$$
(Q_1; 1) = r \times \frac{1}{r} \Box (Q_1; 1) = (Q_1; 1)
$$

$$
(Q_2; \varpi_2) = (\vec{W}_2; 0) = r^2 \Box (\vec{V}_2; 0) = \left( \sqrt{\frac{\|\vec{V}_0\|}{\|\vec{V}_2\|}} \vec{V}_2; 0 \right)
$$

Nous avons :

$$
\vec{W}_0^2 = \frac{\|\vec{V}_2\|}{\|\vec{V}_0\|} \quad \vec{V}_0^2 = \|\vec{V}_0\| \times \|\vec{V}_2\| = \frac{\|\vec{V}_0\|}{\|\vec{V}_2\|} \quad \vec{V}_2^2 = \vec{W}_2^2
$$

<figure><img src="image_47.png" /></figure>

A partir des figures 3.14 et 3.16, nous avons $r \simeq 1,243$ ce qui conduit à :

$$
\begin{cases}
\vec{W}_0 \approx (1,000; 1,000) \\
\vec{W}_2 \approx (1,000; -1,000)
\end{cases}
$$

et la figure 3.18 illustre le théorème 15 à partir de l'exemple de la figure 3.16.

A partir des figures 3.15 et 3.17, nous avons $r \simeq 3,138$ ce qui conduit à :

$$
\begin{cases}
\vec{W}_0 \approx (1,000; 1,000) \\
\vec{W}_2 \approx (1,000; -1,000)
\end{cases}
$$

et la figure 3.19 illustre le théorème 15 à partir de l'exemple de la figure 3.17.

Il reste à déterminer les éléments caractéristiques de l'hyperbole et nous pouvons énoncer :

**Théorème 16** *Eléments caractéristiques de l'Hyperbole*

Considérons la courbe originelle $\mathrm{RQBC}\{(P_0; 1); (P_1; \omega_1); (P_2; \omega_2)\}$, avec $\omega_1^2 - \omega_2 > 0$, et
la courbe $\mathrm{RQBC}\{(\vec{W}_0; 0); (Q_1; 1); (\vec{W}_2; 0)\}$, cette dernière courbe étant obtenue en utilis-
sant les théorèmes 13, puis 14, puis 15 et nous avons la condition de la formule (3.39).

Posons :

$$
\vec{i} = \frac{1}{a} \frac{1}{2} (\vec{W}_0 + \vec{W}_2) \quad \text{avec} \quad a = \frac{\|\vec{W}_0 + \vec{W}_2\|}{2} \qquad (3.40)
$$

et :

$$
\vec{j} = \frac{1}{b} \frac{1}{2} (\vec{W}_0 - \vec{W}_2) \quad \text{avec} \quad b = \frac{\|\vec{W}_0 - \vec{W}_2\|}{2} \qquad (3.41)
$$

Soit $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. Alors la courbe :

$$
\overline{\mathrm{RQBC} \{(P_0; 1); (P_1; \omega_1); (P_2; \omega_2)\}} = \overline{\mathrm{RQBC} \{(\vec{W}_0; 0); (Q_1; 1); (\vec{W}_2; 0)\}}
$$

est l'hyperbole :
<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>FIGURE 3.18 – Illustration du théorème 15 à partir des figures 3.14 et 3.16. Nous avons $||\vec{W}_0|| = ||\vec{W}_2|| \approx \sqrt{2}$</figcaption></figure>

⋆ de centre $Q_1$,

⋆ d'équation implicite suivante :

$$x(u) \times y(u) = \frac{\|\vec{W}_0\|^2}{4} \\ \text{dans le repère orthonormé } \left( Q_1; \frac{1}{\|\vec{W}_0\|} \vec{W}_0; \frac{1}{\|\vec{W}_2\|} \vec{W}_2 \right),$$

⋆ d'asymptotes les droites $\Delta_0$ et $\Delta_2$ passant par $Q_1$ et de vecteur directeurs respectifs $\vec{W}_0$ et $\vec{W}_2$,

⋆ d'équation implicite suivante :

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$
<figure><img src="image_49.png" /><figcaption>FIGURE 3.19 – Illustration du théorème 15 à partir des figures 3.15 et 3.17. Nous avons $\|\vec{W}_0\| = \|\vec{W}_2\| \approx \sqrt{2}$</figcaption></figure>
dans le repère orthonormé $(Q_1; \vec{i}; \vec{j})$,

★ d'axe focal $\Delta = (Q_1; \vec{i})$,

★ d'axe non focal $\Delta' = (Q_1; \vec{j})$

★ de sommets $A(a; 0)$ et $A'(-a; 0)$, dans le repère $(Q_1; \vec{i}; \vec{j})$, situés sur l'axe focal,

★ de foyers $F(c; 0)$ et $F'(-c; 0)$, dans le repère $(Q_1; \vec{i}; \vec{j})$,

★ de directrices $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ d'équations respectives $X = \frac{a^2}{c}$ et $X = -\frac{a^2}{c}$, dans le repère $(Q_1; \vec{i}; \vec{j})$,

★ d'excentricité $e = \frac{c}{a}$,

★ dont une équation paramétrique, dans le repère $(Q_1; \vec{i}; \vec{j})$, est :

$$ \left\{ \begin{array}{l} x(t) = \frac{a}{\cos(t)}, \quad t \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \cup [\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}] \\ y(t) = b \tan(t) \end{array} \right. \qquad (3.42) $$

Démonstration :

Trivialement, la base $(\vec{i}; \vec{j})$ est orthonormale :

$$ \vec{i} \bullet \vec{j} = \frac{1}{\|\vec{W}_0 + \vec{W}_2\|} (\vec{W}_0 + \vec{W}_2) \frac{1}{\|\vec{W}_0 - \vec{W}_2\|} (\vec{W}_0 - \vec{W}_2) = \frac{\vec{W}_0^2 - \vec{W}_2^2}{\|\vec{W}_0 + \vec{W}_2\| \times \|\vec{W}_0 - \vec{W}_2\|} = 0 $$

d'après la formule (3.39) et nous avons $\|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = 1$.

Nous avons :

$$ t \notin \{0; 1\} \Rightarrow \overline{Q_1 M(t)} = \frac{B_0(t)}{B_1(t)} \overline{W_0} + \frac{B_2(t)}{B_1(t)} \overline{W_2} = \frac{1-t}{2t} \overline{W_0} + \frac{t}{2(1-t)} \overline{W_2} \quad (3.43) $$

et :

$$ t \in \{0; 1\} \Rightarrow \overline{Q_1 M(t)} = B_0(t) \overline{W_0} + B_2(t) \overline{W_2} \quad (3.44) $$

d'où :

$$ \overline{M(0)} = \overline{W_0}, \quad \overline{Q_1 M(\frac{1}{2})} = \frac{1}{2} \overline{W_0} + \frac{1}{2} \overline{W_2}, \quad \overline{M(1)} = \overline{W_2} $$

De la formule (3.39), nous avons :

$$ \overline{Q_1 M(t)} = \frac{1-t}{t} \frac{\|\overline{W_0}\|}{2} \frac{1}{\|\overline{W_0}\|} \overline{W_0} + \frac{t}{1-t} \frac{\|\overline{W_2}\|}{2} \frac{1}{\|\overline{W_2}\|} \overline{W_2} \quad (3.45) $$

qui, en posant $u = \frac{1-t}{t}$ avec $t$ appartenant à $]0; 1[$, est équivalente à :

$$ \overline{Q_1 M(u)} = u \frac{\|\overline{W_0}\|}{2} \frac{1}{\|\overline{W_0}\|} \overline{W_0} + \frac{1}{u} \frac{\|\overline{W_2}\|}{2} \frac{1}{\|\overline{W_2}\|} \overline{W_2}, \quad u \in ]0; +\infty[ \quad (3.46) $$
et nous obtenons, dans le repère orthonormé $\left(Q_1; \frac{1}{\|\vec{W}_0\|} \vec{W}_0; \frac{1}{\|\vec{W}_2\|} \vec{W}_2\right)$, l'équation paramétrique :

$$ egin{cases} x(u) = u \frac{\|\vec{W}_0\|}{2} \\ y(u) = \frac{1}{u} \frac{\|\vec{W}_2\|}{2} \end{cases} $$

qui admet l'équation implicite suivante :

$$ x(u) \times y(u) = \frac{\|\vec{W}_0\|^2}{4} $$

qui est l'équation d'une hyperbole dans un repère d'origine le centre de l'hyperbole et de vecteurs un vecteur directeur de chacune des asymptotes.

Des équations (3.40) et (3.41), nous obtenons :

$$ \begin{cases} \vec{W}_0 = a \vec{i} + b \vec{j} \\ \vec{W}_2 = a \vec{i} - b \vec{j} \end{cases} $$

et en remplaçant les vecteurs $\vec{W}_0$ et $\vec{W}_2$ par leurs expressions en fonction de $\vec{i}$ et $\vec{j}$ dans la formule (3.43), pour $u$ appartenant à $]0; +\infty[$, nous obtenons :

$$ \begin{aligned} \overline{Q_1 M(u)} &= \frac{u}{2} \overline{W}_0 + \frac{1}{2u} \overline{W}_2 \\ &= \frac{u}{2} (a \overline{i} + b \overline{j}) + \frac{1}{2u} (a \overline{i} - b \overline{j}) \\ &= \frac{a}{2} \left( u + \frac{1}{u} \right) \overline{i} + \frac{b}{2} \left( u - \frac{1}{u} \right) \overline{j} \end{aligned} $$

et nous obtenons, dans le repère orthonormé $(Q_1; \vec{i}; \vec{j})$, l'équation paramétrique :

$$ egin{cases} x(u) = \frac{a}{2} \left( u + \frac{1}{u} \right) \\ y(u) = \frac{b}{2} \left( u - \frac{1}{u} \right) \end{cases} $$

ce qui conduit à :

$$ \frac{x^2(u)}{a^2} - \frac{y^2(u)}{b^2} = \frac{1}{4} \left( \left( u + \frac{1}{u} \right)^2 - \left( u - \frac{1}{u} \right)^2 \right) = \frac{1}{4} \frac{2}{u} \times 2u = 1 $$
et concernant les éléments de l'hyperbole, il suffit de se reporter à [Gar07, Gou83].

<figure><img src="image_50.png" /></figure>

La figure 3.20 montre deux arcs d'une hyperbole modélisée à l'aide de deux CBRQs de points pondérés de contrôle :

$$ (P_0; \omega_0) = \left( \begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix} ; 1 \right), \\ \\ (P_1; \omega_1) = \left( \left( \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} & (3+\sqrt{3}) \\ 1+(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{2}) & \end{pmatrix} \right) ; \frac{5}{3} \right) \approx \left( \begin{pmatrix} 0,614 \\ -0.132 \end{pmatrix} ; 1,667 \right) \\ \\ (P_2; \omega_2) = \left( \begin{pmatrix} 2 \\ -\sqrt{3} \end{pmatrix} ; 1 \right) $$

d'une part et :

$$ (\vec{W}_0; 0) \approx ((1,00; 1,00); 0), \quad (Q_1; 1) \approx ((0,00; 0,00); 1), \quad (\vec{W}_2; 0) \approx ((1,00; -1,00); 0) $$

d'autre part. Cette dernière nous permet de déterminer les paramètres de l'hyperbole en utilisant
le théorème 16. Les paramètres de l'hyperbole sont :

$$ a \approx 1,001, \quad b \approx 3,790, \quad e \approx 1,414 $$

En prenant l'exemple des figures 3.14 et 3.18, la figure 3.21 montre, en vert, les deux CBRQ de points massiques de contrôle ($\vec{W}_0; 0$), ($Q_1; 1$) et ($\vec{W}_2; 0$) d'une part et ($-\vec{W}_0; 0$), ($Q_1; 1$) et ($-\vec{W}_2; 0$) d'autre part ainsi que la CBRQ de points massiques de contrôle ($-2\vec{W}_0; 0$), ($Q_1; 1$) et ($-2\vec{W}_2; 0$) en rouge. Plus la norme des vecteurs $\vec{W}_0$ et $\vec{W}_2$ est grande, plus les sommets de l'hyperbole sont éloignés du centre $Q_1$.

Un exemple complet et non d'école est illustré par la figure 3.22. Nous avons :

$$ \left\{ \begin{array}{l} (P_0; 1) = ((0; 1); 1) \\ (P_1; 2) = ((-1; -1); 1) \\ (P_2; 1) = ((1; 0); 1) \end{array} \right. $$

et les valeurs qui permettent d'obtenir les vecteurs de la courbe (i.e. les racines du dénominateur) sont :

$$ t_1 = \frac{-\sqrt{3} + 1}{2} $$

et :

$$ t_2 = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} $$
<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>FIGURE 3.20 – Deux arcs d'une hyperbole modélisés à l'aide de deux CBRQs de points massiques de contrôle ($\vec{W}_0; 0$), ($Q_1; 1$) et ($\vec{W}_2; 0$) d'une part et ($\vec{W}_0; 0$), ($Q_1; 1$) et ($\vec{W}_2; 0$) d'autre part.</figcaption></figure>

ce qui conduit aux points massiques de contrôle :

$$ egin{cases} 
(\vec{U}_0; 0) = \left( \left( \frac{-\sqrt{3}+2}{2} ; \frac{\sqrt{3}+2}{2} \right) ; 0 \right) \\ 
(Q_1; \omega_1) = \left( \left( \frac{-1}{6} ; \frac{-1}{6} \right) ; 3 \right) \\ 
(\vec{U}_2; 0) = \left( \left( \frac{\sqrt{3}+2}{2} ; \frac{-\sqrt{3}+2}{2} \right) ; 0 \right) 
\end{cases} $$
<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>FIGURE 3.21 – Illustration de l’influence des vecteurs directeurs des asymptotes.</figcaption></figure>
Lors de l'étape suivante, nous obtenons :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
(\vec{V}_0; 0) = \left( \left( \frac{-\sqrt{3}+2}{6}; \frac{\sqrt{3}+2}{6} \right); 0 \right) \\
(\mathcal{Q}_1; 1) = \left( \left( \frac{-1}{6}; \frac{-1}{6} \right); 1 \right) \\
(\vec{V}_2; 0) = \left( \left( \frac{\sqrt{3}+2}{6}, \frac{-\sqrt{3}+2}{6} \right); 0 \right)
\end{array}
\right.
$$

Comme $P_1$ appartient à la médiatrice du segment $[P_0P_2]$, nous avons $\|\vec{V}_0\| = \|\vec{V}_2\|$ d'où
$r = 1$ et $\vec{V}_0 = \vec{W}_0$ et $\vec{V}_2 = \vec{W}_2$. Nous obtenons $a = \frac{\sqrt{2}}{3}$ et $b = \frac{\sqrt{6}}{6}$ d'où $c = \frac{\sqrt{14}}{6}$. La base
« canonique » de l'hyperbole est définie par :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{i} = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} ; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \\
\\
\vec{j} = \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} ; \frac{\sqrt{2}}{2} \right)
\end{array}
\right.
$$

Les foyers de l'hyperbole sont les deux points $F(\frac{(\sqrt{7}-1)}{6}; \frac{(\sqrt{7}-1)}{6})$ et $F'(\frac{-(\sqrt{7}-1)}{6}; \frac{-(\sqrt{7}-1)}{6})$,
les directrices sont $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ d'équations respectives :

$$
y = -x + \frac{(4\sqrt{7} - 7)}{21}
$$

et :

$$
y = -x - \frac{(4\sqrt{7} + 7)}{21}
$$

tandis que les sommets sont $A(\frac{1}{6}; \frac{1}{6})$ et $A'(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{2})$. L'excentricité est $e = \frac{\sqrt{7}}{2} \approx 1,323$.

3.5 Image d'une courbe de Bézier par une similitude directe

Rappelons qu'une similitude directe est la composée d'une rotation et d'une homothétie de
même centre (et la composition est commutative). D'après les paragraphes 2.3.2.2 et 3.1, la
matrice d'une similitude $\mathcal{S}_{\Omega,\theta,k}$ d'angle $\theta$, de rapport $k$ et de centre $\Omega(x_1; y_1)$ est :

$$
\mathcal{M}_{\mathcal{S}_{\Omega,\theta,k}} = \begin{pmatrix} k \cos(\theta) & -k \sin(\theta) & -k x_1 \cos(\theta) + k y_1 \sin(\theta) + x_1 \\ k \sin(\theta) & k \cos(\theta) & -k x_1 \sin(\theta) - k y_1 \cos(\theta) + y_1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad (3.47)
$$
<figure><img src="image_53.png" /><figcaption>FIGURE 3.22 – Illustration des théorèmes 13 à 15 à partir des points de contrôle ($P_0$; 1), ($P_1$; 2), et ($P_2$; 1) avec $P_0$ (0; 1), $P_1$ (-1; -1) et $P_2$ (1; 0). Le centre de l'hyperbole est $Q_1$, les foyers sont F et $F'$ et les directrices sont $D$ et $D'$.</figcaption></figure>
et nous avons bien :

$$
\begin{pmatrix} k \cos(\theta) & -k \sin(\theta) & -k x_1 \cos(\theta) + k y_1 \sin(\theta) + x_1 \\ k \sin(\theta) & k \cos(\theta) & -k x_1 \sin(\theta) - k y_1 \cos(\theta) + y_1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \boxtimes \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ 1 \end{pmatrix}
$$

Considérons la branche d'hyperbole $\gamma_0 = \mathrm{RQBC} \left\{ (\vec{W}_0; 0) ; (Q_1; \omega_1) ; (\vec{W}_2; 0) \right\}$ avec $\vec{W}_0 (1; 1)$,
$Q_1 (0; 0)$, $\vec{W}_2 (1; -1)$ et $\omega_1 = 2$. Soit $\Omega (2; -1)$ et $\mathcal{S}_{\Omega, \frac{\pi}{2}, 2}$ la similitude de centre $\Omega$, d'angle $\frac{\pi}{2}$ et
de rapport 2 et déterminons l'image de la branche d'hyperbole par $\mathcal{S}_{\Omega, \frac{\pi}{2}, 2}$, figure 3.23.

<figure><img src="image_54.png" /></figure>

FIGURE 3.23 – Image d’une CBQR $\gamma_0 = \mathrm{RQBC} \left\{ (\vec{W}_0; 0) ; (Q_1; \omega_1) ; (\vec{W}_2; 0) \right\}$ avec $\vec{W}_0 (1; 1)$, $Q_1 (0; 0)$, $\vec{W}_2 (1; -1)$ et $\omega_1 = 2$, par la similitude directe $\mathcal{S}_{\Omega, \frac{\pi}{2}, 2}$.

Nous avons :

$$
\mathcal{M}_{\mathcal{S}_{\Omega, \frac{\pi}{2}, 2}} = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \tag{3.48}
$$

De prime abord, pour $t = 0$, nous avons :

$$
\overline{\mathcal{S}_{\Omega, \frac{\pi}{2}, 2}}(\overline{\gamma_0(0)}) = \overline{\mathcal{S}_{\Omega, \frac{\pi}{2}, 2}}(\overline{W_0}) = -2 \vec{i} + 2 \vec{j} \quad (3.49)
$$
tandis que pour $t = 1$, nous avons :

$$ \mathcal{S}_{\Omega, \frac{\pi}{2}, 2} (\overrightarrow{\gamma_0(1)}) = \mathcal{S}_{\Omega, \frac{\pi}{2}, 2} (\overrightarrow{W_2}) = 2\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} \quad (3.50) $$

Pour $t_0 \in ]0; 1[, \gamma_0(t_0)(x(t_0); y(t_0)) est le barycentre de $(B_0(t_0) \overrightarrow{W_0}; 0), (Q_1; \omega_1 B_1(t_0))$ et $(B_2(t_0) \overrightarrow{W_2}; 0)$ c'est-à-dire :

$$ \begin{aligned} (\gamma_0(t_0); \omega_1 B_1(t_0)) &= (B_0(t_0) \overrightarrow{W_0}; 0) \boxplus (Q_1; \omega_1 B_1(t_0)) \boxplus (B_2(t_0) \overrightarrow{W_2}; 0) \\ &= \left( \mathcal{T}_{\frac{1}{\omega_1 B_1(t_0)}} (B_0(t_0) \overrightarrow{W_0} + B_2(t_0) \overrightarrow{W_2}) (Q_1); \omega_1 B_1(t_0) \right) \end{aligned} $$

Ainsi :

$$ \mathcal{S}_{\Omega, \frac{\pi}{2}, 2}(\gamma_0(t_0)) = \mathcal{S}_{\Omega, \frac{\pi}{2}, 2}\left( (B_0(t_0) \overrightarrow{W_0}; 0) \boxplus (Q_1; 2 B_1(t_0)) \boxplus (B_2(t_0) \overrightarrow{W_2}; 0) \right) $$

se détermine, par le calcul matriciel suivant :

$$ \mathcal{M}_{\mathcal{S}_{\Omega, \frac{\pi}{2}, 2}} \boxtimes \left( \left( \begin{pmatrix} B_0(t_0) \\ B_0(t_0) \\ 0 \end{pmatrix} \right) \boxplus \mathcal{M}_{\mathcal{S}_{\Omega, \frac{\pi}{2}, 2}} \boxtimes \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 B_1(t_0) \end{pmatrix} \right) \boxplus \mathcal{M}_{\mathcal{S}_{\Omega, \frac{\pi}{2}, 2}} \boxtimes \left( \begin{pmatrix} B_2(t_0) \\ -B_2(t_0) \\ 0 \end{pmatrix} \right) \right) $$

Nous avons :

$$ \mathcal{M}_{\mathcal{S}_{\Omega, \frac{\pi}{2}, 2}} \boxtimes \begin{pmatrix} B_0(t_0) \\ B_0(t_0) \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \boxtimes \begin{pmatrix} B_0(t_0) \\ B_0(t_0) \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 B_0(t_0) \\ 2 B_0(t_0) \\ 0 \end{pmatrix} $$

et :

$$ \mathcal{M}_{\mathcal{S}_{\Omega, \frac{\pi}{2}, 2}} \boxtimes \begin{pmatrix} B_2(t_0) \\ -B_2(t_0) \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \boxtimes \begin{pmatrix} B_2(t_0) \\ -B_2(t_0) \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 B_2(t_0) \\ 2 B_0(t_0) \\ 0 \end{pmatrix} $$

ainsi que :

$$ \mathcal{M}_{\mathcal{S}_{\Omega, \frac{\pi}{2}, 2}} \boxtimes \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 B_1(t_0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \boxtimes \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 B_1(t_0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -5 \\ 2 B_1(t_0) \end{pmatrix} $$

ce qui conduit à :

$$ \left( \begin{pmatrix} -2 B_0(t_0) \\ 2 B_0(t_0) \\ 0 \end{pmatrix} \boxplus \begin{pmatrix} 2 B_2(t_0) \\ 2 B_0(t_0) \\ 0 \end{pmatrix} \boxplus \begin{pmatrix} 0 \\ -5 \\ 2 B_1(t_0) \end{pmatrix} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{1}{2 B_1(t_0)} (-2 B_0(t_0) + 2 B_2(t_0)) \\ -5 + \frac{1}{2 B_1(t_0)} (2 B_0(t_0) + 2 B_2(t_0)) \\ 2 B_1(t_0) \end{array} \right) $$
A partir des formules (3.49) et (3.50) et de :

$$
\mathcal{M}_{\mathcal{S}_{\Omega, \frac{\pi}{2}, 2}} \boxtimes \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \boxtimes \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix}
$$

nous retrouvons que :

$$
\mathcal{S}_{\Omega, \frac{\pi}{2}, 2}(\gamma_0) = RQBC \left\{ \left( \overrightarrow{\mathcal{S}_{\Omega, \frac{\pi}{2}, 2}}(\overrightarrow{W_0}) ; 0 \right) ; \left( \mathcal{S}_{\Omega, \theta, k}(Q_1) ; \omega_1 \right) ; \left( \overrightarrow{\mathcal{S}_{\Omega, \frac{\pi}{2}, 2}}(\overrightarrow{W_2}) ; 0 \right) \right\}
$$

c'est-à-dire que le résultat usuel se généralise aux CBRQs à points massiques de contrôle : pour déterminer l'image d'une CBRQ à points massiques de contrôle par une application affine $\mathcal{F}$, il suffit de prendre les images des points pondérés par $\mathcal{F}$ et des vecteurs par $\overline{\mathcal{F}}$.

**3.6 Exemples en physique et en chimie**

3.6.1 Lancer d'un projectile

Considérons, le sol terrestre représenté par le plan d'équation $z = 0$. Un athlète lance un projectile de masse $m$ en $M_0 (0; 0; z_0)$ à la vitesse $\overrightarrow{v_0} (v_0 \cos \alpha; 0; v_0 \sin \alpha)$. La relation fondamentale de la dynamique nous conduit à la relation :

$$
\vec{a} = \vec{g} = -g \vec{k}
$$

d'où :

$$
\vec{v}(t) = \vec{v}_0 - t g \vec{k}
$$

et :

$$
\overrightarrow{OM}(t) = \overrightarrow{OM}_0 + t \overrightarrow{v}_0 - \frac{t^2}{2} g \overrightarrow{k} = \overrightarrow{OM}_0 + t \overrightarrow{v}_0 + \frac{t^2}{2} \overrightarrow{g} \quad (3.51)
$$

que nous allons mettre sous la forme d'une courbe de Bézier. Nous avons :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
1 = B_0(t) + B_1(t) + B_2(t) \\
t = \frac{1}{2} B_1(t) + B_2(t) \\
t^2 = B_2(t)
\end{array}
\right.
\qquad (3.52)
$$

d'où :

$$
\overrightarrow{OM}(t) = B_0(t) \overrightarrow{OM}_0 + B_1(t) \left( \overrightarrow{OM}_0 + \frac{1}{2} \overrightarrow{v_0} \right) + B_2(t) \left( \overrightarrow{OM}_0 + \overrightarrow{v_0} + \frac{1}{2} \overrightarrow{g} \right)
$$

et $(M_0; 1)$, $(T_{\frac{1}{2}\vec{v}_0}(M_0); 1)$ et $(T_{\vec{v}_0 + \frac{1}{2}\vec{g}}(M_0); 1)$ sont les points pondérés de contrôle de la
CBRQ obtenue. Faisons le changement homographique en utilisant la fonction suivante :

$$
h : u \mapsto \frac{u}{1-u}
$$
Comme nous avons $a = 0, c = b = 1$ et $d = 0$, le premier point de contrôle est le point pondéré $(M_0; 1)$. Le second point massique est :

$$ 
\begin{align*}
(Q_1; \varpi_1) &= -1 \Box (M_0; 1) \oplus 1 \Box \left( (M_0; 1) \oplus \left( \frac{1}{2} \vec{v}_0; 0 \right) \right) \\
&= (M_0; -1) \oplus (M_0; 1) \oplus \left( \frac{1}{2} \vec{v}_0; 0 \right) \\
&= \left( \frac{1}{2} \vec{v}_0; 0 \right)
\end{align*}
$$

Le dernier point massique de contrôle est :

$$ 
\begin{align*}
(Q_2; \varpi_2) &= 1^2 \Box (M_0; 1) \oplus -2 \Box \left( (M_0; 1) \oplus \left( \frac{1}{2} \vec{v}_0; 0 \right) \right) \oplus 1^2 \Box \left( (M_0; 1) \oplus \left( \vec{v}_0 + \frac{1}{2} \vec{g}; 0 \right) \right) \\
&= (M_0; 0) \oplus (-\vec{v}_0; 0) \oplus (\vec{v}_0; 0) \oplus \left( \frac{1}{2} \vec{g}; 0 \right) \\
&= \left( \frac{1}{2} \vec{g}; 0 \right)
\end{align*}
$$

et nous obtenons :

$$ \overrightarrow{OM(u)} = B_0(u) \overrightarrow{OM_0} + B_1(u) \frac{1}{2} \vec{v}_0 + B_2(u) \left( \frac{1}{2} \vec{g} \right), \quad u \in [0; 1] \quad (3.53) $$

et les points massiques de contrôle sont :

$$ 
\left\{ 
\begin{array}{l}
(P_0; 1) = (M_0; 1) \\
(\vec{P}_1; 0) = \left( \frac{1}{2} \vec{v}_0; 0 \right) \\
(\vec{P}_2; 0) = \left( \frac{1}{2} \vec{g}; 0 \right) = \left( -\frac{1}{2} g \vec{k}; 0 \right)
\end{array}
\right.
$$

et le vecteur tangent à la courbe en $M_0$ est $\vec{v}_0$ puisque nous avons :

$$ \overrightarrow{M_0 M(u)} = B_1(u) \frac{1}{2} \vec{v}_0 + B_2(u) \left( \frac{1}{2} \vec{g} \right), \quad u \in [0; 1] \quad (3.54) $$

d'où :

$$ \frac{d}{du} \overrightarrow{M_0 M(0)} = B'_1(0) \frac{1}{2} \vec{v}_0 + B'_2(0) \left( \frac{1}{2} \vec{g} \right) = 2 \frac{1}{2} \vec{v}_0 = \vec{v}_0 $$
### 3.6.2 Moment dipolaire

Le moment dipolaire d'une molécule permet de refléter la polarité d'une molécule et se définit ainsi :

**Définition 4 : moment dipolaire**

Soit $G_+$ (resp. $G_-$) le barycentre des atomes ayant des charges positives (resp. négatives) de valeur $\delta$. Alors, le moment dipolaire de la molécule est :

$$ \vec{u} = \delta \overline{G_- G_+} = (G_-; -\delta) \oplus (G_+; \delta) \qquad (3.55) $$

Notons que $||\vec{u}||$ est exprimée en debye, noté D, qui fait parti du système CGS mais pas du système d'unités SI. Un debye vaut $10^{-18}$ franklin centimètre et un franklin vaut environ $3,35641 \times 10^{-10}$ coulombs. La charge d'un électron est $e \approx -1,602177 \times 10^{-19}$ coulombs.

<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>FIGURE 3.24 – Le moment dipolaire d'une molécule d'eau.</figcaption></figure>

Pour la molécule d'eau, le moment dipolaire est $\delta_{H_2O} \approx 1,8546$ debyes. La charge électrique de l'hydrogène est $\frac{\delta_{H_2O}}{2}$ tandis que celle de l'oxygène est $-\delta_{H_2O}$. L'angle $\widehat{HOH}$ est d'environ 104,45 degré, la longueur $OH$ est $d(O; H) \approx 0,9584$ Å. Le rayon atomique d'un atome d'hydrogène (resp. oxygène) est $r_H \approx 25$ pm (resp. $r_O \approx 60$ pm).
Les noyaux des atomes sont des sphères représentés par leurs centres. L'origine du repère est O, le plan d'équation $y = 0$ est le plan déterminé par les trois noyaux, l'axe des abscisses est la médiatrice, issue du sommet principal, du triangle formé par les trois noyaux, figure 3.24.

La figure 3.25 montre une molécule apolaire. Les centres des hydrogènes sont les sommets d'un tétraèdre régulier tandis que le centre de l'atome de carbone est le centre de gravité de ce même tétraèdre. Chaque hydrogène a une charge électrique de $\frac{\delta_{CH_4}}{4}$ tandis que celle du carbone est $-\delta_{CH_4}$. La somme des charges est nulle et $G_+ = G_-.$

<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>FIGURE 3.25 – Le méthane, une molécule apolaire.</figcaption></figure>

## 3.7 Construction itérative « classique » d'arcs de cercles

Notre processus de construction est itératif dans le sens où nous réalisons toujours la même construction à la règle et au compas. Cependant, bien que cette construction géométrique soit la même à chaque étape, elle dépend des points obtenus à l'étape précédente, c'est-à-dire que les nouveaux points peuvent être déterminés à partir des points précédents par deux opérateurs affines (un pour chaque subdivision) différents d'une étape à l'autre. Le processus de subdivision est donc non-stationnaire. Ceci peut se traduire à l'aide d'un G.I.F.S. (Generalized I.F.S.) [And92].
Une conique propre est complètement déterminée par cinq contraintes. En partant des points $P_0$ et $P_2$ de la future conique et des deux tangentes ($P_0P_1$) et ($P_2P_1$), il nous suffit d'ajouter une contrainte simple : un point de la médiane issue de $P_1$ dans le triangle $P_0P_1P_2$ ou un poids $\omega$ au point $P_1$. C'est cette dernière considération qui a été choisie.

Nous voulons conserver la régularité affine de nos constructions c'est-à-dire que si nous considérons la courbe de Bézier $\gamma$ définie par les trois points pondérés pondérés ($P_0$; 1), ($P_1$; $\omega$) et ($P_2$; 1) : le point pondéré construit à l'étape suivante est ($\gamma(\frac{1}{2})$; 1). En d'autre terme, nous voulons transformer notre courbe de Bézier rationnelle quadratique sous forme quasi standard, sous-jacente, en deux courbes de même nature : ainsi le point construit, recollement de ces deux dernières, doit avoir un poids de 1. **Montrons qu'il ne suffit pas d'appliquer l'I.F.S. issu de la version projective de l'algorithme 2.1.** Prenons $P_0$ (1; 0), $P_1$ (1; 1), $P_2$ (0; 1) et $\omega = \frac{\sqrt{2}}{2}$, ainsi la CBRQ induite par ces points de contrôle est l'arc de cercle de centre O (0; 0) et de rayon 1 situé dans le premier quadrant. Nous avons alors, en coordonnées homogènes, de façon naturelle : $\hat{P}_0 \sim (1; 0; 1)$, $\hat{P}_1 \sim (\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$, $\hat{P}_2 \sim (0; 1; 1)$. Nous avons alors $\hat{N}_1 \sim (\frac{2+\sqrt{2}}{4}; \frac{\sqrt{2}}{4}; \frac{2+\sqrt{2}}{4})$ et $\hat{N}_2 \sim (\frac{\sqrt{2}}{4}; \frac{2+\sqrt{2}}{4}; \frac{2+\sqrt{2}}{4})$. Finalement, le point obtenu est $\hat{N}_3 \sim (\frac{1+\sqrt{2}}{4}; \frac{1+\sqrt{2}}{4}; \frac{2+\sqrt{2}}{4})$ qui définit le point affine pondéré :

$$ \left( \left( \frac{1 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}; \frac{1 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} \right); \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \right) $$

ce qui ne permet pas de garder les CBRQ sous forme quasi standard puisque la valeur du poids du point construit est $\frac{2+\sqrt{2}}{4}$ alors que nous voulons avoir 1. Pour tenter de remédier à ce problème, prenons $\hat{P}_1 \sim (1; 1; 1)$. Ainsi, nous avons $\hat{N}_1 \sim (1; \frac{1}{2}; 1)$ et $\hat{N}_2 \sim (\frac{1}{2}; 1; 1)$. Finalement, le point obtenu est $\hat{N}_3 \sim (\frac{3}{4}; \frac{3}{4}; 1)$ qui défini le point affine pondéré ($N_3$; 1) = $((\frac{3}{4}; \frac{3}{4}); 1)$. Nous avons :

$$ ON_3^2 = 2 \times \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 2 \times \frac{9}{16} = \frac{9}{8} $$

c'est-à-dire :

$$ ON_3 \neq OP_0 = OP_2 = 1 $$

ce qui prouve que l'I.F.S. linéaire projectif déduit de l'algorithme de De Casteljau ne convient pas. Si nous voulions construire notre I.F.S., nous devrions, à chaque itération, déterminer quels sont les « bons » représentants des points de contrôle à considérer et quelle est la valeur du paramètre $t$ à prendre dans l'intervalle $[0; 1]$. Une solution serait de recalculer tous les poids à chaque itération, ce qui rendrait la construction à la règle et au compas très lourde, voir annexe H, en utilisant la formule (2.38) qui a aussi été donnée par G. Farin [Far99] :

$$ \hat{\omega}_0 = 1 \quad \hat{\omega}_1 = \frac{\omega_1}{\omega_0} \sqrt{\frac{\omega_0}{\omega_2}} \quad \hat{\omega}_2 = 1 $$

où $\hat{\omega}_0$, $\hat{\omega}_1$ et $\hat{\omega}_2$ sont les nouveaux poids calculés à partir des anciens poids $\omega_0$, $\omega_1$ et $\omega_2$ ce qui permettrait de conserver la valeur de $\frac{1}{2}$ pour le paramètre $t$.
De plus, comme du point de vue projectif, il n'y a pas de distinction entre les diverses co-
niques propres, il n'est pas légitime « d'adapter » la version projective de l'algorithme 2.1 pour
obtenir des coniques euclidiennes, nous proposons donc d'autres méthodes, basées sur des cri-
tères euclidiens purement géométriques, permettant de rester dans le plan affine et rendant pos-
sible l'utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique comme par exemple Kig. En effet, si le
poids $\omega$ et les coordonnées des points de contrôle sont constructibles, la construction à la règle
et au compas est possible puisque le barycentre des points pondérés ($P_0$; 1) et ($P_1$; $\omega$) l'est en
utilisant le théorème de Thalès.

Notons que la converge de l’algorithme 3.1 est assurée par l’I.F.S. linéaire projectif issu de
l’algorithme de De Casteljau.

En nous basant sur l’algorithme 2.1, permettant de modéliser, de façon itérative, un arc de
parabole, nous proposons un algorithme permettant de modéliser, de façon itérative, un arc de
cercle, algorithme 3.1. Cet algorithme s’inspire de la modélisation d’un arc de cercle en utilisant
une CBRQ sous forme quasi standard.

Pour obtenir un arc de cercle, le triangle $P_0P_1P_2$ doit être isocèle en $P_1$, notion qui n'existe pas en géométrie projective d'ailleurs. L'algorithme 3.1 va décomposer ce triangle isocèle en deux triangles $P_0N_1N_3$ et $N_3N_2P_2$ isocèles respectivement en $N_1$ et $N_2$.

**Algorithme 3.1** *Construction itérative d'un arc de cercle dans le plan affine.*

Entrée : Soit $P_0, P_1$ et $P_2$ trois points non alignés de $\mathcal{P}$ tels que $P_0P_1 = P_2P_1$ et un entier naturel $n$ non nul.

Soit $\omega = \cos (\overrightarrow{P_0P_1}, \overrightarrow{P_0P_2})$.

Procédure FractCercle($P_0, P_1, P_2, \omega, n$)

1. Soit $N_1 = \text{bar}\{(P_0; 1); (P_1; \omega)\}$.

2. Soit $N_2 = \text{bar}\{(P_2; 1); (P_1; \omega)\}$.

3. Soit $N_3$ le milieu du segment $[N_1N_2]$.

4. $\omega = \sqrt{\frac{1+\omega}{2}}$.

5. Si $n > 0$ alors FractCercle($P_0, N_1, N_3, \omega, n-1$)
   sinon tracer($P_0; N_3$), tracer($P_0; N_1$), tracer($N_1; N_3$),
   fin si.

6. Si $n > 0$ alors FractCercle($N_3, N_2, P_2, \omega, n-1$)
   sinon tracer($P_2; N_3$), tracer($P_2; N_2$), tracer($N_2; N_3$)
   fin si.

Sortie : Deux lignes brisées approchant un arc de cercle d'extrémités $P_0$ et $P_2$ et ayant pour tangentes les droites ($P_0P_1$) et ($P_2P_1$).

Le point 4 de l’algorithme 3.1 est une formule usuelle lorsque nous coupons un angle en deux
angles égaux [MWW01, BCR07b]. L’algorithme 3.1 peut s’écrire formellement en s’inspirant de
la théorie des I.F.S. à l'aide de deux applications contractantes $T_0^{ce}$ et $T_1^{ce}$, de $\mathcal{P}^3 \times ]-1; 1[$ dans
lui-même, définies par :

$$
T_0^{ce} \begin{pmatrix} P_0 \\ P_1 \\ P_2 \\ \omega \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} P_0 & & & \\ & \ddots & & \\ & & \ddots & \\ & & & \sqrt{\frac{1+\omega}{2}} \end{pmatrix} \tag{3.56}
$$

et :

$$
T_1^{ce} \begin{pmatrix} P_0 \\ P_1 \\ P_2 \\ \omega \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \text{bar } \{(P_0; 1); (P_1; 2\omega); (P_2; 1)\} \\ \text{bar } \{(P_1; \omega); (P_2; 1)\} \\ P_2 \\ \sqrt{\frac{1+\omega}{2}} \end{pmatrix} \quad (3.57)
$$

Nous avons :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\overrightarrow{ON_1} = \frac{1}{1+\omega} (\overrightarrow{OP_0} + \omega \overrightarrow{OP_1}) \\
\overrightarrow{ON_2} = \frac{1}{1+\omega} (\overrightarrow{OP_2} + \omega \overrightarrow{OP_1}) \\
\overrightarrow{ON_3} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{ON_1} + \overrightarrow{ON_2})
\end{array}
\right.
$$

d'où :

$$
\overrightarrow{ON_3} = \frac{1}{2+2\omega} \left( \overrightarrow{OP_0} + \omega \overrightarrow{OP_1} + \overrightarrow{OP_2} \right)
$$

ce qui prouve que $N_3$ est bien sur l'arc de cercle.

Considérons l'homothétie $\mathcal{H}_{P_1}$ de centre $P_1$ qui transforme $P_0$ en $N_1$. Nous avons $\mathcal{H}_{P_1}(P_0 P_2) =$
$(N_1 N_2)$ et les droites $(P_0 P_2)$ et $(N_1 N_2)$ sont parallèles entre elles et donc perpendiculaires à la
médiatrice $(P_1 N_3)$ des triangles $P_1 N_1 N_2$ et $P_1 P_0 P_2$ : la droite $(N_1 N_2)$ est tangente au cercle en
$N_3$.

La figure 3.26 montre les éléments de l’algorithme 3.1. Nous allons montrer que cet algo-
rithme construit bien des points de l’arc de cercle souhaité en deux étapes :

(Etape 1) montrer que les triangles $P_0N_1N_3$ et $N_3N_2P_2$ sont isocèles en $N_1$ et $N_2$;

(Etape 2) montrer que le nouveau calcul de $\omega$ est le bon.

Étape 1.

Etant donné que la construction est symétrique par rapport à la droite ($O_0P_1$), pour pouvoir
réitérer le processus, il suffit de montrer que nous avons :

$$
P_0 N_1 = N_1 N_3 \tag{3.58}
$$
<figure><img src="image_57.png" /></figure>

FIGURE 3.26 – Principe de la construction d’un arc de cercle obtenu par projection, sur le plan affine euclidien, d’un I.F.S. projectif, à partir de trois points pondérés (P₀; 1), (P₁; ω) et (P₂; 1).

Nous savons que la droite ($N_1N_2$) est tangente au cercle au point $N_3$ et que la droite ($N_1P_0$) est tangente au cercle au point $P_0$ donc $N_1$ appartient à la médiatrice du segment $[P_0N_3]$ ce qui prouve la formule (3.58).

**Etape 2.**

Afin d'améliorer la rapidité de l'algorithme 3.1, déterminons une relation simple entre le poids $\omega$ dans le triangle $P_0P_1P_2$ isocèle en $P_1$ et le poids $\omega_1$ dans le triangle $P_0N_1N_3$ isocèle en $N_1$, figure 3.26. En ne considérant que des angles géométriques, nous avons :

$$ \beta_1 = 180^{\circ} - 2\alpha_1 $$

et le point $N_1$ appartenant au segment $[P_1P_0]$, nous avons :

$$ \alpha + \beta_1 = 180^{\circ} $$

d'où :

$$ \alpha = 180^{\circ} - (180^{\circ} - 2\alpha_1) = 2\alpha_1 $$

Comme $\omega = \cos \alpha$ et $\omega_1 = \cos \alpha_1$, la relation :

$$ \cos \alpha_1 = \cos \left( \frac{\alpha}{2} \right) = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} $$
<figure><img src="image_58.png" /><figcaption>FIGURE 3.27 – Déroulement de l’algorithme 3.1 sur une profondeur de 2 : les points $P_0, P_{200}, P_{20}, P_{210}$ et $P_2$ appartiennent à l’arc de cercle tandis que les droites $(P_0P_{100})$, $(P_{100}P_{101})$, $(P_{101}P_{110})$, $(P_{110}P_{111})$ et $(P_{111}P_2)$ sont les tangentes à l’arc de cercle.</figcaption></figure>

conduit à :

$$ \omega_1 = \sqrt{\frac{1 + \omega}{2}} $$

et nous retrouvons la relation établie, lors de leurs études sur les courbes de subdivision, par G. Morin et al [MWW01] et C. Beccari et al [BCR07a]. Une approche didactique, ne nécessitant que des connaissances sur les barycentres et la géométrie affine pouvant être utilisée dans l'enseignement secondaire, a été proposée [Gar09], mais la démonstration se fait alors en quatre étapes. Nous pouvons énoncer :

**Résultat 1 :**

La courbe limite obtenue par l'algorithme 3.1 est le petit arc de cercle [Gar07] de centre $O_0$ et de rayon $O_0P_0$, d'extrémités $P_0$ et $P_2$.

La figure 3.27 montre un déroulement de profondeur 2 de l’algorithme 3.1. Nous partons d’un triangle $P_0P_1P_2$ isocèle en $P_1$. Le premier niveau va construire les points $N_1 = P_{10}$ et $N_2 = P_{11}$ étapes 1 et 2 de l’algorithme 3.1, puis le point $N_3 = P_{20}$ de l’arc de cercle, étape 3
de l’algorithme 3.1. La valeur $\omega$ du poids est alors recalculée, étape 4 de l’algorithme 3.1. La première (resp. deuxième) partie du second niveau va construire les points $P_{100}$ et $P_{101}$ (resp. $P_{110}$ et $P_{111}$), étapes 1 et 2 de l’algorithme 3.1, puis le point $P_{200}$ (resp. $P_{210}$) de l’arc de cercle, étape 3 de l’algorithme 3.1. Notons que le point de vue projectif, les figures ?? et 3.27 sont équivalentes, ce qui n’est pas le cas dans le cadre de la géométrie euclidienne.

Déroulons l’algorithme 3.1, sur une profondeur de 2, en partant des trois points pondérés $(P_0; 1) = ((1; 0); 1)$, $(P_1; -\frac{\sqrt{2}}{2}) = ((1; 1); -\frac{\sqrt{2}}{2})$ et $(P_2; 1) = ((0; 1); 1)$, figure 3.28.

<figure><img src="image_59.png" /><figcaption>FIGURE 3.28 – Construction itérative, à partir de trois points pondérés $(P_0; 1)$, $(P_1; \omega)$ et $(P_2; 1)$ avec $-1 < \omega < 0$, d’un arc de cercle $\gamma^{-}$ : les points $P_0$, $P_{200}$, $P_{20}$, $P_{210}$ et $P_2$ appartiennent à l’arc de cercle tandis que les droites $(P_0P_{100})$, $(P_{100}P_{101})$, $(P_{101}P_{110})$, $(P_{110}P_{111})$ et $(P_{111}P_2)$ sont les tangentes à l’arc de cercle.</figcaption></figure>

Nous avons $N_1 = \text{bar}\{(P_0; 1); (P_1; -\frac{\sqrt{2}}{2})\}$ d'où :

$$ \overrightarrow{P_1N_1} = \frac{2}{2 - \sqrt{2}} \overrightarrow{P_1P_0} = \frac{2(2 + \sqrt{2})}{4 - 2} \overrightarrow{P_1P_0} = (2 + \sqrt{2}) \overrightarrow{P_1P_0} = -(2 + \sqrt{2}) \vec{j} $$
et nous obtenons :

$$N_1 = P_{10} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 - \sqrt{2} \end{pmatrix}$$

et nous obtiendrions de même :

$$N_2 = P_{11} = \begin{pmatrix} -1 - \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix}$$

ce qui conduit à :

$$N_3 = P_{20} = \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}$$

et :

$$\omega_1 = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} \approx 0,383$$

Les coordonnées des points calculés lors de l'étape suivante sont données dans le tableau 3.1. Les points en gras sont des points du cercle.

Dans l'algorithme 3.1, nous avons pris le poids $\omega$ positif ce qui permet d'obtenir le petit arc de cercle. Que se passe-t-il si la valeur négative pour le poids $\omega$ est utilisée ?

Le poids n'intervient pas dans les trois premières étapes de l'algorithme 3.1, ces dernières sont donc encore valides. Il reste donc à étudier l'étape 4. Nous avons :

$$\omega = - \cos \left( \overrightarrow{P_0P_1}, \overrightarrow{P_0P_2} \right) = - \cos \alpha$$

et :

$$\alpha_1 = \frac{180^\circ - \alpha}{2}$$

d'où :

$$\cos \alpha_1 = \cos \left( \frac{180^\circ - \alpha}{2} \right) = \sqrt{\frac{1 + \cos (180^\circ - \alpha)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}$$

ce qui conduit à :

$$\omega_1 = \sqrt{\frac{1 + \omega}{2}}$$

et l'étape 4 de l'algorithme 3.1 est encore valide. Remarquons qu'à partir de la seconde étape, tous les poids calculés sont positifs (i.e. $-1 < \omega \Rightarrow 1 + \omega > 0$).

**Résultat 2 :**

En prenant :

$$\omega = - \cos \left( \overrightarrow{P_0P_1}, \overrightarrow{P_0P_2} \right) = - \cos \alpha$$

à la place de $\omega = \cos \alpha$, la courbe limite obtenue par l'algorithme 3.1 est le grand arc de cercle [Gar07] de centre $O_0$ et de rayon $O_0P_0$, d'extrémités $P_0$ et $P_2$.
<table><caption>TABLE 3.1 – Coordonnées des points calculés lors de la seconde étape du déroulement de l’algorithme 3.1, figure 3.27.</caption><thead><tr><th>Nom</th><th>Coordonnées exactes</th><th>Coordonnées approchées</th></tr></thead><tbody><tr><td>P<sub>100</sub></td><td>(<sup>1</sup>&frasl;<sub>-√2√2 - √2</sub> - 1 + √2)</td><td>(<sup>1</sup>&frasl;<sub>-0,668</sub>)</td></tr><tr><td>P<sub>101</sub></td><td>(<sup>-1 + √2 - √2</sup>&frasl;<sub>-√2 - √2 + 1 - √2</sub>)</td><td>(<sup>-0,235</sup>&frasl;<sub>-1,180</sub>)</td></tr><tr><td>P<sub>200</sub></td><td>(<sup>√2 - √2</sup>&frasl;<sub>2</sub> - <sup>1 + √2</sup>&frasl;<sub>2</sub>√2 - √2)</td><td>(<sup>0,383</sup>&frasl;<sub>-0,924</sub>)</td></tr><tr><td>P<sub>110</sub></td><td>(<sup>-√2√2 - √2</sup>&frasl;<sub>1</sub> - 1 + √2)</td><td>(<sup>-0,668</sup>&frasl;<sub>1</sub>)</td></tr><tr><td>P<sub>111</sub></td><td>(<sup>-√2 - √2 + 1 - √2</sup>&frasl;<sub>-1 + √2 - √2</sub>)</td><td>(<sup>-1,180</sup>&frasl;<sub>-0,235</sub>)</td></tr><tr><td>P<sub>210</sub></td><td>(<sup>-<sup>1 + √2</sup>&frasl;<sub>2</sub>√2 - √2</sup>&frasl;<sub>√2 - √2</sub>)</td><td>(<sup>-0,924</sup>&frasl;<sub>0,383</sub>)</td></tr></tbody></table>

A partir des résultats 1 et 2, il est très facile de construire tout le cercle en appliquant deux fois l’algorithme 3.1. Ceci a pour effet d’obtenir deux arcs de cercles et les poids initiaux sont alors :

• premier appel : $\omega = \cos(\overrightarrow{P_0P_1}, \overrightarrow{P_0P_2})$;

• second appel : $\omega = -\cos(\overrightarrow{P_0P_1}, \overrightarrow{P_0P_2})$.

La figure 3.29 montre comment il est possible d’approximer le cercle de la figure 3.28. Le polygone $P_0P_2P_{210}P_{20}P_{200}$ est constitué par les points du cercle à afficher tandis que le polygone $P_1P_{111}P_{110}P_{101}P_{100}$ est le polygone dont les côtés sont tangents aux sommets du polygone précédent.

## 3.8 Conique ou cercle

Reprenons l’exemple de la figure 3.14 et effectuons le changement de paramètre homographique afin que :
<figure><img src="image_60.png" /><figcaption>FIGURE 3.29 – Construction d'un cercle par deux polygones par projection d'un I.F.S. :
$P_0P_2P_{210}P_{20}P_{200}$ est celui des sommets appartenant au cercle, $P_1P_{111}P_{110}P_{101}P_{100}$ est celui des tangentes au cercle aux sommets du polygone précédent.</figcaption></figure>

1. ($P_0$; 1) demeure inchangé;

2. ($P_1$; $\omega_1$) soit transformé en le vecteur $(\vec{R_1}; 0)$;

3. ($P_2$; 1) soit transformé en le point $(R_2; -1)$;

Du point 1, nous obtenons :

$$ \begin{cases} a = 0 \\ c = 1 \end{cases} $$

et il reste à déterminer $b$ et $d$. En considérant les poids issus des contraintes des points 2 et 3, nous obtenons le système :

$$ \begin{cases} 0 = (d-b) + b\omega_1 \\ -1 = (d-b)^2 + 2b(d-b)\omega_1 + b^2 \end{cases} $$

qui est équivalent au système :

$$ \begin{cases} d = b(1 - \omega_1) \\ -1 = b^2\omega_1^2 - 2b^2\omega_1 + b^2 \end{cases} $$
lui-même équivalent au système :

$$
\begin{cases}
d = b(1 - \omega_1) \\
-1 = b^2(1 - \omega_1^2)
\end{cases}
$$

et nous choisissons :

$$
b = - \frac{1}{\sqrt{\omega_1^2 - 1}} \approx -0,749
$$

d'où :

$$
d = - \frac{1 - \omega_1}{\sqrt{\omega_1^2 - 1}} \approx 0,500
$$

et nous obtenons :

$$
\vec{R}_1 (1; \sqrt{2})
$$

et :

$$
R_2(-\sqrt{2}; -1)
$$

La figure 3.30 montre les deux courbes de Bézier de points massiques de contrôle ($P_0$; 1), ($P_1$; $\omega_1$) et ($P_2$; 1) d'une part et ($P_0$; 1), ($\vec{R}_1$; 0) et ($R_2$; -1) d'autre part. Remarquons que les points $P_0$ et $R_2$ sont symétriques par rapport au centre $Q_1$ de l'hyperbole équilatère d'équation :

$$
x^2 - y^2 = 1 \tag{3.59}
$$

Notons aussi que le point $\mathcal{T}_{\vec{R}_1+\overline{Q_1P_0}}(Q_1)$, image du point $Q_1$ par la translation de vecteur $\vec{R}_1 + \overline{Q_1P_0}$ appartient à l'une des asymptotes de l'hyperbole.

A partir de la formule (3.59), nous munissons le plan vectoriel $\vec{P}$ de la forme bilinéaire symétrique $\mathcal{L}_H$ définie par :

$$
\mathcal{L}_H (\vec{u}_0; \vec{u}_1) = x_0 x_1 - y_0 y_1
$$

où $\vec{u}_0(x_0; y_0)$ et $\vec{u}_1(x_1; y_1)$. Soit $\mathcal{Q}_H$ la forme quadratique associée à $\mathcal{L}_H$ et notons $\mathcal{P}_H$ le plan affine associé à $\vec{P}$ muni de la quadratique $\mathcal{Q}_H$. Nous avons :

$$
\mathcal{L}_H (\overrightarrow{Q_1 P_0}; \overrightarrow{R_1}) = \sqrt{2} \times 1 - 1 \times \sqrt{2} = 0
$$

c'est-à-dire que les vecteurs $\overrightarrow{Q_1P_0}$ et $\overrightarrow{R_1}$ sont orthogonaux. De plus :

$$
Q_H (\overrightarrow{Q_1 P_0}) = \sqrt{2}^2 - 1^2 = 1
$$

et :

$$
Q_H (\vec{R}_1) = 1^2 - \sqrt{2}^2 = -1
$$

d'où :

$$
\underbrace{1}_{\omega_0} \times \underbrace{-1}_{\omega_2} \times Q_H \left( \overrightarrow{P_0 P_2} \right) = 4 Q_H \left( \vec{R}_1 \right) = -4
$$
<figure><img src="image_61.png" /><figcaption>FIGURE 3.30 – Changement de paramètre homographique afin qu’un arc d’hyperbole soit vue comme un demi-cercle pour la métrique idoine.</figcaption></figure>
et nous avons généralisé la formule (3.9). Ainsi, dans $\mathcal{P}_H$, la courbe de Bézier rationnelle quadra-tique de points massiques de contrôle $(P_0; 1)$, $(\vec{R}_1; 0)$ et $(R_2; -1)$ est un demi-cercle du cercle unitaire dont l'équation est donnée par la formule (3.59). De plus, le vecteur tangent $\vec{R}_1$ à ce cercle en $P_0$ et perpendiculaire au rayon $[Q_1P_0]$.

## 3.9 Synthèse du chapitre

Dans ce chapitre, nous avons dans un premier temps, modélisé des arcs de cercles, y compris des demi-cercles en utilisant le formalisme des points massiques. Dans un second temps, nous avons déterminé les éléments caractéristiques d'une conique propre non circulaire de deux ma-nières : soit en utilisant la règle et le compas, soit en utilisant le formalisme des points massiques et quelques re-paramétrisations adéquates. Dans le dernier paragraphe, nous avons développé des algorithmes de subdivisions, en utilisant la règle et le compas, d'arcs de cercles, d'ellipses ou d'hyperboles.

Le tableau 3.2 permet de synthétiser le type de la conique générée par une CBRQ en prenant soit $\omega_0 = 1$, soit $\omega_1 = 1$ si $\omega_0 = 0$ (le premier point de contrôle est un vecteur).

<table><caption>TABLE 3.2 – Types de coniques générées par des CBRQ (canoniques) de points massiques de contrôle $(P_0; \omega_0)$, $(P_1; \omega_1)$ et $(P_2; \omega_2)$ avec $\omega_0 \in \{0; 1\}$.</caption><thead><tr><th>Type</th><th>Condition</th><th>Points massiques</th></tr></thead><tbody><tr><td>Parabole</td><td>ω ≠ 0</td><td>trois points pondérés (P<sub>0</sub>; 1), (P<sub>1</sub>; ω) et (P<sub>2</sub>; ω<sup>2</sup>)<br>un point pondéré (P<sub>0</sub>; 1) et deux vecteurs (P&#775;<sub>1</sub>; 0) et (P&#775;<sub>2</sub>; 0)</td></tr><tr><td>Ellipse</td><td>ω<sub>2</sub> > ω<sub>1</sub><sup>2</sup> > 0</td><td>trois points pondérés (P<sub>0</sub>; 1), (P<sub>1</sub>; ω<sub>1</sub>) et (P<sub>2</sub>; ω<sub>2</sub>)<br>deux points pondérés (P<sub>0</sub>; 1) et (P<sub>2</sub>; 1) et un vecteur (P&#775;<sub>1</sub>; 0)</td></tr><tr><td>Hyperbole</td><td>0 < ω<sub>2</sub> < ω<sub>1</sub><sup>2</sup></td><td>trois points pondérés (P<sub>0</sub>; 1), (P<sub>1</sub>; ω<sub>1</sub>) et (P<sub>2</sub>; ω<sub>2</sub>)<br>deux points pondérés (P<sub>0</sub>; 1) et (P<sub>2</sub>; -1) et un vecteur (P&#775;<sub>1</sub>; 0)<br>un point pondéré (P<sub>1</sub>; 1) et deux vecteurs (P&#775;<sub>0</sub>; 0) et (P&#775;<sub>2</sub>; 0)</td></tr></tbody></table>

Les algorithmes de subdivisions présentés dans ce chapitre utilisent la structure métrique du plan dans lequel est la courbe. Dans le paragraphe 12.2, nous proposons des théorèmes permettant de nous affranchir de la structure métrique environnante ce qui permet en plus de simplifier les calculs.
# Chapitre 4

## Constructions de coniques à centre non circulaires vues comme des cercles unitaires

Comme dans le paragraphe 3.8, dans ce chapitre, nous choisissons la forme quadratique pour qu'une conique à centre soit vue comme un cercle unitaire c'est-à-dire que nous pouvons garder les propriétés des cercles euclidiens, enfin, presque toutes... Nous adaptons ensuite les méthodes de subdivisions vues au chapitre 3 à ces cercles et devons aussi développer des algorithmes dans le cas où le cercle n'est ni borné, ni connexe. Dans la partie III, nous parlons de cercles mais ce sont des cercles non euclidiens qui se tracent comme des ellipses ou des hyperboles.

### 4.1 Construction de la forme quadratique idoine

Sur le plan affine $\mathcal{P}$ (resp. vectoriel $\vec{\mathcal{P}}$) muni du repère $(O; \vec{i}; \vec{j})$ (resp. base $(\vec{i}; \vec{j})$), nous définissons la forme quadratique définie adéquate $Q_E$ ou $Q_H$ de signatures respectives (2; 0) et (1; 1), tableau 4.1. Cette forme quadratique dépend de la conique que nous manipulons et nous permet de voir cette dernière comme un cercle unitaire.

Le plan affine muni de la forme quadratique $Q_E$ (resp. $Q_H$) est noté $\mathcal{P}_E$ (resp. $\mathcal{P}_H$) et son espace vectoriel attaché sera noté $\vec{\mathcal{P}}_E$ (resp. $\vec{\mathcal{P}}_H$). Lorsque les mêmes propriétés s'appliquent à l'un ou l'autre de ces espaces, le plan affine sera noté $\mathcal{P}_C$ tandis que le plan vectoriel sera noté $\vec{\mathcal{P}}_C$.

Il est naturel d'associer à la forme quadrique $Q_E$ (resp. $Q_H$) la forme bilinéaire symétrique définie $\mathcal{L}_E$ (resp. $\mathcal{L}_H$). La forme bilinéaire symétrique $\mathcal{L}_E$ est un produit scalaire<fnref n="1" /> ce qui n'est pas le cas de $\mathcal{L}_H$. Ainsi, dans l'espace $\vec{\mathcal{P}}_H$, il est possible de distinguer trois types de vecteurs, tableau 4.2.

<footnote n="1">1. Un produit scalaire est une forme quadratique définie positive.</footnote>
<table><caption>TABLE 4.1 – Forme quadratique définie à partir d’une conique C à centre du plan affine P, $\vec{u}(x; y)$ est exprimé dans la base $(\vec{i}; \vec{j})$.</caption><thead><tr><th>Equation réduite dans le plan affine euclidien P</th><th>Forme quadratique Q<sub>C</sub> de P&#x20d7;<sub>C</sub></th><th>Aspect euclidien</th></tr></thead><tbody><tr><td>x<sup>2</sup>/a<sup>2</sup> + y<sup>2</sup>/b<sup>2</sup> - 1 = 0 (4.1)</td><td>Q<sub>E</sub>(v&#x20d7;) = x<sup>2</sup>/a<sup>2</sup> + y<sup>2</sup>/b<sup>2</sup> (4.2)</td><td>Ellipse E</td></tr><tr><td>x<sup>2</sup>/a<sup>2</sup> - y<sup>2</sup>/b<sup>2</sup> - 1 = 0 (4.3)</td><td>Q<sub>H</sub>(v&#x20d7;) = x<sup>2</sup>/a<sup>2</sup> - y<sup>2</sup>/b<sup>2</sup> (4.4)</td><td>Hyperbole H</td></tr></tbody></table>

<table><caption>TABLE 4.2 – Les trois types de vecteurs $\vec{v}$ de $\vec{P}_H$.</caption><thead><tr><th>Type du vecteur <span style="text-decoration: overline;">v</span></th><th>Espace</th><th>Temps</th><th>Lumière</th></tr></thead><tbody><tr><td></td><td>Q<sub>H</sub>(<span style="text-decoration: overline;">v</span>) > 0</td><td>Q<sub>H</sub>(<span style="text-decoration: overline;">v</span>) < 0</td><td>Q<sub>H</sub>(<span style="text-decoration: overline;">v</span>) = 0</td></tr></tbody></table>

Notons finalement que la base $(\vec{i}; \vec{j})$ est orthogonale pour les deux formes quadratiques $Q_E$ et $Q_H$, mais nous avons :

$$Q_E(\vec{i}) > 0 \quad \text{et} \quad Q_E(\vec{j}) > 0$$

et :

$$Q_H(\vec{i}) > 0 \quad \text{et} \quad Q_H(\vec{j}) < 0$$

## 4.2 Constructions itératives d'arcs de cercles

Dans ce paragraphe, nous développons des méthodes permettant de construire de façon itérative un morceau de conique C à centre en prenant la forme quadratique adéquate. Commençons par donner la définition d'un cercle :

**Définition 5 : Cercle**

Soit $Q$ une forme quadratique définie du plan $\vec{P}$ et $\Omega$ un point du plan affine $P$. Soit $k \in \mathbb{R}$.

Si

$$C = \{ M \in P \mid Q(\overrightarrow{\Omega M}) = k \} \quad (4.5)$$

est non vide, $C$ est appelé cercle de centre $\Omega$. Si $k = 1$, le cercle est dit unitaire.

Ainsi, une ellipse E (resp. hyperbole H) de centre O du plan affine euclidien est un cercle unitaire de centre O dans $P_E$ (resp. $P_H$) que nous appellerons cercle connexe ou borné (resp. cercle
non connexe ou cercle à deux composantes connexes). Notons que si la forme quadratique est de signature (1; 0), nous pouvons obtenir une parabole, cas que nous excluons dans ce chapitre.

Dans le cas où les points extrémaux de l'arc de cercle sont sur la même partie connexe de C, le principe est de transformer un triangle isocèle pour $\mathcal{L}_C$ en deux triangles isocèles (pour $\mathcal{L}_C$). Cependant, lorsque le cercle a deux trous ou lorsque nous voulons modéliser un demi-cercle, nous pouvons être obligés de passer par l'espace vectoriel et utiliser les points massiques.

Dans les deux cas, si les deux points $P_0$ et $P_2$ ne sont pas symétriques par rapport au point O, nous utilisons des points pondérés et nous calculons le point $P_1$ comme intersection des tangentes au cercle C en $P_0$ et $P_2$, sinon nous utilisons des points massiques de contrôle. Nos algorithmes permettent d'initialiser le calcul du poids en fonction de la forme quadratique, mais, dans le chapitre 12, nous proposons des algorithmes de subdivisions d'arcs de cercles (qui se tracent comme des ellipses ou des hyperboles) indépendants de la forme quadratique ambiante.

## 4.2.1 Cas d'un arc de cercle borné

Dans un premier temps, nous allons donner l'algorithme 4.1 permettant de construire un arc de cercle dans le plan affine $\mathcal{P}_C$ puis nous donnerons une méthode permettant de le linéariser ce qui permet alors une implémentation en utilisant des matrices.

### 4.2.1.1 Présentation de l'algorithme et exemple

L'algorithme 4.1, inspiré de l'algorithme 3.1, permet de construire itérativement un arc connexe de cercle : si la forme quadratique est le produit scalaire usuel, les deux algorithmes sont identiques.

Notons qu'une modification possible serait de supprimer la condition 2 de l'algorithme 4.1 et d'ajouter, après le premier calcul de $\omega$, le test suivant : si $\omega$ n'appartient pas à $\mathbb{R}$, alors nous utilisons l'algorithme 4.2. Le nom de la procédure est celui utilisé dans l'algorithme 3.1 puisque l'algorithme proposé ici est une « surcharge » du précédent. En effet, si $\mathcal{Q}_C$ est le produit scalaire usuel, les algorithmes sont identiques.

Nous rappelons que pour tout point $M(x; y)$ de C, nous avons :

$$ \mathcal{Q}_C(\overrightarrow{OM}) = 1 $$

Le calcul du point $P_1$ ne pose pas de problème puisque les tangentes en $P_0$ et $P_2$ sont $\mathcal{L}_C$-orthogonales aux rayons et il suffit de résoudre le système donné par la formule (4.7). Notons que nous pouvons calculer $P_1$ en généralisant le cas euclidien c'est-à-dire :

$$ \overrightarrow{I_1P_1} = t_1 \overrightarrow{O_0I_1} \quad \text{avec} \quad t_1 = \frac{\mathcal{L}_C(\overrightarrow{O_0P_0}, \overrightarrow{I_1P_0})}{\mathcal{L}_C(\overrightarrow{O_0P_0}, \overrightarrow{O_0I_1})} \qquad (4.10) $$

où $I_1$ est le milieu de $[P_0P_2]$. De plus, nous avons l'égalité :

$$ \mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0P_1}) = \mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_2P_1}) $$
**Algorithme 4.1** Construction itérative d'un arc de cercle C dans un plan de $\mathcal{P}_C$.

**Entrée** : Soit $P_0$ et $P_2$ deux points distincts de C et $n$ un entier strictement positif.

**Condition 1** : O n'est pas le milieu de $[P_0P_2]$.

**Condition 2** : les points $P_0$ et $P_2$ sont sur la même composante connexe :

$$ Q_C(\overrightarrow{P_0P_1}) \times Q_C(\overrightarrow{P_0P_2}) > 0 \qquad (4.6) $$

1. Détermination du point d'intersection $P_1$ des tangentes à C en $P_0$ et $P_2$ :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \mathcal{L}_C(\overrightarrow{OP_0}, \overrightarrow{P_0P_1}) = 0 \\ \mathcal{L}_C(\overrightarrow{OP_2}, \overrightarrow{P_2P_1}) = 0 \end{array} \right. \qquad (4.7) $$

2. Calcul du poids $\omega$ :

$$ \omega = \frac{|\mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0P_1}, \overrightarrow{P_0P_2})|}{\sqrt{Q_C(\overrightarrow{P_0P_1}) \times Q_C(\overrightarrow{P_0P_2})}} \qquad (4.8) $$

3. Procédure itérative : FractCercle($P_0, P_1, P_2, \omega, n$)

(a) Soit $N_1 = \text{bar}\{(P_0; 1); (P_1; \omega)\}$.

(d) Calcul du nouveau poids :

(b) Soit $N_2 = \text{bar}\{(P_2; 1); (P_1; \omega)\}$.

$$ \omega = \sqrt{\frac{1 + \omega}{2}} \qquad (4.9) $$

(c) Soit $N_3$ le milieu du segment $[N_1N_2]$.

(e) Si $n > 0$ alors FractCercle($P_0, N_1, N_3, \omega, n-1$)
  sinon tracer($P_0; N_3$), tracer($P_0; N_1$),
  tracer($N_1; N_3$),
  fin si.

(f) Si $n > 0$ alors FractCercle($P_0, N_1, N_3, \omega, n-1$)
  sinon tracer($P_0; N_3$), tracer($P_0; N_1$),
  tracer($N_1; N_3$),
  fin si.

**Sortie** : Deux lignes brisées approchant un arc de cercle, de centre O, d'extrémités $P_0$ et $P_2$ et ayant pour tangentes les droites ($P_0P_1$) et ($P_2P_1$).
<figure><img src="image_62.png" /><figcaption>FIGURE 4.1 – Exemple de construction itérative d'un arc de cercle dans le plan $\mathcal{P}_H$, à partir de trois points pondérés $(P_0; 1)$, $(P_1; \omega)$ et $(P_2; 1)$, $\omega > 1$. Le triangle $P_0P_1P_2$, $\mathcal{L}_H$-isocèle en $P_1$, est remplacé par deux triangles $P_0N_1N_3$, d'une part, et $N_3N_2P_2$, d'autre part, $\mathcal{L}_H$-isocèles respectivement en $N_1$ et $N_2$. Dans le plan euclidien, H est l'hyperbole équilatère d'équation $x^2 - y^2 = 1$. En rose : propriétés géométriques. En jaune : valeurs lors du déroulement de l'algorithme. En cyan : relation de récurrence.</figcaption></figure>
ce qui traduit que le triangle $P_0P_1P_2$ est isocèle en $P_1$ pour la forme bilinéaire $\mathcal{L}_C$, figure 4.1.

Notons de plus que si $I$ désigne le milieu du segment $[P_0P_2]$, alors la droite ($IP_1$) est la $\mathcal{L}_C$-médiatrice<fnref n="2" /> du triangle $P_0P_1P_2$, issue de $P_1$ car nous avons :

$$ \mathcal{L}_C (\overrightarrow{IP_1}, \overrightarrow{P_0P_2}) = 0 $$

Remarquons que dans le cas de l'ellipse E, nous pouvons prendre la valeur opposée de celle de la formule (4.8) dans l'algorithme 4.1 : nous obtenons alors l'autre partie de la conique, figure 4.2. La subdivision est identique (i.e. point par point) à celle obtenue en utilisant la règle et le compas dans [Gar10].

<figure><img src="image_63.png" /><figcaption>FIGURE 4.2 – Subdivision d'une ellipse, $|\omega_1| = \frac{1}{3}$. La subdivision est identique à celle obtenue dans [Gar10] en utilisant la règle et le compas.</figcaption></figure>

Notons que si les points $P_0$ et $P_2$ ne sont pas sur la même composante connexe du cercle H, alors le résultat de la formule (4.6) est négatif : l'algorithme 4.1 fonctionne toujours, mais

<footnote n="2">2. Ceci justifie le terme subdivision régulière utilisée dans [Gar10].</footnote>
les points construits appartiennent à un cercle dans le complexifié de l'espace affine [Lad02, Lad03]. Nous sommes alors obligés d'utiliser une autre piste afin de pouvoir représenter les points obtenus.

### 4.2.1.2 Linéarisation de l'algorithme 4.1

L'algorithme 4.1 peut s'écrire formellement en s'inspirant de la théorie des I.F.S. [Gar10] à l'aide de deux applications $T_0^C$ et $T_1^C$, de $\mathcal{P}^3 \times (\mathbb{R} - \{-1; 0; 1\})$ dans lui-même, définies par :

$$ T_0^C \begin{pmatrix} P_0 \\ P_1 \\ P_2 \\ \omega \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} P_0 & & & \\ & \bar{\text{bar}}\{(P_0; 1); (P_1; \omega)\} & & \\ & & \bar{\text{bar}}\{(P_0; 1); (P_1; 2\omega); (P_2; 1)\} & \\ & & & \sqrt{\frac{1+\omega}{2}} \end{pmatrix} \quad (4.11) $$

et :

$$ T_1^C \begin{pmatrix} P_0 \\ P_1 \\ P_2 \\ \omega \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bar{\text{bar}}\{(P_0; 1); (P_1; 2\omega); (P_2; 1)\} \\ \bar{\text{bar}}\{(P_1; \omega); (P_2; 1)\} \\ P_2 \\ \sqrt{\frac{1+\omega}{2}} \end{pmatrix} \quad (4.12) $$

La formule (4.8) peut être linéarisée lorsque le poids est positif en utilisant la formule (4.13) (resp. formule (4.14)) dans le cas où C est une ellipse (resp. hyperbole).

$$ \left\{ \begin{array}{l} \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 + \cos(\alpha)}{2} \\ \alpha_1 = \arccos(\omega_1) \end{array} \right. \qquad (4.13) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{ch}^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 + \mathrm{ch}(\alpha)}{2} \\ \alpha_1 = \arg\mathrm{ch}(\omega_1) \end{array} \right. \qquad (4.14) $$

Dans la suite, la fonction Cosh désignera la fonction cos (resp. ch) si la conique est une ellipse (resp. une hyperbole). Dans les deux cas, pour n supérieur ou égal à deux, nous avons :

$$ \alpha_n = \frac{\alpha_{n-1}}{2} $$

et le poids, à la i-ème itération, est obtenu par :

$$ \omega_n = \text{Cosh}(\alpha_n) $$
ce qui donne pour le premier et le dernier triangles, en utilisant les notations usuelles dans le cadre des courbes de subdivision :

$$
(T_0^C)^n \begin{pmatrix} P_0 \\ P_1 \\ P_2 \end{pmatrix} = \left[ \prod_{i=1}^n \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{1+\Cosh\left(\frac{\alpha_1}{2^{i-1}}\right)} & \frac{\Cosh\left(\frac{\alpha_1}{2^{i-1}}\right)}{1+\Cosh\left(\frac{\alpha_1}{2^{i-1}}\right)} & 0 \\ \frac{1}{2+2\Cosh\left(\frac{\alpha_1}{2^{i-1}}\right)} & \frac{2\Cosh\left(\frac{\alpha_1}{2^{i-1}}\right)}{2+2\Cosh\left(\frac{\alpha_1}{2^{i-1}}\right)} & \frac{1}{2+2\Cosh\left(\frac{\alpha_1}{2^{i-1}}\right)} \end{pmatrix} \right] \times \begin{pmatrix} P_0 \\ P_1 \\ P_2 \end{pmatrix}
$$

$$
(T_1^C)^n \begin{pmatrix} P_0 \\ P_1 \\ P_2 \end{pmatrix} = \left[ \prod_{i=1}^n \begin{pmatrix} \frac{1}{2+2\Cosh\left(\frac{\alpha_1}{2^{i-1}}\right)} & \frac{2\Cosh\left(\frac{\alpha_1}{2^{i-1}}\right)}{2+2\Cosh\left(\frac{\alpha_1}{2^{i-1}}\right)} & \frac{1}{2+2\Cosh\left(\frac{\alpha_1}{2^{i-1}}\right)} \\ 0 & \frac{\Cosh\left(\frac{\alpha_1}{2^{i-1}}\right)}{1+\Cosh\left(\frac{\alpha_1}{2^{i-1}}\right)} & \frac{1}{1+\Cosh\left(\frac{\alpha_1}{2^{i-1}}\right)} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right] \times \begin{pmatrix} P_0 \\ P_1 \\ P_2 \end{pmatrix}
$$

Naturellement, les autres triangles sont obtenus en faisant des produits servant à définir les applications $(T_0^C)^n$ et $(T_1^C)^n$.

4.2.2 Cas de composantes non connexes

Dans ce paragraphe, nous traitons du cas où le cercle H a deux composantes connexes. Nous nous plaçons dans l'espace des points massiques $\vec{P}_H$ et faisons la remarque triviale suivante :

Lemme 4 :

Soit $\vec{\delta}$ une direction lumière engendrée par un vecteur isotrope. Alors :

$$
\vec{\delta} \perp \mathcal{L}_H = \vec{\delta}
$$

c'est-à-dire que l'orthogonal de $\vec{\delta}$ pour la forme bilinéaire $\mathcal{L}_H$ est $\vec{\delta}$.

L'algorithme 4.2, illustré par la figure 4.3, permet de construire de façon itérative un arc de
cercle ayant pour extrémité un vecteur.

Nous devons calculer le point $P_1$ appartenant à l'asymptote $\Delta$ et à la tangente à H en $P_0$.
Notons que les vecteurs $\vec{P}_2$ et $\vec{P}_3$ sont choisis de telle façon que :

$$
\mathcal{L}_H(\vec{P}_2, \vec{P}_3) = 1 \tag{4.19}
$$
**Algorithme 4.2** Construction itérative d'un arc de cercle ayant une extrémité à l'infini.

**Entrée** : Deux points massiques du cercle $H : (P_0; 1)$ et $(\vec{P}_2; 0) = ((x_2; y_2); 0) = ((\lambda a; \lambda b); 0)$ avec $\lambda \in \mathbb{R}^*$ et $n$ un entier strictement positif.

**Condition** : Les abscisses de $P_0$ et $\vec{P}_2$ sont de même signe.

$$ \textbf{Pré-calcul :} \quad \vec{P}_3 = \left( \left( \frac{a}{2\lambda} ; -\frac{b}{2\lambda} \right) ; 0 \right) $$

1. Initialisation

(a) Détermination du point $P_1$ par :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \mathcal{L}_H(\overrightarrow{OP_0}, \overrightarrow{P_0P_1}) = 0 \\ \mathcal{L}_H(\overrightarrow{OP_1}, \overrightarrow{P_2}) = 0 \end{array} \right. \qquad \omega_1 = \frac{1}{2\sqrt{\mathcal{L}_H(\overrightarrow{OP_0}, \overrightarrow{P_3})}} \qquad (4.16) $$

(b) Calcul de $\omega_1$ par :

2. Procédure itérative : FractCercle2((P₀; 1), (P₁; ω₁), (P̃₂; 0), n)

(a) Soit $(N_1; 1 + \omega_1) = (P_0; 1) \boxplus (P_1; \omega_1)$. (b) Soit $(N_2; \omega_1) = (\vec{P}_2; 0) \boxplus (P_1; \omega_1)$.

(c) Soit $(N_3; 1 + 2\omega_1) = (N_1; 1 + \omega_1) \boxplus (N_2; \omega_1)$.

(d) Calcul du poids :

$$ \omega_0 = \frac{|\mathcal{L}_H(\overrightarrow{P_0N_1}, \overrightarrow{P_0N_3})|}{\sqrt{\mathcal{Q}_H(\overrightarrow{P_0N_1}) \times \mathcal{Q}_H(\overrightarrow{P_0N_3})}} \qquad (4.17) $$

(e) Calcul du poids :

$$ \omega_2 = \frac{\omega_1}{\sqrt{1 + 2\omega_1}} \qquad (4.18) $$

(f) Si $n > 0$ alors FractCercle$(P_0, N_1, N_3, \omega_0, n - 1)$
sinon tracer $(P_0; N_3)$, tracer $(P_0; N_1)$, tracer $(N_1; N_3)$,
fin si.

(g) Si $n > 0$ alors FractCercle2((N₃; 1), (N₂; ω₂), (P̃₂; 0), n - 1)
sinon tracer (N₂; N₃)
fin si.

**Sortie** : Deux lignes brisées approchant un arc de cercle $H$ d'extrémités $P_0$ et $\vec{P}_2$ et ayant pour tangentes les droites $(P_0P_1)$ et $(P_1; \vec{P}_2)$.
La formule (4.15) traduit le fait que le point $P_1$ appartient à l'asymptote choisie et à la tangente au cercle H au point $P_0$. Après avoir calculé la valeur du poids $\omega$, nous pouvons, de façon très naturelle, utiliser l'algorithme 4.2, généralisant celui de De Casteljau en utilisant des points massiques. Afin d'établir une formule permettant de calculer directement la valeur du poids, formule (4.16), en fonction des données de départ, il suffit de déterminer, en fonction de $\omega$, les points $N_1, N_2$ et $N_3$ à partir des points 2a, 2b et 2c de l'algorithme 4.2. Nous imposons alors la $\mathcal{L}_H$-orthogonalité entre les vecteurs $\overrightarrow{ON_3}$ et $\overrightarrow{N_3N_1}$ c'est-à-dire que la valeur du poids, formule (4.16), est la solution positive de l'équation :

$$ \mathcal{L}_H (\overrightarrow{ON_3}, \overrightarrow{N_3N_1}) = 0 \qquad (4.20) $$

Nous illustrons l'algorithme 4.2 en utilisant une hyperbole équilatère dans le plan euclidien. Nous avons choisi de prendre $\vec{P}_2 (\lambda a; \lambda b)$, $\lambda \in \mathbb{R}^*$ comme vecteur directeur de la première sectrice $\Delta$, figure 4.3.

La figure 4.4 montre l'influence du vecteur $\vec{P}_2$. A chaque itération, les points en orange sont les points de l'hyperbole correspondant à $N_3$ tandis que les points en vert sont les points contrôlant la tangente en $P_0$ et $N_3$. Les points en bleu représentent les points $N_2$ de l'algorithme 4.2.

Remarquons que si les poids ne sont pas opposés, nous pouvons simplifier l'addition de deux points pondérés en utilisant un vecteur et une translation, formule (2.14). Ainsi, nous pouvons écrire :

$$ \left\{ \begin{array}{lclcl} (N_1; 1 + \omega_1) & = & (P_0; 1) \boxplus (P_1; \omega_1) & = & \left( \mathcal{T}_{\frac{1}{1+\omega_1} \overrightarrow{P_1P_0}} (P_1); 1 + \omega_1 \right) \\ (N_2; \omega_1) & = & (P_1; \omega_1) \boxplus (\vec{P}_2; 0) & = & \left( \mathcal{T}_{\frac{1}{\omega_1} \vec{P}_2} (P_1); \omega_1 \right) \\ (N_3; 1 + 2\omega_1) & = & (N_1; 1 + \omega_1) \boxplus (N_2; \omega_1) & = & \left( \mathcal{T}_{\frac{1+\omega_1}{1+2\omega_1} \overrightarrow{N_2N_1}} (N_2); 1 + 2\omega_1 \right) \end{array} \right. $$

et, en utilisant l'associativité de la loi $\boxplus$, nous simplifions l'expression de $(N_3; 1 + 2\omega_1)$ :

$$ \begin{align*} (N_3; 1 + 2\omega_1) &= (P_0; 1) \boxplus 2 \boxminus (P_1; \omega_1) \boxplus (\vec{P}_2; 0) \\ &= (P_0; 1) \boxplus (P_1; 2\omega_1) \boxplus (\vec{P}_2; 0) \\ &= (P_0; 1) \boxplus (P_1; -1) \boxplus (P_1; 2\omega_1 + 1) \boxplus (\vec{P}_2; 0) \\ &= (P_1; 2\omega_1 + 1) \boxplus (\overrightarrow{P_1P_0}; 0) \boxplus (\vec{P}_2; 0) \\ &= (P_1; 2\omega_1 + 1) \boxplus (\overrightarrow{P_1P_0} + \vec{P}_2; 0) \\ &= \left( \mathcal{T}_{\frac{1}{1+2\omega_1} (\overrightarrow{P_1P_0} + \vec{P}_2)} (P_1); 1 + 2\omega_1 \right) \end{align*} $$

et nous définissons deux applications $T_0^H$ et $T_1^H$ par :
<figure><img src="image_64.png" /><figcaption>FIGURE 4.3 – Exemple de construction itérative d'un arc de cercle dans $\tilde{P}_H$, à partir de trois points massiques $(P_0; 1)$, $(P_1; \omega)$ et $(\vec{P}_2; 0)$. Dans le plan euclidien, H est l'hyperbole équilatère d'équation $x^2 - y^2 = 1$. En rose : propriétés géométriques. En jaune : valeurs lors du déroulement de l'algorithme. En cyan : relation de récurrence.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_65.png" /><figcaption>FIGURE 4.4 – Influence du vecteur $\vec{P}_2$ sur la subdivision du cercle H de la figure 4.3. Branche de droite : $\vec{P}_2(\frac{1}{4}; \frac{1}{4})$ d'où $\vec{P}_3(2; -2)$. Branche de gauche : $\vec{P}_2(-1; -1)$ d'où $\vec{P}_3(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2})$. Nous avons mis les coordonnées des points $N_1$, $N_2$ et $N_3$ ainsi que la valeur de l'itération $n$ correspondante..</figcaption></figure>

$$ T_0^H \begin{pmatrix} (P_0; 1) \\ (P_1; \omega_1) \\ (\vec{P}_2; 0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (P_0; 1) \\ \left( \mathcal{T}_{\frac{1}{\omega_1+1} \overrightarrow{P_1 P_0}} (P_1); \omega_0 \right) \\ \left( \mathcal{T}_{\frac{1}{1+2\omega_1} (\overrightarrow{P_1 P_0} + \overrightarrow{P_2})} (P_1); 1 \right) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (P_{00}; 1) \\ (P_{10}; \omega_0) \\ (P_{20}; 1) \end{pmatrix} \quad (4.21) $$

où :

$$ \omega_0 = \frac{|\mathcal{L}_C(\overrightarrow{P_0 T_{\frac{1}{\omega_1+1} \overrightarrow{P_1 P_0}}(P_1), \overrightarrow{P_0 T_{\frac{1}{1+2\omega_1} (\overrightarrow{P_1 P_0}+\overrightarrow{P_2})}}(P_1))|}{\sqrt{\mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0 T_{\frac{1}{\omega_1+1} \overrightarrow{P_1 P_0}}(P_1)) \times \mathcal{Q}_C(\overrightarrow{P_0 T_{\frac{1}{1+2\omega_1} (\overrightarrow{P_1 P_0}+\overrightarrow{P_2})}}(P_1))}} $$
et :

$$
T_1^H \begin{pmatrix} (P_0; 1) \\ (P_1; \omega_1) \\ (\vec{P}_2; 0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \left( \mathcal{T}_{\frac{1}{1+2\omega_1}} (\vec{P_1 P_0} + \vec{P}_2) (P_1); 1 \right) \\ \left( \mathcal{T}_{\frac{1}{\omega_1} \vec{P}_2} (P_1); \frac{\omega_1}{\sqrt{1+2\omega_1}} \right) \\ (\vec{P}_2; 0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (P_{01}; 1) \\ (P_{11}; \omega_2) \\ (\vec{P}_{21}; 0) \end{pmatrix} \quad (4.22)
$$

4.3 Synthèse du chapitre

Dans ce chapitre, nous avons montré la puissance de l’utilisation de la théorie des points massiques par rapport à l’utilisation de la géométrie projective : nous pouvons définir n’importe quelle métrique dans le plan tout en utilisant la notion de points à l’infini. Ces derniers sont rem-placés par un vecteur. De plus, le regroupement dans le même espace des points affines pondérés et des vecteurs de poids nul permet de développer des algorithmes de subdivision représentant des arcs de cercles, connexes ou non.

Nous généralisons les formules classiques du calcul du poids, dans le cas euclidien à des métriques pseudo-euclidiennes, d'une courbe de Bézier rationnelle quadratique modélisant un arc de cercle qui se trace comme une ellipse ou une hyperbole.
# Chapitre 5

## Coniques et droites sur un hyperboloïde équilatère à une nappe vue comme une sphère unité

La motivation de chapitre est d'avoir une approche pédagogique avant d'aborder le chapitre 10 qui demande une faculté d'abstraction gargantuesque : la sphère unité ressemble à une hyperboloïde à une nappe de dimension 4, la notion d'orthogonalité est totalement différente de la notion usuel c'est-à-dire qu'un vecteur non nul peut être orthogonal à lui-même. Ce choix permet d'avoir un aperçu en 3D d'une hypersurface, dans $\mathbb{R}^5$, de même type et ayant des propriétés analogues que nous utiliserons à partir du chapitre 10 : l'espace des sphères. Dans ce chapitre, nous allons donc représenter, sur une quadrique vue comme une sphère, des cercles qui se tracent comme des ellipses ou des hyperboles ou l'union de deux droites. Nous construirons des demi-cercles en utilisant des courbes de Bézier rationnelles quadratiques à points massiques de contrôle. Nous donnerons un exemple détaillé concernant l'hyperboloïde équilatère à une nappe, surface de révolution dont une méridienne est une hyperbole équilatère, vue comme sphère unité.

Notons que la généralisation du chapitre précédent aux quadriques propres de l'espace affine à trois dimensions ne pose pas de problème. Il suffit d'utiliser la forme quadratique adéquate $Q$, de forme bilinéaire associée $\mathcal{L}$, afin de manipuler la quadrique considérée comme une sphère unitaire et nous aurions pu choisir une autre quadrique.

L'espace affine euclidien orienté, à trois dimensions, est noté $\mathcal{E}_3$, l'espace vectoriel attaché à $\mathcal{E}_3$ est $\vec{\mathcal{E}}_3$. L'espace $\mathcal{E}_3$ est muni du repère $(O_3; \vec{r}; \vec{j}; \vec{k})$ orthonormé direct pour la structure euclidienne usuelle.

### 5.1 Construction de la forme quadratique idoine

Une conique est souvent définie comme section d'un cône de révolution par un plan, mais ceci présente un désavantage : le sommet du cône est un point singulier. Nous allons utiliser
une surface réglée<fnref n="1" />, sans point singulier, définie par une équation telle que la forme quadra-
tique associée ne soit pas dégénérée : le choix est l'hyperboloïde de révolution à une nappe H,
d'équation :

$$
x^2 + y^2 - z^2 = 1 \tag{5.1}
$$

et la forme quadratique associée est :

$$
Q(\vec{u}) = x^2 + y^2 - z^2 \tag{5.2}
$$

où $\vec{u}(x; y; z)$. Soit $\mathcal{L}$ la forme bilinéaire symétrique associée à $\mathcal{Q}$. Donnons la définition du gradient <fnref n="2" /> à une surface implicite de $\mathbb{R}^3$ muni de la forme quadratique $\mathcal{Q}$.

**Définition 6** : Gradient à une surface implicite

Soit $\mathcal{S}$ une surface définie implicitement par $F$ une application de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}$ de classe $C^1$.
Soit $M(x; y; z)$, un point de $\mathcal{S}$, tel que la différentielle [VL04] $d_{(x;y;z)}F$ de $F$ en $(x; y; z)$ soit de rang 1.
Soit $h = (h_1; h_2; h_3)$ appartenant à $\mathbb{R}^3$ et $\vec{h}$ de composantes $(h_1; h_2; h_3)$.

Le gradient à la surface S en M est le vecteur $\overline{\nabla F}(x; y; z)$ défini par :

$$
d_{(x;y;z)} F(h) = \mathcal{L} \left( \overrightarrow{\nabla F (x; y; z)} ; \overrightarrow{h} \right)
$$

Naturellement, nous avons :

$$
\begin{align*}
d_{(x;y;z)} F(h) &= \frac{\partial F}{\partial x}(x;y;z) h_1 + \frac{\partial F}{\partial y}(x;y;z) h_2 + \frac{\partial F}{\partial z}(x;y;z) h_3 \\
&= \frac{\partial F}{\partial x}(x;y;z) h_1 + \frac{\partial F}{\partial y}(x;y;z) h_2 - \left( -\frac{\partial F}{\partial z}(x;y;z) \right) h_3
\end{align*}
$$

et dans notre espace, le gradient $\overrightarrow{\nabla F}(x; y; z)$ à la surface $S$ en $M$ a pour composantes :

$$
\left( \frac{\partial F}{\partial x}(x; y; z) ; \frac{\partial F}{\partial y}(x; y; z) ; -\frac{\partial F}{\partial z}(x; y; z) \right) \qquad (5.3)
$$

Soit $\alpha_0$ et $p$ deux nombres réels, nous nous donnons un point $A_0 (0; 0; p)$ ainsi que le plan d'équation :

$$
z = \alpha_0 y + p \tag{5.4}
$$

Un vecteur orthogonal au plan $\mathcal{P}_{\alpha_0}$ est le gradient $\overrightarrow{\nabla \mathcal{P}_{\alpha_0}} (0; \alpha_0; 1)$. En effet, le point $M(x; y; z)$ appartient à $\mathcal{P}_{\alpha_0}$ ssi $\mathcal{L} \left( \overrightarrow{A_0 M} ; \overrightarrow{\nabla \mathcal{P}_{\alpha_0}} \right) = 0$ c'est-à-dire que nous avons :

$0 x + \alpha_0 y - (z - p) = 0$

<footnote n="1">1. Surface engendrée par une famille à un paramètre de droites.</footnote>

<footnote n="2">2. La généralisation à une autre dimension se fait en ajoutant le nombre de composantes idoines.</footnote>
et nous retrouvons l'équation de la formule (5.4).

Etudions la restriction $Q_{|\overrightarrow{P_{\alpha_0}}}$ de la forme quadratique $Q$ à $\overrightarrow{P_{\alpha_0}}$. Soit $M_0(x_0; y_0; \alpha_0 y_0 + p)$ et $M_1(x_1; y_1; \alpha_0 y_1 + p)$ deux points de $P_{\alpha_0}$. Nous avons :

$$ \overrightarrow{M_0 M_1} \begin{pmatrix} x_1 - x_0 \\ y_1 - y_0 \\ \alpha_0 (y_1 - y_0) \end{pmatrix} $$

et en posant $X = x_1 - x_0$ et $Y = y_1 - y_0$, nous obtenons :

$$ Q_{|\overrightarrow{P_{\alpha_0}}} (\overrightarrow{M_0 M_1}) = X^2 + (1 - \alpha_0^2) Y^2 \quad (5.5) $$

et nous pouvons établir :

**Proposition 4** : Type de la forme quadratique $Q_{|\overrightarrow{P_{\alpha_0}}}$

Le type de la restriction de la forme quadratique $Q$ au plan $\overrightarrow{P_{\alpha_0}}$, notée $Q_{|\overrightarrow{P_{\alpha_0}}}$, dépend de $\alpha_0$ et nous pouvons énoncer :

* si nous avons $|\alpha_0| < 1$, la forme quadratique $Q_{|\overrightarrow{P_{\alpha_0}}}$ est définie positive, de signature (2; 0);

* si nous avons $|\alpha_0| = 1$, la forme quadratique $Q_{|\overrightarrow{P_{\alpha_0}}}$ est dégénérée, de signature (1; 0);

* si nous avons $|\alpha_0| > 1$, la forme quadratique $Q_{|\overrightarrow{P_{\alpha_0}}}$ est définie, de signature (1; 1).

**Démonstration** : il suffit d'utiliser la formule (5.5).

<figure><img src="image_66.png" /></figure>

Nous pouvons définir le type du plan $P_{\alpha_0}$ et des vecteurs de $\overrightarrow{P_{\alpha_0}}$ en fonction de $\alpha_0$, tableau 5.1, et une généralisation sera donnée dans l'espace de Lorentz par le tableau 10.1.

<table><caption>TABLE 5.1 – Définition des trois types de vecteurs ou de plans $P_{\alpha_0}$ en fonction de $\alpha_0$ et de la forme quadratique $Q_{|\overrightarrow{P_{\alpha_0}}}$.</caption><thead><tr><th>Type du vecteur ou du 2-plan</th><th>&alpha;<sub>0</sub></th><th>Vecteur <u>u</u> de E<sub>3</sub></th><th>Plan P<sub>&alpha;<sub>0</sub></sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>Espace</td><td>|&alpha;<sub>0</sub>| &lt; 1</td><td>Q (<u>u</u>) &gt; 0</td><td>Q<sub>|P&#773;<sub>&alpha;<sub>0</sub></sub></sub> est definie positive</td></tr><tr><td>Temps</td><td>|&alpha;<sub>0</sub>| &gt; 1</td><td>Q (<u>u</u>) &lt; 0</td><td>Q<sub>|P&#773;<sub>&alpha;<sub>0</sub></sub></sub> est definie, de signature (1; 1)</td></tr><tr><td>Lumière</td><td>|&alpha;<sub>0</sub>| = 1</td><td>Q (<u>u</u>) = 0</td><td>Q<sub>|P&#773;<sub>&alpha;<sub>0</sub></sub></sub> est degенérée, de signature (1; 0)</td></tr></tbody></table>

Notons que nous avons une relation « bijective » entre la signature de $Q_{|\overrightarrow{P_{\alpha_0}}}$ et le type du vecteur gradient $\overrightarrow{\nabla}_{\overrightarrow{P_{\alpha_0}}}$ au plan $\overrightarrow{P_{\alpha_0}}$ :

* si la signature de $Q_{|\overrightarrow{P_{\alpha_0}}}$ est (2; 0) alors $\overrightarrow{\nabla}_{\overrightarrow{P_{\alpha_0}}}$ est de type temps;

* si la signature de $Q_{|\overrightarrow{P_{\alpha_0}}}$ est (1; 0) alors $\overrightarrow{\nabla}_{\overrightarrow{P_{\alpha_0}}}$ est de type lumière;

* si la signature de $Q_{|\overrightarrow{P_{\alpha_0}}}$ est (1; 1) alors $\overrightarrow{\nabla}_{\overrightarrow{P_{\alpha_0}}}$ est de type espace.
## 5.2 Cercle déterminé par trois points ou deux points et un vecteur

Nous allons commencer ce paragraphe par un rappel sur la détermination du centre d'un cercle, pour $Q$, lorsque nous connaissons trois points distincts de celui-ci.

**Lemme 5 : Détermination du centre d'un cercle connaissant trois points distincts**

Soit A, B et C trois points non alignés.

Le centre $O_0$ du cercle passant par A, B et C est défini par :

$$ \overrightarrow{AO_0} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC} $$

avec :

$$ \alpha = \frac{1}{2} \frac{\left| \begin{array}{cc} Q(\overrightarrow{AB}) & \mathcal{L}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \\ Q(\overrightarrow{AC}) & Q(\overrightarrow{AC}) \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{cc} Q(\overrightarrow{AB}) & \mathcal{L}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \\ \mathcal{L}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) & Q(\overrightarrow{AC}) \end{array} \right|}, \quad \beta = \frac{1}{2} \frac{\left| \begin{array}{cc} Q(\overrightarrow{AB}) & Q(\overrightarrow{AB}) \\ \mathcal{L}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) & Q(\overrightarrow{AC}) \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{cc} Q(\overrightarrow{AB}) & \mathcal{L}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \\ \mathcal{L}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) & Q(\overrightarrow{AC}) \end{array} \right|} $$

**Démonstration :**

Le centre $O_0$ du cercle passant par A, B et C est défini par :

$$ \overrightarrow{AO_0} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC} $$

et vérifie :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \mathcal{L}(\overrightarrow{IO_0}, \overrightarrow{AB}) = 0 \\ \mathcal{L}(\overrightarrow{JO_0}, \overrightarrow{AC}) = 0 \end{array} \right. \qquad (5.6) $$

où I et J sont les milieux respectifs de $[AB]$ et $[AC]$. Ainsi, le système (5.6) devient :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \mathcal{L}(\overrightarrow{IA} + \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB}) = 0 \\ \mathcal{L}(\overrightarrow{JA} + \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AC}) = 0 \end{array} \right. \qquad (5.7) $$

qui se simplifie en :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \alpha Q(\overrightarrow{AB}) + \beta \mathcal{L}(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB}) = \frac{1}{2} Q(\overrightarrow{AB}) \\ \alpha \mathcal{L}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) + \beta Q(\overrightarrow{AB}) = \frac{1}{2} Q(\overrightarrow{AC}) \end{array} \right. \qquad (5.8) $$

et il suffit de résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues.

<figure><img src="image_67.png" /></figure>
**Lemme 6** : Détermination du centre d'un cercle connaissant deux points et un vecteur tangent
Soit A, B deux points et $\overrightarrow{v_B}$ un vecteur non isotrope étant ni colinéaire, ni orthogonal à $\overrightarrow{AB}$.
Le centre $O_0$ du cercle passant par A, B et dont la direction de la tangente en B est celle de
$\overrightarrow{v_B}$ est défini par :

$$
\overrightarrow{BO_0} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{v_B}
$$

avec :

$$
\alpha = -\frac{1}{2} \frac{\mathcal{Q}(\overrightarrow{AB}) \mathcal{Q}(\overrightarrow{v_B})}{\mathcal{Q}(\overrightarrow{v_B}) \mathcal{Q}(\overrightarrow{AB}) - \mathcal{L}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{v_B})^2}, \quad \beta = -\alpha \frac{\mathcal{L}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{v_B})}{\mathcal{Q}(\overrightarrow{v_B})}
$$

Démonstration :

Le centre $O_0$ du cercle passant par A, B et dont la direction de la tangente en B est celle de
$\overrightarrow{v_B}$ est défini par :

$$
\overrightarrow{BO_0} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{v_B}
$$

et vérifie :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\mathcal{L}\left(\overrightarrow{IO_0}, \overrightarrow{AB}\right) = 0 \\
\mathcal{L}\left(\overrightarrow{BO_0}, \overrightarrow{v_B}\right) = 0
\end{array}
\right.
\qquad (5.9)
$$

où *I* est le milieu de [*AB*]. Ainsi, le système (5.9) devient :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\mathcal{L}\left(\overrightarrow{IB} + \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{v_B}, \overrightarrow{AB}\right) = 0 \\
\mathcal{L}\left(\alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{v_B}, \overrightarrow{v_B}\right) = 0
\end{array}
\right.
\qquad (5.10)
$$

qui se simplifie en :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha \mathcal{Q}(\overrightarrow{AB}) + \beta \mathcal{L}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{v_B}) = -\frac{1}{2} \mathcal{Q}(\overrightarrow{AB}) \\
\\
\alpha \mathcal{L}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{v_B}) + \beta \mathcal{Q}(\overrightarrow{v_B}) = 0
\end{array}
\right.
\qquad (5.11)
$$

et il suffit de résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues.

<figure><img src="image_68.png" /></figure>

5.3 Construction d'arcs de cercles, d'arcs de paraboles isométriques à des droites, et de droites

Commençons par justifier ce titre. Rappelons que dans l'espace euclidien usuel $\mathcal{E}_3$, la section
d'un hyperboloïde à une nappe H par un plan peut conduire à toutes les coniques euclidiennes et
des droites. Revenons à notre pseudo $^3$-métrique qui n'est pas euclidienne, H est la pseudo-sphère

<footnote n="3">3. Dans la suite, le terme pseudo sera omis.</footnote>
FIGURE 5.1 – Parabole, isométrique à une droite, obtenue comme section de H par un plan de type lumière.

unité de notre espace et la section d'une sphère par un plan donne souvent un cercle. Nous allons donc pouvoir obtenir des cercles qui se tracent comme des ellipses, si le plan est de type espace, ou comme des hyperboles si le plan est de type temps. Dans un plan de type espace, un cercle est toujours connexe, dans un plan de type temps, un cercle a deux composantes connexes. Si le plan précédent est de type lumière, la section est une « parabole-droite » c'est-à-dire, une parabole affine $P_1$ isométrique à une droite, figure 5.1. Soit $\overrightarrow{v_1}$ un vecteur de type lumière de ce plan et on suppose connu le sommet $S$ de la parabole et $\overrightarrow{v_1}$ un vecteur directeur $\Delta$ et unitaire de la tangente en $S$. Les vecteurs $\overrightarrow{v_1}$ et $\overrightarrow{v_1}$ sont orthogonaux. Soit $A$ et $B$ deux points de $\Delta$. Les points qui leur correspondent sont $A'$ et $B'$ obtenus comme intersections entre la parabole $P_1$ et la droite de vecteur directeur $\overrightarrow{v_1}$ et passant par le point idoine. Nous avons donc :

$$Q_{|\vec{P}_{\alpha_0}}(\overrightarrow{AA'}) = Q_{|\vec{P}_{\alpha_0}}(\overrightarrow{BB'}) = 0$$

et considérons le point $B_1$ défini par :

$$\overrightarrow{A'B_1} = \overrightarrow{AB}$$

et le triangle $A'B_1B'$ est rectangle en $B_1$. En appliquant le théorème de Pythagore, nous avons :

$$ 
\begin{align} 
Q_{|\vec{P}_{\alpha_0}}(\overrightarrow{A'B'}) &= Q_{|\vec{P}_{\alpha_0}}(\overrightarrow{A'B_1}) + 2 \underbrace{\mathcal{L}_{|\vec{P}_{\alpha_0}}(\overrightarrow{A'B_1}; \overrightarrow{B_1B'})}_{0} + \underbrace{Q_{|\vec{P}_{\alpha_0}}(\overrightarrow{B_1B'})}_{0} \tag{5.12} \\
&= Q_{|\vec{P}_{\alpha_0}}(\overrightarrow{AB}) 
\end{align} 
$$

et tout vecteur de la forme $x \overrightarrow{v_1} + y \overrightarrow{v_1}$ est orthogonal à $\overrightarrow{v_1}$.

Prenons un autre point $S_1$ sur la parabole et considérons la tangente $\Delta_1$ à la parabole en $S_1$ et de vecteur directeur unitaire $\overrightarrow{v_2}$. Il existe un réel $\lambda_y$ tel que :

$$\overrightarrow{v_2} = \overrightarrow{v_1} + \lambda_y \overrightarrow{v_l}$$

et les bases $(\overrightarrow{v_1}; \overrightarrow{v_l})$ et $(\overrightarrow{v_2}; \overrightarrow{v_l})$ sont toutes les deux orthogonales, le premier vecteur est unitaire, le second vecteur est un vecteur isotrope. En conclusion, nous ne voyons pas la droite $\Delta_1$ mais seulement $\Delta_1^\parallel$, la droite passant par $S_1$ et parallèle à $\Delta$. Notons que pour tout réel $\lambda$, le vecteur $\overrightarrow{v_1} + \lambda \overrightarrow{v_l}$ est unitaire et orthogonal à $\overrightarrow{v_l}$.

### 5.3.1 Construction d'arcs de cercles

Pour obtenir un arc de cercle qui ne soit pas un demi-cercle, nous pouvons utiliser l'algorithme 5.1 qui généralise l'algorithme 4.1. Le détermination du centre du cercle est triviale
puisqu'il suffit de résoudre une équation du premier degré puisque nous avons :

$$ \overrightarrow{OO_0} = t \overrightarrow{\nabla P_{\alpha_0}}, \ t \in \mathbb{R} $$

et :

$$ \mathcal{L} \left( \overrightarrow{O_0 P_0}, \overrightarrow{\nabla P_{\alpha_0}} \right) = 0 $$

ce qui conduit à :

$$ \overrightarrow{OO_0} = \frac{\mathcal{L} \left( \overrightarrow{OP_0}, \overrightarrow{\nabla P_{\alpha_0}} \right)}{\mathcal{Q} \left( \overrightarrow{\nabla P_{\alpha_0}} \right)} \overrightarrow{\nabla P_{\alpha_0}} \qquad (5.13) $$

et l'existence de $O_0$ est garantie par le fait que $\mathcal{Q} \left( \overrightarrow{\nabla P_{\alpha_0}} \right)$ est non nul : comme dans le cas d'une sphère euclidienne, le centre du cercle est la projection orthogonale du centre de la sphère sur le plan du cercle. Notons que le type du vecteur $\overrightarrow{\nabla P_{\alpha_0}}$ peut nous renseigner sur la connexité du cercle : si le vecteur est de type temps (resp. espace) alors le cercle sera connexe (resp. ne sera pas connexe).

**Algorithme 5.1** Construction d'un arc de cercle sur une sphère unité qui se trace comme un hyperboloïde à une nappe.

**Entrée** : Un point $M_0(0; 0; p)$ du plan $\mathcal{P}_{\alpha_0}$ ainsi qu'un vecteur orthogonal $\overrightarrow{\nabla P_{\alpha_0}}(0; \alpha_0; 1)$ à $\mathcal{P}_{\alpha_0}$.

1. Construction d'un point $P_0$ de $\mathcal{P}_{\alpha_0} \cap H$

2. Construction de $O_0$, centre du cercle passant par $P_0$ et de vecteur normal $\overrightarrow{\nabla P_{\alpha_0}}$ en utilisant la formule (5.13).

3. Construction de $P_2$ de $\mathcal{P}_{\alpha_0} \cap H$, non symétrique de $P_0$ par rapport à $O_0$.

4. Construction de $P_1$ par :

$$ \overrightarrow{I_1 P_1} = t_1 \overrightarrow{O_0 I_1} \quad \text{avec} \quad t_1 = \frac{\mathcal{L}_{|\overrightarrow{P_{\alpha_0}}} \left( \overrightarrow{O_0 P_0}, \overrightarrow{I_1 P_0} \right)}{\mathcal{L}_{|\overrightarrow{P_{\alpha_0}}} \left( \overrightarrow{O_0 P_0}, \overrightarrow{O_0 I_1} \right)} \qquad (5.14) $$

où $I_1$ est le milieu de $[P_0P_2]$.

5. Calcul de $\omega_1$ par :

$$ \omega_1 = \frac{\left| \mathcal{L}_{|\overrightarrow{P_{\alpha_0}}} \left( \overrightarrow{P_0 P_1}, \overrightarrow{P_0 P_2} \right) \right|}{\sqrt{\mathcal{Q}_{|\overrightarrow{P_{\alpha_0}}} \left( \overrightarrow{P_0 P_1} \right) \times \mathcal{Q}_{|\overrightarrow{P_{\alpha_0}}} \left( \overrightarrow{P_0 P_2} \right)}} \qquad (5.15) $$

**Sortie** : l'arc de cercle $\mathcal{RQBC}\{(P_0; 1); (P_1; \omega_1); (P_2; 1)\}$ ou $\mathcal{RQBC}\{(P_0; 1); (P_1; -\omega_1); (P_2; 1)\}$
Nous prenons $p = 2$ et $\alpha_0 = \frac{2}{3}$. Les points extrémaux des CBRQs sont $P_0(\sqrt{5}; 0; 2)$ et

$$P_2\left(0; \frac{3\sqrt{41} + 12}{5}; \frac{2\sqrt{41} + 18}{5}\right)$$

Le centre du cercle est $O_0(0; \frac{12}{5}; \frac{18}{5})$. Le point de contrôle intermédiaire est :

$$P_1\left(\frac{4\sqrt{205} + 41\sqrt{5}}{25}; \frac{12 + 3\sqrt{41}}{5}; \frac{18 + 2\sqrt{41}}{5}\right)$$

tandis que le poids est :

$$\omega_1 = \sqrt{\frac{41 - 4\sqrt{41}}{82}}$$

La figure 5.2 montre les deux arcs de cercles $\text{RQBC}\{(P_0; 1); (P_1; \omega_1); (P_2; 1)\}$ d'une part, et $\text{RQBC}\{(P_0; 1); (P_1; -\omega_1); (P_2; 1)\}$ d'autre part, sur la sphère unité H.

### 5.3.2 Construction de demi-cercles

Dans ce paragraphe, nous utilisons l'algorithmes 11.7 qui permet de construire un demi-cercle si nous nous donnons un point et un vecteur normal au plan.

**Algorithme 5.2** Construction d'un demi-cercle sur une quadrique propre.

**Entrée** : Un point $M_0(0; 0; p)$ du plan $\mathcal{P}_{\alpha_0}$ ainsi qu'un vecteur orthogonal $\overrightarrow{\nabla \mathcal{P}_{\alpha_0}}(0; \alpha_0; 1)$ à $\mathcal{P}_{\alpha_0}$.

**Condition** : $\alpha_0 \notin \{-1; 1\}$

1. Construction d'un point $P_0$ de $\mathcal{P}_{\alpha_0} \cap H$.

2. Construction de $O_0$, centre du cercle passant par $P_0$ et de vecteur normal $\overrightarrow{\nabla \mathcal{P}_{\alpha_0}}$ en utilisant la formule (5.13).

3. Construction de $P_2$, symétrique de $P_0$ par rapport à $O_0$.

4. Construction de $P_1$ appartenant à $\mathcal{P}_{\alpha_0} \cap [P_0P_2]^{\perp}$ tel que :

$$|Q(\overrightarrow{P_0P_2})| = 4 \times |Q(\overrightarrow{O_0P_1})| \qquad (5.16)$$

5. Calcul de $\omega_2$ par :

$$\omega_2 = 4 \times \frac{Q(\overrightarrow{O_0P_1})}{Q(\overrightarrow{P_0P_2})} \qquad (5.17)$$

**Sortie** : le demi-cercle $\text{RQBC}\{(P_0; 1); (\overrightarrow{O_0P_1}; 0); (P_2; \omega_2)\}$
<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>FIGURE 5.2 – Deux arcs de cercles $\mathcal{RQBC}\{(P_0; 1); (P_1; \omega_1); (P_2; 1)\}$ et $\mathcal{RQBC}\{(P_0; 1); (P_1; -\omega_1); (P_2; 1)\}$, qui se tracent comme des arcs d'ellipse, sur une sphère unité qui a l'apparence d'un hyperboloïde à une nappe.</figcaption></figure>

Le point 2 de l'algorithme 11.7 est très facile à déterminer, il suffit d'appliquer la formule (5.13).

Le point 2 de l'algorithme 11.7 peut être remplacé par le test suivant : si $Q(\overrightarrow{O_0P_1})$ et $Q(\overrightarrow{P_0P_2})$ sont opposés, alors nous avons $\omega_2 = -1$, sinon, nous avons $\omega_2 = 1$. Cette formule est une généralisation de la formule (3.9) car nous avons $\omega_0 = 1$.

### 5.3.2.1 Exemple avec un cercle connexe

Soit $p = 2$, $\alpha_0 = \frac{1}{2}$ d'où $\overrightarrow{\nabla P_{\alpha_0}}(0; \frac{1}{2}; 1)$ et :

$$Q(\overrightarrow{\nabla P_{\alpha_0}}) = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4} < 0$$
et le cercle est connexe. Nous choisissons :

$$P_0\left(\frac{1}{5}; \frac{4(\sqrt{118}) + 20}{15}; \frac{2(\sqrt{118}) + 40}{15}\right) \approx (0, 2; 4, 230; 4, 115)$$

d'où :

$$\mathcal{L}\left(\overrightarrow{OP_0}; \overrightarrow{\nabla P_{\alpha_0}}\right) = \frac{1}{2} \frac{4(\sqrt{118}) + 20}{15} - \frac{2(\sqrt{118}) + 40}{15} = \frac{-30}{15} = -2$$

ce qui fait que le centre $O_0$ du cercle est :

$$O_0\left(0; \frac{4}{3}; \frac{8}{3}\right)$$

et nous obtenons :

$$P_2\left(-\frac{1}{5}; \frac{-4(\sqrt{118}) + 20}{15}; \frac{-2(\sqrt{118}) + 40}{15}\right) \approx (-0, 2; -1, 563; 1, 219)$$

et :

$$\overrightarrow{O_0P_1} = \overrightarrow{P_1} = \left(\frac{2\sqrt{354}}{15}; -2\frac{\sqrt{3}}{15}; -\frac{\sqrt{3}}{15}\right)$$

puis $\omega_2 = 1$. La figure 5.3 montre les deux demi-cercles $\text{RQBC}\{(P_0; 1); (\vec{P}_1; 0); (P_2; 1)\}$ et $\text{RQBC}\{(P_0; 1); (-\vec{P}_1; 0); (P_2; 1)\}$ sur la sphère unité H.

### 5.3.2.2 Exemple avec un cercle non connexe

Soit $p = 2$, $\alpha_0 = 2$ d'où $\overrightarrow{\nabla P_{\alpha_0}}(0; 2; 1)$ et :

$$\mathcal{Q}\left(\overrightarrow{\nabla P_{\alpha_0}}\right) = 4 - 1 = 3 > 0$$

et le cercle est non connexe. Nous choisissons :

$$P_0(1; -2; -2)$$

d'où :

$$\mathcal{L}\left(\overrightarrow{OP_0}; \overrightarrow{\nabla P_{\alpha_0}}\right) = -4 + 2 = -2$$

ce qui fait que le centre $O_0$ du cercle est :

$$O_0\left(0; -\frac{4}{3}; -\frac{2}{3}\right)$$

et nous obtenons :

$$P_2\left(-1; -\frac{2}{3}; \frac{2}{3}\right)$$
<figure><img src="image_70.png" /><figcaption>FIGURE 5.3 – Deux demi-cercles $RQBC\{(P_0; 1); (\vec{P}_1; 0); (P_2; 1)\}$ et $RQBC\{(P_0; 1); (-\vec{P}_1; 0); (P_2; 1)\}$, qui se tracent comme une demi-ellipse, sur une sphère unité qui a l'apparence d'un hyperboloïde à une nappe.</figcaption></figure>

et :

$$ \overrightarrow{O_0P_1} = \vec{P}_1 = \left( \frac{2\sqrt{3}}{3}; -\frac{\sqrt{3}}{3}; -\frac{2\sqrt{3}}{3} \right) $$

puis $\omega_2 = -1$. La figure 5.4 montre les deux demi-cercles $RQBC\{(P_0; 1); (\vec{P}_1; 0); (P_2; -1)\}$ et $RQBC\{(P_0; 1); (-\vec{P}_1; 0); (P_2; -1)\}$ sur la sphère unité H.
<figure><img src="image_71.png" /><figcaption>FIGURE 5.4 – Deux demi-cercles $RQBC\{(P_0; 1); (\vec{P}_1; 0); (P_2; -1)\}$ et $RQBC\{(P_0; 1); (-\vec{P}_1; 0); (P_2; -1)\}$, qui se tracent comme une demi-hyperbole, sur une sphère unité qui a l'apparence d'un hyperboloïde à une nappe.</figcaption></figure>

### 5.3.3 Construction d'une branche d'un cercle non connexe

L'algorithme 5.3 permet de construire une branche ou les deux branches d'un cercle non connexe modélisé par une ou deux courbe(s) de Bézier rationnelle(s) quadratique(s) à points massiques de contrôle.

Nous avons deux types de branches en fonction de la position du centre du cercle, figures 5.5 et 5.6. La condition donnée dans le point 4 de l'algorithme 5.3 est équivalente à

$$ \alpha_0^2 - p^2 - 1 < 0 $$

et traduit le fait que le centre du cercle est à l'extérieur de la sphère.

La figure 5.5 montre les deux branches $RQBC\{(\vec{m}_0; 0); (O_0; 1); (\vec{m}_2; 0)\}$ d'une part et $RQBC\{(-\vec{m}_0; 0); (O_0; 1); (-\vec{m}_2; 0)\}$ d'autre part, d'un cercle non connexe sur la sphère unité H.
**Algorithme 5.3** Construction des branches d'un arc de cercle sur une sphère unité qui se trace comme un hyperboloïde à une nappe.

**Entrée** : Un point $M_0(0; 0; p)$ du plan $\mathcal{P}_{\alpha_0}$ ainsi qu'un vecteur orthogonal $\overrightarrow{\nabla \mathcal{P}_{\alpha_0}}(0; \alpha_0; 1)$ à $\mathcal{P}_{\alpha_0}$.
**Condition** : $\alpha_0^2 > 1$

1. Construction de $O_0$, centre du cercle dans le plan passant par $M_0$ et de vecteur normal $\overrightarrow{\nabla \mathcal{P}_{\alpha_0}}$ en utilisant la formule (5.13).

2. Calcul de :

$$Y_0 = \frac{\sqrt{|\alpha_0^2 - p^2 - 1|}}{\alpha_0^2 - 1}$$

3. Calcul des vecteurs lumière $\overrightarrow{m_0}$ et $\overrightarrow{m_2}$ :

$$\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{m_0} = \left( \sqrt{(\alpha_0^2 - 1) Y_0^2}; Y_0; \alpha_0 Y_0 \right) \\ \\ \overrightarrow{m_2} = \left( \sqrt{(\alpha_0^2 - 1) Y_0^2}; -Y_0; -\alpha_0 Y_0 \right) \end{array} \right. \qquad (5.18)$$

4. Si $Q(\overrightarrow{OO_0}) > 1$ alors $\overrightarrow{m_2} = -\overrightarrow{m_0}$.

**Sortie** : les branches de cercle $\text{RQBC}\{(\overrightarrow{m_0}; 0); (O_0; 1); (\overrightarrow{m_2}; 0)\}$ et $\text{RQBC}\{(-\overrightarrow{m_0}; 0); (O_0; 1); (-\overrightarrow{m_2}; 0)\}$

Le centre $O_0$ du cercle est à l'intérieur de la boule unité i.e. il vérifie :

$$0 < Q(\overrightarrow{OO_0}) < 1 \qquad (5.19)$$

et d'après le théorème de Pythagore, le rayon $r_0$ du cercle vérifie :

$$0 < r_0^2 = 1 - Q(\overrightarrow{OO_0}) < 1$$

Nous avons $\alpha_0 = 3$ et $p = 2$ d'où :

$$\alpha_0^2 - p^2 - 1 = 9 - 4 - 1 = 4 > 0$$

et le centre $O_0(0; -\frac{3}{4}; -\frac{1}{4})$ est bien à l'intérieur de la boule unité i.e. la condition de la formule (5.19) est vérifiée. Nous obtenons $Y_0 = \frac{1}{4}$. Les vecteurs lumière<fnref n="4" /> sont :

$$\overrightarrow{m_0} \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{1}{4}; \frac{3}{4} \right)$$

et :

$$\overrightarrow{m_2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{1}{4}; -\frac{3}{4} \right)$$

<footnote n="4">4. Les notations $\overrightarrow{m_0}$ et $\overrightarrow{m_2}$ prendront tout leur sens à partir du chapitre 10 où un point de $\mathcal{E}_3$ est représenté par un vecteur lumière de l'espace de Lorentz.</footnote>
<figure><img src="image_72.png" /><figcaption>FIGURE 5.5 – Deux branches d’un cercle $RQBC \{ (\vec{m}_0; 0) ; (O_0; 1) ; (\vec{m}_2; 0) \}$ et $RQBC \{ (-\vec{m}_0; 0) ; (O_0; 1) ; (-\vec{m}_2; 0) \}$, sur une sphère unité qui se trace comme un hyperboloïde à une nappe avec $\alpha_0 = 3$ et $p = 2$.</figcaption></figure>

A présent, donnons un exemple où le centre du cercle est hors de la boule unité, cas impossible en géométrie euclidienne.

La figure 5.6 montre les deux branches $RQBC \{ (\vec{m}_0; 0) ; (O_0; 1) ; (\vec{m}_2; 0) \}$ d'une part et $RQBC \{ (-\vec{m}_0; 0) ; (O_0; 1) ; (-\vec{m}_2; 0) \}$ d'autre part, d'un cercle non connexe sur la sphère unité H. Le centre du cercle est à l'extérieur de la boule unité i.e. vérifie :

$$Q(\overrightarrow{OO_0}) > 1$$

et d'après le théorème de Pythagore, le rayon $r_0$ du cercle vérifie :

$$r_0^2 = 1 - Q(\overrightarrow{OO_0}) < 0$$

Nous avons $\alpha_0 = 2$ et $p = 2$ d'où :

$$\alpha_0^2 - p^2 - 1 = 4 - 4 - 1 = -1 < 0$$
<figure><img src="image_73.png" /><figcaption>FIGURE 5.6 – Deux branches d’un cercle $RQBC \{((\vec{m}_0; 0); (O_0; 1); (\vec{m}_2; 0))\}$ et $RQBC \{((-\vec{m}_0; 0); (O_0; 1); (-\vec{m}_2; 0))\}$, sur une sphère unité qui se trace comme un hyperboloïde à une nappe avec $\alpha_0 = 2$ et $p = 2$.</figcaption></figure>

et le centre $O_0 (0; -\frac{4}{3}; -\frac{2}{3})$ est bien à l'extérieur de la boule unité. Nous obtenons $Y_0 = \frac{1}{3}$. Les vecteurs lumière sont :

$$ \vec{m}_0 \left( \frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{1}{3}; \frac{2}{3} \right) $$

et :

$$ \vec{m}_2 \left( -\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{1}{3}; \frac{2}{3} \right) $$
### 5.3.4 Construction d'une parabole, isométrique à une droite, dans un plan lumière

Pour obtenir un plan lumière $\mathcal{P}_{\alpha_0}$, la restriction de la forme quadratique à ce plan doit être dégénérée ce qui impose :

$$ \alpha_0 \in \{-1; 1\} $$

et nous avons $p \neq 0$ (sinon, nous avons la droite d'équation $(0; t; \alpha_0 t)$, $t$ réel). Soit $\varepsilon \in \{-1; 1\}$. Pour $x_0$ réel, nous obtenons le point :

$$ P_{\varepsilon} \left( x_0; \varepsilon \frac{x_0^2 - p^2 - 1}{2p}; \frac{x_0^2 + p^2 - 1}{2p} \right) $$

le vecteur tangent :

$$ \vec{v}_{\varepsilon} \left( \varepsilon \frac{p}{2}; \frac{x_0}{2}; \varepsilon \frac{x_0}{2} \right) $$

et le vecteur lumière :

$$ \vec{m}_{\varepsilon} \left( 0; \varepsilon \frac{p}{2}; \frac{n}{2} \right) $$

qui est un vecteur gradient au plan $\mathcal{P}_{\alpha_0}$.

Nous avons :

$$ \mathcal{L} \left( \vec{v}_{\varepsilon}; \vec{m}_{\varepsilon} \right) = \frac{x_0}{2} \varepsilon \frac{p}{2} - \varepsilon \frac{x_0}{2} \frac{p}{2} = 0 $$

et les vecteurs $\vec{v}_{\varepsilon}$ et $\vec{m}_{\varepsilon}$ sont orthogonaux. Chaque partie de la parabole est modélisée par $\text{RQBC}\{(P_{\varepsilon}; 1); (\vec{v}_{\varepsilon}; 0); (\vec{m}_{\varepsilon}; 0)\}$ d'une part et $\text{RQBC}\{(P_{\varepsilon}; 1); (-\vec{v}_{\varepsilon}; 0); (\vec{m}_{\varepsilon}; 0)\}$ d'autre part.

La figure 5.7 montre les deux courbes $\text{RQBC}\{(P_{\varepsilon}; 1); (\vec{v}_{\varepsilon}; 0); (\vec{m}_{\varepsilon}; 0)\}$ d'une part et $\text{RQBC}\{(P_{\varepsilon}; 1); (-\vec{v}_{\varepsilon}; 0); (\vec{m}_{\varepsilon}; 0)\}$ d'autre part d'une parabole. Nous avons $\alpha_0 = 1$ et $p = 9$. La première extrémité est :

$$ P_0 \left( \frac{11}{4}; -\frac{397}{96}; \frac{467}{96} \right) \approx (2, 75; -4, 135; 4, 865) $$

le vecteur tangent est :

$$ \vec{v}_{\varepsilon} \left( \frac{9}{2}; \frac{11}{8}; \frac{11}{8} \right) $$

tandis que le vecteur lumière est :

$$ \vec{m}_{\varepsilon} \left( 0; \frac{9}{2}; \frac{9}{2} \right) $$

### 5.3.5 Construction de droites

Rappelons que dans le plan affine euclidien usuel, l'équation :

$$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = c $$

est celle d'une hyperbole si $c$ est non nul. Dans le cas contraire, nous avons l'équation de deux droites qui sont les asymptotes des hyperboles précédentes. Dans le paragraphe 5.3.3, nous avons
<figure><img src="image_74.png" /><figcaption>FIGURE 5.7 – Deux courbes $\mathcal{RQBC}\{(P_{\varepsilon}; 1); (\vec{v}_{\varepsilon}; 0); (\vec{m}_{\varepsilon}; 0)\}$ d'une part et $\mathcal{RQBC}\{(P_{\varepsilon}; 1); (-\vec{v}_{\varepsilon}; 0); (\vec{m}_{\varepsilon}; 0)\}$ d'autre part d'une parabole, isométrique à une droite, sur une sphère unité qui se trace comme un hyperboloïde à une nappe, avec $\alpha_0 = 1$ et $p = 9$.___</figcaption></figure>

construit des courbes telles que le centre ne soit pas sur la sphère unité. Dans ce paragraphe, nous traitons le cas où le centre appartient à cette sphère et nous obtenons l'union de deux droites dont l'union est un cercle de rayon nul, de centre l'intersection des deux droites. Nous pouvons énoncer :

**Théorème 17 :**

Soit $A_0(x_0; y_0; z_0)$ un point de $H$ et les vecteurs $\mathbf{v}$ $^5$ lumière :

$$ \vec{l}_{\varepsilon} \left( \frac{1}{x_0} \frac{-y_0 x_0^2 + \varepsilon z_0 |x_0|}{x_0^2 - z_0^2}; 1; \frac{-y_0 z_0 + \varepsilon |x_0|}{x_0^2 - z_0^2} \right) $$

<footnote n="5">5. Si $x_0 = 0$ ou $x_0^2 = z_0^2$ (i.e. $y_0^2 = 1$), il suffit de permuter les rôles de $x$ et $y$.</footnote>
avec $\varepsilon \in \{-1; 1\}$, non colinéaires tel que le plan tangent à H en A soit :

$$ \mathcal{T}_{A_0} H = \mathrm{Aff}\left\{A_0; \vec{l}_{-1}; \vec{l}_1\right\} \qquad (5.20) $$

Alors $\mathrm{Aff}\{A_0; \vec{l}_{-1}\}$ et $\mathrm{Aff}\{A_0; \vec{l}_1\}$ sont deux droites sur H.

**Démonstration :**

Comme $A_0(x_0; y_0; z_0)$ appartient à H, nous avons :

$$ x_0^2 + y_0^2 - z_0^2 = 1 $$

Déterminons les composantes des vecteurs lumière $\vec{l}_{-1}$ et $\vec{l}_1$. Pour ce faire, il suffit de ré-soudre, pour $\vec{l}_{\varepsilon} (X_0; Y_0; -Z_0)$ :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \mathcal{Q}\left(\vec{l}_{\varepsilon}\right) = 0 = X_0^2 + Y_0^2 - Z_0^2 \\ \mathcal{L}\left(\vec{l}_{\varepsilon}; \overrightarrow{O_3A_0}\right) = 0 = x_0 X_0 + y_0 Y_0 + z_0 Z_0 \end{array} \right. $$

Sans perte de généralités, nous pouvons supposer $x_0 \neq 0$, $x_0 \neq z_0$ et $Y_0 = 1$ (quitte à permuter les rôles des abscisses et des ordonnées), nous obtenons :

$$ X_0 = \frac{-y_0 - z_0 Z_0}{x_0} $$

ce qui conduit 6 à :

$$ \left\{ \begin{array}{l} Z_0 = \frac{y_0 z_0 - \varepsilon |x_0|}{x_0^2 - z_0^2} \\ X_0 = \frac{1}{x_0} \frac{-y_0 x_0^2 + \varepsilon z_0 |x_0|}{x_0^2 - z_0^2} \quad , \quad \varepsilon \in \{-1; 1\} \end{array} \right. $$

et nous obtenons :

$$ \vec{l}_{\varepsilon} \left( \frac{1}{x_0} \frac{-y_0 x_0^2 + \varepsilon z_0 |x_0|}{x_0^2 - z_0^2} ; 1; \frac{-y_0 z_0 + \varepsilon |x_0|}{x_0^2 - z_0^2} \right) $$

avec $\varepsilon \in \{-1; 1\}$.

La droite $\mathrm{Aff}\{A_0; \vec{l}_1\}$ est l'ensemble des points $M(t)$ vérifiant :

$$ \overrightarrow{A_0M}(t) = \vec{l}_1, \quad t \in \mathbb{R} $$

d'où :

$$ \overrightarrow{O_3M}(t) = \overrightarrow{O_3A_0} + \vec{l}_1 $$

Nous avons :

<footnote n="6">6. Nous pouvons prendre $Z_0$ ou son opposé, cela ne change rien.</footnote>
$$
\begin{align*}
Q_{|\vec{P}_{\alpha_0}}(\overrightarrow{O_3M(t)}) &= Q_{|\vec{P}_{\alpha_0}}(\overrightarrow{O_3A_0} + \vec{l_1}) \\
&= Q_{|\vec{P}_{\alpha_0}}(\overrightarrow{O_3A_0}) + 2 \underbrace{\mathcal{L}_{|\vec{P}_{\alpha_0}}(\overrightarrow{O_3A_0}; \vec{l_1})}_{=0 \text{ car } \vec{l_1} \in \overline{\mathcal{T}_{B_0}(H_1)}} + \underbrace{Q_{|\vec{P}_{\alpha_0}}(\vec{l_1})}_{=0: \vec{l_1} \text{ vecteur lumière}} \\
&= 1 \text{ ce qui prouve que le point } M(t) \text{ appartient à H}
\end{align*}
$$

La seconde partie concernant la droite Aff $\{A_0; \vec{l_1}\}$ se fait de façon analogue.

<figure><img src="image_75.png" /></figure>

Notons que le gradient en $A_0$ $(x_0; y_0; z_0)$ est :

$$
\overrightarrow{\nabla P}_{\alpha_0} (2 x_0; 2 y_0; 2 z_0)
$$

et nous retrouvons que le gradient à une sphère en un point $A_0$ est colinéaire au vecteur $\overrightarrow{OA_0}$ où $O$ est le centre de la sphère. Ainsi, une équation implicite de $T_{A_0}(H)$, formule (5.20) est :

$$
\mathcal{L} \left( \overrightarrow{A_0 M} ; \overrightarrow{\nabla P}_{A_0} \right) = 0
$$

où $M(x; y; z)$. De plus, nous avons :

$$
Q \left( \overrightarrow{\nabla P}_{\alpha_0} \right) = 4 > 0
$$

ce qui montre que le plan tangent en $A_0$ est de type temps : une direction orthogonale au plan est de type espace, il reste donc pour le plan une direction espace et une direction temps.

La figure 5.8 montre, sur la sphère unité, deux droites passant par le point $A_0(1; 0; 0)$ et de vecteurs directeurs lumière respectifs $\vec{l_1}(0; 1; 1)$, en vert, d'une part et $\vec{l_{-1}}(0; 1; -1)$, en bleu, d'autre part.

**5.4 Synthèse du chapitre**

Dans ce chapitre, nous avons généralisé la modélisation d'arcs de coniques propres par des courbes de Bézier rationnelles quadratiques à points massiques de contrôle. Comme dans le chapitre 4, les coniques à centres sont vues comme des cercles, nous avons remplacé le plan par une quadrique propre non dégénérée qui est une sphère unité pour la forme quadratique idoine.

Un focus est fait sur l'hyperboloïde équilatère à une nappe puisque, dans le chapitre 10, nous verrons une généralisation de cet hyperboloïde à $\mathbb{R}^5$ en définissant l'espace des sphères dans l'espace de Lorentz.

Le tableau 5.2 présente une synthèse des algorithmes présentés dans ce chapitre.
<figure><img src="image_76.png" /><figcaption>FIGURE 5.8 – Deux droites sur une sphère unité qui se trace comme un hyperboloïde à une nappe passant par $A_0(1; 0; 0)$ et de vecteurs directeurs lumière respectifs $\vec{l}_1(0; 1; 1)$ et $\vec{l}_{-1}(0; 1; -1)$. —</figcaption></figure>

<table><caption>TABLE 5.2 – Algorithmes du chapitre 7.</caption><thead><tr><td>Algorithme</td><td>Entrée</td><td>Demi-cercle ?</td><td>Branche ?</td></tr></thead><tbody><tr><td>11.7</td><td>Un point et le vecteur gradient</td><td>Oui</td><td>Non</td></tr><tr><td>5.1</td><td>Un point et le vecteur gradient</td><td>Non</td><td>Non</td></tr><tr><td>5.3</td><td>Un point et le vecteur gradient</td><td>Non</td><td>Oui</td></tr></tbody></table>
# Deuxième partie

## Faisceau ou enveloppe de sphères orientées en 3D
<figure><img src="image_77.png" /></figure>
Dans cette partie, nous quittons le monde étrange entrevu dans le paragraphe 3.8 ainsi que dans les chapitres 4 et 5 pour revenir à l'espace euclidien orienté usuel à trois dimensions $\mathcal{E}_3$.

Dans le chapitre 6, nous définissons une notion fondamentale pour le reste de ce manuscrit : les sphères orientées. Cette orientation se voit sur le signe du rayon, qui est donc algébrique, et à partir d'une sphère géométrique, nous définissons deux sphères orientées selon que l'intérieur de la boule déterminée par cette sphère est borné ou non. Dans la suite de ce chapitre, nous proposons quelques rappels sur les faisceaux de sphères qui interviennent dans plusieurs chapitres de la partie III.

Dans le chapitre 7, nous nous intéressons aux surfaces canal et en particulier à celles qui le sont de deux manières équivalentes : les cyclides de Dupin (dont le tore, les cônes et cylindres de révolution). Quelques rappels sont présentés.

Dans le chapitre 8, nous proposons des algorithmes permettant d'effectuer des subdivisions de cyclides de Dupin.

Dans le chapitre 9, dans un premier temps, nous donnons les équations des cercles d'Yvon-Villarceau sur un tore à collier [Gar08], puis sur des cyclides de Dupin en anneaux [Gar08, GMC14]. Dans un second temps, nous construisons des triangles rectangles ou isocèles sur des cyclides de Dupin et espérons, à terme, les utiliser dans des maillages.
# Chapitre 6

## Faisceau de sphères (et de plans) orientées dans $\mathcal{E}_3$

Après avoir donné la définition de sphères orientées, nous établissons quelques propriétés des faisceaux de sphères.

Dans toute la suite de ce document, l'espace $\overrightarrow{\mathcal{E}_3}$ est orienté et **muni du produit scalaire** **euclidien usuel** et $C(O_1, \rho_1)$ (resp. $S(O_2, \rho_2)$) désigne le cercle (resp. sphère) de centre $O_1$ et de rayon $\rho_1$.

### 6.1 Sphères à rayons algébriques ou sphères orientées

A partir d'une sphère $S$ de centre $\Omega$ et de rayon $r$, nous pouvons définir deux sphères orientées $S^+$ et $S^-$ de la façon suivante : en tout point $M$ de $S$, la sphère orientée $S^+$ (resp. $S^-$), de rayon $\rho = r$ (resp. $\rho = -r$) est définie par le fait que le vecteur normal unitaire $\overrightarrow{N}$ à la sphère $S$ en $M$ est sortant (resp. rentrant). La figure 6.1 illustre deux sphères orientées de rayons opposés.

Ainsi, nous avons :

$$ \overrightarrow{\Omega M} = \rho \overrightarrow{N} \qquad (6.1) $$

et $\rho = \overrightarrow{\Omega M} \cdot \overrightarrow{N}$. Si $\rho$ est positif (resp. négatif), le vecteur normal $\overrightarrow{N}$ et sortant (resp. rentrant), figure 6.1(a) (resp. figure 6.1(b)).

Nous pouvons définir la puissance d'un point par rapport à une sphère.

**Définition 7 : Puissance d'un point par rapport à une sphère**

Soit une sphère orientée $S$ de centre $\Omega$ et de rayon $\rho$. Soit $M$ un point de $\mathcal{E}_3$.

La puissance du point $M$ par rapport à la sphère $S$ est :

$$ \chi_S(M) = \Omega M^2 - \rho^2 \qquad (6.2) $$

Les points de la sphère $S$ sont les points $M$ vérifiant $\chi_S(M) = 0$. Les points de $\mathcal{E}_3$ contenus dans la partie bornée délimitée par la sphère $S$ sont les points $M$ vérifiant $\chi_S(M) < 0$. Les autres points de $\mathcal{E}_3$ sont les points $M$ vérifiant $\chi_S(M) > 0$.
<figure><img src="image_78.png" /><figcaption>FIGURE 6.1 – Deux sphères orientées, de centre O, de rayons opposés. (a) : le rayon est positif. (b) : le rayon est négatif.</figcaption></figure>

**Définition 8** : Sphères orthogonales et puissance conjointe de deux sphères

Soit deux sphères orientées $S_1$ et $S_2$ de centres respectifs distincts $\Omega_1$ et $\Omega_2$ et de rayons respectifs $\rho_1$ et $\rho_2$. La puissance conjointe des sphères $S_1$ et $S_2$ est :

$$ \chi_{S_1,S_2} = \Omega_1 \Omega_2^2 - \rho_1^2 - \rho_2^2 $$

Les sphères $S_1$ et $S_2$ sont orthogonales si nous avons :

$$ \chi_{S_1,S_2} = 0 \qquad (6.3) $$

Les positions relatives de deux sphères orientées $S_1$ et $S_2$ de centres respectifs $\Omega_1$ et $\Omega_2$ et de rayons non nuls respectifs $\rho_1$ et $\rho_2$ sont données par le tableau 6.1. Nous considérons que deux surfaces sont sécantes si leur intersection contient au moins deux points.

De façon analogue, nous considérons les plans orientés en tenant compte des vecteurs normaux. Soit $\vec{N}$ un vecteur normal unitaire à un plan $P$. Soit $\vec{u} \in \vec{P}$. Soit $\vec{v}$ le vecteur défini par :

$$ \vec{v} = \vec{N} \wedge \vec{u} = \vec{N} \times \vec{u} $$

où $\wedge$ ou $\times$ désigne le produit vectoriel entre deux vecteurs. L'orientation du plan $P$ induite par le vecteur normal $\vec{N}$ est définie par le fait que la base $(\vec{u}; \vec{v})$ de $\vec{P}$ est orthogonale directe. Notons
<table><caption>TABLE 6.1 – Positions relatives de deux sphères.</caption><thead><tr><th>Positions relatives</th><th>Conditions</th></tr></thead><tbody><tr><td>S<sub>1</sub> et S<sub>2</sub> sont disjointes</td><td>Ω<sub>1</sub>Ω<sub>2</sub> &gt; |ρ<sub>1</sub>| + |ρ<sub>2</sub>| ou Ω<sub>1</sub>Ω<sub>2</sub> &lt; |ρ<sub>1</sub>| - |ρ<sub>2</sub>|</td></tr><tr><td>S<sub>1</sub> et S<sub>2</sub> sont tangentes extérieurement</td><td>Ω<sub>1</sub>Ω<sub>2</sub> = |ρ<sub>1</sub>| + |ρ<sub>2</sub>|</td></tr><tr><td>S<sub>1</sub> et S<sub>2</sub> sont tangentes intérieurement</td><td>Ω<sub>1</sub>Ω<sub>2</sub> = |ρ<sub>1</sub>| - |ρ<sub>2</sub>|</td></tr><tr><td>S<sub>1</sub> et S<sub>2</sub> sont sécantes</td><td>|ρ<sub>1</sub>| - |ρ<sub>2</sub>| &lt; Ω<sub>1</sub>Ω<sub>2</sub> &lt; |ρ<sub>1</sub>| + |ρ<sub>2</sub>|</td></tr></tbody></table>

que la base ($\vec{u}; \vec{v}; \vec{N}$) est aussi orthogonale directe. De plus, si $||\vec{u}|| = 1$, les bases ($\vec{u}; \vec{v}$) et ($\vec{u}; \vec{v}; \vec{N}$) sont orthonormales directes.

**Définition 9** : Sphère et plan orthogonaux

Soit une sphère orientée $S_1$ et un plan orienté $P_1$.

$S_1$ et $P_1$ sont orthogonaux si $S_1 \cap P_1$ est un grand cercle de $S_1$ (le cercle et la sphère ont même rayon).

Dans la suite de ce document, sauf mention contraire, nous considérons un plan orienté comme une sphère orientée centrée à l'infini et de rayon infini.

## 6.2 Faisceaux de sphères

**Définition 10** : Faisceau de sphères

Soit deux sphères $S_1$ et $S_2$ non concentriques, de centres respectifs $\Omega_1$ et $\Omega_2$, de rayons respectifs $\rho_1$ et $\rho_2$. Soit $\lambda_1$ et $\lambda_2$ deux réels non tous deux nuls.

Le faisceau de sphères défini par $S_1$ et $S_2$ est l'ensemble des sphères, notées $\lambda_1 S_1 + \lambda_2 S_2$, définies par l'ensemble des points $M$ vérifiant la relation :

$$ \lambda_1 \chi_{S_1}(M) + \lambda_2 \chi_{S_2}(M) = 0 \qquad (6.4) $$

Notons le cas particulier où nous avons $\lambda_1 + \lambda_2 = 0$. Dans ce cas, si $M$ est un point de $\lambda_1 S_1 - \lambda_1 S_2$, l'équation (6.4) devient :

$$ \Omega_1 M^2 - \rho_1^2 - \Omega_2 M^2 + \rho_2^2 = 0 \qquad (6.5) $$

qui peut s'écrire :

$$ (\overrightarrow{\Omega_1 M} - \overrightarrow{\Omega_2 M}) \bullet (\overrightarrow{\Omega_1 M} + \overrightarrow{\Omega_2 M}) = \rho_1^2 - \rho_2^2 $$

qui se simplifie en :

$$ \overrightarrow{\Omega_1 \Omega_2} \bullet IM = \frac{\rho_1^2 - \rho_2^2}{2} \qquad (6.6) $$
où $I$ est le milieu du segment $[\Omega_1\Omega_2]$. Soit $I_0$ le point de la droite $(\Omega_1\Omega_2)$ vérifiant :

$$ \overline{II_0} = \frac{\rho_1^2 - \rho_2^2}{2 \overline{\Omega_1 \Omega_2}} \qquad (6.7) $$

où $\overline{AB}$ désigne la mesure algébrique de $\overrightarrow{AB}$. Alors, $\lambda_1 S_1 - \lambda_1 S_2$ est le plan orienté de vecteur normal unitaire $\frac{1}{\overline{\Omega_1\Omega_2}}\overrightarrow{\Omega_1\Omega_2}$ ou $\frac{-1}{\overline{\Omega_1\Omega_2}}\overrightarrow{\Omega_1\Omega_2}$ passant par le point $I_0$.

Si nous avons $\lambda_1 + \lambda_2 \neq 0$ et si $M$ est un point de $\lambda_1 S_1 + \lambda_2 S_2$, l'équation (6.4) peut s'écrire :

$$ \lambda_1 (\overrightarrow{\Omega_1\Omega_{12}} + \overrightarrow{\Omega_{12}M})^2 + \lambda_2 (\overrightarrow{\Omega_2\Omega_{12}} + \overrightarrow{\Omega_{12}M})^2 = \lambda_1 \rho_1^2 + \lambda_2 \rho_2^2 \quad (6.8) $$

où $\Omega_{12}$ est le barycentre des points pondérés $(\Omega_1, \lambda_1)$ et $(\Omega_2, \lambda_2)$. La formule (6.8) se simplifie en :

$$ \overrightarrow{\Omega_{12}M}^2 = - \frac{\lambda_1 (\Omega_1\Omega_{12}^2 - \rho_1^2) + \lambda_2 (\Omega_2\Omega_{12}^2 - \rho_2^2)}{\lambda_1 + \lambda_2} \quad (6.9) $$

ce qui montre, quand cela a un sens, que le centre de la sphère $\lambda_1 S_1 + \lambda_2 S_2$ est le point $\Omega_{12}$ tandis que le rayon de cette dernière est alors :

$$ \rho_{12} = \varepsilon \sqrt{-\frac{\lambda_1 (\Omega_1\Omega_{12}^2 - \rho_1^2) + \lambda_2 (\Omega_2\Omega_{12}^2 - \rho_2^2)}{\lambda_1 + \lambda_2}} \quad (6.10) $$

où $\varepsilon$ appartient à $\{-1; 1\}$. Nous pouvons énoncer le théorème suivant :

**Théorème 18 :**

Soit deux sphères $S_1$ et $S_2$ non concentriques, de centres respectifs $\Omega_1$ et $\Omega_2$, de rayons respectifs $\rho_1$ et $\rho_2$. Soit $\lambda_1$ et $\lambda_2$ deux réels non tous deux nuls. Alors :

1. Si les sphères $S_1$ et $S_2$ sont sécantes en un cercle $C$ alors toutes les sphères du faisceau contiennent le cercle $C$: le faisceau de sphères $\lambda_1 S_1 + \lambda_2 S_2$ s'appelle un faisceau à base le cercle $C$, figure 6.2(a);

2. Si les sphères $S_1$ et $S_2$ sont tangentes alors toutes les sphères du faisceau sont tangentes à $S_1$ et $S_2$: le faisceau de sphères $\lambda_1 S_1 + \lambda_2 S_2$ s'appelle un faisceau de sphères tangentes, figure 6.2(b);

3. Si les sphères $S_1$ et $S_2$ sont disjointes alors il existe deux points $P_1$ et $P_2$ de $(\Omega_1\Omega_2)$ tels que, pour $\lambda_1 \neq -\lambda_2$, $\lambda_1 S_1 + \lambda_2 S_2$ soit centrée sur $(\Omega_1\Omega_2) - ]P_1; P_2[$ : le faisceau de sphères $\lambda_1 S_1 + \lambda_2 S_2$ s'appelle à points limites ou de Poncelet [LH97], et les boules délimitées par ces sphères sont contenues les unes dans les autres et tendent vers les deux points limites $P_1$ et $P_2$, figure 6.2(c).

Démonstration :
1. Si les sphères $S_1$ et $S_2$ sont sécantes en un cercle C, alors tout point M de C vérifie :

$$ \chi_{S_1}(M) = \chi_{S_2}(M) = 0 $$

et pour tous réels $\lambda_1$ et $\lambda_2$, $\lambda_1 S_1 + \lambda_2 S_2$ contient le cercle C puisque nous avons :

$$ \lambda_1 \chi_{S_1}(M) + \lambda_2 \chi_{S_2}(M) = 0 $$

□

2. Si les sphères $S_1$ et $S_2$ sont tangentes en un point $M_1$ alors nous avons :

$$ \chi_{S_1}(M_1) = \chi_{S_2}(M_1) = 0 \qquad (6.11) $$

et $M_1$ appartient au plan $\lambda_1 S_1 - \lambda_1 S_2$. Pour tous réels $\lambda_1$ et $\lambda_2$, d'après la formule (6.11), nous avons :

$$ \lambda_1 \chi_{S_1}(M_1) + \lambda_2 \chi_{S_2}(M_1) = 0 $$

et la sphère $\lambda_1 S_1 + \lambda_2 S_2$ contient le point $M_1$. Ainsi, le point $M_1$ est le seul point d'intersection entre $\lambda_1 S_1 + \lambda_2 S_2$ et $\lambda_1 S_1 - \lambda_1 S_2$ ce qui permet de conclure que les trois sphères $\lambda_1 S_1 + \lambda_2 S_2$, $S_1$ et $S_2$ sont tangentes au point $M_1$ au plan $\lambda_1 S_1 - \lambda_1 S_2$.

□

3. Considérons le cas où les sphères $S_1$ et $S_2$ sont disjointes.

Rappelons que le rayon de la sphère $\lambda_1 S_1 + \lambda_2 S_2$ est donné par la formule (6.10) et nous avons :

$$ \rho_{12} = 0 \iff \lambda_1 (\Omega_1 \Omega_{12}^2 - \rho_1^2) + \lambda_2 (\Omega_2 \Omega_{12}^2 - \rho_2^2) = 0 \qquad (6.12) $$

$\Omega_{12}$ étant le barycentre des points pondérés $(\Omega_1, \lambda_1)$ et $(\Omega_2, \lambda_2)$, pour tout point G, nous avons :

$$ \overrightarrow{G\Omega_{12}} = \frac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2} \overrightarrow{G\Omega_1} + \frac{\lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2} \overrightarrow{G\Omega_2} $$

Notons que nous pouvons nous restreindre au cas où nous avons :

$$ \lambda_1 + \lambda_2 = 1 $$

et en prenant, d'une part, comme point particulier $\Omega_1$, nous obtenons :

$$ \overrightarrow{\Omega_1\Omega_{12}} = (1 - \lambda_1) \overrightarrow{\Omega_1\Omega_2} $$

et en prenant, d'autre part, comme point particulier $\Omega_2$, nous obtenons :

$$ \overrightarrow{\Omega_2\Omega_{12}} = \lambda_1 \overrightarrow{\Omega_2\Omega_1} $$

Nous pouvons simplifier la condition de la formule (6.12) :
$$
\begin{align*}
\rho_{12} = 0 &\Leftrightarrow \lambda_1 (\Omega_1 \Omega_{12}^2 - \rho_1^2) + (1 - \lambda_1) (\Omega_2 \Omega_{12}^2 - \rho_2^2) = 0 \\
&\Leftrightarrow \lambda_1 ((1 - \lambda_1)^2 \Omega_1 \Omega_2^2 - \rho_1^2) + (1 - \lambda_1) (\lambda_1^2 \Omega_2 \Omega_1^2 - \rho_2^2) = 0 \\
&\Leftrightarrow \lambda_1 (1 - \lambda_1) \Omega_1 \Omega_2^2 + (\rho_2^2 - \rho_1^2) \lambda_1 - \rho_2^2 = 0 \\
&\Leftrightarrow -\Omega_1 \Omega_2^2 \lambda_1^2 + (\Omega_1 \Omega_2^2 + \rho_2^2 - \rho_1^2) \lambda_1 - \rho_2^2 = 0
\end{align*}
$$

Calculons le discriminant de cette équation du second degré :

$$
\begin{align*}
\Delta &= (\Omega_1 \Omega_2^2 + \rho_2^2 - \rho_1^2)^2 - 4 \Omega_1 \Omega_2^2 \rho_2^2 \\
&= (\Omega_1 \Omega_2^2 + \rho_2^2 - \rho_1^2 - 2 \Omega_1 \Omega_2 \rho_2) (\Omega_1 \Omega_2^2 + \rho_2^2 - \rho_1^2 + 2 \Omega_1 \Omega_2 \rho_2) \\
&= ((\Omega_1 \Omega_2 - |\rho_2|)^2 - \rho_1^2) ((\Omega_1 \Omega_2 + |\rho_2|)^2 - \rho_1^2)
\end{align*}
$$

Les sphères $S_1$ et $S_2$ étant disjointes, nous avons :

$$
\Omega_1 \Omega_2 - |\rho_2| > |\rho_1|
$$

d'où :

$$
(\Omega_1 \Omega_2 + |\rho_2|)^2 \geq (\Omega_1 \Omega_2 - |\rho_2|)^2 > \rho_1^2
$$

ce qui implique qu'il existe deux points $P_1$ et $P_2$ qui sont points limites (i.e. des sphères de rayon nul) du faisceau de sphères. Soit $\lambda_{P_1}$ et $\lambda_{P_2}$ les racines de l'équation du second degré. Nous avons alors :

$$
P_1 = \lambda_{P_1} S_1 + (1 - \lambda_{P_1}) S_2 \quad \text{et} \quad P_2 = \lambda_{P_2} S_1 + (1 - \lambda_{P_2}) S_2 \quad (6.13)
$$

Nous admettons que la sphère $\lambda_1 S_1 + \lambda_2 S_2$ est centrée sur $(\Omega_1 \Omega_2) - ]P_1; P_2[$.
□

Remarquons que si les sphères $S_1$ et $S_2$ sont tangentes, le discriminant est nul.

<figure><img src="image_79.png" /></figure>
<figure><img src="image_80.png" /><figcaption>FIGURE 6.2 – Les trois types de faisceaux de sphères dans $\mathcal{E}_3$. (a) : Un faisceau de sphères à base cercle. (b) : Un faisceau de sphères tangentes. (c) : Un faisceau de sphères à points limites.</figcaption></figure>

Notons que si les sphères sont deux plans $P_1$ et $P_2$, distincts, deux cas sont à distinguer :

* si $P_1$ et $P_2$ sont strictement parallèles, le faisceau est un faisceau de plans parallèles à $P_1$ et $P_2$;

* si $P_1$ et $P_2$ sont sécants en une droite $\Delta$, le faisceau est un faisceau de plans contenant $\Delta$.

Notons qu’un faisceau linéaire de sphères de Poncelet peut être vu comme un faisceau linéaire de sphères à base un cercle complexe i.e. le centre est dans $\mathcal{E}_3$ et le carré du rayon est négatif. En effet, sans perte de généralité, considérons le faisceau de sphères défini par deux sphères de centres respectifs $\Omega_a$ ($a$; 0; 0) et $\Omega_{-a}$ ($-a$; 0; 0) et de même rayon $\rho$ avec $\rho^2 = a^2 - r^2$. Si on a $|a| > |\rho|$, la sphère est réelle, si $|a| = |\rho|$, la sphère est réduite au point de coordonnées ($a$; 0; 0) ou ($-a$; 0; 0) qui est l’un des deux points limites du faisceau. Pour $a = 0$, nous obtenons le cercle de centre $O_3$ et de rayon $ir$ ou $-ir$. Montrons que toutes les sphères du faisceau contiennent ce cercle. Toute sphère du faisceau a pour équation :

$$ (x - a)^2 + y^2 + z^2 = \rho^2 $$

qui se simplifie en :

$$ x^2 + y^2 + z^2 - 2ax = -r^2 $$

et, pour $x = 0$, nous avons :

$$ y^2 + z^2 = (ir)^2 $$

ce qui nous donne bien un cercle de centre $O_3$ et de rayon imaginaire pur $ir$.

Notons qu’un faisceau linéaire de sphères à base cercle peut être vu comme un faisceau linéaire de sphères à points limites imaginaires. En effet, sans perte de généralité, considérons le
faisceau de sphères de centre $\Omega_a (a; 0; 0)$ et de rayon $\rho$ avec $\rho^2 = a^2 + r^2$ où $r$ appartient à $\mathbb{R}_+^*$. Ce faisceau est à base cercle, le cercle ayant pour équation

$$y^2 + z^2 = r^2$$

dans le plan d'équation $x = 0$. Les sphères du faisceau ayant un rayon nul vérifient :

$$a^2 = -r^2$$

et nous obtenons les deux points limites de coordonnées $(ir; 0; 0)$ et $(-ir; 0; 0)$.

## 6.3 Synthèse du chapitre

Dans ce chapitre, nous avons introduit une notion de base pour le reste de ce document : la notion de sphères orientées c'est-à-dire la notion de rayon algébrique.

Nous avons aussi introduit les faisceaux de sphères qui jouent un rôle fondamental dans les chapitres 14 et 15.
# Chapitre 7

## Enveloppes des sphères : surfaces canal et cyclides de Dupin

Dans ce chapitre, nous définissons et donnons quelques propriétés de surfaces canal qui sont utilisées dans le reste de ce mémoire : les cyclides de Dupin. Nous nous focalisons sur deux définitions équivalentes : par inversion ou par enveloppes de sphères. Nous jonglons avec les deux définitions afin d'utiliser les propriétés les plus appropriées. Nous exhibons, sur certaines cyclides de Dupin, quatre familles de cercles : les méridiens, les parallèles, et deux familles de cercles d'Yvon-Villarceau. Ainsi, nous pouvons, dans le paragraphe 9, construire des triangles 3D soit rectangles, soit isocèles. Les résultats donnés dans le paragraphe 7.2.3 servent dans le chapitre 8.

### 7.1 Surface canal

Nous nous intéressons aux surfaces canal qui sont des enveloppes d'une famille à un paramètre de sphères orientées. La contribution d'une sphère à la surface canal est un cercle appelé cercle caractéristique. De plus, la surface canal et la sphère sont tangentes le long de ce cercle.

**Définition 11** : Surface canal et équation implicite

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$.

Une surface canal est l'enveloppe d'une famille à un paramètre $t$, appartenant à $I$, de sphères orientées de centres :

$$O(t)(x(t); y(t); z(t))$$

et de rayons algébriques $r(t)$.

Pour une valeur $t$ de $I$, les cercles caractéristiques sont les intersections entre la sphère d'équation :

$$F(x, y, z, t) = (x - x(t))^2 + (y - y(t))^2 + (z - z(t))^2 + r^2(z) = 0 \quad (7.1)$$

et le plan d'équation :

$$\frac{\partial F}{\partial t}(x, y, z, t) = 0 \quad (7.2)$$
et l'obtention de l'équation implicite se fait en substituant $t$, lorsque cela est possible, dans l'équation $F(x, y, z, t) = 0$ en utilisant la formule (7.2).

**Exemple 1 : Cylindre de révolution comme surface canal**

Considérons la famille à un paramètre de sphères de rayon $r$ centrées sur l'axe des cotes, nous avons :

$$F(x, y, z, t) = x^2 + y^2 + (z - t)^2 - R^2 = 0 \qquad (7.3)$$

d'où :

$$\frac{\partial F}{\partial t}(x, y, z, t) = -2(z - t) = 0 \qquad (7.4)$$

qui conduit à $z = t$ et nous obtenons le cylindre de révolution d'équation :

$$x^2 + y^2 - R^2 = 0$$

et les cercles caractéristiques sont les intersections des sphères de la famille à un paramètre, formule (7.3), avec les plans donnés par la formule (7.4) et nous pouvons remarquer que les cercles caractéristiques sont des grands cercles des sphères. **De plus, un cercle caractéristique est un cercle de courbure<fnref n="1" /> de la surface canal.**

Nous donnons deux exemples concernant des faisceaux de sphères, chapitre 6.

Notons que toute famille de sphères n'est pas une enveloppe de sphères.

**Exemple 2 : Famille de sphères à points limites**

Considérons un faisceau de sphères à un paramètre défini par les deux points limites $P_1(0; 0; 1)$ et $P_2(0; 0; -1)$. Nous obtenons :

$$\begin{aligned} F(x, y, z, t) &= (1-t)(x^2 + y^2 + (z-1)^2) \\ &+ t(x^2 + y^2 + (z+1)^2) = 0 \end{aligned} \qquad (7.5)$$

d'où :

$$\frac{\partial F}{\partial t}(x, y, z, t) = x^2 + y^2 + (z+1)^2 - x^2 - y^2 - (z-1)^2 = 4z = 0 \qquad (7.6)$$

et il n'est pas possible d'éliminer $t$ dans l'équation (7.6), mais nous obtenons $z = 0$. En remplacant $z$ par $0$ dans l'équation (7.5), nous avons :

$$F(x, y, 0, t) = x^2 + y^2 + 1 = 0$$

ce qui est impossible : nous n'obtenons donc pas une surface canal.

<footnote n="1">1. Une ligne de courbure d'une surface $S$ est une courbe tracée sur $S$ telle qu'en tout point, le vecteur tangent à la courbe soit colinéaire à l'un des vecteurs définissant les directions principales de la surface [Gar07] c'est-à-dire que la courbure le long de cette courbe et soit minimale, soit maximale.</footnote>
**Exemple 3** : Famille de sphères à base cercle comme surface canal dégénérée

Considérons maintenant un faisceau de sphères à base le cercle C de rayon R, strictement positif, dans le plan d'équation z = 0. Le cercle a pour équation :

$$
\begin{cases}
z = 0 \\
x^2 + y^2 = R^2
\end{cases}
$$

et les sphères de la famille ont pour centres O (t) (0; 0; t) et pour rayons r (t) = √R<fnref n="2" /> + t<fnref n="2" />. Nous obtenons l'équation implicite :

$$
F_C(x; y; z; t) = x^2 + y^2 + (z - t)^2 - R^2 - t^2 = 0 \quad (7.7)
$$

d'où :

$$
\frac{\partial F_C}{\partial t} (x; y; z; t) = -2 (z - t) - 2t = -2z
$$

et nous avons :

$$
\frac{\partial F_C}{\partial t} (x; y; z; t) = 0 \iff z = 0
$$

ce qui implique que l'équation (7.7) devient :

$$
F_C(x; y; 0; t) = x^2 + y^2 - R^2 = 0 \quad (7.8)
$$

c'est-à-dire que la surface canal est dégénérée<fnref n="2" /> car elle est réduite au cercle C du faisceau de
sphères à base cercle.

Retrouvons le même résultat en utilisant la définition de faisceau. Considérons les deux
sphères de centre $O_3$ et de rayon R et de centre $O_1(0; 0; R)$ et de rayon $R\sqrt{2}$. Nous obtenons :

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
G_C(x, y, z, t) &= (1-t)(x^2 + y^2 + z^2 - R^2) \\
&\quad + t(x^2 + y^2 + (z-R)^2 - 2R^2) = 0
\end{aligned}
\tag{7.9}
\end{equation}
$$

d'où :

$$
\frac{\partial G_C}{\partial t} (x; y; z; t) = -(x^2 + y^2 + z^2 - R^2) + x^2 + y^2 + (z - R)^2 - 2R^2 = -2zR = 0
$$

et nous avons :

$$
\frac{\partial G_C}{\partial t} (x; y; z; t) = 0 \iff z = 0
$$

d'où :

$$
G_C(x, y, 0, t) = x^2 + y^2 - R^2
$$

et nous retrouvons que la surface canal est dégénérée : c'est le cercle C du faisceau de sphères à base cercle.

<footnote n="2">2. Une surface est de dimension 2, et l'enveloppe obtenue est une courbe de dimension 1.</footnote>
Nous retrouverons ce résultat dans le paragraphe 11.1.2.

Dans l'exemple précédent, notons que nous avons :

$$ \left( \frac{d}{dt} \overrightarrow{O_3O(t)} \right)^2 = 1 > \left( \frac{d}{dt} r(t) \right)^2 = \frac{t^2}{R^2 + t^2} $$

et nous pouvons rappeler la proposition suivante [LS11] :

**Proposition 5** :

Soit une famille à un paramètre de sphères de centres $O(t)$ et de rayons $r(t)$.

Cette famille définit une surface canal si nous avons :

$$ \left( \frac{d}{dt} \overrightarrow{O_3O(t)} \right)^2 > \left( \frac{d}{dt} r(t) \right)^2 \qquad (7.10) $$

Nous verrons comment nous assurer que la surface canal n'est pas dégénérée dans le paragraphe 11.1.2.

Une surface canal (non dégénérée) $\Gamma$ est une surface enveloppe d'une famille à un paramètre de sphères centrées sur une courbe centrale $\gamma_0$ dont la paramétrisation est supposée régulière i.e. $\frac{d}{du}\overrightarrow{O_3\gamma_0(u)} \neq \vec{0}$ [BGL01]. De plus, nous imposons $\frac{d^2}{du^2}\overrightarrow{O_3\gamma_0(u)} \neq \vec{0}$. Les surfaces canal sont engendrées par des cercles centrés sur $\gamma_0$ contenus dans un plan normal à la tangente à $\gamma_0$. Une surface canal a pour équation :

$$ \overrightarrow{O_3M(u; v)} = \overrightarrow{O_3\gamma_0(u)} + R(u) \left( \cos v \overrightarrow{T_1(u)} + \sin v \overrightarrow{T_2(u)} \right) $$

où :

$$ \overrightarrow{T}(u) = \frac{1}{\left\| \frac{d}{du} \overrightarrow{O_3\gamma_0(u)} \right\|} \frac{d}{du} \overrightarrow{O_3\gamma_0(u)} $$

et $(\overrightarrow{T}(u); \overrightarrow{T_1}(u); \overrightarrow{T_2}(u))$ est une base orthonormale (et la condition de la formule (7.10) est naturellement vérifiée. Les coordonnées de $\overrightarrow{T_1}(u)$ se calculent facilement à partir du vecteur $\overrightarrow{T}(u) (t_x(u); t_y(u); t_z(u))$. Si nous avons $t_z(u) = 0$, alors $\overrightarrow{T_1}(u) = \vec{k}$ sinon, nous posons :

$$ \overrightarrow{T_1} \begin{pmatrix} \frac{-t_z(u)}{\sqrt{2 t_z(u)^2 + (t_x(u) + t_y(u))^2}} \\ \frac{-t_z(u)}{\sqrt{2 t_z(u)^2 + (t_x(u) + t_y(u))^2}} \\ \frac{t_x(u) + t_y(u)}{\sqrt{2 t_z(u)^2 + (t_x(u) + t_y(u))^2}} \end{pmatrix} $$
et dans tous les cas, nous avons $\vec{T}_2(u) = \vec{T}(u) \times \vec{T}_1(u)$.

La figure 7.1 montre une surface canal dont la courbe centrale est :

$$ \gamma_0(u_0) = (8 \cos((u_0)); 8 \sin(u_0), u_0) $$

avec $u_0 \in [-7\frac{\pi}{2}; 9\frac{\pi}{2}]$ et $R(u_0) = \cos^2(u_0) + \frac{1}{4}$.

<figure><img src="image_81.png" /><figcaption>FIGURE 7.1 – Exemple de surface canal.</figcaption></figure>
## 7.2 Cyclides de Dupin

**Définition 12** : Cyclide de Dupin

Une cyclide de Dupin est l'enveloppe, de deux façons équivalentes, d'une famille à un paramètre de sphères (ou de plans) orientées centrées sur une conique.

Une cyclide de Dupin est dite **dégénérée** si l'une des deux coniques n'est pas propre. Si les deux coniques sont propres, la cyclide de Dupin est dite **non dégénérée**, et ce terme sera omis.

### 7.2.1 Les cyclides de Dupin dégénérées dans $\mathcal{E}_3$

#### 7.2.1.1 Le cylindre de révolution

**Définition 13** : Cylindre de révolution d'axe (Oz)

Un cylindre de rayon R et d'axe (Oz) est l'enveloppe d'une famille à un paramètre de sphères $S_1^{cy}(\theta)$ de rayon R, de centres $\Omega_\theta(0; 0; \theta)$ sur l'axe des cotes et d'une famille à un paramètre de plans $S_2^{cy}(\psi)$ de vecteurs normaux unitaires $\vec{N}_\psi(\psi)$ ($\cos(\psi); \sin(\psi); 0$) passant par le point P($R \cos(\psi); R \sin(\psi); 0$).

Dans l'introduction de ce chapitre, nous avons déterminé les cercles caractéristiques de la famille de sphères centrées sur l'axe du cylindre. Faisons la même chose pour la famille à un paramètre de plans qui a pour équation :

$$ \cos(\psi)(x - R \cos(\psi)) + \sin(\psi)(y - R \sin(\psi)) = 0 $$

qui se simplifie en :

$$ F_{\psi}(x, y, z, \psi) = \cos(\psi) x + \sin(\psi) y - R = 0 \quad (7.11) $$

et nous obtenons :

$$ \frac{\partial F_{\psi}}{\partial \psi}(x, y, z, \psi) = -\sin(\psi) x + \cos(\psi) y = 0 \quad (7.12) $$

L'intersection des plans donnés par les formules (7.11) et (7.12) est la génératrice $\Delta_\psi$ d'équation :

$$ \left\{ \begin{array}{l} R \cos(\psi) \\ R \sin(\psi) \\ v \end{array} \right. , v \in \mathbb{R} $$

et parallèle à l'axe (Oz). Notons que la distance entre l'une des génératrices et l'axe est $|R|$. De plus, les plans dont l'équation est donnée par l'équation (7.12) forment un faisceau de base l'axe du cylindre. Quant à eux, les plans définis par l'équation (7.4) forment un faisceau de plans parallèles.
Notons que la famille à un paramètre de sphères conduit à l'équation implicite :

$$ \frac{x^2}{R^2} + \frac{y^2}{R^2} = 1 \qquad (7.13) $$

tandis que la famille à un paramètre de plans conduit à l'équation paramétrique :

$$ \begin{pmatrix} R \cos(u) \\ R \sin(u) \\ v \end{pmatrix}, \quad (u; v) \in [0, 2\pi] \times \mathbb{R} \qquad (7.14) $$

Notons que tout plan de la seconde famille est tangent à chacune des sphères de la première famille en l'intersection du cercle caractéristique adéquat et de la génératrice idoine. La figure 7.2 montre un cylindre obtenu comme enveloppe de sphères.

<figure><img src="image_82.png" /><figcaption>FIGURE 7.2 – Un cylindre de révolution, enveloppe d'une famille à un paramètre de sphères.</figcaption></figure>

### 7.2.1.2 Le cône de révolution

**Définition 14** : Cône de révolution d'axe (Oz)

Un cône de révolution d'axe (Oz) est l'enveloppe d'une famille à un paramètre de sphères $S_1^{co}(x_0)$ de centres $\Omega_{x_0}(0; 0; -x_0 \frac{1+R^2}{R})$ sur l'axe des cotes et de rayon $R_0 = |\frac{x_0}{R}\sqrt{1+R^2}|$ et d'une famille à un paramètre de plans $S_2^{co}(\theta_0)$ passant par $M_0(x_0 \cos(\theta_0); x_0 \sin(\theta_0); -R x_0)$ et de vecteurs normaux unitaires $\vec{N}_{\theta_0} = (\frac{R \cos(\theta_0)}{\sqrt{1+R^2}}; \frac{R \sin(\theta_0)}{\sqrt{1+R^2}}; \frac{1}{\sqrt{1+R^2}})$.

Comme dans le cas du cylindre, nous pouvons faire les mêmes calculs et les mêmes re-marques. Le cône de révolution admet l'équation implicite :

$$ x^2 + y^2 - R^2 z^2 = 0 \qquad (7.15) $$

et l'équation paramétrique :

$$ \begin{pmatrix} R v \cos(u) \\ R v \sin(u) \\ v \end{pmatrix}, \quad (u; v) \in [0; 2\pi] \times \mathbb{R} \qquad (7.16) $$

La figure 7.3 montre un cône de révolution avec $R = \frac{1}{2}$.
<figure><img src="image_83.png" /><figcaption>FIGURE 7.3 – Un cône de révolution, enveloppe d'une famille à un paramètre de sphères et à un paramètre de plans.</figcaption></figure>

### 7.2.1.3 Le tore

#### 7.2.1.3.1 Définition en tant qu'enveloppe

**Définition 15** : Tore d'axe $(Oz)$

Soit $R$ un réel strictement positif et $r$ un réel non nul.

Un tore de rayon majeur $R$, de rayon mineur $r$ et d'axe $(Oz)$, ayant $P_z : z = 0$ comme plan de symétrie, est l'enveloppe d'une famille à un paramètre de sphères $S_1^{cy}(\theta)$ de rayons $r$, de centres $\Omega_\theta(R \cos(\theta); R \sin(\theta); 0)$ et d'une famille à un paramètre de sphères $S_2^{cy}(\psi)$ de centres $\Omega_\psi(0; 0; -R \tan(\psi))$ de rayon $r - \frac{R}{\cos(\psi)}$ auxquelles nous ajoutons les deux plans d'équations $z = r$ et $z = -r$.

La figure 7.4 montre un tore obtenu comme enveloppe de sphères.

De façon analogue au paragraphe 7.2.1.1, nous pourrions montrer que les plans, obtenus par dérivacons par rapport au paramètre de la famille considérée, forment un faisceau de plans sécants en l'axe $(Oz)$ d'une part et de plans parallèles d'autre part.

#### 7.2.1.3.2 Définition en tant que surface de révolution

La méridienne, figure 7.5, engendrant un tore de révolution, est l'union de deux cercles $C_1$ et $C_2$ de rayon $r$ et de centres respectifs
<figure><img src="image_84.png" /><figcaption>FIGURE 7.4 – Un tore, enveloppe d'une famille à un paramètre de sphères. (a) : les sphères de rayon $r$ sont centrées sur le cercle de centre $O_3$ et de rayon $R$ dans $P_z$. (b) : les sphères sont centrées sur l'axe des cotes et deux plans appartiennent à cette famille.</figcaption></figure>

$O_1$ et $O_2$. L'axe $\Delta$ de la rotation, contenu dans le plan engendré par la méridienne, est la média-trice du segment $[O_1O_2]$. Dans ce plan, $\Omega$ est l'intersection de $\Delta$ avec le segment $[O_1O_2]$. Ces deux droites sont des axes du repère de ce plan. Soit $R = \Omega O_1$. Ainsi, pour le cercle $C_2$, nous avons $x(\theta) = (R + r \cos \theta)$ et $z(\theta) = r \sin \theta$ et l'équation paramétrique du tore est :

$$ \Gamma_T (\theta, \psi) = \begin{pmatrix} (R + r \cos \theta) \cos \psi \\ (R + r \cos \theta) \sin \psi \\ r \sin \theta \end{pmatrix} \qquad (7.17) $$

où $\theta \in [0; 2\pi]$, $\psi \in [0; 2\pi]$.

<figure><img src="image_85.png" /><figcaption>Figure 7.5 – Une méridienne $C_1 \cup C_2$ d’un tore à collier.</figcaption></figure>

Lorsque nous avons $R > r$, le tore est dit à **collier**, lorsque nous avons $R = r$, le tore est dit à **collier nul**, sinon le tore est dit **croisé**. De plus, l'équation implicite algébrique d'un tore
[LFA91] est :

$$ (x^2 + y^2 + z^2 + R^2 - r^2)^2 - 4R^2 (x^2 + y^2) = 0 $$

Notons que l'équation implicite non algébrique [BGL01], d'un tore de rayon majeur $R$ et de rayon mineur $r$ est :

$$ (R - \sqrt{x^2 + y^2})^2 + z^2 - r^2 = 0 \qquad (7.18) $$

### 7.2.1.3.3 Détermination des paramètres d'un tore
Par définition du tore de révolution, les rayons majeur et mineur sont complètement déterminés par la connaissance d'une méridienne, figure 7.5(a). Hormis tous les plans contenant une méridienne, un tore possède un et un seul autre plan de symétrie : celui contenant le cercle sur lequel sont centrés les sphères dont le tore est l'enveloppe. La section du tore par ce plan est l'union de deux cercles concentriques $C(O_1; \rho_1)$ et $C(O_2; \rho_2)$ avec $0 \le \rho_2 < \rho_1$. Si le tore est à collier (resp. croisé), le rayon majeur est $R = \frac{\rho_1+\rho_2}{2}$ (resp. $R = \frac{\rho_1-\rho_2}{2}$) tandis que le rayon mineur est $r = \frac{\rho_1-\rho_2}{2}$ (resp. $r = \frac{\rho_1+\rho_2}{2}$). Si $\rho_2 = 0$, le tore est à collier nul et le rayon majeur est égal au rayon mineur.

### 7.2.1.3.4 Cercles d'Yvon-Villarceau sur un tore à collier
Hormis les cercles obtenus avec l'un des paramètres constants dans la formule (7.17) (méridiens pour $\psi$ constant, parallèles pour $\theta$ constant), il existe un et un seul autre type de cercles sur un tore à collier : les cercles<fnref n="3" /> d'Yvon-Villarceau<fnref n="4" /> (1813-1889). Un cercle d'Yvon-Villarceau est la section du tore par un plan tangent au tore en exactement deux points<fnref n="5" />, figure 7.6. Ces cercles sont des loxodromies du tore. Une loxodromie d'une surface de révolution est une courbe qui coupe toutes les méridiennes suivant un angle géométrique constant [BGL01, LFA91].

Dans un premier temps, nous allons déterminer deux cercles d'Yvon-Villarceau, figure 7.7(a), les autres s'en déduisent par rotation autour de l'axe de révolution du tore. Pour cela, nous considérons le plan $\mathcal{P}$, figure 7.7(b), d'équation :

$$ rx + \sqrt{R^2 - r^2} z = 0 $$

La section du tore par $\mathcal{P}$ est l'union de deux cercles d'Yvon-Villarceau [LFA91, BGL01], figure 7.7.

La figure 7.8 montre l'une des courbes (en vert) des points où le tore à collier admet un plan « bi-tangent », l'autre courbe est l'image de la précédente par la réflexion par rapport au plan de symétrie du tore, plan orthogonal à l'axe de ce dernier.

Les cercles d'Yvon-Villarceau peuvent donc être obtenus comme une courbe tracée sur une surface et il suffit donc de trouver une relation entre $\theta$ et $\psi$ dans la nappe paramétrée (7.17). Ainsi, l'intersection du tore et du plan $\mathcal{P}$ est telle que :

<footnote n="3">3. Il en existe en fait deux familles.</footnote>

<footnote n="4">4. Yvon n'est pas le prénom, il fait parti du nom.</footnote>

<footnote n="5">5. L'orientation du plan n'est pas la même en l'un ou l'autre des deux points.</footnote>
<figure><img src="image_86.png" /><figcaption>FIGURE 7.6 – Plan tangent à un tore à collier en deux points $M_1$ et $M_2$ dans le plan $P_y : y = 0$.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_87.png" /><figcaption>FIGURE 7.7 – Plan « bi-tangent » au tore à collier. (a) : un cercle de chaque famille d'Yvon-Villarceau et deux plans orientés tangents chacun à une sphère centrée sur le cercle de rayon $R$ et de centre $O_3$. (b) : le tore à collier est ajouté aux éléments de (a).</figcaption></figure>

$$r (R + r \cos \theta) \cos \psi + r\sqrt{R^2 - r^2} \sin \theta = 0$$

et après simplification par $r$, nous obtenons :

$$\cos \psi = - \frac{\sqrt{R^2 - r^2} \sin \theta}{R + r \cos \theta}$$
<figure><img src="image_88.png" /><figcaption>FIGURE 7.8 – Lieu des points où les plans peuvent être « bi-tangents » sur un tore à collier.</figcaption></figure>

De plus, en prenant $\epsilon$ dans $\{-1; 1\}$, nous avons $\sin \psi = \epsilon\sqrt{1 - \cos^2 \psi}$ c'est-à-dire :

$$ egin{cases} 
\cos \psi = & -\frac{\sqrt{R^2 - r^2} \sin \theta}{(R + r \cos \theta)} \\ 
\sin \psi = & \epsilon \frac{\sqrt{(R + r \cos \theta)^2 - (R^2 - r^2) \sin^2 \theta}}{R + r \cos \theta} = \epsilon \frac{R \cos \theta + r}{R + r \cos \theta} 
\end{cases} 
\quad (7.19) $$

En remplaçant, dans la nappe paramétrée (7.17), les valeurs de $\cos \psi$ et $\sin \psi$ trouvées dans la formule (7.19), nous obtenons, en prenant $t$ comme paramètre usuel d'une courbe, une équation paramétrique de chacun des deux cercles d'Yvon-Villarceau :

$$ \gamma_{\epsilon}(t) = \begin{pmatrix} -\sqrt{R^2 - r^2} \sin t \\ \epsilon (R \cos t + r) \\ r \sin t \end{pmatrix} \quad (7.20) $$

avec $\epsilon \in \{-1; 1\}$ et $t \in [0; 2\pi]$.

Il est possible aussi de déterminer ces deux cercles en recourant à des sphères, figure 7.9(c). En effet, en utilisant l'équation (7.20), l'un (resp. l'autre) de ces deux cercles est l'intersection du tore avec la sphère de rayon $R$ et de centre $\Omega_1 (0, r, 0)$ (resp. $\Omega_2 (0, -r, 0)$). $\gamma_{\epsilon}(t)$ appartient bien à la sphère de centre $\Omega_{\epsilon} (0, \epsilon r, 0)$ et de rayon $R$ :

$$ \Omega_{\epsilon} \gamma_{\epsilon}(t)^2 = (R^2 - r^2) \sin^2 t + R^2 \cos^2 t + r^2 \sin^2 t = R^2 \cos^2 t + R^2 \sin^2 t = R^2 $$

c'est-à-dire qu'un cercle d'Yvon-Villarceau est un grand cercle de la sphère correspondante. Un cercle d'Yvon-Villarceau peut être défini comme intersection d'un plan et d'une sphère et nous obtenons un grand cercle de cette dernière.

Par rotation autour de l'axe $(\Omega, \vec{k})$ et d'angle $\theta_0$ fixé, l'équation paramétrique d'un cercle d'Yvon-Villarceau est :

$$ \gamma_{\theta_0, \epsilon}(t) = \begin{pmatrix} -\sqrt{R^2 - r^2} \sin(t) \cos(\theta_0) - \epsilon (r + R \cos(t)) \sin(\theta_0) \\ -\sqrt{R^2 - r^2} \sin(t) \sin(\theta_0) + \epsilon (r + R \cos(t)) \cos(\theta_0) \\ r \sin(t) \end{pmatrix} \quad (7.21) $$
<figure><img src="image_89.png" /><figcaption>FIGURE 7.9 – Cercles d’Yvon-Villarceau sur un tore à collier. (a) : deux cercles obtenus avec le plan. (b) : les deux cercles obtenus avec deux sphères.</figcaption></figure>

où $\epsilon \in \{-1; 1\}$ et $t$ décrit $[0; 2\pi]$, figure 7.10(a). La figure 7.10(b) est une photographie de l’Œuvre de Notre Dame, muséum de la cathédrale de Strasbourg datant du XVIème siècle.

<figure><img src="image_90.png" /><figcaption>FIGURE 7.10 – Cercles d’Yvon-Villarceau sur un tore à collier. (a) : quatre cercles. (b) : Détail de la cathédrale de Strasbourg, photographie obtenue dans [Hau62].</figcaption></figure>

A partir de la formule (7.21), il est facile d'obtenir le centre d'un cercle d'Yvon-Villarceau :

$$O_{\theta_0, \epsilon} = \begin{pmatrix} -\epsilon r \sin(\theta_0) \\ \epsilon r \cos(\theta_0) \\ 0 \end{pmatrix} \qquad (7.22)$$

En effet, le point $O_{\theta_0, \epsilon}$ est le milieu du segment $[\gamma_{\theta_0, \epsilon}(0) \gamma_{\theta_0, \epsilon}(\pi)]$ avec :
$$ \gamma_{\theta_0, \varepsilon} (0) = \begin{pmatrix} -\varepsilon (r + R) \sin (\theta_0) \\ \varepsilon (r + R) \cos (\theta_0) \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \gamma_{\theta_0, \varepsilon} (\pi) = \begin{pmatrix} -\varepsilon (r - R) \sin (\theta_0) \\ \varepsilon (r - R) \cos (\theta_0) \\ 0 \end{pmatrix} $$

### 7.2.2 Les cyclides de Dupin quartiques non dégénérées

#### 7.2.2.1 Définition en utilisant la notion d'enveloppe et premières propriétés

##### 7.2.2.1.1 Définition et faisceaux de plans

**Définition 16** : Cyclide de Dupin quartique non dégénérée

Une cyclide de Dupin est l'enveloppe, de deux façons équivalentes, d'une famille à un paramètre de sphères orientées, figure 7.11.

Les centres des sphères de l'une des deux familles sont sur l'ellipse $E$ d'équation (7.23), figure 7.11(a), tandis que les centres des sphères de l'autre famille sont sur l'hyperbole $H$ d'équation (7.24), figure 7.11(b).

$$ E = \Gamma_{\theta} : \begin{cases} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \\ z = 0 \end{cases} \quad (7.23) \qquad H = \Gamma_{\psi} : \begin{cases} \frac{x^2}{c^2} - \frac{z^2}{b^2} = 1 \\ y = 0 \end{cases} \quad (7.24) $$

Notons que ces deux coniques sont deux anti-coniques : elles sont situés dans deux plans perpendiculaires, les sommets de l'une sont les foyers de l'autre. Cette propriété conduit à la relation :

$$ b^2 = a^2 - c^2 \quad (7.25) $$

Ainsi, nous avons deux manières, distinctes mais équivalentes, pour définir une cyclide de Dupin.

Le centre de la cyclide de Dupin est le point $O_3$ qui est aussi le milieu des foyers de l'une de ces coniques. Une cyclide de Dupin est caractérisée par un troisième paramètre indépendant $\mu$ qui dépend des rayons des sphères.

Pour $\theta$ appartenant à $[0; 2\pi]$, la sphère $S_1(\theta)$ a pour centre :

$$ \Omega_{\theta} (a \cos (\theta) ; b \sin (\theta) ; 0) \quad (7.26) $$

et pour rayon (algébrique) :

$$ r_1(\theta) = \mu - c \cos(\theta) \quad (7.27) $$

La contribution d'une sphère à la cyclide de Dupin est un cercle appelé **cercle caractérisique** et le long de ce cercle, la cyclide de Dupin et la sphère précitée sont tangentes. Ce cercle
<figure><img src="image_91.png" /><figcaption>FIGURE 7.11 – Une cyclide de Dupin est définie, de deux manières équivalentes, par une famille, à un paramètre, de sphères centrées sur une conique. (a) : sur une ellipse. (b) : sur une hyperbole et deux plans appartiennent à cette famille.</figcaption></figure>

caractéristique, pour une valeur $\theta$ fixée, est obtenu comme intersection entre la sphère d'équation :

$$ (x - a \cos(\theta))^2 + (y - b \sin(\theta))^2 + z^2 - (\mu - c \cos(\theta))^2 = 0 \quad (7.28) $$

et le plan d'équation :

$$ a \sin(\theta) (x - a \cos(\theta)) - b \cos(\theta) (y - b \sin(\theta)) - c \sin(\theta) (\mu - c \cos(\theta)) = 0 \quad (7.29) $$

qui se simplifie en :

$$ a \sin(\theta) x - b \cos(\theta) y - \mu c \sin(\theta) = 0 \quad (7.30) $$

Pour $\theta_0$ fixé, les deux cercles de courbure, définis par $\theta_0$ et $\theta_0 + \pi$, se situent dans le plan d'équation :

$$ a \sin(\theta_0) x - b \cos(\theta_0) y = \mu c \sin(\theta_0) \quad (7.31) $$

et la droite $\Delta\theta_0$, intersection des plans d'équations ($x = \frac{c\mu}{a}$) et ($y = 0$), est commune à tous ces plans (lorsque l'on fait varier $\theta_0$), figure 7.12(a).

Pour $\psi$ appartenant à $[0; 2\pi] \setminus \left\{\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right\}$, la sphère $S_2(\psi)$ a pour centre :

$$ \Omega_{\psi} \left( \frac{c}{\cos(\psi)}; 0; -b \tan(\psi) \right) \quad (7.32) $$

et pour rayon (algébrique) :

$$ r_2(\psi) = \mu - \frac{a}{\cos(\psi)} \quad (7.33) $$
<figure><img src="image_92.png" /><figcaption>FIGURE 7.12 – Intersections communes des plans contenant les cercles caractéristiques. (a) : $\theta$ est constant. (b) : $\psi$ est constant.</figcaption></figure>

et les deux plans de la famille, figure 7.11(b), ont pour équation :

$$cx - \mu a = \varepsilon bz \quad (7.34)$$

où $\varepsilon \in \{-1; 1\}$. La détermination des cercles caractéristiques se fait de manière analogue à celle utilisée dans les formules (7.28) et (7.29). Pour $\psi_0$ fixé, les deux cercles de courbure, définis par $\psi_0$ et $\pi - \psi_0$, se situent dans le plan d'équation :

$$c \sin(\psi_0) x - bz = \mu a \sin(\psi_0) \quad (7.35)$$

et la droite $\Delta_{\psi_0}$, intersection des plans d'équations $(x = \frac{a\mu}{c})$ et $(z = 0)$ est commune à tous ces plans (lorsque l'on fait varier $\psi_0$), figure 7.12(b).

Lorsque l'une des sphères est réduite à un point, nous obtenons un point singulier de la cyclide de Dupin : la dimension de l'espace tangent en ce point est inférieure à 2. Dans le cas contraire, nous obtenons un point régulier : l'espace tangent en ce point est un plan.

Etant donné une sphère de l'une des familles, toutes les autres sphères de l'autre famille lui sont tangentes le long du cercle caractéristique engendré par la sphère originelle (voir annexe C).

Nous pouvons distinguer cinq types de cyclides de Dupin : en anneau, figure 7.13 ; à croissant interne, figure 7.14(b) ; à croissant externe, figure 7.14(c) ; à croissant interne nul, figure 7.15(a) à croissant externe nul, figure 7.15(b).

Notons qu'une cyclide de Dupin admet l'équation paramétrique suivante :

$$\Gamma_d (\theta, \psi) = \begin{pmatrix} \frac{\mu(c - a \cos \theta \cos \psi) + b^2 \cos \theta}{a - c \cos \theta \cos \psi} \\ \frac{b \sin \theta \times (a - \mu \cos \psi)}{a - c \cos \theta \cos \psi} \\ \frac{b \sin \psi \times (c \cos \theta - \mu)}{a - c \cos \theta \cos \psi} \end{pmatrix} \quad (7.36)$$
<figure><img src="image_93.png" /><figcaption>FIGURE 7.13 – Une cyclide de Dupin en anneau, notée CD4A, les paramètres vérifient $0 < c < \mu < a$. __________</figcaption></figure>

<figure><img src="image_94.png" /><figcaption>FIGURE 7.14 – Les deux types de cyclides de Dupin ayant deux points singuliers. (a) : à croissant interne, notée CD4I, Les paramètres vérifient $0 < c < a < \mu$. (b) : à croissant externe, notée CD4E, les paramètres vérifient $0 \le \mu < c < a$. __________</figcaption></figure>

où $\theta \in [0; 2\pi]$, $\psi \in [0; 2\pi]$ et deux équations implicites équivalentes [For12, Dru13] :

$$ (x^2 + y^2 + z^2 - \mu^2 + b^2)^2 = 4(ax - c\mu)^2 + 4b^2y^2 \quad (7.37) $$

$$ (x^2 + y^2 + z^2 - \mu^2 - b^2)^2 = 4(cx - a\mu)^2 - 4b^2z^2 \quad (7.38) $$

Remarquons que les cercles caractéristiques de la cyclide de Dupin sont obtenus en fixant la valeur de l'un des deux paramètres dans la formule (7.36). A partir de la formule (7.37), il est
<figure><img src="image_95.png" /><figcaption>FIGURE 7.15 – Les deux types de cyclides de Dupin n'ayant qu'un seul point singulier. (a) : à croissant interne nul, notée CD4IN, les paramètres vérifient $0 < c < a = \mu$. (b) : à croissant externe nul, notée CD4EN, les paramètres vérifient $0 < \mu = c < a$.</figcaption></figure>

évident que les plans $\mathcal{P}_y : y = 0$ et $\mathcal{P}_z : z = 0$ sont deux plans de symétries de la cyclide de Dupin.

### 7.2.2.1.2 Détermination des paramètres d'une cyclide de Dupin

**Définition 17 : Cercle principal**

Un cercle principal est un cercle caractéristique contenu dans l'un des deux plans de symétries de la cyclide de Dupin.

La donnée de deux cercles principaux coplanaires $C_1 = C(O_1, \rho_1)$ et $C_2 = C(O_2, \rho_2)$ permet de déterminer les paramètres de la cyclide de Dupin lorsque nous en connaissons le type, théorèmes 19 et 20. Par souci de simplifications, nous imposons la condition $\rho_1 > \rho_2 \ge 0$.

**Théorème 19 : Détermination des paramètres d'une CD4 à partir de $\mathcal{P}_y : (y = 0)$**

Le paramètre $a$ est donné par :

$$a = \frac{O_1 O_2}{2} \qquad (7.39)$$

Les deux autres paramètres sont solutions du système :

$$\begin{cases} \rho_1 = \mu + c \\ \rho_2 = |\mu - c| \end{cases} \qquad (7.40)$$

* Pour obtenir une CD4A ou CD4I, nous devons avoir $\mu > c$, d'où :

$$(\mu; c) = \left( \frac{\rho_1 + \rho_2}{2} ; \frac{\rho_1 - \rho_2}{2} \right) \qquad (7.41)$$
● Pour obtenir une CD4E, nous devons avoir $\mu < c$, d'où :

$$ (\mu; c) = \left( \frac{\rho_1 - \rho_2}{2} ; \frac{\rho_1 + \rho_2}{2} \right) \qquad (7.42) $$

<figure><img src="image_96.png" /><figcaption>FIGURE 7.16 – Détermination des trois paramètres d'une cyclide de Dupin en anneau ou à croissant interne à partir des deux cercles principaux de $P_y : y = 0$</figcaption></figure>

**Théorème 20** : Détermination des paramètres d'une CD4 à partir de $P_z : (z = 0)$

Soit $C_1$ et $C_2$ les cercles principaux de la CD4 dans le plan d'équation $(z = 0)$.

Soit $O_1$ (resp. $O_2$) le centre du cercle $C_1$ (resp. $C_2$).

Soit $\rho_1$ (resp. $\rho_2$) le rayon du cercle $C_1$ (resp. $C_2$) avec $\rho_1 > \rho_2 \ge 0$.

Le paramètre $c$ est donné par :

$$ c = \frac{O_1 O_2}{2} \qquad (7.43) $$

Les deux autres paramètres sont solutions du système :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \rho_1 = \mu + a \\ \rho_2 = |\mu - a| \end{array} \right. \qquad (7.44) $$

● Pour obtenir une CD4A ou CD4E, nous devons avoir $a > \mu$, d'où :

$$ (a; \mu) = \left( \frac{\rho_1 + \rho_2}{2} ; \frac{\rho_1 - \rho_2}{2} \right) \qquad (7.45) $$
* Pour obtenir une CD4I, nous devons avoir $a < \mu$, d'où :

$$ (a; \mu) = \left( \frac{\rho_1 - \rho_2}{2} ; \frac{\rho_1 + \rho_2}{2} \right) \qquad (7.46) $$

<figure><img src="image_97.png" /><figcaption>FIGURE 7.17 – Détermination des trois paramètres d'une cyclide de Dupin en anneau ou à croissant interne à partir des deux cercles principaux de $P_z : z = 0$.</figcaption></figure>

Le centre de la cyclide est le milieu des centres de deux cercles principaux coplanaires et est indépendant du couple considéré (celui dans $P_y$ ou $P_z$).

### 7.2.2.2 Définition en utilisant une inversion

Nous avons vu qu'il existe cinq types de CD4s : anneau, croissant externe, croissant interne, croissant externe nul, croissant interne nul [AD96, She97]. Ces types sont directement liés au mode de génération des cyclides de Dupin par inversions.

**Définition 18 :**

Une cyclide de Dupin est l'image d'un tore de révolution, d'un cône de révolution ou d'un cylindre de révolution par une inversion.

Concernant des illustrations 3D de cyclides de Dupin à point(s) singulier(s) à partir de tores à croissant nul ou croisés, de cône de révolution ou de cylindre de révolution, le lecteur peut se reporter à [Gar07, Gar04]. En utilisant des notions de géométrie différentielle et des notions
topologiques [Gar07], il est possible d'affiner le classement des cyclides de Dupin quartiques, en fonction de la surface de révolution utilisée, en cinq types, tableau 7.1. Rappelons qu'un point singulier d'une surface est un point où l'espace tangent à la surface n'est pas de dimension 2.

<table><caption>TABLE 7.1 – Les cinq types de cyclides de Dupin quartiques obtenues comme images de surface(s) de révolution par une inversion.</caption><thead><tr><th>Types</th><th>Paramètres</th><th>Nombre de points singuliers</th><th>Surface(s) de révolution initiale(s)</th></tr></thead><tbody><tr><td>CD4 en anneau</td><td>0 ≤ c &lt; μ &lt; a</td><td>0</td><td>Tore à collier</td></tr><tr><td>CD4 à croissant interne</td><td>0 ≤ c &lt; a &lt; μ</td><td>2</td><td>Tore croisé ou cône</td></tr><tr><td>CD4 à croissant externe</td><td>0 &lt; μ &lt; c &lt; a</td><td>2</td><td>Tore croisé ou cône</td></tr><tr><td>CD4 à croissant interne nul</td><td>0 ≤ c &lt; a = μ</td><td>1</td><td>Tore à collier nul ou cylindre</td></tr><tr><td>CD4 à croissant externe nul</td><td>0 &lt; μ = c &lt; a</td><td>1</td><td>Tore à collier nul ou cylindre</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_98.png" /><figcaption>FIGURE 7.18 – Schéma d'une CD4 en anneau obtenue par inversion d'un tore à collier dans le même plan de symétrie.</figcaption></figure>

L'image 7.18 montre le schéma d'une CD4 en anneau obtenue par inversion d'un tore à collier. Le tore a pour rayon majeur $R = 2$ et pour rayon mineur $r = 1$ et est représenté par une méridienne qui est l'union des deux cercles, en vert foncé et rouge foncé, de même rayon et de centres respectifs $I_1$ et $I_2$. Le centre du tore est l'origine du repère. Le pôle d'inversion, « à l'extérieur$^6$ » du tore, est $\Omega(-2, 375; 0; 0)$ et le rapport de l'inversion est $k \approx 3,763$.

La section, par le plan d'équation $y = 0$, de la sphère d'inversion est le cercle en pointillé. Les cercles en vert clair et rouge clair sont deux cercles principaux, de centres respectifs $O_1$ et $O_2$, dans le plan d'équation $y = 0$, de la cyclide de Dupin qui a pour centre $O_c(-1, 667; 0; 0)$.

<footnote n="6">6. Le tore sépare l'espace en deux régions. L'intérieur du tore est la partie bornée tandis que l'extérieur est la partie non bornée.</footnote>
Les paramètres de cette dernière sont :

$a \approx 1,530$

$\mu \approx 0,349$

$c \approx 0,170$

et le rendu 3D est donné par la figure 7.19(a).

<figure><img src="image_99.png" /><figcaption>FIGURE 7.19 – Une CD4 en anneau obtenue par inversion d'un tore à collier. (a) : les plans de symétrie sont conservés. (b) : les plans de symétrie sont échangés.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_100.png" /><figcaption>FIGURE 7.20 – Schéma d’une CD4 en anneau obtenue par inversion d’un tore à collier avec changement de plan de symétrie.</figcaption></figure>

L'image 7.20 montre le schéma d'une CD4 en anneau obtenue par inversion d'un tore à collier. Le tore a pour rayon majeur $R = 2$ et pour rayon mineur $r = 1$ et est représenté par
une méridienne qui est l'union des deux cercles, en vert foncé et rouge foncé, de même rayon et de centre respectifs $I_1$ et $I_2$. Le centre du tore est l'origine du repère. Le pôle d'inversion, « à l'intérieur » du tore, est $\Omega(-1, 25; 0, 0)$ et le rapport de l'inversion est $k \approx 6,779$. La section, par le plan d'équation $y = 0$, de la sphère d'inversion est le cercle en pointillé. Les cercles en vert clair et rouge clair sont deux cercles principaux, de centres respectifs $O_1$ et $O_2$, de la cyclide de Dupin dans le plan d'équation $z = 0$ dans le repère de la cyclide de Dupin qui a pour centre $O_c(-1, 667; 0, 0)$. Les paramètres de cette dernière sont :

$$a \approx 2,293 \qquad \mu \approx 2,086 \qquad c \approx 1,275$$

et le rendu 3D est donné par la figure 7.19(b). Ainsi, l'image d'un méridien (resp. parallèle) d'un tore à collier est un parallèle (resp. méridien) de la cyclide de Dupin en anneau.

L'image 7.21 montre le schéma de deux CD4 à croissant nul, réalisé dans le plan défini par une génératrice du cylindre et le pôle d'inversion. Dans le plan d'équation $y = 0$, les deux génératrices $\Delta_1$ et $\Delta_2$ du cylindre ont pour images les cercles :

* $C_{1,y}$ et $C_{2,y}$ par l'inversion de pôle $\Omega_1$;

* $C_{1,z}$ et $C_{2,z}$ par l'inversion de pôle $\Omega_2$.

Les cercles $C_{1,y}$ et $C_{2,y}$ (resp. $C_{1,z}$ et $C_{2,z}$) sont deux cercles principaux dans le plan d'équation $y = 0$ (resp. $z = 0$) dans le repère de la cyclide de Dupin. Dans le premier cas, nous obtenons une cyclide de Dupin à croissant interne nul tandis que dans le second cas, nous obtenons une cyclide de Dupin à croissant externe nul. Dans tous les cas, le point singulier de la cyclide de Dupin est le pôle de l'inversion.

<figure><img src="image_101.png" /><figcaption>FIGURE 7.21 – Schéma de deux CD4 à croissant nul obtenues par inversion d'un cylindre de révolution. Le type de la cyclide de Dupin dépend du lieu du pôle de l'inversion.</figcaption></figure>

L'image 7.22 montre le schéma de deux CD4 à croissant non nul, réalisé dans le plan défini par une génératrice du cône et le pôle d'inversion. Dans le plan d'équation $y = 0$, les deux génératrices $\Delta_1$ et $\Delta_2$ du cône ont pour images les cercles :

* $C_{1,y}$ et $C_{2,y}$ par l'inversion de pôle $\Omega_1$;
• $C_{1,z}$ et $C_{2,z}$ par l'inversion de pôle $\Omega_2$.

Les cercles $C_{1,y}$ et $C_{2,y}$ (resp. $C_{1,z}$ et $C_{2,z}$) sont deux cercles principaux dans le plan d'équation $y = 0$ (resp. $z = 0$) dans le repère de la cyclide de Dupin. Dans le premier cas, nous obtenons une cyclide de Dupin à croissant interne tandis que dans le second cas, nous obtenons une cyclide de Dupin à croissant externe. Dans tous les cas, un des deux points singulier de la cyclide de Dupin est le pôle de l'inversion tandis que le second point singulier est l'image $S_1$ ou $S_2$ du sommet $S$ du cône.

<figure><img src="image_102.png" /><figcaption>FIGURE 7.22 – Schéma de deux CD4 à croissant non nul obtenues par inversion d'un cône de révolution. Le type de la cyclide de Dupin dépend du lieu du pôle de l'inversion.</figcaption></figure>

Afin de pouvoir développer des algorithmes de subdivisions de CD4 dans $\mathcal{E}_3$, nous avons besoins des propriétés des surfaces de Bézier rationnelles biquadratiques représentant un carreau de cyclide de Dupin.

### 7.2.3 Conversion d'un carreau en surface de Bézier rationnelle biquadratique

**Définition 19** : Carreau de Bézier rationnel biquadratique (SBRB)

Soit $(P_{ij})_{(i;j)\in[0;2]^2}$ neuf points de $\mathcal{E}_3$ et $(\omega_{ij})_{(i;j)\in[0;2]^2}$ neuf réels non nuls vérifiant la condition :

$$ \forall (u, v) \in [0; 1]^2, \sum_{i=0}^{2} \sum_{j=0}^{2} \omega_{ij} B_i(u) B_j(v) \neq 0 \quad (7.47) $$
Un point *M* appartient à la SBRB [Pra90, HL93] définie par les points de contrôle pondérés $(P_{ij}; \omega_{ij})_{(i;j)\in[0;2]^2}$, si, pour un point *O* de $\mathcal{E}_3$, il existe un couple $(u_0; v_0)$ de $[0; 1]^2$ tel que nous ayons :

$$ \overrightarrow{OM} = \frac{1}{\sum_{i=0}^{2} \sum_{j=0}^{2} \omega_{ij} B_i(u_0) B_j(v_0)} \sum_{i=0}^{2} \sum_{j=0}^{2} \omega_{ij} B_i(u_0) B_j(v_0) \overrightarrow{OP_{ij}} \quad (7.48) $$

Nous rappelons que les lignes de courbure d'une CD4, figure 7.12, sont obtenues avec soit une valeur constante pour $\theta$, soit une valeur constante pour $\psi$, dans la nappe paramétrée de la formule (7.36). Notons $\gamma_{\theta_0}$ (resp. $\gamma_{\theta_1}$) la ligne de courbure d'une CD4 obtenue avec la valeur $\theta_0$ (resp. $\theta_1$). Notons $\gamma_{\psi_0}$ (resp. $\gamma_{\psi_1}$) la ligne de courbure d'une CD4 obtenue avec la valeur $\psi_0$ (resp. $\psi_1$). Dans tout ce chapitre, nous voulons convertir un carreau de CD4 délimité par les quatre lignes de courbure $\gamma_{\psi_0}$, $\gamma_{\psi_1}$, $\gamma_{\psi_0}$ et $\gamma_{\psi_1}$, figure 7.23(a), en une SBRB, figure 7.23(b).

<figure><img src="image_103.png" /><figcaption>FIGURE 7.23 – Conversion d'un morceau de CD4 en une SBRB. (a) : quatre carreaux de CD4. (b) : un des quatre CBRBs correspondants.</figcaption></figure>

La condition de la formule (7.47) permet de s'assurer que la surface de Bézier rationnel biquadratique reste dans l'espace affine $\mathcal{E}_3$.

La première propriété, montrée par R. Martin [Mar82], est que les quatre sommets du carreau de CD4 sont cocycliques, propriété désignée par (PG1); La deuxième propriété géométrique, propriété désignée par (PG2), provient des lignes de courbure circulaires c'est-à-dire : $P_{01}$ appartient au plan médiateur du segment $[P_{00}, P_{02}]$, $P_{21}$ appartient au plan médiateur du segment $[P_{20}, P_{22}]$, $P_{10}$ appartient au plan médiateur du segment $[P_{00}, P_{20}]$ et $P_{12}$ appartient au plan médiateur du segment $[P_{22}, P_{02}]$. En effet, les courbes délimitant la SBRB sont des CBRQs et donc le point de contrôle intermédiaire de chaque courbe doit appartenir au plan médiateur des deux extrémités. La quatrième propriété géométrique, propriété désignée par (PG4), concerne le point $P_{11}$ et traduit le fait que le point $P_{11}$ appartient à l'intersection des quatre plans, chaque plan étant engendré par les autres points du produit mixte. Le tableau 7.2 récapitule les propriétés géométriques, (PG1), (PG2), (PG3) et (PG4), des points de contrôle $(P_{ij})_{0\le i,j\le 2}$ d'une SBRB obtenu par conversion d'un carreau de CD4.
<table><caption>TABLE 7.2 – Propriétés géométriques d'une SBRB obtenu par conversion d'un carreau de CD4.</caption><tr><td>(PG1)</td><td>P<sub>00</sub>, P<sub>02</sub>, P<sub>22</sub> et P<sub>20</sub> sont cocycliques.</td></tr><tr><td>(PG2)</td><td>P<sub>00</sub>P<sub>01</sub> = P<sub>01</sub>P<sub>02</sub>, P<sub>02</sub>P<sub>12</sub> = P<sub>12</sub>P<sub>22</sub>, P<sub>22</sub>P<sub>21</sub> = P<sub>21</sub>P<sub>20</sub> et P<sub>00</sub>P<sub>10</sub> = P<sub>10</sub>P<sub>20</sub></td></tr><tr><td>(PG3)</td><td>P&#x20d7;<sub>00</sub>P<sub>10</sub> &perp; P&#x20d7;<sub>00</sub>P<sub>01</sub>, P&#x20d7;<sub>02</sub>P<sub>01</sub> &perp; P&#x20d7;<sub>02</sub>P<sub>12</sub>, P&#x20d7;<sub>22</sub>P<sub>12</sub> &perp; P&#x20d7;<sub>22</sub>P<sub>21</sub> et P&#x20d7;<sub>20</sub>P<sub>21</sub> &perp; P&#x20d7;<sub>20</sub>P<sub>10</sub></td></tr><tr><td>(PG4)</td><td>P&#x20d7;<sub>00</sub>P&#x20d7;<sub>11</sub> &bull; (P&#x20d7;<sub>00</sub>P&#x20d7;<sub>10</sub> &times; P&#x20d7;<sub>00</sub>P&#x20d7;<sub>01</sub>) = 0 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; P&#x20d7;<sub>02</sub>P&#x20d7;<sub>11</sub> &bull; (P&#x20d7;<sub>02</sub>P&#x20d7;<sub>01</sub> &times; P&#x20d7;<sub>02</sub>P&#x20d7;<sub>12</sub>) = 0<br>P&#x20d7;<sub>22</sub>P&#x20d7;<sub>11</sub> &bull; (P&#x20d7;<sub>22</sub>P&#x20d7;<sub>12</sub> &times; P&#x20d7;<sub>22</sub>P&#x20d7;<sub>21</sub>) = 0 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; P&#x20d7;<sub>20</sub>P&#x20d7;<sub>11</sub> &bull; (P&#x20d7;<sub>20</sub>P&#x20d7;<sub>21</sub> &times; P&#x20d7;<sub>20</sub>P&#x20d7;<sub>10</sub>) = 0</td></tr></table>

<figure><img src="image_104.png" /><figcaption>Figure 7.24 – Propriétés géométriques des points de contrôle d'une surface de Bézier obtenue par conversion d'un carreau de cyclide de Dupin.</figcaption></figure>

Nous donnons les propriétés géométriques des points de contrôle $(P_{ij})_{0\le i,j\le 2}$ qui nous serviront dans les différents algorithmes, figure 7.24, [Deg94]. Le tableau 7.3 synthétise les relations d'appartenance des points et droites aux plans des deux faisceaux [ABG09], où $\Delta_a$ et $\Delta_b$ sont les droites $\Delta_\theta$ ou $\Delta_\psi$.

Ainsi, quatre types de plans interviennent :

* les points $P_{i00}$, $P_{i01}$ et $P_{i02}$, $i_0 \in [0; 2]$, définissent trois plans du premier faisceau;

* les points $P_{0j0}$, $P_{1j0}$ et $P_{2j0}$, $j_0 \in [0; 2]$, définissent trois plans du second faisceau;

* le plan contenant les quatre sommets $P_{00}$, $P_{02}$, $P_{20}$ et $P_{22}$ du carreau;

* les plans tangents $P_{P00}$, $P_{P20}$, $P_{P02}$ et $P_{P22}$ à chaque sommet du carreau.
<table><caption>TABLE 7.3 – Droites et points appartenant aux différents plans.</caption><thead><tr><th>Plan</th><th>Type</th><th>Droite</th><th>Points</th></tr></thead><tbody><tr><td>P<sub>0</sub></td><td>Faisceau</td><td>Δ<sub>a</sub></td><td>P<sub>00</sub>, P<sub>01</sub> et P<sub>02</sub></td></tr><tr><td>P<sub>1</sub></td><td>Faisceau</td><td>Δ<sub>a</sub></td><td>P<sub>10</sub>, P<sub>11</sub> et P<sub>12</sub></td></tr><tr><td>P<sub>2</sub></td><td>Faisceau</td><td>Δ<sub>a</sub></td><td>P<sub>20</sub>, P<sub>21</sub>, et P<sub>22</sub></td></tr><tr><td>Q<sub>0</sub></td><td>Faisceau</td><td>Δ<sub>b</sub></td><td>P<sub>00</sub>, P<sub>10</sub> et P<sub>20</sub></td></tr><tr><td>Q<sub>1</sub></td><td>Faisceau</td><td>Δ<sub>b</sub></td><td>P<sub>01</sub>, P<sub>11</sub> et P<sub>21</sub></td></tr><tr><td>Q<sub>2</sub></td><td>Faisceau</td><td>Δ<sub>b</sub></td><td>P<sub>02</sub>, P<sub>12</sub> et P<sub>22</sub></td></tr><tr><td>P<sub>P<sub>00</sub></sub></td><td>Tangent</td><td></td><td>P<sub>00</sub>, P<sub>01</sub> et P<sub>10</sub></td></tr><tr><td>P</td><td>Coplanairité</td><td></td><td>P<sub>00</sub>, P<sub>20</sub>, P<sub>22</sub>, P<sub>02</sub></td></tr></tbody></table>

### 7.2.4 Définitions des cyclides de Dupin cubiques non dégénérées

Dans tout ce paragraphe, $p$ et $q$ sont deux réels distincts. Dans le cas contraire, nous obtions la sphère de centre de coordonnées $(\frac{p}{2}; 0; 0)$ et de rayon $\frac{p}{2}$.

#### 7.2.4.1 Définition en utilisant la notion d'enveloppe et premières propriétés

##### 7.2.4.1.1 Définition et faisceaux de plans

**Définition 20** : Cyclide de Dupin cubique non dégénérée (CD3)

Une cyclide de Dupin est l'enveloppe, de deux façons équivalentes, d'une famille à un paramètre de sphères orientées [Ued], figure 7.25.

Les centres des sphères de l'une des deux familles sont sur une parabole $P_1$, figure 7.25, d'équation :

$$ P_1: \begin{cases} y^2 - (p-q)(2x-q) = 0 \\ z = 0 \end{cases} \qquad (7.49) $$

tandis que les centres des sphères de l'autre famille sont sur la parabole $P_2$, figure 7.25, d'équation :

$$ P_2: \begin{cases} z^2 - (q-p)(2x-p) = 0 \\ y = 0 \end{cases} \qquad (7.50) $$

Le sommet de $P_1$ (resp. $P_2$) est $S_1(\frac{q}{2}; 0; 0)$ (resp. $S_2(\frac{p}{2}; 0; 0)$). Le foyer de $P_1$ (resp. $P_2$) est $F_1(\frac{p}{2}; 0; 0)$ (resp. $F_2(\frac{q}{2}; 0; 0)$) c'est-à-dire que ces deux coniques sont aussi deux anti-coniques. Les équations paramétriques des paraboles sont :

$$ P_1: u \mapsto \begin{cases} \frac{q}{2} + \frac{p-q}{2} u^2 \\ (p-q) u \\ 0 \end{cases}, u \in \mathbb{R} \quad (7.51) \qquad P_2: v \mapsto \begin{cases} \frac{p}{2} + \frac{q-p}{2} v^2 \\ 0 \\ (q-p) v \end{cases}, v \in \mathbb{R} \quad (7.52) $$
<figure><img src="image_105.png" /><figcaption>FIGURE 7.25 – Cas d'une cyclide de Dupin parabolique sans point singulier, notée CD3A. (a) : les deux paraboles. (b) : des sphères centrées sur l'une des deux paraboles.</figcaption></figure>

Ainsi, nous avons deux manières, distinctes mais équivalentes, pour définir une cyclide de Dupin cubique.

Pour $u$ appartenant à $\mathbb{R}$, la sphère $S_3(u)$ a pour centre :

$$ \Omega_u (u) \left( \frac{q}{2} + \frac{p-q}{2} u^2 ; (p-q) u ; 0 \right) \qquad (7.53) $$

et pour rayon (algébrique) :

$$ R_u (u) = \frac{q - (p-q) u^2}{2} \qquad (7.54) $$

La contribution d'une sphère à la cyclide de Dupin est un cercle appelé **cercle caractéristique** et le long de ce cercle, la cyclide de Dupin et la sphère précitée sont tangentes. Ce cercle caractéristique, pour une valeur $u$ fixée, est obtenu comme intersection entre la sphère d'équation :

$$ \left( x - \frac{q}{2} - \frac{p-q}{2} u^2 \right)^2 + (y - (p-q) u)^2 + z^2 - \left( \frac{q - (p-q) u^2}{2} \right)^2 = 0 \qquad (7.55) $$

et le plan d'équation, obtenue en dérivant l'équation (7.55) par rapport à $u$ et après élimination du facteur $-2(p-q)$ :

$$ u \left( x - \frac{q}{2} - \frac{p-q}{2} u^2 \right) + (y - (p-q) u) - u \left( \frac{q - (p-q) u^2}{2} \right) = 0 \qquad (7.56) $$

qui se simplifie en :

$$ u (x - p) + y = 0 \qquad (7.57) $$

d'où :

$$ u = -\frac{y}{x-p} \quad \text{et} \quad u^2 = \frac{y^2}{(x-p)^2} \qquad (7.58) $$
car nous avons $x \neq p$. En injectant ce résultat dans la formule (7.55), après quelques calculs, nous obtenons :

$$ (x-q)y^2 + (x-p)z^2 + x(x-p)(x-q) = 0 \quad (7.59) $$

Quant à la seconde famille de sphères, pour $v$ appartenant à $\mathbb{R}$, la sphère $S_4(v)$ a pour centre :

$$ \Omega_v(v) \left( \frac{p}{2} + \frac{q-p}{2} v^2 ; 0 ; (q-p) v \right) \quad (7.60) $$

et pour rayon (algébrique) :

$$ R_v(v) = \frac{p - (q-p) v^2}{2} \quad (7.61) $$

De la même manière, un cercle caractéristique de la seconde famille est obtenu comme intersection entre la sphère d'équation :

$$ \left(x - \frac{p}{2} - \frac{q-p}{2} v^2\right)^2 + y^2 + (z - (q-p) v)^2 - \left(\frac{p - (q-p) v^2}{2}\right)^2 = 0 \quad (7.62) $$

et le plan d'équation, obtenue en dérivant l'équation (7.62) a pour équation :

$$ -(q-p)v \left(x - \frac{p}{2} - \frac{q-p}{2} v^2\right) - (q-p) \left(z - (q-p) v\right) + (q-p) v \left(\frac{p - (q-p) v^2}{2}\right) = 0 $$

qui, après simplification par $-(q-p)$, devient :

$$ v x + z + v \left( -\frac{p}{2} - \frac{q-p}{2} v^2 - (q-p) - \frac{p - (q-p) v^2}{2} \right) = 0 $$

et nous obtenons l'équation simplifiée suivante :

$$ v(x-q) + z = 0 \quad (7.63) $$

et après quelques calculs, nous retrouvons l'équation implicite donnée par la formule (7.59).

De plus, en calculant :

$$ \frac{R_u(u)}{R_u(u) - R_v(v)} \overrightarrow{O_3\Omega_u} + \frac{R_v(v)}{R_u(u) - R_v(v)} \overrightarrow{O_3\Omega_v} $$

une cyclide de Dupin cubique admet l'équation paramétrique suivante :

$$ \begin{array}{ccc} \Gamma_3 : \mathbb{R} \times \mathbb{R} & \to & \mathcal{E}_3 \\ (u; v) & \mapsto & \begin{pmatrix} \frac{p u^2 + q v^2}{1 + u^2 + v^2} \\ \frac{p - (q - p) v^2}{1 + u^2 + v^2} u \\ \frac{q - (p - q) u^2}{1 + u^2 + v^2} v \end{pmatrix} \end{array} \quad (7.64) $$
<figure><img src="image_106.png" /><figcaption>FIGURE 7.26 – Cercles caractéristiques d’une CD3 avec $p = -120$. (a) : $q = 52$ il n’y a pas de point singulier. (b) : $q = -52$ et il y a deux points singuliers qui délimitent le changement d’orientation des sphères définissant l’enveloppe.</figcaption></figure>

où les cercles caractéristiques sont obtenus soit avec $u$ constant, soit $v$ constant, figure 7.26.

Notons, que pour $\varepsilon$ appartenant à $\{-1; 1\}$, nous avons :

$$ \lim_{u \to \varepsilon + \infty} \Gamma_3(u; v_0) = \begin{pmatrix} p \\ 0 \\ (q-p) v_0 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \lim_{v \to \varepsilon + \infty} \Gamma_3(u_0; v) = \begin{pmatrix} q \\ (p-q) u_0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

et deux droites appartiennent à la cyclide de Dupin parabolique : chacune des droites et la contribution de l’un des plans de la famille correspondant à une sphère centrée à l’infini. Contrairement aux cyclides de Dupin quartiques, une cyclide de Dupin cubique n’est pas bornée, figure 7.27.

Comme dans le cas des cyclides de Dupin de degré 4, nous pouvons avoir zéro, un ou deux points singulier(s). La figure 7.25(a) montre les deux paraboles dans le cas où la cyclide de Dupin n’admet pas de point singulier tandis que la figure 7.25(b) permet de visualiser dix sphères de l’une des deux familles.

La figure 7.28(a) (resp. 7.28(b)) montre les deux paraboles dans le cas où la cyclide de Dupin admet un et un seul point singulier (resp. deux points singuliers).

Comme dans le cas des cyclides de Dupin quartique, les plans obtenus par dérivation par rapport au paramètre de la famille à un paramètre de sphères forment un faisceau, figure 7.29, et leurs équations sont données par les formules (7.58).

### 7.2.4.1.2 Détermination des paramètres d'une cyclide de Dupin

#### Définition 21 : Courbe principale

Une courbe principale est un cercle ou une droite caractéristique contenu dans l'un des deux plans de symétries de la cyclide de Dupin.
<figure><img src="image_107.png" /><figcaption>FIGURE 7.27 – Une CD3 n’est pas bornée, deux vues. Nous avons $p = -6$ et $q = 6$.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_108.png" /><figcaption>FIGURE 7.28 – Cas d’une cyclide de Dupin parabolique avec au moins un point singulier. (a) : un point singulier. (b) : deux points singuliers.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_109.png" /><figcaption>FIGURE 7.29 – Faisceaux de plans associés à une cyclide de Dupin parabolique. (a) : $u$ est constant. (b) : $v$ est constant.</figcaption></figure>

A partir de l'équation de la formule (7.59), dans le plan $\mathcal{P}_z : z = 0$, nous avons :

$$ (x - q) \left( \left( x - \frac{p}{2} \right)^2 + y^2 - \left( \frac{p}{2} \right)^2 \right) = 0 $$

et nous obtenons la droite d'équation $x = q$ et le cercle de centre $O_p(\frac{p}{2}; 0; 0)$ et de rayon $|\frac{p}{2}|$. Dans le plan $\mathcal{P}_y : y = 0$, nous avons :

$$ (x - p) \left( \left( x - \frac{q}{2} \right)^2 + z^2 - \left( \frac{q}{2} \right)^2 \right) = 0 $$

et nous obtenons la droite d'équation $x = p$ et le cercle de centre $O_q(\frac{q}{2}; 0; 0)$ et de rayon $|\frac{q}{2}|$. Notons que ces deux cercles passent par le centre $O$ de la cyclide de Dupin cubique.

La figure 7.30 montre les quatre courbes principales d'une CD3A :

* dans $\mathcal{P}_y : y = 0$,
  le cercle $C_q$ de centre $O_q$ et de rayon $|\frac{q}{2}|$ ainsi que la droite $\Delta_z$ d'équation $(p; 0; t)$, $t \in \mathbb{R}$;

* dans $\mathcal{P}_z : z = 0$,
  le cercle $C_p$ de centre $O_p$ et de rayon $|\frac{p}{2}|$ ainsi que la droite $\Delta_y$ d'équation $(q; t; 0)$, $t \in \mathbb{R}$.

### 7.2.4.2 Définition en utilisant une inversion

Nous avons vu qu'il existe trois types de CD4s : en anneau (sans point singulier); avec un unique point singulier; avec deux points singuliers. Ces types sont directement liés au mode de génération des cyclides de Dupin.
<figure><img src="image_110.png" /><figcaption>FIGURE 7.30 – Vue 3D des quatre courbes principales d'une cyclide de Dupin cubique. $C_p$ et $\Delta_y$ sont coplanaires. $C_q$ et $\Delta_z$ sont coplanaires.</figcaption></figure>

**Définition 22 :**

Une cyclide de Dupin parabolique est l'image d'un tore de révolution, d'un cône de révolution ou d'un cylindre de révolution par une inversion dont le pôle est sur la surface d'origine.

Le tableau 7 exhibe les liens entre le type de la CD3 et la surface de révolution initiale.

La figure 7.31 schématise l'obtention d'une CD3 en anneau à partir d'un tore à collier de rayon majeur $R = 5$ et de rayon mineur $r = 2$. La méridienne de ce dernier est $C_1 \cup C_2$ dans le plan d'équation $y = 0$. Nous considérons l'inversion de pôle $\Omega(-3; 0; 0)$ et de rapport 25 et le cercle d'inversion est $C_i$. Comme le pôle appartient à $C_1$, l'image de ce dernier par cette inversion est la droite $\Delta_y$ tandis que l'image du cercle $C_2$ par cette inversion est le cercle $C_5$, de rayon $|\frac{p}{2}|$. Pour déterminer $p$ et $q$, la donnée de ces deux courbes principales ne suffit pas,

<footnote n="7">7. Nous supposons $p > 0$ dans le tableau, le cas $p \le 0$ est laissé au lecteur, il suffit de faire un changement de repère.</footnote>
<table><caption>TABLE 7.4 – Les trois types de cyclides de Dupin quartiques obtenues comme images de surface(s) de révolution par une inversion.</caption><thead><tr><th>Types</th><th>Paramètres</th><th>Surface(s) initiale(s)</th></tr></thead><tbody><tr><td>CD3 en anneau</td><td>$q < 0 < p$</td><td>Tore à collier</td></tr><tr><td>CD3 avec un point singulier</td><td>$q = 0 < p$<br>$q < 0 = p$</td><td>Tore à collier nul ou<br>cylindre de révolution</td></tr><tr><td>CD3 avec deux points singulier</td><td>$0 < q < p$<br>$0 < p < q$</td><td>Tore croisé ou<br>cône de révolution</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_111.png" /><figcaption>FIGURE 7.31 – Schéma d’une CD3 en anneau obtenue par inversion d’un tore à collier.</figcaption></figure>

nous avons besoin du centre de la CD3 qui peut être déterminé en prenant les images, par cette inversion, deux cercles principaux $C_3$ et $C_4$ du tore dans le plan d'équation $z = 0$ (tous les objets dans ce plan sont tracés en utilisant des pointillées). Le petit cercle $C_4$ passe par le pôle de l'inversion : son image par cette dernière est la droite $\Delta_z$ dans $\mathcal{P}_z$. L'image du grand cercle $C_3$ ne passe par le pôle de l'inversion, son image est le cercle $C_6$. Les deux cercles $C_5$ et $C_6$ sont sécants en $C'$ ce qui prouve que le centre de la CD3 est $C'$. Ensuite, dans le repère $(C'; \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$, la droite $\Delta_y$ a pour équation :

$$ \begin{cases} y = 0 \\ x = p \end{cases} $$

tandis que la droite $\Delta_z$ a pour équation :

$$ \begin{cases} z = 0 \\ x = q \end{cases} $$
et nous obtenons $p = -8,75$ et $q = \frac{5}{6}$. La figure 7.32 et une illustration 3D de la figure 7.31.

<figure><img src="image_112.png" /><figcaption>FIGURE 7.32 – Vue 3D d'une CD3 en anneau obtenue par inversion d'un tore à collier.</figcaption></figure>

La figure 7.33(a) montre le tore à collier initial tandis que la figure 7.33(b) permet de visualiser la CD3 obtenue par inversion de ce tore.

## 7.3 Synthèse du chapitre

Dans ce chapitre, nous avons présenté les cyclides de Dupin non dégénérées à partir de deux définitions équivalentes : soit par inversion d'un tore, d'un cône ou d'un cylindre de révolution, soit comme enveloppe, de deux manières équivalentes, d'une famille à un paramètre de sphères orientées.

Nous avons obtenu les équations paramétriques et implicites de ces surfaces, puis déterminé, sur les tores à collier, les équations des cercles d'Yvon-Villarceau.
<figure><img src="image_113.png" /><figcaption>FIGURE 7.33 – Vue 3D d’une CD3 en anneau obtenue par inversion d’un tore à collier.</figcaption></figure>
# Chapitre 8

## Algorithmes de subdivisions de cyclides de Dupin quartiques

Dans le chapitre 3, nous avons proposé l'algorithme 3.1 qui permet de créer des subdivisions itératives d'arcs de cercles. Les lignes de courbure d'une cyclide de Dupin étant des cercles, nous proposons de réaliser des subdivisions itératives de carreaux de cyclides de Dupin quartiques en nous basant sur les propriétés des surfaces de Bézier modélisant un tel carreau.

Dans un premier temps, après un algorithme d'initialisation, nous proposons un algorithme commun aux tores et aux cyclides de Dupin quartiques. Dans un second temps, nous distinguerons deux cas : le même algorithme est appelé dans le cas d'une cyclide de Dupin quartique ; deux autres algorithmes ont été développés dans le cas du tore selon que la subdivision se fait sur les parallèles ou les méridiens. L'algorithme développé pour les cyclides de Dupin quartiques peut être utilisé dans le cas de la subdivision du tore, mais nous en proposons une version simplifiée due à la régularité d'un tore : tous les méridiens ont le même rayon. Dans le cas du tore, nous devons envisager le cas des cercles parallèles qui sont dans des plans parallèles !!!

### 8.1 Construction et description du schéma itératif

Ce paragraphe se décompose en trois parties : construction initiale de neufs points $(P_{ij})_{0\le i,j\le 2}$ ; détermination de la cyclide de Dupin sous-jacente ; définition des applications contractantes. Il suffit d'en avoir deux dans le cas général des cyclides de Dupin et de les appliquer une fois en ligne, une fois en colonne.

#### 8.1.1 Initialisation du schéma itératif

L'algorithme 8.1 permet de construire :

* les sommets $P_{00}$, $P_{02}$, $P_{22}$ et $P_{20}$ du carreau pris sur le cercle de centre $O$ et de rayon $R$ ce qui fait que le plan $P$ a pour équation $z = 0$;

* le point d'intersection $P_{11}$ des plans tangents aux quatre sommets appartenant à la droite perpendiculaire à $P$ passant par $O$;
* les points $P_{01}$, $P_{21}$, $P_{12}$ et $P_{01}$ contrôlant les tangentes aux courbes coordonnées du carreau :

○ le point $P_{10}$ appartient au plan médiateur du segment $[P_{00}P_{20}]$ et est distinct de $P_{11}$, le plan $\mathcal{P}_{P_{00}}$ est ainsi déterminé par les points $P_{00}$, $P_{10}$ et $P_{11}$;

○ chacun des autres points est défini par l'appartenance à un plan médiateur adéquat, à un plan tangent et à un plan dû à l'orthogonalité des lignes de courbure (il suffit de résoudre un système de trois équations linéaires à trois inconnues).

Dans cet algorithme, nous avons six degrés de liberté : trois pour les sommets, un pour $P_{11}$ et deux pour $P_{10}$.

**Algorithme 8.1** Construction d'une famille de neuf points définissant un carreau de cyclide de Dupin.

1. Choix des quatre sommets $P_{00}$, $P_{02}$, $P_{22}$ et $P_{20}$ sur le cercle de centre $O$, de rayon $R$ dans le plan d'équation $z = 0$.

2. Choix du point $P_{11}$ ($0; 0; z_{11}$), $z_{11} \in \mathbb{R}^{+*}$.

3. Choix de $P_{10} \in [P_{00}P_{20}]^{\perp} - \{P_{11}\}$ et détermination de $\mathcal{P}_{P_{00}} = \text{Aff}\{P_{00}; P_{11}; P_{10}\}$, plan tangent à la future surface en $P_{00}$.

4. Détermination des points $P_{01}$, $P_{21}$ et $P_{12}$ par :

<table><thead><tr><th>Point</th><th>Appartenance et orthogonalité</th></tr></thead><tbody><tr><td>P<sub>01</sub></td><td>$$ \left\{ \begin{array}{l} P_{01} \in \mathcal{P}_{P_{00}} \cap [P_{00}P_{02}]^{\perp} \\ \overrightarrow{P_{00}P_{10}} \cdot \overrightarrow{P_{00}P_{01}} = 0 \end{array} \right. $$</td></tr><tr><td>P<sub>21</sub></td><td>$$ \left\{ \begin{array}{l} P_{21} \in \text{Aff}\{P_{20}; P_{11}; P_{10}\} \cap [P_{20}P_{22}]^{\perp} \\ \overrightarrow{P_{20}P_{10}} \cdot \overrightarrow{P_{20}P_{21}} = 0 \end{array} \right. $$</td></tr><tr><td>P<sub>12</sub></td><td>$$ \left\{ \begin{array}{l} P_{12} \in \text{Aff}\{P_{02}; P_{11}; P_{01}\} \cap [P_{02}P_{22}]^{\perp} \\ \overrightarrow{P_{02}P_{01}} \cdot \overrightarrow{P_{02}P_{12}} = 0 \end{array} \right. $$</td></tr></tbody></table>

**Sortie :** Une famille de points de contrôle $(P_{ij})_{0 \le i,j \le 2}$ définissant un carreau de cyclide de Dupin.

Notons que la détermination du point $P_{11}$ à l'étape 2 est équivalente à la condition suivante :

$$ \{P_{11}\} \in [P_{00}P_{20}]^{\perp} \cap [P_{00}P_{02}]^{\perp} \cap [P_{20}P_{22}]^{\perp} \cap [P_{02}P_{22}]^{\perp} $$

La figure 8.1(a) (resp. 8.1(b)) illustre une famille de points, construits par l'algorithme 8.1, conduisant à un tore (resp. une cyclide de Dupin). Les coordonnées de ces points sont données dans le tableau 8.1 (resp. tableau 8.2).
<figure><img src="image_114.png" /><figcaption>FIGURE 8.1 – Construction d'un polyèdre de contrôle d'une cyclide de Dupin. (a) : cas dégénéré du tore. (b) : cas général.</figcaption></figure>

## 8.1.2 Détermination de la surface sous-jacente

### 8.1.2.1 Cas du tore

L'algorithme 8.2 permet de déterminer les paramètres du tore sous-jacent à l'algorithme 8.1. Il suffit de déterminer l'axe de révolution du tore (intersection de deux plans du faisceau adéquat), du centre $O_T$ du tore comme intersection de cet axe avec le plan passant par le centre $O_m$ d'un cercle méridien et orthogonal à cet axe. Le rayon mineur du tore est le rayon du cercle méridien tandis que le rayon majeur est la distance $O_T O_m$.

La figure 8.2 montre le tore sous-jacent au polyèdre de l'image 8.1(a). Le rayon majeur (resp. mineur) est $R \approx 6,71$ (resp. $r \approx 4,58$), les bornes du carreau sont $\theta_0 \approx 3,785093763$, $\theta_1 \approx 4,712388981$, $\psi_0 \approx 4,202649304$ et $\psi_1 \approx 2,080536004$. Le tableau 8.1 donne les coordonnées des points du polyèdre.
**Algorithmme 8.2** Détermination du tore sous-jacent à l’algorithme 8.1.

**Entrée** : Une famille de points de contrôle $(P_{ij})_{0 \le i,j \le 2}$ construits par l’algorithme 8.1 vérifiant :

$$ \begin{cases} \operatorname{Aff}\{P_{20}; P_{21}; P_{22}\} \cap \operatorname{Aff}\{P_{00}; P_{01}; P_{02}\} = \emptyset \\ \operatorname{Aff}\{P_{02}; P_{12}; P_{22}\} \cap \operatorname{Aff}\{P_{00}; P_{10}; P_{20}\} = \Delta_b \neq \emptyset \end{cases} $$

1. Détermination du centre $O_m$ d'un des cercles méridiens (de rayon $r$) en utilisant une courbe de Bézier de points de contrôle $P_{00}$, $P_{10}$ et $P_{20}$.

2. Détermination du plan de symétrie $P_z$ passant par $O_m$ et orthogonal à la droite $\Delta_b$.

3. Détermination du centre $O_T$ du tore par :

$$ \{O_T\} = P_z \cap \Delta_b $$

4. Détermination du rayon majeur $R = O_T O_m$.

5. Détermination des bornes $\theta_0$, $\theta_1$, $\psi_0$ et $\psi_1$ du tore.

**Sortie** : Paramètres du tore sous-jacent à l’algorithme 8.1.

<table><caption>TABLE 8.1 – Coordonnées du polyèdre des images 8.1(a) et 8.2.</caption><thead><tr><td>Points</td><td>Originaux</td><td>Dans le repère du tore</td></tr></thead><tbody><tr><td>P<sub>00</sub></td><td>(4; 4; 0)</td><td>(-7, 16; -5, 37; 4, 00)</td></tr><tr><td>P<sub>01</sub></td><td>(4; 0; 2)</td><td>(-4, 47; -8, 94; 4, 00)</td></tr><tr><td>P<sub>02</sub></td><td>(4; -4; 0)</td><td>(0, 00; -8, 94; 4, 00)</td></tr><tr><td>P<sub>10</sub></td><td>(0, 00; 7, 20; 6, 40)</td><td>(-12, 88; -9, 66; 0, 00)</td></tr><tr><td>P<sub>11</sub></td><td>(0; 0; 10)</td><td>(-8, 05; -16, 10; 0, 00)</td></tr><tr><td>P<sub>12</sub></td><td>(0, 00; -7, 20; 6, 40)</td><td>(0, 00; -16, 10; 0, 00)</td></tr><tr><td>P<sub>20</sub></td><td>(-4; 4; 0)</td><td>(-7, 16; -5, 37; -4, 00)</td></tr><tr><td>P<sub>21</sub></td><td>(-4, 00; 0, 00; 2, 00)</td><td>(-4, 47; -8, 94; -4, 00)</td></tr><tr><td>P<sub>22</sub></td><td>(-4; -4; 0)</td><td>(0, 00; -8, 94; -4, 00)</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_115.png" /><figcaption>FIGURE 8.2 – Détermination du tore sous-jacent au polyèdre de l’image 8.1(a).</figcaption></figure>
### 8.1.2.2 Cas de la cyclide de Dupin

Les neuf points étant construits, nous pouvons déterminer la surface sous-jacente. La première étape est la détermination des “axes” de la cyclide de Dupin c’est-à-dire les deux droites $\Delta_{\theta}$ et $\Delta_{\psi}$, obtenues comme intersection de deux plans de chaque faisceau, ainsi que leur perpendiculaire commune $\Delta_{0}$. Nous devons ensuite déterminer le type de la cyclide de Dupin en nous basant sur les cercles de bordures du carreau et les deux droites $\Delta_{\theta}$ et $\Delta_{\psi}$ [Gar07]. Il reste ensuite à déterminer deux cercles principaux de la cyclide de Dupin, que nous prenons dans le plan $P_{z}$. Notons que leurs centres appartiennent à $\Delta_{0}$ : il suffit donc de connaître deux autres points par cercle, ce qui est facile en utilisant les deux bords adéquats du carreau. Il est alors aisé d’obtenir les paramètres de la cyclide de Dupin ainsi que les bornes de visualisation.

La figure 8.3 montre la cyclide de Dupin sous-jacente au polyèdre de l'image 8.1. Les paramètres de la cyclide de Dupin sont $a \approx 6, 42$, $\mu \approx 4, 93$ et $c \approx 3, 02$. Les bornes du carreau sont $\theta_{0} \approx -0, 7122229907$, $\theta_{1} \approx 0, 9882791880$, $\psi_{0} \approx -0, 9339265289$ et $\psi_{1} \approx 1, 079778249$.

Dans le tableau 8.2 figurent les coordonnées des points du polyèdre des figures 8.1 et 8.3.

<table><caption>TABLE 8.2 – Coordonnées du polyèdre des figures 8.1 et 8.3.</caption><thead><tr><th>Points</th><th>Originaux</th><th>Dans le repère de la CD4</th></tr></thead><tbody><tr><td>P<sub>00</sub></td><td>(2√2; 2√2; 0)</td><td>(4, 93; -2, 55; 2, 38)</td></tr><tr><td>P<sub>01</sub></td><td>(-0, 70; -5, 32; -6, 51)</td><td>(-2, 57; 4, 79; -0, 95)</td></tr><tr><td>P<sub>02</sub></td><td>(-2; 2√3; 0)</td><td>(5, 22; -2, 83; -2, 47)</td></tr><tr><td>P<sub>10</sub></td><td>(1/2; 0; 24/5)</td><td>(9, 34; 1, 11; 0, 48)</td></tr><tr><td>P<sub>11</sub></td><td>(0; 0; 8)</td><td>(12, 53; 1, 61; 0, 15)</td></tr><tr><td>P<sub>12</sub></td><td>(-0, 45; 0, 06; 4, 90)</td><td>(9, 49; 1, 13; -0, 46)</td></tr><tr><td>P<sub>20</sub></td><td>(2√2; -2√2; 0)</td><td>(4, 08; 3, 03; 2, 74)</td></tr><tr><td>P<sub>21</sub></td><td>(0, 00; 3, 70; -5, 22)</td><td>(0, 01; -3, 97; -0, 76)</td></tr><tr><td>P<sub>22</sub></td><td>(-2√2; -2√2; 0)</td><td>(4, 32; 3, 43; -2, 90)</td></tr></tbody></table>

## 8.2 Définition des applications contractantes

### 8.2.1 Principe général

Chaque surface est déterminée par neuf points, paragraphe 8.1.1. Le principe consiste à remplacer cette famille de neuf points par deux familles de neuf points vérifiant les mêmes propriétés. La figure 8.4 illustre le principe du G.I.F.S. sachant que les deux bords ne sont pas dans des plans parallèles.
<figure><img src="image_116.png" /><figcaption>FIGURE 8.3 – Détermination de la cyclide de Dupin sous-jacente au polyèdre de l’image 8.1. (a) : la cyclide de Dupin, le polyèdre et les deux droites $\Delta_{\theta}$ et $\Delta_{\psi}$. (b) : le carreau de cyclide de Dupin correspondant au polyèdre.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_117.png" /><figcaption>FIGURE 8.4 – Illustration des deux applications contractantes, algorithmes 8.5 et 8.4.</figcaption></figure>

## 8.2.2 Cas des cyclides de Dupin

La figure 8.5 montre le résultat de l’algorithme 8.4 appliqué au polyèdre de l’image 8.1.

Les coordonnées des sommets des polyèdres, obtenus en appliquant l’algorithme 8.4, avec $\omega_{01} \simeq 0,22$, aux points du tableau 8.2, de la figure 8.1 sont données par le tableau 8.3.

Les coordonnées des sommets des polyèdres, obtenus en appliquant l’algorithme 8.4, avec $\omega_{01} \simeq -0,22$, aux points du tableau 8.2, de la figure 8.1 sont données par le tableau 8.4 et l’illustration est faite par la figure 8.6. Nous obtenons alors une partie du complémentaire du carreau de la cyclide de Dupin.
<figure><img src="image_118.png" /><figcaption>FIGURE 8.5 – G.I.F.S., algorithme 8.4, appliqué au polyèdre de l'image 8.1.</figcaption></figure>

<table><caption>TABLE 8.3 – Coordonnées du polyèdre de l'image 8.5 en utilisant l'algorithme 8.4.</caption><thead><tr><td>Indice</td><td>O<sub>ij</sub></td><td>E<sub>ij</sub></td></tr></thead><tbody><tr><td>(0; 0)</td><td>(4, 93; -2, 55; 2, 38)</td><td>(3, 69; -1, 34; -0, 21)</td></tr><tr><td>(1; 0)</td><td>(3, 57; -1, 22; 1, 78)</td><td>(3, 81; -1, 45; -2, 20)</td></tr><tr><td>(2; 0)</td><td>(3, 69; -1, 34; -0, 21)</td><td>(5, 22; -2, 83; -2, 47)</td></tr><tr><td>(0; 1)</td><td>(9, 34; 1, 11; 0, 48)</td><td>(8, 25; 0, 93; -0, 07)</td></tr><tr><td>(1; 1)</td><td>(8, 07; 0, 90; 0, 62)</td><td>(8, 41; 0, 96; -0, 68)</td></tr><tr><td>(2; 1)</td><td>(8, 25; 0, 93; -0, 09)</td><td>(9, 49; 1, 13; -0, 46)</td></tr><tr><td>(0; 2)</td><td>(4, 08; 3, 03; 2, 74)</td><td>(3, 18; 1, 48; -0, 23)</td></tr><tr><td>(1; 2)</td><td>(3, 10; 1, 34; 1, 90)</td><td>(3, 27; 1, 62; -2, 38)</td></tr><tr><td>(2; 2)</td><td>(3, 18; 1, 48; -0, 23)</td><td>(4, 32; 3, 43; -2, 90)</td></tr></tbody></table>

<table><caption>TABLE 8.4 – Coordonnées du polyèdre de l'image 8.6 en utilisant l'algorithme 8.4 avec $\omega_{01}$ négatif.</caption><thead><tr><td>Indice</td><td>O<sub>ij</sub></td><td>E<sub>ij</sub></td></tr></thead><tbody><tr><td>(0; 0)</td><td>(4, 93; -2, 55; 2, 38)</td><td>(7, 24; -4, 82; 0, 21)</td></tr><tr><td>(1; 0)</td><td>(7, 06; -4, 63; 3, 33)</td><td>(7, 43; -5, 00; -2, 91)</td></tr><tr><td>(2; 0)</td><td>(7, 24; -4, 82; 0, 21)</td><td>(5, 22; -2, 83; -2, 47)</td></tr><tr><td>(0; 1)</td><td>(9, 34; 1, 11; 0, 48)</td><td>(10, 09; 1, 22; 0, 03)</td></tr><tr><td>(1; 1)</td><td>(10, 05; 1, 22; 0, 41)</td><td>(10, 12; 1, 23; -0, 33)</td></tr><tr><td>(2; 1)</td><td>(10, 09; 1, 22; 0, 03)</td><td>(9, 49; 1, 13; -0, 46)</td></tr><tr><td>(0; 2)</td><td>(4, 08; 3, 03; 2, 74)</td><td>(6, 17; 6, 63; 0, 279)</td></tr><tr><td>(1; 2)</td><td>(5, 98; 6, 30; 4, 37)</td><td>(6, 37; 6, 97; -3, 92)</td></tr><tr><td>(2; 2)</td><td>(6, 17; 6, 63; 0, 28)</td><td>(4, 32; 3, 43; -2, 90)</td></tr></tbody></table>
**Algorithme 8.3** Détermination de la cyclide de Dupin sous-jacente à l'algorithme 8.1.

**Entrée** : Une famille de points de contrôle $(P_{ij})_{0 \le i,j \le 2}$ construits par l'algorithme 8.1 vérifiant :

$$ \begin{cases} \operatorname{Aff}\{P_{20}; P_{21}; P_{22}\} \cap \operatorname{Aff}\{P_{00}; P_{01}; P_{02}\} \neq \emptyset \\ \operatorname{Aff}\{P_{02}; P_{12}; P_{22}\} \cap \operatorname{Aff}\{P_{00}; P_{10}; P_{20}\} \neq \emptyset \end{cases} $$

1. Détermination des droites suivantes :

$$ \begin{array}{l} \Delta_a = \operatorname{Aff}\{P_{20}; P_{21}; P_{22}\} \cap \operatorname{Aff}\{P_{00}; P_{01}; P_{02}\} \\ \Delta_b = \operatorname{Aff}\{P_{02}; P_{12}; P_{22}\} \cap \operatorname{Aff}\{P_{00}; P_{10}; P_{20}\} \\ \Delta_0 \text{ est la perpendiculaire commune à } \Delta_a \text{ et } \Delta_b \end{array} $$

2. Détermination du type de la cyclide de Dupin [Gar07], de sa base $(\vec{i}_0, \vec{j}_0, \vec{k}_0)$ et des droites $\Delta_{\theta}$ et $\Delta_{\psi}$. Construction de $\mathcal{P}_z = \operatorname{Aff}\{\Delta_0; \Delta_{\psi}\}$ et $\mathcal{P}_y = \operatorname{Aff}\{\Delta_0; \Delta_{\theta}\}$.

3. Calcul des poids $\omega_{10} = \cos(\overrightarrow{P_{00}P_{10}}; \overrightarrow{P_{00}P_{20}})$ et $\omega_{12} = \cos(\overrightarrow{P_{02}P_{12}}; \overrightarrow{P_{02}P_{22}})$ puis détermination des cercles $C_{10}$ et $C_{12}$ par :

$$ \begin{aligned} C_{10} &= \operatorname{RQBC}(P_{00}; P_{10}; P_{20}; \omega_{10}) \\ &\cup \operatorname{RQBC}(P_{00}; P_{10}; P_{20}; -\omega_{10}) \\ C_{12} &= \operatorname{RQBC}(P_{02}; P_{12}; P_{22}; \omega_{12}) \\ &\cup \operatorname{RQBC}(P_{02}; P_{12}; P_{22}; -\omega_{12}) \end{aligned} \quad (8.1) $$

4. Détermination des points $A_0$ et $B_0$ vérifiant :

$$ \begin{cases} \{A_0; B_0\} = C_{10} \cap \mathcal{P}_z \\ d(A_0; \Delta_0) \ge d(B_0; \Delta_0) \end{cases} $$

et $A_1$ et $B_1$ vérifiant :

$$ \begin{cases} \{A_1; B_1\} = C_{12} \cap \mathcal{P}_z \\ d(A_1; \Delta_0) \ge d(B_1; \Delta_0) \end{cases} $$

5. Détermination des centres $O_1$ et $O_2$ des cercles principaux dans $\mathcal{P}_z$ par :

$$ \{O_1\} = \Delta_0 \cap [A_0A_1]^\perp \quad \{O_2\} = \Delta_0 \cap [B_0B_1]^\perp $$

et calculs des rayons correspondants $\rho_1 = O_1A_1$ et $\rho_2 = O_2B_1$.

6. Détermination des paramètres $a, c$ et $\mu$ de la cyclide de Dupin.

7. Détermination des bornes $\theta_0, \theta_1, \psi_0$ et $\psi_1$ de la cyclide de Dupin.

**Sortie** : Paramètres de la cyclide de Dupin sous-jacente à l'algorithme 8.1.
**Algorithme 8.4** Deux applications contractantes applicables aux algorithmes 8.1 et 8.4.

**Entrée** : Une famille de points de contrôle $(P_{ij})_{0 \le i,j \le 2}$ construits par l'algorithme 8.1 ou 8.4.

**Pré-condition** : Afin d'exclure le cas du tore et de la sphère double, on impose :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{Aff}\{P_{20}; P_{21}; P_{22}\} \cap \mathrm{Aff}\{P_{00}; P_{01}; P_{02}\} \neq \emptyset \\ \mathrm{Aff}\{P_{02}; P_{12}; P_{22}\} \cap \mathrm{Aff}\{P_{00}; P_{10}; P_{20}\} \neq \emptyset \end{array} \right. $$

**Pré-calcul** : Détermination des droites suivantes :

$$ \Delta_a = \mathrm{Aff}\{P_{20}; P_{21}; P_{22}\} \cap \mathrm{Aff}\{P_{00}; P_{01}; P_{02}\} $$

$$ \Delta_b = \mathrm{Aff}\{P_{02}; P_{12}; P_{22}\} \cap \mathrm{Aff}\{P_{00}; P_{10}; P_{20}\} $$

1. Initialisation des points qui sont invariants :

<table><thead><tr><td>Côté Ouest</td><td>Côté Est</td></tr></thead><tbody><tr><td>O<sub>00</sub> = P<sub>00</sub></td><td>E<sub>02</sub> = P<sub>02</sub></td></tr><tr><td>O<sub>10</sub> = P<sub>10</sub></td><td>E<sub>12</sub> = P<sub>12</sub></td></tr><tr><td>O<sub>20</sub> = P<sub>20</sub></td><td>E<sub>22</sub> = P<sub>22</sub></td></tr></tbody></table>

2. Calcul du poids $\omega_{01} = \cos(\overrightarrow{P_{00}P_{01}})$.

3. Détermination des points :

$$ O_{01} = \mathrm{bar}\{(P_{00}; 1), (P_{01}; \omega_{01})\} $$

$$ E_{01} = \mathrm{bar}\{(P_{02}; 1), (P_{01}; \omega_{01})\} $$

$$ O_{02} = E_{00} \text{ est le milieu du segment } [O_{01}E_{01}] $$

4. Détermination du sommet $O_{22} = E_{20}$ des deux carreaux appartenant à :

$$ \mathrm{Aff}\{O_{00}; O_{20}; O_{02}\} \cap \mathrm{Aff}\{P_{20}; P_{21}; P_{22}\} \cap \mathrm{Aff}\{O_{02}; \Delta_b\} $$

5. Détermination des points $O_{11}$ et $E_{11}$ par :

$$ \{O_{11}\} = [O_{00}O_{02}]^{\perp} \cap [O_{00}O_{20}]^{\perp} \cap \mathrm{Aff}\{O_{00}; O_{01}; O_{10}\} $$

$$ \{E_{11}\} = [E_{00}O_{02}]^{\perp} \cap [E_{22}E_{02}]^{\perp} \cap \mathrm{Aff}\{E_{02}; E_{01}; E_{12}\} $$

6. Détermination des points $E_{10} = O_{12}$ appartenant à :

$$ [O_{02}O_{22}]^{\perp} \cap \mathrm{Aff}\{O_{02}; \Delta_b\} \cap \mathrm{Aff}\{O_{02}; O_{01}; O_{11}\} $$

7. Détermination des points $O_{21}$ et $E_{21}$ :

$$ O_{21} = [O_{20}O_{22}]^{\perp} \cap \mathrm{Aff}\{O_{22}; O_{12}; O_{11}\} \cap \mathrm{Aff}\{O_{20}; O_{22}; P_{22}\} $$

$$ E_{21} = [E_{20}E_{22}]^{\perp} \cap \mathrm{Aff}\{E_{20}; E_{10}; E_{11}\} \cap \mathrm{Aff}\{E_{22}; E_{20}; P_{20}\} $$

**Sortie** : Deux familles de points de contrôle $(O_{ij})_{0 \le i,j \le 2}$ et $(E_{ij})_{0 \le i,j \le 2}$ permettant d'appliquer l'algorithme 8.4.
<figure><img src="image_119.png" /><figcaption>FIGURE 8.6 – G.I.F.S., algorithme 8.4, appliqué au polyèdre de l’image 8.1 avec une valeur négative de $\omega_{01}$. (a) : la famille de points $(O_{ij})_{0\le i,j\le 2}$. (b) : la famille de points $(E_{ij})_{0\le i,j\le 2}$.</figcaption></figure>