# Région de Pétra : étude hydrologique à partir de prémices morphologiques

Christian Depraetere

► To cite this version:

Christian Depraetere. Région de Pétra: étude hydrologique à partir de prémices morphologiques. Compagnie Bas Rhone Languedoc; EDF Mécénat; Laboratoire d'Hydrologie, ORSTOM, Montpellier. 1995. hal-04660970

HAL Id: hal-04660970

https://hal.science/hal-04660970v1

Submitted on 24 Jul 2024

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

Public Domain
# Région de Pétra :
etude hydrologique à partir de prémices morphologiques

Ch. Depraetere

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Septembre 1995

ORSTOM
Laboratoire d'Hydrologie
Montpellier
France
La région de Pétra se situe sur le rebord oriental du rift responsable de la formation du golfe d'Akaba au sud et de la vallée du Jourdain au nord (figure 1). La zone couverte par l'étude forme un quadrilatère de 15 par 20 km soit 300 km². Toutefois l'étude hydrologique portera exclusivement sur le bassin versant de Wadi Musa (Rivière de Moïse) en amont des gorges de Pétra, soit un bassin de 52 km².

La présentation du cadre physique de la région et du bassin de Wadi est essentiellement inspirée du document rédigé par un ensemble d'experts de l'UNESCO intitulé « Draft Management Plan for Petra Archaeological and Natural Park » (Unesco, 1993). La lithologie de la région comporte trois unités sub-méridiennes:

- à l'est le plateau du Djebel Shera formé de roches calcaires du Crétacé,

- au centre le Massif de Pétra formant un palier topographique développé dans des grès Ordoviciens et Cambriens,

- à l'ouest la dépression de Wadi Araba (Rivière des Arabes) formée de roches cristallines.

On notera que l'étage topographique inférieur de Wadi Araba se raccorde localement au palier du Massif de Pétra par un étage intermédiaire.

Le talus de raccordement entre l'étage supérieur du Plateau du Djebel Shera et l'étage moyen du Massif de Pétra est typiquement un relief de cuesta développé en structure sédimentaire sub-horizontale affectée d'un léger pendage vers l'est. On retrouve localement les grandes caractéristiques morpho-structurales formant la majeure partie de la plaque arabique. La couche de calcaire massif d'âge Crétacé constitue la roche dure alors que les couches de grès ordoviciens et cambriens fracturés forment la roche tendre sous-jacente. Il est probable que la moindre résistance des grès par rapport aux calcaires ne procède pas de leur composition minéralogique mais des failles et des diaclases qui les affectent. En milieu sec, les calcaires sont faiblement altérés. En revanche, les grès fracturés et diaclasés seront plus facilement affouillés par l'érosion physique assurée par les écoulements torrentiels typiques des régions semi-arides.

Le talus de raccordement entre l'étage moyen du Massif de Pétra et l'étage inférieur de Wadi Araba doit être interprété comme un escarpement de lignes de faille, voire comme un ensemble d'escarpements de lignes de faille sub-parallèles. Il s'agit de la limite entre la plaque arabique et le fossé tectonique du rift. C'est dans la région de Pétra que l'affaissement du graben associé au rift a été le moins marqué : au sud la dépression forme le golfe d'Akaba, au nord le fossé tectonique est occupé par la Mer Morte dont l'altitude est de -260 mètres.

Outre l'intérêt géologique souligné par les auteurs du rapport de l'UNESCO (« the diversity makes the development of specific geological visitors' trails inside the National Park of great potential interest »), la région de Pétra présente également un grand intérêt géomorphologique par la variété des formes de terrain qui en constituent le paysage.
Le climat actuel de la région est semi-aride (100-300 mm), voire aride (moins de 100 mm) dans la vallée de Wadi Araba. Un gradient pluviométrique associé à l'orographie permet aux précipitations inter annuelles de passer de 50 mm dans la dépression (200 mètres) à 300 mm sur le plateau du Djebel Shera (1500 mètres). Les pluies sont reparties sur une vingtaine de journées pendant la saison hivernale. Les flux de masses pluviogènes viennent de l'ouest et du sud-ouest ce qui expliquerait en partie le gradient pluviométrique observé. On dispose de totaux annuels sur 8 années (1984-1991) sur le site du village de Wadi Musa (1.100 mètres) : la moyenne sur la période est de 240 mm avec un minimum de 193 mm en 1986 et un maxima de 300 mm en 1987. La moyenne de 240 mm est cohérente par rapport au gradient pluviométrique suggéré pour la région. Si la moyenne de 20 jours de pluies par an est admise, la pluie moyenne journalière serait de 12 mm. Aucune information n'est disponible sur le nombre d'événements pluvieux. Si ces pluies sont associées à des fronts cycloniques hivernaux venant de l'ouest, il est possible qu'elles soient groupées sur des périodes de quelques jours, l'effet orographique se traduisant par un accroissement de la durée des averses sans qu'il y ait accroissement du nombre d'événements de l'aval vers l'amont.

La violence des écoulements et de l'érosion se traduit par la formation de cônes de déjection pouvant prendre une grande ampleur aux débouchés des oueds dans la dépression de Wadi Araba. Les caractéristiques actuelles du climat et des écoulements sont sans doute assez semblables à celles qu'a connues la région depuis 4000 ans. Le rapport de l'UNESCO suggère que lors de la période nabatéenne (100 B.C., 200 A.D.) le régime climatique devait être similaire ou peu différent de l'actuel.

La végétation est peu couvrante et protège mal le sol de la violence des averses. Le plateau du Djebel Shera et son talus sont sur leur majeure partie occupée par une steppe (« Shir steppe ») associés à des genévriers phéniciens (Juniperus phoenicia). A titre anecdotique, une forêt de chênes sempervirents (Quercus calliprinos) menacée par le surpâturage subsiste dans le Djebel Hisha. La végétation se développant dans le lit des oueds dépend de la présence ou non d'une nappe associée. Lorsque la nappe est présente, des tamaris et des lauriers rose associés parfois à des roseaux et des fougères occupent le lit. En son absence, le couvert végétal se limite à quelques petites touffes éparses (Retama raetam, Thymelaea hirsuta, Daphne linearifolia).

Aucune donnée hydrologique n'est actuellement disponible sur le bassin versant de Wadi Musa. Une ancienne échelle limnimétrique nous a cependant été signalée à proximité du barrage situé à l'entrée des gorges de Pétra appelées Es Siq (figure 2). Le barrage aurait été construit pendant la période Nabatéenne. Sa fonction essentielle serait de dériver les eaux de Wadi Musa vers un tunnel aboutissant à une autre gorge, celle du Wadi al Mudhlim.

Cette étude tentera de préciser certaines caractéristiques hydrodynamiques du bassin versant de Wadi Musa sur lequel on ne dispose d'aucune donnée hydrologique. On utilisera pour cela des méthodes basées sur des prémices morphologiques ce qui les apparentes à celles dites de l'hydrogramme géomorphologique.
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>figure 1 :</figcaption></figure>
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>figure 2 :</figcaption></figure>
Principes généraux des méthodes utilisées :

Les principes ne seront pas exposés dans leurs détails. On distinguera deux méthodes de simulation des hydrogrammes.

La première procède d'une approche stochastique de la relation entre la forme du bassin (et donc de la structure des écoulements superficiels qui en découle) et les processus d'écoulement. Cette méthode baptisée TOPASE (TOPographie Appliquée à la Simulation des Ecoulements) a fait l'objet d'un article (Depraetere et al., 1991). Le logiciel de simulation TOPASE (Depraetere, 1993) est intégré dans la chaîne de production et de traitement de Modèles Numériques de Terrain (MNT) DEMIURGE (Depraetere, 1992) disponible auprès du Laboratoire d'Hydrologie de l'ORSTOM à Montpellier.

La seconde méthode repose sur une estimation des temps de transfert à l'exutoire sur la base physique d'une représentation des caractéristiques morpho-dynamiques des chenaux des rivières (voir annexe 1). Cette méthode sera baptisée « Fonction de Transfert Morphologique » soit FTM. Cette méthode est développée par Frédéric Moniod, directeur de recherche à l'ORSTOM, et Christian Depraetere.

Les méthodes TOPASE et FTM procèdent de l'exploitation du modèle de drainage obtenu à partir d'un Modèle Numérique de Terrain (MNT). Un MNT est une grille régulière d'altitudes donnant une représentation de la surface topographique. Un MNT se caractérise par son « pas », soit sa résolution spatiale, soit encore la distance entre les points altitudinaux de la grille.

La méthode TOPASE permet d'estimer les deux paramètres hydrodynamiques d'une crue associée à une averse impulsionnelle homogène sur l'ensemble du bassin et ruisselant dans son intégralité : ces deux paramètres sont le temps de réponse $T_r$ (assimilable en ce cas au temps de montée) et le débit maximum $Q_{max}$. On peut en déduire une estimation du temps de base $T_b$. A partir de $T_r$, $Q_{max}$ et $T_b$. On établit un hydrogramme impulsionnel triangulaire devant correspondre à une représentation simplifiée de la réponse impulsionnelle du bassin étudié. Afin de vérifier la cohérence de la simulation, les ordres de grandeur de $T_r$, $Q_{max}$ sont comparés à la réponse du bassin lors d'averses observées pouvant être assimilées à des averses impulsionnelles homogènes sur l'ensemble du bassin.

La méthode FTM fournit un hydrogramme simulé en fonction d'un pas de temps défini par l'opérateur. La méthode FTM peut être appliquée à des averses impulsionnelles ou variable dans le temps et inégalement reparties sur le bassin. Cette méthode, donnant une représentation plus physique du fonctionnement hydrologique des écoulements, permet de comparer de façon plus détaillée le résultat des simulations avec les hydrogrammes observés associés à des structures d'averses plus complexes et donc plus proche de la réalité.
Réalisation du MNT de la région de Pétra :

Un MNT au pas de 25 mètres (résolution spatiale correspondant à des mailles
morphologiques de 25 par 25 mètres) a été réalisé à partir de la carte au 1/50.000ème. Les
courbes de niveau ont été numérisées avec le module de numérisation T2 de DEMIURGE
(figure 3). Le MNT a été calculé avec le module d'interpolation OROLOG de DEMIURGE
(figure 4). Par sous-échantillonnage du MNT au pas de 25 mètres, deux autres MNT l'un au
pas de 50 mètres (sous-échantillonnage d'un facteur 2), l'autre au pas de 100 mètres (sous-
échantillonnage d'un facteur 4) ont été établis. L'erreur quadratique moyenne sur les altitudes
est de l'ordre de 2 mètres.

Les modèles de drainage dérivés de ces trois MNT sont globalement satisfaisants ce qui
se traduit par un réseau hydrographique et des limites de bassins proches de ce que l'on
observe sur la carte originelle.
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>figure 3 :
Région de Pétra
Courbes de niveau numérisées à partir de la carte au 1/50.000ème</figcaption></figure>
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>figure 4 :
MNT vue de l'ouest</figcaption></figure>
Analyse géomorphométrique de la région :

Les altitudes sont comprises entre 240 et 1734 mètres (figure 5). L'histogramme de fréquences des altitudes (figure 6) se caractérise par quatre modes correspondant à des paliers topographiques :

- étage 1(étage « Wadi Araba inférieur »): 240 à 660 mètres, valeur modale 640 mètres. Cet étage devrait correspondre à la zone cristalline de Wadi Araba.

- étage 2 (étage « Wadi Araba supérieur »): 660 à 860 mètres, valeur modale 780 mètres. Il s'agit d'un gradin de faille intermédiaire entre l'étage 1 de Wadi Araba et l'étage 3.

- étage 3 (étage de «Pétra »): 860 à 1320 mètres, valeur modale 1040 mètres. Cet étage correspond à la zone développée dans les grès situés en contrebas de la cuesta formant le plateau associé à l'étage 4.

- étage 4 (étage du « Djebel Shera »): 1320 à 1740 mètres, valeur modale à 1580 mètres. Il s'agit du plateau du Djebel Shera développé sur le revers de la cuesta des calcaires crétacés.

On a ainsi un dispositif en escalier comportant quatre niveaux topographiques à 640, 780, 1040 et 1580 mètres ménageant trois talus de raccordement de commandement et de nature variables :

- escarpement de ligne de faille entre les niveaux 1 et 2 : commandement 120 mètres,

- escarpement de ligne de faille entre les niveaux 2 et 3 : commandement 260 mètres,

- talus de la cuesta entre les niveaux 3 et 4 : commandement 540 mètres.

Les méthodes de mesures géomorphométriques effectuées à partir du MNT sont exposées en détails dans le manuel d'utilisation de DEMIURGE (Depraetere, 1992).
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>figure 6 :</figcaption></figure>

<figure><img src="image_7.png" /></figure>
Les pentes (figure 7) laissent apparaître quelques contrastes en fonction des unités morpho-structurales. Les pentes sont faibles (0 à 4°) ou modérées (4 à 12°) sur le plateau du Djebel Shera. L'étage de Pétra se caractérise par de fort contraste entre les zones de glacis en faible pente (0 à 4°) et les massifs ruiniformes et puissamment disséqués développés dans les grès fracturés (pentes supérieures à 20°). L'étage du Wadi Araba supérieur forme contraste avec l'étage du Wadi Araba inférieur, le premier étant marqué par de fortes pentes alors que le second se caractérise par des pentes sensiblement plus faibles.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>figure 7 :</figcaption></figure>
L'estompage du relief (figure 8) suggère l'existence de failles transverses par rapport aux failles majeures associées au rift. Certaines semblent recoupées plusieurs des unités morpho-structurales préalablement décrites. Elles ont un rôle sensible sur l'orientation des drains secondaires du réseau hydrographique.

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>figure 8 :</figcaption></figure>
Les informations hydrographiques extraites du MNT sont conformes à celles observées sur la carte (figures 9 et 10). Les limites de bassin dérivés du MNT sont très proches de celles établies manuellement à partir de la carte. La superficie du bassin situé en amont des gorges de Es Sik est de 51,59 km²(bassin 6 et 7 de la figure 10).
<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>figure 10 :</figcaption></figure>

<figure><img src="image_11.png" /></figure>
Les diverses mesures de convexité (figures 11, 12 et 13) ainsi que celle de l'encaissement (figure 14) font ressortir selon leurs modalités spécifiques la dichotomie vallée-interfluve typique du modelé fluviatile de cette région. On distingue aisément la zone du plateau du Djebel Shira (large espacement entre les fonds de vallées et les lignes d'interfluves) ainsi que le talus de la cuesta (faible contraste entre vallée et interfluve) du reste de la région qui se caractérise par un modelé plus fin et présentant de forts contrastes locaux.
<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>figure 12 :</figcaption></figure>

<figure><img src="image_13.png" /></figure>
<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>figure 14 :</figcaption></figure>

<figure><img src="image_15.png" /></figure>
Les mesures de courbure (figures 15, 16 et 17) sont révélatrices de la signature morphologique des roches, particulièrement lorsque les résultats bruts ont été lissés. Le contraste entre la zone calcaire correspondant au plateau du Djebel Shira et son talus d'une part et le reste de la région d'autre part apparaît de façon plus ou moins marquée sur les trois types de mesures de courbures.
<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>figure 16 :</figcaption></figure>

<figure><img src="image_17.png" /></figure>
<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>figure 17 :</figcaption></figure>
## Etudes morpho-hydrologiques :

L'étude morpho-hydrologique ne portera que sur le bassin versant de Wadi Musa en amont du barrage. La superficie du bassin varie dans de faibles proportions en fonction du pas d'échantillonnage du MNT:

- 51,69 km² soit 82714 mailles pour le MNT au pas de 25 mètres,

- 51,58 km² soit 20634 mailles pour le MNT au pas de 50 mètres,

- 50,97 km² soit 5097 mailles pour le MNT au pas de 100 mètres.

La méthode FTM procède d'une part d'une estimation des caractéristiques probables des chenaux en fonction de la surface drainée, de la pente locale, d'autre part une dimension fractale des chenaux d'écoulement supposée acceptable dans la gamme d'échelles considérée.

Deux caractéristiques apparaissent fondamentales dans la détermination d'une fonction de transfert morphologique à l'échelle d'un bassin comme celui de Wadi Musa. Il s'agit de la longueur et de la pente des chenaux. La représentation du relief sous la forme d'une grille d'altitudes permet d'obtenir une représentation du drainage globalement satisfaisante quant aux directions d'écoulement mais généralement inappropriée à une estimation des longueurs et des pentes d'écoulement. En effet, ces deux paramètres s'avèrent dépendant du pas de la grille ce qui prouve qu'il ne peut s'agir que d'ordre de grandeur sans doute fort éloigné de la réalité physique propre aux chenaux d'écoulement.

Pour les longueurs, il est nécessaire d'introduire la notion de « longueur intra-maille ». A l'intérieur d'une maille de pas P, la longueur minimale du chenal d'écoulement sera égale à P pour les drains orthogonaux et $\sqrt{2}P$ pour les drains transversaux. Cette longueur intra-maille du chenal sera admise lorsque la largeur locale du chenal sera supérieure ou du même ordre de grandeur que le pas P ou lorsque la dimension fractale du réseau de chenaux dans la gamme d'échelles considérée est de 1, ce qui revient à admettre que le modèle de drainage constitue une représentation planimétriquement correcte du réseau. Lorsque la largeur du chenal est inférieure au pas P et la dimension fractale supposée du réseau perçu à l'échelle considérée est définie comme supérieure à 1, alors la longueur intra-maille sera supérieure au pas P. Selon la méthode utilisée par défaut dans cette étude (aucun document à grande échelle, pas d'observations de terrain, absence de photos des chenaux), on obtient pour un pas de 25 mètres et un chenal de 6 mètres de large une longueur intra-maille $L_{ia}$ égale à 41,25 mètres lorsque la dimension fractale du chenal est supposée égale à 1,1.

Cette longueur intra-maille du chenal va permettre de recalculer une « pente d'écoulement » $P_e$ plus faible que la pente $P_m$ directement calculée à partir des mailles du MNT. Une pente $P_m$ de 5% sera ainsi ramenée sur le cas précédent à une pente d'écoulement de $P_e$ de 3%. Il est donc possible d'affirmer qu'un modèle d'écoulement établi à partir d'un modèle de drainage qui négligerait les correctifs mentionnés ne peut que sous estimer les longueurs d'écoulement et sur estimer les pentes d'écoulement. Un tel modèle ne peut prétendre être utilisé sans calibration. En revanche, un modèle du type FTM ayant par définition un sens physique devrait fournir des résultats relativement stables et significatifs dans une certaine gamme de résolutions spatiales et de pas de temps, ceci sans calibration. La méthode FTM s'avère donc pertinente pour le bassin de Wadi Musa sur lequel on ne dispose d'aucune donnée hydrologique.
Pour chaque maille, la méthode FTM fournit les informations suivantes sur les caractéristiques des chenaux :

- longueur intra-maille L<sub>ia</sub>,

- la pente d'écoulement P<sub>e</sub>,

- largeur l du chenal,

- profondeur p du chenal.

A partir de ces valeurs morphologiques, les caractéristiques hydrologiques suivantes sont définies :

- vitesse intra-maille V,

- volume du chenal et donc la quantité maximale d'eau pouvant être contenue dans la maille sans débordement du chenal.

Pour que le modèle morphologique de transfert soit invariant spatialement, il est nécessaire que certaines valeurs globales soient du même ordre de grandeur lorsque varie le pas P du MNT :

- invariance des volumes cumulés (L<sub>ia</sub>.P<sub>e</sub>.N.I.p),

- invariance des longueurs non-projetées cumulées des chenaux (L<sub>ia</sub>.P<sub>e</sub>.N.P).

En fixant le MNT au pas de 50 mètres comme donnant les valeurs de référence (valeurs égales à 1), on obtient les résultats suivants :

- volumes cumulés des chenaux : 1,009 à 100 m., 1 à 50 m. et 1,1 à 25 m.,

- longueurs cumulées des chenaux : 0,992 à 100 m., 1 à 50 m. et 0,994 à 25 m.,

Les fluctuations sont donc faibles pour les volumes et les longueurs cumulées pour les pas compris entre 25 et 100 mètres ce qui satisfait la condition d'invariance des ordres de grandeur. Le modèle morphologique adopté pour les chenaux est donc stable dans la gamme de résolution de MNT compris entre 25 et 100 mètres ce qui permet d'envisager l'exploitation de la FTM avec ces MNT.
Résultats morphologiques
sur les caractéristiques des chenaux d'écoulement

<table><thead><tr><th></th><th>100</th><th>50</th><th>25</th></tr></thead><tbody><tr><td>Pas du MNT</td><td>100</td><td>50</td><td>25</td></tr><tr><td>Nombre de mailles</td><td>5097</td><td>20634</td><td>82714</td></tr><tr><td>Superficie en km²</td><td>50,97</td><td>51,585</td><td>51,69625</td></tr><tr><td>Longueur intra-maille</td><td colspan="3">en mètres</td></tr><tr><td>L<sub>ia</sub> minimum</td><td>125</td><td>58</td><td>27</td></tr><tr><td>L<sub>ia</sub> 50% médiane</td><td>221</td><td>108</td><td>53</td></tr><tr><td>L<sub>ia</sub> maximum</td><td>238</td><td>120</td><td>61</td></tr><tr><td>L<sub>ia</sub> moyenne</td><td>215</td><td>107</td><td>53</td></tr><tr><td>Pente de la maille</td><td colspan="3">en degrés</td></tr><tr><td>P<sub>m</sub> minimum</td><td>0,05</td><td>0,05</td><td>0,05</td></tr><tr><td>P<sub>m</sub> 50% médiane</td><td>5,43</td><td>5,76</td><td>5,99</td></tr><tr><td>P<sub>m</sub> maximum</td><td>24,28</td><td>33,38</td><td>53,38</td></tr><tr><td>P<sub>m</sub> moyenne</td><td>11,08</td><td>11,91</td><td>12,5</td></tr><tr><td>Pente d'écoulement</td><td colspan="3">en degrés</td></tr><tr><td>P<sub>e</sub> minimum</td><td>0,057</td><td>0,1</td><td>0,1</td></tr><tr><td>P<sub>e</sub> 50% médiane</td><td>5,43</td><td>5,76</td><td>5,99</td></tr><tr><td>P<sub>e</sub> maximum</td><td>24,28</td><td>33,38</td><td>53,38</td></tr><tr><td>P<sub>e</sub> moyenne</td><td>5,92</td><td>6,52</td><td>6,98</td></tr><tr><td>Largeur du chenal</td><td colspan="3"></td></tr><tr><td>largeur 0-9 cm</td><td>7,9%</td><td>53%</td><td>77,6%</td></tr><tr><td>largeur 10-19 cm</td><td>72,5%</td><td>37,5%</td><td>17,4%</td></tr><tr><td>largeur 29-99 cm</td><td>15,8%</td><td>7,7%</td><td>4,0%</td></tr><tr><td>largeur 100-199 cm</td><td>2,8%</td><td>1,3%</td><td>0,7%</td></tr><tr><td>largeur ≥ 200 cm</td><td>1,0%</td><td>0,5%</td><td>0,2%</td></tr><tr><td>largeur maximale</td><td>7,3 m.</td><td>6,1 m.</td><td>6,0 m.</td></tr><tr><td>largeur moyenne</td><td>0,244 m.</td><td>0,147 m.</td><td>0,098 m.</td></tr><tr><td>Profondeur du chenal</td><td colspan="3">en mètres</td></tr><tr><td>profondeur minimale</td><td>0,135 m.</td><td>0,105 m.</td><td>0,079 m.</td></tr><tr><td>profondeur maximale</td><td>1,08 m.</td><td>0,977 m.</td><td>0,969 m.</td></tr><tr><td>profondeur moyenne</td><td>0,217 m.</td><td>0,177 m.</td><td>0,147 m.</td></tr><tr><td>Volumes cumulés Vc</td><td>58.334 m³</td><td>57.820 m³</td><td>63.625 m³</td></tr><tr><td>Longueurs cumulées Lc</td><td>110,17. 10<sup>b</sup></td><td>111,11.10<sup>b</sup></td><td>110,41.10<sup>b</sup></td></tr></tbody></table>
Les résultats des deux méthodes seront commentés simultanément pour chaque MNT. Sur chaque MNT, on applique une averse impulsionnelle de 1 mm (temps 0) uniformément répartie sur l'ensemble du bassin et ruisselant dans son intégralité.

## Résultats hydrologiques avec la méthode TOPASE

<table><thead><tr><th></th><th>100</th><th>50</th><th>25</th></tr></thead><tbody><tr><td>Pas du MNT</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Nombre de mailles N</td><td>5097</td><td>20634</td><td>82714</td></tr><tr><td>Superficie S en km²</td><td>50,97</td><td>51,585</td><td>51,69625</td></tr><tr><td>T<sub>r</sub> temps de réponse</td><td>72 (1h.12m.)</td><td>69 (1h.9m.)</td><td>67 (1h.7m.)</td></tr><tr><td>T<sub>b</sub> temps de base</td><td>157 (2h.37m.)</td><td>160 (2h.40m.)</td><td>160 (2h.40m.)</td></tr><tr><td>Q<sub>max</sub> m³/s</td><td>10,86</td><td>10,78</td><td>11,01</td></tr><tr><td>Q<sub>max</sub> m³/(s. km²)</td><td>0,213</td><td>0,209</td><td>0,213</td></tr></tbody></table>

## Résultats hydrologiques avec la méthode FTM

<table><thead><tr><th></th><th>100</th><th>50</th><th>25</th></tr></thead><tbody><tr><td>Pas du MNT</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Nombre de mailles N</td><td>5097</td><td>20634</td><td>82714</td></tr><tr><td>Superficie S en km²</td><td>50,97</td><td>51,585</td><td>51,69625</td></tr><tr><td>Temps de transfert</td><td colspan="3">à l'exutoire en minutes</td></tr><tr><td>T<sub>tr</sub> minimum</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>T<sub>tr</sub> 10%</td><td>45</td><td>40</td><td>37</td></tr><tr><td>T<sub>tr</sub> 25%</td><td>65</td><td>59</td><td>56</td></tr><tr><td>T<sub>tr</sub> 50% médiane</td><td>97 (1h.37m.)</td><td>87 (1h.27m.)</td><td>83 (1h.23m.)</td></tr><tr><td>T<sub>tr</sub> 75%</td><td>131</td><td>118</td><td>113</td></tr><tr><td>T<sub>tr</sub> 90%</td><td>165</td><td>145</td><td>138</td></tr><tr><td>T<sub>tr</sub> maximum</td><td>214 (3h.34m.)</td><td>189 (3h.9m.)</td><td>183 (3h.3m.)</td></tr><tr><td>T<sub>tr</sub> moyenne</td><td>101 (1h.41m.)</td><td>91 (1h.31m.)</td><td>86 (1h.26m.)</td></tr><tr><td>Temps de transit</td><td colspan="3">intra-maille en secondes</td></tr><tr><td>T<sub>tra</sub> minimum</td><td>37</td><td>12</td><td>5</td></tr><tr><td>T<sub>tra</sub> 10%</td><td>152</td><td>83</td><td>45</td></tr><tr><td>T<sub>tra</sub> 25%</td><td>185</td><td>105</td><td>57</td></tr><tr><td>T<sub>tra</sub> 50% médiane</td><td>230 (3m.50s.)</td><td>128 (2m.8s.)</td><td>74 (1m.24s.)</td></tr><tr><td>T<sub>tra</sub> 75%</td><td>270</td><td>159</td><td>95</td></tr><tr><td>T<sub>tra</sub> maximum</td><td>979 (16m.19s.)</td><td>728 (12m.8s.)</td><td>444 (7m.24s.)</td></tr><tr><td>T<sub>tra</sub> moyenne</td><td>234 (3m.54s.)</td><td>136 (2m.16s.)</td><td>80 (1m.20s.)</td></tr></tbody></table>
Sur le MNT au pas de 100 mètres avec la méthode TOPASE, le temps de réponse est de 1h. 12 m., le temps de base est de 2h. 37m. et le débit maximum est de 10,86 m³/s soit 0,213 m³/(s. km²) (**figure 19**). Cet hydrogramme impulsionnel schématisé sous la forme d'un triangle avec la méthode TOPASE peut être comparé à l'histogramme de fréquences des temps de transfert à l'exutoire fourni par la méthode FTM (voir histogramme sur la **figure 18** et carte sur la **figure 17**). Le maximum des temps de transfert est de 3h. 34m., la moyenne des temps de transfert de 1h. 41m. et la médiane de 1h. 37m.. Les fréquences les plus fortes de temps de transfert sont comprises entre 1h. et 1h.50m.. Les résultats de la méthode FTM sont stables pour les pas de temps compris entre 8 et 30 minutes (**figure 20**). Le pic de la crue de 7 m³/s est atteint en un peu plus d'une heure et se stabilise à 6,5 m³/s pendant environ 40 minutes. Les résultats obtenus à des pas de temps plus fins se traduisent par une récession plus précoce (5 et 6 minutes) ou par un étalement considérable de la crue (1 et 3 minutes).
<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>figure 19 :</figcaption></figure>

<figure><img src="image_20.png" /></figure>
figure 20 :

<figure><img src="image_21.png" /></figure>
Sur le MNT au pas de 50 mètres, les résultats de la méthode TOPASE sont les suivants : le temps de réponse est de 1h. 9 m., le temps de base est de 2h. 40m. et le débit maximum est de 10,78 m³/s soit 0,209 m³/(s. km²) (figure 22). Le maximum des temps de transfert fourni avec la méthode FTM est de 3h. 9m., la moyenne des temps de transfert de 1h. 31m. et la médiane de 1h. 27m.. Les fréquences les plus fortes de temps de transfert sont comprises entre 53m. et 1h.40m. (voir histogramme de la figure 22 et la carte de la figure 21). Les résultats de la méthode FTM sont stables pour les pas de temps compris entre 4 et 30 minutes (figure 23). Le pic de la crue de 7,5 m³/s est atteint en un peu moins d'une heure et se stabilise à cette valeur de 7,5 m³/s pendant environ 45 minutes. Les résultats obtenus à des pas de temps plus fins se traduisent par une récession plus précoce (2 et 3 minutes) ou par un étalement considérable de la crue (1 minute).
<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>figure 22 :</figcaption></figure>

<figure><img src="image_23.png" /></figure>
Simulations de la fonction de transfert morphologique
au pas de temps 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 20 et 30 minutes
MNT au pas de 50 mètres

<figure><img src="image_24.png" /></figure>

Amortissement appliqué à la simulation au pas de temps de 4 minutes
MNT au pas de 50 mètres

<figure><img src="image_25.png" /></figure>
Sur le MNT au pas de 25 mètres avec la méthode TOPASE, le temps de réponse est de 1h. 7 m., le temps de base est de 2h. 37m. et le débit maximum est de 11,01 m³/s soit 0,213 m³/(s. km²) (**figure 26**). Le maximum des temps de transfert fourni avec la méthode FTM est de 3h. 3m., la moyenne des temps de transfert de 1h. 26m. et la médiane de 1h. 23m.. Les fréquences les plus fortes de temps de transfert sont comprises entre 55m. et 1h.25m. (voir histogramme de la **figure 26** et la carte de la **figure 25**). Les résultats de la méthode FTM sont stables pour les pas de temps compris entre 2 et 30 minutes (**figure 27**). Le pic de la crue de 8 m³/s est atteint en 1h.25m. et se stabilise à cette valeur de 8 m³/s pendant environ 30 minutes. Les résultats obtenus au pas de temps de 1 minute se traduisent par une récession plus précoce.
<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>figure 26 :</figcaption></figure>

<figure><img src="image_27.png" /></figure>
<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>figure 27 :</figcaption></figure>
## Conclusions:

La méthode TOPASE suggère une réponse impulsionnelle du bassin homogène sur les MNT 25, 50 et 100 mètres : temps de réponse de 1h.10m., débit maximum de 11 m³/s (0,21 m³/s.km²), temps de base de 2h.40m.. La méthode FTM fournit des hydrogrammes impulsionnels également homogènes sur l'ensemble des MNT et dans une gamme de pas de temps assez large. Les hydrogrammes s'interprètent comme suit : temps de réponse de 1 heure, débit maximum compris entre de 7,5 et 8 m³/s (0,15 m³/s.km²), stabilisation du débit à des valeurs proches de celle du débit maximum pendant une période de 30 à 40 minutes, récession de la crue sur une période de 1h.20m. à 1h.40m., soit un temps de base compris entre 3 h. et 3h.30m..

Bien que les ordres de grandeur soient assez semblables avec les deux méthodes, quelques différences doivent être soulignées : les temps de réponse et les temps de base obtenus avec la méthode TOPASE sont légèrement plus faibles que ceux obtenus avec la méthode FTM, le débit maximum obtenu avec la méthode TOPASE est sensiblement plus fort que celui fourni par la méthode FTM. Cette différence s'explique en partie par le principe de construction de l'hydrogramme impulsionnel de FTM. Cette schématisation ne semblerait pas correspondre aux caractéristiques propres du bassin de Wadi Musa qui aurait une réponse hydrologique impulsionnelle se traduisant par un hydrogramme assez aplati comme le suggère les hydrogrammes de la méthode FTM ainsi que le fait que le bassin soit composé de trois sous-bassins de forme allongée.

Enfin, la dimension fractale du réseau utilisée dans FTM a été définie empiriquement comme ayant une valeur de 1,15 faute de documents ou d'observations adéquates. Une valeur plus faible de la dimension fractale aurait induit un temps de réponse plus court associé à un débit plus fort ce qui rapprocheraient les résultats de ceux obtenus avec la méthode TOPASE.

On notera que les résultats obtenus FTM sont peu sensibles au pas du MNT pour ce qui est de la morphologie des chenaux mais sont affectés par une légère dérive sur les hydrogrammes : augmentation des temps de transfert et de base lorsque le MNT passe d'un pas de 25 mètres à 100 mètres. Cette dérive s'explique par un amortissement inhérent au pas de discrétisation lors de l'application de l'opération de translation des volumes d'eau de la fonction de transfert.
Références :

Depraetere Ch., Moniod F., 1991 : Contributions des modèles numériques de terrain à la simulation des écoulements dans un réseau hydrographique : exemple du bassin de Bras-Daid (Guadeloupe). Hydrologie Continentale, vol. 6, n°1, 1991 : pp.29-53.

Depraetere Ch., 1992 : DEMIURGE 2,0, chaîne de production et de traitement de modèles numériques de terrain. Collection LogOrstom, ORSTOM Editions, Paris 1992.

Depraetere Ch. 1993 : TOPASE 1,0, TOPographie Appliquée à la Simulation des Ecoulements. Laboratoire de Recherche sur les Systèmes Aquatiques et leur Environnement, Laboratoire commun CNRE/ORSTOM, Antananarivo, Madagascar.

UNESCO, 1993 : Draft Management Plan for Petra Archaeological and Natural Park, Restricted Technical Report RP/1992-1993/III.3 serial n° FMR/CLT/CH/93/105, UNESCO, Paris.
# Lexique

## Dimension fractale du réseau :

Les réseaux hydrographiques présentent certaines caractéristiques qui permettent de les apparenter à des lignes fractales dont la dimension est comprise entre 1 (la droite) et 2 (le plan). En effet, la même structure de réseau se retrouve à plusieurs échelles ce qui suppose une homothétie interne ou en d'autre terme une « autosimilarité » transcalaire.

Toutefois, cette autosimilarité ne s'applique pas aux échelles très fines et ne peut s'appliquer à l'axe d'écoulement de la rivière (voir ci dessous). A partir de carte à petite échelle, il est possible de d'établir une dimension fractale sur une base statistique. Une fois cette dimension fractale établie (en général pour les réseaux la dimension est comprise entre 1,05 et 1,3), si l'hypothèse que cette dimension est valable à des échelles plus grandes, alors il est possible d'établir ce que serait les caractéristiques du réseau si l'on disposait de cartes à plus grande échelle.

<figure><img src="image_29.png" /></figure>

Il en va de même pour les MNT. Lorsqu'un MNT est disponible à un certain « pas » (résolution), il est nécessaire de s'interroger sur la validité des longueurs d'écoulement en fonction du pas considéré. Afin de parvenir à des longueurs d'écoulement pouvant prétendre avoir un sens physique, il faut que ces longueurs soient peu sensibles au pas de mesure, soit le pas du MNT. Il est alors nécessaire de faire intervenir la largeur du chenal d'écoulement relativement au pas de pas de mesure en tenant compte de la dimension fractale observée à une certaine échelle.
Ceci permet d'établir une longueur d'écoulement intra-maille qui sera supérieure à la longueur de drainage directement établie à partir du MNT (voir figure ci-dessous). A partir de cette longueur, on calcul une pente d'écoulement qui sera inférieure à celle calculée directement à partir du MNT. Les longueurs et les pentes d'écoulement « morphologiques» ainsi calculées en faisant intervenir la dimension fractale peuvent prétendre avoir un sens physique dans une gamme de résolution de MNT assez large.

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

Convexités et courbures :

Les mesures de « convexités » font référence aux propriétés de courbures de certaines lignes particulières de la surface topographique locale :

- convexité horizontale : courbure de la courbe de niveau ce qui est à mettre en relation avec les propriétés de convergence/divergence sur la surface.

- convexité verticale : courbure de la ligne de plus grande pente ce qui est à mettre en relation avec les propriétés d'accélération/décélération sur la surface.

- convexité transversale : courbure de la ligne perpendiculaire à la ligne de plus grande pente dans les sites encaissés (talweg, fond de vallée, vallon, etc.) ou à la ligne de plus faible pente dans les sites dégagés (interfluve, crête, éperon) ce qui est à mettre en relation avec les propriétés d'encaissement/dégagement de la surface.

- convexité directionnelle : courbure projetée des lignes de plus grande pente ce qui est à mettre en relation avec les propriétés dextrogyres ou lévogyres des versants.

Les mesures de « courbures » s'appliquent à l'ensemble de la portion locale de la surface : courbure totale (laplacien), courbure moyenne et courbure moyenne quadratique. Les courbures permettent d'apprécier la « texture » du relief ce que l'on peut également qualifier de modelé.

Le détail des méthodes de calcul est donné dans le manuel du logiciel DEMIURGE (Depraetere, 1992).

Annexes
# Annexe 1

## Base conceptuelle de la méthode Fonction de Transfert Morphologique (FTM)

### 1./ Estimations des caractéristiques morphologiques du chenal d'une rivière en fonction de prémices hydrologiques :

#### Hypothèse 1 :

On pose que $S_{km2}^{0.75}$ représente un régime de crue moyen sur tout bassin de superficie $S_{km2}$ :

$$ (1) \quad Q_{m3/s} = S_{km2}^{0.75} $$

#### Hypothèse 2 :

Supposons que la surface mouillée soit proportionnelle à $\rho^2$ et que le périmètre mouillé soit proportionnel à $\rho$. Le rayon hydraulique $R$ et la largeur de la rivière $\lambda$ seront également proportionnelles à $\rho$.

#### Estimation de la largeur du chenal :

D'après la formule de Strickler, on aurait :

$$ \begin{gathered} Q = k \cdot A \cdot R^{2/3} \cdot i^{1/2} \\ \text{ou } S^{0.75} = k \cdot \rho^2 \cdot \rho^{2/3} \cdot i^{1/2} \\ \text{ou encore } \rho = S^{0.75 \times 3/8} \cdot i^{-1/2 \times 3/8} \end{gathered} $$

Il est possible alors d'obtenir une estimation de la largeur de la rivière :

$$ (2) \quad \lambda = b \cdot S^{0.281} \cdot i^{-0.188} $$

Si on cherche à ajuster dans la nature la relation (2), on retiendra plutôt :

$$ (3) \quad \lambda = S^{0.45} \cdot i^{-0.25} \\ \text{avec } \lambda \text{ en mètres et } S \text{ en km}^2 $$

#### Estimation de la profondeur du chenal et de la vitesse :

On a $Q = \lambda \cdot H \cdot V$ et $V=k \cdot H^{2/3} \cdot i^{1/2}$ d'ou $Q/\lambda=H \cdot V$ et $H^{2/3}=V/(k \cdot i^{1/2})$
Selon (1) et (3), $Q$ et $\lambda$ ne dépendent que de $S$ et de $i$ d'ou $Q/\lambda=S^{0.3} \cdot i^{-0.25}$
Il vient que $(Q/\lambda)^{2/3}=(H \cdot V)^{2/3}$ d'ou $(S^{-0.3} \cdot i^{-0.25})^{2/3} = V/(k \cdot i^{1/2}) \cdot V^{2/3}$
La vitesse peut donc être estimée en fonction de $S$, $i$ et $k$ :

$$ (4) \quad V = S^{0.12} \cdot i^{0.4} \cdot k^{0.6} \\ \text{avec } V \text{ en m/s et } S \text{ en km}^2 $$
Comme $H = Q/\lambda V = S^{0,75-0,45-0,12} \cdot i^{0,25-0,4} \cdot k^{-0,6}$, on a :

$$ (5) \quad H = S^{0,18} \cdot i^{-0,15} \cdot k^{-0,6} $$
avec $H$ en mètres et $S$ en km$^2$

On vérifie bien que $Q = \lambda V H$.

### Hypothèse 3 :

Le coefficient de Strickler $k$ représente la « rugosité » du lit de la rivière au regard de l'écoulement. Il intervient à ce titre dans l'estimation de la vitesse $V$ des écoulements (4) et de la profondeur $H$ du chenal (5). Selon la rugosité, cet indice varie entre 10 et 30. Dans la nature, les torrents ont un lit pierreux en forte pente ce qui les rend rugueux au regard de l'écoulement. Inversement, les fleuves ont un lit en faible pente formé de bancs alluviaux argilo-sableux qui réduisent sensiblement la rugosité. On est autorisé à penser que $k$ est également fonction de la superficie $S$ du bassin et de la pente $i$ du lit.

Si on pose que $k = a \cdot S^m \cdot i^n$, on peut écrire empiriquement que :

$$ (6) \quad k = 10 \cdot S^{0,04} \cdot i^{-0,018} $$
avec $S$ en km$^2$

### Nouvelle estimation de la profondeur du chenal et de la vitesse indépendamment du coefficient de Strickler :

En remplaçant $k$ dans (4) et (5), on obtient des estimations de la vitesse $V$ et de la profondeur $H$ ne dépendant plus que de la surface $S$ du bassin et de la pente $i$ du chenal :

$$ (4\text{bis}) \quad V = 4 \cdot S^{0,144} \cdot i^{0,382} $$
avec $V$ en m/s et $S$ en km$^2$

Comme $H = Q/\lambda V = S^{0,75-0,45-0,12} \cdot i^{0,25-0,4} \cdot k^{-0,6}$, on a :

$$ (5\text{bis}) \quad H = 0,25 \cdot S^{0,156} \cdot i^{-0,132} $$
avec $H$ en mètres et $S$ en km$^2$

### Hypothèse 4 :

Si on admet que la puissance mécanique de l'écoulement par unité de largeur est constante de l'amont à l'aval (signifiant que le seuil de résistance du sol au creusement est homogène), la quantité $QV^2/\lambda$ est constante ce qui revient à admettre que :

$$ (7) \quad S^{0,588} \cdot i^{1,014} = c $$
avec $c$ constante et $S$ en km$^2$

Attribuons à cette constante $c$ la valeur arbitraire 0,4. La pente $i$ du lit ne dépend plus que de la surface $S$ du bassin soit $i = 0,405 S^{-0,58}$. On retrouve là la loi de pente de Horton selon laquelle la pente est proportionnelle à la surface drainée élevée à une puissance négative. L'exposant de $S$ est négatif ce qui signifie que les profils en long des rivières sont globalement concaves. Cet exposant pourrait éventuellement être calibré sur les profils en long observés.
## 2./ Réflexions sur les propriétés de longueur des écoulements en rivière :

Dans le langage courant, le terme de rivière inclut à la fois les notions de lit bordés par les deux rives et une masse d'eau se déplaçant entre ces rives. Les rives ont une existence morphologique effective et leurs caractéristiques perçues ou mesurées à diverses échelles permettent de les assimiler chacune à des objets fractals. Les deux rives fractales forment un chenal dont la largeur est localement assez constante. C'est dans ce chenal que va se former un écoulement que l'on peut tenter de ramener à une courbe rectifiée représentant l'axe du courant. Cet axe d'écoulement dépend de la forme des berges tout en ayant une longueur finie. En effet, si un écoulement avait les mêmes propriétés fractales que les berges qui l'encadrent, sa longueur serait infinie ce qui impliquerait un temps de transfert lui aussi infini. On notera que la courbe formée par l'axe d'écoulement dépendra également du niveau d'eau dans le chenal (étiage, régime moyen, crue, pouvant être associés aux notions de lit d'étiage, lit mineur, lit majeur).

Supposons qu'il soit possible de procéder sur une rivière à la mesure des longueurs des rives et de l'axe d'écoulement jusqu'à un pas infiniment petit. Tant que le pas de mesure sera supérieur à la largeur du chenal, la longueur des deux rives et celle de l'écoulement seront du même ordre de grandeur. Les résultats des mesures en faisant varier le pas seront conformes à la dimension fractale des berges. En revanche, lorsque le pas de mesure devient inférieur à la largeur du chenal, la longueur du chenal d'écoulement est inférieure à celles des rives. Lorsque le pas tend vers 0, la longueur des rives devient infinie, alors que la longueur de l'axe d'écoulement tendra vers une valeur finie dépendant du niveau d'eau dans le chenal. Elle sera faible en haute eau en particulier lors des crues et sensiblement plus longue en basse eau.

En conclusion, la mesure de longueur d'écoulement peut s'appuyer sur des propriétés fractales sans que celles-ci puissent s'appliquer à un pas de mesure qui serait en deçà de la largeur du chenal. On notera que la largeur du chenal apparaît comme un critère intervenant dans l'estimation d'une longueur d'écoulement « conventionnelle ».

## 3/ Applications à la détermination d'une fonction de transfert à partir de MNT :

Le programme de recherche EPEIOS (Estimation des champs de Pluies Efficaces par Intégration des Observations de Surface) se fixe pour objectif de définir les champs de pluies efficaces possibles sur plusieurs bassins jaugés connaissant d'une part les positions successives des nuages, d'autre part les hydrogrammes observés aux exutoires lors de l'évènement. La position successive des nuages (« nuages froids » potentiellement pluviogènes) permet de définir les zones de probabilité non nulle de pluies brutes et donc de pluies efficaces pendant un pas de temps. L'exploitation de la chronique de débits fournie par les hydrogrammes doit permettre de répartir les pluies efficaces dans la zone de probabilité non nulle ce qui suppose une fonction de transfert « inversible » capable de proposer une spatialisation des entrées connaissant les chroniques des sorties.

Cette démarche suppose une fonction de transfert spatialisée assurant un transfert non-linéaire (à chaque pas de temps, les vitesses doivent dépendre des volumes présents dans les chenaux en chaque point du réseau) à un pas de temps du même ordre de grandeur que celui des positions successives des nuages. Il est nécessaire pour cela de parvenir à une représentation localement approximative mais globalement satisfaisante des facteurs influençant le transfert, à savoir les caractéristiques des chenaux : longueur, largeur, profondeur et pente. L'intégration de ces caractéristiques à l'échelle d'un bassin doit être globalement invariante quelle que soit la taille de discrétisation du modèle de drainage.

Dans la première partie, une méthode est proposée pour calculer la largeur $\lambda$ et la profondeur H du chenal connaissant la surface S du bassin et la pente locale i du chenal. Il est possible de
calculer à partir de MNT la surface S. La valeur de pente i du chenal calculée à partir du MNT n'est qu'une approximation. En première approche, cette valeur i sera utilisée pour calculer la largeur $\lambda$ en tout point du MNT.

Suite aux réflexions de la deuxième partie, connaissant la largeur du chenal $\lambda$ et $\mu$ la résolution du MNT, on posera que la longueur L du chenal à l'intérieur d'une maille de pas $\mu$ (L est la longueur « intra-maille ») ne dépend que de la largeur du chenal soit :

$$ \text{Si } \lambda<\mu \text{ alors } L = a \quad \mu \text{ avec } a>1 \\ \text{sinon } L=\mu \\ \mu \text{ en mètres} $$

On posera en première approximation que $a=(\mu/\lambda)^\alpha$ avec $\alpha<1$. Le paramètre $\alpha$ serait lié à la notion de dimension fractale D du réseau par la formule $\alpha=D-1$, soit :

$$ (8) \quad L = \mu \cdot (\mu/\lambda)^{D-1} = \mu^D \cdot \lambda^{1-D} $$

La largeur du chenal est liée à la surface S du bassin et à la pente locale i (voir (3)).

Or $S = n (\mu/1000)^2$ avec n nombre de mailles drainées par la maille et $i=\Delta h/\mu$ avec $\Delta h$ la dénivelée en mètres de la maille d'où une longueur du chenal intra-maille L(n) d'une maille drainant n mailles :

$$ (9) \quad L(n) = \left( \mu^4 (\mu^{2/5} \cdot \Delta h \cdot n^{-9/5} \cdot 10^{10,8})^{D-1} \right)^{1/(D+3)} = \mu^{2(D+9)/(5(D+3))} \cdot \Delta h^{(D-1)/(D+3)} \cdot n^{-9(D-1)/(5(D+3))} \cdot 10^{10,8(D-1)/(D+3)} $$
<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>Annexe 2 :</figcaption></figure>