# Chapitre 11. S'initier à « la mathématique » avec Charles-Ange Laisant : manipuler, visualiser, s'étonner

Marc Moyon

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Journals

## Édition électronique

URL : https://journals.openedition.org/sabix/3328
DOI : 10.4000/sabix.3328
ISSN : 2114-2130

## Éditeur

Société des amis de la bibliothèque et de l'histoire de l'École polytechnique (SABIX)

## Édition imprimée

Date de publication : 1 mai 2023
Pagination : 130-143
ISSN : 0989-3059

## Référence électronique

Marc Moyon, « Chapitre 11. S'initier à « la mathématique » avec Charles-Ange Laisant : manipuler, visualiser, s'étonner », *Bulletin de la Sabix* [En ligne], 70 | 2023, mis en ligne le 28 octobre 2023, consulté le 20 septembre 2025. URL : http://journals.openedition.org/sabix/3328 ; DOI : https://doi.org/10.4000/sabix.3328

<figure><img src="image_2.png" /></figure>
INITIATION
MATHÉMATIQUE

OUVRAGE ÉTRANGER A TOUT PROGRAMME

DÉDIÉ

AUX AMIS DE L'ENFANCE

PAR

C.-A. LAISANT

Docteur ès sciences.
Examinateur d'admission à l'Ecole Polytechnique.

Avec 97 figures dans le texte.

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

PARIS
LIBRAIRIE HACHETTE & Cie
79, Boulevard St-Germain, 79

1906
Chapitre 11

S'initier à « la mathématique »

avec Charles-Ange Laisant : manipuler,
visualiser, s'étonner

Marc Moyon*

Charles-Ange Laisant publie l'Initiation mathématique (IM) pour la première fois en 1906 à Paris chez Hachette, à Genève chez Georg. Notre propos n'est pas ici de détailler l'ensemble des leçons<fnref n="2" /> mais plutôt de caractériser l'IM selon trois principes fondamentaux de la pédagogie de Laisant : manipuler, visualiser et étonner. Même si les leçons de l'IM ne peuvent pas se réduire à l'un ou à l'autre de ces principes, ils permettent néanmoins de saisir pleinement la démarche de Laisant mise en œuvre pour progressivement atteindre ses objectifs.

L'Initiation mathématique
de Laisant : généralités

L'IM s'inscrit dans la trajectoire personnelle du
mathématicien et homme politique, militant
pour un enseignement rénové des mathéma-
tiques (voir chap. 1). Il publie l'IM à la suite de
La Mathématique. Philosophie – Enseignement<fnref n="3" /> et
plusieurs conférences données à l'Institut psy-
cho-physiologique de Paris et notamment à
la suite de celle, éponyme, du 9 février 1899⁴.
L'Enseignement du Calcul, édité en 1910 à Paris
chez Hachette, complète l'IM. Laisant y reprend

certaines propositions pour les détailler ou pour
les insérer dans une réflexion plus précise visant
à l'acquisition complète du concept de nombre
par l'enfant. L'IM jouit d'une excellente réception
dans l'enseignement primaire dès sa première
édition, contrairement à ce qui l'attend dans
l'enseignement secondaire fortement et systéma-
tiquement critiqué par Laisant pour son dogma-
tisme. Comme il le précise lui-même (souligné par
l'auteur)<fnref n="5" />.

[...] dans [l'enseignement secondaire], hélas,
l'action administrative produit des effets
bien néfastes. Mon Initiation, sans l'ensei-
gnement primaire, serait restée à peu près
ignorée; il s'en est écoulé une édition (4000
ex.) en un an; et maintenant la 2ᵉ édition
vient d'être mise en vente. Du point de vue
pédagogique, les bons éléments de l'ensei-
gnement primaire sont incomparablement
supérieurs à ceux que nous fournit l'École
normale du même nom.

De nombreuses éditions sont successivement
imprimées au moins jusqu'en 1923 (l'édition de
1920 porte la mention explicite de « 17ᵉ édition »).
Plusieurs annonces de publication ou comptes
rendus de lecture sont édités au cours de 1906

<footnote>* Institut XLIM, UMR 7252, F-87000 Limoges, CNRS, Université de Limoges, France.</footnote>

<footnote n="1">1. Dans la suite, nous utilisons [Laisant, 1915].</footnote>

<footnote n="2">2. [Auvinet, 2015, 2017, 2019].</footnote>

<footnote n="3">3. [Laisant, 1898].</footnote>

<footnote n="4">4. [Laisant, 1899].</footnote>

<footnote n="5">5. [Courrier du 22 avril 1907 adressé à Charles Méray].</footnote>
tant dans des journaux scientifiques que dans divers quotidiens et hebdomadaires. La réception de l'IM à l'international est aussi importante, en Europe comme dans le continent américain avec, entre autres, des traductions en allemand, en italien, en anglais, en espagnol ou encore en portugais (voir chap. 12 pour le cas du Brésil)<fnref n="6" />.

## Le lectorat

Nombre des correspondants de Laisant à propos de l'IM sont inspecteurs, professeurs d'écoles normales, d'écoles primaires supérieures, instituteurs de l'enseignement primaire ou professeurs du secondaire, d'autres enfin sont des lecteurs cultivés non nécessairement dévoués à l'enseignement des mathématiques. Cette correspondance montre que le dessein de Laisant est entendu par ses lecteurs, quels que soient leur profil et leur engagement. Il peut ainsi compter sur eux pour diffuser son ouvrage et ses idées. Ainsi, Billiet, directeur de l'École primaire supérieure de Montbard, souligne<fnref n="7" /> : « Ce petit ouvrage, que j'ai parcouru avec le plus grand plaisir, rendra de réels services aux professeurs : je me suis souvent torturé l'esprit pour adapter à notre enseignement telle question que vous présentez avec extraordinaire simplicité. [...] Je m'emploierai de tout mon pouvoir à faire connaître l'ouvrage aux familles, aux professeurs et instituteurs. »

L'écrivain Louis-Henri Boussenard, quant à lui, prête son exemplaire à un directeur d'école primaire et détaille : « Il en a pris connaissance et l'a gouté à ce point qu'il en a demandé l'inscription sur la liste départementale. Donc, j'espère qu'à la rentrée, bon nombre des instituteurs de mon département l'adopteront. [...] Je serai particulièrement heureux si nos moutards savent profiter de cet ouvrage si hautement et si simplement philosophique et pédagogique<fnref n="8" /> ».

François Monnot, professeur d'école primaire supérieure à Dijon, indique : « ce que j'en ai lu n'hésite pas à me faire dire que vous avez fait un livre utile pour les maîtres de l'enfance, un livre que tous les instituteurs devraient connaître et que je

recommanderai toutes les fois que l'occasion s'en présentera. [...] Votre livre instruit en amusant ; et à mon humble avis, si c'est le but que vous vous êtes proposé, je crois que vous avez réussi<fnref n="9" />. »

Enfin, si l'IM est explicitement destinée à tous les éducateurs de l'enfant (incluant notamment les mères de famille), certains, à l'image d'A. Maheu, directrice d'école à Reims, émettent une demande pour disposer d'un livre de l'élève : « tous les maîtres de l'enseignement primaire accueilleraient avec ferveur un livre de l'élève conçu dans le même esprit si logique... et si nouveau<fnref n="10" /> ». La réponse de Laisant est sans détour (souligné par l'auteur)<fnref n="11" /> :

[...] s'il existait un livre de l'élève, ne pourraient-ils [les instituteurs] pas être portés, de la meilleure foi du monde, à s'en servir pour y faire apprendre des leçons, ou pour donner des devoirs, dont les sujets se trouveraient tout préparés d'avance, les mêmes pour tous ? Et dès lors, nous retomberions dans l'ornière de la monstrueuse pédagogie, qui est à peu près celle du moyen âge. J'ai voulu soulager la tâche des instituteurs de l'enfance, en leur permettant d'obtenir de bons résultats, en leur rendant cette tâche intéressante et attrayante, s'ils ont conscience de la grandeur de leur mission. Mais leur travail ne sera pas moindre pour cela, tant s'en faut; il sera autre.

## Les sources explicites de Laisant

Laisant cite plusieurs auteurs et ouvrages qui ont significativement contribué à façonner ses idées pédagogiques et à concevoir ses propositions didactiques. Parmi les pédagogues, il mentionne Louis-René La Chalotais, Friedrich Fröbel et Johann Heinrich Pestalozzi. La dédicace qui leur est réservée dès la première leçon est sans ambiguïté : « Si vous aimez vos enfants, si vous aimez ceux qu'on vous confie, si vous voulez qu'ils deviennent forts et bons, revenez aux principes de ces grands esprits et de ces grands cœurs<fnref n="12" />. »

<footnote n="6">6. [Laisant, 1908a, 1908b, 1910b, 1911, 1913, 1914].</footnote>

<footnote n="7">7. Courrier du 26 mars 1906 adressé à Laisant, [Paris, BnF, NAF 28336, fol. 91].</footnote>

<footnote n="8">8. Courrier du 16 mai 1906 adressé à Laisant, [Paris, BnF, NAF 28336, fol. 112].</footnote>

<footnote n="9">9. Courrier du 8 mars 1906 adressé à Laisant, [Paris, BnF, NAF 28336, fol. 291].</footnote>

<footnote n="10">10. Courrier du 7 mars 1906 adressé à Laisant, [Paris, BnF, NAF 28336, fol. 197].</footnote>

<footnote n="11">11. Courrier du 9 mars 1906 adressé à A. Maheu, [Paris, BnF, NAF 28336, fol. 198v].</footnote>

<footnote n="12">12. [Laisant, 1915, 11].</footnote>
Trois auteurs liés à l'enseignement des mathématiques ont exercé une influence évidente sur Laisant. D'abord, Jean Macé, qui présente une position pédagogique plutôt radicale pour la deuxième moitié du XIXe siècle, inspire indéniablement Laisant<fnref n="13" />:

> Faire débuter l'enfant par la règle abstraite, et lui poser ensuite les problèmes à résoudre, c'est aller au rebours de la marche de l'esprit humain, qui en est chez lui au point où il en était dans l'enfance de l'espèce.

> Aussi, qu'arrive-t-il? C'est que son intelligencence, ainsi brusquée, se refuse à l'abstraction qui se présente avant l'heure, et que sa mémoire seule entre en jeu pour se charger douloureusement de mots et de pratiques dont le sens lui échappe.

Ensuite, Charles Méray compte parmi les sources les plus importantes de Laisant en géométrie (avec Carlo Bourlet<fnref n="14" />). Il reconnaît la grande quantité de la démarche du géomètre et milite pour ses Nouveaux éléments de géométrie<fnref n="15" /> (voir chap. 10). L'ouvrage est « tout à fait remarquable, menant de front l'étude du plan et de l'espace, et mettant en évidence les vérités d'ordre expérimental que la méthode classique dissimule avec hypocrisie<fnref n="16" /> ». En outre, l'étude de la correspondance de Laisant montre que les expérimentateurs de la géométrie de Méray dans l'enseignement sont nombreux à s'intéresser à l'IM comme complément pour enseigner l'arithmétique.

Enfin, Édouard Lucas est un mathématicien que Laisant apprécie tout particulièrement, notamment pour ses fines connaissances arithmétiques et sa manière de les diffuser. Il en est proche, il connaît son travail et emprunte à ses Récréations mathématiques des énoncés ou des méthodes de résolution. Il conviendrait ici d'ajouter les ouvrages de Walter W. Rouse Ball et Émile Fourrey que Laisant mentionne comme d'excellents ouvrages, mais il n'en tire pas d'extraits dans son Initiation comme il le fait avec Lucas<fnref n="17" />. Après

la mort prématurée de Lucas, Laisant contribue à publier plusieurs de ses ouvrages : l'Arithmétique amusante avec Émile Lemoine<fnref n="18" />, les deux derniers volumes des Récréations mathématiques<fnref n="19" /> avec ce dernier et Henry Auguste Delannoy.

## Le projet pédagogique

Conformément aux idées politiques de son auteur, l'IM doit être considérée comme une œuvre démocratique destinée à instruire tout le peuple. Laisant refuse catégoriquement la séparation établie entre les enseignements primaire et secondaire : la distinction devant uniquement se faire par l'âge. Ainsi, « l'initiation », dédiée aux enfants entre 4 et 12 ans, précède « l'étude ». L'IM, guide destiné aux éducateurs de l'enfant, est un authentique plaidoyer contre l'abus des méthodes qui font appel à la mémoire, principal élément du dogme pédagogique que critique le polytechnicien, en faisant répéter des définitions, des formules, des raisonnements si abstraits que l'enfant ne comprend souvent pas. Il s'agit plutôt de faire appel à l'esprit scientifique qui repose essentiellement sur une démarche expérimentale. Les nombreux comptes rendus sont formels à l'instar de celui-ci<fnref n="20" /> :

> On y trouvera une série d'exercices qui progressivement doivent initier l'enfant à la connaissance et au maniement des symboles mathématiques. La triple idée qui les inspire est que: 1° on n'instruit qu'en amusant; 2° c'est en s'aidant d'exemples concrets qu'on amène peu à peu l'esprit à l'intelligence de l'abstrait; 3° au lieu de faire appel à la mémoire, il faut solliciter l'initiative de l'enfant par des exercices qui lui soient une occasion de créer.

L'IM comprend 65 leçons numérotées couvrant toutes les mathématiques accessibles à un enfant : la numération jusqu'aux nombres néga-tifs, le calcul, la géométrie (dans le plan et l'espace) avec ses grandeurs, les fonctions et leur

<footnote n="13">13. [Macé, 1862, 12-13].</footnote>

<footnote n="14">14. [Bourlet, 1906].</footnote>

<footnote n="15">15. [Méray, 1874].</footnote>

<footnote n="16">16. [Laisant, 1915, 176].</footnote>

<footnote n="17">17. [Rouse Ball, 1898], [Fourrey, 1899].</footnote>

<footnote n="18">18. [Lucas, 1895].</footnote>

<footnote n="19">19. [Lucas, 1893, 1894].</footnote>

<footnote n="20">20. [Guernut, 1906].</footnote>
représentation graphique. Les trois subdivisions de « la mathématique » (pure et appliquée)<fnref n="21" /> sont ainsi travaillées: la science du calcul d'abord, puis la science de l'étendue et enfin la science du mouvement qui est approchée par les graphiques (voir chap. 10). Les leçons sont présentées dans un ordre mathématiquement et pédagogiquement réfléchi: les notions et connaissances sont progressivement amenées favorisant le passage du concret à l'abstrait selon une démarche empiriste, principe de la méthode intuitive.

## Manipuler

La manipulation est une dimension essentielle de la démarche de Laisant, première phase de tout apprentissage. Dans ce cadre, un projet matériel vient judicieusement compléter, dès 1910, les propositions pédagogiques du polytechnicien: le « numérateur géométrique et métrique » de Jacques Camescasse, système d'assemblage judicieux de petits cubes colorés, breveté le 2 juillet 1909 (n° 404.648). Le projet est édité sous le nom d'Initiateur mathématique (Hachette), comme la « réalisation pratique des principes éducatifs » de Laisant (voir chap. 3). Dès lors, les éditions de l'IM sont accompagnées d'une note sur l'Initiateur montrant tout l'intérêt du dispositif<fnref n="22" />:

> [...] j'ai toujours cru que la constitution d'un matériel approprié aux méthodes que j'indique serait très utile, principalement pour l'enseignement collectif. Pratiquement, la question n'était pas exempte de difficul-tés; M. Camescasse est parvenu à les sur-monter de la façon la plus ingénieuse, et nous a donné [...] un jeu de petits cubes en bois, de 1 centimètre d'arête, les uns blancs, les autres rouges, qui peuvent être assemblés entre eux et se prêtent ainsi aux combinai-sons les plus variées. [...] Il est un grand nombre de questions [...] pour lesquelles l'Initiateur de M. Camescasse devient d'un très grand secours. Il permet, en effet, de réaliser matériellement, par les doigts même de l'enfant, les figures qui implanteront soli-dement dans son cerveau, les propriétés des nombres, et cela sans aucun effort.

La plupart des manipulations proposées, sur des objets du quotidien, peuvent être opérées grâce à L'Initiateur pour « varier le plus possible les représentations concrètes<fnref n="23" /> ». Deux domaines sont principalement concernés par la manipu-lation et l'utilisation des petits cubes colorés de Camescasse: la numération décimale et les pro-priétés arithmétiques. La numération décimale est progressivement envisagée avec la numé-ration figurée (bâtonnets, allumettes) comme point de départ avec les leçons [§1, §2, §3] (§n renvoie à la n-ième leçon) jusqu'à la numération écrite [§8, §9, §10] en passant par la numération parlée [§4]. Les opérations sont exposées avec l'addition et la soustraction d'abord [§5, §6, §7] puis la multiplication et la division [§16, §17, §20]. Les fractions sont ensuite travaillées [§20] avant de découvrir d'autres bases de numération [§32, §33].

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Fig. 1. Table d'addition<fnref n="24" />.</figcaption></figure>

Par exemple, Laisant construit une table d'addi-tion (Fig. 1), soit avec des bâtonnets, soit en des-sinant les bâtons (en regroupant dix bâtons). Il propose ensuite un équivalent immédiat avec les cubes de Camescasse<fnref n="25" />:

> Une disposition intéressante de la Table d'addition consisterait, en utilisant les petits

<footnote n="21">21. [Laisant, 1898, 25].</footnote>

<footnote n="22">22. [Laisant, 1915, 177].</footnote>

<footnote n="23">23. [Laisant, 1910a, 6].</footnote>

<footnote n="24">24. [Laisant, 1915, 18].</footnote>

<footnote n="25">25. [Laisant, 1910a, 9].</footnote>
cubes de l'Initiateur, à ne rien écrire du tout. Sur une ligne, on placerait de gauche à droite, également espacés, des groupes de un, deux... neuf cubes, représentés par autant de baguettes de cubes assemblés. Sur une colonne et vers la gauche, on en ferait autant, de haut en bas. Tout ceci étant disposé sur une table, si un enfant ne sait plus quelle est la somme de 7 et de 6, il prend la baguette (7) [... et] la baguette (6). Portant alors les deux baguettes bout à bout il voit que la lon-

gueur totale est dix-trois (ou treize) et remet les deux baguettes à leurs places.

L'essentiel est d'amener l'enfant à manipuler et pouvoir changer de modes de représentations. C'est à nouveau le cas avec la table de multiplication (Fig. 2) – table de Pythagore –, pour laquelle Laisant utilise alternativement les petits cubes colorés (à droite) et le papier quadrillé (à gauche).

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Fig. 2. Tables de multiplication<fnref n="26" />.</figcaption></figure>

La manipulation des bâtonnets, des cubes permet d'arriver progressivement à la représentation géométrique du nombre par une ligne orientée [§11 à §14], représentant ainsi le « domaine de l'Algèbre<fnref n="27" /> » avec les nombres négatifs (souligné par l'auteur) : « pour ajouter plusieurs segments, il faut les porter bout à bout dans le même sens ; et [...] pour retrancher un segment d'un autre, il faut le porter bout à bout à la suite de cet autre, mais en sens contraire<fnref n="28" />. » Les segments sont dans un premier temps des tiges ou des baguettes de cubes colorés puis des lignes géométriques.

Laisant montre que les propriétés sur les nombres sont facilement matérialisables à l'aide de L'Initiateur. Peuvent être ici pris comme exemples les calculs du carré de la somme (ou de la différence) de deux nombres [§25], du cube de la somme de deux nombres [§26] (Fig. 3), de la somme des $n$ premiers nombres entiers [§27] ou encore de celle des $n$ premiers nombres impairs [§28].

<footnote n="26">26. [Laisant, 1915, 46], [Camescasse, 1916, 24].</footnote>

<footnote n="27">27. [Laisant, 1915, 40].</footnote>

<footnote n="28">28. [Laisant, 1915, 36].</footnote>
<figure><img src="image_7.png" /></figure>

$$ (a + b)^3 = $$

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Fig. 3. Formule du cube de la somme de deux nombres a et b<fnref n="29" />.</figcaption></figure>

$$ a^3 + $$

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

$$ 3a^2b + $$

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

$$ 3ab^2 + $$

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

$$ b^3 $$

## Visualiser : le papier quadrillé et les graphiques

La visualisation est encouragée grâce à plusieurs procédés, de natures et de supports différents : la manipulation d'abord, mais aussi le dessin à main levée (puis à l'aide d'instruments lorsqu'ils s'avèrent nécessaires), la construction (en carton,

bois, ou savon, par exemple), le découpage ou l'assemblage. À ces premiers procédés, s'ajoutent l'utilisation du papier quadrillé et le tracé de graphiques qui sont caractéristiques de la démarche de Laisant.

<footnote n="29">29. [Camescasse, 1916, 24].</footnote>
## Le papier quadrillé

S'inscrivant ici dans une démarche plus générale de l'utilisation du papier quadrillé dans la création et la pratique mathématiques<fnref n="30" />, Laisant affirme dès sa conférence de 1899³¹ :

le papier quadrillé, instrument merveilleux [...] devrait être entre les mains de quiconque fait des mathématiques (depuis la famille ou la salle d'asile jusqu'à l'école Polytechnique, et même au-delà) [...]. Mais c'est surtout un instrument merveilleux, au point de vue pédagogique, pour donner aux petits enfants ces premières notions de la forme, de la grandeur et de la position, sans lesquelles l'initiation n'est qu'un leurre.

Laisant en montre l'utilité tout au long de son *IM* que ce soit grâce à ses lignes ou à son quadrillage : support à la représentation des fractions, au calcul d'aires [§23], à la construction de tableaux ou d'échiquiers (sur l'usage du papier quadrillé, voir chap.1).

Pour étudier les fractions [§21], le papier quadrillé n'est pas le seul instrument convenable mais il semble être, pour Laisant, « le moyen le meilleur pour enseigner aux enfants le calcul des fractions<fnref n="32" /> » : « En mettant des hachures sur les bandes ou les rectangles qu'on ne garde pas, on peut représenter, au moyen de la partie restée blanche, une fraction quelconque<fnref n="33" />. » Les cubes de Camescasse apparaissent comme une alternative adéquate. Plus largement, à chaque

fois que Laisant propose de manipuler les petits cubes de L'Initiateur, le papier quadrillé se révèle être d'une utilisation aisée : chaque carreau remplacant un cube. Ainsi, les propriétés arithmétiques déjà rencontrées précédemment peuvent être observées à l'aide du papier quadrillé.

Plusieurs autres utilisations du papier quadrillé lui confient une place centrale dans l'*IM* :

- pour manipuler des jetons, comme pour représenter une progression arithmétique [§34] (Fig. 4);

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Fig. 4. Représentation graphique de termes d'une suite arithmétique de raison 3³⁴.</figcaption></figure>

- pour tracer des tableaux (Fig. 5) comme le triangle arithmétique de Pascal ou le carré de Fermat qui permet de dénombrer le nombre de chemins possibles (sans jamais revenir en arrière) qu'une tour peut emprunter sur un échiquier [§31];

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Fig. 5. Carré arithmétique de Fermat et déplacement sur l'échiquier ici, la tour à 84 chemins possible pour se rendre de O à X<fnref n="35" />.</figcaption></figure>

<footnote n="30">30. [Thorelle, 1903], [Sainte Laguë, 1910].</footnote>

<footnote n="31">31. [Laisant, 1899, 365].</footnote>

<footnote n="32">32. [Laisant, 1910a, 25].</footnote>

<footnote n="33">33. [Laisant, 1915, 62].</footnote>

<footnote n="34">34. [Laisant, 1915, 109].</footnote>

<footnote n="35">35. [Laisant, 1915, 98-99].</footnote>
- pour représenter des échiquiers afin de résoudre des problèmes de permutations, à l'aide des

« permutations figurées » (Fig. 6) de Lucas [§39].

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Fig. 6. Permutations figurées de 4 objets<fnref n="36" />.</figcaption></figure>

## Les graphiques ou l'« Algèbre sans calcul »

L'idée de fonction est en soi tout à fait naturelle, simple, et un enfant la saisira aisément si on met quelque soin à la lui présenter, en employant le plus possible des exemples. [...] Les graphiques ont pour but de représenter aux yeux les fonctions<fnref n="37" /> ». En outre, « les graphiques permettent de faire de l'Algèbre sans calcul<fnref n="38" /> » au sens où ils représentent des fonctions algébriques, à savoir « des fonctions qui peuvent se déterminer par le calcul<fnref n="39" /> » (voir chap. 4 sur l'algèbre graphique). Il ajoute alors pour justifier encore le rôle des graphiques<fnref n="40" /> :

Tous les résultats qu'on obtient ainsi ne sont obtenus que par à peu près, [...] ils ne sont pas rigoureux. Mais dans la pratique, dans un très grand nombre de cas, si les graphiques sont faits avec soin, cela peut suffire. Il y a beaucoup de questions auxquelles s'appliquent avantageusement ces tracés, qui ont en outre l'avantage de parler à l'esprit par l'intermédiaire des yeux, de figurer les choses elles-mêmes. C'est là une qualité précieuse en matière de pédagogie.

<footnote n="36">36. [Laisant, 1915, 118].</footnote>

<footnote n="37">37. [Laisant, 1915, 133-134].</footnote>

<footnote n="38">38. [Laisant, 1915, 135].</footnote>

<footnote n="39">39. [Laisant, 1915, 135].</footnote>

<footnote n="40">40. [Laisant, 1915, 135].</footnote>
Plus généralement, « cette construction de graphiques est un excellent exercice de dessin géométrique, qui perfectionne l'éducation de la main, et oblige en même temps à tenir l'attention en éveil<fnref n="41" />». Ainsi, toujours à l'aide du papier quadrillé, Laisant propose de nombreux exemples de graphiques, chacun permettant de modéliser un problème concret [§47 à §56]. Les premiers problèmes sont des problèmes de courriers (Fig. 7) ou des problèmes de marche (vitesse constante, mouvement uniforme) pour lesquels la représentation graphique est en ligne droite. Pour compléter ces exemples et ne pas

se limiter à des situations de proportionnalité, Laisant prend en compte des graphiques qui ne se réduisent pas à la ligne droite en représentant la chute d'une pierre, le lancement d'une balle ou encore le déplacement d'une rame de métro. Les graphiques fournissent « une occasion de faire connaître simplement aux enfants, les vitesses et leurs variations, et de développer ainsi en eux l'esprit d'observation<fnref n="42" />».

La progression ainsi réfléchie amène Laisant à la géométrie analytique [§57] et à l'étude des coniques usuelles [§58 à §60].

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Fig. 7. Problème [§49], proposé par Lucas, des rencontres des paquebots entre Le Havre et New York sur une ligne régulière (voir chap. 10)<fnref n="43" />.</figcaption></figure>

## S'étonner : des « récréations » et autres « curiosités »

Il y aurait alors tout lieu de rapprocher l'IM des Récréations mathématiques par leur objectif commun de permettre une instruction amusante mais, en réalité, une différence essentielle est relevée<fnref n="44" /> :

> Dans les Récréations mathématiques le mot le dit assez, il s'agit d'appliquer à des sujets amusants, jeux divers, combinasons, etc., les théories mathématiques déjà connues; et souvent une certaine instruction est nécessaire pour pouvoir seulement comprendre les explications données.

> Ici, c'est l'inverse; nous nous servirons de questions amusantes comme moyen pédagogique, pour attirer la curiosité de l'enfant et arriver ainsi à faire pénétrer dans son esprit,

> sans efforts imposés, les premières notions mathématiques les plus essentielles.

Ainsi, même si l'étonnement, l'amusement ou la curiosité sont les principaux ingrédients de plusieurs leçons, c'est la progression réfléchie des leçons, l'apprentissage régulier et rythmé des élèves qui empêchent de considérer l'IM comme de nouvelles « récréations ».

De curieuses opérations ou propriétés sur les nombres [§18, §30], l'étonnement des grands nombres provoqués par les suites géométriques [§36 à §38, §40], les carrés magiques [§64] sont délibérément et judicieusement énoncés pour sur-

<footnote n="41">41. [Laisant, 1910a, 43].</footnote>

<footnote n="42">42. [Laisant, 1910a, 45].</footnote>

<footnote n="43">43. [Laisant, 1915, 140-141].</footnote>

<footnote n="44">44. [Laisant, 1915, 7].</footnote>
prendre et questionner : « Il y a un certain nombre
de résultats d'opérations qui frappent l'esprit par
des particularités attirant l'attention. Leur grand
mérite est par cela même de donner le goût du
calcul, en piquant la curiosité<fnref n="45" />. » Certains jeux
arithmétiques, notamment inspirés de Lucas,
sont aussi mentionnés, comme l'éventail mys-
térieux [§33] reposant sur l'écriture binaire d'un
nombre, le baguenaudier ou la tour de Hanoï. La
curiosité de l'élève est encore piquée grâce aux
nombreux recours à l'histoire des mathématiques
[§17, §19], grâce à d'intéressantes constructions
géométriques avec les lunules et les rosaces [§44].

Enfin, dès 1899, Laisant promeut les paradoxes
mathématiques : « ces plaisanteries ont leur
valeur pédagogique, parce que le paradoxe est
précisément de nature à attirer l'attention de l'en-
fant, qui sera désormais certain de ne pas tomber
dans le piège ; c'est un procédé d'enseignement
qui a sa valeur et que l'on aurait tort de négliger :
on peut et l'on doit au contraire s'en servir et sou-
vent d'une façon très heureuse<fnref n="46" />. » Néanmoins,
seul le paradoxe « 63 = 64 » trouve sa place dans
l'IM [§63] reliant la manipulation à l'usage du
papier quadrillé.

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>Fig. 8.
Paradoxe « 63 = 64 »
sur papier quadrillé<fnref n="47" />.</figcaption></figure>

Dans cette leçon, Laisant explique que : « si les
paradoxes, bien présentés et expliqués, ont ainsi
leur place dans l'enseignement, il faut garder en
cette matière une très prudente réserve dans

l'initiation, où il n'est pas question d'approfondir
les choses, où l'on se borne à les montrer et à les
faire toucher du doigt<fnref n="48" /> ».

<footnote n="45">45. [Laisant, 1915, 51].</footnote>

<footnote n="46">46. [Laisant, 1899, 365-366].</footnote>

<footnote n="47">47. [Laisant, 1915, 167].</footnote>

<footnote n="48">48. [Laisant, 1915, 166].</footnote>
Conclusion

Laisant précise dans son discours final que « l'initiation mathématique est indispensable à tout enfant, sans aucune distinction de fortune, de situation sociale, de sexe<fnref n="49" /> » (souligné par l'autre). C'est indéniablement un double projet, tant pédagogique que politique. Laisant trace son chemin empruntant une voie unique: celle de la formation de l'esprit de tout citoyen par l'expérience sensible, le menant du concret vers l'abstrait, de l'objet vers le concept grâce à la manipulation, la visualisation et l'étonnement ou la curiosité. C'est bien en ce sens qu'A. Gambier, professeur à l'École normale d'Auxerre, accorde tout son crédit à l'œuvre de Laisant<fnref n="50" /> :

> *Par des exemples nombreux, par des développements précis et vivants, et non par de vagues phrases de pédagogue en chambre,*

> *vous avez montré vraiment ce que doit être l'initiation mathématique. Votre petit ouvrage est une vraie pédagogie des mathématiques primaires. [...]*

> *J'approuve donc entièrement vos idées en ce qui concerne les méthodes d'initiation. [...] Oui, il faut enrichir, agrandir et aussi embellir le pauvre et désolant domaine mathématique dans lequel on parque trop communément l'enfant, qu'il s'agisse de théorie ou qu'il s'agisse de problèmes. Oui, il faut faire une large part aux curiosités bien choisies, parce qu'elles sont merveilleusement puissantes pour piquer et stimuler les jeunes intelligences.*

<footnote n="49">49. [Laisant, 1915, 173].</footnote>

<footnote n="50">50. Courrier du 8 mars 1906 adressé à Laisant, [Paris, BnF, NAF 28336, fol. 220-221].</footnote>
# Références

## Archives

**Papiers Charles-Ange Laisant**, NAF 28336, Bibliothèque nationale de France. Département des Manuscrits.

**Correspondance de Charles-Ange Laisant à Charles Méray**, (collection privée).

## Sources primaires

**Bourlet Carlo**, (1906). *Cours abrégé de géométrie; géométrie plane*, Paris, Hachette.

**Camescasse Jacques**, (1916). *Notice sur l'Initiateur Mathématique. Jeu de petits cubes assemblables aidant à appliquer dans la famille et à l'école « L'Initiation Mathématique » de C.-A. Laisant* (3e éd.), Paris, Hachette.

**Fourrey Émile**, (1899). *Récréations arithmétiques*, Paris, Nony.

**Guernut Henri**, (1906). « C. A. Laisant – Initiation mathématique », *La revue Socialiste*, 44, 254.

**Laisant Charles-Ange**, (1898). *La Mathématique. Philosophie, enseignement*, Paris, Georges Carré et C. Naud.

—, (1899). « L'initiation mathématique », *Revue scientifique*, 4e série, 11, 358368.

—, (1908a). *Einführung in die Mathematik: allen Kinderfreunden Gewidnet*, traduit par F. J. Schicht, Leipzig, Wien, F. Deuticke.

—, (1908b). *Iniziazione alle matematiche, operetta dedicata agli amici dell'infanzia*, traduit par Lazzeri, Giulio, Firenze, G. Barbèra.

—, (1910a). *L'enseignement du calcul: conseils aux instituteurs*, Paris, Hachette.

—, (1910b). *Iniciação Matematica*, traduit par Henrique Schindler, Guimarães, Lisboa.

—, (1911). *Iniciación matemática: obra extraña a todo programa dedicada los amigos de la infancia, traduit par Emilio Rodríguez, Paris, Mexico, Librería de la Vda de C. Bouret*.

—, (1913). *Mathematics, Londres, Constable & Company Ltd*.

—, (1914). *Mathematics, New York, Doubleday, Page & Co.*

—, (1915). *Initiation mathématique: ouvrage étranger à tout programme, dédié aux amis de l'enfance*, Paris, Hachette.

**Lucas Édouard**, (1893). *Récréations Mathématiques*, vol. 3, Paris, Gauthier-Villars.

—, (1894). *Récréations Mathématiques*, vol. 4, Paris, Gauthier-Villars.

—, (1895). *L'arithmétique amusante*, Paris, Gauthier-Villars et fils.

**Macé Jean**, (1862). *L'arithmétique du grand-papa. Histoire de deux petits marchands de pommes*, Paris, J. Hetzel.
**Méray Charles**, (1874). *Nouveaux éléments de géométrie*, Paris, F. Savy.

**Rouse Ball Walter William**, (1898). *Récréations mathématiques et problèmes des temps anciens et modernes*, traduit par J. Fitz-Patrick, Paris, Hermann.

**Sainte Laguë, André**, (1910). « Note sur les usages du papier quadrillé », *L'Enseignement mathématique*, 12, 5-17.

**Thorelle Abbé**, (1903). « Solutions graphiques de Problèmes d'Arithmétique à l'aide du papier quadrillé », *Mémoires de l'Académie de Metz : Lettres, Sciences, Arts et Agriculture*, 2ᵉ période, 3ᵉ série, 30ᵉ année, 103-119.

## Sources secondaires

**Auvinet Jérôme**, (2015). « Around a book dedicated to childhood friends: *Initiation mathématique* by C.-A. Laisant », in Barbin, Évelyne, Jankvist, Uffe Thomas, Kjeldsen, Tinne Hoff (éd.), *History and Epistemology in Mathematics Education: Proceedings of the Seventh European Summer University, Copenhague, Aarhus University*.

**Auvinet Jérôme**, (2017). « De l'usage des récréations pour une *Initiation mathématique* selon Charles-Ange Laisant », *Bulletin de l'APMEP*, 523, 172-182.

—, (2019). « Les récréations mathématiques chez Charles-Ange Laisant : de la géométrie de situation à l'Initiation mathématique », in Chevalarias, Nathalie, Gandit, Michèle, Morales, Marcel, Tournès, Dominique (éd.), *Mathématiques récréatives : éclairages historiques et épistémologiques*, Grenoble, UGA Éditions, EDP Sciences, 113-134.