Une remarque sur une classe de fonctions exponentielles du calcul opérationnel

par

L. WŁODARSKI (Łódź).

J. MIKUSIŃSKI<fnref n="1" />) a remarqué que, dans l'étude des équations aux dérivées partielles linéaires aux coefficients constants, les fonctions exponentielles $e^{-s\alpha}$, où s est l'opérateur différentiel, jouent un rôle fondamental. Lorsque $0 < \alpha < 1$, la fonction originale correspondante se laisse représenter sous la forme

$$f(t, \lambda; a) = \frac{1}{2\pi i} \int_{-i\infty}^{+i\infty} \exp(zt - z^a \lambda) dz \quad (\lambda, t > 0).$$

J. MIKUSIŃSKI a montré que la fonction $f$ est continue et réelle pour tout $0 < \alpha < 1$ et $\lambda, t > 0$. Nous montrerons qu'elle est non-négative. Ce fait se laisse déduire du théorème suivant, dû à E. L. POST³):

Si la fonction $f(t)$ est continue pour $t > 0$, et l'intégrale

$$ (1) \qquad F(z) = \int_{0}^{\infty} e^{-zt} f(t) dt $$

converge pour $R(z) > x_0$, on a

$$ (2) \qquad f(t) = \lim_{k \to \infty} \left( \frac{(-1)^k}{k!} \left(\frac{k}{t}\right)^{k+1} F^{(k)}\left(\frac{k}{t}\right) \right). $$

En effet, si $\alpha$ et $\lambda$ sont fixés ($0 < \alpha < 1$), la fonction $f(t, \lambda; \alpha)$ est bornée:

$$ f(t, \lambda; \alpha) \le \frac{1}{2\pi} \left| \int_{-i\infty}^{+i\infty} \exp[-\lambda R(z^\alpha)] dz \right| = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \exp\left(-\lambda r^\alpha \cos\left(\frac{\pi}{2} \alpha\right)\right) dr; $$

l'intégrale (1) est, pour cette fonction, convergente dans le demi-plan $R(z)>0$, et l'on peut appliquer la formule (2). Dans le cas considéré, on a

$$ F(z) = \exp(-z^a \lambda) > 0, \quad -F'(z) = a\lambda z^{a-1} F(z) > 0 \quad \text{pour z positif} $$

et, généralement,

$$ \begin{aligned} & (-1)^{k+1} F^{(k+1)}(z) \\ &= a\lambda \sum_{n=0}^{k} \binom{k}{n} (1-a)(2-a) \cdots (k-n-a) (-1)^{n} z^{n+a+n-(k+1)} F^{(n)}(z) > 0 \end{aligned} $$

pour $z>0$ et $k=1,2,...$, où le symbole

$$ (1-a)(2-a)\cdots(k-n-a) $$

est à remplacer par 1 lorsque $n=k$.

En vertu de (2), il s'ensuit que $f \ge 0$ pour $t > 0$, c. q. f. d.

(Reçu par la Rédaction le 16. 6. 1952)

PAŃSTWOWY INSTYTUT MATEMATYCZNY

<footnote n="1">¹) J. G.-Mikusiński, *Sur les fonctions exponentielles du calcul opératoire*, Studia Mathematica 12 (1951), p. 208 - 224.</footnote>

<footnote n="2">²) E. L. Post, *Generalized differentiation*, Trans. Amer. Math. Soc. 32 (1930), p. 723 - 781.</footnote>