# Autour du problème de Josèphe

Laurent Signac

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

OpenEdition
Journals

## Édition électronique

URL : https://journals.openedition.org/bibnum/545

DOI : 10.4000/bibnum.545

ISSN : 2554-4470

## Éditeur

FMSH - Fondation Maison des sciences de l'homme

## Référence électronique

Laurent Signac, « Autour du problème de Josèphe », *Bibnum* [En ligne], Calcul et informatique, mis en ligne le 01 septembre 2012, consulté le 04 février 2023. URL : http://journals.openedition.org/bibnum/545 ; DOI : https://doi.org/10.4000/bibnum.545

<figure><img src="image_2.png" /></figure>
# Autour du problème de Josèphe

par Laurent Signac
chercheur au Laboratoire d'Informatique et d'Automatique pour les
Systèmes (LIAS, EA 1219, université de Poitiers), maître de conférence
en informatique à l'École Nationale Supérieure d'Ingénieurs de Poitiers
(ENSIP)

S'il est un petit problème amusant duquel on décroche difficilement, c'est bien
le problème de Josèphe. Il s'agit d'un divertissement arithmétique relativement
connu, qui revient régulièrement dans la littérature de vulgarisation mathématique
ou même informatique. Il appartient à la famille des problèmes de décimation.
L'origine un peu sanglante<fnref n="1" /> de ce mot prend d'ailleurs tout son sens dans le cas du
problème de Josèphe.

L'énoncé en est fort simple : 41 personnes sont disposées en cercle et une
origine est choisie (figure 1a).

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Figure 1: Procédé de décimation.**</figcaption></figure>

<footnote n="1">1. Le terme de *décimation* trouve son origine dans une punition militaire romaine qui consistait à «éliminer» une personne sur dix dans un groupe. On procédait probablement par tirage au sort.</footnote>
En commençant sur cette personne, on compte : 1, 2, et la troisième personne est supprimée<fnref n="2" />. Puis on continue : 1, 2 et on supprime la troisième personne. Les premières personnes qui sortent du cercle portent donc les numéros : 3, 6, 9, 12... comme indiqué figure 1b. Le même procédé est répété tout autour du cercle (figure 2a). Attention, après un tour complet, il y a des places vacantes, et ça se complique. Voici les numéros des malheureux perdants dans l'ordre de leur élimination (figure 2b) :

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 1, 5, 10, 14, 19, 23, 28...

La question est : Où se placer dans le cercle d'origine pour être le dernier survivant ? Autrement dit, quel sera le dernier numéro restant dans le cercle ?

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>**Figure 2: Poursuite du procédé de décimation.**</figcaption></figure>

<footnote n="2">2. Le terme de décimation sera maintenant employé même si on sélectionne une personne sur *n* avec *n* différent de 10.</footnote>
# I - GUERRE DES JUIFS

Le problème précédent est généralement rattaché à l'histoire de Flavius Josèphe, « historien » du Ier siècle, qui a raconté cet épisode de sa vie (il faisait partie des 41 personnes) dans son ouvrage : *Guerre des Juifs*. Chaque personne désignée par le procédé qui vient d'être détaillé était alors tuée par la personne désignée après elle. Flavius Josèphe a donc manifestement su résoudre le problème.

Mathématiquement, dans le cas général (pour un nombre de personnes quelconque, et un comptage qui n'est pas forcément de 3 en 3), la solution ne peut pas être obtenue par un calcul direct<fnref n="3" />. C'est d'ailleurs probablement l'absence de solution directe générale qui a fait résister le problème au temps et le rend intéressant aujourd'hui encore. En outre, il est assez facile, quelles que soient les données de départ cette fois-ci, de simuler la phase de décimation avec un ordinateur, pour finalement obtenir comme réponse le numéro du dernier survivant dans le cercle et plus généralement l'ordre d'élimination : un tel programme est même assez amusant à faire et les programmeurs potentiels sont encouragés à ne pas consulter la solution proposée à la fin de cet article avant d'avoir trouvé par eux-mêmes.

Enfin, la dimension historique ne peut qu'aiguiser la curiosité et il est difficile de ne pas être tenté de rechercher des détails supplémentaires sur la façon dont le héros d'origine s'est tiré d'affaire en ces temps reculés. On lit en effet dans les présentations contemporaines que l'histoire se serait déroulée lors du siège de Jotapata par Vespasien<fnref n="4" />, en 67, alors que les 41 personnes (Flavius Josèphe, alors gouverneur de la cité, et 40 soldats) étaient acculées dans une caverne, refusant de se rendre. Le contexte historique nous permet de mesurer plus facilement la prouesse de Flavius Josèphe : sa situation, terré dans une caverne assiégée, sachant que la moindre erreur de calcul lui coûtera la vie, n'est pas particulièrement propice au repos de l'esprit nécessaire à la résolution du problème de tête pour un cercle de 41 personnes.

La tentation est donc grande de rechercher des précisions non plus dans un texte de divertissements mathématiques, mais plutôt dans une des nombreuses traductions issues de manière plus ou moins directe du texte de Flavius Josèphe. La

<footnote n="3">3. Il existe des solutions basées sur des récurrences, d'autres basées sur le calcul de suites annexes (suites géométriques « arrondies »), mais pas de calcul direct dans le cas général.</footnote>

<footnote n="4">4. Qui deviendra empereur deux ans plus tard.</footnote>
première version qui s'est présentée est disponible sur Gallica. Il s'agit des Œuvres complètes de Flavius Joséphe, publiées à partir de 1911 sous la direction de Théodore Reinach, et traduites du grec par René Harmand. Le passage est situé dans le Livre III de la Guerre des Juifs, chapitre VIII<fnref n="5" /> :

388. met alors sa confiance dans la protection de Dieu : « Puisque, dit-il, nous sommes résolus à mourir, remettons-nous en au sort pour décider l'ordre où nous devons nous entretuer : le premier que le hasard désignera tombera sous le coup du suivant et ainsi le sort marquera successivement les victimes et les meurtriers, nous dispensant d'attenter à notre vie de nos propres mains. Car il serait injuste qu'après que les autres se seraient tués il y en eût quelqu'un qui pût changer de sentiment et vouloir survivre. » » Ces paroles inspirent confiance, et après avoir décidé ses compagnons, il tire au sort avec eux. Chaque homme désigné présente sans hésitation la gorge à son voisin dans la pensée que le tour du chef viendra bientôt aussi, car ils préféraient

390. à la vie l'idée de partager avec lui la mort. A la fin, soit que le hasard, soit que la Providence divine l'ait ainsi voulu. Joséphe resta seul avec un autre : alors, également peu soucieux de soumettre sa vie au verdict du sort ou, s'il restait le dernier, de souiller sa main du sang d'un compatriote, il sut persuader à cet homme d'accepter lui aussi la vie sauve sous la foi du serment<fnref n="2" />.

391.
à la vie l'idée de partager avec lui la mort. A la fin, soit que le hasard, soit que la Providence divine l'ait ainsi voulu. Joséphe resta seul avec un autre : alors, également peu soucieux de soumettre sa vie au verdict du sort ou, s'il restait le dernier, de souiller sa main du sang d'un compatriote, il sut persuader à cet homme d'accepter lui aussi la vie sauve sous la foi du serment<fnref n="2" />.

392. 8. Ayant ainsi échappé aux coups des Romains et à ceux de ses pro-
pres concitoyens, Joséphe fut conduit par Nicanor auprès de Vespasien.

393. De toutes parts les Romains accouraient pour le contempler et, autour du prétoire <fnref n="3" />, il y eut une presse énorme et un tumult en sens divers : les uns se félicitaient de la capture du chef, d'autres proféraient des menaces, quelques-uns se poussaient simplement pour le voir de plus près. Les spectateurs les plus éloignés criaient qu'il fallait châtier cet ennemi de Rome, mais ceux qui étaient à côté se rappelaient ses belles actions et ne laissaient pas d'être émus par un si grand changement. Parmi les généraux il n'y en eût pas un qui, si fort qu'il eût d'abord été irrité contre lui, ne se sentit quelque pitié à sa vue : Titus

394. près. Les spectateurs les plus éloignés criaient qu'il fallait châtier cet ennemi de Rome, mais ceux qui étaient à côté se rappelaient ses belles actions et ne laissaient pas d'être émus par un si grand changement. Parmi les généraux il n'y en eût pas un qui, si fort qu'il eût d'abord été irrité contre lui, ne se sentit quelque pitié à sa vue : Titus

395. Parmi les généraux il n'y en eût pas un qui, si fort qu'il eût d'abord été irrité contre lui, ne se sentit quelque pitié à sa vue : Titus

396. d'abord été irrité contre lui, ne se sentit quelque pitié à sa vue : Titus

<footnote n="1">1. Destinon supprime cette phrase comme interpolée. D'ailleurs, même avec le procédé suggéré par Joséphe, il y aura toujours un dernier survivant qui devra forcément se tuer lui-même.</footnote>

<footnote n="2">2. Il est permis d'avoir des doutes sur l'authenticité de cette historiette qui a fourni aux mathématiciens, depuis la Renaissance, un piquant sujet de problème.</footnote>

<footnote n="3">3. Nous lisons avec Holwerda : πριν τὸ στρατηγιον (mss. : τῷ στρατηγῷ, τοῦ στραηγοῦ, etc.).</footnote>

<footnote n="5">5. Source Gallica.</footnote>
Voici le passage en question :

Puisque, dit-il, nous sommes résolus à mourir, remettons-nous en au sort
pour décider l'ordre où nous devons nous entretuer : le premier que le hasard
désignera tombera sous le coup du suivant et ainsi le sort marquera
successivement les victimes et les meurtriers, nous dispensant d'attenter à
notre vie de nos propres mains [...] À la fin, soit que le hasard, soit que la
Providence divine l'ait ainsi voulu, Josèphe resta seul avec un autre : alors,
également peu soucieux de soumettre sa vie au verdict du sort ou, s'il restait
le dernier, de souiller sa main du sang d'un compatriote, il sut persuader à
cet homme d'accepter lui aussi la vie sauve sous la foi du serment.

Algorithmiquement parlant, on reste un peu sur sa faim. Il est plus question de
hasard et de Providence divine que de calculateur prodige. Excepté le nombre de
personnes, qui est effectivement 41 dans ce texte (on le trouve dans les pages qui
précèdent), il n'est pas fait mention d'un cercle, ni d'un quelconque moyen
algorithmique de désigner les personnes à exclure du cercle en comptant de 3 en 3.

Le traducteur René Harmand émet d'ailleurs dans une note de bas de page
quelques réserves sur l'authenticité de l'histoire contée par Flavius Josèphe, tout en
admettant qu'elle a, depuis la Renaissance, donné naissance à un « piquant sujet de
problème ».

Enfin, le texte sous-entend qu'au moment où il ne reste plus que Josèphe et
son compagnon comme survivants, le premier propose d'arrêter le processus de
décimation craignant de mourir ou de devoir donner la mort. Or, à ce moment,
Josèphe sait nécessairement dans quelle situation parmi les deux possibles il se
trouve. Si le dernier meurtre a été commis par lui (ce qui est peu probable, puisqu'il
se soucie alors de ne pas devenir un meurtrier), c'est à son tour de mourir. Si en
revanche il a été commis par son compagnon, c'est à Josèphe de prendre le rôle
d'assassin et il a l'assurance d'être le seul survivant. Comme il se trouve très
probablement dans la seconde situation, il s'en suit que Josèphe a réellement
épargné un compagnon, probablement pour ne pas devenir lui-même un meurtrier.
Cette imprécision enlève encore un peu à la crédibilité de l'histoire.

Cependant, la traduction que nous avons utilisée a bien sûr été réalisée à partir
de textes qui ne sont pas les textes originaux<fnref n="6" /> (a priori perdus). Il est tout à fait
concevable qu'il existe plusieurs versions de ce passage, contenant plus ou moins

<footnote n="6">6. Flavius Josèphe aurait écrit en araméen, puis aurait lui même rédigé une traduction en grec. Les traductions latines ne seraient apparues que plus tard.</footnote>
de détails sur le procédé et l'astuce de Flavius. Voici par exemple le même passage,
situé dans le volume 5 de l'Histoire des Juifs, livre III, chapitre XLIV. Cette
traduction du grec, due à Arnauld d'Andilly, a été publiée de nombreuses fois depuis
le XVIIᵉ siècle (ci-dessous, l'édition de 1744) :

428 GUERRE DES JUIFS CONTRE LES ROMS
rés, ils ne pouvoient s'empêcher de rêver
rer un chef pour qui ils avoient tant d'esti-
me, ils sentirent leurs bras s'affoiblir; leurs
épées leur tomboient des mains, & dans le
même - tems qu'ils lui portoient quelques
coups, leur affection pour lui s'opposant à
leur colere en diminuoit tellement la force,
qu'elle les rendoit inutiles.

Joseph de son côté ne perdoit point le
jugement dans un si preffant péril : mais se
confiant en l'affiſtance de Dieu, il leur par-
la en ces termes : » Puisque vous êtes réſo-
lus de mourir, jettons le fort pour voir
» qui ſera celui qui devra être tué le pre-
mier par celui qui le ſuivra : & continuons
» toujours d'en uſer de la même forte, afin
» que nul de nous ne ſe tuë de ſa propre
» main, mais reçoive la mort par celle d'un
» autre. « Cette propofition fut reçuë de
tous avec joye, parce qu'ils ne pouvoient
douter que Joseph ne fût bien-tôt du nom-
bre de ceux qui ſeroient tués, & qui pré-
féroient à la vie une mort qui leur ſeroit
commune avec lui.

Ainsi le fort fut jetté : & celui ſur qui il
tomboit, tendoit la gorge à celui qui le de-
voit tuer : ce qui continua juſques à ce qu'il
ne reſta plus que Joseph & un autre, ſoit
que cela arrivât par hazard, ou par une
conduite particuliere de Dieu. Alors Joſeph
voyant que s'il eût encore jetté le fort, ou
il lui auroit tallu tremper ſes mains dans le
ſang d'un de ſes amis, il lui perſuada de vi-
vre, après lui avoir donné parole de le ſau-
ver.

270.
Nous pouvons y lire :

Puisque vous êtes résolus de mourir, jetons le sort pour voir qui sera celui qui devra être tué le premier par celui qui le suivra : & continuons toujours d'en user de la même sorte [...] Ainsi le sort fut jeté : & celui sur qui il tombait, tendit la gorge à celui qui le devait tuer : ce qui continua jusqu'à ce qu'il ne resta plus que Joseph & un autre, soit que cela arrivât par hasard, ou par une conduite particulière de Dieu. Alors Joseph voyant que s'il eût encore jeté le sort, ou il lui aurait fallu tremper ses mains dans le sang d'un de ses amis, il lui persuada de vivre, après lui avoir donné parole de le sauver.

Même s'il apparaît un peu plus clairement ici que Josèphe a épargné l'avant-
dernier survivant, on reste là-encore sur sa faim en ce qui concerne le procédé
précis employé pour la décimation : pas de cercle, c'est le sort qui désigne les
victimes, et Josèphe s'en tire sans calcul.

@@@@@@@@@

Signalons enfin une troisième version, appelée *Prise de Jérusalem*, écrite en slavon (russe ancien) et tirée de différents manuscrits des XVe et XVIe siècles contenant le texte entier ou des bribes mêlées à d'autres chroniques. Ces différents manuscrits pourraient provenir de traductions slavonnes plus anciennes (XIIe ou XIIIe siècle) de textes encore plus anciens et maintenant perdus. En effet, la version paléo-slave diffère sur plusieurs points des versions européennes que l'on connaît. Elle contient en particulier des détails sur la vie de Jésus ou de Jean le Baptiste. Savoir si ces détails ont été ajoutés par le traducteur slave ou s'il a utilisé pour sa traduction une version maintenant perdue qui contenait déjà ces détails reste de la spéculation. Il est possible qu'il y ait un peu des deux.

Une traduction en français du texte en vieux russe, réalisée par Pierre Pascal, a été publiée en deux tomes par l'Institut d'Études Slaves en 1934 et 1938, sous le nom *La prise de Jérusalem de Josèphe le Juif*. Le texte russe a été imprimé en regard du texte français. Plus tard, en 1965, la même traduction, mais sans le texte russe, a été publiée aux Éditions du Rocher.

Dans la version paléo-slave figure l'épisode de la caverne. Voici la traduction
qui est donnée par P. Pascal :

Alors Josèphe, confiant son salut à la tutelle de Dieu, dit : «Puisque Dieu a voulu que nous mourions, tuons nous en comptant les chiffres : celui sur qui tombera la fin du compte recevra la mort du suivant». Ayant ainsi parlé, il compta les chiffres avec habileté et par là les trompa tous. Ils se tuèrent tous
les uns les autres, sauf un. Josèphe, soucieux de ne pas souiller sa main du sang d'un compatriote, le supplia, et tous deux sortirent vivant.

Cette version est bien différente de celles que nous avons vues pour l'instant. S'il est toujours question de confier son salut à la tutelle de Dieu, la phase « il compta les chiffres avec habileté et par là les trompa tous» laisse peu de place à l'ambiguïté.

Voici une copie manuelle du texte slavon :

И ТАКО РЕКН, ПОЧТЕ ЧИСЛА СБ МОУДРОСТНО,
И ТЕМ ПРИБЛАДЕ ВСА.

Le terme traduit par habileté en français (МОУДРОСТНО) peut aussi être interprété comme sagesse, donnant un sens différent (proche de la résignation) à la phrase.

La trace du Josèphe calculateur n'est pas inexistante, mais il manque les détails techniques sur le procédé de décimation. De plus, les possibilités d'investigations sur ce texte sont réduites. Aussi, plutôt que de rechercher de nouvelles traductions issues du récit de Josèphe, reprenons le problème dans l'autre sens et cherchons à savoir où les auteurs de divertissements mathématiques ont déniché leur idée de problème arithmétique. Peut-être trouverons-nous les références d'une version particulière de la Guerre des Juifs.

## II - RÉCRÉATIONS ARITHMÉTIQUES

Le problème étant presque « passé dans les mœurs », les ouvrages récents présentent le fameux passage de la caverne sans donner de source exacte. Il faut se tourner vers des auteurs spécialisés des XIXe et XXe siècles pour obtenir de nouvelles informations. Plus particulièrement, des problèmes identiques ou similaires se retrouvent (par exemple) chez Édouard Lucas, bien connu pour son jeu des tours de Hanoï, source inépuisable de tracasseries pour les étudiants en informatique, et Ernest Dudeney.

L'ouvrage en langue anglaise *Amusements in mathematics* d'Ernest Dudeney, publié en 1917, présente un problème similaire à celui de Josèphe, à base de chats
et de souris. Il ne permet pas vraiment d'avancer dans la quête de la vérité sur la prouesse calculatoire de Flavius, mais propose une variante amusante.

L'ouvrage de Dudeney est mis à disposition par le projet Gutenberg<fnref n="7" />. Voici une traduction en français du problème 232 accompagnée de la figure illustrant l'énoncé dans l'ouvrage original.

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

« Ne triche pas ! » dit la souris. « Tu connais les règles du jeu. »

« Je connais les règles », dit le chat. « Je dois tourner tout autour du cercle, en restant dans le même sens que vous, et manger chaque fois la treizième souris, mais je dois garder la blanche comme gâterie finale. Treize est un nombre qui porte la poisse, mais je vais faire de mon mieux pour vous satisfaire. »

« Dépêche-toi alors », hurla la souris. « Laissez-moi un peu de temps pour réfléchir », dit le chat, « je ne sais pas par laquelle d'entre vous commencer. Je dois faire le calcul. »

Alors que le chat résolvait le casse-tête, il s'endormit et, le sort étant ainsi rompu, les souris rentrèrent chez elles saines et sauves. Par quelle souris le chat aurait-il dû commencer pour que la souris blanche fût la dernière mangée ?

<footnote n="7">7. Page du site Gutenberg.</footnote>
C'est bien le même problème. Il donne l'impression d'être posé à l'envers mais
passer d'une solution « à la Josèphe » (qui est le dernier ?) à une solution « à la
chat » (par qui commencer pour terminer sur une position prédéterminée ?) est
immédiat<fnref n="8" />. Le problème du chat est amusant, mais ne fait malheureusement pas
avancer sur l'origine du problème de Josèphe. De son côté, Édouard Lucas nous
livre sa version dans l'Arithmétique amusante, publiée de manière posthume en
1895⁹. Après avoir exposé une autre variante que nous évoquerons plus loin, il
donne des indices sur l'origine du problème de Josèphe :

14

Chapitre premier.

le dix et la dame de trèfle, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on
ait retiré les quinze cartes noires.

Au lieu des deux vers français qui nous permettent de résoudre
immédiatement le problème proposé, on se servait autrefois de ce
vers latin, où l'on trouve les mêmes voyelles dans le même ordre :

Popudum virgum mater Regina ferrebat.

Nous allons indiquer maintenant la méthode qui permet de
retrouver, indépendamment de tout procédé mnémotechnique,
la disposition des cartes rouges et des cartes noires. Plaçons en
cercle trente cartes retournées, en indiquant la place de la pre-
mière, qui correspondait au roi de carreau. En comptant de neuf
en neuf, on tombe sur les cartes dont les rangs sont 9, 18, 27.

Qu'on retire ces cartes, puis que l'on continue à compter de
neuf en neuf, en retirant quinze cartes, il suffira ensuite de rem-
placer les cartes restantes par quinze cartes rouges, en conservant
la place de la première, le roi de carreau; puis on mettra à la place
des cartes manquantes quinze cartes noires.

BACHER, dans la Préface au lecteur de la seconde édition de ses
Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres,
nous donne l'origine de ce curieux problème :

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

HISTOIRES DE BRIGANDS.

« Hégésippus, au troisième Livre de la Guerre de Jerusalem,
rapporte la mémorable histoire de Josèphe, ce fameux auteur qui
nous a laissé par écrit la même Guerre des Juifs, lequel était

Calcules élémentaires.

15

gouverneur de la ville de Jotapata, lorsqu'elle fut assiegée et peu
après emportée d'assaut par Vespasien. Il fut contraint de se
retirer dans une citerne, suivi d'une troupe de soldats, pour éviter
la première fureur des armes victorieuses des Romains; mais il
courut plus de fortune de perdre la vie parmi les siens que parmi
les ennemis: car, comme il eut arrêté de s'aller rendre à la merci
du vainqueur, ne pouvant imaginer aucun autre moyen de se
garantir de la mort, il trouva ses soldats saisis d'une telle frénésie
qu'ils voulaient tous mourir et s'entre-tuer les uns les autres
plutôt que de prendre ce parti. Josèphe s'efforça bien de les dé-
tourner d'une si malheureuse entreprise, mais ce fut en vain; car,
rejetant tout ce qu'il put leur alléguer au contraire, et persistant
en leur opinion, ils en vinrent jusque-là que de le menacer, s'il
ne s'y portait volontairement, de l'y contraindre par la force, et
de commencer par lui-même l'exécution de leur tragique dessin.
Alors, sans doute, c'était fait de sa vie s'il n'eût eu l'esprit de se
défaire de ces hommes furieux par l'artifice du présent problème.
Car, feignant d'adhérer à leur volonté, il se conserva l'autorité
qu'il avait sur eux, et par ce moyen, leur persuada facilement que,
pour éviter le désordre et la confusion qui pourraient subvenir
en tel acte, s'ils s'entre-tuaient à la foule, il valait mieux se ran-
ger par ordre en quelque façon, et, commençant à compter par
un bout, massacer toujours le tantième, jusqu'à ce qu'il n'en
demeurât qu'un seul, lequel serait obligé de se tuer soi-même.
Tous étant de cet accord, Josèphe les disposa de sorte, et choisit
pour lui une si bonne place, que la tuerie étant continuée jusqu'à
la fin, il se trouva seul en vie, ou peut-être encore, qu'il sauva
quelques-uns de ses plus affirés, et de ceux desquels il se pouvait
promettre une entière et parfaite obéissance. »

<footnote n="8">8. On passe d'un problème à l'autre en modifiant simplement l'origine de la numérotation, autrement dit en décalant les numéros.</footnote>

<footnote n="9">9. Disponible sur le site archive.org (lien).</footnote>
Nous lisons que :

Bachet, dans la préface au lecteur de la seconde édition de ses Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres, nous donne l'origine de ce curieux problème :

« Hégésippus, au troisième Livre de la Guerre de Jerusalem, rapporte la mémorable histoire de Josèphe, [...] Josèphe les disposa de sorte, et choisit pour lui une si bonne place, que la tuerie étant continuée jusqu'à la fin, il se trouva seul en vie [...] »

Non seulement Lucas semble confirmer que la survie de Josèphe n'a pas été un fait du hasard, mais nous avons maintenant deux références supplémentaires :

- Claude Gaspard Bachet, sieur de Mériziac, un auteur du XVIIe siècle que l'on considère souvent comme étant le premier auteur français de divertissements mathématiques,

- et surtout, une autre version de la *Guerre de Juifs*, intitulée *Guerre de Jerusalem*, écrite par un certain Hégésippus et dans laquelle on doit trouver que: *Josèphe les disposa de sorte, et choisit pour lui une si bonne place...*

@@@@@@@@@

Penchons-nous en premier lieu sur le texte de Bachet. La seconde édition des *Problèmes plaisants et délectables* datant de 1624 (la première a été publiée 12 ans plus tôt), est disponible sur Gallica<fnref n="10" /> :

### PREFACE

fance. En outre ie ne crois pas, que
ceux qui auront penetré dans ce li-
ure plus avant eue l'ecoree, le iugent
de li peu de valeur, que feront ceux-
là qui n'en auront leu que le tiltrecar
encor que ce ne foyent que des ieurs,
dont le but principal eft de donner
vne honnefte recreation,& d'entrete-
nir avec leur gentillefle vne compa-
gnie,fi eft-ce qu'il faut bien de la lub-
tilité d'efprit,pour les practiquer par-
faitement& faut eftre plus que me-
diocrement expert en la ſcience des
nombres, pour bien entendre les de-
monitrations, & pour ſe ſçauoit ay-
der de plufieurs belles inuentions,
que i'ay adioutees. Finalement,
pour preuuer encore que ce liure n'eſt
point du tout inutile, & que la co-
gnoiffance de ces Problemes peut
feruir grandement en quelque occa-
sion,ie ne veux employer que le tef-
moignage de Hegelippus au troifief-
me liure de la prife de Hieruſalem.La
il

### AV LECTEVR.

il rapporte la memorable hiftoire de
Iosephe,ce fameux Autheur qui nous
a laifé par eſcrit la meſme guerre des
Juifs, lequel eſtár gouuerneur dans la
ville de Iotapata, lors qu'elle fut af-
ſiegee,& peu apres emportee d'affaut
par Vespafian, il fut contraint de ſe
retirer dans vne citerne, luiui d'vne
trouppé de foldats, pour euiter la
premiere fureur des armes victorieu-
fes des Romains. Mais il courut plus
de fortune de perdre la vie parmy les
fiens, que parmy les ennemis: Car
comme il eut arreſté de s'aller rendre
à la mercy du vainqueur,ne pouuant
imaginer aucun autre moyen de ſe
garentir de la mort, il treuua ſes fol-
dats failis d'vne telle freneſſe, qu'ils
vouloient tous mourir, & s'entretuer
les vns les autres,pluſtoſt que de pren-
dre ce party. Iosephe s'efforça bien
de les deſtourner d'vne ſi mal-heu-
reule entreprife, mais ce fut en vain;
car rejettás tout ce qu'il pueſt leur al-
leguer

### PREFACE

leguer au contraire, & perſiſtans en
leur opinion, ils en vindrent iuſques
là, que de le menacer, s'il ne s'y por-
toit volontairement, de l'y contrain-
dre par force, & de commencer par
luy meſme l'execution de leur tragi-
que deſſein. Alors fans doute c'eſtoit
fait de ſa vie, s'il n'eußt eu l'efprit de
ſe deſaire de ces hommes ſurieux,par
l'artifice de mon 23. Probleme. Car
ſeignant d'adheter à leur volonté, il
ſe conferua l'authorité qu'il auoit ſur
eux, & par ce moyen leur perſuada
facilement, que pour euiter le deſor-
dre & la confusion, qui pourroient
furuenir en tel aſte, s'ils s'entretuoiét
à la foule, il valoit mieux ſe ranger
par ordre en quelque façon, & com-
mençant à conter par vn bout, maſ-
facrer touſiours le tantieſme. (l'Au-
theur n'exprime par le quantieſme)
iuſques à ce qu'il n'en demeurait
qu'vn ſeul, lequel ſeroit obligé de ſe
tuer ſoy-meſme. Tous eſtans de cet
accord,

### AV LECTEVR.

accord, Iosephe les diſpoſa de forſte,
& choiſit pour luy vne ſi bonne pla-
ce,que la tuerie eſtant continue iuſ-
ques à la fin, il ſe trouua ſeul en vie,
ou peut eſtre encore qu'il ſauua qucl-
ques vns de ſes plus affidez:& de ceux
defquels il ſe pouuoit promettre vne
entiere & parfaicte obeiſance.Voyla
vne hiftoire bien remarquable, & qui
nous apprend aſſez, qu'on ne doit
point meſprier ces petites ſubtilitez,
qui aiguifent l'efprit, habilitent l'hó-
me à des plus grandes choſes, & ap-
portent quelquesfois vne vtilité non
preueuë.

Reſte que l'aduertiſſe le LECTeur,
que ceſte ſeconde édition eſt beau-
coup plus accomplie, que la premie-
re: car outre qu'elle eſt plus corre-
ſte, elle eſt augmentee de pluſieurs
Problemes, & de la demonſtration
parfaicte du Probleme, qui eſtoit
le cinquieme en la première edi-
tion, & qui eſt le fixieſme en celke-
cy.

<footnote n="10">10. Page du site Gallica.</footnote>
Nous lisons dans la préface :

Finalement, pour prouver encore que ce livre n'est point du tout inutile, & que la connaissance de ces Problèmes peut servir grandement en quelque occasion, je ne veux employer que le témoignage d'Hégésippus, au troisième livre de la prise de Jérusalem. Là il rapporte la mémorable histoire de Josèphe, ce fameux auteur qui nous a laissé par écrit la même guerre des Juifs [...] il fut contraint de se retirer dans une citerne<fnref n="11" />[...] alors sans doute c'était fait de sa vie, s'il n'eût eu l'esprit de se défaire de ces hommes furieux, par l'artifice de mon 23 Problème. Car feignant d'adhérer à leur volonté [...] [il les] persuada facilement [...] [qu'] il valait mieux se ranger par ordre en quelque façon, et commençant à compter par un bout, massacer toujours le tantième (l'auteur n'exprime pas le quantième) jusqu'à ce qu'il n'en demeurât qu'un seul, lequel serait obligé de se tuer soi-même. [...] Josèphe les disposa de sorte, et choisit pour lui une si bonne place [...] il se trouva seul en vie.

Le problème 23 dont il est question, une variante avec des turcs et des chrétiens sur un bateau, est celui dont s'est inspiré Édouard Lucas. En voici le texte, issu de la même édition de 1624 :

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

<footnote n="11">11. La caverne est ici devenue une citerne. Ce n'est pas très surprenant, et le dictionnaire historique de la Bible du révérend Calmet nous indique que les termes lac (que nous verrons plus loin), citerne, caverne ou même tombeau peuvent désigner tous les quatre des réserves d'eau ou des sépultures.</footnote>
L'objectif, pour le capitaine du bateau mentionné dans cette histoire, est de disposer 30 personnes (15 chrétiens et 15 turcs) de façon qu'en supprimant 15 d'entre elles en comptant de 9 en 9, les 15 restantes soient les chrétiens. Bachet propose un moyen mnémotechnique pour retenir les positions à donner aux turcs et aux chrétiens :

*Mort tu ne falliras pas*
*En me livrant le trépas*

Chaque voyelle est affectée à un numéro (1 pour a, 2 pour e, 3 pour i, 4 pour o et 5 pour u) et la phrase donne donc la série de chiffres : 4, 5, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 1 qui indique que la disposition est : 4 chrétiens, 5 turcs, 2 chrétiens...

La disposition finale obtenue est donnée figure 3. De nombreuses autres phrases mnémotechniques, dans diverses langues (Lucas en donne une en latin, que nous retrouverons bientôt), existent pour ce problème que nous appellerons dans la suite la variante 15-15, où les chrétiens et les turcs sont parfois remplacés par des personnes habillées en blanc ou en noir, des pions de différentes couleurs, des enfants sages et des garnements...

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>**Figure 3: Variante 15-15** : en décimant 1 sur 9, les 15 premiers éliminés seront les personnages grisés. Les 5 premiers sont désignés par les flèches.</figcaption></figure>
Bachet conclut son 23e problème en revenant sur celui de Josèphe :

qui se font par les nombres. 177

Turcs s'en iroient, & les 10. Chrestiens demeureroient.

Or comme l'ay touché en la prouce de cette œuvre,
c'est par ceste inuentiò que Iosephe se sauna tres-subti-
lement dans Iotapata ainsi qu'on recueille euidemment
des paroles d'Egesippus touchant ce fait au 3. Livre de
la guerre de Hierusalem. Et bien qu'il ne particularise
pas assez ceste action, toutesfois par ce qu'il dit nous
nous pouvons imaginer comme le tout se passa. Car ain-
fi qu'il raconte, il y eut 40. Soldats qui se fauuerent avec
Iosephe dans le lac si bien qu'à conter ledit Iosephe ils
cstoient en tout 41. Partant supposons qu'il ordonna
que contant de trois en trois, on tueroit tousionrs le troi-
siesme: il est certain que procedât de la sorte, tu trouveras
en fin par la règle donnee en la demonstration, qu'il faut
que Iosephe se mit le trente-vniefme apres celui, par le-
quel on commençoit à conter, au cas qu'il visast à de-
meurer en vie lui tout seul. Mais s'il voulut sauuer vn
de ses compagnons, il le mit en sa seiesme place, & s'il
en voulut sauuer encor vn autre, il le mit en la trente-
cinquiesme place.

Nous pouvons y lire :

Or comme j'ai touché en la préface de cette œuvre, c'est par cette invention que Josèphe sauva très subtilement dans Iotapata ainsi qu'on recueille évidemment des paroles d'Hégésippus touchant ce fait au 3 livre de la Guerre de Jerusalem. Et bien qu'il ne particularise pas assez cette action, toutefois par ce qu'il dit nous pouvons imaginer comme le tout se passa. Car ainsi qu'il raconte, il y eut 40 soldats qui se sauvèrent avec Josèphe dans le lac si bien qu'à conter ledit Josèphe ils étaient en tout 41. Partant, supposons qu'il ordonna que comptant de trois en trois, on tuerait toujours le troisième : il est certain que procédant de la sorte, tu trouveras en fin par la règle donnée en la démonstration qu'il faut que Josèphe se mit le trente-unième après celui par lequel on commençait à conter, au cas qu'il visait à demeurer en vie lui tout seul. Mais s'il voulut sauver un de ses compagnons, il le mit en sa
seizième place, & s’il en voulut sauver encore un autre, il le mit en la trente-cinquième place.

Il semble, à la lecture de ce passage, que ce soit le choix de Bachet de compter de 3 en 3 (il précise dans la préface citée précédemment que la valeur du *tantième* n’est pas donnée par Hégésippus). Même si cette valeur n’est pas précisée dans la *Guerre de Jerusalem*, cet ouvrage devrait contenir, toujours d’après Bachet, le protocole d’élimination utilisé par Josèphe, certes peu détaillé, mais suffisant pour nous confirmer que Josèphe ne s’en est pas simplement remis à la Providence divine.

Notons au passage que, contrairement à une information qu’on rencontre parfois, pour autant que nous puissions en juger, Bachet ne s’est pas trompé sur le nombre de personnes (il y en a bien 41), ni sur la solution au problème (16 et 31). Ces valeurs sont tout aussi correctes dans la première édition de 1612.

L’ouvrage de Bachet a été réédité beaucoup plus tard, en 1874 (troisième édition), commenté et détaillé par A. Labosne. Une version ultérieure (la cinquième), publiée en 1884, est disponible sur le site du Conservatoire numérique des Arts et Métiers<fnref n="12" />.

Dans cette cinquième édition, une note de Labosne, ajoutée dans la préface au lecteur, nous met en garde contre une mauvaise interprétation du texte de Josèphe dont le sort aurait été livré au hasard ou à la Providence. Néanmoins, Bachet insistant, comme Lucas, sur la version d’Hégésippus<fnref n="13" /> : il semble naturel de se mettre en quête de cette version particulière qui n’a *a priori* pas de raison d’être moins véridique qu’une autre.

### III - L'HÉGÉSIPPE

Gallica propose plusieurs versions de *L'Hégésippe*, dont une belle édition manuscrite<fnref n="14" /> du XIIIᵉ siècle. Le passage se trouve au verso du feuillet 77 :

<footnote n="12">12. Page site CNUM.</footnote>

<footnote n="13">13. Ce point n’est pas développé ici, mais ajoute à la confusion de l’affaire : la *Guerre de Jérusalem* (De excidio urbis Hierosolymitana), écrite vers 370, n’a pas été écrite par Hégésippe, qui vécut au IIᵉ siècle, mais probablement par Saint-Ambroise de Milan (cette thèse n’est pas unanimement partagée et certains identifient pseudo-Hégésippe à un certain Isaac).</footnote>

<footnote n="14">14. Page site Gallica.</footnote>
ut minueret numeru repugnantur. Comittam inquit forz morien
di ordine. ut se nemo subterbat. et forf comemat unierof. Hoc
ithmoey eudiceto sit ut hib q forze exieret. ab eo q seque interimatur.
I taq. fere. ut forf anuqueq. no. oppia voluntas mori adiudieet. See
g unuq:q sub forze iudice. et ex forf scelerit et liber capitularis.
ut no alieno arbitrio celeret nec declineet luo morce futura. Nemo
reculare poterit euemur. que uel calus meulere. ut di voluntas
signaueret. fide fec oblatio. rumuloys ad senf forz adqueunt. Quisq.
forz + designat. parata sequit nec puit. Icaq. accidit. ut iremp
til religi. iosepplus cii altero supeet nec. Oanelut necessario. ut aut

Une traduction, réalisée par I. Millet de Saint-Amour et publiée en 1556, est accessible par Google Books<sup>15</sup> :

LIVRE III.

Felon les fainètes lois, qui nous ont efté laissées par noz pe-
res. Soyez certains que la liberté nous en eft maintenant de
beaucoup plus grande, veu que noz fainètes ordonnan-
ces nous defendent cefte manière de mort.

Comme les luifs, eftans auc Iofephe, s'entretuèrent
& luy mefme, auc e l'n des fiens, vint es mains de
Vespafian.

Chapitre 18.

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

Elles & femblables raifons alleguoit Io-
lephe à ceux, le quels s'eftoiens retirez en
la citerne avec luy, pour leur ofter de la
fantafie cefte folle volonte de mourir.
Mais iceux ayas vne fois pour toutes de-
libere de trouver fin à leur vie, ne luy
pouuans refifter par paroles, ſe rengerent tous à lentour de
luy, chacun d'eux tenant l'epée toute nue, & le menaçant
en cas qu'il ne s'y voulufi accorder, de le faire trefpaffer ſur
le cháp, & fans plus longuemét attendre. Toutefois par ce-
la il ne fut beaucoup eſtonné, ains les deſtourna de leur te-
meraire entreprinfe par l'autorité de capitaine qu'il eſtoit,
accompagné de magnanimité de courage, laquelle luy e-
ſtoit familière à toutes heures: l'autre, par vn affeuré & ſeue-
te regard: de ce luy il retenoit la dextre: il reſroidiſſoit l'ardá
te colere de l'autre, l'adouciſtant par admonitiós ſalutaires:
tellemét qu'en diuerſes manieres mitiguoit la defreiglée ſu
reur de tous ſes còpagnons: le quels, n'obſtât que par deſor-
tune il fut tóbé en fort bas eſtat, malgré bô gré le fort mal-
heureux luy portoiet encore ſelle reueréce, que bié il meri-
toit. A caufé de quoy petit à petit ils oftoiét leurs mains de
ſus luy, remettés les ſpées en leurs fourreaux, cóbien qu'ils
ne ſe

D'EGESIPPE.

157

ne ſe pouvoiét diuertir de leur mauvaiſe volonté. Quoy co-
gnoiſſant, & que luy ſeuſ eſtoit aſsiegé de tant d'hommes,
fortune l'auia de diminuer le nombre, leur tenant tel pro-
pos. Compagnons, ie ferois d'opinion, ſi vous en eſtes d'ac-
cord, que le fort ſoit iuge de l'ordre que nous deuons tenir
à trouver la fin de noz vies, veu qu'il tombera ſus chacun
de nous egalement, & qu'il n'y aura ame qui s'en puiffe ex-
empter. Et voila côme nous ferós, celuy, à qui premieremét
le fort viendra, ſera tué par ſon ſuyuant, & ainsi des autres
confecciutiement, de forze que le meſme ſort ſeuſ conden-
nera vn chacun de nous à la mort, non pas noſtre propre
volonté. Parquoy il ſauf qu'vn chacun de nous obeiffe à l'ar
reſt donné par la chance, comme à celuy de noſtre iuge,
nous garantifant d'offencer nous meſme de noz mains,
enſemblement de tomber au pouuoir de l'ennemi, pour
eſtre captifs, nul de la compagnie pouuant auancer le tref-
pas de ſon compagnon, ny euiter le ſien, eſtant par ce moy-
en retranchée la puiffance d'euter les euenemens, que le ha
zard ou Dieu nous aportera. Cefte ſoffre leur ſut tant agrea-
ble qu'ils ne ſe douterent aucunement de rufe, quelle qu'il
le ſut, aingoys y donnerent prompt conſentement d'vne
voix: tellemét que fans contradiction ils s'entretuoiient les
vns les autres, comme le fort leur tomboit ſus, le ſuyuant
mettant à mort celuy qui le precedoit. De forte que tous oc
cis Iofephe demeura ſeuſ avec ſon còpagnon, eſtant neceſ-
faire qu'il mourut, comme les autres, ou que du moins il
ſut contaminé du ſang de ſon prochain, qu'il eſpancheroit.
A quoy voulant obuer, luy conſeille quitter & renoncer
au fort, comme il ſut, dont il euita le combat, & ſontrent en-
femlement du creux de la citerne, pour eſtre acconduis à
Vespafian par Nicanor. Adonq vous eufziez peu voir de
R

LIVRE III.

tous les quartiers du camp les Romains accourir, deſirant
voir le pauure Iofephe mis en fi piteux eſtat & termes, eſti-
nagueres móté en ſi haut honneur, capitaine general d'vn
ſi belle armée, & païs de telle eſtendue: Les autres y venoit
ent pour ſe moquer de luy & de ſa prifon: & les plus
fages s'efimerueilloyét de l'incóſtace & ſoudaine mutation
des affaires humaines. Aucuns, eſtans encores mieux au-
ſez, lamentoiét en leur cœur la calamité, en laquelle ils voi-
oient tombé ce grand perſonnage, confiderans que com
luy, ils pourroient vn iour eſtre miſerables & deſnuez de ſi
ueurentre le quels eſtoit le ieune prince Titus, qui ſeuſ
fon acouſumée douceur & manſuetude eſtoit fort mart-
voyant celuy, qui autrefois & non long temps par auar
auoit eſté ſi braue capitaine, eſté tombé en la mercy de ſe
auerfaires, attendát la ſentence qu'ils bailleroiét conſtre luy
n'ayant aucun eſpoir ny affeurance de ſon ſalut. Si gran
pouuoir ont petites occaliós aux affaires belliques, que pot
bien peu de cas, & en peu d'heure, les plus grans ſeigneur
font rengez avec les plus petits ſoldats, les aftigez & de c-
dition baffe eleuez à grandes richesses & honneurs. A raif
de quoy, les principaux eſtoiét ceux qui conſeuroient qu'
ſut traicté le plus doucement, meſmes entre les autres Ti-
tus ſut interceſieur de luy ſauuer la vie, Vespafian le ſaifar
mettre en prifon avec ſeure garde, de peur que gaignant a
pied il trouuaſt moyen de ſe ſauuer.

L'arriuée de Vespafian à Ptolemaïs & Cefarée: pu-
comme il enuoya partie de ſes gens paffer l'ij)
uer en lieu commode.

Chapitre 19.

Quel

<footnote n="15">15. Page Google Books.</footnote>
Nous y lisons :

Compagnons, je serais d'opinion, si vous en êtes d'accord, que le sort soit
juge de l'ordre que nous devons tenir à trouver la fin de nos vies [...] celui à
qui premièrement le sort viendra sera tué par son suivant, et ainsi des autres
consécutivement [...] Cette offre leur fut tant agréable qu'ils ne se doutèrent
aucunement de ruse, quelle qu'elle fut, ainsi y donnèrent prompt
consentement d'une voix : tellement que sans contradiction ils s'entretuaient
les uns les autres, comme le sort leur tombait dessus, le suivant mettant à
mort celui qui le précédait. De sorte que tous occis Josèphe demeura seul
avec son compagnon, étant nécessaire qu'il mourut, comme les autres, ou
que du moins, il fût contaminé du sang de son prochain qu'il épancherait.

Une nouvelle fois, la piste s'arrête. Même si les propos sont ambigus (les mots sort et ruse se côtoient), il n'est pas mentionné dans ce texte que les soldats aient été disposés d'une façon particulière, ni que Josèphe ait choisi sa *si bonne place*. Le mot *ruse* apparaît en revanche, alors qu'il était absent des versions *non-Hégésippe* de la *Guerre des Juifs*. Les deux passages importants, mentionnant le système de tirage au sort et le fait que les soldats ne se doutent pas d'une ruse, sont présents aussi dans la version latine manuscrite mentionnée un peu plus haut (bien qu'une hypothétique ruse n'y soit pas aussi clairement indiquée) :

Sortis istiusmodi condicio sit ut his qui
sorte exierit ab eo qui sequitur
interimatur.

Que la condition de ce type de tirage
au sort soit que celui qui est sorti
désigné par le sort soit tué par celui
qui le suit.

Fidem fecit oblatio et universorum
adsensus sorti adquievit.

L'offre inspira confiance et tous furent
d'accord pour accepter le tirage au
sort.

Se peut-il que Bachet soit l'auteur du problème, inspiré par la simple évocation, dans la traduction de l'Hégésippe, d'une ruse possible ? La première édition des *Problème plaisants et délectables* a été publiée en 1612. Le passage dans la préface est un peu différent dans la forme, mais identique sur le fond. Et le problème (le XX dans l'édition de 1612) est identique. La trace la plus ancienne du
Flavius Josèphe certainement calculateur est donc pour le moment celle laissée par
Bachet en 1612.

IV - TRAITÉ DES JEUX MATHÉMATIQUES

C'est le traité sur l'histoire des jeux mathématiques, publié par Wilhelm Ahrens
au début du siècle dernier, à notre connaissance uniquement en Allemand, qui va
nous fournir des compléments de réponse. Le chapitre xv est consacré au *Jeu de
Josèphe*. La première édition de *Mathematische Unterhaltungen und Spiele* (Jeux
mathématiques et divertissements), publiée en 1901 est disponible en ligne<fnref n="16" />:

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

<footnote n="16">16. Page du site OpenLibrary.</footnote>
Ahrens indique (second paragraphe de la page) :

> Le même problème avait déjà été traité par Cardan, qui l'avait baptisé « le jeu de Josèphe (ludus Joseph) », en référence à l'histoire racontée plus haut.

La note de bas de page précise :

> D'après Cantor, notre jeu se trouve mentionné dans les travaux de Nicolas Chuquet, travaux imprimés pour la première fois au début des années 1880 et jusqu'alors diffusés dans des versions manuscrites.

## V - CHUQUET, CARDAN ET TARTAGLIA

Parmi les sources citées par Ahrens, la plus ancienne est celle concernant Nicolas Chuquet. Ce dernier a, en effet, rédigé son manuscrit en 1484. La bibliothèque nationale en conserve un exemplaire. L'histoire ce cet ouvrage est intéressante : possédé par Estienne de La Roche au xvi siècle, ce dernier l'a utilisé pour écrire son propre traité, *Larismetique*, publié en 1520<sup>17</sup> (certains estiment qu'Estienne de La Roche a honteusement copié des passages du manuscrit de Chuquet sans citer sa source). Puis, l'ouvrage de Chuquet a été «oublié» pendant plus de 300 ans, avant d'être redécouvert par Aristide Marre qui l'a fait imprimer en 1880 et 1881 dans les *Bullettino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche*<sup>18</sup>.

Le passage qui nous intéresse est situé dans les *Problèmes numériques faisant suite et servant d'application au Triparty en la Science des nombres de Nicolas Chuquet* et constitue le problème 146 (page 453). C'est très exactement le problème raconté par Bachet, bien que les religions des protagonistes ne soient pas les mêmes. Il s'agit aussi de compter de 9 en 9, et de sélectionner 15 personnes prédéterminées parmi 30. La figure 4 est une reproduction de l'illustration du problème 146 dans le manuscrit de Chuquet (cette illustration n'a pas été reprise dans l'imprimé de 1881).

<footnote n="17">17. *Larismetique* est consultable sur Google Books.</footnote>

<footnote n="18">18. Les publications de 1880 et 1881 sont accessibles en ligne (ici et là).</footnote>
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>**Figure 4 : Reproduction du dessin illustrant le problème 146 de Chuquet.** Les cercles représentent la position de ceux qui seront sauvés, et les cercles barrés, la position de ceux qui périront. Notons, sur cette illustration, la phrase mnémotechnique (en latin) utilisée par Chuquet pour se souvenir de la manière d'agencer les 30 individus (Lucas donnait une phrase presque identique à la fin du xix siècle) : Populeam virgam matre regina tenebat<fnref n="19" />.</figcaption></figure>

Dans son ouvrage, Chuquet ne mentionne en revanche pas Josèphe ni de problème similaire. Il ne s'intéresse qu'au problème du partage 15-15.

Une autre source donnée par Ahrens concerne l'ouvrage de Cardan, *Practica Arithmeticae*, publié en 1536. Entre la première édition des *Mathematische Unterhaltungen und Spiele* en 1901, et la dernière, en 1918, Ahrens affine sa position en indiquant que :

> La première mention du jeu de Josèphe – «Ludus Joseph», comme il l'appelle – est apparue dans les *Practica Arithmeticae de Cardan*.

Le texte de Cardan peut être consulté dans son édition de 1536²⁰ ou dans une édition ultérieure (les *Opera Omnia*<fnref n="21" />). Le texte est le même dans les deux cas, et le passage qui nous intéresse est situé au milieu du paragraphe 18, à la fin du chapitre LXI, *De extraordinariis & Ludis*.

<footnote n="19">19. La reine mère tenait une branche de peuplier.</footnote>

<footnote n="20">20. [Page](https://Google Books).</footnote>

<footnote n="21">21. [Page](https://Universita degli Studi di Milano).</footnote>
iori, & minor! æqualiter, auget magis
fupra maiorem quam fupra minorem, &c
ita remotis fraudibus, & scientia æquali
exiſtente, impoſſible qualiſſet pauperem
non vincere, verum pauperes aliquando
impedit timor, aut lætitia, diuides autem
non cum tanto affectu ludunt, & ideo ſe-
curius, &c.

Et ex his dicamus de ludis aliquid & ſunt
memoratiui, veluti quando quis vult intel-
ligere numerum excogitatum, facit vt adi-
ciat medietatem quod ſi non poteſt facit vt
compleas, deinde facit iterum adiicere me-
dietatem, & ſi non poteſt facit vt compleas,
deinde proiicit. 9. & quotiens proiicis totiens
4. inuenitur in numero excogitato, & cau-
ſa eſt quia proportion 9. ad 4. eſt compoſita
ex duabus exequalteris, poteſt igitur acci-
dere quadrupliciter & dabo tibi exemplum
in 4. modis, cogitet primo 17. adde dimi-
dium ſit 25 1/2, & quia eſt fræctio comple
ſit 26. adde ſit 39, proiice 9. quater igt-
tur due 4. in 4. ſit 16. & quia fræctio ſuit
primo loco igitur habuit 17. addendo vni-
tatem ad 16. cogitet ſecundo etiam 18. adde
dimidium ſit 27. dimidium ſit 40. 1/2 com-
ple fraſtionem ſit 41. proiice 9. quater due
4. in 4. ſit 16. & quia fræctio ſuit ſecundo
loco adde 2. ſit igitur 18. & ita cogitaut
coqitet tertio etiam 19. adde dimidium ſit
28 1/2 & quia habet fraſtionem comple ſit
29. adde dimidium ſit 43 1/2 comple ſit 44.
proiice 9. ſit hoc quater due 4. in 4. ſit 16.
& quia fræctio ſuit primo & ſecundo loco
adde 3. ſiet numerus cogitatus 19. cogitet
quarto 20. adde dimidium ſit 30, adde dimi-
dium ſit 45. diuide per 9. exit 5. due in 4.
ſit 20. & quia nulla ſuit fræctio, ideo di-
ces quod cogitaut 20. & hoc eſt generale.
Et ſimiliter cognolcunt annulum vbi fae-
nt abſeſus inter plurimos homines. 2. in
qua manu, digito, & artículo. Et ſimiliter
inter tres res quis habeat diſtingunt, cum
18. tabulis, aut lapillis. Et ſimiliter cog-
nolcunt cattam numero-cogitatam per tci-
nam diuſionem in quatuor, & ſimiliter po-
nuſt quotquot voluerint tabulas in circuitur
& excipiunt albas dimittentes nigras, ſit
autem in 15. tabulis albis & totidem nigris
fed poteſt fieri in quolibet numero, & di-
citur ludus Iofeph, qui cum hoc ſociis vt
dicunt per ſotem vt illi putabant mortem
imunxit, iple quia inopia premebantur cum
ſocio tantum ſeruatus eſt, & diſpónunt quot-
quot lapillos in circuitu & per duas contra-
nas numeratiennes faciant exire cogitatum
ex illis, & hie inter exteros non intelliigen-
tibus eſt mirabilis, licet ſit res ſimplex, &
ſunt ludi mentales & ſunt vt vnus habet
1. 5. 6. poteſtate : alius. 2. 4. 5. & vadant
ad 100. aut vnus 1. 3. 5. 8. 9. alius 2. 4.
6. 7. 10. & vadunt ad 100. qui perſecerit
vincit, & ſunt magnæ inentionis, & ego
inueni æquitando & fine aliquo auxilio cum
ſocio potes ludere & memoriam exercere,
& adlunt loca fallaciarum, & triumphi, &
vacua in vnoquoque, vt non minor ſit ludo
ſchacorum mentali quantum igitur longam
& inutile eſſet infinitas numerorum diſfe-
rentias in ludis referre ob hæc pertranſimus

Tōm. IV.

ita tamen vt ſciis horum duorum vltimorum
cum qui ſit per 1. 3. 6. minorem alium qui
ſit per. 1. 3. 5. 8. 9. maiorem appellari, ſit
etià dando. 6. 2. 1. vtrique lufori imaginan-
do fricillum & huus memorize & ingenij
non eſt huus, ita vt etiam cum ipſo fritillo,
nou parum ſit optimè luilſe, ſit etiam
ludus tranſitus, ſit & interciipiens, ſit &
ludus proportionalitatum diſpoſitus in fine
Arithmeticae Fratris Iordani, ſed de his fa-
tis.

Pertinet & ad extraordinatias quaſtiones 15
adiicere quaſdam interrogationes vt panis
in valore frumenti ſolidorum 100. ſit vncia-
rum 9. quando valet ſolidos 140. quot debet
fieri vnciarum, due 100. in 9. ſit 900. di-
uide per 140. ſit vnciarum 6 1/2; & ideo eſt
ac ſi diceres ſi 140. ſit 100. quid fiet 9. &
patet quod eſt conuerſa in operatione ad
alias eſt tamen in ſimilibus regula generalis.

CAPUT LXII.

De Datis.

D
Ata dicuntur cognita cum ignota ex
notis cognolcuntur, veluti cognolco
quidem 10. & quid ſit medietas, igitur
cognolco etiam quid ſit medietas. 10. quæ
eſt 5.

Cognolcere qua dupliciter dicitur & om-
nibus his modis dicitur datum primo modo
perſectè & nominatim, & hoc modo cog-
nolcimus 7. & omnem numerum integrum,
vel fractum, aut perſectè non tamen no-
minaliter veluti cum cognoſco 2. 7. aut
omnem quantitatem irrationalem, tertio
modo cum cognolcimus ſecundum propin-
quum veluti cum ſcio cordas arcuum vel mo-
tus cœleſtes, nam non ſciuntur præcise ni-
ſi admodum paucæ & hoc modo dictimus
quod hoc cognitum inſenſibiliter differt ab
iné cognito quod eſt vera quantitas, & hoc
vtuntur Altronomi & præcipuè Ptolomæus,
quarto dictimus datù inter duas quantitates
notas veluti cù dictimus quod propartio circu-
ſecentia ad diametrum eſt-minor quàm 22.
ad 7. & maior tripla & 1/2, & hoc eſt dicere
quod eſt maior quam 223. ad 71. & hie
modus eſt quo vtitur Ptolomæus ad confi-
tuendam cordam vnius gradus, per cordam
gradus & dimidij, & per cordam arcus trium
partium ex quatuor vnius gradus, & hoc
vritur Ioannes Monte Regius contra Nico-
laumde Cafa, & de his datis præfertur qui-
dam liber Euclidi aſcriptus.

His vifis in quolibet quatuor modorum 2.
cognolcimus aut differentiam, aut quanti-
tatem, aut proportionem, & tunc vel dif-
ferentia cognolcitur ex duabus quantitatibus
cognitis, aut ex duabus proportionibus
cognitis, aut ex quantitate & proportione
cognitis, & ſimiliter aut quantitas cognol-
citur ex quantitate & differentia, aut quant-
titate & proportione, aut ex proportione
& differentia, & ſimiliter aut cognolcimus
proportionem eſt duabus quantitatibus, aut
ex quantitate & differentia, & ita ſunt 8.
modi, & fit cognito, etiam in trigons &

K 3 quantitatibus
Voici une traduction en français du bref passage concernant les jeux de décimation :

[...] de la même manière, on pose en cercle autant de tablettes qu'on le souhaite et on sélectionne les blanches tout en écartant les noires ; disons qu'il y en ait 15 planches blanches et tout autant de noires, mais cela peut se faire avec n'importe quel nombre ; on connaît le jeu de Josèphe, qui avec celui-ci infligea la mort à ses compagnons de telle sorte que, dit-on, ceux-ci pensaient qu'elle leur arrivait par le sort, tandis que lui-même, vu que ceux-ci étaient pris au dépourvu, a été sauvé avec un compagnon seulement ; on dispose en cercle autant de petits cailloux qu'on le souhaite et pour deux comptés on en fait sortir un que l'on a choisi ; ce jeu, comme d'autres, semble admirable à ceux qui n'ont pas de jugement, bien que la chose soit simple...

Cardan donne ici de manière très succincte les énoncés des deux problèmes. La version 15-15, avec des planchettes noires et blanches, et le jeu de Josèphe. Les règles qu'il donne sont étonnamment incomplètes : s'il mentionne bien le fait que l'on compte de 3 en 3²², il ne précise pas le nombre de personnes (qui est pourtant le seul élément précisé dans *Guerre des Juifs*), et ne donne donc pas non plus la solution au problème.

Nous avons vu que le problème de décimation en version 15-15 était plus ancien que l'ouvrage de Cardan, puisque Chuquet le mentionne déjà. Bien qu'il soit impossible de le vérifier, on peut penser que la version du problème reliée à Josèphe était probablement elle aussi en circulation avant que Cardan ne la mette par écrit. Dans le cas contraire, il aurait probablement mieux cité l'ouvrage de Josèphe, et aurait sans doute donné plus de détails (nombre de personnes, solution...).

@@@@@

Avant de terminer ce tour d'horizon du problème de Josèphe à travers les âges, mentionnons l'ouvrage de Niccolò Tartaglia, *General trattato di numeri, et misure publié entre 1556 et 1560*, qui contient le problème sous la forme 15-15. Il est à peu près sûr que Tartaglia, au moment où il a écrit son ouvrage, avait pris connaissance de celui de Cardan, car il avait recherché dans ce dernier, avec

<footnote n="22">22. L'ouvrage de Cardan contient donc la plus ancienne mention du comptage de 3 en 3 que nous ayons trouvé.</footnote>
angoisse, la méthode de résolution des équations polynomiales de degré 3, qu'il avait communiquée à Cardan, mais ne souhaitait pas voir publiée<fnref n="23" />.

Le texte de Tartaglia est mis à disposition en version numérique par l'Université de Strasbourg<fnref n="24" /> : le paragraphe qui concerne le problème de décimation est le 203. Voici une traduction en français du début du paragraphe :

> Si quelqu'un veut me faire le plaisir suivant, à savoir mettre 30 pions sur un jeu de dames, dont 15 blancs et 15 noirs, de telle manière qu'en les numérotant du premier au dernier, tu soulèveras les noirs un à un tout en ne déplaçant aucun des blancs. Comme si dans une barque il y avait 15 chrétiens et 15 turcs, cette barque étant trop chargée, il était besoin d'en jeter dehors la moitié, savoir les asseoir de telle manière et dans tel ordre qu'en les numérotant tu pourras jeter tous les turcs hors de la barque, et ainsi sauveras les chrétiens, on demande comment ce faire.

> Je dis si tu veux le savoir que tu dois garder à l'esprit toutes les syllables des vers ci-dessous et mettre autant de pions de telle couleur (ou faire asseoir autant de chrétiens) de la manière figurée par ces dites syllables.

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

<footnote n="23">23. Elle le sera néanmoins dans l'Ars Magna (1545) de Cardan après que celui-ci aura découvert que Tartaglia n'était pas le premier inventeur de la méthode de résolution de ces équations, mais que, toujours d'après Cardan, Scipione Dal Ferro l'avait précédé.</footnote>

<footnote n="24">24. Page site Université de Strasbourg.</footnote>
Tartaglia donne ensuite la correspondance voyelle/chiffre que nous avons déjà mentionnée, et termine par une liste très fournie de phrases mnémotechniques permettant de retrouver la disposition des 30 personnes selon que la décimation est faite de 3 en 3, de 4 en 4 etc...

Même s'il n'a pas traité du jeu de Josèphe, Tartaglia semble avoir abordé le problème de manière plus sérieuse que Cardan, ou tout au moins plus systématique, et a apporté sa pierre à l'édifice en proposant de nouvelles phrases mnémotechniques pour des variantes du jeu.

## VI - CONCLUSION

Il n'est pas très satisfaisant de conclure tant les versions du texte historique de Josèphe comme les ouvrages de divertissements arithmétiques contenant le problème ou une variante sont nombreux. Chaque trouvaille se ramifie presque systématiquement en plusieurs nouvelles pistes à explorer.

Néanmoins, à défaut d'être originaux, nous pouvons tout au moins confirmer, textes à l'appui, que ni les versions «classiques», traduites du grec, ni la version de pseudo-Hégésippe de la *Guerre des Juifs* ne contiennent d'éléments établissant que Josèphe ait été un féru de problèmes arithmétiques.

Le cas de la version slavonne est moins évident. Nous pensons cependant que les traducteurs, slaves puis français, ont pu être influencés par la connaissance préalable du problème de décimation et l'ont ainsi intégré à l'histoire.

En ce qui concerne la paternité du problème de Josèphe, et même si Cardan l'a mentionné dans ses *Practica Arithmeticae*, le plus gros travail revient, pour ce que nous avons vu, à Bachet et à ses *Problèmes plaisants et délectables* publiés en 1612.

Le témoignage de Cardan nous laisse toutefois penser que, contrairement à d'autres divertissements dont l'auteur peut revendiquer la paternité, le problème de Josèphe a émergé de la nébuleuse des problèmes de décimation (comme la version 15-15 des turcs et des chrétiens) bien avant d'être publié. Cardan n'a probablement fait que rapporter un problème qui était alors bien connu. Dans le cas contraire, il
aurait certainement donné plus de détails. La paternité du problème de Josèphe, de ce point de vue là, ne revient donc sans doute ni à Bachet, ni à Cardan...

En ce qui concerne les problèmes de décimation en général, et plus précisément le problème 15-15 (partage en deux groupes) que nous avons vu apparaître plusieurs fois, les origines sont bien plus anciennes que celle que nous donnons ici (Chuquet, 1484) – ce type de problème apparaîtrait en effet déjà dans des ouvrages du XIIe siècle.

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

(septembre 2012)
Annexe : résolution informatique

Il serait impossible de terminer sans proposer une solution moderne au problème de Josèphe. La fonction Python suivante indique pour n personnes, et un comptage de p en p, quelle est la place à occuper pour être sauvé. Le troisième paramètre, facultatif, permet d'indiquer le nombre de personnes à sauver. Le réponse donnée est la liste des positions qu'elles doivent occuper dans le cercle.

```python
def josephe(n,p,m=1):
    c=list(range(n))
    pos=0
    while len(c)>m:
        pos= (pos+p-1)%len(c)
        del c pos
    if len(c)==1: return c[0]+1
    return tuple(v+1 for v in c)
```

On peut vérifier ainsi que la 31 place est bien celle que Josèphe devait occuper :

```python
>>> josephe(41,3)
31
```

Il est ainsi immédiat de savoir que si vous vous trouviez dans une légion romaine comptant 6000 hommes et devant subir le sort des compagnons de Josèphe :

```python
>>> josephe(6000,3,2)
(3949, 5864)
```

votre meilleur(e) ami(e) et vous devriez choisir les places 3949 et 5864.

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

La solution au problème des turcs et des chrétiens est obtenue en demandant la liste des 15 derniers survivants pour une liste de 30 personnes et une décimation de 9 en 9 :

```python
>>> josephe(30,9,15)
(1, 2, 3, 4, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 20, 21, 25, 28, 29)
```
L'ajout de la fonction suivante permet d'obtenir le placement tel qu'il est donné
par Bachet :

```python
def placement(seq,n):
    s=[[1 in seq,1]]
    for i in range(2,n+1):
        if s[-1][0]-(i in seq): s[-1][1] +=1
        else: s.append([i in seq,1])
    return tuple((['T','C'][i],j) for i,j in s)
```

Nous obtenons ainsi :

```
>>> placement(josephe(30,9,15),30)
((('C', 4), ('T', 5), ('C', 2), ('T', 1), ('C', 3), ('T', 1), ('C', 1),
 ('T', 2), ('C', 2), ('T', 3), ('C', 1), ('T', 2), ('C', 2), ('T', 1))
```

On reconnaît la série : 4 chrétiens, 5 turcs, 2 chrétiens...

@@@@@

Enfin, il est possible de résoudre le problème du chat tel que l'a posé Dudeney
ainsi :

```
>>> n=13
>>> josephe(n,n)
8
>>> n+1-josephe(n,n)
6
```

La dernière souris mangée sera la 8<sup>ème</sup>. Par conséquent, pour terminer sur la souris blanche, le chat doit commencer à compter «1» sur la souris située 6 positions après la souris blanche.

Je remercie les éditions H&K qui m'ont permis de réutiliser des figures de l'ouvrage *Divertissements mathématiques et informatiques* (2011).

Merci à Céline Michaud, pour ses précisions sur la traduction de l'anglais (Dudeney), à
Alexandre Moatti pour sa traduction de l'italien (Tartaglia), à Nima Yeganefar pour sa traduction
de l'allemand (Ahrens), à Sergueï Martemianov pour ses indications sur le slavon, et à Anne-
Sophie Traineau-Durozoy, pour sa traduction du latin (pseudo-Hégésippe, Cardan,...) et son aide
précieuse en général.