problème ni dans $\mathcal{E}_3$, ni dans les modèles projectifs de l'espace des sphères : en effet, dans ces derniers, l'orientation des sphères est perdue alors que, partant d'une solution à notre problème, si nous changeons une seule orientation de l'un des plans, nous sommes presque sûrs de ne plus avoir de solution.

Une cyclide de Dupin étant représentée par une conique sur la sphère unité de l'espace de Lorentz, l'utilisation des courbes de Bézier rationnelles quadratiques devient naturelle mais un gros problème survient : les points singuliers de la surface ne sont plus vus comme des points de $\Lambda^4$ mais comme des vecteurs lumière. Nous devons donc trouver un modèle permettant de représenter des courbes de Bézier contenant des vecteurs. La solution a consisté à utiliser l'ensemble des points massiques.

## 16.1.2 Deuxième avancée pour l'informatique graphique : l'ensemble des points massiques

Etant donné un espace affine, nous pouvons considérer les barycentres de ses points affectés d'un poids non nul. Evidemment, si la somme des poids est nulle, le barycentre n'existe plus et nous obtenons un vecteur. L'idée est alors de généraliser la notion de barycentre en considérant aussi les vecteurs de l'espace vectoriel attaché à l'espace affine auxquels nous attribuons une masse nulle. Ainsi, **un point massique est soit un point de l'espace affine muni d'un poids non nul, soit un vecteur de l'espace vectoriel muni d'une masse nulle.** Ensuite, une addition et une multiplication par une scalaire sont définies afin de « travailler comme dans un espace vectoriel ».

De plus, dans le chapitre 2, nous avons défini la matrice d'une application affine dans cet ensemble des points massiques en proposant une nouvelle multiplication entre une matrice et un vecteur colonne.

La définition des courbes de Bézier rationnelles quadratiques se généralise très bien à ces espaces ce qui est fondamental lors de la représentation des paraboles et hyperboles. Cependant, nous pouvons aussi représenter des demi-ellipses. J. P. Bécar a proposé, durant sa thèse, un théorème de changement homographique permettant de modifier les points massiques de contrôle des courbes de Bézier. En appliquant plusieurs fois ce théorème, nous pouvons dans le cas des coniques propres aboutir à une configuration standard permettant de déduire les paramètres de la courbe :

* Cas d'une parabole $\mathcal{P}$.
Une « demi-parabole » est modélisée par la courbe de Bézier, le premier point de contrôle est son sommet $S$, le second est un vecteur tangent à $\mathcal{P}$ en $S$, le dernier point de contrôle est un vecteur directeur de l'axe $\mathcal{P}$.

* Cas d'une ellipse $\mathcal{E}$.
Une demi-ellipse est modélisée par la courbe de Bézier, les points de contrôle extrémaux sont les sommets d'un même axe, le point de contrôle intermédiaire est un vecteur directeur de l'autre axe.
* Cas d'une hyperbole $\mathcal{H}$.

Une demi-hyperbole est modélisée par la courbe de Bézier, les points de contrôle extrêmaux sont deux vecteurs directeurs de chacune des asymptotes et de même norme, le point de contrôle intermédiaire est le sommet de $\mathcal{H}$.

La notion sous-jacente aux courbes de Bézier à points massiques de contrôle est le calcul barycentrique c'est-à-dire que nous pouvons munir notre espace vectoriel de n'importe quelle forme quadratique, chapitre 8.

## 16.1.3 Troisième avancée pour l'informatique graphique : le couple points massiques - espace de Lorentz

Dans le chapitre 12, nous avons simplifié considérablement les algorithmes de subdivision de cyclides de Dupin : il suffit de subdiviser une courbe de Bézier en utilisant le théorème de changement de paramètre homographique.

Dans le chapitre 11, nous construisons, en utilisant les courbes de Bézier à points massiques de contrôle, des cyclides de Dupin ayant des points singuliers qui sont représentés par des vecteurs lumière. Nous pouvons remplacer un vecteur lumière par le vecteur lumière $\vec{e}_{\infty}$ ce qui revient, dans $\mathcal{E}_3$, à envoyer un point à l'infini : grâce à l'utilisation du compactifié d'Alexandrov, nous savons où est le point à l'infini de $\mathcal{E}_3$ et nous pouvons même écrire un programme permettant de transformer une cyclide de Dupin à croissant non nul en cône de révolution. Nous pouvons aussi modéliser un cône de révolution par une courbe de Bézier rationnelle quadratique à partir de deux sphères ou d'un point (i.e. le sommet) et une sphère : le troisième point massique de contrôle est le vecteur lumière $\vec{e}_{\infty}$. Cette représentation présente aussi l'avantage de simplifier les calculs comme dans les théorèmes belges déterminant les sphères de Dandelin.

Pour finir ce paragraphe, notons qu'il n'y a pas de cas particuliers : les algorithmes sont les mêmes que nous utilisions un vecteur lumière représentant un point de $\mathcal{E}_3$ ou le vecteur lumière $\vec{e}_{\infty}$ représentant le point à l'infini de $\mathcal{E}_3$.

## 16.2 Perspectives

### 16.2.1 Interpolation dans l'espace de Lorentz

Le squelette est une représentation des objets utilisée pour la reconnaissance et la description des formes. Cette notion, connue sous le nom d'axe médian, a été introduite par Blum [Blu67]. Le squelette est défini par l'ensemble des centres des boules maximales d'un objet. En trois dimensions, le squelette d'un objet continu peut être un point, un segment, une courbe, une surface (plane ou non). Se limiter à la squelettisation d'objets échantillonnés par un ensemble fini de points, restreint les possibilités de squelettes aux points, segments et surfaces planes approchant le squelette réel de l'objet.
De plus, en considérant un processus d'amincissement de la forme (principe du feu de prairie), il est possible de se restreindre aux squelettes curvilignes (segments, courbes et ensemble de courbes). Ces types de squelettes ont l'avantage de conserver la forme de l'objet. Le fait de considérer la valeur du rayon de la sphère maximale associée à un point du squelette permet la réversibilité du processus.

Actuellement, l'habillage des surfaces à squelettes s'effectue avec des primitives simples : sphères, blobs, ellipsoïdes, cônes, [Mur91, ABM94, BJMR01, DRF]. Cependant, lors de la reconstruction de l'objet, des « formes non désirées » apparaissent souvent. Nous pouvons citer, par exemple, des bosses (plusieurs sphères contiguës) ou des points singuliers.

Comme les surfaces à squelette ont un lien étroit avec les sphères, il est légitime de se demander si nous pouvons simplifier le traitement de ces surfaces en utilisant l'espace des sphères.

Ce travail se concentre donc sur l'habillage de squelettes obtenus dans l'espace 3D en utilisant autant de sphères qu'il en faut pour éliminer les effets de bosses. Nous nous plaçons dans l'espace des sphères et travaillons à partir de sphères représentatives d'une surface, centrées sur le squelette de celle-ci, précédemment calculées par un algorithme de squelettisation. Dans cet espace, nous avons besoin de définir un processus d'interpolation permettant de construire des courbes sur la quadrique. Nous utiliserons pour cela une inversion particulière dans l'espace de dimension 5. Ensuite, nous pouvons déterminer une courbe paramétrée qui nous permet d'obtenir un squelette curviligne continu, approximation du squelette réel d'un objet 3D. De plus, grâce à cette représentation sous forme de courbe dans l'espace des sphères, nous pouvons aussi simplement déterminer les points de tangence entre les sphères et la surface (et donc les points de la surface).

Contrairement au cas euclidien, la section d'une sphère par un plan, coupant la sphère en au moins deux points, n'est pas toujours un cercle : il est possible d'obtenir une parabole affine isométrique à une droite. Nous redéfinissons la notion d'inversion dans cet espace non euclidien :

**Définition 29** : Inversion dans un espace affine non euclidien

Soit $k$ un réel non nul et $\Omega$ un point de l'espace affine de Lorentz. Le cône de lumière, de sommet $\Omega$ est :

$$C_{\Omega} = \{ M \in L_{4,1} \mid \overrightarrow{\Omega M}^2 = 0 \}$$

Une inversion de $L_{4,1} - \{C_{\Omega}\}$ dans $L_{4,1} - \{C_{\Omega}\}$, de pôle $\Omega$ et de rapport $k$ est l'application définie par :

$$ \mathcal{I} : L_{4,1} - \{C_{\Omega}\} \longrightarrow L_{4,1} - \{C_{\Omega}\} \\ M \longmapsto M' \mid \overrightarrow{\Omega M'} = \frac{k}{\overrightarrow{\Omega M}^2} \overrightarrow{\Omega M} \quad (16.1) $$

Comme dans le cas euclidien, une inversion possède quelques propriétés remarquables [Hir65, GD13] :

* C'est une involution, c'est-à-dire que son carré est l'identité;

* L'image d'un plan ou d'une sphère par une inversion est un plan ou une sphère. En particulier, l'image d'un plan ou d'une sphère par une inversion dont le centre $\Omega$ appartient à ce plan ou cette sphère est un plan.
Prenons le point $\Omega$ sur la quadrique $\Lambda^4$ et l'inversion de rapport 1 et de centre $\Omega$, notée $\mathcal{I}_{\Omega,1}$. L'image de la quadrique $\Lambda^4$ par l'inversion $\mathcal{I}_{\Omega,1}$ est un hyperplan de $L_{4,1}$.

Nous pouvons maintenant, après avoir déterminé chacune des images des points de $\Lambda^4$ cor-
respondant aux sphères centrées sur le squelette par l'inversion $\mathcal{I}_{\Omega,1}$, effectuer une interpolation
dans l'hyperplan $\mathcal{I}_{\Omega,1}(\Lambda^4)$ par une courbe de Bézier de degré 2.

De plus, nous pouvons effectuer cette interpolation quel que soit le centre d'inversion $\Omega$ sous
condition qu'il soit sur la quadrique $\Lambda^4$. Nous pouvons en choisir un en particulier qui peut
simplifier les calculs mais il ne faut pas oublier que le résultat obtenu pourrait dépendre de ce
choix. Ensuite, il ne reste alors qu'à revenir par la même inversion sur la quadrique $\Lambda^4$. Enfin, il
faut noter aussi que lorsque l'interpolation dans $\mathcal{I}_{\Omega,1}(\Lambda^4)$ nous permet d'obtenir des morceaux
de courbes quadratiques, nous obtenons, lors du retour sur la quadrique, des morceaux de courbes
de degré au plus 4.

En supposant que la courbe paramétrée obtenue soit de type espace <fnref n="1" />, condition nécessaire
pour que la famille de sphères associées dans $\mathcal{E}_3$ admette une enveloppe, nous avons deux ma-
nières de représenter la surface enveloppe obtenue : soit nous affichons autant de sphères que
nécessaire pour la visualisation (il est même envisageable de déterminer un procédé de raffine-
ment en fonction de différentes zones ou de la taille des sphères), soit nous affichons les cercles
caractéristiques de la surface.

L'algorithme 16.1 permet d'afficher une surface enveloppe interpolée à partir de données
discrètes qui habille le squelette de cette surface en supposant que les sphères prises comme
données d'entrées satisfont les conditions pour obtenir une courbe paramétrée de type espace
sur $\Lambda^4$, algorithme 16.1. Les figures (16.1), (16.2) et (16.3) illustrent ce procédé. La première
représente les sphères centrées sur un squelette, la seconde, un ensemble de sphères obtenues par
interpolation dans l'espace des sphères et, la troisième, un ensemble de cercles caractéristiques
de la surface canal obtenue après interpolation.

Il est possible de représenter la courbe $\mathcal{I}_{\Omega,1}(C(t_j))$ sous forme d'une courbe de Bézier ra-
tionnelle quartique : dans un premier temps, nous calculons les poids en utilisant le dénominateur
puis nous déterminons les points de contrôle.

### 16.2.2 Contrôle de courbes sur $\Lambda^4$

L'algorithme 13.1 permet de joindre deux surfaces canal données par deux cyclides de Du-
pin où celles-ci se recollent le long d'un cercle d'une même sphère : nous avons une famille à
un paramètre de sphères solutions. Comme lors de l'interpolation de sphères dans l'espace de
Lorentz, paragraphe 16.2.1, nous avons un petit problème, comment choisir ces sphères pour ob-
tenir une jointure « raisonnable » ? La figure 13.16 est très satisfaisante, tandis que la figure 13.18
commence à poser problème, les cercles caractéristiques de la sphère et de l'un des cylindres de
jointure sont presque coplanaires, et la figure 16.4 illustre un manque total de contrôle. La figure
16.5 montre deux familles de sphères permettant de réaliser un jointure $G^1$ et deux cylindres de
révolution par deux CD4 se raccordant sur le cercle caractéristiques du cylindre. Il reste à mon-

<footnote n="1">1. La démonstration est presque finie.</footnote>
**Algorithmme 16.1** Habillage de squelettes curvilignes

**Entrée** : Une famille finie de sphères $S_k$, $k \in \{1; ..; n\}$, $n \in \mathbb{N}^*$, centrées sur le squelette curviligne d'une surface discrétisée

1. Détermination des points $\sigma_k$ de $\Lambda^4$ correspondants aux sphères $S_k$

2. Choix du pôle $\Omega$ de l'inversion sur $\Lambda^4$

3. Détermination des images $\mathcal{I}_{\Omega,1}(\sigma_k)$ par l'inversion de centre $\Omega$ et de rapport 1 dans l'hyperplan $\mathcal{I}_{\Omega,1}(\Lambda^4)$.

4. Détermination de la courbe paramétrée $C(t)$, $t \in I$ interpolant les points $\mathcal{I}_{\Omega,1}(\sigma_k)$

5. Détermination de la courbe $\mathcal{I}_{\Omega,1}(C(t))$, image par l'inversion de $C(t)$, sur la quadrique $\Lambda^4$

6. Affichage dans $\mathcal{E}_3$ : choix d'un nombre fini de valeurs $t_j$ de $I$

* Soit afficher les sphères $S(t_j)$ correspondantes aux points $\mathcal{I}_{\Omega,1}(C(t_j))$

* Soit afficher les cercles caractéristiques, intersection entre les sphères $S(t_j)$ associées aux points $\mathcal{I}_{\Omega,1}(C(t_j))$ et les sphères associées aux vecteurs tangents $\frac{d}{dt}(\mathcal{I}_{\Omega,1}(C(t_j)))$

**Sortie** : Un habillage du squelette curviligne d'une surface

trer la conjecture que l'ensemble des sphères solutions est l'union de deux cyclides de Dupin.

### 16.2.3 Algèbre géométrique conforme basée sur $\mathbb{R}^3$

Dans le paragraphe 7.2.1.3.4, nous avons vu qu'un cercle d'Yvon-Villarceau peut être défini comme intersection d'un plan et d'une sphère et nous obtenons un grand cercle de cette dernière. Le plan et la sphère sont orthogonaux d'une part, le cercle est un bi-vecteur dans l'algèbre gradué de la géométrie conforme d'autre part.

L'algèbre géométrique conforme graduée est :

$$ \mathcal{A} = \mathbb{R} \bigoplus \overrightarrow{L_{4,1}} \bigoplus_{k=2}^{5} \Lambda^k \left( \overrightarrow{L_{4,1}} \right) = \bigoplus_{k=0}^{5} \Lambda^k \left( \overrightarrow{L_{4,1}} \right) $$
<figure><img src="image_322.png" /><figcaption>Figure 16.1 – Sphères centrées sur un squelette curviligne.</figcaption></figure>

### 16.2.3.1 Extension de $\mathcal{L}_{4,1}$ à $\Lambda^4 (\overrightarrow{\mathbf{L}}_{4,1})$

Une base de l'espace vectoriel $\Lambda^4 (\overrightarrow{\mathbf{L}}_{4,1})$ de dimension 5 est composée des vecteurs :

$$ 
\begin{aligned}
\overrightarrow{e_{123\infty}} &= \overrightarrow{e_1} \wedge \overrightarrow{e_2} \wedge \overrightarrow{e_3} \wedge \overrightarrow{e_\infty} \\
\overrightarrow{e_{o23\infty}} &= \overrightarrow{e_o} \wedge \overrightarrow{e_2} \wedge \overrightarrow{e_3} \wedge \overrightarrow{e_\infty} \\
\overrightarrow{e_{o13\infty}} &= \overrightarrow{e_o} \wedge \overrightarrow{e_1} \wedge \overrightarrow{e_3} \wedge \overrightarrow{e_\infty} \\
\overrightarrow{e_{o12\infty}} &= \overrightarrow{e_o} \wedge \overrightarrow{e_1} \wedge \overrightarrow{e_2} \wedge \overrightarrow{e_\infty} \\
\overrightarrow{e_{o123}} &= \overrightarrow{e_o} \wedge \overrightarrow{e_1} \wedge \overrightarrow{e_2} \wedge \overrightarrow{e_3}
\end{aligned}
$$

et nous définissons la forme bilinéaire $\mathcal{L}$ sur $\Lambda^4 (\overrightarrow{\mathbf{L}}_{4,1}) \times \Lambda^4 (\overrightarrow{\mathbf{L}}_{4,1})$ par :

$$ \overrightarrow{e_{o123}}^2 = 0 = \overrightarrow{e_{123\infty}}^2 $$

et :

$$ \overrightarrow{e_{o12\infty}}^2 = \overrightarrow{e_{o13\infty}}^2 = \overrightarrow{e_{o23\infty}}^2 = -1 $$

auquel nous ajoutons :

$$ \overrightarrow{e_{123\infty}} \cdot \overrightarrow{e_{o123}} = \overrightarrow{e_{o123}} \cdot \overrightarrow{e_{123\infty}} = 1 $$

et les autres vecteurs sont orthogonaux. La signature de la forme quadratique est (1; 4). Considérons les vecteurs :

$$ \overrightarrow{u} = X_o \overrightarrow{e_{123\infty}} + X_1 \overrightarrow{e_{o23\infty}} + X_2 \overrightarrow{e_{o13\infty}} + X_3 \overrightarrow{e_{o12\infty}} + X_\infty \overrightarrow{e_{o123}} $$

et :

$$ \overrightarrow{v} = Y_o \overrightarrow{e_{123\infty}} + Y_1 \overrightarrow{e_{o23\infty}} + Y_2 \overrightarrow{e_{o13\infty}} + Y_3 \overrightarrow{e_{o12\infty}} + Y_\infty \overrightarrow{e_{o123}} $$
<figure><img src="image_323.png" /><figcaption>Figure 16.2 – Habillage du squelette après interpolation dans l’espace des sphères par un ensemble de sphères vertes. Les sphères centrées sur le squelette de départ (sphères de la figure (16.1)) sont contenues dans l’ensemble des sphères vertes.</figcaption></figure>

alors, nous avons :

$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = -X_1Y_1 - X_2Y_2 - X_3Y_3 + X_oY_\infty + Y_oX_\infty $$

d'une part et :

$$ \vec{u}^2 = -X_1^2 - X_2^2 - X_3^2 + 2X_oX_\infty $$

d'autre part.

Introduisons le pseudo-scalaire :

$$ I = \vec{e}_o \wedge \vec{e}_1 \wedge \vec{e}_2 \wedge \vec{e}_3 \wedge \vec{e}_\infty $$

qui a pour inverse :

$$ I^{-1} = (-1)^5 \frac{5+1}{2} \qquad I = -I $$

et nous pouvons définir :

**Définition 30** : dual d'un vecteur de $\vec{L}_{4,1}$

$$ \text{Soit } \vec{u} \in \vec{L}_{4,1}. $$

Le dual du vecteur $\vec{u}$ est le vecteur $\vec{u}^*$ de $\Lambda^4 (\vec{L}_{4,1})$ défini par :

$$ \vec{u} \wedge \vec{u}^* = \vec{u}^2 \cdot I^{-1} = -\vec{u}^2 \cdot I \in \Lambda^5 (\vec{L}_{4,1}) $$
<figure><img src="image_324.png" /><figcaption>Figure 16.3 – Ensemble de cercles caractéristiques de la surface canal obtenue par notre méthode d'habillage du squelette. Les sphères vertes sont les sphères de la figure (16.2).</figcaption></figure>

Ainsi, si nous avons :

$$ \vec{u} = x_o \vec{e}_o + x_1 \vec{e}_1 + x_2 \vec{e}_2 + x_3 \vec{e}_3 + x_\infty \vec{e}_\infty $$

nous obtenons :

$$ \vec{u}^* = \begin{pmatrix} -\vec{u} \cdot \vec{e}_o = x_\infty \\ \vec{u} \cdot \vec{e}_1 = x_1 \\ -\vec{u} \cdot \vec{e}_2 = -x_2 \\ \vec{u} \cdot \vec{e}_3 = x_3 \\ -\vec{u} \cdot \vec{e}_\infty = x_o \end{pmatrix} $$

que nous pouvons écrire :

$$ \begin{aligned} \vec{u}^* = &-(\vec{u} \cdot \vec{e}_o) \vec{e}_1 \wedge \vec{e}_2 \wedge \vec{e}_3 \wedge \vec{e}_\infty + (\vec{u} \cdot \vec{e}_1) \vec{e}_o \wedge \vec{e}_2 \wedge \vec{e}_3 \wedge \vec{e}_\infty \\ &-(\vec{u} \cdot \vec{e}_2) \vec{e}_o \wedge \vec{e}_1 \wedge \vec{e}_3 \wedge \vec{e}_\infty + (\vec{u} \cdot \vec{e}_3) \vec{e}_o \wedge \vec{e}_1 \wedge \vec{e}_2 \wedge \vec{e}_\infty \\ &-(\vec{u} \cdot \vec{e}_\infty) \vec{e}_o \wedge \vec{e}_1 \wedge \vec{e}_2 \wedge \vec{e}_3 \end{aligned} $$

et nous avons bien :

$$ \vec{u} \wedge \vec{u}^* = x_o x_\infty - x_1^2 - x_2^2 - x_3^2 + x_o x_\infty = -\vec{u}^2 I \in \Lambda^5 (\overrightarrow{L_{4,1}}) \simeq \mathbb{R} $$

et nous avons le résultat fondamental suivant :

**Théorème 48** : Espaces Duaux dans l'algèbre graduée

Le $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\Lambda^4 (\overrightarrow{L_{4,1}})$ est l'espace vectoriel dual du $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\overrightarrow{L_{4,1}}$ = $\Lambda^1 (\overrightarrow{L_{4,1}})$ c'est-à-dire que $\vec{u}^*$ est vue comme une forme linéaire de $\overrightarrow{L_{4,1}}$ dans $\mathbb{R}$ via :

$$ \vec{u}^* (\vec{u}) = - \vec{u}^2 I $$
<figure><img src="image_325.png" /><figcaption>FIGURE 16.4 – Exemple de jointure entre deux cylindres dans $\mathcal{E}_3$ par deux morceaux de cyclides de Dupin pouvant poser problème : la jointure attendue entre les deux cylindres seraient plus celle de la figure 13.16.</figcaption></figure>

Comme la dimension de $\overrightarrow{L_{4,1}}$ est finie, le $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\overrightarrow{L_{4,1}} = \Lambda^1(\overrightarrow{L_{4,1}})$ est l'espace dual du $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\Lambda^4(\overrightarrow{L_{4,1}})$.

Si nous avons :

$$ \overrightarrow{v} = y_o \overrightarrow{e_o} + y_1 \overrightarrow{e_1} + y_2 \overrightarrow{e_2} + y_3 \overrightarrow{e_3} + y_\infty \overrightarrow{e_\infty} $$

alors :

$$ \overrightarrow{u}^*(\overrightarrow{v}) = \overrightarrow{v} \wedge \overrightarrow{u}^* = y_o x_\infty - y_1 x_1 - y_2 x_2 - y_3 x_3 + y_o x_\infty $$

et c'est bien une forme linéaire.

### 16.2.3.2 Extension de $\mathcal{L}_{4,1}$ à $\Lambda^2(\overrightarrow{L_{4,1}})$

Une base de l'espace vectoriel $\Lambda^2(\overrightarrow{L_{4,1}})$, de dimension 10, est composée des vecteurs $\overrightarrow{e}_{ij}$ pour $i$ et $j$ appartenant à $\{0, 1; 2; 3; \infty\}$ avec la condition $i < j$. Nous définissons la forme bilinéaire $^2\mathcal{L}$ sur $\Lambda^2(\overrightarrow{L_{4,1}}) \times \Lambda^2(\overrightarrow{L_{4,1}})$ par :

* si $i$ appartient à $\{1; 2; 3\}$ alors :

$$ (\overrightarrow{e}_o \wedge \overrightarrow{e}_i)^2 = 0 = (\overrightarrow{e}_i \wedge \overrightarrow{e}_\infty)^2 \quad (16.2) $$

* si $i$ et $j$ appartient à $\{1; 2; 3\}$ avec $i < j$, alors :

$$ (\overrightarrow{e}_i \wedge \overrightarrow{e}_j)^2 = 1 $$

<footnote n="2">2. Nous exprimons tout dans la base de l'algèbre géométrique (i.e. pas dans la base canonique) et gardons la notation . pour le produit scalaire.</footnote>
<figure><img src="image_326.png" /><figcaption>FIGURE 16.5 – Exemple de deux familles de sphères permettant de réaliser une jointure entre deux cylindres dans $\mathcal{E}_3$ par deux morceaux de cyclides de Dupin.</figcaption></figure>

• et pour les deux vecteurs lumière restants, nous avons :

$$ (\vec{e}_o \wedge \vec{e}_\infty)^2 = -1 $$

c'est-à-dire que la valeur de la forme quadratique est :

• 1 pour le produit extérieur de deux vecteurs espace ;

• 0 pour le produit extérieur d'un vecteur lumière avec un vecteur espace ;

• $-1$ pour le produit extérieur de deux vecteurs lumière.

Cependant, la base n'est pas orthogonale et le problème provient de la formule (16.2) (cf. $\vec{e}_o^2 = 0 = \vec{e}_\infty^2$ et $\vec{e}_o \cdot \vec{e}_\infty = -1$) et il reste à définir les doubles produits. Naturellement, pour $i \in \{1; 2; 3\}$, nous avons :

$$ (\vec{e}_o \wedge \vec{e}_i) \cdot (\vec{e}_i \wedge \vec{e}_\infty) = 0 $$

et pour $(i; j) \in \{1; 2; 3\}^2$, avec $i \neq j$, nous avons :

$$ (\vec{e}_o \wedge \vec{e}_i) \cdot (\vec{e}_j \wedge \vec{e}_\infty) = (\vec{e}_o \wedge \vec{e}_i \wedge \vec{e}_j \wedge \vec{e}_\infty)^2 = -1 $$

La signature de la forme quadratique est (6; 4) puisque deux vecteurs lumière induisent un vecteur espace et un vecteur temps.
### 16.2.3.3 Cercles représentés par un bivecteur

Les vecteurs purs sont les vecteurs $\vec{w}$ de $\Lambda^2(\overrightarrow{L_{4,1}})$ c'est-à-dire qu'il existe deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de $\overrightarrow{L_{4,1}}$ tels que :

$$ \vec{w} = \vec{u} \wedge \vec{v} $$

Le cône de Plücker est :

$$ C_P = \{ \vec{u} \in \Lambda^2 (\overrightarrow{L_{4,1}}) \mid \vec{u} \wedge \vec{u} = 0 \} \quad (16.3) $$

et le cône de Plücker est inclus (strictement) dans l'ensemble des vecteurs isotropes de $\Lambda^2(\overrightarrow{L_{4,1}})$ pour la forme bilinéaire $\mathcal{L}$. Si $\vec{w}$ n'est pas un vecteur pur alors :

$$ \vec{w} \wedge \vec{w} \neq \vec{0} $$

Soit $\vec{u}$ ($x_0; x_1; x_2; x_3; x_4; x_5; x_6; x_7; x_8; x_9$) avec $x_9 \neq 0$ dans la base canonique de $\Lambda^2(\overrightarrow{L_{4,1}})$. Après quelques calculs, nous avons :

$$ \vec{u} \wedge \vec{u} = 0 \iff \left\{ \begin{array}{l} x_4 x_9 - x_5 x_8 + x_6 x_7 = 0 \\ x_1 x_9 - x_2 x_8 + x_3 x_7 = 0 \\ x_0 x_9 - x_2 x_6 + x_3 x_5 = 0 \\ x_0 x_8 - x_1 x_6 + x_3 x_4 = 0 \\ x_0 x_7 - x_1 x_5 + x_2 x_4 = 0 \end{array} \right. $$

et nous obtenons comme solutions :

$$ \left\{ \begin{array}{l} x_4 = \frac{x_5 x_8 - x_6 x_7}{x_9} \\ x_1 = \frac{x_2 x_8 - x_3 x_7}{x_9} \\ x_0 = \frac{x_2 x_6 - x_3 x_5}{x_9} \end{array} \right. $$

ce qui montre que trois paramètres dépendent de sept paramètres : le cône de Plücker est donc une variété de dimension 7 de $\Lambda^2(\overrightarrow{L_{4,1}})$.

**Définition 31** : Représentation d'un cercle de $\mathcal{E}_3$ par un bivecteur de $\mathcal{A}$

Soit $C$ un cercle de $\mathcal{E}_3$. Soit $S_1$ et $S_2$ deux sphères orientées, de représentations respectives $\vec{\sigma}_1$ et $\vec{\sigma}_2$, telle que $C = S_1 \cap S_2$.

Comme nous utilisons les représentations duales des sphères et des plans, le cercle est défini par le bivecteur :

$$ \vec{v}_{\sigma_1 \sigma_2} = \vec{\sigma}_1 \wedge \vec{\sigma}_2 \quad (16.4) $$
Si la seconde sphère $\vec{\sigma}_2$ est un plan orienté $\mathcal{P}$, de représentation $\vec{\pi}$, contenant C, alors la formule (16.4) devient :

$$ \vec{v}_{\sigma\pi} = \vec{\sigma} \wedge \vec{\pi} \qquad (16.5) $$

et, à partir de la formule (10.20), la courbure d'un plan étant nulle, la formule (16.4) est équivalente à :

$$ \vec{v}_{\sigma\pi} = k_{\rho} \vec{m} \wedge \vec{\pi} + \vec{n} \wedge \vec{\pi} $$

où :

$$ (\vec{m} \wedge \vec{\pi})^2 = 0 $$

puisque $\vec{m}$ est de type lumière et $\vec{\pi}$ est de type temps. Quant à lui, le bivecteur $\vec{n} \wedge \vec{\pi}$ est un plan orthogonal au vecteur tangent à C en M. Ce plan est défini par les vecteurs normal et binormal.

Deux cercles $C_1$ et $C_2$ représentés respectivement par les bivecteurs $\overrightarrow{\sigma_1\pi_1}$ et $\overrightarrow{\sigma_2\pi_2}$ sont sécants si et seulement si :

$$ (\overrightarrow{\sigma_1\pi_1} \wedge \overrightarrow{\sigma_2\pi_2})^2 = 0 $$

où $\overrightarrow{\sigma_1\pi_1} \wedge \overrightarrow{\sigma_2\pi_2}$ est un vecteur de $\Lambda^4(\overrightarrow{L_{4,1}})$. Le cône de lumière :

$$ C_{\mathcal{L}} = \{ \vec{u} \in \Lambda^4 (\overrightarrow{L_{4,1}}) \mid \mathcal{L}(\vec{u}; \vec{u}) = 0 \} $$

a pour axe la direction espace de $\Lambda^4(\overrightarrow{L_{4,1}})$.

Lors de la caractérisation d'une ellipse E obtenue comme section d'un cône de révolution par un plan $\mathcal{P}$, représenté par $\vec{\pi}$, chacune des directrices de E est l'intersection entre $\mathcal{P}$ et le plan défini par le cercle caractéristique de la sphère de Dandelin correspondante : cette directrice peut être caractérisée par un bivecteur de $\Lambda^2(\overrightarrow{L_{4,1}})$. Considérons $S_1$ l'une des sphères de Dandelin représenté par $\vec{\sigma}_1$. Le cercle caractéristique induit par $S_1$ est représenté par le bi-vecteur :

$$ \vec{v}_{\sigma_1\sigma_1} = \vec{\sigma}_1 \wedge \vec{\sigma}_1 $$

où $\vec{\sigma}_1$ est la sphère dérivée de $\sigma_1$ et nous avons :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \vec{\sigma}_1 = \frac{1}{\rho_1} \left( \vec{e}_o + \vec{\Omega}_1 + \frac{1}{2} \left( \left\| \vec{\Omega}_1 \right\|^2 - \rho_1^2 \right) \vec{e}_\infty \right) \\ \\ \vec{\sigma}_1 = \frac{1}{\rho_1} \left( \vec{e}_o + \vec{\Omega}_1 + \frac{1}{2} \left( \left\| \vec{\Omega}_1 \right\|^2 - \rho_1^2 \right) \vec{e}_\infty \right) \end{array} \right. $$

où la sphère $S_1$ (resp. $\vec{S}_1$) a pour centre $\Omega_1$ (resp. $\vec{\Omega}_1$) et pour rayon $\rho_1$ (resp. $\vec{\rho}_1$). Notons que $\vec{\Omega}_1$ est le sommet du cône de révolution.
Ces deux sphères définissent évidemment un faisceau de sphères à base cercle et soit $\mathcal{P}_1$, représenté par $\vec{\pi}_1$, un plan orienté de ce faisceau. Le vecteur $\vec{\pi}_1$ est combinaison linéaire de $\vec{\sigma}_1$ et $\vec{\sigma}_1$ et sa composante en $\vec{e}_o$ est nul, ce qui conduit à :

$$ \vec{\pi}_1 = \lambda \left( \frac{1}{\rho_1} \vec{\sigma}_1 - \frac{1}{\rho_1} \vec{\sigma}_1 \right) = \frac{\lambda}{\rho_1 \rho_1} \left( \vec{\Omega}_1 \vec{\Omega}_1 + \frac{1}{2} \left( \|\vec{\Omega}_1\|^2 - \|\vec{\Omega}_1\|^2 + \rho_1^2 - \rho_1^2 \right) \vec{e}_\infty \right) $$

où $\lambda$ est déterminé afin que $\pi_1$ soit sur $\Lambda^4$, ce qui conduit à :

$$ \left( \frac{\lambda}{\rho_1 \rho_1} \right)^2 \vec{\Omega}_1 \vec{\Omega}_1^2 = 1 $$

et nous choisissons de prendre (l'orientation du plan $\mathcal{P}_1$ ne rentre pas en ligne de compte pour la détermination de la directrice) :

$$ \lambda = \frac{\rho_1 \rho_1}{\sqrt{\vec{\Omega}_1 \vec{\Omega}_1^2}} $$

et nous obtenons finalement :

$$ \vec{\pi}_1 = \frac{\rho_1 \rho_1}{\sqrt{\vec{\Omega}_1 \vec{\Omega}_1^2}} \left( \frac{1}{\rho_1} \vec{\sigma}_1 - \frac{1}{\rho_1} \vec{\sigma}_1 \right) $$

qui peut s'écrire :

$$ \vec{\pi}_1 = \frac{1}{\sqrt{\vec{\Omega}_1 \vec{\Omega}_1^2}} \left( \vec{\Omega}_1 \vec{\Omega}_1 + \frac{1}{2} \left( \|\vec{\Omega}_1\|^2 - \|\vec{\Omega}_1\|^2 + \rho_1^2 - \rho_1^2 \right) \vec{e}_\infty \right) $$

La directrice est donc définie par le bi-vecteur :

$$ \vec{v}_{\pi_1 \pi} = \vec{\pi}_1 \wedge \vec{\pi} $$

Lors de la modélisation des cyclides de Dupin dans l'algèbre géométrique graduée, nous avons montré que l'ensemble des sphères dérivées d'une cyclide de Dupin<fnref n="3" /> forme un faisceau de sphères. Réciproquement, à partir d'un faisceau de sphères, nous pouvons construire une famille à un paramètre de cyclides de Dupin ayant ces sphères comme sphères dérivées.

<footnote n="3">3. Ce sont les sphères dérivées des sphères dont la cyclide de Dupin est l'enveloppe.</footnote>
### 16.2.4 Algèbres géométriques des points massiques

Dans ce mémoire, nous avons représenté les cyclides de Dupin par des courbes de Bézier rationnelles quadratiques en utilisant le formalisme des points massiques c'est-à-dire que nous avons travaillé dans :

$$ \widetilde{L}_{4,1} = (L_{4,1} \times \mathbb{R}^*) \cup (\overrightarrow{L_{4,1}} \times \{0\}) $$

où $L_{4,1}$ est l'hyperplan d'équation $\omega = 1$ de $\widetilde{L}_{4,1}$ et $\overrightarrow{L_{4,1}}$ est l'hyperplan d'équation $\omega = 0$ de $\widetilde{L}_{4,1}$. Afin de bénéficier des avantages des algèbres géométriques graduées, nous comptons utiliser ce concept pour $\widetilde{L}_{4,1}$ qui est identifié à $\mathbb{R}^6$ muni de la forme de Lorentz (i.e. la forme quadratique est dégénérée afin que le poids n'intervienne pas dans les calculs de distance).

### 16.2.5 Ensemble $\tilde{\mathbb{C}}$ des nombres complexes massiques

#### 16.2.5.1 Définitions de la somme et de la multiplication par un scalaire

Nous envisageons de construire l'algèbre géométrique des nombres complexes massiques $\tilde{\mathbb{C}}$, en tant que plan réel muni du repère orthonormé direct $(O; \vec{e}_1; \vec{e}_2)$, où un vecteur $\vec{u} (a; b)$ est représenté par le nombre complexe :

$$ z\vec{u} = a + \iota b = a 1_{\mathbb{R}} + b\iota $$

et un point pondéré $M(a; b)$, de poids $\omega$, a pour affixe pondérée :

$$ \tilde{z}_M = a + \iota b + \omega \kappa = a 1_{\mathbb{R}} + b\iota + \omega \kappa $$

et, un nombre complexe massique est de la forme $\tilde{z} = z + \omega \kappa$ où $z \in \mathbb{C}$ et $\omega \in \mathbb{R}$ : si $\omega = 0$, $\tilde{z}$ représente le vecteur du plan d'affixe $z$ tandis que dans l'autre cas, $\tilde{z}$ représente le point pondéré d'affixe $z$ et de poids $\omega$. Naturellement, nous avons $\mathbb{C} \subset \tilde{\mathbb{C}}$ et les nombres complexes sont les nombres complexes massiques de masse nulle. Il reste à adapter l'addition et la multiplication par un scalaire. Soit $\tilde{z}_1 = z_1 + \omega_1 \kappa$ et $\tilde{z}_2 = z_2 + \omega_2 \kappa$ deux complexes massiques. Alors :

* $\omega_1 + \omega_2 = 0$ et $\omega_1 \omega_2 \neq 0$ implique :

$$ \tilde{z}_1 \boxplus \tilde{z}_2 = (z_1 + \omega_1 \kappa) \boxplus (z_2 - \omega_1 \kappa) = \omega_1 (z_1 - z_2) $$

qui représente le vecteur d'affixe $\omega_1 (z_1 - z_2)$;

* $(z_1 + \omega_1 \kappa) \boxplus (z_1 - \omega_1 \kappa) = 0$;

* $(\omega_1 + \omega_2) \omega_1 \omega_2 \neq 0$ implique :

$$ \tilde{z}_1 \boxplus \tilde{z}_2 = (z_1 + \omega_1 \kappa) \boxplus (z_2 + \omega_2 \kappa) = \frac{1}{\omega_1 + \omega_2} (\omega_1 z_1 + \omega_2 z_2) + (\omega_1 + \omega_2) \kappa $$

qui représente le point pondéré d'affixe $\frac{1}{\omega_1 + \omega_2} (\omega_1 z_1 + \omega_2 z_2)$ et de poids $\omega_1 + \omega_2$;

* $\omega_1 = \omega_2 = 0 \Rightarrow \tilde{z}_1 \boxplus \tilde{z}_2 = z_1 + z_2$ qui représente le vecteur d'affixe $z_1 + z_2$;
• $\omega_1 \neq 0$ et $\omega_2 = 0$ implique :

$$ \tilde{z}_1 \boxplus \tilde{z}_2 = (z_1 + \omega_1 \kappa) \boxplus z_2 = z_1 + \frac{1}{\omega_1} z_2 + \omega_1 \kappa $$

qui représente le point pondéré d'affixe $z_1 + \frac{1}{\omega_1} z_2$ et de poids $\omega_1$.

Evidemment, l'addition $\boxplus$ est commutative. Nous définissons la multiplication par un scale, notée $\Box$, de la façon suivante :

• $\alpha = 0 \implies \alpha \Box \tilde{z}_1 = 0$

• $\alpha \neq 0$ et $\omega_1 = 0 \implies \alpha \Box \tilde{z}_1 = \alpha z_1$;

• $\alpha \times \omega_1 \neq 0 \implies \alpha \Box \tilde{z}_1 = z_1 + \alpha \omega_1 \kappa$.

Si le point pondéré $M_1$ a pour affixe $\tilde{z}_1 = z_1 + \omega_1 \kappa$ alors le vecteur $\overrightarrow{OM_1}$ a pour affixe $z_1$ c'est-à-dire que :

$$ z_1 = \frac{1}{\omega_1} \Box \tilde{z}_1 \boxplus -\kappa = (z_1 + \kappa) \boxplus (0 - \kappa) \quad (16.6) $$

### 16.2.5.2 Métrique sur $\tilde{\mathbb{C}}$: module et argument

La métrique sur $\tilde{\mathbb{C}} - \mathbb{C}$ est définie à partir de celle de $\mathbb{C}$ c'est-à-dire que :

$$ |\tilde{z}_1| \stackrel{\text{def}}{=} \left| \frac{1}{\omega_1} \Box \tilde{z}_1 \boxplus -\kappa \right| = |z_1| $$

et si $\omega_1 = 0$, $|\tilde{z}_1|$ est la norme du vecteur d'affixe $z_1$ et dans le cas contraire, $|\tilde{z}_1|$ est la distance du point pondéré $M_1$ d'affixe $z_1$ à l'origine $O$ c'est-à-dire l'affixe du vecteur $\overrightarrow{OM_1}$. Immédiatement, la distance entre les points pondérés d'affixes $z_1$ et $z_2$ est :

$$ \left| \frac{1}{\omega_1} \Box \tilde{z}_1 \boxplus \frac{-1}{\omega_2} \Box \tilde{z}_2 \right| = |z_1 - z_2| $$

L'argument du nombre complexe pondéré $\tilde{z}_1 = z_1 + \omega_1 \kappa$ est, quand il est défini, celui de $z_1$ c'est-à-dire :

$$ z_1 \neq 0 \implies \arg \tilde{z}_1 = \arg z_1 $$

Soit $\vec{u}(z_u)$ et $\vec{v}(z_v)$ avec $z_u = x_u + i y_u$ et $z_v = x_v + i y_v$. Nous avons :

$$ \overline{z_u} z_v = \overline{x_u + i y_u} (x_v + i y_v) = (x_u - i y_u) (x_v + i y_v) = x_u x_v + y_u y_v + i (x_u y_v - x_v y_u) $$

d'où :

$$ \overline{z_u} z_v = \vec{u} \bullet \vec{v} + i \det (\vec{u}; \vec{v}) = x_u x_v + y_u y_v + i \begin{vmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{vmatrix} \quad (16.7) $$
De même, nous avons :

$$z_u \overline{z_v} = \overline{\vec{u}} \cdot \overline{\vec{v}} + \iota \det (\overline{\vec{v}}; \overline{\vec{u}}) = \overline{\vec{u}} \cdot \overline{\vec{v}} - \iota \det (\overline{\vec{u}}; \overline{\vec{v}})$$

d'où les relations :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \overline{\vec{u}} \cdot \overline{\vec{v}} = \frac{\overline{z_u} z_v + z_u \overline{z_v}}{2} \\ \det (\overline{\vec{u}}; \overline{\vec{v}}) = \frac{\overline{z_u} z_v - z_u \overline{z_v}}{2} \end{array} \right. \qquad (16.8) $$

### 16.2.5.3 Multiplication et déplacement

La multiplication dans $\mathbb{C}$ se traduit géométriquement par une transformation géométrique du plan. Nous définissons une multiplication $\boxtimes$ de $\mathbb{C}^* \times \tilde{\mathbb{C}}$ dans $\tilde{\mathbb{C}}$ par :

$$\tilde{z}' = \lambda \boxtimes \tilde{z} = \lambda \boxtimes (z + \omega \kappa) = (\lambda \times z) + \omega \kappa$$

qui s'interprète géométriquement par une similitude :

* vectorielle de rapport $|\lambda|$ et d'angle $\arg \lambda$;

* affine de centre O, de rapport $|\lambda|$ et d'angle $\arg \lambda$.

Immédiatement, une similitude affine de centre $\Omega(z_\Omega)$, de rapport $|\lambda|$ et d'angle $\arg \lambda$ est définie par :

$$\tilde{z}' = (\omega z_{\Omega}) \boxtimes \lambda \boxtimes ((z - z_{\Omega}) + \omega \kappa) = (\lambda \times (z - z_{\Omega}) + z_{\Omega}) + \omega \kappa \quad (16.9)$$

et la multiplication de $z_\Omega$ par $\omega$ vient compenser le nombre $\frac{1}{\omega}$ de l'addition $\boxtimes$. En effet, $\omega z_\Omega$ est l'affixe d'un vecteur de translation. Si nous avons $|\lambda| = 1$ (resp. $\arg \lambda \equiv 0$ [$\pi$]), la similitude est une rotation (resp. homothétie).

La translation est définie directement par la définition de $\boxtimes$.

Considérons deux homothéties affines $\mathcal{H}_1$ et $\mathcal{H}_2$ de centres respectifs $\Omega_1(z_{\Omega_1})$ et $\Omega_2(z_{\Omega_2})$ de rapports respectifs $k_1$ et $k_2$. Soit $M_1$ le point pondéré d'affixe $z_1$ et de poids $\omega_1$. Alors $\mathcal{H}_1(M_1)$, de poids $\omega_1$ a pour affixe pondérée :

$$ \begin{aligned} \tilde{Z}_1 &= (\omega_1 z_{\Omega_1}) \boxtimes k_1 \boxtimes ((z_1 - z_{\Omega_1}) + \omega_1 \kappa) \\ &= (\omega_1 z_{\Omega_1}) \boxtimes (k_1 (z_1 - z_{\Omega_1}) + \omega_1 \kappa) \\ &= (k_1 (z_1 - z_{\Omega_1}) + z_{\Omega_1}) + \omega_1 \kappa \\ &= (k_1 z_1 + (1 - k_1) z_{\Omega_1}) + \omega_1 \kappa \end{aligned} $$

d'où $Z_1 = k_1 z_1 + (1 - k_1) z_{\Omega_1}$.

De même, $\mathcal{H}_2 \circ \mathcal{H}_1(M_1)$, de poids $\omega_1$ a pour affixe pondérée :

$$ \begin{aligned} \tilde{Z}_2 &= (\omega_1 z_{\Omega_2}) \boxtimes k_2 \boxtimes ((Z_1 - z_{\Omega_2}) + \omega_1 \kappa) \\ &= (\omega_1 z_{\Omega_2}) \boxtimes (k_2 (Z_1 - z_{\Omega_2}) + \omega_1 \kappa) \end{aligned} $$
$$
\begin{align*}
&= (k_2 (Z_1 - z_{\Omega_2}) + z_{\Omega_2}) + \omega_1 \kappa \\
&= (k_2 Z_1 + (1 - k_2) z_{\Omega_2}) + \omega_1 \kappa \\
&= (k_2 k_1 z_1 + k_2 (1 - k_1) z_{\Omega_1} + (1 - k_2) z_{\Omega_2}) + \omega_1 \kappa
\end{align*}
$$

et nous devons distinguer deux cas.

$$
\circled{1} : k_2 \times k_1 = 1.
$$

Nous avons :

$$
\tilde{Z}_2 = z_1 + (1 - k_2) (z_{\Omega_2} - z_{\Omega_1}) + \omega_1 \kappa
$$

c'est-à-dire :

$$
\tilde{Z}_2 = \tilde{z}_1 \boxplus \omega_1 (1 - k_2) \boxtimes ((z_{\Omega_2} + \kappa) \boxplus (z_{\Omega_1} - \kappa))
$$

et $\mathcal{H}_2 \circ \mathcal{H}_1$ est la translation de vecteur $(1-k_2) \overrightarrow{\Omega_1\Omega_2}$ et nous retrouvons le résultat de la proposition 1. Le nombre $\omega_1$ vient compenser le facteur $\frac{1}{\omega_1}$ de l'addition d'un point avec un vecteur.

$$
\circled{2} : k_2 \times k_1 \neq 1.
$$

Nous avons :

$$
\tilde{Z}_2 = k_2 k_1 z_1 + k_2 (1 - k_1) z_{\Omega_1} + (1 - k_2) z_{\Omega_2} + \omega_1 \kappa
$$

qui définit l'homothétie de centre $\Omega(z_{\Omega})$ et de rapport $k_1 k_2$. Le complexe $z_{\Omega}$ vérifie :

$$
z_{\Omega} = k_2 k_1 z_{\Omega} + k_2 (1 - k_1) z_{\Omega_1} + (1 - k_2) z_{\Omega_2}
$$

d'où :

$$
z_{\Omega} = \frac{k_2 (1 - k_1)}{1 - k_2 k_1} z_{\Omega_1} + \frac{1 - k_2}{1 - k_2 k_1} z_{\Omega_2}
$$

et la relation :

$$
k_2 (1 - k_1) + 1 - k_2 = 1 - k_2 k_1
$$

montre que $\Omega$ est le barycentre de $\Omega_1 (k_2 (1 - k_1))$ et $\Omega_2 (1 - k_2)$ c'est-à-dire :

$$
\tilde{z}_{\Omega} = z_{\Omega} + \kappa = \left( z_{\Omega_1} + \frac{k_2 (1-k_1)}{1-k_2 k_1} \kappa \right) \boxplus \left( z_{\Omega_2} + \frac{1-k_2}{1-k_2 k_1} \kappa \right)
$$

qui s'écrit :

$$
\tilde{z}_{\Omega} = \frac{k_2 (1 - k_1)}{1 - k_2 k_1} \boxtimes (z_{\Omega_1} + \kappa) \boxplus \frac{1 - k_2}{1 - k_2 k_1} \boxtimes (z_{\Omega_2} + \kappa)
$$

ce qui permet d'écrire :

$$
\tilde{Z}_2 = (\omega_1 z_\Omega) \boxplus k_1 k_2 \boxtimes ((z_1 - z_\Omega) + \omega_1 \kappa)
$$

et nous retrouvons le résultat de la proposition 2.
### 16.2.5.4 Anti-déplacement

La symétrie par rapport à l'axe des abscisses est définie par la conjugaison c'est-à-dire que :

$$ \bar{z}_1 \stackrel{\text{def}}{=} \overline{z_1 + \omega_1 \kappa} = \overline{z_1} + \omega_1 \kappa $$

et nous allons généraliser ce résultat aux réflexions quelconques.

**16.2.5.4.1 Equations de droites** Soit $z_{ab} = a + \iota b$ un complexe non nul et $z = x + \iota y$ un nombre complexe. Nous avons :

$$ \begin{align*} z_{ab} \bar{z} + \overline{z_{ab}} z &= (a + \iota b)(x - \iota y) + (a - \iota b)(x + \iota y) \\ &= a x + b y + \iota (b x - a y) + a x + b y + \iota (a y - b x) \\ &= 2 a x + 2 b y \end{align*} $$

et nous pouvons énoncer :

**Théorème 49** *L'équation complexe de la droite $\Delta$ d'équation :*

$$ a x + b y + c = 0, \ (a; b; c) \in \mathbb{R}^3, \ (a; b) \neq (0; 0) $$

est :

$$ z_{ab} \bar{z} + \overline{z_{ab}} z + 2 c = 0 \qquad (16.10) $$

$$ \text{avec } z_{ab} = a + \iota b \text{ et } z = x + \iota y. $$

Notons que $z_{ab}$ est l'affixe d'un vecteur normal $\overrightarrow{\nabla_{\Delta}}$ à la droite. En effet, soit $A(z_A)$ et $B(z_B)$ deux points distincts de la droite $\Delta$. Comme $c$ est une constante et que les deux complexes $z_A$ et $z_B$ vérifient l'équation (16.10), nous obtenons :

$$ z_{ab} \overline{z_B - z_A} + \overline{z_{ab}} (z_B - z_A) = 0 $$

et d'après la formule (16.8), les vecteurs $\overrightarrow{\nabla_{\Delta}}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont orthogonaux.

**16.2.5.4.2 Expression analytique d'une réflexion** Nous pouvons énoncer :

**Théorème 50** *Soit l'équation complexe, d'une droite $\Delta$, donnée par la formule (16.10).*

$$ \text{Soit } M(\tilde{z}) \text{ et } M'(\tilde{z}') \text{ avec } \tilde{z} = z + \omega \kappa \text{ et } \tilde{z}' = z' + \omega \kappa. $$

Le point $M'$ est l'image de $M$ par la réflexion d'axe $\Delta$ si et seulement si :

$$ z' = - \frac{z_{ab} \bar{z} + 2 c \mathbb{I}_{\mathbb{R}^*} (\omega)}{\overline{z_{ab}}} \qquad (16.11) $$
Démonstration :

Cherchons les points invariants :

$$
\begin{align*}
z = z' &\iff z = - \frac{z_{ab} \bar{z} + 2c \mathbb{I}_{\mathbb{R}^*} (\omega)}{\bar{z}_{ab}} \\
&\iff z \bar{z}_{ab} = -(z_{ab} \bar{z} + 2c \mathbb{I}_{\mathbb{R}^*} (\omega)) \iff z_{ab} \bar{z} + \bar{z}_{ab} z + 2c \mathbb{I}_{\mathbb{R}^*} (\omega) = 0
\end{align*}
$$

et l'ensemble des points invariants est l'axe $\Delta$. L'équation (16.11) est équivalente à :

$$
z' = - \frac{z_{ab}^2}{|z_{ab}|^2} \bar{z} - \frac{2c}{z_{ab}} \qquad (16.12)
$$

et $-\frac{z_{ab}^2}{|z_{ab}|^2}$ est un nombre complexe de module 1 : la transformation affine est un anti-déplacement comme composée de la réflexion d'axe réel, suivi de la rotation de centre l'origine et d'angle arg $-\frac{z_{ab}^2}{|z_{ab}|^2}$ suivi de la translation de vecteur d'affixe $-\frac{2c}{z_{ab}}$. L'ensemble des points invariants étant la droite $\Delta$, la transformation affine est la réflexion d'axe $\Delta$.

<figure><img src="image_327.png" /></figure>

Si $\omega = 0$, la réflexion est vectorielle $\vec{\Delta}$ d'équation :

$$
z_{ab} \bar{z} + \bar{z}_{ab} z = 0
$$

sinon, la réflexion est affine d'axe $\Delta$. Sauf mention contraire, dans la suite, une réflexion sera
affine.

Soit $I(z_I)$ le milieu de $[MM']$. Montrons que $I$ appartient à $\Delta$. Nous avons :

$$
z_I = \frac{z' + z}{2} = \frac{1}{2} \left( - \frac{z_{ab} \bar{z} + 2c}{\bar{z}_{ab}} + z \right) = \frac{1}{2} \left( - \frac{z_{ab} \bar{z} + 2c - \bar{z}_{ab} z}{\bar{z}_{ab}} \right)
$$

et nous obtenons :

$$
\overline{z_{ab}} z_I = - \frac{z_{ab} \bar{z} + 2c - \bar{z}_{ab} z}{2}
$$

d'où :

$$
\overline{z_I} z_{ab} = - \frac{\overline{z_{ab}} \overline{z} + 2c - \overline{z_{ab}} \overline{z}}{2} = - \frac{\overline{z_{ab}} z + 2c - z_{ab} \overline{z}}{2}
$$

et finalement :

$$
\overline{z_{ab}} z_I + \overline{z_I} z_{ab} = - \frac{z_{ab} \bar{z} + 2c - \bar{z}_{ab} z}{2} - \frac{\bar{z}_{ab} z + 2c - z_{ab} \bar{z}}{2} = - \frac{4c}{2} = -2c
$$

ce qui montre que *I* appartient à *Δ*.

Donnons une application des réflexions, commençons par une définition :

**Définition 32 :**

Soit ABC un triangle non dégénéré avec A (z<sub>A</sub>), B (z<sub>B</sub>) et C (z<sub>C</sub>). Soit M ∈ {A; B; C}.

La symédiane du triangle ABC, issue de M est l'image de la médiane issue de M par la
réflexion d'axe la bissectrice intérieure issue de M.

Les trois symédianes d'un triangle sont sécantes en un point L, appelé point de Lemoine.
**Exemple 4 :**

Soit ABC un triangle non dégénéré avec $A(\tilde{z}_A)$, $B(\tilde{z}_B)$ et $C(\tilde{z}_C)$ avec $\tilde{z}_A = 1 - i + \kappa$, $\tilde{z}_B = i + \kappa$ et $\tilde{z}_C = 3 + \kappa$

1. Quelle est la nature du triangle ABC.

2. Déterminer le point de Lemoine de ABC.

3. Soit $\mathcal{S}_{(AC)}$ la réflexion d'axe (AC). Déterminer $\mathcal{S}_{(AC)}(ABC)$ ainsi que son point de Lemoine $L_1$.

4. Soit $\mathcal{S}_{B,\pi,2}$ la similitude de centre B, d'angle $\pi$ et de rapport 2. Déterminer $\mathcal{S}_{B,\pi,2}(ABC)$ ainsi que son point de Lemoine $L_2$.

1. Nous avons $\overrightarrow{AB}(z_{AB})$ et $\overrightarrow{AC}(z_{AC})$ avec :

$$z_{AB} = -1 \Box \tilde{z}_A \boxplus \tilde{z}_B = -1 + i + \ell = -1 + 2i$$

et :

$$z_{AC} = -1 \Box \tilde{z}_A \boxplus \tilde{z}_C = -1 + i + 3 = 2 + i$$

Ainsi :

$$\overrightarrow{z_{AC}} z_{AB} = (2 - i)(-1 + 2i) = -2 - 2i^2 + i(1 + 4) = 5i$$

d'où $(\overrightarrow{AC}; \overrightarrow{AB}) = \frac{\pi}{2}$ (le produit scalaire $\overrightarrow{AC} \bullet \overrightarrow{AB}$ est nul et le déterminant $\det(\overrightarrow{AC}; \overrightarrow{AB})$ est positif). De plus :

$$|z_{AB}| = |z_{AC}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = 5$$

et le triangle ABC est rectangle isocèle en A.

Nous avons une autre méthode :

$$\frac{z_{AB}}{z_{AC}} = \frac{-1 + 2i}{2 + i} = \frac{-1 + 2i}{2 + i} \frac{2 - i}{2 - i} = \frac{-2 + i + 4i - 2i^2}{5} = i$$

ce qui conduit au même résultat.

2. L'affixe massique du centre de gravité G est :

$$\tilde{z}_G = \tilde{z}_A \boxplus \tilde{z}_B \boxplus \tilde{z}_C = \frac{1 - i + i + 3}{3} + 3\kappa = \frac{4}{3} + 3\kappa$$
<figure><img src="image_328.png" /><figcaption>FIGURE 16.6 – Le triangle *ABC*, les trois médianes, bissectrices et symédianes, le centre de gravité *G*, le centre du cercle inscrit $O_i$ et le point de Lemoine *L*.</figcaption></figure>

Posons $a = |z_B - z_C| = |\iota - 3| = \sqrt{10}$, $b = |z_A - z_C| = \sqrt{5}$, $c = |z_B - z_A| = \sqrt{5}$.
L'affixe massique du centre $O_i$ du cercle inscrit est :

$$
\begin{align*}
\tilde{z}_{O_i} &= a \Box \tilde{z}_A \boxplus b \Box \tilde{z}_B \boxplus c \Box \tilde{z}_C \\
&= \frac{\sqrt{10} (1-\iota) + \sqrt{5}\iota + \sqrt{5}3}{(2+\sqrt{2})\sqrt{5}} + \left( (2+\sqrt{2})\sqrt{5} \right) \kappa \\
&= \frac{(3+\sqrt{2})\sqrt{5} + (-\sqrt{2}+1)\sqrt{5}\iota}{(2+\sqrt{2})\sqrt{5}} + \left( (2+\sqrt{2})\sqrt{5} \right) \kappa \\
&= \frac{(3+\sqrt{2}) + (1-\sqrt{2})\iota}{(2+\sqrt{2})} + \left( (2+\sqrt{2})\sqrt{5} \right) \kappa \\
&= \frac{(3+\sqrt{2})(2-\sqrt{2}) + (1-\sqrt{2})(2-\sqrt{2})\iota}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} + \left( (2+\sqrt{2})\sqrt{5} \right) \kappa \\
&= \frac{(4-\sqrt{2}) + (4-3\sqrt{2})\iota}{2} + \left( (2+\sqrt{2})\sqrt{5} \right) \kappa
\end{align*}
$$

Le triangle *ABC* étant isocèle en *A*, la médiane (*AG*) est aussi bissectrice et donc symé-
diane : le point de Lemoine *L* appartient à (*AG*), figure 16.6.

Notons que nous avons :

$$
\frac{(2 + \sqrt{2}) \sqrt{5}}{2} (-4 + 3\sqrt{2}) \Box \tilde{z}_A \boxplus \frac{(2 + \sqrt{2}) \sqrt{5}}{2} (2 - \sqrt{2}) \Box \tilde{z}_G
$$
$$
\begin{align*}
&= \frac{(-4 + 3\sqrt{2})(1 - i) + 3(2 - \sqrt{2})\frac{4}{3}}{-4 + 3\sqrt{2} + 3(2 - \sqrt{2})} + \frac{(2 + \sqrt{2})\sqrt{5}}{2}(-4 + 3\sqrt{2} + 3(2 - \sqrt{2}))\kappa \\
&= \frac{(-4 + 3\sqrt{2} + 8 - 4\sqrt{2}) - i(-4 + 3\sqrt{2})}{2} + ((2 + \sqrt{2})\sqrt{5})\kappa \\
&= \frac{(4 - \sqrt{2}) + i(4 - 3\sqrt{2})}{2} + ((2 + \sqrt{2})\sqrt{5})\kappa \\
&= \tilde{z}_{O_i}
\end{align*}
$$

ce qui montre que les points G, A et O_i sont alignés.

Soit $\tilde{z}_A^L = z_A + a^2 \kappa = 1 - i + 10\kappa$, $\tilde{z}_B^L = z_B + b^2 \kappa = i + 5 \kappa$ et $\tilde{z}_C^L = z_C + c^2 \kappa = 3 + 5 \kappa$.

L'affixe massique du point de Lemoine est :

$$
\begin{align*}
\tilde{z}_L &= \tilde{z}_A^L \boxtimes \tilde{z}_B^L \boxtimes \tilde{z}_C^L \\
&= \frac{a^2 z_A + b^2 z_B + c^2 z_C}{a^2 + b^2 + c^2} + (a^2 + b^2 + c^2) \kappa \\
&= \frac{10(1-i) + 5i + 5 \times 3}{10+5+5} + (10+5+5) \kappa \\
&= \frac{25-5i}{20} + 20 \kappa \\
&= \frac{5}{4} - \frac{1}{4}i + 20 \kappa
\end{align*}
$$

et nous avons

$$
\begin{align*}
& 5 \square \tilde{z}_A \boxtimes 5 \square \tilde{z}_G \\
&= \frac{5(1-i) + 5 \times 3\frac{4}{3}}{5 + 5 \times 3} + (5 + 5 \times 3)\kappa \\
&= \frac{25 - 20i}{20} + 20\kappa \\
&= \frac{5}{4} - \frac{1}{4}i + 20\kappa \\
&= \tilde{z}_L
\end{align*}
$$

ce qui montre que les points G, A et L sont alignés.
Montrons que $L$ appartient à la symédiane issue de $B$. Nous devons déterminer l'équation de la droite ($BO_i$). Nous avons $\overrightarrow{BO_i}(z_{BO_i})$ avec :

$$ 
\begin{aligned}
z_{BO_i} &= \frac{-1}{(2 + \sqrt{2}) \sqrt{5}} \Box z_{O_i} \oplus \tilde{z}_B \\
&= \iota - \frac{(4 - \sqrt{2}) + \iota (4 - 3\sqrt{2})}{2} \\
&= \frac{-4 + \sqrt{2} + \iota (-2 + 3\sqrt{2})}{2}
\end{aligned}
$$

et un vecteur normal $\overrightarrow{\nabla_{BO_i}}(z_\nabla)$, $z_\nabla = x_\nabla + \iota y_\nabla$, doit vérifier la condition :

$$ \mathrm{Re}(\overline{z_\nabla} z_{BO_i}) = 0 $$

c'est-à-dire :

$$ \mathrm{Re} \left( (x_\nabla - \iota y_\nabla) \frac{-4 + \sqrt{2} + \iota (-2 + 3\sqrt{2})}{2} \right) = 0 $$

ce qui conduit à l'équation :

$$ x_\nabla (-4 + \sqrt{2}) + y_\nabla (-2 + 3\sqrt{2}) = 0 $$

et une solution triviale est :

$$ z_\nabla = (-2 + 3\sqrt{2}) + \iota (4 - \sqrt{2}) $$

ce qui fait que l'équation de la bissectrice intérieure issue de $A$ est de la forme :

$$ z_\nabla \overline{z} + \overline{z_\nabla} z + 2c = 0 $$

et comme l'affixe de $B$ vérifie l'équation, nous obtenons :

$$ 2c = -(z_{\nabla} \overline{z_B} + \overline{z_{\nabla}} z_B) = \iota (z_{\nabla} - \overline{z_{\nabla}}) = 2 \iota^2 \mathrm{Im}(z_{\nabla}) $$

d'où :

$$ c = -\mathrm{Im}(z_{\nabla}) = -4 + \sqrt{2} $$

ce qui permet d'obtenir l'équation de la bissectrice intérieure issue de $B$ :

$$ z_\nabla \overline{z} + \overline{z_\nabla} z + 2 (-4 + \sqrt{2}) = 0 $$

c'est-à-dire :

$$ ((-2 + 3\sqrt{2}) + \iota (4 - \sqrt{2})) \overline{z} + ((-2 + 3\sqrt{2}) - \iota (4 - \sqrt{2})) z + 2 (-4 + \sqrt{2}) = 0 $$
Ainsi, l'expression analytique de la réflexion d'axe ($BO_i$) est :

$$z' = - \frac{z_{\nabla} \bar{z} + 2(-4 + \sqrt{2})}{\bar{z}_{\nabla}}$$

et l'image de $G$ par cette réflexion est $G'(\tilde{z'_G})$ avec :

$$\tilde{z}'_G = - \frac{z_{\nabla} \frac{4}{3} + 2(-4 + \sqrt{2})}{\bar{z}_{\nabla}} + 3\kappa$$

et nous avons :

$$
\begin{align*}
\tilde{z}'_G &= - \frac{(-2 + 3\sqrt{2} + i(4 - \sqrt{2}))\frac{4}{3} + 2(-4 + \sqrt{2})}{-2 + 3\sqrt{2} - i(4 - \sqrt{2})} + 3\kappa \\
&= -\frac{1}{3}\frac{4(-2 + 3\sqrt{2} + i(4 - \sqrt{2})) + 6(-4 + \sqrt{2})}{-2 + 3\sqrt{2} - i(4 - \sqrt{2})} + 3\kappa \\
&= -\frac{1}{3}\frac{-32 + 18\sqrt{2} + i(16 - 4\sqrt{2})}{(-2 + 3\sqrt{2}) - i(4 - \sqrt{2})} + 3\kappa \\
&= -\frac{1}{3}\frac{-32 + 18\sqrt{2} + i(16 - 4\sqrt{2})}{(-2 + 3\sqrt{2}) - i(4 - \sqrt{2})} \times \frac{(-2 + 3\sqrt{2}) + i(4 - \sqrt{2})}{(-2 + 3\sqrt{2}) + i(4 - \sqrt{2})} + 3\kappa \\
&= -\frac{1}{3}\frac{(-32 + 18\sqrt{2})(-2 + 3\sqrt{2}) - 4(4 - \sqrt{2})^2}{(-2 + 3\sqrt{2})^2 + (4 - \sqrt{2})^2} \\
&\quad + \frac{i(-32 + 18\sqrt{2})(4 - \sqrt{2}) + (-2 + 3\sqrt{2})(16 - 4\sqrt{2})}{(-2 + 3\sqrt{2})^2 + (4 - \sqrt{2})^2} + 3\kappa \\
&= \frac{i}{3}\frac{100(1 - \sqrt{2}) + 20i(-11 + 8\sqrt{2})}{20(2 - \sqrt{2})} + 3\kappa \\
&= \frac{5(-1 + \sqrt{2}) + i(11 - 8\sqrt{2})}{3(2 - \sqrt{2})} + 3\kappa \\
&= \frac{5(-1 + \sqrt{2})(2 + \sqrt{2}) + i(11 - 8\sqrt{2})(2 + \sqrt{2})}{3(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} + 3\kappa \\
&= \frac{5\sqrt{2} + i(6 - 5\sqrt{2})}{6} + 3\kappa
\end{align*}
$$

et la symédiane issue de $B$ est la droite ($BG'$). Montrons que les vecteurs $\overrightarrow{BG'}(z_{BG'})$ et $\overrightarrow{BL}(z_{BL})$ sont colinéaires. Nous avons :

$$z_{BG'} = \frac{1}{3} \Box \tilde{z}'_G \boxplus -1 \Box z_B = \frac{5\sqrt{2} + i(6 - 5\sqrt{2})}{6} - i = \frac{5\sqrt{2} - i5\sqrt{2}}{6} = \frac{5\sqrt{2}}{6}(1 - i)$$
et :

$$z_{BL} = \frac{1}{20} \Box \tilde{z}'_G \oplus -1 \Box z_B = \frac{5}{4} - \frac{1}{4} \iota - \iota = \frac{5}{4} (1 - \iota) = \frac{2\sqrt{2}}{3} z_{BG}'$$

ce qui montre la colinéarité des deux vecteurs $\overrightarrow{BG}'$ et $\overrightarrow{BL}$ d'où : le point de Lemoine L appartient bien à la symédiane ($BG'$) issue de B. Le point de Lemoine L appartenait déjà à la symédiane ($AG$) issue de A.

3. Déterminons l'équation de la droite (AC). Soit $\overrightarrow{AC}(z_{AC})$. Nous avons :

$$z_{AC} = 2 + \iota$$

et un vecteur normal $\overrightarrow{\nabla}_{AC}(z_\nabla)$, $z_\nabla = x_\nabla + \iota y_\nabla$, doit vérifier la condition :

$$\mathrm{Re}(\overline{z_\nabla} z_{AC}) = \mathrm{Re}((x_\nabla - \iota y_\nabla)(2 + \iota)) = 2x_\nabla + y_\nabla = 0$$

ce qui conduit à :

$$z_\nabla = -1 + \iota 2$$

ce qui fait que l'équation de (AC) est de la forme :

$$z_\nabla \bar{z} + \overline{z_\nabla} z + 2c = 0$$

et comme l'affixe de C vérifie l'équation, nous obtenons :

$$2c = -3(z_\nabla + \overline{z_\nabla}) = -3 \times 2 \mathrm{Re}(z_\nabla) = 6$$

et l'équation de la droite (AC) est :

$$(-1 + \iota 2) \bar{z} + (-1 - \iota 2) z + 6 = 0$$

L'expression analytique de la réflexion d'axe (AC) est :

$$z' = \frac{(-1 + 2\iota) \bar{z} + 6}{1 + 2\iota} = \frac{(3 + 4\iota) \bar{z} + 6(1 - 2\iota)}{5}$$

Soit $B'(\tilde{z}_{B'}) = \mathcal{S}_{(AC)}(B)$. Nous avons :

$$\tilde{z}_{B'} = \frac{(3 + 4\iota)(-\iota) + 6(1 - 2\iota)}{5} + \kappa = \frac{10 - 15\iota}{5} + \kappa = 2 - 3\iota + \kappa$$

Soit $L_1(\tilde{z}_{L_1}) = \mathcal{S}_{(AC)}(L)$, figure 16.7.

Nous avons :

$$\begin{align*}
\tilde{z}_{L_1} &= \frac{(3 + 4\iota) \left(\frac{5}{4} + \frac{1}{4}\iota\right) + 6(1 - 2\iota)}{5} + 20\kappa \\
&= \frac{(3 + 4\iota)(5 + \iota) + 24(1 - 2\iota)}{20} + 20\kappa \\
&= \frac{11 + 23\iota + 24 - 48\iota}{20} + 20\kappa \\
&= \frac{35 - 25\iota}{20} + 20\kappa \\
&= \frac{7}{4} - \frac{5}{4}\iota + 20\kappa
\end{align*}$$
<figure><img src="image_329.png" /><figcaption>FIGURE 16.7 – Le triangle ABC, son image B'AC par $\mathcal{S}_{(AC)}$ et les points de Lemoine L et $L_1$.</figcaption></figure>
Une réflexion étant une isométrie, nous avons :

$$
\begin{align*}
\tilde{z}_{L1} &= \tilde{z}_A^L \boxplus b^2 \boxminus \tilde{z}_{B'} \boxplus \tilde{z}_C^L \\
&= \frac{a^2 z_A + b^2 z_B + c^2 z_C}{a^2 + b^2 + c^2} + (a^2 + b^2 + c^2) \kappa \\
&= \frac{10(1 - i) + 5(2 - 3i) + 5 \times 3}{10 + 5 + 5} + (10 + 5 + 5) \kappa \\
&= \frac{35 - 25i}{20} + 20 \kappa \\
&= \frac{7}{4} - \frac{5}{4}i + 20 \kappa \text{ et nous retrouvons le même résultat.}
\end{align*}
$$

4. D'après la formule (16.9), l'expression analytique de $\mathcal{S}_{B,\pi,2}$ est :

$$
z' + \omega \kappa = (\omega i) \boxplus -2 \boxtimes ((z - i) + \omega \kappa) = (-2 \times (z - i) + i) + \omega \kappa = -2z + 3i + \omega \kappa \quad (16.13)
$$

Nous avons $B = \mathcal{S}_{B,\pi,2}(B)$. Soit $A_2(\tilde{z}_{A_2}) = \mathcal{S}_{B,\pi,2}(A)$. Nous avons :

$$
\tilde{z}_{A_2} = -2(1 - i) + 3i + 1\kappa = -2 + 5i + \kappa
$$

Soit $C_2(\tilde{z}_{C_2}) = \mathcal{S}_{B,\pi,2}(C)$. Nous avons :

$$
\tilde{z}_{C_2} = -2 \times 3 + 3i + 1\kappa = -6 + 3i + \kappa
$$

Soit $L_2(\tilde{z}_{L_2}) = \mathcal{S}_{B,\pi,2}(L)$, figure 16.8.

Comme une similitude multiplie les longueurs par son module, nous avons :

$$
\tilde{z}_{L_2} = 2^2 \Box \left( -2 \times \left( \frac{5}{4} - \frac{1}{4}i \right) + 3i + 20\kappa \right) = -\frac{5}{2} + \frac{7}{2}i + 80\kappa
$$

Soit $\tilde{z}_A^L = z_A + a^2 \kappa = 1 - i + 10\kappa$, $\tilde{z}_B^L = z_B + b^2 \kappa = i + 5\kappa$ et $\tilde{z}_C^L = z_C + c^2 \kappa = 3 + 5\kappa$.

L'affixe massique du point de Lemoine est :

$$
\begin{align*}
\tilde{z}_{L2} &= |z_B - z_{C2}|^2 \boxtimes \tilde{z}_A \boxplus |z_{A2} - z_{C2}|^2 \boxtimes \tilde{z}_B \boxplus |z_B - z_{A2}|^2 \boxtimes \tilde{z}_C \\
&= |i + 6 - 3i|^2 \boxtimes \tilde{z}_A \boxplus |-2 + 5i + 6 - 3i|^2 \boxtimes \tilde{z}_B \boxplus |i - 2 - 5i|^2 \boxtimes \tilde{z}_C \\
&= |6 - 2i|^2 \boxtimes \tilde{z}_A \boxplus |4 + 2i|^2 \boxtimes \tilde{z}_B \boxplus |-2 - 4i|^2 \boxtimes \tilde{z}_C \\
&= 40 \boxtimes \tilde{z}_A \boxplus 20 \boxtimes \tilde{z}_B \boxplus 20 \boxtimes \tilde{z}_C \\
&= \frac{40(-2 + 5i) + 20i + 20(-6 + 3i)}{80} + 80\kappa \\
&= \frac{-200 - +280i}{80} + 80\kappa \\
&= \frac{5}{2} + \frac{7}{4}i + 20\kappa
\end{align*}
$$

et nous retrouvons le même résultat.
<figure><img src="image_330.png" /><figcaption>FIGURE 16.8 – Le triangle ABC, son image BA₂C₂ par S<sub>B,π,2</sub> et les points de Lemoine L et L₂.</figcaption></figure>

### 16.2.5.5 Courbes de Bézier rationnelles quadratiques

Pour $i \in [0; 2]$, considérons les trois points massiques suivants

$$ \tilde{z}_i = z_i + \omega_i \kappa \quad (16.14) $$

et la courbe de Bézier rationnelle quadratiques, de nombres complexes massiques de contrôle est $\gamma$ définie en utilisant $I$ l'ensemble des indices des points massiques ayant des poids non nuls et $J$ l'ensemble des indices des points massiques ayant des poids nuls. Pour $t_0$ de $[0; 1]$, si nous avons :

$$ \sum_{i \in I} \omega_i \times B_i(t_0) \neq 0 \quad (16.15) $$

nous obtenons :

$$ \tilde{\gamma}(t) = \frac{1}{\sum_{i \in I} \omega_i B_i(t)} \Box (B_0(t) \Box \tilde{z}_0 \boxplus B_1(t) \Box \tilde{z}_1 \boxplus B_2(t) \Box \tilde{z}_2) \quad (16.16) $$

tandis que dans le cas contraire, nous obtenons :

$$ \tilde{\gamma}(t) = B_0(t) \Box \tilde{z}_0 \boxplus B_1(t) \Box \tilde{z}_1 \boxplus B_2(t) \Box \tilde{z}_2 $$
Reprenons l'exemple du paragraphe 3.5, nous avons :

$$ \tilde{z}_0 = 1 + i \qquad \tilde{z}_1 = \omega_1 \kappa \qquad \tilde{z}_2 = 1 - i \qquad \omega_1 = 2 $$

et $I = \{1\}$, $J = \{0; 2\}$. La condition de la formule (16.15) n'est pas vérifiée pour $t_0$ appartenant à $\{0; 1\}$. Nous avons :

$$ \tilde{\gamma}(0) = B_0(0) \boxtimes \tilde{z}_0 \boxplus B_1(0) \boxtimes \tilde{z}_1 \boxplus B_2(0) \boxtimes \tilde{z}_2 = \tilde{z}_0 = 1 + i $$

et :

$$ \tilde{\gamma}(1) = B_0(1) \boxtimes \tilde{z}_0 \boxplus B_1(1) \boxtimes \tilde{z}_1 \boxplus B_2(1) \boxtimes \tilde{z}_2 = \tilde{z}_2 = 1 - i $$

Soit $t_0 \in ]0; 1[$. Nous avons :

$$ \begin{aligned} \tilde{\gamma}(t_0) &= \frac{1}{2 B_1(t_0)} \boxtimes (B_0(t_0)(1+i) \boxplus 2 B_1(t_0) \kappa \boxplus B_2(t_0)(1-i)) \\ &= \frac{B_0(t_0)}{2 B_1(t_0)} (1+i) \boxplus \kappa \boxplus \frac{B_2(t_0)}{2 B_1(t_0)} (1-i) \\ &= \frac{B_0(t_0)(1+i) + B_2(t_0)(1-i)}{2 B_1(t_0)} + \kappa \\ &= \frac{1-2t_0+2t_0^2}{4t_0(1-t_0)} + \frac{1-2t_0}{4t_0(1-t_0)}i + \kappa \end{aligned} $$

Soit $z_\Omega = 2 - i$ l'affixe du centre de la similitude $\mathcal{S}_{\Omega, \frac{\pi}{2}, 2}$ de rapport 2 et d'angle $\frac{\pi}{2}$. L'expression analytique de $\mathcal{S}_{\Omega, \frac{\pi}{2}, 2}$ est donnée par la formule (16.9) avec $z = 2i$ et nous obtenons :

$$ (\omega_1 (2 - i)) \boxplus 2i \boxtimes ((z_1 - 2 + i) + \omega_1 \kappa) = (z \times (z_1 - z_\Omega) + z_\Omega) + \omega_1 \kappa $$

Pour $t_0 \in ]0; 1[$, nous avons :

$$ \begin{aligned} \tilde{\gamma}(t_0) - 2 + i &= \frac{1 - 2t_0 + 2t_0^2}{4t_0(1 - t_0)} - 2 + \left( \frac{1 - 2t_0}{4t_0(1 - t_0)} + 1 \right) i + \kappa \\ &= \frac{1 - 2t_0 + 2t_0^2}{4t_0(1 - t_0)} - \frac{8t_0 - 8t_0^2}{4t_0(1 - t_0)} + \frac{1 - 2t_0 + 4t_0 - 4t_0^2}{4t_0(1 - t_0)} i + \kappa \\ &= \frac{1 - 10t_0 + 10t_0^2}{4t_0(1 - t_0)} + \frac{1 + 2t_0 - 4t_0^2}{4t_0(1 - t_0)} i + \kappa \end{aligned} $$

d'où :
$$
\begin{align*}
2 \iota \boxtimes (\widetilde{\gamma(t_0)} - 2 + \iota) &= 2 \iota \boxtimes \left( \frac{1 - 10 t_0 + 10 t_0^2}{4 t_0 (1 - t_0)} + \frac{1 + 2 t_0 - 4 t_0^2}{4 t_0 (1 - t_0)} \iota + \kappa \right) \\
&= \frac{1 - 10 t_0 + 10 t_0^2}{2 t_0 (1 - t_0)} \iota + \frac{1 + 2 t_0 - 4 t_0^2}{2 t_0 (1 - t_0)} \iota^2 + \kappa \\
&= -\frac{1 + 2 t_0 - 4 t_0^2}{2 t_0 (1 - t_0)} + \frac{1 - 10 t_0 + 10 t_0^2}{2 t_0 (1 - t_0)} \iota + \kappa
\end{align*}
$$

et finalement :

$$
\begin{align*}
& (\omega_1 (2 - \iota)) \boxplus (2 \iota \boxtimes (\widetilde{\gamma(t_0)} - 2 + \iota)) \\
&= (2 - \iota) \boxplus \left( -\frac{1 + 2t_0 - 4t_0^2}{2t_0(1-t_0)} + \frac{1 - 10t_0 + 10t_0^2}{2t_0(1-t_0)} \iota + \kappa \right) \\
&= -\frac{1 + 2t_0 - 4t_0^2}{2t_0(1-t_0)} + 2 + \left( \frac{1 - 10t_0 + 10t_0^2}{2t_0(1-t_0)} - 1 \right) \iota + \kappa \\
&= -\frac{1 - 2t_0 + 4t_0^2 + 4t_0 - 4t_0^2}{2t_0(1-t_0)} + \frac{1 - 10t_0 + 10t_0^2 - 2t_0 + 2t_0^2}{2t_0(1-t_0)} \iota + \kappa \\
&= -\frac{1 + 2t_0}{2t_0(1-t_0)} + \frac{1 - 12t_0 + 12t_0^2}{2t_0(1-t_0)} \iota + \kappa
\end{align*}
$$

et il reste à écrire le numérateur dans la base de Bernstein, formule (3.52), :

$$
\begin{align*}
-1 + 2t_0 &= -B_0(t_0) - B_1(t_0) - B_2(t_0) + B_1(t_0) + 2B_2(t_0) \\
&= -B_0(t_0) + B_2(t_0)
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
1 - 12 t_0 + 12 t_0^2 &= B_0(t_0) + B_1(t_0) + B_2(t_0) - 6 B_1(t_0) - 12 B_2(t_0) + 12 B_2(t_0) \\
&= B_0(t_0) - 5 B_1(t_0) + B_2(t_0)
\end{align*}
$$

et la courbe de Bézier rationnelle quadratique image est :

$$
\widetilde{\gamma'(t_0)} = \frac{-B_0(t_0) + B_2(t_0)}{B_1(t_0)} + \frac{B_0(t_0) - 5B_1(t_0) + B_2(t_0)}{B_1(t_0)} \iota + \kappa \quad (16.17)
$$

et nous obtenons :

$$
\tilde{z}'_0 = -1 + \iota \quad \tilde{z}_1 = -5\iota + 1\kappa \quad \tilde{z}_2 = 1 + \iota \quad \omega_1 = 1
$$
car nous avons simplifié par 2 lors du calcul de $2i \boxtimes (\tilde{\gamma}(t_0) - 2 + i)$. En gardant la valeur du poids originel, la formule (16.17) devient :

$$ \tilde{\gamma'}(t_0) = \frac{-2 B_0(t_0) + 2 B_2(t_0)}{2 B_1(t_0)} + \frac{2 B_0(t_0) - 2 B_1(t_0) \times 5 + 2 B_2(t_0)}{2 B_1(t_0)} + 2\kappa \quad (16.18) $$

et nous obtenons :

$$ \tilde{Z}'_0 = -2 + 2i \qquad \tilde{Z}'_1 = -5i + 2\kappa \qquad \tilde{Z}'_2 = 2 + 2i \qquad \omega_1 = 2 $$

Faisons le lien avec la multiplication $\boxtimes$ par $2i$ pour les complexes purs qui sont des affixes de vecteurs. Nous avons :

$$ \bullet \ 2i \boxtimes \tilde{z}_0 = 2i \boxtimes (1+i) = 2i + 2i^2 = -2 + 2i = \tilde{Z}'_0; $$

$$ \bullet \ 2i \boxtimes \tilde{z}_2 = 2i \boxtimes (1-i) = 2i - 2i^2 = 2 + 2i = \tilde{Z}'_2. $$

Quand au point intermédiaire, nous utilisons le fait que la transformation géométrique est une similitude affine et nous obtenons :

$$ (2(2-i)) \boxplus 2i \boxtimes ((-2+i)+2\kappa) = (2(2-i)) \boxplus (-2-4i) + 2\kappa = -5i + 2\kappa = \tilde{Z}'_1 $$

et nous retrouvons le résultat du paragraphe 3.5.

## 16.2.6 Les cyclides de Dupin comme des cyclides de Darboux

Une cyclide de Darboux-D'Alembert est une surface générée par deux familles à un paramètre de cercles et par chaque point de la surface passe un cercle de chaque famille vérifiant la condition de D'Alembert : ces cercles sont soit sécants en deux points (cercles d'Yvon-Villarceau) soit contenus sur une même sphère (cette dernière condition étant plus faible). Une cyclide de Dupin est donc une cyclide de Darboux : les familles de cercles à considérer sont les cercles d'Yvon-Villarceau.

La figure 16.9(a) montre un exemple de tore à collier vue comme une cyclide de Darboux avec $r = 1, 4$ et $R = 8$.

La figure 16.9(b) montre un exemple de cyclide de Dupin quartique vue comme une cyclide de Darboux avec $a = 6, \mu = 1$ et $c = 0,85$. Le fichier source m'a été envoyé par Francesco de Comité, enseignant chercheur à l'Université de Lille.

La figure 16.10(a) ne montre qu'une seule famille, sa droite d'Yvon-Villarceau (en magenta), la second droite d'Yvon-Villarceau (en cyan) et deux droites caractéristiques (en vert) avec $p = -1520$ et $q = 132$. La limite des cercles d'Yvon-Villarceau dans la figure 16.10(b) est la droite en magenta qui est aussi un cercle d'Yvon-Villarceau.

Comme exemple de cyclide de Darboux que ne soit pas une cyclide de Dupin, nous pouvons citer un ellipsoïde de demi-axe $a, b$ et $c$. Dans la cas où nous avons :

$$ a > b > c $$
<figure><img src="image_331.png" /><figcaption>FIGURE 16.9 – Cyclides de Darboux. (a) : un tore à collier. (b) : une cyclide de Dupin quartique</figcaption></figure>

<figure><img src="image_332.png" /><figcaption>FIGURE 16.10 – Deux cyclides de Dupin vues comme des cyclides de Darboux. (a) : une famille. (b) : les deux familles.</figcaption></figure>

la nappe paramétrée définissant l'ellipsoïde par deux familles de cercles (référence trouvée sur le site : http://www.mathcurve.com/surfaces/surfaces.shtml) est :

$$ \Gamma_{\varepsilon}(u; v) = \begin{pmatrix} a \sqrt{\frac{b-c}{a+b}}(u+v) \\ \varepsilon_y b \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2}} \\ c \sqrt{\frac{a-b}{b+c}}(u-v) \end{pmatrix} $$

avec $(u; v) \in [-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{a^2-c^2}{(a-b)(b-c)}}, \frac{1}{2}\sqrt{\frac{a^2-c^2}{(a-b)(b-c)}}]$ et $(\varepsilon_y) \in \{-1; 1\}$, figure 16.11.
<figure><img src="image_333.png" /><figcaption>FIGURE 16.11 – Une famille de cercle sur un ellipsoïde, $a = 5$, $b = 4$ et $c = 3$.</figcaption></figure>

Le travail à réaliser consiste à représenter les cyclides de Darboux à l'aide de bivecteurs de l'algèbre graduée et à réaliser des jointures $G^1$ le long de cercle en utilisant des cyclides de Darboux.

### 16.2.7 Modélisation de l'écriture manuscrite cursive

Une écriture manuscrite cursive se compose d'un certain nombre de traits de base bien connus. Ces traits sont représentables par des B-splines ou des courbes de Bézier. Certains auteurs exploitent des éléments caractéristiques de trajectoire plane que sont les points à courbure maximale appelés points dominants.

L'objet des travaux est de modéliser les traits caractéristiques d'une écriture manuscrite au moyen de courbes de Bézier décrites par des points massiques de contrôle [GFB22, GFB19, GFB20]. Les courbes exploiteront les algorithmes de calcul de points dominants [Cor97, MM03, LBFG22]. Les précédents travaux réalisés sur ce thème offrent la représentation massique des quelques traits de base de l'écriture manuscrite, la modélisation des pleins et déliés et les algorithmes de calcul des points dominants les plus récents et les plus performants. Un premier travail a été réalisé par Charles Lepaire lors d'un stage de Master2 à l'Université de Poitiers [LBFG22, Lep21].

La cinématique des tracées est aussi un objectif. Si on considère un segment $[AB]$, les points $M$ de $[AB]$ sont obtenus par combinaison convexe c'est-à-dire que ce sont les points $M(t)$ définis par :

$$ \overrightarrow{OM}(t) = (1-t)\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} \qquad (16.19) $$
où $t \in [0; 1]$ et le point $M(t)$ ne dépend pas du point $O$. Nous avons :

$$ \frac{d}{dt} \overrightarrow{OM}(t) = -\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AB} \qquad (16.20) $$

et la vitesse est constante le long du segment. Lorsque nous traçons un segment, les vecteurs vitesse aux points $A$ et $B$ sont le vecteur $\vec{0}$ c'est-à-dire que les points $A$ et $B$ sont des points stationnaires. Une solution classique est de doubler les extrémités du segment et d'utiliser une courbe de Bézier cubique de points de contrôle $A, A, B$ et $B$. Nous pouvons utiliser une courbe de Bézier quadratique de points de contrôle $A, \vec{0}$ et $B$ [GFB22]. Notons que le vecteur $\vec{0}$ n'existe pas dans le cadre de la géométrie projective. Revenons à l'écriture. Par exemple, dans les mots « elle » et « pelles », les lettres « e » ont même support mais des tracés différents :

* pour le premier « e » de « elle », on commence avec une vitesse nulle et on finit avec un vecteur vitesse non nul;

* pour le second « e » de « elle », on commence avec une vitesse non nulle et on finit avec un vecteur vitesse nul;

* pour les « e » de « pelles », on a deux vecteurs vitesse non nuls aux extrémités.

Des premiers travaux ont commencé sur la cinématique, nous utilisons dans un premier temps une transformation de changement de paramètre homographique [Béc97, GB16] permettant, sans modifier le degré de la courbe, de modifier l'arc d'une courbe ou la vitesse aux extrémités de la courbe de Bézier. Cependant, il n'est pas possible d'agir de façon indépendante sur les vitesses aux extrémités de la courbe ou de créer des points stationnaires. Afin de remédier à ces deux inconvénients, nous utilisons un changement de paramètre quadratique :

$$ h_2(u) = \frac{a(1-u)^2 + 2bu(1-u) + cu^2}{d(1-u)^2 + 2eu(1-u) + fu^2} \qquad (16.21) $$

et le vecteur $\vec{0}$ de contrôle joue un rôle prépondérant [GFB22]. Notons que ce vecteur intervient directement lors de la conversion de courbe puissance de degré au moins 3 de la base canonique dans la base de Bernstein idoine.

Une autre piste est l'utilisation de poids complexes afin de modéliser des arcs de cercles par des courbes de Bézier rationnelles quadratiques dont les extrémités sont des points stationnaires. Un autre avantage des poids complexes est que le degré de la courbe ne change pas si nous lui appliquons une inversion [BFG21].
# Annexe

## Notations

K, R, C sont des corps. $\vec{\mathcal{E}}, \vec{\mathcal{F}}$ sont des espaces vectoriels

$\mathcal{E}$ est un espace affine de $K$-espace vectoriel associé $\vec{\mathcal{E}}$. On dira aussi que $\mathcal{E}$ est un $K$-espace affine

$\mathcal{E}_3$ est l'espace affine usuel à trois dimensions de $\mathbb{R}$-espace vectoriel associé $\vec{\mathcal{E}}_3$

$(\vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ est une base de $\vec{\mathcal{E}}_3$

$\mathcal{P}, \mathcal{P}_y, \mathcal{P}_z$ sont des plans affines de $\mathcal{E}_3$

$\vec{\mathcal{P}}, \vec{\mathcal{P}}_y, \vec{\mathcal{P}}_z$ sont des plans vectoriels de $\vec{\mathcal{E}}_3$

$\mathcal{D}, \mathcal{D}_1, \mathcal{D}_2$ sont des droites affines de $\mathcal{E}$

$d(M; \mathcal{D})$ est la distance du point $M$ à la droite $\mathcal{D}$

$\text{Aff}\{\{A_i\}_{i \in I}\}$ est l'espace affine engendré par la famille de points $\{A_i\}_{i \in I}$

$\text{Vect}(P_{00}; P_{01}; P_{02})$ est l'espace vectoriel associé à $\text{Aff}(P_{00}; P_{01}; P_{02})$

$\text{Vect}(\vec{u})$ est l'espace vectoriel engendré par le vecteur $\vec{u}$

$\text{Vect}(\overrightarrow{P_{00}P_{01}}; \overrightarrow{P_{00}P_{02}})$ est l'espace vectoriel engendré par les vecteurs $\overrightarrow{P_{00}P_{01}}$ et $\overrightarrow{P_{00}P_{02}}$.

$\text{Aff}(P_{00}; P_{01}; P_{02}) \parallel \text{Aff}(P_{20}; P_{21}; P_{22})$ traduit le fait que les deux espaces affines sont parallèles

$\text{Aff}(P_{00}; P_{01}; P_{02}) \parallel \text{Aff}(P_{20}; P_{21}; P_{22})$ traduit le fait que les deux espaces affines sont strictement parallèles

$\text{bar}\{(P_0; w_0); \dots; (P_p; w_p)\}$ est le barycentre des points pondérés $(P_0; w_0), \dots, (P_p; w_p)$ avec $\sum_{i=0}^p w_i \neq 0$

$\mathcal{T}_\sigma \Lambda^4$ est l'espace tangent à $\Lambda^4$ au point $\sigma$

$\hat{\mathcal{E}}$ est la fermeture projective de l'espace affine $\mathcal{E}$

$\mathbb{P}(\vec{\mathcal{E}})$ est l'espace projectif associé au $K$-espace vectoriel $\vec{\mathcal{E}}$
‡E ou #E est le cardinal de E c'est-à-dire le nombre d'élément(s) contenu(s) dans l'en-
semble E

[[n; p]] = [n; p] ∩ N est l'intervalle d'entier(s) compris entre n et p
(S, →_0, →_J, →_k) est un repère d'origine S et de base (→_t, →_J, →_k)

CD4 est une cyclide de Dupin de degré 4

CD4A est une cyclide de Dupin de degré 4 en anneau

CD4E est une cyclide de Dupin de degré 4 à croissant externe

CD4ES est une cyclide de Dupin de degré 4 à croissant externe symétrique

CD4I est une cyclide de Dupin de degré 4 à croissant interne

CD4EN est une cyclide de Dupin de degré 4 à croissant externe nul

CD4IN est une cyclide de Dupin de degré 4 à croissant interne nul

SE4 est une supercyclide elliptique de degré 4

$(O, \vec{v}_0, \vec{v}_1, \vec{k}_0)$ est le repère d'une CD4/SE4 et $O$ est le centre de la CD4/SE4.

CBRB : Carreau de Bézier Rationnel Biquadratique

CBRBCCD4 : Carreau de Bézier Rationnel Biquadratique Convertible en Cyclide de Dupin de degré 4

CBRQ : Courbe de Bézier Rationnelle Quadratique

RQBC {($P_0$; $P_1$; $P_2$)} courbe de Bézier rationnelle quadratique de points de contrôle $P_0$, $P_1$ et $P_2$

RQBC {($P_0$; $P_1$; $P_2$) ; ($w_0$; $w_1$; $w_2$)} courbe de Bézier rationnelle quadratique de points de contrôle ($P_0$; $w_0$), ($P_1$; $w_1$) et ($P_2$; $w_2$)

$f_{w_1} : (P_0; P_1; P_2; w_0; w_2) \mapsto w_1^+$ fonction qui permet de déterminer le poids $w_1$ positif de telle façon que $\mathrm{RQBC}\{(P_0; P_1; P_2), (w_0; w_1; w_2)\}$ soit un arc de cercle

RQBC {(P₀; P₁; P₂), w} courbe de Bézier rationnelle quadratique sous forme quasi standard de points de contrôle (P₀; 1), (P₁; w) et (P₂; 1)

$f_w : (P_0; P_1; P_2) \mapsto w$ fonction qui permet de déterminer le poids $w$ positif de telle façon
que $\mathrm{RQBC}\{(P_0; P_1; P_2), w\}$ soit un arc de cercle

$M(x; y)$ est le point $M$ de coordonnées $(x; y)$

$M(x; y; z)$ est le point $M$ de coordonnées $(x; y; z)$

$\vec{u}(x; y)$ ou $\vec{d} = (x; y)$ est le vecteur $\vec{u}$ de composantes $(x; y)$

$\vec{u}(x; y; z)$ ou $\vec{d} = (x; y; z)$ est le vecteur $\vec{u}$ de composantes $(x; y; z)$

Les coordonnées $x$ et $y$ sont notées $(x; y)$ ou $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
Les coordonnées $x, y$ et $z$ sont notées $(x; y; z)$ ou $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

$B_0(t), B_1(t), B_2(t)$ sont les polynômes de Bernstein de degré 2
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# Quatrième partie

## Annexes
<figure><img src="image_334.png" /></figure>
# Annexe

# Démonstrations
# Annexe A

## Justification de l'algorithmme 4.1

Dans cette annexe, C désigne le cercle unitaire, de centre O, pour la forme quadratique $Q_C$.

### A.1 Lemmes

Justifions qu'en un point $P_0$ du cercle C, le rayon et la tangente en $P_0$ sont $\mathcal{L}_C$-orthogonales. Le cercle C est l'ensemble des points $M(t)$ vérifiant :

$$ \mathcal{L}_C(\overrightarrow{\Omega M(t)}, \overrightarrow{\Omega M(t)}) = 1 $$

et en dérivant par rapport à $t$, on obtient :

$$ 2\mathcal{L}_C\left(\frac{d\overrightarrow{\Omega M(t)}}{dt}, \overrightarrow{\Omega M(t)}\right) = 0 $$

et ceci implique en particulier le système de la formule (4.7).

Maintenant, démontrons le lemme suivant :

**Lemme 12 :**

Soit $P_0$ et $P_2$ deux points distincts du cercle C non symétriques par rapport à $\Omega$. Soit $P_1$ l'intersection des deux tangentes à C en $P_0$ et $P_2$. Soit $I$ le milieu du segment $[P_0P_2]$. Alors la droite ($IP_1$) est la $\mathcal{L}_C$-médiatrice du triangle $P_0P_1P_2$ issue du sommet $P_1$ c'est-à-dire que nous avons :

$$ \mathcal{L}_C(\overrightarrow{\Omega I}, \overrightarrow{P_0P_2}) = \mathcal{L}_C(\overrightarrow{\Omega P_1}, \overrightarrow{P_0P_2}) = \mathcal{L}_C(\overrightarrow{IP_1}, \overrightarrow{P_0P_2}) = 0 \quad (A.1) $$

**Démonstration :**

Remarquons que les points $\Omega, P_1$ et $I$ sont alignés, proposition 1 de [Gar10]. Il suffit donc de calculer $\mathcal{L}_C(\overrightarrow{\Omega P_1}, \overrightarrow{P_0P_2})$.
$$
\begin{align*}
\mathcal{L}_C(\overrightarrow{\Omega P_1}, \overrightarrow{P_0 P_2}) &= \mathcal{L}_C(\overrightarrow{\Omega P_1}, \overrightarrow{P_0 \Omega} + \overrightarrow{\Omega P_2}) \\
&= \mathcal{L}_C(\overrightarrow{\Omega P_1}, \overrightarrow{P_0 \Omega}) + \mathcal{L}_C(\overrightarrow{\Omega P_1}, \overrightarrow{\Omega P_2}) \\
&= \mathcal{L}_C(\overrightarrow{\Omega P_0} + \overrightarrow{P_0 P_1}, \overrightarrow{P_0 \Omega}) + \mathcal{L}_C(\overrightarrow{\Omega P_2} + \overrightarrow{P_2 P_1}, \overrightarrow{\Omega P_2}) \\
&= \mathcal{L}_C(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_0 \Omega}) + \underbrace{\mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0 P_1}, \overrightarrow{P_0 \Omega})}_{0} + \underbrace{\mathcal{L}_C(\overrightarrow{\Omega P_2}, \overrightarrow{\Omega P_2})}_{1} + \underbrace{\mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_2 P_1}, \overrightarrow{\Omega P_2})}_{0} \\
&= -\underbrace{\mathcal{L}_C(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_0 \Omega})}_{1} + 1 \\
&= 0
\end{align*}
$$

☐

A partir du lemme 12, nous obtenons le corollaire suivant :

**Corollaire 4 :**

Soit $P_0$ et $P_2$ deux points distincts du cercle $C$ non symétriques par rapport à $\Omega$. Soit $P_1$ l'intersection des deux tangentes à $C$ en $P_0$ et $P_2$. Alors le triangle est $\mathcal{L}_C$-isocèle en $P_1$ c'est-à-dire que nous avons :

$$
Q_C(\overrightarrow{P_0P_1}) \stackrel{\text{def}}{=} \mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0P_1}, \overrightarrow{P_0P_1}) = \mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_2P_1}, \overrightarrow{P_2P_1}) \stackrel{\text{def}}{=} Q_C(\overrightarrow{P_2P_1}) \quad (A.2)
$$

**_Démonstration_ :**

Soit $I$ le milieu du segment $[P_0P_2]$.

$$
\begin{align*}
\mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0P_1}, \overrightarrow{P_0P_1}) &= \mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0I} + \overrightarrow{IP_1}, \overrightarrow{P_0I} + \overrightarrow{IP_1}) \\
&= \mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0I}, \overrightarrow{P_0I}) + 2 \underbrace{\mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0I}, \overrightarrow{IP_1})}_{=0, \text{ Lemme 12}} + \mathcal{L}_C(\overrightarrow{IP_1}, \overrightarrow{IP_1}) \\
&= \mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0I}, \overrightarrow{P_0I}) + \mathcal{L}_C(\overrightarrow{IP_1}, \overrightarrow{IP_1})
\end{align*}
$$

De même, nous avons :

$$
\mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_2 P_1}, \overrightarrow{P_2 P_1}) = \mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_2 I}, \overrightarrow{P_2 I}) + \mathcal{L}_C(\overrightarrow{I P_1}, \overrightarrow{I P_1})
$$

Comme $I$ est le milieu du segment $[P_0P_2]$, nous avons :

$$
\mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0I}, \overrightarrow{P_0I}) = \mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_2I}, \overrightarrow{P_2I}) = \frac{1}{4} Q_C(\overrightarrow{P_0P_2})
$$

ce qui prouve que le triangle est bien isocèle en $P_1$.

☐

Il nous reste à montrer la formule (4.8). Commençons par établir les trois lemmes suivants :
**Lemme 13 :**

Soit $P_0$ et $P_2$ deux points distincts du cercle C. Alors nous avons :

$$ 
\begin{aligned}
\mathcal{L}_C(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_0 P_2}) &= -\frac{1}{2} \mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0 P_2}) \\
\mathcal{L}_C(\overrightarrow{\Omega P_2}, \overrightarrow{P_0 P_2}) &= \frac{1}{2} \mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0 P_2})
\end{aligned}
\qquad (A.3) $$

**Démonstration :**

Soit $I$ le milieu du segment $[P_0P_2]$.

$$ 
\begin{aligned}
\mathcal{L}_C(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_0 P_2}) &= \mathcal{L}_C(\overrightarrow{\Omega I} + \overrightarrow{IP_0}, \overrightarrow{P_0 P_2}) \\
&= \underbrace{\mathcal{L}_C(\overrightarrow{\Omega I}, \overrightarrow{P_0 P_2})}_{=0, \text{Formule (A.1)}} + \mathcal{L}_C(\overrightarrow{IP_0}, \overrightarrow{P_0 P_2}) \\
&= \mathcal{L}_C\left(-\frac{1}{2}\overrightarrow{P_0 P_2}, \overrightarrow{P_0 P_2}\right) \\
&= -\frac{1}{2}\mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0 P_2})
\end{aligned}
$$

La démonstration de la seconde égalité est triviale puisque :

$$ 0 = \mathcal{L}_C(2\overrightarrow{\Omega I}, \overrightarrow{P_0 P_2}) = \mathcal{L}_C(\overrightarrow{\Omega P_0} + \overrightarrow{\Omega P_2}, \overrightarrow{P_0 P_2}) = \mathcal{L}_C(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_0 P_2}) + \mathcal{L}_C(\overrightarrow{\Omega P_2}, \overrightarrow{P_0 P_2}) $$

□

**Lemme 14 :**

Soit $\gamma$ la courbe de Bézier rationnelle quadratique de points de contrôle pondéré $(P_0; 1)$, $(P_1; \omega)$ et $(P_2; 1)$. Alors, nous avons :

$$ \overrightarrow{\Omega\gamma}\left(\frac{1}{2}\right) = \overrightarrow{\Omega P_0} + \frac{1}{2(1+\omega)}\overrightarrow{P_0 P_2} + \frac{\omega}{1+\omega}\overrightarrow{P_0 P_1} \qquad (A.4) $$

**Démonstration :**

Le point de départ est la relation entre les vecteurs $\overrightarrow{\Omega\gamma(\frac{1}{2})}$, $\overrightarrow{\Omega P_1}$, $\overrightarrow{\Omega I}$ où $I$ est le milieu du segment $[P_0P_2]$ [Gar07].

$$ 
\begin{aligned}
\overrightarrow{\Omega\gamma}\left(\frac{1}{2}\right) &= \frac{1}{1+\omega}\left(\overrightarrow{\Omega I} + \omega\overrightarrow{\Omega P_1}\right) = \frac{1}{1+\omega}\left(\overrightarrow{\Omega P_0} + \overrightarrow{P_0 I} + \omega\overrightarrow{\Omega P_0} + \omega\overrightarrow{P_0 P_1}\right) \\
&= \overrightarrow{\Omega P_0} + \frac{1}{2(1+\omega)}\overrightarrow{P_0 P_2} + \frac{\omega}{1+\omega}\overrightarrow{P_0 P_1}
\end{aligned}
$$

□
**Lemme 15 :**

Soit $P_0$ et $P_2$ deux points distincts du cercle $C$ non symétriques par rapport à $\Omega$. Soit $P_1$ l'intersection des deux tangentes à $C$ en $P_0$ et $P_2$. Alors, nous avons :

$$ \mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0P_1}, \overrightarrow{P_0P_2}) = \frac{1}{2} \mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0P_2}) \quad (A.5) $$

**Démonstration :**

Le point de départ est la relation entre les vecteurs $\overrightarrow{\Omega\gamma(\frac{1}{2})}$, $\overrightarrow{\Omega P_1}$, $\overrightarrow{\Omega I}$ où $I$ est le milieu du segment $[P_0P_2]$ [Gar07].

$$ \begin{align*} \mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0P_1}, \overrightarrow{P_0P_2}) &= \mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0I} + \overrightarrow{IP_1}, \overrightarrow{P_0P_2}) \quad [\text{Gar07}] \\ &= \mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0I}, \overrightarrow{P_0P_2}) + \underbrace{\mathcal{L}_C(\overrightarrow{IP_1}, \overrightarrow{P_0P_2})}_{=0, \text{Formule (A.1)}} \\ &= \mathcal{L}_C(\frac{1}{2}\overrightarrow{P_0P_2}, \overrightarrow{P_0P_2}) \\ &= \frac{1}{2}\mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0P_2}) \end{align*} $$

□

**A.2 Démonstration de la formule (4.8)**

Notre conique n'est déterminée actuellement que par quatre constraintes : les deux points $P_0$ et $P_2$ et les tangentes en ces points. Comme dernière contrainte, nous imposons que le point $\gamma(\frac{1}{2})$ appartienne à la conique $C$. Ainsi :

$$ \begin{align*} 1 &= \mathcal{L}_C\left(\overrightarrow{\Omega\gamma(\frac{1}{2})}, \overrightarrow{\Omega\gamma(\frac{1}{2})}\right) \\ &= \mathcal{L}_C\left(\underbrace{\overrightarrow{\Omega P_0} + \frac{1}{2(1+\omega)}\overrightarrow{P_0P_2} + \frac{\omega}{1+\omega}\overrightarrow{P_0P_1}}_{\text{Formule (A.4)}}, \underbrace{\overrightarrow{\Omega P_0} + \frac{1}{2(1+\omega)}\overrightarrow{P_0P_2} + \frac{\omega}{1+\omega}\overrightarrow{P_0P_1}}_{\text{Formule (A.4)}}\right) \\ &= \underbrace{\mathcal{L}_C(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{\Omega P_0})}_{=1} + \frac{1}{4(1+\omega)^2}\mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0P_2}, \overrightarrow{P_0P_2}) + \frac{\omega^2}{(1+\omega)^2}\mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0P_1}, \overrightarrow{P_0P_1}) \\ &\quad + 2\frac{1}{2(1+\omega)}\mathcal{L}_C(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_0P_2}) + 2\frac{\omega}{(1+\omega)}\underbrace{\mathcal{L}_C(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_0P_1})}_{=0} + 2\frac{\omega}{2(1+\omega)^2}\mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0P_2}, \overrightarrow{P_0P_1}) \end{align*} $$
$$
\begin{align*}
&= 1 + \frac{1}{4(1+\omega)^2} Q_C(\overrightarrow{P_0P_2}) + \frac{\omega^2}{(1+\omega)^2} Q_C(\overrightarrow{P_0P_1}) \\
&\quad + \underbrace{\frac{1}{(1+\omega)} \frac{-1}{2} Q_C(\overrightarrow{P_0P_2})}_{\text{Formule (A.3)}} + \underbrace{\frac{\omega}{(1+\omega)^2} \frac{1}{2} Q_C(\overrightarrow{P_0P_2})}_{\text{Formule (A.5)}} \\
&= 1 + \left( \frac{1}{4(1+\omega)^2} - \frac{1}{2(1+\omega)} + \frac{\omega}{2(1+\omega)^2} \right) Q_C(\overrightarrow{P_0P_2}) + \frac{\omega^2}{(1+\omega)^2} Q_C(\overrightarrow{P_0P_1}) \\
&= 1 + \left( \frac{1 - 2(1+\omega) + 2\omega}{4(1+\omega)^2} \right) Q_C(\overrightarrow{P_0P_2}) + \frac{\omega^2}{(1+\omega)^2} Q_C(\overrightarrow{P_0P_1}) \\
&= 1 - \frac{1}{4(1+\omega)^2} Q_C(\overrightarrow{P_0P_2}) + \frac{\omega^2}{(1+\omega)^2} Q_C(\overrightarrow{P_0P_1})
\end{align*}
$$

d'où :

$$
\begin{align*}
\mathcal{L}_C \left( \overrightarrow{\Omega\gamma\left(\frac{1}{2}\right)}, \overrightarrow{\Omega\gamma\left(\frac{1}{2}\right)} \right) &= 1 \iff \omega^2 \mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0P_1}) = \frac{1}{4} \mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0P_2}) \\
&\quad \iff \omega^2 \mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0P_1}) \mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0P_2}) = \left(\frac{1}{2} \mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0P_2})\right)^2 \\
&\quad \quad \underbrace{\text{car } \mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0P_2}) \neq 0}_{\text{Formule (A.3)}} \\
&\quad \iff \omega^2 \mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0P_1}) \mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0P_2}) = \underbrace{\left(\mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0P_1}, \overrightarrow{P_0P_2})\right)^2}_{\text{Formule (A.3)}}
\end{align*}
$$

d'où :

$$
\omega = \frac{|\mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0P_1}, \overrightarrow{P_0P_2})|}{\sqrt{\mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0P_1}) \ \mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0P_2})}} \quad \text{ou} \quad \omega = - \frac{|\mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0P_1}, \overrightarrow{P_0P_2})|}{\sqrt{\mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0P_1}) \ \mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0P_2})}} \quad (A.6)
$$

Dans le cas où C est une ellipse, la solution positive (resp. négative) de la formule (A.6) permet de construire le point $N_3$ sur le petit arc (resp. grand arc) de l'ellipse. Dans le cas où C est une hyperbole, la solution positive de la formule (A.6) permet de construire le point $N_3$ sur la même branche de l'hyperbole tandis que la solution négative impose la construction du point $N_3$ sur l'autre branche de l'hyperbole. Etant donné que les poids de $P_0$ et $P_2$ sont égaux, nous avons $N_3 = \gamma(\frac{1}{2})$, formule (A.4), d'où :

$$
\overrightarrow{P_0 N_3} = \frac{1}{2(1+\omega)} \overrightarrow{P_0 P_2} + \frac{\omega}{1+\omega} \overrightarrow{P_0 P_1} \quad (A.7)
$$
## A.3 Démonstration de la formule (4.9)

Dans ce paragraphe, nous avons $N_1 = \text{bar}\{(P_0; 1); (P_1; \omega_0)\}$, $N_2 = \text{bar}\{(P_2; 1); (P_1; \omega_0)\}$ et $N_3$ est le milieu du segment $[N_1N_2]$. Nous appliquons ensuite l’algorithme 4.1 aux points $(P_0; 1)$, $(N_1; \omega_1)$ et $(N_3; 1)$ et nous allons montrer la relation :

$$ \omega_1 = \sqrt{\frac{1 + \omega_0}{2}} \qquad (A.8) $$

avec :

$$ \omega_0 = \frac{s_0 \mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0P_1}, \overrightarrow{P_0P_2})}{\sqrt{\mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0P_1}) \ \mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0P_2})}} \quad \text{et} \quad \omega_1 = \frac{s_0 \mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0N_1}, \overrightarrow{P_0N_3})}{\sqrt{\mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0N_1}) \ \mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0N_3})}} \qquad (A.9) $$

où $s_0 = \text{sgn}(\mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0P_2}))$ et $\text{sgn}$ désigne la fonction signe. En effet, dans le cas de l'hyperbole, les deux produits $\mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0P_1}, \overrightarrow{P_0P_2})$ et $\mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0N_1}, \overrightarrow{P_0N_3})$ sont négatifs ainsi que les quatre produits $\mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0P_1})$, $\mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0P_2})$, $\mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0N_1})$ et $\mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0N_3})$. L'introduction du nombre $s_0$ nous permet d'assurer que les poids sont positifs sans utiliser les valeurs absolues. Commençons par établir le lemme suivant :

**Lemme 16 :**

Soit $P_0$ et $P_2$ deux points distincts du cercle $C$ non symétriques par rapport à $\Omega$. Soit $P_1$ l'intersection des deux tangentes à $C$ en $P_0$ et $P_2$. Soit $\omega_0$ le nombre donné par la formule (A.9). Alors nous avons :

$$ 2 s_0 \omega_0 \mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0P_1}) = \sqrt{\mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0P_1}) \ \mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0P_2})} \qquad (A.10) $$

**Démonstration :**

$$ \begin{align*} & 2 s_0 \omega_0 \mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0P_1}) \\ &= 2s_0 \times \frac{s_0 \mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0P_1}, \overrightarrow{P_0P_2})}{\sqrt{\mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0P_1}) \ \mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0P_2})}} \mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0P_1}) \\ &= 2 s_0 \times \underbrace{\frac{s_0 \frac{1}{2} \mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0P_2})}{\text{Formule (A.5)}}}_{\mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0P_1})} \frac{\mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0P_1})}{\sqrt{\mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0P_1}) \ \mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0P_2})}} \end{align*} $$
$$
\begin{align*}
&= \frac{Q_C(\overrightarrow{P_0P_2}) Q_C(\overrightarrow{P_0P_1})}{\sqrt{Q_C(\overrightarrow{P_0P_1}) Q_C(\overrightarrow{P_0P_2})}} s_0^2 \\
&= \sqrt{Q_C(\overrightarrow{P_0P_1}) Q_C(\overrightarrow{P_0P_1})} \text{ car } s_0^2 = 1.
\end{align*}
$$

☐

**Corollaire 5 :**

Soit $P_0$ et $P_2$ deux points distincts du cercle $C$ non symétriques par rapport à $\Omega$. Soit $P_1$
l'intersection des deux tangentes à $C$ en $P_0$ et $P_2$. Soit $\omega_0$ le nombre donné par la formule (A.9).
Alors nous avons :

$$
4 \omega_0^2 Q_C(\overrightarrow{P_0 P_1}) = Q_C(\overrightarrow{P_0 P_2}) \qquad (A.11)
$$

Démonstration : nous avons :

$$
\begin{align*}
4 \omega_0^2 Q_C(\overrightarrow{P_0 P_1}) &= \underbrace{(2 s_0 \omega_0 Q_C(\overrightarrow{P_0 P_1}))^2}_{s_0^2=1} \frac{1}{Q_C(\overrightarrow{P_0 P_1})} \\
&= \underbrace{Q_C(\overrightarrow{P_0 P_1}) Q_C(\overrightarrow{P_0 P_2})}_{\text{Formule (A.10)}} \frac{1}{Q_C(\overrightarrow{P_0 P_1})} \\
&= Q_C(\overrightarrow{P_0 P_2})
\end{align*}
$$

☐

Commençons par calculer les produits intervenants dans $\omega_1$, formule (A.9).

$$
\begin{align*}
& \bullet \quad s_0 \mathcal{L}_C (\overrightarrow{P_0 N_1}, \overrightarrow{P_0 N_3}) \\
&= s_0 \mathcal{L}_C \left( \underbrace{\frac{\omega_0}{1+\omega_0} \overrightarrow{P_0 P_1}}_{N_1=\text{bar}\{(P_0;1);(P_1;\omega_0)\}}, \quad \underbrace{\frac{1}{2(1+\omega_0)} \overrightarrow{P_0 P_2} + \frac{\omega_0}{1+\omega_0} \overrightarrow{P_0 P_1}}_{\text{Formule (A.7)}} \right) \\
&= s_0 \frac{\omega_0}{2(1+\omega_0)^2} \mathcal{L}_C (\overrightarrow{P_0 P_1}, \overrightarrow{P_0 P_2} + 2\omega_0 \overrightarrow{P_0 P_1}) \\
&= \frac{\omega_0}{2(1+\omega_0)^2} \left( s_0 \mathcal{L}_C (\overrightarrow{P_0 P_1}, \overrightarrow{P_0 P_2}) + 2 s_0 \omega_0 \mathcal{Q}_C (\overrightarrow{P_0 P_1}) \right) \\
&= \frac{\omega_0}{2(1+\omega_0)^2} \left( \underbrace{\omega_0 \sqrt{\mathcal{Q}_C (\overrightarrow{P_0 P_1}) \mathcal{Q}_C (\overrightarrow{P_0 P_2})}}_{\text{Formule (A.9)}} + \underbrace{\sqrt{\mathcal{Q}_C (\overrightarrow{P_0 P_1}) \mathcal{Q}_C (\overrightarrow{P_0 P_2})}}_{\text{Formule (A.10)}} \right)
\end{align*}
$$
$$ = \frac{\omega_0}{(1 + \omega_0)^2} - \frac{1 + \omega_0}{2} \sqrt{Q_C(\overrightarrow{P_0P_1}) Q_C(\overrightarrow{P_0P_2})} $$

$$ \bullet \ Q_C(\overrightarrow{P_0N_1}) = \frac{\omega_0^2}{(1 + \omega_0)^2} Q_C(\overrightarrow{P_0P_1}) $$

$$ \bullet \ Q_C(\overrightarrow{P_0N_3}) = \mathcal{L}_C \left( \underbrace{\frac{1}{2(1+\omega_0)} \overrightarrow{P_0P_2} + \frac{\omega_0}{1+\omega_0} \overrightarrow{P_0P_1}}_{\text{Formule (A.7)}} , \underbrace{\frac{1}{2(1+\omega_0)} \overrightarrow{P_0P_2} + \frac{\omega_0}{1+\omega_0} \overrightarrow{P_0P_1}}_{\text{Formule (A.7)}} \right) \\ = \frac{1}{4(1+\omega_0)^2} Q_C(\overrightarrow{P_0P_2}) + 2 \frac{\omega_0}{2(1+\omega_0)^2} \mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0P_2}, \overrightarrow{P_0P_1}) + \frac{\omega_0^2}{(1+\omega_0)^2} Q_C(\overrightarrow{P_0P_1}) \\ = \frac{1}{4(1+\omega_0)^2} \left( Q_C(\overrightarrow{P_0P_2}) + 4\omega_0 \mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0P_2}, \overrightarrow{P_0P_1}) + 4\omega_0^2 Q_C(\overrightarrow{P_0P_1}) \right) \\ = \frac{1}{4(1+\omega_0)^2} \left( Q_C(\overrightarrow{P_0P_2}) + 4\omega_0 \underbrace{\frac{1}{2} Q_C(\overrightarrow{P_0P_2})}_{\text{Formule (A.5)} + \underbrace{Q_C(\overrightarrow{P_0P_2})}_{\text{Formule (A.11)}}} + \omega_0^2 \underbrace{\frac{1}{2} Q_C(\overrightarrow{P_0P_2})}_{\text{Formule (A.11)}} \right) \\ = \frac{1}{4(1+\omega_0)^2} (2 + 2\omega_0) Q_C(\overrightarrow{P_0P_2}) \\ = \frac{1}{(1+\omega_0)^2} - \frac{1+\omega_0}{2} Q_C(\overrightarrow{P_0P_2}) $$

A partir des trois derniers calculs, il reste à établir la relation entre $\omega_1$ et $\omega_0$. Nous rappelons que nous avons la condition $\omega_0 > 0$.

$$ \omega_1 = \frac{s_0 \mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0N_1}, \overrightarrow{P_0N_3})}{\sqrt{\mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0N_1}) \mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0N_3})}} = \frac{\frac{\omega_0}{(1+\omega_0)^2} - \frac{1+\omega_0}{2} \sqrt{\mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0P_1}) \mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0P_2})}}{\sqrt{\frac{\omega_0^2}{(1+\omega_0)^2} \mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0P_1}) \frac{1}{(1+\omega_0)^2} \frac{1+\omega_0}{2} \mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0P_2})}} \\ = \frac{\frac{1+\omega_0}{2}}{\sqrt{\frac{1+\omega_0}{2}}} = \sqrt{\frac{1+\omega_0}{2}} $$

Afin d'assurer que le processus de subdivision peut continuer, il reste à montrer que les triangles $P_0N_1N_3$ et $P_2N_2N_3$ sont $\mathcal{L}_C$-isocèles respectivement en $N_1$ et $N_2$. Etant donné que les poids de $P_0$ et $P_2$ sont égaux, il suffit de montrer que nous avons :

$$ Q_C(\overrightarrow{P_0N_1}) = Q_C(\overrightarrow{N_3N_1}) \qquad (A.12) $$
et nous rappelons la relation :

$$
Q_C(\overrightarrow{P_0N_1}) = \left(\frac{\omega_0}{1 + \omega_0}\right)^2 \quad Q_C(\overrightarrow{P_0P_1})
$$

$$
\begin{align*}
Q_C(\overrightarrow{N_1 N_3}) &= Q_C(\overrightarrow{N_1 P_0} + \overrightarrow{P_0 N_3}) \\
&= Q_C\left(\underbrace{\frac{\omega_0}{1+\omega_0} \overrightarrow{P_1 P_0}}_{N_1=\text{bar}\{(P_0;1);(P_1;\omega_0)\}} + \underbrace{\frac{1}{2(1+\omega_0)} \overrightarrow{P_0 P_2} + \frac{\omega_0}{1+\omega_0} \overrightarrow{P_0 P_1}}_{\text{Formule (A.7)}}\right) \\
&= Q_C\left(\frac{1}{2(1+\omega_0)} \overrightarrow{P_0 P_2}\right) = \frac{1}{4(1+\omega_0)^2} \quad Q_C(\overrightarrow{P_0 P_2}) = \frac{1}{4(1+\omega_0)^2} \quad \underbrace{4\omega_0^2 Q_C(\overrightarrow{P_0 P_1})}_{\text{Formule (A.11)}} \\
&= \left(\frac{\omega_0}{1+\omega_0}\right)^2 \quad Q_C(\overrightarrow{P_0 P_1}) = Q_C(\overrightarrow{P_0 N_1})
\end{align*}
$$

□

Notons que les droites $(N_1N_2)$ et $(P_0P_2)$ sont parallèles comme droites $\mathcal{L}_C$-orthogonales à la même droite $(\Omega P_1)$.
# Annexe B

## Justification de l'algorithmme 4.2

Dans cette annexe, H désigne le cercle unitaire, de centre O, pour la forme quadratique Q_H.

### B.1 Rappels et lemmes

#### B.1.1 Rappels

Nous rappelons les relations fondamentales :

* Les vecteurs $\overrightarrow{P_2}$ et $\overrightarrow{P_3}$ sont construits de telle façon qu'ils vérifient :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \mathcal{L}_H(\overrightarrow{P_2}, \overrightarrow{P_2}) = \mathcal{L}_H(\overrightarrow{P_3}, \overrightarrow{P_3}) = 0 \\ \mathcal{L}_H(\overrightarrow{P_2}, \overrightarrow{P_3}) = 1 \end{array} \right. \qquad (B.1) $$

* La tangente en un point $P_0$ du cercle H est $\mathcal{L}_H$-orthogonale au rayon du cercle en $P_0$ c'est-à-dire que nous avons :

$$ \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_0 P_1}) = 0 $$

* Le point $P_0$ appartient au cercle H :

$$ \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_0 P_0}) = 1 $$

* La somme $(P_1; \omega) \oplus (\overrightarrow{P_2}; 0)$ se traduit vectoriellement par :

$$ \overrightarrow{P_1 N_2} = \frac{1}{\omega} \overrightarrow{P_2} \qquad (B.2) $$

* Le point $N_1$ est le barycentre des points pondérés $(P_0; 1)$ et $(P_1; \omega)$ d'où :

$$ \overrightarrow{P_1 N_1} = \frac{1}{1 + \omega} \overrightarrow{P_1 P_0} \qquad (B.3) $$
* A partir des formules (B.2) et (B.3) nous avons :

$$ \overrightarrow{N_1 N_2} = \frac{1}{1 + \omega} \overrightarrow{P_0 P_1} + \frac{1}{\omega} \overrightarrow{P_2} $$

* Le point $N_3$ est le barycentre des points pondérés $(N_1; 1 + \omega)$ et $(N_2; \omega)$ d'où :

$$ \overrightarrow{\Omega N_3} = \frac{1}{1 + 2\omega} \left( (\omega + 1) \overrightarrow{\Omega N_1} + \omega \overrightarrow{\Omega N_2} \right) = \frac{1}{1 + 2\omega} \left( \overrightarrow{\Omega P_0} + 2\omega \overrightarrow{\Omega P_1} + \overrightarrow{P_2} \right) \quad (B.4) $$

## B.1.2 Lemmes

Montrons les lemmes suivants :

**Lemme 17 :**

Nous avons :

$$ \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{\Omega P_1}) = 1 \qquad (B.5) $$

Démonstration :

$$ \begin{gathered} \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{\Omega P_1}) = \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{\Omega P_0} + \overrightarrow{P_0 P_1}) = \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{\Omega P_0}) + \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_0 P_1}) = 1 + 0 = 1 \\ \square \end{gathered} $$

**Lemme 18 :**

Pour tout vecteur $\vec{u}$, nous avons :

$$ \vec{u} = \mathcal{L}_H(\vec{u}, \vec{P}_3) \vec{P}_2 + \mathcal{L}_H(\vec{u}, \vec{P}_2) \vec{P}_3 $$

Démonstration :

$$ \begin{align*} \mathcal{L}_H(\vec{u}, \vec{P}_3) &= \mathcal{L}_H(\mathcal{L}_H(\vec{u}, \vec{P}_3) \vec{P}_2 + \mathcal{L}_H(\vec{u}, \vec{P}_2) \vec{P}_3, \vec{P}_3) \\ &= \mathcal{L}_H(\vec{u}, \vec{P}_3) \underbrace{\mathcal{L}_H(\vec{P}_2, \vec{P}_3)}_{1} + \mathcal{L}_H(\vec{u}, \vec{P}_2) \underbrace{\mathcal{L}_H(\vec{P}_3, \vec{P}_3)}_{0} \\ &= \mathcal{L}_H(\vec{u}, \vec{P}_3) \end{align*} $$

La seconde démonstration est analogue.

□

**Corollaire 6 :**

A partir du lemme 18, nous avons pour tout vecteur $\vec{u}$ :

$$ \mathcal{L}_H(\vec{u}, \vec{u}) = 2 \mathcal{L}_H(\vec{u}, \vec{P}_3) \mathcal{L}_H(\vec{u}, \vec{P}_2) \qquad (B.6) $$
Démonstration :

Rappelons que nous avons :

$$ \mathcal{L}_H(\vec{P}_i, \vec{P}_i) = 0 $$

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}_H(\vec{u}, \vec{u}) &= \mathcal{L}_H(\mathcal{L}_H(\vec{u}, \vec{P}_3) \vec{P}_2 + \mathcal{L}_H(\vec{u}, \vec{P}_2) \vec{P}_3, \mathcal{L}_H(\vec{u}, \vec{P}_3) \vec{P}_2 + \mathcal{L}_H(\vec{u}, \vec{P}_2) \vec{P}_3) \\ &= \mathcal{L}_H(\vec{u}, \vec{P}_3) \mathcal{L}_H(\vec{u}, \vec{P}_2) \mathcal{L}_H(\vec{P}_2, \vec{P}_3) + \mathcal{L}_H(\vec{u}, \vec{P}_3) \mathcal{L}_H(\vec{u}, \vec{P}_2) \mathcal{L}_H(\vec{P}_3, \vec{P}_2) \\ &= 2 \mathcal{L}_H(\vec{u}, \vec{P}_3) \mathcal{L}_H(\vec{u}, \vec{P}_2) \operatorname{car} \mathcal{L}_H(\vec{P}_2, \vec{P}_3) = \mathcal{L}_H(\vec{P}_3, \vec{P}_2) = 1 \end{aligned} \quad \square $$

Corollaire 7 :

A partir du corollaire 6, nous avons :

$$ \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_2}) = \frac{1}{2 \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_3})} \quad (B.7) $$

Démonstration : évident à partir de la relation $\mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{\Omega P_0}) = 1$. $\square$

Lemme 19 :

Nous avons :

$$ \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_1}, \overrightarrow{P_0 P_1}) = -1 \quad (B.8) $$

Démonstration :

$$ \begin{aligned} 1 &= \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{\Omega P_0}) \\ &= \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_1} + \overrightarrow{P_1 P_0}, \overrightarrow{\Omega P_1} + \overrightarrow{P_1 P_0}) \\ &= 2 \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_1}, \overrightarrow{P_1 P_0}) + \mathcal{L}_H(\overrightarrow{P_1 P_0}, \overrightarrow{P_1 P_0}) \operatorname{car} \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_1}, \overrightarrow{\Omega P_1}) = 0 \\ &= 2 \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_1}, \overrightarrow{P_1 P_0}) + \mathcal{L}_H(\overrightarrow{P_1 \Omega} + \overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_1 P_0}) \\ &= 2 \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_1}, \overrightarrow{P_1 P_0}) - \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_1}, \overrightarrow{P_1 P_0}) \operatorname{car} \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_1 P_0}) = 0 \\ &= \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_1}, \overrightarrow{P_1 P_0}) = -\mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_1}, \overrightarrow{P_0 P_1}) \end{aligned} \quad \square $$

Corollaire 8 :

A partir du lemme 19, nous avons :

$$ \mathcal{L}_H(\overrightarrow{P_0 P_1}, \overrightarrow{P_0 P_1}) = -1 \quad (B.9) $$

Démonstration :

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}_H(\overrightarrow{P_0 P_1}, \overrightarrow{P_0 P_1}) &= \mathcal{L}_H(\overrightarrow{P_0 \Omega}, \overrightarrow{P_0 P_1}) + \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_1}, \overrightarrow{P_0 P_1}) = 0 - 1 = -1 \\ \square \end{aligned} $$
## B.2 Démonstration de la formule (4.16)

Déterminons le poids $\omega$ pour que l’on ait :

$$ \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega N_3}, \overrightarrow{N_1 N_2}) = 0 $$

puis vérifions que le point $N_3$ appartient bien au cercle H c'est-à-dire que nous avons :

$$ \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega N_3}, \overrightarrow{\Omega N_3}) = 1 $$

$$ \begin{align*} & \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega N_3}, \overrightarrow{N_1 N_2}) \\ &= \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0} + \overrightarrow{P_0 N_3}, \overrightarrow{N_1 P_1} + \overrightarrow{P_1 N_2}) \\ &= \underbrace{\mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{N_1 P_1})}_{0} + \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_1 N_2}) + \mathcal{L}_H(\overrightarrow{P_0 N_3}, \overrightarrow{N_1 P_1}) + \mathcal{L}_H(\overrightarrow{P_0 N_3}, \overrightarrow{P_1 N_2}) \\ &= \frac{1}{\omega} \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_2}) + \mathcal{L}_H(\overrightarrow{P_0 N_3}, \overrightarrow{N_1 P_1}) + \frac{1}{\omega} \mathcal{L}_H(\overrightarrow{P_0 N_3}, \overrightarrow{P_2}) \\ &= \underbrace{\frac{1}{2\omega \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_3})}}_{\text{Formule (B.7)} + \underbrace{\frac{1}{1+\omega} \mathcal{L}_H(\overrightarrow{P_0 N_3}, \overrightarrow{P_0 P_1})}_{N_1=\text{bar}\{(P_0;1);(P_1;\omega)\}} + \frac{1}{\omega} \mathcal{L}_H(\overrightarrow{P_0 N_3}, \overrightarrow{P_2})} \end{align*} $$

Calculons les deux derniers produits séparément.

$$ \begin{align*} \mathcal{L}_H(\overrightarrow{P_0 N_3}, \overrightarrow{P_0 P_1}) &= \underbrace{\frac{1}{1+2\omega} \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0} + 2\omega\overrightarrow{\Omega P_1} + \overrightarrow{P_2}, \overrightarrow{P_0 P_1})}_{\text{Formule (B.4)}} \\ &= \frac{1}{1+2\omega} \left( \underbrace{\mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_0 P_1})}_{0} + \mathcal{L}_H(2\omega\overrightarrow{\Omega P_1}, \overrightarrow{P_0 P_1}) + \mathcal{L}_H(\overrightarrow{P_2}, \overrightarrow{P_0 P_1}) \right) \\ &= \frac{1}{1+2\omega} \left( 2\omega\mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_1}, \overrightarrow{P_0\Omega}) + 2\omega\underbrace{\mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_1}, \overrightarrow{\Omega P_1})}_{0} + \mathcal{L}_H(\overrightarrow{P_2}, \overrightarrow{P_0\Omega}) + \underbrace{\mathcal{L}_H(\overrightarrow{P_2}, \overrightarrow{\Omega P_1})}_{0} \right) \\ &= \frac{1}{1+2\omega} \left( 2\omega \underbrace{-1}_{\text{Formule (B.5)}} + \underbrace{\frac{-1}{2\mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_3})}}_{\text{Formule (B.7)}} \right) \end{align*} $$
$$ = -\frac{1}{1+2\omega} \left( 2\omega + \frac{1}{2\mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_3})} \right) $$

$$
\begin{align*}
\bullet \quad \mathcal{L}_H(\overrightarrow{P_0 N_3}, \overrightarrow{P_2}) &= \mathcal{L}_H(\overrightarrow{P_0 \Omega}, \overrightarrow{P_2}) + \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega N_3}, \overrightarrow{P_2}) \\
&= -\underbrace{\frac{1}{2\mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_3})}}_{\text{Formule (B.7)}} + \underbrace{\frac{1}{1+2\omega}\mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0} + 2\omega\overrightarrow{\Omega P_1} + \overrightarrow{P_2}, \overrightarrow{P_2})}_{\text{Formule (B.4)}} \\
&= -\frac{1}{2\mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_3})} + \frac{1}{1+2\omega} \left( \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_2}) + \underbrace{\mathcal{L}_H(2\omega\overrightarrow{\Omega P_1} + \overrightarrow{P_2}, \overrightarrow{P_2})}_{\substack{0 \\ \text{Formule (B.7)}}} \right) \\
&= -\frac{1}{2\mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_3})} + \frac{1}{1+2\omega} \underbrace{\frac{1}{2\mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_3})}}_{\text{Formule (B.7)}} \\
&= -\frac{1+2\omega-1}{(1+2\omega)\mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_3})} \\
&= -\frac{\omega}{(1+2\omega)\mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_3})}
\end{align*}
$$

Pour simplifier les expressions, posons $\mathcal{L}_3 = \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_3})$. Ainsi, nous avons :

$$
\begin{align*}
\mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega N_3}, \overrightarrow{N_1 N_2}) &= 0 \\
\iff \frac{1}{2\omega \mathcal{L}_3} - \frac{1}{1+\omega} \quad \frac{1}{1+2\omega} \left( 2\omega + \frac{1}{2\mathcal{L}_3} \right) + \frac{1}{\omega} \quad \frac{-\omega}{(1+2\omega)\mathcal{L}_3} &= 0 \\
\iff \frac{1}{2\omega \mathcal{L}_3} - \frac{1}{1+\omega} \quad \frac{1}{1+2\omega} \left( \frac{4\omega\mathcal{L}_3+1}{2\mathcal{L}_3} \right) - \frac{1}{(1+2\omega)\mathcal{L}_3} &= 0 \\
\iff \frac{1}{2\omega \mathcal{L}_3 (1+\omega)(1+2\omega)} \left( (1+\omega)(1+2\omega) - \omega(4\omega\mathcal{L}_3+1) - 2\omega(1+\omega) \right) &= 0 \\
\iff 1+3\omega+2\omega^2-4\omega^2\mathcal{L}_3 - \omega - 2\omega - 2\omega^2 &= 0 \\
\iff 1-4\omega^2\mathcal{L}_3 &= 0
\end{align*}
$$

ce qui donne :

$$ \omega = \frac{1}{2\sqrt{\mathcal{L}_3}} = \frac{1}{2\sqrt{\mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_3})}} \quad (B.10) $$
puisque nous ne gardons que la valeur positive (les vecteurs $\overrightarrow{P_1N_2}$ et $\overrightarrow{P_2}$ doivent être de même sens).

□

Il reste à montrer que le point $N_3$ appartient bien au cercle H c'est-à-dire que nous avons :

$$
\begin{align*}
\mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega N_3}, \overrightarrow{\Omega N_3}) &= 1 \\
\mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega N_3}, \overrightarrow{\Omega N_3}) &= \underbrace{\frac{1}{(1+2\omega)^2} \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0} + 2\omega\overrightarrow{\Omega P_1} + \overrightarrow{P_2}, \overrightarrow{\Omega P_0} + 2\omega\overrightarrow{\Omega P_1} + \overrightarrow{P_2})}_{\text{Formule (B.4)}} \\
&= \frac{1}{(1+2\omega)^2} \left( \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{\Omega P_0}) + 2\mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, 2\omega\overrightarrow{\Omega P_1} + \overrightarrow{P_2}) \right) \\
&\quad + \frac{1}{(1+2\omega)^2} \left( \underbrace{\mathcal{L}_H(2\omega\overrightarrow{\Omega P_1} + \overrightarrow{P_2}, 2\omega\overrightarrow{\Omega P_1} + \overrightarrow{P_2})}_{0} \right) \\
&= \frac{1}{(1+2\omega)^2} \left( 1 + 4\omega \underbrace{\mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{\Omega P_1})}_{=1, \text{Formule (B.5)}} + 2\mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_2}) \right) \\
&= \frac{1}{(1+2\omega)^2} \left( 1 + 4\omega + \frac{2}{2\mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_3})} \underbrace{\mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_3})}_{\text{Formule (B.7)}} \right) \\
&= \frac{1}{(1+2\omega)^2} \left( 1 + 4\omega + \underbrace{4\omega^2}_{\text{Formule (B.10)}} \right) = 1 \quad \square
\end{align*}
$$

## B.3 Démonstration de la formule de récurrence, formule (4.18)

Montrons que les poids vérifient la relation :

$$ \omega_{i+1} = \frac{\omega_i}{\sqrt{1 + 2\omega_i}} $$

c'est-à-dire qu'il suffit d'établir une relation entre $\mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_3})$ et $\mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega N_3}, \overrightarrow{P_3})$.
$$
\begin{align*}
& \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega N_3}, \overrightarrow{P_3}) \\
&= \underbrace{\frac{1}{1+2\omega_i} \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0} + 2\omega_i \overrightarrow{\Omega P_1} + \overrightarrow{P_2}, \overrightarrow{P_3})}_{\text{Formule (B.4)}} \\
&= \frac{1}{1+2\omega_i} \left( \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_3}) + 2\omega_i \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_1}, \overrightarrow{P_3}) + \underbrace{\mathcal{L}_H(\overrightarrow{P_2}, \overrightarrow{P_3})}_{=1, \text{Formule (B.1)}} \right) \\
&= \frac{1}{1+2\omega_i} \left( \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_3}) + 2\omega_i \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_3}) + 2\omega_i \mathcal{L}_H(\overrightarrow{P_0 P_1}, \overrightarrow{P_3}) + 1 \right) \\
&= \frac{1}{1+2\omega_i} \left( 1 + (1+2\omega_i) \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_3}) + 2\omega_i \underbrace{\mathcal{L}_H(\overrightarrow{P_0 P_1}, \overrightarrow{P_0 P_1}) \frac{1}{2\mathcal{L}_H(\overrightarrow{P_0 P_1}, \overrightarrow{P_2})}}_{\text{Formule (B.6)}} \right) \\
&= \frac{1}{1+2\omega_i} \left( 1 + (1+2\omega_i) \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_3}) \right) \\
&\quad + \frac{1}{1+2\omega_i} \left( \omega_i \underbrace{\mathcal{L}_H(\overrightarrow{P_0 P_1}, \overrightarrow{P_0 P_1})}_{=-1, \text{Formule (B.9)}}, \frac{1}{\mathcal{L}_H(\overrightarrow{P_0 \Omega}, \overrightarrow{P_2}) + \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_1}, \overrightarrow{P_2})} \right) \\
&= \frac{1}{1+2\omega_i} \left( 1 + (1+2\omega_i) \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_3}) - \omega_i \underbrace{\frac{1}{\mathcal{L}_H(\overrightarrow{P_0 \Omega}, \overrightarrow{P_2}) + \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_1}, \overrightarrow{P_2})}}_{0} \right) \\
&= \frac{1}{1+2\omega_i} \left( 1 + (1+2\omega_i) \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_3}) - \omega \underbrace{2\mathcal{L}_H(\overrightarrow{P_0 \Omega}, \overrightarrow{P_3})}_{\text{Formule (B.7)}} \right) \\
&= \frac{1}{1+2\omega_i} \left( 1 + (1+4\omega_i) \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{P_3}) \right)
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
&= \frac{1}{1 + 2\omega_i} \left( 1 + (1 + 4\omega_i) \underbrace{\frac{1}{4\omega_i^2}}_{\text{Formule (B.10)}} \right) \\
&= \frac{1}{1 + 2\omega_i} \left( \frac{4\omega_i^2 + 1 + 4\omega_i}{4\omega_i^2} \right) \\
&= \frac{1}{1 + 2\omega_i} \frac{(1 + 2\omega_i)^2}{4\omega_i^2} \\
&= \frac{1 + 2\omega_i}{4\omega_i^2}
\end{align*}
$$

Ainsi, nous avons :

$$
\omega_{i+1} = \frac{1}{2\sqrt{\mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega N_3}, \overrightarrow{P_3})}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{4\omega_i^2}{1 + 2\omega_i}} = \frac{\omega_i}{\sqrt{1 + 2\omega_i}}
$$

car $\omega_i$ est strictement positif.

**B.4 Montrons que le triangle P₀N₁N₃ est Lₕ-isocèle en N₁**

Pour ce faire, il suffit de montrer la relation :

$$
Q_H(\overrightarrow{P_0N_1}) = Q_H(\overrightarrow{N_1N_3}) \quad (B.11)
$$

et nous savons que nous avons :

$$
\[
\left\{
\begin{array}{rcll}
\mathcal{Q}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}) & = & \mathcal{Q}_H(\overrightarrow{\Omega N_3}) & = 1 \\
\mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega P_0}, \overrightarrow{\Omega N_1}) & = & \mathcal{L}_H(\overrightarrow{\Omega N_3}, \overrightarrow{\Omega N_1}) & = 0
\end{array}
\right.
\]
\[
\begin{aligned}
\mathcal{Q}_H(\overrightarrow{P_0N_1}) &= \mathcal{Q}_H(\overrightarrow{P_0\Omega} + \overrightarrow{\Omega N_1}) \\
&= \underbrace{\mathcal{Q}_H(\overrightarrow{P_0\Omega})}_{1} + 2 \underbrace{\mathcal{L}_H(\overrightarrow{P_0\Omega}, \overrightarrow{\Omega N_1})}_{0} + \mathcal{Q}_H(\overrightarrow{\Omega N_1}) \\
&= 1 + \mathcal{Q}_H(\overrightarrow{\Omega N_1})
\end{aligned}
\]
$$

De façon analogue, nous avons :

$$
Q_H(\overrightarrow{N_1 N_3}) = 1 + Q_H(\overrightarrow{\Omega N_1})
$$

ce qui prouve la formule (B.11).
# Annexe C

## Annexe : Sphères tangentes d'une CD4A

Considérons la sphère $S_1(\theta_0)$, centrée sur l'ellipse, de centre $\Omega_{\theta_0}(a \cos(\theta_0); b \sin(\theta_0); 0)$ et de rayon (algébrique) $r_1(\theta_0) = \mu - c \cos(\theta_0)$.

Pour $\psi_0 \in [0; 2\pi] - \{\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\}$, les sphères $S_2(\psi_0)$ centrées sur l'hyperbole ont pour centre le point $\Omega_{\psi_0}(\frac{c}{\cos(\psi_0)}; 0; -b \tan(\psi_0))$ et pour rayon (algébrique) : $r_2(\psi_0) = \mu - \frac{a}{\cos(\psi_0)}$.

Nous avons $0 < c < \mu < a$ ce qui implique que le rayon $r_1(\theta_0)$ est strictement positif tandis que le second rayon $r_2(\psi_0) = \frac{\mu \cos(\psi_0) - a}{\cos(\psi_0)}$ est positif sur $] \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}[$ et est négatif sur $]- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

$$ 
\begin{align*}
\Omega_{\theta_0} \Omega_{\psi_0}^2 &= \left( a \cos(\theta_0) - \frac{c}{\cos(\psi_0)} \right)^2 + b^2 \sin^2(\theta_0) + b^2 \tan^2(\psi_0) \\
&= a^2 \cos^2(\theta_0) - 2 a \cos(\theta_0) \frac{c}{\cos(\psi_0)} + \frac{c^2}{\cos^2(\psi_0)} + b^2 (1 - \cos^2(\theta_0)) + b^2 \left( \frac{1}{\cos^2(\psi_0)} - 1 \right) \\
&= c^2 \cos^2(\theta_0) - 2 a \cos(\theta_0) \frac{c}{\cos(\psi_0)} + \frac{a^2}{\cos^2(\psi_0)}
\end{align*}
$$

Pour $\psi_0$ appartenant à $] \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$, nous avons $(|r_1(\theta_0)| - |r_2(\psi_0)|)^2 = (r_1(\theta_0) - r_2(\psi_0))^2 \tan$-dis que pour $\psi_0$ appartenant à $]- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, nous avons $(|r_1(\theta_0)| + |r_2(\psi_0)|)^2 = (r_1(\theta_0) - r_2(\psi_0))^2$.

$$ 
\begin{align*}
(r_1(\theta_0) - r_2(\psi_0))^2 &= r_1^2(\theta_0) - 2 r_2(\psi_0) r_1(\theta_0) + r_2^2(\psi_0) \\
&= \mu^2 - 2 \mu c \cos(\theta_0) + c^2 \cos^2(\theta_0) + \mu^2 - 2 \frac{\mu a}{\cos(\psi_0)} + \frac{a^2}{\cos^2(\psi_0)} \\
&\quad - 2 \left( \mu^2 - \mu c \cos(\theta_0) - \frac{\mu a}{\cos(\psi_0)} + \frac{a c \cos(\theta_0)}{\cos(\psi_0)} \right) \\
&= c^2 \cos^2(\theta_0) - 2 \frac{a c \cos(\theta_0)}{\cos(\psi_0)} + \frac{a^2}{\cos^2(\psi_0)} \\
&= \Omega_{\theta_0} \Omega_{\psi_0}^2
\end{align*}
$$
Nous avons donc montré :

• pour $\psi_0$ appartenant à $] \frac{\pi}{2} ; \frac{3\pi}{2}]$, nous avons $(|r_1(\theta_0)| - |r_2(\psi_0)|)^2 = \Omega_{\theta_0} \Omega_{\psi_0}^2$ et les sphères sont tangentes intérieurement;

• pour $\psi_0$ appartenant à $]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}]$, nous avons $(|r_1(\theta_0)| + |r_2(\psi_0)|)^2 = \Omega_{\theta_0} \Omega_{\psi_0}^2$ et les sphères sont tangentes extérieurement;

Le cas des autres types de cyclides de Dupin se ferait de la même manière.
# Annexe D

## Inversion dans un espace affine euclidien.

**Définition 33 : Inversion**

Soit $\alpha$ un réel non nul et $\Omega$ un point d'un espace affine $\mathcal{E}$. Une inversion de pôle<fnref n="1" /> $\Omega$ et de rapport $\alpha$ est la transformation définie par :

$$ i_{\Omega, \alpha}: \begin{array}{ccc} \mathcal{E} - \{\Omega\} & \to & \mathcal{E} - \{\Omega\} \\ M & \mapsto & M' | \overrightarrow{\Omega M'} = \frac{\alpha}{\Omega M^2} \overrightarrow{\Omega M} \end{array} \qquad (D.1) $$

En d'autres termes, $M'$ est l'unique point de la droite ($\Omega M$) vérifiant :

$$ \overrightarrow{\Omega M} \bullet \overrightarrow{\Omega M'} = \alpha \qquad (D.2) $$

Il est immédiat qu'une inversion est **involutive** c'est-à-dire qu'elle est sa propre bijection inverse. *Une inversion est une transformation non linéaire, qui ne conserve ni les distances, ni l'alignement.* Une inversion ne peut pas s'écrire sous forme matricielle. Si $k$ est strictement positif, l'ensemble des points invariants est le cercle (dans le plan) ou la sphère (dans l'espace) de centre $\Omega$ et de rayon $\sqrt{k}$ appelé **cercle ou sphère d'inversion**.

### D.1 Inversion plane : conservation de l'ensemble des cercles et des droites

Notons $\mathcal{C}$ une courbe qui est soit un cercle, soit une droite ; son équation est de la forme :

$$ d(x^2 + y^2) - 2ax - 2by + c = 0, \quad (a; b; c; d) \in \mathbb{R}^4 \qquad (D.3) $$

avec les cas suivants :

* si $d \neq 0$, nous avons un cercle;

<footnote n="1">1. On parle aussi de centre.</footnote>
• si $d = 0$, nous avons une droite.

Evidemment, $c = 0$ implique que la courbe (droite ou cercle) passe par l'origine $O$. Dans le cas contraire, sans perdre de généralités, nous prenons $c = 1$. Nous considérons l'application $i_{O,1}$, de $\mathbb{R}^2 - \{(0;0)\}$ dans lui-même, dont l'expression analytique :

$$ \left\{ \begin{array}{l} x' = \frac{x}{x'^2 + y'^2} \\ y' = \frac{y}{x'^2 + y'^2} \end{array} , \quad (x; y) \neq (0; 0) \right. \qquad (D.4) $$

où le point $M'(x'; y')$ est l'image du point $M(x; y)$ par $i_{O,1}$. Notons que $M'$ est l'unique point de la droite (OM) vérifiant :

$$ \overrightarrow{OM}' \bullet \overrightarrow{OM} = x'x + y'y = 1 \qquad (D.5) $$

Soit $M$ un point de $\mathcal{E}$, cherchons le lieu géométrique $\mathcal{C}'$ du point $M'$ : pour ce faire, nous devons injecter les coordonnées de $M$ dans la formule (D.3) et, grâce au fait qu'une inversion est involutive, nous obtenons :

$$ \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{x'}{x'^2 + y'^2} \\ y = \frac{y'}{x'^2 + y'^2} \end{array} , \quad (x'; y') \neq (0; 0) \right. $$

ce qui conduit à l'équation suivante :

$$ \frac{d}{x'^2 + y'^2} - 2a \frac{x'}{x'^2 + y'^2} - 2b \frac{y'}{x'^2 + y'^2} + c = 0 $$

qui est du type de l'équation (D.3) :

$$ d - 2ax' - 2by' + c(x'^2 + y'^2) = 0 \qquad (D.6) $$

Ainsi, pour connaître les images des différentes catégories, il suffit d'envisager les quatre cas suivants :

• Si $d \neq 0$ et $c \neq 0$, l'image d'un cercle $\mathcal{C}$ ne passant pas par $O$ est un cercle $\mathcal{C}'$ ne passant pas par $O$;

• Si $d \neq 0$ et $c = 0$, l'image d'un cercle $\mathcal{C}$ passant par $O$ est une droite ne passant pas par $O$;

• Si $d = 0$ et $c = 0$, l'image d'une droite $\mathcal{C}$ passant par $O$ est une droite passant par $O$;

• Si $d = 0$ et $c \neq 0$, l'image d'une droite $\mathcal{C}$ ne passant pas par $O$ est un cercle $\mathcal{C}'$ passant par $O$.

Le point $O$ est appelé pôle de l'inversion et un simple calcul montre que le cercle, de centre $O$ et de rayon 1, est l'ensemble des points invariants par $i_{O,1}$. La figure D.1 permet d'illustrer les quatre cas.
<figure><img src="image_335.png" /><figcaption>FIGURE D.1 – Illustration des cas possibles d’images, par inversion, de cercles et de droites.</figcaption></figure>

**D.2 Inversion et homothétie**

L'image d'une sphère (resp. d'un cercle) ou d'un plan (resp. d'une droite) est une sphère (resp. un cercle) ou un plan (resp. une droite) et nous pouvons énoncer :

**Théorème 51** : Image d'une sphère ou d'un hyperplan² par une inversion

Soit $i_{\Omega,k}$ une inversion d'un espace affine euclidien $\mathcal{E}$ dans $\mathcal{E}$ de pôle $\Omega$ et de rapport $k$. Alors :

1. Image d'un hyperplan $\mathcal{P}$ de $\mathcal{E}$.

* Si $\Omega \in \mathcal{P}$ alors $i_{\Omega,k}(\mathcal{P})$ est $\mathcal{P} - \{\Omega\}$.

* Si $\Omega \notin \mathcal{P}$ alors $i_{\Omega,k}(\mathcal{P})$ est la sphère $S'$, privée de $\Omega$, de diamètre $[\Omega M_1]$ où $M_1 = i_{\Omega,k}(M'_1)$ et $M'_1$ est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $\mathcal{P}$, figure D.2.

2. Image d'une sphère $S$ de $\mathcal{E}$, de centre $\Omega_0$ et de rayon $R$.

* Si $\Omega \in S$ alors $i_{\Omega,k}(S)$ est un hyperplan de $\mathcal{E}$, de vecteur normal $\vec{\Omega_0\Omega}$, passant par $M'_1 = i_{\Omega,k}(M_1)$, où $M_1$ est le second point d'intersection entre $S$ et la droite $(\Omega_0\Omega)$, figure D.2.

* Si $\Omega \notin S$ alors $i_{\Omega,k}(S)$ est une sphère, de $\mathcal{E}$, homothétique à $S$ par l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $\frac{k}{\Omega_0\Omega^2 - R^2}$, figures D.3.

Démonstration :

1. Soit $\mathcal{P}$ un hyperplan de $\mathcal{E}$.

2. Dans $\mathcal{E}_3$, un hyperplan est un plan, dans $\mathcal{P}$, un hyperplan est une droite.
★ Premier cas : $\Omega \in \mathbb{P}$. Notons $\mathbb{P}_{\Omega} = \mathbb{P} - \{\Omega\}$.

D'après la formule (D.1), les points $M, \Omega$ et $i_{\Omega,k}(M)$ sont alignés donc $i_{\Omega,k}(\mathbb{P}_{\Omega}) \subset \mathbb{P}_{\Omega}$. De plus $i_{\Omega,k}(i_{\Omega,k}(\mathbb{P}_{\Omega})) \subset i_{\Omega,k}(\mathbb{P}_{\Omega})$. Comme une inversion est involutive, nous avons $i_{\Omega,k}(i_{\Omega,k}(\mathbb{P}_{\Omega})) = \mathbb{P}_{\Omega}$ d'où $i_{\Omega,k}(\mathbb{P}_{\Omega}) = \mathbb{P}_{\Omega}$. $\square$

★ Second cas : $\Omega \notin \mathbb{P}$.

Soit $M_1$ le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $\mathbb{P}$ et $M'_1 = i_{\Omega,k}(M_1)$. Soit $M \in \mathcal{E} - \{M_1; \Omega\}$ et $M' = i_{\Omega,k}(M)$. Soit $S_{\Omega}$ la sphère de diamètre $[\Omega M'_1]$ privée de $\Omega$. Montrons que les droites $(\Omega M')$ et $(M'M'_1)$ sont perpendiculaires si et seulement si $M \in \mathbb{P} - \{M_1\}$, figure D.2(a).

$$ 
\begin{align*}
\overrightarrow{\Omega M'} \bullet \overrightarrow{M'M'_1} = 0 &\iff \overrightarrow{\Omega M'} \bullet (\overrightarrow{M'\Omega} + \overrightarrow{\Omega M'_1}) = 0 \\
&\iff -\overrightarrow{\Omega M'}^2 + \overrightarrow{\Omega M'} \bullet \overrightarrow{\Omega M'_1} = 0 \\
&\iff \frac{k}{\Omega M^2} \overrightarrow{\Omega M} \bullet \frac{k}{\Omega M_1^2} \overrightarrow{\Omega M_1} = \left( \frac{k}{\Omega M^2} \overrightarrow{\Omega M} \right)^2 \\
&\iff \frac{k}{\Omega M^2} \overrightarrow{\Omega M} \bullet \frac{k}{\Omega M_1^2} \overrightarrow{\Omega M_1} = \frac{k^2}{\Omega M^2} \\
&\iff \overrightarrow{\Omega M} \bullet \overrightarrow{\Omega M_1} = \Omega M_1^2 (\text{car } k \neq 0) \\
&\iff (\overrightarrow{\Omega M_1} + \overrightarrow{M_1M}) \bullet \overrightarrow{\Omega M_1} = \Omega M_1^2 \\
&\iff \Omega M_1^2 + \overrightarrow{M_1M} \bullet \overrightarrow{\Omega M_1} = \Omega M_1^2 \\
&\iff \overrightarrow{M_1M} \bullet \overrightarrow{\Omega M_1} = 0
\end{align*}
$$

et donc nous avons :

$$ M' \in S_{\Omega} \iff M \in \mathbb{P} \square $$

2. Soit $S$ la sphère de $\mathcal{E}$ de centre $\Omega_0$ et de rayon $R$.

★ Premier cas : $\Omega \in S$. Notons $S_{\Omega} = S - \{\Omega\}$.

Soit $M_1 \in S_{\Omega} \cap (\Omega\Omega_0)$ et $M'_1 = i_{\Omega,k}(M_1)$ c'est-à-dire $M_1 = i_{\Omega,k}(M'_1)$. Considérons le plan affine $\mathbb{P}$ de vecteur normal $\overrightarrow{\Omega_0\Omega}$ passant par $M'_1$, figure D.2(b). D'après le point 1 du théorème 51, nous avons $i_{\Omega,k}(\mathbb{P}) = S_{\Omega}$ d'où $i_{\Omega,k}(i_{\Omega,k}(\mathbb{P})) = i_{\Omega,k}(S_{\Omega})$. Comme une inversion est involutive, nous avons $i_{\Omega,k}(i_{\Omega,k}(\mathbb{P})) = \mathbb{P}$ d'où $i_{\Omega,k}(S_{\Omega}) = \mathbb{P}$. $\square$

★ Second cas : $\Omega \notin S$.

Soit $M$ un point de $S$ et $M' = i_{\Omega,k}(M)$. Deux cas se présentent :

• Premier sous-cas : $(\Omega M)$ est tangente à $S$ en $M$, figure D.3(b).

Le triangle $\Omega M\Omega_0$ est rectangle en $M$ et nous avons alors $\Omega M^2 = \Omega\Omega_0^2 - R^2$ et donc $M'$ est l'image de $M$ par l'homothétie $H_{\Omega}$ de centre $\Omega$ et de rapport $\frac{k}{\Omega\Omega_0^2 - R^2} \diamond$

• Second sous-cas : $(\Omega M)$ recoupe $S$ en $N$, figure D.3(a).

Nous avons $\overrightarrow{\Omega M} \bullet \overrightarrow{\Omega N} = \Omega\Omega_0^2 - R^2$ et nous avons $\overrightarrow{\Omega M} \bullet \overrightarrow{\Omega M'} = k$. Les points $\Omega, M, M'$ et $N$ sont alignés, en passant aux mesures algébriques et en divisant membre à membre, nous avons :

$$ \frac{\overrightarrow{\Omega M} \times \overrightarrow{\Omega N}}{\overrightarrow{\Omega M} \times \overrightarrow{\Omega M'}} = \frac{\Omega\Omega_0^2 - R^2}{k} $$
<figure><img src="image_336.png" /><figcaption>FIGURE D.2 – Lien entre un plan et une sphère par une inversion de pôle Ω. $M_1'$ est l'image de $M_1$ par l'inversion de pôle Ω. Pour une inversion plane, si le rapport est positif, les points A et B sont invariants : la droite et le cercle sont sécants en ces points.</figcaption></figure>

d'où :

$$ \overline{\Omega M'} = \frac{k}{\Omega\Omega_0^2 - R^2} \overline{\Omega N} $$

et $M'$ est l'image de $N$ par l'homothétie $H_Ω$ de centre $Ω$ et de rapport $\frac{k}{\Omega\Omega_0^2 - R^2}$. ◇
Dans les deux cas, nous avons $H_Ω(S) \subset i_{Ω,k}(S)$ et $\Omega\Omega_0^2 - R^2$ est la puissance de $Ω$ par rapport à la sphère $S$.
La réciproque $(i_{Ω,k}(S) \subset H_Ω(S))$ consiste à prendre un point $M_2$ de $H_Ω(S)$ et à montrer qu'il existe un point $M$ de $S$ tel que $M_2 = i_{Ω,k}(M)$ et les calculs sont laissés aux lecteurs. □■

Notons qu'une inversion conserve les angles non orientés et en particulier le contact (et donc les tangentes) : si deux courbes se coupent en un point, les angles entre les tangentes en ces points et les tangentes de leurs images au point image sont égaux.

Afin de conserver les sommets du triangle invariants, nous considérons des inversions positive, c'est-à-dire telles que $α$ est positif. La sphère de centre $Ω$ et de rayon $\sqrt{α}$ est appelée sphère d'inversion. Il est en effet facile de voir que les points qui la composent sont invariants pour l'inversion $i_{Ω,α}$. Une inversion positive est donc caractérisée par la sphère de ses points invariants.
<figure><img src="image_337.png" /><figcaption>FIGURE D.3 – La sphère $S'$ est l'image de la sphère $S$ par une inversion de centre $\Omega$. ($\Omega M_1$) coupe la sphère $S$ en deux points tandis que : $(\Omega M_0)$ est tangente à la sphère $S$.</figcaption></figure>

Comme une cyclide de Dupin (voir sections 11.3 et 11.4) peut être définie comme l'image d'un tore par une inversion, nous aurons besoin du théorème 51 pour déterminer facilement l'image d'une sphère génératrice du tore et du théorème 52 pour savoir si la famille de sphères obtenue est intérieure ou extérieure à la cyclide.

**Théorème 52** : Image d'une boule ouverte par une inversion

Soient $i_{\Omega,\alpha}$ une inversion de $\mathcal{E}$ et $S$ (resp. $B$) une sphère (resp. une boule ouverte) de centre $\Omega_0$ et de rayon $R$. On note $\tilde{S}$ l'image de $S$ par l'inversion $i_{\Omega,\alpha}$, $\tilde{\Omega}_0$ son centre et $\tilde{R}$ son rayon. Alors :

* Si $\Omega \in B$, l'image de $B$ par l'inversion $i_{\Omega,\alpha}$ est le complémentaire de $\tilde{B}$, la boule ouverte de centre $\tilde{\Omega}_0$ et de rayon $\tilde{R}$.

* Si $\Omega \notin B$, l'image de $B$ par l'inversion $i_{\Omega,\alpha}$ est $\tilde{B}$.

Le théorème 52 est admis.
# Annexe E

## Démonstration du théorème 45

Nous avons besoin, pour mener à bien cette démonstration, de deux lemmes.

### E.1 Lemmes

**Lemme 1** D'une part, nous avons :

$$ \left( \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}} \right) \times \left( \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}^{\perp}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}^{\perp}} \right) = \\ \left( \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}^{\perp}} \right) \times \left( \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}^{\perp}} \right) \qquad (E.1) $$

et :

$$ \left( \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}} \right)^2 + \left( \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}^{\perp}} \right)^2 + \\ \left( \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}^{\perp}} \right)^2 + \left( \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}^{\perp}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}^{\perp}} \right)^2 = 1 \qquad (E.2) $$

et d'autre part, nous avons les deux relations :

$$ (A \cos \theta_0 - B \sin \theta_0)^2 = 1 \quad \text{et} \quad a_{\theta_0}^2 + b_{\theta_0}^2 = 1 \qquad (E.3) $$

où A et B sont donnés par la formule (14.3) tandis que $a_{\theta_0}$ et $b_{\theta_0}$ sont donnés par la formule (14.4).

**Démonstration :**

Quitte à effectuer un changement de repère, nous pouvons toujours considérer le cas suivant.

Soit $M_{00}(0; 1; 0)$ appartenant aux deux cercles. Soit $\Omega_{\theta_0}(0; 0; 0)$ (resp $r_{\theta_0} = 1$) le centre (resp. le rayon) du premier cercle $C_{\theta_0}$ (et de la première sphère). Soit $\vec{v}_{C_{\theta_0}}(-1; 0; 0)$ un vecteur tangent à la sphère en $M_{00}$. Nous avons :

$$ \sigma_{\theta_I} = (0; 0; 0; 0; -1) \quad \text{and} \quad \sigma_{\theta_I}^{\perp} = (0; 0; 0; -1; 0) $$

Soit $\vec{v}_{C_{\theta_0}}(0, \alpha, \beta)$ le vecteur unitaire orthogonal à $\vec{v}_{C_{\theta_0}}$. Nous devons distinguer deux cas.
**E.1.1** **Premier cas** : $\alpha = 1 \Longrightarrow \beta = 0$.

Le second cercle $C_{\psi_0}$ a pour centre :

$$ \Omega_{\psi_0} (x_0; 1; z_0) $$

et pour rayon :

$$ r_{\psi_0} = \sqrt{x_0^2 + z_0^2} $$

Ainsi, la sphère de centre $\Omega_{\psi_0}$ et de rayon $r_{\psi_0}$ est représentée dans $\Lambda^4$ par :

$$ \sigma_{\psi_I} = \left( \frac{1}{\sqrt{x_0^2 + z_0^2}}; \frac{x_0}{\sqrt{x_0^2 + z_0^2}}; \frac{1}{\sqrt{x_0^2 + z_0^2}}; \frac{z_0}{\sqrt{x_0^2 + z_0^2}}; 0 \right) $$

tandis que le plan contenant $C_{\theta_0}$, orthogonal à la sphère précédente est représenté dans $\Lambda^4$ par :

$$ \sigma_{\psi_I}^{\perp} = \left( 0; \frac{z_0}{\sqrt{x_0^2 + z_0^2}}; 0; -\frac{x_0}{\sqrt{x_0^2 + z_0^2}}; 0 \right) $$

Nous avons :

$$ (\overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}}) \times (\overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}}) = -\frac{z_0}{\sqrt{x_0^2 + z_0^2}} \times 0 \le 0 $$

et :

$$ (\overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}^{\perp}}) \times (\overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}^{\perp}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}^{\perp}}) = \frac{x_0}{\sqrt{x_0^2 + z_0^2}} \times 0 \le 0 $$

et les conditions données par la formule (14.2) sont vérifiées.

Les formules (E.1) et (E.2) sont alors vraies. Comme $\overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}} = \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}^{\perp}}$, la condition donnée par la formule (14.2) est vraie.

De plus, nous avons $A = 0$ et $B = 1$. Nous obtenons alors $\theta_s = \pi$. En choisissant $\theta_0 = \frac{\pi}{2}$ et en utilisant la formule (14.4), nous obtenons :

$$ \left\{ \begin{array}{l} a_{\theta_0} = -\frac{z_0}{\sqrt{x_0^2 + z_0^2}} \\ b_{\theta_0} = \frac{x_0}{\sqrt{x_0^2 + z_0^2}} \end{array} \right. \qquad (E.4) $$

et $a_{\theta_0}^2 + b_{\theta_0}^2 = 1$. A partir de la formule (E.4) nous calculons $\psi_0$. Nous pouvons remarquer la relation suivante :

$$ (A \cos \theta_0 - B \sin \theta_0)^2 = \left(0 \times \cos \frac{\pi}{2} - 1 \times \sin \frac{\pi}{2}\right)^2 = 1 \qquad (E.5) $$

□
E.1.2 **Second cas** : $0 \le \alpha < 1$ **et** $\beta = \sqrt{1 - \alpha^2}$.

Quitte à effectuer une ou deux réflexion(s) de plan d'équation $y = 0$ et/ou $z = 0$, nous pouvons toujours nous ramener à ce cas.

Le second cercle $C_{\psi_0}$ a pour centre :

$$
\Omega_{\psi_0} \left( x_0; y_0; - \frac{\alpha (y_0 - 1)}{\sqrt{1 - \alpha^2}} \right)
$$

et pour rayon :

$$
r_{\psi_0} = \sqrt{\frac{x_0^2 (1 - \alpha^2) + (y_0 - 1)^2}{1 - \alpha^2}}
$$

Ainsi, nous avons :

$$
\sigma_{\psi_I} = \frac{1}{\sqrt{(1 - \alpha^2) x_0^2 + (y_0 - 1)^2}} \left( y_0 \sqrt{1 - \alpha^2}; x_0 \sqrt{1 - \alpha^2}; y_0 \sqrt{1 - \alpha^2}; (1 - y_0) \alpha; (y_0 - 1) \sqrt{1 - \alpha^2} \right)
$$

et :

$$
\sigma_{\psi_I}^{\perp} = \frac{1}{\sqrt{(1 - \alpha^2) x_0^2 + (y_0 - 1)^2}} \left( x_0 (1 - \alpha^2); 1 - y_0; x_0 (1 - \alpha^2); -x_0 \alpha \sqrt{1 - \alpha^2}; x_0 (1 - \alpha^2) \right)
$$

Notons que la condition donnée par la formule (14.2) est vraie :

$$
\overline{(O_5 \sigma_{\psi_I} \cdot O_5 \sigma_{\theta_I})} \times \overline{(O_5 \sigma_{\psi_I} \cdot O_5 \sigma_{\theta_I}^{\perp})} = - \frac{\sqrt{1 - \alpha^2} \alpha (y_0 - 1)^2}{(1 - \alpha^2) x_0^2 + (y_0 - 1)^2} \le 0
$$

et :

$$
\overline{(O_5 \sigma_{\theta_I} \cdot O_5 \sigma_{\psi_I}^{\perp})} \times \overline{(O_5 \sigma_{\psi_I}^{\perp} \cdot O_5 \sigma_{\theta_I}^{\perp})} = \frac{x_0^2 (\alpha^2 - 1) \alpha \sqrt{1 - \alpha^2}}{(1 - \alpha^2) x_0^2 + (y_0 - 1)^2} \le 0
$$

De plus :

$$
\overline{(O_5 \sigma_{\theta_I} \cdot O_5 \sigma_{\psi_I})} \times \overline{(O_5 \sigma_{\psi_I}^{\perp} \cdot O_5 \sigma_{\theta_I}^{\perp})} = \frac{(1 - y_0) x_0 \alpha (1 - \alpha^2)}{(1 - \alpha^2) x_0^2 + (y_0 - 1)^2} = \overline{(O_5 \sigma_{\theta_I} \cdot O_5 \sigma_{\psi_I}^{\perp})} \times \overline{(O_5 \sigma_{\psi_I} \cdot O_5 \sigma_{\theta_I}^{\perp})}
$$

Ainsi, la formule (E.1) est vraie. De plus :

$$
\begin{align*}
A^2 &= \overline{(O_5 \sigma_{\theta_I} \cdot O_5 \sigma_{\psi_I})}^2 + \overline{(O_5 \sigma_{\theta_I} \cdot O_5 \sigma_{\psi_I}^{\perp})}^2 \\
&= \frac{(1 - y_0)^2 (1 - \alpha^2) + x_0^2 (\alpha^2 - 1)^2}{(1 - \alpha^2) x_0^2 + (y_0 - 1)^2} \\
&= (1 - \alpha^2) \frac{(1 - y_0)^2 + x_0^2 (1 - \alpha^2)}{(1 - \alpha^2) x_0^2 + (y_0 - 1)^2} \\
&= 1 - \alpha^2
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
B^2 &= \overline{(O_5 \sigma_{\psi_I} \cdot O_5 \sigma_{\theta_I}^{\perp})}^2 + \overline{(O_5 \sigma_{\theta_I}^{\perp} \cdot O_5 \sigma_{\theta_I}^{\perp})}^2 \\
&= \frac{\alpha^2 (y_0 - 1)^2 + x_0^2 \alpha^2 (1 - \alpha^2)}{(1 - \alpha^2) x_0^2 + (y_0 - 1)^2} \\
&= \alpha^2 \frac{(y_0 - 1)^2 + x_0^2 (1 - \alpha^2)}{(1 - \alpha^2) x_0^2 + (y_0 - 1)^2} \\
&= \alpha^2
\end{align*}
$$
Ainsi, $A^2 + B^2 = 1$ et la formule (E.2) est vraie.

La valeur $\theta_s = \pi$ est définie par :

$$ egin{cases} \cos(\theta_s) = 1 - 2\alpha^2 \\ \sin(\theta_s) = 2\alpha\sqrt{1-\alpha^2} \end{cases} $$

et en utilisant la relation $2\cos^2(\theta_0) = 1 + \cos(2\theta_0) = 1 + \cos(-\theta_s)$, la valeur $\theta_0$ vérifie :

$$ egin{cases} \cos^2(\theta_0) = 1 - \alpha^2 \\ \sin^2(\theta_0) = \alpha^2 \end{cases} $$

Nous obtenons alors :

$$ egin{cases} \cos(\theta_0) = \varepsilon_c\sqrt{1-\alpha^2}, & (\varepsilon_c, \varepsilon_s) \in \{-1, 1\} \\ \sin(\theta_0) = \varepsilon_s\alpha \end{cases} $$

D'après la formule :

$$ \frac{2 \tan(\theta_0)}{1 - \tan^2(\theta_0)} = \tan(2\theta_0) = -\tan(\theta_s) $$

nous avons :

$$ \frac{2\varepsilon_s\alpha}{\varepsilon_c\sqrt{1-\alpha^2}} \times \frac{1}{1-\frac{\alpha^2}{1-\alpha^2}} = -\frac{2\alpha\sqrt{1-\alpha^2}}{1-2\alpha^2} $$

qui peut être simplifiée en :

$$ \frac{\varepsilon_s}{\varepsilon_c \sqrt{1 - \alpha^2}} \times \frac{1 - \alpha^2}{1 - 2\alpha^2} = - \frac{\sqrt{1 - \alpha^2}}{1 - 2\alpha^2} $$

et nous obtenons la relation :

$$ \varepsilon_s = -\varepsilon_c $$

Nous pouvons remarquer la relation suivante :

$$ (A \cos \theta_0 - B \sin \theta_0)^2 = (\sqrt{1-\alpha^2} \varepsilon_c \sqrt{1-\alpha^2} - \alpha \varepsilon_s \alpha)^2 = (\varepsilon_c (1-\alpha^2+\alpha^2))^2 = 1 \quad (\text{E.6}) $$

Nous avons alors :

$$ egin{cases} a_{\theta_0} = \frac{\varepsilon_c \sqrt{1-\alpha^2} (1-y_0) \sqrt{1-\alpha^2} - \varepsilon_c \alpha^2 (y_0-1)}{\sqrt{(1-\alpha^2) x_0^2 + (y_0-1)^2}} \\ b_{\theta_0} = \frac{\varepsilon_c \sqrt{1-\alpha^2} x_0 (\alpha^2-1) - \varepsilon_c \alpha x_0 \alpha \sqrt{1-\alpha^2}}{\sqrt{(1-\alpha^2) x_0^2 + (y_0-1)^2}} \end{cases} $$
ce qui est équivalent à :

$$
\left\{
\begin{aligned}
a_{\theta_0} &= (y_0 - 1) \frac{-\varepsilon_c (1 - \alpha^2) - \varepsilon_c \alpha^2}{\sqrt{(1 - \alpha^2) x_0^2 + (y_0 - 1)^2}} \\
b_{\theta_0} &= x_0 \sqrt{1 - \alpha^2} \frac{\varepsilon_c (\alpha^2 - 1) - \varepsilon_c \alpha^2}{\sqrt{(1 - \alpha^2) x_0^2 + (y_0 - 1)^2}}
\end{aligned}
\right.
$$

ce qui est équivalent à :

$$
\left\{
\begin{aligned}
a_{\theta_0} &= \frac{-\varepsilon_c (y_0 - 1)}{\sqrt{(1 - \alpha^2) x_0^2 + (y_0 - 1)^2}} \\
b_{\theta_0} &= \frac{-\varepsilon_c x_0 \sqrt{1 - \alpha^2}}{\sqrt{(1 - \alpha^2) x_0^2 + (y_0 - 1)^2}}
\end{aligned}
\right.
\qquad (\text{E.7})
$$

et nous avons :

$$
a_{\theta_0}^2 + b_{\theta_0}^2 = 1 \tag{E.8}
$$

<figure><img src="image_338.png" /></figure>

■

**Lemme 2** : Nous avons :

$$
\begin{align*}
& \sqrt{\overline{(O_5 \overrightarrow{\sigma_{\psi_I}} \cdot O_5 \overrightarrow{\sigma_{\theta_I}})^2 + (O_5 \overrightarrow{\sigma_{\theta_I}} \cdot O_5 \overrightarrow{\sigma_{\psi_I}})^2}} \times \\
& \sqrt{\overline{(O_5 \overrightarrow{\sigma_{\psi_I}} \cdot O_5 \overrightarrow{\sigma_{\theta_I}})^2 + (O_5 \overrightarrow{\sigma_{\theta_I}} \cdot O_5 \overrightarrow{\sigma_{\psi_I}})^2}} = \\
& - \overline{(O_5 \overrightarrow{\sigma_{\psi_I}} \cdot O_5 \overrightarrow{\sigma_{\theta_I}})} \times \overline{(O_5 \overrightarrow{\sigma_{\psi_I}} \cdot O_5 \overrightarrow{\sigma_{\theta_I}})} - \\
& \overline{(O_5 \overrightarrow{\sigma_{\theta_I}} \cdot O_5 \overrightarrow{\sigma_{\psi_I}})} \times \overline{(O_5 \overrightarrow{\sigma_{\theta_I}} \cdot O_5 \overrightarrow{\sigma_{\psi_I}})} \tag{E.9}
\end{align*}
$$

Démonstration :

Nous rappelons que nous avons les conditions données par la formule (14.2). A partir de la
formule (E.9), nous avons :

$$
\frac{\left(\overline{(O_5 \sigma_{\psi_I} \cdot O_5 \sigma_{\theta_I})}^2 + \overline{(O_5 \sigma_{\theta_I} \cdot O_5 \sigma_{\psi_I}^\perp)}^2\right)}{\left(\overline{(O_5 \sigma_{\psi_I} \cdot O_5 \sigma_{\theta_I})}^2 \times \overline{(O_5 \sigma_{\psi_I} \cdot O_5 \sigma_{\theta_I}^\perp)}^2\right)} + \frac{\left(\overline{(O_5 \sigma_{\theta_I} \cdot O_5 \sigma_{\psi_I}^\perp)}^2 + \overline{(O_5 \sigma_{\theta_I}^\perp \cdot O_5 \sigma_{\psi_I}^\perp)}^2\right)}{\left(\overline{(O_5 \sigma_{\theta_I}^\perp \cdot O_5 \sigma_{\psi_I}^\perp)}^2\right)^2} =
$$

ce qui est équivalent (après quelques calculs) à :

$$
\left( \left( \overrightarrow{O_5 \sigma_{\psi_I}} \cdot \overrightarrow{O_5 \sigma_{\theta_I}} \right) \times \left( \overrightarrow{O_5 \sigma_{\theta_I}^\perp} \cdot \overrightarrow{O_5 \sigma_{\psi_I}^\perp} \right) - \left( \overrightarrow{O_5 \sigma_{\theta_I}} \cdot \overrightarrow{O_5 \sigma_{\psi_I}^\perp} \right) \times \left( \overrightarrow{O_5 \sigma_{\psi_I}} \cdot \overrightarrow{O_5 \sigma_{\theta_I}^\perp} \right) \right)^2 = 0
$$

Cette relation est vraie d'après la formule (E.1).

<figure><img src="image_339.png" /></figure>
## E.2 Démonstration du théorème 45 :

A partir de la formule (14.1), nous avons :

$$ \overrightarrow{O_5\gamma_{\theta}(\theta_0)} = \cos(\theta_0) \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}} + \sin(\theta_0) \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}^{\perp}} $$

et :

$$ \overrightarrow{O_5\gamma_{\psi}(\psi_0)} = \cos(\psi_0) \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}} + \sin(\psi_0) \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}^{\perp}} $$

et, d'après la formule (11.3), les sphères $\gamma_{\theta}(\theta_0)$ et $\gamma_{\psi}(\psi_0)$ sont tangentes si et seulement si :

$$ \overrightarrow{O_5\gamma_{\theta}(\theta_0)} \cdot \overrightarrow{O_5\gamma_{\psi}(\psi_0)} = 1 \qquad (E.10) $$

Les expressions $a_{\theta_0}$ et $b_{\theta_0}$ se simplifient en :

$$ a_{\theta_0} = \cos(\theta_0) \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}} + \sin(\theta_0) \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}^{\perp}} $$

et :

$$ b_{\theta_0} = \cos(\theta_0) \left( \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}^{\perp}} \right) + \sin(\theta_0) \left( \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}^{\perp}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}^{\perp}} \right) $$

L'équation (E.10) est équivalente à la suivante :

$$ a_{\theta_0} \cos(\psi_0) + b_{\theta_0} \sin(\psi_0) = 1 \qquad (E.11) $$

L'équation (E.11) admet des solutions si et seulement si $a_{\theta_0}^2 + b_{\theta_0}^2 \geq 1$.

$$ \begin{aligned} a_{\theta_0}^2 + b_{\theta_0}^2 &= \cos^2(\theta_0) \left( \left( \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}} \right)^2 + \left( \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}^{\perp}} \right)^2 \right) \\ &\quad + \sin^2(\theta_0) \left( \left( \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}^{\perp}} \right)^2 + \left( \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}^{\perp}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}^{\perp}} \right)^2 \right) \\ &\quad + 2 \cos(\theta_0) \sin(\theta_0) \left( \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}} \right) \left( \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}^{\perp}} \right) \\ &\quad + 2 \cos(\theta_0) \sin(\theta_0) \left( \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}^{\perp}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}^{\perp}} \right) \left( \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}^{\perp}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}^{\perp}} \right) \\ &= (A \cos(\theta_0) - B \sin(\theta_0))^2, \text{ formule (E.9)} \\ &= 1, \text{ voir formules (E.5) et (E.6).} \end{aligned} $$

où :

$$ \begin{aligned} A &= \sqrt{\left(\overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}}\right)^2 + \left(\overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}^{\perp}}\right)^2} \\ B &= \sqrt{\left(\overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}^{\perp}}\right)^2 + \left(\overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}^{\perp}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}^{\perp}}\right)^2} \end{aligned} \qquad (E.12) $$

De plus, nous avons $A^2 + B^2 = 1$, formule (E.2).
Après quelques calculs, l'équation $a_{\theta_0}^2 + b_{\theta_0}^2 = 1$ est équivalente à :

$$ \cos (2\theta_0 + \theta_s) = 2 \frac{1 - B^2}{A^2 + B^2} - \cos (\theta_s) $$

où $\theta_s$ est la solution de :

$$ \begin{cases} \cos (\theta_s) = \frac{A^2 - B^2}{A^2 + B^2} \\ \sin (\theta_s) = 2 \frac{AB}{A^2 + B^2} \end{cases} $$

L'égalité $A^2 + B^2 = 1$ implique :

$$ \cos (2\theta_0 + \theta_s) = 2 - 2B^2 - (A^2 - B^2) = 2 - (A^2 + B^2) = 1 $$

et nous obtenons deux solutions $\theta_0 = -\frac{\theta_s}{2}$ et $\theta_0 = -\frac{\theta_s}{2} + \pi$.

La relation $a_{\theta_0}^2 + b_{\theta_0}^2 = 1$ implique que la formule (E.11) est équivalente à

$$ \cos (\psi_s) \cos (\psi_0) + \sin (\psi_s) \sin (\psi_0) = 1 \quad (E.13) $$

où $\psi_s$ est défini par :

$$ \begin{cases} \cos (\psi_s) = a_{\theta_0} \\ \sin (\psi_s) = b_{\theta_0} \end{cases} $$

et nous obtenons, à partir de la formule (E.13), $\psi_s = \psi_0$.
$$
\begin{align*}
&= \frac{1}{(1-u)^2} \left( (1-u)^2 \overrightarrow{OP_0} + 2u(1-u) \left(-\overrightarrow{OP_0} + \overrightarrow{OP_1}\right) \right) \\
&\quad + \frac{1}{(1-u)^2} u^2 \left( \overrightarrow{OP_0} - 2\overrightarrow{OP_1} + \overrightarrow{OP_2} \right) \\
&= \frac{1}{(1-u)^2} \left( (1-u)^2 \overrightarrow{OP_0} + 2u(1-u) \overrightarrow{P_0P_1} + u^2 \left( \overrightarrow{P_1P_0} + \overrightarrow{P_1P_2} \right) \right) \\
&= \frac{1}{B_0(u)} \left( B_0(u) \overrightarrow{OP_0} + B_1(u) \overrightarrow{P_0P_1} + B_2(u) \left( \overrightarrow{P_1P_0} + \overrightarrow{P_1P_2} \right) \right)
\end{align*}
$$
# Annexe G

## Annexe : Tableaux de valeurs pour la modélisation d'un hippocampe
<table><caption>TABLE G.1 – Valeurs des sphères $S_i$, $i$ appartenant à $[0; 8]$, de contraintes définissant l'hippocampe. La représentation de la sphère $S_i$ sur $\Lambda^4$ est $\sigma_i$.</caption><thead><tr><td>Nom</td><td>Centre</td><td>rayon</td><td>Expression sur Λ<sup>4</sup></td></tr></thead><tbody><tr><td>S<sub>0</sub> ≈ σ<sub>0</sub></td><td>(0, 6862; 0; -7, 1862)</td><td>2, 017</td><td>(0, 496; 0, 340; 0; -3, 562; 11, 908)</td></tr><tr><td>S<sub>1</sub> ≈ σ<sub>1</sub></td><td>(-1; 0; -3)</td><td>2, 017</td><td>(0, 496; -0, 496; 0; -1, 487; 1, 470)</td></tr><tr><td>S<sub>2</sub> ≈ σ<sub>2</sub></td><td>(-1; 0; 1)</td><td>2, 107</td><td>(0, 496; -0, 496; 0; 0, 496; -0, 513)</td></tr><tr><td>S<sub>3</sub> ≈ σ<sub>3</sub></td><td>(-2; 0; 11)</td><td>6</td><td>(0, 167; -0, 333; 0; 1, 833; 7, 417)</td></tr><tr><td>S<sub>4</sub> ≈ σ<sub>4</sub></td><td>(0; 0; 21)</td><td>2</td><td>(0, 500; 0, 000; 0; 10, 500; 109, 250)</td></tr><tr><td>S<sub>5</sub> ≈ σ<sub>5</sub></td><td>(2; 0; 26)</td><td>3</td><td>(0, 333; 0, 667; 0; 8, 667; 111, 833)</td></tr><tr><td>S<sub>6</sub> ≈ σ<sub>6</sub></td><td>(-6; 0; 32)</td><td>3/2</td><td>(0, 667; -4, 000; 0; 21, 333; 352, 583)</td></tr><tr><td>S<sub>7</sub> ≈ σ<sub>7</sub></td><td>(-16; 0; 31, 5)</td><td>3/4</td><td>(1, 333; -21, 333; 0; 42, 000; 831, 792)</td></tr><tr><td>S<sub>8</sub> ≈ σ<sub>8</sub></td><td>(-18; 0; 31, 5)</td><td>3/4</td><td>(1, 3333; -24, 000; 0; 42, 000; 877, 125)</td></tr></tbody></table>
<table><caption>TABLE G.2 – Valeurs des sphères dérivées définissant l'hippocampe.</caption><thead><tr><th>Indice</th><th>Sphère dérivée</th></tr></thead><tbody><tr><td>σ<sub>0</sub></td><td>(0, 065; -0, 668; 0; 0, 244; -3, 781)</td></tr><tr><td>σ<sub>1</sub></td><td>(0, 065; -0, 085; 0; -1, 204; 3, 504)</td></tr><tr><td>σ<sub>2</sub></td><td>(-0, 065; 0, 085; 0; -1, 074; -1, 226)</td></tr><tr><td>σ<sub>3a</sub></td><td>(0, 188; -0, 145; 0; 0, 576; -1, 724)</td></tr><tr><td>σ<sub>3b</sub></td><td>(0, 071; 0, 071; 0; 1, 848; 17, 021)</td></tr><tr><td>σ<sub>4</sub></td><td>(-0, 213; -0, 213; 0; -5, 543; -69, 823)</td></tr><tr><td>σ<sub>5a</sub></td><td>(0, 289; -0, 092; 0; 6, 381; 68, 643)</td></tr><tr><td>σ<sub>5b</sub></td><td>(0, 040; -0, 085; 0; 2, 041; 39, 382)</td></tr><tr><td>σ<sub>6</sub></td><td>(-0, 0645; 1, 386; 0; -1, 952; -36, 510)</td></tr><tr><td>σ<sub>7</sub></td><td>(-0, 070; 2, 126; 0; -2, 235; -60, 576)</td></tr><tr><td>σ<sub>8</sub></td><td>(0, 0703; -0, 264; 0; 2, 235; 28, 926)</td></tr></tbody></table>
<table><caption>TABLE G.3 – Centre des arcs de cercles et cercles caractéristiques de chacune des courbes de Bézier définissant l'hippocampe.</caption><thead><tr><td>Nom du cercle</td><td>Centre du cercle</td><td>Extrémités</td></tr></thead><tbody><tr><td>γ<sub>0</sub></td><td>(-0,066; 6,433; 0; 0,804; -66,721)</td><td>→m<sub>0</sub> et (σ<sub>0</sub>; σ<sub>0</sub>)</td></tr><tr><td>γ<sub>1</sub></td><td>(0,350; 0,765; 0; -1,451; 6,999)</td><td>(σ<sub>0</sub>; σ<sub>0</sub>) et (σ<sub>1</sub>; σ<sub>1</sub>)</td></tr><tr><td>γ<sub>2</sub></td><td>(0,248; -0,173; 0; -0,248; -8,507)</td><td>(σ<sub>1</sub>; σ<sub>1</sub>) et (σ<sub>2</sub>; σ<sub>2</sub>)</td></tr><tr><td>γ<sub>3</sub></td><td>(0,222; -0,315; 0; 0,451; 3,667)</td><td>(σ<sub>2</sub>; σ<sub>2</sub>) et (σ<sub>3</sub>; σ<sub>3a</sub>)</td></tr><tr><td>γ<sub>4</sub></td><td>(-0,000; -0,500; 0; -2,500; -65,500)</td><td>(σ<sub>3</sub>; σ<sub>3b</sub>) et (σ<sub>4</sub>; σ<sub>4</sub>)</td></tr><tr><td>γ<sub>5</sub></td><td>(0,240; 0,290; 0; 5,383; 61,762)</td><td>(σ<sub>4</sub>; σ<sub>4</sub>) et (σ<sub>5</sub>; σ<sub>5a</sub>)</td></tr><tr><td>γ<sub>6</sub></td><td>(0,546; -4,086; 0; 14,834; 226,869)</td><td>(σ<sub>5</sub>; σ<sub>5b</sub>) et (σ<sub>6</sub>; σ<sub>6</sub>)</td></tr><tr><td>γ<sub>7</sub></td><td>(1,136; -30,959; 0; 38,677; 1187,448)</td><td>(σ<sub>6</sub>; σ<sub>6</sub>) et (σ<sub>7</sub>; σ<sub>7</sub>)</td></tr><tr><td>γ<sub>8</sub></td><td>(0,680; -11,556; 0; 21,213; 438,281)</td><td>(σ<sub>7</sub>; σ<sub>7</sub>) et (σ<sub>8</sub>; σ<sub>8</sub>)</td></tr></tbody></table>
<table><caption>TABLE G.4 – Points massiques de contrôle des courbes de Bézier rationnelles quadratiques définissant l'hippocampe.</caption><thead><tr><th>Nom</th><th colspan="3">Points massiques de contrôle</th></tr></thead><tbody><tr><td>γ<sub>0</sub></td><td>(<span style="text-decoration: overline;">m</span><sub>0</sub>; 0)</td><td>(P<sub>0</sub>; ω<sub>0</sub>) ≃ ((0, 125; 4, 132; 0; -4, 948; 33, 361); 1, 615)</td><td>(σ<sub>0</sub>; 1)</td></tr><tr><td>γ<sub>1</sub></td><td>(σ<sub>0</sub>; 1)</td><td>(P<sub>1</sub>; ω<sub>1</sub>) ≃ ((0, 589; -0, 617; 0; -3, 212; 6, 490); 0, 781)</td><td>(σ<sub>1</sub>; 1)</td></tr><tr><td>γ<sub>2</sub></td><td>(σ<sub>1</sub>; 1)</td><td>(P<sub>2</sub>; ω<sub>2</sub>) ≃ ((0, 439; -0, 422; 0; -0, 439; -1, 580); 1, 139)</td><td>(σ<sub>2</sub>; 1)</td></tr><tr><td>γ<sub>3</sub></td><td>(σ<sub>2</sub>; 1)</td><td>(P<sub>3</sub>; ω<sub>3</sub>) ≃ ((0, 671; -0, 724; 0; 3, 382; 2, 783); 0, 493)</td><td>(σ<sub>3</sub>; 1)</td></tr><tr><td>γ<sub>4</sub></td><td>(σ<sub>3</sub>; 1)</td><td>(P<sub>4</sub>; ω<sub>4</sub>) ≃ ((0, 250; -0, 250; 0; 4, 000; 27, 375); 1, 155)</td><td>(σ<sub>4</sub>; 1)</td></tr><tr><td>γ<sub>5</sub></td><td>(σ<sub>4</sub>; 1)</td><td>(P<sub>5</sub>; ω<sub>5</sub>) ≃ ((0, 967; 0, 467; 0; 22, 633; 262, 083); 0, 494)</td><td>(σ<sub>5</sub>; 1)</td></tr><tr><td>γ<sub>6</sub></td><td>(σ<sub>5</sub>; 1)</td><td>(P<sub>6</sub>; ω<sub>6</sub>) ≃ ((0, 461; 0, 397; 0; 15, 142; 236, 763); 0, 735)</td><td>(σ<sub>6</sub>; 1)</td></tr><tr><td>γ<sub>7</sub></td><td>(σ<sub>6</sub>; 1)</td><td>(P<sub>7</sub>; ω<sub>7</sub>) ≃ ((0, 986; -10, 842; 0; 30, 967; 532, 794); 0, 954)</td><td>(σ<sub>7</sub>; 1)</td></tr><tr><td>γ<sub>8</sub></td><td>(σ<sub>7</sub>; 1)</td><td>(P<sub>8</sub>; ω<sub>8</sub>) ≃ ((1, 434; -24, 378; 0; 45, 202; 918, 557); 0, 931)</td><td>(σ<sub>8</sub>; 1)</td></tr></tbody></table>
# Annexe H

## Annexe : Multiplication, inverse, racine carrée à la règle et au compas

La figure H.1 montre la construction à la règle et au compas le calcul de quelques opérations.

<figure><img src="image_340.png" /><figcaption>FIGURE H.1 – Constructions des opérations de bases à la règle et au compas.</figcaption></figure>

### H.1 Inverse d'un nombre

Soit $a$, un nombre non nul sur l'axe des abscisses. Son inverse est obtenu comme intersection de l'axe des ordonnées avec la droite passant par l'unité de l'axe des abscisses et parallèle à la droite passant par $a$ et l'unité de l'axe des ordonnées.
## H.2 Multiplication de deux nombres a et b

Soit $a$ (resp. $b$) un nombre sur l'axe des abscisses (resp. ordonnées). Le produit de $a$ et $b$ est obtenu comme intersection de l'axe des abscisses avec la droite passant par $b$ et parallèle à la droite passant par $a$ et l'unité de l'axe des ordonnées.

## H.3 Racine carrée du produit de deux nombres

Soient $a$ et $c$ deux nombres de signe contraire. Le nombre $\sqrt{|a \times c|}$ est obtenu comme intersection entre la partie positive de l'axe des ordonnées et le cercle de diamètre $[ac]$.