### 8.2.3 Cas du tore

Dans le cas du tore, il y a deux types différents d'attracteurs du fait qu'un des faisceaux est constitué de plans parallèles. L'algorithme 8.6, correspondant au schéma de la figure 8.7, permet d'illustrer les deux applications contractantes supplémentaires dans le cas du tore. La figure 8.4 est une illustration de l'algorithme 8.5.

<figure><img src="image_120.png" /><figcaption>FIGURE 8.7 – Illustration des deux applications contractantes, algorithmes 8.5 et 8.4</figcaption></figure>

La figure 8.8 montre les algorithmes 8.5 et 8.6 appliqués au polyèdre de l'image 8.1(a).

Les coordonnées des sommets des polyèdres, obtenus en appliquant l'algorithme 8.5 aux points du tableau 8.1, de la figure 8.8(a) sont données par le tableau 8.5.

Les coordonnées des sommets des polyèdres, obtenus en appliquant l'algorithme 8.6 aux points du tableau 8.1, de la figure 8.8(b) sont données par le tableau 8.6.
<figure><img src="image_121.png" /><figcaption>FIGURE 8.8 – IFS appliqué au polyèdre de l'image 8.1(a). (a) : algorithme 8.5. (b) : algorithme 8.6.</figcaption></figure>

<table><caption>TABLE 8.5 – Coordonnées du polyèdre de l'image 8.8(a).</caption><thead><tr><th>Indice</th><th>O<sub>12</sub></th><th>E<sub>12</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>(0; 0)</td><td>(-7, 16; -5, 37; 4, 00)</td><td>(-4, 00; -8, 00; 4, 00)</td></tr><tr><td>(1; 0)</td><td>(-12, 88; -9, 67; 0, 00)</td><td>(-7, 20; -14, 40; 0)</td></tr><tr><td>(2; 0)</td><td>(-7, 16; -5, 37; -4, 00)</td><td>(-4, 00; -8, 00; -4, 00)</td></tr><tr><td>(0; 1)</td><td>(-5, 89; -7, 06; 4, 00)</td><td>(-2, 11; -8, 94; 4, 00)</td></tr><tr><td>(1; 1)</td><td>(-10, 60; -12, 70; 0)</td><td>(-3, 80; -16, 10; 0)</td></tr><tr><td>(2; 1)</td><td>(-5, 89; -7, 06; -4, 00)</td><td>(-2, 11; -8, 94; -4, 00)</td></tr><tr><td>(0; 2)</td><td>(-4, 00; -8, 00; 4, 00)</td><td>(0, 00; -8, 94; 4, 00)</td></tr><tr><td>(1; 2)</td><td>(-7, 20; -14, 40; 0)</td><td>(0, 00; -16, 10; 0.00)</td></tr><tr><td>(2; 2)</td><td>(-4, 00; -8, 00; -4, 00)</td><td>(0, 00; -8, 94; -4, 00)</td></tr></tbody></table>

<table><caption>TABLE 8.6 – Coordonnées du polyèdre de l'image 8.8(b).</caption><thead><tr><th>Indice</th><th>S<sub>ij</sub></th><th>N<sub>ij</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>(0; 0)</td><td>(-7, 16; -5, 37; 4, 00)</td><td>(-9, 03; -6.77; 0, 00)</td></tr><tr><td>(0; 1)</td><td>(-4, 47; -8, 94; 4, 00)</td><td>(-5, 65; -11, 29; 0)</td></tr><tr><td>(0; 2)</td><td>(0, 00; -8, 94; 4, 00)</td><td>(0, 00; -11, 29; 0, 00)</td></tr><tr><td>(1; 0)</td><td>(-9, 03; -6, 77; 2, 69)</td><td>(-9, 03; -6.77; -2, 69)</td></tr><tr><td>(1; 1)</td><td>(-5, 65; -11, 29; 2, 69)</td><td>(-5, 65; -11, 29; -2, 69)</td></tr><tr><td>(1; 2)</td><td>(0, 00; -11, 29; 2, 69)</td><td>(0, 00; -11, 29; -2, 69)</td></tr><tr><td>(2; 0)</td><td>(-9, 03; -6, 77; 0, 00)</td><td>(-7, 16; -5, 37; -4, 00)</td></tr><tr><td>(2; 1)</td><td>(-5, 65; -11, 29; 0)</td><td>(-4, 47; -8, 94; -4, 00)</td></tr><tr><td>(2; 2)</td><td>(0, 00; -11, 29; 0, 00)</td><td>(0, 00; -8, 94; -4, 00)</td></tr></tbody></table>
**Algorithme 8.5** Deux applications contractantes applicables aux algorithmes 8.1, 8.5 et 8.6.

**Entrée** : Une famille de points de contrôle $(P_{ij})_{0 \le i, j \le 2}$ construits par l'un des algorithmes 8.1 ou 8.5 ou 8.6.

**Pré-condition** : Afin d'obtenir un tore ou sphère double, on impose :

$$ \mathrm{Aff}\{P_{20}; P_{21}; P_{22}\} \cap \mathrm{Aff}\{P_{00}; P_{01}; P_{02}\} = \emptyset $$

et :

$$ \Delta_b = \mathrm{Aff}\{P_{02}; P_{12}; P_{22}\} \cap \mathrm{Aff}\{P_{00}; P_{10}; P_{20}\} \neq \emptyset $$

1. Initialisation des points qui sont invariants :

<table><thead><tr><th>Côté Ouest</th><th>Côté Est</th></tr></thead><tbody><tr><td>O<sub>00</sub> = P<sub>00</sub></td><td>E<sub>02</sub> = P<sub>02</sub></td></tr><tr><td>O<sub>10</sub> = P<sub>10</sub></td><td>E<sub>12</sub> = P<sub>12</sub></td></tr><tr><td>O<sub>20</sub> = P<sub>20</sub></td><td>E<sub>22</sub> = P<sub>22</sub></td></tr></tbody></table>

2. Calcul du poids $\omega_{01} = \cos(\overrightarrow{P_{00}P_{01}}; \overrightarrow{P_{00}P_{02}})$.

3. Détermination des points :

<table><tr><td>O<sub>01</sub> = bar { (P<sub>00</sub>; 1), (P<sub>01</sub>; ω<sub>01</sub>) }</td></tr><tr><td>E<sub>01</sub> = bar { (P<sub>02</sub>; 1), (P<sub>01</sub>; ω<sub>01</sub>) }</td></tr><tr><td>O<sub>02</sub> = E<sub>00</sub> est le milieu du segment [O<sub>01</sub>E<sub>01</sub>]</td></tr></table>

4. Calcul du poids $\omega_{21} = \cos(\overrightarrow{P_{20}P_{21}}; \overrightarrow{P_{20}P_{22}})$.

5. Détermination des points :

<table><tr><td>O<sub>21</sub> = bar { (P<sub>20</sub>; 1), (P<sub>21</sub>; ω<sub>21</sub>) }</td></tr><tr><td>E<sub>21</sub> = bar { (P<sub>22</sub>; 1), (P<sub>21</sub>; ω<sub>21</sub>) }</td></tr><tr><td>O<sub>22</sub> = E<sub>20</sub> est le milieu du segment [O<sub>21</sub>E<sub>21</sub>]</td></tr></table>

6. Détermination du point $O_{11}$ appartenant à :

$$ [O_{00}O_{02}]^{\perp} \cap [O_{00}O_{20}]^{\perp} \cap \mathrm{Aff}\{O_{00}; O_{01}; O_{10}\} $$

et du point $E_{11}$ appartenant à :

$$ [E_{00}O_{02}]^{\perp} \cap [E_{22}E_{02}]^{\perp} \cap \mathrm{Aff}\{E_{02}; E_{01}; E_{12}\} $$

7. Détermination des points $E_{10} = O_{12}$ par :

$$ [O_{02}O_{22}]^{\perp} \cap \mathrm{Aff}\{O_{02}; O_{22}, P_{11}\} \cap \mathrm{Aff}\{O_{02}; O_{01}; O_{11}\} $$

**Sortie** : Deux familles de points de contrôle $(O_{ij})_{0 \le i, j \le 2}$ et $(E_{ij})_{0 \le i, j \le 2}$ permettant d'appliquer les algorithmes 8.5 et 8.6.
**Algorithme 8.6** Deux applications contractantes applicables aux algorithmes 8.1, 8.5 et 8.6.

**Entrée** : Une famille de points de contrôle $(P_{ij})_{0\le i,j\le 2}$ construits par l'un des algorithmes 8.1 ou 8.5 ou 8.6.

**Pré-condition** : Afin d'obtenir un tore ou une sphère double, on impose :

$$ \mathrm{Aff}\{P_{20}; P_{21}; P_{22}\} \cap \mathrm{Aff}\{P_{00}; P_{01}; P_{02}\} = \emptyset $$

et :

$$ \Delta_b = \mathrm{Aff}\{P_{02}; P_{12}; P_{22}\} \cap \mathrm{Aff}\{P_{00}; P_{10}; P_{20}\} \neq \emptyset $$

et du vecteur $\vec{u}_a$ contenu dans le plan vectoriel $\overrightarrow{\mathrm{Aff}\{P_{20}; P_{21}; P_{22}\}}$ et orthogonal à la droite vectoriel $\vec{\Delta}_b$

1. Initialisation des points qui sont invariants :

<table><thead><tr><th>Côté Nord</th><th>Côté Sud</th></tr></thead><tbody><tr><td>$N_{20} = P_{20}$</td><td>$S_{00} = P_{00}$</td></tr><tr><td>$N_{21} = P_{21}$</td><td>$S_{01} = P_{01}$</td></tr><tr><td>$N_{22} = P_{22}$</td><td>$S_{02} = P_{02}$</td></tr></tbody></table>

2. Calcul du poids $\omega_{10} = \cos(\overrightarrow{P_{00}P_{10}})$.

3. Détermination des points :

<table><tr><td>$S_{10} = \mathrm{bar}\{(P_{00}; 1), (P_{10}; \omega_{10})\}$</td></tr><tr><td>$N_{10} = \mathrm{bar}\{(P_{20}; 1), (P_{10}; \omega_{10})\}$</td></tr><tr><td>$S_{20} = N_{00}$ est le milieu du segment $[S_{10}N_{10}]$</td></tr><tr><td>$S_{12} = \mathrm{bar}\{(P_{02}; 1), (P_{12}; \omega_{12})\}$</td></tr><tr><td>$N_{12} = \mathrm{bar}\{(P_{22}; 1), (P_{12}; \omega_{12})\}$</td></tr><tr><td>$S_{22} = N_{02}$ est le milieu du segment $[N_{12}S_{12}]$</td></tr></table>

4. Détermination du point $N_{11}$ appartenant à :

$$ [N_{00}N_{02}]^{\perp} \cap [N_{00}N_{20}]^{\perp} \cap \mathrm{Aff}\{N_{20}; N_{10}; N_{21}\} $$

et du point $S_{11}$ appartenant à :

$$ [S_{00}S_{20}]^{\perp} \cap [S_{00}S_{02}]^{\perp} \cap \mathrm{Aff}\{S_{00}; S_{01}; S_{10}\} $$

5. Détermination des points $N_{01} = S_{21}$ appartenant à :

$$ [P_{00}P_{20}]^{\perp} \cap \mathrm{Aff}\{S_{20}; S_{10}; S_{11}\} \cap \mathrm{Aff}\{S_{22}; S_{12}; S_{11}\} $$

**Sortie** : Deux familles de points de contrôle $(O_{ij})_{0\le i,j\le 2}$ et $(E_{ij})_{0\le i,j\le 2}$ permettant d'appliquer les algorithmes 8.5 et 8.6.
## 8.3 Description du processus de construction par un G.I.F.S.

La méthode de construction itérative est la même que celle exposée dans le paragraphe 3.7.

### 8.3.1 Cas d'une cyclide de Dupin

De ce cas, le processus de subdivision est le même suivant les lignes et les colonnes. Nous appliquons les mêmes opérateurs en permutant à chaque itération les lignes et les colonnes ce qui revient à faire une transposition. Les opérateurs ne sont contractants que suivant la direction de subdivision (ligne ou colonne). C'est l'alternance de l'application du processus, une fois en ligne et une fois en colonne, qui garantit la convergence (les cycles de l'automate sont contractants).

Notons $T_0^{(i)}$ et $T_1^{(i)}$ les opérateurs affines appliqués à la iᵉ itération tels que :

$$T_0^{(i)} P^{(i)} = O^{(i)} \text{ et } T_1^{(i)} P^{(i)} = E^{(i)}$$

où $P^{(i)}$ désigne le vecteur composé d'un des ensembles de 9 points de contrôle obtenu à la iᵉ étape.

Il est alors possible de décrire le processus de subdivision par l'automate de la figure 8.9. A partir d'un état nommé *LC*, état traitant aussi bien la subdivision suivant les lignes que la subdivision suivant les colonnes, nous appliquons les opérateurs $T_0^{(i)}$ et $T_1^{(i)}$ de la iᵉ itération. Nous passons dans un état intermédiaire à partir duquel on opère une transposition (notée $Tr$) pour permuter les lignes et les colonnes. Une fois cette transposition appliquée, nous sommes de nouveau dans l'état *LC* pour appliquer de nouveau la subdivision mais sur les éléments transposés.

<figure><img src="image_122.png" /><figcaption>FIGURE 8.9 – Automate à deux états (plus un état initial) représentant le G.I.F.S.</figcaption></figure>

L'automate de la figure 8.9 peut se simplifier à un seul état en utilisant les produits de la transposition et des subdivisions, $TrT_0^{(i)}$ et $TrT_1^{(i)}$, qui permettent de réaliser les transformations des points et la transposition en une seule étape, figure 8.10.

Les transformations $T_0^{(i)}$ et $T_1^{(i)}$ sont plus complexes à exhiber que dans le cas de la construction d'arcs de cercles (voir [Gar10]). Il ne s'agit pas simplement de produit tensoriel des matrices permettant de construire les arcs de cercles du fait que le carreau de cyclide est bordé par quatre arcs différents les uns des autres.

En prenant pour convention d'ordonnancement du vecteur composé des points de contrôle :

$$P^{(i)} = (P_{00}^{(i)} P_{10}^{(i)} P_{20}^{(i)} P_{01}^{(i)} P_{11}^{(i)} P_{21}^{(i)} P_{02}^{(i)} P_{12}^{(i)} P_{22}^{(i)})$$
<figure><img src="image_123.png" /><figcaption>FIGURE 8.10 – Automate à un état (plus un état initial) représentant le G.I.F.S.</figcaption></figure>

on peut donner quelques éléments sur la structure de la représentation matricielle des opérateurs de subdivision : où le nombre $\omega_0^{(i)}$ est défini par :

$$ \omega_0^{(i)} = \cos \left( \overbrace{P_{00}^{(i)} P_{01}^{(i)} P_{00}^{(i)} P_{02}^{(i)}}^{\right) $$

Nous pouvons noter que les opérateurs vérifient les conditions de raccords car les ensembles de points subdivisés $E^{(i)}$ et $O^{(i)}$ partagent en sous-ensemble de points ($O_{22}^{(i)} = E_{20}^{(i)}, O_{12}^{(i)} = E_{10}^{(i)}, O_{02}^{(i)} = E_{00}^{(i)}$). Ceci se traduit au niveau des matrices par l'égalité des trois dernières colonnes de $T_0^{(i)}$ et des trois premières colonnes $T_1^{(i)}$.

### 8.3.2 Cas du tore

Dans le cas du tore, le processus est toujours non-stationnaire comme pour le cas des cyclides des Dupin. Cependant à la différence de la cyclide de Dupin, du fait de l'asymétrie du tore (une des droites des deux faisceaux des plans n'est plus dans l'espace affine), nous sommes obligés de distinguer les processus de subdivision concernant les lignes et les colonnes : nous avons un état $T$ pour le tore à partir duquel on opère la subdivision suivant l'algorithme 8.6 ainsi qu'un état $C$ à partir duquel on opère la subdivision suivant l'algorithme 8.5. Remarquons que ce dernier correspond à celui de la cyclide de Dupin simplifié. L'automate de la figure 8.11 illustre le principe de subdivision.

<figure><img src="image_124.png" /><figcaption>FIGURE 8.11 – Automate représentant le G.I.F.S. associé à le subdivision du tore</figcaption></figure>

Les matrices $T_0^i$ et $T_1^i$ correspondant à l'algorithme 8.5, sont les mêmes que dans le cas des cyclides de Dupin mais peuvent être simplifiées :
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \frac{1}{1+w_0^{(i)}} & t_{1,5}^{(i)} & 0 & \frac{1}{2+2w_0^{(i)}} & t_{1,8}^{(i)} & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & t_{2,5}^{(i)} & 0 & 0 & t_{2,8}^{(i)} & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{1+w_2^{(i)}} & 0 & 0 & \frac{1}{2+2w_2^{(i)}} \\
0 & 0 & 0 & \frac{w_1^{(i)}}{1+w_0^{(i)}} & t_{4,5}^{(i)} & 0 & \frac{w_0^{(i)}}{2+2w_0^{(i)}} & t_{4,8}^{(i)} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{w_2^{(i)}}{1+w_2^{(i)}} & 0 & 0 & \frac{w_2^{(i)}}{2+2w_2^{(i)}} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2+2w_0^{(i)}} & t_{7,8}^{(i)} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2+2w_2^{(i)}}
\end{pmatrix}
$$

$$
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2+2w_0^{(i)}} & t_{1,8}^{(i)} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & t_{2,8}^{(i)} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{2+2w_2^{(i)}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\frac{w_0^{(i)}}{2+2w_0^{(i)}} & t_{4,8}^{(i)} & 0 & \frac{w_0^{(i)}}{1+w_0^{(i)}} & t_{4,5}^{(i)} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{w_2^{(i)}}{2+2w_2^{(i)}} & 0 & 0 & \frac{w_2^{(i)}}{1+w_2^{(i)}} & 0 & 0 \\
\frac{1}{2+2w_0^{(i)}} & t_{7,8}^{(i)} & 0 & \frac{1}{1+w_0^{(i)}} & t_{7,5}^{(i)} & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & t_{8,5}^{(i)} & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & \frac{1}{2+2w_2^{(i)}} & 0 & 0 & \frac{1}{1+w_2^{(i)}} & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$

où les nombres $\omega_0^{(i)}$ et $\omega_2^{(i)}$ sont définis par :

$$
\omega_0^{(i)} = \cos \left( \overrightarrow{P_{00}^{(i)} P_{01}^{(i)} P_{00}^{(i)} P_{02}^{(i)}} \right)
$$

$$
\omega_2^{(i)} = \cos \left\langle \overleftarrow{P_{20}^{(i)} P_{21}^{(i)} P_{20}^{(i)} P_{22}^{(i)}} \right\rangle
$$

Les deux autres matrices d'opérateurs, correspondant à l'algorithme 8.6 telles que :

$$
\bar{T}_0^{(i)}(P_{ij}^{(i)}) = S_{ij} \quad \text{et} \quad \bar{T}_1^{(i)}(P_{ij}^{(i)}) = N_{ij}
$$
peuvent être définies par :

$$
\begin{pmatrix}
1 & \frac{1}{1 + \omega_{10}^{(i)}} & \frac{1}{2 + 2\omega_{10}^{(i)}} & 0 & s_{1,5}^{(i)} & s_{1,6}^{(i)} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac{\omega_{10}^{(i)}}{1 + \omega_{10}^{(i)}} & \frac{2\omega_{10}^{(i)}}{2 + 2\omega_{10}^{(i)}} & 0 & s_{2,5}^{(i)} & s_{2,6}^{(i)} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{2 + 2\omega_{10}^{(i)}} & 0 & 0 & s_{3,6}^{(i)} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & s_{4,5}^{(i)} & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{1 + \omega_{10}^{(i)}} & \frac{1}{2 + 2\omega_{10}^{(i)}} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\omega_{10}^{(i)}}{1 + \omega_{10}^{(i)}} & \frac{2\omega_{10}^{(i)}}{2 + 2\omega_{10}^{(i)}} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2 + 2\omega_{10}^{(i)}}
\end{pmatrix}
$$

$$
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2 + 2\omega_{10}^{(i)}} & 0 & 0 & s_{1,6}^{(i)} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\frac{2\omega_{10}^{(i)}}{2 + 2\omega_{10}^{(i)}} & \frac{\omega_{10}^{(i)}}{1 + \omega_{10}^{(i)}} & 0 & s_{2,6}^{(i)} & r_{2,7}^{(i)} & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\frac{1}{2 + 2\omega_{10}^{(i)}} & \frac{1}{1 + \omega_{10}^{(i)}} & 1 & s_{3,6}^{(i)} & r_{3,7}^{(i)} & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2 + 2\omega_{10}^{(i)}} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{2\omega_{10}^{(i)}}{2 + 2\omega_{10}^{(i)}} & \frac{\omega_{10}^{(i)}}{1 + \omega_{10}^{(i)}} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2 + 2\omega_{10}^{(i)}} & \frac{1}{1 + \omega_{10}^{(i)}} & 1
\end{pmatrix}
$$

où :

$$
\omega_{10}^{(i)} = \cos \left( \overbrace{P_{00}^{(i)} P_{10}^{(i)} P_{00}^{(i)} P_{20}^{(i)}}^{\right)
$$

8.4 Synthèse du chapitre

Dans ce chapitre, après avoir donné un algorithme permettant d'initialiser la construction
de neuf points de contrôle, nous avons donné deux algorithmes permettant de déterminer les
éléments caractéristiques de la surface construite (une cyclide de Dupin ou un tore) à partir de ces neuf points.

Dans un second temps, nous avons développé des algorithmes permettant de subdiviser, soit le carreau de cyclide de Dupin, soit le carreau de tore. Le tableau 8.7 propose une synthèse du rôle de chacun des algorithmes de ce chapitre ainsi que les algorithmes pouvant être appelés avant l'exécution de l'algorithme courant.

<table><caption>TABLE 8.7 – Synthèse des algorithmes du chapitre.</caption><thead><tr><th>Algorithme</th><th>Rôle</th><th>Surface</th><th>Utilisation après l'algorithme</th></tr></thead><tbody><tr><td>8.1</td><td>Construction des points initiaux</td><td>Tore et CD4</td><td></td></tr><tr><td>8.2</td><td rowspan="2">Détermination des éléments caractéristiques</td><td>Tore</td><td>8.1</td></tr><tr><td>8.3</td><td>CD4</td><td>8.1</td></tr><tr><td>8.4</td><td>Subdivision itérative</td><td>CD4</td><td>8.1 et 8.4</td></tr><tr><td>8.5</td><td>Subdivision itérative</td><td>Tore</td><td>8.1, 8.5 et 8.6</td></tr><tr><td>8.6</td><td>Subdivision itérative</td><td>Tore</td><td>8.1, 8.5 et 8.6</td></tr></tbody></table>

Nous n'avons pas parlé des cyclides de Dupin cubiques puisque, d'une part, il faudrait exposer les propriétés des surfaces de Bézier obtenue par conversion d'un carreau de cyclide de Dupin cubique, et d'autre part, nous verrons dans la paragraphe 12.2 que réaliser la subdivision de cyclide de Dupin dans l'espace des sphères, cela revient à subdiviser une parabole ou un cercle qui se trace comme une ellipse ou un hyperbole. Cela revient à « adapter » les algorithmes 4.1 et 4.2 à un 2-plan de l'espace de Lorentz.
# Chapitre 9

## Triangles 3D à bords circulaires

Habituellement, un maillage 3D est un ensemble de points de l'espace reliés par des segments. Ceci donne donc une triangulation « plane » en ce sens que chaque triangle du maillage est contenu dans un plan. L'idée est de construire des triangles non-plans pour constituer des maillages 3D. Plusieurs auteurs ont travaillé sur cette problématique. S. Hahmann et G.-P. Bonneau réalisent des jointures $G^1$ à partir d'un nuage de points 3D : chaque triangle est remplacé par quatre triangles qui sont modélisés par des triangles de Bézier dont l'équation paramétrique est de degré 5 [HB03]. C. Bajaj utilise des interpolations de Hermite pour obtenir une équation implicite d'une surface courbe $C^1$ [Baj96]. Plusieurs travaux concernent la transformation de maillages triangulaires en maillage quadrangulaires [LDB04, BSP$^+10]. Dans le domaine de l'architecture, P. Bo et al. réalisent des constructions dont les bords sont des lignes de courbure circulaires [BPK$^+11] et en particulier sur des cyclides de Dupin. Nous reviendrons sur ce dernier travail dans le chapitre 14 où nous proposerons une construction dans l'espace des sphères.

L'objectif est la construction de triangles 3D sur des tores et surtout sur des cyclides de Dupin dont les bords sont constitués de trois cercles :

* deux cercles de courbure (un cercle méridien et un cercle parallèle, c'est pour cela que l'on parle de triangle *rectangle*) et d'un troisième cercle particulier : un cercle d'*Yvon-Villarceau*.

* deux cercles d'*Yvon-Villarceau* et un cercle decourbure (un cercle méridien et un cercle parallèle) et nous obtenons alors un triangle *isocèle*.

Nous avons donc développé cinq algorithmes de construction de triangles 3D à bords circulaires sur des tores et des cyclides de Dupin.

Les motivations sont nombreuses. En premier lieu, il s'agit de faire l'économie d'un certain nombre de valeurs dans le calcul et le stockage informatique des maillages 3D. La figure 9 schématise un triangle 3D à bords circulaires sur une cyclide de Dupin et sa représentation avec 67 triangles plans. Avec le triangle 3D, nous n'avons que les trois sommets à stocker ainsi que les paramètres de la cyclide, à savoir trois réels, et une transformation affine (trois vecteurs et un point), ce qui représente 24 nombres flottants contre 135 flottants (trois fois 45 sommets) dans le cas des triangles plans, sans parler des informations topologiques pour relier les points. En revanche, l'affichage se fait toujours par discrétisation, les triangles 3D n'ont qu'un rôle de modélisation.
<figure><img src="image_125.png" /><figcaption>FIGURE 9.1 – Discrétisation et affichage d'un triangle 3D par des triangles plans.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_126.png" /><figcaption>FIGURE 9.2 – Modélisation d'un triangle 3D emprisonné par trois plans.</figcaption></figure>
Les triangles 3D permettent aussi de mieux approximer une surface. Sur chaque triangle,
on a une continuité des normales sur toute la surface ce qui est pratique pour calculer les plans
tangents.

Des calculs sont également économisés au niveau des intersections avec la surface modélisée.
La figure 9 (à droite) montre un triangle 3D sur un tore emprisonné dans les trois plans définis par
les bords du triangle. Avec la technique du lancer de rayon, il suffira de vérifier trois inégalités
(équations des trois demi-espaces) et de résoudre le cas échéant une équation algébrique de degré
4. Avec les triangles plans, dans le pire des cas, il faut 67×3=201 inégalités et 67 équations de
degré 1.

Notons que sur un tore à collier ou une cyclide de Dupin en anneau, un triangle 3D peut
être homotope à point (i.e. de genre 0) ou toute la surface et est alors une courbe illustrant
que ces surfaces sont de genre 1. La théorie du genre, utilisé déjà à l'époque d'Aristote dans
les classifications [Pop12], d'une surface consiste à déterminer le nombre de courbes fermées,
simples, que l'on peut tracer sans déconnecter la surface et ce nombre est lié à la caractéristique
d'Euler-Poincaré pour les surfaces closes [LS82]. Rappelons que le genre d'une sphère, d'un
cône ou un cylindre de révolution est 0 tandis que celui d'une tore est 1. Pour plus de détails, le
lecteur peur se reporter à [Pop12, BGL01].

9.1 Equation des cercles d'Yvon-Villarceau

Dans un premier temps, nous déterminons les équations des cercles d'Yvon-Villarceau sur
une cyclide de Dupin quartique et dans un second temps, nous faisons le même travail sur une
cyclide de Dupin cubique. Le premier (resp. second) travail consiste à transformer deux cercles
principaux (resp. courbes principales) en deux cercles de même rayon qui sont une méridienne
d'un tore à collier.

9.1.1 Inversion transformant une CD4 en un tore.

Le but de ce paragraphe est de construire une inversion telle que l'image d'une cyclide de Dupin en anneau donnée soit un tore à collier. Pour cela, il suffit que les images des deux cercles principaux de la cyclide de Dupin obtenus par le plan $P_y$, figure 7.16(a), par l'inversion soit une méridienne (i.e. deux cercles de même rayon) du tore de révolution, figure 7.5(a) et que le centre de cette inversion n'appartienne pas aux cercles principaux de la cyclide de Dupin.

Nous allons identifier $P_y$ au plan complexe afin de trouver les centres d'inversion $\Omega_i$ possibles, puis nous définirons une inversion de $\mathcal{E}_3 - \{\Omega_i\}$ dans lui-même.

9.1.1.1 Inversion dans le plan complexe.

Rappelons que la notation $M(z)$ signifie que le nombre complexe $z$ est l'affixe du point $M$
dans le plan complexe [Gou83]. Soit $f$ une inversion du plan complexe de pôle $\Omega(\omega)$ et de
rapport $k$. Soit $M'(z')$ l'image de $M(z)$ par l'inversion $f$. L'expression de $z'$ est donnée par :

$$z' = f(z) = \omega + \frac{k}{z - \omega} \qquad (9.1)$$

Soit $C_1$ et $C_2$ deux cercles de diamètres respectifs $[A_1B_1]$ et $[A_2B_2]$ et tels que ces quatre points soient alignés sur la droite réelle du plan complexe, figure 9.3. Notons $a_1, b_1, a_2$ et $b_2$ les affixes respectives des points $A_1, B_1, A_2$ et $B_2$.

Nous cherchons à déterminer l'inversion $f$, de pôle $\Omega(\omega)$ avec $\omega$ réel, telle que les images des cercles $C_1$ et $C_2$ soient deux cercles de même rayon, figure 9.3. En général, l'image d'un diamètre par une inversion n'est pas un diamètre sauf si les extrémités du diamètre sont alignés avec le pôle de l'inversion $\Omega$.

<figure><img src="image_127.png" /><figcaption>FIGURE 9.3 – Cercles de même rayon obtenus comme images de deux cercles par une inversion.</figcaption></figure>

Les affixes des points $A'_1, B'_1, A'_2$ et $B'_2$ sont respectivement $f(a_1), f(b_1), f(a_2)$ et $f(b_2)$. Les deux cercles $f(C_1)$ et $f(C_2)$ ont même rayon si et seulement si :

$$|f(b_1) - f(a_1)| = |f(b_2) - f(a_2)|$$

qui se traduit par :

$$\left| \omega + \frac{k}{b_1 - \omega} - \omega - \frac{k}{a_1 - \omega} \right| = \left| \omega + \frac{k}{b_2 - \omega} - \omega - \frac{k}{a_2 - \omega} \right| \qquad (9.2)$$

et qui se simplifie en la relation :

$$\left| \frac{1}{b_1 - \omega} - \frac{1}{a_1 - \omega} \right| = \left| \frac{1}{b_2 - \omega} - \frac{1}{a_2 - \omega} \right| \qquad (9.3)$$

Dans le cas où le nombre $(b_2 - a_1)(b_2 - a_2)(b_1 - a_1)(b_1 - a_2)$ est positif ou nul, nous posons $\delta_0 = \sqrt{(b_2 - a_1)(b_2 - a_2)(b_1 - a_1)(b_1 - a_2)}$, sinon $\delta_0$ est l'une des racines carrées complexes de $(b_2 - a_1)(b_2 - a_2)(b_1 - a_1)(b_1 - a_2)$. Si $-(a_2 - a_1)(b_2 - a_2)(b_1 - a_1)(b_1 - b_2)$ est
positif, nous posons $\delta_1 = \sqrt{-(a_2 - a_1)(b_2 - a_2)(b_1 - a_1)(b_1 - b_2)}$, sinon $\delta_1$ est l'une des racines carrées complexes de $-(a_2 - a_1)(b_2 - a_2)(b_1 - a_1)(b_1 - b_2)$. L'équation (9.3) admet quatre solutions données par :

$$
\begin{align}
\omega_1 &= \frac{b_1 b_2 - a_2 a_1 + \delta_0}{b_2 - a_2 + b_1 - a_1} & \omega_2 &= \frac{b_1 b_2 - a_2 a_1 - \delta_0}{b_2 - a_2 + b_1 - a_1} \tag{9.4} \\
\omega_3 &= \frac{b_1 a_2 - b_2 a_1 + \delta_1}{b_1 - a_1 + a_2 - b_2} & \omega_4 &= \frac{b_1 a_2 - b_2 a_1 - \delta_1}{b_1 - a_1 + a_2 - b_2}
\end{align}
$$

9.1.1.2 Simplification du calcul du pôle lors de l'utilisation d'une CD4A

Dans le cas où C₁ et C₂ sont les deux cercles principaux d'une cyclide de Dupin en anneau de paramètres strictement positifs a, c et μ, nous posons A₁ (a - μ + c; 0; 0), B₁ (a + μ - c; 0; 0), A₂ (-a + μ + c; 0; 0), B₂ (-a - μ - c; 0; 0), figure 9.3. Comme la cyclide de Dupin est en anneau, nous avons 0 < c < μ < a donc ω₁ et ω₂ sont réels, ω₃ et ω₄ sont complexes et nous posons δ₁ = α₁ + iβ₁ tel que δ₁² = 16 (a² - μ²) (c² - μ²). Les abscisses des pôles possibles, formule (9.4), se simplifient :

$$
\begin{align}
\omega_1 &= \frac{a \mu + b \sqrt{\mu^2 - c^2}}{c} & \omega_2 &= \frac{a \mu - b \sqrt{\mu^2 - c^2}}{c} \tag{9.5} \\
\omega_3 &= \frac{a \mu + \delta_1}{c} & \omega_4 &= \frac{a \mu - \delta_1}{c}
\end{align}
$$

Soit $\omega$ l'une des racines réelles. Pour une cyclide de Dupin en anneau, le pôle $\Omega(\omega)$ de l'inversion n'est pas confondu avec l'un des points $A_1, B_1, A_2$ ou $B_2$ ce qui implique que les images des cercles principaux de la cyclide de Dupin sont bien deux cercles, théorème 51.

9.1.1.3 Tore obtenu comme image d'une cyclide de Dupin par une inversion

Soit $\Omega_0 (\omega; 0; 0)$ le pôle de l'inversion $i_{\Omega_0, k}$ de $\mathcal{E}_3 - \{\Omega_0\}$ dans $\mathcal{E}_3 - \{\Omega_0\}$ et de rapport $k$
telle que sa restriction à $\mathcal{P}_y$, considéré comme plan complexe, soit $f$. Soit $M(x; y; z)$ un point
de $\mathcal{E}_3 - \{\Omega_0\}$ et $M'(x'; y'; z')$ l'image de $M$ par $i_{\Omega_0, k}$. L'expression analytique de $i_{\Omega_0, k}$ est :

$$
\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \omega + \frac{k(x-\omega)}{(x-\omega)^2 + y^2 + z^2} \\ \frac{ky}{(x-\omega)^2 + y^2 + z^2} \\ \frac{kz}{(x-\omega)^2 + y^2 + z^2} \end{pmatrix} \quad (9.6)
$$

Il reste à déterminer le rayon mineur *r* et rayon majeur *R* du tore. Nous avons $r = \frac{B'_1 A'_1}{2}$ et $R = \frac{1}{2} B'_1 B'_2 + r$, figure 9.3. Le centre du tore est le point $\Omega$ milieu du segment $[B'_1 B'_2]$ et a pour coordonnées $(x_0; 0; 0)$ avec $x_0 = \frac{x_{B'_1} + x_{B'_2}}{2}$. La nappe paramétrée de la formule (7.17) est exprimée dans le repère $(\Omega, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ et les cercles d'Yvon-Villarceau sur ce tore sont, dans ce même repère, donnés par la formule (7.21).
9.1.2 Cercles d'Yvon-Villarceau sur une CD4A

Les pendants des cercles d'Yvon-Villarceau sur la cyclide de Dupin en anneau sont les images
des cercles d'Yvon-Villarceau sur le tore à collier par l'inversion qui permet de construire ce tore
à partir de la cyclide de Dupin originelle.

<figure><img src="image_128.png" /><figcaption>FIGURE 9.4 – Cercles d’Yvon-Villarceau sur une cyclide de Dupin : la cyclide de Dupin et deux cercles d’Yvon-Villarceau, deux cercles d’Yvon-Villarceau sur le tore, obtenus comme intersection d’une sphère avec le tore.</figcaption></figure>

Il est possible de déterminer ces cercles sur la cyclide de Dupin comme intersection de cette dernière avec une sphère. En effet, considérons $C_v$ un des cercles d'Yvon-Villarceau du tore obtenu par intersection du tore avec la sphère $S$ de centre $\Omega_1$. Soit $S'$ la sphère obtenue comme image de la sphère $S$ par l'homothétie de centre $\Omega_0$ et de rapport $k_1 = \frac{1}{\Omega_0\Omega_1^2-R^2}$, théorème 51. Le cercle $C'_v$ est l'intersection entre la sphère $S'$ et la cyclide de Dupin, figures 9.4 et 9.5.

9.1.2.1 Un résultat formel

Nous rappelons que nous partons d'une cyclide de Dupin en anneau. Dans ce paragraphe,
nous donnons les valeurs du tore obtenu à partir d'une des inversions possibles. Le centre de
l'inversion est Ω₁ (ω₁; 0; 0) avec :

$$
\omega_1 = \frac{a\mu + b\sqrt{\mu^2 - c^2}}{c} \tag{9.7}
$$

Pour des raisons de commodités, posons :

$$
\mathrm{num}_1 = -b^2\mu^2 + b^2c^2 + kc^2
$$

$$
\mathrm{num}_2 = b\sqrt{\mu^2 - c^2} (-2a\mu + ac + \mu c - c^2)
$$
<figure><img src="image_129.png" /><figcaption>FIGURE 9.5 – Couples de cercles d’Yvon-Villarceau sur une cyclide de Dupin. (a) : $\theta_0 = 0$. (b) : $\theta_0 = \frac{\pi}{2}$</figcaption></figure>

$$num_3 = b\sqrt{\mu^2 - c^2} (-2a\mu + ac - \mu c + c^2)$$

$$num_4 = b^2\mu^2 - b^2c^2 - kc^2$$

$$num_5 = b\sqrt{\mu^2 - c^2} (2a\mu + ac + \mu c + c^2)$$

$$num_6 = b\sqrt{\mu^2 - c^2} (2a\mu + ac - \mu c - c^2)$$

Ainsi, les nombres $f(a_1)$, $f(b_1)$, $f(a_2)$ et $f(b_2)$ sont les affixes respectives des points $f(A_1)$, $f(B_1)$, $f(A_2)$ et $f(B_2)$ et sont donnés par :

$$ 
\begin{align} 
f(b_1) &= \frac{a\mu(-\mu + c)(a - c) + num_1 + num_2}{c(ac + \mu c - c^2 - a\mu - b\sqrt{\mu^2 - c^2})} \notag \\ 
f(a_1) &= \frac{a\mu(-\mu + c)(a + c) + num_1 + num_3}{c(ac - \mu c + c^2 - a\mu - b\sqrt{\mu^2 - c^2})} \tag{9.8} \\ 
f(b_2) &= \frac{a\mu(\mu + c)(a + c) + num_4 + num_5}{c(ac + \mu c + c^2 + a\mu + b\sqrt{\mu^2 - c^2})} \notag \\ 
f(a_2) &= \frac{a\mu(\mu + c)(a - c) + num_4 + num_6}{c(ac - \mu c - c^2 + a\mu + b\sqrt{\mu^2 - c^2})} \notag 
\end{align} 
$$
Concernant les paramètres du tore, lorsque $k$ est strictement positif et après quelques calculs, le rayon mineur est :

$$r = \frac{kc^2(\mu - c)}{((a+c)(\mu-c) + b\sqrt{\mu^2 - c^2}) \times ((a-c)(\mu-c) + b\sqrt{\mu^2 - c^2})} \quad (9.9)$$

le rayon majeur est :

$$R = \frac{kc^2 (a-c)}{((a-c)(\mu+c) + b\sqrt{\mu^2-c^2}) \times ((a-c)(\mu-c) + b\sqrt{\mu^2-c^2}))} \quad (9.10)$$

et son centre est :

$$\Omega = \left( \frac{f(b_1) + f(b_2)}{2} ; 0 ; 0 \right) \quad (9.11)$$

et, après calculs, l'abscisse $x_Ω$ de $Ω$ est donnée par :

$$\omega_1 - \frac{kb^2(\omega_1 - c)}{((a-c)(\mu + \omega_1) - b^2)((a+c)(\omega_1 - \mu) + b^2)} \quad (9.12)$$

Pour déterminer les équations des cercles d'Yvon-Villarceau sur la cyclide de Dupin en anneau, il est pertinent d'introduire les fonctions numériques $den_1$ et $den_2$ d'expression :

$$den_1(t) = \left( x_{\Omega} - \sqrt{R^2 - r^2} \cos \theta_0 \sin t - \varepsilon (r + R \cos t) \sin \theta_0 - \omega_1 \right)^2$$

et :

$$den_2(t) = \left( -\sqrt{R^2 - r^2} \sin \theta_0 \sin t + \varepsilon (r + R \cos t) \cos \theta_0 \right)^2$$

où $\varepsilon \in \{-1; 1\}$ et $\theta_0 \in [0; 2\pi]$. En ce qui concerne $\varepsilon$, nous avons deux cercles pour chaque section plane de la cyclide de Dupin. Quant à lui, $\theta_0$ traduit un angle de rotation autour de l'axe $(O, \vec{k})$. Il est maintenant possible de définir les équations de cette troisième et quatrième$^1$ famille de cercles sur une cyclide de Dupin en anneau, définies par le chemin $\gamma_{\theta_0, \varepsilon}^{CD4}$ dont une expression de $\gamma_{\theta_0, \varepsilon}^{CD4}(t)$ est :

$$\frac{\left( \omega_1 + k \frac{x_{\Omega} - \omega_1 - \sqrt{R^2 - r^2} \cos \theta_0 \sin t - \varepsilon (r + R \cos t) \sin \theta_0}{den_1(t) + den_2(t) + r^2 \sin^2 t} - k \frac{-\sqrt{R^2 - r^2} \sin \theta_0 \sin t + \varepsilon (r + R \cos t) \cos \theta_0}{den_1(t) + den_2(t) + r^2 \sin^2 t} - \frac{kr \sin t}{den_1(t) + den_2(t) + r^2 \sin^2 t} \right)}{1} \quad (9.13)$$

<footnote n="1">1. $\varepsilon$ vaut 1 ou -1.</footnote>
9.1.2.2 Résultats numériques

Dans cette section, nous montrons des exemples des cercles d'Yvon-Villarceau sur une cy-
clide de Dupin en anneau puis, nous construisons des triangles rectangles non plans sur des
cyclides de Dupin en anneau.

La figure 9.6 montre une cyclide de Dupin et un tore obtenu comme image de la cyclide de Dupin par une inversion de centre $\Omega_3(20 + 12\sqrt{2}; 0; 0)$ et de rapport $k = 3000$. Les paramètres de la cyclide de Dupin sont $a = 10$, $\mu = 4$ et $c = 2$. Le rayon mineur du tore est $r = \frac{1000-625\sqrt{2}}{14} \approx 8,29$ tandis que le rayon majeur du tore est $R = \frac{-1250+1000\sqrt{2}}{7} \approx 23,4$ et le centre du tore a pour coordonnées $(20 - \frac{101\sqrt{2}}{2}; 0; 0)$. Les images des cercles en bleu (resp. vert) sont en bleu (resp. vert).

<figure><img src="image_130.png" /><figcaption>FIGURE 9.6 – Transformation d'une cyclide de Dupin en tore par une inversion de centre $\Omega_3(20 + 12\sqrt{2}; 0; 0)$ et de rapport $k = 3000$.</figcaption></figure>

La figure 9.7 montre quatre cercles sur une cyclide de Dupin en anneau qui ne sont ni des méridiens ni des parallèles, ces cercles sont des cercles d'Yvon-Villarceau sur un tore à collier.

La figure 9.8 montre deux cercles d'Yvon-Villarceau obtenus avec la même valeur $\theta_0$ dans la formule (9.13), le cercle rouge (resp. vert) est obtenu avec $\varepsilon = 1$ (resp. $\varepsilon = -1$). Contrairement au cas du tore à collier, ces deux cercles ne sont pas coplanaires mais co-sphériques : cela est normal, le plan les contenant dans le cas du tore est transformé en sphère par inversion.

9.1.3 Cercles d'Yvon-Villarceau sur une CD3A

Nous reprenons la démarche du paragraphe 9.1.1, le changement est le suivant : l'image de
deux courbes principales coplanaires (une droite et un cercle) par l'inversion est deux cercles de
<figure><img src="image_131.png" /><figcaption>FIGURE 9.7 – Quatre cercles d’Yvon-Villarceau sur une cyclide de Dupin en anneau obtenus comme pendants des cercles d’Yvon-Villarceau sur un tore à collier.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_132.png" /><figcaption>FIGURE 9.8 – Deux cercles d’Yvon-Villarceau cosphériques sur une CD4A tandis que leurs antécédents par l’inversion sont deux cercles coplanaires sur le tore à collier.</figcaption></figure>

même rayon. Dans la suite de ce paragraphe, nous supposons $p < 0 < q$ : dans le cas contraire, il suffit de permuter les rôles de $p$ et $q$ en utilisant le plan $P_z$ à la place du plan $P_y$.
9.1.3.1 Un résultat formel

Dans la plan P<sub>y</sub> : y = 0, les courbes principales de la CD3 de paramètres p et q sont la droite
Δ<sub>y</sub> : x = p et le cercle C<sub>1</sub> de centre O<sub>q</sub> (q/2; 0; 0) et de rayon |q|/2.

En identifiant le plan P<sub>y</sub> au plan complexe usuel, l'intersection de l'axe des abscisses avec les courbes principales donnent le point C(p) et les deux point O et A(q). Soit Ω(ω) le pôle de l'inversion i<sub>Ω,k</sub>, de rapport k tel que les cercles i<sub>Ω,k</sub> (Δ<sub>y</sub>) et i<sub>Ω,k</sub> (C<sub>1</sub>) aient même rayon. Nous pouvons nous restreindre au cas où ω est réel. L'affixe de C<sub>1</sub> = i<sub>Ω,k</sub> (C) est z<sub>C<sub>1</sub></sub> = ω + k/(p-ω). L'affixe de A<sub>1</sub> = i<sub>Ω,k</sub> (A) est z<sub>A<sub>1</sub></sub> = ω + k/(q-ω) tandis que celle de O<sub>1</sub> = i<sub>Ω,k</sub> (O) est z<sub>O<sub>1</sub></sub> = ω + k/(-ω).

Le cercle i<sub>Ω,k</sub> (Δ<sub>y</sub>) (resp. i<sub>Ω,k</sub> (C<sub>1</sub>)) a pour diamètre |k/(p-ω)| (resp. |k/(q-ω) + k/ω|). Après simplification par |k|, les cercles i<sub>Ω,k</sub> (Δ<sub>y</sub>) et i<sub>Ω,k</sub> (C<sub>1</sub>) ont même rayon si et seulement si :

$$
\left(\frac{1}{p - \omega}\right)^2 = \left(\frac{q}{\omega(q - \omega)}\right)^2
$$

qui se transforme en :

$$
(\omega(q - \omega))^2 - (q(p - \omega))^2 = 0
$$

qui est équivalent à :

$$
(-\omega^2 + \omega q - q p + q \omega) (-\omega^2 + \omega q + q p - q \omega) = 0
$$

et nous obtenons les deux équations du second degré suivantes :

$$
\omega^2 - 2 q \omega + q p = 0 \tag{9.14}
$$

et :

$$
\omega^2 - q p = 0 \tag{9.15}
$$

Comme p et q sont de signe contraire, l'équation de la formule (9.15) n'admet pas de solutions réelles tandis que le discriminant réduit Δ' de l'équation de la formule (9.14) est :

$$
\Delta' = q^2 - pq
$$

qui est strictement positif, et nous obtenons donc deux solutions :

$$
\omega_+ = q + \sqrt{q^2 - pq} \quad \text{et} \quad \omega_- = q - \sqrt{q^2 - pq}
$$

La figure 9.9 montre l'obtention d'une méridienne d'un tore à collier à partir de deux courbes principales coplanaires d'une CD3 en anneau, de paramètres p = -5 et q = 4. L'affixe (resp. rapport) du pôle de l'inversion est ω = ω_− = -2 (resp. k = 7, 29).

Afin de simplifier les calculs, nous prenons $k = p^2 - pq$ et nous obtenons :

$$
\begin{cases}
z_{A_1} = \frac{q^2 - (p+q)\sqrt{q^2 - pq}}{q} \\
z_{O_1} = \frac{2q^2 - pq - p\sqrt{q^2 - pq}}{q} \\
z_{C_1} = p - 2\sqrt{q^2 - pq}
\end{cases}
$$
<figure><img src="image_133.png" /><figcaption>FIGURE 9.9 – Inversion permettant de transformer deux courbes principales coplanaires d'une CD3A en une méridienne d'un tore à collier.</figcaption></figure>

Les centres des cercles du tore définissant une méridienne sont :

$$ egin{cases} z_{I_1} = \frac{p+q-3\sqrt{q^2-pq}}{2} \\ z_{I_2} = \frac{3q^2-pq-(2p+q)\sqrt{q^2-pq}}{2q} \end{cases} $$

ce qui implique que l'affixe du centre du tore est :

$$ z_{O_T} = \frac{2q^2 - (p+2q)\sqrt{q^2 - pq}}{2q} $$

Le rayon mineur du tore est :

$$ r = \frac{1}{2} |z_{C_1} - \omega| = \frac{q - p + \sqrt{q^2 - pq}}{2} $$

tandis que le rayon majeur du tore est :

$$ R = |z_{O_T} - z_{I_1}| = \frac{(q-p)(q+\sqrt{q^2-pq})}{2q} $$
Il reste à obtenir l'équation des cercles d'Yvon-Villarceau dans l'espace $\mathcal{E}_3$. Notons que toutes les affixes précédentes étaient réelles et, en particulier, l'abscisse du centre du tore à collier est $x_{O_T} = z_{O_T}$. Introduisons les trois fonctions numériques suivantes

$$ egin{cases} 
den3_1 : t \mapsto (\varepsilon \sin(\theta_0) (R \cos(t) + r) + \cos(\theta_0) \sin(t) \sqrt{R^2 - r^2} - x_{O_T} + \omega)^2 \\ 
den3_2 : t \mapsto (-\varepsilon \cos(\theta_0) (R \cos(t) + r) + \sin(t) \sin(\theta_0) \sqrt{R^2 - r^2})^2 \\ 
den3_3 : t \mapsto r^2 \sin^2(t) 
\end{cases} $$

et un cercle d'Yvon-Villarceau sur une CD3A est défini par le chemin $\gamma_{\theta_0, \varepsilon}^{CD3}$ dont une expression $\gamma_{\theta_0, \varepsilon}^{CD3}(t)$ est :

$$ \left( \omega + k \frac{x_{O_T} - \varepsilon (R \cos(t) + r) \varepsilon \sin(\theta_0) - \omega - (\sqrt{R^2 - r^2}) \cos(\theta_0) \sin(t)}{den3_1(t) + den3_2(t) + den3_3(t)} \right. \\ \left. \qquad k \frac{R \varepsilon \cos(t) \cos(\theta_0) + r \varepsilon \cos(\theta_0) + (-\sqrt{R^2 - r^2}) \sin(t) \sin(\theta_0)}{den3_1(t) + den3_2(t) + den3_3(t)} \right. \\ \left. \qquad k \frac{r^2 \sin^2(t)}{den3_1(t) + den3_2(t) + den3_3(t)} \right) \qquad (9.16) $$

où $(\theta_0; \varepsilon) \in [2; 2\pi] \times \{-1; 1\}$. Naturellement, la valeur de $\varepsilon$ permet d'obtenir un cercle de l'un ou de l'autre famille des cercles d'Yvon-Villarceau.

### 9.1.3.2 Un résultat numérique

La figure 9.10 montre la CD3A initiale de paramètres $p = -120$ et $q = 12$.

La figure 9.11 montre le pôle :

$$ \Omega \begin{pmatrix} 12 + 12 \sqrt{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 51,799 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad (9.17) $$

les points :

$$ A \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad O \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad C \begin{pmatrix} -120 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

leurs images respectives :

$$ A_1 \begin{pmatrix} 12 + 108 \sqrt{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 370,195 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

$$ O_1 \begin{pmatrix} 144 + 120 \sqrt{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 541,995 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
<figure><img src="image_134.png" /><figcaption>FIGURE 9.10 – La CD3 initiale.</figcaption></figure>

$$C_1 \begin{pmatrix} -120 - 24\sqrt{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} -199,600 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

par cette inversion ainsi que la sphère d'inversion de centre $\Omega$ et de rayon $\sqrt{k} = \sqrt{15840} \approx 125,857$.

La figure 9.12 montre le tore à collier obtenu comme image de la CD3A de la figure 9.10, par l'inversion de pôle $\Omega$, formule (9.17) de rapport $k = 15840$. Le rayon majeur (resp. mineur) du tore à collier est $R = 66 + 66\sqrt{11} \approx 284,897$ (resp. $r = 66 + 6\sqrt{11} \approx 85,900$) tandis que son centre est $O_T (12 + 48\sqrt{11}; 0; 0) \approx (171, 198; 0; 0)$.

La figure 9.13 montre le tore à collier obtenu comme image de la CD3A, cette dernière ainsi que la sphère d'inversion.

La figure 9.14 montre quatre cercles d'Yvon-Villarceau, équation (7.21), sur le tore à collier de la figure 9.12.

La figure 9.15 montre quatre cercles d'Yvon-Villarceau, équation (9.16), sur la CD3A de la figure 9.10.
<figure><img src="image_135.png" /><figcaption>FIGURE 9.11 – Inversion permettant de transformer deux courbes principales coplanaires d'une CD3A en une méridienne d'un tore à collier.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_136.png" /><figcaption>FIGURE 9.12 – Tore à collier, image d'une CD3A par une inversion idoine.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_137.png" /><figcaption>FIGURE 9.13 – Tore à collier, image d’une CD3A par une inversion idoine, la CD3A originelle et la sphère d’inversion.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_138.png" /><figcaption>FIGURE 9.14 – Quatre cercles d’Yvon-Villarceau sur un tore à collier, image d’une CD3A par une inversion idoine.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_139.png" /><figcaption>FIGURE 9.15 – Quatre cercles d'Yvon-Villarceau sur une CD3A avec $\theta_0 = 0$ et avec $\theta_0 = \pi$.</figcaption></figure>
Pour finir ce paragraphe, nous allons exhiber les droites sur une CD3A. Pour ce faire, considérons un tore à collier et une inversion de pôle Ω sur ce tore et nous savons qu'il existe quatre cercles sur le tore à coller passant par le pôle Ω : un méridien, un parallèle, deux cercles d'Yvon-Villarceau (un de chaque famille). Naturellement, les images de ces cercles sont des droites sur la cyclide de Dupin cubique en anneau, figure 9.16.

<figure><img src="image_140.png" /><figcaption>FIGURE 9.16 – Quatre droites sur une CD3A : deux cercles d'Yvon-Villarceau en magenta et deux cercles caractéristiques.</figcaption></figure>

La figure 9.17 montre une photo d'une partie d'une CD3A faite en utilisant une imprimante 3D. Les droites caractéristiques sont gauches et orthogonales tandis que les droites d'Yvon-Villarceau sont sécantes.

Il nous reste à donner les équations des droites d'Yvon-Villarceau en utilisant l'équation (7.64), et étant donné la symétrie entre les ordonnées et les côtes, il semble naturel de prendre une abscisse nulle ce qui conduit à :

$$v = \varepsilon \sqrt{\frac{-p}{q}} u, \quad \varepsilon \in \{-1; 1\}$$

d'une part et :

$$1 + u^2 + v^2 = \frac{q + (q - p) u^2}{q}$$
<figure><img src="image_141.png" /><figcaption>FIGURE 9.17 – Une impression 3D d’une CD3A : les droites caractéristiques sont gauches et orthogonales tandis que les droites d’Yvon-Villarceau sont sécantes.</figcaption></figure>

d'autre part. L'équation (7.64) conduit à l'équation paramétrique suivante :

$$
u \mapsto \left( \begin{array}{c} 0 \\ \frac{pq - (q-p)(-p)u^2}{q} \frac{q}{q + (q-p)u^2} u \\ \frac{q - (p-q)u^2}{\frac{q+(q-p)u^2}{q}} \varepsilon \sqrt{\frac{-p}{q}} u \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ pu \\ q \varepsilon \sqrt{\frac{-p}{q}} u \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ pu \\ \varepsilon \sqrt{-pq} u \end{array} \right)
$$

et le tableau 9.1 résume les équations paramétriques des droites sur une cyclide de Dupin cubique en anneau. Nous pouvons remarques que les droites d'Yvon-Villarceau sont sécantes en $O_3$, centre de la CD3A.

9.2 Construction de Triangles 3D rectangles

9.2.1 Triangles rectangles et théorie du genre

En prenant trois arcs de cercles de chaque type (un Yvon-Villarceau, un méridien et un parallèle),
nous obtenons un triangle 3D sur une cyclide de Dupin en anneau (y compris un tore à collier)
<table><caption>TABLE 9.1 – Equation paramétrique de droites sur une CD3A, $t$ décrit $\mathbb{R}$.</caption><thead><tr><th>Droite de courbure</th><th>Droite d'Yvon-Villarceau</th></tr></thead><tbody><tr><td>Δ<sub>y</sub> : (<table><tr><td>p</td></tr><tr><td>0</td></tr><tr><td>t</td></tr></table>)</td><td>(<table><tr><td>0</td></tr><tr><td>pt</td></tr><tr><td>√-pq t</td></tr></table>)</td></tr><tr><td>Δ<sub>z</sub> : (<table><tr><td>q</td></tr><tr><td>t</td></tr><tr><td>0</td></tr></table>)</td><td>(<table><tr><td>0</td></tr><tr><td>pt</td></tr><tr><td>-√-pq t</td></tr></table>)</td></tr></tbody></table>

mais deux cas sont à distinguer : soit le triangle est homotope à un point, figure 9.18(a); soit le triangle ne sépare pas la surface en deux composantes connexes et illustre le fait qu'une cyclide de Dupin en anneau est de genre 1, figure 9.18(b).

<figure><img src="image_142.png" /><figcaption>Figure 9.18 – Triangle 3D à bords circulaires sur une cyclide de Dupin en anneau. (a) : le triangle est homotope à un point. (b) : Le triangle est toute la cyclide de Dupin, il n’est pas homotope à un point.</figcaption></figure>

Pour déterminer les « bons » triangles (i.e. ceux qui sont homotopes à un point) des « mauvais » triangles (i.e. ceux qui sont toute la cyclide de Dupin), nous allons nous ramener au tore topologique $\mathbb{R}_{/2\pi\mathbb{Z}} \times \mathbb{R}_{/2\pi\mathbb{Z}}$ où les horizontales (resp. verticales) représentent des parallèles (resp.
méridiens). Dans ce modèle, un cercle d'Yvon-Villarceau est parallèle à l'une des diagonales. Sans perte de généralités, un cercle d'Yvon-Villarceau sur un triangle 3D sera représenté par une diagonale, figure 9.19.

<figure><img src="image_143.png" /><figcaption>FIGURE 9.19 – Triangles rectangles 3D à bords circulaires et tore topologique.</figcaption></figure>

La fermeture de $[0; 2\pi]^2$ est $\overline{[0; 2\pi]} = [0; 2\pi]$. Si $A$ appartient à $[0; 2\pi]^2$ (partie située dans le carré noir), sa classe d'équivalence est notée $\dot{A}$ et nous avons un pavage de $\mathbb{R}^2$ en considérant le « dépliement » des classes d'équivalence. Dans ce carré, pour aller de $E$ en $F$, nous utilisons le représentant idoine de $F$ puis nous construisons le point $I$ comme intersection de $[EF]$ avec la frontière de $[0; 2\pi]^2$ puis nous prenons le second représentant de $I$ dans $[EF] \cap [0; 2\pi]^2$ puis nous traçons le segment $[IF]$. La ligne brisée passant par $A$, $B$ et $C$ coupe le pavé $[0; 2\pi]^2$ en deux composantes connexes, mais, dans le tore topologique $\mathbb{R}_{/2\pi\mathbb{Z}} \times \mathbb{R}_{/2\pi\mathbb{Z}}$, nous pouvons passer outre cette ligne brisée et nous retrouvons que le tore est de genre 1.
La figure 9.20 montre deux triangles homotopes à un point sur un tore topologique. Dans la figure 9.20(a), le triangle *ABC* est clairement borné et chaque bord du triangle ne coupe pas la frontière *C* de $[0; 2\pi]^2$. Dans la figure 9.20(b), le triangle *ABC* est non borné mais chaque bord du triangle coupe la frontière *C* de $[0; 2\pi]^2$ une et une seule fois : ce triangle est illustré par la partie de couleur cyan.

<figure><img src="image_144.png" /><figcaption>FIGURE 9.20 – « Bons » triangles rectangles 3D à bords circulaires et tore topologique.</figcaption></figure>

La figure 9.21 montre quatre triangles non homotopes à un point. quel que soit les deux points *E* et *F*, il est possible de trouver un chemin les reliant.

Dans la figure 9.21(a), les arcs de cercles d'Yvon-Villarceau et du parallèle coupent une et une seule fois la frontière $C$ de $[0; 2\pi]^2$ tandis que l'arc du méridien n'intersecte pas la frontière $C$ de $[0; 2\pi]^2$. Dans la figure 9.21(b), les arcs de cercles de courbure coupent une et une seule fois la frontière de $[0; 2\pi]^2$ tandis que l'arc de cercle d'Yvon-Villarceau n'intersecte pas la frontière de $[0; 2\pi]^2$. Dans la figure 9.21(c), les arcs de cercles d'Yvon-Villarceau et du méridien ne coupent pas la frontière de $[0; 2\pi]^2$ tandis que l'arc du parallèle intersecte la frontière de $[0; 2\pi]^2$ une et une seule fois. Dans la figure 9.21(d), les arcs de cercles de courbure ne coupent pas la frontière de $[0; 2\pi]^2$ tandis que l'arc de cercle d'Yvon-Villarceau intersecte la frontière de $[0; 2\pi]^2$ une et une seule fois. Notons que deux cas sont à ajouter puisque dans les figures 9.21(a) et 9.21(c), il est possible d'échanger les rôles du méridien et du parallèle. Nous avons trois cercles et deux résultats possibles (le cercle considéré coupe ou ne coupe pas la frontière de $[0; 2\pi]^2$) : nous avons donc $2^3 = 8$ cas possibles, et deux cas sont favorables, les six autres sont défavorables). Nous pouvons énoncer la proposition suivante :

**Proposition 6** : « bon » ou « mauvais » triangle ?

Soit $[AB]$ un arc de parallèle sur le tore topologique.
<figure><img src="image_145.png" /><figcaption>FIGURE 9.21 – « Mauvais » triangles rectangles 3D à bords circulaires et tore topologique.</figcaption></figure>

Soit $[BC]$ un arc de méridien sur le tore topologique.

Soit $[AC]$ un arc de cercle d'Yvon-Villarceau sur le tore topologique.

Soit $\mathcal{C}$ la frontière de $[0; 2\pi]^2$.

Alors, le triangle de sommets A, B et C est un « bon » triangle si et seulement si :

$$ \# ([AB] \cap \mathcal{C}) = \# ([AC] \cap \mathcal{C}) = \# ([BC] \cap \mathcal{C}) \in \{0; 1\} \quad (9.18) $$

Maintenant, nous pouvons présenter trois algorithmes de construction de « bon » triangles 3D sur des tores à collier puis sur des cyclides de Dupin (cubiques ou quartiques) en anneau. Dans tous les cas, le triangle aura comme bord deux lignes de courbure (un cercle méridien et un cercle parallèle sauf pour la CD3A<fnref n="2" />), c'est pourquoi nous parlons de *triangles rectangles*.

<footnote n="2">2. Les termes méridiens et parallèles n'ont pas de sens pour une CD3A qui est une cyclide de Dupin qui sépare des types de cyclides de Dupin quartiques : celles dont les ellipses des centres des sphères de l'enveloppe sont dans le même plan et celle dont les hyperboles des centres des sphères de l'enveloppe sont dans ce même plan. Ceci se comprend très bien en considérant que l'on passe d'un couple ellipse-hyperbole à un couple parabole-parabole puis à un couple hyperbole-ellipse.</footnote>
## 9.2.2 Triangles rectangles 3D sur un tore.

### 9.2.2.1 Les entrées.

Les entrées de l'algorithme sont trois points de l'espace : $P_{002}$, $P_{020}$ et $P_{200}$. Nous construisons un triangle rectangle, c'est-à-dire que les bords sont constitués d'un cercle méridien, d'un cercle parallèle et d'un cercle d'Yvon-Villarceau. Sans perdre de généralité, nous pouvons considérer que le point $P_{002}$ est sur l'axe ($O, \vec{i}$), son abscisse sera notée $x_{002}$ et ses deux autres coordonnées sont nulles. Le point $P_{020}$ se trouve dans le plan d'équation $y = 0$, ses coordonnées sont $(x_{020}, 0, z_{020})$. L'arc d'extrémités $P_{002}$ et $P_{020}$ sera le méridien. Le point $P_{200}$ est dans le plan d'équation $z = 0$, ses coordonnées sont $(x_{200}, y_{200}, 0)$. L'arc d'extrémités $P_{002}$ et $P_{200}$ sera le cercle parallèle et celui d'extrémités $P_{020}$ et $P_{200}$ sera le cercle d'Yvon-Villarceau, figure 9.22.

<figure><img src="image_146.png" /><figcaption>Figure 9.22 – Les trois points d'entrées de l'algorithmme 9.1.</figcaption></figure>

Nous imposerons en outre les conditions suivantes :

* $x_{002}, x_{020}$ et $x_{200}$ sont distincts deux à deux.

* $y_{200} \neq 0$.

* $x_{002}$ et $x_{020}$ doivent être de même signe.

### 9.2.2.2 Les sorties.

A partir de ces trois points, nous devons construire plusieurs objets. Le centre du tore, ses rayons (majeur et mineur) ainsi que son équation implicite doivent être déterminés afin de pouvoir attribuer des propriétés topologiques au triangle. Comme l'arc de cercle parallèle (extrémités $P_{002}$ et $P_{200}$) est dans le plan d'équation $z = 0$, l'axe du tore est connu. L'arc méridien (extrémités $P_{002}$ et $P_{020}$) est quant à lui dans le plan d'équation $y = 0$, ce qui signifie que le centre du tore s'y trouve aussi. Les trois cercles, quant à eux, seront des courbes de Bézier rationnelles quadratiques sous forme quasi standard. Les triplets de points pondérés définissant ces courbes seront de la forme : $\{(P_0, 1), (P_1, \omega), (P_2, 1)\}$, où $P_0$ et $P_2$ appartiennent à l'ensemble $\{P_{002}, P_{020}, P_{200}\}$ et $P_1$ et $\omega$ seront à déterminer pour chaque cercle.
Nous avons donc à déterminer (figure 9.23) :

• $O_T(x_T, 0, z_T)$, le centre du tore;

• $O_v(x_v, y_v, z_T)$, le centre du cercle d'Yvon-Villarceau;

• $O_m(x_m, 0, z_T)$, le centre du méridien;

• $O_p(x_p, 0, 0)$, le centre du parallèle;

• $r$, le rayon mineur du tore et le rayon du méridien;

• $R$, le rayon majeur du tore et le rayon du cercle d'Yvon-Villarceau.

Nous pouvons remarquer que $x_p = x_T$ puisque l'axe de révolution du tore est engendré par $\vec{k}$. Les centres des cercles parallèles (dont le centre du tore lui-même) ne diffèrent donc qu'au niveau de la cote.

L'algorithme 9.1 synthétise les différentes étapes de construction d'un triangle 3D sur un tore.

<figure><img src="image_147.png" /><figcaption>Figure 9.23 – Schéma de construction d'un triangle rectangle 3D sur un tore à collier, algorithme 9.1.</figcaption></figure>

L'algorithme va exprimer tous les paramètres les uns en fonction des autres pour construire une équation algébrique univariée du quatrième degré, résolue en utilisant un solveur de Bernstein (voir [TFM+09]).

Les étapes 1 et 2 permettent de calculer $x_p$ et $x_T$.

L'étape 3 permet de déterminer $x_m$ en fonction de $z_T$ via une équation du type : $x_m = a z_T + b$.

L'étape 4 permet de déterminer $y_v$ en fonction de $z_T$ et $x_v$ via une équation du type : $y_v = az_T + bx_v + c$.
**Algorithme 9.1** Construction d'un triangle rectangle 3D sur un tore dont l'axe est orthogonal au plan d'équation $z = 0$.

**Entrée** : Trois points $P_{002}(x_{002}, 0, 0)$, $P_{020}(x_{020}, 0, z_{020})$ et $P_{200}(x_{200}, y_{200}, 0)$.

**Conditions** :

* $x_{002}, x_{020}$ et $x_{200}$ sont distincts deux à deux.

* $y_{200} \neq 0$.

* $x_{002}$ et $x_{020}$ doivent être de même signe.

**Algorithme** :

1. $x_p = x_T$.

2. Détermination de $x_T$ par la résolution de l'équation : $\overrightarrow{O_pI_{101}} \cdot \overrightarrow{P_{002}P_{200}} = 0$.

3. Détermination de $x_m$ en fonction de $z_T$ par : $\overrightarrow{O_mI_{011}} \cdot \overrightarrow{P_{002}P_{020}} = 0$.

4. Détermination de $y_v$ en fonction de $z_T$ et $x_v$ par : $\overrightarrow{O_vI_{110}} \cdot \overrightarrow{P_{020}P_{200}} = 0$.

5. Détermination de $r^2$ en fonction de $z_T$ avec : $r^2 = O_m P_{002}^2$.

6. Détermination de $R^2$ en fonction de $z_T$ avec : $R^2 = O_T O_m^2$.

7. Détermination de $z_T$ en fonction de $x_v$ avec : $R^2 = O_v P_{200}^2$.

8. Détermination de $x_v$ avec : $r^2 = O_T O_v^2$.

Cette étape peut renvoyer plusieurs solutions. Pour chaque valeur obtenue :

* Construction de la RQBC $C_{110}$ modélisant l'arc de cercle de centre $O_v$ passant par les points $P_{020}$ et $P_{200}$.

* Ajout dans la structure de données de $C_{110}$, $O_T$, $O_m$, $O_v$, $r$ et $R$ si $C_{110}$ appartient au tore de centre $O_T$, de rayon mineur $r$, de rayon majeur $R$ et d'axe $(O, \vec{k})$.

9. Pour chaque élément de la structure de données obtenu à l'étape précédente, construction de la RQBC $C_{101}$ (resp. $C_{011}$) modélisant l'arc de cercle de centre $O_p$ (resp. $O_m$) passant par les points $P_{002}$ et $P_{200}$ (resp. $P_{002}$ et $P_{020}$).

**Sortie** :

* Une structure de données contenant les points $O_T$, les centres des tores.

* Une structure de données contenant les points $O_m$, les centres des cercles méridiens.

* Une structure de données contenant les points $O_v$, les centres des cercles d'Yvon-Villarceau.

* Un point $O_p$ centre des cercles parallèles.

* Une structure de données contenant les réels $r$ et $R$, rayons mineurs et majeurs des tores.

* Une structure de données contenant les RQBC $C_{011}$ (resp. $C_{101}$, resp. $C_{110}$), les courbes modélisant les cercles d'Yvon-Villarceau (resp. parallèles, resp. méridiens).
L'étape 5 (respectivement 6) permet de déterminer $r^2$ (resp. $R^2$) en fonction de $z_T$ via une équation du type : $r^2 = a z_T^2 + b z_T + c$ (resp. $R^2 = a z_T^2 + b z_T + c$).

L'étape 7 permet de construire, à l'aide de l'étape 6, une première équation du second degré en $z_T$. On exprime $z_T$ en fonction de $x_v$.

L'étape 8 permet de construire, à l'aide des étapes 5 et 7, une équation du quatrième degré en $x_v$. Les solutions sont calculées avec un solveur classique de Bernstein. L'équation peut avoir plusieurs solutions. Nous devons vérifier pour chacune d'elles si le petit arc de cercle $C_{110}$ de centre $O_v$ et d'extrémités $P_{020}$ et $P_{200}$ appartient au tore. Nous construisons le cas échéant les arcs $C_{101}$ et $C_{011}$, le méridien et le parallèle$^3$. Les détails des calculs sont disponibles dans [Pue10].

La figure 9.24 illustre le résultat de cet algorithme. Nous présentons deux triangles 3D construits à partir des mêmes sommets : $P_{002}(4; 0; 0)$, $P_{020}(2; 0; 4)$ et $P_{200}(1; -4; 0)$. Les échelles sont les mêmes sur les quatre figures. On remarque que le premier résultat donne un méridien extérieur et le second résultat un méridien intérieur$^4$. Les tores ne sont évidemment pas les mêmes comme en témoignent les tableaux 9.2 et 9.3.

<table><caption>Table 9.2 – Paramètres du tore pour les points $P_{002}(4; 0; 0)$, $P_{020}(2; 0; 2)$ et $P_{200}(1; -4; 0)$.</caption><thead><tr><th></th><th>Résultat 1, figures 9.24(a) et 9.24(b)</th></tr></thead><tbody><tr><td>r</td><td>2,25</td></tr><tr><td>R</td><td>2,89</td></tr><tr><td>0<sub>T</sub></td><td>(-0, 16; 0, 00; 1, 86)</td></tr><tr><td>O<sub>v</sub></td><td>(1, 20; -1, 79; 1, 86)</td></tr><tr><td>O<sub>m</sub></td><td>(2, 73; 0, 00; 1, 86)</td></tr></tbody></table>

<table><caption>Table 9.3 – Paramètres du tore pour les points $P_{002}(4; 0; 0)$, $P_{020}(2; 0; 2)$ et $P_{200}(1; -4; 0)$.</caption><thead><tr><th></th><th>Résultat 2, figures 9.24(c) et 9.24(d)</th></tr></thead><tbody><tr><td>r</td><td>7,31</td></tr><tr><td>R</td><td>9,39</td></tr><tr><td>0<sub>T</sub></td><td>(-0, 16; 0, 00; 5, 11)</td></tr><tr><td>O<sub>v</sub></td><td>(-6, 82; -3, 03; 5, 11)</td></tr><tr><td>O<sub>m</sub></td><td>(9, 22; 0, 00; 5, 11)</td></tr></tbody></table>

### 9.2.3 Génération d'une CD4A à partir d'un tore à collier.

Fixons un tore $T_{r,R}$. Les rayons et le repère$^5$ ($O_T; \vec{e}_1; \vec{e}_2; \vec{e}_3$) du tore sont connus. Fixons également un point $\Omega$ et un réel $k$ strictement positif afin de définir l'inversion $i_{\Omega,k}$. Il s'agit de déterminer la cyclide $C_{a,c,\mu}$ ainsi que son repère (orthonormé direct) tel que $i_{\Omega,\alpha}(T_{r,R}) = C_{a,c,\mu}$.

<footnote n="3">3. Rappelons que les arcs de cercles sont modélisés par des RQBCs</footnote>

<footnote n="4">4. La notion de méridien *intérieur* ou *extérieur* est totalement arbitraire.</footnote>

<footnote n="5">5. Le choix est d'utiliser la notation usuelle ($O; \vec{i}; \vec{j}; \vec{k}$) des repères pour les cyclides de Dupin construites à partir du tore.</footnote>
<figure><img src="image_148.png" /><figcaption>Figure 9.24 – Construction de deux triangles rectangle 3D à partir des points : $P_{002}(4; 0; 0)$, $P_{020}(2; 0; 2)$ et $P_{200}(1; -4; 0)$. Figures (a) et (b) : voir résultats tableau 9.2. Figures (c) et (d) : voir résultats tableau 9.3. Les échelles sont les mêmes sur les quatre figures.</figcaption></figure>

Notons que si $\Omega$ est sur l'axe du tore, la cyclide $C_{a,c,\mu}$ est un tore homothétique à $T_{r,R}$ par l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $\frac{k}{d^2(\Omega,M)^{-r^2}}$, où $M$ est le centre d'un méridien de $T_{r,R}$. Nous excluons ce cas pour la suite de ce paragraphe. Bien sûr, $\Omega$ ne doit pas se trouver sur le tore (l'inversion de la sphère donnerait un plan, ce qui est à exclure dans ce paragraphe).

Pour déterminer $C_{a,c,\mu}$, nous avons besoin de deux cercles principaux coplanaires. Pour cela, nous considérons le plan $\mathcal{P}$ défini par $\Omega$ et l'axe du tore. En vertu de la remarque ci-dessus, ce plan est bien défini. $\mathcal{P}$ est un plan de symétrie du tore et comme il contient $\Omega$, c'est également un plan de symétrie de la cyclide. Deux cas se présentent :
a : Si le point $\Omega$ se trouve à l'extérieur du tore$^6$, $\mathcal{P}$ devient le plan de symétrie d'équation $y = 0$ dans le repère de la cyclide. Les cercles principaux sont obtenus en prenant l'image par $i_{\Omega,k}$ des cercles $C_1$ et $C_2$, intersection du tore et de $\mathcal{P}$ (on utilisera le théorème 51.) Nous déterminons les paramètres $a, c$ et $\mu$ en utilisant le théorème 19 ainsi que le repère de la cyclide.

b : Si le point $\Omega$ se trouve à l'intérieur du tore, le plan $\mathcal{P}$ devient le plan de symétrie d'équation $z = 0$ dans le repère de la cyclide. Les cercles principaux s'obtiennent en utilisant le théorème 20.

Pour justifier ces deux cas de figure, on rappelle qu'un tore peut être défini comme une enveloppe de sphères centrées sur un cercle. L'image, par une inversion, de cette famille (intérieure) donne une famille dont la cyclide correspondante sera l'enveloppe. Il faut néanmoins déterminer si cette famille est intérieure à la cyclide (centrée sur l'ellipse, cas (a)) ou extérieure (centrée sur l'hyperbole, cas (b)), théorème 52.

Ainsi, dans le premier cas ci-dessus (a), le centre de l'inversion $\Omega$ se trouve à l'extérieur du tore donc à l'extérieur des deux sphères de la famille obtenues par section du tore et du plan $\mathcal{P}$. L'image de l'extérieur des deux sphères (dont le tore fait partie) reste à l'extérieur des sphères images. Comme ces sphères images définissent les cercles principaux par section avec le plan $\mathcal{P}$, on a une famille intérieure centrée sur une ellipse et on est dans le cas (a).

Dans le second cas, le point $\Omega$ se situe à l'intérieur de l'une des deux sphères. L'image de l'extérieur de cette sphère (dont fait partie le tore) par l'inversion est l'intérieur de la sphère image. Pour l'autre, à l'intérieur de laquelle le point $\Omega$ n'est pas, l'extérieur reste l'extérieur. On a donc deux sphères de la famille dont la cyclide est l'enveloppe, l'une dont la cyclide est à l'intérieur et l'autre à l'extérieur. Nous avons donc une famille extérieure centrée sur une hyperbole et on est dans le cas (b). Le tableau 9.4 réalise une synthèse des deux cas.

<table><caption>Table 9.4 – Tableau récapitulatif : génération d'une cyclide comme image d'un tore par une inversion.</caption><thead><tr><th>Pôle de l'inversion</th><th>extérieur du tore</th><th>intérieur du tore</th></tr></thead><tbody><tr><td>famille génératrice centrée sur</td><td>ellipse</td><td>hyperbole</td></tr><tr><td>équation du plan <i>P</i> dans le repère de la cyclide</td><td>y = 0</td><td>z = 0</td></tr><tr><td>(a, c, μ)</td><td>Théorème 19</td><td>Théorème 20</td></tr></tbody></table>

### 9.2.4 Détermination des paramètres de l'inversion.

Nous avons vu que l'inversion devait laisser les trois sommets $P_{002}$, $P_{020}$ et $P_{200}$ invariants. Il suffit de construire une sphère d'inversion passant par ces trois points. Le centre de l'inversion $\Omega$ sera le centre de cette sphère et le rapport $k$ sera son rayon au carré. Nous savons que ces sphères sont centrées sur la droite intersection des trois plans médiateurs du triangle (plan) $P_{002}P_{020}P_{200}$.

<footnote n="6">6. Il suffit d'évaluer l'équation implicite du tore avec les coordonnées de $\Omega$ dans le repère du tore et d'étudier le signe du résultat : si c'est strictement positif, le point est à l'extérieur, si c'est strictement négatif, le point est à l'intérieur.</footnote>
Il y a donc un degré de liberté concernant le choix du centre de l'inversion. Dans un premier temps, le pôle de l'inversion n'est pas sur le tore et nous obtenons une cyclide de Dupin de degré 4, paragraphe 9.2.4.1, dans un second temps, le pôle de l'inversion est sur le tore et nous obtenons une cyclide de Dupin de degré 3, paragraphe 9.2.4.2. Dans tous les cas, le rapport $k$ ne dépend que du pôle $\Omega$ et nous avons :

$$ \sqrt{k} = \Omega P_{002} \qquad (9.19) $$

### 9.2.4.1 Triangle 3D sur une cyclide de Dupin quartique.

Comme une cyclide de Dupin en anneau est l'image d'un tore à collier par une inversion, l'objectif de ce nouvel algorithme est de construire un triangle 3D sur une cyclide de Dupin. Cet algorithme prend en fait la suite de l'algorithme 9.1 de la section 9.2.2. Il s'agit de prendre l'image du tore trouvé par une inversion laissant les trois sommets invariants. Les bords du nouveau triangle 3D sont également obtenus comme images, par inversion, des anciens bords.

#### 9.2.4.1.1 Détermination des paramètres de la cyclide de Dupin.
A partir du tore, les étapes 2 à 7 de l'algorithme 9.2 permettent de déterminer la cyclide de Dupin en s'appuyant sur les résultats de la section D. Le point $O$, centre du repère de la cyclide, est le milieu de $[A_1A_2]$. Le vecteur $\vec{i}$ du repère de la cyclide est toujours :

$$ \vec{i} = \frac{1}{\|\overrightarrow{A_1A_2}\|} \overrightarrow{A_1A_2} $$

Dans le cas où $\mathcal{P}$ a pour équation $y = 0$ dans le repère de la cyclide de Dupin, le vecteur $\vec{j}$ est normal à $\mathcal{P}$. Il est donc défini comme suit :

$$ \vec{j} = \frac{1}{\|\vec{i} \times \overrightarrow{OO_T}\|} \vec{i} \times \overrightarrow{OO_T} $$

car $O_T$ est dans le plan $\mathcal{P}$. Si $\overrightarrow{OO_T}$ et $\vec{i}$ sont colinéaires, on prend un autre point, $O_p$ par exemple. Le vecteur $\vec{k}$ est défini par le produit vectoriel de $\vec{i}$ et $\vec{j}$ pour former un repère orthonormé direct dont $O$ est le centre.

Si $\mathcal{P}$ a pour équation $z = 0$ dans le repère de la cyclide de Dupin, c'est $\vec{k}$ qui est normal à $\mathcal{P}$. Les calculs sont analogues.

#### 9.2.4.1.2 Exemples et résultats.
Nous présentons les résultats pour les sommets $P_{002}(4; 0; 0)$, $P_{020}(2; 0; 2)$ et $P_{200}(1; -4; 0)$. La figure 9.25(a) (resp. 9.25(b)) montre le cas où le pôle d'inversion est hors (resp. dans) le tore à collier.

Sur la figure 9.26(a), le rayon majeur (resp. mineur) du tore à collier est $R \approx 2,62$ (resp. $r \approx 1,61$), le centre de l'inversion $\Omega$ est à l'extérieur du tore, le plan $\mathcal{P}$ défini par l'axe du tore et $\Omega$ est le plan de symétrie d'équation $y = 0$ dans le repère de la cyclide de Dupin. Ici, le méridien reste un méridien et le parallèle reste un parallèle car l'image de la famille génératrice intérieure du tore est la famille génératrice intérieure de la cyclide de Dupin.
**Algorithme 9.2** Construction d'un triangle rectangle 3D sur une CD4A.

**Entrée** : Trois points $P_{002}(x_{002}; 0; 0)$, $P_{020}(x_{020}; 0; z_{020})$ et $P_{200}(x_{200}; y_{200}; 0)$.

**Pré-calcul** : appel de l’algorithme 9.1 sur $P_{002}$, $P_{020}$ et $P_{200}$. L’algorithme suivant est effectué pour chaque tore.

**Algorithme** :

1. Détermination d'un point $\Omega$ sur la droite d'intersection des trois plans médiateurs du triangle $P_{002}P_{020}P_{200}$. Le point $\Omega$ ne doit pas se trouver sur le tore. Le rapport de l'inversion est donné par la formule (9.19).

2. Le plan de symétrie, noté $\mathcal{P}$ est défini par $\Omega$ et l'axe du tore.

3. Construction des points $O_1$ et $O_2$, centres des méridiens du tore dans le plan $\mathcal{P}$.

4. Construction de $A_i$, image de $O_i$ par l'homothétie $h_{\Omega, \beta_i}$, où $\beta_i = \frac{k}{\Omega O_i^2 - r^2}$ et $i \in \{1; 2\}$.

5. Détermination de $\rho_i = |r \beta_i|$, pour $i \in \{1, 2\}$.

6. Construction de $O$ milieu de $A_1$ et $A_2$.

**Si** $\rho_1 < \rho_2$, **alors** nous intervertissons $A_1$ et $A_2$ ainsi que $\rho_1$ et $\rho_2$.

**Fin Si**

7. Détermination du vecteur $\vec{i} = \frac{1}{\|\overrightarrow{A_1A_2}\|} \overrightarrow{A_1A_2}$.

8. **Si** le centre de l'inversion est à l'extérieur du tore **alors** :

(a) Détermination de $a, c$ et $\mu$ en utilisant le théorème 19;

(b) Détermination des vecteurs $\vec{j} = \frac{1}{\|\vec{i} \times \overrightarrow{OO_T}\|} \vec{i} \times \overrightarrow{OO_T}$ et $\vec{k} = \vec{i} \times \vec{j}$.

**Sinon**

(a) Détermination de $a, c$ et $\mu$ en utilisant le théorème 20;

(b) Détermination des vecteurs $\vec{k} = \frac{1}{\|\overrightarrow{OO_T} \times \vec{i}\|} \overrightarrow{OO_T} \times \vec{i}$ et $\vec{j} = \vec{k} \times \vec{i}$.

**Fin Si**

**Sortie** :

* Les trois paramètres de la cyclide de Dupin : $a, c$ et $\mu$;

* Le point $O$ et les vecteurs $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$, repère de la cyclide de Dupin;

* Les points $A_1$ et $A_2$, centres des cercles principaux;

* La RQBC $CC_{011}$ (resp. $CC_{101}$, $CC_{110}$) modélisant l'arc de cercle d'extrémités $P_{002}$ et $P_{020}$ (resp. $P_{002}$ et $P_{200}$, $P_{020}$ et $P_{200}$).
<figure><img src="image_149.png" /><figcaption>Figure 9.25 – Position du pôle de l’inversion. (a) : hors du tore à collier. (b) : dans le tore à collier.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_150.png" /><figcaption>Figure 9.26 – Construction d’un triangle rectangle 3D à partir des points $P_{002}(4; 0; 0)$, $P_{020}(2; 0; 2)$ et $P_{200}(1; -4; 0)$. (a) : sur un tore à collier. (b) : sur une cyclide de Dupin en utilisant une inversion.</figcaption></figure>
La figure 9.26 illustre une cyclide de Dupin obtenue à partir de ce tore mais avec un pôle d'inversion $\Omega$ à l'intérieur du tore. Le méridien du tore (en vert) devient un parallèle (en vert) sur la cyclide de Dupin et vice-versa (les courbes en rouge). Le tableau 9.5 liste, les coordonnées du pôle de l'inversion, les paramètres de la cyclide de Dupin ainsi que la matrice $M$ de l'endomorphisme et le vecteur de translation $\vec{v}_T$ permettant de la placer dans le repère initial.

<figure><img src="image_151.png" /><figcaption>Figure 9.27 – Un triangle rectangle 3D à bords circulaires, homotope à un point, sur une cyclide de Dupin.</figcaption></figure>

### 9.2.4.2 Triangle rectangle 3D sur une cyclide de Dupin cubique.

Comme une cyclide de Dupin cubique en anneau est l'image d'un tore à collier par une inversion, l'objectif de ce nouvel algorithme, algorithme 9.3, est de construire un triangle 3D sur cette cyclide de Dupin en prenant la suite de l'algorithme 9.1 de la section 9.2.2. La différence avec le paragraphe 9.2.4.1 tient dans le fait que le pôle d'inversion est sur le tore à collier issu de l'algorithme 9.1.

La figure 9.28 montre les deux pôles possibles permettant d'obtenir un triangle 3D sur une CD3A. Les pôles idoines sont sur la droite des centres des sphères passant par les sommets du triangle et leur nombre est compris entre 2 et 4.

Le premier travail consiste à choisir un point appartenant au tore et à la droite des centres possibles de la sphère d'inversion passant par les trois points $P_{200}$, $P_{020}$ et $P_{002}$, étape 1, puis à se ramener à un problème plan : pour ce faire, nous utilisons le plan affine défini par le pôle $\Omega$ de l'inversion et l'axe $\Delta$ du tore, étape 2. La section du tore par ce plan est une méridienne du tore
<table><caption>Table 9.5 – Paramètres des cyclides de Dupin des figures 9.26(b) et 9.27, obtenues à partir des points $P_{002}(4; 0; 0)$, $P_{020}(2; 0; 2)$ et $P_{200}(1; -4; 0)$ et par inversion du tore de la figure 9.26(a).</caption><thead><tr><th></th><th>Figure 9.26 (b)</th><th>Figure 9.27</th></tr></thead><tbody><tr><th>Ω</th><td>(1/2; -1/2; -3/2)</td><td>(2; -13/8; 0)</td></tr><tr><th>k</th><td>59/4</td><td>425/64</td></tr><tr><th>a</th><td>5, 415</td><td>2, 443</td></tr><tr><th>c</th><td>1, 815</td><td>1, 057</td></tr><tr><th>μ</th><td>3, 634</td><td>2, 030</td></tr><tr><th>M</th><td>(-0, 732 0, 600 0, 324<br>0, 549 0, 800 -0, 243<br>-0, 405 0 -0, 915)</td><td>(-0, 613 -0, 514 -0, 600<br>0, 459 0, 386 -0, 800<br>0, 643 -0, 766 0)</td></tr><tr><th>v̂<sub>T</sub></th><td>(1, 352<br>-1, 139<br>2, 888)</td><td>(1, 557<br>-1, 293<br>-0, 565)</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_152.png" /><figcaption>Figure 9.28 – Deux pôles possibles permettant d'obtenir un triangle 3D sur une CD3A par inversion d'un triangle 3D sur un tore à collier.</figcaption></figure>
i.e. deux cercles $C_{\Omega}$ et $C_1$ de rayon $r$, étape 3, figure 9.29. Le cercle $C_{\Omega}$ contient le point $\Omega$. Lors de l'étape 4, nous calculons le rapport $k$ de l'inversion.

<figure><img src="image_153.png" /><figcaption>Figure 9.29 – Un des pôles possibles (en noir) permettant d’obtenir un triangle 3D sur une CD3A par inversion d’un triangle 3D sur un tore à collier ainsi qu’une méridienne du tore à collier.</figcaption></figure>

Les étapes 5 et 6 consistent à déterminer les images de la méridienne du tore par l'inversion $i_{\Omega,k}$, de pôle $\Omega$ et de rapport $k$. Comme le pôle $\Omega$ appartient au cercle $C_{\Omega}$ (en rouge), l'image de ce dernier est la droite $\Delta_y$. Comme le cercle $C_1$ (en vert) ne contient pas le pôle $\Omega$, son image est le cercle $C_p$, de rayon $\frac{|p|}{2}$, et un moyen de la déterminer et de construire les images, par l'inversion, de deux points (diamétralement opposé) de $(I_2\Omega)$, figure 9.30.

Il ne reste plus qu’à calculer le paramètre $q$ de la CD3A ainsi que la transformation affine permettant de placer cette cyclide dans la scène. Pour ce faire, nous construisons $H_p$, projection orthogonal du centre $O_p$ du cercle $C_p$ sur la droite $\Delta_y$. Le centre de la cyclide est l’intersection entre le segment $[O_pH_p]$ et le cercle $C_p$ et nous avons $|q| = O_{CD_3}H_p$. L’axe des abscisses est porté par la droite ($O_pH_p$), l’axe des ordonnées est la parallèle à $\Delta_y$ passant par $O_{CD_3}$ et l’axe des cotes est la perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$ passant par $O_{CD_3}$. Il reste à déterminer les signes de $p$ et $q$ qui dépendent du choix du vecteur unitaire $\vec{i}$. Notre choix nous conduit à $q < 0 < p$. Si nous avions choisi le vecteur $-\vec{i}$, nous serions arrivé à $p < 0 < q$.

La figure 9.31 montre un triangle 3D à bords circulaires sur une cyclide de Dupin parabolique en anneau. Ce triangle est l'image, par une inversion idoine, du triangle 3D sur le tore à collier de la figure 9.26(a), les paramètres sont donnés dans le tableau 9.6.

La figure 9.32 montre un triangle 3D à bords circulaires sur une cyclide de Dupin parabolique en anneau. Ce triangle est l'image, par une inversion idoine, du triangle 3D sur le tore à
<figure><img src="image_154.png" /><figcaption>Figure 9.30 – Deux courbes principales coplanaires $\Delta_y$ et $C_p$ d’une CD3A, images d’une méridienne $C_\Omega \cup C_1$ d’un tore à collier par une inversion. Le cercle d’inversion est $C_i$.</figcaption></figure>

collier de la figure 9.26(a) en choisissant l’autre pôle possible de la figure 9.28, de coordonnées (1, 154; -0,991; -0,846) et nous avons $p \approx 0,607$ et $q \approx -0.986$.

Notons que l'image d'un petit arc de cercle sur le tore à collier peut être un grand arc de cercle sur la cyclide de Dupin cubique : c'est le cas de l'un des cercles caractéristiques et du cercle d'Yvon-Villarceau, figure 9.32. De plus, remarquons que le triangle de figure 9.32 ne nous satisfait pas puisqu'il englobe le trou de la CD3A, figure 9.33 : les extrémités des courbes de Bézier (i.e. les sommets du triangle) sont en noir, l'images des points des trois courbes de Bézier sur le tore à collier obtenus pour la valeur de $\frac{1}{2}$ sont, en marron pour les deux grands arcs de cercles, en vert et bleu pour le petit arc de cercle. Sur le tore à collier, chaque courbe de Bézier modélise un petit arc du cercle considéré.
<figure><img src="image_155.png" /><figcaption>Figure 9.31 – Un triangle rectangle 3D à bords circulaires sur une CD3A image, par une inversion, d'un triangle 3D à bord circulaire sur un tore à collier.</figcaption></figure>

<table><caption>TABLE 9.6 – Paramètres de la CD3A de la figure 9.31.</caption><thead><tr><td>Nom</td><td>Valeur</td></tr></thead><tbody><tr><td>Ω</td><td>(1, 154; -0.991; -0, 846)</td></tr><tr><td>O<sub>CD3</sub></td><td>(-0, 343; 0, 132; 0, 622)</td></tr><tr><td>O<sub>p</sub></td><td>(-0, 781; 0, 461; -0, 112) et p ≃ 1, 830</td></tr><tr><td>O<sub>q</sub></td><td>(0, 367; -0, 401; 1, 815) et q ≃ -2, 975</td></tr><tr><td>→i</td><td>(-0, 478; 0, 358; -0, 802])</td></tr><tr><td>→j</td><td>(0, 642; -0, 481; -0, 597)</td></tr><tr><td>→k</td><td>(-0, 600; -0, 800; 0)</td></tr></tbody></table>
**Algorithme 9.3** Triangle rectangle 3D sur une CD3A obtenu par inversion d'un triangle 3D sur un tore à collier.

**Entrée** : Trois points $P_{002}(x_{002}; 0; 0)$, $P_{020}(x_{020}; 0; z_{020})$ et $P_{200}(x_{200}; y_{200}; 0)$.

**Pré-calcul** : appel de l'algorithme 9.1 sur $P_{002}$, $P_{020}$ et $P_{200}$. L'algorithme suivant est effectué pour un tore $\mathcal{T}_i$.

**Algorithme** :

1. Choix du pôle d'inversion $\Omega$ sur la droite d'intersection des trois plans médiateurs du triangle $P_{002}P_{020}P_{200}$ et sur le tore $\mathcal{T}_i$ d'axe de révolution $\Delta$

2. Détermination du plan de symétrie $\mathcal{P} = \text{Aff}\{\Delta; \Omega\}$

3. Détermination de la méridienne du tore dans $\mathcal{P}$ :

$$C_{\Omega} \cup C_1 = \mathcal{T}_i \cap \mathcal{P}$$

4. Calcul du rapport $k$ de l'inversion $i_{\Omega,k}$ par :

$$k = P_{020}\Omega^2$$

5. Détermination de la droite $\Delta_y = i(C_{\Omega})$

6. Détermination du cercle $C_p = i(C_1)$ ainsi que son centre $O_p$.

7. Détermination de $H_p$, projection orthogonale de $O_p$ sur $\Delta_y$.

8. Détermination de $O_{CD_3}$, centre de la cyclide de Dupin cubique, par :

$$\{O_{CD_3}\} = [H_p O_p] \cap C_p$$

9. Détermination du vecteur $\vec{i}$ par :

$$\vec{i} = \frac{1}{||\overrightarrow{H_p O_p}||} \overrightarrow{H_p O_p}$$

10. Détermination du vecteur $\vec{\kappa}$, unitaire et normal au plan $\vec{\mathcal{P}}$

11. Détermination du vecteur $\vec{j}$ par $\vec{j} = \vec{\kappa} \times \vec{i}$

12. Détermination des paramètres $p$ et $q$ de la cyclide de Dupin cubique par :

$$(p; q) = (2 O_p O_{CD_3}; -H_p O_{CD_3})$$

**Sortie** :

* Les deux paramètres de la cyclide de Dupin : $p$ et $q$;

* Le repère $(O_{CD_3}; \vec{i}; \vec{j}; \vec{\kappa})$ de la cyclide de Dupin;

* La RQBC $CC_{011}$ (resp1. $CC_{101}$, resp2. $CC_{110}$) modélisant l'arc de cercle d'extrémités $P_{002}$ et $P_{020}$ (resp1. $P_{002}$ et $P_{200}$, resp2. $P_{020}$ et $P_{200}$).
<figure><img src="image_156.png" /><figcaption>Figure 9.32 – Un triangle rectangle 3D à bords circulaires sur une CD3A image, par une inversion, d'un triangle 3D à bord circulaire sur un tore à collier.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_157.png" /><figcaption>Figure 9.33 – Par l'inversion, l'image d'un petit arc de cercle sur le tore à collier peut être un grand arc de cercle sur la cyclide de Dupin cubique en anneau.</figcaption></figure>
Finissons ce paragraphe par un exemple ludique. Soit le tore de rayon majeur $R = 5$ et de rayon mineur $r = 3$ dont les sommets sont les points $P_{200} (-2; 7, 330, \frac{3}{2})$, $P_{020} (2; 7, 330; -\frac{3}{2})$ et $P_{002} (-2; 7, 330; -\frac{3}{2})$. Le triangle 3D est la partie connexe de genre 0 sur le tore, le complémentaire du triangle sur le tore à collier est de genre 1. Le pôle (resp. rapport) de l'inversion $i_{\Omega,k}$ est $\Omega (0; 8; 0)$ (resp. $k \approx 6,699$) et est situé (en noir) sur l'arc de cercle d'Yvon-Villarceau (en magenta), figure 9.34.

<figure><img src="image_158.png" /><figcaption>Figure 9.34 – Pôle d'inversion situé sur un arc de cercle d'Yvon-Villarceau sur un tore à collier.</figcaption></figure>

L'image du tore de la figure 9.34 est une cyclide de Dupin cubique de paramètre $p \approx -0,447$, $q \approx 0,251$ et de centre $\Omega_{CD3} (7, 330; 0; 0)$, figure 9.35. Notons que l'image d'un cercle d'Yvon-Villarceau (en magenta) sur le tore à collier est une droite (en magenta) sur la cyclide de Dupin parabolique.

La figure 9.36 montre le triangle 3d obtenu (en bleu) sur la cyclide de Dupin parabolique. Naturellement, le genre du triangle est 0 tandis que le genre de son complémentaire sur la cyclide de Dupin cubique est de genre 1 (il contient le trou). ce triangle est dessiné en utilisant des points volumiques (des sphères de rayon faible) et nous pouvons voir que plus on s'éloigne des cercles de bords, plus l'écartement entre deux points voisins augmente alors qu'il est constant sur le tore : les points construits sont les images de points réguliers sur le tore à collier. Cependant, nous pouvons insister sur la réponse : « Quand voit-on le mieux un cercle d'Yvon-Villarceau ? ». La réponse est immédiate, c'est quand il est représenté par une droite.
<figure><img src="image_159.png" /><figcaption>Figure 9.35 – Cyclide de Dupin cubique lorsque le pôle d'inversion est situé sur un arc de cercle d'Yvon-Villarceau d'un tore à collier. L'image d'un cercle d'Yvon-Villarceau sur le tore est une droite sur la CD3A.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_160.png" /><figcaption>Figure 9.36 – Triangle rectangle 3D, de genre 0, sur une cyclide de Dupin parabolique.</figcaption></figure>
## 9.3 Construction de Triangles isocèles 3D à bords circulaires

Dans le paragraphe précédent, nous avons construit un triangle 3D sur une CD3A, deux bords sont deux arcs de cercles caractéristiques (un par famille) et le support du dernier bord est une droite de d'Yvon-Villarceau. Le but de se paragraphe est, à partir d'un triangle $P_{200}P_{020}P_{002}$, de construire un triangle 3D avec deux cercles d'Yvon-Villarceau et un cercle caractéristique. Naturellement, l'un des sommets est à l'intersection des droites d'Yvon-Villarceau, par symétrie, le triangle doit être isocèle et le sommet principal choisi est $P_{020}$.

### 9.3.1 Triangles isocèles et théorie du genre

En reprenant le raisonnement du paragraphe 9.2.1, nous pouvons déterminer les « bons » triangles des « mauvais » triangles en nous ramenant au tore topologique $\mathbb{R}_{2\pi Z} \times \mathbb{R}_{2\pi Z}$ où les horizontales (resp. verticales) représentent des parallèles (resp. méridiens). Dans ce modèle, un cercle d'Yvon-Villarceau est parallèle à l'une des diagonales.

La figure 9.37 montre deux triangles homotopes à un point sur un tore topologique. Dans la figure 9.37(a), le triangle *ABC* est clairement borné et chaque bord du triangle ne coupe pas la frontière *C* de $[0; 2\pi]^2$. Dans la figure 9.37(b), le triangle *ABC* est non borné mais chaque bord du triangle coupe la frontière *C* de $[0; 2\pi]^2$ une et une seule fois : ce triangle est illustré par la partie de couleur cyan.

<figure><img src="image_161.png" /><figcaption>FIGURE 9.37 – « Bons » triangles isocèles 3D à bords circulaires et tore topologique.</figcaption></figure>

La figure 9.38 montre deux triangles non homotopes à un point.
<figure><img src="image_162.png" /><figcaption>FIGURE 9.38 – « Mauvais » triangles isocèles 3D à bords circulaires et tore topologique.</figcaption></figure>

9.3.2 Algorithme et exemple

A partir de la formule (7.59), nous en déduisons que les droites d’Yvon-Villarceau sont conte-
nues dans le plan Pₓ : x = 0 et qu’elles se coupent en l’origine O₃ (0; 0; 0). Ainsi, nous avons
P₀₂₀ (0; 0; 0) et par symétrie, et sans perte de généralités, nous avons :

$$
P_{200} \begin{pmatrix} 0 \\ y_{200} \\ z_{200} \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad P_{002} \begin{pmatrix} 0 \\ -y_{200} \\ z_{200} \end{pmatrix} \quad \text{avec} \quad \begin{cases} y_{200} < 0 \\ z_{200} < 0 \end{cases}
$$

et nous prenons *p* strictement négatif. Nous pouvons donner l’algorithme 9.4 qui permet de
construire, sur une cyclide de Dupin cubique en anneau, un triangle 3D ayant un bord circu-
laire et deux côtés rectilignes.
**Algorithme 9.4** Construction de triangle isocèle ayant un bord circulaire et deux côtés rectilignes sur une cyclide de Dupin cubique en anneau.

**Entrée** : Trois points $P_{020}$ (0; 0; 0), $P_{200}$ (0; $y_{200}$; $z_{200}$) et $P_{002}$ (0; $-y_{200}$; $z_{200}$)

**Condition** : $y_{200} < 0$ et $z_{200} < 0$

1. Choix du réel $p$ dans $]-\infty; 0[$

2. Calcul de $q$ par :

$$q = - \left( \frac{z_{200}}{y_{200}} \right)^2 p$$

3. Calcul du paramètre $v_0$ par :

$$v_0 = - \frac{y_{200}^2}{p z_{200}}$$

4. Calcul du centre $O_{101}$ du cercle caractéristique $C_{101}$ passant par $P_{200}$ et $P_{002}$ :

$$O_{101} = \left( \begin{array}{c} \frac{p^3 z_{200}^2 + p y_{200}^4 - p y_{200}^2 z_{200}^2}{2 p^2 z_{200}^2 + 2 y_{200}^4} \\ 0 \\ \frac{p^2 y_{200}^2 z_{200}^2 + 2 p^2 z_{200}^4 + y_{200}^6 + y_{200}^4 z_{200}^2}{2 z_{200} (p^2 z_{200}^2 + y_{200}^4)} \end{array} \right)$$

5. Calcul du rayon $r_{101}$ du cercle caractéristique $C_{101}$ :

$$r_{101} = \left| \frac{p^2 z_{200}^2 + z_{200}^2 y_{200}^2 + y_{200}^4}{2 z_{200} \sqrt{p^2 z_{200}^2 + y_{200}^4}} \right|$$

6. L'arc de cercle caractéristique est modélisé par une RQBC de points de contrôle $P_{200}$, $P_{101}$ et $P_{002}$ avec :

$$P_{101} = \left( \begin{array}{c} \frac{-2 p y_{200}^2 z_{200}^2}{p^2 z_{200}^2 + y_{200}^4 - y_{200}^2 z_{200}^2} \\ 0 \\ \frac{p^2 z_{200}^3 - y_{200}^4 z_{200} - y_{200}^2 z_{200}^3}{p^2 z_{200}^2 + y_{200}^4 - y_{200}^2 z_{200}^2} \end{array} \right)$$

7. Le poids $\omega_{101}$ est calculé afin que le triangle 3D soit un « bon » triangle.

**Sortie** : une famille à un paramètre de triangles 3D ayant un bord circulaire et deux bords rectilignes
L'étape 1 de l'algorithmme 9.4 permet de définir une famille à un paramètre. L'étape 2 de l'algorithmme 9.4 permet d'obtenir une relation entre les deux paramètres p et q de la future CD3A. Cette relation est obtenue en égalant les coefficients directeurs des droites d'Yvon-Villarceau et de la droite ($P_{020}P_{200}$) ($q$ intervient sous une racine carrée, nous obtenons le même résultat en prenant la droite ($P_{020}P_{002}$)).

Dans l'étape 3 de l'algorithmme 9.4, nous nous servons de la définition d'une CD3A utilisant les enveloppes de sphères : le centre (resp. le rayon) de la sphère générant le point $P_{200}$ est donné par la formule (7.60) (resp. formule (7.61)). Après simplification, nous obtenons une équation de second degré dont le discriminant est nul : nous obtenons donc une racine double $v_0$.

Dans l'étape 4 de l'algorithmme 9.4, nous déterminons le centre $O_{101}$ du cercle caractéristique $C_{101}$ en utilisant les deux propriétés qui suivent.

* Le cercle $C_{101}$ est l'intersection entre la sphère $S_4(v_0)$ de centre $\Omega_{v_0}$ et de rayon $R_v(v_0)$ et le plan donné par l'équation (7.63) ce qui implique :

$$O_{101} \begin{pmatrix} x_0 \\ 0 \\ v_0 (q - x_0) \end{pmatrix}$$

* Le triangle $\Omega_{v_0}O_{101}P_{200}$ est rectangle en $O_{101}$, nous utilisons la relation de Pythagore :

$$\Omega_{v_0}O_{101}^2 + O_{101}P_{200}^2 = R_v^2(v_0) \qquad (9.20)$$

où $\Omega_{v_0}$ (resp. $R_v(v_0)$) est donnée par la formule (7.60) (resp. formule (7.61)).

En fait, avec ces deux conditions, l'équation (9.20) est une équation du second degré dont une racine est 0 ce qui correspond au centre de la CD3A. La valeur de $x_0$ est l'autre solution.

L'étape 5 de l'algorithmme 9.4 est triviale puisque le rayon du cercle caractéristique est $O_{101}P_{200}$.

L'étape 6 de l'algorithmme 9.4 ne pose pas de problème puisque nous connaissons le centre $O_{101}$ de cercle caractéristique $C_{101}$. Nous voulons modéliser un arc de ce dernier d'extrémités $P_{200}$ et $P_{002}$ en utilisant une CBRQ de points de contrôle $P_{200}$, $P_{101}$ et $P_{002}$ et le point de contrôle $P_{101}$ est calculé en utilisant la formule (3.2).

Comme dans le cas des triangles 3D rectangles, paragraphe 9.2.1, l'étape 7 de l'algorithmme 9.4 permet de choisir le petit arc de cercle ou le grand arc de cercle afin d'obtenir un triangle 3D de genre 0.

Dans les exemples suivants, nous avons $y_{200} = -2,41668$ et $z_{200} = -3,29296$. La figure 9.39 permet de visualiser deux exemples issus de l'algorithmme 9.4 lorsque nous prenons $p = -23$.

La figure 9.40 permet de visualiser deux exemples issus de l'algorithmme 9.4 lorsque nous prenons $p = -102$, figure 9.40(a) et $p = -3$, figure 9.40(b).

Dans les exemples précédents, l'obtention du « bon » triangle s'obtenait avec une valeur de poids $\omega_{101}$ positive (i.e. le bon bord était le petit arc du cercle caractéristique), mais ce n'est pas toujours vrai comme le montre la figure 9.41.

A partir de l'algorithmme, l'algorithmme 9.4 permet de construire un triangle isocèle sur une cyclide de Dupin quartique ayant, comme bords circulaires, deux arcs de cercles d'Yvon-Villarceau et un arc de cercle caractéristique. Cet algorithme ressemble comme à une goutte d'eau à l'algorithmme 9.2 et nous n'expliquons que les différences. Nous ne pouvons pas savoir à l'avance si
<figure><img src="image_163.png" /><figcaption>FIGURE 9.39 – Triangle isocèle 3D sur une CD3A ayant comme support deux droites d'Yvon-Villarceau et un cercle caractéristique, nous avons $p = -23$.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_164.png" /><figcaption>FIGURE 9.40 – Triangle isocèle 3D sur une CD3A ayant comme support deux droites d'Yvon-Villarceau et un cercle caractéristique. (a) : $p = -102$. (b) : $p = -3$.</figcaption></figure>

nous allons construire, via l'homothétie, des sphères centrées sur l'ellipse ou sur l'hyperbole et nous gardons la famille de sphères qui ne contient pas de plans (étape 2). La construction de la base ne pose pas de problème, il suffit de définir le vecteur $\vec{r}$ comme vecteur unitaire et normal au plan contenant les centres des sphères dont la cyclide de Dupin est l'enveloppe.

La figure 9.42 permet de voir deux exemples obtenus en utilisant l'algorithmme 9.5, les deux cercles d'Yvon-Villarceau (en magenta). Le troisième cercle est un méridien. Les valeurs permettant d'obtenir ces deux figures sont données dans le tableau 9.7.
**Algorithme 9.5** Construction d'un triangle isocèle 3D sur une CD4A à partir d'un triangle isocèle 3D sur une CD3A.

**Entrée** : Trois points $P_{020}(0; 0; 0)$, $P_{200}(0; y_{200}; z_{200})$ et $P_{002}(0; -y_{200}; z_{200})$.

**Pré-calcul** : appel de l'algorithme 9.4 sur $P_{002}$, $P_{020}$ et $P_{200}$.

**Algorithme** :

1. Détermination d'un point $\Omega$ sur la droite d'intersection des trois plans médiateurs du triangle $P_{002}P_{020}P_{200}$. Le point $\Omega$ ne doit pas se trouver sur la CD3A. Le rapport de l'inversion est donné par la formule (9.19).

2. Calcul de $\beta_v = \frac{k}{\Omega_v \Omega^2 - R_v^2(v)}$. Si $\beta_v R_v(v)$ n'est pas borné, permutation des deux fa-milles de sphères.

3. Recherche de $v_m$ (resp. $v_M$) tel que $R_v(v_m)$ (resp. $R_v(v_M)$) soit un minimum (resp. maximum) de $R_v$.

4. Construction de la petite sphère principale de la CD4A de centres $A_2$, image de $O_{v_m}$ par l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $\beta_{v_m} = \frac{k}{\Omega_{v_m} \Omega - R_v^2(v_m)}$ et de rayon $\rho_2 = |R_v(v_m) \beta_{v_m}|$.

5. Construction de la grosse sphère principale de la CD4A de centre $A_1$, image de $O_{v_M}$ par l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $\beta_{v_M} = \frac{k}{\Omega_{v_M} \Omega^2 - R_v^2(v_M)}$, et de rayon $\rho_1 = |R_v(v_M) \beta_{v_M}|$.

6. Construction de $O_4$ milieu de $A_1$ et $A_2$.

7. Détermination du vecteur $\vec{i} = \frac{1}{\|\overrightarrow{A_1A_2}\|} \overrightarrow{A_1A_2}$.

8. Construction du point $A_3$, image d'un point $O_v$, distinct de $O_{v_m}$ et de $O_{v_M}$ par l'homo-thétie de centre $\Omega$ et de rapport $\beta_v = \frac{k}{\Omega_v \Omega^2 - R_v^2(v)}$.

9. Détermination des vecteurs $\vec{k} = \frac{1}{\|\vec{i} \times \overrightarrow{A_1A_3}\|} \vec{i} \times \overrightarrow{A_1A_3}$ et $\vec{j} = \vec{k} \times \vec{i}$.

**Sortie** :

* Les trois paramètres de la cyclide de Dupin : $a$, $c$ et $\mu$;

* Le point $O$ et les vecteurs $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$, repère de la cyclide de Dupin;

* Les points $A_1$ et $A_2$, centres des cercles principaux;

* La RQBC $CC_{011}$ (resp. $CC_{101}$, $CC_{110}$) modélisant l'arc de cercle d'extrémités $P_{002}$ et $P_{020}$ (resp. $P_{002}$ et $P_{200}$, $P_{020}$ et $P_{200}$).
<figure><img src="image_165.png" /><figcaption>FIGURE 9.41 – Triangle isocèle 3D sur une CD3A ayant comme support deux droites d'Yvon-Villarceau et un cercle caractéristique, nous avons $p = -0,3$.</figcaption></figure>

Les figures 9.43 et 9.44, modélisant une voûte, permettent de voir deux triangles (les triangles opposés par le sommet sont les mêmes) obtenus en utilisant l’algorithme 9.5, les quatre courbes d’Yvon-Villarceau sont les segments en bleu.

Les paramètres des triangles en bois clair sont $y_{200} = z_{200} = -4, p = -5, 2$ et l’intervalle de visualisation est $[-\frac{y_{200}}{p z_{200}}; 0]$ ce qui donne deux points $P_{00}$ et $P_{20}$ dans le plan d’équation $x = 0$. Les sommets (sphères au-dessus des piliers) $Q_{00}$ et $Q_{20}$ (resp. $Q_{02}$ et $Q_{22}$) sont les images de $P_{00}$ et $P_{20}$ par la rotation d’axe ($O; \vec{j}$) et d’angle $-\frac{\pi}{4}$ (resp. $\frac{\pi}{4}$). Pour placer l’un des deux triangles, nous utilisons un retournement d’axe ($O; \vec{k}$).

Dans le plan de départ, seuls les paramètres $y_{200}$ et $z_{200}$ sont changés dans les deux autres triangles, ils dépendent évidemment des sommets du parallélogramme $Q_{00}Q_{20}Q_{22}Q_{02}$ c’est-à-dire de l’angle :

$$ \psi = \arctan \left( \frac{y_{200r}}{z_{200r}} \right) $$

où :

$$ Q_{20} (x_{200r}; y_{200r}; z_{200r}) $$
<figure><img src="image_166.png" /><figcaption>FIGURE 9.42 – Triangle isocèle 3D sur une CD4A ayant comme support deux cercles d’Yvon-Villarceau et un cercle caractéristique. (a) : Ω(15, 916; 0; -2.533). (b) : Ω(23, 875; 0; -2, 533).</figcaption></figure>
<table><caption>TABLE 9.7 – Valeurs des paramètres des figures 9.42(a) et 9.42(b).</caption><thead><tr><th>Nom</th><th>Figure 9.42(a)</th><th>Figure 9.42(b)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Ω</td><td>(15, 916; 0; -2.533)</td><td>(23, 875; 0; -2, 533)</td></tr><tr><td>k</td><td>259, 738</td><td>576, 390</td></tr><tr><td>O<sub>1</sub></td><td>(12, 435; 0; -11.586)</td><td>(38, 452; 0; -9, 776)</td></tr><tr><td>ρ<sub>1</sub></td><td>5, 718</td><td>15, 807</td></tr><tr><td>O<sub>2</sub></td><td>(12, 698; 0; 4, 954)</td><td>(6, 429; 0; 1, 415)</td></tr><tr><td>ρ<sub>2</sub></td><td>4, 15</td><td>5, 818</td></tr><tr><td>a</td><td>8, 272</td><td>16, 961</td></tr><tr><td>μ</td><td>4, 935</td><td>10, 813</td></tr><tr><td>c</td><td>0, 784</td><td>4, 994</td></tr><tr><td></td><td>(<table><tbody><tr><td>0, 016</td><td>1, 000</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>1, 000</td><td>-0, 016</td><td>0</td></tr></tbody></table>)</td><td>(<table><tbody><tr><td>-0, 944</td><td>0, 330</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>0, 330</td><td>-0, 944</td><td>0</td></tr></tbody></table>)</td></tr><tr><td>O<sub>CD<sub>4</sub></sub></td><td>(12, 566; 0; -3, 317)</td><td>(22, 440; 0; -4, 181)</td></tr></tbody></table>

Ainsi, $y_{200}$ est remplacé par $Y_0 = x_{200r}$ tandis que $z_{200}$ est remplacé par :

$$Z_0 = y_{200r} \sin(\psi) + z_{200r} \cos(\psi)$$

et les deux triangles sont placés dans la scène en utilisant la rotation d'axe ($O; \vec{i}$) et d'angle $\psi$ et un quart de tour d'axe ($O; \vec{k}$).
<figure><img src="image_167.png" /><figcaption>FIGURE 9.43 – Triangles isocèles 3D sur deux CD3As modélisant une voûte, vue de dessous.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_168.png" /><figcaption>FIGURE 9.44 – Triangles isocèles 3D sur deux CD3As modélisant une voûte.</figcaption></figure>
## 9.4 Synthèse du chapitre

Dans ce chapitre, nous avons construit des triangles 3D à bords circulaires sur des cyclides de Dupin. Dans un premier temps, nous construisons un triangle rectangle sur un tore à collier en utilisant un arc de méridien, un arc de parallèle et un arc de cercle d'Yvon-Villarceau. Ensuite, nous construisons des triangles 3D sur des cyclides de Dupin par inversion du triangle 3D construit sur le tore à collier.

Ensuite, nous avons déterminé les cercles d'Yvon-Villarceau sur une cyclide de Dupin cubique en anneau. Sur ce type de cyclide de Dupin deux des cercles d'Yvon-Villarceau sont des droites et, dans un second temps, nous avons développé un algorithme permettant de construire un triangle isocèle sur une cyclide de Dupin cubique : deux côtés sont deux segments, le troisième est un arc de cercle de courbure de la surface.

<table><caption>TABLE 9.8 – Types de triangles 3D</caption><thead><tr><th>Triangle</th><th>Rectangle</th><th>Isocèle</th></tr></thead><tbody><tr><td>Cercle de courbure</td><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>Cercle d'Yvon-Villarceau</td><td>1</td><td>2</td></tr><tr><td>Algorithme initial</td><td>9.1</td><td>9.4</td></tr><tr><td>Surface initiale</td><td>Tore</td><td>CD3A</td></tr><tr><td>Autres algorithmes</td><td>9.2 et 9.3</td><td>9.5</td></tr></tbody></table>
Troisième partie

Familles de sphères orientées dans l'espace
des sphères
<figure><img src="image_169.png" /></figure>
Dans la partie II, nous avons manipulé des familles de sphères orientées dans l'espace euclidiien 3D usuel. Afin de faciliter le traitement informatique des familles de sphères, nous allons définir l'espace de Lorentz puis introduire l'espace des sphères dans lequel une sphère orientée de $\mathcal{E}_3$ est un point d'une hypersphère $\Lambda^4$. Le premier avantage est très important du point de vue rapidité de calculs puisque modéliser une famille à un paramètre de sphères orientées (un faisceau de sphères ou une surface canal) revient à tracer une conique sur l'hypersphère unité $\Lambda^4$. Le second avantage provient du fait que beaucoup de calculs sont linéarisés : pour savoir si un point appartient à une sphère, il suffit de calculer un produit scalaire, ce qui est plus simple que le calcul de la puissance du point par rapport à la sphère qui est un calcul du second degré. Dans cet espace, nous avons aussi pu résoudre un problème dont nous n'avons pas trouvé de solutions dans $\mathcal{E}_3$, chapitre 15.

Dans le chapitre 10, nous définissons l'espace de Lorentz affine $L_{4,1}$ d'espace vectoriel associé $\overrightarrow{L}_{4,1}$ qui est $\mathbb{R}^5$ muni d'une forme quadratique de signature (4; 1). Nous introduisons naturellement l'ensemble des vecteurs positions isotropes qui est une sphère de rayon nul et appelé cône de lumière par analogie avec l'espace-temps de Minkowski. Dans un second temps, nous définissons un paraboloïde de dimension 3 qui est isométrique à $\mathcal{E}_3$. Dans un troisième temps, nous montrons que les sphères et plans orientés de $\mathcal{E}_3$ sont sur l'hypersphère unité $\Lambda^4$. Dans un quatrième temps, nous montrons comment l'espace des sphères permet de simplifier les résultats obtenus dans $\mathcal{E}_3$ en particulier les positions relatives de deux sphères, d'un plan et d'une sphère. Nous finissons ce chapitre par la caractérisation des faisceaux de sphères dans $L_{4,1}$.

Après avoir introduit les surfaces canal, le chapitre 11 est consacré aux cyclides de Dupin. Nous représentons aussi bien les cyclides de Dupin dégénérées (tore, cylindre et cône de révolution) que les cyclides de Dupin quartiques et cubiques et dégageons les propriétés qui nous sont utiles dans les chapitres suivants.

La première application de la modélisation des cyclides de Dupin sur l'espace des sphères, chapitre 12, traite de la subdivision itérative de ces surfaces où le travail consiste à subdiviser des courbes de Bézier rationnelles quadratiques à points massiques de contrôle. Les méthodes proposées sont beaucoup plus simples que celles développées dans le chapitre 8.

Dans le chapitre 13, nous réalisons des jointures entre des surfaces canal par une ou deux cyclides de Dupin en joignant des courbes sur l'hypersphère $\Lambda^4$. Nous donnons aussi des critères permettant que les surfaces de jointure ne s'auto-intersectent pas.

Dans le chapitre 14, nous construisons des carreaux de cyclides de Dupin à partir de quatre sommets cocycliques et de deux vecteurs tangents orthogonaux en un sommet.

Dans le chapitre 15, nous répondons au problème suivant : à partir de trois points dans trois plans, combien peut-on construire de cyclide(s) de Dupin qui soient tangentes aux plans aux points donnés. Nous n'avons pas trouvé de solution dans $\mathcal{E}_3$ et la résolution des ce problème est insoluble dans le modèle projectif de l'espace des sphères : l'orientation des sphères est primordial.

<footnote n="7">7. C'est une sphère de dimension 4 qui ressemble à la sphère unité rencontrée dans le chapitre 5.</footnote>
# Chapitre 10

## Espaces de Lorentz et des sphères et faisceaux de sphères

Dans ce chapitre, nous définissons l'espace de Lorentz, espace réel de dimension 5 généralisant l'espace-temps de Minkowski. Les espaces $L_{4,1}$ et $\overrightarrow{L_{4,1}}$ sont inspirés de l'espace-temps $\overrightarrow{L_{3,1}}$ de la relativité restreinte. Ce dernier est muni de la forme quadratique de signature (3; 1) définie par :

$$Q_M(\vec{u}) = x^2 + y^2 + z^2 - c^2 t^2$$

où $(x; y; z)$ sont les composantes spatiales de $\vec{u}$, $t$ la composante temporelle de $\vec{u}$ et $c$ la célérité de la lumière c'est-à-dire la vitesse de propagation des photons constituant les ondes électromagnétiques. Les vecteurs qui annulent cette forme quadratique sont appelés vecteurs isotropes et définissent le cône de lumière $C_t$, de sommet $O$. Selon que l'autre point $M(x; y; z; t)$ est à l'intérieur (i.e. $Q_M(\overrightarrow{OM}) < 0$) ou non du cône de lumière, nous aurons les distinctions suivantes :

* à l'intérieur du cône de lumière, l'observateur $O$ peut influencer d'une façon ou d'une autre ce qui se passera dans le futur (si $t$ est positif) en ce point $M$ ou être influencé par une action passée (si $t$ est négatif);

* sur le cône de lumière, l'observateur $O$ peut influencer d'une façon ou d'une autre ce qui se passera dans le futur (si $t$ est positif) en ce point $M$ ou être influencé par une action passée (si $t$ est négatif) à la condition que le signal se déplace à la vitesse de la lumière;

* hors du cône de lumière, il ne peut y avoir aucune interaction entre l'observateur et le point considéré car cela impliquerait la possibilité pour une information de voyager à une vitesse supérieure à $c$.

Nous définissons, à partir de la base canonique de $\mathbb{R}^5$, une base plus adéquate pour la représentation des points de $\mathcal{E}_3$ : celle de l'algèbre géométrique conforme [DFM07, DFGL14]. Dans ce chapitre, les notions fondamentales pour la compréhension du reste du manuscrit sont définies : types de vecteurs, type de plans, cône de lumière, paraboloïde isométrique à $\mathcal{E}_3$, espace $\Lambda^4$ des sphères orientées. Au paraboloïde, nous ajoutons un point à l'infini et nous construisons le compactifié d'Alexandrov de l'espace $\mathcal{E}_3$ ce qui fait que les plans orientées sont aussi considérés comme des sphères orientées. Contrairement à $\mathbb{S}^3$, autre compactifié d'Alexandrov de $\mathcal{E}_3$, nous avons une isométrie entre le paraboloïde et $\mathcal{E}_3$ et le passage de $\mathcal{E}_3$ à son compactifié d'Alexandrov
est plus simple que dans le cas de $S^3$: nous nous dispensons de la projection stéréographique qui est une inversion particulière.

Nous montrons ensuite, dans le paragraphe 10.4.2, comment l'espace des sphères permet de simplifier la détermination de la position relative de deux sphères.

Le dernier paragraphe traite de la représentation de faisceaux de sphères sur $\Lambda^4$.

## 10.1 Espace de Lorentz et cône de lumière

L'espace vectoriel de Lorentz est le $\mathbb{R}$-espace vectoriel, noté $L_{4,1}$, muni de la base canonique $(\vec{e}_-; \vec{e}_1; \vec{e}_2; \vec{e}_3; \vec{e}_+)$ sur lequel nous définissons la forme quadratique de Lorentz $Q_{4,1}$, de forme bilinéaire symétrique associée $\mathcal{L}_{4,1}$, de la façon suivante :

$$ \mathcal{L}_{4,1}(\vec{e}_i; \vec{e}_j) = 0 \quad i \in \{1, 2, 3, +\}, j \in \{-, 1, 2, 3, +\} \text{ avec } i \neq j \qquad (10.1) \\ Q_{4,1}(\vec{e}_-) = -1 \qquad Q_{4,1}(\vec{e}_i) = 1, \text{ avec } i \in \{1, 2, 3, +\} $$

Dans cet espace, la forme quadratique $\mathcal{L}_{4,1}$, de signature (4; 1), s'appelle un (pseudo)<fnref n="1" />-produit scalaire.

L'espace affine d'origine $O_5$ et d'espace vectoriel associé $L_{4,1}$ est noté $L_{4,1}$ et nous avons une bijection qui à tout point $M$ de $L_{4,1}$ associe son vecteur position $\overrightarrow{O_5M}$. Rappelons la définition d'une hypersphère<fnref n="2" /> :

**Définition 23 : Hypersphère**

Soit $\mathcal{Q}$ une forme quadratique définie sur un espace vectoriel $\vec{\mathcal{E}}_n$ et $\Omega_1$ un point de l'espace affine $\mathcal{E}_n$ d'espace vectoriel attaché $\vec{\mathcal{E}}_n$.

$H_S$ est une hypersphère de centre $\Omega_1$ s'il existe un réel $k$ tel que :

$$ H_S = \{ M \in \mathcal{E}_n \mid \mathcal{Q}(\overrightarrow{\Omega_1 M}) = k \} \qquad (10.2) $$

Etant donné que la forme quadratique $Q_{4,1}$ n'est pas définie positive, nous pouvons considérer l'ensemble des vecteurs $\overrightarrow{u}$ non nuls isotropes (i.e. $Q_{4,1}(\overrightarrow{u}) = 0$), et l'ensemble des vecteurs positions isotropes engendre un cône, dit de lumière, figures 10.2 et 10.9 :

$$ C_l = \{ M \in L_{4,1} \mid Q_{4,1}(\overrightarrow{O_5 M}) = 0 \} \qquad (10.3) $$

qui est la sphère de centre $O_5$ et de rayon nul pour la forme quadratique $Q_{4,1}$ car tous les points $M$ sont à une distance nulle de $O_5$. Nous pouvons distinguer trois types de vecteurs et de 2-plans<fnref n="3" />,

<footnote n="1">1. Dans la suite, le terme pseudo sera omis.</footnote>

<footnote n="2">2. Dans la suite du document, les hypersphères de dimension 4 de l'espace de Lorentz seront appelées aussi sphères.</footnote>

<footnote n="3">3. Un 2-plan est un plan à deux dimensions. Dans la suite, le terme 2 sera omis.</footnote>
voir tableau 10.1. Notons que dans un plan de type lumière, il n'y a qu'une seule direction lumière tandis que dans un plan de type temps, il existe deux directions lumière distinctes.

<table><caption>TABLE 10.1 – Définition des trois types de vecteurs ou de plans de l'espace de Lorentz.</caption><thead><tr><th>Type du vecteur ou du 2-plan</th><th>Vecteur $\vec{u}$</th><th>2-plan</th></tr></thead><tbody><tr><td>Espace</td><td>$Q_{4,1}(\vec{u}) > 0$</td><td>Tous les vecteurs de ce 2-plan sont de type espace</td></tr><tr><td>Temps</td><td>$Q_{4,1}(\vec{u}) < 0$</td><td>Au moins un vecteur de ce 2-plan est de type temps</td></tr><tr><td>Lumière</td><td>$Q_{4,1}(\vec{u}) = 0$</td><td>Le plan est parallèle à un hyperplan tangent à $C_l$</td></tr></tbody></table>

Afin de faciliter le plongement de $\mathcal{E}_3$ dans l'espace de Lorentz, dans cet espace, nous utilisons la base $(\vec{e}_o; \vec{e}_1; \vec{e}_2; \vec{e}_3; \vec{e}_\infty)$ où :

$$ \vec{e}_o = \vec{e}_- - \vec{e}_+ \quad \text{et} \quad \vec{e}_\infty = \frac{1}{2} (\vec{e}_- + \vec{e}_+) $$

et nous avons les propriétés suivantes :

$$ \left\{ \begin{array}{l} Q_{4,1}(\vec{e}_o) = Q_{4,1}(\vec{e}_\infty) = 0 \\ \mathcal{L}_{4,1}(\vec{e}_o; \vec{e}_\infty) = -1 \end{array} \right. \qquad (10.4) $$

Soit $\vec{u}$ ($u_o; x_u; y_u; z_u; u_\infty$) et $\vec{v}$ ($v_o; x_v; y_v; z_v; v_\infty$) deux vecteurs de $\overrightarrow{L_{4,1}}$, dans la suite, le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sera noté $\mathcal{L}_{4,1}(\vec{u}; \vec{v})$ (resp. $\vec{u} \cdot \vec{v}$) dans la base $(\vec{e}_-; \vec{e}_1; \vec{e}_2; \vec{e}_3; \vec{e}_\infty)$ (resp. $(\vec{e}_o; \vec{e}_1; \vec{e}_2; \vec{e}_3; \vec{e}_\infty)$), tandis que le carré scalaire sera noté $Q_{4,1}(\vec{u})$ (resp. $\vec{u}^2$) dans la base $(\vec{e}_-; \vec{e}_1; \vec{e}_2; \vec{e}_3; \vec{e}_\infty)$ (resp. $(\vec{e}_o; \vec{e}_1; \vec{e}_2; \vec{e}_3; \vec{e}_\infty)$). Ainsi :

$$ \mathcal{L}_{4,1}(\vec{u}; \vec{v}) = -u_o v_o + x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v + u_\infty v_\infty \quad (10.5) $$

et :

$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v - u_o v_\infty - u_\infty v_o \quad (10.6) $$

La valeur d'un produit scalaire ne dépend pas de la base considérée, mais cette notation nous évite de devoir préciser chaque fois dans quelle base nous travaillons.

L'équation du cône de lumière dans le repère $(O_5; \vec{e}_-; \vec{e}_1; \vec{e}_2; \vec{e}_3; \vec{e}_\infty)$ est :

$$ -x_-^2 + x^2 + y^2 + z^2 + x_+^2 = 0 $$

qui est l'équation usuelle d'un cône de révolution. Dans le repère $(O_5; \vec{e}_o; \vec{e}_1; \vec{e}_2; \vec{e}_3; \vec{e}_\infty)$, l'équation du cône de lumière est :

$$ x^2 + y^2 + z^2 - 2 x_o x_\infty = 0 \quad (10.7) $$

et la figure 10.1 permet de visualiser ces deux bases.
<figure><img src="image_170.png" /><figcaption>FIGURE 10.1 – Le cône de lumière $C_l$ ainsi que les deux repères utiles, le repère canonique $(O_5; \vec{e}_-; \vec{e}_1; \vec{e}_2; \vec{e}_3; \vec{e}_+)$ et celui de l’algèbre géométrique conforme $(O_5; \vec{e}_o; \vec{e}_1; \vec{e}_2; \vec{e}_3; \vec{e}_\infty)$. Les vecteurs $\vec{e}_1, \vec{e}_2$ et $\vec{e}_3$ sont unitaires et deux à deux orthogonaux (pour le produit scalaire euclidien usuel).</figcaption></figure>

## 10.2 Paraboloïde isométrique au plongement de $\mathcal{E}_3$ dans l'espace de Lorentz

Considérons le point $O_3$ défini par $\overrightarrow{O_5O_3} = \vec{e}_o$ et l'hyperplan affine $\mathcal{H}$ engendré par $O_3$, les vecteurs espace $\vec{e}_1, \vec{e}_2$ et $\vec{e}_3$ et le vecteur lumière $\vec{e}_\infty$. La restriction de la forme quadratique $Q_{4,1}$ à $\mathcal{H}$ est dégénérée. Le paraboloïde $P$ est l'intersection entre le cône de lumière $C_l$ et l'hyperplan affine $\mathcal{H}$, figure 10.2.

La figure 10.3 montre une vue « 3D (graphique) - 5D (espace de Lorentz) » du plongement de $\mathcal{E}_3$ qui est identifié à $\mathcal{E}_3 \simeq \{1\} \times \mathcal{E}_3 \times \{0\}$, de repère $O_3$ représentée par la pointe de la flèche rouge et les vecteurs deux à deux orthogonaux $\vec{e}_1, \vec{e}_2$ et $\vec{e}_3$.

Nous avons le théorème fondamental suivant :

**Théorème 21 :**

Le paraboloïde $P$, d'équation :

$$ \left\{ \begin{array}{l} x_o - 1 = 0 \\ x^2 + y^2 + z^2 - 2 x_o x_\infty = 0 \end{array} \right. \qquad (10.8) $$
<figure><img src="image_171.png" /><figcaption>FIGURE 10.2 – Le cône de lumière $C_l$, l'hyperplan affine $\mathcal{H}$ et le paraboloïde $\mathcal{P}$ isométrique à $\mathcal{E}_3$.</figcaption></figure>

dans le repère $(O_5; \vec{e}_o; \vec{e}_1; \vec{e}_2; \vec{e}_3; \vec{e}_\infty)$, est isométrique au plongement de $\mathcal{E}_3$ dans l'espace de Lorentz c'est-à-dire que la restriction de la forme quadratique de Lorentz à l'hyperplan $\overrightarrow{\mathcal{H}}$ est identique au produit scalaire euclidien de $\vec{\mathcal{E}}_3$ (la restriction de la forme de Lorentz à $\overrightarrow{\mathcal{H}}$ est dégénérée et de signature $(3;0)$).

**Démonstration :**

Pour tout point $M(x; y; z)$ de $\mathcal{E}_3$, nous faisons correspondre un et un seul point $M_5$ défini par :

$$ \overrightarrow{O_5M_5} = \overrightarrow{O_5O_3} + x \vec{e}_1 + y \vec{e}_2 + z \vec{e}_3 + 0 \vec{e}_\infty = \vec{e}_o + x \vec{e}_1 + y \vec{e}_2 + z \vec{e}_3 $$

et nous avons :

$$ \overrightarrow{O_5M_5^2} = x^2 + y^2 + z^2 $$

et nous identifions les points $M(x; y; z)$ de $\mathcal{E}_3$ et $M_5(1; x; y; z; 0)$ de $\mathcal{H}$. Soit le point $N_5$ de $\mathcal{H}$ défini par :

$$ \overrightarrow{O_5N_5} = \overrightarrow{O_5O_3} + x \vec{e}_1 + y \vec{e}_2 + z \vec{e}_3 + t \vec{e}_\infty = \vec{e}_o + x \vec{e}_1 + y \vec{e}_2 + z \vec{e}_3 + t \vec{e}_\infty $$

Le point $N_5$ appartient au cône de lumière si et seulement si nous avons $\overrightarrow{O_5N_5^2} = 0$. La relation $\vec{e}_o \cdot \vec{e}_\infty = -1$ conduit à :

$$ \overrightarrow{O_5N_5^2} = x^2 + y^2 + z^2 - 2t = 0 $$

et nous obtenons :

$$ \overrightarrow{O_5N_5} = \overrightarrow{O_5O_3} + x \vec{e}_1 + y \vec{e}_2 + z \vec{e}_3 + \frac{x^2 + y^2 + z^2}{2} \vec{e}_\infty $$
<figure><img src="image_172.png" /><figcaption>FIGURE 10.3 – Le cône de lumière $C_l$, l'hyperplan $\mathcal{H}$ et le paraboloïde $P$ isométrique à $\mathcal{E}_3$ ainsi que les deux repères utiles, le repère canonique $(O_5; \vec{e}_-; \vec{e}_1; \vec{e}_2; \vec{e}_3; \vec{e}_+)$ et celui de l'algèbre géométrique conforme $(O_5; \vec{e}_o; \vec{e}_1; \vec{e}_2; \vec{e}_3; \vec{e}_\infty)$. Le vecteur $\vec{e}_1$ en blanc ainsi que la droite verte schématise les espaces $\vec{e}_3$ et $\mathcal{E}_3$.</figcaption></figure>

et le point $M_5$ de $\mathcal{E}_3$ est l'image du point $N_5$ par la projection sur $\mathcal{E}_3$ dans la direction $\vec{e}_\infty$.

La réciproque est aussi vraie.

<figure><img src="image_173.png" /></figure>

Notons que l'espace vectoriel orthogonal au vecteur $\vec{e}_\infty$ est :

$$ \vec{e}_\infty^\perp = \vec{\mathcal{H}} $$

puisque $\vec{e}_\infty^2 = 0$ et que la restriction de la forme quadratique à l'hyperplan $\vec{\mathcal{H}}$ est dégénérée et de signature $(3; 0)$. En effet, si $\vec{u}$ appartient à cet hyperplan, il existe un quadruplet $(x; y; z; x_0)$ tel que :

$$ \vec{u} = x \vec{e}_1 + y \vec{e}_2 + z \vec{e}_3 + x_0 \vec{e}_\infty \quad \text{avec} \quad \vec{u}^2 = x^2 + y^2 + z^2 $$

puisque les vecteurs sont deux à deux orthogonaux, $\vec{e}_\infty$ et de type lumière et les trois vecteurs espaces $\vec{e}_1, \vec{e}_2$ et $\vec{e}_3$ sont unitaires. Notons que nous obtenons la forme usuelle du produit scalaire euclidien pour les trois premières composantes.

Si $\vec{m}$ est un vecteur position lumière, non colinéaire à $\vec{e}_\infty$, sa représentation sous forme d'un point dans $\mathcal{E}_3$ est caractérisée par le point $N_5$ défini par :

$$ \{N_5\} = \text{Aff}(O_5; \vec{m}) \cap P $$
qui est ensuite projeté sur l'espace affine de dimension 3 défini par le point $O_3(1; 0; 0; 0)$ et les trois vecteurs espace $\vec{e}_1, \vec{e}_2$ et $\vec{e}_3$ selon la direction du vecteur lumière $\vec{e}_\infty$. Réciproquement, soit $M_5$ un point de $\mathcal{E}_3$. Considérons le point $N_5$ défini par :

$$ \{N_5\} = \text{Aff}(M_5; \vec{e}_\infty) \cap \mathbb{P} $$

qui définit le vecteur position $\vec{n}_5 = \overrightarrow{O_5N_5}$ de type lumière. Le triangle $O_3M_5N_5$ est rectangle en $M_5$ et, d'après le théorème de Pythagore, nous avons la relation fondamentale :

$$ \overrightarrow{O_3N_5}^2 = \overrightarrow{O_3M_5}^2 + \underbrace{\overrightarrow{M_5N_5}^2}_{0} = \overrightarrow{O_3M_5}^2 \quad (10.9) $$

D'après la démonstration du théorème précédent, soit $P$ un point de $\mathcal{E}_3$ et $\vec{P} = \overrightarrow{O_3P}$ de $\vec{\mathcal{E}}_3$ son vecteur position, la représentation 4 du point $P$ dans l'espace de Lorentz est :

$$ \vec{p} = \vec{e}_o + \vec{P} + \frac{1}{2} \|\vec{p}\|^2 \vec{e}_\infty \quad (10.10) $$

et le vecteur $\vec{e}_o$ représente l'origine $O_3$ de l'espace $\mathcal{E}_3$ (i.e. $\overrightarrow{O_5O_3} = \vec{e}_o$) tandis que le vecteur $\vec{e}_\infty$ représente le point à l'infini de $\mathcal{E}_3$. Par construction, le vecteur position $\vec{p}$ est un vecteur isotrope (i.e. $\vec{p} \cdot \vec{p} = 0$). Remarquons que la détermination du point de $\mathcal{E}_3$ à partir de sa représentation, formule (10.10) est triviale. De façon plus générale, si $\vec{p}(x_o; x; y; z; x_\infty)$ est un vecteur lumière, deux cas sont à distinguer :

* $x_o = 0$ implique que nous considérons le vecteur $\vec{e}_\infty$ et nous obtenons le point à l'infini de $\mathcal{E}_3$;

* $x_o \neq 0$ implique que nous considérons le vecteur $\frac{1}{x_o}\vec{p}$ et nous obtenons le point :

$$ P\left(\frac{x}{x_o}; \frac{y}{x_o}; \frac{z}{x_o}\right) $$

de $\mathcal{E}_3$.

La figure 10.4 synthétise et illustre le processus permettant de voir un point de $\mathcal{E}_3$ comme un vecteur lumière de $\overrightarrow{L_{4,1}}$. Dans la figure 10.4(b), le vecteur $\vec{e}_\infty$ est en vert, celui en bleu est un vecteur colinéaire à $\vec{e}_\infty$ et ces deux vecteurs ont même longueur : 0.

Les figures 10.4(a) et 10.4(b) permettent une visualisation 3D d'une compactification de $\mathbb{R}$ ce qui permet de comprendre le processus de la compactification de $\mathbb{R}^n$, $n \in \mathbb{N}^*$ :

* Nous partons de l'origine $O_5$ de l'espace de Lorentz pour arriver en $O_3$ origine de $\mathcal{E}_3$ grâce à la relation $\overrightarrow{O_5O_3} = \vec{e}_o$;

* Nous prenons le point $P$ que nous voulons dans $\mathbb{R}^n$ schématisé par l'un des points roses sur la droite verte dans la figure 10.4(a), ce qui nous conduit à la relation : $\vec{p} = \vec{e}_o + \vec{P}$;

* A partir de ce point $P$, nous déterminons le point d'intersection entre le paraboloïde $\mathbb{P}$ et la droite passant par $P$ et de vecteur directeur $\vec{e}_\infty$;

<footnote n="4">4. Dans la suite, sauf mention contraire, un point de $\mathcal{E}_3$ ou un vecteur de $\vec{\mathcal{E}}_3$ est écrit en majuscule, sa représentation dans l'espace de Lorentz est écrite avec la même lettre en minuscule.</footnote>
<figure><img src="image_174.png" /><figcaption>FIGURE 10.4 – Les points de $\mathcal{E}_3$ sont des vecteurs lumière dans l'espace de Lorentz. (a) : les points de $\mathcal{E}_3$ sont remontés sur le paraboloïde $P$ selon la direction du vecteur $\vec{e}_\infty$. (b) : les points du paraboloïde $P$ deviennent des vecteurs positions sur le cône de lumière.</figcaption></figure>

• Ce point d'intersection définit le vecteur position isotrope donné par la formule (10.10), figure 10.4.

Notons que le signe du produit de deux vecteurs lumière, représentant chacun un point de $\mathcal{E}_3$, est négatif :

**Proposition 7** : Produit de deux vecteurs lumière

Soit $\overrightarrow{m_0}$ et $\overrightarrow{m_1}$ deux vecteurs lumière représentant les points $M_0$ et $M_1$, distincts, de $\mathcal{E}_3$.

Alors :

$$ \overrightarrow{m_0} \cdot \overrightarrow{m_1} = -\frac{M_0 M_1^2}{2} < 0 $$

et :

$$ \overrightarrow{m_0} \cdot \overrightarrow{e_\infty} = -1 $$

Démonstration :

Comme :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{m_0} = \overrightarrow{e_0} + \overrightarrow{M_0} + \frac{\overrightarrow{M_0}^2}{2} \overrightarrow{e_\infty} \\ \\ \overrightarrow{m_1} = \overrightarrow{e_0} + \overrightarrow{M_1} + \frac{\overrightarrow{M_1}^2}{2} \overrightarrow{e_\infty} \end{array} \right. $$
Nous avons :

$$
\begin{align*}
\overrightarrow{m_0} \cdot \overrightarrow{m_1} &= \overrightarrow{O_3 M_0} \cdot \overrightarrow{O_3 M_1} + \frac{1}{2} (\overrightarrow{O_3 M_0}^2 + \overrightarrow{O_3 M_1}^2) \overrightarrow{e_0} \cdot \overrightarrow{e_\infty} \\
&= -\frac{1}{2} (\overrightarrow{O_3 M_0}^2 + \overrightarrow{O_3 M_1}^2 - 2 \overrightarrow{O_3 M_0} \cdot \overrightarrow{O_3 M_1}) \\
&= -\frac{M_0 M_1^2}{2}
\end{align*}
$$

et la seconde formule est triviale.

<figure><img src="image_175.png" /></figure>

Notons qu'il est indispensable que les vecteurs lumière représentent exactement un point de $\mathcal{E}_3$ puisque nous avons :

$$(-\overrightarrow{m_0}) \cdot \overrightarrow{m_1} > 0$$

## 10.3 Compactification d'Alexandrov de $\mathbb{R}^n$

Pour $n$ entier naturel non nul, l'espace $\mathbb{R}^n$, muni de la topologie euclidienne usuelle, n'est pas compact. L'usage est d'ajouter un point à $\mathbb{R}^n$, noté $\infty$, est d'identifier l'ensemble $\mathbb{R}^n \cup \{\infty\}$ à $\mathscr{S}^n$, sphère unité de $\mathbb{R}^{n+1}$ et nous pouvons passer de $\mathscr{S}^n$ à $\mathbb{R}^n$ via une projection stéréographique.

La figure 10.5 illustre la cas où $n$ vaut 1 et le cercle $\mathscr{S}^1$ est identifié à $\mathbb{R} \cup \{\infty\}$, le pôle nord de $\mathscr{S}^1$ correspond au point $\infty$. Il est évident que cette projection ne conserve pas les distances entre les points de $\mathbb{R}^n$ et les points correspondant sur $\mathscr{S}^n$, la relation liant $AB$ à $A'B'$ n'est même pas proportionnelle.

FIGURE 10.5 – Compactification classique de $\mathbb{R}$, le cercle $\mathscr{S}^1$ est identifié à $\mathbb{R} \cup \{\infty\}$.

En revanche, la construction du modèle conforme (généralisable à tout espace $\mathbb{R}^n$), figure 10.2, permet d'avoir un modèle de $\mathscr{S}^3$, $\mathbb{P} \cup \{\overrightarrow{e_\infty}\}$, isométrique à l'espace euclidien usuel où $\mathbb{P}$ est un paraboloïde de dimension $n$, de sommet $S$ et d'axe la droite passant par $S$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{e_\infty}$. Le pôle nord, identifié avec le point $\infty$ de $\mathbb{R}^n$ est remplacé par le vecteur lumière $\overrightarrow{e_\infty}$, ce qui permet en plus, dans cet espace, d'utiliser des CBRQ à points massiques ayant un point à l'infini : ce dernier est représenté par $\overrightarrow{e_\infty}$.

Pour $n=1$, il ne reste que les vecteurs $\overrightarrow{e_0}, \overrightarrow{e_1}$ et $\overrightarrow{e_\infty}$ : $\mathbb{R}$ est alors plongé dans $\mathbb{R}^3$ muni de la forme quadratique caractérisée par :

$$(x_o \overrightarrow{e_o} + x \overrightarrow{e_1} + x_\infty \overrightarrow{e_\infty})^2 = x^2 - 2 x_o x_\infty$$

et $\mathbb{P}_1$ est une parabole isométrique à $\mathbb{R}$, figure 10.6. Soit $A$ et $B$ deux points de $\mathbb{R}$. Les points qui leur correspondent sont $A'$ et $B'$ obtenus comme intersection entre la parabole $\mathbb{P}_1$ et la droite de vecteur directeur $\overrightarrow{e_\infty}$ et passant par le point idoine. Nous avons donc :

$$\overrightarrow{AA'}^2 = \overrightarrow{BB'}^2 = 0$$
et considérons le point $B_1$ défini par :

$$ \overrightarrow{A'B_1} = \overrightarrow{AB} $$

Le triangle $A'B_1B'$ est « rectangle » en $B_1$ et en appliquant le théorème de Pythagore, nous avons :

$$ \overrightarrow{A'B'}^2 = \overrightarrow{A'B_1}^2 + 2 \underbrace{\overrightarrow{A'B_1} \cdot \overrightarrow{B_1B'}}_0 + \underbrace{\overrightarrow{B_1B'}^2}_0 = \overrightarrow{AB}^2 \quad (10.11) $$

De plus, nous avons :

$$ \overrightarrow{A'B'} \cdot \overrightarrow{e}_{\infty} = (\overrightarrow{A'B_1} + \overrightarrow{B_1B'}) \cdot \overrightarrow{e}_{\infty} = \underbrace{\overrightarrow{A'B_1} \cdot \overrightarrow{e}_{\infty}}_0 + \underbrace{\overrightarrow{B_1B'} \cdot \overrightarrow{e}_{\infty}}_0 = 0 \quad (10.12) $$

et tout vecteur de la forme $x \overrightarrow{AB} + y \overrightarrow{e_{\infty}}$ est orthogonal à $\overrightarrow{e_{\infty}}$.

FIGURE 10.6 – Compactification de $\mathbb{R}$ en utilisant la théorie de l'algèbre géométrique conforme, le cercle $S^1$ est remplacé par $P_1 \cup \{\overrightarrow{e_{\infty}}\}$ où $P_1$ est isométrique à $\mathbb{R}$.

La figure 10.7 montre la construction de la parabole $P_1$, isométrique à $\mathbb{R}$, sur le cône de lumière tandis que la figure 10.8 montre les vecteurs positions lumière, sur le cône de lumière, représentant les points de $\mathbb{R} \cup \{\infty\}$.

<figure><img src="image_176.png" /></figure>

FIGURE 10.7 – Compactification de $\mathbb{R}$ en utilisant la théorie de l'algèbre géométrique conforme.

<footnote>(a) : la parabole $P_1$ sur le cône de lumière et la droite réelle $\mathbb{R}$. (b) : Quelques points sur $\mathbb{R}$ et l'obtention de leurs représentants sur la parabole $P_1$ en traçant des segments de type lumière de vecteur directeur $\overrightarrow{e_{\infty}}$.</footnote>
<figure><img src="image_177.png" /><figcaption>FIGURE 10.8 – Les vecteurs positions, sur le cône de lumière, représentant les points de la droite réelle $\mathbb{R}$.</figcaption></figure>

Finalement, pour la compactification de $\mathbb{R}$, il suffit de considérer la figure 10.6 avec $n = 1$ et le compactifié d'Alexandrov de $\mathbb{R}$ est la parabole $P_1$ à laquelle nous avons ajouté le vecteur $\vec{e}_{\infty}$, dans $\mathbb{R}^3$, muni de la forme quadratique idoine tandis que le compactifié d'Alexandrov de $\mathbb{R}^3$ est le paraboloïde $P$ auquel nous avons ajouté le vecteur $\vec{e}_{\infty}$.

## 10.4 Espace des sphères orientées $\Lambda^4$

Une sphère de $\mathcal{E}_3$, de centre $\Omega$, de rayon $\rho$ est représentée par le point $\sigma$ ou le vecteur position $\vec{\sigma}$ défini par [DFM07] :

$$ \vec{\sigma} = \overrightarrow{O_5\sigma} = \frac{1}{\rho} \left( \vec{\omega} - \frac{1}{2}\rho^2 \vec{e}_{\infty} \right) = \frac{1}{\rho} \left( \vec{e}_o + \vec{\Omega} + \frac{1}{2} \left( \|\vec{\Omega}\|^2 - \rho^2 \right) \vec{e}_{\infty} \right) \quad (10.13) $$

et nous imposons $\vec{\sigma}^2 = 1$ afin de pouvoir considérer cet espace comme une sphère unité. L'orientation de la sphère $\sigma$ est définie comme dans la section précédente : si $M$ appartient à la sphère de centre $\Omega$ et de rayon algébrique $\rho$, si $\vec{N}$ est le vecteur normal unitaire à la sphère au point $M$, nous avons :

$$ \vec{m} - \vec{\omega} = \vec{M} - \vec{\Omega} + \frac{1}{2} (\vec{M}^2 - \vec{\Omega}^2) \vec{e}_{\infty} $$
et la relation $\overrightarrow{M} - \overrightarrow{\Omega} = \overrightarrow{O_3M} - \overrightarrow{O_3\Omega} = \overrightarrow{\Omega M}$ implique :

$$ \overrightarrow{m} - \overrightarrow{\omega} = \rho \overrightarrow{N} + \frac{1}{2} (\overrightarrow{M}^2 - \overrightarrow{\Omega}^2) \overrightarrow{e}_{\infty} $$

et nous obtenons :

$$ (\overrightarrow{m} - \overrightarrow{\omega}) \cdot \overrightarrow{n} = \left( \rho \overrightarrow{N} + \frac{1}{2} (\overrightarrow{M}^2 - \overrightarrow{\Omega}^2) \overrightarrow{e}_{\infty} \right) \cdot \left( \overrightarrow{N} + \frac{1}{2} \overrightarrow{e}_{\infty} \right) = \rho \quad (10.14) $$

et nous retrouvons la formulation donnée par la formule (6.1). De manière analogue, un plan orienté $\mathcal{P}$ défini par un point $P$ et un vecteur normal unitaire $\overrightarrow{N}$ est représenté par :

$$ \overrightarrow{\pi} = \overrightarrow{O_5\pi} = \overrightarrow{N} + (\overrightarrow{N} \cdot \overrightarrow{P}) \overrightarrow{e}_{\infty} \quad (10.15) $$

où • désigne le produit scalaire de $\overrightarrow{\mathcal{E}_3}$. De plus, nous avons $\overrightarrow{\pi}^2 = \overrightarrow{N}^2 = 1$. Il est ainsi naturel d'introduire la sphère unité $\Lambda^4$ de centre $O_5$ de $L_{4,1}$ :

$$ \Lambda^4 = \{ \sigma \in L_{4,1} \mid \mathcal{Q}_{4,1} (\overrightarrow{O_5 \sigma}) = \overrightarrow{O_5 \sigma}^2 = 1 \} \quad (10.16) $$

qui représente les sphères orientées et les plans orientés de $\mathcal{E}_3$, figure 10.9. Nous admettons dans ce document que tout élément de $\Lambda^4$ représente soit une sphère orientée, soit un plan orienté. Notons que les deux sphères orientées $\mathcal{S}^+$ et $\mathcal{S}^-$ de $\mathcal{E}_3$ sont représentées par les deux vecteurs positions opposés $\overrightarrow{\sigma}^+$ et $\overrightarrow{\sigma}^-$ de $\Lambda^4$.

<figure><img src="image_178.png" /><figcaption>FIGURE 10.9 – La sphère $C_l$ de centre $O_5$ et de rayon nul ainsi que la sphère unitaire $\Lambda^4$ de centre $O_5$.</figcaption></figure>

Soit un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb{R}^n$, $n \in \mathbb{N}^*$, muni de la forme quadratique définie $\mathcal{Q}$ et $\mathcal{S}$ une surface définie implicitement par une fonction $f$ de classe $C^1$. Soit $(x_1; \dots; x_n)$ les coordonnées
d'un point régulier $M_0$. Le gradient $\overrightarrow{\nabla} f(x_1; \dots; x_n)$ à la surface en $M_0$ est définie par la relation :

$$d_{(x_1; \dots; x_n)} f(h_1; \dots; h_n) = \mathcal{L} \left( \overrightarrow{\nabla} f(x_1; \dots; x_n), \overrightarrow{h} \right)$$

où $\overrightarrow{h}$ est le vecteur de composantes $(h_1; \dots; h_n)$. Ainsi, dans le repère canonique de $L_{4,1}$, un point $\sigma(x_0; x_1; x_2; x_3; x_4)$ de $\Lambda^4$ vérifie :

$$f(x_0; x_1; x_2; x_3; x_4) = -x_0^2 + \sum_{i=1}^{4} x_i^2 - 1 = 0$$

et nous obtenons :

$$d_{(x_0; x_1; x_2; x_3; x_4)} f = \sum_{i=0}^{4} \frac{\partial f}{\partial x_i} (x_0; x_1; x_2; x_3; x_4) dx_i$$

d'où :

$$d_{(x_0; x_1; x_2; x_3; x_4)} f = -2 x_0 dx_0 + \sum_{i=1}^{4} 2 x_i dx_i$$

et :

$$d_{(x_0; x_1; x_2; x_3; x_4)} f(h_0; h_1; h_2; h_3; h_4) = -2 x_0 h_0 + \sum_{i=1}^{4} 2 x_i h_i$$

ce qui montre que le gradient à $\Lambda^4$ au point $\sigma$ est :

$$\overrightarrow{\nabla} f(x_0; x_1; x_2; x_3; x_4) = (2 x_0; 2 x_1; 2 x_2; 2 x_3; 2 x_4) = 2 \overrightarrow{\sigma} \quad (10.17)$$

et nous retrouvons la même formule de colinéarité que dans le cas d'une sphère dans l'espace euclidien usuel.

Donnons les conditions permettant de savoir si un point appartient à un plan ou à une sphère.

**Théorème 22** : Position relative d'un point et d'une sphère ou d'un plan
Soit $S$ une sphère de $\mathcal{E}_3$, de centre $\Omega$, de rayon $\rho$ et de représentation $\overrightarrow{\sigma}$ sur $\Lambda^4$.

Soit $\mathcal{P}$ un plan passant par le point $P_0$, de vecteur normal unitaire $\overrightarrow{N}$ et de représentation $\overrightarrow{\pi}$ sur $\Lambda^4$.

Soit le vecteur $\overrightarrow{p}$ représentant le point $P$ de $\mathcal{E}_3$. Alors :

1. Nous avons :

$$\mathcal{L}_{4,1}(\overrightarrow{\sigma}, \overrightarrow{p}) = \overrightarrow{\sigma} \cdot \overrightarrow{p} = -\frac{1}{2\rho} \chi_S(P)$$

et :

$$P \in S \iff \mathcal{L}_{4,1}(\overrightarrow{\sigma}, \overrightarrow{p}) = \overrightarrow{\sigma} \cdot \overrightarrow{p} = 0 \quad (10.18)$$
2. Nous avons :

$$ \vec{\pi} \cdot \vec{p} = \mathcal{L}_{4,1}(\vec{\pi}, \vec{p}) = \vec{N} \cdot \overrightarrow{P_0 P} $$

ce qui montre que la distance $d(P; \mathcal{P})$ du point P au plan $\mathcal{P}$ est :

$$ d(P; \mathcal{P}) = |\vec{\pi} \cdot \vec{p}| $$

d'où :

$$ P \in \mathcal{P} \iff \mathcal{L}_{4,1}(\vec{\pi}, \vec{p}) = \vec{\pi} \cdot \vec{p} = 0 \quad (10.19) $$

Démonstration :

1. Nous avons :

$$ \begin{aligned} \vec{\sigma} \cdot \vec{p} &= (\vec{e}_o + \vec{P} + \frac{1}{2} \|\vec{P}\|^2 \vec{e}_\infty) \cdot \frac{1}{\rho} (\vec{e}_o + \vec{\Omega} + \frac{1}{2} (\|\vec{\Omega}\|^2 - \rho^2) \vec{e}_\infty) \\ &= \frac{1}{\rho} \left( \vec{P} \cdot \vec{\Omega} - \frac{1}{2} \|\vec{P}\|^2 - \frac{1}{2} (\|\vec{\Omega}\|^2 - \rho^2) \right) = \frac{1}{2\rho} \left( - (\vec{P} - \vec{\Omega})^2 + \rho^2 \right) \\ &= \frac{1}{2\rho} (-\vec{\Omega}\vec{P}^2 + \rho^2) = -\frac{1}{2\rho} \chi_S(P) \end{aligned} $$

ce qui permet de montrer l'équivalence entre le point P appartient à la sphère $\mathcal{S}$ et le résultat $\vec{\sigma} \cdot \vec{p} = \mathcal{L}_{4,1}(\vec{\sigma}, \vec{p}) = 0$.

2. Nous avons :

$$ \begin{aligned} \vec{p} \cdot \vec{\pi} &= (\vec{e}_o + \vec{P} + \frac{1}{2} \|\vec{P}\|^2 \vec{e}_\infty) \cdot (\vec{N} + (\vec{N} \cdot \vec{P}_0) \vec{e}_\infty) \\ &= (\vec{P} \cdot \vec{N} - \vec{N} \cdot \vec{P}_0) = \vec{N} \cdot \overrightarrow{O_3 P} - \vec{N} \cdot \overrightarrow{O_3 P_0} \\ &= \vec{N} \cdot (\overrightarrow{O_3 P} + \overrightarrow{P_0 O_3}) = \vec{N} \cdot \overrightarrow{P_0 P} \end{aligned} $$

ce qui permet de montrer l'équivalence entre le point P appartient au plan $\mathcal{P}$ et le résultat $\vec{\pi} \cdot \vec{p} = \mathcal{L}_{4,1}(\vec{\pi}, \vec{p}) = 0$ (puisque $P \in \mathcal{P} \iff \vec{N} \perp \overrightarrow{P_0 P}$).

<figure><img src="image_179.png" /></figure>

Notons que le critère permettant de savoir si un point de $\mathcal{E}_3$ appartient à une sphère de $\mathcal{E}_3$ devient linéaire dans l'espace de Lorentz alors qu'il est quadratique dans $\mathcal{E}_3$.

**Corollaire 2 :**

Soit $\mathcal{S}$ une sphère de $\mathcal{E}_3$, de centre $\Omega$, de rayon $\rho$ et de représentation $\vec{\sigma}$ sur $\Lambda^4$.

Soit $\mathcal{P}$ un plan passant par le point $P_0$, de vecteur normal unitaire $\vec{N}$ et de représentation $\vec{\pi}$ sur $\Lambda^4$.

Alors :

1. La sphère $\mathcal{S}$ est l'intersection du paraboloïde $\mathcal{P}$ avec l'hyperplan $\mathcal{H}_{\sigma \perp}$ passant par $O_5$ et de vecteur normal $\vec{\sigma}$.
2. Le plan $\mathcal{P}$ est l'intersection du paraboloïde $\mathcal{P}$ avec l'hyperplan $\mathcal{H}_{\pi\perp}$ passant par $O_5$ et de vecteur normal $\vec{\pi}$.

Démonstration :

D'après la formule (10.18), le point $P$ appartient à $S$ si et seulement si :

$$ \vec{\sigma} \cdot \vec{p} = 0 $$

si et seulement si :

$$ \overrightarrow{O_5\sigma} \cdot \overrightarrow{O_5P_5} = 0 $$

où $P_5$ est le point (du paraboloïde $\mathcal{P}$) défini par :

$$ \overrightarrow{O_5P_5} = \vec{p} $$

La démonstration concernant $\vec{\pi}$ est analogue.

<figure><img src="image_180.png" /></figure>

Nous venons de montrer, via le corollaire 2 que si $\sigma$ représente une sphère $S$ de $\mathcal{E}_3$, l'intersection entre l'hyperplan $\mathcal{H}_{\sigma\perp}$, de vecteur normal $\vec{\sigma}$ et passant par $O_5$ et le paraboloïde $\mathcal{P}$ est l'ensemble des points de la sphère $S$.

### 10.4.1 Sphère, centre, vecteur normal unitaire, courbure

Dans ce paragraphe, nous allons mélanger des tomates et des cendriers<fnref n="5" /> en écrivant proprement l'idée suivante : une sphère est complètement déterminée par, son centre $\Omega$, un point $M_0$, le vecteur normal unitaire $\vec{N}_\rho = -\vec{N}$ au point $M_0$ précédent et sa courbure $k = \frac{1}{\rho}$. Nous allons montrer, que dans l'espace de Lorentz, nous avons [LW08, Cec92] :

$$ \overrightarrow{O_5\sigma} = \vec{\sigma} = \frac{1}{\rho}\vec{m}_0 + \vec{n} = \frac{1}{\rho}\overrightarrow{O_5m_0} + \vec{n} \quad (10.20) $$

où $\vec{n}$ est le projeté orthogonal unitaire, sur le 3-plan tangent au paraboloïde en $m_0$ de la représentation du vecteur $\vec{N}_\rho$ dans l'espace de Lorentz.

Dans le repère $(O_5, \vec{e}_o, \vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3, \vec{e}_\infty)$ de l'algèbre conforme, l'équation du paraboloïde est donnée par la formule (10.7) ce qui induit la définition des deux applications suivantes :

$$ \begin{cases} f_1(x_o; x; y; z; x_\infty) = x_o - 1 \\ f_2(x_o; x; y; z; x_\infty) = x^2 + y^2 + z^2 - 2 x_o x_\infty \end{cases} $$

Posons $M = (x_o; x; y; z; x_\infty)$ et $h = (h_o; x_h; y_h; z_h; h_\infty)$. Nous avons :

$$ d_M f_1 = \frac{\partial f_1}{\partial x_o} (M) dx_o = 1 dx_o $$

<footnote n="5">5. Clin d'œil à la multiplication des Frères Ennemis.</footnote>

<footnote n="6">6. Si $\vec{N}$ est sortant, la courbure est $-\frac{1}{R}$ ce qui explique que nous prenons l'opposé du vecteur normal.</footnote>
d'où :

$$d_M f_1(h) = h_0 = -(-1_\infty) h_o = \overrightarrow{\nabla f_1(M)} \cdot \overrightarrow{h}$$

où $\overrightarrow{h} = (h_o; x_h; y_h; z_h; h_\infty)$ et $\overrightarrow{\nabla f_1(M)}$ est le vecteur gradient à l'hyperplan $\mathcal{H}$ en $M$. Nous obtenons :

$$\overrightarrow{\nabla f_1(M)} (0; 0; 0; 0; -1)$$

De même, nous avons :

$$d_M f_2 = -2 x_\infty dx_o + 2 x dx + 2 y dy + 2 z dz - 2 x_o dx_\infty$$

d'où :

$$d_M f_2(h) = -2 x_\infty h_o + 2 x x_h + 2 y y_h + 2 z z_h - 2 x_o h_\infty = \overrightarrow{\nabla f_2(M)} \cdot \overrightarrow{h}$$

ce qui conduit à :

$$\overrightarrow{\nabla f_2(M)} (2 x_o; 2 x; 2 y; 2 z; 2 x_\infty)$$

Prenons $\Omega_0 (x_0; y_0; z_0)$ et $M_0 (x_0; y_0; z_0 + \rho)$ et $\overrightarrow{N} (0; 0; \text{sign}(\rho))$ et nous supposons $\rho$ strictement positif. Nous avons :

$$\overrightarrow{m_0} = \overrightarrow{e_0} + \overrightarrow{M_0} + \frac{1}{2} \overrightarrow{M_0}^2 \overrightarrow{e_\infty}$$

et le point du paraboloïde est $m_0$ défini par $\overrightarrow{O_5 m_0} = \overrightarrow{m_0}$.

Le vecteur $\overrightarrow{n}$ cherché a pour composantes $(n_0; 0; 0; -1; n_\infty)$ et doit vérifier les conditions suivantes :

$$\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{\nabla f_1(m_0)} \cdot \overrightarrow{n} = 0 \\ \overrightarrow{\nabla f_2(m_0)} \cdot \overrightarrow{n} = 0 \end{array} \right.$$

Commençons par résoudre la première équation :

$$\overrightarrow{\nabla f_1(m_0)} \cdot \overrightarrow{n} = 0 \iff -n_o \times -1 = 0 \iff n_o = 0$$

et nous obtenons $\overrightarrow{n} (0; 0; 0; -1; n_\infty)$. Pour la seconde équation, nous avons :

$$\overrightarrow{\nabla f_2(m_0)} (2; 2 x_o; 2 y_o; 2 z_o + 2\rho; \overrightarrow{M_0}^2)$$

d'où :

$$\overrightarrow{\nabla f_2(m_0)} \cdot \overrightarrow{n} = 0 \iff -2 n_\infty - 2 z_0 - 2\rho = 0 \iff n_\infty = -(z_0 + \rho)$$

et finalement, nous avons $\overrightarrow{n} (0; 0; 0; -1; -(z_0 + \rho))$ qui est bien unitaire et que nous pouvons écrire :

$$\overrightarrow{n} = -\overrightarrow{N} - (z_0 + \rho) \overrightarrow{e_\infty}$$
$$
\begin{align*}
\vec{\sigma}_0 - \frac{1}{\rho} \vec{m}_0 &= \frac{1}{\rho} \left( \vec{e}_o + \vec{\Omega}_0 + \frac{1}{2} \left( \left\| \vec{\Omega}_0 \right\|^2 - \rho^2 \right) \vec{e}_{\infty} \right) - \frac{1}{\rho} \left( \vec{e}_o + \vec{M}_0 + \frac{1}{2} \vec{M}_0^2 \vec{e}_{\infty} \right) \\
&= \frac{1}{\rho} \left( \vec{\Omega}_0 - \vec{M}_0 \right) + \frac{1}{2\rho} \left( \left( \left\| \vec{\Omega}_0 \right\|^2 - \rho^2 \right) - \vec{M}_0^2 \right) \vec{e}_{\infty} \\
&= -\vec{N} + \frac{1}{2\rho} \left( \vec{\Omega}_0^2 - \vec{M}_0^2 - \rho^2 \right) \vec{e}_{\infty} \\
&= -\vec{N} + \frac{1}{2\rho} \left( \vec{\Omega}_0^2 - \left( \vec{\Omega}_0 + \rho \vec{N} \right)^2 - \rho^2 \right) \vec{e}_{\infty} \\
&= -\vec{N} + \frac{1}{2\rho} \left( \vec{\Omega}_0^2 - \left( \vec{\Omega}_0^2 + 2\rho \vec{\Omega}_0 \cdot \vec{N} + \rho^2 \vec{N}^2 \right) - \rho^2 \right) \vec{e}_{\infty} \\
&= -\vec{N} + \frac{1}{2\rho} \left( -2\rho \vec{\Omega}_0 \cdot \vec{N} - \rho^2 - \rho^2 \right) \vec{e}_{\infty} \\
&= -\vec{N} + \frac{1}{2} \left( -2 \vec{\Omega}_0 \cdot \vec{N} - 2\rho \right) \vec{e}_{\infty} \\
&= -\vec{N} + (-z_0 - \rho) \vec{e}_{\infty}
\end{align*}
$$

Si nous gardons le vecteur normal $\vec{n}_{\rho}$ induit par l'orientation de la sphère $\sigma$, nous obtenons :

$$ \vec{O}_5 \sigma = \vec{\sigma} = \frac{1}{\rho} \vec{m}_0 - \vec{n}_{\rho} = \frac{1}{\rho} \overline{O_5 m_0} - \vec{n}_{\rho} \quad (10.21) $$

## 10.4.2 Position relative de deux sphères

Soit $i$ appartenant à $\{1; 2\}$. Considérons le vecteur $\vec{\sigma}_i$ représentant la sphère $S_i$ de $\mathcal{E}_3$ de centre $\Omega_i$ et de rayon $\rho_i$. Alors, nous avons :

$$
\begin{align*}
\vec{\sigma}_1 \cdot \vec{\sigma}_2 &= \frac{1}{\rho_1} \left( \vec{e}_o + \vec{\Omega}_1 + \frac{1}{2} \left( \left\| \vec{\Omega}_1 \right\|^2 - \rho_1^2 \right) \vec{e}_{\infty} \right) \cdot \frac{1}{\rho_2} \left( \vec{e}_o + \vec{\Omega}_2 + \frac{1}{2} \left( \left\| \vec{\Omega}_2 \right\|^2 - \rho_2^2 \right) \vec{e}_{\infty} \right) \\
&= \frac{1}{\rho_1 \rho_2} \left( \vec{\Omega}_1 \cdot \vec{\Omega}_2 - \frac{1}{2} \left( \left\| \vec{\Omega}_1 \right\|^2 - \rho_1^2 \right) - \frac{1}{2} \left( \left\| \vec{\Omega}_2 \right\|^2 - \rho_2^2 \right) \right) \\
&= \frac{1}{2\rho_1 \rho_2} \left( - \left( \vec{\Omega}_1 - \vec{\Omega}_2 \right)^2 + \rho_1^2 + \rho_2^2 \right) = \frac{1}{2\rho_1 \rho_2} \left( - \overline{\Omega_2 \vec{\Omega}_1^2} + \rho_1^2 + \rho_2^2 \right)
\end{align*}
$$

d'où :

$$ \vec{\sigma}_1 \cdot \vec{\sigma}_2 = -\frac{1}{2\rho_1\rho_2} \chi_{S_1,S_2} \quad (10.22) $$

où $\chi_{S_1,S_2}$ désigne la puissance conjointe des sphères $S_1$ et $S_2$. Nous pouvons énoncer :

**Proposition 8 :** *position relative de deux sphères*

Soit $S_1$ et $S_2$ deux sphères de $\mathcal{E}_3$ de centres respectifs $\Omega_1$ et $\Omega_2$, de rayons respectifs $\rho_1$ et $\rho_2$ et de représentations respectives $\vec{\sigma}_1$ et $\vec{\sigma}_2$ sur $\Lambda^4$. Alors :
1. Les sphères $S_1$ et $S_2$ sont orthogonales si et seulement si $\vec{\sigma_1} \cdot \vec{\sigma_2} = 0$;

2. Les sphères $S_1$ et $S_2$ sont tangentes si et seulement si $|\vec{\sigma_1} \cdot \vec{\sigma_2}| = 1$;

3. Les sphères $S_1$ et $S_2$ sont disjointes si et seulement si $|\vec{\sigma_1} \cdot \vec{\sigma_2}| > 1$;

4. Les sphères $S_1$ et $S_2$ sont sécantes si et seulement si $|\vec{\sigma_1} \cdot \vec{\sigma_2}| < 1$.

Démonstration :

Posons $r_1 = |\rho_1|$ et $r_2 = |\rho_2|$. Il suffit d'utiliser la formule (10.22) qui se simplifie en :

$$|\vec{\sigma_1} \cdot \vec{\sigma_2}| = \frac{1}{2r_1r_2} |\Omega_1\Omega_2^2 - r_1^2 - r_2^2| \quad (10.23)$$

1. Les sphères $S_1$ et $S_2$ sont orthogonales $\Leftrightarrow \chi_{S_1,S_2} = 0 \Leftrightarrow \vec{\sigma_1} \cdot \vec{\sigma_2} = 0$;

2. Les sphères $S_1$ et $S_2$ sont tangentes extérieurement (resp. intérieurement) $\Leftrightarrow$ nous avons $\Omega_1\Omega_2 = r_1 + r_2$ (resp. $\Omega_1\Omega_2 = |r_1 - r_2|$) $\Leftrightarrow \overrightarrow{\Omega_1\Omega_2}^2 = r_1^2 + r_2^2 + 2r_1r_2$ (resp. $\overrightarrow{\Omega_1\Omega_2}^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2$) $\Leftrightarrow |\vec{\sigma_1} \cdot \vec{\sigma_2}| = 1$;

3. Les sphères $S_1$ et $S_2$ sont disjointes, nous devons distinguer deux cas.

$$\text{◀ } \Omega_1\Omega_2 > r_1 + r_2 \Leftrightarrow \Omega_1\Omega_2^2 > r_1^2 + r_2^2 + 2r_1r_2 \Leftrightarrow |\vec{\sigma_1} \cdot \vec{\sigma_2}| > 1;$$

$$\text{◀ } \Omega_1\Omega_2 < |r_1 - r_2| \Leftrightarrow \Omega_1\Omega_2^2 < r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2 \Leftrightarrow |\vec{\sigma_1} \cdot \vec{\sigma_2}| > 1.$$

4. Les sphères $S_1$ et $S_2$ sont sécantes, nous avons :

$$|r_1 - r_2| < \Omega_1\Omega_2 < r_1 + r_2 \Leftrightarrow r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2 < \Omega_1\Omega_2^2 < r_1^2 + r_2^2 + 2r_1r_2 \Leftrightarrow |\vec{\sigma_1} \cdot \vec{\sigma_2}| < 1$$

<figure><img src="image_181.png" /></figure>

Considérons une sphère $S_1$ de centre $\Omega_1$ et de rayon $\rho_1$ non nul de représentation $\vec{\sigma_1}$ sur $\Lambda^4$ et considérons un plan $\mathcal{P}_1$ passant par le point $P_1$, de vecteur normal unitaire $\vec{N}_1$ et de représentation $\vec{\pi}_1$ sur $\Lambda^4$. Nous avons :

$$\begin{align*}
\vec{\sigma_1} \cdot \vec{\pi}_1 &= \frac{1}{\rho_1} \left( \vec{e_o} + \overrightarrow{O_3\Omega_1} + \frac{\|\overrightarrow{O_3\Omega_1}\|^2 - \rho_1^2}{2} \vec{e_\infty} \right) \cdot \left( \vec{N_1} + \left( \vec{N_1} \cdot \overrightarrow{O_3P_1} \right) \vec{e_\infty} \right) \\
&= \frac{1}{\rho_1} \left( \overrightarrow{O_3\Omega_1} \cdot \vec{N_1} + \left( \vec{N_1} \cdot \overrightarrow{O_3P_1} \right) \underbrace{\vec{e_o} \cdot \vec{e_\infty}}_{=-1} \right) = \frac{1}{\rho_1} \left( \left( \overrightarrow{O_3\Omega_1} - \overrightarrow{O_3P_1} \right) \cdot \vec{N_1} \right)
\end{align*}$$

d'où :

$$\vec{\sigma_1} \cdot \vec{\pi_1} = \frac{1}{\rho_1} \overrightarrow{P_1\Omega_1} \cdot \vec{N_1} \quad (10.24)$$

Nous pouvons énoncer :
**Proposition 9** : position relative d'une sphère et d'un plan

Soit $S_1$ une sphère de $\mathcal{E}_3$, de centre $\Omega_1$, de rayon $\rho_1$ et de représentation $\vec{\sigma}_1$ sur $\Lambda^4$. Soit $\mathcal{P}_1$ un plan passant par le point $P_1$, de vecteur normal unitaire $\vec{N}_1$ et de représentation $\vec{\pi}_1$ sur $\Lambda^4$.
Alors :

1. La sphère $S_1$ et le plan $\mathcal{P}_1$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec{\sigma}_1 \cdot \vec{\pi}_1 = 0$;

2. La sphère $S_1$ et le plan $\mathcal{P}_1$ sont tangents si et seulement si $|\vec{\sigma}_1 \cdot \vec{\pi}_1| = 1$;

3. La sphère $S_1$ et le plan $\mathcal{P}_1$ sont disjoints si et seulement si $|\vec{\sigma}_1 \cdot \vec{\pi}_1| > 1$;

4. La sphère $S_1$ et le plan $\mathcal{P}_1$ sont sécants si et seulement si $|\vec{\sigma}_1 \cdot \vec{\pi}_1| < 1$.

Démonstration :

Il suffit de prendre pour $P_1$ le projeté orthogonal de $\Omega_1$ sur $\mathcal{P}_1$ et la formule (10.24) devient :

$$|\vec{\sigma}_1 \cdot \vec{\pi}_1| = \frac{P_1 \Omega_1}{|\rho_1|} \qquad (10.25)$$

1. La sphère $S_1$ et le plan $\mathcal{P}_1$ sont orthogonaux $\Leftrightarrow \Omega_1 = P_1 \Leftrightarrow \vec{\sigma}_1 \cdot \vec{\pi}_1 = 0$;

2. La sphère $S_1$ et le plan $\mathcal{P}_1$ sont tangents $\Leftrightarrow P_1 \Omega_1 = |\rho_1| \Leftrightarrow |\vec{\sigma}_1 \cdot \vec{\pi}_1| = 1$;

3. La sphère $S_1$ et le plan $\mathcal{P}_1$ sont disjoints $\Leftrightarrow P_1 \Omega_1 > |\rho_1| \Leftrightarrow |\vec{\sigma}_1 \cdot \vec{\pi}_1| > 1$;

4. La sphère $S_1$ et le plan $\mathcal{P}_1$ sont sécants $\Leftrightarrow P_1 \Omega_1 < |\rho_1| \Leftrightarrow |\vec{\sigma}_1 \cdot \vec{\pi}_1| < 1$.

<figure><img src="image_182.png" /></figure>

Considérons deux plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ passant respectivement par les points $P_1$ et $P_2$, de vecteurs normaux unitaires respectifs $\vec{N}_1$ et $\vec{N}_2$ et de représentations respectives $\vec{\pi}_1$ et $\vec{\pi}_2$ sur $\Lambda^4$. Nous avons :

$$\vec{\pi}_1 \cdot \vec{\pi}_2 = (\vec{N}_1 + (\vec{N}_1 \cdot \overline{O_3 P_1}) \vec{e}_\infty) \cdot (\vec{N}_2 + (\vec{N}_2 \cdot \overline{O_3 P_2}) \vec{e}_\infty) = \vec{N}_1 \cdot \vec{N}_2 \qquad (10.26)$$

Nous pouvons énoncer :

**Proposition 10** : position relative de deux plans

Soit deux plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ passant respectivement par les points $P_1$ et $P_2$, de vecteurs normaux unitaires respectifs $\vec{N}_1$ et $\vec{N}_2$ et de représentations respectives $\vec{\pi}_1$ et $\vec{\pi}_2$ sur $\Lambda^4$. Alors :

1. Les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec{\pi}_1 \cdot \vec{\pi}_2 = 0$;

2. Les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont parallèles si et seulement si $|\vec{\pi}_1 \cdot \vec{\pi}_2| = 1$;

3. Les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont sécants si et seulement si $|\vec{\pi}_1 \cdot \vec{\pi}_2| < 1$.

Démonstration : Triviale à partir de la formule (10.26)

<figure><img src="image_183.png" /></figure>

Comme un point est une sphère de rayon nul, faisons la remarque suivante :
**Remarque 1 :**

Les points de $\mathcal{E}_3$ sont des sphères de rayons nuls et les deux représentations, formules (10.10) et (10.13), conduisent à la même direction vectorielle car nous avons :

$$ \lim_{\rho \to 0} \rho \vec{\sigma} = \left( \vec{e}_o + \vec{\Omega} + \frac{1}{2} \|\vec{\Omega}\|^2 \vec{e}_{\infty} \right) = \vec{\omega} $$

et $\vec{\sigma}$ est le « point » à l'infini de la droite vectorielle définie par le point $\vec{\omega}$.

Notons que pour tout couple de sphères $(\vec{\sigma}_1; \vec{\sigma}_2)$, nous avons :

$$ \overline{\sigma_1 \sigma_2^2} = \overline{\sigma_1^2} - 2 \overline{\sigma_1} \cdot \overline{\sigma_2} + \overline{\sigma_2^2} = 2 (1 - \overline{\sigma_1} \cdot \overline{\sigma_2}) \quad (10.27) $$

et que la position relative de deux sphères ne dépend pas de leur orientation. Soit $\overline{\sigma_2} = -\overline{\sigma_1}$ représentant la sphère d'orientation inverse par rapport à $\overline{\sigma_2}$. D'après les propositions 8, 9 et 10, nous pouvons énoncer :

**Proposition 11 :**

Soit $S_1$ et $S_2$ deux sphères ou plans de $\mathcal{E}_3$ de représentation $\overline{\sigma_1}$ et $\overline{\sigma_2}$ sur $\Lambda^4$ et $\overline{\sigma_2} = -\overline{\sigma_1}$.

Les sphères $S_1$ et $S_2$ sont tangentes si et seulement si $\overline{\sigma_1 \sigma_2^2} = 0$ ou $\overline{\sigma_1 \sigma_2^2} = 0$.

Nous pouvons en déduire :

**Corollaire 3 :**

Soit $S_1$ et $S_2$ deux sphères ou deux plans de $\mathcal{E}_3$ de même orientation de représentation $\overline{\sigma_1}$ et $\overline{\sigma_2}$ sur $\Lambda^4$.

Les sphères $S_1$ et $S_2$ sont tangentes si et seulement si $\overline{\sigma_1 \sigma_2^2} = 0$ si et seulement si :

$$ \overline{\sigma_1} \cdot \overline{\sigma_2} = 1 \quad (10.28) $$

**Démonstration :** Deux cas sont à distinguer.

* Dans le cas de deux sphères de même orientation, nous utilisons la formule (10.23). Les sphères sont tangentes si et seulement si elles sont tangentes intérieurement, et d'après le tableau 6.1, nous obtenons $\Omega_1\Omega_2 = ||\rho_1| - |\rho_2||$ d'où :

$$ \Omega_1 \Omega_2^2 = (|\rho_1| - |\rho_2|)^2 = \rho_1^2 + \rho_2^2 - 2 \underbrace{\rho_1 \rho_2}_{>0} $$

car les deux rayons sont de même signe. Ainsi, nous obtenons :

$$ \overrightarrow{\sigma_1} \cdot \overrightarrow{\sigma_2} = -\frac{1}{2\rho_1\rho_2} (\rho_1^2 + \rho_2^2 - 2\rho_1\rho_2 - (\rho_1^2 + \rho_2^2)) = 1 $$
• : Dans le cas de deux plans, c'est triviale à partir de la formule (10.26).

<figure><img src="image_184.png" /></figure>

Considérons une sphère orientée $S_1$ de $\mathcal{E}_3$ représentée par $\vec{\sigma}_1$ sur $\Lambda^4$. Notons $\vec{\sigma}_1 = -\vec{\sigma}_1$, le vecteur position symétrique de $\vec{\sigma}_1$ par rapport à l'origine $O_5$, correspondant à l'autre orientation de la sphère $S_1$, i.e :

$$ \vec{O_5\sigma_1} = -\vec{O_5\sigma_1} $$

L'intersection de l'hyperplan $T_{\sigma_1}\Lambda^4$ (resp. $T_{\sigma_1^-}\Lambda^4$) tangent à $\Lambda^4$ en $\sigma_1$ (resp. $\sigma_1^-$) avec $\Lambda^4$ est la sphère, de centre $\sigma_1$ (resp. $\sigma_1^-$), de rayon nul qui se trace comme un cône euclidien $C_\sigma$ (resp. $C_\sigma^-$) de dimension 3, de centre $\sigma_1$ (resp. $\sigma_1^-$), figure 10.10 et nous pouvons définir trois zones délimitées par $C_{\sigma_1}$, tableau 10.2 et nous nous en servirons dans le paragraphe 13.2.

<table><caption>TABLE 10.2 – Définition de l'intérieur et de l'extérieur du cône $C_\sigma$, de sommet $\sigma$, de dimension 3, défini par : $C_\sigma = \Lambda^4 \cap T_\sigma\Lambda^4$.</caption><thead><tr><th>τ ∈ Λ<sup>4</sup> est</th><th>Condition</th><th>Nature de σ̄τ</th></tr></thead><tbody><tr><td>à l'intérieur de C<sub>σ</sub></td><td>Q<sub>4,1</sub>(σ̄τ) &lt; 0</td><td>Temps</td></tr><tr><td>sur C<sub>σ</sub></td><td>Q<sub>4,1</sub>(σ̄τ) = 0</td><td>Lumière</td></tr><tr><td>à l'extérieur de C<sub>σ</sub></td><td>Q<sub>4,1</sub>(σ̄τ) &gt; 0</td><td>Espace</td></tr></tbody></table>

### 10.4.3 Faisceaux linéaires de sphères

Le résultat fondamental concernant la représentation d'un faisceau de cercles sur $\Lambda^4$ peut être énoncé :

**Théorème 23 :**

* La section de la quadrique $\Lambda^4$ par un plan $\mathcal{P}$ de type espace est un cercle unitaire (qui se trace comme une ellipse) et correspond à un faisceau de sphères à base cercle, i.e. toutes les sphères du faisceau ont un cercle commun, figures 6.2(a) et 10.11(a).

* La section de la quadrique $\Lambda^4$ par un plan $\mathcal{P}$ de type lumière est un cercle unitaire (qui se trace comme l'union de deux droites symétriques par rapport à $O_5$) et correspond à un faisceau de sphères tangentes en un point, figures 6.2(b) et 10.11(b). Notons que ce point est défini par la direction lumière de l'une des droites.

* La section de la quadrique $\Lambda^4$ par un plan $\mathcal{P}$ de type temps est un cercle unitaire (qui se trace comme une hyperbole) et correspond à un faisceau de sphères à points limites, figures 6.2(c) et 10.11(c).

**Démonstration :**

Commençons par démontrer le lemme suivant :
<figure><img src="image_185.png" /><figcaption>FIGURE 10.10 – Cônes $C_{\sigma_1}$ et $C_{\sigma_1^-}$, de dimension 3, de sommets $\sigma_1$ et $\sigma_1^- : C_{\sigma_1} = \Lambda^4 \cap T_{\sigma_1} \Lambda^4$ et $C_{\sigma_1} = \Lambda^4 \cap T_{\sigma_1^-} \Lambda^4$.</figcaption></figure>

**Lemme 7 :**

La représentation d'un faisceau de sphères est obtenue comme section de $\Lambda^4$ par un plan passant par le point $O_5$.

**Démonstration :**

Soit deux sphères $S_1$ et $S_2$ non concentriques, de centres respectifs $\Omega_1$ et $\Omega_2$, de rayons respectifs $\rho_1$ et $\rho_2$. Soit $\vec{\sigma}_1$ (resp. $\vec{\sigma}_2$) la représentation de $S_1$ (resp. $S_2$) sur $\Lambda^4$. Nous rappelons les expressions de $\vec{\sigma}_1$ et $\vec{\sigma}_2$ :

$$ \left\{ \begin{aligned} \rho_1 \vec{\sigma}_1 &= \vec{e}_o + \overrightarrow{O_3\Omega_1} + \frac{\|\overrightarrow{O_3\Omega_1}\|^2 - \rho_1^2}{2} \vec{e}_\infty \\ \rho_2 \vec{\sigma}_2 &= \vec{e}_o + \overrightarrow{O_3\Omega_2} + \frac{\|\overrightarrow{O_3\Omega_2}\|^2 - \rho_2^2}{2} \vec{e}_\infty \end{aligned} \right. $$
**1/Cas où $\lambda_1 + \lambda_2 = 0$**

Nous pouvons nous restreindre au cas $\lambda_1 = 1 = -\lambda_2$. Commençons par remarquer :

$$ egin{cases} \overrightarrow{O_3\Omega_1^2} = \overrightarrow{O_3I_0^2} + 2\overrightarrow{O_3I_0} \cdot \overrightarrow{I_0\Omega_1} + \overrightarrow{I_0\Omega_1^2} \\ \overrightarrow{O_3\Omega_2^2} = \overrightarrow{O_3I_0^2} + 2\overrightarrow{O_3I_0} \cdot \overrightarrow{I_0\Omega_2} + \overrightarrow{I_0\Omega_2^2} \end{cases} $$

où $I_0$ est défini par la formule (6.7). Notons que $I_0$ vérifie la formule (6.5).

Calculons :

$$ egin{align*} \frac{\rho_1}{\Omega_2\Omega_1} \vec{\sigma}_1 - \frac{\rho_2}{\Omega_2\Omega_1} \vec{\sigma}_2 &= \frac{1}{\Omega_2\Omega_1} \left( \overrightarrow{O_3\Omega_1} - \overrightarrow{O_3\Omega_2} + \frac{\left\| \overrightarrow{O_3\Omega_1} \right\|^2 - \rho_1^2 - \left\| \overrightarrow{O_3\Omega_2} \right\|^2 + \rho_2^2}{2} \vec{e}_\infty \right) \\ &= \frac{1}{\Omega_2\Omega_1} \overrightarrow{\Omega_2\Omega_1} + \frac{2 \overrightarrow{O_3I_0} \cdot (\overrightarrow{I_0\Omega_1} - \overrightarrow{I_0\Omega_2}) + \underbrace{\overrightarrow{I_0\Omega_1^2} - \rho_1^2 - \overrightarrow{I_0\Omega_2^2} + \rho_2^2}_{0}}{2 \Omega_2\Omega_1} \vec{e}_\infty \\ &= \frac{1}{\Omega_2\Omega_1} \overrightarrow{\Omega_2\Omega_1} + \left( \overrightarrow{O_3I_0} \cdot \frac{1}{\Omega_2\Omega_1} \overrightarrow{\Omega_2\Omega_1} \right) \vec{e}_\infty = \vec{\pi}_1 \end{align*} $$

et les représentations des plans orientés du faisceau de sphères sont coplanaires avec $\vec{\sigma}_1$ et $\vec{\sigma}_2$ ($\vec{\pi}_1$ est le plan passant par $I_0$ et de vecteur normal unitaire $\frac{1}{\Omega_2\Omega_1}\overrightarrow{\Omega_2\Omega_1}$).

**2/Cas où $\lambda_1 + \lambda_2 \neq 0$**

Soit $\lambda_1$ et $\lambda_2$ deux réels non tous deux nuls et non opposés. Notons $\vec{\sigma}_{12}$ la représentation sur $\Lambda^4$ de la sphère $\lambda_1 S_1 + \lambda_2 S_2$ du faisceau de sphères défini par les sphères $S_1$ et $S_2$. Nous avons vu que nous pouvions nous restreindre au cas $\lambda_2 = 1 - \lambda_1$. Le centre $\Omega_{12}$ de la sphère $\lambda_1 S_1 + (1 - \lambda_1) S_2$ est le barycentre des points pondérés $(\Omega_1, \lambda_1)$ et $(\Omega_2, 1 - \lambda_1)$ tandis que le rayon $\rho_{12}$ est donné par :

$$ \rho_{12} = \varepsilon \sqrt{-\lambda_1 (\Omega_1 \Omega_{12}^2 - \rho_1^2) - (1 - \lambda_1) (\Omega_2 \Omega_{12}^2 - \rho_2^2)} \quad (10.29) $$

Posons :

$$ \vec{\sigma}_{12} = \frac{1}{\rho_{12}} \left( \vec{e}_o + \frac{\left\| \lambda_1 \overrightarrow{O_3\Omega_1} + (1-\lambda_1) \overrightarrow{O_3\Omega_2} \right\|^2 - \rho_{12}^2}{2} \vec{e}_\infty \right) + \frac{1}{\rho_{12}} \left( \lambda_1 \overrightarrow{O_3\Omega_1} + (1-\lambda_1) \overrightarrow{O_3\Omega_2} \right) \quad (10.30) $$

et montrons la relation $\vec{\sigma}_{12}^2 = 1$.

$$ \vec{\sigma}_{12}^2 = \frac{1}{\rho_{12}^2} \left( \vec{e}_o + \lambda_1 \overrightarrow{O_3\Omega_1} + (1-\lambda_1) \overrightarrow{O_3\Omega_2} + \frac{1}{2} \left( \left\| \lambda_1 \overrightarrow{O_3\Omega_1} + (1-\lambda_1) \overrightarrow{O_3\Omega_2} \right\|^2 - \rho_{12}^2 \right) \vec{e}_\infty \right)^2 $$
$$
\begin{align*}
&= \frac{1}{\rho_{12}^2} \left( \left\| \lambda_1 \overline{O_3 \Omega_1} + (1-\lambda_1) \overline{O_3 \Omega_2} \right\|^2 - 2 \frac{1}{2} \left( \left\| \lambda_1 \overline{O_3 \Omega_1} + (1-\lambda_1) \overline{O_3 \Omega_2} \right\|^2 - \rho_{12}^2 \right) \right) \\
&= 1
\end{align*}
$$

Montrons la relation :

$$
\rho_{12} \overrightarrow{\sigma_{12}} = \lambda_1 \rho_1 \overrightarrow{\sigma_1} + (1 - \lambda_1) \rho_2 \overrightarrow{\sigma_2} \quad (10.31)
$$

La combinaison convexe $\vec{e}_o = \lambda_1 \vec{e}_o + (1 - \lambda_1) \vec{e}_o$ conduit à :

$$
\begin{align}
& \lambda_1 \rho_1 \overrightarrow{\sigma_1} + (1 - \lambda_1) \rho_2 \overrightarrow{\sigma_2} \nonumber \\
&= \overrightarrow{e_o} + \lambda_1 \overline{O_3 \Omega_1} + (1 - \lambda_1) \overline{O_3 \Omega_2} \nonumber \\
&\quad + \frac{\lambda_1 \left( \left\| \overline{O_3 \Omega_1} \right\|^2 - \rho_1^2 \right) + (1 - \lambda_1) \left( \left\| \overline{O_3 \Omega_2} \right\|^2 - \rho_2^2 \right)}{2} \overrightarrow{e_\infty} \tag{10.32}
\end{align}
$$

et, en comparant les formules (10.30) et (10.32), la relation donnée dans la formule est vérifiée
si et seulement si nous avons :

$$
\begin{equation}
\begin{split}
& \left\| \lambda_1 \overline{O_3 \Omega_1} + (1-\lambda_1) \overline{O_3 \Omega_2} \right\|^2 - \rho_{12}^2 = \\
& \qquad \lambda_1 \left( \left\| \overline{O_3 \Omega_1} \right\|^2 - \rho_1^2 \right) + (1-\lambda_1) \left( \left\| \overline{O_3 \Omega_2} \right\|^2 - \rho_2^2 \right)
\end{split}
\tag{10.33}
\end{equation}
$$

Comme nous avons :

$$
\left\| \lambda_1 \overline{O_3 \Omega_1} + (1 - \lambda_1) \overline{O_3 \Omega_2} \right\|^2 = \lambda_1^2 \overline{O_3 \Omega_1}^2 + (1 - \lambda_1)^2 \overline{O_3 \Omega_2}^2 + 2\lambda_1 (1 - \lambda_1) \overline{O_3 \Omega_1} \cdot \overline{O_3 \Omega_2}
$$

il reste à calculer $-\rho_{12}^2$ :

$$
\begin{align*}
-\rho_{12}^2 &= \lambda_1 \left( \left( \overline{\Omega_1 O_3} + \overline{O_3 \Omega_{12}} \right)^2 - \rho_1^2 \right) + (1-\lambda_1) \left( \left( \overline{\Omega_2 O_3} + \overline{O_3 \Omega_{12}} \right)^2 - \rho_2^2 \right) \\
&= \lambda_1 \left( \overline{\Omega_1 O_3}^2 + \overline{O_3 \Omega_{12}}^2 + 2 \overline{\Omega_1 O_3} \cdot \overline{O_3 \Omega_{12}} - \rho_1^2 \right) \\
&\quad + (1-\lambda_1) \left( \overline{\Omega_2 O_3}^2 + \overline{O_3 \Omega_{12}}^2 + 2 \overline{\Omega_2 O_3} \cdot \overline{O_3 \Omega_{12}} - \rho_2^2 \right) \\
&= \lambda_1 \left( \overline{\Omega_1 O_3}^2 - \rho_1^2 \right) + (1-\lambda_1) \left( \overline{\Omega_2 O_3}^2 - \rho_2^2 \right) + \overline{O_3 \Omega_{12}}^2 \\
&\quad + 2 \left( \lambda_1 \overline{\Omega_1 O_3} + (1-\lambda_1) \overline{\Omega_2 O_3} \right) \cdot \overline{O_3 \Omega_{12}}
\end{align*}
$$

et la condition donnée par la formule (10.33) devient :

$$
\left\| \lambda_1 \overline{O_3 \Omega_1} + (1 - \lambda_1) \overline{O_3 \Omega_2} \right\|^2 + \overline{O_3 \Omega_{12}}^2 - 2 \left( \lambda_1 \overline{O_3 \Omega_1} + (1 - \lambda_1) \overline{O_3 \Omega_2} \right) \cdot \overline{O_3 \Omega_{12}} = 0
$$
qui se simplifie en :

$$ \left\| \lambda_1 \overrightarrow{O_3 \Omega_1} + (1 - \lambda_1) \overrightarrow{O_3 \Omega_2} \right\|^2 - \left( \lambda_1 \overrightarrow{O_3 \Omega_1} + (1 - \lambda_1) \overrightarrow{O_3 \Omega_2} \right) \bullet \overrightarrow{O_3 \Omega_{12}} = 0 $$

puisque $\Omega_{12}$ est le barycentre des points pondérés $(\Omega_1, \lambda_1)$ et $(\Omega_2, \lambda_2)$. Pour la même raison, l'équation précédente devient :

$$ \left\| \lambda_1 \overrightarrow{O_3 \Omega_1} + (1 - \lambda_1) \overrightarrow{O_3 \Omega_2} \right\|^2 - \left\| \lambda_1 \overrightarrow{O_3 \Omega_1} + (1 - \lambda_1) \overrightarrow{O_3 \Omega_2} \right\|^2 = 0 $$

qui est toujours vérifiée : la relation (10.31) est donc toujours vérifiée.

**3/ Conclusion :** les vecteurs $\overrightarrow{\sigma}_{12}$, $\overrightarrow{\sigma}_1$ et $\overrightarrow{\sigma}_2$ sont donc coplanaires pour toutes valeurs de $\lambda_1$ et $\lambda_2$. De plus, si $\sigma$ est un point représentant une sphère du faisceau, $-\sigma$ en est aussi un, le plan contenant les représentations des sphères d'un faisceau contient donc le point $O_5$.

<figure><img src="image_186.png" /></figure>

Il reste à déterminer le type du plan. Pour ce faire, en utilisant la remarque 1, dénombrons le nombre de direction(s) lumière du plan :

1. Si nous avons un faisceau de sphères à base cercle, aucun point (i.e. sphère de rayon nul) n'appartient à ce faisceau : le plan est donc de type espace;

2. Si nous avons un faisceau de sphères tangentes, un seul point (i.e. sphère de rayon nul) appartient à ce faisceau : le plan est donc de type lumière;

3. Si nous avons un faisceau de sphères à points limites, deux points (i.e. sphères de rayon nul) appartiennent à ce faisceau : le plan est donc de type temps.

<figure><img src="image_187.png" /></figure>

Notons que, dans les trois cas, un faisceau de sphères est représenté par un cercle unitaire de centre $O_5$, puisque toutes les sphères $S_i$ de ce faisceau sont dans un plan et vérifient $Q_{4,1}(\overrightarrow{O_5 \sigma_i}) = \overrightarrow{\sigma_i}^2 = 1$ où $\sigma_i$ est la représentation de $S_i$ sur $\Lambda^4$.

### 10.4.3.1 Equation d'un faisceau à base cercle

Nous pouvons énoncer :

**Proposition 12 :**

Soit $C$ un cercle de $\mathcal{E}_3$ de centre $\Omega_1$ et de rayon $r_1$ strictement positif. Soit $S_1$ une sphère orientée de centre $\Omega_1$ et de rayon $\rho_1$ tel que $|\rho_1| = r_1$. Soit $\mathcal{P}_1$ un plan orienté tel que $C = \mathcal{P}_1 \cap S_1$ c'est-à-dire que $\mathcal{P}_1$ et $S_1$ sont orthogonaux.

La représentation de $S_1$ (resp. $\mathcal{P}_1$) sur $\Lambda^4$ est $\overrightarrow{\sigma_1}$ (resp. $\overrightarrow{\pi_1}$).

L'équation paramétrique du faisceau de sphères à base le cercle $C$ est :

$$ \overrightarrow{\sigma}(t) = \cos(t) \overrightarrow{\sigma_1} + \sin(t) \overrightarrow{\pi_1}, \ t \in \mathbb{R} \qquad (10.34) $$

**Démonstration :**

D'après le théorème 23, nous savons que toute sphère d'un faisceau peut s'écrire comme combinaison de deux éléments donnés de ce faisceau. Il suffit de montrer que $\overrightarrow{\sigma}(t)$ appartient bien à $\Lambda^4$.
<figure><img src="image_188.png" /><figcaption>FIGURE 10.11 – Représentation des trois types de faisceaux de sphères par des cercles unitaires obtenus chacun comme section de $\Lambda^4$ par un 2-plan affine passant par $O_5$. (a) : un faisceau de sphères à base cercle est représenté par un cercle connexe contenu dans un 2-plan de type espace. (b) : un faisceau de sphères tangentes est représenté par deux droites de type lumière contenues dans un 2-plan de type lumière. (c) : un faisceau de sphères à points limites est représenté par un cercle non connexe contenu dans un 2-plan de type temps.</figcaption></figure>

$$ 
\begin{align*}
\vec{\sigma}(t)^2 &= (\cos(t) \vec{\sigma}_1 + \sin(t) \vec{\pi}_1)^2 \\
&= \cos^2(t) \underbrace{(\vec{\sigma}_1)^2}_{=1} + 2 \cos(t) \sin(t) \underbrace{(\vec{\sigma}_1 \cdot \vec{\pi}_1)}_{=0, \text{proposition 9}} + \sin^2(t) \underbrace{(\vec{\pi}_1)^2}_{=1} \\
&= \cos^2(t) + \sin^2(t)
\end{align*}
$$
$= 1$

<figure><img src="image_189.png" /></figure>

A partir de la formule (10.34), nous avons $\overrightarrow{\sigma}(0) = \overrightarrow{\sigma}_1$ et $\frac{d\overrightarrow{\sigma}}{dt}(0) = \overrightarrow{\dot{\sigma}}(0) = \overrightarrow{\pi}_1$. Trivlement, les sphères dérivées ont pour équation paramétrique :

$$ \overrightarrow{\dot{\sigma}}(t) = -\sin(t) \overrightarrow{\sigma_1} + \cos(t) \overrightarrow{\pi_1}, \quad t \in \mathbb{R} \qquad (10.35) $$

Considérons le cercle C de $\mathcal{E}_3$, dans $\mathcal{P}: z = 0$, de centre $O_3$ et de rayon $2$. Prenons la sphère orientée $\mathcal{S}^-$ de centre $O_3$ et de rayon $-2$ ainsi que le plan orienté $\mathcal{P}$ de vecteur normal $\overrightarrow{k}$. La représentation de $\mathcal{S}^-$ est :

$$ \overrightarrow{O_5\sigma} = -\frac{1}{2} \left( \overrightarrow{e_0} + \overrightarrow{O_3O_3} + \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{O_3O_3} - (-2)^2 \right) \overrightarrow{e_{\infty}} \right) = -\frac{1}{2} \left( \overrightarrow{e_0} - 2 \overrightarrow{e_{\infty}} \right) $$

tandis que la représentation de $\mathcal{P}$ est :

$$ \overrightarrow{O_5\pi} = \overrightarrow{k} + \left( \overrightarrow{O_3O_3} \cdot \overrightarrow{k} \right) \overrightarrow{e_{\infty}} = \overrightarrow{k} $$

et nous avons bien :

$$ \overrightarrow{O_5\sigma} \cdot \overrightarrow{O_5\pi} = 0 $$

ce qui est normal puisque la sphère $\mathcal{S}$ et le plan $\mathcal{P}$ sont orthogonaux. Dans l'espace des sphères, nous représentons le faisceau par le demi-cercle de centre $O_5$, d'extrémités $\sigma$ et $-\sigma$ et de vecteurs tangents en ces points $\overrightarrow{\pi}$ que nous pouvons modéliser à l'aide d'une courbe de Bézier rationnelle quadratique à points massiques de contrôle :

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{O_5\sigma}(t) &= \frac{1}{B_0(t) + B_2(t)} \left( B_0(t) \overrightarrow{O_5\sigma} - B_2(t) \overrightarrow{O_5\sigma} + B_1(t) \overrightarrow{\pi} \right) \\ &= \frac{1}{1 - 2t + 2t^2} \left( (1 - 2t) \overrightarrow{O_5\sigma} + 2t(1 - t) \overrightarrow{\pi} \right) \end{aligned} $$

qui se simplifie en :

$$ \overrightarrow{O_5\sigma}(t) = \frac{1}{1 - 2t + 2t^2} \left( \frac{2t-1}{2} \overrightarrow{e_0} + 2t(1-t) \overrightarrow{k} + (1-2t) \overrightarrow{e_{\infty}} \right) $$

et nous pouvons tracer quelques sphères directement depuis l'espace des sphères, tableau 10.3 et figure 10.12.

Notons, par exemple, pour $t = \frac{1}{4}$, nous avons $\frac{1}{2}((-\frac{3}{2})^2 - (-\frac{5}{2})^2) = -2$. Le rayon de la sphère est :

$$ \frac{1}{1 - 2t + 2t^2} \times \frac{2t-1}{2} = \frac{1}{(1-t)^2 + t^2} \times \frac{2t-1}{2} $$

est le changement d'orientation des sphères s'effectuent lors du passage par un plan orienté.
<table><caption>TABLE 10.3 – Sphères d'un faisceau de sphères à base cercle.</caption><thead><tr><th>Valeur</th><th>Point σ (t)</th><th>Sphère correspondante dans E<sub>3</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>t = 0</td><td>(-1/2; 0; 0; 0; 1) = -1/2 (1; 0; 0; 0; 1/2 (-(-2)<sup>2</sup>))</td><td>Centre : (0; 0; 0), rayon -2</td></tr><tr><td>t = 1/4</td><td>(-2/5; 0; 0; 3/5; 4/5) = 1/5 (1; 0; 0; -3/2; -2)</td><td>Centre : (0; 0; -3/2), rayon -5/2</td></tr><tr><td>t = 1/2</td><td>(0; 0; 0; 1; 0)</td><td>Point (0; 0; 0), vecteur normal →k</td></tr><tr><td>t = 3/4</td><td>(2/5; 0; 0; 3/5; -4/5) = 1/5 (1; 0; 0; 3/2; -2)</td><td>Centre : (0; 0; 3/2), rayon 5/2</td></tr><tr><td>t = 1</td><td>(1/2; 0; 0; 0; 1) = 1/2 (1; 0; 0; 0; 1/2 (-(-2)<sup>2</sup>))</td><td>Centre : (0; 0; 0), rayon 2</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_190.png" /><figcaption>FIGURE 10.12 – Quelques sphères d'un faisceau de sphères modélisé par un demi-cercle représenté par une courbe de Bézier rationnelle quadratique à points massiques de contrôle.</figcaption></figure>
### 10.4.3.2 Equation d'un faisceau à points limites

De la même manière que dans le paragraphe précédent, nous allons établir une paramétrisation d'un faisceau de sphères à points limites sur $\Lambda^4$.

**Proposition 13 :**

Considérons $M_1$ et $M_2$ les deux points limites d'un faisceau de sphères $S(t)$. Soit $\overrightarrow{m_1}$ et $\overrightarrow{m_2}$ la représentation des points $M_1$ et $M_2$ dans l'espace de Lorentz.

Un faisceau de sphères à points limites $M_1$ et $M_2$ admet deux équations paramétriques :

$$ \vec{\sigma}(t) = t \frac{1}{M_2 M_1} \overrightarrow{m_1} - \frac{1}{t} \frac{1}{M_2 M_1} \overrightarrow{m_2}, \quad t \in \mathbb{R}^* \qquad (10.36) $$

et :

$$ \overrightarrow{\sigma_{hyp}}(t) = \varepsilon \operatorname{ch}(t) \frac{1}{M_2 M_1} (\overrightarrow{m_1} - \overrightarrow{m_2}) + \operatorname{sh}(t) \frac{1}{M_2 M_1} (\overrightarrow{m_1} + \overrightarrow{m_2}), \quad t \in \mathbb{R} \qquad (10.37) $$

où $\varepsilon$ appartient à $\{-1; 1\}$.

**Démonstration :**

D'après le théorème 23, nous savons que toute sphère d'un faisceau peut s'écrire comme combinaison de deux éléments donnés de ce faisceau.

Nous avons $\overrightarrow{m_1} = \vec{e}_o + \overrightarrow{M_1} + \frac{1}{2} \|\overrightarrow{M_1}\|^2 \vec{e}_\infty$ et $\overrightarrow{m_2} = \vec{e}_o + \overrightarrow{M_2} + \frac{1}{2} \|\overrightarrow{M_2}\|^2 \vec{e}_\infty$. De plus, nous avons $\overrightarrow{m_1}^2 = \overrightarrow{m_2}^2 = 0$. D'autre part :

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{m_1} \cdot \overrightarrow{m_2} &= \left( \vec{e}_o + \overrightarrow{O_3 M_1} + \frac{1}{2} \| \overrightarrow{O_3 M_1} \|^2 \vec{e}_\infty \right) \cdot \left( \vec{e}_o + \overrightarrow{O_3 M_2} + \frac{1}{2} \| \overrightarrow{O_3 M_2} \|^2 \vec{e}_\infty \right) \\ &= \overrightarrow{O_3 M_1} \cdot \overrightarrow{O_3 M_2} - \frac{1}{2} \overrightarrow{O_3 M_1}^2 - \frac{1}{2} \overrightarrow{O_3 M_2}^2 = -\frac{1}{2} \left( \overrightarrow{O_3 M_1} - \overrightarrow{O_3 M_2} \right)^2 = -\frac{1}{2} \overrightarrow{M_2 M_1}^2 \end{aligned} $$

Il suffit de montrer que $\vec{\sigma}(t)$ appartient bien à $\Lambda^4$.

$$ \begin{aligned} \vec{\sigma}(t)^2 &= \left( t \frac{1}{M_2 M_1} \overrightarrow{m_1} - \frac{1}{t} \frac{1}{M_2 M_1} \overrightarrow{m_2} \right)^2 = \frac{1}{M_2 M_1^2} \left( t^2 \overrightarrow{m_1}^2 - 2 \overrightarrow{m_1} \cdot \overrightarrow{m_2} + \frac{1}{t^2} \overrightarrow{m_2}^2 \right) \\ &= \frac{-2}{M_2 M_1^2} \left( -\frac{1}{2} \overrightarrow{M_2 M_1}^2 \right) = 1. \end{aligned} $$

□

Etablissons la seconde équation. Nous avons :

$$ (\overrightarrow{m_1} + \overrightarrow{m_2})^2 = \overrightarrow{m_1}^2 + 2 \overrightarrow{m_1} \cdot \overrightarrow{m_2} + \overrightarrow{m_2}^2 = - \overrightarrow{M_2 M_1}^2 \qquad (10.38) $$

et :

$$ (\overrightarrow{m_1} - \overrightarrow{m_2})^2 = \overrightarrow{m_1}^2 - 2 \overrightarrow{m_1} \cdot \overrightarrow{m_2} + \overrightarrow{m_2}^2 = \overrightarrow{M_2 M_1}^2 \qquad (10.39) $$

Il suffit de montrer que $\overrightarrow{\sigma_{hyp}}(t)$ appartient bien à $\Lambda^4$.
$$
\begin{align*}
\overrightarrow{\sigma_{hyp}}(t)^2 &= \left( \varepsilon \operatorname{ch}(t) \frac{1}{M_2 M_1} (\overrightarrow{m_1} - \overrightarrow{m_2}) + \operatorname{sh}(t) \frac{1}{M_2 M_1} (\overrightarrow{m_1} + \overrightarrow{m_2}) \right)^2 \\
&= \frac{1}{M_2 M_1^2} \left( \varepsilon^2 \operatorname{ch}^2(t) \overrightarrow{M_2 M_1}^2 - \operatorname{sh}^2(t) \overrightarrow{M_2 M_1}^2 + 2 \varepsilon \operatorname{ch}(t) \operatorname{sh}(t) (\overrightarrow{m_1}^2 - \overrightarrow{m_2}^2) \right) \\
&= \operatorname{ch}^2(t) - \operatorname{sh}^2(t) = 1
\end{align*}
$$

<figure><img src="image_191.png" /></figure>

Naturellement, les sphères dérivées sont définies par :

$$
\overrightarrow{\sigma_{hyp}}(t) = -\varepsilon \operatorname{sh}(t) \frac{1}{M_2 M_1} (\overrightarrow{m_1} - \overrightarrow{m_2}) - \operatorname{ch}(t) \frac{1}{M_2 M_1} (\overrightarrow{m_1} + \overrightarrow{m_2}), \quad t \in \mathbb{R} \quad (10.40)
$$

car elles doivent vérifier $\left( \overrightarrow{\sigma_{hyp}}(t) \right)^2 = 1$.

Considérons deux points distincts $M_0$ et $M_2$ de représentations respectives par les deux vec-
teurs lumière :

$$
\overrightarrow{m_0} = \overrightarrow{e_0} + \overrightarrow{O_3 M_0} + \frac{\overrightarrow{M_0}^2}{2} \overrightarrow{e_\infty} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{m_2} = \overrightarrow{e_0} + \overrightarrow{O_3 M_2} + \frac{\overrightarrow{M_2}^2}{2} \overrightarrow{e_\infty}
$$

D'après la formule (10.36) la composante en $\overrightarrow{e_0}$ de $\overrightarrow{\sigma}(t)$ est :

$$
\frac{1}{\rho(t)} = \frac{1}{M_2 M_0} \left( t - \frac{1}{t} \right) = \frac{1}{M_2 M_0} \frac{t^2 - 1}{t}
$$

et pour $t = 1$ ou $t = -1$, nous obtenons un plan, sinon, pour $t$ non nul, nous obtenons une sphère
de rayon :

$$
\rho(t) = M_0 M_2 \frac{t}{t^2 - 1}
$$

qui est strictement positif si et seulement si $t$ appartient à $]-1; 0[ \cup ]1; +\infty[$ et nous avons un
changement d'orientation des sphères au moment où nous rencontrons un plan du faisceau.

Notons, toujours d'après la formule (10.36) que nous avons :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\lim_{t \to 0^+} \vec{\sigma}(t) = -\frac{1}{M_2 M_0} \vec{m}_2 \\
\\
\lim_{t \to +\infty} \vec{\sigma}(t) = \frac{1}{M_2 M_0} \vec{m}_0
\end{array}
\right.
$$

ce qui implique que lorsque, nous modélisons le faisceau de sphères par une branche du cercle, de
centre $O_5$, à l'aide d'une courbe de Bézier rationnelle quadratique à points massiques de contrôle,
le point de contrôle intermédiaire est ($O_5$; $\omega_1$) tandis que les points massiques de contrôle d'ex-
trémités sont ($\vec{m}_0$; 0) et ($-\vec{m}_2$; 0) ou ($-\vec{m}_0$; 0) et ($\vec{m}_2$; 0). Nous nous plaçons dans le premier cas.
Pour $t \in ]0; 1[$, un point de cette courbe de Bézier est définie par :

$$
\begin{align*}
\overrightarrow{O_5 \sigma(t)} &= \frac{1}{\omega_1 B_1(t)} \left( B_0(t) \overrightarrow{m_0} - B_2(t) \overrightarrow{m_2} + \omega_1 B_1(t) \overrightarrow{O_5 O_5'} \right) \\
&= \frac{1}{\omega_1 B_1(t)} (B_0(t) \overrightarrow{m_0} - B_2(t) \overrightarrow{m_2})
\end{align*}
$$
La détermination de $\omega_1$ se fait par :

$$ \overline{O_5\sigma(t)}^2 = 1 \qquad (10.41) $$

qui est équivalente à :

$$ \omega_1^2 B_1^2(t) \overline{O_5\sigma(t)}^2 = (B_0(t) \overline{m_0} - B_2(t) \overline{m_2})^2 $$

Développons et simplifions le membre de gauche :

$$ (B_0(t) \overline{m_0} - B_2(t) \overline{m_2})^2 = -2 B_0(t) B_2(t) \overline{m_0} \cdot \overline{m_2} = -\frac{B_1^2(t)}{2} \overline{m_0} \cdot \overline{m_2} $$

et la formule (10.41) est équivalente à :

$$ \omega_1^2 = -\frac{1}{2} \overline{m_0} \cdot \overline{m_2} = \frac{1}{4} \overline{M_2 M_0}^2 \qquad (10.42) $$

Pour tout réel $\lambda$ non nul, nous avons :

$$ (\lambda \overline{m_0})^2 = (\lambda \overline{m_2})^2 = \overline{m_0}^2 = \overline{m_2}^2 = 0 $$

et la condition donnée par la formule (3.39) devient caduque et s'énonce ainsi :

**Condition 1 :**

Lorsqu'une courbe de Bézier rationnelle quadratique représente une branche d'un cercle qui se trace comme une hyperbole, les points massiques extrémaux sont deux vecteurs lumière soit $\overline{m_0}$ et $\overline{m_2}$ représentant deux points $M_0$ et $M_2$, soit $\overline{m_0}$ et $\overline{e_\infty}$ représentant un point $M_0$ et le point à l'infini de $\mathcal{E}_3$. Rappelons que la première coordonnée de $\overline{m_0}$ et $\overline{m_2}$ est 1.

Finalement, nous obtenons :

$$ \begin{aligned} \overline{O_5\sigma(t)} &= \frac{1}{\omega_1 B_1(t)} \left( B_0(t) \left( \overrightarrow{e_0} + \overline{O_3M_0} + \frac{\overline{M_0}^2}{2} \overrightarrow{e_\infty} \right) - B_2(t) \left( \overrightarrow{e_0} + \overline{O_3M_2} + \frac{\overline{M_2}^2}{2} \overrightarrow{e_\infty} \right) \right) \\ &= \frac{1}{\omega_1 B_1(t)} \left( (B_0(t) - B_2(t)) \overrightarrow{e_0} + \left( B_0(t) \frac{\overline{M_0}^2}{2} - B_2(t) \frac{\overline{M_2}^2}{2} \right) \overrightarrow{e_\infty} \right) \\ &\quad + \frac{1}{\omega_1 B_1(t)} \left( B_0(t) \overline{O_3M_0} - B_2(t) \overline{O_3M_2} \right) \end{aligned} $$

Comme exemple numérique, considérons les deux points $M_0(-2; 0; 0)$ et $M_2(2; 0; 0)$. Comme solution de l'équation donnée par la formule (10.42), nous choisissons $\omega_1 = 2$.

Puisque $\overline{O_3M_2} = -\overline{O_3M_0}$ et $\overline{O_3M_0} = 2$, nous obtenons finalement :

$$ \overline{O_5\sigma(t)} = \frac{1}{4t(1-t)} \left( (1-2t)\overrightarrow{e_0} + (1-2t+2t^2)\overline{O_3M_0} + 2(1-2t)\overrightarrow{e_\infty} \right), $$

et nous pouvons tracer quelques sphères directement depuis l'espace des sphères, tableau 10.4, figure 10.13.
<table><caption>TABLE 10.4 – Sphères d'un faisceau de sphère à points limites.</caption><thead><tr><th>Valeur</th><th>Point σ (t)</th><th>Sphère correspondante dans E<sub>3</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>t = 1/10</td><td>(20/9; -41/9; 0; 40/9) = 1/9(1; -41/20; 0; 0; 2)</td><td>Centre : (-41/20; 0; 0), rayon 9/20</td></tr><tr><td>t = 1/6</td><td>(6/5; -13/5; 0; 12/5) = 1/5(1; -13/6; 0; 0; 2)</td><td>Centre : (-13/6; 0; 0), rayon 5/6</td></tr><tr><td>t = 1/4</td><td>(2/3; -5/3; 0; 4/3) = 1/3(1; -5/2; 0; 0; 2)</td><td>Centre : (-5/2; 0; 0), rayon 3/2</td></tr><tr><td>t = 1/2</td><td>(0; -1; 0; 0)</td><td>Point (0; 0; 0), vecteur normal →i</td></tr><tr><td>t = 3/4</td><td>(-2/3; -5/3; 0; 0; -4/3) = 1/3(1; 5/2; 0; 0; 2)</td><td>Centre : (5/2; 0; 0), rayon -3/2</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_192.png" /><figcaption>FIGURE 10.13 – Quelques sphères d'un faisceau de sphères à points limites modélisé par une branche connexe d'un cercle représenté par une courbe de Bézier rationnelle quadratique à points massiques de contrôle.</figcaption></figure>
### 10.4.3.3 Equation d'un faisceau de sphères tangentes

Soit une sphère $S_1$ de centre $\Omega_1$ et de rayon $\rho_1$ non nul et $\vec{\sigma}_1$ sa représentation sur $\Lambda^4$. Soit $M_1$ un point de $S_1$ et $\vec{m}_1$ la représentation de $M_1$ dans l'espace de Lorentz. Trivialement, l'équation paramétrique du faisceau de sphères tangentes à $S_1$ en $M_1$ est :

$$ \vec{\sigma}(t) = \varepsilon \vec{\sigma}_1 + t \vec{m}_1, \quad t \in \mathbb{R} \qquad (10.43) $$

où $\varepsilon$ appartient à $\{-1; 1\}$.

### 10.4.3.4 Sphère engendrant des faisceaux de sphères

Soit une sphère $S$ de centre $O_0$ ($x_0; y_0; z_0$) de rayon non nul, représentée par $\sigma$ sur $\Lambda^4$. Considérons les plans $P_x, P_y$ et $P_z$ d'équations respectives $x = x_0$, $y = y_0$ et $z = z_0$. Ces plans sont deux à deux orthogonaux et engendrent, avec $S$, des faisceaux à base cercle, les cercles étant $C_x = P_x \cap S$, $C_y = P_y \cap S$ et $C_z = P_z \cap S$. Soit $\pi_x, \pi_y$ et $\pi_z$ les représentations respectives de $P_x, P_y$ et $P_z$ sur $\Lambda^4$. Sur l'espace des sphères, chacun des faisceaux est représenté par un cercle unitaire de centre $O_5$ que nous notons $\gamma_x, \gamma_y$ et $\gamma_z$. Les vecteurs $\vec{\pi}_x, \vec{\pi}_y$ et $\vec{\pi}_z$ sont les vecteurs tangents respectivement à $\gamma_x, \gamma_y$ et $\gamma_z$ en $\sigma$. Ainsi, nous avons :

$$ \vec{\sigma} \cdot \vec{\pi}_x = \vec{\sigma} \cdot \vec{\pi}_y = \vec{\sigma} \cdot \vec{\pi}_z = 0 $$

d'une part et :

$$ \vec{\pi}_x \cdot \vec{\pi}_y = \vec{\pi}_x \cdot \vec{\pi}_z = \vec{\pi}_z \cdot \vec{\pi}_y = 0 $$

d'autre part puisque les plans $P_x, P_y$ et $P_z$ sont orthogonaux deux à deux. Les trois plans $P_x, P_y$ et $P_z$ ont deux points d'intersections, $O_0$ et le point à l'infini. Soit $\vec{o}_0$ le vecteur lumière représentant le point $O_0$. Nous avons :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \vec{o}_0 \cdot \vec{\pi}_x = \vec{o}_0 \cdot \vec{\pi}_y = \vec{o}_0 \cdot \vec{\pi}_z = 0 \\ \vec{e}_\infty \cdot \vec{\pi}_x = \vec{e}_\infty \cdot \vec{\pi}_y = \vec{e}_\infty \cdot \vec{\pi}_z = 0 \end{array} \right. $$

Ces deux points définissent un faisceau de Poncelet qui est représenté par le cercle :

$$ \gamma_{O_0, \infty} = \Lambda^4 \cap \text{Aff}\{\sigma; \vec{o}_0; \vec{e}_\infty\} $$

De plus, les quatre cercles $\gamma_{O_0, \infty}, \gamma_x, \gamma_y$ et $\gamma_z$ sont deux à deux orthogonaux en $\sigma$. Comme $\vec{e}_\infty^\perp$ est engendré par $\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3$ et $\vec{e}_\infty$, nous avons :

$$ \vec{o}_0 \cdot \vec{e}_\infty = \vec{e}_0 \cdot \vec{e}_\infty = -1 $$

ce qui permet de conclure que $(\sigma; \vec{\pi}_x; \vec{\pi}_y; \vec{\pi}_z; \vec{o}_0 + \vec{e}_\infty)$ est un repère pseudo-orthogonal de l'hyperplan tangent $\mathcal{T}_\sigma\Lambda^4$ à $\Lambda^4$ en $\sigma$. Pour conclure ce paragraphe, remarquons que $\mathcal{T}_\sigma\Lambda^4$ contient un cône de lumière $C_\sigma$, de dimension 3 et de sommet $\sigma$. Tout point $\tau$ de ce cône définit le vecteur lumière $\vec{\sigma}\vec{t}$ orthogonal à $\vec{\sigma}$ qui engendre donc un point de la sphère $S$. Notons que nous pouvons remplacer les trois plans $P_x, P_y$ et $P_z$ par trois sphères orthogonales à $S$ et deux à deux orthogonales.
## 10.5 Synthèse du chapitre

Dans ce chapitre, nous avons donné les fondations des chapitres suivants en définissant l'espace de Lorentz dans lequel nous avons construit un modèle de $\mathcal{E}_3$ isométrique à lui-même, l'espace des sphères orientées. Nous avons retrouvé les propriétés classiques concernant les sphères (puissance d'un point par rapport à une sphère, puissance conjointe de deux sphères...) avec un fort avantage : au lieu d'être quadratiques, les calculs sont linéaires.

Nous avons aussi déterminé les courbes sur l'espace des sphères qui permettent de tracer des faisceaux de sphères. Ces courbes utilisent les modèles de Bézier rationnelles à partir de la théorie des points massiques. Ces derniers se généralisent à partir du plan à n'importe quel espace affine et, grâce à ce modèle, les sphères de $\mathcal{E}_3$ sont sur l'espace des sphères $\Lambda^4$, les points singuliers (sphères de rayon nul) sont des vecteurs lumière et il est fondamental, pour notre travail, d'avoir un espace permettant de généraliser l'associativité du barycentre dans le cas où la somme des poids est nul.

De plus, le vecteur lumière $\vec{e}_\infty$ représentant le point à l'infini de $\mathcal{E}_3$ joue exactement le même rôle que tout vecteur lumière représentant un point de $\mathcal{E}_3$.
# Chapitre 11

## Surfaces canal et cyclides de Dupin dans l'espace des sphères

Dans le chapitre précédent, nous avons poser les fondations du travail qu'il reste à exposer dans ce manuscrit dont le reste est consacré aux cyclides de Dupin. Nous donnons, dans ce chapitre, les propriétés des cyclides de Dupin vues dans l'espace des sphères.

Dans un premier temps, nous abordons le cas des cyclides de Dupin dégénérées (tore, cylindre et cône de révolution) puis nous intéressons aux cyclides de Dupin non dégénérées. Dans tous les cas, nous donnons des algorithmes pour construire des cyclides de Dupin (dégénérées ou non) à partir de trois sphères orientées ou d'une sphère et de deux points singuliers. Ces cyclides de Dupin sont représentées par deux coniques (une seule suffit pour les tracer) que nous pouvons modéliser par des courbes de Bézier rationnelles quadratiques. Un exemple croquignolet est proposé : construire un cône de révolution à partir de son sommet, d'une sphère et du point à l'infini de $\mathcal{E}_3$ en utilisant des courbes de Bézier rationnelles quadratiques dans le cadre de la théorie des points massiques.

Nous finissons ce chapitre par la détermination des sphères de Dandelin et illustrons la simplification des calculs induite par l'utilisation de l'espace des sphères.

### 11.1 Surface canal sur l'espace des sphères $\Lambda^4$

#### 11.1.1 Définition et premières propriétés

Soit $n$ un entier compris entre 1 et 4. Une sous-variété, de dimension $n$ de $L_{4,1}$ est une $n$-surface sans point singulier. Il est possible de généraliser, aux sous-variétés $\mathcal{V}$, le tableau 10.1 en remplaçant le terme 2-plan par espace tangent à la sous-variété au point $M$. Lorsque l'espace tangent, noté $T_M\mathcal{V}$, est de même type en tous les points de $\mathcal{V}$, il est possible de distinguer les sous-variétés de $L_{4,1}$. Comme l'avait déjà compris Darboux, l'espace des sphères orientées de $\mathcal{E}_3$ (les plans affines ne sont que des sphères particulières) est représenté par la quadrique $\Lambda^4$ incluse dans $L_{4,1}$, formule (10.16). Cette sphère unitaire de centre $O_5$ est une sous-variété de type (3; 1) de $L_{4,1}$. En effet, en tout point $\vec{\sigma}$ de la sphère $\Lambda^4$, l'hyperplan tangent à $\Lambda^4$ en $\vec{\sigma}$, noté $T_\sigma\Lambda^4$, est
l'ensemble des points M vérifiant l'équation :

$$ \overrightarrow{O_5\sigma} \cdot \overrightarrow{\sigma M} = 0 \qquad (11.1) $$

Cet hyperplan est de type temps puisque la signature de la restriction de $Q_{4,1}$ à cet hyperplan est (3, 1) puisque un gradient $\overrightarrow{O_5\sigma}$ est de type espace. La formule (11.1), équivalente à :

$$ \overrightarrow{O_5\sigma} \cdot \overrightarrow{O_5M} = 1 \qquad (11.2) $$

traduit le fait que le vecteur $\overrightarrow{O_5\sigma}$ et le gradient à l'hyperplan tangent $T_\sigma \Lambda^4$ en un point $\sigma$ d'une point représentant une sphère sont colinéaires. En effet, il suffit d'utiliser les relations de Chasles et :

$$ \overrightarrow{O_5\sigma} \cdot \overrightarrow{\sigma O_5} = -1 $$

Des courbes tracées sur $\Lambda^4$ peuvent donc aussi avoir un type. Nous nous intéresserons aux courbes de type espace, c'est-à-dire celles dont, en chaque point, le vecteur tangent est de type espace. Remarquons aussi que $\Lambda^4$ contient beaucoup de droites affines de type lumière. En effet, pour tout point $\sigma$ de $\Lambda^4$, l'intersection entre $\Lambda^4$ et $T_\sigma \Lambda^4$ est un cône (de lumière) de dimension 3 dont toutes les génératrices sont de type lumière.

Rappelons que la correspondance entre les points de $\Lambda^4$ et les sphères de $\mathcal{E}_3$ s'obtient en utilisant l'orthogonalité pour $\mathcal{L}_{4,1}$ : si $\sigma$ est un point de $\Lambda^4$, alors l'intersection entre l'hyperplan $\mathcal{H}_{\sigma\perp}$ et le paraboloïde $\mathbb{P}$ est l'ensemble des points de la sphère ou du plan $\sigma$, corollaire 2.

Rappelons, voir la proposition 11 ou [LW08], que deux sphères $S_1$ et $S_2$, de même orientation à leur point de contact, sont tangentes si et seulement si nous avons :

$$ \overrightarrow{\sigma_1\sigma_2}^2 = 0 $$

ou, de façon équivalente, :

$$ \overrightarrow{\sigma_1} \cdot \overrightarrow{\sigma_2} = 1 \qquad (11.3) $$

Le point de tangence est alors l'intersection du paraboloïde $\mathbb{P}$ et de la droite lumière passant par $O_5$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{\sigma_1\sigma_2}$.

### 11.1.2 Surface canal dégénérée ou non

Commençons par donner une condition nécessaire sur l'existence d'une surface canal [LS11] :

**Théorème 24 :**

Soit $\sigma(t)$, $t$ appartenant à un intervalle $I$, une famille à un paramètre de sphères orientées. La condition nécessaire pour que la famille de sphères définisse une surface canal est la suivante :

$$ \forall t \in I, \left( \frac{d\sigma}{dt}(t) \right)^2 > 0 $$

c'est-à-dire que la courbe doit être de type espace (le vecteur tangent est toujours de type espace).
Cette condition n'est évidemment pas suffisante pour obtenir une surface canal non dégénéérée : dans l'exemple 3 du paragraphe 7.1, nous avons montré qu'une famille de sphères à base cercle conduisait à une surface canal réduite à un cercle bien que la condition donnée par le théorème 24 soit vérifiée. En fait, en prenant le même exemple, nous obtenons les sphères de centre $O(t) (0; 0; t)$ et de rayon $r(t) = \sqrt{R^2 + t^2}$ représentées sur $\Lambda^4$ par :

$$ \sigma(t) = \left( \frac{1}{\sqrt{R^2 + t^2}}; 0; 0; \frac{t}{\sqrt{R^2 + t^2}}; \frac{-R^2}{2\sqrt{R^2 + t^2}} \right) $$

d'où :

$$ \overrightarrow{\frac{d\sigma}{dt}}(t) = \left( \frac{1}{(R^2 + t^2)^{\frac{3}{2}}}; 0; 0; \frac{R^2}{(R^2 + t^2)^{\frac{3}{2}}}; \frac{R^2 t}{2(R^2 + t^2)^{\frac{3}{2}}} \right) $$

et :

$$ \left( \overrightarrow{\frac{d\sigma}{dt}}(t) \right)^2 = \frac{R^2}{(R^2 + t^2)^2} > 0 $$

et le vecteur position normé<fnref n="1" /> est :

$$ \frac{(R^2 + t^2)}{R} \overrightarrow{\frac{d\sigma}{dt}}(t) = \left( \frac{-t}{R\sqrt{R^2 + t^2}}, 0; 0; \frac{R^2}{R\sqrt{R^2 + t^2}}, \frac{R^2 t}{2R\sqrt{R^2 + t^2}} \right) $$

et nous obtenons :

$$ \overrightarrow{\sigma(t)} \cdot \frac{(R^2 + t^2)}{R} \overrightarrow{\frac{d\sigma}{dt}}(t) = 0 $$

c'est-à-dire que les deux sphères $\sigma(t)$ et $\sigma^{\perp}(t)$ définie par :

$$ \overrightarrow{O_5 \sigma^{\perp}(t)} = \frac{(R^2 + t^2)}{R} \overrightarrow{\frac{d\sigma}{dt}}(t) $$

sont orthogonales. Pour finir, la sphère $\sigma^{\perp}(t)$, engendre, dans $\mathcal{E}_3$, la sphère $S^{\perp}$ de centre :

$$ O^{\perp}(t) \left( 0; 0; -\frac{R^2}{t} \right) $$

et de rayon :

$$ r^{\perp}(t) = \frac{R \sqrt{R^2 + t^2}}{t} $$

Nous avons :

$$ \overrightarrow{O_3 O^{\perp}(t)}^2 + R^2 = \frac{R^4}{t^2} + R^2 = \frac{R^2 (R^2 + t^2)}{t^2} = r^{\perp}(t)^2 $$

ce qui prouve bien que la sphère $S^{\perp}$ est une sphère du faisceau (si $M$ est un point du cercle de centre $O_3$ et de rayon $r^{\perp}(t)$, le triangle $O_3MO^{\perp}(t)$ est rectangle en $O_3$). Avant de donner une condition suffisante, nous avons besoin de la définition suivante :

<footnote n="1">1. Ce vecteur définit ainsi une sphère orientée de $\Lambda^4$.</footnote>
**Définition 24** : Vecteur courbure géodésique

Soit $\gamma : [a; b] \to \Lambda^4$ une courbe paramétrée par l'abscisse curviligne.

Un vecteur courbure géodésique au point $\gamma(t_0)$ est la projection $\mathcal{L}_{4,1}$-orthogonale du vecteur dérivé seconde $\overrightarrow{\dot{\gamma}}(t_0)$ sur l'hyperplan $\overline{\mathcal{T}_{\gamma(t_0)}\Lambda^4}$ à la courbe $\gamma$.

Il suffit de projeter l'image de $\gamma(t_0)$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{\dot{\gamma}}(t_0)$ sur l'hyperplan $\overline{\mathcal{T}_{\gamma(t_0)}\Lambda^4}$. Nous pouvons énoncer [LS11] :

**Théorème 25** :

Soit $\gamma(t)$, $t$ appartenant à un intervalle $I$, une famille à un paramètre de sphères orientés, paramétrée par l'abscisse curviligne, vérifiant :

$$ \forall t \in I, \quad \left( \overrightarrow{\frac{d\gamma}{dt}}(t) \right)^2 > 0 $$

La surface canal, enveloppe de cette famille à un paramètre de sphères est non-singulière si le vecteur courbure géodésique est de type temps.

Informatiquement, il est illusoire de penser que l'on peut utiliser la paramétrisation par l'abscisse curviligne. Avec une paramétrisation $\sigma$ quelconque, nous perdons la propriété suivante :

$$ \overrightarrow{\frac{d\sigma}{dt}}(t) \cdot \overrightarrow{\dot{\sigma}}(t) = 0 $$

et nous devons déterminer la direction<fnref n="2" /> du vecteur dérivée seconde que nous aurions obtenu si nous avions utilisés le paramétrage par l'abscisse curviligne. Pour ce faire, nous choisissons un vecteur $\overrightarrow{k_2}(t)$ du plan $\overline{\mathcal{P}_{\sigma(t)}}$ défini par $\overrightarrow{\frac{d\sigma}{dt}}(t) = \overrightarrow{\dot{\sigma}}(t)$ et $\overrightarrow{\dot{\sigma}}(t)$ et orthogonal à $\overrightarrow{\frac{d\sigma}{dt}}(t)$. Posons :

$$ \overrightarrow{k_2}(t) = \overrightarrow{\dot{\sigma}}(t) + \alpha \overrightarrow{\dot{\sigma}}(t) $$

et nous obtenons :

$$ \alpha = - \frac{\overrightarrow{\dot{\sigma}}(t)^2}{\overrightarrow{\dot{\sigma}}(t) \cdot \overrightarrow{\dot{\sigma}}(t)} $$

d'où :

$$ \overrightarrow{k_2}(t) = \overrightarrow{\dot{\sigma}}(t) - \frac{\overrightarrow{\dot{\sigma}}(t)^2}{\overrightarrow{\dot{\sigma}}(t) \cdot \overrightarrow{\dot{\sigma}}(t)} \overrightarrow{\dot{\sigma}}(t) $$

<footnote n="2">2. La direction nous suffit puisque nous nous intéressons au type du vecteur.</footnote>
et nous définissons le point $k_2(t)$ par :

$$ \overrightarrow{\sigma(t) k_2(t)} = \overrightarrow{k_2(t)} $$

La quadrique $\Lambda^4$ étant une sphère unité, un gradient unitaire à cette dernière au point $\sigma(t)$ est $\overrightarrow{\sigma(t)} = \overrightarrow{O_5\sigma(t)}$. Il reste à déterminer la projection $k_g(t)$ du point $k_2(t)$ sur le plan $\mathcal{P}_g$. Nous avons :

$$ \overrightarrow{k_2(t) k_g(t)} = \lambda \overrightarrow{\sigma(t)} $$

d'une part et :

$$ \overrightarrow{\sigma(t) k_g(t)} \cdot \overrightarrow{\sigma(t)} = 0 $$

d'autre part. Comme :

$$ \overrightarrow{\sigma(t) k_g(t)} = \overrightarrow{\sigma(t) k_2(t)} + \overrightarrow{k_2(t) k_g(t)} $$

nous devons résoudre :

$$ (\overrightarrow{\sigma(t) k_2(t)} + \lambda \overrightarrow{\sigma(t)}) \cdot \overrightarrow{\sigma(t)} = 0 $$

ce qui donne :

$$ \lambda = - \frac{\overrightarrow{\sigma(t) k_2(t)} \cdot \overrightarrow{\sigma(t)}}{\overrightarrow{\sigma(t)}^2} $$

d'où :

$$ \overrightarrow{k_2(t) k_g(t)} = - \frac{\overrightarrow{\sigma(t) k_2(t)} \cdot \overrightarrow{\sigma(t)}}{\overrightarrow{\sigma(t)}^2} \overrightarrow{\sigma(t)} $$

et la projection du vecteur $\overrightarrow{k_2(t)}$ du plan $\overrightarrow{\mathcal{P}_{\sigma(t)}}$ sur $\overrightarrow{\mathcal{T}_{\sigma(t)}\Lambda^4}$ est :

$$ \overrightarrow{\sigma(t) k_g(t)} = \overrightarrow{\sigma(t) k_2(t)} - \frac{\overrightarrow{\sigma(t) k_2(t)} \cdot \overrightarrow{\sigma(t)}}{\overrightarrow{\sigma(t)}^2} \overrightarrow{\sigma(t)} $$

En reprenant l'exemple précédent sur le faisceau de sphères à base cercle, nous obtenons $\sigma(t) = k_g(t)$ et le vecteur géodésique $\overrightarrow{k_g(t)} = \overrightarrow{\sigma(t) k_g(t)}$ n'est pas de type temps : l'enveloppe obtenue n'est pas une surface (c'est le cercle commun à toutes les sphères), cf. exemple 3 du chapitre 7.

### 11.1.3 Détermination des cercles caractéristiques

Les cercles caractéristiques d'une surface canal peuvent être déterminés par l'intersection de deux sphères particulières. Soit $t \mapsto \sigma(t)$ une paramétrisation admissible de la courbe $C_1$ représentant cette surface canal. Soit $\sigma(t_0)$ un point de la conique $C_1$ représentant la sphère $S(t_0)$. La sphère $S(t_0)$ est déterminée par la donnée du vecteur tangent $\overrightarrow{\frac{d\sigma}{dt}(t_0)}$ au cercle au point $\sigma(t_0)$ : elle est représentée sur $\Lambda^4$ par $\dot{\sigma}(t_0)$ définie par :

$$ \{\dot{\sigma}(t_0)\} = \left[ O_5; \overrightarrow{\frac{d\sigma}{dt}(t_0)} \right) \cap \Lambda^4 \quad (11.4) $$
et nous introduisons la définition suivante :

**Définition 25** : sphère dérivée

Soit $t \mapsto \sigma(t)$ une paramétrisation admissible de la courbe $C_1$ représentant une surface canal.

La sphère dérivée de la sphère $\sigma(t_0)$ (resp. $S(t_0)$) est la sphère $\dot{\sigma}(t_0)$ (resp. $\dot{S}(t_0)$) définie par la formule (11.4) (resp. représentée par $\dot{\sigma}(t_0)$).

Le cercle caractéristique induit par $S(t_0)$ est l'intersection des deux sphères orthogonales $S(t_0)$ et $\dot{S}(t_0)$. La relation :

$$ \overrightarrow{O_5\sigma(t_0)}^2 = 1 $$

induit, par dérivation, la relation :

$$ \overrightarrow{O_5\sigma(t_0)} \cdot \overrightarrow{O_5 \dot{\sigma}(t_0)} = 0 $$

Si $C_1$ est un cercle de centre $\Omega_1$, ce dernier est le projeté orthogonal de $O_5$ sur le plan $\text{Aff}\{C_1\}$, ainsi :

$$ \begin{align*} \overrightarrow{\Omega_1\sigma(t_0)} \cdot \overrightarrow{O_5\dot{\sigma}(t_0)} &= \underbrace{\overrightarrow{O_5\Omega_1} \cdot \overrightarrow{O_5\dot{\sigma}(t_0)}}_{0} + \overrightarrow{\Omega_1\sigma(t_0)} \cdot \overrightarrow{O_5\dot{\sigma}(t_0)} \\ &= (\overrightarrow{O_5\Omega_1} + \overrightarrow{\Omega_1\sigma(t_0)}) \cdot \overrightarrow{O_5\dot{\sigma}(t_0)} \\ &= \overrightarrow{O_5\sigma(t_0)} \cdot \overrightarrow{O_5\dot{\sigma}(t_0)} = 0 \end{align*} $$

et la figure 11.1 illustre ce dernier cas.

La figure 11.2 montre un cercle caractéristique sur une CD4E obtenu comme intersection de deux sphères orthogonales $S(t_0)$ et $\dot{S}(t_0)$. Notons que la seconde sphère peut être un plan et dans ce cas, le cercle caractéristique obtenu sera un grand cercle sur la première sphère.

### 11.1.4 Squelette filaire et surface canal

Dans ce paragraphe, nous connaissons le contour plan d'une surface canal. Nous allons déterminer les sphères de cette surface canal ainsi que leurs cercles caractéristiques et l'axe médian du squelette filaire qui est le lieu des sphères précédentes.

L'algorithme 11.1 permet de déterminer un cercle caractéristique de la surface canal passant par un point donné. Connaissant le point $\Gamma(t_0)$ du contour ainsi que le gradient $\overrightarrow{\nabla_{\Gamma}(t_0)}$ au contour, il existe une famille à un paramètre de sphères passant par $\Gamma(t_0)$ et ayant $\overrightarrow{\nabla_{\Gamma}(t_0)}$ comme vecteur gradient : le degré de liberté est le rayon ou la courbure de la sphère. La formule (11.5)
<figure><img src="image_193.png" /></figure>

FIGURE 11.1 – Sur $\Lambda^4$, $C_1$ est un cercle représentant une cyclide de Dupin. Considérons le point $\sigma(t_0)$. Le vecteur tangent à cette courbe en ce point est $\overrightarrow{\frac{d\sigma}{dt}(t_0)}$. Le cercle caractéristique de la cyclide de Dupin est l'intersection entre les deux sphères $S(t_0)$ et $S(\overrightarrow{t_0})$, représentées sur $\Lambda^4$ par $\sigma(t_0)$ et $\dot{\sigma}(t_0)$ où cette dernière est l'intersection entre la demi-droite $[O_5; \overrightarrow{\frac{d\sigma}{dt}(t_0)}]$ et $\Lambda^4$.______

reprend la formule (10.20) et traduit la représentation sur $\Lambda^4$ de cette famille à un paramètre de sphères. La formule (11.6) de l'algorithme 11.1 est une simplification de la condition :

$$ \overrightarrow{\sigma_{t_0}}(u) \cdot \overrightarrow{O_5\gamma(u)} = \left( \frac{1}{\rho(u)} \overrightarrow{O_5\gamma(t_0)} + n(t_0) \right) \cdot \overrightarrow{O_5\gamma(u)} = 0 $$

traduisant le fait que la sphère passe par un second point $\gamma(u)$ du contour. Le point 7 de l'algorithme 11.1 permet de déterminer la sphère de cette famille ayant le rayon (géométrique) le plus petit, figure 11.3. En fait, cette sphère est une sphère maximale du squelette.

Notons que le centre de la sphère $S_{t_0, u_0}$ est l'intersection des droites passant par $\Gamma(t_0)$ et $\Gamma(u_0)$ et de vecteurs directeurs respectifs $\overrightarrow{\nabla_{\Gamma}(t_0)}$ et $\overrightarrow{\nabla_{\Gamma}(u_0)}$.

Pour deux valeurs de $t_0$, la figure 11.4 montre deux cercles caractéristiques obtenus comme intersection d'une sphère et de sa sphère dérivée, points 8 à 12 de l'algorithme 11.1.
<figure><img src="image_194.png" /><figcaption>FIGURE 11.2 – Construction, dans $\mathcal{E}_3$, d'un cercle caractéristique d'une cyclide de Dupin depuis l'espace des sphères, figure 11.1.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_195.png" /><figcaption>FIGURE 11.3 – Détermination de la sphère de rayon (géométrique) minimal, représentée par une demi-boule de frontière le plan $\mathcal{P}_y : y = 0$, passant par un point.</figcaption></figure>

la figure 11.5 montre plusieurs cercles caractéristiques obtenus comme intersection d'une sphère et de sa sphère dérivée en utilisant plusieurs valeurs de $t_0$ dans l'algorithme 11.1.

Nous détaillons le cas du contour, contenu dans le plan $\mathcal{P}_y : y = 0$, non symétrique par rapport à une droite, figure 11.5(b). Le contour est une aile d'avion d'équation paramétrique :