L admet un système déterminant $S(F_{i_1, i_2, \dots, i_k})$, dont les éléments sont des rectangles fermés à côtés parallèles aux axes des coordonnées, et assujétis à la condition $F_{i_1, \dots, i_k} \subset F_{i_1, \dots, i_k}$, le diamètre de $F_{i_1, \dots, i_k}$ tendant vers $0$ pour $k \to \infty$.

Posons :

$$ (1) \qquad Z_{i_1 i_2 \dots i_k}^{j_1 j_2 \dots j_e} = U(F_{j_1, \dots, j_e}, i_1, \dots, i_k) $$

$$ (2) \qquad Z^{j_1 j_2 \dots j_e} = \sum_{(i_1 i_2 \dots i_k)} Z_{i_1}^{j_1} \dots Z_{i_k}^{j_k} Z_{i_1 i_2 \dots i_k}^{j_1 \dots j_{k-1}} $$

On vérifie aisément que :

$$ (3) \qquad Z = \sum_{(j_1 j_2 \dots j_e)} Z^{j_1 j_2 \dots j_e} $$

Tout $Z^{j_1 j_2 \dots j_e}$ est un ensemble (A), car il admet un système déterminant, dont les éléments sont des $F_\sigma G_\delta$. Donc, Z étant d'après (3) la somme d'une infinité dénombrable d'ensembles (A), Z est aussi un ensemble (A). c. q. f. d.

4. Soit maintenant $E = E_1 - E_2, E_1$ et $E_2$ désignant deux ensembles (A) linéaires. Nous pouvons supposer que $E_2 \subset E_1$. Supposons que E est situé sur l'axe des abscisses. Il existe une fonction $f(t)$ continue du côté gauche pour $0 < t \le 1$ et telle que l'ensemble de ses valeurs coïncide avec $E_1$<fnref n="1" />). Soit $K_1$ l'image de la fonction $x = f(y)$ c. à d. l'ensemble de tous les points $(f(y), y)$ pour $0 < y \le 1$. C'est un $G_\delta$, car $f(y)$ est de classe 1. Soit M un ensemble $G_\delta$ contenu dans la bande : $0 \le y \le 1$, dont la projection sur l'axe des abscisses est $E_2$. Désignons par $M_\sigma$ le transformé de M par la transformation : $x' = x, y' = 2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{2n}y$. Soit:

$$ (4) \qquad P = K_1 + \sum_{n=1}^{\infty} M_n $$

et H l'ensemble des y maxima de P. Je dis que H possède les trois propriétés requises. C'est évident pour la troisième propriété, d'après la définition d'un y-maximum. Pour la première propriété cela résulte de 3 et de ce que P est, d'après (4), un $G_{\delta\sigma}$ (c'est même

## Sur une propriété des ensembles C(A).

Par

Stefan Mazurkiewicz (Varsovie).

1. Le but de cette Note est la démonstration du résultat suivant:

E désignant un ensemble linéaire, qui est la différence de deux ensembles (A), il existe un ensemble plan H, tel que: 1) H est un ensemble C(A) c. à d. le complémentaire d'un ensemble (A); 2) la projection de H sur l'axe des abscisses est identique à L; 3) toute droite $x = a$ rencontre H, dans un point au plus.

E étant d'après 2) et 3) une image biunivoque et continue (dans un sens) de H, il en résulte la solution négative du problème suivant posé par M. Sierpiński: Une image biunivoque et continue (dans un sens) d'un ensemble complémentaire à un ensemble (A) de M. Souslin, est elle de même nature?

2. Je dirai qu'un point $(x_1, y_1)$ d'un ensemble plan L est un y-maximum de L si L ne contient aucun point d'abscisse $x_1$ et d'ordonnée $> y_1$.

3. L'ensemble des y marima d'un ensemble plan L mesurable (B) est un ensemble C(A). En effet soit Y cet ensemble. Définissons l'ensemble Z de la manière suivante: $(x', y') \in Z$, s'il existe un point $(x', y') \in L$ tel que $y'' > y'$. En désignant le complémentaire de Z par $C(Z)$, on a $Y = L \cap C(Z)$. L est mesurable (B), donc un C(A): il suffit par suite de montrer que $C(Z)$ est un C(A), c. à d. que Z est un ensemble (A). Soit F un rectangle fermé: $a \le x \le b, c \le y \le d$; je désignerai par $U(F)$ l'ensemble $a \le x \le b, y < c$. $U(F)$ est evidentment un $F_\sigma G_\delta$.

<footnote n="1">¹) Fund. Math. VI, pag. 279, probl. 33.</footnote>

<footnote n="1">¹) V. la Note précédente de M. Sierpiński. La possibilité d'utiliser le résultat de cette Note, ce qui a simplifié d'une manière essentielle la construction de l'ensemble H — m'a été indiqué par M. Sierpiński.</footnote>
un $G_0$). Reste la deuxième propriété: Une droite $x=a$ rencontre $P$ seulement dans le cas où $a \in E_1$. Si $a \in E_2$ cette droite rencontre $M_n$, donc elle contient pour toute valeur de $n$ un point $(a, y_n)$ tel que $2 - \frac{1}{n} \le y_n \le 2 - \frac{1}{2n}$. Donc le $y$-maximum de $P$ sur cette droite aurait l'ordonnée $\ge 2$, ce qui est impossible, car $P$ est situé d'après (4) dans la bande $0 < y < 2$. On voit ainsi que la droite $x=a$ ne rencontre pas $H$ si $a \in E_2$ ou si $a$ est en dehors de $E_1$.

Supposons maintenant que $a \in E_1 - E_2$. La droite $x=a$ ne rencontre alors aucun $M_n$ c. à d. tout point $(a, y)$ contenu dans $P$ est situé dans $K_1$. Soit $y(a)$ la borne supérieure des ordonnées des points $(a, y) \in K_1$. Supposons, que le point $(a, y(a))$ n'appartient pas à l'ensemble $P$. Il existe alors une suite $\{y_k\}_{k=1,2\dots}^{}$ telle que :

$$ (5) \qquad y_k < y_{k+1}; \quad \lim_{k \to \infty} y_k = y(a); \quad (a, y_k) \in K_1. $$

Ces relations entraînent en vertu de la définition de $K_1$:

$$ (6) \qquad 0 < y_k \le 1; \quad 0 < y(a) \le 1; \quad a = f(y_k). $$

Donc, $f(y)$ étant continue du côté gauche pour $0 < y \le 1$:

$$ (7) \qquad f(y(a)) = \lim_{k \to \infty} f(y_k) = a $$

$$ (8) \qquad (a, y(a)) = (f(y(a)), y(a)) \in K_1 \subset P, $$

contrairement à la supposition. Donc $(a, y(a)) \in P$. Mais, d'après la définition de $y(a)$, c'est un $y$-maximum de $P$, donc un point de $H$. C à d.: Si $a \in E_1 - E_2$, alors la droite $x=a$ rencontre $H$.

Les considérations précédentes montrent que $E_1 - E_2 = E$ est la projection de $H$ sur l'axe des abscisses, c. q. f. d.

Une propriété des continus de M. Knaster.

Par

Paul Urysohn†.

M. Brouwer à introduit dans la science mathématique les continus indécomposables.

M. Knaster a donné ensuite un exemple d'un continu indécomposable dont tout sous-continu est lui aussi indécomposable. Nous appellerons continu de M. Knaster tout continu jouissant de cette propriété.

On pourrait introduire dans le même ordre d'idées la notion d'un semicontinu <fnref n="1" />) indécomposable: nous entendons par là un semicontinu $S$ qui ne peut être représenté comme somme de deux semicontinus $S_1$ et $S_2$ dont aucun ne coïncide avec $S$ tout entier.

Le but de cette note est de démontrer la propriété suivante des continus de M. Knaster:

Tout semicontinu agrégé à un continu de M. Knaster est indécomposable.

Soit $S$ un sémicontinu quelconque agregé à un continu $K$ de M. Knaster. Supposons qu'on ait

$$ (1) \qquad S = S_1 + S_2, \quad S_1 \neq S \neq S_2, $$

où $S_1$ et $S_2$ sont des semicontinus. Il résulte de (1). qu'on peut trouver deux points $a$ et $b$ tels que

$$ (2) \qquad a \subset S_1 - S_2, \quad b \subset S_2 - S_1. $$

$$ x + y \subset C_{xy} \subset S. $$

<footnote n="1">¹) Nous entendons dans cette note par un sémicontinu un ensemble $S$ non fermé et tel qu'il existe pour tout couple de points $x, y$ de $S$ un continu $C_{xy}$ vérifiant l'inclusion:</footnote>