une dérive pseudo-expérimentale. Si les situations d'enseignement ne sont pas profondément repensées à la fois sur le plan de leur contenu et de leur gestion, on court en effet le risque de voir se développer des situations où, le travail technique usuel étant pris en charge par le logiciel, le travail de l'élève se réduit à des tâches d'exécution presse-bouton et d'observation. : l'élève suit une fiche d'instructions, note les données et résultats qui apparaissent sur l'écran, son activité expérimentale se bornant à faire des remarques et constatations sur ces données.

Il nous semble donc important d'étudier dans une situation mathématique avec DERIVE ce qui, du travail mathématique, est pris en charge par le logiciel et ce qui est de la responsabilité de l'élève, à quel niveau se situe réellement l'activité mathématique de ce dernier et ce que l'on peut en attendre en termes de connaissances. En particulier, dans une situation qui se veut expérimentale, on étudiera comment est ménagé le travail expérimental par le jeu des anticipations et des contrôles, par le degré d'autonomie laissé à l'élève dans l'organisation de l'exploration.

Ceci devrait conduire à l'explicitation pour le moins d'un questionnement guidant la construction de ce type de situations.

## II.6 LE RÔLE DE DERIVE DANS LE STATUT ET LA MANIPULATION DES OBJETS ALGÉBRIQUES

Les problèmes posés par l'apprentissage de l'algèbre élémentaire, les insuffisances des stratégies usuelles de l'enseignement dans ce domaine ont été étudiés par de nombreux chercheurs (cf. (Kieran, 1992) par exemple pour une synthèse). Différents facteurs ont été mis en évidence, notamment :

* Le fait que l'entrée dans le monde de l'algèbre suppose une rupture avec le fonctionnement arithmétique antérieur de l'élève : il faut accepter de passer du travail sur des quantités où chaque opération effectuée a un sens précis, où l'égalité peut vivre avec un sens de production à un travail où sont essentiellement en jeu des relations entre expressions littérales, où l'égalité doit donc prendre nécessairement un autre sens, où le contrôle par le sens n'est pas forcément toujours possible et où justement l'efficacité du détour algébrique tient à la possibilité de s'affranchir de cette nécessité pour s'en remettre à des règles de fonctionnement formelles à certaines étapes de la résolution,

* Le fait que l'équilibre, propre au travail algébrique, entre un contrôle par le sens et un contrôle formel est très difficile à mettre en place, faisant de ce domaine un domaine qui pour l'élève est souvent privé de sens, où les règles de manipulation formelle relèvent du droit plutôt que du vrai et se prêtent à des dérapages de toutes sortes,

* Le fait enfin que le langage algébrique a ses règles sémiotiques propres nécessitant un apprentissage spécifique, qui ne va pas de soi, et que l'enseignement a beaucoup de mal à faire vivre de façon satisfaisante dans les classes des situations visant cet apprentissage.

DERIVE étant un logiciel doté de possibilités de calcul formel, on peut faire l'hypothèse qu'il peut aider à rendre plus efficace cet enseignement de l'algèbre, notamment :

* Par l'attention qu'il conduit à apporter au langage algébrique lui-même, pour les besoins de la communication avec l'ordinateur et non pour de simples raisons de contrat didactique,

* Par l'obligation qui est faite d'expliciter via les commandes DERIVE certains gestes qui, dans le fonctionnement usuel, restent implicites et de les relier à des opérations mathématiques,
* Par la possibilité qu'il offre de travailler relativement tôt dans l'apprentissage sur des expressions relativement complexes, sans avoir à assurer l'intégralité du travail mathématique mais en centrant ce dernier sur tel ou tel point particulier, et ce faisant de motiver des recherches de régularités, des interrogations qui aident à construire les règles du jeu algébrique, sans le réduire à l'application de quelques recettes,

à condition bien sûr de construire des situations adéquates.

Mais d'un autre côté, les expérimentations menées avec DERIVE ont concerné pour l'instant presque exclusivement des niveaux d'enseignement se situant au delà de l'initiation algébrique. On ne sait donc pas à l'heure actuelle s'il existe un seuil dans les connaissances et compétences algébriques en dessous duquel l'intégration de DERIVE à l'enseignement, surtout dans les conditions d'utilisation actuelles, poserait plus de problèmes qu'elle ne permettrait d'en résoudre.

Il nous semble donc important d'inclure dans les observations des situations où les hypothèses formulées ci-dessus sur les potentialités théoriques de DERIVE soient réellement à l'oeuvre avec, en particulier, des observations au niveau du collège.

### III. METHODOLOGIE DEVELOPPEE POUR L'OBSERVATION

Nous décrivons dans cette partie le dispositif d'observation mis au point dans la première phase de la recherche, reprenant et la complétant la partie correspondante du rapport intermédiaire.

Ce dispositif, pour chaque situation observée, est classiquement constitué de trois phases :

* la préparation de l'observation,

* l'observation proprement dite,

* l'entretien post-observation.

Précisons que les observations effectuées ont toutes concerné des séances où l'utilisation de DERIVE n'était pas collective, sauf éventuellement dans les phases de synthèse. Le dispositif décrit, en particulier au niveau des observations proprement dites, est donc conçu en fonction de ce type de situations. Ceci bien sûr n'implique pas que cela ait été le seul type d'utilisation présent dans les classes observées ou que ce soit le type toujours le plus adéquat, à nos yeux.

#### III.1 LA PRÉPARATION DE L'OBSERVATION

Cette première phase doit permettre de disposer à l'avance d'informations sur la situation qui sera observée. Ces informations sont nécessaires pour réaliser une analyse a priori<fnref n="12" /> de la situation à laquelle seront confrontées ultérieurement, dans une méthodologie classique en didactique, la ou les réalisations effectives. Elles sont aussi nécessaires pour préciser les points auxquels l'observation sera a priori particulièrement attentive.

Nous souhaitions, vu les objectifs assignés à l'observation, limiter le plus possible la perturbation qui serait apportée au fonctionnement usuel des enseignants observés ; nous souhaitions aussi que la participation aux observations n'induise pas pour eux une charge de travail trop importante. C'est pourquoi, nous avons choisi de mettre au point un questionnaire préalable à l'observation respectant les contraintes suivantes :

<footnote n="12">¹²Compte-tenu de ce qui suit, il ne s'agit pas d'une analyse a priori au sens classique de l'ingénierie didactique mais d'un objet adapté et plus restreint.</footnote>
* il devait fournir les principales informations nécessaires à la réalisation de l'analyse a priori,

* il devait être concis,

* il devait respecter le plus possible les modes d'anticipation et d'explicitation usuels des enseignants,

* il devait enfin être formulé dans un langage accessible à un non didacticien.

En particulier, nous avons essayé de tenir compte du fait que l'expertise, en majeure partie, relève davantage des compétences que des connaissances et reste donc largement informulable ou difficilement formulable. Nous avons aussi essayé de tenir compte du fait qu'un enseignant, même s'il effectue une préparation soignée d'une séance d'enseignement, ne prévoit à l'avance qu'une petite partie des décisions qu'il aura à prendre en classe et se réserve une large possibilité d'adaptation en temps réel.

Nous fournissons ci-après la version définitive du questionnaire, utilisée dans les expérimentations de la deuxième phase.

## QUESTIONNAIRE PREPARATOIRE A UNE OBSERVATION DE TYPE T.P.

1. Combien de fois avez-vous utilisé DERIVE dans votre enseignement cette année avant cette séance ?

2. A quand remonte la dernière utilisation :

- a) collective en classe ?

- b) en TP ?

3. Quels sont les objectifs de cette séance et comment s'insère-t-elle, le cas échéant, dans la progression de l'enseignement ?

4. En quoi l'utilisation de DERIVE vous semble-t-elle intéressante ici ?

5. Est-elle à votre avis nécessaire au bon fonctionnement de la situation et si oui pourquoi ?

6. Les élèves sont-ils libres d'utiliser ou non DERIVE pendant la séance ?

7. Peuvent-ils utiliser aussi leur calculatrice ?

8. Connaissances informatiques et connaissances sur DERIVE nécessaires. Parmi ces connaissances, lesquelles :

- a) supposez-vous bien connues,

- b) pensez-vous avoir besoin de rappeler (pour chacune précisez sous quelle forme vous prévoyez de le faire : rappel écrit, rappel collectif oral, rappel individuel ou par groupes en cas de besoin),

- c) allez-vous devoir introduire et comment prévoyez-vous de le faire.

9. Pouvez-vous décrire brièvement les principales phases de la séance et le déroulement temporel prévu ?

10. Pour chacune des phases de travail individuel ou en petits groupes des élèves, pouvez-vous préciser :

- a) quel est le travail mathématique que doivent réaliser les élèves,
- b) quel(s) rôle(s) va jouer DERIVE (contrôle de résultats, aide à l'exploration, à l'élaboration de conjectures, outil de calcul numérique ou algébrique, outil de représentation graphique ...),

- c) à quels comportements vous vous attendez de la part des élèves,

- d) quelles interventions éventuelles vous prévoyez de faire.

11. Pensez-vous faire un ou plusieurs bilans collectifs pendant la séance ? Si oui, à quel(s) moment(s), sous quelle forme et avec quel(s) objectif(s) ?

12. Prévoyez-vous une institutionnalisation pendant la séance ou après ? Sur quels contenus ?

13. Pensez-vous rencontrer des difficultés mathématiques ou informatiques ? Si oui lesquelles et comment envisagez-vous d'y faire face ?

14. Autres points que vous souhaitez mentionner.

Le questionnaire était envoyé aux enseignants au moins une quinzaine de jours avant l'observation prévue. Il devait être retourné aux observateurs quelques jours avant l'observation. Les chercheurs pouvaient, le cas échéant, compléter les informations ainsi recueillies par un entretien avec l'enseignant avant l'observation.

### III.2 L'OBSERVATION

Elle est réalisée par des observateurs qui observent chacun un groupe d'élèves choisi par l'enseignant suivant des critères précisés avec les observateurs dans chaque cas. Les observateurs n'ont pas a priori à intervenir dans le déroulement de la séance ou dans le travail des groupes. La seule intervention a priori prévue est de conseiller aux élèves de faire appel à l'enseignant, en cas de blocage prolongé.

Les échanges entre ces élèves ainsi que les phases collectives sont enregistrés. Les productions écrites des élèves dans la séance (brouillons, fiches...) sont recueillies et photocopiées avant de leur être rendues. Le travail réalisé avec DERIVE est sauvegardé et imprimé à l'issue de la séance.

Une grille d'observation souple a été élaborée à l'issue des premières observations. Elle est constituée de la façon suivante :

<table><thead><tr><td>Temps</td><td>Forme du travail : P/C DERIVE</td><td>Écran DERIVE</td><td>Problèmes informatiques</td><td>Actions des élèves</td><td>Interventions de l'enseignant et de l'observateur</td><td>Explications, commentaires</td></tr></thead><tbody><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

La colonne "explications, commentaires" correspond aux éléments qui semblent nécessaires à l'observateur pour comprendre le contenu des autres colonnes.

Pour toutes les séances, nous avons pu disposer de plusieurs observateurs, le nombre d'observateurs variant de 2 à 5. D'autre part la majorité des séances a donné lieu à deux
expérimentations, dans deux classes différentes au collège, dans la même classe séparée en
deux groupes au lycée.

### III.3 L'ENTRETIEN APRÈS OBSERVATION

Cet entretien a pour objet :

* de compléter les informations recueillies par les observateurs pendant la séance par celles obtenues par l'enseignant,

* d'élucider éventuellement des points qui posent problème aux observateurs,

* d'essayer de pointer les décalages existant entre les prévisions et le déroulement effectif et d'en chercher des raisons,

* de recueillir les impressions de l'enseignant à chaud sur le fonctionnement de la séance,

* de recueillir des informations sur la façon dont il pense donner suite au travail effectué dans la séance, compte-tenu du déroulement effectif.

Il n'y a pas de grille prévue a priori pour cet entretien qui est enregistré.

### III.4 PROBLÈMES MÉTHODOLOGIQUES RENCONTRÉS

Ces problèmes ont été essentiellement liés au recueil des données : difficulté de noter en temps réel tout ce que faisaient les élèves vu la rapidité des interactions élève/machine, en particulier au niveau lycée. Ces difficultés n'ont été que partiellement compensées par les enregistrements et les fichiers DERIVE. En effet, lorsque les élèves travaillent par groupes de 2, ils parlent souvent à voie basse, les phrases prononcées, même lorsqu'elles sont compréhensibles, ne sont pas forcément facilement interprétables car la communication est tout autant gestuelle qu'orale : on montre quelque chose sur l'écran en disant : "ça", par exemple. Au niveau des fichiers, nous nous sommes heurtés au fait que, dans certaines situations, le fait d'obliger l'élève à ne rien effacer, semblait une contrainte par trop exigeante. Souvent, après avoir suivi une fausse piste par exemple, les élèves ont envie d'effacer, de nettoyer l'écran. Le fait d'interdire l'effacement contribue à son encombrement, il peut aussi rendre difficile le rapprochement d'expressions intermédiaires qu'il serait bon de faire. Lorsque nous avions l'impression de contraindre trop fortement le fonctionnement du groupe, nous avons ainsi renoncé à interdire l'effacement. Il est clair que, dans ce cas, la reconstitution exacte des interactions dépend fortement des capacités de prise de note en temps réel.

D'autre part, il n'a pas toujours été possible aux observateurs, face aux difficultés rencontrées par les élèves, de rester dans le rôle qui leur avait été prescrit et la lecture des comptes-rendus montre des interventions d'aides non prévues. En général, il y en a cependant peu, et elles ne nous ont pas gênés énormément pour l'analyse. Les protocoles où ces interventions nous semblaient moins contrôlables ont été systématiquement écartés.

Enfin, les entretiens après les observation n'ont pas toujours été menés avec le sérieux nécessaire. Les observateurs étaient fatigués, nous ne disposions pas nécessairement d'un temps suffisant. Ils sont en général peu exploitables.
#### IV. OBSERVATIONS AU COLLEGE

Ces observations ont été réalisées, comme nous l'avons précisé dans l'introduction, dans le même collège en troisième, avec le même professeur. Il y a eu quatre observations réparties dans l'année, sur des thèmes différents. Toutes sauf la dernière ont été réalisées dans deux classes successivement : la première de bon niveau, la seconde plus faible. Ces deux classes avaient des effectifs de 26 et 27 élèves. Ceci nous a en particulier permis de tester la plus ou moins bonne adéquation des situations proposées à différentes catégories d'élèves. Le nombre d'observateurs a été variable d'une séance à l'autre (de 2 à 5) et nous disposons donc, même si toutes les observations de groupes ne sont pas de la même qualité, d'idées relativement précises sur le fonctionnement réel de ces situations, avec des élèves de profils sensiblement différents.

Les thèmes concernés rappelons-le sont les suivants :

* parenthésage, fractions,

* généralisation d'identités remarquables,

* géométrie analytique,

* résolution de systèmes d'équations.

Pour chacune de ces séances, les élèves ont travaillé en salle informatique durant une heure par groupes de 2., en suivant une ou plusieurs fiches distribuées par l'enseignant au début de la séance. Il n'y avait pas de phase de bilan collectif pendant la séance, celui-ci étant systématiquement effectué au cours d'une séance ultérieure.

Nous avons organisé le rapport, séance par séance. Pour chacune d'elles, il sera structuré de la façon suivante :

1. Contexte de l'observation,

2. Présentation des activités proposées,

3. Analyse a priori effectuée par l'enseignant,

4. Exemples de déroulements,

5. Analyse a posteriori.

Dans la partie 3, nous synthétiserons l'analyse a priori effectuée par l'enseignant en l'organisant autour de trois rubriques : les objectifs de la situation, l'intérêt supposé de DERIVE, les connaissances DERIVE nécessaires et utiles, les comportements et difficultés prévus. Dans la partie 4, nous présenterons, sous forme résumée, le fonctionnement de deux groupes, choisis pour permettre au lecteur de se faire une idée plus précise de la diversité des fonctionnements possibles. Dans la partie 5, nous nous appuierons sur ces exemples mais aussi plus globalement sur l'ensemble des données recueillies. Nous centrerons notre analyse, pour chacune des observations, sur les points qui nous semblent, en l'état actuel de l'analyse, les points essentiels, compte tenu des questions à l'étude.

Les documents distribués aux élèves sont annexés à la fin de chaque observation.
# IV.1 PARENTHESAGES - FRACTIONS

## CONTEXTE DE L'OBSERVATION

Cette observation a été réalisée le 15 novembre 1993. Quatre groupes ont été observés (2 dans chaque classe), les productions écrites des élèves ont été recueillies en fin de séance.

Elle s'est déroulée alors que DERIVE avait déjà été utilisé collectivement à 5 reprises pour la correction de devoirs et des bilans de TP et, par groupes, à 3 reprises dans des séances de TP (les 19 octobre, 2 novembre, 9 novembre). La séance du 9 novembre concernait le développement de carrés de deux termes.

## PRÉSENTATION DES ACTIVITÉS PROPOSÉES

Les élèves doivent entrer sous DERIVE douze expressions numériques et algébriques données dans une fiche (cf. annexe page 105). Ces expressions sont de complexité variée et comportent pour la plupart des écritures fractionnaires. L'entrée est correcte si l'affichage DERIVE "correspond" à l'écriture P/C. La plupart des entrées supposent le déplacement et/ou l'adjonction de parenthèses à l'expression figurant sur la fiche. Les élèves doivent ensuite utiliser DERIVE pour simplifier ces expressions et noter les résultats obtenus. Ces derniers doivent fournir à l'enseignant un feed-back indirect sur la correction des entrées. Deux exercices complémentaires sont proposés pour les élèves qui auraient terminé avant la fin de l'heure le travail demandé : déterminer l'inverse d'une expression fractionnaire numérique complexe (4 réponses sont proposées), résoudre avec DERIVE une équation fractionnaire complexe se ramenant à une équation du second degré.

## ANALYSE A PRIORI DE LA SÉANCE EFFECTUÉE PAR L'ENSEIGNANT

### Objectifs :

Depuis le début de l'année, en s'appuyant notamment sur l'usage des calculatrices, l'enseignant a abordé un certain nombre de questions : gestion de calculs numériques un peu complexes, réduction de sommes algébriques, développement, factorisation. Il attache dit-il "une extrême importance à l'analyse des expressions. C'est là un point sensible qui conditionne en grande partie le succès dans les calculs formels. Savoir "déchiffrer" une expression, c'est se créer des possibilités de travail."

L'activité proposée dans cette séance doit contribuer à développer ces capacités d'analyse d'expressions, dans le cas notamment d'expressions complexes imbriquant parenthésage, fractions et radicaux.

### Intérêt supposé de DERIVE :

La saisie des expressions sous DERIVE demandée nécessite le passage de l'écriture spatiale P/C à une écriture linéaire, donc une analyse de cette expression permettant la transcription. DERIVE présente, par rapport à la calculatrice, l'intérêt de restituer l'écriture dans sa dimension spatiale. L'élève dispose donc d'une validation immédiate de son travail susceptible de lui permettre en cas d'erreur de progresser vers la solution. En effet, puisque DERIVE affiche la représentation spatiale de l'expression entrée, il peut chercher à interpréter les décalages existants entre l'expression initiale et l'expression produite par DERIVE.

Dans cette activité, de plus, les règles d'écriture deviennent des contraintes du « milieu » (Brousseau, 1988). Elles ne relèvent pas, comme c'est souvent le cas, de contraintes du contrat
didactique mais deviennent une nécessité objective. L'enseignant mentionne ainsi dans son analyse a priori : "Les élèves devront prendre conscience qu'il existe des contraintes très importantes qui régissent la saisie des expressions sur ordinateur. Ce "truc" étant une machine, on devra donc éliminer radicalement toute ambiguïté dans l'écriture. Ils admettront donc que les règles d'écriture et de lecture qu'ils ont apprises reposent sur une nécessité."

Il souligne également que la rigidité de l'ordinateur peut amener les élèves à apprécier, par comparaison, la souplesse des règles "habituelles".

### Connaissances DERIVE nécessaires :

Elles sont pour cette situation très limitées :

* savoir utiliser le clavier (touches ENTREE, touches fléchées, barre d'espace, etc...),

* savoir charger et lancer DERIVE,

* savoir entrer une expression avec la commande Auteur, savoir la corriger. A ce niveau, la connaissance de l'action de la touche F3 peut être utile, même si elle n'est pas nécessaire. L'enseignant précise qu'il n'a pratiquement pas parlé des touches F3 et F4 et qu'il en parlera "peut-être selon la tournure des événements".

L'enseignant pense devoir rappeler l'expression de l'exponentiation par la touche puissance mais il prévoit de le faire en fonction des demandes des groupes.

La seule connaissance nouvelle apparaissant dans la séance concerne l'expression de la racine carrée par SQRT.

L'une des fiches distribuées aux élèves présente un paragraphe intitulé : "Les commandes à utiliser", dans lequel figurent les commandes : Auteur, Simplifie, suppRime, la désignation d'une racine carrée et où la touche F3 est introduite comme touche utile : "F3 pour reproduire l'expression sélectionnée sur la ligne d'écriture". Mais il n'y a pas de rappel sur la sélection, le déplacement dans les sous-expressions et sur les modes de correction de formules. L'enseignant interrogé sur ce point, précise qu'il préfère montrer directement les gestes correspondants, si nécessaire, à chaque élève.

### Comportements, difficultés attendus :

L'enseignant pense que, pour la plupart des groupes, l'heure sera nécessaire pour entrer les douze expressions de la fiche. Il espère ne pas avoir à intervenir beaucoup et pouvoir se limiter à des interventions groupe par groupe, en fonction des besoins. Il ne s'attend pas à rencontrer de problème particulier. Il pense que les élèves seront peut-être surpris par certaines expressions, comme les fractions superposées, et auront impression qu'il s'agit là d'expressions "tordues", mais ceci ne devrait pas, à son avis, empêcher leur investissement dans la tâche proposée. Il aimerait que les élèves remarquent que la commande Simplifie de DERIVE ne produit pas toujours des expressions plus simples.

En ce qui concerne les deux exercices supplémentaires qui "vont plus loin", il prévoit que certains élèves auront du mal à comprendre ce qu'ils doivent faire, qu'ils peuvent ainsi penser qu'il existe une commande pour inverser une expression et la chercher dans les commandes DERIVE. Il se demande aussi comment ils réagiront aux deux solutions proposées par DERIVE pour l'équation, vu que cela correspond pour eux à une situation totalement nouvelle.
Il n'est pas prévu de bilan collectif pendant la séance, mais un bilan sera fait ensuite collectivement en classe en fonction des productions des élèves. L'enseignant pense aussi revenir à cette occasion sur le sens du verbe « simplifier ».

## EXEMPLES DE DÉROULEMENTS

### Groupe I :

Il s'agit de deux filles de bon niveau en mathématiques que nous désignerons par S. et L.

Elles se partagent les rôles : S. tape, L. dicte et contrôle, mais il n'y a pas de véritable leader et l'interaction des deux élèves est permanente. Elles travaillent vite, sans se laisser distraire et leur attention est très soutenue tout au long de la séance.

#### 9h30

Début de la séance. L'enseignant présente le travail à faire.

Les élèves ne rencontrent aucune difficulté à lancer DERIVE.

#### Expressions 1 et 2 (~ 3mn) :

Elles rentrent l'expression 1, en introduisant les parenthèses prévues a priori, c'est à dire, en tapant : `(8/15)/(4/9)`, trouvent le résultat fourni par DERIVE satisfaisant et obtiennent par

simplification : $\frac{6}{5}$.

Elles tapent ensuite l'expression 2 comme elle se présente et obtiennent une expression identique à l'expression papier. Elles passent à la suite.

#### Expressions 3 et 4 (~ 5mn) :

Elles tapent l'expression 3 après avoir dit qu'il fallait rajouter des parenthèses. Elles en rajoutent en fait deux couples : $3+(3/(3+3/5))$. Le rajout des parenthèses s'est fait directement lors de la frappe, sans intermédiaire P/C. Elles ont cependant une petite incertitude sur leur production, hésitent un peu avant de faire "Enter", puis décident de voir ce que donne DERIVE. Le résultat est conforme et elles sont contentes d'elles : "On est bonnes, hein !" dit l'une.

Elles passent ensuite à l'expression 4 et, dans un premier temps, la tapent, sans déplacement des parenthèses. Elles repèrent à l'affichage la non-conformité, l'interprètent en "oubli de parenthèses" et en rajoutent autour de $a+2 : a+2/5-((a+2)/5)$.

A l'affichage, toutes les parenthèses disparaissent. Elles se demandent si leur production est ou non correcte et, interprétant la consigne comme : il faut faire afficher à DERIVE ce qui est écrit sur le papier, elles essayent d'obtenir un affichage parenthésé. Très vite, L. suggère d'utiliser des crochets, ce qui conduit à l'affichage :

$$a + \frac{2}{5} - \left[ \frac{a+2}{5} \right]$$
Cette expression les satisfait. Dans la simplification, l'expression ne se réduit pas, du fait des crochets, et elles obtiennent : $[-\frac{a+2}{5}]+a+\frac{2}{5}$. Elles recopient le résultat sur la fiche, sans s'étonner ni faire le moindre commentaire puis passent à la suite.

### Expressions 5, 6, 7 et 8 (~ 5mn) :

L'expression 5 est rentrée directement avec un parenthésage minimal, organisé ici aussi mentalement. Elles repèrent que la simplification prend plus de temps. Le résultat obtenu : $\frac{5a(2b+5)+2b(b+10)}{5b(b+5)}$ les laisse perplexes mais elles ne cherchent pas à l'interpréter, notent et passent à la suite.

Pour l'expression 6, le parenthésage minimum est là aussi entré d'emblée.

Pour l'expression 7, S. pense qu'elles vont "encore s'embêter avec les carrés" mais elles retrouvent très vite la syntaxe et tapent l'expression, comme elle se présente.

Pour l'expression 8, elles décident d'ajouter deux couples de parenthèses correspondant au parenthésage minimum, oublient le second à la frappe, mais s'en aperçoivent tout de suite et corrigent avant d'entrer l'expression tapée.

Tout va très vite.

### Expressions 9 et 10 (~ 10mn)

L'enseignant fait une intervention collective pour suggérer que ce ne soit pas toujours le ou la même dans les groupes qui soit au clavier. Au passage à l'expression 9, L. prend donc le clavier, mais elle le maîtrise visiblement moins bien que S. ; elle cherche les touches, ce qui énerve un peu S.

Pour l'expression 9, elles décident de rajouter deux couples de parenthèses mais le premier est mal situé : $(1/3+\sqrt{250})-1/(3-\sqrt{250})$. Elles obtiennent à l'affichage : $\frac{1}{3}+\sqrt{5}-\frac{1}{3-\sqrt{5}}$

S. interprète immédiatement l'erreur commise et dicte le parenthésage minimum correct à L.

Elles passent à l'expression 10 qui les effraie un peu du fait de l'abondance de racines carrées, mais là encore très vite, elles restituent un parenthésage de tête, avec 5 couples de parenthèses et tapent : $\sqrt{RT(1+10(S\sqrt{T}(2-5(S\sqrt{T}(8))))))}$, comptant le nombre de parenthèses ouvertes pour déterminer le nombre de parenthèses à fermer.

La production DERIVE les étonne puisque DERIVE ne prolongeant pas les barres de radicaux, elles obtiennent : $\sqrt{1+10\sqrt{2-5\sqrt{8}}}$. Elles appellent le professeur pour lui demander si c'est bien la même chose. Ce dernier leur renvoie la question en leur demandant si elles ont des critères pour savoir si ce qui est sur l'écran est bien ce qu'elles veulent obtenir. Elles ne peuvent lui répondre. Il les aide alors à pointer les différences entre l'écriture P/C et l'affichage DERIVE et leur en explique les raisons techniques. Il les prévient, avant de repartir, que la simplification va les surprendre, que c'est dû au fait qu'il n'a pas réfléchi en tapant l'expression et qu'il expliquera en classe un peu, au moment du bilan, ce qui se passe. Elles font simplifier, obtiennent :

$$ \sqrt{[\sqrt{[250\sqrt{2}} - \frac{199}{4}]] + \frac{1}{2}} + \hat{1}\sqrt{[\sqrt{[250\sqrt{2}} - \frac{199}{4}]] - \frac{1}{2}} $$
et ne sont pas étonnées outre mesure vu ce qu'a dit le professeur. S. remarque que les deux parties de l'expression sont presque les mêmes. Elles notent la réponse sur leur fiche et passent à la suite.

### Expressions 11 et 12 (~ 15mn) :

L'expression 11 est tapée par L. avec 4 couples de parenthèses : (1-3*SIN X)/(COS X)-(1+2*SIN X)/(COS X). S. pense que ça ne suffit pas et veut faire rajouter une parenthèse globale. Ceci suppose un retour en arrière pour corriger l'expression. L. ne sait pas faire, S. le lui explique mais L. s'embrouille dans les touches et S. lui reprend le clavier. L. se remet alors à dicter.

A la simplification, elles sont un peu étonnées de voir apparaître la fonction Tan(x) mais notent le résultat sans chercher plus avant pourquoi on obtient ce résultat.

Elles passent à l'expression 12 et ici aussi essaient de fonctionner sans écriture intermédiaire. Elles tapent : (1+(2/(3+(4/5+x))))/(6/(7+(8/9+x)+10)))

Elles jouent visiblement ici la sécurité face à la complexité. L'affichage n'est pas conforme puisqu'il manque des parenthèses autour de 5+x et 9+x. La non-conformité est repérée. S. dit qu'il doit y avoir trop de parenthèses. L. lui fait remarquer le $\frac{4}{5}$ et le $\frac{8}{9}$ qui apparaissent à l'affichage et conclut qu'au contraire, il manque des parenthèses.

Elles effacent l'expression, recommencent à taper, hésitent, puis décident de passer en P/C et d'écrire ce qu'elles veulent taper : (1+2/(3+4/(5+x))), puis de même pour le dénominateur. Lors de l'entrée DERIVE, elles décident de rajouter par sécurité un couple de parenthèses au dénominateur, tout en pensant que ces parenthèses sont sans doute inutiles : "par sécurité mais sans doute de trop".

L'affichage est, encore une fois, non conforme car elles ont oublié le premier signe / dans la frappe du numérateur. Elles interprètent l'affichage très vite, effacent et retapent tout. Elles font une nouvelle erreur de frappe, tapant 4 au lieu de 5 au numérateur. Elles repèrent l'erreur à l'affichage, tout en étant maintenant convaincues de leur réussite, effacent et retapent le tout une fois de plus.

### Résolution de l'équation (~ 5mn) :

Elles ont fini la première fiche et passent à la suite. Elles commencent à chercher dans leurs cahiers comment faire l'inverse avec DERIVE, ne trouvent pas et décident de passer à la résolution de l'équation. En rentrant l'expression, elles refont la même erreur que dans l'expression 12, tapant : (5/x+5) au lieu de : 5/(x+5). L'erreur est immédiatement repérée à l'affichage. Elles effacent et retapent, oubliant cette fois un signe / . Là encore, elles repèrent tout de suite l'oubli en voyant l'affichage, effacent et commencent à retaper. Elles en ont un peu marre mais ne pensent pas du tout à utiliser la touche F3. Elles décident de faire plus attention et de bien contrôler la frappe avant d'entrer les expressions.

L'expression étant enfin correctement rentrée, elles utilisent la commande resol pour résoudre, obtiennent les deux racines, les notent sans faire le moindre commentaire et repassent à l'exercice 1.

### Inverse (~ 10mn)
Elles rentrent la première fraction proposée : $\frac{55}{21}$, demandent, via DERIVE, sa simplification, sa factorisation, son développement et constatent que ça ne donne rien. L. suggère de rentrer l'expression. Comme pour les deux dernières expressions complexes, elles commencent par écrire sur papier ce qu'elles veulent taper. Elles rentrent ensuite l'expression, L. dictant et vérifiant soigneusement. L'affichage est conforme d'emblée. Elles font ensuite simplifier par DERIVE et obtiennent : $\frac{21}{55}$. Elles repèrent tout de suite que c'est l'inverse de la première valeur proposée mais ne comprennent pas ce qui se passe. Elles appellent l'enseignant pour lui demander s'il n'y a pas une erreur d'énoncé. Il répond que non. Elles discutent alors un bon moment puis comprennent que c'est normal puisqu'elles veulent l'inverse de l'expression tapée.

### Groupe 2 :

Il s'agit cette fois de deux filles assez faibles, nous les désignerons par M. et N. Elles alternent au clavier régulièrement. Elles essaient d'avancer dans la fiche, rencontrent des difficultés certaines mais vont travailler toute la séance.

Le professeur introduit la séance et demande de corriger l'expression 10 en remplaçant le - par un + pour éviter l'intervention de complexes dans la simplification.

Les élèves lancent DERIVE sans difficulté et commencent à travailler.

### Expressions 1 et 2 (~ 3mn) :

Elles tapent l'expression 1 sans introduire de parenthèses : $8/15/4/9$. L'affichage obtenu leur convient tout à fait, elles simplifient et notent le résultat : $\frac{2}{135}$.

Elles passent ensuite à l'expression 2 qu'elles tapent avec des crochets qui restent à l'affichage. Elles se demandent si c'est correct ou pas et n'arrivent pas à se mettre d'accord. Elles appellent alors l'enseignant qui confirme que "crochets ou parenthèses, c'est équivalent".

Elles font simplifier et notent le résultat sur leur fiche.

### Expression 3 - première phase (~ 10mn) :

Elles passent à l'expression 3 et rencontrent immédiatement un problème car N. veut différencier la taille des traits de fractions comme dans l'expression P/C et se demande comment faire. M. ne sait pas mais lui conseille d'utiliser la barre ordinaire et de voir ce que ça donne. N. hésite, M. demande au groupe voisin comment faire mais ce dernier n'est pas plus avancé. Elles décident donc de rentrer l'expression en utilisant la barre de fraction du clavier et tapent, sans introduire de parenthésage et en oubliant de plus l'un des 3 : $3+/3+3/5$.

Rien ne s'affiche sur l'écran et aucun message d'erreur n'est fourni. N. efface et M. suggère d'introduire des parenthèses. N. retape, toujours sans parenthèses, en oubliant cette fois le dernier 3. DERIVE ne fournit encore une fois aucune réponse. Désemparées par cette absence de réaction de l'ordinateur, les élèves appellent le professeur.

Quand le professeur arrive, N. lui demande comment faire la grande barre de fraction. Le professeur explique que, sur le clavier, il n'y a qu'un symbole pour la division mais que DERIVE se débrouille ensuite et différencie à l'écran les tailles des barres de fraction.
N. recommence à taper, toujours sans parenthèses, contre l'avis de M., puis veut lui donner le clavier : "Prends-le, je sais pas faire, moi !". M. résiste, N. continue sa frappe, M. lui prédit que ce sera faux et, effectivement, elles obtiennent : $3 + \frac{3}{3} + \frac{3}{5}$.

M. accepte alors de prendre le clavier mais dit qu'elle doit réfléchir avant de taper. Elle réfléchit un moment en silence puis tape en introduisant un couple de parenthèses autour de deux des $3 : 3+(3/3)+3/5$.

L'affichage obtenu est identique au précédent. N. reprend alors le clavier. Elles essaient de trouver de l'aide auprès des voisines, mais en formulant toujours leur demande en termes de longueur de barre de fraction : "Comment vous faites pour avoir une grande barre ?". Les voisines, qui ont terminé l'exercice mais ne sont pas sur la même longueur d'onde, visiblement ne comprennent pas la question.

Le professeur repasse et elles lui reposent le même problème, qui visiblement correspond à la lecture qu'elles font de la non-conformité de l'expression obtenue : le trait de fraction n'est pas assez long !

Pour savoir ce qu'elles ont rentré comme expression, le professeur utilise la touche F3 pour faire réapparaître l'expression linéaire. Dans ce réaffichage, les parenthèses initialement introduites ont disparu, du fait du fonctionnement de DERIVE. Le professeur leur demande si elles n'ont pas l'impression d'avoir oublié quelque chose. Elles pensent tout de suite au parenthèses et répondent qu'elles en avaient mis et qu'elles ont disparu.

Le professeur leur conseille alors de repasser en P/C et de préparer à l'avance le parenthésage sur les expressions de la fiche.

### Expression 3 - phase 2 (~ 7mn) :

Elles ne suivent pas ce conseil, repassent en DERIVE, retapent la même expression que précédemment et obtiennent le même résultat.

L'observateur intervient et leur rappelle le conseil donné par le professeur. M. et N. semblent surtout intriguées par la disparition des parenthèses entre la frappe et l'affichage. M., sur sa feuille, rajoute des parenthèses autour de la fraction puis entre l'expression correspondante :

$3 + (3/3+3/5)$. A l'affichage, les parenthèses disparaissent une fois de plus et les élèves se retrouvent encore avec la même expression. Découragées, elles appellent le professeur et, ne le voyant pas venir, décident de passer à l'expression 4.

Sur ce, le professeur arrive. Elles lui disent qu'elles n'y arrivent pas. Il leur fait préciser les parenthèses qu'elles ont mises et leur demande si ce sont les seules que l'on peut mettre, puis comment elles ont choisi.

Elles ne savent visiblement pas trop quoi répondre, puis M. dit : "Quand il y a un plus."

Le professeur demande : « Pourquoi plus et pas moins, multiplié ou divisé ? ». Silence. Il explique alors que normalement on rajoute un couple de parenthèses pour chaque opération et le leur fait faire sur l'expression 3. Il aborde ensuite, en termes de reconnaissance de formes, la question des "conventions" qui font qu'il y a des parenthèses dont on peut se passer. Il passe en revue successivement tous les couples de parenthèses introduits dans l'expression 3 et demande, pour chacun d'eux, si on peut le supprimer ou pas. L'observateur a l'impression que les élèves ne comprennent pas grand chose à ces explications et répondent : oui / non, plutôt en fonction de l'intonation de voix de l'enseignant. Quand il part, elles disposent néanmoins de
l'expression parenthésée minimale. Elles l'entrent en se dépêchant car elles sont conscientes d'avoir pris beaucoup de retard.

### Expressions 4 et 5 (~ 5mn) :

Elles simplifient, recopient le résultat puis passent à l'expression 4 qu'elles tapent sans modification : $a+2/5-(a+2/5)$. C'est M. qui a maintenant le clavier. L'affichage donne :

$$a + \frac{2}{5} - \left[a + \frac{2}{5}\right]$$

N. presse M. de simplifier pour rattraper le temps perdu. M. veut s'assurer de la conformité de l'affichage. N. lui dit que l'on voit bien que c'est bon. Elles font simplifier et notent le résultat obtenu : 0

N. reprend le clavier pour l'exercice suivant en faisant remarquer que c'est toujours sur elle que tombent les exercices difficiles. Elle passe en P/C pour préparer le parenthésage et rajoute sur la fiche deux couples de parenthèses : (...)+(...). M. lui dit qu'elle n'est pas d'accord et se met à préparer de son côté le parenthésage de l'expression 6. N tape, conformément à son parenthésage : $(a+2/b+5)+(a/b+2/5)$, ce qui à l'affichage donne : $a + \frac{2}{b} + 5 + \frac{a}{b} + \frac{2}{5}$

Face à cette expression, N. se rend compte que ça ne va pas. M. lui dit que c'était prévisible, que c'est une question de parenthèses. N. lui donne alors le clavier et en fait M. retape la même chose, obtenant le même affichage. Les deux élèves se retrouvent bloquées.

### Expressions 6 et 7 (~ 5mn) :

Très vite, N. conseille, vu le retard, de passer à l'expression suivante et elle prend le clavier. Elles passent donc à l'expression 6 et N. prépare le parenthésage en P/C. Il s'agit cette fois du parenthésage correct minimum. M. n'est pas d'accord avec cette proposition mais N. tape et l'affichage lui donne raison. Elles simplifient, notent le résultat et M. reprend le clavier pour l'expression suivante. Elle tape lentement l'expression 7 sans modification et se fait expliquer par N. la syntaxe du carré. Pas de problème.

### Expressions 8 et 9 (~ 5mn) :

Le professeur passe. Elles lui expliquent qu'elles ont sauté une expression qu'elles n'arrivaient pas à faire, elles demandent si elles ont le droit. Il leur répond que oui et elles continuent leur travail, satisfaites. L'expression 8 les effraye. M. suggère de préparer les parenthèses sur la fiche. N. suggère de sauter directement à l'expression 11 qui lui semble plus simple. M. refuse et introduit sur la fiche deux couples de parenthèses qui correspondent au parenthésage correct minimum. N. prend le clavier et M. lui dicte ce qu'elle doit taper. Une discussion s'amorce car N. voudrait fermer le premier couple après le carré. M. ne cède pas et N. finit par s'exécuter. L'affichage donne raison à M., au grand étonnement de N.

Elles traitent de la même façon l'expression 9 : parenthésage préparé en P/C et ajout de deux couples de parenthèses correspondant au parenthésage correct minimum. Elles demandent au professeur comment faire les racines et il leur montre l'information donnée dans la fiche.

### Expressions 10 et 11 (~ 8mn) :
Elles passent à l'expression 10. C'est N. qui a le clavier. M. se désintéresse de la situation après avoir dit que c'était une expression difficile et essaie de bavarder avec le groupe voisin. N. tape l'expression telle que, sans ajouter de parenthèses. Ceci donne l'affichage :

$\sqrt{1+\sqrt{10\sqrt{2}+5\sqrt{8}}}$. M. dit que ça ne va pas, N. soutient que oui. M. est persuadée qu'il faudrait des parenthèses. Finalement N. fait simplifier l'expression affichée et note le résultat puis elles passent à l'exercice 11. Cet exercice est traité en rajoutant deux couples de parenthèses : (...)-(...) . Ceci donne à l'affichage : $1 - \frac{3\sin(x)}{\cos(x)} - [1 + \frac{2\sin(x)}{\cos(x)}]$. Encore une fois, il y a désaccord entre les deux élèves : N. pense que c'est bon et M. que c'est mauvais car "à l'affichage il n'y a qu'une parenthèse".

Elles appellent le professeur pour qu'il les départage mais c'est la fin de la séance.

## ANALYSE A POSTERIORI

L'analyse des productions écrites des élèves pour les deux classes (la classe A étant la bonne classe) donne les résultats présentés dans le tableau ci-après.

Pour l'expression 1, toutes les productions ont été comptabilisées comme correctes, vu ambiguïté de l'écriture P/C. En fait, dans la classe A, 24 élèves ont trouvé 6/5, ce qui correspond au parenthésage attendu et 2 élèves ont trouvé 2/135, ce qui correspond sans doute à une entrée non parenthésée, même si cela peut être obtenu avec parenthésage. Dans la classe C, les nombres correspondants sont respectivement : 22 et 5.

<table><thead><tr><th>Expressions</th><th>% Réussite<br>Classe A (27 élèves)</th><th>% Réussite<br>Classe C (26 élèves)</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>100%</td><td>100%</td></tr><tr><td>2</td><td>88%</td><td>100%</td></tr><tr><td>3</td><td>100%</td><td>93%</td></tr><tr><td>4</td><td>50%</td><td>63%</td></tr><tr><td>5</td><td>88%</td><td>96%</td></tr><tr><td>6</td><td>96%</td><td>89%</td></tr><tr><td>7</td><td>88%</td><td>96%</td></tr><tr><td>8</td><td>92%</td><td>93%</td></tr><tr><td>9</td><td>73%</td><td>100%</td></tr><tr><td>10</td><td>58%</td><td>44%</td></tr><tr><td>11</td><td>85%</td><td>96%</td></tr><tr><td>12</td><td>62%</td><td>22%</td></tr><tr><td>Inverse</td><td>46%</td><td>15%</td></tr><tr><td>Équation</td><td>27%</td><td>15%</td></tr></tbody></table>

Ces résultats donnent une impression de réussite de la situation. Pour la plupart des expressions proposées, le taux de réussite est en effet supérieur à 80%. On note cependant un fléchissement :

* pour l'expression 4 où l'erreur très largement majoritaire, qui consiste à taper les parenthèses dans l'ordre linéaire d'apparition, conduit par simplification à la réponse 0, bien identifiable.
* pour l'expression 10 contenant les radicaux où l'interprétation des productions DERIVE, nous y reviendrons, n'a rien d'évident,

* pour l'expression 12, la dernière, très complexe, la baisse affectant ici surtout la classe C.

On notera que beaucoup d'élèves ont terminé la fiche avant la fin de l'heure puisque le nombre de réponses correctes au premier exercice supplémentaire est de 46% dans la classe A. Il est évident que la complexité de l'expression à entrer rendait difficile la résolution de cet exercice à quelqu'un qui n'aurait pas réussi l'entrée correcte de l'expression 12. Excepté au niveau de ces deux exercices et du 12, on ne note pas non plus de différences vraiment apparentes entre les deux classes.

L'analyse du fonctionnement des différents groupes nous montre que, de fait, des résultats en apparence proches peuvent cacher des fonctionnements mathématiques et un niveau de maîtrise de la tâche très différents. Il faudrait se garder de voir, dans les résultats précédents, la preuve d'une maîtrise tout à fait satisfaisante des problèmes de parenthèse dans les deux classes observées, et ce, malgré la complexité des expressions proposées. C'est par ce point, non directement lié à l'utilisation de DERIVE, que nous voudrions débuter l'analyse.

## Complexité apparente / complexité réelle de la tâche :

Si nous examinons plus attentivement les différentes expressions proposées, en considérant non pas leur complexité apparente mais la complexité à l'oeuvre dans la résolution de la tâche proposée, nous sommes amenés à classer ces expressions en fonction des transformations à effectuer dans la transcription en écriture linéaire. Ces transformations sont de plusieurs types : passage de dispositions haut / bas à des dispositions gauche / droite, actions de parenthèse. Les premières visiblement ne posent de problèmes à aucun groupe. Pour ce qui est du parenthèse, les transformations sont a priori de deux types : déplacement de parenthèses existantes, comme dans l'expression 4, ajout de parenthèses, comme dans la plupart des autres expressions. On peut alors classer la complexité en fonction du nombre minimum de couples de parenthèses à rajouter et de leur degré d'imbrication. Il s'agit là bien sûr d'une analyse théorique de complexité qui ne correspond pas nécessairement aux stratégies mises en oeuvre par les élèves, qui ne recherchent pas nécessairement un parenthèse minimum, ou peuvent transformer un problème de déplacement de parenthèses en un problème d'ajout de parenthèses (cf. groupe 1), mais elle permet de dépasser la seule appréhension perceptive.

Si l'on considère le nombre minimum de couples de parenthèses à rajouter, il est nul pour 1, 2 et 7, égal à un pour 3, à deux pour 5, 6, 8, 9, 10 et 11, à six pour 12. L'expression 4 relève a priori du seul déplacement de parenthèses, ce qui au vu des observations semble plus difficile que le simple ajout de parenthèses, mais elle peut aussi être gérée par un ajout (c'est d'ailleurs la solution qu'adopte le groupe 1 après avoir remarqué son erreur). Il y a imbrication nécessaire uniquement pour 10 et 12 ainsi que pour 3, dans le traitement par ajout.

Ceci a pour conséquence de permettre une réussite raisonnable avec des stratégies de parenthèse relativement sommaires. Le second groupe observé nous en donne l'exemple. L'observation de ces élèves nous a en effet montré que, perdues au départ (cf. le traitement de l'expression 3), elles se stabilisaient au fil de la séance sur la stratégie suivante :

1. chercher dans l'expression un signe d'opération principal qui la sépare en deux parties relativement équilibrées : pour 5, c'est le signe + après la première fraction, pour 6, le grand trait de division, pour 8, 9 et 11 le signe -,

2. ajouter deux couples de parenthèses de part et d'autre de ce signe,
3. si un des couples entoure une fraction et si l'un des termes de la fraction : numérateur ou dénominateur, se réduit à un nombre, faire glisser le couple de parenthèses à l'autre terme.

Ceci permet d'obtenir la réussite aux expressions : 3, 4, 6, 8 et 9. Si on ajoute à ceci les expressions 1, 2 et 7 qui ne nécessitent pas de réécriture pour donner une apparence conforme et la 10 où la non-conformité est peu visible, on voit bien que les élèves peuvent réussir à cette tâche en apparence complexe sans maîtriser réellement le parenthésage. Nous ne l'aurions a priori pas pensé, impressionnés que nous étions par la complexité perceptive des expressions. C'est l'observation fine des comportements d'élèves qui nous a permis d'en prendre conscience.

Ceci ne veut pas dire que la situation ne suscite pas un travail réel sur le parenthésage. Le fonctionnement des groupes observés atteste la réalité de la centration des élèves sur ce travail. Nous voulions simplement signaler l'importance qu'il y a à choisir les expressions, suivant des critères précis et non sur leur simple complexité perceptive, si l'on veut faire d'une tâche comme celle-ci un test de compétences sur le parenthésage.

## DERIVE dans cette situation :

Nous voudrions en venir maintenant plus directement aux questions concernant l'utilisation de DERIVE et examiner comment les hypothèses faites à son sujet se sont trouvée confirmées ou non par la réalisation effective.

1. Les hypothèses faites sur la possibilité d'assurer la dévolution de ce type de situation d'analyse syntaxique d'expressions et de faire apparaître les règles d'écriture comme les contraintes d'un milieu a-didactique et non comme relevant de contraintes du contrat didactique, nous semblent tout à fait confirmées. Tous les groupes, même ceux rencontrant le plus de difficultés, se sont investis dans cette tâche et ils n'ont à aucun moment renoncé. Il est clair que la complexité des expressions donnait une allure de défi à cette tâche, par ailleurs accessible avec une maîtrise moyenne du parenthésage, ce qui en renforçait l'intérêt.

2. DERIVE, dans cette situation, devait fonctionner comme instrument de validation. Il a joué clairement ce rôle, mais il nous semble nécessaire de pointer à ce niveau un certain nombre de phénomènes :

a) Les problèmes liés à ce que l'on pourrait qualifier la "pseudo-transparence" de DERIVE. En effet, DERIVE affiche les expressions dans une disposition spatiale très proche de la représentation spatiale usuelle en P/C. Mais d'une part, il y a des différences, d'autre part ces différences ne sont pas nécessairement clairement identifiables et compréhensibles. L'observation du groupe 2 montre le problème joué par les différences existantes au niveau des longueurs des traits de fraction (moyen de repérage usuel des élèves du signe "principal" d'opération, généralement institutionnalisé). Il apparaît ici dans l'expression 3, mais aurait pu tout aussi bien intervenir dans l'expression 1, si l'enseignant avait clairement différencié la longueur des traits dessinés. En effet, le parenthésage (8/15)/(4/9) conduit, en affichage DERIVE, à trois traits de fraction de longueurs différentes, le plus grand étant cependant situé là où il est attendu. On voit également à l'oeuvre les différences liées à la distinction parenthèses, crochets, au fait qu'il existe deux sortes de crochets : ceux introduits par l'élève, qui ne disparaissent pas à l'affichage, et ceux introduits par DERIVE lorsqu'interviennent des expressions fractionnaires, qui eux peuvent disparaître à l'affichage et sont aussi gérés différemment dans les simplifications. On a vu aussi les problèmes posés par la disparition des parenthèses entre la frappe et l'affichage qui va apparaître aux élèves comme un phénomène incompréhensible et incontrôlable si justement ils ne maîtrisent pas le parenthésage. Enfin, mentionnons les différences évidentes dans la gestion des symboles de racine carrée qui faisait
que l'expression théoriquement conforme pouvait paraître à certains élèves moins conforme que des expressions non conformes.

Il s'ensuit que l'idée de conformité des deux affichages : P/C et DERIVE, sur laquelle repose la tâche est nécessairement ambiguë et que des élèves qui prendraient cette conformité trop au pied de la lettre peuvent, si l'enseignant n'intervient pas, perdre beaucoup de temps dans des recherches de conformité, mathématiquement sans intérêt.

En revanche, il nous semble que l'existence de ces différences, si l'enseignant arrive à gérer cette ambiguïté, n'est pas en elle-même sans intérêt. En phase de bilan, par exemple, elle peut susciter une discussion intéressante et utile sur les distinction entre le monde des règles mathématiques et celui des conventions.

b) Le fait que la validation DERIVE et l'outil des feed-back fournis pour aider l'élève à corriger ses erreurs ne fonctionnent visiblement pas aussi automatiquement que l'on aurait pu le supposer, et ce indépendamment de toute question de spécificité DERIVE dans la gestion de l'écriture. Il faut d'une part que les élèves repèrent les non-conformités et ceci déjà suppose un certain seuil de connaissance (on notera en particulier le nombre important d'erreurs dans l'expression 4). Il faut d'autre part que les feed-back soient correctement interprétés, ce qui là aussi suppose des connaissances. On notera à ce niveau la différence de fonctionnement entre les groupes 1 et 2. Il semble clair que, pour beaucoup de groupes, l'interprétation des feed-back ne peut se faire à la seule vue de l'affichage DERIVE. Il leur faudrait au moins disposer simultanément de l'écriture linéaire, ce qui nécessite l'utilisation de la touche F3, qui semble encore peu familière. Soulignons aussi que, même en utilisant F3, on ne retrouve pas nécessairement cette écriture puisque DERIVE peut, au passage, supprimer des parenthèses.

Ceci montre que la situation est en fait bien adaptée à des élèves qui, tout en ne maîtrisant pas encore bien les questions de parenthésage, disposent cependant de connaissances dans le domaine. Ceci montre également qu'il serait souhaitable d'attirer davantage l'attention des élèves sur le rôle que peut jouer la touche F3, pour éviter des corrections fastidieuses mais, aussi et sinon plus, pour faciliter l'interprétation des productions DERIVE.

Nous voudrions enfin revenir brièvement sur quelques traits du comportement des élèves qui n'avaient pas fait l'objet d'hypothèses dans l'analyse a priori mais qu'il nous semble néanmoins important de souligner. Nous nous référerons ici au comportement du groupe 1, visiblement un groupe de bons élèves. Ces élèves s'investissent bien dans la tâche proposée et réussissent parfaitement. Pourtant, on remarquera que, dans toute la première partie, ils suivent les instructions données, sans se poser trop de questions, sans chercher en particulier à comprendre plus avant les réponses qui les étonnent un peu. La priorité est clairement à l'avancement dans la fiche. Il n'est peut-être donc pas raisonnable d'attendre d'élèves, même de bons élèves, qu'ils aillent spontanément au delà de ce qui leur est directement demandé, pour adopter des attitudes plus conformes à ce que seraient les nôtres face à cette situation.
# ANNEXE : LE TEXTE DU POLYCOPIÉ DISTRIBUÉ AUX ÉLÈVES
## (PARENTHESAGE, FRACTIONS)

DERIVE

TRAVAUX PRATIQUES

3ème

Commandes à utiliser:

Auteur: pour créer des expressions

Simplifie: pour simplifier

suppRime pour supprimer une expression qui ne reproduit pas exactement le modèle

D'ésignation d'une racine carrée: pour entrer $\sqrt{x}$ taper $sqrt(x)$

Touches utiles

F3 pour reproduire l'expression sélectionnée sur la ligne d'écriture

1. La feuille jointe montre 12 expressions numérotées de #1 à #12.

Tu devras entrer chaque expression puis la simplifier.

Sur la feuille jointe, tu recopieras le résultat de la simplification faite par DERIVE.

2. Pour aller plus loin (si tu as le temps):

• L'inverse de $\frac{1}{3-\frac{1}{3-\frac{1}{3}}}$ est-il $\frac{55}{21}, \frac{7}{3}, \frac{3}{8}$ ou $\frac{8}{3}$ ?

Tu expliqueras la méthode employée pour trouver la réponse (avec DERIVE bien entendu !).

• Fais résoudre par DERIVE l'équation $x = 5 + 5 + \frac{5}{10 + \frac{5}{x + 5}}$. Ecris ta réponse sur le compte-rendu.
NOMS:

CLASSE:

1.

<table><thead><tr><th>Numéros</th><th>Expressions à simplifier</th><th>Expressions simplifiées</th></tr></thead><tbody><tr><td>#1</td><td><sup>8</sup>&frasl;<sub>15</sub><br><sup>4</sup>&frasl;<sub>9</sub></td><td></td></tr><tr><td>#2</td><td>(1 + <sup>3</sup>&frasl;<sub>5</sub>)(1 - <sup>3</sup>&frasl;<sub>5</sub>)</td><td></td></tr><tr><td>#3</td><td>3 + <sup>3</sup>&frasl;<sub>3</sub><br>3 + <sup>-2</sup>&frasl;<sub>5</sub></td><td></td></tr><tr><td>#4</td><td>a + <sup>2</sup>&frasl;<sub>5</sub> - (a + <sup>2</sup>&frasl;<sub>5</sub>)</td><td></td></tr><tr><td>#5</td><td>a + <sup>2</sup>&frasl;<sub>b + 5</sub> + <sup>a</sup>&frasl;<sub>b + <sup>2</sup>&frasl;<sub>5</sub></sub></td><td></td></tr><tr><td>#6</td><td>a + <sup>2</sup>&frasl;<sub>b</sub><br><sup>3</sup>&frasl;<sub>3</sub> - <sup>3</sup>&frasl;<sub>8</sub></td><td></td></tr><tr><td>#7</td><td>(1 + (1 + x))<sup>2</sup> - ((1 + x)<sup>2</sup> - 1)</td><td></td></tr><tr><td>#8</td><td><sup>1</sup>&frasl;<sub>1 + <sup>3</sup>&frasl;<sub>5</sub></sub> - <sup>1</sup>&frasl;<sub><sup>3</sup>&frasl;<sub>5</sub></sub></td><td></td></tr><tr><td>#9</td><td><sup>1</sup>&frasl;<sub>3 + &radic;5</sub> - <sup>1</sup>&frasl;<sub>3 - &radic;5</sub></td><td></td></tr><tr><td>#10</td><td>&radic;(1 + 10&radic;2 - 5&radic;8)</td><td></td></tr><tr><td>#11</td><td>1 - 3sinx &frasl; cosx - 1 + 2sinx &frasl; cosx</td><td></td></tr><tr><td>#12</td><td>1 + <sup>2</sup>&frasl;<sub>3 + <sup>4</sup>&frasl;<sub>5 + x</sub></sub><br><sup>6</sup>&frasl;<sub>7 + <sup>8</sup>&frasl;<sub>9 + x</sub></sub> + 10</td><td></td></tr></tbody></table>

2.

• L'inverse demandé est: ....................................

• La solution de l'équation est x = ....................................
## IV.2 GENERALISATION D'IDENTITES REMARQUABLES : CARRES DE SOMMES

### CONTEXTE DE L'OBSERVATION

Cette séance se situe un mois plus tard, le 13 décembre 1994. Entre-temps, les élèves ont travaillé notamment sur les identités remarquables. La dernière séance DERIVE en TP a eu lieu le 30 novembre. Elle concernait le développement de $(a+b)^n$ et a permis en particulier de découvrir le tableau de Pascal. La dernière séance collective a eu lieu le 7 décembre. Il s'agissait de la correction et du bilan de la séance de TP du 30 novembre.

### PRÉSENTATION DES ACTIVITÉS PROPOSÉES

Les élèves reçoivent une fiche de TP organisée en cinq parties (cf. annexe page 116). Dans la première, on leur demande d'entrer sous DERIVE cinq carrés de sommes allant de $(a+b)^2$ à $(a+b+c+d+e)^2$, de les faire développer par DERIVE, de noter les résultats. Puis, pour attirer leur attention sur la structure de ces résultats, on leur demande de donner pour chacun : le nombre total de blocs<fnref n="13" />, le nombre de blocs qui sont des carrés, le nombre de blocs qui ne sont pas des carrés. Dans la deuxième partie, on leur propose trois nouveaux carrés de sommes et on leur demande d'essayer de deviner, sans utiliser DERIVE, les développements correspondants. La première expression est identique à une déjà rencontrée, au nom des variables près, les deux autres, à trois termes introduisent des coefficients non égaux à 1 : 2a, 2y et 3z. Les élèves doivent ensuite entrer les développements sous DERIVE et les faire factoriser pour contrôler leur production. La troisième partie reprend le principe de la première, cette fois en introduisant des signes - . On demande aux élèves de plus de comparer ces développements à ceux obtenus dans la première partie. La quatrième partie reprend le principe de la partie 2 mais ne contient qu'une devinette : $(a+2b-c)^2$. On demande cette fois encore de contrôler avec DERIVE, mais sans imposer le mode de vérification. Dans la cinquième partie, enfin, on demande aux élèves de compléter des expressions à trous correspondant à la factorisation de carrés de sommes. Tous les termes à trouver sauf un sont à coefficient 1 et il n'y a pas de signe - .

Le professeur a de plus prévu de proposer aux élèves qui auraient terminé avant la fin de l'heure, le problème suivant : trouver le nombre de termes du développement de :

$$(a+b+...+z)^2.$$

### ANALYSE A PRIORI DE LA SÉANCE EFFECTUÉE PAR L'ENSEIGNANT

#### Objectifs :

La séance proposée se situe en continuité avec la séance précédente. Il s'agit cette fois de généraliser les produits remarquables "horizontalement", en accroissant le nombre de termes et non "verticalement" en accroissant la valeur des exposants.

<footnote n="13">¹³La notion de bloc a été introduite par l'enseignant comme unité d'écriture commençant par un signe + ou - hors parenthèses, excepté éventuellement pour le premier bloc. Une somme algébrique est alors lue comme un ensemble de blocs dont on peut permuter l'odre.</footnote>
Il s'agit d'aider ainsi les élèves à se construire des points de repères pour gérer des calculs un peu compliqués, en les aidant à voir qu'il existe des régularités dans les calculs complexes, de contribuer aussi à donner du sens aux identités remarquables, en les situant dans un contexte plus large. L'enseignant écrit, à ce propos : "Il m'apparaît nécessaire et souhaitable de faire en sorte que des débutants puissent se "frotter" quelquefois à des questions qui leur semblent assez complexes. C'est ce qui donne du sens à leurs activités".

Il s'agit aussi de faire vivre dans cette situation la fonction de "généralisation" de l'algèbre et de montrer aux élèves qu'en algèbre, comme en géométrie, on peut faire des conjectures. L'enseignant souligne : "C'est ce qui explique en particulier l'emploi du mot DEVINETTE qui figure dans le texte donné aux élèves."

Enfin l'enseignant veut, à travers cette situation, continuer à mettre l'accent sur les liens qui existent entre les actions désignées par les verbes : "développer" et "factoriser".

### Intérêt supposé de DERIVE :

DERIVE fonctionne ici d'abord comme un outil qui "permet de mettre en oeuvre des calculs qu'il serait très difficile d'envisager de faire à la main dans un laps de temps limité." C'est la complexité de ces calculs qui semble intéressante à l'enseignant, "car elle permet de découvrir des règles." Dans ce contexte, DERIVE va, dans un premier temps, permettre "l'observation, la découverte, la réflexion, la conjecture." Dans un second temps, il interviendra comme moyen de contrôle pragmatique des conjectures faites.

### Connaissances DERIVE nécessaires :

Ce sont les mêmes que pour la séance précédente. Et, comme pour la précédente séance observée, les commandes à utiliser sont rappelées dans la fiche distribuée. Précisons que l'enseignant n'a pas rappelé dans cette fiche l'expression de l'exponentiation par l'accent circonflexe et qu'il n'a pas inclus non plus de précisions concernant les commandes "Factorise" et "dévEloppe" qui contiennent diverses options. Il envisage de le faire dans le courant de la séance, au fur et à mesure des besoins. Il écrit ainsi :

"J'aurais probablement à rappeler quelques points :

* le rôle de l'accent circonflexe dans l'exponentiation,

* le choix du domaine rationnel lorsqu'on factorisera

* le sens du message "pour quelle variable ?" lorsqu'on développera."

### Comportements, difficultés attendus :

Le texte distribué aux élèves, écrit l'enseignant, organise complètement leur travail. Il s'attend à un comportement actif, "comme à l'habitude". Il pense avoir peu d'interventions collectives à faire et ne prévoit pas de difficultés particulières, d'ordre mathématique ou informatique.

Un bilan est prévu, collectivement, à la séance suivante.

## EXEMPLES DE DÉROULEMENTS

### Groupe 1 :

Il s'agit d'un groupe de deux garçons de la classe A, que nous désignerons par N. et Y. Ils collaborent activement.
9h35 :

Début de la séance. Le professeur présente le travail à effectuer. Les deux élèves lancent DERIVE sans difficulté et commencent à rentrer les expressions de la partie 1. Développements.

Partie 1 (~ 4mn) :

Cette première partie est traitée très rapidement. les élèves se partagent la tâche : l'un tape, l'autre note au fur et à mesure les développements sur la fiche de réponse. Ils ne rencontrent pas non plus de difficulté à interpréter les termes du tableau.

Partie 2 (~ 10mn) :

Ils passent à la partie 2. Devinettes. Pour la première expression, ils repèrent aussitôt qu'il suffit de reproduire l'expression 3 de la première partie, en changeant les lettres et le font. Pour l'expression 2, ils font de même, en adaptant l'expression 2 de la partie 1, mais ne font qu'une adaptation partielle : en effet, ils écrivent correctement les doubles produits : 4ab et 4ac, mais oublient d'élever 2 au carré dans le terme (2a)², écrivant, de ce fait : 2a². Ils commettent ensuite la même erreur dans l'expression 3, écrivant : 2y² et 3z² au lieu de 4y² et 9z².

Ils notent, comme indiqué, les développements sur la fiche de compte-rendu, mais lorsqu'il s'agit de vérifier avec DERIVE, ils ne suivent pas les consignes données et rentrent les expressions factorisées pour demander ensuite leur développement.

Pour la première expression, ils repèrent que les termes sont les mêmes mais qu'ils ne sont pas dans le même ordre. Ils se demandent si ça a de l'importance et appellent le professeur pour avoir son avis. Celui-ci leur rappelle la notion de "bloc" introduite dans le cours et le fait que l'on peut déplacer librement les blocs dans une somme algébrique, donc qu'ici il n'y a pas de problème, il y a simplement le fait que DERIVE ne prend pas le même ordre qu'eux.

Les élèves passent ensuite à l'expression 2. Ils repèrent la différence entre le développement DERIVE et celui qu'ils ont proposé et l'interprètent tout de suite en : "On avait oublié de faire le carré". Ils corrigent la proposition sur leur fiche réponse, puis passent à l'expression 3, développent, constatent qu'ils ont fait la même erreur et une fois de plus corrigent leur fiche.

Partie 3 (~ 8mn) :

Ils passent à la partie 3. Et avec des signes - et suivent les instructions données.

Lorsqu'il s'agit de comparer les développements avec ceux du paragraphe 1, Ils repèrent que dans l'expression 2, les termes contenant c sont tous négatifs sauf celui en c². N. explique que c'est normal puisque moins par moins ça fait plus. Ils vérifient que ça marche pareil pour les autres expressions.

En revanche, ils rencontrent quelques difficultés à l'exprimer par écrit d'une façon qui les satisfasse. Finalement, ils arrivent à la formulation de compromis suivante : "J'observe que quand un nombre est négatif, le terme comprenant ce nombre sera négatif, mais quand il est multiplié par lui-même il devient positif car un carré est toujours positif."

Partie 4 (~ 4mn) :

Ils passent à la partie 4. Une autre Devinette. Ils proposent, sans la moindre hésitation :
$$a^2 + 4ab - 2ac + 4b^2 - 4bc + c^2.$$

Ils le notent sur la fiche et contrôlent avec DERIVE, comme demandé, toujours dans le sens :
Factorisation --> Développement.

Puis ils passent à la suite.

## Partie 5 (~ 5mn) :

Pour la première expression, ils trouvent tout de suite que c'est z qui manque à gauche et $x^2$, $y^2$, à droite. Ils contrôlent en P/C qu'ils ont bien ainsi tous les termes.

Pour l'expression 2, N. pense très vite à 2x à cause du 4x et en déduit le terme manquant à droite : $4x^2$.

Ils traitent tout aussi vite les deux expressions suivantes, puis passent en DERIVE pour contrôler les trois dernières.

Ils notent les réponses dans la fiche réponse, appellent le professeur pour dire qu'ils ont fini et l'attendent.

## Exercice supplémentaire (~ 20mn) :

L'enseignant leur propose alors le problème de recherche prévu pour compléter cette séance :
trouver le nombre de blocs du développement de $(a + b + ... + z)^2$, en précisant qu'il y a 26 lettres dans l'alphabet.

Pour les aider, il leur trace également le tableau à double entrée suivant :

<table><thead><tr><th>x</th><th>a</th><th>b</th><th>c</th><th>d</th></tr></thead><tbody><tr><th>a</th><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>b</th><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>c</th><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>d</th><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

et leur demande de compter les termes sur la diagonale et les termes hors de la diagonale.

Les élèves repèrent que le tableau a 16 cases, 4 sur la diagonale, 12 en dehors et essayent de généraliser directement ces données au problème posé.

Ceci donne : 26x4 termes corrigé rapidement en 26x26 termes, puis 26x26 - 26 termes hors de la diagonale, soit 676 termes en tout, 26 sur la diagonale et 650 en dehors.

Ils considèrent alors qu'ils ont résolu le problème posé. N. dit que de toutes façons, la vérification est impossible même avec DERIVE, car il y a trop de termes.

Y. voudrait pourtant vérifier, il suggère de faire avec cinq et dit que l'on devrait avoir alors :

$$25 - 5 = 20 \text{ termes.}$$

N. résiste à la vérification puis reprend $(a+b)^2$ et constate que la formule ne marche pas dans ce cas là puisqu'il n'y a que trois termes. Il passe alors en DERIVE et entre l'expression $(a+b+...+z)^2$, exactement sous cette forme avec les pointillés et s'arrête.
Le professeur passe et leur demande où ils en sont. Ils répondent qu'ils ont trouvé : 676 termes, 26 fois 26. Le professeur leur dit qu'ils ont avancé mais que ce n'est pas tout à fait réglé. Si c'était le cas, pour $(a+b)^2$, ils devraient avoir quatre termes or il n'y en a que trois, ils le savent bien. Il leur conseille de faire des conjectures et de les tester sur des cas particuliers : 3, 4, 5. Ceci ne leur garantira pas que la conjecture est vraie mais ce sera au moins plus solide.

N. refait un tableau 2x2 avec a et b, et écrit à côté le développement de $(a+b)^2$, en se demandant comment passer de l'un à l'autre, de quatre termes à trois.

Ils constatent que sur la diagonale c'est bon : 2 termes et 2 carrés. Ils regardent hors diagonale. Y. dit que 12 c'est 4 fois 3, donc que pour 26, ça devrait faire 26 fois 25.

Le professeur, qui repasse, leur demande ce que ça doit donner avec $n=2$. Ils constatent que ce n'est pas 2 fois 1 mais 1, mais ne voient pas comment avancer. C'est alors la fin de la séance et l'observateur leur explique le regroupement par deux des termes hors diagonale.

## Groupe 2 :

Il s'agit de deux filles de la classe C qui travaillent de façon interactive. Nous les désignerons par Sa et So. L'une tape, l'autre note. Elles échangent les rôles très régulièrement.

### 10h45 : Début de la séance

Le professeur présente le travail à faire.

Elles lancent DERIVE mais rencontrent un problème : l'unité de lecture n'est pas prête. Elles repartent à zéro et s'en sortent seules.

Le professeur fait une brève intervention collective pour expliquer comment utiliser les flèches de déplacement pour aller lire les termes au delà de la partie visible à l'écran.

## Partie 1 (~ 6mn) :

Elles entrent les expressions de la première partie et les développent, notent les développements sur la fiche de réponse, puis passent au remplissage du tableau. Elles se demandent ce que veulent dire les expressions : "blocs qui sont des carrés", "blocs qui ne sont pas des carrés", mais font très vite le lien avec les termes des expressions développées et remplissent le tableau.

## Partie 2 (~ 14mn) :

Pour la première expression, elles repèrent tout de suite qu'il suffit de changer les noms des lettres dans l'expression 3 de la première partie. Elles écrivent au brouillon le développement puis recopient sur la fiche. Leur écriture est bien organisée :

$$a^2 + 2ax + 2ay + 2ak + x^2 + 2xy + 2xk + y^2 + k^2,$$

mais elles oublient néanmoins un terme : 2yk.

Elles passent à l'expression 2 et pensent très vite à substituer $2a$ à $a$ dans le développement de l'expression 2 de la première partie. Elles effectuent directement sur la fiche cette fois-ci une substitution très mot à mot, écrivant :

$$2a^2 + 22ab + 22ac + b^2 + 2bc + c^2.$$
Elles rajoutent ensuite des signes * entre les 2 pour éviter la confusion avec 22, mais en restent là. Peut-être ne veulent-elles pas raturer.

Elles procèdent ensuite de même avec la troisième expression, toujours en deux temps, substitution "mot à mot", puis rajout de signes de multiplication entre 2x et 2y, entre 2x et 3z, entre 2 et 2y, entre 2y et 3z.

Elles rentrent ensuite les développements sous DERIVE et demandent leur factorisation.

Pour l'expression 1, elles obtiennent : $x^2 + 2x(y + a + k) + y^2 + 2y(a + k) + a^2 + k^2$

Elles voient bien sûr que ce n'est pas la factorisation attendue mais ne savent pas quoi faire de l'expression donnée par DERIVE. Après l'avoir contemplée un moment, elles décident de passer à l'expression 2. Cette fois-ci, elles obtiennent : $2a^2 + 4a(b + c) + (b+c)^2$.

Elles se retrouvent dans la même situation que précédemment, discutent avec le groupe voisin qui rencontre le même type de problèmes, puis passent à l'expression 3. Elles obtiennent, par factorisation :

$$x^2 + 2x(2y + 3z) + 2y^2 + 12yz + 3z^2.$$

Elles décident de remplir la fiche des réponses. Sa se demande d'où vient le 12 de la dernière expression; Cette valeur l'étonne peut-être par rapport aux autres : 2, 3, 4. Elle finit par reconstituer que ce 12 correspond en fait au : 2*2*3 intervenant dans le terme : 2*2y*3z. Elle l'explique à So mais ne va pas plus loin.

## Partie 3 (~ 10mn) :

Elles oublient de taper la première expression et, pour la seconde, tapent par erreur :$(a+b+c)^2$, font développer et notent le résultat, sans rien remarquer.

Elles s'aperçoivent qu'elles ont oublié la première expression, l'entrent, la développent et remarquent alors qu'il s'agit d'une identité remarquable.

Elles tapent l'expression 3, en oubliant une fois encore le signe -, mais s'en aperçoivent avant d'entrer l'expression et corrigent. Elles développent, notent et font ensuite de même pour l'expression 4, cette fois-ci sans se tromper.

Elles passent à la question suivante et repèrent les changements de signe. Mais l'alternance des signes va évoquer chez elles les tableaux de signes déjà utilisés pour étudier le signe d'expressions et elles vont faire une analogie formelle avec cette situation. Elles écrivent ainsi :

1 - +

2 + + + + +

3 - + + - +

4 - - + + +

On notera que le premier terme qui n'a pas de signe apparent n'est pas comptabilisé dans ce tableau.

So continue sans beaucoup de conviction : "Il faudrait voir le rapport avec ça". Elle tente de faire des comptes par ligne et par colonne du type : « - + - ça fait -, + + + -, ça fait - », mais ne voit visiblement pas bien où ça va la mener. Elles reviennent alors aux expressions
développées et repèrent que les termes sont toujours les mêmes d'une ligne à l'autre, au signe près. Cela leur semble convenir comme remarque, elles l'écrivent et passent à la suite.

## Partie 4 (~ 4mn) :

Pour trouver le développement de $(a+2b-c)^2$, elles décident, comme dans la partie 2 de suivre un modèle et prennent par manque de chance le développement qui a tous ses signes positifs par erreur. Elles proposent donc : $a^2 + 2a2b + 2ac + 2b^2 + 2*2bc + c^2$, faisant les mêmes erreurs que précédemment.

Elles contrôlent ensuite comme indiqué avec DERIVE, utilisant cette fois le sens : factorisation --> développement, puisqu'on leur laisse le choix. Elles repèrent les différences, que $2*2$ est remplacé par 4, mais ne cherchent pas à aller plus loin, notent leur réponse et passent à la suite.

## Partie 5 (~ 10 mn) :

Visiblement, ceci leur convient mieux et elles se mettent à raisonner.

Sa se demande si ce ne serait pas un z à gauche dans l'expression 1, So lui répond que ce n'est pas une lettre puisqu'il n'y a pas de $x^2$ (?). Sa défend son z en disant qu'il doit y avoir un z puisqu'il y a 2xz, 2yz et $2z^2$. Elle se demande si c'est z, 2z ou 3z. Elles proposent de rentrer : $(x+y+z)^2$ et de demander à DERIVE de développer. L'observateur intervient pour leur demander de compléter les deux côtés avant de vérifier avec DERIVE. Elles réfléchissent puis So propose de mettre $x^2$ et $y^2$. A ce moment là, elles reconnaissent le développement du carré à trois termes dans le désordre et se disent que c'est sûrement bon. Elles vérifient avec DERIVE.

Elles sautent ensuite l'expression 2 qui leur semble trop compliquée pour passer à l'expression 3. Cette dernière ne les inspire pas plus. Elles reviennent alors à l'expression 2 en disant que, de toutes façons, dans les exercices, c'est toujours de plus en plus difficile. Elles hésitent pour le coefficient de x entre 2 et 4 mais se décident assez vite pour 2, sans donner cependant de raison argumentée. A droite, elles hésitent entre $2x^2$ et $4x^2$, mais n'arrivent pas à se décider. Là encore, il n'y a pas d'intervention explicite d'opération mais une hésitation explicitée entre deux nombres : 2 et 4. Finalement, elles décident de passer à DERIVE, rentrent l'expression et la font développer, constatent que c'est $4x^2$ et le notent sans plus de commentaire.

Pour l'expression 3, So propose très vite d'ajouter a et 1. Sa hésite entre a et autre chose, comme $a^2$. So tape et factorise, sa proposition est validée.

Elles passent à l'expression 4 et la trouvent évidente. Elles complètent et vérifient avec DERIVE.

## ANALYSE A POSTERIORI

Dans l'analyse de cette séance, nous voudrions mettre l'accent sur un certain nombre de points : le rôle effectif que peut jouer DERIVE dans la mise en place d'activités de généralisation et de reconnaissance formelle en algèbre, le problème du contrôle du niveau d'activité mathématique des élèves et du dépassement des seules adaptations formelles induites par le fonctionnement en environnement DERIVE, l'importance enfin de l'exploitabilité des feed-back.

Comme dans la situation précédente, on voit les élèves, quel que soit leur niveau, intéressés par les tâches proposées, susceptibles de percevoir des régularités de formes, de proposer des
généralisations de formules, travailler de façon continue pendant toute la séance. Encore une fois, on imagine mal la vie d'une situation de ce type, avec des élèves débutants en algèbre dans un environnement qui ne prendrait pas, au moins partiellement, en charge les calculs liés à l'exploration et où la validation serait en permanence tributaire de l'enseignant.

A partir des données dont nous disposons, le problème nous semble plus ici de jouer sur les variables de la situation qui sont à notre disposition pour optimiser le niveau mathématique de l'activité de l'élève. Et, sur ce point, il nous semble que la situation n'est pas assez contrainte.

La première phase (Développements) est une phase d'entrée dans le problème où DERIVE fonctionne comme boîte noire. L'attention de l'élève est portée, via le tableau 1, sur le nombre de termes des différents développements et leur structure, dans le but de faciliter le travail de généralisation qui sera demandé. Dans la partie qui suit, une anticipation est demandée aux élèves et DERIVE prend le rôle d'outil de contrôle et validation. La première expression proposée correspond au type déjà rencontré dans la phase 1, les deux autres introduisent le problème des coefficients. On attend ici bien sûr des erreurs mais on fait l'hypothèse que les feed-back obtenus vont permettre à l'élève, via la remise en cause des procédures erronées de généralisation, de s'interroger sur le sens des coefficients numériques obtenus et d'engager le travail d'approfondissement visé.

Les observations montrent que c'est loin d'être nécessairement le cas, et deux phénomènes jouent ici un rôle important :

* Le fait qu'il est très facile de ne pas respecter les consignes et d'opérer le contrôle DERIVE en sens inverse de celui indiqué,

* Le fait que si l'élève joue réellement le jeu, les feed back qu'il va recevoir sont difficilement interprétables au delà de la seule validation et que, d'autre part, comme il n'a droit qu'à une réponse, une fois qu'il a constaté que cette réponse est fausse, que les feed back ne parlent pas de manière évidente, il est fortement tenté d'arrêter les frais et d'avancer dans la fiche de TP qui lui est donnée.

Encore une fois, le contrat implicite très majoritaire semble pour les élèves, même les bons, de fournir des réponses aux questions successivement posées, sans rentrer nécessairement dans un questionnement quelconque.

La demande d'anticipation est sans aucun doute essentielle à l'engagement d'un travail expérimental où l'avancée se joue par preuves (DERIVE étant ici instrument de preuve) et réfutations. Mais pour que le jeu des preuves et réfutations puisse vivre de façon productive, dans ces conditions scolaires, il faut de plus que les feed-back reçus de la machine soient suffisamment chargés d'information pour l'élève pour permettre une avancée relativement rapide. L'activité de la phase 2, certes s'inscrit dans une demande d'anticipation mais d'une part, la façon dont elle est présentée n'oblige pas l'élève à s'engager dans le jeu voulu (et ce d'autant plus que les expressions sont envisagées simultanément et non l'une après l'autre), d'autre part, elle ne fournit pas à l'élève, en cas d'erreur, des feed-back suffisamment exploitables.

Il est intéressant de ce point de vue de comparer cette phase du travail au dernier exercice, où l'on ne pourrait voir a priori qu'une variante des activités précédentes. Pourtant, elle en diffère par un certain nombre de variables qui vont en faire une tâche beaucoup mieux adaptée. En effet, si l'on peut procéder par ajustements successifs, l'existence de trous des deux côtés de l'égalité rend impossible le détournement de la tâche constaté plus haut. Le fait qu'un certain nombre de facteurs du développement soient déjà fournis limite par ailleurs les risques d'erreur par oubli et en même temps induit l'élève à tirer des informations de ces données. Enfin, s'il
propose une solution sous forme de carré et demande son développement à DERIVE (démarche normale ici), l'élève reçoit des feed-back bien plus exploitables que ceux reçus dans une démarche inverse de factorisation.

Et, effectivement, les observations menées montrent que ces modifications de variables sont suffisantes pour induire, de la part de la quasi-totalité des élèves, cette fois, les comportements attendus. On peut alors penser, après expérimentation, que la situation induirait une activité mathématique des élèves plus intéressante si les deux types de tâches étaient intervertis, le premier pouvant d'ailleurs être suivant les caractéristiques des expressions et des trous, de complexité plus variée que ce qui est proposé dans la situation initiale, les tâches de prévision intervenant plus tard.

Nous voudrions insister aussi à propos de cette situation sur des caractéristiques du fonctionnement dans l'environnement DERIVE qu'elle met clairement en évidence. Il est évident que le jeu joué ici, et c'est voulu, est un jeu de reconnaissance de formes. Cette reconnaissance, même lorsqu'elle fonctionne, fonctionne le plus souvent, on le voit, à travers des analogies de forme sans que ces dernières n'aient réellement besoin d'être relayées à un niveau plus analytique. Il n'y a pas, nous semble-t-il, à rejeter ce type de fonctionnement permis et favorisé par DERIVE. En revanche, il nous semble nécessaire que l'on n'en reste pas là si l'on veut réellement contribuer par ce type de situation au développement de la pensée algébrique et que l'on s'interroge, comme cela a été le cas ici dans le bilan qui a suivi la séance, sur les raisons de ces régularités, qu'on les relie aux savoirs en jeu dans l'enseignement, pour les utiliser dans le pilotage et le contrôle des calculs, hors de l'environnement DERIVE.

Il semble aussi que ces considérations à la fois sur l'intérêt et les limites de l'analogie formelle, sur les prolongements du travail fourni dans l'environnement DERIVE, nécessaires pour assurer sa rentabilité, doivent absolument être présents dans les descriptions de situations fournies aux enseignants.
# ANNEXE : LE TEXTE DU POLYCOPIÉ DISTRIBUÉ AUX ÉLÈVES (CARRÉS DE SOMMES)

Classe de troisième

Travaux pratiques avec Derive: Carrés de sommes.

## Commandes à utiliser:

Auteur pour entrer une expression

dévEloppe pour développer

factor. pour factoriser

suppRime pour supprimer l'expression sélectionnée

## Touche de fonction à utiliser:

F3 pour recopier l'expression sélectionnée sur la ligne de commande

## 1. DEVELOPPEMENTS

Chacune des cinq expressions qui suivent est le carré d'une somme.

$$(a+b)^2, (a+b+c)^2, (a+b+c+d)^2, (a+b+c+d+e)^2$$

Entre et développe chacune de ces expressions. Note tes résultats dans le tableau 1.

## 2. DEVINETTES

Voici trois nouvelles expressions:

$$(a+x+y+k)^2, (2a+b+c)^2, (x+2y+3z)^2$$

Essaye de deviner le développement de chaque expression SANS DERIVE. Note ces développements sur ton compte-rendu.

Entre les développements puis factorise-les AVEC DERIVE cette fois.

Note les factorisations sur ton compte-rendu.

## 3. ET AVEC DES SIGNES - ?

Voici encore quatre expressions:

$$(a-b)^2, (a+b-c)^2, (a-b+c)^2, (a-b-c)^2$$

Entre et développe ces expressions avec DERIVE. Recopie les développements dans ton compte-rendu.

Compare les développements obtenus avec ceux du paragraphe 1. Que peux-tu observer

## 4. UNE AUTRE DEVINETTE

Essaye de deviner SANS DERIVE le développement de $(a + 2b - c)^2$.

Contrôle avec DERIVE.

## 5. POUR ALLER PLUS LOIN

Complète les expressions suivantes:

$$(x+y+...)^2 = 2xy+2xz+2yz+z^2+...+...$$

$$(...x+y+1)^2 = ...+4xy+4x+y2+2y+1$$

$$(x+...+)^2 = x^2+2ax+2x+a^2+2a+1$$

$$(u+v+...)^2 = 2uv+2uw+2vw+...+...+...$$
CLASSE:

NOMS:

## 1. DEVELOPPEMENTS

(a + b)² = ....................................................

(a + b + c)² = ....................................................

(a + b + c + d)² = ....................................................

(a + b + c + d + e)² = ....................................................

<table><thead><tr><td>Expressions</td><td>Nombre total des blocs du développement</td><td>Nombres des blocs qui sont des carrés</td><td>Nombre des blocs qui ne sont pas des carrés</td></tr></thead><tbody><tr><td>(a+b)²</td><td>3</td><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>(a+b+c)²</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>(a+b+c+d)²</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>(a+b+c+d+e)²</td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

## 2. DEVINETTES

(a + x + y + k)² = ....................................................

(2a + b + c)² = ....................................................

(x + 2y + 3z)² = ....................................................

Factorisations données par DERIVE:

1) ....................................................

2) ....................................................

3) ....................................................
### 3. ET AVEC DES SIGNES - ?

$(a + b - c)^2 = \dots$

$(a - b + c)^2 = \dots$

$(a - b - c)^2 = \dots$

Observations
$\dots$

### 4. UNE AUTRE DEVINETTE

$(a + 2b - c)^2 = \dots$

Comment as-tu contrôlé avec DERIVE ?
$\dots$

### 5. POUR ALLER PLUS LOIN

$(x + y + \dots)^2 = 2xy + 2xz + 2yz + z^2 + \dots$

$(\dots x + y + 1)^2 = \dots + 4xy + 4x + y^2 + 2y + 1$

$(x + \dots + 1)^2 = x^2 + 2ax + 2x + a^2 + 2a + 1$

$(u + v + \dots)^2 = 2uv + 2uw + 2vw + \dots$
IV.3 GEOMETRIE ANALYTIQUE

CONTEXTE DE L'OBSERVATION

Cette séance se situe en fin d'année (16 mai 1994). Elle concerne la géométrie analytique. C'est la troisième séance sur ce thème utilisant le logiciel DERIVE. DERIVE a aussi été utilisé collectivement pour corriger des exercices P/C et faire les bilans de trois TP précédents.

Pour cette utilisation de DERIVE, l'enseignant a construit deux fichiers auxiliaires de commandes permettant de définir des points par leurs coordonnées, des milieux et des symétriques, de calculer les coordonnées du milieu de deux points, du symétrique d'un point par rapport à un autre, d'un vecteur, la distance de deux points, de tracer des segments, triangles et quadrilatères. Ce sont le fichier GEOM, qui a été utilisé dans les séances précédentes, et le fichier GEOM1 qui sera utilisé cette séance et rajoute à GEOM la possibilité d'obtenir des équations de droites définies soit par deux points, soit par un point et une droite (droite parallèle ou droite perpendiculaire), d'obtenir aussi directement le coefficient directeur d'une droite donnée.

PRÉSENTATION DES ACTIVITÉS PROPOSÉES

Cette séance est organisée autour de la résolution de 6 exercices donnés sur fiche aux élèves.
Dans le premier, quatre points sont donnés par leurs coordonnées, il s'agit de montrer qu'ils
forment un parallélogramme. Dans le second, trois points sont donnés, on demande de dessiner
le triangle correspondant et de montrer qu'il est rectangle. On demande ensuite les équations
des deux droites supports de l'angle droit et le produit de leurs coefficients directeurs. Dans le
quatrième, quatre points sont de nouveau donnés par leurs coordonnées ; ils forment un
trapèze rectangle. On demande de démontrer l'orthogonalité et le parallélisme des droites
correspondantes, puis que l'un des sommets appartient à la médiatrice du segment formé par
les deux autres. Dans le quatrième, trois points sont donnés et il faut trouver les coordonnées
d'un quatrième pour former un parallélogramme. Dans le cinquième, on demande de montrer
que trois points donnés sont alignés. Dans le sixième enfin, deux points A et B sont donnés et il
s'agit de trouver C, d'abscisse donnée, pour que le triangle ABC soit rectangle en B.

Il est demandé aux élèves d'utiliser DERIVE pour les calculs et de rédiger les solutions en
indiquant les étapes du raisonnement (cf. annexe page 131).

ANALYSE A PRIORI DE LA SÉANCE EFFECTUE PAR L'ENSEIGNANT

Objectifs :

Les objectifs de la séance sont les suivants : développer les capacités des élèves à mobiliser les connaissances déjà enseignées dans la résolution de problèmes plus ou moins complexes faisant intervenir la géométrie analytique. L'enseignant précise que "les deux premiers exercices sont faciles et mobilisent le cours au niveau le plus immédiat tandis que les trois exercices suivants font appel à des raisonnements plus élaborés."

La plupart des exercices sont susceptibles d'être résolus par plusieurs méthodes (par exemple pour montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, pour montrer que trois points sont alignés), il s'agit donc aussi pour l'enseignant de voir quelles méthodes apparaissent, quelles
méthodes ont les faveurs des élèves, et, au cours de la séance de bilan qui suivra, de mener un travail de type méthodologique, en comparant les différentes méthodes.

L'enseignant voudrait aussi exploiter cette situation pour amener les élèves à réfléchir sur la conduite et l'économie des calculs : "On pourra également réfléchir sur l'organisation des calculs et l'occupation de l'écran. C'est ainsi que, pour prouver que $AB^2 + AC^2 = BC^2$, on peut procéder au coup par coup (entrer DIST(A,B)^2, simplifier cette expression, entrer DIST(A,C)^2, etc.) ou bien travailler plus globalement et, par exemple, demander : DIST(A,B)^2 + DIST(A,C)^2 - DIST(B,C)^2. Il ne s'agit pas bien sûr de chercher à établir des records, à exécuter un calcul avec le minimum de lignes, mais bien de réfléchir à la manière de conduire des calculs."

### Intérêt supposé de DERIVE :

DERIVE joue ici le rôle d'outil technique qui prend en charge les calculs et doit, de ce fait, permettre à l'élève de se concentrer sur la démarche, les stratégies de résolution, le pilotage des calculs et non leur exécution. Cette centration se fera en liaison avec la réflexion sur le choix des commandes DERIVE à utiliser parmi celles disponibles dans le fichier GEOM1. On fait aussi l'hypothèse qu'on limite ainsi tous les errements liés aux erreurs de calculs susceptibles d'intervenir en P/C.

### Connaissances DERIVE nécessaires :

Il s'agit, outre les connaissances usuelles, déjà en jeu dans les précédentes observations, de connaissances liées à l'utilisation du fichier GEOM1. Il s'agit de savoir charger ce fichier mais aussi de savoir ouvrir une fenêtre graphique, effectuer les réglages qui permettront d'effectuer des graphiques satisfaisants, effectuer les changements d'échelle demandés, ensuite de savoir gérer les commandes de tracé et d'effaçage graphique, ainsi que l'articulation entre cadre graphique et cadre algébrique.

Pour limiter les problèmes, l'enseignant à précisé dans une fiche annexe (page 131), la succession des commandes à exécuter pour charger le fichier GEOM1, puis pour créer une fenêtre graphique et obtenir des réglages adaptés à cette séance. Les élèves disposent par ailleurs de la liste de toutes les commandes du fichier GEOM1, classées en catégories. En entête de la feuille d'exercices, il rappelle aussi à l'élève comment passer d'une fenêtre à l'autre ainsi que les principales commandes à utiliser dans les deux fenêtres.

### Comportements, difficultés attendus :

Sur le plan mathématique, le professeur pense que, dans les deux classes, les élèves sauront résoudre les exercices 1, 2 et 4 ainsi qu'une partie de l'exercice 3. Il se peut cependant que certains élèves n'arrivent pas jusqu'à l'exercice 4. En revanche, il pense que les exercices 5 et 6 ne seront traités que par quelques groupes.

Sur le plan informatique, il s'attend à rencontrer un certain nombre de problèmes, qu'il classe en plusieurs groupes :

* Les réglages défectueux : au moment des "réglages", il peut arriver qu'on passe en coordonnées polaires par inadvertance, ce qui donne aux figures tracées des caractéristiques inattendues.

* Le mode de fonctionnement rigide de DERIVE : il a constaté en effet que des élèves demandaient, en appuyant deux fois sur P, le tracé d'expressions comme DIST(A,B). Si
cette expression a été évaluée, DERIVE trace alors la droite d'équation y=constante, la constante étant la valeur attribuée à DIST(A,B). De la même façon, si l'élève demande le tracé d'un point variable défini sous la forme $F :=[x,y]$, considérant qu'il s'agit là d'une fonction de deux variables, DERIVE passe en 3D.

* L'opposition de syntaxes différentes : il s'agit là de difficultés liées aux décalages existant entre la syntaxe de DERIVE et la syntaxe P/C, par exemple, dans la définition de points : [2,3] dans un cas, (2;3) dans l'autre ; ou de difficultés liées aux différences de syntaxe entre des commandes DERIVE qui peuvent sembler de même nature pour les élèves : par exemple, utilisation de parenthèses au lieu de crochets pour définir un point à partir de ses coordonnées ou utilisation de crochets dans les commandes qui fonctionnent avec des parenthèses.

Par rapport à ces problèmes, le professeur prévoit d'intervenir dans les groupes si besoin est.

Comme pour les autres séances observées, une séance de bilan est prévue.

# EXEMPLES DE DÉROULEMENT

## Groupe 1 :

Il s'agit de deux filles, élèves de bon niveau de la classe forte : C. et N. Les élèves collaborent bien sans qu'il y ait de leader affiché.

Au départ, C. est à la frappe, N. dicte et note.

### 9h35 : début de la séance :

Le professeur donne les consignes. Les élèves chargent le fichier GEOM1 et effectuent les réglages sans rencontrer de problème particulier. Puis elles passent à l'exercice 1. Elles décident d'entrer les coordonnées des points. Rien ne s'affiche. Elles appellent le professeur qui diagnostique aussitôt l'activation de la sortie imprimante. Elles sont obligées de repartir à zéro mais refont toutes les manipulations très vite.

### Exercice 1 (~ 9mn) :

Le groupe voisin les interroge car il n'arrive pas à obtenir un parallélogramme. Elles jettent un coup d'oeil, conseillent de changer d'échelle et se mettent à définir les quatre points A, B, C et D.

Elles font tracer les quatre points, manifestant beaucoup d'aisance dans le passage d'une fenêtre à l'autre et la gestion des commandes graphiques. A l'oeil, elles constatent qu'il n'y aura pas un parallélogramme mais le font tracer tout de même. Le professeur intervient collectivement à ce moment là pour rectifier les coordonnées du point D. Elles redéfinissent D et demandent un nouveau tracé. Elles obtiennent cette fois-ci un quadrilatère croisé et appellent l'enseignant pour lui demander, en lui montrant le tracé, s'il ne s'est pas trompé dans l'ordre des points. Le professeur rectifie.

Elles changent de rôle pour passer à la démonstration du fait que ABDC est un parallélogramme. Tout de suite, elles décident d'utiliser les diagonales. Elles les font tracer, puis elles font afficher les coordonnées des milieux de [A,D] et [B,C], constatent que ce sont les mêmes, donc qu'on a bien un parallélogramme. N. se demande si ce ne serait pas en plus un losange, elle fait donc afficher DIST(A,B) et DIST(B,D), obtient respectivement : 34 et 26 et
conclut négativement. C. rédige la réponse pendant ce temps, N. efface le contenu des deux fenêtres.

### Exercice 2 (~ 6mn) :

Elles changent à nouveau de rôle et commencent à rentrer les points. En tapant les coordonnées de B, C, les sépare par un point-virgule au lieu d'une virgule mais N. s'en aperçoit immédiatement et cette erreur n'a pas d'incidence sur la suite. C. hésite dans les corrections, N. lui reprend le clavier.

Après avoir rentrer les points, elles font dessiner les trois points puis le triangle et constatent qu'il a bien l'air rectangle en A.

Pour démontrer qu'il est rectangle, elles décident d'utiliser Pythagore et le font dans une écriture condensée, tapant : `DIST(B,C)^2 = DIST(A,B)^2 + DIST(A,C)^2`, puis faisant simplifier cette expression pour aboutir à : `8 = 8`.

Elles passent ensuite tout de suite à la question suivante et cherchent dans la fiche la syntaxe de l'instruction EQUA.

Le groupe voisin les interrompt pour demander s'il faut taper `SQRT(-2)` ou `-SQRT(2)` pour entrer : `-√2`. Elles répondent puis reprennent leur travail.

Elles font afficher par `DERIVE` les équations de (AB) et (AC) demandées :

$$y = x + 2 \text{ et } y = -x$$

puis lisent la question suivante à haute voix. Elles se demandent ce que sont les coefficients directeurs. C. dit qu'ils sont nuls et que le produit est donc 0. (effectivement les coefficients étant égaux à 1 et -1, il n'y a pas de coefficient apparent). N. se demande, elle, s'il ne faut pas inclure le x dans le coefficient. C. lui disant qu'elle est sûre que non, elle se range à son avis et elles rédigent la solution de l'exercice.

### Exercice 3 (~ 17mn) :

Elles définissent les quatre points A, B, C et D.

Le groupe voisin les interrompt pour demander comment elles ont montré que le triangle était rectangle. Elles répondent qu'elles ont fait Pythagore en tapant :

$$DIST(B,C)^2 = DIST(A,B)^2 + DIST(A,C)^2$$

puis reviennent à leur exercice. Elles font tracer le quadrilatère ABCD, remarquent qu'il n'y a pas le parallélisme demandé. Elles localisent les quatre sommets puis appellent le professeur qui trouve rapidement l'erreur et rectifie les coordonnées de D.

Elles redéfinissent D et retracent le quadrilatère.

Elles décident de montrer que les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires et se demandent comment le faire. Elles se souviennent qu'il y a une histoire de -1 et vont chercher dans leurs cahiers. N. trouve assez vite le théorème qui dit que le produit des coefficients directeurs est alors égal à -1. Elles font afficher par `DERIVE` les équations des deux droites, qui sont :

$$y = 6 - x \text{ et } y = x - 4.$$
Ces équations les laissent perplexes, toujours sans doute pour la même raison de coefficients directeurs non apparents. C., du coup, se demande s'il ne faudrait pas inclure le x dans le coefficient mais elle réalise vite que $x*-x$, ce n'est pas -1.

N. lui propose de montrer plutôt que le triangle ABC est rectangle en utilisant Pythagore comme tout à l'heure.

A ce moment là, le professeur passe. N. lui demande : "Monsieur, on a trouvé comment montrer qu'elles sont perpendiculaires avec le coefficient directeur, mais quand y en a pas qu'est-ce-qu'on fait ?"

Le professeur leur demande d'expliquer ce qu'elles ont fait. Elles expliquent qu'elles ont cherché les équations des deux droites, mais qu'elles ne voient pas bien, car il faut faire le produit des coefficients directeurs et trouver -1. Le professeur est un peu perplexe puis C. tout d'un coup dit : "mais, x fois -1, ça fait bien -x !"

N. confirme. Le professeur leur demande : "Alors, c'est bon ? vous avez répondu à votre question ?"

Elles acquiescent et rédigent en écrivant les équations des deux droites, le théorème et la relation : $x^{* -1} = -x$.

Elles passent ensuite à la démonstration du parallélisme, se demandent si (AB) et (CD) vont avoir la même équation puis concluent immédiatement que non puisque ce n'est pas la même droite. Elles font afficher les deux équations et obtiennent : $y = 6 - x$ et $y = 2 - x$ et là sont tout à fait satisfaites car elles ont, disent-elles, le même coefficient directeur (elles ne précisent pas exactement ce qu'il est, on peut penser que c'est : -x).

Elles passent ensuite à la démonstration du fait que D est sur la médiatrice de [A,B] et se demandent s'il existe dans leur fichier une commande pour la médiatrice. Elles constatent que non et reviennent alors à la définition : "c'est perpendiculaire et ça passe par le milieu". Visuellement, D ne leur paraît pas vraiment sur la médiatrice. Elles décident alors de placer le milieu de [A,B] et de tracer le segment joignant D à ce milieu pour mieux voir.

C. dicte à N. les instructions avec un niveau de condensation optimal : $SEG(MIL(A,B),D)$. N. est un peu réticente et voudrait procéder par étapes mais finalement elle accepte. Elle tape ensuite d'elle-même l'équation $EQUA(A, MIL(A,B))$. C. proteste que ça ne sert à rien. N. répond qu'elle veut voir l'équation et les coefficients directeurs. C. rétorque que si c'est pour avoir le coefficient directeur de (AB), c'est vraiment pas la peine de faire ça puisqu'elle l'a déjà. N. persiste néanmoins et réobtient bien sûr l'équation de (AB).

Le groupe voisin leur demande comment montrer le parallélisme. Elles le lui expliquent.

Elles reviennent ensuite à leur exercice et entrent : $EQUA(MIL(A,B),D)$. Elles obtiennent après simplification : $y = x$ et sont tout à fait satisfaites : "x et -x, ça va !". Elles écrivent sur le compte-rendu : $(-x)*x = -x$. Elles remarquent aussi que la médiatrice est parallèle à (BC) et se demandent si elles vont le mettre. Après discussion, elles décident que non parce que c'est évident puisque les deux droites sont perpendiculaires à (AB).

### Exercice 4 (~ 8mn) :

Elles effacent tout puis changent de nouveau de rôle. Elles définissent A,B et C.

Le groupe voisin qui n'a pas bien compris l'explication sur le parallélisme les sollicite de nouveau. Elles réexpliquent ce qu'elles ont fait, puis tracent les points et le triangle ABC.
N. a tout de suite l'idée d'une méthode "symétrie" : "il suffit de faire milieu puis symétrique de ça, par rapport à milieu". Elles identifient les trois points sur l'écran pour vérifier. N. reprend la frappe.

Elles demandent les coordonnées du milieu de [A,C], celles du symétrique de B par rapport à ce milieu en tapant : SYM(B,MIL(A,C)), puis elles font tracer ABCD. Elles n'obtiennent pas le quadrilatère prévu et se demandent ce qui se passe.

Interruption une fois de plus du groupe voisin qui demande si, pour perpendiculaires, elles ont fait l'opposé de l'inverse ou l'inverse de l'opposé. Elles répondent qu'elles ont fait le produit et reviennent à leur problème.

Assez vite, N. comprend l'erreur : le point D n'ayant pas été redéfini, le tracé a été effectué avec l'ancien point D. Elles vérifient que le nouveau point D est bien à l'endroit où il doit être en utilisant ses coordonnées puis demandent le tracé : QUADRI (A,B,C,SYM(B,MIL(A,C))). C. trouve ça un peu compliqué et voudrait mettre plutôt les coordonnées de D mais N. tient bon et effectivement, ça marche.

### Exercice 5 (~ 3mn):

Elles définissent les trois points et les font tracer. Deux points seulement apparaissent à l'écran. Ceci ne les affole pas. Elles situent A et B, estiment que C est hors écran et font un geste dans sa direction.

Elles hésitent ici un peu sur la stratégie à adopter. C. voudrait tracer les segments et vérifier l'alignement. N. veut faire les équations et vérifier que ce sont les mêmes. Elle finit par l'emporter en disant que c'est plus direct. Elles font afficher les équations de (AB) et (BC), obtiennent dans les deux cas : 7 - 2x et sont satisfaites.

### Groupe 2 :

Ce sont deux élèves qui travaillent en étroite collaboration, que nous désignerons par E. et F. E. est plutôt à la frappe.

### Mise en route - réglages (≈ 5mn):

En créant la fenêtre graphique, elles ne suivent pas bien les instructions données et se retrouvent avec une fenêtre graphique plein écran. Elles essaient sans succès pendant un moment de modifier cette fenêtre en jouant sur les divers réglages de la fenêtre graphique puis appellent l'enseignant. Celui-ci refait avec elles, en les commentant au fur et à mesure, la série des manoeuvres, depuis le début.

### Exercice 1 (≈ 15mn)

Elles passent à l'exercice 1, définissent les points (d'emblée les bons, vu le retard pris), tracent le quadrilatère et ABCD et obtiennent la ligne brisée ABCD au lieu du quadrilatère (phénomène que l'observateur ne parvient pas à interpréter). Elles ne comprennent pas ce qui se passe puis finissent par imputer ce phénomène au fait qu'elles n'ont pas fait tracer préalablement les 4 points, les font donc tracer puis le quadrilatère lui-même et cette fois-ci, elles obtiennent un quadrilatère croisé. Elles se renseignent auprès du groupe voisin et échangent alors les points D et C pour obtenir enfin un parallélogramme.
Elles reconnaissent un parallélogramme et l'écrivent sur leur feuille de compte-rendu sans chercher plus avant une démonstration.

Elles effacent ensuite une à une les lignes de la fenêtre algébrique avant de passer à l'exercice 2.

Exercice 2 (≈ 25mn)

Elles rentrent les trois points en commettant diverses erreurs. E. définit le point A en oubliant les « : », puis en mettant des parenthèses au lieu des crochets, puis en reproduisant les coordonnées du point A du premier exercice. F. qui contrôle, repère à la frappe les deux premières erreurs et les corrige mais pas la troisième. Après s'être renseignées auprès du groupe voisin sur la syntaxe de √, elles définissent les coordonnées de B et C sans s'apercevoir qu'elles tapent deux fois les mêmes coordonnées. Elles font tracer les trois points : deux seulement apparaissent à l'écran. Elles appellent alors le professeur qui leur demande de regarder dans la fenêtre algèbre pour essayer de comprendre. Elles repèrent alors que B et C ont les mêmes coordonnées, redéfinissent C et refont tracer les 3 points et le triangle. Cette fois-ci, elles obtiennent bien un triangle, mais il n'est pas rectangle. Elles appellent de nouveau l'enseignant qui, avec l'aide de l'observateur, repère rapidement l'erreur sur A. Le professeur aide les élèves à effacer la fenêtre graphique et à repasser dans la fenêtre algèbre pour redéfinir A. Elles veulent ensuite retracer les trois points. Le professeur leur explique que c'est inutile et qu'elles peuvent tracer le triangle directement. Elles sont un peu réticentes à cause de ce qui leur est arrivé en début de séance et qu'elles ont faussement interprété (elles lui disent qu'elles ont essayé mais que ça n'a pas marché) mais font ce que dit le professeur. Elles obtiennent enfin un triangle rectangle.

Elles sont interrompues par le groupe voisin qui a lui aussi tapé les mêmes coordonnées pour B et C et elles l'aident.

Elles se demandent alors comment montrer que le triangle est rectangle et pensent tout de suite à Pythagore mais sous la forme erronée : $BC = AB + AC$. Elles font afficher les trois distances et obtiennent respectivement : 2, 2 et $2\sqrt{2}$. Elles vont alors essayer de montrer que : $2 + 2 = 2\sqrt{2}$. Par un tour de passe-passe, F. semble y arriver. E. n'est pas convaincue mais F. commence à noter quand même sur la fiche de compte-rendu la version erronée du théorème de Pythagore, les valeurs de BC, AB et AC, ainsi que l'égalité $2 + 2 = 2\sqrt{2}$. E. repère que le triangle est isocèle mais a toujours des doutes sur l'égalité. F. lui explique que $2\sqrt{2} = 4$ : "Si tu fais passer le 2 de l'autre côté, il rentre sous la racine et ça fait bien $\sqrt{4}$ et $\sqrt{4}$, c'est bien 2.". E. réfléchit puis revient à la formule de Pythagore, hésite et dit : "Mais là, c'est pas au carré ?". F. est d'accord et rajoute les carrés aux deux premières lignes écrites tout en laissant $2\sqrt{2} = 4$ à la dernière. Elles rajoutent au compte-rendu que le triangle est isocèle et passent à la question suivante.

Elles font afficher les équations de (AB) et (AC) puis font calculer par DERIVE les deux coefficients directeurs. Elles notent leurs valeurs mais ne comprennent pas la question posée. Elles se demandent ce que veut dire produit, si elles doivent ajouter ou faire autre chose. Le professeur passe et elles lui disent qu'elles ne comprennent pas la question. En les interrogeant, il s'aperçoit qu'effectivement le mot "produit" ne leur évoque pas d'opération précise et il leur explique son sens. Il leur demande ce que vaut donc ce produit. Elles répondent : -1. Il leur rappelle qu'elles ont vu ça en cours, qu'il y a un théorème qui dit que si le produit des coefficients directeurs est : -1, les droites sont... E. répond successivement : parallèles, puis égales et le professeur donne alors la réponse correcte avant de s'en aller. Elles ne sont pas
fières d'elles et disent aux élèves du groupe voisin qui leur demandent si elles ont fait Pythagore qu'elles ont été nulles, nulles avec l'histoire du produit.

E. efface une fois de plus ligne à ligne. L'observateur lui dit comment effacer tout d'un coup. E. répond qu'elle a déjà essayé une autre fois mais que ça n'a pas marché alors qu'elle préfère faire comme ça.

### Exercice 3 (~ 10 mn) :

Elles définissent les 4 points sans problèmes et font tracer le quadrilatère. Elles repèrent le parallélisme et se demandent comment le démontrer. F. cherche dans son cahier et tombe sur les énoncés liant parallélisme, orthogonalité et coefficients directeurs. Elles font alors calculer les coefficients directeurs de (AB), (BC), (AB), (CD), puis appliquent les théorèmes en reprenant les questions dans l'ordre.

Elles passent ensuite à la médiatrice et essaient de se rappeler ce que c'est. E. dit qu'elle est perpendiculaire et qu'elle passe par D et qu'ici elle doit aussi passer par le milieu de [A,B]. Elles décident d'appeler H l'intersection avec (AB).

Elles voudraient faire tracer [DH], mais ne voient pas comment entrer H. Elles cherchent alors s'il existe dans les commandes du fichier une commande "médiatrice", mais ne la trouvent pas. C'est la fin de la séance et elles s'arrêtent là.

## ANALYSE A POSTERIORI

Nous présentons ci-après le résultat du dépouillement des productions des groupes des deux classes.

Pour l'exercice 1, les codes : "milieux", distances", "vecteurs" font référence aux méthodes de preuve correspondantes. Entre parenthèses, nous précisons dans les deux derniers cas, s'il y a référence à 2 objets ou 4. Nous précisons également s'il y a absence de conclusion et si d'autres calculs et conclusions sont mentionnés (calcul de longueurs de diagonales, précision qu'il ne s'agit pas d'un losange, par exemple).

Pour l'exercice 2, question 2, Pythagore et Réciproque Pythagore renvoient à l'utilisation du théorème avec mention explicite de ce dernier. Nous détaillons le calcul fait uniquement dans le cas d'utilisation d'expressions DERIVE condensée en une seule ligne ou de calculs erronés.

Pour l'exercice 2, question 3, "Équation", "Coef.", "Produit" signifient que les informations correspondantes sont données explicitement dans la copie. Nous précisons les copies où interviennent des modes de calcul qui ne sont pas la simple lecture ou l'utilisation de la commande du fichier.

Pour l'exercice 3, Équations signifie que les élèves ont demandé à DERIVE, les équations des droites (AB) et (BC) dans la question 2, (AB) et (CD) dans la question 3. Nous précisons les autres méthodes utilisées, comme la demande des équations de (BC) et de PERP(A,B,C) dans la question 2, ou celle des équations de (AB) et PAR(A,B,C) dans la question 3. Pour la question 4, nous résumons les méthodes utilisées.

Nous faisons de même pour les exercices 4 et 5, peu abordés, dans un tableau spécifique.

Précisons également que nous mentionnons explicitement, les productions où les données numériques ou équations sont fournies sans conclusion, ainsi que les justifications qui décrivent la méthode ou le théorème utilisé sans fournir le détail des calculs, qu'enfin le code "Coef."
correspond presque toujours, non pas à la lecture d'un coefficient directeur à partir d'une équation, mais à l'utilisation de la commande coefficient directeur du fichier GEOM1.

Classe A :

<table><thead><tr><th>N°<br>groupe</th><th>Ex. 1</th><th>Ex. 2 q. 2</th><th>Ex. 2 q. 3</th><th>Ex. 3 q. 2</th><th>Ex. 3 q. 3</th><th>Ex. 3 q. 4</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>Milieux +<br>Non losange<br>avec calcul<br>longueurs</td><td>Pythagore</td><td>Équations<br>Coef. nuls<br>Produit nul</td><td>Équations<br>x*(-x)=-x</td><td>Équations<br>Coef.<br>Même coef.</td><td>Équations<br>(ab) et<br>(mil(a,b)d)<br>⊥ comme 3.2</td></tr><tr><td>2</td><td></td><td>Pythagore</td><td>Équations</td><td>Affirmation</td><td></td><td></td></tr><tr><td>3</td><td>Coef. (ab) et<br>(cd)<br>Parallélisme</td><td>Calcul P/C<br>ab² et ab<br>Arrêt</td><td>Équations</td><td>Calcul ab</td><td>Coef.<br>Pas de<br>conclusion</td><td></td></tr><tr><td>4</td><td>Instructions<br>de tracés<br>diagonales<br>et coord.<br>Milieux</td><td>dist(a,b)²+<br>dist(a,c)²-<br>dist(b,c)²=<br>0<br>Sans<br>conclusion</td><td>Équations<br>Coef.<br>Somme nulle</td><td>Équations<br>Coef.<br>Idem 2.2</td><td>Coef.<br>Différence<br>coef. nulle</td><td>Dist(d,mil(a,<br>b)²+dist(a,<br>mil(a,b)²-<br>dist(a,b)²=0<br>et def.<br>médiatrice</td></tr><tr><td>5</td><td>Milieux</td><td>Pythagore</td><td>Équations<br>Coef.<br>Produit</td><td>Affirmation</td><td>Coef.<br>Egalité</td><td></td></tr><tr><td>6</td><td>Vecteurs (4)</td><td>Calculs<br>ab²,ac²,bc²<br>Conclusion</td><td>Équations</td><td>Équations<br>(bc) et<br>perp(a,b,c)</td><td>Équations<br>(cd) et<br>par(a,b,c)</td><td></td></tr><tr><td>7</td><td>Justification<br>par milieux<br>sans calculs</td><td>Justification<br>par<br>Pythagore<br>sans calculs</td><td>Équations<br>Produit : -1</td><td>Affirmation</td><td>Justification<br>par même<br>coef. sans<br>calculs</td><td>Stratégie<br>sans calculs<br>(la ⊥ à (ab)<br>par d passe<br>par le milieu<br>de [a,b])</td></tr><tr><td>8</td><td>Distances<br>(4)</td><td>Réciproque<br>Pythagore</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>9</td><td>Distances<br>(4)</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>10</td><td>Justification<br>par milieux<br>sans calculs</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>11</td><td>Vecteurs (4)<br>sans<br>conclusion</td><td>Pythagore</td><td>Équations</td><td>Équation<br>perp(a,b,c)</td><td></td><td></td></tr><tr><td>12</td><td>Milieux +<br>long. demi<br>diagonales</td><td>Réciproque<br>Pythagore</td><td>Équations<br>Coef.*<br>Produit</td><td>Coef.*<br>Produit : -1</td><td>Coef. (P/C)<br>Egalité</td><td></td></tr></tbody></table>
<table><tr><td>13</td><td>Vecteurs (4)</td><td></td><td>Equations<br>Coef. : x et -x<br>Produit : -x<sup>2</sup></td><td>Justification<br>par égalité<br>d'équations<br>sans calculs</td><td>Idem</td><td>Justification<br>par da=db<br>sans calculs</td></tr><tr><td>14</td><td>Vecteurs (2)</td><td>Récipoque<br>Pythagore</td><td>Equations<br>Coef.<br>Produit : -1</td><td>Equations<br>(bc) et<br>perp(a,b,c)<br>Conclusion</td><td></td><td></td></tr></table>

* Ce groupe n'utilise pas la commande de GEOM1 pour calculer les coefficients angulaires mais fait calculer par DERIVE l'expression : $\frac{\text{ord}(b)-\text{ord}(a)}{\text{abs}(b)-\text{abs}(a)}$

Dans cette classe, quatre groupes ont abordé les exercices suivants :

<table><thead><tr><th>N° groupe</th><th>Exercice 4</th><th>Exercice 5</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>Mil(a,c), sym(b,mil(a,c))<br>Conclusion</td><td>Equations (ab), (bc), (ac)<br>Conclusion par égalité</td></tr><tr><td>4</td><td>Liste instructions seg(a,c)<br>mil(a,c) d :=sym(b,mil(a,c))<br>absc(d), ord(d) et résultat</td><td>Coef. (ab) et (bc)<br>Conclusion par égalité</td></tr><tr><td>7</td><td>Donne les coordonnées de d</td><td></td></tr><tr><td>13</td><td>Donne les coordonnées de d</td><td></td></tr></tbody></table>

Classe C :

<table><thead><tr><th>N° groupe</th><th>Ex. 1</th><th>Ex. 2 q. 2</th><th>Ex. 2 q. 3</th><th>Ex. 3 q. 2</th><th>Ex. 3 q. 3</th><th>Ex. 3 q. 4</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>Vecteurs (4)</td><td>Calcul P/C<br>ab<sup>2</sup> et ac<sup>2</sup>.<br>Érreur et<br>arrêt</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>2</td><td>Distances (4)</td><td>Justification<br>par ab=ac</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>3</td><td>Distances (2)<br>Parallélisme<br>affirmé</td><td></td><td>Equations</td><td>Affirmation</td><td>Oui car<br>trapèze</td><td>o:=Mil(a,b)<br>tracé[o,d]<br>affirmation<br>dobc carré</td></tr><tr><td>4</td><td>Distances (2)</td><td></td><td>Equations</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>5</td><td>Distances (4)</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>6</td><td>Distances (4)<br>Sans<br>conclusion</td><td>Récipoque<br>Pythagore</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>7</td><td>Vecteurs (4)</td><td>Equa<br>perp(a,b,c)<br>Affirmation</td><td>Equations<br>Coef. : 1 et -1<br>Produit : 0</td><td>Vecteurs ab<br>et cd<br>Sans<br>conclusion</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
<table><tr><td>8</td><td>Distances (4) + diagonales</td><td>Calcul ab², ac², bc²<br>Conclusion</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>9</td><td>Distances (2)</td><td>Distances<br>Equations<br>(ab) et (ac)<br>Arrêt</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>10</td><td>Description<br>Affirmation</td><td>Calcul<br>ab,ac,bc<br>Pythagore<br>faux +<br>isocèle</td><td>Equations<br>Coef.<br>Produit : -1<br>Conclusion</td><td>Coef.<br>Produit et<br>conclusion</td><td>Coef.<br>Egalité et<br>conclusion</td><td></td></tr></table>

Ces deux tableaux nous permettent de situer, sans rentrer dans tous les détails, les comportements des deux groupes décrits précédemment (le 1 de la classe A et le 10 de la classe C) dans l'ensemble des productions des deux classes. Visiblement, la majorité des élèves, en particulier ceux de la classe C, a rencontré des difficultés dans cette situation.

Sur le plan de l'utilisation de DERIVE, on voit nettement le saut qualitatif qui sépare les premières situations observées où le travail se situait entièrement dans la fenêtre algébrique et la situation présente qui mobilise de façon interactive les deux fenêtres. Plusieurs groupes rencontrent des difficultés à effectuer correctement la succession d'instructions décrite dans la fiche pour régler la fenêtre graphique, puis dans le va et vient entre fenêtres (par exemple, il s'étonnent qu'appuyant une fois sur P (commande graPh) pour obtenir un tracé, rien ne se passe, et les moments où DERIVE ne répond pas sont clairement les plus difficiles à gérer). Les trois séances précédentes n'ont pas réussi pour un bon nombre d'élèves à assurer la familiarité qui permettrait de ne pas perturber par des problèmes annexes la résolution mathématique des problèmes posés.

On note à ce niveau des décalages bien plus grands que dans les séances précédemment observées. Nous avons par exemple été étonnées par la maîtrise du premier groupe décrit, à la fois dans la gestion des deux fenêtres, dans la gestion syntaxique, dans l'interprétation des productions DERIVE. Le fait, en particulier que, dans l'exercice 4, elles aient assez rapidement compris que la non-conformité du tracé venait du fait que l'expression utilisée pour D ne l'avait pas défini et que D restait l'ancien D, est assez impressionnante. A côté de cela, d'autres groupes nous semblent avoir été aux prises avec un monde qui les dépassait.

Cette situation est faite pour que l'élève, dégagé du calcul lui-même, se centre sur les démarches de résolution. Et effectivement, dans la plupart des groupes observés, même les faibles, on peut voir à certains moments au moins, cette centration sur la démarche. On voit d'ailleurs apparaître, au moins dans la classe A, une diversité de méthodes, tout à fait susceptible de nourrir la synthèse envisagée a priori.

Mais on peut noter aussi que, dès qu'un fonctionnement plus proche de la simple exécution est possible, les élèves tendent à s'en contenter, s'il permet de répondre aux questions posées. On se retrouve donc avec le problème déjà rencontré dans les autres situations d'un contrôle des variables de commande de la situation visant à garantir un niveau d'activité mathématique maximum à la majorité des élèves. Ceci, encore une fois, ne va pas de soi.
Dans le premier exercice, quelques élèves en restent à des affirmations perceptives mais la plupart s'engagent dans des preuves et le fichier commande fourni permet à ce niveau la diversité. L'exercice 2 est en un sens le moins intéressant. La question : "Démontre que le triangle ABC est rectangle" active en effet comme un réflexe le théorème de Pythagore. Là encore, la mise en oeuvre de la stratégie avec le fichier de commandes, ne pose pas de problèmes. La suite de l'exercice peut être vue à un pur niveau d'exécution, compte tenu des commandes DERIVE existantes. On notera que beaucoup de groupes n'ont pourtant pas donné la valeur du produit, soit qu'ils n'aient pas utilisé la commande, soit que, comme le groupe 2, ils n'aient pas compris le sens du mot "produit". On peut aussi noter la perturbation crée par le caractère caché des coefficients directeurs dans cette situation, même pour le groupe 1. Les équations en apparence les plus simples ne sont pas nécessairement les plus faciles à interpréter ! Vu les difficultés connues dans ce domaine, on peut se demander s'il est bienvenu d'inclure la commande "Coef." dans le fichier, même si bien sûr, l'essentiel du travail sur les droites ne se produit pas dans l'environnement DERIVE. Si l'on dispose d'une commande qui donne l'équation, pourquoi rajouter une commande pour remplacer une action sans aucun coût calculatoire ? Bon nombre de groupes ne dépasseront pas cet exercice et n'aborderont donc pas l'exercice 3 et, en particulier la question 4, on l'on sort vraiment du registre des questions de cours.
3ème

Travaux pratiques sur DERIVE

Voici cinq exercices à résoudre avec DERIVE.

Les calculs seront faits par DERIVE, avec le fichier GEOM, mais tu rédigeras les solutions en indiquant les étapes de tes raisonnements.

A chaque fois, le repère utilisé est orthonormal.

Exercice 1

On donne A(-2 ; 4), B(3 ; 1), C(·1 ; -1) et D(4 ; 4). Démontre que ABCD est un parallélogramme.

Exercice 2

On donne A(-1 ; 1), B(√2 - 1 ; √2 + 1) et C(√2 · 1 ; -√2 + 1).

1) Fait un dessin avec DERIVE.

2) Démontre que le triangle ABC est rectangle.

3) Quelles sont les équations des droites (AB) et (AC) ? Quel est le produit de leurs coefficients directeurs ?

Exercice 3

On donne A(1 ; 5), B(5 ; 1), C(3 ; -1) et D(1 ; -1).

1) Dessine le quadrilatère ABCD avec DERIVE.

2) Que peut-on dire des droites (AB) et (BC) ?

3) Démontre que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

4) Démontre que D appartient à la médiatrice du segment [AB]

Exercice 4

On donne A(-4 ; 1), B(-1 ; 3) et C(5 ; -4). Trouve les coordonnées x et y du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. Vérifie en faisant un dessin.

Exercice 5

On donne A(3 ; 1), B(5 ; -3) et C(-5 ; 17). Démontre que les points A, B et C sont alignés.

Exercice 6

On donne A(1 ; 2) et B(4 ; 4). Un point C a pour abscisse 2 et pour ordonnée un nombre x inconnu.

On sait que le triangle ABC est rectangle en B. Quelle est la valeur de x ?
1. Comment charger le fichier GEOM ?

- faire successivement Transfert Charger Utilité

- écrire Geom derrière le mot Utilité

- valider

2. Comment créer une fenêtre graphique ?

- appuyer sur P pour sélectionner la commande graPh

- valider l'option à côté

- valider l'option 40 colonnes

3. Réglages à effectuer

Dans le menu de la fenêtre graphique :

• choisir Options Etat Continu afin d'obtenir le dessin des segments.

• choisir la commande Ech. pour régler l'échelle du dessin. Prendre x = 4 et y = 4.

• choisir la commande Marques. Prendre Lignes = 6 et Colonnes = 9 pour que les carrés soient bien carrés.

4. Comment revenir à la fenêtre Algèbre ?

• choisir la commande Algèbre
## Les commandes

Le fichier GEOM1 ajoute de nouvelles commandes à toutes celles de DERIVE.

### 1°) Trois commandes pour définir des points

<table><thead><tr><td>Commandes</td><td>Usages</td></tr></thead><tbody><tr><td>A := [2,5]</td><td>définit le point A et lui attribue des coordonnées ici 2 et 5. Attention aux crochets !</td></tr><tr><td>M := MIL(A,B)</td><td>définit M comme milieu du segment [AB]</td></tr><tr><td>C := SYM(A,B)</td><td>définit C comme le symétrique de A par rapport à B</td></tr></tbody></table>

### 2°) Cinq commandes pour calculer

<table><thead><tr><td>Commandes</td><td>Usages</td></tr></thead><tbody><tr><td>ABSC(A)</td><td>donne l'abscisse de A</td></tr><tr><td>ORD(A)</td><td>donne l'ordonnée de A</td></tr><tr><td>DIST(A,B)</td><td>donne la distance de A à B</td></tr><tr><td>MIL(A,B)</td><td>donne les coordonnées du milieu de [AB]</td></tr><tr><td>SYM(A,B)</td><td>donne les coordonnées du symétrique de A par rapport à B</td></tr></tbody></table>

### 3°) Trois commandes pour dessiner dans la fenêtre graphique.

<table><thead><tr><td>Commandes</td><td>Usages</td></tr></thead><tbody><tr><td>SEG(A,B)</td><td>dessine le segment AB</td></tr><tr><td>TRI(A,B,C)</td><td>dessine le triangle ABC</td></tr><tr><td>QUADRI(A,B,C,D)</td><td>dessine le quadrilatère ABCD</td></tr></tbody></table>

### 4°) Une commande qui donne les coordonnées d'un vecteur

<table><thead><tr><td>Commandes</td><td>Usage</td></tr></thead><tbody><tr><td>VECT(A,B)</td><td>donne les coordonnées du vecteur AB</td></tr></tbody></table>

### 5°) Quatre commandes pour obtenir des équations de droite

<table><thead><tr><td>Commandes</td><td>Usages</td></tr></thead><tbody><tr><td>COEFF(A,B)</td><td>donne le coeff. directeur de (AB)</td></tr><tr><td>EQUA(A,B)</td><td>donne l'équation de la droite (AB)</td></tr><tr><td>EQUAPER(A,B,P)</td><td>donne l'équation de la perpendiculaire à (AB) qui passe par P</td></tr><tr><td>EQUAPARA(A,B,P)</td><td>donne l'équation de la parallèle à (AB) qui passe par P</td></tr></tbody></table>
IV.4 RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D'ÉQUATIONS.

CONTEXTE DE L'OBSERVATION

Cette observation a eu lieu le 30 mai 1994. Elle se situe à un moment où les élèves ont déjà abordé les points suivants :

* résolution d'un système : $ax+by=c$, $a'x+b'y=c'$, en se ramenant à l'équation : $\frac{c-ax}{b} = \frac{c'-a'x}{b'}$ cette approche ayant été choisie par l'enseignant "pour son caractère concret"<fnref n="14" />,

* calcul des coordonnées du point d'intersection des deux droites d'équations données par résolution du système correspondant.

Il s'agit ici de faire travailler les élèves, en utilisant DERIVE, sur la méthode de résolution par combinaison linéaires.

Cette séance sera suivie d'une séance consacrée à la résolution graphique, elle aussi menée dans l'environnement DERIVE. L'enseignant reviendra ensuite plus globalement sur les différentes méthodes de résolution introduites et sur le problème de la validation de ces méthodes, en particulier sur la question suivante : comment s'assurer qu'on a résolu correctement un système du premier degré à deux inconnues ?

Sur ce plan, selon lui, trois approches sont à envisager

* le raisonnement par équivalences successives,

* le fait que si l'on sait que le système à une solution unique, l'une quelconque des méthodes permet de la déterminer,

* la vérification a posteriori des solutions trouvées.

Ces trois méthodes présentent selon lui des inconvénients :

* la première est basée sur un mode de raisonnement, hors programme,

* la seconde suppose l'utilisation de résultats relevant de l'étude générale des systèmes 2x2, elle aussi hors programme,

* la troisième risque de créer chez les élèves "une confusion avec la vérification envisagée comme moyen de détecter d'éventuelles erreurs de calcul".

Il préfère passer dans un premier temps, par l'intermédiaire du cadre graphique, qui lui semble ici plus parlant. L'unicité de la solution sera alors liée à la position respective des deux droites : droites sécantes, la non-unicité ou l'absence de solutions aux cas de parallélisme. Ce fonctionnement est économique dans l'environnement DERIVE. Pratiquement, il débouchera sur les critères suivants qui éviteront ensuite le calcul systématique des coefficients directeurs :

* lorsque l'on rencontre, au cours de la résolution d'un système, une équation du genre $0x+0y=0$, c'est que le système est indéterminé,

* si l'on obtient une équation du genre $0x+0y=k$ avec $k \neq 0$, c'est qu'il n'y a aucune solution,

<footnote n="14">¹⁴Soulignons que nous avons montré dans le rapport intermédiaire comment cette méthode est particulièrement bien adaptée, ergonomiquement, au fonctionnement DERIVE.</footnote>
* dans tous les autres cas, la solution calculée est unique.

## PRÉSENTATION DES ACTIVITÉS PROPOSÉES

Cette situation est organisée en plusieurs temps (voir document en annexe page 143). On introduit d'abord l'utilisation du symbole $:=($ déjà utilisé pour nommer des points), pour nommer des équations algébriques. Les deux premières tâches proposées dans l'exercice 1 visent à explorer le fonctionnement de cette commande sur une équation particulière et à montrer la possibilité qu'elle donne de faire des opérations directement sur cette équation : additionner ou soustraire un nombre à cette équation, la multiplier par un nombre donné. Cet exercice se termine par une demande de prévision : "Écrire sans DERIVE ce que donnera la simplification de l'expression $2*equa - 3$".

Dans l'exercice 2, une seconde équation est introduite et on demande cette fois aux élèves les opérations à faire pour passer de cette équation à 4 équations données. Il s'agit de multiplications et, dans le premier cas, la réponse est donnée. On demande d'utiliser DERIVE pour vérifier les réponses.

Avec l'exercice 3, on aborde les systèmes : 2 équations sont cette fois introduites et on fait explorer aux élèves avec DERIVE, des combinaisons linéaires de ces deux équations. Les deux dernières font disparaître respectivement les termes en x et y.

L'exercice 4 est du même type : deux équations sont données, ainsi que des combinaisons linéaires qui suppriment respectivement les termes en x et y. On demande aux élèves d'effectuer les combinaisons avec DERIVE et de noter leurs remarques.

Dans l'exercice 5, on aborde explicitement la résolution des systèmes. Un système est donné, on demande aux élèves de nommer les équations correspondantes, puis de trouver eux-mêmes les coefficients qui vont permettre d'éliminer les termes en x et en y, puis d'achever la résolution.

Dans l'exercice 6, qui leur est proposé ensuite, ils doivent utiliser la même méthode pour résoudre avec DERIVE, 5 systèmes numériques admettant une solution unique. Un dernier exercice, l'exercice 7, leur propose enfin de résoudre deux systèmes avec la même méthode et d'essayer d'interpréter les réponses données par DERIVE. Ces deux systèmes correspondent aux cas d'impossibilité et d'indétermination.

## ANALYSE A PRIORI EFFECTUÉE PAR L'ENSEIGNANT

### Objectifs :

L'objectif de la séance est, pour l'enseignant : "de faire découvrir aux élèves une méthode de résolution nouvelle, moins intuitive mais riche de possibilités puisqu'elle constitue une propédeutique à la méthode dite du pivot".

### Intérêt et rôle de DERIVE :

DERIVE présente ici l'intérêt de permettre de nommer les équations et d'opérer sur elles un certain nombre d'opérations en les considérant comme des entités. Il permet donc d'introduire le calcul sur une nouvelle classe d'objets et de bien mettre en évidence le fait que la méthode par combinaisons linéaires de résolution des systèmes met en jeu des opérations sur des équations.
Même si DERIVE ne fonctionne pas ici comme une boîte noire, ce TP présente, selon l'enseignant, "un aspect inhabituel qui provient de la nature des objets manipulés."

### Connaissances DERIVE nécessaires :

Les commandes usuelles du calcul algébrique : Auteur, Simplifie, devEloppe, la commande resol, pour la dernière partie, ainsi que le symbole de nomination :=. Toutes ces commandes devraient être maintenant familières aux élèves. Le symbole de nomination a été déjà utilisé par le professeur, dans les séances collectives, pour nommer des expressions algébriques et par les élèves, en géométrie analytique, pour nommer des points.

### Comportements, difficultés attendus :

L'idéal pour l'enseignant serait "qu'à la fin de la séance, les élèves sachent résoudre un système (avec des coefficients simples) par la méthode des combinaisons."

Il s'attend à quelques erreurs dues à la confusion entre := et =. Il est possible aussi, lui semble-t-il, que notamment dans la classe faible, certains élèves saisissent mal le sens d'une écriture comme : 2*equa1 + 3*equa2 et qu'il doive intervenir à ce niveau. Mais il estime que très peu d'élèves devraient se trouver dans ce cas et que la difficulté essentielle sera sans doute liée à la longueur du texte distribué aux élèves. L'expérience, écrit-il, "montre qu'il vaut mieux des textes courts sinon l'arbre risque de cacher la forêt". C'est la première fois qu'il expérimente ce TP et il ne sait pas, dit-il, jusqu'où pourront aller les élèves.

Comme pour les autres séances, un bilan est prévu ultérieurement.

## EXEMPLES DE DÉROULEMENT

### Groupe 1 :

Il s'agit d'un groupe d'élèves de la classe A, que nous désignerons par S. et T. Elles travaillent en bonne collaboration.

#### Entrée dans la séance :

Elles ne rencontrent aucun problème.

#### Exercice 1, partie 1 (≈ 8mn) :

S. est à la frappe, T. prépare un tableau sur la feuille de compte-rendu, ce qui prend beaucoup plus de temps que l'entrée et la simplification des expressions sous DERIVE. Au bout de 4mn, S. a fini et veut passer à la suite, T. est toujours en train de noter.

Le professeur intervient collectivement pour demander aux élèves de ne pas fonctionner mécaniquement mais d'essayer de prévoir. Il précise ce que fait DERIVE quand on entre l'expression : equa - 8 (la deuxième expression) et qu'on la fait simplifier. Il leur dit que l'objectif de la séance n'est pas d'abattre des calculs, qu'il faut réfléchir au sens de ces calculs.

Pendant ce temps, T. a fini de noter et elles passent à la partie suivante.

#### Exercice 1, partie 2 (≈ 5mn) :

Encore une fois cela va très vite. S. est toujours à la frappe. Le professeur passe et leur demande d'expliquer le résultat de 5*equa (la deuxième expression). S. explique sans difficulté.
T. commence à préparer le tableau suivant et S. repère alors la question de prévision.

### Exercice 1, prévision (≈ 10mn) :

Elles repassent en P/C pour traiter cette question. La résolution, tout en ne posant pas de problème de fond, va prendre du temps. S., au départ, dicte à T. ce qu'elle doit écrire sur le compte-rendu : "2 facteur de $3x-4$. T. rectifie : "-4y, non ?" S. continue : "-4y et -3", puis elle se dit qu'elle a oublié quelque chose et prend un papier, en disant : "Il faut que je fasse sur une feuille." Elle écrit alors : $6x - 8y = 2$ (donc exactement $2*equa$), puis : $6x - 8y - 3 = -1$.

On peut donc penser que c'est terminé. Mais S. n'est pas tout à fait sûre et demande à T. si c'est bien ça qui se passe quand on fait -3 avec DERIVE. T. ne se prononce pas et écrit sur sa feuille : $2(3x - 4y) - 3$ puis dit que ça ne va pas, qu'entre parenthèses, il faut mettre la première ligne écrite par S. Elle efface donc et écrit : $(2(3x - 4y = 1) - 3) \cdot S$. remarque : "On a le résultat mais on ne sait pas l'écrire" (elles veulent, semble-t-il, reproduire l'expression parenthésée que donne DERIVE après simplification et avant développement).

Elles vont alors écrire successivement : $2(3x - 4y - 3 = -2)$, ce qui correspond au calcul de $2(equa - 3)$, puis $6x - 8y - 6 = -4$, puis conclure que normalement, ça doit être ça. S. dit : "On peut toujours vérifier avec DERIVE et, si c'est pas bon, on recommence." T. proteste que ce n'est pas ce qu'il faut faire. Mais, finalement, elles le font et passent en DERIVE. Elles entrent successivement :

$$ \#1 : \text{equa} := 3x-4y=1 $$

$$ \#2 : 2*equa-3 $$

et obtiennent, par simplification :

$$ \#3 : 6x-8y-3=-1 $$

S. remarque qu'elle avait bon finalement au tout début, puis elle dicte à T. ce qu'il faut écrire sur le compte-rendu : $(6x - 8y = 2) - 3$ puis : $6x - 8y - 3 = -1$. Ensuite, elles effacent rapidement l'écran de DERIVE et passent à la suite.

### Exercice 2 (≈ 10mn) :

S. lit le texte pendant que T. prépare le tableau, puis elle rentre l'équation. Elle a des doutes et dit : "Il doit y avoir un truc. Faut pas diviser quand même !" Elle réfléchit puis ajoute : "Je me vois mal diviser ça (l'équation : $12x - 30y = 48$) par ça : 6. Et elle répète : "Il doit y avoir un truc."

Elle commence à dire que l'exercice n'est pas pour elles, hésite encore, puis se décide à essayer quelque chose qui, à son avis, ne va pas marcher. Elle tape alors :

$$ (6x - 15y = 24)/(2x - 5y = 8) $$

L'affichage donne le quotient des deux équations. Elle simplifie et obtient : $3 = 3$. Les deux se mettent à rire. T. dit à S. d'essayer de faire la première pareil, pour voir, puisqu'on leur donne la réponse. S. le fait et obtient cette fois-ci : $6 = 6$. Elles sont alors convaincues d'avoir trouvé le truc.

Le professeur passe à ce moment là et leur demande comment elles interprètent ce 6. Elles ne comprennent pas bien la question qui leur est posée et expliquent ce qu'elles ont fait. Le
professeur leur dit qu'elles ont eu une idée intéressante et les aide à interpréter ce qu'a fait
DERIVE puis il s'en va.

T. dit que, du coup, pour la suivante, ça doit être : 3 et elle l'écrit. S. est d'accord. T. lui dicte
le quotient des deux équations suivantes à rentrer sous DERIVE. Elles entrent par erreur :

$$
-10x + 25y = 40 \text{ au lieu de } -10x + 25y = -40, \text{ et obtiennent, en simplifiant le quotient } 5=-5
$$

Ceci les fait rire, une fois de plus, et S. conclut que c'est : -5 puisque -5*2 = -10 (elle regarde
alors uniquement les coefficients de x).

Elles rentrent ensuite l'équation et le quotient suivant, en rajoutant des parenthèses autour de la
fraction 15/2. Elles procèdent en deux temps, entrant d'abord l'équation. Visiblement l'écriture
préliminaire de l'équation leur sert à tester ce parenthésage dont elles ne sont pas tout à fait
sûres. Elles obtiennent alors : 3/2 = 3/2.

S. revient à l'exemple précédent et dit qu'il y a un truc qu'elle ne comprend pas. Elle croyait que
la multiplication prenait tout, dit-elle, mais en fait elle ne prend que le premier terme. Parce
que, si on met -5, normalement, ça devrait faire : -40 et pas : 40. T. ne réagit pas. Voyant cela,
l'observateur intervient pour détromper S. et lui montrer son erreur de frappe dans l'exercice
précédent. Il confirme que la multiplication prend bien en compte toute l'équation.

Exercice 3 (≈ 7mn) :

S. efface et rentre les deux équations. T. commence à tracer le tableau. Puis elles font le travail
demandé, en se demandant pourquoi on les fait développer si ça ne change rien. Elles posent la
question au professeur qui passe et qui les rassure : oui, dans ce cas, le développement ne
change rien, c'est dû au fonctionnement de la syntaxe DERIVE. Elles constatent dans les deux
derniers cas la disparition des x et des y mais ne font pas plus de commentaire et notent les
résultats avant de passer à l'exercice suivant.

Exercice 4 (≈ 10mn) :

Trouver m et n ne leur pose pas de difficulté particulière. Elles rentrent 5*equal- 4*equa2, et
obtiennent, après simplification : 23x = 115. S. dit alors que ça pourrait faire : x = 115/23, mais
elle se demande si c'est bien ce que l'on attend d'elles puisque le texte mentionne : "après
simplification et développement". T. regarde ce que fait le groupe voisin. S. veut qu'elle écrive
directement : x = 115/23 mais T. lui dire de suivre les instructions et de développer.

L'observateur intervient alors pour leur dire de ne pas se préoccuper de ces instructions, que
l'objectif de l'exercice ce n'est pas ça, c'est de résoudre le système d'équations, de trouver x et
y.

Elles continuent alors et trouvent sans difficulté la valeur de y : -184/23. Elles constatent que
les dénominateurs sont les mêmes et qu'elles ont bien x et y. C'est la fin de la séance.

Groupe 2 :

Il s'agit d'un groupe de deux filles de la classe A de niveau moyen. Nous les désignerons par A.
et B.

Début de la séance :
Elles partagent l'écran en deux fenêtres, sans doute une réminiscence des séances proches de géométrie analytique et font les réglages puis elles passent à l'exercice 1.

### Exercice 1, partie 1 (≈ 15mn) :

Elles entrent l'équation : #1 : equa := 3x - 4y = 1, comme indiqué mais ne comprennent pas très bien ce qu'elles doivent faire ensuite. Alors elles tapent #2 : equa := -5, puis simplifient et obtiennent #3 : -5. Elles tapent ensuite #4 : equa -5, ce qui leur donne par simplification :

#5 : -10, puisque la définition de l'équation a changé. Ca ne leur convient pas et elles se sentent perdues.

A ce moment là, l'enseignant intervient collectivement pour expliquer ce que signifie l'écriture : equa - 8, ce que fait DERIVE et pour demander de réfléchir au lieu d'agir mécaniquement.

Elles effacent tout et recommencent, tapent cette fois :

$#1 : equa := 3x - 4y = 1$

$#2 : equa - 5$

et obtiennent, par simplification : -10, comme précédemment. Elles ne comprennent pas ce qui se passe et appellent le professeur qui diagnostique tout de suite un problème rencontré par plusieurs groupes. C'est un problème de syntaxe DERIVE : elles ont mis des intervalles entre les nombres et les lettres et l'ordinateur n'a pas lu correctement l'équation.

Elles effacent tout et recommencent. Cette fois-ci, tout se passe bien. B. complète son tableau et elles passent rapidement à la suite.

### Exercice 1, partie 2 (≈ 4mn) :

B. tape et remplit en même temps le tableau 2, sans rencontrer de problème particulier. A., de son côté, a décidé qu'elle préférait faire les opérations en P/C et ne regarde pas l'écran.

### Exercice 1, prévision (≈ 3mn) :

A. fait la question de prévision et écrit, sur le compte-rendu, après avoir montré à B :

$2*equa - 3$

$2(3x - 4y - 3) = -4 \rightarrow 6x - 8y - 6 = -4$ (en fait, elles ont fait comme le groupe 1 et calculé : 2(equa - 3) qui est bien sûr une équation équivalente)

Le professeur passe et leur demande si elles ont bien compris le codage : 2*equa - 3. Elles répondent que oui.

Elles se demandent si elles doivent vérifier avec DERIVE mais ce n'est pas explicitement demandé et elles ont perdu du temps au début alors elles préfèrent passer à l'exercice suivant.

### Exercice 2 (≈ 20mn) :

B. est toujours à la frappe et A. lit le texte. Elles discutent pour comprendre ce qu'il faut faire puis rentrent les deux équations. A. a l'idée de demander la factorisation de : 6x - 15y = 24. Elle obtient : $3(2x - 5y) = 2^3 \cdot 3$. Elle explique à B. : "Le contraire de développer, c'est factoriser. Tu peux diviser ça ($2^3 \cdot 3$) par ça (8) et ça te donne le numéro."

B. est moyennement convaincue et veut essayer autre chose. Elle tape :
$$-10x + 25y = 40 \text{ / equa}$$

Ca ne donne rien et elle revient à la stratégie de A. Pour cette équation, la factorisation donne :
$5(5y - 2x) = -2^3 \cdot 5$ et celle de la dernière équation : $3x - 15/2y = 12$ ne donne rien.

Elles ne savent pas en fait comment utiliser les résultats qu'elles obtiennent, bien que le premier soit très comparable au premier cas qu'elles avaient interprété, au changement d'ordre des termes et du signe du premier membre près. Elles réfléchissent et discutent longuement puis, au bout d'une dizaine de minutes, effacent tout et décident de travailler en P/C.

Elles travaillent en P/C, en gardant visiblement la stratégie de mise en facteur et en tentant de deviner les coefficients puis se fixent sur : 3, 5 (donc erreur de signe) et 3/2 (correct). Elles écrivent ces résultats.

Elles repassent ensuite en DERIVE pour vérifier. A. entre l'équation initiale puis une transformation incompréhensible (7/10 * equa ), développe, puis retape l'équation et enfin :
3/2 * equa.

Elle obtient l'équation cherchée et est satisfaite.

### Exercice 3 (~ 5mn) :

Rien de particulier à signaler dans cet exercice. Elles rentrent les expressions demandées et notent, tout en s'étonnant, comme le groupe précédent, qu'on leur demande de développer si ça ne change rien.

### Exercice 4 (~ 5mn) :

Elles observent que "les x et les y s'annulent alternativement" et se demandent comment elles peuvent écrire ça, s'il y a un nom spécial pour cette opération. Elles posent cette question au professeur qui leur répond que non. A aucun moment, elles ne font le lien avec la résolution du système. C'est la fin de la séance.

## ANALYSE A POSTERIORI

Dans cette situation, l'accent est mis sur le travail sur les équations. Il ne s'agit pas d'utiliser directement la capacité de DERIVE à résoudre des systèmes mais sa capacité à résoudre des équations pour organiser la résolution de systèmes. DERIVE permet de nommer l'équation et donc de la considérer comme un tout qui peut être soumis comme les expressions algébriques à des calculs. L'ambition est de lier les gestes de la résolution, souvent trop tôt mécanisés, à des opérations sur les équations.

La séance est organisée pour permettre aux élèves de se familiariser avec cette idée d'opérations avant de passer à la résolution de systèmes proprement dite. En fait, l'analyse des productions montre que 5 groupes sur 15 seulement feront la partie 5, au moins partiellement et que deux seulement aborderont la partie 6. De plus, on note que, pour les élèves, le lien avec la résolution des systèmes ne se fait pas spontanément. Dans l'exercice 4, où ils sont conduits implicitement à résoudre un système, les remarques des élèves, prouvent souvent, lorsqu'ils en font, qu'ils ne sont pas forcément attentifs à cet aspect. Plusieurs groupes écrivent par exemple que le développement donne le même résultat que la simplification. Il y a là un décalage avec ce que recouvrent ces termes dans leur environnement usuel qui les intrigue. Un groupe remarque que x et y n'ont pas les mêmes valeurs, trois que les x et les y disparaissent
alternativement et deux soulignent quand même que, du coup, on peut trouver facilement x et y.

Les observations des groupes montrent bien comment les élèves peuvent être facilement détournés du sens profond que l'on veut donner à la tâche, pour focaliser leur attention sur d'autres aspects auxquels nous resterions sans doute relativement indifférents, par exemple ceux liés au fonctionnement qui leur semble parfois un peu incompréhensible de DERIVE.

On retrouve aussi dans cette situation des phénomènes déjà rencontrés dans les séances précédentes. DERIVE incite au jeu formel et il n'est pas facile de contrôler la charge mathématique de ce jeu. Ceci est bien visible dans l'exercice 2 où les élèves doivent trouver les coefficients permettant de passer multiplicativement d'une équation à une autre. Les élèves vont essayer des choses sans trop savoir où cela peut les mener, simplement parce que DERIVE permet de le faire économiquement. Ensuite, ils examinent les productions, essayant d'en tirer des informations, en restant souvent au niveau des jeux de formes. Ce jeu possible et favorisé par DERIVE, de pêche un peu aveugle, que nous avons rencontré à diverses reprises au cours des observations, n'est pas forcément improductif, loin de là, comme on le voit avec le groupe 1. Ce groupe cherche un truc, tente la division des deux équations en pensant qu'elle ne va rien donné, récupère une trivialité surprenante : 3=3. Elles ne cherchent pas à en trouver la raison mais testent sa capacité à se reproduire sur un autre exemple et, quand elles obtiennent : 6=6, justement dans le cas où la réponse est donnée, elles sont convaincues d'avoir gagné. En faisant pareil, elles vont pouvoir répondre aux questions posées, trouver les nombres demandés ! Faisant une erreur de frappe, elles arrivent à : -5=5 et ceci ne les perturbe pas outre mesure : il y a toujours un invariant : 5, qui peut jouer le rôle joué précédemment par 3 et 6, il suffit de trier entre 5 et -5, ce qui est fait à partir des coefficients de x. Un moment plus tard, une élève du groupe reviendra sur cette égalité bizarre (d'autant plus bizarre peut-être que le professeur les avait aidées à lui donner un autre sens que formel) pour en conclure que finalement ce qu'elle croyait était faux, ce qui déclenchera la réaction de l'observateur.

Pour cet exercice, l'analyse des productions des élèves montre un nombre non négligeable de réponses 5 au lieu de -5 et, pour les groupes observés, un fonctionnement très majoritaire de pêche formelle s'appuyant sur l'utilisation de DERIVE.

Il aurait peut-être été souhaitable de ne pas se limiter dans cet exercice à un seul type de transformations et d'inclure également, pour forcer le raisonnement, des équations qui ne se ramenaient pas à l'équation initiale, par un des types de transformations introduits, en demander de trier entre les cas de possibilité et d'impossibilité, de façon justifiée (en donnant une transformation pour les réponses positives, une raison d'impossibilité sinon).

De façon générale, si l'on considère l'ensemble de la séance, on voit bien qu'elle amène les élèves à considérer les équations comme des entités accessibles au calcul algébrique et qu'elle remplit en cela son objectif principal. Mais, compte tenu des résultats des observations, il semble qu'il faudrait trouver un meilleur équilibre entre les tâches de pure exécution qui aident à rentrer dans le problème et les tâches qui exigent de l'élève plus d'engagement mathématique. De plus, la résolution des systèmes y arrive trop tard, après un exercice 4 qui, visiblement, n'apporte pas grand chose aux élèves. Il semble plus raisonnable soit d'organiser toute la séance autour du jeu sur les équations, en construisant des tâches de complexité variée, sans évoquer encore la résolution des systèmes, soit, si l'on pense pouvoir dès cette séance aborder la résolution, y entrer comparativement plus tôt, en limitant au strict nécessaire les taches d'exécution.
Il serait aussi souhaitable de ne pas rajouter aux difficultés de la séance, dans ce dernier cas,
des problèmes liés à ce que nous avons déjà qualifié de « pseudo-transparence » de DERIVE
(ici dans le fonctionnement des commandes de simplification et développement) qui,
visiblement, tendent à prendre le pas pour certains élèves sur l'enjeu mathématique réel et, bien
préciser, dans le tâches d'anticipation, que ce qui est demandé, ce n'est pas de reproduire le
cheminement DERIVE, mais de donner l'expression terminale réduite sans parenthèses.
# ANNEXE 1 : FICHE DISTRIBUEE AUX ELEVES

3ème

Travaux pratiques avec DERIVE

Résolution d'un système de 2 équations du premier degré à 2 inconnues

## Commandes et symboles à utiliser

Auteur : pour entrer une expression

dévEloppe : pour développer

Simplifie : pour simplifier ou modifier l'écriture d'une expression

résoL : pour résoudre une équation

suppRime : pour supprimer une ou plusieurs expressions

* : pour multiplier

/ : pour diviser

:" : pour donner un nom

Tu as déjà donné des noms à des points grâce au symbole :-. Aujourd'hui, tu vas utiliser ce symbole pour donner des noms à des expressions. Ces noms pourront, à leur tour, définir de nouveaux calculs.

## Exercice 1

Commence par écrire l'expression equa:=-3x-5y=1

Quand l'expression sera entregistrée, le nom equa désignera l'équation 3x - 5y = 1.

1) Reproduis le tableau 1 ci-dessous.

<table><thead><tr><td>Expression à écrire puis à simplifier avec DERIVE</td><td>Expressions obtenues</td></tr></thead><tbody><tr><td>equa - +5</td><td></td></tr><tr><td>equa - 8</td><td></td></tr><tr><td>equa - 1</td><td></td></tr></tbody></table>

Utilise DERIVE pour le compléter.

2) Voici 5 nouvelles expressions à écrire et à simplifier avec DERIVE. A chaque fois, le résultat sera développé.

<table><thead><tr><td>Expression à écrire</td><td>après simplification</td><td>après développement</td></tr></thead><tbody><tr><td>2*equa</td><td></td><td></td></tr><tr><td>5*equa</td><td></td><td></td></tr><tr><td>-3*equa</td><td></td><td></td></tr><tr><td>equa/4</td><td></td><td></td></tr><tr><td>3/4*equa</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Reproduis et complète le tableau.

3) Ecris, sans DERIVE, ce que donnera la simplification de l'expression 2*equa - 3

## Exercice 2

Supprime toutes les expressions utilisées puis écris equa:=-2x - 5y = 8

Reproduis et complète ce tableau.

<table><thead><tr><td>Pour obtenir</td><td>il faut multiplier les deux membres de l'équation 2x - 5y = 8 par</td></tr></thead><tbody><tr><td>12x - 30y = 48</td><td>6</td></tr><tr><td>6x - 15y = 24</td><td></td></tr><tr><td>-10x + 25y = -40</td><td></td></tr><tr><td>3x - 15/2y = 12</td><td></td></tr></tbody></table>

Vérifie avec tes résultats avec DERIVE.
### Exercice 3

Supprime toutes les expressions utilisées. Nomme *equal* et *equa2* les deux équations $3x - 4y = 7$ et $2x + 3y = 12$.

Le tableau qui suit présente 5 expressions à entrer et à simplifier. Pour les trois dernières, les expressions obtenues seront développées.

<table><thead><tr><td>Expression à écrire</td><td>après simplification</td><td>après développement</td></tr></thead><tbody><tr><td>*equal + equa2</td><td></td><td>-</td></tr><tr><td>*3*equal + 2*equa2</td><td></td><td></td></tr><tr><td>*-5*equal + 3*equa2</td><td></td><td></td></tr><tr><td>*3*equal + 4*equa2</td><td></td><td></td></tr><tr><td>*2*equal - 3*equa2</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Reproduis le tableau et utilise DERIVE pour le compléter.

### Exercice 4

Supprime toutes les expressions utilisées. Nomme *equal* et *equa2* les deux équations $3x - 4y = -17$ et $2x + 5y = 50$.

Simplifie et développe l'expression $5*equal + 4*equa2$.

Ensuite, simplifie et développe l'expression $2*equal - 3*equa2$.

Quelles remarques peut-tu faire à propos des expressions obtenues ?

### Exercice 5

Supprime toutes les expressions utilisées.

On considère le système :

$$2x - 5y = 12$$

$$3x + 4y = -5.$$

Nomme *equal* et *equa2* les deux équations $2x - 5y = 12$ et $3x + 4y = -5$.

1) Peux-tu trouver deux nombres *m* et *n* tels que l'expression *m*\*equal + *n*\*equa2 ne contienne plus la variable *y* après simplification et développement ? Si oui, résous l'équation en *x* obtenue. Que trouves-tu ?

2) Peux-tu trouver deux nombres *p* et *q* tels que l'expression *p*\*equal + *q*\*equa2 ne contienne plus la variable *x* après simplification et développement ? Si oui, résous l'équation en *y* obtenue. Que trouves-tu ?

### Exercice 6

Résous, avec DERIVE, chacun des systèmes qui suivent, en utilisant le méthode de l'exercice 5.

$$3x + 2y = 4$$

$$2x - 5y = 11$$

$$19x + 10y = 30$$

$$78x - 64y = 112$$

$$5x + 3y = 2$$

$$3x + 7y = 2$$

$$40x + 21y = 38$$

$$32x + 48y = -223$$

$$\frac{3}{4}x + \frac{4}{5}y = 1$$

$$\frac{2}{3}x - \frac{3}{4}y = -1$$

### Exercice 7

Applique la même méthode aux deux systèmes suivants :

$$3x - 2y = 5$$

$$-2x + 7y = -15$$

$$6x - 4y = 10$$

$$6x - 21y = -48$$

Quelles sont les indications données par DERIVE ? Peux-tu les interpréter ?
# ANNEXE 2 : FICHE ASSOCIEE AU TP COMPLEMENTAIRE SUR LA RESOLUTION GRAPHIQUE

3ème

Travaux pratiques avec DERIVE

## Résolution d'un système de 2 équations du premier degré à 2 inconnues

### Commandes à utiliser dans la fenêtre calcul

Auteur : pour entrer une expression

Simplifie : pour simplifier ou modifier l'écriture d'une expression

résoL : pour résoudre une équation

suppRime : pour supprimer une ou plusieurs expressions

graPh : pour ouvrir une fenêtre graphique

F3 : touche de fonction qui permet de recopier des expressions

: pour attribuer une valeur numérique à une variable

### Commandes à utiliser dans la fenêtre graphique

Algèbre : pour quitter la fenêtre graphique et revenir à la fenêtre calcul

Supprime : pour supprimer les tracés dans la fenêtre graphique

Rappelons qu'un double appui sur la touche P donne le tracé qui correspond à l'expression sélectionnée dans la fenêtre calcul.

Charge DERIVE et ouvre une fenêtre graphique (commandes graPh, à côté, colonnes: 40).

Règle l'échelle a x = 4 et y = 4 (commande Ech. du menu de la fenêtre graphique).

### Exercice 1

Entre les deux expressions suivantes:

$$ \# 1 \quad 3x - 2y = -1 $$

$$ \# 2 \quad 4x + 3y = 10 $$

1) Dans chaque cas, utilise la commande résoL pour exprimer y en fonction de x. Tu dois obtenir deux nouvelles expressions # 3 et # 4.

Sur ton compte-rendu, écris les résultats trouvés.

2) Avec la touche de fonction F3 (ou à la main), écris l'équation obtenue en égalant les deux expressions obtenues en # 3 et # 4. Résous cette équation. Quelle valeur de x trouves-tu ?

3) Avec le symbole :=, donne la valeur que tu viens de trouver à la variable x puis évalue y avec la commande Simplifie. Que touves-tu ?

4) Demande la dessin des droites dont les équations sont définies par les expressions # 3 et # 4.

Quelles sont les coordonnées de leur point de rencontre ?

Quel rapport vois-tu avec la solution du système constitué des deux expressions # 1 et # 2 ?

### Exercice 2

Utilise la méthode de l'exercice 1 pour résoudre graphiquement les systèmes

$$ 2x - 3y = -2 $$

$$ 5x + 3y = 1 $$

$$ -3x + 4y = 2 $$

$$ 3x - 4y = -5 $$

### Exercice 3

Applique la même méthode aux deux systèmes suivants:

$$ 3x - 2y = 5 $$

$$ -2x + 7y = -15 $$

$$ 6x - 4y = 10 $$

$$ 6x - 21y = -48 $$

Que peux-tu observer ? Calcule les coefficients directeurs de chaque droite ? Quelles conclusions peux-tu tirer de ces calculs ?
# ANNEXE 3 : LE PROBLEME DE LA VALIDATION
## (TEXTE REDIGE PAR L'ENSEIGNANT POUR LE GROUPE CALCUL FORMEL)

## Comment s'assurer qu'on a résolu correctement un système de deux équations du premier degré à deux inconnues ?

### La démarche classique

Pour résoudre un système, il existe trois méthodes de calcul différentes, deux méthodes par substitution et une méthode appelée **méthode par combinaison**. Mais, lorsqu'on applique l'une de ces méthodes à un système donné et qu'on obtient une réponse, qu'est-ce qui prouve que cette réponse est **unique** ? N'y a-t-il pas d'autres réponses possibles ?

En troisième, on peut répondre à cette question de trois façons différentes.

1) On peut raisonner par équivalences successives.

2) Si on sait que le système admet une solution unique, alors n'importe laquelle des trois méthodes exposées permet de la trouver.

3) La dernière approche suppose un travail en deux temps :

- s'il y a une solution au système, ce ne peut être que celle donnée par l'une des méthodes indiquées;

- il suffit alors de vérifier que les valeurs trouvées pour x et pour y vérifient effectivement le système proposé en remplaçant x et y par ces deux valeurs dans les deux équations qui composent le système.

### Critiques de ces trois approches

Dans la première démarche, il faut être capable de démontrer que deux systèmes sont équivalents. Ceci revient à prouver que l'ensemble des solutions du premier système est identique à l'ensemble des solutions du second. On est manifestement hors programme !

La seconde démarche semble inapplicable puisque l'étude générale d'un système

$$ax + by = c$$

$$a'x + b'y = c'$$

est elle aussi hors programmepas au programme

La troisième démarche quant à elle risque de créer chez nos élèves une confusion avec la vérification envisagée comme moyen de détecter d'éventuelles erreurs de calcul.

### Laquelle des trois ?

En général, c'est la troisième approche qui a les faveurs des manuels et des enseignants.

Rappelons-la sur un exemple. Il s'agit de résoudre la système suivant :

$$2x - 3y = 1 \quad (1)$$

$$5x + 2y = 12 \quad (2)$$

**Premier temps :** Supposons qu'il existe au moins un couple (x; y) solution du système. En adoptant une méthode de substitution, on peut écrire $y = \frac{2x-1}{3}$ ainsi que $y = \frac{12-5x}{2}$.

En égalant ces deux valeurs, on obtient une équation du premier degré à une inconnue :
$$\frac{2x-1}{3} = \frac{12-5x}{2}$$

On peut écrire successivement :

$$2(2x - 1) = 3(12 - 5x)$$

$$4x - 2 = 36 - 15x$$

$$4x + 15 = 36 + 2$$

$$19x = 38$$

On en tire $x = \frac{38}{19} = 2$.

En reportant cette valeur dans l'équation (1) on obtient $4 - 3y = 1$ d'où $y = \frac{2*2-1}{3} = 1$.

Nous savons alors que, si le système admet une solution, ce ne peut être que $x = 2$ et $y = 1$.
**Second temps :** Il faut vérifier que les valeurs trouvées constituent bien une solution du système.

**Conclusion :** Le système proposé admet une solution unique.

Une autre approche est possible

Cette méthode nous paraît passer "très au dessus de la tête des élèves". C'est pourquoi nous
lui préférerons une autre méthode basée sur la méthode graphique, plus parlante aux yeux
de nos élèves.

Reprenons le cas du système

$$
2x - 3y = 1 \quad (1)
$$

$$
5x + 2y = 12 \quad (2)
$$

De ces deux équations on tire respectivement y = $\frac{2x-1}{3}$ et y = $\frac{12-5x}{2}$ d'où y = $\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$ et
y = $\frac{-5}{2}x + 6$.

Les droites représentatives ne sont pas ni parallèles ni confondues car elles n'ont pas les mêmes coefficients directeurs. Elles ont donc un unique point de rencontre dont les coordonnées constituent alors LA solution du système. Nous sommes ramenés, en fait, à la seconde des trois méthodes.

On conçoit que la même démarche permette de montrer qu'un système est indéterminé ou sans solution. Quelques exemples "concrets" étudiés avec DERIVE permettront aux élèves de comprendre cela.!

En pratique, comment faire ?

Dans la pratique, on n'aura guère envie de calculer sans cesse les coefficients directeurs des
droites associées aux deux équations d'un sytème. Quelles justifications les élèves devront-ils
donner ? Nous proposons ceci :

Après avoir expliqué le problème sur quelques exemples, on pourra PRATIQUEMENT
se contenter du critère suivant :

* lorsqu'on rencontre, au cours de la résolution d'un système, une équation du genre $0x+0y=0$ c'est que le système est indéterminé;

* si on obtient une équation du genre $0x + 0y = k$ avec $k \neq 0$, c'est qu'il n'y a aucune solution;

* dans tous les autres cas, la solution calculée est unique.
# V. OBSERVATIONS AU LYCEE

Les quatre observations dont nous rendons compte ici ont été réalisées, comme nous l'avons précisé dans l'introduction de cette partie, dans quatre classes différentes, deux classes de Première et deux classes de Terminale. Deux autres observations ont été réalisées à ce niveau : l'une en classe de seconde, analysée de façon détaillée dans le rapport intermédiaire, l'autre, dans la classe de Première déjà citée, concernant l'étude de fonctions polynômes. Les données que nous avons recueillies sur cette dernière n'étant pas suffisantes pour permettre une analyse comparable à celle effectuée pour les autres observations, nous ne l'avons pas intégrée à ce rapport.

Les thèmes concernés sont les suivants :

* la factorisation des polynômes,

* la recherche de fonctions satisfaisant des contraintes données,

* la trigonométrie.

Les séances observées sont cette fois de durée variable, de une heure pour la première à quatre heures pour la dernière. Il faut souligner également que les élèves de la classe de Première et ceux d'une des classes de Terminale disposaient d'ordinateurs de poche (quadernos).

Nous reprenons pour présenter ces observations l'organisation utilisée dans la partie précédente.

## V.1 FACTORISATION DE POLYNÔMES

### CONTEXTE DE L'OBSERVATION

Cette séance a été observée le 14 janvier 1994, dans la classe de Première S. Les élèves disposaient chacun d'un micro-ordinateur quaderno avec DERIVE depuis le mois de décembre et ce dernier était utilisé couramment en classe. La séance est une séance de recherche qui fait suite à l'enseignement sur les polynômes. Elle avait déjà été expérimentée par un autre enseignant du groupe Calcul Formel de la DITEN, cette expérimentation étant relatée dans la brochure produite par le groupe (Hirlimann, 1994).

### PRÉSENTATION DE L'ACTIVITÉ PROPOSÉE

Il s'agit pour les élèves de trouver des factorisations du polynôme : $X^n-1$, pour n entier supérieur à 1. Ils travaillent par binômes et chaque groupe doit présenter les résultats obtenus sous forme de «présumés-théorèmes». L'enseignant précise qu'ils ne doivent pas se limiter à la présentation des résultats qu'ils savent démontrer et que tous les documents sont autorisés. Il demande aussi de commencer la séance par cinq minutes de recherche individuelle. Une séance de bilan collectif est prévue. Elle devrait conduire notamment à donner le statut de théorèmes du cours à un certain nombre de conjectures produites par les élèves.

### ANALYSE A PRIORI EFFECTUÉE PAR L'ENSEIGNANT

Objectifs :

Les objectifs de cette séance sont les suivants :
* permettre un réinvestissement des connaissances construites sur les polynômes dans une situation de recherche non guidée, complexe,

* générer des questions qui ne seront sans doute pas résolues pendant la recherche mais sur lesquelles on espère voir les élèves continuer à travailler, hors enseignement officiel, en profitant de la disponibilité permanente de DERIVE,

* permettre aussi aux élèves à l'occasion de cette recherche de s'approprier des heuristiques variées.

## Intérêt supposé de DERIVE :

L'enseignant voit un double intérêt à l'utilisation de DERIVE dans cette situation :

* à un premier niveau, en permettant d'obtenir rapidement de nombreux exemples de factorisations pour des valeurs variées de n, DERIVE peut aider à faire apparaître des régularités de formes et faciliter le travail de généralisation demandé,

* à un second niveau, l'enseignant estime que l'utilisation de DERIVE, dans cette situation de recherche très ouverte, doit permettre d'engager un travail sur les méthodes de résolution de problèmes.

L'enseignant pense également que certains élèves, comme dans l'expérimentation précédente de cette situation, sortiront du champ des seuls exposants entiers, par exemple en voulant généraliser à n quelconque la factorisation : $X^n-1 = (X^{n/2}-1)(X^{n/2} + 1)$. L'utilisation de DERIVE comme boîte noire, dans les cadres algébrique et graphique pourrait alors aider à poser la question du sens à donner à des puissances fractionnaires de X et engager un autre processus de généralisation.

## Connaissances DERIVE nécessaires :

Il s'agit essentiellement des commandes algébriques usuelles que l'on suppose familières à ces élèves qui disposent de DERIVE en permanence depuis un mois ainsi que des commandes de tracé graphique 2D déjà utilisées à plusieurs reprises, si les élèves décident de changer de cadre.

## Comportements, difficultés attendus :

Le problème posé est volontairement très ouvert. Selon l'enseignant, la proximité du cours sur les fonctions polynômes devrait faciliter la dévolution du problème et faire émerger la factorisation par $X-1$. En revanche, les dernières séances ont porté sur les limites (problèmes de définition et de recherche, avec interaction des cadres numériques et graphiques). Elles ne se situent donc pas en continuité directe avec le travail sur les polynômes et les élèves devront s'en détacher pour mener une recherche efficace.

Selon l'enseignant, les élèves pourraient découvrir les factorisations suivantes :

$$ \bullet \quad X^n - 1 = (X - 1)(X^{n-1} + X^{n-2} + \dots + 1) $$

$$ \bullet \quad X^n - 1 = (X^2 - 1)(X^{n-2} + X^{n-4} + X^2 + 1), \text{ pour } n \text{ pair} $$

$$ \bullet \quad X^n - 1 = (X^{n/2} - 1)(X^{n/2} + 1), \text{ pour } n \text{ pair} $$

et pour n impair :
$$ \bullet \ X^3 - 1 = (X - 1)(X^2 + X + 1) \text{ puis } X^{3P} - 1 = (XP - 1)(X^2P + XP + 1) $$

puis chercher des résultats analogues pour les multiples de 5, 7, 9 ...

Enfin la question déjà évoquée de la généralisation de la troisième formule à n impair pourrait conduire à des questions comme : quel sens donner à $X^{5/2}$, $X^{5/3}$ ... ?

Plusieurs relances sont prévues par l'enseignant, en cas de blocage de la recherche à un moment ou à un autre : «demander la forme du second facteur, proposer de distinguer les cas n pair et n impair, demander de chercher une factorisation avec des facteurs de degrés le plus proche possible l'un de l'autre.»

S'il pense que la séance devrait bien se passer et aboutir à d'intéressantes conjectures, l'enseignant s'interroge sur l'utilisation réelle que les élèves feront de DERIVE au cours de la recherche, sur la façon dont s'articulera le travail avec DERIVE et le travail P/C. Il se demande également si la familiarité acquise avec le logiciel, vu sa disponibilité permanente, va avoir une influence sur la recherche, en permettant de mieux cerner ses possibilités mathématiques.

## EXEMPLES DE DÉROULEMENT

### Groupe I :

Il s'agit de deux filles que nous désignerons par M. et R. Elles collaborent activement.

#### 14h10 :

Début de la séance. Le professeur présente la séance et le travail demandé.

#### 14h15 :

R. feuillette son cours sur les polynômes. M. écrit l'énoncé du problème puis lance DERIVE. Elle coupe l'écran en deux fenêtres : une fenêtre algébrique et une fenêtre graphique, comme elle l'a fait lors des séances précédentes sur les limites. Dans la fenêtre d'algèbre, elle entre le polynôme $x^2-1$ et le fait factoriser, obtenant : $(x-1)(x+1)$, puis le polynôme $x^3-1$. La factorisation par défaut choisie lui donne $(x-1)(x^2+x+1)$. Elle demande alors la factorisation de cette expression et réobtient la même expression.

R. lance à son tour DERIVE mais sans partager l'écran, puis se lance dans l'exploration systématique des factorisations de $x^n-1$, à partir de $n=3$. Elle obtient ainsi les factorisations :

$$ \bullet \ x^{3}-1 = (x-1)(x^{2}+x+1) $$

$$ \bullet \ x^{4}-1 = (x-1)(x+1)(x^{2}+1) $$

$$ \bullet \ x^{5}-1 = (x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1) $$

M., après avoir souligné le titre sur sa feuille, regarde ce que fait R. et elles se mettent à travailler ensemble, chacune devant son écran, M. écrivant au fur et à mesure les résultats obtenus sur son cahier.

#### 14h20 :
R. n'est pas satisfaite de la factorisation obtenue pour $x^5-1$ et propose de demander la factorisation de cette factorisation. M. lui fait alors remarquer que dans toutes les expressions, il y a le facteur $(x-1)$.

Le professeur passe et elles lui demandent si c'est toujours «x exposant quelque chose moins 1» qu'il faut considérer. Il confirme et s'en va.

R., reprenant l'exploration systématique, fait alors factoriser $x^6-1$, obtenant :

$$ \bullet (x-1)(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1). $$

Elle montre les deux premiers facteurs à M. qui fait le rapprochement avec le début de la factorisation de $x^4-1$.

M. reprend à son tour DERIVE et fait factoriser $x^5-1$ en choisissant cette fois l'option «Radical». Elle obtient :

$$ \bullet (x-1)[x^2+x(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2})+1][x^2+x(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2})+1]. $$

Elle montre le résultat obtenu à R. en lui disant qu'il est trop compliqué et décide de repasser à l'option «Rationnel». Elle fait ensuite à son tour factoriser $x^6-1$, remarquant que la machine met cette fois-ci un peu plus de temps.

R., pendant ce temps, a fait factoriser $3x^5-1$ « pour voir ce que ça donne », deux fois, en ne changeant pas d'option, sans rien obtenir.

14h25:

Elles repassent toutes deux en P/C. M. note la factorisation de $x^6-1$ puis elles regardent le cahier de M. Elles repèrent qu'il y a toujours un facteur $(x-1)$ et lorsque n est pair, un facteur $(x+1)$, mais elles n'arrivent pas à déduire de ces régularités un présumé-théorème comme demandé. Elles décident de continuer l'exploration.

M. constate alors que sa machine est bloquée. Elle appuie sur diverses touches sans succès, pour essayer de la débloquer.

Le professeur passe à ce moment là. M. ne signale pas le blocage de la machine et R. lui demande : «x, c'est toujours 1 ?». Devant l'incompréhension de l'enseignant, elle montre ses essais avec $3x^5-1$. Il réalise alors qu'elle veut parler du coefficient de $x^n$ et confirme que l'on se place bien dans le cas où le coefficient est égal à 1. R. conclut alors : «Sinon, sans doute ce ne serait pas possible», interprétant ainsi, nous pensons, le fait qu'elle n'ait rien obtenu lors de ses essais.

M. demande s'il faut «chercher une généralité». Le professeur confirme qu'il faut essayer de trouver un résultat assez général puis s'en va.

R. propose alors d'essayer $x^8-1$. M., qui a toujours sa machine bloquée, l'éteint, ouvre le boîtier de piles, bouge les piles, referme et relance la machine qui redémarre puis DERIVE.

Pendant ce temps, R. a factorisé $x^8-1$ et $x^9-1$, obtenant :

$$ \bullet (x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1) $$

$$ \bullet (x-1)(x^2+x+1)(x^6+x^3+1). $$
Elle fait remarquer à M. que la factorisation de $x^9-1$ débute comme celle de $x^3-1$ puis décide d'essayer $x^{10}-1$. M. estime «qu'elles tournent autour du pot» mais essaye elle aussi, s'attendant à ce que la machine fournisse la factorisation de $x^5-1$ plus d'autres termes. Elles obtiennent :

$$ \bullet (x-1)(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1) $$

ce qui, a priori, confirme la conjecture faite mais sont alors frappées par l'alternance de signes du troisième facteur. Elles reviennent aux factorisations précédentes pour voir si le même phénomène s'est déjà produit et repèrent alors que l'alternance de signes est aussi présente dans la factorisation de $x^6-1$. Elles essaient de formuler cette régularité sous forme de règle, en cherchant un rapport entre les deux cas, puis concluent que l'on change de signe quand on passe du simple au double.

Elles ne cherchent pas vérifier plus avant cette conjecture invalidée par le passage de 4 à 8 par exemple et M. propose de séparer les exposants pairs des exposants impairs. Elle fait remarquer que les impairs, on a «x-1 puis quelque chose de degré -1 et ensuite toujours positif». M. et R. vérifient sur l'écran de R. que ça marche bien pour $x^9-1$, en additionnant les degrés des facteurs autres que x-1 et M. propose de l'écrire.

14h35 :

En fait, elles décident de commencer à écrire un présumé-théorème pour les entiers pairs. M. le formule ainsi : «Lorsque n est pair, on a une fonction de la forme $f(x)=(x-1)(x+1)$ ensuite la moitié» (fonction est dit à la place de factorisation comme dans le titre de la séance qu'elle a recopié sur sa feuille). Elle décide ensuite de vérifier pour 6 et s'aperçoit que ça ne marche pas. R. rectifie aussitôt : «Si, ça marche, 6-2, c'est 4 et on divise par 2, ça fait 2 et c'est bon» (elle montre pour appuyer son raisonnement les termes de plus haut degré de chaque facteur). Elle vérifie ensuite sur sa feuille pour $x^4-1$, M. propose de le faire aussi pour $x^{10}-1$. Elles sont alors satisfaites et aboutissent à la règle :

«Pour n pair : $(x-1)(x+1)$ ça fait toujours 2 et les deux autres c'est la division par 2 de ce qui reste».

M. propose de tester la règle avec $x^{12}-1$ et elles le font chacune de leur côté, obtenant :

$$ \bullet (x-1)(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)(x^2+1)(x^4-x^2+1). $$

Elles sont déçues car leur règle ne marche plus alors qu'elle marchait jusqu'à 10 (elle ne marchait pas non plus pour $x^4-1$ mais elles ne s'en sont pas aperçu). M. essaie alors $x^{14}-1$ :

$$ \bullet (x-1)(x+1)(x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) $$

et est un peu étonnée car «ça redevient normal». Elle fait aussi remarquer à R. que, lorsque ça marche, il y a toujours des «x truc plus ça descend plus x plus 1». Elles ne savent trop quoi faire de ce qu'elles ont trouvé, se retournent pour voir ce que font les élèves du groupe de derrière mais ne peuvent rien voir à cause des écrans. Elles se décident alors à appeler le professeur.

Le professeur arrive et M. essaie de lui expliquer ce qu'elles ont trouvé pour n pair : «ça fait :

$(x-1)(x+1)$, quand on développe, ça fait $x^2$. L'enseignant, qui n'a pas de raison de savoir qu'elle raisonne sur les degrés, s'étonne. M. explique alors qu'elle ne regarde que le degré en montrant les deux facteurs x, puis explique le partage en deux des termes restants, tout en
signalant qu'elles ont trouvé des exceptions. Ses explications sont très sibyllines et le professeur demande de préciser. M. reprend, toujours très elliptique, en montrant les termes de plus haut degré, calculant sur les degrés sans dire clairement ce dont elle parle. Le professeur se fait réexpliquer une fois de plus puis reformule : «tu veux dire que quand on a une puissance paire on va pouvoir mettre $(x-1)(x+1)$ en facteur et qu'ensuite on a des facteurs, des termes en $x^2...$». M. réplique, en montrant le cas n=14 que ce n'est pas nécessairement en $x^2$. Le professeur leur demande alors d'essayer d'écrire ce qu'elles ont dit et de voir le domaine de validité, puis s'en va.

### 14h50 :

R. fait factoriser par DERIVE : $x^{16}-1$, obtenant : $(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)$. Elle regarde l'expression, perplexe, puis repère que : $2+4+8=14$. M. regarde, trouve cela normal puis commence à écrire sur la feuille de bilan qui, pour l'instant ne contient que les exemples de factorisation de $x^{2}-1$ à $x^{6}-1$ :

$$n=2 \quad f(x)=(x-1)(x+1) \\ x^2$$

$$n=6 \quad f(x)=(x-1)(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1) \\ x^2 \qquad x^4 \\ x^6$$

R. proteste devant les accolades car le produit ne concerne que les termes de plus haut degré.

M. rajoute alors $x^2$ = degré, puis elle continue :

«$x^{6-2} \rightarrow x^4 \rightarrow x^4:2 \rightarrow 2$ parenthèses de degré $x^2$».

R. fait remplacer « :» par «/» et «parenthèse» par «facteur», puis elles décident d'écrire aussi la factorisation pour n=14 qui marche de la même façon.

Elle l'écrit donc puis complète par :

«$x^{14-2} \rightarrow x^{12} \rightarrow x^{12:2} \rightarrow 2$ facteurs de degré 6».

R. contrôle ce qui est écrit.

### 14h55 :

M. dit que ça ne marche pas pour 12 et R. qui remonte sur son écran, que ça ne marche pas non plus pour 8. M. conclut qu'il doit s'agir de cas particuliers. Finalement elles écrivent :

«En fait, d'après tous les exemples pris, on a affaire à des cas particuliers mais une chose est certaine, c'est qu'ils commencent tous par $(x-1)(x+1)$ pour n pair.»

Elles décident ensuite de faire vite les impairs. M., après avoir regardé sa feuille écrit :

«Lorsque n est impair, la fonction (R. fait corriger en la factorisation) est de la forme :

$(x-1)(x^{n-1}+...+x+1)$»
Elle se demande ce que ça donnait pour 9. R., en remontant les écrans, trouve la factorisation correspondante et constate que ça ne marche pas. M; rajoute alors sur la feuille :

«ne marche pas dans tous les cas

$$ex : f(x)=x^9-1$$

$$f(x)=(x-1)(x^2+x+1)(x^6+x^3+1)$$
multiples»

C'est la fin de la séance.

## Groupe 2 :

C'est un groupe de deux garçons que nous noterons respectivement A. et B. Ils sont filmés pendant cette séance.

### 14h15 :

Ils regardent l'énoncé et le recopient sur leur feuille. A. ouvre DERIVE et commence à faire des essais, factorisant successivement : $x^2-1$, $x^3-1$, $x^4-1$ et $x^5-1$ (factorisation rationnelle). B. regarde ce que fait A. et son écran. A. écrit ces factorisations sur sa feuille puis ajoute :

$$\bullet x^{n-1} = (x-1)(x^{n-1} + \dots)$$

B. recopie cette formule générale que A. entre sous DERIVE telle que.

L'enseignant passe et demande : «Est-ce la seule factorisation, peut-on en trouver d'autres ?» puis précise : «Il peut y en avoir plusieurs.»

A. et B. reviennent sur les différentes écritures obtenues sur l'écran.

### 14h25 :

A. envisage de distinguer les deux cas : n pair et n impair. Il décide de faire factoriser par DERIVE : $x^9-1$. Pendant ce temps, B. écrit extensivement ce que donne la formule générale trouvée dans ce cas : $(x-1)(x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$.

A. recopie la factorisation obtenue par DERIVE, B. aussi puis il entreprend de vérifier en P/C que la factorisation donnée par DERIVE est compatible avec celle dérivée de la formule générale.

Pendant ce temps A. fait factoriser $x^{13}-1$ et retrouve la formule générale, puis il revient à n=4 en essayant cette fois l'option de factorisation : «Radical». La factorisation est la même et il fait alors un essai avec $x^7-1$, obtenant :

$$\bullet x^7-1 = (x-1)[2x\sin\frac{\pi}{14}+x^2+1][2x\cos\frac{\pi}{7}+x^2+1]=-2x\sin\frac{3\pi}{14}+x^2+1]$$

Cette expression les laisse perplexes et ils reviennent à l'option «Rationnel» pour factoriser :

$x^{12}-1$. Ils notent tous les deux la factorisation obtenue.

### 14h32 :
Le professeur passe et leur suggère de chercher des factorisations avec des facteurs de degrés proches : « Essayez de factoriser en deux polynômes de degrés proches. Avec $x^7-1$, vous avez... Mmmh. ; j'aimerais avoir un certain équilibre au niveau des polynômes facteurs. »

B. se répète la consigne : « polynômes de même degré ». A. fait divers essais de division de polynômes avec DERIVE :

$$ \frac{x^2-1}{x^2} $$

$$ \frac{x^3-1}{x^2+1} $$

$$ \frac{x^2+x+1}{x+1} $$

mais la simplification ne donne rien de particulier.

Il revient alors aux factorisations et vérifie avec DERIVE que : $x^4-1 : (x^2-1)(x^2+1)$.

Pendant ce temps, B. divise à la main $x^2+x+1$ par $x+1$ et obtient $x$ comme quotient et $1$ comme reste.

A. obtient, sans que l'on sache comment : $(x^3+2x^2+2x+1)(x^3-2x^2+2x-1)$ comme factorisation de $x^6-1$. Il l'écrit sur sa feuille et B. aussi.

A. vérifie ensuite que : $x^8-1 = (x^4-1)(x^4+1)$

Il recopie puis écrit dessous la formule générale :

$$ \bullet \ x^{2p-1} = (x^{2p/2}-1)(x^{2p/2}+1). $$

14h35 :

Le professeur arrive et dit : « Il faudrait trouver différents types de factorisations... »

A. propose : « Si l'exposant est pair... »

L'enseignant reprend : « Il existe différents cas : exposant pair, impair... »

A. rajoute : « Si l'exposant est une puissance de deux ? »

L'enseignant demande alors de préciser le vocabulaire : puissances, multiples...

Par analogie avec l'égalité écrite pour $x^8-1$, ils vérifient successivement avec DERIVE que :
$$ x^{16}-1 = (x^8-1)(x^8+1) \text{ puis que } x^{24}-1 = (x^{12}-1)(x^{12}+1). $$

A. satisfait écrit alors : $x^{2k}-1 = (x^k-1)(x^k+1)$, puis comme B. lui signale que ça ne marche pas pour le cas impair, il rajoute :

$$ \iff x^{n}-1 = (x^{n/2}-1)(x^{n/2}+1) $$

et souligne en rouge cette dernière relation.

14h45 :
A. revient à DERIVE et fait factoriser $x^7-1$, obtenant la factorisation canonique. Il veut refactoriser le second terme, mais n'obtient rien de plus. Après avoir réfléchi, il remonte alors à la première expression trouvée, avec l'option de factorisation «Radical», sans trouver comment l'exploiter. B., pendant ce temps, repasse en P/C et développe : $x^3-1$ en :

$$ \bullet x(x-1)(x+1+\frac{1}{x}) $$

puis s'arrête pour suivre ce que fait A.

A. entre sous DERIVE de nouveau $x^7-1$, puis $x^{2,5}x^{2,5}$, fait simplifier cette expression et obtient : $x^5$. Très excité par le résultat obtenu, il appelle l'enseignant et lui demande ce qu'est : $x^{2,5}$. L'enseignant explique que DERIVE calcule en utilisant la formule $x^n x^p = x^{n+p}$, leur dit d'essayer de regarder, puis repart.

B. écrit en marge de sa feuille : $x.x.x/2$ A. n'est pas d'accord et écrit, de son côté : $x^2 \cdot x^{1/2}$, puis, dessous : 4 et $\sqrt{2}$ (il a sans doute remplacé mentalement x par 2). Il ajoute ensuite : $\sqrt{x}$ à côté de $x^{1/2}$ et dit :

«$x^{1/2}$ c'est $\sqrt{x}$ si on réfléchit bien».

Pour vérifier, il fait calculer à DERIVE : $4^{2,5}$ et obtient 32. C'est la fin de la séance.

## ANALYSE A POSTERIORI

Les deux déroulements décrits montrent clairement un phénomène important : le fait que, dans l'environnement DERIVE, l'activité proposée est susceptible de deux interprétations distinctes :

* produire des présumés-théorèmes sur les factorisations produites par DERIVE,

* produire des présumés-théorèmes de façon générale, sans s'assujettir aux productions de DERIVE.

La grande majorité des groupes semble-t-il, au vu des productions écrites, se situe dans la deuxième interprétation, sans que l'on puisse savoir exactement comment ont pesé sur l'activité du groupe les factorisations fournies par DERIVE. Le groupe 1 observé est, en revanche, celui qui semble le plus assujetti à l'environnement DERIVE.

Si l'on revient à l'analyse a priori et aux prévisions effectuées, il apparaît de manière claire que ces prévisions ne prennent en compte, ni cette possibilité de double interprétation, ni même le fait que les conjectures attendues ne correspondent que rarement à des factorisations directement accessibles par l'une des options de la commande Factorisation de DERIVE et que donc, leur production va nécessiter un distanciation des factorisations DERIVE et un travail mathématique spécifique. Tout se passe un peu comme si l'environnement DERIVE n'introduisait pas de spécificité par rapport au savoir en jeu.

De fait, cinq possibilités de factorisations sont offertes par DERIVE : trivial, sans carré, rationnel, radical et complexe, celle par défaut étant la factorisation rationnelle<fnref n="15" />. On peut

<footnote n="15">¹⁵La factorisation triviale, dans le cas de polynômes qui nous intéresse ici réalise les mises en facteurs de nombres et de puissances des variables (ex : $2x^3-12x^2+18x \rightarrow 2x(x^2-6x+9)$ ; la factorisation "sans carrés" complète la factorisation triviale et met en facteur les puissances de</footnote>
penser que les élèves vont très vite se limiter, quelle que soit l'interprétation donnée à la tâche, comme on le voit ici, aux factorisations rationnelles, les plus riches et parlantes à la fois, à leur niveau.

Or ces factorisations, comme nous l'avons indiqué, sont rarement celles correspondant aux conjectures attendues :

• la factorisation canonique par $(x-1)$ n'est obtenue que pour n premier,

• la factorisation en trois termes pour n pair n'est obtenue que pour $n=4$ et sous une forme, vue la faible valeur de n : $(x-1)(x+1)(x^2+1)$ qui ne rend pas évidente la généralisation,

• la factorisation en $(x^{n/2-1})(x^{n/2}+1)$ pour n pair, n'est obtenue que pour $n=2$, donc sous une forme elle aussi peu propice à la généralisation.

La production de ces conjectures suppose donc, si l'élève veut exploiter l'environnement DERIVE, un travail spécifique à partir des productions DERIVE. Ce travail peut consister par exemple à combiner des facteurs pour effectuer des produits partiels, mentalement, par écrit ou en utilisant DERIVE (il faut souligner à ce sujet que la représentation interne des expressions algébriques sous DERIVE en arborescence ne permet pas de sélectionner librement plusieurs facteurs contigus ou non pour effectuer ces produits, ce qui rend techniquement relativement coûteuse cette stratégie). On peut aussi faire effectuer par DERIVE les divisions correspondantes et demander la simplification du résultat obtenu. Quel que soit le mode de fonctionnement choisi, ceci nous semble conduire à un travail sur les expression algébriques et polynômes mathématiquement non négligeable, différent de celui qu'induirait le travail sur le même problème dans un environnement usuel.

Même si nous disposons, via les productions écrites de renseignements limités sur le travail réel des différents groupes, l'analyse des conjectures produites laisse penser que ce travail a bien eu lieu. En effet, presque tous les groupes ont formulé le théorème correspondant à la factorisation par $(x-1)$, en le présentant vrai pour tout n ou seulement pour les n impairs. En général l'écriture générale associée est développée sous la forme : $(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)$, le nombre de termes explicités pouvant varier au début et à la fin de l'expression. On note une erreur (fin en $x_0+1$) et une écriture correcte en $\Sigma$.

La formule est, dans un seul cas, justifiée en référence au fait que 1 est racine du polynôme $x^{n-1}$. En général elle est soit illustrée par des exemples où la factorisation DERIVE est justement la factorisation canonique, soit instanciée sur quelques cas sans que l'on sache comment les résultats correspondants ont été obtenus. Parfois, la factorisation DERIVE est donnée sur quelques exemples à partir de $n=2$ puis égalée à la factorisation canonique.

Plusieurs groupes ont aussi formulé des théorèmes concernant le cas où n est pair :

• la formule $(x-1)(x+1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)$ est proposée par un groupe à partir visiblement du cas $n=6$

• la formule : $x^{2n-1}=(x^{n-1})(x^n+1)$ est proposée par trois groupes,

<footnote>sommes ou les produits des sommes de puissances différentes (ex : $x^4+2x^3-3x^2-8x-4 \rightarrow (x+1)^2(x^2-4)$ ; la factorisation radicale ajoute à la factorisation rationnelle la possibilité d'introduire des coefficients irrationnels (ex : $x^2-2 \rightarrow (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$).</footnote>
* la formule $x^{n-1}=(x-1)(x+1)(x^{n-2}+x^{n-4}+...+1)$ est proposée par deux groupes, cinq autres en proposant des variantes erronées (terminaison en $x+1$ ou $x_0+1$, présence de tous les exposants à partir de $n-1$ ou $n-2$),

* deux groupes enfin, dont le groupe 1 observé, se bornent à signaler la factorisation possible par $(x-1)(x+1)$ ou $(x^2-1)$.

Là encore, les justifications se limitent à des exemples dont on ne sait pas toujours comment ils ont été produits, lorsqu'ils ne correspondent pas aux factorisations DERIVE et sont donnés sans explications.

On ne trouve pas en revanche de formulation de présumés-théorèmes concernant d'autres catégories comme nombres premiers, puissances de 2, multiples de 3,...

Pour les élèves qui interprètent la tâche comme «produire des conjectures sur les factorisations données par DERIVE», il est plus difficile encore d'avancer et dépasser des conjectures limitées comme : on peut toujours factoriser par $(x-1)$ et, pour n pair, par $(x+1)$, conjectures qui; on le voit pour le groupe 1 observé, sont considérées par les élèves comme «inabouties». Il est hors de question en effet de les voir reconstruire la théorie mathématique associée à ces factorisations qui est celle des polynômes cyclotomiques<fnref n="16" />, ni retrouver l'algorithme implémenté sous DERIVE pour obtenir cette factorisation qui passe, lui, par des factorisations intermédiaires dans $Z/pZ$ (cf. la brochure DITEN citée plus haut, p.33-37).

Pour ces élèves de première, DERIVE ne peut fonctionner que comme une boîte noire productrice de résultats divers dans lesquels il s'agit de repérer des régularités et ce repérage n'a rien d'évident, les conjectures tentantes étant, de façon décourageante, démolies dès qu'on les teste un peu sérieusement, comme le montre le travail du groupe 1.

L'identification de régularités résistantes suppose d'abord l'abandon de la recherche d'une forme générale, y compris pour les catégories : n pair et n impair, ce qui n'est pas nécessairement considéré comme légitime par les élèves, vu la formulation du problème et le niveau de généralité qu'ils peuvent attribuer à la notion de présumé-théorème, du fait de leurs expériences antérieures. Si ce pas est franchi, l'identification suppose aussi l'accessibilité de catégories de classification des nombres basées sur des propriétés numériques comme celles de divisibilité que les élèves actuels sont peu habitués à utiliser. En effet, par exemple :

* la factorisation canonique par $(x-1)$ est la factorisation rationnelle si et seulement si n est un nombre premier,

* la factorisation en 4 facteurs, pour n pair :

$$ (x-1)(x+1)(x^{n/2-1}-x^{n/2-2} + ...+1)(x^{n/2-1}+x^{n/2-2} + ...+1), $$

<footnote n="16">¹⁶si n>1, et si l'on désigne par $P_n$ l'ensemble des racines primitives de l'unité (c'est à dire l'ensemble des $e^{\frac{2ik\pi}{n}}$ tels que k et n soient premiers entre eux), le polynôme cyclotomique d'ordre n : $\Phi_n(X)$ est défini comme le produit des polynômes $(X-\xi)$ pour $\xi$ dans $P_n$. $\Phi_n(X)$ est dans $Z[X]$ et irréductible dans $Q[X]$ et $X^{n-1}$ est le produit des $\Phi_d(X)$ pour $d/n$. D'où la factorisation rationnelle maximale de $X^{n-1}$, qui est bien celle donnée par DERIVE.</footnote>
qui est en germe dans le travail du groupe 1, est la factorisation rationnelle, si et seulement si n/2 est premier. Il est donc normal que les élèves repèrent cette régularité pour n=6, 10, 14, mais qu'elle soit détruite par le test sur n=12,

* la factorisation rationnelle pour n de la forme $2^k$ est de la forme :

$$(x-1)(x+1)(x^2+1)\dots(x^k+1).$$

Soulignons que les élèves pourraient être tentés également, bien qu'on ne l'observe pas ici, par une conjecture sur les valeurs possibles des coefficients et postuler par exemple qu'ils ne peuvent prendre que les valeurs : 0, 1 et -1. Cette conjecture n'est pas vraie mais il n'y a pratiquement aucune chance que les élèves s'en aperçoivent puisqu'ils n'ont accès qu'à des validations pragmatiques et que le premier contre-exemple correspond à n=105.

Bien sûr, a posteriori, il semble raisonnable de penser que l'on obtiendrait un fonctionnement plus satisfaisant de la situation en ne laissant pas vivre au début de la recherche cette interprétation de la tâche qui, même si elle induit un travail réel, est peu gratifiante pour les élèves. En revanche, après une synthèse liée au travail effectué avec la première interprétation, il pourrait être tout à fait intéressant de relancer la recherche en posant le problème de la prévision des productions DERIVE. Il ne s'agirait pas là d'établir des conjectures mais plutôt, dans une sorte de travail de modélisation où les productions de DERIVE tiendraient lieu de «réel», de créer des modèles sous forme de techniques de factorisation qui permettent d'engendrer des factorisations DERIVE. On peut vérifier, en se référant à l'annexe page 161, que pour la quasi-totalité des factorisations jusqu'à n=30 par exemple, c'est une modélisation tout à fait réalisable en ne mettant en jeu qu'un petit nombre de techniques et règles.

Nous voudrions souligner à cette occasion que le problème de recherche posé ici nous semble intéressant dans la mesure où il permet effectivement, avec l'aide de DERIVE, d'engager les élèves dans une activité de recherche productive, à leur niveau. La productivité de cette activité de recherche ne se mesure pas uniquement à l'aune des conjectures trouvées. Pour nous, elle se situe plus encore à la fois dans la mise en place d'une attitude de recherche avec toutes ses caractéristiques, et dans le type de travail mathématique engagé par les élèves dans cette activité, à la fois liée à la progression de l'enseignement dans la classe, permettant son réinvestissement et en même temps permettant de développer un mode d'appréhension des polynômes important mais peu nécessité par les activités usuelles de ce niveau. Ici encore, de plus, il nous semble essentiel de ne pas en rester au niveau de la découverte mais de prolonger la séance, comme cela a été fait dans l'expérimentation menée, par un travail de retour sur la phase de découverte assistée par DERIVE, visant à obtenir des validations qui s'affranchissent de la dépendance de DERIVE (l'observation montre bien, comme l'on pouvait s'y attendre que ce besoin de justification n'émerge pas spontanément pendant la phase de découverte et nécessite donc une véritable dévolution, du fait de la rupture qu'il introduit). Même si ce travail est resté ici, faute de temps, relativement limité, l'expérience menée tend à montrer qu'il est tout à fait négociable (l'équivalence d'expressions algébriques de formes très différentes n'allant pas encore pour ces élèves de soi), à leur portée et que l'engagement du travail est facilité par la confrontation des différentes conjectures, certaines correctes, d'autres erronées<fnref n="17" />.

<footnote n="17">¹⁷Ce qui précède ne signifie pas qu'il faille systématiquement bannir toute activité de recherche qui ne permettrait pas une validation complètement indépendante de DERIVE mais que cette question de la validation doit être sérieusement prise en compte dans le choix des situations et dans les scénarios didactiques élaborés à leur propos.</footnote>