nement<sup>1</sup> : il s'agit d'appliquer à la combinaison des sections des principes géométriques s'appliquant aux sommes de grandeurs proportionnelles. Dans l'exemple trivial que nous avons donné, il suffirait de dire que puisqu'on a *deux multiplicités égales*, telles que chacun des éléments de l'une a une certaine proportion avec un des éléments de l'autre (selon une certaine bijection), alors la somme des éléments de la première entre dans la même proportion avec la somme des éléments de la seconde. Si on a $A = (A_1, \dots, A_n)$ et $B = (B_1, \dots, B_n)$ tels que $A_i : B_i = A_j : B_j$, alors on a $A_1 : B_1 = A : B$, CQFD. Mais appliquer ici un tel principe pose de nombreux problèmes : cela semble engager à considérer les volumes comme sommes d'aires de volume nul, à utiliser mathématiquement l'égalité en multitude de deux multitudes infinies actuelles, et cela transfère à la production d'un volume à partir d'une somme d'aires un théorème qui vaut normalement pour la production d'une *grande aire* à partir d'une somme de *petites aires*<sup>2</sup>. Comme l'ont fait remarquer les chercheurs et chercheuses qui ont exhumé ce texte, on peut supposer que si Archimède énonce explicitement l'égalité des deux "multitudes infinies" alors cette égalité a une signification déterminée, qu'on peut constater, et qui peut difficilement être autre chose que l'existence d'une bijection entre les deux multiplicités – ou plus précisément le fait que dans l'opération de coupe un élément de l'un est toujours donné avec un élément correspondant de l'autre. Ce qui atteste indéniablement de quelque chose comme l'utilisation mathématique déterminée de comparaison de multitudes infinies actuelles dans l'Antiquité grecque.

Néanmoins, il faut bien se souvenir qu'Archimède, en présentant l'utilisation de ses

<footnote n="3">3. Sur l'histoire de la découverte, voir la note précédente. Sur le contenu de ces lignes, voir de nouveau ibid. ainsi que Reviel Netz et al., « A New Reading of *Method* Proposition 14. Preliminary Evidence from the Archimedes Palimpsest, I », *SCIAMVS*, 2 (2001), p. 9-29; Reviel Netz et al., « A New Reading of *Method* Proposition 14. Preliminary Evidence from the Archimedes Palimpsest, II », *SCIAMVS*, 3 (2002), p. 109-125.</footnote>

<footnote n="4">4. Le contenu mathématique de la proposition 14 est plus élaboré, et fait intervenir la comparaison de *quatre* multiplicités infinies égales en multitude, deux ensembles de triangles et deux ensembles de segments, pour montrer à partir d'égalités proportionnelles portant sur les éléments des ensembles que le rapport de la "somme" des triangles de la première multiplicité avec la "somme" des triangles de la seconde multiplicité est égal au rapport de la "somme" des segments de la troisième avec la "somme" des segments de la quatrième, autrement dit que le rapport du *volume* d'un solide (nommé "sabot") avec le *volume* d'un prisme est égal au rapport de l'aire d'une parabole avec l'aire d'un rectangle, dans un raisonnement faisant intervenir trois dimensions, de la ligne au volume. Mais si le contenu mathématique est plus sophistiqué et plus intéressant, il ne semble pas qu'il mobilise des problèmes philosophiques différents.</footnote>
méthodes, précise explicitement qu’il s’agit de méthodes heuristiques, de découverte des théorèmes, qui ne sont pas acceptables dans le contexte de preuves formelles ou de présentation en bonne et due forme. Le fait est que, si les précautions suffisantes sont prises, la méthode de composition infinitaire permet en effet d’obtenir des résultats valides, mais la justification logique de la méthode ou la capacité à énoncer exactement les règles permettant de l’utiliser sans produire des résultats aberrants<sup>5</sup> nécessite des résultats qui 1/ n’étaient pas disponibles en Grèce ancienne, 2/ conduisent de toute façon toujours à ne pas prendre littéralement le fait de composer une figure par sommation de tranche de dimensions inférieures. Si ce texte par conséquent apporte indéniablement un nouvel élément interdisant le jugement sommaire selon lequel « les Grecs » (ou « les mathématiciens grecs ») « évitent totalement l’infini en acte », et s’il ouvre une fenêtre fascinante sur les pratiques heuristiques dans les mathématiques grecques par différence d’avec les présentations “officielles”, il ne constitue toutefois pas une totale révolution dans la mesure où la pratique infinitaire demeure dans l’ordre de la façon de parler.

## L'exhaustion

Chez Archimède (et ailleurs dans les mathématiques grecques, si on suppose qu'elle n'est pas propre à Archimède<sup>6</sup>), la méthode des indivisibles est toujours remplacée dans les présentations entièrement rigoureuses. La méthode typique de remplacement, ou en général la méthode qui permet d'obtenir des résultats de ce type, et que l'on trouve chez Euclide, est la méthode dite “d'exhaustion”. Elle consiste à montrer, grâce à une double démonstration par l'absurde, qu'une figure ne peut être ni inférieure ni supérieure à une autre, et par conséquent qu'elles sont égales. Les deux contradictions sont obtenues à chaque fois grâce à la production d'une troisième figure, ou plus exactement d'une série de figures. Soit A et B des figures planes (ou solides) dont on veut prouver l'égalité d'aires

<footnote n="5">5. Pour ne prendre qu'une telle aberration bien connue : si on trace un segment au milieu d'un triangle isocèle et parallèle à sa base, puis qu'on considère les lignes partant du sommet du triangle jusqu'à sa base, on a une bijection naturelle associant à chaque point de la base un point du segment intermédiaire, et comme tous les points sont égaux on devrait conclure que leurs sommes sont aussi égales, ce qui permettrait de prouver que toutes les lignes finies sont égales.</footnote>

<footnote n="6">6. Sur ce point voir plus bas.</footnote>
<figure><img src="image_43.png" /><figcaption>FIG. F.2 : Cercle et triangle</figcaption></figure>

(ou de volume). Supposons que $A < B$. Dans ce cas il existe une différence D telle que $A = B - D$, $A + D = B^2$. Soit maintenant une procédure indéfiniment réitérable<fnref n="8" /> qui me permet de produire une série de figures $C_i$ telles que $1/i$ j'ai toujours par construction $A > C_i$ (et donc $B > C_i$), pour n'importe quel $i$, 2/ quand je passe d'une figure $C_i$ à la suivante $C_{i+1}$, je diminue au moins de moitié la différence entre B et ma figure C. La propriété dite justement d'archimédianité me permet alors de montrer qu'à force de réitérer, je peux avoir $B-C$ aussi petit que désiré, autrement je peux "approcher" B autant que je le veux en poursuivant la série des C. Au bout d'un certain nombre de réitérations, j'ai donc une figure C dont la différence avec B est plus petite que D. Autrement dit j'ai $C > B - D$ c'est-à-dire, par hypothèse, $C > A$. Mais j'ai aussi, par construction, $A > C$, en sorte que j'ai $A > A$, ce qui est absurde. De même si je fais l'hypothèse $A > B$, et donc $A = B + D$ pour un certain $D$ déterminé, je produis une série de C tel qu'il en existe un pour qui on a, par construction, $C > A$ et $B + D > C$, soit, par hypothèse, $A > A$, ce qui est absurde. Comme A n'est ni plus grande ni plus petite que B, on a bien $A = B$, CQFD.

Par exemple, soit un triangle A dont on veut montrer que l'aire égale celle du cercle B (le triangle rectangle formé par deux segments à angle droit, égaux respectivement au rayon et au périmètre du cercle). On va montrer que A ne peut être inférieur. Pour ça on exhibe une procédure indéfiniment réitérable qui produit une série de polygones réguliers

<footnote n="7">7. Nous employons ici une notation arithmétique pour faciliter la compréhension et la manipulation du problème, mais il s'agit bien strictement d'exprimer la différence d'aires de figures. Ni nombre ni structure algébrique n'est supposée être ici en jeu.</footnote>

<footnote n="8">8. Cf. chapitre 3.</footnote>
<figure><img src="image_44.png" /><figcaption>FIG. F.3 : Série des polygones</figcaption></figure>

$C_n$ (à $2^{n+1}$ côtés), inscrits dans le cercle B, qui sont tels que : tous, par construction, sont strictement plus petits que le triangle A, et évidemment plus petits que le cercle ; et quand on passe du polygone $C_n$ au polygone $C_{n+1}$, la différence d'aire entre le polygone et le cercle est au moins réduite de moitié. On établit ensuite que, si le triangle était inférieur au cercle, il existerait une aire D de leur différence. Mais du fait que la procédure de production des polygones est indéfiniment réitérable, et qu'à chaque pas la différence entre le polygone et le cercle est réduite de moitié, en vertu de l'archimédianité je peux obtenir un polygone à l'aire arbitrairement proche de celle du cercle, notamment qui est plus proche d'elle que ne l'est l'aire du triangle, donc un polygone plus grand que le triangle. Mais cela est absurde, puisque tous les polygones étant par construction plus petits que le triangle, cela rendrait le triangle plus petit que lui-même. Semblablement, on montre que le triangle serait plus grand que lui-même s'il était plus grand que le cercle, en produisant une série de polygones circonscrits.

Ce qu'il est important de noter est que dans la seconde méthode il y a bien utilisation d'une série indéfinie inachevable, mais il n'y a justement pas *exhaustion* de cette série infinie. Il y a simplement réfutation par l'absurde d'une situation qui, si elle était réalisée, permettrait de produire un résultat absurde en un nombre *fini* d'étapes. Et, dans la première méthode, s'il y a bien un aspect "exhaustif", grâce au passage de la démonstration sur une section arbitraire au résultat obtenu sur leur "somme totale", il n'y a pas en revanche une sommation infinie *successive*, il n'y a pas de série à achever.
S'il y a bien, au moins par manière de parler, une forme d'*addition*, c'est au sens d'un rassemblement abstrait, mais il ne peut y avoir, par exemple, *succession* des sommes partielles. Et cela pour des raisons évidentes : d'abord, aucune tranche ne succède à une tranche donnée, donc la succession ne peut avoir lieu, et ensuite toute "somme partielle" (du moins toute "somme partielle finie"), si elle a même un sens, donnerait un résultat nul. Aucune clarté ne serait par ailleurs obtenue en parlant "d'infinitésimaux" dans ce contexte, ne serait-ce qu'au regard de la difficulté qu'il y a à saisir véritablement les sens que prenait ce terme aux XVIIe et XVIIIe siècles<fnref n="9" />.

## Considérations historiques

Dans un article de 1996¹⁰, Wilbur Knorr défendait de façon très convaincante le fait que la méthode des indivisibles était *ancienne*, au sens où elle était répandue avant Archimède et devait même être considérée comme pré-platonicienne. Il avait à cet effet plusieurs arguments, dont certains reposaient sur des indices textuels mathématiques spécifiques, mais nous voulons retenir ici les deux qui semblent à la fois les plus frappants et les plus simples à exposer. Le premier est que la *Méthode* d'Archimède a en fait pour propos d'exposer une autre méthode, qui n'est pas celle des indivisibles et n'est pas nécessairement utilisée avec eux. Il s'agit d'une méthode "mécanique", qui consiste en l'utilisation de "balances" idéales permettant d'exhiber des rapports de proportions entre aires et entre volumes, et de trouver des centres de gravité. Or, si cette méthode est longuement exposée et justifiée, Archimède ne semblait donner aucune explication de celle des indivisibles, alors même que celle-ci nous frappe comme surprenante et appelant des justifications; ce qui suggérait très fortement qu'Archimède lui-même la considérait comme bagage commun de la pratique mathématique. Ce premier argument vaut-il toujours après les découvertes de 2001 ? Il est probable que oui. En effet, si les lignes nouvellement exhumées contiennent bel et bien une explicitation du rai-

<footnote n="9">9. Voir les annexes C et D.</footnote>

<footnote n="10">10. Wilbur R. Knorr, « The Method of Indivisibles in Ancient Geometry », in *Vita Mathematica*, Historical Research and Integration with Teaching, sous la dir. de Ronald Calinger, MAA Notes, 40, The Mathematical Association of America, 1996, p. 67-86.</footnote>
sonnement par les indivisibles, cette explicitation ne se trouve pas là pour justifier le procédé en général, mais pour expliciter son utilisation dans un cas sophistiqué mobilisant un théorème des proportions démontré dans un autre traité. Il semble donc, mais cela demanderait un examen plus précis, que le lecteur d'Archimède soit supposé connaître le sens de l'application de la méthode *en général*, pour constater sa validité dans ce cas particulier. Le second argument de Knorr consistait à dire qu'une série de textes péripatéticiens et atomistes *font sens* si on les considère comme des critiques philosophiques d'une certaine conception mathématique, des figures comme composées par sommation de "tranches" de dimension inférieure. On peut citer les arguments que l'on trouve dans le traité pseudo-aristotéliciens *Des lignes insécables*, mais l'hypothèse est suggestive pour nombre d'arguments qui apparaissent dans le contexte de discussion des atomistes<sup>11</sup>, voire des Éléates (pour Zénon, il est particulièrement intéressant de considérer l'Inexistence du sans grandeur, qui affirme directement qu'une entité sans volume ne peut contribuer à la composition du volume total, ou l'argument du Stade qui semble conclure de propriété de tranches aux propriétés d'ensemble<sup>12</sup>).

<footnote n="11">11. Voir la note 14, p. 149, ainsi que LS, 50 C.</footnote>

<footnote n="12">12. Cf. resp. les sections 2.4 et 5.4.</footnote>
# Annexe G

## Variétés de l'infinitésimal

La question de l'infinitésimal, et son rapport avec l'idée d'achèvement d'une série infinie, est rarement traitée avec la précision conceptuelle qui serait nécessaire à un traitement proprement philosophique du sujet. La raison en est la réelle complexité tant historique que théorique de la question : l'histoire de l'infinitésimal commence au plus tard à la fin du XVIe siècle et a trouvé de nouvelles formes dans la riche analyse non standard contemporaine à partir des années 1960, connaissant de nombreuses reprises et interprétations dans l'intervalle – tout ceci en se restreignant à l'histoire européenne moderne de l'infinitésimal (et bien sûr son internationalisation entraînée par celle de la mathématique en général), faisant abstraction de sa présence dans d'autres traditions notamment chinoises ou indiennes, et de son anticipation dans les mathématiques grecques informelles comme la Méthode d'Archimède en témoignée<fnref n="1" />. L'interprétation philosophique de cette histoire moderne doit affronter un problème général qui est la difficulté de traiter philosophiquement une pratique mathématique ; cela dans la mesure où il est plus que fréquent que des mathématicien.ne.s partagent une telle pratique, ou soient capables d'échanger grâce à elle, sans pour autant partager une interprétation ou évaluation, autrement dit sans participer à un consensus philosophique. De ce fait il est parfaitement possible – et, une fois encore, fréquent – pour un.e mathématicien.ne de participer à une pratique déterminée sans avoir en fait le souci de sa signification ou possible justification

<footnote n="1">1. Voir l'annexe F.</footnote>
fondationnelle. Il ne s'agit bien sûr pas d'en faire le reproche aux praticien.ne.s, mais cela fait courir à l'interprète philosophe le risque de poser à la pratique d'un auteur ou d'une autrice des questions en fait dénuées de pertinence, ou à surinterpréter une déclaration à valeur simplement conventionnelle ou pratique – risque qui bien sûr ne concerne pas exclusivement l'interprétation philosophique des mathématiques mais est présent dans toute entreprise herméneutique.

Dans le cas des infinitésimaux, le flou conceptuel semble bien *interne* à l'histoire mathématique, au sens où, par exemple, la méthode de Bonaventura Cavalieri va être principalement lue à travers sa reprise par Torricelli qui est *conceptuellement* très dif-férente – et ce n'est pas la seule occurrence du phénomène. L'histoire que l'on raconte fréquemment – selon laquelle les mathématiques aux XVIIᵉ et XVIIIᵉ siècles ont acquis une puissance nouvelle grâce aux méthodes infinitésimales, mais au risque d'une perte de rigueur conceptuelle et démonstrative et d'une controverse fondationnelle rampante qui n'a été résolue qu'au XIXᵉ siècle avec Cauchy puis surtout Weierstrass – cette histoire est globalement vraie, mais occulte une grande variété de situations de détail.

Ainsi, une approche *philosophique* de cette histoire serait amenée à poser toute une batterie de questions aux enjeux hétérogènes, certaines ne se posant pas du tout dans certains cas, d'autres étant parfois indissociables entre elles. D'abord des questions méta-conceptuelles : La terminologie protocolaire d'un tel doit-elle être interprétée ? doit-on l'entendre littéralement ? Une telle a-t-elle un souci de fondation logique ou se contente-t-elle de la productivité de sa méthode et de sa cohérence opératoire réelle ? Quel rapport entretiennent ces auteurs avec la philosophie ? avec la théologie ? Plus directement proche de l'interprétation du contenu : quel statut un tel accorde-t-il aux objets mathématiques ? sont-ils réels ? doivent-ils avoir un correspondant “physique” réel ou possible ? ont-ils tous le même statut ou certains sont-ils privilégiés ? Quels critères une telle adopte-t-elle pour accorder de la valeur à une entité mathématique ? à une inférence ? à une preuve ?

Puis des questions proprement conceptuelles : La pratique infinitésimale de l'une ou l'autre suppose-t-elle une infinité actuelle ? sa manipulation ? la croyance en son existence ? des prédicats vrais à son propos et si oui, lesquels ? et comment cette infinité
est-elle définie ? s'agit-il d'une *multiplicité* infinie ou d'un nombre = ∞ ? La pratique implique-t-elle la position d'infiniment petits ? peuvent-ils avoir des tailles différentes les uns des autres, et si oui, comment leur ordre est-il déterminé ? Les grandeurs continues admettent-elles une composition à partir des infiniment petits ? à partir d'éléments sans dimension ? si oui, quel est le statut de cette composition ? Enfin, un mouvement peut-il être considéré comme l'achèvement effectif d'une série infinie (dont chaque élément est un incrément fini) ? La valeur d'une série convergente est-elle effectivement la somme résultant d'une sommation infinie ?

Faire l'histoire et l'interprétation des réponses modernes à Zénon et de leur assise in-
finitésimale serait indissociable d'une enquête soigneuse sur le sens donné par les acteurs
et actrices à leur pratique, et d'un examen conceptuel fin des différents engagements
théoriques des unes et des autres.

À titre de préliminaire à une telle entreprise, et d'exemple de la difficulté de juger
de la situation moderne, on esquissera ici l'analyse trois versions du calcul infinitésimal
au XVIIᵉ siècle<fnref n="2" />.

La première est la doctrine dite des « indivisibles » de Cavalieri. Contrairement à
une croyance déjà présente dans la réception immédiate de sa doctrine, elle ne comporte
ni infiniment petits, ni ne propose une doctrine de la compositionnalité du continu. La
méthode de base (qui, il faut le noter, va être partagée par d'autres praticiens dont la
conceptualité diffère de celle de Cavalieri) est celle que l'on trouve déjà chez Archimède
(sans que Cavalieri en hérite) : on veut comparer les aires ou les volumes de deux figures,
et pour ça on utilise une propriété de proportion, prouvablement universelle<fnref n="3" /> portant sur
les coupes (respectivement segments ou surfaces) que l'on peut faire sur ces figures. La
proportion qui vaut sur les coupes est transférée aux figures. L'intérêt est d'obtenir par
là une méthode générale qui évite la nécessité d'inventer pour chaque cas particulier une
méthode de preuve par exhaustion. Reste à comprendre la justification et la signification

<footnote n="2">2. Sur ces trois versions, et leurs auteurs, voir avant tout Paolo Mancosu, *Philosophy of Mathematics and Mathematical Practice in the Seventeenth Century*, Oxford University Press, New York et Oxford 1996 à qui nous empruntons la quasi-intégralité des informations de cette annexe.</footnote>

<footnote n="3">3. À part, parfois, pour les extrémités qui doivent être écartées.</footnote>
de l'opération, et c'est cela qui fait la véritable originalité de Cavalieri. L'idée est d'opérer
sur de nouveaux objets théoriques qui sont les totalités de lignes ou de carrés construits
sur elles, à partir – ce point est capital – d'une certaine norme de parcours des figures, le
long de laquelle sont faites les coupes. Et ces coupes sont, on ne saurait trop y insister,
littéralement des coupes. Elles ne sont pas, en particulier, “infiniment petites”, mais
bien strictement de largeur ou épaisseur nulle, des lignes ou des surfaces. Elles ont une
dimension de moins que la figure à laquelle elles appartiennent. En revanche, on donne
un sens à l'idée de proportion valant sur ces totalités, de manière à pouvoir dire « toutes
les lignes de A sont à toutes les lignes de B (selon telle norme) comme C est à D »
(par exemple, double, ou égal). Notons bien que l'énoncé porte sur les totalités en tant
que telles, et n'est pas un énoncé distributif sur leurs éléments, autrement il serait tout
simplement faux, ou au mieux entièrement équivoque (quoiqu'il soit ultimement fondé
sur des propriétés distributives sur leurs éléments). Tout l'enjeu est de passer de ces
proportions aux proportions recherchées, à savoir celles valant pour les figures, et c'est
la possibilité de ce passage que Cavalieri tente de démontrer dans sa Géométrie des
indivisibles. Nous ne discuterons pas ici ces tentatives de preuve et leur valeur, l'intérêt
est plutôt pour nous dans les réponses aux objections possibles qu'entreprend Cavalieri.
Notamment il remarque trois choses : d'abord il ne parle pas d'infiniment petits. Ensuite,
il ne compose pas non plus le continu avec des lignes ; sa méthode est entièrement neutre
par rapport à la question de la composition du continu : si on considère que le continu est
composé de ses lignes, alors la propriété portant sur la totalité se transfère naturellement
à la figure, mais l'idée est bien que le transfert est valide même si on suppose que le
continu est autre chose et davantage que les éléments indivisibles qui lui appartiennent.
Enfin, Cavalieri est certes conduit à affirmer qu'une totalité infinie est plus grande qu'une
autre (selon une certaine proportion), mais cela ne l'engage pas sur la question de la
comparabilité des infinis en tant que tels, cela ne l'engage pas à dire qu'un infini est plus
grand qu'un autre (ou égal à lui) ; ceci parce que ce qui est comparé ne sont justement
pas les infinis. On ne dit pas qu'un des infinis est plus grand que l'autre (ou lui est égal),
les totalités ne sont pas comparées en tant qu'infinies, mais selon leurs longueurs (ou
leurs aires) qui leur sont attribuées selon une norme de coupe. En sorte que, de nouveau,
sa méthode est neutre relativement à la question de l'applicabilité des comparaisons de
taille entre infinités. En revanche Cavalieri est bien engagé à deux niveaux : d'abord il
doit admettre la possibilité et admissibilité mathématique de totalités infinies; ensuite,
problème proche mais distinct, il doit admettre qu'il soit signifiant de parler de "toutes"
les lignes d'une surface; deux points qui sont explicitement interdits par Aristote, le
premier en raison d'un finitisme général, le second en raison du caractère incomposé
du continu et de la nature de pure limite en puissance des points. Mais l'infraction à
ces deux principes n'est pas du tout une nouveauté de Cavalieri, elle était admise par
exemple par Grégoire de Rimini.

La perspective conceptuelle est très différente chez Torricelli, qui reprend et développe
la même technique que Cavalieri mais comprend effectivement le continu comme composé
par les coupes envisagées dans la totalité et qui considère celles-ci comme des infiniment
petits à proprement parler et non pas comme ayant une largeur ou épaisseur nulle. Cela
le conduit à considérer que des points puissent avoir des tailles différentes et les lignes
avoir des épaisseurs différentes; la signification de l'infiniment petit non nul restant non
entièrement éclaircie, et certainement refusée par nombre des rationalistes classiques.

On a enfin une troisième version, celle de l'*infinitésimal* proprement dit, pour qui
l"infini" est une façon de parler pour indiquer notre capacité à *approcher* indéfiniment,
arbitrairement, une certaine valeur. Il s'agit en somme de la version *classique*, celle
précisément qui va être fondée rigoureusement au XIXe siècle par Cauchy et Weierstrass
dans leur formalisation de l'analyse. On dira par exemple qu'un polygone *vaut* un cercle
à l'infini, signifiant par là qu'il s'en approche arbitrairement avec la croissance de son
nombre de côtés. Si la même série de polygones approche un triangle *et* un cercle, on
peut prouver par là que la différence entre le cercle et le triangle est plus petite que toute
différence donnée, et en conclure à leur égalité. C'est là l'interprétation qui semble être
adoptée par Leibniz dans ses publications mathématiques, celui-ci maintenant le langage
des infinis mais les comprenant comme désignant la possibilité d'une approche indéfinie.

Notons qu'aucune de ces trois versions n'engage à proprement parler un *infini achevé* !
Celles de Cavalieri et de Torricelli passent de propriétés sur des coupes quelconques de figures à des propriétés sur les *totalités supposées données* de ces coupes, tandis que Leibniz envisage bien un processus indéfini mais qui *n'est pas censé pouvoir se conclure*. Néanmoins nous n'avons pas épuisé les possibles, et il se peut que la perspective de John Wallis, encore différente, approche l'idée d'un infini achevé avec sa théorie du pas infinitésimal, et Wallis a un nombre infiniment grand $\infty$ et son inverse infiniment petit $\frac{1}{\infty}$.

Toujours est-il que les trois versions, et d'autres encore, conduisent à des *démonstrations semblables* (au niveau d'un langage « infinitaire » plus ou moins informel), à s'exprimer de la même manière métaphorique par composition infinie, ce qui n'aide pas à limiter une certaine confusion dans la communauté qui va former la célèbre (mais pas forcément *bien* connue) histoire philosophico-mathématique des paradoxes des infinitésimaux.
# Annexe H

## Descartes, Zénon et l'infini achevé

Il semble que la grande réponse contemporaine à l'aporie zénonienne du mouvement, demandant simplement à ce que l'infinité des étapes soit *achevée* afin qu'Achille enfin rattrape la tortue, puisse se revendiquer de la réponse cartésienne. Celle-ci serait à la fois l'ancêtre moderne d'une réponse contemporaine et la première représentante d'une tradition infinitiste ou, dans notre vocabulaire, possibiliste.

En voici le texte intégral<fnref n="1" /> :

> L'Achille de Zénon ne sera pas difficile à soudre, si on prend garde que, (a) si à la dixième partie de quelque quantité on ajoute la dixième de cette dixième, qui est une centième, et encore la dixième de cette dernière, qui n'est qu'une millième de la première, et ainsi à l'infini, toutes ces dixièmes jointes ensemble, quoi qu'elles soient supposées réellement infinies, ne composent toutefois qu'une quantité finie, savoir une neuvième de la première quantité, ce qui peut facilement être démontré. (b) Car, par exemple, si de la ligne AB on ôte la dixième partie du côté qui est vers A, à savoir AC, et qu'au même temps on en ôte huit fois autant de l'autre côté, à savoir BD, il ne reste entre deux que CD, qui est égal à AC ; (c) puis derechef, si de CD on ôte sa dixième partie vers A, à savoir CE, et huit fois autant de l'autre côté, à savoir

<footnote n="1">1. Lettre à Clerselier de juin ou juillet 1646, AT IV 443-7; DESCARTES, *Correspondance*, 2 cit., l. 11, p. 722-4, nous graissons et ajoutons la numérotation en parties. L'argumentation est reprise de façon similaire, mais moins conceptuellement éloquente, dans la Lettre à Mersenne du 7 septembre 1646, AT IV 497-501; René Descartes, *Œuvres complètes*, t. VIII.1 : *Correspondance*, 1, sous la dir. de Jean-Marie Beyssade et Denis Kambouchner, sous la dir. de Jean-Robert Armogathe, annot. de Jean-Robert Armogathe, 8 t., tel, 2013, l. 123, p. 532-5.</footnote>
<figure><img src="image_45.png" /></figure>

DF, il ne restera entre deux que EF, qui est la dixième de la toute CD ; (d) et si on continue indéfiniment à ôter du côté marqué A un dixième de ce qu'on avait ôté auparavant, et huit fois autant de l'autre côté, on trouvera toujours, entre les deux dernières lignes qu'on aura ôtées, qu'il restera une dixième partie de toute la ligne dont elles auront été ôtées, de laquelle dixième on pourra derechef ôter deux autres lignes en même façon. (e) Mais si on suppose que cela ait été fait un nombre de fois actuellement infini, alors il ne restera plus rien du tout entre les deux dernières lignes qui auront été ainsi ôtées, (f) et on sera justement parvenu des deux côtés au point G, supposant que AG est la neuvième partie de la toute AB, et par conséquent que BG est octuple de AG. Car, puisque ce qu'on aura ôté du côté de B aura toujours été octuple de ce qu'on aura ôté du côté de A, il faut que l'aggregatum ou la somme de toutes ces lignes ôtées du côté de B, qui toutes ensemble composent la ligne BG, soit aussi octuple de AG, qui est l'agrégé de toutes celles qui ont été ôtées du côté de A. (g) Et, par conséquent, si à la ligne AC on ajoute CE, qui est la dixième partie, et de plus une dixième de cette dixième, et ainsi à l'infini, toutes ces lignes jointes ensemble ne composeront que la ligne AG, qui est la neuvième de la toute AB, ainsi que j'avais entrepris de démontrer.

Or, cela étant su, (h) si quelqu'un dit qu'une tortue qui a dix lieues d'avance sur un cheval, qui va dix fois aussi vite qu'elle, ne peut jamais être devancée par lui, à cause que, pendant que le cheval fait ces dix lieues, la tortue en fait une de plus, et que, pendant que le cheval fait cette lieue, la tortue avance encore de la dixième partie d'une lieue, et ainsi à l'infini ; (i) il faut répondre que véritablement le cheval ne la devancera point, pendant qu'elle fera cette lieue et cette dixième et 1/100 et 1/1000 etc. de lieue, mais qu'il ne suit pas de là qu'il ne la devance jamais, pour ce que cette 1/10 et 1/100 et 1/1000 ne font que 1/9 d'une lieue, au bout de laquelle le cheval commencera de la devancer. (j) Et la caption est en ce qu'on imagine que cette neuvième partie d'une lieue est une quantité infinie, à cause qu'on la divise par son
imagination en des parties infinies.

En quoi consiste exactement cette réponse et que fait ici Descartes ? Au début du premier paragraphe, il annonce une *solution* de l'Achille, obtenue grâce à un lemme proprement *mathématique*. Ce lemme est établi démonstrativement dans le premier paragraphe, et utilisé dans le second pour « soudre » l'aporie.

Considérons d'abord ce second paragraphe. Il semble qu'il réponde à deux interprétations, entremêlées, de l'aporie de l'Achille. La première est l'interprétation selon laquelle la série des "rattrapages partiels", pour ainsi dire, constitue un parcours infini. Dans le dispositif qu'il décrit, une course entre une tortue et un cheval, la tortue a une avance déterminée de dix lieux, qui constitue la première distance parcourue par le cheval dans le dispositif zénonien ; par hypothèse, la tortue va dix fois moins vite que le cheval, en sorte que durant ce premier parcours du cheval, elle parcourt une lieue soit le dixième de l'avance de départ. Le processus, par hypothèse, se répétant indéfiniment, on peut réitérer le rapport de proportion, en sorte que durant la course zénonienne la tortue parcourt une lieue, puis un dixième de lieue, puis un centième et ainsi de suite à l'infini. Descartes 1/ remarque alors en (i) que l'ensemble de la série prend place dans un intervalle d'une longueur déterminée finie, ne dépasse jamais un neuvième de lieue (ou une lieu et un neuvième, en incluant l'étape initiale – c'est cela qui est obtenu grâce au lemme mathématique) ; 2/ il semble donner en (j) une explication de l'origine *psychologique* de la « caption », de la raison qui nous fait croire à l'infinité du parcours.

La seconde interprétation comprend dans l'Achille un sophisme sur l'emploi de « jamais » dans l'énoncé du problème en (h) : comme Descartes l'explique en (i), il est vrai que le poursuivant ne rattrapera « jamais » le fuyard, mais uniquement en restreignant le « jamais » à la série des étapes, des rattrapages partiels ; le sophisme consiste à interpréter ce « jamais » comme valant absolument, alors que, si on admet que le cheval peut parcourir un intervalle fini, au bout de cet intervalle il aura rattrapé la tortue. Comme on le voit, tout ce développement est assez classique, il mêle plusieurs éléments de réponse que l'on trouvait déjà chez Aristote et que l'on retrouvera diversement articulés dans la littérature sur les supertâches. On voit aussi que, si on ignorait entièrement le
premier paragraphe, on pourrait avoir l'impression que ce passage ne se prononce pas
sur la nature de l'infinité des parcours successifs, et on peut en faire une interprétation
en termes stricts d'infini potentiel : les divisions se font « à l'infini », et une « quantité
infinie » n'est inférée que par erreur, du fait d'une division « infinie » de l'imagination qui
ne parvient certainement pas à *imaginer effectivement* la réalisation d'un infini actuel.
Il semble aussi, par conséquent, que cette résolution cartésienne ignore complètement le
problème de l'inachevable, celui qu'Aristote reconsidère au livre VIII de la *Physique* : la
question de l'être achevé de l'infini à proprement parler. Mais c'est à cet égard que le pre-
mier paragraphe est très différent et paraît offrir une véritable nouveauté. Considérons-le
d'abord pour lui-même avant de mettre en rapport les deux passages.

Considéré isolément, le premier paragraphe a strictement la forme d'une démonstra-
tion géométrique : une proposition générale est énoncée en (a), puis entre (b) et (f) est
menée une démonstration de la proposition sur un cas particulier (à valeur générique),
dont la conclusion est énoncée en (g). Et il est sous-entendu que le théorème est démontré
généralement, la particularisation ne faisant pas perdre en généralité.

(a) si à la dixième partie de quelque quantité on ajoute la dixième de cette dixième, qui est une centième, et encore la dixième de cette dernière, qui n'est qu'une millième de la première, et ainsi à l'infini, toutes ces dixièmes jointes ensemble, quoi qu'elles soient supposées réellement infinies, ne composent toutefois qu'une quantité finie, savoir une neuvième de la première quantité, ce qui peut facilement être démontré.

La proposition à démontrer est que, si pour une quantité *a* quelconque on considère un processus d'adjonction indéfinie selon une série géométrique $\frac{a}{10} + \frac{a}{10^2} + \frac{a}{10^3} + \dots$, les éléments « supposés réellement infinis » de la série, adjoints ensemble, « composent » une quantité finie $= \frac{a}{9}$. L'argument aurait vraisemblablement pu être généralisé, avec les moyens expressifs de l'époque, en montrant $\frac{a}{b} + \frac{a}{b^2} + \frac{a}{b^3} + \dots = \frac{a}{b-1}$ pour *a* une grandeur positive quelconque et *b* un entier positif $> 2$. La démonstration elle-même est ingénieuse et repose d'abord sur un procédé itératif appliqué à des grandeurs géométriques.

En effet, on a d'abord une étape initiale :
(b) Car, par exemple, si de la ligne AB on ôte la dixième partie du côté qui est vers A, à savoir AC, et qu'au même temps on en ôte huit fois autant de l'autre côté, à savoir BD, il ne reste entre deux que CD, qui est égal à AC;

On part de la quantité donnée AB dont on soustrait la proportion donnée $\frac{1}{b}$, avec ici $b = 10$, sous la forme du segment AC, ainsi que la proportion $\frac{b-2}{b}$, ici $\frac{8}{10}$, sous la forme du segment BD. On voit que le segment restant CD est égal au segment AC, autrement dit forme un dixième de la quantité donnée. Descartes applique alors une première itération (« derechef ») :

(c) puis derechef, si de CD on ôte sa dixième partie vers A, à savoir CE, et huit fois autant de l'autre côté, à savoir DF, il ne restera entre deux que EF, qui est la dixième de la toute CD;

On reproduit sur le segment restant CD la même procédure soustractive qui avait été appliquée à AB : le dixième en est soustrait “à gauche”, les huit dixièmes “à droite”, et le segment restant est égal au dixième soustrait à gauche. En sorte que (quoi que cela reste implicite dans le texte cartésien) à gauche a été soustrait à la quantité initiale AB le dixième puis le dixième du dixième, soit le centième, et le segment EF restant est égal à ce centième. On montre alors le caractère indéfiniment réitératif :

(d) et si on continue indéfiniment à ôter du côté marqué A un dixième de ce qu'on avait ôté auparavant, et huit fois autant de l'autre côté, on trouvera toujours, entre les deux dernières lignes qu'on aura ôtées, qu'il restera une dixième partie de toute la ligne dont elles auront été ôtées, de laquelle dixième on pourra derechef ôter deux autres lignes en même façon.

Le passage de l'application initiale à sa première itération montre que le processus est indéfiniment réitérable, on aboutit toujours, à l'issue d'une itération, à un segment restant fini sur lequel on peut appliquer une nouvelle itération. Par conséquent (et de nouveau, cela reste implicite), on obtient deux séries indéfinies, une à gauche et une à droite, celle à gauche étant précisément la série examinée dans le théorème : un dixième, plus un centième, plus un millième...d'une certaine quantité donnée. De plus, puisqu'à chaque étape le segment restant est égal à celui qui est soustrait à gauche, ce segment
est lui-même infiniment décroissant, et constitue un dixième, puis un centième, puis un millième et ainsi de suite de la grandeur donnée au départ. C'est alors, ce raisonnement indéfiniment réitératif ayant été mené, qu'arrive la nouveauté :

(e) Mais si on suppose que cela ait été fait un nombre de fois actuellement infini, alors il ne restera plus rien du tout entre les deux dernières lignes qui auront été ainsi ôtées,

Il est implicitement noté que la suite des segments restants tend vers zéro, ou descend en dessous de toute mesure positive donnée. Mais Descartes dit ici quelque chose en plus : il considère une hypothèse (« si on suppose ») selon laquelle la série a été effectuée « un nombre de fois actuellement infini ». La suite de la phrase, qui plus est, montre qu'il ne s'agit pas simplement de supposer qu'une infinité d'étapes successives ont été accomplies, mais qu'il y a une dernière étape infinitaire du processus, celle qui consiste à ôter les deux dernières lignes, pour ainsi dire de longueur $\frac{a}{10^\infty}$ et $\frac{8a}{10^\infty}$, obtenant, à l'issue de la suite infinie décroissante, « plus rien du tout ». Pris littéralement, ce geste théorique est troublant : non seulement il admet un infini achevé, l'achèvement de la série, mais cet infini achevé admet un "représentant" infinitaire $\infty$, et la série zénonienne admet un dernier terme. De plus, alors qu'il y a une « dernière ligne » à ôter à gauche, ce qui tiendrait lieu de segment restant est déclaré être « rien du tout », alors que le segment pour chaque étape était égal à la ligne ôtée à gauche; ainsi de deux choses l'une, ou bien le segment restant est $\frac{a}{10^\infty}$ et n'est pas rien du tout, ou bien il ne reste rien du tout et il n'y avait rien du tout à soustraire. En somme il n'est pas possible de considérer littéralement ce passage, venant d'un auteur notoirement soucieux de rigueur et clarté conceptuelle. Il faut le considérer comme un artifice méthodologique, une façon de parler des séries infinies pour les considérer comme des totalités. Le résultat de cet artifice est l'obtention du résultat escompté, à savoir le calcul du segment fini « composé » par la série indéfinie :

(f) et on sera justement parvenu des deux côtés au point G, supposant que AG est la neuvième partie de la toute AB, et par conséquent que BG est octuple de AG. Car, puisque ce qu'on aura ôté du côté de B aura toujours été octuple de ce qu'on aura ôté du côté de A, il faut
que l'aggregatum ou la somme de toutes ces lignes ôtées du côté de B, qui toutes ensemble composent la ligne BG, soit aussi octuple de AG, qui est l'agrégé de toutes celles qui ont été ôtées du côté de A.

Les deux séries à gauche et à droite se rapprochent infiniment, et si on suppose un achèvement de ce rapprochement on suppose qu'elles se rejoignent en un point. Il s'agit néanmoins de déterminer ce point, ce passage révélant l'ingéniosité de la procédure en même temps qu'il fait un nouvel emploi surprenant des opérations sur des séries infinies. Descartes utilise implicitement un théorème des proportions selon lequel, si, pour deux sommes équimultiples d'éléments $A = (A_1 + A_2 + \dots + A_n)$ et $B = (B_1 + B_2 + \dots + B_n)$, on a pour tous i, j, $A_i : B_i = A_j : B_j$, alors on a aussi $A : B = A_1 : B_1$. Le point décisif est qu'il étend ce théorème, qui vaut classiquement pour le fini, au cas des agrégats infinis qu'il a construits. Ayant $A_i : B_i = 1 : 8$, pour tout i, il sait que la série à gauche fait le huitième de la série à droite. Ces deux séries épuisant, d'après (e), la quantité $a$ donnée au départ, on a $a = x + 8x$, soit $x = \frac{a}{9}$. À l'issue de quoi on peut annoncer que la proposition a été démontrée :

(g) Et, par conséquent, si à la ligne AC on ajoute CE, qui est la dixième partie, et de plus une dixième de cette dixième, et ainsi à l'infini, toutes ces lignes jointes ensemble ne composeront que la ligne AG, qui est la neuvième de la toute AB, ainsi que j'avais entrepris de démontrer.

Si l'on considérait chacun des deux paragraphes à part, nous pourrions donc maintenir l'interprétation déflationniste suivante : d'un côté, Descartes fait une démonstration de calcul infinitésimal, montrant comment il est possible de calculer que la série $\frac{a}{10} + \frac{a}{10^2} + \frac{a}{10^3} + \dots$ converge vers $\frac{a}{9}$, sous l'hypothèse méthodologique selon laquelle on peut considérer la série dans son entièreté comme composant par sommation une quantité. Ayant ainsi montré en tout état de cause que l'indéfinité des éléments de la série était contenue dans un segment fini, il a employé ce résultat, d'origine mathématique, pour redonner une solution philosophique classique au problème de l'Achille, selon laquelle l'ensemble indéfini des étapes prend place dans un intervalle fini lui-même achevé en un temps fini.
Le problème est que la succession immédiate des deux raisonnements produit un effet théorique supplémentaire. En effet, la sommation mathématique a pour but de représenter formellement la série des parcours du cheval et de la tortue, en sorte que quand Descartes dit que l'épuisement du segment est obtenu sous supposition que la sommation ait été accomplie un nombre actuellement infini de fois, nous sommes amenés à conclure que le cheval rattrape la tortue quand les rattrapages partiels ont été accomplis un nombre actuellement infini de fois. Et de fait, Descartes comme nous l'avons montré établit une situation itérative indéfinie, inachevable, qu'il ne peut considérer comme accomplie que sous la supposition de l'infini achevé, en sorte que la tortue n'est rattrapée que sous l'hypothèse de l'achèvement des étapes sérielles successives. Si nous avons à l'esprit l'interprétation de l'Achille comme aporie de l'inachevable, nous ne pouvons pas nous empêcher de lire que le cheval rattrape la tortue parce qu'il est en réalité possible d'achever un infini, et cela précisément de la manière que la mathématique nous indique. En sorte que, peut-être malgré lui, Descartes inaugure la réponse mathématicienne à Zénon qui est aussi une réponse *possibiliste*, admettant la possibilité de l'achèvement d'une série infinie.

Nous ne pouvons pas mener ici un véritable commentaire philosophique de ce texte, qui le replace dans le contexte de la philosophie de l'auteur, car cela nous entrainerait trop loin. Nous avions tenté un tel commentaire dans un précédent travail¹. Nous présentions les éléments de la perspective cartésienne sur le temps, le mouvement et l'infini, afin de pouvoir faire une interprétation critique de sa résolution de Zénon. Notre analyse était que Descartes est enserré par un ensemble de contraintes théoriques, qu'il reçoit principalement de la physique et de la théologie, l'obligeant à aller jusqu'au seuil de l'affirmation d'existence de multiplicités infinies actuelles<fnref n="2" />; mais que parvenu à ce seuil, il s'abstient toujours d'affirmer positivement cette infinité, au nom d'un principe épisté-mologique de type intuitionniste, *sauf* justement dans le cas de Zénon où le « nombre actuellement infini » est soudain revendiqué! Nous faisions valoir que le cas zénonien,

<footnote n="2">2. SEBAN, *Zénon d'Élée à l'âge classique*, cit., chapitre 2.</footnote>

<footnote n="3">3. Cf. notamment le problème bien connue de la division apparemment actuellement infinie de la matière induite par certains mouvements de rotation, *Principes de la Philosophie*, II, §§ 33-5</footnote>
s'il doit admettre une véritable réponse, nécessite manifestement le passage à l'infini actuel, et non la simple indéfinité; car l'indéfinité ne fait que reposer le problème zénonien de l'inachèvement, tandis que l'infinité proprement dite permettait d'atteindre la limite recherchée. Nous énoncions alors trois conclusions : 1/ nous restions indécis sur le statut à accorder à cette trahison par Descartes de ses propres principes épistémologiques, 2/ nous jugions qu'en définitive cette réponse échouait à véritablement offrir une solution à Zénon, pour des raisons que nous développions et que nous exposons dans le présent travail, et 3/ nous envisagions ce qu'aurait pu être une réponse véritablement cartésienne à l'aporie de Zénon telle que nous la comprenions, et concluions qu'une telle réponse devait se réduire ultimement à une forme d'agnosticisme face à un incompréhensible.

Si nous n'avons pas entièrement changé d'avis en ce qui concerne les points 2 et 3, nous ne pouvons plus maintenir notre lecture du texte et notre approche du point 1. Nous avons depuis été rendu sensible à la difficulté qu'il y a à interpréter la portée philosophique des énoncés conceptuels entourant les pratiques mathématiques de l'infini, en particulier au XVIIe siècle. Plus précisément, nous ne croyons plus qu'il soit nécessaire (ni tellement possible) de lire dans ce texte un véritable engagement de Descartes dans la réalité de la sommation infinie qu'il décrit, au-delà d'une manière de parler ou d'une hypothèse méthodologique. Comprise ainsi, nous l'avons dit, la réponse cartésienne devient la paraphrase, quelque peu modernisée par l'utilisation de la théorie des séries, de la première réponse aristotélicienne consistant à dire que l'infinité vaut par division mais se déroule à l'intérieur d'un intervalle fini au bout duquel Achille rattrape la tortue si l'on suppose possible de traverser le fini. Les considérations selon lesquelles la série infinie compose un segment, la différence devient véritablement nulle une fois l'infini achevé, etc., pourraient n'être que des concessions sous l'hypothèse fictionnelle selon laquelle on peut composer des grandeurs par addition infinie. Il n'en reste pas moins que Descartes parle littéralement de l'achèvement de la sommation infinie, et qu'il inaugure par là une manière infinitiste de considérer la résolution de Zénon.

On cite en général, comme première application de la théorie des séries au problème de l'Achille, le travail de Grégoire de Saint-Vincent, publié en 1647 mais datant des années
1620⁴. Mais cet auteur semble éviter plus clairement encore de dire que la somme infinie peut être *à proprement parler accomplie* ou en général à s'engager dans des infinis actuels. En tout état de cause, une véritable étude sur l'origine du traitement mathématique des paradoxes de Zénon devra prendre place dans le cadre de l'évaluation des rapports entre pratiques mathématiques et conceptualités philosophiques au XVIIᵉ siècle et avant, œuvre collective de longue haleine qui a déjà porté ses fruits<fnref n="5" />. Voir sur ce point notre annexe C, et, sur un sujet connexe, notre annexe F.

<footnote n="4">4. *Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni. Decem libris comprehensum*, I. et I. Meursios, *Anvers 1647, prop. 137, scholion, p. 101-3, cf. Jean Dhombres, « Le Continu Baroque. Ou Comment ne pas Jouer Discret », in *Le Labyrinthhe du Continu*, Colloque de Cerisy 11-20 sept. 1990, sous la dir. de Jean-Michel Salanskis et Hourya Sinaceur, Springer, 1992, p. 47-60</footnote>

<footnote n="5">5. Voir, pour une défense et illustration assez générale de ce programme, MANCOSU, *Philosophy of Mathematics and Mathematical Practice in the Seventeenth Century* cit..</footnote>
# Annexe I

## La non-résolution kantienne

La lecture de la *Critique de la raison pure* dans le contexte de l'étude de Zénon pose de nombreuses questions, en raison notamment d'un fait remarquable : l'argument de la Dichotomie n'y apparaît pas.

La proximité des paradoxes de Zénon d'Élée et des Antinomies de la raison pure saute aux yeux de quiconque connaît les deux corpus. Hegel par exemple déclare que :

> Les antinomies de Kant ne sont rien de plus que ce que Zénon a déjà fait ici [i.e. dans les textes rapportés par Simplicius]<fnref n="1" />.

On peut d'ailleurs considérer que la Deuxième Antinomie est une transposition exacte, dans le contexte kantien, de l'aporie zénonienne du Grand et du Petit qui nous est transmise par Simplicius<fnref n="2" />.

Le texte de Simplicius est peu connu, aujourd'hui encore, et Hegel le connaît, sauf erreur, par les éditions de Victor Cousin, qui sont postérieures à la mort de Kant. Il n'est donc pas surprenant outre mesure que Kant ne fasse pas directement le rapprochement avec Zénon d'un argument qui, de toute manière, était passé, dès l'Antiquité, dans la connaissance et l'argumentation commune. Cela d'autant plus que Kant ne cite jamais

<footnote n="1">1. HEGEL, *Des Origines à Anaxagore* cit., p. 152.</footnote>

<footnote n="2">2. Les différences sont intéressantes : dans le texte de Kant, la nature de l'espace et sa non-compositionnalité sont tenues pour acquises, et il distingue *a priori* l'espace de la matière substantielle le remplissant, alors que chez Zénon il n'y a pas une telle distinction. Mais en réalité les arguments ont les mêmes enjeux et les mêmes ressorts chez l'un et l'autre.</footnote>
un auteur en particulier pour attester de la pertinence historique des arguments qu'il
oppose dans l'Antinomie.

Néanmoins, ne serait-ce qu’à des fins de complétude systématique, Kant n’aurait-il
pas du intégrer, dans cette même Deuxième Antinomie, le paradoxe de la Dichotomie –
soit dans sa forme régressive soit dans sa forme progressive¹ – ?

En effet, la Première Antinomie kantienne examine deux Idées : celle de la totalité
de la synthèse régressive de la durée passée du monde, à partir du présent ; et celle de la
totalité de la synthèse régressive de la limitation des corps par d'autres corps du monde.
L'exigence, rationnelle, de poser la totalité absolue des conditions pour un conditionné
donné produit, comme on le sait, les Idées cosmologiques de la durée totale du monde
a parte ante, et de l'étendue totale du monde, et demande si celles-ci sont finies ou
infinies. Ces Idées ne se confondent pas du tout, si notre compréhension est correcte, avec
l'infinité du temps et l'infinité de l'espace, qui sont, pour Kant, données dans les formes
a priori de l'intuition, comme capables d'accueillir l'expérience en général. Ces infinités
formelles servent justement d'arguments contre l'idée d'une finitude cosmologique, soit
sous la forme d'un commencement de l'univers, soit d'une limite de l'étendue – dans la
partie « antithèse » du conflit.

De même, la Deuxième Antinomie procède à l'examen de l'Idée de la complétude
absolue de la synthèse régressive de la composition d'une étendue substantielle par ses
parties étendues; demandant si cette synthèse est infiniment prolongée, en sorte qu'il
n'existe aucune substance simple, ou si elle doit parvenir à des éléments atomistiques
simples. Là encore, il s'agit d'un problème différent de celui de la composition de l'étendue
spatiale elle-même, car il est donné a priori, pour Kant, que l'espace ne se produit pas
par composition de parties, mais qu'il est donné d'avance comme un tout. Qu'il est, par
ailleurs, divisible à l'infini, et que si l'on en abstrait tout caractère relationnel, il ne reste
en fait rien du tout. Cette infinie divisibilité est, à nouveau, utilisée dans l'« antithèse »

<footnote n="3">3. Rappelons-les : « un mobile ne peut atteindre sa cible, car il doit d'abord parvenir à la moitié ». On a alors une régression à l'infini, soit vers l'avant (« et ensuite la moitié de la moitié restante ») soit vers l'arrière (« et avant cela la moitié de cette moitié »), qui prouve l'impossibilité, soit d'achever, soit de commencer, un mouvement donné, ce qui revient dans les deux cas à l'impossibilité de tout mouvement en général)</footnote>
contre l'idée d'une atomicité substantielle.

Pourquoi alors, en ce lieu de la Deuxième Antinomie, la Dichotomie de Zénon n'intervient-
elle pas ? Pourquoi Kant ne pose-t-il pas le parallèle temporel – ou cinétique – de la
composition substantielle étendue ? Après tout, pour que la durée finie de l'existence
d'un corps ait eu lieu, ou son mouvement fini, il faut d'abord que sa moitié ait eu lieu,
puis la moitié du reste, puis la moitié du reste, et ainsi de suite. On a bien affaire, il
nous semble, à une série de conditions pour un conditionné donné, qui est la totalité
d'un mouvement ou d'une durée finie.

Si l'on traite la Dichotomie sur le mode kantien, nous aurions alors d'un côté la « thèse », qui soutiendrait qu'une telle synthèse infinie ne serait pas susceptible de s'achever, et qu'elle rendrait impossible le mouvement, en sorte qu'il faudrait postuler une atomicité du temps et du mouvement – cette réponse est historiquement attestée comme réponse atomistique à Zénon, chez par exemple Épicure ou Diodore mais aussi de nombreux autres penseurs tout le long de l'histoire ; et, de l'autre, l'« antithèse », qui affirmerait au contraire la division à l'infini du temps, et soutiendrait qu'une atomicité du temps et du mouvement est impossible, pour exactement la même raison qui rend impossible l'atomicité de la substance : un atome de mouvement devrait être pensé comme prenant place dans une étendue de temps divisible selon l'avant et l'après, et devrait donc être pensé comme non-simple, non-atomique.

Kant conclurait alors que les deux camps ont raison dans leur réfutation, en ce que l'un et l'autre montrent une impossibilité, mais qu'ils ont l'un et l'autre tort en croyant pouvoir conclure à la validité de leur position propre – précisément parce que la réfutation de l'autre camp est, elle aussi, valide. Une telle conclusion kantienne nous paraîtrait tout à fait raisonnable.

Une première question serait donc : notre restitution des deux premières Antinomies, telles qu'elles se trouvent dans la *Critique*, est-elle correcte, et avons-nous raison de penser que Kant aurait pu – et en un sens dû – produire un équivalent du paradoxe de la Dichotomie en deuxième partie de la Deuxième Antinomie ?

En défense de la thèse selon laquelle la Dichotomie devrait en effet se trouver dans
la Deuxième Antinomie, nous pouvons avancer deux raisons :

1. La justification que donne Kant, dans la Première Antinomie, de la nécessité d'une régression du présent vers sa condition – qui est le temps passé –, est le fait qu'un élément temporel donné doit avoir été produit par une synthèse temporelle se déroulant jusqu'à lui. Or, croyons-nous, cette justification est exactement le ressort argumentatif de Zénon : le mouvement total a pour condition la synthèse temporelle successive de ses parties.

2. On pourrait croire que Kant n'a pas pris en compte les paradoxes de Zénon contre le mouvement parce que (comme certains philosophes modernes) il les croit résolus par la mathématique, et qu'il croit pouvoir reprendre à son compte une résolution désinvolte, selon laquelle « la tortue aura été rattrapée par Achille une fois l'infinité des étapes achevées ». Il nous semble cependant invraisemblable que Kant y ait eu recours implicitement, précisément parce que l'impossibilité d'achever une série infinie, en tant que série infinie, est le ressort principal de tous les arguments – du côté de la « thèse » – dans les Antinomies. Kant est peut-être le plus radical des penseurs modernes en ce qui concerne *l'interdiction d'achever une série infinie*, puisqu'il en fait un motif de réfutation de *l'infinité de l'étendue du monde*, alors même que cette étendue, de son propre aveu, n'a pas besoin d'être constituée par la série régressive que nous élaborons sur elle. *A fortiori* l'achèvement d'une série temporelle infinie qui *se constitue effectivement dans l'ordre de la série* doit-elle être exclue.

Une deuxième question serait donc : Kant est-il absolument ignorant de l'existence des paradoxes de Zénon contre le mouvement ? La Dichotomie manque-t-elle dans les Antinomies uniquement parce qu'elle a échappé à Kant, qu'il n'y a pas du tout pensé ? Ou y a-t-il une raison conceptuelle plus profonde, relative à l'analyse kantienne des Catégories, qui exclue la présence de la division temporelle ? Et si oui, quel est alors la véritable réponse kantienne aux paradoxes contre le mouvement ?
En supposant néanmoins que le paradoxe de la Dichotomie ait sa place parmi les Antinomies, admet-il, au même titre que les autres, une solution par l'Idéalisme Transcendantal ?

Il est certainement possible d'en formuler une, analogue à la solution de l'Antinomie de la composition de la substance. On dirait en effet que les parties successives d'un mouvement donné n'existent pas en soi, mais doivent être produites *dans la régression*, dans la poursuite effective de la régression. Que tout ce qui est donné à la sensibilité est l'unité totale d'un mouvement, avec la possibilité de le diviser. Et que l'Antinomie repose sur l'idée fausse selon laquelle le conditionné est donné en soi avec la totalité de ses conditions.

Une telle solution ressemblerait superficiellement à la réponse aristotélicienne, potentialiste, qui dit en effet qu'un mouvement continu est en son essence *un*, quoi qu'il soit, en puissance et accidentellement, divisible. Ses parties ne sont pas données avec le tout, mais doivent être constituées par un processus extrinsèque – soit physique (une série de petits cailloux le long du chemin) soit simplement mental (la pensée du processus de dichotomie) mais qui, dans un cas comme dans l'autre, ne peut jamais arriver à une infinité mais toujours à une division finie.

Cependant, le problème de la solution aristotélicienne est que, comme le font remarquer Bayle ou Sextus Empiricus¹, le mouvement continu n'est pas vraiment un, mais il est perpétuellement, et effectivement, division selon l'avant et l'après. Un corps continu peut se présenter comme en lui-même un, parce qu'il n'a pas besoin de se constituer dans la synthèse de ses parties constitutives, mais ce n'est pas le cas d'un mouvement.

Kant répondrait alors que sa solution est seule à même d'éviter le problème, sinon insurmontable, de la solution aristotélicienne. Car ce problème survient si et seulement si on croit que l'unité et les parties sont données en soi. Le mouvement étant pensé comme une synthèse en soi, il doit contenir en lui l'infinité de ses parties possibles. En revanche, s'il n'est qu'un phénomène, on doit penser que² :

<footnote n="4">4. Voir section 5.6.3.</footnote>

<footnote n="5">5. KANT, *Critique de la raison pure* cit., A514/B542, p.484.</footnote>
la série des conditions n'est [pas] considérée comme donnée de façon infinie dans l'objet. Ce ne sont pas des choses qui sont données en soi, mais seulement des phénomènes qui ne sont donnés, comme conditions les uns des autres, que dans la régression elle-même.

Autrement dit le mouvement fini se présente comme un tout uni dont on est seulement contraint de penser qu'il a pour condition des sous-mouvements qui en sont les parties.

Il se peut que cette solution fonctionne. Mais nous restons gêné par le fait que nous avons du la reconstituer, et qu'elle ne se trouve pas dans le texte de Kant. En effet, la Dichotomie cumule, pour ainsi dire, les difficultés de la régression temporelle dans la Première Antinomie et de la division substantielle de la Deuxième Antinomie :

* Comme la division substantielle, la division temporelle dichotomique peut être dite *infinie*, et pas seulement *indéfinie* – selon la distinction faite dans la huitième section. Dans une opération donnant lieu à une série *infinie*, je peux toujours, pour chaque étape de la division, *anticiper* sur le résultat de la division suivante, car *la totalité dans laquelle prend place la division m'est donnée en son entier*. Certes, les parties ne me sont pas données d'avance *comme parties*. Mais elles me sont données d'avance, anticipables, en tant qu'elles forment le tout. Si le mouvement total a eu lieu, les parties partielles sont anticipables dans le tout, comme les fractions d'un morceau de matière<fnref n="6" />.

* Comme la régression temporelle indéfinie *a parte ante*, la division temporelle dichotomique renvoie à la pensée de la constitution *effective par une synthèse*, par une succession. L'analyse zénonienne tire sa force du fait qu'elle peut prétendre que le déroulement des événements est exactement parallèle à la série que l'analyse effectue, et qu'ainsi l'événement ne peut pas davantage s'achever que la série ne le peut<fnref n="7" />.

<footnote n="6">6. Contrairement à ce qui se passe dans une régression indéfinie, comme la régression indéfinie *a parte ante* dans le passé, pour laquelle ne m'est pas donné un *tout de la durée du monde* dans lequel prend place la régression. Je suis obligé, pour chaque étape régressive, de supposer qu'une régression est encore possible ou en tout cas que je ne peux pas l'exclure, mais sans que l'élément temporel vers lequel remonterait cette régression me soit donné d'avance.</footnote>

<footnote n="7">7. Contrairement à, par exemple, l'ensemble des parties constituantes d'une substance, qui doivent</footnote>
Cela pourtant ne contredit pas l'hypothétique réponse que nous prêtons à Kant. Il
reste vrai qu'avec la perception, ou la connaissance, d'un mouvement fini, ne m'est pas
donné en même temps la perception, ou la connaissance, d'une infinité de mouvements
partiels comme tels. Je n'ai pas besoin d'avoir la connaissance de la moitié de la moitié
de la moitié de la moitié du mouvement, pour avoir connaissance du mouvement.

<footnote>être données simultanément et ne pas composer le tout *dans une série régressive* analogue à la série que
je mène dans ma propre analyse.</footnote>
<figure><img src="image_46.png" /></figure>
# Index

## Index des noms anciens

Nous n'avons naturellement pas inclus Zénon d'Élée parmi les auteurs indexés.

Agrippa, 82, 164, voir aussi Sceptiques

Alexandre d'Aphrodise, 30, 47, 54–56,
59, 60, 66, 84, 552

Anaximandre, 402

Apollodore, 23, 26, 28, 38

Archimède, 569–577, 579

Aristote, 5–7, 10, 19–21, 23, 25, 29–32,
34–38, 41, 52–56, 58, 60, 64, 66,
69–71, 82, 83, 100, 105, 107,
108, 111–114, 129–131, 143,
146–149, 155–158, 160, 162,
165, 167–169, 171–182,
184–188, 191, 192, 198, 200,
201, 207, 209, 212–215,
221–223, 228, 233–235, 238,
239, 245, 248–250, 257, 258,
266, 277, 282, 284, 290–292,
297, 317, 330, 331, 347, 353,

356, 380, 381, 397, 399, 402,

415, 417–433, 450, 453, 504,

517–520, 522, 527–529, 533,

535–541, 543, 544, 547,

551–557, 559–565, 567, 576,

581, 585, 586, 591

Atomistes, 5, 6, 35, 69, 129, 131, 146,
148–150, 164, 168, 183–186,
189, 191, 200, 353, 355, 424,
425, 427, 431, 433, 454, 517,
519, 546, 553, 554, 569, 576

Chrysippe, 553, voir aussi Stoïciens

Damascius, 1, 52, 183, 191, 192

Démocrite, 5, 129, 150, 186, 427, 546,
voir aussi Atomistes

Diodore, 517, 595

Diodore Cronos, 5, 35, 36, 163, 164,
183, 185, 186, 353-355, 552

Diogène de Sinope, 6, 329

Diogène Laërce, 20, 23-26, 29, 30, 35,
39, 41, 116, 163

Démocrite, 522

Démétrios, 24, 26

Éléates, 17, 23, 34, 39-41, 46, 49, 52,
76, 100, 142-144, 146, 147, 149,
153, 161, 185, 349, 535, 536,
546, 569, 576

Élias, 162, 164

Empédocle, 26, 30

Épicure, 5, 150, 186, 522, 546, 595, voir
aussi Atomistes

Ésope, 561

Eubulide, 527, 531, voir aussi
Mégariques

Euclide d'Alexandrie, 65, 71, 72, 78, 86,
87, 92, 94-100, 103, 104, 107,
114, 318, 330, 402, 413, 432,
433, 437-442, 458, 499, 501,
572

Eudème de Rhodes, 29, 30, 32, 33, 37,
54, 56, 57

Gorgias, 28, 33, 41, 52, 152, 541, 548,
voir aussi Sophistes

Géminus, 72

Hérodote, 432

Homère, 432, 562, 563, 567

Isocrate, 28

Jamblique, 565

Jean Philopon, 30, 423

Jérome de Stridon, 529

Leucippe, 5, 150, 546, voir aussi
Atomistes

Lucrèce, 135

Mégariques, 149, 176, 183, 527, 531

Mélissos, 23, 41, 52, 147, 528, 536, 547,
voir aussi Éléates

Parménide, 3, 20-26, 28, 35, 39-41,
46-48, 54-56, 58, 63, 68, 71, 76,
78, 79, 100, 101, 103, 104, 111,
129, 147, 153, 535-540,
542-544, voir aussi Éléates

Platon, 19-23, 25-41, 47, 48, 54, 55, 61,
66, 68, 69, 76, 79, 99, 100, 104,
107, 111, 113, 114, 116, 134,
143, 146, 147, 152, 153, 159,
239, 383, 396, 428, 467, 486,
497, 516, 535, 537, 538,
540-543, 548, 553-555, 558, 575

Plutarque, 28, 134, 135

Porphyre, 54, 55, 58-60, 129-131, 431

Priscien, 408

Proclus, 22, 28, 31, 32, 48, 72, 438, 440
Protagoras, 29, 38, 152, voir aussi
Sophistes

Pyrrhon d'Élis, 143, 146, 152, 163, 548

Pythagoriciens, 46–49, 51, 114, 161, 458

Pythodore, 21, 27

Périclès, 28

Sceptiques, 41, 42, 48, 79, 82, 83, 143,
146, 152, 163, 189, 548, 553

Sextus Empiricus, 29, 36, 82, 83, 146,
152, 163, 164, 189, 191, 548,
597, voir aussi Sceptiques

Siddharta, 374, 375

Simplicius, 1, 20, 22, 28–34, 36, 37, 41,
43, 52–66, 68–70, 73, 74, 84,
125, 130, 131, 136, 137, 142,
143, 158, 160, 162, 165, 192,
427, 535, 536, 559–561, 564,
593

Socrate, 20, 21, 26, 28, 38–40, 66–68,
76, 79, 374, 375, 416, 537

Sophistes, 27, 28, 32, 41, 55, 76, 79,
146, 152, 187, 528, 529, 548

Speusippe, 55

Stoïciens, 5, 17, 62, 134, 135, 149, 190,
528, 554

Sénèque, 30

Thémistius, 57, 66, 559–562, 564

Théophraste, 56

Théétète, 537, 542

Timon d'Athènes, 23, 26

Xénocrate de Chalcédoine, 55, 58, 60,
61

Xénophane, 41, 52, voir aussi Éléates

Zénon de Kition, 17, 25, voir aussi
Stoïciens

Index des noms médiévaux et modernes (du IXe au XIXe siècle)

al-Nazzam, 553

al-Quhi, 553

Barthélémy-Saint-Hilaire, 529

Bayle, 187, 188, 221, 292, 331, 515, 597

Bolzano, 533

Cauchy, 9, 313, 578, 581

Cavalieri, 44, 244, 569, 577–582

Cousin, 593

Descartes, 6, 201, 229, 261, 317,
338–340, 441, 509, 522, 583–592

Duns Scot, 235, 538

Fontenelle, 133
Galilée, 6, 389, 522
Grégoire de Rimini, 141, 151, 235, 407,
408, 411, 581
Grégoire de Saint-Vincent, 201, 591

Hegel, 142, 143, 185, 200, 349, 394, 399,
402, 515, 516, 518, 521, 529,
531, 535, 542, 543, 548, 554,
593
Henri de Gand, 235

Jean Buridan, 234–331

Kant, 89, 185, 200, 206, 317–319,
433–436, 441, 445, 446, 465,
478, 516, 518, 521, 529, 538,

548, 593–599
Leibniz, 10, 133, 201, 509, 581, 582
Lotze, 530
Malebranche, 133
Newton, 6, 44, 376, 522
Nietzsche, 52
Pascal, 90–92, 133
Renouvier, 349
Torricelli, 578, 581, 582
Wallis, 582
Weierstrass, 8, 349, 351, 353, 578, 581

## Index des noms contemporains

La démarcation, qui passe ici entre Weierstrass (1815-1897) et Dedekind (1831-1916), correspond plus ou moins au fait d'avoir ou non été contemporain du développement de la théorie des ensembles.

Acerbi, 86, 88, 97–104, 108, 111,
113–117
Allis, 231, 254, 323
Arthur, R.T.W., 392
Aubry, G., 416
Austin, 367, 381–383
Badiou, 401

Barnes, 40, 47, 51, 79, 134, 137, 197,
200, 209, 212, 219–230, 518
Benacerraf, 231, 246, 253, 263, 269, 273,
278–282, 293, 295, 296, 301,
310–316, 327, 349, 456, 504
Benardete, 162, 223, 401
Bergson, 200, 206, 317, 349–358, 399,
521
Biard, 235, 407, 408
Black, 205, 231, 247-253, 255-266, 268, 269, 274, 277, 281, 284, 331, 346, 518, 520
Blake, 201, 248, 452, 519
Borges, 509, 513
Brisson, 22, 27, 30, 31, 33, 41, 100-102, 147, 428
Brouwer, 117, 201, 456-460, 463, 464, 486, 495
Brunschwig, 26, 155
Burke, 298-303, 325
Burkert, 432
Cajori, 451
Cantor, 8-11, 44, 85, 115, 138, 140-142, 306, 307, 331, 442, 450, 452, 456, 457, 507, 531, 533
Carroll, 533
Cassin, 51
Cavaillès, 342
Caveing, 19, 43-49, 54, 127, 137, 181, 198, 554, 559, 560
Celeyrette, 235, 407
Cesàro, 280, 313-316, 318, 324
Chemla, 501
Chihara, 231, 278, 281-293, 301, 327, 518, 520

Chomsky, 462
Church, 494
Couturat, 248-250, 302
Crubellier, 105, 107, 108, 113
Davies, 506
Dedekind, 9, 85, 414, 427, 450, 457, 486
Deleuze, 554, 555
Derrida, 466
Dieks, 392
Dolev, 231, 256, 267, 273, 276, 280, 281, 309-328, 365-392, 520
Dorato, 391
Dorion, 527
Duchamp, 495
Dummet, 380, 399
Earman, 231, 245, 323, 325, 506
Einstein, 370, 376, 387, 389, 392, 522
Évellin, 519
Fowler, 92, 97, 98
Fraenkel, 442, 459, 472
Frege, 531, 532
Freud, 509
Garciadiego, 532
Gödel, 494
Goldbach, 506
Goulet, 116
Groarke, 299, 300, 303
Grünbaum, 207, 216, 259, 518, 519

Gwiazda, 302–309, 322

Heidegger, 367

Heyting, 117

Hilbert, 1, 117, 201, 456–458, 460, 483, 494, 495

Hintikka, 415

Hoffman, H., 564

Huby, 56

Huggett, 19, 198

Husserl, 317, 367, 456, 462, 466

James, 200, 201, 317–319, 519

Knorr, 575, 576

Koetsier, 231, 254, 323

Köhler, 64

König, 532

Kripke, 395

Kronecker, 457

Laks, 56

Langevin, 389

Lautman, 554, 555

Lear, 415

Lefebvre, D., 416

Lévinas, 367, 402

Long, 191

Louguet, 54, 125

Manchak, 231, 505

INDEX DES NOMS CONTEMPORAINS

Mancosu, 495, 579, 592

Manders, 502

McLarty, 496

McLaughin, 453

McTaggart, 348, 358–366, 369, 370, 375, 377, 378, 387, 388, 390, 393–395, 399

Meillassoux, 469

Mellor, 387, 388

Melville, 341, 344

Meurisse, Paul, 342

Miller, S., 453

Milner, 557–568

Moore, A.W., 401

Most, 56

Mueller, 98, 99

Müller, 531

Nelson, 453

Netz, 107, 116, 501, 502, 570, 571

Neumann, von, 442, 444, 484, 486, 488

Norden, 558

Norris, 346, 347

Norton, 231, 245, 323, 325, 506

Noël, 515

Palmer, 19, 31, 37, 40, 47, 51, 137, 158, 165, 564

Peano, 90, 115, 472, 473, 480

Peirce, 184, 456
Pellegrin, 158, 165, 175, 560
Penrose, 390
Pérez Laraudogoitia, 231, 505
Poincaré, 457
Prior, 398
Putnam, 246, 390, 456, 504
Rabouin, 437, 441, 502
Rashed, 47, 84, 131, 552
Rav, 495
Richard, 530
Rietdijk, 390
Roberts, 231, 505
Robinson, 453
Ross, S., 308, 321–324
Ross, W.D., 223
Rotman, 498–500
Rucker, 401
Russell, 10, 83, 146, 151, 197, 204, 207,
216, 248, 271, 272, 299,
348–358, 365, 393, 454, 509,
517–519, 530–533
Saito, 501
Salanskis, 85, 117, 337, 401, 454–490,
494–496, 499
Salmon, 278
Saussure, 456
Sedley, 36, 191
Sorabji, 192, 197, 209, 212, 213, 249,

423
Soulier, 402, 415
Stein, H., 392
Stevens, 175, 560
Tannery, 46, 197
Taylor, 205, 247, 253, 259–261, 269,
270, 274, 295, 518
Taylor, C.C.W., 56
Thom, 184
Thomson, 231, 243, 244, 247, 255, 256,
259, 263–269, 271–281, 284,
291–302, 309, 310, 312–320,
324, 325, 327, 331, 518, 520
Tooley, 365
Turing, 117, 274, 494, 504–506
Unguru, 92, 97
Ventura, Lino, 341
Vitrac, 72, 78, 432, 433, 438, 440, 441
Vuillemin, 83, 198, 514, 551, 552, 554
Watling, 205, 247, 259–263, 265,
268–270, 274, 275, 295, 518
Weinersmith, 341, 342
Weyl, 200, 244–246, 248, 249, 257, 258,
283, 284, 287, 290, 297, 331,
346, 504, 518
Whitehead, 200, 201, 519
Wieland, 415
# Bibliographie

## Dictionnaires et outils lexicographiques

* TLFi : *Trésor de la langue Française informatisé*, CNRS-ATILF et Université de Lorraine, http://www.atilf.fr/tlfi.

* WARTBURG, WALTHER VON et CNRS-ATILF, *Französisches etymologisches Wörterbuch*, 25 t., J. C. B. Mohr, Hebing und Lichtenhahn et Honoré Champion, Tübingen, Basel et Paris 1922-2002, https://apps.atilf.fr/lecteurFEW/.

## Ressources encyclopédiques

* FIESER, JAMES et BRADLEY DOWDEN (éd.), *The Internet Encyclopedia of Philosophy* (*IEP*), https://www.iep.utm.edu/.

* ZALTA, EDWARD N. (éd.), *The Stanford Encyclopedia of Philosophy*, Metaphysics Research Lab, Stanford University, https://plato.stanford.edu/.

## Œuvres non littéraires

* MELVILLE, JEAN-PIERRE (réal.), *L'armée des ombres*, long-métrage, France et Italie 1969.

* WEINERSMITH, ZACH, « 2013-11-22 », *Saturday Morning Breakfast Cereal* (22 nov. 2013), http://smbc-comics.com/comic/2013-11-22.
## Œuvres anciennes

### Zénon et autres auteurs présocratiques (éditions et traductions)

DIELS, HERMANN et WALTHER KRANZ (éd.), *Die Fragmente der Vorsokratiker*, 6ᵉ éd., 3 t., Berlin 1951-1952.

DUMONT, JEAN-PAUL (éd.), *Les écoles présocratiques*, trad. par Daniel Delattre, Jean-Paul Dumont et Jean-Louis Poirier, folio/essais, Gallimard, 1991.

DUMONT, JEAN-PAUL et ALII. (éd.), *Les Présocratiques*, trad. par Daniel Delattre, Jean-Paul Dumont et Jean-Louis Poirier, Bibliothèque de la Pléiade, Gallimard, 1988.

KIRK, G.S. et J.E. RAVEN (éd., trad. et comm.), *The Presocratic Philosophers*, A critical History with a Selection of Texts, 2ᵉ éd., Cambridge 1969.

LAKS, ANDRÉ et GLENN W. MOST (éd. et trad.), *Les débuts de la philosophie. Des premiers penseurs grecs à Socrate*, Fayard, 2016, édition en langue anglaise : *Early Greek Philosophy*, éd. établie et trad. du grec par André Laks et Glenn W. Most, 9 t., Harvard University Press, Cambridge (Mass.) et Londres 2016.

LEE, H.D.P (éd.), *Zeno of Elea*, A Text, with Translation and Notes, trad. du grec et comm. par H.D.P. Lee, Cambridge Classical Studies, Cambridge University Press, 1936.

UNTERSTEINER, MARIO (éd.), *Zenone*, Testimonianze e Frammenti, Firenze 1963.

### Autres œuvres anciennes (éditions et traductions)

ARISTOTE, *Catégories. Sur L'interprétation*, Organon I-II, trad. du grec, annot. et introd. par Michel Crubellier, Catherine Dalimier et Pierre Pellegrin, GF Flammarion, 2007.

— *De la génération et la corruption*, éd. établie, trad. du grec, annot. et introd. par Marwan Rashed, Collection des universités de France, Les Belles Lettres, 2005.

— *Éthique à Nicomaque*, trad. du grec, annot. et introd. par Richard Bodéüs, GF Flammarion, 2004.
— *La Physique d'Aristote. ou Les leçons sur les principes généraux de la nature*, trad. du grec, annot. et introd. par Barthélémy-Saint-Hilaire, 2 t., A. Durand, Paris 1862.

— *Les parties des animaux*, trad. du grec, annot. et introd. par Pierre Pellegrin, GF Flammarion, 2011.

— *Les Réfutations sophistiques*, éd. établie, trad. du grec, comm. et introd. par Louis-André Dorion, préf. de Jacques Brunschwig, Histoire des doctrines de l'Antiquité classique, Vrin, 1995.

— *Métaphysique*, in *Œuvres. Éthiques, Politique, Rhétorique, Poétique, Métaphysique*, sous la dir. de Richard Bodéüs, trad. du grec par Christian Rutten et Annick Stevens, Bibliothèque de la Pléiade, Gallimard, 2014.

— *Physique*, trad. du grec, annot. et introd. par Pierre Pellegrin, GF Flammarion, 2000.

— *Physique*, trad. du grec, annot. et introd. par Annick Stevens, Vrin, 2012.

— *Premiers Analytiques*, Organon III, trad. du grec, comm. et introd. par Michel Cru-bellier, GF Flammarion, 2014.

— *Seconds analytiques*, Organon IV, trad. du grec, annot. et introd. par Pierre Pellegrin, GF Flammarion, 2005.

— *Topiques. Réfutations sophistiques*, Organon V-VI, trad. du grec par Jacques Brunschwig et Myriam Hecquet, annot. de Myriam Hecquet et Pierre Pellegrin, introd. de Pierre Pellegrin, GF Flammarion, 2015.

— *Traité du ciel*, trad. du grec et annot. par Catherine Dalimier et Pierre Pellegrin, introd. de Pierre Pellegrin, GF Flammarion, 2004.

CASSIN, BARBARA, *Cahiers de Philologie*, t. 4 : *Si Parménide*, Le traité anonyme *De Melisso Xenophane Gorgia*, trad. du grec et comm. par Barbara Cassin, Presses Universitaires de Lille/Editions de la M.S.H., 1980.

DAMASCIUS, *Commentaire du Parménide de Platon*, t. 3, texte établi par : Leender Gerrit Westerink, trad. du grec, annot. et introd. par Joseph Combès, 4 t., Collection des universités de France, Les Belles Lettres, 2002.
DIOGÈNE LAËRCE, « Livre IX », in *Vies et doctrines des philosophes illustres*, sous la dir. de Marie-Odile Goulet-Cazé et alii., trad. du grec, annot. et introd. par Jacques Brunschwig, La Pochotèque, Le livre de poche, 1999, p. 1025-1145.

— « Livre VII », in *Vies et doctrines des philosophes illustres*, sous la dir. de Marie-Odile Goulet-Cazé et alii., trad. du grec, annot. et introd. par Richard Goulet, La Pochotèque, Le livre de poche, 1999, p. 773-917.

— *Vies et doctrines des philosophes illustres*, éd. établie, trad. du grec et annot. par Marie-Odile Goulet-Cazé et alii., La Pochotèque, Le livre de poche, 1999.

EUCLIDE D’ALEXANDRIE, *Les Éléments*, trad. du grec et comm. par Bernard Vitrac, 4 t., Presses Universitaires de France, 1990-2001.

— *Les Éléments*, t. 1 : *Livre I-IV : Géométrie plane*, trad. du grec et comm. par Bernard Vitrac, introd. de Maurice Caveing, 4 t., Presses Universitaires de France, 1990.

— *Les Éléments*, t. 2 : *Livres V-VI : Proportions et similitude* ; *Livres VII-IX : Arithmétique*, trad. du grec et comm. par Bernard Vitrac, 4 t., Presses Universitaires de France, 1994.

HOMÈRE, *L’Iliade*, trad. du grec et annot. par Philippe Brunet, Seuil, 2010.

— *L’Odyssée*, trad. du grec par Frédéric Mugler, Babel, Actes Sud, 1995.

JEAN PHILOPON, *Against Aristotle on the Eternity of the World*, trad. du grec et annot. par Christian Wildberg, introd. de Richard Sorabji, Duckworth, 1987.

— *Against Proclus on the eternity of the world*, trad. du grec et annot. par Michael Share, introd. de Richard Sorabji, 2 t., Duckworth, 2004-2005.

LONG, A.A. et D.N. SEDLEY (éd. et comm.), *Les Philosophes hellénistiques*, trad. de l’anglais par Jacques Brunschwig et Pierre Pellegrin, 3 t., GF Flammarion, 2001, traduction de : *The Hellenistic Philosophers*, éd. établie, trad. du grec et comm. par A.A. Long et D.N. Sedley, Cambridge University Press, 1987.

— (éd. et comm.), *Les Philosophes hellénistiques*, t. 2 : *Les Stoïciens*, trad. de l’anglais par Jacques Brunschwig et Pierre Pellegrin, 3 t., GF Flammarion, 2001.

— (éd. et comm.), *Les Philosophes hellénistiques*, t. 1 : *Pyrrhon, L’épicurisme*, trad. de l’anglais par Jacques Brunschwig et Pierre Pellegrin, 3 t., GF Flammarion, 2001.
LUCRÈCE, *De la nature*, trad. du latin, annot. et introd. par José Kany-Turpin, 2ᵉ éd., GF Flammarion, 1998.

NETZ, REVIEL, WILLIAM NOEL, NATALIE TCHERNETSKA et NIGEL WILSON (éd.), *The Archimedes Palimpsest*, 2 t., Cambridge University Press, 2011.

PLATON, *Alcibiade*, trad. du grec par Chantal Marbœuf et Jean-François Pradeau, annot. de Jean-François Pradeau, introd. de Jean-François Pradeau, GF Flammarion, 1999.

— *La République*, trad. du grec, annot. et introd. par Georges Leroux, 2ᵉ éd., GF Flammarion, 2002.

— *Le Politique*, trad. du grec, annot. et introd. par Luc Brisson et Jean-François Pradeau, GF Flammarion, 2003.

— *Le Politique*, trad. du grec et comm. par Monique Dixsaut, M.-A. Gavray, A. Hasnaoui, É Helmer, A. Larivée, A. de la Taille et F. Teisserenc, annot. de Monique Dixsaut, M.-A. Gavray, A. Hasnaoui, É Helmer, A. Larivée, A. de la Taille et F. Teisserenc, Vrin, 2018.

— *Le Sophiste*, trad. du grec, annot. et introd. par Nestor L. Cordero, GF Flammarion, 1993.

— *Œuvres Complètes*, éd. établie, trad. et annot. par Léon Robin, 2 t., Bibliothèque de la Pléiade, Gallimard, 1950.

— *Parménide*, trad. du grec, annot. et introd. par Luc Brisson, 2ᵉ éd., GF Flammarion, 1999.

— *Phédon*, trad. du grec, annot. et introd. par Monique Dixsaut, GF Flammarion, 1991.

— *Phèdre*, trad. du grec, annot. et introd. par Luc Brisson, 2ᵉ éd., GF Flammarion, 2004.

— *Philèle*, trad. du grec, annot. et introd. par Jean-François Pradeau, GF Flammarion, 2002.

— *Timée. Critias*, trad. du grec, annot. et introd. par Luc Brisson, 5ᵉ éd., GF Flammarion, 2001.

SEXTUS EMPIRICUS, *Against the Physicists*, trad. du grec, annot. et introd. par Richard Bett, Cambridge University Press, 2012.
SEXTUS EMPIRICUS, *Esquisses pyrrhoniennes*, trad. du grec, comm. et introd. par Pierre Pellegrin, Points, Seuil, 1997.

SIMPLICIUS, *On Aristotle Physics 1.3-4*, trad. du grec par Pamela Huby et C.C.W. Taylor, introd. de Richard Sorabji, Ancient commentators on Aristotle, Bloomsbury, Londres 2011.

## Commentaires et études

ACERBI, FABIO, « Perché una dimostrazione geometrica greca è generale », in *La scienza antica e la sua tradizione*, IV Seminario di studi Gargnano, 13-15 oct. 2008, sous la dir. de G. Micheli et F. Franco Repellini, Cisalpino, Milano 2011, p. 25-80.

— « Plato : *Parmenides* 149a7-c3. A Proof by Complete Induction? », *Archive for History of Exact Sciences*, 55 (2000), p. 57-76.

AUBRY, GWENAËLLE, *Dieu sans la puissance*. Dunamis et Energeia chez Aristote et Plotin, Vrin, 2007.

AUSTIN, MICHEL et PIERRE VIDAL-NAQUET (éd., trad., annot. et introd.), *Économies et sociétés en Grèce ancienne*, textes choisis et présentés, Armand Colin, 1972.

BADIOU, ALAIN, *Parménide. L’être 1 - Figure ontologique, 1985-1986*, Le Séminaire, Fayard, 2014.

BARNES, JONATHAN, *The Presocratic Philosophers*, t. 1 : *Thales to Zeno*, 2 t., The Arguments of the Philosophers, 1979.

BETT, RICHARD, « Pyrrho », in Edward N. Zalta (éd.), *The Stanford Encyclopedia of Philosophy*, Metaphysics Research Lab, Stanford University, https://plato.stanford.edu/, https://plato.stanford.edu/archives/win2014/entries/pyrrho/.

BROCHARD, VICTOR, *Études de philosophie ancienne et de philosophie moderne*, éd. établie et introd. par Victor Delbos, Félix Alcan, Paris 1912.

— « Les arguments de Zénon d’Élée contre le mouvement », *Compte rendu de l’Académie des sciences morales*, 29 (1888), p. 555-568.
— « Les prétendus sophismes de Zénon d’Élée », *Revue de Métaphysique et de Morale*, 1, 3 (1893), p. 209-215.

BRUNSCHWIG, JACQUES, « Qu’est-ce que “la Physique” d’Aristote ? », in *La Physique d’Aristote*, et les conditions d’une science de la nature, sous la dir. de François De Gandt et Pierre Souffrin, Séminaire d’Epistémologie et d’Histoire des Sciences de Nice, Vrin, 1991, p. 11-40.

BURIDAN, JEAN, *Quaestiones super octo libros Physicorum Aristotelis. (Secundum ultimam lecturam)*, éd. établie et introd. par Paul J.J.M. Bakker et Michiel Streijger, comment. d’Edith D. Sylla, Brill, 2016.

BURKERT, WALTER, *Weisheit und Wissenschaft. Studien zu Pythagoras, Philolaus und Platon*, Hans Carl, Nürnberg 1962.

CAJORI, FLORIAN, « The History of Zeno’s Arguments on Motion. Phases in the Development of the Theory of Limits », *The American Mathematical Monthly*, 22 (1915), p. 1-6, 38-47, 77-82, 109-15, 143-49, 179-86, 215-20, 253-58, 292-97.

CAVEING, MAURICE, *Zénon d’Élée. Prolégomènes aux doctrines du continu*, Étude historique et critique des Fragments et Témoignages, Vrin, 1982.

CHEMLA, KARINE, « Mathematical proof : a research programme », in Karine Chemla (éd.), *The History of Mathematical Proof in Ancient Traditions*, Cambridge University Press, 2012, p. 1-68.

— (éd.), *The History of Mathematical Proof in Ancient Traditions*, Cambridge University Press, 2012.

EL MURR, DIMITRI, *Savoir et gouverner. Essai sur la science politique platonicienne*, Tradition de la pensée classique, Vrin, 2014.

GOLITSIS, PANTELIS, *Les Commentaires de Simplicius et de Jean Philopon à la Physique d’Aristote. Tradition et innovation*, Commentaria in Aristotelem Graeca et Byzantina, 3, De Gruyter, Berlin-New York 2008.

HEGEL, G.W.F., *Leçons sur l’histoire de la philosophie, Tome 1 : La Philosophie Grecque. Des Origines à Anaxagore*, éd. établie, trad. de l’allemand et annot. par Pierre Garniron, 7 t., Bibliothèque d’histoire de la philosophie, Vrin, 1971.
HEGEL, G.W.F., *Leçons sur l'histoire de la philosophie, Tome 2 : La Philosophie Grecque.*
*Des Sophistes aux Socratiques*, éd. établie, trad. de l'allemand et annot. par Pierre
Garniron, 7 t., Bibliothèque d'histoire de la philosophie, Vrin, 1971.

HINTIKKA, JAAKKO, « Aristotelian Infinity », *The Philosophical Review*, 75, 2 (avr.
1966), p. 197-218.

HOFFMAN, HERBERT, « Zeno's Tortoise », *Antike Kunst*, 47 (2004), p. 5-9.

KNORR, WILBUR R., « Infinity and continuity. The Interaction of Mathematics and Philosophy in Antiquity », in *Infinity and Continuity in Ancient and Medieval Thought*, sous la dir. de Norman Kretzmann, Ithaca, 1982, p. 112-145.

— « The Method of Indivisibles in Ancient Geometry », in *Vita Mathematica*, Historical Research and Integration with Teaching, sous la dir. de Ronald Calinger, MAA Notes, 40, The Mathematical Association of America, 1996, p. 67-86.

KÖHLER, GERARD, *Zenon von Elea. Studien zu den 'Argumenten gegen die Vielheit' und zum sogenannten 'Argument des Orts'*. De Gruyter, 2014.

KOYRÉ, ALEXANDRE, « Remarques sur les paradoxes de Zénon », (1922), in *Études d'histoire de la pensée philosophique*, Gallimard, 1971.

LEAR, JONATHAN, « Aristotelian Infinity », *Proceedings of the Aristotelian Society*, 80 (1979-1980), p. 187-210.

LEFEBVRE, DAVID, *Dynamis. Sens et genèse de la notion aristotélicienne de puissance*,
Vrin, 2018.

LOUGUET, CLAIRE, *Les Usages de l'infini chez les penseurs présocratiques*, thèse de
doctorat sous la direction de M. André Laks, Université de Lille III, 21 sept. 2004.

MANDERS, KENNETH, « The Euclidean Diagram », (1995), in Paolo Mancosu (éd. et
introd.), *The Philosophy of Mathematical Practice*, Oxford University Press, 2008,
chap. 4, p. 80-133.

MCKIRAHAN, RICHARD, « La dichotomie de Zénon chez Aristote », in *Qu'est-ce que la philosophie présocratique ?*, What is Presocratic Philosophy ?, sous la dir. d'André Laks et Claire Louguet, trad. de l'anglais par Claire Louguet, Presses Universitaires du Septentrion, Lille 2002, p. 465-496.
MILNER, JEAN-CLAUDE, « La technique littéraire des paradoxes de Zénon », in *Détections fictives*, Seuil, 1985, p. 45-71.

MUELLER, I., *Philosophy of Mathematics and Deductive Structure in Euclid's Elements*, MIT Press, Cambridge (Mass.) 1981.

MÜLLER, ROBERT, *Introduction à la pensée des Mégariques*, 1988.

NETZ, REVIEL, *Ludic Proof. Greek Mathematics and the Alexandrian Aesthetic*, Cambridge University Press, 2009.

— « The Goal of Archimedes' *Sand Reckoner* », *Apeiron*, 36, 4 (2003), p. 251-290.

— *The Shaping of Deduction in Greek Mathematics. A study in cognitive history*, Ideas in Context, Cambridge University Press, 1999.

NETZ, REVIEL et WILLIAM NOEL, *The Archimedes Codex. How a Medieval Prayer Book is Revealing the True Genius of Antiquity's Greatest Scientist*, Da Capo Press, 2007.

NETZ, REVIEL, KEN SAITO et NATALIE TCHERNETSKA, « A New Reading of *Method* Proposition 14. Preliminary Evidence from the Archimedes Palimpsest, I », *SCIAMVS*, 2 (2001), p. 9-29.

— « A New Reading of *Method* Proposition 14. Preliminary Evidence from the Archimedes Palimpsest, II », *SCIAMVS*, 3 (2002), p. 109-125.

NORDEN, EDUARD, *Die Antike Kunstprosa*, Leipzig 1898.

PALMER, JOHN, « Zeno of Elea », in *The Stanford Encyclopedia of Philosophy*, sous la dir. d'Edward N. Zalta, Spring 2017, Metaphysics Research Lab, Stanford University, 2017, https://plato.stanford.edu/archives/spr2017/entries/zeno-elea/.

RABOUIN, DAVID, *L'invention de l'espace chez les Grecs*, Conférence dans le cadre du Séminaire de Philosophie et de Mathématiques 2014 ayant pour thème « L'invention de l'espace : enjeux philosophiques », École Normale Supérieure, Paris 27 jan. 2014, http://savoirs.ens.fr/expose.php?id=1637 (visité le 12/07/2018).

RASHED, MARWAN, *Alexandre d'Aphrodisée, Commentaire perdu à la Physique d'Aristote (Livre IV-VIII)*, Les scholies byzantines. Édition, traduction et commentaire, De Gruyter, 2011.
REINACH, ADOLPHE, *Textes grecs et latins relatifs à l'histoire de la peinture ancienne*, Klincksieck, Paris 1921.

SAITO, KEN, *greekmath.org*, http://www.greekmath.org/ (visité le 28/09/2018).

SEDLEY, D.N., « Diodorus Cronus and Hellenistic Philosophy », *Proceedings of the Cambridge Philological Society*, 203 (1977), p. 74-120.

— « Epicurus and his professional rivals », *Cahiers de philologie*, 1 (1976), p. 119-159.

SORABJI, RICHARD, « Infinity and the Creation », in *Philoponus. And the Rejection of Aristotelian Science*, sous la dir. de Richard Sorabji, Duckworth, 1987, chap. 9, p. 164-178.

— *Time, creation and the continuum. Theories in antiquity and the early middle ages*, Duckworth, 1983.

SOULIER, PHILIPPE, *Simplicius et l'infini*, préf. de Philippe Hoffmann, Les Belles Lettres, 2014.

VASSALLO, CHRISTIAN, « Gerhard Köhler, Zenon von Elea », *Bryn Mawr Classical Review*, 46 (sept. 2015), http://bmcr.brynmawr.edu/2015/2015-09-46.html.

VITRAC, BERNARD, *Les démonstrations par l'absurde dans les Éléments d'Euclide. In-ventaire, formulation, usages*, mar. 2012, https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00496748v2.

VUILLEMIN, JULES, *De la Logique à la Théologie. Cinq Études sur Aristote*, Flammarion, 1967.

— « De la régression à l'infini comme moyen de réfutation. Commentaire aux textes de la *Métaphysique* », Troisième étude, in Jules Vuillemin, *De la Logique à la Théologie. Cinq Études sur Aristote*, Flammarion, 1967, p. 127-146.

— *Nécessité ou contingence. L'aporie de Diodore et les systèmes philosophiques*, Minuit, 1984.

— « Sur deux cas d'application de l'axiomatique à la philosophie : l'analyse du mouvement par Zénon d'Élée et l'analyse de la liberté par Diodore Kronos », *Fundamenta Scientiae*, 6 (1985), p. 209-219.

WIELAND, WOLFGANG, *Die aristotelische Physik*, Göttingen 1962.
Œuvres médiévales et modernes

Éditions et traductions

BAYLE, PIERRE, *Dictionnaire historique et critique*, 4 t., Amsterdam-Leyde-La Haye-Utrecht 1740.

— « Zénon d’Élée », in Pierre Bayle, *Dictionnaire historique et critique*, 4 t., Amsterdam-Leyde-La Haye-Utrecht 1740, p. 536-546.

— « Zénon d’Élée », in *Choix d’articles tirés du Dictionnaire historique et critique*, t. 2, sous la dir. d’Elisabeth Labrousse, 2 t., repub. de *Dictionnaire historique et critique* cit., G. Olms, Hildesheim Zürich New York 1982, p. 1180-1190.

BIARD, JOËL et JEAN CELEYRETTE (éd.), *De la théologie aux mathématiques. L’infini au XIV<sup>e</sup> siècle*, Les Belles Lettres, 2005.

BOLZANO, BERNARD, *Paradoxien des Unendlichen*, sous la dir. de František Příhonský, C.H. Reclam, Leipzig 1851.

BURIDAN, JEAN, *Quaestiones super octo libros Physicorum Aristotelis. (Secundum ultimam lecturam)*, éd. établie et introd. par Paul J.J.M. Bakker et Michiel Streijger, comment. d’Edith D. Sylla, Brill, 2016.

DE SAINT-VINCENT, GRÉGOIRE, *Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni. Decem libris comprehensum*, I. et I. Meursios, Anvers 1647.

DESCARTES, RENÉ, *Œuvres complètes*, t. VIII.1 : *Correspondance*, 1, sous la dir. de Jean-Marie Beyssade et Denis Kambouchner, sous la dir. de Jean-Robert Armogathe, annot. de Jean-Robert Armogathe, 8 t., tel, 2013.

— *Œuvres complètes*, t. VIII.2 : *Correspondance*, 2, sous la dir. de Jean-Marie Beyssade et Denis Kambouchner, sous la dir. de Jean-Robert Armogathe, annot. de Jean-Robert Armogathe, 8 t., tel, 2013.

— *Œuvres*, nouvelle présentation, sous la dir. de Charles Adam et Paul Tannery, 13 t., Vrin/CNRS, 1964-1974.

— *Œuvres complètes*, sous la dir. de Jean-Marie Beyssade et Denis Kambouchner, 8 t., tel, 2013-.
FONTENELLE, *Entretiens sur la pluralité des mondes*, (1742), éd. établie et comm. par Christophe Martin, GF Flammarion, 1998.

HEGEL, G.W.F., *Encyclopédie des sciences philosophiques en abrégé*, (1817, 1827), trad. de l'allemand et annot. par Bernard Bourgeois, Bibliothèque des textes philosophiques, Vrin, 2012.

— *Leçons sur l'histoire de la philosophie*, éd. établie, trad. de l'allemand et annot. par Pierre Garniron, 7 t., Bibliothèque d'histoire de la philosophie, Vrin, 1971-1991.

— *Phénoménologie de l'esprit*, (1807), trad. de l'allemand, annot. et introd. par Jean Hyppolite, 2 t., Aubier Montaigne, 1939-1941.

— *Phénoménologie de l'esprit*, (1807), trad. de l'allemand, annot. et introd. par Bernard Bourgeois, Bibliothèque des textes philosophiques, Vrin, 2006.

— *Phénoménologie de l'esprit*, (1807), trad. de l'allemand, annot. et introd. par Jean-Pierre Lefebvre, GF Flammarion, 2012.

— *Science de la Logique*, (1812, 1832), trad. de l'allemand et annot. par Bernard Bourgeois, 3 t., Bibliothèque des textes philosophiques, Vrin, 2015-2016.

— *Leçons sur l'histoire de la philosophie, Tome 1 : La Philosophie Grecque. Des Origines à Anaxagore*, éd. établie, trad. de l'allemand et annot. par Pierre Garniron, 7 t., Bibliothèque d'histoire de la philosophie, Vrin, 1971.

— *Leçons sur l'histoire de la philosophie, Tome 2 : La Philosophie Grecque. Des Sophistes aux Socratiques*, éd. établie, trad. de l'allemand et annot. par Pierre Garniron, 7 t., Bibliothèque d'histoire de la philosophie, Vrin, 1971.

KANT, IMMANUEL, *Critique de la raison pure*, (1781, 1787), éd. établie, trad. de l'allemand, annot. et introd. par Alain Renaut, 3e éd., GF Flammarion, 2006.

— *La Forme et les principes du monde sensible et du monde intelligible*, (Dissertation de 1770), in *Dissertation de 1770*, suivie de *Lettre à Marcus Herz*, sous la dir. d'Alexis Philonenko, trad. du latin, annot. et introd. par Paul Mouy, Vrin, 1995.

LEIBNIZ, G.W., *Principes de la philosophie [Mongoadologie]*, (1714), in *Principes de la Nature et de la Grâce. Monadologie. Et autres textes 1703-1716*, éd. établie, annot. et préf. par Christiane Frémont, GF Flammarion, 1996.
LOTZE, HERMANN, *System of Philosophy, Logic. In three books : of Thought, of Investigation, and of Knowledge*, (1874), sous la dir. de Bernard Bosanquet, Clarendon, Oxford 1884.

MALEBRANCHE, NICOLAS, *De la recherche de la vérité. Livres I-III*, (1674, 1712), éd. établie et annot. par Jean-Christophe Bardout, Vrin, 2006.

PASCAL, BLAISE, *Les Pensées*, éd. établie, annot. et introd. par Léon Brunschvicg, Li-brairie Hachette et Cie, Paris 1904.

— *Œuvres Complètes*, éd. établie et annot. par Jacques Chevalier, Gallimard, 1954.

SCOT, DUNS, *Le Principe d'individuation*, trad. du latin, annot. et introd. par Gérard Sondag, Vrin, 2005.

## Commentaires et études

BIARD, JOËL, « Logique et Physique de l'infini au XIVe siècle », in *Infini des mathématiciens, infini des philosophes*, (dir.) Françoise Monnoyeur, préf. de Jean Dieudonné, postf. d'Hourya Sinaceur, Belin, 1992, chap. 1, p. 17-36.

BROCHARD, VICTOR, *Études de philosophie ancienne et de philosophie moderne*, éd. établie et introd. par Victor Delbos, Félix Alcan, Paris 1912.

CAJORI, FLORIAN, « The History of Zeno's Arguments on Motion. Phases in the Development of the Theory of Limits », *The American Mathematical Monthly*, 22 (1915), p. 1-6, 38-47, 77-82, 109-15, 143-49, 179-86, 215-20, 253-58, 292-97.

DHOMBRES, JEAN, « Le Continu Baroque. Ou Comment ne pas Jouer Discret », in *Le Labyrinthe du Continu*, Colloque de Cerisy 11-20 sept. 1990, sous la dir. de Jean-Michel Salanskis et Hourya Sinaceur, Springer, 1992, p. 47-60.

GARDIES, JEAN-LOUIS, « Les antécédents scolastiques de la théorie des ensembles », *Revue de Métaphysique et de Morale*, 4 (Octobre-Décembre 1986) : *Philosophie des Sciences*, p. 486-505.

MANCOSU, PAOLO, *Philosophy of Mathematics and Mathematical Practice in the Seventeenth Century*, Oxford University Press, New York et Oxford 1996.
PIRONET, FABIENNE et JOKE SPRUYT, « Sophismata », in *Zalta* (éd.), *The Stanford Encyclopedia of Philosophy* cit., http://plato.stanford.edu/archives/win2015/entries/sophismata/.

SALANSKIS, JEAN-MICHEL, « La salutaire in-objectivité des mathématiques chez Kant », in *Kant face aux mathématiques modernes*, sous la dir. d'Emmanuel Barot et Julien Servois, Vrin, 2010, p. 97-124.

SEBAN, PIERROT, *Zénon d'Élée à l'âge classique. Sur une réponse dogmatique et une reprise fidéiste*, mené sous la direction de M. Jean Seidengart, Mémoire de M2, Université Paris Ouest Nanterre, 2012.

SPADE, PAUL VINCENT et STEPHEN READ, « Insolubles », in *Zalta* (éd.), *The Stanford Encyclopedia of Philosophy* cit., https://plato.stanford.edu/.

THIJSSEN, HANS, *John Buridan's Tractatus de infinito*, Ingenium Publishers, 1991.

## Littérature contemporaine

### Œuvres mathématiques

CANTOR, GEORG, « Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, I », *Mathematische Annalen*, 46 (1895), p. 481-512.

— « Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, II », *Mathematische Annalen*, 48 (1897), p. 207-246.

— *Sur les fondements de la théorie des ensembles transfinit*, trad. de l'allemand par F. Marotte, Jacques Gabay, Sceaux 1989.

DEDEKIND, RICHARD, « Que sont et à quoi servent les nombres ? », (1888), in *La création des nombres*, trad. de l'allemand, annot. et introd. par Hourya Benis Sinaceur, Vrin, 2008, p. 91-220.

GOLDBLATT, ROBERT, *Lectures on the hyperreals. An introduction to nonstandard analysis*, Springer, Berlin-New York 1998.
HEIJENOORT, JEAN VON (éd., trad., annot. et préf.), *From Frege to Gödel. A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931*, Harvard University Press, Cambridge (Mass.) 1967.

HERMOSO, JORDI GUTIERREZ, *Nonstandard Analysis and the Hyperreals*, http://mathforum.org/dr.math/faq/analysis_hyperreals.html (visité le 11/07/2018).

NELSON, EDWARD, « Internal Set Theory. A New Approach to Nonstandard Analysis », *Bulletin of the American Mathematical Society*, 83 (1977), p. 1165-98.

NEUMANN, JOHN VON, « On the introduction of transfinite numbers », in Jean von Heijenoort (éd., trad., annot. et préf.), *From Frege to Gödel. A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931*, Harvard University Press, Cambridge (Mass.) 1967, p. 346-354.

— « Zur Einführung der transfiniten Zahlen », *Acta litterarum ac scientiarum Regiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae*. *Sectio scientiarum mathematicarum*, 1 (1923), p. 199-208.

ROBERT, ALAIN, *Analyse non standard*, Presses polytechniques romandes, Lausanne 1985.

ROBINSON, ABRAHAM, *Non Standard Analysis*, North-Holland et Princeton University Press, 1966.

ROSS, SHELDON, *A First Course in Probability*, Macmillan, New York 1976.

## Sur les supertâches

BENACERRAF, PAUL, « Tasks, Super-Tasks, and the Modern Eleatics », *The Journal of Philosophy*, 59, 24 (1962), p. 765-784.

BLACK, MAX, « Achilles and the Tortoise », *Analysis*, XI, 5 (1951), p. 91-101.

BURKE, M.B., « The Infinitistic Thesis », *The Southern Journal of Philosophy*, 22 (1984), p. 295-305.

CHIHARA, C., « On the Possibility of Completing an Infinite Task », *Philosophical Review*, LXXIV (1965), p. 74-87.
DAVIES, E.B., « Building Infinite Machines », *The British Journal for the Philosophy of Science*, 52, 4 (2001), p. 671-82.

DOLEV, YUVAL, « Super-tasks and Temporal Continuity », *The Jerusalem Philosophical Quarterly*, 56 (2007), p. 313-329.

EARMAN, J. et J.D. NORTON, « Infinite Pains. The Trouble with Supertasks », in *Benacerraf and His Critics*, sous la dir. d'A. Morton et S. Stich, Blackwell, Oxford 1996, p. 231-261.

GROARKE, L., « Zeno's Dichotomy : Undermining the Modern Response », *Auslegung*, 9 (1982), p. 67-75.

GRÜNBAUM, ADOLF, « Messrs. Black and Taylor on Temporal Paradoxes », *Analysis*, XII, 6 (juin 1952), p. 144-148.

GWIAZDA, J., « A proof of the impossibility of completing infinitely many tasks », *Pacific Philosophical Quarterly*, 93 (2012), p. 1-7.

KOETSIER, TEUN et VICTOR ALLIS, « Assaying Supertasks », *Logique et Analyse. Nouvelle série*, 40, 159 (sept. 1997), p. 291-313.

MANCHAK, JOHN et BRYAN W. ROBERTS, « Supertasks », in *Zalta* (éd.), *The Stanford Encyclopedia of Philosophy* cit., https://plato.stanford.edu/archives/win2016/entries/spacetime-supertasks/.

PÉREZ LARAUDGOITIA, JON, « Supertasks », in *Zalta* (éd.), *The Stanford Encyclopedia of Philosophy* cit., https://plato.stanford.edu/archives/spr2016/entries/spacetime-supertasks/.

RUSSELL, BERTRAND, « The Limits of Empiricism », *Proceedings of the Aristotelian Society*, XXXVI (1934-1935).

SALMON, WESLEY C. (éd.), *Zeno's Paradoxes*, Bobbs-Merrill, Indianapolis 1970.

TAYLOR, RICHARD, « Mr. Black on Temporal Paradoxes », *Analysis*, XII, 2 (déc. 1951), p. 38-44.

THOMSON, J.F., « Comments on Professor Benacerraf's Paper », in Wesley C. Salmon (éd.), *Zeno's Paradoxes*, Bobbs-Merrill, Indianapolis 1970, p. 130-138.

— « Tasks and super-tasks », *Analysis*, XV, 1 (1945), p. 1-13.
WATLING, J., « The Sum of an Infinite Series », *Analysis*, XIII, 2 (déc. 1952), p. 39-46.

WISDOM, J. O., « Achilles on a Physical Racecourse », *Analysis*, XII, 3 (jan. 1952), p. 67-72.

## Sur le temps

ARTHUR, RICHARD T.W., « Minkowski Spacetime and the Dimensions of the Present », in Dennis Dieks (éd. et introd.), *The Ontology of Spacetime*, (I), Philosophy and Foundations of Physics, 1, Elsevier, Amsterdam 2006, p. 129-156.

BERGSON, HENRI, *Essai sur les données immédiates de la conscience*, (1927), éd. établie et annot. par Arnaud Bouaniche, préf. de Frédéric Worms, Quadrige, avec un dossier critique, Presses universitaires de France, 2011.

— *L'évolution créatrice*, (1941), éd. établie et annot. par Arnaud François, préf. de Frédéric Worms, Quadrige, avec un dossier critique, Presses universitaires de France, 2009.

— *La pensée et le mouvant*, (1938), préf. de Frédéric Worms, Quadrige, avec un dossier critique, Presses universitaires de France, 2013.

BLAKE, R.M., « The Paradox of Temporal Process », *The Journal of Philosophy*, 23, 24 (1926), p. 645-654.

DELEUZE, GILLES, *Différence et répétition*, Bibliothèque de philosophie contemporaine, Presses universitaires de France, 1968.

DIEKS, DENNIS, « Becoming, Relativity and Locality », in *Dieks* (éd.), *The Ontology of Spacetime* cit., p. 157-176.

— (éd. et introd.), *The Ontology of Spacetime*, (I), Philosophy and Foundations of Physics, 1, Elsevier, Amsterdam 2006.

DOLEV, YUVAL, « Super-tasks and Temporal Continuity », *The Jerusalem Philosophical Quarterly*, 56 (2007), p. 313-329.

— *Time and realism. Metaphysical and Antimetaphysical Perspectives*, MIT Press, Cambridge (Mass.) 2007.
DORATO, MAURO, *Time and Reality. Spacetime Physics and the Objectivity of Temporal Becoming*, CLUEB, Bologne 1995.

DUMMET, MICHAEL, « The Reality of the Past », in *Truth and Other enigmas*, Harvard University Press, 1978, chap. 21, p. 358-74.

LANGEVIN, PAUL, *Le Paradoxe des Jumeaux*, (1911), éd. établie et préf. par Élie During, Presses universitaires de Paris Ouest, Nanterre 2016.

MARKOSIAN, NED, MEGHAN SULLIVAN et NINA EMERY, « Time », in Zalta (éd.), *The Stanford Encyclopedia of Philosophy* cit., https://plato.stanford.edu/archives/fall2016/entries/time/.

MCDANIEL, KRIS, « John M. E. McTaggart », in Zalta (éd.), *The Stanford Encyclopedia of Philosophy* cit., https://plato.stanford.edu/archives/win2016/entries/mctaggart/.

MCTAGGART, J.M.E., « The Unreality of Time », *Mind*, 17, 68 (1908), p. 457-74.

MELLOR, D.H., *Real Time II*, Routledge, Londres 1998.

PENROSE, ROGER, *The Emperor's New Mind. Concerning Computers, Minds, and Laws of Physics*, Oxford University Press, 1989.

PRIOR, ARTHUR, *Past, Present and Future*, Oxford University Press, 1967.

PUTNAM, HILARY, « Time and Physical Geometry », *Journal of Philosophy*, 64 (1967), p. 240-247.

RIETDIJK, C.W., « A Rigorous Proof of Determinism Derived from the Special Theory of Relativity », *Philosophy of Science*, 33 (1966), p. 341-4.

SAVITT, STEVEN, « Being and Becoming in Modern Physics », in Zalta (éd.), *The Stanford Encyclopedia of Philosophy* cit., https://plato.stanford.edu/archives/fall2017/entries/spacetime-bebecome/.

STEIN, HOWARD, « On Einstein-Minkowski Space-Time », *The Journal of Philosophy* (1968), p. 5-23.

TAYLOR, RICHARD, « Mr. Black on Temporal Paradoxes », *Analysis*, XII, 2 (déc. 1951), p. 38-44.

TOOLEY, MICHAEL, *Time, Tense and Causation*, Oxford University Press, 1997.
## Sur l'infini

BADIOU, ALAIN, *L'Immanence des vérités*, L'Être et l'événement. 3, Fayard, 2018.

BENARDETE, JOSÉ A., *Infinity. An Essay in Metaphysics*, Clarendon Press, Oxford
1964.

BIARD, JOËL et JEAN CELEYRETTE (éd.), *De la théologie aux mathématiques. L'infini
au XIVᵉ siècle*, Les Belles Lettres, 2005.

BOLZANO, BERNARD, *Paradoxien des Unendlichen*, sous la dir. de František Příhonský,
C.H. Reclam, Leipzig 1851.

COUTURAT, LOUIS, *De l'infini mathématique*, Félix Alcan, Paris 1896.

ÉVELLIN, FRANÇOIS, *Infini et quantité. Étude sur le concept de l'infini en philosophie
et dans les sciences*, G. Baillière et Cie, Paris 1880.

HILBERT, DAVID, « Sur l'infini », (1925), in *Logique Mathématique*, éd. établie et trad. de l'allemand par Jean Largeault, Épistémologie, Armand Colin, 1972, chap. 7, p. 215-45, traduction de : « Über das Unendliche », *Mathematische Annalen*, 95; 1925, p. 161-90.

HINTIKKA, JAAKKO, « Aristotelian Infinity », *The Philosophical Review*, 75, 2 (avr. 1966), p. 197-218.

LEAR, JONATHAN, « Aristotelian Infinity », *Proceedings of the Aristotelian Society*, 80 (1979-1980), p. 187-210.

LÉVINAS, EMMANUEL, « Infini », in *Encyclopedia Universalis*, 1968, http://www.univ-
ersalis.fr/encyclopedie/infini-philosophie/ (visité le 19/06/2018).

LOUGUET, CLAIRE, *Les Usages de l'infini chez les penseurs présocratiques*, thèse de
doctorat sous la direction de M. André Laks, Université de Lille III, 21 sept. 2004.

MOORE, A.W., *The Infinite*, 2ᵉ éd., Routledge, Londres-New York 2001.

ROTMAN, BRIAN, *Ad infinitum... the Ghost in Turing's Machine. Taking God out of
Mathematics and Putting the Body back in*, An essay in corporeal semiotics, Stanford
University Press, 1993.
RUCKER, RUDY, *Infinity and the Mind. The Science and Philosophy of the Infinite*, Princeton University Press, 1982.

SORABJI, RICHARD, « Infinity and the Creation », in *Philoponus. And the Rejection of Aristotelian Science*, sous la dir. de Richard Sorabji, Duckworth, 1987, chap. 9, p. 164-178.

SOULIER, PHILIPPE, *Simplicius et l'infini*, préf. de Philippe Hoffmann, Les Belles Lettres, 2014.

WEYL, HERMANN, « Levels of Infinity », (1930), in *Levels of Infinity*, Selected Writings on Mathematics and Philosophy, éd. établie, trad. de l'allemand, annot. et introd. par Peter Pesic, Dover, New York 2009, p. 25-43.

## Sur les mathématiques

ACERBI, FABIO, « Perché una dimostrazione geometrica greca è generale », in *La scienza antica e la sua tradizione*, IV Seminario di studi Gargnano, 13-15 oct. 2008, sous la dir. de G. Micheli et F. Franco Repellini, Cisalpino, Milano 2011, p. 25-80.

BENACERRAF, PAUL et HILARY PUTNAM (éd. et introd.), *Philosophy of Mathematics*, 2e éd., Cambridge University Press, 1983.

CARROLL, LEWIS, « A Logical Paradox », *Mind*, 3, 11 (1894), p. 436-438.

GANDON, SÉBASTIEN et IVAN SMADJA (éd.), *Philosophie des mathématiques - I. Ontologie, vérité et fondements*, textes clés, Vrin, 2013.

GARCIADIEGO, ALEJANDRO R., *Bertrand Russell and the Origins of the Set-theoretic "paradoxes"*, préf. d'Ivor Grattan-Guinness, Birkhäuser, Basel-Boston-Berlin 1992.

HALIMI, BRICE, « Benacerraf's Mathematical Antinomy », in *Truth, Objects, Infinity. New Perspectives on the Philosophy of Paul Benacerraf*, sous la dir. de Fabrice Pataut, Logic, Epistemology, and the Unity of Science, 28, Springer, 2016, p. 45-62.

HEIJENOORT, JEAN VON (éd., trad., annot. et préf.), *From Frege to Gödel. A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931*, Harvard University Press, Cambridge (Mass.) 1967.
LAUTMAN, ALBERT, « L'axiomatique et la méthode de division », (1937), in Albert Lautman, *Les mathématiques les idées et le réel physique*, Problèmes et controverses, avec une étude de Fernando Zalaméa, Vrin, 2006, p. 69-80.

— *Les mathématiques les idées et le réel physique*, Problèmes et controverses, avec une étude de Fernando Zalaméa, Vrin, 2006.

MANCOSU, PAOLO (éd. et introd.), *The Philosophy of Mathematical Practice*, Oxford University Press, 2008.

MANDERS, KENNETH, « The Euclidean Diagram », (1995), in Mancosu (éd.), *The Philosophy of Mathematical Practice* cit., chap. 4, p. 80-133.

MCLARTY, COLIN, « What Structuralism Achieves », in Mancosu (éd.), *The Philosophy of Mathematical Practice* cit., chap. 13, p. 354-69.

MUELLER, I., *Philosophy of Mathematics and Deductive Structure in Euclid's Elements*, MIT Press, Cambridge (Mass.) 1981.

NETZ, REVIEL, *The Shaping of Deduction in Greek Mathematics. A study in cognitive history*, Ideas in Context, Cambridge University Press, 1999.

RABOUIN, DAVID, *Vivre ici. Spinoza, éthique locale*, MétaphysiqueS, Presses Universitaires de France, 2010.

RAV, YEHUDA, « Why Do We Prove Theorems? », *Philosophia Mathematica*, 7, 1 (1999), p. 5-41.

ROTMAN, BRIAN, « Towards a Semiotics of Mathematics », *Semiotica*, 72 (1988), p. 1-35.

RUSSELL, BERTRAND, « Mathematical Logic as Based on the Theory of Types », *American Journal of Mathematics*, 30, 3 (Jul. 1908), p. 222-262.

— *The Principles of Mathematics*, (1903/1937), Londres, G. Allen, 1903, Routledge, 2010.

SALANSKIS, JEAN-MICHEL, *L'Herméneutique formelle. L'Infini, le Continu, l'Espace, 2ᵉ éd.*, Klincksieck, 2013; trad. Editions du CNRS, 1991.

— « La salutaire in-objectivité des mathématiques chez Kant », in *Kant face aux mathématiques modernes*, sous la dir. d'Emmanuel Barot et Julien Servois, Vrin, 2010, p. 97-124.
SALANSKIS, JEAN-MICHEL, *Le constructivisme non standard*, Presses Universitaires du Septentrion, Lille 1999.

— « Logicité et non-logicité de l'axiomatique », *Archives de Philosophie*, 63 (2000), p. 681-704.

— *Philosophie des mathématiques*, Vrin, 2008.

TANNERY, PAUL, « Le concept scientifique du continu. Zénon d'Élée et Georg Cantor », *Revue Philosophique de la France et de l'étranger*, 20 (1885), p. 385-410.

WEYL, HERMANN, *Philosophie des mathématiques et des sciences de la nature*, trad. de l'anglais par Carlos Lobo, préf. de Françoise Balibar et Carlos Lobo, MëtisPresses, Genève 2017.

— *Philosophy of Mathematics and Natural Science*, Princeton University Press, 1949.

WOODIN, W. HUGH, *The Continuum Hypothesis and the search for Mathematical Infinity*, Conférence, Copernicus Center for Interdisciplinary Studies, Cracovie 2015, https://youtu.be/nVF4N1Ix5WI (visité le 18/09/2018).

## Autres livres et articles contemporains

AUSTIN, J.L., *Sense and Sensibilia*, Clarendon et Oxford University Press, 1962.

BORGES, JORGE LUIS, « Pierre Ménard, auteur du Quichotte », in *Fictions*, (1960), trad. de l'espagnol par P. Verdevoye, folio, Gallimard, 1983, p. 41-52.

CANDLISH, STEWART et PIERFRANCESCO BASILE, « Francis Herbert Bradley », in *Zalta (éd.)*, *The Stanford Encyclopedia of Philosophy* cit., https://plato.stanford.edu/archives/spr2017/entries/bradley/.

DERRIDA, JACQUES, *La voix et le phénomène. Introduction au problème du signe dans la phénoménologie de Husserl*, Presses Universitaires de France, 1967.

FREUD, SIGMUND, *L'interprétation du rêve*, (1899), trad. de l'allemand par Janine Altounian, Pierre Cotet, René Lainé, Alain Rauzy et François Robert, préf. de François Robert, Quadrige, Presses Universitaires de France, 2010.

GRÜNBAUM, ADOLF, *Modern Science and Zeno's paradoxes*, Allen et Unwin, 1968.
— « Relativity and the Atomicity of Becoming », *The Review of Metaphysics*, 4, 2 (1950), p. 143-86.

HUGGETT, NICK, « Zeno's Paradoxes », in *Zalta* (éd.), *The Stanford Encyclopedia of Philosophy* cit., https://plato.stanford.edu/archives/win2010/entries/paradox-zeno/.

JAMES, WILLIAM, *Some Problems of Philosophy. A Beginning of an Introduction to Philosophy*, Longmans, Green, & Co., 1911.

KRIPKE, SAUL A., *Naming and Necessity*, Harvard University Press, Cambridge (Mass.) 1972.

MCLAUGHIN, WILLIAM I. et SYLVIA L. MILLER, « An Epistemological Use of Nonstandard Analysis to Answer Zeno's Objections Against Motion », *Synthese*, 92 (1992), p. 371-384.

MEILCLASSOUX, QUENTIN, « Iteration, Reiteration, Repetition. A Speculative Analysis of the Sign Devoid of Meaning », in *Genealogies of Speculation. Materialism and Subjectivity since Structuralism*, éd. établie et introd. par Armen Avanessian et Suhail Malik, trad. du français par Robin Mackay et Moritz Gansen, Bloomsbury, 2016, chap. 5, p. 117-97.

— *Répétition, itération, réitération*, Conférence dans le cadre des « Lundis de la Philosophie », organisés par Francis Wolff, École Normale Supérieure, Paris 23 fév. 2011, http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=3053 (visité le 07/09/2018).

MÉLÈS, BAPTISTE, *Les classifications des systèmes philosophiques*, Mathesis, Vrin, 2016.

NOËL, GEORGES, « Le mouvement et les arguments de Zénon d'Élée », *Revue de Méta-physique et de Morale*, 1, 2 (1893), p. 107-125.

RUSSELL, BERTRAND, *Our Knowledge of the External World as a Field for Scientific Method in Philosophy*, George Allen & Unwin Limited, 1914.

SALANSKIS, JEAN-MICHEL, *Partages du sens. Une présentation de l'éthanalyse*, Presses Universitaires de Paris Ouest, Nanterre 2014.

— *Sens et philosophie du sens*, Desclée de Brouwer, 2001.
WAHL, JEAN, *Les philosophies pluralistes d'Angleterre et d'Amérique*, Félix Alcan, Paris 1920.

WHITEHEAD, ALFRED NORTH, *Process and Reality. An Essay in Cosmology*, sous la dir. de David Ray Griffin et Donald W. Sherburne, McMillan, New York 1929.

— *Science and the Modern World*, The MacMillan Company, 1925.

WITTGENSTEIN, LUDWIG, *Recherches Philosophiques*, éd. établie et préf. par Élisabeth Rigal, trad. de l'allemand par Françoise Dastur, Maurice Élie, Jean-Luc Gautero, Dominique Janicaud et Élisabeth Rigal, tel, Gallimard, 2004.

WORMS, FRÉDÉRIC, « Bergson entre Russell et Husserl : un troisième terme? », *Rue Descartes*, 29 (Septembre 2000) : *Sens et phénomène, philosophie analytique et phénoménologie*, p. 79-96.

— « L'idée de moment 1900. Un problème philosophique et historique », *Le Débat*, 140, 3 (2006), p. 172-192.

— (éd.), *Le moment 1900 en philosophie*, Presses universitaires du Septentrion, Lille 2004.

— « Les trois dimensions de la question de l'espace dans l'œuvre de Bergson », *Épokhê*, 4 (1994) : *L'espace lui-même*, numéro coord. par Renaud Barbaras, p. 89-116.
Table des matières

Introduction : Le même problème depuis 2500 ans 1

Première partie Zénon d'Élée et l'inachevable 15

1 Vie et œuvre de Zénon d'Élée 17

1.1 Ouvrages de référence 18

1.2 Éléments biographiques 20

1.2.1 Le témoignage de Platon 20

1.2.2 La doxographie de Diogène Laërce 23

1.2.3 Les autres sources biographiques 27

1.3 Reconstituer son œuvre 28

1.4 Ses positions philosophiques 39

2 Comment lire Zénon 43

2.1 L'hypothèse pythagoricienne 43

2.2 Pourquoi lire Zénon? 49

2.3 Le texte de Simplicius 52

2.4 L'Inexistence du sans-grandeur et l'exigence de composition 61

2.5 Un argument perdu de l'Un et du Multiple ? La question de la « dichotomie » 64

3 Le raisonnement itératif 71

3.1 La dichotomie géométrique 71
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>3.2 « Car rien de tel ne sera dernier... »</td>
      <td>73</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3 Relations de différents modes de preuve</td>
      <td>77</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4 Régression et progression à l'infini</td>
      <td>80</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.5 Itératif et récurrence dans les mathématiques grecques</td>
      <td>85</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.5.1 Descente infinie</td>
      <td>86</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.5.2 Induction complète et incomplète</td>
      <td>88</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.5.3 Présence et absence dans les corpus</td>
      <td>97</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.6 Récurrence mathématique chez Platon et Aristote</td>
      <td>100</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.6.1 Le texte du Parménide</td>
      <td>100</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.6.2 Les Premiers Analytiques</td>
      <td>105</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.7 Le Sorite et l'empirie</td>
      <td>115</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Interlude anachronique</td>
      <td>121</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4 La dialectique du continu</td>
      <td>125</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.1 L'argument en faveur du Grand</td>
      <td>125</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.1.1 L'interprétation métrique</td>
      <td>126</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.1.2 L'interprétation structurelle</td>
      <td>131</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2 L'argument du Limité et de l'Illimité</td>
      <td>136</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.1 Le mécanisme d'illimitation</td>
      <td>136</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.2 L'interprétation selon le fini et l'infini</td>
      <td>137</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.3 L'interprétation selon le totalisé et l'intotalisable</td>
      <td>139</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3 La dialectique du continu et le système des réponses possibles</td>
      <td>142</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.1 La division</td>
      <td>145</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5 Contre le mouvement</td>
      <td>155</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.1 La paraphrase d'Aristote</td>
      <td>155</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2 L'objet des arguments</td>
      <td>158</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.3 Le nombre et l'ordre des arguments</td>
      <td>162</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.4 La Flèche et le Stade</td>
      <td>164</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table><tbody><tr><td>5.4.1</td><td>La Flèche</td><td>166</td></tr><tr><td>5.4.2</td><td>Le Stade</td><td>167</td></tr><tr><td>5.4.3</td><td>Continu et discret?</td><td>168</td></tr><tr><td>5.5</td><td>L'Achille et la Dichotomie</td><td>169</td></tr><tr><td>5.5.1</td><td>Le problème de la Dichotomie</td><td>171</td></tr><tr><td>5.5.2</td><td>Apeiron dans la Dichotomie</td><td>176</td></tr><tr><td>5.5.3</td><td>Apeiron dans l'Achille</td><td>177</td></tr><tr><td>5.5.4</td><td>La question du temps limité</td><td>180</td></tr><tr><td>5.5.5</td><td>L'interprétation métrique et l'inachevabilité</td><td>181</td></tr><tr><td>5.6</td><td>La nature du problème et les solutions antiques et modernes</td><td>183</td></tr><tr><td>5.6.1</td><td>Du continu au mouvement</td><td>183</td></tr><tr><td>5.6.2</td><td>La logique diodoréenne</td><td>185</td></tr><tr><td>5.6.3</td><td>L'aristotélisme en difficulté</td><td>186</td></tr><tr><td>5.6.4</td><td>L'ensemblisme</td><td>192</td></tr></tbody></table>

## Deuxième partie L'inachevable aujourd'hui

195

## 6 Y a-t-il aporie de l'inachevable?

197

<table><tbody><tr><td>6.1</td><td>Argumenter en faveur de l'inachevable</td><td>198</td></tr><tr><td>6.2</td><td>L'argument in forma</td><td>207</td></tr></tbody></table>

## 7 La méprise contemporaine

219

<table><tbody><tr><td>7.1</td><td>Préface : Jonathan Barnes et l'absence de preuves</td><td>220</td></tr><tr><td>7.2</td><td>Introduction : Les supertasks, une occasion manquée</td><td>231</td></tr><tr><td>7.3</td><td>Les précurseurs, de Zénon à Weyl, 450 av. J.-C. - 1949</td><td>233</td></tr><tr><td>7.3.1</td><td>Zénon</td><td>233</td></tr><tr><td>7.3.2</td><td>Aristote</td><td>233</td></tr><tr><td>7.3.3</td><td>Jean Buridan</td><td>234</td></tr><tr><td>7.3.4</td><td>Hermann Weyl</td><td>244</td></tr><tr><td>7.4</td><td>Le problème des Supertasks, de Black à Thomson, 1951-1954</td><td>246</td></tr></tbody></table>
<table><tbody><tr><td>7.4.1</td><td>Max Black, <i>Achilles and the Tortoise</i> (1951)</td><td>247</td></tr><tr><td>7.4.2</td><td>Watling, <i>The Sum of an infinite series</i> (1952)</td><td>259</td></tr><tr><td>7.4.3</td><td>Thomson, <i>Tasks and super-tasks</i> (1954)</td><td>263</td></tr><tr><td>7.5</td><td>La critique des années 1960 : Benacerraf, Chihara, et Thomson</td><td>278</td></tr><tr><td>7.5.1</td><td>Benacerraf, <i>Tasks, Supertasks, and the Modern Eleatics</i> (1962)</td><td>278</td></tr><tr><td>7.5.2</td><td>Chihara, <i>On the Possibility of Completing an Infinite Process</i> (1965)</td><td>281</td></tr><tr><td>7.5.3</td><td>Thomson, <i>Comments on Professor Benacerraf's Paper</i> (1970)</td><td>293</td></tr><tr><td>7.6</td><td>Développements récents sur l'inachevable, 1982-2012</td><td>297</td></tr><tr><td>7.6.1</td><td>Burke et le principe de Thomson</td><td>298</td></tr><tr><td>7.6.2</td><td>Deux formulations inadéquates, Burke-Groarke, 1982-4</td><td>299</td></tr><tr><td>7.6.3</td><td>Gwiazda et l'inachevabilité ordinale, 2012</td><td>302</td></tr><tr><td>7.7</td><td>Conclusion : Yuval Dolev et les principes temporels</td><td>309</td></tr><tr><td>7.7.1</td><td>Supertâches et systèmes dynamiques</td><td>311</td></tr><tr><td>7.7.2</td><td>La connectabilité et les sommes de Cesàro</td><td>312</td></tr><tr><td>7.7.3</td><td>Le problème de la continuité</td><td>316</td></tr><tr><td>7.7.4</td><td>Supertâches, logique et temporalité</td><td>319</td></tr><tr><td>7.8</td><td>Postface : Ce qu'une réponse à Zénon ne peut pas être</td><td>329</td></tr></tbody></table>

8 L'inachevable et le temps 333

<table><tbody><tr><td>8.1</td><td>Perspective du faire et perspective de l'être fait</td><td>335</td></tr><tr><td>8.1.1</td><td>Futur pur et passé pur</td><td>335</td></tr><tr><td>8.1.2</td><td>Modèle mathématique et modèle temporel</td><td>338</td></tr><tr><td>8.1.3</td><td>L'inachevabilité dans la culture populaire</td><td>341</td></tr><tr><td>8.2</td><td>La philosophie sans le temps</td><td>347</td></tr><tr><td>8.2.1</td><td>Les deux sources de la philosophie négatrice du devenir</td><td>348</td></tr><tr><td>8.2.2</td><td>Bergson et Russell contre le mouvement</td><td>349</td></tr><tr><td>8.2.3</td><td>McTaggart avec et contre le devenir</td><td>358</td></tr><tr><td>8.3</td><td>Yuval Dolev : l'indiscutable réalité du temps</td><td>365</td></tr><tr><td>8.3.1</td><td>Time and realism, de la métaphysique à la phénoménologie</td><td>366</td></tr></tbody></table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>8.3.2</td>
      <td>De l'indispensabilité à l'indiscutabilité du temps</td>
      <td>369</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3.3</td>
      <td>Temps illusoire et temps illusion</td>
      <td>376</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3.4</td>
      <td>Grammaires de l'existence</td>
      <td>379</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3.5</td>
      <td>Penser comme le passé = penser comme passé</td>
      <td>387</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3.6</td>
      <td>La relativité contre le temps</td>
      <td>389</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3.7</td>
      <td>Temps et logique</td>
      <td>393</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9</td>
      <td>Penser l'infini</td>
      <td>401</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.1</td>
      <td>L'équivocité de l'infini</td>
      <td>401</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.1.1</td>
      <td>Infini et apeiron</td>
      <td>401</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.1.2</td>
      <td>Multiplicité et grandeur</td>
      <td>403</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.2</td>
      <td>Infini et totalité</td>
      <td>405</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.2.1</td>
      <td>Totalité distributive et collective</td>
      <td>406</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.2.2</td>
      <td>Infini catégorématique et syncatégorématique</td>
      <td>407</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.3</td>
      <td>Infini en acte et infini en puissance</td>
      <td>415</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.4</td>
      <td>Infini préalable et infini achevé</td>
      <td>424</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.4.1</td>
      <td>Distinctions croisées</td>
      <td>425</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.4.2</td>
      <td>L'infini achevé dans le contexte argumentatif du IVe siècle av. J.-C.</td>
      <td>427</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.4.3</td>
      <td>Nombre et multiplicité</td>
      <td>432</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.5</td>
      <td>Idées de la Raison et infini mathématique</td>
      <td>435</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.5.1</td>
      <td>Idéalisation et infini préalable</td>
      <td>435</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.5.2</td>
      <td>Un « illimité donné » dans Euclide</td>
      <td>437</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.5.3</td>
      <td>L'idéalisation des entiers</td>
      <td>442</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.5.4</td>
      <td>Qu'est-ce que tout cela prouve?</td>
      <td>444</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10</td>
      <td>La lecture métamathématique</td>
      <td>449</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.1</td>
      <td>Une alternative finitiste?</td>
      <td>450</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.2</td>
      <td>Le métaconstructivisme de Jean-Michel Salanskis</td>
      <td>455</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.2.1</td>
      <td>La mathématique post-contemplative</td>
      <td>455</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.2.2</td>
      <td>L'objectivité constructive</td>
      <td>460</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>10.2.3 L'objectivité corrélatив</td>
      <td>470</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.2.4 Entrelacement des objectivités</td>
      <td>481</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.3 Zénon et le métaconstructivism</td>
      <td>490</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.3.1 L'ensemblisme et l'inachevable</td>
      <td>491</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.3.2 Le plan de l'opératoire et le plan des idéalités</td>
      <td>494</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.4 Bilan du chapitre</td>
      <td>506</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.4.1 Récapitulatif</td>
      <td>506</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.4.2 Qu'est-ce que tout cela prouve? (suite et fin)</td>
      <td>507</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Conclusion : Les paradoxes de Zénon et l'aporie du passage</td>
      <td>509</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Annexes</td>
      <td>527</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A "paradoxe" et "aporie"</td>
      <td>527</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>B L'idée d'une lecture dialectique</td>
      <td>535</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>C Théorie informelle du paradoxe</td>
      <td>545</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>D Quel modèle pour un système de réponses?</td>
      <td>551</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>E Les mots de Zénon : l'hypothèse de Jean-Claude Milner</td>
      <td>557</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>F Archimède et les méthodes infinitaires</td>
      <td>569</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>G Variétés de l'infinitésimal</td>
      <td>577</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>H Descartes, Zénon et l'infini achevé</td>
      <td>583</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>I La non-résolution kantienne</td>
      <td>593</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Index</td>
      <td>601</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Index des noms anciens</td>
      <td>601</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Index des noms médiévaux et modernes (du IXe au XIXe siècle)</td>
      <td>603</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
TABLE DES MATIÈRES 639

Index des noms contemporains 604

Bibliographie 609

(Euvres anciennes, sources et commentaires 610

(Euvres médiévales et modernes, sources et commentaires 619

Littérature contemporaine 622

Table des matières 639