# Réseaux (R)k-1 et groupes d'automorphismes transitifs

Pierre Lecointe

► To cite this version:

Pierre Lecointe. Réseaux (R)k-1 et groupes d'automorphismes transitifs. Annales de l'ISUP, 1977, XXII (1-2), pp.55-82. hal-04080802

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Submitted on 25 Apr 2023

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# RESEAUX (R)$_{k-1}$ ET GROUPES D'AUTOMORPHISMES TRANSITIFS

Pierre LECOINTE

Nous avons établi dans [1] l'équivalence entre réseaux (R)$_{k-1}$ et tableaux orthogonaux d'indice unité. Nous nous proposons en étudiant certains groupes d'automorphismes sur les réseaux (R)$_{k-1}$ de dégager des constructions de ces réseaux par utilisation des groupes de permutations.

## 1. RAPPELS ET DEFINITIONS.

### 1.1.- Définition des réseaux (R)$_{k-1}$ (référence [1]).

Soit E un ensemble fini d'éléments désignés par des points. Soit F un sous-ensemble d'éléments de F(E) désignés par des plans. Soit $\mathfrak{F}$ une partition de F en N classes $F_i$. (Card $[F_i] \ge 2$, $i \in [1, N]$). Soient q et k deux nombres entiers positifs ($2 < k < N$). Le système (E, F, $\mathfrak{F}$, N, k, q) constitue un réseau $(R)_{k-1}^q$ de dimension k si l'on a :

(i) Tout point x de E appartient à un plan y et un seul de chaque classe $F_i$.

(ii) h plans quelconques de h classes différentes se coupent en $q^{k-h}$ points si $h \le k$, ou alors si $h > k$, soit en 1 point, soit en 0 point. (Lorsqu'il n'y aura aucun risque d'ambiguïté, on notera en abrégé les réseaux $(R)_{k-1}$ par la lettre R).

- Rappelons au sujet de ces réseaux qu'on leur fait correspondre des tableaux orthogonaux d'indice unité, ce qui justifie l'intérêt de leur construction (référence [1]).
## 1.2 - Automorphismes sur réseaux $(R)_{k-1}$.

### 1.2-1 - Soient deux réseaux $(R)_{k-1}$ :

$R_1 = (E_1, F_1, \mathfrak{f}_1, N_1, k, q_1)$ et $R_2 = (E_2, F_2, \mathfrak{f}_2, k, q_2)$.

Soit $\alpha$ une application de $E_1 \cup F_1 \cup \mathfrak{f}_1$ dans $E_2 \cup F_2 \cup \mathfrak{f}_2$.

(i) $\alpha$ est un homomorphisme de $R_1$ dans $R_2$ si :

$\forall x_1 \in E_1, x_1^\alpha \in E_2; \forall y_1 \in F_1, y_1^\alpha \in F_2; \forall F_i \in \mathfrak{f}_1, F_i^\alpha \in \mathfrak{f}_2$

$\forall x_1 \forall y_1 \forall F_i$ avec $x_1 \in y_1 \in F_i : x_1^\alpha \in y_1^\alpha \in F_i^\alpha$.

(ii) $\alpha$ est un isomorphisme de $R_1$ sur $R_2$ si $\alpha$ est un homomorphisme et si $\alpha$ est une bijection de $E_1$ sur $E_2$ (resp$^t$ de $F_1$ sur $F_2$) (resp$^t$ de $\mathfrak{f}_1$ sur $\mathfrak{f}_2$).

(iii) Un automorphisme $\alpha$ de $R_1$ est un isomorphisme de $R_1$ sur lui-même.

### 1.2-2 - Soit un réseau $(R)_{k-1} = (E, F, \mathfrak{f}, N, k, q)$.

Soit $\Gamma$ un sous-groupe de $G(R)$ groupe des automorphismes de $(R)_{k-1}$.

On dira que $\Gamma$ est transitif sur $(R)_{k-1}$ si $\Gamma$ est transitif sur $E$, (resp$^t$ sur $F$), (resp$^t$ sur $\mathfrak{f}$).

- Nous allons dégager maintenant les principales propriétés des groupes $\Gamma$ transitifs sur un réseau $(R)_{k-1}$ de dimension $k$.

## 2. ÉTUDE DES GROUPES $\Gamma$.

### 2.1 - Soit $\Gamma$ un groupe d'automorphismes transitif sur un réseau $(R)_{k-1}$ de dimension $k$. Soit $\Gamma_1$ une classe de $\mathfrak{f}$ et soit $\Gamma = \Gamma_{\mathfrak{F}_1}$ le stabilisateur de $\mathfrak{F}_1$.

#### 1ère PROPRIETE.

Soit $y$ un plan quelconque de $\mathfrak{F}_1$.

$y^\alpha$ décrit $\mathfrak{F}_1$ quand $\alpha$ parcourt $\Gamma_1$.
### Démonstration.

Si $\alpha \in \Gamma_1$, on a $F_1^\alpha := F_1$. Soit $y_1 \in F_1$, $y_1^\alpha \in F_1^\alpha$ donc $y_1^\alpha \in F_1$. Réciproquement, soit $y' \in F_1$ ; puisque $\Gamma$ est transitif $\exists \alpha \in \Gamma$ avec $y' = y_1^\alpha$. Supposons que $\alpha \notin F_1$, alors $F_1^\alpha \neq F_1$. Mais $y_1^\alpha \in F_1$ donc $y_1^\alpha \in F_1 \cap F_1^\alpha$. D'après les propriétés des réseaux, un même plan ne peut être commun à deux classes différentes ; donc : $F_1^\alpha = F_1$ et l'hypothèse $\alpha \neq \Gamma_1$ était absurde.

2.2 - Soit $y_1$ un plan de $F_1$ et $\Gamma y_1$ le stabilisateur de $y_1$.

### 2ème PROPRIETE.

$\Gamma y_1$ est un sous-groupe de $\Gamma_1$.

### Démonstration.

Soit $\alpha \in \Gamma y_1$. On a $y_1^\alpha = y_1$. Or, $y_1 \in F_1$, donc $y_1^\alpha \in F_1^\alpha$. Autrement dit, $y_1^\alpha \in F_1 \cap F_1^\alpha$.
Par définition, $F_1^\alpha$ est une classe de $\mathcal{F}$. Or, un même plan $y_1$ ne peut appartenir à deux classes différentes ; donc : $F_1^\alpha = F_1$ et $\alpha \in \Gamma_1$.

- Dorénavant, nous supposons que $\Gamma_1$ est un sous-groupe distingué de $\Gamma$.

2.3 - Soit $x_1 \in E$ et soit $y_i \in F_i$, $V \in [1,N]$, $N$ plans de chacune des $N$ classes de plans, passant par $x_1$.

Soit alors $\Gamma_2$ l'ensemble des automorphismes $\alpha \in \Gamma$ tel que : $(y_1, y_2, \dots, y_N)^\alpha = (y_1^\alpha, y_2^\alpha, \dots, y_N^\alpha)$ soit une permutation de $(y_1, y_2, \dots, y_N)$. Soit enfin $\Gamma_{x_1}$ le stabilisateur de $x_1$ et supposons que $\Gamma_2$ soit transitif sur $(y_1, y_2, \dots, y_N)$.

### 3ème PROPRIETE.

(i) $\Gamma_2$ est un sous-groupe de $\Gamma$.

(ii) $\Gamma_2 = \Gamma_{x_1}$.

(iii) $\Gamma = \Gamma_1 \Gamma_2 = \Gamma_2 \Gamma_1$.

(iv) $\Gamma_1 \cap \Gamma_2 = N_1 = \Gamma_2 \cap \Gamma y_1 = \Gamma_2 \cap \Gamma y_i$ ($y_i \in F_i$, $V \in [1,N]$).
### Démonstration.

(i) Evident.

(ii) Les plans $y_1, y_2, \dots, y_N$ passent par $x_1$. On a donc en vertu des propriétés des réseaux $(R)_{k-1} : x_1 = \bigoplus_{i=1}^N y_i$.
Or, $\forall \alpha \in \Gamma_2$ ($y_1, y_2, \dots, y_N$) $^\alpha$ = permutation de $y_1, y_2, \dots, y_N$.

Donc : $x_1^\alpha = x_1 = \bigoplus_{i=1}^N y_i$, c'est-à-dire : $\alpha \in \Gamma_2 \Rightarrow \alpha \in \Gamma' x_1$.

Réciproquement, soit $\alpha \in \Gamma x_1$ ; on a donc $x_1^\alpha = x_1$.

$$x_1 = \bigoplus_{i=1}^{N} y_i \implies x_1^{\alpha} = x_1 \in y_1^{\alpha} \cap y_2^{\alpha} \cap \dots \cap y_N^{\alpha}$$

$\alpha$ étant un automorphisme, les plans $y_1^\alpha, \dots, y_N^\alpha$ sont tous différents (puisque les plans $y_1, y_2, \dots, y_N$ l'étaient). Ces plans ne sont pas parallèles puisqu'ils passent tous par $x_1$ ; donc $(y_1, y_2, \dots, y_N)^\alpha$ est une permutation de $(y_1, y_2, \dots, y_N)$ et $\alpha \in \Gamma_2$.

(iii) Avant de démontrer ce résultat, démontrons les deux lesmes suivants :

**LEMME 1** : Si $y \parallel y'$ alors $y^\alpha \parallel y'^\alpha$ et $\forall \alpha \in \Gamma$.

En effet, raisonnons par l'absurde et supposons que $y^\alpha \cap y'^\alpha \neq \emptyset$. Soit alors $x \in y^\alpha \cap y'^\alpha$ ; cela entraîne que $x^{-1} \in y$ et que $x^{-1} \in y'$. Ce qui est contraire à l'hypothèse.

**LEMME 2** : Soit $y_i \in F_i$, $\forall i \in [1,N]$, $y_i^\alpha$ parcourt $F_i$ quand $\alpha$ décrit $\Gamma F_i$, $\Gamma F_i$ désignant le stabilisateur de $F_i$.

En effet, tout d'abord soit $\alpha \in \Gamma F_i$ ; alors $y_i^\alpha \in F_i^\alpha = F_i$. Réciproquement, soit $y'_i \in F_i$, $\exists \alpha \in \Gamma$ tel que $y'_i = y_i^\alpha$. Supposons par l'absurde que $\alpha \notin \Gamma F_i$. C'est à dire : $F_i^\alpha = F_j \neq F_i$.
Alors, $y_i^\alpha \in F_i \cap F_i^\alpha$, ce qui est impossible (propriétés des réseaux) ; donc, $F_i^\alpha = F_i$ et $\alpha \in \Gamma_{F_i}$.

- Démontrons (iii) maintenant. L'hypothèse suivant laquelle $\Gamma_1$ est invariant va, bien sûr, être essentielle.

Soit u un élément quelconque de $\Gamma$. Soit $y'_i$ l'image de $y_i$ par $u$. $y'_i = y_i u$.

Si $y'_i \in F_i$ soit $y_i \in F_i$ et soit $a \in \Gamma_2$ tel que $y_i = y_i a$

Soit $\alpha \in \Gamma_{F_i}$ tel que $y'_i = y_i^\alpha$. On a :

$$ \overline{y'_i = y_i u = y_i a^\alpha.} $$

D'autre part, $y_i = y_i a^{-1} \implies y'_i a^{-1} \parallel y_i \implies y'_i a^{-1} \in \Gamma_1$

$\exists \beta \in \Gamma_1 \quad y_i\beta = y'_i a^{-1} \implies y'_i = y_i \beta a$ soit :

$$ \overline{y'_i = y_i u = y_i \beta a.} $$

En conclusion :

$$ \overline{y_1 u = y_1 a^\alpha = y_1 \beta a.} $$

En particulier : $a^\alpha a^{-1} \beta^{-1} = u_1 \in \Gamma y_1 \subset \Gamma_1$.

Soit : $\alpha = a^{-1} u_1 \beta a = v \in \Gamma_1$ (puisque $\Gamma_1$ est invariant).

D'où :

$$ \overline{\Gamma_{F_i} = \Gamma_1} $$

Alors : $y_1 u = y_1 a^\alpha = y_1 \beta a$ avec $a \in \Gamma_2$ et $\alpha, \beta \in \Gamma_1$.

Comme $a^{\alpha}(\beta a)^{-1} = u_1 \in \Gamma y_1 \subset \Gamma_1$, on a :

$a^\alpha = u_1 \beta a = \gamma a$ avec $\gamma \in \Gamma_1$ ; c'est à dire finalement :

$$ \Gamma = \Gamma_1 \Gamma_2 = \Gamma_2 \Gamma_1. $$
2.5 - En désignant par $n_1$ l'ordre du sous-groupe
$\Gamma_1 = \Gamma_{x_1} \cap \Gamma_1$, on a :

5ème PROPRIETE.

$$
\mathrm{Card}[\Gamma_1] = n_1 q^k ; \quad \mathrm{Card}[\Gamma'_{x_1}] = n_1 N ;
$$

$$
\mathrm{Card}[\Gamma] = n_1 N q^k ; \mathrm{Card}[\Gamma_{y_1}] = n_1 q^{k-1} ;
$$

$$
\mathrm{Card}[\Lambda_1] = n_1 N q^{k-1}.
$$

Démonstration.

On sait que Card [E] = q^k. Cela entraîne : Card[Γ] = q^k Card [Γx_1].

De même, $\text{Card}[y_1] = q^{k-1}$. D'où : $\text{Card}[\Lambda_1] = \text{Card}[\Gamma x_1]q^{k-1}$.

Or, $\text{Card } \Delta_1 = \text{Card } \Gamma y_1 N = \text{Card } \Gamma x_1 q^{k-1}$

D'où : $\text{Card } \Gamma_{x_1} q^{k-1} = \text{Card } \Gamma_{y_1} N$

D'autre part, $\text{Card } \Gamma = \text{Card } \Gamma_1 \Gamma_2 = \text{Card } \Gamma_{x_1} q^k$

$$
D'où : \quad \frac{\text{Card } \Gamma_1 \quad \text{Card } \Gamma_2}{\text{Card } \mathbb{N}_1} = \text{Card } \Gamma_{x_1} q^k
$$

C'est à dire : $\text{Card } \Gamma_1 = \text{Card } N_1 q^k$

$$
\text{soit :} \quad \text{Card } \Gamma_1 = n_1 q^k
$$

Ensuite, vu la définition de Γ₁ et les propriétés des réseaux :

$$
\text{Card } \Gamma_1 = q \text{ card } \Gamma_{y_1}.
$$

En effet, $\Gamma_{y_1}$ est un sous-groupe de $\Gamma_1$ et on a :

$$
\Gamma_1 = \bigcup_{i=1}^{q} \Gamma_{y_1} \alpha_i \quad (\text{avec } \alpha_1 = 1)
$$

Donc : $\frac{\text{Card } \Gamma_{y_1} = n_1 q^{k-1}}{\text{Card } \Gamma_{x_1} = n_1 N q^{k-1}}$

Cela entraîne :

$$
\mathrm{Card} \ \Delta_1 = n_1 N q^{k-1}
$$

$$
\mathrm{Card} \Gamma_{x_1} = n_1 N.
$$
Remsque.

Soit $x_1 \in y_1$ $x_1^\alpha \in y_1$ si $\alpha \in \Gamma y_1$
Si $x_1^{\alpha_1} = x_1^{\alpha_2}$ avec $\alpha_1, \alpha_2 \in \Gamma y_1$ on a :

$\alpha_1 \alpha_2^{-1} \in \Gamma_{x_1} \cap \Gamma_{y_1} = N_1$ ; soit $\alpha_1 \in N_1 \alpha_2$.

Vu le cardinal de $\Gamma_{y_1}$, $x_1^\alpha$ $\forall \alpha \in \Gamma_{y_1}$ décrit $y_1$ et on a :

$$ \Gamma_{y_1} = \bigcup_{k=1}^{q} N_1 \beta_i \quad (\text{avec } \beta_1 = 1) $$

2.6 -

6ème PROPRIETE.

$N_1$ est un sous-groupe distingué de $\Gamma_{x_1}$.

Démonstration.

Il s'agit de montrer que $a^{-1} N_1 a \subset N_1$ $\forall a \in \Gamma_{x_1}$

Soit le plan $y_1$ de $\Gamma_1$. Supposons que $y_i = y_1$ a. On a le schéma :

$$ y_i \xrightarrow{a^{-1}} y_1 \xrightarrow{N_1} y_1 \xrightarrow{a} y_i $$

$y_i$ est donc fixé par $a^{-1} N_1 a$ ; ceci peut se répéter $\forall y_i$

En effet, par définition, a permuté entre eux les plans $y_1 y_2 \dots y_N$ , c'est à dire :

$$ y_j \xrightarrow{a^{-1}} y_k \xrightarrow{N_1} y_k \xrightarrow{a} y_j $$

Autrement dit, $y_1 y_2 \dots y_N$ sont fixés par $a^{-1} N_1 a$ . Donc $x_1 = \cap y_i$ est également fixé. D'où :

$$ a^{-1} N_1 a \subset N_1. $$
2.7 -

7ème PROPRIETE.

Soient $V h \subset k$, $y_{i_1}, y_{i_2}, \dots, y_{i_h}$
h plans quelconques pris parmi
$(y_1, y_2, \dots, y_N)$. Posons :

$$
- \Delta_{12}\dots h = \Delta_{12}\dots h (x_1 : y_{i_1}, y_{i_2}, \dots, y_{i_h}) \\
= \{\alpha \in \Gamma : x_1^\alpha \in y_{i_1}, x_1^{\alpha} \in y_{i_2}, \dots, x_1^{\alpha} \in y_{i_h}\}
$$

$$
- \Gamma_{y_i_1} \dots y_{i_h} = \Gamma_{y_i_1} \cap \Gamma_{y_i_2} \cap \dots \cap \Gamma_{y_i_h} \\
(\Gamma_{y_i_j} \text{ désignant le stabilisateur de } y_{i_j}).
$$

$$
- N_h = N_h(y_{i_1} y_{i_2} \dots y_{i_h}) = \Gamma_{x_1} \cap \Gamma_{y_{i_1}} \dots y_{i_h}
$$

$$
- n_h = \mathrm{Card} [N_h]
$$

On a :

$$
(1) \mathrm{Card} [\Lambda_{12}\dots h] = \mathrm{Card} [\Gamma_{x_1}] q^{k-h} = \mathrm{Card}[\Gamma_{y_{i_1}} y_{i_2} \dots y_{i_h}] u_h \\
u_h \text{ désignant un entier positif.}
$$

$$
(2) N_h = N_1, \quad n_h = n_1 \quad \text{et} \quad \mathrm{Card} [\Gamma_{y_1} \dots y_h] = n_1 q^{k-h}
$$

$$
(3) \text{ Si la décomposition de } \Gamma y_i_1 \dots y_i_h \text{ suivant } N_1 \text{ s'écrit :}
$$

$$
\Gamma y_{i_1} \dots y_{i_h} = N_1 \cup N_1 \delta_2 \cup \dots \cup N_1 \delta_q^{k-h}, \text{ on a :}
$$

$$
\Delta_{12}\dots h = \Gamma_{x_1} \cup \Gamma_{x_1} \delta_2 \cup \dots \cup \Gamma_{x_1} \delta_q^{k-h}.
$$

Démonstration.

(1) On sait que $\mathrm{Card} [y_{i_1} \cup y_{i_2} \cup \cdots \cup y_{i_h}] = q^{k-h}$. Il en découle
aussitôt que : $\mathrm{Card} [\Delta_{12} \cdots h] = \mathrm{Card} [\Gamma_{x_1}] q^{k-h}$.

D'autre part, par définition :

$$
\begin{align*}
\Delta_{12\dots h} &= \{\alpha \in \Gamma : x_1 \stackrel{\alpha}{\to} y_{i_1} \dots x_1 \stackrel{\alpha}{\to} y_{i_h}\} \\
&= \{\alpha \in \Gamma : y_{i_1} \stackrel{-1}{\alpha} \dots y_{i_h} \stackrel{-1}{\alpha} \text{ passent par } x_1\}
\end{align*}
$$
Dans ces conditions :

Card [Δ₁₂... , ] = Card [Γyᵢ₁...yᵢₕ] uₕ, uₕ désignant un certain entier.

(2) Il est clair que N<sub>h</sub> = N<sub>1</sub> (et donc que n<sub>h</sub> = n<sub>1</sub>).

Par contre : Card [Γyᵢ₁...yᵢₕ] = n₁ q<sup>k-h</sup> demande à être démontrée.

On procèdera par exemple par récurrence, l'égalité étant exacte au rang 1. (Card Γy₁ = n₁ c<sup>k-1</sup>.)

Soit x₁ ∈ yᵢ₁ ∩ ... ∩ yᵢₕ et soit x₁ᵃ = Vᵃ ∈ Γyᵢ₁ ... yᵢₕ.

Supposons qu'ainsi yᵢ₁ ∩ ... ∩ yᵢₕ ne soit pas entièrement obtenue.

Alors ∃α ∈ Γyᵢ₁ ∩ ... ∩ Γyᵢₕ⁻¹ et ∃β ∈ Γyᵢₕ tel que

xᵢ = xᵢᵃ (si le point xᵢ n'a pas été obtenu précédemment).

Mais si α ∈ Γyᵢ₁ ∩ ... ∩ Γyᵢₕ⁻¹, alors α ∈ Γᵢ.

Si α ne fixe pas yᵢₕ, α ne peut changer yᵢₕ qu'en un plan parallèle, ce qui est impossible (homomorphisme).

α fixe donc yᵢₕ, d'où la contradiction.

En résumé : x₁ᵃ Vᵃ ∈ Γyᵢ₁ ... yᵢₕ décrit yᵢ₁ ∩ ... ∩ yᵢₕ.

Si l'on a : x₁ᵃ₁ = x₁ᵃ₂ , alors α₁ α₂⁻¹ ∈ N₁ et α₁ ∈ N₁ α₂.

D'où la décomposition : q<sup>k-h</sup>

Γyᵢ₁ yᵢ₂ ... yᵢₕ = ⋃<sub>i=1</sub><sup>q</sup> N₁ δᵢ ( avec δ₁ = 1 ),

et Card Γyᵢ₁ yᵢ₂ ... yᵢₕ = n₁ c<sup>k-h</sup>.

(3) Soit α ∈ Δ₁₂...h. On a x₁ᵃ ∈ yᵢ₁ ∩ ... ∩ yᵢₕ.

Supposons xᵢ = x₁ᵃ. ∃ n₁ δᵢ ∈ Γyᵢ₁ yᵢ₂ ... yᵢₕ (n₁ ∈ N₁)

tels que :

xᵢ = x₁ n₁ δᵢ. On a donc :

x₁ᵃ = x₁ n₁ δᵢ, soit : x₁ n₁ δᵢ α⁻¹ = x₁. Donc :

n₁ δᵢ α⁻¹ ∈ Γx₁, c'est à dire : n₁ δᵢ α⁻¹ = a ∈ Γx₁

soit : a⁻¹ n₁ δᵢ = α.
Or : $n_1 \in N_1 = \Gamma_1 \cap \Gamma_{X_1}$ et $\alpha \in \Gamma_{X_1}$ ; donc $a^{-1} n_1 \in \Gamma_{X_1}$ ,
done $\alpha = u \delta_i$ avec $u \in \Gamma_{X_1}$.

On a mis ainsi en relation $\Gamma_{X_1} \delta_i$ avec $N_1 \delta_i$.

$$
D'où : \quad \Lambda_{12...h} = \bigcup_{i=1}^{q} \Gamma_{X_i}^{\delta_i}
$$

c.q.f.d.

3. CONSTRUCTIONS LIBRES A LA TRANSITIVITE.

3.1 -

Théorème :

Soient $\Gamma_1, \Gamma_2, \dots, \Gamma_{ih}$ h classes quelconques ($V h \le k$).

Soient $y_{ij}$ et $y'_{ij}$ $\forall j \in [1, 2, \dots, h]$ deux plans distincts de $\Gamma_{ij}$.

Alors, il existe $\alpha \in \Gamma$ tel que :

$$
y'_{ij} = y_{ij}^{\alpha}, \forall j \in [1,h].
$$

Démonstration.

Nous démontrons ce résultat par récurrence.

a) Le Cas particulier h = 2.

Commencons par utiliser un résultat élémentaire de théorie des
groupes :

Soient A et B 2 sous-groupes d'ordre a et b
admettant comme intersection un sous-groupe
D d'ordre d. Le complexe C = AB contient
exactement $\frac{ab}{d}$ éléments distincts. C est un
groupe si et seulement si A et B commutent.

Dans le cas présent, nous sommes intéressés par les groupes
Γ₁, Γγ₁, Γγ₂ et Γγ₁ y₂. Etant donné que Γ''₁ = Γγ₁ Γγ₂ contient
$$ \frac{n_1 q^{k-1} n_1 q^{k-1}}{n_1 q^{k-2}} = n_1 q^k \text{ éléments, on a } \Gamma'_1 = \Gamma_1 \text{ et } \Gamma_1 \text{ et } \Gamma_2 $$

commutent en conséquence : $\Gamma_1 = \Gamma_{y_1} \Gamma_{y_2} = \Gamma_{y_2} \Gamma_{y_1}$.
Dès lors, il s'agit de montrer que les classes :

$$ \Gamma_{y_1} \alpha_j^1 \text{ avec } \alpha_j^1 \in \Gamma_{y_2} - \Gamma_{y_1} \quad (\text{ou ce qui revient au même } \\ \alpha_j^1 \in \Gamma_1 - \Gamma_{y_1}) $$

$$ \text{et } \Gamma_{y_2} \alpha_j^2 \text{ avec } \alpha_j^2 \in \Gamma_{y_1} - \Gamma_{y_2} \quad (\text{ou ce qui revient au même } \\ \alpha_j^2 \in \Gamma_1 - \Gamma_{y_2}) $$

ont une intersection non vide.

On peut écrire :

$$ \Gamma_1 = \bigcup_{j_1} \Gamma_{y_1} \alpha_{j_1}^1 \quad (\text{avec } \alpha_{j_1}^1 \in \Gamma_{y_2} - \Gamma_{y_1}) $$

$$ \Gamma_1 = \bigcup_{j_2} \Gamma_{y_2} \alpha_{j_2}^2 \quad (\text{avec } \alpha_{j_2}^2 \in \Gamma_{y_1} - \Gamma_{y_2}). $$

On a alors :

$$ \Gamma_1 \cap \Gamma_{y_2} = \Gamma_{y_2} = \bigcup_{j_1} \{ \Gamma_{y_1} \alpha_{j_1}^1 \cap \Gamma_{y_2} \} = \bigcup_{j_1} \Gamma_{y_1} \alpha_{j_1}^1 $$

$$ \text{n'où : } \quad \Gamma_1 = \bigcup_{j_2} \bigcup_{j_1} \Gamma_{y_1} \alpha_{j_1}^1 \alpha_{j_2}^2 $$

$$ \text{De même : } \quad \Gamma_1 = \bigcup_{j_1} \bigcup_{j_2} \Gamma_{y_1} \alpha_{j_2}^2 \alpha_{j_1}^1 $$

En résumé, on a donc commutativité, à savoir :

$$ \Gamma_1 = \bigcup_{j_2} \bigcup_{j_1} \Gamma_{y_1} \alpha_{j_2}^1 \alpha_{j_1}^2 = \bigcup_{j_1} \bigcup_{j_2} \Gamma_{y_1} \alpha_{j_2}^2 \alpha_{j_1}^1 \quad (1) $$

========================================================

## REMARQUES.

α) On a utilisé le résultat : $\Gamma_{y_1} \alpha_{j_1}^1 \cap \Gamma_{y_2} = \Gamma_{y_1} \alpha_{j_2}^1$

En effet, soit $u \in \Gamma_{y_1} \alpha_{j_1}^1 \cap \Gamma_{y_2} \alpha_{j_2}^1$ ($\alpha_{j_1}^1 \in \Gamma_{y_2} - \Gamma_{y_1}$)
$u \in \Gamma_{y_2}$, d'une part.

D'autre part : $u = v \alpha_{j_1}^1$ avec $v \in \Gamma_{y_1}$.

D'où : $v = u(\alpha_{j_1}^1)^{-1} \in \Gamma_{y_2}$ et $v \in \Gamma_{y_1} \alpha_{j_2}^1$

et réciproquement.
$$
\begin{array}{l@{\qquad}l}
\text{β) Si } \alpha_j^1 \in \Gamma_1, \text{ Γ}_y_1 & \text{comme } \Gamma_1 = \Gamma_{y_1} \Gamma_{y_2} \quad \alpha_j^1 = u \alpha_j^1 \\
\text{avec } \alpha_j^1 \in \Gamma_{y_2} - \Gamma_{y_1} & \text{et } \Gamma_{y_1} \alpha_j^1 = \Gamma_{y_1} u \alpha_j^1 = \Gamma_{y_1} \alpha_j^1
\end{array}
$$

Cela étant, revenons au résultat à démontrer qui est que :

$$
\frac{\Gamma_{y_1} \alpha_j^1 \cap \Gamma_{y_2} \alpha_j^2}{\Gamma_{y_2} \alpha_j^2 \cap \Gamma_{y_1} \alpha_j^1} \neq \emptyset.
$$

C'est à dire, puisque :

$$
\Gamma y_1 = \bigcup_j \Gamma y_1 y_2 \alpha_j^2
$$

$$
\Gamma y_2 = \bigcup_{j_1} \Gamma y_1 y_2 \alpha_{j_1}^1
$$

$$
\{ \bigcup_{j_2} \Gamma y_1 y_2 \alpha_{j_2}^2 \} \alpha_{j_1}^1 \cap \{ \bigcup_{j_1} \Gamma y_1 y_2 \alpha_{j_1}^1 \} \alpha_{j_2}^2 \neq \emptyset \quad (2)
$$

Nous allons raisonner par l'absurde en utilisant la relation (1).

A savoir que, dans (2), il ne peut exister de valeurs de $\alpha_j^1$ et $\alpha_j^2$, telles qu'il y ait plus d'une solution, c'est à dire :

Supposons qu'il existe $\alpha^1$ et $\alpha^2$ tels que (2) ait 2 solutions :

$$
n_1 \alpha_2^2 \alpha^1 = n_2 \alpha_1^1 \alpha^2 (\Gamma y_1 y_2 \alpha_2^2 \alpha^1 = \Gamma y_1 y_2 \alpha_1^1 \alpha^2)
$$

$$
n_3 \alpha_{j'}^2 \alpha^1 = n_4 \alpha_{j'}^1 \alpha^2 (\Gamma y_1 y_2 \alpha_{j'}^2 \alpha^1 = \Gamma_{y_1 y_2} \alpha^1 \alpha^2)
$$

On en déduit :

$$
\begin{align*}
\alpha^1 (\alpha^2)^{-1} &= (\alpha_j^2)^{-1} n_1^{-1} n_2 \alpha_{j_1}^1 \\
&= (\alpha_{j_2'}^2)^{-1} n_3^{-1} n_4 \alpha_{j_1'}^1
\end{align*}
$$

$$
\text{Soit : } \frac{\alpha_{j_2'}^2 (\alpha_{j_2'}^2)^{-1} (n_1^{-1} n_2) \alpha_{j_1}^1 (\alpha_{j_1'}^1)^{-1}}{\alpha_{j_2'}^2 (\alpha_{j_2'}^2)^{-1} (n_3^{-1} n_4) \alpha_{j_1'}^1 (\alpha_{j_1'}^1)^{-1}} = n_3^{-1} n_4.
$$
Ceci est impossible :

$n_1^{-1} n_2 \in \Gamma y_1 y_2 \quad n_2^{-1} n_4 \in \Gamma y_1 y_2 \quad \alpha_{j_1}^{-1} (\alpha_{j_1'}^1)^{-1} \in \Gamma y_2 - \Gamma y_1$

Dès lors :

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Ceci est impossible ; à moins que $\alpha_{j_2}^2 = \alpha_{j_2}^2$ et $\alpha_{j_1}^1 = \alpha_{j_1}^1$

Autrement dit, les classes (2) se coupent comme des droites :
c'est à dire, suivant une seule classe que l'on peut écrire :

soit : $\Gamma y_1 y_2 \alpha_{j_2}^2 \alpha_{j_1}^1$

soit : $\Gamma y_1 y_2 \alpha_{j_1}^1 \alpha_{j_2}^2$

Le résultat est donc acquis pour $h = 2$.

### REMARQUE.

On utilise le fait que $\Gamma y_1 y_2 \alpha_{j_1}^1 (\alpha_{j_1'}^1)^{-1} \in \Gamma y_2 - \Gamma y_1$

En effet, sinon on aurait : $u \alpha_{j_1}^1 (\alpha_{j_1'}^1)^{-1} = v$

$u \in \Gamma y_1 y_2$ et $v \in \Gamma y_1 y_2$

Donc : $\alpha_{j_1}^1 (\alpha_{j_1'}^1)^{-1} = w \in \Gamma y_1 y_2$

Mais alors $\alpha_{j_1}^1$ et $\alpha_{j_1'}^1$ définissent la même classe, ce qui est contraire à la construction.
### b) Cas général.

Soient maintenant h plans $y_1, y_2, \dots, y_h$. On vérifie tout d'abord que :

$$ egin{cases} 
\Gamma_1 = \Gamma_{y_1} \Gamma_{y_2} & \forall i_1 \neq i_2 \\ 
\Gamma_1 = \Gamma_{y_1} \Gamma_{y_2} \Gamma_{y_3} & \forall i_1 \neq i_2 \neq i_3 \\ 
\Gamma_1 = \Gamma_{y_1} \Gamma_{y_2} \Gamma_{y_3} \dots \Gamma_{y_h} & \forall i_1 i_2 \dots i_h \quad \forall h. 
\end{cases} $$

Cette propriété de $\Gamma_1$ est d'autre part, vérifiée par tous les sous-groupes $\Gamma_{y_{i_j}}$, $\Gamma_{y_1} \Gamma_{y_2}$, ..., $\Gamma_{y_1} \Gamma_{y_2} \dots y_{i_1}$, ..., $\Gamma_1$.

Ceci permet la généralisation de (1).

En effet, par exemple :

$$ \Gamma_1 = \Gamma_{y_1} \Gamma_{y_2} \dots y_h $$

et :

$$ \Gamma_1 = \bigcup_{j_1} \Gamma_{y_1} \alpha_{j_1}^1 \quad \text{avec} \quad \alpha_{j_1}^1 \in \Gamma_{y_2} \dots y_h - \Gamma_{y_1} $$

Mais alors :

$$ \Gamma_1 \cap \Gamma_{y_2} = \Gamma_{y_2} = \bigcup_{j_1} (\Gamma_{y_1} \alpha_{j_1}^1 \cap \Gamma_{y_2}) = \bigcup_{j_1} \Gamma_{y_1} \Gamma_{y_2} \alpha_{j_1}^1 $$

et l'on a aussi :

$$ \Gamma_1 = \bigcup_{j_2} \Gamma_{y_2} \alpha_{j_2}^2 \quad \text{avec} \quad \alpha_{j_2}^2 \in \Gamma_{y_1} \Gamma_{y_3} \dots y_h - \Gamma_{y_2} $$

D'où :

$$ \Gamma_1 = \bigcup_{j_2} \bigcup_{j_1} \Gamma_{y_1} \Gamma_{y_2} \alpha_{j_2}^2 \alpha_{j_1}^1 $$

et ainsi de suite ; finalement :

$$ \Gamma_1 = \bigcup_{j_1, j_2, \dots, j_h} \Gamma_{y_1} \Gamma_{y_2} \dots y_h \alpha_{j_1}^h \alpha_{j_h-1}^{h-1} \dots \alpha_{j_2}^2 \alpha_{j_1}^1 $$
$$ \text{avec } \alpha_{j_i}^{i} \in \Gamma_{y_1 y_2 \dots y_{i-1} y_{i+1} \dots y_h} - \Gamma_{y_i}, \forall i $$

Il est bien certain que l'ordre dans lequel on a classé les plans $y_i$ est arbitraire et que l'égalité précédente s'écrirait aussi bien :

$$ \Gamma_1 = \cup_{j_1, j_2, \dots, j_h} \Gamma_{y_1, y_2, \dots, y_h} \alpha_{j_h}^{j_1} \alpha_{j_{h-1}}^{j_2} \dots \alpha_{j_1}^{j_h} \quad (3) $$

pour toute permutation $(i_1, i_2, \dots, i_h)$ de $(1, 2, \dots, h)$.

(Autrement dit, il y a globalement commutation des $\alpha$, ce qui est à rapprocher de l'égalité (1)).

Supposant alors que $h-1$ classes $\Gamma_{y_1}$ avec $\alpha^{i_1} \in \Gamma_{y_1} \dots y_{i-1} y_{i+1} \dots y_h$ se coupent, nous allons en déduire que $h$ classes $\Gamma_{y_1}$ se coupent et le résultat à démontrer le sera par récurrence. Soient donc les plans $y_1, y_2, \dots, y_h$. Considérons d'une part les plans $y_1, y_2, \dots, y_{h-3}, y_{h-1}$ et $y_h$, d'autre part les plans $y_1, y_2, \dots, y_{h-3}, y_{h-1}$ et $y_h$.

Dans un cas comme dans l'autre, suivant l'hypothèse de récurrence, on sait que :

$$ (a) \quad y_1 \alpha^{(1)} \cap \dots \cap y_{h-2} \alpha^{(h-2)} \cap y_h \alpha^{(h)} \neq \emptyset. $$

$$ (\text{avec } \alpha^{(i)} \in \Gamma_{y_1 y_2 \dots y_{i-1} y_{i+1} \dots y_h} - \Gamma_{y_i}, \forall i). $$

$$ (b) \quad y_1 \alpha^{(1)} \cap \dots \cap y_{h-3} \alpha^{(h-3)} \cap y_{h-1} \alpha^{(h-1)} \cap y_h \alpha^{(h)} \neq \emptyset. $$

$$ (\text{avec de même } \alpha^{(i)} \in \Gamma_{y_1 y_2 \dots y_{i-1} y_{i+1} \dots y_h} - \Gamma_{y_i}, \forall i) $$
Plus précisément, étant donné le cas $h = 2$, l'intersection des
classes :

- (a) peut s'écrire :

$$
\bigcup_{j_{h-1}} \Gamma_{y_1 y_2 \dots y_h} \underset{j_{h-1}}{\stackrel{\alpha^{(h-1)}}{\alpha^{1}}} \underset{j_1}{\stackrel{\alpha^{1}}{\alpha^{2}}} \underset{j_2}{\stackrel{\alpha^{2}}{\alpha^{h-2}}} \underset{j_{h-2}}{\stackrel{\alpha^{h}}{\alpha^{h}}} \boxed{\phantom{\alpha^{h-1}}}
\text{fixés.}
$$

- (b) peut s'écrire :

$$
\bigcup_{j_{h-2}} \Gamma_{y_1 y_2 \dots y_h} \underset{j_{h-2}}{\stackrel{\alpha^{(h-2)}}{\alpha^{1}}} \underset{j_1}{\stackrel{\alpha^{1}}{\alpha^{2}}} \underset{j_2}{\stackrel{\alpha^{2}}{\alpha^{h-3}}} \underset{j_{h-3}}{\stackrel{\alpha^{h-3}}{\alpha^{h-1}}} \underset{j'_{h-1}}{\stackrel{\alpha^{h-1}}{\alpha^{h}}} \boxed{\phantom{\alpha^{h-1}}} \\
\text{fixés.}
$$

C'est à dire, respectivement :

$$
\Gamma_{y_1 y_2 \dots y_{h-2}} \alpha^{\alpha^h} \text{ et } \Gamma_{y_1 y_2 \dots y_{h-3}} \beta^{\beta^h} y_{h-1} y_h
$$

$$
\text{en posant : } \alpha = \underset{j_1}{\stackrel{\alpha^{1}}{\alpha^{1}}} \dots \underset{j_{h-2}}{\stackrel{\alpha^{h-2}}{\alpha^{h}}}
$$

$$
\text{et } \beta = \underset{j_1}{\stackrel{\alpha^{1}}{\alpha^{1}}} \dots \underset{j_{h-3}}{\stackrel{\alpha^{h-3}}{\alpha^{h-1}}} \underset{j_{h-1}}{\stackrel{\alpha^{h-1}}{\alpha^{h}}}
$$

on est ramené à l'intersection de :

$$
\Gamma y_1 y_2 \dots y_{h-2} y_h \alpha \quad \text{avec} \quad \Gamma y_1 y_2 \dots y_{h-3} y_{h-1} y_h \beta
$$

$$
\text{Or : } \Gamma_{y_1 y_2 \dots y_{h-3}} y_h = \Gamma_{y_1 y_2 \dots y_{h-2}} y_h \Gamma_{y_1 y_2 \dots y_{h-3}} y_{h-1} y_h
$$

On retrouve avec de nouvelles notations le problème résolu en a)
concernant $h = 2$, que l'on peut donc démontrer comme en a).

3.2 - *Constructions découlant du théorème précédent.* c.q.f.d.

Soient $y_i \forall i \in [1,n]$ et $y'_i \parallel y_i \forall i$. On vient de voir qu'il existe $\alpha \in \Gamma_1$, tel que : $y'_i = y_i^\alpha$, $\forall i \in [1,k] \ h \le k$, par exemple.
$$ \text{Considérons } x_1 = \bigcap_{i \in [1,N]} y_i \quad \text{et} \quad x'_1 = \bigcap_{i \in [1,N]} y'_i $$

On a par application des propriétés d'un automorphisme : $x'_1 = x_1^\alpha$. Dès lors, soient $\Gamma_{y'_1 y'_2} \cdots y'_h = \bigcap \Gamma_{y'_i}$, $\Gamma_{y'_i}$ désignent le stabilisateur de $y'_i$ ; de même soit $\Gamma_{x'_1}$ le stabilisateur de $x'_1$ et enfin $N'_h = \Gamma_{y'_1 y'_2} \cdots y'_h \cap \Gamma_{x'_1}$. On a :

$$ - \Gamma_{y'_1 y'_2} \cdots y'_h = \alpha^{-1} \Gamma_{y'_1 y'_2} \cdots y'_h \alpha, \quad \forall h \le k $$

$$ - \Gamma_{x'_1} = \alpha^{-1} \Gamma_{x'_1} \alpha. $$

$$ - N'_h = N'_1 = \alpha^{-1} N'_1 = \alpha^{-1} [\Gamma_{x'_1} \cap \Gamma_{y'_1}] \alpha. $$

Tous les problèmes de construction sont donc apparemment résolus.

### 4. CONSTRUCTION DE TABLEAUX ORTHOGONAUX D'INDICE UNITE.

Soit $\Gamma$ un groupe d'ordre $n_1 N q^k$. Supposons que $\Gamma$ soit le produit de deux groupes $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$, teis que :

$\Gamma = \Gamma_1 \Gamma_2 = \Gamma_2 \Gamma_1$ avec : $\text{Card}[\Gamma_1] = n_1 q^k$ ; $\text{Card}[\Gamma_2] = n_1 N$ ; $\Gamma_1$ est invariant $\Gamma$. Soit $\Gamma_{y_1}$ un sous-groupe de $\Gamma_1$ avec $\text{Card}[\Gamma_{y_1}] = n_1 q^{k-1}$. Soit $N_1 = \Gamma_{y_1} \cap \Gamma_2$ avec

$\text{Card}[N_1] = n_1$ et posons enfin : $\Gamma_{x_1} = \Gamma_2$, en supposant que : $\Gamma_{y_1} \cap \Gamma_{x_1} = \Gamma_1 \cap \Gamma_{x_1}$. Soit alors :

$\Gamma_{y_1} = N_1 \cup N_1 \alpha_2 \cup \dots \cup N_1 \alpha^{k-1}$ la décomposition de $\Gamma_{y_1}$ suivant le sous-groupe $N_1$.

$$ \text{Posons : } \Delta_1 = \Gamma_{x_1} \cup \Gamma_{x_1} \alpha_2 \cup \dots \cup \Gamma_{x_1} \alpha^{k-1}. $$

La construction d'un réseau $(R)_{k-1}$ de dimension $k$ est alors la suivante :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Points du réseau : } (\Gamma_{x_1}) \alpha, \forall \alpha \in \Gamma \\ \text{Plans du réseau : } \Delta_1 \alpha, \forall \alpha \in \Gamma \\ \text{Classe F}_1 : \Delta_1 \alpha, \forall \alpha \in \Gamma_1 \\ \text{Plans } y_1 y_2 \dots y_N : \Delta_1 \alpha, \forall \alpha \in \Gamma_{x_1} \end{array} \right. $$
La justification des propriétés des réseaux (R)$_{k-1}$
conduit à imposer aux données précédentes, la con-
dition supplémentaire suivante :

Condition : Soit V h ≤ k, a₁, ..., aₙ ∈ Γ₂ tels que :
aᵢ⁻¹ Γᵢₗ aᵢ ≠ aⱼ⁻¹ Γⱼₗ aⱼ et ceci ∀ aᵢ ∈ [a₁, ..., aₙ]
∀ aⱼ ∈ [a₁, ..., aₙ] , on a :

Card [a₁⁻¹ Γᵢₗ a₁ ∩ ... ∩ aₙ⁻¹ Γⱼₗ aₙ] = n₁ qᵏ⁻ᵏ

Démonstration.

Avant de justifier la construction, un certain nombre de
remarques sur les données sont nécessaires :

e) Tout d'abord $\Gamma_{y_1} \subset \Gamma_1$ et $\Gamma_1$ invariant entraîne que :
$\alpha^{-1} \Gamma_{y_1} \alpha \subset \Gamma_1$ , $\forall \alpha \in \Gamma_1$.

Soit alors $\Gamma_2 = \bigcup_{i=1}^N N_i$, $\mathfrak{S}_i$ la décomposition de $\Gamma_2$ suivant $N_1$ et soit $y_i = y_1 \mathfrak{S}_i$ (V i). En désignant par $\Gamma_{y_i}$ le stabilisateur de $y_i$, on sait que l'on a : $\Gamma_{y_i} = \mathfrak{S}_i^{-1} \Gamma_{y_1} \mathfrak{S}_i$. On voit donc que :

$$
\forall i \in [1,N] \quad \Gamma_{y_i} \subset \Gamma_1
$$

b) Soit $N_1 = \Gamma_{x_1} \cap \Gamma_{y_1}$, soit $\alpha \in \Gamma_{x_1}$, on a $\alpha^{-1} \Gamma_{x_1} = \Gamma_{x_1}$.
D'autre part, on vient de voir que $\alpha^{-1} \Gamma_{x_1} \subset \Gamma_1$.

Donc : $\alpha^{-1} N_1 \alpha \subset \Gamma_1$ ; mais $\alpha^{-1} N_1 \alpha \subset \Gamma_{x_1}$ ; donc $\alpha^{-1} N_1 \alpha \subset N_1$.

Finalement :
$$ \alpha^{-1} N_1 \alpha \subset N_1 \quad \forall \alpha \in \Gamma_{x_1} \quad (N_1 \text{ est invariant dans } \Gamma_{x_1}) $$

c) Soit $\alpha \in \Gamma_{x_1}$ ; on a $N_1 \subset \Gamma_{y_1}$ , donc $\alpha^{-1} N_1 \alpha \subset \alpha^{-1} \Gamma_{y_1} \alpha$ ;
done : $N_1 \subset \alpha^{-1} \Gamma_{y_1} \alpha$ . Autrement dit :

$N_1$ est un sous-groupe de $\Gamma_{y_1}$ (V i)
d) $\Gamma y_i \subset \Gamma_1 \Rightarrow \Gamma x_1 \cap \Gamma y_i \subset \Gamma x_1 \cap \Gamma_1$ ; donc $\Gamma x_1 \cap \Gamma y_i \subset \Gamma_1$

Mais $N_1$ est un sous-groupe de $\Gamma y_i$ ; comme $N_i$ est un sous-groupe de $\Gamma_2 = \Gamma x_1$, $N_1$ est un sous-groupe de $\Gamma x_1 \cap \Gamma y_i$.

D'où :

$$N_1 = \Gamma x_1 \cap \Gamma y_i \quad (\forall i)$$

e) On a donc désormais : $N_1 = \Gamma_1 \cap \Gamma_2 = \Gamma_1 \cap \Gamma x_1 = \Gamma x_1 \cap \Gamma y_i$.
$\forall i \in [1,N]$ et $N_1$ est invariant dans $\Gamma_2 = \Gamma x_1$. Soit alors :

$$\Gamma y_{i_1} y_{i_2} \dots y_{i_h} = \Gamma y_{i_1} \cap \Gamma y_{i_2} \cap \dots \cap \Gamma y_{i_h} \quad \forall h \le k$$

$y_{i_1} y_{i_2} \dots y_{i_h}$ désignant h plans quelconques de $(y_1, y_2, \dots, y_N)$.

On a évidemment :

$$N_1 = \Gamma x_1 \cap \Gamma y_{i_1} y_{i_2} \dots y_{i_h} \quad \forall h \le k$$

f) Le condition supplémentaire indiqué dans la construction signifie que : $\forall h \le k$. Card $[\Gamma y_{i_1} y_{i_2} \dots y_{i_h}] = n_1 q^{k-h}$.
On en déduit que les sous-groupes :

$\Gamma_1, \Gamma y_{i_1}, \Gamma y_{i_1} y_{i_2}, \dots, \Gamma y_{i_1} y_{i_2} \dots y_{i_h}$ ont les propriétés entraînant la transitivité étudiée en 3).

En effet, par exemple : $\Gamma_1 = \Gamma y_{i_1} \Gamma y_{i_2} \dots y_{i_h}$ puisque :
$$n_1 q^k = \frac{n_1 q^{k-1} n_1 q^{k-h+1}}{n_1 q^{k-h}}$$

- On est maintenant en mesure de justifier la construction proprement dite : rappelons à ce sujet que le plan $y_1$ est identifié à $\Delta_1$ et $y_i \forall i \text{ à } \Delta_1 \gamma_i$, la décomposition $\Gamma_2 = \bigcup_{i=1}^N N_i \gamma_i$ étant donnée.

Nous devons démontrer :

(1) - Par un point quelconque, il passe un plan et un seul de chaque classe.

(2) - h plans se coupent en $q^{k-h}$ points $h \le k$.
Si $h > k$ h plans se coupent en 1 ou 0 point.
### a) Etude des points et des plans.

Soient les décompositions de $\Gamma_i$ suivant $\Gamma_{y_i}$, de $\Gamma_{y_i}$ suivant $N_i$ et de $\Gamma_2 = \Gamma_{x_1}$ suivant $N_1$ :

$$ \Gamma_1 = \bigcup_i \Gamma_{y_i}^{\alpha_i} $$

$$ \Gamma_{y_1} = \bigcup_i N_1^{\beta_i} $$

$$ \Gamma_{x_1} = \bigcup_{i=1}^{N} N_1^{\beta_i} $$

#### a) Vérifications tout d'abord que par un point quelconque, il passe un plan et un seul de la classe $F_1$.

Point quelconque : $\Gamma_{x_1}^{\alpha_0}, \alpha_0 \in \Gamma$

Plans de la classe $F_1$ : $\Delta_1^{\alpha_i}, \alpha_i \in \Gamma_1$

Pour démontrer ce résultat, remarquons que :

$$ \Gamma_1 = \bigcup_i \Gamma_{y_i}^{\alpha_i} = \bigcup_i \bigcup_j N_1^{\beta_j} \alpha_j $$

Mais $\Gamma = \Gamma_1 \Gamma_2 = \Gamma_2 \Gamma_1$ c'est à dire :

$$ \Gamma = \Gamma_2 \bigcup_j N_1^{\beta_j} \alpha_i = \bigcup_i \Gamma_2 N_1^{\beta_j} \alpha_i = \bigcup_i \Gamma_2 \beta_j^{\alpha_i} $$

(En effet, $N_1 \subset \Gamma_{x_1}$ et donc $N_1 \Gamma_{x_1} = \Gamma_{x_1}$).

Tout élément de $\Gamma$ peut donc s'écrire $\beta_j^{\alpha_i}$ avec $\alpha_i \in \Gamma_{x_1}$.

Dans ces conditions, il existe une et une seule valeur de $\beta_j^{\alpha_i}$ et $\alpha_i$.

telle que : $\Gamma_{x_1}^{\alpha_0} = \Gamma_{x_1} \beta_j^{\alpha_j}$ c.q.f.d.

#### b) Vérifications que par un point quelconque, il passe un plan et un seul de la classe $F_i \forall i$.

Point quelconque : $\Gamma_{x_1}^{\alpha_0}, \alpha_0 \in \Gamma$

Plans de la classe $F_i$ : $\Delta_1 \beta_i^{\alpha_i}, \beta_i \in \Gamma_{x_1}, \alpha_j \in \Gamma_1$

Pour démontrer ce résultat, on peut remarquer que :

$$ \Gamma_1 = \bigcup_j \Gamma_{y_i}^{\alpha_i} \text{ avec } \alpha_i \in \Gamma_1 - \Gamma_{y_i} $$
Donc, puisque $\Gamma_{y_i} = \beta_i^{-1} \Gamma_{y_1} \beta_i$.

$$ \Gamma_1 = \bigcup_j \beta_i^{-1} \Gamma_{y_1} \beta_i \alpha_j = \bigcup_k \bigcup_j \beta_i^{-1} N_1 \beta_k \beta_i \alpha'_{j} $$

$$ \text{Or : } \Gamma = \Gamma_{x_1} \quad \Gamma_1 = \Gamma_{x_1} \bigcup_j \beta_i^{-1} N_1 \beta_k \beta_i \alpha'_{j} = \bigcup_k \bigcup_j (\Gamma_{x_1} \beta_i^{-1} N_1) \beta_k \beta_i \alpha'_{j} $$

Or : $\beta_i \in \Gamma_{x_1}$, donc $\Gamma_{x_1} \beta_i^{-1} N_1 = \Gamma_{x_1}$ et finalement :

$$ \Gamma = \bigcup_k \bigcup_j \Gamma_{x_1} \beta_k \beta_i \alpha'_{j} $$

Soit alors le point $\Gamma_{x_1}^\alpha$ ; il existe une valeur et une seule de $\beta_k$ et $\alpha'_j$ telles que : $\Gamma_{x_1}^\alpha = \Gamma_{x_1} \beta_k \beta_i \alpha'_j$. Le résultat est donc établi. c.q.f.d.

b) Étude du parallélisme des plans.

D'après a), les plans d'une même classe sont donc parallèles (sans points communs).

Ce résultat peut se démontrer directement et alors, la démonstration faite en a) devient inutile puisque chaque plan contient de façon bien évidente $q^{k-1}$ points

Autre démonstration.

$$ \alpha) \Delta_1 \cap \Delta_1^\alpha = \emptyset \quad \forall \alpha \in \Gamma_1 - \Gamma_{y_1} $$

$$ \text{On a : } \Delta_1 = \bigcup \Gamma_{x_1} \beta_i \quad \text{et} \quad \Delta_1^\alpha = \bigcup \Gamma_{x_1} \beta_i^\alpha. $$

Raisonnons par l'absurde et supposons que :

$$ \Gamma_{x_1} \beta_i = \Gamma_{x_1} \beta_j^\alpha ; \text{ cela entraîne } \beta_j^\alpha \beta_i^{-1} = u \in \Gamma_{x_1} $$

$$ \text{soit : } \alpha = \beta_j^{-1} u \beta_i. $$

$$ \text{Si } u \in N_1, \beta_j^{-1} u \beta_i \in \Gamma_{y_1} ; \text{ or : } \alpha \in \Gamma_1 - \Gamma_{y_1}, \text{ d'où contradiction ;} $$

$$ \text{Si } u \in \Gamma_{x_1} - N_1, \text{ u } \notin \Gamma_1 \text{ et } \beta_j^\alpha \beta_i^{-1} \in \Gamma_1, \text{ d'où contradiction.} $$

D'où le résultat annoncé.
$$
\beta) \Delta_1 a \cap \Delta_1 a \alpha = \phi. \quad a \in \Gamma_{x_1}, \alpha \in \Gamma_1 - \Gamma_{y_i} \quad (y_i = y_1 a)
$$

Raisonnons toujours par l'absurde et supposons que :

$\Gamma_{x_1} \beta_i a = \Gamma_{x_1} \beta_j a \alpha$. On a donc :

$$
\beta_j a \alpha a^{-1} \cdot \beta_i^{-1} = u \in \Gamma_{x_1}.
$$

Or, on a : $a \alpha a^{-1} = \beta \in \Gamma_1 - \Gamma_{y_1}$

En effet : $\alpha \in \Gamma_1 - \Gamma_{y_i}$ ; donc : $\beta = a^{\alpha} a^{-1} \notin a \Gamma_{y_i} a^{-1} = \Gamma_{y_1}$

c'est à dire : $\beta \in \Gamma_1 - \Gamma_{y_1}$.

L'on : $\beta_j \beta_i^{-1} = u \in \Gamma_{x_1} \text{ avec } \beta \in \Gamma_1 - \Gamma_{y_1}$

On est ramené à $\alpha$).

$$
\beta) \Delta_1 a \alpha_1 \cap \Delta_1 a \alpha_2 = \phi, \ a \in \Gamma_{x_1}, \ \alpha_1, \alpha_2 \in \Gamma_1 - \Gamma_{y_i} \ (y_i = y_1 a)
$$

Par l'absurde, on a : $\Gamma_{x_1} \beta_i a \alpha_1 = \Gamma_{x_1} \beta_j a \alpha_2$.

Soit : $\Gamma_{x_1} \beta_i a = \Gamma_{x_1} \beta_j a \alpha_2 \alpha_1^{-1}$

Or, $\beta = \alpha_2 \alpha_1^{-1} \in \Gamma_1 - \Gamma_{y_i}$.

On est donc ramené à $\beta$).

c) Intersection des plans.

Soient $a_2 a_3 \dots a_N \in \Gamma_2$, tels que : $y_i = y_1 a_i$ $\forall i \in [1,N]$
(Autrement dit : $\Gamma_2 = \bigcup_{i=1}^N N_i a_i$ avec $a_1 = 1$).

Nous allons étudier, pour commencer, le cas particulier de l'inter-
section de deux plans.

a) Intersection de deux plans.

Démontrons tout d'abord que : $\text{Card} [\Delta_1 \cap \Delta_1 a_i] = n_1 N q^{k-2}$

Nous allons utiliser la condition sous la forme :

$$
\text{Card } \Gamma_{y_1} y_i = n_1 q^{k-2}
$$
On a :

$$ \Gamma_{y_1} \cap \Gamma_{y_i} = \Gamma_{y_1} \cap [a_j^{-1} \Gamma_{y_1} a_i] = (\cup_j N_j \cup_j \mathfrak{S}_j) \cap (a_i^{-1} (\cup_j N_j \cup_j \mathfrak{S}_j) a_i) $$

$$ \text{Or } \Gamma_{x_1} = \bigcup_k N_1 a_k. \quad (1) $$

On a :

$$ a_k[\Gamma_{y_1} \cap \Gamma_{y_i}] = [a_k(\cup_j N_j \cup_j \mathfrak{S}_j)] \cap [a_k a_i^{-1}(\cup_j N_j \cup_j \mathfrak{S}_j) a_i] $$

$N_1$ étant invariant dans $\Gamma_{x_1}$ :

$$ a_k(\Gamma_{y_1} \cap \Gamma_{y_i}) = [\cup_j N_1 a_k \cup_j \mathfrak{S}_j] \cap [\cup_j N_1 a_k a_i^{-1} \cup_j \mathfrak{S}_j a_i] $$

et :

$$ \begin{align*} \bigcup_k a_k[\Gamma_{y_1} \cap \Gamma_{y_i}] &= [\bigcup_k \bigcup_j N_1 a_k \cup_j \mathfrak{S}_j] \cap [\bigcup_k \bigcup_j N_1 a_k a_i^{-1} \cup_j \mathfrak{S}_j a_i] \\ &= [\bigcup_j \Gamma_{x_1} \cup_j \mathfrak{S}_j] \cap [\bigcup_j \Gamma_{x_1} a_i^{-1} \cup_j \mathfrak{S}_j a_i] \\ &= [\bigcup_j \Gamma_{x_1} \cup_j \mathfrak{S}_j] \cap [\bigcup_j \Gamma_{x_1} \cup_j \mathfrak{S}_j a_i] \end{align*} $$

(Ceci, vu (1)).

Finalement :

$$ \bigcup_k a_k \Gamma_{y_1} y_i = \bigcap_{j=1}^{N} \Delta_j \cap \bigcap_{k=1}^{N} \Delta_k a_i $$

$$ \text{Or } \text{Card } \bigcup_k \Gamma_{y_1} y_i = \sum_{k=1}^{N} n_1 q^{k-2} = n_1 N q^{k-2} $$

### REMARQUES.

On a utilisé (1) $a(S_1 \cup S_2) = a S_1 \cup a S_2$

(2) $a(S_1 \cap S_2) = a S_1 \cap a S_2$.

(3) $a_j \Gamma_{y_1} y_i \cap a_k \Gamma_{y_1} y_i = \emptyset \quad \forall j \neq k$.

Ceci est exact ; effectivement : si $a_j u = a_k v$, on a :

$$ a_k^{-1} a_j = v u^{-1} = w \text{ ; le seul cas possible est celui où } w \in N_1 \text{ ;} $$
alors $a_j = a_k$ w et $a_j$ serait dans la même classe que $a_k$,
ce qui est contraire à l'hypothèse.

- Démontrons maintenant de façon générale que :

$$ \mathrm{Card} [ \Delta_1 a_i^{\alpha} \cap \Delta_1 a_j^{\beta} ] = n_1 N q^{k-2} \quad \begin{cases} a_i, & a_j \in \Gamma_2 \\ \alpha, & \beta \in \Gamma_1 \end{cases} $$

$$ y'_i = y_1 a_i^{\alpha} = y_i^{\alpha} ; \quad y'_j = y_1 a_j^{\alpha} = y_j^{\alpha}. $$

Vu la transitivité, $\exists \delta \in \Gamma_1$ avec $y'_i = y_i \delta$ et $y'_j = y_j \delta$.
Il suffit donc d'étudier :

Card $[\Delta_1 a_i \delta \cap \Delta_1 a_j \delta]$, que l'on ramène au cas précédent (ce problème va être vu en détail maintenant dans l'étude du cas général).

## β) Intersection de h plans.

$$ \text{Tout d'abord } \mathrm{Card} [ \Delta_1 a_1 \cap \Delta_1 a_2 \cap \dots \cap \Delta_1 a_h ] = n_1 N q^{k-h} $$

On utilise la condition sous la forme :

$$ \mathrm{Card} [ \Gamma_{y_1} y_{i_2} \dots y_{i_h} ] = n_1 q^{k-h} $$

$$ \Gamma_{y_1} y_{i_2} \dots y_{i_h} = \bigcap_{j=1}^{h} a_{ij}^{-1} \quad \Gamma_{y_1} a_{ij} = \bigcap_{j=1}^{h} a_{ij}^{-1} \left( \cup_{k} N_1 \right) \quad \Gamma_k a_{ij} $$

$$ a_i \Gamma_{y_1} y_{i_2} \dots y_{i_h} = \bigcap_{j=1}^{h} a_i a_{ij}^{-1} \left( \cup_k N_1 \right) \Gamma_k a_{ij} $$

$$ = \bigcap_{j=1}^{h} \left[ \cup_k N_1 a_i a_{ij}^{-1} \Gamma_k a_{ij} \right] $$

$$ \bigcup_i a_i \Gamma_{y_1} y_{i_2} \dots y_{i_h} = \bigcup_j \bigcup_k N_1 a_i a_{ij}^{-1} \Gamma_k a_{ij} $$

$$ = \bigcap_j \bigcup_i ( \cup_k N_1 a_i ) a_{ij}^{-1} \Gamma_k a_{ij} $$

$$ = \bigcap_j \bigcup_k \Gamma_{x_1} a_{ij}^{-1} \Gamma_k a_{ij} $$

$$ = \bigcap_j \Gamma_{x_1} \delta_k a_{ij} $$

$$ = \bigcap_j \Delta_1 a_{ij} $$
On a donc finalement :

$$ \cup_j a_i \Gamma y_{i1} y_{i2} \dots y_{ih} = \bigcap_j \Delta_1 a_{ij} $$

D'où :

$$ \mathrm{Card} \left[ \bigcap_j \Delta_1 a_{ij} \right] = \sum_{i=1}^{N} n_i q^{k-h} = n_1 N q^{k-h} $$

### REMARQUE.

On justifie facilement le résultat :

$$ a_i \Gamma y_{i1} y_{i2} \dots y_{ih} \cap a_k \Gamma y_{i1} y_{i2} \dots y_{ih} = \emptyset $$

En effet :

$$ a_i u = a_k v $$

$$ a_k^{-1} a_i = v u^{-1} = w \in \Gamma y_{i1} y_{i2} \dots y_{ih} $$

Le seul cas possible est celui où $w \in N_1$. Mais alors $a_i$ et $a_k$ appartiendraient à une même classe, ce qui est contraire à l'hypothèse.

- Démontrons enfin :

$$ \mathrm{Card} \left[ \bigcap_j \Delta_1 a_{ij} \right] = \sum_{i=1}^{N} n_i q^{k-h} \\ \text{avec } \alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_h \in \Gamma_1 $$

Par la transitivité, on peut ramener ce résultat au précédent : en effet, si $y'_{ij} = y_{ij} \alpha_i = y_1 a_{ij} \alpha_i$ on sait qu'il existe $\alpha \in \Gamma_1$ tel que : $y'_{ij} = y_{ij} \alpha \lor j$.

$$ \text{Donc que : } \Gamma y'_{i1} y'_{i2} \dots y'_{ih} = \alpha^{-1} \Gamma y_{i1} y_{i2} \dots y_{ih} = \alpha $$

$$ \text{Si } x_1 \in \bigcap_j y'_{ij} \text{, on a : } x_1 \in \bigcap_j y_{ij} \text{, soit :} $$

$$ x_1 \xi^{\alpha^{-1}} \in \bigcap_j y_{ij} \text{, donc : } \xi^{\alpha^{-1}} \in \bigcap_j \Delta_1 a_{ij} $$

$$ \text{et } \xi \in (\bigcap_j \Delta_1 a_{ij})^\alpha. \text{ D'où le résultat.} $$
Mais l'on peut opérer par un raisonnement direct

$$
\begin{align*}
\bigcirc_j \Gamma_{y'}_{i,j} &= \bigcirc_j \alpha^{-1} \Gamma_{y_{ij}} \alpha = \bigcirc_j \alpha^{-1} e_{ij}^{-1} \Gamma_{y_1} e_{ij} \alpha \\
&= \bigcirc_j \alpha^{-1} a_{ij}^{-1} \left( \bigcup_i N_i \left( \frac{\alpha}{i} \right) a_{ij} \alpha \right).
\end{align*}
$$

Multiplications par $\beta_k \alpha$ et formons $\bigcup_k$.

$$
\begin{align*}
\bigcup_k \beta_k \alpha [\bigcirc_j \Gamma_{y'_{ij}}] &= \bigcup_k [\bigcirc_j \beta_k \alpha^{-1} a_{ij}^{-1} (\bigcup_i N_i \left(\frac{\alpha}{i}\right) a_{ij} \alpha)] \\
&= \bigcirc_j [\bigcup_i \bigcup_k N_i \beta_k a_{ij}^{-1} \chi_i a_{ij} \alpha] \\
&= \bigcirc_j [\bigcup_i (\Gamma_{x_i} a_{ij}^{-1} \chi_i a_{ij} \alpha)] \\
&= \bigcirc_j [\bigcup_i \Gamma_{x_i} \chi_i] \quad a_{ij} \alpha = \bigcirc_j \Delta_1 a_{ij} \alpha
\end{align*}
$$

Donc :

$$
\left[
\begin{array}{c}
\bigcirc_k \beta_k \alpha [ \bigcirc_j \Gamma_{y'_{ij}} ] \\
\hline
\bigcirc_j \Delta_1 a_{ij} \alpha
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{c}
\bigcirc_j \Delta_1 a_{ij} \alpha \\
\hline
\bigcirc_j \Delta_1 a_{ij} \alpha
\end{array}
\right]
$$

$$
\text{et } \text{Card} \left[ \bigcirc_j \Delta_1 a_{ij} \alpha \right] = \sum_{k=1}^{N} n_1 q^{k-h} = n_1 N q^{k-h}
$$

Remarques :

1) On a encore utilisé le résultat

$$
\beta_i \alpha \Gamma_{y'i_1} y'_{i_2} \dots y'_{i_h} \cap \beta_k \alpha \Gamma_{y'i_1} y'_{i_2} \dots y'_{i_h} = \emptyset \quad \forall i \neq k
$$

c'est à dire :

$$
\beta_i \Gamma_{y_{i1}} y_{i2} \dots y_{ih} \alpha \cap \beta_k \Gamma_{y_{i1}} y_{i2} \dots y_{ih} \alpha = \emptyset.
$$

(Par multiplication à droite par $\alpha^{-1}$, ce résultat est analogue
à celui de la dernière remarque).
2) La formule :

$$ \cup_k \beta_k = [\Gamma_{y'i_1} y'_{i_2} \dots y'_{i_h}] = \bigcap_j \Delta_1 a_{ij} $$

permet de remarquer qu'une multiplication à droite par $\alpha' \in \Gamma_{y'i_1} y'_{i_2} \dots y'_{i_h}$ ne change rien.

Ceci est exact également pour :

$$ \cup_k \beta_k = [\Gamma_{y'_{i_1}} a_{i_1}] \quad \text{avec } \alpha' \in \Gamma_{y'_{i_1}} $$

$$ \text{c'est à dire : } \Delta_1 a_{ij} = \Delta_1 a_{ij} \quad \forall \alpha' \in \Gamma_{y'_{ij}} $$

$$ \text{Soit en posant } \alpha'_{j} = \alpha \alpha_{j}. $$

$$ \Delta_1 a_{ij} = \Delta_1 a_{ij} $$

Ce qui permet de remener $\bigcap_j \Delta_1 a_{ij}$ à $\bigcap_j \Delta_1 a_{ij}$ qui lui est égal.

## REFERENCES.

[1] Lecointe : Thèse 1970.

[2] Dembowski : Kombinatorik 1970.

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Reçu en Juillet 1974

- Pierre LECOINTE -
30, Rue Desaix
75015 PARIS