# Mouvement d'une corde vibrante en présence d'un obstacle rectiligne fixe. II

Henri Cabannes

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Henri Cabannes. Mouvement d'une corde vibrante en présence d'un obstacle rectiligne fixe. II. Comptes rendus de l'Académie des sciences. Série IIb, Mécanique, 1983, 296, pp.1367-1371. hal-01527107

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Submitted on 23 May 2017

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<figure><img src="image_1.png" /></figure>

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VIBRATIONS. — Mouvement d'une corde vibrante en présence d'un obstacle rectiligne fixe. II. Note (*) de Henri Cabannes, Correspondant de l'Académie.

Une corde vibrante fixée à ses deux extrémités oscille dans un plan en présence d'un obstacle parallèle à la position d'équilibre de la corde. La corde étant initialement au repos dans une position quelconque, on démontre que, si l'obstacle est suffisamment proche de la position d'équilibre de la corde, le mouvement est une fonction presque-périodique du temps.

VIBRATIONS. — Motion of a String Vibrating Against a Straight Fixed Obstacle. II.

A vibrating string fixed at both ends moves in a plane in the presence of a straight fixed obstacle parallel to the equilibrium position of the string. The string being initially at rest with an arbitrary shape, we prove that, if the obstacle is near enough to the equilibrium position of the string, the motion is an almost-periodic function of the time.

1. POSITION DU PROBLÈME. — Dans un plan rapporté à un repère orthonormé Oxu, on considère les petits mouvements d'une corde vibrante fixée à ses deux extrémités ($x = \pm 1/2$, $u=0$). La corde oscille en présence d'un obstacle rectiligne fixe d'équation $u = -H(H \ge 0)$ sur lequel elle rebondit suivant une loi qui assure la conservation de l'énergie. La fonction $u(x, t)$ qui représente, à l'instant $t$, la position du point d'abscisse $x$ satisfait les conditions suivantes :

$$ (1) \qquad \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0 \quad \text{si } u(x, t) > -H, $$

$$ (2) \qquad \frac{\partial u}{\partial t}(x, t+0) = -\frac{\partial u}{\partial t}(x, t-0) \quad \text{si } u(x, t) = -H, $$

$$ (3) \qquad u\left(\pm\frac{1}{2}, t\right) = 0 \quad \text{pour } t \ge 0, $$

$$ (4) \qquad \left\{ \begin{array}{ll} u(x, 0) = \alpha(x) \ge 0 & \text{pour } |x| \le \frac{1}{2}, \quad \alpha\left(\pm\frac{1}{2}\right) = 0, \\ \\ \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = \beta(x) & \text{pour } |x| \le \frac{1}{2}, \quad \beta\left(\pm\frac{1}{2}\right) = 0. \end{array} \right. $$

Dans la suite nous supposerons toujours que la corde est initialement au repos dans une position quelconque, donc $\beta(x) \equiv 0$. Dans l'intervalle $-1/2 \le x \le 1/2$, la fonction $\alpha(x)$ possède $n$ maximums relatifs $M_i$ atteints pour :

$$ x = a_i \left( -\frac{1}{2} < a_1 < a_2 < \dots < a_n < \frac{1}{2} \right) $$

et $n-1$ minimums relatifs $m_i$ atteints pour $x = b_i$ ($a_i < b_i < a_{i+1}$).

Il est connu [3] que, si $\bar{u}(x, t)$ désigne une solution (avec $\beta=0$) du problème (1)-(4), il en est de même de la fonction :

$$ (5) \qquad u(x, t) = \bar{u}(X, T), $$

avec :

$$ (6) \qquad \left\{ \begin{array}{l} 2X = F(x+t) + F(x-t), \\ 2T = F(x+t) - F(x-t), \end{array} \right. $$

la fonction $F(y)$, non décroissante, satisfaisant les conditions suivantes :

$$ (7) \qquad F(y+1) = 1 - F(-y), \quad F(y+2) = 2 + F(y). $$
Les instants initiaux $t=0, T=0$ se correspondent, mais naturellement les conditions initiales pour les fonctions $u(x, t)$ et $\bar{u}(X, T)$ ne sont pas les mêmes; on a :

$$ (8) \qquad \left\{ \begin{array}{l} u(x, 0) = \bar{u}\{F(x), 0\}, \\ \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = F'(x) \frac{\partial \bar{u}}{\partial t}(F(x), 0). \end{array} \right. $$

Les deux dérivées $(\partial u/\partial t)(x, 0)$ et $(\partial \bar{u}/\partial T)(X, 0)$ sont nulles en même temps et les fonctions $u(x, 0)$ et $\bar{u}(X, 0)$ possèdent dans les intervalles $-1/2 \le x \le 1/2, -1/2 \le X \le 1/2$ les mêmes maximums $M_i$ et les mêmes minimums $m_i$. La fonction $u(x, 0)=\alpha(x)$ étant donnée satisfaisant la première des relations (4), il est toujours possible de choisir la fonction $F$ de façon que la fonction $\bar{u}(X, 0)$ soit affine par morceaux, les différents morceaux ayant pour pente $\pm k(k>0)$. Il suffit de choisir pour $F$ la fonction définie dans l'intervalle $-1/2 \le y \le 1/2$ par les relations :

$$ (9) \qquad F(y) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{k} \int_{-(1/2)}^{y} \left| \frac{\partial u}{\partial x}(x, y) \right| dx, $$

avec :

$$ (10) \qquad k = \int_{-(1/2)}^{1/2} \left| \frac{\partial u}{\partial x}(x, 0) \right| dx = 2 \left\{ \sum_{i=1}^{n} M_i - \sum_{i=1}^{n-1} m_i \right\}. $$

Cette remarque permet de ramener l'étude du cas général (avec $\beta=0$ naturellement) au cas où le graphe de la fonction $\alpha(x)$ est une ligne polygonale ($\mathcal{P}$) dont les segments ont pour pente $\pm k$. Nous désignerons par $\bar{\alpha}(x)$ la fonction $\alpha(x)$ correspondante.

## 2. OBSTACLE SUR LA POSITION D'ÉQUILIBRE : $H=0$.

### THÉORÈME 1. —
Si la corde est initialement au repos dans une position quelconque, le mouvement en présence d'un obstacle rectiligne placé sur la position d'équilibre est un mouvement périodique dont la période a la même valeur que dans l'oscillation libre.

L'oscillation libre définie par les équations (1), (3) et (4) ayant pour période 2, nous devons démontrer que le mouvement défini par les équations (1)-(4), avec $H=0$ et $\beta=0$, possède aussi la période 2. Il résulte des relations (5), (6) et (7) que, si la fonction $\bar{u}(X, T)$ est une fonction périodique du temps $T$ dont la période est un nombre entier pair, la fonction $u(x, t)$ est une fonction périodique du temps $t$ de même période. Il suffit donc, ce que nous allons faire, de démontrer le théorème 1 pour $\alpha(x)=\bar{\alpha}(x)$.

Au début du mouvement, avant tout contact, le mouvement de la corde est l'oscillation libre $\bar{u}(x, t)=\bar{w}(x, t)$ :

$$ (11) \qquad \bar{w}(x, t) = \frac{\bar{\alpha}(x+t) + \bar{\alpha}(x-t)}{2} $$

et, dans le plan $x-t$, on a, suivant les régions, $\bar{w}(x, t)=\pm kx+Cte$ ou $\pm kt+Cte$. Les lignes $\bar{w}(x, t)=0$ sont formées de segments parallèles à l'axe des temps ou à l'axe des abscisses, et la solution $u(x, t)=\bar{w}(x, t)$ est valable jusqu'à la première ligne d'influence (L. Amerio et G. Prouse [1]) formée ici de segments $t=Cte$ et de caractéristiques issues de certains points anguleux de la ligne $\bar{w}=0$: figure 1. A partir de la ligne $\bar{w}=0$ on peut construire (cf. fig. 1) un régionnement du plan $x-t$ (plus exactement de la bande $|x| \le 1/2, t \ge 0$) qui comprend des rectangles ($\mathcal{R}$) dont les côtés sont des caractéristiques et dont un sommet est le point $x=-1/2, t=1/2+b_i$ (ou le point $x=1/2, t=1/2-b_i$), les trois autres sommets étant situés sur la ligne $\bar{w}=0$; ce régionnement comprend aussi des régions ($\mathcal{R}_1$) et
(ℝ₂) adjacentes à l'un des axes $x = \pm 1/2$, limitées par des côtés des rectangles (ℝ) et par des segments $t = 1/2 \pm a_i$ suivant que ces régions sont adjacentes à l'axe $x = -1/2$ ou à l'axe $x = 1/2$. Les régions (ℝ₁) sont celles qui touchent l'axe $x = -\epsilon/2$ ($\epsilon = \pm 1$) pour $-1/2 + \epsilon b_i \le t \le 1/2 + \epsilon a_{i+1}$; les régions (ℝ₂) sont les autres.

Il est possible d'exprimer la fonction $\bar{u}(x, t)$ qui représente le mouvement de la corde en présence de l'obstacle $u=H=0$, à l'aide de la fonction $\bar{w}(x, t)$ et de la fonction associée :

$$ (12) \qquad \bar{v}(x, t) = \frac{\bar{\alpha}(x+t) - \bar{\alpha}(x-t)}{2} = \bar{w}\left(t+\frac{1}{2}, x-\frac{1}{2}\right). $$

Dans les rectangles (ℝ) ayant un sommet sur l'axe $x = -(1/2)$, on a $\bar{u}(x, t) = \bar{v}(x, t) - \bar{v}_s$, $\bar{v}_s$ étant la valeur de $\bar{v}$ en l'un quelconque des sommets; dans les rectangles (ℝ) ayant un sommet sur l'axe $x=1/2$, on a $u = \bar{v}_s - \bar{v}$. On a en fait $\bar{v}_s = m_i$ pour les rectangles touchant l'axe $\bar{x} = -\epsilon/2$ au point $t = 1/2 + \epsilon b_i$. Dans les régions (ℝ₁), on a $\bar{u} = \bar{w}$, et dans les régions (ℝ₂), $\bar{u} = -\bar{w}$. Avec les expressions précédentes de la fonction $\bar{u}(x, t)$, on satisfait toutes les conditions du problème (¹) : équation (1), conditions de réflexion sur l'obstacle, positivité de $\bar{u}(x, t)$. En particulier on obtient :

$$ (13) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \bar{u}(x, 1) = -\bar{w}(x, 1) = \bar{w}(-x, 0) = \bar{u}(-x, 0), \\ \frac{\partial \bar{u}}{\partial t}(x, 1) = -\frac{\partial \bar{w}}{\partial t}(x, 1) = -\frac{\partial \bar{w}}{\partial t}(x, 0) = 0, \end{array} \right. $$

ce qui démontre le théorème 1.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Fig. 1. — Régions dans le plan x-t.</figcaption></figure>

Fig. 1. — Regions in the x-t plane.

### 3. EXTENSION DES RÉSULTATS : H≠0.

**THÉORÈME 2.** — La solution du problème (1)-(4) correspondant aux conditions initiales $\alpha(x) = \bar{\alpha}(x)$, $\beta(x) = 0$, lorsque la distance H de l'obstacle à la position d'équilibre de la corde est suffisamment petite, est une fonction périodique du temps dont la période T est donnée par la formule (14) :

$$ (14) \qquad T = 2 + \frac{2H}{\sum_{i=1}^{n} M_i - \sum_{i=1}^{n-1} m_i} $$
Avec les conditions initiales $\alpha(x)=\bar{\alpha}(x)$, $\beta(x)=0$, la fonction $u(x, t)$ qui représente le mouvement de la corde en présence de l'obstacle $u=H(H<\bar{M}_t=\sup M_t)$ peut être construite de proche en proche et vérifie, comme l'oscillation libre $\bar{w}(x, t)$, les relations suivantes :

$$ (15) \qquad \frac{\partial \bar{u}}{\partial x} \cdot \frac{\partial \bar{u}}{\partial t} = 0, \qquad \left( \frac{\partial \bar{u}}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial \bar{u}}{\partial t} \right)^2 = k^2. $$

A partir des caractéristiques issues des points $x=a_i$ ou $x=b_i$, $t=0$ et des caractéristiques réfléchies soit sur les droites $x = \pm 1/2$, soit sur les segments($\mathscr{C}$), $t=C_t$, qui correspondent au contact de la corde avec l'obstacle, on peut construire un régionnement de la bande $|x| \le 1/2$, $t \ge 0$: figure 2 pour $H=0$, figure 3 pour $H \ne 0$. Si $H$ est suffisamment pètit ($2H/k \le \inf(M_i - m_j, m_i - m_j)$), à tout contact pour $H=0$ correspond un contact pour $H \ne 0$, et on passe du régionnement pour $H=0$ à celui pour $H \ne 0$ en faisant subir à tous les segments($\mathscr{C}$) (plus exactement aux droites qui les contiennent) la translation $\mathscr{T}(x=0, t=H/k)$ et à toutes les caractéristiques issues de ces segments la translation $2\mathscr{T}$. Comme conséquence des formules (13) le régionnement de la figure 2 est symétrique par rapport au point $A(x=0, t=1/2)$, donc celui de la figure 3 est symétrique par rapport au point $(x=0, t=1/2+H/k)$.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Fig. 2. — $H=0$.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Fig. 3. — $H \ne 0$.</figcaption></figure>

Si on désigne par $\bar{u}_0$ l'expression de la fonction $\bar{u}(x, t)$ dans une région de la figure 2, et par $\bar{u}_H$ l'expression de la fonction $\bar{u}(x, t)$ dans la région correspondante de la figure 3, on a :

$u_H = u_0 + 2H$ dans les régions sombres,

$u_H = u_0 - 2H$ dans les régions hachurées,

$u_H = u_0$ dans les régions claires.
Il faut ajouter $\bar{u}=k(-1/2 \pm x)$ dans les petites régions triangulaires qui ont un côté sur les axes $x = \pm 1/2$. Avec ces expressions de la fonction $\bar{u}(x, t)$ on satisfait en effet toutes les conditions du problème pour $H \neq 0$ et, à l'instant $t=t_1=1+2H/k$, on a :

$$ (16) \qquad \begin{cases} \bar{u}(x, t_1) = \bar{u}(-x, 0), \\ \frac{\partial \bar{u}}{\partial t}(x, t_1) = \frac{\partial \bar{u}}{\partial t}(x, 0) = 0, \end{cases} $$

ce qui démontre le théorème 2.

A partir de ce théorème, de la transformation (5)-(6) et des propriétés de la fonction $F(y)$, on démontre alors, en raisonnant comme pour le cas d'une position initiale unimodale ([2], [3], [4]), le résultat annoncé :

**THÉORÈME 3.** — *Une corde vibrante fixée à ses deux extrémités oscille dans un plan en présence d'un obstacle rectiligne parallèle, à la distance H, à la position d'équilibre de la corde. La corde étant initialement au repos dans une position arbitraire, si H est suffisamment petit, le mouvement est une fonction presque-périodique du temps.*

Dans le cas où la période $T$ définie par la formule (14) est un nombre rationnel $p/q$ ($p$ et $q$ entiers premiers entre eux), le mouvement est même périodique avec la période $p$ si $p$ est pair, $2p$ si $p$ est impair.

Laboratoire de Mécanique théorique, associé au C.N.R.S.,
Université Pierre-et-Marie-Curie, 4, place Jussieu, 75005 Paris.

<footnote>(1) Une démonstration détaillée de ces résultats sera donnée dans une publication ultérieure.</footnote>

<footnote>(*) Remise le 2 mai 1983.</footnote>

<footnote>[1] L. AMERIO et G. PROUSE, *Rendiconti di Matematica*, 8, 1975, p. 563-581.</footnote>

<footnote>[2] H. CABANNES et A. HARAUX, *Comptes rendus*, 291, série A, 1980, p. 563.</footnote>

<footnote>[3] H. CABANNES et A. HARAUX, *Int. J. Non-linear Mechanics*, 16, 1981, p. 449-458.</footnote>

<footnote>[4] A. HARAUX et H. CABANNES, *J. Non-linear Analysis*, 7, 1983, p. 129-141.</footnote>