Un jour enneigé de janvier, j’ai demandé à des étudiants de me dire quel était le premier mot qui leur venait à l’esprit lorsqu’ils pensent aux mathématiques. Les deux mots les plus cités ont été « calcul » et « équation ». Lorsque j’ai posé la même question à une salle remplie de mathématiciens professionnels, aucun de ces deux mots n’a été prononcé ; ils m’ont parlé « pensée critique » et « résolution de problèmes ».

L’expérience n’est pas très étonnante. Ce que les mathématiciens professionnels considèrent comme des mathématiques n’a rien à voir avec l’image que s’en fait la population générale. Alors que tant de gens évoquent les mathématiques comme une discipline cantonnée au calcul, il n’est pas étonnant que nous entendions si souvent dire : « Je déteste les mathématiques ».

J’ai donc décidé de m’emparer de cette question d’une manière peu conventionnelle, en proposant un cours intitulé « Les mathématiques du tricot » dans mon établissement, le Carthage College. Durant les séances, j’ai choisi de supprimer tout recours aux crayons, papiers, calculatrices (gloups !) et manuels scolaires. À la place, nous avons discuté, fait des travaux manuels, dessiné et joué avec toutes sortes d’objets – ballons de plage ou mètres de couture, par exemple. En guise de devoirs personnels, nous avons nourri notre réflexion en tenant un blog commun. Et bien sûr, nous avons tricoté.

## Équations en question

L’équation est au cœur des mathématiques ; et dans une équation, le signe égal joue un rôle crucial. Une équation comme x = 5 nous dit que le x tant redouté, qui représente une certaine quantité, a la même valeur que 5. Le nombre 5 et la valeur de x doivent donc être exactement les mêmes.

Le sens du signe égal est très strict. Qu’il y ait la moindre petite entorse au terme « exactement », et cela signifie que les deux choses mises en équation ne sont pas égales. Cependant, il arrive souvent, dans la vie de tous les jours, que deux quantités, sans être exactement les mêmes, soient équivalentes au regard d’autres critères.

Imaginez, par exemple, que vous disposiez de deux coussins carrés. Le premier est rouge sur le haut, jaune sur le côté droit, vert en bas et bleu à gauche. Le second est jaune en haut, vert sur son côté droit, bleu en bas et rouge à gauche. Ces coussins ne sont pas exactement les mêmes. L’un a un sommet rouge, l’autre en a un jaune. Mais ils sont similaires, sans l’ombre d’un doute. En fait, ils seraient exactement les mêmes si vous appliquiez au coussin avec le sommet rouge une simple rotation dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.

<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>Rotation de deux coussins carrés. Sara Jensen, Author provided</figcaption></figure>

De combien de façons différentes pourrais-je disposer le même coussin coloré sur un lit de façon à ce qu’il semble chaque fois différent ? Un petit exercice permet de démontrer qu’il existe 24 configurations de motifs possibles avec un même jeu de couleurs, dont huit sont observables en déplaçant le coussin.

Les élèves en ont fait l’expérience en tricotant des coussins, composés de deux couleurs, à partir de diagrammes de tricot.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Diagrammes pour tricoter un coussin. Sara Jensen, Author provided</figcaption></figure>

Les élèves ont créé des tableaux à tricoter carrés dans lesquels les huit mouvements du tableau ont donné à chaque fois une image différente. Ces images ont ensuite été tricotées dans un coussin où leur équivalence pouvait être démontrée en déplaçant réellement le coussin.

## Géométrie et caoutchouc

Un autre sujet que nous avons abordé est ce que l’on appelle la « géométrie du caoutchouc ». Il s’agit d’imaginer que le monde entier est fait de caoutchouc, puis de transposer cette idée sous la forme de figures géométriques.

Essayons de comprendre le concept avec le tricot. Pour tricoter des objets ronds – comme des chapeaux ou des gants – on peut utiliser des aiguilles à tricoter spéciales, appelées aiguilles à double pointe. En cours de fabrication, le chapeau est mis en forme par trois aiguilles, ce qui lui donne une forme triangulaire. Puis, une fois les aiguilles retirées, le fil extensible se détend pour former un cercle, et l’on reconnaît la forme caractéristique du chapeau.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Tricoter pour apprendre. Carthage College, CC BY-NC-SA</figcaption></figure>

C’est le concept que la « géométrie du caoutchouc » tente de saisir. D’une certaine manière, un triangle et un cercle peuvent être identiques s’ils sont faits d’un matériau flexible. En fait, dans ce domaine d’étude, tous les polygones deviennent des cercles.

Mais si tous les polygones sont des cercles, quelles sont les formes qui permettent de les différencier ? Il y a quelques traits qui se distinguent, même lorsque les objets sont flexibles – par exemple, si une forme a des bords ou non, des trous ou pas, comprend des torsions ou pas.

L’écharpe infinie, par exemple, n’est pas équivalente à un cercle. Pour créer une « écharpe infinie » en papier à la maison, prenez une longue bande de papier et collez ses bords les plus courts courts en associant le coin supérieur gauche au coin inférieur droit et le coin inférieur gauche au coin supérieur droit. Puis dessinez des flèches pointant tout le long de l’objet. Vous devriez observer un phénomène étonnant et sympathique.

Les élèves de mon cours ont passé du temps à tricoter des objets, comme des écharpes et des bandeaux infinis, qui présentaient des différences, même lorsqu’ils étaient faits d’un matériau souple. L’ajout de marqueurs – comme des flèches – a permis de visualiser précisément comment les objets se différenciaient.

## Saveurs multiples

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Une écharpe infinie. Carthage College, CC BY</figcaption></figure>

Si ce dont je vous parle ici vous semble sans rapport avec les mathématiques, j’insiste : c’est pourtant le cas. Les points abordés dans cet article – l’algèbre abstraite et la topologie – sont des sujets que l’on aborde à l’université, quand on étudie les mathématiques. Or leurs enjeux sont accessibles à tous, si tant est que l’on dispose des bons outils de médiation.

D’après moi, ces différentes saveurs des mathématiques ne doivent pas être cachées au grand public ou moins mises en avant que les mathématiques conventionnelles. En outre, des études ont montré que l’utilisation de matériel pouvant être physiquement manipulé peut améliorer l’apprentissage mathématique, quel que soit le niveau d’études.

Si davantage de mathématiciens étaient capables de faire un pas de côté par apport aux techniques classiques d’enseignement, il serait possible de battre en brèche cette idée fausse mais très répandue selon laquelle les mathématiques se réduisent au calcul. Et peut-être que plus de gens seraient séduits par le raisonnement mathématique.

Traduction : Monique Tedeschi, auteure de La Pédagogie Steiner Waldorf à la maison et du blog Chant des fées.