**Algorithme 11.1 Détermination de la surface canal à partir de son contour.**

**Entrée** : une courbe paramétrique $t \mapsto \Gamma(t)$ fermée, simple, plane, de classe $C^1$ sur un intervalle $I$

1. Pour $t$ appartenant à $I$, calcul des points $\gamma(t)$ du paraboloïde représentant les points $\Gamma(t)$

2. Calcul, dans le plan défini par le contour, d'un vecteur gradient $\overrightarrow{\nabla_{\Gamma}(t)}$ au point $\Gamma(t)$

3. Choix de $t_0$ dans $I$, calcul du point $\Gamma(t_0)$

4. Détermination du vecteur normal $\overrightarrow{n(t_0)}$, projeté orthogonal unitaire sur le 3-plan tangent au paraboloïde $\Gamma(t_0)$ de la représentation du vecteur gradient $\overrightarrow{\nabla_{\Gamma}(t_0)}$

5. Détermination de la représentation de la famille de sphères tangente à $\Gamma$ en $\Gamma(t_0)$ par :

$$ \overrightarrow{\sigma_{t_0}}(u) = \frac{1}{\rho(u)} \overrightarrow{O_5 \gamma(t_0)} + \overrightarrow{n(t_0)} \quad (11.5) $$

6. Détermination de $\rho(u)$ afin que la sphère représentée par $\overrightarrow{\sigma_{t_0}}(u)$ recoupe le contour par :

$$ \rho(u) = - \frac{\overrightarrow{O_5 \gamma(t_0)} \cdot \overrightarrow{O_5 \gamma(u)}}{\overrightarrow{n(t_0)} \cdot \overrightarrow{O_5 \gamma(u)}} \quad (11.6) $$

7. Détermination de $u_0$, en fonction de $t_0$, pour que $|\rho(u_0)|$ soit minimal.

8. Calcul du vecteur $\overrightarrow{\nabla_{\Gamma}(t_0)}$ orthogonal à $\overrightarrow{\nabla_{\Gamma}(t_0)}$ dans le plan de construction.

9. Détermination du vecteur normal $\overrightarrow{n(t_0)}$, projeté orthogonal unitaire sur le 3-plan tangent au paraboloïde $\Gamma(t_0)$ de la représentation du vecteur gradient $\overrightarrow{\nabla_{\Gamma}(t_0)}$

10. Détermination de la représentation de la famille de sphères dérivées de $\sigma_{t_0}(u_0)$ par :

$$ \overrightarrow{\sigma_{t_0}}(u) = \frac{1}{\rho(u)} \overrightarrow{O_5 \gamma(t_0)} + \overrightarrow{n(t_0)} $$

11. Détermination de $u_1$, en fonction de $t_0$, par :

$$ \overrightarrow{\sigma_{t_0}}(u_1) \cdot \overrightarrow{O_5 \gamma(u_0)} = 0 \quad (11.7) $$

12. Calculs des sphères $S_{t_0}$ et $S_{t_0}^\bullet$ représentées respectivement par $\overrightarrow{\sigma_{t_0}}(u_0)$ et $\overrightarrow{\sigma_{t_0}^\bullet}(u_1)$.

**Sortie** : Un cercle caractéristique de la surface canal représentée par $S_{t_0}^\bullet$ et $S_{t_0}$.

$$ \Gamma(t_0) = \left( -\frac{(4 t_0^2 - 6) (5 t_0^2 + 6 t_0 + 7)}{5 (t_0^2 + 1) (5 t_0^2 + 12 t_0 + 9)}; 0; \frac{2 (t_0 + 3) (3 t_0 + 1)^2}{5 (t_0^2 + 1) (5 t_0^2 + 12 t_0 + 9)} \right) \quad (11.8) $$
<figure><img src="image_196.png" /><figcaption>FIGURE 11.4 – Deux exemples de détermination de la sphère de rayon (géométrique) minimal passant par un point, de sa sphère dérivée et du cercle caractéristique.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_197.png" /><figcaption>FIGURE 11.5 – Deux exemples de détermination de cercles caractéristiques d’une surface canal.</figcaption></figure>

où $t_0$ appartient à $\mathbb{R}$.

Le gradient au contour au point $\Gamma(t_0)$ est :

$$ \overrightarrow{\nabla_{\Gamma} (t_0)} = \begin{pmatrix} \frac{2(3t_0 + 1)(3t_0^5 + 21t_0^4 + 30t_0^3 + 10t_0^2 - 21t_0 - 27)}{(t_0^2 + 1)^2(5t_0^2 + 12t_0 + 9)^2} & 0 \\ -\frac{24(3t_0 + 1)(2t_0^5 + 9t_0^4 + 24t_0^3 + 42t_0^2 + 30t_0 + 9)}{(t_0^2 + 1)^2(5t_0^2 + 12t_0 + 9)^2} & 0 \end{pmatrix} \quad (11.9) $$

Le contour $\Gamma$ est représenté dans l'espace de Lorentz par les vecteurs lumière :
$$ \overrightarrow{\gamma(t_0)} \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{(4t_0^2 - 6)(t_0^2 + 6t_0 + 7)}{5(t_0^2 + 1)(5t_0^2 + 12t_0 + 9)} \\ 0 \\ \frac{2(t_0 + 3)(3t_0 + 1)^2}{5(t_0^2 + 1)(5t_0^2 + 12t_0 + 9)} \\ \frac{2(t_0^2 - 2t_0 + 2)(4t_0^2 + 8t_0 + 5)}{5(t_0^2 + 1)(5t_0^2 + 12t_0 + 9)} \end{pmatrix} \quad (11.10) $$

En posant :

$$ \xi = |15t_0^5 + 41t_0^4 + 54t_0^3 + 50t_0^2 + 39t_0 + 9| $$

nous obtenons :

$$ \overrightarrow{n(t_0)} \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{(3t_0 + 1)(3t_0^5 + 21t_0^4 + 30t_0^3 + 10t_0^2 - 21t_0 - 27)\sqrt{t_0^2 + 6t_0 + 13}}{\xi(t_0^2 + 6t_0 + 13)} \\ 0 \\ \frac{-2(3t_0 + 1)(2t_0^5 + 9t_0^4 + 24t_0^3 + 42t_0^2 + 30t_0 + 9)}{\xi\sqrt{t_0^2 + 6t_0 + 13}} \\ -\frac{2(3t_0 + 1)(6t_0^5 + 42t_0^4 + 51t_0^3 + 43t_0^2 + 69t_0 + 69)}{5\xi\sqrt{t_0^2 + 6t_0 + 13}} \end{pmatrix} \quad (11.11) $$

La résolution de l'équation (11.6) et une étude d'extremum nous permet de trouver que l'expression de la courbure de la sphère de rayon (géométrique) minimal est :

$$ \frac{1}{\rho(t_0)} = \frac{(t_0^2 + 1)(5t_0^2 + 12t_0 + 9)(107t_0^4 + 180t_0^3 + 222t_0^2 + 252t_0 + 219)}{\xi(3t_0 + 1)^2 \sqrt{t_0^2 + 6t_0 + 13}} \quad (11.12) $$

et la sphère passe par le point :

$$ M_2 \begin{pmatrix} -\frac{625(4t_0^2 - 6)(5t_0^2 + 6t_0 + 7)}{(53t_0^2 - 48t_0 + 117)(197t_0^2 + 348t_0 + 233)} & 0 \\ 0 & \frac{2(3t_0 + 1)^2(7t_0 + 69)(12t_0 + 29)}{(53t_0^2 - 48t_0 + 117)(197t_0^2 + 348t_0 + 233)} \end{pmatrix} $$
du contour $\Gamma$. La représentation, sur $\Lambda^4$, de la sphère cherchée est :

$$ \overrightarrow{\sigma(t_0)} \left( \begin{array}{l} \frac{(t_0^2 + 1)(5t_0^2 + 12t_0 + 9)(107t_0^4 + 180t_0^3 + 222t_0^2 + 252t_0 + 219)}{\xi(3t_0 + 1)^2 \sqrt{t_0^2 + 6t_0 + 13}} \\ \\ \frac{(t_0^2 + 1)(5t_0^2 + 12t_0 + 9)(509t_0^4 + 660t_0^3 + 104t_0^2 - 816t_0 - 1037)}{5\xi(3t_0 + 1)^2 \sqrt{t_0^2 + 6t_0 + 13}} \\ \\ \frac{12(t_0^2 + 1)(5t_0^2 + 12t_0 + 9)\sqrt{t_0^2 + 6t_0 + 13}}{5\xi} \\ \\ \frac{2(t_0^2 + 1)(5t_0^2 + 12t_0 + 9)(118t_0^4 + 120t_0^3 + 8t_0^2 + 168t_0 + 251)}{5\xi(3t_0 + 1)^2 \sqrt{t_0^2 + 6t_0 + 13}} \\ \\ \frac{\xi(3t_0 + 1)^2 \sqrt{t_0^2 + 6t_0 + 13}}{(t_0^2 + 1)(5t_0^2 + 12t_0 + 9)(107t_0^4 + 180t_0^3 + 222t_0^2 + 252t_0 + 219)} \end{array} \right) $$

et le centre de la sphère est :

$$ O_{t_0} \left( \begin{array}{l} \frac{-509t_0^4 - 660t_0^3 - 104t_0^2 + 816t_0 + 1037}{535t_0^4 + 900t_0^3 + 1110t_0^2 + 1260t_0 + 1095} \\ \\ 0 \\ \\ \frac{108t_0^4 + 720t_0^3 + 1848t_0^2 + 1008t_0 + 156}{535t_0^4 + 900t_0^3 + 1110t_0^2 + 1260t_0 + 1095} \end{array} \right) \quad (11.13) $$

Maintenant que nous connaissons le centre $O_{t_0}$ et le rayon $\rho(t_0)$, formule (11.12), de la sphère $S_{t_0}$, il reste à déterminer la sphère dérivée de cette dernière afin d'obtenir le cercle caractéristique passant par $\Gamma(t_0)$. Le gradient de la sphère dérivée est :

$$ \overrightarrow{\nabla_{\Gamma}^{\perp}(t_0)} \left( \begin{array}{l} \frac{2(3t_0 + 1)(2t_0^5 + 9t_0^4 + 24t_0^3 + 42t_0^2 + 30t_0 + 9)}{\xi\sqrt{t_0^2 + 6t_0 + 13}} \\ \\ \frac{(3t_0 + 1)(3t_0^5 + 21t_0^4 + 30t_0^3 + 10t_0^2 - 21t_0 - 27)}{\xi\sqrt{t_0^2 + 6t_0 + 13}} \end{array} \right) \quad (11.14) $$

et nous obtenons :

$$ \overrightarrow{n}(t_0) \left( \begin{array}{l} 0 \\ \\ \frac{2(3t_0 + 1)(2t_0^5 + 9t_0^4 + 24t_0^3 + 42t_0^2 + 30t_0 + 9)}{\xi\sqrt{t_0^2 + 6t_0 + 13}} \\ \\ 0 \\ \\ \frac{(3t_0 + 1)(3t_0^5 + 21t_0^4 + 30t_0^3 + 10t_0^2 - 21t_0 - 27)}{\xi\sqrt{t_0^2 + 6t_0 + 13}} \\ \\ -\frac{2(3t_0 + 1)(8t_0^5 + 21t_0^4 + 8t_0^3 - 36t_0^2 - 68t_0 - 33)}{\xi\sqrt{t_0^2 + 6t_0 + 13}} \end{array} \right) \quad (11.15) $$
En résolvant l'équation (11.7), la courbure de la sphère dérivée est :

$$ \frac{1}{\dot{\rho}(u_1)} = \frac{(t_0^2 + 1)(5t_0^2 + 12t_0 + 9)(93t_0^4 + 60t_0^3 - 242t_0^2 - 612t_0 - 639)}{2\xi(2t_0 + 9)(3t_0 + 1)\sqrt{t_0^2 + 6t_0 + 13}} \quad (11.16) $$

ce qui permet de déterminer la représentation de la sphère dérivée sur $\Lambda^4$ :

$$ \vec{\sigma}_{t_0}(u_1) = \left( \begin{array}{c} \frac{-(t_0^2+1)(5t_0^2+12t_0+9)(93t_0^4+60t_0^3-242t_0^2-612t_0-639)}{2\xi(2t_0+9)(3t_0+1)\sqrt{t_0^2+6t_0+13}} \\ \frac{(t_0^2+1)(5t_0^2+12t_0+9)(258t_0^4+420t_0^3+673t_0^2+1458t_0+1581)}{5\xi(2t_0+9)(3t_0+1)\sqrt{t_0^2+6t_0+13}} \\ 0 \\ \frac{6(t_0^2+1)(5t_0^2+12t_0+9)(3t_0+1)\sqrt{t_0^2+6t_0+13}}{5\xi(2t_0+9)} \\ \frac{(t_0^2+1)(5t_0^2+12t_0+9)(180t_0^3-33t_0^2-618t_0-7769)}{5\xi(2t_0+9)(3t_0+1)\sqrt{t_0^2+6t_0+13}} \end{array} \right) \quad (11.17) $$

et le centre de la sphère dérivée est :

$$ \dot{O}_{t_0} = \left( \begin{array}{c} \frac{-2(258t_0^4 + 420t_0^3 + 673t_0^2 + 1458t_0 + 1581)}{5(93t_0^4 + 60t_0^3 - 242t_0^2 - 612t_0 - 639)} \\ 0 \\ \frac{12(3t_0 + 1)^2(t_0^2 + 6t_0 + 13)}{5(93t_0^4 + 60t_0^3 - 242t_0^2 - 612t_0 - 639)} \end{array} \right) \quad (11.18) $$

# 11.2 Cyclides de Dupin dégénérées

## 11.2.1 Le cylindre de révolution

### 11.2.1.1 Représentation canonique

Sans perte de généralité, nous pouvons considérer, dans $\mathcal{E}_3$ un cylindre d'équation :

$$ x^2 + y^2 - R^2 = 0 $$

qui est l'enveloppe d'une famille à un paramètre de sphères $S_1^{cy}(\theta)$ de rayon $R$, de centre $\Omega_\theta(0; 0; \theta)$ sur l'axe des cotes et d'une famille à un paramètre de plans $S_2^{cy}(\psi)$ de vecteur normal unitaire $\vec{N}_\psi(\psi) (\cos(\psi); \sin(\psi); 0)$ passant par le point $P(R \cos(\psi); R \sin(\psi); 0)$.

La représentation des sphères $S_1^{cy}(\theta)$ est :

$$ \overrightarrow{\sigma_1^{cy}(\theta)} = \frac{1}{R} \left( \vec{e}_0 + \theta \vec{e}_3 + \frac{\theta^2 - R^2}{2} \vec{e}_\infty \right), \quad \theta \in [0, 2\pi] \quad (11.19) $$
tandis que celle des plans $S_2^{cy}(\psi)$ est :

$$ \overrightarrow{\sigma_2^{cy}(\psi)} = -\cos \psi \overrightarrow{e_1} - \sin \psi \overrightarrow{e_2} - R \overrightarrow{e_{\infty}} \quad (11.20) $$

et nous pouvons remarquer que les deux familles de sphères sont tangentes puisque :

$$ \overrightarrow{\sigma_1^{cy}(\theta)} \cdot \overrightarrow{\sigma_2^{cy}(\psi)} = 1 $$

Trivialement, nous avons :

$$ \overrightarrow{\frac{d\sigma_1^{cy}}{d\theta}}(\theta_0) = \frac{1}{R} (\overrightarrow{e_3} + \theta_0 \overrightarrow{e_{\infty}}) $$

mais nous obtenons :

$$ \left( \frac{d\sigma_1^{cy}}{d\theta}(\theta_0) \right)^2 = \frac{1}{R^2} $$

ce qui montre que les sphères dérivées de la première famille sont :

$$ \overrightarrow{\bullet \quad \bullet} \quad O_5 \sigma_1^{cy}(\theta_0) = \overrightarrow{e_3} + \theta_0 \overrightarrow{e_{\infty}} $$

ce qui prouve que toutes les sphères dérivées forment un faisceau de plans parallèles et orthogonal à l'axe du cylindre. De plus, les dérivées des sphères sont des plans ce qui prouve que les cercles caractéristiques sont des grands cercles des sphères.

De plus, nous avons :

$$ \overrightarrow{\frac{d\sigma_2^{cy}}{d\psi}}(\psi) = \sin \psi \overrightarrow{e_1} - \cos \psi \overrightarrow{e_2} = \overrightarrow{\frac{dN_\psi}{d\psi}}(\psi) + \left( \overrightarrow{\frac{dN_\psi}{d\psi}}(\psi) \bullet \overrightarrow{0} \right) \overrightarrow{e_{\infty}} $$

ce qui prouve que les vecteurs $\overrightarrow{\frac{d\sigma_2^{cy}}{d\psi}}(\psi)$ représentent un faisceau de plan d'axe l'axe du cylindre.

De plus, nous avons évidemment :

$$ \overrightarrow{\sigma_2^{cy}(\psi)} \cdot \overrightarrow{\frac{d\sigma_2^{cy}}{d\psi}(\psi)} = 0 $$

et ces deux plans sont orthogonaux.

### 11.2.1.2 Cylindre de révolution défini par deux sphères de même rayon

Un cylindre de révolution est complètement déterminé par deux sphères $S_0$ et $S_1$, de même rayon et le point à l'infini. Ce point, dans l'espace de Lorentz, est représenté par le vecteur lumière $\overrightarrow{e_{\infty}}$. Naturellement, le vecteur $\overrightarrow{e_{\infty}}$ est commun à toutes les représentations des cylindre de révolution sur $\Lambda^4$. La figure 11.6 montre la courbe représentant la famille de sphères ayant un point à l'infini : cette courbe est dans un plan de type lumière et se trace comme une parabole.
<figure><img src="image_198.png" /><figcaption>FIGURE 11.6 – Courbe, dans un plan de type lumière, représentant la famille de sphères et le point à l'infini $\vec{e}_{\infty}$ définissant un cylindre de révolution.</figcaption></figure>

Ainsi, l'algorithme 11.2 permet de modéliser un cylindre de révolution par une CBRQ à points massiques de contrôle à partir de deux sphères de même rayon.

Les deux premiers points de l'algorithme 11.2 sont évident, le troisième point est justifié par le théorème 26.

**Théorème 26** : Point 3 de l'algorithme 11.2
Soit $\sigma_0$ et $\sigma_1$ deux points distincts de $\Lambda^4$ représentant deux sphères de même rayon.
**Algorithme 11.2** Construction d'un cylindre de révolution à partir de deux sphères de même rayon et du point à l'infini.

**Entrée** : Deux sphères $S_0$ et $S_1$ de même rayon (algébrique)

1. Détermination de $\sigma_0$, représentant la sphère $S_0$ sur $\Lambda^4$

2. Détermination de $\sigma_1$, représentant la sphère $S_1$ sur $\Lambda^4$

3. Détermination du vecteur $\vec{P}_1$ par :

$$ \vec{P}_1 = \alpha_0 \overrightarrow{\sigma_0 \sigma_1} + \beta_0 \overrightarrow{e_{\infty}} \quad (11.21) $$

avec :

$$ \left\{ \begin{aligned} \alpha_0 &= \varepsilon \sqrt{-\frac{1}{2} \frac{\overrightarrow{O_5 \sigma_0} \cdot \overrightarrow{e_{\infty}}}{\overrightarrow{\sigma_0 \sigma_1}^2}} \\ \beta_0 &= -\frac{1}{2} \frac{2 \overrightarrow{\sigma_0 \sigma_1}^2 \alpha_0^2 + 2 \alpha_0 \overrightarrow{O_5 \sigma_0} \cdot \overrightarrow{\sigma_0 \sigma_1} + \overrightarrow{O_5 \sigma_0} \cdot \overrightarrow{e_{\infty}}}{\overrightarrow{O_5 \sigma_0} \cdot \overrightarrow{e_{\infty}}} \end{aligned} \right. \quad (11.22) $$

où $\varepsilon$ appartient à $\{-1; 1\}$

4. Détermination de la courbe de Bézier $\gamma$ de points massiques de contrôle $(\sigma_0; 1)$, $(\vec{P}_1; 0)$ et $(\overrightarrow{e_{\infty}}; 0)$

**Sortie** : Une famille à un paramètre de sphères modélisant un cylindre de révolution.

Soit le vecteur $\vec{P}_1$ défini par la formule (11.21).

Soit $\gamma$ la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(\sigma_0; 1)$, $(\vec{P}_1; 0)$ et $(\overrightarrow{e_{\infty}}; 0)$.

Alors $\gamma$ représente une famille à un paramètre de sphères de même rayon si et seulement si $\alpha_0$ et $\beta_0$ sont donnés par la formule (11.22).

**Démonstration** :

Pour $t \neq 1$, la courbe $\gamma$ est donnée par :

$$ \overrightarrow{O_5 \gamma(t)} = \frac{1}{B_0(t)} \left( B_0(t) \overrightarrow{O_5 \sigma_0} + B_1(t) \overrightarrow{P_1} + B_2(t) \overrightarrow{e_{\infty}} \right) $$

qui s'écrit :

$$ B_0(t) \overrightarrow{O_5 \gamma(t)} = B_0(t) \overrightarrow{O_5 \sigma_0} + \alpha_0 B_1(t) \overrightarrow{\sigma_0 \sigma_1} + (\beta_0 B_1(t) + B_2(t)) \overrightarrow{e_{\infty}} $$

et le point $\gamma(t)$ appartient à $\Lambda^4$ si et seulement si :

$$ B_0^2(t) = \left( B_0(t) \overrightarrow{O_5 \sigma_0} + \alpha_0 B_1(t) \overrightarrow{\sigma_0 \sigma_1} + (\beta_0 B_1(t) + B_2(t)) \overrightarrow{e_{\infty}} \right)^2 \quad (11.23) $$
Notons que :

$$ \overrightarrow{\sigma_0\sigma_1} \cdot \overrightarrow{e_\infty} = 0 $$

puisque les sphères $S_0$ et $S_1$ ont même rayon et la composante de $\overrightarrow{\sigma_0\sigma_1}$ selon $\overrightarrow{e_0}$ est 0. En développant la formule (11.23), après simplifications, nous obtenons :

$$ \begin{aligned} \alpha_0^2 B_1^2(t) \overrightarrow{\sigma_0\sigma_1}^2 + 2 \alpha_0 B_0(t) B_1(t) \overrightarrow{O_5\sigma_0} \cdot \overrightarrow{\sigma_0\sigma_1} + \\ 2 B_0(t) (\beta_0 B_1(t) + B_2(t)) \overrightarrow{O_5\sigma_0} \cdot \overrightarrow{e_\infty} = 0 \end{aligned} \quad (11.24) $$

Pour déterminer $\alpha_0$ et $\beta_0$, nous avons besoin de prendre deux valeurs particulières de $t$.

$$ \bullet t = \frac{1}{2} $$

Nous avons $B_0(\frac{1}{2}) = B_2(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$ et $B_1(\frac{1}{2}) = \frac{2}{4}$. L'équation (11.24) est équivalente à :

$$ 4 \alpha_0^2 \overrightarrow{\sigma_0\sigma_1}^2 + 4 \alpha_0 \overrightarrow{O_5\sigma_0} \cdot \overrightarrow{\sigma_0\sigma_1} + 2 (2\beta_0 + 1) \overrightarrow{O_5\sigma_0} \cdot \overrightarrow{e_\infty} = 0 \quad (11.25) $$

d'où :

$$ \beta_0 = -\frac{\frac{1}{2} 2 \alpha_0^2 \overrightarrow{\sigma_0\sigma_1}^2 + 2 \alpha_0 \overrightarrow{O_5\sigma_0} \cdot \overrightarrow{\sigma_0\sigma_1} + \overrightarrow{O_5\sigma_0} \cdot \overrightarrow{e_\infty}}{\overrightarrow{O_5\sigma_0} \cdot \overrightarrow{e_\infty}} \quad (11.26) $$

$$ \bullet t = -\frac{1}{2} $$

Nous avons $B_0(\frac{1}{2}) = \frac{9}{4}$, $B_1(\frac{1}{2}) = \frac{2}{4}$ et $B_2(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$. L'équation (11.24) est équivalente à :

$$ 36 \alpha_0^2 \overrightarrow{\sigma_0\sigma_1}^2 + 2 \times (-9 \times 6) \alpha_0 \overrightarrow{O_5\sigma_0} \cdot \overrightarrow{\sigma_0\sigma_1} + 2 \times 9 (-6\beta_0 + 1) \overrightarrow{O_5\sigma_0} \cdot \overrightarrow{e_\infty} = 0 \quad (11.27) $$

d'où :

$$ \beta_0 = \frac{\frac{1}{6} 2 \alpha_0^2 \overrightarrow{\sigma_0\sigma_1}^2 - 6 \alpha_0 \overrightarrow{O_5\sigma_0} \cdot \overrightarrow{\sigma_0\sigma_1} + \overrightarrow{O_5\sigma_0} \cdot \overrightarrow{e_\infty}}{\overrightarrow{O_5\sigma_0} \cdot \overrightarrow{e_\infty}} \quad (11.28) $$

A partir des équations (11.26) et (11.28), nous pouvons nous ramener à l'équation à une inconnue suivante :

$$ 2 \alpha_0^2 \overrightarrow{\sigma_0\sigma_1}^2 - 6 \alpha_0 \overrightarrow{O_5\sigma_0} \cdot \overrightarrow{\sigma_0\sigma_1} + \overrightarrow{O_5\sigma_0} \cdot \overrightarrow{e_\infty} + 3 (2 \alpha_0^2 \overrightarrow{\sigma_0\sigma_1}^2 + 2 \alpha_0 \overrightarrow{O_5\sigma_0} \cdot \overrightarrow{\sigma_0\sigma_1} + \overrightarrow{O_5\sigma_0} \cdot \overrightarrow{e_\infty}) = 0 $$

qui se simplifie en :

$$ 4 \alpha_0^2 \overrightarrow{\sigma_0\sigma_1}^2 + 2 \overrightarrow{O_5\sigma_0} \cdot \overrightarrow{e_\infty} = 0 $$

et nous obtenons les valeurs de $\alpha_0$ données par la formule (11.22). Une fois la valeur de $\alpha_0$ choisie, la valeur de $\beta_0$ se calcule en utilisant la formule (11.26).

La vérification que $\overrightarrow{O_5\gamma(t)}^2 = 1$ pour $t$ différent de 1 est triviale en utilisant un logiciel de calcul formel comme `xcas`.

<figure><img src="image_199.png" /></figure>

La figure 11.7 montre une famille de sphères représentant un cylindre défini à partir de deux sphères de même rayon. Le centre de la sphère terminale $S_0$ est $O_0(5; 1; 2)$ tandis que le centre de la seconde sphère $S_1$ est $O_1(-5; 1; 2)$. Le rayon des sphères est 2.
<figure><img src="image_200.png" /><figcaption>FIGURE 11.7 – Une famille à un paramètre de sphères, engendrant un cylindre de révolution, définie par deux sphères de même rayon et le point à l'infini.</figcaption></figure>

La sphère $S_0$ (resp. $S_1$) est représentée par $\sigma_0(\frac{1}{2}; \frac{5}{2}; \frac{1}{2}; 1; \frac{13}{2})$ (resp. $\sigma_1(\frac{1}{2}; -\frac{5}{2}; \frac{1}{2}; 1; \frac{13}{2})$). Nous avons $\vec{P}_1(0; -\frac{1}{2}; 0; 0; -\frac{5}{2})$. L'équation de la CBRQ sur $\Lambda^4$ est :

$$ \gamma(t) = \left( \frac{1}{2}; \frac{7t-5}{2t-2}; \frac{1}{2}; 1; \frac{25t^2 - 36t + 13}{2(t-1)^2} \right) $$

La figure 11.8 montre des cercles caractéristiques du cylindre de révolution de la figure 11.7.

<figure><img src="image_201.png" /><figcaption>FIGURE 11.8 – Des cercles caractéristiques du cylindre de révolution de la figure 11.7.</figcaption></figure>

## 11.2.2 Le cône de révolution

### 11.2.2.1 Représentation canonique

Sans perte de généralité, nous pouvons considérer, dans $\mathcal{E}_3$ un cône d'équation implicite :

$$ x^2 + y^2 - R^2 z^2 = 0 $$
et d'équation paramétrique :

$$ \begin{pmatrix} R \psi \cos(\theta) \\ R \psi \sin(\theta) \\ \psi \end{pmatrix}, \quad (\theta; \psi) \in [0; 2\pi] \times \mathbb{R} \qquad (11.29) $$

Soit $M_0(R \psi_0 \cos(\theta_0); R \psi_0 \sin(\theta_0); \psi_0)$ un point du cône. Ce cône est l'enveloppe d'une famille à un paramètre de sphères $S_1^{co}(\psi)$, et d'une famille à un paramètre de plans $S_2^{co}(\psi)$. Pour que $M_0$ appartiennent à $S_1^{co}(\psi_0)$, le centre de cette dernière $\Omega_{\psi_0}(0; 0; (1 + R^2) \psi_0)$ tandis que son rayon est $R_0 = R\sqrt{1 + R^2} \psi_0$.

Un vecteur normal unitaire au plan $S_2^{co}(\theta_0)$ passant par $M_0$ est :

$$ \overrightarrow{N_{\theta_0}} \cdot \begin{pmatrix} \cos(\theta_0) \\ \sin(\theta_0) \\ \frac{R}{\sqrt{1+R^2}} \end{pmatrix} $$

Notons que tous ces plans passent par le sommet $O_3$ du cône. La représentation des sphères $S_1^{co}(\psi_0)$ est :

$$ \overrightarrow{\sigma_1^{co}(\psi_0)} = \frac{1}{R \psi_0 \sqrt{1+R^2}} \left( \overrightarrow{e_0} + (1+R^2) \psi_0 \overrightarrow{e_3} + \frac{(1+R^2) \psi_0^2}{2} \overrightarrow{e_\infty} \right), \quad \theta \in [0, 2\pi] \quad (11.30) $$

tandis que celle des plans $S_2^{co}(\psi)$ est :

$$ \overrightarrow{\sigma_2^{co}(\theta_0)} = \frac{\cos(\theta_0)}{\sqrt{1+R^2}} \overrightarrow{e_1} + \frac{\sin(\theta_0)}{\sqrt{1+R^2}} \overrightarrow{e_2} + \frac{R}{\sqrt{1+R^2}} \overrightarrow{e_3} \qquad (11.31) $$

et nous pouvons remarquer que les deux familles de sphères sont tangentes puisque :

$$ \overrightarrow{\sigma_1^{co}(\theta)} \cdot \overrightarrow{\sigma_2^{co}(\psi)} = \frac{R (1 + R^2) \psi_0}{R \psi_0 \sqrt{1 + R^2}} = 1 $$

Par ailleurs, la formule (11.30) peut s'écrire :

$$ \overrightarrow{\sigma_1^{co}(\psi_0)} = \frac{1}{R \psi_0 \sqrt{1+R^2}} \overrightarrow{e_0} + \frac{\sqrt{1+R^2}}{R} \overrightarrow{e_3} + \frac{\sqrt{1+R^2} \psi_0}{2R} \overrightarrow{e_\infty} $$

D'où :

$$ \overrightarrow{\frac{d\sigma_1^{co}}{d\psi}(\psi_0)} = \frac{-1}{R \psi_0^2 \sqrt{1+R^2}} \overrightarrow{e_0} + \frac{\sqrt{1+R^2}}{2R} \overrightarrow{e_\infty} $$

mais nous obtenons :

$$ \left( \overrightarrow{\frac{d\sigma_1^{co}}{d\psi}(\psi_0)} \right)^2 = \frac{1}{R^2 \psi_0^2} $$

ce qui montre que les sphères dérivées de la première famille sont :

$$ \overrightarrow{\bullet \sigma_1^{co}(\psi_0)} = \frac{-1}{\psi_0 \sqrt{1+R^2}} \left( \overrightarrow{e_0} - \frac{1+R^2}{2} \psi_0^2 \overrightarrow{e_\infty} \right) $$
ce qui prouve que **toutes les sphères dérivées sont centrées au sommet du cône de révolution**.

De plus, nous avons bien :

$$ \overrightarrow{\sigma_1^{co}(\psi)} \cdot \frac{d\overrightarrow{\sigma_1^{co}}}{d\psi}(\psi) = 0 $$

Concernant la seconde famille, dérivons la formule (11.31), nous obtenons :

$$ \frac{d\overrightarrow{\sigma_2^{co}}}{d\psi}(\theta_0) = \frac{-\sin(\theta_0)}{\sqrt{1+R^2}} \overrightarrow{e_1} + \frac{\cos(\theta_0)}{\sqrt{1+R^2}} \overrightarrow{e_2} $$

ce qui montre que les sphères dérivées de la première famille sont les plans :

$$ \dot{\sigma_2^{co}}(\theta_0) = -\sin(\theta_0) \overrightarrow{e_1} + \cos(\theta_0) \overrightarrow{e_2} $$

qui forment un faisceau de plan d'axe l'axe du cône. De plus, nous avons toujours :

$$ \overrightarrow{\sigma_2^{co}(\theta_0)} \cdot \frac{d\overrightarrow{\sigma_2^{co}}}{d\psi}(\theta_0) = 0 $$

ce qui prouve que ces deux plans sont orthogonaux.

### 11.2.2.2 Cône de révolution défini par son sommet et une sphère

Un cône de révolution contient deux points : son sommet $S$ et le point à l'infini. Ces points, dans l'espace de Lorentz, sont représentés respectivement par deux vecteurs lumière $\overrightarrow{m_S}$ et $\overrightarrow{e_\infty}$. Naturellement, le vecteur $\overrightarrow{e_\infty}$ est commun à toutes les représentations des cônes de révolution sur $\Lambda^4$. Pour définir un cône de révolution, il suffit d'ajouter une sphère représentée par $\sigma$ sur $\Lambda^4$. La figure 11.9 montre la courbe représentant la famille de sphères ayant un point à l'infini et contenant le sommet du cône : cette courbe est dans un plan de type temps et est un cercle qui se trace comme une hyperbole.

Ainsi, un cône de révolution est complètement déterminé par son sommet et une sphère et l'algorithme 11.3 permet de modéliser un cône de révolution par une CBRQ à points massiques de contrôle à partir d'un point et d'une sphère.

La condition $\chi_S(S) > 0$ nous assure que le point $S$ est en dehors (resp. à l'intérieur) de la boule bornée si son rayon est positif (resp. négatif) définie par la sphère $S$. Le centre $\Omega$ du cercle est défini par :

$$ \overrightarrow{\sigma\Omega} = \alpha \overrightarrow{m_S} + \beta \overrightarrow{e_\infty} $$

où $\alpha$ et $\beta$ sont à déterminer. Le point $\Omega$ est le projeté orthogonal de $O_5$ sur $P_1$ défini par $\sigma$, $\overrightarrow{m_S}$ et $\overrightarrow{e_\infty}$ ssi nous avons :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{O_5\Omega} \cdot \overrightarrow{m_S} = 0 \\ \overrightarrow{O_5\Omega} \cdot \overrightarrow{e_\infty} = 0 \end{array} \right. \qquad (11.34) $$

Or, nous avons :

$$ \overrightarrow{O_5\Omega} = \overrightarrow{O_5\sigma} + \alpha \overrightarrow{m_S} + \beta \overrightarrow{e_\infty} $$
<figure><img src="image_202.png" /><figcaption>FIGURE 11.9 – Courbe, dans un plan de type temps, représentant la famille de sphères, la sphère $\sigma$, le point à l'infini $\vec{e}_{\infty}$ et le sommet $\vec{m}_S$ du cône de révolution définissant ce dernier.</figcaption></figure>

et le système (11.34) est équivalent au système :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{O_5\sigma} \cdot \overrightarrow{m_S} + \beta \overrightarrow{e_{\infty}} \cdot \overrightarrow{m_S} = 0 \\ \overrightarrow{O_5\sigma} \cdot \overrightarrow{e_{\infty}} + \alpha \overrightarrow{m_S} \cdot \overrightarrow{e_{\infty}} = 0 \end{array} \right. $$

ce qui permet de déterminer $\alpha$ et $\beta$ et nous obtenons la formule (11.32).

La courbe de Bézier $\gamma$ est définie par :

$$ \overrightarrow{O_5\gamma}(t) = \frac{1}{\omega_1 B_1(t)} \left( B_0(t) \overrightarrow{m_S} + \omega_1 B_1(t) \overrightarrow{O_5\Omega} + B_2(t) \overrightarrow{e_{\infty}} \right) \quad (11.35) $$
**Algorithme 11.3** Construction d'un cône de révolution à partir d'un point et d'une sphère.

**Entrée** : Un point $S$ et une sphère $S$ tels que $\chi_S(S) > 0$

1. Détermination du vecteur lumière $\overrightarrow{m_S}$ représentant le sommet $S$

2. Détermination de $\sigma$, représentant la sphère $S$ sur $\Lambda^4$

3. Détermination du centre du cercle $\Omega$ par :

$$ \overrightarrow{O_5\Omega} = \overrightarrow{O_5\sigma} - \frac{\overrightarrow{O_5\sigma} \cdot \overrightarrow{e_{\infty}}}{\overrightarrow{m_S} \cdot \overrightarrow{e_{\infty}}} \overrightarrow{m_S} - \frac{\overrightarrow{O_5\sigma} \cdot \overrightarrow{m_S}}{\overrightarrow{m_S} \cdot \overrightarrow{e_{\infty}}} \overrightarrow{e_{\infty}} \quad (11.32) $$

4. Détermination de la courbe de Bézier $\gamma_S$ de points massiques de contrôle ($\overrightarrow{m_S}; 0$), $(\Omega; \omega_1)$ et $(\overrightarrow{e_{\infty}}; 0)$

5. Détermination du poids $\omega_1$, solution de :

$$ \omega_1^2 = \frac{1}{2} \frac{\overrightarrow{m_S} \cdot \overrightarrow{e_{\infty}}}{1 - \overrightarrow{O_5\Omega}^2} \quad (11.33) $$

**Sortie** : Une famille à un paramètre de sphères modélisant un cône de révolution.

et pour $t = \frac{1}{2}$, nous obtenons :

$$ \overrightarrow{O_5\gamma}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2}{\omega_1}\left(\frac{1}{4}\overrightarrow{m_S} + \frac{1}{2}\omega_1\overrightarrow{O_5\Omega} + \frac{1}{4}\overrightarrow{e_{\infty}}\right) \quad (11.36) $$

Le point $\gamma(\frac{1}{2})$ est sur $\Lambda^4$ ssi :

$$ 4\omega_1^2 = \left(\overrightarrow{m_S} + 2\omega_1\overrightarrow{O_5\Omega} + \overrightarrow{e_{\infty}}\right)^2 $$

qui est équivalent à :

$$ 4\omega_1^2 = 4\omega_1^2 \overrightarrow{O_5\Omega}^2 + 2\overrightarrow{m_S} \cdot \overrightarrow{e_{\infty}} $$

ce qui montre que $\omega_1$ est solution de l'équation (11.33) et chaque solution $\omega_1$ nous donne un demi-cône de sommet $S$ puisque $\overrightarrow{\gamma}(0) = \overrightarrow{m_S}$. Notons que le calcul de $\omega_1^2$ est très simple dans l'espace de Lorentz puisque nous avons :

$$ \overrightarrow{m_S}^2 = \overrightarrow{e_{\infty}}^2 = \overrightarrow{m_S} \cdot \overrightarrow{O_5\Omega} = \overrightarrow{e_{\infty}} \cdot \overrightarrow{O_5\Omega} = 0 $$

ce qui permet de développer le carré de la somme de trois termes et de n'obtenir que deux termes au lieu de six.

La figure 11.10 montre un demi-cône de révolution dont l'équation paramétrique est donnée par la formule (11.29) avec $R = \frac{1}{2}$. Ce demi-cône est défini par son sommet $O_3$, son point à l'infini et la sphère initiale $S_I$ en vert de centre $O_I(0; 0; 5)$ et de rayon $\sqrt{5}$. Sur $\Lambda^4$, ce demi-cône est modélisé par la courbe de Bézier de la formule (11.35). Le point $\gamma(\frac{1}{2})$, formule (11.36),
<figure><img src="image_203.png" /></figure>

FIGURE 11.10 – Cône de sommet $O_3$, d'axe de révolution ($O_3; \vec{k}$) représenté, sur $\Lambda^4$, par une branche de cercle modélisé par une courbe de Bézier rationnelle quadratique à points massiques de contrôle.

représente la sphère « principale<fnref n="3" /> » $S_p$ de centre $O_p(0; 0; \sqrt{2}\sqrt{1+R^2})$ et de rayon $\sqrt{2}R$. La figure 11.10(a) montre le demi-cône, son sommet, les sphères initiales $S_I$ et principale $S_p$. Dans la figure 11.10(b), nous avons ajouté quelques sphères dont le cône est l'enveloppe ainsi que les cercles caractéristiques induits par ces sphères.

La figure 11.11 montre un demi-cône de révolution défini par son sommet $S(-5; -1; -1)$, son point à l'infini et la sphère initiale $S_I$, en vert, de centre $O_I(5; 1; 2)$ et de rayon 2. Dans l'espace de Lorentz, le sommet est représenté par le vecteur lumière $\vec{m}_s(1; -5; -1; -1; \frac{27}{2})$ et comme nous le verrons, dans le paragraphe 11.3.3.2, il est essentiel que la première coordonnée vaille 1. La sphère $S_I$ est représentée par le point $\sigma_I(\frac{1}{2}; \frac{5}{2}; \frac{1}{2}; 1; \frac{13}{2})$. Le centre du cercle représentant le cône est $\Omega(0; 5; 1; \frac{3}{2}; -\frac{55}{2})$ et le poids est $\omega_1 = \frac{\sqrt{218}}{109}$. L'équation de la CBRQ sur $\Lambda^4$

<footnote n="3">3. Ce terme prendra tout son sens lors de l'étude des cyclides de Dupin non dégénérées.</footnote>
<figure><img src="image_204.png" /><figcaption>FIGURE 11.11 – Cône de sommet $O_3$, d'axe de révolution ($O_3; \vec{k}$) représenté, sur $\Lambda^4$, par une branche de cercle modélisé par une courbe de Bézier rationnelle quadratique à points massiques de contrôle.</figcaption></figure>

est :

$$ \gamma(t) = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{218}(1-t)}{4t} \\ \frac{5((4+\sqrt{218})t-\sqrt{218})}{4t} \\ \frac{(4+\sqrt{218})t-\sqrt{218}}{4t} \\ \frac{(6+\sqrt{218})t-\sqrt{218}}{4t} \\ \frac{-(29\sqrt{218}-220)t^2+(54\sqrt{218}+220)t-27\sqrt{218}}{8t(t-1)} \end{pmatrix} $$

Faisons la remarque suivante, si $\vec{m}$ est un vecteur, sa première composante vaut 1 si et seulement si :

$$ \vec{m} \cdot \vec{e}_{\infty} = -1 $$

### 11.2.2.3 Cône de révolution défini par deux sphères

Un cône de révolution est complètement déterminé par deux sphères $S_1$ et $S_2$, non concentriques, et de rayon distinct. Ainsi, l'algorithmme 11.4 permet de modéliser, sur $\Lambda^4$, un cône de révolution par une CBRQ à points massiques de contrôle à partir de deux sphères de rayons (algébriques) différents et de centres distincts.

La sphère $S_1$ (resp. $S_2$) est représentée sur $\Lambda^4$ par $\sigma_0$ (resp. $\sigma_1$). Le centre $\Omega$ du cercle représentant le cône de révolution sur $\Lambda^4$ est défini par :

$$ \vec{\sigma_0\Omega} = \alpha \vec{\sigma_0\sigma_1} + \beta \vec{e_{\infty}} $$
**Algorithme 11.4** Construction d'un cône de révolution à partir de deux sphères (de rayons algé-briques distincts).

**Entrée** : Deux sphères $S_0$ et $S_1$ non concentriques et de rayon distinct.

1. Détermination de $\sigma_0$, représentant la sphère $S_0$ sur $\Lambda^4$

2. Détermination de $\sigma_1$, représentant la sphère $S_1$ sur $\Lambda^4$

3. Détermination de :

$$ \alpha_0 = - \frac{\overrightarrow{O_5\sigma} \cdot \overrightarrow{e_{\infty}}}{\overrightarrow{\sigma_0\sigma_1} \cdot \overrightarrow{e_{\infty}}} $$

4. Détermination du centre du cercle $\Omega$ par :

$$ \overrightarrow{O_5\Omega} = \overrightarrow{O_5\sigma_0} + \alpha_0 \overrightarrow{\sigma_0\sigma_1} + \frac{\overrightarrow{O_5\sigma} \cdot \overrightarrow{\sigma_0\sigma_1} + \alpha_0 \overrightarrow{\sigma_0\sigma_1}^2}{\overrightarrow{\sigma_0\sigma_1} \cdot \overrightarrow{e_{\infty}}} \overrightarrow{e_{\infty}} \quad (11.37) $$

5. Détermination du point $P_1$ par :

$$ \overrightarrow{\Omega P_1} = \frac{\overrightarrow{\Omega\sigma_0}^2}{\overrightarrow{\Omega\sigma_0} \cdot \overrightarrow{e_{\infty}}} \overrightarrow{e_{\infty}} \quad (11.38) $$

6. Détermination de la courbe de Bézier $\gamma_S$ de points massiques de contrôle ($\sigma_0$; 1), ($P_1$; $\omega_1$) et ($\overrightarrow{e_{\infty}}$; 0)

7. Détermination du poids $\omega_1$, solution de :

$$ \omega_1^2 = \frac{\overrightarrow{\Omega\sigma_0} \cdot \overrightarrow{e_{\infty}}}{2(\overrightarrow{O_5P_1}^2 - 1)} \quad (11.39) $$

**Sortie** : Une famille à un paramètre de sphères modélisant un cône de révolution.

où $\alpha$ et $\beta$ sont à déterminer. Le point $\Omega$ est le projeté orthogonal de $O_5$ sur $P_1$ défini par $\sigma, \overrightarrow{\sigma_0\sigma_1}$ et $\overrightarrow{e_{\infty}}$ ssi nous avons :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{O_5\Omega} \cdot \overrightarrow{\sigma_0\sigma_1} = 0 \\ \overrightarrow{O_5\Omega} \cdot \overrightarrow{e_{\infty}} = 0 \end{array} \right. \quad (11.40) $$

Or, nous avons :

$$ \overrightarrow{O_5\Omega} = \overrightarrow{O_5\sigma} + \alpha \overrightarrow{\sigma_0\sigma_1} + \beta \overrightarrow{e_{\infty}} $$

et le système (11.4) est équivalent au système :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{O_5\sigma} \cdot \overrightarrow{\sigma_0\sigma_1} + \alpha \overrightarrow{\sigma_0\sigma_1}^2 + \beta \overrightarrow{e_{\infty}} \cdot \overrightarrow{\sigma_0\sigma_1} = 0 \\ \overrightarrow{O_5\sigma} \cdot \overrightarrow{e_{\infty}} + \alpha \overrightarrow{\sigma_0\sigma_1} \cdot \overrightarrow{e_{\infty}} = 0 \end{array} \right. $$
ce qui permet de déterminer $\alpha$ et $\beta$ et nous obtenons la formule (11.37). Nous connaissons le premier point massique de contrôle ($\sigma_0$; 1) ainsi que le dernier point massique de contrôle ($\vec{e}_\infty$; 0) et nous sommes dans la configuration de la figure 4.3. Le point $^4P_1$ appartient à l'asymptote définie par $\Omega$ et $\vec{e}_\infty$ et il existe un réel $t_1$ tel que :

$$ \vec{\Omega P_1} = t \vec{e}_\infty $$

Comme la droite ($\sigma_0 P_1$) est la tangente au cercle en $\sigma_0$, le point $P_1$ vérifie :

$$ \vec{\Omega \sigma_0} \cdot \vec{\sigma_0 P_1} = 0 $$

Nous avons :

$$ \begin{align*} \vec{\Omega \sigma_0} \cdot \vec{\sigma_0 P_1} &= 0 &\iff \vec{\Omega \sigma_0} \cdot \vec{\sigma_0 \Omega} + \vec{\Omega \sigma_0} \cdot \vec{\Omega P_1} &= 0 \\ &\iff t \vec{\Omega \sigma_0} \cdot \vec{e}_\infty &= \vec{\Omega \sigma_0}^2 \\ &\iff t = \frac{\vec{\Omega \sigma_0}^2}{\vec{\Omega \sigma_0} \cdot \vec{e}_\infty} \end{align*} $$

ce qui donne bien la formule (11.38).

La courbe de Bézier $\gamma$ est définie par :

$$ \overrightarrow{O_5\gamma(t)} = \frac{1}{B_0(t) + \omega_1 B_1(t)} \left( B_0(t) \overrightarrow{O_5\sigma_0} + \omega_1 B_1(t) \overrightarrow{O_5P_1} + B_2(t) \overrightarrow{e_\infty} \right) \quad (11.41) $$

et pour $t = \frac{1}{2}$, nous obtenons :

$$ \overrightarrow{O_5\gamma\left(\frac{1}{2}\right)} = \frac{4}{1 + 2\omega_1} \left( \frac{1}{4} \overrightarrow{O_5\sigma_0} + \frac{1}{2}\omega_1 \overrightarrow{O_5P_1} + \frac{1}{4}\overrightarrow{e_\infty} \right) \quad (11.42) $$

et nous pouvons énoncer :

**Proposition 14 :**

A partir de l'équation (11.42), nous avons :

$$ \overrightarrow{O_5\gamma\left(\frac{1}{2}\right)}^2 = 1 \iff \omega_1^2 = \frac{\vec{\Omega \sigma_0} \cdot \vec{e}_\infty}{2\left(1 - \overrightarrow{O_5P_1}^2\right)} \quad (11.43) $$

Démonstration :

Rappelons que $\Omega$ est la projection orthogonale de $O_5$ sur le plan défini par $\sigma_0$, $\sigma_1$ et $\vec{e}_\infty$, que ce dernier et $\vec{\Omega P_1}$ sont deux vecteurs lumière d'où :

$$ \overrightarrow{O_5\Omega} \cdot \vec{e}_\infty = \overrightarrow{O_5\Omega} \cdot \vec{\Omega P_1} = \overrightarrow{O_5\Omega} \cdot \vec{\Omega \sigma_0} = \vec{e}_\infty^2 = \overrightarrow{\Omega P_1}^2 = 0 $$

<footnote n="4">4. Nous n'utilisons pas la notation $\sigma_1$ puisque ce point n'est pas sur $\Lambda^4$.</footnote>
d'une part et :

$$ \overrightarrow{O_5\Omega} \cdot \overrightarrow{\Omega\sigma_0} = \overrightarrow{O_5\Omega}^2 $$

d'autre part.

L'équation (11.42) est équivalente :

$$ 1 + 4\omega_1 + 4\omega_1^2 = (\overrightarrow{O_5\sigma_0} + 2\omega_1\overrightarrow{O_5P_1} + \overrightarrow{e_\infty})^2 $$

et déterminons les coefficients du trinôme du second degré du membre de droite :

$$ a_{\omega_1} \omega_1^2 + b_{\omega_1} \omega_1 + c_{\omega_1} $$

* Coefficient du monôme de degré 2 :

$$ a_{\omega_1} = 4 \overrightarrow{O_5P_1}^2 $$

* Coefficient du monôme de degré 1 :

$$ \begin{align*} 
\frac{1}{4} b_{\omega_1} &= \overrightarrow{O_5\sigma_0} \cdot \overrightarrow{O_5P_1} + \overrightarrow{O_5P_1} \cdot \overrightarrow{e_\infty} \\
&= (\overrightarrow{O_5\Omega} + \overrightarrow{\Omega\sigma_0}) \cdot (\overrightarrow{O_5\Omega} + \overrightarrow{\Omega P_1}) + (\overrightarrow{O_5\Omega} + \overrightarrow{\Omega P_1}) \cdot \overrightarrow{e_\infty} \\
&= \overrightarrow{O_5\Omega}^2 + \underbrace{\overrightarrow{O_5\Omega} \cdot \overrightarrow{\Omega P_1}}_{=0} + \underbrace{\overrightarrow{\Omega\sigma_0} \cdot \overrightarrow{O_5\Omega}}_{=0} + \underbrace{\overrightarrow{\Omega\sigma_0} \cdot \overrightarrow{\Omega P_1}}_{=0} + \underbrace{\overrightarrow{O_5\Omega} \cdot \overrightarrow{e_\infty}}_{=0} + \underbrace{\overrightarrow{\Omega P_1} \cdot \overrightarrow{e_\infty}}_{=0} \\
&= \overrightarrow{O_5\Omega}^2 + \overrightarrow{\Omega\sigma_0}^2 + \underbrace{\overrightarrow{\Omega\sigma_0} \cdot \overrightarrow{\sigma_0 P_1}}_{=0} \\
&= \overrightarrow{O_5\Omega}^2 + \underbrace{1 - \overrightarrow{O_5\Omega}^2}_{\text{Theoreme de Pythagore}} \\
&= 1
\end{align*} $$

* Coefficient du monôme de degré 0 :

$$ \begin{align*} 
c_{\omega_1} &= \overrightarrow{O_5\sigma_0}^2 + 2\overrightarrow{O_5\sigma_0} \cdot \overrightarrow{e_\infty} + \underbrace{\overrightarrow{e_\infty}^2}_{=0} \\
&= 1 + 2 \left( \underbrace{\overrightarrow{O_5\Omega} \cdot \overrightarrow{e_\infty}}_{=0} + \overrightarrow{\Omega\sigma_0} \cdot \overrightarrow{e_\infty} \right) \\
&= 2\overrightarrow{\Omega\sigma_0} \cdot \overrightarrow{e_\infty}
\end{align*} $$

Il suffit de tout mettre dans le même membre.

<figure><img src="image_205.png" /></figure>

La figure 11.12 montre une partie d'un cône de révolution défini par la sphère terminale $S_T$, une seconde sphère $S_2$ et le point à l'infini. La sphère $S_T$ (resp. $S_2$) a pour centre $\Omega_T$ (5; 1; 2) (resp. $\Omega_2$ (-5; 1; 2)) et pour rayon 1 (resp. 2). La sphère $S_T$ (resp. $S_2$) est représentée par le point
$\sigma_T(1; 5; 1; 2; \frac{29}{2})$ (resp. $\sigma_2(\frac{1}{2}; -\frac{5}{2}; \frac{1}{2}; 1; \frac{13}{2})$). Nous avons $P_1(0; -10; 0; 0; -51)$ et $\omega_1 = \frac{\sqrt{22}}{66}$.
L'équation de la CBRQ sur $\Lambda^4$ est :

$$
\gamma(t) = \left( \begin{array}{l} \frac{3(\sqrt{22} + 33)(t-1)}{97t - 3\sqrt{22} - 99} \\ \\ \frac{5((9\sqrt{22} + 103)t - 3\sqrt{22} - 99)}{97t - 3\sqrt{22} - 99} \\ \\ \frac{3(\sqrt{22} + 33)(t-1)}{97t - 3\sqrt{22} - 99} \\ \\ \frac{6(\sqrt{22} + 33)(t-1)}{97t - 3\sqrt{22} - 99} \\ \\ \frac{(399\sqrt{22} + 3273)t^2 - (480\sqrt{22} + 5946)t + 87\sqrt{22} + 2871}{(194t - 6\sqrt{22} - 198)(t-1)} \end{array} \right)
$$

La figure 11.12(a) montre le demi-cône, son sommet, les sphères $S_T$ et $S_2$. Dans la figure 11.12(b), nous avons ajouté quelques sphères dont le cône est l'enveloppe ainsi que les cercles caractéristiques induits par ces sphères.

<figure><img src="image_206.png" /><figcaption>FIGURE 11.12 – Cône de révolution défini par deux sphères et le point à l’infini représenté, sur $\Lambda^4$, par un arc de cercle modélisé par une courbe de Bézier rationnelle quadratique à points massiques de contrôle.</figcaption></figure>

La figure 11.13 montre une partie d'un cône de révolution défini par la sphère terminale $S_T$, une seconde sphère $S_2$ et le point à l'infini. La sphère $S_T$ (resp. $S_2$) a pour centre $\Omega_T = (5; 1; 2)$ (resp. $\Omega_2 = (-5; 1; 2)$) et pour rayon 2 (resp. $-2$). La sphère $S_T$ (resp. $S_2$) est représentée par $\sigma_T(\frac{1}{2}; \frac{5}{2}; \frac{1}{2}; 1; \frac{13}{2})$ (resp. $\sigma_2(-\frac{1}{2}; \frac{5}{2}; -\frac{1}{2}; -1; -\frac{13}{2})$). Nous avons $P_1(0; \frac{5}{2}; 0; 0; \frac{21}{2})$ et $\omega_1 = -\frac{\sqrt{21}}{21}$.
<figure><img src="image_207.png" /></figure>

FIGURE 11.13 – Cône de révolution défini par deux sphères et le point à l’infini représenté, sur $\Lambda^4$, par un arc de cercle modélisé par une courbe de Bézier rationnelle quadratique à points massiques de contrôle.

L'équation de la CBRQ sur $\Lambda^4$ est :

$$ \gamma(t) = \begin{pmatrix} \frac{(2\sqrt{21} - 21)(1-t)}{2(17t + 2\sqrt{21} - 21)} \\ \frac{5}{2} \\ \frac{(2\sqrt{21} - 21)(1-t)}{2(17t + 2\sqrt{21} - 21)} \\ \frac{(2\sqrt{21} - 21)(1-t)}{17t + 2\sqrt{21} - 21} \\ \frac{(12\sqrt{21} + 231)t^2 + (10\sqrt{21} - 462)t - 26\sqrt{21} + 273}{(34t + 4\sqrt{21} - 42)(t-1)} \end{pmatrix} $$

### 11.2.3 Le tore

Nous savons qu'un tore est une cyclide de Dupin vérifiant $c = 0$ ce qui implique : $a = b$. L'ellipse (resp. hyperbole) des centres de $S_1^T(\theta)$ (resp. $S_2^T(\psi)$) devient le cercle de centre $O_3$ et de rayon $a = R$ (resp. le double axe des cotes). Le rayon des sphères centrées sur l'ellipse est $r = \mu$. A partir des représentations des cyclides de Dupin, formules (11.47) et (11.48), nous obtenons celles du tore de centre $O_3$, de rayon majeur $R$ et de rayon mineur $r$ : la représentation des sphères $S_1^T(\theta)$ est :

$$ \overrightarrow{\sigma_1^T(\theta)} = \frac{1}{\mu} \left( \overrightarrow{e_0} + R \cos \theta \overrightarrow{e_1} + R \sin \theta \overrightarrow{e_2} + \frac{R^2 - r^2}{2} \overrightarrow{e_{\infty}} \right), \quad \theta \in [0, 2\pi] \quad (11.44) $$

tandis que, pour $\psi$ appartenant à $[0, 2\pi] - \{-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\}$, celle de $S_2^T(\psi)$ est :

$$ \overrightarrow{\sigma_2^T(\psi)} = \frac{1}{r \cos \psi - R} \left( \cos \psi \overrightarrow{e_0} - R \sin \psi \overrightarrow{e_3} - \left( \frac{R^2 + r^2}{2} \cos \psi - Rr \right) \overrightarrow{e_{\infty}} \right) \quad (11.45) $$
d'une part et :

$$ \overrightarrow{\pi_{\psi}(\psi_0)} = \sin \psi_0 \overrightarrow{e_3} - r \overrightarrow{e_{\infty}}, \quad \psi_0 \in \left\{-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right\} \qquad (11.46) $$

d'autre part.

## 11.3 Cyclides de Dupin quartiques

Nous avons vu qu'un **cercle caractéristique** est l'ensemble des points de tangence entre la cyclide de Dupin et une sphère de l'une des deux familles génératrices. Comme une cyclide de Dupin est l'enveloppe de deux familles de sphères à un paramètre, nous pouvons la représenter dans l'espace des sphères par les courbes correspondantes à ces deux familles.

Rappelons qu'une cyclide de Dupin est l'enveloppe de deux familles à un paramètre de sphères orientées, paragraphe 7.2. Soit $S_1(\theta)$ (resp. $S_2(\psi)$) la famille de sphères centrée sur l'ellipse, équation (4.1), (resp. l'hyperbole, équation (7.24)) dont les rayons $r_1(\theta)$ (resp. $r_2(\psi)$) sont donnés par la formule (7.27) (resp. formule (7.33)).

### 11.3.1 Représentation sur $\Lambda^4$

Après quelques calculs, la représentation des sphères $S_1(\theta)$ est :

$$ \overrightarrow{\sigma_1(\theta)} = \frac{1}{\mu - c \cos \theta} (a \cos \theta \overrightarrow{e_1} + b \sin \theta \overrightarrow{e_2}) + \frac{1}{\mu - c \cos \theta} \left( \overrightarrow{e_0} + \frac{b^2 - \mu^2 + 2\mu c \cos \theta}{2} \overrightarrow{e_{\infty}} \right), \quad \theta \in [0, 2\pi] \qquad (11.47) $$

tandis que, pour $\psi$ appartenant à $[0, 2\pi] - \{-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\}$, celle de $S_2(\psi)$ est :

$$ \overrightarrow{\sigma_2(\psi)} = \frac{1}{\mu \cos \psi - a} (c \overrightarrow{e_1} - b \sin \psi \overrightarrow{e_3}) + \frac{1}{\mu \cos \psi - a} \left( \cos \psi \overrightarrow{e_0} - \left( \frac{b^2 + \mu^2}{2} \cos \psi - a\mu \right) \overrightarrow{e_{\infty}} \right) \qquad (11.48) $$

d'une part et :

$$ \overrightarrow{\pi_{\psi}(\psi_0)} = -\frac{c}{a} \overrightarrow{e_1} + \frac{b}{a} \sin \psi_0 \overrightarrow{e_3} - \mu \overrightarrow{e_{\infty}}, \quad \psi_0 \in \left\{-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right\} \qquad (11.49) $$

d'autre part. Notons que nous avons les propriétés suivantes :

$$ \lim_{\psi \to \frac{\pi}{2}} \overrightarrow{\sigma_2(\psi)} = \overrightarrow{\pi_{\psi}(\frac{\pi}{2})} \quad \text{et} \quad \lim_{\psi \to -\frac{\pi}{2}} \overrightarrow{\sigma_2(\psi)} = \overrightarrow{\pi_{\psi}(-\frac{\pi}{2})}. $$

Calculons le produit $\mathrm{Res} = (\mu \cos \psi - a)(\mu - c \cos \theta) \overrightarrow{\sigma_1(\theta)} \cdot \overrightarrow{\sigma_2(\psi)}$. Nous obtenons :
$$
\begin{align*}
\mathrm{Res} &= \frac{b^2 + \mu^2}{2} \cos \psi - a \mu + a c \cos \theta - \cos \psi \frac{b^2 - \mu^2 + 2\mu c \cos \theta}{2} \\
&= \frac{1}{2} (2\mu^2 \cos \psi - 2a \mu + 2a c \cos \theta + 2\mu c \cos \theta \cos \psi) \\
&= \mu \cos \psi (\mu - c \cos \theta) - a (\mu - c \cos \theta) \\
&= (\mu \cos \psi - a) (\mu - c \cos \theta)
\end{align*}
$$

d'où :

$$
\overrightarrow{\sigma_1(\theta)} \cdot \overrightarrow{\sigma_2(\psi)} = 1
$$

ce qui prouve que chaque sphère d'une des familles est tangente à toutes les autres de la famille
et nous soulignons le fait que le résultat est vrai sans valeur absolue dans le cas des cyclides
de Dupin. Notons qu'en multipliant les deux rayons par -1, nous obtenons la même cyclide de
Dupin, mais d'orientation inverse.

De plus :

$$
\overrightarrow{\sigma_1(\theta)} \cdot \overrightarrow{\pi_{\psi}(\psi_0)} = \frac{1}{\mu - c \cos\theta} (-c \cos\theta + \mu) = 1
$$

ce qui prouvent que les plans de la seconde famille sont tangents à toutes les sphères de la
première famille.

11.3.2 Détermination du type des plans

Après quelques calculs, il serait possible de montrer que chaque courbe $\sigma_1(\theta)_{\theta \in [0,2\pi]}$ et $\sigma_2(\psi)_{\psi \in [0,2\pi]}$ appartiennent à deux plans affines $Q_{4,1}$-perpendiculaires $P_\theta$ et $P_\psi$. Nous allons déterminer le type des plans en fonction des paramètres $a, c$ et $\mu$.

11.3.2.1 Cas général

Si $c \neq \mu \neq 0$ et $a \neq \mu$, le tableau 11.1 (resp. 11.2) donne les éléments caractéristiques de la première (resp. seconde) famille. Notons que les vecteurs $\vec{v}_1^{\perp}$ et $\vec{v}_2^{\perp}$ sont déterminés de telle façon qu’ils soient respectivement orthogonaux à $\vec{v}_1$ et $\vec{v}_2$. Etant donné la construction de ces derniers, les vecteurs $\vec{v}_1^{\perp}$ et $\vec{v}_2^{\perp}$ sont des vecteurs tangents à leur cercle respectif en $\sigma_1(0)$ et en $\sigma_2(0)$.

Trivialement, les vecteurs $\vec{v}_1^{\perp}$ et $\vec{v}_2^{\perp}$ sont de type espace, il reste à déterminer les types des
vecteurs $\vec{v}_1$ et $\vec{v}_2$. Nous avons :

$$
\vec{v}_1^2 = \frac{b^2}{\mu^2 - c^2} \tag{11.50}
$$

et :

$$
\vec{v}_2^2 = \frac{b^2}{a^2 - \mu^2} \tag{11.51}
$$

et nous pouvons en déduire le type des plans contenant les sphères :

* si $|a| > |\mu| > |c|$, les deux vecteurs sont de type espace, les deux plans sont de type espace et les cercles sont deux cercles connexes;
<table><caption>TABLE 11.1 – Sphères et éléments caractéristiques de la première famille définissant la CD4 sur l'espace des sphères.</caption><tr><td rowspan="3">Sphères</td><td>σ₁(0) (1/μ-c; a/(μ-c); 0; 0; (a+c-μ)(-a-μ+c)/2(μ-c))</td></tr><tr><td>σ₁(π) (1/μ+c; -a/(μ+c); 0; 0; (a+c+μ)(a-μ-c)/2(μ+c))</td></tr><tr><td>σ₁(π/2) (1/μ; 0; b/μ; 0; b²-μ²/2μ)</td></tr><tr><td>Centre du cercle sur Λ⁴</td><td>Ω₁ (μ/(μ²-c²); ac/(μ²-c²); 0; 0; μ(a²+c²-μ²)/2(μ²-c²))</td></tr><tr><td rowspan="2">Vecteurs</td><td>v₁ = Ω₁σ₁(0) (c/(μ²-c²); aμ/(μ²-c²); 0; 0; c(b²+μ²)/2(μ²-c²))</td></tr><tr><td>v₁⊥ (0; 0; sign(μ); 0; 0)</td></tr></table>

<table><caption>TABLE 11.2 – Sphères et éléments caractéristiques de la seconde famille définissant la CD4 sur l'espace des sphères.</caption><tr><td rowspan="3">Sphères</td><td>σ₂(0) (1/μ-a; c/(μ-a); 0; 0; (a+c-μ)(a-μ-c)/2(μ-a))</td></tr><tr><td>π<sub>ψ</sub>(π/2) (0; -c/a; 0; b/a; -μ)</td></tr><tr><td>π<sub>ψ</sub>(-π/2) (0; -c/a; 0; -b/a; -μ)</td></tr><tr><td>Centre du cercle sur Λ⁴</td><td>Ω₂ (μ/(μ²-a²); ac/(μ²-a²); 0; 0; μ(a²+c²-μ²)/2(μ²-a²))</td></tr><tr><td rowspan="2">Vecteurs</td><td>v₂ = Ω₂σ₂(0) (a/(μ²-a²); μc/(μ²-a²); 0; 0; a(μ²-b²)/2(μ²-a²))</td></tr><tr><td>v₂⊥ (0; 0; 0; sign(a); 0)</td></tr></table>

* si $|c| < |a| < |μ|$, alors :

★ $v_1$ est de type espace, le plan contenant les représentantes des sphères centrées sur l'ellipse est de type espace et le cercle représentant les sphères sur $\Lambda^4$ est connexe;
★ $\vec{v}_2$ est de type temps, le plan contenant les représentantes des sphères centrées sur l'hyperbole est de type temps et le cercle représentant les sphères sur $\Lambda^4$ a deux composantes connexes.

• si $0 < |\mu| < |c| < |a|$, alors :

★ $\vec{v}_2$ est de type espace, le plan contenant les représentantes des sphères centrées sur l'hyperbole est de type espace et le cercle représentant les sphères sur $\Lambda^4$ est connexe ;

★ $\vec{v}_1$ est de type temps, le plan contenant les sphères représentantes des centrées sur l'ellipse est de type temps et le cercle représentant les sphères sur $\Lambda^4$ a deux composantes connexes.

<figure><img src="image_208.png" /><figcaption>FIGURE 11.14 – Une cyclide de Dupin sur $\Lambda^4$ représentée par deux cercles. (a) une cyclide en anneau représentée par l'union de deux cercles connexes (qui se tracent comme une ellipse). (b) : une cyclide de Dupin à deux points singuliers représentée sur $\Lambda^4$ par l'union d'un cercle non connexe (qui se trace comme une hyperbole) et d'un cercle connexe (qui se trace comme une ellipse).</figcaption></figure>

Dans les trois cas, le carré du rayon du cercle $\theta \mapsto \sigma_1(\theta)$ est :

$$ \frac{b^2}{\mu^2 - c^2} $$
qui est positif dès que nous avons $|\mu| > |c|$ tandis que le carré du rayon du cercle $\psi \mapsto \sigma_2(\psi)$ est :

$$ \frac{b^2}{a^2 - \mu^2} $$

qui est positif dès que nous avons $|\mu| < |a|$. Notons que nous le point $O_5$ est le barycentre de $(\Omega_1; \frac{\mu^2-c^2}{b^2})$ et $(\Omega_2; \frac{a^2-\mu^2}{b^2})$ c'est-à-dire que le point $O_5$ appartient à la droite $\delta = (\Omega_1\Omega_2)$. De plus, nous avons la relation [LW08] :

$$ \mathcal{L}_{4,1} (\overrightarrow{O_5\Omega_1}; \overrightarrow{O_5\Omega_2}) = \overrightarrow{O_5\Omega_1} \cdot \overrightarrow{O_5\Omega_2} = 1 \qquad (11.52) $$

c'est-à-dire que si nous connaissons $\Omega_1$, la détermination de $\Omega_2$ est triviale si $\delta$ n'est pas de type lumière. Il suffit de poser $\overrightarrow{O_5\Omega_2} = \lambda \overrightarrow{O_5\Omega_1}$ et un simple calcul conduit à :

$$ \overrightarrow{O_5\Omega_2} = \frac{1}{\overrightarrow{O_5\Omega_1}^2} \overrightarrow{O_5\Omega_1} \qquad (11.53) $$

Les tableaux 11.3 et 11.4 présentent les caractéristiques du type de la cyclide de Dupin à partir de deux plans perpendiculaires de l'espace de Lorentz. Une cyclide de Dupin en anneau est représentée par deux cercles connexes, figure 11.14(a).

<table><thead><tr><th rowspan="2">Nom</th><th colspan="2">Dans E<sub>3</sub></th><th colspan="2">Dans Λ<sup>4</sup></th><th rowspan="2">Illustration</th></tr><tr><th>Conique des centres des sphères</th><th>Contient deux plans et des sphères</th><th>Conique, espace de Lorentz</th><th>Conique, aspect euclidien</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">CD4A</td><td>Ellipse</td><td>Non</td><td>Cercle</td><td>Ellipse</td><td rowspan="2"></td></tr><tr><td>Hyperbole</td><td>Oui</td><td>Cercle</td><td>Ellipse</td></tr><tr><td>Nom</td><td colspan="2">Dans E<sub>3</sub></td><td colspan="2">Dans Λ<sup>4</sup></td><td>Illustration</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_209.png" /><figcaption>TABLE 11.3 – Détermination des cyclides de Dupin quartiques en anneau. En gras, la conique contient les deux plans de la famille de sphères.</figcaption></figure>

Une cyclide à croissant non nul est représentée sur $\Lambda^4$ par deux cercles qui se tracent l'un comme une ellipse et l'autre comme une hyperbole. Si cette dernière, représentant la famille de sphères, contient deux plans, alors la cyclide de Dupin est à croissant interne et, dans le cas contraire, elle est à croissant externe, figure 11.14(b).

Dans le cas d'une cyclide de Dupin en anneau ou à croissant non nul, la connaissance de l'un des deux cercles permet de déterminer le second cercle et nous pouvons énoncer :
<table><thead><tr><th>Nom</th><th colspan="2">Dans E<sub>3</sub></th><th colspan="2">Dans Λ<sup>4</sup></th><th>Illustration</th></tr></thead><tbody><tr><td></td><td>Conique des centres des sphères</td><td>Contient deux plans et des sphères</td><td>Conique, espace de Lorentz</td><td>Conique, aspect euclidien</td><td></td></tr><tr><td>CD4I</td><td>Ellipse<br>Hyperbole</td><td>Non<br>Oui</td><td>Cercle<br><b>Cercle</b></td><td>Ellipse<br><b>Hyperbole</b></td><td></td></tr><tr><td>CD4E</td><td>Ellipse<br>Hyperbole</td><td>Non<br>Oui</td><td>Cercle<br><b>Cercle</b></td><td>Hyperbole<br><b>Ellipse</b></td><td></td></tr><tr><td>Nom</td><td colspan="2">Dans E<sub>3</sub></td><td colspan="2">Dans Λ<sup>4</sup></td><td>Illustration</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_210.png" /></figure>

<figure><img src="image_211.png" /><figcaption>TABLE 11.4 – Détermination des différents types de cyclides de Dupin quartiques à croissants non nuls. En gras, la conique contient les deux plans de la famille de sphères.</figcaption></figure>

**Proposition 15** : Détermination du cercle frère.

Soit $\Omega_1$ le centre d'un cercle $C_1$ caractérisant une cyclide de Dupin en anneau ou à croissant non nul.

Soit $\mathcal{P}_1$ le plan contenant $C_1$.

Posons $\Omega_2$ de $(O_5\Omega_1)$ défini par la formule (11.53).

Soit $\mathcal{P}_2$ le plan affine, passant par $\Omega_2$, orthogonal à $\mathcal{P}_1$ et à $(O_5\Omega_1)$.

Le cercle frère de $C_1$ est :

$$C_2 = \Lambda^4 \cap \mathcal{P}_2$$

Esquisse de la démonstration :

La droite $(O_5\Omega_1)$ et le plan $\mathcal{P}_1$ sont orthogonaux. Le sous-espace vectoriel $\vec{\mathcal{E}}_1 = \overrightarrow{O_5\Omega_1} + \vec{\mathcal{P}}_1$ est de dimension 3. Le plan $\vec{\mathcal{P}}_2$ est donc l'espace vectoriel de dimension 2 orthogonal à $\vec{\mathcal{E}}_1$. Le plan affine $\mathcal{P}_2$ d'espace vectoriel attaché $\vec{\mathcal{P}}_2$ est complètement déterminé par la formule (11.53).

<figure><img src="image_212.png" /></figure>

Cette proposition est valable pour toutes les cyclides de Dupin (i.e. les cubiques aussi), nous avons choisi de la placer dans cette partie car la plupart des cyclides de Dupin rencontrées ou utilisées sont des CD4s.
### 11.3.2.2 Cas particuliers

**11.3.2.2.1 Cyclide de Dupin symétrique à croissant externe** Dans ce cas, nous avons $\mu = 0 < c$ et en utilisant les résultats du tableau 11.2, le vecteur $\overrightarrow{v_1}^{\perp}$ serait nul. Pour $\theta = \frac{\pi}{2}$ et pour $\theta = \frac{3\pi}{2}$, les sphères centrées sur l'ellipse ont un rayon nul : nous obtenons deux points qui sont représentés dans l'espace de Lorentz par deux vecteurs lumière :

$$ \overrightarrow{m_1} \left( 1; 0; b; 0; \frac{b^2}{2} \right) \quad \text{et} \quad \overrightarrow{m_2} \left( 1; 0; -b; 0; \frac{b^2}{2} \right) $$

ce qui permet de conclure que le plan contenant les représentations $\sigma_1(\theta)$ des sphères centrées sur l'ellipse est de type temps. Notons que nous avons :

$$ \Omega_1 \left( 0; -\frac{a}{c}; 0; 0; 0 \right) \quad \text{et} \quad \Omega_2 \left( 0; -\frac{c}{a}; 0; 0; 0 \right) $$

La représentation d'une cyclide symétrique à croissant externe est un cas particulier de cyclide de Dupin à croissant externe et est donc représentée sur $\Lambda^4$ par la figure 11.14(b) et ses propriétés sont données dans le tableau 11.4.

#### 11.3.2.2.2 Cyclide de Dupin à croissant nul

**11.3.2.2.2.1 Cyclide de Dupin à croissant externe nul** Dans ce cas, nous avons $\mu = c > 0$ et en utilisant les résultats du tableau 11.1, les vecteurs $\overrightarrow{\sigma_1(0)}$ et $\overrightarrow{v_1}$ et le centre $\Omega_1$ posent problème. Pour $\theta = 0$, la sphère centrée sur l'ellipse a un rayon nul : nous obtenons un point qui est représenté dans l'espace de Lorentz par le vecteur lumière :

$$ \overrightarrow{m_e} \left( 1; a; 0; 0; \frac{a^2}{2} \right) $$

La sphère principale, non réduite à un point, est obtenue pour $\theta = \pi$ et sa représentation sur $\Lambda^4$ est :

$$ \overrightarrow{\sigma_1(\pi)} = \left( \frac{1}{2\mu}; -\frac{a}{2\mu}; 0; 0; \frac{a^2 - 4\mu^2}{4\mu} \right) $$

et pour tout $\theta$ de $]0; 2\pi[ - \{\pi\}$, nous avons :

$$ \overrightarrow{\sigma_1(\pi)} \overrightarrow{\sigma_1(\theta)}^2 = \frac{(a^2 - \mu^2)(1 + \cos(\theta))}{\mu^2(1 - \cos(\theta))} > 0 $$

ce qui permet de conclure que le plan contenant les représentations $\sigma_1(\theta)$ des sphères centrées sur l'ellipse est de type lumière. Par symétrie, nous pouvons considérer le vecteur :

$$ \overrightarrow{\sigma_1\left(-\frac{\pi}{2}\right)} \overrightarrow{\sigma_1\left(\frac{\pi}{2}\right)} = \left( 0; 0; \frac{2\sqrt{a^2 - \mu^2}}{\mu}; 0; 0 \right) $$
<table><thead><tr><th>Nom</th><th colspan="2">Dans E<sub>3</sub></th><th colspan="2">Dans Λ<sup>4</sup></th><th>Illustration</th></tr></thead><tbody><tr><td></td><td>Conique des centres des sphères</td><td>Contient deux plans et des sphères</td><td>Conique, espace de Lorentz</td><td>Conique, aspect euclidien</td><td></td></tr><tr><td rowspan="2">CD4IN</td><td>Ellipse</td><td>Non</td><td>Cercle</td><td>Ellipse</td><td rowspan="2">Image de la ellipsoïde</td></tr><tr><td>Hyperbole</td><td>Oui</td><td><b>Parabole</b></td><td><b>Parabole</b></td></tr><tr><td rowspan="2">CD4EN</td><td>Ellipse</td><td>Non</td><td>Parabole</td><td>Parabole</td><td rowspan="2">Image de la parabole</td></tr><tr><td>Hyperbole</td><td>Oui</td><td><b>Cercle</b></td><td><b>Ellipse</b></td></tr><tr><td>Nom</td><td colspan="2">Dans E<sub>3</sub></td><td colspan="2">Dans Λ<sup>4</sup></td><td>Illustration</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_213.png" /></figure>

<figure><img src="image_214.png" /><figcaption>TABLE 11.5 – Détermination des différents types de cyclides de Dupin quartiques à croissants nuls. En gras, la conique contient les deux plans de la famille de sphères.</figcaption></figure>

Notons que pour tout $\theta$ de $]0; 2\pi[$, nous obtenons la paramétrisation :

$$ \overrightarrow{\sigma_1(\frac{\pi}{2}) \sigma_1(\theta)} = \frac{\sin(\theta)}{2(\cos(\theta) - 1)} \overrightarrow{\sigma_1(-\frac{\pi}{2}) \sigma_1(\frac{\pi}{2})} + \frac{\cos(\theta) + 1}{2\mu(\cos(\theta) - 1)} \overrightarrow{m_e} $$

et, en posant<fnref n="5" /> :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \cos(\theta) = \frac{t^2 - 1}{t^2 + 1} \\ \sin(\theta) = \frac{2t}{t^2 + 1} \end{array} \right. $$

nous obtenons :

$$ \overrightarrow{\sigma_1(\frac{\pi}{2}) \sigma_1(t)} = \frac{t}{2} \overrightarrow{\sigma_1(-\frac{\pi}{2}) \sigma_1(\frac{\pi}{2})} + \frac{t^2}{2\mu} \overrightarrow{m_e} $$

et nous reconnaissions l'équation paramétrique d'une parabole (affine) de sommet $\sigma_1(\frac{\pi}{2})$. De plus, nous avons :

$$ \overrightarrow{O_5\Omega_2^2} = \frac{a^2 \mu^2}{(\mu^2 - a^2)^2} - 2 \frac{\mu}{\mu^2 - a^2} \frac{\mu a^2}{2(\mu^2 - a^2)} = 0 $$

<footnote n="5">5. On change les formules usuelles pour avoir un cos valant -1 pour $t = 0$.</footnote>
**11.3.2.2.2.2 Cyclide de Dupin à croissant interne nul** Dans ce cas, nous avons $\mu = a > c > 0$ et en utilisant les résultats du tableau 11.2, les vecteurs $\overrightarrow{\sigma_2(0)}$ et $\overrightarrow{v_2}$ et le centre $\Omega_2$ posent problème. Pour $\psi = 0$, la sphère centrée sur l'ellipse a un rayon nul : nous obtenons un point qui est représenté dans l'espace de Lorentz par le vecteur lumière :

$$ \overrightarrow{m_h} \left( 1; c; 0; 0; \frac{c^2}{2} \right) $$

La sphère principale, non réduite à un point, est obtenue pour $\psi = \pi$ et sa représentation sur $\Lambda^4$ est :

$$ \overrightarrow{\sigma_2(\pi)} = \left( \frac{1}{2a}; \frac{-c}{2a}; 0; 0; \frac{c^2 - 4a^2}{4a} \right) $$

et pour tout $\psi$ de $]0; 2\pi[ - \{\pi\}$, nous avons :

$$ \overrightarrow{\sigma_2(\pi)} \overrightarrow{\sigma_2(\psi)}^2 = \frac{b^2 (1 + \cos(\psi))}{a^2 (1 - \cos(\psi))} > 0 $$

ce qui permet de conclure que le plan contenant les représentations $\sigma_2(\psi)$ des sphères centrées sur l'hyperbole est de type lumière. Par symétrie, nous pouvons considérer le vecteur :

$$ \overrightarrow{\pi_{\psi}\left(-\frac{\pi}{2}\right) \pi_{\psi}\left(\frac{\pi}{2}\right)} = \left(0; 0; 0; \frac{2b}{a}; 0\right) $$

Notons que pour tout $\psi$ de $]0; 2\pi[$, nous obtenons la paramétrisation :

$$ \overrightarrow{\sigma_2\left(\frac{\pi}{2}\right) \sigma_2(\psi)} = \frac{\sin(\psi)}{2(1 - \cos(\psi))} \overrightarrow{\pi_{\psi}\left(-\frac{\pi}{2}\right) \pi_{\psi}\left(\frac{\pi}{2}\right)} + \frac{1 + \cos(\psi)}{2a(\cos(\psi) - 1)} \overrightarrow{m_h} $$

et, en posant$^6$ :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \cos(\theta) = \frac{t^2 - 1}{t^2 + 1} \\ \\ \sin(\theta) = \frac{2t}{t^2 + 1} \end{array} \right. $$

nous obtenons :

$$ \overrightarrow{\sigma_2\left(\frac{\pi}{2}\right) \sigma_2(t)} = \frac{t}{2} \overrightarrow{\sigma_2\left(-\frac{\pi}{2}\right) \sigma_2\left(\frac{\pi}{2}\right)} - \frac{t^2}{2a} \overrightarrow{m_h} $$

et nous reconnaissions l'équation paramétrique d'une parabole (affine) de sommet $\sigma_2(\frac{\pi}{2})$. De plus, nous avons :

$$ \overrightarrow{O_5\Omega_1}^2 = \frac{a^2 c^2}{(a^2 - c^2)^2} - 2 \frac{a}{a^2 - c^2} \frac{ac^2}{2(a^2 - c^2)} = 0 $$

Une cyclide à croissant nul est représentée sur $\Lambda^4$ par un cercle qui se trace comme une ellipse et une parabole isométrique à une droite. Si cette dernière, représentant la famille de sphères
<figure><img src="image_215.png" /><figcaption>FIGURE 11.15 – Une cyclide de Dupin à un point singulier représentée sur $\Lambda^4$ par l’union d’une parabole (affine), isométrique à une droite, et d’un cercle connexe (qui se trace comme une ellipse).</figcaption></figure>

contient deux plans, la cyclide de Dupin est à croissant interne nul et, dans le cas contraire, elle est à croissant externe nul, tableau 11.5.

Dans les deux paragraphes suivants, nous donnons des méthodes permettant de déterminant l’un des plans connaissant l’autre. La conique $C_1$ n’a plus de centre et le point $\Omega_1$ désigne la sommet de la parabole affine, mais la formule (11.52) reste valable.

**11.3.2.2.2.3 Détermination du plan espace $P_2$ à partir du plan lumière $P_1$**

Considérons la parabole affine $C_1$ du plan $P_1$ représentant la famille à un paramètre de sphères, représentées par $\sigma_1(t)$ sur $\Lambda^4$, possédant un et un seul point singulier $M$. Ce point $M$ est représenté par le vecteur lumière $\vec{m}_h$. Soit $t_1$ tel que $\sigma_1(t_1)$ soit un plan. Le sommet de la parabole est $\Omega_1 = \sigma_1(t_1)$ et le vecteur espace qui nous intéresse est $\vec{u}_1 = \sigma_1(t_1)$ puisque nous avons alors :

$$ \vec{O_5\Omega_1} \cdot \vec{u_1} = 0 $$

<footnote n="6">6. On change les formules usuelles pour avoir un cos valant $-1$ pour $t = 0$.</footnote>
Commençons par déterminer $\Omega_2$, centre du cercle $C_2$. Les vecteurs $\overrightarrow{O_5\Omega_2}$ et $\overrightarrow{m_h}$ sont collinéaires et la formule (11.52) conduit à :

$$ \overrightarrow{O_5\Omega_2} = \frac{1}{\overrightarrow{m_h} \cdot \overrightarrow{O_5\Omega_1}} \overrightarrow{m_h} $$

Il reste à déterminer deux vecteurs $\vec{u}_2$ et $\vec{u}_3$, de type espace, orthogonaux et unitaires de $\mathcal{P}_2$. Ces vecteurs sont solutions du système :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \vec{u} \cdot \overrightarrow{m_h} = 0 \\ \vec{u} \cdot \vec{u}_1 = 0 \\ \vec{u} \cdot \overrightarrow{O_5\Omega_1} = 0 \end{array} \right. $$

où $\vec{u}$ est le vecteur inconnu. Pour peaufiner la construction, nous pouvons ajouter à la famille $(\overrightarrow{m_h}; \vec{u}_1; \vec{u}_2; \vec{u}_3)$ le vecteur lumière $\vec{l}_5$ afin d'obtenir une base. Ce vecteur lumière est orthogonal à $\vec{u}_1$, $\vec{u}_2$ et $\vec{u}_3$. Par soucis de normalisation, nous imposons $\vec{l}_5 \cdot \overrightarrow{m_h} = -1$.

**11.3.2.2.4 Détermination du plan lumière $\mathcal{P}_1$ à partir du plan espace $\mathcal{P}_2$** Dans ce paragraphe, le cercle $C_2$ de $\mathcal{P}_2$ a pour centre $\Omega_2$. Le plan $\overrightarrow{P_2}$ est muni de la base orthonormée $(\vec{u}_2; \vec{u}_3)$. Un vecteur lumière du plan lumière $\overrightarrow{P_1}$ est $\overrightarrow{m_h} = \overrightarrow{\Omega_2 O_5}$. Cherchons les sphères $\sigma$ vérifiant :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{O_5\sigma} \cdot \overrightarrow{O_5\Omega_2} = 1 \\ \overrightarrow{O_5\sigma} \cdot \vec{u}_2 = 0 \\ \overrightarrow{O_5\sigma} \cdot \vec{u}_3 = 0 \\ \overrightarrow{O_5\sigma}^2 = 1 \end{array} \right. $$

et nous obtenons une famille à un paramètre $\sigma_1(t)$ de solutions. Soit $t_1$ tel que $\sigma_1(t_1)$ soit un plan. Le sommet de la parabole est $\Omega_1 = \sigma_1(t_1)$ et le vecteur espace qui nous intéresse est $\vec{u}_1 = \overrightarrow{\bullet \cdot \bullet}$
$\sigma_1(t_1)$. Comme dans le paragraphe précédent, nous pouvons ajouter à la famille $(\overrightarrow{m_h}; \vec{u}_1; \vec{u}_2; \vec{u}_3)$
le vecteur lumière $\vec{l}_5$ afin d'obtenir une base.

### **11.3.2.3 Résumé de la représentation des CD4**

Ainsi, l'union de ces deux courbes, appelés cercles frères 7, est soit l'union de deux cercles de centres $\Omega_1$ et $\Omega_2$, soit l'union d'un cercle de centre $\Omega_1$ ou $\Omega_2$ et d'une parabole isométrique à une droite pour la forme quadratique $Q_{4,1}$. Cependant, si l'une des courbes est une parabole, nous avons :

$$ \overrightarrow{O_5\Omega_1}^2 = 0 \quad \text{ou} \quad \overrightarrow{O_5\Omega_2}^2 = 0. $$

<footnote n="7">7. La connaissance de l'un permet la détermination de l'autre.</footnote>
D'un point de vue euclidien, nous pouvons voir ces cercles comme des coniques, différentes selon le type de la cyclide :

• deux ellipses, figure 11.14(a), pour une cyclide de Dupin en anneau;

• une ellipse et une hyperbole, figure 11.14(b), pour une cyclide à croissant non nul (interne ou externe);

• une ellipse et une parabole, figure 11.15, pour une cyclide à croissant nul (interne ou externe).

Pour la pseudo-métrique de $L_{4,1}$, un cercle (connexe) se trace comme une ellipse, un cercle non connexe se trace comme une hyperbole. Notons que le type de la cyclide est complètement déterminé par le type de la droite ($O_5\Omega_1$) ou ($O_5\Omega_2$) :

**Remarque 2 :** *Type de la cyclide de Dupin*

Soit $\Delta_{O_5} = \text{Aff}\{O_5; \Omega_1; \Omega_2\}$.

• Si nous avons $\overrightarrow{O_5\Omega_1}^2 < 0$, la droite $\Delta_{O_5}$ est de type temps, la cyclide de Dupin est en anneau (les deux plans sont de type espace);

• Si nous avons $\overrightarrow{O_5\Omega_1}^2 = 0$ ou $\overrightarrow{O_5\Omega_2}^2 = 0$, la droite $\Delta_{O_5}$ est de type lumière, la cyclide de Dupin est à croissant nul (un plan est de type espace, l'autre est de type lumière);

• Si nous avons $\overrightarrow{O_5\Omega_1}^2 > 0$, la droite $\Delta_{O_5}$ est de type espace, la cyclide de Dupin est à croissant non nul (un plan est de type espace, l'autre est de type temps).

Réciproquement, à partir d'un plan affine coupant $\Lambda^4$ et ne passant pas par $O_5$, il reste à déterminer les paramètres de la CD4.

### 11.3.3 Détermination des paramètres d'une CD4

Pour déterminer une cyclide de Dupin, il suffit de déterminer deux sphères principales de la même famille :

**Définition 26 :** *Sphère principale*

Une sphère principale d'une CD4 est une sphère dont la sphère dérivée est un plan.

Ainsi, un cercle principal est un grand cercle d'une sphère principale, la dérivée de la sphère principale est un plan orthogonal à cette dernière. Naturellement, la donnée des représentation de deux sphères principales permet de déterminer la cyclide de Dupin. Dans l'espace des sphères, cela peut revenir à chercher :

• dans un plan de type espace, les deux sphères de rayon extrémal;

• dans un plan de type temps, la sphère de rayon extrémal sur chaque branche du cercle;

• dans un plan de type lumière, la sphère de rayon extrémal (l'autre étant un point).

Ces méthodes nous obligent à dériver les courbes puis à une recherche de variation du rayon, nous allons proposer une autre méthode. En général, nous partons soit de trois sphères $\sigma_1, \sigma_2$ et $\sigma_3$ et déterminer le centre du cercle est facile en adaptant le lemme 5 à l'espace des sphères, soit de deux sphères $\sigma_1$ et $\sigma_2$ et d'un vecteur tangent $\vec{\sigma_1}$, de type espace, à $\sigma_1$. Dans ce dernier cas, le
couple $(\sigma_1; \vec{\sigma_1})$ détermine un cercle caractéristique de la surface que nous voulons joindre avec $\sigma_2$ par une cyclide de Dupin. Si nous avons $\vec{\sigma_1} \cdot \vec{\sigma_2} = 0$, le centre $\Omega_1$ du cercle est le milieu du segment $[\sigma_1\sigma_2]$, sinon, $\Omega_1$ est défini par le lemme 6 et nous obtenons :

$$ \overrightarrow{\sigma_1 \Omega_1} = -\frac{1}{2} \frac{\overrightarrow{\sigma_1 \sigma_2}^2 \times \overrightarrow{\sigma_1 \sigma_2}}{\overrightarrow{\sigma_1 \sigma_2}^2 \times \overrightarrow{\sigma_1 \sigma_2} - (\overrightarrow{\sigma_1 \sigma_2} \cdot \overrightarrow{\sigma_1})^2} \left( \overrightarrow{\sigma_2 \sigma_1} - \frac{\overrightarrow{\sigma_2 \sigma_1} \cdot \overrightarrow{\sigma_1}}{\overrightarrow{\sigma_1}^2} \overrightarrow{\sigma_1} \right) \quad (11.54) $$

et le signe de $\overrightarrow{O_5\Omega_1}^2$ nous donne le type de la cyclide de Dupin, cf. remarque 2. Dans le plan $\mathcal{P}_1 = \text{Aff}\{\sigma_1; \sigma_2; \vec{\sigma_1}\}$, que nous supposons ne pas être de type lumière, nous choisissons le repère pseudo-orthonormal $(\Omega_1; \vec{u}_1; \vec{u}_2)$ avec :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \vec{u}_1 = \frac{1}{\sqrt{|\overrightarrow{\Omega_1 \sigma_1}|}} \overrightarrow{\Omega_1 \sigma_1} \\ \\ \vec{u}_2 = \frac{1}{\sqrt{\overrightarrow{\sigma_1}^2}} \overrightarrow{\sigma_1} = \overrightarrow{\bullet} \end{array} \right. \qquad (11.55) $$

puisque $\overrightarrow{\sigma_1}$ est de type espace. Nous avons donc $\overrightarrow{u_2}^2 = 1$ et $\overrightarrow{u_1}^2 = 1$ (resp. $\overrightarrow{u_1}^2 = -1$) si le plan est de type espace (resp. temps) et l'équation (11.54) devient :

$$ \overrightarrow{\sigma_1 \Omega_1} = -\frac{1}{2} \frac{\overrightarrow{\sigma_1 \sigma_2}^2}{\overrightarrow{\sigma_1 \sigma_2}^2 - (\overrightarrow{\sigma_2} \cdot \overrightarrow{\sigma_1})^2} \left( \overrightarrow{\sigma_2 \sigma_1} - \left( \overrightarrow{\sigma_2 \sigma_1} \cdot \overrightarrow{\bullet} \right) \overrightarrow{\sigma_1} \right) \quad (11.56) $$

### 11.3.3.1 Dans un plan de type espace

Soit $\vec{u} (\alpha; \beta)$ un vecteur de $\vec{P}_1$ dans la base $(\vec{u}_1; \vec{u}_2)$. Nous avons :

$$ \vec{u}^2 = \alpha^2 + \beta^2 \qquad (11.57) $$

et la restriction de la forme de Lorentz à $\vec{P}_1$ est définie positive. La famille de sphères $\sigma(t)$, dont la cyclide de Dupin est l'enveloppe, est donc le cercle défini par :

$$ \overrightarrow{\Omega_1 \sigma(t)} = \sqrt{\overrightarrow{\Omega_1 \sigma_1}^2} \cos(t) \vec{u}_1 + \sqrt{\overrightarrow{\Omega_1 \sigma_1}^2} \sin(t) \vec{u}_2, \quad t \in [0; 2\pi] \quad (11.58) $$

et le rayon du cercle, d'après le théorème de Pythagore appliqué dans le triangle $O_5\sigma_1\Omega_1$, retangle en $\Omega_1$, est :

$$ \sqrt{\overrightarrow{\Omega_1 \sigma_1}^2} = \sqrt{\overrightarrow{O_5 \sigma_1}^2 - \overrightarrow{O_5 \Omega_1}^2} = \sqrt{1 - \overrightarrow{O_5 \Omega_1}^2}, $$
La sphère dérivée $\dot{\sigma}(t_0)$ au cercle en $\sigma(t_0)$ est un plan si la première composante dans la base $(\overrightarrow{e_0}; \overrightarrow{e_1}; \overrightarrow{e_2}; \overrightarrow{e_3}; \overrightarrow{e_\infty})$ de :

$$-\sqrt{\overrightarrow{\Omega_1\sigma_1}^2} \sin(t_0) \overrightarrow{u_1} + \sqrt{\overrightarrow{\Omega_1\sigma_1}^2} \cos(t_0) \overrightarrow{u_2}$$

est nulle. Nous obtenons deux solutions $t_m$ et $t_M$ qui déterminent $\sigma_m$ et $\sigma_M$. Ces dernières définissent les deux sphères principales $S_m$ et $S_M$ du faisceau. Soit $\mathcal{P}_m$ et $\mathcal{P}_M$ les plans définis par les sphères dérivés $\dot{\sigma}_m$ et $\dot{\sigma}_M$. Les cercles caractéristiques de la cyclide de Dupin sont $S_m \cap \mathcal{P}_m$ et $S_M \cap \mathcal{P}_M$. Posons :

$$\overrightarrow{\Omega_1\sigma_m} = \sqrt{\overrightarrow{\Omega_1\sigma_1}^2} \cos\left(t_m + \frac{\pi}{2}\right) \overrightarrow{u_1} + \sqrt{\overrightarrow{\Omega_1\sigma_1}^2} \sin\left(t_m + \frac{\pi}{2}\right) \overrightarrow{u_2}$$

La formule (11.58) peut s'écrire :

$$\overrightarrow{\Omega_1\sigma(t)} = \cos(t) \overrightarrow{\Omega_1\sigma_m} + \sin(t) \overrightarrow{\Omega_1\sigma_m}, \quad t \in [0; 2\pi] \qquad (11.59)$$

et le rayon du cercle est :

$$\sqrt{\overrightarrow{\Omega_1\sigma_m}^2} = \sqrt{\overrightarrow{\Omega_1\sigma_m}} = \sqrt{\overrightarrow{\Omega_1\sigma_M}^2}$$

et nous avons :

$$\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{O_5\sigma_m} = \varepsilon \frac{1}{\overrightarrow{\Omega_1\sigma_m}} \overrightarrow{\Omega_1\sigma_m} \\ \\ \overrightarrow{O_5\sigma_M} = \varepsilon \frac{1}{\overrightarrow{\Omega_1\sigma_M}} \overrightarrow{\Omega_1\sigma_M} \end{array} \right. , \varepsilon \in \{-1; 1\}$$

et selon le signe de $\varepsilon$, nous obtenons l'une ou l'autre des sphères orientées définies par la même sphère géométrique.

En appliquant le théorème de Pythagore, nous obtenons :

$$1 = \overrightarrow{O_5\sigma(t)}^2 = \overrightarrow{O_5\Omega_1}^2 + \overrightarrow{\Omega_1\sigma(t)}^2$$

ce qui permet de déduire la propriété suivante :

* si la cyclide de Dupin est en anneau, nous avons $\overrightarrow{O_5\Omega_1}^2 < 0$ et le rayon du cercle est supérieur à 1;

* si la cyclide de Dupin est à croissant non nul, nous avons $\overrightarrow{O_5\Omega_1}^2 > 0$ et le rayon du cercle est inférieur à 1.

Remarquons :

$$\begin{align*} \overrightarrow{O_5\sigma(t)}^2 &= (\overrightarrow{O_5\Omega_1} + \overrightarrow{\Omega_1\sigma(t)})^2 \\ &= (\overrightarrow{O_5\Omega_1} + \cos(t) \overrightarrow{\Omega_1\sigma_m} + \sin(t) \overrightarrow{\Omega_1\sigma_m})^2 \\ &= \overrightarrow{O_5\Omega_1}^2 + \cos^2(t) \overrightarrow{\Omega_1\sigma_m}^2 + \sin^2(t) \overrightarrow{\Omega_1\sigma_m}^2 \end{align*}$$
$$
\begin{align*}
&= \overrightarrow{O_5 \Omega_1}^2 + \cos^2(t) \overrightarrow{\Omega_1 \sigma_1}^2 + \sin^2(t) \overrightarrow{\Omega_1 \sigma_1}^2 \\
&= \overrightarrow{O_5 \Omega_1}^2 + \overrightarrow{\Omega_1 \sigma_1}^2 \\
&= 1
\end{align*}
$$

11.3.3.2 Dans un plan de type temps

Soit $\vec{u} (\alpha; \beta)$ un vecteur de $\vec{P}_1$ dans la base $(\vec{u}_1; \vec{u}_2)$. Nous avons :

$$
\vec{u}^2 = -\alpha^2 + \beta^2 \tag{11.60}
$$

et la restriction de la forme de Lorentz à $\vec{P}_1$ est de signature (1; 1). Posons :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{m}_0 = k_0 (\vec{u}_1 + \vec{u}_2) = k_0 \left( \frac{1}{\sqrt{|\vec{\Omega}_1 \vec{\sigma}_1|^}} \vec{\Omega}_1 \vec{\sigma}_1 + \frac{1}{\sqrt{\vec{\sigma}_1^2}} \vec{\sigma}_1 \right) \\[1em]
\vec{m}_2 = k_2 (\vec{u}_1 - \vec{u}_2) = k_2 \left( \frac{1}{\sqrt{|\vec{\Omega}_1 \vec{\sigma}_2|^}} \vec{\Omega}_1 \vec{\sigma}_1 - \frac{1}{\sqrt{\vec{\sigma}_2^2}} \vec{\sigma}_1 \right)
\end{array}
\right.
$$

où $k_0$ et $k_2$ sont déterminés de tels façons que la première composante de chacun des vecteurs $\overrightarrow{m_0}$ et $\overrightarrow{m_2}$ vaille 1 : le vecteur lumière $\overrightarrow{m_0}$ (resp. $\overrightarrow{m_2}$) définit le point singulier $M_0$ (resp. $M_2$) de la cyclide de Dupin. Contrairement à la modélisation de branche d'hyperbole dans le cas euclidien, les vecteurs $\overrightarrow{m_0}$ et $\overrightarrow{m_2}$ sont de type lumière : la formule (3.39) est remplacée par le fait que les vecteurs $\overrightarrow{m_0}$ et $\overrightarrow{m_2}$ définissent directement des points de $\mathcal{E}_3$, formule (10.10).

Comme nous connaissons deux vecteurs lumière et directeurs des asymptotes du cercle ainsi
que le centre, il est naturel d'utiliser une courbe de Bézier rationnelle quadratique à points mas-
siques de contrôle pour représenter une branche et nous obtenons :

$$
\overrightarrow{\Omega_1 \sigma(t)} = \frac{1}{\omega_1 B_1(t)} (B_0(t) \overrightarrow{m_0} + B_2(t) \overrightarrow{m_2}), \quad t \in [0; 1] \quad (11.61)
$$

et il existe un réel $t_0$ tel que $\sigma(t_0) = \sigma_1$ et comme nous sommes dans un plan de type temps,
nous avons :

$$
\forall t \in [0; 1], \quad \overrightarrow{\Omega_1 \sigma(t)}^2 = \overrightarrow{\Omega_1 \sigma_1}^2 < 0
$$

et il reste à déterminer le poids $\omega_1$ du centre du cercle $\Omega_1$. Nous avons :

$$
\overrightarrow{\Omega_1 \sigma(t)}^2 = \frac{1}{\omega_1^2} \times 2 \times \underbrace{\frac{B_0(t) B_2(t)}{B_1^2(t)}}_{\frac{1}{4}} \times \overrightarrow{m_0} \cdot \overrightarrow{m_2}
$$
d'où :

$$ \omega_1^2 = \frac{\overrightarrow{m_0} \cdot \overrightarrow{m_2}}{2 \overrightarrow{\Omega_1} \cdot \overrightarrow{\sigma_1}^2} > 0 \qquad (11.62) $$

car le produit $\overrightarrow{m_0} \cdot \overrightarrow{m_2}$ est négatif. Nous obtenons deux solutions opposées $\omega_1^+$ et $\omega_1^-$. Soit $\gamma_1^+ = \text{RQBC}\{(\overrightarrow{m_0}; 0); (\Omega_1; \omega_1^+); (\overrightarrow{m_2}; 0)\}$ et $\gamma_1^- = \text{RQBC}\{(\overrightarrow{m_0}; 0); (\Omega_1; \omega_1^-); (\overrightarrow{m_2}; 0)\}$. Les sphères principales $S_1^+$ et $S_1^-$ sont représentées sur $\Lambda^4$ par :

$$ \left\{ \begin{aligned} \gamma_1^+ \left(\frac{1}{2}\right) &= \frac{1}{\omega_1^+ B_1 \left(\frac{1}{2}\right)} \left( B_0 \left(\frac{1}{2}\right) \overrightarrow{m_0} + B_2 \left(\frac{1}{2}\right) \overrightarrow{m_2} \right) &= \frac{1}{\omega_1^+} \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{m_0} + \overrightarrow{m_2} \right) \\ \gamma_1^- \left(\frac{1}{2}\right) &= \frac{1}{\omega_1^- B_1 \left(\frac{1}{2}\right)} \left( B_0 \left(\frac{1}{2}\right) \overrightarrow{m_0} + B_2 \left(\frac{1}{2}\right) \overrightarrow{m_2} \right) &= \frac{1}{\omega_1^-} \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{m_0} + \overrightarrow{m_2} \right) \end{aligned} \right. \qquad (11.63) $$

Si nous voulons que le poids du point intermédiaire de la CBRQ vaille 1, nous prenons :

$$ \left\{ \begin{aligned} \gamma_2^+ &= \text{RQBC} \left\{ \left( \frac{1}{\omega_1^+} \overrightarrow{m_0}; 0 \right); (\Omega_1; 1); \left( \frac{1}{\omega_1^+} \overrightarrow{m_2}; 0 \right) \right\} \\ \gamma_2^- &= \text{RQBC} \left\{ \left( -\frac{1}{\omega_1^+} \overrightarrow{m_0}; 0 \right); (\Omega_1; 1); \left( -\frac{1}{\omega_1^+} \overrightarrow{m_2}; 0 \right) \right\} \end{aligned} \right. $$

et les sphères principales $S_1$ et $S_2$ sont définies par $\overrightarrow{\sigma_1}$ et $\overrightarrow{\sigma_2}$ :

$$ \left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{\sigma_1} &= \overrightarrow{\Omega_1} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{\frac{\overrightarrow{\Omega_1 \sigma_1}^2}{\overrightarrow{m_0} \cdot \overrightarrow{m_2}}} (\overrightarrow{m_0} + \overrightarrow{m_2}) \\ \overrightarrow{\sigma_2} &= \overrightarrow{\Omega_1} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{\frac{\overrightarrow{\Omega_1 \sigma_1}^2}{\overrightarrow{m_0} \cdot \overrightarrow{m_2}}} (\overrightarrow{m_0} + \overrightarrow{m_2}) \end{aligned} \right. \qquad (11.64) $$

### 11.3.4 Générations de cyclide de Dupin à croissant

Notons que les algorithmes 11.2 et 11.3 permettent, respectivement, de définir des cyclides de Dupin à croissant nul et non nul : il suffit de remplacer le vecteur $\overrightarrow{e_\infty}$ par le vecteur lumière correspondant au point singulier de cette cyclide de Dupin.

#### 11.3.4.1 Utilisation de l'algorithme 11.2

La figure 11.16 montre des cercles caractéristiques d'une cyclide de Dupin à croissant externe nul à partir des sphères $S_0$ de centre $O_0(5; 1; 2)$, $S_1$ de centre $O_1(-5; 1; 2)$ et de rayon 1. Le point singulier est $O_3$.
La sphère $S_0$ (resp. $S_1$) est représentée par $\sigma_0(1; 5; 1; 2; \frac{29}{2})$ (resp. $\sigma_1(1; -5; 1; 2; \frac{29}{2})$) et $O_3$ est représenté par $\vec{e}_o$. Nous avons $\vec{P}_1(-\frac{5\sqrt{29}}{29}; -\frac{\sqrt{29}}{2}; 0; 0; 0)$. L'équation de la CBRQ sur $\Lambda^4$ est :

$$ \gamma(t) = \begin{pmatrix} \frac{(58 + 10\sqrt{29}) t^2 - (58 + 10\sqrt{29}) t + 29}{29(t-1)^2} \\ \frac{(5 + \sqrt{29}) t - 5}{t-1} \\ 1 \\ 2 \\ \frac{29}{2} \end{pmatrix} $$

La figure 11.16 montre des cercles caractéristiques d'une cyclide de Dupin à croissant externe nul en changeant le vecteur lumière dans l'algorithme 11.2.

<figure><img src="image_216.png" /><figcaption>FIGURE 11.16 – Des cercles caractéristiques d'une cyclide de Dupin à croissant externe nul en changeant le vecteur lumière dans l'algorithme 11.2.</figcaption></figure>

### 11.3.4.2 Utilisation de l'algorithme 11.3

La figure 11.17 montre des cercles caractéristiques d'une cyclide de Dupin à croissant externe non nul en changeant le vecteur lumière dans l'algorithme 11.3. Le point $M_1$ et la sphère sont
ceux de la figure 11.11, le vecteur $\vec{e}_{\infty}$ a été remplacé par le vecteur $\vec{m}_2(1; -5; -5; 10; 75)$ qui représente le point $M_2(-5; -5; 10)$.

<figure><img src="image_217.png" /><figcaption>FIGURE 11.17 – Des cercles caractéristiques d’une cyclide de Dupin à croissant externe non nul en changeant le vecteur lumière $\vec{e}_{\infty}$ dans l’algorithme 11.3.</figcaption></figure>
Nous avons $\omega_1 = 137 \frac{\sqrt{109}}{1526}$ et l'équation de la CBRQ sur $\Lambda^4$ est :

$$ \gamma(t) = \left( \begin{array}{l} \frac{-(84 + 14\sqrt{109})t^2 - 84t^2 + (84 + 14\sqrt{109})t - 7\sqrt{109}}{137t(t-1)} \\ \\ \frac{(1105 + 70\sqrt{109})t^2 - (1105 + 70\sqrt{109})t + 35\sqrt{109}}{137t(t-1)} \\ \\ \frac{(439 + 42\sqrt{109})t^2 - (439 + 14\sqrt{109})t + 7\sqrt{109}}{137t(t-1)} \\ \\ \frac{-(310 + 63\sqrt{109})t^2 + (310 - 14\sqrt{109})t + 7\sqrt{109}}{137t(t-1)} \\ \\ \frac{(9040 + 1239\sqrt{109})t^2 + (9040 + 378\sqrt{109})t - 189\sqrt{109}}{274t(t-1)} \end{array} \right) $$

et la petite partie est obtenue avec $\omega_1^- = -137 \frac{\sqrt{109}}{1526}$.

Partons de la cyclide de Dupin, et modifions le vecteur $\vec{m}_2$ ($1; -5; -5; 10; 75$) en :

$$ \vec{m}_2^\rightarrow (1; -5k; -5k; 10k; 75k^2) $$

où $k$ est un entier naturel. Pour tout $k$, nous avons $\vec{m}_2^\rightarrow 2 = 0$ et, par construction du compactifié d'Alexandrov de $\mathcal{E}_3$, nous avons :

$$ \lim_{k \to +\infty} \vec{m}_{2k} = \vec{e}_{\infty} $$

et nous obtenons une famille de CBRQs, à points massiques de contrôle, modélisant des cyclides de Dupin à croissant non nul et ayant comme limite le cône de révolution de sommet $M_1 = S$ et défini par la sphère $S_1$.

### 11.3.5 CD4 déterminée à partir de trois sphères

Une cyclide de Dupin est définie, de deux manières équivalentes, par une famille à un paramètre de sphères orientées, mais, la donnée de trois sphères orientées suffit. Si les trois sphères ont même rayon, si les centres sont alignés, nous obtenons un cylindre de révolution, sinon, nous obtenons un tore. Si les centres sont alignés et si les rayons ne sont pas identiques, nous obtenons un cône de révolution. Ces trois cas sont triviaux et nous ne nous attardons pas dessus.

Soit $S_A = S(O_A; \rho_A)$, $S_B = S(O_B; \rho_B)$ et $S_C = S(O_C; \rho_C)$ trois sphères orientées de $\mathcal{E}_3$. L'algorithme 11.5 permet de déterminer la cyclide de Dupin définie par ces trois sphères en utilisant leurs représentations respectives $\sigma_A$, $\sigma_B$ et $\sigma_C$ sur $\Lambda^4$.

Nous rappelons qu'un point de $\Lambda^4$ représente un plan si la composante de $\vec{e}_o$ est nulle.
**Algorithme 11.5** Cyclide de Dupin obtenue à partir de trois sphères.

**Entrée** : trois sphères, deux à deux distinctes, $S_A$, $S_B$ et $S_C$.

1. Détermination de $\sigma_A$, $\sigma_B$ et $\sigma_C$, représentations respectives, sur $\Lambda^4$, des sphères $S_A$, $S_B$ et $S_C$.

2. Détermination du type du plan $\mathcal{P}_1 = \text{Aff}\{\sigma_A; \sigma_B; \sigma_C\}$.

3. Si $\mathcal{P}_1$ est de type lumière

alors (a) Détermination de trois sphères $\sigma_{-1}$, $\sigma_{-2}$ et $\sigma_{-3}$ du cercle $C_2$, jumeau de $C_1$.

(b) Application de l'algorithme 11.5 aux trois sphères $\sigma_{-1}$, $\sigma_{-2}$ et $\sigma_{-3}$

sinon (a) Détermination du centre $\Omega_1$ du cercle $C_1$ passant par $\sigma_A$, $\sigma_B$ et $\sigma_C$, lemme 5.

(b) Détermination du type de la cyclide de Dupin en fonction du signe de $\overrightarrow{O_5\Omega_1^2}$.

(c) Détermination des vecteurs $\vec{u}_1$ et $\vec{u}_2$, formule (11.55).

(d) Détermination des sphères principales en fonction du type du plan $\mathcal{P}_1$, paragraphe 11.3.3.1 ou 11.3.3.2.

(e) Détermination du type de la famille de sphères en fonction du nombre de plans qu'elle contient (0 ou 2), tableau 11.3 ou 11.4.

(f) Détermination des paramètres de la cyclide de Dupin en fonction du type de la famille de sphères déterminée au point précédent, théorème 19 ou 20.

(g) Détermination de la transformation géométrique (une translation et un endomorphisme de $\vec{\mathcal{E}}_3$).

**Sortie** : une cyclide de Dupin déterminée par trois sphères.

**11.3.5.1 Exemple 1 : obtention d'une cyclide de Dupin en anneau**

La figure 11.18 montre une cyclide de Dupin en anneau obtenue à partir des trois sphères $S_A$, $S_B$ et $S_C$ avec :

$$O_A \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \rho_A = 1 \qquad O_B \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \rho_B = 3 \qquad O_C \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}, \rho_C = 2$$

et nous obtenons :

$$\sigma_A (1; 5; 0; 0; 12) \qquad \sigma_B \left( \frac{1}{3}; -\frac{5}{3}; 0; 0; \frac{8}{3} \right) \qquad \sigma_C \left( \frac{13}{2}; -\frac{3}{2}; 2; 0; \frac{21}{4} \right) \qquad (11.65)$$

et le plan $\text{Aff}\{\sigma_A; \sigma_B; \sigma_C\}$ est de type espace. Le centre du cercle passant par $\sigma_A$, $\sigma_B$ et $\sigma_C$ est :

$$\Omega_1 \left( \frac{3030}{3719}; \frac{7673}{3719}; -\frac{5376}{3719}; 0; \frac{34310}{3719} \right) \simeq (0, 815; 2, 063; -1, 446; 0; 9, 226)$$

et nous avons :

$$\overrightarrow{O_5\Omega_1^2} = -\frac{32305}{3719} < 0$$
ce qui prouve que nous avons une cyclide de Dupin en anneau. La représentation des sphères principales $S_1$ et $S_2$, de centres respectifs $O_1$ et $O_2$, de rayons respectifs $\rho_1$ et $\rho_2$ sont :

$$ \sigma_{S_1} \left( \begin{array}{c} \frac{-20\sqrt{9006} + 3030}{3719} \\ \frac{-646\sqrt{9006} + 38365}{18595} \\ \frac{472\sqrt{9006} - 26880}{18595} \\ 0 \\ \frac{-1341\sqrt{9006} + 171550}{18595} \end{array} \right) \approx \left( \begin{array}{c} 0,304 \\ -1,234 \\ 0,963 \\ 0 \\ 2,382 \end{array} \right) $$

et :

$$ \sigma_{S_2} \left( \begin{array}{c} \frac{20\sqrt{9006} + 3030}{3719} \\ \frac{646\sqrt{9006} + 38365}{18595} \\ \frac{-472\sqrt{9006} - 26880}{18595} \\ 0 \\ \frac{1341\sqrt{9006} + 171550}{18595} \end{array} \right) \approx \left( \begin{array}{c} 1,325 \\ 5,360 \\ -3,854 \\ 0 \\ 16,069 \end{array} \right) $$

ce qui conduit à :

$$ O_1 \left( \frac{-32\sqrt{9006} - 3}{\frac{750}{\frac{4\sqrt{9006} + 16}{125}}}, \frac{-4,053}{3,165}, \frac{0}{0} \right) \approx \left( \frac{-4,053}{3,165}, \frac{-4,053}{3,165}, \frac{0}{0} \right), \rho_1 = \frac{2\sqrt{9006} + 303}{150} \approx 3,285 $$

et :

$$ O_2 \left( \frac{32\sqrt{9006} - 3}{\frac{750}{\frac{-4\sqrt{9006} + 16}{125}}} \right) \approx \left( \frac{4,045}{-2,909}, \frac{-2,909}{0} \right), \rho_2 = \frac{-2\sqrt{9006} + 303}{150} \approx 0,755 $$

Les paramètres de la cyclide de Dupin sont :

$$ (a; c; \mu) = \left( \frac{4\sqrt{9006}}{75}; \frac{\sqrt{9006}}{75}; \frac{101}{50} \right) \approx (5,061; 1,265; 2,02) $$
et la matrice massique de la transformation affine permettant de placer la cyclide de Dupin dans
le repère originel est :

$$
\begin{pmatrix}
\frac{4}{5} & \frac{3}{5} & 0 & -\frac{1}{250} \\
-\frac{3}{5} & \frac{4}{5} & 0 & \frac{16}{125} \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0,8 & 0,6 & 0 & -0,004 \\
-0,6 & 0,8 & 0 & 0,128 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$

Dans la figure 11.18, les sphères originelles sont en texture « Bozo 8 », les sphères principales sont en rouge et en vert.

<figure><img src="image_218.png" /><figcaption>FIGURE 11.18 – Cyclide de Dupin en anneau obtenue à partir de trois sphères orientées.</figcaption></figure>

11.3.5.2 Exemple 2 : obtention d’une cyclide de Dupin à croissant externe

La figure 11.19 montre une cyclide de Dupin à croissant externe obtenue à partir des trois
sphères S<sub>A</sub>, S<sub>B</sub> et S<sub>C</sub> avec :

$$
O_A \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \rho_A = -1 \quad O_B \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \rho_B = 3 \quad O_C \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}, \rho_C = 2
$$

<footnote n="8">8. Texture de POV-Ray verte avec des tâches bleues, rouges et blanches.</footnote>
et nous obtenons :

$$
\sigma_A (-1; -5; 0; 0; -12) \quad \sigma_B \left( \frac{1}{3}; -\frac{5}{3}; 0; 0; \frac{8}{3} \right) \quad \sigma_c \left( \frac{13}{2}; -\frac{3}{2}; 2; 0; \frac{21}{4} \right) \quad (11.66)
$$

et le plan Aff{$\sigma_A, \sigma_B, \sigma_C$} est de type temps. Le centre du cercle passant par $\sigma_A$, $\sigma_B$ et $\sigma_C$ est :

$$
\Omega_1 \left( -\frac{85}{1004}; -\frac{957}{1004}; \frac{321}{251}; 0; -\frac{2915}{2008} \right) \approx (-0,085; -0,953; 1,279; 0; -1,452)
$$

et nous avons :

$$
\overrightarrow{O_5\Omega_1^2} = \frac{4615}{2008} > 0
$$

ce qui prouve que nous avons une cyclide de Dupin à croissant non nul. Les vecteurs lumière représentant les points singuliers $M_0$ et $M_2$, après normalisation de la première composante, sont :

$$
\vec{m}_0 \quad \left( \begin{array}{c} 1 \\ \frac{11 \sqrt{3514} + 193}{185} \\ \frac{8 \sqrt{3514} + -196}{185} \\ 0 \\ \frac{6 \sqrt{3514} + 3923}{370} \end{array} \right) \approx \left( \begin{array}{c} 1 \\ 4,568 \\ 1,504 \\ 0 \\ 11,564 \end{array} \right) \qquad (11.67)
$$

et :

$$
\vec{m}_2 \left( \begin{array}{c} 1 \\ \frac{-11 \sqrt{3514} + 193}{185} \\ \frac{-8 \sqrt{3514} + -196}{185} \\ 0 \\ \frac{-6 \sqrt{3514} + 3923}{370} \end{array} \right) \approx \left( \begin{array}{c} 1 \\ -2,481 \\ -3,623 \\ 0 \\ 9,641 \end{array} \right) \qquad (11.68)
$$

et le poids de la courbe de Bézier est :

$$
\omega_1 = 1004 \frac{\sqrt{3376065}}{482295} \approx 3,825 > 1
$$
La représentation des sphères principales $S_1$ et $S_2$, de centres respectifs $O_1$ et $O_2$, de rayons respectifs $\rho_1$ et $\rho_2$ sont :

$$ \sigma_{S_1} \left( \begin{array}{c} \frac{-\sqrt{3376065} - 595}{7028} \\ \frac{193 \sqrt{3376065} - 1239315}{1300180} \\ \frac{-7 \sqrt{3376065} + 59385}{46435} \\ \frac{-3923 \sqrt{3376065} - 3774925}{2600360} \end{array} \right) \approx \left( \begin{array}{c} -0,346 \\ -1,226 \\ 1,556 \\ 0 \\ -4,224 \end{array} \right) $$

et :

$$ \sigma_{S_2} \left( \begin{array}{c} \frac{\sqrt{3376065} - 595}{7028} \\ \frac{-193 \sqrt{3376065} - 1239315}{1300180} \\ \frac{7 \sqrt{3376065} + 59385}{46435} \\ \frac{3923 \sqrt{3376065} - 3774925}{2600360} \end{array} \right) \approx \left( \begin{array}{c} 0,177 \\ -0,680 \\ 1,002 \\ 0 \\ 1,320 \end{array} \right) $$

ce qui conduit à :

$$ O_1 \left( \frac{-16 \sqrt{3376065} - 1221}{7955} ; \frac{22 \sqrt{3376065} + 4662}{125} ; 0 \right) \approx \left( \begin{array}{c} 3,542 \\ -4,495 \\ 0 \end{array} \right), \rho_1 = \frac{-\sqrt{3376065} + 595}{430} \approx -2,889 $$

et :

$$ O_2 \left( \frac{16 \sqrt{3376065} - 1221}{7955} ; \frac{-22 \sqrt{3376065} + 4662}{125} ; 0 \right) \approx \left( \begin{array}{c} -3,849 \\ 5,667 \\ 0 \end{array} \right), \rho_2 = \frac{\sqrt{3376065} + 595}{150} \approx 5,657 $$

Les paramètres de la cyclide de Dupin sont :

$$ (a; c; \mu) = \left( \frac{2\sqrt{18246}}{43} ; \frac{\sqrt{3376065}}{430} ; \frac{119}{86} \right) \approx (6, 283; 4, 273; 1, 384) $$
et la matrice massique de la transformation affine permettant de placer la cyclide de Dupin dans
le repère originel est :

$$
\begin{pmatrix}
\frac{8\sqrt{185}}{185} & \frac{11\sqrt{185}}{185} & 0 & -\frac{33}{215} \\
-\frac{11\sqrt{185}}{185} & \frac{8\sqrt{185}}{185} & 0 & \frac{126}{215} \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\approx
\begin{pmatrix}
0,588 & 0,809 & 0 & -0,153 \\
-0,809 & 0,588 & 0 & 0,586 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$

Rappelons que les points singuliers $M_0$ et $M_2$ ont pour coordonnées les deuxièmes, troisièmes et quatrièmes composantes des vecteurs lumière $\vec{m}_0$ et $\vec{m}_2$, formules (11.67) et (11.68).

Dans la figure 11.19, les sphères originelles sont en texture « Bozo », les sphères principales sont en rouge et en vert. Les points singuliers sont en bleus. Dans la partie de la cyclide de Dupin contenant la sphère verte, les rayons des sphères sont négatifs, dans l'autre partie, les rayons sont positifs.

<figure><img src="image_219.png" /><figcaption>FIGURE 11.19 – Cyclide de Dupin à croissant externe obtenue à partir de trois sphères.</figcaption></figure>

Notons que le changement d'orientation d'une sphère change le type de la cyclide de Dupin : dans les figures 11.18 et 11.19, la première sphère géométrique $S_A$ est la même mais dans l'espace des sphères, leurs représentations sont opposées [LW08], formules (11.65) et (11.66).
# 11.4 Cyclides de Dupin paraboliques

## 11.4.1 Cas standard

A partir des formules (7.53) et (7.54), la famille à un paramètre de sphères $S(\Omega_u(u); R(u))$ est représentée sur $\Lambda^4$ par :

$$ \overrightarrow{\sigma_u(u)} = \frac{2}{q - (p-q) u^2} \left( \frac{q + (p-q) u^2}{2} \overrightarrow{e_1} + u (p-q) \overrightarrow{e_2} \right) + \frac{2}{q - (p-q) u^2} \left( \overrightarrow{e_0} + \frac{p (p-q) u^2}{2} \overrightarrow{e_\infty} \right), \quad u \in \mathbb{R} \quad (11.69) $$

et nous avons, pour $\varepsilon$ appartenant à $\{-1; 1\}$, :

$$ \lim_{u \to \varepsilon + \infty} \overrightarrow{\sigma_u(u)} = \overrightarrow{\pi_u} = -\overrightarrow{e_1} - p \overrightarrow{e_\infty} $$

qui est la représentation du plan de la famille de de sphères $S(\Omega_u(u); R(u))$. Ce plan a pour vecteur normal $\overrightarrow{N_u}(-1; 0; 0)$ et passe par le point $P_u(p; 0; 0)$.

A partir des formules (7.60) et (7.61), la famille à un paramètre de de sphères $S(\Omega_v(v); R(v))$ est représenté sur $\Lambda^4$ par :

$$ \overrightarrow{\sigma_v(v)} = \frac{2}{p - (q-p) v^2} \left( \frac{p + (q-p) v^2}{2} \overrightarrow{e_1} + v (q-p) \overrightarrow{e_3} \right) + \frac{2}{p - (q-p) v^2} \left( \overrightarrow{e_0} + \frac{q(q-p) v^2}{2} \overrightarrow{e_\infty} \right), \quad u \in \mathbb{R} \quad (11.70) $$

et nous avons, pour $\varepsilon$ appartenant à $\{-1; 1\}$, :

$$ \lim_{v \to \varepsilon + \infty} \overrightarrow{\sigma_v(v)} = \overrightarrow{\pi_v} = -\overrightarrow{e_1} - q \overrightarrow{e_\infty} $$

qui est la représentation du plan de la famille de sphères $S(\Omega_v(v); R(v))$. Ce plan a pour vecteur normal $\overrightarrow{N_v}(-1; 0; 0)$ et passe par le point $P_v(q; 0; 0)$.

Un simple calcul permettrait de vérifier que, pour tous réels $u$ et $v$, nous avons bien :

$$ \overrightarrow{\sigma_u(u)} \cdot \overrightarrow{\sigma_v(v)} = 1 \qquad \overrightarrow{\sigma_u(u)} \cdot \overrightarrow{\pi_v} = 1 \qquad \overrightarrow{\pi_u} \cdot \overrightarrow{\sigma_v(v)} = 1 \qquad \overrightarrow{\pi_u} \cdot \overrightarrow{\pi_v} = 1 $$

ce qui prouve que chaque sphère de l'une des familles est tangente à toutes les autres sphères de l'autre famille.

Dans un premier temps, excluons le cas des cyclides de Dupin paraboliques n'ayant qu'un point singulier c'est-à-dire que nous supposons $pq \neq 0$.

Le tableau 11.6 (resp. 11.7) donne les éléments caractéristiques de la première (resp. seconde) famille.
<table><caption>TABLE 11.6 – Sphères et éléments caractéristiques de la première famille définissant la CD3 dans l'espace des sphères.</caption><tr><td></td><td>σ<sub>u</sub>(0) (2/q; 1; 0; 0; 0)</td></tr><tr><td rowspan="2">Sphères</td><td>σ<sub>u</sub>(1) (-2/(p-2q); -p/(p-2q); -2(p-q)/(p-2q); 0; p(q-p)/(p-2q))</td></tr><tr><td>σ<sub>u</sub>(-1) (-2/(p-2q); -p/(p-2q); 2(p-q)/(p-2q); 0; p(q-p)/(p-2q))</td></tr><tr><td>Centre du cercle sur Λ<sup>4</sup></td><td>Ω<sub>u</sub> (1/q; 0; 0; 0; -p/2)</td></tr><tr><td rowspan="2">Vecteurs</td><td>v&#x20d7; = σ<sub>u</sub>(0) (1/q; 1; 0; 0; p/2)</td></tr><tr><td>v&#x20d7;<sup>⊥</sup> (0; 0; -1; 0; 0)</td></tr></table>

<table><caption>TABLE 11.7 – Sphères et éléments caractéristiques de la seconde famille définissant la CD3 dans l'espace des sphères.</caption><tr><td></td><td>σ<sub>v</sub>(0) (2/p; 1; 0; 0; 0)</td></tr><tr><td rowspan="2">Sphères</td><td>σ<sub>v</sub>(1) (2/(2p-q); q/(2p-q); 0; -2(p-q)/(2p-q); q(q-p)/(2p-q))</td></tr><tr><td>σ<sub>v</sub>(-1) (2/(2p-q); q/(2p-q); 0; 2(p-q)/(2p-q); q(q-p)/(2p-q))</td></tr><tr><td>Centre du cercle sur Λ<sup>4</sup></td><td>Ω<sub>v</sub> (1/p; 0; 0; 0; -q/2)</td></tr><tr><td rowspan="2">Vecteurs</td><td>v&#x20d7; = σ<sub>v</sub>(0) (1/p; 1; 0; 0; q/2)</td></tr><tr><td>v&#x20d7;<sup>⊥</sup> (0; 0; 0; -1; 0)</td></tr></table>

Trivialement, les vecteurs $\vec{v}_u^\perp$ et $\vec{v}_v^\perp$ sont de type espace, il reste à déterminer les types des vecteurs $\vec{v}_u$ et $\vec{v}_v$. Nous avons :

$$ \vec{v}_u^2 = \frac{q-p}{q} \qquad (11.71) $$
et :

$$ \vec{v}_v^2 = \frac{p-q}{p} \qquad (11.72) $$

et nous pouvons en déduire le type des plans contenant les sphères :

* si $p$ et $q$ sont de signes contraires, les deux vecteurs sont de type espace et les cercles sont deux cercles connexes;

* si $p$ et $q$ sont de même signe, les numérateurs sont opposés, l'un des deux vecteurs est de type espace tandis que l'autre vecteur et de type temps, l'un des cercles est connexe tandis que l'autre a deux composantes connexes.

Réciproquement, à partir d'un plan affine coupant $\Lambda^4$ et ne passant pas par $O_5$, il reste à déterminer les paramètres de la CD3 et nous savons qu'un plan appartient à chacune des deux familles.

## 11.4.2 Détermination des paramètres d'une CD3

Pour déterminer une cyclide de Dupin, il suffit de déterminer deux sphères principales de la même famille :

**Définition 27 : Surface principale**

Une surface principale d'une CD3 est le plan de la famille et la sphère, symétrique du plan par rapport au centre du cercle représentant la famille de sphères.

Ainsi, pour déterminer les paramètres $p$ et $q$ d'une CD3, il suffit de déterminer deux surfaces principales d'une des deux familles.

# 11.5 Cyclides de Dupin et courbes de Bézier

Nous avons déjà rencontré quelques cas particuliers de représentations de cyclides de Dupin par des courbes de Bézier, algorithmes 11.2, 11.3 et 11.4

Dans cette partie, nous proposons des algorithmes communs à toutes les cyclides de Dupin (dégénérées ou non) sans connaître au préalable le résultat : morceaux de cône de révolution, de cylindre de révolution, de tore, de cyclides de Dupin non dégénérées. Dans un premier temps, nous déterminons une morceau de cyclide de Dupin définie par un point singulier et un cercle caractéristique puis, dans un second temps, nous déterminons une cyclide de Dupin à partir d'un cercle caractéristique et d'une sphère. Ces éléments nous permettent de construire des surfaces canal en utilisant des arcs de cercles modélisés par des courbes de Bézier quadratiques à points massiques de contrôle, paragraphe 13.5.

## 11.5.1 Un cercle caractéristique et un point

Dans ce paragraphe, nous déterminons la cyclide de Dupin définie par un point $M$ et un cercle caractéristique de centre $O_0$ et de rayon $r_0$ contenu dans le plan $P_0$. Soit $S_0$ la sphère de centre
$O_0$ et de rayon $r_0$. Rappelons que la sphère $S_0$ et le plan $P_0$ sont orthogonaux et définissent un faisceau à base cercle. Soit $\sigma_0$ (resp. $\pi_0$) la représentation de $S_0$ (resp. $P_0$) sur $\Lambda^4$. L'équation du faisceau de sphères est donnée par la formule (10.34). A partir d'une sphère $\sigma_1$ de ce faisceau, de sa sphère dérivée $\dot{\sigma}_1$ et du vecteur lumière $\vec{m}$, représentation du point $M$ dans l'espace de Lorentz, l'algorithme 11.6 permet de modéliser sur l'espace des sphères, une cyclide de Dupin par une CBRQ à points massiques de contrôle.

**Algorithme 11.6** Construction d'une cyclide de Dupin à partir d'un point, d'une sphère et de sa sphère dérivée.

**Entrée** : Dans $\mathcal{E}_3$, un point $M$, deux sphères orthogonales $S$ et $\mathcal{S}$.

1. Détermination du vecteur lumière $\vec{m}$ représentant le sommet $M$

2. Détermination de $\sigma_1$, représentant la sphère $S$ sur $\Lambda^4$

3. Détermination de $\dot{\sigma}_1$, représentant la sphère $\mathcal{S}$ sur $\Lambda^4$

4. Détermination du centre du cercle $\Omega$ par la formule (11.75).

5. Détermination du point $P_1$ par :

$$ \overrightarrow{\Omega P_1} = \frac{\overrightarrow{\Omega \sigma_1^2}}{\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{\Omega \sigma_1}} \overrightarrow{m} \qquad (11.73) $$

6. Détermination du poids $\omega_1$, solution de :

$$ \omega_1^2 = - \frac{\overrightarrow{O_5 \sigma_1} \cdot \overrightarrow{m}}{2 \overrightarrow{\sigma_1 P_1}^2} \qquad (11.74) $$

**Sortie** : Sur $\Lambda^4$, une courbe de Bézier $\gamma_S$ de points massiques de contrôle ($\sigma_1; 1$) ($P_1; \omega_1$) et ($\overrightarrow{m_S}; 0$).

Le cercle représentant la cyclide de Dupin est la section de $\Lambda^4$ par le 2-plan $P_C$ défini par le point $\sigma_1$, le vecteur espace $\dot{\sigma}_1$ et le vecteur lumière $\vec{m}$. Le centre $\Omega$ du cercle est la projection orthogonal de $O_5$ sur le plan $P_C$ et nous pouvons énoncer :

**Lemme 8** : Centre de cercle défini par un point, une sphère et sa sphère dérivée

Soit $\sigma_1$ un point de $\Lambda^4$, $\dot{\sigma}_1$ sa sphère dérivée et $\overrightarrow{m}$ un vecteur lumière représentant le point $M$ de $\mathcal{E}_3$.

Soit $\Omega$ le centre du cercle passant par $\sigma_1$, ayant $\dot{\sigma}_1$ pour vecteur tangent en $\sigma_1$ et la droite définie par $\Omega$ et $\overrightarrow{m}$ comme asymptote.
Alors, $\Omega$ est défini par :

$$ \overrightarrow{O_5\Omega} = \overrightarrow{O_5\sigma_1} - \frac{\overrightarrow{O_5\sigma_1 \cdot m}}{\dot{\sigma}_1 \cdot \vec{m}} \dot{\sigma}_1 + \frac{\overrightarrow{O_5\sigma_1 \cdot m}}{\left(\dot{\sigma}_1 \cdot \vec{m}\right)^2} \vec{m} \quad (11.75) $$

Démonstration :

Le point $\Omega$ est défini par :

$$ \overrightarrow{O_5\Omega} = \overrightarrow{O_5\sigma_1} + \alpha \dot{\sigma}_1 + \beta \vec{m} $$

et vérifie :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{O_5\Omega \cdot \dot{\sigma}_1} = 0 \\ \overrightarrow{O_5\Omega \cdot \vec{m}} = 0 \end{array} \right. \qquad (11.76) $$

D'une part, nous avons :

$$ \overrightarrow{O_5\Omega \cdot \dot{\sigma}_1} = \overrightarrow{O_5\sigma_1 \cdot \dot{\sigma}_1} + \alpha \dot{\sigma}_1^2 + \beta \vec{m} \cdot \dot{\sigma}_1 = \alpha + \beta \vec{m} \cdot \dot{\sigma}_1 = 0 $$

puisque $\dot{\sigma}_1$ est la sphère dérivée de $\sigma_1$ et appartient dont à $\Lambda^4$. D'autre part, nous avons :

$$ \overrightarrow{O_5\Omega \cdot m} = \overrightarrow{O_5\sigma_1 \cdot m} + \alpha \dot{\sigma}_1 \cdot m + \beta \vec{m} \cdot m = \overrightarrow{O_5\sigma_1 \cdot m} + \alpha \dot{\sigma}_1 \cdot m = 0 $$

puisque $\vec{m}$ est un vecteur lumière. Le système (11.76) devient :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \alpha + \beta \vec{m} \cdot \dot{\sigma}_1 = 0 \\ \overrightarrow{O_5\sigma_1 \cdot m} + \alpha \dot{\sigma}_1 \cdot m = 0 \end{array} \right. \qquad (11.77) $$

et nous obtenons :

$$ \alpha = - \frac{\overrightarrow{O_5\sigma_1 \cdot m}}{\dot{\sigma}_1 \cdot \vec{m}} $$

puis :

$$ \beta = - \frac{\alpha}{\overrightarrow{m} \cdot \dot{\sigma}_1} = \frac{\overrightarrow{O_5\sigma_1 \cdot m}}{\left(\dot{\sigma}_1 \cdot \vec{m}\right)^2} $$

<figure><img src="image_220.png" /></figure>

Dans le cas où une CBRQ n'ayant que des points pondérés de contrôle $(\sigma_0; \omega_0)$, $(P_1; \omega_1)$ et $(\sigma_2; \omega_2)$, modélise un arc de cercle de centre $\Omega$, les vecteurs $\overrightarrow{\Omega\sigma_0}$ (resp. $\overrightarrow{\Omega\sigma_2}$) et $\overrightarrow{\sigma_0P_1}$ (resp. $\overrightarrow{\sigma_2P_1}$)
sont orthogonaux. Dans le cas présent, nous avons un résultat analogue c’est-à-dire que nous avons :

$$
\begin{cases}
\overrightarrow{\Omega\sigma_1 \cdot \sigma_1 P_1} = 0 \\
\overrightarrow{\Omega P_1 \cdot \vec{m}} = 0
\end{cases}
$$

De plus, les vecteurs de $\overrightarrow{P_C}$ orthogonaux à $\vec{m}$ sont les vecteurs colinéaires à $\vec{m}$ puisque ce dernier est un vecteur isotrope. Ainsi, le point $P_1$ est un point de l'asymptote au cercle défini par le point $\Omega$ et le vecteur $\vec{m}$ et nous avons :

$$
\overrightarrow{\Omega P_1} = t_1 \vec{m}
$$

où $t_1$ est un réel à déterminer. Pour ce faire, nous utilisons le fait que $P_1$ appartient à la tangente au cercle en $\sigma_1$ i.e. :

$$
\overrightarrow{\Omega\sigma_1 \cdot \sigma_1 P_1} = 0
$$

d'où :

$$
\overrightarrow{\Omega\sigma_1 \cdot \sigma_1 P_1} = 0 \iff \overrightarrow{\Omega\sigma_1 \cdot (\sigma_1\overrightarrow{\Omega} + \overrightarrow{\Omega P_1})} = 0 \iff \overrightarrow{\Omega\sigma_1 \cdot (\sigma_1\overrightarrow{\Omega} + t_1 \vec{m})} = 0 \iff t_1 = \frac{\overrightarrow{\Omega\sigma_1}^2}{\vec{m} \cdot \overrightarrow{\Omega\sigma_1}}
$$

Il reste à calculer le poids $\omega_1$. La CBRQ, de points massiques de contrôle $(\sigma_1; 1)$, $(P_1; \omega_1)$ et $(\vec{m}; 0)$, a pour expression :

$$
\overrightarrow{O_5 \sigma(t)} = \frac{1}{B_0(t) + \omega_1 B_1(t)} \left( B_0(t) \overrightarrow{O_5 \sigma_1} + \omega_1 B_1(t) \overrightarrow{O_5 P_1} + B_2(t) \overrightarrow{m} \right)
$$

d'où :

$$
\overrightarrow{O_5 \sigma \left( \frac{1}{2} \right)} = \frac{1}{1 + 2\omega_1} \left( \overrightarrow{O_5 \sigma_1} + 2\omega_1 \overrightarrow{O_5 P_1} + \vec{m} \right)
$$

ce qui conduit à :

$$
\sigma\left(\frac{1}{2}\right) \in \Lambda^4 \iff \overrightarrow{O_5 \sigma\left(\frac{1}{2}\right)}^2 = 1 \iff (1 + 2\omega_1)^2 = \left(\overrightarrow{O_5 \sigma_1} + 2\omega_1 \overrightarrow{O_5 P_1} + \vec{m}\right)^2
$$

qui se transforme en :

$$
(1 + 2\omega_1)^2 = \left( (1 + 2\omega_1) \overrightarrow{O_5\sigma_1} + 2\omega_1 \overrightarrow{O_5P_1} + \vec{m} \right)^2 \quad (11.78)
$$

Rappelons que nous avons $\overrightarrow{O_5\sigma_1} \cdot \overrightarrow{\sigma_1 P_1} = 0$, $\overrightarrow{O_5\sigma_1}^2 = 1$, $\vec{m}^2 = 0$ et :

$$
\overrightarrow{O_5 \sigma_1 \cdot m} = \underbrace{\overrightarrow{O_5 \Omega \cdot m}}_{0} + \overrightarrow{\Omega \sigma_1 \cdot m} = \overrightarrow{\Omega \sigma_1 \cdot m}
$$

d'une part et :

$$
\overrightarrow{\sigma_1 P_1 \cdot \vec{m}} = \overrightarrow{\sigma_1 \Omega \cdot \vec{m}} + \underbrace{\overrightarrow{\Omega P_1 \cdot \vec{m}}}_{=0} = \overrightarrow{\sigma_1 \Omega \cdot \vec{m}}
$$
d'autre part.

La formule (11.78) se simplifie en :

$$0 = 4\omega_1^2 \overrightarrow{\sigma_1 P_1}^2 + 2(1 + 2\omega_1) \overrightarrow{O_5\sigma_1} \cdot \vec{m} + 4\omega_1 \overrightarrow{\sigma_1 P_1} \cdot \vec{m} \quad (11.79)$$

et la formule (11.79) devient :

$$4\omega_1^2 \overrightarrow{\sigma_1 P_1}^2 = -2 \overrightarrow{O_5 \sigma_1} \cdot \vec{m} \quad (11.80)$$

ce qui conduit à la formule (11.74).

## 11.5.2 Un cercle caractéristique et une sphère

Nous reprenons les hypothèses du paragraphe 11.5.1 en remplaçant le point par une sphère. Considérons les sphères $S_1$ et $S_2$ de représentation respectives $\sigma_1$ et $\sigma_2$ sur $\Lambda^4$. Le cercle sur $S_1$ est $S_1 \cap S_1^\perp$ où $S_1^\perp$ est une sphère orthogonale à $S_1$ de représentation $\vec{\sigma_1}$ sur $\Lambda^4$. Pour déterminer le cercle passant par $\sigma_1$ et $\sigma_2$ et de vecteur tangent $\vec{\sigma_1}$ en $\sigma_1$, nous utilisons le fait que $\overrightarrow{O_5 \sigma_1}^2 = \vec{\sigma_1}^2 = 1$, que $\overrightarrow{\sigma_1} \cdot \vec{\sigma_1} = 0$ et que :

$$\overrightarrow{\sigma_1 \sigma_2} \cdot \vec{\sigma_1} = \overrightarrow{\sigma_2} \cdot \vec{\sigma_1} - \underbrace{\overrightarrow{\sigma_1} \cdot \vec{\sigma_1}}_{=0} = \overrightarrow{\sigma_2} \cdot \vec{\sigma_1}$$

Ainsi, nous obtenons la formule :

$$\overrightarrow{\sigma_1 O_0} = \frac{1}{2} \frac{\overrightarrow{\sigma_1 \sigma_2}^2}{\overrightarrow{\sigma_1 \sigma_2}^2 - \left(\overrightarrow{\sigma_2} \cdot \vec{\sigma_1}\right)^2} \left(\overrightarrow{\sigma_1 \sigma_2} - \left(\overrightarrow{\sigma_2} \cdot \vec{\sigma_1}\right) \overrightarrow{\sigma_1}\right) \quad (11.81)$$

et deux cas sont à distinguer :

$$\bullet \overrightarrow{\sigma_2} \cdot \vec{\sigma_1} = 0$$

Le segment $[\sigma_1\sigma_2]$ est un diamètre, du cercle, le centre $O_0$ du cercle est le milieu de $[\sigma_1\sigma_2]$ c'est-à-dire que nous avons :

$$\frac{\overrightarrow{\sigma_1 \sigma_2}^2}{\overrightarrow{\sigma_1 \sigma_2}^2 - \left(\overrightarrow{\sigma_2} \cdot \vec{\sigma_1}\right)^2} = 1$$

d'une part et :

$$\frac{1}{4} \overrightarrow{\sigma_1 \sigma_2}^2 = |\overrightarrow{\sigma_1 \sigma_2}^2| \omega_2 \vec{\sigma_1}^2, \omega_2 \in \{-1; 1\}, r_1 \in \mathbb{R}^+$$

d'autre part. Ainsi, il suffit d'utiliser l'algorithme 11.7 et le demi-cercle est modélisé par la CBRQ de points massiques de contrôle $(\sigma_1; 1)$, $(\overrightarrow{P_1}; 0)$ et $(\sigma_2; \omega_2)$. Si $\omega_2 = 1$, le cercle est connexe, sinon, il a deux composantes connexes.
**Algorithme 11.7** Construction d'un demi-cercle sur $\Lambda^4$.

**Entrée** : Deux points $\sigma_1$ et $\sigma_2$ sur $\Lambda^4$ et la sphère dérivée $\dot{\sigma}_1$ de $\sigma_1$.

**Condition** : $\overrightarrow{\sigma_2 \cdot \sigma_1} = 0$

1. Construction de $\overrightarrow{P_1}$, vecteur directeur de la médiatrice du segment $[\sigma_1\sigma_2]$ dans le plan défini par $\sigma_1$, $\sigma_2$ et $\dot{\sigma}_1$, par :

$$ \overrightarrow{P_1} = \frac{\sqrt{|\overrightarrow{\sigma_1\sigma_2^2}|}}{2} \dot{\sigma}_1 \qquad (11.82) $$

2. Calcul de $\omega_2$ par :

$$ \omega_2 = \operatorname{sign}(\overrightarrow{\sigma_1\sigma_2^2}) \in \{-1; 1\} \qquad (11.83) $$

**Sortie** : le demi-cercle $\text{RQBC}\{(\sigma_1; 1); (\overrightarrow{P_1}; 0); (\sigma_2; \omega_2)\}$

$$ \bullet \overrightarrow{\sigma_2\sigma_1} \cdot \dot{\sigma}_1 \neq 0 $$

Le segment $[\sigma_1\sigma_2]$ n'est pas un diamètre du cercle et il suffit d'adapter l'algorithme 5.1 à l'espace de Lorentz, nous avons :

$$ \overrightarrow{I_1P_1} = t_1\overrightarrow{O_0I_1} \quad \text{avec} \quad t_1 = \frac{\overrightarrow{O_0\sigma_1} \cdot \overrightarrow{I_1\sigma_1}}{\overrightarrow{O_0\sigma_0} \cdot \overrightarrow{O_0I_1}} \qquad (11.84) $$

où $I_1$ est le milieu de $[\sigma_1\sigma_2]$ et le poids est calculé par :

$$ \omega_1 = \frac{|\overrightarrow{\sigma_0 P_1} \cdot \overrightarrow{\sigma_0 \sigma_2}|}{\sqrt{\overrightarrow{\sigma_0 P_1}^2 \times \overrightarrow{\sigma_0 \sigma_2}^2}} \qquad (11.85) $$

et l'arc de cercle est modélisé par la CBRQ de points massiques de contrôle $(\sigma_0; 1)$, $(P_1; \omega_1)$ et $(\sigma_2; 1)$. La CBRQ de points massiques de contrôle $(\sigma_0; 1)$, $(P_1; -\omega_1)$ et $(\sigma_2; 1)$ permet d'obtenir l'autre arc de cercle.

Si nous souhaitons déterminer les sphères principales de la cyclide de Dupin, nous pouvons utiliser la formule (11.54) ainsi que le paragraphe 11.3.3. Un exemple complet est donné dans le paragraphe 13.5.

## 11.6 Sphères de Dandelin ou section d'un cône de révolution par un plan

Dès le IVᵉ siècle avant J. C., Ménechme et Aristé savaient que la section d'un cône par un plan perpendiculaire à l'une des génératrices de ce dernier ne donnait pas la même courbe selon que l'angle du cône de révolution était aigu (ellipse), droit (parabole) ou obtus (hyperbole)
[DP86]. Apollonius fût le premier à remarquer qu'il était possible d'obtenir les différentes co-
niques à partir d'un même cône oblique à base circulaire [DP86]. Il a fallu attendre le XIXᵉ
et les théorèmes de Dandelin-Quételet, démontrés d'un point de vue analytique, pour caracté-
riser les foyers et directrices de la conique à partir du cône et du plan de section [BGL01] ou
http://accromath.uqam.ca/2011/06/les-spheres-de-dandelin/.

Dans notre cas, sans perte de généralités, nous nous restreignons au cas de la section d'un
coûne de révolution par un plan P ne passant pas par son sommet S est une conique propre. Dans
le cas où cette conique est à centre, il est possible de déterminer les deux foyers en utilisant les
sphères de Dandelin : ce sont des sphères tangentes à la fois au cône de révolution et au plan P.
Evidemment, ces deux sphères font partie de la famille de sphères dont le cône est l'enveloppe.
Le point de tangence entre l'une de ces sphères et le plan P est l'un des deux foyers de la conique
propre. Dans le cas de la parabole, nous n'avons qu'une seule sphère de Dandelin et donc un seul
foyer dans l'espace affine et le second foyer est le point à l'infini de E_3. Naturellement, une sphère
de Dandelin et le cône de révolution sont tangents le long d'un cercle et ce cercle détermine un
plan P_1. De plus, l'intersection de P et P_1 est une directrice de la conique. Ainsi, l'algorithme
11.8 permet de déterminer les sphères de Dandelin d'un cône de révolution donné et d'un plan
(en fait, nous devons considérer les deux orientations, et chaque orientation permet de déterminer
l'une des deux sphères de Dandelin).

Les sphères de Dandelin sont dans le même demi-cône dans le cas d'une ellipse, mais dans
le cas de l'hyperbole, les sphères ne sont pas dans le même demi-cône : plutôt que d'utiliser
deux CBRQs et distinguer les différents, nous préférons dans ce cas utiliser, comme domaine
paramétrique, $\mathbb{R}$ plutôt que $[0; 1]$.

Les équations (11.86) et (11.87) traduisent le fait que le plan $\mathcal{P}$ et les sphères $S_0$ et $S_1$ définies
par $\sigma(t_0)$ et $\sigma(t_1)$ sont tangents, proposition 9. Les foyers étant les points de tangence entre le
plan et l'une des sphères, ils sont déterminés par les vecteurs lumière $\overrightarrow{\sigma(t_0)}$, $\overrightarrow{\pi}$ et $\overrightarrow{\sigma(t_1)}$, $\overrightarrow{\pi}$. Il est
à noter que les équations (11.86) et (11.87) se simplifient en une équation du premier degré :

**Lemme 9 :** *Simplification des équations (11.86) et (11.87)*

Soit $\epsilon \in \{-1; 1\}$.

Soit $\overrightarrow{N}$ le vecteur normal unitaire du plan orienté $\mathcal{P}$ et $P_0$ un point de ce dernier.

Les solutions des équations (11.86) et (11.87) sont :

$$
t_{\varepsilon} = \frac{\overrightarrow{N} \cdot \overrightarrow{P_0 S}}{\overrightarrow{N} \cdot \overrightarrow{P_0 S} - 2\omega_1 \overrightarrow{O_5 \Omega} \cdot \overrightarrow{N} + 2\omega_1 \varepsilon}
$$

où nous avons :

$$
\overrightarrow{O_5\Omega} \cdot \vec{N} = \overrightarrow{O_5\Omega} \cdot (0 \vec{e}_0 + \vec{N} + 0 \vec{e}_{\infty})
$$

Démonstration :

Une sphère de la courbe de Bézier rationnelle quadratique est définie par :

$$
\overrightarrow{O_5\sigma(t)} = \frac{1}{\omega_1 B_1(t)} \left( B_0(t) \overrightarrow{m_S} + \omega_1 B_1(t) \overrightarrow{O_5\Omega} + B_2(t) \overrightarrow{e_{\infty}} \right)
$$
**Algorithme 11.8** Construction des sphères de Dandelin à partir d'un cône de révolution et d'un plan.

**Entrée** : Une CBRQ $t \mapsto \sigma(t)$ modélisant un demi-cône de révolution dans l'espace des sphères, algorithme 11.3.

1. Choix d'un plan $\mathcal{P}$ ne passant pas par le sommet du cône de révolution.

2. Détermination de $\pi$, représentant le plan $\mathcal{P}$ sur $\Lambda^4$

3. Détermination de $\pi^-$, symétrique de $\pi$, par rapport à $O_5$

4. Détermination de $t_0$ dans $\mathbb{R}$, solution de :

$$ \overrightarrow{O_5\sigma(t)} \cdot \overrightarrow{O_5\pi} = 1 \qquad (11.86) $$

5. Détermination de $t_1$ dans $\mathbb{R}$, solution de :

$$ \overrightarrow{O_5\sigma(t)} \cdot \overrightarrow{O_5\pi} = -1 \qquad (11.87) $$

6. Si $t_0 = 1$ ou $t_1 = 1$ alors : // un des foyers est à l'infini

alors Si $t_0 = 1$

alors $F_{-1}$ est défini par $\overrightarrow{\sigma(t_1)\pi^-}$

sinon $F_1$ est défini par $\overrightarrow{\sigma(t_0)\pi}$

Fin si

sinon $F_1$ est défini par $\overrightarrow{\sigma(t_0)\pi}$

$F_{-1}$ est défini par $\overrightarrow{\sigma(t_1)\pi^-}$

Fin si

**Sortie** : Une ou les sphères de Dandelin et les foyers de la conique obtenue comme section du cône de révolution par un plan.

tandis que le plan est représenté par :

$$ \overrightarrow{O_5\pi} = \overrightarrow{N} + (\overrightarrow{N} \cdot \overrightarrow{P_0}) \overrightarrow{e_{\infty}} $$

et les équations (11.86) et (11.87) deviennent :

$$ \overrightarrow{O_5\sigma(t)} \cdot \overrightarrow{O_5\pi} = \varepsilon \qquad (11.88) $$

Dans le produit $\overrightarrow{O_5\sigma(t)} \cdot \overrightarrow{O_5\pi}$, il ne reste que les produits $\overrightarrow{e_0} \cdot \overrightarrow{e_{\infty}}$ et ceux qui se décomposent sur $\overrightarrow{e_1}$, $\overrightarrow{e_2}$ et $\overrightarrow{e_3}$. Rappelons que :

$$ \overrightarrow{m_S} = \overrightarrow{e_0} + \overrightarrow{S} + \frac{\overrightarrow{S}^2}{2} \overrightarrow{e_{\infty}} $$
et l'équation (11.88) est équivalente à :

$$
B_0(t) (\vec{N} \cdot \vec{P}_0) \vec{e}_o \cdot \vec{e}_\infty + B_0(t) \vec{S} \cdot \vec{N} + \omega_1 B_1(t) \overline{O_5 \Omega} \cdot \vec{N} = \varepsilon \omega_1 B_1(t) \quad (11.89)
$$

où :

$$
\overrightarrow{O_5\Omega} \cdot \vec{N} = \overrightarrow{O_5\Omega} \cdot (0 \vec{e}_0 + \vec{N} + 0 \vec{e}_\infty)
$$

La formule (11.89) est équivalente aux deux équations :

$$
\begin{align*}
-(1-t)(\vec{N} \cdot \vec{P}_0) + (1-t)(\vec{S} \cdot \vec{N}) + 2\omega_1 \overrightarrow{O_5\Omega} \cdot \vec{N} &= 2\varepsilon\omega_1 t \\
1-t &= 0
\end{align*}
$$

En remarquant que :

$$
\vec{S} \cdot \vec{N} - \vec{N} \cdot \vec{P}_0 = \vec{N} \cdot (\overrightarrow{O_3S} - \overrightarrow{O_3P_0}) = \vec{N} \cdot \vec{P}_0 S
$$

la solution de la première équation du système est :

$$
t_{\varepsilon} = \frac{\vec{N} \cdot \vec{P}_0 \vec{S}}{\vec{N} \cdot \vec{P}_0 \vec{S} - 2\omega_1 \overline{O_5 \Omega} \cdot \vec{N} + 2\omega_1 \varepsilon}
$$

tandis que la solution de la seconde équation du système est 1 ce qui donne $\vec{e}_{\infty}$ : cela est normal puisque tout plan de $\mathcal{E}_3$ passe par le point à l'infini de $\mathcal{E}_3$.

<figure><img src="image_221.png" /></figure>

Si l'une des solutions $t_1$ ou $t_{-1}$ vaut 1, nous avons une parabole et l'un des foyers est le point
à l'infini de $\mathcal{E}_3$ défini par le vecteur $\overrightarrow{\sigma(1)} = \overrightarrow{e_{\infty}}$. Le fait de prendre comme point de contrôle
$(\overrightarrow{e_{\infty}}; 0)$ permet de simplifier les équations (11.86) et (11.87) en équations de degré 1 au lieu de 2.

Dans les trois exemples suivants, figures 11.20, 11.21 et 11.22, le cône de révolution $\mathcal{C}$ est déterminé par son sommet $S = O_3$ et la sphère de centre $O(0; 0; 2)$ et de rayon $\rho = 2$ qui est représentée sur $\Lambda^4$ par $\sigma_O$. Le demi-cône de révolution est représenté, sur $\Lambda^4$, par la courbe de Bézier rationnelle quadratique de points massiques de contrôles $(\vec{e}_o; 0)$, $(\Omega; \frac{\sqrt{6}}{6})$ et $(\vec{e}_\infty; 0)$ où $\Omega(0; 0; 0; 2; 0)$ est le projeté orthogonal de $O_5$ sur le plan défini par $\sigma_O$, $\vec{e}_o$ et $\vec{e}_\infty$.

La figure 11.20 illustre le cas d'une ellipse obtenue comme section de $\mathcal{C}$ avec le plan pas-
sant par $P_0(0; 0; 5)$ et de vecteur normal unitaire $\vec{N} \left( \frac{\sqrt{10}}{10}; 0; 3 \frac{\sqrt{10}}{10} \right)$ de représentation, sur $\Lambda^4$,
$\pi \left( 0; \frac{\sqrt{10}}{10}; 0; 3 \frac{\sqrt{10}}{10}; 15 \frac{\sqrt{10}}{10} \right)$.

Les solutions des équations (11.86) et (11.87) sont respectivement :

$$
t_1 = \frac{-16200 \sqrt{10} - 56070 \sqrt{6} + 21810 \sqrt{15} + 93525}{334129} \approx 0,866
$$

et :

$$
t_{-1} = \frac{16200 \sqrt{10} - 56070 \sqrt{6} - 21810 \sqrt{15} + 93525}{334129} \approx 0,667
$$
<figure><img src="image_222.png" /><figcaption>FIGURE 11.20 – Sphères de Dandelin et ellipse. Les foyers de l'ellipse sont les points de tangence entre le plan de coupe $\mathcal{P}$ et les sphères de Dandelin. Les directrices de l'ellipse sont obtenues comme sections de $\mathcal{P}$ par les plans contenant les cercles caractéristiques des sphères de Dandelin.</figcaption></figure>

ce qui conduit à :

$$ \sigma(t_1) = \left( \frac{6 - \sqrt{10}}{15}; 0; 0; 2; \frac{270 - 45\sqrt{10}}{52} \right) $$

et :

$$ \sigma(t_{-1}) = \left( \frac{6 + \sqrt{10}}{15}; 0; 0; 2; \frac{270 - 45\sqrt{10}}{52} \right) $$

Le point $\sigma(t_1)$ définit la sphère de centre :

$$ O_1 \left( 0; 0; \frac{90 + 15\sqrt{10}}{13} \right) $$

et de rayon :

$$ r_1 = \frac{90 + 15\sqrt{10}}{26} $$
et le foyer obtenu est le point :

$$F_1\left(-\frac{15+9\sqrt{10}}{26}; 0; \frac{135+3\sqrt{10}}{26}\right) \simeq (-1, 672; 0; 5, 557)$$

Le point $\sigma(t_{-1})$ définit la sphère de centre :

$$O_{-1}\left(0; 0; \frac{90-15\sqrt{10}}{13}\right)$$

et de rayon :

$$r_{-1} = \frac{90 - 15\sqrt{10}}{26}$$

et le foyer obtenu est le point :

$$F_{-1}\left(\frac{-15+9\sqrt{10}}{26}; 0; \frac{135-3\sqrt{10}}{26}\right) \simeq (0, 518; 0; 4, 827)$$

La figure 11.21 illustre le cas d'une hyperbole obtenue comme section de $\mathscr{C}$ avec le plan passant par $P_0(\frac{1}{2}; 0; 3)$ et de vecteur normal unitaire $\vec{N}(5\frac{\sqrt{26}}{26}; 0; \frac{\sqrt{26}}{26})$ de représentation, sur $\Lambda^4, \pi(0; 5\frac{\sqrt{26}}{26}; 0; \frac{\sqrt{26}}{26}; \frac{11\sqrt{26}}{52})$.

Les solutions des équations (11.86) et (11.87) sont respectivement :

$$t_1 = \frac{96\sqrt{26} + 196\sqrt{6} - 68\sqrt{39} - 369}{95} \simeq 1,852$$

et :

$$t_{-1} = \frac{-96\sqrt{26} + 196\sqrt{6} + 68\sqrt{39} - 369}{95} \simeq 0,487$$

ce qui conduit à :

$$\sigma(t_1) = \left( \frac{4 - 2\sqrt{26}}{11}; 0; 0; 2; \frac{-6 - 3\sqrt{26}}{8} \right)$$

et :

$$\sigma(t_{-1}) = \left( \frac{4 + 2\sqrt{26}}{11}; 0; 0; 2; \frac{-6 + 3\sqrt{26}}{8} \right)$$

Le point $\sigma(t_1)$ définit la sphère de centre :

$$O_1\left(0; 0; -\frac{2+\sqrt{26}}{2}\right)$$

et de rayon :

$$r_1 = -\frac{2 + \sqrt{26}}{4}$$
<figure><img src="image_223.png" /><figcaption>FIGURE 11.21 – Sphères de Dandelin et hyperbole. Les foyers de l’hyperbole sont les points de tangence entre le plan de coupe *P* et les sphères de Dandelin. Les directrices de l’hyperbole sont obtenues comme sections de *P* par les plans contenant les cercles caractéristiques des sphères de Dandelin.</figcaption></figure>

et le foyer obtenu est le point :

$$F_1\left(\frac{65 + 5\sqrt{26}}{52}; 0; -\frac{39 + 25\sqrt{26}}{52}\right) \approx (1, 740; 0; -3, 201)$$
Le point $\sigma(t_{-1})$ définit la sphère de centre :

$$O_{-1}\left(0; 0; \frac{-2 + \sqrt{26}}{2}\right)$$

et de rayon :

$$r_{-1} = \frac{-2 + \sqrt{26}}{4}$$

et le foyer obtenu est le point :

$$F_{-1}\left(\frac{65 - 5\sqrt{26}}{52}; 0; \frac{-39 + 25\sqrt{26}}{52}\right) \approx (0, 760; 0; 1, 702)$$

La figure 11.22 illustre le cas d'une parabole obtenue comme section de $\mathscr{C}$ avec le plan passant par $P_0(0; 0; 5)$ et de vecteur normal unitaire $\vec{N}(\frac{\sqrt{3}}{2}; 0; \frac{1}{2})$ de représentation, sur $\Lambda^4$, $\pi(0; -\frac{\sqrt{3}}{2}; 0; \frac{1}{2}; \frac{5}{2})$.

<figure><img src="image_224.png" /><figcaption>FIGURE 11.22 – Sphères de Dandelin et parabole. Les foyers de la parabole sont le point à l'infini et le point de tangence entre le plan de coupe $\mathcal{P}$ et la sphère de Dandelin. La directrice de la parabole est obtenue comme section de $\mathcal{P}$ par le plan contenant le cercle caractéristique de la sphère de Dandelin. (a) : des cercles caractéristiques du demi-cône, la sphère de Dandelin, le foyer et la directrice de la parabole. (b) : vue complémentaire de (a) sans les cercles caractéristiques du demi-cône.</figcaption></figure>

Les solutions des équations (11.86) et (11.87) sont respectivement :

$$t_1 = 1$$
et :

$$t_{-1} = \frac{75 - 20\sqrt{6}}{43} \approx 0,605$$

ce qui conduit à :

$$\overrightarrow{\sigma(t_1)} = \overrightarrow{e_{\infty}}$$

et :

$$\sigma(t_{-1}) = \left( \frac{4}{5}; 0; 0; 2; \frac{15}{8} \right)$$

Le point $\sigma(t_{-1})$ définit la sphère de centre :

$$O_{-1} \left( 0; 0; \frac{5}{2} \right)$$

et de rayon :

$$r_{-1} = \frac{5}{4}$$

et le foyer obtenu est le point :

$$F_{-1} \left( \frac{-5\sqrt{3}}{8}; 0; \frac{25}{8} \right) \approx (-1, 083; 0; 3, 125)$$

## 11.7 Synthèse du chapitre

Dans ce chapitre, nous avons représenté les cyclides de Dupin dégénérées (cylindres et cônes de révolution, tores) ainsi que les cyclides de Dupin quartiques et cubiques sur l'espace des sphères $\Lambda^4$. Dans un premier temps, nous avons montrer que dans tous les cas, une cyclide de Dupin est représentée par deux coniques situées dans deux plans orthogonaux, les points de ces coniques sont la représentation des sphères dont la cyclide de Dupin est l'enveloppe : une courbe correspond à l'une des deux familles. Si la cyclide de Dupin admet des points singuliers dans $\mathcal{E}_3$, alors la conique doit contenir au moins un vecteur lumière ce qui nécessite la modélisation des coniques par des courbes de Bézier rationnelles quadratiques à points massiques de contrôle. Si la famille de sphères ne dégénèrent pas en un point (sphère de rayon nul), la conique est un cercle qui se trace comme une ellipse; Si la famille de sphères dégénèrent en deux points, la conique est un cercle qui se trace comme une hyperbole; Si la famille de sphères dégénèrent en un et un seul point, la conique est un parabole affine isométrique à une droite.

Dans le cas du cylindre ou du cône de révolution, l'un des points est le point à l'infini de $\mathcal{E}_3$ qui est représenté par le point massique ($\overrightarrow{e_{\infty}}; 0$) qui est alors un point de contrôle de la courbe de Bézier rationnelle quadratique de la courbe sur $\Lambda^4$.

Nous avons fini ce chapitre par une application euclidienne qui consiste, en utilisant les sphères de Dandelin, à déterminer le ou les foyer(s) d'une conique obtenue comme section d'un cône de révolution par un plan. Notons que la détermination d'une sphère de Dandelin ne revient à résoudre qu'une équation du premier degré.
# Chapitre 12

## Subdivisions itératives de cyclides de Dupin dans l'espace des sphères

Dans ce chapitre, nous améliorons les algorithmes de subdivisions du chapitre 4 permettant de réaliser, plus simplement qu'au chapitre 8, le tracer de cercles caractéristiques de cyclides de Dupin : il est fondamental, lors de chaque itération, de construire la tangente à la conique au point construit. Nous proposons d'autres algorithmes où toutes les subdivisions itératives sont basées sur le théorème de changement homographique, théorème 1, ce qui rend les algorithmes développés indépendants de la forme quadratique ambiante : toute conique à centre non circulaire peut être vue comme un cercle, et pour subdiviser un arc borné, le même algorithme s'applique que nous prenions l'une ou l'autre métrique.

Dans ce chapitre,

* un point appartennant à $\Lambda^4$ est désigné par le point $\sigma_{[0-2](0*1*2*)^*}$;

* un vecteur représentant un point de $\mathcal{E}_3$ (éventuellement le point à l'infini), est désigné par le vecteur $\overline{m_{[0-2](0*1*2*)^*}}$;

* le centre d'un cercle est désigné par le point $\Omega_{[0-2](0*1*2*)^*}$.

Mis à part dans le paragraphe 12.3.1.3, il n'y a que deux applications homographiques et le $2^*$ n'apparaît pas dans l'expression régulière indiçant les points massiques.

### 12.1 Algorithme de De Casteljau

La généralisation de l'algorithme de De Casteljau aux courbes de Bézier rationnelles quadra- tiques dans l'espace des points massiques ne pose pas de problème étant donné que la loi $\boxtimes$ est associative, algorithme 12.1.

Nous avons :

$$ 
\begin{align*}
(N_3; \bar{\omega}_3) \\
&= (1-t) \Box (N_1; \bar{\omega}_1) \boxplus t \Box (N_2; \bar{\omega}_2) \\
&= (1-t) \Box ((1-t) \Box (P_0; \omega_0) \boxplus t \Box (P_1; \omega_1)) \boxplus t \Box ((1-t) \Box (P_1; \omega_1) \boxplus t \Box (P_2; \omega_2))
\end{align*}
$$
**Algorithme 12.1** Algorithme de De Casteljau dans l'espace des points massiques.

**Entrée** : Trois points massiques $(P_0; \omega_0)$, $(P_1; \omega_1)$ et $(P_2; \omega_2)$ non alignés.

1. Choix de $t_0$ dans $]0; 1[$

2. Calcul de $(N_1; \varpi_1) = (1-t) \Box (P_0; \omega_0) \boxplus t \Box (P_1; \omega_1)$

3. Calcul de $(N_2; \varpi_2) = (1-t) \Box (P_1; \omega_1) \boxplus t \Box (P_2; \omega_2)$

4. Calcul de $(N_3; \varpi_3) = (1-t) \Box (N_1; \varpi_1) \boxplus t \Box (N_2; \varpi_2)$

**Sortie** : Un point massique $(N_3; \varpi_3)$ de l'arc de conique modélisé par $\mathcal{RQBC}\{(P_0; \omega_0); (P_1; \omega_1); (P_2; \omega_2)\}$

$$= (1 - t)^2 \Box (P_0; \omega_0) \boxplus 2t (1 - t) \Box (P_1; \omega_1) \boxplus t^2 \Box (P_2; \omega_2)$$

$$= B_0(t) \Box (P_0; \omega_0) \boxplus B_1(t) \Box (P_1; \omega_1) \boxplus B_2(t) \Box (P_2; \omega_2)$$

L'algorithme de De Casteljau pose problème puisque nous partons avec des poids extrémaux de 1 et il n'y a aucune raison que nous ayons $\varpi_3 = 1$ : nous allons donc développer d'autres méthodes.

Dans la suite, nous nous focalisons sur des subdivisions régulières (i.e. $t_0 = \frac{1}{2}$ dans l'algorithme 12.1) et distinguons les points pondérés et les vecteurs.

## 12.2 Principe de la subdivision itérative de cyclides de Dupin

Nous avons vu que le théorème 1 permet d'effectuer des changements de paramétrages afin de réaliser des changements de points massiques de contrôle. L'idée est de construire, la plupart du temps, en utilisant ce théorème, deux homographies $h_0$ et $h_1$ de $[0; 1]$ dans $[0; \frac{1}{2}]$ et $[\frac{1}{2}; 1]$ respectivement. Pour $i$ de $[0; 1]$, $h_i$ dépend de quatre réels et nous obtenons deux relations ce qui nous laisse deux degrés de liberté. En effet, nous considérons la CBRQ de points pondérés de contrôle $(\sigma_0; \omega_0)$, $(P_1; \omega_1)$ et $(\sigma_2; \omega_2)$ avec la condition :

$$\sum_{i=0}^{2} \omega_{i} \neq 0$$

que nous subdivisons en deux CBRQs de points de contrôle $(\sigma_{00}; \omega_{00})$, $(P_{10}; \omega_{10})$ et $(\sigma_{20}; \omega_{20})$ d'une part et $(\sigma_{01}; \omega_{01})$, $(P_{11}; \omega_{11})$ et $(\sigma_{21}; \omega_{21})$ d'autre part. Naturellement, nous avons $\sigma_{20} = \sigma_{01}$. Pour que la subdivision soit régulière, comme dans les algorithmes 3.1, 4.1 et 4.2, la condition nécessaire et non suffisante est que le point $\sigma_{20}$ soit sur la médiane<fnref n="1" />, issue de $P_1$, du triangle $\sigma_0 P_1 \sigma_2$. Pour que les constructions suivantes soient régulières, nous devons ajouter des conditions sur les poids, nous avons choisi de prendre<fnref n="2" /> :

$$\omega_0 = \omega_2 = 1 = \omega_{00} = \omega_{20} = \omega_{01} = \omega_{21}$$

<footnote n="1">1. Si la conique à centre est vue comme un cercle, la droite $(\sigma_0 P_1)$ est une médiatrice pour la forme quadratique considérée.</footnote>

<footnote n="2">2. Parfois, nous aurons l'un des quatre derniers poids nul lorsque nous obtenons un vecteur pur.</footnote>
Même si du point de vue classique, nous n’avons pas un triangle affine, nous appliquerons les changements homographiques même si l’un des points de contrôle est un vecteur pur : le calcul des coefficients des homographies se fait selon le même principe. Détaillons ces deux homographies.

### 12.2.1 Homographie $h_0$

Nous avons :

$$h_0(u) = \frac{a_0 (1-u) + b_0 u}{c_0 (1-u) + d_0 u}$$

et devons résoudre :

$$\begin{cases} h_0(0) = 0 \\ h_0(1) = \frac{1}{2} \end{cases}$$

ce qui conduit à :

$$\begin{cases} a_0 = 0 \\ d_0 = 2b_0 \end{cases}$$

d'où :

$$h_0(u) = \frac{b_0 u}{c_0 (1-u) + 2 b_0 u} \quad (12.1)$$

La dérivée $h'_0$ de $h_0$ est du signe de :

$$\left| \begin{matrix} b_0 & 0 \\ 2b_0 - c_0 & c_0 \end{matrix} \right| = b_0 c_0$$

qui doit être strictement positif. Dans tous les cas, nous prendrons ces deux nombres positifs.

Si $\gamma$ est la courbe de Bézier rationnelle quadratique de points massiques de contrôle $(P_0; \omega_0)$, $(P_1; \omega_1)$ et $(P_2; \omega_2)$ alors $\gamma \circ h_0$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(Q_0; \bar{\omega}_0)$, $(Q_1; \bar{\omega}_1)$ et $(Q_2; \bar{\omega}_2)$, incluse dans $\gamma$, avec :

$$\left\{ \begin{array}{l} (Q_0; \bar{\omega}_0) = c_0^2 \Box (P_0; \omega_0) \\ (Q_1; \bar{\omega}_1) = c_0 b_0 \Box (P_0; \omega_0) \boxplus b_0 c_0 \Box (P_1; \omega_1) \\ (Q_2; \bar{\omega}_2) = b_0^2 \Box (P_0; \omega_0) \boxplus 2 b_0^2 \Box (P_1; \omega_1) \boxplus b_0^2 \Box (P_2; \omega_2) \end{array} \right. \quad (12.2)$$

et nous pouvons remarquer que : **pour que le premier point de contrôle soit inchangé, nous avons $c_0 = 1$ ; le choix adéquat de $b_0$ permet d'obtenir la valeur souhaitée de $\bar{\omega}_2$ (si $\omega_0 + 2\omega_1 + \omega_2 \neq 0$).**

### 12.2.2 Homographie $h_1$

De même, nous avons :

$$h_1(u) = \frac{a_1 (1-u) + b_1 u}{c_1 (1-u) + d_1 u}$$
et devons résoudre :

$$
\begin{cases}
h_1(0) = \frac{1}{2} \\
h_1(1) = 1
\end{cases}
$$

ce qui conduit à :

$$
\begin{cases}
c_1 = 2a_1 \\
d_1 = b_1
\end{cases}
$$

d'où :

$$
h_1(u) = \frac{a_1 (1-u) + b_1 u}{2 a_1 (1-u) + b_1 u} \quad (12.3)
$$

La dérivée $h'_1$ de $h_1$ est du signe de :

$$
\left| \begin{array}{cc} b_1 - a_1 & a_1 \\ b_1 - 2a_1 & 2a_1 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cc} b_1 - a_1 & a_1 \\ -b_1 & 0 \end{array} \right| = b_1 a_1
$$

qui doit être strictement positif. Dans tous les cas, nous prendrons ces deux nombres positifs.

Si $\gamma$ est la courbe de Bézier rationnelle quadratique de points massiques de contrôle ($P_0$; $\omega_0$), ($P_1$; $\omega_1$) et ($P_2$; $\omega_2$) alors $\gamma \circ h_1$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle ($Q_0$; $\varpi_0$), ($Q_1$; $\varpi_1$) et ($Q_2$; $\varpi_2$), incluse dans $\gamma$, avec :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
(Q_0; \bar{\omega}_0) = a_1^2 \Box (P_0; \omega_0) \boxplus 2 a_1^2 \Box (P_1; \omega_1) \boxplus a_1^2 \Box (P_2; \omega_2) \\
(Q_1; \bar{\omega}_1) = a_1 b_1 \Box (P_1; \omega_1) \boxplus a_1 b_1 \Box (P_2; \omega_2) \\
(Q_2; \bar{\omega}_2) = b_1^2 \Box (P_2; \omega_2)
\end{array}
\right.
\qquad (12.4)
$$

et nous pouvons remarquer que : **pour que le dernier point de contrôle soit inchangé, nous avons $b_1 = 1$ ; le choix adéquat de $a_1$ permet d'obtenir la valeur souhaitée de $\varpi_0$ (si $\omega_0 + 2\omega_1 + \omega_2 \neq 0$).**

12.3 Choix des paramètres homographiques

Nous venons de définir les deux applications $h_0$ et $h_1$ et devons déterminer deux constantes
par homographie dont les valeurs dépendent évidemment de la nature des points massiques de
contrôle : est-ce un point pondéré ou un vecteur ? Détaillons les différents cas. Rappelons que le
tableau 3.2 permet de synthétiser le type de la conique en fonction des types des points massiques
de contrôle. Les applications « contractantes » associées à $h_0$ et $h_1$ sont notées respectivement $T_0$
et $T_1$.

12.3.1 Cas avec trois points pondérés : ($\omega_0; \omega_1; \omega_2$) $\in \{1\} \times \mathbb{R}^* \times \{1\}$

Dans ce paragraphe, les trois points de contrôle sont des points pondérés, nous pouvons avoir
n'importe laquelle des trois coniques propres euclidiennes mais nous devons distinguer trois cas
selon le signe de $\omega_1 + 1 : \omega_1 + 1 > 0$ implique que l'arc à subdiviser est connexe sans trou;
$\omega_1 + 1 = 0$ implique que l'arc à subdiviser est connexe avec un trou (arc de parabole non borné);
$\omega_1 + 1 < 0$ implique que l'arc à subdiviser n'est pas connexe et contient une branche.
### 12.3.1.1 Premier cas : $\omega_1 > -1$

**Théorème 27** : Changement de paramètre homographique

Soit une courbe de Bézier $\gamma$ de points massiques de contrôle $(\sigma_0; 1)$, $(P_1; \omega_1)$ et $(\sigma_2; 1)$ de support la conique C.

Soit $h_0$ définie par :

$$h_0 : u \mapsto \frac{\frac{1}{\sqrt{2 + 2\omega_1}} u}{(1 - u) + 2 \frac{1}{\sqrt{2 + 2\omega_1}} u} \quad (12.5)$$

alors $\gamma \circ h_0$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(\sigma_{00}; 1)$, $(P_{10}; \varpi_{10})$ et $(\sigma_{20}; 1)$ de support la conique C avec :

$$\left\{ \begin{array}{l} (\sigma_{00}; 1) = (\sigma_0; 1) \\ (P_{10}; \varpi_{10}) = \left( \operatorname{bar}\{(\sigma_0; 1); (P_1; \omega_1)\} ; \sqrt{\frac{1+\omega_1}{2}} \right) \\ (\sigma_{20}; 1) = (\operatorname{bar}\{(\sigma_0; 1); (P_1; 2\omega_1); (\sigma_2; 1)\}; 1) \end{array} \right. \quad (12.6)$$

**Démonstration** : Il suffit d'utiliser les relations de la formule (12.2) avec $b_0 = \frac{1}{\sqrt{2+2\omega_1}}$ et $c_0 = 1$ :

$$\heartsuit(\sigma_{00}; 1) = (\sigma_0; 1)$$

$$\begin{align*} \heartsuit(P_{10}; \varpi_{10}) &= \frac{1}{\sqrt{2+2\omega_1}} \boxtimes (\sigma_0; 1) \boxplus \frac{1}{\sqrt{2+2\omega_1}} \boxtimes (P_1; \omega_1) \\ &= \left( \operatorname{bar}\{(\sigma_0; 1); (P_1; \omega_1)\} ; \frac{1+\omega_1}{\sqrt{2+2\omega_1}} \right) \end{align*}$$

$\heartsuit(\sigma_{20}; 1) = \frac{1}{2+2\omega_1} \boxtimes (\sigma_0; 1) \boxplus \frac{2}{2+2\omega_1} \boxtimes (P_1; \omega_1) \boxplus \frac{1}{2+2\omega_1} \boxtimes (\sigma_2; 1)$ et il suffit de remarquer :

$$\frac{1 + \omega_1}{\sqrt{2 + 2\omega_1}} = \sqrt{\frac{1 + \omega_1}{2}}$$

<figure><img src="image_225.png" /></figure>

Notons que nous retrouvons la relation :

$$\varpi_1 = \sqrt{\frac{1 + \omega_1}{2}}$$

qui est la formule de récurrence donnée par la formule (4.9). Par symétrie, nous pouvons énoncer :
**Théorème 28** : Changement de paramètre homographique

Soit une courbe de Bézier $\gamma$ de points massiques de contrôle $(\sigma_0; 1)$, $(P_1; \omega_1)$ et $(\sigma_2; 1)$ de
support la conique C.

Soit $h_1$ définie par :

$$
h_1 : u \mapsto \frac{\frac{1}{\sqrt{2 + 2\omega_1}} (1 - u) + u}{2 \frac{1}{\sqrt{2 + 2\omega_1}} (1 - u) + u} \quad (12.7)
$$

alors $\gamma \circ h_1$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(\sigma_{01}; 1)$, $(P_{11}; \varpi_{11})$ et $(\sigma_{21}; 1)$ de support la conique C avec :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
(\sigma_{01}; 1) = (\operatorname{bar}\{(\sigma_0; 1); (P_1; 2\omega_1); (\sigma_2; 1)\}; 1) \\
(P_{11}; \varpi_{11}) = \left( \operatorname{bar}\{(P_1; \omega_1); (\sigma_2; 1)\}; \sqrt{\frac{1+\omega_1}{2}} \right) \\
(\sigma_{21}; 1) = (\sigma_2; 1)
\end{array}
\right.
\qquad (12.8)
$$

La figure 12.1 illustre une itération de subdivision en utilisant les théorèmes 27 et 28 et nous avons $\sigma_{20} = \sigma_{01}$.

**12.3.1.2 Deuxième cas : $\omega_1 = -1$**

Dans ce paragraphe, la CBRQ est le complémentaire d'un arc borné d'une parabole et nous
avons :

$$
\begin{align*}
B_0(t) - B_1(t) + B_2(t) &= 1 - 2t + t^2 - 2t + 2t^2 + t^2 \\
&= 1 - 4t + 4t^2 \\
&= (1 - 2t)^2
\end{align*}
$$

ce que fait que, quels que soient les points de contrôle, le vecteur de la CBRQ est obtenu pour $t = \frac{1}{2}$.

Dans la formule (12.9) et les suivantes, nous pouvons remplacer $-1$ par $1$ au numérateur, mais, du point de vue pédagogique, le $-1$ permet de faire allusion au fait que nous voulons récupérer la première ou la dernière composante du vecteur et que nous avons $\overrightarrow{e_o} \cdot \overrightarrow{e_\infty} = -1$.

**Théorème 29** : Changement de paramètre homographique

Soit une courbe de Bézier $\gamma$ de points massiques de contrôle $(\sigma_0; 1)$, $(P_1; -1)$ et $(\sigma_2; 1)$ de
support la conique C.

$$
\text{Si } (\overrightarrow{P_1\sigma_0} + \overrightarrow{P_1\sigma_2}) \cdot \overrightarrow{e_\infty} = 0 \text{ alors nous posons } \overrightarrow{e_{o\vee\infty}} = \overrightarrow{e_o}, \text{ sinon } \overrightarrow{e_{o\vee\infty}} = \overrightarrow{e_\infty}.
$$

Posons :

$$
b_0 = \sqrt{\left| \frac{-1}{(\overrightarrow{P_1\sigma_0} + \overrightarrow{P_1\sigma_2}) \cdot \overrightarrow{e_{o\vee\infty}}} \right|} \quad (12.9)
$$
<figure><img src="image_226.png" /><figcaption>FIGURE 12.1 – Une itération d’une construction itérative d’un arc de conique $\gamma$ sur $\Lambda^4$, d’extrémités $\sigma_0$ et $\sigma_2$ et ayant pour tangentes les droites $(\sigma_0 P_1)$ et $(\sigma_2 P_1)$ où le point pondéré $(P_1; \omega_1)$ vérifie $\omega_1 > -1$.</figcaption></figure>
Soit $h_0$ définie par :

$$h_0 : u \mapsto \frac{b_0 u}{(1-u) + 2b_0 u} \qquad (12.10)$$

alors $\gamma \circ h_0$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(\sigma_{00}; 1)$, $(\overrightarrow{P_{10}}; 0)$ et $(\overrightarrow{m_{20}}; 0)$ de support la conique C avec :

$$\left\{ \begin{array}{l} (\sigma_{00}; 1) = (\sigma_0; 1) \\ (\overrightarrow{P_{10}}; 0) = (b_0 \overrightarrow{P_1}\sigma_0; 0) \\ (\overrightarrow{m_{20}}; 0) = (b_0^2 (\overrightarrow{P_1}\sigma_0 + \overrightarrow{P_1}\sigma_2); 0) \end{array} \right. \qquad (12.11)$$

**Démonstration** : Il suffit d'utiliser les relations de la formule (12.2) avec $b_0$ et $c_0 = 1$ et nous obtenons :

$$\left\{ \begin{array}{l} (\sigma_0; 1) = (\sigma_0; 1) \\ (\overrightarrow{P_{10}}; 0) = b_0 \Box (\sigma_0; 1) \boxplus b_0 \Box (P_1; -1) = (b_0 \overrightarrow{P_1}\sigma_0; 0) \\ (\overrightarrow{m_{20}}; 0) = b_0^2 \Box (\sigma_0; 1) \boxplus 2b_0^2 \Box (P_1; -1) \boxplus b_0^2 \Box (\sigma_2; 1) = (b_0^2 (\overrightarrow{P_1}\sigma_0 + \overrightarrow{P_1}\sigma_2); 0) \end{array} \right.$$

et deux cas sont à distinguer.

* Si $(\overrightarrow{P_1}\sigma_0 + \overrightarrow{P_1}\sigma_2) \cdot \overrightarrow{e_\infty} = 0$ alors le vecteur $\overrightarrow{P_1}\sigma_0 + \overrightarrow{P_1}\sigma_2$ est colinéaire à $\overrightarrow{e_\infty}$ et sa composante selon ce dernier est :

$$- (\overrightarrow{P_1}\sigma_0 + \overrightarrow{P_1}\sigma_2) \cdot \overrightarrow{e_o}$$

et nous avons :

$$b_0 = \sqrt{\left| \frac{-1}{(\overrightarrow{P_1}\sigma_0 + \overrightarrow{P_1}\sigma_2) \cdot \overrightarrow{e_o}} \right|}$$

d'où :

$$\overrightarrow{m_{20}} = \left| \frac{-1}{(\overrightarrow{P_1}\sigma_0 + \overrightarrow{P_1}\sigma_2) \cdot \overrightarrow{e_o}} \right| (\overrightarrow{P_1}\sigma_0 + \overrightarrow{P_1}\sigma_2)$$

ce qui conduit soit à $\overrightarrow{m_{20}} = \overrightarrow{e_\infty}$, soit à $\overrightarrow{m_{20}} = -\overrightarrow{e_\infty}$.

* Si $(\overrightarrow{P_1}\sigma_0 + \overrightarrow{P_1}\sigma_2) \cdot \overrightarrow{e_\infty} \neq 0$, alors le vecteur lumière $\overrightarrow{m_{20}}$, colinéaire à $\overrightarrow{P_1}\sigma_0 + \overrightarrow{P_1}\sigma_2$ doit avoir -1 ou 1 comme composante selon $\overrightarrow{e_o}$ d'où :

$$b_0 = \sqrt{\left| \frac{-1}{(\overrightarrow{P_1}\sigma_0 + \overrightarrow{P_1}\sigma_2) \cdot \overrightarrow{e_\infty}} \right|}$$
d'où :

$$ \overrightarrow{m_{20}} = \left| \frac{-1}{(\overrightarrow{P_1\sigma_0} + \overrightarrow{P_1\sigma_2}) \cdot \overrightarrow{e_\infty}} \right| (\overrightarrow{P_1\sigma_0} + \overrightarrow{P_1\sigma_2}) $$

et le première composante de $\overrightarrow{m_{20}}$ est 1 ou -1.

<figure><img src="image_227.png" /></figure>

Dans le repère canonique ($O_5$; $\overrightarrow{e}_-$, $\overrightarrow{e}_1$, $\overrightarrow{e}_2$, $\overrightarrow{e}_3$, $\overrightarrow{e}_+$) de l'espace de Lorentz, un point à pour coordonnée ($x_-$; $x_1$; $x_2$ : $x_3$; $x_+$) tandis que dans le repère ($O_5$; $\overrightarrow{e}_o$, $\overrightarrow{e}_1$, $\overrightarrow{e}_2$, $\overrightarrow{e}_3$, $\overrightarrow{e}_\infty$) un point à pour coordonnée ($x_o$; $x_1$; $x_2$ : $x_3$; $x_\infty$).

Le vecteur $\overrightarrow{e}_{o\vee\infty}$ désigne soit le vecteur $\overrightarrow{e}_o$ soit le vecteur $\overrightarrow{e}_\infty$ afin de récupérer la composante de $(\overrightarrow{P_1\sigma_0} + \overrightarrow{P_1\sigma_2})$ selon le vecteur $\overrightarrow{e}_\infty$ ou le vecteur $\overrightarrow{e}_o$. Si nous devons combler la courbe de Bézier par un vecteur lumière représentant un point de $\mathcal{E}_3$, deux cas sont à distinguer : si localement, les sphères ont un rayon positif, nous sommes dans le demi-espace d'équation $x_+ = 2x_\infty - x_o > 0$ et le vecteur lumière doit avoir une composante de 1 selon $\overrightarrow{e}_{o\vee\infty}$ tandis que si les sphères ont un rayon négatif, nous sommes dans le demi-espace d'équation $x_+ = 2x_\infty - x_o < 0$ et le vecteur lumière doit avoir une composante de -1 selon $\overrightarrow{e}_{o\vee\infty}$.

Par symétrie, nous pouvons énoncer :

**Théorème 30** : Changement de paramètre homographique

Soit une courbe de Bézier $\gamma$ de points massiques de contrôle ($\sigma_0$; 1), ($P_1$; $\omega_1$) et ($\sigma_2$; 1) de support la conique C.

$$ \text{Si } (\overrightarrow{P_1\sigma_0} + \overrightarrow{P_1\sigma_2}) \cdot \overrightarrow{e}_\infty = 0 \text{ alors nous posons } \overrightarrow{e_{o\vee\infty}} = \overrightarrow{e}_o, \text{ sinon } \overrightarrow{e_{o\vee\infty}} = \overrightarrow{e}_\infty. $$

Posons :

$$ a_1 = \sqrt{\left| \frac{-1}{(\overrightarrow{P_1\sigma_0} + \overrightarrow{P_1\sigma_2}) \cdot \overrightarrow{e_{o\vee\infty}}} \right|} $$

Soit $h_1$ définie par :

$$ h_1 : u \mapsto \frac{a_1 (1-u) + u}{2a_1 (1-u) + u} \qquad (12.12) $$

alors $\gamma \circ h_1$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle ($\overrightarrow{m_{01}}$; 0), ($\overrightarrow{P_{11}}$; 0) et ($\sigma_{21}$; 1) de support la conique C avec :

$$ \left\{ \begin{array}{l} (\overrightarrow{m_{01}}; 0) = (a_1^2 (\overrightarrow{P_1\sigma_0} + \overrightarrow{P_1\sigma_2}) ; 0) \\ (\overrightarrow{P_{11}}; 0) = (a_1 \overrightarrow{P_1\sigma_2}; 0) \\ (\sigma_{21}; 1) = (\sigma_2; 1) \end{array} \right. \qquad (12.13) $$
Notons que si la cyclide de Dupin est représentée par une parabole (elle n'a qu'un point singulier ou ne contient que le point à l'infini comme le cylindre de révolution), les rayons des sphères ont un signe constant : soit toujours positif ou nul, soit toujours négatif ou nul. La figure 12.2 illustre une itération de subdivision en utilisant les théorèmes 29 et 30 et nous avons $\overrightarrow{m_{01}} = \overrightarrow{m_{20}}$ qui est un vecteur directeur de l'axe de la parabole.

Dans toute la suite, la notation $\overrightarrow{e_{o\infty}}$ désigne toujours soit le vecteur $\overrightarrow{e_o}$, soit le vecteur $\overrightarrow{e_\infty}$ avec la condition qui lui est associée c'est-à-dire que le vecteur $\overrightarrow{e_{o\infty}}$ permet de récuperer la première composante (celle de $\overrightarrow{e_o}$), si elle est non nulle, d'un vecteur lumière, soit la dernière de $\overrightarrow{e_\infty}$ (si la composante du vecteur lumière selon $\overrightarrow{e_o}$ est nulle).

### 12.3.1.3 Troisième cas : $\omega_1 < -1$

Dans ce cas, la courbe est le complémentaire d'un arc borné d'un cercle qui se trace comme une hyperbole, l'équation (2.11) est de degré 2 et admet deux racines $t_1$ et $t_2$ définies par :

$$t_1 = \frac{1 - \omega_1 - \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{2 (1 - \omega_1)} \qquad t_2 = \frac{1 - \omega_1 + \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{2 (1 - \omega_1)} \qquad (12.14)$$

et le fait que nous ayons $\omega_1 < -1 < 0$ implique que les racines $t_1$ et $t_2$ appartiennent à $[0; 1]$ et $t_1 < t_2$. Nous allons définir trois homographies $h_0$, $h_1$ et $h_2$ tel que :

$$h_0([0; 1]) = [0; t_1] \qquad h_1([0; 1]) = [t_1; t_2] \qquad h_2([0; 1]) = [t_2; 1]$$

et l'utilisation des racines du dénominateur permet d'obtenir directement des vecteurs lumière représentant des points singuliers de la cyclide de Dupin. Nous avons choisi ces homographies afin de limiter le nombre de cas et nous ramener à des cas canoniques, paragraphes 12.3.2.1 et 12.3.2.2, l'homographie $h_1$ permet d'obtenir toute une branche du cercle.

### Théorème 31 : Changement de paramètre homographique

Soit une courbe de Bézier $\gamma$ de points massiques de contrôle $(\sigma_0; 1)$, $(P_1; \omega_1)$ et $(\sigma_2; 1)$ de support la conique C.

Soit $h_0$ définie par :

$$h_0: \begin{array}{rcl} [0; 1] & \to & [0; t_1] \\ u & \mapsto & \frac{d_0 t_1 u}{(1-u) + d_0 u} \end{array} \qquad (12.15)$$

alors $\gamma \circ h_0$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(\sigma_{00}; 1)$, $(P_{10}; \varpi_{10})$ et $(\overrightarrow{m_{20}}; 0)$ de support la conique C avec :

$$\left\{ \begin{array}{l} (\sigma_{00}; 1) = (\sigma_0; 1) \\ (P_{10}; \varpi_{10}) = (bax\{(\sigma_0; 1 - t_1); (P_1; t_1\omega_1)\}; d_0(1 + (\omega_1 - 1)t_1)) \\ (\overrightarrow{m_{20}}; 0) = (d_0^2(B_0(t_1)\overrightarrow{P_1\sigma_0} + B_2(t_1)\overrightarrow{P_1\sigma_2}); 0) \end{array} \right. \qquad (12.16)$$
<figure><img src="image_228.png" /><figcaption>FIGURE 12.2 – Une itération d’une construction itérative d’un arc de parabole $\gamma$ sur $\Lambda^4$, d’extrémités $(\sigma_0; 1)$ et $(\sigma_2; 1)$ et ayant pour tangentes les droites $(\sigma_0 P_1)$ et $(\sigma_2 P_1)$ avec $(P_1; -1)$. Si le vecteur $\overline{m_{20}}$ représente un point de $\mathcal{E}_3$, sa composante selon $\overrightarrow{e_o}$ et pseudo-unitaire et du signe du rayon des sphères de la surface canal. Si le vecteur $\overline{m_{20}}$ représente le point à l’infini de $\mathcal{E}_3$, si les rayons des sphères sont positifs, nous avons $\overline{m_{20}} = \overrightarrow{e_\infty}$, sinon, nous avons $\overline{m_{20}} = -\overrightarrow{e_\infty}$. ________</figcaption></figure>
où :

$$d_0 = \sqrt{\frac{-1}{(B_0(t_1) \overrightarrow{P_1\sigma_0} + B_2(t_1) \overrightarrow{P_1\sigma_2}) \cdot \overrightarrow{e_{o\vee\infty}}}}$$

est déterminé de la même façon que dans le théorème 29.

**Démonstration** : Il suffit d'utiliser le théorème 1 pour obtenir :

$$\left\{ \begin{array}{lcl} h_0(0) & = & \frac{a_0}{c_0} \\ h_0(1) & = & \frac{b_0}{d_0} \end{array} \right. = 0 \qquad t_1$$

d'où : $a_0 = 0$, $b_0 = d_0 t_1$. Afin que le premier point de contrôle ne change pas, nous avons $c_0 = 1$ d'où :

$$(\sigma_{00}; 1) = (\sigma_0; 1)$$

et :

$$\begin{aligned} (P_{10}; \varpi_{10}) &= d_0 (1 - t_1) \sqcap (\sigma_0; 1) \sqcup d_0 t_1 \sqcap (P_1; \omega_1) \\ &= (\mathrm{bar}\{(\sigma_0; 1 - t_1); (P_1; t_1 \omega_1)\}; d_0 (1 + (\omega_1 - 1) t_1)) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} (\overrightarrow{m}_{20}; \varpi_{20}) &= d_0^2 B_0(t_1) \sqcap (\sigma_0; 1) \sqcup d_0^2 \omega_1 B_1(t_1) \sqcap (P_1; \omega_1) \sqcup d_0^2 B_2(t_1) \sqcap (\sigma_2; \omega_2) \\ &= d_0^2 \left( B_0(t_1) \overrightarrow{M\sigma_0} + \omega_1 B_1(t_1) \overrightarrow{MP_1} + B_2(t_1) \overrightarrow{M\sigma_2} \right) \quad (\forall M \in L_{4;1}) \\ &= \left( d_0^2 \left( B_0(t_1) \overrightarrow{P_1\sigma_0} + B_2(t_1) \overrightarrow{P_1\sigma_2} \right); 0 \right) \quad (\text{en prenant } M = P_1) \end{aligned}$$

et le vecteur $\overrightarrow{m}_{20}$ représente un point du compactifié d'Alexandrov de $\mathcal{E}_3$, sa première composante doit donc être pseudo-unitaire ou $\overrightarrow{m}_{20}$ est $\overrightarrow{e}_{\infty}$ ou $-\overrightarrow{e}_{\infty}$.

<figure><img src="image_229.png" /></figure>

■ Le théorème suivant permet d'obtenir toute la branche de la CBRQ initiale.

**Théorème 32** : Changement de paramètre homographique

Soit une courbe de Bézier $\gamma$ de points massiques de contrôle $(\sigma_0; 1)$, $(P_1; \omega_1)$ et $(\sigma_2; 1)$ de support la conique C.

Soit $h_1$ définie par :

$$\begin{array}{lcl} h_1: & [0; 1] & \longrightarrow [t_1; t_2] \\ & u & \longmapsto \frac{t_1(1-u) + d_0 t_2 u}{(1-u) + d_0 u} \end{array} \qquad (12.17)$$
alors $\gamma \circ h_1$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(\overrightarrow{m_{01}}; 0)$, $(Q_{11}; \varpi_{11})$ et $(\overrightarrow{m_{21}}; 0)$ de support la conique C avec :

$$ egin{cases} (\overrightarrow{m_{01}}; 0) = (c_1^2 (B_0 (t_1) \overrightarrow{P_1\sigma_0} + B_2 (t_1) \overrightarrow{P_1\sigma_2}) ; 0) \\ (\Omega_{11}; \varpi_{11}) = (G_{11}; c_1 d_1 (1 + \omega_1)) \\ (\overrightarrow{m_{21}}; 0) = (d_1^2 (B_0 (t_2) \overrightarrow{P_1\sigma_0} + B_2 (t_2) \overrightarrow{P_2\sigma_2}) ; 0) \end{cases} \quad (12.18) $$

où :

$$ G_{11} = \operatorname{bar} \left\{ \left( \sigma_0; \frac{1}{2(1-\omega_1)} \right) ; \left( P_1; \frac{-\omega_1^2}{1-\omega_1} \right) ; \left( \sigma_2; \frac{1}{2(1-\omega_1)} \right) \right\} $$

et :

$$ egin{cases} c_1 = \sqrt{\left| \frac{-1}{(B_0 (t_1) \overrightarrow{P_1\sigma_0} + B_2 (t_1) \overrightarrow{P_1\sigma_2}) \cdot \overrightarrow{e_{o\infty}}} \right|} \\ d_1 = \sqrt{\left| \frac{-1}{(B_0 (t_2) \overrightarrow{P_1\sigma_0} + B_2 (t_2) \overrightarrow{P_1\sigma_2}) \cdot \overrightarrow{e_{o\infty}}} \right|} \end{cases} $$

c'est-à-dire que $d_1$ est déterminé comme dans le théorème 29, $c_1$ est déterminé comme dans le théorème 30.

De plus, $\Omega_{11}$ est le centre du cercle définie par la CBRQ.

**Démonstration** : Il suffit d'utiliser le théorème 1 pour obtenir :

$$ egin{cases} h_1 (0) = \frac{a_1}{c_1} = t_1 \\ h_1 (1) = \frac{b_1}{d_1} = t_2 \end{cases} $$

d'où : $a_1 = c_1 t_1$, $b_1 = d_1 t_2$. Comme dans le théorème 31, la détermination des points massiques $(\overrightarrow{m_{01}}; 0)$ et $(\overrightarrow{m_{21}}; 0)$ s'effectue en utilisant le fait que $t_1$ et $t_2$ sont deux racines du dénominateur. Il ne reste qu'à déterminer le point massique intermédiaire :

Simplifions le calcul de $\varpi_1$ afin de montrer qu'il n'est pas nul. Notons, que $t_1$ et $t_2$, formule (12.14), sont racines de l'équation (2.11) d'où :

$$ egin{cases} t_1 + t_2 = 1 \\ t_1 t_2 = \frac{1}{2(1 - \omega_1)} \end{cases} \quad (12.19) $$

d'où :

$$ t_2 - 2 t_1 t_2 + t_1 = 1 - \frac{1}{1 - \omega_1} = \frac{-\omega_1}{1 - \omega_1} $$
d'une part et :

$$ (1 - t_1)(1 - t_2) = \underbrace{1 - (t_1 + t_2)}_{0} + t_1 t_2 = \frac{1}{2(1 - \omega_1)} $$

d'autre part, ce qui conduit à :

$$ \begin{align*} & c_1 d_1 (1 - t_1) (1 - t_2) + c_1 d_1 \omega_1 (t_2 - 2 t_1 t_2 + t_1) + c_1 d_1 t_1 t_2 \\ &= c_1 d_1 \left( \frac{1}{2(1 - \omega_1)} + \omega_1 \frac{-\omega_1}{1 - \omega_1} + \frac{1}{2(1 - \omega_1)} \right) \\ &= c_1 d_1 \left( \frac{1}{1 - \omega_1} - \frac{\omega_1^2}{1 - \omega_1} \right) \\ &= c_1 d_1 (1 + \omega_1) < 0. \end{align*} $$

Ainsi :

$$ \begin{align*} (\Omega_{11}; \varpi_1) &= c_1 d_1 (1-t_1)(1-t_2) \boxtimes (\sigma_0; 1) \boxplus c_1 d_1 (t_2 - 2t_1 t_2 + t_1) \boxtimes (P_1; \omega_1) \\ &\quad \boxplus c_1 d_1 t_1 t_2 \boxtimes (\sigma_2; 1) \\ &= c_1 d_1 \boxtimes \left( \sigma_0; \frac{1}{2(1-\omega_1)} \right) \boxplus \left( P_1; \omega_1 \frac{-\omega_1}{1-\omega_1} \right) \boxplus \left( \sigma_2; \frac{1}{2(1-\omega_1)} \right) \\ &= \left( \operatorname{bar} \left\{ \left( \sigma_0; \frac{1}{2(1-\omega_1)} \right); \left( P_1; \frac{-\omega_1^2}{1-\omega_1} \right); \left( \sigma_2; \frac{1}{2(1-\omega_1)} \right) \right\} \right); c_1 d_1 (1+\omega_1) \end{align*} $$

La CBRQ de points massiques de contrôle ($\overrightarrow{m_{01}}; 0$), ($\Omega_{11}; \varpi_1$) et ($\overrightarrow{m_{21}}; 0$) est l'ensemble des points $\gamma(t)$, $t$ appartenant à $]0; 1[$, vérifiant, pour tout point $O_0$ :

$$ \overrightarrow{O_0\gamma(t)} = \frac{1}{\varpi_1 B_1(t)} \left( B_0(t) \overrightarrow{m_{01}} + \varpi_1 B_1(t) \overrightarrow{O_0\Omega_{11}} + B_2(t) \overrightarrow{m_{21}} \right) $$

En prenant $O_0 = \Omega_{11}$, nous obtenons :

$$ \overrightarrow{\Omega_{11}\gamma(t)} = \frac{1}{\varpi_1 B_1(t)} \left( B_0(t) \overrightarrow{m_{01}} + B_2(t) \overrightarrow{m_{21}} \right) $$

d'où :

$$ \overrightarrow{\Omega_{11}\gamma(t)}^2 = \frac{B_0(t) B_2(t) \overrightarrow{m_{01}} \cdot \overrightarrow{m_{21}}}{\varpi_1^2 B_1^2(t)} = \frac{\overrightarrow{m_{01}} \cdot \overrightarrow{m_{21}}}{4 \varpi_1^2} $$

qui est constant (par construction de $t_1$ et $t_2$, $\overrightarrow{m_{01}}$ et $\overrightarrow{m_{21}}$ sont deux vecteurs lumière) : $\Omega_{11}$ est le centre du cercle défini par la CBRQ!!

<figure><img src="image_230.png" /></figure>

Dans les théorèmes 31 et 32, les vecteurs lumière sont les mêmes, mais, dans le théorème 32, le poids du centre $\Omega_{11}$ est négatif ce qui fait que les deux CBRQ ne sont pas sur la même branche de cercle. Il est possible de se ramener à un poids positif pour le cercle en prenant ($-\overrightarrow{m_{01}}; 0$), ($\Omega_{11}; -\varpi_1$) et ($-\overrightarrow{m_{21}}; 0$) comme points massiques de contrôle. Montrons que le point $P_{10}$ est un point de l'une des deux asymptotes au cercle :
**Proposition 16 :**

Soit $\Omega_{11}$ le centre du cercle construit par le théorème 32.

Soit $P_{10}$ et $\overrightarrow{m}_{20}$ construit par le théorème 31.

Les vecteurs $\overrightarrow{m}_{20}$ et $\overrightarrow{P_{10}\Omega_{11}}$ sont non nuls et colinéaires (ce qui implique que $P_{10}$ appartient à l'une des deux asymptotes du cercle).

**Démonstration :**

A partir du système de la formule (12.19), nous avons :

$$B_1(t_1) = 2t_1(1-t_1) = 2t_1 t_2 = \frac{1}{1-\omega_1}$$

d'où :

$$t_1^2 = t_1 - \frac{1}{2(1-\omega_1)} = \frac{1-\omega_1-\sqrt{\omega_1^2-1}}{2(1-\omega_1)} - \frac{1}{2(1-\omega_1)} = \frac{-\omega_1-\sqrt{\omega_1^2-1}}{2(1-\omega_1)}$$

Comme nous avons, théorème 32, :

$$(\Omega_{11}; 1 + \omega_1) = \left(\sigma_0; \frac{1}{2(1-\omega_1)}\right) \boxplus \left(P_1; \frac{-\omega_1^2}{1-\omega_1}\right) \boxplus \left(\sigma_2; \frac{1}{2(1-\omega_1)}\right)$$

en utilisant le fait que :

$$\frac{1}{1+\omega_1} \boxtimes (\Omega_{11}; 1+\omega_1) = (\Omega_{11}; 1)$$

nous obtenons :

$$(\Omega_{11}; 1) = \left(\sigma_0; \frac{1}{2(1-\omega_1^2)}\right) \boxplus \left(P_1; \frac{-\omega_1^2}{1-\omega_1^2}\right) \boxplus \left(\sigma_2; \frac{1}{2(1-\omega_1^2)}\right) \quad (12.20)$$

Nous avons, théorème 31, :

$$(P_{10}; 1 - t_1 (1 - \omega_1)) = (1 - t_1) \boxtimes (\sigma_0; 1) \boxplus t_1 \boxtimes (P_1; \omega_1)$$

Or :

$$1 - t_1 (1 - \omega_1) = 1 - \frac{1 - \omega_1 - \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{2} = \frac{1 + \omega_1 + \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{2}$$

et :

$$1 - t_1 = t_2 = \frac{1 - \omega_1 + \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{2(1 - \omega_1)}$$
et :

$$
\begin{align*}
(1 - t_1)^2 &= \left( \frac{1 - \omega_1 + \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{2 (1 - \omega_1)} \right)^2 \\
&= \frac{1 - 2\omega_1 + \omega_1^2 + \omega_1^2 - 1 + 2(1 - \omega_1)\sqrt{\omega_1^2 - 1}}{4 (1 - \omega_1)^2} \\
&= \frac{-2\omega_1(1 - \omega_1) + 2(1 - \omega_1)\sqrt{\omega_1^2 - 1}}{4 (1 - \omega_1)^2} \\
&= \frac{-\omega_1 + \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{2 (1 - \omega_1)}
\end{align*}
$$

Nous obtenons :

$$
(P_{10}; 1) = \frac{2}{1 + \omega_1 + \sqrt{\omega_1^2 - 1}} \Box \left( \frac{1 - \omega_1 + \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{2 (1 - \omega_1)} \Box (\sigma_0; 1) \boxplus \frac{1 - \omega_1 - \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{2 (1 - \omega_1)} \Box (P_1; \omega_1) \right)
$$

Mais nous avons :

$$
\frac{1}{1 + \omega_1 + \sqrt{\omega_1^2 - 1}} = \frac{1 + \omega_1 - \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{1 + 2\omega_1 + \omega_1^2 - (\omega_1^2 - 1)} = \frac{1 + \omega_1 - \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{2(1 + \omega_1)}
$$

Concernant le poids de $\sigma_0$, nous avons :

$$
\begin{align*}
& \frac{2}{1 + \omega_1 + \sqrt{\omega_1^2 - 1}} \frac{1 - \omega_1 + \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{2 (1 - \omega_1)} \\
&= \frac{1 + \omega_1 - \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{(1 + \omega_1)} \frac{1 - \omega_1 + \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{2 (1 - \omega_1)} \\
&= \frac{1 - \omega_1^2 - (\omega_1^2 - 1) + (1 + \omega_1 - (1 - \omega_1)) \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{2 (1 - \omega_1^2)} \\
&= \frac{2 - 2\omega_1^2 + 2\omega_1 \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{2 (1 - \omega_1^2)} \\
&= \frac{1 - \omega_1^2 + \omega_1 \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{(1 - \omega_1^2)}
\end{align*}
$$

Concernant le poids de $P_1$, nous avons :

$$
\begin{align*}
& \frac{2}{1 + \omega_1 + \sqrt{\omega_1^2 - 1}} \frac{1 - \omega_1 - \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{2 (1 - \omega_1)} \omega_1 \\
= & \frac{1 + \omega_1 - \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{(1 + \omega_1)} \frac{1 - \omega_1 - \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{2 (1 - \omega_1)} \omega_1
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
&= \frac{1 - \omega_1^2 + (\omega_1^2 - 1) - (1 + \omega_1 + 1 - \omega_1) \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{2(1 - \omega_1^2)} \omega_1 \\
&= \frac{-\omega_1 \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{1 - \omega_1^2}
\end{align*}
$$

Nous avons donc :

$$
(P_{10}; 1) = \left( \sigma_0; \frac{1 - \omega_1^2 + \omega_1 \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{(1 - \omega_1^2)} \right) \boxplus \left( P_1; \frac{-\omega_1 \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{1 - \omega_1^2} \right) \quad (12.21)
$$

A partir des formules (12.20) et (12.21), nous obtenons :

$$
\begin{align*}
(\overrightarrow{\Omega_{11} P_{10}}; 0) &= (P_{10}; 1) \boxplus (\Omega_{11}; -1) \\
&= \left( \sigma_0; \frac{1 - \omega_1^2 + \omega_1 \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{(1 - \omega_1^2)} \right) \boxplus \left( P_1; \frac{-\omega_1 \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{1 - \omega_1^2} \right) \\
&\quad \boxplus \left( \sigma_0; \frac{-1}{2(1 - \omega_1^2)} \right) \boxplus \left( P_1; \frac{\omega_1^2}{1 - \omega_1^2} \right) \boxplus \left( \sigma_2; \frac{-1}{2(1 - \omega_1^2)} \right) \\
&= \left( \sigma_0; \frac{1 - \omega_1^2}{(1 - \omega_1^2)} \right) \boxplus \left( \sigma_0; \frac{\omega_1 \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{(1 - \omega_1^2)} \right) \boxplus \left( P_1; \frac{-\omega_1 \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{1 - \omega_1^2} \right) \\
&\quad \boxplus \left( \sigma_0; \frac{-1}{2(1 - \omega_1^2)} \right) \boxplus \left( P_1; \frac{\omega_1^2}{1 - \omega_1^2} \right) \boxplus \left( \sigma_2; \frac{-1}{2(1 - \omega_1^2)} \right) \\
&= \left( \sigma_0; \frac{1 - 2\omega_1^2}{2(1 - \omega_1^2)} \right) \boxplus \left( P_1; \frac{\omega_1^2}{1 - \omega_1^2} \right) \boxplus \left( \sigma_2; \frac{-1}{2(1 - \omega_1^2)} \right) \boxplus \left( \frac{\omega_1 \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{(1 - \omega_1^2)} \overrightarrow{P_1 \sigma_0} ; 0 \right) \\
&= \left( \sigma_0; \frac{-2\omega_1^2}{2(1 - \omega_1^2)} \right) \boxplus \left( P_1; \frac{2\omega_1^2}{2(1 - \omega_1^2)} \right) \boxplus \left( \frac{\omega_1 \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{(1 - \omega_1^2)} \overrightarrow{P_1 \sigma_0} ; 0 \right) \\
&\quad \boxplus \left( \sigma_0; \frac{1}{2(1 - \omega_1^2)} \right) \boxplus \left( \sigma_2; \frac{-1}{2(1 - \omega_1^2)} \right) \\
&= \left( \frac{2\omega_1^2}{2(1 - \omega_1^2)} \overrightarrow{\sigma_0 P_1} ; 0 \right) \boxplus \left( \frac{\omega_1 \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{(1 - \omega_1^2)} \overrightarrow{P_1 \sigma_0} ; 0 \right) \boxplus \left( \frac{1}{2(1 - \omega_1^2)} \overrightarrow{\sigma_2 \sigma_0} ; 0 \right) \\
&= \left( \frac{-\omega_1^2 + \omega_1 \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{(1 - \omega_1^2)} \overrightarrow{P_1 \sigma_0} ; 0 \right) \boxplus \left( \frac{1}{2(1 - \omega_1^2)} \overrightarrow{\sigma_2 \sigma_0} ; 0 \right) \\
&= \left( \omega_1 \frac{-\omega_1 + \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{(1 - \omega_1^2)} \overrightarrow{P_1 \sigma_0} ; 0 \right) \boxplus \left( \frac{1}{2(1 - \omega_1^2)} \overrightarrow{\sigma_2 \sigma_0} ; 0 \right)
\end{align*}
$$
d'où :

$$ \overrightarrow{\Omega_{11}P_{10}} = \frac{1}{(1 - \omega_1^2)} \left( \omega_1 \left( -\omega_1 + \sqrt{\omega_1^2 - 1} \right) \overrightarrow{P_1\sigma_0} + \frac{1}{2}\overrightarrow{\sigma_2\sigma_0} \right) \quad (12.22) $$

D'autre part,

$$
\begin{align*}
(\overrightarrow{m}_{20}; 0) &= B_0(t_1) \odot (\sigma_0; 1) \boxplus \omega_1 B_1(t_1) \odot (P_1; \omega_1) \boxplus B_2(t_1) \odot (\sigma_2; 1) \\
&= (\sigma_0; (1-t_1)^2) \boxplus (P_1; 2\omega_1 t_1 (1-t_1)) \boxplus (\sigma_2; t_1^2) \\
&= \left( \sigma_0; \frac{-\omega_1 + \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{2(1-\omega_1)} \right) \boxplus \left( P_1; \frac{\omega_1}{1-\omega_1} \right) \boxplus \left( \sigma_2; \frac{-\omega_1 - \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{2(1-\omega_1)} \right) \\
&= \left( \sigma_0; \frac{-2\omega_1 + \omega_1 + \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{2(1-\omega_1)} \right) \boxplus \left( P_1; \frac{\omega_1}{1-\omega_1} \right) \boxplus \left( \sigma_2; \frac{-\omega_1 - \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{2(1-\omega_1)} \right) \\
&= \left( \sigma_0; \frac{-\omega_1}{1-\omega_1} \right) \boxplus \left( P_1; \frac{\omega_1}{1-\omega_1} \right) \\
&\quad \boxplus \left( \sigma_0; \frac{\omega_1 + \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{2(1-\omega_1)} \right) \boxplus \left( \sigma_2; \frac{-\omega_1 - \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{2(1-\omega_1)} \right) \\
&= \left( \frac{\omega_1 + \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{2(1-\omega_1)} \overrightarrow{\sigma_2\sigma_0}; 0 \right) \boxplus \left( \frac{\omega_1}{1-\omega_1} \overrightarrow{\sigma_0 P_1}; 0 \right)
\end{align*}
$$

d'où :

$$ \overrightarrow{m}_{20} = \frac{1}{(1 - \omega_1)} \left( \frac{\omega_1 + \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{2} \overrightarrow{\sigma_2\sigma_0} + \omega_1 \overrightarrow{\sigma_0 P_1} \right) \quad (12.23) $$

A partir des formules (12.23) et 12.23), établissons la situation de proportionnalité des vecteurs $\overrightarrow{m}_{20}$ et $\overrightarrow{\Omega_{11}P_{10}}$ dans la base $(\overrightarrow{\sigma_2\sigma_0}; \overrightarrow{\sigma_0 P_1})$ :

$$
\det \left( \overrightarrow{m}_{20}; \overrightarrow{\Omega_{11}P_{10}} \right) = \left| \begin{array}{cc} \frac{\omega_1 + \sqrt{\omega_1^2 - 1}}{2} & \omega_1 \\ \frac{1}{2} & -\omega_1 \left(-\omega_1 + \sqrt{\omega_1^2 - 1}\right) \end{array} \right| \\
= \frac{\omega_1}{2} \left| \begin{array}{cc} \omega_1 + \sqrt{\omega_1^2 - 1} & 1 \\ 1 & \omega_1 - \sqrt{\omega_1^2 - 1} \end{array} \right| = \frac{\omega_1}{2} (\omega_1^2 - (\omega_1^2 - 1) - 1) = 0
$$

donc les vecteurs $\overrightarrow{m}_{20}$ et $\overrightarrow{\Omega_{11}P_{10}}$ sont colinéaires.

■ (fin de la proposition 16)

Il reste le dernier cas :
**Théorème 33** : Changement de paramètre homographique

Soit une courbe de Bézier $\gamma$ de points massiques de contrôle $(\sigma_0; 1)$, $(P_1; \omega_1)$ et $(\sigma_2; 1)$ de
support la conique C.

Soit $h_2$ définie par :

$$
\begin{align*}
h_2: [0; 1] & \to [t_2; 1] \\
u & \mapsto \frac{c_2 t_2 (1-u) + u}{c_2 (1-u) + u} \tag{12.24}
\end{align*}
$$

alors $\gamma \circ h_2$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(\overrightarrow{m_{20}}; 0)$, $(P_{12}; \varpi_{12})$ et $(\sigma_{22}; 1)$ de support la conique C avec :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
(\overrightarrow{m_{02}}; 0) = (c_2^2 (B_0(t_2) \overrightarrow{P_1\sigma_0} + B_2(t_2) \overrightarrow{P_1\sigma_2}) ; 0) \\
(P_{12}; \varpi_{12}) = (\text{bar}\{(P_1; (1-t_2)\omega_1); (\sigma_2; t_2)\}; c_2(\omega_1 + (1-\omega_1)t_2)) \\
(\sigma_{22}; 1) = (\sigma_2; 1)
\end{array}
\right.
\qquad (12.25)
$$

où :

$$
c_2 = \sqrt{\left| \frac{-1}{\left( B_0(t_2) \overrightarrow{P_1\sigma_0} + B_2(t_2) \overrightarrow{P_1\sigma_2} \right) \cdot \overrightarrow{e_{o\vee\infty}}} \right|}
$$

c'est-à-dire que $c_2$ est déterminé comme dans le théorème 30.

Démonstration : Il suffit d'utiliser le théorème 1 pour obtenir :

$$
\left\{
\begin{array}{lcl}
h_2(0) & = & \displaystyle\frac{a_2}{c_2} \\
\\
h_2(1) & = & b_2
\end{array}
\right.
\qquad
\begin{array}{l}
= t_2 \\
= 1
\end{array}
$$

d'où : $a_2 = t_2 c_2$, $b_2 = d_2 = 1$ afin que le dernier point de contrôle ne change pas i.e. :

$$
(\sigma_{22}; 1) = (\sigma_2; 1)
$$

et :

$$
\begin{align*}
(\overrightarrow{m}_{02}; \varpi_{22}) &= c_2^2 B_0(t_2) \Box (\sigma_0; 1) \boxplus c_2^2 \omega_1 B_1(t_2) \Box (P_1; \omega_1) \boxplus c_2^2 B_2(t_2) \Box (\sigma_2; \omega_2) \\
&= c_2^2 \left( B_0(t_2) \overrightarrow{M\sigma_0} + \omega_1 B_1(t_2) \overrightarrow{MP_1} + B_2(t_2) \overrightarrow{M\sigma_2}; 0 \right) (\forall M \in L_{4;1}) \\
&= \left( c_2^2 \left( B_0(t_2) \overrightarrow{P_1\sigma_0} + B_2(t_2) \overrightarrow{P_1\sigma_2} \right); 0 \right)
\end{align*}
$$

et le vecteur $\overrightarrow{m}_{20}$ représente un point du compactifié d’Alexandrov de $\mathcal{E}_3$, sa première composante
doit donc être pseudo-unitaire ou $\overrightarrow{m}_{20}$ est $\overrightarrow{e}_{\infty}$ ou $-\overrightarrow{e}_{\infty}$.
$$
\begin{align*}
(P_{12}; \bar{\omega}_{12}) &= c_2 (1 - t_2) \Box (P_1; \omega_1) \boxplus c_2 t_2 \Box (\sigma_2; 1) \\
&= (\mathrm{bar} \{(P_1; (1 - t_2)\omega_1); (\sigma_2; t_2)\}; c_2 (\omega_1 + (1 - \omega_1)t_2))
\end{align*}
$$

<figure><img src="image_231.png" /></figure>

■

En adaptant la démonstration de la proposition 16, nous montrerions que les vecteurs $\overline{m}_{02}$ et $\overrightarrow{P_{12}\Omega_{11}}$ sont non nuls et colinéaires c'est-à-dire que le point $P_{12}$ est un point de l'une des deux asymptotes au cercle.

La figure 12.3 illustre une itération de subdivision en utilisant les théorèmes 31, 32 et 33 et
nous avons $\overline{m}_{20} = \overline{m}_{01}$ d'une part et $\overline{m}_{21} = \overline{m}_{02}$ d'autre part et $\bar{\omega}_{11}$ est strictement négatif.

<figure><img src="image_232.png" /><figcaption>FIGURE 12.3 – Une itération d’une construction itérative d’un arc de conique $\gamma$ sur $\Lambda^4$, d’extrémités $\sigma_0$ et $\sigma_2$ et ayant pour tangentes les droites $(\sigma_0 P_1)$ et $(\sigma_2 P_1)$ avec $(P_1; \omega_1)$ et $\omega_1 < -1$. De plus, nous avons $\bar{\omega}_{11} < 0$.</figcaption></figure>

12.3.2 Cas de cercles à deux composantes connexes

Dans le paragraphe 12.3.1.1, nous avons établi les théorèmes 27 et 28 permettant de subdi-
viser un arc borné d'un cercle ayant deux composantes connexes, dans le paragraphe 12.3.1.3
nous avons établi les théorèmes 31, 32 et 33 et permettant de subdiviser le complémentaire d'un
arc borné d'un cercle ayant deux composantes connexes. Dans ce paragraphe, nous nous intéres-
sons aux autres cas « canoniques » d'arcs de cercles ayant deux composantes connexes : le cas
d'une branche dans le paragraphe 12.3.2.1, le cas d'un arc connexe non borné dans le paragraphe
12.3.2.2, le cas d'un demi cercle dans le paragraphe 12.3.2.3.
### 12.3.2.1 Cas où $(\omega_0; \omega_1; \omega_2) \in \{0\} \times \mathbb{R}^{+*} \times \{0\}$

Les points massiques de contrôle extrémaux sont des vecteurs tandis que le point de contrôle intermédiaire est un point pondéré de poids $\omega_1$ strictement positif 3 et, la courbe est une branche d'hyperbole euclidienne de centre $\Omega_1$ représentée par la CBRQ $\gamma$ de points massiques de contrôle $(\vec{m}_0; 0)$, $(\Omega_1; \omega_1)$ et $(\vec{m}_2; 0)$.

**Théorème 34** : Changement de paramètre homographique

Soit une courbe de Bézier $\gamma$ de points massiques de contrôle $(\vec{m}_0; 0)$, $(\Omega_1; \omega_1)$ et $(\vec{m}_2; 0)$ de support la conique C.

Soit $h_0$ définie par :

$$h_0 : u \mapsto \frac{\frac{1}{\sqrt{2\omega_1}} u}{(1-u) + 2 \frac{1}{\sqrt{2\omega_1}} u} \qquad (12.26)$$

alors $\gamma \circ h_0$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(\vec{m}_{00}; 0)$, $(P_{10}; \varpi_{10})$ et $(\sigma_{20}; 1)$ de support la conique C avec :

$$\left\{ \begin{array}{l} (\vec{m}_{00}; 0) = (\vec{m}_0; 0) \\ (P_{10}; \varpi_{10}) = \left( \mathcal{T}_{\frac{1}{\omega_1} \vec{m}_0} (\Omega_1); \sqrt{\frac{\omega_1}{2}} \right) \\ (\sigma_{20}; 1) = \left( \mathcal{T}_{\frac{1}{2\omega_1} (\vec{m}_0 + \vec{m}_2)} (\Omega_1); 1 \right) \end{array} \right. \qquad (12.27)$$

**Démonstration** : Il suffit d'utiliser les relations de la formule (12.2) avec $c_0 = 1$ et $b_0 = \frac{1}{\sqrt{2\omega_1}}$.
Ainsi, nous avons :

$$\left\{ \begin{array}{l} (\vec{m}_{00}; 0) = (\vec{m}_0; 0) \\ (P_{10}; \varpi_{10}) = \frac{1}{\sqrt{2\omega_1}} \Box (\vec{m}_0; 0) \boxplus \frac{1}{\sqrt{2\omega_1}} \Box (\Omega_1; \omega_1) = \left( \mathcal{T}_{\frac{1}{\omega_1} \vec{m}_0} (\Omega_1); \sqrt{\frac{\omega_1}{2}} \right) \\ (\sigma_{20}; 1) = \frac{1}{2\omega_1} \Box (\vec{m}_0 + \vec{m}_2; 0) \boxplus \frac{1}{\omega_1} \Box (\Omega_1; \omega_1) = \left( \mathcal{T}_{\frac{1}{2\omega_1} (\vec{m}_0 + \vec{m}_2)} (\Omega_1); 1 \right) \end{array} \right.$$

<figure><img src="image_233.png" /></figure>

Pour obtenir la seconde partie de la subdivision, pour des raisons de symétrie, il suffit d'utiliser les relations de la formule (12.4) avec $a_1 = \frac{1}{\sqrt{2\omega_1}}$ et $b_1 = 1$ et nous pouvons énoncer :

<footnote n="3">3. Si $\omega_1$ est strictement négatif, il suffit de multiplier tous les points massiques par $-1$ ce qui revient à prendre les opposés des deux vecteurs extrémaux et du poids intermédiaire.</footnote>
**Théorème 35** : Changement de paramètre homographique

Soit une courbe de Bézier $\gamma$ de points massiques de contrôle $(\vec{m}_0; 0)$, $(\Omega_1; \omega_1)$ et $(\vec{m}_2; 0)$ de
support la conique C.

Soit $h_1$ définie par :

$$
h_1 : u \mapsto \frac{\frac{1}{\sqrt{2\omega_1}}(1-u) + u}{2\frac{1}{\sqrt{2\omega_1}}(1-u) + u} \quad (12.28)
$$

alors $\gamma \circ h_1$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(\sigma_{01}; 1)$, $(P_{11}; \varpi_{01})$ et $(\vec{m}_{21}; 0)$ de support la conique C avec :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
(\sigma_{01}; 1) = \left( \mathcal{T}_{\frac{1}{2\omega_1}}(\vec{m}_0 + \vec{m}_2) (\Omega_1); 1 \right) \\
(P_{11}; \varpi_{11}) = \left( \mathcal{T}_{\frac{1}{\omega_1}\vec{m}_2} (\Omega_1); \sqrt{\frac{\omega_1}{2}} \right) \\
(\vec{m}_{21}; 0) = (\vec{m}_2; 0)
\end{array}
\right.
\qquad (12.29)
$$

La figure 12.4 illustre une itération de subdivision en utilisant les théorèmes 34 et 35 et nous avons $\sigma_{20} = \sigma_{01}$ qui est une sphère principale de la cyclide de Dupin, paragraphe 11.3.3.2.

12.3.2.2 Cas où $(\omega_0; \omega_1; \omega_2) \in \{0\} \times \mathbb{R}^{+*} \times \{1\}$

Si $\omega_1$ est strictement positif, nous utilisons le corollaire 1 avec $c = -1$ et $b = 1$ et nous obtenons le complémentaire de l'arc. Ainsi, dans tout ce paragraphe, $\omega_1$ est strictement positif, le premier point de contrôle est un vecteur tandis que les deux autres sont des points pondérés, la courbe est un arc d'hyperbole euclidienne.

**Théorème 36** : Changement de paramètre homographique

Soit une courbe de Bézier $\gamma$ de points massiques de contrôle $(\vec{m}_0; 0)$, $(P_1; \omega_1)$ et $(\sigma_2; 1)$ de
support la conique C.

Soit $h_0$ définie par :

$$
h_0 : u \mapsto \frac{\frac{1}{\sqrt{1+2\omega_1}} u}{(1-u)+2\frac{1}{\sqrt{1+2\omega_1}} u} \quad (12.30)
$$
<figure><img src="image_234.png" /><figcaption>FIGURE 12.4 – Une itération d’une construction itérative, sur l’espace des sphères, d’une branche de cercle non connexe.</figcaption></figure>
alors $\gamma \circ h_0$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(\overrightarrow{m_{00}}; 0)$, $(P_{10}; \varpi_{10})$ et $(\sigma_{20}; 1)$ de support la conique C avec :

$$ egin{cases} (\overrightarrow{m_{00}}; 0) = (\overrightarrow{m_0}; 0) \\ (P_{10}; \varpi_{10}) = \left( \mathcal{T}_{\frac{1}{\omega_1} \overrightarrow{m_0}}(P_1) ; \frac{\omega_1}{\sqrt{1+2\omega_1}} \right) \\ (\sigma_{20}; 1) = \left( \mathcal{T}_{\frac{1}{2\omega_1} \overrightarrow{m_0}}(G_3) ; 1 \right) \end{cases} \quad (12.31) $$

où $G_3 = \text{bar}\{(P_1; 2\omega_1); (\sigma_2; 1)\}$.

**Démonstration** : Il suffit d'utiliser les relations de la formule (12.2) avec $b_0 = \frac{1}{\sqrt{1+2\omega_1}}$ et $c_0 = 1$ :

$$ egin{cases} (\overrightarrow{m_{00}}; 0) = (\overrightarrow{m_0}; 0) \\ (P_{10}; \varpi_{10}) = \frac{1}{\sqrt{1+2\omega_1}} \Box (\overrightarrow{m_0}; 0) \boxplus \frac{1}{\sqrt{1+2\omega_1}} \Box (P_1; \omega_1) = \left( \mathcal{T}_{\frac{1}{\omega_1} \overrightarrow{m_0}}(P_1) ; \frac{\omega_1}{\sqrt{1+2\omega_1}} \right) \\ (\sigma_{20}; 1) = \frac{1}{1+2\omega_1} \Box (\overrightarrow{m_0}; 0) \boxplus \frac{2}{1+2\omega_1} \Box (\Omega_1; \omega_1) \boxplus \frac{1}{1+2\omega_1} \Box (\sigma_2; 1) \\ = \left( \mathcal{T}_{\frac{1}{1+2\omega_1} \overrightarrow{m_0}}(G_3) ; 1 \right) \end{cases} $$

<figure><img src="image_235.png" /></figure>

Notons que nous retrouvons la formule de récurrence $\varpi_1 = \frac{\omega_1}{\sqrt{1+2\omega_1}}$ donnée par la formule (4.18).

**Théorème 37** : Changement de paramètre homographique

Soit une courbe de Bézier $\gamma$ de points massiques de contrôle $(\overrightarrow{m_0}; 0)$, $(P_1; \omega_1)$ et $(\sigma_2; 1)$ de support la conique C.

Soit $h_1$ définie par :

$$ h_1 : u \mapsto \frac{\frac{1}{\sqrt{1+2\omega_1}}(1-u) + u}{2\frac{1}{\sqrt{1+2\omega_1}}(1-u) + u} \quad (12.32) $$

alors $\gamma \circ h_1$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(\sigma_{01}; 1)$, $(P_{11}; \varpi_{11})$ et $(\sigma_{21}; 1)$ de support la conique C avec :

$$ egin{cases} (\sigma_{01}; 1) = \left( \mathcal{T}_{\frac{1}{1+2\omega_1} \overrightarrow{m_0}}(G_3) ; 1 \right) \\ (P_{11}; \varpi_{11}) = \left( G_4 ; \frac{1+\omega_1}{\sqrt{1+2\omega_1}} \right) \\ (\sigma_{21}; 1) = (\sigma_2; 1) \end{cases} \quad (12.33) $$
où $G_3 = \text{bar}\{(P_1; 2\omega_1)(\sigma_2; 1)\}$ et $G_4 = \text{bar}\{(P_1; \omega_1)(\sigma_2; 1)\}$.

**Démonstration** : Il suffit d'utiliser les relations de la formule (12.4) avec $a_1 = \frac{1}{\sqrt{1+2\omega_1}}$ et $b_1 = 1$ :

$$ 
\left\{ 
\begin{aligned}
(\sigma_{01}; 1) &= \frac{1}{1+2\omega_1} \Box (\overrightarrow{m_0}; 0) \boxplus \frac{2}{1+2\omega_1} \Box (P_1; \omega_1) \boxplus \frac{1}{1+2\omega_1} \Box (\sigma_2; 1) \\
&= \left( \mathcal{T}_{\frac{1}{1+2\omega_1} \overrightarrow{m_0}} (G_3); 1 \right) \\[1.5em]
(P_{11}; \varpi_{11}) &= \frac{1}{\sqrt{1+2\omega_1}} \Box (P_1; \omega_1) \boxplus \frac{1}{\sqrt{1+2\omega_1}} \Box (\sigma_2; 1) = \left( G_4; \frac{1+\omega_1}{\sqrt{1+2\omega_1}} \right) \\[1.5em]
(\sigma_{21}; 1) &= (\sigma_2; 1)
\end{aligned}
\right. 
$$

■

La figure 12.5 illustre une itération de subdivision en utilisant les théorèmes 36 et 37 et nous avons $\sigma_{20} = \sigma_{01}$.

### 12.3.2.3 Cas où $(\omega_0; \omega_1; \omega_2) = (1; 0; -1)$

Dans ce cas, les points de contrôle extrémaux sont les points pondérés $(\sigma_0; 1)$ et $(\sigma_2; -1)$, le point de contrôle intermédiaire est le vecteur $(\vec{P}_1; 0)$, la courbe est une demi-hyperbole euclidienne. Pour la métrique de Lorentz, nous avons :

$$ 
\left\{ 
\begin{array}{l}
4 \overrightarrow{P_1}^2 = -\overrightarrow{\sigma_2 \sigma_0}^2 \\
\vec{P}_1 \cdot \overrightarrow{\sigma_2 \sigma_0} = 0
\end{array}
\right. 
$$

c'est-à-dire que la courbe est un demi-cercle.

**Théorème 38** : Changement de paramètre homographique

Soit une courbe de Bézier $\gamma$ de points massiques de contrôle $(\sigma_0; 1)$, $(\vec{P}_1; 0)$ et $(\sigma_2; -1)$ de support la conique C.

Soit $b_0$ défini par :

$$ b_0 = \sqrt{\left| \frac{-1}{(\overrightarrow{\sigma_2 \sigma_0} + 2 \vec{P}_1) \cdot \overrightarrow{e_{o \perp \infty}}} \right|} \quad (12.34) $$

Soit $h_0$ définie par :

$$ h_0 : u \mapsto \frac{b_0 u}{(1-u) + 2 b_0 u} \quad (12.35) $$
<figure><img src="image_236.png" /><figcaption>FIGURE 12.5 – Une itération de la construction itérative d'un arc de cercle à partir de trois points massiques $(\vec{m}_0; 0)$, $(P_1; \omega_1)$ et $(\sigma_2; 1)$.</figcaption></figure>

alors $\gamma \circ h_0$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(\sigma_{00}; 1)$, $(P_{10}; b_0)$ et $(\vec{m}_{20}; 0)$ de support la conique C avec :

$$ \left\{ \begin{array}{l} (\sigma_{00}; 1) = (\sigma_0; 1) \\ (P_{10}; \varpi_1) = (\mathcal{T}_{\vec{P}_1}(\sigma_0); b_0) \\ (\vec{m}_{20}; 0) = (b_0^2 (\sigma_2\sigma_0 + 2\vec{P}_1); 0) \end{array} \right. \qquad (12.36) $$

Démonstration : Il suffit d'utiliser les relations de la formule (12.2) avec $b_0$ et $c_0 = 1$ :
Ainsi, nous avons :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
(\sigma_{00}; 1) = (\sigma_0; 1) \\
(\overrightarrow{P_{10}}; \varpi_1) = b_0 \Box (\sigma_0; 1) \boxplus b_0 \Box (\overrightarrow{P_1}; 0) = (\mathcal{T}_{\overrightarrow{P_1}}(\sigma_0); b_0) \\
(\overrightarrow{m_{20}}; 0) = b^2 \Box (\overrightarrow{\sigma_2\sigma_0}; 0) \boxplus 2 b_0^2 \Box (\overrightarrow{P_1}; 0) = (b_0^2 (\overrightarrow{\sigma_2\sigma_0} + 2\overrightarrow{P_1}); 0)
\end{array}
\right.
$$

<figure><img src="image_237.png" /></figure>

Pour obtenir la seconde partie de la subdivision, il suffit d'utiliser le théorème :

**Théorème 39 : Changement de paramètre homographique**

Soit une courbe de Bézier $\gamma$ de points massiques de contrôle $(\sigma_0; 1)$, $(\overrightarrow{P_1}; 0)$ et $(\sigma_2; -1)$ de
support la conique C.

Soit $a_1$ défini par :

$$
a_1 = \sqrt{\left| \frac{-1}{(\overrightarrow{\sigma_2\sigma_0} + 2\vec{P}_1) \cdot \vec{e}_{o\vee\infty}} \right|}
$$

Soit $h_1$ définie par :

$$
h_1 : u \mapsto \frac{a_1 (1-u) + u}{2 a_1 (1-u) + u} \quad (12.37)
$$

alors $\gamma \circ h_1$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(\overrightarrow{m_{01}}; 0)$, $(P_{11}; -a_1)$ et $(\sigma_{21}; -1)$, de support la conique C avec :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
(\overrightarrow{m_{01}}; 0) = (a_0^2 (\overrightarrow{\sigma_2\sigma_0} + 2\overrightarrow{P_1}); 0) \\
(P_{11}; \varpi_{11}) = (\mathcal{T}_{-\overrightarrow{P_1}}(\sigma_2); -a_1) \\
(\sigma_{21}; -1) = (\sigma_2; -1)
\end{array}
\right.
\qquad (12.38)
$$

et le vecteur $\overrightarrow{m_{01}}$ représente un point du compactifié d'Alexandrov de $\mathcal{E}_3$, sa première composante doit donc être pseudo-unitaire ou $\overrightarrow{m_{01}} \in \overline{e_\infty}$ ou $-\overline{e_\infty}$.

Démonstration : Il suffit d'utiliser les relations de la formule (12.4) avec $a_1$ et $b_1 = 1$ :

Ainsi, nous avons :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
(\overrightarrow{m}_{01}; 0) = a_1^2 \Box (\overrightarrow{\sigma_2\sigma_0}; 0) \boxplus 2 a_1^2 \Box (\overrightarrow{P}_1; 0) = (a_1^2 (\overrightarrow{\sigma_2\sigma_0} + 2\overrightarrow{P}_1); 0) \\
(P_{11}; \varpi_{11}) = a_1 \Box (\sigma_2; -1) \boxplus a_1 \Box (\overrightarrow{P}_1; 0) = (\mathcal{T}_{-\overrightarrow{P}_1}(\sigma_2); -a_1) \\
(\sigma_{21}; -1) = (\sigma_2; -1)
\end{array}
\right.
$$

<figure><img src="image_238.png" /></figure>

La figure 12.6 montre une itération en utilisant les théorèmes 38 et 39. Ensuite, la courbe
de Bézier de points massiques de contrôle ($\overrightarrow{m}_{01}$; 0), ($P_{11}$; $-a_1$) et ($\sigma_{21}$; $-1$) est remplacée par la
courbe de Bézier de points massiques de contrôle ($-\overrightarrow{m}_{01}$; 0), ($P_{11}$; $a_1$) et ($\sigma_{21}$; 1).
<figure><img src="image_239.png" /><figcaption>FIGURE 12.6 – Une itération de la subdivision d'un demi-cercle non connexe dans l'espace des sphères définie par une CBRQ de points massiques de contrôle $(\sigma_0; 1)$, $(\vec{P}_1; 0)$ et $(\sigma_2; -1)$. —</figcaption></figure>

### 12.3.3 Cas d'un cercle connexe où $(\omega_0; \omega_1; \omega_2) = (1; 0; 1)$

Dans ce cas, les points de contrôle extrémaux sont les points pondérés $(\sigma_0; 1)$ et $(\sigma_2; 1)$, le point de contrôle intermédiaire est le vecteur $(\vec{P}_1; 0)$, la courbe est une demi-ellipse euclidienne. Pour la métrique de Lorentz, nous avons :

$$ \left\{ \begin{array}{l} 4 \vec{P}_1^2 = \overrightarrow{\sigma_2 \sigma_0}^2 \\ \vec{P}_1 \cdot \overrightarrow{\sigma_2 \sigma_0} = 0 \end{array} \right. $$

c'est-à-dire que la courbe est un demi-cercle.

### Théorème 40 : Changement de paramètre homographique

Soit une courbe de Bézier $\gamma$ de points massiques de contrôle $(\sigma_0; 1)$, $(\vec{P}_1; 0)$ et $(\sigma_2; 1)$ de support la conique C.

Soit $\Omega_1$ le milieu de $[\sigma_0; \sigma_2]$.

Soit $h_0$ définie par :

$$ h_0 : u \mapsto \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} u}{(1-u) + \sqrt{2} u} \qquad (12.39) $$
alors $\gamma \circ h_0$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle ($\sigma_{00}$; 1), ($P_{10}$; $\varpi_{10}$) et ($\sigma_{20}$; 1)
de support la conique C avec :

$$ egin{cases} (\sigma_{00}; 1) = (\sigma_0; 1) \\ (P_{10}; \varpi_{10}) = \left( \mathcal{T}_{\vec{P}_1} (\sigma_0) ; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \\ (\sigma_{20}; 1) = \left( \mathcal{T}_{\vec{P}_1} (\Omega_1) ; 1 \right) \end{cases} \qquad (12.40) $$

**Démonstration** : Il suffit d'utiliser les relations de la formule (12.2) avec $b_0 = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $c_0 = 1$. Ainsi, nous avons :

$$ egin{cases} (\sigma_{00}; 1) = (\sigma_0; 1) \\ (P_{10}; \varpi_{10}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Box (\sigma_0; 1) \boxplus \frac{\sqrt{2}}{2} \Box (\vec{P}_1; 0) = \left( \mathcal{T}_{\vec{P}_1} (\sigma_0) ; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \\ (\sigma_{20}; 1) = \frac{1}{2} \Box (\sigma_0; 1) \boxplus 1 \Box (\vec{P}_1; 0) \boxplus \frac{1}{2} \Box (\sigma_2; 1) = \left( \mathcal{T}_{\vec{P}_1} (\Omega) ; 1 \right) \end{cases} $$

<figure><img src="image_240.png" /></figure>

Par symétrie, nous obtenons directement :

**Théorème 41** : Changement de paramètre homographique

Soit une courbe de Bézier $\gamma$ de points massiques de contrôle ($\sigma_0$; 1), ($\vec{P}_1$; 0) et ($\sigma_2$; 1) de support la conique C.

Soit $\Omega_1$ le milieu de [$\sigma_0$; $\sigma_2$].

Soit $h_1$ définie par :

$$ h_1 : u \mapsto \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(1-u)+u}{\sqrt{2}(1-u)+u} \qquad (12.41) $$

alors $\gamma \circ h_1$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle ($\sigma_{01}$; 1), ($P_{11}$; $\varpi_{11}$) et ($\sigma_{21}$; 1)
de support la conique C avec :

$$ egin{cases} (\sigma_{01}; 1) = (\mathcal{T}_{\vec{P}_1} (\Omega_1); 1) \\ (P_{11}; \varpi_{11}) = \left( \mathcal{T}_{\vec{P}_1} (\sigma_2) ; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \\ (\sigma_{21}; 1) = (\sigma_2; 1) \end{cases} \qquad (12.42) $$

La figure 12.7 montre une étape de subdivision d'un demi-cercle en utilisant les théorèmes 40 et 41.
<figure><img src="image_241.png" /><figcaption>FIGURE 12.7 – Une étape de subdivision d’un demi-cercle connexe dans l’espace des sphères définie par une CBRQ de points massiques de contrôle $(\sigma_0; 1)$, $(\vec{P}_1; 0)$ et $(\sigma_2; 1)$._______</figcaption></figure>

**12.3.4 Cas de la parabole** $(\omega_0; \omega_1; \omega_2) = (1; 0; 0)$

Dans ce cas, le premier point de contrôle est un point pondéré, les deux autres points de contrôle sont des vecteurs, la courbe est une arc de parabole.

**Théorème 42** : Changement de paramètre homographique

Soit une courbe de Bézier $\gamma$ de points massiques de contrôle $(\sigma_0; 1)$, $(\vec{P}_1; 0)$ et $(\vec{m}_2; 0)$ de support la conique C.

Soit $h_0$ définie par :

$$h_0 : u \mapsto \frac{u}{(1-u)+2u} \qquad (12.43)$$

alors $\gamma \circ h_0$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(\sigma_{00}; 1)$, $(P_{10}; 1)$ et $(\sigma_{20}; 1)$ de support la conique C avec :

$$\left\{ \begin{array}{l} (\sigma_{00}; 1) = (\sigma_0; 1) \\ (P_{10}; 1) = (\mathcal{T}_{\vec{P}_1}(\sigma_0); 1) \\ (\sigma_{20}; 1) = (\mathcal{T}_{\vec{m}_2+2\vec{P}_1}(\sigma_0); 1) \end{array} \right. \qquad (12.44)$$

**Démonstration** : Il suffit d'utiliser les relations de la formule (12.2) avec $b_0 = 1$ et $c_0 = 1$ :
Ainsi, nous avons :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
(\sigma_{00}; 1) = (\sigma_0; 1) \\
(\vec{P}_{10}; 1) = 1 \Box (\sigma_0; 1) \boxplus 1 \Box (\vec{P}_1; 0) = (\mathcal{T}_{\vec{P}_1} (\sigma_0); 1) \\
(\sigma_{20}; 1) = 1^2 \Box (\sigma_0; 1) \boxplus 2 \Box (\vec{P}_1; 0) \boxplus 1 \Box (\vec{m}_2; 0) = (\mathcal{T}_{\vec{m}_2+2 \vec{P}_1} (\sigma_0); 1)
\end{array}
\right.
$$

<figure><img src="image_242.png" /></figure>

Notons que la courbe obtenue est une courbe polynomiale et il est alors possible d'utiliser
l'algorithme de De Casteljau avec $t = \frac{1}{2}$ en utilisant le théorème de la droite des milieux.

**Théorème 43** : Changement de paramètre homographique

Soit une courbe de Bézier $\gamma$ de points massiques de contrôle $(\sigma_0; 1)$, $(\vec{P}_1; 0)$ et $(\vec{m}_2; 0)$ de support la conique C.

Soit $h_1$ définie par :

$$
h_1 : u \mapsto \frac{1}{2(1-u)+u} \qquad (12.45)
$$

alors $\gamma \circ h_1$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(\sigma_{01}; 1)$, $(\vec{P}_{11}; 0)$ et $(\vec{m}_{21}; 0)$ de support la conique C avec :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
(\sigma_{01}; 1) = (\mathcal{T}_{\vec{m}_2+2\vec{P}_1}(\sigma_0); 1) \\
(\vec{P}_{11}; 0) = (\vec{P}_1 + \vec{m}_2; 0) \\
(\vec{m}_{21}; 0) = (\vec{m}_2; 0)
\end{array}
\right.
\qquad (12.46)
$$

Démonstration : Il suffit d'utiliser les relations de la formule (12.4) avec $a_1 = 1$ et $b_1 = 1$ :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
(\sigma_{01}; 1) = 1 \Box (\sigma_0; 1) \boxplus 2 \Box (\vec{P}_1; 0) \boxplus 1 \Box (\vec{m}_2; 0) = (\mathcal{T}_{\vec{m}_2+2\vec{P}_1}(\sigma_0); 1) \\
(\vec{P}_{11}; 0) = 1 \Box (\vec{P}_1; 0) \boxplus 1 \Box (\vec{m}_2; 0) = (\vec{P}_1 + \vec{m}_2; 0) \\
(\vec{m}_{21}; 0) = (\vec{m}_2; 0)
\end{array}
\right.
$$

<figure><img src="image_243.png" /></figure>

La figure 12.8 montre une étape de subdivision d'un arc de parabole non borné en utilisant les théorèmes 42 et 43.

Plutôt que de redéfinir des algorithmes regroupant toutes les possibilités comme dans le cha-
pitre 5, nous préférons illustrer des exemples bien choisis afin de faire comprendre le principe :
dans le dernier paragraphe, nous présentons trois graphes montrant les liens entre les divers al-
gorithmes.
<figure><img src="image_244.png" /><figcaption>FIGURE 12.8 – Une étape de subdivision d’un arc de parabole non borné.</figcaption></figure>

Donnons quelques applications. Dans le premier exemple, nous réalisons des subdivisions itératives d'un cercle non connexe dans un plan de type temps, puis construisons le cercle frère et faisons des subdivisions itératives de ce dernier qui est dans un plan de type espace. Dans le deuxième exemple, nous subdivisons un demi-cercle qui se trace comme une hyperbole afin d'obtenir des cercles caractéristiques d'une portion de cône de révolution symétrique par rapport à son sommet. Dans le troisième exemple, nous subdivisons un arc de parabole non borné permettant d'obtenir des cercles caractéristiques d'une cyclide de Dupin à croissant externe nul. Dans le quatrième exemple, nous subdivisons le complémentaire d'un arc borné d'un cercle non connexe permettant d'obtenir des cercles caractéristiques d'une cyclide de Dupin à croissant externe non nul.

## 12.4 Premier exemple illustratif

Nous choisisons une CD4E définie par une sphère et deux points singuliers. Cette CD4E est représentée naturellement par un cercle $C_1$ comportant deux branches ce qui permet d'utiliser les théorèmes 34 à 37. Dans un second temps, nous déterminons le cercle frère $C_2$ de $C_1$ en utilisant la proposition 15 puis subdivisons ce dernier en utilisant les théorèmes 40 et 41.
Reprenons l'exemple de la figure 11.17, la partie la plus grosse de la cyclide de Dupin est modélisée par une courbe de Bézier rationnelle quadratique à points massiques de contrôle ($\overrightarrow{m_0}$; 0), ($\Omega_1$; $\omega_1$) et ($\overrightarrow{m_2}$; 0) avec :

$$ 
\left\{ 
\begin{array}{l}
\overrightarrow{m_0} (1; -5; -1; -1; \frac{27}{2}) \\
\\
\Omega_1 \left(0; 5; 1; \frac{3}{2}; -\frac{55}{2}\right) \\
\\
\omega_1 = \frac{137\sqrt{109}}{1526} \approx 0,937 \\
\\
\overrightarrow{m_2} (1; -5; -5; 10; 75)
\end{array}
\right.
$$

## 12.4.1 Subdivision d'une branche de $C_1$

### 12.4.1.1 Première itération

La première étape de la subdivision itérative consiste, via le théorème 34, à transformer la CBRQ de points massiques de contrôle ($\overrightarrow{m_0}$; 0), ($\Omega_1$; $\omega_1$) et ($\overrightarrow{m_2}$; 0) en deux CBRQ de points massiques de contrôle ($\overrightarrow{m_{00}}$; 0), ($P_{10}$; $\omega_{10}$) = ($T_{\frac{1}{\omega_1}\overrightarrow{m_0}}(\Omega_1)$; $\sqrt{\frac{\omega_1}{2}}$) et ($\sigma_{20}$; 1) d'une part, et ($\sigma_{01}$; 1), ($P_{11}$; $\omega_{11}$) = ($T_{\frac{1}{\omega_1}\overrightarrow{m_2}}(\Omega_1)$; $\sqrt{\frac{\omega_1}{2}}$) et ($\overrightarrow{m_{21}}$; 0) d'autre part, figure 12.4. Nous obtenons :

$$ 
\left\{ 
\begin{array}{l}
P_{10} \approx (0, 454; 2, 731; 2, 137; -3, 330; -18, 590) \\
P_{11} \approx (0, 454; 2, 731; -2, 130; 8, 406; 47, 024) \\
\\
\omega_{10} = \omega_{11} \approx 0,685 \\
\\
\sigma_{20} = \sigma_{01} \approx (0, 454; 2, 731; 0, 004; 2, 538; 14, 217)
\end{array}
\right.
$$

Le point $\sigma_{01}$ définit la sphère $S_{01}$ de $\mathcal{E}_3$ de centre $O_{01} \approx (6, 019; 0, 008; 5, 594)$ et de rayon $\rho_{01} \approx 2, 204$. La sphère dérivée de $\sigma_{01}$ est :

$$ \sigma_{01}^{\bullet} (0; 0; -0,342; 0,940; 5,254) $$

qui est le plan, défini dans $\mathcal{E}_3$ par le vecteur normal :

$$ \overrightarrow{N_{\sigma_{01}}} \approx (0; -0,342; 0,940) $$

et passant par le point $P_{\sigma_{01}} \approx (0; -15,375; 0)$. La sphère dérivée $\sigma_{01}^{\bullet}$ étant un plan, nous retrouvons le fait que la sphère $S_{01}$ est une sphère principale de la cyclide de Dupin.

Les expressions des homographies changent à chaque itération, c'est pour cela que nous utilisons un G.I.F.S. et, afin de soulager les notations, nous désignons toujours par $T_0$ (resp. $T_1$) la première (resp. seconde) application contractante. Nous avons donc :

$$ 
\left\{ 
\begin{array}{l}
T_0((\overrightarrow{m_0}; 0); (\Omega_1; \omega_1); (\overrightarrow{m_2}; 0)) = (\overrightarrow{m_{00}}; 0); (P_{10}; \omega_{10}); (\sigma_{20}; 1) \\
\\
T_1((\overrightarrow{m_0}; 0); (\Omega_1; \omega_1); (\overrightarrow{m_2}; 0)) = (\sigma_{01}; 1); (P_{11}; \omega_{11}); (\overrightarrow{m_{21}}; 0)
\end{array}
\right.
$$
<table><tr><td></td><td></td><td>(<span style="text-decoration: overline;">m</span><sub>0</sub>; 0)</td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td>(<span style="text-decoration: overline;">Ω</span><sub>1</sub>; ω<sub>1</sub>)</td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td>(<span style="text-decoration: overline;">m</span><sub>2</sub>; 0)</td><td></td></tr><tr><td>a<sub>0</sub> = 0</td><td></td><td></td><td>a<sub>1</sub> = <sup>1</sup>&frasl;<sub>&radic;2ω<sub>1</sub></sub></td></tr><tr><td>c<sub>0</sub> = 1</td><td></td><td></td><td>c<sub>1</sub> = 2a<sub>1</sub></td></tr><tr><td>b<sub>0</sub> = <sup>1</sup>&frasl;<sub>&radic;2ω<sub>1</sub></sub></td><td>T<sub>0</sub></td><td>théorème 34</td><td>b<sub>1</sub> = 1</td></tr><tr><td>d<sub>0</sub> = 2b<sub>0</sub></td><td></td><td></td><td>d<sub>1</sub> = 1</td></tr><tr><td>(<span style="text-decoration: overline;">m</span><sub>00</sub>; 0)</td><td></td><td></td><td>(<span style="text-decoration: overline;">σ</span><sub>01</sub>; 1)</td></tr><tr><td>(P<sub>10</sub>; ω<sub>10</sub>)</td><td></td><td></td><td>(P<sub>11</sub>; ω<sub>11</sub>)</td></tr><tr><td>(<span style="text-decoration: overline;">σ</span><sub>20</sub>; 1)</td><td></td><td></td><td>(<span style="text-decoration: overline;">m</span><sub>21</sub>; 0)</td></tr><tr><td></td><td>ω<sub>10</sub> = &radic;<span style="text-decoration: overline;">ω<sub>1</sub></span>/2</td><td>σ<sub>20</sub> = σ<sub>01</sub></td><td>ω<sub>11</sub> = &radic;<span style="text-decoration: overline;">ω<sub>1</sub></span>/2</td></tr></table>

TABLE 12.1 – Schéma de subdivision de la première itération en utilisant les deux applications contractantes $T_0$ et $T_1$.

et le tableau 12.1 synthétise le schéma de subdivision.

L'intersection entre la sphère $\sigma_{20}$ et le plan $\sigma_{20}^*$ est le cercle (principal) en rouge dans la figure 12.9.

### 12.4.1.2 Deuxième itération

Pour des raisons de symétrie, nous ne détaillons que les itérations commençant par $T_0$. Les itérations $T_0 \circ T_0$ et $T_1 \circ T_0$ ressemblent à celles du paragraphe 12.4.1.1 et nous obtenons :

$$ \left\{ \begin{array}{l} T_0((\overrightarrow{m_{00}}; 0); (P_{10}; \omega_{10}); (\sigma_{20}; 1)) = (\overrightarrow{m_{000}}; 0); (P_{100}; \omega_{100}); (\sigma_{200}; 1) \\ T_1((\overrightarrow{m_0}; 0); (P_{10}; \omega_{10}); (\sigma_{20}; 1)) = (\sigma_{001}; 1); (P_{101}; \omega_{101}); (\sigma_{201}; 1) \end{array} \right. $$

avec $\sigma_{20} = \sigma_{201}$. Depuis la racine, nous avons :

$$ \left\{ \begin{array}{l} T_0 \circ T_0((\overrightarrow{m_0}; 0); (\Omega_1; \omega_1); (\overrightarrow{m_2}; 0)) = (\overrightarrow{m_{000}}; 0); (P_{100}; \omega_{100}); (\sigma_{200}; 1) \\ T_1 \circ T_0((\overrightarrow{m_0}; 0); (\Omega_1; \omega_1); (\overrightarrow{m_2}; 0)) = (\sigma_{001}; 1); (P_{101}; \omega_{101}); (\sigma_{201}; 1) \end{array} \right. $$

L'application $T_0$ s'appuie sur le théorème 36 tandis que l'application $T_1$ s'appuie sur le théorème 37. Le tableau 12.2 synthétise le schéma de subdivision et nous obtenons les cercles bleus dans la figure 12.9.

Les sphères construites lors de la deuxième itération sont données dans le tableau 12.3.

### 12.4.1.3 Troisième itération

Le tableau 12.4 synthétise le schéma de subdivision et nous obtenons les cercles en magenta dans la figure 12.9 qui montre trois itérations en utilisant les théorèmes 27 et 28 et les théorèmes 34 à 36 et les sphères construites lors de la troisième itération sont données dans le tableau 12.5.