# OPTIMISATION FRACTALO-PULMONAIRE

Jérémy Girin, Yoann Le Henaff

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Jérémy Girin, Yoann Le Henaff. OPTIMISATION FRACTALO-PULMONAIRE. 2016. hal-01334838v2

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Preprint submitted on 17 Jan 2017

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# OPTIMISATION FRACTALO-PULMONAIRE

J'er'emy Girin, Yoann Le Henaff

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J'er'emy Girin, Yoann Le Henaff. OPTIMISATION FRACTALO-PULMONAIRE. 2016. <hal-01334838>

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Submitted on 21 Jun 2016

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# OPTIMISATION FRACTALO-PULMONAIRE

L'objectif de ces recherches est de montrer, à-travers trois exemples, l'optimisation naturelle des alvéoles dans un poumon. Pour ce faire, nous étudierons le nombre d'alvéoles que l'on peut mettre au maximum dans trois configurations alternatives.

Ces configurations alternatives sont les objets géométriques suivants :

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

L'éponge de Menger : nous partons d'un cube de longueur $L_0$, puis nous creusons ses faces de façon à obtenir un creux carré de côté $\frac{L_0}{3}$ au milieu de chaque face. Cette opération définit ainsi 8 carrés autour du creux, chacun d'arête $\frac{L_0}{3}$. Nous creusons de nouveau dans ces carrés, de façon à obtenir un creux carré d'arête $\frac{L_0}{3} = \frac{L_0}{9}$. L'éponge dite de Menger est l'objet que nous obtenons en répétant ces opérations un nombre infini de fois.

Le tétraèdre de Sierpinsky, nous partons d'un tétraèdre régulier d'arête initiale $L_0$, et à chaque itérations, on obtient 4 tétraèdres d'arête $L_0/2$ à la place du tétraèdre initiale. Le tétraèdre de Sierpinsky est l'objet que nous obtenons en répétant ces opérations un nombre infini de fois.

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

Les cubes de Cantor : nous partons d'un cube d'arête initiale $L_0$, puis nous le remplaçons par 8 autres cubes à chacune de ses extrémités, d'arête $L_0/3$. Les cubes de Cantor sont les cubes que nous obtenons en répétant ces opérations un nombre infini de fois.
## LE POUMON :

Le modèle de poumon considéré est un modèle simplifié : un poumon est considéré comme étant un pavé droit de 200mm de hauteur et de profondeur, et de 100mm de largeur. De plus, le nombre d'alvéoles dans un poumon humain est estimé entre 250 et 700 millions. Nous prendrons donc le chiffre de **250 millions** pour expliciter au mieux la différence entre une organisation alvéolaire efficace, et une peu efficace.

Une alvéole sera considérée comme une sphère de 0,1 mm de rayon, qui est donc contenue dans un cube de 0,2mm d'arête (on considère le cube car c'est l'espace qui va être occupé par une alvéoles lorsqu'elle va être accrochée sur les parois de l'éponge.

## L'ÉPONGE DE MENGER :

Le principe va être d'accrocher les alvéoles pulmonaires sur les surfaces des éponges. Le nombre d'éponges dans un poumon va être un paramètre qui va varier. De plus, on ne va pas remplir le poumon avec des éponges idéales (c'est-à-dire creusée à l'infini), mais avec des éponges creusées jusqu'à une certaine itération (que l'on va pouvoir calculer).

Il va donc falloir calculer le nombre d'éponges dans un poumon, ainsi que la surface qu'une éponge présente, afin de pouvoir calculer le nombre d'alvéoles dans un poumon.

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

### Nombre d'éponges dans un poumon :

On considère la configuration initiale suivante : on remplit le poumon (cadre noir) avec 4 éponges (arêtes rouges). Chaque éponge peut ensuite être considérée soit comme une éponges, soit comme 8 éponges plus petites (arêtes bleues). On définit ainsi le paramètre $N_{sous-divisions}$ qui donne le nombre de fois que l'on a divisé chaque éponge en huit, à-partir des 4 éponges initiales. On en déduit le nombre d'éponges en fonction du nombre de sous-divisions : $N_{éponges}=4*8^{N_{sous-divisions}}$

### Surface éponge :

On va considérer ici deux types de surface sur une éponge : la surface extérieure, qui correspond à la surface à l'extérieur du cube, et la surface intérieure qui se trouve à l'intérieur du cube, et qui est créée lorsqu'on creuse l'éponge.

### Surface extérieure :

La surface extérieure correspond à une face qui a été creusée $N_{max}$ fois, avec $N_{max}$ qui donne l'itération maximale, c'est-à-dire l'itération jusqu'à laquelle une alvéole ne rentre plus dans un creux (c'est-à-dire quand l'arête du creux est plus petite que l'arête du cube qu'occupe une alvéole).

En notant $L_0$ l'arête du cube qui va donner l'éponge, on a l'aire d'une face
$S_{ext} = L_0^2 * (\frac{8}{9})^{N_{max}}$, face. $L_0^2$ correspond à la surface totale d'une face, et $(\frac{8}{9})^{N_{max}}$ permet de prendre en compte la surface qui n'a pas été creusée lors de la construction de l'éponge. Et on a 6 faces extérieures :

$$S_{ext} = 6 * l_0 * (\frac{8}{9})^{\frac{N_2}{N_1}}$$

**Surface intérieure :**

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

Pour passer de l'itération i à l'itération i+1, on creuse le cube que l'on a l'étape i. On créé donc un arbre autour de chaque cube, composé de 6 cubes $L^i$ d'arête ___, chacun ne présentant que 4 faces sur lesquelles il est possible 3 d'accrocher des alvéoles.

De la même façon que pour la surface extérieure, on a

$$S_{\text{int.}} (i) = p(i) * (L_i^2 * (\frac{8}{9})^{\frac{i}{N}} - 0,2 * 4 * L_i)$$
face. L'apparition du terme

-0,2*4*Lᵢ s'explique par le fait qu'il ne faille pas que des alvéoles occupent le même espace (problème qui peut apparaître à la jonction entre 2 faces). On enlève alors l'espace qu'occuperait une alvéole dans le calcul de la surface utile afin que ce problème ne se pose plus.

Le terme $p(i)$ correspond à un pourcentage utile (cf. le paragraphe qui est dédié à son explication).

Pour avoir la surface totale présente à l'intérieur de l'éponge, on effectue la somme de toutes les surfaces intérieures.

**Calcul du nombre d'alvéoles :**

$$ \text{Le nombre d'alvéole par face est défini par : } N_{\text{alvéoles,face}} = \text{Ent} \left( \frac{S}{2} \right) \\ \text{On } \text{le nombre d'alvéole total : } N \\ = \text{Ent} \left( \frac{S_{\text{ext,face}}}{2} \right) * 6 + \sum_{i=1}^{\max} \text{Ent} \left( \frac{S_{\text{int,face}}}{2} \right) * (i) \\ \text{avec } N_{\text{alvéoles}} N_{\text{faces}} = 0,2 $$
$$N_{faces}=4*20i-1$$

## Calcul de l'arête des cubes :

Afin de pouvoir mettre des alvéoles sur toutes les faces des éponges, il faut les espacer d'au moins 0,4mm (pour pouvoir mettre des alvéoles sur les deux faces qui auraient été en contact). Il faut également mettre un espace de 0,2mm entre les alvéoles aux extrémités et la paroi du poumon. On a alors :

$$L = \frac{\text{hauteur poumon}-\text{espaceinter-éponges}}{\text{nombre d' éponges surlahauteur du poumon Nombred ' éponges surlahauteur du poumon}} = \frac{200-0,4*N_{\text{épongesenhauteur}}}{\text{N}_{\text{alvéoles sur arête rouge}}} = \frac{200-0,4*20}{20} = 10$$

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

## Calcul du pourcentage utile :

Le pourcentage utile définit la partie de la surface sur laquelle il est possible d'accrocher les alvéoles. Il est calculé en effectuant le rapport de l'aire occupée par les alvéoles et de l'aire d'une face. Le nombre d'alvéoles le long d'une arête est

$$N_{\text{alvéoles sur arête rouge}} = \text{Ent} \left( \frac{\text{bleue}}{L_{\text{alvéole}}} \right) . \text{L'aire occupée par}$$

les alvéoles est ($N_{\text{alvéoles sur arête rouge}} \ge 0,2$)² .

$$\text{Le pourcentage est donc } p = \frac{(N_{\text{alvéoles sur arête rouge}} \ge 0,2)^2}{(L_{bleue})^2}$$

L

On trouve au maximum 182 millions d'alvéoles, pour un nombre total de un million d'éponges environ éponges.

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Bleu : cube composant un arbre (vue du dessus)
Rouge: Volume occupé par alvéoles</figcaption></figure>
## II TETRAEDRE DE SIERPINSKY

Pour la comparaison avec le poumon, nous un pavé droit de dimension 20*20*10cm ce qui fait un volume de 4000cm³ soit 4l(similairement à l'éponge de Menger).

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

Considérons tout d'abord que la pyramide doit avoir approximativement le même volume que le poumon modélisé par le pavé droit :

### Volume initial à l'étape 0:

Soit l la longueur de l'arête du tétraèdre :

$$V = \frac{B \times h}{3}$$

$$V = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4} \times l^2 \times \sqrt{\frac{2}{3}} \times l}{3}$$

$$V = \frac{\sqrt{2}}{12} \times l^3$$

$$V_p = 4000 \text{ cm}^3 \Leftrightarrow l = \sqrt[3]{\frac{12}{\sqrt{2}}} \times 4000 \Leftrightarrow l \approx 32,4$$

Pour simplifier, nous prendrons $l=32,4 \Rightarrow V = \frac{\sqrt{2}}{12} \times 32,4^3 \approx 4008 \text{ cm}^3$

Le volume d'une alvéole (qui sont des sphères) est donc $V_a = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3$ avec un rayon alvéolaire de 0,1mm donc $V_a \approx 0,00419 \text{mm}^3$
## 1) comparaison pyramide alvéole

Dans cette première partie, nous allons considérer que les petites pyramides (pleines) formées sont les alvéoles, et nous allons tenter de me rapprocher de leur volume réel.

Le volume d'une des ces petites pyramides est définie selon la suite suivante que nous déterminons, avec l la longueur initiale des arrêtes du tétraèdre (dans notre cas 32,4cm).

$$V_n = \left(\frac{l}{2^n}\right)^3 * \left(\frac{\sqrt{2}}{12}\right)$$
Il faut résoudre pour avoir n tel que $V_n=Va$

Nous obtenons n environ égale à 10 (cela correspond à des alvéoles de 0,00373mm³

Au rang 10, nous avons 1048576 alvéoles (il y a une alvéole au premier rang, et 4 fois plus au rang n+1 qu'au rang n).

<table><thead><tr><td>Rang</td><td>Longueur l (arête des petits tétraèdres) en cm</td><td>Volume des petites pyramides</td><td>Nombre d'alvéoles</td></tr></thead><tbody><tr><td>10</td><td>32,4/1024</td><td>0,00373 mm³</td><td>1048576</td></tr></tbody></table>

Nous pouvons considérer que $4,19*10^{-3} \approx 3,73*10^{-3}$

Il y aurait donc 1048576 alvéoles dans un poumon, ce qui est très loin des 250 millions d'alvéoles présentes en réalité. Ce modèle pulmonaire n'est donc pas très efficace du point de vue du nombre alvéolaire.

## 2) Fixation des alvéoles sur les triangles

Nous allons maintenant voir s'il serait plus efficace de fixer les alvéoles sur la pyramide.

Par exemple, après la première itération:

Nous pouvons fixer une alvéole entre les quatre pyramides.

Pour calculer les dimensions de d'abord partie de la géométrie cercle inscrit: le diamètre de que celui du cercle inscrit aux qui composent ce tétraèdre:

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

cette alvéole, il faut plane, en se servant du l'alvéole sera le même triangles équilatéraux
<figure><img src="image_13.png" /></figure>

Pour un triangle équilatéral, le rayon du cercle inscrit vaut $R = \frac{L * \sqrt{3}}{6}$ pour un rayon de 0,1mm

$$L = \frac{0,1 * 6}{\sqrt{3}} \approx 0,346 \text{ mm}$$

Il faut donc chercher à obtenir une longueur l de côté pour les petits triangle égale à environ 0,346mm, toujours en partant d'un tétraèdre initial d'arête L=34,2cm.

Pour calculer le nombre d'alvéoles que nous pourrions pourrais fixer sur ce tétraèdre, nous élaborons une suite $U_n$ qui compte le nombre d'alvéoles en fonction du rang:

Au rang 1:

$$U_1 = 1$$

Il n'y a qu'un trou pour placer une alvéole

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

Au rang 2:

Nous avons 4 fois la dernière pyramide, et nous pouvons en plus en fixer au centre 3 alvéoles par faces intérieures (qui sont quatre) moins les 6 points de contactes où les alvéoles se chevaucheraient.
<figure><img src="image_15.png" /></figure>

Nous avons 4 fois la dernière pyramide, et nous pouvons en plus fixer au centre 3*3 alvéoles par faces intérieures (qui sont quatre) moins les 6 points de contactes.

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

$$U_2=4*1+3+3(3-2)$$

$$U_2=10$$

Au rang 3 :

$$\text{De même, } U_3=4*10+3*3+3(3*3-2)=70$$
Au rang 4:

$$U_4=4*70+3*3*3+3(3*3*3-2)$$

$$U_4=382$$

C'est encore la même chose.

Nous pouvons donc en déduire que : $U_{n+1}=4U_n + 3^n + 3(3^n - 2)$

Nous avons donc le tableau suivant:

<table><thead><tr><td>Rang</td><td>Longueur l</td><td>U<sub>n</sub> = nombre d'alvéoles</td></tr></thead><tbody><tr><td>0</td><td>32,4cm</td><td>0</td></tr><tr><td>1</td><td>32,4/2cm=17,1cm</td><td>1</td></tr><tr><td>2</td><td>32,4/4cm=8,55cm</td><td>10</td></tr><tr><td>3</td><td>32,4/8cm=4,275cm</td><td>70</td></tr><tr><td>4</td><td>32,4/16cm=2,138cm</td><td>382</td></tr><tr><td>5</td><td>32,4/32cm=1,069cm</td><td>1846</td></tr><tr><td>6</td><td>32,4/64cm=5,344mm</td><td>8350</td></tr><tr><td>7</td><td>32,4/128cm=2,671mm</td><td>36310</td></tr><tr><td>8</td><td>32,4/256cm=1,3336mm</td><td>153982</td></tr><tr><td>9</td><td>32,4/512cm=0,668mm</td><td>642166</td></tr><tr><td>10</td><td>32,4/1024cm=0,334mm</td><td>2647390</td></tr></tbody></table>

Nous pouvons considérer que 0,346mm est environ égale à 0,334mm

Nous pouvons également ajouter des alvéoles à l'extérieur, sur tous les triangles, il y en a $3^n$ par faces, donc on ajoute $4*3^n$, soit 236196

Avec cette seconde comparaison, il y aurait donc 2883586 alvéoles dans un poumon, ce qui est très loin des 250 millions d'alvéoles présentes en réalité. Ce modèle pulmonaire n'est donc pas très efficace du point de vue du nombre alvéolaire.
### III CUBE DE CANTOR

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

1) Si l'on considère qu'un cube correspond à une alvéole

Soit a, l'arête du cube initiale, le volume du cube est $V_0=a^3$.

Le volume d'un cube du premier rang est $V_1=\frac{a}{27}$

De même, le volume d'un cube du second rang est $V_2=\frac{27}{27}=27\frac{a^3}{2}$

Nous pouvons en déduire que le volume d'un petit cube en fonction du rang est de $V_n=\frac{a^3}{27}$

Nous voulons obtenir un volume proche de celui d'une alvéole réelle ; soit $V_a \approx 0,000419cm^3$. Nous partirons la encore de notre représentation théorique du poumon composée de 4 cubes de 10*10*10cm soit 1000cm³.

$$ \frac{100^3}{27^n} = 0,00419 \Leftrightarrow n \approx 5,9 $$

Il suffit donc de résoudre(en mm) : $\frac{100^3}{27^n} = 0,00419 \Leftrightarrow n \approx 5,9$

Cela signifie que pour avoir des cubes se rapprochant de la taille réelle des alvéoles, il faut aller au 6ème rang.

Or, le nombre de cube en fonction du rang est : $N=8^n$.

Au 6ème rang, il y aura 262144 cubes, ici encore à multiplier par 4, soit 1048576 cubes, nous nous rapprochons donc très légèrement du nombre voulu.

Nous pouvons en conclure que le cube de cantor ne pourrait pas permettre de synthétiser efficacement un poumon, du point de vue du nombre d'alvéoles.

2) Si l'on fixe les alvéoles sur les surfaces des cubes de Cantor
Nous allons considérer que les alvéoles ouvrent une surface de 0,2 par 0,2mm.

Nous attendons l'étape à partir de laquelle les cubes de Cantor ont une arrête de dimension environ égale à 0,2mm.

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La dimension de l'arête d'un cube est de $a/3^n$ avec a l'arête initiale du cube, 10cm pour nous.

Nous résolvons $100/3^n = 0,2 \le \Rightarrow n=5,7$.

Si nous prenons la sixième itérations, nous avons 1572864 alvéoles, en plaçant 6 alvéoles par cube(une sur chaque face) et en sachant qu'il y a 8 fois plus de cubes à l'itération n+1 qu'à l'itération n.

Nous devons multiplier ce résultat par quatre pour avoir un pavé droit de 20*20*10cm.

Il est donc possible de placer 6291456 alvéoles.