<table><caption>TABLE 12.2 – Schéma de subdivision de la deuxième itération en utilisant les deux applications contractantes $T_0 \circ T_0$ et $T_1 \circ T_0$.</caption><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>(<span style="text-decoration: overline">m</span><sub>1</sub>; 0)<br>(Ω<sub>1</sub>; ω<sub>1</sub>)<br>(<span style="text-decoration: overline">m</span><sub>2</sub>; 0)</td></tr><tr><td></td><td></td><td>a<sub>0</sub> = 0<br>c<sub>0</sub> = 1<br>b<sub>0</sub> = <div style="display: inline-block; vertical-align: middle; text-align: center;"><div style="border-bottom: 1px solid black; padding: 0 5px;">1</div><div style="padding: 0 5px;">√2ω<sub>1</sub></div></div><br>d<sub>0</sub> = 2 b<sub>0</sub></td><td>T<sub>0</sub> &larr; Th. 34</td><td></td></tr><tr><td></td><td>ω<sub>10</sub> = √<div style="display: inline-block; vertical-align: middle; text-align: center;"><div style="border-bottom: 1px solid black; padding: 0 5px;">ω<sub>1</sub></div><div style="padding: 0 5px;">2</div></div></td><td>(<span style="text-decoration: overline">m</span><sub>10</sub>; 0)<br>(P<sub>10</sub>; ω<sub>10</sub>)<br>(σ<sub>20</sub>; 1)</td><td></td><td></td></tr><tr><td>a<sub>0</sub> = 0<br>c<sub>0</sub> = 1<br>b<sub>0</sub> = <div style="display: inline-block; vertical-align: middle; text-align: center;"><div style="border-bottom: 1px solid black; padding: 0 5px;">1</div><div style="padding: 0 5px;">√1 + 2ω<sub>10</sub></div></div><br>d<sub>0</sub> = 2 b<sub>0</sub></td><td>T<sub>0</sub> &larr; Th. 36</td><td></td><td>T<sub>1</sub> &larr; Th. 37</td><td>a<sub>1</sub> = <div style="display: inline-block; vertical-align: middle; text-align: center;"><div style="border-bottom: 1px solid black; padding: 0 5px;">1</div><div style="padding: 0 5px;">√1 + 2ω<sub>10</sub></div></div><br>c<sub>1</sub> = 2 a<sub>1</sub><br>b<sub>1</sub> = 1<br>d<sub>1</sub> = 1</td></tr><tr><td>(<span style="text-decoration: overline">m</span><sub>100</sub>; 0)<br>(P<sub>100</sub>; ω<sub>100</sub>)<br>(σ<sub>200</sub>; 1)</td><td>ω<sub>100</sub> = <div style="display: inline-block; vertical-align: middle; text-align: center;"><div style="border-bottom: 1px solid black; padding: 0 5px;">ω<sub>10</sub></div><div style="padding: 0 5px;">√1 + 2ω<sub>10</sub></div></div></td><td>σ<sub>200</sub> = σ<sub>101</sub><br>σ<sub>201</sub> = σ<sub>20</sub></td><td>ω<sub>101</sub> = <div style="display: inline-block; vertical-align: middle; text-align: center;"><div style="border-bottom: 1px solid black; padding: 0 5px;">1 + ω<sub>10</sub></div><div style="padding: 0 5px;">√1 + 2ω<sub>10</sub></div></div></td><td>(σ<sub>101</sub>; 1)<br>(P<sub>101</sub>; ω<sub>101</sub>)<br>(σ<sub>201</sub>; 1)</td></tr></table>

<table><caption>TABLE 12.3 – Valeurs des sphères construites lors de la deuxième itération de la subdivision itérative d'une branche de cercle représentant un morceau d'une cyclide de Dupin.</caption><thead><tr><th>Sur Λ<sup>4</sup></th><th>Centre et rayon dans E<sub>3</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>σ<sub>200</sub> ≃ (0, 876; 0, 621; 0, 815; -1, 275; 0, 956)</td><td>(O<sub>20</sub>; ρ<sub>20</sub>) ≃ (<div style="display: inline-block; vertical-align: middle; text-align: center;"><div style="border-bottom: 1px solid black; padding: 0 5px;">0, 709</div><div style="padding: 0 5px;">0, 930</div><div style="padding: 0 5px;">-1.456</div></div> ; 1, 142)</td></tr><tr><td>σ<sub>200</sub> ≃ (-0, 166; 0, 832; 0, 022; 0, 563; -0, 028)</td><td>(O<sub>200</sub>; ρ<sub>200</sub>) ≃ (<div style="display: inline-block; vertical-align: middle; text-align: center;"><div style="border-bottom: 1px solid black; padding: 0 5px;">-5</div><div style="padding: 0 5px;">-0, 133</div><div style="padding: 0 5px;">-3, 385</div></div> ; -6, 011)</td></tr></tbody></table>

### 12.4.2 Détermination du cercle frère $C_2$ de $C_1$

Pour ce faire, nous utilisons la proposition 15 afin de déterminer le plan $P_2$ contenant le cercle $C_2$. Nous avons $\overrightarrow{O_5\Omega_1}^2 = \frac{5478}{137}$ d'où :

$$ \Omega_2 \left( \frac{-14}{913}; \frac{1105}{5478}; \frac{439}{5478}; \frac{-155}{2739}; \frac{-2260}{2739} \right) $$
<table><caption>TABLE 12.4 – Schéma de subdivision de la troisième itération en utilisant les deux applications contractantes $T_0 \circ T_1 \circ T_0$ et $T_1 \circ T_1 \circ T_0$.</caption><tr><td></td><td></td><td>(<i>σ</i><sub>101</sub>; 1)<br>(<i>P</i><sub>101</sub>; <i>ω</i><sub>101</sub>)<br>(<i>σ</i><sub>201</sub>; 1)</td><td></td><td></td></tr><tr><td><i>a</i><sub>0</sub> = 0<br><i>c</i><sub>0</sub> = 1<br><i>b</i><sub>0</sub> = <div style="display: inline-block; vertical-align: middle; text-align: center;"><div style="border-bottom: 1px solid black; padding: 0 5px;">√2 + 2<i>ω</i><sub>101</sub></div><div style="padding: 0 5px;">2</div></div><br><i>d</i><sub>0</sub> = 2<i>b</i><sub>0</sub></td><td><i>T</i><sub>0</sub> &harr; Th. 27</td><td></td><td><i>T</i><sub>1</sub> &harr; Th. 28</td><td><i>a</i><sub>1</sub> = <div style="display: inline-block; vertical-align: middle; text-align: center;"><div style="border-bottom: 1px solid black; padding: 0 5px;">1</div><div style="padding: 0 5px;">√2 + 2<i>ω</i><sub>101</sub></div></div><br><i>c</i><sub>1</sub> = 2<i>a</i><sub>1</sub><br><i>b</i><sub>1</sub> = 1<br><i>d</i><sub>1</sub> = 1</td></tr><tr><td>(<i>σ</i><sub>1010</sub>; 1)<br>(<i>P</i><sub>1010</sub>; <i>ω</i><sub>1010</sub>)<br>(<i>σ</i><sub>2010</sub>; 1)</td><td><i>ω</i><sub>1010</sub> = √<div style="display: inline-block; vertical-align: middle; text-align: center;"><div style="border-bottom: 1px solid black; padding: 0 5px;">1 + <i>ω</i><sub>101</sub></div><div style="padding: 0 5px;">2</div></div></td><td><i>σ</i><sub>2010</sub> = <i>σ</i><sub>1011</sub></td><td><i>ω</i><sub>1011</sub> = √<div style="display: inline-block; vertical-align: middle; text-align: center;"><div style="border-bottom: 1px solid black; padding: 0 5px;">1 + <i>ω</i><sub>101</sub></div><div style="padding: 0 5px;">2</div></div></td><td>(<i>σ</i><sub>1011</sub>; 1)<br>(<i>P</i><sub>1011</sub>; <i>ω</i><sub>1011</sub>)<br>(<i>σ</i><sub>2011</sub>; 1)</td></tr></table>

<figure><img src="image_245.png" /><figcaption>FIGURE 12.9 – Trois itérations de subdivision d'une courbe de Bézier à points massiques de contrôle sur l'espace des sphères $\Lambda^4$ permettant d'obtenir, dans $\mathcal{E}_3$, des cercles caractéristiques d'une cyclide de Dupin à croissant non nul.</figcaption></figure>
<table><thead><tr><th>Sur Λ<sup>4</sup></th><th>Centre et rayon dans E<sub>3</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>σ<sub>2000</sub> ≃ (1, 894; -4, 470; 0, 221; -3, 459; 8, 183)</td><td>(O<sub>20</sub>; ρ<sub>20</sub>) ≃ (<span style="font-size: 2.5em; vertical-align: middle;">(</span><table style="display: inline-table; vertical-align: middle; text-align: center;"><tbody><tr><td style="border-bottom: 1px solid black;">-2, 360</td></tr><tr><td>0, 116</td></tr><tr><td>-1, 826</td></tr></tbody></table><span style="font-size: 2.5em; vertical-align: middle;">)</span>; 0, 528)</td></tr><tr><td>σ<sub>2000</sub> ≃ (-0, 363; 1, 817; 0, 287; 0, 573; -3, 732)</td><td>(O<sub>200</sub>; ρ<sub>200</sub>) ≃ (<span style="font-size: 2.5em; vertical-align: middle;">(</span><table style="display: inline-table; vertical-align: middle; text-align: center;"><tbody><tr><td style="border-bottom: 1px solid black;">-5</td></tr><tr><td>-0, 790</td></tr><tr><td>-1, 578</td></tr></tbody></table><span style="font-size: 2.5em; vertical-align: middle;">)</span>; -2, 752)</td></tr><tr><td>σ<sub>2010</sub> ≃ (0, 555; 2, 227; 0, 650; 0, 382; 4, 085)</td><td>(O<sub>2010</sub>; ρ<sub>2010</sub>) ≃ (<span style="font-size: 2.5em; vertical-align: middle;">(</span><table style="display: inline-table; vertical-align: middle; text-align: center;"><tbody><tr><td style="border-bottom: 1px solid black;">4, 017</td></tr><tr><td>1, 173</td></tr><tr><td>0, 689</td></tr></tbody></table><span style="font-size: 2.5em; vertical-align: middle;">)</span>; 1, 803)</td></tr><tr><td>σ<sub>2010</sub> ≃ (-0, 076; 0, 380; -0, 146; 0, 687; 2, 388)</td><td>(O<sub>2010</sub>; ρ<sub>2010</sub>) ≃ (<span style="font-size: 2.5em; vertical-align: middle;">(</span><table style="display: inline-table; vertical-align: middle; text-align: center;"><tbody><tr><td style="border-bottom: 1px solid black;">-5</td></tr><tr><td>1, 921</td></tr><tr><td>-9, 034</td></tr></tbody></table><span style="font-size: 2.5em; vertical-align: middle;">)</span>; -13, 158)</td></tr></tbody></table>

TABLE 12.5 – Valeurs des sphères construites lors de la troisième itération de la subdivision itérative d'une branche de cercle représentant un morceau d'une cyclide de Dupin.

et il reste à déterminer deux vecteurs orthogonaux $\vec{v}_1$ et $\vec{v}_2$ de $\vec{P}_2$ en résolvant le système suivant :

$$ \left\{ \begin{array}{lcl} \vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 & = & 0 \\ \vec{v}_1 \cdot \vec{m}_1 & = & 0 \\ \vec{v}_1 \cdot \overrightarrow{O_5 \Omega_1} & = & 0 \\ \vec{v}_1 \cdot \vec{m}_2 & = & 0 \\ \vec{v}_2 \cdot \vec{m}_1 & = & 0 \\ \vec{v}_2 \cdot \overrightarrow{O_5 \Omega_1} & = & 0 \\ \vec{v}_2 \cdot \vec{m}_2 & = & 0 \end{array} \right. $$

Ayant un degré de liberté, les vecteurs unitaires choisis sont :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \vec{v}_1 \left( \frac{-2}{\sqrt{17555}}, \frac{39}{\sqrt{17555}}, \frac{-23}{\sqrt{17555}}, \frac{-53}{\sqrt{17555}}, 0 \right) \\ \\ \vec{v}_2 \left( \frac{-2676 \zeta_2}{2195796955}, \frac{14657 \zeta_2}{13174781730}, \frac{8461 \zeta_2}{2634956346}, \frac{-37192 \zeta_2}{6587390865}, \frac{5 \zeta_2}{375243} \right) \end{array} \right. $$

avec $\zeta_2 = \sqrt{13174781730}$. Les valeurs approchées sont :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \vec{v}_1 \approx (-0, 015; 0, 294; -0, 868; -0, 400; 0) \\ \\ \vec{v}_2 \approx (-0, 140; 0, 128; 0, 369; -0, 648; 1, 529) \end{array} \right. $$
La modélisation du cercle $C_2$ est alors trivial, nous choisissons trois points $\sigma_0$, $\sigma_1$ et $\sigma_0^\bullet$ :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{O_5\sigma_0} = \overrightarrow{O_5\Omega_2} + \varrho_0 \overrightarrow{v_1} \\ \overrightarrow{O_5\sigma_1} = \overrightarrow{O_5\Omega_2} - \varrho_0 \overrightarrow{v_1} \\ \overrightarrow{O_5\sigma_0^\bullet} = \overrightarrow{v_2} \end{array} \right. $$

avec $\varrho_0 = \frac{7\sqrt{597102}}{5478} \approx 0,987$. Nous avons choisi de construire deux points $\sigma_0$ et $\sigma_2$ diamétralement opposés ainsi que la sphère dérivée $\sigma_0^\bullet$ de $\sigma_0$ (et de $\sigma_1$), tableau 12.6, ce qui permet d'obtenir directement deux cercles caractéristiques de cette nouvelle famille, figure 12.10. Le cercle est l'union de deux demi-cercles définis par des CBRQ dont les points massiques de contrôle sont $(\sigma_0; 1)$, $(\varrho_0 \overrightarrow{O_5 \sigma_0^\bullet; 0})$ et $(\sigma_1; 1)$ d'une part et $(\sigma_0; 1)$, $(-\varrho_0 \overrightarrow{O_5 \sigma_0^\bullet; 0})$ et $(\sigma_1; 1)$ d'autre part et la formule (11.83) est vérifiée pour les deux courbes.

<figure><img src="image_246.png" /><figcaption>FIGURE 12.10 – A partir de la figure 12.9, la détermination de l'autre famille de sphères permet de générer naturellement, dans $\mathcal{E}_3$, deux cercles caractéristiques d'une cyclide de Dupin à croissant non nul.</figcaption></figure>

### 12.4.3 Subdivision itérative du cercle frère $C_2$

Nous n'exposons en détail que la subdivision itérative du demi-cercle de centre $\Omega_2$ modélisé par la CBRQ de points massiques de contrôle $(\sigma_0; 1)$, $(\varrho_0 \overrightarrow{O_5 \sigma_0^\bullet; 0})$ et $(\sigma_1; 1)$, figure 12.7. L'application $T_0$ (resp. $T_1$) s'appuie sur le théorème 40 (resp. 41) et pour des raisons de symétrie,
<table><thead><tr><th>Sur Λ<sup>4</sup></th><th>Centre et rayon dans E<sub>3</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>σ<sub>0</sub> ≃ (-0, 030; 0, 492; -0, 777; -0, 4516; -0, 825)</td><td>(O<sub>0</sub>; ρ<sub>0</sub>) ≃ (<table><tbody><tr><td>-16, 282</td><td>25, 691</td><td>14, 933</td></tr></tbody></table> ; -33, 070)</td></tr><tr><td>σ<sub>1</sub> ≃ (-0, 000; -0, 090; 0, 937; 0, 338; -0, 825)</td><td>(O<sub>1</sub>; ρ<sub>1</sub>) ≃ (<table><tbody><tr><td>207, 230</td><td>-2183, 855</td><td>-788, 538</td></tr></tbody></table> ; -2330, 261)</td></tr><tr><td>σ̇<sub>0</sub> ≃ (0, 140; -0, 128; -0, 369; 0, 648; -1.529)</td><td>(Ȯ<sub>0</sub>; ρ̇<sub>0</sub>) ≃ (<table><tbody><tr><td>-0, 913</td><td>-2, 635</td><td>4, 632</td></tr></tbody></table> ; 7, 149)</td></tr></tbody></table>

TABLE 12.6 – Valeurs des sphères $σ_0$, $σ_1$ et $σ_0^\bullet$ permettant de définir le plan contenant $C_2$ ainsi que les centres et rayons de sphères de $E_3$ qu'elles engendrent.

nous ne détaillons que la subdivision du demi-cercle modélisé par la CBRQ de points massiques de contrôle $(σ_0; 1)$, $(\rho_0 O_5 \vec{\sigma}_0)$ et $(σ_1; 1)$ par l'application $T_0$.

### 12.4.3.1 Première itération

Nous avons :

$$T_0 \left( (σ_0; 1); \left( \rho_0 O_5 \vec{\sigma}_0; 0 \right); (σ_1; 1) \right) = (σ_{00}; 1); \left( \sigma_{00}^\bullet; \frac{\sqrt{2}}{2} \right); (σ_{10}; 1) \quad (12.47)$$

avec :

$$\left\{ \begin{array}{l} \sigma_{00}^\bullet \approx (-0, 168; 0, 618; -0, 413; -1, 091; 0, 685) \\ \sigma_{10} \approx (-0, 153; 0, 328; 0, 444; -0, 696; 0, 685) \end{array} \right.$$

ce qui conduit aux sphères orthogonales $S_{00}^\bullet$ et $S_{10}^\bullet$ de centre respectifs $O_{00}^\bullet$ et $O_{10}^\bullet$ et de rayon respectifs $ρ_{00}^\bullet$ et $ρ_{10}^\bullet$ avec :

$$\left\{ \begin{array}{l} (O_{00}^\bullet; \rho_{00}^\bullet) \approx ((-19, 5; 57, 5; 26, 5); 66, 248) \\ (O_{10}^\bullet; \rho_{10}^\bullet) \approx ((-2, 136; -2, 894; 4, 539); -6, 516) \end{array} \right.$$

et nous obtenons le cercle vert dans la figure 12.11.

### 12.4.3.2 Seconde itération

Les points de contrôle, formule (12.47), sont des points pondérés, nous effectuons une subdivision classique de quarts de cercles (pour la métrique de Lorentz) et utilisons les théorèmes 27 et 28 et les quatre sphères construites utiles pour l'affichage des deux cercles caractéristiques, en bleu sur la figure 12.11, sont données dans le tableau 12.7.
<table><caption>TABLE 12.7 – Sphères utiles pour afficher les cercles caractéristiques lors de la seconde itération.</caption><thead><tr><th>Sur Λ<sup>4</sup></th><th>Centre et rayon dans E<sub>3</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>σ<sub>100</sub> ≃ (-0, 124; 0, 496; -0, 269; -0, 788; 0, 243)</td><td>(O<sub>100</sub>; ρ<sub>100</sub>) ≃ (<span style="font-size: 2em; vertical-align: middle;">(</span><table style="display: inline-table; vertical-align: middle; text-align: center;"><tbody><tr><td style="border-bottom: 1px solid black;">-4, 018</td></tr><tr><td>2, 174</td></tr><tr><td>6, 381</td></tr></tbody></table><span style="font-size: 2em; vertical-align: middle;">)</span>; -8, 094)</td></tr><tr><td>σ<sub>000</sub> ≃ (-0, 088; -0, 118; 0, 874; -0, 175; 1, 081)</td><td>(O<sub>000</sub>; ρ<sub>000</sub>) ≃ (<span style="font-size: 2em; vertical-align: middle;">(</span><table style="display: inline-table; vertical-align: middle; text-align: center;"><tbody><tr><td style="border-bottom: 1px solid black;">1, 336</td></tr><tr><td>-9, 909</td></tr><tr><td>1, 988</td></tr></tbody></table><span style="font-size: 2em; vertical-align: middle;">)</span>; -11, 333)</td></tr><tr><td>σ<sub>011</sub> ≃ (-0, 102; 0, 085; 0, 943; -0, 230; 0, 242)</td><td>(O<sub>011</sub>; ρ<sub>011</sub>) ≃ (<span style="font-size: 2em; vertical-align: middle;">(</span><table style="display: inline-table; vertical-align: middle; text-align: center;"><tbody><tr><td style="border-bottom: 1px solid black;">-0, 833</td></tr><tr><td>-9, 208</td></tr><tr><td>2, 242</td></tr></tbody></table><span style="font-size: 2em; vertical-align: middle;">)</span>; -9, 760)</td></tr><tr><td>σ<sub>011</sub> ≃ (-0, 110; 0, 298; -0, 353; -0, 741; 1, 081)</td><td>(O<sub>011</sub>; ρ<sub>011</sub>) ≃ (<span style="font-size: 2em; vertical-align: middle;">(</span><table style="display: inline-table; vertical-align: middle; text-align: center;"><tbody><tr><td style="border-bottom: 1px solid black;">-2, 723</td></tr><tr><td>3, 222</td></tr><tr><td>6, 763</td></tr></tbody></table><span style="font-size: 2em; vertical-align: middle;">)</span>; -9, 125)</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_247.png" /><figcaption>FIGURE 12.11 – A partir de la figure 12.9, la détermination de l’autre famille de sphères permet de générer naturellement, dans $\mathcal{E}_3$, deux cercles caractéristiques d’une cyclide de Dupin à croissant non nul.</figcaption></figure>

## 12.5 Deuxième exemple illustratif

Nous allons illustrer les subdivisions du paragraphe 12.3.2.3. Pour ce faire, nous partons d’un cône de révolution de sommet $S = O_3$ et de deux sphères $S_0$ et $S_2$ de centres respectifs $\Omega_0(-3; 0; 0)$ et $\Omega_2(3; 0; 0)$ et de rayons respectifs $\rho_0 = \frac{1}{2}$ et $\rho_2 = -\rho_0$, figure 12.12.
<figure><img src="image_248.png" /><figcaption>FIGURE 12.12 – Partie symétrique (par rapport au sommet) d'un cône de révolution, à subdiviser.</figcaption></figure>

Le sommet est représenté par le vecteur lumière :

$$ \vec{m}_S = \vec{e}_o $$

et les sphères sont représentées respectivement par $\sigma_0$ et $\sigma_2$ définies par :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \sigma_0 \left( 2; -6; 0; 0; \frac{35}{4} \right) \\ \\ \sigma_2 \left( -2; -6; 0; 0; -\frac{35}{4} \right) \end{array} \right. $$

et le centre du cercle $C_1$ représentant le cône de révolution est $\Omega_1 (0; -6; 0; 0)$, milieu de $[\sigma_0; \sigma_2]$. Le cercle $C_1$ n'étant pas connexe, le carré de son rayon est négatif et nous avons :

$$ \overrightarrow{\Omega_1 \sigma_0} = -35 $$

et il nous reste à déterminer le vecteur $\vec{P}_1$, tangent à $C_1$ en $\sigma_0$ et nous devons résoudre :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \vec{P}_1 \cdot \overrightarrow{\Omega_1 \sigma_0} = 0 \\ \\ \vec{P}_1^2 = -\overrightarrow{\Omega_1 \sigma_0} \end{array} \right. $$

et nous obtenons deux solutions opposés, nous prenons $\vec{P}_1 (2; 0; 0; 0; -\frac{35}{4})$ afin que la CBRQ $\gamma$ de points massiques de contrôle $(\sigma_0; 1)$, $(\vec{P}_1; 0)$ et $(\sigma_2; -1)$ « contienne 4 » le point massique $(\vec{m}_S; 0)$. Evidemment, la CBRQ de points massiques de contrôle $(\sigma_0; 1)$, $(-\vec{P}_1; 0)$ et $(\sigma_2; -1)$ contient le point massique $(\vec{e}_\infty; 0)$.

La première application $T_0$ est définie en utilisant le théorème 38 avec $c_0 = 1$ et $b_0 = \frac{\sqrt{2}}{4}$ et les nouveaux points sont :

$$ \left\{ \begin{array}{l} (\sigma_{00}; 1) = T_0((\sigma_0; 1)) = (\sigma_0; 1) \\ (P_{10}; \omega_{10}) = T_0((\vec{P}_1; 0)) \approx ((4; -6; 0; 0; 0); 3535533) \\ (\vec{m}_{20}; 0) = T_0((\sigma_2; -1)) = (\vec{m}_S; 0) = (\vec{e}_o; 0) \end{array} \right. $$

<footnote n="4">4. En toute rigueur, $\lim_{t \to \frac{1}{2}} \gamma(t)$ est colinéaire à $\vec{m}_S$.</footnote>
La seconde application $T_1$ est définie en utilisant le théorème 39 avec $a_1 = \frac{\sqrt{2}}{4}$, $b_1 = 1$ et les nouveaux points sont :

$$ egin{cases} (\vec{m}_{01}; 0) = T_1((\sigma_0; 1)) = (\vec{m}_S; 0) = (\vec{e}_o; 0) \\ (P_{11}; \omega_{11}) = T_1((\vec{P}_1; 0)) \approx ((-4; -6; 0; 0; 0); -0,3535533) \\ (\sigma_{21}; -1) = T_1((\sigma_2; -1)) = (\sigma_2; -1) \end{cases} $$

Pour l'application $T_0$, nous permutons les points de contrôle pour que le premier point de contrôle soit un vecteur pur et pour l'application $T_1$, nous multiplions tous les points de contrôle par $-1$. Il suffit ensuite de se reporter au paragraphe 12.3.2.2, les quatre sphères construites utiles pour l'affichage des deux cercles caractéristiques, en bleu sur la figure 12.13, sont données dans le tableau 12.8.

<table><caption>TABLE 12.8 – Sphères utiles pour afficher les cercles caractéristiques lors de la seconde itération de subdivision d'un cône de révolution.</caption><thead><tr><th>Sur Λ<sup>4</sup></th><th>Centre et rayon dans E<sub>3</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>σ<sub>200</sub> ≈ (3, 414; -6; 0; 0; 5, 126)</td><td>(O<sub>100</sub>; ρ<sub>100</sub>) ≈ (<table><tr><td>-1, 757</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td></tr></table>; 0, 293)</td></tr><tr><td>σ<sub>200</sub>• ≈ (0, 577; 0; 0; 0; -0, 866)</td><td>(O<sub>000</sub>; ρ<sub>000</sub>) ≈ (<table><tr><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td></tr></table>; 1, 732)</td></tr><tr><td>σ<sub>011</sub> ≈ (3, 414; 6; 0; 0; 5, 126)</td><td>(O<sub>011</sub>; ρ<sub>011</sub>) ≈ (<table><tr><td>1, 757</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td></tr></table>; -0, 293)</td></tr><tr><td>σ<sub>011</sub>• ≈ (-0, 110; 0, 298; -0, 353; -0, 741; 1, 081)</td><td>(O<sub>011</sub>; ρ<sub>011</sub>) ≈ (<table><tr><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td></tr></table>; -1, 732)</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_249.png" /><figcaption>FIGURE 12.13 – Deux itérations d'une subdivision d'une partie symétrique (par rapport au sommet) d'un cône de révolution.</figcaption></figure>
## 12.6 Troisième exemple illustratif

Nous allons illustrer les subdivisions du paragraphe 12.3.4. Pour ce faire, nous partons d'un cyclide de Dupin à croissant nul définie par son point singulier $M = (2; 0; 0)$ et d'un cercle principal obtenu comme intersection de la sphère $S_0$ de centre respectif $O_0(-2; 0; 0)$ et de rayon $\rho_0 = 1$ et du plan $P_0$ passant par $O_0$ et de vecteur normal unitaire $\vec{N}(0; 1; 0)$, figure 12.14. En fait, pour être sûr de ne pas avoir deux points singuliers, le point $M$ appartient au plan définissant le cercle principal.

<figure><img src="image_250.png" /><figcaption>FIGURE 12.14 – Subdivision d'une demi-cyclide de Dupin à croissant externe nul.</figcaption></figure>

Le point singulier est représenté par le vecteur lumière :

$$ \vec{m} (1; 2; 0; 0; 2) $$

et la sphère et le plan sont représentés respectivement par $\sigma_0$ et $\pi_1$ définis par :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \sigma_0 \left(1; -2; 0; 0; \frac{3}{2}\right) \\ \\ \vec{\pi}_1 (0; 0; 1; 0; 0) \end{array} \right. $$

et il nous reste à déterminer le vecteur $\vec{P}_1 = \lambda_1 \vec{O}_5 \pi_1$ afin que la CBRQ de points massiques de contrôle $(\sigma_0; 1)$, $(\vec{P}_1; 0)$ et $(\vec{m}; 0)$ soit sur $\Lambda^4$. Il suffit de résoudre, pour tout $t$ de $[0; 1]$,
l'équation :

$$ \left( \frac{1}{B_0(t)} \left( B_0(t) \overrightarrow{O_5\sigma_0} + B_1(t) \lambda_1 \vec{\pi}_1 + B_2(t) \vec{m} \right) \right)^2 = 1 $$

et nous trouvons deux solutions opposées, nous avons retenu $\lambda_1 = \frac{\sqrt{15}}{2}$. Posons $\vec{P}_1 = \lambda_1 \vec{\pi}_1$.

La première application $T_0$ est définie en utilisant le théorème 42 avec $a_0 = 0, c_0 = 1, b_0 = 1$ et $d_0 = 2 b_0$ et les nouveaux points sont :

$$ \left\{ \begin{array}{lclcl} (\sigma_{00}; 1) & = & T_0((\sigma_0; 1)) & = & (\sigma_0; 1) \\ (P_{10}; 1) & = & T_0((\vec{P}_1; 0)) & \approx & ((1; -2; 1, 936; 0; \frac{3}{2}); 1) \\ (\sigma_{20}; 1) & = & T_0((\vec{m}; 0)) & = & ((2; 0; 3, 873; 0; 3, 5); 1) \end{array} \right. $$

De plus, nous obtenons :

$$ \vec{\sigma}_{20} \approx (-0, 516; -1, 033; -1; 0; -1, 033) $$

et le cercle caractéristique, en rouge, est l'intersection entre la sphère $S_{20}$ de centre $O_{20}(2; 1, 936; 0)$ et de rayon $\rho_{20} \approx 1,936$ et la sphère dérivée $\vec{O}_{20}$ de centre $\vec{O}_{20}(0; 1, 936; 0)$ et de rayon $\vec{\rho}_{20} = 0,5$.

La seconde application $T_1$ est définie en utilisant le théorème 43 avec $a_1 = 1, c_1 = 2, b_1 = d_1 = 1$ et les nouveaux points sont :

$$ \left\{ \begin{array}{lclcl} (\sigma_{01}; 1) & = & T_1((\sigma_0; 1)) & = & ((2; 0; 3, 873; 0; 3, 5); 1) \\ (\vec{P}_{11}; 0) & = & T_1((\vec{P}_1; 0)) & \approx & ((1; 2; 1, 936; 0; 2); 0) \\ (\vec{m}_{21}; 0) & = & T_1((\vec{m}; 0)) & = & (\vec{m}; 0) \end{array} \right. $$

et nous obtenons :

$$ -\vec{\sigma}_{20} = \frac{1}{\sqrt{\vec{P}_{11}^2}} \vec{P}_{11} \approx (0, 516; 1, 033; 1; 0; 1, 033) $$

En fait, pour la détermination du cercle caractéristique, l'orientation du vecteur tangent n'intervient pas puisque les intersections des demi-droites passant par $O_5$ et de vecteur directeurs respectifs $\vec{P}_{11}$ et $-\vec{P}_{11}$ vont donner deux sphères d'orientations opposées et donc la même sphère géométrique dans $\mathcal{E}_3$.

Pour obtenir le cercle caractéristique bleu entre les cercles caractéristiques rouge et jaune, nous subdivisons la CBRQ de points massiques de contrôle $(\sigma_{00}; 1), (P_{10}; 1)$ et $(\sigma_{20}; 1)$. La première application $T_0$ est définie en utilisant le théorème 27 avec $a_0 = 0, c_0 = 1, b_0 = \frac{1}{2}$ et $d_0 = 1$ et les nouveaux points sont :

$$ \left\{ \begin{array}{lclcl} (\sigma_{000}; 1) & = & T_0((\sigma_{00}; 1)) & = & (\sigma_0; 1) \\ (P_{100}; 1) & = & T_0((\vec{P}_{10}; 0)) & \approx & ((1; -2; 0, 968; 0; \frac{3}{2}); 1) \\ (\sigma_{200}; 1) & = & T_0((\sigma_{20}; 0)) & = & ((1, 25; -1, 5; 1, 936; 0; 2); 1) \end{array} \right. $$

ce qui conduit à :
$$
\sigma_{200}^{\bullet} \approx (0, 258; 0, 516; 1; 0; 0, 516)
$$

et le cercle caractéristique est l'intersection entre la sphère $S_{200}$ de centre $O_{200}$ $(-1, 2; 1, 549; 0)$
et de rayon $\rho_{200} = 0,8$ et la sphère dérivée $S_{200}^{\bullet}$ de centre $O_{200}^{\bullet}$ $(2; 3, 873; 0)$ et de rayon $\rho_{200}^{\bullet} \simeq$
$3,873$.

Pour obtenir le cercle caractéristique bleu entre le cercle caractéristique rouge et le point sin-
gulier, nous subdivisons la CBRQ de points massiques de contrôle ($\sigma_{01}; 1$), ($\vec{P}_{11}; 0$) et ($\vec{m}_{21}; 0$).
La seconde application $T_1$ est définie en utilisant le théorème 43 avec $a_1 = 1, c_1 = 2, b_1 = d_1 = 1$
et les nouveaux points sont :

$$
\left\{
\begin{array}{lclcl}
(\sigma_{011}; 1) & = & T_1((\sigma_{01}; 1)) & = & ((5; 6; 7, 746; 0; 9, 5); 1) \\
(\overrightarrow{P_{111}}; 0) & = & T_1((\overrightarrow{P_{11}}; 0)) & \approx & ((2; 4; 1, 936; 0; 4); 0) \\
(\overrightarrow{m_{211}}; 0) & = & T_1((\overrightarrow{m_{21}}; 0)) & = & (\overrightarrow{m}; 0)
\end{array}
\right.
$$

ce qui conduit à :

$$
\frac{1}{\sqrt{\overrightarrow{P_{111}}^2}} \overrightarrow{P_{111}} \approx (1, 033; 2, 066; 1; 0; 2, 066)
$$

et le cercle caractéristique est l'intersection entre la sphère $S_{011}$ de centre $O_{011}$ $(1, 2; 1, 549; 0)$
et de rayon $\rho_{011} \approx 0,2$ et la sphère dérivée $S_{011}^{\bullet}$ de centre $O_{011}^{\bullet}$ $(2; 0, 968; 0)$ et de rayon $\rho_{011}^{\bullet} \approx$
$0,968$, figure 12.14.

12.7 Quatrième exemple illustratif

Dans cet exemple, nous modélisons une cyclide de Dupin à croissant externe définie par :

* les deux sphères extrémales $S_0$ et $S_2$ de centres respectifs $O_0$ $(0; 4; 0)$ et $O_2$ $(-5; 0; 0)$ et de rayons respectifs $\rho_0 = 1$ et $\rho_2 = 4$;

• la sphère intermédiaire $S_1$ de centre $O_1(-\frac{5}{2}; 2\sqrt{3}; 0)$ et de rayon $\rho_1 = \frac{5}{2}$.

Dans la figure 12.15, les sphères $S_0$ et $S_2$ sont en texture « bozo » tandis que la sphère $S_1$ en
texture rouge rosée à bandes noires.

Les sphères $S_0$, $S_1$ et $S_2$ sont représentées sur $\Lambda^4$ par les trois points $\sigma_0 (1, 0, 4, 0, \frac{15}{2})$, $\sigma_1 (\frac{2}{5}, -1, \sqrt{3} \cdot 4 \cdot \frac{1}{5}, 0, \frac{12}{5})$ et $\sigma_2 (\frac{1}{4}, -\frac{5}{4}, 0, 0, \frac{9}{8})$. L'arc de cercle modélisant le morceau de cyclide de Dupin est défini par la CBRQ de points massiques de contrôle $(\sigma_0; 1), (P_1; \omega_1)$ et $(\sigma_2; 1)$ avec :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
P_1 \left( \frac{1}{4} ; -\frac{5}{4} ; 1 ; 0 ; \frac{9}{8} \right) \\
\\
\omega_1 = \sqrt{2}
\end{array}
\right.
$$
Les sphères dérivées de $\sigma_0$ et $\sigma_2$ sont respectivement :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \dot{\sigma}_0 \left( -\frac{3}{4}, -\frac{5}{4}, -3, 0, -\frac{51}{8} \right) \\ \\ \dot{\sigma}_2 (0; 0; -1; 0; 0) \end{array} \right. $$

et nous obtenons les cercles caractéristiques extrémaux des deux morceaux de cyclide de Dupin.

Les racines de $B_0(t) + \omega_1 B_1(t) + B_2(t)$ sont :

$$ \left\{ \begin{array}{l} t_1 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,293 \\ \\ t_2 = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707 \end{array} \right. $$

Les théorèmes 31, 32 et 33 permettent d'amorcer la subdivision du complémentaire de l'arc précédent c'est-à-dire la CBRQ de points massiques de contrôle $(\sigma_0; 1)$, $(P_1; -\omega_1)$ et $(\sigma_2; 1)$. Ainsi :

### Théorème 31

Nous obtenons $\sigma_{00} = \sigma_0$, $d_0 = \frac{2\sqrt{6}}{3} \approx 1,633$ d'où :

$$ (P_{10}; \omega_{10}) = \left( \left( \frac{3\sqrt{2} + 4}{4}; \frac{5\sqrt{2}}{4}; 4 + 3\sqrt{2}; 0; \frac{51\sqrt{2} + 60}{8} \right) ; \frac{-2\sqrt{3} + 2\sqrt{6}}{3} \right) $$

et :

$$ (\overrightarrow{m}_{20}; 0) = \left( \left( 1; \frac{5}{3}; 8\frac{\sqrt{2}}{3}; 0; \frac{17}{2} \right) ; 0 \right) $$

et la partie de la cyclide de Dupin entre le cercle caractéristique en magenta et le point singulier en rouge est modélisée par la CBRQ de points massiques de contrôle $(\overrightarrow{m}_{20}; 0)$, $(P_{10}; \omega_{10})$ et $(\sigma_{00}; 1)$. Les subdivisions suivantes se feraient en utilisant les théorèmes 36 et 37.

### Théorème 32

Nous avons $c_1 = d_0$, $(\overrightarrow{m}_{20}; 0) = (\overrightarrow{m}_{01}; 0)$ et $d_1 = \frac{2\sqrt{6}+4\sqrt{3}}{3} \approx 3,942$ d'où :

$$ (\Omega_{11}; \omega_{11}) = \left( \left( -\frac{1}{8}; -\frac{15}{8}; 0; 0; -\frac{33}{16} \right) ; -\frac{8}{3} \right) $$

et :

$$ (\overrightarrow{m}_{21}; 0) = \left( \left( 1; \frac{5}{3}; -8\frac{\sqrt{2}}{3}; 0; \frac{17}{2} \right) ; 0 \right) $$

et la partie de la cyclide de Dupin entre les deux points singuliers est modélisée par la CBRQ de points massiques de contrôle $(\overrightarrow{m}_{01}; 0)$, $(\Omega_{11}; \omega_{11})$ et $(\overrightarrow{m}_{21}; 0)$. Les subdivisions suivantes se feraient en utilisant les théorèmes 34 et 35 en prenant $(-\overrightarrow{m}_{01}; 0)$, $(\Omega_{11}; -\omega_{11})$ et $(-\overrightarrow{m}_{21}; 0)$ comme points massiques de contrôle afin que le centre du cercle ait un poids positif.
• Théorème 33

Nous obtenons $\sigma_{22} = \sigma_2$, $c_2 = d_1$ et $(\vec{m}_{02}; 0) = (\vec{m}_{21}; 0)$ d'où :

$$ (P_{12}; \omega_{12}) = \left( \left( \left( \frac{1}{4}; -\frac{5}{4}; -\sqrt{2}; 0; \frac{9}{8} \right); \frac{2\sqrt{3}}{3} \right) \right) $$

et la partie de la cyclide de Dupin entre le point singulier en vert et le cercle caractéristique en rose est modélisée par la CBRQ de points massiques de contrôle $(\vec{m}_{21}; 0)$, $(P_{12}; \omega_{12})$ et $(\sigma_{22}; 1)$. Les subdivisions suivantes se feraient en utilisant les théorèmes 36 et 37.

La figure 12.15 illustre une itération de subdivision en utilisant les théorèmes 31, 32 et 33. La partie en texture « Or » correspond à une branche de cercle, les deux autres arcs de cercles permettent de visualiser les parties en bois foncé et en bois clair.

<figure><img src="image_251.png" /><figcaption>FIGURE 12.15 – Une itération d’une construction itérative d’un arc de conique $\gamma$ sur $\Lambda^4$, d’ex-trémités $\sigma_0$ et $\sigma_2$ et ayant pour tangentes les droites $(\sigma_0 P_1)$ et $(\sigma_2 P_1)$ avec $(P_1; \omega_1)$ et $\omega_1 < -1$.</figcaption></figure>

## 12.8 Subdivision d'un carreau de cyclide de Dupin

Dans ce paragraphe, nous améliorons le travail effectué dans le chapitre 8 en considérant la représentation de deux arcs des cercles frères par des courbes de Bézier rationnelles quadratiques.
La méthode proposée est commune à toutes les cyclides de Dupin, seul le nombre de point(s) singulier(s) intervient via les différents paragraphes précédents. Rappelons que si $σ_0$ et $τ_0$ sont les représentations de deux sphères et n'appartiennent pas au même cercle frère, le vecteur $\overrightarrow{σ_0τ_0}$ est de type lumière et définit le point de la cyclide de Dupin qui est le point de tangence entre les deux sphères considérées. La figure 12.16 illustre la subdivision d'un carreau de cyclide de Dupin.

<figure><img src="image_252.png" /><figcaption>FIGURE 12.16 – Une itération d’une subdivision d’un carreau de cyclide de Dupin. Chacune des courbes de Bézier rationnelles quadratiques représente des sphères dont la cyclide de Dupin est l’enveloppe.</figcaption></figure>

La première (resp. seconde) famille est définie par la courbe de Bézier rationnelle quadratique de points massiques de contrôle ($σ_0$; 1), ($P_1$; $ω_1$) et ($σ_2$; 1) (resp. ($τ_0$; 1), ($Q_1$; $ω_1$) et ($τ_2$; 1)). Les sommets $P_{00}$, $P_{02}$, $P_{20}$ et $P_{22}$ du carreau sont définis respectivement par les vecteurs lumière $\overrightarrow{σ_0τ_0}$, $\overrightarrow{σ_0τ_2}$, $\overrightarrow{σ_2τ_0}$ et $\overrightarrow{σ_2τ_2}$.

Dans un premier temps, la courbe de Bézier rationnelle quadratique de points massiques de contrôle ($σ_0$; 1), ($P_1$; $ω_1$) et ($σ_2$; 1) est subdivisée pour obtenir les deux courbes de Bézier
rationnelles quadratiques de points massiques de contrôle ($\sigma_0$; 1), ($P_{10}$; $\omega_{10}$) et ($\sigma_{01}$; 1) d'une part et ($\sigma_{01}$; 1), ($P_{11}$; $\omega_{11}$) et ($\sigma_2$; 1) d'autre part. Deux nouveaux points $P_{010}$ et $P_{012}$ sont construits et définis respectivement par les vecteurs lumière $\overrightarrow{\sigma_{01}\tau_0}$, $\overrightarrow{\sigma_{01}\tau_2}$.

Dans un deuxième temps, la courbe de Bézier rationnelle quadratique de points massiques de contrôle ($\tau_0$; 1), ($Q_1$; $\varpi_1$) et ($\tau_2$; 1) est subdivisée pour obtenir les deux courbes de Bézier rationnelles quadratiques de points massiques de contrôle ($\tau_0$; 1), ($Q_{10}$; $\varpi_{10}$) et ($\tau_{01}$; 1) d'une part et ($\tau_{01}$; 1), ($Q_{11}$; $\varpi_{11}$) et ($\tau_2$; 1) d'autre part. Deux nouveaux points $P_{001}$ et $P_{201}$ sont construits et définis respectivement par les vecteurs lumière $\overrightarrow{\sigma_0\tau_{01}}$, $\overrightarrow{\sigma_2\tau_{01}}$.

Dans un dernier temps, le point $P_{0101}$ est construit est défini par le vecteur lumière $\overrightarrow{\sigma_{01}\tau_{01}}$. Le carreau $P_{00}P_{20}P_{22}P_{02}$ est remplacé par les quatre carreaux $P_{00}P_{010}P_{0101}P_{001}$, $P_{010}P_{20}P_{201}P_{0101}$, $P_{0101}P_{201}P_{22}P_{012}$ et $P_{012}P_{02}P_{001}P_{0101}$, figure 12.17. Les sphères initiales $S_0$ et $S_2$ sont définies par les points $\sigma_0$ et $\sigma_2$ tandis que la sphère $S_{01}$ est définie par la construction de $\sigma_{01}$.

<figure><img src="image_253.png" /><figcaption>FIGURE 12.17 – Subdivision d'un carreau de cyclide de Dupin : le carreau $P_{00}P_{20}P_{22}P_{02}$ est remplacé par les quatre carreaux $P_{00}P_{010}P_{0101}P_{001}$, $P_{010}P_{20}P_{201}P_{0101}$, $P_{0101}P_{201}P_{22}P_{012}$ et $P_{012}P_{02}P_{001}P_{0101}$.</figcaption></figure>

Par rapport à la figure 12.17, la figure 12.18 montre en plus la sphère $S_{01}$ définie par le point $\tau_{01}$.

En utilisant exactement le même algorithme, les figures 12.19 et 12.20 montrent les subdivisions d'un carreau de cyclide de Dupin en anneau et d'un carreau d'un tore à collier.

Notons que dans le chapitre 8, il faut déjà connaître le type de la surface sous-jacente, les algorithmes sont différents selon que nous avons un tore à collier ou une cyclide de Dupin non
<figure><img src="image_254.png" /><figcaption>FIGURE 12.18 – Subdivision d'un carreau de cyclide de Dupin : visualisation des sphères définitières par $\sigma_0, \sigma_{01}, \sigma_2$ et $\tau_{01}$ (en transparence).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_255.png" /><figcaption>FIGURE 12.19 – Subdivision d'un carreau de cyclide de Dupin en anneau.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_256.png" /><figcaption>FIGURE 12.20 – Subdivision d'un carreau de tore à collier.</figcaption></figure>

dégénérée. D'ailleurs, dans le cas du tore, nous avons besoin de deux algorithmes selon que les faisceaux de plans sont parallèles ou sécants en une droite. De plus, lors du calcul d'un carreau de Bézier rationnel biquadratique, en plus des deux sommets construits, nous avons besoin de cinq points ($P_{10}$, $P_{01}$, $P_{21}$, $P_{12}$ et $P_{11}$) ce qui nécessite l'utilisation de vingt-et-un réels. Dans l'espace de Lorentz, nous construisons deux points massiques de contrôle et deux sphères ce qui conduit à l'utilisation de vingt-deux réels. Ce surplus d'un réel est négligeable par rapport à la résolution de systèmes de trois équations linéaires à trois inconnues.

De plus, en utilisant les paragraphes 12.3.2 et 12.3.4, il est possible de subdiviser des carreaux dégénérés de cyclides de Dupin. La figure 12.21 montre la subdivision d'un carreau dégénéré de cyclide de Dupin à croissant externe. La première sphère construite est celle en bleu et correspond au point $\sigma_{01}$ de la figure 12.5. Le carreau dégénéré est transformé en deux carreaux, l'un est dégénéré, l'autre non. La sphère en rose est construite en utilisant la méthode de subdivision exposée au début de cette section tandis que la sphère magenta sur le nouveau carreau dégénéré est subdivisé selon ce dernier principe.

## 12.9 Synthèse du chapitre

Dans ce chapitre, nous avons développé des algorithmes permettant de subdiviser des courbes de Bézier quadratiques, à points massiques de contrôle, représentant des cyclides de Dupin dans l'espace des sphères. L'utilisation des points massiques est fondamentale puisque, dans cet espace, les sphères et plans orientés de $\mathcal{E}_3$ sont des points sur une sphère unité et les points singuliers de la surface canal sont des vecteurs. Nos algorithmes sont indépendants de la structure métrique et peuvent être, sans aucun travail, appliqués aux courbes de Bézier rationnelles quadratiques modélisant des arcs de coniques propres dans le plan euclidien usuel.

La figure 12.22 synthétise, par un graphe, les liens entre les divers théorèmes permettant de subdiviser une parabole isométrique à une droite. Notons qu'il n'y a des boucles que sur deux sommets : les CBRQs ayant trois points pondérés de poids positifs ; les CBRQs ayant un vecteur
<figure><img src="image_257.png" /><figcaption>FIGURE 12.21 – Subdivision d'un carreau dégénéré d'une cyclide de Dupin à croissant externe non nul.</figcaption></figure>

pur comme point massique de contrôle extrémal et deux points pondérés de poids positifs. Dans ce dernier cas, l'arc non borné est découpé en un arc borné et un arc non borné.

La figure 12.23 synthétise, par un graphe, les liens entre les divers théorèmes permettant de subdiviser un cercle connexe borné (une ellipse d'un point de vue euclidien).

La figure 12.24 synthétise, par un graphe, les liens entre les divers théorèmes permettant de subdiviser un cercle ayant deux composantes connexes (une hyperbole d'un point de vue euclidien). Notons qu'il n'y a des boucles que sur deux sommets : les CBRQs ayant trois points pondérés de poids positifs ; les CBRQs ayant un vecteur pur comme point massique de contrôle extrémal et deux points pondérés de poids positifs. Dans ce dernier cas, l'arc non borné est découpé en un arc borné et un arc non borné. Les flèches en petits points discontinus illustre une multiplication des points massiques par $-1$ tandis que les flèches en traits discontinus mettent en exergue la permutation des points massiques extrémaux.
<figure><img src="image_258.png" /><figcaption>FIGURE 12.22 – Graphe synthétisant les subdivisions réalisables pour une parabole affine isométrique à une droite.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_259.png" /><figcaption>FIGURE 12.23 – Graphe synthétisant les subdivisions réalisables pour un cercle connexe borné (une ellipse d’un point de vue euclidien).</figcaption></figure>
<figure><img src="image_260.png" /><figcaption>FIGURE 12.24 – Graph synthesizing all the realizable subdivisions for a circle having two composite convexities (a hyperbola of a point of view euclidian).</figcaption></figure>
# Chapitre 13

## Jointures de surfaces canal par des cyclides de Dupin

Rappelons que, sur $\Lambda^4$, si nous avons une famille à un paramètre $\sigma(t)$ qui représente une enveloppe de sphères de $\mathcal{E}_3$, l'application $\sigma$ est au moins $\mathcal{C}^1$, le vecteur $\frac{d\sigma}{dt}(t_0)$ est de type espace et défini une sphère $\dot{\sigma}(t_0)$, appelée sphère dérivée, et orthogonal à la sphère $\sigma(t_0)$. Si la courbe n'est pas paramétrée par l'abscisse curviligne, une notation équivalente à la sphère dérivée $\dot{\sigma}(t_0)$ et $\sigma^\perp(t_0)$ qui désigne le vecteur tangent à la courbe $\sigma$ en $\sigma(t_0)$ et nous obtenons la relation :

$$ \overrightarrow{O_5 \dot{\sigma}(t_0)} = \frac{1}{\sqrt{\sigma^\perp(t_0)^2}} \overrightarrow{\sigma^\perp(t_0)} $$

Dans ce chapitre, nous voulons joindre<fnref n="1" /> deux surfaces canal avec une cyclide de Dupin le long de cercles caractéristiques. Nous devons, pour cela, considérer la dernière (resp. première) sphère $S_1$ (resp. $S_2$) de la première (resp. seconde) surface canal ainsi que le cercle de jointure $C_1$ (resp. $C_2$). Dans l'espace des sphères, cela revient à considérer ou construire deux couples point-vecteur : $(\sigma_1; \sigma_1^\perp)$ pour la première surface canal et $(\sigma_2; \sigma_2^\perp)$ pour la seconde surface canal. Nous avons :

$$ \dim \mathrm{Aff} \left\{ \sigma_1; \sigma_1^\perp; \sigma_2; \sigma_2^\perp \right\} \le 3 $$

et en général, nous ne pouvons pas trouver une seule cyclide de Dupin. Si la dimension précédente est 2, nous pouvons n'utiliser qu'une seule cyclide de Dupin et c'est toujours le cas si nous ne nous imposons pas le second cercle caractéristique sur la seconde sphère de jointure. Le critère dans $\mathcal{E}_3$ est le suivant : chaque surface canal, le long du cercle de jointure, définit un cône (ou un cylindre) de révolution ; les deux surfaces canal peuvent être jointes par une cyclide de Dupin si les deux cônes-cylindres de révolution possèdent une même sphère inscrite [Pra90] et une classification des jointures possibles en fonction des quadriques, dont l'une est réduite à un sphère) est disponible dans [AD98, AD97a, AD97b]. Une jointure est possible avec deux cyclides de

<footnote n="1">1. Saut mention contraire, toutes les jointures de ce chapitre sont au moins $G^1$.</footnote>
Dupin si les axes des deux cônes-cylindres de révolution sont coplanaires [Pra90, Pra95] et une jointure entre deux cônes de révolution d'axes non coplanaires par deux cyclides de Dupin a été proposée par W. Boehm [Boe90]. La jointure entre les deux cyclides de Dupin s'effectue le long d'un cercle non choisi : nous proposons une méthode permettant de choisir ce cercle de jointure.

L'utilisation de l'espace des sphères simplifie la jointure entre surfaces canal :

* il est plus facile de joindre des courbes que des surfaces ;

* nous n'avons pas besoin de déterminer ni les paramètres de la cyclide de Dupin ni la matrice de la transformation affine permettant de la placer dans la scène, il est possible d'utiliser les algorithmes de subdivision du chapitre 12;

* nous obtenons des critères permettant d'éviter les rebroussements sur une sphère intermédiaire dans le cas de l'utilisation de deux cyclides de Dupin.

Dans un premier temps, paragraphe 13.1, nous montrons comment réaliser une jointure $G^1$ entre une surface canal et une sphère. Dans le paragraphe 13.2, nous réalisons une jointure entre deux surfaces canal en utilisant deux cyclides de Dupin qui se collent sur une sphère intermédiaire et nous donnons les critères permettant d'éviter les rebroussements ou les intersections. Dans le paragraphe 13.3, nous donnons un algorithme permettant aux cyclides de se recoller entre-elles, cela revient à un recollement sur le même cercle caractéristique de la sphère précédente. Dans le paragraphe 13.4, nous déterminons les cyclides de Dupin passant par un cercle et tangent à une sphère le long d'un cercle donné. Pour finir ce chapitre, dans le paragraphe 13.5, nous donnons un exemple complet en modélisant un hippocampe dans l'espace de Lorentz par des courbes de Bézier rationnelles quadratiques à points massiques de contrôle.

## 13.1 Jointure entre une surface canal et une sphère le long d'un cercle caractéristique

Sans perte de généralité, nous ne considérons que les deux sphères à joindre c'est-à-dire la sphère tangente à la surface canal le long du cercle caractéristique et la seconde sphère, appartiennent à l'une des familles de sphères dont la cyclide est l'enveloppe. Il suffit seulement de déterminer la sphère tangente à la surface canal au cercle de jointure au préalable. Nous pouvons remarquer que les algorithmes permettant une jointure sont alors considérablement simplifiés en se plaçant dans l'espace des sphères plutôt que dans l'espace $\mathcal{E}_3$.

### 13.1.1 Jointure entre un cylindre de révolution et un plan

Nous cherchons à joindre un plan $P_0$ avec un cylindre de révolution $Cyl_0$ le long d'un cercle de courbure $C_0$ appartenant à la sphère $S_0$ du cylindre, figure 13.1.

Le plan $P_0$ a pour équation $z = \frac{1}{5}x - 5$. Le cylindre $\mathcal{C}$ a pour axe $(Oz)$ et pour rayon $r_0 = 3$ et $S_0$ a pour centre $\Omega_0(0; 0; 0)$ et pour rayon $r_0$. Les points correspondants à $S_0$ et $P_0$ sur $\Lambda^4$ sont respectivement les points $\sigma_0$ et $\pi_0$ :

$$ \sigma_0 \left( \frac{1}{3}; 0; 0; 0; -\frac{3}{2} \right) $$
<figure><img src="image_261.png" /><figcaption>FIGURE 13.1 – Le cylindre de révolution et le plan à joindre.</figcaption></figure>

$$ \pi_0 \left( 0; \frac{\sqrt{26}}{26}; 0; \frac{-5 \sqrt{26}}{26}; \frac{25 \sqrt{26}}{26} \right) $$

Le vecteur $\vec{\sigma}_0 (0; 0; 0; \frac{1}{3}; 0)$ est tangent à la courbe représentant les sphères intérieures au cylindre (sphères centrées sur l'axe du cylindre) dans $\Lambda^4$ en $\sigma_0$. Le centre du cercle est :

$$ \Omega_1 (0, 13; 0, 12; 0, 00; 0, 00; 2, 41) $$

et son rayon est $R_1 \simeq 1,27$. A partir du paragraphe 11.3.3, nous avons :

$$ \vec{u}_1 (0, 16; -0, 09; 0, 00; 0, 0; -3, 09) $$

et :

$$ \vec{u}_2 (0; 0; 0; 1; 0) $$

puis :

$$ \overrightarrow{O_5\Omega_1^2} \simeq -0,61 $$

ce qui montre que la cyclide est en anneau, le plan $P_1$ est donc de type espace.

Nous obtenons $t_m = 0$ et $t_M = \pi$, cf. paragraphe 11.3.3.1, d'où :

$$ \sigma_m (0, 33; 0, 00; 0, 00; 0, 00; -1, 50) $$

et :

$$ \sigma_M (0, 07; 0, 24; 0, 00; 0, 00; -6, 33) $$
Le première sphère principale $S_m$ a pour centre $O_m \simeq (0,00;0,00;0,00)$ et pour rayon $\rho_m \simeq 3,00$. La seconde sphère principale $S_M$ a pour centre $O_M \simeq (-3,23;0,00;0,00))$ et pour rayon $\rho_M \simeq -13,44$. Le centre de la cyclide de Dupin est le milieu de $[O_m O_M]$ et est $O_c(-1,61;0,00;0,00)$.

Ainsi, les paramètres de la cyclide de Dupin sont :

$$c \approx 1,61 \quad a \approx 8,22 \quad \mu \approx 5,22$$

La figure 13.2 illustre la jointure obtenue entre le cylindre de révolution et le plan.

<figure><img src="image_262.png" /><figcaption>FIGURE 13.2 – La jointure réalisée entre le cylindre et le plan avec une partie de la CD4A précédente.</figcaption></figure>

Maintenant, changeons l'orientation de toutes les sphères<fnref n="2" /> dont le cylindre est l'enveloppe et gardons le même plan. La sphère de jointure $S_0$ a pour centre $\Omega_0(0;0;0)$ et pour rayon $r_0 = -3$. Le point correspondant à $S_0$ sur $\Lambda^4$ est :

$$\sigma_0^{-} \left(-\frac{1}{3}; 0; 0; 0; \frac{3}{2}\right)$$

→

et le vecteur $\sigma_0^{-}(0;0;0; -\frac{1}{3};0)$ est tangent à la courbe représentant les sphères intérieures au cylindre (sphères centrées sur l'axe du cylindre) dans $\Lambda^4$ en $\sigma_0^{-}$. Le centre du cercle est :

$$\Omega_1^{-} (-0,24; 0,06; 0,00; 0,00; 2,47)$$

<footnote n="2">2. Pour obtenir encore un cylindre, si nous changeons les orientations des sphères centrées sur l'axe de ce dernier, nous devons aussi changer les orientations des plans tangents au cylindre le long de ses génératrices.</footnote>
et son rayon au carré est $R_1^{-2} \simeq -0,18$. Nous avons :

$$ \vec{u}_1(-0, 22; -0, 13; 0, 00; 0, 00; -2, 28) $$

et :

$$ \vec{u}_2(0; 0; 0; -1; 0) $$

Les deux vecteurs lumière sont

$$ \vec{m}_0(-1; 0, 59; 0, 00; 4, 48; 10, 21) $$

et :

$$ \vec{m}_2(-1; 0, 59; 0, 00; -4, 48; 10, 21) $$

et nous obtenons $|\omega_1| \simeq 10,55$.

<figure><img src="image_263.png" /><figcaption>FIGURE 13.3 – Jointure réalisée entre un cylindre de révolution et un plan. (a) : le rayon du cylindre est 3. (b) : le rayon du cylindre est -3.</figcaption></figure>

La première sphère principale $S_1$ a pour centre $O_1 \simeq (0, 00; -0, 00; 0, 00)$ et pour rayon $\rho_1 \simeq -3,00$. La seconde sphère principale $S_2$ a pour centre $O_2 \simeq (-0, 78; -0, 00; 0, 00))$ et pour rayon $\rho_2 \simeq -6,96$. Le centre de la cyclide de Dupin est le milieu du segment $[O_mO_M]$ et est $O_c(-0, 39; 0, 00; 0, 00)$ et les paramètres de la cyclide de Dupin, figure 13.3, sont :

$$ c \simeq 0,39 \quad a \simeq 1,80 \quad \mu \simeq 4,98 $$

### 13.1.2 Jointure entre une caténoïde et un plan

Soit $a \in \mathbb{R}^*$. La caténoïde est une surface de révolution dont la chaînette, graphe de la fonction :

$$ f: \begin{array}{rcl} \mathbb{R} & \longrightarrow & [a; +\infty[ \\ t & \longmapsto & a \operatorname{ch} \left( \frac{t}{a} \right) \end{array} \qquad (13.1) $$
engendre une **méridienne**. Ainsi, l'équation paramétrique d'une caténoïde est donnée par :

$$ \Gamma(\psi, t) = \begin{pmatrix} a \cos(\psi) \operatorname{ch}\left(\frac{t}{a}\right) \\ a \sin(\psi) \operatorname{ch}\left(\frac{t}{a}\right) \\ t \end{pmatrix} \qquad (13.2) $$

où $(\psi; t) \in [0; 2\pi] \times \mathbb{R}$.

<figure><img src="image_264.png" /><figcaption>FIGURE 13.4 – La caténoïde, enveloppe de sphères, et le plan à joindre par une cyclide de Dupin.</figcaption></figure>

La figure 13.4 montre une caténoïde qui est une enveloppe à un paramètre de sphères $S_{cat}(t)$ de centre :

$$ O_{cat}(t) \left(0; 0; a \operatorname{sh}(t) \operatorname{ch}\left(\frac{t}{a}\right) + t\right) $$

et de rayon :

$$ R_{cat}(t) = a \operatorname{ch}^2\left(\frac{t}{a}\right) $$

Nous cherchons à joindre, figure 13.4, une caténoïde de paramètre $a = 4$, le long du cercle caractéristique obtenu pour $t = \frac{3}{2}$ avec le plan $P_0$ d'équation :

$$ \frac{\sqrt{10101}}{10101} (10x + y - 100z - 500) = 0 $$
La représentation de la caténoïde sur $\Lambda^4$ est :

$$ \sigma_{cat}(t) = \begin{pmatrix} \frac{1}{4 \operatorname{ch}^2\left(\frac{t}{4}\right)} \\ 0 \\ 0 \\ \frac{t + 4 \operatorname{ch}\left(\frac{t}{4}\right) \operatorname{sh}\left(\frac{t}{4}\right)}{4 \operatorname{ch}^2\left(\frac{t}{4}\right)} \\ \frac{\left(\left(t + 4 \operatorname{ch}\left(\frac{t}{4}\right) \operatorname{sh}\left(\frac{t}{4}\right)\right)^2 - 4 \operatorname{ch}^2\left(\frac{t}{4}\right)\right)^2}{8 \operatorname{ch}^2\left(\frac{t}{4}\right)} \end{pmatrix} $$

La sphère de jointure sur la caténoïde est $S_0$ de centre :

$$ O_0 = O_{cat} \left(\frac{3}{2}\right) \approx (0; 0; 3, 145) $$

et de rayon $r_0 = R_{cat} (\frac{3}{2}) \approx 4,589$. Le point correspondant à $S_0$ sur $\Lambda^4$ est :

$$ \sigma (0, 218; 0; 0, 685; -1, 217) $$

et le vecteur dérivé est :

$$ \vec{\sigma} = \frac{\overrightarrow{d\sigma_{cat}}}{dt} \left(\frac{3}{2}\right) \approx (-0, 039; 0; 0, 377; 0, 968) $$

Le plan $P_0$ passe par $P_0 (0; 0; -5)$ et a pour vecteur normal unitaire

$$ \vec{n}_0 = \left( \frac{10 \sqrt{10101}}{10101}, \frac{\sqrt{10101}}{10101}, -\frac{100 \sqrt{10101}}{10101} \right) $$

est sa représentation sur $\Lambda^4$ est :

$$ \tau (0; 0, 099; 0, 10; -0, 995; 4, 975) $$

Le centre du cercle passant par $\sigma$, $\tau$ et ayant $\vec{\sigma} = \vec{\sigma}^\perp$ comme vecteur tangent en $\sigma$ est :

$$ \Omega_1 \approx (0, 289; 0, 051; 0, 005; -0, 017; 2, 379) $$
et nous avons :
$$ \overrightarrow{O_5\Omega_1^2} \approx -0422 < 0 $$

ce qui montre que la cyclide de Dupin est en anneau.

Les représentations des sphères principales sont :

$$ \sigma_1 \approx (0, 252; 0, 101; 0, 001; -0, 052; -1, 978) $$

et :

$$ \sigma_2 \approx (-0, 074; 0, 091; 0, 009; 0, 018; 6, 737) $$

ce qui conduit aux sphères principales :

$$ O_1 \approx \begin{pmatrix} 0,043 \\ 0,004 \\ -0,207 \end{pmatrix}, \quad \rho_1 \approx 3,968, \quad O_2 \approx \begin{pmatrix} -1,245 \\ -0,124 \\ -0,242 \end{pmatrix}, \quad \rho_2 \approx -13,592 $$

La figure 13.5 montre les deux sphères principales $S_1$ (en rouge) et $S_2$ (en vert) ainsi que la sphère de jointure avec la caténoïde $S_0$ (en « Bozo »).

Les paramètres de la cyclide de Dupin sont :

$$ (a; c; \mu) \approx (8, 780; 0, 647; 4, 812) $$

et la matrice massique de la transformation affine permettant de placer la cyclide de Dupin dans le repère original est :

$$ = \begin{pmatrix} 0,995 & 0,100 & 0,026 & -0,601 \\ 0,099 & -0,995 & 0,003 & -0,060 \\ 0,026 & 0,000 & -1,000 & -0,224 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Il reste à déterminer les bornes de la cyclide pour $\psi$. La jointure avec le plan se fait pour $\psi = \frac{\pi}{2}$. Pour obtenir la seconde borne, il suffit de déterminer la sphère générant l'enveloppe ayant le même rayon que $S_0$ et tenant compte de l'orientation. Le rayon $r_0$ de $S_0$ est positif, le vecteur normal unitaire le long du cercle caractéristique de $S_0$ est donc sortant pour la caténoïde, mais il est rentrant pour la cyclide de Dupin et nous devons résoudre :

$$ \mu - \frac{a}{\cos(\psi)} = -r_0 $$

d'où :

$$ \cos(\psi) = \frac{a}{\mu + r_0} $$

ce qui conduit à $\psi_0 \approx 0,36559801$ puisque la cote du centre de la sphère de jointure sur la cyclide de Dupin est positive. Finalement, nous obtenons la jointure illustrée en figure 13.6.
<figure><img src="image_265.png" /><figcaption>FIGURE 13.5 – Deux sphères principales, la sphère de jointure avec la caténoïde permettant de réaliser une jointure G¹ entre cette dernière et un plan par une cyclide de Dupin (en anneau).</figcaption></figure>

### 13.1.3 Jointure entre une cyclide de Dupin et un plan

Soit $O_{10}(10; 10; 0)$. Les paramètres de la cyclide de Dupin $Cycl_0$ à joindre sont $a = 6$, $\mu = 4$ et $c = 2$, les bornes sont $[0; \frac{5\pi}{6}] \times [0; 2\pi]$ et les équations de la cyclide de Dupin sont exprimées dans le repère $(O_{10}; \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$. La sphère de jointure appartient à la famille de sphères centrées sur l'ellipse, de paramètre $\frac{5\pi}{6}$. Sa représentation sur $\Lambda^4$ est :

$$ \sigma = \left( \frac{-\sqrt{3} + 4}{13}; \frac{-\sqrt{3} \times 22 + 49}{13}; \frac{-2\sqrt{6} + 8\sqrt{2} - 10\sqrt{3} + 40}{13}; 0; \frac{-20\sqrt{6} + 80\sqrt{2} - 244\sqrt{3} + 534}{13} \right) $$

L'équation du plan à joindre est $-y = 0$ et sa représentation sur $\Lambda^4$ est :

$$ \tau (0; 0; -1; 0; 0) $$
<figure><img src="image_266.png" /><figcaption>FIGURE 13.6 – La jointure réalisée entre la caténoïde et le plan avec une partie de la CD4A précédente.</figcaption></figure>

En reprenant les calculs du paragraphe 13.1.2, les paramètres de la cyclide de Dupin $Cycl_J$ de jointure sont :

$$ (a; c; \mu) \approx (33,977; 20,720; 28,577) $$

et la matrice de la transformation affine permettant de placer la cyclide de Dupin $Cycl_J$ dans le repère originel est :

$$ = \begin{pmatrix} 0,793 & 0 & 0,610 & -9,477 \\ -0,610 & 0 & 0,793 & 28,577 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

et les bornes sont $[0, 13919776; \frac{\pi}{2}]$. Finalement, nous obtenons la jointure illustrée en figure 13.7. Notons que les plans de symétries $P_y$ et $P_z$ des cyclides de Dupin sont échangés.

## 13.2 Recollement de deux surfaces canal sur une même sphère

Joindre des surfaces canal entre elles ou en utilisant des morceaux de cyclides de Dupin implique de joindre des morceaux de courbes $\gamma_1$ et $\gamma_2$, de type espace, dans l'espace des sphères.
<figure><img src="image_267.png" /><figcaption>FIGURE 13.7 – La jointure réalisée entre la cyclide de Dupin $Cycl_0$ et le plan avec la partie utile de la CD4A $Cycl_1$.</figcaption></figure>

Si ces courbes se rejoignent de manière $G^0$ en un point alors la jointure dans $\mathcal{E}_3$ fait apparaître un morceau de sphère et peut avoir différentes allures, c'est-à-dire qu'elle peut avoir ou non des points singuliers. Nous pouvons donner une condition pour que la surface finale soit le résultat d'une jointure $G^1$ entre les deux surfaces canal et le morceau de sphère. Selon la manière dont les cercles caractéristiques des surfaces canal sont répartis sur la sphère de jointure nous pouvons obtenir différents résultats. Ils peuvent être sécants en deux points, figure 13.8, sécant en un point, figure 13.9 ou disjoints, figure 13.10. Dans chacun des cas, la surface obtenue peut avoir des points singuliers. Lorsque les cercles sont sécants, nous ne pouvons pas joindre de manière $G^1$ les deux surfaces canal et le morceau de sphère.

Pour éviter d'obtenir les situations des figures 13.8, 13.9(b) et 13.10(b), nous voulons joindre les surfaces canal le long de cercles caractéristiques ce qui permet d'obtenir des jointures de type $G^1$. Dans l'espace des sphères cela implique que les vecteurs tangents (unitaires) aux extrémités de $\gamma_1$ et de $\gamma_2$ sont colinéaires et de même sens (i.e. sont égaux en cas de paramétrisation par l'abscisse curviligne).

Nous pouvons étudier ces différentes situations dans l'espace des sphères. Dans la section 10.4.2, nous avons expliqué comment la position de deux sphères dans $\mathcal{E}_3$ est liée à la position des points correspondants sur $\Lambda^4$.

Regardons les cercles sur la sphère $S$. Soit $\sigma$ le point de $\Lambda^4$ correspondant à $S$. Les cercles orientés sur une sphère forment une quadrique $\Lambda_\sigma^3$ de dimension 3, incluse dans $\Lambda^4$. La construction de cette dernière est identique à la construction de l'espace des sphères $\Lambda^4$, paragraphe 6 de [LO08]. Les cercles de $S$ sont les intersections de $S$ avec des sphères orthogonales à $S$. Les points
<figure><img src="image_268.png" /><figcaption>FIGURE 13.8 – Les cercles caractéristiques des surfaces canal sont sécants sur la sphère de jointures.</figcaption></figure>

correspondants dans $\Lambda^4$ sont les points de $\Lambda^3_\sigma = \overrightarrow{\sigma^\perp} \cap \Lambda^4$, figure 13.11, où $\overrightarrow{\sigma^\perp}$ est l'hyperplan, contenant $O_5$, parallèle à l'hyperplan affine $T_\sigma \Lambda^4$.

Les courbes $\gamma_1$ et $\gamma_2$ étant de type espace, nous pouvons supposer que les deux arcs de courbes $\gamma_1 : [a_1, b_1] \to \Lambda^4$ et $\gamma_2 : [a_2, b_2] \to \Lambda^4$ sont **paramétrés par la longueur d'arc**. Avant d'aller plus en avant, nous devons utiliser le vecteur de courbure géodésique, définition 24 du paragraphe 11.1.2. Rappelons que dans notre cadre, les surfaces canal ne sont pas dégénérée, les vecteurs de courbure géodésique $\overrightarrow{k_g}(t)$ en tout point des courbes $\gamma_1$ et $\gamma_2$ sont de type temps [LS11]. Les vecteurs $\mathcal{L}_{4,1}$-unitaires $\dot{\overrightarrow{\gamma_1}}(b_1)$ et $\dot{\overrightarrow{\gamma_2}}(a_2)$ sont tangents en $\sigma = \gamma_1(b_1) = \gamma_2(a_2)$ respectivement à $\gamma_1$ et $\gamma_2$, figure 13.12. Le dernier cercle caractéristique $C_1$ de $\text{Surf}_1$ et le premier cercle caractéristique $C_2$ de $\text{Surf}_2$ appartiennent à la sphère $\mathcal{S}$.

Le vecteur $\dot{\overrightarrow{\gamma_1}}(b_1)$, considéré comme vecteur position, peut être associé au point $\dot{\gamma}_1(b_1)$ de $\Lambda^4$ défini par :

$$ \overrightarrow{O_5 \dot{\gamma}_1(b_1)} = \dot{\gamma}_1(b_1) $$

De plus, le point $\dot{\gamma}_1(b_1)$ appartient à $\Lambda^3_\sigma$ et correspond à la sphère orthogonale à $\mathcal{S}$ le long du cercle $C_1$. Ceci revient à considérer les points de $\Lambda^3_\sigma$ comme des cercles de $\mathcal{S}$.

Les points définis par les courbes $\dot{\gamma}_1(t)$ et $\dot{\gamma}_2(t)$ correspondent aux sphères $\dot{S}_i(t)$ orthogonales aux sphères correspondant aux points $\gamma_i(t)$. L'intersection $\dot{S}_i(t) \cap S_i(t)$ est le cercle
<figure><img src="image_269.png" /><figcaption>FIGURE 13.9 – Jointure $G^1$ entre deux surfaces canal le long de deux cercles cosphériques sécants en un point. (a) : Un exemple de jointure régulière. (b) : Un exemple de jointure singulière.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_270.png" /><figcaption>FIGURE 13.10 – Jointure $G^1$ entre deux surfaces canal le long de deux cercles cosphériques situés dans deux plans parallèles. (a) : Un exemple de jointure régulière. (b) : Un exemple de jointure singulière.</figcaption></figure>

caractéristique de $\mathcal{S}urf_i$ contenu dans $S_i$. Les deux cercles, pour $i$ dans $\{1; 2\}$, sont disjoints si le point $\dot{\gamma}_2(a_2)$ est à l'intérieur de l'un des cônes $C_{\gamma_1(b_1)}$ ou $C_{-\gamma_1(b_1)}$. Ensuite, il reste à déterminer la «bonne» partie de ces cônes pour que la calotte sphérique orientée $D_1$ dont le bord orienté est le cercle orienté $C_1$ soit incluse dans la calotte sphérique orientée $D_2$ dont le bord orienté est le cercle orienté $C_2$ (qui contient l'anneau bordé par les deux cercles $C_1$ et $C_2$). Pour cela, nous utilisons les vecteurs courbures géodésiques des courbes $\gamma_1$ et $\gamma_2$ aux points $\Gamma_1(b_1)$ et $\Gamma_2(a_2)$ que nous notons $\vec{k}_{g_1}$ et $\vec{k}_{g_2}$.

La jointure des deux surfaces canal par rapport à la sphère $S$ associée à $\sigma = \gamma_1(b_1) = \gamma_2(a_2)$ n'a pas de points singuliers si les derniers cercles caractéristiques de $\mathcal{S}urf_1$ et les premiers cercles caractéristiques de $\mathcal{S}urf_2$ se projettent sur $S$ en dehors de l'anneau de sphère bordé par les cercles $C_1$ et $C_2$. La projection des cercles caractéristiques sur $S$ sont les intersections des sphères correspondantes aux points $\dot{\gamma}_1(t)$ et $\dot{\gamma}_2(t)$ avec $S$. Les deux courbes $\dot{\gamma}_i(t)$ sont sur $\Lambda^4$
<figure><img src="image_271.png" /><figcaption>FIGURE 13.11 – Représentation, sur $\Lambda^4$, des cercles orientés $\Lambda_\sigma^3$ d'une sphère $S$ représentée par le point $\sigma$.</figcaption></figure>

mais seuls les points $\dot{\gamma}_1(b_1)$ et $\dot{\gamma}_2(a_2)$ sont sur $\Lambda_\sigma^3$. Comme nous voulons travailler sur $\Lambda_\sigma^3$, nous allons utiliser une projection des courbes $\dot{\gamma}_i(t)$ sur $\Lambda_\sigma^3$, notée $\text{proj}(\dot{\gamma}_i(t)) = \alpha_i(t)$, telle que les courbes $\alpha_i(t)$ correspondent aux sphères orthogonales à $S$ portant les cercles $S \cap \mathring{S}_i(t)$ : les points $\sigma, \dot{\gamma}_i(t)$ et $\alpha_i(t)$ pour $t$ fixé correspondent à des sphères qui font partie d'un faisceau de sphères de base le cercle $S \cap \mathring{S}_i$, le cercle sur $\Lambda^4$ les représentant, contenue dans le plan $\text{Aff}(\sigma, \dot{\Gamma}_i(t), \alpha_i(t))$ passant par l'origine, intersecte $\Lambda_\sigma^3$ en $\alpha_i(t)$.

Les vecteurs tangents à $\alpha_1$ et $\alpha_2$ aux points $\alpha_1(b_1)$ et $\alpha_2(a_2)$ sont les vecteurs $\overrightarrow{k_{g_1}}$ et $\overrightarrow{k_{g_2}}$ définis précédemment. D'abord, les cercles orientés associés aux points $\alpha_1(b_1)$ et $\alpha_2(a_2)$ sur $\Lambda_\sigma^3$ doivent appartenir à un faisceau de cercles à points limites pour être disjoints, ce qui implique que les sphères correspondantes à $\alpha_1(b_1)$ et $\alpha_2(a_2)$ dans $\Lambda^4$ doivent appartenir à un faisceau de sphères à points limites aussi. La courbe correspondante dans $\Lambda^4$ doit être de type temps. Pour obtenir une jointure $G^1$ entre les deux surfaces canal et le morceau de sphère bordé par les cercles $C_1$ et $C_2$, nous devons pouvoir joindre les points $\alpha_1(b_1)$ et $\alpha_2(a_2)$ dans $\Lambda_\sigma^3$ par une courbe de type temps contenue dans $\Lambda_\sigma^3$. Pour que ceci soit possible, il faut que le vecteur $\overrightarrow{\alpha_1(b_1)\alpha_2(a_2)}$ soit de type temps et que les trois vecteurs positions $\overrightarrow{O_5\dot{\gamma}_1(b_1)} + \overrightarrow{k_{g_1}}, \overrightarrow{O_5\dot{\gamma}_1(b_1)} + \overrightarrow{k_{g_2}}$ et $\overrightarrow{O_5\dot{\gamma}_1(b_1)} - \overrightarrow{\alpha_1(b_1)\alpha_2(a_2)}$ soient à l'intérieur et dans la même partie du cône $C_{\dot{\gamma}_1(b_1)}$.
<figure><img src="image_272.png" /><figcaption>FIGURE 13.12 – Représentation du problème sur $\Lambda^4$. (a) : Les deux courbes $\gamma_i$ correspondant aux surfaces canal $Surf_i$ ont un point commun $\sigma$ et les vecteurs courbure géodésique au point $\sigma$ sont les vecteurs $\vec{k}_{g_i}$. (b) : Les courbes $\dot{\gamma}_i(t)$ et leurs projections $\alpha_i(t)$ sur $\Lambda_\sigma^3$.</figcaption></figure>

# 13.3 Jointure G¹ par deux cyclides de Dupin

## 13.3.1 Principe et algorithme

Nous souhaitons joindre de manière $G^1$ deux surfaces canal quelconques $Surf_1$ et $Surf_2$ le long de deux cercles caractéristiques $C_1$ et $C_2$ en utilisant deux morceaux de cyclides de Dupin mis bout à bout.

Sur $\Lambda^4$, la surface canal $Surf_1$ (resp. $Surf_2$) est représentée par la courbe $\gamma_1$ (resp. $\gamma_2$) dont l'extrémité de jointure est le point $\sigma_1$ de $\gamma_1$ (resp. $\sigma_2$ de $\gamma_2$). Le point $\sigma_1$ (resp. $\sigma_2$) représente la sphère $S_1$ (resp. $S_2$) tangente à la surface canal $Surf_1$ (resp. $Surf_2$) le long du cercle $C_1$ (resp. $C_2$). Nous pouvons calculer le vecteur $\vec{v}_1$ (resp. $\vec{v}_2$) tangent à $\gamma_1$ (resp. $\gamma_2$) en $\sigma_1$ (resp. $\sigma_2$) représentant le cercle caractéristique $C_1$ (resp. $C_2$). La dimension de l'espace engendré par $\sigma_1, \sigma_2, \vec{v}_1$ et $\vec{v}_2$ est 3 ce qui permet d'obtenir qu'une jointure $G^0$ avec deux arcs de cercles, figure 13.13.

Le travail consiste à joindre les deux couples points-vecteurs ($\sigma_1; \vec{v}_1$) et ($\sigma_2; \vec{v}_2$) par deux arcs de coniques, dans une section de $\Lambda^4$ par un espace affine de dimension 3, qui se recollent de façon $G^1$ en un point $\sigma$.

Soit $\sigma$ un point de $\Lambda^4$. Soit $\mathcal{P}_{1,\sigma} = \text{Aff}(\sigma_1, \sigma, \vec{v}_1)$ et $\mathcal{P}_{2,\sigma} = \text{Aff}(\sigma_2, \sigma, \vec{v}_2)$. La dimension de $\mathcal{P}_1 \cap \mathcal{P}_2$ est 1 (il ne peut pas être deux puisqu'alors une seule cyclide de Dupin suffirait, les deux
<figure><img src="image_273.png" /><figcaption>FIGURE 13.13 – Dans l'espace des sphères, en général, les deux vecteurs tangents au point $\sigma$ ne sont pas colinéaires et les cyclides de Dupin ne se raccordent par sur le même cercle caractéristique.</figcaption></figure>

2-plans sont dans un espace de dimension 3). Les deux courbes suivantes :

$$ \Gamma_{1,\sigma} = \Lambda^4 \cap \mathcal{P}_{1,\sigma} \quad \text{et} \quad \Gamma_{2,\sigma} = \Lambda^4 \cap \mathcal{P}_{2,\sigma} $$

représentent chacune une cyclide de Dupin $Cycl_1$ et $Cycl_2$. La cyclide de Dupin $Cycl_1$ (resp. $Cycl_2$) joint de manière $G^1$ la surface canal $Surf_1$ (resp. $Surf_2$) le long de $C_1$ (resp. $C_2$) et la sphère $S$ correspondant à $\sigma$ le long d'un cercle $C_{\sigma,1}$ (resp. $C_{\sigma,2}$). Les cercles $C_{\sigma,1}$ et $C_{\sigma,2}$ ne représentent pas forcément le même cercle sur $S$. Nous avons la continuité au point de jointure sur $\Lambda^4$ mais pas le même vecteur tangent. Dans ce cas, la jointure entre les deux cyclides de Dupin n'est pas $G^1$ dans $\mathcal{E}_3$. Nous avons vu précédemment qu'il est possible d'obtenir une jointure $G^1$ en raccordant chacune des deux cyclides de Dupin sur une même sphère en utilisant aussi un morceau de sphère. Pour assurer la $G^1$-continuité au niveau de cette sphère, nous imposons que les cercles $C_{\sigma,1}$ et $C_{\sigma,2}$ soient confondus. Cette condition est suffisante mais pas nécessaire. Elle impose que les vecteurs $\overrightarrow{u_{1,\sigma}}$ et $\overrightarrow{u_{2,\sigma}}$ tangents à $\Gamma_{1,\sigma}$ et $\Gamma_{2,\sigma}$ en $\sigma$ soient colinéaires.
Dans l'algorithm 13.1, nous obtenons un degré de liberté ($\beta_1 \in \mathbb{R}^*$) concernant le choix de la solution.

**Algorithmme 13.1** Jointure G¹ entre deux surfaces canal par deux morceaux de cyclides de Dupin le long de deux cercles donnés.

**Entrée** : Les cercles $C_1$ et $C_2$ donnés sur les surfaces canal $\text{Surf}_1$ et $\text{Surf}_2$

1. Calcul de la sphère $S_1$ (resp. $S_2$) tangente à $\text{Surf}_1$ (resp. $\text{Surf}_2$) en $C_1$ (resp. $C_2$)

2. Calcul de $\sigma_1$ et $\sigma_2$ correspondant à $S_1$ et $S_2$ dans $\Lambda^4$.

3. Calcul de $\overrightarrow{v_1}$ et $\overrightarrow{v_2}$ associés à $C_1$ et $C_2$ dans $\overrightarrow{L_{4,1}}$.

4. Soit $\sigma$ ($x_o; x_1; x_2; x_3; \frac{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 1}{2x_o}$) sur $\Lambda^4$

5. Calcul, en fonction de $\sigma$, de $\Omega_{1,\sigma}$, centre de la conique $\Gamma_{1,\sigma} = \text{Aff}(\sigma_1, \sigma, \overrightarrow{v_1}) \cap \Lambda^4$

6. Calcul, en fonction de $\sigma$, de $\Omega_{2,\sigma}$, centre de la conique $\Gamma_{2,\sigma} = \text{Aff}(\sigma_2, \sigma, \overrightarrow{v_2}) \cap \Lambda^4$ ou $\Gamma_{2,\sigma} = \text{Aff}(\sigma_2, \sigma^{-}, \overrightarrow{v_2}) \cap \Lambda^4$

7. Calcul de $\overrightarrow{u_{1,\sigma}} = \overrightarrow{\sigma\sigma_1} + \beta_1 \overrightarrow{v_1}$

8. Calcul de $\overrightarrow{u_{2,\sigma}} = \overrightarrow{\sigma\sigma_2} + \beta_2 \overrightarrow{v_2}$

9. Détermination de $x_o, x_1, x_2$ et $x_3$ afin que les vecteurs $\overrightarrow{u_{1,\sigma}}$ et $\overrightarrow{u_{2,\sigma}}$ soient colinéaires

10. Choix d'une valeur pour $\beta_1$

11. Détermination de $\beta_2$ en résolvant :

$$ \overrightarrow{\Omega_{1,\sigma}\sigma} \cdot \overrightarrow{u_{2,\sigma}} = 0 \qquad (13.3) $$

**Sortie** : Les deux courbes $\Gamma_{1,\sigma_0}$ et $\Gamma_{2,\sigma_0}$ de $\Lambda^4$ correspondant aux deux cyclides de Dupin effectuant une jointure G¹ entre les surfaces canal $\text{Surf}_1$ et $\text{Surf}_2$ le long des cercles $C_1$ et $C_2$.

Les vecteurs $\overrightarrow{u_{1,\sigma}}$ et $\overrightarrow{u_{2,\sigma}}$ sont colinéaires et tangents au cercle $\Gamma_{1,\sigma}$ en $\sigma$ puisque $\overrightarrow{u_{1,\sigma}}$ et $\overrightarrow{u_{2,\sigma}}$ appartiennent à $\overrightarrow{P_1} \cap \overrightarrow{P_2} \subset \overrightarrow{T_\sigma} \Lambda^4$. Ainsi, la formule (13.3) implique les conditions :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{\Omega_{1,\sigma}\sigma} \cdot \overrightarrow{u_{1,\sigma}} = 0 \\ \overrightarrow{\Omega_{2,\sigma}\sigma} \cdot \overrightarrow{u_{2,\sigma}} = 0 \end{array} \right. $$

De plus, $\sigma$ appartient à $\text{Aff}\{\sigma_1; \sigma_2; \overrightarrow{v_1}; \overrightarrow{v_2}\}$ qui est dimension 3 et à $\Lambda^4$ ce qui montre que $\sigma$ appartient à une 2-sphère sur $\Lambda^4$. Nous avons la conjecture suivante : $\sigma$ appartient à l'union de deux cercles passant par $\sigma_1$ et $\sigma_2$ c'est-à-dire que le lieu géométrique de $\sigma$ est inclus dans l'union de deux cyclides de Dupin, figure 13.15.

Notons que si nous changeons l'orientation de la sphère $S$ dans $\mathcal{E}_3$, la jointure entre les deux cyclides de Dupin dans $\mathcal{E}_3$ est toujours $G^1$ tandis que la jointure des deux courbes $\Gamma_{1,\sigma}$ et $\Gamma_{2,\sigma}$ n'est même plus $G^0$ dans $\Lambda^4$ : une courbe a pour extrémité $\sigma$ alors que l'autre a pour extrémité $\sigma^{-} = -\sigma$.
<figure><img src="image_274.png" /><figcaption>FIGURE 13.14 – Illustration de l’algorithme 13.1 dans l’espace des sphères : le point $\sigma$ est calculé de telle façon que les deux vecteurs tangents au point $\sigma$ soient colinéaires ce qui permet d’obtenir une jointure $G^1$ (les cyclides de Dupin se raccordent le long du même cercle caractéristique).</figcaption></figure>

La figure 13.14 illustre une jointure $G^1$ entre les surfaces $Surf_1$, $Cycl_1$, $Cycl_2$ et $Surf_2$, sur $\Lambda^4$, en utilisant l’algorithme 13.1, le résultat dans $\mathcal{E}_3$ est montré par la figure 13.16.

### 13.3.2 Exemples numériques

Dans $\mathcal{E}_3$, muni du repère orthonormé direct ($O_3, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$), nous souhaitons joindre deux cylindres $Cyl_1$ et $Cyl_2$. Dans la suite toutes les valeurs numériques approchées sont données au millième près. Le cylindre $Cyl_1$ est l’enveloppe de sphères, de rayon $R_1 = 3$, centrée sur la courbe :

$$S_1 : t \mapsto (10; 10; 20 + 20t), \quad t \in [0; 1]$$
<figure><img src="image_275.png" /><figcaption>FIGURE 13.15 – Lieu des sphères $\sigma$. (a) : les deux cyclides de Dupin. (b) : la partie utile de l'une des cyclides afin de ne pas avoir de rebroussements sur la sphère $\sigma$.</figcaption></figure>

et la sphère de jointure est centrée en $S_1(0) = (10; 10; 20)$. Le cylindre $Cyl_2$ est l'enveloppe de sphères, de rayon $R_2 = 5$, centrée sur la courbe :

$$S_2 : t \mapsto (-10; -30 - 20t; -30), \quad t \in [0; 1]$$

et la sphère de jointure est centrée en $S_2(0) = (-10; -30; -30)$.

La représentation sur $\Lambda^4$ du premier cylindre $Cyl_1$ est :

$$\sigma_1(t) = \left( \frac{1}{3}; \frac{10}{3}; \frac{10}{3}; \frac{20+20t}{3}; \frac{400t^2+800t+591}{6} \right), \quad t \in [0; 1]$$

tandis que la représentation sur $\Lambda^4$ du second cylindre $Cyl_2$ est :

$$\sigma_2(t) = \left( \frac{1}{5}; -2; -6 - 4t; -6; \frac{80t^2 + 240t + 375}{2} \right), \quad t \in [0; 1]$$

Le premier vecteur est :

$$\vec{v}_1 = \vec{\sigma}_1(0) = \left(0; 0; 0; \frac{20}{3}; \frac{400}{3}\right)$$

tandis que le second vecteur est :

$$\vec{v}_2 = \vec{\sigma}_2(0) = (0; 0; -4; 0; 120)$$
### 13.3.2.1 Jointure $G^1$ de deux courbes sur $\Lambda^4$

En utilisant l'algorithm 13.1, nous trouvons $\sigma$ de coordonnées :

$$ (0, 300; 2, 004; 2, 949; 1, 569; 23, 612) $$

qui correspond à la sphère $S$ de centre :

$$ O_S (6, 678; 9, 826; 5, 227) $$

et de rayon $r_S \simeq 3,332$. La courbe de jointure entre $\sigma_1 (0)$ et $\sigma$ est :

$$ \Gamma_1 = \Lambda^4 \cap \mathrm{Aff}(\sigma_1, \sigma, \vec{v}_1) $$

qui correspond à la cyclide de Dupin $Dup_1$, en vert dans la figure 13.23(a), a pour paramètres :

$$ a_1 \simeq 34,800; \quad c_1 \simeq 3,475; \quad \mu_1 \simeq 6,475 $$

les bornes sont :

$$ (\theta_1; \psi_1) \in [-0, 440783191962; 0] \times [0; 2\pi] $$

et la matrice massique de la transformation affine permettant de la placer dans le repère initial est :

$$ \begin{pmatrix} 0,998 & 0 & 0,052 & -24,752 \\ 0,052 & 0 & -0,998 & 8,174 \\ 0 & 1 & 0 & 20 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

La courbe de jointure entre $\sigma_2 (0)$ et $\sigma$ est :

$$ \Gamma_2 = \Lambda^4 \cap \mathrm{Aff}(\sigma_2, \sigma, \vec{v}_2) $$

qui correspond à la cyclide de Dupin $Dup_2$, en jaune dans la figure 13.16(a), a pour paramètres :

$$ a_2 = 39,872; \quad c_2 = 1,742; \quad \mu_2 = 3,2935 $$

les bornes sont :

$$ (\theta_2; \psi_2) \in [-1, 59328607563; 0] \times [0; 2\pi] $$

et la matrice massique de la transformation affine permettant de la placer dans le repère initial est :

$$ \begin{pmatrix} 0,428 & 0 & 0,904 & 7,062 \\ 0 & -1 & 0 & -30 \\ 0,903 & 0 & -0,427 & 6,037 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Sans effet de transparence, nous obtenons la figure 13.16(b).
<figure><img src="image_276.png" /><figcaption>FIGURE 13.16 – Exemple de jointure entre deux cylindres dans $\mathcal{E}_3$ par deux morceaux de cyclides de Dupin, contrairement à W. Boehm [Boe90], nous choisissons les cercles de jointure sur les deux cylindres.</figcaption></figure>

### 13.3.2.2 Les deux courbes sur $\Lambda^4$ sont disjointes

Dans le paragraphe précédent, nous avions recoller les deux cercles sur une même sphère. Dans ce paragraphe, nous allons recoller un cercle sur une sphère $\sigma$ et l'autre courbe sur la sphère oppose $\sigma^-$. Naturellement, pour induire une jointure $G^1$ dans $\mathcal{E}_3$, nous devons avoir la même direction pour les vecteurs tangents aux cercles en $\sigma$ et $\sigma^-$. Le figure 13.17 schématise la situation lorsque nous obtenons au moins une cyclide à croissant non nul (l'un des cercles est non connexe). La jointure des cyclides de Dupin est $G^1$ dans $\mathcal{E}_3$ bien que les deux arcs de cercles les représentant sur $\Lambda^4$ sont disjoints.

#### 13.3.2.2.1 Cas d'un rebroussement
En utilisant l'algorithme 13.1, nous trouvons $\sigma$ de coordonnées :

$$(-0, 2; 2; -4; -4; -87, 5])$$

qui correspond à la sphère $S_S$ de centre :

$$O_S(-10; 20; 20)$$

et de rayon $r_S \simeq -5$. La courbe de jointure entre $\sigma_1(0)$ et $\sigma$ est :

$$\Gamma_1 = \Lambda^4 \cap \mathrm{Aff}(\sigma_1, \sigma, \vec{v}_1)$$
<figure><img src="image_277.png" /></figure>

FIGURE 13.17 – Illustration de l’algorithme 13.1 dans l’espace des sphères : le point $\sigma$ est calculé de telle façon que les deux vecteurs tangents aux points $\sigma$ et $\sigma^-$ soient colinéaires ce qui permet d’obtenir une jointure $G^1$ (les cyclides de Dupin se raccordent le long du même cercle caractéristique).

qui correspond à la cyclide de Dupin $Dup_1$, en vert dans la figure 13.23(a), a pour paramètres :

$$a_1 \approx 11,180; \quad c_1 \approx 4,000; \quad \mu_1 \approx 1,000$$

les bornes sont :

$$(\theta_1; \psi_1) \in [-\pi; 0] \times [0; 2\pi]$$

et la matrice massique de la transformation affine permettant de la placer dans le repère initial est :

$$\begin{pmatrix} 0,894 & 0 & -0,447 & 0 \\ -0,447 & 0 & -0,894 & 15 \\ 0 & 1 & 0 & 20 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

La courbe de jointure entre $\sigma_2(0)$ et $-\sigma$ est :

$$\Gamma_2 = \Lambda^4 \cap \mathrm{Aff}(\sigma_2, -\sigma, \vec{v}_2)$$
qui correspond au tore à collier Dup$_2$, en jaune dans la figure 13.18(a). Ce dernier a pour paramètres :

$$a_2 = 50,000; \quad c_2 = 0,000; \quad \mu_2 = 5,000$$

les bornes sont :

$$(\theta_2; \psi_2) \in [-\frac{\pi}{2}; 0] \times [0; 2\pi]$$

et la matrice de la transformation affine permettant de la placer dans le repère initial est :

$$\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1,000 & -10 \\ 0 & -1 & 0 & -30 \\ -1,000 & 0 & 0 & 20 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Sans effet de transparence, nous obtenons la figure 13.18(b).

<figure><img src="image_278.png" /><figcaption>FIGURE 13.18 – Exemple de jointure entre deux cylindres dans $\mathcal{E}_3$ par deux morceaux de cyclides de Dupin avec un rebroussement sur la sphère de jointures.</figcaption></figure>

### 13.3.2.2.2 Jointure G¹ avec un point singulier
En utilisant l'algorithme 13.1, nous trouvons $\sigma$ de coordonnées :

$$(-1, 387; -0, 967; -2, 047; 18, 497; -124, 850]$$
qui correspond à la sphère $S_S$ de centre :

$$O_S(0, 697; 1, 476; -13, 339)$$

et de rayon $r_S \simeq -0,721$. La courbe de jointure entre $\sigma_1(0)$ et $\sigma$ est :

$$\Gamma_1 = \Lambda^4 \cap \mathrm{Aff}(\sigma_1, \sigma, \vec{v}_1)$$

qui correspond à la cyclide de Dupin $Dup_1$, en vert dans la figure 13.23(a), a pour paramètres :

$$a_1 \simeq 54,550; \quad c_1 \simeq 16,088; \quad \mu_1 \simeq 13,088$$

les bornes sont :

$$(\theta_1; \psi_1) \in [-0, 693996429804; 0] \times [0; 2\pi]$$

et la matrice massique de la transformation affine permettant de la placer dans le repère initial est :

$$\begin{pmatrix} 0,737 & 0 & 0,676 & -30,219 \\ 0,676 & 0 & -0,737 & -26,852 \\ 0 & 1 & 0 & 20 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

La courbe de jointure entre $\sigma_2(0)$ et $-\sigma$ est :

$$\Gamma_2 = \Lambda^4 \cap \mathrm{Aff}(\sigma_2; -\sigma; \vec{v}_2)$$

qui correspond à la cyclide de Dupin $Dup_2$, en jaune dans la figure 13.19(a). La surface $Dup_2$ a pour paramètres :

$$a_2 = 36,145; \quad c_2 = 7,811; \quad \mu_2 = 2,811$$

les bornes sont :

$$(\theta_2; \psi_2) \in [-1, 10154609954; 0] \times [0; 2\pi]$$

et la matrice massique de la transformation affine permettant de la placer dans le repère initial est :

$$\begin{pmatrix} -0,540 & 0 & -0,841 & 9,528 \\ 0 & -1 & 0 & -30 \\ -0,841 & 0 & 0,540 & 0,415 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Sans effet de transparence, nous obtenons la figure 13.19(b).

## 13.4 Cyclides de Dupin passant par un cercle et tangentes à une sphère le long d'un cercle

Ce travail provient de deux contextes :
<figure><img src="image_279.png" /><figcaption>FIGURE 13.19 – Exemple de jointure entre deux cylindres dans $\mathcal{E}_3$ par deux morceaux de cyclides de Dupin à croissants externes et la jointure ne possède qu'un seul point singulier.</figcaption></figure>
* Le premier consiste à choisir un cercle caractéristique $C_1$ sur une surface canal et à joindre de façon $S^1$ cette surface canal, le long de ce cercle, avec un cercle $C$ par une cyclide de Dupin. La donnée du cercle $C_1$ sur la surface canal impose la sphère $S$ contenant le cercle $C$.

* Le second consiste à joindre des cyclides de Dupin le long de deux cercles donnés et dans ce cas, nous avons une famille à un paramètre de couples de cyclides de Dupin. En fait, chaque cercle définit un faisceau de sphères à base cercle et le choix d'une sphère de l'un des faisceaux fixe l'autre sphère de l'autre faisceau.

La condition d'existence pour que deux cercles soient des cercles caractéristiques d'une cyclide de Dupin est la suivante :

**Théorème 44 :** Jointure de deux cercles par une cyclide de Dupin

Soit deux cercles $C$ et $C_1$.

Il est possible de trouver une cyclide de Dupin telle que $C$ et $C_1$ soient deux cercles caractéristiques de cette cyclide si et seulement si les deux cercles sont soit coplanaires, soit cosphériques (i.e. il existe une sphère $S_0$ contenant les deux cercles $C$ et $C_1$).

Démonstration :

* Montrons d'abord qu'un couple de cercles caractéristiques d'une cyclide de Dupin $C_1$ et $C_2$ de la même famille sont cosphériques.

Le cercle $C_1$ (resp. $C_2$) appartient à une sphère $S_1$ (resp. $S_2$) tangente à la cyclide de Dupin le long de $C_1$ (resp. $C_2$). Chaque cercle $C_i$ est déterminé par un couple $(\sigma_i, \vec{v}_i)$ contenus dans le 2-plan $P = \text{Aff}(\sigma_1, \sigma_2, \vec{v}_1, \vec{v}_2)$ (rappelons que $P \cap \Lambda^4$ est une conique correspondant à la cyclide).

Considérons le plan de type espace $P_1 = \text{Aff}(O_5, \sigma_1, \vec{v}_1)$ (resp. $P_2 = \text{Aff}(O_5, \sigma_2, \vec{v}_2)$) de l'espace $E = \text{Aff}(O_5, \sigma_1, \sigma_2, \vec{v}_1, \vec{v}_2)$ de dimension 3. Les plans $P_1$ et $P_2$ sont de dimensions 2 dans l'espace $E$ de dimension 3 : l'intersection de $P_1$ et $P_2$ est une droite de type espace. Cette droite passe par l'origine $O_5$ et coupe $\Lambda^4$ en deux points $\tau$ et $-\tau$ correspondant à une sphère non-orientée $S_T$. Les points $\tau$ et $-\tau$ appartiennent à deux cercles sur $\Lambda^4$, l'une correspondant au faisceau de sphères passant par le cercle $C_1$ et l'autre correspondant au faisceau de sphères passant par le cercle $C_2$ : la sphère $S_T$ est donc une sphère passant par les deux cercles $C_1$ et $C_2$.

* Montrons maintenant que pour tout couple de cercles cosphériques $C_1$ et $C_2$, il existe une cyclide ayant $C_1$ et $C_2$ comme cercles caractéristiques de la même famille.

Soit $S_T$ la sphère non-orientée contenant $C_1$ et $C_2$. Soit $\tau$ et $-\tau$ les deux points de $\Lambda^4$ correspondant à $S_T$ et $\vec{v}_1$ et $\vec{v}_2$ les deux vecteurs de $T_\tau \Lambda^4$ définissant les cercles $C_1$ et $C_2$. La courbe $\Gamma_1 = P_1 \cap \Lambda^4$ (resp. $\Gamma_2 = P_2 \cap \Lambda^4$) où $P_1 = \text{Aff}(O_5, \tau, \vec{v}_1)$ (resp. $P_2 = \text{Aff}(O_5, \tau, \vec{v}_2)$) correspond au faisceau de sphères de base le cercle $C_1$ (resp. $C_2$). L'espace $\text{Aff}(P_1, P_2)$ est de dimension 3 car $P_1 \cap P_2$ est la droite $(O_5\tau)$. Soit $\sigma_1 \in \Gamma_1 - \{\tau; -\tau\}$. Soit $\vec{u}_1$ le vecteur tangent à $\Gamma_1$ en $\sigma_1$. Tous les plans du faisceau de plans contenant la droite $\delta = \text{Aff}(\sigma_1, \vec{u}_1)$ (dont $P_1$) sont dans $\text{Aff}(P_1, P_2)$ et coupent $P_2$ en une droite $\Delta$. Il y a trois possibilités :
★ Δ et Γ₂ s'intersectent en deux points;

★ Δ et Γ₂ sont tangentes en un point;

★ Δ et Γ₂ sont disjointes.

Soit $\mathcal{P}$ un plan du faisceau de plans tel que $d$ et $\Gamma_2$ sont tangentes en un point. La courbe $\mathcal{P} \cap \Lambda^4$ est une conique correspondante à un cyclide de Dupin qui a $C_1$ et $C_2$ pour cercles caractéristiques de la même famille. Cette construction est possible pour tout point $\sigma_1$ de $\Gamma_1$ différent de $\tau$ et $-\tau$.

<figure><img src="image_280.png" /></figure>

Dans l'espace des sphères, les deux courbes représentant les faisceaux de sphères à bases $C$ et $C_1$ se coupent en deux points qui correspondent aux deux sphères orientées définies par la sphère $S_0$.

La figure 13.20 illustre le théorème 44 dans le cas d'un tore à collier.

<figure><img src="image_281.png" /><figcaption>FIGURE 13.20 – Deux cercles cosphériques sur un tore à collier.</figcaption></figure>

Après avoir vu la conditions d'existence, nous allons joindre un cercle avec un cercle donné sur une sphère donnée. Nous devons distinguer un cas trivial du cas général.
## 13.4.1 Cas de deux cercles coplanaires dont l'un est un grand cercle de la sphère fixée dans l'un des faisceaux

Considérons un grand cercle C de la sphère S et un cercle $C_1$ tel que les deux cercles soient coplanaires. Nous n'avons pas besoin d'utiliser l'espace des sphères : les deux cercles sont des cercles principaux de la cyclide de Dupin et la détermination des paramètres de la cyclide de Dupin sont triviaux. La figure 13.21 montre une demiCD4A et une demi-CD4E dans le cas ou la sphère S a pour centre $O_S$ (0; 0; 4) et pour rayon 2 et le cercle $C_1$ a pour centre $O_{C_1}$ (0; 0; -4) et pour rayon géométrique 5. les paramètres de la CD4A (resp. CD4E) sont $a = 4, c = 3, 5$ (resp. $\mu = 1, 5$) et $\mu = 1, 5$ (resp. $c = 3, 5$).

<figure><img src="image_282.png" /><figcaption>FIGURE 13.21 – Deux cercles coplanaires qui sont des cercles principaux des cyclides de Dupin.</figcaption></figure>
### 13.4.2 Cas général

L'algorithme 13.2 permet de trouver la cyclide de Dupin, tangente à la sphère $\mathcal{S}$ le long du cercle C telle que le cercle $C_1$ soit l'un de ses cercles caractéristiques. Le principe est le suivant :

* à la sphère $\mathcal{S}$ correspond le point $\sigma$ de $\Lambda^4$;

* au cercle C sur la sphère $\mathcal{S}$ correspond un vecteur $\overrightarrow{v_0}$;

* le cercle $C_1$ induit un faisceau de sphères à base cercle dans $\mathcal{E}_3$ qui se représente par un cercle $\Gamma_1 : t \mapsto \gamma_1(t)$ dans un 2-plan de type espace contenant $O_5$, figure 13.22.

Trouver une cyclide de Dupin répondant à notre problème revient, dans $\Lambda^4$, à trouver le réel $t_0$ tel que la courbe obtenue comme section de $\Lambda^4$ par le plan affine engendré par $\gamma_1(t_0)$, $\sigma$ et $\overrightarrow{v_0}$ ait pour vecteur tangent, en $\sigma$, un vecteur colinéaire à $\overrightarrow{v_0}$. Notons que les vecteurs $\overrightarrow{\gamma_1(t_0)} \sigma$, $\overrightarrow{\gamma'_1(t_0)}$ et $\overrightarrow{v_0}$ sont coplanaires.

**Algorithmme 13.2** Jointure $G^1$ entre un cercle sur une sphère et un autre cercle.

**Entrée** : Le cercle C sur la sphère $\mathcal{S}$ et le cercle $C_1$

**Condition** : Les cercles C et $C_1$ sont cosphériques (ou coplanaires).

1. Calcul de $\sigma$ correspondant à $\mathcal{S}$ dans $\Lambda^4$

2. Calcul de $\overrightarrow{v_0}$ associé à C dans $\overrightarrow{L_{4,1}}$

3. Calcul de $\Gamma_1$ correspondant au faisceau de sphères de $\mathcal{E}_3$ à base le cercle $C_1$ dans $\Lambda^4$

4. Soit $\gamma_1(t) \in \Gamma_1$

5. Calcul du centre $\Omega_0(t)$ du cercle passant par $\gamma_1(t)$ et $\sigma$ et de vecteur tangent $\overrightarrow{v_0}$ en $\sigma$, lemme 6

6. Calcul du vecteur tangent $\overrightarrow{\gamma'_1(t)}$ à $\Gamma_1$ en $\gamma_1(t)$

7. Calcul de $t_0$ tel que :

$$ \overrightarrow{\Omega_0(t_0) \gamma_1(t_0)} \cdot \overrightarrow{\gamma'_1(t_0)} = 0 $$

et que les vecteurs $\overrightarrow{\gamma_1(t_0)} \sigma$, $\overrightarrow{v_0}$ et $\overrightarrow{\gamma'_1(t_0)}$ soient coplanaires.

**Sortie** : Une courbe $\Gamma_{0,t_0}$ représentant une famille de sphères qui a pour enveloppe la cyclide de Dupin effectuant la jointure entre C et $C_1$ tangente à $\mathcal{S}$ en C.

#### 13.4.2.1 Exemple 1 : deux cercles cosphériques

La sphère de départ est $\mathcal{S} = \mathcal{S}((0; -10; -10); 8)$ et le cercle C est obtenue comme intersection entre $\mathcal{S}$ et la sphère $\mathcal{S}^{\perp} = \mathcal{S}((0; -18; -18); 8)$.

Le cercle $C_1$ est l'intersection entre $\mathcal{S}_1((0; 20; 0); 5)$ et le plan de vecteur normal $\overrightarrow{n_{C_1}}(0; 1; 0)$ passant par le centre de la sphère précédente. La figure 13.23 illustre le fait que les deux cercles $C_1$ et C sont cosphériques. figure 13.23

<footnote n="3">3. Sur $\Lambda^4$, ce cercle se trace comme une ellipse.</footnote>
<figure><img src="image_283.png" /></figure>

FIGURE 13.22 – Illustration de l’algorithme 13.2 dans l’espace des sphères. La conique $\Gamma_{0,t}$ est obtenue comme section de $\Lambda^4$ par le plan affine défini par $\gamma_1(t)$, $\sigma$ et $\vec{v}_0$. Nous cherchons la valeur de $t$ qui permet d’obtenir un vecteur tangent à la conique $\Gamma_{0,t}$ en $\sigma$ colinéaire à $\vec{v}_0$._______

Sur $\Lambda^4$, la sphère $S$ est représentée par $\sigma = (\frac{1}{8}; 0; -\frac{5}{4}; -\frac{5}{4}; \frac{17}{2})$ tandis que la sphère $S^\perp$ est représentée par $\sigma^\perp = (\frac{1}{8}; 0; -\frac{9}{4}; -\frac{9}{4}; \frac{73}{2})$. En utilisant une expression rationnelle des fonctions circulaires, le cercle $C_1$ est représenté sur $\Lambda^4$ par le faisceau de sphères :

$$ \gamma_1(t) = \left( \frac{-t^2 + 1}{5t^2 + 5}; 0; \frac{-4t^2 + 2t + 4}{t^2 + 1}; 0; \frac{-75t^2 + 80t + 75}{2t^2 + 2} \right), \quad t \in \mathbb{R} $$

La figure 13.24 montre le résultat obtenu pour $t_0 \approx -1,304$. Nous obtenons :

$$ \gamma_1(t_0) \approx (-0,052; -0,000; -2,002; -0,000; -29,035) $$

qui correspond à $S_1((0,000; 38,635; 0,000); -19,294)$ et :

$$ \gamma_1(t_0) \approx (0, 193; 0, 000; 3, 604; 0, 000; 31, 036) $$
<figure><img src="image_284.png" /></figure>

FIGURE 13.23 – Exemple de jointure à réaliser entre deux cercles par un morceau de cyclide de Dupin tangente. Le cercle vert est $C_1$ tandis que le cercle rouge est celui sur la sphère $S$. La sphère $S^\perp$ est en « Bozo ». Ces deux cercles appartiennent à la grosse sphère en violet.

qui correspond à $S_1^\perp ((0,000; 18,658; 0,000); 5,177)$. Les paramètres de la cyclide de Dupin sont :

$$ (a; c; \mu) \approx (12,849; 5,868; 25,197) $$

ce qui montre que cette dernière est à croissant interne. La pavé de visualisation est $[0; 2\pi] \times [-1,278; 0,727]$ tandis que la matrice massique de la transformation affine permettant de placer la CD4I dans le repère original est :

$$ \begin{pmatrix} 0,000 & -1,000 & 0,000 & 0,000 \\ 0,441 & 0,000 & 0,898 & -4,336 \\ -0,898 & 0,000 & 0,441 & 1,533 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

La figure 13.25 montre le résultat obtenu pour $t_0 \approx -0,434$. Nous obtenons :

$$ \gamma_1(t_0) \approx (0,137; -0,000; 2,004; 0,000; 11,028) $$
<figure><img src="image_285.png" /><figcaption>FIGURE 13.24 – Exemple de jointure entre deux cercles par un morceau de cyclide de Dupin. : le morceau de CD4I contient un point singulier.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_286.png" /><figcaption>FIGURE 13.25 – Exemple de jointure entre deux cercles par un morceau de cyclides de Dupin : le morceau de CD4I ne contient pas de point singulier.</figcaption></figure>
qui correspond à $S((0, 000; 14, 659; 0, 000); 7, 316)$ et :

$$ \gamma_1(t_0) \approx (0, 146; 0, 000; 3, 603; 0, 000; 41, 044) $$

qui correspond à $S((0, 000; 24, 681; 0, 000); 6, 849)$. Les paramètres de la cyclide de Dupin sont :

$$ (a; c; \mu) \approx (17, 969; 9, 577; 31, 538) $$

ce qui montre que cette dernière est à croissant interne. La pavé de visualisation est $[0; 2\pi] \times [-0, 735; 0, 702]$ tandis que la matrice massique de la transformation affine permettant de placer la CD4I dans le repère original est :

$$ \begin{pmatrix} 0,000 & -1,000 & 0,000 & 0,000 \\ 0,388 & 0,000 & 0,921 & -3,020 \\ -0,921 & 0,000 & 0,388 & 6,558 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

### 13.4.2.2 Exemple 2 : deux cercles coplanaires

Nous avons vu qu'à partir de deux cercles coplanaires, nous pouvions obtenir deux types de cyclides. Est-ce toujours le cas ? Pour répondre à cette question, nous prenons une cyclide de Dupin à croissant externe de paramètres :

$$ (a; c; \mu) \approx (4; 3; 2) $$

et les cercles sont obtenus pour les valeurs de $\theta_0 = -\frac{\pi}{2}$ et $\theta_1 = \frac{\pi}{2}$.

La sphère de départ est $S = S((0; \sqrt{7}; 0); 2)$ et le cercle C est obtenue comme intersection entre S et la sphère $S^\perp = S((\frac{8}{3}; \sqrt{7}; 0); -\frac{2\sqrt{7}}{3})$.

Le cercle $C_1$ est l'intersection entre $S((0; -\sqrt{7}; 0); 2)$ et $S((\frac{8}{3}; -\sqrt{7}; 0); -\frac{2\sqrt{7}}{3})$.

<figure><img src="image_287.png" /><figcaption>FIGURE 13.26 – Exemple de jointure entre deux cercles par un morceau de cyclide de Dupin. (a) : le morceau de CD4E contient un point singulier. (b) : le morceau de CD4I contient deux points singuliers.</figcaption></figure>
Sur $\Lambda^4$, la sphère $\mathcal{S}$ est représentée par $\sigma = (\frac{1}{2}; 0; \frac{\sqrt{7}}{2}; 0; \frac{3}{4})$ tandis que la sphère $\mathcal{S}^{\perp}$ est représentée par $\sigma^{\perp} = (-\frac{3\sqrt{7}}{14}; -\frac{4\sqrt{7}}{7}; -\frac{3}{2}; 0; -\frac{33\sqrt{7}}{28})$. En utilisant une expression rationnelle des fonctions circulaires, le cercle $C_1$ est représenté sur $\Lambda^4$ par le faisceau de sphères :

$$ \gamma_1(t) = \left( \frac{-7 t^2 + 6 \sqrt{7} t + 7}{14 t^2 + 14} ; \frac{8 \sqrt{7} t}{7 t^2 + 7} ; \frac{\sqrt{7} t^2 - 6 t - \sqrt{7}}{2 t^2 + 2} ; 0 ; \frac{-21 t^2 + 66 \sqrt{7} t + 21}{28 t^2 + 28} \right) $$

La figure 13.26(a) montre le résultat obtenu pour $t_0 \approx -0,882$. Nous obtenons :

$$ \gamma_1(t_0) \approx (-0,5; -1,5; 1,323; 0,000; -3,000) $$

qui correspond à $\mathcal{S}((3,000; -2,646; -0,000); -2,000)$ et :

$$ \gamma_1(t_0) \approx (0,567; 0,189; -1,5; 0,000; 1,134) $$

qui correspond à $\mathcal{S}((0,333; -2,646; 0,000); 1,764)$. Les paramètres de la cyclide de Dupin sont :

$$ (a; c; \mu) \approx (4,000; 3,279; 0,000) $$

se qui montre que cette dernière est à croissant externe. La pavé de visualisation est $[0; 2\pi] \times [-1, 278; 0, 727]$ tandis que la matrice massique de la transformation affine permettant de placer la CD4I dans le repère original est :

$$ \begin{pmatrix} 0,915 & 0,403 & 0 & 1,500 \\ -0,403 & 0,915 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

La figure 13.26(b) montre le résultat obtenu pour $t_0 = 0$ c'est-à-dire que nous retrouvons la CD4E de départ.

Notons qu'en général, changer l'orientation de la sphère $\mathcal{S}$ dans l'algorithme 13.2 ne change pas le type de solution : $\sigma$ et remplacé par $-\sigma$ mais la courbe du faisceau définissant le cercle $C_1$ est symétrique par rapport à $O_5$. Cependant, il existe des cas particuliers : si on applique l'algorithme 13.2 à l'exemple présenté dans le paragraphe 13.4.1, le changement d'orientation permet d'obtenir soit la CD4A, soit la CD4E.

## 13.5 Surface canal comme union de CBRQs : un hippocampe

Notons que l'utilisation des courbes de Bézier facilite la construction de jointures $G^1$. En effet, considérons un arc de cercle d'extrémités $\sigma_0$ et $\sigma_1$ et de vecteur tangent $\sigma_0$ en $\sigma_0$. Le point de contrôle intermédiaire $P_1$ appartient à la tangente définie par $\sigma_0$ et $\sigma_1$. Le cercle caractéristique sur $\sigma_1$ est défini par la sphère dérivée $\sigma_1^\bullet$ de $\sigma_1$ qui se détermine simplement par :

$$ O_5 \stackrel{\bullet}{\sigma_1} = \sigma_1 = \frac{1}{\sqrt{P_1 \sigma_1^2}} \overrightarrow{P_1 \sigma_1} \qquad (13.4) $$
qui est bien défini puisque le vecteur tangent $\vec{P_1\sigma_1}$ est de type espace.

Dans ce paragraphe, nous montrons comment l'utilisation de CBRQs à points massiques de contrôle permet de construire facilement une surface canal qui est une suite de jointure $G^1$ de cyclides de Dupin représentant un hippocampe. La queue de ce dernier est défini par un point $M_0$ et deux sphères orthogonales $S_0$ et $S_0$ d'un faisceau de sphères à base le cercle $C_0$. Le corps et la tête sont modélisés par des sphères $S_i$, $i$ appartenant à $\llbracket 1; 8 \rrbracket$ auxquelles nous ajoutons (de façon $G^0$) la crête et les deux yeux. L'épine dorsale est modélisée par la troncature d'un demi-cône de révolution défini par son sommet $S$ et la sphère $S_d$. La partie de cône que nous gardons a pour extrémité une sphère $S_e$ et $S_d$. Nous utilisons cette méthode puisque la donnée de deux sphères dont la droite des centres contient $S$ ne définit pas forcément un cône de révolution.

### 13.5.1 Les contraintes

La figure 13.27(a) montre les contraintes initiales tandis que la figure 13.27(b) affiche la solution retenue pour la sphère du faisceau de sphères à base cercle ainsi que sa sphère dérivée.

L'extrémité de la queue est le point $M_0(-12; 0; 30)$ représenté par $\vec{m_0}(1; -12; 0; 30; 522)$ dans l'espace de Lorentz. Le cercle $C$ a pour centre $O_I(\frac{1}{2}; 0; -7)$ et pour rayon $r_I = 2$ et est contenu dans le plan $P_I$ passant par $O_I$ et ayant $\vec{\nabla}_{P_I}(\frac{-\sqrt{2}}{2}; 0; \frac{\sqrt{2}}{2})$ pour vecteur normal unitaire. Comme sphère orthogonale à $P_I$, nous choisissons $S_I$ de centre $O_I$ et de rayon $r_I$. Cette dernière est représentée sur $\Lambda^4$ par :

$$ \vec{\sigma}_I = \left( \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; 0; -\frac{7}{2}; \frac{181}{16} \right) $$

tandis que le plan $P_I$ est représenté par :

$$ \vec{\pi}_I \left( 0; -\frac{\sqrt{2}}{2}; 0; \frac{\sqrt{2}}{2}; -15\frac{\sqrt{2}}{4} \right) $$

Une sphère du faisceau de sphères à base cercle le cercle $C_0$ est donnée par la formule (10.34) tandis que sa sphère dérivée est définie par la formule (10.35). Notre choix s'est porté sur $\theta = \frac{\pi}{24}$ et les valeurs des différentes sphères sont données dans le tableau G.1, annexe $G^4$.

Les valeurs des sphères dérivées sont données dans le tableau G.2.

### 13.5.2 Modélisation de la queue, du corps et de la tête

La représentation de la queue dans l'espace de Lorentz est un arc de cercle obtenu comme section de $\Lambda^4$ par le plan affine engendré par le point $\sigma_0$ et les vecteurs $\vec{m_0}$ et $\vec{\sigma_0}$ en utilisant l'algorithme 11.6. La figure 13.28 montre :

* le vecteur lumière $\vec{m_0}$ représentant le point $M_0$ via le paraboloïde $P$ de dimension 3;

* la sphère $\sigma_0$ et sa sphère dérivée $\vec{\sigma_0}$ sur $\Lambda^4$;

<footnote n="4">4. Tous les tableaux relatifs à l'hippocampe sont dans cette annexe.</footnote>
<figure><img src="image_288.png" /><figcaption>FIGURE 13.27 – Contraintes définissant un hippocampe. (a) : Nous avons un degré de liberté pour le choix de la sphère S. (b) : Le choix de la sphère S et de sa sphère dérivée a été fait.</figcaption></figure>

$\vec{\sigma}_0$

• le vecteur tangent $\vec{\sigma}_0$ à la CBRQ au point $\sigma_0$.

Le plan contenant la CBRQ est défini par le point $\sigma_0$ et les deux vecteurs $\vec{m}_0$ et $\vec{\sigma}_0$.

Le tableau G.3 donnent les valeurs des centres des arcs de cercles ainsi que le point singulier ou les cercles caractéristiques. Pour la première courbe $\gamma_0$, les contraintes sont le point singulier et la sphère de jointure avec sa sphère dérivée : l'intersection de ces deux dernières détermine le cercle caractéristique. En revanche, pour toutes les autres courbes $\gamma_i$, $i$ appartenant à $[[1; 8]]$, la sphère $\sigma_{i-1}$ est une donnée tandis que la sphère $\vec{\sigma}_i$ est calculée lors de la détermination de la courbe de Bézier rationnelle quadratique modélisant l'arc de cercle.

La figure 13.29 montre :

• le vecteur lumière $\vec{m}_0$ représentant le point $M_0$ via le paraboloïde $P$ de dimension 3;

• la sphère $\sigma_0$ et sa sphère dérivée $\vec{\sigma}_0$ sur $\Lambda^4$;
<figure><img src="image_289.png" /><figcaption>FIGURE 13.28 – Représentation dans l'espace de Lorentz des conditions initiales avant la première étape de la construction de l'hippocampe.</figcaption></figure>

$\vec{\sigma_0}$

• le vecteur tangent $\vec{\sigma_0}$ à la CBRQ au point $\sigma_0$;

• le centre $\Omega_0$ du cercle;

• le point de contrôle $P_0$;

• l'asymptote au cercle définie par le point $\Omega_0$ et le vecteur lumière $\vec{m_0}$;

• le plan contenant le cercle;

• la CBRQ $\gamma_0$.

$\vec{\sigma_0}$

Le plan contenant la CBRQ est défini par le point $\sigma_0$ et les deux vecteurs $\vec{m_0}$ et $\vec{\sigma_0}$.

Le tableau G.4 donnent les points massiques de contrôle des différentes courbes de Bézier où les points de contrôle extrémaux sont soit un vecteur lumière de masse nul représentant un point de $\mathcal{E}_3$, soit un point de $\Lambda^4$ de poids 1 représentant une sphère orientée de $\mathcal{E}_3$.

La figure 13.31(a) montre la construction de la queue $\Gamma_0$ modélisée sur l'espace des sphères par la courbe $\gamma_0$. La sphère $S_0$ est la sphère dérivée de la sphère $S_0$. Le cercle caractéristique $C_0$ est l'intersection de $S_0$ et $S_0$.

La figure 13.30 montre :

• le vecteur lumière $\vec{m_0}$ représentant le point $M_0$ via le paraboloïde $P$ de dimension 3;

• la sphère $\sigma_0$ et sa sphère dérivée $\dot{\sigma_0}$ sur $\Lambda^4$;
<figure><img src="image_290.png" /><figcaption>FIGURE 13.29 – Représentation dans l'espace de Lorentz de la première étape de la construction de l'hippocampe.</figcaption></figure>

$\vec{\sigma}_0$

• le vecteur tangent $\vec{\sigma}_0$ à la CBRQ au point $\sigma_0$;

• le centre $\Omega_0$ du premier cercle;

• le point de contrôle $P_0$ de la courbe;

• l'asymptote au cercle définie par le point $\Omega_0$ et le vecteur lumière $\vec{m}_0$;

• la sphère $\sigma_1$ sur $\Lambda^4$, seconde extrémité de $\gamma_1$;

• le point de contrôle $P_1$ de la courbe;

• les deux premières CBRQs $\gamma_0$ et $\gamma_1$.

Les deux courbes $\vec{\gamma}_0$ et $\vec{\gamma}_1$ se raccorde de façon $G^1$ en $\sigma_0$ à chaque fois, le vecteur tangent est colinéaire au vecteur $\vec{\sigma}_0$.

$\vec{\sigma}_0$

La figure 13.31(b) affiche la première étape de la construction du corps et $\Gamma_1$ est modélisé sur l'espace des sphères par la courbe $\gamma_1$.

La figure 13.32 montre le corps de l'hippocampe, soit en utilisant des sphères et leurs cercles caractéristiques, figure 13.32(a), soit en utilisant que des cercles caractéristiques, figure 13.32(b). Notons que les sphères $S_3$ et $S_5$ sont chacune commune à une même courbe de Bézier, mais les sphères dérivées sont différentes ce qui implique que les cercles caractéristiques sont différents.
<figure><img src="image_291.png" /><figcaption>FIGURE 13.30 – Représentation dans l'espace de Lorentz des deux premières étapes de la construction de l'hippocampe.</figcaption></figure>

### 13.5.3 Modélisation du dos

A partir de point $S$ et de la sphère $S_d$ et de rayon $r_d$ strictement positif, en utilisant l'algorithme 11.3, le demi-cône est modélisé par une CBRQ de points massiques de contrôle ($\vec{s}$; 0), ($\Omega_d$; $\omega_d$) et ($\vec{e}_\infty$; 0) où $\Omega_d$ est le centre du cercle dans le plan défini par $\vec{s}$, $\vec{e}_\infty$ et $\sigma_d$ qui représente $S_d$ sur $\Lambda^4$. Soit $S_f$ une seconde sphère de rayon $r_f$ de ce cône avec la condition $r_f > r_d$. Soit $\sigma_f$ représente $S_f$ sur $\Lambda^4$. En utilisant le théorème 1, il reste à déterminer la partie du cône de révolution comprise entre les deux sphères $S_d$ et $S_f$. L'utilisation des rayons algébriques induit le fait que les rayons des sphères<fnref n="5" /> décrivent $\mathbb{R}$ de façon bijectives et nous avons :

$$ \overrightarrow{O_5\sigma(t)} = \frac{1}{\omega_d B_1(t)} \left( B_0(t) \overrightarrow{s} + \omega_d B_1(t) \overrightarrow{O_5\Omega_d} + B_2(t) \overrightarrow{e_\infty} \right) $$

et l'équation concernant la composante $\vec{e}_o$ est :

$$ \frac{1}{\rho(t)} = \frac{1}{\omega_d B_1(t)} \left( B_0(t) - \frac{\omega_d B_1(t)}{\rho_d} \underbrace{\overrightarrow{O_5\Omega_d} \cdot \overrightarrow{e_\infty}}_{=0} \right) = \frac{B_0(t)}{\omega_d B_1(t)} \quad (13.5) $$

<footnote n="5">5. Le sommet du cône de révolution est une sphère de rayon 0.</footnote>
<figure><img src="image_292.png" /><figcaption>FIGURE 13.31 – Deux premières étapes de la construction de l'hippocampe. (a) : Construction de la queue. (b) : Ajout de la première partie du corps.</figcaption></figure>

et le lemme suivant permet de déterminer la valeur de $t$, différente de 1, solution de $\rho(t) = \rho_0$.

**Lemme 10 :** Résolution de l'équation (13.5)

La solution de l'équation (13.5) est :

$$t_0 = \frac{\rho_0}{2\omega_d + \rho_0} \qquad (13.6)$$

**Démonstration :**

$$ \begin{align*} \rho(t) = \rho_0 &\iff \frac{1}{\rho_0} = \frac{B_0(t)}{\omega_d B_1(t)} &\iff \frac{1}{\rho_0} = \frac{1-t}{2\omega_d t} \\ &\iff 2\omega_d t = \rho_0 - \rho_0 t &\iff (2\omega_d + \rho_0) t = \rho_0 \end{align*} $$
<figure><img src="image_293.png" /><figcaption>FIGURE 13.32 – Construction du corps de l’hippocampe. (a) : Quelques sphères et leurs cercles caractéristiques. (b) : Toutes les parties $\Gamma_i$, $i$ appartenant à $[0; 8]$ ne sont formées que de cercles caractéristiques.</figcaption></figure>

$$ \Leftrightarrow t = \frac{\rho_0}{2\omega_d + \rho_0} $$

<figure><img src="image_294.png" /></figure>

Numériquement, le cône de révolution est défini par son sommet $S = (\frac{-25}{3}; 0; \frac{43}{3})$ et la sphère $S_d$ de centre $O_d(2; 0; 16)$ et de rayon $r_d = 2$. La représentation dans l'espace de Lorentz du sommet $S$ (resp. la sphère $S_d$) est le vecteur $\vec{m}_S(1; -\frac{25}{3}; 0; \frac{43}{3}; \frac{1237}{9})$ (resp. le point $\sigma_d(\frac{1}{2}; 1; 0; 8; 64)$ sur $\Lambda^4$). Le centre du cercle, formule (11.32), est le point pondéré $\Omega_d(0; 5, 167; 0; 0, 833; -31, 111)$ de poids $\omega_d \approx 0,138$, formule (11.33). Le demi-cône de révolution $\Gamma_{d\infty}$ de sommet $S$ et contenant $S_d$ et représenté dans l'espace de Lorentz par la courbe de Bézier quadratique $\gamma_{d\infty}$ à points massiques de contrôle $(\vec{s}; 0), (\Omega_d; \omega_d)$ et $(\vec{e}_\infty; 0)$, figure 13.33(a).

Il nous reste à obtenir la partie utile du cône de révolution. Nous connaissons déjà une extrémité, la sphère $S_d$ de rayon $r_d = 2$. Nous devons déterminer une autre sphère $S_e$, nous avons
choisi de prendre celle de rayon $r_e = 3$. Connaissant les deux rayons $r_d$ et $r_e$, la détermination des valeurs correspondantes $t_d$ et $t_e$ s'effectue en utilisant le lemme 10. Nous obtenons :

$$ egin{cases} t_d \approx 0,879 \\ t_e \approx 0,916 \end{cases} $$

avec $\gamma_{d\infty}(t_d) = \sigma_d$ et $\gamma_{d\infty}(t_e) = \sigma_e$.

La représentation de $S_e$ est $\sigma_e(0, 333; 2, 389; 0; 5, 611; 54, 287)$ ce permet de déterminer son centre $O_e(7, 166; 0; 16.833)$ (le rayon $r_e = 3$ était déjà connu). L'utilisation du théorème de changement homographique, théorème 1, nous permet de déterminer les points massiques de contrôle $(\sigma_d; 1)$, $(P_d; \omega_d)$ et $(\sigma_e; 1)$ de la CBRQ $\gamma_d$ modélisant la partir utile du cône de révolution. Le premier travail est la résolution du système :

$$ egin{cases} h(0) = \frac{a}{c} = t_d \\ h(1) = \frac{b}{d} = t_e \end{cases} $$

ce qui permet d'obtenir $a = t_d c$ et $b = t_e d$ et l'expression de l'homographie se simplifie en :

$$ h(u) = \frac{c t_d (1-u) + d t_e u}{c (1-u) + d u} $$

et les valeurs de $c$ et $d$ sont calculées de telle façon que les poids des nouveaux points massiques de contrôle extrémaux valent 1. A partir de la formule (2.35), nous obtenons le système :

$$ egin{cases} 1 = c^2 (1 - t_d)^2 \times 0 + 2 c^2 t_d (1 - t_d) \times \omega_d + c^2 t_d^2 \times 0 \\ 1 = d^2 (1 - t_e)^2 \times 0 + 2 d^2 t_e (1 - t_e) \times \omega_d + d^2 t_e^2 \times 0 \end{cases} $$

qui se simplifie en :

$$ egin{cases} 1 = c^2 B_1 (t_d) \times \omega_d \\ 1 = d^2 B_1 (t_e) \times \omega_d \end{cases} $$

ce qui permet d'obtenir les deux solutions :

$$ egin{cases} c = \frac{1}{\sqrt{\omega_d B_1 (t_d)}} \\ d = \frac{1}{\sqrt{\omega_d B_1 (t_e)}} \end{cases} $$

Les valeurs de $a$, $b$, $c$ et $d$ étant toutes déterminées, les points massiques de contrôle $(\sigma_d; 1)$ et $(\sigma_e; 1)$ aussi, la détermination du point massique de contrôle intermédiaire se fait via la deuxième équation de la formule (2.35) et nous obtenons :

$$ (P_e; \omega_e) \approx ((0, 4000; 1, 8333; 0; 6, 5667; 55, 5333); 1, 021) $$
<figure><img src="image_295.png" /><figcaption>FIGURE 13.33 – Construction du dos de l'hippocampe. (a) : Tout le demi-cône $\Gamma_{d\infty}$ de révolution. (b) : Les cercles caractéristiques de la partie utile $\Gamma_d$ de ce cône.</figcaption></figure>

La figure 13.33(b) montre les cercles caractéristiques du cône tronqué $\Gamma_d$ représenté sur l'espace de sphères par la courbe de Bézier $\gamma_d$.

Pour finir l'hippocampe, nous ajoutons deux yeux qui sont deux sphères de rayon $\frac{r_6}{2}$ et de centres respectifs $\mathcal{T}_{\vec{u}}(O_6)$ et $\mathcal{T}_{\vec{v}}(O_6)$ où :

* $\mathcal{T}_{\vec{w}}$ désigne la translation de vecteur $\vec{w}$;

* $\vec{u}$ a pour composante $(-2; \frac{3}{2}; 1)$;

* $\vec{v}$ a pour composante $(-2; -\frac{3}{2}; 1)$.

La crête de l'hippocampe est modélisé par un ellipsoïde de demi-axes $\frac{r_6}{2}$, $\frac{9r_6}{4}$ et $\frac{r_6}{2}$. Le centre de cet ellipsoïde est $\mathcal{T}_{\vec{r_6}}(O_6)$. La figure 13.34 montre le corps de l'hippocampe obtenu avec une seule texture afin de mettre en exergue les jointures $G^1$ entre les surfaces canal. La figure 13.35 montre l'hippocampe obtenu.

## 13.6 Synthèse du chapitre

Dans ce chapitre, nous avons simplifier les jointures de deux surfaces canal par une ou des cyclides de Dupin. Si nous nous donnons un cercle caractéristique sur chaque surface canal, en
général, nous ne pouvons pas utiliser une seule cyclide de Dupin et nous sommes obligés d’en
utiliser deux et éventuellement une sphère intermédiaire. Dans ce dernier cas, nous donnons les
critères permettant de ne pas avoir de points singuliers, de ne pas avoir de rebroussements.

Dans un second temps, à partir de deux cercles, coplanaires ou cosphériques, nous avons
construit une famille à un paramètre de cyclide de Dupin ayant ces cercles comme cercles carac-
téristiques.

Pour finir ce chapitre, nous avons illustré la puissance de l'espace des sphères pour représen-
ter des surfaces canal modélisées par des courbes de Bézier rationnelles quadratiques à points
massiques de contrôle en modélisant un hippocame.
<figure><img src="image_296.png" /></figure>

FIGURE 13.34 – Un hippocampe modélisé comme surfaces canal en utilisant des courbes de Bézier rationnelles quadratiques dans les espaces des sphères et de Lorentz.
<figure><img src="image_297.png" /><figcaption>FIGURE 13.35 – Un hippocampe modélisé comme surfaces canal en utilisant des courbes de Bézier rationnelles quadratiques dans les espaces des sphères et de Lorentz.</figcaption></figure>
# Chapitre 14

## Construction de carreaux de cyclides de Dupin

Dans ce chapitre, nous construisons des carreaux de cyclides de Dupin en deux temps : la première étape nécessite une phase d'initialisation assez longue permettant de construire un tel carreau ; le seconde étape permet de construire un autre carreau se raccordant de façon $G^1$ avec le premier.

Plusieurs algorithmes de conversion de carreaux de cyclides de Dupin en surfaces de Bézier rationnelles biquadratiques ont été développés [Pra90, Gar07, GFN06, GG11]. A partir des propriétés des surfaces de Bézier obtenues par les algorithmes précédents, des algorithmes permettant de construire des surfaces de Bézier rationnelles biquadratiques convertibles en carreaux de cyclides de Dupin ont été proposés [BLS11, Gar07, GG11, GFN06]. Deux conditions sont nécessaires et suffisantes pour construire un tel carreau, unique [Mar82, SKD96] : les quatre sommets du carreau doivent être cocycliques ; les deux vecteurs tangents, définissant chacun l'un des quatre cercles de bord, en un sommet, doivent être orthogonaux. Dans ce chapitre, nous proposons une construction directement dans l'espace des sphères.

Dans [SKD96], les auteurs partent de quatre points cocycliques et de deux vecteurs, l'un est un vecteur normal en $M_{00}$ tandis que l'autre est un vecteur tangent au cercle caractéristique $C_{\theta_0}$. Ils construisent par itérations les autres cercles caractéristiques.

Dans un premier temps, ils déterminent la sphère $S_{\theta_0}$ de la famille de sphères dont la contribution est le cercle $C_{\theta_0}$. Le vecteur tangent caractérisant le cercle $C_{\psi_0}$ est obtenu par le produit vectoriel entre les deux vecteurs précédents.

Le deuxième cercle caractéristique $C_{\psi_0}$ est construit, puis la sphère $S_{\psi_0}$ de l'autre famille de sphères, contenant le cercle $C_{\psi_0}$ est déterminée. Les deux derniers cercles caractéristiques $C_{\theta_2}$ et $C_{\psi_2}$ ainsi que les sphères $S_{\theta_2}$ et $S_{\psi_2}$ sont construits de manière analogue.

Notre méthode dans l'espace des sphères nous permet d'obtenir directement les bonnes sphères, sans avoir à calculer des intersections de droites. Nous construisons les sphères $S_{\theta_0}$ et $S_{\psi_0}$ à partir des faisceaux de sphères à base les cercles $C_{\theta_0}$ et $C_{\psi_0}$ puis nous déterminons la sphère $S_{\theta_2}$. Le cercle caractéristique $C_{\theta_2}$ est ensuite construit. En fait, nous ne calculons que trois sphères pour déterminer la cyclide de Dupin.
Rappelons que l'ensemble des sphères, de même orientation, tangentes à une sphère en un point, forme une droite lumière sur $\Lambda^4$ et, le point de contact est donné par un vecteur directeur de cette droite. De plus, connaître la position relative de deux sphères, d'un point et d'une sphère sont des problèmes linéaires dans l'espace de Lorentz alors que ces derniers sont quadratiques dans $\mathcal{E}_3$.

# 14.1 Construction du premier carreau

## 14.1.1 Expression des contraintes de $\mathcal{E}_3$ dans $\Lambda^4$

Les conditions dans $\mathcal{E}_3$ sont quatre points $M_{00}$, $M_{01}$, $M_{11}$ et $M_{10}$ cocycliques et deux vecteurs tangents orthogonaux $\overrightarrow{v_{C_{\theta_0}}}$ et $\overrightarrow{v_{C_{\psi_0}}}$ en $M_{00}$, figure 14.1. Les points $M_{00}$, $M_{01}$ (resp. $M_{10}$) et le vecteur $\overrightarrow{v_{C_{\theta_0}}}$ (resp. $\overrightarrow{v_{C_{\psi_0}}}$) définissent le cercle $C_{\theta_0}$ (resp. $C_{\psi_0}$). Notons que les sens de ces deux vecteurs ne sont pas importants pour la détermination des cercles.

Chaque cercle de $\mathcal{E}_3$ permet de définir un faisceau de sphères à base cercle et deux éléments de la famille vont jouer un rôle particulier : une sphère orientée ayant ce cercle comme grand cercle d'une part et un plan orienté contenant ce cercle d'autre part où cette sphère et ce plan sont orthogonaux.

Dans l'espace des sphères, chacun de ces deux faisceaux est un cercle, pour la métrique de Lorentz, de centre $O_5$, situé dans un 2-plan de type espace contenant $O_5$. En s'inspirant des propositions énoncées dans la proposition 8 du paragraphe 10.4.2 concernant les positions relatives de deux sphères, le théorème 45 permet de trouver un point $\sigma_{\theta_0}$ sur l'un des cercles ainsi qu'un point $\sigma_{\psi_0}$ sur l'autre cercle tels que leurs représentations dans $\mathcal{E}_3$ soient deux sphères tangentes en $M_{00}$.

Dans un second temps, nous déterminons une droite lumière définie par la sphère $\sigma_{\psi_0}$ et le vecteur $\overrightarrow{m_{10}}$, représentation du point $M_{10}$. Il reste à déterminer le point $\sigma_{\theta_2}$ de cette droite lumière tel que la sphère associée à $\sigma_{\theta_2}$ contienne le point $M_{11}$.

Avant de présenter l'algorithme 14.1, nous énoncerons le théorème 45, démontré dans l'анnexe E, sur lequel s'appuie l'algorithmme 14.1.

## 14.1.2 Théorème essentiel et algorithme

Rappelons, proposition 12, que si C est un grand cercle de la sphère $S$ et si $\mathcal{P}$ est un plan orienté contenant le cercle C, une expression (dans $\Lambda^4$) d'une sphère appartenant au faisceau de sphères à base le cercle C est :

$$ \overrightarrow{O_5\gamma_{\theta}(\theta)} = \cos(\theta) \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_1}} + \sin(\theta) \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_2}^{\perp}} \quad (14.1) $$

où $\theta \in [0, 2\pi]$ et $\sigma_{\theta_1}$ (resp. $\sigma_{\theta_2}^{\perp}$) est la représentation de la sphère orientée $S$ (resp. le plan orienté $\mathcal{P}$).

Rappelons que les points $M_{00}$ et $M_{01}$ et le vecteur tangent correspondant en $M_{00}$ définissent un cercle caractéristique de la future cyclide. Il en est de même en remplaçant $M_{01}$ par $M_{10}$.
<figure><img src="image_298.png" /><figcaption>FIGURE 14.1 – Conditions permettant d’obtenir un carreau de cyclide de Dupin à bords circulaires dans $\mathcal{E}_3$. Les points $M_{00}$, $M_{01}$, $M_{11}$ et $M_{10}$ appartiennent à un cercle. Les points $M_{00}$, $M_{01}$ (resp. $M_{10}$) et le vecteur $\overrightarrow{v_{C_{\theta_0}}}$ (resp. $\overrightarrow{v_{C_{\psi_0}}}$) définissent un arc de cercle. Les vecteurs $\overrightarrow{v_{C_{\theta_0}}}$ et $\overrightarrow{v_{C_{\psi_0}}}$ sont orthogonaux.</figcaption></figure>

Le théorème 45 permet de déterminer, lorsque nous avons deux faisceaux de sphères à bases cercles, une sphère de chaque faisceau, toutes deux tangentes entre elles. Dans ce théorème, nous choisissons les quatre sphères $\sigma_{\theta_1}$, $\sigma_{\psi_1}$, $\sigma_{\theta_I}^{\perp}$ et $\sigma_{\psi_I}^{\perp}$ telles que :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \left( \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}} \right) \left( \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}^{\perp}} \right) \le 0 \\ \left( \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}^{\perp}} \right) \left( \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}^{\perp}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}^{\perp}} \right) \le 0 \end{array} \right. \qquad (14.2) $$

**Théorème 45 :**

Soit $C_\theta$ et $C_\psi$ deux cercles passant par le point $M_{00}$ tels que les tangentes aux cercles en $M_{00}$ soient orthogonales.

Soit $\sigma_{\theta_I}$ (resp. $\sigma_{\psi_I}$) le point de $\Lambda^4$ correspondant à une sphère orientée de grand cercle $C_\theta$ (resp. $C_\psi$).

Soit $\sigma_{\theta_I}^{\perp}$ (resp. $\sigma_{\psi_I}^{\perp}$) le point de $\Lambda^4$ correspondant à l'un des deux plans orientés contenant le cercle $C_\theta$ (resp. $C_\psi$).
Dans $\Lambda^4$, les paramétrisations $\theta_0 \mapsto \gamma_\theta(\theta_0)$ et $\psi_0 \mapsto \gamma_\psi(\psi_0)$ des cercles représentant ces deux faisceaux de sphères sont définies par la formule (14.1).

Soient A et B les quantités :

$$ 
\begin{align} 
A &= \sqrt{\left(\overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}}\right)^2 + \left(\overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}^{\perp}}\right)^2} \tag{14.3} \\ 
B &= \sqrt{\left(\overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}^{\perp}}\right)^2 + \left(\overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}^{\perp}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}^{\perp}}\right)^2} 
\end{align} 
$$

Soit $\theta_s$ la solution (modulo $2\pi$) de :

$$ 
\begin{cases} 
\cos(\theta_s) = A^2 - B^2 \\ 
\sin(\theta_s) = 2 AB 
\end{cases} 
$$

$$ \text{Soit } \theta_0 = -\frac{\theta_s}{2} \text{ ou } \theta_0 = -\frac{\theta_s}{2} + \pi. $$

Soient $a_{\theta_0}$ et $b_{\theta_0}$ les quantités suivantes :

$$ 
\begin{align} 
a_{\theta_0} &= \cos(\theta_0) \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}} + \sin(\theta_0) \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}^{\perp}} \tag{14.4} \\ 
b_{\theta_0} &= \cos(\theta_0) \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}^{\perp}} + \sin(\theta_0) \overrightarrow{O_5\sigma_{\psi_I}^{\perp}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}^{\perp}} 
\end{align} 
$$

Soit $\psi_0$ la solution (modulo $2\pi$) de :

$$ 
\begin{cases} 
\cos(\psi_0) = a_{\theta_0} \\ 
\sin(\psi_0) = b_{\theta_0} 
\end{cases} 
\tag{14.5} 
$$

Alors, dans $\mathcal{E}_3$, les sphères correspondant aux points $\gamma_\theta(\theta_0)$ et $\gamma_\psi(\psi_0)$ sont tangentes en $M_{00}$.

Démonstration : Annexe E.

<figure><img src="image_299.png" /></figure>

Notons que les sphères $\gamma_\theta(\theta_0)$ et $\gamma_\theta(\theta_0 + \pi)$ représentent la même sphère non orientée de $\mathcal{E}_3$.

Lorsque nous avons un faisceau de sphères tangentes en un point donné, le lemme 11 permet de déterminer la sphère de ce faisceau qui contient un autre point en s’appuyant sur le théorème 22. Ce lemme nous sera utile dans les points 12 à 14 de l’algorithme 14.1.

**Lemme 11 :**

Soit $\sigma_0$ représentant une sphère orientée de $\mathcal{E}_3$ et $\overrightarrow{m}_{00}$ représentant le point $M_{00}$ de $\mathcal{E}_3$.

Soit $l_{00}: t \mapsto \sigma_0 + t \overrightarrow{m}_{00}$ une paramétrisation d’une droite lumière sur $\Lambda^4$ représentant les sphères tangentes à $\sigma_0$ en $M_{00}$.

Soit $\overrightarrow{m}_{10}$ un vecteur de type lumière représentant un point $M_{10}$ de $\mathcal{E}_3$.
Le point $M_{10}$ appartient à la sphère définie par $l_{00}(t_0)$ si et seulement si :

$$t_0 = f(\sigma_0, \overrightarrow{m_{00}}, \overrightarrow{m_{10}}) = - \frac{\overrightarrow{O_5\sigma_0} \cdot \overrightarrow{m_{10}}}{\overrightarrow{m_{00}} \cdot \overrightarrow{m_{10}}} \quad (14.6)$$

Démonstration :

En utilisant le théorème 22, le point $M_{10}$ appartient à la sphère définie par $l_{00}(t_0)$ si et seulement si<fnref n="1" /> :

$$\overrightarrow{O_5 l_{00}(t_0)} \cdot \overrightarrow{m_{10}} = 0 \quad (14.7)$$

et nous avons :

$$\begin{align*}
\overrightarrow{O_5 l_{00}(t_0)} \cdot \overrightarrow{m_{10}} &= 0 & \iff & (\overrightarrow{O_5\sigma_0} + t_0 \overrightarrow{m_{00}}) \cdot \overrightarrow{m_{10}} &= 0 \\
&\iff & \overrightarrow{O_5\sigma_0} \cdot \overrightarrow{m_{10}} + t_0 \overrightarrow{m_{00}} \cdot \overrightarrow{m_{10}} &= 0 \\
&\iff & t_0 &= - \frac{\overrightarrow{O_5\sigma_0} \cdot \overrightarrow{m_{10}}}{\overrightarrow{m_{00}} \cdot \overrightarrow{m_{10}}} \quad \blacksquare
\end{align*}$$

L'algorithme 14.1 permet une construction séquentielle de la cyclide de Dupin solution du problème posé. Les points 1 à 7 permettent de traduire dans $\Lambda^4$ les propriétés à respecter dans $\mathcal{E}_3$. Cet algorithme utilise le théorème 45, les sphères $\sigma_{\theta_I}$, $\sigma_{\theta_I}^{\perp}$, $\sigma_{\psi_I}$ et $\sigma_{\psi_I}^{\perp}$ vérifient les conditions données par la formule (14.2). Les points 8 et 9 permettent d'obtenir la paramétrisation usuelle d'un cercle dans un plan affine muni d'un repère orthonormé. Les points 10 et 11 permettent de déterminer les deux sphères, de chacun des faisceaux, tangentes au point $M_{00}$.

Les points 12 à 14 permettent de construire la dernière sphère $\sigma_{\theta_2}$ définissant la cyclide de Dupin, elle vient compléter la sphère $\sigma_{\theta_0}$ et le vecteur $\overrightarrow{\gamma'_{\theta}(\theta_0)}$. En utilisant le lemme 11, nous déterminons la sphère $\sigma_{\theta_2}$ tangente en $M_{10}$ à $S_{\psi_0}$ et passant par le point $M_{11}$.

Notons qu'en reprenant le principe de la partie de l'algorithme correspondant aux points 12 à 14, nous construirions de manière analogue la sphère $\sigma_{\psi_2}$ de la seconde famille : le second cercle frère dans $\Lambda^4$ représentant la cyclide de Dupin serait défini par la section de $\Lambda^4$ par le plan affine engendré par $\sigma_{\psi_2}$, $\sigma_{\psi_0}$ et $\overrightarrow{\gamma'_{\psi}(\psi_0)}$. Cet étape peut s'avérer indispensable si nous voulons joindre ce carreau de cyclide de Dupin avec un autre.

La figure 14.2 montre les deux faisceaux de sphères qui sont représentés par des cercles centrés à l'origine. Ces cercles sont contenus dans des plans affines, de type espace, contenant $O_5$. Nous prenons $\sigma_{\theta_0}$ et $\sigma_{\psi_0}$ sur chacun des cercles en utilisant le théorème 45. Le calcul de la sphère $\sigma_{\theta_2}$ est très aisé puisque nous connaissons un point de chaque sphère (et donc une direction lumière) et une sphère qui lui est tangente : il suffit d'appliquer le lemme 11. Les sphères de $\mathcal{E}_3$ définies par $\sigma_{\theta_0}$ et $\sigma_{\psi_0}$ sont tangentes en $M_{00}$. Les sphères de $\mathcal{E}_3$ définies par $\sigma_{\theta_2}$ et $\sigma_{\psi_0}$ sont tangentes en $M_{10}$. De même, en continuant le processus, les sphères de $\mathcal{E}_3$ définies par $\sigma_{\theta_2}$ et

<footnote n="1">1. Une démonstration analytique est très facile.</footnote>
**Algorithme 14.1** Détermination d'une cyclide de Dupin permettant d'obtenir un carreau à bords circulaires.

**Entrée** : Quatre points cocycliques $(M_{ij})_{(i,j)\in[0;1]^2}$ et deux vecteurs $\overrightarrow{v_{C_{\theta_0}}}$ et $\overrightarrow{v_{C_{\psi_0}}}$, non nuls, orthogonaux.

1. Pour $i$ de 0 à 1 faire, Pour $j$ de 0 à 1 faire

Calcul de $\overrightarrow{m_{ij}}$ représentant le point $M_{ij}$ dans le paraboloïde P
fin faire fin faire.

2. Construction du cercle $C_{\theta}$ passant par les points $M_{00}$ et $M_{01}$ et dont la tangente en $M_{00}$ est définie par $\overrightarrow{v_{C_{\theta_0}}}$.

3. Construction du cercle $C_{\psi}$ passant par les points $M_{00}$ et $M_{10}$ et dont la tangente en $M_{00}$ est définie par $\overrightarrow{v_{C_{\psi_0}}}$.

4. Construction d'une sphère orientée $\sigma_{\theta_I}$ ayant $C_{\theta}$ comme grand cercle.

5. Construction d'un plan orienté $\sigma_{\theta_I}^{\perp}$ contenant $C_{\theta}$.

6. Construction d'une sphère orientée $\sigma_{\psi_I}$ ayant $C_{\psi}$ comme grand cercle.

7. Construction d'un plan orienté $\sigma_{\psi_I}^{\perp}$ contenant $C_{\psi}$.

8. Détermination du cercle $\gamma_{\theta}(\theta_0)$ représentant le faisceau de sphères à base le cercle $C_{\theta}$, formule (14.1).

9. Détermination du cercle $\gamma_{\psi}(\psi_0)$ représentant le faisceau de sphères à base le cercle $C_{\psi}$, formule (14.1).

10. Calcul de $\theta_0$ et $\psi_0$, théorème 45.

11. Détermination des sphères $\sigma_{\theta_0} = \gamma_{\theta}(\theta_0)$ d'une part et $\sigma_{\psi_0} = \gamma_{\psi}(\psi_0)$ d'autre part.

12. Détermination d'une paramétrisation de la direction lumière $l_{10} : t \mapsto \sigma_{\psi_0} + t \overrightarrow{m_{10}}$.

13. Calcul de $t_1 = f(\sigma_{\psi_0}, \overrightarrow{m_{10}}, \overrightarrow{m_{11}})$, formule (14.6).

14. Détermination de la sphère $\sigma_{\theta_2} = l_{10}(t_1)$.

$\overrightarrow{\bullet}$

**Sortie** : Deux sphères $\sigma_{\theta_0}$, $\sigma_{\theta_2}$ et le vecteur $O_5\gamma_{\theta}(\theta_0)$ déterminent une cyclide de Dupin : le cercle Lorentz sur $\Lambda^4$ représentant la cyclide est contenu dans le plan affine engendré par $\sigma_{\theta_0}, \sigma_{\theta_2}$ et $O_5\gamma_{\theta}(\theta_0)$.
<figure><img src="image_300.png" /><figcaption>FIGURE 14.2 – Construction d'un carreau de cyclide à bords circulaires dans $\Lambda^4$. Les droites $(\sigma_{\theta_0}\sigma_{\psi_0})$, $(\sigma_{\theta_2}\sigma_{\psi_0})$, $(\sigma_{\theta_2}\sigma_{\psi_2})$, et $(\sigma_{\theta_0}\sigma_{\psi_2})$, sont de type lumière et ont chacune pour vecteur directeur respectif $\overline{m}_{00}$, $\overline{m}_{10}$, $\overline{m}_{11}$, et $\overline{m}_{01}$. Le 2-plan rose (resp. vert) est le plan contenant le faisceau de sphères à base cercle $C_{\theta_0}$ (resp. $C_{\psi_0}$). Nous utilisons le théorème 45 pour déterminer les sphères $\sigma_{\theta_0}$ et $\sigma_{\psi_0}$ tandis que nous employons le lemme 11 pour calculer les sphères $\sigma_{\theta_2}$ et $\sigma_{\psi_2}$. Chacun des deux faisceaux de sphères est représenté par un des cercles obtenus comme section de $\Lambda^4$ par un 2-plan affine passant par $O_5$ de type espace.</figcaption></figure>
$\sigma_{\psi_2}$ seraient tangentes en $M_{11}$. Les sphères de $\mathcal{E}_3$ définies par $\sigma_{\theta_0}$ et $\sigma_{\psi_2}$ sont tangentes en $M_{01}$. Notons qu'en continuant à nouveau le processus permettant de construire $\sigma_{\psi_2}$ à partir de $\sigma_{\theta_2}$, nous obtiendrions $\sigma_{\theta_0}$. Ce résultat, faux en général, est une conséquence du théorème 45.

La figure 14.3 présente la sphère $\sigma_{\theta_0}$ qui appartient au cercle $\gamma_{\theta}$. Le cercle caractéristique sur la sphère $\sigma_{\theta_0}$ est complètement déterminé par elle-même et $\overrightarrow{\gamma'_{\theta}(\theta_0)}$ qui est le vecteur tangent au cercle en $\sigma_{\theta_0}$. La cyclide est alors complètement déterminée comme intersection de $\Lambda^4$ avec le plan affine engendré par les points $\sigma_{\theta_0}$ et $\sigma_{\theta_2}$ et le vecteur $\overrightarrow{\gamma'_{\theta}(\theta_0)}$. Ce vecteur détermine le point $\sigma_{\theta_0}^*$ qui correspond, dans $\mathcal{E}_3$, à une sphère orthogonale à la sphère définie par $\sigma_{\theta_0}$.

### 14.1.3 Exemple numérique

Concernant l'affichage de la cyclide de Dupin, nous avons deux solutions : soit nous utilisons les algorithmes de subdivisions, chapitre 12, soit nous déterminons deux sphères principales (i.e. deux sphères de la même famille dont les cercles caractéristiques sont deux cercles principaux (coplanaires)), puis nous calculons les paramètres de la cyclide de Dupin ainsi que les transformations géométriques à effectuer pour placer cette dernière dans le repère initial.

Les quatre sommets du carreau $M_{00} (2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}, 0)$, $M_{10} (2\sqrt{3}, -2, 0)$, $M_{01} (-2, 2\sqrt{3}, 0)$ et $M_{11} (-2\sqrt{2}, -2\sqrt{2}, 0)$ appartiennent au cercle C ($O_3, 4$) (en noir) contenu dans le plan $\mathcal{P}_z$ : $z = 0$, figure 14.4.

La figure 14.5 montre la cyclide de Dupin déterminée par trois sphères : deux de l'enveloppe qui correspondent à $\sigma_{\theta_0}$ et $\sigma_{\theta_2}$ et une sphère orthogonale à $\sigma_{\theta_0}$ qui est définie par le vecteur tangent au cercle (dans $\Lambda^4$) au point $\sigma_{\theta_0}$.

Les cercles caractéristiques sont modélisés très facilement par des courbes de Bézier rationnelles quadratiques [Gar07] définies par les points de contrôle $(M_{00}; 1)$, $(P_0; \pm\omega_0)$, $(M_{01}; 1)$ et $(M_{00}; 1)$, $(P_1; \pm\omega_1)$, $(M_{10}; 1)$ avec :

$$ (P_0; \omega_0) \approx ((-0, 129; -0, 980; 2); 0, 466) $$

et :

$$ (P_1; \omega_1) \approx \left( \left( 3, 798; \frac{1}{2}; -3 \right); 0, 621 \right) $$

Les sphères initiales sont données dans le tableau 14.1.

<table><caption>TABLE 14.1 – Sphères définies par le carreau de cyclide de Dupin.</caption><thead><tr><th>Nom</th><th>Dans E<sub>3</sub></th><th>Dans Λ<sup>4</sup></th></tr></thead><tbody><tr><td>σ<sub>θ<sub>1</sub></sub></td><td>((0, 565; 4, 294; -0, 556); 2, 753)</td><td>(0, 363; 0, 205; 1, 560; -0, 202; 2, 086)</td></tr><tr><td>σ<sup>⊥</sup><sub>θ<sub>1</sub></sub></td><td>0, 057 x + 0, 429 y + 0, 901 z - 1, 375 = 0</td><td>(0; 0, 057; 0, 429; 0, 901; 1, 375)</td></tr><tr><td>σ<sub>ψ<sub>1</sub></sub></td><td>((2, 737; 0, 360; 1, 886); 3, 108)</td><td>(0, 322; 0, 881; 0, 116; 0, 607; 0, 244)</td></tr><tr><td>σ<sup>⊥</sup><sub>ψ<sub>1</sub></sub></td><td>-0, 968 x - 0.128 y - 0, 214 z + 3, 100 = 0</td><td>(0; -0, 968; -0, 128; -0, 214; -3, 100)</td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_301.png" /><figcaption>FIGURE 14.3 – Construction d’un carreau de cyclide à bords circulaires dans $\Lambda^4$. Le 2-plan rose est le plan contenant le cercle représentant la famille de sphères passant par $C_\theta$. Le 2-plan vert est le plan contenant le cercle représentant une famille de sphères de la cyclide de Dupin déterminée par l’algorithme 14.1. Ce plan est déterminé par la sphère $\sigma_{\theta_2}$ et le cercle caractéristique défini par le couple $(\sigma_{\theta_0}; \overrightarrow{\gamma'_{\theta}(\theta_0)})$.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_302.png" /><figcaption>FIGURE 14.4 – Les sommets $M_{00}$, $M_{01}$, $M_{11}$ et $M_{10}$ appartiennent au cercle noir contenu dans le plan $\mathcal{P}_z : z = 0$. Les autres cercles seront deux cercles caractéristiques de la cyclide de Dupin à déterminer. Les segments représentent les vecteurs tangents orthogonaux en $M_{00}$.</figcaption></figure>

Nous obtenons :

$$ (\theta_s, \theta_0, \psi_0) \approx (0, 74708; -0, 37354; 2, 16484) $$

et les sphères qui définissent la cyclide de Dupin sont données dans le tableau 14.2. Comme nous avons :

$$ \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_0}} = \cos(\theta_0) \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}} + \sin(\theta_0) \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}^{\perp}} $$

la sphère $\sigma_{\theta_0}^{\bullet}$ est déterminée par la formule :

$$ \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_0}^{\bullet}} = -\sin(\theta_0) \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}} + \cos(\theta_0) \overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_I}^{\perp}} $$

et l'un des deux 2-plans affines qui caractérise la cyclide de Dupin est défini par les points $\sigma_{\theta_0}$ et $\sigma_{\theta_2}$ et le vecteur $\overrightarrow{O_5\sigma_{\theta_0}^{\bullet}}$.
<figure><img src="image_303.png" /><figcaption>FIGURE 14.5 – La cyclide de Dupin est déterminée par les trois sphères $\sigma_{\theta_0}$, $\sigma_{\theta_2}$ et $\sigma_{\theta_0}^\bullet$ (les sphères $\sigma_{\theta_0}$ et $\sigma_{\theta_0}^\bullet$ sont orthogonales).</figcaption></figure>

Nous pouvons remarquer que le centre $\Omega_{\theta}$ du cercle $\Gamma_{\theta}$, section de $\Lambda^4$ par le 2-plan précédent, est calculé directement par la formule (11.81) qui se simplifie du fait que $\sigma_{\theta_0}^\bullet$ appartient à $\Lambda^4$ :

$$ \overrightarrow{\sigma_{\theta_0} \Omega_{\theta}} = \frac{1}{2} \frac{\overrightarrow{\sigma_{\theta_0} \sigma_{\theta_2}}}{\overrightarrow{\sigma_{\theta_0}^2} - \left( \overrightarrow{\sigma_{\theta_0} \sigma_{\theta_2}} \cdot \overrightarrow{O_5 \sigma_{\theta_0}} \right)^2} \bullet \left( \overrightarrow{\sigma_{\theta_0} \sigma_{\theta_2}} - \overrightarrow{\sigma_{\theta_0} \sigma_{\theta_2}} \cdot \overrightarrow{O_5 \sigma_{\theta_0}} \cdot \overrightarrow{O_5 \sigma_{\theta_0}} \right) \quad (14.8) $$

où • désigne la multiplication externe du $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\overrightarrow{L_{4,1}}$. Nous pouvons vérifier simplement que le point $\Omega_{\theta}$ est défini par :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{\sigma_{\theta_0} \Omega_{\theta}} \cdot \overrightarrow{O_5 \sigma_{\theta_0}} = 0 \\ \overrightarrow{I_{\theta} \Omega_{\theta}} \cdot \overrightarrow{\sigma_{\theta_0} \sigma_{\theta_2}} = 0 \end{array} \right. \qquad (14.9) $$

où $I_{\theta}$ est le milieu du segment $[\sigma_{\theta_0} \sigma_{\theta_2}]$. A partir du cercle $\Gamma_{\theta}$, nous pouvons déterminer les paramètres de la cyclide de Dupin et nous obtenons les paramètres suivants :

$$ (a, c, \mu) \approx (4, 934; 1, 803; 2, 849) $$
<table><caption>TABLE 14.2 – Sphères qui définissent la cyclide de Dupin.</caption><thead><tr><th>Nom</th><th>Dans Λ<sup>4</sup></th><th>Dans E<sub>3</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>σ<sub>θ<sub>0</sub></sub></td><td>(0, 338; 0, 171; 1, 295; -0, 517; 1, 440)</td><td>((0, 504; 3, 830; -1, 529); 2, 957)</td></tr><tr><td>σ<sub>θ<sub>0</sub></sub><sup>•</sup></td><td>(0, 133; 0, 128; 0, 969; 0, 765; 2, 041)</td><td>((0, 962; 7, 310; 5, 774); 7, 544)</td></tr><tr><td>σ<sub>θ<sub>2</sub></sub></td><td>(0, 232; 0, 130; -0, 994; -0, 517; 0, 588)</td><td>((0, 561; -4, 291; -2, 232); 4, 317)</td></tr><tr><td>σ<sub>ψ<sub>0</sub></sub></td><td>(-0, 180; -1, 296; -0, 171; -0, 517; -2, 705)</td><td>((7, 192; 0, 947; 2, 871); -5, 552)</td></tr><tr><td>σ<sub>ψ<sub>2</sub></sub></td><td>(-0, 074; 0, 994; -0, 131; -0, 517; -1, 853)</td><td>((-13, 516; 1, 779; 7, 030); -13, 597)</td></tr></tbody></table>

ainsi que la matrice massique de la transformation affine, paragraphe 2.3.2, à effectuer :

$$ \begin{pmatrix} 0,059 & 0,039 & 0,998 & 0,698 \\ 0,379 & -0,925 & 0,013 & -0,301 \\ 0,923 & 0,377 & -0,069 & 0,471 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad (14.10) $$

Considérons le repère $(O_3, \vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3)$ où le plan contenant les sphères centrées sur l'ellipse (resp. hyperbole) a pour équation $z = 0$ (resp. $y = 0$) et $O_3$ est le milieu des foyers de l'ellipse. Alors, l'équation de la cyclide de Dupin dans ce repère est donnée par la formule (7.36). Les figures 14.6 et 14.7 montrent la cyclide de Dupin solution.

Ayant calculé les paramètres de la cyclide de Dupin et ayant déterminé les transformations géométriques permettant de placer cette dernière dans le repère initial, nous pouvons déterminer les bornes afin de n'afficher que la partie «utile» de la cyclide de Dupin, figure 14.8. Les bornes pour la visualisation sont $\theta_0 \simeq 2,521616545$, $\theta_1 \simeq 4,652818777$, $\psi_0 \simeq -0,9430762257$ et $\psi_1 \simeq 1,266085740$.
<figure><img src="image_304.png" /><figcaption>FIGURE 14.6 – Première vue de la cyclide de Dupin permettant de construire le carreau à bords circulaires de sommets $M_{00}$, $M_{01}$, $M_{11}$ et $M_{10}$. Le plan en verre contient les quatre sommets du carreau.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_305.png" /><figcaption>FIGURE 14.7 – Seconde vue de la cyclide de Dupin permettant de construire le carreau à bords circulaires de sommets $M_{00}$, $M_{01}$, $M_{11}$ et $M_{10}$. Le plan en marron contient les quatre sommets du carreau.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_306.png" /><figcaption>FIGURE 14.8 – Deux vues du carreau de cyclide de Dupin obtenu, à partir de la figure 14.1, en utilisant l’algorithme 14.1.</figcaption></figure>
## 14.2 Construction d'autres carreaux

L'algorithme 14.1 permet de construire un carreau $\mathcal{C}$ de cyclide de Dupin dont les sommets sont $(M_{ij})_{(i,j)\in[0;1]^2}$. Parmi ces quatre points, considérons deux sommets $P_{00}$ et $P_{01}$ appartenant à la même sphère $S_\vartheta$ représentée par $\sigma_\vartheta$. Le cercle de la cyclide de Dupin est défini par $\sigma_{\theta_0}, \sigma_{\theta_2}$ et $O_5\gamma_\theta(\theta_0)$, nous pouvons déterminer son centre $\Omega_1$ puis $\sigma_\vartheta$, sphère dérivée de $\sigma_\vartheta$. Notons que les points $P_{00}$ et $P_{01}$ appartiennent au cercle $C_\vartheta = S_\vartheta \cap \overline{S_\vartheta}$. En considérant deux points $P_{10}$ et $P_{11}$ tels que les quatre points $P_{00}, P_{01}, P_{10}$ et $P_{11}$ soient cocycliques, l'algorithme 14.2 permet de construire un carreau $\mathcal{C}_2$ joignant de façon $G^1$ le carreau $\mathcal{C}$ le long du cercle $C_\vartheta$.

**Algorithme 14.2** Détermination d'une cyclide de Dupin permettant d'obtenir un carreau à bords circulaires joignant de façon $G^1$ le carreau construit par l'algorithme 14.1.

**Entrée** : Deux vecteurs $\overrightarrow{p_{00}}$ et $\overrightarrow{p_{01}}$, représentant les points non nuls $P_{00}$ et $P_{01}$, et la sphère $\sigma_{\vartheta_0}$ construits par l'algorithme et vérifiant :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{p_{00}} \cdot \overrightarrow{\sigma_{\vartheta}} = 0 \\ \overrightarrow{p_{01}} \cdot \overrightarrow{\sigma_{\vartheta}} = 0 \end{array} \right. $$

1. Construction de la sphère $\sigma_{\vartheta_0}$

2. Construction de deux points $P_{10}$ et $P_{11}$ tels que les quatre points $P_{00}, P_{01}, P_{10}$ et $P_{11}$ soient cocycliques

3. Pour $i$ de $0$ à $1$ faire

Calcul de $\overrightarrow{m_{1i}}$ représentant le point $P_{1i}$ dans le paraboloïde $P$

fin faire

4. Détermination d'une paramétrisation de la direction lumière $l_{01} : t \mapsto \sigma_{\vartheta_0} + t \overrightarrow{m_{00}}$.

5. Calcul de $t_{01} = f(\sigma_\vartheta, \overrightarrow{m_{00}}, \overrightarrow{m_{10}})$, formule (14.6).

6. Détermination de la sphère $\sigma_{\varphi_0} = l_{01}(t_{01})$.

7. Détermination d'une paramétrisation de la direction lumière $l_{11} : t \mapsto \sigma_{\varphi_0} + t \overrightarrow{m_{10}}$.

8. Calcul de $t_{11} = f(\sigma_{\varphi_0}, \overrightarrow{m_{10}}, \overrightarrow{m_{11}})$, formule (14.6).

9. Détermination de la sphère $\sigma_{\vartheta_2} = l_{11}(t_{11})$.

**Sortie** : Trois sphères $\sigma_{\vartheta_0}, \sigma_{\vartheta_2}$ et $\sigma_{\vartheta_0}^*$ déterminent une cyclide de Dupin

Comme exemple numérique, prenons $P_{10}$ (2, 742; 3, 790; 0, 314) et $P_{11}$ (-1, 432; 4, 675; 0, 426) représenté par :

$$ \overrightarrow{p_{10}} (1; 2, 741; 3, 790; 0, 314; 10, 988) $$

et :

$$ \overrightarrow{p_{11}} (1; -1, 432; 4, 675; 0, 426; 12, 046) $$

Le tableau 14.3 donne les valeurs des sphères construites par l'algorithme 14.1.
<table><caption>TABLE 14.3 – Sphères qui définissent la cyclide de Dupin, les sphères $\sigma_{\theta_0}$ et $\sigma_{\theta_0}^{\bullet}$ sont communes aux deux carreaux.</caption><thead><tr><th>Nom</th><th>Dans Λ<sup>4</sup></th><th>Dans E<sub>3</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>σ<sub>θ<sub>0</sub></sub></td><td>(0, 338; 0, 171; 1, 295; -0, 517; 1, 440)</td><td>((0, 504; 3, 830; -1, 529); 2, 957)</td></tr><tr><td>σ<sub>θ<sub>0</sub></sub><sup>•</sup></td><td>(0, 133; 0, 128; 0, 969; 0, 765; 2, 041)</td><td>((0, 962; 7, 310; 5, 774); 7, 544)</td></tr><tr><td>σ<sub>θ<sub>2</sub></sub></td><td>(0, 288; 0, 054; 0, 653; -0, 429; -0, 672)</td><td>((0, 189; 2, 271; -1, 490); 3, 476)</td></tr><tr><td>σ<sub>ψ<sub>0</sub></sub></td><td>(1, 001; 20, 030; 3, 385; -0, 202; 7, 249)</td><td>((2, 013; 3, 356; -0, 200); 0, 991)</td></tr></tbody></table>

Nous pouvons déterminer les paramètres de la cyclide de Dupin et nous obtenons les paramètres suivants :

$$ (a, c, \mu) \approx (2, 099; 1, 045; 3, 798) $$

ainsi que la matrice massique de la transformation affine, paragraphe 2.3.2, à effectuer :

$$ \begin{pmatrix} 0,192 & -0,057 & -0,980 & 0,162 \\ 0,881 & -0,429 & 0,197 & 2,444 \\ -0,432 & -0,901 & -0,033 & 0,350 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad (14.11) $$

Les bornes pour la visualisation sont $\theta_0 \approx 0$, $\theta_1 \approx 1,2574944347$, $\psi_0 \approx -0,619666577161$ et $\psi_1 \approx 0,72584832973$.

## 14.3 Synthèse du chapitre

Au bout de quatre ou cinq itérations, le contrôle de la forme est impossible [McL85], l'utilisation de triangles 3D dans l'espace des sphères permettra d'obtenir plus de souplesses et nous pourrons réaliser des maillages en utilisant à la fois des carreaux de cyclides de Dupin et des triangles 3D, soit à bords circulaire<fnref n="2" />, chapitre 9, soit définis par trois conditions de contacts, chapitre 15.

<footnote n="2">2. Evidemment, il faudra modéliser ces triangle 3D dans l'espace des sphères.</footnote>
<figure><img src="image_307.png" /><figcaption>FIGURE 14.9 – Deux vues d’un second carreau (texture bois) d’une cyclide de Dupin obtenu, à partir de la figure 14.8, en utilisant l’algorithme 14.2.</figcaption></figure>
# Chapitre 15

## Cyclides de Dupin tangentes à trois plans en trois points

### 15.1 La problématique

Dans le paragraphe 10.4.3.3, nous avons montré qu'un faisceau de sphères orientées tangentes en un point correspond à une droite lumière sur $\Lambda^4$. En chaque point d'une cyclide de Dupin, il existe deux sphères particulières tangentes à la cyclide en ce point, l'une dans chacune des deux familles à un paramètre de sphères engendrant la cyclide. Ces sphères appartiennent donc à un faisceau de sphères tangentes. Chacune correspond à un point de l'une des deux co-niques représentant la cyclide de Dupin sur $\Lambda^4$, nous pouvons donc relier ces deux points par une droite lumière représentant le faisceau de sphères tangentes au point considéré, figure 15.1.

Commençons par donner la définition d'une condition de contact.

**Définition 28 : Condition de contact**

Soit $M$ un point de $\mathcal{E}_3$, $\mathcal{P}$ un plan orienté ou $\mathcal{S}$ une sphère orientée de $\mathcal{E}_3$ contenant le point $M$.

Une condition de contact est le couple $(\mathcal{P}; M)$ ou $(\mathcal{S}; M)$.

Notons, que de façon équivalente, dans l'espace de Lorentz, une condition de contact est la donnée d'un couple $(\sigma; \vec{m})$ où $\vec{m}$ est un vecteur lumière représentant le point $M$, et $\sigma$ est un point sur $\Lambda^4$ représentant le plan orienté $\mathcal{P}$ ou la sphère orientée $\mathcal{S}$. Ainsi, **sur $\Lambda^4$, une condition de contact se traduit par une droite de type lumière.**

Dans ce chapitre, nous nous focalisons sur le problème des trois contacts c'est-à-dire :

* Dans $\mathcal{E}_3$, il s'agit de trouver une cyclide de Dupin satisfaisant à trois conditions de contact $(M_i; \mathcal{P}_i)_{i \in [1;3]}$;

* Sur $\Lambda^4$, étant données trois droites lumières $(l_i)_{i \in [1;3]}$, il s'agit de construire deux plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$, ne contenant pas $O_5$, tels que :

<footnote>⋆ $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont orthogonaux entre-eux;</footnote>
<figure><img src="image_308.png" /><figcaption>FIGURE 15.1 – La droite lumière $l$, sur $\Lambda^4$, qui représente un faisceau de sphères tangentes à une cyclide de Dupin en un point : les sphères $\sigma_1(\theta)$ et $\sigma_2(\psi)$ sont deux sphères de ce faisceau qui appartiennent chacune à l’une des des familles à un paramètre de sphères dont la cyclide de Dupin est l’enveloppe.</figcaption></figure>

★ $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ coupent trois droites lumières ($l_i$)$_{i \in [1;3]}$ respectivement en $(\sigma_i(\alpha_i))_{i \in [1;3]}$ et $(\sigma_i(\beta_i))_{i \in [1;3]}$;

★ les centres $\Omega_1$ et $\Omega_2$ définis respectivement comme le centre du cercle passant par $(\sigma_i(\alpha_i))_{i \in [1;3]}$ et $(\sigma_i(\beta_i))_{i \in [1;3]}$ vérifient la formule (11.52);

★ la droite $(\Omega_1 O_5)$ ou $(\Omega_2 O_5)$ est orthogonale à $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.

Considérons une cyclide de Dupin dans l'espace des sphères définie par deux coniques $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ contenues dans deux 2-plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$. Considérons trois points $\rho_1$, $\rho_2$ et $\rho_3$ appartenant chacun à l'une des droites lumière $l_1$, $l_2$ et $l_3$ associées aux trois conditions de contact ($\mathcal{R}_i; M_i$)$_{i \in [1;3]}$
satisfaites par la cyclide de Dupin. Sans perte de généralité, nous supposons que la conique $C_1 = \mathcal{P}_1 \cap \Lambda^4$ ne soit pas une parabole (sinon, on échange les rôles de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$). Comme dans le point 2 de l'algorithme 11.7, le centre $\Omega_1$ du cercle $C_1$ est la projection orthogonale de $O_5$ sur $\mathcal{P}_1$. De plus, les projections orthogonales des droites $l_i$ sur le plan $\mathcal{P}_1$ passent par le point $\Omega_1$. Ainsi, pour $i$ appartenant à $[1; 3]$, nous avons une paramétrisation de la droite $l_i$ :

$$ \sigma_i(\lambda_i) \in l_i \quad \Rightarrow \quad \exists \ \lambda_i \in \mathbb{R} \ | \ \overrightarrow{O_5\sigma_i(\lambda_i)} = \overrightarrow{O_5\rho_i} + \lambda_i \overrightarrow{v_i}, \quad i \in \{1; 2; 3\} \quad (15.1) $$

et nous considérons que les points $\sigma_i(\alpha_i)$ appartiennent au 2-plan $\mathcal{P}_1$ et que les points $\sigma_i(\beta_i)$ appartiennent au 2-plan $\mathcal{P}_2$. Toutes ces conditions se traduisent par le système d'équations suivant :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{O_5\sigma_1(\beta_1)} \cdot \overrightarrow{\sigma_1(\alpha_1)\sigma_2(\alpha_2)} = 0 \\ \overrightarrow{O_5\sigma_1(\beta_1)} \cdot \overrightarrow{\sigma_3(\alpha_3)\sigma_1(\alpha_1)} = 0 \\ \overrightarrow{O_5\sigma_2(\beta_2)} \cdot \overrightarrow{\sigma_2(\alpha_2)\sigma_3(\alpha_3)} = 0 \\ \overrightarrow{O_5\sigma_2(\beta_2)} \cdot \overrightarrow{\sigma_1(\alpha_1)\sigma_2(\alpha_2)} = 0 \\ \overrightarrow{O_5\sigma_3(\beta_3)} \cdot \overrightarrow{\sigma_3(\alpha_3)\sigma_1(\alpha_1)} = 0 \\ \overrightarrow{O_5\sigma_3(\beta_3)} \cdot \overrightarrow{\sigma_2(\alpha_2)\sigma_2(\alpha_3)} = 0 \end{array} \right. \quad (15.2) $$

Chaque couple d'équations en $\beta_i$ implique l'orthogonalité des deux vecteurs $\overrightarrow{O_5\sigma_i(\beta_i)}$ et $\overrightarrow{\sigma_1(\alpha_1)\sigma_2(\alpha_2)}$ d'une part et des deux vecteurs $\overrightarrow{O_5\sigma_i(\beta_i)}$ et $\overrightarrow{\sigma_3(\alpha_3)\sigma_1(\alpha_1)}$ d'autre part : la droite $(O_5\sigma_i(\beta_i))$ est orthogonale à $\mathcal{P}_1$ et $O_5$ se projette orthogonalement en $\Omega_1$ ce qui permet de conclure que le point $\sigma_i(\beta_i)$ se projette sur le centre $\Omega_1$ de la conique $C_1$ contenu dans le plan $\mathcal{P}_1$. Nous ne choisissons pas les mêmes vecteurs formant une base de $P_1$ pour chaque couple d'équations en $\beta_i$ pour simplifier les calculs.

Pour qu'une cyclide de Dupin soit solution au problème des trois conditions de contact, nous devons résoudre un système de six équations à six inconnues de degré deux. Nous pourrions alors penser qu'elles ont un nombre fini éventuellement nul de solutions. Or, nous avons observé que, s'il existe une solution (i.e. une cyclide satisfaisant les conditions de contact) alors il en existe une famille à un paramètre dans le cas général. Nous verrons, dans la section suivante, comment déterminer une condition nécessaire et suffisante d'existence. Nous supposons, pour le moment, être dans le cas favorable et donc que cette condition est satisfaite. Nous allons choisir les points et vecteurs directeurs des droites lumière de référence de manière à simplifier considérablement les calculs.

D'abord, sans perte de généralité, nous pouvons toujours multiplier chaque vecteur lumière $\overrightarrow{v_i}$ de notre problème par un scalaire non nul afin d'obtenir de nouveaux vecteurs $\overrightarrow{m_i}$ colinéaires aux premiers tels que :

$$ \overrightarrow{m_i} \cdot \overrightarrow{m_j} = -1 $$

pour des valeurs différentes de $i$ et $j$. De plus, nous pouvons toujours modifier les paramétrisations des droites lumières $l_i$ en partant d'un autre point $\sigma_{ij}$ de la droite. Le point $\sigma_{ij}$ correspond,
**Algorithme 15.1** Construction de cyclides de Dupin tangentes en trois points à trois plans donnés.

**Entrée** : Trois points $M_1, M_2$ et $M_3$ sur une cyclide de Dupin et trois plans $\mathcal{R}_1, \mathcal{R}_2$ et $\mathcal{R}_3$ de $\mathcal{E}_3$ tangents à la cyclide de Dupin en ces points

1. Déterminer les trois points $\rho_1, \rho_2$ et $\rho_3$ de $\Lambda^4$ correspondant à $\mathcal{R}_1, \mathcal{R}_2$ et $\mathcal{R}_3$ ainsi que les trois vecteurs lumière $\vec{v}_1, \vec{v}_2$ et $\vec{v}_3$ correspondant aux points $M_1, M_2$ et $M_3$.

2. Calcul des vecteurs lumière $\vec{m}_i = \lambda_i \vec{v}_i$ pour $i \in \{1, 2, 3\}$ tels que $\vec{m}_i \cdot \vec{m}_j = -1$ pour $(i, j) \in \{1, 2, 3\}, i \neq j$.

3. Calcul des points $\sigma_{ij}$ tels que $\overrightarrow{O_5\sigma_{ij}} \cdot \vec{m}_j = 0$, pour $i \in \{1, 2, 3\}, j \equiv i[3] + 1 \text{ et } i \neq j$.

4. Paramétrisation des droites lumière $l_i$ en $\lambda_i$, formule (15.3).

5. Résolution du système (15.2) en fonction de l'un des paramètres $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1, \beta_2, \beta_3$ noté $\nu$.

6. Choix d'une valeur du paramètre $\nu$ et calcul des valeurs des $\alpha_i$ et $\beta_i$ correspondantes.

7. Pour $i$ appartenant à $[1; 3]$, détermination des points $\sigma_i(\alpha_i)$ et $\sigma_i(\beta_i)$, des 2-plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ de $L_{4,1}$ et des coniques $C_1$ et $C_2$ correspondant à la cyclide.

**Sortie** : Les deux coniques de $\Lambda^4$ représentant la cyclide de Dupin.

dans $\mathcal{E}_3$, à la sphère tangente au plan $\mathcal{R}_i$ en $M_i$ et passant par $M_j$. Nous avons, en utilisant le théorème 22, :

$$ \overrightarrow{O_5\sigma_{ij}} \cdot \vec{m}_j = 0 $$

Prenons par exemple les points $\sigma_{ij}$ pour $i \in \{1, 2, 3\}$ et $j \equiv i[3] + 1$. Nous obtenons la nouvelle paramétrisation des droites lumières suivantes :

$$ \sigma_i(\lambda_i) \in l_i \quad \Rightarrow \quad \exists \ \lambda_i \in \mathbb{R} \ | \ \overrightarrow{O_5\sigma_i(\lambda_i)} = \overrightarrow{O_5\sigma_{ij}} + \lambda_i \vec{m}_i, \quad i \in \{1; 2; 3\} \quad (15.3) $$

En utilisant la résolution précédente du problème des trois conditions de contact, nous pouvons donner l'algorithmme 15.1 qui prend en entrée les trois conditions de contact dans $\mathcal{E}_3$, résout le problème dans $L_{4,1}$ et retourne une cyclide de Dupin que nous vérifions être une solution. Cet algorithme est générique c'est-à-dire qu'il permet d'obtenir des solutions même pour les cas particuliers (les trois conditions de contact sont sur un même cercle), un algorithme plus performant, algorithme 15.2, sera donné pour les cas génériques.

Nous supposons que nous sommes dans le cas général où les trois conditions de contact n'ont pas une disposition particulière (sur un cercle caractéristique d'une cyclide de Dupin par exemple). Une fois le paramètre $\nu$ fixé (point 6 de l'algorithme 15.1), nous obtenons une cyclide de Dupin satisfaisant les conditions de contact. Nous avons remarqué qu'en faisant varier le paramètre $\nu$, nous obtenons plusieurs cyclides de Dupin tangentes le long des conditions de contact. Les figures 15.5 et 15.10 illustrent cette construction sur deux exemples distincts et il apparaît visuellement que les deux cyclides de Dupin tangentes aux trois conditions de contact le sont aussi tout le long d'une courbe.
Notons que nous pouvons choisir le paramètre $\nu$ de façon à obtenir une cyclide de Dupin régulière ou une cyclide de Dupin singulière. En effet, la valeur de $\nu$ va déterminer le type de la droite ($O_5\Omega$) où $\Omega$ est soit le centre de $C_1$, soit le centre de $C_2$.

# 15.2 Mise en place des homographies

## 15.2.1 Les homographies pang, pong et ping

D'après l'observation précédente d'une famille à un paramètre de cyclides de Dupin tri-tangentes, nous avons cherché la condition qui permet d'obtenir un tel résultat. Nous l'avons obtenue en utilisant des homographies d'une droite lumière projective sur une autre. Chaque droite lumière est définie par une condition de contact. Rappelons qu'une homographie est définie comme une application projective bijective d'un espace projectif dans un autre de même dimension. Considérons une homographie $\Phi$ d'une droite projective $\hat{l}_1$ dans une autre $\hat{l}_2$ :

$$ \Phi: \begin{array}{ccc} \hat{l}_1 & \rightarrow & \hat{l}_2 \\ x & \rightarrow & \Phi(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \end{array} \qquad (15.4) $$

où a, b, c et d sont quatre réels tels que $ad - bc \neq 0$. Cette homographie peut être représentée par la matrice suivante :

$$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$

La condition $ad - bc \neq 0$ signifie que l'homographie $\Phi$ n'est pas constante. Une propriété des homographies nous intéressera plus loin : lorsqu'une homographie $\Phi$, sans point fixe, est associée à une matrice dont la trace est nulle alors $\Phi$ est une involution différente de l'identité, [Rol04].

Nous allons considérer des homographies entre droites lumière projectives de $\hat{L}_{4,1}$, fermeture projective de $L_{4,1}$.

Soient les trois droites lumières $l_1, l_2$ et $l_3$ associées à trois conditions de contact dans $\Lambda^4$. Comme nous considérons le cas général de disposition de ces trois contacts, nous supposons que l'hyperplan tangent à $\Lambda^4$ en tout point $\sigma$ d'une droite lumière $l_i$ ne contient pas les autres droites lumière. Nous considérons les droites projectives $\hat{l}_1, \hat{l}_2$ et $\hat{l}_3$. Soit les applications pang, pong et ping suivantes :

$$ \textit{pang}: \begin{array}{ccc} \hat{l}_1 & \rightarrow & \hat{l}_2 \\ \sigma & \rightarrow & \{\textit{pang}(\sigma)\} = T_{\sigma}\Lambda^4 \cap \hat{l}_2 \end{array} \qquad (15.5) $$

$$ \textit{pong}: \begin{array}{ccc} \hat{l}_2 & \rightarrow & \hat{l}_3 \\ \sigma & \rightarrow & \{\textit{pong}(\sigma)\} = T_{\sigma}\Lambda^4 \cap \hat{l}_3 \end{array} \qquad (15.6) $$

$$ \textit{ping}: \begin{array}{ccc} \hat{l}_3 & \rightarrow & \hat{l}_1 \\ \sigma & \rightarrow & \{\textit{ping}(\sigma)\} = T_{\sigma}\Lambda^4 \cap \hat{l}_1 \end{array} \qquad (15.7) $$

et nous pouvons énoncer :
**Proposition 17** *Les applications *pang*, *pong* et *ping* sont des homographies.*

**Démonstration** : Deux droites lumière disjointes $l_1$ et $l_2$ de $\Lambda^4$, non parallèles, engendrent un espace de dimension 3, noté $\mathbb{Q}$.

L'espace $\mathbb{Q}$ est de type temps par construction.

L'intersection $\mathbb{Q}$ avec $\Lambda^4$ est une quadrique de dimension 2 notée $\Lambda_Q$. L'hyperplan tangent $T_{\sigma_1} \Lambda^4$ en un point $\sigma_1$ de la droite lumière $l_1$ à $\Lambda^4$ coupe $\mathbb{Q}$ en un plan tangent à $\Lambda_Q$ en $\sigma_1$, $T_{\sigma_1} \Lambda_Q$. Le plan $T_{\sigma_1} \Lambda_Q$ coupe $\Lambda_Q$ en deux droites dont l'une est $l_1$. Notons l'autre $l'_1(\sigma_1)$. Considérons $\hat{L}_{4,1}$, $\hat{\mathbb{Q}}$ et $\hat{\Lambda}^4$, puis prenons le point $\sigma_1$ sur la droite projective $\hat{l}_1$. L'intersection de $\hat{\Lambda}_{\hat{\mathbb{Q}}} = \hat{\Lambda}^4 \cap \hat{\mathbb{Q}}$ avec $T_{\sigma_1} \hat{\Lambda}_{\hat{\mathbb{Q}}}$ a deux droites projectives $\hat{l}_1$ et $\hat{l}'_1(\sigma_1)$. La droite $\hat{l}'_1(\sigma_1)$ coupe $\hat{l}_2$ en pang ($\sigma_1$).

Pour chacun des points $\sigma_1$ de $\hat{l}_1$, la droite $\hat{l}'_1(\sigma_1)$ est l'une des droites du faisceau engendrant la quadrique $\hat{\Lambda}_Q$ et coupe $\hat{l}_2$ en un nouveau point. L'application projective pang est donc bijective. Les démonstrations concernant les applications pang et ping sont analogues, il suffit d'échanger les rôles des droites lumière.

<figure><img src="image_309.png" /></figure>

### 15.2.2 L'application *ping* ◦ *pong* ◦ *pang*

Nous allons considérer l'application *ping* ◦ *pong* ◦ *pang*. Nous allons calculer explicitement les intersections $T_{\sigma_i} \Lambda^4 \cap \hat{l}_i$. Nous avons donc besoin, pour cela, de paramétrer les droites $\hat{l}_i$, comme dans le paragraphe précédent :

$$ \sigma_i(k_i) \in \hat{l}_i, i \in \{1; 2; 3\} \Rightarrow \begin{array}{l} \text{si } \sigma_i(k_i) \in \hat{l}_i - l_i \quad \exists k_i \in \mathbb{R} \mid \overrightarrow{O_5\sigma_i(k_i)} = \overrightarrow{O_5\sigma_{ij}} + k_i \overrightarrow{m_i} \\ \text{sinon } \sigma_i(k_i) = \overrightarrow{m_i} \end{array} $$

Nous prenons toujours les vecteurs $\overrightarrow{m_i}$ tels que :

$$ \overrightarrow{m_i} \cdot \overrightarrow{m_j} = -1 \qquad (15.8) $$

pour $i \neq j$ et nous choisissons, pour simplifier les calculs, les points $\sigma_{ij}$ correspondant aux sphères tangentes aux contacts $(\mathcal{R}_i, M_i)$ et passant par le point $M_j$.

Le point pang ($\sigma_1$), défini par :

$$ \overrightarrow{O_5 \text{pang} (\sigma_1)} = \overrightarrow{O_5 \sigma_{23}} + k_2 \overrightarrow{m_2} $$

appartient à l'hyperplan $T_{\sigma_1} \Lambda^4$ défini par :

$$ T_{\sigma_1} \Lambda^4 = \{ M \in L_{4,1}, \overrightarrow{O_5 \sigma_1} \cdot \overrightarrow{O_5 M} = 1 \} $$

Nous avons alors :

$$ (\overrightarrow{O_5 \sigma_{12}} + k_1 \overrightarrow{m_1}) \cdot (\overrightarrow{O_5 \sigma_{23}} + k_2 \overrightarrow{m_2}) = 1 $$
soit, pour $k_1$ non nul :

$$k_2 = \frac{-1 + \overrightarrow{O_5\sigma_{23}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{12}} + k_1 \overrightarrow{O_5\sigma_{23}} \cdot \overrightarrow{m_1}}{k_1} \quad (15.9)$$

De la même manière, nous pouvons déduire les valeurs suivantes des paramètres $k_3$ et $k_1$ définissant les points pong ($\sigma_2$) et ping ($\sigma_3$) :

$$k_3 = \frac{-1 + \overrightarrow{O_5\sigma_{31}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{23}} + k_2 \overrightarrow{O_5\sigma_{31}} \cdot \overrightarrow{m_2}}{k_2} \quad (15.10)$$
$$k_1 = \frac{-1 + \overrightarrow{O_5\sigma_{12}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{31}} + k_3 \overrightarrow{O_5\sigma_{12}} \cdot \overrightarrow{m_3}}{k_3}.$$

Pour plus de clarté dans le reste des calculs, nous introduisons les valeurs suivantes :

$$\left\{
\begin{array}{l}
\alpha_1 = \overrightarrow{O_5\sigma_{12}} \cdot \overrightarrow{m_3} \\
\alpha_2 = \overrightarrow{O_5\sigma_{23}} \cdot \overrightarrow{m_1} \\
\alpha_3 = \overrightarrow{O_5\sigma_{31}} \cdot \overrightarrow{m_2} \\
\beta_1 = -1 + \overrightarrow{O_5\sigma_{23}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{12}} \\
\beta_2 = -1 + \overrightarrow{O_5\sigma_{31}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{23}} \\
\beta_3 = -1 + \overrightarrow{O_5\sigma_{12}} \cdot \overrightarrow{O_5\sigma_{31}}
\end{array}
\right.
\quad (15.11)$$

Nous pouvons maintenant écrire simplement les matrices correspondantes aux homographies ping, pong et pang :

$$M_{ping} = \begin{pmatrix} \alpha_2 & \beta_1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad M_{pong} = \begin{pmatrix} \alpha_3 & \beta_2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad M_{ping} = \begin{pmatrix} \alpha_1 & \beta_3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad (15.12)$$

L'application ping ◦ pong ◦ pang est une homographie de $\hat{l}_1$ dans $\hat{l}_1$. Si nous partons de trois conditions de contact sur une cyclide de Dupin alors cette application doit envoyer le point de $\hat{l}_1$ correspondant à une sphère tangente en $M_1$ de la première famille enveloppant la cyclide sur le point de $\hat{l}_1$ correspondant à la sphère tangente à $M_1$ de l'autre famille engendrant la cyclide de Dupin et inversement. L'application doit donc échanger les points $\sigma_1$ et ping ◦ pong ◦ pang ($\sigma_1$) appartenant chacun à $\hat{l}_1$ et à l'une des coniques représentant la cyclide dans $\Lambda^4$. Ceci revient à dire que l'application ping ◦ pong ◦ pang doit être une involution (différente de l'identité).

La trace du produit des trois matrices associées à l'application ping ◦ pong ◦ pang est :

$$A = \alpha_1\alpha_2\alpha_3 + \beta_3\alpha_2 + \beta_2\alpha_1 + \beta_1\alpha_3 \quad (15.13)$$

Nous avons vu précédemment qu'elle doit être nulle pour que l'application ping ◦ pong ◦ pang soit une involution. Nous obtenons donc la condition suivante pour qu'il existe une cyclide tangente aux trois conditions de contact ($Q_i, M_i$) :

$$A = \alpha_1\alpha_2\alpha_3 + \beta_3\alpha_2 + \beta_2\alpha_1 + \beta_1\alpha_3 = 0 \quad (15.14)$$
En combinant plusieurs fois les applications *pang*, *pong* et *ping*, nous obtenons les six points $\sigma_1, \sigma'_2 = \text{pang}(\sigma_1), \sigma_3 = \text{pong}(\sigma'_2), \sigma'_1 = \text{ping}(\sigma_3), \sigma_2 = \text{pang}(\sigma'_1)$ et $\sigma'_3 = \text{pong}(\sigma_2)$, figure 15.2. Lorsque la composition $\text{ping} \circ \text{pong} \circ \text{pang}$ de ces applications est une involution (nous avons $\sigma_1 = \text{ping}(\sigma'_3)$), les points $\sigma_1, \sigma_2$ et $\sigma_3$ d'une part et $\sigma'_1, \sigma'_2$ et $\sigma'_3$ d'autre part, appartiennent à une conique correspondant à la cyclide tangente au trois contacts. Celles-ci sont déterminées par la section de $\Lambda^4$ par les deux 2-plans $\text{Aff}\{\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\}$ et $\text{Aff}\{\sigma'_1, \sigma'_2, \sigma'_3\}$. A chaque point $\sigma_1$ de $\hat{l}_1$, nous pouvons réitérer le processus. Nous avons une famille à un paramètre de cyclides tangentes satisfaisant les trois conditions de contact. Ceci prouve le théorème suivant :

<figure><img src="image_310.png" /><figcaption>FIGURE 15.2 – Illustration de l’application $\text{ping} \circ \text{pong} \circ \text{pang}$.</figcaption></figure>

**Théorème 46 :**

Soient trois conditions de contact associées à trois droites lumière disjointes et non parallèles dans $\Lambda^4$.

Il existe une famille à un paramètre de cyclides tangentes aux trois contacts si et seulement si l'application $\text{ping} \circ \text{pong} \circ \text{pang}$ est une involution, autrement dit, si et seulement si $\mathcal{A} = 0$.

Nous pouvons remarquer que dans la famille à un paramètre de cyclides satisfaisant les conditions de contact, nous retrouvons les différents types de cyclides. En prenant par exemple, le point à l'infini sur la droite lumière $\hat{l}_1$, nous obtenons une cyclide qui a pour point singulier le point de contact $M_1$, figure 15.3. Bien sur, le plan tangent en ce point n'est pas défini mais nous pouvons supposer que tous les plans tangents au cône, lui même tangent à la cyclide au point singulier $M_1$, sont des plans de contact. Ainsi, nous acceptons la cyclide de point singulier $M_1$ comme solution. Notons que nous ne pouvons pas dire si cette cyclide a un point ou deux points singuliers. Seuls les types des 2-plans $\text{Aff}\{\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\}$ et $\text{Aff}\{\sigma'_1, \sigma'_2, \sigma'_3\}$ peuvent nous renseigner sur ce point.
<figure><img src="image_311.png" /><figcaption>FIGURE 15.3 – Une cyclide ayant deux points singuliers, tangente aux deux points de contact $M_2$ et $M_3$ aux sphères rouges et ayant $M_1$ comme point singulier.</figcaption></figure>

## 15.3 La courbe de contact

Nous avons montré qu'il existe une famille à un paramètre de cyclides de Dupin tangentes en trois points de contact à trois plans si la condition $\mathcal{A} = 0$ est satisfaite mais nous n'avons pas encore montré l'existence de toute une courbe de contact. Il existe une autre homographie définie par nos trois contacts. Cette homographie, unique, est définie entre les deux coniques $\Gamma$ et $\Gamma'$ correspondantes à une cyclide solution. Les points $\sigma'_i$ sont les images des points $\sigma_i$ par cette homographie. Ainsi, chaque point $\sigma$ de la première conique a pour image un point $\sigma'$ de la seconde. Les droites lumière joignant ainsi chaque point de $\Gamma$ à un point de $\Gamma'$ correspondent à des points de la cyclide et l'ensemble forme finalement une courbe fermée sur cette cyclide. Cette construction ne dépend que des droites lumière $l_1, l_2$ et $l_3$ correspondant aux points de contact, la courbe est identique pour toutes les cyclides tangentes aux trois contacts. Nous obtenons le théorème suivant :

**Théorème 47 :**

Trois conditions de contact génériques sur une cyclide de Dupin définissent une homographie entre les deux coniques représentant la cyclide dans l'espace des sphères. Cette homographie permet de tracer une courbe de contact sur la cyclide le long de laquelle les cyclides solutions du problème des trois contacts sont tangentes.

**Démonstration** : La démonstration consiste à considérer le complété projectif de l'espace $L_{4,1}$ en ajoutant l'hyperplan à l'infini, noté $\tilde{L}_{4,2}$ et donc à ramener notre problème à un problème linéaire dans $\mathbb{R}^6$.

Nous munissons l'espace $\tilde{L}_{4,2}$ de la forme $\tilde{Q}_{4,2}$ telle que pour $\vec{u} (x_{-1}, x_0; x_1; x_2; x_3; x_4)$ :

$$ \tilde{Q}_{4,2}(\vec{u}) = -x_{-1}^2 - x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 $$

Remarquons que les composantes $(x_{-1}, x_0; x_1; x_2; x_3; x_4)$ du vecteur $\vec{u}$ sont les coordonnées homogènes du point $(x_0, x_1, x_2, x_3, x_4)$ de $L_{4,1}$.
Soit $O_6(0; 0; 0; 0; 0)$ dans $\hat{L}_{4,2}$. Nous identifions l'espace $L_{4,1}$ avec l'hyperplan $\hat{H}$ de $\hat{L}_{4,2}$ d'équation $x_{-1} = 1$. La quadrique $\Lambda^4$ est contenue dans le cône de lumière $\hat{C}_l$ de $\hat{L}_{4,2}$.

Considérons une cyclide de Dupin *Cycl* satisfaisant les 3 conditions de contact associées à 3 droites lumières $l_1, l_2$ et $l_3$. Elle est représentée dans $\Lambda^4$ par deux coniques $\Gamma$ et $\Gamma'$ contenues dans deux 2-plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$. Considérons maintenant les espaces de dimension 3 dans $\hat{L}_{4,2}$, $\hat{\mathcal{P}} = \text{Aff}(O_6, \mathcal{P})$ et $\hat{\mathcal{P}}' = \text{Aff}(O_6, \mathcal{P}')$ alors $\mathcal{P} = \hat{\mathcal{P}} \cap \hat{H}$ et $\mathcal{P}' = \hat{\mathcal{P}}' \cap \hat{H}$. Les espaces $\hat{\mathcal{P}}$ et $\hat{\mathcal{P}}'$ sont orthogonaux. En effet, soit $X \in \hat{\mathcal{P}} \cap \hat{H}$ et $Y \in \hat{\mathcal{P}}' \cap \hat{H}$. Tout vecteur de $\hat{\mathcal{P}}$ s'écrit comme combinaison linéaire de $\overrightarrow{O_6X}$ et des vecteurs qui engendrent $\hat{\mathcal{P}}$ et tout vecteur de $\hat{\mathcal{P}}'$ s'écrit comme combinaison linéaire de $\overrightarrow{O_6Y}$ et des vecteurs qui engendrent $\hat{\mathcal{P}}'$. Comme les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont orthogonaux, la valeur de la forme $\mathcal{L}_{4,2}$ associée à $\overrightarrow{Q_{4,2}}$ entre un vecteur de $\hat{\mathcal{P}}$ et un vecteur de $\hat{\mathcal{P}}'$ est égale à $\mathcal{L}_{4,2}(\overrightarrow{O_6X}, \overrightarrow{O_6Y})$. Comme pour $x \in \mathcal{P}$ et $y \in \mathcal{P}'$ nous avons $\overrightarrow{O_5x} \cdot \overrightarrow{O_5y} = 1$, nous déduisons que $\mathcal{L}_{4,2}(\overrightarrow{O_6X}, \overrightarrow{O_6Y}) = 0$.

L'homographie permettant de tracer la courbe de contact sur *Cycl* est noté $\Phi$ et envoie un point $\sigma$ de $\mathcal{P}$ sur un point $\sigma'$ de $\mathcal{P}'$. Comme $\Phi$ est une homographie de $L_{4,1}$, elle est représentée dans $\hat{L}_{4,2}$ par une application linéaire $F$ qui envoie un point $X$ de $\hat{\mathcal{P}}$ sur un point de $\hat{\mathcal{P}}'$.

Soit une droite lumière $l_\tau = (\tau \Phi(\tau))$, où $\tau \in \Gamma$, associée à un point de la courbe de contact de *Cycl*.

Soit $\mathcal{P}_\lambda$ un plan contenant une courbe $\Gamma_\lambda$ représentant une famille de sphères d'une cyclide $\text{Cycl}_\lambda$ satisfaisant les 3 conditions de contact. Pour que la courbe de contact de *Cycl* soit une courbe de tangence entre $\text{Cycl}$ et $\text{Cycl}_\lambda$, il faut d'abord montrer que la droite $l_\tau$ coupe le plan $\mathcal{P}_\lambda$.

Soit $\sigma_\lambda$ de $l_1$ tel que $\mathcal{P}_\lambda = \text{Aff}(\sigma_\lambda, \text{pong} \circ \text{pang}(\sigma_\lambda), \text{ping} \circ \text{pong} \circ \text{pang} \circ \text{ping}(\sigma_\lambda))$. Le point $\sigma_\lambda$ peut s'écrire comme combinaison linéaire de $\sigma_1$ et $\sigma'_1$ où $\sigma_1 = \mathcal{P} \cap l_1$ et $\sigma'_1 = \mathcal{P}' \cap l_1$ :

$$ \sigma_{\lambda} = \lambda\sigma_{1} + (1 - \lambda)\sigma'_{1} $$

Ainsi, dans $\hat{L}_{4,2}$, un point de $\hat{\mathcal{P}}_\lambda$ peut s'écrire comme combinaison linéaire d'un point $X$ de $\hat{\mathcal{P}}$ et d'un point $F(X)$ de $\hat{\mathcal{P}}'$ :

$$ \hat{\mathcal{P}}_{\lambda} = \{ \lambda X + (1 - \lambda) F(X), X \in \hat{\mathcal{P}} \} $$

et on a $\mathcal{P}_\lambda = \hat{\mathcal{P}}_\lambda \cap \hat{H}$.

Soit un point $X_\tau$ de $\hat{\mathcal{P}}$ tel que $\tau = (O_6X_\tau) \cap \hat{H}$ alors $X_{\tau,\lambda} = \lambda X_\tau + (1 - \lambda)F(X_\tau)$ appartient à $\hat{\mathcal{P}}_\lambda$. La droite $(O_6X_{\tau,\lambda})$ coupe $\hat{H}$ en un point $\tau_\lambda$ de $\mathcal{P}_\lambda$ et le point $\tau_\lambda$ appartient à la droite $(\tau, \Phi(\tau))$ dans $\hat{H}$, figure 15.4. Ceci revient à dire que la droite $l_\tau$ coupe le plan $\mathcal{P}_\lambda$ en un point $\tau_\lambda$
dans $L_{4,1}$.

De plus, comme $l_τ$ est sur la quadrique $\Lambda^4$ alors $\tau_\lambda$ appartient à $\Gamma_\lambda$, nous pouvons dire alors que, dans $\mathcal{E}_3$, le point correspondant à la droite lumière $l_τ$ appartient à la sphère correspondante à $\tau_\lambda$ et que cette sphère appartient à une famille de sphères dont la cyclide de Dupin $Cycl_\lambda$ est l'enveloppe.

Il reste à montrer que ce point est sur la cyclide de Dupin $Cycl_\lambda$. Pour cela, considérons la seconde famille de sphères dont la cyclide de Dupin $Cycl_\lambda$ est l'enveloppe. Notons la courbe correspondante $\Gamma'_\lambda$ dans $L_{4,1}$ et $P'_\lambda$ le plan contenant cette courbe. Comme la démonstration précédente ne dépend pas du plan $P_\lambda$ alors la droite $l_τ$ coupe aussi le plan $P'_\lambda$ en un point $\tau'_\lambda$ de $\Gamma'_\lambda$. Le point $\tau'_\lambda$ correspond à une sphère de la seconde famille de la cyclide de Dupin $Cycl_\lambda$, tangente à la sphère correspondant à $\tau_\lambda$ au point correspondant à $l_τ$. Comme les sphères de chacune des deux familles à un paramètre de sphères qui enveloppent une cyclide de Dupin sont tangentes aux points de la cyclide de Dupin, cela prouve que le point correspondant à la droite lumière $l_τ$ est aussi un point de la cyclide de Dupin $Cycl_\lambda$.

<figure><img src="image_312.png" /></figure>

<figure><img src="image_313.png" /><figcaption>FIGURE 15.4 – Les espaces $\hat{P}$, $\hat{P}'$ et $\hat{P}_\lambda$.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_314.png" /><figcaption>FIGURE 15.5 – Une cyclide de Dupin et un tore tangents le long d’une courbe de contact définie par trois conditions de contact.</figcaption></figure>

## 15.4 Algorithmes

### 15.4.1 Détermination d'une famille à un paramètre de cyclides de Dupin tri-tangentes

Nous donnons maintenant les algorithmes permettant d'obtenir plusieurs cyclides de Dupin tri-tangentes ainsi que la courbe de contact sur une cyclide de Dupin à partir de trois contacts. Nous allons utiliser les formules (15.9) et (15.10). Notons que le choix des points $\sigma_{ij}$, comme origine de la paramétrisation des droites lumière $l_i$, a été effectué pour simplifier les calculs des démonstrations. Il n'est pas nécessaire dans les algorithmes de faire ce choix ou d'imposer la condition $\overrightarrow{m_i} \cdot \overrightarrow{m_j} = -1$, formule (15.8).

Soit $l_i$ une droite lumière de $\Lambda^4$ paramétrée en $t$, telle que : $\sigma \in l_i$, $\overrightarrow{O_5\sigma} = \overrightarrow{O_5\rho_i} + t\overrightarrow{m_i}$ pour $i \in \{1, 2\}$. Nous supposons ces droites disjointes. A partir de la relation :

$$ (\overrightarrow{O_5\rho_1} + a_1\overrightarrow{m_1}) \cdot (\overrightarrow{O_5\rho_2} + b_2\overrightarrow{m_2}) = 1 $$

nous avons la propriété suivante :
Le point $l_2(b_2)$ appartient à l'hyperplan tangent $T_{l_1(a_1)} \Lambda^4$ si $b_2 = f(\rho_1, m_1, \rho_2, m_2, a_1)$ où $f$ est définie par :

$$ 
\begin{aligned}
f: \quad & \Lambda \times \mathbb{P} \times \Lambda^4 \times \mathbb{P} \times \mathbb{R} \quad \longrightarrow \quad \mathbb{R} \\
& (\rho_1, m_1, \rho_2, m_2, a_1) \quad \longmapsto \quad \frac{1 - \mathcal{L}_{4,1} (\overrightarrow{O_5\rho_1}, \overrightarrow{O_5\rho_2}) - a_1 \mathcal{L}_{4,1} (\overrightarrow{m_1}, \overrightarrow{O_5\rho_2})}{\mathcal{L}_{4,1} (\overrightarrow{O_5\rho_1}, \overrightarrow{m_2}) + a_1 \mathcal{L}_{4,1} (\overrightarrow{m_1}, \overrightarrow{m_2})} . & (15.15)
\end{aligned}
$$

Les points $m_i$ sont les points du paraboloïde $\mathbb{P}$ appartenant aux droites $(O_5 \overrightarrow{m_i})$.

L'algorithme 15.2 permet de construire, si cela est possible, une famille à un paramètre de cyclides de Dupin solutions du problème des trois contacts.

**Algorithme 15.2** Détermination d'une cyclide de Dupin satisfaisant trois conditions de contact s'il en existe.

**Entrée** : Trois conditions de contact orientées $(\mathcal{R}_i; M_i)_{i \in [1;3]}$

1. Pour $i$ de 1 à 3 faire calcul de $\overrightarrow{m_i}$, direction lumière correspondant au point $M_i$ fin faire.

2. Pour $i$ de 1 à 3 faire calcul de $\rho_i$ correspondant aux plans $\mathcal{R}_i$ dans $\Lambda^4$ fin faire.

3. Choix d'un réel $a_1$.

4. Calcul de $b_2 = f(\rho_1, m_1, \rho_2, m_2, a_1)$, formule (15.15).

5. Calcul de $a_3 = f(\rho_2, m_2, \rho_3, m_3, b_2)$.

6. Calcul de $b_1 = f(\rho_3, m_3, \rho_1, m_1, a_3)$.

7. Calcul de $a_2 = f(\rho_1, m_1, \rho_2, m_2, b_1)$.

8. Calcul de $b_3 = f(\rho_2, m_2, \rho_3, m_3, a_2)$.

9. Calcul de $a_0 = f(\rho_3, m_3, \rho_1, m_1, b_3)$.

10. Si $a_0 == a_1$
Pour $i$ de 1 à 3 faire
  Calcul de $\sigma_i$ tel que $\overrightarrow{O_5\sigma_i} = \overrightarrow{O_5\rho_i} + a_i \overrightarrow{m_i}$.
  Calcul de $\sigma'_i$ tel que $\overrightarrow{O_5\sigma'_i} = \overrightarrow{O_5\rho_i} + b_i \overrightarrow{m_i}$.
  fin faire
retourner Deux triplets de points, l'un $(\sigma_i)_{i \in [1;3]}$ et l'autre $(\sigma'_i)_{i \in [1;3]}$
déterminant les deux coniques représentant une cyclide solution
du problème des trois contacts.
sinon retourner l'ensemble vide.

**Sortie** : Une cyclide de Dupin ou l'ensemble vide.

Notons que la condition $a_0 = a_1$ dans l'algorithme 15.2, est équivalente à la condition $\mathcal{A} = 0$ ce qui revient à vérifier que l'application $ping \circ pong \circ pang$ est une involution. De plus, si nous supprimons l'étape 3, où nous choisissons une cyclide de Dupin solution particulière des trois
<figure><img src="image_315.png" /><figcaption>FIGURE 15.6 – Initialisation du problème : trois conditions de contact sur une cyclide de Dupin, table 15.1.</figcaption></figure>

contacts, nous obtenons une famille à un paramètre de cyclides de Dupin. Enfin, notons que la droite orthogonale aux deux 2-plans $\text{Aff}\{\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\}$ et $\text{Aff}\{\sigma'_1, \sigma'_2, \sigma'_3\}$, que nous avons notée $\delta$ auparavant, permet de déterminer le type de la cyclide de Dupin solution. Rappelons que si $\delta$ est de type temps alors la cyclide de Dupin n'aura pas de point singulier, si elle est de type lumière, la cyclide de Dupin aura un seul point singulier et si elle est de type espace, la cyclide de Dupin aura deux points singuliers.

La figure 15.6 illustre un cas favorable de conditions de contact : elles sont prises sur une cyclide de Dupin initiale, il existe donc une famille à un paramètre de cyclides de Dupin solution du problème des trois contacts.

<table><caption>TABLE 15.1 – Valeurs des coordonnées des points $M_i$ et des composantes des vecteurs orientés $\vec{n}_i$ définissant les plans $R_i$ de la figure 15.6. Les plans $R_i$ admettent les vecteurs $\vec{n}_i$ comme vecteurs normaux et passent par les points $M_i$.</caption><thead><tr><th>Indices</th><th>Points M<sub>i</sub></th><th>Vecteurs orientés <span style="font-size:largerem;">n&#775;</span><sub>i</sub> définissant les plans R<sub>i</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>i = 1</td><td>(7, 488; 6, 928; 2, 044)</td><td>(-0, 2; 0; -0, 980)</td></tr><tr><td>i = 2</td><td>(-9, 551; 6, 041; 5, 028)</td><td>(0, 171; -0, 218; -0, 961)</td></tr><tr><td>i = 3</td><td>(0, 700; -12, 223; 2, 425)</td><td>(-0, 2; 0, 693; -0, 693)</td></tr></tbody></table>
Les figures 15.7 et 15.8 montrent chacune deux exemples de cyclides de Dupin obtenues avec l'algorithme 15.2. Les paramètres de ces dernières sont donnés dans la table 15.2 ainsi que les transformations à effectuer pour replacer les cyclides dans le repère initial.

<figure><img src="image_316.png" /><figcaption>FIGURE 15.7 – Deux cyclides de Dupin en anneau, solutions du problème des trois contacts à partir de la cyclide de Dupin initiale de la figure 15.6. (a) La cyclide de Dupin initiale est représentée en verre. (b) La cyclide de Dupin initiale est représentée couleur bois.</figcaption></figure>

Nous avons considéré ici trois conditions de contact c'est-à-dire trois points et trois plans orientés sur une cyclide de Dupin initiale (pour satisfaire la condition $A = 0$). Si nous considérons les même points mais nous changeons une orientation de l'un des plans alors nous pouvons obtenir une autre famille de cyclides de Dupin tangentes à la première en ces trois points (ce n'est pas toujours le cas). S'il existait une courbe de contact sur la première famille, cette fois la seconde famille est tangente aux cyclides de Dupin de la première uniquement en ces trois points mais elles sont tangentes entre elles le long d'une seconde courbe de contact. Nous donnons dans la section suivante un algorithme permettant d'obtenir une cyclide de Dupin tangente à une autre uniquement en trois points. Nous terminerons ce chapitre en donnant l'algorithme permettant d'afficher la courbe de contact associée à trois conditions de contact sur une cyclide de Dupin.

### 15.4.2 Détermination d'une deuxième famille de cyclides de Dupin tri-tangentes

Les conditions de contact peuvent être données par des couples de type (plan, point) mais aussi par des couples de type (sphère, point). Ici, nous considérons un point *M* d'une cyclide de
<figure><img src="image_317.png" /><figcaption>FIGURE 15.8 – Deux cyclides de Dupin avec deux points singuliers, solutions du problème des trois contacts à partir de la cyclide initiale de la figure 15.6. (a) La cyclide initiale est représentée en verre. (b) La cyclide initiale est représentée en bois.</figcaption></figure>

Dupin, notée *Cycl*, comme un point d'un cercle caractéristique de la cyclide et donc d'une sphère S tangente à la cyclide le long du cercle caractéristique. Soient les conditions de contact ($S_i, M_i$) sur cette cyclide initiale. En général, changer l'orientation de l'une des sphères $S_i$ ne permet pas d'obtenir un problème de trois contacts qui a des solutions, mais nous pouvons déterminer le point $M_3$ sur le cercle caractéristique de la sphère $S_3$ tel qu'il y ait des solutions, une fois les contacts ($S_1, M_1$) et ($S_2, M_2$) fixés. Ceci permet ensuite d'obtenir une seconde famille à un paramètre de cyclides tangentes à la cyclide initiale aux trois points $M_i$ et uniquement en ces points, algorithme 15.3.

La figure 15.9 montre deux cyclides de Dupin tangentes en trois points uniquement. La cyclide de Dupin en verre est la même que celle de la figure 15.6. Ses paramètres sont $a = 10, c = 2$ et $\mu = 3,5$. Nous considérons, dans cet exemple la famille de sphères centrées sur l'ellipse géneratrice de la cyclide de Dupin. Les coordonnées des points, des centres des sphères et la valeur des rayons des sphères sont donnés dans la table 15.3.

Les paramètres de la seconde cyclide de Dupin sont :

$$ (a, c, \mu) \approx (12, 162; 1, 300; 1, 605) $$

et la matrice de la transformation affine permettant de la placer dans le repère de la scène est :

$$ \begin{pmatrix} -0,723 & -0,688 & 0,065 & -0,330 \\ 0,690 & -0,724 & 0,010 & -1,998 \\ 0,040 & 0,052 & 0,998 & 4,214 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
**Algorithme 15.3 Détermination d'une cyclide de Dupin tri-tangente à une cyclide de Dupin initiale.**

**Entrée** : une cyclide de Dupin *Cycl* définie par une famille de sphères paramétrées S(t).

1. Choix de trois valeurs $t_1, t_2$ et $t_3$.

2. Choix de deux points $M_1$ et $M_2$ sur les cercles caractéristiques portés par les sphères $S(t_1)$ et $S(t_2)$.

3. Calcul d'un point $M(\alpha)$ du cercle caractéristique porté par la sphère $S(t_3)$, le paramètre $\alpha$ reste indéterminé.

4. Pour $i$ de 1 à 2 faire Calcul du vecteur $\overrightarrow{m_i}$ correspondant au point $M_i$ fin faire.

5. Calcul du vecteur $\overrightarrow{m}(\alpha)$ en fonction de $\alpha$ correspondant à $M(\alpha)$.

6. Pour $i$ de 1 à 2 faire Calcul de $\sigma_{i0}$, correspondant aux sphères $S(t_i)$ dans $\Lambda^4$ fin faire.

7. Calcul de $\sigma_{30}^*$ correspondant à la sphère $S(t_3)$ dans $\Lambda^4$ et de $\sigma_{30} = -\sigma_{30}^*$ correspondant à la sphère d'orientation inverse.

8. Choix d'un réel $a_1$.

9. Calcul de $b_2 = f(\sigma_{10}, m_1, \sigma_{20}, m_2, a_1)$.

10. Calcul de $a_3(\alpha) = f(\sigma_{20}, m_2, \sigma_{30}, m_3(\alpha), b_2)$.

11. Calcul de $b_1(\alpha) = f(\sigma_{30}, m_3(\alpha), \sigma_{10}, m_1, a_3(\alpha))$.

12. Calcul de $a_2(\alpha) = f(\sigma_{10}, m_1, \sigma_{20}, m_2, b_1(\alpha))$.

13. Calcul de $b_3(\alpha) = f(\sigma_{20}, m_2, \sigma_{30}, m_3(\alpha), a_2(\alpha))$.

14. Calcul de $a_0(\alpha) = f(\sigma_{30}, m_3(\alpha), \sigma_{10}, m_1, b_3(\alpha))$.

15. Soit l'ensemble des solutions $E_s = \{\alpha; a_0(\alpha) = a_1\}$.

16. Si $E_s \neq \emptyset$ alors Choix d'un nombre $\alpha_3$ de $E_s$.

Calcul de $m_3 = m(\alpha_3)$.

Pour $i$ de 1 à 3 faire

Calcul de $\sigma_i$ tel que $\overrightarrow{O_5\sigma_i} = \overrightarrow{O_5\sigma_{i0}} + a_i \overrightarrow{m_i}$.

Calcul de $\sigma'_i$ tel que $\overrightarrow{O_5\sigma'_i} = \overrightarrow{O_5\sigma_{i0}} + b_i \overrightarrow{m_i}$.

fin faire

retourner Deux triplets de points, l'un $(\sigma_i)_{i \in [1;3]}$ et l'autre $(\sigma'_i)_{i \in [1;3]}$ déterminant les deux coniques représentant une cyclide solution du problème des trois contacts.

Sinon retourner l'ensemble vide.

**Sortie** : Une cyclide de Dupin tri-tangente à *Cycl* uniquement en trois points.
<table><caption>TABLE 15.2 – Paramètres des cyclides de Dupin déterminées par l'algorithme 15.2 à partir de trois contacts de la cyclide de Dupin initiale de la figure 15.6.</caption><thead><tr><th>Figure</th><th>(a, c, μ)</th><th>Matrice de transformation</th><th>Vecteur de translation</th></tr></thead><tbody><tr><td>15.7(a)</td><td>(10, 82; 0, 40; 1, 32)</td><td><table><tr><td>-0, 25</td><td>-0, 95</td><td>0, 19</td></tr><tr><td>0, 96</td><td>-0, 27</td><td>-0, 06</td></tr><tr><td>0, 10</td><td>0, 17</td><td>0, 98</td></tr></table></td><td>(-0, 697; -0, 303; 2, 048)</td></tr><tr><td>15.7(b)</td><td>(9, 668; 4, 13; 5, 76)</td><td><table><tr><td>0, 97</td><td>-0, 16</td><td>0, 21</td></tr><tr><td>0, 14</td><td>-0, 99</td><td>-0, 10</td></tr><tr><td>0, 22</td><td>0, 07</td><td>-0, 97</td></tr></table></td><td>(0, 71; 0, 31; -2, 10)</td></tr><tr><td>15.8(a)</td><td>(11, 37; 1, 28; 0, 23)</td><td><table><tr><td>-0, 88</td><td>-0, 40</td><td>0, 27</td></tr><tr><td>0, 40</td><td>-0, 92</td><td>-0, 07</td></tr><tr><td>0, 28</td><td>0, 04</td><td>0, 96</td></tr></table></td><td>(-1, 04; -0, 45; 3, 07)</td></tr><tr><td>15.8(b)</td><td>(12, 18; 2, 62; 1, 17)</td><td><table><tr><td>0, 90</td><td>-0, 25</td><td>-0, 36</td></tr><tr><td>-0, 23</td><td>-0, 96</td><td>0, 09</td></tr><tr><td>-0, 37</td><td>0, 00</td><td>-0, 93</td></tr></table></td><td>(-1, 49; -0, 65; 4, 37)</td></tr></tbody></table>

### 15.4.3 Détermination de la courbe de contact

L'algorithme 15.4 permet de dessiner la courbe de contact associée à trois conditions de contact lorsque la condition d'existence est satisfaite. Il fait appel à l'homographie définie d'un plan contenant une conique correspondante à une cyclide de Dupin solution sur le plan contenant l'autre conique. Ces plans sont de type espace car nous considérons une cyclide de Dupin en anneau de la famille de cyclides de Dupin tri-tangentes. Nous identifions chacun de ces plans au plan complexe. Par définition, une homographie conserve le birapport de quatre points. Pour déterminer cette homographie qui envoie une conique sur l'autre (cercles Lorentz), nous imposons que les birapports de quatre points de chacune des coniques soient égaux. Notons que nous en connaissons déjà trois (sur chacune des coniques) provenant des trois droites lumières $l_i$. De plus, ces birapports sont réels puisque les quatre points considérés à chaque fois appartiennent à un cercle pour la forme de Lorentz. La figure 15.10 montre la courbe de tangence sur deux cyclides de Dupin en anneau qui peut-être obtenue en épaississant l'intersection entre une cyclide de Dupin tangente à la cyclide de Dupin initiale le long de la courbe de contact ou en utilisant l'algorithme 15.4.

Nous pouvons noter que lorsque les points ont une disposition particulière sur la cyclide de Dupin initiale, par exemple, plusieurs points sont sur un même cercle caractéristique, les droites lumière correspondantes dans $\Lambda^4$ se coupent en un point correspondant à la sphère portant le cercle caractéristique. Ainsi l'une des applications *ping* ou *pong* ou *pang* a un point fixe. Il existe, dans ce cas, une famille qui a, au plus, trois paramètres de solutions. Nous retrouvons, par exemple, la famille à trois paramètres de cyclides de Dupin tangentes le long d'un cercle caractéristique lorsque les trois conditions de contact sont sur ce cercle.
<table><caption>TABLE 15.3 – Coordonnées des points $M_i$ et des centres de sphères $S(t_i)$ et valeur des rayons des sphères $S(t_i)$ définissant les conditions de contact de la figure 15.9.</caption><thead><tr><th>Indice</th><th>Points M<sub>i</sub></th><th>Centre de S (t<sub>i</sub>)</th><th>Rayons de S (t<sub>i</sub>)</th></tr></thead><tbody><tr><td>i = 1</td><td>(<sup>7 + 48√2</sup>⁄<sub>10</sub>; 4√3; <sup>√3</sup>⁄<sub>5</sub>(7√2 - 4))</td><td>(5√2; 4√3; 0)</td><td><sup>7</sup>⁄<sub>2</sub> - √2</td></tr><tr><td>i = 2</td><td>(<sup>7</sup>⁄<sub>10</sub>; <sup>-√3</sup>⁄<sub>5</sub>(7 + 20√2); <sup>7√3</sup>⁄<sub>5</sub>)</td><td>(0; -4√6; 0)</td><td><sup>7</sup>⁄<sub>2</sub></td></tr><tr><td>i = 3</td><td>(-9, 551; 6, 041; 5, 027)</td><td>(-5√3; 2√6; 0)</td><td>±<sup>7 + √3</sup>⁄<sub>2</sub></td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_318.png" /><figcaption>FIGURE 15.9 – Deux cyclides de Dupin tangentes en uniquement trois points.</figcaption></figure>
**Algorithme 15.4** Détermination d'une courbe de tangence définie par trois conditions de contact sur une cyclide de Dupin.

**Entrée** : Trois conditions de contact $(Q_i, M_i)$ sur une cyclide de Dupin

1. Utilisation de l'algorithme 15.2 qui retourne deux triplets $(\sigma_i)_{i \in [1;3]}$ et $(\sigma'_i)_{i \in [1;3]}$ en choisisnant le paramètre $a_1$ tel que les 2-plans $P_1 = \text{Aff}(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3)$ et $P_2 = \text{Aff}(\sigma'_1, \sigma'_2, \sigma'_3)$ soient de type espace.

2. Déterminer les ellipses (cercles-Lorentz) $\Gamma_1 = P_1 \cap \Lambda^4$ et $\Gamma_2 = P_2 \cap \Lambda^4$, leurs centres respectifs $\Omega_1$ et $\Omega_2$ et leurs rayons(-Lorentz) respectifs $r_1$ et $r_2$

3. Poser $\overrightarrow{u_1} = \overrightarrow{\Omega_1\sigma_1}$ et $\overrightarrow{u_2} = \overrightarrow{\Omega_2\sigma'_1}$ et déterminer les points $\sigma_4$ et $\sigma'_4$ tels que le vecteur $\overrightarrow{v_1} = \overrightarrow{\Omega_1\sigma_4}$ soit $\mathcal{L}_{4,1}$-orthogonal à $\overrightarrow{u_1}$ et le vecteur $\overrightarrow{v_2} = \overrightarrow{\Omega_2\sigma'_4}$ soit $\mathcal{L}_{4,1}$-orthogonal à $\overrightarrow{u_2}$.

4. Paramétrer l'ellipse $\Gamma_1$ (cercle Lorentz) par :

$$ \overrightarrow{\Omega_1\sigma(t)} = \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) \overrightarrow{u_1} + \left(\frac{2t}{1+t^2}\right) \overrightarrow{v_1}, \quad t \in \mathbb{R} $$

et l'ellipse $\Gamma_2$ (cercle Lorentz) par :

$$ \overrightarrow{\Omega_2\sigma'(s)} = \left(\frac{1-s^2}{1+s^2}\right) \overrightarrow{u_2} + \left(\frac{2s}{1+s^2}\right) \overrightarrow{v_2}, \quad s \in \mathbb{R} $$

5. Identifier chaque plan $P_1$ et $P_2$ au plan complexe :

- tout point $\sigma(t)$ de $\Gamma_1$ s'écrit $\sigma(t) = r_1 \frac{1-t^2}{1+t^2} + ir_1 \frac{2t}{1+t^2}$

- tout point $\sigma'(s)$ de $\Gamma_2$ s'écrit $\sigma'(s) = r_2 \frac{1-s^2}{1+s^2} + ir_2 \frac{2s}{1+s^2}$

6. Déterminer $t_1, t_2, t_3$ et $s_1, s_2, s_3$ tel que $\sigma_i = \sigma(t_i)$ et $\sigma'_i = \sigma'(s_i)$ avec $i \in [1; 3]$

7. Calculer les birapports $B(t) = \frac{\sigma(t) - \sigma(t_2)}{\sigma(t_1) - \sigma(t_2)} \times \frac{\sigma(t_1) - \sigma(t_3)}{\sigma(t) - \sigma(t_3)}$ des quatre points complexes $\sigma(t), \sigma(t_1), \sigma(t_2)$ et $\sigma(t_3)$ et $B'(s) = \frac{\sigma'(s) - \sigma'(s_2)}{\sigma'(s_1) - \sigma'(s_2)} \times \frac{\sigma'(s_1) - \sigma'(s_3)}{\sigma'(s) - \sigma'(s_3)}$ des quatre points complexes $\sigma'(s), \sigma'(s_1), \sigma'(s_2)$ et $\sigma'(s_3)$

8. Déterminer la fonction $\Phi : t \to s$ tel que $B(t) = B'(\Phi(t))$

9. Pour $t \in \mathbb{R}$, déterminer les points $M_{\Phi}(t)$ de la courbe $C_{\Phi}$ sur la cyclide initiale correspondant aux vecteurs lumière $\overrightarrow{\sigma(t)\sigma'(\Phi(t))}$

**Sortie** : La courbe de contact $C_{\Phi}$ qui passe par les trois points $M_i$ de la cyclide initiale.
<figure><img src="image_319.png" /><figcaption>FIGURE 15.10 – Une courbe de contact sur une cyclide de Dupin.</figcaption></figure>

Un dernier point est à souligner. Lorsque les trois conditions de contact de la cyclide de Dupin initiale sont sur un cercle d'Yvon-Villarceau alors la courbe de contact obtenue est ce même cercle d'Yvon-Villarceau. Ces cercles ne sont pas des cas particuliers de courbes de contact : nous avons une famille à un paramètre de cyclide tangentes le long des cercles d'Yvon-Villarceau. La figure 15.11 montre deux cyclides de Dupin en anneau (dont un tore de révolution à collier) tangents le long d'un cercle d'Yvon-Villarceau.

15.5 Synthèse du chapitre

Dans ce chapitre, nous avons résolu le problème de la détermination de cyclides de Dupin tangentes à trois plans orientés donnés en trois points donnés : soit il n'y a pas de solution, soit il existe une famille à un paramètre de cyclides de Dupin solution et toutes ces cyclides de Dupin sont tangentes le long d'une même courbe. En utilisant une homographie entre les deux cercles frères, il est possible de tracer la courbe de contact sur n'importe laquelle des cyclides de Dupin solutions. Nous insistons sur le fait, qu'à partir de trois conditions de contact permettant
<figure><img src="image_320.png" /><figcaption>FIGURE 15.11 – Une cyclide de Dupin et un tore tangents le long d’une courbe de contact qui est un cercle de Villarceau.</figcaption></figure>

d'avoir des solutions, le changement d'orientation de l'un seulement des plans ne permet plus, très généralement, d'avoir un problème des trois contacts ayant des solutions : l'utilisation de l'espace des sphères orientées est donc fondamentale.
<figure><img src="image_321.png" /></figure>
# Chapitre 16

# Conclusion et perspectives

## 16.1 Conclusion

Dans ce mémoire, nous avons commencé, chapitres 2 à 4, par définir les ensembles en fonction des notions que nous voulons utiliser : pour travailler sur une conique propre, un espace projectif convient. Si nous voulons distinguer les trois catégories de coniques propres, nous devons déterminer la droite de l'infini du modèle projectif ce qui revient à se placer dans la fermeture projective de l'espace affine. Plus précisément, dans le chapitre 3, nous nous plaçons dans le plan affine euclidien orienté, et donnons les caractéristiques des coniques euclidiennes, puis, dans le chapitre 4, nous choisissons la forme quadratique idoine pour manipuler une conique propre à centre comme un cercle unitaire. Dans ces deux chapitres, contrairement à un espace projectif, l'espace des points massiques nous permet de munir notre espace de n'importe quelle métrique. Les chapitres 4 et 5 permettent de s'habituer aux espaces non-euclidiens, à construire des cercles sur une sphère unité qui se trace comme un hyperboloïde à une nappe. Ces chapitres ont pour motivation première une approche didactique avant de passer à la partie III et de travailler sur une sphère unité de dimension 4 qui se trace comme un hyperboloïde à une nappe de dimension 4.

Avant de passer à la partie III, nous définissons les faisceaux et enveloppes de sphères dans l'espace affine euclidien tridimensionnel usuel $\mathcal{E}_3$, partie II. Ces définitions sont usuels et un rappel sur les cyclides de Dupin est proposé. Dans le chapitre 8, nous proposons des algorithmes permettant de subdiviser des carreaux de cyclides de Dupin. Dans le chapitre 9, nous avons donné les équations des cercles d'Yvon-Villarceau sur des cyclides de Dupin en anneau, puis avons présenté des algorithmes permettant de construire des triangles, rectangles ou isocèles sur ce type de surface. Contrairement aux précédents, le contenu de ce chapitre est encore à transcrire dans l'espace de Lorentz.
### 16.1.1 Première avancée pour l'informatique graphique : les espaces de Lorentz et des sphères

L'espace de Lorentz est un espace de dimension 5, généralisant celui de l'espace-temps de Minkowski, muni d'une forme quadratique de signature (4; 1). Ainsi, l'ensemble des vecteurs positions isotropes, appelés vecteurs lumière, définissent un cône de dimension 4 appelé cône de lumière qui, pour la structure pseudo-métrique de Lorentz, est la sphère centrée à l'origine et de rayon nul. Plutôt que d'utiliser la base canonique de $\mathbb{R}^5$, nous avons utilisé le repère $(O_5; \vec{e}_o; \vec{e}_1; \vec{e}_2; \vec{e}_3; \vec{e}_\infty)$, qui, bien que n'étant pas orthogonal $(\vec{e}_o \cdot \vec{e}_\infty = -1, \vec{e}_o^2 = \vec{e}_\infty^2 = 0)$, présente les avantages suivants :

* le vecteur $\vec{e}_o$ définit l'origine $O_3$ de l'espace $\mathcal{E}_3$ via la relation :

$$ \vec{O_5O_3} = \vec{e}_o $$

* le vecteur $\vec{e}_\infty$ représente le point à l'infini de $\mathcal{E}_3$;

* le paraboloïde $P$, section du cône de lumière par l'hyperplan affine engendré par $O_3$, la base $(\vec{e}_1; \vec{e}_2; \vec{e}_3)$ de $\vec{\mathcal{E}}_3$ et le vecteur $\vec{e}_\infty$ est de dimension 3 et isométrique à $\mathcal{E}_3$;

* le paraboloïde $P$ auquel nous ajoutons le vecteur $\vec{e}_\infty$ est un compactifié d'Alexandrov de $\mathcal{E}_3$;

* il est possible de faire du calcul vectoriel prolongeant celui fait dans $\vec{\mathcal{E}}_3$.

La première notion fondamentale est la suivante : **un point de $\mathcal{E}_3$ est représenté dans l'espace de Lorentz par un vecteur lumière.**

La sphère unité $\Lambda^4$, de dimension 4, de l'espace de Lorentz conduit à la seconde notion fondamentale : **chacun de ses points représente un plan ou une sphère orienté de $\mathcal{E}_3$.** Ainsi, une surface canal de $\mathcal{E}_3$ est modélisée par une courbe sur $\Lambda^4$.

Nous rappelons quelques résultats qui sont simplifiés via l'espace de Lorentz : les calculs de la puissance d'un point à une sphère, de la puissance conjointe de deux sphères, de la tangence éventuelle de deux sphères sont bilinéaires puisqu'il suffit de calculer un produit scalaire. Le test d'appartenance d'un point à une sphère est lui aussi linéaires. Ces problèmes sont quadratiques dans $\mathcal{E}_3$.

L'espace des sphères permet également de simplifier l'utilisation des cyclides de Dupin : une cyclide de Dupin est représentée par deux cercles (qui se tracent comme une ellipse ou une hyperbole), ou un cercle et une parabole affine, sur $\Lambda^4$. La jointure $G^1$ entre deux surfaces canal par une ou deux cyclide(s) de Dupin est très simplifiée puisque le raccord $G^1$ entre deux surfaces se ramène à une jointure $G^1$ entre deux courbes, chapitre 13. La construction de carreaux de cyclides de Dupin, chapitre 14, est aussi simplifiée par le fait que l'ensemble des sphères tangentes à une sphère donnée en un point est une droite de type lumière sur $\Lambda^4$ et que l'appartenance d'un point donné à une famille de sphères sur une droite est un problème linéaire conduisant à une équation du premier degré. Cet espace permet de plus, chapitre 15, la détermination des solutions au problème suivant : combien peut-on trouver de cyclides de Dupin tangentes à trois plans donnés en trois points donnés ? La réponse nous a surpris : soit il n'y a pas de solution ; soit il existe une famille à un paramètre de solutions et toutes les cyclides de Dupin sont tangentes le long d'une courbe passant par les trois points donnés. Nous n'avons pas réussi à résoudre ce