classiques des sinus et cosinus de sommes et de différences et remplissent les cases du premier tableau du polycopié.

Elles passent ensuite en option Contracté, conformément aux indications du polycopié pour obtenir les transformations classiques de produits de sinus et de cosinus en sommes. Elles remplissent ainsi les cases du second tableau du polycopié.

### 8h40 :

Elles entrent l'expression suivante du polycopié :

$$17 : \cos\left[\frac{\pi}{2} - x\right] \cos(\pi - 3x)$$

et la font simplifier sans changer l'option :

$$18 : \frac{\sin(2 x)}{2} - \frac{\sin(4 x)}{2}$$

Lisant le polycopié, elles simplifient avec l'option Auto,

$$19 : -\sin(x) \cos(3x)$$

puis avec l'option Contracté.

$$20 : \frac{\sin(2 x)}{2} - \frac{\sin(4 x)}{2}$$

Le polycopié indique de simplifier aussi avec l'option dévEloppé. Elles n'obtiennent pas la formule 8 du polycopié. Il est probable qu'elles n'ont pas simplifié la formule 5 de l'énoncé, mais la formule 20 qu'elles venaient d'obtenir.

$$21 : \frac{\sin(2 x)}{2} - \frac{\sin(4 x)}{2}$$

Elles entrent alors au clavier la formule donnée dans le polycopié :

$$22 : 3 \sin(x) \cos(x) - 4 \sin(x) \cos(x)$$

puis tentent d'interpréter le commentaire qui suit dans le polycopié : "vous remarquerez que DERIVE utilise récursivement les formules d'addition". Le mot récursivement n'est pas compris. Il est interprété comme "respectivement". Pour comprendre, elles essaient de simplifier $\sin(4x)$ dans diverses options, obtenant successivement :

$$23 : \sin(4x)$$

$$24 : \sin(4x)$$

$$27 : 8 \sin(\frac{3}{x}) \cos(x) - 4 \sin(x) \cos(x)$$

$$28 : 8 \sin(\frac{3}{x}) \cos(x) - 4 \sin(x) \cos(x)$$

Elles reprennent ensuite la lecture du polycopié et suivent pas à pas les indications.

$$30 : \sin(3x)$$

$$31 : \frac{3 \sin(x)}{4} - \frac{\sin(3x)}{4}$$

$$32 : \sin(9x)$$

$$33 : \frac{\sin(9x)}{256} - \frac{9 \sin(7x)}{256} + \frac{9 \sin(5x)}{64} - \frac{21 \sin(3x)}{64} + \frac{63 \sin(x)}{128}$$

Elles semblent surprises par la complexité du résultat ("Holà !!!"). Elles arrivent ainsi au bas de la page 2.

### 8h50 :
Le professeur intervient collectivement car certains élèves n'ont pas obtenu cette expression, expliquant qu'ils ont sans doute choisi la direction : Cosinus alors que lui a choisi : Sinus. Il précise aussi que toutes les expressions du polycopié ont bien été obtenues avec DERIVE et qu'ils doivent pouvoir y arriver eux aussi.

Après cette interruption, A. et C. passent à la page 3 du polycopié et donc à la construction des formules de transformations de sommes en produits.

$$34 : \sin(a + b) + \sin(a - b)$$

$$35 : 2 \cos(b) \sin(a)$$

Elles rencontrent des difficultés avec la commande Bâtis, ce qui motive une intervention du professeur.

$$36 : \sin(a + b) + \sin(a - b) = 2 \cos(b) \sin(a)$$

$$37 : [p = a + b, q = a - b]$$

Elles résolvent correctement en a et b et obtiennent l'expression du polycopié:

$$38 : \left[ a = \frac{p + q}{2}, \quad b = \frac{p - q}{2} \right]$$

Elles remplacent ensuite a et b par leurs valeurs, mais dans l'expression 38 au lieu de le faire, comme indiqué, dans l'expression 36.

$$39 : \left[ \frac{p+q}{2} = \frac{p+q}{2}, \quad \frac{p-q}{2} = \frac{p-q}{2} \right]$$

Elles essaient ensuite dans l'expression 36, mais ne savent pas utiliser les entrées de cHoix Substitue:

$$40 : \sin(a + b) + \sin(a - b) = 2 \cos(b) \sin(a)$$

Le professeur intervient, et donne des explications sur la commande, puis sur l'entrée des arguments, en détaillant le cheminement dans les expressions et l'utilisation de la touche F3, tout en manipulant lui-même pour l'entrée a. Ensuite A. essaie de faire de même pour b mais se trompe. A. et C. reprennent tout et finissent par obtenir :

$$44 : \sin\left[\frac{p+q}{2} + \frac{p-q}{2}\right] + \sin\left[\frac{p+q}{2} - \frac{p-q}{2}\right] = 2 \cos\left[\frac{p-q}{2}\right] \sin\left[\frac{p+q}{2}\right]$$

La simplification du premier membre donne la formule attendue, que les élèves reconnaissent comme une "formule trigonométrique connue" :

$$45 : \sin(p) + \sin(q) = 2 \cos\left[\frac{p-q}{2}\right] \sin\left[\frac{p+q}{2}\right]$$

Les formules suivantes du polycopié sont entrées à la main (alors qu'elles auraient pu être bâties à l'aide du résultat précédent) :

$$46 : \text{FSS}(p, q) := 2 \sin \left[ \frac{p+q}{2} \right] \cos \left[ \frac{p-q}{2} \right]$$

$$47 : \text{FDS}(p, q) := 2 \sin \left[ \frac{p-q}{2} \right] \cos \left[ \frac{p+q}{2} \right]$$

mais avec des crochets au lieu de parenthèses, sans doute par souci de conformité au polycopié. Ceci n'est pas détectable à l'affichage mais aura une influence dans la suite.

Les élèves substituent ensuite, comme indiqué, $\pi/2 - p$ à $p$ et $\pi/2 - q$ à $q$ pour obtenir les formules correspondant aux sommes et différences de cosinus : FSC et FDC.
$$48: \sin\left(\frac{\pi}{2} - p\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2} - q\right) = 2 \cos\left[\frac{\frac{\pi}{2} - p - \left(\frac{\pi}{2} - q\right)}{2}\right] \sin\left[\frac{\frac{\pi}{2} - p + \left(\frac{\pi}{2} - q\right)}{2}\right]$$

Mais la simplification de l'expression leur donne l'égalité triviale :

$$49: \cos(p) + \cos(q) = \cos(p) + \cos(q)$$

au lieu de la formule annoncée dans le polycopié. Elles pensent ensuite à simplifier seulement le premier membre, et obtiennent :

$$50: \cos(p) + \cos(q) = 2 \cos\left[\frac{\frac{\pi}{2} - p - \left(\frac{\pi}{2} - q\right)}{2}\right] \sin\left[\frac{\frac{\pi}{2} - p + \left(\frac{\pi}{2} - q\right)}{2}\right]$$

Elles simplifient alors le second membre et obtiennent à nouveau :

$$52: \cos(p) + \cos(q) = \cos(p) + \cos(q)$$

Elles font ensuite divers essais de simplification, sans plus de succès, alors que la simplification leur paraît évidente "à la main". Un élève qui travaille seul finit par débloquer la situation en leur indiquant les bonnes options : Auto et Cosinus et elles obtiennent enfin :

$$55: \cos(p) + \cos(q) = 2 \cos\left[\frac{p-q}{2}\right] \cos\left[\frac{p+q}{2}\right]$$

"Ca y est, c'est pas vrai !!!"

Elles se servent du résultat pour obtenir la définition de FCS :

$$55: \text{FCS}(p, q) := 2 \cos\left[\frac{p-q}{2}\right] \cos\left[\frac{p+q}{2}\right]$$

En reprenant le polycopié, elles entrent ensuite :

$$57: \text{FCS}(p, \pi - q)$$

qu'elles simplifient en

$$58: -2 \sin\left[\frac{p}{2} - \frac{q}{2}\right] \sin\left[\frac{p}{2} + \frac{q}{2}\right]$$

dont elles se servent pour obtenir la définition de FDC :

$$59: \text{FDC}(p, q) := -2 \sin\left[\frac{p}{2} - \frac{q}{2}\right] \sin\left[\frac{p}{2} + \frac{q}{2}\right]$$

9h25

A. et C. disposent maintenant des quatre transformations supplémentaires sous DERIVE et doivent les utiliser pour factoriser : cos(2x)+cos(3x), cos(x)-cos(2x), sin(x)+cos(x), sin(x)+sin(2x)+sin(3x), les résultats n'étant cette fois-ci pas donnés. Elles entrent :

$$60: \cos(2x) + \cos(3x)$$

Elles tentent la commande Factor, mais ne savent pas quelle option activer.

Elles substituent ensuite dans la formule 55 (donc sans utiliser FSC), p par 2x, et q par 3x :

$$61: \cos(2x) + \cos(3x) = 2 \cos\left[\frac{2x}{2} - \frac{3x}{2}\right] \cos\left[\frac{2x}{2} + \frac{3x}{2}\right]$$
et simplifient en

$$62: \cos(3x) + \cos(2x) = 2 \cos\left[\frac{x}{2}\right] \cos\left[\frac{5x}{2}\right]$$

Elles passent à l'exercice suivant et entrent

$$63: \cos(x) - \cos(2x)$$

Elles discutent un moment de l'utilisation de FDC. Elles substituent ensuite dans la formule 59 (définissant FDC), p par x, et q par 2x

$$64: \text{FDC}(x, 2x) := 2 \sin\left[-\frac{x}{2}\right] \sin\left[\frac{3x}{2}\right]$$

ce qui est une utilisation erronée de la fonction FDC

Quand elles demandent la simplification de cette expression, DERIVE émet un "Bip" d'erreur, mais donne cependant l'expression second membre :

$$64: \text{FDC}(x, 2x) := 2 \sin\left[-\frac{x}{2}\right] \sin\left[\frac{3x}{2}\right]$$

ce qui est une utilisation erronée de la fonction FDC

Quand elles demandent la simplification de cette expression, DERIVE émet un "Bip" d'erreur, mais donne cependant l'expression second membre :

$$65: -2 \sin\left[-\frac{x}{2}\right] \sin\left[\frac{3x}{2}\right]$$

A l'étonnement des élèves, cette expression ne se simplifie pas davantage. L'observateur leur indique l'origine du problème: les crochets entrés à la place des parenthèses dans la définition de FDS, et propagés dans la définition de FDC "empêchent" l'application de la transformation $sin(-x)$ en $-sin x$. Elles remplacent les crochets par des parenthèses et simplifient:

$$66: 2 \sin\left[\frac{x}{2}\right] \sin\left[\frac{3x}{2}\right]$$

Elles redéfinissent, par édition, les définitions des 4 fonctions, et passent à la factorisation 3 ($sin x + cos x$). Elles ne voient pas comment faire, consultent leur cahier et leur manuel. C. déclare: $sin x + cos x$ ça fait 1.

Passant à la factorisation 4, elles entrent :

$$72: \sin(x) + \sin(2x) + \sin(3x)$$

A. substitue dans la formule définissant FSS, x à p, et 2x à q :

C'est encore une utilisation erronée de la définition de fonction, qui donne par simplification

$$74: 2 \cos\left[\frac{x}{2}\right] \sin\left[\frac{3x}{2}\right]$$

A partir de ce résultat, A. bâtit :

$$74: 2 \cos\left[\frac{x}{2}\right] \sin\left[\frac{3x}{2}\right] + \sin(3x)$$

puis simplifie :

$$75: \sin(3x) + 2 \cos\left[\frac{x}{2}\right] \sin\left[\frac{3x}{2}\right]$$

C. n'est pas d'accord avec cette démarche, elle propose à plusieurs reprises de "faire p, q, r dans FSS". A. déclare "Non, on n'a pas de formule". Elles tentent d'utiliser la formule de duplication des arguments $sin(2x)=2 sin x cos x$, pour obtenir $sin(3x/2)$ en fonction de $sin 3x$ et $cos(3x./2)$, et factoriser $sin(3x)$. Elles entrent au clavier
$$76: \sin(3x) \left[ 1 + 2\cos\left[\frac{x}{2}\right] \frac{1}{\cos\left[\frac{3x}{2}\right]} \right]$$

et obtiennent par simplification

$$77: \frac{\sin(3x) (2 \cos(x) + 1)}{2 \cos(x) - 1}$$

10h

L'observateur suggère de remplacer plutôt `sin(3x)` en fonction de `sin(3x/2)` et `cos(3x/2)`, pour ne pas avoir de dénominateur. Cette suggestion ne semble pas comprise : elles entrent

$$78: \cos\left[\frac{3x}{2}\right] \sin\left[\frac{3x}{2}\right]$$

qu'elles simplifient en

$$79: \frac{\sin(3x)}{2}$$

puis elles entrent

$$80: 2 \cos\left[\frac{3x}{2}\right] \sin\left[\frac{3x}{2}\right]$$

qu'elles simplifient en

$$81: \sin(3x)$$

Elles entrent à nouveau :

$$83: \sin(3x) \left[ 1 + 2\cos\left[\frac{x}{2}\right] \frac{1}{\cos\left[\frac{3x}{2}\right]} \right]$$

qu'elles simplifient en

$$84: \frac{2 \cos(x) \sin(3x)}{2 \cos(x) - 1}$$

Elles reviennent à l'expression initiale :

$$85: \sin(x) + \sin(2x) + \sin(3x)$$

et tentent une simplification, sans succès

$$86: \sin(3x) + \sin(2x) + \sin(x)$$

Elles passent en mode Développé, et simplifient

$$87: 4 \sin^2(x) \cos(x) + 2 \sin(x) \cos(2x)$$

L'observateur suggère d'employer la commande Factor. La difficulté est de choisir l'option. Elles essaient "Sans Carré"

$$88: 4 \sin^2(x) \cos(x) + 2 \sin(x) \cos(2x)$$

puis Trivial

$$90: 2 \sin(x) \cos(x) (2 \cos(x) + 1)$$
C. demande : "2 cos x +1, ça dit pas quelque chose ?"

Elles essaient de simplifier et obtiennent

$$91 : 4 \sin^2(x) \cos(x) + 2 \sin(x) \cos(2x) \\ \text{"Il m'a mis l'autre !"}$$

Elles passent en mode contracté, et simplifient :

$$92 : \sin(3 x) + \sin(2 x) + \sin(x)$$

ce qui est la formule initiale

10h09 Pause

10h30

Reprise

Les élèves reprennent sur la factorisation 3 : (sin x + cos x), qu'elles résolvent assez facilement, un autre élève leur ayant indiqué de remplacer cos x par sin(π/2-x). Ensuite, elles reviennent à la factorisation de SIN(x) + SIN(2x) + SIN(3x)

C. propose à nouveau "Tu mets p, q, r" (dans la formule FSS)

Mais A. construit une nouvelle formule FAD (factorise angle double ?)

Discussion sur la variable; C. propose p, mais A. répond que cela n'a pas d'importance. Elle essaie :

$$\text{FAD}(2x) := 2 \cos\left[\frac{1}{2} \cdot 2x\right] \sin\left[\frac{1}{2} \cdot 2x\right]$$

qui est refusé par DERIVE (non conforme à la définition de fonction). L'observateur indique l'origine du refus : il faut $FAD(x) :=$ Elles entrent

$$95 : \text{FAD}(x) := 2 \cos\left[\frac{1}{2} \cdot x\right] \sin\left[\frac{1}{2} \cdot x\right]$$

puis substituent 2x à x. Elles simplifient et obtiennent

$$96 : \sin(2 x)$$

Devant cet échec, elles reviennent au résultat antérieur (obtenu à partir de FSS(x,2x))

$$97 : \frac{2 \cos(x) \sin(3 x)}{2 \cos(x) - 1}$$

qu'elles simplifient en

$$98 : \frac{\sin(4 x) + \sin(2 x)}{2 \cos(x) - 1}$$

Elles substituent 4x à p et 2x à q dans la formule FSS :

$$99 : \text{FSS}(4x, 2x) := 2 \sin\left[\frac{4x + 2x}{2}\right] \cos\left[\frac{4x - 2x}{2}\right]$$

ce qui, à leur déception, se simplifie en

$$\sin(4 x) + \sin(2 x)$$

En simplifiant "à la main" la formule 99, elles entrent au clavier l'expression

$$100 : 2 \sin(3 x) \cos(x)$$

qui se simplifie en

$$101 : \sin(4 x) + \sin(2 x)$$

Elles semblent découragées. L'observateur leur indique de revenir à leur idée de "l'angle double".
Elles entrent au clavier

$$102:\sin(3 x) = 2 \cos\left[\frac{3 x}{2}\right] \sin\left[\frac{3 x}{2}\right]$$

L'observateur leur indique, à la différence de leur première démarche, de remplacer $\sin(3x)$ par $2\cos(3x/2)\sin(3x/2)$. Elles forment

$$104:2 \sin\left[\frac{3 x}{2}\right] \cos\left[\frac{3 x}{2}\right] + 2 \cos\left[\frac{x}{2}\right] \sin\left[\frac{3 x}{2}\right]$$

qu'elles simplifient en

$$105:\sin(3 x) + \sin(2 x) + \sin(x)$$

L'observateur propose de factoriser l'expression 104. Elles choisissent l'option "Rationnel", et obtiennent à nouveau

$$106:\sin(3 x) + \sin(2 x) + \sin(x)$$

L'observateur suggère Trivial, sans plus de succès

$$106:\sin(3 x) + \sin(2 x) + \sin(x)$$

Elles écrivent sur leur papier la factorisation de l'expression 104, mais il y a une erreur. Le facteur somme est trouvé $\cos(3x/2)+\cos(x)$ au lieu de : $\cos(3x/2)+\cos(x/2)$.

Elles substituent $3x/2$ à $p$ et $x$ à $q$ dans FSC. Elles simplifient et obtiennent

$$108:\cos\left[\frac{3 x}{2}\right] + \cos(x)$$

L'observateur suggère de changer de mode. Elles passent en mode Auto, et obtiennent

$$109:2 \cos\left[\frac{x}{4}\right] \cos\left[\frac{5 x}{4}\right]$$

Elles forment par édition l'expression :

$$110:2 \cos\left[\frac{x}{4}\right] \cos\left[\frac{5 x}{4}\right] 2 \sin\left[\frac{3 x}{2}\right]$$

L'observateur suggère de simplifier pour vérifier. Dans le mode Auto, on obtient :

$$111:4 \cos\left[\frac{x}{4}\right] \cos\left[\frac{5 x}{4}\right] \sin\left[\frac{3 x}{2}\right]$$

Elles essaient le mode Contracté

$$112:4 \cos\left[\frac{x}{4}\right] \cos\left[\frac{5 x}{4}\right] \sin\left[\frac{3 x}{2}\right]$$

Puis le mode Développe

$$113:\sin(3 x) + \sin\left[\frac{5 x}{2}\right] + \sin\left[\frac{x}{2}\right]$$

On obtient ainsi une somme de sinus, mais ce n'est pas la somme initiale, à cause de l'erreur de factorisation. Les élèves cherchent l'origine de l'erreur, mais sans succès.

### 11h10

Les élèves abordent la page 5, où plusieurs méthodes de démonstration sont proposées pour des égalités trigonométriques. Elles suivent pas à pas le polycopié, et obtiennent sans difficulté majeure les expressions qui y sont données.

### 11h25
L'heure avançant, l'observateur demande de traiter l'exercice demandé avec la première méthode, en sautant par conséquent dans le polycopié les explications de la page 6 sur la seconde méthode.

Les élèves chargent l'égalité à démontrer

$$1 : \mathrm{TAN}(a) + \mathrm{TAN}(b) + \mathrm{TAN}(c) = \mathrm{TAN}(a) \ \mathrm{TAN}(b) \ \mathrm{TAN}(c)$$

Elles recopient le premier membre

$$2 : \mathrm{TAN}(a) + \mathrm{TAN}(b) + \mathrm{TAN}(c)$$

opèrent la substitution de a par $\pi-(b+c)$

$$3 : \mathrm{TAN}(\pi - (b + c)) + \mathrm{TAN}(b) + \mathrm{TAN}(c)$$

simplifient

$$4 : \frac{\sin(c) \cos(c) \cos(b)^2 + \sin(b) \cos(b) (\cos(c)^2 - 1) - \sin(c) \cos(c)}{\cos(b) \cos(c) (\cos(c) \cos(b) - \sin(c) \sin(b))}$$

passent en mode contracté et simplifient

$$5 : - \mathrm{TAN}(b + c) + \mathrm{TAN}(b) + \mathrm{TAN}(c)$$

Même travail sur le second membre

$$6 : \mathrm{TAN}(a) \ \mathrm{TAN}(b) \ \mathrm{TAN}(c)$$

substitution

$$7 : \mathrm{TAN}(\pi - (b + c)) \mathrm{TAN}(b) \mathrm{TAN}(c)$$

simplification

$$8 : \frac{\mathrm{TAN}(c) \cos(2b + c) - \sin(c)}{\cos(2b + c) + \cos(c)}$$

mode développé

$$9 : \frac{\mathrm{TAN}(c) \mathrm{TAN}(b) (\sin(c) \cos(b) + \cos(c) \sin(b))}{\sin(c) \sin(b) - \cos(c) \cos(b)}$$

nouvelle simplification

$$10 : \frac{\sin(c) \cos(c) \cos(b)^2 + \sin(b) \cos(b) (\cos(c)^2 - 1) - \sin(c) \cos(c)}{\cos(b) \cos(c) (\cos(c) \cos(b) - \sin(c) \sin(b))}$$

L'expression est reconnue égale à une expression obtenue à partir du premier membre, mais C. voudrait retrouver le second membre à partir du premier (méthode 1→ 2 dans le polycopié). Elle reprend au début

$$12 : \mathrm{TAN}(a) + \mathrm{TAN}(b) + \mathrm{TAN}(c) = \mathrm{TAN}(a) \ \mathrm{TAN}(b) \ \mathrm{TAN}(c)$$

$$13 : \mathrm{TAN}(a) + \mathrm{TAN}(b) + \mathrm{TAN}(c)$$

$$16 : \mathrm{TAN}(\pi - (b + c)) + \mathrm{TAN}(b) + \mathrm{TAN}(c)$$

retrouve l'expression 4

$$17 : \frac{\sin(c) \cos(c) \cos(b)^2 + \sin(b) \cos(b) (\cos(c)^2 - 1) - \sin(c) \cos(c)}{\cos(b) \cos(c) (\cos(c) \cos(b) - \sin(c) \sin(b))}$$

puis simplifiant en mode contracté, elles obtiennent

$$18 : \frac{\sin(2b + 2c) - \sin(2b) - \sin(2c)}{\cos(2b + 2c) + \cos(2b) + \cos(2c) + 1}$$

et abandonnent la méthode.
Les élèves reprennent le polycopié page 6 (Méthode à partir du deuxième membre et arriver au premier), et suivent la méthode indiquée sans difficulté.

Ensuite, elle reprennent la méthode sur l'égalité

$$ \operatorname{TAN}(a) + \operatorname{TAN}(b) + \operatorname{TAN}(c) = \operatorname{TAN}(a) \ \operatorname{TAN}(b) \ \operatorname{TAN}(c) $$

Elles partent du produit de deux facteurs

$$ 20 : \operatorname{TAN}(a) \operatorname{TAN}(b) $$

simplification en mode Développé

$$ 21 : \frac{\cos(a - b) - \cos(a + b)}{\cos(a + b) + \cos(a - b)} $$

elles forment le produit avec le troisième facteur

$$ 24 : \frac{\cos(a - b) - \cos(a + b)}{\cos(a + b) + \cos(a - b)} \quad \operatorname{TAN}(c) $$

les simplifications en mode développé, ne changent pas l'expression

$$ 28 : \frac{\sin(a) \sin(b) \sin(c)}{\cos(a) \cos(b) \cos(c)} $$

avec le mode contracté

$$ 29 : - \frac{\sin(a + b + c) - \sin(a + b - c) - \sin(a - b + c) + \sin(a - b - c)}{\cos(a + b + c) + \cos(a + b - c) + \cos(a - b + c) + \cos(a - b - c)} $$

sur cette forme, les élèves peuvent utiliser l'hypothèse $\pi = a+b+c$, et former par édition

$$ 30 : \frac{- \sin(\pi - 2c) - \sin(\pi - 2b) + \sin(2a - \pi)}{\cos(\pi) + \cos(2a - \pi) + \cos(\pi - 2b) + \cos(\pi - 2c)} $$

en simplifiant :

$$ 31 : \frac{\sin(2a) + \sin(2b) + \sin(2c)}{\cos(2a) + \cos(2b) + \cos(2c) + 1} $$

Mais l'exercice est nettement plus complexe que l'exemple du polycopié : cette forme est éloignée du premier membre, et il n'y a pas de moyen facile d'atteindre ce but

La séance se termine à 11h50

Dans le TD de deux heures qui a suivi cette séance, A. et C. ont cherché à démontrer

$$ \sin(a) + \sin(b) + \sin(c) = 4 \cos\left(\frac{a}{2}\right) \cos\left(\frac{b}{2}\right) \cos\left(\frac{c}{2}\right) $$

Elles ont opéré sans succès une succession de tentatives de simplification avec DERIVE, de transformations faites à la main, dont le résultat est souvent porté dans DERIVE de façon erronée, et d'utilisation des fonctions FSS, FDC...

## Groupe 2

Ce groupe rencontre des difficultés avec le matériel (claviers non conformes). On observe une intense activité du professeur (déplacement d'ordinateurs, chargement de logiciel...)

L'activité des élèves commence vraiment à 8h40. Elle consiste, comme dans l'autre groupe, à entrer les formules et à exécuter les transformations indiquées dans l'énoncé.

8h40

Les élèves obtiennent par simplification les transformations de sommes en produits puis de produits en sommes indiquées dans l'énoncé. Ils exécutent de même les simplifications indiquées dans les différents modes.
Ils rencontrent leur première difficulté avec la simplification de

$$24 : \sin^3(x)$$

Ils ne sont pas repassés en mode contracté, et n'obtiennent pas le résultat du polycopié

$$25 : \sin^3(x)$$

Ils positionnent l'option Direction à Cosinus, et n'obtiennent toujours pas le résultat du polycopié

$$26 : \sin(x) - \sin(x) \cos^2(x)$$

Ils passent enfin en mode Contracté et obtiennent comme dans le polycopié

$$27 : \frac{3 \sin(x)}{4} - \frac{\sin(3x)}{4}$$

9h

Les élèves sont arrivés à la page 3 du polycopié qu'ils suivent pour obtenir la définition de FSS.
Ils obtiennent comme dans le polycopié

$$34 : \left[ a = \frac{p+q}{2} , b = \frac{p-q}{2} \right]$$

Comme indiqué dans le polycopié ils substituent $(p+q)/2$ à a, puis $(p-q)/2$ à b mais ne prennent pas garde à ce que la surbrillance est sur l'expression 34. Ils obtiennent ainsi le système trivial

$$38 : \left[ \frac{p+q}{2} = \frac{p-q}{2} , \frac{p-q}{2} = \frac{p-q}{2} \right]$$

Les élèves essaient alors de résoudre en a la formule du polycopié

$$3 : \sin(a + b) + \sin(a - b) = 2 \sin(a) \cos(b)$$

Ils obtiennent tout réel comme solution :

$$39 : a = @1$$

9h05

Avec l'aide du professeur, ils opèrent les substitutions, cette fois dans l'expression 2, obtiennent des expressions conformes au polycopié, et les utilisent pour définir FSS et FDS.

On a ensuite une phase analogue à celle observée dans le premier groupe :

les élèves opèrent les substitutions,

$$45 : \sin\left(\frac{\pi}{2} - p\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2} - q\right) = 2 \cos\left[\frac{\pi}{2} - p - \left(\frac{\pi}{2} - q\right)}{2}\right] \sin\left[\frac{\pi}{2} - p + \left(\frac{\pi}{2} - q\right)}{2}\right]$$

et obtiennent par simplification l'égalité triviale :

$$46 : \cos(p) + \cos(q) = \cos(p) + \cos(q)$$

Ils sont eux aussi débloqués par l'intervention du même élève, très à l'aise avec les divers modes de simplification trigonométrique de DERIVE. Ils définissent ainsi les fonctions du polycopié.

9h30
Ils passent aux exercices du bas de la page 4. A la différence du groupe A.-C., ils élèves
utilisent les appels de fonction

$$
53 : \text{FSC}(2 x, 3 x)
$$

ce qui correspond à cos(2x)+cos(3x), et la simplification en mode Auto leur donne la
factorisation demandée

$$
55: 2 \cos\left[\frac{x}{2}\right] \cos\left[\frac{5 x}{2}\right]
$$

Le second exercice (cos(x)-cos(2x)) est résolu de la même manière

$$
56: \mathrm{FDC}(x, 2 x)
$$

$$
57: 2 \sin\left[\frac{x}{2}\right] \sin\left[\frac{3 x}{2}\right]
$$

Pour le troisième exercice l'utilisation des fonctions définies nécessiterait une transformation de
cosinus en sinus. Les élèves n'y pensent pas. Ils entrent l'expression de l'énoncé

$$
58: \sin(x) + \cos(x)
$$

et simplifient en mode contracté

$$
60: \sqrt{2} \sin\left[\frac{\pi}{4} + x\right]
$$

Sur une indication d'un voisin, ils tentent ensuite d'utiliser FSS

$$
61: \text{FSS}\left[x, \frac{\pi}{2} - x\right]
$$

qui aboutit au même résultat

$$
62: \sqrt{2} \sin\left[\frac{\pi}{4} + x\right]
$$

Ils passent ensuite à l'exercice suivant ( sin x + sin 2x + sin 3x), sans qu'on puisse savoir s'ils sont satisfaits de cette expression. Ils abandonnent également l'exercice suivant après factorisation de la somme des deux derniers termes

$$
63: \text{FSS}(2 x, 3 x)
$$

$$
64: 2 \cos\left[\frac{x}{2}\right] \sin\left[\frac{5 x}{2}\right]
$$

9h50

Ils abordent la page 4 du polycopié, (première méthode de démonstration) qu'ils suivent pas à
pas. Ils obtiennent les expressions indiquées

10h10

Suite à un problème matériel, ils rechargent le logiciel et au lieu de reprendre le travail,
explorent les fichiers de démonstration de tracé en 3D

10h55

Ils abordent la seconde méthode (deuxième membre vers premier membre page 6)

Après quelques simplifications, ils obtiennent une expression non conforme au polycopié,
l'affectation de la valeur π-(a+b) à la variable c, étant restée valide. Ils appellent le professeur,
qui après un temps de recherche localise le problème, et "libère" la variable c.
Jusque vers 11h55, les élèves poursuivent la lecture du polycopié jusqu'à la fin de la page 8. A ce stade, ils appellent le professeur, car à nouveau ils n'obtiennent pas l'expression de l'énoncé. Le professeur tente en vain de localiser le problème, et déclare qu'il peut s'agir d'un "problème de version", la version de DERIVE utilisée pour la préparation étant différente de la version utilisée par les élèves.

## ENTRETIEN APRÈS OBSERVATION

Le professeur a eu une impression de lenteur, de difficulté à avancer dans le polycopié. Il souligne que les polycopiés précédents ont été plus courts.

Les problèmes inattendus ont été l'intervention de l'affectation de la variable c, d'une part, et les différences entre version du logiciel (il utilise pour la préparation une version plus récente que celle dont l'établissement est équipé).

Le bilan est que les élèves ont surtout vu "comment DERIVE manipule les expressions trigonométriques", alors que le professeur pensait que les exercices de la fin du polycopié seraient traités. Il pense que le travail était un peu ambitieux pour la durée prévue, et prévoit une nouvelle séance le 13 avril, et du travail autonome.

Concernant l'équilibre "lecture polycopié/recherche", le professeur pense que le problème vient de ce que les élèves n'ont pas atteint les exercice de la fin. Il pense aussi que les élèves sont passés trop vite sur les exercices de la fin de la première partie.

Lors d'une séance ultérieure de 2 heures, le professeur a tenté de prolonger le travail, mais selon lui, le résultat a été très décevant, car les transformations qu'il avait testées pour sa préparation n'ont pas fonctionné avec la version dont l'établissement est équipé.

## ANALYSE A POSTERIORI

### L'objectif du professeur

Le but explicite de la séance est de renforcer des démarches de preuve en trigonométrie, vues en papier/crayon, par une activité où DERIVE permettrait de mieux apercevoir ce qui est fondamental dans la démarche en "libérant l'élève" des difficultés calculatoires.

Nous avons donc deux hypothèses originales sous-tendant l'activité :

* DERIVE est un auxiliaire pour des démarches de preuve.

* L'activité avec DERIVE systématise l'activité Papier/crayon antérieure, et doit avoir des effets dans l'activité Papier/crayon ultérieure.

### Le calcul trigonométrique avec DERIVE

Les transformations d'expressions trigonométriques effectuées dans DERIVE sont pilotées par une variable de mode pouvant prendre trois valeurs :

* dans le mode "Développé", DERIVE applique les formules de développement $cos(a+b)$, $sin(a+b)$, $cos(ka)$, $sin(ka)$.

* dans le mode "Contracté", DERIVE applique les formules de transformation de produit et de puissances de lignes trigonométriques, en sommes.
* dans le mode "Auto", DERIVE n'applique les formules de transformations, que si elles conduisent à des simplifications. En fait, le fonctionnement de DERIVE dans ce mode est très peu transparent, et semble varier d'une version à l'autre.

Plusieurs difficultés montrent qu'il n'y a pas isomorphisme entre les transformations classiques d'expressions trigonométriques, basées sur l'application de formules, et le calcul dans **DERIVE** :

* Une simplification dans le mode "Développé" (Resp. "Contracté") n'est qu'en apparence isomorphe à l'application de formules classiques. En effet, la pratique montre des cas où des simplifications "évidentes à la main" sont difficilement obtenues avec **DERIVE** : par exemple, A. et C. souhaitent mettre en facteur $\sin(\frac{3x}{2})$ dans $\sin(3x)+ 2\cos(\frac{x}{2})\sin(\frac{3x}{2})$. Elles savent appliquer "à la main" la transformation $\sin(3x)=2 \sin(\frac{3x}{2}) \cos(\frac{3x}{2})$, mais elles ne parviennent pas à la mettre en oeuvre avec **DERIVE**. Leur tentative conduit à une série de cercles vicieux où elles finissent par ne plus donner de sens aux simplifications qu'elles effectuent.

* Un autre problème est qu'il n'y a pas, dans **DERIVE**, l'équivalent des transformations d'expressions trigonométriques s'appuyant sur les formules de transformation de sommes et différences en produits. C'est ce qui conduit le professeur à introduire les fonctions FSS, FSC, FDS, FDC. La découverte de ces fonctions et leur définition occupent une part importante du polycopié et de l'activité des élèves, alors qu'il ne s'agit que d'une habileté parmi d'autres, dans la démarche de preuve d'égalités trigonométriques. Les élèves A. et C. semblent intégrer la logique du professeur, puisqu'elles créent de leur propre initiative une fonction de ce type (FAD), pour tenter d'appliquer la formule de l'angle double. On peut noter cependant qu'elles voient cette définition comme une "formule" et n'aperçoivent pas les caractéristiques "informatiques " de cette définition : elles ne comprennent pas par exemple, pourquoi le premier membre de la définition ne peut être FAD(2x).

* Une troisième difficulté vient de la factorisation dans les expressions trigonométriques : **DERIVE** opère une simplification avant la factorisation, ce qui peut rendre impossible la factorisation souhaitée. Ainsi, la factorisation de $\cos(a - b)\cos(\frac{c}{2})+\cos(\frac{c}{2})\sin(\frac{c}{2})$ conduit à :
$$ \frac{2 \cos(a-b)\cos(\frac{c}{2}) + \sin(c)}{2} $$

## Les démarches de preuve en papier/crayon et avec **DERIVE**

Les calculs dans **DERIVE** facilitent la démarche de preuve consistant à trouver une expression égale à chacune des expressions du premier et du second membre.

Ceci est bien illustré par l'activité de A. et C. lorsqu'elles démontrent : $TAN(a) + TAN(b) + TAN(c) = TAN(a) TAN(b) TAN(c)$ (voir ci-dessus page 253). Elles simplifient dans le mode "Développé" chacun des deux membres. Pour chacun des deux
membres elles obtiennent une expression complexe. Elles reconnaissent que les deux expressions obtenues sont les mêmes.

Cette démarche de preuve serait difficile à obtenir à la main, à cause de la complexité des expressions. Elle présente l'avantage d'être efficace, si l'on utilise DERIVE, mais n'est pas la plus intéressante si l'on veut développer chez les élèves des compétences "stratégiques" réinvestissables en papier/crayon.

L'autre démarche consiste à passer de l'expression dans un membre à l'expression de l'autre membre, par des expressions équivalentes. Le non-isomorphisme souligné plus haut entre les transformations trigonométriques "à la main" et le calcul dans DERIVE entraîne des difficultés spécifiques dans la mise en oeuvre de cette démarche avec DERIVE. Dans l'exemple ci-dessus (démonstration de $TAN(a) + TAN(b) + TAN(c) = TAN(a) TAN(b) TAN(c)$), la tentative du premier membre vers le second et la tentative inverse, n'aboutissent pas.

## Le rôle de DERIVE

DERIVE peut donc jouer un rôle d'auxiliaire dans les démarches de preuve. Cependant l'apport de DERIVE en terme de compétences stratégiques réinvestissables en papier/crayon n'est pas aussi clair que dans les hypothèses du professeur :

* Dans les exemples traités dans le polycopié, les difficultés liées au fonctionnement particulier de DERIVE sont en grande partie résolues. Les élèves retrouvent donc les démarches de preuve qu'ils ont mises en oeuvre antérieurement en papier/crayon. Cependant, le travail des élèves peut se réduire à la simple exécution des entrées et des commandes indiquées dans le polycopié : c'est le cas des élèves du second groupe qui sont passés très vite sur la difficulté que pouvait représenter les factorisations du bas de la page 4, et qui n'ont pas abordé les exercices de la fin du polycopié. Si l'implication des élèves dans l'activité reste superficielle, on peut douter des effets sur leurs compétences.

* La pratique avec DERIVE tend à favoriser une démarche de preuve qui n'est pas la plus intéressante du point de vue "stratégique", et qui n'est pas nécessairement réinvestissable en papier/crayon.

* Dans les exercices résolus par les élèves, certaines difficultés calculatoires disparaissent, en particulier celles qui sont liées à la manipulation d'expressions complexes. Le non-isomorphisme du calcul dans DERIVE avec les transformations habituelles ajoute cependant une complexité nouvelle, particulièrement quand, partant d'une forme donnée (par exemple une somme) on veut obtenir une autre forme (par exemple un produit).

* Dans de nombreux cas, la complexité nouvelle obscurcit la stratégie, de la même manière que les difficultés calculatoires dans la pratique papier/crayon. On trouve alors les nombreux cercles vicieux auxquels conduit la conjonction d'une facilité de mise en oeuvre des transformations, et de la perte du sens de ces transformations.

* Dans d'autres cas, on peut penser que les élèves sont conduits à mieux penser leur stratégie en fonction du contexte différent que constitue DERIVE. C'est le cas par exemple de A. et C. quand elles tentent de factoriser $SIN(x) + SIN(2 x) + SIN(3 x)$ (voir page 249 et suivantes). Leur recherche obstinée les conduit à une factorisation effective : celle-ci est erronée, mais l'erreur se situe lors de l'entrée dans DERIVE d'une expression factorisée "à la main" en désespoir de cause ! On remarque également que l'observateur doit intervenir assez fortement pour relancer la recherche. Dans l'autre groupe où cette relance n'a pas lieu, les élèves ne cherchent pas les factorisations.
Synthèse et propositions

Dans le travail des élèves, on peut distinguer trois phases, posant des problèmes différents :

1. Dans un premier temps, les élèves utilisent les différents modes de simplification trigonométriques de DERIVE. Ils sont guidés pas à pas et sont ainsi dans un travail d'exécution qui ne leur pose pas de problème particulier, mais où il n'y a pas d'apprentissage. Or, pour des élèves comme ceux du second groupe, ce travail occupe la majeure partie de la séance.

2. Dans la phase de construction des formules de transformation de sommes en produits, on voit apparaître des difficultés, bien que le guidage demeure important.

* Comme dans d'autres observations, des difficultés viennent de ce que des paramètres de la commande de substitution ne sont pas compris des élèves.

* On rencontre aussi des difficultés plus spécifiques à la gestion des expressions trigonométriques par DERIVE, et bien moins facilement rationalisables. Par exemple, les problèmes rencontrés dans la simplification de

$$ \sin\left(\frac{\pi}{2} - p\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2} - q\right) = 2 \cos\left[\frac{\frac{\pi}{2} - p - \left(\frac{\pi}{2} - q\right)}{2}\right] \sin\left[\frac{\frac{\pi}{2} - p + \left(\frac{\pi}{2} - q\right)}{2}\right], $$

ne sont résolus qu'après de multiples essais infructueux.

* Il y a aussi la question des crochets, déjà rencontrée elle aussi dans d'autres observations. Deux objets affichés de façon identiques sont traitées différemment par DERIVE. Les usages mathématiques ne conduisent pas à les distinguer.

Dans ce travail trigonométrique, l'utilisateur est ainsi confronté à une certaine imprévisibilité du logiciel : les résultats obtenus dans DERIVE dépendent d'un nombre important de facteurs (options de simplification, affectations antérieures, expressions à simplifier...), et on ne peut se faire une idée précise du fonctionnement. C'est pourquoi le polycopié n'assure généralement pas le guidage prévu par le professeur, et se révèle au contraire bien souvent un handicap.

3. Dans les phases de recherche d'exercices, les particularités du calcul trigonométrique dans DERIVE soulignées ci-dessus handicapent notablement le travail des élèves. Nous avons vu par exemple qu'il est souvent difficile d'obtenir des transformations ou factorisations évidentes à la main. Le polycopié précise que toutes les simplifications doivent pouvoir être obtenues dans le logiciel, et donc, les élèves ne se sentent pas autorisés à reporter dans DERIVE le résultat de simplifications obtenues à la main. Quand ils y sont invités par l'observateur, les élèves n'identifient pas la structure d'expressions trop complexes, et se trompent en les recopiant.

Le professeur souhaitait dans cette séance que les élèves puissent, à l'aide de DERIVE, se centrer sur les démarches de preuves, l'exploration des stratégies. Par rapport à cet objectif, l'impression est plutôt décevante. Il y a les difficultés de guidage de l'activité des élèves que nous avons soulignées ci-dessus, mais nous avons vu aussi que DERIVE privilégie une stratégie de calcul qui n'est pas la plus intéressante à réinvestir en calcul papier/crayon, et que
les autres stratégies peuvent être laborieuses, voir impossible si l'on veut les conduire en totalité avec le logiciel.

L'activité pourrait donc être plus intéressante si l'on abandonnait l'idée de reproduire avec DERIVE des démarches totalement isomorphes au calcul papier/crayon. On pourrait ainsi se centrer sur un travail trigonométrique moins guidé, mais où les différences entre la résolution dans DERIVE et le calcul papier/crayon prendraient du sens.

C'est un peu ce travail trigonométrique auquel se livre le premier groupe dans les phases de recherche des exercices. Certes, son activité de résolution est loin d'être toujours efficace et il faudrait pouvoir lui éviter les nombreux blocages ou détours peu productifs. De nombreux points de l'analyse de l'activité précédente pourraient être repris pour rendre plus efficace ce travail. En particulier, l'analyse a priori d'une séance de trigonométrie avec DERIVE devrait s'efforcer de déterminer quelle image rationnelle des transformations trigonométriques opérées par le logiciel on peut donner aux élèves, et comment on peut les amener à gérer la part d'imprévisibilité qui semble inévitable. Elle devrait aussi faire en sorte que les élèves puissent articuler la réflexion sur papier et les simplifications dans le logiciel, de façon à ce que des transformations évidentes sur papier, mais difficiles à obtenir dans DERIVE, ne constituent pas des obstacles à la résolution.
# ANNEXE : LE TEXTE DU POLYCOPIÉ DISTRIBUÉ AUX ÉLÈVES (TRIGO 2)

Le but de ce TP est de vous faire refaire des exercices sur les transformations trigonométriques. A l'aide de DERIVE vous pourrez tester sur chaque exercice les diverses méthodes vues en cours.

Pour utiliser les **formules d'addition** avec DERIVE :

On règle le mode trigonométrique [cHoix] [Trigonométrie] [dévEloppé]

Entrer ensuite [Auteur] $sin(a + b)$

$1: \sin(a + b)$

Puis [Simplifie]

$2: \cos(a) \sin(b) + \sin(a) \cos(b)$

Retrouver les autres formules d'addition

<table><tr><td>sin (a - b)</td><td></td></tr><tr><td>cos (a + b)</td><td></td></tr><tr><td>cos (a - b)</td><td></td></tr></table>

Pour utiliser les **formules de transformation de produit en somme** avec DERIVE.

On règle le mode trigonométrique [cHoix] [Trigonométrie] [Contracté]

Entrer ensuite [Auteur] $sin(a)sin(b)$

$3: \sin(a) \sin(b)$

Puis [Simplifie]

$4: \frac{\cos(a - b)}{2} - \frac{\cos(a + b)}{2}$

Retrouver les autres formules de transformation de produit en somme.

<table><tr><td>cos(a)cos(b)</td><td></td></tr><tr><td>cos(a)sin(b)</td><td></td></tr><tr><td>sin(a)cos(b)</td><td></td></tr></table>

La troisième option Auto laisse DERIVE choisir le degré de simplification.

[Auteur] Entrer

$5: \cos\left[\frac{\pi}{2} - x\right] \cos(\pi - 3x)$

[cHoix] [Trigonométrie] [Auto] puis [Simplifie]
6: - SIN(x) COS(3 x)

Replacer la surbrillance sur (5:)

cHoix Trigonométrie Contracté puis Simplifie

$$
\sin(2 x) \quad \sin(4 x)
$$

7: \quad \frac{\phantom{00}}{2} - \frac{\phantom{00}}{2}

Replacer la surbrillance sur (5:)

cHoix Trigonométrie dévEloppé puis Simplifie

3

8: $3 \sin(x) \cos(x) - 4 \sin(x) \cos(2x)$

vous remarquerez que DERIVE utilise récursivement les formules d'addition:

$\sin(4x) = \sin(x + 3x) = \sin(x)\cos(3x) + \cos(x)\sin(3x)$ puis $\sin(3x)$ et $\cos(3x)$ par leurs valeurs calculées en fonction des fonctions circulaires de $x$ et $2x$

$$
\sin(3x) = \sin(x + 2x) = \sin(x)\cos(2x) + \sin(2x)\cos(x) \cos(3x) = \cos(x + 2x) = \cos(x)\cos(2x) - \sin(x)\sin(2x)
$$

et enfin $\sin(2x)$ et $\cos(2x)$ en fonction de $\sin(x)$ et $\cos(x)$

La remarque précédente est aussi valable pour le mode contacté. Par exemple :

Auteur

Entrer :

3

9: $\sin(x)$

cHoix Trigonométrie Contracté puis Simplifie

$$
3 \sin(x) \quad \sin(3 x)
$$

2: \quad \frac{\phantom{00}}{4} - \frac{\phantom{00}}{4}

Auteur

Entrer :

9

10: $\sin(x)$

cHoix Trigonométrie Contracté puis Simplifie
11: $\frac{\sin(9 x)}{256} - \frac{9 \sin(7 x)}{256} + \frac{9 \sin(5 x)}{64} - \frac{21 \sin(3 x)}{64} + \frac{63 \sin(x)}{128}$
La démarche est analogue à celle faite à la main. Entrer:

1: $\sin(a + b) + \sin(a - b)$

On règle sur l'option contracté [cHoix] Trigonométrie [Contracté]

On simplifie [Simplifie]

2: $2 \sin(a) \cos(b)$

On construit la formule à l'aide de [Bâtis] ou de la touche F3

3: $\sin(a + b) + \sin(a - b) = 2 \sin(a) \cos(b)$

On pose:

4: $[p = a + b, q = a - b]$

On calcule a et b en fonction de p et q [résoL]

5: $\left[a = \frac{p+q}{2}, b = \frac{p-q}{2}\right]$

On remplace a et b dans (3): [cHoix] Substitue

$$6: \sin\left[\frac{p+q}{2} + \frac{p-q}{2}\right] + \sin\left[\frac{p+q}{2} - \frac{p-q}{2}\right] = 2 \sin\left[\frac{p+q}{2}\right] \cos\left[\frac{p-q}{2}\right]$$

On simplifie [Simplifie]

7: $\sin(p) + \sin(q) = 2 \sin\left[\frac{p+q}{2}\right] \cos\left[\frac{p-q}{2}\right]$

On définit la fonction FSS (pour factorisation de somme de sinus).

8: $\text{FSS}(p, q) := 2 \sin\left[\frac{p+q}{2}\right] \cos\left[\frac{p-q}{2}\right]$

De même pour la différence

9: $\text{FDS}(p, q) := 2 \sin\left[\frac{p-q}{2}\right] \cos\left[\frac{p+q}{2}\right]$

Et pour les cosinus, on remplace p par $\pi/2 - p$ et q par $\pi/2 - q$.

Replacez la surbrillance sur (7): [cHoix] Substitue
$$10: \sin\left[\frac{\pi}{2} - p\right] + \sin\left[\frac{\pi}{2} - q\right] = 2 \sin\left[\frac{\frac{\pi}{2} - p + \left[\frac{\pi}{2} - q\right]}{2}\right] \cos\left[\frac{\frac{\pi}{2} - p - \left[\frac{\pi}{2} - q\right]}{2}\right]$$

On simplifie Simplifie

$$11: \cos(p) + \cos(q) = 2 \cos\left[\frac{p}{2} - \frac{q}{2}\right] \cos\left[\frac{p}{2} + \frac{q}{2}\right]$$

On définit la fonction FSC (factorise somme de cosinus)

Auteur Entrer:

$$12: \text{FSC}(p, q) := 2 \cos\left[\frac{p}{2} - \frac{q}{2}\right] \cos\left[\frac{p}{2} + \frac{q}{2}\right]$$

Et enfin la différence de deux cosinus, en remplacant q par π - q. Auteur Entrer:

$$13: \text{FSC}(p, \pi - q)$$

$$14: - 2 \sin\left[\frac{p}{2} - \frac{q}{2}\right] \sin\left[\frac{p}{2} + \frac{q}{2}\right]$$

On définit la fonction FDC (factorise différence de cosinus).

$$15: \text{FDC}(p, q) := -2 \sin\left[\frac{p}{2} - \frac{q}{2}\right] \sin\left[\frac{p}{2} + \frac{q}{2}\right]$$

Ces quatre formules de factorisation:

$$2: \text{FSS}(p, q) := 2 \sin\left[\frac{p+q}{2}\right] \cos\left[\frac{p-q}{2}\right]$$

$$3: \text{FDS}(p, q) := 2 \sin\left[\frac{p-q}{2}\right] \cos\left[\frac{p+q}{2}\right]$$

$$4: \text{FSC}(p, q) := 2 \cos\left[\frac{p}{2} - \frac{q}{2}\right] \cos\left[\frac{p}{2} + \frac{q}{2}\right]$$

$$5: \text{FDC}(p, q) := -2 \sin\left[\frac{p}{2} - \frac{q}{2}\right] \sin\left[\frac{p}{2} + \frac{q}{2}\right]$$

sont sauvegardées sur la disquette dans le fichier sompro.mth vous pourrez dans la suite du TP le charger si nécessaire

Utilisez les formules précédentes pour factoriser:

<table><tr><td>cos(2x)+ cos(3x)</td><td></td></tr><tr><td>cos(x) -cos(2x)</td><td></td></tr><tr><td>sin(x)+cos(x)</td><td></td></tr><tr><td>sin(x) + sin(2x) + sin(3x)</td><td></td></tr></table>
Exemple: résolution de l'exercice N°1 avec les fonctions de DERIVE

On charge le fichier Transfert Charge E1

$$1: \quad \sin(a) + \sin(b) + \sin(c) = 4 \cos\left[\frac{a}{2}\right] \cos\left[\frac{b}{2}\right] \cos\left[\frac{c}{2}\right]$$

Méthode en tranformant chaque membre.

On sélectionne le premier membre

$$2: \quad \sin(a) + \sin(b) + \sin(c)$$

On remplace a par $\pi - (b+c)$ cHoix Substitue

$$3: \quad \sin(\pi - (b + c)) + \sin(b) + \sin(c)$$

On simplifie Simplifie

$$4: \quad \sin(b + c) + \sin(b) + \sin(c)$$

On règle l'option trigo sur developpe cHoix Trigonométrie

$$5: \quad \cos(b) \sin(c) + \sin(b) (\cos(c) + 1) + \sin(c)$$

Voici la forme développée du premier membre.

$$6: \quad \cos(b) \sin(c) + \sin(b) \cos(c) + \sin(b) + \sin(c)$$

On travaille maintenant sur le second membre.

$$7: \quad 4 \cos\left[\frac{a}{2}\right] \cos\left[\frac{b}{2}\right] \cos\left[\frac{c}{2}\right]$$

On remplace a par $\pi - (b+c)$ comme pour le premier.

cHoix Substitue

$$8: \quad 4 \cos\left[\frac{\pi - (b + c)}{2}\right] \cos\left[\frac{b}{2}\right] \cos\left[\frac{c}{2}\right]$$

Voici la forme développée du second membre.

$$9: \quad \cos(b) \sin(c) + \sin(b) (\cos(c) + 1) + \sin(c)$$

Elle est égale à celle du premier (6:). La démonstration est donc terminée.

Il est possible de faire les deux transformations précédentes en même temps.

On déclare $c$ fonction de $a$ et $b$

$$c := \pi - (a + b)$$

$$\sin(a + b) + \sin(a) + \sin(b) = 4 \cos\left[\frac{a}{2}\right] \cos\left[\frac{b}{2}\right] \cos\left[\frac{c}{2}\right]$$

simplification en mode Auto cHoix Trigonométrie Auto Simplifie

$$\sin(a + b) + \sin(a) + \sin(b) = 4 \sin\left[\frac{a}{2} + \frac{b}{2}\right] \cos\left[\frac{a}{2}\right] \cos\left[\frac{b}{2}\right]$$
simplification en mode développe [cHoix] Trigonométrie [dévEloppé] Simplifie

$$30: \cos(a) \sin(b) + \sin(a)(\cos(b) + 1) + \sin(b) = \cos(a) \sin(b) + \sin(a)(\cos(b) + 1) + \sin(b)$$
Les deux membres sont égaux donc l'égalité est démontrée.

## Méthode partir du deuxième membre et arriver au premier.

On isole le deuxième membre.

$$10: 4 \cos\left[\frac{a}{2}\right] \cos\left[\frac{b}{2}\right] \cos\left[\frac{c}{2}\right]$$

puis on isole les deux premiers facteurs.

$$11: 4 \cos\left[\frac{a}{2}\right] \cos\left[\frac{b}{2}\right]$$

On règle l'option tigonométrie sur contracté [cHoix] Trigonométrie [Contracté]

$$12: 2 \cos\left[\frac{a}{2} + \frac{b}{2}\right] + 2 \cos\left[\frac{a}{2} - \frac{b}{2}\right]$$

On replace le troisième facteur [Bâtis] ou touche F3

$$13: \cos\left[\frac{c}{2}\right] \left[ 2 \cos\left[\frac{a}{2} + \frac{b}{2}\right] + 2 \cos\left[\frac{a}{2} - \frac{b}{2}\right] \right]$$

On simplifie Simplifie

$$14: \cos\left[\frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2}\right] + \cos\left[\frac{a}{2} + \frac{b}{2} - \frac{c}{2}\right] + \cos\left[\frac{a}{2} - \frac{b}{2} + \frac{c}{2}\right] + \cos\left[\frac{a}{2} - \frac{b}{2} - \frac{c}{2}\right]$$

mais $a + b + c = \pi$

$$15: \cos\left[\frac{a}{2} + \frac{b}{2} - \frac{c}{2}\right] + \cos\left[\frac{a}{2} - \frac{b}{2} + \frac{c}{2}\right] + \cos\left[\frac{a}{2} - \frac{b}{2} - \frac{c}{2}\right]$$

$$16: \cos\left[\frac{\pi}{2} - c\right] + \cos\left[\frac{a}{2} - \frac{b}{2} + \frac{c}{2}\right] + \cos\left[\frac{a}{2} - \frac{b}{2} - \frac{c}{2}\right]$$

$$17: \cos\left[\frac{\pi}{2} - c\right] + \cos\left[\frac{\pi}{2} - b\right] + \cos\left[\frac{a}{2} - \frac{b}{2} - \frac{c}{2}\right]$$

$$18: \cos\left[\frac{\pi}{2} - c\right] + \cos\left[\frac{\pi}{2} - b\right] + \cos\left[\frac{\pi}{2} - a\right]$$

$$19: \sin(a) + \sin(b) + \sin(c)$$

On retrouve le premier membre.
Résolution de l'exercice N°1 en utilisant les transformations de sommes en produits

On charge l'exercice **Transfert** **Charge** **Derive** exol

$$1: \quad \sin(a) + \sin(b) + \sin(c) = 4 \cos\left[\frac{a}{2}\right] \cos\left[\frac{b}{2}\right] \cos\left[\frac{c}{2}\right]$$

On charge les fonctions de factorisation **Transfert** **Fusionne** sompro

On retrouve les fonctions précédemment définies.

$$2: \quad \text{FSS}(p, q) := 2 \sin\left[\frac{p+q}{2}\right] \cos\left[\frac{p-q}{2}\right]$$

$$3: \quad \text{FDS}(p, q) := 2 \sin\left[\frac{p-q}{2}\right] \cos\left[\frac{p+q}{2}\right]$$

$$4: \quad \text{FSC}(p, q) := 2 \cos\left[\frac{p}{2} - \frac{q}{2}\right] \cos\left[\frac{p}{2} + \frac{q}{2}\right]$$

$$5: \quad \text{FDC}(p, q) := -2 \sin\left[\frac{p}{2} - \frac{q}{2}\right] \sin\left[\frac{p}{2} + \frac{q}{2}\right]$$

On factorise les deux premiers termes du premier membre **Auteur** FSS (a,b)

$$6: \quad \text{FSS}(a, b)$$

On simplifie **Simplifie**

$$7: \quad 2 \cos\left[\frac{a}{2} - \frac{b}{2}\right] \sin\left[\frac{a}{2} + \frac{b}{2}\right]$$

On remplace $a + b$ par $\pi - c$ mettre en surbrillance $\frac{a}{2} + \frac{b}{2}$

**cHoix** **Substitue** $(\pi - c)/2$

$$8: \quad 2 \cos\left[\frac{a}{2} - \frac{b}{2}\right] \sin\left[\frac{\pi}{2} - \frac{c}{2}\right]$$

On simplifie **Simplifie**

$$9: \quad 2 \cos\left[\frac{a}{2} - \frac{b}{2}\right] \cos\left[\frac{c}{2}\right]$$

On ajoute sin c utiliser **Bâtis** ou la touche F3.

$$10: \quad 2 \cos\left[\frac{a}{2} - \frac{b}{2}\right] \cos\left[\frac{c}{2}\right] + 2 \sin\left[\frac{c}{2}\right] \cos\left[\frac{c}{2}\right]$$

Il n'est pas possible avec Derive de mettre cos(c/2) en facteur. On divise donc par cos(c/2)
**Bâtis**

$$11: \quad \frac{2 \cos\left[\frac{a}{2} - \frac{b}{2}\right] \cos\left[\frac{c}{2}\right] + 2 \sin\left[\frac{c}{2}\right] \cos\left[\frac{c}{2}\right]}{\cos\left[\frac{c}{2}\right]}$$

Puis on simplifie. Simplifie

$$12: \quad 2 \cos\left[\frac{a}{2} - \frac{b}{2}\right] + 2 \sin\left[\frac{c}{2}\right]$$

On factorise de nouveau en remarquant que $\sin(c/2) = \cos(\pi/2 - c/2)$.

**Auteur**

FSC(a/2-b/2,π/2-c/2)

$$13: \quad 2 \text{ FSC}\left[\frac{a}{2} - \frac{b}{2}, \frac{\pi}{2} - \frac{c}{2}\right]$$

On simplifie Simplifie

$$14: \quad 4 \cos\left[\frac{\pi}{4} + \frac{a}{4} - \frac{b}{4} - \frac{c}{4}\right] \sin\left[\frac{\pi}{4} + \frac{a}{4} - \frac{b}{4} + \frac{c}{4}\right]$$

On remplace c par $\pi - (a + b)$ [cHoix Substitue]

$$15: \quad 4 \cos\left[\frac{\pi}{4} + \frac{a}{4} - \frac{b}{4} - \frac{\pi - (a + b)}{4}\right] \sin\left[\frac{\pi}{4} + \frac{a}{4} - \frac{b}{4} + \frac{\pi - (a + b)}{4}\right]$$

On simplifie Simplifie

$$16: \quad 4 \cos\left[\frac{a}{2}\right] \cos\left[\frac{b}{2}\right]$$

la relation est donc démontrée.

Vous disposez maintenant de tous les moyens pour traiter les autres exercices.

Vous prendrez des notes sommaires sur les résultats donnés par Derive sur les feuilles suivantes. Il vous faudra faire ensuite un compte rendu :

Comparer en particulier une résolution à la main et la même avec Derive.

Pour chaque exercice rédiger une solution à la main.
Exercice N°1. Démonter l'egalité suivante:

$$1 - \cos(a) + \cos(b) + \cos(c) = 4 \sin\left[\frac{a}{2}\right] \cos\left[\frac{b}{2}\right] \cos\left[\frac{c}{2}\right]$$

Exercice N°2 Démonter l'egalité suivante:

$$\sin(2a) + \sin(2b) + \sin(2c) = 4 \sin(a) \sin(b) \sin(c)$$

Exercice N°5 Démonter l'egalité suivante:

$$\cot\left[\frac{a}{2}\right] + \cot\left[\frac{b}{2}\right] + \cot\left[\frac{c}{2}\right] = \cot\left[\frac{a}{2}\right] \cot\left[\frac{b}{2}\right] \cot\left[\frac{c}{2}\right]$$

Exercice N°6 Démonter l'egalité suivante:

$$\cos(a)^2 + \cos(b)^2 + \cos(c)^2 + 2 \cos(a) \cos(b) \cos(c) = 1$$

Exercice N°7 Démonter l'egalité suivante:

$$\frac{\cos(a)}{\sin(b) \sin(c)} + \frac{\cos(b)}{\sin(c) \sin(a)} + \frac{\cos(c)}{\sin(a) \sin(b)} = 2$$

Exercice N°8 Démonter l'egalité suivante:

$$[1 + \tan\left[\frac{a}{4}\right]] [1 + \tan\left[\frac{b}{4}\right]] [1 + \tan\left[\frac{c}{4}\right]] = 2 + \tan\left[\frac{a}{4}\right] \tan\left[\frac{b}{4}\right] \tan\left[\frac{c}{4}\right]$$

Exercice N°9 Démonter l'egalité suivante:

$$\tan\left[\frac{a}{2}\right] + \tan\left[\frac{b}{2}\right] + \tan\left[\frac{c}{2}\right] = \frac{4 \left[1 + \sin\left[\frac{a}{2}\right] \sin\left[\frac{b}{2}\right] \sin\left[\frac{c}{2}\right]\right]}{\sin(a) + \sin(b) + \sin(c)}$$

Exercice N°10. Simplifier :

$$\cos\left[\frac{\pi}{8}\right]^2 + \cos\left[\frac{3\pi}{8}\right]^2 + \cos\left[\frac{5\pi}{8}\right]^2 + \cos\left[\frac{7\pi}{8}\right]^2$$

Exercice N°11. Simplifier :

$$\tan\left[\frac{\pi}{20}\right] - \tan\left[\frac{3\pi}{20}\right] - \tan\left[\frac{7\pi}{20}\right] + \tan\left[\frac{9\pi}{20}\right]$$

Exercice N°12. Simplifier :

$$\cos(x)^2 + \cos\left[x + \frac{\pi}{3}\right]^2 + \cos\left[x + \frac{2\pi}{3}\right]^2$$

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# SYNTHESE ET CONCLUSIONS

Nous allons dans cette partie essayer de tirer les conclusions de ce travail et de proposer des pistes de développement pour la recherche.

L'analyse bibliographique, menée dans la première phase de cette recherche, a clairement montré que, dans le domaine des SMS, la recherche est encore « jeune ». Elle présente, dans ce domaine, un certain retard, si on compare à l'ensemble des travaux sur l'enseignement en environnement informatique. Le fait que les SMS soient des environnements relativement complexes, que pour l'instant, ils aient surtout été engagés dans des expériences d'enseignement au niveau collégial ou supérieur, où traditionnellement la recherche en didactique des mathématiques est moins implantée n'y est sans doute pas indifférent. On a donc peu étudié encore ce qui caractérise les transpositions informatiques en jeu dans ces environnements, pour reprendre la terminologie de N.Balacheff (Balacheff, 1994), on a peu d'études permettant de cerner les spécificités des modes d'adaptation et d'apprentissage de l'élève dans ces environnements. Par analogie avec ce que la recherche tend à montrer dans le cas d'adaptation à des environnements graphiques ou géométriques, on peut faire l'hypothèse que, du fait des caractéristiques de ces environnements on risque de mettre en évidence des schèmes résultant d'adaptations formelles, relativement globales et liées à la perception, dont les ancrages en invariants opératoires ne sont pas forcément très élaborés. Il y a un travail nécessaire de l'enseignement pour, tout en tirant parti de ce jeu formel, arriver à en faire autre chose qu'une reconnaissance globales de formes très contextualisée. On risque donc, comme dans les autres environnements déjà mieux étudiés, de mettre en évidence l'importance de la construction didactique sous-jacente à l'utilisation des logiciels.

Pourtant, si la recherche est encore balbutiante, on commence à noter une évolution certaine (cf. appendice bilbiographique) et on peut penser que le travail sur les SMS va rejoindre rapidement le niveau du travail mené sur d'autres environnements.

En ce qui concerne les questionnaires, les résultats obtenus avec les analyses menées jusqu'à présent montrent un rapport globalement positif des élèves à l'environnement DERIVE. Les filiations de refus de DERIVE sont ainsi très minoritaires dans la population étudiée. DERIVE est jugé en première approche relativement convivial, les élèves dans leur grande majorité étant cependant conscients que cette convivialité reste quand même limitée et que, dès que l'on sort des manipulations algébriques les plus simples, de réels apprentissages sont nécessaires. Les réponses au questionnaire montrent aussi un nombre d'heures d'utilisation, dans la très grande majorité des cas, qui reste insuffisant pour faire de DERIVE un outil familier de travail. Encore faut-il souligner que notre échantillon est particulièrement représentatif des professeurs qui utilisent le plus DERIVE dans leurs classes et que, dans certaines académies, malgré les initiatives prises, nous n'avons pas réussi à trouver des professeurs utilisant DERIVE plus de 2 ou 3 heures par an. Il est clair que ces conditions favorisent une perception des environnements informatiques comme des environnements associés à des moments un peu en marge de l'enseignement usuel, en marge des contrats et contraintes, et renforcent la vision "ludique" de ces environnements. Ils sont intéressants pour le changement qu'ils procurent plus qu'en eux-mêmes. On ne les prend pas tout à fait au sérieux. Ils ne peuvent donc avoir une grande influence sur les pratiques et les représentations des mathématiques. Ceci est confirmé par les réponses au questionnaire. DERIVE est vu positivement mais on le crédite généralement de peu d'effet sur la compréhension mathématique. On s'approprie en priorité les rôles les plus faciles à mettre en oeuvre dans une utilisation de courte durée interne à l'institution scolaire :
les fonctions d'aide au calcul, de vérification et de contrôle, dans un univers mathématique qui n'est que peu modifié. La recherche a quand même mis en évidence, grâce à l'utilisation de méthodes d'implication statistique dont l'usage devient maintenant de plus en plus fréquent en didactique des mathématiques, et en adaptant les dites méthodes aux divers types de variables à traiter simultanément (pour éviter l'explosion de variables incompatible avec le fonctionnement du logiciel statistique actuel) une filiation plus conforme aux attentes qui pourraient être celles des pionniers dans ce domaine. Les élèves y apprécient DERIVE pour son apport à leur activité mathématique, soit parce que DERIVE permet à leur avis une meilleure compréhension des notions enseignées, soit parce que DERIVE est associé à une ouverture des activités proposées vers des tâches plus riches et complexes et véhicule une autre vision des mathématiques. Certes, dans les réponses cette filiation est nettement minoritaire mais elle existe et les résultats obtenus montrent qu'elle est liée à une utilisation non épisodique du logiciel.

Les réponses au questionnaire enseignant confirment la diversité des modes d'utilisation existant dans l'échantillon choisi, d'une utilisation épisodique à une intégration complète. Ils semblent aussi montrer que, même si l'utilisation est le plus souvent de faible durée, elle ne reste pas centrée sur quelques contenus précis. Les exemples fournis par les enseignants couvrent globalement une partie importante des programmes de collège et de lycée. On voit apparaître, dans les hypothèses faites à propos des potentialités de DERIVE pour l'enseignement des mathématiques, trois fonctions principales : aide au calcul, aide à l'enrichissement des activités mathématiques proposées aux élèves, aide à la compréhension. Mais les réponses fournies, notamment dans la partie évaluation du questionnaire, montrent aussi que les professeurs sont conscients des difficultés rencontrées dans l'actualisation des potentialités identifiées a priori. Ils sont conscients par exemple que DERIVE ne supprime pas toutes les difficultés calculatoires et que souvent la faible familiarité acquise avec le logiciel crée des parasites à l'activité mathématique ; ils sont conscients qu'il n'est pas automatique de développer, via DERIVE, des attitudes réflexives ; ils sont conscients de la difficulté d'organiser et gérer, même avec DERIVE, les activités riches et ouvertes conformes à leurs voeux.

En ce qui concerne les observations, la masse des données recueillies est importante, et ce d'autant plus que nous avons pu compter pour la plupart des séances de plus d'observateurs que nous ne l'avions initialement prévu. Même si, dans une même situation, ils tendent à s'enchévêtrer, induisant parfois des ruptures de contrat didactique difficiles à négocier, trois grands types d'utilisation de DERIVE nous semblent ici à distinguer :

* Des situations où DERIVE est utilisé comme un assistant mathématique, un outil à la disposition de l'élève, ceci permettant d'aborder plus facilement que dans les environnements usuels des problèmes complexes présentés de façon relativement ouverte. C'est le cas typiquement de la situation de recherche de fonctions sous contraintes ou de celle associée à la factorisation de $X^n-1$.

* Des situations où les spécificités de DERIVE sont avant tout exploitées pour construire des situations d'apprentissage plus difficiles à faire vivre dans les environnements usuels, qu'il s'agisse de mettre en scène un travail sur les « écritures mathématiques » (la situation de travail sur les écritures fractionnaires et parenthésées au collège en est un exemple typique, la première situation de trigonométrie, dans sa phase de recherche d'expressions trigonométriques équivalentes à une expression donnée également), qu'il s'agisse de mettre en scène un travail mathématique de nature relativement formelle comme l'obtention de formes générales de solutions de systèmes d'équation ou de mise en évidence de régularités
formelles dans le développement d'expressions algébriques comme dans la situation : carrés de sommes.

* Des situations centrées sur l'apprentissage de méthodes, la réflexion stratégique, où DERIVE est censé libérer l'élève de l'exécution des calculs pour permettre ce type de travail, des fonctions spécifiques pouvant être introduites pour favoriser cette centration. La situation de géométrie analytique au collège nous en semble un exemple typique, la deuxième situation de trigonométrie, dans sa seconde phase de résolution d'exercices visait aussi ce type d'utilisation.

Malgré cette diversité des types d'utilisation, malgré le petit nombre d'observations (quatre au collège, cinq au lycée), des régularités transversales semblent se dégager. C'est sur elles que nous centrerons cette synthèse, en revenant aux questions posées au début de la recherche (cf. l'introduction de la deuxième partie du rapport).

## LES PROBLÈMES LIÉS À LA CONNAISSANCE DU LOGICIEL DERIVE

Les premières séances observées au collège, ou certaines séances n'utilisant qu'une partie algébrique de l'environnement DERIVE au lycée, montrent l'accessibilité d'un premier niveau d'utilisation de DERIVE. On voit cependant que très vite il faudrait que les élèves s'habituent à manipuler les touches F3 et F4, au moins la touche F3, alors que ce n'est pas le cas, pour ne pas perdre un temps inutile en recopies ou pour faire apparaître sous sa forme d'entrée une expression qui à l'affichage se présente sous une forme différente. Ceci vaut en particulier pour le collège où le passage d'une écriture à l'autre n'est en rien automatisé, comme le montre la première séance observée. On peut aussi constater des difficultés régulières avec certaines commandes algébriques, au collège mais aussi au lycée, par exemple avec la commande de substitution et une incertitude générale sur le rôle exact joué par les commandes de déclaration d'objets, notamment de fonctions.

Dès que l'on rentre dans l'univers graphique, dans l'articulation entre fenêtres, la gestion de DERIVE devient plus complexe. Les observations au collège le montrent, celles au lycée aussi, par exemple la séance de recherche de fonctions avec contraintes où pendant la première séance, beaucoup d'élèves, en dépit des indications données sur fiche par l'enseignante, ne parviendront pas à faire tracer à l'écran rapidement la zone dans laquelle doivent se situer les fonctions cherchées. Cette zone est pourtant limitée par une simple ligne brisée, les points ont été préalablement rentrés dans un fichier, mais il faut effectuer quelques réglages pour bien positionner la zone dans l'écran et visiblement les élèves n'y sont pas à leur aise.

Les expérimentations au lycée où les élèves des classes observées disposaient très majoritairement de calculatrices graphiques montrent que l'apprentissage nécessaire sous DERIVE se heurte ici à un obstacle : le fait que leur calculatrice graphique étant pour eux un objet familier, ils ne sont pas motivés pour s'investir dans l'apprentissage graphique DERIVE. Dans les diverses observations où les représentations graphiques de fonction étaient en jeu, on voyait ainsi les élèves très souvent travailler sous DERIVE pour les calculs algébriques et repasser à leur calculatrice lorsqu'il s'agissait de tracer un graphique, l'interaction des cadres permise par DERIVE n'étant alors plus actualisable. Sans doute et ceci se retrouve dans certaines réponses au questionnaire, les élèves sont-ils plus sensibles aux potentialités graphiques de DERIVE quand ils sont au collège et ne disposent pas pour la plupart encore de calculatrices graphiques.

Il est clair aussi que cet apprentissage et son entretien supposent une utilisation régulière de DERIVE. Il ne semble pas que ce soit le cas pour beaucoup d'élèves aujourd'hui. Dans ces
conditions, il semble difficile de régler vraiment de façon satisfaisante le problème de la familiarisation nécessaire avec les aspects non élémentaires du logiciel. Il est clair en revanche que le problème disparaîtra quand les élèves disposeront de calculatrices équipées d'un SMS au même titre qu'ils disposent d'une calculatrice graphique.

Il existe en revanche un autre problème qui relève de la familiarisation avec DERIVE et est tout aussi important sinon plus, comme le montrent les observations à tous les niveaux. C'est celui d'une certaine familiarité avec le fonctionnement de DERIVE, dans ces décalages avec le fonctionnement en environnement usuel. Nous l'avions sous-estimé au début de cette recherche, nous y avons été sans cesse confrontés et ce, même dans des situations anodines où l'action de commandes simples paraissait par moment complètement arbitraire aux élèves. Nous avons souligné les perturbations crées par l'interprétation et la gestion DERIVE des parenthèses et crochets dans la première séance observée au collège mais aussi dans la deuxième séance de trigonométrie au lycée, par la façon différente dont étaient traitées par simplification et développement des expressions en apparence de même type, dans celle sur les systèmes d'équations au collège. Il semble difficile d'y échapper et cela peut parasiter fortement le travail mathématique de l'élève s'il lie trop l'interprétation de la consigne qui lui est donnée au fonctionnement propre de DERIVE. Nous voudrions souligner l'attention que doit porter l'enseignant à ces problèmes, le tri entre l'important et le secondaire par rapport au projet mathématique, n'étant pas facile aux élèves : ils ne disposent pas de nos références pour interpréter la tâche proposée, les productions DERIVE et restent le plus souvent, comme les observations l'ont montré, collés aux consignes et à l'affichage à l'interface.

## LES PROBLÈMES D'ARTICULATION ENTRE LE FONCTIONNEMENT DERIVE ET LE FONCTIONNEMENT PAPIER / CRAYON.

Les observations sur ce plan ont montré que les problèmes semblaient moins grands que nous n'avions pu le supposer. Les élèves en fait n'hésitent pas, nous semble-t-il, à revenir à un travail en P/C lorsqu'ils en ressentent le besoin, si cela leur semble compatible avec les exigences du contrat didactique. Ils ressentent ainsi moins les contraintes de l'affichage linéaire et séquentiel de DERIVE. Ils n'hésitent pas non plus à faire le ménage dans les écritures DERIVE lorsqu'un exercice est terminé ou lorsque l'écran devient trop encombré. Ils savent aussi aisément remonter dans la liste des expressions pour aller chercher éventuellement hors écran une qui les intéresse.

## LES PROBLÈMES DE CENTRATION SUR LA DÉMARCHE, SUR L'ASPECT CONCEPTUEL

L'utilisation de logiciels comme DERIVE est généralement vue comme favorisant le détachement de l'élève d'un rapport purement technique ou procédural aux mathématiques au profit d'un rapport plus réflexif, plus conceptuel.

DERIVE prenant en charge en effet, efficacement et rapidement les aspects calculatoires ou de tracé graphique du travail mathématique, d'une part l'élève a moins de chance, pense-t-on, de perdre le fil de la résolution en cours, d'autre part le travail qui lui est dévolu est nécessairement un travail qui relève non de l'exécution technique mais de l'organisation, du contrôle, de l'interprétation, un travail donc de nature réflexive, qui le mettant à distance de l'exécution de l'action, centre son activité, à un niveau supérieur, sur la conception de cette action.

La justification peut s'appuyer, à un autre niveau, sur les acquis de certaines recherches didactiques s'appuyant sur une théorie constructiviste de l'apprentissage comme celles initiées
par A.Sfard et Ed Dubinsky, même si celles-ci ne portent pas directement sur l'apprentissage
dans un environnement incluant des logiciels de calcul formel. Ces auteurs, en effet, centrent
leurs travaux sur la dualité des concepts mathématiques - concepts qui peuvent être vus à la
fois comme des processus et des objets (cf. par exemple (Sfard, 1992), (Dubinski, 1991) et ils
ont mis en évidence que :

* pour de très nombreux concepts, les premières connaissances, celles issues de l'action, donnent d'abord naissance à des processus dynamiques,

* la capacité de concevoir ces processus comme des entités en soi, des objets statiques, engageables dans d'autres processus de niveau supérieur est une opération d'intériorisation et d'encapsulation qui est cognitivement complexe,

* un fonctionnement mathématique efficace suppose une bonne flexibilité entre ces deux aspects : processus et objet.

Dans la littérature se référant à ces cadres théoriques, l'utilisation d'environnements informatiques adaptés est vue comme un moyen de favoriser la conceptualisation en aidant la transition du processus à l'objet. Ed Dubinsky écrit par exemple dans l'article déjà cité :

" Il semble par exemple que si un étudiant implémente un processus sur un ordinateur, en utilisant un logiciel qui n'introduit pas de distractions au niveau de la programmation (comme une syntaxe complexe, des constructions non directement reliées à des idées mathématiques...), ceci favorise l'intériorisation du processus par l'étudiant. Si ce même processus, une fois implémenté, peut être traité par le logiciel comme un objet sur lequel des opérations peuvent être effectuées, ceci favorise l'encapsulation du processus en objet<fnref n="2" />".

Les logiciels de calcul formel permettent effectivement ce type de travail, même ceux comme DERIVE dont les possibilités de programmation sont limitées, et ils le permettent à propos de processus qui ne relèvent pas nécessairement du numérique comme par exemple la résolution exacte d'équations et de systèmes<fnref n="3" />.

Que ressort-il des observations que nous avons menées à ce sujet ?

<footnote n="2">²Citation originale en anglais.</footnote>

<footnote n="3">³On peut aussi se référer, comme Monaghan (Monaghan, 1994) à la notion de procept introduite par D.Tall [Gray & Tall, 1993]. Un procept est un objet mental associant un processus, un concept produit par ce processus, au sens précédent, et un symbole qui peut être utilisé pour dénoter aussi bien le processus que le concept ; par exemple $2x+5x^2$ est une expression symbolique qui peut être aussi bien pensée comme un processus de calcul que comme une entité algébrique substituable à une autre entité dans un calcul. Monaghan fait l'hypothèse que DERIVE, en prenant en charge la mise en oeuvre du processus, peut aider les étudiants à se concentrer sur la composante "objet" ou "produit" du procept dans de nombreux cas (calcul algébrique, résolution de sytèmes, calcul matriciel, intégration...). Il souligne néanmoins que l'on manque pour l'instant de théorie pour penser les relations entre procepts et travail avec des logiciels de calcul symbolique.</footnote>
En fait, que les choses sont plus complexes que ce qui précède ne le laisse supposer. Il semblerait que l'on soit plutôt face à un système didactique soumis à des forces contradictoires :

* la première favorisant comme indiqué un fonctionnement réflexif et conceptuel,

* la seconde favorisant au contraire une atomisation de la résolution en une multiplicité d'actions élémentaires.

l'équilibre résultant entre ces forces contraires dépendant à la fois des caractéristiques de la tâche mais aussi des caractéristiques cognitives des élèves concernés.

Et certes, nous disposons de différents cas d'observation où le déroulement est conforme aux hypothèses faites ci-dessus, au moins partiellement mais ceci n'a rien de systématique.

Nous voudrions revenir, pour illustrer de façon détaillée notre propos, à l'une des premières observations réalisées, présentée dans le rapport intermédiaire, car elle nous semble particulièrement significative. Elle a eu lieu en 1992-93, en classe de seconde. Les élèves avaient, à une séance précédente avec DERIVE, résolu diverses équations, construit une formule générale de résolution de l'équation $ax+b=0$ puis testé la formule sur un certain nombre d'exemples. La tâche qui leur était proposée pour la séance observée consistait à généraliser cette recherche de formule générale à un système linéaire de deux équations à deux inconnues. Il s'agissait, à travers cette activité, de les amener à développer un travail réflexif par rapport aux processus particuliers de résolution numérique déjà mis en oeuvre en troisième.

Les hypothèses faites dans l'analyse a priori de la séance sur le rôle potentiel de DERIVE étaient tout à fait conformes à ce qui a été énoncé précédemment.

Qu'est-il ressorti des observations ?

Les élèves se sont investi dans le problème posé et, en dépit des difficultés rencontrées, personne n'a renoncé. Les difficultés purement informatiques rencontrées ont été marginales. Mais, s'il y a eu activité indéniable des élèves, s'il n'y a pas eu blocage informatique, les hypothèses de l'analyse a priori n'en paraissent pas moins a posteriori très "optimistes".

Le problème posé est pour tous les élèves un vrai problème pour lequel ils ne disposent pas de stratégie de résolution dès le départ. Certains mêmes ne disposent pas de stratégie fiable de résolution d'un système numérique. On voit alors apparaître divers phénomènes favorisés par l'économie du milieu DERIVE et qui tendent à s'opposer à la mise en place des fonctionnements attendus : le faible coût des essais DERIVE incite, en l'absence de stratégie, à multiplier les essais en espérant que quelque chose de positif puisse en sortir. Il s'agit là du phénomène que nous avons dénommé "pêche" dans les observations au collège et qui, contrairement à ce que l'on pourrait penser, peut avoir une productivité raisonnable dans cet environnement. Ce faible coût des essais comme la multiplicité des actions a priori possible, font aussi, et ce sera confirmé dans les observations ultérieures, que pour beaucoup d'élèves, la pression à interpréter les feed back est trop faible vis à vis du coût cognitif de cette interprétation. Ils préfèrent dans ces conditions simplement enregistrer la validation négative et essayer autre chose. Il s'ensuit pour certains groupes, un parcours erratique, qui finit par aboutir, suite aux interventions de l'enseignant ou à la diffusion des productions de groupes voisins, sans que l'on ait à aucun moment l'impression que s'est mise en place la distanciation attendue.
L'observation va aussi montrer que la centration sur la démarche peut être perturbée par divers autres facteurs :

* une confiance insuffisante dans les productions DERIVE, qui conduit à se perdre dans des vérifications annexes, phénomène non repéré au collège,

* de simples erreurs de frappe non repérées qui conduisent à des résultats bizarres, ceci étant d'autant plus pénalisant que l'élève ne maîtrise justement pas suffisamment le processus de résolution pour différencier les différents types de productions non conformes à ses attentes,

* des erreurs plus mathématiques liées au non respect de la syntaxe DERIVE, en particulier dans cette situation, de nombreuses erreurs de parenthésage, ou des erreurs dans la compréhension du fonctionnement de la procédure "RESOL" au niveau des variables (entrée de valeurs constantes par exemple !). Il est clair qu'une meilleure appropriation du logiciel, notamment au niveau des commandes de recopie et de substitution aurait pu limiter la fréquence des parasitages dus à ces erreurs, en évitant un certain nombre de réécritures.

De plus, si s'est mis en place à la fin de la séance, un schème de résolution des systèmes bien adapté au fonctionnement DERIVE, comme le suivant<fnref n="4" /> :

1. résoudre les deux équations en x,

2. égaler les expressions trouvées,

3. résoudre en y,

4. recommencer en inversant les rôles de x et y,

il est difficile de savoir quel ancrage conceptuel fonde ce schème. Les difficultés rencontrées par plusieurs groupes, en particulier ceux qui ne parviennent pas à sortir seuls du cercle vicieux de la double résolution en x et en y ou qui, ayant obtenu y par ce même processus, ne savent plus quoi faire pour obtenir x, laissent penser que pour ces élèves, résoudre une équation c'est, simplement, au bout d'un certain nombre de manipulations codifiées, arriver à $x=$. On peut penser que le travail mené avec DERIVE dans cette séance, tout en produisant un nouveau schème, n'a pu que renforcer cette vision.

En revanche, l'analyse des observations met en évidence, dans certains groupes, un rôle tout à fait positif de l'utilisation de DERIVE. C'est par exemple le cas pour un groupe, qui dispose d'une stratégie numérique par combinaisons linéaires mais qui, lorsqu'il s'agit de la généraliser, revient à de simples différences d'équations inefficaces. L'enseignant conseille alors aux deux élèves de commencer par traduire en DERIVE leur résolution numérique. Cette traduction, qui ne va visiblement pas de soi mais que le groupe parvient à mener à bien de façon autonome, va provoquer spectaculairement la distanciation souhaitée. Ensuite, la généralisation demandée sera conçue comme une adaptation facile du travail déjà réalisé. On y verra d'ailleurs les deux élèves fonctionner d'abord en papier/crayon et ne passer en DERIVE que lorsqu'elles se retrouveront bloquées par la complexité formelle de l'équation : $y(eb-fa)=ce-ga$ obtenue en

<footnote n="4">⁴On notera que ce schème, particulièrement économique en commandes DERIVE, n'obligeant pas à aller chercher et à savoir manipuler la commande cachée de substitution, ne correspond précisément à aucune des deux méthodes classiquement enseignées : substitution, combinaison linéaire.</footnote>
éliminant x par combinaison linéaire. Elles reproduiront la même démarche mixte pour trouver
x.

Soulignons que le phénomène décrit ici : changement qualitatif permis par la simulation DERIVE d'un processus "connu dans l'action" est tout en fait en accord avec la citation de Dubinsky reproduite plus haut.

Cet exemple, brièvement évoqué, rejoint de manière évidente les résultats des observations menées au niveau collège et attire la vigilance, nous semble-t-il, sur des points dont l'importance dépasse sans aucun doute le cadre de ces quelques observations :

* Quand on déclare qu'en prenant en charge les aspects techniques, l'utilisation de DERIVE décharge l'esprit pour le conceptuel, on considère implicitement que ce fonctionnement conceptuel peut exister indépendamment de l'entrée effective jusqu'à un certain point dans le détail du travail technique. C'est sans doute vrai pour celui qui travaille avec des objets anciens et bien maîtrisés, mais en phase de conceptualisation, l'indépendance des deux niveaux n'a pas de raison d'être : des situations qui prennent en charge complètement le travail technique ou rendent complètement invisibles les aspects procéduraux, risquent de se constituer au contraire en obstacle à la conceptualisation voulue, voire aboutir à la construction de ce que l'on pourrait appeler des pseudo-objets : nommés, étiquetés mais dépourvus de toute la flexibilité nécessaire avec les niveaux procéduraux qui les sous-tendent. Sur ce plan, on voit bien que le travail avec DERIVE, s'il n'est pas soigneusement pensé et adapté aux élèves, peut entretenir l'illusion que les élèves se situent à un niveau de conceptualisation bien plus élevé que leur niveau réel, simplement parce qu'ils utilisent des commandes qui globalisent des processus complexes.

Quand DERIVE est utilisé, non pas comme assistant technique dans un travail mettant en jeu des objets et techniques familiers, mais comme outil permettant d'introduire des notions nouvelles et de favoriser certaines conceptualisations, il importe d'être attentif à ces questions, de ne pas utiliser nécessairement toute la puissance de DERIVE, pour permettre de faire vivre au niveau nécessaire les processus qui sous-tendent la conceptualisation<fnref n="5" />.

* On voit également que si, pour certains élèves, le coût cognitif d'un fonctionnement réflexif et stratégique est ressenti comme élevé, l'économie du fonctionnement avec DERIVE permet divers échappatoires à l'entrée dans un tel fonctionnement, des échappatoires qui ne sont pas nécessairement d'ailleurs moins productifs (si l'on se limite à des critères de réussite externe), compte-tenu des difficultés rencontrées par ces élèves, qu'un engagement dans les fonctionnements attendus. Soulignons que s'ils sont d'une productivité raisonnable, ils en seront d'autant renforcés <fnref n="6" />!

Il semble donc nécessaire, quand on élabore des situations avec DERIVE, de prendre en compte ces caractéristiques pour trouver un équilibre adéquat entre les tendances antagonistes qui seront nécessairement en jeu et, de plus, jouent différemment d'un élève à l'autre.

<footnote n="5">⁵Cette stratégie est plus ou moins explicitement à l'oeuvre dans divers exemples proposés par B.Kutzler (Kutzler, 1994) pour présenter la théorie d'apprentissage par étayage.</footnote>

<footnote n="6">⁶En fait, il serait sans doute vain de vouloir réduire à tout prix ce type de fonctionnement : nous-mêmes n'y échappons pas quand nous avons recours à de tels environnements. Ce serait vouloir nier les caractéristiques de l'économie de tels environnements et les spécificités des processus d'adaptation qui s'y développent.</footnote>
# UNE APPROCHE EXPÉRIMENTALE DES MATHÉMATIQUES

Les idées développées dans ce paragraphe sont loin de ne concerner que l'environnement DERIVE, elles jouent simplement dans cet environnement comme dans beaucoup d'autres environnements logiciels ouverts.

L'utilisation de logiciels comme DERIVE est généralement présentée comme un moyen de faire plus aisément vivre dans l'enseignement des mathématiques, une approche expérimentale de ces dernières, faite d'explorations possibles car peu coûteuses, d'émission de conjectures, de test de ces conjectures... Pour des logiciels comme DERIVE, la possibilité offerte de combiner des traitements numériques (en calcul exact ou approché), algébriques et graphiques en dimension 2 ou 3, contribue bien sûr à renforcer ces potentialités.

Que nous apprennent les observations effectuées à ce niveau ?

Encore une fois que ces potentialités sont réelles mais que leur actualisation requiert un minimum de vigilance. Les observations faites le montrent clairement. Elles attirent la vigilance, nous semble-t-il, sur un certain nombre de points :

Dans la conception de situations visant un travail de type expérimental en mathématiques, en tant qu'enseignants, nous avons généralement tendance à considérer nos élèves comme de "purs sujets mathématiques", en d'autres termes, à les imaginer prêts à rentrer, comme nous, dans le jeu que nous leur proposons, même si l'entrée dans ce jeu est faiblement contrainte par les variables de la situation. En ce sens, les situations construites peuvent se révéler adéquates uniquement à une frange d'élèves culturellement adaptés, les autres parvenant à jouer leur rôle d'élève sans s'engager dans le type de travail demandé.

La démarche expérimentale ne se réduit pas à des explorations suivies de constatations et remarques. On sait bien que, souvent, les activités préconisées par les programmes actuels, en particulier les activités introductrices, sont gérées dans les classes, pour des raisons diverses que nous ne pouvons analyser ici, sous cette forme pseudo-expérimentale. Et il est clair que le travail en environnement informatique ne peut qu'être influencé par ces tendances dominantes et ce, même s'il offre pour développer des activités réellement expérimentales, comme on le voit ici, des potentialités que n'offrent pas les environnements usuels. Il importe donc d'être particulièrement attentif à l'analyse des tâches proposées du point de vue de l'élève, dans la conception de telles activités :

* Où se situe réellement l'approche expérimentale ? Est-elle réellement dévolue à l'élève ou réside-t-elle essentiellement dans le travail de conception de l'enseignant, qui a complètement planifié et organisé cette démarche, ne laissant à l'élève qu'un travail d'exécution ?

* Aide-t-on suffisamment l'élève à s'engager dans la situation de façon réellement expérimentale ? L'engage-t-on en particulier dans des tâches d'anticipation, ou se limite-t-on à demander des remarques, constatations, qui le plus souvent renforcent un fonctionnement "au contrat didactique" (l'élève cherche à deviner ce qu'attend l'enseignant) loin de ce qui est prétendument visé ? Lui fournit-on enfin les moyens de réguler son travail expérimental, notamment via les moyens de validation, de contrôle et les feed-back fournis par l'environnement informatique ?

Il importe en particulier d'être attentif au fait que le fonctionnement avec fiche de travail élève, souvent privilégié dans les environnements informatiques, n'aide pas nécessairement à la dévolution à l'élève d'une activité expérimentale qui, par essence, doit comporter une certaine souplesse et autoriser une part d'initiative de l'acteur de cette démarche.
Enfin, développer une démarche expérimentale n'est pas un but en soi en mathématiques. C'est une forme de travail, parmi d'autres, au service de la construction de connaissances. On ne peut donc faire l'économie de se demander ce que l'on peut attendre en termes de connaissances du travail expérimental effectué par les élèves, en admettant qu'il s'effectue conformément aux attentes, et comment ce travail va s'insérer dans la progression de l'enseignement.

Les activités correspondant aux séances observées sont des activités qui se situent avant tout dans une démarche d'action. Même s'il s'agit d'une action réfléchie, supportée par des raisonnements, l'adaptation de l'élève y est principalement une adaptation en termes d'action. Il va percevoir des régularités, trouver des règles de fonctionnement, résoudre des problèmes, faire des validations pragmatiques à l'aide de DERIVE, mais rien ne l'oblige vraiment dans cette adaptation à chercher les raisons de ces règles et régularités, à les relier explicitement à des propriétés mathématiques. Les recherches menées en environnement informatique, de manière générale, mettent bien en évidence, la force prise par ces adaptations (favorisées par les caractéristiques de ces environnements, notamment au niveau de la manipulation des objets mathématiques en jeu et des interactions élève/tâche) ainsi que leurs limites<fnref n="7" />.

On peut faire l'hypothèse que le travail fourni sera sans grand effet, si au delà de la réussite en termes d'actions, des validations pragmatiques offertes par DERIVE, il ne se prolonge pas à un autre niveau : celui de la recherche de raisons et de preuves, de la transformation des connaissances construites ou transformées dans l'action en savoirs explicites. Dans les observations effectuées, les enseignants ont toujours essayé d'organiser ce travail, le plus souvent dans les phases systématiques de bilan associées aux séances DERIVE, quelquefois à l'intérieur même des séances DERIVE. Si nous insistons cependant sur ce point, c'est parce que, souvent dans la littérature concernant DERIVE, et en particulier les situations de recherche pour les élèves qui y sont présentées, cet aspect nécessaire du travail mathématique, qui ne se situe pas en continuité directe avec les phases de travail expérimental est en quelque sorte oublié, l'accent étant mis sur la découverte assistée par DERIVE et fort peu sur les questions liées au statut de ces découvertes en termes de connaissance mathématique, sur les questions liées à la transformation de ces connaissances acquises dans l'action en savoirs.

Soulignons aussi, comme le montre par exemple clairement la première observation de trigonométrie, que passer des phases d'action et validation pragmatique utilisant DERIVE à des phases de recherche de raisons et de preuves, d'analyse des résultats obtenus, ne va pas de soi. Il n'y a pas de continuité directe entre les contrats didactiques relatifs à ces deux types d'activité mathématique, le passage de l'une à l'autre exige une reprise en mains de la classe par l'enseignant, une négociation du changement de tâche, une nouvelle dévolution. Il apparaît clairement dans les observations qu'il ne peut être simplement induit pour la grande majorité des élèves par l'ajout d'une question dans une fiche de travail.

<footnote n="7">⁷La thèse d'A.Dagher [Dagher, 1993] par exemple montre, dans le cas d'articulation entre représentations algébriques et graphiques de fonctions polynômes du second degré, comment les caractéristiques du logiciel utilisé induisent la construction perceptive de schèmes efficaces pour l'environnement, mettant en jeu l'interprétation algébrique de l'ouverture d'une parabole, sans que ces schèmes soient nécessairement ancrées sur des invariants cognitifs permettant dans un environnement papier/crayon de réussir la tâche suivante : plusieurs paraboles Pi d'équation $aix^2+bix+ci$ étant tracées dans un même repère, ordonner les coefficients ai correspondants.</footnote>
Tout ce qui précède nous fait toucher du doigt les limites méthodologiques de cette recherche ainsi que des questions didactiques plus générales de viabilité de l'expérimental dans l'enseignement actuel des mathématiques. Nous avons choisi, dans ce travail d'approche, de privilégier la diversité au niveau des observations. Ceci nous a conduits à observer des situations isolées. Comme nous l'écrivions dans l'analyse a posteriori de la séance de factorisation de $X^n-1$, le temps de développement d'une réelle démarche expérimentale n'est pas généralement celui-là et, de fait, en forçant sa condensation sur une séance d'enseignement, nous nous mettions quasiment dans l'impossibilité d'observer autre chose que des ersatz didactiques de cette démarche. Il n'en demeure pas moins que ces contraintes temporelles hostiles au déploiement de démarches expérimentales, l'enseignant les vit chaque jour dans sa classe. Les dérives pseudo-expérimentales qui sont le lot commun de l'enseignement actuel tendent à montrer que cacher ou minimiser le prix à payer pour arriver à certains moments à les contourner n'est pas une stratégie efficace, même si, implicitement c'est celle sous-jacente à la plupart des manuels et documents d'enseignement.

## STRATÉGIES FORMELLES DE DERIVE, STRATÉGIES FAVORISÉES PAR DERIVE ET STRATÉGIES VISÉES PAR L'ENSEIGNEMENT

Nous voudrions aborder sous ce titre deux points qui nous semblent maintenant d'autant plus importants qu'ils ne faisaient pas partie des directions d'analyse définies au début de la recherche et qu'ils se sont imposés à nous progressivement, au fil des expérimentations : d'une part, celui des spécificités du fonctionnement formel de DERIVE et des problèmes éventuels posés par son opacité pour l'utilisateur, d'autre part, celui des techniques et stratégies de résolution favorisées par l'utilisation de DERIVE et des décalages existant éventuellement entre ces dernières et celles dont le développement est visé par l'enseignement au niveau considéré. Nous traiterons simultanément ces deux points car l'analyse est ici, pour ce qui est des situations observées, tout particulièrement imbriquée. Nous nous réfèrerons plus particulièrement à deux situations observées au niveau lycée, celle concernant les factorisations de polynômes et la première observation concernant la trigonométrie. Ces deux exemples attirent nous semble-t-il notre vigilance d'enseignant sur divers points.

Elles l'attirent d'abord sur les stratégies de calcul formel utilisées par DERIVE, sur les effets possibles de décalages entre ces stratégies et celles qui sont accessibles aux élèves ou que l'enseignement, à un niveau donné, veut mettre en place ainsi que sur l'opacité pour l'élève utilisateur des étapes intermédiaires des calculs. Décalages, opacité ne sont pas en eux-mêmes des éléments à mettre au passif de DERIVE, ce sont même, nous avons essayé de le montrer dans l'analyse a posteriori de ces observations, des variables sur lesquelles on peut jouer pour susciter questionnement et activité mathématique des élèves. Ainsi, on peut jouer de l'opacité de DERIVE pour construire des situations où les données issues de DERIVE apparaissent comme un « réel » qui serait à modéliser, à mathématiser, où le jeu engagé va être de trouver les moyens de reproduire à volonté certains phénomènes DERIVE. Ainsi, on peut jouer des décalages pour susciter des conflits cognitifs et susciter une activité mathématique visant à les résoudre. Mais les deux observations citées montrent aussi que l'organisation et la gestion efficace de tels jeux ne va pas de soi. Par exemple, lorsque nous constatons personnellement un décalage, nous ressentons immédiatement le besoin de lui donner sens, de le comprendre et nous trouvons ainsi irrémédiablement engagés dans un travail où, considérant notre environnement mathématique usuel comme celui a priori légitime, il s'agit d'expliquer par rapport à lui le fonctionnement du logiciel, de statuer sur la validité de ses productions. Il n'en est pas de même, semble-t-il, pour la majorité des élèves. D'une part, la juxtaposition de réponses DERIVE et P/C apparemment non cohérentes les affecte souvent peu, comme s'il y
avait là deux mondes dont la mise en cohérence n'est pas essentielle, d'autre part ils ne vivent pas comme nous les rapports de légitimité entre environnement DERIVE et environnement P/C. Ceci n'a rien d'étonnant si l'on prend en compte le degré de confiance qu'ils peuvent attribuer raisonnablement à leurs propres productions Tout ceci fait que ce jeu est trop complexe pour pouvoir être improvisé efficacement, en temps réel, dans le feu de la gestion d'une situation. Sa prévision doit trouver sa place dans la conception même des situations.

Elle l'attire ensuite sur le fait que les élèves ne sont pas et ne peuvent pas, dans les conditions d'utilisation actuelles, devenir des spécialistes de DERIVE, même s'ils disposent de façon permanente de DERIVE pendant plusieurs mois comme c'était le cas dans les deux classes que nous avons évoquées dans ce paragraphe. De plus, ils ne disposent pas des références mathématiques qui nous aident à interpréter les productions de DERIVE, à piloter l'aide que nous lui demandons dans la résolution d'un problème donné, à trouver les moyens de faire apparaître des étapes intermédiaires cachées par DERIVE. Ceci apparaît de façon manifeste lors de la séance de trigonométrie, dans le désarroi des élèves face à l'inaction apparente de DERIVE dans la majorité des modes disponibles puis la difficulté rencontrée à exploiter DERIVE de façon pertinente par rapport aux exigences du contrat didactique : rendre, comme dans les conditions du baccalauréat, une résolution qui, même si elle est obtenue grâce à DERIVE, n'en manifeste pas la trace.

Dans la préparation d'une séance DERIVE et l'anticipation des comportements possibles des élèves, comme nous avons tendance à voir en l'élève un sujet mathématique, nous avons naturellement tendance à oublier à quel point cette double expertise mathématique et DERIVE sépare notre fonctionnement du sien, au niveau du pilotage de DERIVE, du contrôle et de l'interprétation de ses productions. La convivialité réelle de l'accès à DERIVE tend de plus à nous faire sous-estimer le rôle joué par l'expertise DERIVE dans telle ou telle résolution. Tout ceci contribue sans aucun doute de façon non négligeable à l'optimisme démesuré de la plupart des analyses a priori effectuées<fnref n="8" />.

Une situation comme la situation trigonométrique nous en montre les effets possibles. Elle nous montre aussi que, pour favoriser un fonctionnement cohérent et réfléchi de l'élève, il peut s'avérer nécessaire de refermer l'espace de liberté trop grand de DERIVE (par exemple en fixant des choix d'options), faute de voir, à l'inverse de ce que l'on souhaite, DERIVE induire des comportements de recherche où l'élève, face à un monde pour lui incontrôlable, fonctionne simplement au hasard.

## EN CONCLUSION

Les données fournies par cette recherche, les pistes de réflexion qu'elle suscite, nous semblent d'intérêt pour l'enseignant. Elles concourent à montrer que les potentialités attribuées a priori à DERIVE pour l'apprentissage et le travail mathématique sont à la fois des potentialités réelles et des potentialités qu'il n'est pas aisé d'actualiser pour un nombre important d'élèves. Elles

<footnote n="8">⁸ Ceci nous montre aussi le peu de crédibilité qu'il faut accorder à un certain nombre d'affirmations comme : « Avec DERIVE, on peut faire un sujet de baccalauréat sans presque rien savoir » qui tendent à se répandre. Qu'un mathématicien ou un enseignant familier avec le produit ait l'impression de court-circuiter son travail mathématique usuel quand il dispose d'un tel outil pour résoudre un problème de bac ne nous informe que peu sur ce qui peut être en jeu pour un élève résolvant le problème avec le même outil, sur les aides et les difficultés que cet outil peut engendrer.</footnote>
nous montrent que l'actualisation de ces potentialités passe par une réflexion approfondie sur le fonctionnement de DERIVE, ses cohérences et incohérences avec les environnements mathématiques familiers de l'élève, qu'on veuille éviter les incohérences ou, au contraire, dans certains cas, les exploiter. Elles nous montrent qu'en dépit de sa convivialité, nous devons prêter une attention particulière à la familiarité nécessaire avec ce logiciel pour que, dans une situation donnée, le travail de l'élève soit vraiment centré sur les mathématiques et ne pas minimiser les problèmes à ce niveau, surtout dans les conditions actuelles majoritaires d'utilisation. Elles nous montrent aussi qu'entrer, grâce à DERIVE dans des fonctionnements mathématiques plus intéressants, n'est pas garanti par la richesse de la situation mathématique elle-même, mais avant tout par la façon dont y est organisé le travail de l'élève. Comme nous l'avons dit, dans le fonctionnement avec un environnement comme DERIVE, deux tendances antagonistes s'affrontent : une permettant effectivement les fonctionnements mathématiques souhaités, l'autre les réduisant à des successions d'actions sans signification ni cohérence globale particulière. C'est nous qui pouvons faire basculer l'équilibre d'un côté ou de l'autre.

Ceci étant, il nous semble que le maillon essentiel, si l'on veut faire bouger les choses est la formation des enseignants et des formateurs d'enseignants. C'est pourquoi nous souhaiterions prolonger cette recherche en construisant à partir de la masse des données recueillies, des documents pour la formation incluant, pour chaque situation, analyse a priori de l'enseignant et questions posées à partir de cette analyse a priori, des protocoles à différents niveaux de lissage, comme nous l'avons fait dans ce rapport, des analyses de ces protocoles et des pistes d'exploitation en formation.
# APPENDICE BIBLIOGRAPHIQUE

Au début de cette recherche, nous avons mené une étude bibliographique qui a été présentée dans le rapport intermédiaire. Nous nous bornerons ici à en reproduire les conclusions, résultant de l'étude de 28 articles extraits de deux sources principales : les actes de l'École Internationale sur les Aspects Didactiques du Calcul Symbolique qui s'est tenue à Krems en Autriche en 1992, actes intitulés : « Enseigner les mathématiques avec DERIVE » d'une part, et les actes du Colloque « Technology in Mathematics Teaching » qui s'est tenu à Birmingham en 1993 d'autre part. Nous renvoyons le lecteur au rapport intermédiaire pour des informations plus détaillées sur cette partie du travail.

La conclusion est organisée autour des trois fonctionnalités essentielles des SMS mentionnées dans les travaux étudiés :

* les SMS, appuis pour la compréhension en mathématiques,

* les SMS, outils de découverte,

* les SMS, outils d'enseignement

et du rôle didactique des caractéristiques propres des SMS.

## LES SMS, OUTILS DE CALCUL ET INSTRUMENTS DE COMPRÉHENSION

La plupart des articles insistent, d'une manière ou d'une autre, sur l'aide que peuvent apporter les SMS à la "compréhension", à "l'intuition" des notions mathématiques, par le fait qu'ils déchargent l'élève des calculs fastidieux (*tedious* : "assommants"). Certains auteurs formulent cette caractéristique ainsi : à l'élève, les processus intellectuels de haut niveau, à la machine, ceux de bas niveau. En général, les termes "compréhension", "intuition" ou "processus intellectuels de haut niveau" sont censés aller de soi et être immédiatement compris du lecteur. Ces termes font référence à l'expérience de celui-ci en tant qu'enseignant, bien plus qu'à un cadre théorique, presque toujours, soit absent, soit limité à quelques rapides références (Piaget, Papert...).

On est en particulier dépourvu d'indications précises sur la *manière* dont les SMS peuvent influer sur la "compréhension" des élèves (quelle que soit par ailleurs l'acceptation qu'on donne à ce mot). On affirme que les SMS peuvent permettre de travailler sur des situations "riches", plus complexes, plus "réalistes" ou plus difficiles d'abord, que celles qui sont usuellement apprêtées au préalable, voir affadies, pour l'apprentissage. De nombreux exemples sont donnés, dans des domaines mathématiques où les calculs à la main seraient d'une difficulté rédhibitoire (équations différentielles non linéaires, développement en série de Taylor à des ordres élevés, manipulations de "grosses" matrices) ou pour des modélisations de systèmes physiques "réalistes" dont les modèles mathématiques sont techniquement ardus. Cette remarque rejoint la problématique de la modélisation, et par certains aspects, celle dite du "Problem Solving", que l'on retrouvera plus bas.

## LES SYSTÈMES DE CALCUL SYMBOLIQUE, OUTILS DE DÉCOUVERTE

Immédiatement après la facilité calculatoire, en rapport avec le fait qu'elle rend peu onéreux les essais et les expériences, vient la thématique du rôle des SMS, pour la découverte de nouvelles propriétés. Se rattachent à cette problématique les notions de "reconnaissance de
forme" (pour identifier une propriété commune à de nombreux exemples construits par les élèves avec l'aide du système), de conjecture, d'interprétation d'un résultat. Certains auteurs insistent sur la capacité des SMS à représenter ainsi, par la multiplication d'exemples, des énoncés d'ordre général. D'autres remarquent que cet usage pédagogique va à rebours de l'usage des professionnels qui n'utilisent les systèmes que pour explorer des objets très particuliers.

La facilité à explorer de nombreuses voies est souvent supposée aller de pair avec un apprentissage facilité des connaissances stratégiques. Dans le même ordre d'idées, elle va avec la facilité à faire des contrôles, des vérifications.

Il faut souligner cependant que divers articles évoquent les difficultés que rencontrent les élèves et étudiants à mettre en question les résultats de la machine ou à “estimer” les résultats qu'elle produit (ce qui rejoint le registre de l'interprétation).

## LES SYSTÈMES DE CALCUL SYMBOLIQUE, OUTILS D'ENSEIGNEMENT

Un certain nombre d'auteurs notent que ces caractéristiques des SMS influent sur ce qu'on doit, ou qu'on ne peut plus, enseigner. Cela peut porter sur le contenu, un certain nombre d'exercices "bateaux" devenant sans objet. Cela peut également porter sur l'organisation de la situation d'enseignement, en valorisant les interactions entre pairs, les "discussions mathématiques", la construction d'argumentations. Nombre d'auteurs évoquent plus vaguement "l'autonomie" des élèves ou la possibilité pour chacun d'apprendre "à son rythme". Un seul article aborde la question de la complémentarité des fonctionnements dans un système de mathématiques symboliques et dans l'environnement usuel papier / crayon.

Quelques articles voient dans la possibilité de changer de cadre de fonctionnement et de registre de représentation (nous retraduisons ici, en des termes plus familiers au lecteur français, ce qui apparaît dans les textes, formulé en général dans d'autres termes) une justification des vertus pédagogiques des systèmes de mathématiques symboliques. C'est le cas, en particulier, de la fonctionnalité de représentation graphique qui est perçue presque unanimement comme très importante. De même, la notion de "problem solving" sert parfois de justification théorique à l'intérêt des applications présentées, mais aucun des articles recensés ici n'analyse finement cette articulation. Cette absence peut être un artefact lié à notre échantillon.

Certains auteurs insistent de manière complémentaire sur les pré requis, en termes de connaissances mathématiques ou informatiques, ou en terme de représentation de l'outil informatique et de ses usages, nécessaires pour tirer profit de l'utilisation de SMS.

D'autres insistent plutôt sur l'influence de l'usage de ces systèmes sur l'évaluation. Ainsi est-il remarqué qu'il est bien plus aisé d'évaluer des performances dans des tâches de "bas niveau", que des compétences de "haut niveau".

Ces observations, toutefois, ne sont pas universelles, et un certain nombre d'articles présentent des propositions de séquences d'enseignement, voire des modules logiciels consacrés à l'étude d'un thème, sans sembler se préoccuper le moins du monde de l'insertion de ces séquences dans une progression quelconque ni des problèmes d'évaluation que cela pourrait poser.
## LE RÔLE DIDACTIQUE DES CARACTÉRISTIQUES PROPRES DES SYSTÈMES DE CALCUL SYMBOLIQUE

Dans l'ensemble, relativement peu d'articles insistent sur les effets, positifs ou négatifs, des caractéristiques propres de fonctionnement des SMS pour l'apprentissage. Cela concerne aussi bien l'interactivité et la vitesse, que les méthodes de résolution formelle utilisées par le logiciel, les contraintes morpho-syntaxiques à l'entrée (forme des écritures pour les communiquer à la machine) ou à la sortie (présentation "brute" ou via des traitements de formules mathématiques du type LATEX, format des nombres). De nombreux articles vantent la "simplicité" ou la "facilité" à utiliser tel ou tel logiciel, d'autres pointent des erreurs ergonomiques. Le fait qu'un calcul symbolique est un calcul *exact* (contrairement au calcul numérique usuel), l'usage didactique de l'exploration des limites du système ou la possibilité de programmation sous-jacente ne sont abordés que marginalement.

## DEUX ANS APRÈS, LE PAYSAGE A SENSIBLEMENT ÉVOLUÉ.

Ces conclusions étaient celles que nous tirions de nos lectures en 1993. Les publications récentes sur DERIVE (et les SMS de manière générale) commencent à présenter des caractéristiques différentes de celles soulignées ci-dessus. Ainsi, à côté des articles « classiques » décrivant de possibles changements curriculaires, proposant des activités possibles avec ces logiciels ou visant à mettre en évidence la supériorité d'enseignements intégrant DERIVE, par comparaison de performances globales entre groupes expérimentaux et groupes témoins, on voit se développer des articles correspondant :

* à un travail de théorisation, qu'il s'agisse de théorisations locales comme celle formulée en termes de « WhiteBox - Black Box » pour l'analyse de laquelle nous renvoyons au mémoire de DEA de J.F.Canet (Canet, 1994) ou d'insertion avec d'éventuelles adaptations dans des cadres théoriques existants, comme dans le cas de la théorie du « scaffolding » développée par B.Kutzler (Kutzler, 1994), (Repo, 1994),

* à des observations fines d'élèves aidant à mieux comprendre les fonctionnements possibles des élèves dans de tels environnements et conduisant généralement à remettre en question, au moins partiellement, les affirmations et hypothèses par trop enthousiastes de la première période, comme par exemple les travaux de Monaghan (Monaghan, 1994) et Drijvers (Drijvers, 1994).

Les trois premiers numéros de la revue « The International DERIVE Journal » parus en 1994 illustrent bien ce phénomène.

Nous ne présenterons pas, dans ce rapport, une analyse détaillée de cette évolution des travaux et articles et ce d'autant plus que, à la suite à la Conférence Internationale DERIVE qui s'est tenue à Honolulu en juillet 1995, un travail systématique de recensement, classification et analyse des travaux publiés dans ce domaine a été entrepris, travail qui devrait donner lieu dans des délais raisonnables à un chapitre dans l'ouvrage collectif qui résultera de cette Conférence.
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Lagrange J.B. & Drouhard J.P. (1995) : L'intégration du système de mathématiques symbolique DERIVE. Une évaluation didactique auprès d'élèves de 14 à 19 ans. *Environnements Interactifs d'Apprentissage avec l'Ordinateur*, tome 2 D.Guin, J.F.Nicaud &D.Py (eds.), 327-338, Eyrolles, Paris.

Monaghan J. (1994) : On the successful use of DERIVE, *The International Derive Journal*, Vol.1, N°1, 49-56.

Repo S. (1994) : Understanding and Reflective Abstraction : Learning the Concept of derivative in the Computer Environment, *The International Derive Journal*, Vol.1, N°1, 97-113.

Sfard A. (1991) : On the dual nature of mathematical conceptions : reflexion on processes and objects as different sides of the same coin, *Educational Studies in Mathematics*, N°22, 1-36.

Trouche L. (1994) : Analyse et outils graphiques au lycée, in : *Les outils du calcul formel dans l'enseignement des mathématiques*, 99-112, IREM de Basse Normandie.
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# SOMMAIRE

INTRODUCTION 3

PREMIÈRE PARTIE LE RECUEIL D'INFORMATION PAR QUESTIONNAIRES 5

## I. INTRODUCTION

I.1 LE QUESTIONNAIRE ÉLÈVES 5

I.2 LE QUESTIONNAIRE PROFESSEURS 5

I.3 LES ENSEIGNANTS CONTACTÉS ET LES RÉPONSES OBTENUES 5

## II. RÉSULTATS DE LA PREMIÈRE VERSION DU QUESTIONNAIRE ÉLÈVES

II.1 TEXTE DU QUESTIONNAIRE 7

II.2 ANALYSE DES RÉPONSES 10

II.3 LE DÉPOUILLEMENT DES QUESTIONS FERMÉES À L'AIDE DE L'ANALYSE IMPLICATIVE 12

III. PRÉSENTATION DE LA SECONDE VERSION DU QUESTIONNAIRE ÉLÈVE 14

## IV. DÉPOUILLEMENT DE LA SECONDE VERSION DU QUESTIONNAIRE ÉLÈVE

IV.1 CLASSES AYANT RÉPONDU AU QUESTIONNAIRE 19

IV.2 ENVIRONNEMENT TECHNIQUE DE L'ÉLÈVE (QUESTIONS 4 À 14) 20

IV.3 RENCONTRE AVEC DERIVE ET FAMILIARISATION (QUESTIONS 15 À 29) 23

IV.4 PERCEPTION DES POSSIBILITÉS DE DERIVE ET DE SES LIMITES (QUESTIONS 33 ET 34) 26

IV.5 MISE EN ÉVIDENCE DES REPRÉSENTATIONS (QUESTIONS 40 À 56) 33

## V. ETUDE DES REPRESENTATIONS

V.1 INFLUENCE DU NIVEAU DE CLASSE 40

V.2 INFLUENCE DE LA DURÉE D'UTILISATION DE DERIVE 41

V.3 ETUDE D'ELEVES EN FONCTION DE LEUR ADHÉSION À UNE REPRÉSENTATION 42

## VI. LE QUESTIONNAIRE "PROFESSEURS"

VI.1 LE TEXTE DU QUESTIONNAIRE 49

VI.2 BUTS DE L'ÉTUDE 52

VI.3 MODES D'UTILISATION DE DERIVE 52

VI.4 ACTIVITÉS CONDUITES AVEC DERIVE : CONTENUS, SPÉCIFICITÉS, INSATISFACTIONS. 55

VI.5 TYPES D'ACTIVITÉ MATHÉMATIQUE ANTICIPÉE PAR LES PROFESSEURS. ASPECTS POSITIFS CONSTATÉS ET DÉCEPTIONS. 58

## VII. RÉSULTATS PRINCIPAUX

VII.1 APPORTS DU QUESTIONNAIRE ÉLÈVE 80

VII.2 APPORTS DU QUESTIONNAIRE "PROFESSEURS" 81

VII.3 REMARQUES DE SYNTHÈSE 82

DEUXIEME PARTIE OBSERVATION DE SITUATIONS D'ENSEIGNEMENT AVEC DERIVE 83

## I. INTRODUCTION

## II. LES QUESTIONS A L'ETUDE

II.1 LE ROLE JOUE PAR LA FAMILIARITE AVEC LE LOGICIEL DERIVE 85

II.2 DERIVE ET LA CALCULATRICE 85

II.3 L'ARTICULATION ENTRE L'ERGONOMIE DE DERIVE ET LE FONCTIONNEMENT PAPIER / CRAYON 86

II.4 LA CENTRATION SUR LA DÉMARCHE, SUR LES ASPECTS CONCEPTUELS 86

II.5 LA DIMENSION EXPÉRIMENTALE ET LES QUESTIONS DE NIVEAU D'ACTIVITÉ MATHÉMATIQUE 86

II.6 LE RÔLE DE DERIVE DANS LE STATUT ET LA MANIPULATION DES OBJETS ALGÉBRIQUES 87
### III. METHODOLOGIE DEVELOPPEE POUR L'OBSERVATION

III.1 LA PRÉPARATION DE L'OBSERVATION 88

III.2 L'OBSERVATION 90

III.3 L'ENTRETIEN APRÈS OBSERVATION 91

III.4 PROBLÈMES MÉTHODOLOGIQUES RENCONTRÉS 91

### IV. OBSERVATIONS AU COLLEGE

IV.1 PARENTHESAGES - FRACTIONS 93

IV.2 GENERALISATION D'IDENTITES REMARQUABLES : CARRES DE SOMMES 107

IV.3 GEOMETRIE ANALYTIQUE 119

IV.4 RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D'ÉQUATIONS. 134

### V. OBSERVATIONS AU LYCEE

V.1 FACTORISATION DE POLYNÔMES 148

V.2 RECHERCHE DE FONCTIONS SOUS CONTRAINTES 162

V.3 TRIGONOMETRIE 1 210

V.4 TRIGONOMETRIE 2 244

SYNTHESE ET CONCLUSIONS 273

APPENDICE BIBLIOGRAPHIQUE 287
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