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# L'aporie du passage

Pierrot Seban

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Pierrot Seban. L'aporie du passage : Zénon d'Élée et le principe d'achevabilité. Philosophie. Université Paris Nanterre, 2018. Français. NNT : 2018PA100149 . tel-04457772

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Membre de l'université Paris Lumières

Pierrot SEBAN

L'aporie du passage

Zénon d'Élée et le principe d'achevabilité

Thèse présentée et soutenue publiquement le 13 décembre 2018 en vue de l'obtention du
doctorat de philosophie de l'Université Paris Nanterre,

sous la direction de M. Jean-Michel SALANSKIS, Professeur émérite à l'Université Paris Nanterre

Membres du jury :

Rapporteure : Mme Hourya BENIS-SINACEUR Directrice de recherche émérite au CNRS

Rapporteur : M. Ali BENMAKHLOUF Professeur à l'Université Paris Est Créteil
Val de Marne

M. Brice HALIMI Maître de conférence HDR à l'Université Paris Nanterre

M. Marwan RASHED Professeur à l'Université Paris Sorbonne
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# Résumé

## L'aporie du passage

## Zénon d'Élée et le principe d'achevabilité

Nous reconsidérons les arguments de Zénon d'Élée dits de l'« Achille » et de la « Dichotomie », en réunissant les perspectives de plusieurs disciplines, dont l'histoire de la philosophie ancienne, l'histoire et la philosophie des mathématiques, et la philosophie du temps.

Nous soutenons que les réponses ordinairement données à ces arguments au XXe siècle, d'après lesquelles la mathématique moderne nous donne les moyens de dissoudre l'aporie, sont erronées et s'accompagnent d'une vue faussée sur le problème originel, notamment sur le concept d'infini qu'il implique.

Dans la première partie, nous étudions les sources sur Zénon et sur son contexte de réception, pour établir que l'infini est chez lui second par rapport à l'idée d'inachevabilité, qui découle d'un mode de raisonnement nouveau qu'on peut nommer « itératif indéfini ». Nous examinons comment Zénon a utilisé ce raisonnement dans l'élaboration d'apories dialectiques, et comment l'ensemble des systèmes antiques étaient susceptibles de résoudre ces dernières.

Dans la seconde partie, nous défendons l'aporie zénonienne du mouvement. Nous montrons qu'elle repose sur un principe que nous nommons « principe d'achevabilité », lui-même ancré dans notre intuition temporelle du passage. À travers la considération de la littérature sur les "supertasks", des problèmes concernant la réalité et la nature du temps, des différents concepts d'infini, et de la réflexion métamathématique, nous montrons à la fois pourquoi les théories de l'infini mathématique sont, de fait, la seule raison conduisant à rejeter le principe d'achevabilité, et pourquoi elles ne sont pas, de droit, en mesure de justifier ce rejet.

Mots-clés : Achille, aporie, continu, devenir, dichotomie, infini, itération, métamathématiques, mouvement, paradoxes de Zénon, supertasks, temps, Zénon d'Élée
# Summary

## The Aporia of Passage

### Zeno of Elea and the Principle of Achievability

We reconsider Zeno of Elea's arguments known as “Achilles” and the “Dichotomy”, bringing together perspectives from several disciplines, including the history of ancient philosophy, the history and philosophy of mathematics and the philosophy of time.

We contend that the usual contemporary answers to these arguments – according to which modern mathematics allow us to dissolve the aporia – are wrong, and carry a false view of the original problem, especially of the concept of infinity it implies.

In the first part of the dissertation, we study the sources relevant to Zeno and his arguments' reception context, in order to establish that Zeno's infinite is dependant upon an idea of *un-achievability*, acquired through to a new mode of reasoning that we call “indefinite iterative”. We examine the ways Zeno used this mode of reasoning in order to design dialectical aporias, and how ancient philosophical systems were capable of solving them.

In the second part, we vindicate Zeno's aporia of motion. We show that it rests on what we call “the achievability principle”, that itself is anchored in our intuition of passage. Through the consideration of problems relevant to so-called 'supertasks', to the reality and the nature of time, to the notion of infinity and to the metamathematical debate, we show, at the same time, how mathematical theories of the infinite are the only *de facto* reason to deny the achievability principle, and how they cannot, *de jure*, justify such a denial.

Keywords: Achilles, aporia, becoming, continuum, dichotomy, infinite, iteration, metamathematics, motion, superstasks, time, Zeno of Elea, Zeno's paradoxes
Remerciements

Nous sommes, dans la droite lignée des castes de prêtres de l'Égypte ancienne, des lettrés
parasitaires, dépendant du surplus fourni par le labeur collectif. Cette dépendance à l'égard des
conditions matérielles vaut de concert pour la pensée : il m'a fallu être nourri, habillé, logé,
diverti, fourni en livres, en tables, en électricité, en temps; mais aussi nourri de concepts,
habillé de traditions, logé dans des courants de pensée, diverti par mes pairs, fourni en idées,
en dialogues, en réfutations et en enseignements. Puisque je ne peux exprimer en personne ma
gratuité à l'égard de l'histoire humaine et du prolétariat mondial, il me faut me limiter à celles
et ceux qui me sont propres et qui pourront m'entendre :

Jean-Michel Salanskis, d'abord, que je remercie d'avoir accepté de diriger mes travaux. Qu'il
sache que j'ai fait mon possible pour être à la hauteur de son enseignement.

Les membres du jury, Ali Benmakhlouf, Hourya Benis-Sinaceur, Brice Halimi, et Marwan Rashed, qui ont tous accepté de considérer mes efforts, ce dont je les remercie grandement.

Mes professeurs et maîtres – dont certains m’ont fait l’honneur d’évaluer ce travail. Parmi
tant d’autres, que soient remerciés Laurent Lavaud, qui m’a conduit sur la voie de l’étude philo-
sophique; et Élie During, le premier qui m’ait forcé à expliciter l’aporie du passage, à laquelle il
a toujours opposé son scepticisme.

Je voudrais aussi remercier celles et ceux qui m'ont donné l'occasion de parler de mon travail, d'en élaborer et tester les hypothèses, devant différents auditoires; et remercier les publics qui y ont été réceptifs. Je me dois de mentionner avant tout les étudiant.e.s de l'ENS de Lyon qui ont bien voulu m'écouter, en particulier Fanny Canet, Tom Rosset et Thomas Tulinski.

Je remercie mes camarades, victimes généralement volontaires de mes obsessions philoso-
phiques, et en l'absence desquels aucune pensée n'aurait été possible : Victor Béguin, Romain
Bigé, Camilla Brenni, Alexandre Fillon, Jim Gabaret, Maxime Jacqueline, et d'autres encore.
Cette thèse doit aussi beaucoup à mon ami géomaticien Jonathan Engélinus, et à mon frère
mathématicien Pablo, qui ont encouragé et stimulé mes fantaisies mathématisantes.

Pour leur présence, leur aide, leur affection, je veux encore remercier ma compagne, mes
ami.e.s les plus proches et en somme ma famille (élargie) : mon Amanda, Amel, Aude, Brune,
Édouard, Émilie, Jackie, Lucia, Max, Mélissa, Nino, Stéphane, Mimi, ma mère, mon père.

Enfin pardon, et merci, aux personnes ici oubliées. Je ne les oublie pas.
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# Sommaire

Introduction : Le même problème depuis 2500 ans 1

Première partie Zénon d'Élée et l'inachevable 15

1 Vie et œuvre de Zénon d'Élée 17

2 Comment lire Zénon 43

3 Le raisonnement itératif 71

Interlude anachronique 121

4 La dialectique du continu 125

5 Contre le mouvement 155

Deuxième partie L'inacheable aujourd'hui 195

6 Y a-t-il aporie de l'inacheable ? 197

7 La méprise contemporaine 219

8 L'inacheable et le temps 333

9 Penser l'infini 401
<table><tr><td>10 La lecture métamathématique</td><td>449</td></tr><tr><td>Conclusion : Les paradoxes de Zénon et l'aporie du passage</td><td>509</td></tr><tr><td>Annexes</td><td>527</td></tr><tr><td>A "paradoxe" et "aporie"</td><td>527</td></tr><tr><td>B L'idée d'une lecture dialectique</td><td>535</td></tr><tr><td>C Théorie informelle du paradoxe</td><td>545</td></tr><tr><td>D Quel modèle pour un système de réponses?</td><td>551</td></tr><tr><td>E Les mots de Zénon : l'hypothèse de Jean-Claude Milner</td><td>557</td></tr><tr><td>F Archimède et les méthodes infinitaires</td><td>569</td></tr><tr><td>G Variétés de l'infinitésimal</td><td>577</td></tr><tr><td>H Descartes, Zénon et l'infini achevé</td><td>583</td></tr><tr><td>I La non-résolution kantienne</td><td>593</td></tr><tr><td>Index</td><td>601</td></tr><tr><td>Bibliographie</td><td>609</td></tr><tr><td>Table des matières</td><td>639</td></tr></table>
Sigles

AristMétaph Aristote, *Métaphysique*, in Œuvres. Éthiques, Politique, Rhétorique, Poétique, Métaphysique, sous la dir. de Richard Bodéüs, trad. du grec par Christian Rutten et Annick Stevens, Bibliothèque de la Pléiade, Gallimard, 2014.

AristPhys Aristote, *Physique*, trad. du grec, annot. et introd. par Annick Stevens, Vrin, 2012.

AT René Descartes, *Œuvres*, nouvelle présentation, sous la dir. de Charles Adam et Paul Tannery, 13 t., Vrin/CNRS, 1964-1974.

Barnes Jonathan Barnes, *The Presocratic Philosophers*, t. 1 : *Thales to Zeno*, 2 t., The Arguments of the Philosophers, 1979.

DK Hermann Diels et Walther Kranz (éd.), *Die Fragmente der Vorsokratiker*, 6ᵉ éd., 3 t., Berlin 1951-1952.

LM André Laks et Glenn W. Most (éd. et trad.), *Les débuts de la philosophie. Des premiers penseurs grecs à Socrate*, Fayard, 2016, édition en langue anglaise : *Early Greek Philosophy*, éd. établie et trad. du grec par André Laks et Glenn W. Most, 9 t., Harvard University Press, Cambridge (Mass.) et Londres 2016.

LS A.A. Long et D.N. Sedley (éd. et comm.), *Les Philosophes hellénistiques*, trad. de l'anglais par Jacques Brunschwig et Pierre Pellegrin, 3 t., GF Flammarion, 2001, traduction de : *The Hellenistic Philosophers*, éd. établie, trad. du grec et comm. par A.A. Long et D.N. Sedley, Cambridge University Press, 1987.
Palmer John Palmer, « Zeno of Elea », in *The Stanford Encyclopedia of Philosophy*, sous la dir. d'Edward N. Zalta, Spring 2017, Metaphysics Research Lab, Stanford University, 2017, https://plato.stanford.edu/archives/spr2017/entries/zeno-elea/.
# Introduction : Le même problème depuis 2500 ans

> Il est de fait que la littérature mathématique est submergée de lieux communs saugrenus et de non-sens qui pour la plupart sont engendrés par l'infini. Ainsi lorsqu'on souligne, avec l'intention d'y mettre une condition restrictive, l'existence que dans une mathématique rigoureuse un nombre fini seulement d'inférences est admis au cours d'une démonstration : comme si quelqu'un avait jamais effectué un nombre infini d'inférences !

> David Hilbert, « Sur l'infini »

> Visiblement, la personne qui soulève cette difficulté n'a pas à cœur le flux du devenir, et ne distingue pas les choses qui ont leur être dans la venue à l'être de celles qui ont leur réalité tout entière à la fois.

> Damascius, in Simplicius, Commentaire à la Physique d'Aristote

> Pourrions-nous avoir compté jusqu'à l'infini ? Pourrions-nous traverser un matin l'en tièreté d'une existence éternelle, avant de reprendre le cours de notre vie ordinaire ?

> Si une série d'événements ne saurait prendre fin, se peut-il néanmoins que l'on en ait fini avec elle ? Mais si nous le nions, comment un quelconque mouvement saurait-il avoir lieu ?

> Le travail entrepris dans cette thèse a pour ambition de présenter un problème philosopique, que nous nommons « l'aporie du passage ». Nous voudrions défendre l'idée que ce problème constitue un des enjeux, sinon l'enjeu essentiel, des énoncés aujourd'hui
connus comme « *paradoxes de Zénon d'Élée contre le mouvement* », plus précisément des paradoxes dits de « *l'Achille* » et de « *la Dichotomie* ». Nous voudrions également soutenir que ce problème philosophique se pose encore à nous tous et toutes aujourd'hui, avec une force identique à celle qu'il avait au vᵉ siècle avant notre ère, du temps de Zénon.

Non pas que cette aporie n'admette pas de solution. Elle admet et a toujours admis, au contraire, une *pluralité* de solutions à chaque époque. Mais la pluralité même de ces solutions leur confère, à chaque époque et aujourd'hui encore, un caractère profondément *conflictuel*. Elles sont incompatibles entre elles, et par suite n'offrent pas la consensuabilité du *dépassement* d'un problème, mais au contraire la conflictualité de son caractère indépassable. Nombre sont néanmoins les commentateurs récents qui ont considéré, ou bien que le problème (celui de l'aporie du passage) ne s'était jamais vraiment rationnellement posé, ou bien que des résultats dans le domaine des mathématiques modernes – qui échapperaient alors, grâce à l'autorité mathématique, à la conflictualité du champ philosophique – nous permettaient aujourd'hui de le considérer comme *dépassé* ou *résolu*.

Nous croyons ce jugement erroné. Nous voudrions ici expliquer pourquoi, et chercher à comprendre les raisons philosophiques de cette erreur, et parfois de la confusion qui a empêché certains auteurs et autrices fort compétentes et érudites de tout simplement *voir* quel pouvait être le problème, à l'origine, lors de la première grande réception des paradoxes dans l'Antiquité grecque.

Pour tenter de mener à bien cette entreprise, il nous a semblé nécessaire de mobiliser des données, des connaissances et des idées venant de multiples horizons et disciplines. Par là, nous nous risquons à contourner l'impérieuse exigence de spécialisation disciplinaire qui est normalement la condition de l'exercice doctoral. Cela nous met dans la position de toujours devoir parler en défaut d'une expertise absolument suffisante, et, ne nous adressant pas d'emblée à un public spécialiste, de souvent devoir présenter des contenus à un niveau de connaissance relativement commun. Nous espérons avoir su éviter, le plus souvent, tant la trivialité que l'incompétence.

De quoi, pour commencer, s'agit-il exactement ?
Les paradoxes de Zénon d'Élée

L'auteur présocratique Zénon d'Élée (c. -490 – c. -430⁴) semble être l'introducteur en
philosophie de ce que l'on peut appeler « l'horizon infini des opérations ». Chez son maître
Parménide (c. -515 – c. -440), on trouvait peut-être la première utilisation philosophique
rigoureuse du raisonnement par l'absurde; de même, on trouve probablement chez Zénon
la première utilisation philosophique systématique, non seulement de la réduction à
l'absurde mais aussi de ce qui constitue un élément fondamental de la mathématique
grecque naissante – peut-être de toute mathématique – à savoir la possibilité idéale
d'itérer sans fin des opérations. Quand on a fait + 1, de faire + 1 de nouveau, et ainsi
de suite<fnref n="2" />.

Mais l'utilisation qu'en fait Zénon est destructrice : partant de l'hypothèse que ce qui est constitue une grandeur continue, et que toute grandeur continue se divise en d'autres grandeurs continues – hypothèse partagée par la géométrie grecque – il a produit un certain nombre d'arguments visant à prouver qu'il est impossible qu'il y ait plusieurs choses, qu'il est impossible qu'il y ait du mouvement<fnref n="4" />.

Pour montrer que les choses<fnref n="2" /> ne peuvent être plusieurs, Zénon montre que si l'on
suppose qu'elles sont en effet plusieurs, alors on est contraint d'en dire des choses contra-
dictoires. Il montre par exemple que, si l'on suppose que les choses sont plusieurs, alors
on doit dire qu'elles sont à la fois limitées et illimitées. Elles sont limitées, c'est-à-dire en
quantité déterminée, parce que si elles sont et composent le continu qui est, il faut qu'il
y en ait autant qu'il y en a, ni plus ni moins. Mais elles sont aussi illimitées, c'est-à-dire
qu'il y en a *plus* que toute quantité déterminée. Car si des éléments dans une certaine
quantité déterminée composent la grandeur, c'est qu'ils ont eux-mêmes chacun une gran-
deur (car ce qui n'a pas de grandeur n'ajoute rien ni l'enlève rien à la grandeur totale
et ne peut donc la composer). Mais s'ils ont une grandeur, chacun peut être divisé en

<footnote n="1">1. Sur les dates hypothétiques de Zénon et Parménide, voir L.2.</footnote>

<footnote n="2">2. Sur l'itération infinie et son rôle dans la philosophie et la mathématique grecque, voir tout le chapitre 3.</footnote>

<footnote n="3">3. Sur l'œuvre de Zénon, voir L.3, et les chapitres 2 à 7. Sur l'hypothèse de la grandeur continue, voir notamment la section 2.4.</footnote>

<footnote n="4">4. Sous-entendu : les choses qui composent la grandeur continue qui constitue le tout de ce qu'il y a.</footnote>
de nouvelles, plus nombreuses, grandeurs, et donc il y a, en tout, davantage d'éléments que ce que l'on supposait. Ainsi, autant qu'il y en a, il y en a encore davantage. On peut toujours répéter l'opération, il y en a donc de manière illimitée¹.

Nous sommes au premier chef intéressé par les paradoxes portant sur le mouvement, en particulier ceux dits de « l'Achille » et de « la Dichotomie » (c'est-à-dire la « division en deux moitiés égales »). Ils nous enseignent que pour qu'un mouvement – n'importe quel mouvement – s'accomplisse effectivement, il faut que s'achève une série d'étapes qui est essentiellement inachevable, ou que commence une série d'étapes qui par essence ne saurait commencer. Le mouvement est donc prouvé impossible. La forme de ces paradoxes est bien connue : pour qu'un mobile accomplisse un mouvement – n'importe quel mouvement – il doit d'abord en parcourir la moitié. Puis il devra parcourir la moitié de ce qui reste. Puis la moitié de ce qui reste, etc. et cela peut être poursuivi sans fin, c'est-à-dire que, où que le mobile parvienne, il demeure toujours une nouvelle moitié à franchir.

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

On peut toujours répéter l'opération. Le mobile ne saurait achever son mouvement sans accomplir toutes ces étapes dans l'ordre, il ne saurait l'achever sans en avoir fini avec cette série. Le mouvement ne saurait être achevé sans que la série ne soit, elle aussi, achevée. Mais la série ne saurait s'achever, il est impossible d'en avoir fini avec elle, car ce qui par essence n'a pas de fin ne saurait se finir. Le mouvement – n'importe quel mouvement – est donc impossible.

Sur un mode plus pittoresque : Achille ne saurait rattraper une tortue à la course, si la tortue a de l'avance. Car supposons qu'elle se trouve au début de la course au point P. Achille ne saurait la rattraper sans d'abord parvenir jusqu'au point P. Mais le temps qu'Achille y parvienne, la tortue aura continué d'avancer, jusqu'à un point P'. Achille ne saurait alors la rattraper sans d'abord parvenir jusqu'au point P'. Mais le

<footnote n="5">5. Il s'agit là d'une des interprétations possibles de l'argument. Pour une discussion plus complète, voir le chapitre 4 et notamment la section 4.2.</footnote>
temps qu'il y parvienne, la tortue aura continué d'avancer, jusqu'à un point P". Etc. et
cela peut-être poursuivi sans fin, c'est-à-dire qu'à quelque point qu'Achille parvienne, il
demeurera toujours une nouvelle étape à parcourir. Achille ne saurait rattraper la tortue
sans accomplir toutes ces étapes dans l'ordre, il ne saurait la rattraper sans en avoir fini
avec cette série. La course ne saurait être achevée sans que la série ne soit, elle aussi,
achevée. Mais la série ne saurait s'achever, il est impossible d'en avoir fini avec elle, car
ce qui par essence n'a pas de fin ne saurait se finir. Achille ne peut donc pas rattraper
la tortue.

La réception antique

Ce problème semble avoir été, dans l'Antiquité, très bien compris. Il a rapidement entraîné deux grandes réponses : la réponse *atomiste* et la réponse qu'on pourrait dire « potentialiste ». La réponse atomiste semble avoir été celle, au moins, de Leucippe (c. -460 – -370), Démocrite (c. -460 – -370), Épicure (-341 – -270), et Diodore Cronos (c. -340 – -284), et elle consiste à nier l'horizon infini de l'opération, c'est-à-dire en fait à nier la continuité de ce qui est. Les atomistes affirment, au contraire, que la grandeur totale de ce qui est est composée de plus petites grandeurs indivisibles (des « atomes » c'est-à-dire des choses qui ne peuvent être coupées), sur lesquelles la division par moitiés ne saurait avoir lieu. Les étants qui composent le continu sont donc en nombre déterminé : il y en a autant qu'il y a d'atomes, ni plus ni moins, et de la considération d'un unique atome on ne saurait produire de nouveaux étants par division ou quelque procédé que ce soit. De même, comme il y a un terme à la division, une dernière division possible, il existe une dernière étape après laquelle Achille a rattrapé la tortue. Tout mouvement s'accomplit en un nombre déterminé, fini, d'étapes.

La réponse potentialiste, qui est pleinement développée chez Aristote (-384 – -322)<fnref n="6" />,
consiste au contraire à admettre l'horizon infini de la division possible, mais à distinguer

<footnote n="6">6. Pour l'étude des arguments contre le mouvement, voir le chapitre 5.</footnote>

<footnote n="7">7. Pour une vue d'ensemble des réponses possibles dans l'Antiquité, et une discussion de chacune d'elle, voir les sections 4.3.1 et 5.6, ainsi que l'annexe D.</footnote>

<footnote n="8">8. Et semble reprise, quoi que dans un cadre conceptuel différent, par les Stoïciens.</footnote>
l'« en acte » de l'« en puissance » pour affirmer qu'un continu en tant qu'il forme une unité ne contient par lui-même aucune division ni aucune composition en acte. Toute division ne peut lui advenir en effet que de l'extérieur, par un procédé effectif qui le divise. Et par un tel procédé effectif, un nombre seulement fini de divisions peut lui être imposé en acte. Plus simplement dit : on pourrait idéalement toujours diviser un continu sans trouver de fin à cette division. Mais par lui-même, le continu est tout à fait *un* et n'est pas, par lui-même, divisé ou composé. Et nous ne saurions effectivement le diviser toujours qu'un nombre fini de fois. Ainsi, il y a, en acte, des étants en nombre déterminé, autant qu'il y en a. Mais il y en a, en puissance, de façon illimitée et toujours plus qu'il n'y en a en acte. De même, la course d'Achille est par elle-même parfaitement une et non divisée, quoi qu'elle soit infiniment divisible en puissance, ce qui signifie qu'on peut trouver en elle un nombre arbitraire mais toujours *fini en acte* de divisions, qu'Achille devra et pourra en effet parcourir sans paradoxe.

Il y en a eu bien sûr aussi qui, comme Diogène de Sinope, se sont levés et ont marché pour réfuter l’argument, et il s’en trouve encore.

On a pourtant des raisons de ne pas trouver ces réponses satisfaisantes. Bien sûr la réponse de *l'homme qui marche* ne fait que nous rappeler que le paradoxe *est* un paradoxe, qu'il contredit une évidence apparente. Elle ne fait rien au problème, car l'évidence empirique du mouvement est la condition de possibilité du paradoxe comme paradoxe, loin d'en être une voie de sortie. Mais les deux autres laissent peut-être également à désirer. La réponse atomiste a ce grand défaut de refuser les conditions de départ du problème. Pour les atomistes, certes, cela n'était pas un défaut mais une vertu. Il n'en va pourtant pas de même pour nous : la tâche de la pensée était, et est demeuré jusqu'à nos jours, de penser le mouvement continu, et de penser l'étendue continue, impliquant l'infinie divisibilité dans l'espace. Si la réponse atomiste et la méthode atomiste sont la bonne réponse et la bonne méthode, devrons-nous penser alors que cette tâche est essentiellement erronée, une illusion, une absurdité ? Qu'Aristote, Galilée, Descartes, Newton, n'ont rien pensé de conséquent car ils n'avaient pas remarqué la stupide contradiction impliquée dans le continu ? Pour le dire autrement : la réponse atomiste abdique d'em-
blée, et elle abandonne le continu à Zénon. Mais ce faisant elle abandonne le terrain de
la bataille et elle perd de vue ce que nous devions penser, à savoir le mouvement dans
le continu.

La réponse aristotélicienne est quant à elle fort délicate. Elle est remarquablement
puissante, originale, et efficace, quoi que difficile à bien saisir. Elle est aujourd'hui tombée
en désuétude et demande que l'on réapprenne à l'entendre. Mais si d'un côté elle semble
répondre bel et bien au problème du limité et de l'illimité, c'est-à-dire au problème de la
composition de la grandeur continue, la question n'est pas si facilement réglée dans le cas
du mouvement. Car on répondra à Aristote, comme il semble que cela lui fut répondu
dès l'Antiquité, que le mouvement est lui-même ce procédé effectif qui actualise toutes
les divisions. Que le mobile, en passant par tous les points par lesquels il passe, actualise
toutes les divisions possibles de son parcours, et donc au moins celles qu'on peut désigner
par l'énoncé de Zénon : la moitié, puis la moitié du reste, puis la moitié du reste, etc. En
effet, le mouvement n'est pas en lui-même véritablement ou essentiellement un, puisqu'il
est toujours d'abord ceci puis cela, qu'il est progrès et transformation.<fnref n="10" />

L'incompréhension moderne

Nonobstant, la réponse potentialiste et la réponse atomiste, ainsi que d'autres va-
riantes, ont coexisté dans l'Antiquité, puis, au “Moyen-Âge”, dans l’Europe occidentale
chrétienne (où dominait généralement la réponse aristotélicienne) et le monde Islamique
(dans une moindre mesure, et avec domination de la réponse atomistique), au sein de
multiples traditions et écoles.

Mais quelque part au cours de la modernité, quelque chose a changé. Des philo-

<footnote n="9">9. Cf. la section 5.6.3.</footnote>

<footnote n="10">10. Pour un bilan des fausses réponses aux paradoxes de Zénon, voir la section 7.8.</footnote>

<footnote n="11">11. La question de la démarcation chronologique est extrêmement difficile à résoudre, et nous la laissons très largement ouverte dans le cadre de ce travail. Il est certain que le changement est consommé dans la première moitié du XXe siècle, mais une enquête complète serait nécessaire pour savoir dans quelle mesure les précurseurs l'accomplissent déjà. Notre hypothèse préalable serait qu'on trouve les premières versions claires de la nouvelle perspective vers le milieu du XVIIe siècle, mais que certains des éléments constitutifs de cette nouveauté peuvent être trouvés dans la scolastique du XIVe siècle, dans la philosophie arabe en remontant jusqu'à la fin du VIIIe siècle, voire jusque dans l'Antiquité gréco-latine, notamment en contexte monothéiste. Nous touchons à ces questions dans le chapitre 9 et les annexes F à H.</footnote>
sophes informé.e.s de mathématiques voire grand.e.s mathématicien.ne.s se sont mis à
utiliser l'infini non plus seulement comme le nom de l'horizon inatteignable d'une opé-
ration, et de la possibilité d'aller toujours plus loin dans le compte, mais comme un
objet ou une réalité susceptible de constituer un objet. Une addition infinie (à condi-
tion que ses termes décroissent convenablement) fut comprise comme définissant dans
son ensemble une valeur effective, un nombre réel, et non plus comme quelque chose ne
pouvant rien donner, car ne se finissant pas. Et si une addition infinie pouvait mener
quelque part, il fallait alors supposer que la course d'Achille pouvait également mener
ce dernier quelque part, c'est-à-dire jusqu'à la tortue! Évidemment il fallait pour cela
supposer qu'un nombre infini d'étapes soit possible, que cet infini ait un sens. La mani-
pulation des séries infinies était, au départ, délicate, controversée. Mais ayant l'œil sur
les séries convergentes les philosophes et mathématicien.ne.s ont commencé à dire et à
tou.te.s répéter (comme on le répète encore aujourd'hui dans les lycées et facultés) que
Zénon se trompait car il ignorait ce que, eux, savaient : que l'on peut additionner des
termes à l'infini et obtenir un résultat déterminé ou une somme finie. Ainsi le problème
a commencé à être systématiquement compris. En effet il ne s'agissait pas chez Zénon
de savoir si une série infinie pouvait être convergente (les paradoxes de Zénon, loin de
manifester une erreur sur ce point, fournissent la preuve que cela est vrai, puisque la
"Dichotomie" est l'exposé concluant d'une telle série convergente); il ne s'agissait pas
de savoir si, une infinité d'étapes étant supposée donnée, on pouvait lui attribuer une
somme finie. Mais il s'agissait (au moins aussi) d'affirmer l'évidence selon laquelle on ne
peut pas achever en effet une tâche qui se poursuit sans fin, qu'on ne peut effectivement
parvenir au bout et passer outre de ce qui ne s'achève jamais; et de montrer que tout
mouvement implique une telle tâche impossible et est donc à son tour impossible.

Au XIXe siècle, deux auteurs portent les noms symboliques de l'aboutissement de ce
changement – qui lui-même est l'œuvre longue et collective de communautés de mathé-
maticien.ne.s – : Karl Weierstrass (1815 – 1897) et son élève Georg Cantor (1845 – 1918).
Le premier porte la responsabilité symbolique de l'élimination officielle des infiniment
petits, et de la définition formelle définitive de ce qui se passe dans les séries conver-
gentes, dans les calculs de limite, et dans l'analyse de la continuité. Le second est, avec Richard Dedekind (1831 – 1916), le grand artisan de la légitimation de l'infini comme *objet mathématique*, lançant le projet de la théorie des ensembles et des hiérarchies de cardinaux et ordinaux transfinis. L'élaboration collective de ce projet a conduit à une forme de refondation de la pratique mathématique, à l'issue de laquelle il a largement semblé que l'infini était finalement bien compris, et que le continu était bien analysé comme *l'ensemble infini des nombres réels*; chaque réel pouvant être identifié, par exemple, à une suite infinie convergente de nombres rationnels (une suite de Cauchy), ou plutôt à la classe infinie de toutes les suites de Cauchy équivalentes.

Autrement dit : l'infini peut être donné en acte, comme un objet; les suites, en convergeant, définissent des nombres dans leur totalité; et le continu est non seulement un ensemble rassemblant une infinité d'éléments, mais dont chaque élément est lui-même identifiable à une suite infinie achevée, ou même à un ensemble infini de suites infinies achevées. En outre, l'infini d'antan n'est plus un horizon indépassable, mais est, ou bien un certain ensemble « N », en somme plutôt petit (on montre qu'il y a d'autres ensembles, notamment le continu, qui sont strictement plus grands que lui); ou bien il est un certain nombre parmi les autres, noté « ω », et après lequel se trouvent les nombres ω + 1, ω + 2 et toute une hiérarchie elle-même infinie. En somme, prendre un infini comme un tout achevé, et aller au-delà d'un compte infini, rien de plus banal depuis Cantor<fnref n="12" />.

C'est cette réussite tout à fait spectaculaire dans le domaine de la mathématique, aux conséquences immenses sur la philosophie et sa méditation millénaire sur l'infini, qui définit le profil de l'incompréhension du problème posé par les paradoxes de Zénon d'Élée sur le mouvement, au XXe siècle. L'incompréhension consistant à assigner à Zénon l'ignorance de ce qui était devenu mathématiquement légitime, à savoir la définition d'une quantité finie par la somme d'une suite infinie convergente, s'accompagne de nouvelles interprétations qui procèdent de manière analogue, en attribuant à Zénon une incapacité à résoudre ce que la nouvelle mathématique est enfin en mesure de maitriser. On va alors formuler le problème des paradoxes en termes de la possibilité ou de la cohérence de

<footnote n="12">12. Sur le transfini et la théorie des ensembles, voir en général les chapitres ⁶ et ¹⁰.</footnote>
certains objets mathématiques ou de certaines relations entre ces objets, en rappelant
tous les problèmes que se posaient *en effet* les philosophes sur l'infini ou le continu, et
auxquels Cantor a *en effet* fourni une réponse.

L'interprétation la plus simple situe le problème dans l'existence d'une totalité infinie en acte – jugée impossible par Aristote, et objet d'une interrogation millénaire ; d'autres interprétations plus sophistiquées voient le problème dans l'obtention d'un ordre dense entre des éléments tous existants en acte – problème qui avait été un grand souci de la scolastique au XIVe siècle – ou en général dans la composition du continu – qui constituait un des deux grands « labyrinthes de la pensée » selon Leibniz – ou dans la compréhension précise de ce qui définit une limite, ou, mieux encore, dans la légitimité à poser un élément qui vienne « après » une succession déjà infinie (comme dans la théorie des ordinaux transfinis).

Dans tous les cas, le raisonnement général dit en substance la chose suivante :

> « la description de Zénon a pour conclusion que le mouvement implique [tel élément mathématiquement légitimé par la théorie des ensembles], et en conclut son impossibilité ou sa contradiction. Mais les mathématiques modernes énoncent que [l'élément en question] n'est ni impossible ni contradictoire, donc il n'y a pas véritablement de problème de Zénon ».

Celles et ceux qui soutiennent cette ligne argumentative et dont le champion est
certainement Bertrand Russell (1872 – 1970), accusent alors d'ignorance mathématique
ou de manque d'imagination tous ceux et celles qui continuent à soutenir le paradoxe.
Nous nous voyons renvoyé.e.s, en somme, à l'école des géomètres.

Le principe d'achevabilité

Tel est le raisonnement dont nous voulons ici montrer l'erreur.

Nous soutenons, en effet, qu'une telle perspective occulte entièrement le véritable problème, qui est celui de l'impossibilité de l'achèvement d'un inachevable. Pourquoi ce problème se maintient-il après et malgré les innovations mathématiques et notamment la construction cantorienne ? Parce que toutes les réponses fondées sur l'infini en acte,
tel qu'il peut être donné dans la littérature mathématique, procèdent en se donnant
d'emblée, d'un coup, la totalité infinie – quitte à vérifier ensuite sa cohérence ou sa
convergence. Et en oubliant par là que la question était celle de l'achèvement de la
constitution de cet infini *dans le temps*, c'est-à-dire dans la *progression*, sous le régime
du *un par un*, avec exigence que soit mené au bout et dépassé le processus. Le problème
était celui de l"après" dans le temps de ce qui par essence *n'a pas d'après*.

L'analyse mathématique inspirée de Cantor nous confirme que tout temps fini peut
contenir des infinis, et des séries qui n'ont ni début ni fin. Mais cela n'est pas une réponse
au paradoxe, cela est l'énoncé même du paradoxe et tout simplement la sophistication
d'une analyse mathématique que Zénon formulait déjà de façon élémentaire. Autrement
dit cela ne fournit pas de solution mais, comme la réponse de l'homme qui marche,
cela permet de continuer à se mouvoir en faisant comme si cela n'était pas paradoxal,
en oubliant la question de la constitution de l'infini pour le supposer déjà donné d'em-
blée. C'est en fait un certain rapport à la temporalité, c'est-à-dire au passage, qui forme
l'essence du paradoxe de l'inachevable. Supposer d'emblée que l'on peut arriver effective-
ment au bout de l'infini, et au-delà, consiste alors à ignorer volontairement la question.
Car l'objectivité mathématique infinitaire nous permet de considérer un processus in-
achevable, et d'entreprendre de faire comme si ce que ce processus peut construire nous
était donné d'emblée, en totalité, sans que cette totalité ait à se constituer effectivement
dans le temps et à s'achever.

Les arguments de Zénon, pourtant, ne portaient quant à eux que sur la procédure
elle-même, et ils énonçaient : « si un processus constructif reproduit à chaque étape les
conditions de son opération, alors il ne saurait s'achever ». Impossibilité qui a à voir
avec l'infini, mais sur le mode de l'horizon inachevable des opérations, c'est-à-dire de la
temporalité propre à l'activité mathématique elle-même. Si l'on sort de cette processua-
lité pour traiter ses opérations comme des éléments idéaux dont on postule d'emblée la
totalité existante, sans que cette totalité ne puisse effectivement être produite, ne puisse
advenir dans le temps, alors on croit avoir résolu Zénon quand on n'a fait que sortir
du problème. La question n'est pas : « existe-t-il un ensemble infini », ou « un ordinal
transfini ? », mais « est-il possible de finir de compter jusqu’à l’infini ? », « est-il possible d’avoir fini un raisonnement comportant une infinité d’étapes ? », ou en général « peut-on mener une opération sans fin puis passer à autre chose ? ». Or, ces questions ne se posent pas d’une manière foncièrement différente aujourd’hui qu’à l’époque de Zénon.

## L'aporie du passage

L'erreur à laquelle peut conduire le passage par les mathématiques, consiste à oublier cette évidence que les paradoxes sur le mouvement portent en effet sur le mouvement. Et sur ce qui, en lui, lui est propre : le passage, le flux, la processualité ; ce qui est toujours *devenir*, ou *faire*, qui est dirigé vers l'à venir ou l'à faire, et qui accumule l'avoir été et le fait. Nous soutenons que le passage par les totalités infinies ne peut alors constituer une véritable réponse à Zénon que si elle est accompagnée d'un lourd engagement sur la question du mouvement : elle doit affirmer que ce qui se déroule dans le temps doit pouvoir être achevé sans avoir eu à s'achever, que le mouvement saurait être donné sur le mode de l'éternité, et du toujours déjà accompli.

Pour envisager de répondre aux paradoxes de Zénon d'Élée sur le mouvement, ou de savoir ce que peut signifier d'y répondre, il faut en somme examiner pour elle-même *l'aporie du passage*, c'est-à-dire le nœud problématique, agencé par les arguments de Zénon, et qui lie ensemble *expérience et réalité, vérité et contradiction, mathématique et logique, temps et mouvement*. Du point de vue de l'aporie du passage, la réponse standard du XXe siècle aux paradoxes de Zénon — qui a aussi été la réponse de la philosophie analytique — peut alors être vue comme une bonne réponse, mais dont le coût est tel qu'il nous fait perdre cela même que le paradoxe mettait en danger : la réalité du mouvement comme tel, de ce que nous pensons comme étant le mouvement lorsque nous proclamons sa réalité. Il se peut que toutes les solutions aient un semblable coût.

## Plan de la thèse

La thèse est divisée en deux parties, comportant chacune cinq chapitres.

La première partie est consacrée à Zénon d'Élée lui-même, au commentaire de ses
arguments et à l'examen du contexte de leur formulation, et plus largement de leur ré-
ception dans l'Antiquité grecque, principalement du Ve au IIIe siècle av. J.-C. Dans le
chapitre 1, nous présentons et discutons l'état des connaissances historiques sur le per-
sonnage, son œuvre et sa doctrine supposée, ainsi que la nature et la fiabilité des sources.
Dans le chapitre 2, nous abordons plusieurs problèmes méthodologiques et nous présen-
tons et justifions notre méthode générale et notre hypothèse de lecture des arguments
zénoniens. Le chapitre 3 développe en détail la nature du *raisonnement itératif indéfini*,
constituant selon nous à la fois l'élément décisif et l'innovation cruciale des plus inté-
ressants arguments de Zénon. Nous discutons des divers contextes argumentatifs dans
lesquels il peut et a pu prendre place dans le développement de l'argumentation philoso-
phique en Grèce ancienne, ainsi que du rapport incertain qu'il entretient avec les débuts
de l'activité mathématique grecque. Un interlude, anachronique, présente en quelques
mots une version quelque peu formelle et générale du raisonnement et de ses possibles
rôles logiques. Dans les deux chapitres qui suivent, nous procédons à proprement parler
au commentaire des arguments, d'abord, dans le chapitre 4, ceux qui portent sur l'hy-
pothèse de la pluralité et constituent des apories du continu, puis, dans le chapitre 5,
les fameux arguments contre le mouvement. Dans les deux cas, nous nous efforçons de
rester au plus près de la logique interne des textes tout en gardant l'œil, à la fois sur
de possibles effets de structure dans l'ensemble de l'argumentation de Zénon, sur la per-
tinence et la validité actuelle de ses arguments, et surtout sur le contexte antique de
réception et la diversité des réponses possibles qui donnaient son premier sens au défi
zénonien. Tout le long de cette première partie, nous défendons la thèse selon laquelle
l'infinité en jeu dans les paradoxes est toujours au moins d'abord celle de l'inachevabilité
procédurale, qui se réalise de la façon la plus directe dans les apories de l'inachevabilité
que sont la Dichotomie et l'Achille.

La seconde partie repart de l'idée d'aporie de l'inachevabilité, et la questionne à nou-
veaux frais au niveau d'une discussion philosophique générale. Elle cherche, dans son
ensemble, à défendre et expliquer l'existence de ce problème philosophique, et l'inadé-
quation des raisons parfois données pour le nier. Dans le chapitre 6, nous présentons le
programme général de notre argumentation, autour de l'explication et de la défense du principe d'achevabilité. Les chapitres 7 à 10 réalisent ce programme, et quoi qu'ils poursuivent tous un but unique et comprennent de fréquents renvois réciproques, peuvent dans une certaine mesure être lus indépendamment. Le chapitre 7, entreprend de discuter directement la validité et la pertinence du principe d'achevabilité, principalement à travers un commentaire suivi de l'importante littérature sur le sujet dans la tradition analytique, à savoir la discussion des « supertasks ». On y formule le défi d'une réponse à l'aporie du passage en terme de l'opposition entre « possibilisme » et « impossibilité », et entre « compatibilisme » et « incompatibilisme ». Dans le chapitre 8, nous examinons le problème philosophique de la réalité du passage du temps, et la validité de l'« intuition du passage » qui, nous soutenons, accompagne et justifie le principe d'achevabilité. Dans le chapitre 9, nous discutons du concept d'infini mathématique, dans son rapport avec la temporalité et l'achevabilité, nous développons une distinction entre « infini préalable » et « infini achevé » et examinons sa pertinence dans l'examen philosophique de la pratique mathématique. Dans le chapitre 10, enfin, nous examinons la question de l'achevabilité d'un point de vue métamathématique, reliant explicitement la perspective antique zénonienne à des lectures contemporaines de philosophie de la pratique mathématique afin de justifier l'inadéquation d'une réponse à Zénon fondée sur la théorie des ensembles.

Les annexes, quant à elles, contiennent divers développements tangents qui auraient interrompu le cours de l'argumentation, mais qui, nous le croyons, l'enrichissent.
Première partie

Zénon d'Élée et l'inachevable
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# Chapitre 1

## Vie et œuvre de Zénon d'Élée

La recherche historique et philologique sur Zénon<fnref n="1" /> et sur l'éléatisme en général est très vivante depuis la fin du XIXe siècle. Des contributions importantes ont paru ces dernières années, ces derniers mois, ou sont encore à paraître, et nous n'avons pas la prétention de contribuer à proprement parler au champ. Les chapitres qui suivent auront deux objectifs : d'une part présenter les informations et les éléments nécessaires à la bonne compréhension de notre propos ; d'autre part offrir une perspective particulière, à partir de la thèse philosophique soutenue, sur les données philologiques existantes.

Nous serions dans une situation idéale si nous pouvions nous abstenir de tout engagement dans des questions historiques et philologiques, nous contenter de renvoyer aux travaux les plus érudits et les plus récents ou en offrir un résumé à titre informatif, et nous en tenir aux aspects « proprement philosophiques ». Cela est néanmoins impossible. En effet, l'objet de cette thèse n'est pas simplement l'étude d'un problème philosophique pur, ni même seulement l'étude de son histoire. On y tente également l'étude de la mécompréhension d'un problème et de l'histoire de cette mécompréhension (sous l'effet du développement des mathématiques et des théories de l'infini). Or on verra que cette mécompréhension ne laisse pas indemnes les interprétations mêmes des spécialistes. La

<footnote n="1">1. Il y a dans l'Antiquité grecque deux « Zénon » de renommée comparable : Zénon d'Élée, l'auteur des paradoxes et l'objet de cette thèse (vᵉ siècle av. J.-C.), et Zénon de Kition (ou de Citium, dans l'orthographie latine), fondateur du Stoïcisme et grande figure morale (335 – 263 av. J.-C.). Sans autre précision, « Zénon » renvoie toujours à Zénon d'Élée dans ce travail.</footnote>
situation paradoxale sur laquelle nous reviendrons est que la trop grande compétence mathématique de certains interprètes, si l'on ose dire, les rend incapables de saisir le problème qui selon nous se pose et se posait pour Zénon. Ils se trouvent alors obligés d'émettre des hypothèses différentes et de poser des problèmes différents afin de faire sens des textes.

La séparation entre la philosophie et l'histoire de la philosophie devient par suite impraticable, pour cela précisément que l'interprétation historique de ce que disent les textes grecs engageant l'infini est inséparable de la compréhension philosophique de ce qui se dit sous le nom d'« infini ».

## 1.1 Ouvrages de référence

De Zénon d'Élée (vᵉ siècle av. J.-C.), sa vie, les circonstances de production et même la réalité matérielle de son œuvre, presque rien n'est su. Peu de philosophes présentent un tel contraste entre leur glorieuse postérité et le peu d'informations fiables à leur sujet comme de traces textuelles de leur travail. Les sources antiques concernant Zénon forment un ensemble très mince qui peut tenir en une quinzaine de pages. Même au sein de ce maigre ensemble il y a beaucoup de redondances ou de textes dérivant directement de ce qui semble être un groupe de sources primitives. Il est recommandé à quiconque veut se faire une idée pour soi-même d'entreprendre la tâche extrêmement rapide et aisée de lire l'intégralité des sources pertinentes. On renverra d'abord au dernier et très remarquable ouvrage de référence sur les premiers temps de la philosophie grecque, qui comprend un recueil complet, une organisation rationnelle et d'excellentes retraductions des textes : *Les débuts de la philosophie*, de André Laks et G. W. Most<fnref n="2" />. On trouve également une traduction originale et des commentaires abondants des textes les plus importants ainsi qu'un compte rendu détaillé des recueils de textes plus anciens dans

<footnote n="2">2. André Laks et Glenn W. Most (éd. et trad.), *Les débuts de la philosophie. Des premiers penseurs grecs à Socrate*, Fayard, 2016, édition en langue anglaise : *Early Greek Philosophy*, éd. établie et trad. du grec par André Laks et Glenn W. Most, 9 t., Harvard University Press, Cambridge (Mass.) et Londres 2016 (ci-après LM), p. 593-623.</footnote>
l'ouvrage de référence de Maurice Caveing<fnref n="3" />. L'édition classique des textes reste la Diels-Kranz<fnref n="4" />, dont la numération est utilisée internationalement<fnref n="5" />.

Pour tout travail historique sérieux et en général pour connaître l'état contemporain de la recherche, la première référence à consulter sur la vie de Zénon, la matérialité et l'intention de son œuvre, est l'article régulièrement mis à jour de John Palmer dans la *Stanford Encyclopedia of Philosophy*<fnref n="6" />, article que nous suivrons principalement dans cet exposé, même là où nos perspectives et intentions divergent<fnref n="7" />. D'autre part Caveing, outre son étude très différente et très approfondie, fournit des comptes rendus précieux de la littérature plus ancienne. La bibliographie de l'une et l'autre référence permettra de poursuivre et approfondir l'étude<fnref n="8" />.

Dans l'ensemble des sources, quatre textes se détachent très nettement et sont suffisamment importants pour mériter une étude à part, replacée dans le contexte global de l'œuvre dans laquelle ils prennent place : le *Parménide* de Platon (428 – 348 av. J.-C.), la *Physique* d'Aristote (384 – 322 av. J.-C.), la partie sur Zénon des *Vies et doctrines*

<footnote n="3">3. Maurice Caveing, *Zénon d'Élée. Prolégomènes aux doctrines du continu*, Étude historique et critique des Fragments et Témoignages, Vrin, 1982.</footnote>

<footnote n="4">4. Hermann Diels et Walther Kranz (éd.), *Die Fragmente der Vorsokratiker*, 6ᵉ éd., 3 t., Berlin 1951-1952 (ci-après DK).</footnote>

<footnote n="5">5. L'édition Diels-Kranz est réorganisée et traduite en français dans Jean-Paul Dumont (éd.), *Les écoles présocratiques*, trad. par Daniel Delattre et al., folio/essais, Gallimard, 1991. Malheureusement ce recueil – reprise en Folio Essais du volume de la Pléiade sur les présocratiques – souffre de commentaires pas toujours absolument fiables et de traductions souvent insatisfaisantes.</footnote>

<footnote n="6">6. John Palmer, « Zeno of Elea », in *The Stanford Encyclopedia of Philosophy*, sous la dir. d'Edward N. Zalta, Spring 2017, Metaphysics Research Lab, Stanford University, 2017, https://plato.stanford.edu/archives/spr2017/entries/zeno-elea/ (ci-après Palmer).</footnote>

<footnote n="7">7. Il y a, à la date d'écriture de ce chapitre, deux articles distincts de la *Stanford* concernant Zénon d'Élée. Le premier, cité dans le corps du texte, concerne nos connaissances historiques. Le second, par Nick Huggett (Nick Huggett, « Zeno's Paradoxes », in Edward N. Zalta (éd.), *The Stanford Encyclopedia of Philosophy*, Metaphysics Research Lab, Stanford University, https://plato.stanford.edu/, https://plato.stanford.edu/archives/win2010/entries/paradox-zeno/), s'intéresse à la possibilité philosophique de répondre aux paradoxes. On verrait que ce second article prend systématiquement, sur tous les points, la position que nous cherchons à réfuter. À ce titre il est utile comme pur contrepoint de ce que nous chercherons à défendre et représentatif prototypique d'une certaine approche du sujet qui est dominante notamment au sein de la philosophie analytique (cette question sera expliquée plus en détail dans les chapitres suivants).</footnote>

<footnote n="8">8. À titre d'unique recommandation supplémentaire, nous nous permettons néanmoins de renvoyer à une ancienne référence, à savoir les deux articles du toujours extraordinaire Victor Brochard. Nous n'avons que très peu à reprocher à son analyse plus que centenaire. Cf. Victor Brochard, « Les arguments de Zénon d'Élée contre le mouvement », *Compte rendu de l'Académie des sciences morales*, 29 (1888), p. 555-568 et « Les prétendus sophismes de Zénon d'Élée », *Revue de Métaphysique et de Morale*, 1, 3 (1893), p. 209-215, repris dans Victor Brochard, *Études de philosophie ancienne et de philosophie moderne*, éd. établie et introd. par Victor Delbos, Félix Alcan, Paris 1912, p. 3-14, 15-22.</footnote>
*des philosophes illustres de Diogène Laërce* (fl. c. 200 apr. J.-C.), et le *Commentaire à la Physique d'Aristote* de Simplicius (480 – 549).

Aucune de ces quatre sources n'est sans difficulté. Les dialogues de Platon ne sont pas des traités ou des documents historiques, mais formellement des textes dramatiques, dont on ne peut prendre les indications pour argent comptant. D'autant que sur des points biographiques, *Le Parménide* contredit certains historiens plus tardifs pourtant considérés fiables. Aristote ne fait pas œuvre d'historien quant à Zénon, mais est principalement occupé à le réfuter, et il est en général toujours suspecté de reformuler les Présocratiques en fonction des problèmes qui lui sont propres. Les *Vies et doctrines* de Diogène Laërce sont notoirement peu fiables en général, et sur Parménide et Zénon en particulier il se montre exceptionnellement bref et expéditif, et se contente à peu près de compiler un ensemble de sources plus ou moins contradictoires. Quant à Simplicius il fait bel et bien œuvre d'historien, et met à notre disposition tout un ensemble de sources autrement perdues, y compris ce qui constitue apparemment le seul extrait qui nous reste de Zénon. Cependant, Simplicius vit un *millénaire* après Zénon d'Élée! Mis à part son accès à des sources pour nous perdues, il se trouve dans une situation similaire à la nôtre, il doit émettre un avis historique sur un auteur d'une autre époque sur la base d'éléments discordants.

## 1.2 Éléments biographiques

Toutes les sources antiques sur la vie de Zénon semblent renvoyer ultimement à une poignée de sources, essentiellement le *Parménide* de Platon et la notice de Diogène Laërce.

### 1.2.1 Le témoignage de Platon

Le *Parménide* de Platon est un dialogue philosophique à l'interprétation notoirement difficile. Il se présente comme la narration enchâssée d'une rencontre qui aurait eu lieu des décennies plus tôt, entre des versions fictionnelles de Socrate, Parménide, Zénon lui-
même et un certain Aristote (qui n'est pas celui que nous connaissons et *a priori* n'a rien à voir avec lui). Voilà ce que nous dit Platon (ou plutôt ce que nous disent son narrateur Pythodore et ses personnages Socrate et Zénon d'Élée) : du temps où Socrate était « un tout jeune homme », et « à l'occasion des Grandes Panathénées »<fnref n="9" />, Parménide « étant dans ses soixante-cinq ans » s'était rendu à Athènes accompagné d'un Zénon âgé de « presque quarante ans » et qui « avait été son aimé »<fnref n="10" />. Au cours de cette visite a eu lieu la première lecture publique à Athènes d'un certain ouvrage de Zénon, à laquelle Socrate a assisté. L'ouvrage de Zénon en question contenait « un très grand nombre de preuves très argumentées » contre l'hypothèse « que les choses sont plusieurs », sous la forme de réductions à l'absurde, c'est-à-dire en tirant des conséquences absurdes de l'hypothèse de la pluralité des choses. Le premier de ces arguments procède en montrant que « si les choses sont plusieurs, il faut qu'elles soient à la fois semblables et dissemblables », ce qui est tenu pour absurde. Cet ouvrage avait été composé en forme de « secours à la thèse de Parménide » :« il est un », contre ceux qui la tournaient en ridicule, défense qui consistait à retourner l'accusation de ridicule contre eux. C'était un ouvrage écrit par un jeune homme et « par goût de la controverse ». Plus loin dans le dialogue Parménide utilise une méthode argumentative qu'il semble revendiquer comme la sienne et celle de Zénon, pour entrainer le jeune Socrate à mieux argumenter en faveur de l'hypothèse des Formes intelligibles, après qu'il est précisé néanmoins que Zénon et Parménide s'en tenaient quant à eux au domaine du *sensible*.

Tout ceci paraît assez clair. Malheureusement, quiconque a mis un peu sérieusement le pied dans les études platoniciennes connait l'entreprise paranoïaque que finit toujours par constituer la lecture interprétative des dialogues : dans Platon rien n'est simplement ce qu'il semble être, tout peut avoir une signification dramatique et philosophique ou constituer une allusion subtile, et doit être reçu avec prudence. Savoir quoi faire et quoi

<footnote n="9">9. Les Grandes Panathénées étaient des festivités civiques et religieuses athéniennes ayant lieu tous les quatre ans et comprenant, outre des jeux sportifs, une grande procession et un banquet sacrificiel en l'honneur de la déesse tutélaire Athéna. Sur la date dramatique du dialogue que ces indications suggèrent, voir plus bas.</footnote>

<footnote n="10">10. Ce terme remplaçant avantageusement « mignon » dans les traductions récentes, traduit *éromenos*, position « passive » de l'aimé dont le répondant « actif » est l'*erastés*, l'« aimant », traditionnellement plus âgé. Ils signalent une relation littéralement "érotique".</footnote>
conclure de ce passage engage en réalité toute la question de savoir comment interpréter
Platon de manière générale, ce qui est une tâche terriblement périlleuse. L'interprétation
de la plus petite partie implique des thèses sur la globalité de l'œuvre, dans ce qui
constitue un exemple remarquablement paradigmatique du cercle herméneutique. Pire
que cela, on prend ici le cercle en son point peut-être le plus intense de complication : le
*Parménide* est peut-être le dialogue de Platon dont l'interprétation est la plus contestée,
même à l'intérieur de chaque tradition interprétative distincte, ce qui n'est vraiment pas
peu dire<fnref n="11" /> !

On peut distinguer deux aspects du problème (qui bien sûr ne sont pas rigoureusement séparables) : d'un côté ce qui relève des faits historiques, des dates et de l'existence matérielle d'un ouvrage de Zénon et de son contenu ; de l'autre ce qui relève de *l'intention* de Zénon et de Parménide et du sens de leurs philosophies. C'est ce second aspect qui est réellement difficile et qui porte à conséquence pour notre exposé, et son étude sera retardée jusqu'à la fin de ce chapitre.

Que devons-nous faire des indications historiques fournies par Platon ? L'existence
d'un ouvrage contenant des arguments contre la pluralité sous forme de réductions à
l'absurde est confirmée par ailleurs, notamment par Proclus et Simplicius<fnref n="12" />. En ce qui
concerne les indications biographiques notamment concernant les âges des personnages
et la datation de l'écriture de l'ouvrage on n'a pas forcément de raison de penser que
Platon ne nous donne pas les meilleures indications dont il est capable, quoique rien ne
garantit l'exactitude de ses connaissances. La relation érotique de Zénon et Parménide
a pu choquer ceux qui y voyaient de quoi choquer, mais elle n'est pas *a priori* porteuse
de réprobation morale chez Platon ; elle est donc au moins vraisemblable. Néanmoins,
rien ne garantit non plus que toutes ces indications historiques ne servent pas un but
exclusivement littéraire ou philosophique, et que Platon ne soit pas en fait ignorant à
ce sujet : la relation personnelle peut symboliser une forme de relation intellectuelle, et
les différences d'âge peuvent servir une intention dramatique opportuniste. En effet, la

<footnote n="11">11. Sur tout cela, consulter la présentation et les notes de Luc Brisson dans Platon, *Parménide*, trad. du grec, annot. et introd. par Luc Brisson, 2ᵉ éd., GF Flammarion, 1999.</footnote>

<footnote n="12">12. Nous y revenons dans un instant, p. 28.</footnote>
datation de Platon contredit une autre datation qui a été conservée *via* Diogène, qui sera examinée dans un instant. Dans le même ordre d'idées, la visite de Parménide et Zénon à Athènes est suspecte dans la mesure où elle sert manifestement de prétexte dramatique à un dialogue dont tout le monde s'accorde à reconnaître l'invraisemblance historique (invraisemblance de son contenu : on y trouve une dialectique sophistiquée et l'examen d'apories concernant la doctrine des Formes intelligibles qui ne peut être vraisemblablement menée des décennies avant que Platon ne développe cette doctrine !). Elle indique néanmoins quelque chose qui semble attesté : Parménide et Zénon, les Éléates, ne sont pas résidents d'Athènes, n'en sont même pas les visiteurs fréquents, et l'accès des philosophes athéniens à l'ouvrage de Zénon n'est pas direct ou aisé.

### 1.2.2 La doxographie de Diogène Laërce

Diogène Laërce est l'autre source principale en ce qui concerne la vie de Zénon. Ce qu'il nous rapporte – au IIIe siècle de notre ère, soit environ 7 siècles après Zénon d'Élée – est aussi bref que remarquable et vaut la peine d'être répété en son intégralité<fnref n="13" /> :

> Zénon, citoyen d'Élée. Apollodore dit de lui, dans sa *Chronologie* qu'il eut Téleutagoras comme père biologique, mais Parménide comme père adoptif (Parménide étant, lui, le fils de Pyrès). À son sujet et à celui de Mélissos, voici ce que dit Timon :

> La grande force, peu facile à renverser, de Zénon à la langue bifide,
> Qui prend tout le monde par surprise ; et Mélissos,
> Vainqueur de beaucoup d'illusions, vaincu par peu d'entre elles...

> Zénon fut donc l'auditeur assidu de Parménide, et devint son aimé. Il était de haute taille, comme le dit Platon dans le *Parménide*. Le même Platon <le mentionne> dans le *Sophiste* <et dans le *Phèdre*>, et il l'appelle le Palamède d'Élée. Aristote dit qu'il a été l'inventeur de la dialectique, comme Empédocle a été celui de la rhétorique. Ce fut un homme d'une grande

<footnote n="13">13. Diogène Laërce, « Livre IX », in *Vies et doctrines des philosophes illustres*, sous la dir. de Marie-Odile Goulet-Cazé et alii., trad. du grec, annot. et introd. par Jacques Brunschwig, La Pochotèque, Le livre de poche, 1999, p. 1025-1145, 1069 sq.</footnote>
noblesse, en philosophie comme en politique ; on lui rapporte en tout cas des livres qui dé-
bordent d'intelligence. Ayant projeté de renverser le tyran Néarque -- d'autres disent Diomédon
-- il fut arrêté, selon ce que dit Héraclide dans son *abrégé de Satyros* ; c'est alors que, interrogé
sur ses complices et à propos des armes qu'il avait transportées à Lipara, il dénonça tous les
amis du tyran, avec l'intention de l'isoler complètement ; ensuite, il lui <dit> qu'à propos
de certains d'entre eux, il pouvait lui dire certaines choses à l'oreille ; alors il la lui mordit,
et ne relâcha pas sa prise avant d'être percé de coups, frappé du même sort qu'Aristogiton le
tyrannicide. Démétrios, dans ses *Homonymes*, dit cependant que c'est le nez qu'il lui trancha
avec les dents. Antisthène, dans ses *Successions*, dit qu'après avoir dénoncé les amis du tyran,
il s'entendit demander par celui-ci s'il en restait quelque autre ; il répondit« Oui, toi, le fléau de
la cité ! » À ceux qui étaient là, il dit : « J'admire votre lâcheté, si c'est par peur de ce que je subis
en ce moment que vous restez les esclaves du tyran ». Pour finir, il se coupa la langue avec ses
dents et la lui cracha au visage ; ses concitoyens, enflammés par son exemple, se mirent aussitôt
à lapider le tyran. La plupart des auteurs sont à peu près d'accord sur le récit de cette fin de
Zénon ; mais Hermippe dit qu'il fut jeté dans un mortier et déchiqueté.

À son sujet, nous avons nous-même dit ce qui suit :

Tu as eu la volonté, Zénon, la noble volonté de tuer le tyran

Et de délivrer Élée de son esclavage.

Mais tu as été vaincu, puisque le tyran t'a pris et t'a déchiqueté

Dans un mortier. Mais que dis-je ? C'était ton corps, ce n'était pas toi.

À tous égards, Zénon fut un homme de grande valeur, notamment pour son mépris des
puissants, égal à celui d'Héraclite. De fait, cette colonie des Phocéens, appelée d'abord Hyelè,
puis Élée, qui était sa patrie, cité modeste, tout juste bonne à produire des hommes de valeur,
il la préféra à l'arrogance des Athéniens, n'envisageant aucunement d'aller s'installer chez eux,
et passant toute sa vie sur place.

Il fut le premier à proposer l'argument de l'Achille (mais Favorinus dit que c'est Parménide),
et une foule d'autres. Ses positions sont les suivantes : il y a des mondes, et il n'y a pas de vide ; la
nature de toutes les choses a pour origine le chaud, le froid, le sec et l'humide, qui se changent
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIG. 1.1 : Diogène Laërce et ses sources anciennes</figcaption></figure>

les uns dans les autres ; l'âme est un mélange des éléments ci-dessus mentionnés, aucun d'entre eux n'ayant de position dominante.

On dit qu'il se mit en colère un jour qu'on l'injuriait ; quelqu'un lui en faisant reproche, il répondit : « Si je dissimule mes réactions quand on m'injurie, je ne ressentirai rien quand on me félicitera ».

Il y a eu huit Zénon, nous l'avons expliqué dans la notice sur Zénon de Kition. Celui-ci était dans sa pleine maturité pendant la <soixante-dix>-neuvième Olympiade. (Vies, IX, 25-29)

Que devons-nous tirer de ce texte ? La première chose à faire est de tenter de s'y retrouver dans les sources (cf. figure 1.1 14).

En ce qui concerne la vie de Zénon, on distingue nettement deux ensembles de sources citées par Diogène : d'un côté Platon et Aristote, de l'autre les historiens hellénistiques.

Platon et Aristote n'ont pas vécu en même temps que Zénon, mais ont été contemporains de ses contemporains, et ils appartiennent à peu près au même monde culturel que lui. Nous avons encore les dialogues platoniciens que cite Diogène, nous n'avons plus en revanche les textes aristotéliciens auxquels il se réfère. Nous savons déjà ce qu'indique le *Parménide*, et nous reviendrons plus loin sur les caractérisations de Zénon comme

<footnote n="14">14. Mis à part pour Platon et Aristote, les dates de naissance et mort y sont très approximatives et indiquent simplement l'époque probable de la vie de l'auteur. Les dates pour Parménide et Zénon sont celles suggérées par Platon, et non par Diogène.</footnote>
« Palamède d'Élée » et « inventeur de la dialectique », ainsi que sur les indications concernant son œuvre ou sa philosophie.

Les historiens hellénistiques des IIIe et IIe siècles av. J.-C. (et Démétrios le biographe romain du Ier siècle) nous rapportent une série de récits légèrement contradictoires, mais concordant tous à impliquer Zénon dans une résistance politique contre un tyran (dont le nom varie), résistance menée jusqu'à la mort plus ou moins héroïque. Les variations de détail renvoient à des variations dans les traditions, parfois pointent vers des confusions de tradition avec, par exemple, la vie d'Empédocle. Nous ne savons pas le degré de confiance qu'il faut accorder à ces traditions.

Il y a deux choses à noter : 1/ la langue « bifide » (c'est-à-dire double, prouvant les contraires) dans les vers de Timon, entre en résonance avec l'anecdote de l'automatisation héroïque, Zénon se coupant la langue. 2/ On a un problème d'incompatibilité des biographies entre les historiens hellénistiques et Platon : les historiens renvoient la date de naissance de Zénon une bonne dizaine d'années en arrière, et vingt ou trente ans celle de Parménide. Ainsi Diogène rapporte la relation amoureuse entre Parménide et Zénon, probablement en référence à Platon, tout en leur donnant une quarantaine d'années de différence d'âge et en indiquant via Apollodore que Zénon était le fils adoptif de Parménide<fnref n="15" />. Jacques Brunschwig<fnref n="16" /> note que la datation de Parménide par Diogène est généralement considérée comme exacte, ce qui risque de remettre entièrement en cause le statut de témoignage historique du texte de Platon.

<footnote n="15">15. Voici comment nous parvenons à ces chiffres : on connaît assez fermement l'année de naissance de Socrate : 470/469 av. J.-C. On connaît également les dates possibles des Panathénées à l'occasion desquelles Platon nous dit qu'est la visite de Parménide et Zénon. Lors de la scène du *Parménide*, Socrate est dit être un « tout jeune homme ». On estime généralement que cela lui donnerait environ 20 ans, ce qui concorderait avec les Panathénées de 449, mais pourrait éventuellement renvoyer aux précédentes de 453, quand Socrate avait 16 ans. Lors des suivantes de 445, Socrate a 24 ans et n'est plus un « tout jeune homme ». On a donc deux dates possibles pour la scène : 453 ou 449 av. J.-C. Zénon est dit « approcher la quarantaine », admettons que cela le place entre 37 et 43 ans. Cela place donc sa naissance entre 496 et 490, si Socrate a 16 ans, et entre 492 et 486 si Socrate a 20 ans. Parménide a « dans les 65 ans », disons entre 62 et 68 ans, cela le fait naître entre 521 et 515 si Socrate a 16 ans, et entre 517 et 511 s'il a 20 ans. Dans les deux cas, la différence d'âge entre Parménide et Zénon est entre 19 et 31 ans. Mais Diogène rapporte que Parménide et Zénon sont « dans leur pleine maturité » respectivement lors de la 69e et de la 79e Olympiade, soit entre 504/503 et 501/500 pour Parménide et entre 464/463 et 461/460 pour Zénon. On admet généralement que la pleine maturité indique la période de leurs quarante ans. Cela fait naître Parménide entre 544 et 540 et Zénon entre 504 et 500, leur donne entre 37 et 43 ans d'écart d'âge et leur donnerait respectivement 90 et 50 ans lors de la scène supposée avec Socrate.</footnote>

<footnote n="16">16. DIOGÈNE LAËRCE, « Livre IX » cit., n.4 p. 1066.</footnote>
### 1.2.3 Les autres sources biographiques

Après les informations de Platon relatives à l'activité philosophique de Zénon et les traditions hellénistiques sur son héroïsme politique, un troisième ensemble de textes tendent à rapprocher Zénon du mouvement de la sophistique.

Le texte le plus net à cet égard est un passage du premier *Alcibiade*, 119a1, dialogue dont l'attribution à Platon est contestée (>LM P11 ; >DK A4)<fnref n="17" /> :

> Socrate -- Mais parmi les autres Grecs ou les étrangers, qu'il soit libre ou esclave, cite quelqu'un qui soit devenu plus savant grâce à la fréquentation de Périclès, comme moi je peux te citer Pythodore, fils d'Isoloque, qui devint plus savant grâce à la fréquentation de Zénon, et encore Callias, le fils de Calliadès, qui, l'un et l'autre au prix de cent mines versées à Zénon, sont devenus savants et renommés.

Cette information n'est pas absolument invraisemblable. Le Pythodore en question est apparemment le même qui est narrateur (un des nombreux narrateurs enchâssés, plus exactement) du *Parménide*, dans lequel il est suggéré que Pythodore a eu des entretiens privés avec Zénon. L'idée d'un enseignement privé de l'art de l'argumentation, à très haut coût, d'un étranger auprès des membres de l'aristocratie athénienne, nous suggère naturellement l'association de Zénon d'Elée au mouvement sophistique. Cette appartenance n'est pas attestée par ailleurs mais, il faut le dire, le mouvement n'admet de toute façon pas de définition précise. Nous citons néanmoins Luc Brisson<fnref n="18" /> :

> On peut dire que, à l'époque, 1 drachme représentait le salaire moyen quotidien d'un ouvrier qualifié : or, il fallait 100 drachmes pour faire une mine. Par voie de conséquence 100 mines font 100 x 100 = 10 000 drachmes, soit plus de trente ans de salaire d'un ouvrier qualifié. Pour avoir une idée des prix alors pratiqués, cf. M. Austin et P. Vidal-Naquet, *Économies et sociétés en Grèce ancienne*, Paris, 1972. L'énormité de la somme et le doute qui entoure l'authenticité du *Premier Alcibiade* incitent à la plus grande prudence concernant cette information.

<footnote n="17">17. Platon, *Alcibiade*, trad. du grec par Chantal Marbœuf et Jean-François Pradeau, annot. de Jean-François Pradeau, *introd*. de Jean-François Pradeau, GF Flammarion, 1999, p. 136-137.</footnote>

<footnote n="18">18. PLATON, *Parménide* cit., n. 7 p. 11.</footnote>
Par ailleurs Plutarque (c. 45 – c. 125) rapporte dans le *Périclès* (LM P7; DK A4) que le politique athénien fut son auditeur, et Isocrate (436 – 338 av. J.-C.), beaucoup plus proche chronologiquement de Zénon, associe dans son *Éloge d’Hélène* (LM DOX T7) Zénon aux pratiques du grand sophiste Gorgias.

Cet ensemble ne nous renseigne pas forcément sur l'activité effective de Zénon autant que sur le mode de sa réception à Athènes et l'impression qu'il laisse après sa mort à l'époque de Platon et Isocrate, comme essentiellement un dialecticien, un maître du langage et de la démonstration des contraires, à l'instar de Gorgias l'archétype des sophistes.

En résumé : les sources semblent s'accorder pour placer la vie de Zénon à Élée, et à établir entre lui et Parménide pas simplement une relation argumentative, mais aussi une relation personnelle. Platon leur donne dans les 25 ans d'écart, en fait des amants et donne à Zénon entre 25 et 30 ans de plus que Socrate. Apollodore leur donne dans les 40 ans d'écart, fait de Zénon le fils adoptif de Parménide et le renvoie une décennie de plus dans le passé. Platon rapporte que Zénon a écrit dans sa jeunesse un traité d'arguments très ingénieux contre l'hypothèse de la pluralité, ce que personne ne conteste ; et, si l'*Alcibiade* est de Platon, il associe implicitement Zénon au mouvement sophistique, mais cela est douteux. Les historiens hellénistiques rapportent par ailleurs un héroïsme politique qui n'a pas laissé de trace chez Platon. Voilà donc la totalité de notre incertitude sur sa vie.

## 1.3 Reconstituer son œuvre

Zénon est connu essentiellement pour deux choses, à savoir :

1. Un livre d'arguments contre la pluralité, entreprenant de prouver que l'hypothèse de la pluralité oblige à affirmer ensemble des contradictoires, et dont Platon porte témoignage dans le *Parménide* (LM D4), duquel Proclus déclare qu'il contenait 40 arguments (LM D2 ; BK A15), et que Simplicius semble bel et bien citer littéralement (LM 5-7, 11 ; DK B1-3) !
2. Un groupe de 4 arguments contre le mouvement, qui sont paraphrasés et réfutés avec soin et génie dans la *Physique* d'Aristote (LM D14-16, 18; BK A25).

Se pose alors la question du rapport entre ces deux ensembles, et de ceux-là avec d'autres arguments que la tradition associe à Zénon, à savoir :

3. Un argument énonçant l'impossibilité d'un lieu du mouvement, rapporté par Diogène Laërce (LM D17; DK B4)

4. Une aporie du lieu, rapportée par Aristote et Eudème de Rhodes (LM D13; DK A24)

5. Un ou des arguments montrant que les choses sont à la fois unes et multiples et qu'elles sont à la fois en mouvement et en repos, auxquels il semble être fait allusion par Platon dans le *Phèdre* (LM R3; DK A13).

Il existe également une tradition remontant à Aristote<fnref n="19" />, de laquelle Sextus Empiricus et Diogène portent témoignage (LM R4; DK A10), qui fait de Zénon « l'inventeur de la dialectique », ce qui pourrait signifier qu'il a été le premier à écrire des dialogues philosophiques (LM R36; DK A14), mais pourrait également avoir une signification plus technique comme inventeur de la méthode argumentative procédant à partir des prémisses de l'adversaire. Les deux interprétations ne sont pas incompatibles, bien au contraire. En tout état de cause, Simplicius rapporte en effet :

6. Un dialogue philosophique entre Zénon d'Élée et Protagoras (LM D12b; DK A29), où Protagoras est conduit à la contradiction après avoir nié que la dix-millième partie du grain de mil faisait du bruit.

Ce dialogue correspond apparemment parfaitement à :

7. Un argument qui prétend qu'une partie quelconque du tas de mil fait du bruit en tombant, auquel fait allusion Aristote dans la *Physique* (LM D12a; DK A29).

<footnote n="19">19. Mais à l'Aristote des dialogues aujourd'hui perdus, que nous ne connaissons que par citations.</footnote>
Enfin :

8. Une tradition aristotélicienne, qui comprend Aristote, Eudème, Alexandre d'Aphrodisé et jusqu'à Jean Philopon, dont Simplicius et peut-être Sénèque se font les témoins, et auquel il faut probablement relier un propos attribué à Zénon et rapporté par Eudème (LM R10-14; DK A16,21), attribue à Zénon un peu confusément et un peu contradictoirement une aporie de l'unité et de la multiplicité selon laquelle les choses ne peuvent être ni unes ni multiples, l'Un n'existe pas, et donc éventuellement rien n'existe.

On a par ailleurs :

* Diogène Laërce déclarant que Zénon a écrit « des livres pleins d'ingéniosité » (DK A1)

* Dans la *Souda*, 4 titres d'ouvrages : *Querelles, Exégèse des opinions d'Empédocle, Contre les Philosophes, De la nature* (LM R35; DK A2)

Finalement, on notera les faits suivants :

* Aucun des spécialistes ne semble considérer qu'il faille accorder une grande importance au pluriel dans la phrase de Diogène attribuant des livres à Zénon, ni beaucoup de crédit aux titres donnés par la *Souda*<fnref n="20" />.

* On se rappelle que dans le *Parménide*, Zénon déclare que son ouvrage contre la pluralité est une œuvre de jeunesse, mais d'un autre côté 25 ans plus tard dans le même dialogue il semble toujours être connu essentiellement pour elle.

* Il est important de remarquer que ni Zénon, ni Aristote, ni la *Souda* – ni personne – ne fait allusion à un ouvrage à part qui porterait sur le mouvement ou contiendrait les arguments contre le mouvement que nous connaissons *via* Aristote.

<footnote n="20">20. Nous citons par exemple Luc Brisson, (*PLATON, Parménide* cit., n.24 p. 15) : « Le pluriel figurant dans le texte de Platon (127c3, d4, 128c7) n’est pas significatif ; il est d’ailleurs repris plus loin par un singulier (128a2, c1, c4, d2). Diogène Laërce emploie le pluriel (DK 29 A1 = D.L. IX 26), mais il s’agit d’œuvres attribuées à Zénon. Enfin, la *Souda*, d’après Hésychius de Milet, signale quatre titres : *Les contestations, L’interprétation d’Empédocle, Contre les Philosophes, Sur la nature*. Mais l’Antiquité, de Platon à Simplicius (DK 29 A 23 = *In Phys.*, 134.2-11), n’a connu qu’un seul ouvrage de Zénon. Le premier ou le troisième titre de la *Souda* conviendraient à cet ouvrage. Les deux autres sont l’un conventionnel (Sur la nature), l’autre l’effet probable d’une confusion. »</footnote>
* Il est manifeste que les arguments contre le mouvement, et notamment l'Achille, ont connu une fortune à part et sont très célèbres même avant les écrits d'Aristote.

Qu'en est-il alors ?

Le consensus est, bien entendu, qu'il n'est pas possible de savoir. Comme le souligne Luc Brisson, l'Antiquité ne connait qu'un seul ouvrage de Zénon, décrit par Platon et cité par Simplicius, mais elle connait aussi une diversité d'arguments sans que leur rapport à cet ouvrage soit bien clair. Proclus pourrait avoir à disposition un ouvrage attribué à Zénon et contenant 40 arguments, mais d'après Palmer, même si cela est le cas il est improbable qu'il s'agisse d'un exemplaire fidèle d'une œuvre originale à proprement parler. Il est possible que Zénon ait rédigé plusieurs ouvrages, ou plusieurs textes, ou qu'il soit connu pour des arguments sans qu'une rédaction originaire de ces arguments puisse être retracée jusqu'à lui, d'autant qu'Aristote et d'autres auteurs se font le témoin du fait que les argumentations zénoniennes ont circulé et ont connu immédiatement de nombreuses variantes. John Palmer se fait le porte-parole de la majorité des interprètes quand il affirme qu'aucune tentative de reconstitution de l'œuvre ou de rassemblement de l'ensemble des arguments dans une unité textuelle n'a su être suffisamment convaincante.

Néanmoins, comme nous croyons qu'il n'existe pas non plus d'arguments décisifs *contre*, il peut être intéressant de suggérer à quoi pourrait ressembler une telle unification de l'ensemble ou presque des témoignages et des sources, qui rende compte économiquement et de façon philosophiquement satisfaisante des données en rapportant l'ensemble des arguments à l'ouvrage originaire dont il est question dans le *Parménide* – à l'exception cependant de l'argument du tas de mil, sur lequel il faudra revenir.

Notre argument complet serait le suivant :

> Nous savons – autant qu'il est possible de savoir ces choses – qu'existe un ouvrage de Zénon d'Élée comprenant de nombreux arguments contre l'hypothèse de la pluralité. Son existence est décrite sans ambiguïté par Platon dans le *Parménide*, où au moins un argument est nommé (mais pas reproduit), celui du « semblable et du dissemblable ». Proclus réexpose les éléments que nous trouvons dans Platon, en ajoutant que l'ouvrage contient 40 arguments. Et plus décisivement, Simplicius cite au moins deux autres ar-
guments de ce texte : l’argument du « Grand et du Petit » et celui du « Limité et de l’Illimité ».

Si l'on regarde la forme des deux arguments transmis par Simplicius, on voit qu'elle est identique à celle décrite par Platon et Proclus : Zénon part de l'hypothèse de la pluralité (« si elles sont plusieurs ») et en déduit des propriétés contradictoires et incompatibles qui devraient être vraies ensemble des choses plurielles : si elles sont plusieurs, elles sont à la fois semblables et dissemblables, à la fois grandes et petites, à la fois limitées et illimitées. Cela est parfaitement concordant avec la tradition, qui est à peu près unanime à faire de Zénon celui qui prouve les contraires, d'où la lourde suspicion qui pèse sur lui d'être un sophiste, un éristique, ou un nihiliste.

Pour des raisons qui seront développées dans la suite, nous soutiendrons que pour être convaincu par les arguments que cite Simplicius, ou même simplement pour faire sens de leur détail, il faut poser le cadre argumentatif suivant : il est question du tout de l'étant sensible, et ce tout de l'étant est étendu et continu<sup>21</sup>. De plus, il faut considérer que l'hypothèse de laquelle sont conclus les contradictoires n'est pas simplement et abstraitement « si elles sont plusieurs », mais plus précisément ce qu'on pourrait gloser ainsi : « si on ne se contente pas de l'unité du tout de la grandeur sensible, mais qu'on pose que la grandeur continue implique division et composition, et se compose de ce en quoi elle se divise ». C'est-à-dire si on suppose qu'une pluralité d'éléments est impliquée dans la grandeur continue et divisible.

Si l'on accepte ce cadre argumentatif, il devient très naturel de récupérer au sein de l'ouvrage l'aporie du lieu rapportée par Aristote et Eudème. En effet, Eudème nous dit : « L'aporie de Zénon conduit, semble-t-il, à la même conclusion. Car tout existant, pense-t-on, doit exister quelque part. Or, s'il existe un lieu des existants, où sera le quelque part de ce lieu ? Il faudra par conséquent qu'il se trouve dans un autre lieu, et celui-ci dans un autre, et ainsi de suite. » (A24 = *Physique*, fr. 42<sup>22</sup>). Il faut noter qu'il s'agit d'une *aporie*, et non pas d'un argument prouvant qu'il est faux que toute chose se trouve dans un lieu (ce qui constitue au contraire la réponse

<footnote n="21">21. Ces hypothèses, tirées de l'analyse interne des textes, concordent avec le témoignage de Platon dans le *Parménide* et le *Sophiste*. Cf. section 2.5.</footnote>

<footnote n="22">22. Le texte n'est pas repris dans LM. Nous citons DUMONT, *Les écoles présocratiques* cit., p. 374.</footnote>
d'Eudème à l'aporie). C'est-à-dire qu'il s'agirait de dire à la fois que toute chose doit avoir un lieu, et que ceci est impossible<sup>23</sup>. On a donc un argument double, qui énonce que toutes les choses doivent être quelque part, mais également qu'il est impossible qu'elles se trouvent toutes quelque part, ce qui constituerait l'argument : « si elles sont plusieurs, elles sont quelque part et elles ne sont nulle part »<sup>24</sup>.

Un point plus complexe est l'allusion de Platon dans le *Phèdre*, 261d<sup>25</sup> (LM R3; DK A13) :

**Socrate --- Passons maintenant au Palamède d'Élée :** ne savons-nous pas qu'il parlait avec un art si achevé qu'il faisait paraître à son auditoire les mêmes choses à la fois semblables et dissemblables, unes et multiples, en repos aussi bien qu'en mouvement.

**Phèdre --- Parfaitement.**

Il ne fait sérieusement doute pour personne que le « Palamède d'Élée » en question est Zénon<sup>26</sup> ne serait-ce que par la référence au couple du semblable et du dissemblable qui est sans équivoque possible un couple zénonien dans l'œuvre de Platon. Et la description est concordante avec ce que nous savons de l'ouvrage contre la pluralité : dans cet ouvrage de brillants arguments procédant à partir d'une hypothèse concluent, à propos des choses, qu'elles sont toutes, à la fois, une chose et son contraire, et notamment semblables et non-semillables. Il s'agit de savoir quoi faire des deux autres couples, « unes et multiples »,

<footnote n="23">23. Ceci pourrait être confirmé par un texte qui n'est traité comme une source sur Zénon ni par LM ni par DK, à savoir le résumé du *Traité du non-être* de Gorgias dans le traité pseudo-aristotélicien *De Melisso Xenophane Gorgia* : « Mais rien n'est qui ne soit nulle part, selon l'argument de Zénon relatif au lieu », ce qui attesterait l'existence d'un argument de Zénon en *faveur* de l'omnilocalité (LM GORG.D26, LM, p. 1315).</footnote>

<footnote n="24">24. Au risque de la reconstitution sauvage, mais afin de donner une idée, on pourrait justifier ainsi cette inclusion : s'il n'y a que l'Un-tout de la grandeur de l'univers, celui-ci ne peut être *situé* quelque part, et n'a pas à l'être. En revanche, s'il faut postuler des étants qui composent la grandeur, il faut qu'ils aient un lieu *dans* la grandeur, sinon ils n'en constituent aucune partie (cette exigence que les étants soient *en mesure de composer la grandeur* est attestée explicitement par l'argument de l'Inexistence du sans-grandeur que rapporte Simplicius, et dont nous parlerons dans un instant). Mais si elles ont un lieu, ce lieu est, il est donc un des étants, et ce lieu doit donc avoir un lieu, etc. elles ne sont donc nulle part, parce qu'on a une remontée à l'infini des lieux et que par conséquent le lieu est introuvable. Cf. p. 84 pour une discussion de la structure de l'argument.</footnote>

<footnote n="25">25. Platon, *Phèdre*, trad. du grec, annot. et introd. par Luc Brisson, 2ᵉ éd., GF Flammarion, 2004, p. 145.</footnote>

<footnote n="26">26. Palamède est un héros de la guerre de Troie, « célèbre pour son ingéniosité et son talent oratoire ». Dans le dialogue, cet intitulé s'inscrit dans une série de devinettes « qui consistent à deviner le nom d'un contemporain, qu'on désigne sous celui de quelque personnage fameux » (d'après Brisson, in *ibid*., p. 221). Gorgias avait été auparavant associé à Nestor, et Thrasymaque à Ulysse.</footnote>
« en repos et en mouvement ». En effet, on aurait plutôt attendu de Zénon, comme allié de l'éléatisme, qu'il prouve que les choses sont unes *et non multiples* (en argumentant contre la pluralité), en repos *et non en mouvement*. Le témoignage platonicien justifierait alors au contraire la réputation de Zénon comme *pur argumentateur*, menant toutes les batailles pour le plaisir de la preuve. Nous croyons pourtant possible de rattacher ces allusions à l'ouvrage contre la pluralité, ce qui a l'avantage de rendre très simple la signification de ce passage du *Phèdre* : il serait simplement une référence à trois points saillants de l'ouvrage de Zénon.

La première chose à noter, c'est que Simplicius fait deux fois référence à un argu-
ment visant à montrer que ce qui n'a pas de grandeur (plus exactement ce qui n'a pas de
volume) n'est rien. Nommons cet argument « l'Inexistence du sans-grandeur ». Les deux
fois, il est évoqué dans le contexte de l'argument du Grand et du Petit, mais on pour-
rait peut-être considérer qu'il appartient à une argumentation survenant antérieurement
dans le livre de Zénon. En effet, la tradition aristotélicienne rapportant un argument
sur l'inexistence de l'un, à laquelle nous avons fait allusion plus haut, fait explicitement
référence à l'Inexistence du sans-grandeur, mais le comprend comme un argument concer-
nant la possibilité ou l'impossibilité de l'existence de l'Un<fnref n="27" />. Enfin, Simplicius rapporte
que la prémisse permettant de prouver que « si les choses sont plusieurs elles sont petites
au point de ne pas avoir de grandeur » est qu'elles sont « égales à elles-mêmes et unes ».
Au vu de tout cela, l'hypothèse suivante est envisageable : l'Inexistence du sans-grandeur
appartient à *l'argument de l'Un et du Multiple* auquel Platon fait référence. Plus préci-
sément, Zénon énoncerait : « Si les choses sont plusieurs, alors chacune d'entre elles est
une et multiple. Elles sont unes parce qu'elles sont égales à elles-mêmes, mais elles sont
multiples, parce que ce qui n'a pas de grandeur n'est rien : elles ont donc de la grandeur,
et ce qui a de la grandeur est composé d'une pluralité, car on peut toujours le diviser. »
Cet argument précèderait l'argument du Grand et du Petit rapporté par Simplicius, et
en serait une variante plus simple sur laquelle ce dernier argument élabore.

Mais si le Semblable et le Dissemblable, et l'Un et le Multiple, auxquels Platon fait

<footnote n="27">27. Cf. notre section 2.3.</footnote>
successivement référence, sont des couples dans l'ouvrage de Zénon, on est fortement incité à considérer de même le troisième couple : « le Repos et le Mouvement ». On attribuerait alors à Zénon l'argumentation suivante : si les choses sont plusieurs, elles sont en mouvement et en repos. En mouvement (pour une raison qui nous échappe, dont l'argumentation est perdue) et en repos, parce que le mouvement est impossible, pour les arguments que l'on connait et que cite Aristote. Le fait de traiter sur le même plan les trois couples de contraires, comme trois lieux de l'argumentation bifide de Zénon, est en réalité très naturellement suggéré par un passage du *Parménide* de Platon, 128a-130b, qui n'est pas généralement considéré comme une source sur Zénon, mais suit immédiatement le passage paraphrasé plus haut sur sa vie, sa relation à Parménide et son premier argument<sup>28</sup>. On doit considérer en tout cas que c'est vraisemblablement ce que Platon veut nous suggérer, et que c'est cela qu'il veut dire par son allusion dans le *Phèdre*.

On considèrerait dans l'ensemble le livre de Zénon comme comportant des séries d'arguments en faveur systématique de contraires, et il ne serait alors pas étonnant que les traditions aristotélicienne et atomiste en aient retenu avant tout la partie argumentant *contre* le mouvement, particulièrement retorse ou originale (l'argumentation en faveur du mouvement paraissant peut-être triviale, ou inutile étant donné l'évidence sensible du mouvement que personne ne conteste). La tradition aristotélicienne en aurait également extrait l'argumentation contre le lieu, et l'argumentation en faveur de la multiplicité de tout étant ou l'impossibilité de l'un.

Il serait pour finir aisé de rattacher à l'argumentation contre le mouvement l'argумент contre *le lieu du mouvement* rapporté par Diogène : « [...] [si les choses sont plusieurs, elles sont en repos], car ce qui se meut ne se meut ni dans le lieu où il se trouve ni dans le lieu où il ne se trouve pas (B4), [...] [pas dans le lieu où il ne se trouve pas, car il n'y fait rien, et pas dans le lieu où il se trouve, car toute chose est toujours au repos quand elle est dans un espace égal à elle-même] ». Nous rejoignons néanmoins le consensus qui s'accorde à rattacher l'argument à Diodore Cronos, sans bien sûr qu'il

<footnote n="28">28. Pour un commentaire de ce passage justifiant nos hypothèses, cf. la section 2.5.</footnote>
soit possible de nier son inspiration nettement zénonienne<fnref n="29" />.

On aurait en somme le résultat suivant :

Zénon a rédigé dans sa jeunesse un ouvrage brillant et polémique, qui contient de très nombreux arguments (peut-être 40 ?) démontrant simultanément des propriétés contradictoires et incompatibles des choses à partir de l'hypothèse qu'il n'y a pas seulement la grandeur totale de l'univers continu, mais que ce qui forme une grandeur continue est divisible et doit être composé de la pluralité en laquelle il se divise. Parmi ces arguments, et dans un ordre hypothétique :

* Si elles sont plusieurs, elles sont semblables et dissemblables (rapporté par Platon, dans le *Parménide*). [Les arguments sont manquants.]

* Si elles sont plusieurs, elles sont unes et multiples (évoqué par Platon dans le *Phèdre* et par la tradition aristotélicienne). [Conjecture de l'argumentation : elles sont unes parce qu'elles sont identiques à elles-mêmes, et elles sont multiples parce qu'elles ont une grandeur (parce que ce qui n'a pas de grandeur n'est rien parce qu'il n'ajoute ni n'enlève rien à la grandeur quand il est ajouté ou enlevé (cité par Simplicius)) et si elles sont une grandeur elles sont divisées et donc composées et donc multiples.]

* Si elles sont plusieurs, elles sont à la fois grandes et petites, petites au point de ne pas avoir de grandeur, et grandes au point d'être illimitées (cité par Simplicius). [L'argumentation est rapportée par Simplicius : elles sont sans grandeur parce

<footnote n="29">29. L'argument se présente comme une variante de la Flèche, à laquelle il est parfois identifié, mais sa structure est très différente. La Flèche produit une conclusion universelle sur les éléments du temps, en vertu du rapport du mobile à l'étendue en chacun de ces éléments : toujours, la flèche qui se déplace est dans un égal, donc toujours elle est au repos, donc la flèche qui se déplace est immobile. L'argument contre le lieu du mouvement est manifestement une partie d'une argumentation fondée sur un dilemme, et ne fait pas intervenir un universel temporel, mais est en un sens plus abstrait : « le mobile se meut *ou bien* là où il se trouve *ou bien* là où il ne se trouve pas, or », etc. Cette structure en dilemme n'est présente dans aucun des arguments connus de Zénon et est généralement considérée comme typique de . Pour une discussion plus détaillée de la Flèche, voir notre section 5.4. Sur et la paternité de l'argument, voir (nous reprenons les références à Diogène Laërce, *Vies et doctrines des philosophes illustres*, éd. établie, trad. du grec et annot. par Marie-Odile Goulet-Cazé et alii., La Pochotèque, Le livre de poche, 1999, p. 1109) : Sextus Empiricus, *Esquisses pyrrhoniennes*, III 71 et II 245 ; n. 104 D.N. Sedley, « Epicurus and his professional rivals », *Cahiers de philologie*, 1 (1976), p. 119-159, p. 84-85 ; D.N. Sedley, « Diodorus Cronus and Hellenistic Philosophy », *Proceedings of the Cambridge Philological Society*, 203 (1977), p. 74-120.</footnote>
qu'égales à elles-mêmes et unes (conjecture : et que ce qui a une grandeur n'est pas un), et elles sont grandes au point d'être illimitées parce qu'elles ont une grandeur (parce que ce qui n'a pas de grandeur n'est rien) et que ce qui a de la grandeur est grand au point d'être illimité, car il est composé de grandeurs elles-mêmes composées de grandeurs et cela sans fin.]

* Si elles sont plusieurs, elles sont (collectivement) en quantité limitée ou illimitée (cité par Simplicius). [L'argumentation est rapportée par Simplicius : elles sont en quantité limitée (déterminée), car il faut qu'elles soient aussi nombreuses qu'elles sont, et ni en nombre supérieur à elles ni en nombre inférieur, et elles sont en quantité illimitée, car entre les choses qui sont, il y en a toujours d'autres, et cela sans fin.]

* Si elles sont plusieurs, elles sont dans un lieu et ne sont dans aucun lieu (évoqué par Aristote et Eudème). [Elles sont dans un lieu (conjecture : parce que ce qui n'est nulle part n'est rien parce qu'il ne contribue pas à la grandeur sensible). Elles ne sont dans aucun lieu parce que si elles sont dans un lieu, il devra exister un lieu du lieu pour les situer, et ainsi de suite sans fin (rapporté par Aristote et Eudème).]

* Si elles sont plusieurs, elles sont en mouvement et en repos (évoqué par Platon dans le *Phèdre*). [Elles sont en mouvement (argument manquant), et elles sont en repos parce que le mouvement est impossible, ce qui se prouve de plusieurs façons rapportées par Aristote, notamment du fait qu'avant de parvenir au but, le mobile doit parvenir à la moitié, et cela sans fin.]

Cette perspective a l'avantage de donner un tableau unifié et cohérent de la tradition. Il se peut néanmoins que ce tableau soit en lui-même fautif, et qu'il faille renoncer à situer les arguments contre le mouvement au sein du fameux ouvrage.

Après tout la reconstruction ci-dessus proposée repose sur des bases incertaines. Comme le font remarquer de nombreux interprètes, dont Palmer, rien ne nous indique véritablement dans le témoignage de Platon que tous les arguments prennent la forme de la preuve successive des contraires, comme pour le semblable et le dissemblable. Tout
ce que disent Socrate et Zénon est que les arguments procèdent par une réduction à l'ab-
surde. Le passage du *Phèdre* ne pourrait être considéré comme un argument en faveur
d'une telle méthode systématique de la preuve des contraires sans présupposer circu-
lairement que cela est le cas. Il reste de surcroit à noter que sur les quatre célèbres
« arguments contre le mouvement » que nous rapporte Aristote, seuls deux prouvent à
la lettre l'immobilité, ou l'impossibilité du mouvement : la Flèche et la Dichotomie<fnref n="30" /> !
La « Flèche » montre que le mobile est toujours en repos au lieu où il se trouve, et
la « Dichotomie » montre que le mouvement ne peut jamais s'accomplir parce que le
mobile doit d'abord parvenir à la moitié de son parcours. Mais à la lettre, Aristote nous
dit que « l'Achille » démontre seulement que « le plus lent n'est pas rattrapé par le plus
rapide », et le « stade » que « la moitié du temps est égale au double ». En outre, même
à supposer que l'on puisse rattacher « l'aporie du lieu », la « preuve de l'impossibilité de
l'un » et les quatre « arguments contre le mouvement » à un même ensemble « Contre
la pluralité », resterait la question du dialogue philosophique avec Protagoras, qui est
lui aussi attesté par une forte tradition aristotélicienne. D'un côté, il ne paraît pas du
tout incongru de l'attribuer à Zénon : en effet il procède de manière très semblable en
se plaçant dans le cadre de la grandeur sensible et continue et en montrant que la divi-
sion n'a pas de fin et que la conclusion portée sur le résultat d'une division quelconque
doit suivre cette division sans fin. D'un autre côté, il est manifestement très différent
de tout ce que nous recevons de la tradition à propos des argumentations de Zénon. Il
est *ad hominem*, il est sous forme dialogique avec des interlocuteurs historiques, et il
fait référence essentiellement à une doctrine précise des proportions qui rend l'argument
beaucoup moins général que les autres que nous possédons. Là encore, on ne peut pas
conclure définitivement, mais les différentes datations envisageables rendent l'apparte-
nance de ce dialogue à l'ouvrage contre la pluralité, ou bien très surprenante (si l'on suit
les indications de Platon selon lesquelles Zénon et Protagoras sont des contemporains
presque exacts et que l'ouvrage de Zénon date de ses 20 ans) ou bien à la limite du pos-
sible (si l'on pense en suivant Apollodore que Zénon est l'aîné de Protagoras de quinze

<footnote n="30">30. Voire la seule Dichotomie. Sur l'objet de ces quatre arguments, cf. 5.2</footnote>
ans). Si l'attribution est authentique on devrait penser qu'il s'agit là d'un autre brillant
résultat de Zénon, rédigé ou diffusé à une date postérieure.

1.4 Ses positions philosophiques

Sur la question du positionnement philosophique de Zénon, il se trouve que les textes
de Platon sont pratiquement les seuls qui puissent passer pour une source. Tous les autres
témoignages sur une philosophie de Zénon, ou bien ne peuvent être tenus pour fiables
(comme le résumé cosmologique que l'on trouve dans Diogène Laërce, ou les diverses
sentences morales qui sont attribuées à Zénon par divers auteurs), ou bien se présentent
comme des réputations, ou des interprétations tardives, dont la source principale est
justement Platon lui-même. Tout travail interprétatif doit donc se confronter aux lignes
du Parménide.

Or l'interprétation en est rendue particulièrement difficile pour la raison suivante :
dans le dialogue, le personnage du jeune Socrate semble associer le travail de Zénon
à celui de Parménide, allant jusqu'à suggérer à ce dernier : « Zénon désire être inséparable
de toi non seulement en amour, mais aussi par son œuvre écrite. D'une certaine façon, en effet, il a écrit la
même chose que toi [...] Alors que Parménide dit : "Il est un", Zénon dit : "Elles ne sont pas plusieurs", et
chacun de votre côté vous exprimez, en ayant l'air de ne dire rien de pareil, alors que, tant s'en faut,
vous dites la même chose. » Cette déclaration lie le sens de l'entreprise de Zénon et le sens du
dialogue dans son ensemble à celui de la philosophie du Parménide historique, l'auteur du
VIe siècle av. J.-C. Mais l'interprétation de cette philosophie est elle aussi radicalement
contestée de bout en bout, et (les cercles n'en finissent pas de boucler) le Parménide de
Platon est un élément clé du débat !

Sur cette base, les interprétations modernes divergent. Une certaine tradition fait de
Zénon un « éléatique » à proprement parler, c'est-à-dire un fidèle disciple de Parménide
soutenant, comme le suggère Socrate, la même chose par d'autres moyens. Évidemment,
la question demeure de savoir ce que signifie d'être un disciple de Parménide et de
soutenir la même chose que lui, question vertigineuse dans laquelle nous ne souhaitons
pas vraiment rentrer.

Heureusement, cette impasse peut très largement être évitée. Cela en remarquant simplement que Zénon *contredit*, dans le dialogue même, l'interprétation du jeune Socrate, et déclare plus subtilement ce que nous avons rapporté plus haut, à savoir qu'il est venu « en secours à la thèse de Parménide » :« il est un », contre ceux qui la tournaient en ridicule, en retournant l'accusation de ridicule contre la thèse « si les choses sont plusieurs ». Comme l'ont fait remarquer de nombreux commentateurs, notamment Jonathan Barnes<sup>31</sup> ou John Palmer, rien n'indique exactement que Zénon prenne au sérieux la thèse de Parménide au point de la *soutenir* philosophiquement. Rien ne dit catégoriquement non plus que ceux qui se moquent de Parménide ont compris sa thèse, et par conséquent que l'hypothèse « si les choses sont plusieurs » est véritablement le contradictoire de « il est un ». En somme, en corrigeant Socrate, Zénon interdit que l'on prenne le texte comme source attestant de son éléatisme. Ou plus exactement – pour éviter de confondre ici fiction et réalité – en faisant corriger son *personnage* Socrate par son *personnage* Zénon d'Élée, l'auteur Platon a empêché que l'on puisse conclure de son dialogue, le *Parménide*, que le Zénon historique était un parménidien fidèle.

Diverses positions interprétatives sur Zénon sont alors possibles selon ce que l'on retient comme étant la philosophie de Parménide. Nous en proposons quelques-unes dans le tableau 1.1. Il faut noter que ces positions schématiques, d'une part n'épuisent pas le champ des possibles, d'autre part restent très indéterminées, car la question demeure de savoir ce que signifie d'être parménidien, qui sont ces contradicteurs qui disent que « les choses sont plusieurs », et que signifie exactement cette assertion.

Sur tous ces points, nous choisirons de partir de l'hypothèse suivante : tout nous indique qu'il n'est pas nécessaire de résoudre la question de l'éléatisme pour considérer la portée de l'œuvre de Zénon. C'est-à-dire que tout concorde pour nous suggérer que son œuvre est en quelque sorte purement argumentative. Quelle qu'ait été l'intention de Zénon, cette intention n'est pas décisive pour interpréter son œuvre. La postérité antique

<footnote n="31">31. Jonathan Barnes, *The Presocratic Philosophers*, t. 1 : *Thales to Zeno*, 2 t., The Arguments of the Philosophers, 1979 (ci-après Barnes).</footnote>
<table><caption>TAB. 1.1 : Parménide et Zénon</caption><thead><tr><th></th><th>Les contradicteurs comprennent Parménide</th><th>Les contradicteurs ne comprennent pas Parménide</th></tr></thead><tbody><tr><th>Zénon est parménidien</th><td>Zénon est éléatique et démontre que la thèse de la pluralité est inconséquente.</td><td>Zénon est dialecticien et s'occupe de l'argumentation plus que de la vérité : il montre que la thèse des adversaires, pour elle-même, mène à la contradiction.</td></tr><tr><th>Zénon n'est pas parménidien</th><td>Zénon est nihiliste ou bien sceptique. Il croit qu'existent des arguments contre l'hypothèse de l'Un et contre l'hypothèse du Multiple.</td><td>Zénon argumente pour le pur plaisir de l'argumentation et sans conviction dans un sens comme dans l'autre, est un éristique</td></tr></tbody></table>

ne lui connait pas d'adversaire théorique précis (ni Platon ni Aristote ni Diogène n'en font mention, et Simplicius ne lui en connait pas), et à part quelques thèses morales et cosmologiques dont l'attribution n'est probablement pas fondée<fnref n="32" />, et dont il est clair qu'elles n'ont aucun rapport visible avec les textes ou les arguments dont nous avons trace par ailleurs, on ne lui rattache pas de système philosophique. En revanche, une multitude de sources le soupçonnent de sophistique, nihilisme ou scepticisme<fnref n="33" />.

Si on accepte à la lettre ce que nous rapporte Platon, et qu'on le compare avec les traces effectives d'arguments que nous avons, on comprend aisément comment Zénon a pu être interprété comme il l'a été : prouvant de manière systématique les contraires, il a été associé à la sophistique (par exemple de Gorgias) et à l'éristique, mouvements apparentement postérieurs à lui et dont il est vraisemblable de penser qu'il est l'inspirateur ! Comme il produit des arguments réfutatifs avant tout, il est naturel qu'il soit associé,

<footnote n="32">³² Si Diogène Laërce nous rapporte certaines thèses cosmologiques et naturelles, personne ne les considère comme authentiques. Le passage est classé comme « attribution erronée » dans LM.</footnote>

<footnote n="33">³³ Tout ceci étant dit pour en quelque sorte éviter d'avoir à gager l'analyse sur une interprétation de la philosophie de Parménide, il reste que le témoignage de Platon est constamment, tant dans le *Parménide* que dans le *Sophiste* (242c-243a) ), que les“éléatiques” en général et Parménide en particulier soutiennent une thèse selon laquelle le tout ou l'univers (*to pan*) sensible est un. Ce qu'Aristote semble confirmer dans le livre I de la *Physique* (184b15-187a11), ). Il n'est pas forcément nécessaire de vouloir à tout prix “sauver” Parménide d'une telle entreprise, comme certains interprètes semblent avoir cherché à le faire. C'est en tout cas la conclusion de Luc Brisson (*PLATON, Parménide* cit., Introduction). Cela ne change pas le fait que, quand il s'agit de désigner ces éléatiques, Aristote ne nomme pas Zénon, mais seulement Parménide et Mélissos, et que Platon rattache Parménide à Xénophane, mais, comme on l'a vu, s'abstient soigneusement de faire de Zénon un clair parménidien.</footnote>
comme tant d'autres auteurs, aux mouvements sceptiques, eux aussi bien postérieurs. Comme il semble nous laisser en général dans une aporie concernant l'existence, et en particulier comme il a développé un argument contre l'existence de l'Un autant que celle du Multiple (selon nous, sous l'hypothèse de la pluralité des étants), il est naturel qu'on l'ait compris comme un nihiliste.

En somme, le portrait de Zénon que dresse l'Antiquité est essentiellement celui d'un auteur mystérieux, principalement occupé au brio de l'argumentation, sans qu'une thèse claire (fut-elle négative) puisse transparaître<fnref n="34" />. Il reste donc à examiner ces arguments en eux-mêmes pour déterminer ce qu'ils réfutent exactement, ce qu'ils énoncent, quelle est leur portée et leur moyen.

<footnote n="34">34. Voir cependant la note 12 p. 161 pour une présentation différente du rapport de Zénon à son argumentaire.</footnote>
# Chapitre 2

## Comment lire Zénon

Avant d'examiner en détail les textes qui nous restent de Zénon et qui sont cités par Simplicius<fnref n="1" />, il convient de faire quelques considérations méthodologiques et de préciser le type de lecture que nous allons suivre dans la suite. Pour ce faire, il parait judicieux de faire le point sur le rapport qu'entretient ce travail avec la monographie magistrale de Maurice Caveing sur les paradoxes de Zénon<fnref n="2" />.

### 2.1 Caveing et l'hypothèse pythagoricienne

L'ouvrage monographique classique de Maurice Caveing sur les paradoxes de Zénon d'Élée est à tous égards précieux et sans équivalent – au moins en français – dans l'ampleur et la précision de l'étude, ainsi que dans la vigueur et la rigueur de la perspective philosophique. Il a été pour nous un guide important et doit l'être pour quiconque entreprend l'étude sérieuse des matériaux antiques. C'est justement du fait de la force de sa perspective théorique, cependant, que nous n'avons pas pu faire usage de son travail autant que nous l'aurions voulu. En effet, nous avons été conduit à exposer les textes de Zénon directement, plutôt que de renvoyer aux analyses de Caveing, car nous nous sommes trouvé en situation de divergence théorique avec lui sur des points qui remettaient en cause le mode de lecture qu'il convenait d'adopter.

<footnote n="1">1. Sur le texte de Simplicius et le contexte des citations, voir la section 2.3.</footnote>

<footnote n="2">2. CAVEING, Zénon d'Élée cit.</footnote>
C'est ainsi qu'il nous est apparu impossible de séparer la question philologique et la question philosophique, de soutenir de façon *autonome* la pertinence du problème de l'inachevable, pointant, le cas échéant, sa reconnaissance par tel ou telle philosophe de la tradition, et laissant aux spécialistes le soin de déterminer le sens de ce qui était historiquement accompli par Zénon. Ce qui empêchait cette séparation, dans le cas particulier de Zénon, était le fait que le rejet ou l'ignorance du problème de l'inachevable constituait un élément déterminant pour la compréhension générale de Zénon, ainsi que pour plusieurs points précis d'interprétation des textes.

Le projet général de Maurice Caveing est fondé sur l'idée qu'une connaissance conséquente de la mathématique moderne est utile sinon nécessaire pour comprendre quel pouvait être le sens de certains arguments de l'Antiquité, à la fois pour ses vertus de clarification, et parce qu'a *contrario* il est possible de voir certains historiens rejeter une hypothèse en faisant montre de ce qui apparaît comme une connaissance mathématique *trop faible* pour apprécier adéquatement une situation théorique. Cette idée ne manque pas de plausibilité, et est a priori séduisante. Néanmoins, il serait possible d'argumenter également en sens inverse. Il est certain qu'une connaissance mathématique non nulle est utile pour comprendre ce qui est en jeu dans les problèmes philosophiques du continu ; et à l'évidence une certaine familiarité avec l'histoire des mathématiques est nécessaire pour évaluer ce qui peut ou non être dit philosophiquement à une époque donnée. En revanche une proximité trop grande avec la mathématique moderne, manquant peut-être d'une certaine distance critique, peut également constituer un obstacle à la compréhension de certains problèmes anciens. Nous pensons bien sûr ici au problème de l'achèvement d'un inachevable qui est posé par les paradoxes de l'Achille et de la Dichotomie. Une des thèses du présent travail est que des inventions mathématiques d'abord modernes, de Cavalieri à Newton, puis contemporaines, de Cantor à Zermelo, ont contribué à bloquer la compréhension de l'ancien problème de l'inachevable, en mettant en avant une notion de l'infini se situant sur un plan radicalement distinct, et qui ne résout pas le problème de Zénon, mais se contente de littéralement “passer outre”. Or, parmi les spécialistes et commentateurs de l'Antiquité, Caveing est justement un de ceux chez qui le refus du
problème de l’inachevable se dit de la manière la plus claire et explicite. Il nous faut
donc esquisser un exposé des conséquences qu’a cette perspective sur le portrait que l’on
est amené à peindre de Zénon.

Nous reconstituons ici ce que nous percevons comme le squelette de son argumenta-
tion, d'une manière certainement schématique et qui volontairement ne rend pas compte,
mais au contraire cherche à s'extraire, de l'immense érudition qui parcourt et soutient son
propos. Nous croyons l'interprétation de Caveing fondée sur un ensemble de prémisses,
implicites ou explicites :

1. Il n'y a pas de problème d'achèvement de l'infini, pas de problème à penser qu'on puisse venir à bout d'une série n'ayant pas de fin.

2. On doit penser que les arguments de Zénon ont un sens bien déterminé, précisément délimité.

3. On doit penser que ce sont de bons arguments, c'est-à-dire des arguments vraiment concluants.

4. Ils prennent la forme de *preuves par l'absurde*.

5. On doit penser qu'ils réfutent par l'absurde un *adversaire ou une position bien identifiée*.

Du fait du premier point, Maurice Caveing est contraint de chercher dans l’“Achille”
et la “Dichotomie” autre chose que ce que, selon nous, ils contiennent. Comme il juge
que ce sont de bons arguments, pour eux comme pour les autres paradoxes zénoniens
concernant l'infini il conclut que l'on doit y voir la démonstration d'une impossibilité
métrique, plus exactement de la preuve de la présence d'une grandeur infinie, là où la
grandeur ne peut être que finie. Or il remarque, avec raison, que rien dans les textes des
arguments qui nous restent n'indique comment obtenir une preuve de ce genre, de façon
concluante<fnref n="3" />. Mais puisque les arguments doivent, selon lui, être concluants, il faut qu'il y
ait eu des prémisses supplémentaires, que la tradition ne nous a pas transmises. Puisqu'ils

<footnote n="3">3. Sur ce point, voir la section 4.1.1.</footnote>
ont un sens actuel bien déterminé, il faut qu'ils attaquent des prémisses à leur tour bien déterminées, qui doivent selon Caveing avoir une origine doctrinaire précise. Comme les raisonnements sont pour lui des *preuves par l'absurde*<fnref n="4" />, ils doivent constituer des *réfutations* d'une doctrine adverse au profit de la *défense* d'une autre thèse doctrinaire bien identifiée.

Reste alors à identifier ces deux doctrines supposément en opposition au vᵉ siècle av. J.-C. sur la question de l'espace, du continu et du mouvement. Pour ce qui est de la doctrine *défendue* par Zénon, il n'y a guère d'autre candidat que l'éléatisme de Parménide, et Caveing est en effet partisan d'un Zénon éléate¹. Identifier la doctrine adverse nécessite de mobiliser davantage d'érudition. D'après son analyse fouillée, les meilleures sinon seules voies viables pour fournir des prémisses adéquates à l'argument sont certaines théories qui doivent être attribuées aux *Pythagoriciens*, faisant d'eux les meilleurs sinon les seuls candidats disponibles. La reconstitution qu'il fait des prémisses recherchées et de la manière dont les arguments de Zénon conduisent, à partir d'elles, à prouver l'infinité de la grandeur d'une chose ou du parcours d'un mobile, est solide et ne manque pas d'impressionner, et ainsi l'ouvrage de Maurice Caveing est également une des plus remarquables reprises de l'hypothèse interprétative *pythagoricienne* des paradoxes de Zénon.

Sur cette hypothèse, nous pouvons rappeler quelques faits historiographiques (qui, pour la période précédant 1982, sont rappelés par Caveing lui-même dans un luxe de détail²) : cette hypothèse a été énoncée par Paul Tannery en 1885³, dans un article décisif qui a contribué a relancer l'étude des paradoxes de Zénon au xxᵉ siècle. Le soutien, ou l'opposition, à cette hypothèse, a été le point de contestation central, structurant la recherche historique après lui; mais, depuis quelques décennies, la piste pythagoricienne semble avoir perdu de sa force. Cela pour plusieurs raisons : celle qui est peut-être la

<footnote n="4">4. Sur cette question, voir encore 3.3.</footnote>

<footnote n="5">5. Sur cette question, voir 1.4.</footnote>

<footnote n="6">6. Sur les points qui suivent et pour avoir des pistes bibliographiques et un compte rendu détaillé de la littérature antérieure à 1982 on peut consulter la première section de l’“Introduction” de Caveing.</footnote>

<footnote n="7">7. Paul Tannery, « Le concept scientifique du continu. Zénon d'Élée et Georg Cantor », *Revue Philosophique de la France et de l'étranger*, 20 (1885), p. 385-410.</footnote>
plus immédiatement convaincante est l'absence de témoignages directs, dans le corpus
antique, d'un lien spécifique des arguments de Zénon et Parménide avec des thèses py-
thagoriciennes, absence de preuves qui peut sembler confiner ici à la preuve d'absence.
Une autre raison historique, décisive, a été le scepticisme croissant quant à nos capacités
à identifier une doctrine pythagoricienne développée, qui soit *contemporaine de Zénon*
ou en général précédant l'époque de Platon. Au point que Palmer en 2016, mais déjà
Barnes en 1979, ne prennent pas la peine de discuter l'hypothèse en détail avant de la
rejeter, mais renvoient simplement à l'absence d'arguments convaincants. Il semble donc
possible de juger qu'en ce qui concerne la conformité aux sources, un consensus relatif
des spécialistes actuels indique au moins que rien ne nous *impose* d'adopter une telle
interprétation<sup>8</sup>.

Mais indépendamment du jugement philologique, portant sur la vraisemblance et la
viabilité d'une reconstitution pythagoricienne – point sur lequel nous plaidons l'incom-
pétence – il est possible de se demander si le raisonnement général que l'on peut lire dans
l'ouvrage de Caveing, et qui sert apparemment de *justification* à la recherche de la piste
pythagoricienne, est lui-même entièrement convaincant. En effet, si l'on était amené à
renoncer aux prémisses qui le sous-tendent, il se pourrait que l'on puisse éviter d'avoir
à trancher sur cette question. Examinons-les tour à tour :

La négation de la prémisse [1.] constitue le sujet même de cette thèse. On voit, dans
la manière dont Maurice Caveing parvient à cette prémisse, comment les connaissances
mathématiques sont venues infléchir ou voiler la compréhension de textes antiques et de
commentaires modernes, en soustrayant au regard le problème de l'inachevable comme
tel. Cela sera examiné plus en détail dans le chapitre [5] dédié aux paradoxes de l’“Achille”
et la “Dichotomie”.

La prémisse [2.] ne s'impose pas non plus d'elle-même : tout le contexte nous en-
courage à penser que les arguments de Zénon sont relativement indéterminés, même à

<footnote n="8">8. Cela ne signifie pas, néanmoins, que l'abandon de l'hypothèse soit unanime ou qu'elle ait entièrement cessé d'être fructueuse. Voir notamment sa reprise rigoureuse dans Marwan Rashed, *Alexandre d'Aphro-dise, Commentaire perdu à la Physique d'Aristote (Livre IV-VIII)*, Les scholies byzantines. Édition, traduction et commentaire, De Gruyter, 2011.</footnote>
supposer que leur auteur a *par ailleurs* un opposant précis en tête (car, après tout, rien n'interdit ou ne permet d'exclure que Zénon et/ou Parménide aient eu en quelque façon les Pythagoriciens *effectivement* à l'esprit ; cela n'est pas la même question que celle du sens qu'ils donnaient à leurs écrits). Néanmoins, pour être affirmé de façon convaincante, ce point doit être appuyé sur une reconstitution concurrente de ces arguments, qui atteste du fait qu'il est possible de les formuler d'une façon à la fois vague ou abstraite, et convaincante : nous pensons qu'une telle reconstitution est possible, que l'on peut montrer comment Zénon parvient à prouver l'illimitation, l'absence de grandeur, la pluralité et l'unité, sur la base de simples raisonnements abstraits ou fondés sur des réitérations indéfinies. C'est ce que nous tenterons d'exposer dès ce chapitre et dans les chapitres suivants. Nous pensons par conséquent que les arguments de Zénon sont volontairement indéterminés, qu'ils sont élaborés comme des machines argumentatives capables de fonctionner, pour ainsi dire, hors contexte. Nous revenons sur ce point dans la section suivante.

La prémisse [3.] commande une certaine prudence. Nous pensons qu'il est possible de considérer les paradoxes de Zénon comme de *bons* arguments, ce que nous allons nous efforcer de montrer dans les chapitres qui suivent. Mais il nous paraît en revanche très difficile, sinon improbable, de chercher à les considérer *tous a priori* comme des arguments *vrais*, pouvant être entièrement concluants même encore aujourd'hui. Le soupçon que Zénon est un dialecticien, un éristique, un sophiste, un sceptique, plane sur toute l'Antiquité, et que Zénon fasse de *bons* arguments, c'est-à-dire des arguments inventifs, originaux, qui portent loin, tout cela semble clair, sans que cela doive imposer qu'on cherche chez lui des démonstrations scientifiques *impeccables*¹. Quant aux prémisses [4.] et [5.], qui sont en grande partie solidaires, on a vu et on reverra en 3.3 que non seulement les textes ne nous permettaient pas de les affirmer, mais qu'en ce qui les concerne, de nouveau l'absence de preuves semblait confiner à la preuve d'absence.

<footnote n="9">9. Il faut noter par ailleurs que, même si le nombre de 40 arguments énoncé par Proclus (cf. 1.3) n'est pas assuré, Platon nous dit au moins que l'ouvrage de Zénon comportait « de très nombreux arguments », dont seuls certains nous sont restés. Il n'est pas interdit de penser que ceux qui ont disparu étaient, en tout état de cause, *moins bons*, trop manifestement sophistiques pour être répétés, ou trop banals pour marquer les esprits.</footnote>
Si on s'éloigne ainsi des points de départ qui avaient motivé Maurice Caveing, la question de l'adversaire pythagoricien ne devient pas tant contestable que moins décisive qu'il n'y paraissait d'abord. Qu'il y ait eu ou non un tel adversaire, et quelle qu'ait été la forme de sa théorie, rien ne nous contraint à poursuivre la recherche dans cette direction pour comprendre et interpréter les opérations textuelles propres de Zénon. Il n'en reste pas moins que Caveing est parvenu à reconstruire une version, grandiose, de ce que pourrait signifier l'argumentation de Zénon si elle constituait une opération philosophique victorieuse de l'école éléatique contre un adversaire singulier. Mais en définitive, si nous nous détournons de cette piste de recherche, c'est moins parce que nous refusons l'analyse historique qui la sous-tend, que parce que notre objet et notre intérêt sont autres. Une reconstitution de ce genre, outre qu'elle occulterait le problème de l'inachevable, nous distrairait également du point, pour nous central, qu'est l'élaboration systématique d'arguments fondés sur l'itération indéfinie, et la signification que peut avoir, en général et aujourd'hui encore, un tel procédé. En outre, si le sens de la textualité de Zénon était bien celui que propose Caveing, il resterait que la réception et la postérité en a été très différente, et ce aussi haut que nos sources remontent.

### 2.2 Pourquoi lire Zénon ?

Il est vrai qu'il y a en fait plusieurs problèmes en droit distincts qui sont ici confondus. Qu'une certaine hypothèse historique nous éloigne de l'étude d'une certaine systémati-cité argumentative n'est pas un argument contre elle ; le fait qu'elle donne une image de Zénon apparemment tout à fait déconnectée de sa réception de l'époque est un fait qui la rend quelque peu moins plausible, mais qui ne la disqualifie pas pour autant. *A priori*, il semblerait que l'on doive rigoureusement distinguer ces trois questions, séparer la délicate enquête de reconstitution de l'œuvre de Zénon, du travail historico-interprétatif d'étude de sa réception dans l'Antiquité ; et séparer d'autant plus ces deux terrains de celui de l'étude des "paradoxes de Zénon en soi", pour ainsi dire, de l'étude philosophique des problèmes de l'itération infinie et son rapport au temps. Il se trouve que, dans le cas
spécifique de Zénon, nous croyons que les trois domaines convergent et peuvent être me-
nés de façon conjointe. Concentrer son attention sur l'effet des procédés de Zénon dans
l'ensemble du champ argumentatif qui lui est contemporain nous semble très adapté,
même relativement à l'intention propre de son auteur. Du point de vue de la stratégie
de Zénon lui-même, s'il est possible d'en parler ainsi, il semble que cela soit une erreur
de chercher un contenu démonstratif particulier, un adversaire déterminé, ou une réfu-
tation par l'absurde *ad hominem*. Tout semble nous indiquer que Zénon lui-même est
un “dialecticien”, qu’il cherche à produire des arguments dans le domaine de la “pensée
pure”, ou de la manipulation pure des effets de langage, c’est-à-dire de pousser la logique
dans ses impasses.

La distinction entre une approche purement “dialectique”<fnref n="10" /> et une approche pu-
rement historique des paradoxes est une variante d'une distinction que l'on retrouve
fréquemment dans les études sur Zénon, entre leur étude historique et leur étude logico-
philosophique. Entre la question de savoir ce qu'a voulu dire et faire Zénon, et celle
de savoir comment répondre aux problèmes que nous posent aujourd'hui les paradoxes,
ceux que les professeurs de philosophie et de physique exposent à leurs élèves. Et si cette
distinction est, bien entendu, toujours valable en droit, il reste qu'en pratique et en fait
nous avons été amené à la nier. Notre hypothèse est en effet que les paradoxes de Zénon
– les paradoxes en soi, étudiés par le philosophe – sont des objets de pensée et de langage
qui sont à peu près fidèlement exprimés dans les témoignages que l'on a de Zénon et que
les philologues cherchent à reconstituer. Et qu'il y a un rapport tel entre les paradoxes
en soi et les textes, que chercher à être fidèle à la textualité historique, permet d'un
même mouvement de se rendre fidèle aux paradoxes en soi. Nous sommes venu en effet
à l'étude de Zénon d'Élée par la philosophie générale, par l'exploration d'un problème
que nous en sommes venu à appeler “l'aporie du passage” et qui nous semblait omis par
ceux qui proposaient la résolution standard des paradoxes. Nous avions naturellement
supposé au départ que la philologie et l'histoire antique ne nous concernaient pas, et
que nous pouvions appréhender Zénon du seul point de vue de sa réception moderne et

<footnote n="10">10. Sur le sens philosophique d'une telle lecture, voire notre annexe B.</footnote>
contemporaine; mais l'examen des sources nous a convaincu que ce que nous percevions comme une erreur et une incompréhension du problème en soi par de nombreux philosophes contemporains était aussi l'erreur de certains interprètes à propos des textes<fnref n="11" />. L'idée qu'il doit y avoir une harmonie entre le problème en soi et la fidélité à la textuelité de Zénon n'est pas du tout évidente. Comme nous l'avons dit, cela va directement à l'encontre de, par exemple, l'interprétation pythagoricienne. Selon une semblable interprétation, l'examen historique des textes nous conduirait vers une détermination de plus en plus précise et particulière de ce que dit Zénon. Nous serions obligé.e.s de faire un pas en arrière si nous voulions considérer le paradoxe en soi, ou même sa réception antique, que nous considèrerions alors comme une généralisation et une dé-contextualisation de l'œuvre d'origine. Cela ne peut pas être exclu, et un tel paradoxe décontextualisé serait par ailleurs un objet d'étude historique tout à fait valable – puisque le mode d'existence d'un paradoxe à travers l'histoire n'est pas celui de la prise de position d'un auteur déterminé dans son contexte d'énonciation propre, mais celui d'une machine textuelle capable de produire des effets et imposant des prises de décisions dans des contextes formels divers. Et pourtant nous avons conservé, presque malgré nous, la volonté de montrer pourquoi il nous apparaissait que le Zénon historique lui-même, dans les textes et les arguments qui nous ont été transmis, avait produit de telles machines textuelles<fnref n="12" />, non pas d'ailleurs que ce soit son intention particulière personnelle – ce qui n'a peut-être jamais vraiment d'intérêt pour l'historien de la philosophie – mais bien la réalité du contenu de son œuvre pour autant que cela ait un sens<fnref n="13" />.

<footnote n="11">11. Erreur qui, en substance, consistait à plaquer sur les textes de Zénon une notion d'infini actuel ou de totalité infinie qui ne s'y trouvait pas forcément. Non pas que l'infini actuel ne soit *pas du tout* dans les textes, qu'il soit absolument illégitime de les recevoir en référence à ce concept, mais il ne s'y trouve justement qu'en puissance, virtuellement, selon un certain mode possible d'interprétation et de réception, alors que le texte lui-même se tenait en deçà de la distinction entre infini actuel et infini en puissance, qu'il prenait l'infini en un sens essentiellement négatif, sous la forme de la non-limitation et de l'inachevabilité, et non pas de la totalité transfinie, comme certains interprètes le lisaient.</footnote>

<footnote n="12">12. Ce qui d'ailleurs est l'avis de Barnes auquel nous nous rangeons entièrement sur ce point, et vers lequel Palmer nous semble tendre lui aussi.</footnote>

<footnote n="13">13. Dans le premier chapitre du livre tiré de sa thèse, Barbara Cassin parle magnifiquement du rapport entre philologie et philosophie, et de pourquoi il lui a été tout simplement nécessaire de faire les deux en même temps et indistinctement. Toutes proportions gardées, nous nous sommes retrouvé dans une situation analogue, vue en quelque sorte de l'autre côté de la barrière, en venant à la philologie, sans pourtant rien y prétendre, depuis une position philosophique. Nous nous sommes pourtant senti très concerné par ses propos que nous osons reproduire ici : « D'une part : pourquoi ne pas philosopher sans ambages ni</footnote>
Ces préliminaires méthodologiques étant établis, nous pouvons passer à l'examen proprement dit des textes.

## 2.3 Le texte de Simplicius

Le commentaire de Simplicius à la *Physique* d'Aristote est un document inestimable à beaucoup d'égards, et particulièrement en ce qui concerne Zénon d'Élée, pour lequel Simplicius se fait le témoin des longues traditions (littéralement millénaires) de recherche aristotéliennes et (néo)platoniciennes¹⁴. En ce qui concerne les paradoxes sur le *mouvement*, il offre un commentaire paraphrastique impeccable, extrêmement clair et explicite, de la réponse d'Aristote, et rapporte sur un mode critique, entre autres, la réponse fastinante de Damascius. Mais c'est relativement aux arguments contre la *pluralité* qu'il se montre particulièrement indispensable, en fournissant le seul véritable témoignage textuel que l'on en garde aujourd'hui.

On trouve les citations de Zénon dans le commentaire de Simplicius à un passage du tout début de la *Physique*, où Aristote se confronte aux éléatiques lors de l'élaboration du projet spéculatif qui va être celui de l'ouvrage (c'est-à-dire le projet d'une philosophie de la nature, ou de ce qui a en soi le principe de son mouvement). Il s'agit exactement du commentaire des lignes 187a1-11 du chapitre 3 du livre I¹⁵, que voici :

> ce détour à prétention scientifique où il faut ramper, disait Nietzsche, "avec l'acribie d'une limace myope" ? D'autre part : comment justifier ces spéculations qui boursouflent un travail en apparence sérieux ? Pratique philosophique ou pratique philologique : l'une, si elle n'invalide pas l'autre, la rend au moins illisible. / Il est impossible de faire autrement, voilà tout. On ne comprend rien à un texte comme le *Sur Mélissus, Xénophane et Gorgias* tant qu'on ne le déchiffre pas à la lettre et bien trop longuement. Voilà pourquoi c'est si difficile. Et on y lit plus et autre chose qu'on ne l'avait pressenti ou qu'on ne l'aurait inventé, voilà pourquoi c'est si intéressant. Non qu'on passe ainsi de la philologie à la philosophie comme à une sphère supérieure et qui aurait fourni en sous-main une précompréhension pour exécuter les basses œuvres. Ni qu'il y ait dans la philologie même deux niveaux d'interprétation, l'une "basse" et "de base" pour opérer sur les mots et la grammaticalité de la phrase, l'autre plus haute pour décider du sens général et de l'identité du texte. Il y a plutôt une pratique unique qui, rien qu'en suivant jusqu'au bout ses propres lois, rien qu'en se respectant elle-même, ne cesse de se relever, comme des sons articulés par le jeu de leurs articulations finissent en discours. Au contraire, la séparation des pouvoirs philologique et philosophique rend la première contente d'hypothèses molles, et fait que la seconde manque d'ouverture et de soupçon, chacune ne recevant de l'autre, sans le savoir, que des idées reçues. » Barbara Cassin, *Cahiers de Philologie*, t. 4 : *Si Parménide*, Le traité anonyme *De Melisso Xenophane Gorgia*, trad. du grec et comm. par Barbara Cassin, Presses Universitaires de Lille/Editions de la M.S.H., 1980, p. 17-18

14. Sur Simplicius, et le commentaire à la *Physique* en particulier, voir notamment Pantelis Golitsis, *Les Commentaires de Simplicius et de Jean Philopon à la Physique d'Aristote. Tradition et innovation*, Commentaria in Aristotelem Graeca et Byzantina, 3, De Gruyter, Berlin-New York 2008 et Philippe Soulier, *Simplicius et l'infini*, préf. de Philippe Hoffmann, Les Belles Lettres, 2014.

15. Cf. Simplicius, *On Aristotle Physics 1.3-4*, trad. du grec par Pamela Huby et C.C.W. Taylor, introd. de Richard Sorabji, Ancient commentators on Aristotle, Bloomsbury, Londres 2011, p. 45. Nous
Certains ont fait des concessions aux deux arguments : à celui selon lequel tout est un si l'être signifie une seule chose, en disant que le non-être est ; à l'autre, celui de la dichotomie, en créant des grandeurs insécables. Manifestement il n'est pas vrai que, si l'être signifie une seule chose et ne peut signifier en même temps la contradiction, il n'y aura aucun non-être, car rien n'empêche que le non-être ne soit pas au sens absolu, mais soit un certain non-être. En revanche, dire que, si à côté de l'être lui-même il n'y a rien d'autre, toutes choses seront une, c'est absurde. Qui comprend en effet l'être lui-même autrement que comme cela même qu'est l'être ? Et s'il en est ainsi, rien n'empêche cependant que les étants soient multiples, comme on l'a dit. Qu'il est donc impossible que l'étant soit un de cette façon, c'est clair.

Comme on le voit, Zénon n'est pas cité dans ce passage d'Aristote<sup>16</sup>. Mais il y est fait allusion à un argument de la « dichotomie ». Plus exactement, il est fait allusion à deux arguments, sans que leurs auteurs soient nommés ni qu'il soit précisé si les deux appartiennent au même auteur. Un premier argument admet la prémisse selon laquelle « l'être signifie une seule chose », et en conclut « tout est un ». On apprend que « certains » ont accepté cet argument, mais n'ont pas accepté sa conclusion, et qu'ils ont dû alors abandonner une des prémisses implicites et admettre que « le non-être est ». On en infère que la prémisse implicite rejetée était « le non-être n'est pas ». Le second argument utilise un procédé de « dichotomie »<sup>17</sup> », mais Aristote ne dit pas ce qui en est conclu, simplement que « certains » à nouveau ont accepté l'argument mais pas sa conclusion, et qu'ils ont dû changer une des prémisses implicites en affirmant « il y a des grandeurs insécables ». D'où on peut inférer qu'une des prémisses était « toute grandeur est sécable ». Puis Aristote va réfuter le premier argument, d'abord en justifiant la nouvelle prémisse adoptée par ceux qui refusaient la conclusion (c'est-à-dire en montrant que cette nouvelle prémisse n'est pas contradictoire), mais surtout

<footnote>citons Aristote d'après Aristote, *Physique*, trad. du grec, annot. et introd. par Annick Stevens, Vrin, 2012 (ci-après AristPhys), p. 81</footnote>

<footnote n="16">16. Nous revenons sur l'interprétation de ce texte dans l'annexe B.</footnote>

<footnote n="17">17. Le terme “dichotomie” est un calque du verbe grec *díka temeîn* qui veut dire littéralement “couper en deux”. On donne habituellement ce nom à un des paradoxes du mouvement, celui qui est l’objet principal de cette thèse et qu’Aristote examine dans les livres VI et VIII de la *Physique*. Le postulat de Simplicius va être qu’Aristote, dans ce passage, ne parle *pas* de cet argument contre le mouvement. Cf. la section 2.5.</footnote>
ensuite en montrant que l'argument de départ n'était pas concluant, que sa conclusion ne dérivait pas de ses prémisses. Il faut noter qu'Aristote a déjà exposé les mêmes idées de façon plus développée et explicite dans ce qui précède immédiatement ce passage. Le véritable élément nouveau est ce mystérieux argument de la « dichotomie ».

En bon commentateur, Simplicius va entreprendre les tâches suivantes : identifier les deux arguments dont parle Aristote c'est-à-dire à la fois leur auteur et leur contenu, expliquer ce qu'en dit Aristote dans le passage et expliquer la thèse d'Aristote à leur égard. Ce faisant, il va se référer à ses prédécesseurs, membres des traditions aristoté-liciennes et platoniciennes ayant commenté le passage avant lui. Sur l'argument de la dichotomie en particulier, il s'agira d'Alexandre d'Aphrodise, Eudème de Rhodes, Thé-mistius et Porphyre. Nous avons jugé utile de fournir un plan de l'organisation du texte de Simplicius dans lequel il est facile de se perdre du fait des références enchâssées<fnref n="18" />.

Voici le plan du début du commentaire de Simplicius, qui comprend les passages consacrés à Zénon<fnref n="19" /> :

## Considérations générales sur le passage

### 133,30 - 134,4 Explication de la première phrase : après avoir rejeté l'argument de Parménide cherchant à prouver que « tout est un » (à la fois parce qu'il a des prémisses fausses et parce qu'il n'est pas conclusif), Aristote affirme que certains ont pourtant fait des concessions à cet argument, de même qu'à un second argument, que Simplicius attribue à Zénon.

### 134,4-9 Rappel de la relation entre les arguments de Zénon et ceux de Parménide, telle que décrite par le personnage “Zénon” dans le dialogue du Parménide<fnref n="20" />.

<footnote n="18">18. Le contexte du passage de Simplicius est étudié en détail par Caveing. Voir surtout, pour un commentaire plus complet et une analyse beaucoup plus fouillée des renvois de commentaires au sein du texte de Simplicius, Claire Louguet, *Les Usages de l'infini chez les penseurs présocratiques*, thèse de doctorat sous la direction de M. André Laks, Université de Lille III, 21 sept. 2004, p. 203-241.</footnote>

<footnote n="19">19. 133,30 à 142,27 du texte de Simplicius, SIMPLICIUS, *On Aristotle Physics 1.3-4* cit., p. 45-53</footnote>

<footnote n="20">20. Les homonymies entre le dialogue nommé le *Parménide*, son protagoniste éponyme, et le personnage historique qu'il représente, sont malheureusement inévitables.</footnote>
### Étude du premier argument

134,9-1 Rappel du premier argument (celui de Parménide), et identification de Platon comme un de ceux y ayant « fait des concessions » (dans le Sophiste).

134,18 - 137,20 Longue discussion, que nous ne détaillons pas ici, de la position platonicienne sur l'être et le non-être, autour de commentaires du Timée et du Sophiste et dans un dialogue critique avec Alexandre d'Aphrodise (c. 160 - c. 225) et Porphyre (234 - c. 305), que Simplicius cite textuellement.

137,20 - 138,1 Paraphrase et explication de la réfutation par Aristote de l'argument de Parménide (c'est-à-dire tout ce qui suit la première phrase dans le passage cité).

### Étude du second argument

#### L'interprétation d'Eudème et Alexandre

138,1-18 Début de l'étude du second argument. Exposé – avec copieuses citations – du commentaire d'Alexandre.

* Alexandre attribue le second argument à Zénon, et le caractérise ainsi : Zénon « dit que si ce qui est avait une grandeur et qu'il était divisé, ce qui est serait multiple et non plus un, et [il] montre par là que l'un n'est aucun des êtres<fnref n="21" />. »

* Alexandre rattache à cet argument une allusion que fait Aristote à des efforts accomplis par « les derniers des anciens<fnref n="22" /> » pour éviter d'affirmer l'identité de l'un et du multiple, et à la solution qu'il apporte par la distinction de l'en acte et de l'en puissance (*Physique*, 185b25-186a3).

* Alexandre identifie Xénocrate de Chalcédoine<fnref n="23" /> comme un de ceux ayant fait des

<footnote n="21">21. [<LM D9; <DK A22], LM, p. 605</footnote>

<footnote n="22">22. C'est-à-dire les derniers des anciens aux yeux d'Aristote. Il s'agit donc vraisemblablement de socratiques et de sophistes, cf. Aristote, *Physique*, trad. du grec, annot. et introd. par Pierre Pellegrin, GF Flammarion, 2000, note 2. p. 80</footnote>

<footnote n="23">23. c. 395 - 313 av. J.-C. Xénocrate est le successeur de Speusippe à la tête de l'Académie de Platon, et est de 10 ans l'aîné d'Aristote.</footnote>
concessions à l'argument de Zénon, en admettant comme grandeurs insécables des « lignes indivisibles » qui sont rigoureusement unes et non pas multiples.

138,18-29 Simplicius remarque un problème dans l'exposé d'Alexandre : peut-on vrai-
ment attribuer à Zénon l'énoncé selon lequel « l'un n'est aucun des êtres » ? Cela pose
selon Simplicius deux problèmes : d'une part cela contredit ce que nous savons de Zénon,
à savoir qu'il est venu en aide à Parménide en réfutant le multiple. D'autre part cela rend
incompréhensible la mention de cet argument par Aristote à cet endroit précis, c'est-à-
dire dans le contexte d'un chapitre consacré à la réfutation des arguments soutenant que
seul l'Un est.

138,29 - 139,3 Simplicius identifie Eudème de Rhodes<fnref n="24" /> comme la source de l'opinion apparente d'Alexandre selon laquelle Zénon a entrepris une démonstration de l'inexistence de l'Un. Il cite un passage de la *Physique* perdue d'Eudème (LM R10b), selon lequel Zénon (à partir d'un argument montrant que le point n'est rien du tout, car il n'ajoute ni n'enlève rien quand il est ajouté ou enlevé) aurait lancé le défi philosophique de trouver quelque chose de tel que l'Un.

Réfutation d'Alexandre et Eudème, première citation de Zénon

139,3-19 Premier examen direct de l'œuvre de Zénon (LM R12²⁵) :

* Simplicius admet qu'il est vraisemblable que Zénon ait produit *des arguments oraux pour et contre l'Un*, ce pour quoi il est nommé « *langue bifide* », mais conteste que ce soit là la conclusion à laquelle conduisent les arguments que l'on trouve dans son œuvre.

* Il identifie la fonction de l'ouvrage de Zénon à celle qui est décrite dans le *Parmé-
nide* : il contient de nombreux arguments montrant que *celui qui affirme la pluralité*
*se retrouve à affirmer des énoncés contraires.*

<footnote n="24">24. c. 370 - c. 300 av. J.-C. Il est probablement un des plus proches disciples et collaborateurs d'Aristote,
avec .</footnote>

<footnote n="25">25. Nous suivons le texte et l'interprétation des traducteurs de Simplicius Huby et Taylor, légèrement différente de celle de Laks et Most.</footnote>
* Identification d'un argument selon lequel « si plusieurs choses sont, elles sont et petites et grandes, grandes au point d'être illimitées en taille et petites au point de n'avoir aucune grandeur ».

* Rattachement à cet argument d'un autre sous-argument, selon lequel « ce qui ne possède aucune grandeur ni épaisseur ni masse ne saurait non plus être », et citation de celui-ci (LM D7; DK B2) :

> Si en effet cela était ajouté à une autre chose qui est, cela ne le rendrait pas plus grand. En effet, quand une grandeur n'est rien, mais est ajoutée, il n'est en rien possible de progresser vers la grandeur; et ainsi, ce qui est ajouté ne serait dès lors rien. Et si, quand elle est retirée, l'autre chose n'est en rien plus petite, et qu'elle n'augmente pas non plus quand elle est ajoutée, il est évident que ce qui est ajouté n'est rien, ni ce qui est retiré.

* Commentaire de cet argument. Simplicius l'identifie à celui auquel Eudème fait référence, mais contre l'interprétation d'Eudème : « cela, Zénon le dit non pour supprimer l'Un, mais [pour montrer que] chacune des choses multiples et illimitées possède une grandeur et qu'elle est illimitée du fait qu'en vertu de la division à l'infini, il existe toujours quelque chose en deçà de ce qui est prélevé ». La fin de la phrase, à partir de « elle est illimitée du fait que... », est une allusion à l'argument montrant que « chaque chose est grande au point d'être illimitée », argument que Simplicius va bientôt citer.

* Identification de l'argument montrant que « chaque chose est petite au point d'être sans grandeur », et affirmation que ce dernier se trouve avant l'argument en faveur du grand : « ce qu'il montre après avoir antérieurement montré que rien n'a de grandeur du fait que chacune des choses multiples est identique à soi, et une. »

Examen et rejet de l'opinion de Thémistius

139,19-24 Examen de l'opinion de Thémistius (c. 317 - c. 388) selon laquelle Zénon prouve que *ce qui est, est Un, du fait qu'il est continu et indivisible, parce que s'il se
divisait il ne serait pas Un à cause de la divisibilité à l'infini. Simplicius conteste cette interprétation [qui, telle quelle, est logiquement fautive]: selon Simplicius Zénon veut montrer que la divisibilité empêche aussi bien l'existence du multiple que l'existence de l'Un.

## Exposé de l'interprétation de Porphyre

**139,24 - 140,19** Exposé avec longue citation de l'interprétation de Porphyre.

* D'après Porphyre les deux arguments cités par Aristote sont des arguments de Parménide, Zénon ne figurant pas dans son interprétation. L'intention du second argument serait de montrer « que l'être est un, seul, sans parties et indivisible ».

* Porphyre fait une longue reconstitution de cet argument supposé de Parménide, reconstitution citée par Simplicius et que nous citons et commentons plus loin<fnref n="26" />.

* Porphyre identifie lui aussi Xénocrate comme un de ceux qui veulent échapper à l'argument de la dichotomie en posant des quantités indivisibles c'est-à-dire en niant que la division aille à l'infini. Il précise également que ces quantités sont des lignes formellement premières à partir desquelles se forment des surfaces et des solides premiers, et qu'elles ne sont pas sans parties ni ne sont des "grandeurs minimales" au sens où on ne pourrait pas géométriquement les diviser.

## Réfutation de Porphyre et seconde citation de Zénon

**140,19-25** Simplicius conteste l'interprétation de Porphyre, au titre qu'on ne trouve rien de tel que ce qu'il cite dans les œuvres de Parménide et qu'on s'accorde à attribuer à Zénon l'argument de la dichotomie.

**140,25 - 141,8** Simplicius prouve que l'argument de la dichotomie est bien de Zénon en citant les textes qui en font l'emploi (et il prend la peine de souligner que lui, contrairement à Porphyre, cite littéralement).

<footnote n="26">26. Cf. p. 128</footnote>
* Il associe en fait l'argument recherché à *deux* arguments de Zénon. Le premier est celui qu'on va nommer l'argument *du Limité et de l'Illimité* (LM D11 ; DK B3) :

> Ayant en effet montré de nouveau que si plusieurs choses sont, les mêmes choses sont limitées et illimitées, Zénon écrit ceci, que je cite littéralement : « Si plusieurs choses sont, il est nécessaire qu'elles soient aussi nombreuses qu'elles sont, et ni en nombre supérieur à elles ni en nombre inférieur. Or si elles sont aussi nombreuses qu'elles sont, elles seront limitées. Si plusieurs choses sont, les choses qui sont sont illimitées ; car entre les choses qui sont, il y en a toujours d'autres, et de nouveau entre celles-là d'autres encore. Et ainsi les choses qui sont sont illimitées. » Et ainsi il a démontré l'illimité en quantité grâce à la dichotomie<fnref n="27" />.

* Le second est l'argument *du Grand et du Petit* annoncé plus haut (LM D5 et D6²⁸ ; DK B1) :

> Mais [l'illimité] en grandeur, [il l'a démontré] plus tôt en usant du même argument. Car ayant d'abord montré que « Si ce qui est n'avait pas de grandeur, il ne serait pas non plus », il ajoute : « Mais si elle est, il est nécessaire que chaque chose possède une grandeur et une épaisseur et que quelque chose d'elle soit distinct d'autre chose. Et le même argument vaut pour le surplus. En effet, celui-là possèdera une grandeur et quelque chose sera en surplus. Or c'est la même chose de le dire une fois et de le dire toujours. Car rien de tel ne sera dernier, et il n'y aura rien qui ne soit en relation avec un autre. Ainsi, si plusieurs choses sont, il est nécessaire qu'elles soient et petites et grandes, petites au point de n'avoir aucune grandeur, et grandes au point d'être illimitées. »

### Bilan sur le second argument

141,8-16 Simplicius fait le bilan de l'examen qui précède : comme le veut Alexandre et contre Porphyre, l'argument de la dichotomie doit être attribué à Zénon. Mais contre

<footnote n="27">27. Nous traduisons cette dernière phrase, ainsi que sa continuation tout de suite après.</footnote>

<footnote n="28">28. Nous reprenons les traductions LM uniquement pour les parties qui sont des citations de Zénon, ici en caractères gras. Nous traduisons le reste.</footnote>
Alexandre, il ne faut pas considérer qu’il cherche à éliminer l’Un, mais au contraire qu’il cherche à réfuter la pluralité selon le schéma et pour les raisons décrites dans le *Parménide*. Ainsi, contrairement à ce qui se passe si on suit l’interprétation d’Alexandre, on peut comprendre pourquoi Aristote y fait référence à cet endroit de la *Physique* à la suite de l’argument cherchant à montrer que « *tout est Un* ».

## Étude de la position d'Aristote

141,16-19 Simplicius explique qu'Aristote ne peut accepter la solution de ceux qui concèdent l'existence de grandeurs indivisibles. En effet, il semble que cela soit tomber dans la contradiction que de considérer des *grandeurs sans grandeurs* ce qui serait la seule manière de comprendre des grandeurs indivisibles<sup>29</sup>. En outre, selon Aristote il ne faut pas céder à l'argument, car celui-ci est *fautif*. En effet, il n'est pas vrai que *si une grandeur est divisible à l'infini alors ses parties seraient elles aussi actuellement infinies en nombre*, car il faut distinguer entre l'en acte et l'en puissance et affirmer qu'une même grandeur peut être *actuellement une et potentiellement plusieurs*.

141,19 - 142,15 Dans ce passage, Simplicius entreprend ce qu'Aristote a omis de faire (comme il lui en fait d'ailleurs le reproche), à savoir la réfutation en forme de l'argument de la dichotomie. Il accomplit cela par une magistrale analyse des notions aristotéliennes d'infini en acte et en puissance, et de la manière dont cela s'applique à la *composition du continu*. Nous reviendrons sur tout cela plus tard, en 4.3.1.

## Examen de la concession de Xénocrate

142,15-27 Enfin, Simplicius tente de justifier malgré tout la thèse de Xénocrate : ce dernier ne peut se tromper au point d'affirmer l'existence de quantités *par nature in-divisibles*, car « étant géomètre il ne peut ignorer un principe géométrique ». Simplicius suggère alors l'interprétation suivante : dans la division, il demeure toujours des grandeurs indivises qui, si nous comprenons correctement, ne peuvent être pour ainsi dire

<footnote n="29"><sup>29</sup> On se souvient pourtant que Porphyre a explicitement exclu que ce soit en cela que consiste cette solution, en tout cas dans le cas de Xénocrate.</footnote>
"physiquement" divisées, en raison de leur petitesse. Mais pour autant, ces quantités ne sont pas des atomes fondamentaux, par nature indivisibles. C'est-à-dire par exemple qu'on peut toujours diviser en n'importe quel point une grandeur continue, sans être limité à une série finie de points de coupure possibles par une structure atomique discrète. On le peut, en tout cas, du moment que cela ne produit pas une quantité restante trop petite, auquel cas la division est physiquement impossible. Simplicius rattache alors ces lignes élémentaires de Xénocrate aux surfaces planes élémentaires que l'on trouve dans le Timée de Platon.

## 2.4 L'Inexistence du sans-grandeur et l'exigence de composition

Nous avons suggéré<fnref n="30" /> que l'argument de l'Inexistence du sans grandeur constituait un lemme au sein d'un argument de l'Un et du Multiple dont Zénon était l'auteur et qui précédait l'argument du Grand et du Petit. Que cela se vérifie ou non, il est intéressant de considérer cet argument de l'Inexistence du sans grandeur à part et avant les autres : d'abord parce qu'il n'utilise pas les mêmes procédés argumentatifs qu'eux, et ensuite parce qu'il nous indique le plus clairement quelle est la situation de pensée en jeu, quelles sont les déterminations engagées dans l'ensemble de la réflexion.

Nous le répétons tel que Simplicius nous le livre : il s'agit d'un argument montrant que « ce qui ne possède aucune grandeur ni épaisseur ni masse ne saurait non plus être » :

> Si en effet cela était ajouté à une autre chose qui est, cela ne le rendrait pas plus grand. En effet, quand une grandeur n'est rien, mais est ajoutée, il n'est en rien possible de progresser vers la grandeur ; et ainsi, ce qui est ajouté ne serait dès lors rien. Et si, quand elle est retirée, l'autre chose n'est en rien plus petite, et qu'elle n'augmente pas non plus quand elle est ajoutée, il est évident que ce qui est ajouté n'est rien, ni ce qui est retiré.

<footnote n="30">30. En 1.3. Nous développons cette hypothèse plus en détail dans la section suivante.</footnote>
Si cet argument semble particulièrement apte à nous indiquer le contexte profond de
la démarche de Zénon, c'est que sa conclusion est relativement surprenante par rapport
à ce qui y est effectivement montré. Ce qui doit être prouvé par le raisonnement est
que « *ce qui ne possède aucune grandeur ni épaisseur ni masse ne saurait non plus être* ».
Cette thèse d'elle-même n'est pas tout à fait dénuée de plausibilité. Elle semble
constituer une sorte de parti pris matérialiste ou plus précisément être la thèse géné-
rale d'une philosophie énonçant que tout ce qui existe est un corps<fnref n="31" />. Les prémisses de
l'argument sont que si quelque chose n'a pas de grandeur (d'aucune sorte), elle ne fait
pas *progresser vers la grandeur* une autre chose donnée quand on l'y ajoute, pas plus
qu'elle ne fait perdre de la grandeur si on l'en enlève. Ces prémisses semblent relati-
vement peu problématiques. Il est en revanche beaucoup plus curieux de passer de ces
prémisses à la conclusion. Pourquoi *ne pas faire progresser dans la grandeur* serait-il un
gage de *non-existence* ? On pourrait, il est vrai, lire le texte de Zénon comme un jeu de
mots : « il y avait une grandeur, il a ajouté quelque chose mais cela n'a rien ajouté à la
grandeur, c'est donc que ce qu'il a ajouté était « *rien* », le rien, donc non-existant. »
Cela n'est pas absolument exclu, mais si l'on ne veut pas en faire un jeu de mots, pour que
l'argument fonctionne il faudrait semble-t-il considérer qu'il n'y a que de la grandeur qui
puisse être ajoutée ou enlevée à quelque chose, c'est-à-dire justement présupposer que
tout ce qui existe est corporel. Le raisonnement serait alors une pétition de principe.
Pour le dire autrement, la seule manière de justifier intuitivement, en général, que l'on
conclue du fait que quelque chose *n'ajoute rien à la grandeur* au fait qu'elle *n'est rien*
semble être de supposer d'avance que ce qui n'a pas de grandeur n'est rien, soit ce qui
était à démontrer. Le raisonnement serait alors sans force. Il n'en va pas de même si on
spécifie un contexte d'argumentation, et plus exactement ici si on suppose que ce qui est
interrogé est l'existence des choses en tant qu'elles sont susceptibles de composer le tout
de la grandeur. Acceptons cette hypothèse pour un instant : avec elle, l'argument est
parfaitement raisonnable. Le texte de Simplicius nous suggère très nettement qu'il s'agit

<footnote n="31">31. Comme l'énonçait le stoïcisme. Cela doit néanmoins conduire, semble-t-il inévitablement, à soutenir qu'en quelque manière *il y a* des non-existants, à savoir les incorporels comme le dicible, le lieu ou le temps.</footnote>
d'un lemme, d'un résultat intermédiaire utilisé pour obtenir un résultat plus important : pour montrer que chacune des choses est multiple, ou si grande qu'elle est illimitée, Zénon établit d'abord que chacune des choses a de la grandeur. Pour montrer cela, il en appelle naturellement à l'idée que si elle n'avait pas de grandeur elle ne ferait rien à l'affaire, c'est-à-dire qu'elle ne permettrait pas de composer la grandeur, elle ne ferait pas avancer d'un iota dans la composition de la grandeur, mais ne compterait pour rien.

Comment parvenir à cette hypothèse complètement développée ?

Il ne s'agit pas ici, on le rappelle, de réfléchir à la conviction profonde de Zénon ou d'examiner les conditions logiques de validité de son argument, mais d'essayer d'établir dans quel contexte de questionnement ses paroles peuvent *faire sens*, à quel complexe de problèmes il peut être en train de répondre, quel cadre général il convient de présupposer pour être engagé avec lui dans la réflexion. De ce point de vue là, l'ensemble des textes et des témoignages semblent bien établir que Zénon se place dans le cadre d'une réflexion sur la grandeur étendue, sur cette même propriété des corps dont la géométrie grecque est l'étude.

On sait par ailleurs que, dans le contexte de l'étude de la grandeur étendue, le livre de Zénon est un livre *contre la pluralité*, c'est-à-dire qui réduit à l'absurde l'hypothèse *elles sont plusieurs* qui se comprend comme opposée à l'hypothèse *il est un*. On doit pouvoir en conclure que, au moins en ce qui concerne le livre de Zénon et sans nécessairement se prononcer sur le *Poème de Parménide*<fnref n="32" />, « *il est un* » doit être compris comme : « le tout de la grandeur est un », et « *elles sont plusieurs* » comme : « il y a de la pluralité dans le tout de la grandeur », c'est-à-dire que le tout de la grandeur est *composé* d'une pluralité d'étants.

On connait également le contexte immédiat dans lequel agit le lemme du sans-grandeur, c'est-à-dire dans des arguments fondés sur la *division* de la grandeur<fnref n="33" />. Re-

<footnote n="32">32. Voir néanmoins la note 33 p. 41.</footnote>

<footnote n="33">33. Le terme de division, ou de dichotomie, n'apparait pas dans les citations de Simplicius, cf. section suivante, mais il y est bien question de la présence interstitielle de choses entre d'autres choses (« *entre les choses qui sont, il y en a toujours d'autres* ») et surtout de la présence au sein d'une grandeur d'une multiplicité découpable (« *il est nécessaire [...] [que quelque chose d'elle soit distinct d'autre chose* »)</footnote>
prenons les squelettes argumentatifs : si elles sont plusieurs, elles ont de la grandeur, et si elles ont de la grandeur elles sont illimitées. Si elles sont plusieurs elles sont en multiplicité illimitée. Si de tels arguments sont possibles grâce à l'emploi d'un procédé de division, on pourrait poser la question : à quoi sert l'hypothèse de la pluralité ? En effet, on pourrait dire : s'il est un, divisons-le, elles sont donc plusieurs, et même illimitées. À nouveau l'argument se révèle n'avoir aucun sens si on n'ajoute pas une condition plus précise. La condition dont nous avons besoin ici, et qui doit s'imposer, est que l'hypothèse « elles sont plusieurs » équivaut à l'hypothèse de la divisibilité de la grandeur, et donc à la divisibilité du tout de la grandeur en une pluralité d'étants desquels il est composé.

On en arrive par suite à notre hypothèse : si elles sont plusieurs, c'est-à-dire si le tout de l'être qui est aussi le tout de la grandeur est divisible en une pluralité d'étants, desquels il est composé, alors chacun des étants doit avoir une grandeur, autrement il ne serait rien de ce qui est, car il ne ferait pas progresser la grandeur, il ne ferait rien pour la composer et on n'ôterait rien au tout de l'étant en l'enlevant. L'argument prouve que la condition de grandeur est impérative pour compter parmi les étants recherchés<fnref n="34" />.

## 2.5 Un argument perdu de l'Un et du Multiple ? La question de la « dichotomie »

Simplicius en vient à citer les arguments de Zénon dans le contexte de la discussion d'un passage d'Aristote, où ce dernier fait allusion à un argument fondé sur la dichotomie.

Certains ont fait des concessions aux deux arguments : à celui selon lequel tout est un si l'être signifie une seule chose, en disant que le non-être est ; à l'autre, celui de la dichotomie, en

<footnote n="34">34. Nous notons que dans une thèse récente (Gerard Köhler, *Zenon von Elea. Studien zu den 'Argументen gegen die Vielheit' und zum sogenannten 'Argument des Orts'*. De Gruyter, 2014), Gerhard Köhler est parvenu à un résultat analogue par des moyens plus sérieusement philologiques. Nous citons le compte rendu de Christian Vassallo : "After this careful examination, Köhler is finally in a position to show, against the communis opinio, that frs. B 1-3 belong to a sole Zenonian argument grounded on the following assumption : everything that has an extension is always divisible and therefore constituted by a plurality of parts." Christian Vassallo, « Gerhard Köhler, *Zenon von Elea* », *Bryn Mawr Classical Review*, 46 (sept. 2015), http://bmcr.brynmawr.edu/2015/2015-09-46.html</footnote>
créant des grandeurs insécables.

Simplicius cherche alors, en discussion avec ses prédécesseurs, à identifier cet argu-
ment, et il l'identifie à l'argument en faveur du grand. Mais Simplicius parvient-il en fait
à retrouver « l'argument de la dichotomie » recherché par les commentateurs ?

Le terme “dichotomie” est un calque du verbe grec *díka temeîn* qui veut dire littéralement “couper en deux”. Il faut noter que dans les *Éléments* d’Euclide et ce qui nous reste de la géométrie ancienne, le mot veut normalement dire : “couper en deux parties égales” – c’est ce que cela signifie par défaut, en ce sens qu’il faut le préciser si l’on veut parler de couper en deux parties inégales<fnref n="35" />. Or, de ce point de vue il y a quelque chose de frappant dans les textes de Simplicius que les commentateurs modernes n’ont pas manqué de relever : c’est que non seulement le terme de “dichotomie” n’y apparaît pas, mais qu’il n’est même pas absolument évident qu’un procédé de dichotomie soit vraiment en jeu dans ce qui est décrit. C’est particulièrement net pour l’argument du Limité et de l’Illimité, qui se fonde sur le principe suivant : « si plusieurs choses sont, entre les choses qui sont il y en a d’autres ». Comme on le verra, il est tout à fait possible de faire reposer ce principe sur un procédé de dichotomie, mais rien ne nous y contraint et il ne s’agit pas forcément de la solution la plus naturelle. L’argument du Grand et du Petit semble bien reposer sur une forme de procédé de division, puisqu’il se fonde sur l’idée que « si plusieurs choses sont, en chacune d’elle quelque chose est distinct d’autre chose » ; cependant, on voit que Zénon n’a aucun besoin ici de couper en deux parts égales. Tant qu’il coupe en deux parties continues, selon une proportion arbitraire, l’argument fonctionne – et on sait par le paradoxe de l’Achille que Zénon n’a aucun mal à faire reposer ses arguments sur un procédé de division en proportion arbitraire.

On trouve en revanche une référence spécifique à un procédé de dichotomie en lien
avec Zénon en deux endroits. Le premier est l’argument bien connu contre le mouvement,
qui indique en effet que le mouvement est impossible parce qu’il faut d’abord parvenir
à la moitié, autrement dit que tout parcours peut être divisé en deux parties égales. Si

<footnote n="35">35. Euclide d’Alexandrie, *Les Éléments*, t. 1 : *Livre I-IV : Géométrie plane*, trad. du grec et comm. par Bernard Vitrac, introd. de Maurice Caveing, 4 t., Presses Universitaires de France, 1990, note 60, p. 214.</footnote>
on se fondait exclusivement sur l'*extrait* cité d'Aristote, cet argument serait un candidat valable : comme on le verra, il parait effectivement raisonnable de vouloir en sortir en postulant l'existence de grandeurs insécables. Mais si l'on replace le passage dans l'ensemble du livre I de la *Physique*, on doit considérer (avec Simplicius) qu'Aristote doit faire référence à un argument plus directement opposé à l'hypothèse de la pluralité. On se souvient que, d'après Simplicius, Alexandre interprétait l'argument comme prouvant au contraire l'impossibilité de l'Un. Mais réexaminons le passage d'Alexandre en question : d'après ce dernier, Zénon « dit que si ce qui est avait une grandeur et qu'il était divisé, ce qui est serait multiple et non plus un, et [il] montre par là que l'Un n'est aucun des êtres ». De même, selon Thémistius Zénon prouve que ce qui est, est Un, du fait qu'il est continu et indivisible, parce que s'il se divisait il ne serait pas Un à cause de la divisibilité à l'infini. Simplicius conteste ces deux interprétations selon l'idée venue de Platon que Zénon veut réfuter l'hypothèse du multiple en montrant que celle-ci empêche aussi bien l'existence d'êtres multiples que l'existence de l'Un, et il considère lui-même que l'hypothèse du multiple est équivalente à l'hypothèse de la divisibilité du tout. Mais si on équivaut véritablement l'hypothèse du multiple et l'hypothèse de la divisibilité, comme nous l'avons suggéré dans la section précédente, alors on peut également interpréter ce que dit Alexandre comme un argument réfutant le multiple. Dans tout cela nous est bel et bien suggéré un argument de l'un et du multiple sous l'hypothèse de la divisibilité. Or il semble que Platon dans le *Parménide* 36 fasse précisément allusion à un tel argument qui se fonderait sur un processus de dichotomie !

Socrate donc, une fois l'audition finie, aurait prié qu'on relût la première hypothèse du premier argument et, cela fait, aurait posé la question suivante :

## Socrate

Que veux-tu dire par là, Zénon ? « Si les choses sont plusieurs », il s'ensuit, dis-tu, qu'elles ne peuvent manquer d'être à la fois semblables et dissemblables, ce qui évidemment est impos-

<footnote n="36">36. 127d-e puis 128e-130b, PLATON, *Parménide* cit., p. 88-92, nous soulignons.</footnote>
sible. Il n'est possible, en effet, ni que ce qui est dissemblable soit semblable ni que ce qui est semblable soit dissemblable. N'est-ce pas ce que tu veux dire ?

### Zénon

C'est bien ce que je veux dire, répondit Zénon.

[...]

### Socrate

[...] Mais dis-moi ceci. Ne partages-tu pas ces convictions : il y a une Forme en soi de la Ressemblance ; une telle Forme a pour contraire ce qu'est la Dissemblance ; les choses dont nous disons qu'elles sont multiples, moi, toi ou autre chose, participent à ces deux Formes qui sont véritablement [...] Or, même si toutes choses participent de ces deux formes qui sont des contraires [...] [et de ce fait] sont à la fois mutuellement semblables et dissemblables, qu'y a-t-il d'étonnant à cela ? Certes, si on montrait que les choses qui sont Semblables en soi deviennent dissemblables ou que les Dissemblables deviennent semblables, cela, je pense, serait un prodige. Mais, si ce sont les choses qui participent à ces deux Formes qu'on montre affectées de ces deux caractères, pour moi il n'y a rien là, Zénon, qui paraisse étrange ; pas plus que si l'on déclare que toutes choses sans exception sont une du fait qu'elles participent à l'Un et que ces mêmes choses sont plusieurs du fait qu'elles participent par ailleurs à la Pluralité.

[...] [S]i on démontre que je suis, moi, une chose et plusieurs choses, qu'y a-t-il d'étonnant ? Si on désire montrer que je suis plusieurs choses, on dira que mon côté droit est une chose, mon côté gauche autre chose, autre chose ma face arrière, autre chose ma face avant, et de même pour le haut et pour le bas, car j'ai part, je crois, à la Pluralité. Mais si on désire prouver que je suis une seule chose, on dira que, dans notre groupe de sept, l'être humain que je suis est unique, parce que je participe aussi à l'Un. Il s'ensuit que les deux affirmations sont l'une et l'autre vraies. Dans ces conditions, si l'on entreprend de démontrer que les mêmes choses sont à la fois multiples et unes, par exemple des pierres, des morceaux de bois et ainsi de suite, nous dirons qu'on a montré qu'une même chose est plusieurs choses et une seule, non que
l'Un est multiple, ou que la Pluralité est une. Il n'y a rien là d'extraordinaire, rien sur quoi nous ne tomberions tous d'accord. Mais que l'un de ceux dont je viens de parler commence par dis-tinguer, en les mettant à part, les Formes en soi, par exemple la Ressemblance, la Dissemblance, la Pluralité, l'Un, le Repos, le Mouvement et toutes les choses de ce genre ; que, par la suite, on les démontre, en soi, capables de se mélanger et de se séparer, c'est alors, Zénon, que je serais émerveillé, ravi.

[…]

Parménide

Socrate, dit-il, elle est bien digne de susciter le ravissement ton ardeur pour l'argumentation !

Et dis-moi, as-tu fait toi-même la distinction dont tu parles, mettant d'un côté ce que tu appelles les Formes en soi et d'un autre côté les choses qui en participent ? Et te semble-t-il qu'il y ait une Ressemblance en soi distincte de la ressemblance que nous avons en nous, *et qu'il en va de même pour l'Unité, pour la Pluralité et pour toutes les choses que Zénon vient d'évoquer ?*

Dans ce passage, Platon ne dit pas formellement qu’il existe un argument de l’un et du multiple dans l’ouvrage de Zénon. Néanmoins, d’une part cela nous semble fortement suggéré par le texte, et d’autre part Platon dit dans le *Phèdre* que Zénon a prononcé des arguments pour et contre l’un et le multiple de même que pour et contre le semblable et le dissemblable ainsi que le mouvement et le repos, clarifiant par là que c’est bien ce qui est indiqué dans ce passage du *Parménide*. Quoi qu’il en soit, ce qui est remarquable est que sa formulation d’un argument montrant la multiplicité de chaque chose repose bien sur un procédé de *dichotomie*, soit de découpage en deux parties égales par le milieu. Ce passage est également intéressant pour nous en ce qu’il est absolument clair sur le fait que Zénon ne parle que des choses sensibles et étendues, que son argumentation se maintient dans l’hypothèse d’une multiplicité de choses étendues composant le tout. Autrement dit, ce qui se détache de l’analyse des textes cités par Simplicius est concordant avec la réception platonicienne des paradoxes.

Pour toutes ces raisons, nous sommes tenté de maintenir l'idée qu'il y avait bel et bien un argument de l'Un et du Multiple précédant l'argument du Grand et du Petit,
et comprenant l'argument de l'Inexistence du sans-grandeur comme un de ses lemmes.
Qu'un tel argument se soit ou non formellement trouvé dans l'ouvrage de Zénon, on doit
reconnaître qu'il y a été lu par les réceptions platoniciennes et aristotéliennes, qui l'ont
au moins considéré comme sous-jacent aux arguments du Grand et du Petit et du Limité
et de l'Illimité. Un tel argument se formule aisément dans le contexte du problème de la
composition du continu par les parties en lesquelles il est divisible. Les étants supposés
composer le continu doivent être uns. On peut l'argumenter en disant que s'ils sont des
multiples, c'est qu'ils sont eux-mêmes composés des étants plus fondamentaux qui sont
les vrais étants composant le continu. Autrement dit, s'ils sont multiples, ils sont égaux à
une multiplicité d'étants autres qu'eux, ils ne sont pas vraiment un étant déterminé. Les
étants pluriels devant être égaux à soi, ils doivent être uns. Mais ils doivent être multiples,
car pour être quelque chose qui compose le continu ils doivent avoir une grandeur, et
en vertu de la possibilité d'opérer une dichotomie sur toute grandeur, tout étant est
composé de plusieurs grandeurs autrement dit tout étant est multiple. Ce serait cette
aporie-là à laquelle Aristote ferait allusion, aporie dont il partage les prémisses (que
la grandeur de l'univers est divisée, que les choses qui sont doivent être véritablement
unes, et qu'elles ont une grandeur) à laquelle les atomistes auraient fait une trop grande
concession en admettant l'existence de grandeurs insécables<fnref n="37" />.

Si l'on admet qu'il existe un tel argument sous-jacent à ceux que cite Simplicius,
il apparaît que ces derniers en sont des prolongements et des sophistications. En effet,
l'argument en faveur du Petit, dont Simplicius se contente de nous donner sommairement
le principe, se fonde sur le caractère Un des étants recherchés. L'argument en faveur de
l'Illimité est une conséquence (itérative, comme nous le verrons dans un instant) de
l'argument en faveur de la pluralité. L'argument en faveur du Grand utilise directement

<footnote n="37">37. Sur les modes de résolutions des apories du continu et l'opposition d'Aristote aux partisans des insécables, voir la section 4.3.1. Il est possible de maintenir pratiquement l'ensemble des analyses et conclusions menées ici sans pour autant attribuer à Zénon formellement un argument de l'Un et du Multiple : on attribuerait une telle aporie aux traditions atomistes anciennes, qui seraient à l'origine d'une relecture de Zénon comme produisant un argument sur l'impossibilité de l'Un. Si nous n'avions pas le témoignage de Platon, cela pourrait être l'hypothèse à favoriser. Notons que cela ne change en réalité pas beaucoup l'interprétation que nous ferions en définitive de Zénon, mais seulement la reconstitution hypothétique du plan de son ouvrage.</footnote>
(mais de manière itérative) le procédé de dichotomie supposément utilisé dans l’argument en faveur de la pluralité.

Nous ne sommes pas dans la même situation relativement aux deux branches de ces arguments. Nous connaissons bien la seconde branche, car pour le Grand et l’Illimité nous avons les textes cités par Simplicius, et pour le Multiple, si l’argument existait, nous en avons des traces assez explicites dans les traditions platoniciennes et aristotéliennes. Dans ces trois cas, c’est bien une forme de procédure de division qui est utilisée. De la seconde branche, nous n’avons conservé qu’un seul texte explicite, qui est l’argument en faveur du Limité, qui repose sur la notion de l’égalité à soi d’une multiplicité<fnref n="38" />. Nous avons cependant aussi le principe de l’argument en faveur du Petit, qui repose aussi sur une forme de l’égalité à soi, mais cette fois de l’individu et non plus de la multiplicité. Par esprit de symétrie et de systématisme, nous sommes tenté de considérer les trois arguments comme allant ensemble par application successive d’un argument fondé sur l’égalité à soi puis d’un argument fondé sur la divisibilité.

Compris ainsi, nous imaginons l’argument en faveur du Petit comme la reprise directe des arguments en faveur de l’Un et du Multiple : chacun des étants doit être Un en vertu de l’exigence qu’il soit égal et identique à soi comme un des étants qui est ; mais par suite il ne peut pas avoir de grandeur, car on a montré que tout ce qui a grandeur est multiple. Donc il est petit au point d’être sans grandeur.

Mais l’argument qui nous intéresse véritablement et qui aura une importance décisive pour notre propos est l’argument en faveur du Grand, car on y trouve peut-être pour la première fois dans le corpus philosophique grec (de ce que nous avons conservé, et sauf erreur) une forme de raisonnement extrêmement importante qu’on pourrait appeler le raisonnement itératif.

<footnote n="38">³⁸. C’est-à-dire de l’existence d’un cardinal déterminé, comme nous tenterons de le soutenir. Cf. section 4.2.3.</footnote>
# Chapitre 3

## Le raisonnement itératif

### 3.1 La dichotomie géométrique

Quel qu’ait été précisément l’argument de la Dichotomie évoqué par Aristote, il semble présupposer l’idée que toute grandeur est susceptible de dichotomie; ou plus généralement que toute grandeur est divisible en d’autres grandeurs. Cela se manifeste le plus clairement dans le fait que la réponse à l’argument consiste justement à nier ce présupposé, et à affirmer au contraire qu’« il existe des grandeurs insécables », des grandeurs qui ne peuvent être divisées.

La divisibilité de toute magnitude étendue n’est pas néanmoins une idée saugrenue qui serait adoptée arbitrairement par Parménide ou par Zénon. Au contraire, il s’agit d’une propriété fondamentale des grandeurs géométriques, au moins dans la géométrie grecque ancienne<fnref n="1" />.

On trouve une démonstration générale de la possibilité géométrique de couper en deux d’abord « un angle rectiligne donné », puis « une droite limitée donnée », au tout début des *Éléments* d’Euclide : livre I, propositions respectivement 9 et 10². Mais plus fondamentalement, avant que puisse même être envisagée la résolution de ce problème, il

<footnote n="1">1. Dans une perspective classique, cette *divisibilité universelle* est justement ce qui différencie la géométrie de l’arithmétique, car en arithmétique il existe une unité absolue, le 1, grandeur élémentaire fondatrice du nombre, qui est indivisible (ou du moins que l’on ne peut diviser à son tour en de nouvelles grandeurs arithmétiques).</footnote>

<footnote n="2">2. EUCLIDE D’ALEXANDRIE, *Éléments I-IV* cit., p. 214-217.</footnote>
nous parait clair que la continuité et la divisibilité de toute grandeur doit au départ être
(d'une manière ou d'une autre) présupposée pour que la géométrie puisse simplement
commencer. Cela se manifeste dès la toute première définition des *Éléments*, qui définit le
point (semeion) comme « ce qui n'a aucune partie<fnref n="4" /> » ce qui implique réciproquement que
tout ce qui parmi les objets de la géométrie n'est pas un point (et donc notamment toute
grandeur) a des parties distinctes. De plus, si Euclide se donne pour tâche de résoudre
le problème géométrique de la division d'une grandeur selon telle ou telle proportion
/division en 2, 3, ou en général n parties égales), en revanche l'existence d'un point
d'intersection correspondant à cette division est présupposée en général pour que la
démonstration puisse fonctionner. Autrement dit, le théorème I, 10 montre comment
construire un segment qui va intersecter un second segment en son milieu, mais sous
la présupposition du fait qu'il existe bien un point à intersecter au milieu du second
segment<fnref n="5" />, ou plutôt que le segment est en général tel qu'il puisse supporter une division
de ce genre dont la procédure est démonstrativement établie.

En outre, voilà ce que dit Proclus (412 - 485 apr. J.-C.) à propos de cette même pro-
position I 10, dans son commentaire au premier livre des Éléments, résumé par Bernard
Vitrac¹:

> La Prop. 10, toujours selon Proclus, peut suggérer que le géomètre présuppose que la droite n'est pas composée de parties indivisibles, et donc que la droite est indéfiniment divisible. Mais, ajoute-t-il, on peut répondre, en suivant Géminus¹, que les géomètres postulent effectivement comme notion commune que le continu est divisible, mais qu'ils démontrent que le continu est divisible à l'infini.

Et on ne pourra nier que la procédure géométrique de la dichotomie nous plonge
dans le problème de l'infini, de la divisibilité, et des parties indivises. Mais comment
prouve-t-on que la droite est indéfiniment divisible ?

<footnote n="3">3. *Ibid*, p. 151.</footnote>

<footnote n="4">4. *Ibid*, p. 196-197.</footnote>

<footnote n="5">5. *Ibid*, p. 217.</footnote>

<footnote n="6">6. fl. c. 70 av. J.-C.</footnote>
## 3.2 « Car rien de tel ne sera dernier... »

Citons de nouveau l'argument en faveur du Grand restitué par Simplicius :

> « Après avoir antérieurement montré que rien n'a de grandeur du fait que chacune des choses multiples est identique à soi, et une », Zénon montre que : « chacune des choses multiples [...] [e]st illimitée du fait que, en vertu de la division à l'infini, il existe toujours quelque chose en deçà de ce qui est prélevé. »

Ce qui est énoncé ainsi :

> Ayant d'abord montré que « Si ce qui est n'avait pas de grandeur, il ne serait pas non plus », il ajoute : « Mais si elle est, il est nécessaire que chaque chose possède une grandeur et une épaisseur et que quelque chose d'elle soit distinct d'autre chose. Et le même argument vaut pour le surplus. En effet, celui-là possèdera une grandeur et quelque chose sera en surplus. Or c'est la même chose de le dire une fois et de le dire toujours. Car rien de tel ne sera dernier, et il n'y aura rien qui ne soit en relation avec un autre. Ainsi, si plusieurs choses sont, il est nécessaire qu'elles soient et petites et grandes, petites au point de n'avoir aucune grandeur, et grandes au point d'être illimitées. »

On peut distinguer deux parties dans ce raisonnement. La première est un rappel : Mais si elle est, il est nécessaire que chaque chose possède une grandeur et une épaisseur et que quelque chose d'elle soit distinct d'autre chose. Cela, nous l'avons appris grâce un raisonnement indirect, celui de l'Inexistence du Sans Grandeur : chacun des étants, s'il doit composer la grandeur, doit lui-même avoir une grandeur, ce qui implique qu'il soit multiple, divisible, séparable en deux parties c'est-à-dire susceptible de dichotomie.

L'apport se trouve dans la suite immédiate, nous soulignons : **Et le même argument vaut pour le surplus.** En effet, celui-là possèdera une grandeur et quelque chose sera en surplus. **Or c'est la même chose de le dire une fois et de le dire toujours. Car rien de tel ne sera dernier, et il n'y aura rien qui ne soit en relation avec un autre.**
Que se passe-t-il ici ? Reprenons la structure du raisonnement :

1. « Si elle est, il est nécessaire que chaque chose possède une grandeur »
(en vertu de l'argument de l'ISG)

2. Chaque chose qui possède une grandeur est divisible en une grandeur et un surplus de grandeur : « et que quelque chose d'elle soit distinct d'autre chose »
(en vertu de l'hypothèse de divisibilité)

3. Chaque surplus de grandeur est divisible en une grandeur et un surplus de grandeur : « Et le même argument vaut pour le surplus. En effet, celui-là possèdera une grandeur et quelque chose sera en surplus. »

4. Donc chaque chose qui est, est composée d'une grandeur et d'une autre grandeur, et d'une grandeur en surplus. (en vertu de 1, 2, 3 et de l'additivité de la composition ; ce résultat intermédiaire n'est pas explicitement énoncé par Zénon dans la citation de Simplicius, mais nous supposons qu'il doit être entendu implicitement)

5. Ce raisonnement n'est pas affecté par le nombre de fois qu'on l'applique : « c'est la même chose de le dire une fois et de le dire toujours », car à chaque fois qu'on l'applique il se présente une opportunité identique de l'appliquer à nouveau : « rien de tel ne sera dernier ».

6. Chaque chose est donc illimitée en grandeur : « si plusieurs choses sont, il est nécessaire qu'elles soient... grandes au point d'être illimitées »

On reviendra longuement, dans le chapitre suivant, sur le sens à donner à cette conclusion et sur la question de savoir dans quelle mesure le raisonnement de Zénon peut être considéré comme sophistique. Il existe manifestement plusieurs manières tout à fait raisonnable de le comprendre qui en font un raisonnement fautif. Mais il existe au moins *une* manière d'interpréter la conclusion qui rend le raisonnement parfaitement valide, et il est important de souligner laquelle, pour comprendre exactement comment l'argument fonctionne.
Ce que l'argument permet de conclure directement, sans qu'on ait besoin d'y ajouter des prémisses ou des règles logiques, c'est l'inachevabilité du processus de décomposition additive (nous voulons dire le processus qui amène à décrire la chose comme composée d'une grandeur, et d'une autre grandeur, et d'une autre grandeur, et ainsi de suite.). Si l'on accepte un instant d'interpréter "illimitée en grandeur" comme signifiant : "composée d'une somme de grandeurs qu'il est impossible d'achever mais au contraire se poursuit toujours", ou "telle qu'en autant de grandeurs qu'on veuille la composer, elle est composée de toujours davantage", alors la conclusion suit indéniablement du raisonnement, en vertu de l'étape 5, que l'on peut décomposer ainsi :

* Soit une procédure dont le résultat offre la possibilité d'appliquer à nouveau la procédure (et ce, non pas lors d'une occurrence particulière, mais de façon tout à fait générale).

* Alors la procédure ayant été appliquée, il reste à l'appliquer une fois de plus,

* c'est-à-dire qu'il n'y a pas de dernière étape ou achèvement de la procédure.

* Alors le raisonnement autorisant à appliquer *une fois* la procédure autorise de *poursuivre toujours* l'application,

* c'est-à-dire que la poursuite de la procédure est inachevable.

* Alors, au regard du résultat cumulatif de la procédure, s'il y a lieu, l'objet sur lequel elle est appliquée peut être dit "illimité", dépassant toute limite assignable : comme ici la grandeur en tant qu'elle est décomposable en une multiplicité de grandeurs.

Mais le caractère "illimité", c'est-à-dire "infini" (les deux termes traduisent le même terme mot grec : *apeiron*), se prédique d'abord de la procédure elle-même avant de se prédiquer des objets sur lesquels elle s'effectue : en ce sens que la procédure n'admet pas de limite ou d'achèvement.
Nous appellerons “*raisonnement itératif*” un raisonnement de ce genre, qui montre l’inachevabilité d’une opération qui reproduit dans son effectuation les conditions de sa ré-effectuation.

Il est important de se rappeler la nature archaïque des textes auxquels nous avons affaire, et il serait trop facile de passer à côté de ce qu’ils énoncent, par l’effet de la trop grande habitude que nous aurions des raisonnements par régression à l’infini et des démonstrations par l’absurde. L’ensemble des sources qui nous restent sur les présocra-tiques ne gardent pas trace d’une démonstration antérieurement au *Poème* de Parménide, le maître direct et amant - ou père adoptif - de Zénon. Si l’on considère, comme il nous paraît vraisemblable, que le *Poème* est précisément l’œuvre qui *apporte* à la philosophie la forme démonstrative, et qui commente et théorise cette forme<fnref n="7" />, alors il faut considérer que Zénon, qui écrit des arguments dans sa jeunesse, le fait dans l’après-coup immédiat de ce moment. On peut penser que Zénon précède la philosophie *proprement dite*, dans la mesure où il est l’aîné de la génération des sophistes, qui contient la figure singulière de Socrate, héraut de la pratique du dialogue réfutatif compris comme enquête sur la vérité - qui lui-même donnera lieu à Platon. Zénon pourrait bien être un acteur crucial de la transition entre l’éléatisme et la sophistique, par son emploi systématique et “bi-fide” de la réduction à l’absurde. Mais son apport le plus fondamental pourrait bien être l’import en philosophie du *raisonnement itératif*, auquel il mériterait peut-être de léguer son nom.

S’il y a un *raisonnement zénonien*, il est dans son principe très simple : il consiste à s’autoriser de certaines prémisses pour mener une certaine opération, et à constater qu’une fois l’opération menée la situation n’a en rien changé au regard des prémisses et donc de la possibilité d’appliquer cette opération de nouveau. L’*itération* de l’opération est donc possible, mais comme pure *réitération* de la première, c’est-à-dire que même si quelque chose se passe, en ce sens que l’opération accomplit bel et bien quelque chose, en revanche la situation ne change *absolument* pas au regard de la possibilité d’appliquer

<footnote n="7">7. La question demeurant celle du rapport exact entre cette naissance de la philosophie dans l’inno-vation éléatique de la forme démonstrative, et d’hypothétiques démonstrations dans les mathématiques grecques naissant à la même époque.</footnote>
l'opération. En sorte que le raisonnement itératif nous amène directement à la perspective
de l'infini – mais de l'infini compris comme illimitation et inachevabilité, et non d'abord
comme grandeur ou totalisation sans borne. D'où la phrase montrant la quintessence
de la méthode zénonienne : « c'est la même chose de le dire une fois et de le
dire toujours ». Le raisonnement itératif nous montre, par l'examen d'une première et
unique itération, l'illimitation de la poursuite possible de l'opération. Il fonde ainsi la
possibilité d'un "etc." absolu.

On peut alors répondre à la question posée plus haut : *comment les géomètres peuvent-ils prouver l'indéfinité de la division ?* Ils le peuvent en posant comme prémisse que toute grandeur en général est divisible (c'est-à-dire divisible en plusieurs grandeurs), et en appliquant le raisonnement itératif : aussi loin qu'on aille dans ce procédé de division, on obtient plusieurs grandeurs, or toute grandeur est divisible, on peut donc poursuivre le procédé. L'"indéfinité" énonce exactement cela : supposant que l'on soit parvenu à un certain point, il est possible de poursuivre au-delà de ce point. Et c'est donc bien *dans Zénon* que l'on trouve la preuve de cette indéfinité de la division de la grandeur.

Si le principe du raisonnement itératif est simple, son rôle dans les raisonnements philosophiques et mathématiques antiques l'est beaucoup moins. Nous examinerons dans la suite certains des corpus, mais il peut être bon de faire auparavant quelques distinctions logiques.

3.3 Relations de différents modes de preuve

D'après ce qui nous reste du corpus philosophique pré-platonicien, Zénon d'Élée est mémorable pour au moins deux choses : son emploi apparemment systématique du raisonnement indirect, notamment sous la forme de la réduction à l'absurde; et son import en philosophie du raisonnement itératif conditionnant des preuves d'infinité. Il convient alors d'être précis.

D'abord, on rappellera la distinction entre deux formes de raisonnement indirect :
la preuve par *l'absurde* et la preuve par *contraposition*, distinction qui n'est pas tou-
jours pertinente mais qui est toujours faite dans les *Éléments* d'Euclide<fnref n="8" /> : la preuve par l'absurde, ou par l'impossible, conclut à la vérité de non-P d'après une démonstration du fait que P implique l'absurde – ou, par exemple, que P implique à la fois Q et non-Q (ce qui est réalisé en particulier si P implique non-P). La preuve par *contraposition*, quant à elle, conclut la vérité de non-P d'après une démonstration du fait que P implique Q, alors qu'il a été par ailleurs admis ou prouvé que non-Q. On pourrait l'appeler preuve *par le faux*. Dans une certaine conception formaliste du raisonnement, ces deux modes sont équivalents, mais Vitrac a souligné des différences stylistiques nettes attestant d'une différence de traitement et de conception des deux cas, au moins pour Euclide.

Dans le premier cas, la preuve fonctionne elle-même par une réduction à l'absurde ou à l'impossible (par exemple dans Euclide : « le triangle **DBG** sera égal au triangle **AGB**, le plus petit au plus grand. Ce qui est absurde. »), dans le second cas par une simple réduction au faux (« l'angle sous **ABG** serait alors égal à l'angle sous **AGB**; or il ne l'est pas. »). On part d'une proposition P et on la "réduit" au faux ou à l'absurde, c'est-à-dire qu'on montre qu'en posant la proposition on pose aussi bien une forme du faux ou de l'absurde.

Il est en effet important pour l'étude de Zénon de distinguer entre, d'un côté la *preuve par* l'absurde (respectivement : la *preuve par contraposition*) et de l'autre la *réduction à l'absurde* (resp. la *réduction au faux*). Pour qu'il y ait *preuve par* l'absurde et non simple *réduction*, il faut une étape supplémentaire qui n'est pas logiquement nulle et n'est pas philosophiquement triviale : il faut admettre que de la fausseté d'une proposition on puisse conclure à la vérité de sa contradictoire. Autrement dit il faut admettre une variante du tiers-exclu et en général une certaine confiance en la puissance de vérité du raisonnement. Admettre que de la fausseté ou l'absurdité de P on puisse tirer la vérité de non-P.

Une fois ces distinctions établies, on peut dire que Parménide mène apparemment des preuves par contraposition. Il prend soin en effet d'établir la vérité de *est* et l'impossibilité

<footnote n="8">8. Bernard Vitrac, *Les démonstrations par l'absurde dans les Éléments d'Euclide. Inventaire, formulation, usages*, mar. 2012, https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00496748v2, p. 8-12.</footnote>
de *n'est pas*, et par suite prouve, par exemple, le caractère inengendré de l'étant par le fait que la pensée de son engendrement impliquerait en quelque façon le *n'est pas* qui a été exclu. On dit donc : l'engendrement implique le n'est pas, mais le n'est pas a été exclu, donc *il est inengendré*. Zénon, quant à lui, cherche manifestement à mener des réductions à l'absurde ou à l'impossible, c'est-à-dire à réduire à l'impossible l'hypothèse *elles sont plusieurs*, l"impossible" prenant ici notamment la forme de la contradiction directe (« si elles sont plusieurs, elles sont à la fois unes et multiples », etc.). Mais opère-t-il pour autant des *preuves par* l'absurde ? Plusieurs commentateurs, dont Barnes, ont selon nous raison d'affirmer que rien ne nous autorise à le dire : dans aucune des traces qui nous restent de Zénon nous ne trouvons *l'affirmation* de la contraposée, le « donc il est un », ou « donc il est immobile » qui serait attendu dans le cas d'une preuve par l'absurde. Et si l'on observe de près le témoignage de Platon, on est en droit de douter fortement que Zénon ait jamais énoncé une telle conclusion. On se souvient en effet que dans le *Parménide* Socrate essayait de faire dire à Zénon, en substance, que celui-ci menait des preuves par l'impossible : c'est-à-dire qu'il disait la même chose que son amant Parménide mais de manière indirecte, en partant de la proposition contraire et en la prouvant impossible. Mais d'une part Socrate lui-même souligne que *si* tel était le but de l'ouvrage de Zénon, ce but était *caché*, dissimulé, et il semble en faire une sorte de reproche moqueur à Zénon. D'ailleurs dans le compte rendu que fait Socrate de l'argument du semblable et du dissemblable, *l'hypothèse* du multiple est sans doute présente, mais il n'y a nulle trace d'une *conclusion positive* sur l'un. D'autre part, Zénon lui-même *contredit* l'hypothèse de lecture de Socrate, et prend bien soin de préciser qu'il s'est contenté de « rendre avec usure » les réductions à l'impossible que les adversaires de Parménide opéraient à l'encontre de l'hypothèse *il est un*. La suspicion de nihilisme, scepticisme ou sophisme à l'égard de Zénon est donc bien en quelque manière méritée : Zénon est (perçu comme) celui qui réfute, pas celui qui affirme une vérité.

<footnote n="9">9. Il nous faudrait en fait être plus précis. Ce que nous suggérons ici est que le raisonnement de Zénon *dans son ensemble* ne prend pas nécessairement la forme d'une preuve par l'absurde, c'est-à-dire ne conclut pas nécessairement sur la vérité du contradictoire de ce qu'il réduit à l'absurde. Cela ne veut pas dire que ses raisonnements particuliers ne font pas usage de la preuve par l'absurde Parménidienne. Si la Dichotomie, en particulier, est en argument en faveur du repos des étants, alors il est une preuve par</footnote>
Dans le même ordre d'idée, comme on avait distingué la réduction à l'absurde et la preuve par l'absurde qui en fait usage on distinguera entre le *raisonnement itératif* d'une part, et d'autre part ses différents *emplois*, comme par exemple la *régression à l'infini*. Cette dernière est un *résultat obtenu dans certains cas* grâce à l'emploi du raisonnement itératif et à la preuve de l'inachevabilité d'un processus.

On voit que ces formes du raisonnement sont toutes susceptibles de s'emboiter. Ainsi, par l'emploi du raisonnement itératif, on peut prouver l'inachevabilité d'un processus, qui permet parfois une régression à l'infini, qui pourrait servir à une réduction à l'impossible ou à l'absurde, qui prendrait le cas échéant place dans le cadre d'une preuve indirecte.

## 3.4 Régression et progression à l'infini

Comme nous l'avons suggéré, les raisonnements procédant à l'infini (l'expression en grec est identique : *eis ápeiron*) peuvent avoir plusieurs objectifs très différents. Nous soutiendrions par exemple qu'en ce qui concerne l'argument de l'Achille, c'est l'inachevabilité elle-même qui est le but de l'argument (et "l'inentamabilité", pour ainsi dire, dans le cas de la Dichotomie régressive), et l'infini n'en est que la manifestation ou le témoin – quoi que les commentateurs bien souvent se concentrent à tort sur lui. Dans l'argument du Grand et celui de l'Illimité, c'est bien l'obtention de l'infini ou illimité même qui est l'objectif : on veut montrer qu'il n'y a pas de limite à la grandeur à laquelle on peut accéder, donc que la grandeur dépasse toute limite, est illimitée. On retrouvera des raisonnements analogues en mathématiques pour prouver le caractère arbitrairement grand ou arbitrairement petit de quelque chose.

Parmi les arguments que l'on nomme généralement des "régressions à l'infini", il en est dont le but est encore différent : l'absurdité à laquelle on veut conduire n'est pas exactement l'infini lui-même, le dépassement de toute grandeur ou l'en-deçà de toute petitesse, ni à la lettre l'inachevabilité, mais leur conséquence qui est l'absence d'un premier (ou dernier) terme dans une série dont on postule qu'elle exige un tel premier