# Bruit généré par l'interaction entre un écoulement de couche limite et une structure déformable

Marie-Laure Gobert, Uwe Ehrenstein, Jacques-André Astolfi, Patrick Bot

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Marie-Laure Gobert, Uwe Ehrenstein, Jacques-André Astolfi, Patrick Bot. Bruit généré par l'interaction entre un écoulement de couche limite et une structure déformable. 19ème Congrès Français de Mécanique, Aug 2009, Marseille, France. pp.1-6. hal-00420797

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# Bruit généré par un écoulement de couche limite instable le long d'une paroi déformable

MARIE-LAURE GOBERTª, UWE EHRENSTEINᵇ, JACQUES-ANDRÉ ASTOLFIª & PATRICK BOTª

a. IRENav, BP 600, 29240 BREST ARMEES

b. IRPHE UMR 6594, 49 rue Joliot Curie, BP 146, 13384 Marseille Cedex 13

## Résumé :

L'interaction entre un écoulement de couche limite instable saturé non linéairement et une plaque élastique est étudiée par simulation numérique directe en tenant compte d'un couplage fort entre l'écoulement et la paroi souple. Le bruit généré à faible nombre de Mach par le système est estimé dans le cadre de l'analogie de Lighthill à partir des données de simulation et les niveaux de pression rayonnée sont comparés pour différents degrés de couplage fluide - structure. Nos résultats montrent que les niveaux obtenus sont globalement augmentés par la présence de la paroi souple, et dépendent de l'hypothèse de couplage choisie dans le modèle de bruit. Ce travail a été financé par Thales Underwater System et DCNS.

## Abstract :

The interaction between an unstable non-linearly saturated boundary-layer flow and an elastic plate is addressed by direct numerical simulation, taking into account the full coupling between the fluid flow and the flexible wall. The low Mach number sound generated by the system is estimated in the framework of the Lighthill's analogy from the simulation data and radiated pressure levels are compared for different degrees of fluid-structure coupling. The computed levels are shown to be increased in the presence of the flexible wall, and to depend on the coupling assumption in the sound model. This work was supported by Thales Underwater System and DCNS.

**Mots clefs :** couche limite le long de parois élastiques, simulation numérique, bruit rayonné, analogie de Lighthill

## 1 Introduction

Le bruit hydrodynamique perçu par les antennes de navires de surface ou de sous-marins, généré par l'écoulement de couche limite qui se développe le long de leur surface, a fait l'objet de nombreuses études. Les modèles développés reposent principalement sur des spectres en nombres d'onde - fréquences des fluctuations de pression turbulente sur paroi rigide, tels que les modèles de Chase [1] ou Corcos [2]. Dans le cas de couches limites le long de parois souples, les estimations de bruit sont généralement réalisées en supposant que la pression pariétale peut être approchée comme la somme de la pression que l'on observerait sur paroi rigide dans la même configuration et d'une pression acoustique induite par les vibrations de la paroi, calculée sous une hypothèse de couplage faible avec l'écoulement (cf. par exemple [3]). Ainsi Zheng [4] s'intéresse au bruit rayonné par un écoulement le long d'une paroi souple infinie, qu'il estime dans le cadre de l'analogie de Lighthill [5] au moyen d'une fonction de Green appropriée et du spectre de pression pariétale. Il obtient des niveaux spectraux de pression rayonnée intensifiés à basses fréquences en présence de la paroi souple.
La présente étude reconsidère le problème du bruit d'écoulement dans le cas d'une couche limite bidimensionnelle instable fortement couplée à une paroi élastique de longueur finie. Les sources acoustiques dans la couche limite sont obtenues par simulation directe et le bruit rayonné est estimé en post-traitement dans le cadre de l'analogie de Lighthill. Une première section présente les méthodes numériques relatives à la simulation et au post-traitement acoustique. La dynamique du système couplé couche limite - paroi souple est analysée dans une seconde partie. Les niveaux de bruit rayonné résultants sont ensuite comparés pour différents modèles tenant compte d'un degré de couplage variable.

## 2 Méthodes numériques

### 2.1 Système fluide - structure

On considère un écoulement de couche limite bidimensionnel, solution des équations de Navier-Stokes incompressibles dans le domaine fluide borné par une paroi élastique encastrée $0 \le x \le 820$, $\eta(x, t) \le y \le \infty$,
avec $\eta$ le déplacement de la paroi. Le domaine fluide est transformé en un domaine de calcul cartésien par le changement de variables évolutif

$$ \bar{x} = x \quad \bar{y} = y - \eta(x, t) \quad \bar{t} = t. $$

Ce dernier affecte les opérateurs spatiaux et temporels du système de Navier-Stokes, qui est alors modifié par l'ajout des termes $S$ et $G$ contenant les termes métriques

$$ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \bar{t}} + (\mathbf{u} \cdot \bar{\nabla}) \mathbf{u} + \bar{\nabla} p - \frac{1}{Re} \bar{\nabla}^2 \mathbf{u} = S(\eta, \mathbf{u}, p), \quad (1) $$

$$ \bar{\nabla} \cdot \mathbf{u} = G(\eta, \mathbf{u}). \quad (2) $$

Dans les équations précédentes les quantités ont été adimensionnées en utilisant l'épaisseur de déplacement $\delta_0^*$ du profil de Blasius choisi en entrée de domaine, et la vitesse de l'écoulement uniforme $U_\infty^*$. Le système est discrétisé spatialement par différences finies d'ordre 4 dans la direction longitudinale $x$ et par collocation Chebyshev dans la direction normale $y$, le domaine semi-infini étant tronqué au bord supérieur à $y = y_{max}$ par une transformation appropriée (cf. Marquillie & Ehrenstein [6]). Une valeur $y_{max} = 80$ s'est avérée suffisante pour que l'écoulement soit uniforme dans la zone supérieure du domaine.

Le déplacement de la paroi, calculé dans le cadre de l'élasticité linéaire, est solution de l'équation

$$ m \frac{\partial^2 \eta}{\partial t^2} + d \frac{\partial \eta}{\partial t} + B \frac{\partial^4 \eta}{\partial x^4} + \kappa \eta = \sigma_P, \quad (3) $$

les paramètres adimensionnés $m$, $B$, et $d$ représentant respectivement la masse, le module d'élasticité, et l'amortissement de la paroi. Une raideur $\kappa$ est adjointe à cette dernière, modélisant l'action d'un substrat visqueux situé sous la paroi.

Le second membre de l'équation dynamique (3), $\sigma_P = -p + (\mathcal{D} \cdot \mathbf{n}) \cdot \mathbf{n}$, représente la contrainte normale fluide, constituée de la pression pariétale et de la contrainte visqueuse normale. Les mouvements de la paroi affectent en retour l'écoulement par l'intermédiaire de la condition cinématique, qui s'écrit à l'interface $\bar{y} = 0$, en l'absence de déplacement longitudinal de la paroi,

$$ u = 0 \quad v = \frac{\partial \eta}{\partial t}. \quad (4) $$

Le système est résolu en temps par un schéma semi-implicite d'ordre 2. Le calcul de la pression, solution d'une équation de Poisson modifiée par le changement de variables, fait l'objet d'une attention particulière. Une méthode de pas fractionnaire, mise en oeuvre afin de traiter la condition d'incompressibilité, fait intervenir une boucle itérative qui permet de calculer la correction de pression dans une géométrie réactualisée à chaque itération, assurant ainsi un couplage fort entre la pression et le déplacement $\eta$ de la paroi.

## 2.2 Bruit rayonné

On cherche à déterminer le bruit rayonné dans l'écoulement uniforme par les sources acoustiques présentes dans la couche limite. L'écoulement étant à très bas nombre de Mach, les calculs sont réalisés dans le cadre de l'analogie de Lighthill, qui suppose que les sources acoustiques peuvent être estimées à partir des fluctuations de vitesse incompressibles dans la couche limite $(u', v')$ (cf. [5]). En écrivant les coordonnées $(x, y) = (x_1, x_2)$ et les fluctuations de vitesse $(u', v') = (u'_1, u'_2)$, ces sources ont pour expression adimensionnée

$$ S(x_1, x_2) = \frac{\partial^2 T_{ij}}{\partial x_i \partial x_j}, \quad \text{avec} \quad T_{ij} = u'_i u'_j - \frac{1}{Re} \left( \frac{\partial u'_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u'_j}{\partial x_i} \right). \quad (5) $$

La pression acoustique dans la couche limite est alors solution de l'équation d'onde forcée

$$ M^2 \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 p}{\partial y^2} = S(x, y, t), \quad (6) $$

avec $M$ le nombre de Mach de l'écoulement.

Les sources acoustiques étant contenues dans la couche limite, la pression rayonnée dans le domaine de l'écoulement uniforme, repéré par un second système de coordonnées $(X, Y)$ avec $Y = 0$ le bord de la couche limite, est quant à elle solution de l'équation d'onde homogène. Cette dernière est résolue dans l'espace spectral, le spectre de pression étant défini par la relation

$$ \hat{P}(k, Y, \omega) = \int_{t_0}^{t_0+T} \int_{0}^{L} P(X, Y, T) e^{-i(kX - \omega T)} dX dT. \quad (7) $$
$\hat{P}$ vérifie alors $(k^2 - M^2 \omega^2) \hat{P} - \frac{\partial^2 \hat{P}}{\partial Y^2} = 0$ et par conséquent

$$ \hat{P}(k, Y, \omega) = \hat{P}_0(k, \omega) e^{i\gamma Y}, \qquad (8) $$

où $\hat{P}_0(k, \omega) = \hat{P}(k, Y = 0, \omega)$ désigne le spectre de pression au bord de la couche limite, et

$$ \gamma = \begin{cases} \omega \sqrt{M^2 - \frac{k^2}{\omega^2}} & \text{si } M^2 - \frac{k^2}{\omega^2} \ge 0, \\ i \sqrt{k^2 - M^2 \omega^2} & \text{si } M^2 - \frac{k^2}{\omega^2} < 0, \end{cases} \qquad (9) $$

avec la convention que lorsque $\gamma$ est réel il est du signe de $\omega$. En champ lointain, la pression rayonnée résultera principalement des composantes supersoniques (pour lesquelles $|\omega/k| \ge 1/M$, soit $\gamma$ réel), l'amplitude des composantes subsoniques décroissant exponentiellement avec $Y$.

Le calcul du spectre $\hat{P}_0$ est effectué au moyen d'une fonction de Green $G(X, Y, T, x, y, t)$ définie par

$$ M^2 \frac{\partial^2 G}{\partial t^2} - \nabla^2 G = \delta(X - x, Y - y, T - t). \qquad (10) $$

On montre qu'il est possible de calculer une fonction $G$ faisant intervenir les quantités spectrales de pression et de la sa dérivée normale à la paroi (cf. [7] ou [4]), telle que

$$ \hat{P}_0(k, \omega) = - \frac{\hat{p}(k, 0, \omega)}{\frac{\partial \hat{p}}{\partial y}(k, 0, \omega) - i\gamma \hat{p}(k, 0, \omega)} \int_0^h \mathcal{L}(k, y, \omega) e^{i\gamma y} dy, \qquad (11) $$

$$ \text{avec } \mathcal{L}(k, y, \omega) = [k\delta_{i1} + \gamma\delta_{i2}] [k\delta_{j1} + \gamma\delta_{j2}] \hat{T}_{ij}(k, y, \omega) \qquad (12) $$

et $h$ la hauteur de la couche limite. Dans ce modèle les calculs de bruit sont réalisés en post-traitement des simulations de couche limite couplée aux vibrations de la paroi élastique, en utilisant les données incompressibles enregistrées à chaque pas de temps.

## 3 Dynamique du système fluide - structure

L'écoulement considéré dans cette étude est caractérisé par une vitesse uniforme $U_\infty^* = 18 \text{ m.s}^{-1}$ et un nombre de Reynolds local en entrée de domaine hautement supercritique $Re = 2000$. Un forçage volumique en vitesse est introduit à une position $(x_f = 35, y_f = 1.5)$ voisine de l'entrée du domaine afin d'amorcer les instabilités dans l'écoulement. Ce forçage, d'enveloppe spatiale gaussienne, est choisi oscillatoire à quatre fréquences $\omega_1 = 0.04, \omega_2 = 0.08, \omega_3 = 0.12$ et $\omega_4 = 0.16$, les trois premières étant instables dès l'entrée du domaine compte tenu du nombre de Reynolds $Re = 2000$. L'amplitude $A$ du forçage (telle que le maximum de fluctuation de vitesse soit de l'ordre de $|f_u| = 0.18 A$) est choisie de façon que l'instabilité convective sature à l'intérieur du domaine de simulation. Une valeur élevée $A = 0.1$ conduit à une saturation rapide en aval de la position de forçage, dès $x \approx 100$.

Les paramètres relatifs à la paroi souple considérée dans cette étude, $m = 28.2$, $B = 7.85 \times 10^5$, $\kappa = 4.58$, correspondent à une plaque de polyuréthane d'épaisseur $4 \text{ mm}$, de masse volumique $1100 \text{ kg/m}^3$ et de module de Young $1.31 \times 10^8 \text{ Pa}$, uniformément raidie par une raideur de $10^{10} \text{ N/m}^3$. La paroi, de longueur $L_P = 614$ (soit une longueur réelle de $9.3 \text{ cm}$) est encastrée dans un support rigide entre les abscisses $x_1 = 40$ et $x_2 = 654$.

Sous l'effet des instabilités fluides, la paroi vibre autour d'un état déformé statique résultant du couplage avec l'écoulement initial non perturbé. Les fluctuations de déplacement sont constituées d'oscillations modales aux

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIG. 1 – Déplacement instantané (· · ·) et déformation statique (—) de la paroi souple.</figcaption></figure>
premières fréquences propres de la paroi, et d'oscillations induites par les instabilités à la fréquence la plus instable $\omega \approx 0.04$, auxquelles sont associées des structures de petite échelle spatiale, visibles sur la figure 1. Compte tenu de la présence du terme de raideur $\kappa$ prépondérant dans l'expression des fréquences propres de la paroi, les valeurs de ces dernières sont quasiment identiques pour les premiers modes. La valeur théorique, de l'ordre de $\omega \approx 0.4$, est diminuée d'environ 30% par un effet de masse ajoutée et devient $\omega' \approx 0.26$.

Afin d'apprécier l'influence des vibrations de la paroi souple sur l'écoulement, le spectre en nombres d'onde - fréquences de la pression pariétale est calculé en régime établi (atteint lorsque le front instable est évacué hors du domaine de simulation), avec $T = 2048$ et $L = 820$, et comparé avec le spectre obtenu sur une paroi entièrement rigide. Les deux spectres sont dominés par des pics aux fréquences de forçage et à leurs harmoniques, générées par non linéarités dans le fluide, mais le spectre sur paroi souple, représenté sur la figure 2(a), présente des pics modaux supplémentaires à la fréquence propre $\omega \approx \pm 0.26$. Les zones composantes des deux spectres sont très proches, comme le montre la comparaison des coupes à $\omega = 0.26$, représentée sur la figure 2(b). Cette dernière fait en revanche clairement apparaître la remontée spectrale à bas nombres d'onde, induite par la paroi souple, qui est de nature à favoriser le rayonnement acoustique.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIG. 2 – (a) Isolignes de $\log|\hat{p}(k, y = 0, \omega)|$ sur paroi souple (b) Coupes spectrales à $\omega = 0.26$ pour la paroi rigide (· · ·) et la paroi souple (—).</figcaption></figure>

# 4 Bruit rayonné

## 4.1 Pression rayonnée à partir de la pression pariétale incompressible

Le spectre de pression rayonnée à une distance $Y$ du bord de la couche limite (8) est calculé en utilisant la formulation (11) de la pression $\hat{P}_0$ au bord de la couche limite, pour un nombre de Mach $M = 0.012$ et une hauteur de couche limite $h \approx 4$, en utilisant les données enregistrées au cours des simulations numériques. Afin d'analyser l'influence des vibrations de la paroi souple sur les fréquences qui peuvent donner lieu à du bruit rayonné, on s'intéresse à la comparaison des densités spectrales de pression rayonnée

$$P(Y, \omega) = \int |\hat{P}(k, Y, \omega)|^2 dk$$

sur parois rigide et souple. Les courbes obtenues pour une distance $Y = 100$, représentées sur la figure 3, sont dominées par les pics aux fréquences de forçage ainsi qu'à leurs harmoniques. Du fait d'interactions entre les vibrations de la paroi et les instabilités dans l'écoulement, les niveaux spectraux sont cependant supérieurs sur paroi souple aux fréquences intermédiaires, en particulier à la fréquence propre $\omega = 0.26$. A ces fréquences,

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIG. 3 – Densités spectrales de pression rayonnée sur parois rigide (· · ·) et souple (—) à $Y = 100$.</figcaption></figure>

la représentation de la pression rayonnée dans l'espace physique $(X, Y)$ fait apparaître de larges structures
spatiales en présence de la paroi souple qui donnent lieu à plus de rayonnement par rapport au cas de la paroi rigide, comme le montre la figure 4 pour $Y = 100$.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIG. 4 – Distribution spatiale de pression rayonnée à une fréquence donnée et $Y = 100$ pour la paroi rigide (· · ·) et la paroi souple (—) (a) $\omega = 0.26$ (b) $\omega = 0.46$.</figcaption></figure>

## 4.2 Modèles basés sur une pression acoustique à la paroi

Conformément à l'approche classiquement utilisée dans les études de bruit d'écoulement mettant en jeu des parois vibrantes (cf. [3]), la pression pariétale est décomposée en la somme de la pression sur paroi rigide et d'une pression acoustique induite par les vibrations de la paroi

$$ \hat{p}(k, y = 0, \omega) = \hat{p}_{rigide}(k, y = 0, \omega) + \hat{p}_a(k, y = 0, \omega). \quad (13) $$

Dans la couche limite, la pression acoustique $\hat{p}_a$, solution de l'équation d'ondes homogène, est donnée par

$$ \hat{p}_a(k, y, \omega) = \frac{-i}{\gamma} \left[ \frac{\partial \hat{p}_a}{\partial y} \right]_{y=0} e^{i\gamma y}. \quad (14) $$

Un premier modèle peut être mis en oeuvre en considérant une hypothèse de couplage faible, sous laquelle la pression acoustique est linéairement couplée aux vibrations de la paroi par la condition

$$ \left[ \frac{\partial p_a}{\partial y} \right]_{y=0} = - \left[ \frac{\partial v}{\partial t} \right]_{y=0} , \quad \text{soit} \quad \left[ \frac{\partial \hat{p}_a}{\partial y} \right]_{y=0} = \omega^2 \hat{\eta}. \quad (15) $$

Un degré de couplage supérieur peut être obtenu en calculant le spectre $\left[ \frac{\partial \hat{p}_a}{\partial y} \right]_{y=0}$ à partir de la différence des spectres sur parois souple et rigide $\left[ \frac{\partial \hat{p}}{\partial y} - \frac{\partial \hat{p}_{rigide}}{\partial y} \right]_{y=0}$ accessibles par les simulations et permettant de mieux tenir compte des interactions non linéaires entre les vibrations de la paroi et l'écoulement.

Afin de mettre en évidence l'influence du choix du modèle sur le bruit rayonné, la décomposition (13) est injectée dans (11) pour calculer $\hat{P}_0(k, \omega)$ avec les deux hypothèses de couplage, en utilisant dans tous les cas le tenseur de Lighthill sur paroi rigide. Les densités spectrales de pression rayonnée à $Y = 100$ sont comparées sur la figure 5. L'utilisation de la décomposition (13), qui permet une prise en compte accrue de la compressibilité de l'écoulement à travers le terme $\hat{p}_a$, donne lieu à une forte augmentation du pic modal à $\omega = 0.26$, qui s'accompagne de remontées spectrales aux fréquences intermédiaires de part et d'autre. Dans la gamme des hautes fréquences, les deux modèles de couplage fort et faible donnent des niveaux proches, légèrement sursimétrés en couplage faible. A basses fréquences, les différences sont plus marquées et l'hypothèse de couplage faible s'avère insuffisante pour retrouver les niveaux obtenus en couplage fort. Ainsi, la figure 6 illustre les différences de distributions spatiales de pression rayonnée à une basse fréquence, $\omega = 0.105$. L'hypothèse de couplage faible donne des résultats proches de ceux obtenus sur paroi rigide, tandis que le modèle de couplage fort engendre un rayonnement nettement plus important et sur de plus grandes distances.

## 5 Conclusion

Dans cette étude, le bruit généré par un écoulement de couche limite instable à faible nombre de Mach le long d'une paroi élastique a été estimé dans le cadre de l'analogie de Lighthill. Les sources acoustiques induites par les instabilités présentes dans la couche limite sont calculées à partir de simulations numériques préalables dans lesquelles l'écoulement est supposé incompressible, mais qui permettent la prise en compte d'un couplage fort entre ce dernier et les vibrations de la paroi. Conformément à la tendance observée dans des études précédentes,
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIG. 5 – Densités spectrales de pression rayonnée à $Y = 100$ avec les modèles de couplage fort (—), de couplage faible (– · –), et sur paroi rigide (· · ·).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIG. 6 – Isolignes de pression rayonnée à $\omega = 0.105$ (a) paroi rigide (b) paroi souple avec le modèle de couplage faible (c) paroi souple avec le modèle de couplage fort.</figcaption></figure>

les niveaux de pression rayonnée obtenus sont accrus en présence de la paroi élastique sur une large gamme de fréquences. Des études sont en cours en vue de caractériser l'influence de la paroi souple en fonction de ses caractéristiques propres et des paramètres de l'écoulement.

Dans une démarche visant à étudier l'influence du degré de couplage sur l'estimation de bruit, différents modèles ont été implémentés et comparés, reposant sur une décomposition classique de la pression en une composante rigide liée aux instabilités et une composante vibratoire, et tenant compte d'un degré de couplage variable. Il a ainsi pu être montré que dans la configuration simplifiée d'une couche limite bidimensionnelle instable le long d'une paroi élastique encastrée, le choix du modèle pouvait induire des différences non négligeables sur les niveaux spectraux de pression rayonnée, en particulier aux basses fréquences.

Références

[1] Chase D. M. The character of the turbulent wall pressure at subconvective wavenumbers and a suggested comprehensive model. J. of Sound and Vibration, 112, 125-147, 1987.

[2] Corcos G. M. The structure of the turbulent pressure field in boundary-layer flow. J. of Fluid Mechanics, 18, 353-378, 1964.

[3] Graham W. R. A comparison of models for the wavenumber-frequency spectrum of turbulent boundary layer pressures. J. of Sound and Vibration, 206(4), 541-565, 1997.

[4] Zheng Z. C. Effects of flexible walls on radiated sound from a turbulent boundary layer. J. of Fluids and Structures, 18, 93-101, 2003.

[5] Lighthill M. J. On sound generated aerodynamically. I : General theory. Proc. Roy. Soc. Lond. A, 211, 564-587, 1952.

[6] Marquillie U., M. & Ehrenstein. Numerical simulation of separating boundary-layer flow. Computers & Fluids, 31, 683-693, 2002.

[7] Dowling A. P. Flow-acoustic interaction near a flexible wall. J. of Fluid Mechanics, 128, 181-198, 1983.