Par suite – et il ne devrait y avoir rien de très nouveau ou surprenant dans tout le présent développement – il est absolument impératif que l'axiomatique "code" des opérations données dans le constructif et en quelque sorte indépendamment d'elle. Et c'est bien ce qu'elle fait : la loi de composition, l'addition, la succession, la paire ou l'ensemble des parties, ce sont là des choses toutes effectuables dans des systèmes constructifs (tant qu'elles s'appliquent à des entités elles-mêmes constructibles), susceptibles de donner lieu à des arbres de génération. C'est cela qui conditionne l'acceptation et le succès du *fictionnement* axiomatique : on le tolère parce qu'il nous laisse effectuer les opérations constructives dans le quasi-monde qu'il nous fait habiter, et on le désire parce qu'il nous permet d'étendre spectaculairement le champ de l'opératoire jusque dans des domaines rigoureusement inaccessibles au constructif – à savoir avant tout des domaines de l'infini, quand celui-ci est saisi comme totalité.

Or, comme l'exposait déjà Hilbert dans sa grande introduction au projet formaliste, cette saisie comme totalité semble nécessaire dès que nous voulons faire usage des quantificateurs, en disant qu'existe en général, dans une multiplicité infinie, un élément pourvu d'une certaine propriété (sans être capable d'indiquer un procédé permettant de produire constructivement cet élément), ou inversement qu'une propriété vaut *pour tous* les éléments de la multiplicité – plus exactement, le problème se pose lorsque nous voulons *nier* cette affirmation dans l'abstrait, sans fournir effectivement un contre-exemple, et par suite quand nous voulons appliquer le tiers-exclu<sup>46</sup>. Nous l'avons dit, les entiers dans le constructif se donnent comme classe inachevable, mais le discours arithmétique dans toute sa puissance veut pouvoir généraliser l'emploi de ses quantificateurs et utiliser le tiers-exclu, par suite traiter les entiers comme multiplicité donnée.

Ce problème, qui dans le cas de l'arithmétique et des entiers se concentre dans le passage du « pour chacun, successivement » au « pour tous, globalement », dans l'appréhension du syncatégorématique de la production comme catégorématique du produit, devient bien sûr beaucoup plus omniprésent dans le cas d'une théorie comme la théorie

<footnote n="46">46. David Hilbert, « Sur l'infini », (1925), in *Logique Mathématique*, éd. établie et trad. de l'allemand par Jean Largeault, Épistémologie, Armand Colin, 1972, chap. 7, p. 215-45, traduction de : « Über das Unendliche », *Mathematische Annalen*, 95; 1925, p. 161-90, p. 229-31.</footnote>
des ensembles, qui a pour intention première d'être une théorie des multiplicités infinies,
et même des multiplicités inconstructibles. Dans le cas de l'arithmétique, le problème se
posait au niveau de la multiplicité totale, mais dans l'enseblisme il se pose au niveau
des éléments particuliers de cette multiplicité. Car si les opérations ensemblistes sont,
du moins dans leurs applications aux cas finis, des opérations constructives, la théorie
comprend de multiples objets que l'on ne saurait construire : ceux qui supposent l'infini
comme une totalité donnée, capable de servir de point de départ à une construction, qui
peut elle-même s'avérer alors inconstructible¹⁷.

La question se pose donc, de la signification des “opérations” non-constructives qui
sont autorisées dans les théories axiomatiques comme ZFC, et, autre aspect du même
problème, du sens de l’infini mathématique ensembliste. Le premier point à soulever
est que l’infinité corrélative, l’infinité dans le corrélatif, se définit en intégrant en elle
l’infinité (comme inachevable) du constructif : le corrélatif commence par se donner les
moyens de contenir dans sa multiplicité l’ensemble de ce qui peut être construit, et de
se la donner comme constituant d’un objet déterminé. C’est ce que nous voyons le plus
clairement et le plus littéralement énoncé dans l’axiome de l’infini de ZFC, du moins sa
version la plus classique :

$$
\exists x [\emptyset \in x \wedge \forall y (y \in X \Rightarrow S(y) \in x)]
$$

L'idée derrière la formulation de l'axiome est de nous donner directement $\mathbb{N}$, l'ensemble de tous les entiers. L'opération indéfinie $S$ est donc l'équivalent ensembliste de la succession des entiers. Dans la version la plus classique, et la plus élégante, il s'agit de l'opération $S(x) =_{def} x \cup \{x\}$ permettant de former les ordinaux (finis) de von Neumann<fnref n="48" />. L'axiome de l'infini s'écrit en ce cas :

<footnote n="47">47. Mais cela n’est pas nécessairement impliqué dans toute manipulation de l’infini. Je peux considérer
ω comme objet tout en le tenant pour un inachevable, et le poser néanmoins par définition comme ordinal
“après” tous les ordinaux finis, par exemple. Autrement dit je peux commencer à énumérer la hiérarchie
des ordinaux transfinis dénombrables en demeurant dans le constructif (je n’ai pas besoin d’avoir fini
d’énumérer les entiers pour savoir que ω vient après eux tous selon l’ordre). Mais si je dois produire
l’ensemble des parties de N, en revanche, je ne peux pas le faire constructivement, parce que je ne peux
pas “construire” une partie infinie arbitraire de N sans supposer N achevé et disponible dans sa totalité
pour une telle construction. S’il faut pouvoir se donner l’infini en totalité pour commencer à mener une
étape, alors cela n’est plus constructible et doit être postulé.</footnote>

<footnote n="48">48. Cf. notre brève présentation en 9.5.3.</footnote>
$$ \exists x \ [\emptyset \in x \wedge \forall y (y \in x \Rightarrow y \cup \{y\} \in x)] $$

L'opération de succession fournit une clause récursive, à partir de l'élément de base. Il semble que nous pourrions la définir constructivement, partant du vide puis de son singleton puis de leur paire. Par définition, elle est indéfiniment réitérable, et X est défini de manière à *contenir* précisément cette classe constructive.

Si je traduis cet état de fait en termes de la projection constitutive de l'univers corrélatif des ensembles, j'obtiens que le « sac à poussière » imaginable en réponse au x que nomme l'axiome de l'infini contient, intègre en soi, tolère en soi le marquage d'une multiplicité indéfinie d'objets produits suivant une clause récursive (du moins si je décide de me représenter le passage de y à y ∪ y comme un geste acceptable de construction). Si je refuse de passer dans l'univers de corrélation, il me reste la clause récursive portant sur des assemblages symboliques, abso-lument irréfutable elle, qui permet de fabriquer successivement les termes $\emptyset, \emptyset \cup \{\emptyset\}, \emptyset \cup \{\emptyset\} \cup \{\emptyset \cup \{\emptyset\}\}, \emptyset \cup \{\emptyset\} \cup \{\emptyset \cup \{\emptyset\}\} \cup \{\emptyset \cup \{\emptyset\} \cup \{\emptyset \cup \{\emptyset\}\}\}, \text{etc.} \text{ [ces termes sont simpli-fiables, le second en } \{\emptyset\}, \text{ le troisième en } \{\emptyset, \{\emptyset\}\}, \text{ le quatrième en } \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\text{]}$]$^{49}$.
J'obtiens donc quand même une liste indéfinie de noms d'objets, ainsi que, pour chacun d'eux, une preuve de son appartenance à l'ensemble x. Situation qui, si j'accomplis l'intentionnalité corrélative, me donne l'inclusion précédemment évoquée$^{50}$.

Cet extrait nous dit que quel que soit le regard que l'on porte sur l'activité ensembliste, que l'on y joue ou non une existence mathématique (dans le premier cas, on percevra l'opération de succession comme une véritable formation d'ensemble par rassemblement, dans le second cas on la regardera comme la règlementation d'une opération itérable sur des formules), on est forcé de lire dans l'axiome d'infinité l'inscription d'une activité constructive itérative qui est exactement celle qui donne la multiplicité de cet infini (car même si l'on ne joue pas à croire la formation de l'union, si on ne joue pas à croire qu'il se passe quelque chose, il n'empêche que la preuve d'appartenance d'un ordinal fini est obtenue pour nous de la même manière que pour ceux et celles qui y croient : par la construction itérée de ses objets).

<footnote n="49">49. Encadré dans le texte d'origine.</footnote>

<footnote n="50">50. SALANSKIS, *Philosophie des mathématiques* cit., p. 91.</footnote>
La thèse que soutient Salanskis, est que non seulement cette inscription du constructif (dans son inachevabilité) dans le corrélatif est le sens intentionnel de l'infini ensembliste, mais qu'on ne peut le comprendre comme l'infini qu'il est et lui accorder la transcendance qu'il a qu'en le considérant comme intégration dans le corrélatif de l'objectivité constructive. En effet, l'infini mathématique ne peut être un infini qualitatif ou d'absolue altérité : il est donné comme infini quantitatif, comme infini transcendant par la *taille* le fini des entiers. Sa transcendance, transcendance à l'égard du fini, est comprise par nous comme transcendance à l'égard du productible, du résultat, de ce que nous pouvons saisir comme un à l'issue d'une opération de synthèse, parcours ou construction. S'il n'en était pas ainsi, l'infini de la théorie formelle ne le serait que par pure homonymie, n'aurait rien à nous dire sur ce que l'humanité pense immémorialement sous ce nom<fnref n="51" />.

> [L]e raccord de l'infini de l'axiome de l'infini de ZFC avec l'infini manqué de Brouwer, l'infini « à l'horizon » de la suite récursive des entiers intuitifs, est ce qui présente sous son jour le plus authentique l'infini pour la mathématique : c'est là que réside, disons-le avec force, le fa-meux « platonisme spontané » des mathématiciens. Le mathématicien ne peut pas ne pas croire que l'infini nommé et traité dans sa théorie emporte avec lui l'infini auquel l'intentionnalité constructive lui donne un accès primitif privilégié, quasi-empirique<fnref n="52" />.

S'étant donné ce point de départ transcendant comme “toujours déjà là”<fnref n="53" />”, la théorie des ensembles entreprend de bâtir une ménagerie d'objets transfinis, qui peuvent constituer ou bien des manipulations spécifiques d'objets connus par ailleurs (l'ensemble des fonctions de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$, telle partie inconstructible des réels...), ou bien une hiérar-

<footnote n="51">51. Et cela ne vaut pas moins, dirions-nous, quand l'infini est introduit par la définition de Dedekind : « est dit *infini* un ensemble tel qu'il existe une bijection entre lui et une de ses parties strictes (= une partie qui ne s'identifie pas à l'ensemble de départ) ». La définition de Dedekind, abstraite, est en première lecture opaque et ne nous renvoie pas aussi immédiatement à l'inachevable constructif que la définition de von Neumann. Mais leur convergence apparaît quand on fait fonctionner la définition et qu'on essaie de saisir le sens de son « infinité » : s'il y a bijection entre l'ensemble et une de ses parties strictes, cela signifie qu'en comparant élément par élément l'ensemble avec une de ses parties, la différence entre le tout et la partie ne va jamais se *manifester* dans la clôture de l'opération, justement parce que l'opération n'est pas clôturable. Je peux associer chaque entier avec son carré ; je ne vais jamais pouvoir clore l'opération pour montrer qu'il y a *plus* d'entiers que de carrés, comme je pourrais le faire pour n'importe quelle partie finie des entiers, parce que je ne manquerai jamais de carrés à associer.</footnote>

<footnote n="52">52. SALANSKIS, *Philosophie des mathématiques* cit., p. 93.</footnote>

<footnote n="53">53. Cf. 9.5.3.</footnote>
chie valant pour elle-même dans son indéfinie transcendance, comme la hiérarchie des
cardinaux transfinis (les infinis “plus grands les uns que les autres”).

Sur cette élaboration luxuriante, nous devons faire remarquer plusieurs choses. La
première est que, littéralement parlant, la théorie ne demande jamais de construire quoi
que ce soit. Elle consiste uniquement en l'indication de moyens d'inférence de l'existence
de quelque chose supposé toujours déjà là, pré-existant. Par exemple, le schéma d'axiome
de remplacement ne nous dit pas que nous pouvons construire un ensemble d'arrivée à
partir d'une fonction et d'un ensemble de départ, il nous dit qu'un tel ensemble d'arrivée
existe. Pourtant, et c'est le second point, nous avons déjà vu à propos des ordinaux finis
que cette littéralité cacherait très mal le fait que ces "pré-existants" sont définis par des
opérations de construction, et que la théorie les donne comme corrélats directs d'une
opération. Il n'empêche que, troisième point, lorsque nous quittons le domaine rassurant
des ensembles finisº, les opérations de preuve ne correspondent plus en fait à des pas
constructifs effectuables. L'axiome de l'infini lui-même semble indiquer une opération
de synthèse de l'historique d'une construction successive, mais il indique la synthèse
(ineffectuable) de la totalité de l'opération inachevable, il se donne la classe comme
objet, la synthèse devenant opération uniquement abstraite, postulative. À partir de
l'existence de l'infini, le schéma de remplacement semble permettre de constituer toutes
sortes de familles infinies de divers ensembles, et l'union de rassembler leurs éléments
dans une plus énorme encore totalité, mais il est bien évident que ces opérations ne
correspondent à aucun arbre génératif. Pourtant, il faut y insister, et c'est là le quatrième
point, l'application des axiomes continue de mimer des pas constructifs – ce qui n'est en
un sens qu'une réaffirmation du second point : l'existence qu'indiquent les axiomes est
définie en termes de ce que nous comprenons pré-axiomatiquement comme un certain
type d'opération effectuable.

Nous devons en conclure que l'application des axiomes aux ensembles infinitaires
doit se comprendre, est au mieux comprise, comme renvoyant à des pseudo-gestes du

<footnote n="54">54. Plus exactement des ensembles finis entièrement définissables en termes d'ensembles finis, ou dont l'existence est prouvable en l'absence de l'axiome de l'infini, ou « de rang fini », appartenant aux rangs finis de $V$. Sur $V$, voir l'encadré qui suit.</footnote>
corps idéal<fnref n="55" />, des gestes que le corps idéal, celui qui accomplit les opérations idéales du constructif, ne peut pas accomplir, mais qui sont définis par analogie à ses gestes – pour ainsi dire comme “ce qu’il pourrait accomplir” s’il avait un pouvoir transcendant. Notons que cette situation pourrait fournir une justification du premier point, selon lequel, à littéralement parler, les axiomes n’indiquent jamais une construction, mais toujours une existence préalable : les pré-existants sont définis en référence à des pseudo-gestes qui, accomplis, correspondraient à d’ineffables “infinis achevés” – dans notre vocabulaire – et ne pourraient de toute façon être prescrits ; la forme postulative permet donc d’accomplir ce que nous appelions la conversion de l’infini achevé en infini préalable<fnref n="56" />.

Salanskis fait remarquer que le statut des pseudo-gestes dans l'élaboration ensembliste – c'est-à-dire que le sens intentionnel des opérations ensemblistes consiste en de tels pseudo-gestes – est au mieux visible dans la hiérarchie cumulative de von Neumann.

La hiérarchie cumulative est une manière de bâtir la totalité des ensembles rang par rang, chaque rang $V_α$ étant indexé sur un ordinal $α$. La hiérarchie des $V_α$ est définie par récurrence transfinie. La récurrence transfinie est comme la récurrence ordinaire quand il s'agit d'un passage au successeur (chaque rang est défini par rapport au rang immédiatement précédent, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ne puisse plus reculer), mais ajoute une clause supplémentaire permettant d'étendre la définition quand on passe « à la limite », au-delà de la succession indéfinie dans une étape transfinie qui la récapitule entièrement. On a donc ici :

Le point de départ, $V_0$ est l'ensemble vide :

$$V_0 := \emptyset.$$

Pour tout ordinal successeur $\beta$, on définit $V_\beta$ comme l'ensemble des parties de son antécédent $V_{\beta-1}$ :

$$V_\beta := \mathcal{P}(V_{\beta-1}).$$

Pour tout ordinal limite $\lambda$, on définit $V_\lambda$ comme l'union de tous les rangs V qui précédent :

$$V_\lambda := \bigcup_{\beta<\lambda} V_\beta.$$

On pose alors que le rang d'un ensemble $S$ est le plus petit ordinal $\alpha$ tel que $S \subseteq V_\alpha$, c'est-à-dire qu'un ensemble est de rang $\alpha$ si tous ses éléments sont “disponibles” une fois le

<footnote n="55">55. SALANSKIS, *Philosophie des mathématiques* cit., p. 95.</footnote>

<footnote n="56">56. Sur ces notions et cette opération de conversion, voir 0.5.</footnote>
rang $V_\alpha$ élaboré. Par définition des $V_\alpha$, on voit immédiatement que dire $S \subseteq V_\alpha$ implique $S \in V_{\alpha+1}$. Et plus généralement, on peut dire que $V_\alpha$ est l'ensemble de tous les ensembles de rangs inférieurs à $\alpha$.

Cette démarche de la théorie des ensembles, imaginairement, établit une sorte de lien entre
objectivité constructive et objectivité corrélatивé. Elle définit un certain nombre de niveaux ou
strates de l'objectivité ensembliste [...] qui s'engendrent les uns après les autres en termes de
l'opération de passage à l'ensemble des parties et de réunion ensembliste : d'où la possibilité
de voir dans la structure cumulative quelque chose comme le résultat de l'application d'une
clause récursive engendrant les ensembles. La conjecture selon laquelle ∨, la collection de
tous les ensembles atteints au fil de cette récurrence transfinie, n'est autre que l'univers des
ensembles U lui-même, apparaît comme équivalente à l'axiome dit de fondation, que l'on peut
ajouter à ZFC. La théorie obtenue suggère au mathématicien que l'univers qu'il se donne au
pôle intentionnel, sans trop le savoir et le dire, est un univers adéquat à son autre rapport
fondamental à l'objectivité ; non seulement le voir comme de l'objectivité corrélatивé prend
chair, mais il le fait dans la continuité avec le voir comme arborescent du constructif comme
tel<sup>57</sup>.

Salanskis insiste sur le fait que ce sentiment de la hiérarchie des rangs comme
construction ne saurait être considéré comme « fantasmagorie privée », mais qu'au contraire,
il s'agit de « moments tout à fait essentiels de la compréhension de son objet par le mathématicien, à la
limite ce sont des aspects qu'un bon enseignant doit faire voir<sup>58</sup> ». Pourtant, il est également impor-
tant de noter, comme nous le faisions, qu'il ne s'agit pas et ne pourrait s'agir vraiment
d'une construction :

Le passage des $V_β$ pour $β < α$ à l'union de leurs ensembles de parties n'est pas un acte au pouvoir du corps idéal, c'est seulement l'invocation de quelque chose qui existe dans l'univers des ensembles en vertu des axiomes de ZFC<sup>59</sup>.

[ ... ]

<footnote n="57">57. SALANSKIS, *Philosophie des mathématiques* cit., p. 83.</footnote>

<footnote n="58">58. *Ibid.*, p. 84.</footnote>

<footnote n="59">59. *Ibid.*</footnote>
La fiction de la multiplicité de corrélation comporte notre projection en elle, et à la faveur de cette projection, nous voyons ce que le texte logique dit être le cas en elle comme *ce que nous accomplissons*, au travers de gestes que nous ne pouvons absolument pas concevoir et vivre autrement que comme des gestes de notre corps idéal, parce que notre pouvoir des gestes idéaux est pour nous unitaire. Donc, le geste de « former l'ensemble des parties » à chaque étape ordinale de l'échelle transfinie des idéaux est nécessairement vécu comme analogue d'un geste constructif : si nous ne le vivions pas ainsi nous ne serions pas dans la projection qui nous situe au sein des ensembles, notre intentionnalité corrélatrice est à ce prix en quelque sorte. Ce qui n'empêche pas de savoir faire la distinction juridique entre les deux régimes intentionnels, c'est même absolument nécessaire afin de ne pas commettre d'erreur quant à ce qui est preuve pertinente<fnref n="60" />.

## 10.3 Zénon et le métaconstructivisme

Comment devons-nous, réfléchissant sur Zénon, recevoir l'enseignement du métaconstructivisme ? Nous voudrions en faire ici un usage double. À un premier niveau, nous voudrions simplement enregistrer et reprendre à notre compte les conclusions spécifiques de Jean-Michel Salanskis concernant les objets infinitaires dans la théorie des ensembles, pour leur faire servir la thèse soutenue dans les deux précédents chapitres : à savoir que la mathématique contemporaine ne fournit pas, en fait, de raison pertinente pour rejeter le principe d'achevabilité. À un second niveau, nous voudrions étendre l'analyse de l'auteur au-delà de la question fondationnelle ensembliste, gagnant en généralité ce que nous perdrons en spécificité, pour envisager de façon plus large le rapport de Zénon – comme premier penseur du constructif – à la mathématicité telle qu'elle apparaît en divers temps et contextes.

<footnote n="60">60. *Ibid*., p. 88.</footnote>
10.3.1 L'ensemblisme et l'inachevable

Des analyses menées dans les chapitres qui précèdent, nous pouvons tirer le résultat suivant : pour que les apports de la mathématique nous donnent des motifs de douter du principe d'achevabilité – qui énonce, rappelons-le, qu'une opération sérielle ne pouvant en aucun cas s'achever dans le temps ne peut pas non plus se trouver avoir été achevée – il faudrait qu'ils portent sur la possibilité de ce que nous avons appelé *l'infini achevé*, par différence d'avec le simple *infini en acte* – c'est-à-dire un infini en acte qui soit *ré-sultat* d'une opération elle-même infinie et strictement sérielle. Nous avons déjà exprimé, à travers l'idée de la conversion du futur pur en passé pur<fnref n="61" />, puis celle de conversion de l'infini achevé en infini préalable<fnref n="62" />, l'hypothèse selon laquelle l'infini mathématique actuel consiste au contraire toujours en un *contournement* de l'achevabilité, au passage d'un horizon d'achevabilité à un *objet donné* qui se présente comme *toujours déjà donné*. Nous pouvons maintenant confirmer plus précisément ce point en ce qui concerne l'infini-tisme ensembliste : non seulement les objets infinitaires ensemblistes ne suggèrent en rien l'achevabilité de tâches infinies, mais on peut les comprendre comme *reposant sur l'impossibilité de cet achèvement*.

En effet, si on accepte l'analyse selon laquelle le sens intentionnel de l'infini ensembliste est sa transcendance à l'égard du constructif, cela nous indique plusieurs choses : d'abord, que le constructif lui-même est compris comme ce qui donne accès à un horizon indéfini, un inachevable au sens de Zénon – si $N$ est compris comme l'ineffectuable synthèse de l'opération constructive de succession, c'est que l'on suppose du même coup que cette opération traverse “tout $N$”, pour ainsi dire. Mais si $N$ est défini par transcendance à l'égard de ce constructif, ce qui se manifeste dans la nécessité d'une postulation d'existence spécifique, c'est par reconnaissance du fait que $N$ est inaccessible à l'ordre du faire. Ce que nous voulons dire ici, et que nous tirons du métaconstructivisme, est que l'objectivité infinitaire ensembliste respecte l'intégrité de l'objectivité constructive et se définit comme ce qui excède l'ordre de l'opératoire, qui n'est pas de l'ordre de l'être

<footnote n="61">61. Section 8.1.1.</footnote>

<footnote n="62">62. Section 9.5.</footnote>
atteint.

Si cela empêche les ensembles infinis d'importer quant au problème zénonien, c'est que, s'ils sont définis dans le respect de l'objectivité constructive, alors ils emportent avec eux les présupposés du constructif : parmi ceux-ci, le fait que l'horizon d'une tâche inachevable peut être toujours poursuivi, mais jamais dépassé. Le constructif est d'ailleurs toujours littéralement à l'œuvre, dans l'ensemblisme, lorsque l'on descend au plan métamathématique, le plan qui ne peut plus se reposer sur le formalisme parce qu'il est nécessaire à la compréhension et la manipulation de tout formalisme. C'est ce plan ultime, en dessous duquel on ne peut plus descendre, mais dans lequel on se place encore sous un horizon infini (cela reste un plan mathématique, où l'on peut envisager une itération indéfinie, pas un plan empirique, concret), qui a à faire avec l'opérativité, avec l'ordre du faire, de l'effectuable, avec les choses comprises comme des résultats pouvant être obtenus. Dans l'ensemblisme, on a des infinis actuels, mais à condition de ne pas avoir à les construire ou à les penser comme constructibles. Dans l'ensemblisme, on a des ordinaux transfinis, des éléments "après l'infini", mais à condition de ne pas avoir à penser l'achevabilité de cet infini pour les définir. Dans l'ensemblisme, en somme, l'objectivité infinitaire ne s'acquiert qu'en payant le prix de ne rien avoir à dire sur le problème de Zénon, de ne pas suggérer la possibilité que soit faux le principe d'achevabilité.

Cela ne veut pas dire, bien sûr, que l'ensemblisme constitue une *preuve* du principe d'achevabilité, ou que, ayant montré qu'il ne donnait pas de raison d'en douter, nous avons montré du même coup que ce principe est indubitable. Tout ce que nous voulions établir ici est que l'ensemblisme ne nous fournit pas un sens de l'infini achevé, et qu'à notre connaissance les objets mathématiques infinitaires ont toujours fourni, explicitement ou implicitement, la seule raison de douter du principe, de faire croire que nous parvenions à donner sens à l'idée d'un être achevé infinitaire. En l'absence de la caution mathématique, nous revenons à ce que nous annoncions au début du chapitre 8 : nous n'avons aucune conceptualité qui remplace, pour penser l'idée de progression, notre intuition temporelle incluant le principe d'achevabilité.
Il importe toutefois que nous clarifiions, avant de généraliser le propos métaconstruc-
tiviste dans la section suivante, un point très important sur cette théorie et sur la reprise
que nous en faisons ici. Le métaconstructivisme ne doit pas être compris comme un scepticisme à l'égard des totalités infinies et de l'objectivité ensembliste. À certains égards, on
pourrait le considérer comme l'effort pour hériter de l'enseignement du constructivisme
tout en évitant une telle conclusion sceptique, susceptible d'entraîner un révisionnisme
à l'égard de la mathématique usuelle. Au point de vue de la légitimité mathématique,
le métaconstructivisme ne rejette pas l'objectivité infinitaire, au contraire elle cherche à
en fonder adéquatement le sens intentionnel, à la fonder comme objectivité véritable sur
laquelle nous acquérons une connaissance certaine.

Mais on ne peut pas non plus tirer de cette théorie un scepticisme à l'égard de
"l'existence" ou de la "réalité" de ces objets qui sont fondés dans un ordre que nous
appellerions volontiers "idéal/fictif". Dire qu'ils sont mobilisés dans un ordre nouveau de
la fiction ne peut pas vouloir dire simplement qu'ils sont fictionnels, qu'ils n'existent pas
au sens où Sherlock Holmes n'existe pas. En un premier sens, cet ordre nouveau de la
fiction décrit simplement la manière dont nous nous les donnons, par la mise en place
d'un faire comme si axiomatique, entraînant un engagement intentionnel, étant entendu
que nous n'avons pas d'autres moyens apparents d'y avoir accès – ni empiriquement,
comme à une pomme, ni constructivement, comme au nombre 3 – en tout cas pas d'une
manière qui permette de fonder une connaissance. Mais que nous postulions l'existence
de Sherlock Holmes à la manière d'un faire comme si ne suffit pas à conclure qu'il n'existe
pas : nous savons qu'il n'existe pas pour une tout autre raison, empirique – c'est-à-dire
le fait que Sherlock Holmes n'a, effectivement, jamais existé. Or, nous ne voyons pas
comment une conclusion analogue pourrait être obtenue pour les cardinaux transfinis.
Nous ne pouvons certainement pas aller vérifier au 221B Baker St. C'est-à-dire qu'en
disant que Sherlock Holmes est une fiction nous savons de quoi il est la fiction : d'un
détective anglais, tel qu'il n'y a pas en fait un tel détective anglais. Pour dire qu'un
cardinal transfini est une fiction, au sens où cette phrase indique qu'il n'existe pas, il
faudrait savoir de quoi au juste il est la fiction.63

Non pas que cette question n'ait pas de réponse. Il est possible de répondre, tout simplement, qu'un cardinal transfini n'est pas vraiment un *cardinal*, qu'il ne répond pas aux critères de ce que nous attendons de la cardinalité<fnref n="64" />. Ou pourrait dire que les objets transdénombrables, en général, manquent d'une propriété qui serait attendue des objets mathématiques proprement dits, à savoir la *décidabilité*. Leur persistante indécidabilité, en de nombreux points conceptuellement décisifs, donnerait un sens solide à leur caractère “seulement fictif”<fnref n="65" />,<fnref n="66" />. Mais ces réponses ne sont pas incluses, et c'est là tout ce que nous voulions soulever, dans l'analyse métaconstructiviste elle-même, dans l'hypothèse du rapport quasi-fictif à des multiplicités postulées.

### 10.3.2 Le plan de l'opératoire et le plan des idéalités

L'analyse métaconstructiviste telle qu'on la trouve dans les ouvrages de Jean-Michel Salanskis porte spécifiquement sur l'activité constructive théorisée au XXe siècle et qui constitue le cadre de la théorie de la démonstration telle qu'elle se pensait chez Hilbert, ou de la réflexion sur l'effectivement calculable telle qu'on la trouve chez Turing, Church ou Gödel, et sur l'activité axiomatique élaborée par la logique mathématique et qui forme le cadre de réflexion de divers domaines, comme la théorie descriptive des ensembles ou la théorie des modèles, ainsi que le “fond” à la fois “ontologique” et de “légitimation” de

<footnote n="63">63. Nous reprenons ici un raisonnement que nous avons développé plus haut en 8.3.4.</footnote>

<footnote n="64">64. C'est-à-dire, peut-être, correspondre à une procédure de compte effective – évidemment impossible pour le transfini, *a fortiori* le transdénombrable –, peut-être correspondre à la grandeur bien déterminée d'une multiplicité – ce qui est rendu au moins douteux par l'indécidabilité persistante de l'hypothèse du continu –, peut-être correspondre à des totalités bien définies – ce qui est douteux si nous gardons son sens constructif original à l'idée de totalité comme résultat de la *synthèse* d'une opération –, peut-être correspondre à une classe d'équivalence par la bijection effective – ce qui est douteux si nous gardons à l'idée de *fonction* son sens constructif originel.</footnote>

<footnote n="65">65. Un souci que Woodin, le spécialiste mondial des grands cardinaux, a lui-même exprimé : “The trouble with set theory is that it is very hard to do mathematics when every problem is unsolvable. [...] I mean, it's not just CH that's unsolvable : many set-theoretical problems are unsolvable. It's like you can't get started. Because [...] you have to make choices : 'I wanna analyze this problem...oh ! it's independent, I have to choose an answer...alright, I choose : true. Now I go to the next problem...oh ! it's unsolvable...well, I'm gonna make another choice.' That's not mathematics.” W. Hugh Woodin, *The Continuum Hypothesis and the search for Mathematical Infinity*, Conférence, Copernicus Center for Interdisciplinary Studies, Cracovie 2015, https://youtu.be/nVF4N1Ix5WI (visité le 18/09/2018). Nous remercions Thomas Tulinski de nous avoir transmis cette citation.</footnote>

<footnote n="66">66. Un autre problème auquel ils donnent intrinsèquement lieu est l'impossibilité apparente de les considérer comme une multiplicité. Voir, très classiquement, le problème du “difficile réalisme” des cardinaux dont on ne peut faire la totalité, 4.2.3.</footnote>
l'objectivité infinitaire.

Elle ne peut pas – et telle n’est pas son ambition – être appliquée telle quelle et sans précaution supplémentaire à l’activité mathématique antérieure à Hilbert et Brouwer, à la mathématique précédant la crise enflammiste. Elle est tout simplement trop précise pour cela. Nous dirions de plus volontiers – mais ce point commande davantage de prudence – qu’elle ne peut pas être appliquée telle quelle et sans précaution à la pratique mathématique contemporaine en général, et que sur ce point également elle est tout simplement trop précise. En effet, il nous semble possible de dire que la véritable mathématique *ordinaire* n’a lieu qu’une fois une distance suffisante prise avec la logique et les problématiques fondationnelles, avec la rigueur du constructif et la littéralité du formalisme, et donc aussi avec les objectivités constructives et corrélatives telles qu’elles sont précisément décrites par Salanskis. Cela ne veut pas dire qu’il faille remettre en cause l’idée du double contrat fondationnel de la mathématique post-contemplative<fnref n="67" /> – ni même qu’une telle chose soit possible. Mais on peut se demander dans quelle mesure le contrat décrit la situation donnant lieu à la saisie de l’objet dans la pratique ordinaire, plutôt que la caution légale formant l’arrière-plan de repli possible et l’objectivité donnée pour ainsi dire “en contexte fondationnel”<fnref n="68" />”. En effet, le domaine de réflexion récent connu sous le nom de « philosophie de la pratique mathématique » nous a contraint à prendre en compte un certain scepticisme à l’égard du fondationnel et des problématiques mathématiques qui semblent idéalement taillées pour les philosophes – de la même manière, semble-t-il, qu’il faudrait se méfier d’une théorie de l’art focalisée sur le statut de *Fontaine de Duchamp*<fnref n="69" />.

“Dans le monde réel”, pourrait dire, il nous semble, un historien ou philosophe de

<footnote n="67">67. Cf. citation p. 457.</footnote>

<footnote n="68">68. Ce qui, toutefois, pourrait bien aussi englober l'objectivité de la théorie des ensembles quand elle est étudiée pour elle-même, de la logique mathématique en général et des pratiques à fortes tendances logiques comme la théorie des modèles ou l'analyse non standard, et bien sûr des pratiques constructivistes elles-mêmes.</footnote>

<footnote n="69">69. Pour une première approche du domaine, on recommandera l'excellent recueil de MANCOSU, *The Philosophy of Mathematical Practice* cit., qui contient de nombreux articles aptes à propager efficacement le sentiment de scepticisme dont nous parlons. Dans le même ordre d'idées, l'article de Yehuda Rav est une puissante mise en perspective (« Why Do We Prove Theorems? », *Philosophia Mathematica*, 7, 1 (1999), p. 5-41).</footnote>
la pratique mathématique, les preuves ne sont pas vraiment des objets constructifs, au
sens précis que Salanskis donne à ce terme, mais de véritables textes écrits (ou dits) dans
plusieurs registres de langages hétérogènes à la fois, et dont les phrases ne sont pas des
objets formels, ou jamais complètement. De même, les multiplicités ne sont jamais vrai-
ment saisies par engagement intentionnel sous une axiomatique, mais à travers plusieurs
formalismes, de façon indifférente à l'exactitude de l'un d'entre eux en particulier, et en
travaillant sur les objets à isomorphisme (nécessairement informel, en dernière instance)
près<fnref n="70" />.

Cela pourtant ne nous parait pas réellement entamer la pertinence de l'analyse mé-
taconstructiviste. Si, du moins, et c'est la proposition que nous faisons ici, on accepte
de perdre en spécificité ce que l'on gagne en extension, et de parler d'un *plan de l'opéra-
toire*, ou de *l'idéal/constructif*, soit de l'enchaînement réglé d'opérations ou gestes non-
empiriques, et d'un *plan des idéalités*, ou de *l'idéal/fictif*, soit des multiplicités envisagées
comme *corrélats visés de postulations théoriques* ou “*habitants*” d’espaces d’opérations
*implicitement admis*. L'idée est de garder l'essentiel de l'analyse des objectivités construc-
tive et corrélative, mais en l'élargissant aux contextes moins strictement formels et plus
ou moins indifférents aux questions fondationnelles, qui forment le principal de l'activité
mathématique ordinaire et surtout de l'*histoire* des mathématiques. Nous n'avons pas
l'espace ni la compétence pour développer ici un tel élargissement, mais nous voudrions
en présenter une première esquisse qui permette de rattacher directement l'œuvre de
Zénon à la problématique métamathématique.

En effet, que le contexte fondationnel soit propre à certaines pratiques et à une
certaine époque ne veut pas dire que les mathématiques ne peuvent pas être plus gé-
néralement décrites selon une double polarité entre un plan partagé de la succession
constructive ou inférentielle (plan des gestes), constituant un fond commun générale-
ment indifférent au scepticisme (ou du moins fonctionnant *du moment* qu'il échappe au

<footnote n="70">70. Voir notamment Colin McLarty, « What Structuralism Achieves », in MANCOSU (éd.), *The Philosophy of Mathematical Practice* cit., chap. 13, p. 354-69 qui montre la difficulté pour les théories de philosophie des mathématiques les plus courantes de rendre compte d'une chose aussi ordinaire que l'identification d'un objet comme « le corps des complexes » dans la pratique élémentaire, par exemple dans les exposés standard comme ceux que l'on peut trouver dans les manuels.</footnote>
scepticisme) et un plan de la postulation d'“existence” d'une multiplicité d'objets telle qu'elle est toujours appréhendée sur un mode quasi-fictif, du faire comme si, qui peut quant à lui inviter des discussions philosophiques, un “platonisme”, un scepticisme – ou une simple indifférence pour qui n'est pas enclin à ce genre de pente intellectuelle. Il va de soi que l'un et l'autre de ces plans va tendre à avoir, à chaque époque et dans chaque milieu de pratique mathématique, un contenu spécifique (différents groupes n'opèrent pas avec les mêmes gestes et ne parlent pas des mêmes objets), une communauté étant mathématiquement unifiée en proportion de l'unité de ces contenus, et ceux-ci changeant naturellement en même temps que les communautés.

Outre la polarité elle-même, il importe pour notre propos que nous puissions conser-
ver d'autres traits du métaconstructivisme, notamment les deux suivants : 1/ le fait que
le corrélatif, ou le plan idéal/fictif de la postulation existentielle, consiste – au moins
en général – à idéaliser des espaces d'opérations possibles, et donc demeure en ce sens
lié au plan opératoire de l'idéal/constructif sur un mode englobant, transcendant, ou de
présupposition, à la manière dont la postulation ensembliste consiste en général à pos-
tuler comme toujours déjà là les résultats possibles d'opérations ou pseudo-opérations
ensemblistes; et 2/ le fait que le constructif ne puisse jamais être strictement empirique,
mais soit toujours ouvert sur une forme d'idéalité, cette idéalité qui fait qu'un signe
est saisi comme identique à travers ses occurrences (idéalité du symbolique) et/ou que
nous opérons toujours comme si nous pouvions répéter nos opérations indéfiniment, un
“ comme si ” qui n'est plus cette fois seulement une projection fictionnelle, car elle déter-
mine immédiatement le sens de chacun de nos gestes. Nous supposons que nous pouvons
répéter nos opérations indéfiniment, mais plus que cela chacune de nos itérations n'a
de sens comme itération que par cette présupposition qu'elle englobe, et que nous ne
pouvons pas, par conséquent, ne pas présupposer.

Dans ce nouveau portrait élargi, s'il est vrai, par exemple, qu'une preuve n'est pas
en général un objet entièrement explicité comme le sont les objets constructifs stricts, il
reste qu'elle renvoie essentiellement à des pas théoriques ou inférentiels supposés partagés
par la communauté des destinataires. Chacun de ces pas peut lui-même (en cas de
non-compréhension) être explicité et développé sous la forme d'une série d'autres pas théoriques, avec l'idée que pour toute communication de preuve réussie on doit parvenir à des pas ultimement acceptés comme évidemment valides ou possibles, ou justifiés par hypothèse. Même dans des cas où des preuves sont trop idiosyncrasiques et complexes pour en fait être comprises par un quelconque destinataire autre que leur auteur, ou même dans des cas de preuves accomplies par ordinateur, trop longues et complexes pour être lues par des humains ou des communautés d'humains, dans les deux cas on suppose que l'enjeu de l'acceptation de la preuve comme telle est de savoir si le résultat qu'elle apporte est ou non obtenu par une pratique successive de justification dont chaque pas est en principe acceptable pour la communauté, en est un itérable *a priori*. Nous proposons, dans une caractérisation volontairement vague, de définir le plan idéal/constructif comme celui des opérations déterminables *a priori* (c'est-à-dire appréhendées essentiellement comme déterminables *a priori*), gestes du corps idéal. On peut trouver une excellente thématisation de ce point chez un auteur qui est au contraire sceptique à l'égard de l'idéalité possible – comprise comme itérabilité indéfinie – de ces gestes : Brian Rotman. Dans son ouvrage de 1993<sup>71</sup>, il confronte le raisonnement itératif indéfini aux types d'arguments conçus pour le mettre en échec, à savoir les *sorites*. Ceux-ci, on s'en souvient, consistent à poursuivre un pas inférentiel itérable, supposé indéfiniment itérable, jusqu'à une conclusion absurde (ajouter un grain de sable à ce qui n'est pas un tas n'en fait pas un tas, mais alors l'ajout indéfini de grains ne produira jamais un tas, ce qui est absurde). Nous proposons, dans un chapitre précédent, de résoudre la question de la délimitation entre les prédicats courant ou non le danger d'un sorite, justement par la question de la déterminabilité *a priori* du résultat de l'opération supposée itérable<sup>72</sup>.

<footnote n="71">71. Brian Rotman, *Ad infinitum...the Ghost in Turing's Machine. Taking God out of Mathematics and Putting the Body back in*, An essay in corporeal semiotics, Stanford University Press, 1993, en particulier p. 54-8.</footnote>

<footnote n="72">72. Dans un sorite, le pas itérable est (nous pouvons le concéder) vrai en tous les cas, mais il est toujours *empiriquement* vrai, en sorte qu'il requiert par essence une *évaluation empirique* de la situation de départ comme de la situation d'arrivée, d'une manière qui ne peut jamais garantir la stabilité des états prédits. Le pas consiste en une *prédiction* portant sur le *maintien d'une évaluation empirique* avant et après une modification minimale directement observée (si je juge qu'un amas de grains n'est pas un tas et que j'observe l'ajout d'un grain, mon jugement qualitatif se maintiendra), mais cela ne garantit pas (c'est là l'empiricité) qu'une nouvelle évaluation de la même situation n'aurait pas jugé *tas* ce qui la première fois était jugé *non-tas*. En sorte que le pas n'est pas réellement itérable. Voir 3.7.</footnote>
Nous voulons maintenir ici cette analyse : Rotman, qui veut remettre en question notre capacité à croire en la possibilité et la pertinence d'une opération indéfiniment itérable, en tire directement la conclusion d'une extension du domaine du sorite à l'ensemble des mathématiques et notamment à l'arithmétique qui en forme le “socle constructif” fondamental. Il propose ce qu'il appelle une “arithmétique non euclidienne” (c'est-à-dire à laquelle on soustrait l'axiome d'itérabilité infinie, par analogie avec la géométrie non-euclidienne privée de l'axiome des parallèles), dans la perspective d'une remise en cause de l'idéalité véritable du signe ; et il juge, dans la lignée pragmatiste ou derridienne examinée plus haut, que le signe n'est jamais en fait insensible à ses variations<sup>73</sup>.

> Le défi au principe de l'ad infinitum naît de la possibilité que la répétition du tracé d'une marque ne soit pas une affaire immuablement homogène. Si elle l'était, il pourrait n'y avoir en effet aucun obstacle rationnel et intrinsèque au fait de toujours le refaire une fois de plus. Mais si, au contraire, on considérait que l'opération consistant à ajouter une marque -- la « même » opération identiquement appliquée à la « même » marque -- produisait cumulativement une différence qui ne soit pas elle-même définissable au niveau de ces identités -- une différence qui fasse la différence, capable d'introduire des changements qualitatifs (jusqu'à « clôturer » ultimement le processus en son entier) -- alors nous obtenons une interprétation radicalement neuve du compte et de la construction des nombres entiers. Et, associée à cette interprétation, émerge la possibilité de formuler une arithmétique non-euclidienne<sup>74</sup>.

<footnote n="73">73. Il y aurait beaucoup à dire sur l'ouvrage de Rotman, et il serait intéressant de produire une comparaison systématique de son analyse avec le métaconstructisme de Salanskis. Comme ce dernier, Rotman semble se situer entièrement sur le plan d'une mathématique en contexte fondationnel formel, mais son compte rendu de l'activité mathématique sépare l'agentivité de la mathématicienne en trois instances : la personne, socio-historiquement située, participant à la communauté mathématicienne réelle et recevant les discours informels ; le sujet, abstrait de toute situation sociale et chargé de suivre et d'accomplir la preuve ; et l'agent, projection fictive accomplie par le sujet et censée accomplir les opérations, éventuellement indéfinies voire transdénombrables, qui sont prescrites dans la preuve. Rotman rattache ces trois instances à des indices linguistiques bien déterminés. Voir aussi Brian Rotman, « Towards a Semiotics of Mathematics », *Semiotica*, 72 (1988), p. 1-35.</footnote>

<footnote n="74">74. “The challenge to the *ad infinitum* principle arises out of the possibility that the repetition of making a mark is not a homogeneously unchanging business. If it were, there might indeed be no rational, internally constituted obstruction to always doing it one more time. But if, on the contrary, the operation of adding a mark -- the identically 'same' operation applied to the 'same' mark -- were to be understood as cumulatively productive of a *difference* not itself definable on the level of these identities -- a difference that made a difference, one capable of introducing qualitative changes (ultimately bringing the entire process to a 'close') -- then a radically new interpretation of counting and construction of the whole numbers presents itself. And, associated with this interpretation, there emerges the possibility for the formulation of *non-Euclidean* arithmetics.” ROTMAN, *Ad infinitum... the Ghost in Turing's Machine* cit., p. 56.</footnote>
Cela ne veut pas du tout dire, notons-le, que toute opération déterminable *a priori* doit pour cela même être indéfiniment réitérable. On peut par exemple établir, *a priori*, une limite stricte à sa réitérabilité (fixer un nombre entier maximal A), limite extrinsèque qui, comme le remarque Rotman lui-même, ne peut pas établir de façon satisfaisante une remise en cause de l'infinitisme, précisément parce qu'elle ne remet pas en cause le caractère *intrinsèquement réitérable* des opérations extérieurement limitées.

Quoi qu'il en soit, la présence d'un ensemble de tels gestes déterminables *a priori* nous semble être ce qui permet de rendre « *mathématique* » un domaine, au sens de ce qui peut être sujet à un traitement mathématique – comme la logique, la physique ou l'informatique, quand elles sont supposée avoir une forme mathématique, ou encore les jeux aux règles bien formées et susceptibles de formalisation, comme les échecs. Le point commun en est la présence (assumée par hypothèse quand commence la mathématisation) d'un ensemble de gestes ou événements *non-empiriques* au sens ici considéré (dont la détermination du résultat ne requiert pas une vérification empirique). Il se peut, si nous pouvons nous permettre une telle hypothèse de nouveau volontairement vague, qu'une théorie soit (au sens large) « *mathématique* » justement quand elle entreprend l'étude d'un tel domaine de gestes<sup>75</sup>.

Est-il possible, comme nous l'espérons, d'appliquer ce modèle élargi à des contextes mathématiques divers, et notamment de s'en servir pour établir un rapprochement entre Zénon et le contexte contemporain ? Nous le croyons, quoi que nous ne puissions ici, de nouveau, que proposer des suggestions.

Dans ce nouveau contexte plus général, on ne s'intéresse pas tant, dans le constructif, à des pas ultimes irréductibles – qu’il serait possible de lister exhaustivement à l’avance – qu’à des pas *suffisamment acceptables* et toujours susceptibles d’explicitation dans des pas plus élémentaires. Or, ceci nous renvoie à une notion élaborée dans le cadre de l’étude

<footnote n="75"><sup>75</sup> Nous disons « au sens large », parce qu'un tel critère ne suffit pas à caractériser les mathématiques au sens restreint, comme discipline, par différence d'avec justement la logique, la physique, l'informatique ou la théorie des jeux. Cette différence, elle-même souple et certainement sentie différemment par les différents praticiens, n'est pas notre objet, nous cherchons au contraire à suggérer une piste justifiant le caractère « mathématique » de la logique et la physique dites « mathématiques ».</footnote>
des mathématiques hellénistiques, qui est celle de « boite à outils » ou « tool-box<fnref n="76" /> ».
Ce terme désigne l'ensemble des constructions et pas inférentiels, non-élémentaires, mais ne nécessitant pas de justification spécifique dans la pratique mathématique – non scolaire – ordinaire. Il est entendu que tout mathématicien professionnel, faisant usage de la boite à outils, est supposé capable d'une telle justification qu'il ne fournit pas explicitement, explicitation qui peut être trouvée dans les « Éléments » de géométrie, à savoir justement les livres ainsi nommés d'Euclide<fnref n="77" />. Ce dernier fournit des outils mobilisables, eux-mêmes élaborés à partir de pas constructifs ou inférentiels élémentaires – que nous connaissons sous les noms divers de « demandes », « axiomes », « notions communes » ou « postulats » – et applicables sous la supposition d'une configuration donnée d'un certain type (si j'ai une droite finie donnée, je peux construire un triangle équilatéral sur elle (outil de la boite) parce que je peux tracer des cercles ayant la droite pour rayon (demande élémentaire)). Notons que là encore, il ne semble pas qu'Euclide ait un souci d'absolue exhaustivité dans l'explicitation des pas élémentaires utilisables, d'où le reproche de « manque de rigueur » que l'on adresse souvent aux Éléments et qui n'a pas nécessairement toujours lieu d'être. En pratique, dans une communication mathématique réelle, les pas constructifs et les pas inférentiels sont plus ou moins explicités et plus ou moins évidents selon la communauté effective qui doit recevoir le texte mathématique (et la manière dont on veut qu'elle la reçoive : est-elle supposée devoir faire l'effort de chercher par elle-même ?).

Il est moins évident de trouver, par exemple dans Euclide, un domaine véritablement analogue aux multiplicités déterminées par axiomatique données dans le contexte formaliste. Néanmoins, on peut remarquer que les figures, les droites, les cercles, les nombres, et les capacités d'élaborer chacun de ceux-ci dans une extension et complexité sans limites, sont certainement objets de contestation ontologique possible. Dans la

<footnote n="76">76. Sur cette notion, voir NETZ, *The Shaping of Deduction in Greek Mathematics* cit., p. 216-35, Karine Chemla, « Mathematical proof : a research programme », in Karine Chemla (éd.), *The History of Mathematical Proof in Ancient Traditions*, Cambridge University Press, 2012, p. 1-68 et le site de Ken Saito, Ken Saito, *greekmath.org*, http://www.greekmath.org/ (visité le 28/09/2018).</footnote>

<footnote n="77">77. Il ne s'agit pas, en fait, de l'ensemble des livres des « Éléments » qui remplissent cette fonction de boite à outils, mais cela n'a pas d'importance ici.</footnote>
pratique mathématique hellénistique, le mathématicien a *indubitablement* en face de lui
des diagrammes comme outils de manipulation, et accomplit *indubitablement* un usage
réglé des phrases et des lettres (quoi qu’un usage non formaliste, admettant toujours une
variabilité possible), mais il ne peut pas considérer les cercles, les droites et les points
comme *donnés* dans le constructif<sup>78</sup>. Leur existence doit être *postulée*, à la manière où
l’on postule l’existence d’entités non empirique, au sens double où leur existence ne
peut être empiriquement constatée, saisie à partir des sens, et où elles sont capables de
subir des opérations au résultat déterminé *a priori*. Ce même point est *a fortiori* mani-
feste quand, à la manière des modernes, on considère que les opérations prennent place
dans un *espace* global d’opérations. D’où la possibilité d’un scepticisme ou d’un débat
philosophique relatif à la nature et l’existence de ces objets.

Mais en vérité, ne pouvons-nous trouver cette dualité au mieux représentée chez
Zénon lui-même ? Les arguments qui nous intéressent ici ne reposent-ils pas sur la sup-
position d'une réitérabilité indéfinie d'opérations non-empiriques dans le contexte de la
postulation fictionnalisante d'une *multiplicité d'étants* définis par leur capacité à subir
certaines opérations, et que nous "manipulons" idéalement à travers nos inférences et
nos intuitions géométriques et dialectiques ? Le statut de *réduction à l'absurde* est ici
hautement significatif; en effet, que suppose une réduction à l'absurde ? Elle suppose que
nous soyons capables de postuler fictivement une situation (puisque, par hypothèse, s'il
y a réduction à l'absurde c'est que cette situation est impossible et ne peut être donnée
que comme fiction) et de pouvoir malgré cela appliquer sur elle des opérations dont nous
devons connaître *a priori* le résultat (car, de nouveau, la situation étant impossible *nous*
*ne saurions aller vérifier sur place son résultat*).

Comment devons-nous, finalement, recevoir Zénon aujourd'hui ; et, en retour, quel
usage pouvons-nous faire de la mathématique contemporaine en ce qui concerne les
apories zénoniennes du mouvement ?

<footnote n="78">78. Sur le fait que les diagrammes n'ont ni un rôle ontologique ni même un rôle représentatif, voir MANDERS, « The Euclidean Diagram » cit., David Rabouin, *Vivre ici. Spinoza, éthique locale, Méta-physiqueS*. Presses Universitaires de France, 2010, p. 65-74 et NETZ, *The Shaping of Deduction in Greek Mathematics* cit., chap. 1.</footnote>
La réponse philosophique standard à Zénon, à partir de la modernité et surtout au
xxᵉ siècle, a consisté à mobiliser explicitement ou non la thématisation mathématique
d'objets infinis ou de séries infinies traitées comme achevées. Ce que nous voulons ici
affirmer, c'est que l'erreur caractéristique des solutions de ce type est de confondre les
deux régimes de l'objectivité ou les deux plans de l'activité mathématique. C'est-à-
dire que leur erreur consiste à comprendre les arguments de Zénon comme relevant de
l'objectivité corrélative ou de la possibilité de travailler de façon cohérente et réglée avec
des objets infinis ou de postuler l'existence du transfini. Dans le corrélatif, pourtant,
il est possible de considérer un processus qui, du point de vue constructif, ne saurait
être achevé, et d'agir *comme si* ce que ce processus peut construire nous était donné
d'emblée, en totalité, sans que cette totalité ait à *avoir été constituée* effectivement dans
le temps selon le processus lui-même.

Les arguments de Zénon pourtant ne relevaient que du constructif, et ils énonçaient
que si un processus constructif reproduit à chaque étape les conditions de sa réitération,
alors il ne saurait s'achever. Ce plan des gestes idéaux a bien à voir avec l'infini, mais
uniquement sur le mode de l'horizon inachevable des opérations. Si l'on quitte le do-
maine de la processualité pour traiter les opérations comme des éléments idéaux dont
on postule d'emblée la totalité existante, sans que cette totalité ne puisse effectivement
être produite, ne puisse advenir dans le temps, alors on se trouve croire avoir résolu
Zénon quand on n'a fait que sortir du problème. La question n'est pas : « existe-t-il un
ensemble infini », ou « un ordinal transfini ? », mais « est-il possible de finir de compter
jusqu'à l'infini ? », « est-il possible d'avoir fini un raisonnement comportant une infinité
d'étapes ? », ou en général « peut-on mener une opération sans fin puis passer à autre
chose ? ». Or, ces questions ne se posent pas, nous semble-t-il, d'une manière foncièrement
différente aujourd'hui qu'à l'époque de Zénon. Et nous serions tenté de dire que leur ré-
ponse est non, car en substance elles demandent : « peut-on achever l'inachevable ? »
Que la réponse soit négative, nous l'avons vu, cela n'est pas réfuté ni contredit par la
mathématique contemporaine, qui ne semblait donner caution à cette possibilité qu'en
contournant la question. En retour, cette impossibilité pourrait bien être le postulat de
départ des domaines qui réfléchissent mathématiquement à des processus constructifs, comme l'informatique théorique ou la théorie de la démonstration<sup>79</sup>. Après ces détours, on comprend alors Zénon d'Élée lui-même comme le premier philosophe de l'objectivité constructive, parce qu'il est le premier philosophe de l'itération infinie (avant les analyses indépassables d'Aristote). Il serait même possible d'aller jusqu'à dire que l'infini, tel qu'il est mobilisé par Zénon, et surtout théorisé par Aristote – que nous qualifierions volontiers d'infini de Zénon/Aristote – est précisément l'infini comme inachevable du constructif, celui qui, d'après l'analyse métaconstructiviste, est au principe de l'idéalité mathématique opératoire.

> L'objection qu'il serait possible de faire à la considération menée dans la présente section n'est, à notre avis, qu'apparente. Elle consiste à soulever le fait – en lui-même indéniable – que la théorie de la démonstration ou l'informatique théorique ne se sont pas, en fait, toujours tenues de ce côté-ci de l'horizon indéfini, et qu'elles ont régulièrement théorisé quelque chose de l'ordre de l'opératoire transfini.

> C'est là un point que nous avions déjà évoqué à propos des supertâches : une grande partie de la littérature, notamment depuis les années 1990, part de l'hypothèse de la possibilité des supertâches, et élabore dans une sophistication grandissante la théorie de la puissance démonstrative des nouvelles "machines idéales" capables d'un achèvement infinitaire. Ce faisant, elle prend au sérieux et étudie, à la suite de Putnam et Benacerraf, la suggestion de Weyl selon laquelle l'acceptation de l'achevabilité des tâches infinies conduirait à la possibilité de résoudre la totalité des problèmes portant sur des nombres entiers<sup>10</sup>.

> Dans la nouvelle situation, il sera possible de considérer, par exemple, une machine de Turing transfinie fonctionnant comme une machine ordinaire à ceci près qu'elle est capable, dans un temps arbitrairement court, de transmettre ou bien le résultat de son arrêt, ou bien le fait qu'elle ne s'est jamais arrêtée. Les informations de ce second type sont évidemment inaccessibles aux machines ordinaires, et peuvent être utilisées pour de nouvelles "computations" plus complexes. Notre réponse générale à ce genre de développements, qui sont complexes et dans le détail desquelles nous ne pouvons pas entrer ici, serait que l'opératoire transfini est aussi un opératoire transtemporel, échappant, d'une manière ou d'une autre, aux contraintes de la temporalité opératoire.

<footnote n="79"><sup>79</sup> Sur une objection possible à ce point, voir l'encadré qui suit.</footnote>
En première approximation, il semble qu’il le fasse de deux manières. Dans le premier cas, on se donne simplement une machine de Turing à vitesse zénonienne, pour laquelle on arrange un mécanisme capable de communiquer une absence de réponse, le fait que la machine ne s’arrête jamais. Dans d’autres versions, on obtient un résultat analogue évitant de supposer une vitesse infinie par l’imbrication d’une infinité de machines opérant successivement. Il nous paraît raisonnable d’estimer que des machines de ce type ne sont pas envisageable dans le même esprit que celui qui motivait les machines de Turing traditionnelles – à savoir l’idée d’une analogie, ou d’une représentation idéale, de ce qu’est l’acte de computation – mais en ayant à l’esprit des séries infinies supposées données. Encore une fois, le processus est supposé donnable en entier sans qu’un opérateur ait à suivre l’entièreté des étapes. En somme, nous dirions que cette approche consiste à faire repasser l’opératoire du côté du corrélatif.

Le second cas est cependant fort intéressant : il envisage, qu’une « bifurcation » temporelle, permise par certains modèles de la relativité générale, fasse qu’un temps infini le long de la « ligne d’univers » d’un certain système prenne entièrement place dans le “cône de lumière” d’un événement d’un autre système, en sorte que, pour les habitants de ce dernier, l’infinité temporelle du premier système apparaisse comme *entièremment passée*. Une machine de Turing traditionnelle alors placée dans le premier système deviendrait, dans le second, analogue à une machine de Turing à vitesse zénonienne, mais sans avoir à supposer l’*achèvement effectif* d’un infini dans une ligne temporelle. À strictement parler, cette nouvelle machine n’achève jamais son calcul, mais l’éternité dans laquelle elle ne l’achève jamais est pour nous entièrement passée. On se trouve alors dans le cas suggéré dans le chapitre 8, d’une temporalité infini considérée d’une manière en quelque sorte *orthogonale* à notre propre temporalité. La temporalité du premier système doit être vécue comme disjointe de la notre. La question reste posée de savoir s’il y a des modèles de la relativité générale permettant une pareille situation qui soient suffisamment raisonnables pour être physiquement réalisables ; nous n’exclurions pas qu’une métaphysique du devenir soit amenée à gager sa validité sur l’exclusion de tels modèles ; mais nous notons que de telles situations ne contredisent pas, en elles-mêmes, les conclusions ici avancées, quelles que soient par ailleurs les leçons métamathématiques anti-intuitionnistes, que l’on décide d’en tirer.

<footnote>a. Voir les références en PÉREZ LARAUDOGOITIA, « Supertasks » cit. et MANCHAK et ROBERTS, « Supertasks » cit.</footnote>

<footnote>b. Voir par exemple E.B. Davies, « Building Infinite Machines », *The British Journal for the*</footnote>
*Philosophy of Science*, 52, 4 (2001), p. 671-82.

c. Par exemple dans EARMAN et NORTON, « Infinite Pains » cit.

d. Du type : « il existe nécessairement une solution en soi à la conjecture de Goldbach, celle que donne une machine de Turing placée dans une ligne bifurcante ».

## 10.4 Bilan du chapitre

Nous voudrions, pour finir cet ultime chapitre, récapituler la nature exacte de l'argument mené dans la seconde partie, et en évaluer les possibles limites.

### 10.4.1 Récapitulatif

Rappelons, en quelques mots, quel a été notre argument durant cette seconde partie et quelles sont nos conclusions.

Nous soutenons que se pose légitimement, aujourd'hui comme au temps de Zénon qui l'a soulevé pour la première fois, un problème de l'inachevable. Celui-ci consiste dans le fait que certains processus temporels ordinaires semblent enfreindre, si on en croit une certaine analyse, un principe très important de notre intuition du temps que nous avons appelé le principe d'achevabilité, et qui consiste à dire que ce qui ne saurait avoir un achèvement intrinsèque ne saurait non plus se trouver avoir été achevé dans le temps. Nous avons soutenu que la seule raison qui, historiquement et rationnellement, avait pu ou pouvait conduire à rejeter ce principe *a priori* vraisemblable était l'existence de théories mathématiques semblant traiter d'objets le contredisant, ou en constituant des contre-exemples. Nous avons alors essayé de montrer, par plusieurs voies, que ces objets ne pouvaient jamais jouer un tel rôle dans la mesure où, dans la pratique mathématique elle-même, ils n'advenaient que dans des contextes de *contournement* de la succession opératoire, et plus précisément encore se présentaient comme *transcendants* par rapport à ce qui peut être produit en général par une succession. Parallèlement, nous avons voulu montrer que le principe d'achevabilité ne prenait son sens véritable qu'au sein d'une intuition du temporel qui soit une intuition du passage ou du devenir, dont le tenant fondamental était la dépendance de l'être fait à l'égard du faire : un objet contredisant le principe d'achevabilité se caractérisait, au contraire, soutenions-nous, par le fait qu'il
ne peut par essence n'être pensé comme *fait* que dans le contournement ou l'oubli du *faire*. Il nous fallait alors accomplir deux tâches relatives à notre intuition du devenir : la première consistait à remettre au moins en doute nos capacités conceptuelles à en proposer une véritable alternative, considérant que les théories portant sur la succession ou la temporalité empruntaient toujours à cette intuition leurs notions d'ordre ou de série ; et la seconde consistait à défendre la validité de l'intuition devant certaines remises en cause rationnelles, et d'expliciter le genre de perspectives sur le temps et la logique auxquelles elle nous conduisait.

### 10.4.2 Qu'est-ce que tout cela prouve ? (suite et fin)

Tout ceci étant rappelé, la question se repose, finalement, de la portée exacte de nos conclusions. Qu'est-ce que tout cela prouve ?

Un premier point, que nous avons déjà indiqué mais sur lequel il est important d'insister, est qu'aucune de nos analyses ne permet en tant que telle de défendre un scepticisme à l'égard des idéalités transfinies cantoriennes et des résultats infinitaires de la théorie des ensembles. Les considérations sur le constructif et l'axiomatique ne semblent pas devoir *dominer* les résultats proprement mathématiques portant sur le fini et l'infini ou le continu et le discontinu. Elles n'annulent pas le fait que nos meilleures théories concernant ces concepts sont le produit de l'œuvre mathématique elle-même, quoi que puisse dire sur cette œuvre la philosophie de la pratique mathématique et quelle que soit la pertinence que garde Zénon lui-même à l'égard de cette pratique. Nos analyses portaient sur l'infinité relativement au temps et à la succession, et ne peuvent en soi gêner l'interrogation qui accepte de contourner les exigences constructives qui sont des exigences temporelles, et se demande ce qu'il en serait de l'infini *si* nous étaient données des totalités transfinies et *si* nous pouvions garantir l'existence en général d'une fonction de choix.

Le second point est plus important : avons-nous, en fait, établi que le refus du principe d'achevabilité implique l'abandon du devenir ? et, conjointement, avons-nous établi que toute pensée authentique du temps et du mouvement impliquait l'idée du devenir
et de la dépendance de l’être fait à l’égard du faire ? Dans les deux cas, la réponse doit être négative. En effet, dans l’un et l’autre cas nous n’avons pas exhibé l’impossibilité de penser une chose sans l’autre (le devenir sans l’achevabilité, le temps sans le devenir), mais nous avons dû nous contenter d’offrir une déconstruction des raisons (la mathématique transfinie, la logique classique) qui semblaient encourager à nier leurs liaisons. Mais tout ce que nous avons pu montrer est que nous tirions nos idées de l’ordre et de la série de notre expérience du temporel. Cela signifie-t-il que ce que nous exprimons par elles doive nécessairement renvoyer à (des aspects de) cette expérience ? Qu’il n’y ait d’ordre que s’il y a devenir ? De même, nous avons tenté de défendre, à la suite de Dolev, que nous ne faisions pas véritablement sens des prédicats temporels en dehors du cadre conceptuel que nous tirons de notre expérience d’une distinction entre ce qui est passé, présent ou futur. Cela signifie-t-il que nos concepts temporels qui cherchent à s’extraire de cette distinction sont condamnés à échouer ? Beaucoup, à n’en pas douter, le nieront.
Conclusion : Les paradoxes de
Zénon et l'aporie du passage

m. *L'ouvrage Les problèmes d'un problème (Paris, 1917) qui discute, dans l'ordre chronologique, les solutions du fameux problème d'Achille et de la tortue. Deux éditions de ce livre ont paru jusqu'à présent; la deuxième porte en épigraphe le conseil de Leibniz : « Ne craignez point, Monsieur, la tortue », et renouvelle les chapitres consacrés à Russell et à Descartes.*

Borges, « Pierre Ménard, auteur du Quichotte »

> Il est vrai que ces explications, qui concourent toutes à me disculper, ne s'ac-
> cordent pas ensemble et même s'excluent. Tout ce plaidoyer (ce rêve n'était pas
> autre chose) fait penser à la défense de l'homme que son voisin accusait de lui
> avoir rendu un chaudron en mauvais état. Premièrement, il lui avait rapporté
> son chaudron intact. Deuxièmement, le chaudron était déjà percé au moment
> où il l'avait emprunté. Troisièmement, il n'avait jamais emprunté de chaudron
> à son voisin. Mais tant mieux, pourvu qu'un seulement de ces trois systèmes de
> défense soit reconnu plausible, l'homme devra être acquitté.

Freud, L'interprétation du rêve

Récapitulatif du cheminement conceptuel

Dans notre première partie, nous nous sommes efforcé de présenter Zénon d'Élée comme l'inventeur, entre autres, d'un **argument de l'inachevable**.

Introducteur apparent des raisonnements infinitaires dans cette sorte de discours
grec qui sera, après coup, connu comme « philosophique », il fait un usage réglé, divers
et systématique, de ce que l'on peut appeler le **raisonnement itératif indéfini**, qui consiste à remarquer que chaque itération d'une certaine opération est *a priori* garantie de produire un résultat permettant sa réitération, et à en tirer la **conclusion méta-déductive** selon laquelle la poursuite de l'opération est **inachevable**, et le résultat cumulatif de cette opération, s'il existe, peut en un sens être dit « **infini** ». Ce type de raisonnement, qui pourrait bien avoir une origine directement mathématique, tirée en particulier de formes élémentaires de **combinatoire** ou théorie des graphes ayant manipulé des premières formes du **raisonnement par récurrence**, est en tout état de cause lié à la mathématicité en ce qu'il repose sur la considération d'**opérations non empiriques**, c'est-à-dire dont le résultat peut être déterminé tout à fait *a priori* et dans tous les cas, et qui notamment sont dès lors *a priori itérables*. Le **sorite** peut alors être compris comme l'application illégitime d'un type de raisonnement itératif dans un contexte d'opérations à résultat empirique.

Nous avons rattaché à ce type fondamental de raisonnement plusieurs formes parti-
culières, présentes dans les mathématiques et/ou la philosophie grecque, et notamment
classique et hellénistique, à savoir la **descente infinie**, que nous avons analysée comme
un **raisonnement itératif sous condition**, ainsi que la **réduction à l'infini** ou
l'**induction**, complète ou incomplète. Zénon lui-même en fait un usage au sein d'une
remarquable **dialectique du continu**, c'est-à-dire une argumentation tirant des conclu-
sions à partir des données élémentaires du concept de **composition du continu** : en
particulier, la double conclusion selon laquelle toute grandeur doit se diviser en consti-
tuants qui la composent, ne pouvant à leur tour être que des grandeurs, entraîne une
double infinité : à la fois au niveau de la *compositionnalité* de chaque étant, se retrouvant
composé d'une grandeur et d'une grandeur et d'une grandeur, à l'infini ; et au niveau
de la *multiplicité* de tous les étants, débordant nécessairement toute totalité donnée.
Nous avons tenté de montré comment la grande généralité du mode de raisonnement
permettait à ces arguments de conserver une pertinence, y compris dans le contexte
mathématique contemporain. Nous avons soutenu que le type d'**infinité** considérée dans
ces arguments devait, pour que les arguments aient la généralité adéquate, être compris
toujours d'abord comme inachevabilité, caractère intotalisable.

Nous avons montré comment cet **infini comme inachevable**, théorisé par Aris-
tote comme infini en puissance et seul infini réel, était directement à l'œuvre dans
les arguments zénoniens constituant une **dialectique du mouvement**, qui démon-
trait l'impossibilité de ce dernier sur la base d'une double exigence d'**achevabilité**
et d'**omnidivisibilité**. Nous avons proposé un panorama du **système des réponses
possibles**, d'abord aux apories du continu, puis, avec les modifications nécessaires, à
l'aporie de l'inachevabilité.

Dans la seconde partie, nous nous sommes alors consacré à cette aporie de l'inache-
vabilité elle-même. Il s'agissait à la fois de la défendre contre des arguments affirmant
son inanité, et de la caractériser comme **aporie du passage**.

L'analyse du *refus* de l'aporie, opposé par un certain nombre de chercheurs de différentes traditions, a révélé que le cœur de l'argument zénonien était un certain **principe** ou **postulat d'achevabilité**. Celui-ci constituant à dire, informellement parlant, que ce qui ne saurait avoir un achèvement présent dans le temps ne saurait non plus se trouver achevé. L'intuition sous-jacente à l'affirmation de ce principe, suggérions-nous, consistait en une **intuition du passage**, dont un composant fondamental était l'idée d'une différence primitive entre l'**être fait** et le **faire**, et d'une dépendance du premier à l'égard du second. Il apparaissait alors que le rejet du principe d'achevabilité reposait sur le rejet de cette subordination elle-même, c'est-à-dire, en même temps, sur le rejet de la réalité du **passage**. L'aporie de l'inachevabilité se révélait ainsi comme une **aporie du passage**.

Notre défense du principe s'est alors poursuivie dans quatre volets distincts. Dans le premier, nous avons voulu montrer en détail comment l'abord de la question de l'achevabilité dans la littérature analytique opérait un **déplacement systématique** du terrain du *faire* sur celui de l'**être fait**, déplacement qui ne pouvait qu'empêcher toute considération du problème à la hauteur du défi zénonien. Néanmoins, l'étude de la littérature, notamment sur les **supertâches**, nous a permis de dégager un cadre problématique où
s'opposent le **possibilisme** et l'**impossibilisme** – selon que l'être achevé d'une tâche indéfinie est, ou non, considéré comme possible –, ainsi que l'**incompatibilisme** et le **compatibilisme** – selon que l'impossibilité des supertâches est supposée entraîner, ou non, celle des tâches zénoniennes.

Dans le second volet, nous avons, *a contrario*, tenté de rendre compte de l'unité du principe d'achevabilité et de l'intuition du passage, en montrant comment le refus de ce principe consistait toujours en la **conversion d'un futur pur en passé pur**, et en l'incapacité de reconnaître la véritable **différence entre un modèle mathématique et un modèle temporel**. Nous avons, de plus, confronté deux grandes perspectives sur le temps, selon qu'elles admettaient ou non le caractère fondamental du **devenir**, du **changement** ou du **passage**. Remontant à ses sources logico-mathématiques, nous avons considéré le rejet de la réalité du passage par une partie de la tradition philosophique contemporaine; et nous avons défendu cette réalité, sur un plan conceptuel et logique. Nous oppositions, ce faisant, deux grandes perspectives : celle de la **logique du temps**, qui tente d'encadrer la réalité temporelle par la machinerie logique; et celle du **temps du logique**, qui étudie la soumission de l'ordre logique à une réalité temporelle qui l'emporte.

Les deux derniers volets considéraient alors ce que nous jugions être, historiquement, le seul véritable argument motivant un rejet du postulat d'achevabilité : à savoir la considération d'objets mathématiques infinis, semblant constituer des contre-exemples réfutant le postulat. Notre thèse était alors que ces objets ne sauraient, en fait, constituer de tels contre-exemples, ni motiver légitimement un tel rejet. L'avant-dernier volet, consacré au concept d'infini, a cherché à défendre la **distinction entre infini préalable et infini achevé**. Il a voulu montrer l'embarras conceptuel entraîné par le second, et le fait que, néanmoins, seul celui-ci pouvait jouer un rôle dans la résolution des problèmes zénoniens. Puis, il a présenté l'hypothèse selon laquelle l'utilisation d'un infini actuel en mathématique devait toujours consister en une **conversion de la perspective – impossible – d'un infini achevé, en la position d'un infini préalable**, formant une sorte d'**idéalisation** – déjà évoquée dans l'idée de la conversion du futur pur en
passé pur.

Ces considérations ne pouvaient néanmoins entraîner de véritables conclusions sur Zénon si on ne les intégrait pas dans une perspective plus largement et rigoureusement métamathématique. C'est ce que nous avons entrepris dans le dernier volet, où, présentant la perspective métaconstructiviste, nous sommes arrivé à l'idée que l'objectivité infinitaire, dans la mathématique ensembliste, ne justifiait en fait pas l'idée de l'achèvement d'une opération indéfinie, précisément en ceci qu'elle se présentait comme transcendante à l'ordre de l'opératoire. Plus généralement, nous avons dégagé une polarité entre un ordre de l'opératoire et un ordre de l'idéalité fictionnelle, cherchant à montrer que toute solution s'appuyant sur une objectivité mathématique infinitaire devait déplacer, dans l'ordre des existants idéaux, ce qui, depuis la perspective de Zénon, ne pouvait concerner que l'ordre de l'opératoire – au sein duquel la possibilité de l'achèvement de l'infini n'était jamais admise.

Avons-nous, finalement, prouvé le principe d'achevabilité, et réfuté la perspective possibiliste ? Nous ne saurions le croire. Mais nous avons fait notre possible pour montrer les difficultés conceptuelles que celle-ci implique, et pour faire sentir que le possibilisme entre en tension avec le tout de notre expérience. Y compris notre expérience de l'activité et de l'objectivité mathématique.

## Résoudre l'aporie

Ce travail a davantage consisté à défendre l'existence d'un problème, qu'à proprement entreprendre de le résoudre. Nous nous sommes, en outre, davantage concentré sur la perpétuelle reprise de la problématique à travers l'histoire que sur la répétition des solutions qui lui ont été apportées.

Il y a ainsi deux ouvrages, imaginaires, que notre texte n'est pas : le premier, *Les problèmes d'un problème*, sorti de l'imagination toujours infiniment adéquate de Borges, aurait exploré et discuté en bonne et due forme l'histoire des solutions à l'Achille. Le second, *Passage ou positions : l'aporie de Zénon d'Élée et les problèmes philosophiques,*
tiré par pastiche et transposition de l'ouvrage de Jules Vuillemin<sup>80</sup>, aurait utilisé la Dichotomie comme matrice logique permettant de pénétrer au cœur de la constitution et de l'opposition des systèmes philosophiques de la nature à travers l'histoire.

Justement parce que nous croyons que les apories de Zénon permettent, dans bien des cas, de refléter l'essentiel des décisions philosophiques constitutives d'un système – offrant par là la parfaite opportunité pour une véritable *philosophie comparée* – l'un et l'autre ouvrage nous sont néanmons apparus impossibles. Le premier, du fait de la nécessité qu'il y aurait à explorer en profondeur l'ensemble des grandes traditions philosophiques – tâche qui ne saurait être que collective ; le second, parce que le problème allant jusqu'à concerner le statut du *logique* lui-même, nous estimions que l'entièreté des résolutions possibles ne pouvait tenir à l'intérieur d'une matrice axiomatique.

Est-ce à dire que nous n'avons rien, à l'issue de ce travail, appris sur la résolution du problème, ni sur la systématique de ses grandes réponses possibles ? Loin s'en faut, et nous allons aborder ces points pour finir.

## L'aporie comme telle

Il nous faut considérer, à un premier niveau, l'aporie comme telle. Reconnaître la réalité de l'impasse que la pensée doit affronter quand elle aborde la question du mouvement, quand elle s'efforce d'appréhender le concept du mouvement comme tel. Penser le mouvement consiste, en effet, à penser d'un même tenant deux exigences contradictoires. D'un côté, non seulement l'omnidivisibilité, partagée avec le continu, mais aussi l'omnidifférenciation apportée par le *passage*, séparant continuellement dans son parcours le passé de l'avenir, le fait de l'à faire ; de l'autre, l'achevabilité, la nécessité de *passer par l'ordre du faire* et que ne se trouve *accompli* que ce qui peut en effet *s'accomplir* au présent.

Le rejet de l'achevabilité nous oblige à oublier le *passage*, à considérer le mouvement sur le mode du *passé pur* ; ou bien, à projeter “l'indéfinité achevée”, pour ainsi dire, dans

<footnote n="80"><sup>80</sup> Jules Vuillemin, *Nécessité ou contingence. L'aporie de Diodore et les systèmes philosophiques*, Minuit, 1984.</footnote>
une direction *orthogonale*, afin d'en protéger l'ordre ordinaire du temps.

Le rejet de l'omnidifférenciation semble également nous obliger à oublier le passage ;
au profit, ou bien d'une multiplicité de positions, de “s'être mu” remplaçant le mouve-
ment, ou bien de “touts de mouvement” donnés dans leur entièreté.

Il est également clair que toute solution consistant à simplement admettre la contra-
diction, à lui opposer un scepticisme général, ou à l'ignorer, ne peut que continuer de la
reconnaître dans toute sa force.

Mais bien sûr, nous ne pouvons pas nier la réalité du mouvement. Non seulement
celui-ci est empiriquement évident, est une donnée de la certitude sensible, mais n'est-il
pas en outre *indubitable* au sens de Descartes, au même niveau que le *cogito* lui-même ?
Car après tout, puis-je même douter qu'il y ait passage sans reproduire directement ce
passage dans l'articulation de mon doute ?

Notons encore qu'il ne suffira pas, ici, d'opposer d'un côté nos constructions concep-
tuelles maladroites, et de l'autre la *chose elle-même*, le mouvement en personne, et de
décréter que l'aporie ne concerne manifestement que les premières. Car il resterait en-
core à préciser ce qu'est, au juste, "la chose elle-même". Que pensons-nous en fait quand
nous pensons que le *mouvement*, lui, échappe à l'aporie ? Que mettons-nous derrière ce
terme ? Quoi, sinon précisément ce dont le concept a été révélé impossible par l'argument
de Zénon ? Si *malgré tout, elle bouge*, il nous reste à signifier ce que cela *signifie* pour
nous, sinon qu'elle se soumet conjointement à l'omnidifférenciation et à l'achevabilité,
c'est-à-dire qu'elle est impossible<sup>81</sup> ?

<footnote n="81">81. Nous nous permettons de suggérer ici trois textes complémentaires, offrant d'autres perspectives, qui admettent l'aporie dans sa force véritable. Le premier est le formidable article du *Dictionnaire* de Pierre Bayle consacré à Zénon d'Élée, qui compense une connaissance mathématique souvent insuffisante aux moyens de la position sceptique de l'auteur, qui lui rend possible un opportunisme argumentatif absolu, poussant son génie d'autant plus loin qu'il ne craint aucune des conséquences. Le second est le très impressionnant passage consacré à notre auteur, dans les *Leçons d'histoire de la philosophie* de Hegel, qui analyse sa "dialectique objective du mouvement" comme révélant la contradiction réelle de la *continuité* et de la *ponctualité*, que l'espace et le temps nous contraignent pourtant à penser ensemble (Des Origines à Anaxagore cit., p. 133-53). Enfin, le troisième, extrêmement proche de notre perspective, est l'article essentiel de George Noël (« Le mouvement et les arguments de Zénon d'Élée », *Revue de Métaphysique et de Morale*, 1, 2 (1893), p. 107-125), article dont la lecture permettrait, dans une certaine mesure, de s'épargner celle du présent travail.</footnote>
## L'approche idéaliste

Néanmoins, comme l'exemple hégélien suffirait à le montrer, reconnaître l'aporie dans toute sa force ne veut pas forcément dire qu'il nous faut l'accepter, ni ne nous interdit tout effort pour y répondre. Ainsi, il y a en particulier toute une classe de réponses idéalistes, dans une tradition que l'on pourrait en un sens faire remonter jusqu'à Platon, mais qui prend plus clairement place au sein de l'idéalisme allemand, de Kant à, au moins, Hegel, et probablement plus avant et dans les traditions de l'idéalisme transcendantal. Nous ne pouvons ici rentrer dans aucun détail sur cette partie de l'entreprise philosophique, dont nous n'avons pour ainsi dire pas traité au cours de ce travail. Mais, pour caractériser grossièrement un type de réponse qu'un idéalisme pourrait apporter au problème, nous pouvons reprendre la solution générale que Kant apporte à ses Antinomies<fnref n="82" /> :

> la série des conditions n'est [pas] considérée comme donnée de façon infinie dans l'objet. Ce ne sont pas des choses qui sont données en soi, mais seulement des phénomènes qui ne sont donnés, comme conditions les uns des autres, que dans la régression elle-même.

Autrement dit – en considérant uniquement le cas zénonien – le mouvement fini se présente phénoménalement comme un tout uni, dont on est seulement contraint de penser qu'il a pour condition des sous-mouvements qui en sont les parties ; mais qui n'est, en fait, pas tel qu'avec lui soit donnée cette infinité des sous-mouvements, comme nous devrions au contraire le supposer si nous avions affaire à une chose en soi<fnref n="83" />.

Nous ne nous prononcerons pas ici sur la valeur de cette perspective, qui est d'ailleurs déjà extrêmement différente de, par exemple, la perspective hégélienne. Nous voulons au contraire nous pencher plus en détail sur l'autre de l'idéalisme, à savoir la grande gamme des réponses réalistes, ou métaphysiques, qui nous ont occupé tout au long de ce travail. Qu'a-t-il été possible de répondre à Zénon, si l'on persistait dans l'effort de produire une théorie cohérente de la réalité en soi, incluant le mouvement ?

<footnote n="82">82. Immanuel Kant, *Critique de la raison pure*, (1781, 1787), éd. établie, trad. de l'allemand, annot. et introd. par Alain Renaut, 3e éd., GF Flammarion, 2006, A514/B542, p.484.</footnote>

<footnote n="83">83. Voir notre annexe I où nous considérons le cas kantien dans un plus grand détail.</footnote>
<table><caption>TAB. 10.1 : Les réponses réalistes</caption><thead><tr><th rowspan="2"></th><th rowspan="2"></th><th colspan="2">Continu</th><th colspan="2">Discret</th></tr><tr><th>Passage</th><th>Positions</th><th>Passage</th><th>“Atomismes”</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">Incompatibilisme</td><td>Impossibilisme</td><td colspan="2">aporie</td><td rowspan="2">Diodore ?</td><td rowspan="2">“Atomismes”</td></tr><tr><td>Possibilisme</td><td>Ø</td><td>Russell</td></tr><tr><td>Compatibilisme</td><td>Impossibilisme</td><td>Aristote</td><td>Potentialisme</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

## L'approche réaliste

Nous proposons d'organiser la panoplie des réponses réalistes – présentées ici d'une manière nécessairement schématique, et nécessairement non exhaustive – selon quatre critères croisés :

1. Continu ou Discret : Le mouvement se réalise de façon continue, ou de façon discrète.

2. Possibilisme ou impossibilisme : Il est possible, ou il est impossible, d'achever un inachevable au sens de Zénon ; on refuse, ou l'on admet, le postulat d'achevabilité.

3. Compatibilisme ou incompatibilisme : Un mouvement continu constitue, ou ne constitue pas, un tel inachevable ; on admet, ou non, la vérité de l'analyse du mouvement continu par Zénon.

4. Passages ou positions : Le mouvement comporte quelque chose de tel que le passage, ou il est intégralement réductible à l'ensemble de ses positions.

Commençons par la perspective acceptant le continu. Si l'on suppose que le mouvement est continu, et que l'on accepte à la fois l'impossibilisme – jugeant qu'il est impossible d'achever un inachevable au sens de Zénon – et l'incompatibilisme – jugeant que le mouvement continue est bien un tel inachevable – alors nous nous trouvons véritablement dans une impasse, nous conduisant à rejeter le mouvement.

Comment éviter cette impasse ? Il faut que cède, ou bien l'impossibilisme, ou bien l'incompatibilisme.

Supposons que nous fassions céder l'impossibilisme, jugeant qu'après tout, rien ne nous prouve qu'une tâche indéfinie ne saurait être achevée – ce que suggère justement le
fait que les tâches zénoniennes, apparemment possibles, le soient. La thèse que nous avons soutenu dans la seconde partie de ce travail, est qu'une telle position oblige en retour à *nier la réalité du passage*, à considérer le mouvement comme réductible à l'ensemble de ses positions. C'est là exactement ce que nous trouvons, explicitement, chez Bertrand Russell ou Adolf Grünbaum, et, nous le soutiendrions, implicitement chez Barnes, Taylor, Watling et les autres possibilistes.

Supposons au contraire que l'impossibilisme soit pour nous une vérité bien établie. Il s'agira alors de parvenir à adopter une position compatibiliste, de dire qu'en dépit de l'impossibilité d'achever une supertâche, les tâches zénoniennes sont, en fait possibles – parce qu'elles ne constituent pas des tâches indéfinies inachevables. C'est là, avant tout, la position d'Aristote, mais aussi celle d'Hermann Weyl, de Black, Thomson, Chihara, et d'autres. En vérité, il serait également possible de rattacher à cette option les penseurs idéalistes eux-mêmes, du moins Kant et Hegel qui donnent, en définitive, eux aussi des raisons selon lesquelles nous n'avons pas à penser que le mobile accomplit *vraiment* tous les parcours partiels. Notons également que si, d'après ce que nous soutenons, la position possibiliste est réservée aux négateurs du passage, la réciproque n'est pas nécessairement garantie. Il est possible de parvenir à une conclusion impossibiliste sans considérer que l'intuition du passage est fiable, et sans croire en l'effectivité du devenir – peut-être en vertu de propriétés de l'ordre causal ou de l'ordre temporel en général, qui exclurait une série sans fin ; ou en vertu d'un principe de précaution qui entraînerait à refuser d'admettre la présence d'une série indéfinie dans le fini sans une forte motivation empirique à cet effet.

Bien entendu, si nous sommes disposés à adopter la perspective *discrète*, alors la situation est très différente. Nous refusons tout simplement l'*applicabilité* de l'analyse zénonienne à la réalité du mouvement, et levons ainsi l'aporie, en sorte que les autres options théoriques perdent en grande partie de leur importance – même si, naturellement, une position de ce genre peut être *motivée* par l'adoption d'un impossibilisme incompatibiliste. Là encore, il serait possible de distinguer entre une perspective de ce genre adoptant une forme de l'intuition du passage, ou adoptant la réalité du devenir,
et une autre perspective la refusant et réduisant le mouvement à l'ensemble (cette fois discret) de ses positions.

Dans la première partie de ce travail, consacrée au contexte antique, l'opposition philosophique principale nous a semblé être celle du potentialisme aristotélicien et de l'actualisme atomiste, dans un contexte où nous suppositions que, tant la réalité du passage que l'impossibilité de l'achèvement de tâches indéfinies, étaient des vérités partagées par l'ensemble des adversaires théoriques. Dans la seconde partie, au contraire, consacrée au contexte contemporain, l'opposition principale a été pour nous celle de l'aristotélisme, ou de ses héritiers modernes, et de la nouvelle position constituée notamment par la philosophie analytique – et d'abord Russell –, dont le geste théorique majeur a été de rejeter le passage, en même temps qu'elle admettait la possibilité d'un infini achevé<sup>84</sup>.

Cela ne signifie pas, pourtant, que des positions de type très généralement “atomistes” soient réservées à la période pré-moderne, bien au contraire. Une grande réponse de ce genre, quelque peu oubliée aujourd'hui mais remarquée à l'époque, est la construction dogmatique de François Évellin<sup>85</sup>, mais on en trouverait des versions moins datées dans les “philosophies pluralistes d'Angleterre et d'Amérique”, notamment chez James et Whitehead<sup>86</sup>.

## Évaluer le réalisme

Nous avons déjà dit pourquoi, si nous ne pouvons pas prétendre avoir réfuté le possibilisme, nous estimons néanmoins avoir exhibé les difficultés conceptuelles qu'il implique. Mais que pouvons-nous conclure au sujet des solutions compatibilistes ?

Nous savons que l'essence de la solution aristotélicienne consistait à dire que, si nous pouvons certes assigner un nombre arbitraire d'étapes à la course du mobile, il s'agit là d'opérations que nous effectuons en *surcroît* à une course qui est divisible en puissance

<footnote n="84"><sup>84</sup> Voir, pour la formulation la plus claire de l'adoption du possibilisme, BLAKE, « The Paradox of Temporal Process » cit.</footnote>

<footnote n="85"><sup>85</sup> François Évellin, *Infini et quantité. Étude sur le concept de l'infini en philosophie et dans les sciences*, G. Baillière et Cie, Paris 1880.</footnote>

<footnote n="86"><sup>86</sup> Voir, pour un exposé et une évaluation très précise des thèses de James et Whitehead à ce sujet, l'article d'Adolf Grünbaum, « Relativity and the Atomicity of Becoming », *The Review of Metaphysics*, 4, 2 (1950), p. 143-86.</footnote>
mais, en acte, *une*. C'est-à-dire que le résultat de la division arbitraire que *nous* effectuons sur la course est permis par sa divisibilité – du fait que le parcours qu'elle traverse est divisible –, mais que son être et son essence sont autres, c'est-à-dire qu'en tant que continu, elle est réellement une et indivise.

Nous avons vu également la réponse incrédule qui a été opposée à la solution aristotélicienne depuis l'Antiquité. Car si l'on dit que la course est *une*, jusqu'où va exactement cette unité ? Si la course consiste à traverser l'entièreté d'un stade, pouvons-nous croire, nous qui observons son parcours, que celui-ci est *indivis*, alors que nous *percevons* nettement que le mobile doit parvenir à la moitié avant de parcourir la totalité ? Et, si le continu est caractérisé par l'homogénéité de la partie avec le tout, pourquoi devrions-nous penser que ce qui vaut pour le stade entier devrait cesser de valoir pour des parties, même imperceptibles ?

D'un autre côté, nombre d'argumentaires au sein de la littérature des supertâches ont renforcé la position compatibiliste. De Black et Thomson, nous avons appris que, contrairement aux supertâches les plus communément décrites, les tâches zénoniennes ne nous obligeaient pas à chercher le résultat sans reste d'un inachevable, en sorte qu'elles ne constituaient peut-être pas une *tâche* simple et à part entière mais devaient être considérées essentiellement comme *parties* d'une tâche véritable. De plus, elles ne contrevenaient ni à l'exigence de continuité, ni à l'exigence de connectabilité, pour reprendre les termes de Dolev. De Chihara, nous avons appris en quel sens exact les tâches zénoniennes étaient essentiellement engendrées par l'analyse d'une tâche simple et continue, d'une manière telle qu'une infinité de tâches zénoniennes diverses pouvaient en être extraites, chose qui n'est jamais vraie d'une supertâche. De Dolev, nous avons appris qu'une supertâche se caractérisait par la répétition cyclique indéfinie d'un état déterminé d'un système physique, mais que la répétition ne valait que *logiquement*, et non *physiquement*, pour une tâche zénonienne. En somme, toutes ces analyses appuyaient excellemment le jugement d'Aristote. Mais résolvent-elle l'aporie ?

Il semble malheureusement qu'elles ne permettent pas de surmonter l'objection sceptique. Pas, du moins, si l'on maintient qu'il est possible précisément de considérer comme
devant réellement être effectué le parcours partiel que nous pouvons tirer par analyse du continu. En sorte que l'objection semble toujours devoir revenir à la charge, si nous prenons au sérieux la réalité des parties révélées par analyse, si nous admettons que ce que nous avons pu dégager était toujours déjà partie constituante de l'objet. Mais si, en retour, nous décidons de ne pas prendre au sérieux cette réalité, ne devons-nous pas alors admettre que nous avons fait un pas en direction d'une solution idéaliste ? Après tout, l'effort de penseurs comme Kant et Hegel a justement été consacré à expliquer la raison pour laquelle ces moitiés théoriques n'avaient pas à être considérées comme globalement réelles, et en quoi elles découlaient d'un travail de la pensée sur un objet, le faisant différer de la manière dont le mouvement empiriquement constaté est reçu par la pensée.

Nous croyons que la voie pour une réponse unifiée à Zénon, qui soit capable de surmonter le défi, en conservant tant le devenir que le continu, et se montrant à la hauteur de la pensée du mouvement, doit justement consister à comprendre l'unité des réponses potentialistes et des réponses idéalistes<fnref n="87" />.

## L'option atomistique

La voie naturelle pour une réponse réaliste, pour une réponse véritablement dogmatique au défi zénonien, semblerait alors devoir être trouvée dans une perspective “atomiste”, c'est-à-dire qui admette que le devenir a une structure discrète, que l'événementialité se réalise par gouttes ou par sauts. S'il est clair qu'une théorie de cette sorte nous fait sortir de l'aporie de l'inachevable, et si nous faisons ici abstraction des autres problèmes théoriques que l'on pourrait lui opposer, il n'en reste pas moins que, proposée comme solution à Zénon, elle nous laisse dans un certain embarras.

En effet, si nous posons qu'il est nécessaire de passer par une réponse atomistique pour sortir de l'aporie zénonienne, si nous posons le caractère discret du devenir comme la solution aux paradoxes, nous devons en tirer deux conclusions extrêmement problé-

<footnote n="87">87. Il nous faut cependant redire que la présente classification ne saurait recouvrir l'entièreté des positions philosophiques réelles ou possibles. La réponse bergsonienne, par exemple, ne rentrerait que difficilement dans un tel tableau.</footnote>
matiques. La première est qu'il y a une thèse sur la structure de la réalité physique qui est démontrée *a priori* depuis le fauteuil du philosophe. En effet, si nous constatons la réalité du passage, et si Zénon démontre en vérité l'impossibilité du mouvement continu, alors nous devons dire que nous savons que la structure du devenir est discrète et ne saurait être que discrète. Cela semble bien être la conclusion tirée par Démocrite ou Épicure, et d'autres penseurs plus contemporains, mais il semble clair que nous serions nombreu.x.ses à nous trouver mal à l'aise devant une telle affirmation. Alors qu'il est proverbial que la philosophie a toujours échoué à démontrer une thèse quelconque, nous aurions, depuis 2500 ans, un argument *a priori* sur la structure de tout devenir possible ?

Le deuxième problème est distinct mais connexe : si vraiment le devenir atomistique s'impose face à l'aporie zénonienne, que devons-nous penser de la grande aventure du continu, de l'effort poursuivi depuis Zénon pour penser le mouvement continu ? Devons-nous supposer qu'Aristote, Galilée, Descartes, Newton, et toutes les actrices et acteurs de la physique moderne au moins jusqu'à Einstein ne savaient pas de quoi ils parlaient ? Que leur objet étaient en fait un profond non-sens ? Il est vrai qu'il y aurait une autre lecture possible, qui dirait que la structure mathématique du continu a servi en pratique à occulter le temps et la question propre du devenir. De manière en quelque sorte juxtaposée à la réalité constatée du devenir, le continu mathématique fournirait une approximation, valable uniquement dans l'ordre de l'être fait ou du déjà accompli, disponible pour la division et le calcul.

La question reste bien sûr ouverte de l'avenir de la physique moderne. S'il s'averait que celle-ci s'oriente vers une structure événementielle discrète, nous pourrions être amené.e.s à revoir nos jugements.

## La logique du chaudron

Le problème n'est pas de savoir s'il existe une solution à l'aporie zénonienne. Tout le monde sait et a toujours su la résoudre. Le problème est que les réponses en sont si radicalement divergentes, que loin de s'entraider, elles présentent une situation d'*excès de raison*. Elles se contredisent l'une l'autre, comme dans l'histoire de l'homme qui a rendu
un chaudron percé : « D'abord, le mouvement n'est pas infiniment divisible, mais fini et discret. Ensuite, il est bien sûr infiniment divisible, mais il serait impossible qu'il soit infiniment divisé, et il est réellement un. Troisièmement, il est réellement divisé, mais il est tout simplement possible d'achever l'infini. » Chacune des solutions, loin de compléter les autres, semble les exclure.

Et si, pour que l'affaire soit juridiquement classée, il suffit qu'une des défenses soit acceptée, cela pourtant ne saurait satisfaire les exigences de la raison.
<figure><img src="image_37.png" /></figure>
Annexes
<figure><img src="image_38.png" /></figure>
# Annexe A

## “paradoxe” et “aporie”

Que signifie “paradoxes” dans l’expression “paradoxes de Zénon” ?

De nos jours, dans la littérature logique et philosophique le terme a généralement pris le sens technique suivant : on entend par là des arguments conduisant des notions communes à la contradiction ou à des conséquences apparemment inadmissibles ; c’est-à-dire des arguments qui posent problème ou proposent un défi à la pensée, qui ou bien doivent être résolus, ou bien nous obligent à assumer la contradiction, ou bien nous contraignent à rejeter ce que l’on tenait pour des prémisses bien fondées.

C’est ainsi que les arguments de Zénon en sont venus à prendre le nom conventionnel de “paradoxes de Zénon” qu’ils ont aujourd’hui, de même que les fameux arguments du mégarique Eubulide en sont venus à s’appeler “paradoxe sorite” et “paradoxe du menteur”. Si la chose est ancienne, ces expressions cependant sont relativement récentes, et n’étaient pas utilisées dans l’Antiquité.

Pour désigner ces objets ou des objets de ce genre, Aristote parle en général tout simplement d’“arguments”, de “logoi”, et dans certains cas de « réfutations » ou « preuves » (elegkos<fnref n="1" />). Quand il veut souligner le caractère non concluant et « volontairement trom-

<footnote n="1">1. L’histoire du terme « elegkos » et de son changement de signification en Grèce archaïque est très intéressante. Il veut originellement dire « opprobre », puis prend un sens spécialisé dans le domaine juridique comme motif de conviction, preuve de culpabilité, avant d’acquérir le sens philosophique et rhétorique de démonstration réfutative. Sur cette histoire, voir l’introduction de Aristote, *Les Réfutations sophistiques*, éd. établie, trad. du grec, comm. et introd. par Louis-André Dorion, préf. de Jacques Brunschwig, Histoire des doctrines de l’Antiquité classique, Vrin, 1995 et les références à cet endroit.</footnote>
peur » de ces arguments, il peut les qualifier de “sophistiques”<fnref n="2" />, ou “éristiques”, ou de façon plus neutre de “paralogismes”. Le terme le plus proche chez lui du sens contem-
porain de “paradoxe” est probablement “aporia”, l’aporie, l’impasse, la difficulté ou ce
qui met dans l’embarras : cela semble en effet désigner systématiquement un argument
entraînant à première vue la conviction mais dont la conséquence paraît insoutenable.
Par exemple en *Physique*, 209a24 : « Car la difficulté (aporia) soulevée par Zénon de-
mande une réponse ». *A contrario*, les arguments éristiques de Mélissos sont jugés trop
mauvais pour présenter une aporia, 185a10 : « Mais <le raisonnement> de Mélissos
est plus grossier et ne présente pas de difficulté (aporia) ». Il faut noter cependant que
aporia ne semble pas être ici un terme technique, mais l’emploi naturel dans le domaine
de l’argumentation d’un terme du langage courant désignant un obstacle ou une situa-
tion difficile. Ce qui est suggéré par le fait que le terme n’a pas été transposé en latin
à l’époque de l’exportation à Rome de la philosophie grecque, et que le terme semble
pouvoir être remplacé par un synonyme. On peut trouver par exemple, à propos de Zé-
non, le terme de « difficulté », « duskolia », 239a9 : « Il y a quatre arguments de Zénon
à propos du mouvement qui causent des difficultés (duskolia) à ceux qui <veulent> les
résoudre ».

L'expression de "paradoxe" désigne naturellement et littéralement, en Grec ancien,
quelque chose qui va à l'encontre de l'opinion commune. L'expression a bien un emploi
spécifique en philosophie, qui devient un sens technique au moins à partir de l'époque
hellénistique; cependant elle ne désigne pas ce que nous appelons "paradoxe" mais la
pratique, notamment stoïcienne, de soutenir systématiquement des thèses surprenantes
et littéralement opposées au sens commun. Il ne s'agit pas tant alors d'un embarras de la
pensée que d'une philosophie vindicative qui apprécie la provocation. Il se trouve qu'au
moins un texte d'Aristote thématise et résume très bien les rapports entre ces termes à
l'époque où se fixe un vocabulaire spécialisé<fnref n="3" /> :

De plus l'argument trompeur prêté aux sophistes est embarrassant (ho sophistikos logos pseu-

<footnote n="2">2. « sophistikos logos », ou très souvent « sophistikoi elegkoi », « réfutations sophistiques ».</footnote>

<footnote n="3">3. Aristote, *Éthique à Nicomaque*, trad. du grec, annot. et introd. par Richard Bodéüs, GF Flammarion, 2004, 1146a22-4, p. 352.</footnote>
*domenos aporia)* : ils veulent en effet établir des paradoxes (paradoxa) en réfutant leurs adversaires (dia to elegkein) pour faire preuve d'habileté et lorsqu'ils y arrivent, l'inférence (sullogismos) produite devient embarrassante (aporia ginetai) : car la pensée (dianoia) se trouve alors liée (dedetai) : elle souhaite ne pas en rester là, parce que la conclusion ne lui plaît pas, mais n'est pas en mesure de progresser faute de pouvoir résoudre (lúsaí) l'argument (ton logon).

Un argument, qui est sophistique (ou « prêté aux sophistes ») et trompeur, est une *aporie* parce qu'il *lie* la pensée, dans la mesure où sa conclusion inférentielle est paradoxale mais que la pensée qui refuse cette conclusion ne parvient pas à *résoudre* l'argument.

Ces arguments en soi problématiques, et qui comme tels peuvent être séparés de
l’intention de leur auteur éventuel et demandent une solution en général, peuvent et ont
pu recevoir d’autres noms par la suite. On peut en anglais les qualifier de « puzzle »,
terme difficile à traduire qui connote à la fois le fait de laisser perplexe (puzzled) et de se
présenter comme un dispositif à résoudre, soit logique soit matériel, à la manière d’un jeu
de casse-tête; dans la philosophie scolastique à partir de la fin du XIIe siècle, une littéra-
ture particulière sur le paradoxe du menteur et la multiplicité de ses variantes possibles,
dans le contexte fortement logiciste de cette époque, les qualifie d’« insolubles », « inso-
lubilia ».
On peut aussi ranger dans le même ensemble les argumentations duales de la
*Dialectique transcendantale* kantienne, qui se présentent comme des situations théoriques
aporétiques qu’il s’agit de résoudre.

L'expression proprement dite de “paradoxes de Zénon” semble ne s'installer progres-
sivement en anglais et en français qu'au XXe siècle. Cependant en tant que telle elle date
au moins du XIXe siècle. On la trouve par exemple dans le sommaire de la traduction
de la *Physique* d'Aristote par Barthélémy-Saint-Hilaire en 1862, ou encore dans la tra-

<footnote n="4">4. Il est intéressant de noter, cependant, que le terme d'« aporie », « *aporia* », est bien finalement passé du grec en latin, mais dans le latin ecclésiastique, semble-t-il au moment de l'écriture de la Vulgate par Jérome, et que le français en aurait hérité à la fin du XVIIIe siècle. Il y retrouve à peu près son sens grec qui est le sens aujourd'hui courant.</footnote>

<footnote n="5">5. Sur les *insolubilia*, on consultera pour commencer Paul Vincent Spade et Stephen Read, « Inso-lubles », in *ZALTA* (éd.), *The Stanford Encyclopedia of Philosophy* cit., https://plato.stanford.edu/.</footnote>

<footnote n="6">6. À la suite notamment de Hegel on tend à les envisager, par métonymie, comme les “Antinomies” kantiennes.</footnote>

<footnote n="7">7. Aristote, *La Physique* d'Aristote. ou Les leçons sur les principes généraux de la nature*, trad. du</footnote>
duction anglaise de la *Logique* de Lotze en 1884⁸. Dans les deux cas pourtant il semble que la signification du terme reste classique : Zénon propose des *paradoxes* parce qu'il offre la conclusion *paradoxale* selon laquelle le mouvement n'est pas. Il est intéressant cependant de noter que Lotze, pour qui les arguments de Zénon sont des « *fallacies* » (en anglais), dont on ne sait pas s'il faut les qualifier de « sophismes » ou simplement de « paralogismes » (du fait que l'intention de Zénon nous est inconnue) discute immédiatement après le paradoxe d'Épiménide le menteur (que le traducteur nomme “dilemme” (*dilemma*) et non “paradoxe”). La proximité de ces expressions ne doit pas nous surprendre outre mesure : les propositions de Zénon, prises de façon indépendante et non pas à l'intérieur d'un plan de preuve systématique des contraires, sont indéniablement et non-équivoquement *paradoxales*. Les qualifier d'« apories », en revanche, suppose de porter sur elles un certain jugement selon lequel ce sont au moins de bons arguments, des arguments embarrassants, et pas de « vulgaires sophismes » comme on les a souvent caractérisés. Il semble en tout cas que l'expression de « paradoxes de Zénon » ait précédé le sens contemporain spécialisé de « paradoxe ».

Celui-ci a en effet pour *paradigmes* des arguments qui sont à première vue très difficiles à ranger sous la catégorie *classique* de paradoxe. À savoir le paradoxe du menteur, et ses variantes comprenant un élément auto-référentiel (ou plus généralement « imprédicatif »), le paradoxe du barbier, le paradoxe de Russell, le paradoxe de Richard, etc. Le Menteur ne parvient tout simplement *pas* à une conclusion, il serait donc très difficile de le qualifier de paradoxe au sens classique! Et il faudrait pousser un peu loin pour imaginer que le sens commun ou l'opinion commune soit choquée par le fait qu'un barbier rasant strictement tous les hommes de son village qui ne se rasent pas eux-mêmes ne sache pas s'il doit ou non se raser lui-même, ou le fait qu'un système de fondation logiciste des mathématiques s'effondre à cause de l'ensemble des ensembles ne se contenant pas eux-mêmes. Ces arguments mettent en revanche certainement *dans l'embarras* (celui qui se penche sur la question). Il est vraisemblable que le Menteur ait eu pour

<footnote>grec, annot. et introd. par Barthélémy-Saint-Hilaire, 2 t., A. Durand, Paris 1862.</footnote>

<footnote n="8">⁸ Hermann Lotze, *System of Philosophy, Logic. In three books : of Thought, of Investigation, and of Knowledge*, (1874), sous la dir. de Bernard Bosanquet, Clarendon, Oxford 1884, p. 290-3.</footnote>
fonction, déjà chez Eubulide, de soulever un aspect embarrassant de la fonction de vérité dans le langage. Par rapport au terme non-technique d’“aporie”, le sens *technique* du “paradoxe” semble indiquer la nécessité, face à l’embarras, de réviser le système de nos prémisses ou règles d’inférences, c’est-à-dire qu’il a un sens spécifiquement *logique* au sens de la logique moderne. Si ces “paradoxes” ne sont pas des paradoxes au sens de l’offense au sens commun, on comprend néanmoins la possibilité du glissement : en effet le sens commun et les attentes théoriques des “civils”, des “gens ordinaires”, n’est pas le même que celui des philosophes et logiciens. Pour quelqu’un comme Russell, on peut comprendre que le théorème de Cantor selon lequel il n’y a pas de plus grand cardinal et donc pas de multiplicité déterminée de “l’ensemble des multiplicités” puisse avoir quelque chose d’authentiquement *paradoxal*, de même que ce qui a été depuis nommé le “paradoxe de Russell” était apparu comme une terrible surprise pour son premier récipiendaire, Frege. En général, le glissement semble donc avoir été du caractère paradoxal de certaines apories logiques spécifiquement pour des mathématiciens et logiciens préoccupés de la théorie des fonctions, à ces apories elles-mêmes prenant le nom de “paradoxes”. L’expression « paradoxes de Zénon », qui précède cette époque, change alors entièrement de sens ! Signifiant au départ : « ces arguments par lesquels l’auteur Zénon a intentionnellement produit des conséquences qui choquent le sens commun », « les affirmations paradoxales de l’auteur Zénon », elle en est venue à signifier : « ces obstacles pour la cohérence de la pensée que l’on peut associer à la personne de Zénon qui est le premier à les avoir soulevés », « les paradoxes de X » avec X valant comme nom conventionnel identifiant la classe des “paradoxes” en question, le “paradoxe de l’Achille”, le “paradoxe de la Flèche”, etc.

De fait, l'emploi généralisé du terme date de l'intérêt philosophique pour les systèmes de logiques formelles et les paradoxes produits dans ces systèmes par des règles trop larges permettant l'auto-référence ou la compréhension non-restreinte, au moment de la nais-

<footnote n="9">9. Sur ce point voir Robert Müller, *Introduction à la pensée des Mégariques*, 1988 et G.W.F. Hegel, *Leçons sur l'histoire de la philosophie, Tome 2 : La Philosophie Grecque. Des Sophistes aux Socratiques*, éd. établie, trad. de l'allemand et annot. par Pierre Garniron, 7 t., Bibliothèque d'histoire de la philosophie, Vrin, 1971, p. 344-55.</footnote>
sance de la théorie des ensembles<fnref n="10" />. On peut le dater assez précisément, car il est déjà courant dans les années 1920 mais n'apparaît pas encore en 1902 dans la correspondance originelle entre Russell et Frege sur la question de la classe des classes ne se contenant pas elles-mêmes<fnref n="11" /> ni dans l'étude que fait Russell des contradictions ensemblistes dans les premières versions de *The Principles of Mathematics*<fnref n="12" />. Dans le contexte de l'étude des systèmes, les "paradoxes" sont nommées au départ par les différents participants des « inconsistances » ou « contradictions » (parfois seulement apparentes), ou des « antinomies ». En 1905, en revanche, un article de König (lui-même tiré d'une conférence de la même année) qualifie les contradictions produites par certains arguments ensemblistes comme « paradoxales » et parle systématiquement des « paradoxes » de la théorie des ensembles<fnref n="13" />.

Cependant, cet emploi n'est pas entièrement nouveau. On trouve au moins en anglais et au moins depuis le milieu du XIXᵉ siècle l'expression de « paradoxe logique » (« logical paradox ») pour désigner une situation inférentielle gênante, surprenante, ou problématique. Le sens de paradoxe y est passé de l'idée de l'affirmation d'une thèse contraire au sens commun, à l'énoncé d'un raisonnement logique aux conséquences déconcertantes pour qui se penche sur lui. Dans le même sens, le FEW répertorie comme circulant « à partir de 1872 » le sens suivant de « paradoxe » : « phénomènes (mathématiques, etc.) qui semblent contredire ou bouleverser les lois (mathématiques, etc<fnref n="14" />.) ». Ces expressions ne semblent pas avoir été au départ utilisées pour parler de Zénon, ni du Sorite, ni du Menteur, et ne pas non plus désigner l'existence de défis généraux à la logique et la pensée, mais plutôt des inférences locales surprenantes. On trouve pourtant au moins une

<footnote n="10">10. Sur cette question, on pourra consulter la minutieuse enquête de Alejandro R. Garciadiego, *Bertrand Russell and the Origins of the Set-theoretic "paradoxes"*, préf. d'Ivor Grattan-Guinness, Birkhäuser, Basel-Boston-Berlin 1992.</footnote>

<footnote n="11">11. Cf. Jean von Heijenoort (éd., trad., annot. et préf.), *From Frege to Gödel. A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931*, Harvard University Press, Cambridge (Mass.) 1967, p. 124-8 et GARCIADIEGO, *Bertrand Russell and the Origins of the Set-theoretic "paradoxes"* cit., p. 121.</footnote>

<footnote n="12">12. Ibid., p. 122.</footnote>

<footnote n="13">13. Cf. HEIJENOORT, *From Frege to Gödel* cit., p. 145-9 et GARCIADIEGO, *Bertrand Russell and the Origins of the Set-theoretic "paradoxes"* cit., p. 146.</footnote>

<footnote n="14">14. Walther von Wartburg et CNRS-ATILF, *Französisches etymologisches Wörterbuch*, 25 t., J. C. B. Mohr, Hebing und Lichtenhahn et Honoré Champion, Tübingen, Basel et Paris 1922-2002, https://apps.atilf.fr/lecteurFEW/, vol. 7, p.617.</footnote>
connexion entre cette tradition plus ancienne et les nouveaux "paradoxes" de la théorie
des ensembles, grâce à Lewis Carroll et son article intitulé précisément « A Logical Pa-
radox<fnref n="15" /> », "paradoxe logique" que Russell cite et nomme ainsi et déclare « résolu » dans
une note des *Principles of Mathematics*. On pourrait citer, dans la même perspective, les
fameux « Paradoxes de l'infini<fnref n="16" /> » de Bolzano, indiquant un usage allemand remontant
lui aussi au moins jusqu'au milieu du XIXᵉ siècle, et qui se voit lui aussi cité par Russell<fnref n="17" />.
De fait, il se peut que l'emploi contemporain du terme remonte à l'ouvrage de Russell,
dans lequel il parle d'un « paradoxe de Zénon » comparé au « paradoxe de Cantor<fnref n="18" /> »,
et qui dans son article de 1908 envisage le « paradoxe d'Épiménide<fnref n="19" /> ».

On voit dans l'ensemble que si le vocabulaire change, le champ sémantique reste en
définitive remarquablement stable par rapport au passage cité plus haut d'Aristote, à ceci
près bien sûr que le contexte théorique de discussion lui-même changeant radicalement,
les attendus ne peuvent pas être les mêmes.

<footnote n="15">15. Lewis Carroll, « A Logical Paradox », *Mind*, 3, 11 (1894), p. 436-438.</footnote>

<footnote n="16">16. Bernard Bolzano, *Paradoxien des Unendlichen*, sous la dir. de František Příhonský, C.H. Reclam, Leipzig 1851.</footnote>

<footnote n="17">17. RUSSELL, *The Principles of Mathematics* cit., p. 310.</footnote>

<footnote n="18">18. [ibid.], p. 363.</footnote>

<footnote n="19">19. Bertrand Russell, « Mathematical Logic as Based on the Theory of Types », *American Journal of Mathematics*, 30, 3 (Jul. 1908), p. 222-262, cf GARCIADIEGO, *Bertrand Russell and the Origins of the Set-theoretic "paradoxes"* cit., Chapitre V.</footnote>
<figure><img src="image_39.png" /></figure>
# Annexe B

## L'idée d'une lecture dialectique

Nous voudrions introduire la notion d'un certain mode de lecture des textes philosophiques, qui, nous le croyons, est particulièrement adaptée à l'approche des Présocratiques, et encore plus particulièrement des éléatiques, et qu'on pourrait appeler la lecture dialectique<fnref n="1" />. Pour cela, revenons préalablement au passage d'Aristote qui a fait l'occasion du texte de Simplicius, et au premier argument, celui de Parménide, qu'Aristote s'emploie à réfuter<fnref n="2" /> :

> Certains ont fait des concessions aux deux arguments : à celui selon lequel tout est un si l'être signifie une seule chose, en disant que le non-être est ; à l'autre, celui de la dichotomie, en créant des grandeurs insécables. Manifestement il n'est pas vrai que, si l'être signifie une seule chose et ne peut signifier en même temps la contradiction, il n'y aura aucun non-être, car rien n'empêche que le non-être ne soit pas au sens absolu mais soit un certain non-être. En revanche, dire que, si à côté de l'être lui-même il n'y a rien d'autre, toutes choses seront une, c'est absurde. Qui comprend en effet l'être lui-même autrement que comme cela même qu'est l'être ? Et s'il en est ainsi, rien n'empêche cependant que les étants soient multiples, comme on l'a dit. Qu'il est donc impossible que l'étant soit un de cette façon, c'est clair.

Tout le contexte du chapitre est le suivant : Aristote a besoin, pour fonder la phy-

<footnote n="1">1. Au péril de l'irrémediable équivoque qui accompagne partout ce terme. Il n'est pris ici ni en un sens platonicien, ni en un sens aristotélicien, ni au sens selon lequel Zénon pourrait être l'inventeur de sa pratique, mais est repris en hommage à la tradition hégélienne, faute d'un meilleur terme à lui substituer.</footnote>

<footnote n="2">2. *Physique*, I 3, 187a1-11. [*AristPhys*], p. 81. Cf. section 2.3.</footnote>
sique, que soit admise au minimum l'existence d'une *pluralité de choses en mouvement*
(et d'une telle façon, pourrions-nous ajouter, que soit possible une *science* de ces choses,
un *discours rationnel* sur elles et non pas une simple *opinion irrationnelle*). Il entre-
prend alors d'examiner certains arguments des éléatiques (c'est-à-dire explicitement de
Parménide et Mélissos), arguments qui sont compris comme cherchant à prouver l'im-
possibilité d'une telle pluralité. Aristote veut prouver en général deux choses dans ce
chapitre : d'une part les arguments des éléatiques ont des *prémisses fausses*, et d'autre
part ils ne sont pas concluants, mais sont des *paralogismes*. Il n'y a alors rien à leur
*concéder*¹.

Le paragraphe cité n’est pas des plus clairs, mais voilà comment il faut vraisembla-
blement le comprendre : Aristote y réfute un argument Parménidien qui conclurait, du
fait que l’être « ne signifie qu’une seule chose », au fait que « tout est un », c’est-à-dire
que les étants ne sont pas multiples. On reconnaitra là un argument qui vient en effet du
Poème de Parménide. Quoi qu’on n’y trouve pas un argument spécifique dont la conclu-
sion explicite serait l’unicité de ce qui est, il y est bien dit que « il est seul de sa race,
intègre, tout ensemble un et continu », que rien ne peut « naître à côté de lui », qu’il
est « indivisible » et que comme rien sans lui ne peut être pensé « rien d’autre n’est ou
ne sera à côté de [lui] ». Notons que la prémisse selon laquelle l’être ne signifie qu’une
seule chose n’est pas non plus explicitement formulée dans le Poème, mais il est difficile
de contester qu’on puisse la supposer implicitement à l’œuvre. En effet, si l’on admettait
que rien du non-être ne peut être pensé, mais que par ailleurs on pouvait admettre que
l’être signifie plusieurs choses différentes, alors il pourrait y avoir de la différence et de
la pluralité dans ce qui peut être pensé, et rien ne permettrait d’affirmer que « il est
seul de sa race ».

Or il est de constante doctrine aristotélicienne de nier que l'être ne se dise qu'en

<footnote n="3">3. En effet, on est conduit à faire une concession à un argument si l'on reconnait qu'il est logiquement valide et que l'on refuse néanmoins d'en accepter la conclusion : il convient alors d'adopter explicitement une *prémisse contraire* à une de celles sur lesquelles l'argument était fondé. Mais si l'argument est un paralogisme, s'il est invalide, il n'y a rien à lui concéder.</footnote>

<footnote n="4">4. Le début du commentaire de Simplicius est consacré précisément à cette explication, et en vérité son commentaire est parfait. Le nôtre n'en diffère que superficiellement.</footnote>
un seul sens. On peut même considérer que l'idée que *l'être se dit en plusieurs sens*, et l'étude des différents sens en lesquels se dit l'être, est au fondement de la démarche d'Aristote, en particulier quand il se rapporte aux systèmes de ceux qui l'ont précédé¹, mais il cherche ici à montrer que même en supposant l'univocité de l'être l'argument n'est pas concluant, contrairement à ce que « certains » auraient apparemment concédé. Le raisonnement de ces derniers, dans une hypothétique reconstruction aristotélicienne, serait le suivant : « puisque l'être se dit en un seul sens, si le non-être est absolument exclu alors tout est un. Mais puisque tout n'est pas un, il faut reconnaître que le non-être est en quelque façon. »

Dans l'extrait cité, Aristote fait deux choses. D'une part il exprime son accord avec la conclusion selon laquelle *le non-être est en quelque façon*, mais de l'autre il conteste que ce soit l'argument de Parménide qui nous y contraigne, car celui-ci n'est pas concluant. La conclusion sur le non-être est une référence transparente au *Sophiste* de Platon auquel nous avons eu l'occasion de faire allusion : dans ce dialogue, un mystérieux personnage nommé habituellement « l'Étranger d'Élée » prend la place d'interrogateur usuellement occupée par Socrate. Avec son interlocuteur le jeune Théétète, il en vient à conclure que pour sauver la vérité et la possibilité de la science, il convient de prendre le risque de *passer pour un parricide* et d'affirmer² :

> L'Étranger --- Il sera nécessaire, pour nous défendre, d'éprouver la thèse de notre père Parménide, et d'obliger le non-être, sous-certaines conditions, à être, et l'être, à son tour, selon quelques modalités, à ne pas être.

Pour simplifier (et aristotéliser) un peu les choses, cette modalité du *non-être* qui va être admise dans le dialogue d'une manière qu'Aristote approuve et adopte, c'est *l'altérité*. Celle-ci est comprise comme un *non-être* non pas absolu (car il est accordé à Parménide que l'idée d'un non-être absolu demeure impensable), mais relatif : être

<footnote n="5">5. Selon Aristote l'être se dit différemment selon les fameuses 10 "catégories", ou modes fondamentaux de la prédication (substance, qualité, quantité, relation, avoir, disposition, temps, lieu, activité, passivité), mais peut-être plus crucialment encore selon la puissance ou selon l'acte, par soi ou par autre chose, par essence ou par accident, etc.</footnote>

<footnote n="6">6. En 241d, Platon, *Le Sophiste*, trad. du grec, annot. et introd. par Nestor L. Cordero, GF Flammarion, 1993, p. 137</footnote>
autre, c'est ne pas être *ceci*, mais être *cela*. Aristote s'accorde avec cette solution : même si l'on supposait que l'être ne se dit qu'en un seul sens (par exemple selon la substance en acte : être actuellement une substance déterminée ; être un humain, être une chaussure, être un cheval), il serait toutefois vrai que le non-être peut se dire de manière relative. On pourrait par exemple être un humain et ne pas être un cheval, sans tomber dans la contradiction que Parménide nous a enjoint de fuir.

Mais Aristote ne veut pas même céder cela à Parménide. Oui, l'être se dit en plusieurs sens, oui, le non-être peut-être admis en quelque façon ; mais même si l'on accordait le contraire de tout cela à Parménide, son raisonnement resterait fautif ! On voit qu'Aristote poursuit Parménide afin de l'accabler sur un terrain de plus en plus purement logique. En effet, supposons même que l'être ne se dise radicalement qu'en un seul sens et qu'on ne puisse pas même différencier entre le cheval et l'humain, mais qu'il faille simplement dire, à la manière de Parménide, « il est ». Cela n'interdirait en rien, d'après Aristote, qu'il y ait une pluralité de choses dont on dit qu'elles sont<fnref n="7" />. Ici Aristote renvoie à un passage antérieur de la *Physique*. Il s'agit de 186a22-32 où il affirme la différence irréductible entre le sujet d'une attribution et ce qui lui est attribué, du point de vue de la pluralité : même si *blanc* ne se dit qu'en *un seul sens*, il peut y avoir une pluralité de choses blanches. Autrement dit l'unité de “blanc” n'est pas du genre de l'unicité d'un sujet, le fait qu'un prédicat soit *univoque* ne dit rien de la multiplicité de ses sujets d'attribution, et ce qui vaut pour “blanc” vaut pour “être”, même en supposant que ce dernier terme ne signifie absolument qu'une seule chose<fnref n="8" />.

Qu'est-ce, exactement, que font Aristote et Platon à l'égard du *Poème* de Parménide ? D'un côté, il est difficile de leur donner tort. Se borner à affirmer l'un de l'être, l'être de l'un et le non-être du néant, ne nous fournirait pas une pratique très intéressante de la rationalité et de la science ; et l'on doit dire avec Platon et l'Étranger d'Élée que :

<footnote n="7">7. En somme, on pourrait dire : « il est, et il est, et il est », à propos de trois choses différentes.</footnote>

<footnote n="8">8. Indépendamment du fait évident qu'Aristote ne cherche pas vraiment ici à retrouver la signification du *Poème*, mais à le réfuter, il est intéressant de noter qu'il semble fonder ce faisant une tradition métaphysique de la différence sans concept (sans qu'il soit clair qu'il y appartienne lui-même tout à fait), tradition qui compte parmi ses chefs-d'œuvre l'ouvrage de Duns Scot sur *Le principe d'individuation* ou *La Critique de la raison pure* de Kant.</footnote>
L'Étranger -- [...] [I]l faut lutter avec toute la force de notre raisonnement contre celui qui, de quelque façon et sur n'importe quel sujet, s'évertue à abolir la science, la sagesse ou l'intellect¹.

Dans cette réplique, l'Étranger vise non pas l'Un, mais l'immobilité. Il a montré que si on rejetait le mouvement du côté de l'irrationnel et de l'irréel, on se condamnait à exclure la science et l'intellect eux-mêmes du côté de l'irréel et de l'irrationnel. Mais tout le dialogue est fondé sur une considération analogue concernant le rejet du non-être : si l'on rejette unilatéralement le non-être, à la manière de Parménide, il devient en fait impossible de caractériser quelque chose comme faux différemment du vrai, le faux devant se définir comme énoncé du non-être de ce qui est. On voit tout de suite qu'il en va de même de l'Un affirmé unilatéralement : si tout multiple est exclu du rationnel, il ne pourra y avoir science de rien.

D'un autre côté, il y a quelque chose de gênant dans l'argumentation d'Aristote, qui est si clairement décalée par rapport au texte de Parménide. Si Aristote paraît parler d'autre chose, c'est qu'il utilise un langage manifestement différent de celui de Parménide et n'obéissant pas aux mêmes règles. Sa logique est foncièrement différente, c'est-à-dire que son logos est foncièrement différent. Le langage d'Aristote est beaucoup plus complexe, par exemple il distingue entre des affirmations absolues et des affirmations relatives et il distingue a priori entre le sujet de prédication et le prédicat attribué. Le discours de Parménide n'en demandait pas tant. Rappelons-le nous : il nous enjoignait à considérer l'être, et à reconnaître à travers cette considération ces impératifs de la pensée que sont la non-contradiction et le tiers exclu : il nous fallait éviter la tierce voie irrationnelle de l'affirmation conjointe et sans règle de l'être et du non-être, et reconnaître que les seules deux voies offertes et praticables étaient celle de l'être et de l'impossibilité du non-être, et celle du non-être et de la nécessité de l'exclusion de l'être. Or, la pensée du non-être dans sa contradiction à l'être était elle-même impossible, impraticable, rien n'était là à penser. Tenter de penser le non-être, ce n'est jamais que penser l'être de ce qu'on veut appeler non-être, et le penser et l'être sont le même. Contenu.e.s dans la pensée de l'être, il nous était alors possible d'en affirmer des prédicats, à condition
de prendre ces prédicats par leur biais négatif : l'être est sans naissance et sans mort, car tenter d'en penser la naissance et la mort reviendrait à poser le non-être, ce qui est impossible. Nous ne pouvons donc penser l'être qu'éternel, c'est-à-dire non concerné par les prédicats temporels. Nous pouvons le penser comme continu et homogène, c'est-à-dire sans différence et sans rupture, parce que rien ne peut l'interrompre ou le différencier au niveau de la pensée de l'être sans que soit introduit le non-être interdit. Et nous pouvons le penser comme un et seul de sa race, car rien d'autre ne peut être pensé au niveau de l'interrogation sur l'être sans que l'on ait affaire au non-être. La pensée de l'être nous amène donc à penser que tout est un, car le multiple est illogique à la hauteur du logos de l'être.

La lecture que nous proposons cherchera à considérer un discours comme celui de Parménide *au niveau de sa vérité*, tout en maintenant l'évidence selon laquelle Aristote et Platon ont *raison* contre lui. Il s'agit d'un effort rétrospectif pour replacer dans un mouvement continu de pensée à la fois un certain discours et la réfutation, plus complexe, de ce discours, en reconnaissant que cette réfutation a le premier pour *condition préalable*. Une réfutation à proprement parler a besoin d'ignorer le mouvement de pensée qui la conditionne. Pour réfuter, elle doit parvenir à mettre l'ancien discours et le nouveau sur le même plan, à en faire deux thèses en opposition dans un même espace logique, en désaccord sur les prémisses ou l'application des règles déductives, et entre lesquelles on peut alors faire un choix éclairé. C'est ce que fait Aristote dans sa réfutation de Parménide : il amène le *Poème* sur le nouveau terrain de l'analyse logique, dans lequel la thèse parménidienne est fausse et fautive parce qu'on peut en dégager des prémisses et présuppositions auparavant inaperçues. Il faut chercher une lecture qui admette ce fait sans abandonner l'idée d'une valeur originelle ou d'une vérité propre du logos parménidien. On cherche à considérer différents langages philosophiques sur leur propre plan, sans par là constituer un *relativisme* simple qui admettrait l'égale vérité de différentes positions (dans un langage donné), ni même l'égale valeur des différentes formes possibles de discours. Un tel relativisme supposerait en fait lui aussi un *plan commun* de mise à comparaison, que ce soit un plan de variation du choix des axiomes
possibles ou un plan de variation des modes de discours possibles<sup>10</sup>. C'est là tout à fait ce que l'on cherche à éviter, quand on s'intéresse au mouvement qui conduit d'un discours à l'autre, au processus de maturation qui oblige à sortir de l'impasse d'un certain discours en faveur d'un autre plus riche en déterminations. Le premier discours reste peut-être "vrai" sur son terrain, mais les deux ne sont pas pour autant sur le même plan.

Il semble qu'on puisse trouver dans le *Sophiste* lui-même la trace consciente d'un mouvement de dépassement logique imposé par le *logos* parménidien. En effet, l'affirmation de l'être seul de sa race et de ses prédicats négatifs renvoie du côté de l'apparence et de la non-vérité toutes les déterminations ordinaires du langage et de la sensibilité. Mais le caractère *apparent* et *faux* semble lui-même radicalement *impensable* dans ce *logos* de la pure univocité de l'être, comme Gorgias semble l'avoir relevé dans le *Traité du non-être*<sup>11</sup> :

> Si donc les démonstrations disent que rien <n'est>, toutes les choses <sont inconnaisables>.  
> Car il faut que les objets de la pensée (*ta phronoumena*) soient, et ce qui n'est pas, puisque ce  
> n'est pas, ne peut pas même être un objet de pensée (*phroneisthai*). Mais s'il en est ainsi, il dit  
> que rien ne saurait être faux, pas même s'il disait que des chariots se livrent à une compétition  
> en mer : en effet, toutes ces choses seraient.

Et comme Platon le réaffirmait à son tour<sup>12</sup> :

## L'étranger

C'est que réellement, cher jeune homme, notre recherche est extrêmement difficile. Qu'une chose apparaisse ou semble, sans cependant être, et que l'on dise quelque chose, sans cependant dire la vérité, voilà que tout cela est plein de difficultés, non seulement à l'heure actuelle et dans le passé, mais toujours. Car il est tout à fait difficile de trouver un moyen pour expliquer comment est-il nécessaire que dire ou penser le faux soit réel, sans être empêtré dans une contradiction quand on prononce cela.

<footnote n="10">10. Peut-être pourrions nous dire que le relativisme *est* tout simplement un tel plan de variation, est la variété théorique considérée du point de vue de la mise à égalité dans un plan commun de variation.</footnote>

<footnote n="11">11. Tel que résumé dans le traité pseudo-aristotélicien *De Melisso Xenophane Gorgia*, LM GORG.D26 LM, p. 1315</footnote>

<footnote n="12">12. 237a, PLATON, *Le Sophiste* cit., p. 123-124</footnote>
## Théétète

### Pourquoi ?

### L'étranger

Parce que cet argument a l'audace de supposer que le non-être existe, car, autrement, le faux ne pourrait pas devenir une chose qui est. Mais le grand Parménide, mon enfant, quand nous-mêmes étions des enfants, témoignait de cela d'un bout d'un à l'autre, aussi bien en prose qu'en vers, chaque fois qu'il disait :

> « Que ceci ne soit jamais imposé : qu'il y a des choses qui ne sont pas. Quand tu recherches, éloigne ta pensée de ce chemin ».

La décision de l'étranger est d'admettre qu'en quelque façon le non-être est, et qu'en quelque façon l'être n'est pas. Il s'agit indubitablement d'une manière de *contredire* la parole de Parménide, mais il ne s'agit pas pour autant du choix d'une *prémisse contraire* à celle de Parménide dans le cadre d'une même logique générale du discours. Platon est bien conscient de la nécessité de sortir du logos parménidien pour inventer et réguler un nouveau type de discours. On peut envisager un mode de lecture qui considère ainsi la vérité des réponses et l'essence des conflits philosophiques : comme des *sorties* d'un logos préalable et des décisions de *ne pas en rester* à une certaine logique. Cela implique que les décisions de ce genre ne peuvent pas être prises *au niveau du développement logique d'un discours déterminé*, ne peuvent pas être des décisions axiomatiques ni des réponses déterminées à des questions préformées<fnref n="13" />.

On aura remarqué que le mode de lecture proposé ici, qui est une manière de considérer rationnellement le conflit dans le développement de l'histoire de la philosophie, nous renvoie à Hegel et au projet de *L'Histoire de la philosophie* analysant des progrès sous la forme de *développements* de l'esprit et de la philosophie, comme on a pu le voir

<footnote n="13">13. D'où l'on tirerait, peut-être, que la philosophie en tant que telle ne peut pas être *axiomatique* à proprement parler : elle peut en venir à *formuler une axiomatique*, mais elle n'est pas en tant que telle un choix d'axiomes, elle est d'abord un projet de *réflexion sur l'axiomatique* et donc en elle-même nécessairement non-axiomatique.</footnote>
dans le rapport d'Aristote et Platon à Parménide<fnref n="14" />. On pourrait aller jusqu'à dire que cette perspective nous conduit à admettre quelque chose de la *contradiction réelle*. Ou du moins, de l'idée que les contradictions ne sont pas toujours éliminables comme illusions ou erreurs. On doit considérer la contradiction comme "réelle" au sens où la pensée doit réellement se confronter à son inévitabilité, doit recevoir la contradiction comme cela auquel l'a menée le rationnel. On considère au contraire la contradiction comme éliminable chaque fois que l'on adopte une perspective de mise à plat des oppositions dans un plan commun : quand on considère un ensemble de prémisses et de faits d'expérience que nous pourrions désirer tenir pour vrais, mais qui sont incompossibles, et une panoplie de discours aux richesses logiques et axiomes variés, tous disponibles et entre lesquels nous serions amenés à choisir, par exemple, le système logiquement le plus économique qui permet de récupérer un maximum de faits d'expérience et de thèses désirables sans produire de paradoxes ou de contradictions. C'est bien entendu une perspective indis pensable, et tout simplement celle qui consiste à chercher le vrai, à produire le discours vrai. Comme la réfutation de Parménide par Aristote, on ne cherchera pas à lui donner tort. Néanmoins, il se pourrait qu'un semblable choix ne soit possible (en droit) qu'a *posteriori*, à l'issue d'un mouvement réel de la pensée qui a *fait être* la multiplicité des discours et prémisses possibles, et à la condition de faire *abstraction* de ce mouvement.

On propose simplement que l'argumentation en vue de la vérité n'annule pas la

<footnote n="14">14. Quoique l'on abandonne ici entièrement la perspective du grandiose du système philosophique, c'est-à-dire de l'unification dans une totalité dernière « § 13 C'est sous la figure propre d'une *histoire extérieure* que la naissance et le développement de la philosophie se sont représentés comme *histoire de cette science*. Cette figure donne aux degrés du développement de l'Idée la forme d'une succession contingente et éventuellement d'une simple diversité des principes et de leurs réalisations dans les philosophies qu'ils régissent. Mais le maître d'œuvre de ce travail millénaire est l'esprit vivant un dont la nature pensante consiste à amener à sa conscience *ce qu'il est*, et, en tant que cet être est ainsi devenu ob-jet, à être en soi-même du même coup déjà élevé au-dessus de celui-ci et à être en soi-même un degré supérieur. *L'histoire de la philosophie* fait voir dans les philosophies qui apparaissent diverses, pour une part, seulement une philosophie une à des degrés divers de son développement, pour une autre part, que les *principes* particuliers dont chacun fut au fondement d'un système ne sont que des *rameaux* d'un seul et même tout. La philosophie la dernière dans le temps est le résultat de toutes les philosophies précédentes et doit par conséquent nécessairement contenir les principes de toutes ; c'est pourquoi elle est, si toutefois elle est de la philosophie, la plus développée, la plus riche et la plus concrète. § 14 Le même développement de la pensée, qui est exposé dans l'histoire de la philosophie, est exposé dans la philosophie elle-même, mais libéré de cette extériorité historique, *purement dans l'élément de la pensée*. La pensée libre et vraie est en elle-même *concrète*, et ainsi elle est *Idée*, et, en son universalité totale, l'Idée ou l'absolu. La science de ce dernier est essentiellement *système*, parce que le vrai en tant que *concret* est seulement en tant qu'il se déploie en lui-même et se recueille et retient dans l'unité, c'est-à-dire en tant que *totalité*, et c'est seulement par la différenciation et la détermination de ses différences que peuvent exister la nécessité de ces dernières et la liberté du Tout. » G.W.F. Hegel, *Encyclopédie des sciences philosophiques en abrégé*, (1817, 1827), trad. de l'allemand et annot. par Bernard Bourgeois, Bibliothèque des textes philosophiques, Vrin, 2012, 101-102, Introduction.</footnote>
possibilité d'une autre considération, rétrospective, qui soit celle de ce "mouvement de la contradiction". Avant que la multiplicité des discours ne soit disponible, ce à quoi la raison se confrontait était un point de butée de l'aporie, une contrainte produite par un discours relativement à son objet et qui conduit à la contradiction. Nous avons considéré le mouvement de dépassement de l'aporie par invention d'un nouveau langage et ce qu'on pourrait appeler un élargissement logique (d'Aristote à Parménide), une plus grande richesse de déterminations; mais les autres moyens de contourner le point de butée sont eux aussi des abandons du logos ayant produit la contradiction<sup>15</sup>, c'est-à-dire que dans tous les cas on reconnaitrait par son refus même le caractère inévitable et contraignant du mouvement de la contradiction. Nous voudrions simplement éviter une attitude relativement fréquente qui consiste à considérer comme idiots des paradoxes et des arguments anciens, sous prétexte qu'on peut aisément y répondre en utilisant un arsenal logique qui leur est en fait postérieur en droit, c'est-à-dire qui ne s'est développé précisément que face à la contradiction dans laquelle nous plongeait le paradoxe.

<footnote n="15">15. Par exemple, et pour anticiper sur des choses qui seront examinées dans la suite, l'aporie du passage à laquelle conduit le paradoxe de l'Achille peut être évitée au prix de l'abandon de la réalité du mouvement, de l'abandon de la continuité, de l'abandon de la notion de réalité ou de l'abandon du logique lui-même, c'est-à-dire du caractère contraignant du langage. Tous ces refus sont des hommages à la force du paradoxe.</footnote>
# Annexe C

## Théorie informelle du paradoxe

Que peut signifier de répondre à un paradoxe ou une aporia? Les formes différentes que peut prendre une telle réponse ne sont pas homogènes, et sont rarement séparables d'une réinterprétation du texte dont on offre une réponse. Ainsi des types de réponses conceptuellement bien distincts peuvent se montrer indistinguishables en pratique et passer de l'un à l'autre en même temps que la lecture du paradoxe varie. Pour aider à y voir clair dans la suite, voici néanmoins un catalogue informel de quelques approches des plus typiques.

Soit une aporie qui se présente sous la forme d'un argument réduisant une thèse T communément acceptée à l'absurde, nous obligeant apparemment à affirmer non-T, ou d'un argument énonçant une conséquence non-T apparemment inacceptable, sur la base de prémisses communément acceptées. On voit que si les deux situations peuvent différer grandement textuellement et dans la présentation, elles sont formellement très proches et potentiellement indifférentiables : dans les deux cas, la difficulté ou aporie advient du fait qu'un argument proposé a pour conséquence non-T alors que nous persistons (ou du moins que le sens commun persiste) à vouloir affirmer T.

Une première manière de se rapporter à une telle aporie consiste à la traiter comme un argument concluant, qui doit nous obliger à réviser nos thèses sur le monde, ou en général qui est dogmatiquement contraignant. Cette réception admet elle-même deux

<footnote n="1">1. Sur ces termes, voir notre annexe A.</footnote>
variantes, qui ont en commun une même lecture formelle de l’argument considéré :

* La première consiste à recevoir l'aporie, ou bien comme une *preuve par l'absurde*, où l'on accepte la vérité de la contraposée, si l'argument était une réduction à l'absurde, ou bien en général comme un argument dont on considère la conclusion tout à fait acceptable. Autrement dit, dans les deux cas on accepte la vérité de non-T, mais l'on renonce à l'opinion commune T. On assume pleinement le caractère *paradoxal* de sa position, ce qui permet d'éviter une situation *aporétique*. C'est cela qui constituerait une réception proprement éléatique des paradoxes de Zénon : celui-ci ayant montré (par l'absurde) l'impossibilité de la pluralité (sous la forme de la compositionnalité du tout de la grandeur), il faut accepter le caractère Un de l'univers. On a vu que cette réception n'était pas nécessairement la position de Zénon lui-même<fnref n="2" />.

* La seconde la reçoit également comme un raisonnement conséquent, mais ayant une prémisse fausse. Ainsi la réduction à l'absurde, ou la conséquence inacceptable, sont rejetées, et l'on sort de l'aporie par une négation dogmatique d'une des thèses présupposées. On conserve T, mais au prix d'une des prémisses P. Ce rejet d'une des prémisses communes peut lui aussi s'avérer plus ou moins paradoxal. En ce qui concerne les apories zénoniennes du continu, le représentant le plus net de cette attitude est la réponse atomistique, de Leucippe, Démocrite ou Épicure. On a des raisons textuelles de penser que la philosophie atomistique pourrait s'être explicitement constituée dans un débat avec des arguments du genre de ceux de Zénon, chez Démocrite<fnref n="3" />. Les atomistes conservent la thèse qui avait été réduite à l'absurde : le tout de la grandeur implique division et constitution par les éléments en lesquels il se divise, mais nient la prémisse qui permet d'obtenir les thèses contradictoires : il est faux que toute grandeur soit divisible, et ainsi la composition du continu ne conduit pas à l'infini, cela n'est pas égal de dire la chose une fois ou de la dire toujours.

<footnote n="2">2. Cf. 3.3.</footnote>

<footnote n="3">3. Cf. note 14 p. 149.</footnote>
A *contrario*, un second type d'approche va nier la validité de l'argument. La réponse va alors consister, non en une réévaluation dogmatique, mais en une clarification des règles de la démonstration et/ou des distinctions conceptuelles pertinentes. Cela admet de nouveau de subtiles variantes :

* On peut traiter tout simplement l'argument comme un paralogisme. Considérer qu'il contient tout bonnement une faute de raisonnement logique. C'est comme cela qu'Aristote traite les arguments de Mélissos dans la *Métaphysique*¹, et également comme on tend parfois à traiter l'argument zénonien du Grand quand on lui oppose des réfutations mathématiques². Cette position est peut-être la moins intéressante en ce qu'elle tend à nier qu'il y ait jamais eu une difficulté ou aporie.

* Ou on peut, plus subtilement, le traiter comme un sophisme au sens précis de : raisonnement fautif qui entraine une fausse conviction en manquant de faire une distinction logique nécessaire. On introduit alors cette distinction ou cette conceptualité manquante. Cette variante est plus intéressante (même si la frontière avec la précédente n'est certainement pas nette), parce qu'elle ne se contente pas de dire que l'auteur raisonne mal mais suggère que la difficulté advient du fait que l'on n'avait pas été attentif à une certaine distinction logique. Comme nous l'avons déjà suggéré, pour Zénon le paradigme d'une telle réponse est l'approche d'Aristote qui montre que les Présocratiques ignorent la distinction de l'en acte et de l'en puissance. Il peut alors conclure qu'en effet la grandeur admet toujours la division, mais en puissance, et que l'on peut déduire sans contradiction le caractère à la fois limité et illimité des étants, à condition de distinguer entre leur limitation en acte et leur illimitation en puissance.

Une troisième attitude générale consiste à ne pas vouloir renoncer tout à fait à T, ni aux diverses prémisses, sans pourtant avoir d'objections décisives contre l'argument qui prouve non-T. La réception de l'aporie ne se situe alors ni exactement au plan dogmatique

<footnote n="4">4. Cf. annexe B.</footnote>

<footnote n="5">5. Cf. la section 4.1.1.</footnote>
de la révision des thèses à adopter sur le monde, ni sur le plan de clarification logique des règles ou concepts pertinents, mais remonte au plan du regard à porter sur le logos lui-même, dans son rapport à la réalité et à la vérité.

* Soit que l'on renonce à ce que le logos puisse réglementer de façon cohérente l'objet considéré, qu'il y ait un discours vrai à attendre de la chose,

- Soit parce que l'objet considéré est inconsistent et n'est pas à la hauteur du logos ou en général lui est inadéquat, comme peut-être chez Platon.

- Soit parce que le logos est inconsistent en lui-même et qu'il n'y ait rien à en attendre de décisif, ce qui est en général la position sophistique de Gorgias.

* Soit que l'on renonce à la loi de non-contradiction purement et simplement, pour affirmer au contraire la réalité de la contradiction, la réalité rationnelle de T aussi bien que non-T. Cette position a pu être celle de Pyrrhon d'Élis.

* Soit enfin que l'on décide de renoncer à trancher, se tenant autant ou aussi peu convaincu par les divers arguments et sources de connaissances, autrement dit que l'on s'en tienne à une attitude sceptique. Cela représente l'attitude du scepticisme antique représenté par Sextus Empiricus.

On peut faire plusieurs remarques sur l'ensemble de cette typologie. La première est qu'elle ne comprend pas Zénon lui-même, dont il ne semble pas qu'on puisse dire qu'il offre une réponse ou une solution à ses propres paradoxes. La seconde est qu'elle n'est pas assez puissante pour couvrir l'ensemble des possibilités philosophiques. Notamment toutes ses options peuvent d'une manière ou d'une autre être qualifiées d'unilatérales, au sens hégélien où elles posent une fois pour toutes un rapport entre logos, contradiction et réalité, et n'intègrent pas en elles le mouvement de la contradiction réelle. En ce sens le catalogue est trop sommaire pour comprendre la position hégélienne, et même en vérité la doctrine kantienne manifestée dans la dialectique transcendantale. Mais il paraît suffisant pour couvrir les positions de l'Antiquité. La troisième est, on y a déjà insisté, que l'attitude formelle à l'égard d'un paradoxe n'est pas en réalité suffisamment
stable pour toujours déterminer une position philosophique, car un même auteur ou
autrice peut changer d'attitude en même temps qu'elle ou il change de lecture précise
du paradoxe, qu'il ou elle change d'avis sur la conclusion exacte qui est formulée ou
le sens précis des prémisses (dans la mesure où, on l'a dit, un paradoxe n'est pas un
texte déterminé ou une position d'auteur, mais une machine théorique plus ou moins
adaptable).
<figure><img src="image_40.png" /></figure>
# Annexe D

## Quel modèle pour un système de réponses ?

Pour exposer la diversité des modes de réponse aux paradoxes de Zénon sous une forme systématique qui rende compte adéquatement des différences philosophiques, deux modèles logiques viennent d'abord à l'esprit. Le premier est le modèle de la classification scientifique aristotélicienne, par genre et différence spécifique. Dans ce modèle, qui est à la fois logique et biologique, ce qui doit être classé sont les "espèces dernières". Celles-ci sont réparties selon le genre de choses qu'elles sont, qui définit la nature commune à différentes espèces, puis spécifiées au sein de ce genre par la "différence spécifique", qui ajoute en détermination à la nature commune.

Le second est le modèle axiomatique – fortement associé en France à l'école struc-
turale en histoire de la philosophie, et en particulier à Jules Vuillemin, mais qui a ses
racines jusque dans l'Antiquité et au moins, encore, chez Aristote<fnref n="1" />. Il s'y agit de déduire,
pour ainsi dire *a priori*, la combinatoire des positions philosophiques possibles, à partir
de l'acceptation, ou non, de l'ensemble des prémisses pertinentes – quitte à éliminer *a
priori* certaines combinaisons impossibles au sein de la combinatoire.

Malheureusement, ni l'un ni l'autre de ces deux glorieux modèles ne nous parait vrai-

<footnote n="1">1. Sur les modes de classification des systèmes philosophiques en général, la tradition française de la classification axiomatique et ses racines antiques en particulier, voir Baptiste Mélès, *Les classifications des systèmes philosophiques*, Mathesis, Vrin, 2016.</footnote>
ment satisfaisant ici. Tous deux paraissent impraticables, sauf à risquer une trop grande artificialité, un écrasement des différences philosophiques, ou l'exclusion de certaines solutions. Le problème de ces modèles, dans le cas qui nous occupe, est en un sens ce qui fait toute leur gloire : à savoir leur caractère par trop *totalisant* ou *architectonique*. L'un et l'autre supposent que l'ensemble des réponses peuvent être mises sur un plan commun, et qu'elles se différencient toutes à partir d'une même origine – surtout dans le cas du modèle par genre et différence –, et/ou qu'on peut en un sens en déterminer la totalité close *a priori* – surtout dans le cas du modèle combinatoire.

En ce qui concerne Zénon, il est certes possible de faire une combinatoire des systèmes, à la manière dont Vuillemin a organisé les systèmes philosophiques autour de l'argument Dominateur de Diodore Cronos¹. Tellement possible, que Jules Vuillemin lui-même a esquissé cette combinatoire, autour de l'argument de la Flèche<fnref n="2" />, tâche qui a surtout été reprise et complétée par Marwan Rashed<fnref n="3" /> :

D'après ce dernier, Zénon a utilisé une « *structure aporétique générale* » à partir de laquelle une « *tradition successive initiée par Aristote, sinon Platon* » a « cherch[é] à tirer de nouvelles thèses cinématiques » ; cette structure aporétique fonctionnant, par conséquent, comme « *matrice pour les ontologies anciennes du mouvement* »<fnref n="4" />. Il nous invite à distinguer entre trois éléments : d'une part 1/ la formulation de la Flèche elle-même, telle qu'elle a pu être élaborée par Zénon, qui se limitait probablement à opposer sous la forme d'une alternative l'absence totale de mouvement ou « *un mouvement global d'un point A à un point B qui n'en est pourtant un sur aucune portion de l'étendue qui les sépare* »<fnref n="5" /> ; d'autre part 2/ les lieux argumentatifs successivement donnés dans la tradition qui « *en fonction des débats de l'heure* » ont eu

<footnote n="2">2. Quoi que l'exemple aristotélicien des catégories montre que cela n'est pas une fatalité.</footnote>

<footnote n="3">3. Et même si des cases logiques peuvent y rester vides.</footnote>

<footnote n="4">4. VUILLEMIN, *Nécessité ou contingence* cit.</footnote>

<footnote n="5">5. Cf. VUILLEMIN, *De la Logique à la Théologie* cit. et surtout Jules Vuillemin, « Sur deux cas d'application de l'axiomatique à la philosophie : l'analyse du mouvement par Zénon d'Élée et l'analyse de la liberté par Diodore Cronos », *Fundamenta Scientiae*, 6 (1985), p. 209-219.</footnote>

<footnote n="6">6. Cf. « L'aporie cinématique du mouvement borné », in RASHED, *Alexandre d'Aphrodise, Commentaire perdu à la Physique d'Aristote (Livre IV-VIII)* cit., p. 83-116.</footnote>

<footnote n="7">7. Ibid., p. 84.</footnote>

<footnote n="8">8. Rashed, à la suite de Vuillemin, semble identifier la Flèche avec l'argument (possiblement diodoréen) énonçant que le mobile ne se meut ni là où est ni là où il n'est pas. Cela l'amène à formuler le problème en termes de portion de l'étendue plutôt que d'éléments du temps (la Flèche qui se déplace est (toujours) immobile, parce qu'elle est toujours [= universellement, pour tout maintenant] dans un (espace) égal).</footnote>
« tendance à focaliser l'opposition » sur une « zone de l'aporie », c'est-à-dire une partie de l'opposition structurale qui la constitue; et enfin 3/ l'opposition structurale elle-même, c'est-à-dire l'ensemble des prémisses à l'œuvre formant la matrice réelle des ontologies successives. Rashed dégage alors huit prémisses, qu'il fait suivre, à chaque fois, de l'auteur ou de la tradition qui se soustrait à la prémisse et ainsi à l'aporie<fnref n="10" /> :

(1) Le mouvement entre deux points A et B de l'espace est possible [vs Zénon d'Élée]

(2) Le mouvement entre deux points A et B de l'espace est réel [vs Platon]

(3) Ce qui parcourt une certaine trajectoire AB ne saute rien de cette trajectoire [vs al-Nazzam]

(4) (a) À temps de parcours nul correspond une distance parcourue nulle, (b) à temps de parcours fini non nul correspond une distance parcourue finie non nulle, (c) à temps de parcours infini correspond une distance parcourue infinie [vs al-Quhi]

(5) Tout mouvement possède une structure mathématique [vs Sceptiques]

(6) À tout point géométrique de l'espace correspond une position du mobile [vs Atomistes]

(7) Toute position du mobile en mouvement représente un état parfaitement déterminé et existant du mouvement [vs Aristote]

(8) Un mobile ne peut être qu'en une seule position à un instant donné [vs Chrysippe]

Le débat de la philosophie antique de la nature est en fait plus précisément concentré sur les quatre dernières prémisses, dans la mesure où les deux premières consistent à remettre en cause globalement la réalité de l'être sensible en mouvement, et où les deux suivantes ne peuvent être explicitées et remises en cause que par, respectivement, la théologie et la géométrie du monde islamique<fnref n="10" />. Pour Rashed, la matrice argumentative interroge le rapport entre physicalité sensible et espace mathématique : le scepticisme consiste d'après lui à remettre en doute, non pas le mouvement (c'est-à-dire l'apparence de mouvement) mais son intelligibilité (c'est-à-dire ici le fait qu'il soit sous-tendu par des

<footnote n="9">9. RASHED, *Alexandre d'Aphrodise, Commentaire perdu à la Physique d'Aristote (Livre IV-VIII)* cit., p. 85.</footnote>

<footnote n="10">10. *Ibid*., p. 86.</footnote>
structures mathématiques) ; et les positions aristotéliciennes, atomistiques ou stoïciennes consistent à établir divers rapports entre élémentarité mathématique et élémentarité physique<fnref n="11" />.

La tentation est alors grande de mener le projet à son terme et d'écrire le livre imaginaire *Passage ou positions, les paradoxes de Zénon d'Élée et les systèmes philosophiques*. Mais l'on y résistera néanmoins, pour différentes raisons : la première est que, dans toute sa gloire et sa force philosophique et la spectaculaire intelligibilité qu'elle apporte, la combinatoire vuilleminienne n'en finit pas moins par être restrictive quand on cherche à l'appliquer à l'*ensemble* de l'histoire de la philosophie, notamment sur ce point précis qu'elle est incapable (pour de profondes raisons philosophiques pleinement assumées par Jules Vuillemin lui-même) d'intégrer des réponses de type hégélien, qui ne veulent pas *choisir* dans l'axiomaticque. Le second point, qui en un sens peut être lié au premier, est que cette façon de présenter les choses oblige à poser une matrice *rétrospectivement ayant toujours été à l'œuvre*, plutôt que d'envisager la naissance successive des divergences différenciantes (à mesure que de nouvelles conceptualités s'inventent).

Pour ce qui relève des paradoxes du continu, donc, on préfèrera un modèle plus ancien, qui nous paraît plus ouvert ou sensible au mouvement de la découverte, modèle que Lautman puis Deleuze avaient préféré à l'architectonique aristotélicienne, justement parce qu'il nous permet de suivre un procès de différenciation effective des singularités, ce que ne peut faire une structure catégoriale fixe. Nous voulons parler de la procédure platonicienne de la division (*diairesis*), développée à partir du *Sophiste*, du *Politique* et

<footnote n="11">11. En ce qui concerne notre propre traitement de la division des systèmes antiques relativement aux apories zénoniennes du mouvement, voir 5.6 faisant suite à 4.3.1. Marwan Rashed est amené à faire une distinction plus fine que la nôtre entre stoïcisme et aristotélisme, du fait que, choisissant la Flèche plutôt que la Dichotomie comme matrice, son objet est la *théorie des limites*, et non celle de la divisibilité.</footnote>
du Philèle[12][13].

Les défauts apparents de cette méthode pour une classification scientifique sont bien connus et ont été soulevés par Aristote[14] :

* La division ne définit pas pour elle-même un ordre nécessaire, en sorte que rien ne vient garantir l'unicité de la procédure ; il est même en général clair qu'il y a une pluralité de divisions également acceptables *a priori* et qu'il n'y a pas un système unique de séparation et rapprochement entre les divers éléments différenciés.

* La procédure menace toujours de redondance et de désordre, car un même critère de séparation peut devoir s'appliquer à plusieurs reprises dans les différentes branches séparées.

* De deux choses l'une : ou bien la division procède par dichotomie, mais alors elle met d'un côté une ou plusieurs déterminations et de l'autre la pure *négation*

<footnote n="12">12. Albert Lautman consacre un article à l'idée que le mouvement de progrès de définition en mathématiques, même quand il paraît consister en une généralisation à partir d'un cas particulier, consiste en fait en un affinement des différences donnant lieu à une nouvelle division. Prenons un exemple simplifié : la définition de la continuité à la fin du XIXe siècle a permis de généraliser l'étude des courbes continues en englobant et dépassant les exemples classiques. Ceux-ci apparaissaient dès lors comme des cas particuliers (qui ont par exemple pour particularité d'être infiniment différentiable presque partout). Mais cette apparente généralisation n'a pu se produire que par la saisie d'une nouvelle différence, autrefois inaperçue, entre le continu et le différentiable, nouvelle différence qui donne lieu à de nouvelles formes de généralisations. Il se trouve qu'ici le différentiable est inclus dans le continu, mais ce n'est pas toujours le cas dans les résultats de division. Ainsi, ce qui permet une généralisation au niveau des exemples possibles, des particuliers subsumés par la catégorie, provient plus profondément d'un affinement de la différence au niveau des unités conceptuelles. « Le passage des notions dites "élémentaires" aux notions abstraites ne se présente donc pas comme une subsomption du particulier sous le général mais comme la division ou l'analyse d'un "mixte" qui tend à dégager les notions simples auxquelles ce mixte participe. Ce n'est donc pas la logique aristotélicienne, celle des genres et des espèces qui intervient ici, mais la méthode platonicienne de division, telle que l'enseignent le Sophiste et le Philèle[...] » Albert Lautman, « L'axiomatique et la méthode de division », (1937), in Albert Lautman, Les mathématiques les idées et le réel physique, Problèmes et controverses, avec une étude de Fernando Zalaméa, Vrin, 2006, p. 69-80, ici, p. 78</footnote>

<footnote n="13">13. Deleuze est intéressé par la division platonicienne, car celle-ci offre une méthode de sélection, et non de spécification. Elle est ainsi contraire à la logique aristotélicienne de la différence spécifique, qui nous laisse toujours, même au niveau de l'espèce dernière, dans le domaine de la généralité. « Il ne s'agit pas de diviser un genre déterminé en espèces définies, mais de diviser une espèce confuse en lignées pures, ou de sélectionner une lignée pure à partir d'un matériel qui ne l'est pas. [...] Aussi son point de départ est-il indifféremment un genre ou une espèce ; mais ce genre, cette grosse espèce, est posée comme une matière logique indifférenciée, un matériau indifférent, un mixte, une multiplicité indéfinie représentant ce qui doit être délimité pour mettre à jour l'Idée comme lignée pure. La recherche de l'or, voilà le modèle de la division. La différence n'est pas spécifique, entre deux déterminations du genre, mais tout entière d'un côté, dans la lignée qu'on sélectionne : non plus les contraires d'un même genre, mais le pur et l'impur, le bon et le mauvais, l'authentique et l'inauthentique dans un mixte qui forme une grosse espèce. » Gilles Deleuze, *Différence et répétition*, Bibliothèque de philosophie contemporaine, Presses universitaires de France, 1968, 82-9, ici p. 84.</footnote>

<footnote n="14">14. *Parties des animaux*, I 2-3, *Premiers Analytiques*, I 31, *Second Analytiques*, II 5. Cf. Dimitri El Murr, *Savoir et gouverner. Essai sur la science politique platonicienne*, Tradition de la pensée classique, Vrin, 2014, chapitre V.</footnote>
de celles-ci; or, cette négation ne saurait former en elle-même une unité ou une détermination bien comprise, par conséquent un seul des côtés de la division est déterminé; ou bien il n'y a pas dichotomie, séparation entre un prédicat et sa négation, mais alors rien ne saurait garantir l'exhaustivité de la division, à aucune des étapes, et il se peut qu'une partie du réel nous ait échappé;

Il y a d'autres défauts potentiels, mais nous nous en tenons à ceux-ci, qui concernent essentiellement la présente entreprise. Le troisième problème, portant sur l'exhaustivité de la division et l'inconsistance d'une détermination purement négative, est le plus intéressant. Pour Platon, il s'agissait dans la division de l'art de faire les bons découpages à chacune des étapes, et il était dit explicitement qu'une division en deux branches n'était que le nombre minimal possible et qu'il fallait en général suivre les articulations naturelles du réel, à la manière du boucher<fnref n="15" />. Nous prenons sur ce point le parti inverse, et nous divisons systématiquement, à chaque étape, entre une détermination et sa négation. Nous assumons pleinement le fait que cette négation ne suffit pas à qualifier une unité bien formée. Pour le reste, ce qui apparaissait comme des défauts pour Aristote nous convient pleinement ici, au contraire : nous voulons éviter de prétendre à l'existence d'un ordre unique ou nécessaire, et savons que nous aurions pu choisir d'autres critères, et inverser le côté positif et le côté négatif, ou considérer un autre ordre de bout en bout. Nous savons que les branches divergentes ne déterminent jamais, d'elles-mêmes, l'essence d'une position, et qu'une fois au bout de la division nous sommes encore contraint de trouver une manière de caractériser adéquatement les éléments obtenus. Mais cela ne pose pas problème, car nous connaissons les différents systèmes philosophiques et savons les caractériser en leur essence; ce qu'il nous faut est précisément un moyen d'exhiber une série de décisions différenciantes, qui obligent les systèmes ou positions philosophiques à élaborer un certain type de solution parce qu'elles sont sorties d'une perspective donnée, ou s'y sont au contraire engagées. Le caractère a posteriori des critères de division est une qualité, si on considère qu'ils sont marqués par une profonde hétérogénéité et s'inscrivent dans une histoire imprévisible et faite de nouveauté réelle.

<footnote n="15">15. Cf. *Politique*, 287c.</footnote>
# Annexe E

## Les mots de Zénon : l'hypothèse de Jean-Claude Milner

La discussion que nous menons en 5.2 sur l'objet des arguments de Zénon dits "contre le mouvement", contient un présupposé : qu'Aristote nous informe au moins sur des éléments de détails qui se trouveraient dans les énoncés originels de Zénon. Cela ne nous dit pas encore à quel point Aristote suit de près quelque chose qui peut être considéré comme une source zénonienne. En général, aucun des passages d'Aristote n'est vraiment considéré comme une citation textuelle, même si le ton didactique du chapitre peut laisser suggérer qu'il essaie a minima de produire quelque chose de l'ordre, sinon de la citation littérale d'un ouvrage de Zénon, du moins de la restitution telle quelle de ce qu'il reçoit de la tradition. Bien entendu, dans la mesure où Aristote est la seule source indépendante sûre au sujet de ces paradoxes, on manque entièrement d'éléments de comparaison pour pouvoir vraiment conclure quoi que ce soit. Mais il se trouve qu'un article peu connu de Jean-Claude Milner,14 fourni d'intéressants arguments en faveur d'une fidélité textuelle à Zénon. Nous citons cet article de Milner, sans être entièrement certain de pouvoir évaluer son argumentation, d'une part parce qu'il est assez passionnant en lui-même, et d'autre part parce qu'à notre connaissance il n'a pas vraiment été pris en compte par la

<footnote n="1">1. Jean-Claude Milner, « La technique littéraire des paradoxes de Zénon », in *Détections fictives*, Seuil, 1985, p. 45-71.</footnote>
tradition de commentaire de Zénon<fnref n="2" />.

Le point de départ de la thèse de Milner est un “axiome”, qu’il reprend au philologue allemand Eduard Norden, énonçant qu’« il n’est pas d’écrit antique qui soit un *atechton* »<fnref n="3" />, c’est-à-dire que tout écrit antique relève d’un genre et d’une technique littéraire donnée. Zénon nous étant présenté par des sources suffisamment fiables comme l’auteur d’un *ouvrage*, il s’agit de déterminer son genre et sa technique littéraire. Les témoignages précis sur l’ouvrage étant quasiment inexistants en dehors du *Parménide* de Platon, il faut nous en remettre à des indices textuels internes. Milner décide de se concentrer sur les arguments *contre le mouvement* en vertu du fait qu’ils « sont les seuls à être développés avec un peu de détail et les seuls à ne pas être réduits à une formalisation sèche»<fnref n="4" />.

Ce dernier parti pris hautement problématique la thèse d'ensemble de Milner relative au genre littéraire de l'ouvrage de Zénon. En effet comme on l'a vu, rien ne permet avec certitude de placer les arguments contre le mouvement, et en particulier les trois qui « ne sont pas réduits à une formalisation sèche », dans l'ouvrage auquel Platon fait allusion. D'autant plus que les seuls éléments qu'on puisse, avec semble-t-il quelque fondement, placer dans le dit ouvrage, sont eux-mêmes « réduits à une formalisation sèche », c'est-à-dire sont stylistiquement extrêmement généraux et abstraits et donc littérairement nettement distincts de la “Flèche”, “l’Achille” et le “Stade”. Si Milner propose des arguments convaincants relatifs à la “Flèche” et surtout à “l’Achille”, il nous semble que, comme tant de commentateurs de Zénon (y compris l’auteur du présent texte) il pèche par généralisation et systématisation trop hâtive. Son projet devient alambiqué à propos du “Stade”, arbitraire selon nous à propos de la “Dichotomie”, et on voit difficilement comment même commencer à l'appliquer aux apories du continu.

<footnote n="2">2. Nous avons été informé de son existence pour la première et dernière fois, non pas dans la littérature sur Zénon, mais dans un passage du Séminaire de Badiou consacré à Parménide, Alain Badiou, *Parménide. L'être 1 - Figure ontologique, 1985-1986*, Le Séminaire, Fayard, 2014, p. 122-5.</footnote>

<footnote n="3">3. MILNER, « La technique littéraire des paradoxes de Zénon » cit., p. 45-6, citant et traduisant Eduard Norden, *Die Antike Kunstprosa*, Leipzig 1898, t. I, p. 48.</footnote>

<footnote n="4">4. MILNER, « La technique littéraire des paradoxes de Zénon » cit., p. 47.</footnote>
## L'Achille

L'enquête de Milner commence par le cas de l‘"Achille". On a vu que dans le texte d'Aristote, le titre en référence au héros était indiqué, sans que Achille lui-même soit nommé dans le fil de l'argument. On ne sait pas du tout, de plus, contre qui la course d'Achille pourrait être menée. L'idée d‘"d'Achille et la tortue" faisant la course ne peut donc pas être tirée d'Aristote et nous vient probablement de Simplicius, qui développe largement l'argument en précisant des personnages. Dans le texte de Simplicius est suggérée la structure suivante : non seulement Achille ne parvient pas à rattraper Hector, qui est pourtant plus lent que lui, mais il ne parvient même pas à rattraper une tortue, qui est le plus lent des animaux, et notamment plus lent que le cheval. Ce que ni Simplicius ni Caveing ne précisent, et que Milner semble ignorer, c'est que cette structure remonte elle-même au moins au commentaire de Thémistius à la *Physique*. Mais la question qui se posait pour Milner à propos de Simplicius peut être posée à l'identique à propos de Thémistius : est-ce le commentateur d'Aristote qui invente ces précisions, comme Caveing semble le suggérer, où sont-elles déjà implicitement indiquées par le texte d'Aristote ? La thèse de Milner, que nous croyons est vraisemblable, est que si Thémistius et Simplicius donnent des précisions dramatiques qu'Aristote omet, en revanche la structure qu'ils soulèvent suit de près celle de l'exposé d'Aristote, et leur riche développement permet seul d'expliquer une bizarre variation dans son texte entre le comparatif et le superlatif dans les adjectifs « plus lent » et « plus rapide ».

En effet, revoilà le texte d'Aristote :

> Le second est celui qu'on appelle “l'Achille”. Il consiste à dire que le plus lent [*bradúteron*, comparatif, ou *bradútaton*, superlatif, selon les manuscrits, mais Simplicius lit clairement le superlatif] ne sera jamais rattrapé dans sa course par le plus rapide [*takhístou*, sup.]. Il est en effet auparavant nécessaire que le poursuivant [*tò diôkon*] arrive à l'endroit d'où le fuyard [*tò feûgon*] s'est élancé, de sorte qu'il est nécessaire que le plus lent [comp.] ait toujours quelque avance. Cet argument est aussi le même que celui de la procédure dichotomique, mais il en diffère en ce que la grandeur supplémentaire n'est pas divisée par moitié. Que le plus lent
[comp.] ne soit pas rattrapé résulte de l'argument, mais cela advient pour la même raison que pour la dichotomie (dans les deux cas en effet, il se produit qu'on ne parvient pas jusqu'à la limite quand la grandeur est divisée d'une certaine façon : ce qui s'ajoute dans celui-ci est qu'il n'en ira même pas ainsi dans le cas théâtral *[tetragodeménon]* de l'individu le plus rapide [sup.] lancé à la poursuite du plus lent [sup. selon tous les éditeurs, comp. dans certains manuscrits cependant. Mais Simplicius lit clairement le superlatif]), de sorte qu'il est nécessaire que la solution soit identique.

Milner fait remarquer qu'en grec, "le plus lent ne peut pas être rattrapé par le plus rapide" se construit normalement avec deux comparatifs, et non deux superlatifs (le français, contrairement au grec ou à l'anglais, n'exprime pas cette distinction quand les adjectifs sont substantivés). Pour rendre la particularité de la construction qu'on trouve chez Aristote, avec deux superlatifs, Caveing parle d'ailleurs de « champion de rapidité » et « champion de lenteur». L'idée de Milner est qu'il y a deux affirmations distinctes implicites dans le texte d'Aristote, d'abord une affirmation selon laquelle un coureur relativement plus lent ne peut pas être rattrapé par un autre plus rapide, puis la dramatisation emphatique de cette affirmation selon laquelle même le plus lent de tous ne peut être rattrapé par le plus rapide de tous. Comme l'adjectif « plus rapide » est toujours au superlatif dans le texte d'Aristote en grec, même quand il poursuit un comparativement plus lent que lui, Milner juge qu'il s'agit toujours, dans le cadre originel de Zénon, d'une course menée par Achille. Comme Aristote fait spécifiquement référence à un poursuivant et un fuyard, il ne s'agit pas d'une compétition mais d'une poursuite, et comme cela doit être identifié par tout lecteur grec, il s'agit naturellement de la poursuite d'Hector par Achille dans l'Iliade.

La course mélodramatique contre la tortue consiste donc dans le remplacement d'Hector par une tortue, et parallèlement la substitution d'Achille à ce qui était apparemment

<footnote n="5">5. CAVEING, Zénon d'Éléa cit., p. 79.</footnote>

<footnote n="6">6. Milner traduit *tetragodeménon* par "mélodramatique". Le sens du mot grec dans ce contexte n'est pas clair. Il s'agit du participe passé passif du verbe *tragodéo* qui signifie en général "figurer ou jouer dans une tragédie". Le sens le plus faible qu'on peut lui donner est "célèbre" ou "bien connu", mais Thémistius semble nettement l'interpréter dans le sens d'une dramatisation (au sens propre comme au figuré), LM traduisent par « théâtral » dans le texte d'Aristote mais par « grandiloquent » dans le texte de Thémistius, Stevens traduit par une référence à un « héros », et Pellegrin à une « fable ».</footnote>
un cheval dans une histoire de course, ce que l'on tendrait naturellement à considérer comme une variante de la fable du Lièvre et la tortue d'Ésope. Milner reconstitue cela à partir du long commentaire de Simplicius, mais on trouve en réalité cette construction directement visible dans la version de Thémistius, en sorte qu'on doit comprendre l'exposé d'Aristote, comme tant d'autres de ses exposés, comme la restitution elliptique de la structure d'un argument plus riche, que Thémistius et Simplicius restituent plus complètement.

Voici une partie de la paraphrase de Thémistius¹, puis des extraits de celui de Simplicius² :

> Le second est l'argument appelé “Achille”, dont le nom également est théâtrale². En effet, comme il [Zénon] le dit, Achille aux pieds les plus rapides [*podokéstatos*, sup.³] ne rattrapera pas Hector, mais pas non plus la tortue, qui est la plus lente [sup.]. Si, en effet il est nécessaire que le poursuivant atteigne préalablement la limite de la distance que le poursuivi a déjà parcourue, il est impossible que l'un soit rattrapé par l'autre. Car pendant que le poursuivant traverse cette distance, il est clair que le poursuivi ajoute une autre distance. En effet, même si elle est toujours plus petite du fait qu'il se trouve être plus lent [comp.], il en ajoute néanmoins une.

> It would be as follows : if there is motion, the slowest will never be overtaken by the fastest. But in fact this is impossible. Consequently, there is no motion. The conditional premise is self-evident, and he establishes the addition premise which says that it is impossible for the slowest to be overtaken by the fastest, by taking a tortoise as the slowest, which the story too took as slow by nature in the contest with the horse³, and Achilles as the fastest, who seemed so much the swiftest of foot [même terme que Thémistius] that “help-foot” [*podarkês*] seems to be his personal epithet in Homer because the speed of his feet helped both himself and his allies. The argument was called “Achilles”, accordingly, from the fact that Achilles was taken [as a character] in it, and the argument says it is impossible for him to overtake the tortoise when pursuing it. For in fact it is necessary that what is to overtake [something], before overtaking [it], first reach the limit from which what is fleeing set forth [...] By taking one interval less than another to infinity by the cutting of the magnitudes to infinity, not only will Hector not be overtaken by Achilles, but not even the tortoise [will be].

> [...] That not even the fastest pursuing the slowest will overtake it has been added in tragic style [*prostetragódetai*, renvoie au participe passé passif *tetragôdêmenos* dans Aristote et Thémistius]
to this argument, with both Achilles and the tortoise brought in as characters as though in a tragedy
or comedy.

À partir de là, la thèse de Milner est la suivante : Zénon rédige son argument *via* un commentaire d'un passage d'Homère réinterprété sur un mode pompeux et comique via la tradition de la fable populaire.

Plus précisément, Zénon va chercher dans Homère un cas paradoxal d'immobilité ou en général d'échec du mouvement, et il le trouve dans un épisode de l'*Iliade* qui présente exactement l'impossibilité pour le plus rapide de rattraper le plus lent. Il s'agit de la course surnaturelle d'Achille et d'Hector qui précède leur duel final, dans le livre XXII. Achille est plus rapide qu'Hector, mais ne parvient toujours pas à le rattraper après déjà trois tours des murs de Troie<fnref n="7" /> :

> Le rapide Achille traquait Hector sans relâche.
> Comme un chien poursuit[dîetai], en montagne, le faon d'une biche,
> qu'il a chassé de son gîte, à travers les vallons et les gorges
> -- dans un buisson, celui-ci se terre et échappe à la traque,
> mais le chien suit sa trace en courant et enfin le débusque ;
> ainsi Hector ne pouvait échapper au guerrier pieds-rapides [*podókea*].
> Chaque fois qu'il voulait, à la porte Dardanienne,
> se jeter devant lui au pied de la bonne muraille
> pour que ceux d'en haut le protègent avec leurs flèches,
> chaque fois Achille le détournait vers la plaine,
> en le devançant, en volant aussitôt vers la ville.

<footnote>a. Le texte considéré comme source par LM. D15b LM, p. 607.</footnote>

<footnote>b. SIMPLICIUS, *On Aristotle Physics 1.3-4* cit., p. 1014, 1-1015, 2.</footnote>

<footnote>c. Ici LM traduisent par « grandiloquent », mais il faut noter qu'il s'agit du même adjectif *tetragôdêménos* que l'on trouvait chez Aristote, et sur lequel nous revenons plus loin.</footnote>

<footnote>d. La traduction LM dit « aux pieds rapides », mais cela ne fait pas valoir le superlatif. Thémistius cite ici Zénon qui met spécifiquement au superlatif une épithète homérique normalement au comparatif : *podókes*.</footnote>

<footnote>e. En parlant de la différence des vitesses, quelques pages avant le passage cité à l'instant, Thémistius fait plusieurs références au fait bien connu de la plus grande rapidité du cheval par rapport à la tortue.</footnote>

<footnote n="7">7. Homère, *L'Iliade*, trad. du grec et annot. par Philippe Brunet, Seuil, 2010, v. 188-205, pp. 585-6.</footnote>
Comme on ne peut, dans un rêve, rejoindre [diókein]<fnref n="8" /> celui qui s'échappe [feúgonta],
l'un ne pouvant s'échapper [upofeúgein], ni l'autre à son tour le rejoindre [diókein],
ainsi Achille ne rattrapait pas Hector à la course.

Non seulement le cadre de la course est le même, entre un fuyard plus lent et un poursuivant plus rapide (décrits dans les mêmes termes), mais Homère en vient lui-même à décrire la situation surnaturelle, onirique, d'une course qui ne va nulle part, d'une course immobile. Dans l'histoire, c'est l'intervention d'Apollon qui continue de sauver Hector de justesse.

À cette exploitation/commentaire d'un épisode héroïque, Zénon ajoute mélodramatiquement une double substitution, du cheval par Achille dans la fable ou d'Hector par la tortue dans l'épopée, afin d'avoir, sur un mode tragicomique, la plus frappante illustration de la preuve. Notons que si nous devons conclure qu'en un sens Aristote et ses commentateurs citent Homère dans son texte, c'est-à-dire reproduisent des éléments textuels qui ont leur origine dans Homère, cela veut dire en même temps que Zénon lui-même citait Homère et qu'Aristote cite en un sens Zénon, qu'il témoigne en quelque manière de termes employés dans un texte d'origine zénonienne.

Nous citons la conclusion de Milner<fnref n="9" /> :

S'il y a là les éléments d'une technique littéraire, on peut les résumer ainsi :

* L'argument de Zénon repose sur un *adunaton* [un impossible], mais ce dernier, Zénon ne l'invente pas, il le trouve tout construit dans une tradition.

* Afin d'exposer sa dialectique, Zénon commente Homère, en le ramenant aux schèmes de la sagesse populaire.

Par là, du reste, se comprend avec plus de précision la procédure démonstrative. Ayant emprunté à la tradition (littéraire ou populaire) un *adunaton* reconnu pour tel, Zénon démontre, par des raisons formelles, que l'impossible est non seulement possible, mais logiquement nécessite

<footnote n="8">8. Littéralement : “poursuivre”.</footnote>

<footnote n="9">9. MILNER, « La technique littéraire des paradoxes de Zénon » cit., p. 54-5.</footnote>
saire. Loin qu'il faille admirer qu'Achille ne rattrape ni Hector ni la tortue, il est impossible qu'il
en soit autrement.

Il admet néanmoins que pour pouvoir parler de technique littéraire il faut pouvoir montrer que le procédé est systématique et s'applique à tous les arguments, il passe donc au cas de la flèche. Avant d'y venir, nous pouvons dire un mot de bilan sur ce premier argument : il est certainement possible d'envisager un scénario différent pour expliquer les variations du texte d'Aristote et l'apparition des personnages déterminés chez Thémistius et Simplicius. L'explication de Milner tend d'ailleurs à impliquer que Thémistius et Simplicius aient eu accès à une source textuelle indépendante sur l'argument de l'Achille, qui ne nous est pas connue, ce qui n'est pas une hypothèse commune. Il reste néanmoins qu'aujourd'hui même il nous est difficile d'entendre parler de l'Achille sans penser à la fable du lièvre et de la tortue, et qu'on doit supposer que l'association à l'épisode de l'Iliade, ainsi qu'avec la fable populaire, allait également de soi déjà à l'époque de Zénon. Si Zénon n'a pas utilisé ces personnages, on peut penser que leur apparition chez Thémistius était d'une certaine manière naturelle.

À cet égard, il serait dommage de ne pas signaler ce qui est apparemment un charmant témoignage de la célébrité de Zénon, de son vivant même, et du paradoxe de l“Achille” en particulier. On trouve en effet au Musée National Étrusque de la Villa Giulia à Rome un vase daté du milieu du Ve siècle av. J.-C.<fnref n="10" />, dont une des figurations est une tortue dépassée par un homme vêtu d'une chlamyde et d'un pétase, tenue de campagne fréquemment associée à la figure du héros. Plusieurs commentateurs, dont H. Hoffman<fnref n="11" /> et Palmer, considèrent cette peinture comme étant vraisemblablement une figuration du paradoxe de l'Achille, et donc peut-être la première réaction connue à celui-ci, les dates supposées de la peinture la plaçant à peu près du vivant de Zénon. Si c'est le cas, on aurait alors un argument archéologique en faveur de la présence de la tortue dès le texte de départ de Zénon. Notons que dans la représentation, Achille dépasse en effet la tortue ! Le peintre offre apparemment une résolution picturale au paradoxe, ou prend en charge

<footnote n="10">10. Cf. fig. E.1</footnote>

<footnote n="11">11. Herbert Hoffman, « Zeno's Tortoise », *Antike Kunst*, 47 (2004), p. 5-9.</footnote>
de venger la tortue par l'art.

## La Flèche

Revoilà le texte d'Aristote :

> Mais Zénon raisonne mal : Si, en effet, dit-il, toute chose est toujours en repos quand elle est dans un égal, et que ce qui se meut est toujours dans le moment présent, *la flèche qui se déplace est immobile*[akíne̯ton tèn feromén̄n eînai oïstón].[...]

> Voici donc deux arguments ; Le troisième vient juste d'être mentionné ; il consiste à dire que *la flèche qui se déplace est immobile* [*e oïstòs feroméné êsteken*].

Le premier point dont Milner veut nous convaincre, avec une certaine force, est que la phrase d'Aristote « la flèche qui se déplace est immobile » (*e oïstòs feroméné êsteken*) est une citation littérale de Zénon. Le premier élément soutenant l'hypothèse est qu'Aristote utilise la même expression, « *e oïstòs feroméné* », à quelques lignes d'intervalle. Il fait re-marquer que ce qui est traduit ici par « le troisième vient juste d'être mentionné » pourrait tout aussi bien être traduit par « en troisième lieu vient celui dont nous venons de faire citation », décla-rant que cela s'accorde avec le participe *rêtheîs*. Surtout, l'argument central concerne le nom *e oïstòs*, et son caractère tout à fait inhabituel. D'une part, il affirme que le terme *oïstòs* n'est pas celui que l'on attendrait dans de la prose attique, mais qui appartient plus proprement au registre tragique ou épique. Le terme plus courant pour flèche serait *bélos*, qui tend d'ailleurs à remplacer *oïstòs* chez les commentateurs d'Aristote. Plus re-marquablement encore, le terme est au féminin, alors qu'il est presque universellement masculin (Milner ne connait qu'une seule autre occurrence du féminin, chez Jamblique). Ce dernier fait suffit, selon Milner, et d'autres, pour considérer que « *e oïstòs* » n'est pas une expression propre à Aristote mais une citation de Zénon. Milner affirme que l'appartenance à un autre registre que celui de la prose attique doit nous convaincre qu'il s'agit chez Zénon lui-même d'une citation tragique ou épique.

Il s'agit donc pour Milner de trouver un passage parmi les classiques tragiques ou comiques, contenant la situation impossible d'une flèche lancée qui se tient immobile.
<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>FIG. E.1 : A plate of the red-figure drinking cup, Mus. Villa Giulia inv. 3591, reproduite et discutée dans Herbert Hoffman, « Zeno's Tortoise », *Antike Kunst*, 47 (2004), p. 5-9</figcaption></figure>
Il trouve ce passage à nouveau dans Homère, plus précisément dans la descente aux enfers d'Ulysse au onzième chant de l' *Odyssée*. Ulysse aux enfers contemple les ombres des Titans et héros disparus. Comme Milner le fera remarquer, tous se trouvent dans une situation de mouvement immobile, de situation active figée dans l'éternité : Sisyphe ne cesse jamais de remonter sa pierre (v. 593-600), Tantale de se pencher pour saisir de l'eau (v. 582-92), et Tityos de se faire déchirer le foie par des vautours (v. 576-81) ; Minos éternellement rend justice (v. 568-71), le Géant Orion chasse les fauves (v. 572-5), et enfin, donc, l'ombre d'Héraclès éternellement est sur le point de tirer une flèche qui ne part jamais (v. 601-8)<fnref n="12" /> :

J'aperçus aussi Héraclès, ou son ombre plutôt,
Car le héros lui-même a son séjour parmi les dieux ;
Il est de leur festin avec Hébé, sa belle épouse,
La fille du grand Zeus et d'Héra aux sandales d'or.
Autour de lui, les morts fuyaient en poussant de grands cris,
Comme font des oiseaux. Pareil à la nuit ténébreuse,
Il tenait son arc nu et une flèche (oïstón) sur la corde,
L'œil menaçant, comme un archer toujours prêt à tirer [littéralement : semblant toujours sur le point de tirer, aieì baléonti eoikós].

Héraclès apparait toujours, aieì « allant tirer », le même « toujours » dont on a vu qu'il était au principe des raisonnements itératifs chez Zénon et qui est aussi au principe de la flèche dans la restitution d'Aristote : la flèche est « toujours » immobile parce qu'elle est « toujours » dans le “maintenant”.

Milner fait remarquer qu'à l'époque de Zénon, les punitions divines éternelles et la possibilité de représenter les situations impossibles des enfers était un sujet de préoccupation. Nous le citons :

> Qu'on ne croie pas du reste que la question de la *mimesis* soit ici non pertinente. Bien au contraire, on sait que la peinture grecque a fait de tels *adunata* ses objets d'élection, et la

<footnote n="12">12. Homère, *L'Odyssée*, trad. du grec par Frédéric Mugler, Babel, Actes Sud, 1995, p. 208.</footnote>
peinture la plus célèbre de la Grèce sera bientôt la *Nekuya* où Polygnote, un contemporain de Zénon, représenta les Enfers et leurs supplices éternellement recommencés<fnref n="13" />.

Il conclut que comme pour l'Achille, Zénon ici commente le texte homérique et rejoint la tradition picturale de figuration du mouvement éternellement figé des enfers.

Nous arrêtons là le commentaire de l'article de Milner, ses reprises de la Dichotomie et du Stade semblant respectivement trop arbitraire et trop contournée pour être entièrement convaincantes, une fois dit que sa thèse principale sur la nature de l'ouvrage de Zénon ne peut pas être maintenue. L'article reste néanmoins dans son entier très recommandable, est bref, et la reprise qui en est faite ici ne rend pas justice à sa richesse.

<footnote n="13">13. Milner renvoie à la description de l'œuvre par Pausanias, *Description de la Grèce*, X, 25-31, et sa discussion dans Adolphe Reinach, *Textes grecs et latins relatifs à l'histoire de la peinture ancienne*, Klincksieck, Paris 1921.</footnote>
# Annexe F

## Archimède et les méthodes
infinitaires

Nous souhaitons faire une mise au point sur Archimède, et les très mal nommées méthodes dites d'“exhaustion” et des “indivisibles”. D'abord parce qu'elles sont pour elles-mêmes passionnantes et qu'il est possible de les exposer en ne supposant pratiquement aucune connaissance mathématique; ensuite pour clarifier le fait que ni l'une ni l'autre n'implique Archimède dans une procédure d'“infini achevé” et clarifier en général le rapport qu'elles entretiennent avec l'infini; enfin parce qu'elles soulèvent de fascinantes questions sur les rapports possibles de l'atomisme ancien, voire de l'éléatisme, avec les développements de techniques mathématiques, questions que nous nous contenterons ici de poser.

### Les indivisibles

On appelle parfois “méthode des indivisibles”, en référence à l’invention de Cavalieri, une méthode heuristique de découverte de théorèmes dont témoigne le texte d’Archimède qu’on nomme la *Méthode*<fnref n="2" />. Elle consiste à conclure certaines propriétés de proportion sur

<footnote n="1">1. Cf. la section 9.4.</footnote>

<footnote n="2">2. Cette œuvre, qui prend la forme d'une lettre (publique) adressée par Archimède à Eratosthène (et avec elle d'autres éléments du travail d'Archimède) n'a été redécouverte qu'en 1906, dans un palimpseste à l'histoire agitée, et son texte a été encore très récemment revu : grâce aux nouvelles méthodes d'imagerie</footnote>
<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>FIG. F.1 : Le cylindre inscrit dans le cercle</figcaption></figure>

des figures, à partir de propriétés analogues portant sur des composants de dimension inférieure de ces figures, et en supposant la figure totale composée par sommation de ces figures de dimension inférieure. Ainsi, par exemple, on envisagera un triangle comme composé de segments inégaux unidimensionnels, et une pyramide comme composée de triangles. Nous en donnons un modèle le plus simple possible mais que nous croyons adéquat à l'esprit de la méthode : on considère deux volumes réguliers (par exemple un cube et un cylindre inscrit dans le cube), et on veut prouver qu'ils sont dans la même proportion que leurs bases (à savoir le carré et le cercle inscrit dans ce carré). Pour cela, on montre que, si l'on considère une "tranche" quelconque de ces figures, c'est-à-dire une section quelconque des figures par un plan parallèle à leurs bases, les sections de l'une et l'autre sont en effet dans la même proportion que les bases. Comme la section choisie était arbitraire, on sait que c'est vrai pour n'importe laquelle, vrai pour toutes. On en conclut que ce qui est vérifié pour toutes les sections est vérifié pour les figures, grâce apparemment à une forme de sommation de ces sections.

La nature de l'opération permettant de conclure demeurait au XXe siècle quelque peu floue, mais la mise au jour en 2001 de nouveaux éléments textuels, dans des lignes auparavant illisibles de la proposition 14 de la *Méthode*, révèle une explicitation du raison-

<footnote>numérique, des découvertes décisives sur son contenu ont été faites à partir de 2001. Sur ces découvertes, voir la présentation populaire en Reviel Netz et William Noel, *The Archimedes Codex. How a Medieval Prayer Book is Revealing the True Genius of Antiquity's Greatest Scientist*, Da Capo Press, 2007, et la présentation scientifique de Reviel Netz et al. (éd.), *The Archimedes Palimpsest*, 2 t., Cambridge University Press, 2011.</footnote>