Ce qui vient ensuite n'est plus de l'ordre de l'astuce, mais bien comme Bernoulli le titre, de l'ordre d'une nouvelle espèce de calcul. Comment continuer à s'épargner, autant que faire se peut, d'établir la progression proportionnelle par calcul (par vingt règle de trois) ? Cette progression constitue une série d'écriture de chiffres, qui varie en fonction de la sous-graduation fine de l'interpolation, en fonction du segment parcouru et en fonction aussi de la précision qui s'applique à l'ensemble de la table et qui vient tronquer les écritures.

Il se trouve que l'écriture décimale, rapporté à un pas donné, comporte certains cycles. C'est par exemple le cas s'il s'agit d'interpoler 12 valeurs entre deux valeurs elles-mêmes dans un rapport 2 (entre 100 et 200 par exemple). Car 12 étant lui-même divisible par 2, les valeurs intermédiaires suivront un cycle de chiffres à écrire. Pour la clarté du présent exposé nous éludons l'algèbre de ces cycles, ses formules et nous placerons le lecteur au niveau de l'observation. Dans le tableau ci-dessous, nous observons ainsi le retour cyclique de {0, 3, 7} au niveau du chiffre après la virgule, et aussi la série {0, 8, 6, 5, 3, 1} qui se déroule deux fois (du haut vers le bas) au niveau du chiffres des unités. Ce n'est pas un hasard si {0, 8, 6, 5, 3, 1} constitue une série de 6 chiffres, c'est lié au fait que 6 divise 12.
<table><thead><tr><th></th><th>x</th><th>y = Ln (x)</th></tr></thead><tbody><tr><td>0</td><td>100</td><td>4,605</td></tr><tr><td>1</td><td>108,3</td><td>4,685</td></tr><tr><td>2</td><td>116,7</td><td>4,760</td></tr><tr><td>3</td><td>125,0</td><td>4,828</td></tr><tr><td>4</td><td>133,3</td><td>4,893</td></tr><tr><td>5</td><td>141,7</td><td>4,954</td></tr><tr><td>6</td><td>150,0</td><td>5,011</td></tr><tr><td>7</td><td>158,3</td><td>5,064</td></tr><tr><td>8</td><td>166,7</td><td>5,116</td></tr><tr><td>9</td><td>175,0</td><td>5,165</td></tr><tr><td>10</td><td>183,3</td><td>5,211</td></tr><tr><td>11</td><td>191,7</td><td>5,256</td></tr><tr><td>12</td><td>200</td><td>5,298</td></tr></tbody></table>

Bernoulli tire profit en établissant comment tirer parti de telles cyclicités dans les écritures, avec le moins de calculs possibles et le plus de reports de chiffres<fnref n="60" />.

Bernoulli a trouvé un traitement combinatoire possible, qui règle les écritures de chiffres sans besoin d'opérer sans cesse algébriquement. Il ne reste que quelques jalons à vraiment calculer, par une règle de trois. Ils sont toutefois beaucoup plus rares que l'on ne pourrait le penser sans connaitre de tels raccourcis d'écriture. C'est un moment d'aperçu que l'écriture des chiffres pourraient avoir, comme les mots de la langue finalement, des traits grammaticaux, du moins des combinaisons (de type : préfixe, suffixe, cyclicités, à la limite même constance de certain chiffres<fnref n="61" />).

<footnote n="60">⁶⁰ La troncature au degré de précision de la table, dans les mathématiques d'aujourd'hui, peut être vue comme une valuation entière sur un treillis, c'est-à-dire un filet de mailles qui discrétise un espace aux intersections de points de croisement, ici il s'agit du croisement du pas de la table et du degré de précision des écritures (qui va avec le nombre de chiffres après la virgule que l'on tabule, la troncature).</footnote>

<footnote n="61">⁶¹ Mais aucune approche à partir des mots formels d'écriture de ces nombres n'appartient pas au XIXe, à l'instar de ce qu'il en sera au XXe cf. la fin de l'article de C. Reutenauer qui ré-utilise la forme particulière des mots de Christoffel (ici mot a le sens mathématique de concaténas de lettres éléments d'un alphabet formel, un ensemble).</footnote>
Markov en 1884 généralise les considérations de Bernoulli déjà sérieusement fondées en
arithmétique mais incomplètes sur le plan formel. Avec Markov, l'écriture approchée (la
dernière décimale) est déterminée à partir du développement du nombre en fraction
continue, c'est-à-dire une série de restes. Rappelons ici que la technique des fractions
continues (FC) pose une représentation sérielle en lien direct avec l'algorithme d'Euclide
étendu. C'est-à-dire un calcul où la question du reste, de son recyclage dans le pas
supplémentaire de calcul à faire, prend le devant (est considérée en fonction du quotient
et du chiffre de base, point de vue nommé maintenant inversion modulaire). C'est une
manière de décomposer les écritures aptes à faire apparaître des cyclicités lorsqu'il y en a
dans l'écriture du nombre, de manière plus générique que celles qui apparaissent dans
l'écriture décimale<fnref n="62" />. Pour n'importe quel nombre rationnel, la décomposition en fraction
continue, elle, s'arrête. Markov en tire profit pour le problème d'écriture tronquée.

Un aperçu de la postérité de cette question mathématique

Il faut aussi noter la proximité initiale du thème de l'astronomie (les éphémérides) avec cette découverte mathématique. Jean Bernoulli (dit Jean II, 1710-1790) et Lagrange avaient été à la fois mathématiciens et astronomers. Ils s'appuient sur les orbites et des cyclicités dans les calculs. Ce sont des préfigurations de ce qui sera formulé 20ème siècle en théorie des systèmes dynamiques. C'est comme si la régularité cyclique des planètes roulant sur leur orbites, venait à s'inscrire en tant que telle au niveau de la dernière décimale de troncature dans les tables sensées déterminer les positions de leurs éternelles révolutions et combinaisons<fnref n="63" />. Nous voulons en venir au fait que le lien avec l'aléatoire est déjà très étroit.

La « nouvelle espèce de calcul » pressentie par Bernoulli et dans laquelle Markov fournit
un apport conséquent est celle-là même qui fonde l'actuelle génération algorithmique de

<footnote n="62">⁶² Il y a des cyclicités même dans l'écriture décimale ainsi le nombre un tiers s'écrit-il 0,3333...</footnote>

<footnote n="63">⁶³ La référence à Bernoulli nous montre qu'elle provient aussi des astronomers et des bureaux de calculs des éphémérides, de problème de facilitations de longues et fastidieuses séries de calculs. L'idée de Bernoulli est géniale, qui consiste à utiliser les cyclicités qui se présentent dans l'écriture des nombres pour s'éviter un maximum de calculs, et procéder par copie ou translations simple de lignes de calculs. Dans le même ordre d'idée, lors du calcul d'une table de résolution de l'algorithme d'Euclide étendu, les restes deviennent les diviseurs et finalement réapparaissent sous forme de dividendes, cf. l'exemple introductif sous https://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme_d%27Euclide_%C3%A9tendu version août 2022.</footnote>
nombres aléatoires<fnref n="64" />. À l'ère actuelle de l'informatique la génération d'un nombre aléatoire est dématérialisée, produite par un calcul et non un dé. Comment faire cela ? Le problème consiste, pour bien générer un aléa, à fabriques des séquences, des récurrences, où les écritures ne présentent qu'une cyclicité immense, l'exact problème inverse de la visée de J. Bernoulli pour son usage. Grâce à la théorie des classes de congruences, l'on trouve des rapports de nombres dont le reboulage de la cyclicité n'est jamais atteint en pratique, de sorte que chaque itération nouvelle forme un nombre « comme au hasard », bien qu'il s'agisse d'une ronde. Pour donner une image de ce procédé, ce serait une roulette de casino qui aurait un immense nombre de cases, si immense qu'il n'est plus tangible qu'il s'agisse d'une roulette c'est-à-dire d'un nombre fini de possibilités. Il faudrait une répétition bien trop longue pour commencer d'y sentir poindre une répétition.

## Markov a contribué au calcul approché d'intégrale

Dans les années 1880, Markov a publié une démonstration qui facilite l'intégration de la fonction paramétrique (de paramètre z) :

$$ \int_a^b \frac{f(y)}{z-y} dy $$

L'article en russe de 1884 de Markov ne nous a pas été accessible, ne sachant pas le russe. Toutefois de manière peu indirecte, ses résultats ont été traduits en français dans l'ouvrage d'Aleksandre Possé de 1886⁶⁵.

La décomposition des moments de cette intégrale, c'est-à-dire les intégrales des fonctions f(y) multipliées selon des puissances croissantes de y, s'offrent à une approximation en termes de fractions continues. L'approche de cette intégrale importait, en tant qu'étape préliminaire afin d'encadrer l'intégrale de la loi normale, dont l'expression de celle centrée sur zéro et de paramètre n est :

$$ \int e^{-\frac{2x^2}{n}} dx $$

<footnote n="64">⁶⁴ Park S.K. et Miller K. W. « Random number generators : good ones are hard to find », *Communication of the ACM*, vol.31:10, oct. 1988 p. 1192-1201.</footnote>

<footnote n="65">⁶⁵ Possé, C., *Sur quelques applications des fractions continues algébriques*, St. Petersburg. Imprimeries de l'Académie impériale des sciences, 1886.
url : https://archive.org/details/surquelquesappl00possgoog dernière consultation le 04/08/2022</footnote>
Cette forme intégrale en particulier apparaît dans les théorèmes centraux de la théorie des
probabilités ainsi qu'en théorie de l'approximation.

Dans ces années, Markov et l'école de Saint-Pétersbourg fournissent des formules de calcul
des bornes supérieures et inférieures de telles intégrales, ces bornes exprimées sous la
forme de fractions continues<fnref n="66" />. Elles suscitent l'intérêt des mathématiciens en Europe,
Markov et le mathématicien néerlandais Thomas-Joannes Stieltjes de sa génération,
travaillèrent et échangèrent à ce sujet.

Dans la même veine, un article de Markov de 1889 consiste à avoir résolu une question
d'approximation posée par le chimiste Mendeleïev à l'aide de polynômes entre deux
bornes fixées et sur un intervalle<fnref n="67" />.

Jusqu'à quels types d'aléas généraliser la loi des grands nombres

Notre avant-dernier moment choisi de la carrière de Markov concerne la théorie des
probabilités. Les élèves de Čhebyšev ont trouvé leur propre secteur où faire preuve
d'originalité – ce qui est encore une marque de l'excellence de l'enseignement du maître.
De l'avis de Sergei Bernstein, c'est dans le domaine des probabilités que Markov devait
faire preuve d'une grande originalité, en particulier par l'invention d'écriture qu'est la
chaîne de Markov. Ces chaînes n'ont d'ailleurs été nommé d'après son nom que posthume.
Il faut toutefois reprendre d'où Markov était parti : il cherchait à étendre les conditions de
validité la fameuse « loi des grands nombres ». Ce théorème est le pivot de la théorie des
probabilités. Il dénote une différence qui s'écrase, c'est l'écriture d'une convergence par
passage à la limite. Elle a été formulée de manière fonctionnelle au sein des probabilités
au XIXe. Ses recherches fondamentales à l'époque ont mené Markov en position de
dominer l'ensemble de la théorie des probabilités<fnref n="68" />. Il devait dans les années 1890 publier

<footnote n="66">⁶⁶ Le passage par les fonctions caractéristiques, une décomposition par exponentiation, bien moins calculatoire, n'était pas encore trouvée.</footnote>

<footnote n="67">⁶⁷ Markov A.A., « On a question by D.I. Mendeleev », Sheynin O. (trad.), article lu à la session de la section Physico Math du 24/10/1889, (http://www.sheynin.de/download/study9.pdf, dernière consultation mai 2022)</footnote>

<footnote n="68">⁶⁸ Que nous avons pu nous procurer dans l'édition allemande.</footnote>
en russe (traduit en allemand) un manuel de référence sur le calcul différentiel et l'optimisation d'une part, et une théorie des probabilités d'autres part.

La loi des grands nombres a constitué longtemps une règle de mathématiques aux tenant peu élucidés. « L'observation d'un grand nombre de répétitions d'un même phénomène aléatoire permet d'y déceler généralement des lois régissant les résultats, tout à fait déterminées, stables<fnref n="69" /> ».

Il y a à l'horizon de cette loi une sorte de paradoxe ou de point de rebroussement d'une ontologie commune de l'aléa. Le phénomène aléatoire, bien qu'il suppose un indéterminé, au coup par coup, et qui le reste, adopte globalement une forme régulière à la longue<fnref n="70" />. Ce paradoxe a trouvé une résolution formelle avec la loi des grands nombres. Elle distingue l'occurrence aléatoire en tant que telle, et dotée d'une probabilité, de la sommation en série de celle-ci. C'est cette dernière qui s'écarte de moins en moins d'une valeur centrale à longue terme. Ce n'est pas la loi de chaque occurrence individuelle en tant que telle, dont la détermination s'accroit, c'est l'écart de la série des évaluations à un centre de gravité, cet écart ne peut qu'aller s'érodant et disparaissant<fnref n="71" /> d'une part, et d'autre part, il est distribué à tout coup selon une loi gaussienne ou encore appelé bruit blanc, ou loi normale.

De plus, cette loi fonde l'activité de mesurer. La civilisation Indienne en connaissait l'existence sous une forme pratique : remesurer plusieurs fois une forme accidentée fini par se résoudre dans des mesures régulières. Du moins, il existe au moins certains phénomènes irréguliers pour lesquels il y a bon espoir d'épuiser la variabilité de l'irrégularité, à force de mesures. Cette loi fut aperçue et rapportée par Cardan dans l'Italie renaissance du milieu du XVIe, et avant lui, reconnue dans caractère de passage à la limite par Halley.

<footnote n="69">⁶⁹ Méléart, S., *Aléatoire – Introduction à la théorie et au calcul des probabilités*, Les éditions de l'Ecole Polytechnique - diffusion Ellipses, 2010, p11.</footnote>

<footnote n="70">⁷⁰ Nous retombons là sur le fait que chiffrer-déchiffrer, lorsque l'on se dote des limites d'écritures précises à cet exercice, finit par tourner en rond. Un dé fait 3 ou 6, cela devient banal, et jamais il ne fera 7 ou ne tombera sur la tranche puisque, par construction, cela n'arrive pas ou si cela arrive l'on discrédite le lancer comme anomalie (d'écriture).</footnote>

<footnote n="71">⁷¹ L'on retrouve à nouveau un parcours en boucle fermée.</footnote>
Son expression mathématique moderne est abstraite. Disons-là. La moyenne statistique<sup>72</sup> à partir d'une suite de résultats d'évènements aléatoires converge vers l'estimation de leur probabilité théorique.

Pour comprendre la suite, il faut savoir que cette loi repose sur trois hypothèses fondatrices. Premièrement elle suppose l'existence d'une probabilité théorique. Deuxièmement elle suppose une sériation, la possibilité d'écriture ou matérielle de répéter de nombreuses fois les occurrences. Cela ouvre la question de savoir si la loi de probabilité d'une occurrence reste valable et évolue ou pas quand le temps passe, quand les lancers se répètent, ce qui ouvre à un raffinement du problème. Troisièmement, la loi des grands nombre s'est présentée historiquement dans des jeux où l'on suppose qu'il n'y a pas de dépendance d'un tirage par rapport à un autre. La machination de l'aléa est alors sans mémoire. Cependant, fin XVIII<sup>e</sup> avec Bernoulli avait été découvert qu'un phénomène à moitié aléatoire et à moitié déterminé tombe encore sous cette loi.

E. Seneta a remarquablement expliqué l'évolution historique de cette loi et de ses conditions de validité<sup>73</sup>. Il note que Čhebyšev et Bienaymé la reformulent de Laplace en y ajoutant cette subtilité, ce petit déplacement, qu'ils la démontrent pour une loi de probabilités pouvant évoluer, cette évolution étant itérée sur n<sup>74</sup>, et ce parce qu'ils raisonnent pour ses séquences à N fixé, en troncature de l'asymptote pour le décrire avec brièveté sans chercher l'expression formelle de cette asymptote. C'est le premier raffinement que nous évoquions ci-dessus qui, formalisé par Čhebyšev et Bienaymé, mène à relaxer les conditions d'application de la loi des grands nombres. Ainsi, Čhebyšev démontrait la validité de son inégalité pour les variables aléatoires indépendantes (en 1887).

Et restait alors à explorer l'autre raffinement que nous avons évoqué, à savoir la levée (ou pas) de la condition de l'indépendance des tirages les uns par rapport aux autres.

<footnote n="72">⁷² L'estimation fréquentielle, en termes plus rigoureux.</footnote>

<footnote n="73">⁷³ E. Seneta, 1994, « Russian probability and statistics before Kologorov », *Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Science Vol 2*, I. Grattan-Guiness, Routeledge, p.1325-1334.</footnote>

<footnote n="74">⁷⁴ Qu'on se représente par exemple un dé en mie de pain qui subirait une usure à chaque lancé, dont les arrêtes s'émietteraient. Alors, l'équiprobabilité évolue (le dé est pipé dans un sens imprévisible au départ) mais, pour autant, cela ne remet pas en cause le bornage de la déviation possible des résultats (essence même de la loi des grands nombres).</footnote>
Les mathématiciens de l'École de Saint-Pétersbourg, dont A.A. Markov, pensaient que cette
condition d'indépendance des tirages aléatoires pouvait être levée. Il était dès lors au
programme de démontrer ce théorème de convergence pour des tirages conditionnés.

M. Petruszewycz relate la manière spéciale dont Markov, dans recherche, s'en tient à
passer par une méthode promue par Čhebyšev:

> « Trois points nous ont particulièrement frappé (...) Le premier est (...) sa fidélité aux méthode de Čhebyšev. Il ne s'agit nullement d'un conservatisme aveugle. Les termes dans lesquels Markov expriment les réserves qui s'imposent, quand à la démonstration du théorème limite donné en 1887 par son maître, dans sa correspondance avec A.V. Vassil'ev de Kazan, ne laissent aucun doute sur la lucidité de son jugement. Mais il va s'employer à perfectionner la démonstration esquissée par Čhebyšev et y parviendra en 1898. Peu après, 1900-1901, paraissent les démonstrations de Ljapunov. Et l'on reste confondu devant l'acharnement, à la limite même on pourrait dire l'entêtement dont fera preuve Markov puisqu'il lui faudra huit années de travail pour démontrer par la méthodes des moments qu'il perfectionne à cette occasion, la formulation très générale du théorème central limite telle qu'elle avait été exprimée par son rival<fnref n="75" />. »

M. Petruszewycz relate que Markov a tenu a persévéré huit ans dans sa manière de démontrer dans la plus grande généralité possible le théorème centrale limite (=la loi des grand nombre) par une méthode très calculatoire, alors même qu'il ne pouvait pas espérer avoir un caractère plus général que la démonstration de Lyapunov<fnref n="76" />. La généralités que les deux recherchaient avant 1900 portait sur une condition de bornage sur les moments, c'est-à-dire les intégrations successives de la loi de la variable aléatoire. Or ces moments ont une expression facile à développer en série et à borner lorsqu'ils sont d'abord transformés en fonctions caractéristiques – c'est la démonstration enseignée de nos jours.

L'autre méthode, celle empruntée par Ljapunov, en passe par les fonctions caractéristiques.

<footnote n="75">⁷⁵ Petruszewycz, M. *Les chaines de Markov dans le domaine linguistique*, Genève, Slatkine, 1981, p.153.</footnote>

<footnote n="76">⁷⁶ Nos références s'attachent au tournant mathématique pris par Lyapunov dans ses deux articles de 1900 « sur un théorème du calcul des probabilités » et 1901 « Une nouvelle forme d'un théorème limite du calcul des probabilités » (dans le Journal de l'académie des sciences de Saint-Pétersbourg). En passant par l'utilisation des fonctions caractéristiques, Lyapunov desserre au mieux les contraintes du domaine de validité du théorème d'encadrement de l'époque maintenant connu sous le nom de théorème centrale limite.</footnote>
Ce dernier développe à cette occasion une technique de correspondance duale<sup>77</sup>, une transformation de l'expression des lois de probabilités aujourd'hui devenue clef dans le domaine, par la simplicité des calculs qu'elle permet. Ce passage par les fonctions caractéristiques est d'ailleurs resté l'actuel passage le plus élégant pour démontrer avec le degré de généralité maximum les théorèmes de convergence centraux de la théorie des probabilités avec leur conditions de validité <sup>78</sup>. Ljapunov fit jouer les fonctions caractéristiques, là où Markov tenait à n'utiliser que des polynômes, sorte de fonctions caractéristiques plus rudimentaires, liées plus directement à la géométrie et à l'interpolation, de sorte à pouvoir réutiliser les théorèmes d'encadrement connus et fécons de Čhebyšev.

Markov y voyait-il un danger, à trop s'écarter des mathématiques discrètes et/ou sortant du domaine de l'analyse Čhebyševienne ? A l'époque, les notions de topologie du plan (complexe) ainsi que de la droite des réels, et finalement de la puissance du continue, représentait une chose mathématique (N. Charraud l'a montré), de laquelle Markov s'est méfiée, pourrions-nous interpréter. Reste que Markov prit un certain ombrage de la démonstration de Lyapunov : « un grand coup de Jarnac » (a great dirty trick)<sup>79</sup>, lâcha-t-il. Il s'en tenait à l'opinion, exprimée par Čhebyšev, selon laquelle le passage par les fonctions de variables complexes devenait « transcendantal »<sup>80</sup>. Markov s'attachait à démontrer la validité du théorème central limite en considérant un nombre fini de moments d'une loi de

<footnote n="77"><sup>77</sup> C'est-à-dire qu'au lieu de résoudre un problème à partir des fonctions dans lequel il est exprimé historiquement ou bien une première fois, après avoir établie une bijection fonctionnelle avec une expression duale c'est-à-dire transformée, l'on se propose de résoudre l'équation ou la limite recherchée dans cet autre domaine. Alors les écritures ou les calculs s'y simplifie et l'on peut conclure quant à la solution des calculs dans le domaine de départ. Les fonctions caractéristiques en probabilités sont en cela parente des transformées historiques découvertes en analyse au XIX<sup>e</sup> : transformée de Laplace et de Fourier.</footnote>

<footnote n="78"><sup>78</sup> Méléard S., « Fonctions caractéristiques et convergence en loi », dans *Aléatoire - Introduction à la théorie et au calcul des probabilités*, chp. 6, Ed. de l'école Polytechnique, Palaiseau, 2011, p.170.</footnote>

<footnote n="79"><sup>79</sup> Youschkevitch A.P., « Markov », dans *Dictionary of Scientific Biography*, C.C. Gillispie (Ed.), Scribner, New York, vol. 4, 1974, p.128.
Youschkevitch qui le tient de Sktelov (biographe russe 1927 que nous n'avons pas pu lire).</footnote>

<footnote n="80"><sup>80</sup> Ce mot nous pose une difficulté de sens. Comment l'entendre ? Peut-être était redouté la séparation d'avec la représentation graphique en coordonnées cartésiennes. Tant que l'on conçoit la racine d'un polynôme comme intersection d'avec l'axe des abscisses, $x^2+1$ n'a pas de racines, et les polynômes en général n'ont pas un nombre de racines trivial (mais fonction du déterminant, réel, calculé à partir de leur coefficients). Dans le corps des complexes, les polynômes ont un nombre de racine égal à leur degré.</footnote>
variable aléatoire, et jusqu'où peuvent être relâchées les bornes autour de ces moments,
ce que l'on appelle la méthode des moments.

La thèse de Lyapunov (1892) annonçait déjà ses atouts à venir. Elle portait sur le problème général de la stabilité du mouvement. Sa contribution à la technique de résolution de certaines équations différentielles a été notable. Il avait connu l'enseignement de Čhebyšev et était devenu professeur à l'université de Kharkhiv en 1893. En usant d'un passage par les fonctions caractéristiques (complexes), une nouvelle sorte de décomposition harmoniques des fonctions analogues aux séries de Fourier, Lyapunov mettait à profit ses méthodes novatrices, inconnues de Čhebyšev, de résolution de certaines équations différentielles. Ces mêmes méthodes devaient donner lieu aux exposants de Lyapunov, nombres (partie réel d'un nombre complexe) extrêmement pratiques quant à la description d'un système dynamique<sup>81</sup>.

Le point important est celui relevé par M. Petruszewycz: Markov ne met pas la focale sur le même problème. Et il dénie donc la manière de Lyapunov de démontrer. Ce jeune mathématicien par rapport à lui n'en devient pas pour autant son ennemi.

C'est un point très enseignant de l'histoire des mathématiques, qu'un théorème puisse être démontré dans toute sa généralité, et que pour autant il y ait tout de même des choses à découvrir en tentant de l'aborder par un autre biais, même plus rudimentaire. Markov persévère à vouloir lever la conditions d'indépendance des tirages du théorème central limite. C'est pourquoi il explore la question de sa validité pour des probabilités conditionnelles ou des suites de variables conditionnées<sup>82</sup>.

Il y a là un fonctionnement de l'objet mathématique poursuivi assez remarquable, qui fonctionne même quand l'objet est frappé d'obsolescence sous un certain angle. Cet

<footnote n="81"><sup>81</sup> Un système dynamique a une représentation dans l'espace des phases par définition, la dualité qu'utilise Lyapunov y est en quelque sorte consubstantielle. L'exposant de Lyapunov est un nombre qui s'y calcule par dérivation locale (divergence) de la courbe suivie dans cet espace des phases. Si ce nombre est supérieur à 0 alors plus il est grand plus le système est stable, s'il est égal à 0, le système ne diverge pas – ce qui ne l'empêche pas l'occasion de présenter du chaos, si ce nombre est négatif, le système dynamique diverge.</footnote>

<footnote n="82"><sup>82</sup> Les lois de telles aléas présence des écarts à la variance supra-normale ou infranormale, mais pour autant, en termes d'intégration, l'on peut sentir que la condition du passage à la limite réside dans le caractère exorbitant ou non de cette supra ou cette infra-normalité et non dans sa survenue en tant que telle. Ceci dit c'est une explication anachronique, car, précisément ce qui fait le plus étroitement le lien avec la théorie de l'intégration est la démarche de Lyapunov, d'en passer par les fonctions caractéristiques (une distribution avant l'heure).</footnote>
abnégation de Markov nous apprend que là n'était pas l'essentiel pour Markov, qu'il y avait quelque chose à trouver<sup>83</sup> pour lui au niveau de la chaîne (Cep' – le même terme désigne en russe la chaîne de fractions divisées en séquence, c'est à dire les fractions continues, et la chaîne de probabilités conditionnelles).

## Les séquences d'épreuves liées en chaînes

Pour des raisons de développement historique du théorème central limite (TCL), Čhebyšev et Bienaymé se doutaient que la démonstration à laquelle ils étaient parvenus autour de 1890<sup>84</sup> n'était pas la plus générale. Et Markov et Lyapunov cherchaient les conditions dites de relaxation maximale des conditions de son application. Markov le faisait en termes de conditions qui portent les moments de la loi de probabilités.

Markov et Lyapunov critiquèrent un autre mathématicien, Nekrasov, qui pensait au contraire que la condition d'indépendance était nécessaire au TCL et que c'est cela qu'il fallait montrer (intuition inverse en quelque sorte). En 1898, Nekrasov devait publier ce qu'il pensa être un théorème, selon lequel une certaine forme d'indépendance (l'indépendance des variables deux à deux) conditionnait la validité de la loi faible des grands nombres, et partant le théorème central limite. Il doublait son essai mathématique – dont la finesse exploratoire de certaines pistes n'a été perçue que dans la seconde moitié du XXe<sup>85</sup>, de considérations philosophico-religieuses<sup>86</sup> qui horripilaient les mathématiciens, ou au moins Markov.

Nekrasov introduisit en 1898 dans le débat mathématique un certain schéma de probabilité : l'indépendance des variables deux à deux. Elle peut se voir, pour vulgariser ce dont il s'agit, comme une construction intermédiaire entre la totale mutuelle indépendance des variables, et la question de la dépendance conditionnelle. Elle apparaît

<footnote n="83"><sup>83</sup> Certes, cette dernière formulation est un peu fataliste.</footnote>

<footnote n="84"><sup>84</sup> Tchebycheff P., « Sur deux théorèmes relatifs aux probabilités », *Acta Mathematica*, vol. 14, 1890, p.305-315/</footnote>

<footnote n="85"><sup>85</sup> Seneta E., « Russian probability and statistics before Kologorov », *Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Science Vol 2*, Grattan-Guiness I., Routeledge, p. 1328.</footnote>

<footnote n="86"><sup>86</sup> Nekrasov tenait là dégager une marge pour l'existence du libre-arbitre, autrement dit il niait la doctrine de Quételet et devait alors se placer comme lui au niveau d'une interprétation de la théorie des probabilités.</footnote>
lorsqu'un aléa, disons Z, est construit dans une détermination directe par rapport à deux autres aléa prémisses, disons X et Y<fnref n="87" />.

Il reste que c'est en cherchant à réfuter Nekrasov, que Markov a approfondi le sujet du conditionnement des variables aléatoires, ce qui devait le conduire à l'invention des chaînes de Markov<fnref n="88" />.

Markov commença en 1905 par publier un article sur l'extension de la validité du théorème central (limite) des probabilités aux variables dépendantes, article qui battait en brèche la publication de Nekrasov<fnref n="89" />, sans pour autant jamais le citer explicitement – sans dire qu’il s’agissait en partie de lui répondre. Et Markov de conclure cet article par une sentence détachée du corps du texte, peu ordinaire au niveau du vocabulaire et de la formulation, qui nie en fait l’assertion que pensait prouver Nekrasov, en en reprenant les termes peu orthodoxes :

> « Donc, l'indépendance des quantités ne constitue pas une condition nécessaire à l'existence de la loi des grands nombres<fnref n="90" />. »

À ce stade, il convient de dire brièvement en quoi consiste une probabilité conditionnelle. Une probabilité conditionnelle lie deux à deux des variables aléatoires. Elle les compose. Elle s'énonce ainsi : la probabilité que l'évènement Y ne survienne sachant qu'X serait survenu. Par exemple, quel est la probabilité de faire 12 avec une paire de dés, sachant qu'un premier dé de la paire a fait 5 ? Cette probabilité est nulle. Pourtant, la probabilité de faire 12 avec une paire de dés n'est pas nulle. Toutefois l'un n'empêche pas l'autre, l'on touche du doigt avec cet exemple que la fixation d'un premier lancer incide non seulement

<footnote n="87">⁸⁷ Mettons X un lancer pile ou face, et Y un autre, donc un lancer de deux pièces en même temps, et mettons Z déduite comme égale à pile *pourvu qu'il y ait X ou Y ayant fait pile*, et face sinon. Z est une troisième variable dépendante des deux autres. Dans ce schéma, l'ensemble {X, Y, Z} ne peut pas être dit mutuellement indépendant parce qu'il n'y a pas l'égalité entre la loi globale de probabilités d'apparition d'un triplet {x, y,z} (il en existe 4 possibles} et le produit des lois marginales de probabilités de chacun.</footnote>

<footnote n="88">⁸⁸ Seneta E., « Russian probabilities and statistics before Kolmogorov », *Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Science Vol 2*, Grattan-Guiness I., Routeledge, p.1327.</footnote>

<footnote n="89">⁸⁹ Exercice de critique du travail des autres, de leur manque de rigueur, qu'au demeurant il faisait volontiers, selon A.P. Youschkevitch, générant par-là une abondance correspondance. A la lecture de sa correspondance (traduite en anglais), Markov assumait ce passe-temps un peu spécial. Et indique cependant que c'était avec lui-même qu'il était le plus prompt à le faire, cf. lettre du 24 nov 1910 in Ondar Kh. O. (editor), *The correspondence between A.A. Markov and A.A. Chuprov.*, New-York, Springer-Verlag, 1981 [1977].</footnote>

<footnote n="90">⁹⁰ Seneta E. & Heyde C.C., *Statisticians of the centuries*, New-York, Springer-Verlag, p.245.</footnote>
sur le résultat de la somme des deux dés (bien entendu) mais sur l'extension même des résultats possibles de la somme. Lorsque des évènements sont organisés ainsi, en séquence, un certain décours des probabilités des évènements se présente.

Les chaînes de Markov sont la composée multiple de ces liaisons. Le maillon d'une chaîne de Markov consiste dans une probabilité conditionnelle. Ainsi nous pouvons définir qu'un schéma de probabilité est dit conditionnel lorsqu'il met jeu un résultat final probabilisé susceptible d'une décomposition en étapes intermédiaires elles-mêmes probabilisées. Conditionner un schéma de probabilité consiste à décrire et mettre en liaison ces étapes intermédiaires<fnref n="91" />.

Dans la théorie de l'aléatoire, le conditionnement existe : il est possible de l'estimer, de l'évaluer. Il est possible de tester si conditionnement, il y a plus ou moins. L'opérateur qui sert à cela est le calcul de la dispersion. Un tel calcul permet de s'assurer avec une certaine marge de sécurité qu'une séquence aléatoire serait plutôt distribuée par un aléa neutre ou bien par un aléa conditionné. C'est une recherche d'existence (probable) d'une étape intermédiaire à partir de calculs ou tests sur les résultats (finaux). L'ampleur de l'écart médian (ou écart absolu moyen à la médiane) peut servir de critère en la matière. L'estimation de la sur-normalité ou de la sous-normalité d'une séquence aléatoire est bien détaillée et explicitée par des exemples dans l'ouvrage de M. Boll<fnref n="92" />. La sur-normalité correspond à des séries où les valeurs sont moins dispersées, « plus regroupées en pic », autour de la valeur centrale statistique (la moyenne par exemple), la sous-normalité correspond à des séries étalées, du moins plus étalées que la courbe de Gauss (la loi normale centrée).

En indiçant en chaîne les probabilités conditionnelles, Markov inventait une nouvelle écriture des probabilités conditionnelles, pour lui-même et pour d'autres après lui. C'est une écriture de la loi de probabilité d'un évènement indicée sur un état. Nous pouvons l'apposer sur un graphe, ce qui est la représentation courante, mais cette version en graphe ne s'est imposée qu'après Markov, après les années trente même. Dans les années dix,

<footnote n="91">⁹¹ Le caractère aléatoire des états d'une séquence peut être décomposé en le caractère aléatoire d'une (autre) variable, dite intermédiaire, à chaque étape. Cette variable intermédiaire était matérialisée par le dé intermédiaire de l'expérience précédemment évoquée, et par la pièce pour tirer une direction à pile ou face dans notre exemple d'encore avant.</footnote>

<footnote n="92">⁹² Boll M., *L'exploitation du hasard*, Que sais-je (n°57), Paris, Puf, p.18-20.</footnote>
Markov ne maniait que des indices multiples à l'appui de ses démonstrations. Au fond, la chaîne de Markov présente une dépendance des probabilités d'un état, que l'on peut qualifier de suivant, à un état dit présent, et seulement à cet état (dite dépendance d'ordre 1), ou à la limite à quelques états précédents (dépendance d'ordre 2 ou 3) mais pas à une « longue » dépendance aux indices (ou états) antérieurs. Enfin, « l'oubli », ou ce qui peut s'interpréter comme tel est essentiel dans une chaîne de Markov, à savoir le non-conditionnement à des états à partir d'un certaine itération passée, relativement brève car énumérable (ordre 1, 2, 3).

Markov pensait peut-être ne pas avoir recours à un domaine trop incertain *a priori*<fnref n="93" />, les indices. Il les maniait déjà avec une grande dextérité dans les décompositions de nombres et de fonction solution d'équation différentielle avec la technique des fractions continues. Sans le savoir, il opérait un assemblage entre la théorie des probabilités (qui devenait de plus en plus axiomatique) et la théorie des graphes (qui, elle, n'était pas prêt d'être close, elle ne l'est d'ailleurs toujours pas, c'est une branche de la topologie). Ce qui était très Markovien dans l'opération est la finitude faite portée sur la dépendance. La postérité a retenu le fait central qu'une chaîne de Markov fait dépendre la probabilité d'évènements conditionnés ultérieurs uniquement à un état dit présent, sans mémoire et donc sans après-coup. En fait, ne retenir que cela procède d'une simplification, ce n'est que le particulier de la chaîne d'ordre 1, et Markov s'était aperçu qu'il pouvait y avoir une dépendance, limitée, d'ordre 2 ou 3 sans perdre les propriétés de convergences des moments, et faisant des aléas de cette sorte de ceux auxquels s'applique le théorème centrale limite<fnref n="94" />. Toutefois la simplification susdite met l'accent correctement sur ce qu'il y a du style de A.A. Markov dans cette invention.

<footnote n="93">⁹³ Markov se méfiait des maniements peu orthodoxes de la loi des grands nombres par les statisticiens qui faisaient peu de cas des hypothèses de validité mathématique venant contraindre ce théorème limite. Il écrit en 1898 à par lettre à Vassiliev qu'il ne l'applique pour sa part qu'aux fonctions et sur des intervalles où construire une méthode de régression linéaire par les moindres carrés est possible, ce qu'il se doutait être un parti trop conservatif, pas assez relaxé en termes de conditions de validité, mais à défaut d'avoir la démonstration...</footnote>

<footnote>Sheyinin O.B., « On the early history of the law of large numbers », in Pearson E.S. & Kendall M.G., *Studies in the history of statistics and probability*, 1970, London, Griffins, p.231-239.</footnote>

<footnote n="94">⁹⁴ Markov A.A., « Sur un cas d'épreuves liées en chaîne multiple », *Acta Mathematica*, 33, 1910, p.87-104.</footnote>
Parlons brièvement ici de la postérité de ces chaînes. Premièrement, sur le plan strictement mathématique, cette manière d'écrire les répartitions latentes, les probabilités de transitions par lesquelles les états indexés dépendent les uns des autres, forme une table de probabilités conditionnelles en chaînes. Elle sera reprise ensuite en algèbre des matrices, car cette table fonctionne de manière matricielle.

Deuxièmement en faisait se croiser plusieurs niveaux d'indexation, la nouvelle écriture des probabilités liées en chaînes posait l'assise d'une future hybridation entre la théorie des probabilités et les graphes. Ce nouvel assemblage allait fournir d'extraordinaires développements en automatique, en cybernétique, ou théorie du servo-contrôle, et en informatique. Il fondait un élan, non pas sans précédents mais aux analogues rares<fnref n="95" />.

En résumé, Markov, voulant étendre la validité du théorème central limite à loi de probabilités et des répartitions latentes conditionnelles, a introduit en 1910 au sein d'une démonstration de théorie des probabilités, l'écriture d'une mise en série finie de probabilités liées en chaînes, dénotées par une indexation<fnref n="96" />. Son invention sert à une démonstration d'abord de mathématique, disons très pures ou abstraite, affecta l'extension voulue du théorème, bien que ce résultats fussent déjà obtenu par un autre mathématicien, collègue de lui et par un autre cheminement d'écriture.

Markov s'enquit enfin, et ce sera la fin de notre parcours de son œuvre, de fournir d'une chaîne d'évènements aléatoires liés un exemple concret. Il le prit sur l'enchaînement des doublets de voyelles, consonnes ou voyelle-consonne dans les 20 000 premières lettres du poème Evgenij Onegin de Puškin. Outre la mise en application des chaînes, Markov continua leur étude mathématique posant les bases d'une théorie des probabilités dépendantes les unes des autres, les processus stochastiques.

<footnote n="95">⁹⁵ Un analogue : le théorème de Thalès établi un pont entre la géométrie (il faut que la droite sécante de deux côtés du triangle soit parallèle au troisième coté), et l'algèbre, puisque qu'il s'énonce aussi bien en termes d'égalité de deux rapports numériques.</footnote>

<footnote n="96">⁹⁶ A.A. Markov, « Recherches sur un cas remarquable d'épreuves dépendantes », *Bulletin de l'Académie Impériale des Sciences de St-Pétersbourg*, VI série, 1:3, 1907, p.61-80.</footnote>
## Le cas d'application au russe écrit

Micheline Petruszewycz en 1978 a traduit en français les articles de mathématique-linguistique de Markov, et clarifié certaines notations. Nous lui devons un accès complet, en français, à l'article de Markov de 1911, « un exemple de recherches statistiques sur le texte d'Eugène Onéguine (Evgenij Onegin) illustrant la liaison des épreuves en chaînes », publié en russe dans le Bulletin de l'académie impériale des sciences<fnref n="97" />. Au premier chapitre de sa thèse, elle en clarifie au passage les calculs, en adaptant la disposition des tableaux et des chiffres<fnref n="98" />. Elle y expose comment A. A. Markov (1856-1922) a appliqué un modèle de probabilités liées en chaînes au caractère plus ou moins consonantique du langage.

Plus précisément c'est la distribution des doublets de consonnes-consonnes (CC), consonnes-voyelles (CV), et les deux autres doublets possibles (VC, VV) qu'il propose comme quadriptyque d'états du curseur glissant le long de la ligne des lettres, entre lesquels s'organisent des probabilités de passage propres à la langue russe, propres à son caractère plutôt consonantique. Car il y a peu de doublets de voyelles en russe, quoi qu'elle en comporte huit différentes (à, è, y, o, ou, ia, ié, i, io, iou, chacune ayant sa propre lettre).

Ce cas d'application a eu pour nous l'effet d'une inquiétante étrangeté. Pourtant, c'est là l'un des premiers exemples d'application de cet objet mathématique.

Les deux chapitres introductifs de sa thèse ont été repris par ses articles de 1981 et 1983 :

> « Chaînes de Markov discrètes dans le domaine linguistique : l'article de 1913 de A.A. Markov »<fnref n="99" />, et « Chaînes de Markov et statistiques linguistiques » dans la revue « Mots »<fnref n="100" />.

Le point initial de la démonstration consiste à tester si un aléa suivant le modèle binomial serait adapté ou non. En tel cas, la chance qu'une voyelle soit tirée à chaque pas du curseur

<footnote n="97">⁹⁷ A.A. Markov, « Un exemple de recherche statistique sur le texte d'« Eugène Onéguine » illustrant la liaison des épreuves en chaînes », *Bull. Acad. Imp. Sc.*, 6e série, t. 7, (1913), 153-162</footnote>

<footnote n="98">⁹⁸ Petruszewycz M., « Chap. I - Les textes de Markov », dans *Les chaînes de Markov dans le domaine linguistique*, Genève, Ed. Slatkine 1981, p.5-36.</footnote>

<footnote n="99">⁹⁹ Petruszewycz, M., « Chaînes de Markov discrètes dans le domaine linguistique : l'article de 1913 de A.A. Markov ». *Publications mathématiques et informatique de Rennes, n°2*, exposé n°2, 1981, 12 p. http://www.numdam.org/item/PSMIR_1981_2_A3_0/ dernière consultation le 01/03/2022.</footnote>

<footnote n="100">¹⁰⁰ Petruszewycz M., « Chaînes de Markov et statistiques linguistiques », *Mots*, 7 (Cadrage des sujets et dérive des mots dans l'enchaînement de l'énoncé), oct. 1983, pp. 85-95, (www.persee.fr/doc/mots_0243-6450_1983_num_7_1_1118, dernière consultation le 01/03/2022).</footnote>
correspondrait à une épreuve à pile ou face avec une pièce truquée : p chance pour pile, 1-p pour face, avec p pas forcément égal à un demi. Ce qui importe est qu’en tel cas une V ou C serait tirée à chaque pas de façon dite indépendante de la catégorie vocalique de la lettre qui précède. C’est un test en tout point analogue à ce qui a été ci-dessus présenté comme test de non-normalité, usant des mesures de dispersion et qui détermine si un conditionnement vaut d’être introduit ou pas pour épouser au mieux la répartition des données. En ce point de départ, Markov a démontré qu’il y a une conditionnalité dans l’ordre d’apparition des doublets de lettres en russe.

Faut-il que cela signifie quelque chose de particulier ? C'est une observation mathématique sur la langue russe. Markov se sert de la théorie des probabilités conditionnelles pour montrer que, le long des morphèmes de la chaîne de lettre orthographique en russe, à chaque pas, il y a un gain de prévisibilité à tenir compte du morphème (de 2 lettres) précédent. Il y a une chaîne d'épreuves liées en chaînes (aujourd'hui dite chaîne de Markov) d'ordre 1. Les fréquences d'apparition de tel doublet après tel autre ne sont pas entièrement dues à un hasard indépendant, qui serait comme un tirage dans une urne avec remise. Quelque chose conditionne le long de la chaîne, en employant ce verbe au sens des probabilités.

Le point suivant de la démonstration consiste à estimer à partir du texte de Puškin, traité comme une base de données, les probabilités de départ, et les probabilités conditionnelles de passage, des quatre états possibles les uns vers les autres $V_C \rightarrow C_V$ et $V_C \rightarrow C_C$, $V_V \rightarrow V_...$

> « On admet l'existence d'une probabilité inconnue constante p qu'une lettre soit une voyelle ou une consonne et on cherche la valeur approximative de p (...) en comptant d'apparition des voyelles et des consonnes. On trouve également d'après les observations, la valeur approximative des nombres $p_1$ et $p_0$, $p_{11}$, $p_{10}$, $p_{01}$, et $p_{00}$ représentant les probabilités des évènements du système (probabilités conditionnelles dans la terminologie contemporaine), dont nous avons explicité les significations sous la figure.4 que ne donne pas Markov.

* $p_1$ : une voyelle apparaît derrière une voyelle (nous symboliserons par $v_v$)

* $p_0$ : une voyelle apparaît derrière une consonne (nous symboliserons par $c_v$)

* $p_{11}$ : une voyelle apparaît après une voyelle qui suit elle-même une voyelle ($vvv$)

* $p_{10}$ : une voyelle apparaît après une consonne qui suit elle-même une voyelle ($vcv$)
p₀₁ : une voyelle apparaît après une voyelle qui suit elle-même une consonne (cvv)

p₀₀ : une voyelle apparaît après deux consonnes (ccv)<fnref n="101" /> »

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

Nous constatons que dans ce système les probabilités sont liées par des complémentations à 1 puisque la probabilité de passer de vv à vvc et le complément de celle pour passer de vv à vvy.

Markov constate alors que la probabilité qu'une lettre suivante soit une voyelle varie considérablement suivant qu'elle est précédée d'une voyelle ou d'une consonne. Il introduit la différence qu'il note $\delta$ et dote, pour des raisons statistiques, l'ensemble du système d'un coefficient de dispersion $\frac{1+\delta}{1-\delta}$.

Markov effectue ses décomptes vérifiant d'une part qu'il s'agit bien d'un fonctionnement en chaîne multipliée d'ordre 2, telle qu'il l'avait étudié de manière purement abstraite dans son article de 1911¹⁰² et montrant que le jeu des 6 probabilités du système a une certaine stabilité qui doit dépendre de la langue, du type de registre de langue employée ou bien encore de l'auteur. Nous pouvons penser que ce dernier point a été exploré par Markov car à la suite de cette application au poème de Puškin, Markov présente un second exemple d'application statistique de ses évènements liés en chaînes de consonnes et voyelles sur

<footnote n="101">¹⁰¹ Petruszewycz M., *Les chaînes de Markov dans le domaine linguistique*, op.cit., 1981, p.18.</footnote>

<footnote n="102">¹⁰² Markov A.A., « Sur un cas d'épreuves liées en chaîne multiples », *Bull. Acad. Imp. Sc.*, 6e série, t. 5, (1911), p.171-186.</footnote>
des extraits de 10 000 puis 100 000 lettres du roman (en prose donc) d'Aksakov « Les jeunes années du petit-fils Bagrov ». Ses calculs aboutissent à une stabilités des paramètres de ses chaînes pour ce roman-ci, avec toutefois des différences de réglages.

Mme Petruszewycz a poursuivi dans sa thèse ensuite un approfondissement de l'étude de ces différences de réglages en fonction de divers caractéristique du matériel écrit ainsi analysé statistiquement<fnref n="103" />.

Sans ajouter d'hypothèses à celles du système employé par Markov nous pouvons constater que l'arpentege de la langue par Markov construit une mesure du plus ou moins grand vocalisme vs consonnantisme du russe.

Enfin notons que l'approche est rudimentaire sur certains points : premièrement les espaces entre les mots ne sont pas pris en compte<fnref n="104" />. La dernière voyelle d'un mot et la première consonne du suivant sont comptabilisées en tant qu'un doublet VC. Donc la notion même de mot n'importe pas.

Deuxièmement l'approche est binaire (C ou V), c'est-à-dire il n'y a pas de semi-voyelle, ce qui d'ailleurs ne se fait pas sans un petit forçage. Troisièmement, il fait fi du signe mou b. Cette lettre de l'alphabet russe ne se prononçait plus depuis plusieurs siècles déjà à son époque<fnref n="105" />. Le signe mou b, voyelle du vieux-slave commun, a été réassignée au cours de l'histoire du russe, pour dénoter le caractère mou de la consonne qui le précède. Pour en donner un analogue, il y a en français la cédille qui amolli la consonne « c » : [k] => [s]. Si l'on compare à la cédille, l'omission du signe mou semble légitime pour le but qu'il se propose, puisqu'un tel signe adjoint à la lettre alphabétique ne modifie pas la qualité de consonne de la lettre avant b ou qui s'y rattache (cédille).

<footnote n="103">¹⁰³ Nous renvoyons nos propres commentaires de cette étude dans un chapitre à part.</footnote>

<footnote n="104">¹⁰⁴ En cette étape du calcul survient une coalescence du matériel signifiant en une seule chaîne orthographique, la dénudant de la signifiance, et même l'en clivant (car il n'y a plus de retour possible, le nouveau matériel étant a-signifiant). Ce point pivot met en œuvre une pétrification du type de l'holophrase, il nous semble. Cette étape maçonne le pont au-dessus de l'abîme séparant calcul et langage, en un faire-croire à un calcul sur la langue (en deux mots). Or, il n'y a que lalangue qui se prête à calcul (en tant que dépôt).</footnote>

<footnote>Stevens A., « L'holophrase entre psychose et psychosomatique », *Ornicar* ? 42, p. 45-79. Un circuit électronique ne fait pas autrement avec le langage que via une telle pétrification (électronique).</footnote>

<footnote n="105">¹⁰⁵ Vinokur G., « Chapitre V Le système vieux-russe », dans *La langue russe*, Institut d'études slaves, Bibliothèque de l'institut français de Leningrad (trad. du russe par Yves Millet), t. XXII, 1947, p.42-52.</footnote>
Et, précisément parce que cette approche est rudimentaire, elle opère au niveau littéral, où la question du trait écrit forme son résidu insurpassable. Cela donne son intérêt à cette application.

Rendre comptable ou mesurable la chaîne (lui conférer une métrique) est-ce la doter d'une unité sphérique ? Nous ne pouvons pas aller aussi vite à cette pseudo-conclusion car la formation du quadripôle (ou d'un automate cellulaire quel qu'il soit) ne tient pas à la topologie de la sphère, même s'il structure des possibilités éminemment finies et répétitives et bornées.

Les développements postérieurs à Markov par Micheline Petruszewicz sont résumés et discutés dans un chapitre ultérieur du présent texte.

## 3) Vie personnelle de Markov

### Enfance, famille et Lycée

Andrej Andreevi Markov est né à Riazan en Russie à la fin du printemps 1856. Il était le cinquième enfant de Nadejda Petrovna, et d'Andreï Grigorievich Markov, garde forestier en chef / collegiate concillor ou kollezhskii sovetnik. Son grand-père paternel avait été diacre, non loin de Riazan<fnref n="106" />. Et, son grand-père maternel avait un rang dans le système élaboré de degré de dignité des serviteurs de l'État depuis Pierre le Grand (le *tchin*).

Markov, enfant, avait besoin de béquilles pour marcher<fnref n="107" />. Opéré du genou qui ne se pliait pas, il put ensuite marcher sans prothèses d'un pas légèrement boitant. Nonobstant, il était bon marcheur et même volontiers randonneur. Il a exprimé plusieurs fois durant sa vie une maxime, selon laquelle l'on reste en vie tant que l'on se meut (You will remain alive as long as you keep moving) et qui aurait été un mot, une plaisanterie, qu'un médecin aurait lancé à un postier<fnref n="108" />. Nous pourrions donc avancer que le pas-à-pas revêtait un sens intime pour A.A. Markov.

<footnote n="106">¹⁰⁶ La capitale de région de la région voisine au sud-est de celle de Moscou, à 204 km.</footnote>

<footnote n="107">¹⁰⁷ Youschkevitch A.P., « Markov », dans *Dictionary of Scientific Biography*, C.C. Gillispie (Ed.), Scribner, New York, vol.4, 1974, p.124.</footnote>

<footnote n="108">¹⁰⁸ Markov A.A. (fils), « The biography of A.A. Markov », in O.B Sheynin 2004, additional material to O.B. Sheynin, « A.A. Markov's Work on Probability », *Arch. Hist. Exact Sci.* 39, 1988, p.337–377 (http://www.sheynin.de/download/study9.pdf, dernière consultation mai 2022)</footnote>
Sa passion pour les mathématiques émerge au lycée, où il n'attachait d'après ses bulletins de notes que peu d'importance aux langues anciennes, au grand dam de son père.

Toutefois, selon le fils de Markov, l'initié du père et de certains professeur trouvent une raison plus forte ailleurs. Un enjeu de sa vie devait débuter à son adolescence, l'engagement en politique. Lycéen, il lisait la nouvelle génération « des publicistes », ces Tchernyshevski, Dobroulov et Pisarev, dont manifestes et pamphlets faisaient de notoires agitateurs révolutionnaires. Ils étaient d'ailleurs largement censurés. Lorsqu'ils étaient publiés la polémique était garantie. Nous l'avons dit, les Romanov freinaient le changement social avec un conservatisme prononcé, mais sans le bloquer et même parfois en y étant mêlé. La littérature anti-tsariste de libération par la révolution a trouvé un écho particulier jusqu'en France, dans les années 1870, notamment avec l'immense succès de la traduction de *Maroussia*, le conte de l'écrivaine russo-ukrainienne Marko Vovtchok, qui a fréquenté un temps intimement Dobroulov. Ce conte narre l'histoire de la fille d'un cosaque ukrainien qui reprend le flambeau paternel indépendantiste et lutte contre les emprises extérieures polonaises et russes.

Même l'abolition du servage en Russie en 1861 ne trouve pas grâce aux yeux des publicistes. Ils analysent que de telles réformes, pourtant conséquentes au niveau des droits de la transmission du foncier et de l'organisation du travail agricole, n'apportent pas de changement réel dans les faits. Ce sont pour ainsi dire des socialistes de la première heure aux sympathies anarchistes prononcées. Le cercle de Tchernyshevski est combattu par l'opinion dominante comme nihiliste, factieux, violent. En fait chacun de ces dits « publicistes » nourri ses propres idées politiques. Moins favorable à l'action radicale, Dimitri Pisarev pensait que l'on pouvait faire émerger un homme nouveau, grâce au savoir scientifique, qui serait plus libre et heureux<fnref n="109" />. Il était soucieux de la condition des femmes et traduisait des écrits internationaux à ce sujet, dont Hugo, dont G. Sand. Dans ce mouvement, l'athéisme était patent et c'est en lien avec un certain athéisme, soit pour avoir continué à ranger ses livres à la fin d'un cours au lieu de se tenir coi alors que c'était

<footnote>C'est une traduction en anglais O.B. Sheynin en 2004 de la publication originale de 14 pages de 1951 de A.A. Markov Jr. dans une encyclopédie biographique de scientifiques Russes, uniquement sur le site internet http://www.sheynin.de/download.html dernière consultation le 08/11/2022</footnote>

<footnote n="109">¹⁰⁹ Ushinsky, C., « Une question à résoudre : le 'réalisme' de Dmitri Pisarev », *Canadian Slavonic Papers/Revue Canadienne des Slavistes*, June 1976, vol.18:2, p.141-153.</footnote>
le moment de la prière, que Markov faillit être renvoyé du Lycée. Il y échappa grâce à
l'intercession d'un camarade, un nommé Kapustin.

Markov prit un angle Pisarévien lors d'une une composition sur Evgenij Onegin de Puškin<fnref n="110" />,
un angle qui consiste à critiquer vertement le romantisme au nom du réalisme et de
l'avènement de la science pour l'avenir. Cela n'échappe pas à son correcteur du lycée qui
lui rend sa copie avec cette remarque : « vous avez dû lire beaucoup des auteurs n'ayant
aucun sens esthétique. »

Décidé pour les mathématiques, il envoie par lettre postale à Bunyakowski, à Korkin et Zolotariev, une dissertation où il présente une méthode de résolution d'une équation différentielle, méthode qu'il a inventée. Bunyakowski n'y répond pas – il en gardera une inimitié. Korkin et Zolotariev, eux, le félicitent de la rigueur de son travail et l'information qu'il a trouvé par ses propres moyens une méthode dont il n'a pourtant pas la primeur.

A partir de 1874, il étudie en classe de Physique mathématique auprès de A.N. Korkin, E.I Zolotariev, P.L Čhebyšev, Constantin Aleksandrovitch Posse et Bobylev. Korkin mène des petits groupes d'études, en supplément au cours magistral où Markov s'illustre et, d'après Markov Jr., les conversations avec Korkin jouèrent un rôle séminal dans beaucoup de ses idées originales par la suite (His conversations with Korkin were the starting-point of many of his independant works.)

Première partie de carrière universitaire

Cette période d'étude se termine par la résolution d'un problème de concours, c'est sa
dissertation « sur l'intégration des équations différentielles au moyen des fractions
continues » pour laquelle il obtient la médaille d'or, le 31 mai 1878. C'est simplement la
manière d'attribuer à l'époque le passage en master avec mention.

En 1880, il soutint sa thèse de master qui s'intitule « des formes quadratiques binaires de
déterminant positif », dont nous avons brossé la teneur mathématique au chapitre
mathématique grâce au dépliage de C. Reutenauer<fnref n="111" />.

<footnote n="110">¹¹⁰ Il est étonnant que ce détail n'ait pas été repris dans les études de M. Petruscewicz.</footnote>

<footnote n="111">¹¹¹ Reutenauer C., « La théorie de Markoff ou le vilain nombre d'or », *Bulletin AMQ*, Vol. LX, n° 2, mai 2020.</footnote>
Ses résultats étant nouveaux, pointus, il obtint alors de ses pairs une réception très favorable. Il commence à enseigner, reprend le cours d'introduction à l'analyse de K.A. Posse. En 1884 il soutint sa thèse de doctorat « Sur quelques applications algébriques des fractions continues ». Sa renommée scientifique dû être grande pour qu'il fût nommé stagiaire (adjunct) à l'Académie des Sciences seulement 6 ans après sa thèse. En 1886, l'Université le nomme professeur extraordinaire, sur proposition de Chebysev.

Revenons un peu en arrière. A partir de 1883, il assura le cours de Probabilité, du fait du retrait de Chebysev de l'enseignement. Il devait l'assurer d'ailleurs jusqu'à sa mort en 1922¹¹².

En parallèle de ses activités universitaires, il s'occupait des calculs actuariels pour un système de caisse de retraite. M. Petruszewicz indique que pour traiter convenablement d'un côté le systèmes des rangs dans la société, qui n'avait cessé d'évoluer en tous sens depuis son institution par Pierre le Grand et de l'autres les péréquations complexes qu'il fallait faire en fonction de l'avancée des méthodes d'assurance et de valeur monétaire, les compétences d'un Markov étaient de mises à cette fonction-là. Elle souligne qu'il incarnait parfaitement le rôle. Par ailleurs, Čhebyšev insistait, nous l'avons vu, pour que les mathématiciens prennent part au avancées industrielles et économiques de leur temps. Si bien que cette partie de sa vie était en accord avec l'esprit de son maître.

En 1883, A.A. Markov épousa Maria Ivanova Valvatyeva (1860-1942). Ils se connaissaient depuis l'enfance car elle était la fille du propriétaire de la propriété gérée par son père. Cependant, la mère de Maria Ivanova n'avait autorisé sa fille ainée à se marier avec Markov que lorsque ce dernier eut acquis un statut social suffisant.

## Deuxième partie de carrière

1890 : il est nommé académicien extraordinaire

1893 : il est nommé professeur en titre (ordinaire) à l'Université de Saint-Pétersbourg

1896 : il est nommé académicien titulaire.

<footnote n="112">¹¹² Difficile d'ajouter « sans interruption » comme l'ose M. Petruszewicz puisqu'en 1917/1918 la famille Markov a passé plus d'un an à Uriupinsk. Elle signifie qu'il n'a pas été remplacé cette année-là, peut-être.</footnote>
Plus de 120 articles jalonnèrent cette carrière très réussie. Markov a été aussi auteur de deux manuels de cours, publiés, traduit et republiés et éditeur des œuvres complètes de Čhebyšev (avec Sonin), en partie en français et en russe.

Il n'a jamais été fait étal d'un talent particulier dans le professorat, qu'il a pourtant exercé toute sa vie. Son fils rapporte qu'il a pu faire preuve de brusquerie, qu'enseigner au niveau du Lycée lui était difficile, car il ne supportait pas les automatismes derrière lesquels l'élève intimidé par la sècheresse des mathématiques peut espérer se réfugier<fnref n="113" />. Markov Jr. narre une scène où Markov a tancé un élève se trompant via l'essai d'appliquer une recette pseudo-géométrique. Certain de ses élèves notent qu'ils s'appuyaient avant tout sur la rigueur de son cheminement de pensée, donc ses démonstrations, car il n'avait pas de talents d'orateur mais une voix monotone faisant le cours difficile à suivre.

Il eut pour élève notable Yakov Viktorovich Uspensky (1883 - 1947)<fnref n="114" />.

A propos de son attachement à l'enseignement, son fils livre un détail fort. Alors qu'il n'était plus en état de marcher après les opérations subies (contre la phlébite) au retour d'Uriupinsk en 1918, A.A. Markov s'est astreint à tenir la chaire de probabilité encore plusieurs années et finalement jusqu'à l'année de sa mort. Son fils devait alors le porter épaule contre épaule pour le conduire à l'Université. Markov était donc viscéralement attaché à la perpétuation d'une chaire d'où traiter de mathématique et l'enseignement. Ce n'était pas pour lui chose annexe mais nomination, stabilisation. Ce qui le montre aussi est qu'il a commencé jeune à donner des leçons particulières de mathématiques, en particulier à son jeune frère Vladimir.

En conclusion sur ce point, quoique Markov eu quelques défauts dans sa manière d'enseigner, et qu'il n'y trouva pas un succès phénoménal comme Čhebyšev, cette dimension était pour lui primordiale. Nous ferons le lien en conclusion avec la question de l'édition en mathématique, qui n'a que trop peu été explorée dans son cas.

Troisième partie de sa carrière, 1902-1922 la retraite de l'Université. Et c'est dans cette période qu'il invente une nouvelle écriture dans le domaine des probabilités, un nouvel

<footnote n="113">¹¹³ Baruk S., *Echec et maths*, Seuil, Point Essai, 1977.</footnote>

<footnote n="114">¹¹⁴ Seneta E., « Markov and the creation of the Markov chains », billet pour l'AMC (American Mathematical Congress), 2006, url: https://www.maths.usyd.edu.au/u/eseneta/senetamcfinal.pdf consulté le 08/11/2022.</footnote>
assemblage au sens de M. Serfati, une intuition symbolique au sens de G. Chatenay ceci est discuté ensuite. Nous en avons donné les coordonnées dans la partie mathématique. Coté vie personnelle, voici ce qu’il s’y passait.

## André l'irascible ou le trouble-fait (Neistovyi Andrei)

Son fils révèle deux traits de son caractère, Markov était impudent ou téméraire, et entier<fnref n="115" /> (respectivement : a bold man and open-hearted). Il fait référence à son activité citoyenne dans ce passage. Markov a exercé des fonctions, au comité de direction de l'université par exemple, lui permettant d'exprimer des choix. Et ses prises de position avaient un certain poids, dont il fit usage, sans fard. Il se disait luttant contre l'inintelligence. Dans les faits ses interventions donnent une image encore plus précise.

L'élection de Maxim Gorky à la section des Belles-Lettres de l'Académie impériale des sciences attira la foudre du Tzar Nicola II, qui fit annuler l'élection immédiatement par annonce du grand-duc Constantin Romanov<fnref n="116" /> dans le même bulletin officiel qui devait sceller l'élection (12 mars 1902). A. A. Markov adressa sous quinzaine une requête à l'académie des sciences pour lever l'annulation, pour deux motifs : d'une part le président n'a pas de mandat pour parler au nom de toute l'académie, d'autre part il n'accompagne son acte d'aucun motif tangible. Il voulut lire publiquement sa motion devant l'assemblée général qui s'ensuivait, mais fût empêché par le secrétaire perpétuel, qui lui rendit son texte avec la mention « à conserver pour les annales 'off' ou en marge des relevés officiels », ce qui fait que la motion ne parut pas dans les minutes de cette assemblée. Dans le même mouvement de révolte, il démissionnait de l'assemblée générale de l'académie des sciences, et proposa même de ne plus collaborer à la publication des œuvres de Čhebyšev. Mais pour cette dernière menace, elle ne fut pas mise à exécution car il semble qu'il n'estimait aucun collègue suffisamment qualifié pour prendre son relai en cette tâche.
Trois ans après, il soumit une réaffirmation de sa position à la même assemblée générale, plus argumentée. Il faisait valoir le précédent qu'il y a à accepter qu'un membre d'un gouvernement puisse rayer de la sorte le nom d'un collègue élu par la procédure normale,

<footnote n="115">¹¹⁵ Ce dernier adjectif pour Markov fait un quasi-jeu de mot en français qui correspondait en russe à peu près à le nommer : *Tsesloye (юеное) Andrei*.</footnote>

<footnote n="116">¹¹⁶ Ce grand-duc était le président de cette académie. Dans ce type de société savantes siégeait à l'époque à la fois des intellectuels très méritants, ce qui est classique, et des nobles nommés-là à titre honorifique.</footnote>
et dès lors le règne d'un arbitraire « sans-limite » (limitless). Ce n'est pas faire mauvais
mélange de psychanalyse et d'histoire des mathématiques que de simplement noter que,
dans les propos d'un Markov, pointer le danger au niveau du sans-limite ne pouvait que
revêtir une connotation très personnelle. Sa vie durant il avait perfectionné la notion de
limite en mathématique, dans une grande érudition de tout ce qui concernait le bornage
des restes et leur calcul, leur approximation. Il pointe précisément ceci qu'une « telle
annonce [l'annulation de l'élection de Gorki] n'est valide qu'à ce qu'un sans-limite de
l'arbitraire ne devienne la règle, ce qui fait tomber aussi bien toutes les annonces du même
coup. » Nous estimons que cet argument est important. D'abord, il constitue en soi un
raisonnement apagogique, c'est-à-dire une démonstration par l'absurde. D'autre part, il
fait un usage de ce qu'il sait du sans-limite, non pas comme pas infranchissable, mais
comme opérateur concret qui, lorsqu'il opère, porte à conséquence sur l'ensemble « des
annonces », nous pourrions dire du symbolique. Ou bien il y a une procédure qui fait bord,
et Markov estime savoir (à juste titre) de quoi il parle, ou bien le sans-limite doit nous
mener à repenser l'ensemble des termes du problème. La lettre du 8 janvier 1905 nous
présente donc un Markov faisant un certain usage de la fonction de la rétro-action, du nom-
du-père. Markov dit qu'il y a là, pour lui, un problème de sans-limite.

Ses interventions politiques ont un point de cohérence : la lutte contre l'antisémitisme. Juif
était Maxim Gorki (nom de plume d'Alekseï Maksimovitch Pechkov). Markov a dans un plus
large contexte demandé la levée des quota de juifs<fnref n="117" />. Markov termine sa demande de
réhabilitation par l'idée d'au moins associer Gorki à leur travaux et de l'inviter à leur
conférences, où l'on constate s'il fallait s'en convaincre que cet engagement de sa part
n'était pas du semblant, pas une position calculée, mais bien celle d'un sujet poursuivant
un idéal.

Il y a un deuxième coup d'éclat épistolaire de Markov sur lequel revenir, sa prise de position
très engagé par solidarité avec l'excommunication de Tolstoi par le Saint-Synode. Là, l'on
peut se demander un peu s'il joue ou bien si cela lui vient des tripes. Et précisément parce
qu'il en fait un peu beaucoup, c'est intéressant – la liberté de penser nous intéresse, la
fantaisie. En 1910, il demande publiquement à subir le même sort que Tolstoi c'est-à-dire

<footnote n="117">117 Seneta E. & Heyde C.C., *Statisticians of the centuries*, New-York, Springer-Verlag, p.245.</footnote>
l'excommunication (simple). Cette prise de position a été lue a raison comme une position
occidentaliste dans le clivage slavophile/occidentaliste<fnref n="118" />. Toutefois ce qui nous retient, ce
sont les arguments précis de sa lettre du 12 février 1912 au Pope supérieur du Saint-
Synode. Premier argument : toute sa vie Markov aurait développé le calcul des probabilités,
donc son athéisme serait manifeste. Nous retrouvons là une question philosophique et
théologique qui a une histoire <fnref n="119" />. Deuxième salve d'arguments : même dans les
probabilités Markov affirme n'avoir jamais souscrit aux précautions d'un Bunyakowski, qui
émaillait de cours de notes disant que la prévisibilité n'était pas commensurable avec la
question du destin ou du sort au sens théologique du terme. A notre avis, il y a là plutôt
une querelle avec Bunyakowski qu'une question nouvelle par rapport au premier
argument.

La fin de la lettre est la plus intéressante pour apercevoir quelque chose de Markov. Il
accumule des arguments car, et il l'avoue à demi-mot dans la tournure de la lettre, il ne sait
pas quels sont les critères suffisants pour être excommunié. Autrement dit, il y a une
question de logique, de consécution, sous-jacente dont il ne maîtrise pas le terme, le motif.
Alors il avance ceci « si ces motifs ne suffisent pas, prenez en considération que je ne vois
pas de différence en substance entre une icône et une idole, aucune des deux n'est dieu
puisque ce sont des images. »

Question intéressante qui vise à frapper au cœur, à mettre à bas, un dogme orthodoxe
acquis non sans mal, un dogme en forme de nouage. L'icône vient nommer dans le temple
de Dieu ceux qui incarnent l'esprit ou le souffle divin sur terre (Jésus, Marie, les Saints etc.).
C'est pourquoi le fidèle ne peut que se prosterner, condescendre au mystère de cette
incarnation et la révélation qui s'y joue, c'est l'équivalent du verbe fait chair. En ce point

<footnote n="118">¹¹⁸ Mazliak L., « Le printemps ergodique », Notes de cours, ENS, 6 et 13 décembre 2006, perso.lpsm.paris/~mazliak/printemps_ergodique.pdf dernière consultation le 4 août 2022.</footnote>

<footnote n="119">¹¹⁹ Le 12 mai 1955, J. Lacan cite une ordonnance de 1277 de la Sorbonne qui règle les punitions des élèves à qui il arrivait de blasphémer en Sorbonne, et qui réserve la punition la plus sévère contre ceux qui jouaient aux dés sur l'autel. Qu'avait ce geste de si scandaleux ? C'est sacrilège, d'une part car le jeu est amené sur l'autel, d'autre part car cela introduit la négation du nouage du problème de la destinée à la puissance Divine. Le dé corrompt la pente fataliste du monothéisme. Il la trouve ou la raye, voire la raille. La logique est celle d'une dialectique que Lacan vient d'introduire, à savoir : « Ce que vous connotez comme présence, vous le mettez sur fond de son inexistence possible. » in Lacan, J., *Le séminaire, Livre II Le moi dans la théorie de Freud et dans la technique de la psychanalyse*, Paris, Seuil, 1978, p.256.</footnote>
Markov commet donc une bévue n'allant pas jusqu'au fond du problème. Le fond de ce dogme et qui avait fait problème historiquement<fnref n="120" />, c'est qu'il est interdit de représenter Dieu le père. Donc exhiber la caricature d'un Dieu le Père, un Dieu à forme humaine prenant par exemple le parti de Tolstoï et de la liberté d'écrire et de penser, aurait été un acte plus choquant d'impiété encore que sa pétition iconoclaste.

Enfin, toujours ne sachant pas si ses arguties sont suffisantes, Markov, dans une position assez messianique, termine sa lettre en disant ne vouloir offrir aucune sympathie, à quelle que religion que ce fût, qui, telle l'orthodoxie, prête son concours aux bouches à feux et aux épées, et ne doit bientôt sa survie qu'à cela. Cette dernière assertion montre un caractère de non-violence qu'il convient de souligner. Querelleur, extrême, mais violent : pas pour un sou. Cela nous le rend fort sympathique. Notons la proximité depuis le lycée de Markov, avec la position qu'avait dû se forger un Pisarev au sein même des mouvements prérévolutionnaires. Une filiation avec le Saint-simonisme semble aussi se dessiner. Quoi qu'il en soit, le résultat de l'affaire fut que Markov n'a pas été excommunié, mais simplement rayé de la liste des fidèles.

Revenons sur un point : il fit référence à son traité de probabilité comme preuve d'impiété. En creux, cela dénote un attachement de sa part à son effort de publication et même d'édition de livre entier. Il y en eut trois : le cours de calcul différentiel, de probabilités et les œuvres complète de Chebysev.

Il est très rarement mentionné l'importance de cette activité pour lui<fnref n="121" />. Pourtant, lorsqu'il menace de cesser toute activité avec l'Académie impériale des sciences, il mettait encore son activité d'édition et de publication posthume des œuvres de Čhebyšev dans la balance. Nous pensons au contraire que Markov avait une grande proximité avec cette question d'éditer des mathématiques.

<footnote n="120">¹²⁰ « C'est pendant la crise iconoclaste, au VIIIe et IXe siècle que l'Eglise dût préciser la signification de l'icône. (...) « Puisque l'Invisible, s'étant revêtu de la chair, apparut visible, qu'on représente désormais la ressemblance de Celui qui s'est montré... » (Saint Jean Damascène, *Patrologia Graeca* t.94 p.1239). Le Christ n'est pas seulement le Verbe de Dieux mais son Image. L'Incarnation fonde l'Icône et l'Icône prouve l'Incarnation. »
Clément O., « Chap.II Les Icones », dans *L'Eglise Orthodoxe, Que sais-je* (n°949), Paris, Puf, 1961, p.115.</footnote>

<footnote n="121">¹²¹ A vrai dire, il n'y a que la biographie très factuelle et très secondaire voire tertiaire de l'université Mac Tutor qui finalement fasse ressortir qu'il s'agissait bien d'un mathématicien-éditeur.</footnote>
Il s'agit du mathématicien-éditeur dont la fonction et la position dans les mathématiques du XIXe et début XXe a été analysée par Emmylou Haffner<fnref n="122" />. Derrière l'interprétation, anachronique sûrement, d'un Markov scoliaste de Čhebyšev, que ses biographes russes des années 50 lancèrent (sauf son fils) et qui aura été nuancée ensuite dans les appréciations des historiens des mathématiques de la fin du XXe<fnref n="123" />, nous pensons qu'il y avait une vérité d'époque. Ce qui ne va pas est sa prolongation indue géographique ou temporelle<fnref n="124" /> qui habille Markov en scoliaste de Čhebyšev. Cette vérité d'époque serait que Čhebyšev avait laissé, dans le décours de sa passion virale pour les mathématiques, une somme de cours, de travaux, d'idées rédigées, non-publiées.

Globalement, l'Ecole de Saint-Pétersbourg de calcul intégral et de probabilité maintenait les flammes aux foyers Chebyseviens qu'étaient les séries de polynômes d'interpolation, le théorème central limite, la forme quadratique qui fait pont entre maximisation d'une fonction sous contrainte de bornage et écriture approchée à un voisinage encadré près d'un nombre irrationnel (il y en a d'autres). Et la manière dont Markov s'y est pris face à cette vérité, outre qu'il a fait une brillante carrière de mathématicien dans l'école, concrètement, ç'a été d'être son éditeur-mathématicien.

À notre avis il y a là un effort éditorial colossal, que Markov a déployé, que les historien des mathématiques ont tendance à oublier du fait de son caractère trop prosaïque, disons-le avec ce petit jeu de mot. Il y a tout une activité libérale à la frontière de l'artisanat, toute une subtilité, dans cette position d'éditeur-mathématicien, sur laquelle nous en savons peu. Il faudrait là revenir aux sources primaires de Markov et notamment ouvrir un chantier sur la préparation des Œuvres de Čhebyšev, passer en revue sa correspondance avec Sonin.

En perspective de notre hypothèse, il y a ce pouvoir discrétionnaire de l'éditeur posthume dont il s'agirait de rendre compte : choix de corrections, déploiement d'une logique

<footnote n="122">¹²² Emmylou Haffner, « L'édition des œuvres mathématiques au XIXe siècle en Allemagne. L'exemple des Gesammelte Werke und wissenschaftlicher Nachlass de Bernhard Riemann », *Philosophia Scientiæ* [En ligne], 22-2 | 2018, mis en ligne le 21 juin 2020, consulté le 31 mars 2021.</footnote>

<footnote n="123">¹²³ A commencer par Petruszewycz qui précise que Markov a nourrit une fidélité aux sentiers mathématiques de son maître, souvent à peine défrichés, mais non une dévotion, appréciation qui, elle, n'a tenu qu'à une certaine exagération.</footnote>

<footnote n="124">¹²⁴ Hannah Arendt analysait qu'un préjugé a souvent été à une époque antérieure une énonciation qui a pu avoir une validité et que ce qui subvertit cette validité ponctuelle réside dans sa fixation, in Arendt H., *La crise dans la Culture*, (1961) Gallimard, Paris, 1972.</footnote>
d'ouvrage, réseau de traducteurs, de typographe et de presses techniques. Cette prise de
responsabilité sur l'œuvre même du maître ne peut que nourrir la passion, ce qui est le but
recherché et en l'occurrence atteint. Il nous semble qu'il y a eu un point de capiton pour
Markov, important, avec cette publication des Œuvres complète de Čhebyšev en 1899. Et
nous ne sommes pas étonnés de constater qu'il y a un tournant en 1900 dans son attitude
publique. Il se fait plus libre et offensif.

En 1913, Markov a publié une application remarquable de sa découverte théorique : un exemple de recherche statistique sur le texte Evgenij Onegin illustrant la liaison des épreuves en chaînes<fnref n="125" />. L'invention des chaînes de Markov est contemporaine des textes fondateurs de la psychanalyse par Freud.

L'invention des chaînes de Markov a été un fait tardif dans sa carrière. Il était retraité de son poste de professeur ordinaire. J.A. Miller a noté que, pour certain mathématicien, c'est vers un âge avancé voire vers la retraite qu'ils proposent une novation importante en mathématique, alors qu'il est de coutume de dire qu'un mathématicien est productif surtout entre la vingtaine et la quarantaine<fnref n="126" />. Il se trouve que Markov fait partie des exceptions à cette « règle ».

S'il a nourri des relations difficiles avec plusieurs autres mathématiciens, il a su aussi conserver non seulement des positions universitaires stables mais encore un cercle de correspondants assidus, Chuprov (en Prusse), Thomas Joannes Stieltjes (en Suède) et Hermite (en France) entre autres.

Nous l'avons vu, c'est en critiquant le travail de Nekrasov que Markov devait alors inventer
une nouvelle écriture des probabilités conditionnelles. Il faut noter qu'à la même époque
il confie à Chuprov que c'est pourtant un schéma de probabilités qu'il n'apprécie pas. Il
qualifie ces probabilités de double Queteletsiennes dans sa correspondance avec Chuprov.
Double Queteletsiennes<fnref n="127" /> car une loi de probabilité construite par l'intercession d'une

<footnote n="125">¹²⁵ A.A. Markov, « Un exemple de recherche statistique sur le texte d'Eugène Onégine illustrant la liaison des épreuves en chaîne », *Bulletin de l'Académie Impériale des Sciences*, 6ème série, t.7 (1913), pp.153-162.</footnote>

<footnote n="126">¹²⁶ Miller J.A., « Un rêve de Lacan », dans *Le réel en mathématiques - psychanalyse et mathématiques*, Agalma (diff. Le Seuil), 2004, p.107-133.</footnote>

<footnote n="127">¹²⁷ La thèse de Micheline Petruscewicz op cit. p.132 rapporte que Markov a écrit (ce qu'elle traduit) : « dans certains cas les [théorèmes fondamentaux] nous donnent les probabilités cherchées directement ;</footnote>
première condition, elle-même aléatoire selon une loi de probabilité, cela dédouble le
processus du tirage. Markov faisait, dans la même veine, strictement la distinction entre
deux ordres de probabilités : celle provenant d'une induction directe sur des données (donc
la démarche statistique) et celle calculée à partir d'une autre probabilité, séparation que
les mathématiciens ont tendance à renvoyer à un simple fait historique.

4) Discussion

1er temps : l'inscriptible au lieu de l'incalculable

En suivant ce parcours nous constatons que la théorie des nombres, sur fond
d'arithmétique, a joué un véritable rôle déclencheur pour sa carrière et sa pensée
mathématique conjointement. Ce constat semble plutôt un apport nouveau au
commentaire de ses œuvres en histoire des mathématiques, sauf à ce que nous ayons laissé
passer la référence qui l'aurait souligné. Rendons toutefois justice aux historiens des
mathématiques, ils ont senti l'importance du caractère finitiste de ses recherches et
notamment ont souligné sa dextérité dans le maniement des fractions continues<fnref n="128" />.

C'est d'abord en surdoué de cette méthode de calcul, issue de la théorie des nombres que Markov s'est avéré un mathématicien hors-pair montrant qu'un progrès s'obtenait avec ces fractions continues aussi bien pour des questions d'interpolation de fonction, de majoration d'intégrales que de résolution d'équation différentielles.

Et ce serait alors là un premier temps à cerner, celui l'excellence de Markov dans le passage
de l'existence d'un résidu, d'un reste (souvent issu d'un calcul formel de division en série,
comme les fractions continues, ou de développement en série, comme dans la méthode
des moments fonctionnels d'une fonction de probabilité) à sa majoration par un terme, ou
bien constant (par ex. les constantes de Markov) ou au moins calculable, quantifiable. Nous
faisons là référence au outils mathématiques concret de la théorie de l'approximation.

Par passage à la limite, à chaque fois, il suffit le plus souvent d'avoir de telles majorations,
pour que s'effectue une coupure, au sens où il apparaît que certains termes pourront être

<footnote>dans d'autres cas ils nous procurent une équation pour la recherche de probabilités que nous devons
supposer préalablement. »</footnote>

<footnote n="128">¹²⁸ Aussi dites fractions continuées, pour des auteurs français début XXᵉ.</footnote>
négligé. Or, comme l'observe finement Youschkevitch, c'est précisément un point auquel Markov n'accorde pas tant d'importance, comparé à celle qu'il accorde aux étapes des calculs, finitistes et séquentielles. En deux mots : primo Markov goûte plutôt au domaine du discret, il travaille dans une logique finitiste, secundo : au passage à la limite, il n'accorde pas davantage d'importance, il évite plutôt ce volet de la question<fnref n="129" />.

Quand l'on pose cela, avec le fait maintenant que, rétrospectivement, sa notoriété pris sa source en tant qu'il fut l'avant-garde de la théorie des automates finis en informatique théorique et en physique-mathématique des processus stochastiques, l'on se rend compte que l'inscription pas-à-pas faisait sa marque à lui.

A l'appui de ce qui se dessine pour lui d'un souci de ne pas aller vers les asymptotes et de passer ultra-précautionneusement aux limites, sa correspondance avec Chuprov fournit un élément supplémentaire. Markov y semble peut-être aux prises avec cette chose physico-mathématique qu'est l'explosion combinatoire, le fait que certaines suites d'instruction dans des procédures mènent à des écritures non-inscriptibles et non-développables du fait de leur immensité.

Markov le révèle dans ces mots « Infinetely improbable, infinitely distance values can change the mathematical expectation as much as you please<fnref n="130" />. »

Il énonce un problème dans un contexte probabiliste qui porte le nom d'effet papillon. Cette expression, pourtant du domaine scientifique, ressemble à une métaphore, voire un mythe Le mythe dont aurait fait usage le météorologue Edward Lorenz lors de sa conférence « predictability: Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil Set off a Tornado in Texas? » en 1972.

Il s'agit en fait d'une question de physique des systèmes dynamiques, c'est-à-dire le concept d'un mobile qui parcours des coordonnées, donc décrivant une certaine trajectoire, qui elle-même subit une transformation réglée en fonction du temps, par exemple parce que le centre d'attraction du mobile bouge aussi. Une sorte de dynamique

<footnote n="129">¹²⁹ C'est sa différence de style d'avec un Stieltjes, a noté par A.P. Youschkevitch. Stieltjes qui, en effectuant un parcours de mathématicien concernant les mêmes sujets, a publié et cherché du côté des comportements vers l'infini, des asymptotes.</footnote>

<footnote n="130">¹³⁰ Ondar Kh. O. (editor), Lettre à Chuprov du 27/02/1917, dans *The correspondence between A.A. Markov and A.A. Chuprov*, New-York, Springer-Verlag, 1981 (orig. publ. in Russian in 1977), p.135.</footnote>
à double-fond pour dire simplement la chose. Supposons qu’un système dynamique est régit par une équations différentielle où le terme de frottement est faible, ce qui est le cas pour certaines formations météorologiques, alors ils peuvent avoir des évolutions si sensibles aux conditions initiales que, à défaut d’en connaître une solution formelle, il y a un obstacle à toute approximation numérique puisque les calculs divergent rapidement. C’est du moins notre manière approchée et partielle d’évoquer la théorie du chaos après avoir pris renseignements<fnref n="131" />, sans prétendre à l’exhaustivité. L’absence de significativité du terme de dissipation entraîne une sensitivité exacerbée, exorbitante c’est le cas de le dire, à la question de l’initiation, d’où l’on démarre l’observation ou les calculs.

Markov raisonne contre les tenant d'une physique sociale, en particulier Quételetienne, la théorie de l'homme moyen. Il estime que le terme, mettons du penchant suicidaire, n'est pas soumis à un pouvoir tampon si lissant qu'il y aurait une prévisibilité à trouver dans l'application à tort et à travers des probabilités. Il indique à Chuprov que, à défaut de connaître les lois précise d'une distribution de probabilité, quand l'on infère à partir des moments (c'est-à-dire de la variance ou de la variance de la variance) une lois de probabilité, rien n'informe sur ce qu'il peut en être à la racine du phénomène en termes d'imprévisibilité – vulgairement parlant : cette prévisibilité est réduite aux tangentes locales du phénomène, pas à la question dynamique fondamentale. Il incite donc Chuprov à ne pas s'affranchir de la question de l'expression de ce qu'il reste dans les théorèmes limites d'application des probabilités – cette question est même son sillon qu'il trace depuis sa naissance aux mathématiques professionnelles. D'où sa quête d'une expression ou au moins d'un encadrement de tels restes.

L'anticipation par intuition symbolique dont il fait preuve en la matière correspond (mais c'est anachronisme de le dire ainsi) à la possibilité qu'un point source ponctuel de dégager un poids infini dans une distribution, ce qui revient en mathématique à une singularité, « un Dirac<fnref n="132" /> ». Lorsqu'on attache de l'importance aux mathématiques du discret, à la fonction partie entière, au fait que la fonction valeur absolue n'a pas de dérivée définie en

<footnote n="131">¹³¹ Ruelle D., *Hasard et Chaos*, Odile Jacob, 1991.</footnote>

<footnote n="132">¹³² D'après la théorie des distributions de Paul Dirac, mathématicien britannique du XXe.</footnote>
zéro alors qu'elle y est continue, la question des singularités proscrit tout hypothèse de lissage généralisé ou d'un équilibre à supposer aux formes.

En un mot, Markov redoute ce que peuvent donner des écritures, hors des règles formelles arithmétiques dont il se dote et qui est, par goût, un formalisme discret qui fait la part belle aux indices finis et aux procédures de calculs récurrentes. À noter qu'il n'est pas le seul à suivre ce qui est un véritable mouvement de pensée mathématique<fnref n="133" />. Le mathématicien et historien des mathématiques F. Klein a reconnu ce véritable horizon qui visait à réduire les mathématiques aux opérations du calcul et de l'arithmétique. Ce mouvement a traversé le XIXᵉ siècle, et F. Klein su l'analyser dès 1895.

Accentuons encore l'importance de la fonction partie entière dans l'apport mathématique de A.A. Markov. Car nous trouvons son apport à l'arithmétique diophantienne trop peu commenté par rapport à la question des probabilités.

L'écriture dans son acception la plus générale n'opère-t-elle pas un passage du continue au discret ? Ce passage dont il reste une trace matérielle en la lettre ? A moins qu'elle n'opère un passage du discret au discret, car les signifiants, les nombres solutions de telles équations quadratiques ou de telle intégrale ont déjà une granularité discrète, surviennent déjà par paquets et en nombre réduit. Où commence et où finit le monde discret ? Cette énigme est à relier à la question de l'acte qui marque un avant et un après dans le monde.

Remarquable en termes de généalogie de la psychanalyse, nous semble le lemme 1 dans la démonstration de l'article de Markov *Sur une question de Jean Bernoulli*<fnref n="134" />. Parce qu'en fait, par ce lemme, Markov met déjà en œuvre la mutuelle exclusion des possibilités qui se joue dans le parcours de certains graphes<fnref n="135" />.

Ce lemme se propose de montrer l'apparition d'une régularité, dans l'esprit des facilitations d'écriture de nombre de Bernoulli, par le biais d'une régularité dans la distribution des

<footnote n="133">¹³³ Dedekind suivait ce chemin d'une autre manière, attachée au développement de la théorie de Galois. Emmylou Haffner, « D'un point de vue rigoureux et parfaitement général : pratique des mathématiques rigoureuses chez Richard Dedekind », *Philosophia Scientiæ* [En ligne], 18-1, 2014, consulté le 21 déc. 2020. URL : http://journals.openedition.org/philosophiascientiae/919</footnote>

<footnote n="134">¹³⁴ Markov A., « Sur une question de Jean Bernoulli », *Mathematische Annalen* volume 19, 1881, p27–36, p.28 précisément.</footnote>

<footnote n="135">¹³⁵ Celle que l'on retrouve dans la lettre volée, reprise ensuite dans *l'Os d'une cure* de J.-A. Miller d'où émerge la notion d'évitement en psychanalyse.</footnote>
restes après la troncature entière (dont il faut prendre le contexte exact pour la calculer évidemment). En poussant au maximum la décomposition en classes de congruences (ce dont il s'agit au fond en termes actuels), il ne reste au dernier terme que trois possibilités pour l'incrément (+1, 0 ou -1) c'est-à-dire trois classes. Et ce lemme énonce qu'un -1 peut être suivi autant de 0 que l'on souhaite mais ensuite « la première des différence qui ne s'évanouie pas doit être positive ». Et, il y a une symétrie un +1 peut être suivi autant de 0 mais ... « ... doit être négative ». Autrement dit, ce lemme énonce l'impossibilité de l'écriture d'une lettre, et ceci de manière dynamique (un -1 directement après un +1 et vice versa). Et apparaît ce type de contrainte d'écriture possible des incréments (ou restes) :

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

(L'important de ce diagramme étant qu'il n'y a pas la flèche qui permettrait de court-circuiter le zéro). Ce diagramme n'est pas de Markov en 1881, mais ce qui est très remarquable dans la stricte histoire de Markov, c'est la continuité avec laquelle son sillon a été creusé autour de cette question de la chaîne et de l'impossibilité de certaines configurations, ce qui représentait dans son optique de recherche un résultat tout à fait positif.

L'opération qui correspond à la partie entière est la troncature. Son grand intérêt consiste à fournir des écritures partielles et sérielles, mais finie, de ces nombres à écritures décimales interminables qui gisent entre les deux domaines que les Grecs séparaient nettement de la logistique (le calcul et les nombres) et de la géométrie. Le calcul intégral opère précisément d'un lien entre les deux.

Sa virtuosité dans le maniement des fractions continues donne pourtant un indice clair de l'intérêt de Markov pour la fonction partie entière. Et plus encore, le fait qu'il affirme lui-même en 1881 « qu'il tient pour fondamental » son théorème, le lemme 1 de l'approximation de Bernoulli.
## La fonction sous-estimée de l'édition mathématique dans sa vie

Cela nous amène à considérer de plus près le fait que Markov ait édité des ouvrages de mathématiques. Le soin avec lequel ont été publié ses 3 grands ouvrages de mathématiques : Calcul des probabilités (1912 trad. allemande & 1884 ed. originale en russe), Calcul différentiel (1898 édition all.) et Œuvres complètes Čhebyšev (1899) témoigne de son goût pour l'écrit et la publication. Il est possible de rattacher cette dimension de la vie de Markov avec le fait que son fils soit devenu mathématicien à travers la notion de transmission. Nous avons vu dans sa vie personnelle ce paradoxe que son professorat s'était développé comme un métier-passion alors même qu'à part son frère Vladimir<fnref n="136" />, son fils et Uspensky, il n'y a guère d'élève ou de postérité directe qui lui soit connus. Personne ne s'est vraiment revendiqué de son enseignement au 20ème siècle.

Cela ne signifie qu'une chose : que mise à part éventuellement la manière dont son fils a reçu son enseignement mathématique (parce la proximité familiale et l'influence professionnelle entrent en mélange en ce cas), la transmission de Markov a opéré de l'écrit, et non du professorat, bien qu'il y fût engagé de manière viscérale<fnref n="137" />. C'est pourquoi sa performance écrite le long de son œuvre est finalement ce qui doit nous retenir.

## La chaîne de Markov tint-elle d'une intuition symbolique ?

Dans un second temps de sa carrière, vient l'invention d'écriture des probabilités liées en chaînes. C'est bien cet objet mathématique que Markov cède à la postérité<fnref n="138" />. Objet mathématique en tant qu'elle est une écriture formelle efficiente, ayant fait l'objet de nombreux prolongements (au sens de M. Serfati développé ci-après). Il s'agissait donc d'une écriture féconde pour employer cette métaphore.

Markov a su écrire un développement itératif à l'endroit fondés sur des probabilités conditionnelles. Notons que graphe, graphie (d'une langue) sont des termes qui renvoie à

<footnote n="136">¹³⁶ Mort jeune du turberculose et n'ayant publié qu'un article, conjointement avec A.A Markov. Un seul article mais très bon dans la droiture de la démonstration d'une inégalité qui sert beaucoup en interpolation et en recherche opérationnelle, cet article fut publié posthume par Berstein.</footnote>

<footnote n="137">¹³⁷ Markov continuait à se rendre à ses cours, quand bien même sa marche avait été rendue très douloureuse à cause de phlébites notamment, épaulé par son fils, en ce qui devait être sa dernière année de vie, 1922.</footnote>

<footnote n="138">¹³⁸ Nous renvoyons à une fiche annexe un résumé de la postérité mathématiques des chaînes de Markov.</footnote>
l'image. Notons qu'il avait eu besoin de béquilles (une prothèse, un recours, un support). Notons qu'il propose que les épreuves liées en chaînes, entrent dans le paradigme du théorème central limite comme les épreuves indépendantes, modulo un seuil dans leur sous-normalité ou leur sur-normalité dans les distributions. Par un certain coté (imaginaire) cette écriture pourrait donc tenir de la récupération du comportement normal. Pourtant, nous estimons que ce n'est pas là l'énigme opératoire, la chose mathématique avec laquelle Markov devait se trouver aux prises.

Les faits établissent que son désir profond aura été de récupération d'une infinitude par le chiffrage écrit. Markov croyait au pas-à-pas de cette récupération, autrement dit, il savait qu'elle n'est jamais que partielle.

Et au sein même de ce second temps il y a son choix d'application des probabilités liées en chaîne à du texte de Puškin, non sans une sorte d'ironie mathématique. Nous ne commentons pas ici ce cas d'application car une partie lui est consacrée.

Reprenons ce deuxième temps. Markov invente sur le tard l'écriture des chaînes qui portent son nom et nous ne remettons pas en cause qu'il s'agit d'un sommet chez ce second Markov. Il faut noter qu'il y fut conduit par plusieurs contingences. E. Seneta a repéré qu'il a été poussé à s'intéresser aux aléas conditionnés, pour répondre à une bévue de Nekrasov. Toutefois, au risque d'insister, nous pensons qu'est très importante aussi l'autre paroi de la sorte de canyon intellectuel dans lequel il s'aventurait. C'est cette paroi où il est pris dans son optique finitiste dans la manière dont il explore l'extension de la loi des grands nombres par la méthode des moments<fnref n="139" />, par le développement tronqué de ces moments à l'ordre N<fnref n="140" />.

<footnote n="139">¹³⁹ E. Seneta le sait aussi bien-sûr mais ne le mentionne pas aussi clairement que L. Mazliak ou A.P. Youschkevitch, forcément E. Seneta effectue tout un parcours très large dans l'histoire de la loi des grands nombres et très érudit quant à la vie et l'œuvre de Markov, si bien qu'il est naturel de perdre un peu ce détail qui est en fait une constante par trop évidente.</footnote>

<footnote n="140">¹⁴⁰ Il poursuit un chemin « autre que celui de Lyapunov » ceci donne même lieu à une articulation entre le paragraphe 4 et (p.103) de son argumentation *Acta Mathematica* 1910 où il apparaît que ce qui le gène dans le passage pourtant élégant par les fonctions caractéristique est qu'on s'appuie sur une simplification des calculs qui joue sur une symétrie dans les indices, ce qu'il redoute d'entreprendre. Aussi indique-t-il que le conditionnement en chaîne d'une probabilité est un cas d'extension du théorème de toute manière indiquée (reconnu) aussi par Lyapunov.</footnote>
Nous allons développer qu'il apporte en 1910 aux mathématiques: un nouvel assemblage, au sens de M. Serfati. Et nous discuterons s'il s'agit aussi d'une intuition symbolique, au sens de G. Chatenay<fnref n="141" />.

Dire que Markov aura inventé une nouvelle écriture serait simplifier un peu trop, mais basiquement c'est de cela dont il s'agit, d'une nouvelle écriture.

En effet, c'est simplificateur car alors rien ne distingue telle invention de celle, par exemple d'un Landau, qui, à la même époque, inscrit les restes des développements limités avec les petits « o(1/n)<fnref n="142" /> ». L'approche de Markov est plus rigoureuse, plus strictement liée au formalisme de l'approximation par les fractions continues. La création d'une notation ou d'un lettrage par Landau paraît d'ordre un peu métaphorique par rapport à un Markov qui suit une trajectoire plus métonymique, si l'on nous accorde cette approximation. Landau use des parenthèses selon une nouvelle instance, soit la sélection du terme dominant une série. Et il l'articule à l'opération o, qui est un prolongement du comparateur < .

Markov, lui, excellait en manière d'écriture de bornes et d'encadrement dans le domaine
de l'approximation polynomiale.

M. Serfati a étudié les procédés de construction des objets mathématiques. Il rend compte
de différentes manière de formaliser l'écriture mathématique, par le jeu des combinaisons
de lettres, de positions, de rapports aux définitions verbales, et de rapport aux schémas. Il
distingue d'une part la novation d'écriture ou nouveauté combinatoire, et d'autre part le
prolongement, c'est-à-dire du réemploi d'une forme.

Dans les deux cas, il y a des menus déplacements de lettres) ou de délimitant(s) mais les
enjeux ne sont pas les mêmes.

En son prolongement posthume, l'invention des chaînes de Markov forme une nouvelle
procédure qui hybride des instructions venant de deux formalismes, celui des

<footnote n="141">¹⁴¹ Chatenay G., « Le réel en jeu dans la formalisation même », dans *Le réel en mathématiques*, Agalma (diff. Le Seuil), 2004, p.207-228.</footnote>

<footnote n="142">¹⁴² Ce petit rond signifie qu’à droite de l’équation (en général la fin d’une série donc à droite d’une somme), le reste se comporte à la limite avec un terme dominant de l’ordre de (la fonction indiquée entre parenthèse) donc $1 + n^2 + o(1/n)$ signifie à la limite n vers l’infini le dernier terme ne se comporte qu’en $1/n$ – en cela négligeable devant $1 + n^2$. Cette notation est très pratique en science physiques ou informatique par exemple mais d’une fécondité mathématique beaucoup plus limitée que le nouvel objet mathématique chaîne de Markov.</footnote>
combinatoires-probabilités (et qui hérite d'une considération sur la théorie des nombres, la théorie des congruence) et celui venant de la théorie des graphes. Cependant ce n'est pas cela qui dénote la véritable intuition symbolique, ce n'est pas nécessairement sa viralité.

Nous situons pour notre part le véritable germe de l'intuition symbolique de Markov lorsqu'il traque le reste, et qu'il s'essaye à la « nouvelle espèce de calcul », combinatoire, proposée par Bernoulli. Il apprend de lui et prolonge l'essai, qu'il pouvait y avoir des régularités à attendre dans l'écriture des restes lorsque l'on décompose de la bonne manière les termes d'une écriture sérielle connue. Il a l'espoir alors d'inscrire une formalisation au lieu de l'incalculé, ce qui semble proche du lieu de l'incalculable (mais y est opposable par certains côtés, en fait). Markov formalise alors un lemme fondé sur l'exclusion d'écriture, qui se représente bien dans un graphe non-totalement connexe, comme vu ci-avant.

Le prolongement survient lorsqu'une écriture, issue d'une branche mathématique où elle était renseignée historiquement (plus ou moins renseignée d'ailleurs, pas forcément jusqu'à l'univocité), fait florès dans un contexte autre, donc en prolongation, typiquement l'exponentiel après Descartes<fnref n="143" />. La novation d'écriture, elle, advient contre une efficience essoufflée, perdue ou encore inexistante.

A travers le prolongement est mis au travail n'importe laquelle des formes que sont : une position (ce qui a été mis à l'exposant à varié au cours du temps), un délimitant (la barre horizontale, la virgule ou l'espace ne sont pas univoques même dans une époque mathématique fixée (sauf à considérer la syntaxe de l'assemblage), un signe (l'emploi du signe « – » a connu des prolongements, en théorie des ensembles<fnref n="144" /> depuis son emploi algébrique), une instruction (plusieurs signes combinés dans un assemblage, l'instruction dénote un pas dans une procédure), une formule (plusieurs instructions combinées) et même une procédure, c'est pourquoi nous avons parlé de réemploi d'une forme au sens vague.

<footnote n="143">¹⁴³ Serfati M., « Chapitre 11 l'exponentielle après Descartes », dans *La constitution de l'écriture symbolique mathématique*, Thèse Univ. Paris 1, 1997.</footnote>

<footnote n="144">¹⁴⁴ Où il signifie « sauf » d'un retranchement partiel qui n'opère que dans la limite où le retranchement n'englobe pas un ensemble qui contient davantage d'éléments que celui auquel il est retranché.</footnote>
En résumé, le prolongement est subtil et littéral, la novation d'écriture, elle, peut-être
subtile ou étale, manifeste, et même éclatante. Par exemple, lorsque Descartes écrit x²
avec x en minuscule, 2 à l'exposant, et le chiffre étant ici, la lettre étant là, cet assemblage
constitue une nouveauté combinatoire par rapport aux précédentes mises à l'exposant
(avec des symboles différents à l'exposant selon les systèmes qui le précédaient). Dans ces
systèmes précédents, l'exposant devait représenter ou bien la cossique (c'est-à-dire la
dimension de la chose en sa démultiplication indéterminée possible) ou bien son carré, ou
son cube, pour simplifier la démonstration de M. Serfati.

Descartes les avait pratiqués, ces systèmes, et à force se s'emmêler dans une confusion
décida de réduire et de spécifier le système de l'exposant (en ce qu'il devait y fixer un
chiffre). Il le spécifie comme opérande d'un démultiplicateur entier, et partant
fonctionnant dans un système algébrique, en se débarrassant des renseignements
physiques ou conceptuels qui avait fleuris à cet endroit précédemment<fnref n="145" />. Ce moment est
celui de la novation d'écriture, même si en l'occurrence il est subtil, très formel. Ensuite,
les instructions qui ont pu être mises à l'exposant ont connu des prolongements variés.

De même, quand le même Descartes eût porté sur les droites des coordonnées et conjoint
au point un couple de coordonnées, il s'agit d'un tout nouvel assemblage – qui aura de
nombreux prolongements. Pour donner un point de comparaison, un nouvel assemblage
serait comme un néologisme ou une nouvelle expression consacrée, qui est reçu parce
qu'elle éclaire manifestement quelque chose qui était latent (Euréka). Et, un prolongement
serait comme le nouvel emploi ou réemploi d'un mot déjà existant, y compris pour un
emploi plus précis et restreint.

Le signe — (de la soustraction) a fourni l'assemblage $\mathbb{Z} - \{0\}$ en contexte de la théorie des ensembles, ce qui est un prolongement, et ce même signe signifie et a fourni le — 8 dans le contexte de la construction algébrique de nombres relatifs.

Le prolongement a d'abord souvent un effet de perplexité, dont témoigne E. Kant à travers
son essai philosophique <fnref n="146" />. Le nombre relatif s'écarte, en tant que construction

<footnote n="145">¹⁴⁵ Serfati M., Chapitre 8 - Puissances, de Diophante à Viète, dans *La constitution de l'écriture symbolique mathématique*, Thèse Univ. Paris 1, 1997</footnote>

<footnote n="146">¹⁴⁶ Kant E., *Essai pour introduire en philosophie le concept de grandeur négative*. Traduction, introduction et notes par R. Kempp. Préface de G. Ganguilhem, Paris, Vrin, 1949, 128 p.</footnote>
intellectuelle, de la relation que Kant suppose entre la perception naturelle des quantités et ces mêmes quantités *per se*, ce qui pose le problème de négativer la perception. Il n'est pas sûr que négativer la perception se puisse sans une première perception positive, selon Kant.

Le prolongement est un déplacement de ce qui opère dans un premier contexte vers un second. Ainsi il féconde par après-coup. Il a nécessairement pour support un nouvel assemblage.

La novation d'écriture est une forme à laquelle l'auteur assigne des renseignements inédits (renseignements au sens de Serfati, c'est-à-dire le paratexte opératoire précis pour une forme), et le fait, au contraire du prolongement, *ex ante*. Le prolongement enfreint la règle d'or qui serait l'univocité de l'interprétation d'un glyphe (d'un signe ou d'un chiffre ou de n'importe quel trait d'écriture y compris les blancs) en mathématique<fnref n="147" />. Une novation d'écriture n'est pas nécessairement un nouvel assemblage.

Ainsi le caractère disruptif ou au contraire détail divin passé inaperçu peut se trouver du côté du prolongement comme du côté de la novation d'assemblage.

Muni de ces deux notions, que reconnaissons-nous pour l'écriture des chaînes de Markov ?
Markov dans son article de 1911 indice des probabilités p, p₁, p₂ et réduit ce qu'il faut
entendre par cet entier en indice (c'est 'un pas' fait d'un état vers un autre donc sur un
graphe où les états sauf éventuellement le dernier ont tous au moins un antécédent, = une
chaîne)<fnref n="148" />. Par contre-coup, le p sans indice devient l'incidence initiale d'une loi de
probabilité sur la chaîne, c'est-à-dire l'initiation d'un départ sur la chaîne (ce qui n'est pas
très clair au départ mais apparaît dans l'article ensuite). Il s'agit bel et bien d'une novation
d'écriture combinatoire. Et cette novation connaîtra maints prolongements à l'interfaces
entre mathématiques appliquées, informatique et sciences physiques (des processus

<footnote n="147">¹⁴⁷ C'est pourquoi la mathématique ne fournit en termes de code, qu'un code qu'un peu plus pur ou plus robuste que l'aspect codificateur du langage, mais pas davantage, assez imparfait lui aussi quoi que moins imparfait (dans sa fonction de code). Si l'expression de langage mathématique a un sens ce n'est que grâce à ces équivoques, générées par ces menus déplacements. « L'invention d'un signe d'égalité a donc été un élément décisif dans la constitution d'une écriture mathématique autonome, séparée de la langue naturelle » note à ce propos Serfati, de manière pénétrante (p118).</footnote>

<footnote n="148">¹⁴⁸ Markov A.A., « Sur un cas remarquable d'épreuve dépendantes », *Acta Mathematica* t. 33, 1910, p.87-104.</footnote>
stochastiques). Elle va s'avérer virale. À notre sens, sans que beaucoup le disent vraiment, c'est ce dernier caractère sur lequel repose la renommée de A.A. Markov.

Au demeurant, ce caractère viral est commun aux objets mathématiques efficients. Il tient à leur caractère littéral c'est-à-dire à la fois hors-sens, ce qui s'avère à des moments d'inscription initiaux lors de leur élaboration, mais aussi à leur propriété d'offrir un support du sens du côté de l'application et de l'usage qui peut en être fait.

Nous notons alors aussi, non pas un prolongement, mais une continuité de signifiant (cep' la chaîne, le bris) et d'esprit (la composition à pas dénombrables), entre le procédé des fractions continues et la novation d'indication qu'est finalement la chaîne dite de Markov. En effet quand Markov assigne une nouvelle procédure pour noter des conditionnements de probabilités dans une chaîne avec un nombre spécifié (indicé) fini d'étapes, il reprend ou semble reprendre, par continuité conceptuelle (et par polysémie du signifiant cep'), la technique de troncature de l'écriture par les fractions continues (FC, mal nommées ainsi en français, beaucoup d'autre langues les ont nommé à peu près ~ chaîne de fractions).

D'ailleurs, les deux tiennent à la *composition* des fonctions, donc la continuité que nous disons relève (par anachronisme) d'une seule et même opérande dans des mathématiques les plus actuelles. Les FC sont une composition de la fonction $1/(1+s)$, les CM sont une composition de la probabilité conditionnelle d'un évènement sachant un précédent.

En un mot, nous employerons le mot de portage, ou de déplacement sur un bord, pour distinguer ce procédé, pensons-nous, du procédé du prolongement de Serfati. Markov porte au cœur du domaine des probabilités l'itération le long d'une composition<fnref n="149" />. Il le fait pour asseoir les conditions de validité les plus large dans la démonstration d'un théorème essentiel.

Ce portage, nous pensons qu'il rejoint en partie, et fait travailler, le concept d'intuition symbolique de G. Chatenay. Ce qu'il appelle intuition symbolique, il nous semble, s'effectue par écrit sur un terrain préalable. C'est là un point essentiel, que G. Chatenay repère avant de l'introduire.

<footnote n="149">¹⁴⁹ d'une décomposition aussi bien car le conditionnement peut s'interpréter en terme d'intermédiation</footnote>
Ce terrain serait pour Markov, un bornage, qui consiste à s'en tenir à la finitude, celle d'une procédure inscrite dans le dénombrable, indic-able. C'est là, d'autres que nous l'ont dit, l'excellence, « la patte » de Markov<fnref n="150" />.

Non seulement sa représentation sous forme d'un graphe viendra après, en sera un prolongement, mais encore lui-même, c'est après coup qu'il en dévoila et calcula les multiples propriétés qui font d'une chaine de Markov un objet mathématique en tant que tel : (1) les probabilités de transitions peuvent converger d'une certaine manière qui est liée à ce qu'il advient dans l'algèbre de la matrice associée, (2) il peut y avoir des points absorbants sur la chaine notamment à ses extrémités ou au contraire des points de dislocation qui rendent à leur indépendance un certain nombre d'évènements.

Avec les chaînes de Markov, il y a invention d'écriture féconde.

Il y a un nouvel assemblage<fnref n="151" /> (au sens Serfati), qui perce jusqu'à la novation d'écriture.

Au reste, c'est bien la notion d'intuition symbolique qui nous semble véritablement à l'œuvre au moment où le nouvel assemblage est produit, c'est-à-dire que l'inouï de l'écriture qui fonctionne fait rencontre pour le mathématicien lui-même.

# 5) Conclusions et perspectives

## Une vie de Markov en deux actes

La vie mathématicienne de Markov se résume donc à deux temps :

Dans un premier temps, domine la virtuosité et la clarté de l'organisation des calculs, en particulier le maniement des indices dans des sériations finies. Une sorte de Liszt des mathématiques, nous proposons le mot. Fruit de cette excellence calculatoire : une série de nombres faisant jalons, les nombres de Markov, à chacun duquel peut-être associé un ensemble de nombres irrationnels d'un certain type<fnref n="152" />.

<footnote n="150">¹⁵⁰ Pour un pas-à-pas c'est quasiment un jeu de mot de dire sa « patte ».</footnote>

<footnote n="151">¹⁵¹ Par restriction du renseignement sur l'indication des probabilités. Dans l'article de 1910 *des Acta Mathematica* ces indices dénotent le +1 de la position d'un entier par rapport au précédent, les entiers sont utilisés non seulement au sens strictement ordinal et non numéral, mais même au sens incrémental.</footnote>

<footnote n="152">¹⁵² Nombres hors-cadres, pas à pas au fil d'une série télescopique d'encadrement voués à se resserrer. Il est loisible d'imaginer cet algorithme comme marquant pas à pas des ensembles de nombre qui se constituerait comme des auréoles en laisses de crues lors de la décroe par assèchement d'un lac saharien par exemple, ces auréoles sont autant de ceintures d'amas de sels toujours plus resserrées vers un centre.</footnote>
Autre fruit : la bonne approximation trouvée pour des intégrales sans solution formelle. Par bien approchées ou approximées, nous entendons que Markov les exprime sous forme d'un développement par des fractions continues qui sont, elles, explicites et calculables. Il fournit à la fois une série qui convergent rapidement, et qui le fait modulo un reste majoré, ici encore avec une formule explicite. Il rend donc accessible des calculs qui ne l'étaient pas.

C'est un premier Markov, avec son côté surdoué. Il fait régner le calcul, en sa finitude et fournit essentiellement des calculs avec bornes dans lesquels a été trouvé une forme d'écriture pour des restes non-écrits et sans-espoirs : non-écrits car non-inscriptibles à la longue pour des raisons formelles. Nous avons repéré chez ce premier Markov une effectuation du formalisme des fractions continues<fnref n="153" />. L'axe autour duquel tourne l'entreprise de ce premier Markov prend consistance dans l'édition de trois ouvrages de mathématiques : les œuvres complètes de Čhebyšev et deux manuels de mathématiques pour l'université. Notre principal apport par rapport à ce qui avait déjà été dit, est de noter que l'édition d'un corpus mathématique légué, le fait de classer, mettre en ordre et publier, va au-delà de la rédaction (d'articles par exemple) et de la production d'idées éparses. Markov a souscrit à l'optique du mathématicien-éditeur. Éditer ponctue son parcours universitaire, non pas d'un point final mais d'un point d'inflexion vers une recherche purement mathématique, à nouveau, mais effectuée sur un mode plus personnel et plus ciblé.

Dans un deuxième temps, Markov s'est consacré au domaine des probabilités conditionnelles, presque malgré lui comme il a été dit (" double-Quételetsiennes " raillait-t-il)

Un peu en marge des travaux de la nouvelle génération et jouissant d'un statut de semi-retraite vis-à-vis de l'université, c'est après un long travail d'écriture avec une méthode pas-

<footnote n="153">153 Avec la notion d'effectivité, proposé par G. Chatenay. Il la développe un peu comme prémisse à sa notion d'intuition symbolique, en notant qu'une fois une certaine invention d'écriture portée dans les mathématiques, le contingent (de ses objets, de ses trous) devient, non pas nécessaire, mais du moins passe à l'effectif. Chatenay G., « Le réel en jeu dans la formalisation même », dans *Le réel en mathématiques*, op.cit. p.207-228.</footnote>
à-pas (la méthode des moments<sup>154</sup>) qu'il parvient à réduire l'expression du conditionnement multiple de variables aléatoires les unes par rapport aux autres dans la notation itérative connue actuellement sous l'expression chaîne de Markov. Il démontre alors la validité du théorème central limite à de telles variables non-indépendantes. Et, soucieux de fournir un point de vue très original sur la langue, il répond à un théoricien des traits statistiques lexicaux, que de son point de vue, c'est plutôt la consistance même de la chaîne orthographique de la langue russes qui suit un conditionnement hors-sens (et qui ne dénote pas un auteur). Il marque un écart entre une approche mathématicienne et une approche statisticienne. Il lance sa propre idée, hors-sens, littérale, d'une itération venant former l'en programme c'est-à-dire la chaîne orthographique conditionnée.

La notion de modélisation a eu le vent en poupe dans la deuxième moitié du XXᵉme, après l'avènement de l'informatique. Or, rien ne laisse penser que Markov aurait employé ce terme ou cette notion pour rendre de compte de son axe de recherche. Au contraire, Markov goûtait, semble-t-il, l'expression d'une preuve formelle, avec le degré de certitude supérieur qui s'en dégage et redoutait l'usage des équations qui consiste à les prendre comme des outils pour autre chose. Il ne modélisait pas sa langue maternelle. Ce n'est que par un anachronisme que Markov pourrait passer pour un modélisateur<sup>155</sup>. Il n'exprime pas un modèle de la langue russe mais constate le conditionnement le long de son en programme, i.e. sa chaîne orthographique.

Il y a là un effet du discours mathématique que J.A. Miller a repéré comme l'effet d'éloquence. Lorsque l'on se penche sur la vie du mathématicien, souvent il ressort que c'est via un tel effet qu'il parvient à transmettre une découverte. Rendre attractive une découverte suppose, au niveau des mathématiques, que l'écriture de la démonstration (qui

<footnote n="154"><sup>154</sup> Une analogie est licite qui aidera le non-mathématicien probabiliste : la méthode des moments est à la méthode des fonctions caractéristiques (par laquelle la nouvelle génération conclu à moindre frais calculatoire au sujet de l'extension du théorème centrale limite aux variables aléatoires non-indépendantes), ce que l'ordonnancement du mouvement des planètes par Ptolémée est au système héliocentrique entièrement repris d'un point de ce vue avec les loi de Kepler (donc la refonte de la cinématique des planètes par Corpernic). Comment Ptolémée considérait l'étrange cinématique des autres planètes du point de vue géocentrique ? à partir d'une série de mouvements circulaires de rayons de plus en plus resserrés autour de la trajectoire effective, car il ne disposait pas de l'expression formelle, et ne s'était pas permis de poser le soleil comme point d'attraction d'un système qui le mêle aux planètes.</footnote>

<footnote n="155"><sup>155</sup> Dit d'une autre manière, Markov tenait davantage de l'approche classique en statistique que de l'approche Bayésienne, même si son procédé d'écriture a fourni au théorème de Bayes un prolongement conséquent.</footnote>
peut faire appel à l'invention) ait été parachevée ou du moins puisse sembler l'être (il y a
parfois des correctifs à apporter qui émergent au moment même de l'enseigner).

Dans ce deuxième temps, Markov imprime sa marque dans le domaine des probabilités-
statistiques (et non plus en théorie des nombres ou en arithmétique modulaire). Le XX
siècle a été très marqué par cette découverte dans de multiples domaines y compris en
linguistique, et grâce à J. Lacan y compris des psychanalystes se sont penchés sur cette
question d'une contrainte orthographique au sein même d'une langue donnée.

Il n'empêche qu'à la fin de notre propre parcours qui revisite l'œuvre de ce mathématicien,
l'idée géniale qui ressort à notre sens est celle qu'il a reprise de Bernoulli, apurée comme
ce dernier l'avait souhaité et resserrée, reformulée, dans l'article de 1881 "Sur une question
de Jean Bernouilli" (cf. supra p.144). C'est un lemme qu'il reprend donc du maître Suisse,
et qui implique, par le truchement des congruences (arithmétique modulaire) une
répartitoire sous-jacente dans l'écriture décimale pour certains types de calculs. Ce
répartitoire correspond à une loi de consécution qui se présente comme un
embranchement. Après un nombre de zéro indéterminé, ou bien il suit un +1, ou bien un -
1. Il n'est pas possible de passer d'un +1 directement à un -1 sans repasser par un 0 et vice-
versa. Sous la contrainte d'un certain générateur (une équation par exemple, le respect
d'une orbite) des écritures décimales se distribuent selon un certain treillis, autrement dit
sautent de classes de congruence en classes de congruence selon un parcours qui comporte
des non-possibilités, des impasses.

Le mathème du répartitoire dans *Le séminaire sur « La Lettre volée »* n'est pas autre chose qu'une version de cette idée physico-mathématique née de calculs en astronomie. Nous verrons comment elle a été transmise jusqu'à J. Lacan.

Cinq perspectives à notre étude

1. Notons que chronologiquement la première chose mathématique à laquelle Markov se mesura fut l'insolvabilité de certaines formes quadratiques qui contraint le mathématicien à formaliser, a arithmétiser, ce qui sinon relève de l'application calculatoire. L'absence de solution entière de certaines formes quadratiques fait trou et fondent les mathématiques
de l'à-peu près selon l'expression de du colloque d'Urbino 1988¹⁵⁶, qu'il serait malvenu de
lire avec la dichotomie mathématiques pures/mathématiques appliquées puisqu'elles
consistent précisément à trouver comment formaliser et rendre le moins loin possible de
l'arithmétique des impossibilités formelles de l'arithmétique elle-même.

Nous avons trouvé que c'est bien là, la chose mathématique autour de laquelle Markov
tournait. Nous pourrions la subsumer par l'expression : la question diophantienne, celle à
l'œuvre dans la conjecture de Fermat.

2. Ce que nous apportons au concept d'intuition symbolique de G. Chatenay c'est de penser qu'il peut, bien qu'il soit ponctuel dans le temps, procéder de manière itérative plusieurs fois dans une vie de mathématicien, et qu'elle agit sur fond sur d'une prédilection pour un mode de pensée (le discret pour Markov) qui est encore plus fondamentalement l'évitement d'un autre mode de pensée.

Il est significatif (de son registre symbolique vrai) qu'elle émerge par l'emploi spécifique d'une technique d'écriture – au sein des mathématiques, un îlot de compétence spécifique. Il est tel pour Markov, qui en prolonge la portée dans des nouvelles publications favorablement reçues.

L'assemblage (*sensu Serfati*) hybridant qu'est la chaîne de Markov, il nous semble entrevoir qu'il n'est qu'un des évènements d'écriture<fnref n="157" />, ou qu'une intuition symbolique, dans un parcours d'écriture <fnref n="158" /> dont le point d'inflexion fut d'éviter toute dérogation à une procédure finitiste, y compris et surtout en mathématique, et donc entre autres choses d'éviter par exemple la question du continu.

L'extension du théorème de Dirichlet, son début dans la vie de mathématicien (qui porte
sur les minorants des formes quadratiques indéfinies) a fait évènement d'écriture. Nous
avons pu reconnaître comme tenant à ce même bord l'invention des chaînes. Ce bord
consiste dans une prédilection pour la substitution d'une approximation réglée à l'endroit

<footnote n="156">¹⁵⁶ Expression qui était chère à G. Th Guilbaud dont nous situerons la relation à l'histoire de la psychanalyse lacanienne dans le chapitre sur l'application des chaînes de Markov à la linguistique.</footnote>

<footnote n="157">157 Selon le terme emprunté à Hélène Bonneau Bonneau H., « Evènement d'écriture », *Horizon*, 66, 2021, p.118.</footnote>

<footnote n="158">¹⁵⁸ Notions que nous reprenons de la logique du sinthome de F. Hulak et de son cours de 2013-14. Hulak, F., *Logique du sinthome - Mise en pratique*, Champ social, Nîmes, 2016, 245p.</footnote>
d'un impossible à calculer. En opérant cette substitution, l'opérateur vient inscrire au moins
le chiffre d'une itération (initiant un parcours d'écriture) au lieu d'un développement
asymptotique, c'est à dire d'une infinitude.

C'est cette prédilection symbolique pour le discret a trouvé à se concrétiser ensuite en ce
lemme qui formalise l'algorithmique incrémental par lequel opère « la nouvelle espèce de
calcul » de Bernoulli (où nous avons relevé qu'il y a déjà l'effet d'évitement d'un graphe qui
ne permet pas de passer de n'importe quel sommet à un autre mais qui spécifie certaines
possibilité d'écriture, et laisse donc des possibilités de notations évitées). Enfin, son
parcours d'écriture trouve une dernière concrétisation, de celle qui le relance, dans
l'hybridation que Markov effectue entre théorie des probabilités et procédure de
composition terme après terme.

Le mathématicien français professeur à Saint-Pétersbourg quasi contemporain de Markov
(un peu avant lui) G. Lamé « conçoit le calcul comme un geste créateur<fnref n="159" />. » L'époque
soutenait ce rêve d'un calcul à même de résoudre l'irrésolu d'antan.

3. On a dit, parce qu'il l'a présenté ainsi lui-même, qu'il a poursuivi toute sa vie le but d'élargir les conditions d'application de la loi des grands nombres. C'est une présentation que nous contestons finalement. Oui cette loi, qui est nous l'avons vu une version du problème du continu, aurait pu se poser en chose mathématique pour Markov comme elle le fut vraisemblablement pour A. Quetelet<fnref n="160" />. Or ce ne sont pas les faits mathématiques mais seulement une interprétation.

L'invention des probabilités liées en chaîne, par la nomination posthume qu'elle lui a
apportée et par sa postérité magistrale (épistémologique dirons-nous) est-il voué à faire
arbre qui cache la forêt (de calculs) où Markov s'est aventuré sa vie durant ?

Bien des historiens des mathématiques zooment sur les inventions en matière de calcul des
probabilités, mais ces inventions eurent lieu dans les 20 dernières années de sa vie, alors
qu'il jouissait d'un état de semi-retraite. Il y a certes toute l'importance de l'une de ses
inventions d'écriture. Mais nous pensons que, plus fondamentalement, c'est la question

<footnote n="159">159 Barbin É., « Introduction », *Bulletin de la Sabix*, 44, 2009, consulté le 13 août 2022. URL : http://journals.openedition.org/sabix/620</footnote>

<footnote n="160">¹⁶⁰ Miller J.-A., « L'ère de l'homme sans qualité », *La Cause freudienne*, 57, 2004, p.73-97.</footnote>
d'un opérateur fini d'interpolation, c'est-à-dire de la substitution à un terme inextricable
d'un terme approché facilitant les calculs car borné, qui gît sous la question du graphe
probabiliste. Nous notons qu'au départ, il y a la recherche d'une écriture simplifiée pour
un problème dont l'impossibilité de la solution a été démontrée. Markov se plaisait à
capitonner, grâce à sa dextérité en analyse et en arithmétique, des impossibilités à
certaines équations ou intégrales.

Ce n'est donc pas son rapport au théorème central limite qui est l'histoire de sa vie, bien
qu'à un moment il ait lui-même rédigé une autoprésentation où il aurait été un aventurier
sur ce chemin. Cette auto-interprétation nous semble à repousser, ne serait-ce qu'en vertu
du fait que O. Sheynin, A.P. Youshkevitch et E.Seneta, fins rapporteurs de la vie et de
l'œuvre de Markov, ont tous notés son aversion pour la question des limites à l'infini (qu'il
laisse par exemple à Lyapunov) et au contraire le soin qu'il a mis toute sa carrière à
exprimer pour clore une série infinie, un terme, quitte à ce que ce soit un majorant, se
plaçant ainsi avec résolution dans le domaine finitiste de l'approximation numérique et non
dans le strict domaine d'une plus grande assise à l'intégration fonctionnelle. Sa chose de
départ n'était pas la loi des grands nombres, mais la recherche de solutions décimales
approchées d'équations de type formes quadratiques indéfinies (= n'ayant pas de solution
entière), et partant la résolution également de certaines formes intégrales. Il nourrissait un
gout pour la réduction des écritures par une technique de développement par partie ou
par fractions (dans un anneau modulaire, d'abord de nombres, puis de polynômes).

Il faut qu'un mathématicien ait du goût pour une chose mathématique afin que l'étincelle
se produise, il n'y a pas de hasard de ce côté-là. Ces considérations répondent à
l'interrogation de M. Petruszewycz : pourquoi a-t-il persévéré dans la généralisation du
théorème central limite aux aléas dépendants, alors que Liapunov avait déjà obtenu la
généralisation requise ?

Pour Markov, le domaine du fini était une chose en soi, un peu à la manière dont les Grecs séparaient avec précaution le domaine logistique (des calculs et de la valuation) du domaine géométrique, notamment du fait bien connu de l'assemblage √2 qui signait
l'incommensurabilité du rapport entre la diagonale du carré et son coté<fnref n="161" />. Il s'agit davantage que d'une frontière, ce que ne laisse pas paraître l'opposition de mot continu / discret, où l'on a l'impression que les choses sont claires, que la délimitation se fait, est chose acquise. En fait, il s'agit d'un véritable littoral, et qui reste de nos jours sources d'explorations mathématiques. Ce n'est pas en allant au bord de ce littoral que Markov a marqué son époque – cela c'est Cantor. Markov était décidé à ne pas approcher les questions de limites vers la continuité, pour approcher la question de l'écriture approchée.

4. Certes, la lettre en tant qu'elle matérialise le signifiant revêt une dimension que ne saurait emprunter le chiffre en tant que lettrage d'un nombre. Mais l'erreur est de croire qu'en mathématique il ne s'agirait que de chiffres. Puisqu'avec Serfati nous avons vu qu'il y a une syntaxe, une composition traditionnelle réglée à partir de laquelle se dégage des déplacements, et le jeu d'un minimum d'équivoque, alors inscrire un nouvel assemblage au sein des mathématiques s'apparente à s'être rompu au travail d'un néo sémantème ou un néologisme.

Et le caractère provocant de l'exemple pris par Markov sur la chaîne orthographique des lettres dans le poème de Puškin réside dans le placage de l'une dimension, le chiffrage absolu, sur l'autre, l'expression littéraire. Ce placage peut passer pour un ravalement de la dimension signifiante, son ravalement à l'état de pur chiffrage. Or, la dimension d'excrétion n'est-elle pas consubstantielle de l'acte d'écrire, du témoignage même de certains écrivains – nous pensons à Ovide qui n'a jamais été prêt à ce que fusse publiées ses « Métamorphoses » car leur rédaction n'était selon lui jamais terminée ?

Nous avons vu qu'il y avait un terrain d'effectivité préalable sur lequel est venue à Markov son intuition symbolique. C'est le fameux article qui développe l'idée de Bernoulli. Cet article contient un impossible, une impossibilité d'écriture qu'un graphe matérialise :

-1 ↔ 0 ↔ 1 où c'est l'absence de bascule directe de -1 à 1 qui dénote l'impossible.

Cela nous met sur cette piste : est-ce qu'au principe du psittacisme, il n'y aurait pas une impossibilité dans une écriture ? Une impossibilité ce n'est pas tant pris dans la dialectique du ratage ou de la réussite, dans la dialectique du lapsus au sens classique, sinon qu'une

<footnote n="161">¹⁶¹ Vitrac B., « Logistique et fractions dans le monde hellénistique », dans *Histoires des Fractions, Fractions d'histoire*., P. Benoit, K. Chemla & J. Ritter (Ed.), 1992, p.149-172.</footnote>
impossibilité se démontre, qu'elle requiert le nom-du-père en tant que bouclage. Une impossibilité tient au constat, à du cernable, sans qu'il soit possible de rouvrir de quoi il s'agit,

à

l'arrière-fond.

Elle est un point de fermeture. Est-ce qu'au principe du psittacisme, il n'y aurait pas une impossibilité dans une écriture ? Nous n'émettons là qu'une hypothèse. Pour l'aborder nous avons exploré ce qu'il en est de l'apparole (cf. supra).

5. R. Queneau a répertorié plusieurs pseudo-auteurs de mathématiques visant la quadrature du cercle, certains affirmant avoir la solution, dans *Les fous littéraires*<fnref n="162" /> (1934). Markov a trouvé des manières finitistes d'écrire ou de circonscrire des équations qui n'avaient pas de solution entière (finie). Bien que Markov aussi ait nourrit un attachement à un impossible, si lui n'a rien d'un fou littéraire au sens de Queneau, c'est une question de discours des mathématiques. C'est parce qu'il s'attache au problème d'une manière licite, productive, et en particulier reconnue. La chose mathématique est du même type que celle des fous littéraires, mais Markov ne l'abordait pas de la même manière.

Le critère dirimant, là, est d'abord méthodologique, mais, au-delà, il s'incarne dans la question de la reconnaissance (jeune). C'est en quoi nous pouvons oser avancer que Čhebyšev a été autre chose qu'un père pour Markov, ayant été un embrayeur sur les mathématiques spécifiques qui convenaient à Markov. Čhebyšev a été, sinon à l'origine, du moins le faiseur d'un transfert de Markov pour son domaine d'excellence mathématique. L'on voit là apparaître le transfert sous la forme d'une mise en connexion, et non d'un signifiant, ce qui n'est que la reprise de la rénovation de ce « mécanisme » d'après et avec J. Lacan.

## 6) Postérité des chaînes de Markov

L'automate cellulaire est l'objet bien défini qui englobe actuellement les chaînes de Markov (CM). Ces automates désignent des graphes, c'est-à-dire des ensembles de points reliés par des arrêtes, fléchées ou non, dans lesquels un ou des objets évoluent selon des itérations, « les états ». Le pas de temps est une interprétation usuelle de ces scansions au cours desquelles le déplacement s'effectue pas à pas, mais en formalisation mathématique hors

<footnote n="162">¹⁶² Queneau R., *Aux Confins des Ténèbres, les fous littéraires*, Paris, Gallimard, coll. « Les Cahiers de la NRF », (1934) 2002.</footnote>
application, cette interprétation n'est pas nécessaire, l'indexation arithmétique suffit. La spécificité des chaînes de Markov parmi ces automates formels réside en leur logistique aléatoire, où chaque transition d'état relève ainsi d'un tirage au sort.

Evoquons brièvement l'étendue de leurs usages courants. Les chaînes de Markov servent à modéliser des croissances par branchement, des processus de renouvellement (exemple ci-dessous), des marches aléatoires sur un réseau ou dans des positions arrêtées, ce dernier étant plus connu sous le nom de modèle de ruine du joueur<fnref n="163" />. Elles servent aussi à transformer des observations environnementales en indicateurs agrégés, munis d'un niveau de confiance. Il s'agit alors de traitement des incertitudes. Leur concours aux sciences mathématiques de l'environnement reste essentiel, car non seulement il s'agit de synthétiser des jeux de données pléthoriques en quelques nombres (statistique descriptive), mais surtout il s'agit d'appliquer aux problèmes d'environnement un ou des modèles statistiques. Dans ce contexte il est fait usage de modélisation statistique par les réseaux bayésiens<fnref n="164" />, cas particulier de chaînes de Markov. Les chaînes de Markov, outre la référence à J. Lacan, ont aussi servies en linguistique au moins dans la période de leur invention<fnref n="165" />.

Les outils mathématiques ne connaissent pas les frontières disciplinaires. La méthode trouvée par A.A. Markov pour traiter des processus stochastiques, prise par ce biais-là, s'applique aussi bien à l'optimisation d'une usine.

Enfin, les notions mathématiques autour des chaînes de Markov seront introduites afin qu'elles puissent être mieux comprises. Jusqu'aux années 70, les mathématiques fonctionnaient avec peu d'instruments. De plus, ils étaient peu changeants. Par différence, depuis les années 70, il existe des théorèmes et des énoncés, de mathématiques, qui n'ont pu être établis *que* par ordinateur.

Les chaînes de Markov, par exemple, permettent de dire avec une certaine approximation aussi raisonnable que l'on souhaite, atteinte par calcul d'ordinateur, si toute une catégorie

<footnote n="163">¹⁶³ Graham C., « Premières propriétés des chaînes de Markov », *Chaînes de Markov*, Paris, Dunod, 2008, p.3–61.</footnote>

<footnote n="164">¹⁶⁴ Par proche synonymie : par des chaînes de Markov, par des (modèles de) processus stochastiques, en anglais Monte-Carlo Markov Chain.</footnote>

<footnote n="165">¹⁶⁵ Petruszewycz M.., « Chaînes de Markov et statistiques linguistiques », *Mots*, 7, 1983, p. 85–95.</footnote>
de problèmes mathématiques est décidable par un ordinateur ou non. Leur mérite consiste
à nous assurer d'une certaine limite de la calculabilité. Arrive-t-il de raisonner sous le coup
d'un fantasme de la toute-puissance de la machine ? En effet, si cette calculabilité est
envisagée comme à même de fonder le domaine des mathématiques, alors qu'il y entre du
langage<fnref n="166" />.

A.A. Markov a été traduit en anglais en 1937 par J.V. Uspensky, un de ses collaborateurs. Ses travaux ont été lus et reconnus dans les écoles de mathématiques Russes de St. Pétersbourg et de Moscou, posthume à l'étranger. Il semble avoir entretenu peu de collaborations. E. Seneta s'en réfère aux ouvrages de O. Sheynin 1989 pour un exposé de travaux probabilistes et de Grodzensky 1987 pour sa biographie.

<footnote n="166">166 Charraud N. & Cartier P., *Le réel en mathématiques*, Agalma (diff. Le Seuil), 2004, 398 p.</footnote>
# VI) De la quantification de la langue à sa cantillation, le parcours de M. Petruszewycz

## 1) Les chaînes de Markov en linguistique

### L'énigme pour Micheline Petruszewycz

Ainsi que ce fut notre cas, Micheline Petruszewycz a éprouvé une étrangeté au cas d'application d'un automate à du matériel écrit, qui plus est d'un grand poète comme Puškin (de l'Âge d'or russe). Elle pose la question en ces termes :

> « Nous nous sommes posé la question de l'origine de cette application 'linguistique' de la théorie des chaînes née, pensons-nous, à l'intérieur de la théorie des probabilités. Aucune réponse précise n'est apparue au cours des lectures que nous avons faites des diverses biographies de Markov. Une possibilité serait les préoccupations des poètes futuristes énoncées à travers ou peut-être en dépit des scandales et qui provoquèrent une très grande effervescence artistique. Une autre serait l'influence de Jan Baudoin de Courtenay soit par l'intermédiaire de A.V. Vassil'ev de Kazan, soit dans le cadre de l'académie de Saint-Pétersbourg. (...) Nous n'avons pas trouvé de lien direct entre les deux savants. Cependant Markov semble avoir porté aux études linguistiques un intérêt suffisant pour critiquer en 1916 un article de linguistique quantitative publié en 1915 par A.N. Morozov. (...) Par ailleurs nous présentons dans le chapitre V un compte-rendu d'un article de V. J. Bunyakowkij qui a peut-être joué un rôle dans le choix de cette application 'linguistique'. »

J. Lacan a évoqué cette énigme dans *Le séminaire sur « La Lettre volée »* (dans Introduction qui est étrangement le deuxième volet de ce séminaire). Pris dans la syntaxe, l'enchaînement des lettres figure le « rudiment d'un parcours subjectif ». (Ce parcours) « se fonde dans l'actualité qui a dans son présent le futur antérieur. » Lacan indique « C'est à méditer en quelque sorte naïvement sur la proximité dont s'atteint le triomphe de la syntaxe, qu'il vaut de s'attarder à l'exploration de la chaine ici ordonnée dans la même ligne qui retint Poincaré et Markov<fnref n="1" />. » Nous l'avons lu comme l'indication qu'il tenait cette méditation sur la syntaxe des essais des formalistes russes et des mathématiques du début XXᵉ.

<footnote n="1">¹ Lacan J., « Le séminaire sur "la Lettre volée" », *Écrits*, Paris, Seuil, 1966, p.51.</footnote>
Résumé du contenu de la thèse de M. Petruszewycz

M. Petruszewycz soutient que les chaînes de Markov puissent être un instrument dans le domaine linguistique et leur utilisation puisse mettre en évidence "les caractéristiques" d'un texte<fnref n="2" />. Elle se donne pour but de mettre en évidence une utilité des caractéristiques du système mathématique de Markov et effectue pour cela plusieurs études comparatives.

A la fin de sa thèse, mais nous préférons le dire d'abord, M. Petruszewycz contextualise la perspective de Markov. Il répondait à Morozov. Morozov proposait une technique de spectres linguistiques pour signature d'un auteur, à partir de la fréquence d'utilisation des petits mots. Markov a critiqué Nikolaï Alexandrovitch Morozov, estimant non-aboutie sa proposition technique des spectres linguistiques. Markov estimait non-rigoureuse l'approche de Morozov. Il lui a reproché de n'avoir pas décrit ses méthodes de calcul, l'extension du corpus de texte employé par exemple et les manipulations intermédiaires<fnref n="3" />.
Sa contre-proposition a été de considérer le matériel textuel au niveau littéral (et non des effectifs de certains mots), au niveau de la succession des lettres typographiques. Les lettres surviennent en probabilité par paquets, ce qui revient à dire que leur succession n'est pas indépendante (chaîne conditionnelle à quelques unités près antécédentes).

Bien qu'il se soit appuyé sur deux auteurs, Puškin et Aksakov (entre son article 1 et 2), Markov n'est pas entré dans une considération comparative. Il ne cherche ni à comparer les deux auteurs (encore moins à identifier un auteur par ses traces ce qui est la démarche de Morozov) ni à tester si les caractéristiques en probabilité de son petit graphe (p.128 présent manuscrit) permettent d'isoler certains traits comme l'expression poétique par rapport à la prose. M. Petruszewycz explore donc un piste inentamée, et ceci en 1979 soit 50 ans environ après la mort du mathématicien. Elle note qu'il s'agit d'une longue latence alors que l'objet de l'article de départ est à la fois clair et original et que, par ailleurs, cette technique de calcul a fait florès dans différents domaines d'application.

Au préalable à ses études comparatives, elle reprend en français et pas-à-pas toute la démonstration qui figure dans les articles de Markov sur les épreuves liées en chaînes

<footnote n="2">² Petruszewycz M., *Les chaînes de Markov dans le domaine linguistique*, Genève, Slatkine, 1981, p.132.</footnote>

<footnote n="3">³ Petruszewycz M., « Chap V - Contribution pour servir à l'étude du choix que fit A.A. Markov d'un domaine d'application de sa théorie des chaînes », dans *Les chaînes de Markov dans le domaine linguistique*, Genève, Slatkine, 1981, p.133-148</footnote>
(d'ordre 1, et 2), après avoir détaillé les statistiques appliquées que Markov fit à partir des enchaînements de lettres des deux textes (Puškin et Aksakov). À l'appui de la démonstration, elle ajoute d'ailleurs une petite table, un cadran, une représentation très didactique des calculs intermédiaires faits par Markov. Il s'agit d'un cadran à 4 probabilités (une matrice) et ses décomptes dérivés par ligne et par colonne, où la surdétermination de certains effectifs apparaît, ce qui permet une meilleurs interprétation des calculs intermédiaires -- nombreux dans cette approche. Ce cadran s'avère ensuite d'une bonne facilité de maniement quand il s'agit de comparer plusieurs contextes d'application. L'ensemble de ce préalable constitue son chapitre 1 de thèse.

Ensuite a été effectué une série de comparaisons, qu'elle nomme ses exercices. Ils fournissent les axes du second chapitre de sa thèse. Elle compare ce qu'il en est de la prose et de la poésie chez un unique auteur, Puškin. Puis elle tente de caractériser le contraste entre l'expression orale et l'écrite chez Lénine, et enfin elle s'intéresse à l'essai d'un poète futuriste d'enrichissement vocalique du russe, la langue Zaoum, uglossie poétique à laquelle s'est essayée Vélimir Khebnikov (entres autres). Une uglossie est la tentative de réformer le système linguistique, ou bien par une entrée limitée (par une règle ajoutée ou soustraite, cf. Oulipo), ou bien de le réformer en entier : fonder une langue (souvent à visée universalisante) etc.

## Prose vs poésie

Micheline Petruszewycz se mit en quête d'une certaine utilité des statistiques de Markov en effectuant une comparaison entre des corpus de poésie et de prose d'un seul même auteur, à savoir Puškin. Ce développement vient tenter répondre à la question de savoir si le registre de langue fonde les différences de réglages de l'automate Markovien, quand lui-même avait exhibé ces différences entre la poésie de Puškin et la prose d'Aksakov.

Micheline Petruszewycz prend pour poésie Evgenij Onegin et pour prose le texte Kapitanskaja Dočka [La fille du Capitaine]. Elle fait l'hypothèse que les fréquences des doublets de consonnes et de voyelles peuvent caractériser l'opposition prose/poésie chez un même auteur.

Au préalable, elle teste si l'écriture orthographique ou la transcription phonétique pourrait influencer ses calculs statistiques. Il ne s'agit pas de la différence de translittération du
russe qui fait que Пушкин est ici écrit Puškin ou Pouchkine. Il s'agit d'étudier si un système de notation phonétique du russe influence sur les lois statistiques de l'alternances des consonnes et des voyelles pour un auteur et pour une prosodie données (poésie ou prose). Des fragments de Puškin d'entre 1707 et 1815 signes sont pris comme supports des calculs. Ils proviennent ou bien de prose, ou bien de poésie. C'est le point de comparaison de tout le chapitre.

Elle trouve ce résultat où D est le paramètre delta (un discriminant sur le plan formel) de Markov vu ci-dessus et M autre paramètre qui résume la statistique de la chaîne d'ordre 1 :

<table><thead><tr><th></th><th>Discours<br>poétique</th><th>Prose</th></tr></thead><tbody><tr><td>Graphème orthographique</td><td>D= - 0.591<br>M=0.257</td><td>D= - 0.551<br>M=0.289</td></tr><tr><td>Transcription phonologique</td><td>D= - 0.646<br>M=0.215</td><td>D= - 0.559<br>M=0.282</td></tr></tbody></table>

Ils montrent, à les relire avec notre propre compréhension, d'une part que les caractéristiques markoviennes calculées semblent sensibles à la différence catégorielle initiale, poésie vs prose. D'autre part ils semblent fournir l'hypothèse que la différence de translittération (lettre vs phonèmes) est un traitement qui affecte davantage les caractéristiques markoviennes du discours poétique que celle de la prose. Dans le premier cas, si on omet les millièmes, entre 59 et 64 et entre 26 et 21 il y des différences des plusieurs centièmes, alors que dans le cas de la prose les chiffres ont une stabilité étonnante vu la petitesse de l'échantillon. Rappelons que Markov travaillait avec 10 000 lettres et dans sa deuxième tentative avec 100 000.

De ces résultats, elle tire : « il nous paraît que ces résultats nous autorisent à travailler, ainsi que le fit Markov, sur les graphèmes. » (p.39) Ce n'est pas faux dans le sens où puisque pour le graphème, seule donnée immédiate et donc pratique pour l'étude statistique, il y a déjà des différences sensibles (entre 0.257 et 0.289), le travail de transcrire phonologiquement peut être épargné (une note vient décrire qu'il y a un travail préalable certain à cela).

En revanche, elle ne formule pas l'hypothèse que transcrire phonologiquement affecte davantage les caractéristiques markoviennes du discours poétique que celle de la prose.
Pourtant, cette hypothèse nous semble ouvrir une piste, intéressante à formuler. Hypothèse, de plus, cohérente avec une considération quelques pages plus loin (p.52) : « le coefficient M s'ajuste d'autant mieux qu'il s'agit d'un texte de poésie, c'est-à-dire où l'ordre de la chaîne est au moins égal à 2⁴ ».

Or dans l'essai préalable des deux types de translittérations, elle y utilisait une chaîne d'ordre 1. Cette chaîne ne captait qu'une partie du conditionnement de la chaîne orthographique en poésie alors qu'elle capte déjà bien le conditionnement de la chaîne orthographique en prose (c'est ce qu'elle montre p.52.)

Et, la différence de translittération est la suivante : il y a moins de graphèmes phonétiques que d'orthographiques pour un même syntagme. Du graphème orthographique au phonème, sauf erreur de notre part, la chaîne d'ordre 1 restait donc encore plus valable pour la prose, alors que cette même technique de la chaîne d'ordre 1 devenait un peu plus adéquat pour la poésie, dans ce passage. Il était donc cohérent d'une part que transcrire phonologiquement accentue une différence des caractéristiques markoviennes des deux prosodies et d'autre part que transcrire phonologiquement affecte davantage les caractéristiques markoviennes du discours poétique que celle de la prose.

*

Une fois fait le choix de travailler sur les graphèmes, elle étudie comparativement les caractéristiques d'une chaîne de Markov de degré 1 sur de larges échantillons de 5000 lettres d'Evgenij Onegin (divisés en 50 tableaux de matériel littéral de poésie) et 20 000 lettres de Kapitanskaja Dočka (divisés en 200 tableaux de matériel littéral de prose). Elle compare ensuite des distributions statistiques 50 tableaux poésie-vs 50 de proses (il y a 4 lots possibles de prose). La prose est beaucoup plus stable donc elle fait un peu varier la prose pour explorer la plus ou moins grande fixité des caractéristiques de la prose autour des valeurs expérimentales calculées.

Elle sonde la texture vocalique et consonantique de ces tableaux de lettres par plusieurs procédés statistiques : les décomptes simples de lettres (nombre de voyelles par bloc de

<footnote n="4">⁴ Le M d'une chaîne de Markov multi-liée, c'est-à-dire de degré 2 par exemple, s'ajuste d'autant mieux à la poésie qu'il « renverse » sont ordre par rapport à la prose, c'est-à-dire il devient supérieur à celui de la prose (tableau IV p52), ceci reste un détail pour notre propos.</footnote>
100 lettres, dispersion de cette distribution, nombre de doublets de voyelles) et les caractéristiques p0, p1, delta, M d'une chaîne de Markov d'ordre 1 puis 2.

Elle obtient premièrement des valeurs moyennes du nombre de voyelles par centaines de lettres systématiquement plus élevés dans la prose qu'en poésie, deuxièmement la même différence pour les doublets de voyelles (et de plus la distribution des VV est davantage groupée autour de son pic pour la prose qu'en poésie, qui se range de façon plus aplatie en comparaison), et enfin troisièmement des caractéristiques de Markov (d'une chaîne d'ordre 2 car celle d'ordre 1 ne fonctionne pas bien) différentes dans les deux cas :
M = 0.272, M = 0.274, M = 0.276 pour trois échantillons de prose vs M=0.292 pour la poésie.

Nous constatons dès ce cas expérimental (Puškin) qu'il est douteux que l'analyse par chaîne de Markov apporte un critère meilleur que le simple décompte des lettres. Le paramètre M n'a pas un caractère discriminant qui serait supérieur aux constats classiques qu'en prose russe il y a davantage de voyelles, et de doublets de voyelles, que dans la poésie.

Micheline Petruszewycz en indique un élément explicatif en ce que certaines petites conjonctions présentent un lieu double-consonantique en russe (et elles tranchent dans cette langue où la moyenne du double-consonnantisme est assez faible), et qu'elles y figurent en nombre beaucoup plus grand dans la poésie (à l'instar de « que » et « qui » en français sauf que notre langue est plutôt assez double-consonantique en général, plus que le russe, et quel que soit la prosodie<fnref n="5" />).

En résumé, les caractéristiques markoviennes s'ajustent donc à la catégorie du texte « poésie » ou « prose » au sein de l'œuvre de Puškin. En particulier, le coefficient de dispersion de la chaîne, noté M, présente une différence très légère (~ quelques centièmes). Et Micheline Petruszewycz a construit une démarche pour sonder le caractère significatif ou non de cette différence. Cependant, ce n'est pas au niveau du coefficient M qu'elle va montrer une subtile différence entre prose et poésie, mais dans des caractéristiques statistiques des fréquences d'apparition des doublets de voyelles VV.

<footnote n="5">⁵ Cela se déduit des tableaux en annexe IX p183 (russe) et X p198 (français et anglais) de sa thèse Petruszewycz M., *Les chaînes de Markov dans le domaine linguistique*, Genève, Slatkine, 1981.</footnote>
Micheline Petruszewycz dresse, matriciellement en fonction du nombre de V dans 100 graphèmes (ou 100-casse), les histogrammes des effectifs des VV et de leurs espérances croissantes. Et dans chacun de ces modes (casse 36 vs, 37 v, 38 v, ...) elle démontre, par le calcul, qu'il y a une différence systématique entre poésie et prose : les valeurs du coefficient de dispersion relative pour la poésie sont toujours plus petits que ceux de la prose, c'est-à-dire que quel que soit la distribution des VV locale du texte, en comparant prose et poésie, les pics successifs de groupement du motif VV autour de leurs modes sont en poésie à chaque fois plus groupés autour du pic. Pour le dire encore autrement, le motif VV contraste davantage sur l'ensemble de l'aspect granulaire des V et C en poésie qu'en prose.

Dans les deux cas, ils ont des modes d'apparition subliminaux, fondus dans l'aspect, ce n'est qu'en poussant l'analyse statistique que ces modes sont isolables.

Enfin, dans une partie plus fondamentale de sa thèse où elle explore la robustesse de la chaîne multi-liée à des extraits de texte d'un seul et même auteur mais plus court (afin de sonder si la charpente phonique du russe nécessite une certaine taille d'échantillon de texte), elle s'aperçoit même qu'il n'est pas permis statistiquement d'écarter, pour la poésie, l'indépendance locale des échantillons entre eux, ce qui revient à dire qu'il y a dans la poésie la même distance entre deux échantillons (d'un même texte) qu'entre la poésie et la prose au global (et c'est là pourtant la seule différence marquée sur laquelle sa thèse montre qu'une chaîne multipliée peut faire ressortir).

En résumé, il y a un plus-de vocalisme dans la poésie en russe que dans la prose. Et, il n'est pas tellement utile de pousser la sophistication jusqu'à une chaîne multi-liée d'ordre 2 et ses caractéristiques Markoviennes pour en rendre compte : des décomptes de type de lettres, et doublets et triplets de lettres classés, peuvent suffire. Pour superfétatoire qu'elle puisse paraître, cette utilité de la chaîne multi-liée a bien été trouvé. La discrimination qu'elle effectue sur de grands pan de texte est robuste sur de plus petits et fait apparaître une certaine liberté de l'expression poétique au sein de la charpente phonique du russe, qui n'est pas atteinte par la prose dont le tempérament tend à rester plus inertiel.
Langue de l'oralité vs langue écrite

Micheline Petruszewycz étudie ensuite la différence entre les dires de Lénine lors de discours oraux (transcrits) vs son écriture d'un manifeste (dans lequel il fallut couper les citations longues de K. Marx) de la même année 1917-1918. Elle calcule, par fragments de 5000 caractères, les caractéristiques statistiques classiques d'une part, c'est-à-dire les décomptes de Yule (moyenne, médiane longueur des phrases en nombre de mots) et les décomptes simples de lettres éventuellement par cluster (nombre de voyelles par bloc de 100 lettres, dispersion de cette distribution, nombre de doublets de voyelles) et d'autre part les caractéristique p0, p1, delta, M de la chaîne de Markov, qui en sonde la texture vocalique et consonantique dans son autocorrélation (synonyme du conditionnement à divers degrés).

Elle obtient « des résultats qui vont dans le sens de l'hypothèse envisagée<fnref n="6" /> », c'est-à-dire que les fréquences des voyelles, des doublets et les paramètres d'une chaîne de Markov dont le paramètre M, permettent de caractériser l'opposition oral /écrit chez Lénine (et nous passons ici sur les chiffres). Et cependant, elle concède : « [nous obtenons] des résultats qui vont dans le sens de l'hypothèse envisagée, bien que les écarts observés entre les valeurs moyennes de nombre des doublets soient moins nets que ceux observés dans les distributions des voyelles ».

En effet, ces résultats montrent que les décomptes de Yule (en nombre de mots par phrase, ses distribution statistiques<fnref n="7" />) et la mesure de la simple proportion de voyelles par paquet de 100 lettres, non seulement sont plus simples à effectuer que ceux de Markov, mais de plus, marquent des différences plus notables que les paramètres sophistiqués (de Markov). Le trait notoire de l'oral consiste dans des phrases plus courtes, de 20 mots en moyenne contre 35 à l'écrit. En second lieu, le discours de Lénine présente un léger excès de voyelles, et bien regroupé autour d'un pic (45 voyelles par groupe de 100 lettres, apparaît dans 13 tableaux sur 100 ce qui est un trait net) par rapport à sa rédaction. En revanche, les doublets de voyelles et les caractéristiques markoviennes sont si proches qu'il est difficile de conclure quant à leur caractère discriminant.

<footnote n="6">⁶ Petruszewycz M., *Les chaînes de Markov dans le domaine linguistique*, Genève, Slatkine, 1981, p.57.</footnote>

<footnote n="7">⁷ Extrêmes, moyenne, coefficient de dispersion, médiane et quartiles</footnote>
La question qui se pose dès lors, ou plutôt qui aurait dû se poser, est celle de l'adéquation entre la méthode d'investigation statistique et le but qu'elle entreprend, à savoir l'étude comparative de texte émis dans des circonstances si différentes qui font qu'ils « sonnent » de manières différentes bien qu'étant d'un même auteur.

Il est difficile ensuite de comprendre pourquoi elle perdure avec une étude comparative de Lénine (des discours prononcés verbalement et transcrit vs un manifeste politique écrit la même année) où toutes les méthodes sont encore menées de front, pour ne retrouver que le constat que les chaînes de Markov n'apportent pas un avantage décisif.

## Poésie vs prose modulo l'essai de la langue Zaoum

M. Petruszewycz montre enfin que V. Khlebnikov, lorsqu'il a pensé former un nouvel idiome par truffage vocalique (truffage de voyelles) à savoir son essai de langue Zaoum<fnref n="8" />, n'a pas seulement modifié le ratio V :C mais aussi à produire une nouvelle texture locale de la langue au sens du delta de la chaîne de Markov sous-jacente.

Encore faut-il différencier deux cas de figure, car Khlebnikov s'est essayé à de la prose Zaoum (son poème *Ka* et la partie en prose dite "première voile" du texte *Les enfants de la loutre*), et de la poésie Zaoum.

Dans la prose, celle Zaoum de Khlebnikov n'est pas si éloignée que celle de Puškin<fnref n="9" />. Et ce d'autant qu'il y a dans *Ka* la présence d'un 7-uplet de voyelles, onomatopéique, pour lequel l'angle descriptif suffit à montrer qu'il génère un point hors distribution, qui pèse de manière ostensible sur le calcul. Malgré cette onomatopée, le contraste est étroit entre les deux auteurs dans le secteur isolée de la prose.

Dans la poésie Zaoum en revanche, le décalage surpasse même le delta de Poésie/Prose chez Puškin. Il apparaît à travers l'application des chaînes de Markov que l'essai de langue Zaoum tient d'une augmentation d'un certain réglage qui "traduit l'effort du poète pour faire entrer les voyelles par paquets<fnref n="10" />". La poésie Zaoum se présente donc avec la signature non seulement d'un plus-de-vocalisme d'ordre poétique, celui qui est déjà réalisé qu'il

<footnote n="8">⁸ Voir le chapitre consacré à ce poète.</footnote>

<footnote n="9">⁹ Petruszewycz M., *Les chaînes de Markov dans le domaine linguistique*, Genève, Slatkine, 1981, p.66.</footnote>

<footnote n="10">¹⁰ Petruszewycz M., *Les chaînes de Markov dans le domaine linguistique*, Genève, Slatkine, 1981, p.68.</footnote>
s'agisse de la poésie de Puškin par rapport à sa prose, mais encore avec une marque supplémentaire qui traduit une immixtion de ce projet spécifiquement dans la chaîne qui en résulte.

Une spécificité du russe

Il est très difficile de translater ce qui est constaté dans cette étude dans l'aire linguistique francophone car, et M. Petruszewycz le démontre par l'usage qu'elle fait de l'automate marvkovien, l'alternance CV en français est beaucoup plus dominante sur CC et VV qu'en russe. Ainsi en français, il y a une trop forte dépendance le long de la chaîne d'ordre 2 (et même 3) : le processus à 2 état C et V n'offre pas une réelle prise pour conditionner la lettre qui vient après 2 ou 3 lettres comme c'est le cas pour le russe après seulement 2 lettres. La conséquence de cette charpente phonique moins élastique (ou au conditionnement plus fort) du français (et de l'anglais) fait qu'il est moins évident que puisse être opéré un déréglage que pour celle du russe, d'une part, et d'autre part il est moins évident qu'elle soit élastique à servir possiblement à discriminer entre l'expression oral ou écrite, en prose ou en poétique.

M. Petruszewycz montre, de manière ébauchée, que Pérec ne décale que très faiblement
la chaîne bi-liée du français avec *La disparition*<fnref n="11" />. Bien que le consonantisme (déjà fort) du
français soit encore augmenté par cette règle tout à fait susceptible de s'immiscer dans la
charpente phonique -- et ce trait de consonnantisme augmentée apparaît avec netteté, «
l'écart obtenu [en termes de transitions entre les n-uplets de lettres successive, à comparer
un extrait de Stendhal avec un extrait de *La disparition* de Perec], n'est pas ce à quoi nous
nous attendions<fnref n="12" />».

<footnote n="11">¹¹ Perec G., *La disparition*, Gallimard, l'Imaginaire, 1989, 388 p.
Roman, conçu sans un trait vocalique ô combien marquant du français : « Motus donc, sur l'inconnu noyau manquant - « un rond pas tout à fait clos finissant par un trait horizontal » »</footnote>

<footnote n="12">¹² Petruszewycz M., *Les chaînes de Markov dans le domaine linguistique*, Genève, Slatkine, 1981, p.76.</footnote>
Trois remarques inspirées de ses travaux

En première remarque : une question s'est posée pour nous. Est-ce qu'il y a une explication phonologique simple à l'alternance consonne voyelle, qui domine autant les langues française, anglaise ou russe tout du moins ?

Il n'y a pas d'articulation sans alternance vocalique. Cette loi de la parole « le clivage entre voyelles et consonne » débute dès le babil (avant le stade du sentiment du mot), et n'est jamais perdue dans les plus graves aphasies <fnref n="13" />. Il semble que ce soit un invariant anthropologico-linguistique<fnref n="14" />.

> « les deux variétés du vocalisme minimal comme le consonnantisme minimal se caractérisent fondamentalement par l'existence de phonèmes combinant deux qualités distinctives<fnref n="15" />. »

R. Jakobson propose cette affirmation pour éclairer et étayer sa notion de qualité distinctive. « La loi générale serait donc que le concept de phonème n'est dans aucun cas identique à celui de qualité distinctive qu'il englobe dans tous les cas. »<fnref n="16" />. Ce montage à double fond n'est pas une pure construction intellectuelle. Il est indissociable de faits cliniques et linguistiques selon lesquels deux franchissements sont repérables, et ceci tant dans l'apprentissage de la langue par l'enfant que dans les pertes aphasiques (en sens rétrograde) : celui de se servir (ou compenser) des traits distinctifs par d'autres (passage du babil au mot), celui de produire les phonèmes eux-mêmes (passage du langage enfantin au langage).

Ainsi, R. Jakobson pose qu'articuler la parole nécessite *a minima* l'opposabilité de deux qualités (non pas deux phonèmes). Et ce peut être voyelle brève-voyelle longue : l-u-l-u-l-u, ou deux consonnes (K-l'-K-l'-K-l'). L'alternance c/v n'est donc pas une nécessité linguistique fondamentale, en phonologie (du moins Jakobsonienne).

<footnote n="13">¹³ Jakobson R., « le clivage entre voyelles et consonnes », dans *Langage enfantin et aphasie*, Champs Flammarion, pp. 73-76.</footnote>

<footnote n="14">¹⁴ Même concernant les langues à clics, comme celle des San du Botswana, les langues khoïsan, il s'avèrerait que ces « clics » labiaux, gutturaux et/ou avec la langue (l'organe) fonctionnent comme consonne particulière, comme phonème consonantique.</footnote>

<footnote n="15">¹⁵ Jakobson R., « le clivage entre voyelles et consonnes », dans *Langage enfantin et aphasie*, p.54.</footnote>

<footnote n="16">¹⁶ Jakobson R., « le clivage entre voyelles et consonnes », dans *Langage enfantin et aphasie*, p.54.</footnote>
Cependant, il y a « l'existence de phonèmes combinant deux qualités qui fonde un caractère particulier à l'alternance consonne-voyelle. C'est ainsi à l'étape suivante du babil, celle de l'introduction au langage, que, par effet retour, est donné aux doublets CV ou VC leur plus ou moins grande prégnance dans la langue. C'est donc bien sur plusieurs états successifs (2, 3, 4...) le long de la chaîne parolière (phonème) qu'un effet retour opère sur le choix des alternances privilégiées dans une langue. Bref, l'alternance voyelle -consonne est un artifice qui signe qui anticipe le fait qu'il y a du langage, ce n'est pas une nécessité phonatoire irrémédiable, mais privilégiée.

Une ligature, imaginaire ?

Notons qu'au niveau phonatoire, le clivage C-V (qui provient de l'usage de phonème qui les conjoint) tend à conjoindre ou articuler, au niveau du corps, l'usage des organes vocaux antérieurs (cordes vocales, palais qui sont déterminants dans la formation des voyelles) et les plus postérieurs (le trait labial vient préciser une consonne, idem pour la nasalisation).

Le doublet de catégorie de lettres, sur lequel repose l'application à l'en programme verbal d'une chaîne de probabilités conditionnelles par Markov, s'appuie donc sur un dipôle qui unifie. Nous formulons l'hypothèse qu'il pourrait s'agir d'une assomption de type stade du miroir<sup>17</sup>, pour autant que ce concept a pu être généralisé depuis sa découverte par J. Lacan, une généralisation décrite par E. Solano<sup>18</sup>.

Dans cet article Mme Solano a lu dans le séminaire « RSI » deux étapes préparatoires au séminaire le sinthome : une redéfinition du symptôme, et une « nouvelle lecture de l'angoisse ». Elle conçoit comment ces étapes ont été orientées par la lecture des textes « le moi et le ça » et « inhibition symptôme et angoisse ». Et comment Lacan peut alors effectuer une relecture de la phobie du petit Hans.

Mme Solano explique que Freud dans « le moi et le ça » tira comme conséquence de la fonction de la répétition, celle qui mène à la pulsion de mort au sens d'« Au-delà du principe du plaisir », que le moi entre en continuité avec le « ça ». Cette rationalisation offre un nouveau point de vue sur certains de ses développements précédents à l'instar des

<footnote n="17">¹⁷ Lacan, « Le stade du miroir dans la formation du Je », dans *Écrits*, Paris, Seuil, 1966, p.93-99</footnote>

<footnote n="18">¹⁸ Solano E. « un exercice de lecture », Billet Uforca, 1er mai 2010, https://www.lacan-universite.fr/lectures/</footnote>
« pulsions du moi ». Elle permet de problématiser nouvellement, par exemple le rapport du moi et du corps. J. Lacan est revenu sur cette conception continuiste de « l'appareil psychique », de manière définitive à partir du séminaire Encore. Mme Solano rapporte que, pour caractériser l'existence au sens de Lacan, il convient de prendre le biais d'une chose qui ait la fonction de trou. Elle revient alors sur ce qui fonde le Un (d'une cure psychanalytique).

> « La propriété du registre imaginaire est de l'ordre de la consistance. C'est ce qui tient ensemble, c'est le propre de la consistance. À cet égard, le corps consiste, il tient ensemble avant de se dissoudre. »

La ligature de la langue tient ensemble l'alternance C-V, une fois introjectée, une fois qu'une telle ligature a pris une consistance imaginaire. Il y a trou en ce que l'en programme entendu et reproduit subsume, dans sa propriété de symbole, la présence ou l'absence même du consonnantisme -- la jouissance de moduler, de babiller trouve à se ré-investir dans une jouissance remaniée dans la production de phonèmes. D'où notre hypothèse qu'il pourrait s'agir d'une assomption unifiante.

Quoi qu'il en soit, lorsque l'on suppose une langue déjà en tant que consistance, alors comme Markov l'indique pour le russe, les fréquences d'usage des CV et VC rapportés à l'ensemble pourront être significatives d'une langue. Mme Petruszewicz en prolongement des travaux de Markov l'expose, sans passer par les explications Jakobsoniennes que nous avons construites. Elle l'expose de manière formaliste assumée. Elle tente d'en apprécier l'usage possible des chaînes de Markov dans le domaine linguistique.

Cela ouvre sur notre deuxième remarque. L'usage linguistique de la chaîne de Markov d'ordre 1 ou 2 est possible, mais il est peu probant par rapport à d'autres manières moins sophistiquées de caractériser une langue.

Le repérage d'une courte liste de petits mots ou phonèmes permet plus directement de détecter la langue d'un extrait de 10 000 lettres d'un corpus écrit<fnref n="19" />, laissant l'arsenal mathématique Markovien comme construction superfétatoire. Les fréquences d'utilisation

<footnote n="19">¹⁹ Un fréquence parmi les mots des mots « et », « il » et « que » qui tombe dans un certain intervalle signera la langue française.</footnote>
de certains termes permettent de dater ou approcher certains états de la langue. Ainsi le terme « susnommé » ou « clauses » appartiennent au langage juridique. Ils peuvent servir à le détecter.

M. Petruszewicz a utilisé les caractéristiques de Yule, qui sont des propositions de la stylométrie, bien plus rudimentaires que la proposition littérale Markovienne (longueur en mots de la phrase médiane, quartile un et quartile trois de la longueur en mots des phrases), cf. p. 54 de sa thèse. Or, ces statistiques descriptives suffisent à « considérer les deux discours comme différents ». Les caractéristiques Markoviennes ont-elles alors un caractère superflu ? Ce point n'est pas abordé par sa discussion.

Pour étayer cette deuxième remarque nous ajouterons enfin la chose suivante. En partant de son observation qu'il y a davantage de voyelles, tout simplement de voyelles, dans la poésie de Puškin que dans sa prose, l'auteure montre encore le même phénomène en comparant la transcription d'un discours oral de Lénine, et ce qu'il en est dans ses écrits, soit deux chapitres extraits de l'Etat et la Révolution, qui date de la même période 1917-1918. Ainsi, puisqu'il y a davantage de voyelles, que ce simple décompte fréquentiel sur 5000 lettres suffit à montrer un écart, qu'est-ce qu'apporte l'application du modèle complet de la chaîne de Markov d'ordre 2 ? La chercheuse ne répond pas à cette question (car elle ne la pose pas). La chaîne offre un critère en plus, des statistiques plus variées : mais ne sont-elles pas qu'un écho de ce qui peut être constaté, décompté, de façon primaire et directe ?

A mieux y réfléchir cependant, il semble qu'il y ait une grande cohérence conservée méthodiquement par l'approche de M. Petruszewicz, dans la suite de Markov. L'approche de Markov est foncièrement autre à ces catégorisations, où un savoir préalable sur la langue sert à construire une interprétation à propos d'elle. Son caractère littéral, parce que mathématique, fait d'elle une construction dégagé des impasses de l'utilitaire, et à la limite sans que la question de l'utilité soit d'abord pertinente.

Elle est bien plus précieuse qu'il n'y paraît, car elle est précise d'une part et parce qu'elle traduit une faille entre mathématique et langage. En poussant le calcul sur la langue dans ses retranchements, l'approche du fil de la syntaxe (alternance c / v) par Markov aborde les limites du champ d'un calcul sur la langue.
En conclusion de cette 2ème remarque, si d'un côté M. Petruszewicz estime que l'état de sa recherche remet en lumière une technique oubliée (p.76) : «Il semble que cette application (...) mériterait qu'on y attache plus d'importance qu'on ne l'a fait jusqu'ici d'un point de vue linguistique », d'un autre coté elle reconnaît que l'étude est insuffisante sur un plan statistique, car manquant de « la série d'expérience en nombre suffisant pour pouvoir donner lieu à une étude statistique des résultats obtenus ». Ainsi, si le caractère rigoureux sur le plan statistique de sa démarche n'est pas contestable, en revanche le mystère reste entier sur l'usage qui pourrait en dériver parmi les milles autres manières de caractériser un texte par des métriques<fnref n="20" />.

Troisième remarque, donnons quelques repères historiques sur le contexte de son
élaboration. Micheline Petruszewicz était l'élève de Georges Théodule Guilbaud, lui-même
qui a été en relation avec J. Lacan à partir de 1950²¹. Mme Petruszewycz, bien avant sa
thèse dès 1956, fit partie d'un bureau de recherche universitaire dirigé par Guilbaud au
sein de l'Institut statistique universitaire de Paris<fnref n="22" />. Et sa publication la plus tardive, du
moins trouvé par nous, porta sur l'histoire de la philologie statistique<fnref n="23" />. Elle y réévoque la
pratique du comptage des lettres d'un point de vue historique, cette pratique étant assez
ancienne, et y émet des hypothèses sur des motifs qui lient le sens et le chant en matière
de chants liturgiques juifs (cantillation<fnref n="24" /> de rabbins, en particulier dans la tradition des

<footnote n="20">²⁰ Le caractère rigoureux sur le plan statistique de sa démarche n'est pas contestable. M. Petruszewicz laisse une piste inexplorée pourtant. Quand Markov a fourni des perspectives à son exploration, il envisageait que le modèle soit appliqué à des corpus de texte plus importants (réponse de 1916 à Mozorov). M. Petruszewicz indique alors p143 : « il préconise de passer de cinq milliers de mots à une centaine de milliers de mots ». Or, rien n'apparaît qui montre qu'elle aurait poursuivi cette piste dans ses publications. Ce qui est étonnant puisqu'elle disposait, contrairement à Markov, de l'outil informatique.</footnote>

<footnote n="21">²¹ Biographie de G.-Th Guilbaud dans *Mathematics and social sciences*, 183, t.3, 2008, p.9-15.</footnote>

<footnote n="22">²² Biographie de G.-Th. Guilbaud. Repères chronologiques », Mathématiques et sciences humaines [En ligne], 183 | Automne 2008, mis en ligne le 15 décembre 2008, consulté le 23 juillet 2020. URL : http://journals.openedition.org/msh/10743 ;</footnote>

<footnote n="23">²³ Petruszewycz M., « Un Itinéraire dans la protohistoire de la statistique philologique », Centre d'Analyse et de Mathématique Sociales CNRS-EHESS, Marseille, 1992 (car ce fascicule est rare, nous indiquons qu'une copie se trouve à la bibliothèque Biblique BOSEB, 21, rue Assas à Paris).</footnote>

<footnote n="24">²⁴ C'est un synonyme de psalmodie. Ainsi, « La cantillation hébraïque est la prononciation soigneuse et nuancée de la hauteur musicale des voyelles de chaque mot d'un verset du Tanakh, la Bible hébraïque. » selon https://fr.wikipedia.org/wiki/Cantillation_hébraïque
A la fois règle de prosodie et de chant, la cantillation concerne plusieurs religions. Les chants liturgiques chrétiens entrent dans le phénomène de la cantillation tel que repéré par certaines études musicologiques,</footnote>
Massorètes, cf. infra). En particulier, elle isole des modulations chantées de certains mots (sacrés) susceptibles de leur conférer à la fois un aspect mnémotechnique et de revêtir une part d'implicite. Notons dans la même veine que l'ironie peut s'effectuer par la prosodie, sans aucune marque morphématique, ni même d'accentuation particulière – sauf à conjointre prosodie et accentuation.

L'application d'une chaîne de Markov à une suite de lettres est donc un raffinement du comptage des lettres dans un texte. C'est une technique plus globale que celle-ci et Mme Petruszewycz en a repéré l'invention dans la philologie assez ancienne, liée au domaine du sacré et à l'interprétation des textes. Il existe de ces techniques philologique des méthodes et des traditions, y compris ésotérique comme la Gématria<fnref n="25" />. La pondération ou la signature d'un type de corpus textuel par des mesurandes markoviennes reste plus ancrée dans la philologie finalement, que dans la linguistique du mouvement structural.

Quatrième remarque. L'hypothèse de la langue vient avant d'appliquer ce modèle à cet objet. Markov était un spécialiste du monde discret. La chaîne signifiante présente un conditionnement mathématique, dont il a écrit une formule radicalement simplifiée. Elle rejoint le phénomène constatable qu'il y a une petite musique propre à chaque langue. En somme, son automate syntaxique soutient l'affirmation qu'il y a de la langue. Il y a une confirmation mathématique au concept de langue. Est-ce que cette confirmation spécifie quelque chose de ce concept ?

<footnote>mais l'on parle plutôt en propre de *cantillation* de et pour celle de la bible hébraïque, l'on parle plutôt de *psalmodie* coranique, de psalmodie de l'office ou de la messe latine, et enfin de *chants* grégoriens. La cantillation dans son acceptation restreinte est solidaire plus ou moins de l'existence de voyelles atones qui permettent des reprises et variations sur plusieurs motifs typiques (ou tropes). Elle concerne donc en propre la lecture du texte massorétique de la Bible (le Talnakh, le texte inscrit entre les rouleaux). Il est intéressant en outre de noter que « La cantillation du Tanakh, Bible hébraïque, s'effectue selon deux systèmes dont le plus courant est qualifié de « prosaïque ». Un autre système, dit « poétique », sert à cantiller les trois livres de Job, des Proverbes et des Psaumes. », selon wikipédia sus-mentionné.</footnote>

<footnote n="25">²⁵ Kabbale numérique, gématrie ou arithmologie : des formes numérologiques d'exégèses typiques de la Bible hébraïque mais usité aussi pour le coran à l'usage desquelles les lettres prennent des valeurs numériques (voire aussi les phrases) qui sont additionnées afin de les interpréter (par mot, par verset). Exemple tiré de Wikipédia : la gematria sidouri du mot *yélèd*, qui signifie enfant, vaut 26. Et, elle équivaut alors à celle du tétragramme, le Nom divin de quatre lettres... (que faut-il en conclure ? laissons des points de suspension, bien entendu). https://fr.wikipedia.org/wiki/Gematria fourmille de renseignements supplémentaires qui tentent d'objectiver la pratique occulte.</footnote>
Le concept de langue est moins évident qu'il n'y paraît. Nous sommes tant plongés dans notre bain de langage, que s'en abstraire pourrait bien s'avérer impossible. Déjà en tant que concept, quelque chose de la langue elle-même y est abstrait, donc retiré. Ce concept n'est pas une donnée de départ, pour s'en convaincre il suffit de se pencher sur la linguistique géographique, avec laquelle étudier les interpénétrations langagières, les idiomes et les dialectes. En sorte que le concept premier avant celui de langue est probablement plutôt celui de traduction, une consistance spécifique, intellectuelle à partir de laquelle il serait possible de garantir le métier d'interprète.

Le passage d'une langue à une autre est-il continu ou discret ou encore d'une autre nature ? La réponse n'est pas évidente. Saussure remarque :

> « Ce qui frappe tout d'abord dans l'étude des langues, c'est leur diversité (...) les divergences dans l'espace. Les sauvages eux-mêmes les saisissent, grâce aux contacts avec d'autres tribus parlant une autre langue. C'est même par comparaison qu'un peuple prend conscience de son idiome. Remarquons, en passant, que ce sentiment fait naître chez les primitifs l'idée que la langue est une habitude, une coutume analogue à celle du costume ou de l'armement<fnref n="26" />. »

Passons sur la référence aux « sauvages ». Nous sommes évidemment tous des sauvages qui nous ignorons, à l'époque feindre de l'ignorer en employant ce mot était à la mode. Entre l'Allemand et le Français, il est encore constatable qu'existent l'Alsacien, le Luxembourgeois, bref, divers dialectes de la langue d'Oïl. Par l'impérialisme et la férule des Etats-Nations qui se renforcèrent au XIXe, ce siècle fut aussi celui des politiques nationalistes d'uniformisation linguistique.

Et, de même que le mètre de couturier permet d'établir le patron pour tout type de tissus et costumes, les statistiques (en particulier l'approche Markovienne) s'adaptent, épousent la forme d'une langue. Par leur biais, l'on peut étalonner la contrainte d'alternance consonnes-voyelles formant les syllabes et partant formant la syntaxe.

L'abord d'une chaîne syntaxique par Markov semble assez universel. Ce modèle a été appliqué, dans l'ordre chronologique avec Markov au russe, avec Shannon à l'anglais (cf. infra), puis avec M. Petruszewicz au russe, au français et à l'anglais. Il a été appliqué à des langues synthétiques, c'est-à-dire où les rapports grammaticaux entre les formes

<footnote n="26">²⁶ Saussure F.D., « Linguistique géographique », dans *Cours de linguistique générale*, Paris, Grande bibliothèque Payot, 1967, [291]-[297] p.261-289.</footnote>
linguistiques sont marqués sur les bouts de mots ou les mots eux-mêmes : flexions, désinences, conjugaisons. Est-ce du fait du synthétisme de la langue que fonctionne cette application ? Nous pensons bien que non, et cela tient au fait qu'il y a un continuum entre le synthétisme et l'analyticité des langues, qui ressort notamment au niveau de l'alternance consonnes-voyelles de leur phonation. Une langue isolante (ou analytique) est une langue dont chaque mot coïncide avec un seul morphème.

你等我
我 你 一 起 来

« nǐ děng wǒ
Wǒ hé nǐ yī qǐlá

toi attendre moi,
moi alors avec toi aller

i.e. Si tu m'attends, je vais avec toi <fnref n="27" />.»

Les mots mandarins respectent la forme syllabique. A fortiori, l'automate du calcul Markovien restera un calcul de pondération d'une telle langue sous sa forme orale. Il semble même que l'attaque régulière {C - V} ait une prédominance marquée, et si cette observation est juste, elle n'obère nullement que le treillis vocalo-consonnantique capte une routine pour cette langue. Les idéogrammes ne sont pas en reste. Malgré les immenses différences d'avec une écriture alphabétique, malgré la philosophie même du langage qui se donne pour contrainte supplémentaire l'horizon de nouer un son, une idée et une image, les variations des formes idéographiques respectent des régularités <fnref n="28" />, et même en respectent de plus en plus durant son histoire, si bien qu'un automate cellulaire pourra émuler des idéogrammes. Bien sûr, un tel idéogramme émulé n'appartiendra pas vraiment à la langue.

Enfin, il faut noter que M. Petruszewicz n'en extrait tout de même pas une question comme celle de l'authorship, les signatures numériques extraites d'une langue par une chaîne de Markov ont un halo trop important pour signer un auteur, et même sûrement ne résolvent pas des petites variations géographiques. Ce n'est pas un très bon microscope de la langue. Ce serait plutôt un télescope, un point de vue sur la langue observée telle un astre, une étoile qui, d'être extrêmement loin, serait abordée par ses signatures spectrales, la manière de vibrer de son onde porteuse.

<footnote n="27">²⁷ Exemple réadapté de celui proposé par https://fr.wikipedia.org/wiki/Langue_isolante</footnote>

<footnote n="28">²⁸ L'une parmi d'autres : certains idéogrammes forment un composé d'autres, dans l'écriture chinoise.</footnote>
En conclusion de cette quatrième remarque, ce modèle d'application est compatible avec la diversité des langues et avec leur franchissement d'un lieux à un autre, plus ou moins discret, plus ou moins continu. Il reste que l'abord par une chaîne de Markov ne reprend à peu près rien de la linguistique, de la richesse des différents mécanismes mis en jeu qu'elle a repéré, et pour certains spécifiques à telle ou telle langue. En fait il s'est avéré n'être qu'une piètre voie d'approfondissement en linguistique.

A la fois, donc, cela dénote que ce modèle provient bien des mathématiques, qu'il y a de l'universel dans ce modèle, et à la fois l'on constate le décrochage que l'application d'une fonction mathématique, même adaptée, implique quant à la science de la langue elle-même. En voulant identifier une langue, la consigner par une pondération, l'on écrase à peu près tout ce qui fait qu'il y un usage maintenu par les locuteurs de cette langue.

Une langue apparaît, sous l'optique d'y identifier des signatures numériques, statistiques, sous son trait fondamental d'une fixation, dans son *vernaculus* ce qui, étymologiquement, renvoi à sa spécification d'emploi telle qu'adaptée au sein d'une « maison », au sens élargi. Toutefois cela reste une fixation « locale » ou du moins empreinte d'une localisation, d'un vernaculaire, et n'empêche en rien que les langues servent ensuite dans des réseaux d'échanges. Il est certain que les locuteurs, les livres, les pages internet maintenant, se meuvent et voyagent.

Appliquer une chaîne de Markov à du langage n'est donc qu'une manière d'en extraire la tournure vocalique, la parlure<fnref n="29" />. Cela présente la langue comme une fixation, relative.

Il faut noter que M. Petruszewicz montre que le modèle est superfétatoire pour faire la différence oralité / écrit, parce que le nombre de mots par phrases et plus significatif, tout simplement. L'oralité s'exprime en moins de mots, ou de manière équivalente elle emploie davantage de ponctuations.

Appliquer une chaîne de Markov à du langage donne une certaine consistance à la notion de langue, mais n'est-ce pas du fait que le concept de langue soit déjà au principe de sa transcription, de l'orthographe ? N'est-ce pas d'être déjà le fait d'une évolution contrainte « en tant que langue », telle l'uniformisation politique d'une langue pour une nation qui a eu lieu au XIXe ? Non, une chaîne de Markov ne démontre pas le fait qu'il y ait une langue.

<footnote n="29">²⁹ mot argotique en français d'Europe mais en Québécois signifie patois, idiome local</footnote>
Il est d'abord constaté comme fait, et ensuite il peut devenir l'objet auquel Markov a appliqué sa nouvelle mathématisation (les épreuves liées en chaînes).

Pour conclure cette partie, premièrement résumons-nous : M. Petruszewicz a prolongé l'essai de mathématique appliquée à la linguistique, de Markov. Dans le domaine de la prosodie, elle tire du critère delta de Markov l'idée d'une signature possible entre prose et poésie pour un auteur donné, sur l'exemple de Puškin avec lequel ce critère discrimine bien les deux corpus.

## La perspective de la musicalité de la langue.

Nous pourrions prendre un point de comparaison de ce qui se repère comme texture de la langue par l'automate de Markov : le tempérament (musical). Le tempérament réside dans le fait qu'il y a, pour un même instrument, plusieurs manières acceptables à l'oreille de l'accorder manuellement. En effet, dans une bande d'octave (de f à 2.f) à placer par exemple 12 demi-tons (les marches ou touches blanches, et les feintes, noires, du piano) il est possible d'insérer par de menus décalages par rapport à une progression parfaitement géométrique, certaines menues fractions de ce rapport (commas) qui favorisent ou défavorisent certaines consonances et dissonances au sein de la gamme. Par exemple, il est possible de compenser un filtre naturel de l'oreille humaine, en abaissant légèrement le tempérament des 6 demi-tons les plus graves et en augmentant légèrement celui des 2 ou 3 demi-tons les plus aigus, pour faire paraître les intervalles plus homogènes à ceux du centre, dans ces extrêmes, qu'ils ne sonnent si l'on les conforme à la fréquence physique et à un tempérament égal mathématique. En mathématique répartir douze demi-tons dans un rapport 2, l'octave, cela revient à introduire un rapport 1.059 pour le demi-ton puisque $2^{\frac{1}{12}} \sim 1,059$ (cela pour le tempérament égal).

De même, nous pourrions remarquer que l'auteure démontre qu'il y a un comma dans la poésie par rapport à la prose, qui consiste en ce qu'un trait de son vocalisme, l'apparition de voyelles sur voyelles, soit moins aléatoirement distribué (davantage resserré autour de ce qui, dans la langue, le conditionne). C'est l'utilisation en tant que sonde des chaînes de Markov qui l'ont mise sur cette voie.
Dans la différence entre prose et poésie – nous avons vu qu’il suffit de la statistique des doublets de VV pour discriminer, du moins au sein de ces registres chez Puškin<fnref n="30" />, cette différence de tempérament pourrait être effet de la rétroaction des contraintes morpho-syntaxiques sur la distribution des lettres. Par contraintes morpho-syntaxiques, nous désignons par exemple le recours à des phrases plus courtes, et les règles phonématiques (assonances et rimes) propres à la poésie.

Par calcul avec des chaîne de Markov en linguistique calcul un signe, numérique, d'un phénomène du domaine du perceptible, si banal à vrai dire – le ronron de la langue, qu'il s'oublie. Et, il est notable que le passage à la lettre à la limite du trait (la réduction à deux catégories de lettres), conserve un trait aussi subtil du langage.

Nous trouvons que cette idée de tempérament d'une langue qui peut être l'objet d'un calcul sur sa forme écrite aide à considérer, avec Lacan, que l'écrit est « un autre mode du parlant dans la langage<fnref n="31" /> ». C'est-à-dire un mode du parlant. L'écrit transmet une certaine verve, via le style. Ce n'est pas le timbre d'une voix, mais c'est quelque chose du timbre de l'être parlant (la-voix-de-Personne d'une langue donnée), passant à l'écrit.

Nous employons à dessein le mot signe, en adoptant la définition du signe de G. Chatenay : le signe pointe vers l'objet<fnref n="32" />. s→o. Le delta de Markov pointe vers le ronron parolier.

Non seulement il y a un grande différence entre un signe et un signifiant, selon J. Lacan, mais ils sont même sans commune mesure. Un mot, isolé en tant que tel, tient du signe, et n'est pas un signifiant. Un chiffre peut faire signe pour quelque chose (le zéro pour la ruine), au contraire, les signifiants fonctionnent par groupes. Le sujet doit trouver comment les entendre, c'est-à-dire à effectuer des choix.

En résumé, il y a conformation globale de l'écrit en langue russe de l'ordre d'une chaîne présentant un certain tempérament, que l'on peut extraire par le calcul. Cette

<footnote n="30">³⁰ A noter toutefois que, pour montrer que les doublets et les triplets de consonnes ou de voyelles sont plus fréquents dans tel type de texte que dans tel autre, pour comparer deux types prédéfinis de texte avec cette hypothèse de départ, il était nécessaire d’en passer par un modèle de distribution des lettres le long de la chaîne de caractère (en l’occurrence celui de Markov – quand bien même au final il semble ne pas convenir très bien à la poésie dans l’étude pour sa thèse en 1979).</footnote>

<footnote n="31">³¹ Lacan J., « Postface » (au livre XI du séminaire) [1er janvier 1973], Paris, Seuil, 1975, p. 252. citée par: Soler C.,« Du parlêtre », L'en-je lacanien, 11, 2008, p. 23-33.</footnote>

<footnote n="32">³² Gilles Chatenay, « La présence réelle dans l'analyse », Ironik, 33, jan. 2019, (https://www.lacan-universite.fr/la-presence-reelle-dans-lanalyse/, dernière consultation le 31 mars 2023)</footnote>
conformation à un modèle donne à cette chaîne un aspect d'ensemble idéal à partir duquel
ce raisonnement permet une saisie du phénomène langagier.

La langue prise sur un versant quantitatif

La quantité d'information à communiquer reste une question à la marge de la linguistique.
En linguistique, l'hypothèse de la langue est faite. Ce concept lui est fondamental et
détermine la réalité qu'elle informe ou construit. Muni du concept de langue, il est
constatable que les langues sont variées, évolutives et pleines de variantes en leur sein.
L'un, le thème, ne va pas sans l'autre, les variations c'est à dire le multiple entre les langues
et au sein de la langue.

Le point important est que la linguistique pose une hypothèse fondamentale différente de
celle de la théorie de la communication. Jakobson considérait que la linguistique et la
théorie de la communication restaient en étroit contact<fnref n="33" />. La chronologie faisant que la
second est arrivé quelques décennies après la première nous faisait penser que l'hypothèse
de la communication était subordonnée à celle de la langue. Or, R. Jakobson qui a pratiqué
les deux, nous enseigne en fait que les hypothèses sont différentes.

C'est la théorie de l'information qui donne la structure à la « théorie mathématique de la
communication ». Elle ouvre le champ à de l'information en tant que structurale, c'est-à-
dire un message, et de l'information métrique, c'est-à-dire exprimable dans une quantité,
de bits informatiques<fnref n="34" />. Le versant de l'information-message jouxte la linguistique en
réinstallant le montage ternaire de l'émetteur, du récepteur et du contexte de l'émission
comme côtés d'un cadre nécessaire, dont le nom effectif est celui de la sémiologie
(transmettre des signes<fnref n="35" /> de manière effective, mettre les signifiants en adéquation avec
des codes de communication).

<footnote n="33">³³ Jakobson R., « chapitre V – la linguistique et les théories de la communication », dans *Essais de linguistique générale I. Les fondations du langage*, Paris, Minuit (trad. Ruwet N.), 2003 [1963], p.87.</footnote>

<footnote n="34">³⁴ Jakobson R., « chapitre V – la linguistique et les théories de la communication », dans *Essais de linguistique générale I. Les fondations du langage*, Paris, Minuit, (trad. Ruwet N.), 2003 [1963], p. 88.</footnote>

<footnote n="35">³⁵ Ce que Jakobson appelle signe est le signe linguistique qui correspond au terme signifiant dans le champ freudien. Ce dernier réserve le terme de signe au sens Peircien de ce qui indexe un récepteur, lui « fait signe », par le biais d'un objet (un panneau par exemple, un panneau indicateur, cela s'étend au geste et à la manifestation vocale, mais pas sous son aspect verbal). C'est ce qu'enseigne G. Chatenay dans : Chatenay, G. « La présence réelle dans l'analyse » *Ironik*, 33, janv 2019</footnote>
En revanche, le versant de l'information-bits, lui, va plus loin que le cadre linguistique ou sémiologique et à vrai dire porte l'investigation scientifique sur un champ différent de celui du langage. Jakobson constate que ce qui peut se constituer comme des redondances au niveau de l'analyse informatique des signaux de la paroles (idem pour la chaîne orthographique) sont bel et bien des traits distinctifs linguistiques quoiqu'en disent les ingénieurs informatiques, sur un exemple des voyelles d'avant et d'arrière, palatalisées ou non, en russe<fnref n="36" />.

La numérisation ne suffit donc pas à l'interprétation de la chaîne en phonème, elle ne comporte pas en elle-même le code de la chaîne. Notons que cela reste valable, quand bien même Jakobson effectue tout un détour par la reconstruction des phonèmes à partir des traits distinctifs phonologiques binaires qu'il entrevoit. Cette décomposition numérique de la chaîne parlée est sans code, qui, lui, est fourni par le discours que tiennent Halle, Jakobson et Morris. Les coordonnées numériques de la chaîne parlée bien qu'englobant alors les entités que sont les phonèmes, n'en traite pas la structure, mais le support, la sous-structure (les bouquets de traits distinctifs que comporte chaque phonème).

En résumé, la théorie de l'information bits s'attache à la question du substrat du dire (cause matérielle), et ne concerne qu'elle en tant que telle, alors que la linguistique s'attache à la question de l'effectuation du dire qui recoupe les quatre ordres de causalités aristotéliennes (avec les trois autres types causaux à savoir : en acte, formel, et final).

Nous pouvons donc lire et critiquer l'attrait immense pour l'informatique dans la veine de la critique du matérialisme, parce qu'il s'agit d'un matérialisme au niveau de l'approche du langage.

## 2) Lettre univariée

Le cas d'application à la chaîne orthographique des épreuves liées conditionnellement en chaîne de Markov s'appuie à la fois sur une dichotomie et sur une fonctionnalisation. Markov clive les énoncés du langage via les catégories : consonnes et voyelles. En plus de former une séquence syntaxique, unilinéaire, son cas d'application tente aussi de les tenir au sein d'un même cadre, le cadre évènementiel probabiliste. Il y a là l'enchâssement de

<footnote n="36">³⁶ Jakobson R., « chapitre V – la linguistique et les théories de la communication », art. cité, p. 89.</footnote>
deux cadres. Quel était donc, le rapport de Markov à la langue ? Ce mathématicien présente le matériel signifiant du russe en tant que texture de consonnes et de voyelles, et notons-le, sans les espaces, sans ponctuations, et sans certaines autres subtilités qui font que nulle langue n'est un code. Markov fait de sa langue maternelle un matériel. Il en dévoile l'aspect textural c'est-à-dire modulation d'un ensemble univarié, c'est-à-dire à un seul paramètre.

Il n'y a pas même nécessité de recourir à l'opérateur du premier Lacan le phallus (signifiant à désigner dans leur ensemble les effets de signifié en tant que le signifiant les conditionne par sa présence de signifiant). Markov a même mis de côté le signifiant en tant que tel, en tant que morceau choisi ou lu d'un passage d'un texte. Il a mis de côté, pourrions-nous dire, le signifiant puisque le matériel textuel n'est pas à lire mais à mesurer en tant que chaîne de données !

Cette opération promue par la linguistique quantitative est moins insolite qu'il n'y paraît à l'ère du numérique. Est-elle novatrice ? En fait, elle a déjà toute une tradition dans l'exégèse en particulier du domaine religieux (parfois il faut l'avouer associé à des pratiques divinatoires telle l'exorcisme<fnref n="37" /> il n'empêche), et aussi dans la cryptanalyste de textes anciens ou dans des idiomes ou bien rares ou bien partiellement connus. Le comptage de lettres n'est pas même un procédé typique du XIXᵉ mais antérieure. M. Petruszewycz a enquêté sur la tradition du comptage des lettres rabbiniques des Massorètes. Il y en a sûrement d'autres liées à des traditions de la Kabbale et ou de la tradition juive karaïte, qui ne s'attache qu'à la Torah écrite. Les Massorètes furent d'excellents philologues, car chargés de codifier déchiffrer une version de vocalisation fidèle de la forme textuelle de la Bible Hébraïque<fnref n="38" />. Cette tradition est liée à la cantillation, c'est-à-dire la lecture chantée, des écritures hébraïques. Elle semble absurde aux yeux de Richard Simon<fnref n="39" /> qui parle de « la minutie inutile » des Massorètes dans son Histoire critique du vieux testament. Le plus étrange dans cette expression de « la minutie inutile »

<footnote n="37">³⁷ L'antéchrist pourrait laisser des marques qu'un comptage de lettres puisse mettre en évidence.</footnote>

<footnote n="38">³⁸ Tanakh = la triade composé de la Torah des Nevi'im (les textes des prophètes) et les Ketouvim (Autres Ecrits ou Hagiographe)</footnote>

<footnote n="39">³⁹ Simon R. *Histoire critique du vieux testament*, Reinier Leers, Rotterdam, 1685, chapitre 1, p.10.
https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96098388</footnote>