→ La dispersion de l'estimateur d'Horvitz-Thompson est beaucoup plus élevée que celle de Yates-Grundy (Tableau 31), bien que dans une proportion moindre que pour les petites communes. L'incidence de la troncature sur la dispersion est plus forte que pour l'estimateur de Yates-Grundy, mais elle ne suffit pas à résorber l'écart entre leurs variabilités.

<table><caption>Tableau 31 – Dispersion relative des estimateurs de variance des variables d'équilibrage</caption><thead><tr><th>estimateur</th><th>nresgr1</th><th>nresgr2</th><th>nresgr3</th><th>nresgr4</th><th>nres rural</th><th>nres bain</th><th>periur-1</th><th>revenufisc04 1</th><th>revenufisc04 2</th><th>revenufisc04 3</th><th>revenufisc04 4</th><th>revenufisc04 5</th></tr></thead><tbody><tr><td>YG</td><td>81,8</td><td>82,6</td><td>81,5</td><td>88,2</td><td>89,5</td><td>81,8</td><td>78,9</td><td>89,3</td><td>76,4</td><td>74,7</td><td>77,0</td></tr><tr><td>YGt</td><td>80,5</td><td>79,8</td><td>79,9</td><td>77,2</td><td>76,9</td><td>77,2</td><td>78,3</td><td>77,8</td><td>75,8</td><td>73,5</td><td>75,9</td></tr><tr><td>YGt2</td><td>81,7</td><td>82,0</td><td>80,5</td><td>81,1</td><td>89,3</td><td>81,6</td><td>78,9</td><td>85,5</td><td>76,1</td><td>74,1</td><td>76,6</td></tr><tr><td>HT</td><td>186,1</td><td>232,3</td><td>168,0</td><td>180,6</td><td>135,6</td><td>133,0</td><td>170,8</td><td>189,0</td><td>148,0</td><td>154,5</td><td>171,3</td></tr><tr><td>HTt</td><td>169,8</td><td>174,5</td><td>161,2</td><td>154,4</td><td>116,1</td><td>107,0</td><td>158,4</td><td>160,4</td><td>142,6</td><td>140,5</td><td>143,3</td></tr><tr><td>HTt2</td><td>184,6</td><td>231,6</td><td>165,1</td><td>170,0</td><td>126,9</td><td>114,7</td><td>169,1</td><td>188,3</td><td>146,5</td><td>149,6</td><td>149,1</td></tr></tbody></table>

Note : Le suffixe t représente la troncature des probabilités d'inclusion à $10^{-3}$ (qui donne $\max[\hat{\pi}_2, 10^{-3}]$), et t2 la troncature à $10^{-4}$. L'annulation réduit légèrement la dispersion par rapport à la troncature, mais augmente le biais. Pour les variables 'recensement', l'annulation réduit la dispersion par rapport à la troncature dans 98 cas, et l'augmente pour 40 variables.

note : La dispersion plus faible de l'estimateur de Yates-Grundy par rapport à Horvitz-Thompson est observée ici pour des variables qui s'avèrent nettement corrélées à la probabilité d'inclusion, sauf nres_rural et nres_periurbain $^{26}$. La comparaison sur 138 variables issues du recensement montre un écart faible entre les deux dispersions pour les variables de corrélation absolue avec $\pi_1$ inférieure à 0.2. Cependant, l'estimateur de variance d'Horvitz-Thompson reste plus dispersé pour la quasi-totalité de ces variables.

– Le nombre de réplications utilisées pour l'estimation 'échantillon' de variance n'a pas d'effet apparent sur la dispersion de la variance estimée par Yates-Grundy (Tableau 32). Une explication possible est que la dispersion est mesurée sur un nombre trop limité de simulations (10 000). Néanmoins, l'effet réel du nombre de réplications devrait être faible, compte tenu de ces résultats.

<table><caption>Tableau 32 – Effet du nombre de réplications sur la dispersion relative estimée par Yates-Grundy</caption><thead><tr><th>|R|</th><th>nresgr1</th><th>nresgr2</th><th>nresgr3</th><th>nresgr4</th><th>nres rural</th><th>nres bain</th><th>periur-1</th><th>revenufisc04 1</th><th>revenufisc04 2</th><th>revenufisc04 3</th><th>revenufisc04 4</th><th>revenufisc04 5</th></tr></thead><tbody><tr><td>1 000 000</td><td>81,8</td><td>82,6</td><td>81,5</td><td>88,2</td><td>89,5</td><td>81,8</td><td>78,9</td><td>89,3</td><td>76,4</td><td>74,7</td><td>77,0</td></tr><tr><td>700 000</td><td>81,7</td><td>83,5</td><td>81,2</td><td>91,5</td><td>88,6</td><td>82,6</td><td>78,9</td><td>92,0</td><td>76,2</td><td>75,1</td><td>77,1</td></tr><tr><td>300 000</td><td>81,9</td><td>81,8</td><td>81,1</td><td>84,0</td><td>94,0</td><td>81,6</td><td>79,0</td><td>87,5</td><td>76,2</td><td>74,4</td><td>76,4</td></tr><tr><td>100 000</td><td>82,3</td><td>81,9</td><td>80,5</td><td>77,9</td><td>90,0</td><td>81,9</td><td>78,9</td><td>87,2</td><td>76,1</td><td>73,9</td><td>76,4</td></tr><tr><td>50 000</td><td>81,9</td><td>81,9</td><td>80,8</td><td>79,1</td><td>112,9</td><td>82,0</td><td>79,1</td><td>85,7</td><td>76,4</td><td>73,9</td><td>76,5</td></tr></tbody></table>

– En occultant l'incidence des simulations, la dispersion peut s'analyser par l'équation :

$$E\left[\left(\hat{V}^{s,R} - V\right)^2 \mid R\right] = E\left\{\left(\hat{V}^{s,R} - E\left(\hat{V}^{s,R} \mid R\right)\right)^2 \mid R\right\} + \left(E\left(\hat{V}^{s,R} \mid R\right) - V\right)^2$$

La faiblesse de l'effet du nombre de réplications sur la dispersion de Yates-Grundy (et, dans une moindre mesure, d'Horvitz-Thompson) pourrait s'expliquer par la prédominance de la première composante, qui représente l'effet de l'aléa de l'échantillonnage sur l'estimation de variance, par rapport à celle du biais induit par l'estimation des probabilités d'inclusion.

<footnote n="27">27. L'estimateur Yates-Grundy de la variance d'une variable fonction linéaire de la probabilité d'inclusion est nul et d'erreur quadratique moyenne nulle.</footnote>
• Pour 7 des 11 variables d'équilibrage, la dispersion de l'estimateur Breidt-Chauvet de la variance est supérieure à celle d'un estimateur nul sur toutes les régions sauf la petite couronne d'Ile-de-France, la Franche-Comté, le Limousin et la Corse, pour lesquelles l'estimation de Deville est appliqué.

Ce résultat illustre les limites de l’approche du choix de l’estimateur de variance selon la dispersion mesurée sur les variables d’équilibrage. Plus généralement, compte tenu du nombre limité de simulations exploitées pour le calcul de dispersion, les petites différences observées pour cet indicateur sont à relativiser.
### III.6 calcul de la variance sur l'échantillon effectif des ZAE-EM

• La variance estimée sur l'échantillon de ZAE effectivement tiré pour l'EM suretime considérablement la variance simulée de certaines variables d'équilibrage (Tableau 33). L'ampleur de cette surestimation dépasse largement celle de l'erreur observée sur deux échantillons simulés. Elle est sensiblement réduite lorsque la troncature de $10^{-3}$ est appliquée aux probabilités d'inclusion estimées.

<table><caption>Tableau 33 – Taux d'erreur de l'estimation de l'écart-type observée sur l'échantillon maître effectivement tiré et sur deux échantillons simulés, en % de l'écart-type simulé</caption><thead><tr><th>région</th><th>nresgr1</th><th>nresgr2</th><th>nresgr3</th><th>nresgr4</th><th>nres rural</th><th>nres bain</th><th>periur-1</th><th>revenufisc04 1</th><th>revenufisc04 2</th><th>revenufisc04 3</th><th>revenufisc04 4</th><th>revenufisc04 5</th></tr></thead><tbody><tr><td>11_pc</td><td>10,8</td><td>-8,9</td><td>-74,1</td><td>4,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>21,8</td><td>40,0</td><td>-54,0</td><td>-33,3</td><td>15,1</td></tr><tr><td>11 GC</td><td>-100,0</td><td>87,5</td><td>44,3</td><td>71,3</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-2,5</td><td>-41,8</td><td>10,7</td><td>-22,5</td></tr><tr><td>21</td><td>8,5</td><td>28,6</td><td>-100,0</td><td>34,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-10,5</td><td>-1,2</td><td>-94,8</td><td>16,5</td><td>148,3</td></tr><tr><td>22</td><td>52,6</td><td>80,0</td><td>42,8</td><td>26,3</td><td>1,5</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>65,8</td><td>8,1</td><td>-100,0</td><td>-42,6</td></tr><tr><td>23</td><td>-100,0</td><td>31,1</td><td>68,4</td><td>19,7</td><td>36,3</td><td>173,4</td><td>-100,0</td><td>83,2</td><td>12,0</td><td>3,1</td><td>-6,7</td></tr><tr><td>24</td><td>-25,2</td><td>-100,0</td><td>62,0</td><td>27,9</td><td>84,1</td><td>44,2</td><td>-27,8</td><td>-100,0</td><td>55,4</td><td>0,6</td><td>-100,0</td></tr><tr><td>25</td><td>20,1</td><td>-33,5</td><td>44,2</td><td>6,2</td><td>-100,0</td><td>72,7</td><td>23,5</td><td>17,9</td><td>7,6</td><td>10,8</td><td>-32,3</td></tr><tr><td>26</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>123,1</td><td>-39,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-17,7</td><td>-100,0</td><td>2,4</td></tr><tr><td>31</td><td>135,2</td><td>8,4</td><td>162,8</td><td>114,6</td><td>10,6</td><td>-100,0</td><td>142,3</td><td>75,1</td><td>109,3</td><td>35,9</td><td>2,2</td></tr><tr><td>41</td><td>-25,1</td><td>-56,8</td><td>61,8</td><td>63,1</td><td>82,7</td><td>147,8</td><td>-10,4</td><td>72,7</td><td>68,2</td><td>55,1</td><td>56,0</td></tr><tr><td>42</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-28,0</td><td>-100,0</td><td>-31,5</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-39,4</td><td>-65,9</td><td>-100,0</td></tr><tr><td>43</td><td>99,6</td><td>90,0</td><td>-100,0</td><td>117,6</td><td>203,4</td><td>99,8</td><td>144,3</td><td>8,8</td><td>-100,0</td><td>132,0</td><td>146,0</td></tr><tr><td>52</td><td>171,4</td><td>-100,0</td><td>108,2</td><td>106,1</td><td>56,7</td><td>-100,0</td><td>200,9</td><td>-100,0</td><td>36,0</td><td>152,8</td><td>180,2</td></tr><tr><td>53</td><td>-100,0</td><td>102,4</td><td>-100,0</td><td>-43,5</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>84,0</td><td>-100,0</td><td>-20,3</td><td>-23,0</td></tr><tr><td>54</td><td>185,6</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>78,3</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>163,8</td><td>-100,0</td><td>51,2</td><td>44,0</td><td>84,1</td></tr><tr><td>72</td><td>114,3</td><td>57,6</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>140,7</td><td>104,7</td><td>71,0</td><td>71,0</td><td>-65,7</td><td>-0,8</td><td>70,2</td></tr><tr><td>73</td><td>55,5</td><td>-100,0</td><td>79,7</td><td>55,7</td><td>82,9</td><td>61,6</td><td>-10,1</td><td>-100,0</td><td>126,4</td><td>24,4</td><td>36,2</td></tr><tr><td>74</td><td>239,7</td><td>-13,4</td><td>83,8</td><td>11,3</td><td>19,1</td><td>46,7</td><td>331,6</td><td>95,4</td><td>215,3</td><td>-41,4</td><td>430,8</td></tr><tr><td>82</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>19,1</td><td>51,4</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-25,3</td><td>-28,4</td></tr><tr><td>83</td><td>-23,5</td><td>-62,4</td><td>12,4</td><td>-36,6</td><td>27,6</td><td>-37,0</td><td>36,9</td><td>-4,6</td><td>-83,0</td><td>-100,0</td><td>52,9</td></tr><tr><td>91</td><td>-100,0</td><td>11,7</td><td>2,5</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-43,3</td><td>-100,0</td><td>15,5</td><td>-25,2</td><td>-100,0</td><td>-4,3</td></tr><tr><td>93</td><td>147,5</td><td>27,5</td><td>-23,1</td><td>-100,0</td><td>89,1</td><td>93,4</td><td>91,5</td><td>59,5</td><td>34,5</td><td>-53,3</td><td>108,1</td></tr><tr><td>94</td><td>1 820,9</td><td>1 158,4</td><td>291,4</td><td>73,4</td><td>1 122,3</td><td>1 343,4</td><td>1 019,7</td><td>1 967,3</td><td>140,4</td><td>53,7</td><td>257,0</td></tr><tr><td>total</td><td>178,8</td><td>123,6</td><td>1,0</td><td>8,4</td><td>179,3</td><td>179,8</td><td>95,0</td><td>295,5</td><td>-8,8</td><td>4,9</td><td>73,9</td></tr><tr><td>π<sub>2</sub> ≥ 10<sup>-3</sup></td><td>73,8</td><td>43,8</td><td>-6,5</td><td>4,9</td><td>92,9</td><td>71,2</td><td>40,8</td><td>126,4</td><td>-12,8</td><td>3,8</td><td>69,0</td></tr><tr><td>π<sub>2</sub> ≥ 10<sup>-4</sup></td><td>178,8</td><td>123,6</td><td>1,0</td><td>8,4</td><td>179,3</td><td>179,8</td><td>95,0</td><td>295,5</td><td>-8,8</td><td>4,9</td><td>73,9</td></tr><tr><td>s<sub>1</sub></td><td>36,6</td><td>-33,9</td><td>-15,0</td><td>-15,9</td><td>-10,3</td><td>-32,6</td><td>21,4</td><td>-26,2</td><td>-7,4</td><td>-11,3</td><td>-6,4</td></tr><tr><td>s<sub>2</sub></td><td>12,8</td><td>-2,8</td><td>-29,5</td><td>-23,8</td><td>35,7</td><td>15,4</td><td>14,9</td><td>5,5</td><td>-28,6</td><td>-8,9</td><td>-6,2</td></tr></tbody></table>

Notes :

- Les échantillons $s_1$ et $s_2$ ont été tirés indépendamment des deux lots de simulations S et R.

- Le taux d'erreur vaut -100% lorsque la variance estimée est négative.

- Il s'avère que l'essentiel de cette surestimation provient de la Corse. En effet, l'annulation de la variance estimée de cette région ramène le taux d'erreur entre -14.4% et +66.6%. Les trois ZAE tirées en Corse, Z2A006, Z2B033 et Z2B134 ne se retrouvent dans aucun des 10 000 échantillons simulés, ni dans un deuxième lot indépendant de 10 000 simulations. La probabilité d'inclusion double minimale observée sur l'échantillon maître est presque 10 fois inférieure à celle observée pour les autres régions (Tableau 34).

<table><caption>Tableau 34 – Probabilité d'inclusion double minimale, estimée sur 2 300 000 réplications</caption><thead><tr><th>11 pc</th><th>11 gc</th><th>21</th><th>22</th><th>23</th><th>24</th><th>25</th><th>26</th><th>31</th><th>41</th><th>42</th><th>43</th><th>52</th><th>53</th><th>54</th><th>72</th><th>73</th><th>74</th><th>82</th><th>83</th><th>91</th><th>93</th><th>94</th></tr></thead><tbody><tr><td>2,3E-02</td><td>3,9E-03</td><td>3,4E-03</td><td>2,1E-03</td><td>1,8E-03</td><td>3,0E-03</td><td>1,7E-03</td><td>1,8E-03</td><td>2,3E-03</td><td>1,0E-03</td><td>3,2E-03</td><td>2,1E-03</td><td>2,2E-03</td><td>3,9E-03</td><td>2,1E-03</td><td>3,0E-03</td><td>2,1E-03</td><td>2,7E-03</td><td>2,3E-03</td><td>2,1E-03</td><td>2,3E-03</td><td>6,8E-03</td><td>3,6E-04</td></tr></tbody></table>
– Cependant, le maximum du taux d’erreur sur l’estimation de variance de la Corse observé sur les 10 000 simulations est de 1 811% pour la variable nresgr1. Donc l’observation sur l’échantillon effectif des ZAE n’est pas incompatible avec le plan de sondage simulé.

– Sur l’échantillon effectif des ZAE, l’approximation de la variance par la formule de Deville suretime de plus de 10% l’écart-type simulé de 122 des variables issues des recensements, alors que l’erreur absolue de l’estimateur de Yates-Grundy est de moins de 10% dans 66 cas (Graphique 10)²⁷.

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Graphique 10 – Comparaison du taux d’erreur de l’estimation sur l’échantillon effectif des ZAE, en % de l’écart-type simulé</figcaption></figure>

note : Dans toute cette partie, l’estimation ’échantillon’ de la variance est calculée avec les probabilités estimées sur les 1 000 000 réplications, et le calcul d’erreur est relatif à la variance estimée sur les 1 300 000 simulations. Le calcul sur l’ensemble des 2 300 000 réplications, pour les deux familles de probabilités d’inclusion double, ne modifie pas radicalement les résultats. (Cependant, les erreurs ainsi mesurées sont réduites, sauf pour deux des variables d’équilibrage.)

<footnote n="28">28. L’estimateur de Deville-Tillé sous-estime de plus de 10% la variance simulée de 111 de ces variables sur l’échantillon effectif, et pour 68 variables en moyenne sur 10 000 simulations.</footnote>
### III.7 comparaison aux approximations de Deville et Deville-Tillé

• Ces résultats incitent à retourner au choix de la méthode d'estimation de variance, pour explorer la possibilité de substituer partiellement l'approximation de Deville à l'estimation de Yates-Grundy.

– Au niveau national, la dispersion 28 de l'estimateur de Deville est largement plus élevée que celle de Yates-Grundy (Tableau 35). Toutefois, elle est beaucoup plus réduite pour la Corse. L'estimateur de Deville est également moins dispersé pour presque toutes les variables du Limousin,

<table><caption>Tableau 35 – Écart entre les dispersions relatives de l'estimateur de variance de Deville et de Yates-Grundy, en % de l'écart-type simulé, pour les variables d'équilibrage</caption><thead><tr><th>région</th><th>nresgr1</th><th>nresgr2</th><th>nresgr3</th><th>nresgr4</th><th>nres rural</th><th>nres bain</th><th>periur-1</th><th>revenufisc04 1</th><th>revenufisc04 2</th><th>revenufisc04 3</th><th>revenufisc04 4</th><th>revenufisc04 5</th></tr></thead><tbody><tr><td>11_pc</td><td>-9,8</td><td>-11,5</td><td>-3,4</td><td>-7,1</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>122,2</td><td>136,6</td><td>58,3</td><td>91,6</td><td>165,9</td></tr><tr><td>11 GC</td><td>152,4</td><td>129,8</td><td>117,6</td><td>137,2</td><td>-14,0</td><td>312,5</td><td>170,6</td><td>100,2</td><td>144,0</td><td>157,5</td><td>139,7</td></tr><tr><td>21</td><td>50,8</td><td>68,9</td><td>48,8</td><td>56,4</td><td>15,5</td><td>52,5</td><td>37,8</td><td>69,7</td><td>46,4</td><td>44,1</td><td>45,4</td></tr><tr><td>22</td><td>99,9</td><td>84,0</td><td>96,7</td><td>98,0</td><td>117,1</td><td>136,0</td><td>75,2</td><td>69,1</td><td>40,4</td><td>103,5</td><td>87,0</td></tr><tr><td>23</td><td>69,9</td><td>67,4</td><td>80,2</td><td>72,9</td><td>39,7</td><td>113,5</td><td>78,9</td><td>76,7</td><td>58,7</td><td>73,9</td><td>68,2</td></tr><tr><td>24</td><td>134,2</td><td>136,2</td><td>143,2</td><td>128,1</td><td>184,6</td><td>163,7</td><td>118,7</td><td>134,7</td><td>143,4</td><td>89,9</td><td>127,5</td></tr><tr><td>25</td><td>85,2</td><td>67,4</td><td>86,8</td><td>64,4</td><td>80,3</td><td>79,6</td><td>80,9</td><td>68,4</td><td>83,7</td><td>58,7</td><td>78,0</td></tr><tr><td>26</td><td>103,4</td><td>90,1</td><td>104,8</td><td>98,6</td><td>127,9</td><td>85,5</td><td>101,8</td><td>65,6</td><td>105,7</td><td>90,0</td><td>67,4</td></tr><tr><td>31</td><td>157,7</td><td>139,0</td><td>139,4</td><td>118,7</td><td>110,6</td><td>205,5</td><td>169,6</td><td>139,0</td><td>141,2</td><td>122,6</td><td>156,5</td></tr><tr><td>41</td><td>136,3</td><td>136,8</td><td>119,6</td><td>153,4</td><td>138,2</td><td>151,0</td><td>113,3</td><td>121,9</td><td>125,2</td><td>145,1</td><td>103,7</td></tr><tr><td>42</td><td>46,8</td><td>66,4</td><td>74,3</td><td>58,9</td><td>17,1</td><td>95,2</td><td>57,9</td><td>65,7</td><td>73,1</td><td>62,1</td><td>68,9</td></tr><tr><td>43</td><td>45,0</td><td>32,1</td><td>31,1</td><td>47,8</td><td>-97,2</td><td>50,3</td><td>45,4</td><td>33,1</td><td>30,8</td><td>41,1</td><td>45,2</td></tr><tr><td>52</td><td>159,9</td><td>161,0</td><td>153,7</td><td>138,6</td><td>204,1</td><td>168,8</td><td>159,3</td><td>156,2</td><td>164,9</td><td>139,1</td><td>148,6</td></tr><tr><td>53</td><td>158,8</td><td>181,9</td><td>183,4</td><td>137,9</td><td>206,8</td><td>182,9</td><td>143,0</td><td>169,8</td><td>164,5</td><td>150,5</td><td>148,9</td></tr><tr><td>54</td><td>105,6</td><td>111,8</td><td>100,4</td><td>102,8</td><td>136,7</td><td>104,2</td><td>84,2</td><td>94,2</td><td>99,8</td><td>82,8</td><td>91,2</td></tr><tr><td>72</td><td>141,1</td><td>153,2</td><td>136,0</td><td>130,8</td><td>210,9</td><td>134,7</td><td>116,4</td><td>155,1</td><td>126,5</td><td>131,9</td><td>125,0</td></tr><tr><td>73</td><td>140,3</td><td>138,3</td><td>132,2</td><td>126,8</td><td>202,9</td><td>124,7</td><td>134,5</td><td>120,7</td><td>100,6</td><td>121,3</td><td>109,7</td></tr><tr><td>74</td><td>3,0</td><td>-17,5</td><td>-20,3</td><td>-23,8</td><td>-10,6</td><td>-55,5</td><td>-16,9</td><td>-21,9</td><td>-26,9</td><td>-22,4</td><td>-38,1</td></tr><tr><td>82</td><td>268,6</td><td>202,5</td><td>233,2</td><td>221,6</td><td>294,1</td><td>290,3</td><td>245,6</td><td>205,3</td><td>212,0</td><td>192,6</td><td>214,4</td></tr><tr><td>83</td><td>95,4</td><td>74,7</td><td>75,8</td><td>77,4</td><td>96,7</td><td>52,0</td><td>87,2</td><td>68,7</td><td>73,3</td><td>47,9</td><td>55,5</td></tr><tr><td>91</td><td>123,1</td><td>132,8</td><td>123,6</td><td>103,8</td><td>160,0</td><td>127,3</td><td>109,2</td><td>115,4</td><td>110,2</td><td>105,4</td><td>95,9</td></tr><tr><td>93</td><td>93,1</td><td>109,2</td><td>106,1</td><td>89,8</td><td>127,6</td><td>164,4</td><td>117,9</td><td>111,5</td><td>121,0</td><td>80,2</td><td>96,2</td></tr><tr><td>94</td><td>-161,6</td><td>-168,2</td><td>-193,2</td><td>-235,2</td><td>-140,6</td><td>-180,1</td><td>-99,3</td><td>-238,3</td><td>-96,1</td><td>-191,6</td><td>-150,2</td></tr><tr><td>total</td><td>192,2</td><td>181,8</td><td>189,9</td><td>167,0</td><td>199,4</td><td>218,7</td><td>190,2</td><td>163,1</td><td>180,5</td><td>170,4</td><td>178,9</td></tr></tbody></table>

→ Le remplacement de l'estimation de variance de la Corse par l'approximation de Deville fait baisser la dispersion mesurée de toutes les variables d'équilibrage (Tableau 36). Le traitement additionnel du Limousin a un effet plus mitigé et limité, donc il ne parait pas indispensable 29.

<table><caption>Tableau 36 – Incidence sur la dispersion des variables d'équilibrage du traitement de la Corse</caption><thead><tr><th>traitement</th><th>nresgr1</th><th>nresgr2</th><th>nresgr3</th><th>nresgr4</th><th>nres rural</th><th>nres bain</th><th>periur-1</th><th>revenufisc04 1</th><th>revenufisc04 2</th><th>revenufisc04 3</th><th>revenufisc04 4</th><th>revenufisc04 5</th></tr></thead><tbody><tr><td>avec</td><td>80,5</td><td>79,7</td><td>80,4</td><td>76,4</td><td>87,5</td><td>78,0</td><td>78,3</td><td>76,9</td><td>76,0</td><td>73,6</td><td>76,0</td></tr><tr><td>sans variation</td><td>81,8</td><td>82,6</td><td>81,5</td><td>88,2</td><td>89,5</td><td>81,8</td><td>78,9</td><td>89,3</td><td>76,4</td><td>74,7</td><td>77,0</td></tr><tr><td>+Limousin</td><td>0,4</td><td>-0,1</td><td>-0,3</td><td>-0,3</td><td>0,0</td><td>-1,1</td><td>-0,3</td><td>-0,1</td><td>-0,1</td><td>-0,7</td><td>-0,5</td></tr></tbody></table>

Note : La dernière ligne donne l'incidence supplémentaire sur la dispersion du remplacement de l'estimation de la variance du Limousin par l'approximation de Deville.

<footnote n="29">29. par rapport à la variance simulée, donc intégrant le biais</footnote>

<footnote n="30">30. Cette conclusion est discutable : le traitement additionnel du Limousin abaisse la dispersion de 128 des 138 variables socio-démographiques étudiées, par rapport à celui limité à la Corse.</footnote>
Après le traitement de la Corse, l'effet de la troncature des probabilités d'inclusion à $10^{-3}$ sur la dispersion des variables d'équilibrage est négligeable, sauf pour nres_rural (-11.1 points) et nres_periurbain (-1.3). Une possibilité alternative pour réduire la dispersion pour la première de ces variables est d'appliquer l'approximation de Deville à la Franche-Comté (43), vu le Tableau 35. Mais cette extension accroit la dispersion d'autres variables.

→ Le traitement de la Corse permet d'éviter les très fortes surestimations observées sur l'échantillon effectif pour certaines variables issues des recensements (Graphique 11). En contrepartie, il induit dans certains cas des sous-estimations qui paraissent tolérables ³⁰.

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Graphique 11 – Comparaison du taux d'erreur de l'estimation sur l'échantillon effectif des ZAE, en % de l'écart-type simulé</figcaption></figure>

<footnote n="31">31. Pour la variable c09_pop1524, l'erreur de l'estimation de Deville sur l'échantillon effectif de la Corse est de -54% de l'écart-type simulé, alors que celle de Yates-Grundy est de 314%. L'erreur globale de ce dernier estimateur est quasiment nulle du fait de la sous-estimation compensatrice d'autres régions, notamment la Champagne-Ardennes (-68.5%)</footnote>
– L’estimateur de variance retenu limite la dispersion par rapport à Deville-Tillé pour la grande majorité des variables ’recensement’ étudiées, au niveau national (Graphique 12). Ce n’est le cas que pour 7 régions.

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>Graphique 12 – Dispersion mesurée pour les variables ’recensement’, en % de l’écart-type simulé</figcaption></figure>

### III.8 conclusions sur la variance de l’échantillon maître des ZAE

• L’estimation de variance de l’échantillon maître tiré dans les ZAE peut être correctement réalisée avec l’estimateur de Yates-Grundy appliqué aux probabilités d’inclusion double estimées par la méthode de Breidt-Chauvet sur un million de réplications.

– Le biais estimé est quasiment nul pour les variables étudiées.

– Comme pour le tirage du groupe de rotation PC-RP, la procédure de Breidt et Chauvet parait nettement plus performante que l’estimation par la fréquence des probabilités d’inclusion.

• Cependant, la dispersion semble excessive. Il parait utile de particulariser l’estimateur de variance de la Corse pour lui appliquer l’approximation de Deville.

• Une troncature des petites probabilités estimées stabilise l’estimation de variance, et contourne le problème précédent si le seuil est de $10^{-3}$. Mais cette option présente l’inconvénient d’induire une sous-estimation de la variance, faible mais peut-être pas négligeable pour certaines variables d’intérêt. De toute manière, elle est sans incidence sur l’échantillon effectif des ZAE hors Corse.

– Les simulations utilisées pour la validation peuvent être exploitées pour estimer les probabilités d’inclusion définitives. Celles-ci sont donc calculées sur 2 300 000 réplications.

## Partie IV
### une application : estimation de la variance de l’enquête AES 2012

Cette partie décrit l’estimation de variance de l’enquête AES 2012 (Adult Education Survey), tirée par Octopusse. La variance due au tirage du groupe de rotation des petites communes (PC) et de l’échantillon maître des ZAE est estimée par les méthodes décrites précédemment.
# IV.1 étapes du tirage d'AES et des redressements - notations spécifiques

## ① tirage Octopusse dans l'EAR 2010

– s désigne ici l'échantillon de logements (résidences principales pour l'enquête de recensement, avant éclatement des logements et séparation des budgets). Il est confondu avec l'indicatrice correspondante ($l \mapsto s_l \in \{0, 1\}$). $s_B$ est l'échantillon des ménages correspondants.

– $l \in L$ indice les logements et $b \in B$ les ménages-budgets séparés

– $w$ est le poids de tirage du logement<sup>31</sup>

– Octopusse fournit ce poids (variable nommée poids\_final\_0 dans le fichier-échantillon d'AES 2012), au calage des ZAE près.

– Gr désigne le découpage en 5 groupes de rotation des petites communes (GR-PC), et gr est le groupe de rotation de la campagne utilisée. $\pi_{1,gr} = 1/5$ est la probabilité d'inclusion dans le GR-PC. (Le groupe de rotation des adresses recensées dans les grandes communes n'est pas pris en compte explicitement dans le calcul de variance<sup>32</sup>.)

– Zae = $s_{ZAE}$ est l'échantillon-maître des ZAE; zae désigne une ZAE particulière. $\pi_{1,Zae}$ est la probabilité d'inclusion dans $s_{ZAE}$. A noter que les ZAE sont définies conditionnellement au tirage des 5 groupes de rotation de petites communes. AES 2012 n'est pas affectée par les modifications géographiques des ZAE.

– $s_{ZAE}^{ne}$ est l'échantillon des ZAE non exhaustives ($\pi_{1,Zae} < 1$)

– Le tirage Octopusse est stratifié par ZAE.

– Pour AES, ce tirage est effectué dans la dernière campagne de recensement disponible (EAR 2010).

→ Le total $Y$ d'une variable d'intérêt $y$ est estimable sur l'échantillon $s$ par :

$$ \widehat{Y}^s = \sum_{l \in s} w_l y_l = \sum_{l \in s} \frac{1}{\pi_{1,gr} \pi_{1,Zae} \pi_s (|\text{Gr}, \text{Zae})} (l) y_l $$

$y_l$ désigne le total par logement, $y_b$ celui par ménage et $y_i$ la valeur pour un individu. $y_L$ est la fonction qui donne les totaux par logement. $\pi_{s|Gr,Zae}[l] = p(l \in s|\text{Gr}, \text{Zae})$

## ② modélisation logit de la probabilité de réponse au niveau ménage

– $r$ est l'échantillon des ménages répondants (y compris logements et ménages hors champ)

– $x$ désigne le vecteur de la régression logistique

→ L'estimateur sur l'échantillon des ménages répondants est donné par :

$$ \widehat{Y}^r = \sum_r w_r y = \sum_{b \in r} \frac{w(b)}{\widehat{\pi}_r(b)} y(b) $$

## ③ sélection d'un habitant par ménage répondant

– $s_I$ est l'échantillon des individus échantillonnés

– Les tirages d'individus sont indépendants entre les ménages conditionnellement à $s$.

→ L'estimateur sur l'échantillon des individus répondants vaut :

$$ \widehat{Y}^{s_I} = \sum_{i \in s_I} w_i y_i = \sum_{b \in r} \frac{w_r}{\pi_{i|b}} y_i $$

<footnote n="32">32. Il est calculé par l'inverse d'un produit de probabilités conditionnelles, qui donne un estimateur par expansion.</footnote>

<footnote n="33">33. Le signe de l'effet de cette omission sur l'estimation de variance n'est pas déterminé. D'un côté, l'équilibrage des groupes de rotation de petites adresses connues et le tirage systématique Octopusse limitent la variance, d'un autre côté l'effet de grappe des adresses, ainsi que l'hétérogénéité des groupes de rotation des grandes adresses l'augmentent.</footnote>
### ④ calage

- $x_{cal}$ est le vecteur de calage

- $\hat{Y}^{rc}$ désigne l'estimation sur l'échantillon des répondants et calée du total d'une variable d'intérêt y, pondérée par $w_{rc}$. L'objet de la note est d'estimer $Var(\hat{Y}^{rc})$ en fonction des valeurs observées y(r).

note : Les échantillons de réserve n'ont pas été mobilisés pour AES 2012.

## IV.2 décomposition de la variance de niveau logement

• La variance de l'échantillon de logements (pondéré par $w$) se décompose en conditionnant par le découpage en GR-PC et par l'échantillon des ZAE selon (eIV.2.18).

$$ \mathrm{Var}(\hat{Y}^s) = \mathrm{Var}[E(\hat{Y}^s|\mathrm{Gr}, \mathrm{Zae})] + E[\mathrm{Var}(\hat{Y}^s|\mathrm{Gr}, \mathrm{Zae})] \quad (\text{eIV.2.18}) $$
soit : $V_s = V_{\mathrm{gr},\mathrm{Zae}} + V_{s|\mathrm{Gr},\mathrm{Zae}}$

▷ Le premier terme de (eIV.2.18), $V_{\mathrm{gr},\mathrm{Zae}}$, représente la variance due aux tirages du groupe de rotation des petites communes et de l'échantillon des ZAE. Il peut à nouveau se décomposer en conditionnant par le découpage en GR-PC.

$$ \begin{align*} V_{\mathrm{gr},\mathrm{Zae}} &= \mathrm{Var}(\hat{Y}^{\mathrm{gr},\mathrm{Zae}}) = \mathrm{Var}[E(\hat{Y}^{\mathrm{gr},\mathrm{Zae}}|\mathrm{Gr})] + E[\mathrm{Var}(\hat{Y}^{\mathrm{gr},\mathrm{Zae}}|\mathrm{Gr})] \\ &= \mathrm{Var}(\hat{Y}^{\mathrm{gr}}) + E[\mathrm{Var}(\hat{Y}^{\mathrm{gr},\mathrm{Zae}}|\mathrm{Gr})] \\ &= V_{\mathrm{gr}} + V_{\mathrm{Zae}} \end{align*} $$

### IV.2.1 estimation de la variance intra-ZAE ($V_{s|\mathrm{Gr},\mathrm{Zae}}$)

▷ Comme le tirage Octopus est stratifié par ZAE (avec distinction des arrondissements de PLM) et que $\hat{Y}^s$ est un estimateur par expansion 33 :

$$ \mathrm{Var}(\hat{Y}^s|\mathrm{Gr}, \mathrm{Zae}) = \sum_{\mathrm{Zae}} \mathrm{Var}\left(\frac{\widehat{y}_{\mathrm{Zae}}^s}{\pi_{1, \mathrm{Zae}}}\middle|\mathrm{Gr}, \mathrm{Zae}\right) $$

▷ Vu que la taille de l'échantillon des ménages-RP par ZAE ($|s \cap \mathrm{zae}|$) est fixe, conditionnellement aux groupes de rotation et aux ZAE, que $w = \frac{1}{\pi_{1,\mathrm{Zae}}\pi_{1,\mathrm{gr}}\pi_{s|\mathrm{Gr},\mathrm{Zae}}}$, et que $\frac{\widehat{y}_{\mathrm{Zae}}^s}{\pi_{1,\mathrm{Zae}}} = \sum_{s \cap \mathrm{zae}} \frac{y_L}{\pi_{1,\mathrm{Zae}}\pi_{1,\mathrm{gr}}\pi_{s|\mathrm{Gr},\mathrm{Zae}}}$ = $\sum_{s \cap \mathrm{zae}} \frac{y_L}{\pi_{1,\mathrm{Zae}}\pi_{1,\mathrm{gr}}\pi_{s|\mathrm{Gr},\mathrm{Zae}}}$ = $\sum_{s \cap \mathrm{zae}} \frac{wy_L}{\pi_{1,\mathrm{Zae}}\pi_{1,\mathrm{gr}}\pi_{s|\mathrm{Gr},\mathrm{Zae}}}$, $\mathrm{Var}(\frac{\widehat{y}_{\mathrm{Zae}}^s}{\pi_{1,\mathrm{Zae}}}|\mathrm{Gr}, \mathrm{Zae})$ peut être approximée en fonction de l'échantillon par la formule de Deville (eIV.2.19).

$$ \mathrm{Var}\left(\frac{\widehat{y}_{\mathrm{Zae}}^s}{\pi_{1,\mathrm{Zae}}}\middle|\mathrm{Gr}, \mathrm{Zae}\right) = \frac{|s \cap \mathrm{zae}|}{|s \cap \mathrm{zae}| - 1} \sum_{s \cap \mathrm{zae}} (1 - \pi_{s|\mathrm{Gr},\mathrm{Zae}}) \left( wy_L - \frac{\sum_{s \cap \mathrm{zae}} (1 - \pi_{s|\mathrm{Gr},\mathrm{Zae}}) wy_L}{\sum_{s \cap \mathrm{zae}} (1 - \pi_{s|\mathrm{Gr},\mathrm{Zae}})} \right)^2 \quad (\text{eIV.2.19}) $$

Ceci fournit la forme quadratique estimant le deuxième terme de (eIV.2.18), $V_{s|\mathrm{Gr},\mathrm{Zae}}$.

<footnote n="34">34. Le calage du poids des ZAE n'est pas pris en compte dans le calcul de variance d'AES.</footnote>
Pour les ZAE-PC, une alternative est d'appliquer la formule d'approximation de la variance d'un tirage systématique.

## IV.2.2 estimation de la variance du groupe de rotation de petites communes, par région

L'estimateur de Yates-Grundy généralisé permet de tenir compte de la variabilité de la taille de l'échantillon des petites communes, par le deuxième terme de l'équation (eIV.2.20) ci-après.

$$ \hat{V}_{\text{gr}}^{\text{gr}} = \left(-\frac{1}{2}\right) \sum_{c_1, c_2 \in \text{gr}} \hat{\hat{\Delta}}_{\text{gr}}(c_1, c_2) \left( \frac{y_C}{\pi_{1,\text{gr}}}(c_1) - \frac{y_C}{\pi_{1,\text{gr}}}(c_2) \right)^2 + \sum_{c \in \text{gr}} \left( \frac{y_C}{\pi_{1,\text{gr}}} \right)^2 \left( \frac{\widehat{\pi_{2,\text{gr}}}(c, +)}{\pi_{1,\text{gr}}(c)} - \pi_{1,\text{gr}}(+) \right) \quad (\text{eIV.2.20}) $$

$$ \hat{V}_{\text{gr}}^{\text{gr,Zae}} = \left(-\frac{1}{2}\right) \sum_{c_1, c_2 \in \text{gr} \cap \text{Zae}} \frac{\hat{\hat{\Delta}}_{\text{gr}}(c_1, c_2)}{\widehat{\pi_{2,Zae}}(z_1, z_2)} \left( \frac{y_C}{\pi_{1,\text{gr}}}(c_1) - \frac{y_C}{\pi_{1,\text{gr}}}(c_2) \right)^2 + \sum_{c \in \text{gr} \cap \text{Zae}} \left( \frac{y_C}{\pi_{1,\text{gr}}}(c_1) \right)^2 \frac{1}{\pi_{1,Zae}(c_2)} \left( \frac{\widehat{\pi_{2,\text{gr}}}(c, +)}{\pi_{1,\text{gr}}(c)} - \pi_{1,\text{gr}}(+) \right) = Q_{\text{gr}} \left[ \frac{y_C}{\pi_{1,\text{gr}}} (\text{gr} \cap \text{Zae}) \right] \quad (\text{eIV.2.21}) $$

où $\pi_{1,\text{gr}} = 0.2$. $\hat{\hat{\Delta}}_{\text{gr}}(c_1, c_2) = \frac{\widehat{\pi_{2,\text{gr}}}(c_1, c_2) - \pi_{1,\text{gr}}(c_1) \pi_{1,\text{gr}}(c_2)}{\pi_{2,\text{gr}}(c_1, c_2)}$ et $\widehat{\pi_{2,Zae}}(z_1, z_2)$ ont été estimés par répli- cation, selon la méthode de Breidt-Chauvet et $c_1 \in z_1$, $c_2 \in z_2$, $c \in z$ ³⁴.

L'Ile-de-France comporte deux strates ZAE. Pour des ZAE de strates différentes, le calcul est réalisé avec la probabilité d'inclusion double donnée par $\pi_{2,Zae}(z_1, z_2) = \pi_{1,Zae}(z_1) \pi_{1,Zae}(z_2)$.

Pour la Corse, la composante de la variance due au tirage du GR-PC, $V_{\text{gr}}$, est an- nulée <fnref n="35" />. En effet, le coefficient $\sum_{c_2 \in \text{gr} \cap \text{Zae}} \frac{\widehat{\hat{\Delta}}_{\text{gr}}(c_1, c_2)}{\widehat{\pi_{2,Zae}}(z_1, z_2)}$ dépasse 100 en valeur absolue pour 8 des 13 petites communes corses de l'intersection entre le deuxième groupe de rotation et l'échantillon des ZAE, et va jusqu'à 1 352, contre au plus 37 pour les autres régions. Des tests ont montré que ceci pouvait produire au niveau national des contributions négatives de cette composante de la variance (voir la section 'résultats').

## IV.2.3 estimateur de la variance de l'échantillon des ZAE, par strate ZAE

La variance du tirage des ZAE est estimée par (eIV.2.22), où l'estimation sur le groupe de rotation ne concerne que les ZAE-PC.

$$ \hat{V}_{\text{Zae}}^{\text{gr,Zae}} = \left(-\frac{1}{2}\right) \sum_{z_1, z_2 \in s_{\text{ZAE}}^{ne}} \hat{\hat{\Delta}}_{\text{Zae}}(z_1, z_2) \left( \frac{\widehat{y}_{\text{Zae}}^{\text{gr}}}{\pi_{1,\text{Zae}}}(z_1) - \frac{\widehat{y}_{\text{Zae}}^{\text{gr}}}{\pi_{1,\text{Zae}}}(z_2) \right)^2 = Q_{\text{Zae}} \left[ \frac{\widehat{y}_{\text{Zae}}^{\text{gr}}}{\pi_{1,\text{Zae}}} (s_{\text{ZAE}}^{ne}) \right] \quad (\text{eIV.2.22}) $$

(En effet, pour une ZAE-PC, $\widehat{y}_{\text{Zae}}^{\text{gr}} = \sum_{c \in \text{Zae}} \frac{y_c \mathbf{1}_{\text{gr}}(c)}{\pi_{1,\text{gr}}}$. peut être considéré comme le total sur la ZAE d'une variable bien définie (non aléatoire) conditionnellement au découpage en groupes de rotation RP-PC

<footnote n="35">35. Pour les ZAE exhaustives, $\widehat{\pi_{2,Zae}}$ est annulé.</footnote>

<footnote n="36">36. Un autre traitement possible de cette région est d'utiliser un estimateur 'plug-in', où la probabilité d'inclusion double des ZAE n'intervient pas, en remplaçant $y_c$ dans l'estimateur (eIV.2.20) par $\frac{y_c}{\pi_{1,Zae}}$, pour $c \in \text{gr} \cap \text{Zae}$.</footnote>
et à $s_{ZAE}$, et $\widehat{\Delta}_{Zae}$ donne un estimateur de la variance de l'échantillon des ZAE conditionnellement à ces groupes. Donc (eIV.2.22) estime bien $\mathrm{Var}(\widehat{Y}^{\mathrm{gr},Zae}|\mathrm{Gr}) = \mathrm{Var}\left(\sum \frac{\widehat{y}_{Zae}^{\mathrm{gr}}}{\pi_{1,Zae}}|\mathrm{Gr}\right)$ et ainsi $V_{Zae}$, qui est son espérance.)

– Pour la Corse, la formule de Deville est appliquée pour estimer la variance des ZAE. Ce traitement réduit la dispersion de l'estimation de variance de l'échantillon des ZAE, selon l'étude précédente dans ce document. La taille de l'échantillon corse est limitée à 3 ZAE sur 19. Il s'avère que la probabilité d'inclusion double des ZAE atteint des valeurs très faibles par rapport aux autres régions.

## IV.2.4 estimation des variances GR-PC et ZAE sur l'échantillon enquêté

▷ A ce stade, un estimateur de la variance due aux échantillonnages Gr-PC et Zae est construit, par les formules (eIV.2.21) et (eIV.2.22) :

$$ \widehat{V}_{\mathrm{gr},Zae}^{\mathrm{gr},Zae} = \widehat{V}_{\mathrm{gr}}^{\mathrm{gr},Zae} + \widehat{V}_{Zae}^{\mathrm{gr},Zae} $$

• Il s'agit ensuite d'estimer cette composante $V_{\mathrm{gr},Zae}$ sur l'échantillon de logements s.

▷ Pour la variance du groupe de rotation des petites communes, l'absence de stratification des enquêtes Octopus par la commune mène à choisir un estimateur par 'plug-in' simple, pour lequel $y$ est remplacé par $\frac{y_s}{\pi_{s|\mathrm{Gr},Zae}}$, faute de mieux ³⁶. Par exemple, le total communal $y_c$ est remplacé par son estimateur $\widehat{y}_c^s = \sum_{c \cap s} \frac{y}{\pi_{s|\mathrm{Gr},Zae}}$.

▷ Le coefficient diagonal de la forme quadratique $Q_{Zae} \left( \frac{y_{Zae}}{\pi_{1,Zae}} \right) = \widehat{V}_{Zae}^{\mathrm{Zae}}$ vaut (hors Corse) :

$$ q_{Zae}(z) = - \sum_{z_2 \in s_{ZAE}^{ne} \neq z} \widehat{\Delta}_{Zae}(z, z_2)^{37} $$

→ Un estimateur approximatif de la variance due au groupe de rotation et à l'échantillon des ZAE est donné par l'équation (eIV.2.23).

$$ \widehat{V}_{\mathrm{gr},Zae}^{s} = \widehat{V}_{\mathrm{gr},Zae}^{\mathrm{gr},Zae} \left( \frac{y_L s}{\pi_{s|\mathrm{Gr},Zae}} \right) - \sum_{z \in s_{ZAE}^{ne}} q_{Zae}(z) \mathrm{Var} \left[ \frac{\widehat{y}_{Zae}^{s}}{\pi_{1,Zae}}(z) \middle| \mathrm{Gr}, \mathrm{Zae} \right] \quad (\text{eIV.2.23}) $$

⇒ Finalement, en intégrant la composante de variance propre à l'échantillon de l'enquête $V_{s|\mathrm{Gr},Zae}$, la variance de niveau logement s'estime sur son échantillon par la formule (eIV.2.24).

$$ \begin{align*} \widehat{V}_s^s &= \mathrm{Var}(\widehat{Y}^s) \\ &= \widehat{V}_{\mathrm{gr},Zae}^{\mathrm{gr},Zae} \left( \frac{y_L s}{\pi_{s|\mathrm{Gr},Zae}} \right) + \sum_{z \in Zae} (1 - q_{Zae}(z)) \widehat{\mathrm{Var}} \left[ \frac{\widehat{y}_{Zae}^s}{\pi_{1,Zae}}(z) \middle| \mathrm{Gr}, \mathrm{Zae} \right] \quad (\text{eIV.2.24}) \\ &= Q_L[w y_L(s)] \end{align*} $$

<footnote n="37">37. A noter que $E[Q_C(\widehat{y_C}^s)|\mathrm{Gr}, \mathrm{Zae}] = Q_C(y_C) + \sum_{\mathrm{Zae} \in \mathrm{Zae-Pc}} \mathrm{trace}\{Q_C^{\mathrm{Zae}} \mathrm{Var}[\widehat{y_C}^s (\mathrm{gr} \cap \mathrm{zae})|\mathrm{Gr}, \mathrm{Zae}]\}$, vu que les covariances conditionnelles inter-ZAE sont nulles. Par ailleurs le tri par identifiant RP et le tirage systématique par Octopus assure une certaine représentativité communale.</footnote>

<footnote n="38">38. Pour éviter les problèmes numériques, la somme est explicitement restreinte aux ZAE non exhaustives.</footnote>
Notes :

$$
- \text{Pour une petite commune } c, \frac{\hat{y}_c^s}{\pi_{1,gr}} = \frac{\sum_{l \in s \cap c} \frac{y_l}{\pi_{s|Gr,Zae}}}{\pi_{1,gr}} = \sum_{l \in s \cap c} wy_l \pi_{1,Zae} \text{ est bien une fonction de } wy_l.
$$

$$
- \text{Pour une ZAE, } \frac{\widehat{y}_{Zae}^s}{\pi_{1,Zae}} = \frac{\sum_{l \in s \cap Zae} \frac{y_l}{\pi_{s|Gr,Zae}}}{\pi_{1,Zae}} = \sum_{l \in s \cap Zae} wy_l
$$

• Plus explicitement, la forme quadratique (eIV.2.25) estime la variance de l’échantillon des
logements avant non-réponse (hors Corse).

$$
\begin{align*}
Q_L (wy_L) = & \left(-\frac{1}{2}\right) \sum_{c_1, c_2 \in \text{gr} \cap \text{Zae}} \frac{\widehat{\Delta}_{\text{gr}} (c_1, c_2)}{\pi_{2,Zae}} \left( \frac{\hat{y}_C^s}{\pi_{1,gr}} (c_1) - \frac{\hat{y}_C^s}{\pi_{1,gr}} (c_2) \right)^2 \\
& + \sum_{c \in \text{gr} \cap \text{Zae}} \left( \frac{\hat{y}_C^s}{\pi_{1,gr}} (c) \right)^2 \frac{1}{\pi_{1,Zae}} (z) \left( \frac{\pi_{2,gr}}{\pi_{1,gr}} (c) - \pi_{1,gr} (+) \right) \\
& + \left(-\frac{1}{2}\right) \sum_{z_1, z_2 \in s_{ZAE}^{ne}} \widehat{\Delta}_{Zae} (z_1, z_2) \left( \frac{\hat{y}_{Zae}^s}{\pi_{1,Zae}} (z_1) - \frac{\hat{y}_{Zae}^s}{\pi_{1,Zae}} (z_2) \right)^2 \tag{eIV.2.25} \\
& + \sum_{z \in \text{Zae}} (1 - q_{Zae}) (z) \frac{|s \cap \text{zae}|}{|s \cap \text{zae}| - 1} \sum_{s \cap \text{zae}} (1 - \pi_{s|Gr,Zae}) \left( wy_L - \frac{\sum_{s \cap \text{zae}} (1 - \pi_{s|Gr,Zae}) wy_L}{\sum_{s \cap \text{zae}} (1 - \pi_{s|Gr,Zae})} \right)^2
\end{align*}
$$

- Le coefficient diagonal de la forme quadratique $Q_L$ vaut (pour un logement $l$ d'une petite commune, hors Corse) $^{38}$ :

$$
q_l = - \sum_{c_2 \in \text{gr} \cap \text{Zae} \neq c} \frac{\widehat{\Delta}_{\text{gr}}(c, c_2)}{\widehat{\pi}_{2, \text{Zae}}(z, z_2)} \pi_{1, \text{Zae}}(z)^2 + \pi_{1, \text{Zae}}(z) \left( \frac{\widehat{\pi}_{2, \text{gr}}(c, +)}{\widehat{\pi}_{1, \text{gr}}(c)} - \pi_{1, \text{gr}}(+) \right) + q_{\text{Zae}}(z) \\
+ (1 - q_{\text{Zae}}(z)) \frac{|s \cap \text{zae}|}{|s \cap \text{zae}| - 1} (1 - \pi_{s|\text{Gr}, \text{Zae}}) \left[ 1 - (1 - \pi_{s|\text{Gr}, \text{Zae}})/(\sum_{s \cap \text{zae}} (1 - \pi_{s|\text{Gr}, \text{Zae}})) \right] (l) \quad (\text{eIV.2.26})
$$

Notes :

$$
- \text{Le facteur } \pi_{1,Zae}(z)^2 \text{ dans le premier terme et } \pi_{1,Zae}(z) \text{ dans le second proviennent de ce que } \frac{\hat{y}_c^s}{\pi_{1,gr}} = \\
\sum_{s \cap c} \frac{y_L}{\pi_{1,gr} \pi_{s|Gr,Zae}} = \sum_{s \cap c} wy_L \pi_{1,Zae}.
$$

- Pour les trois premiers termes de (eIV.2.25), les stratifications sont implicites. Par ailleurs, les petites communes et les ZAE sans échantillon sont à prendre en compte dans le calcul de variance avec des valeurs nulles (pour le résidu du calage).

<footnote n="39">39. Pour le dernier terme, le ième coefficient diagonal d'un écart quadratique $m[(y - m(y)/m(1))^2]$ vaut $m[(\delta_i - m(\delta_i)/m(1))^2] = m(1)\left(\frac{m(\delta_i^2)}{m(1)} - \left(\frac{m(\delta_i)}{m(1)}\right)^2\right) = m(\delta_i)(1 - m(\delta_i)/m(1))$ (vu que $\delta_i^2 = \delta_i^2$, par le théorème de König-Huygens (qui stipule que $\text{Var}(x) = E(x^2) - E(x)^2$).</footnote>
– Les valeurs mesurées pour le coefficient $q_l$ sont toutes positives lorsque la composante Corse-GR-PC est annulée (Tableau 37). Les valeurs négatives sont observées uniquement en Corse, de même que les valeurs supérieures à 2.

<table><caption>Tableau 37 – Eléments sur la distribution du coefficient $q_l$</caption><thead><tr><th></th><th>min</th><th>p1</th><th>median</th><th>mean</th><th>p99</th><th>max</th></tr></thead><tbody><tr><td>avec annulation</td><td>0,7</td><td>0,9</td><td>1,0</td><td>1,0</td><td>1,5</td><td>2,0</td></tr><tr><td>sans annulation</td><td>-55,6</td><td>0,9</td><td>1,0</td><td>1,0</td><td>1,5</td><td>10,5</td></tr></tbody></table>

Note : La Corse est traitée ici spécifiquement pour la variance de l'échantillon des ZAE.

## IV.3 prise en compte de la non-réponse

– L'exploitation de l'enquête traite la non-réponse par un modèle logit de niveau ménage, sans stratification ³⁹.

– L'option retenue ici est de tenir compte de la non-réponse dans la variance par 'plug-in'. C'est-à-dire que dans l'expression de l'estimateur de la variance d'un total corrigé exactement de la non-réponse, la probabilité de réponse (conditionnelle) $\pi_r$ est remplacée par $\hat{\pi}_r$.

– Sous un modèle de réponse poissonnien, la variance du total corrigé exactement de la non-réponse (noté $\hat{Y}^{r*}$) se décompose selon (eIV.3.27), en conditionnant par l'échantillon.

$$ \mathrm{Var}(\hat{Y}^{r*}) = \mathrm{Var}(\hat{Y}^s) + E\left[\mathrm{Var}(\hat{Y}^{r*} | s)\right] = \mathrm{Var}(\hat{Y}^s) + E\left[\sum_{s_B} \left(\frac{w_{y_B}}{\pi_r}\right)^2 \pi_r (1 - \pi_r)\right] \quad (\text{eIV.3.27}) $$

• La variance du total corrigé de la non-réponse peut être estimée en fonction de l'échantillon s par :

$$ \widehat{\mathrm{Var}}(\hat{Y}^{r*}) = \hat{V}_r^s(y) = \hat{V}_s^s(y) + \sum_{s_B} \left(\frac{w_{y_B}}{\pi_r}\right)^2 \pi_r (1 - \pi_r) $$

→ Cette statistique est estimée sur l'échantillon des ménages répondants sans biais conditionnel par :

$$ \hat{V}_r^{r*}(y) = Q_L(w\hat{y}_L^{r*}) - \sum_{s_B} q_L \left( w \frac{y_B r}{\pi_r} \right)^2 (1 - \pi_r) + \sum_{s_B} \left( \frac{w y_B r}{\pi_r} \right)^2 (1 - \pi_r) $$

(notation : pour $b \in s_B$ et $l \ni b$, $q_L(b) = q_l$ ; par ailleurs $\hat{y}_L^{r*} = \frac{y_L r}{\pi_r}$)

→ La dernière étape approxime l'estimateur précédent en remplaçant la probabilité de réponse par son estimation. L'estimateur obtenu est calculable sur l'échantillon des répondants (eIV.3.28).

$$ \begin{align} \hat{V}_r^r(y) &= Q_L[w\hat{y}_L(r)] - \sum_{s_B} q_L \left( w \frac{y_B r}{\hat{\pi}_r} \right)^2 (1 - \hat{\pi}_r) + \sum_{s_B} \left( \frac{w y_B r}{\hat{\pi}_r} \right)^2 (1 - \hat{\pi}_r) \nonumber \\ &= Q_L \left[ \sum_{r_L} w_r y_B r \right] + \sum_{s_B} (1 - q_L) (w_r y_B r)^2 (1 - \hat{\pi}_r) \tag{eIV.3.28} \\ &= Q_r \left[ w_r y_B(r) \right] \nonumber \end{align} $$

avec $w_r = \frac{w}{\hat{\pi}_r}$ et $r_L : l \mapsto r_l$ l'échantillon des (budgets) répondants du logement

<footnote n="40">40. En revanche, la région fait partie des variables explicatives.</footnote>
– Le coefficient diagonal de la forme quadratique $Q_r$ qui estime la variance de l'échantillon des ménages répondants est obtenu en remplaçant $w_r y_b r$ par $\delta_b$ (l'indicatrice de $b$). Il vaut, en $b \in r$ et $b \in l$ :

$$q_r(b) = q_l - q_l(1 - \hat{\pi}_r) + 1 - \hat{\pi}_r = q_l\hat{\pi}_r + 1 - \hat{\pi}_r$$

## IV.4 estimation de la variance de l'échantillon des individus

– Les tirages d'individus sont indépendants conditionnellement à l'échantillon des ménages.

– Le tirage d'un individu par ménage-budget séparé (répondant) peut être considéré comme à probabilités égales sur les individus éligibles.

• Le conditionnement par l'échantillon de ménages répondants décompose la variance individuelle ainsi, où $\hat{y}_b^{s_I} = \sum_{i \in s_I \cap b} \frac{y_i}{\pi_{i|b}}$ :

$$\mathrm{Var}(\hat{Y}^{s_I}) = \mathrm{Var}(\hat{Y}^r) + E\left[\mathrm{Var}(\hat{Y}^{s_I}|r)\right] = \mathrm{Var}(\hat{Y}^r) + E\left\{\sum_{b \in r} \mathrm{Var}(w_r \hat{y}_b^{s_I}|r)\right\}$$

▷ Un estimateur de $\mathrm{Var}(\hat{Y}^{s_I})$ est donné en fonction de $r$ par :

$$\hat{V}_{s_I}^r = \hat{V}_r^r(y_B) + \sum_{b \in r} \mathrm{Var}(w_r \hat{y}_b^{s_I}|r)$$

▷ Cet estimateur est lui-même estimé sans biais conditionnel sur l'échantillon d'individus par (eIV.4.29).

$$\hat{V}_{s_I}^{s_I} = \hat{V}_r^r(\hat{y}_B^{s_I}) + \sum_{b \in r} \widehat{(1 - q_r) \mathrm{Var}(w_r \hat{y}_b^{s_I}|r)} \quad (\text{eIV.4.29})$$

– Comme $|s_I \cap b| = 1$, sous l'équiprobabilité :

$$\begin{align*} \mathrm{Var}(w_r \hat{y}_b^{s_I} | r) &= \mathrm{Var}\left(w_r \frac{y_{s_I \cap b}}{\pi_{s_I \cap b|b}} | r\right) = \mathrm{Var}(w_I y_I | r) \\ &= \mathrm{Var}_b(w_I y_I) \end{align*}$$

(où $\mathrm{Var}_A$ désigne la variance sur l'ensemble $A$)

$$w_i = \frac{w_r}{\pi_{i|b}} \text{ est le poids en entrée du calage } ^{40}. \text{ (Il peut dépendre de l'échantillon } r.\text{)}$$

• $\tilde{b}$ désigne génériquement les unités de collapse formées de deux ou trois ménages répondants. Pour un ensemble $A$ de cardinal $|A|$, on note $\mathcal{P}_A^2(y) = \frac{1}{|A|-1} \sum_A \left( y - \frac{\sum_A y}{|A|} \right)^2$ $^{41}$. L'estimateur (eIV.4.30) majore le deuxième terme de l'estimateur (eIV.4.29).

$$\widehat{V}_{s_I|s}^{s_I} = \sum_{\tilde{b}} |\tilde{b}| \mathcal{P}_{\tilde{b}}^2 \left\{ \sqrt{(1 - q_r)^+ w_I y_I} \right\} \quad (\text{eIV.4.30})$$

$$(\text{où } x^+ = \max(x, 0))$$

<footnote n="41">41. Ce poids intègre le facteur du calage des ZAE.</footnote>

<footnote n="42">42. Le coefficient diagonal de $\mathcal{P}_A^2$ vaut $\frac{1}{|A|} (= \frac{1}{|A|-1} 1(1 - \frac{1}{|A|}))$ en appliquant la note de bas de page n° 39).</footnote>
→ Pour récapituler, la variance de l'échantillon des individus est estimée sur celui-ci par (eIV.4.31).

$$
\begin{align}
\widehat{\mathrm{Var}}(\hat{Y}^{s_I}) &= Q_I[w_I y_I(s_I)] = Q_r(w_r \hat{y}_B^{s_I}) + \sum_{\tilde{b}} |\tilde{b}| \mathcal{F}_{\tilde{b}}^2 \{\sqrt{(1-q_r)^+} w_I y_I\} \nonumber \\
&= \left(-\frac{1}{2}\right) \sum_{c_1, c_2 \in \mathrm{gr} \cap \mathrm{Zae}} \frac{\widehat{\Delta}_{\mathrm{gr}}(c_1, c_2)}{\pi_{2, \mathrm{Zae}}(z_1, z_2)} \left( \frac{\hat{y}_C^{s_I}}{\pi_{1, \mathrm{gr}}}(c_1) - \frac{\hat{y}_C^{s_I}}{\pi_{1, \mathrm{gr}}}(c_2) \right)^2 \tag{1}
\end{align}
$$

$$
+ \sum_{c \in \mathrm{gr} \cap \mathrm{Zae}} \left( \frac{\hat{y}_C^{s_I}}{\pi_{1, \mathrm{gr}}}(c) \right)^2 \frac{1}{\pi_{1, \mathrm{Zae}}(z)} \left( \frac{\pi_{2, \mathrm{gr}}(c, +)}{\pi_{1, \mathrm{gr}}(c)} - \pi_{1, \mathrm{gr}}(+) \right) \quad (2)
$$

$$
+ \left(-\frac{1}{2}\right) \sum_{z_1, z_2 \in s_{\mathrm{ZAE}}^{\mathrm{ne}}} \widehat{\Delta}_{\mathrm{Zae}}(z_1, z_2) \left( \frac{\widehat{y}_{\mathrm{Zae}}^{s_I}}{\pi_{1, \mathrm{Zae}}}(z_1) - \frac{\widehat{y}_{\mathrm{Zae}}^{s_I}}{\pi_{1, \mathrm{Zae}}}(z_2) \right)^2 \quad (3)
$$

$$
+ \sum_{\text{zae} \in \text{Zae}} (1 - q_{\text{Zae}}) \frac{|s \cap \text{zae}|}{|s \cap \text{zae}| - 1} \sum_{s \cap \text{zae}} (1 - \pi_{s|\text{Gr},\text{Zae}}) \left( w_r \hat{y}_L^{s_I} - \frac{\sum_{s \cap \text{zae}} (1 - \pi_{s|\text{Gr},\text{Zae}}) w_r \hat{y}_L^{s_I}}{\sum_{s \cap \text{zae}} (1 - \pi_{s|\text{Gr},\text{Zae}})} \right)^2 \quad (4)
$$

$$
- \sum_{s_B} q_L (w_r \hat{y}_B^{s_I} r)^2 (1 - \hat{\pi}_r) \quad (5)
$$

$$
+ \sum_{s_B} (w_r \hat{y}_B^{s_I} r)^2 (1 - \hat{\pi}_r) \quad (6)
$$

$$
+ \sum_{\tilde{b}} |\tilde{b}| \mathcal{F}_{\tilde{b}}^2 \left\{ \sqrt{(1 - q_r)^+} w_I y_I \right\} \quad (eIV.4.31) \quad (7)
$$

Notes :

– Les trois derniers termes sont de niveau ménage-budget séparé, alors que le précédent est de niveau logement.

– Pour le calcul de variance, les logements et les ménages sans individus dans le champ de l’enquête peuvent être considérés comme répondants avec des variables nulles. Ceci intervient dans les 4 derniers termes de (eIV.4.31).

– La quatrième composante (4), qui correspond à la variance du tirage des logements, est parfois néga-
tive, comme il existe des coefficients $q_{Zae} > 1$. Mais ceci est exceptionnel : un seul cas parmi la cinquantaine de
variables étudiées.

– $w_r$=poids\_corr est le poids du ménage après correction de la non-réponse. Il exclut ici le facteur de calage des ZAE.

– Pour tout ensemble A, $\hat{y}_A^{sI}$ est le total de y sur A estimé sur l'échantillon $s_I$. Dans le contexte de l'expression ci-dessus, pour une unité a tirée dans une phase antérieure à celle des individus, $\hat{y}_a^{sI}$ est un estimateur du total de y sur a conditionnellement à l'échantillon du niveau de a. En pratique, le calcul est effectué ainsi, avec $w_i$ le poids de l'individu i avant calage et hors facteur de calage des ZAE :

$$
\triangleright \frac{\hat{y}_{\text{Zae}}^{s_I}}{\pi_{1, \text{Zae}}} = \sum_{i \in s_I \cap \text{Zae}} w_i y
$$

$$
\triangleright \frac{\hat{y}_c^{s_I}}{\pi_{1,gr}} = \sum_{i \in s_I \cap c} w_i y \pi_{1,zae}
$$

$$
\triangleright w_r \hat{y}_l^{sI} = \sum_{i \in l} w_i y \text{ (idem au niveau budget)}
$$
## IV.5 prise en compte du calage AES

Le calage du total estimé est pris en compte dans le calcul de sa variance en remplaçant la variable par le résidu de sa régression par le vecteur de calage, sur l'échantillon des individus répondants pondéré par le poids final $w_{rc}$ (eIV.5.32).

$$ \widehat{\text{Var}}(\hat{Y}^{rc}) = Q_I [w_I (y_I - x_{cal}^{I'} \hat{\beta})] \quad (\text{eIV.5.32}) $$

$$ \text{avec } \hat{\beta} = \hat{m}^{rc} (x_{cal} x_{cal}')^{-} \hat{m}^{rc} (y x_{cal}) $$

- Le fait que le calage est réalisé par rapport à des totaux aléatoires, estimés par une moyenne annuelle de l'enquête Emploi, n'est pas pris en compte dans le calcul de variance. Cette omission sous-estime la variance.

## IV.6 programmes et mise en oeuvre

- Les programmes sont ci-joints :

variance_AES.sas

variance_AES.sas (macro principale)

variance_AES_test_2.sas

variance_AES_test_2.sas (exemple de lancement)

- La variance d'un ratio peut être calculée directement, par linéarisation, en déclarant ce ratio sous la forme :

ratio(numérateur, dénominateur, variable)

où variable est le nom à attribuer au ratio résultant. Aucun blanc ne doit figurer entre les parenthèses.

- La table des données d'enquête n'est pas nécessairement localisée dans une base SAS permanente. Ceci permet de définir des variables provisoires sur lesquelles le calcul de variance est ensuite demandé. Il est nécessaire de définir une variable donnant la probabilité conditionnelle de tirage d'un individu pi_i_cond_1.

- Le nom du principal classeur excel créé par le programme est paramétré par nom_sortie. Un second classeur est suffixé par _check. Il fournit la décomposition de la variance estimée selon (eIV.4.31).

- Un calcul de variance standard est lancé par une instruction du type :

```sas
%variance_AES(liste_variables=%bquote(nfenum_sup_0
ratio(nfenum_sup_0,i1,part_nfenum_sup_0)
nfenum_s_1 ratio(nfenum_s_1,sexe_1,part_nfenum_s_1)
nfenum_s_2 ratio(nfenum_s_2,sexe_2,part_nfenum_s_2)
nfenum_age_25_34 ratio(nfenum_age_25_34,age_25_34,part_nfenum_age_25_34)
nfenum_age_35_49 ratio(nfenum_age_35_49,age_35_49,part_nfenum_age_35_49)
nfenum_age_50_64 ratio(nfenum_age_50_64,age_50_64,part_nfenum_age_50_64)
)
/* pas de blancs dans la définition des ratios */
data_enquete=donnees_enquete
poids_final=poidsfi
```
, poids_entree_calmar=poids_indiv
, poids_menage_corrige=poids_corr
, pi_i_cond_l=pi_i_cond_l
, base_echantillon=&racine\basesto
, ear=2010
, base_ZAE=&racine_application\octopusse\zae\basesto
, base_PC=&racine_application\octopusse\petites_communes\basesto

, liste_variables Calage=ZUS agq20s1 agq20s2 agq25s1 agq25s2 agq30s1 agq30s2
agq35s1 agq35s2 agq40s1 agq40s2 agq45s1 agq45s2
agq50s1 agq50s2 agq55s1 agq55s2 agq60s1 agq60s2
csp1_1 csp1_2 csp1_3 csp1_4 csp1_5 csp1_6
dip12 dip21 dip22 dip30 dip31 dip32 dip33 dip41 dip42 dip43 dip44
dip50 dip60 dip70 dip71
natio1 natio2
reg21 reg22 reg23 reg24 reg25 reg26 reg31 reg41 reg42 reg43 reg52
reg53 reg54 reg72 reg73 reg74 reg82 reg83 reg91 reg93 reg94

, liste_variables_non_reponse=CODE_REG_ADMIN NAT_IMMIGRE OCC_STATUT OCC
RP_COUPLE decile1_9_10 nbpi pos_prof tabard type_hab
, nom_sortie=variance_aes_test_c);

- Le paramètre base_ZAE donne le nom physique du répertoire contenant d'une part la table de référence des ZAE et l'échantillon maître, d'autre part l'estimation des probabilités d'inclusion doubles.

- Le paramètre base_PC donne la localisation de la table des probabilités d'inclusion double des petites communes, ainsi qu'une table de référence des petites communes.

- La base contenant le fichier échantillon capi_echantillon_principal est localisée dans base_echantillon.
IV.7 résultats

– Le calcul de variance d’AES 2012 a été effectué sur les 20 132 ménages (et logements hors champ). Les pondérations utilisées sont décrites dans la note N° 109/DG75-F230/ du 15 janvier 2013.

– Les résultats sont produits ici pour la variable nombre de formations non formelles nfenum>0 croisée avec le sexe et avec trois tranches d’âge.

• Le Tableau 38 donne les estimations de variance (calée) sans annulation de la contribution de la Corse à l’estimation de la variance du groupe de rotation des petites communes.

<table><caption>Tableau 38 – Estimations de variance sans annuler la variance PC de la Corse</caption><thead><tr><th>statistique totaux</th><th>nfenum sup 0</th><th>nfenum s 1</th><th>nfenum s 2</th><th>nfenum age 25 34</th><th>nfenum age 35 49</th><th>nfenum age 50 64</th></tr></thead><tbody><tr><td></td><td>18 967 828</td><td>9 365 368</td><td>9 602 459</td><td>4 416 883</td><td>6 983 071</td><td>4 600 275</td></tr><tr><td>écart-type</td><td>224 605</td><td>164 213</td><td>150 089</td><td>98 735</td><td>118 760</td><td>119 149</td></tr><tr><td>écart-type approché</td><td>160 765</td><td>138 739</td><td>139 899</td><td>103 222</td><td>124 709</td><td>105 054</td></tr><tr><td>CV</td><td>1,18</td><td>1,75</td><td>1,56</td><td>2,24</td><td>1,70</td><td>2,59</td></tr><tr><td>Deff</td><td>2,37</td><td>2,41</td><td>1,94</td><td>1,97</td><td>1,75</td><td>1,99</td></tr></tbody></table>

Notes :

– L’écart-type approché d’un total estimé $\hat{Y}(< \hat{N})$ est une approximation de la variance d’un sondage aléatoire simple (sans calage), par la formule $\hat{N}^2 \left[ \left(1 - \frac{|r|}{\hat{N}}\right) / |r| \right] \frac{\hat{Y}}{\hat{N}} \left(1 - \frac{\hat{Y}}{\hat{N}}\right)$.

– Le coefficient de variation (CV) est en pourcentage.

– Un Deff plus élevé pour le total général par rapport à celui par catégories peut se comprendre comme l’effet d’une taille de grappe plus grande.

→ Il apparaît des contributions négatives du tirage du groupe de rotation RP-PC à la variance estimée (Tableau 39). C’est gênant, même s’il y a une compensation possible par le terme ’correctif variance logement’, via des coefficients $q_i$ très négatifs en Corse.

<table><caption>Tableau 39 – Décomposition de la variance sans annulation de la composante PC de la Corse</caption><thead><tr><th>statistique</th><th>nfenum sup 0</th><th>nfenum s 1</th><th>nfenum s 2</th><th>nfenum age 25 34</th><th>nfenum age 35 49</th><th>nfenum age 50 64</th></tr></thead><tbody><tr><td>variance</td><td>50 447 523 357</td><td>26 965 968 642</td><td>22 526 734 558</td><td>9 748 595 723</td><td>14 103 869 423</td><td>14 196 493 194</td></tr><tr><td>variance PC</td><td>234 193 429</td><td>1 069 882 338</td><td>248 829 030</td><td><b>-939 341 023</b></td><td><b>-658 641 304</b></td><td><b>-459 758 784</b></td></tr><tr><td>variance ZAE</td><td>36 000 610 905</td><td>17 552 368 398</td><td>14 929 442 913</td><td>5 450 648 174</td><td>9 579 865 410</td><td>9 649 926 014</td></tr><tr><td>variance logement</td><td>7 313 266 515</td><td>3 647 653 428</td><td>4 271 730 632</td><td>1 603 280 412</td><td>2 455 699 384</td><td>2 703 317 341</td></tr><tr><td>correctif variance logement</td><td>-5 094 067 570</td><td>-2 354 131 329</td><td>-2 674 835 403</td><td>-447 227 016</td><td>-1 749 528 786</td><td>-1 816 011 578</td></tr><tr><td>variance non reponse</td><td>6 339 301 926</td><td>3 296 822 532</td><td>3 497 907 406</td><td>1 317 362 188</td><td>2 403 924 899</td><td>2 151 724 405</td></tr><tr><td>variance individu</td><td>5 654 218 150</td><td>3 753 373 275</td><td>2 253 659 980</td><td>2 763 872 989</td><td>2 072 549 821</td><td>1 967 295 796</td></tr></tbody></table>

Note : Cette décomposition est effectuée selon la formule (eIV.4.31). Il ne s’agit pas d’estimateurs sans biais des différentes composantes.

• En annulant la contribution corse à la variance du GR-PC, les estimations de variance sont inférieures aux précédentes (Tableau 40). Les Deff restent supérieurs à 1, ce qui est rassurant.

Tableau 40 – Estimations de variance avec annulation de la composante Corse de la variance du GR-PC

<table><thead><tr><th>statistique totaux</th><th>nfenum sup 0</th><th>nfenum s 1</th><th>nfenum s 2</th><th>nfenum age 25 34</th><th>nfenum age 35 49</th><th>nfenum age 50 64</th></tr></thead><tbody><tr><td></td><td>18 967 828</td><td>9 365 368</td><td>9 602 459</td><td>4 416 883</td><td>6 983 071</td><td>4 600 275</td></tr><tr><td>écart-type</td><td>215 722</td><td>150 861</td><td>143 090</td><td>85 287</td><td>112 495</td><td>114 972</td></tr><tr><td>écart-type approché</td><td>160 765</td><td>138 739</td><td>139 899</td><td>103 222</td><td>124 709</td><td>105 054</td></tr><tr><td>CV</td><td>1,14</td><td>1,61</td><td>1,49</td><td>1,93</td><td>1,61</td><td>2,50</td></tr><tr><td>Deff</td><td>2,19</td><td>2,03</td><td>1,77</td><td>1,47</td><td>1,57</td><td>1,85</td></tr></tbody></table>
– Il n'apparaît plus de contribution négative de la variance du groupe de rotation des petites communes, au niveau national 42 (Tableau 41). La variance estimée de la variable nfenum_age_25_34 baisse, malgré une contribution accrue de la composante des petites communes. Ceci s'explique par un terme correctif moins négatif. En effet, la contribution de la Corse à cette composante est simul-tanément supprimée.

<table><caption>Tableau 41 – Décomposition de la variance estimée en annulant la contribution corse pour les petites communes</caption><thead><tr><th>statistique</th><th>nfenum sup 0</th><th>nfenum s 1</th><th>nfenum s 2</th><th>nfenum age 25 34</th><th>nfenum age 35 49</th><th>nfenum age 50 64</th></tr></thead><tbody><tr><td>variance</td><td>46 535 955 133</td><td>22 759 162 002</td><td>20 474 711 097</td><td>7 273 927 473</td><td>12 655 132 991</td><td>13 218 648 216</td></tr><tr><td>variance PC</td><td>3 187 130 940</td><td>1 501 493 477</td><td>1 259 428 635</td><td>210 425 955</td><td>621 113 777</td><td>834 418 532</td></tr><tr><td>variance ZAE</td><td>36 000 610 905</td><td>17 552 368 398</td><td>14 929 442 913</td><td>5 450 648 174</td><td>9 579 865 410</td><td>9 649 926 014</td></tr><tr><td>variance logement</td><td>7 313 266 515</td><td>3 647 653 428</td><td>4 271 730 632</td><td>1 603 280 412</td><td>2 455 699 384</td><td>2 703 317 341</td></tr><tr><td>correctif variance logement</td><td>-6 644 373 609</td><td>-3 438 234 617</td><td>-3 681 885 103</td><td>-1 371 895 113</td><td>-2 525 993 226</td><td>-2 265 825 479</td></tr><tr><td>variance non reponse</td><td>6 339 301 926</td><td>3 296 822 532</td><td>3 497 907 406</td><td>1 317 362 188</td><td>2 403 924 899</td><td>2 151 724 405</td></tr><tr><td>variance individu</td><td>340 018 455</td><td>199 058 785</td><td>198 086 613</td><td>64 105 857</td><td>120 522 747</td><td>145 087 403</td></tr></tbody></table>

– La composante 'individu' de la variance est la plus faible. Toutefois, sa mesure intègre le correctif de l'estimation plug-in de la variance des ménages répondants. Quoi qu'il en soit, l'enjeu du collapse effectué à ce niveau est sans doute mineur.

– L'élimination de la contribution des petites communes au coefficient $q_t$ (via les deux premiers termes de (eIV.2.26)), dans le terme correctif de la variance logement, par le paramètre pc_annule_q_1=oui, augmente légèrement la variance estimée (Tableau 42). Ceci signifie qu'il joue bien à la baisse de la variance estimée. Il pourrait être prudent d'omettre ce terme, comme il suppose une stratification par la commune, et donc ne mesure pas précisément le correctif de la variance des petites communes. Mais l'effet marginal n'incite pas à retenir cette option.

<table><caption>Tableau 42 – Estimation de variance sans la contribution des petites communes au coefficient $q_t$</caption><thead><tr><th>statistique totaux</th><th>nfenum sup 0</th><th>nfenum s 1</th><th>nfenum s 2</th><th>nfenum age 25 34</th><th>nfenum age 35 49</th><th>nfenum age 50 64</th></tr></thead><tbody><tr><td>écart-type</td><td>215 893</td><td>150 852</td><td>143 242</td><td>85 328</td><td>112 686</td><td>115 009</td></tr><tr><td>écart-type approché</td><td>160 765</td><td>138 739</td><td>139 899</td><td>103 222</td><td>124 709</td><td>105 054</td></tr><tr><td>CV</td><td>1,14</td><td>1,61</td><td>1,49</td><td>1,93</td><td>1,61</td><td>2,50</td></tr><tr><td>Deff</td><td>2,19</td><td>2,03</td><td>1,77</td><td>1,47</td><td>1,58</td><td>1,85</td></tr></tbody></table>

– L'estimation 'plug-in' de la variance du GR-PC corse, décrite en note de bas de page n°36, augmente légèrement l'estimation, d'au plus 1% de l'écart-type. Ce raffinement parait superflu.

Références

[BC] Breidt FJ, Chauvet G, Improved variance estimation for balanced samples drawn via the Cube method, Journal of Statistical Planning and Inference, 2010

[GC] Chauvet G, On variance estimation for the French master sample, Journal of Official Statistics, vol.27 N° 4, 2011

[MCSF] Christine M., Faivre S., Octopus : un système d'échantillon-maître pour le tirage des échantillons dans la dernière enquête annuelle de recensement, Insee, JMS 2009

<footnote n="43">43. En revanche, ça reste le cas pour une à trois régions, selon la variable. L'estimation de la composante 'petites communes' de la variance doit être considérée comme fragile. Elle est maintenue pour rendre compte de cette contribution.</footnote>
# Annexe A expression des moyennes des deux estimateurs de variance

Il s'agit ici d'estimer $E(\widehat{\mathrm{Var}}(\hat{Y})^S)^{43}$ sur les simulations $S$, pour une variable connue sur l'univers.

La moyenne des estimateurs de variance d'Horvitz-Thompson et de Yates-Grundy sur l'ensemble des simulations peut s'exprimer en fonction de la matrice des probabilités d'inclusion double estimées sur cet ensemble. Les formules ci-dessous sont appliquées à une variable unidimensionnelle $y$. Mais elles peuvent s'étendre à une variable vectorielle. Elles sont également valables lorsque $E(|R|)$ est remplacé par $\sum_S / |S|$.

* pour l'estimateur de variance d'Horvitz-Thompson :

$$ 
\begin{aligned}
E(\hat{V}^{HT}) &= E\left\{\sum_{i,j \in S} \frac{y}{\pi_1}(i) \widehat{\Delta}(i,j) \frac{y}{\pi_1}(j)\right\} = E\left\{\sum_{i,j} \frac{y}{\pi_1}(i) \widehat{\Delta}(i,j) s(i) s(j) \frac{y}{\pi_1}(j)\right\} \\
&= \sum_{i,j} \frac{y}{\pi_1}(i) \widehat{\Delta}(i,j) \pi_2(i,j) \frac{y}{\pi_1}(j) \quad \text{d'où :}
\end{aligned}
$$

$$ \widehat{E}(\hat{V}^{HT})^S = \left(\frac{y}{\pi_1}\right)' \left(\widehat{\Delta} \# \hat{\pi}_2^S\right) \frac{y}{\pi_1} \quad (\text{eA.33}) $$

* pour l'estimateur de Yates-Grundy (généralisé) : L'expression (eI.2.13) se reformule ainsi :

$$ \hat{V}^{YG} = \hat{V}^{HT} - \left\{ \left( \widehat{\Delta} \# ss' \right) \left( \frac{y}{\pi_1} \right)^2 \right\} [+, ,] + \left\{ \left( \frac{\hat{\pi}_2^R (+)}{\pi_1} - \pi_1 (+) \right) \# s \# \left( \frac{y}{\pi_1} \right)^2 \right\} [+, ,] $$

d'où l'estimateur sur les simulations :

$$ E(\widehat{V}^{YG})^S = E(\widehat{V}^{HT})^S - 1' \left( \widehat{\Delta} \# \hat{\pi}_2^S \right) \left( \frac{y}{\pi_1} \right)^2 + \left[ \left( \hat{\pi}_2^R (+) - \pi_1 (+) \pi_1 \right) \# \left( \frac{y}{\pi_1} \right)^2 \right] [+, ,] \quad (\text{eA.34}) $$

**Notes :**

- L'ensemble des simulations utilisées pour moyenner les estimations de variance par échantillon est identique à celui utilisé pour estimer par simulation la variance. Donc il n'y a pas d'indépendance entre les deux statistiques.

- Les termes de $\hat{\pi}_2^S < 0$ sont pris en compte.

- Dans ces deux expressions, la correction de la diagonale de $\hat{\pi}_2^S$ par $\pi_1$ peut sembler une bonne idée, pour réduire l'aléa sur l'estimation de $\pi_2$. Les résultats obtenus ont dissuadé de retenir cette option. En effet, l'incidence est très faible et ne joue pas clairement à la réduction du biais estimé.

- La moyenne sur les simulations du troisième terme de (eI.2.13) s'exprime littéralement par :

$$ \left[ \left( \frac{\hat{\pi}_2^R (+)}{\pi_1} - \pi_1 (+) \right) \# \left( \frac{y}{\pi_1} \right)^2 \# \bar{s}^S \right] [+, ,] \text{. Cependant, comme } E(\bar{s}^S) = \pi_1 \text{ est connu, il est sans doute préférable d'utiliser cette dernière valeur pour estimer } E(\hat{V}). $$

- Les mêmes formules (eA.33, eA.34) s'appliquent pour calculer la variance estimée sur un échantillon $s$ donné $(\mathrm{Var}(\hat{Y})^S)$, en remplaçant $\hat{\pi}_2^S$ par $ss'$ et le dernier terme par :

$$ \left[ \left( \frac{\hat{\pi}_2^R (+)}{\pi_1} - \pi_1 (+) \right) \# \left( \frac{y}{\pi_1} \right)^2 \# s \right] [+, ,] $$

<footnote n="44">44. Le conditionnement par les réplications est omis : $E(\hat{V}|R)$ est confondu avec $E(\hat{V})$.</footnote>
– La précision de l’estimateur des probabilités d’inclusion par la méthode de Breidt-Chauvet semble meilleure que celle par la fréquence (Tableau 1). Donc il pourrait être préférable de calculer le biais en utilisant cette méthode pour $\hat{\pi}_2^{BC,S}$. Cette option a été testée dans l’étude sur les petites communes, sans amélioration manifeste de la mesure du biais. En revanche, c’est le choix retenu pour les ZAE, comme il permet ensuite de réunir les réplications et les simulations pour l’estimation finale des probabilités d’inclusion.
# Annexe B défauts de l'appariement avec les données sur les groupes de rotation des PC

<table><caption>Tableau B.43 – Défauts de l'appariement sur le code communal entre les données sur les groupes de rotation et le référentiel des petites communes utilisé</caption><thead><tr><th>REGION</th><th>depcom</th><th>libgeo</th><th>p99</th><th>pop</th><th>type</th></tr></thead><tbody><tr><td>21</td><td>10 054</td><td>Bourdenay</td><td>402</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>21</td><td>51 136</td><td>Châtillon-sur-Marne</td><td>843</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>21</td><td>52 359</td><td>Nully</td><td>301</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>22</td><td>80 369</td><td>Frohen-sur-Authie</td><td>174</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>22</td><td>80 370</td><td>Frohen-le-Petit</td><td>25</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>25</td><td>14 149</td><td>Cesny-aux-Vignes</td><td>498</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>25</td><td>50 066</td><td>Jullouville</td><td>2 414</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>25</td><td>50 216</td><td>Graignes-Mesnil-Angot</td><td>618</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>25</td><td>50 303</td><td>Mesnil-Angot</td><td>50</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>25</td><td>61 022</td><td>Bagnoles-de-l'Orne</td><td>895</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>25</td><td>61 136</td><td>Couvains</td><td>121</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>25</td><td>61 254</td><td>Marnefer</td><td>53</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>25</td><td>61 483</td><td>Bagnoles-de-l'Orne</td><td>1 279</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>26</td><td>71 211</td><td>Géanges</td><td>363</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>26</td><td>71 443</td><td>Saint-Loup-Géanges</td><td>764</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>42</td><td>67 242</td><td>Kirrwiller</td><td>684</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>43</td><td>39 367</td><td>Morbier</td><td>2 059</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>43</td><td>39 524</td><td>Tancua</td><td>167</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>52</td><td>49 206</td><td>Montfaucon-Montigné</td><td>518</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>52</td><td>49 210</td><td>Montigné-sur-Moine</td><td>1 204</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>52</td><td>85 036</td><td>Bretonnière-la-Claye</td><td>440</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>52</td><td>85 068</td><td>Claye</td><td>46</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>53</td><td>22 179</td><td>Fréhel</td><td>2 047</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>53</td><td>35 130</td><td>Hédé-Bazouges</td><td>1 833</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>54</td><td>79 013</td><td>Argenton-les-Vallées</td><td>1 038</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>54</td><td>79 017</td><td>Aubiers</td><td>2 877</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>54</td><td>79 037</td><td>Boësse</td><td>429</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>54</td><td>79 195</td><td>Nueil-les-Aubiers</td><td>2 115</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>54</td><td>79 305</td><td>Sanzay</td><td>243</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>72</td><td>47 010</td><td>Antagnac</td><td>333</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>72</td><td>64 269</td><td>Idron</td><td>5 151</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>73</td><td>81 107</td><td>Guitalens</td><td>337</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>73</td><td>81 132</td><td>Guitalens-L'Albarède</td><td>264</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>82</td><td>26 091</td><td>Chauvac-Laux-Montaux</td><td>37</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>82</td><td>26 158</td><td>Laux-Montaux</td><td>8</td><td>pas dans données</td><td>GR</td></tr><tr><td>26</td><td>71 353</td><td>PLOTTES</td><td></td><td>pas dans pc_donnees_rp99</td><td></td></tr><tr><td>26</td><td>89 288</td><td>PAROY-EN-OTHE</td><td></td><td>pas dans pc_donnees_rp99</td><td></td></tr><tr><td>41</td><td>55 039</td><td>BEAUMONT-EN-VERDUNOIS</td><td></td><td>pas dans pc_donnees_rp99</td><td></td></tr><tr><td>41</td><td>55 050</td><td>BEZONVAUX</td><td></td><td>pas dans pc_donnees_rp99</td><td></td></tr><tr><td>41</td><td>55 068</td><td>BRABANT-EN-ARGONNE</td><td></td><td>pas dans pc_donnees_rp99</td><td></td></tr><tr><td>41</td><td>55 082</td><td>BROCOURT-EN-ARGONNE</td><td></td><td>pas dans pc_donnees_rp99</td><td></td></tr><tr><td>41</td><td>55 189</td><td>FLEURY-DEVANT-DOUAUMONT</td><td></td><td>pas dans pc_donnees_rp99</td><td></td></tr><tr><td>41</td><td>55 239</td><td>HAUMONT-PRES-SAMOGNEUX</td><td></td><td>pas dans pc_donnees_rp99</td><td></td></tr><tr><td>41</td><td>55 307</td><td>LOUVEMONT-COTE-DU-POIVRE</td><td></td><td>pas dans pc_donnees_rp99</td><td></td></tr><tr><td>72</td><td>47 163</td><td>MAUVEZIN-SUR-GUPIE</td><td></td><td>pas dans pc_donnees_rp99</td><td></td></tr><tr><td>82</td><td>74 106</td><td>DRAILLANT</td><td></td><td>pas dans pc_donnees_rp99</td><td></td></tr></tbody></table>
# Annexe C défauts de l'appariement des petites communes avec les données du RP 2009

Tableau C.44 – Défauts de l'appariement sur le code communal des données du RP 2009 avec le référentiel des petites communes

<table><thead><tr><th>REGION</th><th>depcom</th><th>libgeo</th><th>p99 pop</th><th>p09 pop</th><th>type</th></tr></thead><tbody><tr><td>22</td><td>80 370</td><td>Frohen-le-Petit</td><td>25</td><td></td><td>pas dans RP 2009</td></tr><tr><td>25</td><td>50 303</td><td>Mesnil-Angot</td><td>50</td><td></td><td>pas dans RP 2009</td></tr><tr><td>25</td><td>61 022</td><td>Bagnoles-de-l'Orne</td><td>895</td><td></td><td>pas dans RP 2009</td></tr><tr><td>25</td><td>61 254</td><td>Marnefer</td><td>53</td><td></td><td>pas dans RP 2009</td></tr><tr><td>26</td><td>21 551</td><td>Saint-Germain-Source-Seine</td><td>29</td><td></td><td>pas dans RP 2009</td></tr><tr><td>26</td><td>71 211</td><td>Géanges</td><td>363</td><td></td><td>pas dans RP 2009</td></tr><tr><td>31</td><td>59 248</td><td>Fort-Mardyck</td><td>3 766</td><td></td><td>pas dans RP 2009</td></tr><tr><td>43</td><td>39 524</td><td>Tancua</td><td>167</td><td></td><td>pas dans RP 2009</td></tr><tr><td>52</td><td>49 210</td><td>Montigné-sur-Moine</td><td>1 204</td><td></td><td>pas dans RP 2009</td></tr><tr><td>52</td><td>85 068</td><td>Claye</td><td>46</td><td></td><td>pas dans RP 2009</td></tr><tr><td>54</td><td>79 017</td><td>Aubiers</td><td>2 877</td><td></td><td>pas dans RP 2009</td></tr><tr><td>54</td><td>79 037</td><td>Boësse</td><td>429</td><td></td><td>pas dans RP 2009</td></tr><tr><td>54</td><td>79 305</td><td>Sanzay</td><td>243</td><td></td><td>pas dans RP 2009</td></tr><tr><td>73</td><td>81 107</td><td>Guitalens</td><td>337</td><td></td><td>pas dans RP 2009</td></tr><tr><td>82</td><td>26 158</td><td>Laux-Montaux</td><td>8</td><td></td><td>pas dans RP 2009</td></tr><tr><td>21</td><td>10 038</td><td>Bercenay-le-Hayer</td><td></td><td>135</td><td>pas dans pc_donnees_rp99</td></tr><tr><td>21</td><td>10 383</td><td>Trancault</td><td></td><td>206</td><td>pas dans pc_donnees_rp99</td></tr><tr><td>21</td><td>51 201</td><td>Cuisles</td><td></td><td>138</td><td>pas dans pc_donnees_rp99</td></tr><tr><td>21</td><td>52 495</td><td>Trémilly</td><td></td><td>88</td><td>pas dans pc_donnees_rp99</td></tr><tr><td>25</td><td>14 482</td><td>Ouézy</td><td></td><td>256</td><td>pas dans pc_donnees_rp99</td></tr><tr><td>25</td><td>50 102</td><td>Carolles</td><td></td><td>765</td><td>pas dans pc_donnees_rp99</td></tr><tr><td>26</td><td>71 353</td><td>Plottes</td><td></td><td>590</td><td>pas dans pc_donnees_rp99</td></tr><tr><td>26</td><td>89 288</td><td>Paroy-en-Othe</td><td></td><td>207</td><td>pas dans pc_donnees_rp99</td></tr><tr><td>26</td><td>89 326</td><td>Rosoy</td><td></td><td>1 052</td><td>pas dans pc_donnees_rp99</td></tr><tr><td>31</td><td>62 847</td><td>Verquigneul</td><td></td><td>2 056</td><td>pas dans pc_donnees_rp99</td></tr><tr><td>41</td><td>55 039</td><td>Beaumont-en-Verdunois</td><td>0</td><td>0</td><td>pas dans pc_donnees_rp99</td></tr><tr><td>41</td><td>55 050</td><td>Bezonvaux</td><td>0</td><td>0</td><td>pas dans pc_donnees_rp99</td></tr><tr><td>41</td><td>55 068</td><td>Brabant-en-Argonne</td><td></td><td>105</td><td>pas dans pc_donneesrp99</td></tr><tr><td>41</td><td>55 082</td><td>Brocourt-en-Argonne</td><td></td><td>47</td><td>pas dans pc_donneesrp99</td></tr><tr><td>41</td><td>55 189</td><td>Fleury-devant-Douaumont</td><td>0</td><td>0</td><td>pas dans pc_donneesrp99</td></tr><tr><td>41</td><td>55 239</td><td>Haumont-près-Samogneux</td><td>0</td><td>0</td><td>pas dans pc_donneesrp99</td></tr><tr><td>41</td><td>55 307</td><td>Louvemont-Côte-du-Poivre</td><td>0</td><td>0</td><td>pas dans pc_donneesrp99</td></tr><tr><td>42</td><td>67 057</td><td>Bosselshausen</td><td></td><td>178</td><td>pas dans pc_donneesrp99</td></tr><tr><td>53</td><td>22 201</td><td>Plévenon</td><td></td><td>732</td><td>pas dans pc_donneesrp99</td></tr><tr><td>53</td><td>35 317</td><td>Saint-Symphorien</td><td></td><td>527</td><td>pas dans pc_donneesrp99</td></tr><tr><td>72</td><td>47 163</td><td>Mauvezin-sur-Gupie</td><td></td><td>477</td><td>pas dans pc_donneesrp99</td></tr><tr><td>72</td><td>47 227</td><td>Ruffiac</td><td></td><td>176</td><td>pas dans pc_donneesrp99</td></tr><tr><td>72</td><td>64 439</td><td>Ousse</td><td></td><td>1 472</td><td>pas dans pc_donneesrp99</td></tr><tr><td>72</td><td>64 518</td><td>Sendets</td><td></td><td>846</td><td>pas dans pc_donneesrp99</td></tr><tr><td>73</td><td>31 300</td><td>Lieoux</td><td></td><td>120</td><td>pas dans pc_donneesrp99</td></tr><tr><td>82</td><td>74 106</td><td>Draillant</td><td></td><td>683</td><td>pas dans pc_donneesrp99</td></tr></tbody></table>
Annexe D remarques sur la majoration de $\hat{\Delta}^{BC} = \sum_{t} \overline{\lambda_t \lambda_t' u_t u_t'}^R$

- pour mémoire, en notant $\pi_t \in [0, 1]^\mathcal{P}$ la martingale de Cube à l'itération $t$ :

$$ \sum_t \lambda_t \bar{\lambda}_t u_t u_t' = \sum_t \mathrm{Var} [\pi_t - \pi_{t-1} | \mathcal{F}_{t-1}] $$

$$ s = \sum_t \pi_t - \pi_{t-1} + \pi_1 $$

$$ \begin{aligned} \mathrm{Var}(s) &= \sum_t \mathrm{Var}(\pi_t - \pi_{t-1}) = E\{\sum_t \mathrm{Var}[\pi_t - \pi_{t-1} | \mathcal{F}_{t-1}]\} \\ &= E\{\sum_t (\pi_t - \pi_{t-1})(\pi_t - \pi_{t-1})'\} \end{aligned} $$

- La performance de la méthode de Breidt-Chauvet par rapport à l'estimation des probabilités d'inclusion par la fréquence reste inexplicuée rigoureusement. Même la raison pour laquelle l'estimateur se retrouve rapidement dans l'intervalle $[0, 1]$ (du moins pour la diagonale) n'est pas évidente. Il y a donc un manque de maîtrise méthodologique de cet estimateur. Cette annexe esquisse quelques réflexions sur ce thème. Il ne s'agit ici que de la qualité de l'estimation des probabilités d'inclusion. La qualité de l'estimateur 'échantillon' de la variance, calculé comme une fonction non linéaire de ces probabilités estimées, est au delà du champ de ces investigations.

- L'étude de la majoration de $\overline{\mathrm{Var}(s)}$ n'est qu'un élément secondaire dans la comparaison des estimateurs de variance, par rapport à la variance de ceux-ci. Néanmoins, en l'absence de cette dernière, la majoration pourrait être utile pour vérifier l'acceptabilité de l'estimateur.

$$ - \bar{\lambda}_t = \min \left\{ \frac{1_{u_t^i > 0} - \pi_{t-1}^i}{u_t^i}, i \in \mathcal{P} / u_t^i \neq 0 \right\}, \quad \lambda_t = \min \left\{ \frac{\pi_{t-1}^i - 1_{u_t^i < 0}}{u_t^i}, i \in \mathcal{P} / u_t^i \neq 0 \right\} $$

- Comme $\lambda_t$ et $\bar{\lambda}_t > 0$, $\pi_1(i) = \sum_t \lambda_t \bar{\lambda}_t (u_t^i)^2 + \pi_1(i)^2 \ge \pi_1(i)^2$. En revanche, il est possible que $\pi_2(i, j) < 0$ pour $i \ne j$, et c'est effectivement observé dans le présent travail.

- Empiriquement, sur 1000 réplications du tirage de l'EM-ZAE réalisées sur 22 régions, le maximum de $\hat{\Delta}$ par région et par réplication ne dépasse 1 que dans 3 cas. De plus, ce maximum n'excède pas 1.2$^{44}$. Ces résultats vont dans le sens d'une faible variance de l'estimateur de $\overline{\mathrm{Var}(s)}$ par la méthode de Breidt et Chauvet, comme suggéré par ces auteurs.

- Du fait que $\pi_{t-1}^i + \bar{\lambda}_t u_t^i$ et $\pi_{t-1}^i - \lambda_t u_t^i \in [0, 1]$, il découle que$^{45}$ :

$$ \bar{\lambda}_t \bar{\lambda}_t (u_t^i)^2 \le \pi_{t-1}^i (1 - \pi_{t-1}^i) $$

Mais cette majoration n'est pas suffisante pour expliquer la borne supérieure remarquablement réduite de $\hat{\Delta}$, puisqu'il s'avère empiriquement que $\sum_t \pi_{t-1} (1 - \pi_{t-1})$ est souvent supérieur à 1, et atteint des valeurs largement plus élevées que ça.

- Sur 100 réplications, le maximum de $\sum_t (\pi_t - \pi_{t-1})^2$ ne dépasse pas 1.8. Cette statistique peut être interprétée comme un indicateur de la rapidité de convergence de l'algorithme vers un sommet du cube.

<footnote n="45">45. Toutefois ce critère est encore plus favorable à l'estimateur $\overline{ss'} - \pi_1 \pi_1'$, dont les coefficients sont toujours dans $[-\pi_1^i \pi_1^j, 1 - \pi_1^i \pi_1^j]$.</footnote>

<footnote n="46">46. autre démonstration (l'indice $i$ est omis ici) : $\mathrm{Var}[\pi_t - \pi_{t-1}|\mathcal{F}_{t-1}] = E\{(\pi_t - \pi_{t-1})^2|\mathcal{F}_{t-1}\} = E\{\pi_t^2|\mathcal{F}_{t-1}\} - \pi_{t-1}^2 \le E\{\pi_t|\mathcal{F}_{t-1}\} - \pi_{t-1}^2 = \pi_{t-1}(1 - \pi_{t-1})$ et $\mathrm{Var}\{\pi_t|\mathcal{F}_{t-1}\} = \bar{\lambda}_t \bar{\lambda}_t u_t^2$</footnote>
– En notant $\bar{\pi}_t = \pi_{t-1} + \bar{\lambda}_t u_t$ et $\underline{\pi}_t = \pi_{t-1} - \underline{\lambda}_t u_t$, on peut écrire $\sum_t \underline{\lambda}_t \bar{\lambda}_t (u_t^i)^2 = \sum_t (\bar{\pi}_t^i - \pi_{t-1}^i) (\pi_{t-1}^i - \underline{\pi}_t^i)$.

Comme $\pi_t^i \in \{\underline{\pi}_t^i, \bar{\pi}_t^i\}$ et que $\pi_{t-1}^i \in (\underline{\pi}_t^i, \bar{\pi}_t^i) \subset [0, 1]^{46}$, il s'ensuit que :

$$ 
\begin{aligned}
\sum_t \underline{\lambda}_t \bar{\lambda}_t (u_t^i)^2 &= \sum_t |\Delta\pi_t| (|\bar{\pi}_t - \underline{\pi}_t| - |\Delta\pi_t|) \\
&\le \sum_t |\Delta\pi_t| (1 - |\Delta\pi_t|)
\end{aligned}
$$

Ce majorant s'avère fort, puisque cette grandeur dépasse 6, sur 100 réplications. Mais il suggère un lien entre la faible variance de $\sum_t \underline{\lambda}_t \bar{\lambda}_t (u_t^i)^2$ et la rapidité de convergence de l'algorithme du Cube.

– L'inégalité de Markov permet une majoration en probabilité :

$$ 
\begin{aligned}
\text{proba} \left\{ \sum_t \underline{\lambda}_t \bar{\lambda}_t (u_t^i)^2 > \eta \right\} &\le E \left\{ \sum_t \underline{\lambda}_t \bar{\lambda}_t (u_t^i)^2 \right\} / \eta = \text{Var}(s_i) / \eta \\
&\le \frac{\pi_i (1 - \pi_i)}{\eta}
\end{aligned}
$$

Mais cette inégalité est aussi vérifiée par les autres estimateurs sans biais de $\text{Var}(s)$, tels que $ss' - \pi_1 \pi_1' \text{ et } \sum_t \Delta\pi_t \Delta\pi_t'$.

– La matrice $\hat{\Delta}^{BC} = \sum_t \underline{\lambda}_t \bar{\lambda}_t u_t u_t'$ est symétrique et positive, vu que $\underline{\lambda}_t \bar{\lambda}_t \ge 0$. Par conséquent $\hat{\pi}_2 = \hat{\Delta}^{BC} + \pi_1 \pi_1'$ aussi. L'inégalité de Cauchy-Schwartz implique alors :

$$ 
\begin{aligned}
\hat{\pi}_2^{BC} (i, j)^2 &= (\mathbb{1}_i' \hat{\pi}_2 \mathbb{1}_j)^2 \le \mathbb{1}_i' \hat{\pi}_2 \mathbb{1}_i \mathbb{1}_j' \hat{\pi}_2 \mathbb{1}_j = \hat{\pi}_1(i) \hat{\pi}_1(j) \\
&\le \max \{\hat{\pi}_1(i)^2, \hat{\pi}_1(j)^2\} \quad (\text{comme } \hat{\pi}_1^{BC} \ge 0)
\end{aligned}
$$

⇒ Il suffirait donc de majorer $\hat{\pi}_1^{BC}$.
– Si $\pi_1(i) = 0$ alors $\mathbb{1}_i' \text{Var}(s) \mathbb{1}_i = 0 = \sum \mathbb{1}_i' \text{Var}(\Delta\pi_t) \mathbb{1}_i \implies \forall t, \mathbb{1}_i' \text{Var}(\Delta\pi_t) \mathbb{1}_i = 0 \implies \forall t, \mathbb{1}_i' \text{Var}[\Delta\pi_t | \mathcal{F}_{t-1}] \mathbb{1}_i = 0 \text{ presque sûrement. Donc dans ce cas } \hat{\pi}_1^{BC}(i) \stackrel{ps}{=} 0$. En revanche, si $\pi_2(i, j) = 0$, il ne semble pas assuré que $\hat{\pi}_2^{BC}(i, j) \stackrel{ps}{=} 0$.

– $\mathbb{1}' \hat{\Delta}^{BC} \mathbb{1} = 0 = \mathbb{1}' \text{Var}(s) \mathbb{1}$. Ceci découle du fait qu'à chaque itération $t$ de Cube, $u_t \in \text{Ker}\left\{\left(\frac{x}{\pi}\right)^{\mathcal{P}}\right\}$ et par suite $\langle u_t, \mathbb{1} \rangle = 0$, si le sondage est de taille fixe (cas de l'EM-ZAE). Cette propriété est également vérifiée par les deux autres estimateurs de $\Delta$.

– L'estimateur alternatif $\sum_t \Delta\pi_t \Delta\pi_t'$ donne des résultats proches de ceux de l'estimateur de Breidt et Chauvet (BC), pour la proximité aux probabilités d'inclusion simples. Néanmoins la distance $(\pi_1, \hat{\pi}_1)$ est supérieure à celle de $\hat{\Delta}^{BC}$ pour toutes les régions, sur 50 000 simulations. Une interprétation est que l'estimateur BC offre l'avantage de tenir compte exactement de la variance conditionnelle du tirage effectué par Cube à chacune de ses itérations, ce qui élimine une source de variabilité de l'estimateur de variance (Il est toujours vrai que $\text{Var}[(\pi_t - \pi_{t-1})^2] \ge \text{Var}[E\{(\pi_t - \pi_{t-1})^2 | \mathcal{F}_{t-1}\}]$).

– Il parait difficile de majorer $\sum_t \underline{\lambda}_t \bar{\lambda}_t (u_t^i)^2$ plus finement, que ce soit en utilisant les propriétés géométriques ou statistiques de l'algorithme Cube.

<footnote n="47">47. notation : $(a, b) = [a, b]$ si $a \le b$ et sinon $[b, a]$</footnote>
# Annexe E probabilités d'inclusion double des ZAE dans l'EMEX restreint

Cette annexe décrit l'estimation des probabilités d'inclusion double des ZAE dans l'échantillon maître restreint pour les extensions régionales [MCSF].

## E.1 simulations du tirage de l'EMEX restreint

La taille par région de l'échantillon des ZAE de l'EMEX restreint est deux fois plus grande que celle de l'EM (Tableau E.45/Tableau 23). Les simulations de 10 000 échantillons de ce tirage ont été stockées dans une table SAS par strate de tirage, nommée zaeemexr_s_simules_&strate. Ce nombre de simulations permet d'estimer directement (par la fréquence) les probabilités d'inclusion simple avec une marge d'erreur inférieure à 11%. Ce premier lot de simulations est utilisé pour calculer une dispersion des estimateurs de variance.

<table><caption>Tableau E.45 – Taille de l'échantillon de l'EMEX restreint par strate de tirage</caption><thead><tr><th>région</th><th>nombre zae</th><th>|s|</th><th>100min(π&#773;<sub>1</sub>/π<sub>1</sub> - 1)</th><th>100max(π&#773;<sub>1</sub>/π<sub>1</sub> - 1)</th></tr></thead><tbody><tr><td>11_pc</td><td>108</td><td>80</td><td>-2,6</td><td>5,2</td></tr><tr><td>11_gc</td><td>253</td><td>88</td><td>-5,8</td><td>7,7</td></tr><tr><td>21</td><td>115</td><td>25</td><td>-5,6</td><td>5,2</td></tr><tr><td>22</td><td>183</td><td>35</td><td>-7,6</td><td>7,2</td></tr><tr><td>23</td><td>141</td><td>30</td><td>-5,7</td><td>6,9</td></tr><tr><td>24</td><td>194</td><td>46</td><td>-8,7</td><td>5,8</td></tr><tr><td>25</td><td>148</td><td>27</td><td>-7,3</td><td>5,4</td></tr><tr><td>26</td><td>144</td><td>31</td><td>-5,5</td><td>6,5</td></tr><tr><td>31</td><td>235</td><td>71</td><td>-6,9</td><td>6,6</td></tr><tr><td>41</td><td>181</td><td>44</td><td>-6,8</td><td>7,2</td></tr><tr><td>42</td><td>123</td><td>28</td><td>-6,1</td><td>6,2</td></tr><tr><td>43</td><td>114</td><td>21</td><td>-6,5</td><td>6,2</td></tr><tr><td>52</td><td>198</td><td>53</td><td>-5,3</td><td>4,7</td></tr><tr><td>53</td><td>188</td><td>54</td><td>-5,2</td><td>5,9</td></tr><tr><td>54</td><td>138</td><td>33</td><td>-6,5</td><td>5,5</td></tr><tr><td>72</td><td>221</td><td>55</td><td>-7,7</td><td>10,5</td></tr><tr><td>73</td><td>213</td><td>45</td><td>-5,8</td><td>6,4</td></tr><tr><td>74</td><td>57</td><td>13</td><td>-4,4</td><td>6,1</td></tr><tr><td>82</td><td>363</td><td>98</td><td>-5,4</td><td>6,5</td></tr><tr><td>83</td><td>115</td><td>25</td><td>-7,0</td><td>4,9</td></tr><tr><td>91</td><td>140</td><td>39</td><td>-6,1</td><td>7,0</td></tr><tr><td>93</td><td>150</td><td>64</td><td>-4,5</td><td>4,3</td></tr><tr><td>94</td><td>19</td><td>6</td><td>-2,9</td><td>2,8</td></tr></tbody><tfoot><tr><td>total</td><td>3 741</td><td>1 011</td><td>-8,7</td><td>10,5</td></tr></tfoot></table>

Notes :

- Les deux dernières colonnes donnent les taux d'écart minimal et maximal de $\sum_{s \in S_d} s/|S_d|$ par rapport à la probabilité d'inclusion simple dans l'EMEX restreint, en %.

- Les ZAE de Paris et de Boulogne-Billancourt sont exclues de ces comptages, ainsi que des tables stockées.

- Le programme de simulation de l'échantillonnage des ZAE de l'EMEX restreint est ci-joint zaeemexr_s_simules.

- Un deuxième lot de 1 000 000 réplications est utilisé pour une première estimation des probabilités d'inclusion par la méthode de Breidt-Chauvet.

- Un troisième lot d'un million de simulations sert au calcul du biais de la variance estimée, par l'estimateur Breidt-Chauvet. Il est pris en compte dans l'estimation des probabilités d'inclusion
définitives, qui sont donc calculées sur les deux millions de réplications réalisées.

## E.2 qualité de l'estimation des probabilités d'inclusion dans l'EMEX-r

– La qualité de l'estimation des probabilités d'inclusion des ZAE dans l'EMEX restreint semble adéquate avec un million de réplications. Le taux d'erreur maximal sur la probabilité d'inclusion simple est inférieur à 0.4% pour toutes les strates de tirage (Tableau E.46), avec ce nombre de répli-cations. Les probabilités d'inclusion double paraissent strictement positives à l'exception éventuelle de la Corse ⁴⁷. Pour l'échantillon maître des ZAE, de taille inférieure de 50%, les deux plus petites régions ont une probabilité d'inclusion minimale quasiment nulle.

<table><caption>Tableau E.46 – Qualité de l'estimation des probabilités d'inclusion des ZAE dans l'EMEX restreint</caption><thead><tr><th rowspan="2">région</th><th colspan="3">sur 2 000 000 réplications</th><th colspan="4">taux d'erreur maximal (%)</th></tr><tr><th>min (π̃<sub>2</sub>)</th><th>max (π̃<sub>2</sub>)</th><th>max [|π̃<sub>1</sub> - π<sub>1</sub>|]</th><th>2 000 000</th><th>1 000 000</th><th>100 000</th><th>50 000</th></tr></thead><tbody><tr><td>11_pc</td><td>4,4E-02</td><td>1,00</td><td>0,0003</td><td>0,1</td><td>0,1</td><td>0,9</td><td>1,4</td></tr><tr><td>11_gc</td><td>7,3E-03</td><td>1,00</td><td>0,0003</td><td>0,3</td><td>0,3</td><td>0,2</td><td>0,5</td></tr><tr><td>21</td><td>4,8E-03</td><td>1,00</td><td>0,0003</td><td>0,2</td><td>0,3</td><td>0,8</td><td>1,2</td></tr><tr><td>22</td><td>5,4E-03</td><td>1,00</td><td>0,0004</td><td>0,3</td><td>0,3</td><td>0,9</td><td>1,5</td></tr><tr><td>23</td><td>5,7E-03</td><td>1,00</td><td>0,0004</td><td>0,2</td><td>0,3</td><td>1,0</td><td>1,3</td></tr><tr><td>24</td><td>6,6E-03</td><td>1,00</td><td>0,0003</td><td>0,2</td><td>0,3</td><td>1,1</td><td>1,2</td></tr><tr><td>25</td><td>4,1E-03</td><td>1,00</td><td>0,0004</td><td>0,3</td><td>0,3</td><td>1,0</td><td>1,4</td></tr><tr><td>26</td><td>4,5E-03</td><td>1,00</td><td>0,0003</td><td>0,2</td><td>0,3</td><td>0,9</td><td>2,1</td></tr><tr><td>31</td><td>5,6E-03</td><td>1,00</td><td>0,0003</td><td>0,2</td><td>0,4</td><td>1,3</td><td>1,5</td></tr><tr><td>41</td><td>2,9E-03</td><td>1,00</td><td>0,0003</td><td>0,3</td><td>0,3</td><td>0,9</td><td>1,6</td></tr><tr><td>42</td><td>7,4E-03</td><td>1,00</td><td>0,0003</td><td>0,2</td><td>0,3</td><td>0,7</td><td>1,3</td></tr><tr><td>43</td><td>2,8E-03</td><td>1,00</td><td>0,0002</td><td>0,3</td><td>0,3</td><td>1,0</td><td>1,5</td></tr><tr><td>52</td><td>7,9E-03</td><td>1,00</td><td>0,0003</td><td>0,3</td><td>0,3</td><td>0,9</td><td>1,1</td></tr><tr><td>53</td><td>1,0E-02</td><td>1,00</td><td>0,0003</td><td>0,2</td><td>0,2</td><td>0,8</td><td>0,9</td></tr><tr><td>54</td><td>6,6E-03</td><td>1,00</td><td>0,0004</td><td>0,2</td><td>0,3</td><td>1,1</td><td>1,2</td></tr><tr><td>72</td><td>6,4E-03</td><td>1,00</td><td>0,0004</td><td>0,2</td><td>0,4</td><td>0,8</td><td>1,2</td></tr><tr><td>73</td><td>5,6E-03</td><td>1,00</td><td>0,0003</td><td>0,3</td><td>0,4</td><td>0,9</td><td>1,5</td></tr><tr><td>74</td><td>3,3E-03</td><td>1,00</td><td>0,0003</td><td>0,2</td><td>0,3</td><td>0,8</td><td>1,1</td></tr><tr><td>82</td><td>6,2E-03</td><td>1,00</td><td>0,0003</td><td>0,2</td><td>0,3</td><td>1,4</td><td>1,6</td></tr><tr><td>83</td><td>2,9E-03</td><td>1,00</td><td>0,0003</td><td>0,2</td><td>0,3</td><td>1,1</td><td>1,2</td></tr><tr><td>91</td><td>3,1E-03</td><td>1,00</td><td>0,0005</td><td>0,2</td><td>0,2</td><td>0,8</td><td>1,1</td></tr><tr><td>93</td><td>3,7E-03</td><td>1,00</td><td>0,0003</td><td>0,1</td><td>0,1</td><td>0,8</td><td>0,9</td></tr><tr><td>94</td><td>1,0E-05</td><td>1,00</td><td>0,0002</td><td>0,1</td><td>0,2</td><td>0,3</td><td>0,7</td></tr></tbody><tfoot><tr><td>total</td><td>1,0E-05</td><td>1,00</td><td>0,0005</td><td>0,3</td><td>0,4</td><td>1,4</td><td>2,1</td></tr></tfoot></table>

Notes :

– La durée d'exécution est de $10^h$ 15 pour 100 000 réplications.

– Le programme d'estimation des probabilités d'inclusion double des ZAE dans l'EMEX restreint est ci-joint pi2_hat_zaeemexr.

• Le stockage des probabilités d'inclusion double de l'EMEX restreint est effectué dans une table SAS contenant la matrice carrée des probabilités d'inclusion double $\hat{\pi}_2^{BC}$, par strate ZAE, non restreinte à l'échantillon effectif, sans correction de la diagonale, de nom générique :

pi2_hat_zaeemexr_c&strate._2000000

Cette table ne comporte pas d'identifiants. Les lignes et les colonnes sont dans l'ordre de la table de référence zae_complet.

<footnote n="48">48. Pour cette région, la probabilité d'inclusion minimale estimée sur un lot d'un million de réplications est négative.</footnote>
## E.3 qualité de l'estimation de variance des variables d'équilibrage - EMEX-r

– Comme pour l'échantillon maître des ZAE, le biais de la variance estimée sur l'échantillon pour les variables d'équilibrage (celles spécifiques à l'Ile-de-France sont exclues 48 ) est calculé par rapport à la variance estimée sur un lot supplémentaire de 1 000 000 simulations. Les estimations 'échantillon' de variance sont moyennées sur ces mêmes simulations dans le calcul du biais.

→ L'estimateur de Yates-Grundy calculé avec les probabilités d'inclusion double estimées sur 1 000 000 réplications estime correctement la variance des variables d'équilibrage (Tableau E.47). En effet, le biais estimé représente moins de 0.04% de l'écart-type estimé sur les simulations. La qualité de l'estimation de variance ne semble plus s'améliorer par rapport à la version calculée avec les probabilités d'inclusion estimées sur 300 000 réplications. Cela suggère que le nombre de réplications réalisées est suffisant pour estimer la variance de l'EMEX restreint avec un biais quasiment nul.

<table><caption>Tableau E.47 – Biais relatif de l'estimation de la variance des totaux d'équilibrage estimés, en % de l'écart-type simulé</caption><thead><tr><th>région</th><th>nresgr1</th><th>nresgr2</th><th>nresgr3</th><th>nresgr4</th><th>nres rural</th><th>nres bain</th><th>periur- bain</th><th>revenufisc04 1</th><th>revenufisc04 2</th><th>revenufisc04 3</th><th>revenufisc04 4</th><th>revenufisc04 5</th></tr></thead><tbody><tr><td>11_pc</td><td>0,3</td><td>0,3</td><td>0,3</td><td>0,3</td><td>-100,0</td><td></td><td>-100,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,0</td></tr><tr><td>11 GC</td><td>-0,2</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,1</td><td></td><td>0,0</td><td>-0,2</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td></tr><tr><td>21</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td></td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td></tr><tr><td>22</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>0,0</td><td></td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,1</td></tr><tr><td>23</td><td>-0,1</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>0,1</td><td>-0,1</td><td></td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>0,1</td><td>0,0</td></tr><tr><td>24</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td></td><td>-0,1</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>-0,1</td><td>0,0</td><td>0,0</td></tr><tr><td>25</td><td>-0,1</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td></td><td>-0,1</td><td>-0,1</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>-0,1</td><td>-0,2</td></tr><tr><td>26</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td></td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>0,0</td></tr><tr><td>31</td><td>0,1</td><td>0,1</td><td>-0,1</td><td>-0,1</td><td>-0,1</td><td></td><td>-0,1</td><td>0,1</td><td>0,1</td><td>-0,1</td><td>0,1</td><td>-0,1</td></tr><tr><td>41</td><td>-0,1</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,1</td><td>0,1</td><td></td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>-0,1</td></tr><tr><td>42</td><td>-0,1</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td></td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td></tr><tr><td>43</td><td>-0,1</td><td>0,1</td><td>-0,1</td><td>0,2</td><td>0,1</td><td></td><td>0,1</td><td>-0,1</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>0,2</td><td>0,1</td></tr><tr><td>52</td><td>-0,2</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>-0,2</td><td>0,0</td><td></td><td>0,0</td><td>-0,2</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>-0,2</td><td>0,0</td></tr><tr><td>53</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td></td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,1</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>0,0</td></tr><tr><td>54</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td></td><td>-0,1</td><td>-0,1</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td></tr><tr><td>72</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>-0,1</td><td></td><td>-0,1</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>-0,1</td><td>-0,1</td><td>0,1</td></tr><tr><td>73</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>-0,2</td><td>0,0</td><td></td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>-0,1</td><td>-0,1</td></tr><tr><td>74</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td></td><td>-0,1</td><td>0,1</td><td>-0,1</td><td>-0,1</td><td>-0,1</td><td>0,0</td></tr><tr><td>82</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,1</td><td>0,1</td><td></td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,1</td><td>0,0</td></tr><tr><td>83</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>-0,2</td><td>0,1</td><td></td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>-0,2</td><td>0,1</td></tr><tr><td>91</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,2</td><td>0,0</td><td></td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,1</td><td>0,0</td></tr><tr><td>93</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,1</td><td>0,1</td><td></td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,0</td></tr><tr><td>94</td><td>-0,6</td><td>-0,4</td><td>-1,4</td><td>-1,1</td><td>-0,6</td><td></td><td>-0,8</td><td>-0,9</td><td>-0,5</td><td>-1,8</td><td>-1,2</td><td>-0,5</td></tr><tr><td>1 000 000</td><td>-0,03</td><td>-0,01</td><td>0,00</td><td>-0,04</td><td>-0,02</td><td></td><td>-0,03</td><td>-0,03</td><td>-0,01</td><td>-0,03</td><td>-0,02</td><td>-0,01</td></tr><tr><td>300 000</td><td>-0,03</td><td>-0,01</td><td>0,01</td><td>-0,04</td><td>0,02</td><td></td><td>0,00</td><td>-0,03</td><td>-0,02</td><td>-0,01</td><td>0,00</td><td>-0,02</td></tr><tr><td>100 000</td><td>-0,04</td><td>0,00</td><td>0,00</td><td>-0,04</td><td>-0,03</td><td></td><td>-0,01</td><td>-0,05</td><td>0,04</td><td>-0,06</td><td>0,07</td><td>-0,03</td></tr><tr><td>50 000</td><td>0,14</td><td>0,14</td><td>0,12</td><td>0,02</td><td>0,27</td><td></td><td>0,11</td><td>0,14</td><td>0,02</td><td>0,10</td><td>0,01</td><td>0,01</td></tr></tbody></table>

Notes :

– Il s'agit du taux d'écart entre la racine carrée de la moyenne des estimations de variance sur 1 000 000 simulations et celle de la variance calculée sur ces simulations.

– Les 4 dernières lignes donnent l'effet du nombre de réplications.

– Le programme est ci-joint biais_relatif + biais_relatif_equilib_yg.

<footnote n="49">49. Les variables d'équilibrage de la petite couronne de l'Ile-de-France ne comportent pas la distinction par groupe de rotation du revenu fiscal et du nombre de résidences principales.</footnote>
– L'estimateur d'Horvitz-Thompson semble moins précis, mais le biais relatif reste largement inférieur à 1% (Tableau E.48). La troncature des probabilités d'inclusion inférieures à $10^{-3}$ induit une surestimation, sensible pour deux des variables d'équilibrage.

<table><caption>Tableau E.48 – Comparaison des biais des estimateurs de variance de Yates-Grundy et Horvitz-Thompson, en % de l'écart-type simulé</caption><thead><tr><th>estimateur</th><th>nresgr1</th><th>nresgr2</th><th>nresgr3</th><th>nresgr4</th><th>nres rural</th><th>nres bain</th><th>periur-1</th><th>revenufisc04 1</th><th>revenufisc04 2</th><th>revenufisc04 3</th><th>revenufisc04 4</th><th>revenufisc04 5</th></tr></thead><tbody><tr><td>YG</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td></tr><tr><td>HT</td><td>0,3</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,4</td><td>0,2</td><td>0,2</td><td>0,2</td><td>0,4</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,3</td><td>0,2</td></tr><tr><td>HTc</td><td>0,4</td><td>0,1</td><td>0,1</td><td>0,4</td><td>0,2</td><td>0,2</td><td>0,2</td><td>0,4</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,3</td><td>0,2</td></tr><tr><td>HTt</td><td>0,9</td><td>0,3</td><td>0,3</td><td>0,6</td><td>0,3</td><td>0,6</td><td>0,6</td><td>1,0</td><td>0,2</td><td>0,1</td><td>0,4</td><td>0,4</td></tr></tbody></table>

Note : $HTc= Horvitz-Thompson$ après correction de la diagonale de $\hat{\pi}_2$ ; $HTt= Horvitz-Thompson$ avec troncature des $\hat{\pi}_2 < 10^{-3}$ et correction de la diagonale

• L'avantage de l'estimateur de Yates-Grundy apparaît encore plus nettement lorsque la comparaison porte sur l'estimation de variance réalisée uniquement sur le premier échantillon simulé (Tableau E.49). Ce résultat peut s'interpréter comme un signal de plus grande stabilité de cet estimateur de variance par rapport à la version Horvitz-Thompson.

<table><caption>Tableau E.49 – Comparaison des estimateurs de variance de Yates-Grundy et Horvitz-Thompson appliqués au premier échantillon simulé, en % de l'écart-type simulé</caption><thead><tr><th>estimateur</th><th>nresgr1</th><th>nresgr2</th><th>nresgr3</th><th>nresgr4</th><th>nres rural</th><th>nres bain</th><th>periur-1</th><th>revenufisc04 1</th><th>revenufisc04 2</th><th>revenufisc04 3</th><th>revenufisc04 4</th><th>revenufisc04 5</th></tr></thead><tbody><tr><td>YG</td><td>21,5</td><td>23,1</td><td>-24,2</td><td>14,8</td><td>6,1</td><td>29,0</td><td>18,3</td><td>22,7</td><td>-9,6</td><td>1,5</td><td>8,9</td></tr><tr><td>HT</td><td>71,7</td><td>22,0</td><td>-100,0</td><td>-6,5</td><td>-53,7</td><td>49,7</td><td>73,1</td><td>4,6</td><td>-100,0</td><td>6,7</td><td>8,0</td></tr></tbody></table>

Note : Une erreur de -100% correspond à une estimation de variance négative.

→ Pour les 138 variables issues des recensements (voir la partie sur la variance de l'EM), le biais relatif est compris -0.11% et +0.03%, et négatif dans 129 cas. Le taux d'erreur de l'écart-type estimé sur le premier échantillon simulé varie entre -23% et +21% sur ces variables.

– La dispersion de l'estimateur de variance de l'EMEX restreint est comprise entre celles de l'EM et de l'EMEX élargi (Tableau E.50), pour toutes les variables d'équilibrage.

<table><caption>Tableau E.50 – Dispersion relative de l'estimateur de variance Yates-Grundy, en % de l'écart-type simulé</caption><thead><tr><th>|R|</th><th>nresgr1</th><th>nresgr2</th><th>nresgr3</th><th>nresgr4</th><th>nres rural</th><th>nres bain</th><th>periur-1</th><th>revenufisc04 1</th><th>revenufisc04 2</th><th>revenufisc04 3</th><th>revenufisc04 4</th><th>revenufisc04 5</th></tr></thead><tbody><tr><td>1 000 000</td><td>79,7</td><td>78,6</td><td>79,3</td><td>75,2</td><td>67,7</td><td>70,1</td><td>77,0</td><td>75,0</td><td>74,4</td><td>70,5</td><td>72,0</td></tr><tr><td>100 000</td><td>79,6</td><td>78,6</td><td>79,3</td><td>75,2</td><td>67,6</td><td>70,0</td><td>77,0</td><td>75,2</td><td>74,3</td><td>70,5</td><td>72,0</td></tr><tr><td>50 000</td><td>79,7</td><td>78,6</td><td>79,4</td><td>75,2</td><td>68,0</td><td>70,6</td><td>77,0</td><td>74,8</td><td>74,7</td><td>70,5</td><td>72,0</td></tr><tr><td>EM</td><td>81,8</td><td>82,6</td><td>81,5</td><td>88,2</td><td>89,5</td><td>81,8</td><td>78,9</td><td>89,3</td><td>76,4</td><td>74,7</td><td>77,0</td></tr><tr><td>EMEX élargi</td><td>75,8</td><td>74,8</td><td>75,5</td><td>70,7</td><td>60,2</td><td>64,9</td><td>73,6</td><td>69,0</td><td>71,7</td><td>66,9</td><td>67,7</td></tr></tbody></table>
Pour la grande majorité des variables 'recensement', la dispersion de l'estimateur Breidt-Chauvet est inférieure à celle de Deville-Tillé.

## E.4 erreur observée sur l'échantillon EMEX-r effectivement tiré

Sur l'EMEX restreint effectivement tiré, le taux d'erreur atteint des valeurs élevées (Tableau E.51). Pour la moitié des variables d'équilibrage, le taux d'erreur absolu est supérieur à celui observé sur les deux premiers échantillons simulés. Néanmoins, il ne semble pas nécessaire de réaliser une estimation spécifique pour la Corse, contrairement au cas de l'échantillon maître.

<table><caption>Tableau E.51 – Taux d'erreur de l'estimation sur l'EMEX restreint effectif</caption><thead><tr><th>région</th><th>nresgr1</th><th>nresgr2</th><th>nresgr3</th><th>nresgr4</th><th>nres rural</th><th>nres bain</th><th>periur-1</th><th>revenufisc04 1</th><th>revenufisc04 2</th><th>revenufisc04 3</th><th>revenufisc04 4</th><th>revenufisc04 5</th></tr></thead><tbody><tr><td>11_pc</td><td>1,7</td><td>1,7</td><td>1,7</td><td>1,7</td><td>-100,0</td><td></td><td>-100,0</td><td>79,3</td><td>83,8</td><td>59,7</td><td>77,0</td><td>82,6</td></tr><tr><td>11 GC</td><td>90,9</td><td>112,7</td><td>101,1</td><td>98,2</td><td>-100,0</td><td></td><td>-100,0</td><td>43,5</td><td>31,6</td><td>97,3</td><td>31,3</td><td>45,9</td></tr><tr><td>21</td><td>8,4</td><td>35,4</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-28,9</td><td></td><td>80,3</td><td>32,9</td><td>59,3</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-29,6</td></tr><tr><td>22</td><td>23,4</td><td>-62,2</td><td>-100,0</td><td>50,9</td><td>0,2</td><td></td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>16,1</td><td>-30,3</td><td>-100,0</td><td>-19,2</td></tr><tr><td>23</td><td>-100,0</td><td>-60,6</td><td>24,8</td><td>50,8</td><td>20,5</td><td></td><td>92,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>56,0</td><td>100,5</td></tr><tr><td>24</td><td>-100,0</td><td>21,8</td><td>74,9</td><td>24,7</td><td>91,4</td><td></td><td>101,4</td><td>44,1</td><td>-10,2</td><td>-14,3</td><td>33,1</td><td>-100,0</td></tr><tr><td>25</td><td>30,4</td><td>-49,7</td><td>58,8</td><td>61,6</td><td>-15,6</td><td></td><td>47,4</td><td>43,4</td><td>-100,0</td><td>31,8</td><td>73,8</td><td>-22,7</td></tr><tr><td>26</td><td>-81,9</td><td>80,2</td><td>65,6</td><td>75,3</td><td>24,8</td><td></td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>77,9</td><td>49,8</td><td>81,0</td><td>59,6</td></tr><tr><td>31</td><td>126,4</td><td>1,4</td><td>20,5</td><td>89,9</td><td>22,2</td><td></td><td>-4,8</td><td>158,8</td><td>44,8</td><td>12,4</td><td>11,7</td><td>7,0</td></tr><tr><td>41</td><td>-49,9</td><td>-100,0</td><td>18,8</td><td>110,3</td><td>25,8</td><td></td><td>97,0</td><td>45,8</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>106,1</td><td>22,9</td></tr><tr><td>42</td><td>-100,0</td><td>66,7</td><td>23,9</td><td>59,7</td><td>43,3</td><td></td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>63,2</td><td>70,8</td><td>46,8</td><td>-100,0</td></tr><tr><td>43</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>126,6</td><td>-100,0</td><td>296,4</td><td></td><td>56,2</td><td>-44,3</td><td>-100,0</td><td>74,6</td><td>-23,5</td><td>70,2</td></tr><tr><td>52</td><td>181,3</td><td>54,0</td><td>1,5</td><td>98,8</td><td>-37,1</td><td></td><td>16,7</td><td>199,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>114,9</td><td>180,1</td></tr><tr><td>53</td><td>8,1</td><td>98,7</td><td>-100,0</td><td>61,1</td><td>-100,0</td><td></td><td>-100,0</td><td>-21,4</td><td>-93,0</td><td>-100,0</td><td>81,8</td><td>67,3</td></tr><tr><td>54</td><td>73,9</td><td>42,3</td><td>16,7</td><td>-90,6</td><td>-12,1</td><td></td><td>26,8</td><td>69,9</td><td>4,1</td><td>45,2</td><td>-100,0</td><td>129,9</td></tr><tr><td>72</td><td>59,7</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-53,0</td><td>76,1</td><td></td><td>37,8</td><td>11,7</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>19,6</td><td>62,4</td></tr><tr><td>73</td><td>99,6</td><td>-100,0</td><td>49,9</td><td>104,1</td><td>83,2</td><td></td><td>69,1</td><td>62,4</td><td>-50,0</td><td>34,4</td><td>64,5</td><td>58,4</td></tr><tr><td>74</td><td>-100,0</td><td>67,6</td><td>3,6</td><td>-57,6</td><td>124,5</td><td></td><td>51,5</td><td>-100,0</td><td>88,2</td><td>118,3</td><td>-75,2</td><td>179,4</td></tr><tr><td>82</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>52,6</td><td>17,7</td><td></td><td>-0,3</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>50,0</td><td>110,3</td><td>-100,0</td></tr><tr><td>83</td><td>-100,0</td><td>96,6</td><td>38,7</td><td>51,9</td><td>23,6</td><td></td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>66,4</td><td>24,4</td><td>32,2</td><td>40,4</td></tr><tr><td>91</td><td>-100,0</td><td>58,4</td><td>-100,0</td><td>58,1</td><td>-100,0</td><td></td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>62,0</td><td>-100,0</td><td>66,9</td><td>11,5</td></tr><tr><td>93</td><td>120,1</td><td>77,3</td><td>67,2</td><td>22,2</td><td>-32,9</td><td></td><td>-100,0</td><td>123,6</td><td>57,9</td><td>79,2</td><td>69,8</td><td>-100,0</td></tr><tr><td>94</td><td>152,9</td><td>218,9</td><td>57,0</td><td>-5,8</td><td>33,3</td><td></td><td>57,5</td><td>140,8</td><td>195,7</td><td>-11,5</td><td>-22,6</td><td>105,5</td></tr><tr><td>total</td><td>-78,8</td><td>19,0</td><td>-1,0</td><td>44,9</td><td>47,5</td><td></td><td>-13,8</td><td>-40,6</td><td>9,9</td><td>-3,9</td><td>43,6</td><td>38,2</td></tr><tr><td>HT</td><td>-100,0</td><td>19,9</td><td>76,5</td><td>2,9</td><td>71,0</td><td></td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-44,7</td><td>37,4</td><td>15,4</td><td>-100,0</td></tr><tr><td>s1</td><td>21,5</td><td>23,1</td><td>-24,2</td><td>14,8</td><td>6,1</td><td></td><td>29,0</td><td>18,3</td><td>22,7</td><td>-9,6</td><td>1,5</td><td>8,9</td></tr><tr><td>s2</td><td>2,0</td><td>24,9</td><td>32,3</td><td>5,2</td><td>21,1</td><td></td><td>18,1</td><td>-2,9</td><td>-12,4</td><td>19,5</td><td>19,4</td><td>-13,1</td></tr></tbody></table>

Notes :

- Le taux d'erreur est mesuré par rapport à l'écart-type estimé sur les 1 000 000 simulations, en pourcentage.

- -100% correspond à une estimation de variance négative.
– Pour les variables des recensements, le taux d’erreur de l’estimation sur l’échantillon effectif est compris entre -14 et +21%. L’approximation de Deville-Tillé ⁴⁹ sous-estime la variance de la quasi-totalité de ces variables (Graphique 13). De plus, l’ampleur de l’erreur est dans la majorité des cas plus grande.

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>Graphique 13 – Erreur mesurée sur l’EMEX restreint effectif, en pourcentage de l’écart-type simulé</figcaption></figure>

– L’approximation de Deville surestime la variance de toutes ces variables sur l’échantillon effectif, à une exception près. Pour presque toutes ces variables, l’ampleur de l’erreur est encore plus grande que celle de l’approximation de Deville-Tillé.

E.5 conclusions sur l’Emex restreint

• La méthode de Breidt-Chauvet appliquée à 1000 000 réplications fournit des probabilités estimées d’inclusion double de l’EMEX restreint qui permettent d’estimer correctement la variance de cet échantillonnage.

• L’estimateur de variance de Yates-Grundy est préférable à celui d’Horvitz-Thompson pour l’échantillonnage de l’EMEX restreint, selon les indicateurs de qualité étudiés.

• Cet estimateur parait nettement plus précis que les approximations de Deville et de Deville-Tillé, pour les variables étudiées.

<footnote n="50">50. Le programme est ci-joint biais_relatif_varrpdt_yg.</footnote>
# Annexe F probabilités d'inclusion double des ZAE dans l'EMEX élargi

Cette annexe décrit l'estimation des probabilités d'inclusion double des ZAE dans l'échantillon maître élargi [MCSF].

## F.1 simulations du tirage de l'EMEX élargi

La taille par région de l'échantillon des ZAE de l'EMEX élargi est accrue de 50% par rapport à l'EMEX restreint (Tableau F.52). Les simulations de 10 000 échantillons de ce tirage sont stockées dans une table SAS par strate de tirage, nommée *zaeemexe_s_simules_&strate*. Ce premier lot de simulations sert à estimer une dispersion des estimateurs de variance.

<table><caption>Tableau F.52 – Taille de l'échantillon de l'EMEX élargi par strate de tirage</caption><thead><tr><th>région</th><th>nombre zae</th><th>|s| 100min(π&#773;<sub>1</sub>/π<sub>1</sub> - 1)</th><th>100max(π&#773;<sub>1</sub>/π<sub>1</sub> - 1)</th></tr></thead><tbody><tr><td>11_pc Île-de-France/petite couronne</td><td>108</td><td>108</td><td>0,0</td></tr><tr><td>11 GC Île-de-France/grande couronne</td><td>253</td><td>132</td><td>-4,5</td></tr><tr><td>21 Champagne-Ardenne</td><td>115</td><td>37</td><td>-4,0</td></tr><tr><td>22 Picardie</td><td>183</td><td>52</td><td>-5,5</td></tr><tr><td>23 Haute-Normandie</td><td>141</td><td>44</td><td>-5,6</td></tr><tr><td>24 Centre</td><td>194</td><td>68</td><td>-5,7</td></tr><tr><td>25 Basse-Normandie</td><td>148</td><td>40</td><td>-5,2</td></tr><tr><td>26 Bourgogne</td><td>144</td><td>46</td><td>-8,5</td></tr><tr><td>31 Nord-Pas-de-Calais</td><td>235</td><td>106</td><td>-6,7</td></tr><tr><td>41 Lorraine</td><td>181</td><td>65</td><td>-4,0</td></tr><tr><td>42 Alsace</td><td>123</td><td>41</td><td>-4,9</td></tr><tr><td>43 Franche-Comté</td><td>114</td><td>31</td><td>-5,1</td></tr><tr><td>52 Pays de la Loire</td><td>198</td><td>78</td><td>-5,0</td></tr><tr><td>53 Bretagne</td><td>188</td><td>80</td><td>-3,3</td></tr><tr><td>54 Poitou-Charentes</td><td>138</td><td>49</td><td>-4,4</td></tr><tr><td>72 Aquitaine</td><td>221</td><td>82</td><td>-7,2</td></tr><tr><td>73 Midi-Pyrénées</td><td>213</td><td>67</td><td>-5,0</td></tr><tr><td>74 Limousin</td><td>57</td><td>19</td><td>-3,2</td></tr><tr><td>82 Rhône-Alpes</td><td>363</td><td>145</td><td>-4,9</td></tr><tr><td>83 Auvergne</td><td>115</td><td>37</td><td>-3,9</td></tr><tr><td>91 Languedoc-Roussillon</td><td>140</td><td>57</td><td>-5,2</td></tr><tr><td>93 Provence-Alpes-Côte d'Azur</td><td>150</td><td>94</td><td>-2,7</td></tr><tr><td>94 Corse</td><td>19</td><td>9</td><td>-3,1</td></tr></tbody><tfoot><tr><td>total</td><td>3 741</td><td>1 487</td><td>-8,5</td></tr></tfoot></table>

Notes :

- Les deux dernières colonnes contiennent les taux d'écart minimal et maximal de $\bar{s}^{-S_d} = \sum_{s \in S_d} s/|S_d|$ par rapport à la probabilité d'inclusion des ZAE dans l'EMEX élargi, en %.

- Les ZAE de Paris et de Boulogne-Billancourt sont exclues de ces comptages, ainsi que des tables stockées.

- Le programme de simulation de l'échantillonnage des ZAE de l'EMEX élargi est ci-joint *zaeemexe_s_simules*.

- 300 000 réplications donnent une première estimation des probabilités d'inclusion double par la méthode de Breidt-Chauvet.

- Un troisième lot de 400 000 simulations a été réalisé pour la validation (via les estimations de l'espérance de l'estimateur 'échantillon' de la variance $\text{Var}(\hat{Y})$ et de la variance de référence $\text{Var}(\hat{Y})$).
## F.2 qualité de l'estimation des probabilités d'inclusion dans l'EMEX-e

– La qualité de l'estimation Breidt-Chauvet sur 300 000 réplications des probabilités d'inclusion des ZAE dans l'EMEX élargi semble satisfaisante. Le taux d'erreur maximal sur la probabilité d'inclusion simple est inférieur à 0.5% pour toutes les strates de tirage (Tableau F.53). Cette proximité est meilleure que celle atteinte par un million de réplications de l'échantillon maître. Ceci peut se comprendre par les probabilités d'inclusion plus élevées ⁵⁰. Les probabilités d'inclusion double paraissent strictement positives dans toutes les régions, contrairement aux deux autres échantillons maîtres. Leurs minimums sont supérieurs à ceux de l'EMEX restreint, ce qui est cohérent avec la taille plus élevée de l'échantillon.

<table><caption>Tableau F.53 – Qualité de l'estimation des probabilités d'inclusion des ZAE dans l'EMEX élargi</caption><thead><tr><th rowspan="2">région</th><th colspan="3">sur 700 000 réplications</th><th colspan="4">taux d'erreur maximal</th></tr><tr><th>min (π̃<sub>2</sub>)</th><th>max (π̃<sub>2</sub>)</th><th>max [|π̃<sub>1</sub> - π<sub>1</sub>|]</th><th>700 000</th><th>300 000</th><th>100 000</th><th>50 000</th></tr></thead><tbody><tr><td>11_pc</td><td>1,0E+00</td><td>1,00</td><td>0,0E+00</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td></tr><tr><td>11_gc</td><td>1,9E-02</td><td>1,00</td><td>7,3E-04</td><td>0,3</td><td>0,5</td><td>0,6</td><td>0,8</td></tr><tr><td>21</td><td>1,7E-02</td><td>1,00</td><td>5,8E-04</td><td>0,3</td><td>0,4</td><td>0,8</td><td>0,7</td></tr><tr><td>22</td><td>1,5E-02</td><td>1,00</td><td>6,2E-04</td><td>0,3</td><td>0,4</td><td>0,7</td><td>0,9</td></tr><tr><td>23</td><td>1,4E-02</td><td>1,00</td><td>5,4E-04</td><td>0,2</td><td>0,5</td><td>0,5</td><td>1,1</td></tr><tr><td>24</td><td>1,7E-02</td><td>1,00</td><td>5,2E-04</td><td>0,3</td><td>0,4</td><td>0,8</td><td>0,8</td></tr><tr><td>25</td><td>1,2E-02</td><td>1,00</td><td>5,2E-04</td><td>0,3</td><td>0,4</td><td>0,9</td><td>1,4</td></tr><tr><td>26</td><td>1,5E-02</td><td>1,00</td><td>6,2E-04</td><td>0,3</td><td>0,5</td><td>0,9</td><td>0,9</td></tr><tr><td>31</td><td>1,7E-02</td><td>1,00</td><td>4,9E-04</td><td>0,2</td><td>0,5</td><td>0,8</td><td>0,8</td></tr><tr><td>41</td><td>1,2E-02</td><td>1,00</td><td>5,6E-04</td><td>0,3</td><td>0,4</td><td>0,9</td><td>0,9</td></tr><tr><td>42</td><td>1,9E-02</td><td>1,00</td><td>6,2E-04</td><td>0,4</td><td>0,4</td><td>0,5</td><td>1,2</td></tr><tr><td>43</td><td>1,2E-02</td><td>1,00</td><td>5,4E-04</td><td>0,3</td><td>0,5</td><td>0,9</td><td>0,9</td></tr><tr><td>52</td><td>2,0E-02</td><td>1,00</td><td>4,8E-04</td><td>0,2</td><td>0,4</td><td>0,6</td><td>1,0</td></tr><tr><td>53</td><td>2,6E-02</td><td>1,00</td><td>6,6E-04</td><td>0,2</td><td>0,4</td><td>0,7</td><td>0,7</td></tr><tr><td>54</td><td>1,7E-02</td><td>1,00</td><td>5,7E-04</td><td>0,3</td><td>0,4</td><td>0,6</td><td>0,9</td></tr><tr><td>72</td><td>1,6E-02</td><td>1,00</td><td>5,3E-04</td><td>0,2</td><td>0,5</td><td>0,8</td><td>1,0</td></tr><tr><td>73</td><td>1,5E-02</td><td>1,00</td><td>4,4E-04</td><td>0,3</td><td>0,4</td><td>0,6</td><td>1,1</td></tr><tr><td>74</td><td>1,4E-02</td><td>1,00</td><td>5,0E-04</td><td>0,2</td><td>0,3</td><td>0,6</td><td>0,8</td></tr><tr><td>82</td><td>1,5E-02</td><td>1,00</td><td>6,6E-04</td><td>0,3</td><td>0,5</td><td>1,0</td><td>1,0</td></tr><tr><td>83</td><td>1,3E-02</td><td>1,00</td><td>5,0E-04</td><td>0,2</td><td>0,3</td><td>0,6</td><td>0,8</td></tr><tr><td>91</td><td>1,2E-02</td><td>1,00</td><td>4,8E-04</td><td>0,3</td><td>0,4</td><td>0,8</td><td>0,8</td></tr><tr><td>93</td><td>1,5E-02</td><td>1,00</td><td>5,4E-04</td><td>0,2</td><td>0,2</td><td>0,5</td><td>0,9</td></tr><tr><td>94</td><td>8,1E-03</td><td>1,00</td><td>2,7E-04</td><td>0,1</td><td>0,3</td><td>0,4</td><td>0,6</td></tr></tbody><tfoot><tr><td>total</td><td>8,1E-03</td><td>1,00</td><td>7,3E-04</td><td>0,4</td><td>0,5</td><td>1,0</td><td>1,4</td></tr></tfoot></table>

Notes :

- Toutes les ZAE de la petite couronne de l'Ile-de-France sont dans l'EMEX élargi.

- La durée d'exécution est de $9^h \cdot 10$ pour 100 000 réplications.

- Le programme d'estimation des probabilités d'inclusion double des ZAE de l'EMEX élargi est ci-joint pi2_hat_zaeemexe.

• Les probabilités d'inclusion double de l'EMEX élargi sont stockées dans une table SAS, contenant la matrice carrée des probabilités d'inclusion double $\hat{\pi}_2^{BC}$, par strate ZAE, non restreinte à l'échantillon effectif, sans correction de la diagonale, sous le nom générique :

pi2_hat_zaeemexe_c&strate._700000

L'ordre des lignes et des colonnes correspond à celui de la table de référence des ZAE zae_complet.

<footnote n="51">51. Avec l'approximation de $n\hat{p}$ par une loi binomiale $\mathbb{B}(n, p)$, où $n$ est le nombre de simulations, le coefficient de variation est de l'ordre de $\sigma(\hat{p}) / p = \sqrt{\left(\frac{1}{p} - 1\right) / n}$, donc décroissant en fonction de $p$.</footnote>
## F.3 qualité de l'estimation de variance des variables d'équilibrage - EMEX-e

– La qualité de l'estimation des variables d'équilibrage de l'EMEX élargi (à l'exclusion de celles spécifiques à l'Ile-de-France) est calculée par rapport à la variance estimée sur 400 000 simulations par la méthode de Breidt-Chauvet. L'estimation de variance sur l'échantillon est moyennée sur les mêmes simulations.

→ L'estimateur de Yates-Grundy estime convenablement la variance des variables d'équilibrage (Tableau F.54). Le biais relatif devient imperceptible (≤ 0.04%) avec des probabilités d'inclusion estimées sur 300 000 réplications. Il est inférieur à 0.3% pour toutes les régions.

<table><caption>Tableau F.54 – Biais relatif de l'estimateur Yates-Grundy de la variance des totaux d'équilibrage estimés, en % de l'écart-type simulé de l'EMEX élargi</caption><thead><tr><th>région</th><th>nresgr1</th><th>nresgr2</th><th>nresgr3</th><th>nresgr4</th><th>nres rural</th><th>nres bain</th><th>periur-1</th><th>revenufisc04 2</th><th>revenufisc04 3</th><th>revenufisc04 4</th><th>revenufisc04 5</th></tr></thead><tbody><tr><td>11_pc</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td></tr><tr><td>11GC</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>0,3</td><td>-0,1</td><td>-0,1</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>0,1</td><td>0,3</td><td>0,0</td></tr><tr><td>21</td><td>0,2</td><td>-0,1</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>-0,1</td><td>0,0</td><td>-0,2</td><td>0,1</td></tr><tr><td>22</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>-0,1</td><td>-0,1</td><td>0,0</td><td>-0,2</td><td>0,0</td><td>0,1</td></tr><tr><td>23</td><td>0,1</td><td>-0,1</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>-0,1</td><td>-0,2</td><td>0,0</td><td>-0,2</td><td>-0,1</td><td>-0,1</td><td>0,0</td></tr><tr><td>24</td><td>0,0</td><td>-0,2</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>-0,2</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>-0,1</td></tr><tr><td>25</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>-0,1</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>0,2</td><td>-0,1</td><td>-0,1</td><td>0,0</td></tr><tr><td>26</td><td>-0,3</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>-0,2</td><td>-0,1</td><td>0,1</td><td>-0,3</td><td>0,0</td><td>-0,2</td><td>-0,1</td><td>-0,2</td></tr><tr><td>31</td><td>-0,1</td><td>0,2</td><td>-0,1</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>0,1</td></tr><tr><td>41</td><td>0,1</td><td>0,1</td><td>-0,1</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,3</td></tr><tr><td>42</td><td>-0,2</td><td>0,2</td><td>0,1</td><td>0,2</td><td>-0,2</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>0,2</td><td>0,0</td><td>0,2</td><td>0,2</td></tr><tr><td>43</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>0,2</td><td>0,0</td><td>0,2</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,3</td></tr><tr><td>52</td><td>0,1</td><td>-0,1</td><td>0,1</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>0,1</td></tr><tr><td>53</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,2</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>0,2</td></tr><tr><td>54</td><td>-0,1</td><td>-0,1</td><td>-0,2</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>-0,2</td><td>0,1</td><td>-0,1</td></tr><tr><td>72</td><td>0,0</td><td>-0,2</td><td>0,2</td><td>-0,2</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>-0,1</td><td>0,2</td><td>-0,2</td><td>-0,1</td></tr><tr><td>73</td><td>0,1</td><td>-0,1</td><td>0,1</td><td>-0,1</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>0,2</td></tr><tr><td>74</td><td>0,0</td><td>0,2</td><td>-0,2</td><td>-0,1</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,1</td><td>-0,1</td><td>0,0</td><td>0,0</td></tr><tr><td>82</td><td>0,1</td><td>0,1</td><td>0,2</td><td>0,2</td><td>0,2</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>0,3</td><td>-0,1</td></tr><tr><td>83</td><td>-0,1</td><td>-0,2</td><td>-0,2</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>-0,1</td><td>-0,2</td><td>-0,1</td><td>0,0</td><td>0,0</td></tr><tr><td>91</td><td>0,1</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>0,1</td><td>0,1</td><td>-0,1</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>0,1</td></tr><tr><td>93</td><td>-0,1</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>0,0</td><td>-0,2</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,0</td></tr><tr><td>94</td><td>-0,1</td><td>-0,1</td><td>-0,1</td><td>0,0</td><td>-0,2</td><td>-0,2</td><td>-0,2</td><td>-0,1</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>-0,1</td></tr><tr><td>300 000</td><td>0,00</td><td>0,02</td><td>0,00</td><td>0,00</td><td>-0,02</td><td>-0,01</td><td>-0,01</td><td>-0,01</td><td>-0,01</td><td>0,01</td><td>0,04</td></tr><tr><td>100 000</td><td>0,08</td><td>0,00</td><td>0,00</td><td>-0,01</td><td>-0,01</td><td>0,01</td><td>0,09</td><td>0,01</td><td>0,00</td><td>0,03</td><td>0,08</td></tr><tr><td>50 000</td><td>0,07</td><td>-0,04</td><td>-0,01</td><td>0,06</td><td>-0,01</td><td>0,01</td><td>0,03</td><td>0,03</td><td>-0,02</td><td>0,04</td><td>0,09</td></tr></tbody></table>

Note : Les programmes utilisés sont biais_relatif + biais_relatif_equilib_yg.

• Pour les 138 variables socio-démographiques, celles étudiées pour l'EM, le biais relatif est compris entre -0.02% et +0.02%. Il est négatif dans 101 cas.
• L'estimateur d'Horvitz-Thompson semble légèrement plus biaisé pour la plupart des variables d'équilibrage (Tableau F.55). La correction de la diagonale a un effet négligeable. Pour les variables des recensements, le biais relatif de cet estimateur est compris entre -0.27% et +0.10%.

<table><caption>Tableau F.55 – Comparaison des versions Yates-Grundy et Horvitz-Thompson de l'estimation de la variance des totaux d'équilibrage estimés, en % de l'écart-type simulé de l'EMEX élargi</caption><thead><tr><th>estimateur</th><th>nresgr1</th><th>nresgr2</th><th>nresgr3</th><th>nresgr4</th><th>nres rural</th><th>nres bain</th><th>periur-1</th><th>revenufisc04 2</th><th>revenufisc04 3</th><th>revenufisc04 4</th><th>revenufisc04 5</th></tr></thead><tbody><tr><td>YG</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td><td>0,0</td></tr><tr><td>HT</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>-0,3</td><td>-0,2</td><td>0,0</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>-0,1</td><td>-0,1</td></tr><tr><td>HTc</td><td>0,2</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>-0,3</td><td>-0,2</td><td>0,0</td><td>0,2</td><td>0,1</td><td>0,0</td><td>-0,1</td><td>0,0</td></tr></tbody></table>

– La version de Yates-Grundy apparaît encore plus précise par rapport à celle d'Horvitz-Thompson lorsque l'estimation de variance n'est pas moyennée, mais calculée sur le premier échantillon simulé (Tableau F.56). Ce résultat illustre la plus grande stabilité de l'estimateur de variance de Yates-Grundy, observée également pour les autres échantillonnages de ce document.

<table><caption>Tableau F.56 – Comparaison des estimateurs de variance calculés sur le premier échantillon simulé</caption><thead><tr><th>estimateur</th><th>nresgr1</th><th>nresgr2</th><th>nresgr3</th><th>nresgr4</th><th>nres rural</th><th>nres bain</th><th>periur-1</th><th>revenufisc04 2</th><th>revenufisc04 3</th><th>revenufisc04 4</th><th>revenufisc04 5</th></tr></thead><tbody><tr><td>YG</td><td>4,4</td><td>-2,5</td><td>17,5</td><td>19,2</td><td>4,3</td><td>4,5</td><td>1,1</td><td>19,0</td><td>2,4</td><td>29,2</td><td>30,8</td></tr><tr><td>HT</td><td>-100,0</td><td>18,2</td><td>-45,3</td><td>-26,4</td><td>13,6</td><td>-58,2</td><td>-100,0</td><td>9,3</td><td>-57,7</td><td>18,3</td><td>9,1</td></tr></tbody></table>

Note : -100% correspond à une estimation de variance négative.

– La dispersion de l'estimateur de variance de l'EMEX élargi est sensiblement plus basse que celle de l'échantillon maître (Tableau F.57), ce qui était prévisible. Il ne semble pas y avoir d'effet du nombre de réplications sur cette dispersion. Ceci pourrait signifier que l'impact sur la variance estimée par Yates-Grundy de l'estimation des probabilités d'inclusion est très petit par rapport à l'effet de l'aléa d'échantillonnage ⁵¹. C'est un élément favorable à l'estimateur de variance construit (robustesse par rapport à $\hat{\pi}_2^R$).

<table><caption>Tableau F.57 – Dispersion relative de l'estimateur de Yates-Grundy</caption><thead><tr><th>|R|</th><th>nresgr1</th><th>nresgr2</th><th>nresgr3</th><th>nresgr4</th><th>nres rural</th><th>nres bain</th><th>periur-1</th><th>revenufisc04 2</th><th>revenufisc04 3</th><th>revenufisc04 4</th><th>revenufisc04 5</th></tr></thead><tbody><tr><td>300 000</td><td>75,8</td><td>74,8</td><td>75,5</td><td>70,7</td><td>60,2</td><td>64,9</td><td>73,6</td><td>69,0</td><td>71,7</td><td>66,9</td><td>67,7</td></tr><tr><td>50 000</td><td>75,9</td><td>74,8</td><td>75,5</td><td>70,7</td><td>60,2</td><td>64,9</td><td>73,6</td><td>69,0</td><td>71,7</td><td>67,0</td><td>67,7</td></tr><tr><td>EM</td><td>81,8</td><td>82,6</td><td>81,5</td><td>88,2</td><td>89,5</td><td>81,8</td><td>78,9</td><td>89,3</td><td>76,4</td><td>74,7</td><td>77,0</td></tr></tbody></table>

note : Au niveau régional, la dispersion de l'estimateur de variance des variables d'équilibrage reste supérieure à 100%, quasiment pour toutes les mesures.

<footnote n="52">52. Var($\hat{\hat{Y}}$) dépend de s et de $\hat{\pi}_2^{BC,R}$. Une autre interprétation est que le nombre de simulations de 10 000 est trop réduit pour permettre de détecter l'effet sur la dispersion du nombre de réplications.</footnote>
– L'estimateur d'Horvitz-Thompson semble sensiblement plus dispersé pour les variables d'équilibrage (Tableau F.58).

<table><caption>Tableau F.58 – Dispersion relative de l'estimateur d'Horvitz-Thompson</caption><thead><tr><th>estimateur</th><th>nresgr1</th><th>nresgr2</th><th>nresgr3</th><th>nresgr4</th><th>nres rural</th><th>nres bain</th><th>periur-1</th><th>revenufisc04 2</th><th>revenufisc04 3</th><th>revenufisc04 4</th><th>revenufisc04 5</th></tr></thead><tbody><tr><td>HT</td><td>117,0</td><td>115,6</td><td>116,2</td><td>108,8</td><td>79,4</td><td>90,2</td><td>116,4</td><td>107,0</td><td>110,3</td><td>106,9</td><td>104,3</td></tr><tr><td>YG</td><td>75,8</td><td>74,8</td><td>75,5</td><td>70,7</td><td>60,2</td><td>64,9</td><td>73,6</td><td>69,0</td><td>71,7</td><td>66,9</td><td>67,7</td></tr></tbody></table>

Note : La correction de la diagonale n'a quasiment aucune incidence sur la dispersion de l'estimateur d'Horvitz-Thompson.

– La dispersion de l'estimateur de variance des variables 'recensement' est presque toujours plus faible avec la méthode Breidt-Chauvet qu'avec Deville-Tillé (dans 135 cas sur 138).

## F.4 erreur observée sur l'échantillon effectif de l'EMEX-e

L'erreur observée sur l'échantillon effectif est similaire à celle du premier échantillon simulé (Tableau F.59).

<table><caption>Tableau F.59 – Taux d'erreur mesuré sur l'EMEX élargi, en % de l'écart-type simulé</caption><thead><tr><th>région</th><th>nresgr1</th><th>nresgr2</th><th>nresgr3</th><th>nresgr4</th><th>nres rural</th><th>nres bain</th><th>periur-1</th><th>revenufisc04 2</th><th>revenufisc04 3</th><th>revenufisc04 4</th><th>revenufisc04 5</th></tr></thead><tbody><tr><td>11_pc</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td></tr><tr><td>11 GC</td><td>71,6</td><td>59,1</td><td>42,3</td><td>124,8</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>10,3</td><td>66,2</td><td>93,3</td><td>31,8</td></tr><tr><td>21</td><td>-43,6</td><td>-100,0</td><td>-22,3</td><td>-100,0</td><td>-9,0</td><td>8,0</td><td>-15,0</td><td>9,3</td><td>-66,9</td><td>-100,0</td><td>-47,2</td></tr><tr><td>22</td><td>-70,4</td><td>38,2</td><td>-100,0</td><td>8,3</td><td>31,1</td><td>-21,4</td><td>-100,0</td><td>66,0</td><td>-35,7</td><td>-100,0</td><td>27,2</td></tr><tr><td>23</td><td>0,5</td><td>-60,1</td><td>26,8</td><td>60,1</td><td>7,0</td><td>36,7</td><td>16,2</td><td>-87,5</td><td>-41,3</td><td>50,3</td><td>89,8</td></tr><tr><td>24</td><td>-32,9</td><td>102,7</td><td>80,3</td><td>107,7</td><td>95,7</td><td>127,8</td><td>-16,4</td><td>44,7</td><td>-100,0</td><td>90,4</td><td>48,4</td></tr><tr><td>25</td><td>-100,0</td><td>23,6</td><td>55,4</td><td>-42,1</td><td>67,0</td><td>46,3</td><td>33,8</td><td>18,8</td><td>46,4</td><td>-0,6</td><td>47,1</td></tr><tr><td>26</td><td>-2,0</td><td>37,2</td><td>20,8</td><td>8,4</td><td>25,2</td><td>-100,0</td><td>-13,0</td><td>45,0</td><td>29,5</td><td>18,6</td><td>5,3</td></tr><tr><td>31</td><td>174,2</td><td>-100,0</td><td>115,4</td><td>49,8</td><td>51,2</td><td>-43,2</td><td>153,5</td><td>-100,0</td><td>69,5</td><td>-77,4</td><td>48,4</td></tr><tr><td>41</td><td>35,0</td><td>-82,7</td><td>15,4</td><td>84,5</td><td>-38,5</td><td>64,7</td><td>120,6</td><td>-100,0</td><td>57,1</td><td>58,5</td><td>22,3</td></tr><tr><td>42</td><td>-100,0</td><td>10,4</td><td>-58,2</td><td>86,5</td><td>65,0</td><td>-67,0</td><td>-57,6</td><td>29,9</td><td>91,9</td><td>70,9</td><td>32,5</td></tr><tr><td>43</td><td>-100,0</td><td>-12,0</td><td>61,1</td><td>-27,0</td><td>137,4</td><td>47,4</td><td>36,1</td><td>-11,1</td><td>5,4</td><td>26,3</td><td>-100,0</td></tr><tr><td>52</td><td>144,5</td><td>11,6</td><td>42,8</td><td>-75,5</td><td>-81,3</td><td>-23,3</td><td>155,4</td><td>-100,0</td><td>7,8</td><td>30,8</td><td>117,1</td></tr><tr><td>53</td><td>-19,3</td><td>127,9</td><td>-100,0</td><td>34,0</td><td>-72,8</td><td>-100,0</td><td>41,5</td><td>58,7</td><td>-100,0</td><td>102,3</td><td>16,1</td></tr><tr><td>54</td><td>53,8</td><td>-1,4</td><td>35,4</td><td>-100,0</td><td>29,0</td><td>-13,6</td><td>50,8</td><td>-9,4</td><td>57,3</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td></tr><tr><td>72</td><td>102,3</td><td>50,9</td><td>-100,0</td><td>63,6</td><td>57,3</td><td>14,9</td><td>58,4</td><td>42,1</td><td>-100,0</td><td>82,2</td><td>-24,4</td></tr><tr><td>73</td><td>95,7</td><td>-35,6</td><td>-7,0</td><td>115,0</td><td>2,4</td><td>-100,0</td><td>85,6</td><td>8,3</td><td>-14,8</td><td>86,9</td><td>75,5</td></tr><tr><td>74</td><td>-100,0</td><td>27,2</td><td>-27,3</td><td>-100,0</td><td>43,4</td><td>-11,0</td><td>-100,0</td><td>24,2</td><td>24,8</td><td>-100,0</td><td>60,5</td></tr><tr><td>82</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>29,3</td><td>18,5</td><td>33,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>34,3</td><td>32,4</td><td>-26,9</td></tr><tr><td>83</td><td>-42,9</td><td>3,7</td><td>6,8</td><td>-13,8</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-27,0</td><td>-63,9</td><td>-20,4</td><td>53,4</td></tr><tr><td>91</td><td>-42,9</td><td>119,6</td><td>-0,5</td><td>43,9</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>-16,7</td><td>46,3</td><td>-50,7</td><td>73,9</td><td>59,2</td></tr><tr><td>93</td><td>43,1</td><td>-3,1</td><td>97,5</td><td>-61,6</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td><td>142,4</td><td>46,9</td><td>93,8</td><td>-100,0</td><td>-100,0</td></tr><tr><td>94</td><td>-100,0</td><td>40,4</td><td>-100,0</td><td>-20,1</td><td>-10,5</td><td>-24,7</td><td>-100,0</td><td>39,1</td><td>-42,5</td><td>-6,4</td><td>-100,0</td></tr><tr><td>total</td><td>-8,3</td><td>14,0</td><td>1,4</td><td>28,6</td><td>15,9</td><td>-33,2</td><td>5,2</td><td>0,8</td><td>1,3</td><td>33,5</td><td>29,3</td></tr><tr><td>HT</td><td>-100,0</td><td>84,4</td><td>28,9</td><td>50,8</td><td>34,6</td><td>-45,7</td><td>-21,5</td><td>54,4</td><td>17,9</td><td>53,8</td><td>16,8</td></tr><tr><td>s<sub>1</sub></td><td>4,4</td><td>-2,5</td><td>17,5</td><td>19,2</td><td>4,3</td><td>4,5</td><td>1,1</td><td>19,0</td><td>2,4</td><td>29,2</td><td>30,8</td></tr></tbody></table>

– Pour les variables des recensements, le taux d'erreur observé sur ce seul échantillon est compris entre -10% et +16% de l'écart-type simulé, ce qui paraît relativement satisfaisant.
Pour la majorité des variables issues des recensements, l’ampleur de l’erreur de l’approximation de Deville-Tillé mesurée sur l’EMEX élargi effectivement tiré est supérieure à celle de l’estimation par la méthode de Breidt-Chauvet (Graphique 14). Néanmoins le nombre de ces variables pour lesquelles l’approximation est moins précise est plus réduit que pour l’échantillon EMEX restreint (respectivement 77 et 119).

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Graphique 14 – Erreur mesurée sur l’EMEX élargi effectif, en pourcentage de l’écart-type simulé</figcaption></figure>

## F.5 conclusions sur la probabilité d'inclusion de l'Emex élargi

* Un nombre de réplications de 300 000 parait suffire pour estimer par la méthode de Breidt-Chauvet les probabilités d'inclusion de l'EMEX élargi avec une précision telle que le biais des estimations de variance soit pratiquement nul.

* L'estimateur de Yates-Grundy avec les probabilités estimées par Breidt-Chauvet parait clairement préférable à l'approximation de Deville-Tillé pour cet échantillonnage.

* L'augmentation du nombre de réplications ne parait pas susceptible de réduire la variabilité de l'estimateur de variance. Mais cette conclusion est fragile.

* Les probabilités d'inclusion définitives sont estimées sur les 700 000 réplications y compris celles utilisées pour la validation.
**9601** : Une méthode synthétique, robuste et efficace pour réaliser des estimations locales de population.

G. DECAUDIN, J.-C. LABAT

**9602** : Estimation de la précision d'un solde dans les enquêtes de conjoncture auprès des entreprises.

N. CARON, P. RAVALET, O. SAUTORY

**9603** : La procédure FREQ de SAS - Tests d'indépendance et mesures d'association dans un tableau de contingence.

J. CONFAIS, Y. GRELET, M. LE GUEN

**9604** : Les principales techniques de correction de la non-réponse et les modèles associés.

N. CARON

**9605** : L'estimation du taux d'évolution des dépenses d'équipement dans l'enquête de conjoncture : analyse et voies d'amélioration.

P. RAVALET

**9606** : L'économétrie et l'étude des comportements. Présentation et mise en œuvre de modèles de régression qualitatifs. Les modèles univariés à résidus logistiques ou normaux (LOGIT, PROBIT).

S. LOLLIVIER, M. MARPSAT, D. VERGER

**9607** : Enquêtes régionales sur les déplacements des ménages : l'expérience de Rhône-Alpes.

N. CARON, D. LE BLANC

**9701** : Une bonne petite enquête vaut-elle mieux qu'un mauvais recensement ?

J.-C. DEVILLE

**9702** : Modèles univariés et modèles de durée sur données individuelles.

S. LOLLIVIER

**9703** : Comparaison de deux estimateurs par le ratio stratifiés et application

aux enquêtes auprès des entreprises.

N. CARON, J.-C. DEVILLE

**9704** : La faisabilité d'une enquête auprès des ménages.

1. au mois d'août.

2. à un rythme hebdomadaire

C. LAGARENNE, C. THIESSET

**9705** : Méthodologie de l'enquête sur les déplacements dans l'agglomération toulousaine.

P. GIRARD.

**9801** : Les logiciels de désaisonnalisation TRAMO & SEATS : philosophie, principes et mise en œuvre sous SAS.

K. ATTAL-TOUBERT, D. LADIRAY

**9802** : Estimation de variance pour des statistiques complexes : technique des résidus et de linéarisation.

J.-C. DEVILLE

**9803** : Pour essayer d'en finir avec l'individu Kish.

J.-C. DEVILLE

**9804** : Une nouvelle (encore une !) méthode de tirage à probabilités inégales.

J.-C. DEVILLE

**9805** : Variance et estimation de variance en cas d'erreurs de mesure non corrélées ou de l'intrusion d'un individu Kish.

J.-C. DEVILLE

**9806** : Estimation de précision de données issues d'enquêtes : document méthodologique sur le logiciel POULPE.

N. CARON, J.-C. DEVILLE, O. SAUTORY

**9807** : Estimation de données régionales à l'aide de techniques d'analyse multidimensionnelle.

K. ATTAL-TOUBERT, O. SAUTORY

**9808** : Matrices de mobilité et calcul de la précision associée.

N. CARON, C. CHAMBAZ

**9809** : Échantillonnage et stratification : une étude empirique des gains de précision.

J. LE GUENNEC

**9810** : Le Kish : les problèmes de réalisation du tirage et de son extrapolation.

C. BERTHIER, N. CARON, B. NEROS

**9901** : Perte de précision liée au tirage d'un ou plusieurs individus Kish.

N. CARON

**9902** : Estimation de variance en présence de données imputées : un exemple à partir de l'enquête Panel Européen.

N. CARON

**0001** : L'économétrie et l'étude des comportements. Présentation et mise en œuvre de modèles de régression qualitatifs. Les modèles univariés à résidus logistiques ou normaux (LOGIT, PROBIT) (version actualisée).

S. LOLLIVIER, M. MARPSAT, D. VERGER

**0002** : Modèles structurels et variables explicatives endogènes.

J.-M. ROBIN

**0003** : L'enquête 1997-1998 sur le devenir des personnes sorties du RMI - Une présentation de son déroulement.

D. ENEAU, D. GUILLEMOT

**0004** : Plus d'amis, plus proches ? Essai de comparaison de deux enquêtes peu comparables.

O. GODECHOT

**0005** : Estimation dans les enquêtes répétées : application à l'Enquête Emploi en Continu.

N. CARON, P. RAVALET

**0006** : Non-parametric approach to the cost-of-living index.

F. MAGNIEN, J. POUGNARD

**0101** : Diverses macros SAS : Analyse exploratoire des données, Analyse des séries temporelles.

D. LADIRAY

**0102** : Économétrie linéaire des panels : une introduction.

T. MAGNAC

**0201** : Application des méthodes de calages à l'enquête EAE-Commerce.

N. CARON

C **0201** : Comportement face au risque et à l'avenir et accumulation patrimoniale - Bilan d'une expérimentation.

L. ARRONDEL, A. MASSON, D. VERGER

C **0202** : Enquête Méthodologique Information et Vie Quotidienne - Tome 1 : bilan du test 1, novembre 2002.

J.-A. VALLET, G. BONNET, J.-C. EMIN, J. LEVASSEUR, T. ROCHER, P. VRIGNAUD, X. D'HAULTFOEUILLE, F. MURAT, D. VERGER, P. ZAMORA

**0203** : General principles for data editing in business surveys and how to optimise it.

P. RIVIERE

**0301** : Les modèles logit polytomiques non ordonnés : théories et applications.

C. AFSA ESSAFI

**0401** : Enquête sur le patrimoine des ménages - Synthèse des entretiens monographiques.

V. COHEN, C. DEMMER

**0402** : La macro SAS CUBE d'échantillonnage équilibré

S. ROUSSEAU, F. TARDIEU

**0501** : Correction de la non-réponse et calage de l'enquêtes Santé 2002

N. CARON, S. ROUSSEAU
**0502** : Correction de la non-réponse par répondération et par imputation

N. CARON

**0503** : Introduction à la pratique des indices statistiques - notes de cours

J-P BERTHIER

**0601** : La difficile mesure des pratiques dans le domaine du sport et de la culture - bilan d'une opération méthodologique

C. LANDRE, D. VERGER

**0801** : Rapport du groupe de réflexion sur la qualité des enquêtes auprès des ménages

D. VERGER

**M2013/01** : La régression quantile en pratique

P. GIVORD, X. D'HAULTFOEUILLE

**M2014/01** : La microsimulation dynamique : principes généraux et exemples en langage R

D. BLANCHET

**M2015/01** : la collecte multimode et le paradigme de l'erreur d'enquête totale

T. RAZAFINDROVONA

**M2015/02** : Les méthodes de Pseudo-Panel

M. GUILLERM

**M2015/03** : Les méthodes d'estimation de la précision pour les enquêtes ménages de l'Insee tirées dans Octopus

E. GROS, K. MOUSSALLAM