Tout ceci nous conduit naturellement à un autre point. L'observation menée a été effectuée pendant une séance de classe ordinaire de 1h. Il est clair, et les observations le montrent bien, que cette durée ne permet que d'engager un travail de recherche conséquent. Un problème comme celui-ci, dont justement cette expérimentation pour limitée qu'elle soit, nous a aidé à prendre la mesure, nécessite pour vivre et dépasser le statut d'activité gadget, qu'on lui consacre du temps et ce, même si l'on dispose pour soutenir le travail, d'outils puissants comme DERIVE<fnref n="18" />. Il est clair aussi que le temps effectif d'enseignement n'est pas extensible et que des choix s'imposent. On ne peut donc à la fois multiplier les activités de recherche et donner à chacune un temps suffisant pour la rendre significative et productrice. On ne peut non plus espérer qu'une activité de recherche conséquente soit entièrement intégrée au temps effectif d'enseignement. Il faut trouver les moyens de la faire vivre dans le travail privé des élèves, hors temps scolaire. Ceci pose bien sûr aussi le problème de l'accessibilité des outils nécessaires à la recherche, ici de DERIVE, hors temps d'enseignement officiel, loin d'être résolu à l'heure actuelle.

Dans l'exemple qui précède, DERIVE fonctionne comme une boîte noire dont les stratégies formelles sont inaccessibles mais où cette inaccessibilité en soi ne pose pas de problèmes spécifiques. En effet, les résultats obtenus sont ici fiables, des moyens de validation hors DERIVE sont de plus accessibles aux élèves, il est possible enfin, dans un nombre non négligeable de cas, de retrouver les productions DERIVE par des processus de factorisation élémentaires, à la portée des élèves (bien sûr différents de ceux employés par DERIVE). Ces caractéristiques suffisent pour engager et faire vivre une activité de recherche tout à fait consistante. Il est clair aussi que les méthodes favorisées par cette activité ne sont pas forcément celles qui sont particulièrement visées par l'enseignement à ce niveau, par exemple le théorème assurant que si a est racine du polynôme P(X) alors P(X) est factorisable par (X-a). Ce sont, l'observation le montre, des procédures d'identification plus formelles et les calculs associés qui sont majoritairement en jeu ; mais le travail mathématique effectué n'en est pas moins potentiellement intéressant, nous semble-t-il, à ce niveau.

Nous voudrions en conclusion revenir à ce que nous soulignions au début de cette analyse a posteriori : les manques de l'analyse a priori dans l'analyse de l'impact de l'environnement DERIVE sur le savoir et l'activité mathématique en jeu dans la tâche proposée. Il ne faudrait pas, nous semble-t-il voir là un phénomène anecdotique ou un phénomène lié à une quelconque incompétence de l'enseignant qui a réalisé cette analyse. A nos yeux, on est confronté là à la manifestation d'un phénomène didactique crucial : la difficulté que nous avons, du fait des caractéristiques des environnements dans lesquels notre culture mathématique s'est forgée et dans lesquels elle fonctionne principalement, à relativiser le poids des transpositions didactiques dominantes et à accorder l'attention qu'elle mérite à la transposition informatique introduite nécessairement par ce type d'environnement. Même lorsque nous simulons dans le cadre d'une analyse a priori une situation projetée, nous restons prisonniers des normes et habitus qui nous sont les plus familiers, nous établissons des hiérarchies de légitimité entre les productions de l'environnement DERIVE et les productions que nous sommes susceptibles d'obtenir dans un fonctionnement usuel P/C, qui pilotent insidieusement notre utilisation de l'environnement informatique, l'interprétation, l'exploitation que nous faisons des données qu'il

<footnote n="18">¹⁸On pourra sur ce plan se référer à l'article de G. Aldon à paraître dans la nouvelle brochure du groupe Calcul Formel de la DITEN qui fournit un compte-rendu de l'activité de recherche qui a été organisée en 1ereS en 1994-95 autour de ce même problème de factorisation, suite à cette expérimentation et à son analyse, étalée sur une période de trois mois.</footnote>
nous fournit. Il nous est de ce fait particulièrement difficile d'anticiper le fonctionnement d'élèves qui n'ont pas subi les mêmes assujettissements que nous, n'ont pas le même vécu mathématique.

# ANNEXE

## Factorisations rationnelles de $x^{n-1}$ pour $n$ inférieur à 20 et exemple de dérivation élémentaire d'une factorisation donnée

$$n=2 \quad (x-1)(x+1)$$

$$n=3 \quad (x-1)(x^2+x+1)$$

$$n=4 \quad (x-1)(x+1)(x^2+1)$$

$$n=5 \quad (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$$

$$n=6 \quad (x-1)(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)$$

$$n=7 \quad (x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$$

$$n=8 \quad (x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)$$

$$n=9 \quad (x-1)(x^2+x+1)(x^6+x^3+1)$$

$$n=10 \quad (x-1)(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$$

$$n=11 \quad (x-1)(x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$$

$$n=12 \quad (x-1)(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)(x^2+1)(x^4-x^2+1)$$

$$n=13 \quad (x-1)(x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$$

$$n=14 \quad (x-1)(x+1)(x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$$

$$n=15 \quad (x-1)(x^2+x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)$$

$$n=16 \quad (x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)$$

$$n=17 \quad (x-1)(x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$$

$$n=18 \quad (x-1)(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)(x^6-x^3+1)(x^6+x^3+1)$$

$$n=19 \quad (x-1)(x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$$

$$n=20 \quad (x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^8-x^6+x^4-x^2+1)$$

$$n=21 \quad (x-1)(x^2+x+1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)(x^{12}-x^{11}+x^9-x^8+x^6+x^5-x^4+x^3-x+1)$$

$$n=22 \quad (x-1)(x+1)(x^{10}-x^9+x^8-x^7+x^6-x^5+x^4+x^3+x^2-x+1)(x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$$

$$n=24 \quad (x-1)(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)(x^2+1)(x^4-x^2+1)(x^4+1)(x^8-x^4+1)$$

$$n=25 \quad (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^{20}+x^{15}+x^{10}+x^5+1)$$

$$n=26 \quad (x-1)(x+1)(x^{12}-x^{11}+x^{10}-x^9+x^8-x^7+x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1)(x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$$

$$n=27 \quad (x-1)(x^2+x+1)(x^6+x^3+1)(x^{18}+x^9+1)$$

$$n=30 \quad (x-1)(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1) \\ (x^8+x^7-x^5-x^4-x^3+x+1)$$

## Exemple d'obtention de factorisation rationnelle par des méthodes élémentaires

$$1. \text{ Par changement de variable : } x \to x^6 \text{ dans la factorisation de } x^{3-1} : x^{18-1} \to (x^6-1)(x^{12}+x^6+1)$$

$$2. \text{ Par le processus « identité remarquable » : } x^{6-1} \to (x^3-1)(x^3+1)$$

$$3. \text{ Par le processus « standard » : } (x^3-1) \to (x-1)(x^2+x+1)$$

$$4. \text{ Par changement de variable : } x \to -x, \text{ dans la factorisation ci-dessus : } (x^3+1) \to (x+1)(x^2-x+1)$$

$$5. \text{ Par le changement de variable : } x \to x^3 \text{ dans la factorisation : } x^4+x^2+1=(x^2-x+1)(x^2+x+1) \\ (x^{12}+x^6+1) \to (x^6-x^3+1)(x^6+x^3+1)$$
## V.2 RECHERCHE DE FONCTIONS SOUS CONTRAINTES

### CONTEXTE DE L'OBSERVATION

Cette séance se situe en fin d'année (31 mai 1994), en Terminale E, à la fin du cours d'analyse (il ne reste plus que les équations différentielles à traiter). Elle concerne la recherche de fonctions satisfaisant des contraintes données. DERIVE a été utilisé dans la courant de l'année cinq fois dans des séances de travaux dirigés et plusieurs fois collectivement. Le dernier TP remonte à 6 semaines et la dernière utilisation collective à la veille. La séance de la veille a été une séance de synthèse portant sur les fonctions usuelles (fonctions polynômes du second degré, homographiques et exponentielles), ainsi que sur les fonctions conjointes associées. L'interprétation géométrique de modifications de paramètres a donc été rappelée. Cette séance a aussi donné lieu à un rappel sur les fonctions composées et, à cette occasion, on a notamment étudié le sens de variation et représenté les fonctions :

$$x \rightarrow \exp(x^2) \text{ et } x \rightarrow \exp(-x^2). \text{ Ce travail était en partie destiné à préparer la séance observée.}$$

Les élèves travaillent en demi-groupes : 1h15 pour le premier et presque 1h30 pour le second. Ce travail en demi-groupe est immédiatement suivi d'une synthèse collective.

### PRÉSENTATION DE L'ACTIVITÉ PROPOSÉE

Le problème posé consiste à déterminer des fonctions $f$ vérifiant les conditions suivantes :

* $f$ dérivable sur $[0,6]$

* $f(0)=4$

* la partie de la courbe représentative de $f$ correspondant à l'intervalle $[0,6]$ doit être située dans la zone : $[0,0.4] \times [0,4]$ U $[0,6] \times [0,0.4]$ donnée graphiquement par son contour.

Lorsque de telles fonctions sont trouvées, on demande aux élèves de chercher des fonctions qui, de plus, satisfont la condition : $f(0) = 0$.

Un fichier contenant les coordonnées des points définissant la zone a été réalisé par l'enseignante et doit être chargé par les élèves en début de séance. Il leur est demandé de partager l'écran verticalement en deux fenêtres l'une algébrique, l'autre graphique.

La fiche de travail distribuée (cf. annexe page 207) contient les consignes, le dessin de la zone ainsi que divers rappels concernant l'utilisation de DERIVE (rôle des touches F1, F3, F4 et F6, obtention de l'exponentielle par la commande ALT-e, commandes : cHoix Substitue, Option Etat Continu et fonction VECTEUR pour obtenir le tracé d'une famille de fonctions dépendant d'un paramètre.

### ANALYSE A PRIORI EFFECTUÉE PAR L'ENSEIGNANTE

#### Objectifs :

Il s'agit d'une séance visant à mobiliser et coordonner, dans la résolution d'un problème proposé de façon ouverte, des connaissances diverses sur les fonctions relevant à la fois des cadres graphique et algébrique et de leur articulation : «traduire algébriquement des informations à lire sur un graphique, choisir les fonctions à utiliser en fonction de critères pertinents, réinvestir les propriétés (sens de variation, asymptotes, allure de la courbe) des
fonctions connues, utiliser les fonctions composées, ne pas utiliser systématiquement la dérivée pour étudier le sens de variation.»

### Intérêt supposé de DERIVE :

DERIVE, selon l'enseignante, est appelé à jouer plusieurs rôles dans cette séance : aide à l'exploration et à la formulation de conjectures via la possibilité de tracés graphiques, outil de calcul numérique et algébrique via la résolution d'équations et inéquations associées aux contraintes notamment, outil de vérification et de contrôle des résultats.

Son utilisation doit permettre de faire des calculs dans un temps raisonnable. Elle doit permettre aussi aux élèves d'oser essayer des fonctions sans que cela soit coûteux en temps. La possibilité d'utiliser conjointement calcul formel et graphisme est ici un atout, vu le problème posé, et devrait faire de DERIVE un outil plus performant que la calculatrice.

Enfin DERIVE est bien adapté à l'exploitation de la non-unicité des solutions. En effet, il permet de tracer facilement, via la fonction VECTEUR, des familles de fonctions.

### Connaissances DERIVE nécessaires :

Un certain nombre de connaissances DERIVE sont supposées bien connues : ce qui concerne le calcul algébrique ordinaire, en incluant ici «calcul de dérivées, simplifications, approximations et résolution d'équations», ce qui concerne le partage vertical de l'écran et les tracés graphiques 2D.

L'enseignante a d'autre part rappelé dans la fiche distribuée aux élèves (cf. ci-dessus), le fonctionnement des principales touches et commandes, nécessaires ou utiles et qui pouvaient être moins familières.

Si le besoin s'en fait sentir, elle introduira dans le courant de la séance la fonction SI permettant de définir des fonctions par intervalles.

### Comportements, difficultés attendus :

L'enseignante s'attend dans cette séance à une bonne activité de la grande majorité des élèves et à une utilisation massive de DERIVE dans la résolution. Selon elle, les élèves devraient commencer par essayer de trouver des fonctions rationnelles et elle a prévu de suggérer l'utilisation de fonctions exponentielles si ce type n'apparaît pas spontanément. Le tracé de la zone devrait inciter à chercher des fonctions décroissantes ayant pour limite 0 à l'infini. Là encore, des interventions dans les groupes pourront être faites pour amener, si besoin, les élèves à élargir leur champ de recherche.

Le principal problème lui semble être celui de la systématisation de la recherche et du contrôle des solutions. L'enseignante ne souhaite pas que les groupes se limitent à une recherche empirique par essais-erreurs, alliée à un contrôle graphique de l'adéquation des fonctions proposées. Elle voudrait que les élèves traduisent algébriquement les contraintes imposées, fassent la distinction entre les contraintes de l'énoncé et celles qu'ils vont imposer mais ne sont pas nécessaires. Elle voudrait obtenir des justifications algébriques de l'adéquation des solutions proposées et, au delà de solutions particulières, des familles de fonctions dépendant d'un paramètre, avec identification de l'ensemble des valeurs du paramètre solution (au moins pour les fonctions classiques monotones, homographiques ou exponentielles). Elle pense que ce ne sera pas facile à obtenir. Elle incitera les groupes à travailler dans ce sens au cours de la
séance et, de toutes façons, prévoit une réorganisation systématique de la recherche a posteriori dans le bilan collectif qui suivra.

## EXEMPLES DE DÉROULEMENTS

Nous présenterons pour cette séance qui a donné lieu à diverses observations, six exemples de déroulements. C'est sur ces six déroulements ainsi que sur le fonctionnement de la synthèse collective, également observée, que nous nous baserons pour l'analyse. Pour faciliter la lecture, nous associons à chaque déroulement, une fiche graphique qui donne à voir les principaux tracés effectués par les élèves du groupe à l'ordinateur.

Pour la première séance de travail en groupes, l'enseignante introduit la séance de façon classique, en présentant les consignes, en demandant aux élèves de charger DERIVE et le fichier ZONE, de séparer l'écran verticalement et de passer en tracé continu, puis de régler échelle et centre de la fenêtre de manière à bien voir la zone (on peut par exemple, dans un premier temps, choisir une échelle 2x2¹⁹ et centrer l'écran au point de coordonnées (3,2) ; c'est ce que conseillera l'enseignante dans les interventions collectives et individuelles qu'elle sera amenée à faire, vu les nombreuses difficultés rencontrées par les élèves).

Vu ces difficultés et la perte de temps qu'elles ont occasionné, avec le deuxième groupe, l'enseignante prendra en charge collectivement toutes ces manipulations au début de la séance. Elle insistera aussi davantage dès cette phase d'introduction sur le fait qu'elle attend une recherche systématique et non une recherche par simple accumulation d'essais/erreurs.

### Groupe 1 (séance 1 - Élèves notés J. et F.):

Les élèves du groupe 1 commencent par charger le fichier ZONE et ensuite passent près d'un quart d'heure à régler l'échelle et à centrer la zone par une stratégie d'essai/erreur. En écoutant une intervention collective de l'enseignante expliquant le mode de réglage graphique, puis son intervention auprès d'un groupe voisin auquel elle fournit une échelle convenable, ils réussissent à régler l'échelle. Mais ils n'arrivent, à la fin de ce premier quart d'heure, à centrer convenablement la zone que grâce à l'intervention de l'enseignante qui les guide pas à pas dans cette opération.

Après avoir lu l'énoncé, ils travaillent en P/C pour trouver une solution. J. propose rapidement d'essayer la fonction : exp(x) + 3, F. lui fait remarquer que cette fonction est croissante et non décroissante comme la fonction recherchée doit l'être. Ils se mettent alors d'accord pour essayer avec DERIVE la fonction : exp(-x) + 3. Une fausse manoeuvre les fait sortir de DERIVE et il faut l'intervention de l'enseignante pour de nouveau charger, régler et centrer la zone.

Vingt minutes après le début de la séance, ils tapent leur première proposition de fonction sous la forme : $e^{|x|} + 3$. Ils demandent le tracé de cette fonction et obtiennent une droite. Ils n'arrivent pas à comprendre pourquoi et essaient une autre fonction : $-e^{|x|} + 5$, qui, tracée, donne de nouveau une droite. L'enseignante, qui passe à ce moment là, leur rappelle qu'il faut

<footnote>19Dans les tracés joints, nous avons préféré une échelle 2x1.</footnote>

<footnote>20ê est le symbole affiché suite à l'utilisation de la commande Alt-e, comme indiqué dans la fiche.</footnote>
mettre (-x) en exposant, en utilisant la touche de puissance. Ils cherchent cette dernière pendant plusieurs minutes en essayant plusieurs touches du clavier avant de la trouver.

Ils tapent alors correctement leur proposition qui s'affiche sous la forme : $ê^{-x} + 3$ et ils demandent le tracé. La courbe obtenue est située presque entièrement hors de la zone. L'enseignante intervient pour leur demander la limite de la fonction qu'ils ont proposée en $+\infty$. Obtenant la réponse : «elle converge vers 3», elle demande ce qu'il faut faire pour que la fonction «réponde à la question» puis s'en va. Ils essayent alors la fonction : $ê^{-x} - 4$, mais abandonnent aussitôt parce que la courbe correspondante est cette fois entièrement hors de la zone.

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

Après une réflexion silencieuse en P/C, J. entre : $4ê^{-x} + \frac{3}{x}$, puis demande le tracé. Celui-ci reste en dehors de la zone. La réflexion continue pendant une dizaine de minutes sans se traduire par de nouveaux essais. Passe alors l'enseignante qui demande la transformation à faire pour amener la courbe représentative de cette fonction dans la zone. Elle les laisse réfléchir puis revient au bout de quelques minutes. Ils lui proposent alors de faire une translation horizontale. Elle approuve, en les guidant, pour substituer selon leur proposition, x-1 à x, dans l'expression DERIVE. Au tracé, ils remarquent que la translation s'est effectuée vers la droite, dans le sens contraire à celui souhaité, et que de plus une seconde branche est apparue presque droite (du fait de l'asymptote verticale d'équation x=1). L'enseignante leur suggère alors de remplacer x par x+1, ce qu'ils font. La situation s'est un peu améliorée mais la courbe reste toujours principalement en dehors de la zone.
<figure><img src="image_19.png" /></figure>

F. propose alors de «la descendre un peu», en remplaçant dans la dernière expression x par x².
La courbe n'est toujours pas entièrement dans la zone. Il propose alors de «la descendre encore un petit peu» en remplaçant x+1 par (x+1)², l'expression obtenue est alors :

$$4e^{-(x+1)^2} + \frac{3}{(x+1)^2}$$

La courbe correspondante n'est toujours pas entièrement dans la zone. Ils augmentent alors la puissance de (x+1) en essayant successivement : 3, 4, 5 et 6. L'enseignante passe à ce moment là et leur demande si la seule façon de travailler consiste à faire des essais et s'il n'y avait pas des conditions à traduire.

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

Après son passage, ils remarquent que la courbe correspondant à la puissance 6 se situe bien dans la zone mais ne passe pas par le point (0,4). Il s'ensuit une réflexion silencieuse qui dure quelques minutes et est interrompue par l'enseignante qui leur demande pourquoi ils ont ajouté
le terme : $\frac{3}{(x+1)^6}$. Leur réponse est : «pour que ça tende vers 0». Elle leur demande alors si le premier terme exponentiel ne tendait pas déjà vers 0 en +∞ puis s'en va.

Après quelques minutes de réflexion, F. entre : $4 \frac{e^{-(x+1)^6}}{e^{-1}}$ et fait tracer. Ils constatent que le tracé reste dans la zone, vérifient que $f(0)$ est égal à 4 et sont contents d'avoir enfin trouvé.

J. relie l'énoncé et remarque qu'il est demandé de déterminer non pas une mais des fonctions. Ils remplacent alors la puissance 6 par 5 puis par 4, remarquent que «ça marche aussi» et concluent que «ça marchera aussi pour 7, 8, etc.»

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

F suggère de chercher d'autres fonctions, par exemple «dans les ln». Ils essayent alors successivement : $-\ln(x)$, $-\ln(x^2)$.

L'enseignante passe à ce moment et dit qu'il faut la convaincre que la fonction (exponentielle) qu'ils ont trouvée, vérifie bien les conditions données dans l'énoncé. Elle s'en va et les deux élèves disent, en parlant de ce qu'elle a demandé : «on verra ça tout à l'heure».

Ils continuent leurs essais avec les logarithmes en essayant successivement :
$-\ln(x-10)$, $-\ln(x-2)$ et $-\ln(x+2)$.
<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>groupe 1 : figure 5</figcaption></figure>

Le tracé de la première n'est pas visible à l'écran et les deux autres ne conviennent pas à l'évidence.

L'enseignante. arrive alors que J. essaie l'expression : $ê^{-x}\ln(x)$ et lui demande s'il ne faut pas faire symétriser la courbe ainsi obtenue. J. ajoute alors un «->» devant l'expression précédente. Elle insiste aussi de nouveau sur le fait qu'il faut essayer de «formaliser des critères mathématiques» au lieu d'adopter une stratégie par essai/erreur.

Après son départ, les deux élèves continuent leurs essais en ajoutant à l'expression précédente $\frac{1}{x^2}$ puis $\frac{1}{x^5}$, et ceci, pour que «la courbe descende vers l'axe des x», reprenant ainsi une stratégie déjà utilisée au début de la séance. La séance se termine là.

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>groupe 1 : figure 6</figcaption></figure>

Groupe 2 (séance 2 - Élèves notés Y. et D.) :
L'enseignante, introduit cette deuxième séance comme indiqué plus haut.

Une fois le tracé de la zone obtenu, en suivant les indications collectives données, les deux élèves du groupe 2 commencent à réfléchir en P/C. Ils essayent d'imaginer la courbe représentative de la fonction demandée en en traçant une, décroissante, ayant une tangente horizontale au point (0,4), incluse dans la zone. L'un d'eux propose alors la fonction : $e^{-x^2}$. L'enseignante, qui passe à ce moment là, leur dit que cette fonction lui convient, mais qu'il faut que la courbe représentative soit bien située dans la zone. D. sort sa calculatrice et fait tracer cette fonction. Ils engagent alors une discussion (non accessible à l'observateur<sup>21</sup>) sur l'ajustement de la courbe, toujours sur l'écran de la calculatrice.

Y. se met au clavier pour entrer cette fonction. Par une fausse manoeuvre, il quitte DERIVE puis y rentre, sans recharger la zone. Il se rend compte qu'il a besoin de la zone, la charge (sans régler, ni centrer) et demande le tracé de la fonction : $4e(-5x^2)$. «e» étant alors considéré comme une seconde variable, DERIVE crée une fenêtre 3D et ils obtiennent une courbe dans l'espace. Ils n'arrivent pas à comprendre ce qui leur arrive et l'enseignante doit intervenir pour fermer la fenêtre 3D. Ils recommencent alors de nouveau à charger la zone, à régler et à centrer.

Une demi-heure après le début de la séance, Y. tape l'expression : $4ê(-5x^2)$ et demande le tracé. Ils sont surpris de la courbe obtenue : une parabole que «DERIVE a faite en dessous» (en dessous de l'axe des abscisses). D. revient à sa calculatrice, trace la courbe correspondant à $4\exp(-5x^2)$ et obtient bien sûr une exponentielle. Y. de son côté essaye de comprendre pourquoi «ça ne marche pas». L'enseignante passe à ce moment là et leur explique qu'il faut utiliser la fonction puissance.

Y entre alors correctement : $4ê^{-5x^2}$ et demande le tracé. Ils sont contents de trouver la courbe à laquelle ils s'attendaient. D. passe en P/C et pose : $4\exp(-ax(0.4)^2) = 0.4$, résout cette équation avec la calculatrice et trouve une valeur approchée : 14.39. Il dit alors à Y. de remplacer le 5 par 15, en lui expliquant que de cette façon la courbe passera en dessous du point (0.4,0.4). L'enseignante passe à ce moment là et remarque que le travail a été fait plutôt avec la calculatrice qu'avec DERIVE.

<footnote>21Nous qualifions une discussion ou un travail, avec l'utilisation de la calculatrice, de non accessible à l'observateur, quand les élèves parlent à voix basses et essayent "discrètement" d'éloigner l'écran de la calculatrice du champ de vision de l'observateur.</footnote>
<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>groupe 2 : figure 1</figcaption></figure>

Les deux élèves relisent la fiche donnée et tentent d'utiliser la fonction VECTEUR. L'enseignante, repasse et leur fait une démonstration en prenant les choix de paramètres dictés par D. : VECTEUR (4ê-ax², a, 10, 20, 2). En simplifiant et demandant le tracé, ils remarquent que la première fonction (4ê-10x²) «ne marche pas».

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>Groupe 2 : figure 2</figcaption></figure>

L'enseignante, leur demande alors de trouver la condition «mathématique» pour que «ça marche». Ils essayent de zoomer autour du point (0.4,0.4), pour voir les positions des différentes courbes de la famille au voisinage de ce point, mais n'arrivent pas à faire correctement le zoom. Ils demandent alors l'aide de l'enseignante, qui leur explique comment faire. Ils essayent de nouveau mais ne notent rien de spécial. A ce moment, l'enseignante repasse et leur demande de chercher une autre famille de fonctions qui réponde à la question.

Les deux élèves repassent en P/C et essayent de trouver, sur une proposition de D., une fonction qui décroît entre 0 et 0.4 puis oscille entre 0.4 et 6. Y. sort à son tour sa calculatrice
et les deux discutent (discussion non accessible à l'observateur) en traçant diverses courbes avec leurs calculatrices. Au bout de quelques minutes, D. propose à Y. de taper l'expression : $4e^{-15x^2} + 0,3\sin(3x) + 1$. Y. lui demande comment il l'a trouvé, D. répond qu'il ne sait pas. Y. exécute et demande le tracé de la courbe représentative. Ils remarquent alors que cette courbe oscille en dehors de la zone.

D. propose «de mettre une amplitude plus petite pour que ça descende». Ils veulent aussi utiliser la fonction VECTEUR. Suit une période de dix minutes où ils se demandent s'ils peuvent rentrer plusieurs paramètres pour cette dernière fonction et si les valeurs des paramètres peuvent être décimales. Ils font plusieurs essais qu'ils abandonnent aussitôt et les effacent. L'enseignante passe et dit qu'ils peuvent exploiter l'idée de la somme d'une fonction exponentielle et d'une fonction trigonométrique.

D. travaille alors sur sa calculatrice puis dicte à Y. : $2e^{-20x^2} + 0.1\sin(3x) + 1$. Il continue à travailler sur sa calculatrice et lui propose au fur et à mesure de rentrer d'autres expressions. La dernière qu'il propose lui semble être la bonne : $3.9e^{-20x^2} + 0.1\sin(15x) + 0.1$. Il explique à Y. que «3.9 + 0.1 vont faire 4 en 0» et que «15x va la faire osciller plus». Ils sont satisfaits de la courbe obtenue et la montrent à l'enseignante, qui demande de lui expliquer un peu puis de trouver d'autres fonctions qui ne soient pas exponentielles.

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

Ils repassent à un travail P/C et sur calculatrices en essayant de trouver des fonctions homographiques. Après une discussion (non accessible à l'observateur) devant les écrans de leurs calculatrices, Y. entre sous DERIVE : $\frac{1}{(x + 0,5)^2}$ et demande le tracé. L'enseignante intervient et les encourage à faire une recherche plus systématique. Ils continuent leurs essais empiriques, P/C et calculatrices, sans résultats satisfaisants. L'enseignante repasse et leur demande de nouveau d'expliciter les conditions et de faire une recherche systématique. La séance se termine là.
<figure><img src="image_27.png" /></figure>

## Groupe 3 (séance 1 - élève notés S. et T.):

S. et T. chargent le fichier, discutent du changement d'échelle.

### 5 minutes :

L'enseignante passe et les aide à centrer. Elle fait elle-même les manipulations en les commentant au fur et à mesure. Elle fait tracer la zone, s'aperçoit qu'ils ne sont pas en mode continu et fait la modification.

Ils commencent ensuite à travailler en P/C. T. pense à $x \to x+4$, S. verrait plutôt des fonctions « racine ».

### 10 minutes :

Ils passent en DERIVE, entrent la fonction : $f(x) := x+4$, la font tracer et obtiennent une droite entièrement hors de la zone. Ils rient, effacent et S. propose de modifier en : $-x+4$. T. lui explique que ça ne va pas marcher car il faut que toute la courbe reste dans la zone et que la droite va sortir. L'enseignante, qui passe, confirme qu'entre 0 et 6, la courbe doit rester dans la zone puis s'en va.

S. sort les notes prises à la séance de la veille et montre à T. les représentations graphiques de fonctions du type $exp(x^2)$ et $exp(-x^2)$. Il propose de prendre $exp(-3x^2)+3$ et explique à T. que le 3 permettra d'avoir $f(0)=4$.

### 15 minutes :

T. entre sous DERIVE cette fonction en commettant plusieurs erreurs successives. D'abord, il tape e au lieu de Alt-e, pour l'exponentielle, ce qui produit un tracé 3D. L'enseignante qui passe l'aide à interpréter. Il corrige cette erreur mais oublie de retaper la touche de puissance. Le tracé donne une parabole qui sort nettement de la zone. Ils comprennent leur erreur, effacent et recommencent. Ils obtiennent enfin le tracé de $f(x)=e^{-3x^2}+3$.
La courbe est trop haute. Très vite, ils décident d'essayer alors : $4e^{-3x^2}$, l'entrent sous DERIVE et la font tracer. Cette fois, ils sont satisfaits : «Ca s'approche».

<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>groupe 3 : figure 1</figcaption></figure>

L'enseignante passe à ce moment là et leur demande de noter ce qui va et ce qui ne va pas. Ils expliquent qu'ils voudraient serrer la courbe sur l'axe Oy. Elle demande quelle transformation géométrique il faut faire pour serrer la courbe. Un propose une translation. Elle a l'air sceptique. Il propose alors une affinité de rapport -1/2. Elle conseille de faire un dessin avec un point et son image pour contrôler, puis s'en va.

20 minutes :

Ils ne font pas le dessin mais très vite décident d'augmenter le coefficient de $x^2$ et entrent sous DERIVE la fonction $f(x) :=4e^{-6x^2}$. Le tracé leur montre une évolution dans le bon sens et T. conclut : «Tu vois, c'est bien ça, il faut bouger le coefficient de la puissance.»

Ils essaient ensuite successivement $4e^{-10x^2}$, $4e^{-12x^2}$ et enfin $4e^{-15x^2}$ qui graphiquement, semble convenir. Ils sont satisfaits.

25 minutes :

Ils essaient $4e^{-100x^2}$ et constatent que pour celle-là, il n'y a aucun doute : elle reste bien dans la zone.
<figure><img src="image_29.png" /></figure>

T. relit la fiche, s'intéresse à la condition de dérivabilité et dit qu'il ne faut pas y aller au hasard.

Ils font dériver par `DERIVE`: $4ê^{-15x^2}$ et obtiennent $-120xê^{-15x^2}$, après simplification. Ils n'en déduisent pas immédiatement que la condition $f(0)=0$ est satisfaite et décident de faire tracer cette dérivée. Le tracé n'est pas conforme à ce qu'ils attendaient (un morceau vertical semble suivre l'axe Oy et une branche négative qui rejoint l'axe Ox) et le fait que $f(0)=0$ n'est en rien visible.

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

Ils sont perturbés et décident de changer le centre de la fenêtre pour avoir aussi des valeurs négatives de x. Le nouveau tracé est tout aussi surprenant mais il les rassure : «Elle est d'abord positive et ça monte, puis négative et alors ça descend». La valeur de $f(0)$ n'est toujours pas identifiable. T. se rapporte au tracé du graphe de la fonction elle-même qu'il trouve très pointu en 0. Il n'est pas du tout sûr que la dérivée soit nulle.
<figure><img src="image_31.png" /></figure>

30 minutes :

Ils décident d'essayer $4e^{-15x^3}$ pour arrondir en 0. T. le fait avec DERIVE et S. sur sa calculatrice Casio. S. est satisfait du résultat obtenu (la zone n'est pas tracée sur la calculatrice) mais T. lui montre que le tracé DERIVE sort de la zone.

Ils essaient ensuite : $4e^{-20x^3}$ qui sort elle aussi.

35 minutes :

Ils ont alors l'idée de faire intervenir la condition : $f(0.4)=0.4$ pour chercher la valeur du coefficient qui correspond à la courbe qui passe juste au coin. Ils utilisent leurs calculatrices pour résoudre cette équation qui les conduit au calcul de $\frac{\ln(0.1)}{(0.4)^3}$ et obtiennent : 35.97. Ils choisissent alors pour coefficient de $x^3$ : -36, définissent $G(x) :=4e^{-36x^3}$ et la font tracer. Elle semble bonne mais longe le coin. Ils déplacent le curseur et obtiennent l'affichage : x=0.388 y=0.4062. T. modifie alors l'échelle pour agrandir la zone et est satisfait du résultat obtenu.
<figure><img src="image_32.png" /></figure>

Pendant ce temps, S. est passé aux puissances 4 et résout l'équation correspondant à f(0.4)=0.4 dans ce cas là, avec sa calculatrice. Il obtient pour $\frac{\ln(0.1)}{(0.4)^4}$ : -89.94 et dit à T. de prendre : -90. T. entre : H(x) :=4ê-90x⁴.

Ils font ensuite de même avec les puissances 5, obtiennent par résolution de l'équation :
-224.86, choisissent : -225, définissent I(x) :=4ê-225x⁵ et la font tracer.

<figure><img src="image_33.png" /></figure>

45 minutes :

Ils décident de changer de type et S. reprend son cours de la veille. L'enseignante passe, leur fait expliquer ce qu'ils ont fait et leur demande s'ils ont bien vérifié que les conditions étaient réalisées. Ils se réfèrent au contrôle graphique, sans parler des calculs qui leur ont permis de déterminer les coefficients. Elle leur demande alors d'essayer de formaliser les choix effectués
avant de chercher d'autres types de fonctions. Elle les aide à démarrer, en particulier à formaliser le fait que le tracé est intérieur à la zone. Ils proposent :

si $x \in [0,0.4]$, $f(x) \in [0,4]$ et si $x \in [0.4,6]$, $f(x) \in [0,0.4]$

Elle leur demande de traduire autrement que par des appartenances à des intervalles puis s'en va.

**50 minutes :**

Ils réfléchissent à ce problème de traduction sans voir quoi faire. Assez vite, l'enseignante repasse et les incite cette fois à chercher d'autres types de fonctions. Ils proposent de chercher des fonctions qui tendent vers 0.4. Elle leur demande alors pourquoi ils s'intéressent tant aux limites puisque ce qui les intéresse c'est juste ce qui se passe entre 0 et 6. Puis elle essaie de les aiguiller plus directement vers la recherche de fonctions non monotones. Les avis sont partagés : l'un pense que les fonctions doivent décroître au début mais qu'ensuite elles peuvent faire n'importe quoi et il fait un geste montrant un tracé oscillant, l'autre pense qu'il faudrait une grande oscillation et après des petites et que ce n'est pas possible. L'enseignante les incite à chercher et s'en va.

**55 minutes :**

Ils entrent la fonction $J(x) :=4\cos(2x)$ et la font tracer. Elle sort de manière évidente de la zone. Ils voudraient resserrer les oscillation mais ne savent pas comment faire. T. se demande si, en changeant de puissance, ça pourrait s'arranger, mais ils ne le font pas et essaient ensuite : $4\cos^2(-2x)$. Ca ne fait qu'augmenter le nombre d'oscillations. Ils concluent que ça ne sert à rien et se trouvent bloqués.

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

**60 minutes :**

L'enseignante passe et ils expliquent qu'ils sont bloqués. Ils voudraient réduire les oscillations mais pas partout pareil et ils ne voient pas comment faire. Elle les aide : «Tout à l'heure, pour réduire les oscillations, vous aviez quelque chose qui décroissait très vite...» Ils ne s'emparent pas tout de suite de son idée car ils ont toujours l'idée de resserrer les premières oscillations
sans modifier l'amplitude pour couvrir la première partie «verticale» de la zone puis de réduire l'amplitude dans la seconde partie «horizontale». L'enseignante insiste un peu en leur montrant que les exponentielles tendent vers 0 et ils proposent alors de multiplier les cosinus par :

$$e^{-15x^2}$$

A l'entrée DERIVE, ils font une erreur de frappe (oubli d'exposant) repérée dès l'affichage puis définissent $K(x) :=4[\cos^2(-2x)e^{-15x^2}]$. Le tracé est dans la zone mais on ne voit pas d'oscillations. L'enseignante passe, ils le lui font remarquer et elle leur conseille de regarder la dérivée. T., lui, propose de faire un zoom. Elle les aide à faire le zoom, en centrant et en changeant l'échelle, parce que c'est plus pratique. Elle leur conseille de prendre au moins 0.1 (ils proposaient 0.5). Elle va trop vite et ils sont un peu perdus, elle réexplique. On ne voit toujours pas les oscillations.

Ils font alors tracer la dérivée et n'obtiennent pas du tout ce qu'ils attendaient. C'est la fin de la séance.

<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>Groupe 4 (séance 2 - élèves notés H. et P.):</figcaption></figure>

Ils suivent les instructions collectives données mais n'arrivent pas à tracer la zone car ils n'utilisent qu'une fois la commande graPh. L'enseignant vient les aider, s'aperçoit qu'ils ne sont pas en mode Continu et fait la modification de mode en expliquant. Au bout de 7 minutes environ, les réglages sont terminés et la zone est tracée.

Ils entrent d'abord $e^x+3$ comme expression, puis décident de la déclarer comme fonction, font quelques fausses manoeuvres qu'ils n'arrivent pas à interpréter.

12 minutes :

Ils repassent en mode auteur, entrent : $f(x) :=e^x+3$, la font tracer et obtiennent une droite. P. contrôle avec sa calculatrice et obtient, bien sûr, une exponentielle. Il constate par la même occasion qu'elle ne conviendra certainement pas.

15 minutes :
Ils identifient l'oubli d'exposant, corrigent et font tracer. Ils voudraient descendre la fonction, réfléchissent assez longuement, remarquent qu'elle tend vers 3...

L'enseignante passe, se fait expliquer ce qu'ils ont fait, confirme que ça ne va pas. Ils lui expliquent que la fonction tend vers 3 alors qu'elle devrait tendre vers 0. L'enseignante leur fait préciser que la limite 0 ne suffit pas à garantir que le tracé reste dans la zone puis revient à la condition f(0)=4 en leur demandant si «ajouter 3 est la seule méthode pour avoir f(0)=4». Ils répondent que non et elle s'en va.

20 minutes :

Ils repassent en P/C et prennent leurs calculatrices. Assez vite, ils pensent à la multiplication par 4. H. trace le graphe de $\frac{4}{e^{-x}}$ à la calculatrice et P. celui de $\frac{4}{e^x}$. Ils repassent ensuite en DERIVE et entrent $f(x) := \frac{4}{e^x}$ puis la font tracer. La courbe sort de la zone mais y rentre ensuite, ce qui les satisfait. Ils décident de mettre un exposant plus grand à l'exponentielle pour rendre la courbe plus pentue. Ils le font, en substituant à x la valeur 4x, puis en substituant à x, la valeur 5x. Ils obtiennent ainsi le tracé de $\frac{4}{e^4(5x)}$ qui, perceptivement, est bien dans la zone et ils sont satisfaits.

<figure><img src="image_36.png" /></figure>

L'enseignante passe et se fait expliquer ce qu'ils ont trouvé. Ils lui demandent comment effacer les graphes déjà tracés pour chercher d'autres fonctions. Elle le leur montre puis les incite à prendre des notes avant d'effacer et à justifier pourquoi la fonction tracée convient avant d'en chercher d'autres.

25 minutes :
Ils effacent tout, essaient $\frac{4}{e^5x}$ (en fait c'est elle qu'ils voulaient tracer au départ et non $\frac{4}{e^20x}$ qui s'est trouvée tracée, du fait du fonctionnement de la commande de substitution). Ils constatent qu'elle sort, effacent et essaient $\frac{4}{e^6x}$. Celle-ci perceptivement convient.

L'enseignante passe, leur demande si la fonction trouvée vérifie bien la condition supplémentaire $f(0)=0$, puis s'en va. Ils font dériver la fonction par DERIVE et, après simplification, obtiennent : $24e^{-6x}$ puis : -24 pour $f(0)$.

<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>groupe 4 : figure 2</figcaption></figure>

Ils repassent en P/C et réfléchissent. H. pense qu'il faudrait une fonction symétrique mais qu'on peut avoir aussi une fonction avec une inflexion en 0 puisqu'on ne connaît pas le signe pour x négatif. Il trace à main levée l'allure d'une telle courbe. P., de son côté, se demande comment peut être le tableau de variation si $f(0)=0$. Il en fait un, avec une fonction d'abord croissante puis décroissante. H. conteste et montre son tracé avec point d'inflexion à tangente horizontale.

P. est d'accord. H. fait calculer par sa HP les dérivées de $\frac{4}{e^{7x}}$ et $\frac{4}{e^{8x}}$, prévoit les valeurs en 0, les fact calculer quand même et constate que ça ne marche pas.

Ils semblent bloqués.

### 30 minutes :

Ils reviennent à leurs notes de la séance précédente et ceci les fait penser à introduire des puissances dans les exponentielles. Ils repassent en DERIVE et P. entre $f(x) := e^{(-x)^4} + 3$.

Ils voulaient en fait entrer sans doute $exp(-x^4)+3$. Le tracé obtenu est entièrement hors de la zone. H. trouve tout de suite l'erreur. Mais, bizarrement, au lieu de corriger, S. rentre ensuite $f(x) := e^{-4x}$, puis $f(x) := e^{-6x} + 3$, «en montant l'exposant comme au début». Ils constatent bien sûr que la situation ne s'améliore pas.
<figure><img src="image_38.png" /></figure>

### 38 minutes :

L'enseignante passe et leur demande où ils en sont. P. explique qu'ils ont fait plusieurs essais mais sans aboutir et H. dit que maintenant ils vont chercher une fonction paire. Elle les encourage et s'en va.

Ils repassent en P/C. P. essaie $e^x+3$ sur sa Casio. H. lui dit que ça ne peut pas marcher qu'elle ne montera pas assez en 0 et qu'en plus, elle va monter au lieu de descendre. Ils retracent sur papier différentes courbes déjà obtenues pour essayer d'y voir plus clair. H. écrit $f(-x)=f(x)$. P. dérive $e^{-4x}$ à la main et constate que ça ne peut pas marcher. Ils continuent à chercher mais ils tournent en rond et sont un peu découragés.

### 48 minutes :

L'enseignante passe. P. voudrait utiliser la fonction VECTEUR pour tracer plusieurs courbes, il demande comment faire. Elle explique en commentant les informations données par la fiche puis leur demande ce qu'ils veulent faire. Ils avouent qu'ils sont bloqués. Elle demande quelles fonctions ils ont essayé puis reprend sur un plan plus général, leur faisant calculer la dérivée de $e^{-ax}$ et vérifier qu'en 0, elle n'est nulle pour aucune fonction de ce type. H. propose alors de mettre une puissance. L'enseignante saisit l'idée et prend le clavier. Sous leur dictée, elle entre la fonction $x \to e^{-x^4}$ et la fait tracer. Ils constatent que ça ne marche pas sauf la dérivée et proposent de rajouter 3. Elle leur demande alors s'ils avaient fait comme cela au début. Ils sont un peu perdus. Elle ramène $4e^{-6x}$ à l'écran et leur demande pourquoi ils avaient mis ce 4. Ils réalisent et lui font corriger la fonction entrée en multipliant par 4. Elle fait tracer et ils constatent que ça va mieux : la courbe passe par (0,4), elle a une dérivée nulle en 0, elle sort de la zone mais en augmentant le coefficient, on doit y arriver. L'enseignante s'en va.
<figure><img src="image_39.png" /></figure>

Ils entrent ensuite H(x) :=4ê⁻⁶x⁴. La courbe sort encore de la zone. H. propose d'essayer avec 10 mais P. qui a le clavier préfère augmenter la puissance de x et essayer H(x) :=4ê⁻⁶x⁶. Le tracé obtenu le fait déchanter : la courbe est au départ à l'extérieur de la précédente, presque horizontale, puis se confond avec elle sur l'axe des abscisses. Voyant cela, ils décident de repasser en x² et essaient successivement 4ê⁻⁶x², 4ê⁻¹⁰x² puis enfin 4ê⁻²⁰x² qui convient.

<figure><img src="image_40.png" /></figure>

~ 58 minutes :

Ils déplacent le centre pour bien voir la dérivée en 0 (les courbes paraissant plutôt pointues) puis décident de tracer plusieurs courbes en utilisant la fonction VECTEUR. Ils entrent :

VECTEUR(4ê⁻ax², a, 20, 50, 5), simplifient et font tracer. Toutes les courbes apparaissent quasiment confondues. Ils cherchent ensuite à modifier la fenêtre graphique pour pouvoir
différencier les courbes. Cela prend beaucoup de temps car, à chaque fois, les fonctions sont retracées automatiquement. Finalement, ils arrivent à quelque chose de satisfaisant.

<figure><img src="image_41.png" /></figure>

### 65 minutes :

L'enseignante passe et leur demande s'ils ont trouvé les valeurs par essai/erreur ou s'ils ont résolu une équation. Ils répondent qu'ils ont fait des essais. Elle les aide alors à formuler la condition $f(0.4) \le 0.4$ qu'ils ont implicitement utilisée dans le contrôle graphique et leur demande de faire les calculs en écrivant la condition $f(0.4) = 0.4$ et en résolvant l'équation associée.

H. se sert de sa HP pour écrire et résoudre cette équation et obtient environ 14.40. P. vérifie en P/C et lui dit qu'il a une erreur de calcul. Ils se mettent d'accord.

### 70 minutes :

Ils décident de tracer par pas de 20 de $\frac{\ln(10)}{0.16}$ (valeur exacte du paramètre trouvée dans la résolution de l'équation) à 100. Ils écrivent la commande correspondante, simplifient, font tracer et sont très contents de voir la première courbe tracée passer bien au coin. H. la retrace sur sa HP.

### 80 minutes :

L'enseignante arrive, demande ce qu'ils ont trouvé puis pose la question de la monotonie. H. dessine aussitôt sur sa feuille une sinusoïde amortie. P. prend sa Casio. H. dit qu'il faudrait mettre une exponentielle et l'enseignante acquiesce, mais il essaie sur sa HP : $10\cos(4x)$. Ils continuent à chercher chacun sur sa calculatrice jusqu'à la fin de la séance, sans jamais faire intervenir d'exponentielle.

Groupe 5 (séance 1 - élèves notés F. et J.L.) :
F. et J.L. lancent DERIVE et chargent le fichier. F. est à la frappe. Il se demande comment on fait pour ouvrir une fenêtre graphique mais arrive assez vite à obtenir la disposition de fenêtres demandée. Il échoue ensuite à passer en mode de tracé continu.

Ils repassent en P/C, lisent la fiche et tracent la zone sur une feuille.

L'enseignante passe et demande si les réglages sont corrects. Elle les aide à changer l'échelle puis leur fait préciser quelle position ils souhaitent pour le centre avant de s'en aller.

F. et J.L. travaillent ensemble mais ne savent pas comment faire pour modifier la position du centre de l'écran. Ils activent la commande Centre plusieurs fois, essaient diverses autres commandes sans aboutir. L'observateur intervient pour leur conseiller de déplacer d'abord la croix au point choisi. Ils commencent à le faire mais trouvent que ça ne va pas assez vite et se demandent s'il n'y a pas un moyen plus rapide.

## 10 minutes :

L'enseignante passe et remarque que la zone n'est toujours pas tracée. J.L. lui demande s'il n'y a pas une façon plus simple de définir le centre, par exemple en entrant ses coordonnées. Elle répond que non, qu'il faut utiliser les flèches. J.L. insiste pour savoir s'il existe alors des déplacements plus rapides. L'enseignante rappelle les différents modes de déplacement et J.L. note au fur et à mesure.

Ils sortent leurs calculatrices (Casio 8500G pour F. et TI85 pour J.L) et décident «d'essayer quelques courbes»

F. trace sur sa calculatrice des représentations graphiques de $f(x) = x^2$, $e^x$, $e^{-x}$. Il rajoute ensuite un coefficient et voit le décalage. Il écrit ensuite sur sa feuille des calculs moyennement compréhensibles :

$$ \bullet \text{ si } e^{-x} f(0) = 4 $$

$$ \bullet \text{ ealnx} $$

$$ \bullet \text{ e}^{-a} \qquad e^{-0} + A = 4 \qquad 1 + 3 = 4 $$

L'observateur lui demande ce qu'il fait. F. explique que la courbe obtenue vérifie $f(0) = 4$ mais qu'elle est trop haute, qu'il faut l'aplatir et qu'il cherche.

Pendant ce temps, J.L. trace le graphe de $e^{-x}$ sur $[0,6]$. puis celui de $x^2$ et se fait confirmer par F. que la courbe doit bien rester à l'intérieur de la zone.

F. écrit : f est forcément décroissante : $f < 0$, puis il essaie $f(x) = e^{-x} + x/6$ sur sa calculatrice.

J.L. passe à DERIVE, entre $e^{-x}$ puis se demande s'il ne devrait pas déclarer plutôt une fonction.

## 20 minutes :

F. lui demande comment il a fait pour l'exponentielle. J.L. répond : Alt e puis dit qu'il vaudrait mieux déclarer et entre donc : $F(x) := e^{-x}$ puis la fait tracer.

L'enseignante passe et leur demande où ils en sont. Ils répondent qu'ils font des essais mais ont un problème : quand ils s'arragent pour avoir $f(0)=4$, la courbe se décale. Elle les incite à
chercher et leur demande s'ils ont effacé le tracé de la zone. Ils répondent qu'ils ne l'ont pas encore faite tracer. Elle leur dit que ça pourrait les aider à mieux voir puis s'en va.

Ils essaient alors de tracer la zone, sans y arriver. F. déplace le curseur jusqu'à un point de la courbe, puis essaie le menu : Marque, puis le menu : Option puis, sans succès, diverses commandes. L'observateur leur conseille d'appeler l'enseignante.

L'enseignante arrive. F. lui demande comment on trace la zone. Elle explique que c'est en mettant en surbrillance et en utilisant la commande graPh comme pour les fonctions. F. le fait et l'enseignante s'aperçoit à cette occasion qu'ils sont toujours en mode discret. Elle les aide à passer en mode continu. F. se répète pour lui-même visiblement que «donc la zone, en fait, on la définit comme une fonction».

Ils quittent ensuite DERIVE et reprennent leur calculatrice. F. dit que la fonction doit être dérivable même en dehors de [0,6] et propose d'essayer : $\frac{1}{x+\frac{1}{4}}$

J.L. la fait aussitôt tracer par sa calculatrice. F. lui, entre sous DERIVE :

$$G(x) := \frac{1}{x+\frac{1}{4}}$$

Le tracé ne reste pas dans la zone et J.L. en conclut qu'il faut la pousser, faire une translation.

F. rétorque que l'on n'aura plus alors $f(0) = 4$. Ils émettent l'idée qu'il faudrait rapprocher la courbe de l'axe des ordonnées puis J.L. se met à écrire un programme pour tracer la zone sur sa calculatrice, tandis F. essaie avec DERIVE :

$$H(x) := \frac{1}{x^2+\frac{1}{4}} \text{ et la fait tracer. Elle sort aussi de la zone et il conclut : «C'est pas mieux»}.$$

$$\text{Il écrit ensuite sur sa feuille : } f(0.4) = 0.4, \text{ regarde cette égalité puis entre : } K(x) := \frac{1}{x^2+\frac{1}{4}-2.2}$$

et la fait tracer (peut-être a-t-il calculé $H(0.4)$, trouvé 2.4 et cherché à diminuer la valeur en enlevant 2.2). Le résultat est encore moins satisfaisant : la courbe passe dans les négatifs et a une asymptote verticale sur l'intervalle $[0,6]$. F. dit alors qu'il faudrait mettre un x.
<figure><img src="image_42.png" /></figure>

30 minutes :

J.L. revient à son cahier de cours et cherche les notes du TD précédent. Il trouve des informations sur les fonctions conjointes : passage de la représentation de : $x \to f(x)$ à celle de : $x \to f(-x)$ et de celle de : $x \to f(x)$ à celle de : $x \to f(1-x)$.

L'enseignante passe et leur demande quelle catégorie de fonctions ils cherchent. F. répond qu'ils cherchent des fonctions de la forme $\frac{1}{x^2+c\text{ste}}$, mais qu'ils pourraient aussi faire $e^{-x}$. Elle les incite à ne pas mélanger les types, se fait montrer le graphe de H. F. explique qu'ils la trouvent pas mal mais qu'ils voudraient plus coller à l'axe des ordonnées. L'enseignante lui demande quelle transformation géométrique permet de le faire et F. répond : «une translation». Devant son air sceptique, il avoue ne pas savoir comment pousser la courbe comme il le veut, il lui semble qu'il «manque un x, quelque chose, je le sens parce que quand je veux remplacer ...»

L'enseignante lui demande alors comment il est passé de H à K. F. répond qu'il a essayé d'avoir à peu près : $f(0.4) = 0.4$. L'enseignante dit que DERIVE peut peut-être l'aider à faire ça et s'en va.

J.L. a une idée : poser la constante comme inconnue et faire $H(0) = 4$. Il propose d'essayer avec : $\frac{1}{x^2+bx+c}$ qu'ils décident d'appeler A, en revenant au début de l'alphabet.

F. rentre sous DERIVE : $A(x,b,c) := \frac{1}{x^2+bx+c}$

J.L. demande si le degré est «déterminé». F. se demande, lui, si on a assez d'informations pour déterminer b et c. Ils les passent en revue :

«J.L. : On sait que $A(0) = 4$, qu'elle est dérivable et qu'elle est décroissante, enfin pas forcément décroissante mais ...

F. : Obligatoirement de là à là (montre la partie correspondant à x inférieur à 0.4), ce qui veut dire que la dérivée sera négative.
J.L. : Il faudrait lui mettre A(0) = 4»

L'enseignante passe, regarde ce qu'ils font et s'en va.

F. fait calculer la dérivée, puis la déclare comme fonction : DA(x,b,c). Ils veulent ensuite entrer les informations mais se demandent comment faire, vu qu'il y a trois variables : x, b et c dans A et DA. Ils pensent que DERIVE n'acceptera pas de calculer A(0). F. propose de déclarer A(0) = 4, active Declare puis Fonction mais quand il doit donner un nom, il se sent perdu et appelle l'enseignante.

L'enseignante arrive. Ils lui demandent si pour donner à DERIVE A(0) = 4, on fait avec Declare. Elle répond que non, que c'est une variable, pas une fonction puis leur demande ce qu'ils veulent faire. Ils expliquent leur problème d'inconnues. L'enseignante leur demande alors si la fonction a été introduite par Déclare. Ils répondent que oui. Elle leur explique qu'alors la machine a bien pris trois variables et va les aider à se sortir de cette situation.

40 minutes :

Elle leur fait entrer A comme seule fonction de x. : «tu vas retaper : A(x) := et tu vas mettre ton second membre». (elle les aide à le faire avec les touches de recopie) puis leur indique qu'ils vont résoudre maintenant l'équation A(0) = 4 et pour cela soit remplacer x par 0, soit plus simplement taper A(0). J.L. lui demande si A(0) doit être fait avec Declare. Elle explique que non, qu'il ne s'agit pas de définir une fonction mais de calculer A(0).

F. tape donc A(0) puis active la commande : dévEloppe. L'enseignante lui demande d'expliquer ce qu'il veut faire. F. répond qu'il veut que DERIVE écrive A(0). Elle lui rappelle que c'est la commande Simplifie qu'il faut alors utiliser et non la commande dévEloppe puis s'en va. Ils le font et obtiennent : $\frac{1}{c}$.

J.L. anticipe ensuite ce qui reste à faire : écrire l'égalité avec 4 et utiliser la commande resol. Il dit aussi qu'il est inutile d'utiliser DERIVE pour faire ce calcul mais l'utilise quand même et arrive ainsi à : $c = \frac{1}{4}$.

Ils tapent ensuite : A(0.4) et font simplifier cette expression, ce qui donne : $\frac{25}{10b+25c+4}$

J.L. est étonné de la disparition des nombres décimaux mais il n'insiste pas et suit F. qui veut maintenant remplacer c par $\frac{1}{4}$. Ils le font par la commande Substitue et arrivent ainsi à :

$$ \frac{25}{10b+25\frac{1}{4}+4} $$

F. utilise ensuite la commande Auteur et la touche F3, pour fabriquer l'équation : $f(0.4)=0.4$, tout en se demandant s'il pourrait faire aussi des inégalités.

J.L. lui répond que ce n'est pas la peine de faire des inégalités puisqu'il va trouver directement son inconnue : b. F. fait simplifier l'équation et obtient ainsi : $\frac{100}{40b+41} = \frac{2}{5}$, puis par la commande resol : $b = \frac{209}{40}$. Il note le résultat sur sa feuille.
J.L. sort sa calculatrice pour tracer la fonction correspondante.

L'enseignante passe et leur conseille de nettoyer un peu l'écran graphique pour y voir plus clair.

45 minutes :

F. râle parce que les menus d'effaçage ne proposent pas d'effacer tout sauf la zone. Finalement il efface tout et fait retracer la zone. Ensuite, il déclare : $B(x) := \frac{1}{x^2 + \frac{209}{40}x + \frac{1}{4}}$ et fait tracer. Il constate que c'est bon. Ils sont tous les deux contents mais remarquent que la dérivée n'est pas nulle en 0.

J.L. propose d'écraser la courbe. Et F. de remplacer $x^2$ par $x^3$. Il le fait, de façon astucieuse, pour éviter de recopier toute l'expression, sans hésiter, et renomme la nouvelle fonction C. En faisant tracer, ils constatent qu'il n'y a pratiquement pas de différence avec B.

<figure><img src="image_43.png" /></figure>

J.L. émet l'hypothèse que les changements concernent peut-être la partie correspondant à $x<0$ et F. propose de résoudre : $f(0) = 0$. Il revient alors à l'expression de la dérivée dans la fenêtre Algèbre et décide de redéclarer la dérivée comme fonction d'une seule variable : x, comme ils l'ont fait pour A. J.L. n'est pas tout à fait sûr que ça va marcher mais lui dit d'y aller.

50 minutes :

Ils recopient l'expression de la dérivée et obtiennent un beep d'erreur avec un positionnement du curseur à la fin de l'expression. Ils pensent à une erreur de syntaxe : les deux points du début, les parenthèses ..., mais rejettent assez vite ces possibilités.

Ils retapent et obtiennent le même résultat.

L'enseignante arrive à ce moment là et ils lui racontent leur problème. Elle relit ce qui est tapé et ne voit rien à première vue (l'erreur est due aux affectations préalables de b et c, comme fonctions, et la fonction B n'apparaît même plus sur l'écran puisqu'elle a été effacée après son remplacement par C). Ils cherchent un moment, sans trouver puis l'enseignante se fait expliquer
en détail ce qu'ils ont fait. Ca ne lui donne pas d'idée. Elle vérifie sans y croire des questions d'intervalle.

J.L. dit alors que ça pourrait être b. Elle réagit aussitôt : «Qu'est-ce-que tu lui as fait à b ? b, tu l'as affecté à quelque chose ? Tu es en mode indifférencié majuscule / minuscule. T'as pas une fonction qui s'appelle b ?»

J.L. convient que oui et le problème est alors très vite résolu. L'enseignante fait désaffecter b en tapant : b := , tout en leur rappelant qu'ils ont déjà rencontré ce problème à une séance précédente et qu'il faut y être attentif. Puis elle s'en va.

Ils recommencent et retapent l'expression de DA(x) . Ils rencontrent le même problème avec c, lui aussi affecté, mais cette fois-ci l'identifient tout de suite et désaffectent c.

55 minutes :

Ils recommencent et cette fois, ça marche. Ils poussent un Ouf de soulagement. Ils ont maintenant deux constantes et se demandent dans quel ordre écrire les conditions. F. est partisan de garder $c = \frac{1}{4}$ puisque ça garantit que $f(0) = 4$.

Ils demandent donc la valeur de DA(0) et obtiennent : $\frac{-b}{c^2}$. Ils remplacent ensuite c par $\frac{1}{4}$, rajoutent un second membre (= 0) puis font résoudre par DERIVE pour obtenir $b = 0$.

Visiblement, ils ne sont pas satisfaits de ce résultat. J.L. réalise qu'en fait ils sont en train de changer la fonction qu'ils avaient complètement déterminée par les autres contraintes et que donc ça ne peut pas marcher. Il pense qu'ils devraient changer de type et prendre une fonction «comme celle de l'autre jour» (il fait un geste de courbe en cloche). Il prend sa calculatrice et teste : $4\exp(-x^2)$ puis conseille à F. de faire de même. F. le fait.

J.L. lui explique pourquoi il a mis le coefficient 4 ; il précise aussi qu'il a repéré que le tracé se courbe très vite mais pas encore tout à fait assez et qu'il faut le baisser plus.

F. écrit sur sa feuille : $4e^{-(x^2+ax+c)}$ puis : si $x = 0$, j'ai $4e^{-c}$ donc $c = 0$.

60 minutes :

F. déclare sous DERIVE la fonction $M(x,b,c) := 4e^{-(x^2+A(x))}$

J.L. lui demande pourquoi il ne met pas de c. F. répond que ça le gênerait en 0

L'enseignante arrive, leur demande où ils en sont et repère qu'ils ont de nouveau une variable A déjà affectée comme fonction. Elle leur demande : «Alors, qu'est-ce-qu'il vous arrive ? Vous refaites les mêmes choses que tout à l'heure ?». Ils ne comprennent pas la question et l'interprètent visiblement au niveau de la stratégie gagnante utilisée qui consistait à introduire des paramètres puis à calculer leurs valeurs en écrivant les équations de contraintes. Ils répondent donc qu'ils recommencent pareil parce que ça a marché. Elle n'insiste pas et leur fait remarquer qu'ils ont oublié la puissance après l'exponentielle. F. s'étonne car il croyait que c'était automatique, puis remarque à cette occasion que la variable b figure dans le membre de gauche mais pas dans celui de droite. L'enseignante essaie une fois encore d'attirer son attention sur les problèmes qu'il va rencontrer («Mais, dis-donc, tu sais bien qu'il y a une différence : ton écran et la mémoire de la machine c'est pareil ?») mais F. ne comprend pas
l'allusion et propose alors de tout effacer. L'enseignante lui conseille alors de sauver d'abord
sur le disque et l'observateur intervient pour suggérer à F. de choisir simplement d'autres noms
que b et c.

J.L. répond : «Oh ! Nous dès que ça dépasse d, on est perdus» et ils rient.

Ils effacent les deux dernières entrées (expression de la fonction M) puis F. commence à déclarer une fonction. J.L. l'interrompt et lui dit de faire ça directement dans Auteur en tapant M(x) := pour éviter les problèmes. Ils entrent M(x) := 4e-(x²+1x). puis font calculer M(0.4) et obtiennent : e((21/5 - 4/25)). A partir de cette expression, ils fabriquent, par recopie, l'équation de second membre 0.4 et font résoudre cette équation, obtenant : 1 = (2/5) - (5ln(10)/2)

65 minutes :

La valeur de l obtenue est substituée dans l'expression de M(x) et ils font tracer. Ils remarquent tout de suite que f(0) n'est pas nul. L'observateur leur demande si la fonction est bien dans la zone (cette dernière n'est plus tracée). Ils décident de remonter jusqu'à l'expression 7 pour faire tracer la zone mais en sont à l'expression 43. Ils commencent à remonter les expressions puis appellent l'enseignante et lui demandent comment aller plus vite. Elle leur montre comment remonter page par page puis s'en va.

Ils font tracer la zone, constatent que la fonction est bien dedans mais ne savent plus quoi faire.
L'observateur leur conseille d'écrire la condition f(0) = 0 qu'ils veulent réaliser.

Ils font alors dériver M(x) et obtiennent : 4e^1x-x^2(1-2x).

F. note puis écrit sur sa feuille : f(0) = 0. Ils utilisent DERIVE pour résoudre cette équation. F. entre : M'(x) = 0 mais J.L. lui conseille de substituer d'abord 0 à x. F. efface et suit ce conseil.

Ils arrivent ainsi à l'équation : 4e^10 - 0^2(1-20) = 0, la font résoudre et obtiennent :
1 = 0.

70 minutes :

Ils constatent que ça ne marche pas, se demandent ce qu'il faudrait faire. Ils commencent par remettre en cause le 4, puis décident d'augmenter le nombre de paramètres. Ils entrent alors la fonction : N(x) := te^-xY+ux+o et F. commente : «Comme ça, je suis sûr de la trouver». Ils écrivent les conditions. C'est la fin de la séance.

Groupe 6 (séance 2 - élèves notés G. et F.):

Les deux élèves ne travaillent pas réellement ensemble et F. s'investit peu dans cette activité de recherche, au début de la séance.

Les élèves chargent le fichier, tracent la zone mais n'arrivent pas à passer en mode continu (ils sont revenus en effet dans la fenêtre algèbre et ils ne trouvent pas Etat dans le menu Options). L'enseignante passe, leur explique leur erreur puis reprend les explications collectives de réglage du centre et de l'échelle.

10 minutes :
G. et F. lisent la fiche et G. note les noms des points qui définissent la zone : P, Q, R, S et T. Il écrit ensuite :

• $f(x) \in [0,6]$

• $f(0) = 4$

• $e^0 = 1 \quad 4e^x$

F. de son côté écrit : $x=0 \quad e^x = 1 \quad 4e^x = 4$, puis regarde ce que fait G.

L'enseignante passe, fait remarquer à G. que sa première ligne ne correspond à aucune des contraintes données et leur demande ce qu'ils cherchent. G. répond : «des exponentielles». Elle lui demande pourquoi des exponentielles et G. répond que c'est pour avoir une courbe dans le domaine. L'enseignante lui demande ensuite à quel type d'exponentielle il s'intéresse et G. précise qu'il cherche des exponentielles décroissantes, en donnant l'exemple de $e^{-x}$. L'enseignante lui demande alors de préciser les indications qu'il extrait de l'énoncé et s'éloigne un peu. Très vite, elle revient et fait préciser ces conditions par G. En guidant un peu, elle obtient :

• quand $x \in [0,0.4]$, $f(x) \in [0,4]$

• quand $x \in [0.4, 6]$, $f(x) \in [0,0.4]$

Elle refait aussi préciser le type de fonction cherché et G. répond : «des inverses d'exponentielles», en écrivant : $e^{-kx}$.

G. prend sa calculatrice puis la range. F. lit sa feuille et réfléchit sans écrire. G. regarde ce qu'il a déjà écrit. Il y a un long temps d'arrêt.

20 minutes :

G. passe sous DERIVE. L'enseignante arrive et G. lui demande comment on fait l'exponentielle. Elle rappelle l'information de la fiche et repart. G. entre $f(x) := 4e(-3x)$ et fait tracer. Il obtient une droite, supprime le tracé et dit à F. : j'ai dû oublier les parenthèses. Puis il prend sa calculatrice (Casio 7800G). Pendant ce temps, F., lui, a juste écrit sur sa feuille les conditions liées à la zone.

G. écrit :

• $\leq e^{-kx} \leq$

• $0.4 \leq x \leq 6$

• $0.20 \leq e^{-4x} \leq 0.0$ (il calcule les valeurs d'encadrement avec la calculatrice et normalement devrait trouver, en limitant à deux décimales : $0.11 \leq e^{-4x} \leq 2.68$)

• $0 \leq x \leq 0.4$

• $1 \leq e^x \leq 1.4$ (on obtient à la calculatrice en fait : $1.49$ environ pour $0.4$)

• $0.67 \leq e^{-x} \leq 1$

F. de son côté écrit les conditions à vérifier sur $[0,0.4]$ :

• $0 \leq x \leq 0.4$
• $0 \le 4e^{-kx} \le 4$

• $0 \le e^{-kx} \le 1$

L'enseignante passe et leur demande où ils en sont. Ils expliquent qu'ils cherchent la valeur de k. Elle leur demande alors s'ils cherchent la valeur de k précisément ou une condition sur k, puis, n'obtenant pas de réponse, elle reprend la première condition : $f(0) = 4$ et demande à G. ce que vaut $f(0)$ pour $f(x) = e^{-kx}$. G. répond d'abord 0, puis corrige en -k. L'enseignante demande alors la valeur de $e^0$, que G. donne correctement et il en conclut que $f(0) = 1$. Elle demande ensuite à G. ce qu'il faut faire pour obtenir $f(0) = 4$ et G. pense tout de suite à multiplier par 4. Elle continue et lui demande de traduire les conditions pour une fonction du type : $f(x) = 4e^{-kx}$. G. commence à parler de dérivée. Elle l'arrête et lui demande si les fonctions de ce type sont ou non dérivables. G. répond qu'elles le sont. Avant de partir, l'enseignante lui demande s'il préfère faire les calculs à la main et G. répond que oui.

G. continue à écrire des inéquations sur sa feuille en s'aidant de la calculatrice :

• $0 \le x \le 0.4$

• $4(0.67)^k \le 4e^{-kx} \le 4$ (rappelons que $e^{-0.4} \sim 0.67$)

• $0.4 \le x \le 6$

• $4 (2,5 \cdot 10^{-3})^k \le 4e^{-kx} \le 4(0.67)^k$ ($e^{-6} \sim 2,5 \cdot 10^{-3}$)

• $0 \le f(x) \le 0.4$

F. écrit de son côté :

• $-\infty \le -kx \le 0$ et $k>0$

30 minutes :

G. continue et passe à la résolution de l'équation approchée correspondant à $f(0.4) = 0.4$, c'est à dire : $4(0.67)^k = 0.4$ qu'il transforme en plusieurs étapes en : $\sqrt[k]{0.1} = 0.67$. Il transforme ensuite les = en $\le$ et le dernier = en $\ge$. En effectuant des essais avec sa calculatrice, il trouve que la valeur 6 convient (en effet, $0.1^{1/5} \sim 0.63$ et $0.1^{1/6} \sim 0.68$). Il repasse alors en DERIVE et tape : $f(x) := 4e^{(-6x)}$.

L'observateur lui signale l'absence d'exponentiation et rappelle comment l'obtenir avec la touche ^. Le tracé est bien situé dans la zone. Les deux élèves sont très contents, ils ne s'y attendaient visiblement pas tout à fait. F. conclut qu'on peut prendre n'importe quel k supérieur à 6.
<figure><img src="image_44.png" /><figcaption>groupe 6 : figure 1</figcaption></figure>

L'enseignante passe et constate qu'ils ont obtenu une fonction qui marche en résolvant une inéquation. Elle demande à G. comment il a résolu son inéquation. Il répond que c'est en tâtonnant. Elle lui demande s'il n'avait pas d'autres moyens mais G. explique qu'il avait des racines kièmes, alors qu'il ne savait pas faire autrement. L'enseignante se fait montrer l'inéquation, se fait expliquer d'où sort le 0.67 et suggère à G. qu'il pourrait utiliser DERIVE, avant de lui demander comment il ferait, si c'était un devoir. G. pense aussitôt aux logarithmes, le dit et l'enseignante s'en va.

G. reprend la résolution. Il écrit successivement :

$$
\textbullet \ e^{-k0.4} \le 0.1
$$

$$
\bullet -0.4k \le \ln 0.1
$$

$$
\bullet k \geq - \frac{\ln 0.1}{0.4}
$$

$$
\bullet k \geq 5.75 \text{ (calculé à la calculatrice)}
$$

$$
F., \text{de son côté, a juste écrit : } k \geq 6 \ f(x) = 4e^{-kx} \text{ et } k \geq 6
$$

35 minutes :

G. passe à la condition sur la dérivée : f(0) = 0 et réfléchit. Pendant ce temps, F. regarde l'écran puis copie sur G. ses deux dernières lignes. G. dérive f et obtient : f(x) = -4ke^{-kx} puis : f(0) = -4k. Il rit en disant à F. : «Je trouve k = 0»

L'enseignante passe, regarde ce que G. a fait et lui demande s'il a une seule solution ou plusieurs. G. répond : «une infinité». Elle lui demande alors de passer à la recherche de fonctions satisfaisant en plus : f(0) = 0. G. demande : «Avec d'autres fonctions ?». L'enseignante lui renvoie sa question en lui demandant si ses fonctions vérifient f(0) = 0. G. convient que non et elle s'en va.

40 minutes :
G. réécrit la condition : $f(0) = 0$, puis l'équation de la tangente (en mélangeant forme générale et forme relative à $x=0$) : $y - f(0) = f(0)(x-x_0)$ et, au-dessous : $y = f(0)$. F. écrit de son côté :
$f(0) = 0$. Ils se mettent à discuter :

G. : «$f'(0) = 0$, c'est la tangente, elle est sur (Ox).»

F. : «Je sais pas s'il faut prendre une exponentielle.»

G. : «Mais non, tu peux pas... parce que ta dérivée t'auras obligatoirement une exponentielle, donc t'auras -1.»

F. : «On pourrait prendre une droite à partir d'ici. Il fait un dessin et montre à G.»

L'enseignante passe et leur demande ce qu'ils cherchent. G. répond de façon très hésitante, en parlant de tangente «qui doit être comme ça» (il s'agit de la tangente en 0), puis en traçant par geste une courbe en cloche. Elle lui demande comment obtenir une courbe qui ait cette allure et G. propose une exponentielle avec des $x^2$. Elle lui demande pourquoi. G. ne répond pas et elle s'en va.

G. trace $e^{-x^2}$ sur sa calculatrice, puis remplace par $e^{-kx^2}$ et se demande pourquoi la dérivée serait nulle. Il rajoute un coefficient 4 devant puis calcule la dérivée $f'(x) = -8kxe^{-kx^2}$. Il réfléchit, réécrit la dernière ligne, dit : «Ben si !» mais ne semble pas trop sûr et n'écrit rien de plus. F. pendant ce temps trace sur sa calculatrice plusieurs exponentielles : $e^{-x^2}$, $2e^{-x^2}$

G. écrit à nouveau divers encadrements :

$$ \bullet \quad 0.4 \leq x \leq 6 $$

$$ \bullet \quad 0.16 \leq x \leq 36 \quad \text{(calculatrice)} $$

$$ \bullet \quad e^{-36} \leq e^{-x^2} \leq e^{-0.16} $$

$$ \bullet \quad 4e^{-k36} \leq 4e^{-kx^2} \leq 4e^{-k0.16} $$

L'enseignante passe, incite F. à travailler et s'en va.

G. continue à écrire des encadrements : $4e^{-k36} \geq 0.4$ et $4e^{-k0.16} \leq 6$. Il écrit donc que les encadrements initialement obtenus sont compris entre 0.4 et 6 puis résout en passant aux logarithmes pour obtenir :

$$ \bullet \quad k \geq \frac{\ln(3/2)}{0.4} $$

$$ \bullet \quad k \geq 2.53 $$

50 minutes :

G. passe à l'autre inéquation qu'il résout de la même façon pour obtenir :

$$ \bullet \quad -k36 \geq \ln(0.1) $$

$$ \bullet \quad k \leq \frac{\ln(0.1)}{36} $$
L'observateur intervient pour demander si les inéquations écrites correspondent bien aux conditions. Ils repassent les deux inéquations et leur résolution en revue, lentement. G. regarde ensuite le graphique et corrige : $0 \le f(x) \le 0.4$

F. écrit, lui : $f(0) = 0$ et trace un tableau de variation :

<table><tr><td>x</td><td>-∞</td><td>0</td><td>+∞</td></tr><tr><td>f(x)</td><td></td><td>+</td><td>0</td><td>-</td></tr><tr><td>f(x)</td><td></td><td></td><td>4</td><td></td></tr></table>

<figure><img src="image_45.png" /></figure>

G., pendant ce temps, résout l'inéquation correspondant à $f(0.4) \le 0.4$ et arrive aux conditions :

$$k \ge - \frac{\ln(0.1)}{0.16}$$

$$k \ge 14.39$$

Il propose alors d'essayer avec 15. Il passe en DERIVE, entre la fonction $G(x) := 4e^{-15x^2}$ et la fait tracer. Le tracé est bien intérieur à la zone et ils sont satisfaits.

### 55 minutes :

L'enseignante passe et demande à G. s'il a trouvé -15 en résolvant son inéquation, puis si la fonction G trouvée vérifie bien $G'(0) = 0$. G. répond que oui. Elle insiste en demandant s'il a calculé $G'(x)$ et bien vérifié. G. répond que oui. Elle lui demande ensuite comment il prouve que la fonction reste bien dans la zone. G. répond qu'il a vérifié toutes les équations. Elle demande des précisions. G. montre les inéquations et dit qu'il a utilisé le graphique pour résoudre. Elle semble sceptique et, lui montrant deux lignes successives de son calcul, lui demande comment il est passé de l'une à l'autre. G. semble enfin comprendre ce que l'enseignante attend de lui et dit qu'il a utilisé le fait que l'exponentielle est strictement décroissante. L'enseignante commente et conclut qu'il peut alors effectivement démontrer que quand $k$ est plus grand que la valeur qu'il a trouvée, la fonction vérifie bien toutes les conditions. Elle en vient ensuite au sens de variation et demande, avant de s'en aller, si la décroissance est nécessaire. G. n'est pas sûr.

### 60 minutes :

G. réfléchit puis discute avec F. de la décroissance. F. dit que rien ne prouve que la fonction doit être décroissante puis dessine sur sa feuille une courbe qui débute comme une exponentielle puis oscille sur [0.4,6]. Il efface sans montrer à G.

L'enseignante repasse et demande à G. ce qui le gêne. G. fait des gestes pour montrer qu'il n'a pas le choix : en partant de $x=0$, il est bien obligé d'avoir une fonction décroissante. Elle lui demande alors s'il pourrait dessiner, dans la partie horizontale de la zone, des allures de fonctions autres que celles qu'il a déjà trouvées. F. fait un geste de remontée mais l'enseignante ne le voit pas. Elle précise :

«Est-ce-que tu pourrais par exemple en avoir une, telle que $f(6) = 0.4$ ?»

G. reste d'abord silencieux puis répond que oui et montre une courbe qui descend jusqu'à la valeur 0 puis remonte pour atteindre 0.4 pour $x = 6$. L'enseignante acquiesce et lui demande de citer des exemples de fonctions qui sont pas monotones. G. cite les paraboles. Elle essaie de l'orienter vers les fonctions trigonométriques en évoquant la physique, mais il ne saisit pas
l'allusion. F., de son côté, redessine des oscillations et l'enseignante voit son tracé. Aussitôt elle s'adresse à lui et lui demande ce qu'il dessine, puis comment on peut obtenir de telles oscillations. C'est G. qui répond : «avec des cosinus et des sinus». L'enseignante s'en va.

G. reprend sa calculatrice et fait tracer la fonction $e^{\cos x}$, qui est monotone sur le tracé.

L'enseignante repasse et leur fait prendre conscience que le cosinus variant entre -1 et +1, l'exponentielle va varier entre $\frac{1}{e}$ et e et que donc, ça ne peut marcher. Elle conclut que la composition n'est pas ici l'opération pertinente et demande ce qu'ils pourraient faire d'autre. G. propose d'ajouter. Elle conseille d'essayer et s'en va.

70 minutes :

G. écrit à nouveau les encadrements correspondant aux contraintes sur [0,4,6] :

$$ \bullet \quad 0.4 \leq x \leq 6 $$

$$ \bullet \quad 0 \leq f(x) \leq 0.4 $$

$$ \bullet \quad \cos 0.4 \leq \cos x \leq \cos 6 $$

puis prend sa calculatrice et dit que ça ne marche pas car cos6 est plus grand que 0.4. Il passe alors aux sinus, calcule sin0.4 et sin6, trouve environ -0.27 et 0.38 et, satisfait cette fois-ci, écrit :

$$ \bullet \quad -0.27 \leq \sin x \leq 0.38 $$

$$ \bullet \quad e^{0.4} < e^x < e^6 $$

$$ \bullet \quad e^{0.16} \leq e^{x^2} \leq e^{36} $$

puis il s'arrête et reprend sa calculatrice.

F. de son côté écrit :

$$ \bullet \quad f(x) = 4e^{kx} $$

$$ \bullet \quad g(x) = \cos x $$

puis essaie d'imaginer des tracés mais sans poser le crayon.

L'enseignante passe, repère le passage erroné de l'encadrement de x à l'encadrement de cosx et fait voir à G. son erreur, en le questionnant sur le sens de variation de la fonction cosinus. G. se plaint qu'il n'y arrive pas. Elle essaie de les aider en faisant référence aux mouvements amortis vus en physique. G. répond que le programme de révision n'est pas encore passé. Elle leur demande d'essayer quand même de se souvenir des courbes des mouvements amortis vus en physique. Ils le font tous les deux et produisent des allures correctes. Elle les aide alors à interpréter ces tracés comme résultant de produits de cosinus et d'exponentielles décroissantes puis leur demande d'écrire tout ça proprement et s'en va.

G. écrit : $f(x) = e^{-kx^2} \cos bx$ (f oscille entre $e^{-kx^2}$ et $e^{kx^2}$) puis s'arrête.

F. écrit : $f(x) = 4e^{-15x^2}$ $g(x) = \cos bx$ $4e^{-15x^2} \cos bx =$

80 minutes :
L'enseignante revient. G. lui dit qu'il va falloir un cosinus carré et attend son approbation comme s'il n'avait pas osé prendre la décision lui-même. Elle acquiesce puis attire son attention sur le fait que la valeur en 0 doit être 4 Elle lui indique ensuite qu'en utilisant la fonction VECTEUR et en faisant varier b, il pourrait obtenir toute une famille de fonctions.

G. passe à DERIVE et entre $H(x) := 4e^{-15x^2}(\cos(b)x)^2$.

Il se demande ensuite comment choisir b. F. s'associe à la recherche. En utilisant la commande : Substitue, il substitue b à x. Visiblement, ce qu'il obtient ne le satisfait pas. Il revient à l'expression initiale et, cette fois-ci, substitue 4 à b. Ils font tracer et constatent que la courbe ne convient pas : elle passe par l'origine et si elle oscille au départ, se confond très vite avec l'axe Ox.

G. entre alors l'expression : $H(x,b) := H(x) := 4e^{-15x^2}(\cos(b)x)^2$ et fait tracer.

<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>groupe 6 : figure 2</figcaption></figure>

Le fait qu'il y ait deux variables branche sur un tracé 3D. L'observateur leur explique ce qui se passe ainsi que l'erreur de parenthèse faite dans le cosinus. Ils corrigent donc, puis veulent utiliser la fonction VECTEUR. L'enseignante passe et, en réponse à une question de G., indique la syntaxe de la fonction VECTEUR : parenthèses, valeur minimum, valeur maximum et pas. Elle guide ensuite le choix des valeurs de b en interrogeant G. sur les zéros de la fonction cosinus et leur abscisses approximatives. G. propose finalement d'aller de 2 à 6 par pas de 1
<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>groupe 6 : figure 3</figcaption></figure>

Au tracé, on ne voit pas les oscillations car la courbe est trop amortie. L'enseignante explique ce qui se passe et conseille d'essayer un amortissement moins fort. G. au départ propose un k plus grand mais elle le fait rectifier et finalement il essaie avec k=4, guidé pour effectuer les changements. La séance se termine sur le tracé correspondant. Il y a bien des oscillations cette fois mais les courbes ne restent pas toutes dans la zone.

<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>groupe 6 : figure 4</figcaption></figure>

## SYNTHÈSE COLLECTIVE

L'enseignante rencontre au départ des problèmes matériels : la salle est trop éclairée, l'écran n'est pas bien adapté. On baisse en partie les stores, on recule la machine, ce n'est pas merveilleux mais on y voit un peu.

Elle charge le fichier Zone, règle le tracé de la zone puis écrit les conditions à satisfaire au tableau, en les faisant formuler sous forme algébrique par les élèves. Elle souligne que
beaucoup n'ont pas écrit ces inégalités mais écrit simplement l'équation $f(0.4) = 0.4$, en imposant à la courbe de passer par le coin de la zone.

Elle demande ensuite les grandes familles qui ont été explorées et note, au fur et à mesure, les familles citées par les élèves, tout en précisant que beaucoup ont travaillé par essais et erreurs mais qu'on veut maintenant travailler de façon plus systématique. Sortent ainsi successivement : les exponentielles, les hyperboles et les courbes définies par intervalles incluant exponentielles, cosinus, hyperboles et droites.

L'enseignante choisit de débuter par les fonctions définies par intervalles et plus particulièrement par celles affines par morceaux. Sur la suggestion d'un élève, elle propose de prendre deux droites d'équations respectives : $y = ax+b$ et $y = cx+d$ et aide à formuler deux conditions à vérifier pour chaque fonction affine : $f(0) = 4$ et $f(0.4) = 0.4$ pour la première, $f(0.4) = 0.4$ et $f(6) = 0$ pour la seconde.

Elle attire ensuite l'attention sur les dérivées à gauche et à droite en 0.4, demande ce que vaudront ces deux dérivées, à savoir respectivement a et c, puis fait remarquer que l'on n'aura donc une fonction dérivable que si $a=c$.

On conclut ensuite collectivement que les deux droites sont alors les mêmes puisqu'elles sont parallèles et ont un point commun. L'enseignante fait alors chercher l'équation d'une telle droite. La condition $f(0) = 4$ donne directement $b = 4$. Revenant à DERIVE, l'enseignante substitue 4 à b puis fait résoudre par DERIVE l'inéquation : $f(0.4) \le 0.4$, obtenant : $a \le -9$. Elle fait ensuite dessiner la droite correspondant à $a = -9$. Celle-ci n'est guère visible. L'enseignante essaie d'améliorer cette visibilité en projetant sur un autre support, sans grand succès. Elle reproduit alors le tracé au tableau pour démontrer que la droite coupe l'axe horizontal avant $x = 6$ et donc ne peut convenir. Les droites et les fonctions affines par morceaux sont donc ainsi éliminées.

Les élèves proposent ensuite différents types de raccord, par exemple des raccords de deux paraboles, l'une décroissante, l'autre croissante (l'enseignante leur donne ce problème à chercher chez eux), des raccords parabole, droite, parabole, sur lesquels elle décide de ne pas s'attarder.

Un élève propose ensuite d'utiliser un polynôme du quatrième degré. L'enseignante fait préciser le nombre de paramètres et les conditions utilisables pour les déterminer, puis demande que l'on se concentre sur les familles de fonctions réellement essayées. Ceci fait resurgir les exponentielles et les hyperboles.

L'enseignante choisit de commencer par les exponentielles de la forme $4e^{-ax}$. Elle fait préciser la raison du 4 et évoque les essais infructueux effectués par divers groupes consistant à ajouter 3 à $e^{-ax}$ au lieu de multiplier par 4. Elle démontre ensuite la dérivabilité, en utilisant le cours, puis passe aux conditions de zone. Elle fait reformuler la condition : $f(0.4) \le 0.4$, puis entre la fonction $f(x) := 4e^{-ax}$ sous DERIVE, fait calculer $f(0.4)$, ce qui donne : $4e^{-\frac{2a}{5}}$, construit l'inéquation : $4e^{-\frac{2a}{5}} \le 0.4$ et la fait résoudre pour aboutir à : $a \ge \frac{5\ln(10)}{2}$. ou en valeur approchée : $a \ge 5.75...$

L'enseignante demande ensuite si cette condition nécessaire est bien suffisante. Plusieurs élèves répondent que oui et l'un d'eux explique que c'est parce que la dérivée de f étant négative, f est
décroissante. Elle commente et détaille cette justification pour conclure qu'on a donc obtenu toute une famille de fonctions exponentielles dont on va faire tracer des représentants avec la fonction VECTEUR comme certains l'ont fait pendant le TP.

Elle entre donc : VECTEUR ($4e^{-ax}$, $a$, $\frac{5\ln(10)}{2}$, 10, 1) fait simplifier et tracer. Rien ne se passe. Elle corrige alors l'expression en replaçant 10 par $\frac{5\ln(10)}{2} + 10$, et demande de nouveau le tracé. On ne voit pas grand chose. Certains proposent de faire un zoom. L'enseignante intervertit les fenêtres algébrique et graphique car l'algébrique a l'air mieux éclairée ; cela ne change rien. Elle change ensuite les couleurs et, après deux essais, obtient une visibilité à peu près correcte. Les courbes tracées sont très fortement décroissantes et s'écrasent très vite sur l'axe Ox. L'enseignante commente le phénomène et explique que si l'on voulait bien les distinguer, il faudrait zoomer très très fort. Elle conclut en rappelant que l'on a montré que, pour tous les a plus grands que $\frac{5\ln(10)}{2}$, la courbe représentative reste dans la zone.

L'enseignante passe ensuite aux autres types d'exponentielles utilisées pour arriver à satisfaire la contrainte : $f(0) = 0$, ce qui n'est pas possible avec le type précédent. Des élèves proposent aussitôt les fonctions de la forme $e^{-ax^2}$. Elle demande la raison du $ax^2$, puis se place tout de suite dans un cadre plus général, celui de fonctions de la forme : $f(x) = 4e^{u(x)}$ dont elle demande la dérivée, écrivant sous la dictée des élèves : $f(x) = 4u'(x)e^{u(x)}$. Elle retraduit ensuite la contrainte de dérivée en : $u'(0) = 0$ et les amène à remarquer que le premier choix effectué : $u(x) = -ax$, conduisait à une dérivée $u'$ constante égale à -a, donc ne s'annulant pas pour a non nul, tandis que le choix : $u(x) = ax^2$, en conduisant à : $u'(x) = -2ax$, donne une dérivée qui s'annule bien en 0.

L'enseignante demande ensuite le sens de variation de ce type de fonction. Les élèves répondent qu'elles seront décroissantes et, se replaçant dans le cadre général, elle fait le lien avec le signe de $u'$, négatif pour $x$ positif si a bien sûr est positif.

On passe ensuite aux conditions à satisfaire pour assurer une représentation graphique dans la zone. L'enseignante demande à ceux qui ont résolu la condition de dire ce qu'ils ont trouvé. La valeur $a = 15$ sort. Elle fait expliquer comment cette valeur a été obtenue.

H. explique qu'il a obtenu l'inégalité : $a \ge \frac{25\ln(10)}{4}$, et que ça fait 14.33.

L'enseignante écrit ceci au tableau et lui demande comment il en est arrivé là. H. fouille dans ses notes et s'y perd un peu. Elle reprend alors la main et, utilisant DERIVE, entre l'inéquation : $f(0.4) \le 0.4$ et la fait résoudre, tout en commentant la résolution.

$$ \#27 \quad F(x) := 4e^{-ax^2} $$

$$ \#28 \quad f(0.4) \le 0.4 $$

$$ \#29 \quad a \ge \frac{25\ln(10)}{4} $$

aboutissant donc à l'inéquation donnée par H.
L'enseignante demande ensuite si cette condition suffit à garantir que la courbe soit dans la
zone. C'est un autre élève Fa. qui répond et elle l'aide à formuler que la condition est bien
suffisante puisque la fonction est positive et décroissante sur l'intervalle considéré.

Revenant à DERIVE, elle fait tracer une famille de courbes solutions en utilisant la fonction
VECTEUR :

$$
\texttt{#30 VECTEUR (4e}^{-ax^2}, a, \frac{25\ln(10)}{4}, \frac{25\ln(10)}{4} + 4, 1)
$$

Les courbes obtenues n'ont pas de façon évidente, à l'oeil, une tangente horizontale en x = 0.
Elle se confondent très vite aussi avec l'axe des abscisses. En revanche, on voit bien la première
tracée «passer» par le point (0.4,0.4). L'enseignante commente tous ces phénomènes et évoque
des zooms possibles pour mieux voir la forme au voisinage de x = 0.

Elle fait ensuite remarquer que toutes les fonctions considérées jusqu'à présent ont une
asymptote horizontale : l'axe Ox et demande si c'est nécessaire. Les élèves, visiblement, n'en
sont pas convaincus, mais le plus souvent n'ont pas réussi à trouver d'autres solutions. Même
ceux qui ont introduit des fonctions trigonométriques, l'ont fait en général en amortissant par
des exponentielles, donc se sont retrouvés avec la même asymptote.

L'enseignante donne la parole à S. qui dit avoir introduit des cosinus. S. propose :

$$
f(x) = \cos^2(x)4e^{-ax^2}
$$

Elle replace cette proposition dans le cadre plus général de ceux qui ont cherché des fonctions
de la forme $f(x) = \cos^2(bx)4e^{-ax^2}$ et demande à quel objectif ce choix correspondait. S. reparle
d'asymptote. L'enseignante lui fait remarquer que justement ça ne change rien au niveau de
l'asymptote et S., aidé, finit par exprimer que les cosinus rajoutent des ondulations et que l'on
veut obtenir ainsi des fonctions qui ne sont pas nécessairement monotones. Il rajoute
cependant que ça ne marche pas. L'enseignante lui fait préciser s'il a fait des zooms pour
vérifier qu'il n'y avait pas d'oscillations. S. confirme que oui. Elle décide donc de le faire
collectivement pour essayer de comprendre. Les valeurs des coefficients sont fixés par les
élèves et elle entre :

$$
\#31 \quad f(x) := 4\cos^2(4x) \cdot e^{-15x^2}
$$

puis fait tracer. On ne voit effectivement pas d'oscillations, la courbe est très amortie.
L'enseignante conclut que la valeur 15 choisie est trop grande et s'apprête à la diminuer, mais
c'est la fin de la séance et des problèmes de transports empêchent tout débordement. Elle
termine en déclarant qu'elle reviendra sur cette question le lendemain.

ANALYSE A POSTERIORI

L'observation de cette séquence est, nous semble-t-il, tout à fait intéressante si l'on se réfère à notre questionnement initial ainsi qu'aux potentialités généralement attribuées au logiciel DERIVE pour l'enseignement des mathématiques.

Comme dans la plupart des situations observées, les élèves se lancent dans la recherche
proposée et y travaillent sans manifester la moindre lassitude toute la durée de la séance, à tel
point que la seconde séance dépassera le temps prévu de près d'un quart d'heure sans que
personne ne le fasse remarquer. Le problème proposé est visiblement à leur portée, tout en
constituant un vrai problème. Il offre l'avantage de pouvoir être relancé de diverses façons, en
ajoutant certaines contraintes, ce qui aide à gérer l'hétérogénéité dans l'avance des différents groupes. Il n'est d'ailleurs nullement épuisé quand s'achève la séance.

L'éventail des fonctions produites par l'ensemble des groupes est plus large que ce que l'enseignante avait prévu dans son analyse a priori. Il n'y a manifestement aucune réticence des élèves à faire intervenir des fonctions exponentielles, encore relativement nouvelles pour eux - le rappel de la séance précédente et l'introduction à cette occasion de la fonction : $x \to \exp(-x^2)$ n'y est sans doute pas complètement étranger. Les six groupes observés démarrent par des exponentielles. Ceci a l'avantage a priori de limiter le nombre de paramètres intervenant dans la définition de la fonction par rapport au choix de fonctions homographiques, mais il faut souligner que le groupe 5 qui revient très vite à des fonctions rationnelles gère tout à fait économiquement et efficacement, tant que la question de la dérivabilité n'est pas posée, le choix des paramètres. L'habitude de se situer par rapport aux fonctions de référence y contribue sans doute pour beaucoup. On peut souligner également que les recherches ne se limitent pas, dans la catégorie des fonctions exponentielles, aux seules fonctions de la forme : $x \to \exp(-ax)$ et $x \to \exp(-ax^2)$, mais que plusieurs groupes cherchent à jouer aussi sur la valeur de l'exposant de x. Les relances en termes de recherche de fonctions non monotones aboutissent, plus ou moins aidées, à la production de tels objets, dans plusieurs groupes, sous des formes diverses : sinusoïdes amorties par des exponentielles ou sommes de sinusoïdes et d'exponentielles. Il y a donc, au terme de cette phase de recherche en groupes, une richesse de production évidente de l'ensemble de la classe.

Comme l'enseignante le mentionnait dans l'analyse a priori de la situation, il semble bien que l'utilisation de DERIVE ait aidé, de façon non négligeable, cette production. Mais il est utilisé essentiellement pour les potentialités de tracé rapide, voire de tracé de familles de fonctions et de contrôle perceptif des tracés qu'il offre, une fois la zone tracée à l'écran. Il sert plus marginalement à résoudre des équations et à calculer des dérivées. De ce point de vue, il y a un écart certain entre la gestion de l'articulation graphique / algébrique sous DERIVE que l'enseignante met en oeuvre dans la synthèse et l'articulation telle que la font fonctionner les élèves pendant le travail en groupes.

Si cette articulation graphique / algébrique interne à DERIVE reste limitée dans le fonctionnement des élèves, c'est, on le voit clairement ici, parce que pour ces élèves la calculatrice est visiblement l'outil technologique familier, spontanément utilisé. Très peu d'élèves possèdent des calculatrices dotées de possibilités de calcul formel mais ceci ne semble pas doter DERIVE automatiquement d'un fort plus algébrique. Pour les tâches numériques ou algébriques mais qu'ils arrivent à ramener au numérique (par exemple, pour la résolution d'équation, en couplant avec la résolution à la main ou en bricolant une résolution approchée par essais/erreurs) la tendance générale consiste à revenir à la calculatrice. Le groupe 6 le met tout particulièrement en évidence mais ce n'est pas le seul, tous les groupes sauf le groupe 1 utilisant les calculatrices. Le groupe 2, par exemple, après avoir vérifié perceptivement avec DERIVE la conformité de la forme de la représentation graphique de la fonction $x \to 4\exp(-5x^2)$, repasse en P/C pour trouver une valeur convenable du coefficient de $x^2$ et, au lieu d'utiliser la puissance formelle de DERIVE, bricole la résolution approchée de l'équation $f(0.4)=0.4$. C'est aussi le cas du groupe 3, qui repasse en P/C pour résoudre l'équation et utilise ensuite la calculatrice pour obtenir une valeur numérique approchée. Le travail du groupe 5 sur lequel nous reviendrons montre bien d'ailleurs les connaissances DERIVE nécessaires pour piloter efficacement une telle résolution et les incertitudes que peuvent rencontrer des élèves moyennement familiers avec DERIVE comme ceux-ci face à ce pilotage. En revanche, on
notera que le calcul des dérivées, même lorsqu'il est élémentaire comme dans le cas des exponentielles, est le plus souvent effectué avec DERIVE et non à la main.

La calculatrice sert souvent aussi à effectuer des premiers essais de fonctions, à s'assurer de la conformité de l'allure. En revanche, très peu d'élèves vont se lancer dans la programmation du tracé de zone sur leur calculatrice - tracé qui est déjà implanté sous DERIVE et ne correspond pas sans doute à leur utilisation ordinaire de la calculatrice, même s'il est tout à fait possible (F. essaie dans le groupe 5 mais abandonne assez rapidement). Même sans effectuer de tracé de zone, dans le cas de fonctions monotones, il serait tout à fait possible de tester la conformité des tracés à la calculatrice puisqu'il suffit de contrôler la valeur de la fonction choisie en 0.4, ce que permet le déplacement du curseur. En fait, les élèves ne se lancent pas non plus dans cette voie et préfèrent contrôler perceptivement sous DERIVE l'adéquation des tracés, ce qui est effectivement plus économique et tout à fait efficace, vu la taille de l'écran. Il semble donc que c'est via l'existence de cette zone et via les contrôles perceptifs commodes qu'elle permet que se manifeste principalement pour les élèves observés l'utilité particulière de DERIVE par rapport à la calculatrice dans cette situation et que se trouve compensée la différence de familiarité avec les deux environnements.

Cette observation montre également les connaissances DERIVE nécessaires à une résolution non perturbée du problème posé, connaissances qui sont loin d'être stabilisées dans la plupart des groupes. On ne peut manquer d'être frappé par exemple par les difficultés rencontrées en début de séance pour aboutir à un tracé convenable de la zone (problèmes de réglage de l'échelle, de centrage, de passage en mode continu) et le fait que les rappels fournis dans la fiche élève (cf. annexe page 207) sont tout à fait insuffisants à ce niveau. Dans la première séance, l'enseignante doit intervenir personnellement dans la plupart des groupes et certains errent un quart d'heure à vingt minutes avant d'obtenir le tracé de la zone. Dans la seconde séance, forte de l'expérience précédente, l'enseignante gère collectivement cette première phase et cette gestion se révèle beaucoup mieux adaptée au public considéré.

Les difficultés rencontrées ne s'arrêtent pas là. Quelques groupes, en dépit du rappel de la fiche, n'introduisent pas l'exponentielle par Alt e et se retrouvent avec des tracés 3D sans comprendre ce qui leur arrive. Là encore, l'intervention de l'enseignante est nécessaire. Plus nombreux sont ceux qui ayant introduit correctement l'exponentielle, par analogie sans doute avec le fonctionnement de la calculatrice, oublient l'exponentiation - non rappelée dans la fiche - et se retrouvent donc, suivant l'exposant de x choisi avec des droites ou paraboles. Plusieurs, dans ce cas, s'en sortent cependant de façon autonome.

Ce n'est que lorsque ces premières difficultés sont franchies que va commencer véritablement la recherche assistée par DERIVE. D'autres difficultés interviendront ensuite dans certains groupes mais marginales par rapport à celles que nous venons de citer comme celle rencontrée par le groupe 5, liée à la double affectation des lettres que l'enseignante aura d'autant plus de mal à repérer que le curseur clignotant ne se positionne pas sur la lettre incriminée et que les expressions correspondantes ont été entre-temps effacées. On notera aussi dans l'utilisation de la fonction VECTEUR la nécessité d'avoir un intervalle [a,b] pour les valeurs du paramètre tel que b=a+np, p étant le pas, nécessité qu'il n'est pas évident de repérer puisque si elle n'est pas remplie, il ne se passe rien.

Mais, même si les élèves, une fois franchie la première phase, ne rencontrent pas de difficultés majeures liées à DERIVE dans leur recherche et arrivent à se débrouiller avec ce qu'ils en connaissent, du fait du couplage P/C et calculatrice, leur comportement montre dans beaucoup de cas des incertitudes sur la façon d'entrer et manipuler les fonctions : faut-il les déclarer ?
suffit-il d'écrire $f(x) := ?$ comment faire évaluer une fonction en un point ? ainsi qu'au niveau du
déplacement à l'intérieur des expressions et la gestion des éventuelles substitutions. A l'écoute
des bandes enregistrées, on ne peut manquer d'être frappé par le nombre de frappes de touches
et le temps pris par des opérations qui nous semblent tout à fait élémentaires, preuve que ces
dernières ne sont pas encore routinisées de façon économique. Ceux qui se débrouillent le
mieux semblent ceux qui conjuguent astucieusement l'utilisation des commandes F3 et F6 dans
des recopies relativement artisanales, mais tout à fait efficaces.

Cette observation montre bien aussi l'économie de la recherche dans un tel environnement et le rôle joué par les stratégies d'essai/ erreur appuyées sur des contrôles perceptifs directs. Elle montre aussi que l'exploitation des feed back reçus reste, comme on pouvait s'y attendre, relativement superficielle : les élèves préfèrent essayer directement autre chose que se lancer dans une interprétation fouillée des feed back reçus. Le groupe 4 par exemple, à un moment, fait tracer la courbe représentative de $x \to 4\exp(-6x^4)$ puis décide d'augmenter l'exposant de x pour faire rentrer la courbe dans la zone. Contrairement aux attentes, la nouvelle courbe se trouve au voisinage de 0 extérieure à la précédente et quasiment horizontale. Les élèves se bornent à enregistrer le phénomène et repassent à l'exposant 2.

L'enseignante prévoyait dans son analyse a priori des difficultés pour enclencher une recherche
systématique, une traduction algébrique des contraintes imposées, la justification que les
fonctions trouvées satisfont bien ces contraintes. Elle prévoyait de faire des interventions
systématiques dans ce sens auprès des groupes. Ces interventions sont manifestes dans les
groupes observées tout comme le succès limité qu'elles obtiennent. Les élèves cherchant au
départ, et cela est naturel, des fonctions décroissantes, les contraintes assurant que le tracé
reste dans la zone se traduisent en fait par la seule contrainte : $f(0.4) \le 0.4$ Cette contrainte n'est
pas en général explicitée d'emblée par les élèves. C'est une contrainte qui va apparaître dans
l'action, par le repérage de la position stratégique du coin de la zone, l'essai d'obtenir une
valeur du paramètre choisi faisant passer la courbe sous le coin et si possible exactement au
coin. Les essais effectués pour y parvenir montrent bien l'effet des modifications du paramètre
choisi et donc lorsqu'une courbe est trouvée, les élèves n'ont plus de doute sur les valeurs du
paramètre qui conviennent. Ils n'éprouvent pas le besoin de justifier davantage leur proposition
et préfèrent avancer dans la recherche, soit en rajoutant la contrainte de dérivabilité soit, si cela
à déjà été réalisé, en cherchant d'autres fonctions. La recherche ne s'épuisant pas rapidement, il
y a peu de chances d'obtenir spontanément un autre fonctionnement. On retrouve là un
phénomène classique : la validation intellectuelle ne se situe pas dans la continuité de l'action et
si cette dernière offre des modes de validation pragmatiques suffisamment convaincants, elle a
peu de chances d'intervenir spontanément tant que le registre de l'action ne se trouve pas
épuisé. Sa mise en place nécessite une autre mise en scène didactique et une nouvelle
dévolution. Ici, la synthèse collective jouera ce rôle. On pourrait envisager d'autres dispositifs,
engageant plus personnellement les élèves, comme la production de narrations de recherches et
la production, justifiée hors DERIVE, de familles de fonctions réalisant les conditions
indiquées. Il est clair que, si ce travail est absent, si les élèves ne s'y engagent pas réellement, le
travail fourni, quelle que soit par ailleurs sa richesse mathématique, risque de rester un simple
bricolage dont l'enjeu ne sera pas réellement perçu.

Si la méthode par essais et erreurs contrôlée perceptivement est la tendance dominante,
certains groupes s'en affranchissent pourtant, plus ou moins momentanément. Ainsi le groupe
2, qui résout l'équation $f(0.4)=0.4$ pour trouver une valeur adaptée du paramètre de
l'exponentielle, ici 15, tout en faisant tracer un instant plus tard les exponentielles pour des
valeurs du paramètre de 10 à 20 par pas de 2 et en ayant l'air de s'étonner que le premier tracé
ne convienne pas. Ainsi aussi de façon plus systématique le groupe 5 dans son travail avec les fonctions rationnelles et le groupe 3, lorsqu'il se lance dans la recherche de fonctions exponentielles en $x^3$ puis $x^4$ et $x^5$. Sans doute les modification ici introduites favorisent-elles le passage à une stratégie plus construite puisque lorsque l'exposant de x augmente, les valeurs du paramètre limite augmentent elles aussi, mais de façon conséquente (de 15 à 36, 90, 225). Il y a moins d'espoir qu'en deux, trois essais, on arrive au résultat.

Le rôle joué par les aspects perceptifs dans la recherche est également mis en évidence, de façon plus inattendue, par la façon dont certains groupes gèrent la contrainte de dérivée nulle en 0. Ainsi, par exemple, le groupe 3 qui, après avoir trouvé la fonction $x \to \exp(-15x^2)$, fait calculer sa dérivée par DERIVE et décide de tracer cette dérivée plutôt que de simplement calculer sa valeur en 0. Le tracé obtenu est tout à fait déroutant, un bout de graphe qui se confond avec une partie de l'axe Oy, pas nécessairement perçu, un bout de graphe dans le quatrième quadrant, laissant plutôt penser à une valeur de la dérivée infinie en 0. Ils n'en tirent pas cette conclusion, n'en reviennent pas non plus à l'expression algébrique mais décident de modifier le cadrage de la fenêtre graphique pour mieux voir. Le nouveau tracé laisse aussi peu penser que $f(0)=0$ mais présente l'avantage de montrer une dérivée positive pour x négatif et négative pour x positif, ce qui les rassure. Ils reviennent ensuite au tracé lui-même de la fonction, le trouvent pointu en 0 et décident d'essayer autre chose...

Il est aussi mis en évidence par le problème de la visualisation des oscillations. Les groupes qui tracent des sinusoïdes amorties sont visiblement très étonnés de ne pas voir d'oscillations à l'écran. Il est clair qu'il y aurait là une bonne occasion de motiver un raisonnement mathématique, par ailleurs relativement facile, pour justifier la présence de ces oscillations invisibles. Mais on voit que les intentions des élèves sont ailleurs : il faut rendre les oscillations visibles en faisant des zooms et, si ça ne marche pas, on sent bien qu'ils sont prêts à douter. Le vrai est d'abord à chercher du côté du tracé.

Les observations faites sur cette situation de recherche mettent bien en évidence, voudrions-nous souligner pour conclure, des caractéristiques importantes du fonctionnement des élèves et des situations d'enseignement dans l'environnement DERIVE, compte tenu des conditions actuelles de disponibilité de ce matériel pour les élèves, des caractéristiques qu'il est important de prendre en compte dans l'élaboration et la gestion de situations sous cet environnement :

* Le rôle à ne pas sous-estimer de la familiarité avec le logiciel, en particulier dans la gestion des fenêtres graphiques et les interactions graphiques/algébriques, plus difficiles à maîtriser que les seules commandes algébriques élémentaires, les problèmes de déclaration qu'il importe sans doute, dans une approche limitée en temps de gérer de façon simplifiée sans prendre en compte toute la richesse de DERIVE. Les différences constatées dans le fonctionnement des deux séances montrent également que l'enseignant, conscient des difficultés qu'il va rencontrer, peut aisément, dans une telle situation, limiter les dégâts dus à cette faible familiarité.

* L'interaction du travail sous DERIVE et du travail avec les calculatrices. Il est clair que la calculatrice est l'instrument privilégié et que, dans ces conditions, l'actualisation d'un certain nombre de potentialités théoriques de DERIVE n'a rien d'automatique, qu'il est faiblement exploité dans ses potentialités algébriques comme dans l'articulation algébrique/graphique. On peut estimer qu'il s'agit là d'une situation provisoire et que la diffusion imminente à des prix plus abordables de calculatrices dotées de DERIVE modifiera profondément cette donne.
* L'économie du travail sous DERIVE, qui favorise les stratégies d'exploration, d'essais/erreurs avec interprétation limitée des feed-back, les contrôles perceptifs (ici au niveau graphique comme nous l'avons vu dans d'autres situations au niveau formel), une économie du travail mathématique dont la productivité est ici évidente mais qui est différente de celle du fonctionnement P/C usuel. Le passage à des justifications et preuves moins pragmatiques ne va pas de soi et nécessite des renégociations didactiques.

Mais nous voudrions pour terminer insister sur la richesse et l'intérêt de cette activité, rappeler aussi que le fait que nous n'y retrouvions pas nécessairement les comportements mathématiques associés à une résolution P/C ne doit pas nous faire sous-estimer les compétences mathématiques, à la fois techniques et conceptuelles sous-jacentes au travail mené ici par les élèves. Une familiarité évidente avec les familles de fonctions usuelles s'y manifeste ainsi que la capacité de penser et piloter, en sachant exploiter les facilités de l'environnement, les transformations algébriques susceptibles de produire les effets graphiques recherchés. Le lecteur peu habitué à des narrations de recherche aussi détaillées pourra aussi s'étonner des errances de certaines recherches, du fait que des propriétés évidentes comme la nullité ou la non nullité de la dérivée en 0 pour les différents types d'exponentielles ne saute pas immédiatement aux yeux des élèves, au moment où ils disposent de l'expression algébrique des dérivées. Ce que nous observons là est pourtant le lot commun de l'activité de recherche en résolution de problème. Ce n'est que dans les reformulations et reconstructions ultérieures que ces démarches, toujours un peu chaotiques dès que nous n'avons pas à résoudre des problèmes routiniers ou quasi-routiniers, peuvent apparaître lisses, linéaires, les actions s'y succédant l'une l'autre dans un ordre quasi nécessaire. C'est d'ailleurs pourquoi aussi, ces reformulations et reconstructions sont incontournables si l'on veut que chaque résolution ne reste pas un cas d'espèce isolé.
# ANNEXE 1 : LE TEXTE DU POLYCOPIÉ DISTRIBUÉ AUX ÉLÈVES
## (FONCTIONS SOUS CONTRAINTES)

SEANCE DE TRAVAUX DIRIGES

Mercredi 31 Mai 1994

CLASSE : Term E

Vous devez déterminer des fonctions f :

* dérivables sur [0;6],

* telles que $f(0) = 4$,

* dont la partie de la courbe représentative correspondant à l'intervalle [0;6] soit située dans le domaine ci-contre.

Cherchez ensuite des fonctions qui, en plus des conditions précédentes vérifient :
$f'(0) = 0$.

Vous avez à votre disposition toutes les fonctions que vous connaissez,

<figure><img src="image_49.png" /></figure>

1. Vous utiliserez le fichier "ZONE" qui contient les coordonnées des points qui définissent la zone.

2. Vous partagerez l'écran en deux fenêtres : les formules et les graphiques.

Pour faciliter l'observation, n'effacez pas vos essais.

En fin de séance sauvegardez votre travail sur la disquette sous un de vos noms.

## Rappels concernants l'utilisation de DERIVE :

1. la touche F1 bascule d'une fenêtre à l'autre,

2. la touche F3 et la touche F4 permettent de recopier le contenu de la surbrillance ( sans ou avec parenthèses)

3. la touche F6 permet de changer le rôle des flèches de direction (dans les formules ou dans l'éditeur)

4. le e de la fonction exponentielle s'obtient avec ALT e

5. La commande cHoix Substitue permet de remplacer une variable par une valeur numérique ou par une expression.

6. Si la zone ne se trace qu'avec les points isolés, pensez dans la fenêtre graphique à la commande Option Etat Continu

7. La fonction VECTEUR permet d'obtenir une famille de fonctions dépendants d'un paramètre.

VECTEUR(a x, a, -2,3,1) donne après simplification : [-2x,-x,0,x,2x,3x]
# ANNEXE 2 : TRACÉS ACCOMPAGNANT L'ANALYSE A PRIORI DE
L'ENSEIGNANTE

## Quelques résultats possibles

Avec des fonctions homographiques :

<figure><img src="image_50.png" /></figure>

TRANSFERT IMPRIME FICHIER: Expressions écran feMètre

Entrez une option
Simp(51)

D:ZONRATIO.MTH

Lib.:99% Ins

Derive Algèbre

Avec exp(-ax) :

<figure><img src="image_51.png" /></figure>

TRANSFERT IMPRIME FICHIER: Expressions écran feMètre

Entrez une option
Approx(21)

D:ZONEXP1.MTH

Lib.:98% Ins

Derive Algèbre

On aurait pu ajouter $f(x) = 0.2 + 3.8\cos(6x)e^{-ax}$
$f'(0) = 0$

Avec exp(- a x²)

<figure><img src="image_52.png" /></figure>

TRANSFERT IMPRIME FICHIER: Expressions éCran feNêtre

Entrez une option

Utilisateur D:20MEXP3.MTH Lib.:94% Ins Derive Algèbre

Avec une fonction non monotone

Ici la recherche systématique devient très vite trop compliquée pour les élèves.

si $f(x) = 4 \cos^2(4x)e^{-a x^2}$.

On pourra faire observer ce qui se passe quand on change 4 x en 8 x par exemple.

<figure><img src="image_53.png" /></figure>

TRANSFERT IMPRIME FICHIER: Expressions éCran feNêtre

Entrez une option

Utilisateur D:20MEXCOS.MTH Lib.:99% Ins Derive Algèbre
TRAVAIL EFFECTUÉ À LA SÉANCE PRÉCÉDENTE

<figure><img src="image_54.png" /></figure>

TRANSFERT IMPRIME IMPRIMANTE: Expressions éCran feNêtre

<figure><img src="image_55.png" /></figure>

TRANSFERT IMPRIME IMPRIMANTE: Expressions éCran feNêtre
# V.3 TRIGONOMETRIE 1

## CONTEXTE DE L'OBSERVATION

Cette séance a été observée en fin d'année (17 mai 1994). Il s'agit d'une séance de révision de trigonométrie, pour laquelle la classe était dédoublée. DERIVE a été régulièrement utilisé dans la classe pendant l'année scolaire : une dizaine d'interventions ponctuelles sur poste unique avec rétro-projection, piloté par l'enseignant ou des élèves, pour des corrections d'exercices ou l'introduction de notions nouvelles, dix séances de TD en salle informatique par demi-classe (cinq avec utilisation imposée de DERIVE, cinq avec utilisation possible mais non imposée). D'autre part, la classe a bénéficié de 13 quadernos équipés de DERIVE pendant 6 mois, utilisés en rotation (chaque élève disposant d'un quaderno une semaine sur deux). Il n'y a pas eu de familiarisation spécifique avec la trigonométrie sous DERIVE.

Pour cette séance, les élèves disposaient, outre DERIVE, du formulaire officiel et de leur calculatrice. Ils pouvaient travailler seuls ou par groupes de deux. La plupart ont travaillé en groupe.

## PRÉSENTATION DES ACTIVITÉS PROPOSES

La séance est organisée autour de l'étude de l'équation trigonométrique :

$$ \cos x+\cos 3x+\cos 5x=0 $$

Dans un premier temps les élèves doivent trouver plusieurs expressions différentes du premier membre de cette équation, en s'aidant éventuellement de DERIVE. Ils n'ont pas à justifier leurs propositions qu'ils doivent noter sur une feuille de réponse où des lignes numérotées de 1 à 8 sont prévues à cet effet (cf. annexe page 236). Ils doivent ensuite indiquer les numéros des expressions qui leur semblent a priori bien adaptées à la résolution de l'équation. Enfin, ils doivent résoudre l'équation et, même s'ils utilisent DERIVE, produire une résolution complète comme s'ils n'avaient pas disposé du logiciel. Il est prévu de demander à ceux qui auraient éventuellement terminé avant la fin de la séance de commencer à étudier la fonction associée au premier membre de l'équation.

## ANALYSE DE LA SÉANCE EFFECTUE PAR L'ENSEIGNANT

### Objectifs :

La séance vise une révision du chapitre de trigonométrie qui a été traité depuis quelque temps déjà, plus précisément il s'agit de «revoir qu'une expression trigonométrique peut revêtir plusieurs formes, diversement adaptées à la résolution d'un problème donné, revoir également la forme particulière de la multiplicité des solutions des équations trigonométriques», et raviver et manipuler à nouveau à cette occasion les formules de trigonométrie au programme.

### Intérêt supposé de DERIVE :

L'enseignant souligne dans l'analyse a priori quatre points :

* DERIVE peut fournir à l'élève rapidement diverses expressions équivalentes à l'expression donnée, sans qu'il ait besoin d'effectuer les calculs correspondants. Ceci devrait permettre à tous les élèves de prendre conscience de cette multiplicité de formes possibles et de se lancer dans la réflexion souhaitée sur l'adéquation respective des formes obtenues pour la résolution de l'équation, en s'affranchissant de difficultés éventuelles de calcul.
* DERIVE ne résolvant pas une équation trigonométrique indépendamment de sa forme de présentation, l'utilisation du logiciel constitue un moyen de faire apparaître l'intérêt d'une réflexion sur l'adéquation de telle ou telle forme à la résolution comme une nécessité de la situation et non seulement comme une attente de l'enseignant.

* Lorsque DERIVE arrive à résoudre une équation trigonométrique, il ne présente pas les solutions sous la forme habituelle faisant intervenir la période mais fournit la liste des solutions situées dans un certain intervalle, variable d'une équation à l'autre. Donc, l'élève qui utilise DERIVE doit, de toutes façons, à partir des solutions DERIVE, fournir un travail mathématique pour reconstituer l'ensemble de toutes les solutions.

* DERIVE enfin permet, comme les calculatrices graphiques, de mener une approche graphique de la résolution. Dans ce cas précis, une telle approche peut conduire aisément à conjecturer la forme des solutions, puisque l'expression proposée pouvant aussi s'exprimer sous la forme : $\sin(6x)/2\sin x$, la périodicité des racines et leurs valeurs sont graphiquement repérables, même sur un intervalle assez limité (cf. annexe page 242 pour le tracé).

L'enseignant estime également que, si DERIVE fournit aisément des expressions équivalentes à l'expression initiale, la façon dont ces expressions sont obtenues reste, elle, relativement opaque. Ceci, de son point de vue, peut engendrer un travail ultérieur sur la façon de parvenir aux expressions proposées en utilisant les moyens disponibles en Terminale C. Ce travail est d'ailleurs amorcé dans la séance par la demande d'une rédaction de la résolution de l'équation de type bac.

L'enseignant est par ailleurs bien conscient que DERIVE, même s'il peut l'aider, n'est pas nécessaire au fonctionnement de cette activité. Certains élèves peuvent spontanément mettre en oeuvre la stratégie particulièrement efficace consistant à regrouper soit cosx et cos5x, soit cos3x et cos5x, aboutir ainsi à une expression factorisée simple : $(\cos3x)(1+2\cos x)$ dans le premier cas, $(\cos x)(1+2\cos4x)$ dans le second puis résoudre l'équation proposée sans aucun recours à DERIVE. C'est pour ces élèves que la question supplémentaire d'étude de la fonction associée est prévue, une étude qui met en jeu des équations trigonométriques plus complexes à résoudre en P/C.

### Connaissances DERIVE nécessaires :

*Sont supposées connues : l'introduction des données, l'utilisation des commandes algébriques usuelles : Simplifie, Factor, dévEloppe, résoL... ainsi que l'entrée de fonctions et les commandes liées à leur représentation graphique.*

La commande de substitution qui a été moins fréquemment utilisée, fait l'objet d'un rappel dans la fiche distribuée aux élèves (cf. annexe page 236).

Les options concernant les transformations trigonométriques ont été à l'occasion utilisées en classe avec tel ou tel groupe d'élèves mais n'ont jamais fait l'objet d'une présentation systématique. Elles sont présentées succinctement dans la fiche distribuée aux élèves : les neuf possibilités résultant des trois options (Auto, dévEloppé, Contracté) et des trois directions (Auto, vers Sinus, vers Cosinus) sont indiquées et il est précisé que les commandes Simplifie, Factor, resoL peuvent agir différemment suivant l'option choisie. Il est conseillé d'essayer, en faisant jouer prioritairement les options, la direction étant fixée à «Auto».

### Comportements, difficultés attendus :
Dans cette situation, l'utilisation de DERIVE n'est pas imposée, elle est cependant suggérée par l'énoncé et favorisée bien évidemment par l'organisation matérielle de la séance. L'enseignant pense que certains élèves, n'aimant pas l'informatique ou désireux de se mettre dans les conditions du baccalauréat préféreront utiliser le formulaire que DERIVE. Il n'est pas sûr qu'ils parviennent ainsi à des formes bien variées, ni à résoudre l'équation, soit qu'ils n'obtiennent pas de forme adaptée, soit qu'ils ne résolvent que partiellement les équations du type : cosx = a.

Pour ceux qui utiliseront tout de suite DERIVE (sans doute dans le cadre algébrique et non dans le cadre graphique), l'enseignant pense qu'ils arriveront à obtenir plusieurs formes en variant les options et directions trigonométriques et les commandes mais il fait l'hypothèse qu'ils n'exploiteront que faiblement les possibilités du logiciel et qu'en particulier, ils n'utiliseront pas très spontanément des transformations portant sur des sous-expressions. En ce qui concerne la résolution de l'équation proprement dite, il s'attend à une dispersion assez forte des comportements et à quelques résolutions correctes, au moins partielles. L'enseignant ne pense pas que l'utilisation de DERIVE amènera les élèves vers la stratégie la plus efficace pour l'équation proposée. En effet, les formes les plus aisées à obtenir avec DERIVE semblent les expressions polynomiales : 16cos⁵x-16cos³x+3cosx (directement obtenue avec la commande Simplifie pour l'option «dévEloppé» - directions : «Auto» et «vers Cosinus») et cosx(16sin⁴x-16sin²x+3) obtenue par la même commande avec l'option «dévEloppé» - direction : «vers Sinus», les modes «Auto» et «Contracté» n'ayant aucun effet sur l'expression initiale, en dehors de modifications d'ordres de termes. Certains élèves penseront peut-être au changement de variable X = cosx, mais l'enseignant se demande s'ils penseront à utiliser DERIVE pour la factorisation ou la résolution de l'équation correspondante.

L'enseignant pense intervenir au bout de 20mn en utilisant la tablette de rétro-projection pour faire un premier bilan et mettre en évidence le fait que, seul l'option «dévEloppé» permet de transformer l'expression initiale, la factoriser et obtenir des solutions à l'équation par la commande resol. Il pense également leur demander de réfléchir à la question suivante : est-ce-que les solutions obtenues avec DERIVE conviennent toutes et sont complètes ?

Il pense aussi intervenir auprès des élèves qui rédigeront une solution se limitant à vérifier des résultats obtenus par DERIVE pour leur rappeler que la consigne consiste à rédiger une résolution acceptable un jour d'examen, donc indépendante de l'utilisation de DERIVE.

Une séance de bilan et institutionnalisation est prévue trois jours après, en classe entière.
L'enseignant prévoit d'y insister sur les points suivants :

1 intérêt de la factorisation pour la résolution d'équations non triviales,

2 résolution des équations de la forme cosx = a et sinx = a, représentation des solutions sur le cercle trigonométrique, gestion des 2kπ,

3 méthodes de factorisation d'expressions trigonométriques :

- par utilisation de formules trigonométriques, en particulier formules de transformation de sommes en produits,

- par utilisation de la formule de Moivre qui permet de transformer cos(nx) et sin(nx) en polynômes en cosx et sinx et utilisation de la relation : sin²x+cos²x = 1 pour se ramener à un polynôme en sinx ou cosx,

et souligner que l'intégration des expressions trigonométriques pose le problème inverse : celui
de la linéarisation.
# EXEMPLES DE DÉROULEMENT

## Groupe 1 (première séance) :

Il est constitué de deux filles notées E. et M.

L'enseignant distribue la fiche d'activité, la fiche réponse et introduit la séance en sept à huit minutes, en demandant aux élèves de lire attentivement la fiche d'activité. Il souligne la présence dans cette fiche de conseils utiles sur l'utilisation de DERIVE. Il rappelle aux élèves qu'ils ont le droit d'utiliser aussi leur formulaire et leur calculatrice, qu'ils peuvent travailler individuellement ou par groupes de deux, que bien sûr, ils ont le droit de faire des brouillons. Il commente ensuite brièvement la fiche en précisant que, pour la troisième question, résolution de l'équation, ce qui est demandé, c'est de trouver d'abord les solutions, par n'importe quel moyen, puis ensuite de rédiger une solution acceptable un jour d'examen.

E. lit le formulaire : «Ce truc là cos5x, c'est comme (a+b)n dans le cours avec les complexes». Elle prend son cours et pendant ce temps, M. lance DERIVE et entre l'expression sous la forme : $f(x) := \cos(x) + \cos(3x) + \cos(5x)$, en se posant des questions sur la nécessité d'espaces après := et de parenthèses autour de x.

E. a retrouvé dans son cours les formules d'Euler et de Moivre ainsi que le calcul détaillé de cos30. Elle est satisfaite et suggère de faire de même pour cos50 : développer $(\cos\theta+\sin\theta)^5$ puis identifier à la partie réelle.

M. sort sa calculatrice Casio graphique. E., qui voit l'expression entrée sous DERIVE, a une autre idée. Elle propose d'utiliser la commande «dévEloppe», ça lui paraît plus simple que de se lancer dans les calculs. DERIVE retourne la même expression, à l'ordre des termes près et elles sont désappointées. M. cherche dans les mémoires de sa calculatrice où elle se souvient vaguement d'avoir stocké des formules et calculs trigonométriques puis, ne trouvant pas, abandonne et revient à DERIVE. Elle commence à recopier l'expression et E. lui montre comme aller plus vite avec la touche F3. M. rentre alors l'équation et demande à DERIVE sa résolution, deux fois de suite, sans succès.

Le professeur passe et leur demande où elles en sont. Elles lui disent que DERIVE ne fait rien et il leur demande si elles ont bien utilisé toutes les possibilités offertes par le mode trigonométrique. Elles conviennent que non et il s'en va.

### 15 minutes :

Elles font divers essais sous DERIVE mais en restant dans l'option «Auto» : Simplifie, resol, Factor..., rien ne se passe. Elles en sont à leur douzième expression quand elles changent d'option et passent «dévEloppé». Via la commande resol, elles obtiennent alors l'affichage de 15 solutions :

$$ -\frac{5\pi}{6}, -\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3}, \frac{11\pi}{6} $$

E. dicte à M. qui note.

### 20 minutes :

Elles remontent ensuite à l'expression initiale et la font simplifier par DERIVE obtenant :

$$ 16\cos^5x-16\cos^3x+3\cos x $$
E. repère le cos⁵x qui doit venir de cos5x et M. note. E. demande une nouvelle simplification, puis un développement. Il ne se passe rien. Elle remonte alors à la première expression et demande sa factorisation, obtenant : cosx(1-4sin²x)(2cosx-1)(2cosx+1). Elles sont satisfaites et M. note cette factorisation.

A ce moment-là, l'enseignant interrompt le travail en groupes pour la mise au point collective prévue, en disant qu'il va juste donner quelques indications pour la première question. Il rappelle les trois options et les trois directions disponibles dans le mode trigonométrique et le fait, constaté par la plupart des groupes que les options «Contracté» et «Auto» ne donnent rien mais qu'en utilisant l'option dévEloppé, on obtient des expressions différentes. Il active successivement pour cette option les commandes : Simplifie, dévEloppe, Factor en essayant les différents niveaux de factorisation. Il insiste sur le fait que l'on obtient ainsi différentes expressions, conseille à ceux qui n'ont pas avancé de faire eux-mêmes quelques essais et, à tout le monde, de ne pas rester trop longtemps sur cette première question, de passer assez vite à la résolution de l'équation.

### 30 minutes :

Quand cette phase collective s'arrête, E. et M. reviennent à la partie 1. Elles utilisent diverses commandes : Simplifie, dévEloppe, resoL, obtiennent de nouveau la même liste de solutions, puis l'expression nouvelle : cos³x(4-16sin²x)+cosx(4sin²x-1).

M. suggère d'arrêter : «C'est bon, on en a trois !»

E. est un peu réticente car il y a huit lignes sur la feuille, elle tente une autre factorisation et obtient : cosx(1-4sin²x)(4cos²x-1).

M. insiste pour passer à la question suivante et l'emporte. Elles ont alors écrit :

$$1. f(x) = 16\cos^5x - 16\cos^3x + 3\cos x$$

$$2. f(x) = \cos x(1 - 4\sin^2 x)(2\cos x - 1)(2\cos x + 1)$$

$$3. f(x) = \cos^3 x(4 - 16\sin^2 x) + \cos x(4\sin^2 x - 1)$$

$$4. f(x) = \cos x(1 - 4\sin^2 x)(4\cos^2 x - 1)$$

Sans hésiter, E. déclare que ce sont les formes 2 et 4 qui sont bien adaptées à la résolution de l'équation et M. est d'accord.

Elles passent à la résolution proprement dite. M. demande à E. de faire résoudre cosx = 0. E. met cosx en surbrillance, tout en disant que cosx = 0, M. pourrait le faire à la main. M., d'accord, suggère alors de faire la suivante. E. le fait et les réponses s'affichent. E. fait remarquer qu'elles devraient trouver des réponses qu'elles ont déjà et elle décide de noter pour comparer plus facilement. La première réponse : $-\frac{7\pi}{6}$ n'est justement pas dans la première liste. Elles passent alors toutes les solutions en revue, constatent qu'il y en a le même nombre : 15, que toutes sont les mêmes sauf aux extrémités : il y a $-\frac{7\pi}{6}$ en plus et il manque $\frac{11\pi}{6}$. « En plus, ce n'est pas le même signe » dit E.

### 35 minutes :
M., après réflexion, suggère que $-\frac{7\pi}{6}$, c'est peut-être la même chose que $\frac{11\pi}{6}$ et prend sa calculatrice pour comparer. Le professeur passe et leur demande où elles en sont. Elles expliquent leur problème avec ces solutions qui devraient être les mêmes et ne le sont pas tout à fait.

Le professeur leur demande comment voir avec les mesures si c'est les mêmes ou pas. M. propose de dessiner, E. dit que c'est peut-être $2\pi$ moins... mais le professeur ne l'entend pas et, reprenant la proposition de M., demande de placer les deux angles sur le cercle trigonométrique.

M. essaie de placer $-\frac{7\pi}{6}$ mais, visiblement, a du mal. Elle transforme l'angle en degrés. E. poursuivant son idée, écrit : $\frac{12\pi}{6} - \frac{11\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.

Le professeur explique à M. comment placer $-\frac{7\pi}{6}$ sur le cercle trigonométrique et s'en va.

40 minutes :

E. constate que ce n'est pas $\frac{11\pi}{6}$ puisque $\frac{11\pi}{6}$ c'est comme $-\frac{\pi}{6}$. Elles commencent à être perdues, pensent « qu'elles se compliquent inutilement la vie » et décident de revenir à la résolution des équations partielles associées aux facteurs de l'expression 4.

Elles font donc résoudre : $1-4\sin^2x=0$ et notent les réponses données par DERIVE : les six solutions comprises entre : $-\frac{7\pi}{6}$ et $\frac{7\pi}{6}$.

Elles résolvent ensuite : $4\cos^2x-1=0$ et DERIVE leur fournit les 6 solutions comprises entre $-\frac{2\pi}{3}$ et $\frac{5\pi}{3}$. Elles notent.

E. dit à M. : «Il nous manque plus que $\cos x = 0$ ; je te le laisse.»

M. répond : «C'est $\frac{\pi}{2}$ et $-\frac{\pi}{2}$»

Le professeur passe et leur demande si elles ont avancé. M. lui dit qu'elles n'ont pas résolu le problème de tout à l'heure, c'était trop compliqué, mais qu'elles ont trouvé quand même les solutions. E. explique comment elles ont fait.

Le professeur leur demande si elles ont comme ça toutes les solutions. E. ne sait pas, M. propose de rajouter chaque fois $2\pi$. Il leur demande alors comment elles feraient si elles avaient à résoudre à la main. Elles reparlent de $2\pi$ et $2k\pi$, sans beaucoup de conviction. Le professeur demande alors à M. de représenter toutes les solutions trouvées sur le cercle trigonométrique comme tout à l'heure. M. retrace un cercle trigonométrique et place $\frac{5\pi}{6}$.

45 minutes :
Elle s'aperçoit alors que $\frac{5\pi}{6}$ occupe la même position que le $-\frac{7\pi}{6}$, placé la première fois. Elle en déduit tout de suite que $-\frac{5\pi}{6}$ correspond lui à $\frac{7\pi}{6}$. Elles sont toutes les deux satisfaites d'avoir relié ces deux valeurs. Cela suffit visiblement à les rassurer sur la compatibilité des deux listes de solutions obtenues avec DERIVE et elles ne creusent pas plus loin la recherche, par exemple en trouvant l'angle de la première liste qui correspond au $\frac{11\pi}{6}$ qui apparaît uniquement sur la seconde liste d'ailleurs maintenant invisible à l'écran.

Elles décident de placer systématiquement tous les angles solutions, en barrant au fur et à mesure les angles de la liste recopiée.

L'enseignant annonce collectivement qu'il ne reste plus que cinq minutes environ et demande de se centrer sur la rédaction de la fiche de réponses.

M. propose à E. de recopier en mettant, sous équation par sous équation, les valeurs trouvées par DERIVE, en rajoutant chaque fois : +k.2π. E. pense, elle, qu'il vaut mieux garder les valeurs les plus simples et M. se rallie à son opinion. Elles décident pour cela de suivre toutes les listes données par DERIVE et de rayer au fur et à mesure les doublons, M. vérifiant de son côté sur le cercle trigonométrique. En fait, M. retrace un cercle (elle dit à E. que finalement «elle aime bien ça») et, par erreur, partage le cercle en six, donc modulo $\frac{\pi}{3}$ en croyant faire un partage modulo $\frac{\pi}{6}$.

50 minutes :

$-\frac{7\pi}{6}$ est d'abord rayé car elles ont déjà trouvé que «c'est la même chose que $\frac{5\pi}{6}$». Par la suite, $\frac{5\pi}{6}$ sera lui aussi rayé car, sur le cercle trigonométrique erroné, il se trouve confondu avec $-\frac{\pi}{6}$. Elles ne repèrent pas l'incohérence avec ce qui précède. M. est arrêtée avec $\frac{2\pi}{3}$ qu'elle trouve égal à $\pi$ ; E. lui montre en comptant sur le cercle qu'elle se trompe, puis revient à $\frac{7\pi}{6}$ et se sert elle aussi du cercle trigonométrique de M. pour l'évaluer. Elle trouve qu'il correspond à $\frac{\pi}{6}$ et décide de le barrer lui aussi de la liste. Finalement, elle se retrouvent avec, comme ensemble de solutions : $-\frac{2\pi}{3}$, $-\frac{\pi}{2}$, $-\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{2\pi}{3}$.

Elles passent à la rédaction mais n'ont que le temps d'écrire : $\cos x = 0$ : $x = \frac{\pi}{2}$ ou $x = -\frac{\pi}{2}$ avant la fin de la séance, pour cette partie 3.

Groupe 2 (deuxième séance) :
Il s'agit d'un groupe de deux garçons notés dans la suite F. et J. Le professeur introduit cette seconde séance comme il l'a fait pour la première, en une dizaine de minutes et les élèves lancent tout de suite DERIVE.

F. tape l'expression sans parenthèses puis rajoute des parenthèses. J lui dit : «Tu peux faire résoudre tout de suite» mais F. n'est pas satisfait de son entrée et préfère effacer et recommencer en déclarant une fonction f. J. commente que c'est inutile pour ce qu'ils veulent faire et se plonge dans son formulaire. Il recopie sur son brouillon :

$$ \cos(a+b)=\cos\alpha\cos b-\sin\alpha\sin b $$

contemple cette formule un moment, puis l'efface et recopie dessous :

$$ \cos p+\cos q = 2\cos\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2} $$

Il pose ensuite : p = x, q = 3x et fait la substitution, arrivant ainsi à :
$$ \cos x+\cos 3x = 2\cos 2x \cos x \quad \text{et} \quad \cos 5x+\cos x+\cos 3x = 2\cos 2x \cos x+\cos 5x $$

Il semble déçu que l'expression obtenue ne se simplifie pas davantage.

Pendant ce temps, F. a essayé diverses commandes DERIVE : Simplifie, dévEloppe, Factor, obtenant chaque fois la même expression. Au début, il efface systématiquement ses essais infructueux et l'observateur intervient pour lui demander d'éviter d'effacer le plus possible. Après ces divers essais, F. change d'option et passe en option «Contracté». Il essaye à nouveau les différentes commandes, sans plus de succès et décide d'abandonner DERIVE. Il le dit au professeur qui passe et lui demande où il en est : «J'ai essayé factorise, simplifie, développe en mode auto et contracté et ça ne donne rien, alors je vais faire à la main.'

15 minutes :

J. applique la formule $\cos x+\cos q$ à $\cos 3x+\cos 5x$ puis à $\cos x+\cos 5x$ faisant donc les deux transformations les plus efficaces pour la résolution de l'équation. Il note :

$$ \cos 3x+\cos 5x = 2\cos 4x \cos x $$

$$ \cos x+\cos 5x = 2\cos 3x \cos 2x $$

puis :

$$ f(x) = 2\cos 2x \cos x + \cos 5x $$

$$ f(x) = 2\cos 4x \cos x + \cos x $$

$$ f(x) = 2\cos 3x \cos 2x + \cos 2x $$

et il encadre ces trois expressions.

F. s'est lui lancé dans la transformation de $\cos 3x$ en utilisant la formule $\cos(a+b)=...$. J. lui dit que ça ne va pas marcher car il va avoir des sinus. F. continue quand même et arrive à :

$\cos x(2\cos^2x-1)-2(1-\cos^2x)$ qu'il factorise : $\cos x(4\cos^2x-3)$. Il veut ensuite utiliser DERIVE pour vérifier son calcul. Il en discute avec J. puis, sur sa suggestion, décide d'utiliser plutôt la calculatrice et de faire tracer les deux expressions pour contrôler le calcul.

J., lui, semble en panne. Il a contemplé un moment les trois expressions encadrées sans rien dire puis est revenu à son formulaire.
Le professeur passe, regarde ce qu'ils font et ne fait aucun commentaire.

20 minutes :

F. obtient sur la calculatrice une sinusoïde et en est très étonné. Il regarde les expressions obtenues par J., compare avec la sienne et conclut qu'il a du se tromper. Assez vite cependant, il réalise qu'il n'a calculé que cos3x et que c'est pour cela qu'il a une sinusoïde et sans doute des expressions différentes de celles de J. Il passe alors au calcul de cos5x.

Pendant ce temps J. écrit : $f(x)=\cos x(2\cos 4x+1)$ puis, à l'aide du formulaire retransforme cette expression en : $\cos x(2(\cos^2 2x - \sin^2 2x)+1)$. Il reprend ensuite la forme : $f(x) = \cos 3x(2\cos 2x+1)$ et la transforme à son tour en :

$$ \cos 3x(2(\cos^2 x - \sin^2 x) + 1) \text{ puis } \cos 3x(2(\cos^2 x - \frac{1}{2}(1 - \cos 2x) + 1). $$

Il s'arrête alors et dit à F. : «Ca y est, j'en ai plusieurs et toi, tu en as combien ?»

F. répond : «Pas même encore une !» Il en est en effet toujours à décomposer cos5x et est arrivé à :

$$ 2(2\cos^2 x - 1)^2 - 1)\cos x - 4\sin x \cdot \cos x \cdot \sin x(2\cos^2 x - 1). $$

25 minutes :

Le professeur interrompt alors le travail en groupes pour un point collectif similaire à celui déjà décrit pour l'autre groupe. Il montre de plus qu'à partir de l'expression polynomiale de degré 5 en cosx factorisée sous la forme : $\cos x(16\cos^4 x - 16\cos^2 x + 3)$ obtenue en option «dévEloppé», en repassant en option «Contracté» et en demandant la simplification du second facteur, on obtient l'expression : $\cos x(2\cos 4x+1)$. Comme dans l'autre groupe, il demande aux élèves de ne pas s'attarder sur cette première partie et d'en venir assez vite à la résolution de l'équation.

30 minutes :

J. et F., après cette intervention collective, essaient de reproduire les manipulations du professeur. Ils obtiennent ainsi successivement :

$$ \bullet 16\cos^5 x - 16\cos^3 x + 3\cos x $$

$$ \bullet \cos x(1 - 4\sin^2 x)(2\cos x - 1)(2\cos x + 1) $$

$$ \bullet 16\cos x(\cos x - \frac{1}{2})(\cos x + \frac{1}{2})(\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2})(\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}) $$

$$ \bullet \cos x(16\cos^4 x - 16\cos^3 x + 3) $$

et enfin :

$$ \bullet \cos x[16(\cos x - \frac{1}{2})(\cos x + \frac{1}{2})(\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2})(\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2})] $$

par factorisation radicale du second facteur de l'expression précédente.

J. commente : «C'est vrai que c'est plus simple mais le problème c'est qu'on ne sait pas ce qu'on va obtenir».
Ils décident d'écrire sur la feuille de réponse ce qu'ils ont obtenu avec DERIVE. En fait, ils ne reproduisent que les quatre premières ayant repéré que la cinquième est identique à la troisième, à l'ordre près.

Le professeur passe et ils lui demandent s'il faut en mettre huit. Il répond que ce n'est pas nécessaire et les encourage à passer rapidement à la résolution de l'équation, avant de repartir.

35 minutes :

Visiblement, F. et J. ne sont pas très satisfaits de n'écrire que quatre expressions alors qu'il y a huit lignes prévues. J. pense alors aux expressions qu'il avait trouvées au début en travaillant en P/C. F. lui demande si elles sont justes et J. répond qu'il ne sait pas. F. lui conseille de tracer pour contrôler (il l'avait lui même fait précédemment, rappelons-le). De fait, il ne le fera pas et dictera simplement à F. les deux premières expressions trouvées :

$$ \bullet \ 2\cos2x\cos x+\cos5x $$

$$ \bullet \ 2\cos3x\cos2x+\cos3x $$

F. lui demande s'il en a d'autres et J. répond que ce n'est pas la peine de les prendre car «ça devient trop compliqué».

Ils passent ensuite à la question 2 et répondent très vite que ce sont les formes 2 et 3 qui sont le mieux adaptées car, dit J., «il faut prendre les produits de facteurs».

Le professeur passe et F. lui demande si, pour la résolution, il faut partir de l'équation ou des expressions. Le professeur répondant : «ce que vous voulez», F. conclut «qu'ils vont avoir fini en trois minutes». Il écrit alors directement sur la feuille de réponse :

$$ f(x) = 0 \Leftrightarrow \cos x = 0 \text{ ou } \cos x - \frac{1}{2} = 0 \text{ ou } \cos x + \frac{1}{2} = 0 \text{ ou } \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \text{ ou } \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 $$

$$ \text{puis : } \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} \text{ ou } x = -\frac{\pi}{2} $$

J. regarde puis trace un cercle trigonométrique. F. aussi et il se sert du cercle pour obtenir les solutions des autres équations partielles, écrivant sur sa feuille de réponse :

$$ \cos x - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3} \text{ ou } x = -\frac{\pi}{3} $$

$$ \cos x + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \cos x = -\frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{2\pi}{3} \text{ ou } x = -\frac{2\pi}{3} $$

$$ \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6} \text{ ou } x = -\frac{\pi}{6} $$

$$ \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \Leftrightarrow \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow x = \frac{5\pi}{6} \text{ ou } x = -\frac{5\pi}{6} $$

J., de son côté, écrit sur son brouillon :

$$ \cos x = 0 \qquad x = \frac{\pi}{2} (\pi) $$
$$ \cos x = \frac{1}{2} \quad x = \frac{\pi}{3} (2\pi) \text{ ou } -\frac{\pi}{3} (2\pi) $$

$$ \cos x = -\frac{1}{2} \quad x = \frac{2\pi}{3} (2\pi) \quad \frac{7\pi}{3} (2\pi) $$

$$ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad x = \frac{\pi}{6} (2\pi) \quad -\frac{\pi}{6} (2\pi) $$

$$ \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \quad x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} (2\pi) \quad \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} (2\pi) $$

puis, regardant les solutions de F., il corrige les deux erreurs sans rien dire.

J. propose ensuite de tracer pour voir et active la commande graPh. mais il ne sait pas bien ce qu'il doit faire ensuite et F. le guide efficacement. Après avoir convenablement partagé la fenêtre, F. s'attend en revanche à ce que le graphe soit tracé automatiquement et trouve que DERIVE met beaucoup de temps. Puis il réalise qu'il a oublié le second graPh, le fait et obtient le graphe (cf. figure page 242).

### 45 minutes :

Le professeur passe à ce moment là et leur demande ce qu'ils font. J. répond : «Un graphique». Le professeur demande pourquoi. F. répond : «Bof ça ne sert pas à grand chose, c'est pour vérifier les solutions». Le professeur lui fait alors remarquer qu'alors ça ne sert pas à rien et leur explique comment se déplacer le long de la courbe avec le curseur.

F. et J. déplacent le curseur, s'arrêtant sur les racines, mais ne faisant pas de commentaires particuliers et ne notant rien. J. se demande s'ils les voient toutes et propose de faire un zoom. F. l'aide à effectuer le zoom et ils obtiennent la figure 2, qu'ils regardent mais ne cherchent pas vraiment à interpréter. Ils repassent dans la fenêtre d'algèbre, écrivent l'équation : $\cos x+\cos3x+\cos5x = 0$ et demandent sa résolution.

### 50 minutes :

Le professeur passe juste à ce moment là, regarde ce qu'ils ont écrit sur les feuilles de réponse et leur demande s'ils ont justifié l'expression dont ils sont partis pour résoudre l'équation. J. répond qu'elle peut être justifiée puisqu'elle est juste mais visiblement il n'a pas trop envie de se lancer dans le calcul ou ne voit pas comment faire de façon immédiate. F. repense à ce qu'il a fait au début et dit qu'on peut développer $\cos3x$, on obtient des formules avec des $\cos^3 x$ puis $\cos5x$.

Le professeur leur suggère d'essayer peut-être d'arriver plus directement à l'expression factorisée et s'en va.

Les deux élèves remontent dans DERIVE pour voir les différentes expressions et sont très hésitants. J. recopie les solutions au propre sur sa feuille et F. rajoute sur la sienne :

«$f(x)$ a pour période $2\pi$, donc on étudie la fonction entre $-\pi$ et $\pi$»

La séance s'achève peu après.

groupe 3 (première séance) :
Il s'agit d'un groupe constitué de deux garçons, que nous noterons H. et T. ; ces deux garçons communiquent peu verbalement pendant la séance.

Le professeur introduit la séance et T. sort chercher sa calculatrice. Pendant ce temps, H. lance DERIVE et entre l'expression sous la forme f(x) :=...

Ils essaient ensuite les diverses commandes possibles, avec l'option par défaut : «Auto», puis l'option «Contracté», obtenant successivement huit expressions qui ne se différencient que par l'ordre des termes.

15 minutes :

Ils finissent par essayer l'option «dévEloppé» et obtenir l'expression polynomiale en cosx. Ils sont contents et disent au professeur qui passe à ce moment là que ça marche. Deux essais successifs les ramènent ensuite à l'expression initiale puis ils essaient la commande de factorisation, en choisissant d'emblée l'option «Radical». Ils obtiennent ainsi l'expression :

$$16\cos x(\cos x - \frac{1}{2})(\cos x + \frac{1}{2})(\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2})(\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}).$$

Ils notent cette expression, puis font résoudre l'équation associée, obtenant les 15 solutions comprises entre $-\frac{5\pi}{6}$ et $\frac{11\pi}{6}$. Ils les recopient au brouillon.

Ils passent ensuite cinq bonnes minutes à essayer les diverses options, en particulier l'option Contracté, les commandes de simplification et factorisation, sans rien obtenir de nouveau (le fichier informatique reproduit 10 fois de suite soit l'expression initiale, soit l'équation).

25 minutes :

Interruption collective de l'enseignant.

30 minutes :

H. et T. examinent leurs expressions pour voir lesquelles, parmi celles montrées par l'enseignant, ils avaient déjà trouvées et H. demande à T. si la troisième est bien la factorisée de la deuxième. T. confirme puis ils décident de faire tracer la fonction. Ils ne rencontrent pas de difficultés à couper la fenêtre et obtenir un tracé avec trois oscillations principales. Constatant qu'ils n'ont pas assez de racines, ils décident de faire un zoom. Pour le faire, ils utilisent F8, qui zoome en éloignant verticalement. Appuyant plusieurs fois, ils se retrouvent alors avec un tracé horizontal en haut de l'écran. H. regarde alors l'échelle affichée et note que celle sur x est de : 0.01.

Il la modifie, avec l'aide de l'enseignant qui passe à ce moment là pour revenir au premier dessin tracé. H. note alors sur son brouillon la forme du graphique puis, revenant à l'expression polynomiale en cosx obtenue, demande au professeur si on ne pourrait pas transformer en posant : X = cosx. Ce dernier répond que c'est une bonne idée et s'en va.

35 minutes :

Ils entrent alors sous DERIVE :

$$\bullet G(n) := 16n^5 - 16n^3 + 3n$$
demandent la simplification de cette expression, ce qui redonne la même, puis sa factorisation
toujours avec l'option de factorisation radicale utilisée précédemment. Ils obtiennent ainsi :

$$
\bullet 16n\left(n - \frac{1}{2}\right)\left(n + \frac{1}{2}\right)\left(n - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(n + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
$$

H. fait alors le rapprochement avec la troisième expression factorisée obtenue et vérifie terme à
terme, puis note au brouillon :

$$
\bullet n=0, n = \frac{1}{2}, n = -\frac{1}{2}, n = \frac{\sqrt{3}}{2}, n = -\frac{\sqrt{3}}{2}
$$

H. trace un cercle trigonométrique et écrit : - $\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$

Il entre ensuite sous DERIVE l'équation : cosx = 0, demande sa simplification, ce qui ne la
modifie pas, puis sa résolution. DERIVE fournit trois solutions : - $\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$.

40 minutes :

R. recopie sur son brouillon, H. lui fait remarquer que : $-\frac{\pi}{2}$ et $\frac{3\pi}{2}$ c'est la même chose, en montrant sur le cercle trigonométrique. Ils passent ensuite à l'équation cosx = 1/2, l'entrent sous DERIVE, demandent cette fois directement la résolution et notent les résultats obtenus : $-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}$

$\frac{5\pi}{3}$

Ils passent rapidement à cosx = -1/2. H. commence à s'inquiéter de l'heure. Tout en continuant lui-même à demander les résolutions à DERIVE, il dit à T. de recopier les solutions. Ils obtiennent ainsi trois solutions pour cosx = 1/2 et cosx = √3/2.

L'enseignant passe à ce moment là et leur demande où ils en sont. Ils le lui expliquent et il s'en va après avoir marqué son accord.

40 minutes :

Ils font résoudre la dernière équation puis décident de commencer à remplir la fiche de
réponses. C'est T. qui s'en charge et, pendant ce temps, H. remonte dans les écrans DERIVE
pour revenir à la première résolution obtenue (qui était une résolution globale) et s'assurer que
les valeurs obtenues sont les mêmes. Il coche au fur et à mesure avec un crayon sur son
brouillon.

Pendant cette période, l'enseignant intervient pour dire qu'il ne reste que cinq minutes et qu'il faut rédiger.

La rédaction de T. est la suivante :

$$
\cos x = X
$$
on obtient : $f(X) = 16X^5 - 16X^3 + 3X$

$$f(X) = 0 \Leftrightarrow X = 0 \text{ ou } X = \frac{1}{2} \text{ ou } X = -\frac{1}{2} \text{ ou } X = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ ou } X = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Or $\cos x = X$

$$\text{donc } f(x) = 0 \Leftrightarrow x = \left[ \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, -\frac{5\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \right]$$

Il n'a donc conservé pour chaque sous-équation que les deux premières solutions données par DERIVE.

### 50 minutes :

L'enseignant leur demande comment ils ont obtenu l'expression dont ils sont partis pour la résolution et leur rappelle que, dans la résolution rédigée, tout doit être justifié indépendamment de DERIVE.

La séance en fait s'achève peu après, sans que les deux élèves se soient lancés sérieusement dans le travail de justification demandé.

### Groupe 4 (deuxième séance) :

C'est un groupe constitué de deux garçons que nous noterons respectivement E. et P.

Après introduction de la séance par l'enseignant, les deux élèves lisent la fiche distribuée puis E. sort son formulaire tandis que P. lance DERIVE et entre l'expression initiale $\cos x+\cos3x+\cos5x$

P. commence à travailler dans l'option par défaut : «Auto», en faisant varier les trois directions alors disponibles. Il obtient ainsi trois fois la même expression, passe ensuite à l'équation, demande sa simplification, sa résolution, sous différentes options, obtenant cinq écritures identiques puis revient à l'expression, sans plus de succès.

Pendant ce temps, E. travaille en P/C, en s'aidant de son formulaire. Il écrit :

$$2\cos\left(\frac{x+3x}{2}\right)\cos\left(\frac{x-3x}{2}\right) + \cos5x$$

puis :

$$2\cos x \cos x + \cos 5x, \text{ faisant une erreur de calcul.}$$

Il montre l'expression obtenue à P. Visiblement, ni l'un ni l'autre ne sont enthousiasmés par ce qu'ils ont fait.

### 15 minutes :

L'enseignant passe et ils lui demandent s'il faut travailler au brouillon ou avec DERIVE. Le professeur répond qu'ils peuvent faire comme ils veulent, l'important étant d'obtenir différentes expressions de $f(x)$. E. continue alors à travailler en P/C. Il transforme son expression erronée en : $1 + \cos2x + \cos5x$ puis, prend sa calculatrice CASIO, entre en mémoire l'expression ci-dessus et la calcule pour différentes valeurs de x.
P., de son côté, abandonne DERIVE pour repasser en P/C, devant le peu de succès de ses essais. Il met le formulaire devant l'écran, regroupe les deux derniers termes : cos3x et cos5x et obtient : cosx + 2cos4x cosx, expression qu'il factorise.

20 minutes :

Le professeur passe. P. enlève le formulaire de l'écran et lui dit qu'il n'a pas réussi à obtenir des expressions différentes avec DERIVE. L'enseignant regarde alors les options choisies et conseille à P. de se mettre en option «dévEloppé» puis il s'en va.

P. revient au travail sous DERIVE, passe en option : «dévEloppé» laissant la deuxième option à sa valeur par défaut : «Auto» et obtient : cosx(1-4sin²x)(2cosx-1)(2cosx+1) en demandant la factorisation de l'expression initiale. Il recopie cette expression.

P. demande la résolution de l'équation automatiquement associée à l'expression par la commande «resol» et obtient les quinze solutions comprises entre : -7π/6 et 5π/3. Il recopie ensuite ces solutions sur son brouillon.

Pendant ce temps, E. travaille toujours en P/C avec sa calculatrice CASIO. Il a fait divers essais, sa calculatrice étant en mode degré, a noté les valeurs puis contemple son papier sans regarder ce que fait son co-équipier.

P. repasse en DERIVE, cette fois utilise la commande Simplife et obtient l'expression polynomiale en cosx. Il demande ensuite la résolution et obtient les quinze solutions comprises entre $-\frac{5\pi}{6}$ et $\frac{11\pi}{6}$. E. se décide à regarder l'écran.

25 minutes :

Le professeur interrompt la séance pour faire un point collectif. Lorsqu'il arrive à l'expression cosx(2cos4x+1), P. dit à E. qu'il l'avait lui aussi obtenue mais sans utiliser DERIVE.

30 minutes :

Après cette phase collective, E. appelle l'enseignant et lui explique ce qu'il a fait. L'enseignant repère l'erreur de calcul faite au départ et la lui fait remarquer.

P. a commencé, lui, à recopier les expressions trouvées sur la feuille de réponse :

1. $\cos x(1 - 4\sin^2 x)(2\cos x - 1)(2\cos x + 1)$

2. $16\cos^5 x - 16\cos^3 x + 3\cos x$

3. $\cos x(1 + 2\cos 4x)$

Il demande à l'enseignant s'il faut justifier toutes les expressions trouvées. Le professeur répond que ce n'est pas nécessaire, qu'il n'a qu'à le faire pour la 3.

E. reprend le formulaire et se remet au travail, toujours en P/C. Il corrige son expression initiale et la recopie :

1. $f(x) = 2\cos(2x) \cos(-x) + \cos 5x$

35 minutes :
E. recopie sur sa feuille les expressions 2 et 3 de P., note que l'expression 3 est la mieux adaptée pour la résolution de l'équation puis pense à regrouper cosx et cos5x pour obtenir une quatrième expression. Il écrit alors :

$$4. f(x) = 2\cos3x \cdot \cos2x + \cos3x$$

mais ne factorise pas cette expression.

Il passe ensuite à la résolution en P/C de l'équation à partir de la forme : cosx(1+2cos4x) qu'il a déclarée la plus adaptée. Il reprend sa calculatrice CASIO pour trouver un angle de cosinus égal à -1/2. Il obtient la réponse 120 puisqu'il est toujours en mode degré et passe alors en radians pour arriver à $\frac{2\pi}{3}$.

P., pendant ce temps, a pris la fiche de réponse et s'apprête à répondre à la question 3. Il regarde les solutions sur l'écran pendant un assez long moment puis emprunte son formulaire à E. Il rédige ensuite sa solution tout en se déplaçant dans les solutions DERIVE avec le curseur pour contrôler ses réponses. La rédaction fournie est la suivante :

$$f(x) = 0 \Leftrightarrow \cos x = 0 \text{ ou } 1 + 2\cos 4x = 0$$

$$\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} (k\pi)$$

$$\begin{array}{l} \bullet \quad 1 + 2\cos 4x = 0 \Leftrightarrow \cos 4x = -\frac{1}{2} \Leftrightarrow 4x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \quad \text{ou} \\ \phantom{\bullet \quad 1 + 2\cos 4x = 0 \Leftrightarrow \cos 4x = -\frac{1}{2} \Leftrightarrow} 4x = -\frac{2\pi}{3} + k2\pi \end{array}$$

$$\Leftrightarrow x = \frac{2\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}$$

$$\text{ou} \quad x = -\frac{2\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}$$

~ 40 minutes :

P. a terminé sa rédaction. Il repasse sous DERIVE, recopie l'expression polynomiale en cosx puis essaie de la transformer une fois de plus. Il essaie d'abord la commande dévEloppe qui lui redonne la même expression puis diverses options de factorisation : l'option «Trivial» lui donne :

cosx(16cos⁴x-16cos²x+3) ; l'option «Sans Carrés» redonne la même expression, l'option «Rationnel» lui redonne l'expression 1.

E., pendant ce temps, a rédigé sa solution et c'est la suivante :

$$\cos x(2\cos(4x)+1) = 0$$

$$\text{donc } \cos x = 0$$

$$\text{ou } 2\cos(4x) + 1 = 0$$

$$\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{ou } \cos(4x) = -\frac{1}{2}$$
$$4x = \frac{2\pi}{3} + k.2\pi$$

$$\text{donc } x = \frac{\pi}{6} + k \frac{\pi}{2}$$

Et il encadre les deux expressions trouvées pour x.

Il reprend ensuite sa CASIO, entre en mémoire l'expression $2\cos4x+1$ puis calcule ses valeurs pour 30°, 60°, 120° (il est repassé en mode degré). Ceci ne correspond pas à la formulation qu'il a donné pour les solutions, mais il obtient 0 à chaque calcul et semble satisfait.

### 45 minutes :

E. regarde ce que fait P. qui vient d'obtenir la factorisation rationnelle et lui demande : «Tu cherches encore ?» P. confirme que oui, mais qu'il ne trouve rien d'intéressant. Il a l'air un peu découragé.

L'enseignant passe et E. lui montre sa réponse à la question 3. L'enseignant lui demande comment il a justifié l'expression de départ. P. intervient pour dire qu'il l'a fait et montre aussi sa résolution. L'enseignant donne son accord et revient à la solution de E. Il remarque alors l'oubli de solutions dans la résolution de $\cos(4x) = -\frac{1}{2}$ et demande à E. si cette équation se résoud bien en : $4x = \frac{2\pi}{3} + k.2\pi$, puis s'en va.

P. revient à DERIVE et à ses essais de factorisation. Il essaie l'option suivante : «Radical» et obtient enfin une nouvelle expression :

$$16\cos x(\cos x - \frac{1}{2})(\cos x + \frac{1}{2})(\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2})(\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}).$$

### 50 minutes :

P. est très satisfait et trace alors au compas un cercle trigonométrique. Puis il demande la résolution, obtenant, une fois de plus, les quinze solutions entre $-\frac{5\pi}{6}$ et $\frac{11\pi}{6}$.

Pendant ce temps, E. a lui aussi tracé un cercle trigonométrique qu'il partage en prenant en compte ses solutions : d'abord horizontalement et verticalement, puis suivant les droites d'angle polaire $\frac{\pi}{6}$ et $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}$. Il reprend ensuite sa CASIO.

Visiblement ces deux élèves ne savent pas trop quoi faire d'autre et ils ne feront plus grans chose jusqu'à la fin de la séance, quelques minutes plus tard.

## BILAN COLLECTIF :

Ce bilan aura lieu, comme prévu, trois jours plus tard.

En premier lieu, l'enseignant fait un rapide bilan des expressions différentes de $f(x)$ trouvées par les élèves, en s'intéressant plus particulièrement aux 10 expressions données en annexe qui sont photocopiées pour tous les élèves. C'est à partir de ces dix expressions qu'est lancée la discussion collective relative à la question 2 : quelles sont les formes a priori les mieux
adaptées à la résolution de l'équation donnée ? Cette discussion est brève, les élèves étant bien convaincus que ce sont les formes factorisées qui sont les mieux adaptées et sachant les différencier suivant leur complexité.

Le bilan se poursuit par la résolution à partir des deux formes les plus simples :

$$ \cos3x(1+2\cos2x) \text{ et } \cos x(1+2\cos4x) $$

Dans chaque cas, la démarche suivie est la suivante :

1. Etablissement de la formule

2. Résolution des deux équations partielles

3. a) Représentation des solutions sur le cercle trigonométrique

b) Écriture de l'ensemble des solutions

c) Commentaires sur les solutions fournies par DERIVE

d) Lien avec la période de la fonction f

Ensuite est posé le problème de l'obtention d'autres formes à partir de l'expression :

$$ f(x) = \cos x(4\cos^2x-3)(4\cos^2x-1) $$

Une stratégie est explicitée collectivement : utiliser la formule de Moivre pour transformer $\cos3x$ et $\cos5x$ en polynômes en $\cos x$ et $\sin x$, puis la formule $\cos^2x+\sin^2x = 1$ pour éliminer les sinus, factoriser le polynôme en X obtenu en faisant le changement de variable : $X = \cos x$.

Les élèves doivent ensuite effectuer le calcul pour $\cos3x$, tandis que pour $\cos5x$ on utilise le logiciel DERIVE. La factorisation est, elle, faite à la main, facilitée par le fait qu'après la mise en facteurs de X, on se retrouve avec un polynôme du second degré en $X^2$.

L'expression étant établie, la résolution de $f(x) = 0$, à partir de cette nouvelle forme, est menée collectivement puis une discussion engagée sur les avantages et inconvénients de cette dernière méthode.

En renforcement, il est demandé aux élèves de faire chez eux un travail analogue pour prouver l'égalité : $f(x) = \cos x(4\sin^2x-1)(4\sin^2x-3)$ puis résoudre l'équation à partir de cette forme.

Le bilan se termine par la dimension nombres complexes. Le document intitulé : « Différentes résolutions possibles de l'équation $\cos x+\cos3x+\cos5x = 0$», reproduit en annexe page 23% est distribué aux élèves et un travail collectif est mené sur les deux paragraphes :

* Le plongement dans les complexes

* L'utilisation des formules d'Euler.

## ANALYSE A POSTERIORI

Nous avons donné dans le compte-rendu de cette séance quatre exemples de déroulement. Ce sont ceux pour lesquels nous disposions, de par les observations réalisées, des informations les plus détaillées. Le nombre d'observateurs étant élevé, nous avons cependant pour plusieurs autres groupes des informations intéressantes même si elles sont plus partielles. Nous disposons aussi des fiches de réponse de tous les élèves.
Un certain nombre de régularités apparaissent à l'étude des données recueillies qui concernent donc le travail d'un groupe de trois élèves, de dix groupes de deux élèves, de trois pseudo-groupes comme le groupe quatre ci-dessus et de trois élèves travaillant complètement seuls.

D'abord, comme l'on pouvait s'y attendre, la plupart des élèves ont largement utilisé DERIVE. Trois groupes seulement ont travaillé pratiquement toute la séance sans DERIVE et un élève seul n'a commencé à utiliser DERIVE qu'après l'intervention collective du professeur. Se bornant à mettre en oeuvre les transfomations liées aux arcs doubles, il n'avait obtenu à ce moment là aucune expression « intéressante».

Si presque tous les groupes ont largement utilisé DERIVE, cette utilisation n'a cependant pas été sans poser problème, en particulier au début de la séance. Nombreux sont les fichiers qui attestent les errances des élèves confrontés à la multiplicité des options possibles en mode trigonométrique et au fait que l'utilisation de six des neuf choix possibles ne fait qu'inverser l'ordre des termes de l'expression initiale. A ceci s'ajoute la multiplicité des commandes qui a priori pourraient donner quelque chose : Simplifie, dévEloppe, resoL ainsi que la commande Factor avec ses cinq options propres, ce qui tend à multiplier les essais infructueux. Quelques élèves mais assez peu renonceront à DERIVE, comme dans le groupe 2 décrit ci-dessus, jusqu'à l'interruption collective. Plus régulièrement, il y aura intervention de l'enseignant ou des observateurs qui, voyant filer le temps et se multiplier les essais inutiles, n'arrivent plus à tenir leur rôle d'observateurs avant l'intervention collective prévue.

Lorsque la situation se débloque, spontanément ou non, par passage à l'option «dévEloppé», le nombre d'expressions susceptibles d'être rapidement obtenues avec les différentes commandes, même si là encore, on note dans les fichiers des répétitions fréquentes, est intéressant. Nous avons reporté dans les deux tableaux ci-dessous le nombre d'expressions obtenues par les différents élèves travaillant seuls ou en groupes ainsi que les diverses expressions apparues.

<table><caption>Tableau 1 : Nombre d'expressions obtenues</caption><thead><tr><td>Nombre Expressions Obtenues</td><td>Nombre Elèves (avec DERIVE)</td><td>Nombre d'Elèves (sans DERIVE)</td></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>2</td><td>1g</td><td>2</td></tr><tr><td>3</td><td>1</td><td>1g</td></tr><tr><td>4</td><td>3g + 1</td><td>1</td></tr><tr><td>5</td><td>1g+1</td><td>0</td></tr><tr><td>6</td><td>3g</td><td>1g</td></tr><tr><td>7</td><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>8</td><td>2g</td><td>0</td></tr></tbody></table>
<table><caption>Tableau 2 : Expressions obtenues par les élèves</caption><thead><tr><th>Expressions</th><th>Nombre de propositions</th></tr></thead><tbody><tr><td>cosx(1+2cos4x)</td><td>8</td></tr><tr><td>cos3x(1+2cos2x)</td><td>8</td></tr><tr><td>2cos2x*cosx+cos5x</td><td>8</td></tr><tr><td>16cos<sup>5</sup>x - 16cos<sup>3</sup>x + 3cosx</td><td>24</td></tr><tr><td>cosx(16cos<sup>4</sup>x-16cos<sup>2</sup>x+3)</td><td>16</td></tr><tr><td>cosx(16sin<sup>4</sup>x-16sin<sup>2</sup>x+3)</td><td>8</td></tr><tr><td>cosx(1-4sin<sup>2</sup>x)(2cosx-1)(2cosx+1)</td><td>16</td></tr><tr><td>cosx(1-2sinx)(2sinx+1)(2cosx-1)(2cosx+1)</td><td>10</td></tr><tr><td>cosx(2cosx-1)(2cosx+1)(4cos<sup>2</sup>x-3)</td><td>7</td></tr><tr><td>cosx(2sinx-1)(2sinx+1)(4sin<sup>2</sup>x-3)</td><td>2</td></tr><tr><td>cosx(1-4sin<sup>2</sup>x)(4cos<sup>2</sup>x-1)</td><td>2</td></tr><tr><td>16cosx(cosx - 1/2)(cosx + 1/2)(cosx - 1/2)(cosx + 1/2)</td><td>18</td></tr><tr><td>16sin<sup>2</sup>xcos<sup>3</sup>x+4cos<sup>3</sup>x+4sin<sup>2</sup>xcosx-cosx</td><td>6</td></tr><tr><td>cos<sup>3</sup>x(4-16sin<sup>2</sup>x)+cosx(4sin<sup>2</sup>x-1)</td><td>8</td></tr><tr><td>16cos<sup>5</sup>x-12cos<sup>3</sup>x+cosx(3-4cos<sup>2</sup>x)</td><td>2</td></tr><tr><td>16sin<sup>4</sup>xcosx-16sin<sup>2</sup>xcosx+3cosx</td><td>2</td></tr><tr><td>cosx+4cos<sup>3</sup>x-3cosx+cos5x</td><td>2</td></tr><tr><td>cosx+cos3x+16cos<sup>5</sup>x-20cos<sup>3</sup>x+5cosx</td><td>2</td></tr><tr><td>1/2(e<sup>ix</sup>+e<sup>-ix</sup>+e<sup>3ix</sup>+e<sup>-3ix</sup>+e<sup>5ix</sup>+e<sup>-5ix</sup>)</td><td>4</td></tr><tr><td>-cos(π-x)-cos(3π-x)-cos(5π-x)</td><td>2</td></tr><tr><td>cos3x(2(cos<sup>2</sup>2x-sin<sup>2</sup>2x)+1)</td><td>1</td></tr><tr><td>cos3x(2(cos<sup>2</sup>x-1/2(1-cos2x)+1))</td><td>1</td></tr><tr><td>sin(π/2 - x)+sin(3π/2 - x)+sin(5π/2 - x)</td><td>2</td></tr><tr><td>sinx/tanx + sin3x/tan3x + sin5x/tan5x</td><td>1</td></tr></tbody></table>

A ceci s'ajoutent deux expressions erronnées obtenues par un élève à partir des deux premières citées :

$$ \cos x \cdot 4 \cos^2 2x $$

$$ \cos 3x \cdot 4 \cos^2 x $$

Précisons que les trois premières expressions et les six dernières ont été obtenues en fonctionnement P/C, les autres en utilisant DERIVE.

Comme on le note dans quelques groupes observés, plusieurs élèves auront du mal à abandonner cette première phase de l'activité proposée, même lorsqu'ils ont un nombre
raisonnable d'expressions différentes, estimant peut-être, vu les huit lignes figurant sur la fiche réponse, que le contrat à respecter est de fournir huit réponses. De plus, même s'il semble bien que presque tous les élèves avaient obtenu plusieurs expressions avant le bilan collectif, beaucoup, après le bilan, en reviendront à cette première phase, malgré les conseils de l'enseignant, pour essayer d'obtenir ce qui a été montré collectivement et/ou enrichir leur liste d'expressions.

Comme on pouvait s'y attendre aussi, presqu'aucun élève n'utilisera spontanément les commandes DERIVE sur des sous-expressions. Personne n'obtiendra en particulier avec DERIVE la première expression citée avant que le professeur ne montre comment faire.

Lorsque les élèves se décident à l'aborder, la deuxième question est en revanche résolue très vite. Les élèves savent bien que les expressions qu'ils savent traiter lorsqu'il s'agit de résoudre une équation sont les expressions factorisées et, même s'ils en ont obtenu plusieurs, en général ils ne citent que les plus simples.

La résolution de l'équation, qui est malheureusement abordée par de nombreux groupes assez tard dans la séance, se fait très majoritairement avec l'assistance de DERIVE, en mode algébrique et le fonctionnement des quatre groupes décrits illustre bien les problèmes rencontrés par les élèves dans cette résolution.

Si l'on analyse les solutions rédigées, en désignant par :

* résolution partielle de type 1, les résolution du type :

$$ \cos nx = \cos a \Leftrightarrow nx = a + k \cdot 2\pi \Leftrightarrow x = a/n + k \cdot 2\pi/n, $$

* résolution partielle de type 2, les résolutions du type : $\cos x = \cos a \Leftrightarrow x = a$ ou $x = -a$,

* résolution de type 3, les résolutions du type $\cos x = \cos a \Leftrightarrow x = a + k \cdot \pi$,

* résolution globale DERIVE, une résolution DERIVE portant sur l'ensemble de l'équation,

* résolution séparée DERIVE, une résolution DERIVE, sous-équation par sous-équation (en général effectuée à partir des facteurs de la factorisation radicale),

on obtient les résultats suivants, hors les quatre groupes précédemment décrits :

## Elèves travaillant en P/C :

* Justification de l'expression 1 - résolution correcte de $\cos x = 0$ - arrêt sur $4x = \pi + k \cdot 2\pi$ (1 élève)

* Justification des expressions 1 et 2 - résolution partielle de type 1 de ces deux expressions ce qui conduit à deux ensembles de solutions distincts. (2 élèves)

* Justification des expressions 1 et 2 - résolution partielle de type 2 de ces deux expressions ce qui conduit à deux ensembles de solutions distincts. (2 élèves)

* Justification de l'expression 1 - résolution incorrecte du type :

$$ \cos x = \cos a + k \cdot 2\pi \Leftrightarrow x = a + k \cdot 2\pi \Leftrightarrow x = a \text{ ou } x = a + 2\pi \text{ (1 élève)} $$

## Elèves travaillant avec DERIVE :

* Résolution globale DERIVE - justification de la forme polynomiale en $\cos x$ (2 élèves)
* Résolution globale DERIVE - solution rédigée à partir de la factorisation radicale admise - résolution partielle de type 2 (9 élèves)

* Résolution globale puis séparée DERIVE - solution rédigée à partie de la factorisation radicale admise et les trois solutions DERIVE données pour chaque sous-équation (1 élève)

* Résolution globale DERIVE à partir de l'expression 1 (qui ne donne que trois solutions : - $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}$) puis résolution DERIVE séparée à partir de l'expression 1 (qui donne, elle, bien 15 solutions) - rédaction à partir de l'expression 1 admise - résolution de type 3 et donnée entre parenthèses des solutions DERIVE correspondantes à la sous-équation (2 élèves).

* Résolution globale DERIVE - pas de rédaction ou simple début de recopie des solutions DERIVE (3 élèves).

Comme on peut le constater, que les élèves travaillent en P/C ou avec DERIVE, ils ont souvent obtenu plusieurs ensembles de solution distincts : en P/C, parce qu'ils conduisaient la résolution parallèlement à partir des deux expressions factorisées et n'obtenaient pas les mêmes ensembles de solutions, vu les règles utilisées, en DERIVE, parce que les solutions données par DERIVE n'étaient pas nécessairement les mêmes suivant les équations dont on partait et que d'autre part, elles ne correspondaient pas aux solutions issues d'une résolution P/C. On faisait l'hypothèse que les élèves chercheraient à comprendre les différences constatées et que ceci pouvait engager un travail mathématique intéressant. Le fonctionnement du groupe 1 montre bien d'ailleurs ce type d'engagement des élèves, les difficultés qu'ils rencontrent et le fait que les conflits cognitifs ne sont pas nécessairement résolus de la façon attendue. Au vu des productions des élèves et des informations dont nous disposons, il semble bien que d'une part tous les élèves n'aient pas été sensibles aux contradictions, que d'autre part, même s'il les remarquaient, un certain nombre se soit borné à juxtaposer les deux types de résolutions (celle DERIVE et celle P/C) sans éprouver nécessairement le besoin de les coordonner.

On peut constater également que la plupart des élèves ayant utilisé DERIVE sont partis de la factorisation radicale. Dans ce cas, la factorisation est toujours admise. Un seul groupe justifie une expression obtenue avec DERIVE, c'est le groupe qui justifie la forme polynomiale avec les formules de Moivre mais, malheureusement, il n'achève pas la rédaction de la résolution. Les observations menées montrent d'ailleurs les grandes difficultés que rencontre l'enseignant, en fin de séance, à négocier la demande que les élèves reprennent leur résolution pour l'affranchir de toute trace de l'utilisation de DERIVE.

Cette séance, dans la perspective d'étude des problèmes d'intégration qui est la nôtre nous semble tout à fait intéressante car elle met particulièrement bien en lumière un certain nombre de difficultés et phénomènes qu'il est nécessaire de prendre en compte dans la réflexion sur l'intégration de logiciels comme DERIVE. C'est sur ces points que nous voudrions insister maintenant.

## 1. La question de la gestion des savoirs mathématiques par DERIVE :

Les précédentes observations ne nous avaient pas confrontés de manière aussi vive aux problèmes liés à la transposition mathématique effectuée par DERIVE. Ici les iatus existant entre les modes de gestion des expressions trigonométriques que l'enseignement se propose de mettre en place chez les élèves, dans une économie qui est étroitement liée aux conditions de fonctionnement P/C et les modes de gestion qui sont ceux de DERIVE, sont évidents. Les deux expressions factorisées par lesquelles va passer une résolution économique en P/C sont
simples à obtenir par application d'une seule formule de transformation, à condition de ne pas
se borner à vouloir combiner les deux premiers termes. Les obtenir avec DERIVE relève de
l'acrobatie de haut vol.

La question de la gestion des savoirs mathématiques par DERIVE, des éventuels décalages
voire incompatibilités avec la gestion de ces savoirs dans les environnements scolaires usuels se
pose aussi ici pour la résolution de l'équation. D'une part, suivant les options et directions
choisis, une même équation sera résolue par DERIVE ou ne le sera pas, si elle est résolue, un
ensemble fini de solutions est donné : 3 pour chaque équation élémentaire, 15 pour l'équation
globale (à l'exception de la résolution à partir de l'expression 1 qui ne donne bizarrement que 3
solutions, comme signalé plus haut). Les listes, même si elles comportent le même nombre de
solutions ne sont pas forcément identiques pour des équations équivalentes et, dans tous les
cas, la formulation donnée ne correspond à aucune des formulations attendues à ce niveau
d'enseignement. Dans l'analyse a priori de la situation, on faisait l'hypothèse que ces décalages
pourraient engendrer un travail mathématique intéressant chez des élèves pour lesquels les
raisons de travailler modulo 2π peuvent relever plus du rite à accomplir que d'une
compréhension réelle. Les observations faites confirment cette hypothèse, en montrant que le
travail peut effectivement spontanément s'engager mais elles montrent aussi que les conflits
rencontrés sont loin d'être toujours résolus de façon satisfaisante par les élèves. Ceci résulte,
nous semble-t-il de différents facteurs :

* La confusion entre les angles et leurs mesures qui peut conduire à penser que ce qui est recherché quand on résoud une équation trigonométrique, ce sont des angles et que, dans ces conditions, il suffit de donner une mesure par angle. Le passage au cercle trigonométrique, tout en étant une aide précieuse, peut renforcer cette confusion et amener les élèves à considérer, comme dans le groupe 1, qu'on peut éliminer les solutions qui conduisent au même point qu'un point déjà trouvé.

* Le fait que les élèves ne vivent pas les conflits comme nous les vivons nous-mêmes. Pour nous, vu la façon dont notre culture mathématique s'est constituée, il y a une légitimité dominante : celle liée aux transpositions didactiques usuelles en environnement P/C. Toute discordance est vue dans cette perspective et d'autre part notre souci de cohérence globale nous conduit systématiquement à vouloir la réduire. Nos élèves ne sont pas dans la même situation et les comportements observés ici sont de même nature que ceux observés par d'autres chercheurs avec les calculatrices (Trouche, 1994). D'une part, leurs exigences se situent plus au niveau de la cohérence locale que de la cohérence globale, d'autre part, la validité de leurs productions en P/C n'est que peu assurée, DERIVE est sans doute à leurs yeux plus fiable. Dans ces conditions, il n'est pas étonnant de voir se juxtaposer des solutions à nos yeux non-juxtaposables. Soulignons à ce propos que le groupe 1 se lance dans un tel travail de mise en cohérence, non à partir d'un décalage entre production DERIVE et production P/C mais à partir du décalage entre deux productions DERIVE.

## 2. Les problèmes posés par le passage de solutions DERIVE à des solutions indépendantes de DERIVE :

Les observations faites montrent bien la difficulté qu'il y a à négocier le changement de contrat didactique entre une résolution où tous les outils sont permis pour arriver au résultat et une résolution où l'on impose de se limiter aux outils usuels de l'environnement P/C. La difficulté de la renégociation est ici d'autant plus visible que reconstruire le passage de l'expression initiale aux expressions les plus faciles à obtenir avec DERIVE, par exemple l'expression polynomiale, impose de reconstruire un nombre important d'intermédiaires et des calculs d'une
complexité technique non négligeable. Bien sûr, un pilotage intelligent de DERIVE pourrait
amener à produire certains de ces intermédiaires mais les élèves concernés sont loin de
maîtriser un tel pilotage. La difficulté de la négociation saute ici aux yeux mais, sous des
formes moins évidentes, nous l'avons rencontrée dans de nombreuses situations observées. Il
s'agit là d'une nouvelle tâche dont la dévolution doit être particulièrement soignée si l'on ne
veut pas que certains élèves se demandent un peu à quel jeu on joue avec DERIVE.

3. La difficulté à développer une démarche stratégique et réflexive dans un environnement par trop incompréhensible et ouvert :

Là encore, nous sommes confrontés à un phénomène que les différentes observations ont
contribué à mettre en évidence. Le fonctionnement de DERIVE est en effet incompréhensible
pour ces élèves. Ils ne savent pas sur quels principes fonctionnent les options et directions et le
fait d'obtenir, pour de nombreuses commandes, la simple reproduction de l'expression initiale
n'aide pas à décrypter ce fonctionnement. Quant aux expressions différentes obtenues, elles
sont bien trop complexes et éloignées de l'expression initiale pour que les transformations
effectuées par DERIVE y soient facilement repérables. Ces caractéristiques du fonctionnement
DERIVE favorisent ici, comme nous l'avons vu dans d'autres situations, des phénomènes de
pêche au hasard qui ne sont pas forcément d'un grand intérêt mathématique. Dans la situation
présente, il semble cependant assez facile de remédier à cet inconvénient en imposant, dans un
premier temps au moins, l'option dévEloppé.

Faut-il conclure de ce qui précède que le domaine mathématique de la trigonométrie est un domaine peu adapté à l'utilisation de DERIVE dans l'enseignement secondaire ?

Notre conclusion n'est pas celle-là, même si ce domaine nécessite plus de précautions que d'autres et nous voudrions pour conclure cette analyse, souligner un certain nombre de pistes que l'observation effectuée nous semble suggérer.

Pour cela, il nous semble nécessaire d'identifier dans la séance observée plusieurs situations didactiques distinctes, condensées en une trop courte durée pour pouvoir se déployer chacune de façon réellement satisfaisante.

1. La première correspond à la première phase. L'enjeu en est un travail relativement formel sur l'équivalence d'expressions trigonométriques, les stratégies de pilotage des transformations qui permettent de passer de l'une à l'autre. Le fait que DERIVE permette d'obtenir rapidement des expressions très diverses équivalentes à une expression trigonométrique donnée, plus ou moins éloignées de cette dernière si l'on compte en nombre de transformations élémentaires nécessaires pour assurer l'équivalence, du fait des diverses options et commandes utilisables, peut sans doute permettre de mettre en scène des activités mathématiques intéressantes à ce niveau. On peut par exemple autour d'une exploration un peu systématique, sur la base de quelques expressions soigneusement choisies, organiser une activité dont l'objectif serait d'identifier les transformations utilisées par DERIVE dans les différentes options<fnref n="22" /> et de reconstruire des intermédiaires plausibles

<footnote n="22">²²En mode dévEloppé, selon le manuel d'utilisation, la version de DERIVE concernée utilise les transformations $sin(z+w) \rightarrow sinz cosw + sinw cosz$ et $sinmz \rightarrow 2cos((m-1)z).sinz + sin((m-2)z)$ (et les transformations analogues pour les cosinus). En mode Contracté, il applique les transformations $sinz.sinw \rightarrow 1/2(cos(z-w)+cos(z+w))$ et $sinmz \rightarrow 1/2(1-cos2z)sinm-2z$ (et les transformations identiques sur les cosinus). En mode Auto, le manuel précise que ces transformations sont appliquées uniquement si elles conduisent à une nette simplification. De</footnote>
dans le passage d'une expression à une autre. Les connaissances trigonométriques seraient
alors mises en oeuvre pour reproduire des effets de DERIVE, dans une optique comparable
à celle proposée pour les factorisations de Xⁿ⁻¹.

2. La deuxième correspond à la résolution de l'équation assistée par DERIVE. Dans la situation observée, on a du mal à considérer DERIVE réellement comme une aide à cette résolution, la stratégie usuelle P/C étant bien plus simple que celles accessibles avec DERIVE. Mais, même pour des équations que l'on sait aisément résoudre, il peut être intéressant d'exploiter didactiquement les conflits cognitifs potentiels créés le décalage entre les solutions d'équations trigonométriques proposées par DERIVE et les formulations standard, dans le prolongement de ce qui a été observé dans cette séance, pour travailler sur le sens de gestes un peu rituels comme l'ajout de k.2π. Mais là encore, pour que le travail s'engage à coup sûr et puisse aboutir, sans doute serait-il nécessaire de prévoir une mise en scène qui permette de centrer plus précisément l'activité sur ces problèmes de décalages et leur éclaircissement.

3. La troisième concerne l'étude prévue de la fonction, assitée par DERIVE, qui n'a pu être abordée dans le court espace de cette séance. Il nous semble que des activités comme celles citées précédemment permettraient d'aborder, dans un second temps, de façon plus maîtrisée des situations où DERIVE serait susceptible d'apporter une aide substantielle à la résolution des problèmes posés, qu'il s'agisse de résolutions d'équations et inéquations ou d'études de fonctions, en veillant bien sûr dans ce cas à ce que les résolutions entièrement P/C soient difficilement accessibles ou nettement plus coûteuses, et en admettant, dans ces situations plus complexes, des solutions qui utilisent toute la puissance de DERIVE, quitte à mettre en place dans une séance de bilan, collectivement, des justifications plus complètes comme cela a été le cas pour l'observation : «recherche de fonctions sous contraintes».

<footnote>même pour les directions, vers Cosinus transforme les sinus en cosinus par application de la transformation : sin2z → 1-cos2z ; vers Sinus, transforme sur le même mode les cosinus en sinus et Auto n'applique ces transformations que dans le cas d'une simplification nette (ce qui reste assez sybillin). Il est de plus précisé qu'une utilisation sans discernement des modes dévEloppé et Contracté, comme des directions vers Cosinus et vers Sinus, peut produire des résultats compliqués et que la simplification peut prendre beaucoup de temps. C'est parce qu'elles donnent "une forme plus agréable et plus compacte" que les options par défaut correspondent à Auto.</footnote>
# ANNEXE : POLYCOPIÉ DISTRIBUÉ AUX ÉLÈVES (TRIGONOMÉTRIE 1)

Observation d'une séance de T.D. avec utilisation de DERIVE en classe de T.C. du lycée T. Deck de Guebwiller

## Révision "formules de trigonométrie" T.C. 1993/94

### Question :

<table><tr><td>1°) On pose f(x) = cos x + cos 3x + cos 5x. Donnez différentes expressions possibles de f(x). (Donnez au moins trois expressions différentes ; seuls les résultats sont demandés ; vous n'avez pas pour l'instant à les démontrer.)</td></tr><tr><td>2°) Donner les numéros des expressions qui vous paraissent adaptées à la résolution dans R de l'équation d'inconnue x : cos x + cos 3x + cos 5x = 0.</td></tr><tr><td>3°) Rédigez une résolution complète de l'équation (avec toutes les explications nécessaires, comme si vous ne disposiez pas du logiciel DERIVE)</td></tr></table>

### Consignes :

* Vous disposez du formulaire officiel, de votre calculatrice et du logiciel DERIVE (sur un ordinateur de la salle informatique)

* Vous pouvez travailler seul ou par groupe de deux

* Répondez sur la feuille de réponses

### Indications sur l'utilisation de DERIVE :

* Lorsque qu'une sous-expression SE d'une expression E est en surbrillance (obtenue par l'utilisation des touches →, ←, ↑, ↓), la commande cHoix / Substitue permet de remplacer dans E chaque occurrence de SE par une autre expression que l'on indique dans la ligne de commande.

Exemple : on peut ainsi transformer $(\ln x)^2 - 3 \ln x + 4$ par $X^2 - 3X + 4$

* Les commandes Simplifie, dévEloppe, Factor., résoL. peuvent agir différemment suivant le mode de transformation dans lequel se trouve le logiciel. Ce mode peut être modifié par la commande cHoix / Trigonométrie ; celle-ci vous demande d'abord de choisir entre trois types de fonctionnement (automatique, développé, contracté), puis entre trois "directions" (automatique, vers des sinus, vers des cosinus). Il y a donc 9 possibilités (mais pas nécessairement 9 résultats différents). N'hésitez pas à essayer ; deux conseils cependant :

1. faites jouer essentiellement le type de fonctionnement (automatique, développé ou contracté), en laissant la "direction" à "automatique"

2. en début de calcul pour une nouvelle piste que vous voulez exploiter, remettez tout en mode "auto"

* rappel : pour passer d'un sous-menu à un autre, utilisez la touche de tabulation
Feuille de réponses :

Nom(s) :

1°) Différentes expressions de f(x) :

1

2

3

4

5

6

7

8

poursuivre éventuellement sur une deuxième colonne

2°) Numéros des expressions qui paraissent adaptées à la résolution de l'équation :

3°) Résolution de l'équation :
pour le corrigé du travail R_TRIG

Voici différentes formes possibles pour $f(x) = \cos x + \cos 3x + \cos 5x$.

Pour quelques unes de ces formes qui nous paraissent adaptées à la résolution de $f(x) = 0$, nous allons en chercher une démonstration et effectuer la résolution.

1. $(\cos 3x)(1 + 2 \cos 2x)$

2. $(\cos x)(1 + 2 \cos 4x)$

3. $2(\cos 2x)(\cos x) + \cos 5x$

4. $16 \cos^5 x - 16 \cos^3 x + 3 \cos x$

5. $(\cos x)(4\cos^2 x - 1)(4\cos^2 x - 3)$

$$
6. 16 \cos(x)(\cos(x) - \frac{1}{2}) \left( \cos(x) + \frac{1}{2} \right) \left( \cos(x) - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \cos(x) + \frac{\sqrt{3}}{2}
$$

7. $4\cos^3 x - 2\cos x + \cos 5x$

8. $(\cos x)(16\sin^4 x - 16\sin^2 x + 3)$

9. $(\cos x)(4\sin^2 x - 3)(2\sin x - 1)(2\sin x + 1)$

$$
10. \cos^3 x (4 - 16\sin^2 x) + (\cos x)(4\sin^2 x - 1)
$$
Différentes résolutions possibles de l'équation cos x + cos 3x + cos 5x = 0

On pose $f(x) = \cos x + \cos 3x + \cos 5x$.

La stratégie efficace :

$$
\begin{align*}
f(x) &= \cos 3x + (\cos x + \cos 5x) \\
&= \cos 3x + 2(\cos 3x)(\cos 2x) \\
&= (\cos 3x)(1 + 2 \cos 2x)
\end{align*}
$$

Il reste donc à résoudre cos 3x = 0 et cos 2x = -1/2 puis à organiser l'ensemble des solutions.

Autre stratégie efficace :

$$
\begin{align*}
f(x) &= \cos x + (\cos 3x + \cos 5x) \\
&= \cos x + 2(\cos 4x)(\cos x) \\
&= (\cos x)(1 + 2 \cos 4x)
\end{align*}
$$

Le plongement dans les complexes :

On pose $g(x) = \sin x + \sin 3x + \sin 5x$ et $h(x) = f(x) + ig(x)$

$$
\begin{align*}
h(x) &= e^{ix} + e^{3ix} + e^{5ix} \\
&= e^{ix}(1 + e^{2ix} + e^{4ix})
\end{align*}
$$

Posons $w = e^{ix}$ ; alors $h(x) = w(1 + w^2 + w^4)$

a) $f(x) = \operatorname{Re}(h(x)) = \frac{1}{2} (h(x) + \overline{h(x)})$

$$
\text{Or } \overline{w} = \frac{1}{w}. \text{ D'où } \overline{h(x)} = \frac{1}{w} \left( 1 + \frac{1}{w^2} + \frac{1}{w^4} \right) = \frac{1}{w^5} (1 + w^2 + w^4)
$$

$$
f(x) = \frac{1}{2} \left( w + \frac{1}{w^5} \right) (1 + w^2 + w^4) = \frac{1}{2} \frac{1+w^6}{w^5} \frac{1-w^6}{1-w^2} = \frac{1-w^{12}}{2w^5(1-w^2)}
$$

(avec $w^2 \neq 1$ ce qui est le cas pour ...). Il reste à résoudre $w^{12} = 1$ avec $w^2 \neq 1$.

$$
b) h(x) = w \frac{1-w^6}{1-w^2} = \frac{1-w^6}{-w+\frac{1}{w}} = \frac{1-\cos(6x)-i\sin(6x)}{-2i\sin(x)}
$$

$$
f(x) = \operatorname{Re}(h(x)) = \frac{\sin(6x)}{2 \sin(x)}. \text{ Il reste à résoudre } \sin(6x) = 0 \text{ avec } \sin(x) \neq 0.
$$

L'utilisation des formules d'Euler :

$$
\begin{align*}
f(x) &= \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} + \frac{e^{3ix} + e^{-3ix}}{2} + \frac{e^{5ix} + e^{-5ix}}{2} = \frac{1}{2} e^{-5ix} (1 + e^{2ix} + e^{4ix} + e^{6ix} + e^{8ix} + e^{10ix}) \\
&= \frac{1 - w^{12}}{2w^5 (1 - w^2)} \quad \text{(comme ci-dessus)}
\end{align*}
$$

La stratégie méthodique : transformation en un polynôme avec changement de variable

$$
\cos 3x = \operatorname{Re}(\cos 3x + i \sin 3x) = \operatorname{Re}((\cos x + i \sin x)^3) = 4\cos^3 x - 3 \cos x
$$

$$
\cos 5x = \operatorname{Re}(\cos 5x + i \sin 5x) = \operatorname{Re}((\cos x + i \sin x)^5) = 16 \cos^5 x - 20 \cos^3 x + 5 \cos x
$$

$$
D'où f(x) = 16 \cos^5 x - 16 \cos^3 x + 3 \cos x
$$

Posons $X = \cos x$. Il reste à résoudre $16X^5 - 16X^3 + 3X = 0$ avec $X = \cos x$.

$$
\text{Or } 16X^5 - 16X^3 + 3X = X(16X^4 - 16X^2 + 3) = X(4X^2 - 1)(4X^2 - 3)
$$

$$
= 16X\left(X - \frac{1}{2}\right)\left(X + \frac{1}{2}\right)\left(X - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(X + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
$$
# ANNEXE 3 : DERIVE ET L'EXPRESSION TRIGONOMÉTRIQUE ÉTUDIÉE
## (EXTRAIT DE L'ANALYSE A PRIORI DE L'ENSEIGNANT)

Observation d'une séance de T.D. avec utilisation de DERIVE en classe de T.C. du lycée T. Deck de Guebwiller

### Recherche de diverses formes de f(x)

* formule de transformation de somme en produit et factorisation :
  $(\cos 3x)(1 + 2 \cos 2x)$
  $(\cos x)(1 + 2 \cos 4x)$

* Utilisation des complexes :
  $\frac{\sin(6x)}{2 \sin(x)}$

* Transformation en polynôme :
  $16 \cos^5 x - 16 \cos^3 x + 3 \cos x$

* Factorisation du polynôme :
  $(\cos x)(4\cos^2 x - 1)(4\cos^2 x - 3)$

$$16 \cos(x)(\cos(x) - \frac{1}{2}) \left( \cos(x) + \frac{1}{2} \right) \left( \cos(x) - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \left( \cos(x) + \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$

* Et d'autres formes encore obtenues à partir des précédentes en utilisant les formules de duplication et la formule $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.

### Utilisation de DERIVE pour la factorisation de f(x) et la résolution de f(x) = 0 :

En mode développé/auto :
pour la résolution : 15 solutions proposées
pour la factorisation/radical : la forme ci-dessus

### Utilisation de DERIVE pour la recherche de formes variées de f(x) :

#### En partant de la forme initiale

En mode (auto ou contracté)/(auto,sin ou cos) :
Simplifie, dévloppe et Factor (toutes options) : $\cos(5x) + \cos(3x) + \cos(x)$

En mode développe/(auto ou cosinus) :

Simplifie : $16 \cos^5 x - 16 \cos^3 x + 3 \cos x$

dévloppe : $16 \cos^5 x - 16 \cos^3 x + 3 \cos x$

Factor. :

trivial : $(\cos x)(16 \cos^4 x - 16 \cos^2 x + 3)$

rationnel : $(\cos x)(1 - 4\sin^2 x)(2\cos x - 1) (2\cos x + 1)$ pour auto
$(\cos x)(4\cos^2 x - 3)(2\cos x - 1) (2\cos x + 1)$ pour cosinus

$$\text{radical : } 16 \cos(x)(\cos(x) - \frac{1}{2}) \left( \cos(x) + \frac{1}{2} \right) \left( \cos(x) - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \left( \cos(x) + \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$

En mode développe/sin

Simplifie : $(\cos x)(16\sin^4 x - 16\sin^2 x + 3)$

développe : $16(\cos x)\sin^4 x - 16(\cos x)\sin^2 x + 3(\cos x)$

factor. :

trivial : $(\cos x)(16\sin^4 x - 16\sin^2 x + 3)$

rationnel : $(\cos x)(4\sin^2 x - 3)(2\sin x - 1) (2\sin x + 1)$

$$\text{radical : } 16 \cos(x)(\sin(x) - \frac{1}{2}) \left( \sin(x) + \frac{1}{2} \right) \left( \sin(x) - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \left( \sin(x) + \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$

#### En partant d'une forme intermédiaire

A partir de $(\cos x)(16 \cos^4 x - 16 \cos^2 x + 3)$, en mode contracte/auto, la commande simplifie, avec la surbrillance sur $16 \cos^4 x - 16 \cos^2 x + 3$, fournit : $(\cos x)(1 + 2 \cos 4x)$.
Remarques :

* On pourrait également examiner l'utilisation de DERIVE dans les voies qui utilisent les complexes, mais je ne pense pas que les élèves les emprunteront sous une forme "pure" (en travaillant le plus possible avec des complexes)

* L'obtention de la forme $\frac{\sin(6x)}{2 \sin(x)}$ n'est pas directe ... . Un examen des solutions ou la représentation graphique de la fonction $f(x)$ peut faire penser aux solutions de $\sin(6x) = 0$. La simplification par DERIVE (en mode développe) de $\sin(6x)/f(x)$ donne $2\sin(x)$ ...

* L'obtention de la forme $(\cos 3x)(1 + 2 \cos 2x)$ ne semble pas directe non plus (regroupement "manuel" nécessaire de $\cos(x)$ et $\cos(5x)$)
ANNEXE : FIGURES ASSOCIÉES À LA SÉANCE TRIGONOMETRIE 1

<figure><img src="image_56.png" /></figure>

COMMAND: **Algebra** Center Delete Help Move Options Plot Quit Range Scale Transfer
Window axes Zoom

Enter option

$$
\text{Cross } x:1
$$

$$
y:1
$$

Scale $x:1$ $y:1$

Derive XM

2D-plot

Tracé Echelle x : 1 y : 1

<figure><img src="image_57.png" /></figure>

COMMAND: **Algebra** Center Delete Help Move Options Plot Quit Range Scale Transfer
Window axes Zoom

Enter option

$$
\text{Cross } x:0
$$

$y:0$

Scale $x:3$ $y:1$

Derive XM

2D-plot

Tracé échelle x : 3 y : 1
<figure><img src="image_58.png" /></figure>

COMMAND: Algebra Center Delete Help Move Options Plot Quit Range Scale Transfer
Window axes Zoom

Enter option

Cross x:0

y:0

Scale x:0.1

y:1

Derive XM

2D-plot

Tracé échelle x : 0.1 y : 1

<figure><img src="image_59.png" /></figure>

COMMAND: Algebra Center Delete Help Move Options Plot Quit Range Scale Transfer
Window axes Zoom

Enter option

Cross x:0

y:0

Scale x:0.01

Derive XM

2D-plot

Tracé échelle x : 0.01 y : 1
# V.4 TRIGONOMETRIE 2

## CONTEXTE DE L'OBSERVATION

Cette séance se situe le 30 mars 1994, dans une classe de Première S. DERIVE a été utilisé au préalable quatre fois dans la classe, pour un total de 7 heures et la dernière utilisation remonte au mercredi 23 mars. Il s'agit d'une séance de travaux pratiques d'une durée de quatre heures où les élèves travaillent par groupes de deux ; une tablette rétroprojetable permet de coupler avec une utilisation collective.

## PRÉSENTATION DE L'ACTIVITÉ PROPOSE

La séance fait suite à un travail sur les transformations trigonométriques mené dans le courant du mois de février. Dans un premier temps, les élèves vont explorer le fonctionnement trigonométrique de DERIVE dans les modes dévEloppé et Contracté et apprendre, sur quelques exemples, à manipuler les transformations trigonométriques implémentées. Dans un second temps, on les aide à construire des fonctions correspondant aux transformations de sommes en produits, transformations qui n'existent pas dans DERIVE. Quatre exercices de factorisation leur sont alors proposés. Dans un troisième temps, DERIVE est utilisé pour prouver par trois méthodes différentes, dont une utilisant les nouvelles fonctions construites, l'égalité : sin(a) + sin(b) + sin(c) = 4 cos(a/2)cos(b/2)cos(c/2) (pour a, b et c vérifiant la relation : a+b+c=π). Dans ces trois premières phases, les élèves sont très précisément guidés et des commentaires détaillés explicitant le fonctionnement de DERIVE sont fournis (cf. le polycopié guide de dix pages reproduit en annexe page 262).

Ensuite, douze exercices sont proposés aux élèves sans indication, le premier étant celui qui a déjà été traité. Il s'agit pour les neuf premiers de démontrer des égalités trigonométriques, pour les trois suivants, de simplifier des expressions trigonométriques. Une fiche est préparée pour noter des remarques pour chaque exercice, organisée par rapport aux trois méthodes introduites dans l'exemple traité : passer du premier membre au second, passer du second membre au premier, transformer les deux membres pour obtenir la même expression. Les élèves doivent l'utiliser pour prendre des notes sommaires sur les résultats donnés par DERIVE, puis rédiger ensuite un compte-rendu incluant :

* la comparaison d'une résolution à la main et d'une résolution DERIVE,

* la rédaction pour chaque exercice d'une résolution à la main.

## ANALYSE A PRIORI EFFECTUE PAR L'ENSEIGNANT

### Objectifs :

Le travail mené le mois précédent était orienté vers la factorisation d'expressions trigonométriques et la démonstration d'égalités trigonométriques. Le contrôle évaluant ce travail a donné des résultats insuffisants :

* moyenne de 6

* 22% de notes supérieures à 15

* 5% de notes entre 8 et 15

* 73% de notes inférieures à 8
Les élèves ont, selon l'enseignant, du mal à comprendre qu'il peut y avoir plusieurs démarches pour prouver des égalités trigonométriques; ils ne mènent pas les essais à leur terme, à cause des difficultés de calcul.

L'objectif de cette séance est de revenir sur les problèmes de preuve dans ce domaine, en insistant sur l'existence de méthodes (stratégies) différentes.

### Intérêt supposé de DERIVE :

Dans cette situation, DERIVE doit, en libérant les élèves des difficultés de calcul, les aider à mener les stratégies de preuve à leur terme ou à aboutir plus rapidement qu'en effectuant les calculs exclusivement à la main. Ils doivent pouvoir se consacrer aux travail sur les méthodes.

### Connaissances DERIVE nécessaires :

Outre les commandes algébriques usuelles, les élèves ont besoin de connaître la gestion des fichiers (Ouvrir...), le travail dans le tampon d'entrée, l'utilisation de la touche F3 pour recopier une expression dans ce tampon, la navigation dans les menus, en particulier le menu cHoix Trigo. En principe, tout cela est connu; il y aura des rappels à la demande.

### Comportements, difficultés attendus :

L'activité, aux dires de l'enseignant devrait pouvoir "tenir" dans les quatre heures prévues et au moins la moitié des exercices pourraient être résolus par les élèves. Il s'attend à une bonne participation des élèves, à quelques difficultés peut-être dans la lecture du polycopié, celui-ci étant assez dense et complexe, mais il ne prévoit pas de difficultés mathématiques particulières.

La résolution des exercices est libre et les élèves peuvent ou non utiliser DERIVE. L'enseignant s'attend cependant à ce que DERIVE soit largement utilisé, ne serait-ce qu'à cause du travail mené dans les trois premières phases. Les élèves peuvent bien sûr aussi utiliser leur calculatrice mais la calculatrice ne présente pas d'intérêt particulier dans cette situation.

Il s'agit aux yeux de l'enseignant d'une séance de remédiation et il n'a pas prévu a priori d'interventions. Il interviendra si nécessaire, par exemple pour résoudre des difficultés matérielles, faciliter la lecture du polycopié, ou si les élèves obtiennent des simplifications non conformes à ce qui est attendu.

## EXEMPLES DE DÉROULEMENTS

Deux groupes ont été observés durant cette séance : le groupe 1, formé de deux filles (A. et C.), observé très précisément et interviewé après la séance et le groupe 2, formé de deux garçons, observé plus légèrement. Nous résumons ci-après les deux déroulements, en insistant surtout sur le fonctionnement du groupe 1.

### Groupe 1 :

A. et C. ont obtenu respectivement 7 et 3 au contrôle mentionné plus haut.

### 8h30 :

Le professeur introduit la séance et les élèves se mettent rapidement au travail, en suivant le polycopié. Après avoir rencontré un problème de disquette, elles entrent les premières formules du polycopié : sin(a+b), sin(a-b), cos(a+b), cos(a-b) et les font simplifier par DERIVE comme indiqué, en choisissant l'option : dévEloppé. Elles obtiennent ainsi les développements