auteurs et les grandes autrices doivent s'imposer une discipline sévère », en y intégrant les
autrices et auteurs futurs¹.

a. Rien n'empêche bien sûr de prédire que tous les auteurs et autrices à venir s'intégreront dans la grande communauté, mais cela ne constitue pas pour autant une totalité des auteurs et autrices à venir, et « tous » est ici employé distributivement !

### 9.2.2 Infini catégorématique et syncatégorématique

De même que « tout » pourra se dire collectivement ou distributivement, il nous faut reprendre ici la vénérable distinction scolastique entre infini catégorématique et infini syncatégorématique². Plus précisément, nous suivons son usage chez Grégoire de Rimini (c. 1300 – 1358).

L'idée vient à nouveau de la grammaire, et distingue au départ³ les termes qui signifient par eux-mêmes (les « catégorèmes ») des termes qui co-signifient (les syn-catégorèmes). Ils co-signifient, c'est-à-dire qu'ils signifient avec les catégorèmes et par la façon dont ils les mettent en rapport. Ils ont des fonctions de syntaxe avant tout. Les catégorèmes sont les noms, verbes et adjectifs, qui ont un contenu de pensée propre; et les syncatégorèmes sont les autres termes, prépositions, articles, pronoms, etc., qui ne font sens qu'en tant qu'ils renvoient à, ou articulent, des catégorèmes.

À travers la scolastique et chez Grégoire de Rimini en particulier, la distinction n'est plus essentiellement grammaticale, mais renvoie toujours au mode de signification : on dira qu'un terme est employé de façon catégorématique quand il renvoie à une chose ou à une propriété déterminée d'une chose. Par exemple : « le chat est endormi » fait un usage catégorématique de « chat » et de « endormi ». On dira au contraire qu'un terme, même un nom ou un adjectif, est employé de façon syncatégorématique quand il ne peut pas être considéré comme renvoyant littéralement à une chose du monde ou à une propriété d'une chose. Si je dis : « rien de si endormi que ce film », ni « rien » ni « endormi » ne renvoient à des déterminations réelles des choses, alors même qu'ils sont des catégorèmes au sens

<footnote n="6">6. Pour la distinction et la portée de son usage, nous sommes redevable en particulier à trois textes : Jean-Louis Gardies, « Les antécédents scolastiques de la théorie des ensembles », *Revue de Métaphysique et de Morale*, 4 (Octobre-Décembre 1986) : *Philosophie des Sciences*, p. 486-505 ; Joël Biard, « Logique et Physique de l'infini au XIVe siècle », in *Infini des mathématiciens, infini des philosophes*, (dir.) Françoise Monnoyeur, préf. de Jean Dieudonné, postf. d'Hourva Sinaceur, Belin, 1992, chap. 1, p. 17-36 ; et surtout BIARD et CELEYRETTE, *De la théologie aux mathématiques* cit., p. 197-219. On pourra trouver une bibliographie plus complète sur la question passionnante du traitement de l'infini dans la philosophie scolastique en chacun de ces trois lieux.</footnote>
grammatical. « Rien » est peu ou proue toujours employé syncatégorématiquement, car par nature il ne peut pas désigner quelque chose, et « endormi » ici décrit de façon vague des réactions que les spectateurs du film vont tendre à avoir, mais ne désigne pas une propriété effective du film ou d'une chose déterminée, il ne peut être interprété que *via* une paraphrase qui engage des propriétés différentes à propos d'entités différentes.

L'emploi de cette distinction par les philosophes sert avant tout dans le cadre de la discussion sur les sophismata¹. Un sophisma n'est pas un sophisme, c'est-à-dire un raisonnement fautif intentionnellement trompeur, mais plus généralement une phrase à l'interprétation problématique, qui oblige à établir des distinctions logiques explicites. Si je dis par exemple : « cette porte ouverte pourrait être fermée », la phrase est un sophisma. Elle est fausse si je veux dire que la porte en question est peut-être fermée, alors même qu'elle est ouverte, ou si je veux dire qu'elle pourrait être une porte contradictoire ouverte et fermée à la fois. Mais elle est vraie si je veux dire que cette porte qui actuellement et dans la circonstance présente est ouverte pourrait en un autre temps ou une autre circonstance être fermée. Les syncatégorèmes et les termes employés de façon syncatégorématique sont typiquement responsables de nombreux sophismata, comme on l'a montré plus haut au sujet de l'ambiguïté du terme « tout ».

Voilà comment la distinction va fonctionner chez Grégoire de Rimini.

On dira qu'une chose est finie (catégorématiquement parlant) quand on peut affirmer la finitude comme une propriété effective de cette chose : par exemple, elle a une grandeur finie. On dira qu'une chose est infinie (catégorématiquement parlant) quand on peut de même affirmer l'infinité comme une propriété effective de cette chose (à supposer que cela ait un sens, ce qui est en débat). On dira que des choses sont collectivement finies (catégorématiquement parlant) quand elles forment effectivement une totalité au nombre fini déterminé. On dira que des choses sont collectivement infinies (catégorématiquement parlant) quand elles forment de même une totalité effective plus grande que toute collection finie donnée (à supposer que cela ait un sens).

<footnote>a. Chez Priscien (VIe siècle), dans les *Institutions grammaticales*. Cf. BIARD, « Logique et Physique de l'infini au XIVe siècle » cit.</footnote>

<footnote>b. Pour plus de précisions et de contexte historique sur les sophismata que nous n'en donnons dans cette section, voir par exemple Fabienne Pironet et Joke Spruyt, « Sophismata », in ZALTA (éd.), *The Stanford Encyclopedia of Philosophy* cit., http://plato.stanford.edu/archives/win2015/entries/sophismata/.</footnote>
On dira en revanche que des choses sont infinies (syncatégorématiquement parlant) non pas pour affirmer une propriété de la totalité de ces choses, mais pour indiquer une propriété plus complexe qui se réfère à d'autres choses. Par exemple, nos problèmes sont infinis. Non pas que leur totalité soit telle, mais cela veut dire, par exemple, que pour toute résolution effective d'un problème, il se présente de nouveaux problèmes à résoudre. De même pour les jours ou les nombres. Affirmer leur infinité (syncatégorématiquement) revient à nier qu'ils puissent avoir une limite, une fin déterminée et pour de bon, un terme assignable, et à affirmer au contraire que pour tout terme qu'on pourrait leur assigner, ils se poursuivent au-delà de ce terme. De même pour la grandeur, par exemple la durée du temps qui passe. En somme, on dira que des choses sont infinies (syncatégorématiquement parlant) quand pour tout nombre fini donné de ces choses (ou toute grandeur finie donnée), on peut trouver un nombre supérieur de ces choses (ou une grandeur supérieure).

> On peut voir que l'ambiguïté autour du terme d'infini est attachée de très près à l'ambiguïté autour de la notion de totalité, mais sans que l'une se réduise à l'autre, au contraire l'une est compliquée par l'autre. Si je veux dire catégorématiquement que le cosmos est infini, ou que toutes les étoiles sont infinies, il faut que je suppose que le cosmos est un tout uni, et que les étoiles forment une totalité effective donnée dont je peux affirmer l'infinité comme une propriété. Je ne veux évidemment pas dire que chaque étoile est par elle-même infinie. Le terme « tout » doit donc être employé collectivement, et l'on doit supposer que cela fait sens de considérer une totalité infinie. Mais je peux bien sûr dire d'une totalité qu'elle est (catégoriquement) finie. De même, l'emploi de « tout » en un sens collectif n'implique pas pour autant l'usage catégorématique de l'infini. Considérons l'exemple suivant : « je ne peux pas résoudre tous mes problèmes, parce qu'ils sont infinis ». Cette phrase implique un usage collectif de « tous ». En effet, je ne veux pas employer « tous » distributivement, parce que je ne veux pas dire que chacun d'entre mes problèmes est par lui-même infini. Mais je ne veux pas non plus employer « infini » catégorématiquement. Je n'affirme pas l'infinité comme le nombre déterminé d'une totalité effective de mes problèmes. Je veux dire le contraire : que la totalité de mes problèmes n'a pas un nombre déterminé, mais que la résolution de chacun d'entre eux en produit de nouveaux.

Notre but n'est pas ici de défendre ces catégories logiques pour elles-mêmes, et nous
ne croyons pas qu'elles suffisent à clarifier l'usage du langage, ni qu'elles soient nécessaires pour cela. Nous les invoquons simplement parce qu'elles nous forcent à être spécifiquement attentifs et attentives au rapport entre infinité et totalité et à ce qu'implique l'affirmation d'un infini. Dans l'histoire de la philosophie, et son interaction avec l'histoire des mathématiques, un problème récurrent a été la légitimité de l'usage de la notion d'infini. Un aspect du problème, formulé dans le langage de la scolastique, est le suivant : existe-t-il un usage catégorématique légitime de la notion d'infini, ou doit-on au contraire prendre bien soin de toujours se souvenir que l'infini ne s'emploie que syncatégorématiquement et qu'il doit donc toujours pouvoir être paraphrasé ?

Une autre façon de formuler le problème serait de poser la question du rapport entre l'emploi catégorématique et l'emploi syncatégorématique de l'infini, et en même temps du rapport entre l'emploi collectif et l'emploi distributif de la notion de totalité. Il semble assez intuitif par exemple que s'il est légitime d'affirmer catégorématiquement l'infinité de quelque chose, alors *a fortiori* il est légitime de l'affirmer syncatégorématiquement. S'il y a bel et bien une infinité d'étoiles, alors autant d'étoiles que je compte ou que je perçoive, il reste toujours d'autres étoiles à compter. De même, s'il y a un usage collectif possible de « tout » pour une certaine catégorie, alors il doit y avoir un usage distributif possible pour les éléments appartenant à cette catégorie. S'il y a quelque chose de tel que « tous les chats », la totalité des chats, alors je dois pouvoir dire quelque chose de tous les chats, distributivement, ne serait-ce que le fait qu'ils appartiennent (chacun d'entre eux) à la totalité des chats.

Mais n'y a-t-il pas des cas où la relation inverse vaut également ? Autrement dit peut-on toujours invoquer l'infini syncatégorématiquement en se préservant de l'impliquer catégorématiquement ? Peut-on toujours affirmer quelque chose de « tous » les individus que l'on vise sans présupposer que ces individus existent bel et bien dans une totalité ? Supposons des choses qui existent toutes présentement (au sens distributif de « toutes » : chacune d'entre elles existe présentement), par exemple les étoiles. Si elles sont toutes (distributivement) présentes, elles peuvent sembler devoir être données *ensemble*, simultanément, et leur présence impliquerait alors l'existence de leur totalité,
et ainsi légitimer un usage collectif de « toutes ». Par exemple : « toutes les étoiles parsèment le cosmos de manière homogène ». Supposons qu'elles soient infinies (syncatégorématiquement), c'est-à-dire qu'aussi loin qu'on les compte, qu'on les considère, il en reste toujours à compter ou à considérer. Comme on a dit qu'elles étaient toutes présentes, on ne peut pas supposer qu'elles naissent à mesure qu'on les compte, ni a fortiori qu'elles sont engendrées par notre compte. Mais comme elles forment une totalité multiple, si on considère leur multiplicité, il semble que l'on soit contraint de dire qu'elle est catégorématiquement infinie, c'est-à-dire qu'elle est effectivement plus grande en elle-même que tout nombre fini donné. En effet, supposons qu'elle soit finie (catégorématiquement). Alors il existe un nombre fini de ses éléments : soit n ce nombre. Puisque les étoiles sont (syncatégorématiquement) infinies, je peux les compter au-delà de tout nombre fini donné, en particulier au-delà de n fini. Je peux donc compter davantage d'étoiles que ce qu'il y en a. Mais cela est absurde. Il faut donc, si les étoiles sont (syncatégorématiquement) infinies, qu'elles soient (catégorématiquement) infinies.

Ce raisonnement n'est pas forcément convaincant ou insurmontable. Si l'on devait le formaliser précisément, on verrait qu'il suppose que toutes les multiplicités ont une grandeur, et que toutes les grandeurs sont comparables selon le plus petit ou le plus grand, et qu'ainsi tout ce qui n'est pas fini est infini. Mais il ne manque pas d'avoir quelque vraisemblance. Nous le reprenons, en le paraphrasant, de Grégoire de Rimini lui-même¹.

Selon que l'on admette ou non l'usage catégorématique de l'infini, notre interprétation et notre rapport aux énoncés ne seront pas les mêmes, et on peut ici revenir à la considération des mathématiques.

Considérons les deux théorèmes arithmétiques suivants² :

<footnote n="7">7. BIARD et CELEYRETTE, *De la théologie aux mathématiques* cit., pp. 210-211.</footnote>

<footnote n="8">8. Pour rappel, nous présupposons les faits mathématiques élémentaires suivants :</footnote>

<footnote>* Les nombres premiers sont (dans ce contexte) les nombres entiers positifs strictement plus grands que 1 qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes. C'est-à-dire que si on les divise par un nombre différent de 1 et différent d'eux-mêmes, le reste n'est jamais 0. Les premiers nombres premiers sont 2, 3 (qui n'est pas divisible par 2) et 5 (qui n'est divisible ni par 2 ni par 3 ni par 4), mais pas 4, qui est divisible par 2.</footnote>

<footnote>* Si un nombre est divisible par un nombre autre que 1 et autre que lui-même (c'est-à-dire s'il n'est pas premier), alors il est divisible par un nombre premier autre que lui et plus petit que lui.</footnote>
* Tous les nombres premiers sont impairs sauf le nombre 2

* Il y a une infinité de nombres premiers

Je peux apparemment faire sens de ces deux propositions sans supposer que les nombres premiers forment une multiplicité entièrement donnée, en employant donc « infinité » de façon strictement syncatégorématique, et « tous » de façon strictement distributive, sans considérer une quelconque totalité de ces nombres. Que tous les nombres premiers sont impairs sauf le nombre 2, cela veut dire pour moi que 2 mis à part, à chaque fois que me sera donné un nombre premier je saurai qu'il est impair. Qu'il y a une infinité de nombres premiers, cela veut dire pour moi qu'aussi loin que j'aille dans la considération des nombres premiers, il y a toujours d'autres nombres premiers plus grands à considérer.

Pour démontrer le premier théorème, je n'ai qu'à suivre les définitions : un nombre premier n'étant divisible que par 1 et par lui-même, s'il est différent de 2 il n'est pas divisible par 2. Et donc il est impair par définition. Autrement dit, à chaque fois que m'est donné un nombre différent de 2, si je peux dire qu'il est premier c'est qu'a fortiori je peux dire qu'il n'est pas divisible par 2, c'est-à-dire qu'il est impair.

Pour démontrer le second théorème, je montre exactement que son interprétation syncatégorématique est vraie : supposons que j'ai une totalité finie contenant n nombres premiers : $p_1, p_2, p_3, ..., p_n$. Je considère alors le nombre entier suivant : $(p_1 * p_2 * p_3 * ... * p_n) + 1$ c'est-à-dire le produit de la multiplication de tous les nombres premiers de la liste entre eux, au total duquel j'ajoute 1. Soit P ce nombre. P est un nombre entier qui est plus grand que tous les nombres de la liste, il n'appartient donc pas à la liste. Mais si on le divise par n'importe lequel des nombres de la liste, il va donner un reste de 1, par construction¹. Il n'est donc divisible par aucun des nombres premiers de la liste, par définition de la divisibilité. Alors de deux choses l'une, ou bien il est premier, ou bien il n'est pas premier. S'il est premier, on a trouvé un nouveau nombre premier qui n'est pas dans la liste. S'il n'est pas premier, alors

<footnote>Supposons que notre nombre soit divisible par 4, qui n'est pas premier. 4 est divisible par 2, qui est premier, et tout ce qui est divisible par 4 est divisible par 2, y compris notre nombre. Ainsi, tout nombre plus grand que 1, ou bien est premier, ou bien est divisible par un nombre premier plus petit que lui.</footnote>

<footnote>* Un nombre entier positif est pair s'il est divisible par 2, impair sinon.</footnote>
il est divisible par un nombre premier plus petit que lui, mais on sait que ce nombre n'est pas dans la liste. Si on vérifie tous les nombres entiers jusqu'à P, on sait par conséquent qu'on va pouvoir trouver un nouveau nombre premier qui n'est pas dans la liste, qu'on peut noter $p_{n+1}$ et ajouter à la liste. Donc pour toute multiplicité finie de nombres premiers, il est possible d'en trouver davantage, ce qu'il fallait démontrer.

Cette démonstration est en substance celle des *Éléments* d'Euclide (c. 300 av. J.-C.), livre IX, proposition 20⁹.

C'est de la même manière que je comprends un énoncé encore plus simple : « il y a une infinité de nombres entiers ». Ce que je veux dire par là, dans une interprétation strictement syncatégorématique, c'est qu' aussi loin que j'aille dans les nombres entiers, disons jusqu'à un nombre entier n, je peux toujours avoir un nouveau nombre entier, à savoir $n + 1$.

Mais il y a une autre interprétation de ce que veulent dire ces théorèmes, qui est l'interprétation aujourd'hui normale de la mathématique moderne dans le cadre de ce qu'on appelle la « théorie des ensembles ». Dans ce cadre, on peut définir les nombres entiers comme certains « ensembles », c'est-à-dire certaines totalités. Les nombres entiers sont des totalités telles qu'on peut toujours, à partir de l'une d'entre elles, s'assurer qu'elle a un « successeur » (comme $n+1$ est le successeur de $n$). On pose alors qu'il y a une totalité de ces totalités, un ensemble de ces ensembles, donc un ensemble des nombres entiers. Plus exactement, on pose qu'il existe un ensemble qui contient le premier des nombres entiers (disons 0), et qui, s'il contient un nombre entier n, contient aussi son successeur $n+1$. Autrement dit on suppose que pour tout nombre entier obtenu par l'opération de succession +1, on peut déjà supposer d'avance que son successeur est dans la totalité, et le successeur de ce successeur, etc. On se donne donc une totalité qui contient d'emblée ce que par l'opération de succession on ne pouvait se donner que progressivement. On peut dire alors qu'il existe une unique totalité, à laquelle on peut donner un nom, qui contient tous les nombres entiers et exactement eux. Cet

<footnote>a. J'ai $P = ((p_1 * p_2 * p_3 * \dots * p_n) + 1)$. Supposons que je le divise par un des nombres de la liste, disons $p_3$. J'ai $P = ((p_1*p_2*p_3*\dots*p_n)+1) = (p_3*(p_1*p_2*\dots*p_n)+1)$ et $P/p_3 = (p_1*p_2*\dots*p_n)$, reste 1.</footnote>

<footnote>b. Cf. EUCLIDE D'ALEXANDRIE, *Éléments V-IX* cit., pp. 444-445 et les commentaires du traducteur à cet endroit.</footnote>
ensemble est nommé $\mathbb{N}$, autant dans la littérature mathématique que dans la suite de ce travail. La théorie des ensembles nous dit précisément que cet ensemble est « infini », catégorématiquement (en un sens défini dans l'encadré suivant). Les nombres premiers forment alors ce qu'on appelle un « sous-ensemble » de $\mathbb{N}$, appelons-le $P^1$.

Quand on dit qu'il y a une infinité de nombres premiers, ce qu'on veut dire c'est que le sous-ensemble $P$ de $\mathbb{N}$ est lui aussi infini, tout comme $\mathbb{N}$. Et en fait dans ce cas précis on veut dire qu'il a la même taille que $\mathbb{N}$.

On remarque que si cela est vrai, cela veut dire qu'un ensemble qui est strictement contenu dans un autre ensemble peut être aussi grand que ce dernier. Les nombres premiers ne sont qu'une petite partie des entiers, et pourtant il y en a « autant » que des entiers c'est-à-dire leurs ensembles ont la même taille. Autrement dit, parmi les ensembles infinis, être « débordé » par un ensemble ne veut pas forcément dire être plus petit que lui.

Cette propriété paradoxale a été historiquement un des arguments contre le fait de pouvoir considérer des totalités infinies. Dans la théorie des ensembles, au contraire, et à partir de Dedekind¹, cette propriété va pouvoir définir ce que signifie d'être (catégorématiquement) infini : un ensemble est infini s'il a un sous-ensemble propre (c'est-à-dire un sous-ensemble qui ne contient pas tous ses éléments) qui est « aussi grand » que lui. Avoir la même taille qu'un ensemble signifie la chose suivante, dans la théorie : on peut associer chacun des éléments de l'un avec exactement un des éléments de l'autre d'une telle manière que tous les éléments de l'un et de l'autre soient pris en compte. Par exemple, on peut compter les nombres premiers : le premier est 2, le deuxième est 3, le troisième est 5, etc. Comme il y en a une infinité (au choix, syncatégorématiquement ou catégorématiquement), on sait que le compte ne va jamais s'arrêter, et qu'on va donc pouvoir associer tout nombre entier à un unique nombre premier, et réciproquement. Ce qui prouve les deux choses que nous voulions : d'une part $\mathbb{N}$ est aussi grand que l'ensemble des nombres premiers, il est donc aussi grand qu'un de ses sous-ensembles propres, il est donc (catégorématiquement) infini ; d'autre part l'ensemble des nombres premiers est aussi grand que $\mathbb{N}$, il est donc infini et

<footnote n="9">9. Un sous-ensemble B d'un certain ensemble A est une totalité dont tous les éléments sont des éléments de A. C'est-à-dire une totalité qui ne rassemble rien d'autre que des éléments qui sont aussi dans A. Peut-être ne rassemble-t-elle aucun élément de A (alors elle est une totalité qui ne rassemble aucun élément, on dit qu'elle est « vide »); peut-être rassemble-t-elle tous les éléments de A (alors elle est identique à A, en fait elle est A); ou peut-être rassemble-t-elle certains éléments de A, mais pas tous. En tout cas elle ne rassemble aucun élément qui ne soit pas aussi un élément de A.</footnote>
de la même taille que lui.

a. Richard Dedekind, « Que sont et à quoi servent les nombres? », (1888), in *La création des nombres*, trad. de l'allemand, annot. et introd. par Hourya Benis Sinaceur, Vrin, 2008, p. 91-220.

Nous voudrions souligner le fait que la question de la temporalité est en fait omni-présente dans tout ce qui précède. Par exemple, pour justifier que l'on passe de l'infini syncatégorématique au catégorématique, nous nous sommes senti contraint de préciser que les éléments envisagés étaient tous *contemporains*, tous *présents*. Nous ne l'avons pas noté, mais il en va *a fortiori* de même pour les nombres entiers ou les entités mathématiques en général. Comme elles sont apparemment insensibles à la temporalité, intouchées par le flux des événements et indépendantes de lui, elles semblent toutes, pour ainsi dire, contemporaines dans l'éternité. Si quelque chose peut former une totalité infinie, elles ne semblent pas être de mauvaises candidates.

## 9.3 Infini en acte et infini en puissance

Si la distinction entre les usages syncatégorématique et catégorématique de l'infini, de même que la distinction entre les usages distributif et collectif de la totalité, ont à voir avec la temporalité, elles ne sont pas, néanmoins, définies par rapport à elle. Le syncatégorématique renvoie à une question logique de référence à des entités et prédicats, et à l'usage légitime des termes, pas directement au rapport de l'existence infinie avec les processus temporels. La distinction d'origine aristotélicienne entre infini en puissance et infini en acte nous conduit au contraire au plus près d'une problématique opératoire.

La question de la signification de l'infini chez Aristote a fait l'objet d'une vaste littérature et est encore discutée aujourd'hui<fnref n="10" />. La première chose à comprendre est la distinction aristotélicienne par excellence, à savoir la distinction entre acte et puissance, *dunamis* et *energeia*<fnref n="11" />. Celle-ci a elle-même deux significations principales liées et dis-

<footnote n="10">10. En français, on trouvera une discussion récente dans SOULIER, *Simplicius et l'infini* cit., p. 25-36. L'auteur adopte l'interprétation de Wolfgang Wieland, *Die aristotelische Physik*, Göttingen 1962. Voir aussi, parmi les articles importants, Jaakko Hintikka, « Aristotelian Infinity », *The Philosophical Review*, 75, 2 (avr. 1966), p. 197-218; Jonathan Lear, « Aristotelian Infinity », *Proceedings of the Aristotelian Society*, 80 (1979-1980), p. 187-210.</footnote>

<footnote n="11">11. Sur cette distinction absolument centrale la littérature est plus vaste encore. Parmi les publications récentes, on consultera en particulier Gwenaëlle Aubry, *Dieu sans la puissance*. Dunamis et Energeia</footnote>
tinctes, qui sont plus spécialement étudiées dans le livre Θ de la *Métaphysique*<fnref n="12" />.

La première est dite « selon le sens le plus propre » et se rapporte à la possibilité d'agir et de subir. En substance et pour simplifier grandement, la puissance en ce premier sens est la capacité à subir ou produire un changement déterminé, tandis que l'acte est la réalisation de cette capacité de production de changement. Ainsi on dira que l'humain est voyant en puissance, ou bâtisseur en puissance, s'il a la capacité de voir ou bâtir, tandis que les briques sont bâtissables et visibles, ont la puissance d'être bâties ou d'être vues. Quand l'œil regarde l'objet ou quand la personne entreprend de bâtir, une activité prend place dans laquelle ce qui était en puissance passive ou active se trouve en acte. La seconde signification est ontologique, au sens précis où « puissance et acte » ou « puissance et entéléchie », (« *entelekheia* », état accompli) sont deux « sens de l'être », significations que peut prendre l'emploi du verbe être. On dit ainsi qu'un gland *est* un chêne « en puissance » ou que Socrate peut être à la fois assis « en acte » et debout « en puissance ». Les deux significations sont naturellement liées, dans la mesure où si un objet est en puissance ce qu'il n'est pas en acte, cela signifie qu'il peut se trouver changer en sorte à devenir en acte ce qu'il n'est qu'en puissance, ce qui signifie encore qu'il a la puissance de subir un changement en ce sens. En retour, si un objet a une puissance de changement non actualisée, c'est qu'il se peut qu'il soit quelque chose qu'il n'est pas actuellement, autrement dit il est en puissance quelque chose qu'il n'est pas en acte.

Un troisième aspect fondamental de la puissance est qu'elle donne une assise réelle aux vérités modales : si une chose est possible, s'il est possible que P soit Q alors même qu'il est faux que P est Q, cela équivaut d'une manière générale au fait que P soit Q *en puissance* sans être Q *en acte*. Le possible étant en général caractérisé comme ce qui, étant supposé accompli, ne résulte en aucune impossibilité, le fait d'être une chose en puissance équivaut en général à ce que rien d'impossible ne résulte dans la supposition d'être cette chose en acte.

<footnote>chez Aristote et Plotin, Vrin, 2007; David Lefebvre, *Dynamis. Sens et genèse de la notion aristotélicienne de puissance*, Vrin, 2018.</footnote>

<footnote n="12">12. Sur la puissance, voir aussi Γ, 4, 1007b29, et Δ, 12.</footnote>
Il est important de connaître ces règles générales afin de comprendre en quel sens l'infini y fait exception. En effet, Aristote soutient qu'il y a de l'infini en puissance, mais, comme il est bien connu, que l'infini en acte est impossible. Cela constitue une rupture dans la grammaire de la puissance qu'Aristote a lui-même instaurée. Les passages cruciaux se trouvent dans les chapitres 4 à 8 du livre III de la *Physique*<fnref n="13" />, et notamment le chapitre 6. Après avoir exposé les raisons *prima facie* de croire en l'existence de l'infini, dans le chapitre 4, Aristote a mené un raisonnement qui ne nous concerne pas ici et qui visait à montrer l'inexistence d'un corps infini en acte, en même temps que l'inexistence d'un vide ou espace infini entourant le cosmos. Il dit alors la chose suivante, dans un texte extrêmement classique que nous commenterons un paragraphe après l'autre<fnref n="14" /> :

> Mais si l'infini n'existe absolument pas, il est clair qu'arrivent de nombreuses impossibilités.
> 
> En effet, il y aura un commencement et une fin du temps, les grandeurs ne seront pas divisibles
> en grandeurs, et le nombre ne sera pas infini. Et lorsque, les choses étant ainsi déterminées,
> il apparaît que ce n'est possible d'aucune des deux façons, il faut un arbitre, et il est clair que
> d'une certaine façon il existe, d'une autre pas.

Ce qui est « déterminé » est le fait qu’il est d’une part impossible d’admettre simplement et sans restriction l’existence de l’infini (notamment il est impossible de l’admettre comme propriété quantitative dite en acte d’une substance), et d’autre part il est également impossible de l’exclure simplement, ce qui nécessite un partage et une détermination précise du possible et de l’impossible. Il est intéressant d’observer en détail les raisons qui sont données pour exclure l’hypothèse de l’inexistence de l’infini. Pour comprendre la logique à l’œuvre, il faut avoir en tête un principe définitionnel simple : dans le discours aristotélicien, est dit « infini », « illimité » (*apeiron*) ce qui n’a pas de limite (*peiras*)<fnref n="15" />. De ce fait, en toute rigueur, dire que l’infini n’existe pas ou qu’il ne

<footnote n="13">13. 203a-208a, *AristPhys*, p. 147-165</footnote>

<footnote n="14">14. 206a9-b3, *AristPhys*, p. 158-159. Le commentaire est ici donné à titre informatif et s'efforce d'être relativement consensuel. Il ne doit pas être considéré comme une prise de position dans le débat historiographique.</footnote>

<footnote n="15">15. À ce titre, traduire le terme *apeiron* par « illimité » plutôt qu'« infini » serait se rendre plus fidèle à l'intention aristotélicienne, mais il faut bien avoir en tête qu'il n'y a pas deux mots différents en grec, et que quand Aristote parle de l'*apeiron*, il se prononce aussi sur ce que la tradition voudra appeler du nom d'« infini » par la suite.</footnote>
peut jamais être prédiqué en vérité, reviendrait à dire, par double négation, que nous pouvons affirmer en vérité de tout objet qu'il a une limite. Or, si Aristote soutient en effet que toute substance actuellement existante est actuellement limitée, il est clair que ni ce qui est, ni ce que nous pensons ni ce dont nous pouvons parler ne se limite à des prédications en acte de substances en acte. Nous parlons par exemple du temps, de la divisibilité des grandeurs, ou de la numération. Un trait remarquable de ces trois objets, et qui n'est certes pas fortuit, est qu'ils sont des paradigmes d'inachevabilité. Cela est le plus évident pour le temps, qui d'après Aristote ne saurait ni commencer ni s'achever, mais cela est aussi le cas du « nombre », dont nous avons dit qu'il joue un rôle paradigmatique par rapport aux processus infinis en général, en étant le représentant privilégié de la structure de répétition. Et nous devrions être convaincus à ce stade que la division de la grandeur est un autre représentant fondamental des structures d'inachevabilité, l'omnidivisibilité des grandeurs en une pluralité de grandeurs étant à l'origine des raisonnements zénoniens infinitaires. Un peu plus loin dans le texte (207b11) Aristote va même jusqu'à appuyer l'infinité du nombre sur celle de la divisibilité de la grandeur : « [...] dans le sens croissant on peut toujours concevoir [des nombres], car les dichotomies de la grandeur sont infinies. »

On peut alors aisément reconstituer le raisonnement qui interdit d'interdire l'infini. Supposons qu'on ne puisse pas dire que le temps soit infini. On doit alors dire que le temps est limité, a littéralement des limites. Si ni le progrès dans le temps ni la régression dans le temps ne sont infinis, alors l'un et l'autre ont une limite, autrement dit *le temps a* respectivement *une fin et un commencement* (que l'on peut en effet définir respectivement comme limite dans la progression et limite dans la régression). Si on ne peut pas dire que la divisibilité de la grandeur est infinie, on doit dire qu'elle a une limite. Supposons que, pour une procédure de division donnée, cette limite soit atteinte à la n-ème étape de la procédure. Alors, ou bien le résultat de cette n-ème étape n'est pas des grandeurs, ou bien il s'agit de grandeurs qui ne sont pas divisibles en grandeurs. Dans les deux cas l'omnidivisibilité de la grandeur en une pluralité de grandeurs est contredite, *les grandeurs ne seront plus universellement divisibles en grandeurs*. De même pour le
nombre, c'est-à-dire la procédure de numération : dire qu'elle a une limite imposerait de dire qu'il y a une étape n après laquelle elle ne peut plus se poursuivre, c'est-à-dire un dernier nombre n. Ce qui, d'après 207b11 est exclu du fait même de la continuité de la grandeur.

Il faut bien noter une chose, qui est le fait que l'infinité dans ces trois cas se rapporte à l'absence de limite à la poursuite dans le temps de quelque chose de processuel. Il n'y a pas quelque chose de tel qu'une division infinie, un nombre infini ou un temps infini présent<sup>16</sup>. Nous sommes contraints à prédiquer l'infinité, du fait qu'il y ait des processus, voire des procédures, pour lesquelles nous ne pouvons pas penser l'existence d'une limite, et même pour lesquelles nous pouvons prouver l'impossibilité qu'une limite existe.

Le fait d'être se dit soit en puissance soit en acte, et l'infini est soit par addition soit par division. Or, que la grandeur ne soit pas infinie en acte, on l'a dit, mais par la division elle le peut, car il n'est pas difficile de réfuter les lignes insécables ; il reste donc que l'infini soit en puissance. Cependant, il ne faut pas comprendre qu'il est en puissance au sens où, de même que, si ceci est capable d'être statue, ceci sera statue, ainsi est infini ce qui le sera en acte ; mais puisque le fait d'être se dit de plusieurs façons, de même que le jour et l'année existent par le fait d'être toujours autres, de même aussi pour l'infini (car dans ces cas aussi il y a être en puissance et en acte, car l'Olympiade existe à la fois parce que le concours peut avoir lieu et parce qu'il a lieu). Par ailleurs, il est clair que l'infini se trouve de manière différente dans le temps et chez les hommes, et dans la division des grandeurs. D'une manière générale, d'abord, l'infini existe dans le fait de prendre toujours autre chose, et que cette chose soit toujours limitée, mais toujours différente (c'est pourquoi il ne faut pas prendre l'infini pour un ceci, comme un homme ou une maison, mais comme on parle du jour et de l'année, dont l'être n'advient pas comme une substance, mais est toujours dans la venue à l'être ou la destruction, chaque fois limité, mais toujours différent), mais cela se passe, dans les grandeurs, de telle manière que la partie considérée subsiste, et dans le temps et les hommes qui périssent, de telle manière

<footnote n="16">16. Le cas du temps est plus délicat à formuler et à comprendre, Aristote soutenant d'après nous le fait que le temps quoique n'ayant jamais commencé ne forme pas une quantité infinie. Il est en tout cas clair que la quantité infinie de temps, si elle existait, ne serait pas donnée dans un présent, mais serait tautologiquement une chose qui se poursuit dans le temps.</footnote>
qu'elle ne subsiste pas.

Ce paragraphe est un bon exemple de la manière dont Aristote peut entrelacer des raisonnements elliptiques dans un même passage. Dans ces lignes, Aristote fait cinq choses, dont quatre en parallèle : d'abord, dans les deux premières phrases il propose un rapide quadrillage des possibilités d'infinité, sous la forme d'un tableau à double entrée, et en déduit l'existence d'une forme d'infini en puissance. Ensuite il mêle quatre considérations : d'abord, il énonce le statut d'exception de l'infini en ce qui concerne la grammaire du possible, puis le justifie par un parallèle entre le mode d'existence de l'infini et celui des intervalles temporels. Il énonce alors la différence à cet égard, dans les infinis, entre les processus accumulatifs et les processus non-accumulatifs, tout en intégrant les deux cas dans un propos général sur le rapport de l'infini au « ceci », établissant la prédication infinitaire comme syncatégorématique relativement aux prédications catégorématiques finies.

Aristote commence par faire deux distinctions croisées relatives à ce qu'on peut dire lorsque l'on dit l'infinité. Comme tous les autres prédicats, on peut la dire « en acte » ou entéléchie, ou « en puissance ». Dans le cas de l'infini particulièrement, on peut le dire par addition ou par division. Aristote ne justifie pas cette affirmation, mais il faut se rappeler qu'il considère l'infini comme appartenant au genre de la quantité. Si l'on accepte que l'infini va être prédiqué toujours chez Aristote en référence à des processus, on comprend que les processus quantitatifs qui n'alternent pas ou ne reviennent pas à leur point de départ soient des processus d'accroissement ou de décroissement. Son raisonnement consiste alors à dire que (comme argumenté plus haut) l'infinité en acte est entièrement exclue, mais qu'en revanche l'infinité par division, elle, ne peut pas être exclue. Nous avons déjà dit pourquoi : l'exclure reviendrait à nier la propriété de continuité et l'omni-divisibilité des grandeurs. Comme le dit ici Aristote, « il est facile de réfuter les lignes insécables », c'est-à-dire probablement de montrer leur incompatibilité avec les principes de la géométrie. La conclusion est donc, dans le tableau à double entrée<fnref n="17" />, que l'infinité doit au moins être par division et en puissance. Nous déduisons qu'il y a

<footnote n="17">17. Voir tableau 9.1.</footnote>
<table><caption>TAB. 9.1 : Le tableau des infinis</caption><thead><tr><th></th><th>En puissance</th><th>En acte</th></tr></thead><tbody><tr><th>Par addition</th><td>?</td><td>Toujours faux</td></tr><tr><th>Par division</th><td>Vrai de la grandeur</td><td>Toujours faux</td></tr></tbody></table>

un infini en puissance.

Cependant, ceci étant établi, il importe de faire une précision grammaticale décisive, et expliquer pourquoi le principe général de prédication de la puissance ne s'applique pas ici, à savoir que l'on dit d'un objet qu'il est quelque chose en puissance s'il peut effectivement, à l'avenir, l'être en acte. Aristote affirme directement et catégoriquement que ce n'est pas en ce sens que l'infini est dit en puissance. Pour expliquer cela, il va entreprendre la comparaison entre le mode d'être des choses qui seront dites infinies et celui des intervalles temporels, le jour et l'année, qui « existent par le fait d'être toujours autre ». L'interprétation de cette comparaison est controversée<fnref n="18" />, mais une des manières de le comprendre est de dire que les périodes temporelles n'existent pas d'une manière entière à la manière d'une substance (« un ceci, comme un homme ou une maison »), mais sont précisément du type de ce que nous pouvons appeler un « processus », qui recouvrent le passage d'un état actuel à l'autre et « existent par le fait d'être toujours autres », « dont l'être n'advient pas comme une substance, mais est toujours dans la venue à l'être ou la destruction ». Ce qui est infini, ce à quoi il manque une limite, n'est pas du genre à se trouver entièrement existant, mais comme les intervalles temporels (qui, eux, sont finis) il existe en ce qu'il est *en cours*, et son être actuel, toujours différent, est aussi toujours *limité*, fini. On comprend donc que la puissance d'infinité n'est pas la puissance d'être X ($X$ = infini) d'un certain *ceci*, mais le fait que ce que peut être un

<footnote n="18">18. SOULIER, *Simplicius et l'infini* cit., p. 25-36.</footnote>
processus, sa puissance, n'a pas de limite. Expliquant cela, Aristote anticipe effectivement sur ce que la scolastique développera comme différence du syncatégorématique et du catégorématique, en établissant que l'infini ne doit pas être pensé comme un ceci infini ($\exists x \forall y, fini(y) \to x > y$), mais comme un processus garantissant que pour toute réalité actuelle finie, il est possible d'aller au-delà ($\forall y, fini(y) \to (\exists x, x > y)$).

Cependant, tout en expliquant ce cas général Aristote établit une différence, différence entre processus cumulatifs tels que la division de la grandeur et processus non-cumulatifs tels que le passage du temps et la génération des humains. L'idée est simple : pour Aristote non seulement le temps n'a jamais commencé et ne finira jamais, mais le cosmos a toujours été qualitativement pareil à ce qu'il est aujourd'hui, et notamment les espèces semblent toujours avoir existé et devoir exister toujours en sorte que la génération des humains est elle aussi un processus infini. Mais ils ne sont pas des processus tels qu'ils accumulent une quantité globale : aussi bien les années que les générations passées ne sont plus présentes aujourd'hui. Quand j'opère une simple division dans la grandeur, en revanche, je multiplie les grandeurs actuellement existantes et peux théoriquement en produire une multiplicité arbitraire présente.

La différence n'est pas simplement là pour le plaisir de la distinction, mais elle soulève en fait un point théorique important : si le temps a toujours eu lieu, pourquoi n'y a-t-il a pas un « temps passé infini en acte », par exemple la multiplicité des années écoulées ? Si les humains se sont toujours reproduits, pourquoi la multiplicité des humains jamais nés n'est-elle pas effectivement donnée comme multiplicité infinie? L'hypothèse que nous ferions est qu'Aristote établit une distinction fondamentale entre les processus cumulatifs et les processus non-cumulatifs, dont un cas particulier décisif est la différence entre le mouvement linéaire et le mouvement circulaire⁶. Les processus non-cumulatifs, structurellement circulaires, sont les seuls pour lesquels il fait sens de penser qu'ils n'ont jamais commencé, car un processus linéaire doit par essence avoir un point de départ. Or, un mouvement circulaire, en tant qu'il a toujours eu lieu, est pensé comme simple, comme se maintenant à l'identique à travers les temps. Pour pouvoir en accumuler le résultat, il faudrait entreprendre un processus semblable à un compte, c'est-à-dire un processus par essence cumulatif qui devrait commencer un jour et ne pourrait jamais avoir atteint un compte infini. Dans le cosmos
aristotélicien, il est impossible qu'un esprit « compte» ou ait à l'esprit «l'ensemble» des révolutions cosmiques ou des naissances humaines.

a. Nous avons trace écrite d'une objection en ce sens à la thèse aristotélicienne du non-commencement du temps chez l'auteur néoplatonicien chrétien Jean Philopon, cf. en particulier Jean Philopon, *Against Aristotle on the Eternity of the World*, trad. du grec et annot. par Christian Wildberg, introd. de Richard Sorabji, Duckworth, 1987, Jean Philopon, *Against Proclus on the eternity of the world*, trad. du grec et annot. par Michael Share, introd. de Richard Sorabji, 2 t., Duckworth, 2004-2005 et Richard Sorabji, «Infinity and the Creation», in *Philoponus. And the Rejection of Aristotelian Science*, sous la dir. de Richard Sorabji, Duckworth, 1987, chap. 9, p. 164-178. Mais il nous paraît absolument invraisemblable qu'Aristote n'ait pas anticipé ce problème.

b. Le livre VIII de la *Physique* établissant que le transport circulaire, non-cumulatif, est le seul mouvement qui peut conserver une unité tout en occupant l'infinité des temps.

Après cet « arbitrage » général sur la question de l'existence de l'infini, Aristote va régler la question du point d'interrogation restant dans le tableau, à savoir de l'infini additif en puissance, dans le détail duquel nous ne pouvons pas rentrer ici<fnref n="19" />. Il est intéressant en revanche d'examiner la très instructive conclusion qu'Aristote tire un peu plus loin (206b34-207a8²⁰) :

> Il en résulte que l'infini est le contraire de ce qu'on dit : non pas ce au-delà de quoi il n'y a rien, mais ce au-delà de quoi il y a toujours quelque chose, voilà ce qu'est l'infini. En voici un indice : on appelle infinies les bagues qui n'ont pas de chaton, parce qu'on peut toujours saisir quelque chose au-delà ; on parle ainsi par ressemblance, mais pas au sens propre, car il faudrait qu'à cette propriété s'ajoute celle qu'on ne saisisse jamais la même partie ; or sur le cercle il n'en va pas ainsi, mais c'est le consécutif qui est chaque fois autre. Est donc infini ce dont, en le considérant selon la quantité, on peut toujours saisir quelque chose au-delà.

Nous lisons dans ce passage un ton nettement ironique, déflationniste vis-à-vis d'une affirmation infinitaire grandiloquente : « l'infini est le contraire de ce que vous croyez, non pas le transcendant, qui dépasse tout, mais au contraire ce qui est toujours dépassé. Non pas un au-delà de ce monde ou une mystérieuse totalité, mais cet anneau tout simple à votre doigt. » Au-delà de cette ironie, le passage est théoriquement très fort :

<footnote n="19">19. En résumé, il va juger que l'infini additif existe lui aussi à la manière d'un processus, mais qu'il n'est vraiment infini que si l'addition se fait de façon similaire à la division, c'est-à-dire selon des parties proportionnelles ou en général en formant ce qu'on appellerait une série convergente, à la Zénon. En effet, c'est une doctrine aristotélicienne constante qu'il y a une limite stricte à la grandeur, c'est-à-dire que strictement rien ne peut dépasser la taille du cosmos, qui est finie.</footnote>

<footnote n="20">20. *AristPhys*, p. 161.</footnote>
il établit clairement l'infini pensé comme *inachevable*, comme propriété d'un processus inachevable et pas quantité d'un étant. C'est pourquoi il n'est pas une quantité maximale ou transcendante, ce au-delà de quoi il n'y a rien, mais il se dit de ce qui implique un au-delà : s'il y a absence de limite au processus, autrement dit s'il est (en puissance) illimité, cela *équivaut* au fait qu'il ne soit *pas* illimité en acte parce que jamais achevé. L'image de l'infini (selon une métaphore présente apparemment en Attique) n'est pas le cosmos, mais l'anneau en tant qu'il exemplifie la structure d'inachevabilité. Ce n'est pas une image cependant littérale, parce qu'un cercle est fini. Aristote peut alors apporter une précision quant à la nature de l'infini en puissance : il se dit d'un processus susceptible d'une accumulation sans fin du différent.

Nous comprenons alors (telle est en tout cas notre thèse) que l'infini (en puissance) ainsi théorisé par Aristote est exactement celui que Zénon introduit en philosophie, à savoir non pas (d'abord) l'infini comme quantité ou grandeur totale, mais comme pro-priété du résultat en accumulation d'un processus inachevable. Si nous osions, nous le qualifierions volontiers du nom d'« infini de Zénon-Aristote ». Celui-ci peut éventuelle-ment se dire d'un objet, mais alors il se dit soit d'une quantité en tant qu'elle résulte (progressivement) d'une procédure ou d'un processus inachevable, soit d'un objet en tant qu'il est susceptible de *subir* une telle procédure.

## 9.4 Infini préalable et infini achevé

Tout cela ne doit cependant pas le moins du monde nous conduire à penser que cette forme d'infini en puissance est la seule notion adoptée par des penseurs de la Grèce ancienne. Depuis les plus anciens textes que nous ayons, les penseurs grecs ont fait un usage positif du terme d'« apeiron », et chez Aristote au moins nous trouvons des témoignages formels de ce que nous reconnaissions comme « infini en acte » attribué à l'atomisme an-cien. Si les usages anciens de l'infini sont riches et variés<fnref n="21" />, nous nous intéresserons ici à

<footnote n="21">21. Sur les usages de l'infini dans la Grèce ancienne, on pourra commencer notamment par SOULIER, *Simplicius et l'infini* cit., et Wilbur R. Knorr, « Infinity and continuity. The Interaction of Mathematics and Philosophy in Antiquity », in *Infinity and Continuity in Ancient and Medieval Thought*, sous la dir. de Norman Kretzmann, Ithaca, 1982, p. 112-145.</footnote>
l'« infini en acte », compris comme ce qui serait la version *en acte* de l'infini en puissance d'Aristote, l'infini que nous pouvons reconnaitre comme un infini mathématique. Plus précisément encore, nous nous intéressons à l'affirmation de l'existence actuelle d'une *multiplicité infinie* (d'atomes, de mondes...) ou d'une chose à la *grandeur infinie* (une droite, l'univers...). On trouve régulièrement une forme de confusion dans l'expression du rapport des penseurs grecs avec l'infinité en acte. Cette confusion n'est pas sans rapport avec le sujet qui nous occupe, et produit notamment l'idée que les Anciens croient à un problème posé par Zénon parce qu'ils croient en l'impossibilité de l'infini actuel. Nous souhaitons alors, afin de clarifier la question de l'infini en acte dans l'Antiquité, proposer une distinction conceptuelle, que nous n'inventons certes pas, mais que nous n'avons jamais vu nommée et identifiée comme telle dans la littérature.

9.4.1 Distinctions croisées

La distinction que nous proposons s'ajoute en même temps qu'elle s'articule à la distinction aristotélicienne classique. Elle consiste à distinguer deux sens pour une infinité d'être en acte – sans que ces deux sens prétendent d'ailleurs épuiser les possibilités ; les deux sens sont des contraires et non des contradictoires. Nous proposons de distinguer entre le fait de parler d'une multiplicité (ou grandeur) infinie donnée d'avance et antérieurement à toute opération – peu importe pour le moment la manière dont on définit cette infinité – et le fait de parler spécifiquement d'une infinité qui soit le résultat ou la limite atteinte d'une certaine opération infinie.

Nous donnons un exemple de l'un et l'autre, sans trop nous préoccuper de sa co-
hérence ou vraisemblance : d'après ce que nous croyons comprendre, l'astrophysique
contemporaine n'interdit pas de supposer qu'il existe une pluralité, voire une infinité,
d'univers analogues au nôtre – ce que nous appelions notre « univers » devant alors se
contenter du nom modeste d'« univers visible ». Si l'on suppose qu'il y a en ce sens une
infinité d'univers analogues au notre, nous voulons signifier que cette multiplicité infinie
existe en acte, que ces univers sont vraiment là. Mais nous voulons aussi – admettons-le
pour les besoins de l'exposition – dire que ces univers existent antérieurement à toute
opération, que toute opération ne prend place qu'en leur sein. Ainsi nous employons l'idée d'infinité en acte seulement dans le premier sens, d'une multiplicité infinie donnée d'avance. Si maintenant nous supposons qu'un être surnaturel peut passer d'univers en univers et qu'il ramène un souvenir de chacun des univers en multiplicité infinie. S'il achève ces visites, il aura rassemblé une infinité de souvenirs, mais cette infinité sera le résultat infini d'une opération infinie. Ou encore, on pourrait supposer que cet être surnaturel veuille vérifier le cardinal de la multiplicité des univers, et entreprenne de les compter, tombant juste, sur le cardinal $\aleph_0$. Le résultat de son compte, en tant que résultat, résulterait d'une opération infinie de compte. On propose de nommer ces deux modes de l'infinité en acte respectivement « l'infini préalable » et « l'infini achevé ».

Avant de tenter d'évaluer la pertinence historique de la distinction par examen de textes, nous voudrions faire une remarque préliminaire sur le rapport entre la distinction que nous proposons et la distinction classique. En effet, l'infini préalable et l'infini achevé jettent à première vue des lumières très différentes sur la distinction classique entre infini en puissance et infini en acte. Chez Aristote, nous l'avons vu, l'infini en puissance est exactement défini comme ce qui ne trouve pas de fin ou d'achèvement. Loin qu'une chose infinie en puissance se « dirige » vers un état possible d'infinité en acte, c'est au contraire précisément parce qu'elle ne peut jamais atteindre un tel état déterminé d'accomplissement qu'elle est dite infinie (en puissance). En retour, on définit volontiers, intuitivement, l'infini en acte, catégorématique, comme ce qui est « inatteignable », « inachevable », transcendant en général aux diverses opérations successives qui pourraient tenter de l'appréhender et définit comme infini à travers cette transcendance. On voit que ces deux perspectives complémentaires concordent parfaitement avec la notion de l'infini préalable : celui-ci a la forme d'un état stable, jamais atteint, et jamais dominé par les processus qui sont dits infinis en croissance. Aristote rejette certes en général l'existence d'un infini en acte, mais si celui-ci est compris comme infini préalable on comprend ce qui fait de l'infini en acte et de l'infini en puissance des infinis. Si on considère en revanche la notion d'infini achevé, les choses sont plus délicates : l'infini achevé est en effet manifestement censé être la forme achevée de l'infini en puissance. Mais on
ne comprend alors plus simplement pourquoi celui-ci mérite de s’appeler *infini*, s’il peut être achevé et connait une limite. Pour la même raison il est supposé être le résultat de la compléture d’un domaine *infini* par une opération successive, le domaine ne se trouvant alors plus transcendant à l’ordre opératoire nous ne savons plus simplement dire en quel sens il est infini<fnref n="22" />.

## 9.4.2 L’infini achevé dans le contexte argumentatif du IVe siècle av. J.-C.

En quoi cela nous permet-il d’éclairer la question de l’infini en acte dans l’Antiquité ? On dit parfois que dans l’Antiquité grecque seul l’infini en puissance était admis, et que c’est la modernité, peut-être sous l’effet de l’infinité positive divine et de la théologie, qui ont conduit à l’admission d’une forme d’infini en acte, moment théologique auquel a fait suite, irrésistiblement, la mathématique moderne puis contemporaine au premier chef de laquelle la théorie des ensembles transfinis. Il y a du vrai dans ce tableau brossé à très grands traits, mais quiconque connaît un tout petit peu d’histoire antique sait qu’il n’est pas exact, ne serait-ce que pour une raison très nette, dont nous avons déjà parlé : il y a au moins une tradition philosophique antique qui soutient qu’il y a dans la nature des multiplicités infinies absolument en acte, et une grandeur actuellement infinie, à savoir la tradition atomiste. D’après au moins certains représentants de cette tradition, l’univers, ou le vide, sont infinis en étendue (*megethei*) et les atomes sont infinis en multiplicité (*plêthos*), d’après le témoignage d’Aristote qui est loin d’être unique<fnref n="23" /> :

> Démocrite pense que la nature des choses éternelles consiste en de petites substances (*ousias*) illimitées en multiplicité (*plêthos apeirous*), et suppose en outre pour celles-ci un lieu illimité par la grandeur (*apeiron tò megethei*).

<footnote n="22">22. Il nous faut clarifier un malentendu : nous savons bien qu'il y a des manières de qualifier l'infini autrement que par l'inachevabilité des processus et la transcendance des domaines sur l'opératoire, notamment la définition logiciste de Dedekind ou une autre définition qui parte d'un concept indépendant de « fini ». Ce que nous voulons dire c'est que l'idée d'infini achevé ne fonctionne pas avec les notions d'infini telles qu'elles sont définies classiquement et notamment dans les idées antiques d'infini en puissance et d'infini en acte.</footnote>

<footnote n="23">23. Démocrite, DK A37 - LM D29. Fragment 208 Rose du *Sur Démocrite* d'Aristote, dans *Simplicius, Commentaire du "Ciel" d'Aristote*, p. 294.33-295.3</footnote>
De fait, tant chez Platon, dans le *Timée*, que chez Aristote, par exemple dans le *Traité du Ciel*, on trouve des réfutations ou en tout cas des refus explicites de la thèse de l'infinité des mondes, et chez Aristote de nombreux arguments précis contre diverses infinités actuelles (de vitesse, de grandeur, etc.). Nous voulons simplement relever ici, ce qui ne devrait pas prêter à controverse, que rien n'indique que le refus de l'infini en acte puisse être le point de départ de la discussion, une thèse commune à partir de laquelle mener des argumentations dialectiques contre des adversaires. Il s'agit au contraire d'une thèse soutenue par des adversaires, qu'il faut explicitement réfuter.

> Eh bien, avons-nous eu raison de déclarer que le ciel est unique, ou eût-il été plus juste de dire qu'il y en a plusieurs et même une infinité ? Nous devons dire qu'il est unique, dès là que le démiurge l'a fabriqué d'après ce modèle. Platon, *Timée*, 31a, trad. L. Brisson

> Si [les éléments] sont finis ou infinis, et, s'ils sont finis, quel est leur nombre, nous pourrions ensuite nous le demander. Aristote, *Traité du Ciel*, III, 4, 302b10

> [...] Il faut examiner le reste, et d'abord s'il existe un corps infini, comme la plupart des anciens philosophes l'ont pensé, ou si c'est là une impossibilité. En effet, prendre ce parti ou le premier n'est pas une petite affaire, mais change du tout au tout dans l'étude de la vérité. Aristote, *Traité du Ciel*, 1, 5, 271b, trad. Dalimier-Pellegrin

Par contraste, nous voudrions attirer l'attention, de nouveau<fnref n="24" />, sur le paradoxe de la Dichotomie ou plus précisément sur l'attitude d'Aristote à son égard<fnref n="25" /> dans la *Physique*. On se souvient que l'argument y est exposé en plusieurs lieux. Parmi ceux-ci, le dernier, que l'on trouve dans le livre VIII, est particulièrement intéressant pour ce qui nous occupe ici, car le passage nous renseigne sur le contexte implicite d'argumentation dans lequel se situe Aristote, où il semble que l'on puisse voir le problème de l'infini achevé jouer un rôle. Nous citons une fois de plus le passage<fnref n="26" /> :

<footnote n="24">24. Cf. la section 5.5.1.</footnote>

<footnote n="25">25. Au sujet de la Dichotomie chez Aristote, voir notamment Richard McKirahan, « La dichotomie de Zénon chez Aristote », in *Qu'est-ce que la philosophie présocratique?*, What is Presocratic Philosophy?, sous la dir. d'André Laks et Claire Louguet, trad. de l'anglais par Claire Louguet, Presses Universitaires du Septentrion, Lille 2002, p. 465-496.</footnote>

<footnote n="26">26. 263a4-22, d'abord LM R18 puis ARISTOTE, *Premiers Analytiques* cit., p. 366, légèrement modifié par nous.</footnote>
Il faut **répondre** de la même manière aussi à ceux qui posent la question de l'argument de Zénon [et considèrent] qu'il faut toujours traverser la moitié, qu'elles sont illimitées (*taûta d'apeira*), et qu'il est impossible de parvenir à traverser jusqu'au bout des choses illimitées (*ta d'apeira adunatov diexeltheîn*), ou, comme d'autres formulent différemment la question que pose ce même argument, quand ils pensent que dans le même temps que le mouvement couvre la moitié, il faut compter d'abord la moitié qui advient chaque fois, de sorte que quand on a entièrement traversé la totalité, **il se produit qu'on aura compté un nombre illimité** (*apeiron sumbainei êrithmêkenai arithmon*). Or ceci est, de l'aveu général (*homologoumenos*), **impossible**.

Dans nos premiers exposés sur le mouvement, **nous avons donné une solution** par le fait que le temps possède en lui-même des illimités, car il n'est en rien absurde qu'en un temps illimité on traverse (*dierkbetai*) des illimités, et l'illimité existe de la même façon dans la longueur et dans le temps. Toutefois cette solution était suffisante par rapport à la demande (pros men ton erôtônta) (car **on demandait si, dans un temps limité, on pouvait traverser complètement (diexeltheîn) ou compter (arithmêsai) des illimités**), mais elle n'est pas suffisante par rapport à la chose elle-même et à la vérité (pros de to prâgma kai tûn alêtheian). Si, en effet, laissant de côté la longueur et la question de savoir si l'on peut traverser complètement des illimités en un temps limité, on se demande cela à propos du temps lui-même (car le temps possède des divisions illimitées), cette **solution** ne suffira plus.

Ce texte nous raconte qu'Aristote se confronte d'abord à une *demande* initiale, un défi dialectique auquel il lui faut apporter une réponse. Il reçoit cette demande sous la forme « Comment traverser en un temps fini une étendue donnée, si celle-ci est infinie ?<fnref n="27" /> » Aristote apporte une première réponse dans le livre VI, réponse qu'il qualifie ici deux livres plus tard de « suffisante par rapport à la demande ». Sa réponse consiste à dire qu'il y a une ambiguïté sur l'emploi du terme d'“infini” dans la question, en sorte que temps et étendue peuvent être dit “infini” soit relativement aux limites soit relativement à la division. Par suite, au sens où le temps est fini, l'étendue est aussi finie

<footnote n="27">27. Nous avons expliqué plus haut pourquoi nous considérons qu'il ne s'agit pas de la forme originelle de l'argument de Zénon, mais d'une reprise dialectique contemporaine d'Aristote. Cela n'a pas une grande importance pour notre propos ici.</footnote>
et au sens où l'étendue est infinie, alors le temps aussi est infini<sup>28</sup>. On a répondu à la demande dialectique, présentant une difficulté apparente, en montrant que la difficulté était illégitime, ne reposant que sur le dédoublement de la signification de l'infini. On remarque que cette réponse ne s'engage pas vraiment sur le plan dogmatique, elle se contente de réfuter en acceptant les termes proposés de *fini* et d'infini.

Aristote semble alors, dans le livre VIII, avoir comme un scrupule, et reconnaître que s'il entreprend un traité du mouvement, du temps et de l'infini il ne peut pas se contenter d'évacuer la difficulté dialectique par une réponse qui ne va pas au bout du problème. Il passe alors au plan de la discussion dogmatique, « sur la chose même et la vérité ». Aristote a deux manières de faire voir ce problème réel : reposer la question au niveau du temps lui-même et formuler la question en termes de compte jusqu'à l'infini. Les deux manières ont pour résultat de faire voir que le problème n'est pas dans le contraste fini/infini, mais dans l'achèvement de l'infini, c'est-à-dire l'être accompli et dans un état final et dépassé du résultat d'un infini en puissance, d'un infini en croissance : « il se produit que l'on aura compté un nombre infini. Or ceci est, de l'aveu général, impossible. » C'est sur ce passage que nous voulions attirer l'attention : l'impossibilité d'avoir compté un nombre infini est *homologouménôs*, admise unanimement, reconnue par tous. Il s'agit d'un point commun d'accord entre les disputants, sur la base duquel peut se jouer la lutte dialectique. Or, l'avoir compté un nombre infini, de même que l'avoir traversé jusqu'au bout des illimités (en supposant que *tous* se retrouvent dans une totalité accumulée des entités traversées) constitue précisément l'idée d'un *infini achevé* telle que nous avons souhaité la développer.

Nous voudrions donc suggérer simplement ce premier point conforme à notre hypothèse : l'inexistence et l'impossibilité d'un infini en acte compris comme infini éternel et *préalable* n'est en rien un *homologouménôs* au e siècle, mais l'inexistence et l'impossibilité de l'infini en acte compris comme infini *achevé*, comme résultat achevé d'une poursuite concevable comme infini en puissance, cela est en revanche un tel *homologouménôs*, une impossibilité unanimement acceptée.

<footnote n="28">28. Cf. section 5.5.1</footnote>
On peut développer ce point en rappelant ce qu'on peut considérer comme les types de réponses antiques possibles aux paradoxes de Zénon : dans la présentation qu'on trouve parfois d'une Antiquité « finitiste », il arrive qu'on juge que les paradoxes de Zénon ne produisent une contradiction que si l'on refuse d'emblée et dogmatiquement l'infini en acte. Or ce n'est pas là la situation historique. Notre thèse est au contraire que l'acceptation de l'infini en acte, compris comme infini *préalable*, est le fait de ceux qui acceptent le verdict de Zénon sur les contradictions produites par la division à l'infini. C'est-à-dire que loin que les arguments zénoniens ne paraissent contradictoires que du fait du refus dogmatique de l'infini, ce sont ceux qui acceptent l'infini en acte qui les reconnaissent comme des arguments concluants<sup>29</sup>. Ceux qui jugent que l'admission d'une infinité en puissance est susceptible de conduire à des apories sont ceux qui acceptent l'infini en acte, et à l'inverse ceux qui, comme Aristote, tiennent à la division à l'infini et n'admettent pas qu'elle produise des contradictions, ceux-là rejettent catégoriquement l'infini actuel<sup>30</sup>.

Cette situation qui va à contre-courant d'une certaine attente sur la perspective antique, n'est possible parce que les deux philosophies adverses partagent un refus commun : le refus de l'infini *achevé*, compris comme état achevé de la poursuite dans le temps d'un infini en puissance, qui nous semble être unanimement considéré comme évidemment absurde dans l'Antiquité<sup>31</sup>. C'est pourquoi l'infini préalable est admis comme détaché entièrement de processus infinis du type infinité en puissance, et qu'il est, en un sens, conceptuellement opposé à l'infini achevé.

<footnote n="29">29. Simplement, ils les acceptent comme des arguments concluants contre la continuité, non des argu-
ments concluants contre le mouvement.</footnote>

<footnote n="30">30. Bien sûr, nous simplifions ici la situation pour les besoins de l'argument en faisant comme si Aristote et les Atomistes étaient les deux seuls adversaires en lice.</footnote>

<footnote n="31">31. Cette affirmation mériterait évidemment une justification plus complète et nécessiterait à la limite un examen exhaustif des sources, que nous ne pouvons pas mener ici. Voir néanmoins notre discussion d'une instance apparente d'infini achevé chez Porphyre (mais, en un sens, triplement fictive, puisqu'elle prend place dans une réduction à l'absurde, elle-même jugée invalide par Porphyre, et attribuée à Par-ménide par une reconstitution historique fautive) dans l'encadré p. 128, ainsi que notre mise au point sur les méthodes archimédiennes dites (à tort) d'"exhaustion" et des "indivisibles" dans notre annexe E.</footnote>
9.4.3 Nombre et multiplicité

Il faut commenter de plus près l’expression traduite par « avoir compté un nombre infini ». La différence entre l’infini préalable et l’infini achevé concerne en effet une distinction conceptuelle et terminologique présente dans la philosophie et les mathématiques grecques, mais pas toujours prise en compte dans les traductions, qui est la différence entre « nombre » (arithmos) et « multiplicité » (pléthos). La notion de multiplicité apparaît en grec ancien comme plus générale, et comme recouvrant plusieurs des usages qui sont réservés au terme de nombre au moins en français. De fait, dans Euclide même le nombre est défini comme constituant un genre de multiplicité<fnref n="32" /> :

Le nombre (*arithmos*) est la multitude (*pléthos*) composée d'unités.

Il semble que la notion de nombre recouvre spécifiquement ce qui relève de l'opération
de dénombrement, ou de compte. Le nombre est le résultat de l'opération de compte,
ce qui a été compté, mais cela semble aussi avoir été, originellement, ce qui compte, par
opposition à ce qui ne compte pas. Comme le dit Bernard Vitrac<fnref n="33" />, rapportant l'analyse
de W. Burkert<fnref n="34" /> :

La Définition VII. 2 fait appel à la notion non définie de multitude (πληθος), laquelle doit
donc être logiquement antérieure à celle de nombre. D'un point de vue aristotélicien le nombre
devrait être une des espèces de la multitude : celle composée à partir d'unités. Selon W. Bur-
kert, l'opposition nombre/multitude (ἀριθμός/πληθος) est ancienne dans la langue : dès
Homère les deux termes s'opposent comme « ce qui compte » et « ce qui ne compte pas »,
soit, dans le contexte épique de l'Illiade, d'une part le guerrier compétent, d'autre part la
foule innombrable et anonyme. Chez Hérodote, dans la célèbre discussion des trois régimes,
le gouvernement populaire est celui où commande τὸ πληθος. Si, dans le contexte décrit
par Burkert, ἀριθμός a indéniablement des connotations aristocratiques, le développement
des institutions démocratiques amènera un retournement sémantique complet puisque, dans

<footnote n="32">32. EUCLIDE D’ALEXANDRIE, *Éléments V-IX* cit., Livre VII, déf. 2, p. 248.</footnote>

<footnote n="33">33. Ibid., p. 249.</footnote>

<footnote n="34">34. Walter Burkert, *Weisheit und Wissenschaft. Studien zu Pythagoras, Philolaus und Platon*, Hans Carl, Nürnberg 1962, p. 266.</footnote>
la théorie des « deux égalités », l'égalité démocratique sera désignée comme l'égalité par le nombre (ἀριθμῶ) par opposition à l'égalité géométrique (ou selon le mérite : κατ' ἄξιαν).

Il est alors possible de revenir à la phrase d'Aristote et d'analyser l'idée du nombre infini. Le premier élément à noter est l'usage de l'infinitif parfait, « avoir compté », êrithmêkenai, qui indique l'état accompli passé de l'opération, cette opération étant justement l'opération de compte. Le résultat d'une opération infinie achevée de compte devrait être un nombre, et ipso facto un « nombre infini », véritable contradiction in adjecto. Mais il faut noter deux choses. La première, c'est que si l'idée d'un nombre infini est absurde aux yeux d'Aristote, en revanche il est possible et même nécessaire de dire que « le nombre » est infini, par quoi il faut comprendre qu'il n'a pas de borne supérieure et que l'opération de dénombrement est inachevable. La deuxième c'est que, comme nous l'avons vu avec les atomistes, l'idée de « multiplicité infinie » est rejetée par Aristote, mais n'est pas considérée comme universellement absurde ou du niveau de la contradiction immédiate in adjecto. Cette différence de vocable reflète la différence entre infini préalable et infini achevé<fnref n="35" />.

La pertinence de cette distinction et ses effets théoriques, remarquons-le, ne sont pas limités à l'Antiquité grecque. Il suffit par exemple de considérer ce texte du Kant « pré-critique », héritier tant du rationalisme scolastique que de la philosophie moderne, pour y retrouver semble-t-il aussi bien la différence entre nombre et multiplicité que la vision claire du fait que l'impossibilité de l'infini achevé ne peut pas être transférée à l'impossibilité de l'infini préalable. La différence, décisive, entre ce texte de Kant et les textes aristotéliciens, c'est que l'idée d'un intellect divin y apparaît comme opérateur crucial<fnref n="36" />.

<footnote n="35">35. Il faut donc prendre garde au fait quelque peu malheureux, quoique linguistiquement compréhensible, que nombre des traducteurs et traductrices les meilleures bien souvent ne prennent pas en compte cette différence et traduisent tant l'adjectif neutre pluriel « apeira » que l'expression « apeira plêthei » par le français « en nombre illimité ». Sur la différence entre nombre et multiplicité et son rôle logique dans la composition des Éléments d'Euclide en particulier, voir encore Vitrac, in *EUCLIDE D'ALEXANDRIE*, Éléments V-IX cit., Notice, "Sur les présupposés du Livre V", p. 127-134, commentaire de VII, Déf. 2, p. 248-251, Introduction, B. "La mesure des grandeurs et l'arithmétique", p. 15-19.</footnote>

<footnote n="36">36. Immanuel Kant, *La Forme et les principes du monde sensible et du monde intelligible*, (Dissertation de 1770), in *Dissertation de 1770*, suivie de Lettre à Marcus Herz, sous la dir. d'Alexis Philonenko, trad. du latin, annot. et introd. par Paul Mouy, Vrin, 1995, Section I, § 1, note, p. 25. Kant souligne, nous graissons.</footnote>
Ceux qui rejettent l'infini mathématique actuel ne se donnent pas beaucoup de peine. [...] [I]ls appellent la multitude infinie *nombre infini*, et ils disent qu'il est contradictoire, ce qui est très manifeste, mais, là, on ne se débat que contre un fantôme mental. Tandis que, s'ils concevaient l'infini mathématique comme une quantité qui, rapportée à une unité de mesure, est *une multitude plus grande que tout nombre*, si, de plus, ils remarquaient que l'*aptitude à être mesuré* ne signifie ici que le rapport à la capacité de l'esprit humain, lequel ne peut atteindre cet *achevé*, qui s'appelle *nombre*, qu'en additionnant successivement l'unité à l'unité selon un concept *défini de multiplicité*, en achevant ce progrès en un temps fini, ils remarqueraient bien ceci : ce qui ne s'accorde pas avec une loi déterminée d'un certain sujet ne dépasse pas, pour autant, toute intelligence, puisqu'il pourrait y avoir un entendement, non certes humain, capable de saisir distinctement, d'un coup, une multitude, sans l'application successive de la mesure.

Kant réfute ici les arguments qu’il juge trop rapides, voulant conclure à l’impossibilité d’un « infini mathématique ». La logique du raisonnement est très intéressante : le critère d’admission d’un concept, outre sa possibilité intrinsèque, est la capacité d’un entendement à le définir. Et Kant admet que la mesure d’une multiplicité (sa cardinalité) est *pour les humains* dépendante de la faculté successive du dénombrement, c’est-à-dire que toute cardinalité spécifiquement appréhendée par un humain est un *nombre*, qui est par essence un *achevé*. Le nombre répond en effet à la structure d’achevabilité, il doit être produit par un processus commençant et trouvant fin. Mais l’infini mathématique n’en est pas contradictoire pour autant, précisément parce qu’il n’a pas à être défini comme nombre (sinon, du fait de la structure d’achevabilité, il serait contradictoire), mais comme multiplicité plus grande que tout nombre (c’est-à-dire exactement infini en acte transcendant aux opérations infinies en puissance). Outre l’absence de contradiction immédiate du concept, reste à assurer sa concevabilité, et c’est là que l’intellect divin intervient comme opérateur de saisie *non-successive* des multiplicités. On a alors de quoi appuyer l’idée d’une multiplicité infinie (préalable), capable d’être conçue, de donner lieu à un concept distinct, qui n’est certes pas préalable à toute opération, mais qui est bien indépendant de toute opération successive infinie. Bien sûr en termes du
Kant de la *Critique de la raison pure*, ce concept d'infini mathématique reste un concept
problématique, que nous ne pouvons concevoir, mais dont nous ne pouvons pas exclure
la possibilité, car nous ne pouvons exclure la possibilité d'un entendement aux lois dif-
férentes du nôtre. La conclusion semblerait devoir être que nous n'avons pas un concept
déterminé d'une multitude infinie.

9.5 Idées de la Raison et infini mathématique

9.5.1 Idéalisation et infini préalable

Notons que la thématisation kantienne de l'infini invoquée à l'instant est très diffé-
rente de celle qui est généralement connue, et qui est celle des Idées de la raison. L'Idée,
telle que définie dans la Dialectique transcendantale, est justement inséparable d'une
procédure successive dont elle veut être la totalisation, irreprésentable et ne pouvant
par conséquent être donnée. L'Idée est ce que la raison exige au titre de la complétude
d'une chaîne de présuppositions. La conclusion de Kant, prise schématiquement, est que
l'exigence de la raison serait légitime dans le domaine nouménal, dans le domaine des réa-
lités en soi, mais ne peut légitimement fonder un jugement catégorique dans le domaine
phénoménal, des représentations. Or justement, ce qui caractérise le phénoménal est sa
constitution dans l'espace et le temps, et en particulier ici le fait que la série soit pensée
comme série temporelle, saisie à travers un certain processus indéfiniment répétable<fnref n="37" />. Si
l'objet pensé dans l'Idée devait avoir une légitimité comme objet, il faudrait alors qu'elle
puisse s'extraire de son origine temporelle, se présenter comme indépendante de la forme
du temps à la manière de l'infinité préalable de la multiplicité. En somme, faire oublier
son statut d'idéalisation d'un processus pour se présenter sous la forme de l'éternité. Si
l'on y réfléchit, cependant, la multiplicité infinie préalable, perçue par un entendement
non-temporel et censée représenter la bonne forme de l'infinité mathématique, était elle-
même en pratique définie par différence d'avec le nombre infini achevé, grâce à l'échappée

<footnote n="37">37. Il resterait à savoir s'il est possible, d'un point de vue kantien, de penser une série autrement que comme temporelle, et s'il peut y avoir, même à titre problématique, quelque chose de tel qu'une série nouménale.</footnote>
au temporel permise par l'esprit divin. Dans l'analyse même du Kant pré-critique, nous n'acquerrons la notion de multiplicité qu'à travers la pratique sérielle du nombre, et on peut soupçonner que nous ne cherchons désespérément la multiplicité infinie que comme échappée aux limitations de la temporalité, sous la forme de l'idéalisation. C'est de ce soupçon dont nous désirons parler plus avant et sur lequel nous aimerions bâtir.

En effet, nous proposons l'hypothèse suivante. (Nous sommes d'avance convaincu de son caractère grossier et ultimement inadéquat, mais il nous paraît intéressant de la poursuivre aussi loin qu'elle demeure opérante). Nous suggérons qu'il est ultimement impossible de faire un usage intéressant de l'infini en mathématiques sans impliquer une forme de l'infini achevé, en raison du fait qu'un infini *purement* préalable ne permettrait aucun usage ou développement conceptuel pertinent ; mais que, d'un autre côté, un infini achevé au sens propre et littéral serait également dépourvu de sens, pour des raisons liées à la forme a priori de la processualité ; par conséquent, afin de pouvoir faire usage de l'infini en mathématiques, il devient nécessaire, en quelque manière, de “faire passer” un infini achevé pour un infini préalable. Plus exactement, il est nécessaire d'extraire un développement indéfini de sa forme temporelle progressive, pour le considérer sous une forme éternitaire ayant toujours déjà incorporé les résultats de tout développement progressif. C'est-à-dire qu'aurait toujours lieu une forme de ce qu'on pourrait appeler « idéalisation », dans la lignée de Kant, et qui est également exprimée dans ce que nous visions sous la forme de la conversion d'un futur pur en passé pur<fnref n="38" />.

Comment est-il possible d'appliquer cette hypothèse grossière ? Le point de départ est le fait qu'il paraît difficile de traiter dans une théorie mathématique d'objets “éternels” entièrement préexistants, indépendants, et indifférents aux opérations qu'il est possible de faire sur eux. Au contraire, les objets des théories semblent devoir être définis par des opérations, des constructions – ou des propriétés elles-mêmes définies par des opérations et des constructions – sans quoi il n'y aurait aucune identité mathématique de ces objets, aucun moyen de les caractériser au sein de la théorie. Il semble donc en particulier impossible d'impliquer un infini dans une théorie mathématique qui soit du type de

<footnote n="38">38. Cf. section 8.1.1.</footnote>
l'infinité divine entièrement préalable et transcendante vis-à-vis de toute forme d'activité humaine possible, sur un mode pleinement soustractif. Il faudra que cet infini soit défini comme tel relativement à des opérations et en comparaison avec les possibles objets finis produits par ces opérations, mais considéré sous la forme de l'anticipation préalable de l'indéfinité des opérations possibles.

Nous allons tenter d'appliquer cette idée à deux exemples élémentaires et classiques, provenant de contextes mathématiques très divers, puis nous réfléchirons aux limites de ce qu'il est réellement possible de conclure de cette hypothèse, quand bien même elle serait jugée pertinente.

9.5.2 Un « illimité donné » dans Euclide

Le premier exemple se trouve, d'une manière peut-être surprenante, dans une des premières propositions des Éléments d'Euclide<fnref n="39" />. Dans les Éléments, les droites<fnref n="40" /> sont d'abord définies et caractérisées dans les définitions, qui nous apprennent qu'« une ligne est une longueur sans largeur » et que « les limites d'une ligne [si elles existent] sont des points », qui définissent la ligne droite, indiquent que les limites d'une surface [si elles existent ?] sont des lignes, définissent les angles en termes des lignes qui les contiennent, et surtout définissent les droites parallèles comme « celles qui étant dans le même plan et indéfiniment (eis apeiron) prolongées de part et d'autre, ne se rencontrent pas, ni d'un côté ni de l'autre. » Dans toutes ces caractéristiques, la ligne et son espèce la ligne droite ne sont présupposées ni limitées ni illimitées. Il est simplement indiqué que si elles ont des limites, celles-ci sont des points, et que le parallélisme nécessite pour sa définition une négation portant sur la poursuite indéfinie d'une procédure – sans que cela empêche des droites limitées d'être dites « parallèles ».

<footnote n="39">39. Nous devons à David Rabouin d'avoir attiré notre attention sur ce fait et son importance philosophique. Cf. David Rabouin, *L'invention de l'espace chez les Grecs*, Conférence dans le cadre du Séminaire de Philosophie et de Mathématiques 2014 ayant pour thème « L'invention de l'espace : enjeux philosophiques », École Normale Supérieure, Paris 27 jan. 2014, http://savoirs.ens.fr/expose.php?id=1637 (visité le 12/07/2018).</footnote>

<footnote n="40">40. Qui sont chez Euclide en général finies, c'est-à-dire ce que nous appelons des "segments" de droite. Précisément, chez Euclide, ces segments n'ont pas à attendre d'avoir une droite infinie à segmenter, ils sont des objets primitifs.</footnote>
Ce sont les « demandes » qui nous indiquent ce que nous pourrons faire avec les lignes et présupposer à leur propos. La première nous autorise à « mener une ligne droite de tout point à tout point », la seconde à « prolonger continûment en ligne droite une ligne droite limitée ». La première nous permet donc de produire des droites limitées bien déterminées, et la seconde de prolonger de telles droites données. Il est intéressant de remarquer que l'énoncé euclidien ne précise pas le statut limité ou non de la droite obtenue, mais le contexte discursif semble rendre impossible l'idée qu'Euclide nous « demande » d'admettre la possibilité de produire une droite illimitée à partir d'une droite limitée, opération que certainement nous ne sommes pas capables de faire. Vitrac écrit<fnref n="41" /> :

> Le résultat de l'opération sera encore une droite limitée, mais comme le prolongement peut-être réitéré, la droite peut être envisagée comme indéfinie ou potentiellement infinie. Dans la proposition 12<sup>42</sup>, Euclide utilise le fait qu'une telle droite partage le plan en deux demi-plans.
> 
> Les objections rapportées par Proclus dans certaines de ses discussions signifient peut-être que ce postulat n'était pas accepté de tous.

Du fait que la capacité de prolongement arbitraire d'une droite était contestable dans l'Antiquité, on peut conclure qu'en effet, *a fortiori*, le résultat d'un prolongement déterminé sera lui-même limité. Nous nous accordons tout à fait avec Vitrac sur le fait que du fait de l'universalité de l'axiome, la procédure qu'il permet produisant de nouveau un objet susceptible de subir cette procédure, celle-ci est infiniment réitérable. Par suite, d'une certaine manière, la droite peut être dite « illimitée » au sens de ce qui est capable de résulter d'une opération inachevable, toujours plus grande que tout état pouvant être obtenue par une procédure de prolongement déterminée, et on admettra que d'une droite donnée on peut produire une droite arbitrairement grande<sup>43</sup>.

<footnote n="41">41. EUCLIDE D'ALEXANDRIE, *Éléments I-IV* cit., p. 169.</footnote>

<footnote n="42">42. Nous allons y venir longuement.</footnote>

<footnote n="43">43. Néanmoins, il est amusant et peut-être important de noter qu'à la lettre, la demande ne nous autorise pas à produire cette conclusion : une situation où je peux, pour toute droite limitée donnée, la prolonger une première fois d'une certaine longueur déterminée *p*, puis pour chaque n-ème itération suivante de l'opération de prolongement, la prolonger plus avant uniquement d'une longueur maximale *p*/2ⁿ, ne m'autoriserait pas à dépasser toute distance, tout en satisfaisant la demande.</footnote>
La cinquième demande, enfin, constitue le fameux postulat des parallèles, et énonce
« que, si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs et du même côté
plus petits que deux droits, les deux droites, indéfiniment prolongées, se rencontrent
du côté où sont les angles plus petits que deux droits. » On remarque encore une fois
que la demande ne semble du moins pas supposer l'existence de droites illimitées, mais
simplement un fait *a priori* obtenu *au cours* d'un développement indéfini.

Dans les premières propositions du livre I, Euclide ou bien utilise des droites limitées
– soit en le précisant explicitement comme dans les propositions 1 ou 10, soit en laissant
le contexte le sous-entendre, comme dans la proposition 2 – ou bien laisse indéterminé
le statut de droites données, par exemple celles qui définissent un angle comme dans les
propositions 9 ou 11. Mais dans la proposition 12, Euclide spécifie la « donation » d'une
droite illimitée :

12

*Mener une ligne droite perpendiculaire à une droite illimitée donnée à partir d'un point donné qui n'est pas sur celle-ci.*

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

Soient d'une part la droite illimitée donnée AB, d'autre part le point donné C qui n'est pas
sur elle.

Il faut alors mener une ligne droite perpendiculaire à la droite illimitée donnée AB à partir
du point donné C, qui n'est pas sur celle-ci.

En effet, que soit pris au hasard le point D, de l'autre côté de la droite AB, et, que du centre C, et au moyen de l'intervalle CD soit décrit le cercle EFG ; que la droite EG soit coupée en deux parties égales au point H, et que les droites CG, CH, CE soient jointes.
Je dis que la droite CH a été menée perpendiculaire à la droite illimitée AB donnée, à partir du point donné C qui n'est pas sur celle-ci.

En effet puisque GH est égale à HE, que CH est commune, alors les deux GH, HC sont égales aux deux EH, HC, chacune à chacune, et la base CG est égale à la base CE (Df. 15). Donc l'angle sous CHG est égal à celui sous EHC (Prop. 8). Et ils sont adjacents. Quand une droite ayant été élevée sur une droite fait des angles adjacents égaux entre eux, chacun des angles égaux est droit, et la droite qui a été élevée est appelée perpendiculaire à celle sur laquelle elle a été élevée (Df. 10).

Donc la droite CH est menée perpendiculaire à la droite illimitée donnée AB, à partir du point C qui n'est pas sur elle. Ce qu'il fallait faire.

Il faut d'abord dire un mot de la nécessité d'avoir une droite illimitée. Nous citons Vitrac en modifiant sa traduction des termes<sup>44</sup> :

> Proclus [283] explique aussi pourquoi, dans la proposition précédente, Euclide n'avait pas cru utile de préciser si la droite donnée était [illimitée]<sup>45</sup> ou non, alors qu'il précise ici qu'il s'agit d'une droite [illimitée]: c'est que dans la Prop. 11, le point à partir duquel la droite à angles droits est menée se trouve sur elle tandis qu'ici, étant en dehors, il pourrait être placé dans le prolongement d'une droite [limitée]<sup>46</sup> de sorte que, selon Proclus, le problème serait impossible. On peut aussi penser qu'Euclide a supposé sa droite [illimitée] pour que sa construction lui donne immédiatement les deux points d'intersection G, E entre la droite et le cercle, sans avoir besoin de prolonger la droite donnée au cas où B serait situé trop près de A.

On voit donc le rôle de l'illimitation ici, tel qu'il est interprété par Proclus. Si la droite n'était pas donnée comme illimitée et que le point se trouvait dans son prolongement, la construction ne pourrait pas être menée. En outre, que le point soit ou non dans le prolongement de la droite, la perpendiculaire ne serait pas en général traçable *sur* une droite limitée donnée, mais en général, précisément, sur un *prolongement* de celle-ci, ce qui équivaut à peu près au second point soulevé par Vitrac. Ces problèmes ne semblent

<footnote n="44">44. EUCLIDE D'ALEXANDRIE, *Éléments I-IV* cit., p. 221.</footnote>

<footnote n="45">45. *apeiron*, Vitrac traduit « indéfinie ».</footnote>

<footnote n="46">46. *peperasmenon*, Vitrac traduit « finie ».</footnote>
pas *absolument* insurmontables. On a vu Euclide spécifier l'obtention ou la non-obtention d'une condition *au cours indéterminé d'une procédure indéfinie*<sup>17</sup>, il semblerait donc qu'il puisse théoriquement dire « un point tel qu'il ne se trouve pas dans le prolongement de la droite ». Il pourrait de même indiquer le prolongement de la droite au cas où le cercle tracé à partir du point D ne coupe la droite donnée qu'en un seul point. Mais quoi qu'il en soit il nous faut faire *avec* le fait qu'il ait admis, en ce point, une droite illimitée.

Voilà pourtant la manière dont Bernard Vitrac traduit l'énoncé de la construction :
> « Mener une ligne droite perpendiculaire à une droite indéfinie donnée à partir d'un point donné qui n'est pas sur celle-ci<sup>48</sup>. »

La traduction est intéressante pour ce qui nous concerne : en effet, conformément à l'usage de l'illimitation chez Euclide pour décrire, comme nous l'avons vu, des processus indéfinis, Bernard Vitrac conserve l'expression d'« indéfinité » même dans ce cas. Mais le terme ici est bien « *apeiron* », « *epi tên dotheïsan eutheïan apeiron* », « *sur la droite illimitée donnée* ». Or si l'indéfinité, concept et terme dont nous héritons principalement de Descartes et Kant, est relativement adéquat pour décrire un processus qualifiable de « *eis apeiron* » ou « *ep'apeiron* », qui peut être prolongé à l'infini, il devient hors de propos, sinon contradictoire, pour qualifier un objet *donné* comme illimité par opposition à un objet limité (*peperasmenon*)<sup>49 50</sup>. Néanmoins, l'objet théorique étrange produit par la traduction de Vitrac semble renvoyer à une étrange procédure théorique chez Euclide lui-même : en effet, comme on l'a vu l'utilisation pratique de l'illimitation à partir des demandes consiste en un *prolongement* indéfini, et la présence du point donné « en dehors » de la droite illimitée équivaut à la spécification de sa non-appartenance au prolongement d'une droite limitée, dans la perspective de la poursuite indéfinie de ce prolongement. Euclide ne peut pas, néanmoins, poser cette droite sous la forme d'un infini achevé, de la supposition de l'être achevé du prolongement du tracé d'une droite,

<footnote n="47">47. Cf. p. 437.</footnote>

<footnote n="48">48. EUCLIDE D’ALEXANDRIE, *Éléments I-IV* cit., p. 219.</footnote>

<footnote n="49">49. On peut considérer que l'indéfinité cartésienne joue précisément un rôle d'évitement de l'alternative fini/infini pour les grandeurs : nous constatons une grandeur comme *indéfinie* quand nous constatons que nous ne pouvons pas lui reconnaitre une limite, sans pouvoir affirmer d'elle une infinité au sens d'une grandeur infinie donnée.</footnote>

<footnote n="50">50. Ces remarques doivent de nouveau énormément à David Rabouin, qui ne doit pourtant pas être tenu responsable de ce qui est avancé ici.</footnote>
car cela serait absurde. Cette droite illimitée donnée pourrait alors devoir être pensée comme la position, à la manière d'une infinité préalable, sur le mode du « toujours déjà là », indépendant de toute production, de l'idéalisation de la poursuite indéfinie d'une opération inachevable de prolongement.

### 9.5.3 L'idéalisation des entiers

L'infini en acte est généralement introduit dans la théorie formalisée des ensembles de Zermelo-Fraenkel par un axiome au nom approprié d'« axiome de l'infini », dont la version habituelle est la suivante :

$$ \exists \mathbf{I} (\emptyset \in \mathbf{I} \wedge \forall x \in \mathbf{I} ((x \cup \{x\}) \in \mathbf{I})) $$

Ce qui doit être lu ainsi : il existe au moins un certain ensemble, qui est tel qu'il contient l'ensemble vide et que, pour chacun des ensembles qu'il contient, il contient également l'union de cet ensemble avec son singleton, c'est-à-dire un autre ensemble qui contient tous les éléments que contenait le premier ensemble, + celui-ci comme élément supplémentaire.

La fonction de cet axiome est de décréter l'existence d'un ensemble qui contienne au moins tous les nombres entiers. En effet, sa formulation est liée de près à la construction ensembliste des entiers sous la forme des ordinaux de von Neumann<fnref n="51" />, qui semble elle-même, quoique techniquement distincte, en grande partie fidèle à l'esprit de Cantor tel qu'exprimé dans ses grands exposés de 1895 et 1897⁵². Les ordinaux sont les objets mathématiques permettant d'étudier un certain type d'ordre entre éléments, qu'on appelle « bon ordre », et qui généralise l'ordinalité ordinaire qui nous fait dire que dans une file de 20 personnes il y a un premier, un deuxième, etc. jusqu'au vingtième. La construction des ordinaux consiste à produire un représentant canonique pour chaque ordre de ce type (par exemple l'ordre qui consiste à avoir un premier, un second, et un troisième élément,

<footnote n="51">51. John von Neumann, « Zur Einführung der transfiniten Zahlen », *Acta litterarum ac scientiarum Regiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae*. *Sectio scientiarum mathematicarum*, 1 (1923), p. 199-208.</footnote>

<footnote n="52">52. Georg Cantor, « Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, I », *Mathematische Annalen*, 46 (1895), p. 481-512, Georg Cantor, « Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, II », *Mathematische Annalen*, 48 (1897), p. 207-246.</footnote>
et aucun autre), à partir de l'opération élémentaire de l'ensemblisme qui est l'appartenance. On commence avec l'ensemble vide, représentant du 0, ou de l'ordre trivial vide en l'absence de choses à ordonner, et on pose qu'un ordinal est en général l'ensemble des ordinaux qui le « précédent », en un sens intuitif. Puisque notre unique ordinal est, à ce stade, le vide, nous prenons l'ensemble ayant pour unique élément le vide (ensemble distinct du vide, qui, lui, n'a aucun élément), représentant canonique du 1 ou de l'ordre trivial donné quand il y a un seul élément à ordonner. On a alors deux ordinaux, et on peut prendre leur ensemble, l'ensemble contenant le 0 comme « élément-0 » puis le 1 comme « élément-1 », cet ensemble est de nouveau un ordinal, le représentant du 2 ou de l'ordre donné quand il y a un premier puis un second élément. On reconnait rétrospectivement que la définition des ordinaux vaut aussi pour le 0, qui est bien l'ensemble (vide) des ordinaux qui l'ont précédé. On produit ainsi successivement les ordinaux finis en prenant à chaque fois la totalité de ce qui a été obtenu précédemment, c'est-à-dire, on le voit, en prenant tous les ordinaux qui précédent et y ajoutant justement cette totalité d'ordinaux comme élément (puisqu'elle forme l'ordinal dernièrement produit).

Cette construction se présente donc comme un équivalent de la suite des nombres entiers successifs, où l'opération de succession consiste à prendre l'union de l'ensemble avec son singleton, $(x \cup \{x\})$. Comme il se doit, cette opération de succession est un inachevable à la Zénon car nous avons la garantie qu'aussi loin que nous allions nous pouvons totaliser le résultat et ajouter ce résultat comme élément. Elle produit donc une série infinie en puissance ou syncatégorématiquement infinie. Bien sûr la théorie ensembliste a pour but de faire la théorie des infinis catégorématiques, et cela est d'abord vrai pour les ordinaux. L'idée est que pour toute multiplicité d'ordinaux, finie ou infinie, il existe un ordinal qui est le successeur immédiat de cette multiplicité, c'est-à-dire le plus petit ordinal qui soit strictement plus grand que (« après ») tous les ordinaux de cette multiplicité, et cela doit valoir y compris pour la multiplicité de tous les ordinaux finis. Autrement dit il doit y avoir un nombre (un représentant de l'opération du compte, ou de l'ordre de succession) plus grand que tous les nombres entiers, et immédiatement plus grand que tous les nombres entiers. La théorie ensembliste le nomme $\omega$. Comme un
ordinal de von Neumann est défini comme l'ensemble des ordinaux qui le précèdent, on voit qu'ω est tout simplement l'ensemble des entiers, à savoir N, mais N considéré comme un nombre, comme "successeur" d'une multiplicité (quoiqu'il n'ait pas d'antécédent) et antécédent de son successeur.

Mais comment arrive-t-on *en fait* à ω ? Dans les cas finis, nous comprenions le passage au successeur<sup>53</sup>, qui consistait à partir d'un état donné par une opération pour lui appliquer cette même opération. Mais évidemment ce ne peut plus être le cas ici. Nous voulons pourtant bien dire que ω est en un sens "successeur", c'est-à-dire majorant immédiat, de cette multiplicité que nous produisons successivement. Nous le posons comme successeur de ce que nous obtiendrions en produisant l'entièreté des résultats de notre tâche infinie. Autrement dit en tant que *nombre* et représentant d'un compte, il semble être conçu comme un *infini achevé*. Néanmoins, il ne peut pas être défini comme tel, parce que nous ne pouvons pas décrire un ensemble comme résultat d'une tâche inachevable. Ce que fait alors l'axiome de l'infini, c'est poser de manière préalable « l'existence » d'un ensemble qui contient d'avance tout ce qui pourrait être produit par la tâche d'inachevabilité, qui contient le point de départ 0 et est *clos* par l'opération de succession ordinaire. Dans la théorie des ensembles, on peut dire en simplifiant que cet axiome va nous permettre de généraliser l'idéalisation : à chaque fois qu'on pourra décrire une opération inachevable à la Zénon (qui a l'ordre inachevable des entiers naturels), on pourra énoncer l'existence d'un élément limite, englobant d'avance tous les résultats successifs de l'opération ou représentant l'union de tous ses produits partiels.

### 9.5.4 Qu'est-ce que tout cela prouve ?

Nous voudrions ici soulever un point important, sur lequel nous devrons revenir lors de notre traitement du méta-constructivisme<sup>54</sup> : quand bien même on embrasserait l'hypothèse ici exposée, quand bien même on s'accorderait avec ces analyses, cela de soi-même ne nous oblige à aucune ré-interprétation ou aucun scepticisme à l'égard des

<footnote n="53">53. De même que nous comprenons le passage au successeur $ω+1$ depuis $ω$, pour lequel suffit d'ajouter $ω$ comme élément.</footnote>

<footnote n="54">54. Cf. [10.4.2].</footnote>
“infinités données” manipulées en mathématiques. Même s’il était vrai que les infinités actuelles devaient, pour nous, être définies à travers un processus d’idéalisation d’un inachevable, cela ne nous contraindrait pas à penser qu’elles ne sont et ne peuvent être, en soi, que le résultat de telles idéalisations. A fortiori nous ne serions pas contraint.e.s à les considérer comme illusoires, ou à les traiter avec un quelconque soupçon. Puisque nous les définissons en fait comme des infinités préalables, rien ne nous empêche de considérer qu’à travers le processus d’idéalisation nous visons des multiplicités réellement extra-temporelles, indifférentes à la processualité. Ce n’est pas parce que, pour penser un catégorématique, nous avons dû hypostasier le procès syncatégorématique, que cette opération ne nous permet pas de penser un réel catégorématique (puisque c’est bien ainsi qu’il est défini). Nous ne sommes pas nécessairement condamné.e.s à conserver avec l’objet de notre visée tous les échafaudages ou stratégies qui nous ont permis de l’atteindre. Plus précisément, nous ne pouvons garantir des conclusions sceptiques ou suspicieuses que par le moyen de principes méta-conceptuels posant d’une manière ou d’une autre que l’objet de notre visée (en général ou dans le cas discuté en particulier) doit être réduit au contenu du processus de pensée nous permettant de l’atteindre.

Dans le cas de l'infini mathématique, le moyen le plus direct pour qualifier d'illusoire
l'infinité obtenue par idéalisation serait de considérer que l'objectivité mathématique en
général a pour contenu des possibilités de manipulations opératoires dans un déroule-
ment de type temporel. Cette prémisse étant donnée, un infini obtenu par hypostase
de l'indéfinité opératoire ne pourrait être autre chose que cette hypostase illégitime,
ne pourrait pas correspondre à un objet effectif. Il semble en fait que nous soyons ici
ramené.e.s de nouveau à Kant : la position (par exemple) du monde comme totalité
préalablement donnée englobant la capacité indéfinie a priori d'extension de l'espace
est illégitime, précisément parce qu'une telle totalité ne pourrait jamais être donnée
comme phénomène. De même l'infinité mathématique ne peut être donnée, si elle doit
être le produit de manipulation opératoire. À l'inverse, si les multiplicités traitées par
les mathématiques peuvent être considérées comme choses en soi (ou, plus généralement,
comme non relatives à des possibilités de manipulation effectives), le fait que je ne puisse
pas obtenir des infinis par une quelconque manipulation, mais que je sois obligé de les
poser par hypostase de mes opérations, n'est d'aucun effet sur leur possibilité intrin-
sèque – de même que, chez Kant, l'impossibilité dans laquelle je suis de trouver dans le
phénomène une action qui ne soit pas elle-même effet des séries causales antécédentes est
réputée incapable de prosccrire en soi la possibilité d'une spontanéité réelle. En termes
de légitimité, si nous voulons maintenir en un sens l'idée que les énoncés mathématiques
signifient vraiment ce qu'ils semblent signifier, la question devient très généralement
celle de savoir si nos concepts ou notre langage est capable de signifier au-delà de cette
“phénoménalité” qu'est le domaine de nos opérations possibles. Question qui dépasse le
problème de l'infini.

Ce que nous *pouvons* dire, en revanche, ce que le procédé de conversion de la totali-
sation achevée du processus en une totalité préalable semble nous indiquer, c'est qu'on
ne pose *en fait* ces multiplicités préalables qu'en *laissant absolument de côté* la question
de la possibilité et signification de l'infini achevé. Cela semble impliquer un point im-
portant pour nous, qui est, justement, que dans tout cas semblable *la cohérence de la
position d'un infini mathématique actuel ne peut pas valoir comme indice de plausibilité
de la possibilité d'un infini achevé*, en particulier d'un infini zénonien<sup>53</sup>. Dans les cas
semblables, quand nous posons un infini nous évitons soigneusement d'avoir à impliquer
un cas zénonien, en sorte que les cas de ce genre, s'ils portent en quoi que ce soit à
conséquence, sont plutôt des indices de l'impossibilité d'un infini achevé puisque celui-ci
doit toujours être spécifiquement contourné<sup>54</sup>.

Néanmoins, il ne faut pas oublier ici, une fois de plus, les limites de ce que nous
sommes en mesure d'affirmer. Ces considérations, rappelons-nous, ne valent que dans
les cas d'idéalisation, et ne s'appliquent que dans le contexte de l'hypothèse grossière

<footnote n="55">55. Cela est d'ailleurs analogue à ce qu'il s'est passé pour l'analyse. Des considérations informelles et
inconséquentes de « séries infinies achevées » au début de l'invention de la théorie des limites, on est
passé à la rigueur de la limite définie comme un point préalable entretenant une certaine relation avec
l'infinité syncatégorématique des éléments de la série. On a obtenu un discours conséquent lorsque l'on
est parvenu à contourner l'infini achevé. Notons que là aussi, quoiqu'il n'y ait pas totalité infinie, il y a
idéalisation. En effet, les réels sont posés en général comme ces points préalablement existants, toujours
déjà visés par l'ensemble des séries infinies convergentes équivalentes.</footnote>

<footnote n="56">56. La possibilité de l'infini en général (A) n'est un « indice » de la possibilité de l'infini achevé (B)
qu'au sens trivial où, puisque $B \to A$ et $\neg A \to \neg B$, A nous « prive » d'une des raisons de nier B.</footnote>
que nous nous étions proposé d'illustrer dans cette section. Pour véritablement aborder la question du rapport entre infinité mathématique et achèvement de l'inachevable, il faudrait pouvoir considérer en général le statut des objets et des opérations mathématiques et le rapport de ce qui peut être dit des uns avec ce qui peut être dit des autres. Il faudrait alors examiner en quel sens nous pouvons considérer que des contraintes pèsent sur ce qui est opératoirement possible et les conséquences éventuelles de ces contraintes sur la signification des énoncés. Nous devrions en somme examiner le problème de l'inchèvabilité sous un angle plus directement métamathématique, et c'est l'esquisse d'une telle entreprise que nous entreprenons dans le chapitre qui suit.
<figure><img src="image_35.png" /></figure>
# Chapitre 10

## La lecture métamathématique

Du programme que nous nous sommes fixé au chapitre 6, il reste à compléter la tâche
peut-être la plus importante, à savoir le renversement de la charge de la preuve. Pour
rappel, nous affirmons ici que les résultats mathématiques contemporains ne constituent
pas une *bonne* raison de douter du principe d'achevabilité, quoi qu'ils semblent histori-
quement avoir été *l'unique* raison d'un tel doute. Plus précisément, pour que les mathé-
matiques du calcul des limites, des totalités infinies, des ordinaux transfinis – et ainsi
de suite – puissent nous convaincre de la concevabilité et de la possibilité d'une tâche
zénonienne achevée, il faudrait manifestement qu'elles nous donnent des raisons de croire
en la possibilité générale de l'être *achevé* d'un infini. Or il n'est pas du tout évident que
ce soit cela qu'elles fassent. Ce point a déjà été abordé en plusieurs lieux de ce travail<fnref n="1" />,
mais doit finalement être traité pour lui-même. Nous tenterons ici de défendre la thèse
selon laquelle une clé de la compréhension des paradoxes, et surtout de ce que nous avons
appelé la "méprise" contemporaine à leur propos, est affaire de *métamathématique*. Plus
spécifiquement, il s'agit du fait que l'on tend à considérer sur le plan de l'existence et des
propriétés d'un *objet* idéal/abstrait – en premier lieu l'*ensemble infini* $ω$ – un problème
qui se situe au niveau constructif, *opératoire* de la poursuite indéfinie d'une procédure.
Autrement dit, on croit que le problème de Zénon se joue au niveau de l'existence et de
la possibilité d'une manipulation régulière d'un ensemble infini (choses qui ne sont pas

<footnote n="1">1. Cf. surtout notre section 9.5.</footnote>
à l'abri de toute contestation, et entraineraient un débat avec des intuitionnistes, mais qui semblent admises massivement par la communauté mathématicienne, à première vue du moins) ; alors que le problème, comme Aristote ou les constructivistes l'ont toujours très bien vu, se joue au niveau de la possibilité de principe d'achever un calcul infini, de mener à bout une infinité d'opérations formelles ; ce qui ne paraît pas moins impossible au regard des mathématiques contemporaines que l'achèvement de la course zénonienne d'Achille ne paraissait impossible aux yeux d'Aristote.

Situer le cœur du problème sur un plan métamathématique ne soustrait pas Zénon aux questions portant sur la nature de l'infini et de la temporalité. Car dans la différence entre le plan de l'objet et le plan du constructif en mathématiques, ce sont précisément ces enjeux qui sont soulevés : quelle temporalité est impliquée dans l'opération mathématique ? y a-t-il une intuition du temps comprise dans l'activité mathématique elle-même ? et quelle est la nature de l'infini mathématiquement construit par des opérations finies ?

## 10.1 Une alternative finitiste ?

Sauf erreur de notre part, la formulation d'une réponse *possibiliste* à Zénon<sup>2</sup> ne prédate pas l'utilisation effective de totalités infinies dans le domaine mathématique. De telles réponses remontent peut-être jusqu'au début de la philosophie moderne, voire aux travaux de la scolastique du XIV<sup>e</sup> siècle sur l'infinité actuelle, et sont du moins pleinement assumées et articulées par des figures de premier plan à partir du début du XX<sup>e</sup> siècle au moment où s'impose la théorie abstraite des ensembles de Dedekind, Cantor et Zermelo.

Cette réponse, au XXe siècle, s'accompagne généralement d'un récit expliquant sa nouveauté : dans le passé divers penseurs ont rejeté la possibilité d'un être achevé de l'infini, par préjugé (aux yeux des plus sévères) ou faute de pouvoir se reposer sur la terre ferme du savoir mathématique (aux yeux des plus charitables). L'erreur de nos prédécesseurs est diversement comprise : parfois, et plutôt inadéquatement, comme incompétence à définir rigoureusement une série convergente, ou comme rejet dogmatique

<footnote n="2">2. C'est-à-dire, rappelons-le, qui considère que l'achèvement d'une tâche zénonienne indéfinie est tout simplement *possible*, et qu'il n'y a pas, par conséquent, d'aporie.</footnote>
de l'infini en acte; parfois, plus adéquatement, comme croyance fausse selon laquelle
une série indéfinie ne peut être donnée que sous la forme d'un progrès, et non sous la
forme d'une totalité, ou que l'infinité des nombres représente quelque chose comme un
indépassable, un sans au-delà.

On peut ici considérer une forme, parmi les plus classiques, d'une des réponses consis-
tant à supprimer le problème, à savoir la réponse donnée par Florian Cajori en 1915 à
l'issue de sa très précieuse étude de l'histoire des solutions à Zénon, histoire qui jus-
tement est pour lui celle des « phases du développement d'une théorie des limites ».
Pour Cajori, le problème posé par l'Achille consiste dans le fait que la série des étapes
se poursuit indéfiniment sans contenir sa limite, limite apparemment jamais atteinte
par les prétendants à la mobilité; mais le problème à l'inverse se dissout lorsque l'on
comprend que l'appartenance ou non de la limite à l'ensemble déterminé par une série
convergente est une question de convention, et en l'occurrence une question de conve-
nance à l'expérience : nous constatons en fait que les mobiles atteignent leurs cibles, que
les Achilles rattrapent les tortues, il convient par conséquent que nous ajoutions la limite
parmi les points parcourus quand nous représentons un parcours à la manière de Zénon¹.
Une manière plus générale de formuler cette solution consiste à dire que la théorie des
ensembles, en particulier la théorie des ordinaux transfinis, nous a appris qu'il n'y avait
rien de contradictoire à dépasser l'infini, c'est-à-dire à considérer sans contradiction un
ordre avec des éléments majorants une infinité d'éléments (la totalité de ω peut bien être
laissée derrière, il suffit d'aller à la limite, d'atteindre ω + 1).

Nous soutiendrons que dans tous les cas où une réponse de ce type est invoquée, elle
repose explicitement ou implicitement sur la mathématique infinitiste. Cela est évident
lorsqu'elle en appelle directement à l'enseignement de cette mathématique, mais il en

<footnote n="3">3. Florian Cajori, « The History of Zeno's Arguments on Motion. Phases in the Development of the Theory of Limits », *The American Mathematical Monthly*, 22 (1915), p. 1-6, 38-47, 77-82, 109-15, 143-49, 179-86, 215-20, 253-58, 292-97.</footnote>

<footnote n="4">4. "Whether the sum of A reaches its limit or not is a matter of pure assumption on our part. If the limiting value [...] is assumed to be included in the aggregate of numbers which the distance-variable may take, then of course the variable reaches its limit; if [...] [it] not assumed as a value which the variable may take, then of course the limit is not reached. It is here that we must receive a suggestion from our sensuous observations[...] Sensuous knowledge suggests that we make the aggregate of values of the variable distance travelled by Achilles a perfect aggregate; then theory tells us that in a perfect aggregate every converging process has a limit which is reached. [...]", *ibid.*, p. 218</footnote>
va aussi de même lorsque la réponse se tient au niveau de la logique du mouvement, pour nier directement une forme du principe d'achevabilité<fnref n="5" />. Si l'on soutient qu'une tâche inachevable au sens de Zénon peut prendre entièrement place dans un temps fini, et ainsi se trouver achevée, c'est toujours que l'on a projeté la totalité de la série dans l'ordre temporel, que l'on se l'est représentée comme totalité entièrement donnée dans sa successivité infinie. Pour une raison triviale et répétée par tou.te.s : on ne peut concevoir l'achèvement de la série en se tenant dans la représentation de son effectuation, il faut l'admettre comme objet total afin d'être en mesure de ne plus comprendre quel était le problème. Que l'on formule les choses ainsi ou non, la crédibilité du possibilisme repose toujours *a minima* sur la possibilité et la légitimité des ordinaux transfinis.

Si l'on acceptait cette présentation générale de la situation contemporaine, la question philosophique de fond deviendrait bel et bien la légitimité mathématique, ou la réalité, de ces objets et de ces relations qui sont affirmées par la théorie ensembliste, et sur l'incohérence desquelles reposeraient les paradoxes. On se demanderait s'il existe des mathématicien.ne.s qui maintiennent l'impossibilité de ces objets et relations, et qui peut-être soutiennent des versions des paradoxes de Zénon, ou tout au moins l'illégitimité d'une réponse « cantorienne » à Zénon. C'est-à-dire que le regard se tournerait vers les diverses formes d'intuitionnisme, de constructivisme, ou en général de finitisme ou de scepticisme mathématique à l'égard de la possibilité de totalités infinies données. Il faudrait ici être d'ailleurs plus précis. On ne trouvera vraisemblablement pas un finitiste soutenant aujourd'hui l'incohérence logique d'une théorie admettant des ordinaux transfinis ou des infinis en général; mais on peut certainement en trouver qui contestent la signification ou la vérité littérale des énoncés infinitistes, par exemple qui se replient sur la simple manipulation formelle des signes, la jugeant dépourvue de signification dans les cas infinitaires, ou qui ne légitiment la manipulation des infinis que dans les cas où il reste encore possible de les considérer comme “en progrès”<fnref n="6" />. Dans cette perspective, on refuserait précisément que la mathématique puisse légiférer sur des totalités réelle-

<footnote n="5">5. Cf. par exemple BLAKE, « The Paradox of Temporal Process » cit.</footnote>

<footnote n="6">6. Ce qui semble en général possible quand on a affaire à des ensembles, particulièrement des ordinaux, *dénombrables*.</footnote>
ment infinies, comme devrait l'être la totalité des étapes zénoniennes. Notons que ce
scepticisme ne peut pas être directement et simplement traduit en une certaine position
déterminée à l'égard des arguments zénoniens. La seule chose qu'elle implique *a priori* à
cet égard est un certain scepticisme à l'égard de la réponse mathématisante infinitiste.
*A minima*, une réponse intuitionniste pourrait se contenter de dire que nous ne sommes
pas en mesure de justifier véritablement le mouvement, que nous n'en avons pas les
moyens rationnels faute de pouvoir affirmer la réalisabilité complète de l'infini zénonien.
Plus classiquement, il serait possible d'adopter une position de type aristotélicienne,
qui admet la validité mathématique et conceptuelle des infinis en puissance, mais pas
la possibilité d'accomplir l'infini et considère par suite que le mobile n'a pas vraiment
à parcourir une série indéfinie d'étapes successives. Enfin, et à l'inverse, une position
plus radicalement finitiste ou constructiviste pourrait nier notre capacité même à faire
sens de l'indéfinité des étapes, ou à prouver leur inachevabilité, en vertu d'une forme de
scepticisme dans le raisonnement par récurrence en particulier et le raisonnement itéra-
tif indéfini en général ; Zénon ne pouvant pas nous faire sortir du fini, le problème est
dissous par un autre moyen⁶. Formes singulières des anciens scepticisme, aristotélisme,

<footnote n="7">7. Nous pensons ici en particulier à un très intéressant article de 1992 par McLaughin et Miller qui applique des résultats de « l'analyse non standard » au problème zénonien. L'analyse non standard, dans la version notamment de la théorie d'Edward Nelson dite « IST » (*Internal Set Theory*), définit une notion d'entier et de réel « non standard », interprétée par les auteurs de l'article comme représentant les entiers trop grands et les réels trop proches de 0 (notamment) pour être désignés individuellement par les moyens d'expression que l'humanité pourra jamais espérer obtenir, mais dont « l'existence » est quand même prédite par la théorie ensembliste. L'idée de McLaughin et Miller, exprimée schématiquement, est que nous ne pouvons pas donner une signification physique à des faits censés impliquer des réels non standard; par suite nous ne pouvons pas non plus faire de différence significative entre une théorie du continu (physique) n'admettant que des réels standards et une théorie admettant la totalité des réels classiques. Cela donne, dans l'analyse non standard en général, une version du continu capable de donner un sens littéral à l'idée de pas infinitésimaux, composant un véritable continu discret où l'on peut passer d'un réel standard à un autre en un nombre fini (mais non standard) de pas (infinitésimaux) plus petits que tout réel (standard). Appliquée à Zénon, cette analyse permet de garder la continuité effective de l'espace, l'inachevabilité effective de la série des étapes zénoniennes, tout en maintenant la finitude réelle des étapes du mobile. La viabilité épistémologique et conceptuelle de cette solution a été contestée et mériterait en tout état de cause une discussion précise. Quoi qu'il en soit, pour ce qui nous occupe elle se réduit ultimement à une version épistémologiquement sophistiquée d'une réponse atomiste. Voir William I. McLaughin et Sylvia L. Miller, « An Epistemological Use of Nonstandard Analysis to Answer Zeno's Objections Against Motion », *Synthese*, 92 (1992), p. 371-384. Sur l'analyse non standard, trouvant son origine chez Abraham Robinson (*Non Standard Analysis*, North-Holland et Princeton University Press, 1966) voir le texte d'Edward Nelson, « Internal Set Theory. A New Approach to Nonstandard Analysis », *Bulletin of the American Mathematical Society*, 83 (1977), p. 1165-98, sa présentation plus scolaire dans Alain Robert. *Analyse non standard*, Presses polytechniques romandes, Lausanne 1985 et sa discussion dans SALANSKIS, *L'Herméneutique formelle* cit., chap. 3 et *Le constructivisme non standard*, Presses</footnote>
atomisme.

Reconsidérons maintenant l'histoire que nous racontent les tenants de la réponse possibiliste, ou celle que nous leur attribuons :

> « la description de Zénon a pour conclusion que le mouvement implique [tel élément mathématiquement légitimé par la théorie des ensembles], et en conclut son impossibilité ou sa contradiction. Mais les mathématiques modernes énoncent que [l'élément en question] n'est ni impossible ni contradictoire, donc il n'y a pas véritablement de problème de Zénon ».

Supposons que nous acceptions cette présentation et nous tournions en conséquence vers les mathématicien.ne.s qui maintiennent l'impossibilité de ces objets et relations. Que vaudrait une réponse de ce type ? Une première chose à considérer est que cela semblerait nous placer dans une situation très minoritaire au sein de la communauté mathématique, voire révisionniste à l'égard de toute une partie de la mathématique du XXe siècle. Après tout, la mathématique infinitiste ne s'est-elle pas développée avec un succès sans précédent, heureusement indifférente au scepticisme ? La manipulation d'objets infinis actuels, et transdénombrables, ne s'est-elle pas trouvée omniprésente dans nombre de branches de la mathématique avancée ? Il y a pire : si, face au désaccord apparent des mathématicien.ne.s, on interrogeait pour elle-même et sans préjugés la légitimité de ces fameux objets inconstructibles, on pourrait retourner le raisonnement. Car si l'on demande si oui ou non il faut admettre légitimement [tel objet], alors les paradoxes de Zénon deviennent un *argument* en faveur de cette légitimité, voire une *preuve* de celle-ci; puisqu'ils nous convainquent que le mouvement est *inséparable* de [tel objet] et que nous savons par ailleurs que le mouvement est réel. Peut-être que la pratique mathématique elle-même ne pouvait nous garantir la légitimité de passer au-delà des opérations finies vers un infini achevé, mais il nous semble que le mouvement continu est possible, et Zénon nous a montré qu'il impliquait l'infini. Le mouvement apporte donc la garantie ontologique de la vérité de nos discours sur l'infini. On verrait mal, acceptant cette forme du débat, ce qu'il y aurait à répondre à Russell.

<footnote>Universitaires du Septentrion, Lille 1999 qui se penche particulièrement sur l'école non standard de Strasbourg.</footnote>
Néanmoins, comme il devrait être clair en vertu de ce qui précède, nous tenons cette
perspective comme entièrement trompeuse, et nous croyons qu'elle manque la véritable
leçon à tirer de l'intuitionnisme, en occultant entièrement le véritable problème : l'im-
possibilité de l'achèvement d'un inachevable. Toute réponse possibiliste reposant sur les
infinités mathématiques procède en se donnant d'emblée, comme déjà accomplie, la to-
talité infinie – quitte à vérifier après coup sa cohérence, ou sa convergence. Oubliant
par là que la question était celle de l'achèvement de la constitution de cet infini dans le
temps, c'est-à-dire dans la progression, sous le régime du un par un, avec exigence que
soit mené au bout et dépassé le processus. Le problème était celui de l"après" dans le
temps de ce qui par essence n'a pas d'après. Ce problème, en tant que tel, n'a en fait que
peu à voir, comme nous tenterons de le dire dans les sections suivantes, avec la question
de la légitimité d'objets mathématiques transfinis; mais il a à voir avec le rôle de l'infini
en mathématique.

10.2 Le métaconstructivisme de Jean-Michel Salanskis

Nous choisirons comme point de départ de la discussion la théorie dite du « mé-
taconstructivisme », telle qu'elle a été développée par Jean-Michel Salanskis dans ses
ouvrages de philosophie des mathématiques. Nous suivons l'exposition synthétique qui
en est faite dans le livre de 2008⁸.

10.2.1 La mathématique post-contemplative

La question à laquelle le métaconstructivisme vient répondre est celle de la nature
de l'objet mathématique. Comme le note Jean-Michel Salanskis, cette question a, remar-
quablement, acquis un sens nouveau et spécialisé au XXe siècle, à savoir le sens qu'il a

<footnote n="8">8. Jean-Michel Salanskis, *Philosophie des mathématiques*, Vrin, 2008, p. 35-108. Voir SALANSKIS, *Le constructivisme non standard* cit., chap. 1, p. 1-36 où les termes et la théorie apparaît pour la première fois (dans le contexte plus restreint d'une discussion de la théorie des modèles et de l'analyse non standard), ainsi que, pour une première thématisation du problème dans un autre vocabulaire, SALANSKIS, *L'Herméneutique formelle* cit., p. 20-4, et, pour la manière dont cette théorie prend place dans le projet général d'une philosophie du sens ou « éthanalyse », *Sens et philosophie du sens*, Desclée de Brouwer, 2001, p. 187-221 et *Partages du sens. Une présentation de l'éthanalyse*, Presses Universitaires de Paris Ouest, Nanterre 2014, p. 147-192.</footnote>
acquis dans ce que l'on appelle le « débat fondationnel », soit essentiellement, d'après l'auteur, « la dispute Brouwer-Hilbert, opposant un intuitionnisme passant pour ennemi juridique de toute objectivité infinitaire et un formalisme passant pour le sauveur déontologique des ensembles infinis de Cantor¹⁹ ». Cette dispute laisse derrière elle la question *classique* portant sur l’*être des idéalisés* en général – ce que nous connaissons parfois comme la querelle du *nominalisme* et du *réalisme* – quoi que celle-ci ait survécu dans la tradition analytique sous la forme du dilemme de Benacerraf¹⁶. Il est bon que nous commencions par dire un nom de cette question de l'idéalité, qui sera plusieurs fois réinvoquée par la suite.

Le “problème” classique posé par l’objet mathématique le plus élémentaire, comme le nombre 3 ou le triangle équilatéral, est qu’il n’est jamais rencontré comme tel, et ne peut faire l’objet d’une saisie empirique, mais semble se présenter comme un idéal, irréductible aux choses qui passent pour ses instanciations ou représentations (tel groupe de trois éléments, tel dessin de triangle). D’où, nous dit Salanskis, la tentation, ou bien de renouveler l’engagement ontologique en hypostasiant cet idéal, ou bien de le considérer comme fiction utile, flatus voci. Il note, et de nouveau cela sera réinvoqué plus loin, qu’il ne suffit pas, pour “réduire” cette idéalité, de la ramener à un simple acte de nomination, car le type d’idéalité ou de non-empiricité de l’objet mathématique est déjà en fait présupposé par son nom, par la reconnaissance du symbole « 3 » comme se maintenant à l’identique à travers chacune de ses instanciations (chacune de écritures particulières de ce même symbole). Ce thème de l’idéalité est emprunté aussi bien aux analyses de Husserl qu’à la théorie du signe, tant dans la version qu’en fournit la linguistique saussurienne que dans la distinction peircienne entre type et token²¹.

<footnote n="9">9. SALANSKIS, *Philosophie des mathématiques* cit., p. 36.</footnote>

<footnote n="10">10. En guise d'introduction à cette tradition de philosophie des mathématiques, on recommandera les recueils BENACERRAF et PUTNAM, *Philosophy of Mathematics* cit. et Sébastien Gandon et Ivan Smadja (éd.), *Philosophie des mathématiques - I. Ontologie, vérité et fondements*, textes clés, Vrin, 2013. Voir aussi, sur le dilemme de Benacerraf, Brice Halimi, « Benacerraf's Mathematical Antinomy », in *Truth, Objects, Infinity. New Perspectives on the Philosophy of Paul Benacerraf*, sous la dir. de Fabrice Pataut, Logic, Epistemology, and the Unity of Science, 28, Springer, 2016, p. 45-62.</footnote>

<footnote n="11">11. « En effet, 3 n’est dans ce texte même que nous écrivons pas autrement signalé que par une inscription 3 revenant dans mon écrit autant de fois qu’il est souhaitable : 3 comme marque de l’objet mathématique en son idéalité est aussi ou déjà l’unité et l’un insaisissable au-delà de la multiplicité des marques concrètes l’invoquant dans les textes. [...] La “non-légitimité” de l’entité idéale 3 s’exprime aussi en ceci que son nom répète l’absence de la chose qu’elle est // (c’est-à-dire doit être). Je ne peux donc même pas me sauver du problème de ce que peut bien être la réalité mathématique indiquée par 3 en me “rabattant” sur l’effectivité saisissable du signe 3, qui enveloppe le même problème du type et de l’occurrence. » SALANSKIS, *Philosophie des mathématiques*</footnote>
Par rapport au débat “nominalisme”/“platonisme”, question de philosophe *a priori*
indifférente aux mathématiciens comme tels, le nouveau débat a plusieurs caractéristiques
remarquables. La première est qu’il est mené par des mathématiciens, depuis leur identité
de mathématicien, « “au nom” d’une volonté de guidage stratégique des mathématiques (volonté sans
équivalent dans l’histoire, doit-on sans doute dire) » et « d’une sorte de désir de perpétuation de soi sans
perte qui est celui de la communauté des mathématiciens»²² ». La seconde est que, par différence avec
le débat classique, le problème de l’objet ne se pose plus que pour les entités infinitaires<fnref n="13" />

Cette différence s'explique aisément sur un plan historique, en se rapportant à l'ori-
gine du débat, dans l'attaque critique de l'intuitionnisme de Brouwer à l'égard de l'ob-
jectivité ensembliste infinitaire de Cantor et Dedekind, attaque qui sert de motivation au
formalisme de Hilbert et qui résonne avec les considérations précédentes d'autres grands
mathématiciens sceptiques à l'égard des entités infinitaires inconstructibles – comme
Poincaré ou Kronecker. Leurs réflexions avaient révélé un privilège et une familiarité à
l'égard des nombres entiers, familiarité qui a été par la suite plus généralement com-
prise comme familiarité à l'égard de l'objet constructif. Le projet hilbertien peut alors
être compris comme l'effort pour sauvegarder l'objectivité ensembliste dans les termes
mêmes et avec les moyens de cette familiarité constructive, grâce au passage par une
métamathématique formelle.

Mais l'évolution du problème de l'objet peut être plus conceptuellement et plus préci-
sément exprimée, d'après Salanskis, dans les termes de ce que nous appellerions volontiers
« les deux contrats fondationnels de la mathématique post-contemplative<fnref n="14" /> » :

Classiquement, les mathématique s'occupent du nombre et de l'espace, et fréquentent l'un
et l'autre suivant une « contemplation » non problématique. L'espace est « vu », le nombre est
« conçu » — mais cette conception le fait au bout du compte voir par un œil de l'esprit. La seule

<footnote>cit., p. 35-6.</footnote>

<footnote n="12">12. *Ibid*., p. 37.</footnote>

<footnote n="13">13. « [L]a question de l'idéalité de l'objet mathématique *fini* ne se pose plus, ou du moins ne se pose plus comme telle, ou comme à l'origine. De fait, les discours de ce débat ne nomment explicitement “présupposition idéalisante” que les thèses ou arguments de la mathématique enveloppant la “position” d'un ensemble infini actuel (plus ou moins gros) ou l'usage d'un axiome comme l'axiome du choix. Autant dire que l'objet finitaire n'est plus considéré comme idéal, ou bien, à tout le moins comme idéal d'une idéalité qui fait problème. » *ibid*.</footnote>

<footnote n="14">14. *Ibid.*, p. 38-9.</footnote>
difficulté philosophique hantant cette « donation » de l'espace et du nombre est la superpo-
sition du cas et du type, de l'exemple et de l'eidos, caractéristique de notre fréquentation de
ces « données ». Nous avons rapport au triangle singulier comme à un lieu-tenant du triangle
essentiel, nous avons rapport à n'importe quelle collection de trois items comme à une illus-
tration de l'entité unique et idéale 3. Le fait même que l'objet mathématique primitif, l'espace
ou le nombre, se rencontre dans une expérience originaire in-interrogée, et analogue au moins
d'une perception, implique que le problème philosophique est celui de la « présence » à la fois
contestable et perturbatrice de l'idéalité « en » cette perception.

L'évolution contemporaine se laisse dans un premier temps décrire simplement comme le
retrait de l'hypothèse « intuitive », que j'aimerais mieux appeler retrait de l'hypothèse contem-
plative : ce qu'il y a de commun à l'intuition de l'espace et à la fréquentation supposée na-
turelle (pythagoricienne, déjà) du nombre, c'est qu'elles sont en fin de compte envisagées
comme des cas de contemplation. Le premier coup porté à cette hypothèse contemplative
est la pluralisation de la géométrie, à travers l'expérimentation mathématique des géométries
non-euclidiennes, et, dans la foulée, des diverses géométries générales. Disant cela, je ne fais
jusqu'ici que reproduire la description historique la plus convenue.

Mais, au-delà, la mathématique fait effort pour se ressaisir elle-même sur une base contem-
plative. Cet effort me semble pencher spontanément dans deux directions : 1) privilégier la
contemplation du nombre, en faire la seule contemplation inaliénable et fondatrice de l'esprit
des mathématiques ; 2) renvoyer toute la mathématique à une « nouvelle » contemplation, in-
aperçue jusqu'ici, mais susceptible d'engendrer et justifier à nouveaux // frais celle du nombre
comme celle de l'espace, et qui serait celle des multiplicités et de l'appartenance.

L'histoire de la « crise » des fondements des mathématiques au début du XXe siècle, culmi-
nant dans la controverse Brouwer-Hilbert, me semble être celle du double échec de cette restau-
ration d'une base contemplative. Les multiplicités et l'appartenance n'ont pas pu être utilisées
comme contemplations, en raison des paradoxes auxquels conduisait la mise en discours de
ces contemplations. Les nombres entiers n'ont pas pu être simplement envisagés comme ob-
jets de contemplation, parce que la réflexion fondationnelle qui s'est tournée vers eux pour y
trouver les « intuitions » fondamentales les a en toute honnêteté dévoilés comme constructions
plutôt que comme intuitions.

Nous habitons désormais une mathématique dépourvue de base contemplative, et liée par
deux « contrats fondationnels » venant à la place.

Le premier est celui de la formalisation de la théorie des ensembles, qui renvoie l'objectivité ensembliste dans sa totalité à la stipulation originaire d'une théorie logique du premier ordre supposée accueillir toutes les mathématiques, et qui est, en principe, la théorie de Zermelo-Fraenkel avec choix (ZFC). Ce rapport par lequel nous « avons » les ensembles comme thème de la mathématique ensembliste autant qu'il est possible et souhaitable de les avoir, apparaît clairement comme autre que contemplatif, même sans entreprendre de le décrire finement. Le message minimal de la formalisation est « vous ne pouvez pas purement et simplement contempler les ensembles et leurs configurations d'appartenance ».

Le second contrat est celui qui nous donne toute « l'objectivité constructive » dont nous avons besoin. Le mathématicien ensembliste moyen, en un certain sens, passe presque totalement à côté de ce second contrat, ou du moins il a pu le faire pendant de longues décennies du XXe siècle. Il n'est en effet astreint à le croiser qu'en un point de sa pratique, celui indiqué par le schéma de compréhension : il est seulement obligé, entre autres pour comprendre ce schéma, de savoir que les ensembles « doivent » être formalisés dans une théorie des ensembles, et donc que les phrases de la mathématique et ses déductions *devraient* répondre à un certain canon morphologique fixé par la formalisation justement. Or il se trouve que les termes, formules et démonstrations que l'on définit dans la formalisation sont des objets introduits en tant que constructibles selon une certaine procédure.

Mais si chez le mathématicien ordinaire le constructif semble (en tant que fondation-
nel) ne jouer que ce rôle d'outil de la police logique du formalisme, historiquement chez
Brouwer il représente d'abord l'objectivité des entiers et de la fréquentation que nous
en avons, et il constitue une objectivité partout à l'œuvre dans les problèmes de fond de
l'architecture ensembliste.

De cette situation du double contrat, nous devons conclure que ces deux types d'ob-
jectivité – celui de la formalisation et celui de la construction – sont absolument incon-
tournables pour comprendre ce qu'il en est dans la mathématique; et que, puisque ces
objectivités ne sont pas supposées matière à contemplation, il faut comprendre le statut de leurs objets. À cet égard, il importe de noter le point suivant, qui est qu’avec la perte historique du sens de l’objet mathématique, ce qui est mis en danger et qui en même temps se pose comme *ne pouvant pas être perdu*, est l’*idéal démonstratif*. Quel que soit ce qui doive arriver à l’objet mathématique, il doit nous laisser capable de ne pas perdre nos démonstrations, cette exigence imposant que nous maintenions au-delà du contemplatif une forme de *présentation au moins de la strate démonstrative elle-même* qui doit être effective et lisible.

Du débat Hilbert-Brouwer, Salanskis tire un enseignement qu’il entend généraliser à la pratique mathématique subséquente et qui cherche à restituer le sens et la légitimation de notre accès à l’objet, sans chercher à prendre parti au sein du débat, mais au contraire à rendre compte de la nécessité de prendre en compte les deux perspectives pour rendre compte de l’objectivité mathématique. Suivant toujours sa présentation, nous commençons par l’exposé de l’objectivité constructive.

## 10.2.2 L’objectivité constructive

### Clauses récursives et connaissance inductive

L'objectivité constructive est l'objectivité de ces objets que nous prétendons « construire » dans l'allégeance à une *clause récursive*. Une clause récursive consiste en la donnée d'une batterie d'objets primitifs et d'une liste de règles de fabrication, instruisant sur la façon de fabriquer un nouvel objet à partir d'un certain nombre d'objets supposés déjà construits. Elle ouvre donc la voie à une série illimitée d'actes de fabrication, définissant l'horizon d'une classe des objets résultant de ces actes<fnref n="15" />.

L'auteur donne deux exemples élémentaires de clauses récursives que nous reproduisons ici :

Soit la clause récursive suivante, définissant la classe des *ombes* :

i) les inscriptions *a*, *cac*, et *b* sont des *ombes*;

<footnote n="15">15. *Ibid*., p. 45.</footnote>
ii) si les inscriptions S et T sont des ombes, alors l'inscription ST est un ombe.

La classe des ombes ouverte par la clause contient donc une série indéfinie (énumé-
rable !) d'inscriptions de plus en plus complexes, donc chacune correspond à un chemin
de concaténation d'ombes : {a, cac, b, aa, acac, ab, caca, caccac, cacb, aaa, aacac, aab...}

Soit, encore plus simplement, la clause définissant la classe des entiers naturels :

i) l'inscription I est un entier ;

ii) si l'inscription S est un entier, alors l'inscription SI est un entier.

La clause ouvre une classe contenant les concaténations non vides de bâtonnets : {I, II, III...}.

Dans les deux cas, la constitution d'une classe ouverte indéfinie par la position d'une
clause s'accompagne de l'entente selon laquelle n'est reconnu comme appartenant à la
classe que ce qui peut être construit le long d'un chemin obéissant à la clause. Ainsi le
discours autorisant la production indéfinie des objets est en même temps « un discours de
la donation d'objet, parce qu'il circonscrit un voir comme (pour parler comme Wittgenstein)<fnref n="16" /> », qui me
permet de reconnaître un objet comme membre de la classe en le reconnaissant comme
produit par un chemin récursivement instauré. Je vois cacacac comme un ombe en le
voyant comme produit ou productible par un cheminement représenté ou incarné dans
un arbre de construction :

1) *cac* est un *ombe* primitif, *a* est un *ombe* primitif, donc *caca* est un *ombe*.

2) *caca* est un *ombe*, *cac* est un *ombe* primitif, donc *cacacac* est un *ombe*.

<figure><img src="image_36.png" /></figure>

En outre, le même *voir comme* qui définit la donation des objets d'une classe, par la
définition récursive, est aussi ce qui me permet de définir un *mode démonstratif*, soit un
mode de connaissance *a priori* sur les objets, qui est le mode de *preuve par récurrence*

<footnote n="16">16. *Ibid*., p. 47.</footnote>
ou induction sur les procédés récursifs, à partir de l'obtention de la propriété pour les
objets primitifs<fnref n="17" />.

Pour montrer que tout objet de cette classe possède la propriété, on établira

i) que les objets primitifs mentionnés par la clause l'ont ;

ii) que, si des objets de la classe ont la propriété, alors l'objet fabriqué à partir d'eux suivant
une règle de la clause l'a.

C'est ce qu'on appelle un raisonnement par « récurrence sur la construction » de l'objet. L'idée
ou la justification de ce raisonnement est que le voir comme associé à la clause, si les points
(i) et (ii) sont établis, est susceptible d'assister à la construction de l'objet et l'attribution à lui
de la propriété d'un seul et même mouvement, le long de l'arbre de production en quelque
sorte<fnref n="18" />.

Ainsi le voir comme rend solidaires une donation d'objet et un mode démonstratif<fnref n="19" />.
Par les procédures récursives, je peux tenter de représenter tout ce qui relève de la
production symbolique linéaire, d'abord tout ce qui relève des nombres entiers et de ce
qui peut être construit à partir d'eux, mais aussi, si l'on en croit la tradition générativiste
issue des travaux de Noam Chomsky, tout ce qui relève du langage, celui-ci étant compris
comme compétence générative récursive de performances langagières.

Une chose qu'il est important de remarquer, est que l'objectivité constructive ne peut
pas se donner autrement que comme, d'une certaine manière, primitive et immédiate. Ce
qui signifie deux choses : la première est qu'il semble impossible d'expliquer ou de justifier
la pratique récursive par autre chose, il ne semble pas possible d'aller en-deçà. C'est-à-
dire que nous ne pouvons pas commencer par nous référer, par exemple, à l'existence des
symboles graphiques ou lettres et à leurs concaténations ou mots sans déjà saisir la lettre
comme ce qui peut se réinsérer à l'identique dans une concaténation, et sans comprendre
les mots comme de telles concaténations (et non pas des frises décoratives ou des amas

<footnote n="17">17. On comparera avec la justification pré-constructiviste de l'induction suggérée section 3.5.2.</footnote>

<footnote n="18">18. SALANSKIS, *Philosophie des mathématiques* cit., p. 48.</footnote>

<footnote n="19">19. Ce qui, note Salanskis, en fait un paradigme de la position husserlienne. Il développe ce point, discute de la « validité phénoménologique » de l'objectivité constructive et la défend, comme mode de connaissance, contre des objections analytiques ou post-husserliennes, [ibid.], p. 49-53.</footnote>
sans unité). De même, je ne peux en établir les règles logiques rigoureuses sans recourir
à une formalisation logique qui présuppose la maîtrise du récursif (qui est seule source
des classes d'objets, énoncés et preuves dans une théorie formelle). La deuxième est que,
en présentant la clause récursive, je ne peux pas au départ fixer des règles de « calibrage
a priori de l'acte de se donner des éléments primitifs ni de celui de se donner des règles de fabrication<sup>20</sup> »,
je ne peux pas régler d'avance ce qui peut ou non valoir légitimement comme objets
primitifs utilisables ou opérations effectuables, sans me référer à un horizon d'objets
déjà donnés ou d'opérations déjà connues, à leurs classes. Mais comment accéder à de
telles classes ? Je ne peux les produire récursivement et de plus

il n'y aurait évidemment aucun sens, ici, à envisager comme classe des objets primitifs une struc-
ture infinitaire proposée par un formalisme extérieur à la procédure en cause, ni à imaginer
que les règles de fabrication pourraient consister en une infinité de gestes prenant chacun en
charge une infinité d'éléments, ce qui, à nouveau, obligerait à se fier à l'autorité d'une doctrine
formelle externe<fnref n="21" />

Tout cela a la conséquence profonde que :

Il faut donc supposer, simplement, que les objets primitifs et les règles de fabrication sont
immédiatement partageables, ne posent aucun problème à celui qui, du dehors, aspire à rentrer
dans le jeu mathématique. [...] Gestes de fabrication et objets primitifs doivent faire sens dans
le partage le plus immédiat<fnref n="22" />.

Et c'est ce partage immédiat qui est, ultimement, le fondement de la possibilité d'une
mathématique (mais aussi d'une langue, d'une compréhension linguistique commune),
qui ne peut être communautaire que par la capacité à se reposer communément sur la
capacité de suivi des chemins de preuves et des chemins de constructions. C'est là le
fond de la pensée constructiviste et de l'intuitionnisme de Brouwer<fnref n="23" />.

<footnote n="20">20. *Ibid.*, p. 46.</footnote>

<footnote n="21">21. *Ibid.*, p. 47.</footnote>

<footnote n="22">22. *Ibid.*</footnote>

<footnote n="23">23. Salanskis défend à ce propos le fait de ne pas attribuer à Brouwer la thèse selon laquelle la mathématique serait une “réalité mentale”. Le constructif, y compris quand il est lu sur de l’encre et du</footnote>
Construction et structure symbolique

Pour comprendre précisément le rôle du constructif, et en particulier son rôle fondamentiel, il importe de comprendre la spécificité de son rôle par rapport au rôle du symbole ou de l'idéalité comme telle qui se manifeste dans le signe. C'est-à-dire confronter le problème du constructif avec le problème classique de l'accès à l'objet mathématique idéal donnant lieu à l'affrontement du nominalisme et des diverses formes de réalisme.

Or, le constructif vient transformer et compliquer cette question. En effet, il est certain que l'objet constructif a *besoin* du symbolique, c'est-à-dire du fait de recevoir un élément concret comme *token* d'un *type* (type qui ne saurait être donné autrement qu'à travers ses tokens) : c'est là une exigence pour toute activité signifiante en général. Mais pour autant, Jean-Michel Salanskis insiste sur le fait que le mathématique n'est pas le symbolique, ne peut pas s'y réduire. D'une part, en effet, l'objet constructif, en effet, est le *construit* comme tel, l'objet *dans son arborescence*, incarnant la possibilité d'un chemin partageable par tous et toutes et permettant la certitude démonstrative ; la mathématicité ne repose certes pas seulement les symboles que *manipule* le constructif dans ses opérations. D'autre part, il n'est pas du tout certain que la structure symbolique soit “plus profonde” que la structure constructive ; il se pourrait qu'on puisse soutenir

<footnote>papier, repose toujours sur un geste de vision de la conscience qui lit l'inscription comme symbolique et la construction comme récursive, et à l'inverse toute saisie mentale d'un processus constructible doit toujours se vivre comme “déjà publique”, “déjà partageable” (de même qu'un monologue intérieur est déjà du langage public) :</footnote>

<footnote>« Brouwer prenait apparemment parti pour la conscience contre le langage lorsqu'il disant que, pour le formaliste, la vérité mathématique résidait dans l'encre et le papier, alors qu'un intuitionniste la concevait comme habitant l'esprit humain. Mais le point de vue qu'exprime cette façon de dire le différend refuse au fond l'alternative conscience-langage. Il rappelle que factuellement, le langage n'est jamais là, nous n'avons que l'encre et le papier, le signe matériel et le support. Le langage au sens strict ne commence que lorsque le "valoir pour" symbolique est donné, et lorsque la structure type-token dans son indéfinie exploitabilité est comprise. Or ces suppléments ne se disent et ne s'attestent qu'en termes de conscience.[...] //</footnote>

<footnote>[...] Le fond de l'affaire, à notre sens, est que la “réalité” de l’objet constructif est tout aussi mal allouée lorsqu’on le situe dans la conscience que lorsqu’on le situe dans la matérialité des signes. L’objet constructif, comme présentation agie, occupe par nature un “champ” ontologique triple : il est l’objet conçu – la projection dans la représentation du processus mental peut avoir lieu sur l’écran du cinéma intime – mais il est aussi l’objet dit – l’accomplissement de l’emboîtement des dyades²¹ est un processus réglé qui se laisse énoncer linéairement comme suite d’actes légaux – et enfin l’objet écrit, parce que, sur ce point les “formalistes” ont raison, le processus de représentation aboutit dans le symbolique externe et partagé.</footnote>

<footnote>L'arbre, objet fétiche et central de la pensée constructive, existe sous les trois modalités, comme arbre conçu, arbre linéairement parcouru-dit, et arbre tracé, proposé. De plus, l'essence de l'attitude constructive, de l'intentionnalité constructive, veut que ces trois niveaux de manifestation soient vécus comme redondants, solidaires, équivalents : le privé de l'entrevision d'un arbre n'est pas l'accès à un *quale* impartageable, il est déjà mouvement verbal de son parcours ou participation à un mode perceptif symbolique de l'arbre tracé comme tel, l'arbre est toujours déjà “public”, même dans l'intime, c'est tout le sens et toute la portée de la représentation constructive. » SALANSKIS, *Philosophie des mathématiques* cit., p. 55-6</footnote>
au contraire que c'est l'activité constructive qui force la marque concrète à fonctionner comme symbole, c'est-à-dire à renvoyer à un type (notamment) itérable.

Pour élaborer l'attitude adéquate à adopter sur la relation entre ces deux aspects, Salanskis discute trois types de réponses archétypales qu'il envisage sur cette question : la réponse idéaliste, la réponse empiriste et la réponse pragmatiste.

La position idéaliste serait celle qui croit en notre rapport à l'idéalité et à notre connaissance de cette idéalité garantie par notre familiarité à son égard. L'idéaliste pointe avec raison que l'idéalité du symbolique est toujours présupposée, et estime en conséquence que « la force du partage intentionnel de l'objet constructif ne changerait rien au problème et au débat de la philosophie des mathématiques<fnref n="25" /> ». Si nous comprenons bien l'analyse de Salanskis, elle consiste à dire qu'une telle réponse passe à côté du fait que la connaissance mathématique ne repose pas, en fait – c'est ce que le débat fondationnel aurait révélé – sur une connaissance de l'idéalité qui se manifeste dans le symbolique, mais sur une connaissance obtenue par le partage du constructif, une connaissance pour ainsi dire de "l'espace constructible" comme tel, point où a lieu l'indubitabilité démonstrative<fnref n="26" />. Nous n'avons (toujours) pas d'intuition intellectuelle; nous devons avoir la capacité d'idéalité de reconnaitre le symbolique comme symbolique, mais cela en tant que tel ne saurait jamais nous donner de connaissance mathématique, d'autant que ce que nous saisissons dans le symbolique mathématique n'est pas un concept dont nous pourrions avoir l'intuition du signifiant, mais un signe, finalement un signe dépourvu de sens dans le formalisme contemporain, renvoyant à des chemins d'opérations possibles.

L'empiriste ne croit pas dans notre accès à l'idéalité, mais cela ne l'empêche pas de partager le principal défaut de l'idéaliste, qui est de ne pas parvenir à envisager que l'objectivité constructive puisse être originaire, aussi originaire que la structure symbolique. En outre, l'empiriste, qui estime donc aussi que tout repose sur le symbolique, tente

<footnote n="25">25. Ibid., p. 70.</footnote>

<footnote n="26">26. La position de Jean-Michel Salanskis, comme il est visible ici et comme il l'a toujours réaffirmé, se reconnait en réalité dans la position *kantienne* plus que toute autre. Si nous devions connaître les entités mathématiques idéales directement, nous ne pourrions en avoir un savoir a priori, mais au contraire un tel savoir doit toujours reposer sur un fondement provenant de notre activité et sur lequel nous pouvons compter comme immédiatement et – espérons-nous – universellement partageable.</footnote>
un récit naturaliste de l'acquisition du symbolique à partir des configurations sensibles singulières, oubliant, d'après Salanskis, qu'on ne peut jamais comprendre le début du comportement symbolique sans supposer que les occurrences sont perçues comme occurrences indéfiniment indifférentes du même, et non plus comme variantes ou particuliers concrets, ce que nous ne comprenons pas comme résultat d'une habitude ou gain d'une répétition<fnref n="27" />. Si nous comprenons correctement, les deux problèmes sont en fait liés, car la pratique mathématique n'a pas besoin d'hériter de l'idéalité (d'un signe précédemment acquis), mais qu'elle peut en quelque sorte l'instaurer à partir de n'importe quelle marque arbitraire, en codifiant son usage comme élément itérable d'une construction (en faisant passer une marque pour un signe), mais que cela même suppose que le passage à l'idéalité soit posé d'emblée et ne soit pas empiriquement hérité.

Les pragmatistes, à l'inverse des deux autres, posent en effet le caractère originaire du constructif, et en font précisément l'origine du symbolique : comme nous l'anticipions à l'instant, pour les pragmatistes c'est le constructif qui force la marque à fonctionner comme occurrence, ou qui réutilise indifféremment dans une nouvelle structure récursive ce qu'une précédente construction a déjà établi comme symbole, notamment cette structure omniprésente qu'est le langage. Il s'agit d'un pragmatisme parce que c'est l'agir qui est à l'origine de la structure symbolique : le signe devient signe parce que nous en faisons un itérable<fnref n="28" />. Le problème du pragmatisme, pourtant, d'après Salanskis, et qu'il

<footnote n="27">27. « J'ai toujours le sentiment que les empiristes noient le poisson dans la mise en perspective d'un horizon de progression indéfini, qu'ils jettent le brouillard sur ceci que, tant que la recognition des occurrences comme occurrences du même n'est pas acquis sur un mode en quelque sorte ouvert sur l'infini, il n'y a pas comportement symbolique possible, et que cette étape suppose elle-même qu'on comprenne déjà le type dans son idéalité, en sorte qu'aucun habitus de l'homologation des variantes, récapitulât-il une série considérable d'expériences, ne nous rapproche d'une telle compréhension.</footnote>

<footnote>Les plaidoyers empiristes, sur cette question comme sur beaucoup d'autres, me font à vrai dire toujours irrésistiblement penser à la blague du multi-millionnaire racontant la genèse de sa fortune : "J'étais pauvre et sans-emploi, j'ai ramassé une pomme de terre, je l'ai vendue 5 cents, avec cet argent j'ai trouvé un endroit où acheter deux pommes, que j'ai vendues pour 10 cents, somme avec laquelle j'ai pu acheter 4 pommes et avec le fruit de la vente, poursuivre mon accumulation. Il en est allé ainsi pendant plusieurs années, jusqu'au jour où j'ai hérité de 200 millions de dollars, et j'ai pu investir sérieusement". L'empiriste, pour moi, est celui qui veut toujours nous cacher qu'il a hérité de l'idéalité. » SALANSKIS, *Philosophie des mathématiques* cit., p. 71.</footnote>

<footnote n="28">28. Salanskis rapproche une telle lecture du problème de celle qu'offre Derrida. En particulier, Jacques Derrida, *La voix et le phénomène. Introduction au problème du signe dans la phénoménologie de Husserl*, Presses Universitaires de France, 1967, p. 58 : « La structure du discours ne peut être décrite, selon Husserl, que comme idéalité : idéalité de la forme sensible du signifiant (par exemple du mot) qui doit rester la même et ne le peut qu'en tant qu'idéalité ; idéalité du signifié (de la *Bedeutung*) ou du sens visé, qui ne se confond ni avec l'acte de visée ni avec l'objet, ces deux derniers pouvant éventuellement n'être pas idéaux ; idéalité enfin, dans certains cas, de l'objet lui-même qui assure alors (c'est ce qui se passe dans les sciences exactes) la transparence idéale et l'univocité parfaite du langage. Mais cette idéalité, qui n'est que le nom de la permanence du même et la possibilité de sa répétition, n'existe pas dans le monde et elle ne vient pas d'un autre monde.</footnote>
se méprend lui aussi, quoi que de manière inverse, sur la co-originarité de l'idéalité et du constructif. Ou autrement dit, comme l'empirisme il méconnait la transcendance de l'idéalité qui ne peut pas être dérivée. La pratique de fabrication récursive présuppose en effet (à chaque fois, dès le début) que l'on comprenne le niveau de généricité pertinent des signes que l'on adopte, que l'on soit déjà ouvert sur l'indéfinité des instanciations possibles. Notre activité instaure le symbolique, mais elle ne peut l'instaurer qu'en le tenant pour d'emblée présent.

L'enjeu qui se présente alors à l'auteur est de parvenir à respecter la valeur incom-
pressible d'idéalité tout en parvenant à penser que cette valeur est instituée dans nos
gestes, par notre activité constructive, c'est-à-dire justement à penser leur co-originarité.
Comme il le dit, « La gageure est donc de formuler l'attitude pragmatiste en termes idéalistes<fnref n="29" /> », ce
qui se dirait aussi bien : « rendre à l'idéalité sa véritable teneur pragmatique ».

La vraie thèse pragmatiste est donc plutôt que la pratique sait déjà, dans ses gestes en
quelque sorte, ce que c'est qu'un particulier de valeur générique : la pratique symbolique,
constructive, mathématique est une pratique qui se situe nativement, et sans qu'il soit besoin
pour cela d'exposition conceptuelle, au niveau de la généricité, et dans la connaissance de
la transcendance de l'idéalité sur l'occurrence. Cette pratique amène des occurrences dans la
perspective de et dans le rapport à des types idéaux qu'elle pose, qu'elle vise dans le même
mouvement. [...]

Le fond de l'idée, à mon sens, est qu'il y a dans la pratique symbolico-constructive comme
une autre définition de l'idéalité que celle qui passe par la structure occurrence-type, et qui est
pourtant la seule et la vraie, à tous égards, depuis Platon. Pour tenter néanmoins de préciser la
thèse, il faudrait alléguer que comme geste accompli sous l'égide de la clause récursive, l'acte
d'adjonction d'un bâtonnet à un assemblage, par exemple, contient, prédessine, potentialise
déjà tous les actes similaires, met en perspective en quelque sorte l'universalité de l'assemblage
de départ et de l'assemblage d'arrivée, en même // temps que de l'opération d'adjonction. Et ce
ne serait pas parce que ces significations d'universalité figurent en toutes lettres dans la clause

<footnote>Elle dépend tout entière de la possibilité des actes de répétition. Elle est constituée par elle. Son "être" est à la mesure du pouvoir de répétition. »</footnote>

<footnote n="29">29. SALANSKIS, *Philosophie des mathématiques* cit., p. 74.</footnote>
récursive. On supposerait plutôt que les textes prescriptifs du type *clause récursive* tirent leur efficace, leur sens d'exécutabilité, de quelque chose que leur ajoute le geste en leur obéissant.
C'est quand je fais que j'acquiers la puissance de la répétition : l'universel se dessine et se place en un instant lorsque j'agis formellement, et cette émergence d'universel massive, irrésistible, à la faveur du geste formel, serait le contenu « phénoménologique » sous-jacent à notre pensée de l'idéalité. L'idéalité serait fondamentalement intentionnelle, fondamentalement pratique.
Étant entendu que dire cela n'est pas réduire l'idéalité, mais lui attribuer son site, évoquer son expérience ; et que, en fin de compte, elle se manifeste bien comme type transcendant ses occurrences, cette valeur demeure [avec] tout son sens, on ajoute seulement que le comportement formel originaire de la constructivité « donne » en quelque sorte ce sens<fnref n="30" />.

Face au scepticisme auquel il s'attend de la part des empiristes et pragmatistes classiques, l'auteur en appelle (sans véritable espoir de conviction) à l'expérience des mathématiques elle-même. Mais si, au contraire, le pragmatisme idéaliste est accepté, il est possible d'en tirer une notion très importante dont nous serons amené à faire usage<fnref n="31" />, à savoir celle de *corps idéal*<fnref n="32" /> :

> La thèse principale de cette interprétation [i.e. le pragmatisme idéaliste], nous l'avons déjà dit, est que l'idéalité commence avec la généricité de l'acte mathématique constructif, généricité qui apparaît en l'acte pour l'agent. L'acte dont il s'agit, qui est typiquement un acte d'inscription de la part d'une instance mobile vis-à-vis du lieu d'inscription, ne peut être que l'acte d'un corps, il présuppose un agent capable de s'orienter, de bouger par rapport à un environnement qu'il traite, d'interférer avec lui en vue du résultat discret de la trace. Seulement, si nous respectons l'idée que le sens d'idéalité, de réitérabilité illimitée, que le dégagement de l'universel de tous les gestes possibles comme type ou idéalité transcendants, sont donnés dans l'agir même du corps mathématisant, nous devons conclure que les // gestes de ce corps ne sont pas des gestes ordinaires mais des gestes génériques. Les mouvements et dépôts d'inscription, les actes de focalisation sur un lieu de l'environnement de ce corps, possèdent d'emblée la puissance de

<footnote n="30">30. *Ibid.*, p. 74-5.</footnote>

<footnote n="31">31. Sur la forme que prendrait un scepticisme pragmatiste, et le rapport avec la théorie du corps idéal, voir plus loin, 10.3.2.</footnote>

<footnote n="32">32. SALANSKIS, *Philosophie des mathématiques* cit., p. 77-8.</footnote>
l'indéfinie occurrence : ce qui veut dire à la lettre, en termes du langage dont nous disposons déjà bien que nous interrogrions son origine, que ces gestes sont idéaux ; que ce corps, donc, est idéal.

Notre idéalo-pragmatisme professe donc que le sujet de la mathématique constructive est le corps idéal : un centre de gestes, un facteur de traces, un pourvoyeur d'horizons et d'orientation pour lequel les fonctions énumérées à l'instant ne sont pas bornées par la singularisation sensible. Le corps idéal est le corps dont émane l'agir qui fonde l'idéalité mathématique comme telle, la transcendance à l'égard des occurrences. Il est un corps paradoxal supposé nous installer (nous, la pensée) de force et d'emblée, avec toute la certitude souhaitable en vue de la poursuite de l'intérêt théorique, dans la structure symbolique au gré de l'activité constructive. Nous ne posons pas le corps idéal comme une composante ontologique de l'être humain, en demandant implicitement aux sciences cognitives d'en répertorier les symptômes et d'en proposer une explication naturaliste, mais comme un sens de l'agir qui s'impose et prévaut « autour » du geste constructif. L'agir mathématique est l'agir qui prend le sens et la tournure des gestes du corps idéal, et qui nous embarque du même coup dans un jeu de l'idéalité.

Tout cela étant posé, il reste encore à comprendre pourquoi le langage (c'est-à-dire vraisemblablement la forme primitive du constructif instituant du symbolique) n'est pas déjà des mathématiques. La réponse que suggère l'auteur est que le corps idéal, dans l'activité mathématique, « libère le geste constructif de son implication dans la fabrique permanente de la chaîne signifiante<fnref n="33" /> », et fait prévaloir l'objet constructif comme tel, le geste idéal comme tel, sur la signification. Cela se manifeste de façon particulièrement vive dans le fait que la pratique formaliste contemporaine opère avec des signes dépourvus de sens, qu'elle institue comme symboles asignifiants dans une répétition où seule la place dans l'ordre constructif vaut comme pourvoyeuse de vérité<fnref n="34" />.

<footnote n="33">33. Ibid., p. 78.</footnote>

<footnote n="34">34. Voir, pour une exploration philosophique très différence de ces problèmes du signe dépourvu de sens et de son rôle dans l'établissement d'un ordre de l'itératif, Quentin Meillassoux, *Répétition, itération, réitération*, Conférence dans le cadre des « Lundis de la Philosophie », organisés par Francis Wolff, École Normale Supérieure, Paris 23 fév. 2011, http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=3053 (visité le 07/09/2018) ou Quentin Meillassoux, « Iteration, Reiteration, Repetition. A Speculative Analysis of the Sign Devoid of Meaning », in *Genealogies of Speculation. Materialism and Subjectivity since Structuralism*, éd. établie et introd. par Armen Avanessian et Suhail Malik, trad. du français par Robin Mackay et Moritz Gansen, Bloomsbury, 2016, chap. 5, p. 117-97.</footnote>
On comprend aisément que l'activité constructive est incapable de nous donner l'in-
finité comme objet, comme un des objets produits par le corps idéal ou accroché au
bout d'une branche arborescente. L'infini, dans un contexte constructif, ne peut a priori
faire sens que comme indéfinité, inachevabilité de la poursuite des branches, précisément
comme ce qui ne peut pas être donné ou comme l'impossibilité d'une clôture<fnref n="35" />. Mais,
d'après l'hypothèse poursuivie ici, nous ne pouvons pas non plus simplement poser que
nous avons un accès intuitif à l'objet infini (ou, plus exactement, nous ne pouvons pas
fonder une connaissance sur l'accès intuitif que nous supposons avoir), dans la mesure
où la tentative d'élaborer une intuition contemplative à la hauteur de l'infini (l'intuition
ensembliste) l'a révélée au pire contradictoire, au mieux incontrôlable. Pour comprendre
comment la mathématique du XXᵉ siècle – post-contemplative – nous donne accès à des
objets infinis, nous devons donc nous pencher sur l'autre, second, type d'objectivité, ce-
lui qui a été porté au premier plan pour sauver les intuitions infinitaires de la débâcle
contemplative – à savoir l'objectivité corrélative.

10.2.3 L'objectivité corrélative

L'objectivité corrélative est, dans les termes de Salanskis : « l'objectivité qui revient aux
objets supposés membres d'une collection satisfaisant globalement une liste d'axiomes », dans ce qui
constitue « un nouveau régime littéraire de la fiction<fnref n="36" /> ».

En effet, la fiction ordinaire est fiction d'objets dont on prédique un ensemble de
prédicats (Sherlock Holmes habite au 221B Baker St.) et auxquels le jeu du langage lui-
même prête une sorte de place ontologique – nous traitons les objets fictionnels comme
des étants, comme les étants qu’ils ne sont pas, c’est là précisément le jeu de la fiction
ou le jeu auquel entraîne la fiction. Il n’y a pas de frontière nette entre la fiction et le
mensonge, en entendant l’une et l’autre nous projetons une réalité que nous acceptons
temporairement, à ceci près que dans la fiction reçue comme telle nous savons que nous
jouons au réel, nous acceptons de faire comme si.

<footnote n="35">35. Sur le rapport entre l'objectivité constructive et l'inachevabilité zénonienne dont nous parlons depuis le début – rapport qui en lui-même devrait être suffisamment manifeste – voir 10.3</footnote>

<footnote n="36">36. SALANSKIS, *Philosophie des mathématiques* cit., p. 79.</footnote>
La nouvelle fiction mathématique permise par l'axiomatique a à voir avec cette pratique, à plusieurs différences près. La première est que son procédé de postulation fictionnelle ne vise pas à constituer un objet déterminé (pas même un objet multiple, une foule), mais d'emblée une sorte de monde, ou plus précisément – car la fiction peut aussi viser à la constitution d'un monde – une multiplicité qui satisfait collectivement une liste de conditions générales exprimées par les axiomes de la théorie.

Il faut insister tout de suite sur la différence entre la multiplicité donnée par la corrélation et la multiplicité donnée par le constructif : une clause récursive me donne une classe indéfinie conçue comme en progression, dont chaque membre est réputé résultat unique d'une construction spécifique. Je peux concevoir la classe dans son extension indéfinie, mais je la contemple comme l'extension – au sens actif – d'une série de productions toutes individuées, chacune donnable dans la construction. Quel que soit par ailleurs le crédit “ontologique” que j'accorde ou non aux “entités” visées par ma pratique constructive, il n'en reste pas moins que chacune est individuellement visée par une écriture spécifique au sujet de laquelle (et de l'individuation de laquelle) je ne suis pas censé avoir de doute. Je n'ai pas besoin de savoir si ou en quel sens le nombre 3 “existe”, mais je dois savoir qu'il est l'objet individuel de ma visée à travers la construction indubitable « III » – faisant suite à la construction « II ». Et il en va de même, par hypothèse, pour chacune des choses dont ma pratique constructive est supposée parler.

Si je pose une axiomatique, en revanche, je postule (sur le mode d'un faire comme si) l'existence globale d'un univers de référence, tel qu'en général je ne peux pas garantir qu'il existe une écriture pour “chacun” des “individus” de la multiplicité – ou même tel que je peux garantir qu'il est impossible qu'existe une telle écriture pour chacun des individus. La position de l'axiomatique elle-même ne me permet pas en général de maîtriser quelque chose comme la “taille” de la multiplicité invoquée.

Les axiomes sont possiblement, et en pratique presque systématiquement, quantifiés – c'est-à-dire qu'ils affirment que tous les objets possèdent une propriété, ou qu'il en existe au moins un ayant une propriété – et ils affirment des relations entre les divers objets, généralement en usant des quantificateurs ($∀, ∃$), qui peuvent être réitérés :
« $\forall x \exists y R(x, y) \wedge S(y)$ » énonce, par exemple, que la multiplicité est concernée par une relation binaire R et une propriété S, de manière à ce qu’à chacun des éléments de la multiplicité ($\forall x$, « pour tout x ») on puisse associer un élément ($\exists y$, « il existe un y ») qui vérifie avec elle la relation binaire ($R(x, y)$) et qui vérifie la propriété ($S(y)$). Si une multiplicité est visée à travers la position de cet axiome, celui-ci “restreint” en quelque sorte – mais d’une façon *indicible*, c’est-à-dire, au fond vide – la multiplicité possible (elle ne peut contenir aucune “chose” qui ne vérifie l’axiome).

À la fois à titre d’exemple – quoi qu’il s’agisse de plus que cela –, pour mémoire et pour les besoins futurs, nous considérons successivement les trois axiomatiques formelles les plus connues et utilisées, formulées dans la logique des prédicats du premier ordre : la théorie des groupes, l’arithmétique de Peano, et la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel avec axiome du Choix (ZFC). Il se trouve que chacune des trois présente un cas très différent pour la question de l’objectivité corrélatrice : l’axiomatique des groupes ne renvoie pas naturellement à une multiplicité déterminée, mais semble toujours vécue intrinsèquement comme *structure* abstraite pouvant concerner une multitude d’objets particuliers (il n’y a pas naturellement quelque chose comme “le groupe”, qui serait invoqué par les axiomes) ; l’axiomatique de Peano, tout au contraire, se comprend naturellement comme réglementation formelle permettant de prouver des énoncés sur *une* multiplicité bien connue et immémoriablement familière, à savoir la suite des nombres ; l’axiomatique ensembliste, enfin, correspond bien à un « univers » envisagé au travers de l’axiomatique, et auquel aucun accès n’est vraiment possible en dehors d’une axiomatique ; mais il se trouve jouer (ou avoir joué au XXᵉ siècle) un rôle très particulier qui est celui de *fournir une ontologie*, un sous-bassement d’existence, à toutes les autres axiomatiques formelles en général. Nous y revenons plus loin. Tout ceci ne remet pas en cause le fait qu’en un certain sens strict, et strictement formative, les trois théories sont (au mieux) des structures abstraites, et aucune ne fournit (à strictement parler) une ontologie, ni ne renvoie à un objet déterminé.

Pour la théorie des groupes, on a une loi de composition notée « $\circ$ » – qui associe un élément à toute paire composée de forme « $x \cdot y$ » – une constante identité $e$ et trois axiomes, qui établissent l’associativité de la loi de composition, le rôle d’élément neutre de $e$ par la loi de composition et l’existence, pour chaque élément, d’un inverse pour la loi de composition (c’est-à-dire un élément qui, composé avec l’élément de départ, donne l’élément neutre $e$).
(Le groupe le plus communément connu est les entiers relatifs, avec l'addition comme loi de composition, 0 comme élément neutre et le négatif de chaque nombre comme son inverse) :

$$ \forall x \forall y \forall z \quad x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z $$

$$ \forall x \quad e \cdot x = x \cdot e = x $$

$$ \forall x \exists y \quad x \cdot y = y \cdot x = e $$

Pour l'arithmétique de Peano (qui est censée nous permettre de représenter les nombres entiers positifs et les opérations arithmétiques sur eux) on a une fonction successeur S, deux lois de composition : l'addition + et la multiplication *, et une constante 0. On a sept axiomes, qui régissent la constante et les fonctions (qui s'assurent que 0 joue bien son rôle et que la succession, l'addition et la multiplication fonctionnent comme prévu), ainsi qu'un schéma d'axiomes. Un schéma d'axiomes n'est pas un axiome, mais il est une règle permettant de former des axiomes à partir d'énoncés corrects du langage. Une théorie comportant un schéma d'axiomes a en fait une infinité d'axiomes, mais la pratique permettant de produire cette infinité d'axiomes est constructive, consiste à produire des chemins ou arbres de constructions. Remarquablement, la multiplicité régie par l'infinité des axiomes successivement productibles est supposée abordable d'emblée, sans avoir à effectivement produire cette infinité.

En l'occurrence, le schéma d'axiome nous dit (pour simplifier) que pour tout prédicat que je peux formuler dans le langage (toute propriété qui se dit d'un élément), si je peux montrer que ce prédicat est vrai de 0 et que, s'il est vrai d'un certain n, alors il est vrai de son successeur Sn, alors il est axiomatiquement vrai que ce prédicat est vrai pour tout n, pour tout nombre entier positif. Il s'agit donc du schéma d'axiome d'induction, de ce qui nous permet, au sein du formalisme, d'appliquer la démonstration par récurrence.

1. $\forall x \neg Sx = 0$ (0 n'est le successeur de rien)

2. $\forall x \neg x = 0 \rightarrow \exists y Sy = x$ (tout entier qui n'est pas 0 est le successeur d'un autre entier)

3. $\forall x \forall y Sx = Sy \rightarrow x = y$ (la succession est injective, autrement dit deux entiers différents ne peuvent avoir le même successeur)

4. $\forall x x + 0 = x$
5. $\forall x \forall y \ x + Sy = S(x + y)$

6. $\forall x \ x * 0 = 0$

7. $\forall x \forall y \ x * Sy = (x + y) + x$

8. Pour toute formule $\phi$ du langage, « $[\phi(0) \land (\forall x \phi(x) \rightarrow \phi(Sx))] \rightarrow (\forall x \phi(x))$ » est un axiome.

La théorie des ensembles est une théorie extrêmement puissante, qui est classiquement formulée sans constante et sans fonction primitive, avec une unique relation binaire $\in$, dite “d’appartenance”, qui dit qu’un “ensemble” – c’est-à-dire simplement un élément de la multiplicité visée par l’axiomatique, dans ce “monde” il n’y a rien d’autre que des ensembles – “appartient” à un autre ensemble. Dans la déontologie formaliste officielle, aucune signification n’est censée être mise derrière cette notion d’appartenance, précédemment à sa réglementation par les axiomes. La théorie a en fait de nombreuses axiomatiques équivalentes différentes, certains de ses axiomes étant tellement puissants qu’ils permettent de se passer d’autres qui sont éventuellement plus intuitifs. Nous ne présentons donc pas une axiomatique complète (qu’en fait, remarquablement, il n’est quasiment jamais nécessaire de donner), mais différentes fonctions qui doivent être remplies par l’axiomatique et différents axiomes qui permettent de les remplir :

D’abord, il est indispensable d’avoir un axiome, dit *axiome d’extensionnalité*, qui identifie deux ensembles (deux objets) par leur “extension”, par les éléments qu’ils possèdent. L’axiome dit que si rien ne peut appartenir à l’un sans appartenir à l’autre, et *vice versa*, alors ils sont identiques :

$$ \forall x \forall y [\forall z (z \in x \Leftrightarrow z \in y) \Rightarrow x = y] $$

Il faut également garantir l'existence d'au moins un ensemble – puisqu'il n'y a pas de constante –, s'assurer de faire *démarrer* la multiplicité. Cela peut être obtenu par un axiome logique qui assure de l'existence de quelque chose en général, du type

$$ \exists x \ x = x $$

Classiquement, néanmoins, on introduit *l'axiome de l'ensemble vide*, assurant l'existence d'un ensemble qui n'a aucun élément :

$$ \exists x \forall y \ \neg y \in x $$

On peut immédiatement prouver que tous les ensembles vides sont identiques¹, en sorte qu’on puisse parler, dans la théorie, de *l’ensemble vide*, unique, que l’on note $\emptyset$, traitant
ce signe comme une constante. Mais son existence – qui intervient constamment dans les preuves ensemblistes – peut, à l'aide d'autres axiomes, généralement être elle-même prouvée, à condition cependant que l'on puisse garantir qu'au moins un ensemble existe.

On a ensuite des règles qui garantissent, à partir de l'existence supposée donnée de certains ensembles, l'existence d'autres ensembles plus riches ou plus englobants. Il s'agit de l'axiome de la paire et de l'axiome de l'union. L'axiome de la paire dit qu'étant donné deux ensembles A et B, il existe un ensemble ayant A et B pour éléments.

$$ \forall x \forall y \exists z \ (x \in z \land y \in z) $$

Le second, axiome de l'union, dit qu'étant donné un ensemble $\mathcal{F}$ – par exemple l'ensemble $\mathcal{F} = \{\{a,b\} \{b,c\}\}$, qui contient les ensembles $\{a,b\}$ et $\{b,c\}$ –, il existe un ensemble A qui réunit tous les éléments des éléments de $\mathcal{F}$, soit ici $A = \{a,b,c\}$.

$$ \forall \mathcal{F} \exists A \forall Y \forall x \ [(x \in Y \land Y \in \mathcal{F}) \Rightarrow x \in A] $$

Il est important de noter que les deux axiomes précédents ne disent pas, en toute rigueur, qu'existe *la* paire, ou *l'union*, mais toujours (au moins) *un* ensemble qui contient (au moins) les éléments de ce qui serait la paire ou l'union. Il nous faut donc une méthode qui permette, dans tous les cas et beaucoup plus généralement que simplement pour ces deux axiomes, d'obtenir un ensemble qui contienne *exactement* ce que l'on veut. Il s'agit en fait d'un schéma d'axiome, dit *schéma d'axiome de séparation*. Pour le comprendre, il est nécessaire de définir la notion de "sous-ensemble" ou de "partie". Une partie A d'un ensemble B est un ensemble qui ne contient aucun élément que B ne contient pas lui aussi. On note cela $A \subset B$, « A est inclus dans B », « tous les éléments de A sont des éléments de B ». Cette relation est définie à partir de l'appartenance, mais ne lui est pas du tout équivalente. Par exemple, $\{a,b\}$ est une partie de $\{a,b,c\}$, est inclus dans $\{a,b,c\}$, mais n'est pas un de ses éléments, car les seuls éléments de $\{a,b,c\}$ sont a, b et c. Cela étant posé, le schéma d'axiome de séparation énonce (pour simplifier encore) que pour tout prédicat $\phi$ s'appliquant à des ensembles, et étant donné un ensemble A quelconque, il existe un sous-ensemble de A qui contient *exactement* les éléments de A qui vérifient le prédicat. En substance, si on est capable de dire exactement ce que l'on veut dans le sous-ensemble, on peut avoir ce sous-ensemble :

$$ \forall z \forall w_1 \forall w_2 \dots \forall w_n \exists y \forall x \ [x \in y \Leftrightarrow (x \in z \land \phi(x))]^1 $$

Donc si, par exemple, il existe (au moins) un ensemble qui contient (au moins) les ensembles donnés A et B, alors il existe un ensemble (la paire), sous-ensemble du premier, qui contient *exactement* A et B, et rien d'autre.
Les axiomes énumérés jusque là constituent une théorie élémentaire des ensembles finis,
qui pourrait être entièrement constructive, constituée de chemins de construction ou d'objets
produits par arborescence. Les axiomes qui restent, en revanche, font passer immédiatement
la théorie dans l'inconstructible. Le premier est l'axiome de l'infini. Il y a plusieurs manières
de postuler l'existence d'un infini dans la théorie des ensembles. La plus classique consiste à
partir de l'ensemble vide ∅ et d'une opération indéfiniment réitérable S qui part de ∅ et qui
garantit qu'à chaque étape successive on obtient un élément nouveau, distinct, et de poser
qu'il existe un ensemble qui contient tout ce que l'itération indéfinie de l'opération S peut
produire :

$$
\exists X [\emptyset \in X \wedge \forall y (y \in X \Rightarrow S(y) \in X)]
$$

Les axiomes restants sont là (en somme) pour autoriser des pseudo-opérations qui ne
pourraient pas – en général, pour des ensembles infinis – être constructivement accomplies.
Le plus simple, l'axiome de l'ensemble des parties dit qu'étant donné un ensemble A, il en
existe un, noté P(A), qui contient (comme éléments) toutes les parties du premier.

$$
\forall x \exists y \forall z \ [z \subseteq x \Rightarrow z \in y]
$$

Si l'ensemble A de départ est fini, il est facile d'énumérer successivement ses parties et
donc de produire leur ensemble. De ce fait, pour les cas finis, cet axiome n'est pas nécessaire
et son résultat pourrait être obtenu par application successive de l'axiome de la paire et
du schéma d'axiome de séparation. Mais si A est infini, on peut facilement prouver qu'il
est impossible d'énumérer ses parties. Cet axiome nous fait donc irrémédiablement sortir du
constructible, si nous posons qu'existent des ensembles infinis (ce qui est le but de la théorie
des ensembles).

Les deux derniers ont des fonctions semblables, mais sont moins élémentaires et plus
difficiles à expliquer. Il s'agit du *schéma d'axiome de remplacement* et de *l'axiome du choix*.
Le *schéma d'axiome de remplacement* permet (en substance) de former un ensemble à partir
d'un ensemble donné et d'une fonction qu'on définit dans le langage et qui s'applique aux
éléments de l'ensemble de départ. Le schéma d'axiome garantit que l'image de l'ensemble
par la fonction constitue un ensemble⁴. *L'axiome du choix*, quant à lui, permet (informelle-
ment parlant) de sélectionner un élément particulier dans chaque ensemble (non vide) d'une
famille donnée d'ensembles⁵. L'axiome du Choix (qui donne son *C* à ZFC) est équivalent
au *théorème de bon ordre*, qui peut donc aussi bien être posé en axiome, et qui énonce que
tout ensemble peut être *bien ordonné* (ce qui veut dire ordonné à la manière des ordinaux,
ou tel que toute partie non-vide de l'ensemble contient un élément qui est le plus petit de cette partie, selon l'ordre¹).

a. Dans les versions standards de la théorie, on veut aussi s'assurer que l'appartenance se comporte bien, notamment qu'il n'arrive jamais qu'un ensemble soit élément de lui-même, ou qu'un ensemble puisse avoir un élément qui a un élément qui a un élément ...à l'infini. Cela est assuré par *l'axiome de fondation* qui dit que tout ensemble non-vide a au moins un élément avec lequel il ne partage aucun élément : $\forall x [\exists a (a \in x) \Rightarrow \exists y (y \in x \land \neg \exists z (z \in y \land z \in x))]$.

b. En utilisant l'axiome d'extensionnalité, on vérifie tout de suite que si l'un et l'autre n'ont aucun élément, alors ils ont triviallement exactement les mêmes éléments, donc ils sont identiques.

c. Où $\phi$ est une formule de ZFC ayant ses variables libres dans $x, w_1, ..., w_n$.

d. Soit $\phi$ une formule de ZFC ayant ses variables libres dans $x, y, A, w_1, ..., w_n$ et telle, en particulier, que B ne soit pas libre dans $\phi$. Alors $\forall A \forall w_1 \forall w_2 ... \forall w_n [\forall x (x \in A \Rightarrow \exists! y \phi) \Rightarrow \exists B \ \forall x (x \in A \Rightarrow \exists y (y \in B \land \phi))]$. Autrement dit, si $\phi$ représente une fonction définissable f ayant pour domaine l'ensemble A et des ensembles pour valeurs d'arrivée, alors l'image de A par f est aussi un ensemble, sous-ensemble d'un certain ensemble B.

e. Pour toute famille $(S_i)_{i \in I}$ d'ensembles non-vides il existe une famille $(x_i)_{i \in I}$ d'éléments tels que $x_i \in S_i$ pour chaque $i \in I$.

f. Cela n'est pas une condition triviale : par exemple il n'y a pas un plus petit entier négatif, donc l'ensemble des entiers relatifs, pourvu de son ordre habituel, n'est pas bien ordonné.

Salanskis commence par exposer d'une manière schématique la pratique de l'objectivité corrélative (la manière dont nous nous y rapportons comme à une objectivité), portrait sommaire à partir duquel il mène une discussion qui le révise, le précise au regard de nombreuses complications, et en même temps le justifie. Voilà ce portrait<fnref n="37" /> :

> [D]es objets sont introduits par la stipulation d'un texte axiomatique, énumérant toute la structure qualitative qu'une multiplicité les rassemblant doit posséder. On stipule les axiomes, on les inscrit et les liste au début d'un chapitre [ou] d'un traité, et ensuite, on raisonne sur une multiplicité arbitraire satisfaisant tous ces axiomes, en faisant comme si elle était là, sous la main, offerte à notre contemplation, n'ayant plus qu'à être connue et déterminée par la pensée.

La première considération qui vient compliquer ce portrait est que, si on prend à la lettre la déontologie formaliste, celle justement qui a commandé que nous n'apprê-hendions les mondes mathématiques qu'à travers le prisme d'une théorie formelle, il semblerait qu'il n'y ait pas de visée intentionnelle à avoir. Que nous n'ayons pas à pos-tuler axiomatiquement des mondes, ni à jouer au *faire comme si*, mais que nous en soyons réduit à la manipulation des *écritures* de la théorie formelle, se déroulant à partir de ces énoncés formels que sont les axiomes grâce aux règles d'inférences (qui sont pro-prement des règles de *construction*). Il n'y aurait rien d'autre qu'un jeu analogue à celui

<footnote n="37">37. *Ibid.*, p. 80.</footnote>
de construction des *ombes*, quoi que largement plus compliqué, en sorte qu'il y aurait
bien quelque chose à manipuler, mais des *phrases*, et non des objets dont parleraient
ces phrases. Mais, remarque Salanskis, cette position formaliste stricte, quoi qu'elle soit
*en droit* possible – et, davantage encore, qu'elle constitue une position de repli toujours
possible en cas de contestation, une version officielle absolument sûre et dénuée de tout
engagement “naïf” – est aussi finalement *invraisemblable*, elle ne correspond tout sim-
plement pas à la pratique. Le cas le plus important ici est la théorie des ensembles, qui
est à la source de la motivation originelle du formalisme et de l'objectivité corrélatrice :
historiquement parlant, ce qui motive l'élaboration de la théorie formelle ZFC est l'effon-
drement (à cause des paradoxes) de la pratique intuitive d'une logique des multiplicités
et de l'appartenance, mais, aussi bien, la volonté de pouvoir continuer à utiliser cette
intuition et se mouvoir en elle. C'est cette intuition qui motive les axiomes et les dé-
monstrations, et le formalisme est adapté *parce que* l'intuition veut se maintenir, non *en
dépit* de son insistance.

Salanskis remarque qu’il serait donc faux d’opposer une phase intuitive naïve et une
phase formaliste, ou de faire choisir entre une intuition impuissante et une conceptualité
vide. Dans la perspective phénoménologique qui est la sienne, il cherche à justifier au
contraire que la postulation axiomatique correspond à une visée intentionnelle (un « voir
comme »), en vertu de quoi est possible un accès à la vérité (celle que délivre justement
l’axiomatique)³⁸³⁹ :

La « loi » ZFC est plutôt ressentie comme une loi *prolongeant* l'intuition originaire des ensembles jusqu'à une synthèse absolument vraie [que comme] une abrogation de cette intuition.

En sorte que pour un mathématicien, le « système » ZFC est à *la fois* axiomatique et intuitif, il est l'intuition élargie en vérité, l'intuition comme vérité. Mais qu'est-ce que « l'intuition comme vérité », sinon l'intentionnalité en tant qu'elle pose l'objet dans sa stature originaire et en fixe

<footnote n="38">38. *Ibid*, p. 82-3.</footnote>

<footnote n="39">39. L'auteur rappelle dans cet ouvrage, mais développe ailleurs (Jean-Michel Salanskis, « Logicité et non-logicité de l'axiomatique », *Archives de Philosophie*, 63 (2000), p. 681-704; Jean-Michel Salanskis, « La salutaire in-objectivité des mathématiques chez Kant », in *Kant face aux mathématiques modernes*, sous la dir. d'Emmanuel Barot et Julien Servois, Vrin, 2010, p. 97-124) que le type d'anticipation sur la vérité, accessible par la seule voie de la loi axiomatique, que nous entretenons vis-à-vis des ensembles, doit se comprendre de façon analogue à l'intuition pure de l'espace dans la théorie kantienne.</footnote>
l'accès, en détermine le voir comme, dans le même mouvement qu'elle // en prescrit la connais-
sance<sup>40</sup> ?

Une autre façon de montrer « l'engagement intentionnel » vis-à-vis de l'objectivité
corrélative, est, nous dit l'auteur, de le voir à l'œuvre dans la pratique démonstrative,
ce qu'il illustre à partir de l'exemple (élémentaire) de la démonstration de l'unicité de
l'élément neutre d'un groupe, qui s'obtient en supposant qu'il y ait deux éléments neutres
e et é et en prouvant alors leur identité grâce aux axiomes :

eé = e (si é est élément neutre)

eé = é (si e est élément neutre)

Donc é = e (par transitivité de l'égalité)

Salanskis évoque la difficulté qu'ont la plupart des élèves pour la première fois
confrontés au problème : « ils n'aperçoivent absolument pas quel geste de connaissance leur serait
accessible dans cette étrange situation où leur a été seulement dit ce que doit satisfaire un groupe pour
être un groupe<sup>41</sup> ». D'après l'auteur, la difficulté consiste justement dans le fait qu'il est
nécessaire

Que l'on ne s'en tienne pas à la stipulation, mais qu'on la laisse plutôt faire monde pour nous.

L'enjeu de la preuve se reformule alors dans le cadre de cette assomption de monde : on se
retrouve dans un groupe avec *e* et *é*, chacun qualifié de neutre. Et le geste à faire s'impose :
dans un groupe, si deux éléments me sont donnés, je peux les opérer, ce geste est donné par
la stipulation comme accessible<sup>42</sup>.

En général, dit-il, la simple compréhension élémentaire de la mathématique, sans
même parler de son invention, nécessite de reconstruire une « navigation quasi-existentielle »
dans le monde que nous délivrent les axiomes et à partir du savoir sur lui qu'ils nous
délivrent. On voit que la quasi-habitation du monde dépend elle-même de notre capa-
cité à en désigner des existants particuliers (fussent-ils indéterminés, pris “au hasard”)
et à effectuer sur eux des opérations discrètes, c'est-à-dire que la visée intentionnelle

<footnote n="40">40. SALANSKIS, *Philosophie des mathématiques* cit., p. 82-3.</footnote>

<footnote n="41">41. Ibid., p. 85.</footnote>

<footnote n="42">42. Ibid., p. 86.</footnote>
corrélative est elle-même donnée par le biais de la capacité à reproduire les gestes du constructif.

Il n'empêche que, nous ne fréquentons pas, en fait, un monde, au travers d'une axiomatique, que nous ne saisissons effectivement aucun être, car la multiplicité visée reste, comme totalité, transcendante. Une manière dont nous pouvons vivre ce fait est de voir ce que l'auteur appelle la « contingence » du monde quasi-habité par rapport à l'axiomatique. L'axiomatique en tant que telle n'étant porteuse d'aucune référence (com- ment le pourrait-elle ?) rien ne garantit dans son texte la “justesse” du monde que nous avons choisi d'habiter à travers elle<sup>43</sup>. Pour voir ce point, le meilleur cas est peut-être l'axiomatique de Peano et en général les axiomatisations de l'arithmétique, conçues pour formaliser notre rapport de familiarité avec les entiers, à propos desquels nous espérons pouvoir maintenir un rapport de catégoricité. Mais l'on sait que Peano admet en fait des “modèles non standard”, c'est-à-dire qu'elle peut être interprétée dans des multiplicités radicalement différentes que celle que nous anticipons comme $N$. D'une manière encore plus fondamentale, rien ne nous empêche de jouer le jeu du sceptique et de faire semblant de ne pas entendre “l'interprétation attendue” de la théorie des ensembles. Pour s'en te- nir à l'axiome d'extensionnalité, qu'est-ce qui nous garantit en fait que deux ensembles établis comme “égaux” ne sont qu'un seul individu ? Tout ce que nous savons est “qu'ils ont les mêmes éléments” et qu'ils appartiennent aux mêmes ensembles – car l'égalité permet de les substituer. Nous pouvons alors nier qu'en fait il n'y ait qu'un seul en- semble vide, et par conséquent que ce que ZFC appelle le “singleton” de l'ensemble vide soit réellement un ensemble à un seul élément<sup>44</sup>. Peut-être qu'il y a en fait 5 ensembles

<footnote n="43">43. Ce rapport d'une théorie axiomatique à une multiplicité de “mondes possibles” a en fait un versant proprement mathématique qui est la théorie des modèles. Nous ne pouvons pas rentrer dans le détail de ce qui constitue la théorie des modèles, mais en substance il s'agit de construire une théorie mathématique du rapport entre une axiomatique et ses différents “modèles” possibles, isomorphes ou non, au sein de la théorie des ensembles, qui joue alors un rôle de fond ontologique général pour l'ensemble de la pratique mathématique : une théorie trouve des modèles, c'est-à-dire des ensembles, dans lesquels elle est interprétée. Le problème, philosophique, de cette situation, étant que l'on occulte alors le fait que la théorie des ensembles n'est elle-même qu'une théorie formelle, qu'elle-même est incapable de garantir son propre “fond de référence”. Quand on envisage qu'elle pourrait elle-même avoir plusieurs modèles, on doit finalement – si elle est tenue pour la théorie ultime en-deçà de laquelle on ne trouve plus d'interprétant –, en revenir à l'imagination métaphysique. Ce fait lui-même se reflétant à nouveau dans la théorie des modèles. Sur tout ça, voir *ibid.*, p. 87 et SALANSKIS, *Le constructivisme non standard* cit.</footnote>

<footnote n="44">44. Le singleton d'un ensemble A est, nous dit-on, l'ensemble qui a A pour unique élément. Mais,</footnote>
vides (évidemment équivalents en extension, puisque vides), qui se trouvent (axioma-
tiquement) toujours appartenir aux mêmes ensembles. Peut-être n'ont-ils pas d'ailleurs
un seul "singleton", mais 7, tous de nouveau absolument indistinguishables dans la théorie.
Ces "ensembles tous égaux" sont en un sens un *unique* ensemble, et un *unique* élément,
dans la mesure où ils sont absolument indifférents et indistinguishables *dans la théorie des
ensembles*, mais je peux feinter de croire qu'ils ne sont pas une unique *chose*; et que
cette théorie des multiplicités qu'est la théorie des ensembles échoue, par conséquent, à
décrire ses propres multiplicités. Bien sûr cette feinte sceptique est ultimement absurde,
mais cette absurdité donne justement une idée à la fois de la nécessité dans laquelle nous
sommes de vivre un monde en regard de notre théorie, et de l'impossibilité que la théorie
formelle elle-même garantisse l'identité de ce monde<fnref n="45" />.

10.2.4 Entrelacement des objectivités

Comprendre l'activité mathématique dans son rapport à l'objectivité ne nécessite pas seulement de comprendre l'un et l'autre de ses aspects, mais surtout de comprendre leur interaction et pour ainsi dire leur entrelacement. En effet, il serait théoriquement possible d'être un.e *constructiviste strict.e*, de s'en tenir aux produits successifs d'opérations arborescentes, mais c'est une possibilité sans exemple : tou.te.s les mathématicien.ne.s, y compris celles et ceux qui pensent le constructif, travaillent avec le formalisme et dans des mondes axiomatiques – c'est-à-dire en fait travaillent à la mathématique standard. Malgré cela, ils et elles peuvent bien sûr exprimer, depuis la perspective qui est la leur, une insatisfaction devant le résultat de *certaines règles logiques* (le tiers-exclu) ou de *certains axiomes* (l'axiome du choix) qui font, selon leur jugement, sortir les axiomatiques du rôle qui devrait être le leur, de codification et communication de l'activité mathématique authentique.

De même, il serait théoriquement possible d'être *formaliste strict*, de cantonner la

<footnote>rétorquera le sceptique, ce n'est pas du tout ce que sa définition affirme. Ce qu'elle affirme est que tous les éléments de cet ensemble sont égaux à A ! En effet, la manière formelle d'affirmer l'unicité est toujours de dire que “s’il y en a d’autres” ils sont égaux.</footnote>

<footnote n="45">45. Cet argument ne se trouve pas dans le texte de Salanskis. Nous remercions Luc Pellissier pour ses conseils sur le sujet.</footnote>
mathématique à l'activité formelle, mais cela serait une position encore plus aberrante, qui reviendrait à un constructivisme strict qui, de plus, aurait perdu le sens de l'objet mathématique – que la poursuite des arbres de construction donnait au contraire immédiatement. Ou plus exactement, cela consisterait en une pratique de *logique constructiviste*, une *métamathématique constructiviste* des arborescences de phrases et de déduction, non de l'objectivité mathématique dont ces phrases étaient censées parler.

Il serait en revanche impossible, et là se trouve le point décisif, d'être "corrélationniste strict", de vivre uniquement dans des mondes au travers de la postulation axiomatico-fictive, sans s'en remettre aux opérations itérables *a priori* et fournissant les produits de constructions. La raison principale à cela n'est même pas le fait que le constructif est *ce qui constitue* l'édifice axiomatique lui-même – quoi que ce soit un aspect important du problème. La raison principale est que nous n'accédons pas en fait à l'objectivité corrélative *par* le formalisme – car celui-ci est muet en ce qui concerne l'objet – mais *par le constructif*. Non pas celui qui permet de produire les phrases et les inférences, mais celui que le formalisme sert à coder, réguler et communiquer, celui qui opère sur les objets. Nous en avons déjà dit un mot plus haut : on accède au sens de monde à travers notre capacité à référer à des individus singuliers par des écritures et à mener des opérations successives sur eux, opérations qui sont codées et réglementées dans le formalisme. Il n'y a monde à habiter que strictement parce que nous pouvons faire jouer le constructif dans la multiplicité que nous donne l'axiomatique. Il est important de rendre ce point tout à fait clair : le corrélatif n'est possible comme position de monde que parce que nous vivons la multiplicité donnée collectivement dans l'axiomatique comme ce sur quoi nous pouvons mener des opérations qui ne sont pas elles-mêmes formalistes ; pour la raison simple, que nous avons déjà donnée, qui est que si nous nous replions sur le formalisme lui-même, nous avons de nouveau affaire à du constructif, mais à du constructif sur les phrases, non sur les objets, ensembles, éléments de groupes ou nombres entiers. Au sens strict, au niveau du formalisme, nous ne formons jamais une *paire* ou un *successeur*, mais nous appliquons les règles d'inférences et de substitution pour intégrer de nouvelles phrases au stock des théorèmes.