, voir 9.2.2.</footnote>

<footnote n="64">64. THOMSON, « Tasks and super-tasks » cit., p. 2-4.</footnote>
lité physique. Et il se trouve que ceux qui souhaitent affirmer (2) accusent constamment leur adversaires de cette même confusion. Ils semblent penser que tout ce qui est exigé d'eux pour rendre (2) plausible est de dissiper les confusions susceptibles de faire obstacle à l'acceptation de (1)<fnref n="65" />.

Il trouve une instance assez convaincante d'une telle confusion chez Russell qui parle d'impossibilité « **seulement médicale** <fnref n="66" /> » à accomplir une super tâche (une supertâche véritable, exigeant une force constante pour chacune des étapes accomplies en un temps exponentiellement décroissant), en suggérant qu'une amélioration médicale infiniment rapide de l'opérateur lui permettrait un tel exploit. L'analyse de Thomson consiste à dire que la suggestion médicale ne nous aide pas, et que Russell semble ne même pas voir le problème en jeu. Car ou bien il croit que le fait indéniable que pour chaque étape n l'amélioration médicale n+1 est logiquement concevable doive nous convaincre que l'infinité des améliorations médicales peut être entièrement accomplie, auquel cas il suppose à tort que le syncatégorématique implique le catégorématique, ou bien il ne fait que redoubler le problème, car la série infinie des améliorations requises est exactement aussi mystérieuse que la série infinie des achèvements.

> Si « il a effectué un nombre infini d'améliorations » ne nous pose pas problème, il est peu probable que nous soyons troublés par « Il a accompli un nombre infini de tâches » <fnref n="67" />.

Nous partageons en grande partie l'intention de Thomson dans ce passage, qui cherche à montrer l'invalidité des raisons de croire en la possibilité de l'achèvement de l'infini, et partageons plus encore l'idée que la justification de cet achèvement passe toujours par sa présupposition, par l'invocation d'une nouvelle série infinie achevée.

<footnote n="65">65. "People have, I think, confused saying (1) it is conceivable that each of an infinity of tasks be possible (practically possible) of performance, with saying (2) that is conceivable that all of an infinite number of tasks should have been performed. They have supposed that (1) entails (2). And my reason for thinking that people have supposed this is as follows. To suppose that (1) entails (2) is of course to suppose that anyone who denies thinking (2) is committed to denying (1). Now to deny (1) is to be committed to holding, what is quite absurd, (3) that for any given kind of task there is a positive integer k such that it is conceivable that k tasks of the given kind have been performed, but inconceivable, logically absurd, that k + 1 of them should have been performed. But no-one would hold (3) to be true unless he had confused logical possibility with physical possibility. And we do find that those who wish to assert (2) are constantly accusing their opponents of just this confusion. They seem to think that all // they have to do to render (2) plausible is to clear away any confusions that prevent people from accepting (1)." *ibid*, p. 3-4</footnote>

<footnote n="66">66. RUSSELI, « The Limits of Empiricism » cit., p. 143.</footnote>

<footnote n="67">67. "If we have no difficulties with 'he has effected all of an infinite number of improvements' we are not // likely to be puzzled by 'He has performed an infinite number of task.'" THOMSON, "Tasks and super-tasks" cit., pp. 4-5</footnote>
Après ces analyses, suit le fameux argument de la lampe, que nous commençons par simplement citer :

> Il y a certaines lampes de lecture qui possèdent un bouton sur leur base. Si la lampe est éteinte, et que l'on presse le bouton, elle s'allume, et si elle est allumée et que l'on presse le bouton, elle s'éteint. Si la lampe était au départ éteinte, et que l'on a pressé le bouton un nombre de fois impair, la lampe est donc allumée, et si l'on a pressé le bouton un nombre de fois pair, la lampe est éteinte. Supposons maintenant que la lampe soit éteinte, et que je parvienne à presser le bouton un nombre infini de fois, peut-être en le pressant une fois durant la première minute, une seconde fois durant la demi-minute suivante, et ainsi de suite, conformément à la recette de Russell. Après que j'ai complété la totalité de la série infinie des pressions, c'est-à-dire à l'issue des deux minutes, la lampe est-elle allumée ou éteinte ? Il semble impossible de donner une réponse à cette question. Elle ne peut être allumée, car je ne l'ai jamais allumée sans aussitôt l'éteindre. Elle ne peut être éteinte, car j'ai commencé par l'allumer et, par la suite, ne l'ai jamais éteinte sans la rallumer aussitôt. Mais il faut que la lampe soit, ou bien allumée, ou bien éteinte. Il y a là une contradiction.<fnref n="68" />

> Il y a plusieurs choses à commenter dans cet argument qui, nous l'avons dit, laisse à désirer quoi qu'il soit très frappant. D'abord, notons-le, Thomson y fait trois affirmations, qu'il semble envisager d'un même mouvement mais qui sont en réalité très séparables. La première est que si l'on pose la question de savoir si la lampe est allumée ou éteinte à l'issue des deux minutes, il semble impossible d'y apporter une réponse. Cette affirmation elle-même peut être comprise de plusieurs manières, la première étant que nous semblons en effet incapable de déduire son état à partir des données du problème – c'est là l'infraction au principe de connectabilité. La seconde affirmation, double, est que la lampe ne peut pas être allumée, et symétriquement qu'elle ne peut pas être éteinte.

<footnote n="68">68. "There are certain reading-lamps that have a button in the base. If the lamp is off and you press the button the lamp goes on, and if the lamp is on and you press the button the lamp goes off. So if the lamp was originally off, and you pressed the button an odd number of times, the lamp is on, and if you pressed the button an even number of times the lamp is off. Suppose now that the lamp is off, and I succeed in pressing the button an infinite number of times, perhaps making one jab in one minute, another jab in the next half-minute, and so on, according to Russell's recipe. After I have completed the whole infinite sequence of jabs, i.e. at the end of the two minutes, is the lamp on or off? It seems impossible to answer this question. It cannot be on, because I did not ever turn it on without at once turning it off. It cannot be off, because I did in the first place turn it on, and thereafter I never turned it off without at once turning it on. But the lamp must be either on or off. This is a contradiction." *Ibid*., p. 5</footnote>
L'argument que donne Thomson à cet égard, malheureusement, est au mieux très mal formulé, au pire incorrect – en vérité, ce qu'il exhibe n'est pas une impossibilité, mais l'infraction au principe de continuité. La troisième affirmation est que la lampe doit être ou allumée ou éteinte. Or, cette troisième affirmation est également problématique et dans une certaine mesure arbitraire quand la lampe en question est considérée comme un système physique, comme le remarquera là encore Yuval Dolev.

Commençons par indiquer, à la suite de Benacerraf, pourquoi la seconde affirmation n'est pas justifiée par l'argument de Thomson. Supposons par exemple que la lampe soit allumée à l'issue du processus. Pourquoi cela devrait-il être contradictoire ? L'argument nous dit qu'elle ne peut être allumée, car je ne l'ai jamais allumée (en appuyant sur l'interrupteur) sans l'avoir par la suite éteinte (en réappuyant sur le même interrupteur). Mais ce que cela interdit, c'est que la lampe soit allumée à la suite immédiate d'une pression déterminée de l'interrupteur (du moins à la manière dont une lampe est usuellement allumée à la suite de la pression de son interrupteur). Cela ne dit rien *en soi* sur la possibilité qu'un enchaînement infini d'allumages et d'extinctions produise l'état allumé de la lampe. La réponse selon laquelle la lampe est allumée est peut-être arbitraire, certainement insatisfaisante, mais elle n'est pas interdite par les données du problème. On en dirait de même du fait que les seuls résultats envisageables de la supertâche soit une lampe allumée et une lampe éteinte.

On peut néanmoins accorder un meilleur crédit à l'argument si on le replace dans le contexte de ce que nous comprenons comme la thèse générale de Thomson. On comprend alors qu'il ne cherche pas vraiment à prouver que la situation d'une lampe allumée (par exemple) à la suite d'une série infinie d'oscillations est une situation contradictoire, mais qu'il est inconsistent, inconcevable, de poser quelque chose comme l'état résultant d'une série infinie d'opérations. Et à ce titre, si la lampe se trouve allumée, ce n'est du moins pas parce que je l'ai allumée, et de même si elle se trouve éteinte. Si elle est supposée allumée à l'issue de l'opération, il semble du moins que 1/ nous ne comprenons pas en quel sens exactement cet état allumé résulte de la série, à part le fait qu'il la suit immédiatement, et 2/ certainement il n'en résulte pas au sens où chacun des autres états de la lampe
dans la série infinie ont résulté d'une opération déterminée. Il est clair, au vu de ce que Thomson cherche à expliquer, qu'il sous-entend que *rien d'autre* n'est supposé intervenir pour garantir une lampe allumée ou éteinte à l'instant limite, et l'état de la lampe à l'instant limite est supposé manifester le *résultat*, sans reste, de la supertâche.

Thomson développe plus clairement ce point par la suite en discutant des raisons qu'ont eu Taylor et Watling de refuser l'argument de Black<fnref n="69" />. Son idée est que les deux auteurs reprochent à Black de présupposer le finitisme des tâches accomplissables, ou d'exiger qu'un accomplissable ait une dernière tâche, mais Thomson ne croit pas du tout que son argument consiste à exiger une dernière tâche, mais à interroger la nature du *résultat* de la tâche infinie, ce que Thomson appelle son « *net result*<fnref n="70" /> ».

Or Watling, arguant que le problème posé par les machines de Black n'est pas gé-
néralisable à l'ensemble des tâches infinies, prétend que l'addition infinie des moitiés
proportionnelles (dans le cas zénonien) a un « *net result* » déterminé qui est la valeur
limite de la série ou sa somme. Ce qui prouverait que parfois la tâche infinie a un résultat
déterminé. Thomson nie précisément ce point, ce qui donne lieu à des commentaires sur
les opérations mathématiques qui sont cruciaux pour notre point de vue. Pour résumer
sa soigneuse réfutation de Watling et aller droit au but, nous dirons que Thomson rap-
pelle que la valeur d'une série infinie n'est pas en fait définie comme valeur résultant
d'une sommation infinie (chose que personne ne saurait censément interpréter), mais
comme *limite* vers laquelle tend la suite des sommes partielles de la série. Autrement
dit, l'arithmétique des séries ne nous dit rien sur la possibilité d'avoir achevé une addi-
tion infinie. Et affirmer que l'addition (infinie) de tous les termes donne effectivement le
résultat limite, du fait que la différence tend vers 0, serait un argument circulaire. Pire
que cela, sous une certaine interprétation de ce qui constitue le résultat d'une compu-
tation, il serait tout simplement erroné de supposer que la limite est un tel résultat : si
une machine – par exemple une machine de Turing – accomplit l'addition successive de
rationnels décroissants, on peut considérer que la machine définit effectivement un réel

<footnote n="69">69. Nous sautons des éléments de son exposition.</footnote>

<footnote n="70">70. THOMSON, « Tasks and super-tasks » cit., p. 7.</footnote>
(dans le cas où la somme converge), mais il est aussi clair qu'elle ne donnera jamais le résultat de la série. Par construction ce résultat n'est jamais le résultat d'une computation, et par hypothèse la machine ne cesse jamais d'exprimer des sommes partielles. Ce que la machine nous montre, c'est qu'au sens ordinaire de la computation, il n'y a pas de résultat de cette sommation infinie qui soit littéralement le résultat d'une sommation, mais seulement une limite que l'on définit comme le résultat de la somme<fnref n="71" />.

Si l'on place ces raisonnements dans le contexte général de l'article, nous voyons donc bien que le propos de Thomson est de montrer qu'une supertâche n'est pas quelque chose qui puisse avoir un résultat, ou du moins que nous ne sommes pas en position de comprendre en quel sens quelque chose pourrait en être le résultat, ce qui était manifesté dans le fait que nous ne comprenons ni la lampe allumée ni la lampe éteinte comme résultat de la série infinie des pressions de l'interrupteur. Ce que la comparaison avec la sommation nous a montré, c'est que contrairement à ce que peut croire quelqu'un comme Watling, la mathématique ne nous indique en rien comment quelque chose pourrait être le résultat d'une somme infinie au sens où quelque chose est en général le résultat d'une somme. Ce point nous semble établi de façon convaincante.

Le problème est que cela ne fait rien pour prouver la prémisse 2 de Thomson,
concluant à l'impossibilité des supertâches. Une supertâche n'a pas de résultat final

<footnote n="71">71. “This may become clearer if we suppose that the machine records the results of its successive additions on a tape that runs through the machine and that the machine only has the vocabulary to print terms in the sequence of partial sums. (In particular the machine cannot print the number 2). The machine can then record the result of each of the additions that it is required to make, but it cannot record the number which is said to be ‘finally’ arrived at. Now Mr. Watling would perhaps wish to say that this machine does in some sense ‘arrive’ at the number 2, even though it does not record the fact. But in what sense? What does Mr. Watling mean by the word ‘give’ in the sentence quoted above from his paper? It is surely an essential feature of our notion of computation (our ordinary notion of computation) that at some point in the proceedings the answer to the sum is read off; we find ourselves writing down or announcing the answer and our algorithm tells us that this is the answer. It is clear how this is so when we add together some finite number of numbers. It is not at all clear from Mr. Watling’s paper how or in what sense a man who has added together an infinite number of numbers can be said to arrive at his answer.” *ibid*, p. 8</footnote>

<footnote>“As far as I can see, we give a sense to the expression ‘sum of an infinite number of terms’ by the methods that we use for computing the limits of certain sequences. There is an inclination to feel that the expression means something quite different; that the established method for computing limits is just the way we discover what the sum is, and that the number so discovered can be or should be specified in some other way. But I think that this is just an illusion, born of the belief that one might reach the sum in some other way, e.g. by actually adding together all the terms of the infinite sequence. And I if am correct in supposing that talk of super-tasks is senseless, then this kind of talk cannot give a sense to anything. The belief that one could add together all the terms of an infinite sequence is itself due presumably to a desire to assimilate sums of infinite sequences to sums of finite ones. (...) If the expression ‘sum of an infinite sequence’ has no meaning apart from the methods we use for computing limits – methods that are, notice, demonstrably different from those that we use to compute the sums of finite numbers of terms – this practice could not be justified further.” *ibid*, p. 9.</footnote>
intrinsèque, soit, mais devons-nous supposer que toute tâche pouvant être accomplie a
un résultat final intrinsèque ? Cela nous paraît bien moins convaincant que la prémisse
2 elle-même.

L'échec de Thomson à prouver la prémisse 2 de façon convaincante, de plus, a des
conséquences immédiates sur sa capacité à différencier le cas zénonien du cas de la su-
pertâche « véritable », c'est-à-dire, d'après l'analyse de Dolev, la supertâche discontinue
et « déconnectée ». C'est à cette différenciation qu'il va occuper la suite et fin de son
article.

**Seconde partie** La seconde partie est ce qui dans l'article de Thomson nous laisse le plus perplexe. Si nous comprenons correctement, son argument consiste à dire qu'il est impossible d'accomplir exactement (sans plus) la supertâche décrite par Zénon, parce que cela ne nous mènerait en aucun point, mais que nous pouvons en revanche accomplir chacune des tâches comprises dans cette supertâche sans avoir à accomplir exactement cette supertâche, mais en accomplissant la tâche ordinaire qui consiste à aller d'un point à un autre. Mais qu'il ne soit pas requis d'accomplir exactement une supertâche, et qu'en fait en accomplir tous les éléments nous oblige à nous trouver d'une certaine manière déjà au-delà d'elle, en quoi cela devrait-il nous convaincre que nous n'avons pas, aussi, à accomplir la supertâche en question, ne serait-ce qu'en passant et sans y prêter attention ?

Thomson énonce que si quelqu'un nous ordonnait de parcourir tous les points zéno-
niens un après l'autre, la seule manière intelligible de comprendre son ordre serait de
comprendre qu'il nous ordonne d'achever un parcours ordinaire, et que la formulation
d'origine apparaît comme une sorte de plaisanterie. Mais ça n'est pas exact. C'est là
certes la seule manière possible d'achever cette tâche, puisqu'en général nous ne pour-
rions jamais avoir accompli *exactement* une supertâche<sup>72</sup>, mais cela ne veut pas dire
que nous ne comprenons pas littéralement la supertâche et que nous ne l'accomplissons

<footnote n="72">72. Ne serait-ce que parce qu'une supertâche n'a pas de dernier instant. Il faut donc bien, si le sujet accomplissant la tâche n'est pas anéanti à la suite de celle-ci, qu'il soit au moins aussi *existant* à cet instant dans un état n'appartenant *pas* aux états prescrits par la série.</footnote>
pas en accomplissant le parcours ordinaire. Encore une fois, il est clair que la tâche
ordinaire n'est pas identique à une supertâche, mais en quoi Zénon échoue-t-il à nous
convaincre que, accomplissant la tâche ordinaire, nous sommes forcés d'accomplir *aussi*
une supertâche ?

Nous savons en quel sens la tâche zénonienne n'est pas une « vraie » supertâche.
C'est pour la raison qui fait dire à Aristote et Max Black qu'en fait la tâche zénonienne
*n'a pas vraiment lieu* : elle est *extraite* d'une tâche simple et continue. Et elle *n'est pas*
cette tâche simple et continue, elle est une tâche discrète et infinie.

C'est là que l'incapacité de Thomson à prouver la seconde prémisse pèse sur sa
capacité à rendre la première prémisse inoffensive. En effet, si nous sommes convaincu
de l'impossibilité d'accomplir *exactement* une supertâche, et de l'impossibilité qu'une
supertâche ait un "résultat net", Thomson n'a rien fait pour nous convaincre du fait
qu'une véritable supertâche est impossible dans un cas où un résultat net n'est pas
requis. Supposons que nous ordonnions la vérification de toutes les décimales de $\pi$, à la
recherche d'un certain enchaînement de décimales donné (par exemple, 18 fois d'affilée
le chiffre 7). Nous ne nous attendrions pas à ce qu'il y ait un *résultat net* de l'opération
de computation des décimales, ce serait absurde puisqu'il s'agit d'une tâche infinie et
qu'il n'y a pas de dernière décimale. Nous ne nous attendrions pas à ce qu'il soit possible
d'accomplir entièrement la computation de toutes les décimales et de ne se trouver dans
aucun état extérieur à elle, puisqu'elle n'a pas de dernier état. Mais si c'est là tout ce qui
était susceptible de nous déranger, nous pouvons dans ce cas ordonner la vérification, en
attendant comme résultat la réponse à la question de savoir si la séquence de décimales
s'y trouve ou non. Il serait évidemment déraisonnable de demander quelle est la dernière
décimale que l'opérateur a vérifiée.

De même, si nous ordonnions de parcourir toutes les moitiés zénoniennes, dans
l'ordre, nous ne nous attendrions pas à ce qu'il y ait un résultat net des parcours suc-
cessifs, puisque ce parcours n'a pas de point final. Mais cela ne veut pas dire que nous
ne pouvons pas l'ordonner.

Pourtant, il nous semble clair que selon Thomson, il est bien impossible de computer
toutes les décimales de $\pi$. C'est que cette impossibilité n'est pas du fait de l'absence de résultat net de la computation, mais du fait de la raison plus profonde qui est la cause de cette absence de résultat net : la série est infinie. Non pas au sens où le « cardinal » de ses étapes est infini, mais au sens où elle se poursuit sans fin, où elle n'est pas quelque chose qui pourrait être achevé, ce qui implique qu'elle n'a pas d'achèvement intrinsèque, ce qui fait qu'elle n'a pas de résultat net.

## 7.5 La critique des années 1960 : Benacerraf, Chihara, et Thomson 1970

Après la très riche discussion menée dans la revue *Analysis*, et dont nous n'avons commenté que quelques éléments, le second grand moment du problème des supertâches se déroule dans les années 1960, et comprend trois pièces majeures, qui chacune réfléchit logiquement et remarquablement les idées de la décennie qui précède. La première est l'impressionnant premier article publié de Paul Benacerraf<sup>73</sup>, et constitue la grande réponse « possibiliste », logiquement vraiment rigoureuse, à l'article de Thomson. La seconde est l'effort de Charles S. Chihara<sup>74</sup> pour, tout en maintenant l'intuition de l'impossibilité des supertâches, exprimer rigoureusement en quoi elles ne sont pas équivalentes à la tâche zénonienne. La troisième prend place dans le recueil de Wesley Salmon sur les réponses du XXe siècle aux paradoxes de Zénon d'Élée<sup>75</sup>, qui contient de très intéressants articles dont celui de Paul Benacerraf, et, justement, notre troisième texte à savoir la réponse de Thomson écrite pour l'occasion<sup>76</sup>, où ce dernier clarifie, nuance et enrichit son propos de 1954.

### 7.5.1 Benacerraf, *Tasks, Supertasks, and the Modern Eleatics* (1962)

La thèse essentielle de l'article de Paul Benacerraf est que l'on n'a pas su trouver (et qu'il est douteux que l'on trouve jamais) une *contradiction logique* posée par les super-

<footnote n="73">73. BENACERRAF, « Tasks, Super-Tasks, and the Modern Eleatics » cit.</footnote>

<footnote n="74">74. CHIHARA, « On the Possibility of Completing an Infinite Task » cit.</footnote>

<footnote n="75">75. SALMON, *Zeno's Paradoxes* cit.</footnote>

<footnote n="76">76. THOMSON, « Comments on Professor Benacerraf's Paper » cit.</footnote>
tâches. En réalité, les plus profonds développements de son article sont tous consacrés,
non pas tant à Zénon ou aux supertâches, mais à des réflexions méta-logiques et méta-
argumentatives sur la possibilité de prouver la cohérence d'un concept ou de lui attribuer
un sens, réfléchissant notamment à l'ambiguïté dans laquelle Thomson a laissé le pro-
blème, celui-ci ayant argumenté de façon apparemment indistincte pour prouver 1/ que
les supertâches sont contradictoires, 2/ qu'elles n'ont pas de sens, 3/ que leur sens n'a
pas été expliqué<sup>77</sup>. Nous ne pouvons à l'évidence aborder que très superficiellement ces
sujets, et nous ne pouvons d'une manière générale aborder l'ensemble des riches dévelop-
pements de l'auteur. Nous nous contenterons d'une synthèse rendant compte de la place
que prend cet article dans notre histoire. Nous devons commencer par accorder que sur
tous les points qu'il aborde, Benacerraf nous semble avoir techniquement, littéralement,
raison.

Son premier argument, que nous avons déjà repris pour notre compte en commen-
tant Thomson, est qu’il n’est pas à strictement parler *contradictoire* que la lampe soit
allumée, ou qu’elle soit éteinte, et qu’il faut donc admettre *a minima* qu’il manque une
prémisse au raisonnement de Thomson si celui-ci doit pouvoir conclure quoi que ce soit.
En général, remarque Paul Benacerraf, si l’on établit une série de règles attribuant cer-
taines propriétés à des intervalles d’une série infinie convergente (lui-même utilise les
concepts arbitraires *fair* et *foul* afin d’expliciter son propos), on ne peut pas en *déduire*
logiquement quoi que ce soit sur les propriétés du point limite<sup>78</sup>.

Supposer que [les arguments de Thomson montrent que la lampe ne peut être ni allumée ni éteinte] revient à supposer que la description de l'état physique de la lampe à t₁ (relativement à la propriété d'être allumée ou éteinte) est une conséquence logique de la description de son état (relativement à la même propriété) aux temps antérieurs à t₁. Je ne sais pas si cela est vrai ou non, et j'examinerai brièvement dans la section II différentes considérations à ce sujet.

Mais que cela soit vrai ou non, l'argument est invalide si l'on n'y ajoute pas une prémisse en ce sens<sup>79</sup>.

<footnote n="77">77. BENACERRAF, « Tasks, Super-Tasks, and the Modern Eleatics » cit., 767, n. 3.</footnote>

<footnote n="78">78. Ibid., p. 771-2.</footnote>

<footnote n="79">79. "To suppose that they do is to suppose that a description of the physical state of the lamp at t₁ (with respect to the property</footnote>
Ce simple argument est très longuement développé dans l'article, qui discute le détail des formulations de Thomson<sup>80</sup>, et produit un nombre important de nouvelles expériences de pensée. Les plus notables sont peut-être celles qui impliquent un génie diminuant de moitié à chaque fois qu'il achève le parcours d'une des parties proportionnelles zéno niennes, ne laissant rien de lui au point limite<sup>81</sup>.

Le bilan que nous voudrions tirer de l'ensemble de ces considérations, est à la fois que Paul Benacerraf semble manquer ce que nous considérons comme l'intention de Thomson, et qu'il a en un sens raison de le faire. Si nous l'interprétons correctement, la thèse de Thomson est essentiellement de considérer des actes consistant à accomplir une série infinie de tâches, étant sous-entendu que rien d'autre n'est supposé accompli qui viendrait compléter ou contredire le résultat de la supertâche, et d'arguer que rien de ce qu'on peut imaginer être un état du système obtenu au point limite ne peut être compris par nous comme *résultat* de la supertâche en question. En somme qu'une supertâche est quelque chose qui ne peut avoir de résultat net. Néanmoins, Benacerraf a raison de noter que Thomson suppose sans le dire qu'une supertâche *doit* (ou plutôt *devrait*, si elle était possible) avoir un résultat net, et qu'en tout cas Thomson n'a pas su exhiber de contradiction.

La seconde partie de l'article, comme nous l'avons annoncé, réfléchit plus généralement à la possibilité de prouver la possibilité ou l'impossibilité logique d'une situation donnée, et conclut en substance que pour montrer une impossibilité logique, il faudrait exhiber une contradiction simple dérivant de prémisses analytiquement impliquées par la nature de la situation en question. Et inversement, pour prouver la *possibilité* logique, il faudrait ou bien faire une analyse de tous les composants logiques de la situation et montrer qu'il serait impossible d'en dériver une contradiction, ou bien en donner un exemple manifestement réel.

<footnote>of being on or off) is a logical consequence of a description of its state (with respect to the same property) at times prior to $t_1$. I don't know whether this is true or not, and in section II I shall briefly investigate some matters that bear on this issue. But, true or not, the argument is invalid without the addition of a premise to that effect." [ibid., p. 768.]</footnote>

<footnote n="80">80. Nous sautons en particulier, ici comme à propos de l'article de Thomson, une discussion comparant les supertâches aux séries non-convergentes et leur résultat à la somme de Cesàro. Nous y reviendrons en commentant l'article de Yuval Dolev qui fait grand cas de cet aspect de la discussion.</footnote>

<footnote n="81">81. BENACERRAF, « Tasks, Super-Tasks, and the Modern Eleatics » cit., p. 776-7.</footnote>
Cette conclusion fort raisonnable nous permet de faire à notre tour une conclusion
intermédiaire : tout en introduisant la rigueur logique nécessaire, Paul Benacerraf est
également celui qui le plus clairement détache la problématique des supertâches de toute
intuition du passage. Il nous demande simplement de considérer une situation dans son
ensemble, incluant ou non des points et situations limites, et d'interroger le fait de savoir
si une contradiction peut être exhibée à partir des hypothèses d'origine. Qu'il ait raison
de procéder ainsi ne fait qu'illustrer l'erreur symétrique, d'après nous, de Max Black et
Thomson, qui a consisté à miser sur des états supposés contradictoires pour défendre
une thèse essentiellement relative au progrès et à l'achèvement de certains processus. La
question qu'il faut donc poser est la suivante : qu'est-ce exactement qui est contredit par
l'hypothèse d'une supertâche achevée ? Comme nous l'avons déjà suggéré, il y a un point
où l'affirmation de sa contradiction logique semblerait revenir à l'affirmation – insou-
tenable – de l'inconsistance de l'arithmétique des ordinaux transfinis. Cela indique que
la contradiction ne saurait ici être formelle. Mais comme le dit justement Yuval Dolev,
l'expérience de pensée d'un processus temporel ne peut pas mériter ce nom si nous ne
parvenons pas à la penser comme représentant effectivement un processus temporel. Et
avec la pensée de la temporalité semblent être impliquées des intuitions substantielles,
que nous qualifierions volontiers de « synthétiques a priori », au sens simplement où
elles ne sont tirées analytiquement d'aucune définition et sont trop générales pour être
considérées comme empiriques. Si une expérience nous paraît contredire certaines intui-
tions (qu'il importe alors d'expliciter), une situation que nous continuons à reconnaître
comme non logiquement contradictoire peut néanmoins échouer à être, pour nous, tem-
porelle. La question devient par conséquent ce que nous entendons quand nous parlons
du temps.

7.5.2 Chihara, On the Possibility of Completing an Infinite Process
(1965)

L'objet premier de l'article de Charles S. Chihara n'est pas de proposer de nouveaux
arguments en faveur de l'impossibilité des supertâches, mais de suggérer un critère per-
mettant de différencier les « vraies » supertâches des tâches zénoniennes. Cela revient en un sens à renforcer la position impossibiliste, la position possibiliste étant elle-même régulièrement renforcée par l'idée que le mouvement, tel qu'analysé par Zénon, nous donne en soi de bonnes raisons de croire en la possibilité des supertâches.

L'article prend pour ainsi dire la suite immédiate de celui de Benacerraf. Il commence par l'idée que peu de personnes réfléchissant à ces questions croient possible l'achèvement d'au moins certains processus infinis, notamment ceux qui consisteraient à calculer toutes les décimales du nombre $\pi$ ; que certains auteurs ont jugé qu'il s'agissait là d'une impossibilité logique, et que lui-même ne se prononcera pas sur cette question, considérant que « la distinction entre le physiquement et le purement logiquement impossible n'est pas simple à tracer<sup>82</sup> ». Que néanmoins, personne ne semble croire que l'inexistence d'une machine capable d'un tel exploit soit purement contingente, ou que nous puissions, par exemple, raisonnablement envisager l'élaboration future d'une telle machine. Comme il l'écrit, il semble, quoi qu'il en soit, que le sens selon lequel des processus de ce type sont « impossibles » est un sens très fort, touchant peut-être à l'inconcevabilité<sup>83</sup>. Mais le problème, qui se pose alors intellectuellement à tous et toutes, est de comprendre quoi faire de l'analyse zénonienne de la course d'Achille contre la tortue, qui semble impliquer qu'une tâche infinie du même type soit effectivement achevée avec tout mouvement.

En somme, nous ne sommes pas prêts à abandonner notre conviction de l'impossibilité d'accomplissement des supertâches, et sommes frappés de stupeur devant l'analyse zénonienne. Le point de départ est bien celui que nous trouvons déjà chez Aristote.

Chihara introduit alors un certain nombre de distinctions et élaborations concepтуelles pour mieux analyser la situation, ces élaborations techniques étant tout du long le véritable apport de l'article. Nous citons le premier passage essentiel :

> J'appellerai une règle engendrant une suite « règle terminale », si un terme de la suite produit conformément à la règle peut être correctement nommé « le dernier terme de la suite définie par la règle ». Une « règle sans terme » sera, au contraire, toute règle engendrant une

<footnote n="82">82. CHIHARA, « On the Possibility of Completing an Infinite Task » cit., p. 74.</footnote>

<footnote n="83">83. Ibid.</footnote>
suite et n'étant pas une suite terminale. Bien entendu, lorsqu'une suite de nombre entiers est
effectivement mise sur le papier, conformément à une règle sans terme, un terme en particulier
devra être le dernier de la suite qui a été produite, mais celui-ci ne saurait être le dernier terme
de la suite définie par la règle.

Toute règle sans terme définit une suite infinie, mais toute règle terminale ne définit pas
une suite finie : une suite de type d'ordre $\omega + 1$ (par exemple la suite 1, 2, 3, ... ; 1) peut être
définie par une règle terminale. Toute suite infinie qui est définie par une règle terminale doit,
cependant, posséder une sous-suite qui puisse être définie par une règle sans terme.<fnref n="84" />

Enfin, j'adopterai l'expression « X rend P vraie » à la place de l'expression encombrante « X
accomplit une action en vertu de laquelle la proposition P est vraie ».

Revenant au paradoxe de l'Achille, nous remarquons que nous avons une règle sans terme
engendrant une suite de nombres de la forme $1 - 1/2^n$. Soit alors « $I^n$ » l'intervalle fermé ayant
pour extrémités $1 - 1/2^{n-1}$ et $1 - 1/2^n$, et soit « $T^n$ » la proposition « Achille a traversé $I^n$ ».
Il est clair que nous obtenons une règle sans terme engendrant une suite de propositions de la
forme $T^n$. Nous pouvons alors considérer que Zénon soutient que, si Achille doit rattraper la
tortue, il doit rendre vrai $T^1$, puis $T^2$, puis $T^3$ ... jusqu'à ce que $(n)T^n$ ait été rendue vraie.

Mais comment est-il possible de rendre vraies toutes les propositions d'une suite infinie ?
Comment est-il possible d'achever une telle tâche puisque l'on ne peut parvenir à la fin de
la suite de tâches à accomplir ? Comment est-il possible de traverser chacun des intervalles
infinis de forme $I^n$ dont la réserve est illimitée et inépuisable ? De pareilles considérations ont
conduit Hermann Weyl à affirmer qu'« il est incompatible avec le caractère de l'infini comme
"inachevable" qu'Achille ait pu les traverser tous »<fnref n="85" />.

<footnote n="84">84. À condition que la suite soit bien ordonnée, ce qui est en fait ici sous-entendu par l'usage du terme « suite » par Chihara.</footnote>

<footnote n="85">85. “I shall call a rule for generating a sequence a *terminating rule* if some term in a sequence produced in accordance with the rule can be correctly called ‘the last term in the sequence defined by the rule’. A *nonterminating rule* will thus be any rule for generating a sequence that is not a terminating rule. Obviously, in actually writing out a sequence of natural numbers in accordance with a nonterminating rule, some term will have to be the last term in the sequence actually produced, but this term cannot be the last term in the sequence defined by the rule. / Every nonterminating rule defines an infinite sequence, but not every terminating rule defines a finite sequence : a sequence of order // type $\omega + 1$ (for example, the sequence 1, 2, 3, ... ; 1) can be defined by a terminating rule. Every infinite sequence defined by a terminating rule must, however, have a subsequence which can be defined by a nonterminating rule. / Finally, I shall adopt the locution ‘X makes P true’ in place of the cumbersome ‘X performs an action in virtue of which the proposition P is true.’ / Turning to the Achilles paradox, we should note that we have a nonterminating rule for generating a sequence of numbers of the form $1 - 1/2^n$. Now let ‘$I^n$’ denote the closed interval with the end points $1 - 1/2^{n-1}$ and $1 - 1/2^n$; and let ‘$T^n$’ denote the proposition ‘Achilles travelled through $I^n$.’ Obviously, we have a nonterminating rule</footnote>
Nous avons donné cette longue citation qui de notre point de vue est parfaite et semble renouer véritablement avec le problème originel : elle reformule l'infinité comme résultat d'une procédure sans fin, d'où est tiré le caractère inépuisable et inachevable de ses opérations. Le problème étant celui de la compatibilité entre l'achèvement et l'inachevabilité<fnref n="86" />. Suivant cette compréhension, il pose un dilemme entre deux choix déplaisants : la conclusion de Zénon ou la possibilité des supertâches. Il poursuit en montrant pourquoi ce dilemme de l'inachevable n'est pas résolu par les solutions habituelles – qui pointent la convergence de la somme infinie ou le prétendu sophisme du « toujours/jamais » – et qu'il ne comprend pas vraiment non plus les réponses – que nous dirions aristotéliciennes – de Weyl et Black, censées nous convaincre du fait qu'il n'y a pas en fait vraiment une infinité d'intervalles à parcourir<fnref n="87" />. Rappelant l'échec des arguments cherchant à établir une contradiction logique dans l'idée de supertâche achevée, il maintient néanmoins une certaine sympathie pour le geste de Thomson, à condition de comprendre que le problème ne réside pas dans l'inexistence d'un état résultant satisfaisant, mais dans l'incompréhensibilité du fait qu'un inachevable s'est en effet achevé. La chose étant peut-être mieux signifiée par l'argument de la Dichotomie, qu'il comprend comme Dichotomie inversée, qui demande comment une série sans commencement peut bien commencer<fnref n="88" />.

Ayant ainsi établi le dilemme d'une manière selon nous parfaitement satisfaisante, Chihara se propose de le résoudre, c'est-à-dire de trouver un critère permettant de déterminer clairement et en général en quoi les situations que nous croyons réelles, et où une analyse zénonienne peut être menée, ne sont en fait pas équivalentes aux situations

<footnote>generating a sequence of propositions of the form $T^n$. Now we can take Zeno as arguing that if Achilles is to catch the tortoise, he must make true $T^1$, and then $T^2$, and then $T^3$...until $(n)T^n$ is made true. / But how is it possible to make true all of an infinite sequence of propositions? How is it possible to finish such a task when one cannot come to the end of the sequence of tasks to be performed? How is it possible to traverse each of the infinitely many intervals of the form $I^n$ when the supply of intervals is unlimited and inexhaustible? Such considerations led Hermann Weyl to claim 'it is incompatible with the character of the infinite as the "incompletable" that Achilles should have been able to traverse them all.' " CHIHARA, « On the Possibility of Completing an Infinite Task » cit., p. 74-5.</footnote>

<footnote n="86">86. Notons néanmoins, point qui sera déterminant par la suite, que Chihara ne dit pas qu'Achille doit traverser une infinité d'intervalles successifs, ou accomplir une série infinie de tâches, mais qu'il doit rendre vraie une série infinie de propositions.</footnote>

<footnote n="87">87. CHIHARA, « On the Possibility of Completing an Infinite Task » cit., p. 77.</footnote>

<footnote n="88">88. Ibid., p. 80-1.</footnote>
de supertâches véritables, que nous croyons impossibles. Le dilemme va se trouver résolu grâce à la notion de « suite infinie engendrée par analyse » ou suite infinie « e-a ».

Les propositions *P* et *Q* seront dites « équivalentes en acte » si tout acte rendant *P* vraie rendrait *ipso facto* *Q* vraie et *vice versa*. L'« équivalence en acte » est évidemment une relation d'équivalence -- c'est-à-dire qu'elle est réflexive, symétrique et transitive.

On lira « * » comme abrégeant la conjonction temporelle « et ensuite ».

Soit $\overline{D}_1, \overline{D}_2, \overline{D}_3, \dots$ une suite sans terme de propositions dont chaque membre $\overline{D}_n$ est équivalent en acte à tout autre membre de la suite, et consiste en une conjonction de forme $D_1 * D_2 * D_3 * \dots * D_n * R_n$, telle que : (a) $R_n$ est équivalent en acte à $D_{n+1} * R_{n+1}$ ; et (b) la même sorte de test qui pourrait être employé pour déterminer si $R_n$ a été rendue vraie pourrait aussi l'être pour déterminer si $D_n$ a été rendue vraie. On dira alors que la suite $D_1, D_2, D_3, \dots$ est une suite infinie engendrée par analyse (ou simplement *e-a*)<sup>89</sup>.

Il est probablement souhaitable ici d'expliciter le calcul laissé pour ainsi dire à l'exercice du lecteur par Chihara, et d'expliquer à la fois la fonction et le fonctionnement de cette définition.

Les $D_n$ sont des propositions décrivant des faits qu'on pourra dire « élémentaires ». Chaque $\overline{D}_n$, en revanche, est une proposition composée, de la forme : « $D_1$ et ensuite $D_2$ et ensuite...et ensuite $D_n$ – pour tout $D_i$ tel que $i \le n –$, et ensuite $R_n$ ». Ici, $R_n$ joue le rôle d'une sorte de *générateur*, car il est défini comme équivalent en acte à « $D_{n+1}$ et ensuite $R_{n+1}$ ». Ainsi, on a $\overline{D}_1$ défini comme « $D_1$ et ensuite $R_1$ », ce qui est équivalent en acte à « $D_1$ et ensuite $D_2$ et ensuite $R_2$ », c'est-à-dire par définition $\overline{D}_2$, qu'on montrera à son tour équivalent à $\overline{D}_3$ et ainsi de suite, d'où le fait que les $\overline{D}_n$ sont tous équivalents en acte deux à deux, et chacun d'entre eux engendre une suite infinie engendrée par analyse.

<footnote n="89">89. "Propositions *P* and *Q* will be said to be *act-equivalent* if any act making *P* true would *ipso facto* make *Q* true and vice versa. Obviously, 'act-equivalence' is an equivalence relation -- that is, is reflexive, symmetric, and transitive. // *'*' should be read as the temporal conjunction 'and then.' // Let $\overline{D}_1, \overline{D}_2, \overline{D}_3, \dots$ be a nonterminating sequence of propositions each member ($\overline{D}_n$) of which is act-equivalent to any other member of 82/ the sequence and is a conjunction of the form $D_1*D_2*D_3*\dots*D_n*R_n$ such that : (a) $R_n$ is act-equivalent to $D_{n+1} * R_{n+1}$ ; (b) the same sorts of test could be used for determining that $R_n$ has been made true as those for determining that $D_n$ has been made true. Then the sequence $D_1, D_2, D_3, \dots$ will be called an *analysis-engendered* (or simply *a-e*) infinite sequence." [ibid, p. 81-2]</footnote>
Chihara va pouvoir alors affirmer qu'on a au moins de bonnes raisons de penser que la suite des parcours partiels zénoniens est bien une telle suite infinie engendrée par analyse, mais qu'en revanche les autres suites infinies, impliquées par les supertasks, et intuitivement irréalisables, que le dilemme déclarait équivalentes aux tâches zénoniennes, ne sont en fait pas engendrées par analyse, et ne sont donc pas équivalentes aux tâches zénoniennes. Il est sans doute à nouveau souhaitable d'expliciter ce point que Chihara laisse en l'état :

Dans la définition de Chihara, on prend, pour chaque $D_n$, le $T_n$ correspondant dans la description de la série zénonienne, autrement dit la proposition « le mobile a parcouru la n-ème section zénonienne du parcours ». Et on comprend $R_n$ comme la proposition « le mobile a parcouru ce qui reste du parcours total, à la suite de la n-ème section ». Et il faut noter que, dans le dispositif zénonien, nous savons une chose supplémentaire qui est que, pour tout n, les intervalles dont $R_n$ et $D_n$ énoncent respectivement le parcours sont exactement égaux, du fait qu'à chaque étape le mobile est supposé parcourir exactement la moitié de ce qui lui reste. $R_n$ peut donc se comprendre comme : « le mobile a parcouru le reste du parcours, reste qui se trouve être exactement égal à la n-ème section ».

$\overline{D}_1$ est donc par définition la proposition : « $D_1$ et puis $R_1$ », soit « le mobile a parcouru la première moitié, et puis la seconde moitié restante ». Zénon nous montre (c'est la satisfaction du critère (a) de Chihara) que $R_1$ est équivalent à « le mobile a parcouru le troisième quart, et puis le quatrième quart restant », c'est-à-dire équivalent à « $D_2$ et puis $R_2$ ». Et ainsi de suite, à chaque fois, $R_n$ équivaut à « $D_{n+1}$ et puis $R_{n+1}$ ». $R_n$ joue donc bien son rôle de générateur, qui garantit l'équivalence de $\overline{D}_1$ et $\overline{D}_2$ et à la suite de tous les $\overline{D}_n$ deux à deux.

Et Chihara soutient (c'est la satisfaction du critère (b)), que l'on évalue, pour tout n, la vérité de $D_n$ de la même manière que l'on évalue la vérité de $R_n$ – avec quelque vraisemblance puisqu'il s'agit du parcours de deux intervalles rigoureusement égaux, l'un à la “droite” immédiate de l'autre.

On a donc bien, de façon au moins vraisemblable, le fait que la suite zénonienne des $T_n$ est une suite infinie engendrée par analyse. Elle porte manifestement ce nom du fait
qu'elle est littéralement engendrée par l'analyse du continu en ses parties arbitrairement découpables. Mais les suites problématiques, soi-disant équivalentes, ne sont pas des suites infinies engendrées par analyse, parce qu'elles ne vérifient pas le critère (b). Si l'on prend par exemple la suite proposée par Weyl, on interpréterait chaque $D_n$ comme : « la machine a énuméré la n-ème décimale de $\pi$ », ce que l'on sait vérifier et qui est une tâche ordinaire; mais chaque $R_n$ comme : « la machine a énuméré la m-ème décimale de $\pi$ pour tout m supérieur à n » ce que l'on ne sait pas comment vérifier et qui n'est pas une tâche ordinaire. Ainsi la suite de Weyl échoue à satisfaire le critère (b) de Chihara et n'est pas engendrée par analyse. Ce qui manifeste le fait qu'il n'y a pas de tâche ordinaire et apparemment simple que l'on puisse analyser en une infinité de sous-tâches consistant à énumérer les décimales de $\pi$.

Tout ceci nous paraissant absolument convaincant, la question principale demeure néanmoins : cette différence est-elle pertinente relativement au problème de l'inachevable ?

La clé de l'argument semble alors se trouver dans le passage suivant :

Mais pourquoi au juste semble-t-il impossible de rendre vrais tous les $T_n$ ? Je suggèrerais la raison suivante : l'on tend à penser les suites infinies sur le modèle des suites finies. Supposons que tous les éléments d'une suite finie de propositions $P_1, P_2, P_3, ... P_k$ doivent être rendus vrais dans l'ordre de la suite. Il est évident que l'on ne finit de rendre vraies toutes les propositions de la suite que lorsque l'on rend vraie $P_k$, soit la dernière proposition de la suite. Si l'on a une situation de ce genre à l'esprit, on peut alors aisément être conduit à penser que le fait de rendre vrais tous les $T_n$ est une tâche impossible, puisqu'il n'y a pas un dernier élément de la suite à rendre vrai.

Mais l'on pourrait aussi bien être conduit à penser que la série infinie $1/2 + 1/4 + 1/8 + ...$ ne pourrait possiblement avoir la valeur 1, puisqu'on ne peut jamais finir d'« additionner » tous les termes concernés, puisqu'il n'y a pas de dernier terme de la suite à « additionner ». Bien entendu, affirmer que la série infinie ci-dessus a pour valeur 1 ne consiste pas à affirmer que si l'on « additionnait » les termes de la suite 1/2, 1/4, 1/8, ... l'on finirait par obtenir 1, mais plutôt que la suite des sommes partielles admet le nombre 1 pour limite. Et dire qu'une suite
a une certaine limite revient à caractériser la règle qui la définit en disant qu'elle engendre des termes d'une certaine sorte.

Cet exemple laisse à penser que nous avons considéré incorrectement la tâche d'Achille. Par analogie avec la notion de valeur d'une série infinie, nous pouvons comprendre le fait de rendre vrai tous les $T_n$ non comme la tâche absurde consistant à rendre vrai $T_1$, puis $T_2$, puis $T_3$, et ainsi de suite, jusqu'à ce que soit rendue vraie quelqu'inexistante dernière proposition de la suite, mais plutôt comme la tâche consistant à accomplir une action en vertu de laquelle une règle sans terme engendre des termes d'une certaine sorte, à savoir des propositions vraies. Par suite, la tâche que Zénon confie à Achille est simplement d'accomplir une action qui satisfasse une condition suffisante pour qu'une certaine règle sans terme n'engendre que des propositions vraies. Quelle action Achille doit-il donc accomplir pour rendre vrais tous les $T_n$ ? Précisément celle dont Zénon nous a fourni l'analyse au moyen de cette même règle sans terme : Achille doit traverser l'intervalle (0,1)<fnref n="90" />.

Si nous comprenons correctement ce que peut vouloir signifier ce passage, il s'agit de dire que contrairement aux apparences, le fait de rendre vraie une suite infinie de propositions exprimant le parcours d'intervalles successifs n'est pas équivalent au fait d'accomplir une suite infinie de parcours successifs, en sorte que si le second exploit est bien impossible, cette impossibilité ne se transmet pas au premier, qui consiste à rendre vrais les éléments d'une suite infinie engendrée par l'analyse d'une tâche simple.

Malheureusement, il nous semble que cette remarquable analyse échoue complètement à

<footnote n="90">90. “But why does it even seem to be impossible to make true all the $T_n$? I suggest that one reason is this: one tends to think of infinite sequences on the model of finite sequences. Suppose now that all the elements of a finite sequence of propositions $P_1, P_2, P_3, \dots, P_k$ must be made true in the given order. Obviously, one finishes making true all the propositions in the sequence only when one makes true $P_k$, the last proposition in the sequence. Now if this sort of situation remains fixed in one's mind, one can easily be led to think that making true all the $T_n$ is an impossible task, since there is no last element of that sequence to be made true. // But a person might also be led to think that the infinite series $1/2 + 1/4 + 1/8 + \dots$ could not have the value 1, since one could never finish 'adding up' all the relevant terms, there being no last term in the sequence to be 'added up.' Of course, to claim that the above infinite series has the value 1 is not to claim that if one 'added up' the terms in the sequence 1/2, 1/4, 1/8, ... one would eventually get 1, but rather that the sequence of partial sums has the limit 1. And to say that a sequence has a particular limit is to characterize the defining rules as generating terms of a certain sort. // This example suggests that we have been thinking of Achilles' task in the wrong way. By analogy with the notion of the value of $1/84$ an infinite series, we can understand making true all the $T_n$, not as the absurd task of making true $T_1$, then $T_2$, then $T_3$, and so forth, until some nonexistent last proposition in the sequence is made true, but rather as the task of performing some action in virtue of which the nonterminating rule generates terms of a certain sort, namely true propositions. Hence the task which Zeno sets for Achilles is just the task of performing some action which satisfies a sufficient condition for it to be the case that the nonterminating rule generates only true propositions. Now what action would Achilles have to perform to make true all the $T_n$? Precisely that action which Zeno analyzed for us by means of the above nonterminating rule : Achilles would have to traverse the interval (0, 1)." [ibid., p. 83-4.]</footnote>
protéger l'exploit d'Achille de l'impossibilité des supertâches.

Ce que nous dit l'auteur, c'est que *si* le mobile peut accomplir un parcours quel-
conque, alors il peut accomplir quelque chose qui suffit à faire qu'une règle sans terme
énumère une infinité de propositions toutes vraies. Cela est évident. Et on ne peut que
reconnaître le fait qu'accomplir une chose qui rende vraie une infinité de propositions
distinctes n'implique pas *en général* d'accomplir une infinité de choses distinctes<fnref n="91" />. Et
il est aussi clair qu'il est toujours possible de considérer ainsi la situation de la course
d'Achille et ne pas la regarder comme une suite inachevable de parcours partiels.

Mais en vérité, cela ne nous semble rien changer au problème. En effet, *pourquoi* ne
pas la regarder comme une telle suite inachevable ? Il est certain que *si* le mobile peut
achever un parcours quelconque, *alors* il peut rendre vraie l'infinité des propositions en
vertu d'une règle générative sans terme. Mais *peut-il* achever un parcours quelconque ?
Mettons-nous à la place du coureur : pour achever un parcours quelconque donné, il lui
faudrait pour commencer en parcourir la moitié. Arrivé à cette moitié, il lui faudrait
encore parcourir la moitié restante, assurément. Il devrait donc en parcourir d'abord la
moitié. Et ainsi de suite. Comme nous savons que la suite de ces étapes, que Chihara ne
nous a pas donné de raison de ne pas attribuer effectivement au mobile, est une séquence
itérative, nous savons qu'elles forment une série sans fin. Mais nous savons par ailleurs,
en prenant du recul, que cette série devrait avoir été achevée, c'est-à-dire que le mobile
devrait effectivement accomplir chacune de ces étapes, une par une, si le mouvement de
départ devait avoir été accompli, dans la mesure où tous les membres de la série prennent
place avant l'accomplissement total du mouvement. Si le mobile pouvait achever un
parcours quelconque, il devrait par impossible avoir achevé une série infinie de parcours,
et tout mouvement est par conséquent impossible. Autrement dit, il est certain qu'en
général rendre vraie une infinité de propositions n'implique pas d'accomplir une infinité
d'actes, mais pourquoi cela n'est-il pas impliqué *dans ce cas précis*, où les propositions de
la suite ne sont pas seulement toutes rendues vraies, mais *rendues vraies successivement*

<footnote n="91">91. Pour donner un exemple particulièrement trivial, que Pierre ait mangé une pomme est la condition nécessaire et suffisante pour rendre vraie l'infinité des propositions suivantes : « Pierre a mangé une pomme et $1+1=2$ », « Pierre a mangé une pomme et $1+1=2$ et $2+1=3$ », etc.</footnote>
dans le temps dans l'ordre même de leur génération par la règle. En sorte que (c'était là selon nous le cœur de l'argument de Zénon) le caractère « sans terme » ou inachevable de la règle se transmet directement à la tâche que cette règle nous permet de décrire, qui est le parcours successif des parties.

Chihara remarque très justement, il est vrai, que dans le cas zénonien la tâche ordinaire, qui est analysée en l'infinité de propositions qu'elle rend vraies, peut rendre vraies différentes séries, infinies ou non, de propositions engendrées par une règle. Ces séries peuvent être choisies de façon relativement arbitraire, alors que dans le cas des supertâches décrites par Weyl – et déjà par les adversaires d'Aristote –, la tâche est singulièrement différente pour chaque règle, car ces supertâches ne sont pas le produit de l'analyse d'une tâche ordinaire<fnref n="92" />. Par exemple, on peut vouloir mettre en équivalence la tâche zénonienne avec la tâche consistant à compter tous les nombres entiers dans l'ordre, ou celle consistant à compter uniquement tous les nombres *pairs* dans l'ordre; ou les *impairs*; mais il est manifeste qu'il n'y a pas une tâche *unique* donnée qui rendrait vraie l'une *et* l'autre de ces supertâches, à la manière dont le parcours ordinaire rend vrai à la fois le parcours 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...et le parcours 1/3 + 2/9 + 4/27 + ...Et cette remarque est une autre manière précieuse de rendre sensible à ce que cela signifie de dire que l'infinité zénonienne est produite par *analyse* du continu : le continu est précisément ce qui rend possible cette richesse inépuisable des analyses zénoniennes possibles.

Mais dans tous ces développements, Chihara nous paraît considérer encore une fois les choses en quelque sorte à l'envers. Ce n'est pas qu'on a *confondu* d'une manière ou d'une autre l'analyse d'un mouvement simple avec la fixation d'une tâche comparable à des tâches impossibles. C'est au contraire qu'on a voulu montrer que si certaines conditions étaient données (à savoir la continuité du mouvement et une certaine façon de la considérer), alors l'accomplissement de la tâche ordinaire du mouvement *impliquait* l'accomplissement d'une série infinie de tâches (ou plus exactement de toute une gamme inépuisable de différentes séries infinies), accomplissement qui, *lui*, était comparable à l'accomplissement de tâches impossibles. Et par conséquent, le mouvement était prouvé

<footnote n="92">92. CHIHARA, « On the Possibility of Completing an Infinite Task » cit., p. 86.</footnote>
impossible. Si le mouvement pouvait avoir lieu, chacune des séries inachevables qu'il implique devrait pouvoir prendre place, mais aucune ne le peut.

Qu'il soit néanmoins dit qu'en vérité nous ne croyons pas découvrir ou révéler ici une chose que Chihara lui-même ignore. Nous voulons simplement soulever le point suivant : l'analyse de cet auteur n'est concluante (c'est-à-dire qu'elle ne résout le dilemme) qu'à la condition expresse que l'on juge qu'Achille n'a pas vraiment à accomplir une tâche infinie, qu'il n'a pas vraiment à accomplir une série inachevable, mais que chacune des tâches apparemment inachevables que l'on peut lui assigner est essentiellement le résultat de l'analyse d'un parcours dont « l'être et l'essence sont autres ». Autrement dit, il nous semble que l'analyse n'est concluante, comme c'était déjà le cas de l'analyse de Thomson, qu'adossée à une forme de la réponse aristotélicienne.

Cela ne revient pas à dire, très loin de là, que les analyses de Thomson et Chihara n'ont rien à nous apporter. Au contraire, si nous pouvons espérer sortir de l'aporie sans renoncer ni à la physique du continu ni à l'intuition du devenir, notre tâche semble être de parvenir à donner sens à l'assertion aristotélicienne selon laquelle « l'être et l'essence du mouvement continu sont autres », et à la rendre réellement convaincante. Il nous parait clair à cet égard que les analyses de Chihara sont précieuses pour rendre compte du caractère essentiellement analytique des séries zénoniennes. Notamment, le critère (b) des séries engendrées par analyse rend compte d'un trait remarquable des tâches zénoniennes qui est qu'à chaque étape de l'itération, « l'infinité » des étapes restantes à parcourir est prouvablement tirée par analyse d'un parcours hypothétique équivalent au parcours venant d'être effectué<sup>93</sup> : quand j'ai parcouru par exemple le septième huitième du parcours, j'ai encore une infinité d'étapes devant moi, mais cette infinité est générée par l'analyse du dernier huitième que je contemple comme devant encore être accompli, et qui est égal à celui que je viens d'accomplir. Cette propriété ne se retrouve pas dans les « vraies » supertâches comparables au compte de l'ensemble des entiers.

<footnote n="93">93. Ibid., p. 85-6.</footnote>
Bilan

Le constat de Thomson était qu'il y a deux prémisses qui semblent mener à une
conclusion insupportable. Et il comprenait le débat jusqu'à lui comme le fait que les
partisans de chacune des prémisses tentaient de montrer que l'autre était fausse. Les
partisans de la division infinie soutenaient qu'il était possible d'achever un infini, et les
partisans de l'inachevabilité de l'infini soutenaient que la division n'était pas vraiment
infinie. Et qu'en fait l'argument n'était pas conclusif, parce que les deux prémisses étaient
vraies de manière différente. Chihara quant à lui comprenait le problème comme un
dilemme entre le refus de la possibilité de la course et l'acceptation de la possibilité
d'opérations absurdes. Sa conclusion était que le dilemme ne tient pas vraiment.

Dans l'un et l'autre cas, leur conclusion ne pouvait être obtenue qu'à soutenir non
seulement que la tâche infinie zénonienne n'est pas équivalente à la tâche ordinaire, ce qui
est manifeste, mais qu'elle n'est pas non plus impliquée par la tâche ordinaire, sauf par
manière de parler. C'est-à-dire qu'il fallait soutenir que le mobile n'a pas littéralement à
accomplir les supertâches qu'on lui assigne, à la manière dont en général on accomplit
une tâche qui nous est assignée.

Nous pourrions quant à nous proposer une sorte de constat plus général encore sur
le dilemme des supertâches. Nous trouvons d'une part ceux qui veulent maintenir l'idée
que l'inachevable ne peut pas avoir été achevé (les « impossibilistes »), et qui argu-
mentent de diverses manières pour montrer (à la suite d'Aristote) que la course zéno-
nienne *n'est pas* équivalente à l'achèvement d'un inachevable (disons qu'ils cherchent à
établir une position « compatibiliste »); d'autre part, ceux qui ne comprennent pas la
nécessiter de « protéger » la course zénonienne de l'achèvement de l'infini (nommons-les
« possibilistes »), et qui cherchent à montrer (à la suite de Bayle) que les arguments
compatibilistes ne soutiennent pas vraiment l'examen. Quant à nous, notre lot malheu-
reux est d'être convaincu à la fois par l'exigence impossibiliste et par les arguments
incompatibilistes.
7.5.3 Thomson, *Comments on Professor Benacerraf's Paper* (1970)

Si l'article de Chihara a ceci de précieux qu'il fait progresser l'argumentaire compa-
tibiliste, le second article de Thomson enrichit les formulations possibles de l'intuition
impossibiliste.

En substance, Thomson reconnaît la force des réfutations de Benacerraf, mais n’est
pas satisfait par l’ensemble de ses conclusions. Il va alors résumer l’intention qui était
la sienne dans l’article originel, et exprimer son jugement présent sur la situation, après
que Benacerraf a argumenté contre notre capacité à établir l’impossibilité logique des
supertâches.

Son intention en 1954 était de montrer que la réalisation d'une tâche de type d'ordre
ω était suspecte, parce qu'on ne savait pas établir ou comprendre quel pouvait être son
résultat, et que la tâche de Zénon, à ce titre, n'était une tâche ω que par manière de
plaisanterie, car le coureur ne parcourt la tâche ω qu'au sens où il va d'un point à un
autre.

Il reconnaît à présent que l’argument de la lampe, cherchant à convaincre de l’im-
possibilité de la réalisation d’une tâche ω, ne fonctionne pas, car comme l’a remarqué
Benacerraf il exigeait pour l’état de la lampe à l’instant limite t une détermination que
les données de son problème ne lui permettait d’exiger que pour les instants antérieurs.

Il tend à présent à penser qu'il n'y a pas d'arguments simples et décisifs qui puissent
établir que la notion d'une tâche ω achevée est contradictoire, mais juge qu'il reste
possible que des difficultés se présentent, qui ne soient pas réductibles à un manque
d'imagination. Et dans le cas de la lampe, en particulier, il croit pouvoir pointer une
difficulté, mais annonce que cette difficulté ne doit pas être considérée comme vraiment
« dramatique »<fnref n="94" />. Il s'agit donc d'exposer la nouvelle formulation de la lampe, et les
raisons de penser qu'elle n'est pas dramatique.

La nouvelle formulation de la difficulté est obtenue en reformulant le problème en
termes de *transitions*, et non plus d'actes d'extinctions et d'allumage. Dans le contexte
d'un système physique S qui passe d'un état A à un état B *et vice versa* tel qu'il y a

<footnote n="94">94. THOMSON, « Comments on Professor Benacerraf's Paper » cit., p. 131.</footnote>
toujours un premier instant dans lequel le système est « passé» à l'état A ou B dans lequel il se trouve, on dit qu'une *transition* a lieu à l'instant t si S est dans l'état X à t et qu'il n'existe pas d'instant t' strictement antérieur à t tel que S est X en tout temps postérieur à t' et antérieur à t.

Maintenant on considère de nouveau l'expérience de pensée de la lampe, et l'on suppose qu'elle ne peut être que dans deux états, allumée ou éteinte, et qu'elle continue d'exister après la suite $\omega$. Cela implique qu'à l'instant t immédiatement postérieur à la suite, une transition a lieu.

La transition qui a lieu à t, néanmoins, n'a pas lieu *depuis* un état différent : si la lampe est allumée à t on ne peut pas dire qu'elle se soit *allumée* au sens où elle serait passé d'éteinte à *allumée*. D'une manière générale, on ne peut pas dire que la lampe *passe* à un état X à t sans contrarier la grammaire naturelle du *passage*. En fait nous sommes conduits à affirmer au moins une des deux propositions suivantes qui toutes deux semblent contrarier nos intuitions : ou bien l'on dit qu'il est possible de *passer* à un état donné, ou de *changer* d'état, sans y passer ou en changer *depuis* un certain autre état; ou bien l'on dit qu'un système peut opérer une *transition* vers un état sans pour autant *passer* à cet état ni changer d'état. Comme le dit Thomson, aucune de ces deux conclusions n'est à proprement parler contradictoire, mais les deux *contredisent* quelque chose qu'il est au moins naturel de supposer<sup>95</sup>.

Thomson insiste néanmoins sur le fait qu'il ne pense pas que cette conséquence soit vraiment dramatique, et cela pour deux raisons.

La première est que même si un possibiliste (dans notre vocabulaire) acceptait la grammaire naturelle du « changement » ou du « passage », et donc le fait qu'on ne peut dire que l'on « change » d'état s'il n'y a pas un état à partir duquel on en change, on ne le convaincrait pas du fait qu'une transition doit être un passage (car s'il en était convaincu, il ne serait déjà plus possibiliste).

Cela donne l'occasion à Thomson de clarifier un point argumentatif : il remarque

<footnote n="95">95. “So we must either say that S can change (or even go) into one of its states without changing (or going) into it from its other state, or say that S can undergo a transition into a state without thereby changing into that state. Neither of these conclusions can be called contradictory, but each of them contradicts something that it is quite natural to suppose.” *ibid*. p. 132.</footnote>
que Benacerraf lui a reproché de passer de façon indue d'une situation d'ordre $\omega$ à une situation d'ordre $\omega + 1$, c'est-à-dire de présupposer sans justification que s'il y a une série $\omega$ d'éléments en un temps fini, il doit y avoir une série $\omega + 1$. En l'espèce, de présupposer que s'il y avait une série infinie d'obtentions d'états allumés ou éteints de la lampe, il devait y avoir une obtention $\omega$ à la limite de la série. Thomson, tout en reconnaissant l'ambiguïté de sa propre argumentation, remarque que Benacerraf sur ce point fait erreur. En effet, si l'on envisage la série en termes d'actes, c'est-à-dire d'allumages et d'extinctions de la lampe, alors son argument présupposait au contraire qu'il n'y ait pas un acte $\omega$, car une telle obtention transfinie viendrait précisément empêcher l'exhibition de l'impossibilité que voulait dévoiler Thomson. Son présupposé était que la lampe devait être dans un certain état, et que précisément cet état ne pouvait pas avoir été obtenu, en l'absence de terme $\omega$ de la suite. Si, en revanche, on envisage la série en termes de transitions, la position d'une étape $\omega$ est cette fois entièrement justifiée : s'il y a $\omega$ transitions, il y a ipso facto $\omega + 1$ transitions. Sauf bien sûr à supposer que le système physique puisse être réduit à néant ou en général changer entièrement de nature, comme le génie de Benacerraf, mais ici Thomson remarque, selon nous à juste titre, que si l'on veut affirmer qu'une tâche $\omega$ est possible il faut admettre qu'elle puisse laisser des traces et qu'elle n'implique pas un pur évanouissement.

La seconde raison pour ne pas faire toute une affaire de la difficulté soulevée par l'auteur, affirme-t-il, c'est que nous n'avons pas de raison *a priori* de penser que le problème de la transition $\omega$ se pose pour toute situation de tâche infinie. Mais qu'il est au contraire vraisemblable qu'il y ait des catégories différentes de supertâches posant des difficultés différentes. *A contrario*, et pour établir son point, il va commenter une thèse générale qu'il appelle la « thèse infinitiste », et qui énonce qu'une suite $\omega$ de tâches peut être complétée *si et seulement si* chacun de ses segments initiaux finis peut l'être<sup>96</sup>, thèse que selon lui Watling et Taylor, par exemple, semblent soutenir.

Thomson va alors produire deux nouvelles expériences de pensée ayant des résultats

<footnote n="96">96. Thomson nous indique de noter la similarité de cette thèse avec le théorème de *compacité* de la logique propositionnelle, énonçant qu’un ensemble infini X de formules est consistant si et seulement si chacun de ses sous-ensembles finis l’est.</footnote>
qu'il considère conceptuellement divers, pour illustrer le problème que poserait le fait de traiter toute supertâche indifféremment. Dans la première des situations, on découpe un morceau de fromage « à la manière de Zénon », en morceaux toujours proportionnellement plus petits (on coupe en deux, puis la seconde moitié en deux, puis le quatrième quart en deux, etc.). Il semble que je puisse (conceptuellement) accomplir chacun des segments initiaux de cette tâche, que l'on notera « D ». La thèse infinitiste en conclut que je peux accomplir la tâche entière. Si je suppose la tâche D entièrement accomplie, j'ai alors une série infinie de morceaux de fromage dont aucun n'est le plus petit. Thomson remarque qu'on peut trouver la situation embarrassante, mais qu'elle ne pose apparemment pas la difficulté précise de la transition sans passage soulevée par la lampe.

Dans la seconde situation, on coupe le morceau de fromage en deux, puis l'on découpe par la moitié chacun des morceaux qu'on a ainsi obtenu, et ainsi de suite. Si l'on supposait que chaque segment initial de D pouvait être accompli, il semble difficile de refuser que chaque segment initial de cette nouvelle tâche « M » puisse l'être aussi. En vertu de la thèse infinitiste, M pourrait alors être entièrement accomplie. Or, si le type d'ordre de D est le même que celui de M (à savoir $ω$), le type d'ordre du résultat de M est très différent (il est dense dénombrable). Et il semble au moins intuitif de dire qu'on ne sait pas ce qui résulte de l'accomplissement de M, en un sens encore différent du sens où on ne sait pas ce qui résulte de D. Car de D, clairement, résultent des morceaux de fromage (dont aucun n'est le plus petit), mais on ne peut pas en dire autant de M. Thomson ne veut pas ici aller jusqu'à conclure qu'il s'agit d'une réfutation de la thèse infinitiste, mais juge qu'on doit reconnaître qu'il y a des degrés de difficulté.

La morale qu'il tire de cette histoire est en substance que le jugement de Benacerraf, considérant d'une manière générale notre incapacité à conclure à l'impossibilité ou la possibilité logique des supertâches, était prématurée, et qu'il reste possible d'opérer des distinctions afin d'observer de façon fine quelles hypothèses semblent ou non nécessaires pour envisager de façon différenciée telle ou telle tâche infinie. Ce programme de recherche a en tout état de cause été pris au sérieux par les participants à la discussion depuis cette époque (et ils l'avaient entamé dans une certaine mesure auparavant)
en considérant divers types et classes de tâches infinies et leur compatibilité avec dif-
férentes hypothèses logiques ou physiques. La « thèse infinitiste » de Thomson, dans
cette perspective, est intéressante comme *cas limite* de ce que nous nommons la position
« possibiliste », considérant alors non pas seulement qu'une tâche infinie est possible,
mais que toute tâche possible syncatégorématiquement infinie est aussi possible comme
catégoriquement infinie. La littérature spécialisée sur les supertâches a alors navigué
dans l'espace ouvert par le possibilisme, cherchant souvent à pousser ses limites aussi
près de l'idéal infiniste qu'il est possible. À l'inverse, la position non pas « finitiste »
mais *impossibiliste* exclut *en général* la possibilité de l'achèvement d'une tâche infinie.
Réfléchissant à cette thèse impossibiliste, nous ne sommes pas concerné par les considé-
rations de cas spéciaux, et plus impossibles les uns que les autres, mais notre thèse a
été et reste que la position impossibiliste générale ne peut se soutenir que de l'intuition
d'un principe d'achevabilité.

7.6 Développements récents sur l'inachevable, 1982-2012

Après la fin de la période qu'on pourrait dire « classique » de la réflexion sur les
supertâches, l'essentiel de la littérature va se concentrer sur deux tâches. La première,
qui, nous l'avons dit, a toujours en fait existé, consiste à explorer les différentes consé-
quences différemment paradoxales de différents processus infinis supposés achevés, sous
diverses hypothèses physiques, logiques ou mathématiques. La seconde, que nous évo-
querons brièvement en un chapitre ultérieur<fnref n="97" />, va en revanche remonter à la préhistoire
du débat pour en tirer une conséquence – qui avait en un sens toujours été aperçue,
mais jamais systématiquement exploitée. En effet, les tâches infinies étaient déclarées
absurdes parce qu'elles nous contraignaient à envisager la possibilité d'« avoir compté
un nombre infini », chez Aristote, et donc, chez Weyl, d'achever la théorie des nombres.
Mais si, en retour, on ne sait plus prouver l'impossibilité des tâches infinies achevées,
ne devons-nous pas en conclure qu'il est conceptuellement possible d'achever un compte

<footnote n="97">97. Cf. l'encadré p. 504</footnote>
infini, et donc, peut-être, la théorie des nombres ? En somme, le retour à l'origine méta-
mathématique constructiviste permet de tirer, depuis la position possibiliste, des conclu-
sions anti-constructivistes. L'exploration de ces deux domaines assumant par principe
un postulat possibiliste, nous ne les traiterons pas ici même.

Néanmoins, d'une décennie à l'autre des contributions très intéressantes n'ont pas
manquées qui portaient directement sur le problème qui nous occupe.

7.6.1 Burke et le principe de Thomson

L'article de Burke de 1984, « The Infinitistic Thesis<sup>98</sup> », est intéressant pour nous jusque dans la manière dont il se présente. En effet, il semble annoncer au début de l'article qu'il va fournir une *réfutation* des arguments en faveur de l'impossibilité des tâches infinies (des arguments impossibilistes). Mais la lectrice ou le lecteur de son article se rend rapidement compte qu'il ne fait pas vraiment cela, mais qu'il montre que ces arguments semblent entraîner avec eux l'impossibilité du mouvement ordinaire, c'est-à-dire de la tâche zénonienne. Donc en un sens il est vrai que ces arguments échouent, mais ce n'est pas qu'ils échouent à prouver l'impossibilité des tâches infinies, ils échouent simplement à les différencier de la tâche zénonienne. Dans notre vocabulaire, Burke présente donc des arguments incompatibilistes.

Les analyses qui nous intéressent se trouvent dans les seconde et troisième parties.
La thèse peut en être résumée en une phrase : les principes suggérés par Thomson dans
son second article, qui rendraient impossible (ou du moins gênante) la fameuse lampe et
d'autres processus impliquant de « vraies » tâches infinies, ces principes donc peuvent
aisément être adaptés pour s'appliquer au mouvement tel qu'analysé par Zénon. Burke
par ailleurs juge ces principes très vraisemblables, et ne manque pas d'être embarrassé
par le cas zénonien.

Dans la seconde partie de l'article, il considère un principe, qu'il nomme « axiome de
Thomson » et qui énonce qu'« il ne peut y avoir de *transition* qui ne soit un *passage* <sup>99</sup> ».

<footnote n="98">98. M.B. Burke, « The Infinitistic Thesis », *The Southern Journal of Philosophy*, 22 (1984), p. 295-305.</footnote>

<footnote n="99">99. Il s'agit du premier principe de Thomson, dont le second, de nature « grammaticale », était : « Une chose ne peut pas *passer* à un état sans y *passer* depuis un état déterminé ».</footnote>
Or on peut appliquer ce principe au mouvement zénonien en prenant comme « état A » la disjonction : « être dans une “zone zénonienne impaire” ou avoir passé le point limite », et en prenant comme « état B » : « être dans une “zone zénonienne paire” » (où on nomme « zone zénonienne impaire » la première moitié, le septième huitième, le trente-et-unième trente-deuxième et ainsi de suite, et « zone zénonienne paire » le troisième quart, le quinzième seizième et ainsi de suite). Il est manifeste alors qu'au point limite a lieu une transition au sens de Thomson vers un état A<sup>100</sup> qui n'est pas un véritable *passage* à A. Or l'objectif d'origine de Thomson était précisément de présenter des critères de distinction entre la lampe et la course d'Achille. Burke montre alors bien que s'il doit y avoir un tel critère il devra reposer sur la caractérisation de ce qui constitue légitimement un « état », et pas en tant que tel sur le rapport entre transition et passage.

Cette analyse nous intéresse au plus haut point. En effet, en tirant les conséquences de la nouvelle caractérisation que Thomson donne du « problème » posé par sa lampe, elle ramène l'ensemble des expériences de pensée de supertâches à ce qui selon nous aurait dû être constamment leur rôle : à savoir d'illustrer que nous ne tolérons pas une « transition » sans « passage », dans le vocabulaire de Thomson, que nous ne tolérons pas un avoir eu lieu sans possibilité d'un avoir lieu, chose que nous devrions tolérer en supposant la Dichotomie réalisable.

7.6.2 Deux formulations inadéquates, Burke-Groarke, 1982-4

D'autres propositions de principes interdisant les supertâches et s'appliquant prima facie au cas zénonien ont été formulées, avec des succès divers. Nous en considérons trois, dans l'ordre chronologique. La première se trouve dans un article de Groarke de 1982, qui part d'une bonne intention. Il remarque qu'il y a un problème de l'inachevabilité qui échappe entièrement aux infinitistes comme Russell, et auquel même Thomson ne répond pas au sens où il ne nous donne pas d'argument pour penser que l'inachevable zénonien est lui-même possible. Tout ceci serait parfait, si l'auteur ne nous paraissait échouer

<footnote n="100">100. On pourrait bien sûr aussi bien faire de l'état B une disjonction et postuler qu'après le point limite le mobile est dans un état B, cela correspond au choix arbitraire de poser la lampe comme allumée ou éteinte à l'issue du processus.</footnote>
entièrement à *formuler* le principe d'achevabilité qu'il vise sans se rendre coupable de sophisme. En effet, il propose le principe suivant :

PMS (Principe du Mouvement Séquentiel) : La traversée d'une suite d'intervalle successifs éten-
dus ne conduit à un point y que si l'on rejoint y par la traversée d'un des intervalles de la
suite<fnref n="101" />.

Et sa généralisation :

PAS (Principe de l'Action Séquentielle) : L'effectuation d'une série d'actes n'accomplit une tâche particulière que si celle-ci est accomplie par l'effectuation d'un des actes de la suite<fnref n="102" />.

Nous ne voulons pas discuter ici de la vraisemblance du principe. Il est possible d'immé-
diatement l'accepter ou du moins le concéder, il reste que ce principe se ramène au fait
que tant que le coureur parcourt les moitiés, il n'atteint pas le point final. Au mieux, il
nous fait conclure que *le parcours des moitiés* en tant que tel ne l'amène pas au point
final. Mais cela ne permet pas de conclure que la course zénonienne est inachevable. Le
fait que le parcours infini des moitiés ne nous mène pas *en tant que tel* au point final ne
contredit pas l'idée que ce parcours infini est simplement extrait d'une autre tâche, celle
qui consiste à aller de A à B, tâche qui, elle, nous mène au point final. En somme, le
principe ne nous empêche pas de dire : « en allant de A à B, j'accomplis *ipso facto* une
gamme variée de tâches zénoniennes, dont aucune par elle-même ne serait en mesure de
me mener au point final, mais cela ne m'empêche pas d'aller *par ailleurs* jusqu'à B. ».

La seconde tentative se trouve dans l'article de Burke de 1984 commenté plus haut.
L'auteur croit trouver un second principe implicitement à l'œuvre chez Thomson, au prix
semble-t-il d'un contresens sur l'intention de Thomson – ce qui ne prive pas le principe
d'intérêt.

<footnote n="101">101. “PSM (The Principle of Sequential Motion) : The crossing of a sequence of successive spatial intervals does not take one to a point y unless y is reached by the crossing of one of the intervals in the sequence.” L. Groarke, « Zeno’s Dichotomy : Undermining the Modern Response », *Auslegung*, 9 (1982), p. 67-75, p. 71.</footnote>

<footnote n="102">102. “PSA (The Principle of Sequential Acts) : The performance of a sequence of acts does not complete a particular task unless it is completed by the performance of one of the acts in the sequence.” *ibid*., p. 73.</footnote>
« principe X » : « Si une suite $\omega$ d'actes est telle qu'aucun de ses membres ni aucun de ses segments initiaux finis ne résulte en une réduction d'une certaine quantité donnée, alors la suite entière ne résulte pas non plus en une réduction de cette quantité$^{103}$. »

Burke montre qu'il est possible de reformuler la Dichotomie pour la rendre vulnérable à ce principe. On définit les « Z-moments » $T_1, T_2, T_3, ..., où le mobile parvient à un des milieux successifs, à savoir les « Z-points » $P_1, P_2, P_3, ..., les « Z-régions » étant de la forme $[P_n, P_{n+1}[$. On suppose une vitesse constante, et un départ à $T_0$ au point $P_0$, vers une limite $T$, $P$. On introduit la tâche W, qui est le parcours de toutes les Z-régions. Et on introduit le concept d' « affleurer » (loom), en disant qu'un Z-point affleure à un temps donné si et seulement si, à ce temps, il n'a pas été occupé par le mobile et se trouve parmi les 5 premiers Z-points (au sens de la numérotation) à la droite du mobile (le mobile étant supposé aller de gauche à droite).

On a alors une suite $\omega$ d'actes. On prend comme quantité : « la quantité de Z-points qui affleurent ». Il est clair qu'aucun membre de la séquence, ni aucun segment initial fini, ne résulte dans la réduction de cette quantité de points qui affleurent, et que pourtant la séquence complète réduit cette quantité à 0.

Cette fois, l'argument a en effet la généralité suffisante pour s'appliquer à toutes les formes de tâches infinies, y compris les zénoniennes, c'est-à-dire par exemple que ni les distinctions de Thomson ni celles de Chihara ne permettent de sauver Zénon de l'infraction à ce principe, et que même le génie évanouissant de Benacerraf s'en rend coupable. L'admission d'un tel principe conduirait donc bien à une conclusion impossibiliste. Le problème, pourtant, nous paraît résider dans cette généralité elle-même, ou plutôt dans la façon dont le principe est formulé pour obtenir une telle généralité : en parlant de suites d'actes et des propriétés de la totalité par rapport aux propriétés des segments initiaux finis, le principe semble porter sur des objets mathématiques, et se trouver alors tout simplement faux. Il est tout simplement faux que des propriétés de

<footnote n="103">103. "X: If an $\omega$-sequence of acts is such that no member of it, and no finite initial segment of it, results in the reduction of a certain quantity, then the whole sequence results in no reduction of that quantity", BURKE, « The Infinitistic Thesis » cit., p. 303.</footnote>
ce genre, dans des suites, puissent être transférées des segments initiaux à la totalité<fnref n="104" />. Ou autrement dit, nous tenons beaucoup à l'impossibilité, et pas seulement *médicale*, de pouvoir achever l'énumération des nombres entiers; mais si nous considérons, dans une telle énumération, la quantité de nombres entiers qui « affleurent », il nous paraîtrait absurde de conclure du fait qu'aucun segment fini ne la réduit au fait que la suite entière ne la réduit pas. On peut très légitimement dire que la suite *entière* la réduit à 0, le point n'est pas là : le point est justement que la suite entière ne peut pas être *achevée* dans le temps<fnref n="105" />. Autrement dit, nous sommes d'accord avec l'intuition de Burke, mais pensons qu'elle ne peut adéquatement être exprimée qu'à la condition d'insister, non sur les propriétés des suites, mais sur leur capacité à être accomplies dans le temps, c'est-à-dire finalement sur une propriété du temps.

### 7.6.3 Gwiazda et l'inachevabilité ordinale, 2012

C'est dans une perspective très proche que se situe l'article récent de Gwiazda<fnref n="106" />, entendant offrir une preuve de l'impossibilité d'achever une infinité de tâches. À beaucoup d'égards la position de l'auteur est similaire à la nôtre, c'est-à-dire qu'il soutient que la discussion sur les supertâches s'est éloignée de son véritable point de départ, et que la perspective adéquate sur la question est de dire que les supertâches sont rendues impossibles par un postulat élémentaire contre lequel, note Gwiazda, personne n'a jamais fourni d'argument qui ne présuppose pas circulairement la possibilité des supertâches. Le postulat que l'auteur propose est cependant plus spécifique que notre postulat d'achevabilité, et d'après nous il se montre en un sens insuffisant. Il permet néanmoins de formuler des propriétés intéressantes. Ce principe énonce que pour amener le nombre de tâches restantes à 0 il faut, lorsque l'on procède sur le mode du 1 par 1, arriver à 0 à *partir* de 1. Avant d'examiner son raisonnement en détail, il nous faut faire trois remarques. La première est que ce postulat permet en un sens de saisir d'un même mouvement de

<footnote n="104">104. C'est-à-dire manifestent la propriété de « compacité », pour reprendre la remarque de Thomson.</footnote>

<footnote n="105">105. Point qui nous semble être celui que soulevait Couturat dans son ouvrage de 1896.</footnote>

<footnote n="106">106. J. Gwiazda, « A proof of the impossibility of completing infinitely many tasks », *Pacific Philosophical Quarterly*, 93 (2012), p. 1-7.</footnote>
pensée les deux principes inadéquats que nous venons d'examiner : puisque la série de
tâches fait passer, en procédant une tâche après l'autre, le nombre de tâches à 0 sans
la mener à 0 à partir de 1 il faut conclure qu'aucune des tâches de la série n'accomplit
ce que la série accomplit (PSA de Groarke) ; puisque la série de tâches fait passer le
nombre de tâches à 0 sans l'y faire passer à partir de 1, il faut conclure que le nombre
de tâches affleurantes à l'issue de n'importe quelle tâche ou de n'importe quel segment
fini initial demeure constant et pourtant que la série entière le réduit à 0 (Principe X
de Burke). La seconde est que cette façon de formuler le principe est bien une manière
de parler de l'inachevabilité (et du fait que la tâche est supposée avoir été accomplie
sans qu'elle ait pu effectivement s'accomplir dans le temps), mais qu'elle en parle d'une
manière ordinale, comme constance d'une ordinalité ω des tâches à accomplir : ce qui
est le mode ordinal transfinitiste de parler de l'inachevabilité itérative. La troisième est
que de ce fait, le principe demeure encore, dans sa littéralité, inadéquat.

Voici le texte où le raisonnement est exposé :

1. Par définition, achever une infinité de tâches requiert de réduire le nombre de tâches restantes à 0.

2. Si des tâches sont accomplies une par une, la seule manière de parvenir à 0 tâche restantes est de partir d'une tâche restante unique, car s'il reste plus d'une tâche, accomplir une tâche ne réduit pas les tâches restantes à 0 (ce raisonnement vaut aussi bien dans les cas finis que dans les cas infinis).

3. Quand une infinité de tâches sont accomplies une par une, il n'est jamais le cas qu'il reste une tâche unique.

4. Alors, d'après 2 et 3, il n'est jamais le cas qu'il reste 0 tâche.

5. Alors, d'après 1 et 4, il est impossible d'achever une infinité de tâches.

Cette preuve s'appuie sur l'intuition selon laquelle, afin d'achever un certain nombre de
tâches une par une, il est nécessaire de « passer par » chaque nombre inférieur de tâches res-
tantes, et, notamment, la seule manière de parvenir à 0 tâche est de partir d'une tâche unique
restante. Lorsque que l'on prétend qu'une infinité de tâches ont été accomplies, ce principe
n'est pas vérifié, dans la mesure où en tout temps < 1 une infinité de tâches demeurent, alors
> qu'au temps = 1, il demeure 0 tâche (du moins on le prétend). Nous ne sommes jamais « passé par » les nombres finis, et notamment jamais par 1.<fnref n="107" />

Nous trouvons l'argument encore maladroit, et il semble échouer encore à véritablement clarifier le problème. En effet, la transition de l'étape 4 à l'étape 5, pour un infinitiste, ne manquera pas de ressembler, encore une fois, au sophisme concluant du fait que dans la série il reste toujours une infinité d'étapes au fait que la tâche complète n'est jamais accomplie, alors que tout ce que l'on peut conclure est que la tâche complète n'est jamais accomplie tant que l'on se tient à l'intérieur de la série. Nous ne voulons pas dire cependant que Gwiazda commette véritablement ce sophisme, il est manifeste qu'il supplée les prémisses supplémentaires, mais là aussi il échoue à vraiment clarifier quelle affirmation porte exactement la charge de la preuve.

Gwiazda s'interroge alors sur ce qui pourrait lui être objecté. Un premier, mauvais, contre-argument serait de dire qu'il suppose erronément que la tâche infinie a un dernier élément. Ce n'est manifestement pas ce qu'il fait, mais il formule simplement une exigence qui, certes, ne peut être satisfaite par des ensembles sans dernier élément, par exemple de type d'ordre $\omega$, mais pas non plus par des ensembles transfinis ayant bien un dernier élément, comme de type d'ordre $\omega + 1$. Il fait la très juste remarque qu'il ne paraît pas a priori scandaleux que le type d'ordre soit déterminant pour la question de l'achevabilité.

Le second contre-argument, moins mauvais, consisterait à remarquer que la prémisse 2 est fausse dans le cas infini, et, pour attester de cette fausseté, à re-raconter l'histoire de la supertâche zénonienne comme mode de réalisation qui en constitue un contre-exemple. Gwiazda admet qu'il trouve ce contre-argument séduisant, qu'il est lui aussi captivé par l'histoire zénonienne qu'on lui raconte, mais qu'il demeure également convaincu par l'argument d'origine. En somme, si l'on suppose que la course zénonienne ou une tâche

<footnote n="107">107. “1. By definition, completing infinitely many tasks requires getting the number of tasks remaining down to 0. // 2. If tasks are done 1-by-1, then the only way to get to 0 tasks is from 1 task, because if more than 1 task remains, then performing a task does not leave 0 tasks. (This reasoning holds in both the finite and infinite cases.) // 3. When infinitely many tasks are attempted 1-by-1, there is no point at which 1 task remains. // 4. Then from 2 and 3, there is no point at which 0 tasks remain. // 5. Then from 1 and 4, it is not possible to complete infinitely many tasks. // This proof trades on the intuition that in order to complete some number of tasks 1-by-1, it is necessary to ‘go through’ every smaller number of tasks, and in particular, the only way to get to 0 tasks is from 1 task. When it is claimed that infinitely many tasks are completed, this principle fails, in that at all times < 1 infinitely many tasks remain, and then at time = 1, 0 tasks remain (it is claimed). We never ‘went through’ the finite numbers, and in particular, 1.” *ibid*, p. 2</footnote>
équivalente peut avoir lieu, on sera amené à nier le principe, mais réfléchissant à ce principe on est amené à le réaffirmer.

> Je suggère que si l'on demande : Comment est-il possible de parvenir à 0 tâche lorsque l'on accomplit les tâches une par une ?, la seule réponse sensée est : En partant d'une unique tâche restante. Supposer que les supertâches sont possibles contredit en effet la prémisse 2, mais en présupposant ce qui est en question (tout l'enjeu de l'examen étant de savoir si oui ou non les supertâches sont logiquement possibles)<fnref n="108" />.

Nous pouvons d'ailleurs énoncer le principe symétrique, correspondant à la Dichotomie inversée que nous avons laissée de côté durant ces sections mais qui est peut-être encore plus immédiatement convaincant : quand on procède sur le mode du 1 par 1, le seul moyen de *commencer* une série de tâches est de passer de 0 tâche accomplie à 1 tâche accomplie. Or, dans une tâche dont le type d'ordre est celui des entiers négatifs, il n'y a jamais une *unique* tâche accomplie, mais *toujours déjà* une infinité.

Nous en arrivons alors aux passages de l'article où devient clair le fait que Gwiazda envisage l'itération infinie d'une manière si proche de nous qu'elle est presque équivalente, mais sur le mode *ordinal*.

J'offre l'image suivante en soutien de la prémisse 2 :

$\infty \rightarrow \infty \quad \dots 3 \rightarrow 2 \rightarrow 1 \rightarrow 0$

Ce que l'image indique est que, lorsqu'il y a une infinité de tâches et qu'une tâche est accomplie, alors il reste une infinité de tâches (« $\infty \rightarrow \infty$ »). Le côté droit de l'image montre que, lorsqu'il reste, disons, 2 tâches, et qu'une tâche est accomplie, alors il reste 1 tâche. Comment parvenons-nous à 0 tâche ? En partant d'1 tâche, et seulement en partant d'1 tâche. Il n'y a aucun autre moyen ; la prémisse 2 reflète ce raisonnement<fnref n="109" />.

<footnote n="108">108. “I suggest that when we ask : How is it possible to get to 0 tasks when performing tasks 1-by-1?, the only sensible answer is : From 1 task. Assuming that supertasks are possible does contradict premise 2, but by begging the question (the entire issue we are investigating is whether or not supertasks are logically possible).” *Ibid.*, p. 3.</footnote>

<footnote n="109">109. “I offer the following picture in support of premise 2 : // $\infty \rightarrow \infty \quad \dots 3 \rightarrow 2 \rightarrow 1 \rightarrow 0$ // What the picture indicates is that when a task is performed when there are infinitely many tasks, then infinitely many tasks remain (‘$\infty \rightarrow \infty$’). The right side of the picture shows that when a task is performed when, e.g., there are 2 tasks, then 1 task remains. How do we get to 0 tasks? From 1 task, and only from 1 task. There is no other way ; premise 2 reflects this reasoning.” *Ibid.*, 3, suite immédiate.</footnote>
On voit ici clairement, dans l'analyse de « ce qui se produit quand une tâche est accomplie », que l'immuabilité du type d'ordre transfini quand il est affronté sur le mode du 1 par 1 est la conséquence *ordinale* du caractère itératif de la procédure, reproduisant à chaque étape la condition de son applicabilité, à savoir la structure circulaire du $A \to A$. Le $A \to A$, indiquant l'inachevabilité de la procédure, a pour conséquence le $\infty \to \infty$, c'est-à-dire le fait que le type d'ordre (de ce qui reste à accomplir) est infini et qu'il le reste.

Il nous semble néanmoins que, de nouveau, le raisonnement ne peut être convaincant qu'à supposer une prémisse supplémentaire, qui est que pour avoir fini quelque chose il faut pouvoir le finir. Car ce dont le schéma semble immédiatement pouvoir nous convaincre, c'est de l'impossibilité de finir la tâche infinie. Mais s'il n'est pas affirmé que l'être fini suppose la possibilité du finir, il reste toujours possible de réitérer l'objection habituelle et de dire que l'opérateur se trouve avoir complété sa tâche en complétant, par hypothèse, tout ce qui la constitue.

Vient alors la délicieuse expérience de pensée suivante, à partir d'une supertâche consistant à brûler une infinité de balles de tennis en un temps fini :

> Notons que sur la base de l'image ci-dessus, plus précisément de $\infty \to \infty$, on ne voit pas clairement comment une infinité de tâches pourraient jamais être complétées. Considérons à présent une histoire qui met ce problème en évidence. Imaginez que l'industrieux Hans et la paresseuse Lori entreprennent la supertâche aux balles de tennis, décrite plus haut. Hans achomplit la supertâche exactement comme il est prescrit. Lori, cependant, du fait de sa paresse, fait la chose suivante. Elle observe Hans. Chaque fois qu'il agit (brûle une balle de tennis) elle pose la question : Après la dernière action de Hans, ma tâche est-elle toujours d'ordre isomorphe à la tâche restante de Hans ? Si non, elle brûle une balle de tennis pour restaurer l'isomorphie ; et elle le fait avant que Hans ne brûle une nouvelle balle. Si oui, en bonne canto-rienne paresseuse, elle ne fait rien, satisfaite que sa tâche demeure la même que celle de Hans.
> Au temps = 1, comment les choses ont-elle mal tourné pour Lori ? Elle a consciencieusement maintenu l'ordre isomorphe entre sa tâche et celle de Hans. Lori n'a jamais brûlé une balle de tennis, précisément parce que Hans ne semblait jamais faire un quelconque progrès. Chaque
fois que Hans brulait une balle de tennis, il passait d'une tâche de type d'ordre $\omega$ à une tâche de type d'ordre $\omega$. Et la tâche de Lori, de type d'ordre $\omega$, était à chaque fois d'ordre isomorphe. Comment, donc, les tâches différent-elles au temps $= 1$ ? C'est-à-dire quand, d'après la vue standard (selon laquelle les supertâches sont possibles) il ne reste aucune balle à Hans ; et il en reste une infinité à Lori. Mais j'ai suggéré que la tâche de Lori devait être d'ordre isomorphe à celle de Hans, et notamment, par conséquent, les deux devraient conserver le même nombre de balles. En quoi la paresseuse Lori a-t-elle fait fausse route<sup>110</sup> ?

Il y a quelque chose de très beau à l'image de Lori s'efforçant à chaque instant de maintenir l'isomorphisme de l'ordre, et finissant par échouer. Notons que si l'expérience de pensée n'est pas équivalente à l'argument général, elle semble bien avoir pour but de le rendre convaincant. Se pose alors le problème du différentiel de généralité, de savoir comment une expérience de pensée spécifique peut motiver un principe général. Plus précisément, nous pouvons demander si cette expérience peut être transposée au cas zénonien. On voit qu'elle ne le peut qu'à la condition que l'on suppose que Lori peut parcourir un intervalle à vitesse arbitraire (mais toujours finie), — ce qui ne paraît pas déraisonnable pour quelqu'un qui envisageait d'achever de brûler une infinité de balles.
À chaque moitié proportionnelle parcourue, Lori, s'efforçant de maintenir l'isomorphie de la tâche, doit anticiper le doublement de sa vitesse moyenne. Mais si l'on admet que, pour chacune des moitiés, le doublement de cette vitesse est concevable, alors Lori peut en effet demeurer paresseuse jusqu'au point limite où elle se trouve dépassée, du point de vue de l'ordre, par Hans. Il y a néanmoins une différence évidente, qui est que dans l'expérience de pensée originelle, à chaque instant la tâche de Lori n'est pas seulement

<footnote n="110">110. “Note that based on the picture above, specifically $\infty \to \infty$, it is unclear how infinitely many tasks could ever be completed. Let us now turn to a story that highlights this concern. Imagine that hardworking Hans and lazy Lori undertake the tennis ball supertask described above. Hans performs the supertask exactly as described. Lori however, being lazy, does the following. She observes Hans. Whenever he acts (burns a tennis ball) she asks : Based on Hans's latest action, is my task still order-isomorphic to Hans's remaining task ? If not, she burns a tennis ball to restore isomorphism ; she does so prior to Hans's next burning. If so, being a good Cantorian and lazy, she does nothing, content that her task is still the same as Hans's. At time $= 1$, how have things gone wrong for Lori ? That is, she consciously kept her task order-isomorphic to Hans's task. Lori never burned a tennis ball precisely because Hans never seemed to make any progress. Whenever Hans burned a tennis ball, he went from a task of order-type $\omega$ to a task of order-type $\omega$. And Lori's task, of order-type $\omega$, was in every case order-isomorphic. How then, are the tasks different at time $= 1$ ? That is, on the standard view (that supertasks are possible) Hans has no balls remaining ; Lori has infinitely many. But I have suggested that Lori's task should be order-isomorphic to Hans's, and so, in particular, the two should have the same number of balls remaining. Where did lazy Lori go wrong ?” *ibid*., 3, suite immédiate.</footnote>
équivalente *quant à l'ordre*, mais *absolument* équivalente : l'un et l'autre, en tout point
précédant le point limite, doivent brûler une infinité de balles. Or dans le cas zénonien
cela ne vaut évidemment plus, *seul* l'ordre reste équivalent mais la tâche change, et celle
de Lori devient exponentiellement plus difficile. Cet argumentaire impossibiliste, et ap-
paremment d'intention incompatibiliste, illustre par conséquent de nouveau la *différence*
zénonienne qu'il espérait effacer.

Dans la suite de l'article, fort amusante, l'auteur cherche à montrer qu'il est possible
de tirer de son raisonnement certaines conséquences théoriques. Le contexte qu'il choisit
est une variante **économique** du problème de Ross<sup>111</sup>, où au lieu d'ajouter à chaque
étape un certain nombre de balles puis d'en enlever une, on propose à un joueur une
alternative : ou bien prendre un dollar, à chaque étape n, sur un tas infini, ou bien en
retirer 2*n*, mais rendre à chaque étape celui de ceux que l'on détient encore que l'on
avait pris en premier. Le deuxième choix garantit, par le raisonnement de Ross, que
le joueur se retrouve « à la fin » de la série infinie avec un total de 0 dollars<sup>112</sup>, alors
que le premier choix garantit naturellement l'acquisition d'une somme infinie. Cela alors
même que, pour chaque n, à chaque étape, le deuxième choix rapporte davantage. Celle
ou celui qui a constamment cherché rationnellement son profit (peut-être de nouveau
la pauvre Lori ?) se retrouve fort déconfite à l'issue de l'infini, se demandant quand les
choses ont bien pu mal tourner. Cependant, Gwiazda remarque justement que cet étrange
paradoxe économique de l'infini ne tient qu'à la condition de supposer qu'il est possible
d'**achever** effectivement une tâche infinie. Notons en effet le point suivant : considérer des
tâches infinies *dans leur entièreté* n'équivaut pas à considérer qu'elles puissent se trouver
*être achevées*. Même si l'on ne suppose pas que la tâche puisse se trouver achevée dans
le temps, on peut considérer la valeur économique à tirer de l'**entièreté** de la tâche,
comme une valeur variable et *menée à l'infini* pour ainsi dire à travers les siècles. Mais

<footnote n="111">111. On rappelle le problème de Ross, ou sa version la plus courante dans la littérature des supertâches : à chaque étape n, des boules numérotées entre 10n et 10n+9 sont ajoutées, et la boule numérotée n est ôtée (à la première étape on ajoute les boules 0 à 9 et on enlève aussitôt la boule 0, à la deuxième étape on ajoute les boules 10 à 19 et on enlève la boule 1, etc.). À l'issue du processus infini, la tâche consistant à ajouter des balles de manière exponentiellement rapide se conclut sur une absence totale de balles, puisque, pour tout n, la balle n a été ôtée. Nous revenons sur ce paradoxe p. 7.7.4.</footnote>

<footnote n="112">112. Puisque, de nouveau, chaque dollar n qui a été retiré de la pile a été rendu à l'étape n.</footnote>
l'évaluation se trouve alors très différente ! Si l'on ne suppose pas que la série puisse être effectivement achevée, Gwiazda suggère que nous devrions traiter les suites croissantes infinies, afin de les comparer, comme des hyperréels<fnref n="113" />. Alors le second choix, en accord avec le bon sens, est le meilleur choix, même à l'infini, parce qu'il constitue un hyperréel plus grand<fnref n="114" />.

## 7.7 Conclusion : Yuval Dolev et les principes temporels

Le dernier article<fnref n="115" /> que nous examinerons dans ce chapitre mérite un traitement un peu à part.

La thèse principale de son auteur Yuval Dolev est qu'il y a quelque chose d'erroné à considérer les supertâches comme posant un problème d'impossibilité logique, et qu'il faut plutôt les considérer comme des problèmes portant sur nos intuitions relatives au temps. Pour exposer ce point, il va se concentrer en particulier sur le débat Thomson-

<footnote n="113">113. Les hyperréels sont l'objet de constructions mathématiques qui étendent les réels (techniquement, on utilise une ultrapuissance pour étendre $\mathbb{R}$ en un corps ordonné $\mathbb{R}$) en considérant des suites infinies de réels formant un corps ordonné non-archimédien, c'est-à-dire qui comprend des nombres infiniment grands (les suites infinies tendant vers l'infini), des réels infiniment petits ou infinitésimaux (les suites infinies convergeant vers 0), ou en général des nombres infiniment proches d'un réel donné, mais distincts de lui (ayant avec ce réel une différence infinitésimale). Les réels ordinaires sont tout simplement identifiés aux suites constantes (par exemple 2 est la suite (2, 2, 2, 2, ...)). La difficulté technique est de garantir la cohérence de la relation d'ordre permettant de comparer entre eux ces hyperréels, mais les propriétés intuitives sont toujours préservées : par exemple, deux suites qui ne diffèrent que pour un nombre initial fini de leurs termes, puis sont infiniment identiques, sont considérées comme égales (c'est-à-dire sont le même nombre hyperréel) ; si, à partir d'un certain rang, chaque terme d'une suite est plus grand que le terme de rang correspondant d'une autre suite, alors la première est plus grande que la seconde, etc. Cf. pour une introduction accessible, Jordi Gutierrez Hermoso, *Nonstandard Analysis and the Hyperreals*, http://mathforum.org/dr.math/faq/analysis_hyperreals.html (visité le 11/07/2018), et, pour un exposé plus avancé Robert Goldblatt, *Lectures on the hyperreals. An introduction to nonstandard analysis*, Springer, Berlin-New York 1998.</footnote>

<footnote n="114">114. Il y a certainement une leçon plus générale à tirer de cette remarque, à savoir que l'on peut être amené à traiter de façon très différente les quantités infinies, quand bien même on les reconnaît comme quantités infinies, si on ne part pas du principe que les indéfinis sont achevables. Est-ce que le sentiment spontané selon lequel il y a *davantage* d'entiers que de nombres pairs ne tient pas sa validité du fait que pour tout segment effectivement saisissable dans la progression successive des entiers, il y en a effectivement davantage (et de fait, deux fois plus) que des pairs ? Sans bien sûr que cela change quoi que ce soit à la possibilité de construire (progressivement) une bijection entre ces deux multiplicités. De façon différente, mais conformément à la même idée, quand nous considérons "les rationnels" comme multiplicité incluant les entiers, nous les pensons généralement comme occupant, de façon dense, la "ligne des réels" : notre sentiment spontané selon lequel ils sont évidemment plus nombreux que les entiers, et *infiniment* plus nombreux qu'eux, dit le fait que pour tout segment de la ligne effectivement saisissable comme *un* (et donc *fini* si on ne suppose pas qu'on ait *achevé* en effet la ligne), les entiers sont toujours en nombre fini (voire nul), alors que les rationnels sont toujours inépuisables, où que l'on regarde.</footnote>

<footnote n="115">115. DOLEV, « Super-tasks and Temporal Continuity » cit.</footnote>
Benacerraf, montrant que les deux chercheurs placent explicitement la discussion à un niveau logique alors même qu'il est manifeste que le « véritable » problème de Thomson, ce qui motive son argumentation et son souci, relève d'exigences *temporelles*.

Dolev va alors nommer et décrire deux principes, le principe de connectabilité et le principe de continuité, qui font d'après lui partie de nos exigences relatives à la tempora-lité et qui sont tous deux violés par les expériences de pensées envisagées par Thomson-Benacerraf. De ces deux principes, il va montrer que le premier peut dans une certaine mesure être respecté par des supertâches “à la Thomson” à la condition de renoncer à certaines prémisses que les deux protagonistes avaient arbitrairement admises. Le se-cond, néanmoins, semble à Dolev nécessairement enfreint par les supertâches, et la fin de son article considère ce que la philosophie et la physique nous permettent de conclure sur l'état de notre intuition relativement à ce second principe.

Récapitulons. Quand nous pensons à des processus temporels, comme à l'évolution d'un système, nous nous attendons à les voir manifester deux caractéristiques :

(T₁) Connectabilité Temporelle : l'état $s_T$ d'un système est fonction de ses états précédents $s_t$ avec $t \to T$.

(T₂) Continuité Temporelle : l'état $[s_T]$ d'un système est fonction continue de ses états précédents $s_t$, c'est-à-dire que

$$ \overrightarrow{s_t \to T s_T} $$

La solution de Benacerraf ne respecte aucune de ces deux exigences ; la nôtre respecte la première mais pas la seconde. Si mon analyse est correcte, la perplexité que causent en nous les supertâches prend racine dans leur violation inévitable de la seconde exigence[10]. Ainsi, il est faux de penser que le défi qu'elles posent provient du fait qu'une infinité de tâches sont complétées dans un temps fini. Comme nous l'avons vu, il semble n'y avoir rien de logiquement répréhensible dans cette idée. Mais alors, une fois que cette idée paraît viable, la question du résultat d'une supertâche devient pressante. Et je soutiens que s'il est difficile de l'affronter, c'est du fait de la discontinuité temporelle que nous rencontrons au bout d'une supertâche, et à laquelle nous ne pouvons échapper.

[n. 10] Et c'est cela qui constitue la différence entre les supertâches et les scénarios de Zénon, dont
la description implique des séries convergentes ou des fonctions continues. Non pas qu'il n'y ait rien de
déroutant dans les scénarios de Zénon. Au contraire, je pense qu'ils continuent à ce jour de poser un
défi conceptuel. Mais, parce qu'ils n'impliquent pas des discontinuités temporelles du genre dont nous
discutons ici, le défi qu'ils soulèvent est différent de celui que soulèvent les supertâches.<fnref n="116" />

Si nous partageons une grande partie des analyses et des thèses de l'auteur, comme
nous l'avons déjà indiqué, il nous paraît nécessaire d'y apporter à la fois un complément
et un contrepoint. Un complément, parce que Dolev lui-même nous invite à traiter les
paradoxes de Zénon sur un mode analogue. Un contrepoint, car tout le raisonnement de
l'auteur part d'une séparation soigneuse des problèmes de supertâches d'avec la tâche
zénonienne. Or il nous semble possible de montrer que le principe concluant à l'impos-
sibilité des tâches zénoniennes, à savoir le principe d'achevabilité, est lui aussi à l'œuvre
dans l'intuition de l'impossibilité des supertâches, au point qu'il se trouve nécessaire pour
comprendre celle-ci d'une façon suffisamment générale. C'est-à-dire que, si Dolev semble
correct quand il juge nécessaire de quitter le domaine logique pour celui des intuitions
fondamentales de la temporalité, les intuitions qu'il soulève sont encore inadéquates, car
elles ne parviennent toujours pas à considérer le point de vue fondamental du faire en
tant que distinct de celui de l'être fait.

7.7.1 Supertâches et systèmes dynamiques

Pour exposer son analyse, Yuval Dolev a besoin d'une notion générale adéquate de ce
qui constitue une supertâche, c'est-à-dire d'une notion précise de « tâche » ou « étape »
qui permette d'écarter le cas zénonien lorsque l'on parle de la nécessité d'« accomplir

<footnote n="116">116. “Let us recap. When we think of processes in time, like the evolution of a system, we expect them to exhibit two features : // (T₁) Temporal Connectability : the state *s*ₜ of a system is a function of its previous states *s*ₜ where *t* → *T*. // (T₂) Temporal Continuity : the state of a system is a continuous function of its previous states *s*ₜ, that is, // *s*ₜ*t* → *T* *s*ₜ // Benacerraf's solution does not meet either of these requirements ; ours meets the first but not the second. If my analysis is correct, the perplexity that super-tasks give rise to is rooted in their inevitable violation of the second requirement[¹⁰]. Thus, it is wrong to think that the challenge they pose stems from the fact that infinitely many tasks are completed in a finite amount of time. As we've seen, there seems to be nothing logically objectionable about this idea. But then, once this idea gains viability, the question what is the outcome of a super-task becomes pressing. And contending with it is difficult, I claim, because of the inescapable temporal discontinuity encountered at the end of the super-task. // [n. 10] And that is the difference between super-tasks and Zeno's scenarios, which are described by converging series or continuous functions. That is not to say that there is nothing puzzling about Zeno's scenarios. To the contrary, I think they continue to constitute a conceptual challenge up to this day. But, because they do not involve temporal discontinuities of the kind we are discussing, the challenge they pose is different than that posed by super-tasks.”ibid., p. 325.</footnote>
successivement une infinité de tâches ou d'étapes ». Dolev propose une définition dont il admet qu'elle pourrait être trop restrictive, mais qui se trouve adéquate à la problématique qu'il veut poser, et qui repose sur la notion d'état d'un système dynamique :

> Nous dirons qu'un système dynamique accomplit une supertâche s'il est possible de désigner, c'est-à-dire de décrire, un état par lequel le système passe une infinité de fois au cours de l'accomplissement de la tâche. Ainsi, marcher d'un point A à un point B n'est pas une supertâche. Mais un ordinateur qui calcule le développement décimal de $\pi$, en reconduisant le même algorithme encore et encore, accomplit bien une supertâche$^{117}$.

Quoique cette définition ait été élaborée afin d'écarter le cas zénonien – ou peut-être précisément pour cela – elle est très instructive même pour celui-ci. En effet, s'il semble que le cas zénonien de la Dichotomie ne consiste pas en la répétition d'un certain état d'un système dynamique, ce que décrit Dolev est la description infinitiste d'un procédé dynamique$^{118}$ infiniment réitératif, “à la Zénon”, c'est-à-dire dont l'accomplissement garantit le retour à l'état initial selon un temps toujours exponentiellement plus court. Le cas zénonien général est la version *logique* de cette situation dynamique : par exemple dans le cas de la Dichotomie, le mobile ne se retrouve pas itérativement *dans le même état*, mais il est ramené itérativement à la même situation *logique* d'« avoir un mouvement à accomplir ». La définition de Dolev nous donne donc un autre mode subtil de distinction du cas zénonien.

### 7.7.2 La connectabilité et les sommes de Cesàro

Une fois ce cadre posé, la discussion du premier principe temporel nous renvoie alors à un aspect du débat Thomson-Benacerraf que nous avions laissé de côté. En effet, en envisageant les possibles états de la lampe à l'issue de la série infinie, Thomson avait remarqué que la succession “éteinte, allumée” des états de la lampe équivalait à la suite 0,

<footnote n="117">117. “Let us say that a dynamical system is performing a super-task if we can point to, that is, describe, a state the system goes through infinitely many times in the course of performing the task. Thus, just walking from point A to point B is not a super-task. But a computer that calculates the decimal expansion of $\pi$ by running the same algorithm over and over again does perform a super-task.” *ibid*, p. 307.</footnote>

<footnote n="118">118. Le cas computationnel étant ici considéré sous la forme qu'il devrait prendre s'il était physiquement instancié, à savoir la forme d'un système dynamique.</footnote>
1, 0, 1, ..., résultant de la série + 1 - 1 + 1 - 1...des allumages et extinction. Il remarquait alors que la mathématique nous indiquait un résultat pour cette somme infinie, à savoir 1/2, mais que cette indication ne nous était d'aucune aide, car « nous n'attachons aucun sens à l'idée d'une lampe à demi allumée<fnref n="119" /> ». À la suite de Thomson, Benacerraf discutant à son tour des possibles états de la lampe acceptait l'idée que l'alternative allumé-éteint était exclusive et que nous ne concevions pas une lampe à demi allumée. Or, remarque Yuval Dolev, c'est là un étrange postulat dans la mesure où les lampes, comme d'ailleurs tous les autres systèmes physiques réels ou hypothétiques, sont généralement considérées comme étant des objets continus, qui passent d'un à l'autre de leurs états le long d'une gamme continue de positions, en l'occurrence d'allumée à éteinte. Il est par conséquent au moins concevable de poser qu'une lampe est à demi allumée, c'est-à-dire au milieu de l'intervalle continu de ses positions allant d'allumée à éteinte.

Or, donner comme solution au dispositif de Thomson une lampe à demi allumée, et plus généralement donner comme résultat d'une supertâche dynamique sa valeur selon le calcul de Cesàro<fnref n="120" />, quand elle existe, a quatre avantages par rapport à l'attitude désinvolte de Benacerraf – celui-ci considérant que rien n'interdit *logiquement* dans les hypothèses constituant la série infinie que la lampe soit allumée, éteinte, réduite à néant ou changée en crapaud. Ces quatre avantages, en outre, sont de nature à satisfaire l'in-quiétude de Thomson et son jugement selon lequel la lampe ne peut être ni allumée ni éteinte sous prétexte que ni l'un ni l'autre de ces états ne peut être considéré comme le résultat de la succession infinie<fnref n="121" />. Les voici :

Symétrie. La situation décrite par Thomson est symétrique, à l'infini, en ce qui concerne les états allumés et éteints de la lampe. Cela se manifeste directement dans l'argument

<footnote n="119">119. "Now mathematicians do say that this sequence has a sum; they say that its sum is 1/2. And this answer does not help us, since we attach no sense here to saying that the lamp is half-on." THOMSON, "Tasks and super-tasks" cit., p. 6. La série 1 - 1 + 1 - 1...a pour sommes partielles la suite 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0...qui n'est pas convergente selon la définition standard de la convergence de Cauchy, et la théorie classique des séries ne permet pas de donner une valeur totale à des séries infinies non convergentes. Parmi les moyens d'étendre la définition de Cauchy à de telles séries, la plus courante est la méthode de Cesàro, qui assigne comme valeur à une série la limite (si elle existe) des moyennes des sommes partielles, ce qui donne pour la série 1 - 1 + 1 - 1 + 1...la valeur 1/2.</footnote>

<footnote n="120">120. Voir note précédente.</footnote>

<footnote n="121">121. Nous changeons la numérotation de Dolev qui ne permet pas de rendre compte du statut plus général des propriétés d'informativité et de connectabilité.</footnote>
– fautif – de Thomson selon lequel la lampe ne peut être ni allumée, parce qu'elle a toujours été éteinte après avoir été allumée, ni éteinte pour la raison symétrique. De fait, si la lampe se trouve allumée ou éteinte à l'instant limite, la symétrie n'est pas préservée, et seule la position « à demi allumée » prédite par la somme de Cesàro la préserve.

**Conservation.**<sup>122</sup> Si dans les variations du système dynamique on a affaire à une quantité constante diversement distribuée, le résultat de Cesàro a l'avantage de préserver cette quantité, ce que la transformation en crapaud de Benacerraf ne fait évidemment pas. Cette conservation de la quantité est indépendante de la symétrie, comme on peut l'illustrer aisément par l'expérience de pensée d'une redistribution infinie du contenu d'un verre de whisky entre le verre de Smith et le verre de Jones, la lampe allumée correspondant au whisky se trouvant entièrement dans le verre de Smith et la lampe éteinte au whisky dans le verre de Jones. À l'issue de la supertâche, il est possible que l'on ait un quart de verre de whisky dans chacun des verres, auquel cas le résultat est symétrique mais non conservatif; ou il est possible que l'on ait trois quarts du whisky dans un des verres et un quart dans l'autre (résultat conservatif et non symétrique). La somme de Cesàro préserve la quantité, dans le cas des verres de whisky, pour un quelconque nombre fini de participants.

**Informativité.** L'informativité exprime l'idée selon laquelle le résultat doit être en mesure de nous informer sur le processus dont il est le résultat. C'est un caractère plus général de ce qui manque aux solutions potentielles de Benacerraf, toutes arbitraires, quoique logiquement possibles. Le résultat donné par Cesàro pour la lampe de Thomson est symétrique, et de ce fait nous informe d'une symétrie prenant place dans le processus, de même qu'un résultat conservant une quantité nous informe de la quantité manipulée lors de l'opération.

<footnote n="122">122. *Consistency*</footnote>
Connectabilité. <fnref n="123" /> La connectabilité exprime en général l'idée que l'état terminal est déterminé par le processus ou par les états précédents, ce qui est précisément ce qui manque en général à la solution de Benacerraf et qui répond au souci de Thomson selon lequel ni l'état allumé ni l'état éteint de la lampe ne pouvaient être considérés comme résultats du processus infini. Ce résultat de connectabilité n'est pas obtenu seulement par la sommation de Cesàro, il serait obtenu également par d'autres méthodes qui donnent une valeur à une sommation infinie non-convergente. Ce qui importe est précisément d'avoir une méthode capable de nous indiquer ce qui vaut comme résultat du processus, et de ce processus déterminé. Ainsi, si la connectabilité n'implique pas nécessairement la symétrie dans un cas de processus symétrique, la symétrie *dans ce cas précis* où on supposait le résultat donné par la sommation de Cesàro était bien la conséquence du type de connexion garantie par cette sommation, au sens où si en revanche le processus n'avait pas été symétrique, le résultat ne l'aurait pas nécessairement été non plus. La conservation de la quantité et l'informativité sont aussi des conséquences directes de la manière dont la sommation de Cesàro fournit une connexion entre le processus et son résultat.

On peut noter que les avantages de cette méthode de calcul des résultats de super-
tâches dérivent directement des avantages mathématiques du calcul de Cesàro pour les
sommations de série non-convergentes, avantages qui ont conduit à son adoption générale
dans la pratique mathématique.

Nous pouvons y insister, Dolev argumente sur le fait que le calcul de Cesàro devrait
être considéré comme vraiment pertinent pour la problématique posée par Thomson, qui
affirmait qu'on ne « sait pas dire » quel serait le résultat d'une tâche infinie, qu'on n'a pas
de « méthode » pour le déterminer, ou plus fortement qu'il n'y a aucun état possible qui
puisse être considéré comme un véritable résultat de l'opération. Dolev juge arbitraire la
décision de Thomson de refuser l'idée d'une lampe à moitié allumée, et il rappelle que le
calcul de Cesàro est mathématiquement tout à fait honorable, et qu'en ce qui concerne
son applicabilité physique, du moment que celle-ci fournit de bons résultats il n'est pas

<footnote n="123">123. *Connectability*</footnote>
évident de savoir pourquoi elle devrait être *a priori* refusée.

Or, la faute de Thomson semble avoir également été celle de Benacerraf, qui ignore entièrement la problématique de la connectabilité en suggérant que la lampe pourrait se changer en crapaud ou être anéantie à l'issue du processus. Du fait qu'il traite la possibilité de la lampe allumée ou éteinte sur le même plan que celle d'une lampe changée en crapaud, on est amenés à soupçonner que Benacerraf accepte la conclusion selon laquelle l'état final ne peut pas *résulter* véritablement du processus, ce qui, du moins dans le cas de la lampe, est faux si la sommation de Cesàro est une option acceptable.

### 7.7.3 Le problème de la continuité

En plus de l'exigence de connectabilité que l'adoption d'une méthode adéquate semble pouvoir satisfaire dans certains cas, il y a d'après Dolev une seconde exigence qui nous conduit à refuser la possibilité des supertâches, à savoir l'exigence de continuité, qui est spectaculairement absente de la solution de Benacerraf, mais aussi de la solution que la sommation de Cesàro peut apporter. La continuité est ici définie de la façon habituelle, en sorte que l'état du système à l'instant limite soit la limite des états du système aux instants précédents. Cette continuité est présente par hypothèse dans la Dichotomie, et son absence de la lampe de Thomson est en effet un élément déterminant. Il est intéressant de noter que Dolev présente le problème en termes de notre capacité à suivre le mouvement dans l'obtention de ses différents états.

Cette discontinuité, je le maintiens, constitue le problème sérieux posé par la lampe. Si nous prêtons attention à l'évolution de la lampe originelle de Thomson, antérieurement à T, nous n'avons aucune difficulté à suivre ses états successifs tandis que la lampe est allumée et éteinte de façon répétée, car il y a toujours un écart temporel entre ses différents états -- ils sont séparés temporellement. L'état « allumé » est significativement différent de l'état « éteint », mais les deux ne sont jamais vraiment temporellement contigus. L'écart temporel séparant les états de la lampe décroit constamment, mais il est toujours là. En revanche, lorsque l'on parvient à T, le concept d'une telle séparation temporelle s'effondre ; nous ne pouvons plus former l'idée d'un écart temporel séparant l'état de la lampe à T de ses états précédents. L'absence de cet écart
rend difficile de suivre la lampe alors qu'elle converge vers son état final. Le « saut » discontinu qu'il lui faut faire pour atteindre son état à T est tel que, pour des raisons que nous exposerons plus loin, nous avons du mal à l'avaler<sup>124</sup>.

Accordons temporairement à Dolev l'idée que les problèmes soulevés par Thomson reposaient dans le non-respect de deux principes, celui de connectabilité auquel une solution peut être apportée, et celui de continuité auquel il n'est pas possible d'apporter une solution (pour les cas similaires à la lampe). Que devons-nous alors en conclure ? On pourrait, de prime abord, adopter une position « dure », posant l'exigence de continuité comme non-négotiable, l'idée d'un processus qui ne soit pas continu comme inacceptable. Dolev remarque qu'une telle conclusion pourrait être atteinte sur la base de – au moins – trois types de raisonnements, qui conduisent tous à poser la continuité du temps comme un cadre en quelque sorte *a priori* dans lequel sont susceptibles de s'inscrire tous les phénomènes : le type kantien de l'enquête transcendantale, le type pragmatiste de William James et le type phénoménologique de Husserl. À ces types soulevés par Dolev on pourrait probablement au moins ajouter les enquêtes métaphysiques d'Aristote, Descartes ou Bergson.

> Quelles que soient nos raisons, transcendantales, pragmatiques, ou autres, si nous acceptons que nous ne parvenons pas à faire sens de la notion de discontinuité dans le temps, alors, à l'évidence, nous devons exclure comme inconcevable une lampe qui parvient d'un « saut » à l'état demi-allumé ; non pas pour des raisons logiques ou mathématiques, mais parce que cela est inconsistent avec notre conception du temps, ou, plus précisément, de la temporalité, du fait d'être dans le temps<sup>125</sup>.

<footnote n="124">124. "This discontinuity is, I maintain, *the* serious problem with the lamp. If we track the evolution of Thomson's original lamp prior to T, we have no difficulty following its states as it is being switched on and off repeatedly, for there is always a time-gap between its different states — they are temporally separated. The 'on' state is significantly different from the 'off' state, but the two states are never really temporally contiguous. The time-gap separating the lamp's states constantly gets smaller, *but it is always there*. However, when we get to T the notion of such a temporal separation breaks down; we can no longer frame an idea of a time-gap separating the state of the lamp at T from its previous states. The absence of this gap makes it difficult to follow the lamp as it converges towards its final state. The discontinuous 'jump' it must make to its state at T is one that, for reasons we will get to, we cannot easily stomach." *DOLEV, « Super-tasks and Temporal Continuity »* cit., p. 324.</footnote>

<footnote n="125">125. "Whatever our reasons, transcendental, pragmatic, or other, if we accept that the notion of a discontinuity in time cannot be made sense of, then, obviously, a lamp that 'jumps' to the state of being half-on must be ruled out as inconceivable, not for mathematical or logical reasons, but because it does not cohere with our conception of time, or, more precisely, of temporality, of being in time." *ibid*, p. 327.</footnote>
Ce qui pourrait être objecté à une telle démarche est le fait que les trois (ou les six) méthodes philosophiques ici citées précédent toutes le développement de la physique quantique qui a donné un cadre d'intelligibilité et d'expérience pour la notion de *saut discontinu* vers un certain état d'un système. Cette nouveauté scientifique peut et doit, d'après Dolev, remettre en cause le postulat d'aprioricité de la continuité, de même que les géométries non-euclidiennes empêchent de proclamer l'aprioricité du postulat des parallèles et que la théorie de la relativité empêche de proclamer *dénuée de sens* l'idée que la simultanéité dépend du cadre de référence choisi. Une fois que la mécanique quantique a indiqué la possibilité qu'il y ait en effet discontinuité, il devient d'après Dolev impossible de postuler son inconcevabilité. Et il suggère que si l'on est alors conduit à abandonner l'exigence de continuité, la sommation de Cesàro est une hypothèse à considérer sérieusement dans la mesure où elle permet de conserver la connectabilité dans des cas de supertâches.

Néanmoins – et contrairement à la leçon non équivoque de la relativité de la simultanéité –, Dolev ne pense pas que la physique quantique soit aujourd'hui en mesure de nous faire renoncer à notre principe de continuité. D'abord se pose le problème de l'interprétation de cette physique, et notamment le fait qu'aucune interprétation ne soit absolument consensuelle et que certaines, au premier chef desquelles la théorie de De Broglie-Bohm, se passent de la réduction du paquet d'ondes et conservent la continuité. D'autre part, la mécanique quantique elle-même ne semble pas suggérer que la discontinuité puisse avoir lieu au niveau macroscopique de ce qui est continument observable. Dolev en conclut que la question reste ouverte et croit que Thomson avait raison de poser une impossibilité, quoiqu'il ait échoué à la diagnostiquer adéquatement.

Ainsi, il est loin d'être évident que la mécanique quantique apporte des éléments de preuve, ou constitue un argument, contre les affirmations de Kant, James, et des autres philosophes dont les œuvres présentent la continuité temporelle comme un élément constitutif de l'expérience et de la réalité (de la réalité macroscopique, à tout le moins).

La question de savoir si des sauts discontinus sont concevables reste, il me semble, ouverte.

Mes intuitions tendent vers le soupçon, à fondement pragmatiste, selon lequel nous ne savons
pas quoi faire de l'idée de sauts discontinus dans l'évolution de systèmes macroscopiques. Je crois que le jugement de Thomson selon lequel les supertâches sont impossibles était correct, mais qu'il a échoué à en diagnostiquer la raison, supposant à tort que le problème était de nature logique. Ses opposants ont concentré leurs efforts sur ses affirmations logiquement invalides, et sont à leur tour passés à côté de la question. Je crois que s'il avait considéré avec davantage d'attention le fait que l'affirmation mathématique selon laquelle $1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot l + \dots = \frac{1}{2}$ a quelque chose à nous apprendre sur sa lampe, il serait parvenu à la véritable énigme tapie à l'extrémité d'une supertâche, apercevant que ceux de nos concepts qui s'effondrent en ce point ne sont pas logiques ou mathématiques, mais temporels<sup>126</sup>.

### 7.7.4 Supertâches, logique et temporalité

#### Quels principes temporels ?

Pour conclure, nous voudrions proposer un bilan de l'analyse de Dolev, à la fois de ce qu'elle apporte à la réflexion et des points où elle semble insuffisante.

La première chose remarquable est le déplacement du débat sur le plan des principes de la temporalité. Cela nous paraît tout à fait fondamental et il faut l'examiner plus en détail. Les principes que nous opposons à la possibilité des supertâches ne se formulent pas en termes *mathématiques*, mais en termes temporels : soit en termes de *processus* et de *résultat*, soit en termes du rapport entre l'état à un *moment* final et les états aux *moments* précédents. Pour que ces principes concernent les supertâches analogues à la lampe de Thomson, il faut que cette lampe hypothétique et les objets du même genre soient bien des objets *temporels*. Or, il n'est pas entièrement évident de savoir en quel sens nous pouvons dire qu'ils le sont. Nous savons que la lampe, et qu'avec elle les objets opérant dans au moins toute une gamme de supertâches ne peuvent pas être

<footnote n="126">126. "It thus remains far from evident that quantum mechanics provides evidence, or constitutes an argument, against the claims of Kant, James, and other philosophers in whose work temporal continuity figures as a constitutive element of experience and of reality (macroscopic reality, at least). // The issue of whether discontinuous jumps are conceivable or not remains, it seems to me, an open one. My own intuitions lean towards the pragmatically-based suspicion that we do not know what to make of the idea of discontinuous jumps in the evolution of macro-systems. I believe that Thomson's sense that super-tasks were impossible was correct, but that he failed to diagnose why, wrongly supposing the problem was a logical one. His critics focused on his invalid logical claims, and thus also missed the point. I believe that considering with greater attention the relevance to his case of the mathematical claim that $1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot \dots = \frac{1}{2}$ might have led him to the real conundrum lurking at the super-task's end, showing him that what breaks down at that point are not our logical or mathematical notions, but our temporal ones." *ibid*, p. 328.</footnote>
de véritables objets temporels, réellement existants, du fait de certaines contraintes que la théorie physique nous indique – comme des limites intrinsèques à l'accélération ou la vitesse ou peut-être l'existence d'intervalles temporels minimaux pour un événement dynamique. Mais en dépit de cette situation théorique, nous ne devons ni ne pouvons abandonner l'exigence de considérer les lampes comme *temporelles*. Comme le dit Dolev :

> Nous gardons cependant le sentiment que même si une telle lampe ne pourrait pas, en fait, exister comme objet spatio-temporel, elle ne laisse pas de constituer une fascinante expérience de pensée, qui nous force à reconsidérer certains de nos concepts fondamentaux. Il me semble, néanmoins, que pour qu'il puisse constituer une telle expérience de pensée, le processus que subit la lampe doit être pensé comme ayant lieu dans le temps. Les entités atemporelles, comme les entités mathématiques, exhibent une variété de comportements qui peuvent certes surprendre, mais qui ne nous forcent pas à revoir nos concepts, en tout cas pas ceux qui concernent les objets physiques. Si on la considère atemporellement, on peut décrire la lampe de Thomson de toute sorte de manières sans qu'aucun problème ne se pose, à condition du moins que la cohérence logique soit sauve. Si le cas de lampe nous trouble, alors, c'est parce que nous pensons l'histoire de la lampe comme ayant lieu dans le temps<fnref n="127" />.

La justesse de ce point nous paraît entière, et l'expression magnifique : la lampe ne peut tout simplement pas constituer l'expérience de pensée qu'elle constitue si elle n'est pas intégrée dans ce que nous pensons comme le temps. Et la discussion sur les supertâches, quand la question posée est celle de la simple cohérence logique d'un objet considéré à la manière d'une suite mathématique, tend à ignorer la question de ce que nous pouvons accepter ou non comme constituant un objet temporel. On voit que cette analyse est concordante avec la thèse que nous cherchions à soutenir dans ce chapitre : comme Dolev, nous pensons que l'intention au départ de la discussion de cas

<footnote n="127">127. “Still, we feel that even if such a lamp cannot actually exist as a spatio temporal object, it nevertheless constitutes an intriguing thought-experiment, which forces us to rethink some of our basic notions. It seems to me, however, that for it to constitute such a thought experiment, the process the lamp undergoes must be thought of as occurring in time. A-temporal entities, such as mathematical entities, manifest a variety of behaviors that may seem surprising, but which do not compel us to rethink our concepts, certainly not those concepts pertaining to physical objects. Regarded a-temporally, Thomson's lamp can be described in any manner we wish without any problems arising, provided that some consistency demands are met. If the case of the lamp does perplex us, that is because we do think of the history of the lamp as occurring in time.” *ibid*, p. 323.</footnote>
de supertâches était l'intuition d'une impossibilité temporelle, intuition qui s'est perdue
dans les différentes formulations cherchant à exhiber l'obtention d'un état impossible
ou contradictoire avec l'hypothèse. Ce point s'appliquerait déjà à de nombreuses inter-
prétations des paradoxes de Zénon, comme celles qui lui prêtent l'idée que la grandeur
totale parcourue est une grandeur infinie : cette manière de poser le problème présuppose
l'achèvement accompli et considère la nature de son résultat possible, ne prenant pas la
question au niveau de l'achevabilité elle-même.

Bien sûr, Dolev n’est pas le premier à remarquer que si les supertâches ne sont
pas à proprement parler contradictoires, elles entrent néanmoins en contradiction avec
des prémisses implicites relatives à la nature des phénomènes temporels. Mais nous ne
connaissions pas d’autre auteur qui ait pris la pleine mesure de ce point et soit allé jusqu’à
considérer les supertâches comme une méthode d’enquête sur nos intuitions temporelles
et leur viabilité ; ce qui est, nous semble-t-il, la perspective qu’il adopte. Le second point
à conserver, dès lors, est justement ce mode d’enquête, et la pluralité des principes tem-
porels susceptibles d’être bafoués, qu’il permet de révéler. Nous voudrions ici esquisser
un développement de cette recherche, qui confirme la pertinence de la distinction entre le
principe de connectabilité et le principe de continuité, à partir de l’analyse du paradoxe
de Ross.

Le paradoxe de Ross<sup>128</sup> examine en substance la situation hypothétique suivante :
supposons une supertâche consistant à ajouter et détruire des boules indexées sur N,
en sorte qu’à chaque étape n de l’opération à partir de 0, les boules numérotées de
10n à 10n+9 sont ajoutées et la boule numérotée n est détruite. À l’étape 0 j’ajoute
les boules numérotées entre 0 et 9 puis je détruis la boule 0, à l’étape 1 j’ajoute les
boules 10 à 19 puis détruis la boule 1 et ainsi de suite. La conclusion de Ross, à laquelle
il ne semble pas possible d’échapper, est qu’à « l’issue » infinie de l’opération, toutes
les boules sont détruites, puisque toutes les boules ajoutées étaient numérotées par un
entier dans N et que pour tout n dans N la boule numérotée n a été détruite à l’étape

<footnote n="128">128. Sheldon Ross, *A First Course in Probability*, Macmillan, New York 1976. Ce paradoxe parfois dit de "Ross-Littlewood" ne doit pas être confondu avec le paradoxe de Ross en logique déontique.</footnote>
n. Le paradoxe étant que l'opération qui débouche sur ce résultat nul consiste en l'ajout de 9 boules, opération répétée une infinité de fois, ou autrement dit que le nombre de boules augmente de façon exponentielle suivant une courbe asymptotique à l'infini à l'approche de l'instant limite, mais que le résultat à l'instant limite est nul. Le paradoxe a été examiné en grand détail dans la littérature, mais pour soulever un seul aspect, il est aisé de décrire d'autres dispositifs où 9 boules sont ajoutées à chaque étape, et qui résultent dans un résultat différent, qui peut être prescrit presque arbitrairement, avec un nombre fini ou infini de boules restant à la fin. L'expérience de pensée donnant lieu au paradoxe de Ross est un bon exemple de supertâche qu'il y a de nombreuses raisons de juger impossible. Néanmoins il y a une chose que cette expérience ne contredit pas, et il s'agit de l'exigence de connectabilité de Dolev. En effet, s'il y a paradoxe, c'est précisément parce que la logique de la situation semble nous indiquer le résultat qui est effectivement produit par l'opération, qui s'en déduit si les hypothèses adéquates sont suppléées. Or, si la connectabilité est préservée, la continuité est bafouée de la manière la plus spectaculaire qui soit : une courbe tend à l'infini en un temps fini, et « achève » en quelque sorte cet infini, sans pourtant que l'infinité elle-même soit jamais atteinte, et juste à l'instant où il est achevé, le résultat se révèle nul.

On peut faire plusieurs commentaires sur le paradoxe de Ross. D'une part, de même que Dolev donnait dans sa définition des supertâches une version dynamique de l'itérativité logique zénonienne, de même il est possible de reformuler la Dichotomie comme une version logique du problème dynamique de Ross. En effet, supposons qu'à l'étape 0, au point de départ, on envisage les 10 premières étapes zénoniennes, dont la première est déjà accomplie. À l'étape 1, l'arrivée à la moitié du parcours, on envisage les 10 étapes suivantes, numérotées de 10 à 19. À l'étape 2, les étapes 20 à 29 sont envisagées et ainsi de suite. Le nombre d'étapes envisagées comme restant à parcourir est infiniment croissant puis « chute » de façon discontinue à 0 au point limite. Bien sûr, il s'agit juste d'une façon d'exprimer comme une croissance ce qu'il est aussi possible d'exprimer comme la constance de l'ordinalité $\omega$ des tâches à accomplir passant subitement à 0, à la manière de Gwiazda.
D'autre part, en tant qu'exemple extrême le paradoxe permet d'illustrer de façon saisissante la nécessité de situer le débat sur le terrain des intuitions temporelles. En effet, les possibilistes les plus conséquents nous expliquent bien qu'il nous faut reconnaitre que la situation de Ross n'est pas contradictoire et doit être *admise comme possible*<sup>129</sup>, en admettant du même coup la discontinuité soudaine de la fonction numérique. Il y a quelque chose de fascinant à voir des auteurs admettre la faisabilité conceptuelle d'un processus tel que celui de Ross. Cela indique à quel point l'intuition temporelle est cruciale, au sens où sans elle tout devient conceptuellement possible, même une croissance sans borne résolue à 0 sans jamais décroître. Du point de vue d'un penseur du mouvement, dans la lignée des 7 méthodes philosophiques que nous suggérions plus haut, l'absence d'égards pour la réalité du mouvement paraît remarquable, ou plutôt l'absence d'égards pour des considérations de ce qui peut appartenir au mouvement qui ne relève pas de la mathématique. À la limite, toutes les ingénieuses constructions d'opérations de supertâches et leurs commentaires infinitistes apparaissent comme d'étranges variations sur la détermination des valeurs limites de fonctions impliquant des ordinaux transfinis, et *pas* comme des expériences sur ce dont le temps est capable.

Néanmoins, si sur tous ces points nous suivons Dolev et souhaitons poursuivre ses analyses, il nous paraît que le principe de continuité *ne peut pas* constituer le dernier mot quant au problème des supertâches. En fait, reprenant une perspective que nous avons déjà exprimée à de nombreuses reprises, la discontinuité elle-même ne nous apparaît que comme un *symptôme*, que comme une *méthode de monstration* d'un problème plus général et plus fondamental qui est celui de l'être achevé de l'inachevable. Nous avons tenté de rendre sensible à ce point déjà dans notre présentation du paradoxe de Ross. La discontinuité y est sans contexte choquante, mais si elle est si choquante c'est, à notre sens, parce qu'elle exhibe spectaculairement l'impossible et soudain être achevé d'une croissance infinie qui ne saurait jamais s'achever, et notamment qui n'atteint jamais un

<footnote n="129">129. Notamment EARMAN et NORTON, « Infinite Pains » cit.. Nous en profitons pour redire notre admiration pour cet article ainsi que pour celui de Allis et Koetsier, qui offrent la plus soigneuse synthèse et analyse des arguments d'impossibilité que nous connaissions – dans le cadre ordinaire qui ignore la question du postulat d'achevabilité. KOETSIER et ALLIS, « Assaying Supertasks » cit.</footnote>
état final (qui serait ici un état final d'infinité). Dans le paradoxe de Ross, l'infinité syncatégorématique est entièrement satisfaite, toute quantité finie a été effectivement dépassée, et pourtant on obtient un résultat nul dans la supposition de l'être achevé, et la discontinuité infinie est la *conséquence* du fait que le résultat n'est jamais en fait obtenu dans le processus qui, comme processus, ne fait que croître.

Nous ne voulons pas nier l'importance du principe de continuité pour notre appréhension du temporel. Mais nous ne sommes pas certain qu'il soit absolument indispensable. Il ne nous paraît pas absolument inconcevable, par exemple, qu'un objet macroscopique temporel subisse un changement discontinu de position, ou plus exactement cela ne nous paraît pas remettre en cause son statut d'objet temporel possible. En revanche, la notion même de temporalité nous paraît interdire le « passer outre » d'un inachevable. Supposons que nous admettions vivre dans un monde où les lois physiques prédisent de soudaines discontinuités de position pour les objets macroscopiques, et supposons que nous acceptions l'idée que la sommation de Cesàro nous donne le *résultat*, au sens de la connectabilité, d'une série infinie non-convergente. Nous ne croyons pas que, même alors, nous serions dépourvus de motifs de refuser la possibilité de la lampe de Thomson. En effet, même si notre science prédisait que certains états physiques donnent lieu à un changement discontinu de position, cela ne changerait rien au fait que, lampe allumée, éteinte ou à demi allumée, elle ne serait jamais *passée* à cet état, c'est-à-dire qu'elle n'y serait arrivée *depuis* aucun état, discontinuité ou non. Suivant l'alternance des allumages et extinctions, nous demeurerions confondus devant le fait que la lampe se « retrouve » en sa position limite sans jamais y être *allée*, fût-ce de façon discontinue, c'est-à-dire en fait sans jamais que l'alternance des allumages et extinctions ait pu prendre fin.

Même si nous acceptions que la sommation de Cesàro indique la seule position qui puisse être raisonnablement considérée comme *valeur* d'une sommation infinie non-convergente (y compris dans un cadre physique), cela ne ferait rien au fait que l'état au point limite ne *résulterait* pas du processus de supertâche, au sens où celle-ci ne s'est jamais achevée en sorte à donner lieu à cet état, mais qu'il *se trouve* simplement que, celle-ci achevée, on peut prédire que la lampe est dans tel ou tel état. En ce sens,
l'« axiome de Thomson » relevé par Burke était peut-être plus proche de la nature fondamentale du problème soulevé par Thomson, formulant en termes de grammaire conceptuelle cette exigence que ce qui arrive ne se trouve pas simplement être arrivé sans pouvoir effectivement se produire.

Et de fait, le principe de continuité est incapable de pleinement rendre compte du problème des supertâches pour la raison simple qu'il y a des supertâches en bonne et due forme, au sens de Dolev, qui ne produisent pas de discontinuité. La plus simple et la plus connue est probablement la balle infiniment rebondissante<sup>130</sup> :

Une balle parfaitement élastique rebondit sur une surface parfaitement dure d'une façon telle qu'à chaque rebond sa vitesse est réduite à une fraction k de la vitesse qu'elle avait immédiatement avant l'impact, et que chaque rebond soit instantané. La balle ne peut cesser de rebondir après un nombre fini de rebonds, et dans la mécanique classique le temps compris entre deux rebonds est directement proportionnel à la vitesse initiale de la balle au début du premier, en sorte que si l'on suppose que le temps compris entre le premier et le second rebond égale une unité de temps, les temps compris entre les rebonds successifs forment la série géométrique $1, k, k^2, k^3, \dots$ dont la somme $1/(1-k)$ est finie. En sorte que la balle accomplit un nombre infini de rebonds en un temps fini. Les principes de connectabilité et de continuité, ainsi que les prédictions mathématiques, nous suggèrent que la balle « à l'issue » de la série infinie est à l'arrêt (en ce qui concerne ses rebonds verticaux), et le contact avec la surface constitue bien la limite de ses positions antécédentes, en même temps qu'il constitue un état du système obtenu une infinité de fois dynamiquement distinctes. La balle rebondissante est donc une supertâche continue. De plus elle est prédite par un certain cadre physique. Comme le disent Earman et Norton, « il n'y a aucun sens évident d'après lequel la balle rebondissante est paradoxale, sauf si l'on est choqué par la simple idée qu'elle accomplisse un nombre infini de rebonds en un temps fini ». Plus exactement, et en renversant leur formulation, nous dirions que l'on

<footnote n="130">130. Nous en reprenons l'exposé à l'article de Earman et Norton, EARMAN et NORTON, « Infinite Pains » cit., p. 235-6.</footnote>

<footnote n="131">131. "The bouncing ball is not paradoxical in any obvious way, unless one is simply offended by the notion that it will complete infinitely many bounces in a finite time." *ibid.*, p. 236</footnote>
est incapable de comprendre la paradoxicalité de la balle rebondissante et avec elle des
supertâches en général si l'on ne se concentre sur l'intuition selon laquelle un processus
ne s'achevant pas ne saurait se trouver achevé dans le temps. Supposons pour ainsi dire
que l'on enregistre la balle et que l'on diffuse le film à l'envers : durant la diffusion du
film la balle ne commencera jamais à rebondir, et en tout temps postérieur (antérieur
dans l'ordre réel) à l'instant limite elle aura « déjà » accompli une infinité de rebonds.

Quoique la continuité au sens ordinaire ne soit pas enfreinte par la balle rebondissante, et quoique pour la même raison la connectabilité y soit respectée, pouvons-nous nous empêcher de ressentir une discontinuité et une déconnexion entre la série et son état limite ? C'est que l'absence de connexion et l'absence de continuité y sont plus générales que ce qu'indiquent les définitions données par Yuval Dolev. L'état limite n'est pas le résultat de la série, même si nous avons un calcul prédisant ce résultat, parce que la série ne s'achevant pas, rien ne peut en résulter au sens ordinaire du passage d'une chose à son résultat. L'état limite est en discontinuité avec la série, même si la position limite est la limite des positions précédentes, parce qu'il n'y a pas de transition ou de passage concevable entre une série jamais achevable et l'instant de son être achevé. Pour reprendre l'expression de Dolev, même dans un cas de continuité, si nous admettons la pleine réalité de la série infinie discrète nous ne « parvenons pas à suivre » le système quand il doit atteindre son état limite. Ou, de manière peut-être encore plus saisissante, dans un modèle isomorphe à la Dichotomie inversée nous ne parvenons pas à suivre le modèle au-delà de l'instant limite antécédent et au sein de l'infinité jamais commencante. Nous espérons qu'il n'est plus nécessaire ici de redire que cette incapacité à suivre le système ici n'est pas le simple indice d'un manque d'imagination. Nous n'arrivons pas à suivre le mobile en un sens différent du sens selon lequel nous n'arrivons pas à suivre un mouvement trop complexe, trop discontinu, ou ayant un nombre trop grand d'étapes : nous n'arrivons pas à le suivre au sens où nous ne pouvons pas prétendre que nous pourrions le suivre si nos capacités imaginatives étaient arbitrairement grandes et complexes.
Logique et temporalité

Ayant réaffirmé la nécessité du postulat d'achevabilité, nous voudrions finalement
remettre en cause un élément d'analyse que nous pouvions superficiellement admettre
jusqu'à présent, à savoir l'idée que les supertâches ne posent pas un problème logique.
Nous avons déjà exprimé, à propos du débat entre Thomson, Benacerraf et Chihara, une
réticence à considérer qu'il y a une distinction simple entre ce qui relève de l'impossibilité
logique et ce qui n'en relève pas. Soyons plus explicite ici : que disons-nous quand nous
disons que la lampe de Thomson n'est pas contradictoire ? D'après ce que nous indique
Benacerraf et à sa suite les infinitistes, il s'agit du fait que l'état de la lampe à l'instant
limite, allumée, éteinte, à demi allumée, ou changée en crapaud, n'est pas *contredit* par
les hypothèses faites sur ses états antécédents. Il s'agit de dire que l'on peut donner une
description – en vérité une multitude de descriptions diverses – de la lampe en chacun de
ses états, aucune de celles-ci n'étant contradictoire. Ultimement, il s'agit de dire qu'on
peut assigner à des suites transfinies « d'états » toutes sortes de valeurs pour leurs
points limites, sans que ces suites soient des objets contradictoires. Il est donc indéniable
que les objets envisagés par les expériences de pensée des supertâches n'impliquent pas
d'impossibilité mathématique. Quand on dit qu'ils ne sont pas logiquement impossible,
on veut dire alors que l'on a pu en fournir un modèle mathématique cohérent. Mais
peut-on véritablement dire que l'on en a fourni un modèle cohérent si ce modèle n'est
pas un modèle temporel ? Comme le remarque Dolev, une expérience de pensée sur un
objet temporel ne peut pas être l'expérience de pensée qu'elle est si elle ne pense pas ses
objets comme temporels. Or, il ne nous semble pas absurde de soutenir qu'il fait partie
de notre notion même de ce que signifie pour la processualité en général de compter
comme « temporelle » le fait que ce qui se tient comme achevé doit avoir pu s'achever
effectivement<sup>132</sup>, de même que le fait que si une chose vient après tous les éléments d'une
série, alors cette série doit avoir pu prendre entièrement place. C'est en ce sens, et a
contrario, que nous pouvons poser en mathématiques l'élément ω après tous les ordinaux

<footnote n="132">132. Les supertâches avec bifurcation suggèrent que cette formulation pourrait être légèrement inadé-
quate, mais cette complication technique n'importe pas ici. Cf. l'encadré page 504.</footnote>
finis, sans avoir à supposer que le compte des nombres entiers puisse être effectivement achevé. Les modèles que fournissent les mathématiques fonctionnent selon un sens de « l'avant » et de « l'après » qui *mime* en partie la temporalité, mais qui ne semble pas toujours compatible avec ce que signifient l'avant et l'après dans le temps. S'il en est ainsi, on pourrait être amené à dire non pas tellement que « le problème n'est pas logique mais temporel », mais plutôt que « la contradiction que soulèvent les supertâches n'est pas mathématique, mais relève de la logique de la temporalité, de ce qui fait qu'un objet compte comme temporel. »

On pourra néanmoins rétorquer que la description bien menée des supertâches fournit un modèle non seulement mathématique, mais aussi temporel, au sens où l'on ne se contente pas de décrire une suite à l'ordinalité transfinie, mais que l'on prend soin de situer chacun de ses termes en des instants déterminés, que l'on s'efforce de décrire effectivement une série temporelle. La question qui se pose alors est la suivante : suffit-il, pour qu'un modèle compte comme temporel, qu'on puisse en situer tous les éléments à des instants ? Nous serions enclin à dire que non, à dire qu'il ne suffit pas d'avoir disposé tous les éléments de la description d'un phénomène à des instants déterminés pour garantir l'existence d'un modèle temporel de ce phénomène. Cela même suffit à, finalement, accorder que l'on ne peut pas qualifier les supertâches de « logiquement impossible » au moins au sens ordinaire de l'expression. Si l'on accorde *a minima* que nous ne savons pas clairement, univoquement et définitivement ce que nous disons quand nous affirmons la *temporalité* d'un objet, cela signifie que nous n'avons pas un concept déterminé du « temporel » dont nous pourrions tirer par *analyse* une propriété telle que le principe d'achevabilité ou le principe de continuité, qui entrerait en contradiction avec l'hypothèse de telle ou telle supertâche. Les propriétés constitutives de la temporalité d'un objet, offrant ou non un contraste avec la possibilité d'en donner une description simplement mathématique, ne peuvent être que des jugements synthétiques.