EXEMPLES D'ESPACES DE BANACH
AYANT LA PROPRIÉTÉ DE PROJECTION UNIFORME

PAR
C. SAMUEL (MARSEILLE)

La propriété d'approximation uniforme a été introduite par Pełczyński et Rosenthal (cf. [3]).

Définition. Un espace de Banach X a la λ-propriété d'approximation uniforme si pour tout entier k il existe un entier N(k) tel que pour tout sous-espace E de X de dimension k il existe une application linéaire continue T: X → X telle que $dimT(X) \le N(k)$, $\|T\| \le \lambda$ et $T(x) = x$ pour tout $x \in E$. Si de plus T peut être choisie parmi les projections de X, on dit que X a la λ-propriété de projection uniforme. Un espace de Banach X a la propriété d'approximation uniforme (resp. de projection uniforme) s'il a la λ-propriété d'approximation uniforme (resp. λ-propriété de projection uniforme) pour un réel λ convenable.

Dans [3] il est montré que tous les espaces $\mathcal{L}_p$ ($1 \le p \le \infty$) ont la propriété de projection uniforme, et dans [2] Lindenstrauss et Tzafriri montrent que tout espace d'Orlicz réflexif a la $(1+\varepsilon)$-propriété d'approximation uniforme pour tout réel $\varepsilon > 0$.

Rappelons que si X est un espace de Banach et $q \in [1, \infty)$, $(X \oplus X \oplus \dots)_q$ note l'ensemble des suites $x = (x_i)_i$ d'éléments de X telles que $\|(x_i)\|_q = \|(\|x_i\|)_{i \in q}\|_q$.

On note pour chaque entier $n$, $I_n = [n-1, n]$; on note $L_p(I_n)$ l'espace de Banach des classes de fonctions numériques Borel-mesurables sur $I_n$ et de puissance p-ième intégrables par rapport à la mesure de Lebesgue.
On note $L_p = L_p([0, 1])$.

THÉORÈME. Pour tout réel $\varepsilon > 0$, pour tout $1 \le p \le \infty$ et pour tout $1 \le q \le \infty$ l'espace $(L_p \oplus L_p \oplus \dots)_q$ a la $(1+\varepsilon)$-propriété de projection uniforme.

Puisque $(l_p \oplus l_p \oplus \dots)_q$ est l'image d'une projection de norme 1 de $(L_p \oplus L_p \oplus \dots)_q$ on a alors
COROLLAIRE. Pour tout réel $\varepsilon > 0$, pour tout $1 \le p \le \infty$ et pour tout $1 \le q \le \infty$, l'espace $(L_p \oplus L_p \oplus \dots)_q$ a la $(1+\varepsilon)$-propriété d'approximation uniforme.

Démonstration du théorème. Fixons $1 \le p < \infty$ et $1 \le q < \infty$; le cas $p = \infty$ ou $q = \infty$ se traite de la même façon avec des modifications évidentes. Nous identifions isométriquement $(L_p \oplus L_p \oplus \dots)_q$ avec

$$E_{p,q} = \{ f: [0, \infty[ \to \mathbf{R}: \forall n, f \in L_p(I_n) \text{ et } \left( \sum_{n=1}^{\infty} \left( \int_{I_n} |f(t)|^p dt \right)^{q/p} \right)^{1/q} < \infty \} \\ \text{nuni de la norme}$$

$$\|f\| = \left( \sum_{n=1}^{\infty} \left( \int_{I_n} |f(t)|^p dt \right)^{q/p} \right)^{1/q}.$$

Si $f \in E_{p,q}$, on définit, à un ensemble de mesure nulle près, le support de $f$:

$$S(f) = \{t \in [0, \infty[ : f(t) \neq 0\}.$$

Avant de prouver le théorème nous allons tout d'abord démontrer par récurrence que...

(R) Pour tout réel $\varepsilon > 0$ et pour tout entier $k$ il existe un entier $N(\varepsilon, k)$ tel que si $X_1, \dots, X_k$ sont des éléments de $E_{p,q}$ dont les supports sont disjoints à un ensemble de mesure nulle près, alors il existe $P: E_{p,q} \to E_{p,q}$ — une projection qui a les propriétés suivantes:

1. pour tout $f \in E_{p,q}$, $S(P(f)) \subset \bigcup_{i=1}^k S(X_i)$;

2. pour tout $f \in E_{p,q}$, $\|P(f)\| \le (1+\varepsilon) \|f| \bigcup_{i=1}^k S(X_i)\|$;

3. pour tout entier $i$, $1 \le i \le k \Rightarrow P(X_i) - X_i \le \varepsilon \|X_i\|$;

4. dim Im($P$) $\le N(\varepsilon, k)$.

Supposons tout d'abord $k=1$. Soit $X$ un élément non nul de $E_{p,q}$; notons $\varepsilon$ le signe de $X$. L'application qui à $f \in E_{p,q}$ associe

$$\frac{1}{\|X\|^q} \left( \sum_{n=1}^{\infty} \left( \int_{I_n} |X(t)|^p dt \right)^{q/p-1} \int_{I_n} f(t) \varepsilon(t) |X(t)|^{p-1} dt \right) X$$

est une projection qui vérifie (R). Supposons le résultat établi jusqu'au rang $k=m$.

Donnons-nous $X_1, \dots, X_{m+1}$ des éléments normalisés de $E_{p,q}$ dont les supports sont disjoints à un ensemble de mesure nulle près et donnons-nous un réel $\varepsilon > 0$. Pour chaque entier $n$ et $1 \le i \le m+1$, notons

$$a_{n,i} = \left( \int_{I_n} |X_i(t)|^p dt \right)^{1/p}.$$
Soit $N$ le plus petit entier tel que

$$N \geq \left( \frac{2m^{1/q}}{\epsilon} \right)^p \quad \text{et} \quad \left( 1 + \frac{1}{N} \right)^{(1+q)/p} \leq 1 + \epsilon.$$

Soit $J_1, \dots, J_P$ une énumération des intervalles:

$$J_1 = \left[ 0, \frac{1}{N} \right[ , \\ \left[ \frac{1}{r+k/N}, \frac{1}{r+(k-1)/N} \right[ \quad (r = 1, \dots, N-1 \text{ et } k = 1, \dots, N), \quad \{1\}, \\ \left[ r' + \frac{k'-1}{N}, r' + \frac{k'}{N} \right] \quad (r' = 1, \dots, N-1 \text{ et } k' = 1, \dots, N), \\ J_P = ]N, \infty].$$

Les intervalles considérés sont d'une part les intervalles $[0, 1/N[$, $\{1\}$, $]N, +\infty]$ et d'autre part les intervalles provenant d'une partition de $]1, N]$ en $N(N-1)$ intervalles égaux et les intervalles qui s'en déduisent par inversion autour de 1.

On convient de noter $0/0 = 1$ et $a/0 = \infty$ si $a \neq 0$. Pour chaque $m$-uple par d'entiers $\{i_1, \dots, i_m\}$ appartenant à $\{1, \dots, P\}$ on note:

$$A_{i_1, \dots, i_m} = \{ n : \left( \frac{a_{n,1}}{a_{n,m+1}} \right)^p \in J_{i_1}, \dots, \left( \frac{a_{n,m}}{a_{n,m+1}} \right)^p \in J_{i_m} \}.$$

Fixons $(i_1, \dots, i_m)$ un $m$-uple d'entiers appartenant à $\{1, \dots, P\}$. Pour $l=1, \dots, m+1$ notons $X_{l,i_1, \dots, i_m}$ l'élément de $E_{p,q}$ défini par la relation suivante:

$$\forall t \in [0, \infty[ \ X_{l,i_1, \dots, i_m}(t) = \begin{cases} X_l(t) & \text{si } t \in \bigcup_{n \in A_{i_1, \dots, i_m}} I_n, \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}$$

Nous allons définir $P_{i_1, \dots, i_m}$ et pour cela nous examinons plusieurs cas.

1. $A_{i_1, \dots, i_m} = \emptyset$.

On pose alors $P_{i_1, \dots, i_m} = 0$.

2. L'un des entiers $i_1, \dots, i_m$ est égal à 1.

Supposons pour fixer les idées que

$$(1) \qquad n \in A_{i_1, \dots, i_m} \Rightarrow \left( \frac{a_{n,1}}{a_{n,m+1}} \right)^p < \frac{1}{N}.$$

Appliquons l'hypothèse de récurrence à $X_{2,i_1, \dots, i_m}, \dots, X_{m+1,i_1, \dots, i_m}$ et $\epsilon/2$. Notons $P_{i_1, \dots, i_m}$ une projection vérifiant (R) et remarquons que (1) entraîne

$$\| X_{1, i_1, \dots, i_m} \| < \frac{1}{N^{1/p}} \| X_{m+1, i_1, \dots, i_m} \|.$$
3. L'un des entiers $i_1, \dots, i_m$ est égal à P.
Supposons pour fixer les idées que

$$
(2) \qquad n \in A_{i_1, \dots, i_m} \Rightarrow \left( \frac{a_{n,1}}{a_{n,m+1}} \right)^p > N.
$$

Appliquons l'hypothèse de récurrence à $X_{1,i_1,...,i_m}$, ..., $X_{m,i_1,...,i_m}$ et $\varepsilon/2$. Notons $P_{i_1,...,i_m}$ une projection vérifiant (R) et remarquons que (2) entraîne

$$
\| X_{m+1, i_1, \dots, i_m} \| < \frac{1}{N^{1/p}} \| X_{1, i_1, \dots, i_m} \|.
$$

4. Pour $l = 1, \dots, m$,

$$
\frac{1}{N} \le \left( \frac{a_{n,l}}{a_{n,m+1}} \right)^p \le N.
$$

On peut se fixer les idées en supposant qu'il existe deux entiers
$1 \le i \le j \le m$ tels que

$$
\frac{1}{N} \le \left( \frac{a_{n,1}}{a_{n,m+1}} \right)^p, \dots, \left( \frac{a_{n,t}}{a_{n,m+1}} \right)^p < 1,
$$

$$
1 < \left( \frac{a_{n,t+1}}{a_{n,m+1}} \right)^p, \dots, \left( \frac{a_{n,j}}{a_{n,m+1}} \right)^p \le N,
$$

$$
1 = \frac{a_{n,j+1}}{a_{n,m+1}} = \dots = \frac{a_{n,m}}{a_{n,m+1}}.
$$

Il faut en outre souligner que *i* et *j* qui dépendent apparemment de
*n* ∈ Aᵢ₁,...,iₘ n'en dépendent pas effectivement à cause de la définition
de Aᵢ₁,...,iₘ.

On peut alors trouver des entiers $r_1, \dots, r_j \in \{1, \dots, N-1\}$ et des entiers $k_1, \dots, k_j \in \{1, \dots, N\}$ tels que

$$
(3) \qquad 1 \le l \le i \Rightarrow r_l + \frac{k_l - 1}{N} < \left( \frac{a_{n,m+1}}{a_{n,l}} \right)^p \le r_l + \frac{k_l}{N},
$$

$$
(4) \quad i+1 \le l' \le j \Rightarrow r_{l'} + \frac{k_{l'} - 1}{N} < \left( \frac{a_{n,l'}}{a_{n,m+1}} \right)^p \le r_{l'} + \frac{k_{l'}}{N}.
$$

Notons

$$
D = \prod_{i=1}^{t} (r_i N + k_i - 1).
$$

Pour $1 \le l \le i$ notons

$$
D_l = \frac{D}{r_l N + k_l - 1}
$$
et pour $i+1 \le l' \le j$ notons

$$D' = D(r_i, N + k_{i'} - 1).$$

Avec ces notations (3) et (4) entraînent alors

$$(5) \qquad 1 \le l \le i \Rightarrow \frac{(a_{n,l})^p}{N^2 D_l} < \frac{(a_{n,m+1})^p}{ND} \le \left(1 + \frac{1}{N}\right) \frac{(a_{n,l})^p}{N^2 D_l},$$

$$(6) \quad i+1 \le l' \le j \Rightarrow \frac{(a_{n,m+1})^p}{ND} < \frac{(a_{n,r})^p}{D^{l'}} \le \left(1 + \frac{1}{N}\right) \frac{(a_{n,m+1})^p}{ND}.$$

Fixons $l \in \{1, \dots, i\}$ (resp. $l' \in \{i+1, \dots, j\}$). On peut trouver pour $r = 1, 2, \dots, N^2 D_l$ (resp. $r' = 1, 2, \dots, D_l'$) des éléments $X_l^r$ (resp. $X_l^{r'}$) appartenant à $E_{p,q}$, dont les supports sont deux-à-deux disjoints, tels que

$$(7_l) \qquad \|X_l^r | I_n\|^p = \frac{(a_{n,l})^p}{N^2 D_l}$$

pour tout $r = 1, 2, \dots, N^2 D_l$ et pour tout $n \in A_{i_1, \dots, i_m}$,

$$(7_{l'}) \qquad \| X_{l'}^{r'} | I_n \|^p = \frac{(a_{n,r'})^p}{D^{l'}}$$

pour tout $r' = 1, 2, \dots, D_l'$ et pour tout $n \in A_{i_1, \dots, i_m}$,

$$(8_l) \qquad \sum_{r=1}^{N^2 D_l} X_l^r = X_{l, i_1, \dots, i_m},$$

$$(8_{l'}) \qquad \sum_{r'=1}^{D_l'} X_{l'}^{r'} = X_{l', i_1, \dots, i_m}.$$

De même, pour $l'' \in \{j+1, \dots, m+1\}$, on peut trouver pour $r'' = 1, 2, \dots, ND$ des éléments $X_{l''}^{r''} \in E_{p,q}$ dont les supports sont deux-à-deux disjoints tels que

$$(7_{l''}) \qquad \| X_{l''}^{r''} | I_n \|^p = \frac{(a_{n,m+1})^p}{ND}$$

pour tout $r'' = 1, 2, \dots, ND$ et pour tout $n \in A_{i_1, \dots, i_m}$,

$$(8_{l''}) \qquad \sum_{r''=1}^{ND} X_{l''}^{r''} = X_{l'', i_1, \dots, i_m}.$$
Notons

$$ (9_l) \qquad a_l = \frac{1}{(N^2 D_l)^{1/p}} \left( \sum_{n \in A_{l_1, \dots, l_m}} (a_{n,l})^q \right)^{1/q} \quad \text{pour } l = 1, 2, \dots, i, $$

$$ (9_{l'}) \qquad a_{l'} = \frac{1}{(D^{l'})^{1/p}} \left( \sum_{n \in A_{l_1, \dots, l_m}} (a_{n,l'})^q \right)^{1/q} \quad \text{pour } l' = i+1, \dots, j, $$

$$ (9_{l''}) \qquad a_{l''} = \frac{1}{(ND)^{1/p}} \left( \sum_{n \in A_{l_1, \dots, l_m}} (a_{n,m+1})^q \right)^{1/q} \quad \text{pour } l'' = j+1, \dots, m+1. $$

Remarquons que (5) et (6) impliquent

$$ (10) \qquad a_l < a_{m+1} \le \left(1 + \frac{1}{N}\right)^{1/p} a_l \quad \text{pour } l = 1, 2, \dots, i $$

et

$$ (11) \qquad a_{m+1} < a_{l'} \le \left(1 + \frac{1}{N}\right)^{1/p} a_{m+1} \quad \text{pour } l' = i+1, \dots, j. $$

Pour $1 \le i \le m+1$ et $t \in [0, \infty[$ on note $\epsilon_i(t)$ le signe de $X_i(t)$. Donnons-nous $f \in E_{p,q}$.

Pour $l=1, 2, \dots, i$ et $r=1, 2, \dots, N^2 D_l$ on pose

$$ \Phi_l^r(f) = \frac{1}{(a_l)^q} \sum_{n \in A_{l_1, \dots, l_m}} \frac{(N^2 D_l)^{(p-q)/p}}{(a_{n,l})^{p-q}} \int_{I_n} |X_l^r(t)|^{p-1} \epsilon_l(t) f(t) dt, $$

pour $l' = i+1, \dots, j$ et $r' = 1, 2, \dots, D^{l'}$ on pose

$$ \Phi_{l'}^{r'}(f) = \frac{1}{(a_{l'})^q} \sum_{n \in A_{l_1, \dots, l_m}} \frac{(D^{l'})^{(p-q)/p}}{(a_{n,l'})^{p-q}} \int_{I_n} |X_{l'}^{r'}(t)|^{p-1} \epsilon_{l'}(t) f(t) dt, $$

et pour $l'' = j+1, \dots, m+1$ et $r'' = 1, 2, \dots, ND$ on pose

$$ \Phi_{l''}^{r''}(f) = \frac{1}{(a_{l''})^q} \sum_{n \in A_{l_1, \dots, l_m}} \frac{(ND)^{(p-q)/p}}{(a_{n,m+1})^{p-q}} \int_{I_n} |X_{l''}^{r''}(t)|^{p-1} \epsilon_{l''}(t) f(t) dt. $$

Il est immédiat de vérifier par une double application de l'inégalité de Hölder que les séries qui figurent au second membre sont absolument convergentes. Notons alors

$$ P_{i_1, \dots, i_m}(f) = \sum_{l=1}^{i} \sum_{r=1}^{N^2 D_l} \Phi_l^r(f) X_l^r + \sum_{l'=i+1}^{j} \sum_{r'=1}^{D^{l'}} \Phi_{l'}^{r'}(f) X_{l'}^{r'} + \sum_{l''=j+1}^{m+1} \sum_{r''=1}^{ND} \Phi_{l''}^{r''}(f) X_{l''}^{r''}. $$
La disjonction des supports des fonctions $X_i^r, X_i^{r'}, X_i^{r''}, 1 \le l \le i$ et $1 \le r \le N^2 D_l$, $i+1 \le l' \le j$ et $1 \le r' \le D_l'', j+1 \le l'' \le m+1$ et $1 \le r'' \le ND$ montre que, pour $1 \le k \le m+1$,

$$P_{i_1, \dots, i_m}(X_{k, i_1, \dots, i_m}) = X_{k, i_1, \dots, i_m}.$$

Evaluons $\|P_{i_1, \dots, i_m}(f)\|$. Nous avons

$$\|P_{i_1, \dots, i_m}(f)\|^q = \sum_{n \in A_{i_1, \dots, i_m}} \left[ \sum_{l=1}^i \sum_{r=1}^{N^2 D_l} |\Phi_i^r(f)|^p \frac{(a_{n,l})^p}{N^2 D_l} + \right. \\ \left. + \sum_{l'=i+1}^j \sum_{r'=1}^{D_l'} |\Phi_{i'}^{r'}(f)|^p \frac{(a_{n,l'})^p}{D_l'} + \sum_{l''=j+1}^{m+1} \sum_{r''=1}^{ND} |\Phi_{i''}^{r''}(f)|^p \frac{(a_{n,m+1})^p}{ND} \right]^{q/p}.$$

Les formules (5) et (6) impliquent alors

$$(12) \qquad \|P_{i_1, \dots, i_m}(f)\|^q \le \left(1 + \frac{1}{N}\right)^{q/p} \frac{1}{(ND)^{q/p}} \sum_{n \in A_{i_1, \dots, i_m}} (a_{n,m+1})^q \left[ \sum_{l=1}^i \sum_{r=1}^{N^2 D_l} |\Phi_i^r(f)|^p + \right. \\ \left. + \sum_{l'=i+1}^j \sum_{r'=1}^{D_l'} |\Phi_{i'}^{r'}(f)|^p + \sum_{l''=j+1}^{m+1} \sum_{r''=1}^{ND} |\Phi_{i''}^{r''}(f)|^p \right]^{q/p}.$$

Notons

$$\Theta = \left[ \sum_{l=1}^{i} \sum_{r=1}^{N^2 D_l} |\Phi_i^r(f)|^p + \sum_{l'=i+1}^{j} \sum_{r'=1}^{D_l'} |\Phi_{i'}^{r'}(f)|^p + \sum_{l''=j+1}^{m+1} \sum_{r''=1}^{ND} |\Phi_{i''}^{r''}(f)|^p \right]^{1/p}.$$

En appliquant l'inégalité de Minkowski nous obtenons

$$\Theta \le \sum_{n \in A_{i_1, \dots, i_m}} \left[ \sum_{l=1}^{i} \sum_{r=1}^{N^2 D_l} \frac{(N^2 D_l)^{p'-q}}{(a_l)^{pq} (a_{n,l})^{p^2-pq}} \left| \int_{I_n} |X_i^r(t)|^{p-1} \varepsilon_i(t) f(t) dt \right|^p + \right. \\ \left. + \sum_{l'=i+1}^{j} \sum_{r'=1}^{D_l'} \frac{(D_l')^{p-q}}{(a_{l'})^{pq} (a_{n,l'})^{p^2-pq}} \left| \int_{I_n} |X_{i'}^{r'}(t)|^{p-1} \varepsilon_{i'}(t) f(t) dt \right|^p + \right. \\ \left. + \sum_{l''=j+1}^{m+1} \sum_{r''=1}^{ND} \frac{(ND)^{p-q}}{(a_{l''})^{pq} (a_{n,m+1})^{p^2-pq}} \left| \int_{I_n} |X_{i''}^{r''}(t)|^{p-1} \varepsilon_{i''}(t) f(t) dt \right|^p \right]^{1/p}.$$

Appliquons maintenant l'inégalité de Hölder à chacune des intégrales figurant au second membre. D'après $(7_l)$, $(7_{l'})$ et $(7_{l''})$ il vient

$$\Theta \le \sum_{n \in A_{i_1, \dots, i_m}} \left[ \sum_{l=1}^{i} \frac{1}{(a_l)^{pq}} \left( \frac{(a_{n,l})^p}{N^2 D_l} \right)^{q-1} \int_{I_n \cap \mathcal{S}(X_l)} |f(t)|^p dt + \right.$$
$$ + \sum_{l'=i+1}^{j} \frac{1}{(a_l')^{pq}} \left( \frac{(a_{n,l'})^p}{D^{l'}} \right)^{q-1} \int_{I_n \cap S(X_{l'})} |f(t)|^p dt + \\ + \sum_{l''=j+1}^{m+1} \frac{1}{(a_{l''})^{pq}} \left( \frac{(a_{n,m+1})^p}{ND} \right)^{q-1} \int_{I_n \cap S(X_{l''})} |f(t)|^p dt \Bigg]^{1/p} . $$

En utilisant (5), (6), (10) et (11) nous obtenons (avec la notation abrégée $\bigcup S(X_k) = \bigcup_{k=1}^{m+1} S(X_k)$)

$$ \Theta \le \frac{(1+1/N)^{q/p}}{(a_{m+1})^q} \sum_{n \in A_{i_1, \dots, i_m}} \left( \frac{a_{n,m+1}}{(ND)^{1/p}} \right)^{q-1} \left( \int_{I_n \cap S(X_k)} |f(t)|^p dt \right)^{1/p}, $$

d'où, en appliquant l'inégalité de Hölder,

$$ \Theta \le \frac{(1+1/N)^{q/p}}{a_{m+1}} \left( \sum_{n \in A_{i_1, \dots, i_m}} \left( \int_{I_n \cap S(X_k)} |f(t)|^p dt \right)^{q/p} \right)^{1/q}. $$

En reportant cette dernière inégalité dans (12) on a alors

$$ \|P_{i_1, \dots, i_m}(f)\|^q \le \left(1 + \frac{1}{N}\right)^{(q+q^2)/p} \sum_{n \in A_{i_1, \dots, i_m}} \left( \int_{I_n \cap S(X_k)} |f(t)|^p dt \right)^{q/p}. $$

Soit encore

$$ \|P_{i_1, \dots, i_m}(f)\|^q \le (1+\epsilon)^q \sum_{n \in A_{i_1, \dots, i_m}} \left( \int_{I_n \cap S(X_k)} |f(t)|^p dt \right)^{q/p} $$

par le choix de $N$.

L'application linéaire $Q: E_{p,q} \to E_{p,q}$ définie pour tout $f \in E_{p,q}$ par

$$ Q(f) = \sum_{(i_1, \dots, i_m) \in \Lambda_2 \cup \Lambda_3 \cup \Lambda_4} P_{i_1, \dots, i_m}(f) $$

est une projection; nous allons établir qu'elle satisfait (R). Les propriétés (R1) et (R4) sont visiblement satisfaites. Notons

$$ \Lambda_1 = \{(i_1, \dots, i_m) \in \{1, \dots, P\}^m: A_{i_1, \dots, i_m} = \emptyset\}, $$

$$ \Lambda_2 = \{(i_1, \dots, i_m) \in \{1, \dots, P\}^m: 1 \in \{i_1, \dots, i_m\}\}, $$

$$ \Lambda_3 = \{(i_1, \dots, i_m) \in \{1, \dots, P\}^m: P \in \{i_1, \dots, i_m\}\}, $$

$$ \Lambda_4 = \{1, \dots, P\}^m \setminus (\Lambda_1 \cup \Lambda_2 \cup \Lambda_3). $$

Donnons-nous $f \in E_{p,q}$; nous avons alors

$$ \|Q(f)\|^q = \sum_{(i_1, \dots, i_m) \in \Lambda_2 \cup \Lambda_3 \cup \Lambda_4} \|P_{i_1, \dots, i_m}(f)\|^q \\ \le \sum_{(i_1, \dots, i_m) \in \Lambda_2 \cup \Lambda_3 \cup \Lambda_4} (1+\epsilon)^q \|f| \bigcup_{k=1}^{m+1} S(X_{k,i_1,\dots,i_m})\|^q $$
d'après la construction de $P_{i_1, \dots, i_m}$, donc

$$ \|Q(f)\| \le (1+\varepsilon) \|f\| \bigcup_{k=1}^{m+1} \|S(X_k)\|, $$

ce qui établit (R2). Pour établir (R3) fixons $k \in \{1, \dots, m+1\}$; nous avons alors

$$ \|Q(X_k) - X_k\|^q = \sum_{(i_1, \dots, i_m) \in \Lambda_2 \cup \Lambda_3 \cup \Lambda_4} \|P_{i_1, \dots, i_m}(X_k) - X_{k, i_1, \dots, i_m}\|^q. $$

Remarquons d'abord que, par construction, pour $(i_1, \dots, i_m) \in \Lambda_4$,

$$ P_{i_1, \dots, i_m}(X_k) = X_{k, i_1, \dots, i_m}. $$

Deux cas sont à envisager :

$$ \text{1. } k \in \{1, \dots, m\}. $$

Par construction nous avons, pour $(i_1, \dots, i_m) \in \Lambda_3$,

$$ \|P_{i_1, \dots, i_m}(X_k) - X_{k, i_1, \dots, i_m}\| \le \frac{\varepsilon}{2} \|X_{k, i_1, \dots, i_m}\|. $$

Nous avons aussi

$$ \begin{align*} \sum_{(i_1, \dots, i_m) \in \Lambda_2} \|P_{i_1, \dots, i_m}(X_k) - X_{k, i_1, \dots, i_m}\|^q & \\ &= \sum_{\substack{(i_1, \dots, i_m) \in \Lambda_2 \\ i_k=1}} \|P_{i_1, \dots, i_m}(X_k) - X_{k, i_1, \dots, i_m}\|^q + \\ &\quad + \sum_{\substack{(i_1, \dots, i_m) \in \Lambda_2 \\ i_k \neq 1}} \|P_{i_1, \dots, i_m}(X_k) - X_{k, i_1, \dots, i_m}\|^q \\ &\le \frac{1}{N^{q/p}} \sum_{\substack{(i_1, \dots, i_m) \in \Lambda_2 \\ i_k=1}} \|X_{m+1, i_1, \dots, i_m}\|^q + \left(\frac{\varepsilon}{2}\right)^q \sum_{\substack{(i_1, \dots, i_m) \in \Lambda_2 \\ i_k \neq 1}} \|X_{k, i_1, \dots, i_m}\|^q, \end{align*} $$

donc

$$ \|Q(X_k) - X_k\| \le \frac{\varepsilon}{2} + \frac{1}{N^{1/p}} \le \varepsilon $$

d'après le choix de $N$.

$$ \text{2. } k = m+1. $$

Par construction nous avons, pour $(i_1, \dots, i_m) \in \Lambda_2$,

$$ \|P_{i_1, \dots, i_m}(X_{m+1}) - X_{m \leftrightarrow 1, i_1, \dots, i_m}\| \le \frac{\varepsilon}{2} \|X_{m+1, i_1, \dots, i_m}\|. $$
Nous avons aussi

$$ \sum_{(i_1, \dots, i_m) \in \Lambda_3} \| P_{i_1, \dots, i_m} (X_{m+1}) - X_{m+1, i_1, \dots, i_m} \|^q $$

$$ \le \sum_{k=1}^{m} \sum_{(i_1, \dots, i_m) \in \Lambda_3} \| P_{i_1, \dots, i_m} (X_{m+1}) - X_{m+1, i_1, \dots, i_m} \|^q $$

$$ \le \sum_{k=1}^{m} \sum_{(i_1, \dots, i_m) \in \Lambda_3} \frac{1}{N^{q/p}} \| X_{k, i_1, \dots, i_m} \|^q \le \frac{m}{N^{q/p}}, $$

donc

$$ \|Q(X_{m+1}) - X_{m+1}\| \le \frac{\varepsilon}{2} + \frac{m^{1/q}}{N^{1/p}} \le \varepsilon $$

d'après le choix de $N$, ce qui achève la démonstration par récurrence.

Le théorème se déduit alors de la propriété établie par récurrence, de la proposition 3 de [2] et des méthodes de perturbation (cf. lemme 2-4 de [1]).

## TRAVAUX CITÉS

[1] W. B. Johnson, H. P. Rosenthal and M. Zippin, *On bases, finite dimensional decompositions and weaker structures in Banach spaces*, Israel Journal of Mathematics 9 (1971), p. 488-506.

[2] J. Lindenstrauss and L. Tzafriri, *The uniform approximation property in Orlicz spaces*, ibidem 23 (1976), p. 142-155.

[3] A. Pełczyński and H. P. Rosenthal, *Localization techniques in $L^p$-spaces*, Studia Mathematica 52 (1975), p. 263-289.

Reçu par la Rédaction le 25. 10. 1977