# Une méthode numérique en bifurcation : application à un problème à frontière libre de la physique des plasmas

Michel Sermange

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## To cite this version:

Michel Sermange. Une méthode numérique en bifurcation : application à un problème à frontière libre de la physique des plasmas. [Rapport de recherche] IRIA-RR-310, IRIA. 1978, pp.42. hal-04716528

HAL Id: hal-04716528

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# UNE MÉTHODE NUMÉRIQUE EN BIFURCATION

## APPLICATION À UN PROBLÈME À FRONTIÈRE LIBRE DE LA PHYSIQUE DES PLASMAS

Michel SERMANGE
(présenté par Roger TEMAM)

Rapport de Recherche N° 310

Juin 1978

<figure><img src="image_5.png" /></figure>
UNE MÉTHODE NUMÉRIQUE EN BIFURCATION - APPLICATION A UN
PROBLEME A FRONTIERE LIBRE DE LA PHYSIQUE DES PLASMAS

M. Sermange

(présenté par Roger Temam)

Résumé :

Une nouvelle méthode qui généralise l’algorithme standard des approximations successives est développée en vue de déterminer les points fixes (x*) d’opérateurs qui admettent une dérivée de Fréchet (A) en x* (seulement) telle que $A - I$ soit injectif. Cette méthode peut être appliquée en particulier au calcul des solutions de problèmes non linéaires au-delà d’un point de bifurcation, ce qui fait l’objet de la première partie. On explicite ensuite dans la deuxième partie l’application de cette méthode à un problème à frontière libre intervenant en physique des plasmas.

Abstract :

A new method extending the standard successive approximation algorithm is developed for the determination of fixed points (x*) of operators having a Frechet-derivative (A) at x* (but not everywhere) such that A - I is injective. This method can specially be applied to compute solutions of nonlinear problems past a point of bifurcation (first part). The application of this method to a free boundary value problem arising in plasma physics is then given in a second part.
# 1. - UNE METHODE NUMERIQUE EN BIFURCATION

## 1.1. - Introduction

Dans cette première partie, nous développons un algorithme local de détermination de point fixe, introduit par B. MARDER et H. WEITZNER [16], qui généralise l'algorithme standard des approximations successives. Il s'agit de trouver les points fixes x d'une application T d'un espace de Banach dans lui-même :

$$Tx = x.$$

L'algorithme proposé par ces auteurs est le suivant. On se donne un réel $\alpha > 0$ et on construit par récurrence une suite $(x_n)^{n \in N}$ en déterminant $x^{n+1}$ par :

$$ (1.1)_{\alpha} \quad \left\{ \begin{array}{l} x^{n+\frac{1}{3}} = T(x^n), \\ x^{n+\frac{2}{3}} = T(x^n + \frac{1}{3}), \\ x^{n+1} = (1-\alpha)x^n + 2\alpha x^{n+\frac{1}{3}} - \alpha x^{n+\frac{2}{3}}. \end{array} \right. $$

Pour autant que nous sachions, la convergence de cet algorithme n'a été démontrée que dans le cas des espaces de dimension finie. Nous établissons ici la convergence dans une situation assez générale, en dimension infinie, avec en particulier des hypothèses très faibles de régularité sur T. Nous nous plaçons dans un espace de Banach de dimension infinie, nous supposons que $x^*$ est un point fixe de T, que l'opérateur T de X dans lui-même admet une dérivée de Fréchet A en $x^{*(1)}$, que l'opérateur A est compact, de valeurs propres réelles et différentes de 1. L'outil mathématique essentiel ici est un théorème de point fixe attractif de J.W. KITCHEN [12].

Dans le cas où certaines valeurs propres de A sont supérieures à 1, on a ainsi la possibilité de calculer des points fixes de T qui ne peuvent pas être calculés par la méthode des approximations successives standard. Cet algorithme peut donc en particulier être utilisé pour calculer les solutions de problèmes non linéaires au-delà d'un point de bifurcation.

<footnote>(1) en $x^*$ et non en tout point de X.</footnote>
Citons d'autres méthodes numériques en bifurcation : C. BOLLEY [2], M. FUJII et M. TABATA [7], H.B. KELLER [10], F. KIKUCHI [11], R. LOZI [15]. Parmi ces méthodes, celles qui sont destinées au calcul des solutions après un point de bifurcation ne semblent pas applicables dans le cas d'hypothèses de régularité aussi faibles que les nôtres. Pour appliquer la méthode de Newton, par exemple, il faut un opérateur T deux fois différentiable. Les autres méthodes citées sont destinées à changer de branche en un point de bifurcation, ou à franchir un point de retournement.

Nous complétons cette première partie par l'application de la méthode à une équation aux dérivées partielles semi-linéaire assez générale.

## 1.2. - Le résultat principal

Soient X un espace de Banach réel et T une application continue de X dans lui-même dont on cherche les points fixes.

On se donne un réel $\alpha$ strictement positif et on construit par récurrence une suite $(x^n)_{n \in \mathbb{N}}$ d'éléments de X. On part d'un élément $x^0 \in X$ quelconque et, l'élément $x^n$ étant connu, on détermine $x^{n+1}$ en trois pas intermédiaires :

$$ (1.1)_{\alpha} \qquad \left\{ \begin{array}{l} x^{n+\frac{1}{3}} = T(x^n), \\ x^{n+\frac{2}{3}} = T(x^n + \frac{1}{3}), \\ x^{n+1} = (1-\alpha)x^n + 2\alpha x^{n+\frac{1}{3}} - \alpha x^{n+\frac{2}{3}}. \end{array} \right. $$

La continuité de T entraîne le résultat de consistance suivant. S'il existe $x^* \in X$ tel que, pour $n \to \infty$, $x^n \to x^*$ et $x^n + \frac{1}{3} \to x^*$ dans X, alors $x^*$ est un point fixe de T. Par contre, la seule hypothèse : $x^n \to x^*$ dans X, ne permet pas en général de conclure que $x^*$ est un point fixe de T.

Le résultat principal est le résultat de convergence suivant :
**Théorème 1.1** - Supposons que :

i) $x^* \in X$ est un point fixe de $T$;

ii) $T$ est Fréchet différentiable en $x^*$, de dérivée notée $A$;

iii) Le complexifié de $A$ est compact, de valeurs propres réelles et différentes de 1.

Alors, pour tout $\alpha$, $0 < \alpha < \alpha^*$, $\alpha^*$ assez petit (1), il existe un voisinage $V_\alpha$ de $x^*$ tel que, si $x^\circ \in V_\alpha$ et si $(x^n)$ est définie par (1.1)$_\alpha$, alors pour $n \to \infty$
$x^{n+\frac{i}{3}} \to x^*$ dans $X$, $i=0, 1, 2$. ■

**Démonstration** - Pour $\alpha > 0$ quelconque, on définit le polynôme :

$$p_{\alpha}(y) = 1 - \alpha + 2\alpha y - \alpha^2 y^2 = 1 - \alpha(1 - y)^2,$$

et l'opérateur $U_\alpha$ de $X$ dans lui-même (2) :

$$U_{\alpha} = (1 - \alpha) I + 2 \alpha T - \alpha^2 T^2.$$

La suite $(x^n)$ définie par (1.1)$_\alpha$ est ainsi donnée par :

$$x^{n+1} = U_{\alpha} x^n.$$

Grâce à i), $x^*$ est un point fixe de $U_\alpha$ et grâce à la règle de composition des dérivations et à i), ii), l'opérateur $U_\alpha$ est Fréchet différentiable en $x^*$, de dérivée $B_\alpha$ :

$$B_{\alpha} = p_{\alpha}(A).$$

Notant $\tilde{B}_\alpha$ et $\tilde{A}$ les opérateurs complexifiés, puisque $\tilde{A}^2 = (\tilde{A})^2$, on a encore :

$$\tilde{B}_{\alpha} = p_{\alpha}(\tilde{A}).$$

On en déduit par le théorème de l'application spectrale (cf.

M. SCHECHTER [20]) que

<footnote>(1) La valeur de $\alpha^*$ est donnée au cours de la démonstration.</footnote>

<footnote>(2) $U_\alpha$ est différent de $I - \alpha(I - T)^2$ puisque $T$ est non linéaire.</footnote>
$$
\mathrm{Sp}(\tilde{\mathcal{B}}_\alpha) = \mathcal{P}_\alpha(\mathrm{Sp}(\tilde{\mathcal{A}})) ,
$$

où Sp désigne le spectre. On sait que le spectre d'un opérateur continu est
un ensemble compact de C et que le spectre d'un opérateur compact coïncide,
à zéro près, avec son spectre ponctuel (cf. J. DIEUDONNE [6]). Grâce à iii),
on en déduit que S = Sp(\tilde{\mathcal{A}}) est un sous-ensemble compact de \Re ne contenant
pas 1.

Or il est facile de vérifier que, pour un ensemble S compact dans $\mathbb{R}$
et ne contenant pas 1, il existe $\alpha^*$ tel que, pour tout $\alpha$, $0 < \alpha < \alpha^*$, on ait

$$
\sup_{y \in S} |p_{\alpha}(y)| < 1 \\
(\alpha^* = 2/b^2 \text{ où } b = \sup_{y \in S} |1 - y|) .
$$

Par définition du rayon spectral (noté r), on en déduit que pour de
telles valeurs de α

$$
r(\tilde{B}_{\alpha}) < 1 .
$$

L'opérateur $\mathcal{U}_\alpha$ et son point fixe $x^*$ vérifient ainsi les conditions
d'application du théorème suivant (cf. [12]).

Théorème de J.W. KITCHEN - Soit T un opérateur de X dans lui-même tel que

i) $x^* \in X$ est un point fixe de T;

ii) T est Fréchet différentiable en x*;

iii) le rayon spectral du complexifié de la dérivée de T en x*
est strictement plus petit que 1.

Alors il existe un voisinage V de x* tel que pour tout x° ∈ V, on
ait pour n → ∞
T^n(x°) → x* dans X

$$
T^n(x^0) \to x^* \text{ dans } X
$$

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

On en déduit la convergence, pour $n \to \infty$, de

$$
x^n \to x^* \text{ dans } X.
$$
La continuité de T entraîne, pour $n \to \infty$,

$x^n + \frac{i}{3} \to x^*$ dans X, $i = 1, 2,$

ce qui achève la démonstration du théorème 1.1. ■

**Remarque 1.1** - Soit p un polynôme de degré $m(m \ge 1)$

$$p(y) = \sum_{i=0}^{m} \alpha_i y^i, \quad \alpha_i \in \mathbb{R},$$

vérifiant

$$p(1) = \sum_{i=0}^{m} \alpha_i = 1.$$

On peut définir l'algorithme suivant, qui généralise l'algorithme (1.1)$_\alpha$ ainsi que l'algorithme standard des approximations successives :

$$(1.2) \quad x^n + 1 = \sum_{i=0}^{m} \alpha_i T^i x^n, \quad (T^\alpha = I).$$

On montre comme précédemment que l'algorithme converge si $p(\text{Sp}(\tilde{A})) \subset [-1, 1[$, cette inclusion n'étant possible que pour $m \ge 2$ lorsque l'appartient à l'enveloppe convexe de $\text{Sp}(\tilde{A})$. Dans le cas de l'algorithme (1.1)$_\alpha$, on montre que le minimum du rayon spectral de $p_\alpha(\tilde{A})$ est $\frac{b^2 - a^2}{b^2 + a^2}$, où $a = \inf_{y \in S} |1 - y|$; et qu'il est atteint en $\alpha_* = \frac{2}{a^2 + b^2}$. Pour l'algorithme (1.2) on a davantage de degrés de liberté et on peut diminuer ce rayon spectral si on connaît à l'avance la localisation du spectre de $\tilde{A}$, et donc améliorer la convergence de l'algorithme.

### 1.3. - Application et exemple

On se place d'abord dans le cadre d'un problème de la théorie de la bifurcation, en choisissant des hypothèses de régularité très faibles, et on explicite l'application de l'algorithme (1.1)$_\alpha$. On donne ensuite l'exemple d'une équation elliptique semi-linéaire assez générale.

Soient X un espace de Banach de dimension infinie, F et T des applications continues de $[-1, 1] \times X$ dans X avec $F(\lambda, x) = x - T(\lambda, x)$. Pour $\lambda$ fixé, on s'intéresse à l'équation en x :

$$F(\lambda, x) = 0,$$
ou encore

$$
T(\lambda, x) = x.
$$

Soit x une application de classe C¹ de [-1, 1] dans X telle que
F(λ, x(λ)) = 0 pour tout λ.

On fait les hypothèses suivantes :

i ) F est Fréchet différentiable en ( λ , x( λ ) ) pour tout λ ,

ii) F_X(λ, x(λ)) est inversible si et seulement si λ ≠ 0,

iii) le complexifié de T_X(λ, x(λ)) est compact pour tout λ, de valeurs propres réelles positives,

iV) l'application $\rho : \lambda \to r(T_X(\lambda, x(\lambda)))$ est continue,

V ) les valeurs propres de T_X(λ, x(λ)) sont plus petites que 1 en
λ = - 1.

Sous certaines hypothèses supplémentaires (cf. M. G. CRANDALL et P.H. RABINOWITZ [4]) le point (0, x(0)) est un point de bifurcation.

On s'intéresse ici à l'approximation de la branche de solutions
{ (λ, x(λ)), |λ| ≤ 1 }, sous les hypothèses i) à V). Pour λ fixé, on définit
les algorithmes suivants, déduits de la méthode des approximations succes-
sives et de (1.1)α :

$$
(1.3) \quad x^{n+1} = T(\lambda, x^n) \quad \text{pour tout } n
$$

$$
(1.4)_{\alpha} \quad \left\{
\begin{array}{l}
x^{n+\frac{1}{3}} = T(\lambda, x^n), \\
x^{n+\frac{2}{3}} = T(\lambda, x^n + \frac{1}{3}), \\
x^{n+1} = (1-\alpha)x^n + 2\alpha x^{n+\frac{1}{3}} - \alpha x^{n+\frac{2}{3}}
\end{array}
\right.
$$

D'après ii) et iii), T_X(λ, x(λ)) possède une valeur propre de
module 1 si et seulement si λ = 0.
On en déduit, grâce au théorème 1.1, que pour $\lambda \neq 0$ fixé et $\alpha$ assez
petit, l'algorithme (1.4) $\alpha$ est localement convergent vers $x(\lambda)$.

D'après iV) et V), on observe que

$$
(1.5) \quad \rho(\lambda) < 1 \quad \forall \lambda < 0 .
$$

On en déduit, grâce au théorème de Kitchen, que pour $\lambda < 0$ fixé
l'algorithme (1.3) est localement convergent vers $x(\lambda)$.

Si on suppose en outre que :

Vi) $\rho$ est dérivable en 0 et $\rho'(0) \neq 0$,

alors, d'après (1.5), ii), iii), iV), $\rho(\lambda) > 1 \quad \forall \lambda > 0$.

On en déduit alors que la méthode (1.3) n'est localement convergente vers $x(\lambda)$ pour aucun $\lambda > 0$.

Etudions la mise en oeuvre pratique lorsque i) à Vi) sont vérifiés
et que l'on connaît $x(-1)$. On choisit une subdivision $\{\lambda_i\}_{i=1}^N$ du segment
[-1, 1], avec $\lambda_i \neq 0$, et on calcule les solutions de proche en proche en
partant de $x(-1)$. Etant donné $x(\lambda_i)$,

i ) pour $\lambda_{i+1} < 0$, on emploie l'algorithme (1.3) avec $x^° = x(\lambda_i)$,

ii ) pour $\lambda_{i+1} > 0$, on évalue $\rho(\lambda_i)$ et on en déduit

$$
\alpha^*(\lambda_i) = \min(2, \frac{2}{(\rho(\lambda_i) - 1)^2}) ;
$$

on utilise alors l'algorithme (1.4) $\alpha$ avec $\alpha < \alpha^*(\lambda_i)$ et $x^° = x(\lambda_i)$.

Dans les deux cas, on peut aussi évaluer $x'(\lambda_i)$ et utiliser au lieu
de l'initialisation $x^° = x(\lambda_i)$ :

$$
x^\circ = x(\lambda_i) + (\lambda_{i+1} - \lambda_i) x'(\lambda_i).
$$
**Remarque 1.2** - En général, on ne connaît pas à l'avance, la valeur du para-
mètre $\lambda$ où a lieu la bifurcation. On calculera donc les solutions $x(\lambda)$ par
la méthode i) puis, lorsque celle-ci ne converge plus, par la méthode ii).
On en déduira a posteriori le point de bifurcation, qui correspond à
$\rho(\lambda) = 1$.

Nous allons montrer comment appliquer le théorème 1.1 à un problème
elliptique semi-linéaire.

Soit $\Omega$ un ouvert borné de $\mathbb{R}^n$, $n \le 3$; on note $(u,v)$ et $|u|$ le produit scalaire et la norme dans $L^2(\Omega)$; $H^2(\Omega)$ est l'espace de Sobolev d'ordre 2 sur $L^2(\Omega)$. Soit $f$ une application continûment différentiable de $\mathbb{R}$ dans lui-même.

Pour $\lambda \in \mathbb{R}_+^*$ fixé, on cherche $u^* \in H^2(\Omega)$ tel que

$$
(1.7) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
- \Delta u^* = \lambda f(u^*) & \text{dans } \Omega, \\
u^* = 0 & \text{sur } \partial \Omega.
\end{array}
\right.
$$

On dira que $u^*$ est une **solution ordinaire** de (1.7) s'il n'existe pas
$v \neq 0 \in H^2(\Omega)$ vérifiant

$$
(1.8) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
- \Delta v = \lambda f'(u^*) & \text{v dans } \Omega, \\
v = 0 & \text{sur } \partial \Omega.
\end{array}
\right.
$$

Par application du théorème des fonctions implicites, on sait que
les solutions ordinaires de (1.7) sont des solutions isolées et ne sont
pas des points de bifurcation.

Puisque $n \le 3$, on a l'injection de Sobolev (cf. J.L. LIONS [14]),

$$
(1.9) \quad H^2(\Omega) \subset C^\circ(\bar{\Omega}) ;
$$

on en déduit que pour $u \in H^2(\Omega)$, $f(u) \in L^2(\Omega)$; l'équation (1.7) a donc
un sens dans $L^2(\Omega)$.
On se propose de déterminer les solutions ordinaires de (1.7).

## Description de l'algorithme

On se donne $\alpha > 0$; on définit par récurrence une famille $(u^m)_{m \in \mathbb{N}}$ d'éléments de $H^2(\Omega)$; on part de $u^0 \in H^2(\Omega)$, puis, $u^m$ étant supposé connu, on définit $u^{m+1}$ par

$$ (1.10) \quad \left\{ \begin{array}{lll} m + \frac{1}{3} & = \lambda f(u^m) & \text{dans } \Omega, \\ m + \frac{1}{3} & = 0 & \text{sur } \partial\Omega, \end{array} \right. $$

$$ (1.11) \quad \left\{ \begin{array}{lll} m + \frac{2}{3} & = \lambda f(u^m + \frac{1}{3}) & \text{dans } \Omega, \\ m + \frac{2}{3} & = 0 & \text{sur } \partial\Omega, \end{array} \right. $$

$$ (1.12)_{\alpha} \quad u^{m+1} = (1-\alpha)u^m + 2\alpha u^{m+\frac{1}{3}} - \alpha u^{m+\frac{2}{3}}. $$

Grâce à l'injection (1.9), les problèmes de Dirichlet (1.10), (1.11) admettent une unique solution dans $H^2(\Omega)$.

On démontre le résultat de convergence suivant :

**Théorème 1.2** - Soit $u^* \in H^2(\Omega)$ une solution ordinaire de (1.7). Alors, pour $0 < \alpha < \alpha^*$, $\alpha^*$ assez petit, il existe un voisinage $V_\alpha$ de $u^*$ dans $H^2(\Omega)$ tel que, si $u^0 \in V_\alpha$ et $(u^m)$ est défini par (1.10), (1.11), (1.12)$_\alpha$, alors pour $m \to \infty$, $m + \frac{i}{3} \to u^*$ dans $H^2(\Omega)$, $i = 0, 1, 2$. ■

**Démonstration** - On définit un opérateur $T$ de $H^2(\Omega)$ dans lui-même qui à $u$ associe l'unique solution $v \in H^2(\Omega)$ de

$$ (1.13) \quad \left\{ \begin{array}{ll} - \Delta v = \lambda f(u) & \text{dans } \Omega, \\ v = 0 & \text{sur } \partial\Omega. \end{array} \right. $$

Puisque $u^* \in H^2(\Omega)$ est une solution de (1.7), c'est un point fixe de $T$.

On montre avec les techniques de R. TEMAM, lemme 2.1, [23] que pour une
application $f$ de classe $C^1$, pour un ouvert $\Omega$ borné de $\mathbb{R}^n$ avec $n \le 3$,
l'application

$$
\tilde{f} : H^2(\Omega) \to L^2(\Omega)
$$

$$
u \mapsto f \circ u
$$

est Fréchet différentiable en u* quelconque, de différentielle

$$
\varphi \mapsto f'(u^*) \cdot \varphi.
$$

On en déduit, grâce à la continuité de la solution d'un problème
de Dirichlet par rapport au second membre, (de $L^2(\Omega)$ dans $H^2(\Omega)$), que l'opé-
rateur $T$ est Fréchet différentiable en $u^*$, de différentielle l'opérateur $A$
qui à $\varphi \in H^2(\Omega)$ associe l'unique solution $\psi \in H^2(\Omega)$ de

$$
(1.14) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
- \Delta \psi = \lambda f'(u^*) \quad \varphi \quad \text{sur } \Omega, \\
\\
\psi = 0 & \text{sur } \partial\Omega.
\end{array}
\right.
$$

Le complexifié $\tilde{A}$ de $A$ est l'opérateur qui à $\varphi \in H^2(\Omega) + i H^2(\Omega)$
associe $\psi \in H^2(\Omega) + i H^2(\Omega)$ solution de (1.14).

Puisque $n \le 3$, on a

$$
|f'(u^*(x))| \le \text{cte} \quad \forall x \in \bar{\Omega}
$$

et on en déduit, puisque $\Omega$ est borné, que l'opérateur $A$ est compact (grâce
à l'injection compacte de $H^1(\Omega)$ dans $L^2(\Omega)$).Soit $\mu$ une valeur propre non
nulle de $\tilde{A}$ associée au vecteur propre $\varphi$. On a :

$$
(1.15) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
- \Delta \varphi = \displaystyle\frac{\lambda}{\mu} f'(u^*) \quad \varphi \text{ dans } \Omega, \\
\\
\bar{\varphi} = 0 & \text{sur } \partial\Omega.
\end{array}
\right.
$$

On multiplie la première équation de (1.15) par $\bar{\varphi}$ et on intègre sur $\Omega$.
Puis on applique la formule de Green. On obtient :
$$ \int_{\Omega} |\nabla \varphi|^2 d\mathbf{x} = \frac{\lambda}{\mu} \int_{\Omega} f'(u^*) |\varphi|^2 d\mathbf{x}. $$

On en déduit que les valeurs propres de $\tilde{A}$ sont réelles. Enfin $1/n$ est pas valeur propre car $u^*$ est une solution ordinaire. On est donc dans les conditions d'application du théorème 1.1 et on en déduit le théorème 1.2.

**Remarque 1.3** - Pour $\lambda = 0$, l'unique solution de (1.7) est $u = 0$. On pourra donc calculer $u^*$ de proche en partant de $\lambda = 0$.

**Remarque 1.4** - On rencontre en particulier le problème (1.7) en physique des plasmas sous la forme :

$$ - \Delta u = \lambda e^u \text{ dans } \Omega, \quad u = 0 \text{ sur } \partial\Omega. $$

(cf. B. MARDER et H. WEITZNER [16]).

## 2. - UN PROBLEME A FRONTIERE LIBRE DE LA PHYSIQUE DES PLASMAS

### 2.1. - Introduction

La forme d'équilibre d'un plasma confiné dans une machine TOKAMAK est déterminée par la solution d'un **problème à frontière libre** décrit par R. TEMAM [22][23] à partir d'équations de C. MERCIER [17]. Etant donnés un domaine borné $\Omega$ de $\mathbb{R}^n$ ($n = 2$ pour le problème physique) et deux réels strictement positifs $I$ et $\lambda$, on cherche une fonction réelle $u$ sur $\Omega$, appartenant à $H^1(\Omega)$, telle que

$$ (2.1) \quad \left\{ \begin{array}{l} - \Delta u = - \lambda u_{-} \text{ dans } \Omega, \\ u = \text{cte (inconnue)} \text{ sur } \Gamma = \partial\Omega, \\ \int_{\Gamma} \frac{\partial u}{\partial n} d\sigma = I, \end{array} \right. $$

où $-u_{-} = \min(u, 0)$. La région $u < 0$ est la région occupée par le plasma, la région $u > 0$ correspond au vide et ces régions sont connues lorsque le problème (2.1) est résolu.
L'existence de solution (pour $\lambda$ quelconque) et l'unicité (pour $\lambda$ petit) pour ce problème ont été démontrées successivement par R. TEMAM [23], H. BERESTYCKI et H. BREZIS [1], J.P. PUEL [18]. Un résultat de non unicité a été établi par D.G. SCHAEFFER [19]. Des méthodes d'approximation d'un problème voisin (norme $L^2$ de $u$_fixée et $\lambda$ inconnu) ont été étudiées par C. GUILLOPE [8] et J. LAMINIE [13].

Nous étudions ici la stabilité des solutions de (2.1) relativement à un problème évolutif. Les solutions variationnelles (c'est-à-dire qui minimisent une certaine fonctionnelle) sont stables. Puis nous développons deux nouvelles méthodes d'approximation des solutions de (2.1), l'une basée sur l'algorithme standard des approximations successives, l'autre sur l'algorithme (1.1)α de la partie 1. La première méthode est localement convergente pour les solutions stables (grâce au théorème de Kitchen); la deuxième méthode est localement convergente pour toutes les solutions ordinaires (c'est-à-dire lorsque le problème linéarisé est injectif), stables ou instables (grâce au théorème 1.1).

Plusieurs développements mentionnés ci-dessus seraient triviaux si le problème (2.1) était plus régulier (l'application $u \rightarrow -u$ n'est pas différentiable partout). D'une part on pourrait utiliser des algorithmes classiques, tels que la méthode de Newton, d'autre part on pourrait simplifier les démonstrations en utilisant le calcul des variations classique (minimisation sur une variété) ou le théorème des fonctions implicites.

Comme autre prolongement de ce travail, signalons que la formulation du problème (2.1) en problème de point fixe fournit une nouvelle démonstration de l'existence de solution, utilisant le théorème de Leray-Schauder. Cette démonstration est donnée en annexe.

Des résultats numériques (obtenus après discrétisation par la méthode des éléments finis) complètent cette étude. Ils mettent en évidence un phénomène de non-unicité et de bifurcation pour un domaine en forme de sablier (domaine allongé et étranglé en son centre). Pour une même valeur de $\lambda$ ($\lambda$ assez grand), ou bien le plasma se regroupe d'un côté, ou de l'autre, du col, ou bien il se sépare en deux morceaux.
## 2.2. - Rappels

Les principaux résultats obtenus actuellement dans l'étude du problème (2.1) sont les suivants. On suppose que $\Omega$ est un domaine borné de $\mathbb{R}^n$, de frontière $\Gamma$ de classe $C^4$.

i) Pour tout $\lambda > 0$, le problème (2.1) possède au moins une solution $u$ appartenant à $W^3, P(\Omega)$, $\forall p$, $1 \le p < \infty$, et à $C^{2+\eta}(\bar{\Omega})$, $\forall \eta$, $0 \le \eta < 1$.

ii) Pour tout $\lambda$, $0 < \lambda \le \lambda_2$, où $\lambda_2$ est la deuxième valeur propre du problème de Dirichlet dans $\Omega$, il existe une unique fonction $u$ appartenant à $H^1(\Omega)$ solution de (2.1).

iii) On a les équivalences suivantes, pour toutes solutions $u$ de (2.1),

$$ \lambda < \lambda_1 \Leftrightarrow u(\Gamma) < 0, $$

$$ \lambda = \lambda_1 \Leftrightarrow u(\Gamma) = 0, $$

$$ \lambda > \lambda_1 \Leftrightarrow u(\Gamma) > 0, $$

où $\lambda_1$ est la première valeur propre du problème de Dirichlet dans $\Omega$ et $u(\Gamma)$ est la valeur de $u$ sur $\Gamma$. Il n'existe donc une frontière libre, c'est-à-dire

$$ \Gamma_p = \{x \in \Omega \mid u(x) = 0\} \neq \emptyset, $$

que dans le troisième cas.

iv) Il a été démontré par R. TEMAM<sup>(1)</sup> qu'étant donnée $u \in H^1(\Omega)$ solution de (2.1) et vérifiant aussi

$$ (2.2) \quad \text{mes} \, \{x \in \Omega \mid u(x) = 0\} = 0, $$

une condition nécessaire de bifurcation est qu'il existe $v \in H^1(\Omega)$, $v \neq 0$, tel que

$$ (2.3) \quad \begin{cases} -\Delta v = \lambda h(-u) v \text{ dans } \Omega, \\ v = 0 \quad \text{sur } \Gamma, \\ \int_{\Gamma} \frac{\partial v}{\partial n} d\sigma = 0 \end{cases} $$

où h désigne la fonction d'Heaviside.

<footnote>(1) démonstration non publiée</footnote>
Lorsqu'une fonction $u \in H^1(\Omega)$ vérifie (2.1) et (2.2) et que la seule solution $v \in H^1(\Omega)$ de (2.3) est $v \equiv 0$, on dira que $u$ est une **solution ordinaire** de (2.1). On remarque que $u$ est une solution ordinaire si et seulement si il n'existe pas $v \neq 0$, $v \in H^1(\Omega)$, solution de

$$ (2.4) \quad \left\{ \begin{array}{l} - \Delta v = \lambda h(-u)v \quad \text{dans } \Omega, \\ v = \text{cte (inconnue)} \quad \text{sur } \Gamma, \\ \displaystyle\int_{\Gamma} \frac{\partial v}{\partial n} d\sigma = 0. \end{array} \right. $$

En effet, soit $v \neq 0$, $v \in H^1(\Omega)$ solution de (2.4). D'après (2.1) et (2.4), on a :

$$ \int_{\Omega} \Delta v u d\tau - \int_{\Omega} v \Delta u d\tau = 0; $$

ce qui vaut, d'après la formule de Green,

$$ u(\Gamma) \cdot \int_{\Gamma} \frac{\partial v}{\partial n} d\sigma - v(\Gamma) \int_{\Gamma} \frac{\partial u}{\partial n} d\sigma, $$

$$ \text{d'où } v(\Gamma) = 0. $$

L'existence de solution de (2.1) est démontrée par R. TEMAM [23] en minimisant la fonctionnelle

$$ e(v) = |\nabla v|^2 - 2 I v(\Gamma) - \lambda |v_{-}|^2 $$

sur

$$ K = \{v \in W, \int_{\Omega} v_- d\tau = \frac{1}{\lambda}\}, $$

où

$$ W = \{v \in H^1(\Omega), v = \text{cte (quelconque) p.p. sur } \Gamma\}. $$

On appellera **solution variationnelle** de (2.1) les solutions réalisant le minimum de $e$ sur $K$. Il existe une autre formulation variationnelle équivalente (cf. H. BERESTYCKI et H. BREZIS [1] et A. DAMLAMIAN [5]).
**Remarque 2.1** - Si $n = 2$, par application d'un résultat de Hartman et Wintner [9],
les points $x$ où $u(x) = 0$ et $\nabla u(x) = 0$ sont isolés, donc en nombre fini : ainsi,
pour $n = 2$, $\Gamma_p$ est $C^{2+\eta}$ par morceaux et la condition (2.2) est vérifiée;
$\Gamma_p$ est $C^{2+\eta}$ globalement pour les solutions variationnelles.

2.3. - Un lemme

Pour $v \in L^2(\Omega)$ fixé, on s'intéresse dans ce paragraphe à l'équation
d'inconnue $C \in \mathbb{R}$ :

$$
(2.5) \quad \int_{\Omega} (v(\tau) + C)_{-} d\tau = \frac{I}{\lambda} .
$$

On établit d'abord qu'il existe un unique réel C vérifiant (2.5). On intro-
duit pour cela la fonction σ de R dans lui-même définie par :

$$
(2.6) \quad \sigma(x) = \int_{\Omega} (v(\tau) + x)_{-} d\tau .
$$

On observe que cette fonction est continue et que $\sigma(x) \to 0$ pour
$x \to -\infty$ et $\sigma(x) \to +\infty$ pour $x \to +\infty$. Le théorème des valeurs intermédiaires
entraîne ainsi l'existence de $C \in \mathbb{R}$ vérifiant (2.5). D'autre part, on vérifie
que la fonction $\sigma$ est strictement croissante là où elle est non nulle. On
en déduit l'unicité de $C \in \mathbb{R}$ solution de (2.5).

On note C la fonction de L²(Ω) dans R qui à v ∈ L²(Ω) associe l'unique
réel C vérifiant (2.5).

**Lemme 2.1** - Supposons que $n \le 3$. Soit $v^* \in H^2(\Omega)$; on note $u^* = v^* + C(v^*)$ et on suppose que $\text{mes}\{x \in \Omega | u^*(x) = 0\} = 0$. L'application $C$ de $H^2(\Omega)$ dans $\mathbb{R}$ est Fréchet différentiable en $v^*$, de différentielle

$$
\psi \mapsto - \frac{1}{\operatorname{mes}(\Omega_p)} \int_{\Omega_p} \psi(\tau) \, d\tau,
$$
où $\Omega_p = \{x \in \Omega \mid u^*(x) < 0\}$ ■
$$

**Démonstration** : On introduit l'application

$$
F : H^2(\Omega) \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}
$$
définie par

$$
(2.7) \quad F(v, x) = \int_{\Omega} (v(\tau) + x)_{-} d\tau .
$$

i ) L'application C est continue de H²(Ω) dans R (et même de L²(Ω)
dans R). En effet, soient v ∈ L²(Ω) et une suite (v_m) d'éléments de L²(Ω)
tels que

$$
v_m \to v \text{ dans } L^2(\Omega) \text{ pour } m \to \infty .
$$

On note $C(v_m) = C_m$, $C(v) = C$. On a :

$$
F(v, C) - F(v, C_m) + F(v, C_m) - F(v_m, C_m) = 0.
$$

Or

$$
|F(v, C_m) - F(v_m, C_m)| \leq \text{mes}(\Omega)^{1/2} |v - v_m|_L^2,
$$

d'où

$$
F(v, C_m) \to F(v, C) \text{ pour } m \to \infty,
$$

ou encore, avec la fonction σ définie par (2.6),

$$
\sigma(C_m) \to \sigma(C).
$$

Comme l'application $\sigma$ est continue et strictement monotone sur
l'intervalle où elle est non nulle, l'application réciproque, définie
sur $]0, +\infty[$, est continue. D'où $C_m \to C$ pour $m \to \infty$, ce qui prouve i).

ii) L'application F est Fréchet différentiable en (v*, C*). En
effet, R. TEMAM a démontré dans [23] que l'application

$$
\begin{array}{rcl}
\mathcal{H}^2(\Omega) & \to & \mathcal{L}^2(\Omega) \\
u & \mapsto & -u_{-}
\end{array}
$$

est Fréchet différentiable en u*, pourvu que n ≤ 3 et mes{x|u*(x) = 0} = 0.

La différentielle est :

$$
\varphi \mapsto h(-u^*) \varphi .
$$
L'assertion ii) en découle et on en déduit la différentielle de F

$$ (\psi, \gamma) \mapsto - \int_{\Omega_p} (\psi(\tau) + \gamma) \, d\tau . $$

iii) La dérivée de F par rapport à la seconde variable est inversible (c'est-à-dire ici est non nulle). En effet, cette dérivée est le réel - $\text{mes}(\Omega_p)$, qui est non nul puisque $\int_{\Omega} u_-^* d\tau = I/\lambda$.

Puisque la fonction $C$ de $H^2(\Omega)$ dans $\mathbb{R}$ vérifie $F(v, C(v)) = I/\lambda$ pour tout $v \in H^2(\Omega)$ et vérifie les conditions i) ii) iii), un raisonnement élémentaire de calcul différentiel montre que $C$ est Fréchet différentiable en $v^*$, de différentielle $-F_2^{-1} F_1$, soit

$$ \psi \mapsto - \frac{1}{\text{mes}(\Omega_p)} \int_{\Omega_p} \psi(\tau) \, d\tau, $$

d'où le lemme 2.1. ■

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

## 2.4. - Stabilité des solutions variationnelles

On définit dans ce papier la stabilité d'une solution $u^*$ de (2.1), vérifiant en outre (2.2), relativement au problème évolutif suivant (1).
On note $\Omega_p = \{x \in \Omega \mid u^*(x) < 0\}$, $\Omega_v = \{x \in \Omega \mid u^*(x) > 0\}$, $\Omega_v$ étant éventuellement vide.

Etant donné $\varphi_o \in H^2(\Omega)$ vérifiant

$$ (2.8) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \Delta \varphi_o = 0 \text{ sur } \Omega_v, \\ \varphi_o = \text{cte (quelconque) sur } \Gamma, \\ \int_{\Omega_p} \varphi_o(\tau) \, d\tau = 0, \end{array} \right. $$

on cherche $\varphi \in C^0([0,T]; H^1(\Omega)) \cap L^2(0,T; H^2(\Omega))$ tel que

<footnote>(1) Etant donné la complexité du problème évolutif physique (cf. C. MERCIER [17]), on ne sait pas si le problème (2.9) en est le linéarisé.</footnote>
$$
(2.9) \quad \left\{
\begin{array}{l}
h(-u^*) \frac{\partial \varphi}{\partial t} - \Delta_x \varphi = \lambda h(-u^*) \varphi , \\
\varphi(x, t) = \gamma(t) \text{ cte en } x \text{ (inconnue) ,} \\
\varphi(x, 0) = \varphi_o(x) \\
\displaystyle\int_{\Omega_p} \varphi(x, t) \, dx = 0 \text{ pour tout } t .
\end{array}
\right.
$$

La solution $u^*$ est dite **linéairement stable** si et seulement si les solutions de (2.9) de la forme $e^{-\nu t} \varphi(x)$, avec $\varphi \neq 0$, $\varphi \in H^2(\Omega)$, correspondent à Re $\nu > 0$.

Elle est dite *linéairement instable* si et seulement si il existe une telle solution avec Re v < 0.

On peut formuler un peu autrement cette définition en introduisant
la plus petite valeur propre $\mu_1$ (on en démontre l'existence ci-dessous) de

$$
(2.10) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
- \Delta \varphi_1 = \mu_1 h(-u^*) \varphi_1 & \text{dans } \Omega, \\
\varphi_1 = \text{cte (inconnue)} & \text{sur } \Gamma, \\
\displaystyle\int_{\Omega} h(-u^*) \varphi_1 \, d\tau = 0.
\end{array}
\right.
$$

On vérifie, puisque les valeurs propres de (2.10) sont réelles, que

$u^*$ est linéairement stable $\Leftrightarrow \lambda < \mu_1,$

$u^*$ est linéairement instable $\Leftrightarrow \mu_1 < \lambda$.

Pour étudier les valeurs propres du problème (2.10), on introduit
l'opérateur $A$ de $H^1(\Omega)$ dans lui-même qui à $\varphi$ associe l'unique solution
$\psi \in H^1(\Omega)$ de

$$
(2.11) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
- \Delta \psi = h(-u^*) \varphi & \text{dans } \Omega, \\
\psi = \text{cte (inconnue)} & \text{sur } \Gamma, \\
\displaystyle\int_{\Omega} h(-u^*) \psi \, d\tau = 0.
\end{array}
\right.
$$

On vérifie (comme au paragraphe 1.3) que le complexifié de l'opéra-
teur A est compact et de valeurs propres réelles positives. On en déduit
l'existence d'une plus petite valeur propre $\mu_1$ pour le problème (2.10).
**Remarque 2.2** - Introduisant l'espace $H = \{ \varphi \in W, \int_{\Omega_p} \varphi(\tau) \, d\tau = 0 \}$, muni du produit scalaire $(\nabla, \nabla)$ on montre que la restriction de l'opérateur $A$ à $H$ est un opérateur autoadjoint de $H$ dans lui-même. Utilisant une base hilbertienne de vecteurs propres de $A$, on démontre que (2.9) possède des solutions si et seulement si $\varphi_o$ vérifie (2.8). L'unicité de solution de (2.9) est montrée de façon classique.

Avec ces définitions, on peut énoncer :

**Propositions 2.1** - Supposons $n \le 3$. Les solutions ordinaires et variationnelles de (2.1) sont linéairement stables. ■

**Démonstration.** D'après des résultats de R. TEMAM [22][23], on sait que $e : W \cap H^2(\Omega) \to \mathbb{R}$ est de classe $C^1$, deux fois différentiable en $u^*$ grâce à (2.2), avec

$$e'(u) v = 2(\nabla u, \nabla v) - 2 I v(\Gamma) + 2 \lambda (u_-, v),$$

$$e''(u^*) \varphi \psi = 2(\nabla \varphi, \nabla \psi) - 2 \lambda \int_{\Omega_p} \varphi \psi \, d\tau.$$

Puisque $u^*$ est solution de (2.1),

$$e'(u) v = 0 \quad \forall v \in W.$$

Un développement de Taylor Young de $e$ à l'ordre 2 en $u^*$ est donc

$$(2.12) \quad |e(u) - e(u^*) - \frac{1}{2} e''(u^*) (u - u^*) (u - u^*)| = \phi(|u - u^*|^2)$$

Soient $\varphi \in H \cap H^2(\Omega)$ (H est défini dans le remarque 2.2) et $\psi = \varphi - \varphi(\Gamma)$; on note $v^* = u^* - u^*(\Gamma)$. Pour $\varepsilon > 0$, on introduit $u_\varepsilon \in K$ par

$$u_\varepsilon = v^* + \varepsilon \psi + C(v^* + \varepsilon \psi).$$

D'après le lemme 2.1, on a

$$(2.13) \quad \|u_\varepsilon - u^* - \varepsilon \varphi\|_{H^2(\Omega)} = o(\varepsilon).$$
Composant (2.12)(2.13), on obtient

$$|e(u_{\epsilon}) - e(u^*) - \frac{\epsilon^2}{2} e(u^*) \varphi \varphi| = o(\epsilon^2);$$

faisant tendre $\epsilon$ vers 0, on en déduit

$$e''(u^*) \varphi \varphi \geq 0,$$

soit

$$\lambda \int_{\Omega_p} \varphi^2 d\tau \leq |\nabla \varphi|^2.$$

Puisque les fonctions propres de (2.10) appartiennent à $H \cap H^2(\Omega)$, on a :

$$\lambda \int_{\Omega_p} \varphi_1^2 d\tau \leq |\nabla \varphi_1|^2 = \mu_1 \int_{\Omega_p} \varphi_1^2 d\tau,$$

d'où $\lambda \leq \mu_1$. Comme $u^*$ est une solution ordinaire, $\lambda \neq \mu_1$, et la proposition est démontrée. ■

## 2.5. - Approximation des solutions

### Description de l'algorithme alg 1

On définit par récurrence une famille $(u^m)$ d'éléments de $H^2(\Omega)$. On part de $u^0$ puis, $u^m$ étant connu, on définit $u^{m+1}$ par

$$(2.14) \quad \left\{ \begin{array}{l} - \Delta u^{m+1} = - \lambda u^m \quad \text{dans } \Omega, \\ \\ u^{m+1} = \text{cte (inconnue)} \quad \text{sur } \Gamma, \\ \\ \int_{\Omega} u^{m+1} \, d\tau = I/\lambda. \end{array} \right.$$

### Description de l'algorithme alg 2

On se donne un réel $0 < \alpha < 2$; on définit une famille $(u^m)$ d'éléments de $H^2(\Omega)$. On part de $u^0$, puis, $u^m$ étant connu, on définit $u^{m+1}$ en trois étapes :
$$
(2.15) \quad \left\{
\begin{array}{l}
m + \frac{1}{3} = - \lambda u_{-}^m \text{ dans } \Omega, \\
m + \frac{1}{3} u = \text{cte (inconnue) sur } \Gamma, \\
m + \frac{1}{3} \int_{\Omega} u \, d\tau = I/\lambda,
\end{array}
\right.
$$

$$
(2.16) \quad \left\{
\begin{array}{l}
m + \frac{2}{3} = - \lambda u \quad \text{m} + \frac{1}{3} \text{ dans } \Omega, \\
m + \frac{2}{3} u = \text{cte (inconnue) sur } \Gamma, \\
m + \frac{2}{3} \int_{\Omega} u \, d\tau = I/\lambda,
\end{array}
\right.
$$

$$
(2.17) \quad u^{m+1} = (1-\alpha)u^m + 2\alpha \begin{array}{l} m + \frac{1}{3} \\ \qquad - \alpha u \end{array},
$$

On montrera ci-dessous que les problèmes (2.14) (2.15) (2.16) sont
bien posés. On a le résultat de convergence

**Théorème 2.1** - On suppose $n \le 3$. Soit $u^*$ une solution ordinaire de (2.1).

i) Pour tout $\alpha$, $0 < \alpha < \alpha^*$, $\alpha^*$ assez petit, il existe un voisinage $V_\alpha$ de $u^*$ dans $H^2(\Omega)$ tel que, si $u^\circ \in V_\alpha$ et $(u^m)$ est défini par alg 2$\alpha$, alors, pour $m \to \infty$,

$$
u^{m+\frac{i}{3}} \to u^* \text{ dans } H^2(\Omega), \quad i=0,1,2.
$$

ii) Si de plus $u^*$ est linéairement stable, il existe un voisinage $V$ de $u^*$ dans $H^2(\Omega)$ tel que, si $u^\circ \in V$ et $(u^m)$ est défini par alg 1, alors pour $m \to \infty$,

$$
u^m \to u^* \text{ dans } H^2(\Omega). \blacksquare
$$

**Démonstration** - On définit un opérateur $T$ de $H^2(\Omega)$ dans lui-même qui à $u$
associe $\tilde{u} = v + C(v)$ où $v \in H^1(\Omega)$ est l'unique solution de

$$
(2.18) \quad \left\{
\begin{array}{l}
- \Delta v = - \lambda u_{-} \text{ dans } \Omega, \\
v = 0 \quad \text{sur } \Gamma .
\end{array}
\right.
$$
La fonction $\tilde{u} \in H^2(\Omega)$ est l'unique solution de

$$ (2.19) \quad \left\{ \begin{array}{ll} - \Delta \tilde{u} = - \lambda u_- & \text{dans } \Omega, \\ \\ \tilde{u} = \text{cte (inconnue)} & \text{sur } \Gamma, \\ \\ \int_{\Omega} \tilde{u}_- \, d\tau = I/\lambda. & \end{array} \right. $$

On a ainsi établi que les problèmes (2.14) (2.15) (2.16) sont bien posés. Soit $u^*$ une solution de (2.1). On sait qu'alors $u^* \in K$. Il y a donc équivalence entre $u^*$ est solution de (2.1) et $u^* \in H^2(\Omega)$ est point fixe de T.

L'opérateur T est le composé des applications :

$$ \begin{array}{rclcl} H^2(\Omega) & \to & L^2(\Omega) & \to & H^2(\Omega) \to H^2(\Omega) \\ u & \mapsto & -u_- & \mapsto & v & \mapsto \tilde{u} \end{array} $$

où $v$ est solution de (2.18) et $\tilde{u} = v + C(v)$.

D'après la différentiabilité de l'application $u \to -u_-$ (on utilise ici (2.2)), d'après la continuité de l'application linéaire définie par (2.18) et d'après le lemme 2.1 (on utilise ici (2.2) et $\tilde{u} = u = u^*$), l'opérateur T est Fréchet différentiable en $u^*$, de différentielle l'opérateur $\lambda A$, où $A$ a été défini par (2.11).

Le complexifié de l'opérateur $\lambda A$, de $H^2(\Omega)$ dans lui-même, est compact, de valeurs propres réelles; l n'est pas valeur propre car $u^*$ est une solution ordinaire.

On est ainsi dans les conditions d'application du théorème 1.1 et on en déduit i).

Si de plus $u^*$ est linéairement stable, alors le rayon spectral de $\lambda A$, qui est $\frac{\lambda}{u_1}$, est strictement plus petit que 1. Le théorème de Kitchen entraîne ii), ce qui achève la démonstration du théorème 2.1. ■
## 2.6. - Exemple numérique de bifurcation

On décrit d'abord la discrétisation du problème (2.1) par la méthode des éléments finis. On suppose que $\Omega$ est un domaine borné polygonal de $\mathbb{R}^2$ et on lui associe des triangulations $\mathcal{T}_h$ régulières où $h = \max \{\text{diam}(T)\}$. On suppose que ces triangulations sont positives, c'est-à-dire (cf. P.G. CIARLET et P.A. RAVIART [3]):

$$ (2.20) \qquad \text{les angles de tous les triangles sont} \le \frac{\pi}{2}. $$

On associe à ces triangulations $\mathcal{T}_h$ les espaces d'éléments finis
$$ V_h = \{u_h \in C^0(\bar{\Omega}), \ u_h|_{\Gamma} = 0, \ u_h|_{T} \text{ affine } \forall T \in \mathcal{T}_h \}, $$
$$ W_h = V_h \oplus \mathbb{R} \subset W. $$

On déduit de la formulation variationnelle du problème (2.1) le problème approché trouver $u_h \in W_h$ tel que

$$ (2.22) \qquad (\nabla u_h, \nabla v_h) - I v_h(\Gamma) + \lambda(u_{h-}, v_h) = 0 \quad \forall v_h \in W_h. $$

On démontre en annexe

**Proposition 2.2** - Sous l'hypothèse (2.20), pour tout $\lambda > 0$ fixé,

i) pour tout $h > 0$, il existe au moins une solution
$$ u_h \in W_h \cap L^\infty(\Omega) \text{ de (2.22)}; $$

ii) il existe une constante indépendante de $h$ telle que
$$ \|u_h\|_{H^1} \le cte \quad \forall h > 0; $$

iii) il existe une sous-suite $h' \to 0$ et une solution $u$ de (2.1) telles que $u_{h'} \to u$ dans $H^1$ fort pour $h' \to 0$;

iv) si le problème (2.1) admet une unique solution $u$, alors
$$ u_h \to u \text{ dans } H^1 \text{ fort pour } h \to 0. \quad \blacksquare $$
Les solutions ordinaires de (2.22) seront calculées grâce à des algorithmes alg 1$_{h}$, alg 2$_{h,α}$ déduits de alg 1 et alg 2$_{α}$ en remplaçant le problème de Dirichlet (2.18) par : trouver v$_{h}$ ∈ V$_{h}$ tel que

$$
(2.23) \quad (\nabla v_h, \nabla w_h) = - \lambda (u_{h-}, w_h) \quad \forall w_h \in V_h .
$$

L'exemple étudié numériquement ici concerne l'ouvert Ω ⊂ ℝ² défini
par - 3 < x₂ < 3 et

pour - 3 < x₂ < - 1 , 1 < x₁ < 3

pour - 1 ≤ x₂ ≤ + 1 , 1 + 2/3 < x₁ < 2 + 1/3

pour 1 < x₂ < 3 , 1 < x₁ < 3

L'opérateur - Δ de (2.1) est remplacé ici par :

$$
\mathcal{L}u = - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \frac{1}{x_1} \frac{\partial}{\partial x_i} u \right) ; \quad (1)
$$

la constante multiplicative I est fixée à 5. La triangulation ℓh, qui est
la même pour tous les calculs, est donnée à la figure 1.

<footnote>(1) La condition aux limites devient $\int_{\Gamma} \frac{1}{x_1} \frac{\partial u}{\partial n} d\sigma = I$</footnote>
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 1</figcaption></figure>

Nombre de triangles = 512

Nombre de sommets = 309

On a calculé (2) les premières valeurs propres du problème de
Dirichlet :

$$
(2.24) \quad \left( \frac{1}{x_1} \nabla \varphi_{ih} \cdot \nabla v_h \right) = \lambda_{ih} (\varphi_{ih} \cdot v_h) \quad \forall v_h \in V_h,
$$

où $\varphi_{ih} \in V_h$, $\varphi_{ih} \neq 0$.

On obtient

$$
\lambda_{1h} = 2{,}511\ 085 \pm 2.10^{-6}, \quad \lambda_{2h} = 2{,}511\ 132 \pm 4.10^{-6},
$$

$$
\lambda_{3h} = 6{,}098\ 462 \pm 6.10^{-6}.
$$

<footnote>(2) Par la méthode des puissances itérées.</footnote>
**Remarque 2.3** - Les valeurs propres $\lambda_{1h}$ et $\lambda_{2h}$ sont voisines, car pour $1$'ouvert $\Omega' = ]1,3[ \times ] - 3, - 1[U] 1,3[ \times ] 1,3[ \text{ voisin de } \Omega$, la première valeur propre est double.

Pour différentes valeurs de $\lambda(0 < \lambda < 8)$, on a calculé des solutions $u_h$ par les algorithmes alg $1_h$ et alg $2_{h,\alpha}$. Pour chaque solution, on a calculé la plus petite valeur propre $\mu_{1h}$ de :

$$ (2.25) \quad \left(\frac{1}{x_1} \nabla \psi_{1h}, \nabla v_h\right) = \mu_{1h} \int_{\Omega_p} \psi_{1h}(\tau) v_h(\tau) \, d\tau, \forall v_h \in V_h \\ \text{où } \psi_{1h} \in W_h, \int_{\Omega_p} \psi_{1h}(\tau) \, d\tau = 0, \psi_{1h} \neq 0 \quad (\Omega_p = \{x \in \Omega | u_h(x) < 0\}). $$

Les résultats sont les suivants :

i) pour $\lambda < \lambda_{2h}$, nous ne savons calculer qu'une seule solution; elle est obtenue par alg $1_h$, elle est stable et symétrique, le plasma est connexe;

ii) pour $\lambda = \lambda_{2h}$, nous avons calculé huit solutions, dont une seule symétrique; nous conjecturons que cette dernière est **un point de bifurcation** et qu'il existe pour cette valeur de $\lambda$ **un continuum de solutions**; toutes les solutions sont obtenues par alg $1_h$; elles vérifient la condition nécessaire de bifurcation, car $\lambda = \mu_{1h}$;

iii) pour $\lambda > \lambda_{2h}$, nous savons calculer trois et seulement trois solutions; deux sont stables dissymétriques, obtenues par alg $1_h$; une est symétrique, instable, obtenue par alg $2_{h,\alpha}$ (et elle ne peut pas être obtenue par alg $1_h$); à partir de $\lambda = 2,6$, le plasma symétrique est non connexe.

**Remarque 2.4** - Pour des ouverts $\Omega'$ union de deux ouverts identiques dis-joints $\Omega_0$ et $\Omega'_0$, on montre facilement que :

i) pour $\lambda < \lambda_1 = \lambda_2$, il existe une unique solution de (2.1),

ii) pour $\lambda = \lambda_1$, il existe un continuum de solutions de (2.1),

iii) pour $\lambda_1 < \lambda \le \lambda_3 = \lambda_4$ il existe trois branches de solutions de (2.1),
et la solution $(\lambda_1, \lim_{\lambda \to \lambda_1^-} u(\lambda))$ est un point de bifurcation. Nos résultats numériques sont analogues à ce cas particulier, ce qui s'explique puisque $\Omega$ est voisin d'un ouvert non connexe $\Omega'$ du type précédent. La branche trouvée numériquement verticale est peut être "presque verticale".

On donne maintenant diverses courbes calculées point par point.

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 2</figcaption></figure>

Valeur de $\frac{\lambda}{u_{1h}}$

On donne en figure 3 la valeur de

$$\int_{x_2>0} u_h(x) \, dx - \int_{x_2<0} u_h(x) \, dx,$$

qui renseigne sur la symétrie des solutions.
<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>**Figure 3**

Symétrie des solutions.</figcaption></figure>

La figure 4 donne le carré de la norme $L^2$ de $u_h$, ce qui permet de faire le lien avec une autre formulation du problème signalée précédem-ment.
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 4</figcaption></figure>

Valeur de $|u_h - u_L|^2$

Les figures suivantes donnent, pour chaque solution, la position
des lignes magnétiques (c'est-à-dire des équipotentielles de $u_h^{(1)}$) et de
la frontière du plasma, qui est dessinée en trait épais.

<footnote>(1) L'écart entre deux équipotentielles est égal à
$$ \frac{\max (-u_h)}{10} $$</footnote>
<figure><img src="image_12.png" /></figure>

<table><tr><td>λ = 1.</td></tr><tr><td>u<sub>max</sub> = - 0,383</td></tr><tr><td>u<sub>min</sub> = - 0,780</td></tr></table>

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

<table><tr><td>λ = 1,5</td></tr><tr><td>u<sub>max</sub> = - 0,190</td></tr><tr><td>u<sub>min</sub> = - 0,642</td></tr></table>

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

<table><tr><td>λ = 2,511 132</td></tr><tr><td>u<sub>max</sub> = 0,000</td></tr><tr><td>u<sub>min</sub> = - 0,634</td></tr></table>

Figure 5

Solutions pour $\lambda \le \lambda_{2h}$; la solution pour $\lambda = 2,511 132$ est le point de bifurcation.
<figure><img src="image_15.png" /></figure>

$$ \lambda = 2,525 $$

$$ u_{\max} = 0,002 $$

$$ u_{\min} = -0,636 $$

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

$$ \lambda = 2,6 $$

$$ u_{\max} = 0,013 $$

$$ u_{\min} = -0,641 $$

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

$$ \lambda = 8 $$

$$ u_{\max} = 0,466 $$

$$ u_{\min} = -0,685 $$

Figure 6

Solutions symétriques pour $\lambda > \lambda_{2h}$
<figure><img src="image_18.png" /></figure>

C = 0,854

u_max = 0,000

u_min = -0,872

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

C = 1,102

u_max = 0,000

u_min = -1,070

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

C = 1,497

u_max = 0,000

u_min = -1,269

Figure 7

Solutions pour $\lambda = \lambda_{2h} = 2,511 132$; on peut paramétrer cette branche
avec $C = |u_-|^2$ ; les symétriques de ces fonctions sont aussi solutions.
<figure><img src="image_21.png" /></figure>

$$ \lambda = 2,511 \ 150 $$

$$ u_{\max} = 0,000 $$

$$ u_{\min} = -1,269 $$

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

$$ \lambda = 2,525 $$

$$ u_{\max} = 0,004 $$

$$ u_{\min} = -1,272 $$

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

$$ \lambda = 8 $$

$$ u_{\max} = 0,933 $$

$$ u_{\min} = -1,370 $$

Figure 8

Solutions dissymétriques pour $\lambda > \lambda_{2h}$; les symétriques de ces fonctions sont aussi solutions.
### 3. - ANNEXE

Le but de ce paragraphe est de donner une nouvelle démonstration de l'existence de solution de (2.1) et de démontrer la proposition 2.2.

a) **Démonstration de l'existence de solution de (2.1).** Soit $p > n$. On introduit l'opérateur non linéaire $S$ de $L^p(\Omega)$ dans lui-même qui à $\varphi \in L^p(\Omega)$ associe $\psi \in L^p(\Omega)$ par :
$v$ est la solution dans $H_o^1(\Omega)$ de

$$ (3.1) \qquad - \Delta v = - \lambda \varphi \quad \text{dans } \Omega, $$

$\psi$ est donné par

$$ (3.2) \qquad \psi = (v + C(v))_{-}. $$

Si $u$ est une solution de (2.1), $u_{-}$ est un point fixe de $S$ et si $\varphi$ est un point fixe de $S$, $u = v + C(v)$, où $v$ est la solution de (3.1), est une solution de (2.1).

i) Il existe une boule $B$ de $L^p(\Omega)$ telle que $S(B) \subset B$. Puisque $p > n$, un théorème de G. STAMPACCHIA [21] donne l'existence d'une constante $a$, qui ne dépend que de $\Omega$, $n$, $p$, telle que, pour tout $\varphi \in L^p(\Omega)$ la solution $v$ de (3.1) appartient à $L^\infty(\Omega)$ et vérifie

$$ (3.3) \qquad |v|_{L^\infty} \le a \lambda |\varphi|_{L^p}. $$

Pour tout $v \in L^\infty(\Omega)$, on montre facilement que $u = v + C(v)$ vérifie

$$ (3.4) \qquad |u|_{L^\infty} \le 2|v|_{L^\infty} + \frac{I}{\lambda \text{mes}(\Omega)} . $$

On en déduit que $\psi$ défini par (3.2) vérifie

$$ (3.5) \qquad |\psi|_{L^\infty} \le 2|v|_{L^\infty} + \frac{I}{\lambda \text{mes}(\Omega)} . $$

D'autre part :

$$ (3.6) \qquad |\psi|_{L^1} = \frac{I}{\lambda}, $$
ce qui donne

$$
(3.7) \qquad \left|\psi\right|^p_{L^p} \le \frac{1}{\lambda} \left|\psi\right|^{p-1}_{L^\infty} .
$$

Regroupant les estimations (3.3) (3.5) (3.7), on a

$$
(3.8) \quad |S \varphi|^p_{L^p} \le \{C_1 |\varphi|_{L^p} + C_2\}^{p-1} \quad \forall \varphi \in L^p(\Omega),
$$

$$
où \ C_1 = \left(\frac{1}{\lambda}\right)^{\frac{1}{p-1}} \quad . \quad 2 \text{ a } \lambda \quad , \quad C_2 = \left(\frac{1}{\lambda}\right)^{\frac{1}{p-1}} \quad \cdot \quad \frac{1}{\lambda} \text{mes}(\Omega) \ .
$$

Soit R la plus grande racine positive de

$$
x^P - \{C_1 x + C_2\}^{p-1} = 0.
$$

Supposons que $|\varphi| \le R$. On a donc

$$
\{C_1 | \varphi|_{L^p} + C_2\}^{\frac{1}{p-1}} \le \{C_1 R + C_2\}^{\frac{1}{p-1}} = R^p .
$$

D'où, grâce à (3.8), $|S \varphi|_{L^p} \le R$. On a ainsi établi i).

ii) L'opérateur S est compact de L^p(Ω) dans lui-même.

L'opérateur S est le composé des deux applications :

$$
L^p(\Omega) \to H_o^1(\Omega) \cap L^\infty(\Omega) \to L^p(\Omega)
$$

$$
\varphi \mapsto v \mapsto \psi .
$$

La première est linéaire continue de $L^p$ dans $H_o^1 \cap L^\infty$. La deuxième
est continue et non linéaire de $L^p(\Omega)$ dans lui-même d'après le point i)
du lemme 2.1. D'autre part, l'injection de $H_o^1(\Omega) \cap L^\infty(\Omega)$ dans $L^p(\Omega)$
est compacte $\forall p, 1 \le p < \infty$ ($\Omega$ borné). En effet, de toute suite bornée
dans $H_o^1$, on peut extraire une sous-suite convergente dans $L^2(\Omega)$, puis
une sous-suite convergente presque partout dans $\Omega$. La suite étant bornée
dans $L^\infty(\Omega)$, le théorème de Lebesgue implique qu'elle converge dans tous
les $L^p$, $1 \le p < \infty$. On en déduit ii).
On est dans les conditions d'application du théorème de point fixe de Leray-Schauder, ce qui entraîne l'existence de $u \in H^1(\Omega) \cap L^\infty(\Omega)$ solution de (2.1).

b) Démonstration de la proposition 2.2. Soit $p > n = 2$

On définit un opérateur $S_h$ de $L^p(\Omega)$ dans lui-même qui à $\varphi_h \in L^p(\Omega)$ associe $\psi_h \in L^p(\Omega)$ par :
$v_h$ est la solution dans $V_h$ de

$$ (3.9) \qquad (\nabla v_h, \nabla w_h) = - \lambda (\varphi_h, w_h) \quad \forall w_h \in V_h $$

et $\psi_h$ est défini par :

$$ (3.10) \qquad \psi_h = (v_h + C(v_h))_{-} $$

Puisque les triangulations $\mathcal{T}_h$ sont positives, un théorème de P.G. CIARLET et P.A. RAVIART (cf [3]) donne une estimation analogue à (3.3)

$$ (3.11) \qquad |v_h|_{L^\infty} \le \text{cte. } \lambda |\psi_h|_{L^\infty}, $$

où la constante ne dépend pas de h.

Les estimations (3.5) (3.6) (3.7) étant valables, on en déduit l'existence de constantes $C_3, C_4$ indépendantes de h telles que

$$ (3.12) \qquad |S_h \varphi_h|_{L^p}^p \le \{C_3 |\varphi_h|_{L^p} + C_4\}^{p-1} \quad \forall \varphi_h \in L^p(\Omega). $$

Il existe donc une boule B', de rayon R', de $L^p(\Omega)$ telle que $S_h(B') \subset B'$, et cette boule est indépendante de h.

D'autre part, l'opérateur $S_h$ est le composé des deux applications

$$ L^p(\Omega) \to V_h \to L^p(\Omega) $$

$$ \varphi_h \quad \mapsto \quad v_h \quad \mapsto \quad \psi_h. $$
L'espace de dimension finie $V_h$ étant muni de sa topologie canonique, la première application est linéaire continue, la deuxième continue non linéaire, grâce à la continuité de C.

L'espace $V_h$ étant localement compact, on en déduit que l'opérateur $S_h$ est compact de $L^p(\Omega)$ dans lui-même. Le théorème du point fixe de Leray Schauder entraîne donc i) de la proposition 2.2.

Soit $u_h$ une solution quelconque de (2.1) et soit $\varphi_h = u_{h-}$.
D'après (3.12), on a

$$|\varphi_h|_{L^p}^p - \{c_3 |\varphi_h|_{L^p} + c_4\}^{p-1} \le 0,$$

d'où, par définition de $R'$, (cf. définition de $R$)

$$(3.13) \qquad |\varphi_h|_{L^p} \le R' .$$

On en déduit par (3.11)

$$(3.14) \qquad |v_h|_{L^\infty} \le cte,$$

et d'après (3.9)

$$(3.15) \qquad |\nabla v_h|_{L^2} \le cte .$$

D'après (3.5) (3.14) (3.15), on en déduit

$$\|u_h\|_{H^1} \le cte$$

où la constante ne dépend pas de $h$, ce qui établit ii).

On déduit iii) et iv) de façon classique, la convergence forte dans $H^1(\Omega)$ découlant de

$$|\nabla u_h|_{L^2}^2 - I u_h(\Gamma) - \lambda |u_{h-}|_{L^2}^2 = 0$$

La proposition 2.2 est ainsi démontrée.
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