# Modélisation, dans l'espace des sphères, de surfaces canal par des courbes de Bézier à l'aide de points massiques

Lionel Garnier

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Lionel Garnier. Modélisation, dans l'espace des sphères, de surfaces canal par des courbes de Bézier à l'aide de points massiques. Informatique [cs]. Université de Bourgogne, 2023. tel-04272737

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# Modélisation, dans l'espace des sphères, de surfaces canal par des courbes de Bézier à l'aide de points massiques

Lionel GARNIER

## HABILITATION À DIRIGER
LA RECHERCHE

UNIVERSITE de BOURGOGNE

L.I.B., U.F.R. des Sciences et Techniques

Soutenu publiquement le 3 novembre 2023

### Membres du Jury :

**Luc Biard** Professeur à l'Université de Grenoble

Rapporteur

**Frédéric Cordier** Maître de Conférence à l'Université de Haute Alsace

Rapporteur

**Ahmed Zidna** Professeur à l'Université de Metz

Rapporteur

**Sebti Foufou** Professeur à l'Université de Bourgogne

Examinateur

**Laurent Fuchs** Professeur à l'Université de Poitiers

Président

**Géraldine Morin** Professeure à l'Université de Toulouse

Examinatrice

Année universitaire 2023-2024.
# Table des matières

## Remerciements 19

## 1 Introduction 21

1.1 Première partie 24

1.2 Deuxième partie 24

1.3 Troisième partie 25

1.4 Collaboration ou encadrement 26

# I Constructions itératives d'arcs de coniques propres et tracés de cercles sur une surface 27

## 2 Plan - points massiques 31

2.1 Plan projectif et coordonnées homogènes 31

2.2 Plan affine 33

2.2.1 Courbes de Bézier polynomiales quadratiques 33

2.2.1.1 Courbe de Bézier quadratique et arc de parabole 34

2.2.1.2 Un I.F.S. linéaire affine basé sur l'algorithme de De Casteljau 34

2.2.1.2.1 Notion d'I.F.S. 34

2.2.1.2.2 Application en utilisant l'algorithme de De Casteljau 35

2.2.2 Courbes de Bézier rationnelles quadratiques (CBRQs) 41

2.3 Ensemble des points massiques 45

2.3.1 Définition 45

2.3.2 Matrice massique d'une transformation affine 50

2.3.2.1 Définition 50

2.3.2.2 Exemple dans le cas des homothéties 51

2.3.3 Courbes de Bézier rationnelles quadratiques dans $\tilde{P}$ 54

2.3.4 Changement de paramètre homographique 56

2.4 Synthèse du chapitre 58

## 3 Plan euclidien 59

3.1 Matrice massique d'une rotation affine 59

3.2 Courbe de Bézier rationnelle quadratique et conique 61
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>3.3</td>
      <td>Modélisation d'arcs de cercles</td>
      <td>64</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.1</td>
      <td>Utilisation des trois points pondérés</td>
      <td>64</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.1.1</td>
      <td>Condition géométrique</td>
      <td>64</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.1.2</td>
      <td>Calculs des poids</td>
      <td>65</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.2</td>
      <td>Modélisation de demi-cercles dans P̃</td>
      <td>66</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4</td>
      <td>Détermination des éléments caractéristiques d'une conique propre non circulaire</td>
      <td>69</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4.1</td>
      <td>Cas de la parabole</td>
      <td>70</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4.2</td>
      <td>Cas de l'ellipse</td>
      <td>80</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4.3</td>
      <td>Cas de l'hyperbole</td>
      <td>89</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.5</td>
      <td>Image d'une courbe de Bézier par une similitude directe</td>
      <td>107</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.6</td>
      <td>Exemples en physique et en chimie</td>
      <td>111</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.6.1</td>
      <td>Lancer d'un projectile</td>
      <td>111</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.6.2</td>
      <td>Moment dipolaire</td>
      <td>113</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.7</td>
      <td>Construction itérative « classique » d'arcs de cercles</td>
      <td>114</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.8</td>
      <td>Conique ou cercle</td>
      <td>122</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.9</td>
      <td>Synthèse du chapitre</td>
      <td>126</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>4</b></td>
      <td><b>Plan non euclidien</b></td>
      <td><b>127</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.1</td>
      <td>Construction de la forme quadratique idoine</td>
      <td>127</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2</td>
      <td>Constructions itératives d'arcs de cercles</td>
      <td>128</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.1</td>
      <td>Cas d'un arc de cercle borné</td>
      <td>129</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.1.1</td>
      <td>Présentation de l'algorithme et exemple</td>
      <td>129</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.1.2</td>
      <td>Linéarisation de l'algorithme</td>
      <td>133</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.2</td>
      <td>Cas de composantes non connexes</td>
      <td>134</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3</td>
      <td>Synthèse du chapitre</td>
      <td>139</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>5</b></td>
      <td><b>Cercles sur une sphère</b></td>
      <td><b>141</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.1</td>
      <td>Construction de la forme quadratique idoine</td>
      <td>141</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2</td>
      <td>Cercle déterminé par trois points ou deux points et un vecteur</td>
      <td>144</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.3</td>
      <td>Construction d'arcs de cercles, d'arcs de paraboles isométriques à des droites, et de droites</td>
      <td>145</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.3.1</td>
      <td>Construction d'arcs de cercles</td>
      <td>146</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.3.2</td>
      <td>Construction de demi-cercles</td>
      <td>148</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.3.2.1</td>
      <td>Exemple avec un cercle connexe</td>
      <td>149</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.3.2.2</td>
      <td>Exemple avec un cercle non connexe</td>
      <td>150</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.3.3</td>
      <td>Construction d'une branche d'un cercle non connexe</td>
      <td>152</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.3.4</td>
      <td>Construction d'une parabole, isométrique à une droite, dans un plan lumière</td>
      <td>156</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.3.5</td>
      <td>Construction de droites</td>
      <td>156</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.4</td>
      <td>Synthèse du chapitre</td>
      <td>159</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
## II Faisceau ou enveloppe de sphères orientées en 3D 161

### 6 Faisceau de sphères dans $\mathcal{E}_3$ 165

6.1 Sphères à rayons algébriques ou sphères orientées 165

6.2 Faisceaux de sphères 167

6.3 Synthèse du chapitre 172

### 7 Cyclides dans $\mathcal{E}_3$ 173

7.1 Surface canal 173

7.2 Cyclides de Dupin 178

7.2.1 Les cyclides de Dupin dégénérées dans $\mathcal{E}_3$ 178

7.2.1.1 Le cylindre de révolution 178

7.2.1.2 Le cône de révolution 179

7.2.1.3 Le tore 180

7.2.1.3.1 Définition en tant qu'enveloppe 180

7.2.1.3.2 Définition en tant que surface de révolution 180

7.2.1.3.3 Détermination des paramètres d'un tore 182

7.2.1.3.4 Cercles d'Yvon-Villarceau sur un tore à collier 182

7.2.2 Les cyclides de Dupin quartiques non dégénérées 186

7.2.2.1 Définition en utilisant la notion d'enveloppe et premières propriétés 186

7.2.2.1.1 Définition et faisceaux de plans 186

7.2.2.1.2 Calculs des paramètres 190

7.2.2.2 Définition en utilisant une inversion 192

7.2.3 Conversion d'un carreau en surface de Bézier rationnelle biquadratique 196

7.2.4 Définitions des cyclides de Dupin cubiques non dégénérées 199

7.2.4.1 Définition en utilisant la notion d'enveloppe et premières propriétés 199

7.2.4.1.1 Définition et faisceaux de plans 199

7.2.4.1.2 Calculs des paramètres 202

7.2.4.2 Définition en utilisant une inversion 204

7.3 Synthèse du chapitre 207

### 8 Subdivisions de cyclides 209

8.1 Construction et description du schéma itératif 209

8.1.1 Initialisation du schéma itératif 209

8.1.2 Détermination de la surface sous-jacente 211

8.1.2.1 Cas du tore 211

8.1.2.2 Cas de la cyclide de Dupin 213

8.2 Définition des applications contractantes 213

8.2.1 Principe général 213

8.2.2 Cas des cyclides de Dupin 214

8.2.3 Cas du tore 219
<table><tbody><tr><td>8.3</td><td>Description du processus de construction par un G.I.F.S.</td><td>223</td></tr><tr><td>8.3.1</td><td>Cas d'une cyclide de Dupin</td><td>223</td></tr><tr><td>8.3.2</td><td>Cas du tore</td><td>224</td></tr><tr><td>8.4</td><td>Synthèse du chapitre</td><td>226</td></tr><tr><td><b>9</b></td><td><b>Triangles 3D</b></td><td><b>229</b></td></tr><tr><td>9.1</td><td>Equation des cercles d'Yvon-Villarceau</td><td>231</td></tr><tr><td>9.1.1</td><td>Inversion transformant une CD4 en un tore.</td><td>231</td></tr><tr><td>9.1.1.1</td><td>Inversion dans le plan complexe.</td><td>231</td></tr><tr><td>9.1.1.2</td><td>Simplification du calcul du pôle lors de l'utilisation d'une CD4A233</td><td></td></tr><tr><td>9.1.1.3</td><td>Tore obtenu comme image d'une cyclide de Dupin par une inversion</td><td>233</td></tr><tr><td>9.1.2</td><td>Cercles d'Yvon-Villarceau sur une CD4A</td><td>234</td></tr><tr><td>9.1.2.1</td><td>Un résultat formel</td><td>234</td></tr><tr><td>9.1.2.2</td><td>Résultats numériques</td><td>237</td></tr><tr><td>9.1.3</td><td>Cercles d'Yvon-Villarceau sur une CD3A</td><td>237</td></tr><tr><td>9.1.3.1</td><td>Un résultat formel</td><td>239</td></tr><tr><td>9.1.3.2</td><td>Un résultat numérique</td><td>241</td></tr><tr><td>9.2</td><td>Construction de Triangles 3D rectangles</td><td>247</td></tr><tr><td>9.2.1</td><td>Triangles rectangles et théorie du genre</td><td>247</td></tr><tr><td>9.2.2</td><td>Triangles rectangles 3D sur un tore.</td><td>252</td></tr><tr><td>9.2.2.1</td><td>Les entrées.</td><td>252</td></tr><tr><td>9.2.2.2</td><td>Les sorties.</td><td>252</td></tr><tr><td>9.2.3</td><td>Génération d'une CD4A à partir d'un tore à collier.</td><td>255</td></tr><tr><td>9.2.4</td><td>Détermination des paramètres de l'inversion.</td><td>257</td></tr><tr><td>9.2.4.1</td><td>Triangle 3D sur une cyclide de Dupin quartique.</td><td>258</td></tr><tr><td>9.2.4.1.1</td><td>Détermination des paramètres de la cyclide de Dupin.</td><td>258</td></tr><tr><td>9.2.4.1.2</td><td>Exemples et résultats.</td><td>258</td></tr><tr><td>9.2.4.2</td><td>Triangle rectangle 3D sur une cyclide de Dupin cubique.</td><td>261</td></tr><tr><td>9.3</td><td>Construction de Triangles isocèles 3D à bords circulaires</td><td>272</td></tr><tr><td>9.3.1</td><td>Triangles isocèles et théorie du genre</td><td>272</td></tr><tr><td>9.3.2</td><td>Algorithme et exemple</td><td>273</td></tr><tr><td>9.4</td><td>Synthèse du chapitre</td><td>283</td></tr></tbody></table>

<table><tbody><tr><td><b>III</b></td><td><b>Familles de sphères orientées dans l'espace des sphères</b></td><td><b>285</b></td></tr><tr><td><b>10</b></td><td><b>Espaces de Lorentz et des sphères et faisceaux de sphères</b></td><td><b>289</b></td></tr><tr><td>10.1</td><td>Espace de Lorentz et cône de lumière</td><td>290</td></tr><tr><td>10.2</td><td>Paraboloïde isométrique au plongement de E<sub>3</sub> dans l'espace de Lorentz</td><td>292</td></tr><tr><td>10.3</td><td>Compactification d'Alexandrov de R<sup>n</sup></td><td>297</td></tr><tr><td>10.4</td><td>Espace des sphères orientées Λ<sup>4</sup></td><td>299</td></tr><tr><td>10.4.1</td><td>Sphère, centre, vecteur normal unitaire, courbure</td><td>303</td></tr></tbody></table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>10.4.2</td>
      <td>Position relative de deux sphères</td>
      <td>305</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.4.3</td>
      <td>Faisceaux linéaires de sphères</td>
      <td>309</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.4.3.1</td>
      <td>Equation d'un faisceau à base cercle</td>
      <td>313</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.4.3.2</td>
      <td>Equation d'un faisceau à points limites</td>
      <td>317</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.4.3.3</td>
      <td>Equation d'un faisceau de sphères tangentes</td>
      <td>321</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.4.3.4</td>
      <td>Sphère engendrant des faisceaux de sphères</td>
      <td>321</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.5</td>
      <td>Synthèse du chapitre</td>
      <td>322</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>11</b></td>
      <td><b>Surfaces canal et cyclides de Dupin dans l'espace des sphères</b></td>
      <td><b>323</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.1</td>
      <td>Surface canal sur l'espace des sphères Λ<sup>4</sup></td>
      <td>323</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.1.1</td>
      <td>Définition et premières propriétés</td>
      <td>323</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.1.2</td>
      <td>Surface canal dégénérée ou non</td>
      <td>324</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.1.3</td>
      <td>Détermination des cercles caractéristiques</td>
      <td>327</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.1.4</td>
      <td>Squelette filaire et surface canal</td>
      <td>328</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.2</td>
      <td>Cyclides de Dupin dégénérées</td>
      <td>335</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.2.1</td>
      <td>Le cylindre de révolution</td>
      <td>335</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.2.1.1</td>
      <td>Représentation canonique</td>
      <td>335</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.2.1.2</td>
      <td>Cylindre de révolution défini par deux sphères de même rayon</td>
      <td>336</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.2.2</td>
      <td>Le cône de révolution</td>
      <td>340</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.2.2.1</td>
      <td>Représentation canonique</td>
      <td>340</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.2.2.2</td>
      <td>Cône de révolution défini par son sommet et une sphère</td>
      <td>342</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.2.2.3</td>
      <td>Cône de révolution défini par deux sphères</td>
      <td>346</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.2.3</td>
      <td>Le tore</td>
      <td>351</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.3</td>
      <td>Cyclides de Dupin quartiques</td>
      <td>352</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.3.1</td>
      <td>Représentation sur Λ<sup>4</sup></td>
      <td>352</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.3.2</td>
      <td>Détermination du type des plans</td>
      <td>353</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.3.2.1</td>
      <td>Cas général</td>
      <td>353</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.3.2.2</td>
      <td>Cas particuliers</td>
      <td>358</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.3.2.2.1</td>
      <td>Cyclide de Dupin symétrique à croissant externe</td>
      <td>358</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.3.2.2.2</td>
      <td>Cyclide de Dupin à croissant nul</td>
      <td>358</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.3.2.2.2.1</td>
      <td>Cyclide de Dupin à croissant externe nul</td>
      <td>358</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.3.2.2.2.2</td>
      <td>Cyclide de Dupin à croissant interne nul</td>
      <td>360</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.3.2.2.2.3</td>
      <td>Détermination du plan espace P<sub>2</sub> à partir du plan lumière P<sub>1</sub></td>
      <td>361</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.3.2.2.2.4</td>
      <td>Détermination du plan lumière P<sub>1</sub> à partir du plan espace P<sub>2</sub></td>
      <td>362</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.3.2.3</td>
      <td>Résumé de la représentation des CD4</td>
      <td>362</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.3.3</td>
      <td>Détermination des paramètres d'une CD4</td>
      <td>363</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.3.3.1</td>
      <td>Dans un plan de type espace</td>
      <td>364</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.3.3.2</td>
      <td>Dans un plan de type temps</td>
      <td>366</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.3.4</td>
      <td>Générations de cyclide de Dupin à croissant</td>
      <td>367</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.3.4.1</td>
      <td>Utilisation de l'algorithme 11.2</td>
      <td>367</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.3.4.2</td>
      <td>Utilisation de l'algorithme 11.3</td>
      <td>368</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table><tbody><tr><td>11.3.5</td><td>CD4 déterminée à partir de trois sphères</td><td>370</td></tr><tr><td>11.3.5.1</td><td>Exemple 1 : obtention d'une cyclide de Dupin en anneau</td><td>371</td></tr><tr><td>11.3.5.2</td><td>Exemple 2 : obtention d'une cyclide de Dupin à croissant externe</td><td>373</td></tr><tr><td>11.4</td><td>Cyclides de Dupin paraboliques</td><td>377</td></tr><tr><td>11.4.1</td><td>Cas standard</td><td>377</td></tr><tr><td>11.4.2</td><td>Détermination des paramètres d'une CD3</td><td>379</td></tr><tr><td>11.5</td><td>Cyclides de Dupin et courbes de Bézier</td><td>379</td></tr><tr><td>11.5.1</td><td>Un cercle caractéristique et un point</td><td>379</td></tr><tr><td>11.5.2</td><td>Un cercle caractéristique et une sphère</td><td>383</td></tr><tr><td>11.6</td><td>Sphères de Dandelin ou section d'un cône de révolution par un plan</td><td>384</td></tr><tr><td>11.7</td><td>Synthèse du chapitre</td><td>392</td></tr><tr><td><b>12</b></td><td><b>Subdivisions itératives de cyclides de Dupin dans l'espace des sphères</b></td><td><b>393</b></td></tr><tr><td>12.1</td><td>Algorithme de De Casteljau</td><td>393</td></tr><tr><td>12.2</td><td>Principe de la subdivision itérative de cyclides de Dupin</td><td>394</td></tr><tr><td>12.2.1</td><td>Homographie h<sub>0</sub></td><td>395</td></tr><tr><td>12.2.2</td><td>Homographie h<sub>1</sub></td><td>395</td></tr><tr><td>12.3</td><td>Choix des paramètres homographiques</td><td>396</td></tr><tr><td>12.3.1</td><td>Cas avec trois points pondérés : (ω<sub>0</sub>; ω<sub>1</sub>; ω<sub>2</sub>) ∈ {1} × ℝ<sup>*</sup> × {1}</td><td>396</td></tr><tr><td>12.3.1.1</td><td>Premier cas : ω<sub>1</sub> > -1</td><td>397</td></tr><tr><td>12.3.1.2</td><td>Deuxième cas : ω<sub>1</sub> = -1</td><td>398</td></tr><tr><td>12.3.1.3</td><td>Troisième cas : ω<sub>1</sub> < -1</td><td>402</td></tr><tr><td>12.3.2</td><td>Cas de cercles à deux composantes connexes</td><td>412</td></tr><tr><td>12.3.2.1</td><td>Cas où (ω<sub>0</sub>; ω<sub>1</sub>; ω<sub>2</sub>) ∈ {0} × ℝ<sup>+</sup> × {0}</td><td>413</td></tr><tr><td>12.3.2.2</td><td>Cas où (ω<sub>0</sub>; ω<sub>1</sub>; ω<sub>2</sub>) ∈ {0} × ℝ<sup>+</sup> × {1}</td><td>414</td></tr><tr><td>12.3.2.3</td><td>Cas où (ω<sub>0</sub>; ω<sub>1</sub>; ω<sub>2</sub>) = (1; 0; -1)</td><td>417</td></tr><tr><td>12.3.3</td><td>Cas d'un cercle connexe où (ω<sub>0</sub>; ω<sub>1</sub>; ω<sub>2</sub>) = (1; 0; 1)</td><td>420</td></tr><tr><td>12.3.4</td><td>Cas de la parabole (ω<sub>0</sub>; ω<sub>1</sub>; ω<sub>2</sub>) = (1; 0; 0)</td><td>422</td></tr><tr><td>12.4</td><td>Premier exemple illustratif</td><td>424</td></tr><tr><td>12.4.1</td><td>Subdivision d'une branche de C<sub>1</sub></td><td>425</td></tr><tr><td>12.4.1.1</td><td>Première itération</td><td>425</td></tr><tr><td>12.4.1.2</td><td>Deuxième itération</td><td>426</td></tr><tr><td>12.4.1.3</td><td>Troisième itération</td><td>426</td></tr><tr><td>12.4.2</td><td>Détermination du cercle frère C<sub>2</sub> de C<sub>1</sub></td><td>427</td></tr><tr><td>12.4.3</td><td>Subdivision itérative du cercle frère C<sub>2</sub></td><td>430</td></tr><tr><td>12.4.3.1</td><td>Première itération</td><td>431</td></tr><tr><td>12.4.3.2</td><td>Seconde itération</td><td>431</td></tr><tr><td>12.5</td><td>Deuxième exemple illustratif</td><td>432</td></tr><tr><td>12.6</td><td>Troisième exemple illustratif</td><td>435</td></tr><tr><td>12.7</td><td>Quatrième exemple illustratif</td><td>437</td></tr><tr><td>12.8</td><td>Subdivision d'un carreau de cyclide de Dupin</td><td>439</td></tr><tr><td>12.9</td><td>Synthèse du chapitre</td><td>443</td></tr></tbody></table>
13 Jointures de surfaces canal par des cyclides de Dupin 447

13.1 Jointure entre une surface canal et une sphère le long d'un cercle caractéristique 448

13.1.1 Jointure entre un cylindre de révolution et un plan 448

13.1.2 Jointure entre une caténoïde et un plan 451

13.1.3 Jointure entre une cyclide de Dupin et un plan 455

13.2 Recollement de deux surfaces canal sur une même sphère 456

13.3 Jointure G¹ par deux cyclides de Dupin 461

13.3.1 Principe et algorithme 461

13.3.2 Exemples numériques 464

13.3.2.1 Jointure G¹ de deux courbes sur Λ⁴ 466

13.3.2.2 Les deux courbes sur Λ⁴ sont disjointes 467

13.3.2.2.1 Cas d'un rebroussement 467

13.3.2.2.2 Jointure G¹ avec un point singulier 469

13.4 Cyclides de Dupin passant par un cercle et tangentes à une sphère le long d'un cercle 470

13.4.1 Cas de deux cercles coplanaires dont l'un est un grand cercle de la sphère fixée dans l'un des faisceaux 474

13.4.2 Cas général 475

13.4.2.1 Exemple 1 : deux cercles cosphériques 475

13.4.2.2 Exemple 2 : deux cercles coplanaires 479

13.5 Surface canal comme union de CBRQs : un hippocampe 480

13.5.1 Les contraintes 481

13.5.2 Modélisation de la queue, du corps et de la tête 481

13.5.3 Modélisation du dos 485

13.6 Synthèse du chapitre 489

14 Construction de carreaux de cyclides de Dupin 493

14.1 Construction du premier carreau 494

14.1.1 Expression des contraintes de E₃ dans Λ⁴ 494

14.1.2 Théorème 494

14.1.3 Exemple numérique 500

14.2 Construction d'autres carreaux 508

14.3 Synthèse du chapitre 509

15 Cyclides de Dupin tangentes à trois plans en trois points 511

15.1 La problématique 511

15.2 Mise en place des homographies 515

15.2.1 Les homographies pang, pong et ping 515

15.2.2 L'application ping ○ pong ○ pang 516

15.3 La courbe de contact 519

15.4 Algorithmes 522

15.4.1 Détermination d'une famille à un paramètre de cyclides de Dupin tri-tangentes 522
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>15.4.2</td>
      <td>Détermination d'une deuxième famille de cyclides de Dupin tri-tangentes</td>
      <td>525</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>15.4.3</td>
      <td>Détermination de la courbe de contact</td>
      <td>528</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>15.5</td>
      <td>Synthèse du chapitre</td>
      <td>531</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>16</b></td>
      <td><b>Conclusion-perspectives</b></td>
      <td><b>535</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>16.1</td>
      <td>Conclusion</td>
      <td>535</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>16.1.1</td>
      <td>Première avancée pour l'informatique graphique : les espaces de Lorentz et des sphères</td>
      <td>536</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>16.1.2</td>
      <td>Deuxième avancée pour l'informatique graphique : l'ensemble des points massiques</td>
      <td>537</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>16.1.3</td>
      <td>Troisième avancée pour l'informatique graphique : le couple points massiques - espace de Lorentz</td>
      <td>538</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>16.2</td>
      <td>Perspectives</td>
      <td>538</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>16.2.1</td>
      <td>Interpolation dans l'espace de Lorentz</td>
      <td>538</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>16.2.2</td>
      <td>Contrôle de courbes sur Λ<sup>4</sup></td>
      <td>540</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>16.2.3</td>
      <td>Algèbre géométrique conforme basée sur ℝ<sup>3</sup></td>
      <td>541</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>16.2.3.1</td>
      <td>Extension de L<sub>4,1</sub> à ℝ<sup>4</sup> (L&#x20D7;<sub>4,1</sub>)</td>
      <td>542</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>16.2.3.2</td>
      <td>Extension de L<sub>4,1</sub> à ℝ<sup>2</sup> (L&#x20D7;<sub>4,1</sub>)</td>
      <td>545</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>16.2.3.3</td>
      <td>Cercles représentés par un bivecteur</td>
      <td>547</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>16.2.4</td>
      <td>Algèbres géométriques des points massiques</td>
      <td>550</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>16.2.5</td>
      <td>Ensemble C&#x0303; des nombres complexes massiques</td>
      <td>550</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>16.2.5.1</td>
      <td>Définitions de la somme et de la multiplication par un scalaire</td>
      <td>550</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>16.2.5.2</td>
      <td>Métrique sur C&#x0303; : module et argument</td>
      <td>551</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>16.2.5.3</td>
      <td>Multiplication et déplacement</td>
      <td>552</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>16.2.5.4</td>
      <td>Anti-déplacement</td>
      <td>554</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>16.2.5.4.1</td>
      <td>Equations de droites</td>
      <td>554</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>16.2.5.4.2</td>
      <td>Expression analytique d'une réflexion</td>
      <td>554</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>16.2.5.5</td>
      <td>Courbes de Bézier rationnelles quadratiques</td>
      <td>564</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>16.2.6</td>
      <td>Les cyclides de Dupin comme des cyclides de Darboux</td>
      <td>567</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>16.2.7</td>
      <td>Modélisation de l'écriture manuscrite cursive</td>
      <td>569</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>Annexe Notations</b></td>
      <td></td>
      <td><b>571</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>Bibliographie</b></td>
      <td></td>
      <td><b>575</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>IV Annexes</b></td>
      <td></td>
      <td><b>583</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>Annexe Démonstrations</b></td>
      <td></td>
      <td><b>585</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>A Justification de l'algorithme 4.1</b></td>
      <td></td>
      <td><b>587</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.1 Lemmes</td>
      <td></td>
      <td>587</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.2 Démonstration de la formule (4.8)</td>
      <td></td>
      <td>590</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>A.3</td>
      <td>Démonstration de la formule de récurrence</td>
      <td>592</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>B</b></td>
      <td><b>Justification de l'algorithmme 4.2</b></td>
      <td><b>597</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>B.1</td>
      <td>Rappels et lemmes</td>
      <td>597</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>B.1.1</td>
      <td>Rappels</td>
      <td>597</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>B.1.2</td>
      <td>Lemmes</td>
      <td>598</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>B.2</td>
      <td>Démonstration de la formule (4.16)</td>
      <td>600</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>B.3</td>
      <td>Démonstration de la récurrence</td>
      <td>602</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>B.4</td>
      <td>P<sub>0</sub>N<sub>1</sub>N<sub>3</sub> isocèle en N<sub>1</sub></td>
      <td>604</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>C</b></td>
      <td><b>Annexe : Sphères tangentes d'une CD4A</b></td>
      <td><b>605</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>D</b></td>
      <td><b>Inversion dans un espace affine euclidien.</b></td>
      <td><b>607</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>D.1</td>
      <td>Inversion plane : conservation de l'ensemble des cercles et des droites</td>
      <td>607</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>D.2</td>
      <td>Inversion et homothétie</td>
      <td>609</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>E</b></td>
      <td><b>Démonstration du théorème 45</b></td>
      <td><b>613</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>E.1</td>
      <td>Lemmes</td>
      <td>613</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>E.1.1</td>
      <td>Premier cas : α = 1 ⇒ β = 0.</td>
      <td>614</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>E.1.2</td>
      <td>Second cas : 0 ≤ α < 1 et β = √1 - α<sup>2</sup>.</td>
      <td>615</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>E.2</td>
      <td>Démonstration du théorème 45 :</td>
      <td>618</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>F</b></td>
      <td><b>Reparamétrisation d'une CBRQ</b></td>
      <td><b>621</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>G</b></td>
      <td><b>Annexe : Tableaux de valeurs pour la modélisation d'un hippocampe</b></td>
      <td><b>623</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>H</b></td>
      <td><b>Annexe : Multiplication, inverse, racine carrée à la règle et au compas</b></td>
      <td><b>629</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>H.1</td>
      <td>Inverse d'un nombre</td>
      <td>629</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>H.2</td>
      <td>Multiplication de deux nombres a et b</td>
      <td>630</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>H.3</td>
      <td>Racine carrée du produit de deux nombres</td>
      <td>630</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>Index</b></td>
      <td></td>
      <td><b>631</b></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
Listes des algorithmes

<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>2.1</td>
      <td>Construction, à la règle et au compas, d'un arc de parabole par un I.F.S. linéaire dans le plan affine.</td>
      <td>37</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1</td>
      <td>Construction itérative d'un arc de cercle dans le plan affine.</td>
      <td>116</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.1</td>
      <td>Construction itérative d'un arc de cercle C dans un plan de P<sub>C</sub>.</td>
      <td>130</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2</td>
      <td>Construction itérative d'un arc de cercle ayant une extrémité à l'infini.</td>
      <td>135</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.1</td>
      <td>Construction d'un arc de cercle sur une sphère unité qui se trace comme un hyperboloïde à une nappe.</td>
      <td>147</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2</td>
      <td>Construction d'un demi-cercle sur une quadrique propre.</td>
      <td>148</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.3</td>
      <td>Construction des branches d'un arc de cercle sur une sphère unité qui se trace comme un hyperboloïde à une nappe.</td>
      <td>153</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.1</td>
      <td>Construction d'une famille de neuf points définissant un carreau de cyclide de Dupin.</td>
      <td>210</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2</td>
      <td>Détermination du tore sous-jacent à l'algorithme 8.1.</td>
      <td>212</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3</td>
      <td>Détermination de la cyclide de Dupin sous-jacente à l'algorithme 8.1.</td>
      <td>216</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.4</td>
      <td>Deux applications contractantes applicables aux algorithmes 8.1 et 8.4.</td>
      <td>217</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.5</td>
      <td>Deux applications contractantes applicables aux algorithmes 8.1, 8.5 et 8.6.</td>
      <td>221</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.6</td>
      <td>Deux applications contractantes applicables aux algorithmes 8.1, 8.5 et 8.6.</td>
      <td>222</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.1</td>
      <td>Construction d'un triangle rectangle 3D sur un tore dont l'axe est orthogonal au plan d'équation z = 0.</td>
      <td>254</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.2</td>
      <td>Construction d'un triangle rectangle 3D sur une CD4A.</td>
      <td>259</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.3</td>
      <td>Triangle rectangle 3D sur une CD3A obtenu par inversion d'un triangle 3D sur un tore à collier.</td>
      <td>266</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.4</td>
      <td>Construction de triangle isocèle ayant un bord circulaire et deux côtés rectilignes sur une cyclide de Dupin cubique en anneau.</td>
      <td>274</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.5</td>
      <td>Construction d'un triangle isocèle 3D sur une CD4A à partir d'un triangle isocèle 3D sur une CD3A.</td>
      <td>277</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.1</td>
      <td>Détermination de la surface canal à partir de son contour.</td>
      <td>331</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.2</td>
      <td>Construction d'un cylindre de révolution à partir de deux sphères de même rayon et du point à l'infini.</td>
      <td>338</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.3</td>
      <td>Construction d'un cône de révolution à partir d'un point et d'une sphère.</td>
      <td>344</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.4</td>
      <td>Construction d'un cône de révolution à partir de deux sphères (de rayons algé-briques distincts).</td>
      <td>347</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.5</td>
      <td>Cyclide de Dupin obtenue à partir de trois sphères.</td>
      <td>371</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>11.6 Construction d'une cyclide de Dupin à partir d'un point, d'une sphère et de sa sphère dérivée.</td>
      <td>380</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.7 Construction d'un demi-cercle sur Λ<sup>4</sup>.</td>
      <td>384</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.8 Construction des sphères de Dandelin à partir d'un cône de révolution et d'un plan.</td>
      <td>386</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>12.1 Algorithme de De Casteljau dans l'espace des points massiques.</td>
      <td>394</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>13.1 Jointure G<sup>1</sup> entre deux surfaces canal par deux morceaux de cyclides de Dupin le long de deux cercles donnés.</td>
      <td>463</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>13.2 Jointure G<sup>1</sup> entre un cercle sur une sphère et un autre cercle.</td>
      <td>475</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>14.1 Détermination d'une cyclide de Dupin permettant d'obtenir un carreau à bords circulaires.</td>
      <td>498</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>14.2 Détermination d'une cyclide de Dupin permettant d'obtenir un carreau à bords circulaires joignant de façon G<sup>1</sup> le carreau construit par l'algorithme 14.1.</td>
      <td>508</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>15.1 Construction de cyclides de Dupin tangentes en trois points à trois plans donnés.</td>
      <td>514</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>15.2 Détermination d'une cyclide de Dupin satisfaisant trois conditions de contact s'il en existe.</td>
      <td>523</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>15.3 Détermination d'une cyclide de Dupin tri-tangente à une cyclide de Dupin initiale.</td>
      <td>527</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>15.4 Détermination d'une courbe de tangence définie par trois conditions de contact sur une cyclide de Dupin.</td>
      <td>530</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>16.1 Habillage de squelettes curvilignes</td>
      <td>541</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
## Liste des tableaux

<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>2.1</td>
      <td>Schéma de subdivision de la figure 2.5.</td>
      <td>40</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.2</td>
      <td>Ambiguïté de l'indexation des points construits par l'algorithme 2.1.</td>
      <td>40</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1</td>
      <td>Coordonnées des points calculés lors de la seconde étape du déroulement de l'algorithme 3.1, figure 3.27.</td>
      <td>122</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2</td>
      <td>Types de coniques générées par des CBRQ (canoniques) de points massiques de contrôle (P<sub>0</sub>; ω<sub>0</sub>), (P<sub>1</sub>; ω<sub>1</sub>) et (P<sub>2</sub>; ω<sub>2</sub>) avec ω<sub>0</sub> ∈ {0; 1}.</td>
      <td>126</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.1</td>
      <td>Forme quadratique définie à partir d'une conique C à centre du plan affine P, <span style="text-decoration: overline;">u</span> (x; y) est exprimé dans la base (<span style="text-decoration: overline;">v</span>; <span style="text-decoration: overline;">j</span>).</td>
      <td>128</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2</td>
      <td>Les trois types de vecteurs <span style="text-decoration: overline;">v</span> de <span style="text-decoration: overline;">P</span><sub>H</sub>.</td>
      <td>128</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.1</td>
      <td>Définition des trois types de vecteurs ou de plans P<sub>α<sub>0</sub></sub> en fonction de α<sub>0</sub> et de la forme quadratique Q<sub>|P<sub>α<sub>0</sub></sub></sub>.</td>
      <td>143</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2</td>
      <td>Algorithmes du chapitre 7.</td>
      <td>160</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.1</td>
      <td>Positions relatives de deux sphères.</td>
      <td>167</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.1</td>
      <td>Les cinq types de cyclides de Dupin quartiques obtenues comme images de surface(s) de révolution par une inversion.</td>
      <td>193</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.2</td>
      <td>Propriétés géométriques d'une SBRB obtenu par conversion d'un carreau de CD4.</td>
      <td>198</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.3</td>
      <td>Droites et points appartenant aux différents plans.</td>
      <td>199</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.4</td>
      <td>Les trois types de cyclides de Dupin quartiques obtenues comme images de surface(s) de révolution par une inversion.</td>
      <td>206</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.1</td>
      <td>Coordonnées du polyèdre des images 8.1(a) et 8.2.</td>
      <td>212</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2</td>
      <td>Coordonnées du polyèdre des figures 8.1 et 8.3.</td>
      <td>213</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3</td>
      <td>Coordonnées du polyèdre de l'image 8.5 en utilisant l'algorithme 8.4.</td>
      <td>215</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.4</td>
      <td>Coordonnées du polyèdre de l'image 8.6 en utilisant l'algorithme 8.4 avec ω<sub>01</sub> négatif.</td>
      <td>215</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.5</td>
      <td>Coordonnées du polyèdre de l'image 8.8(a).</td>
      <td>220</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.6</td>
      <td>Coordonnées du polyèdre de l'image 8.8(b).</td>
      <td>220</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.7</td>
      <td>Synthèse des algorithmes du chapitre.</td>
      <td>227</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>9.1</td>
      <td>Equation paramétrique de droites sur une CD3A, t décrit R.</td>
      <td>248</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.2</td>
      <td>Paramètres du tore pour les points P<sub>002</sub>(4; 0; 0), P<sub>020</sub>(2; 0; 2) et P<sub>200</sub>(1; -4; 0).</td>
      <td>255</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.3</td>
      <td>Paramètres du tore pour les points P<sub>002</sub>(4; 0; 0), P<sub>020</sub>(2; 0; 2) et P<sub>200</sub>(1; -4; 0).</td>
      <td>255</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.4</td>
      <td>Tableau récapitulatif : génération d'une cyclide comme image d'un tore par une inversion.</td>
      <td>257</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.5</td>
      <td>Paramètres des cyclides de Dupin des figures 9.26(b) et 9.27, obtenues à partir des points P<sub>002</sub>(4; 0; 0), P<sub>020</sub>(2; 0; 2) et P<sub>200</sub>(1; -4; 0) et par inversion du tore de la figure 9.26(a).</td>
      <td>262</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.6</td>
      <td>Paramètres de la CD3A de la figure 9.31.</td>
      <td>265</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.7</td>
      <td>Valeurs des paramètres des figures 9.42(a) et 9.42(b).</td>
      <td>280</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.8</td>
      <td>Types de triangles 3D.</td>
      <td>283</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.1</td>
      <td>Définition des trois types de vecteurs ou de plans de l'espace de Lorentz.</td>
      <td>291</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.2</td>
      <td>Définition de l'intérieur et de l'extérieur du cône C<sub>σ</sub>, de sommet σ, de dimension 3, défini par : C<sub>σ</sub> = Λ<sup>4</sup> ∩ T<sub>σ</sub>Λ<sup>4</sup>.</td>
      <td>309</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.3</td>
      <td>Sphères d'un faisceau de sphères à base cercle.</td>
      <td>316</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.4</td>
      <td>Sphères d'un faisceau de sphère à points limites.</td>
      <td>320</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.1</td>
      <td>Sphères et éléments caractéristiques de la première famille définissant la CD4 sur l'espace des sphères.</td>
      <td>354</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.2</td>
      <td>Sphères et éléments caractéristiques de la seconde famille définissant la CD4 sur l'espace des sphères.</td>
      <td>354</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.3</td>
      <td>Détermination des cyclides de Dupin quartiques en anneau. En gras, la conique contient les deux plans de la famille de sphères.</td>
      <td>356</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.4</td>
      <td>Détermination des différents types de cyclides de Dupin quartiques à croissants non nuls. En gras, la conique contient les deux plans de la famille de sphères.</td>
      <td>357</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.5</td>
      <td>Détermination des différents types de cyclides de Dupin quartiques à croissants nuls. En gras, la conique contient les deux plans de la famille de sphères.</td>
      <td>359</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.6</td>
      <td>Sphères et éléments caractéristiques de la première famille définissant la CD3 dans l'espace des sphères.</td>
      <td>378</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.7</td>
      <td>Sphères et éléments caractéristiques de la seconde famille définissant la CD3 dans l'espace des sphères.</td>
      <td>378</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>12.1</td>
      <td>Schéma de subdivision de la première itération en utilisant les deux applications contractantes T<sub>0</sub> et T<sub>1</sub>.</td>
      <td>426</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>12.2</td>
      <td>Schéma de subdivision de la deuxième itération en utilisant les deux applications contractantes T<sub>0</sub> ∠ T<sub>0</sub> et T<sub>1</sub> ∠ T<sub>0</sub>.</td>
      <td>427</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>12.3</td>
      <td>Valeurs des sphères construites lors de la deuxième itération de la subdivision itérative d'une branche de cercle représentant un morceau d'une cyclide de Dupin.</td>
      <td>427</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>12.4</td>
      <td>Schéma de subdivision de la troisième itération en utilisant les deux applications contractantes T<sub>0</sub> ∠ T<sub>1</sub> ∠ T<sub>0</sub> et T<sub>1</sub> ∠ T<sub>1</sub> ∠ T<sub>0</sub>.</td>
      <td>428</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
12.5 Valeurs des sphères construites lors de la troisième itération de la subdivision itérative d'une branche de cercle représentant un morceau d'une cyclide de Dupin._________ 429

12.6 Valeurs des sphères $\sigma_0$, $\sigma_1$ et $\sigma_0^*$ permettant de définir le plan contenant $C_2$ ainsi que les centres et rayons de sphères de $\mathcal{E}_3$ qu'elles engendrent._________ 431

12.7 Sphères utiles pour afficher les cercles caractéristiques lors de la seconde itération._________ 432

12.8 Sphères utiles pour afficher les cercles caractéristiques lors de la seconde itération de subdivision d'un cône de révolution._________ 434

14.1 Sphères définies par le carreau de cyclide de Dupin._________ 500

14.2 Sphères qui définissent la cyclide de Dupin._________ 504

14.3 Sphères qui définissent la cyclide de Dupin, les sphères $\sigma_{\theta_0}$ et $\sigma_{\theta_0^*}$ sont communes aux deux carreaux._________ 509

15.1 Valeurs des coordonnées des points $M_i$ et des composantes des vecteurs orientés $\vec{n}_i$ définissant les plans $R_i$ de la figure 15.6. Les plans $R_i$ admettent les vecteurs $\vec{n}_i$ comme vecteurs normaux et passent par les points $M_i$._________ 524

15.2 Paramètres des cyclides de Dupin déterminées par l'algorithme 15.2 à partir de trois contacts de la cyclide de Dupin initiale de la figure 15.6._________ 528

15.3 Coordonnées des points $M_i$ et des centres de sphères $S(t_i)$ et valeur des rayons des sphères $S(t_i)$ définissant les conditions de contact de la figure 15.9._________ 529

G.1 Valeurs des sphères $S_i$, $i$ appartenant à $[0; 8]$, de contraintes définissant l'hippocampe. La représentation de la sphère $S_i$ sur $\Lambda^4$ est $\sigma_i$._________ 624

G.2 Valeurs des sphères dérivées définissant l'hippocampe._________ 625

G.3 Centre des arcs de cercles et cercles caractéristiques de chacune des courbes de Bézier définissant l'hippocampe._________ 626

G.4 Points massiques de contrôle des courbes de Bézier rationnelles quadratiques définissant l'hippocampe._________ 627
Remerciements

Je tiens d'abord à remercier les personnes sans qui je n'aurais pas pu mener à bien, à l'Univer-
sité de Bourgogne, les travaux de mon doctorat sur les cyclides de Dupin et les supercyclides, qui
ont été initiés par **Marc Neveu**, **Sebti Foufou** et **Mike Pratt** qui a proposé le sujet de recherche
sur les cyclides de Dupin, et avec qui j'ai eu beaucoup de discussions très bénéfiques.

Je remercie aussi les membres du jury, les personnes qui ont accepté la noble tâche de rap-
porteur, **Frédéric Cordier**, **Luc Biard**, et **Ahmed Zidna**, le président **Laurent Fuchs** et les
examineurs **Sebti Foufou** et **Géraldine Morin**.

J'en profite aussi pour remercier les autres membres de l'équipe : **Dominique Faudot**, **Irène Foucherot**, **Christian Gentil**, **Sandrine Lanquetin**, **Dominique Micchelucci**, **Céline Roudet** et **Joël Savelli**.

Je remercie aussi tous les stagiaires, thésards ou post-doc ayant apporté leur pièce à l'édifice concernant les triangles 3D (Bertrand Belbis, Loïc Puech, Jean-Marc Cane et Hichem Barki) et le travail sur les squelettes et l'espace des sphères (Sophie Thuringer et Fabien Simon).

Je remercie plus particulièrement **Rémi Langevin** qui m'a fait découvrir l'espace des sphères ainsi que **Lucie Druoton** qui a réalisé un excellent travail durant ses années de doctorat et d'A.T.E.R. Je remercie aussi **Marco Paluszny**, enseignant-chercheur en Colombie pour nous avoir proposé son problème des trois contacts qui a permis de trouver un résultat très surprenant et novateur. Je remercie aussi **Jean-Claude Sifre** pour sa collaboration à ce même problème, certaines images POV-Ray sont d'ailleurs de lui.

Je remercie **Laurent Fuchs** pour les discussions concernant les algèbres géométriques ce qui ouvre une troisième voie à la simplification des outils informatiques permettant la modélisation de surfaces canal.

Je remercie **Jean-Paul Bécar** pour le grand nombre de discussions fructueuses que nous avons eues sur les points massiques, les sphères de Dandelin et autres.

En plus de **Géraldine Morin**, je remercie aussi **Sylvie Chambon** et **Bastien Durix**, respectivement Maître de Conférences et doctorant à l'I.R.I.T. de Toulouse pour le travail, en collaboration avec **Céline Roudet**, sur la reconstruction de surfaces canal à partir de squelettes.

Je remercie aussi ma chère et tendre, **Céline**, mon frère **Jean-Marc** pour leur relecture atten-
tive et la correction de ce mémoire.
A mes parents et à mes deux filles Eléonore et Apolline.
# Chapitre 1

## Introduction

Les plus lointaines traces concernant la géométrie antique qui nous sont parvenues datent des Grecs et nous pouvons citer en particulier Euclide<fnref n="1" /> et son ouvrage *Les Eléments*, où sont posées les bases de la géométrie euclidienne, Pythagore (570-480 av. J.C.) et Thalès de Millet (625-547 av. J.C.) avec leurs théorèmes connus par tout collégien. Au IVe siècle avant J. C., Ménechme et Aristé savaient que la section d'un cône par un plan perpendiculaire à l'une des génératrices de ce dernier ne donnait pas la même courbe selon que l'angle du cône de révolution était aigu (ellipse), droit (parabole) ou obtus (hyperbole) [DP86]. Apollonius fut le premier à remarquer qu'il était possible d'obtenir les différentes coniques à partir d'un même cône oblique à base circulaire [DP86].

Les objets les plus intéressants d'un point de vue calculatoire sont les droites et les plans puisque ces objets sont définis à l'aide d'équations de degré 1. Ces derniers n'étant pas souples, l'utilisation d'équations de degré 2 permet de mettre à la disposition du géomètre un plus grand nombre de courbes et de surfaces : les coniques et les quadriques. Depuis les travaux de Galois, nous savons que pour toute équation algébrique à coefficients réels de degré au plus 4, des méthodes permettant d'obtenir des solutions (réelles ou complexes) exactes existent. Ainsi, des surfaces de degré au plus 4 ont été définies par P. C. Dupin en 1822 [Dup22] : les cyclides de Dupin. Ces surfaces présentent l'avantage, comme les précédentes, d'admettre aussi bien une équation implicite ou cartésienne qu'une équation paramétrique. De plus, ces cyclides de Dupin apparaissent dans des applications physiques (les cristaux d'écran LCD [LB06]) ou biologiques (les liposomes [MJF+94]).

Avec l'essor de l'outil informatique, la représentation de surfaces permet la modélisation de prototypes utilisés par les constructeurs automobiles ou autres (Renault avec Pierre Bézier [Béz86], Citroën avec Paul De Casteljau [Cas85], Boeing avec James Fergusson [Fer64]). Ces modèles sont des modèles paramétriques (courbes de Bézier, B-Splines, NURBS...) et assez intuïtifs pour l'utilisateur qui doit seulement définir des points de contrôle et parfois des poids. Afin de réaliser ces films ou ces prototypes, ces objets<fnref n="2" /> doivent être modélisés par divers moyens et ce domaine est appelé représentation géométrique. Ensuite, il est possible d'appliquer sur ces

<footnote n="1">1. Il semblerait qu'il ait vécu au troisième siècle avant J.C.</footnote>

<footnote n="2">2. Dans ce mémoire, un objet sera représenté par sa frontière qui sera une surface. Ce type de représentation par frontière (B-Rep) est un modèle surfacique.</footnote>
objets des textures en choisissant leur couleur, leur réflectivité, leur transparence et leur luminosité. Pour finir, l'éclairage [FDF+95] de ces objets est réalisé par un ajout de sources lumineuses (ponctuelles ou non) avec différentes couleurs. Le tout s'appelle une scène.

Le but de ce mémoire est de simplifier le traitement de certaines surfaces : celles qui sont enveloppes de sphères et appelées surface canal. Pour ce faire, nous utilisons l'espace adéquat : celui de l'espace des sphères contenu dans celui de Lorentz. Dans cet espace, une surface canal est représentée par une courbe tandis qu'une cyclide de Dupin est modélisée par deux coniques, chacune dans un plan d'un espace de dimension au moins 5 et une solution courante, pour les modéliser, est d'utiliser des courbes de Bézier [Béz86] ou l'algorithme de Casteljau [Cas85] qui permet des constructions itératives [Zaï98, Gol04, MWW01, BCR07b, Gar10, GDL12]. Classiquement, une courbe de Bézier rationnelle quadratique est définie par les trois polynômes de Bernstein de degré 2 et trois points pondérés ($P_0, \omega_0$), ($P_1, \omega_1$) et ($P_2, \omega_2$) de poids non nuls (et le plus souvent de poids strictement positif). D'un point de vue géométrique, un tel arc est le lieu de barycentres de points pondérés : le poids de ce barycentre est la somme des produits des poids avec le polynôme de Bernstein idoine. Cependant, la modélisation d'arcs de paraboles ou d'hyperboles pose problème puisque ces dernières ne sont pas bornées. De plus, un problème se pose, lorsque la somme des poids est nulle, le barycentre n'existe plus et nous obtenons un vecteur; il est donc naturel de construire un espace contenant les points affines pondérés, les vecteurs et généralisant la notion de barycentre : l'espace des points massiques [FJ89, Gol02] est l'ensemble des points pondérés et des vecteurs que nous affectons d'un poids nul. D'autres personnes ont pensé à la généralisation des courbes de Bézier rationnelles en prenant des points de contrôle à l'infini à l'aide des coordonnées homogènes [Ver75, PT95, Far92]. Le problème essentiel est la perte de rigueur mathématique qui rend l'utilisation de cette méthode rédhibitoire dans un cadre théorique rigoureux, puisqu'en changeant de représentant dans une même classe d'équivalence, la courbe change [PT95, Gar09] (que dirait-on si la somme de deux rationnels dépendait des représentants choisis ?). De plus, les auteurs ayant recours à ce subterfuge n'expliquent pas comment choisir ce point à l'infini pour obtenir une courbe souhaitée. Le formalisme des courbes de Bézier à points massiques de contrôle est meilleur puisque :

* le formalisme mathématique est rigoureux et irréprochable;

* le choix du ou des vecteur(s) dépend directement de la nature (pseudo-)métrique de la courbe ainsi que des autres points de contrôle;

* les poids peuvent ne pas être tous du même signe;

* les propriétés ne s'appuient que sur des concepts affines et il est possible de munir l'espace dans lequel nous travaillons de n'importe quelle forme quadratique;

* si nous voulons représenter une surface canal par une courbe de Bézier sur l'espace des sphères, articles [GDL12, DGL13, GDB15] et paragraphe 11.1, nous devons impérativement rester sur la sphère unité de l'espace de Lorentz et nous devons avoir un critère rigoureux dans le choix du vecteur : c'est le vecteur de $\mathbb{R}^5$ qui représente un point de $\mathbb{R}^3$ et non pas un point à l'infini de la fermeture projective de $\mathbb{R}^5$.

De plus, en se donnant une courbe de Bézier rationnelle quadratique, grâce à des représentations adéquates, nous pouvons déterminer très facilement les éléments caractéristiques de la conique définie par cette courbe de Bézier [Béc97, BG14]. L'utilisation des coordonnées homogènes n'est pas possible puisque, d'une part, la structure métrique (euclidienne ou non) du
plan affine ne peut être considérée dans sa fermeture projective, et d'autre part, le choix d'un représentant ou d'un autre d'une classe d'équivalence change la nature de la courbe [Gar10]. En utilisant les coordonnées homogènes, si nous ne connaissons pas la droite de l'infini, nous ne pouvons pas distinguer une conique propre d'une autre conique propre [Ing11]. Le formalisme des courbes de Bézier à points massiques de contrôle s'étend à toute dimension et ne dépend pas de la forme quadratique considérée ce qui rend leur utilisation possible dans un espace qui nous intéresse : l'espace de Lorentz contenant l'espace des sphères.

L'espace des sphères a été introduit de différentes façons. Par exemple, M. Berger [Ber78, BG92] se place dans l'espace projectif des formes quadratiques sur l'espace affine euclidien, M. Paluszny [PB98] travaille dans un espace projectif de dimension 4 utilisant l'hypersphère de Moebius tandis que U. Hertrich-Jeromin [HJ03], T. Cecil [Cec92], R. Langevin, J. O'Hara [LO05, LO08] et P. Walczak [LW08] utilisent une quadrique de dimension 4 de l'espace de Lorentz de dimension 5. L'espace de Lorentz permet de modéliser à la fois les sphères et plans orientés de $\mathbb{R}^3$ (l'espace des sphères) et les points de $\mathbb{R}^3$ en tant que vecteurs isotropes de l'espace de Lorentz. Ainsi, nous reprenons la construction de ces derniers où nous pouvons distinguer l'intérieur de l'extérieur de la sphère en fonction de l'orientation de cette dernière. Nous utilisons ce dernier puisqu'il permet de résoudre des problèmes insolubles aussi bien dans $\mathbb{R}^3$ que dans les autres représentations de l'espace des sphères $[LSD^+14]$. De plus, cet espace nous permet d'utiliser, si besoin, la puissance des algèbres géométriques [DFGL14, DFM07].

Dans l'espace des sphères (orientées), une cyclide de Dupin, un cône ou un cylindre de révolution, un tore ou un faisceau de sphères est représenté par une conique (cercle, parabole ou union de deux droites) sur une sphère unité de dimension 4 plongée dans un espace de dimension 5 géneralisant l'espace-temps de Minkowski $[DGL^+10, GDL12, DFGL14, LSD^+14, LW08, LO08]$. Cet espace permet de simplifier la manipulation de surfaces puisque ces dernières sont « linéarisées » : elles sont obtenues comme intersection de la sphère unité par un plan (de dimension 2). Les points singuliers des cyclides de Dupin ou les points limites d'un faisceau de sphères sont représentés par des vecteurs isotropes (pour la forme quadratique de Lorentz) et il est naturel, si nous voulons utiliser des courbes de Bézier rationnelles quadratiques pour représenter des arcs de cercles sur l'espace des sphères de pouvoir inclure des vecteurs dans la courbe de Bézier : les points singuliers (sphères de rayon nul) de la surface canal sont représentés par des vecteurs dans l'espace de Lorentz tandis que les sphères de rayon non nul sont sur la sphère unité. L'utilisation des points massiques permet d'une part, de modéliser très facilement un demi-cercle (euclidien ou non) ou une branche d'un cercle, qui se trace comme une hyperbole, en utilisant le formalisme des points massiques et d'autre part de manipuler le point à l'infini de $\mathcal{E}_3$ comme n'importe quel autre vecteur isotrope ce qui permet d'obtenir un et un seul algorithme pour la modélisation d'un cône de révolution ou d'une cyclide de Dupin ayant deux points singuliers. Dans les deux cas, nous définissons ces deux surfaces à l'aide de deux points et d'une sphère : les deux points singuliers pour la cyclide de Dupin, le sommet et le point à l'infini pour le cône de révolution. De plus, lorsque nous voulons tracer la surface dans $\mathcal{E}_3$, nous pouvons tracer les cercles caractéristiques directement c'est-à-dire que nous n'avons besoin ni d'une équation, ni d'une matrice de transformation affine permettant de placer correctement la surface dans le repère de la scène.

Ce mémoire est composé de trois parties suivies d'une conclusion, de perspectives et d'ankexes.
## 1.1 Première partie

Cette partie est composée de quatre chapitres. Le premier chapitre propose des rappels sur les plans affines, plans projectifs et l'espace des points massiques. Nous donnons aussi la définition des courbes de Bézier dans l'espace des points massiques qui permet d'avoir des vecteurs ou des points dans ces courbes. Nous donnons aussi l'algorithme de De Casteljau basé sur les propriétés barycentriques des courbes de Bézier. Dans ce chapitre, aucune distance n'est utilisée (le milieu de deux points est une propriété affine et non métrique, c'est l'isobarycentre des deux points).

Dans le deuxième chapitre, nous nous plaçons dans le plan euclidien et nous nous focalisons sur la détermination des paramètres d'une conique propre (ellipse, parabole, hyperbole) en utilisant des courbes de Bézier rationnelles quadratiques à points massiques de contrôle. Nous proposons un algorithme permettant de réaliser des subdivisions itératives d'arcs de cercles. Il est aussi possible de construire des subdivisions itératives régulières<fnref n="3" /> d'arcs d'ellipses ou d'hyperboles à la règle et au compas [Gar10], mais le travail exposé ici ne traite que de paraboles, de droites et de cercles.

Dans le troisième chapitre, nous choisissons une métrique particulière afin qu'une conique propre à centre soit vue comme un cercle unitaire. Nous généralisons les résultats et travaux concernant les cercles euclidiens usuels. Nous proposons ensuite, en utilisant des points massiques, des subdivisions itératives d'arcs de coniques propres en exploitant la métrique particulière dont le plan est muni. Les points construits sont les mêmes que ceux construits dans [Gar10], mais la droite qui était une médiane dans le plan euclidien devient une médiatrice pour la métrique ambiante : ceci justifie bien le terme « régulières » du paragraphe précédent. Cependant, les chapitres 3 et 4 laisseraient penser que les procédés de subdivisions sont liés à des propriétés métriques, nous voyons que ce n'est pas le cas dans le chapitre 12.

Le dernier chapitre de cette partie a pour finalité un apport pédagogique puisque nous continuons à explorer des espaces non euclidiens et nous traçons des arcs de cercles, qui se tracent comme des ellipses ou des hyperboles, sur un hyperboloïde à un nappe (de dimension 2) vu comme une sphère unité de $\mathbb{R}^3$. Afin de tracer des demi-cercles ou des branches de cercles (qui se tracent comme des hyperboles), l'utilisation des points massiques est fondamentale. Dans la troisième partie, nous nous plaçons dans l'espace de Lorentz où les cyclides de Dupin sont représentées par des cercles, qui se tracent comme des ellipses ou des hyperboles ou des paraboles affines sur une sphère unité qui a l'aspect d'un hyperboloïde à une nappe de dimension 4.

## 1.2 Deuxième partie

Cette partie est composée de quatre chapitres et toute l'action se déroule dans l'espace euclidien orienté à trois dimensions usuel $\mathcal{E}_3$.

Le premier chapitre aborde une notion fondamentale pour le reste du travail exposé : nous introduisons la notion de sphères orientées. Nous donnons ensuite quelques rappels sur les sphères (puissance d'un point par rapport à une sphère, puissance conjointe de deux sphères) et les faisceaux de sphères.

<footnote n="3">3. Chaque point construit de la conique est sur une médiane du triangle de départ.</footnote>
Le deuxième chapitre propose quelques rappels sur les surfaces canal et en particulier sur les cyclides de Dupin cubiques et quartiques et donne la définition de cercles caractéristiques, notion essentielle pour le reste de ce document.

Le troisième chapitre présente quelques algorithmes permettant de réaliser des subdivisions itératives de carreaux de cyclides de Dupin. Nous verrons, dans le chapitre 12, que l'utilisation de l'espace des sphères permet de simplifier les algorithmes.

Le quatrième chapitre permet d'exhiber deux autres familles de cercles sur des cyclides de Dupin : les cercles d'Yvon-Villarceau dont nous donnons les équations. Ce travail fait, nous proposons des algorithmes permettant de construire des triangles 3D, rectangles ou isocèles, à bord circulaires. Le bord d'un triangle rectangle (resp. isocèle) est composé d'un arc de cercle d'Yvon-Villarceau (resp. un arc de cercle caractéristique) et de deux arcs de cercles caractéristiques (resp. un arc de cercle d'Yvon-Villarceau).

## 1.3 Troisième partie

La troisième partie est composée de six chapitres.

Le premier chapitre expose la construction de l'espace de Lorentz. Dans cet espace, nous construisons un compactifié d'Alexandrov de $\mathcal{E}_3$, qui lui est isométrique (si on enlève le point à l'infini), le cône de lumière qui permet de représenter les points de $\mathcal{E}_3$ par des vecteurs isotropes, la sphère unité dont les points représentent les sphères orientées de $\mathcal{E}_3$.

Le deuxième chapitre traite de la représentation des cyclides de Dupin dans l'espace des sphères en utilisant des courbes de Bézier rationnelles quadratiques à points massiques de contrôle. Des algorithmes de construction très robustes sont proposés : ils sont valables que la surface ait un point à l'infini (comme le cône de révolution ou cylindre de révolution) ou non.

Le troisième chapitre traite de la construction itérative d'arcs de courbes de Bézier rationnelles quadratiques à points massiques de contrôle ce qui permet de construire, de façon itérative, dans $\mathcal{E}_3$, des cercles caractéristiques de cyclides de Dupin.

Dans le quatrième chapitre, nous proposons une solution très simple permettant de construire un carreau de cyclide de Dupin à partir de quatre sommets cocycliques et de deux vecteurs orthogonaux et tangents à la future surface en l'un de ces sommets. En particulier, dans l'espace des sphères, déterminer une sphère, tangente à une sphère donnée en un point donné, et passant par un point donné, revient à résoudre une équation algébrique de degré 1.

Dans le cinquième chapitre, nous réalisons des jointures $G^1$ entre deux surfaces canal le long de cercles caractéristiques. Dans le cas favorable, une seule cyclide de Dupin convient, dans le cas contraire, il faut utiliser deux cyclides de Dupin qui se recollent sur une sphère le long d'un même cercle. Nous donnons aussi des critères permettant de détecter les rebroussements lors de recollements de deux surfaces canal.

Dans le dernier chapitre, nous résolvons un problème insoluble sans le concept de sphères orientées : nous n'avons pas de solution dans $\mathcal{E}_3$ et ce problème est insoluble dans le modèle projectif de l'espace des sphères. Le problème est le suivant : étant donné trois points et trois plans contenant ces points, combien peut-on construire de cyclide(s) de Dupin tangentes aux plans aux points donnés ? La réponse est surprenante, soit le problème n'a pas de solution, soit
nous avons une famille à un paramètre de cyclides de Dupin solutions. De plus, toutes les cyclides de Dupin sont tangentes le long d'une même courbe.

Après une conclusion, nous présentons quelques perspectives suivies de quelques annexes.

Nous finissons cette introduction en présentant les diverses personnes ayant participé à ces travaux.

## 1.4 Collaboration ou encadrement

Dans le chapitre 3, nous déterminons les paramètres d'une conique propre définie par une courbe de Bézier rationnelle quadratique : ce paragraphe est une réécriture d'une partie de la thèse de J. P. Bécar [Béc97] en utilisant nos définitions des points massiques et des opérations $\overline{\text{et } \square}$.

Le travail du chapitre 8 a été fait en collaboration avec C. Gentil [GG11, GG10].

Le travail du chapitre 9 a été fait en collaboration avec S. Foufou, D. Michelucci, un post-doc H. Barki et trois étudiants B Belbis, L. Puech et J. M. Cane [BLS11, BGF09, GBFP14, GMC14].

Tous ces chapitres de la partie III proviennent du co-encadrement de Lucie Druoton avec Rémi Langevin. Concernant le chapitre sur le problème des trois contacts, deux renforts sont venus : Marco Paluszny et Jean-Claude Sifre.
# Première partie

Constructions itératives d'arcs de coniques
propres et tracés de cercles sur une surface
<figure><img src="image_1.png" /></figure>
Dans cette partie, nous donnons les bases du travail qui sera présenté dans la partie III où nous nous placerons dans un espace pseudo-métrique et donc non euclidien. En général, les personnes travaillant en informatique graphique et modélisation géométrique se placent directement dans un espace euclidien orienté (plan ou espace). Dans notre cas, nous devons identifier les propriétés qui ne sont que affine ou vectoriel de celles qui sont métriques. Ainsi, le chapitre 2 introduit les notions utilisées dans ce manuscrit communes à tous les chapitres c’est-à-dire que seul les propriétés affines ou vectorielles rentrent en ligne de compte. Dans les chapitres 3 à 5, nous affinons les résultats en fonction de la métrique ou de la pseudo-métrique utilisée.

Dans le chapitre 2, nous introduisons deux des trois espaces fondamentaux que nous rencontrons dans ce manuscrit : les espaces affines (et vectoriels), les espaces projectifs et les espaces des points massiques. Nous les présentons dans le cas de la dimension 2 puisque nous nous focaliserons surtout sur les coniques modélisées par des courbes de Bézier qui peuvent être vues comme lieux de barycentres. En fait, l’espace des points massiques n’est pas très connu et nous verrons qu’il remplace très avantageusement l’espace projectif puisqu’il peut être muni de n’importe quelle forme quadratique (et donc de métrique). Dans cet espace, nous définissons aussi les matrices de transformations affines.

Dans le chapitre 3, nous nous plaçons dans le plan affine euclidien orienté, ce qui permet de définir les notions d’isométries et d’angles et dont les matrices de rotations affines dans l’espace des points massiques. Puis, en munissant le plan<fnref n="4" /> des points massiques de la forme euclidienne usuelle, nous déterminons les éléments caractéristiques d’une conique propre en effectuant quelques reparamétrisations.

Dans le chapitre 4, nous quittons le monde euclidien et choisissons la forme quadratique idoine, sur le plan des points massiques, afin qu’une conique propre à centre soit vue comme un cercle (connexe ou non). Ensuite, nous proposons quelques algorithmes de subdivisions itératives appliqués à ces cercles non euclidiens.

Dans le chapitre 5, nous généralisons une partie du travail présenté dans le chapitre 4 et nous nous plaçons dans l'espace de Minkowski-Lorentz de dimension 3, la signature de la forme quadratique est (2; 1). Nous choisissons la forme quadratique idoine afin qu'une quadrique propre non dégénérée soit vue comme une sphère unité et nous construisons ensuite, des cercles qui se tracent comme des ellipses ou des hyperboles sur cette sphère unité. Nous nous focalisons sur le

<footnote n="4">4. En toute rigueur, c'est l'union d'un plan affine avec son plan vectoriel attaché.</footnote>
cas de l'hyperboloïde équilatère à une nappe et cet espace de Minkowski-Lorentz puisque une généralisation de ce cas est proposé à partir du chapitre 10.
# Chapitre 2

## Plans affine et projectif, ensemble des points massiques

Dans ce chapitre, après avoir effectué un rappel sur les coordonnées homogènes, nous construisons, de façon itérative, un arc de parabole. Ensuite, nous introduisons l'ensemble des points massiques qui remplace très avantageusement l'espace projectif. Pour finir, nous définissons, dans cet espace, les courbes de Bézier rationnelles quadratiques à points massiques de contrôle.

Dans ce manuscrit, $\mathcal{P}$ désigne le plan affine réel. L'espace vectoriel attaché au plan affine réel est le $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\vec{\mathcal{P}}$. La fermeture projective du plan affine $\mathcal{P}$ est notée $\hat{\mathcal{P}}$. L'ensemble des points massiques du plan est noté $\tilde{\mathcal{P}}$. Le plan affine $\mathcal{P}$ est muni du repère $(O; \vec{i}; \vec{j})$.

### 2.1 Plan projectif et coordonnées homogènes

L'espace vectoriel attaché $\vec{\mathcal{P}}$ à l'espace affine $\mathcal{P}$ est muni de la base $(\vec{i}; \vec{j})$. La fermeture projective [Gar07] du plan affine euclidien $\mathcal{P}$ est l'espace quotient $\hat{\mathcal{P}} = (\vec{\mathcal{P}} \times \mathbb{R}) / \sim$ où $\sim$ est la relation d'équivalence définie par :

$$ ((\vec{u}; \alpha), (\vec{v}; \beta)) \in (\vec{\mathcal{P}} \times \mathbb{R})^2, (\vec{u}; \alpha) \sim (\vec{v}; \beta) \text{ si } \exists k \in \mathbb{K} \mid \vec{u} = k\vec{v}, \alpha = k\beta \quad (2.1) $$

Soit $M(x; y)$ un point de $\mathcal{P}$. Les coordonnées homogènes du point $M$ sont définies par tout triplet de la forme :

$$ (\omega x; \omega y; \omega) \quad \text{où} \quad \omega \neq 0 \qquad (2.2) $$

Réciproquement, si nous considérons un point $M$ de $\hat{\mathcal{P}}$ de coordonnées $(x; y; \omega)$ telles que $\omega$ soit non nul, nous identifions le point $M$ de $\hat{\mathcal{P}}$ avec le point du plan affine, de coordonnées $(\frac{x}{\omega}; \frac{y}{\omega})$. Des compléments de géométrie projective sont disponibles dans [Aud06, Lad02, Lad03, Leh03].

Nous aurons besoin, parfois, de déterminer les points à l'infini d'une droite ou d'une courbe. Pour cela, notons $\mathbb{P}(\vec{\mathcal{P}})$ l'espace défini comme l'espace vectoriel $\vec{\mathcal{P}}$ quotienté par la relation
d'équivalence $\sim_{\vec{p}}$ suivante :

$$ \forall (\vec{u}; \vec{v}) \in (\vec{P} - \{\vec{0}\})^2, \vec{u} \sim_{\vec{p}} \vec{v} \iff \exists \lambda \in \mathbb{R}^* | \vec{u} = \lambda \vec{v} \quad (2.3) $$

Il est possible de montrer que $\hat{P}$ est isomorphe à l'ensemble $P \cup \mathbb{P}(\vec{P})$, c'est-à-dire que l'ensemble $H_\infty$ des points de $\hat{P}$ de la forme $(x; y; 0)$, appelé hyperplan de l'infini, est isomorphe à $\mathbb{P}(\vec{P})$ qui est l'ensemble des directions du plan affine $P$. Le point à l'infini d'une droite n'est pas un point mais une classe d'équivalence dont les éléments peuvent être identifiés aux vecteurs directeurs de cette droite (et, pour tout réel $k$ non nul, les vecteurs $\vec{u}$ et $k \vec{u}$ sont indiscernables l'un de l'autre puisqu'ils sont équivalents).

Pour finir ce paragraphe sur les coniques dans le plan projectif, notons qu'il est ainsi possible de classifier, du point de vue affine, une conique propre en fonction de ses points à l'infini [Gar07] :

* une ellipse est une conique qui ne coupe pas la **droite de l'infini**;

* une hyperbole est une conique qui coupe la **droite de l'infini** exactement deux fois;

* une parabole est une conique qui coupe la **droite de l'infini** exactement une fois.

Notons qu'il est aussi possible de dire que la parabole est tangente à la droite de l'infini [Aud06].

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 2.1 – Coniques affines, propres, lorsque nous connaissons la droite de l'infini $\Delta_1$ ou $\Delta_2$ dans la fermeture projective de l'espace affine.</figcaption></figure>

La figure 2.1 illustre la modification de la conique affine en fonction de la droite de l'infini : si la droite de l'infini $\Delta_1$ est remplacée par la droite de l'infini $\Delta_2$, alors :

* la parabole $P_1$ devient l'ellipse $E_2$;

* l'ellipse $E_1$ devient l'hyperbole $H_2$;

* l'hyperbole $H_1$ devient la parabole $P_2$.
Avant de terminer ce paragraphe, montrons que la notion de barycentre, et donc de milieu, disparaît dans un espace projectif<fnref n="1" />. Soit $A(0; 0)$ et $B(1; 0)$ deux points du plan affine. Le milieu du segment $[AB]$ est le point $I(\frac{1}{2}; 0)$. Ces deux points définissent deux points projectifs $\tilde{A}(0; 0; a)$ et $\tilde{B}(b; 0; b)$ avec $a \times b \neq 0$. Soit $\tilde{I}$ obtenu comme combinaison convexe, de coefficient $\frac{1}{2}$, de $\tilde{A}$ et $\tilde{B}$. Nous obtenons :

$$ \tilde{I}\left(\frac{b}{2}; 0; \frac{a+b}{2}\right) $$

Un pantagruélique ou gargantuesque problème se pose : si $a + b = 0$, nous n'obtenons plus un point du plan affine mais une direction vectorielle du plan vectoriel. Dans le cas contraire, la classe d'équivalence $\tilde{I}$ induit le point affine $I_{a;b}(\frac{b}{a+b}; 0)$ qui décrit l'axe des abscisses : $I_{0;b}(1; 0)$ et pour $a$ non nul, la fonction $b \mapsto \frac{b}{a+b}$ est une homographie (bijective) de $\mathbb{R} - \{-a\}$ dans $\mathbb{R} - \{1\}$. Dans la suite du document, nous utilisons des transformations affines, qui par définition, conservent le barycentre et nous remplaçons la notion d'espace projectif par un espace qui lui ressemble comme deux gouttes d'eau mais qui présente l'avantage de ne pas utiliser de classes d'équivalences et qui n'est donc pas un espace quotient : c'est espace est celui des points massiques. De plus, nous verrons que sur cet espace, nous pouvons utiliser n'importe quelle forme quadratique définie ce qui va induire des pseudo-distances permettant de manipuler des coniques à centre comme de simples cercles. Tout ceci est impossible dans un espace projectif.

## 2.2 Plan affine

Avant de définir les courbes de Bézier rationnelles quadratiques, nous allons définir les polynômes de Bernstein de degré 2 puis les courbes de Bézier polynomiales quadratiques. Ces dernières ont l'avantage d'être très simples à manipuler puisqu'il suffit de se donner trois points de contrôle, mais les formes obtenues sont très limitées : nous ne pouvons obtenir que des arcs de paraboles.

### 2.2.1 Courbes de Bézier polynomiales quadratiques

Les polynômes de Bernstein de degré 2 sont :

$$ \left\{ \begin{array}{l} B_0(t) = (1-t)^2 \\ B_1(t) = 2t(1-t) \\ B_2(t) = t^2 \end{array} \right. \qquad (2.4) $$

et en général, nous prenons $t$ dans $[0; 1]$.

<footnote n="1">1. Cela est tout à fait normal étant donné que la notion de barycentre est une notion affine.</footnote>
### 2.2.1.1 Courbe de Bézier quadratique et arc de parabole

**Définition 1** : Courbe de Bézier polynomiale de degré 2

Soit $(P_i)_{i \in [0;2]}$ et $O$, quatre points de $\mathcal{P}$. La courbe de Bézier de degré 2 de points de contrôle $(P_i)_{i \in [0;2]}$ est l'ensemble des points $M(t)$ vérifiant la formule :

$$ \forall t \in [0; 1], \quad \overrightarrow{OM(t)} = \sum_{i=0}^{2} B_i(t) \overrightarrow{OP_i} \qquad (2.5) $$

et les points $(P_i)_{i \in [0;2]}$ définissent un polygone appelé **polygone de contrôle** de la courbe de Bézier.

Géométriquement, pour $t_0$ fixé dans l'intervalle $[0; 1]$, $M(t_0)$ est le barycentre des points pondérés $(P_i; B_i(t_0))_{i \in [0;2]}$. La définition d'une courbe de Bézier de degré 2, formule (2.5), ne dépend pas du point $O$ choisi et la courbe de Bézier est incluse dans son polygone de contrôle.

Nous avons $M(0) = P_0$ et $M(1) = P_2$ et il est possible de montrer que la tangente à la courbe au point $P_0$ (resp. $P_2$) est la droite $(P_0P_1)$ (resp. $(P_2P_1)$) c'est-à-dire que le point $P_1$ permet de contrôler la tangente à la courbe en $P_0$ et en $P_2$.

### 2.2.1.2 Un I.F.S. linéaire affine basé sur l'algorithme de De Casteljau

#### 2.2.1.2.1 Notion d'I.F.S.
Un I.F.S. (Iterated Function Systems) [BD85, Bar88] est basé sur le théorème du point fixe, dans un espace métrique complet, appliqué sur les compacts en utilisant un opérateur appelé opérateur de Hutchinson [Hut81]. Etant donné un espace métrique $(E, d)$, un I.F.S. est un ensemble fini d'opérateurs $\{T_i\}_{i \in [0;N-1]}$ contractants sur $E$ pour la distance $d$.

Pour tout I.F.S., il existe un unique compact $\mathcal{A}$ tel que :

$$ \mathcal{A} = \bigcup_{i=0}^{N-1} T_i(\mathcal{A}) \qquad (2.6) $$

où $\mathcal{A}$ est appelé attracteur de l'I.F.S. et la formule (2.6) traduit la propriété d'auto-similarité de $\mathcal{A}$. Plus de détails sur les I.F.S. sont disponibles dans [GTN06, Gen92, Tos96, Zaï98]. Dans notre cas, nous ne sommes pas dans un espace métrique. Nous définition un I.F.S. appliqué à une courbe simple en contractant l'intervalle sur lequel est défini cette dernière.

Considérons l'intervalle $[a; b]$ avec $a < b$. Soit $\Gamma$ une courbe paramétrique simple (ou courbe de Jordan) du plan affine $\mathcal{P}$ définie sur le chemin $(\gamma; [a; b])$ c'est-à-dire que nous avons :

* $\gamma$ est continue sur $[a; b]$;

* $\Gamma = \gamma([a; b])$;

* $\gamma$ est injective sur l'intervalle ouvert $]a; b[$.

Notons que si $\gamma(a) = \gamma(b)$, la courbe simple est fermée. Considérons le réel $c$ de $]a; b[$ et les deux applications $T_0$ et $T_1$ définies sur $[a; b]$ à valeurs respectives dans $[a; c]$ et $[c; b]$. Pour $i$ appartenant à $[0; 1]$, posons $\Gamma_i = \gamma(T_i([a; b]))$. Nous avons $\Gamma = \Gamma_0 \cup \Gamma_1$ et $\Gamma_0 \cap \Gamma_1 = \gamma(c)$
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 2.2 – Principe de subdivision affine d'une courbe en utilisant son intervalle de définition et description de l'I.F.S. associé.</figcaption></figure>

et les courbes $\Gamma_0$ et $\Gamma_1$ sont définies respectivement sur les intervalles $[a; c]$ et $[c; b]$. Nous avons donc $\Gamma_0 = \gamma \circ T_0([a; b]) = \gamma_{|[a;c]}([a; c])$ et $\Gamma_1 = \gamma \circ T_1([a; b]) = \gamma_{|[c;b]}([c; b])$, figure 2.2.

Pour pouvoir ré-itérer le processus de subdivision, nous devons effectuer un changement de paramétrisation afin que les deux chemins des nouvelles courbes soient l'intervalle $[a; b]$ de départ. Pour ce faire, considérons les deux applications $f_0$ et $f_1$ définies sur $[a; b]$ à valeur respectives dans $[a; c]$ et $[c; b]$ dont les expressions sont :

$$f_0(t) = \frac{c-a}{b-a}t + a\frac{b-c}{b-a}$$

et :

$$f_1(t) = \frac{b-c}{b-a}t + b\frac{c-a}{b-a}$$

Posons $\gamma_0 = \gamma_{|[a;c]} \circ f_0$ et $\gamma_1 = \gamma_{|[c;b]} \circ f_1$ c'est-à-dire que pour $i$ appartenant à $[0; 1]$, la courbe $\Gamma_i$ est définie par le chemin $(\gamma_i; [a; b])$. Via le changement de paramétrisation, nous transformons le chemin $(\gamma; [a; b])$ définissant $\Gamma$ en le chemin $(\gamma_i; [a; b])$ définissant $\Gamma_i$. Par abus de notation, $T_0$ et $T_1$ sont les deux applications contractantes définissant l'I.F.S. permettant de construire de façon itérative une courbe simple et nous avons :

$$T_0(\Gamma) = \Gamma_0 \quad \Gamma \quad T_1(\Gamma) = \Gamma_1$$

Notons qu'il est essentiel que la courbe initiale soit simple. Dans le cas contraire, nous aurions des ambiguïtés aux points d'auto-intersection(s). Dans le suite de ce document, nous identifions un chemin $(\gamma; [a; b])$ et son support qui est la courbe $\Gamma$ et nous parlerons simplement de courbe paramétrique $\gamma$ définie sur l'intervalle $[a; b]$.

### 2.2.1.2.2 Application en utilisant l'algorithme de De Casteljau
Soit $P_0, P_1$ et $P_2$ trois points non alignés de $\mathcal{P}$. L'algorithme 2.1 permet de construire un arc $\gamma$ d'une parabole $C_P$, d'extrémités $P_0$ et $P_2$ et ayant pour tangentes les droites $(P_0P_1)$ et $(P_2P_1)$, en utilisant seulement des triangles et le théorème de la droite des milieux en prenant la valeur de $\frac{1}{2}$ dans l'algorithme de De Casteljau [Gar10, Gar07]. Le tracé d'un segment $[AB]$ se fait par l'appel de la fonction tracer(A, B). D'après le théorème de la droite des milieux appliqué dans le triangle $P_0P_1P_2$,
la droite ($N_1N_2$) est parallèle à la droite ($P_0P_2$) et est la tangente à l'arc de parabole au point $N_3$ [Gar10]. En fait, ce qui est sous-jacent à l'algorithme 2.1, qui permet la construction d'un I.F.S. linéaire à la règle et au compas, c'est la modélisation d'un arc de parabole par une courbe de Bézier polynomiale quadratique de points de contrôle $P_0$, $P_1$ et $P_2$. Faisons le lien explicite avec le paragraphe 2.2.1.2.1. Nous avons $\gamma(\frac{1}{2}) = N_3$ et la droite ($N_1N_2$) est la tangente à la courbe $\gamma$ au point $N_3$. L'intervalle $[0; 1]$ est envoyé sur $[0; \frac{1}{2}]$ d'une part et sur $[\frac{1}{2}; 1]$ d'autre part. Les propriétés des courbes de Bézier quadratique polynomiale nous dispense de calcul de $f_0$ et $f_1$, la reparamétrisation se fait automatiquement du fait que nous prenons les courbes de Bézier sur $[0; 1]$.

Notons que l'algorithme 2.1 ne nécessite que la construction du milieu d'un segment, il est ainsi possible de construire les points d'une ligne brisée approchant un arc de parabole à la règle et au compas. Nous verrons l'importance de l'obtention de la tangente en un point lorsque nous modéliserons des surfaces canal dans l'espace des sphères, chapitre 7.

La notation $\text{bar}\{(A_i; a_i)_{i \in I}\}$ désigne le barycentre des points pondérés $(A_i; a_i)$ avec $i \in I$. L'algorithme 2.1 peut être modélisé par un I.F.S. linéaire composé de deux transformations contractantes $T_0$ et $T_1$ définis respectivement par :

$$ T_0 \begin{pmatrix} P_0 \\ P_1 \\ P_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} P_0 & & \\ & \text{bar}\{(P_0; \frac{1}{2}) ; (P_1; \frac{1}{2})\} & \\ & & \text{bar}\{(P_0; \frac{1}{4}) ; (P_1; \frac{1}{2}) ; (P_2; \frac{1}{4})\} \end{pmatrix} \quad (2.7) $$

et :

$$ T_1 \begin{pmatrix} P_0 \\ P_1 \\ P_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \text{bar}\{(P_0; \frac{1}{4}) ; (P_1; \frac{1}{2}) ; (P_2; \frac{1}{4})\} & & \\ & \text{bar}\{(P_1; \frac{1}{2}) ; (P_2; \frac{1}{2})\} & \\ & & P_2 \end{pmatrix} \quad (2.8) $$

c'est-à-dire que si $P_{i_0...i_{n-1}}$, $(i_0; \dots; i_{n-1}) \in \{0; 1\}^n$, est un point de $\mathcal{P}$, alors son image, par la transformation contractante $T_{i_n}$, $i_n \in \{0; 1\}$, est noté $P_{i_0...i_{n-1}i_n}$.

Comme l'un des buts de ce travail est de pouvoir réaliser des constructions à la règle et au compas, nous n'utilisons pas les notations matricielles, car elles seraient inexploitables, et nous préférons garder les notations utilisées en géométrie classique.

L'algorithme 2.1 est récursif et l'exécution se déroule sous la forme d'un arbre. La première étape de cet algorithme consiste à construire le point $N_1$ (resp. $N_2$), milieu du segment $[P_0P_1]$ (resp. $[P_2P_1]$). Le point $N_3$, milieu du segment $[N_1N_2]$ est ensuite construit. En prenant la méthode d'adressage usuelle en théorie des I.F.S., que nous garderons lors du déroulement des différents algorithmes, nous avons :

$$ \left\{ \begin{array}{l} N_1 = P_{10} \\ N_2 = P_{11} \\ N_3 = P_{20} \end{array} \right. $$

ce qui se traduit par :
**Algorithme 2.1** Construction, à la règle et au compas, d'un arc de parabole par un I.F.S. linéaire dans le plan affine.

**Entrée** : Soit $P_0, P_1$ et $P_2$ trois points non alignés de $\mathcal{P}$ et un entier strictement positif $n$. 
**Procédure** FractPara($P_0, P_1, P_2, n$)

1. Soit $N_1$ le milieu du segment $[P_0P_1]$.

2. Soit $N_2$ le milieu du segment $[P_2P_1]$.

3. Soit $N_3$ le milieu du segment $[N_1N_2]$.

4. Si $n > 0$ alors FractPara($P_0, N_1, N_3, n-1$) et FractPara($N_3, N_2, P_2, n-1$) sinon tracer($P_0; N_3$), tracer($P_0; N_1$), tracer($N_1; N_3$), tracer($P_2; N_3$), tracer($P_2; N_2$) tracer($N_2; N_3$) fin si.

**Sortie** : Deux lignes brisées approchant un arc de parabole défini par une courbe de Bézier polynomiale de points de contrôle $P_0, P_1$ et $P_2$.

$$T_0 \begin{pmatrix} P_0 \\ P_1 \\ P_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} P_0 \\ N_1 \\ N_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} P_{00} \\ P_{10} \\ P_{20} \end{pmatrix}$$

$$T_1 \begin{pmatrix} P_0 \\ P_1 \\ P_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} N_3 \\ N_2 \\ P_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} P_{20} \\ P_{11} \\ P_{21} \end{pmatrix}$$

Naturellement, nous avons $P_0 = P_{00} = P_{000}$ et $P_2 = P_{21} = P_{211}$. La première partie de la seconde étape est de construire les points $P_{100}$ et $P_{101}$, milieux respectifs des segments $[P_0P_{10}]$ et $[P_{10}P_{20}]$ puis de construire le point $P_{200}$, milieu du segment $[P_{100}P_{101}]$. La seconde partie de la seconde étape est de construire les points $P_{110}$ et $P_{111}$, milieux respectifs des segments $[P_{20}P_{11}]$ et $[P_{11}P_{2}]$ puis de construire le point $P_{210}$, milieu du segment $[P_{110}P_{111}]$. Les deux points $P_{200}$ et $P_{210}$ sont deux autres points de l'arc de parabole $\gamma$.

Les applications $T_0$ et $T_1$ sont contractantes et l'algorithm 2.1 peut être modélisé par un I.F.S. linéaire composé de ces deux transformations contractantes.

La figure 2.3 montre l'automate associé à cet I.F.S.. Le quintuplet $(\mathcal{V}; \mathcal{K}; \mathcal{F}; q_0, \delta)$ de cet automate est défini par :

* $\mathcal{V} = \{0; 1\}$ est l'alphabet d'entrée;

* $\mathcal{K} = \{q_0; q_1\}$ est l'ensemble fini non vide d'états;

* $\mathcal{F} = \{q_1\}$ est l'ensemble constitué de l'état final;

* $q_0$ est l'état initial;

* $\delta$ est la fonction de transition définie par :

$$(q_0; 0) \mapsto q_1 \quad (q_0; 1) \mapsto q_1 \quad (q_1; 0) \mapsto q_1 \quad (q_1; 1) \mapsto q_1$$

et le langage reconnu par cet automate est $0 (0*1^*)^* \text{ ou } 1 (0*1^*)^*$.

Cet automate nous permet à la fois d'indiquer les points obtenus par itération et de nous rappeler de l'ordre des applications contractantes c'est-à-dire que si $P_{i_0...i_{n-1}}$, $(i_0;...; i_{n-1}) \in \{0; 1\}^n$,
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 2.3 – Automate associé à l’I.F.S. de l’algorithme 2.1.</figcaption></figure>

est un point de $\mathcal{P}$, alors son image, par la transformation contractante $T_{i_n}, i_n \in \{0; 1\}$, est noté $P_{i_0 \dots i_{n-1} i_n}$.

La figure 2.4 illustre une itération de l’algorithme 2.1. En entrée, nous avons les extrémités $P_0$ et $P_2$ de l’arc de parabole $\gamma$ et le point de contrôle des tangentes $P_1$.

La constitution des mots est ambiguë puisque deux points confondus peuvent être indexés par des mots différents, tableau 2.2. Afin de lever cette ambiguïté, pour l’affichage, nous choisissons de ne garder que le point ayant le nom le plus petit dans l’ordre lexicographique ce qui fait que le point $P_{20}$ est remplacé par le point $P_{01}$.

En utilisant l’algorithme 2.1, en ré-itérant ce processus sur les points $P_0, N_1$ et $N_3$ d’une part, $N_3, N_2$ et $P_2$ d’autre part, il est aussi possible de construire deux nouveaux points de la parabole, un point appartenant à l’arc d’extrémités $P_0$ et $N_3$, l’autre appartenant à l’arc d’extrémités $N_3$ et $P_2$. La figure 2.5 déroule l’algorithme 2.1 dans une profondeur de 2. Naturellement, nous avons $P_0 = P_{00} = P_{000}$ et $P_2 = P_{21} = P_{211}$.

La première partie de la seconde étape est la construction des points $P_{100}$ et $P_{101}$, milieux respectifs des segments $[P_{00}P_{10}]$ et $[P_{10}P_{01}]$ puis la construction du point $P_{001}$, milieu du segment $[P_{100}P_{101}]$.

La seconde partie de la seconde étape est la construction des points $P_{110}$ et $P_{111}$, milieux respectifs des segments $[P_{01}P_{11}]$ et $[P_{11}P_{21}]$ puis la construction du point $P_{011}$, milieu du segment $[P_{110}P_{111}]$. Les deux points $P_{001}$ et $P_{011}$ sont deux autres points de l’arc de parabole $\gamma$. Nous avons :

$$ 
\begin{aligned}
T_0^2 \begin{pmatrix} P_0 \\ P_1 \\ P_2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} P_{000} \\ P_{100} \\ P_{001} \end{pmatrix} \qquad T_1 \circ T_0 \begin{pmatrix} P_0 \\ P_1 \\ P_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} P_{001} \\ P_{101} \\ P_{010} \end{pmatrix} \\
T_0 \circ T_1 \begin{pmatrix} P_0 \\ P_1 \\ P_2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} P_{010} \\ P_{110} \\ P_{011} \end{pmatrix} \qquad T_1^2 \begin{pmatrix} P_0 \\ P_1 \\ P_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} P_{011} \\ P_{111} \\ P_{211} \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 2.4 – Une itération d’une construction itérative d’un arc de parabole $\gamma$ d’extrémités $P_0$ et $P_2$ et ayant pour tangentes les droites $(P_0P_1)$ et $(P_1P_2)$.</figcaption></figure>

et, en remarquant que nous avons :

$$P_{20} = P_{01} = P_{201} = P_{010}$$

le tableau 2.1 illustre ces quatre compositions.

Après ce nouvel adressage, la figure 2.5 qui déroule l’algorithme 2.1 dans une profondeur de 2 devient la figure 2.6.

La figure 2.7 montre la subdivision des courbes de Bézier de points de contrôle $P_{00}$, $P_{10}$ et $P_{01}$ d’une part et $P_{01}$, $P_{11}$ et $P_{21}$ d’autre part.

Dans les chapitres 3 et 4, nous souhaitons adapter l’algorithme 2.1 aux coniques euclidiennes à centre et n’utiliser que des constructions géométriques dans le plan affine. Pour ce faire, nous avons besoin des propriétés des courbes de Bézier rationnelles quadratiques sous forme quasi-
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>TABLE 2.1 – Schéma de subdivision de la figure 2.5.</figcaption></figure>

<table><caption>TABLE 2.2 – Ambiguïté de l’indexation des points construits par l’algorithme 2.1.</caption><thead><tr><th>Itération</th><th>Points construits</th><th>Point retenu pour l'affichage</th></tr></thead><tbody><tr><td>Première</td><td>P<sub>20</sub> = T<sub>0</sub>(P<sub>2</sub>) = T<sub>1</sub>(P<sub>0</sub>) = P<sub>01</sub></td><td>P<sub>01</sub></td></tr><tr><td rowspan="3">Seconde</td><td>P<sub>200</sub> = T<sub>0</sub>(P<sub>20</sub>) = T<sub>1</sub>(P<sub>00</sub>) = P<sub>001</sub></td><td>P<sub>001</sub></td></tr><tr><td>P<sub>20</sub> = P<sub>201</sub> = T<sub>1</sub>(P<sub>20</sub>) = T<sub>0</sub>(P<sub>01</sub>) = P<sub>010</sub></td><td>P<sub>010</sub></td></tr><tr><td>P<sub>011</sub> = T<sub>1</sub>(P<sub>01</sub>) = T<sub>0</sub>(P<sub>21</sub>) = P<sub>210</sub></td><td>P<sub>011</sub></td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE 2.5 – Deux itérations d’une construction itérative, en utilisant l’algorithme 2.1, d’un arc de parabole $\gamma$ d’extrémités $P_0$ et $P_2$ et ayant pour tangentes les droites ($P_0P_1$) et ($P_1P_2$).</figcaption></figure>

standard et nous pourrons ainsi construire, à la règle et au compas 2, en restant dans le plan affine euclidien, un arc de conique à centre en utilisant un G.I.F.S. [And92] basé sur l’algorithme de De Casteljau.

## 2.2.2 Courbes de Bézier rationnelles quadratiques (CBRQs)

A partir de la définition d'une courbe de Bézier polynomiale, formule (2.5), il est possible, en prenant les coordonnées homogènes des trois points de contrôle, de définir une courbe de Bézier polynomiale projective. En changeant de représentant projectif et en revenant dans l'espace affine, nous pouvons définir les courbes rationnelles de degré 2 [Gar07]. A un point de l'espace affine $P$, nous faisons correspondre une classe d'équivalence de $\hat{P}$. D'un point de vue affine, le choix de tel ou tel représentant sur une courbe de Bézier rationnelle quadratique joue un rôle sur la nature de la conique euclidienne obtenue dans le plan affine [Gar10]. Une autre approche, ne nécessitant aucune connaissance en géométrie projective, est possible. En effet, nous avons vu qu'une courbe de Bézier polynomiale est le lieu des barycentres des points pondérés ($P_0; B_0(t)$), ($P_1; B_1(t)$) et ($P_2; B_2(t)$) où $t$ décrit $[0; 1]$, ce qui revient à considérer que les trois points ont

<footnote n="2">2. Les points devront être construits à la règle et au compas et le poids $\omega$ devra être un nombre constructible. Du point de vue informatique, il y a un nombre fini d'itérations et un cercle est représenté par un polygone.</footnote>
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE 2.6 – Après bon adressage, deux itérations d'une construction itérative, en utilisant l'algorithme 2.1, d'un arc de parabole $\gamma$ d'extrémités $P_0$ et $P_2$ et ayant pour tangentes les droites $(P_0P_1)$ et $(P_1P_2)$.</figcaption></figure>

le « même poids » et seuls les polynômes de Bernstein interviennent dans les attractions faites par les points de contrôle : il est possible de considérer trois poids non nuls $\omega_0, \omega_1$ et $\omega_2$ et de définir une courbe de Bézier comme lieu des barycentres des points pondérés $(P_0; \omega_0 B_0(t))$, $(P_1; \omega_1 B_1(t))$ et $(P_2; \omega_2 B_2(t))$ où $t$ décrit $[0; 1]$. Nous obtenons la définition suivante :

**Définition 2** : CBRQ affine

Soit $(P_i)_{i \in [0;2]}$ trois points non alignés de $\mathcal{P}$.

Soit $(\omega_i)_{i \in [0;2]}$, trois réels non nuls.

Un point $\overline{M}$ appartient à la CBRQ, définie par les points pondérés de contrôle $(P_i; \omega_i)_{i \in [0;2]}$, si et seulement si, pour un point $O$ de $\mathcal{P}$, il existe $t$ de $[0; 1]$, tel que :

$$ \overrightarrow{OM} = \frac{1}{\sum_{i=0}^{2} \omega_i B_i(t)} \sum_{i=0}^{2} \omega_i B_i(t) \overrightarrow{OP_i} \quad (2.9) $$
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIGURE 2.7 – Subdivision de $B(P_{00}P_{10}P_{01}) = T_0(B(P_0P_1P_2))$ d'une part (en haut) et de $B(P_{01}P_{11}P_{21}) = T_1(B(P_0P_1P_2))$ d'autre part (en bas) : les noms en gras sont ceux qui sont retenus par l'ordre lexicographique lorsqu'il y a plusieurs adrossages possibles (voir tableau 2.2).</figcaption></figure>

Notons que la CBRQ peut être définie sur $\overline{\mathbb{R}}$, ceci nous sera utile dans les paragraphes 2.3.4 et 3.4. Si nous avons :

$$ \forall t \in [0; 1], \quad \sum_{i=0}^{2} \omega_i B_i(t) \neq 0 \qquad (2.10) $$

la CBRQ est incluse dans le plan affine. Si la condition donnée par la formule (2.10) n'est pas vérifiée, la valeur $t_0$ correspondante induit une direction dans la fermeture projective du plan affine ou un vecteur de l'ensemble des points massiques, paragraphe 2.3.

Montrons que la CBRQ représente l'arc d'une conique propre. Pour ce faire, posons :

$$ D(t) = \omega_0 (1-t)^2 + 2\omega_1 (1-t)t + \omega_2 t^2 \qquad (2.11) $$

et nous avons, pour tout $t$ de $[0; 1]$ :

$$ \overrightarrow{P_1M(t)} = \frac{\omega_0 (1-t)^2}{D(t)} \overrightarrow{P_1P_0} + \frac{\omega_2 t^2}{D(t)} \overrightarrow{P_1P_2} $$

et dans le repère $(P_1; \overrightarrow{P_1P_0}; \overrightarrow{P_1P_2})$, l'équation paramétrique de la courbe est :

$$ \begin{cases} x(t) = \frac{\omega_0 (1-t)^2}{D(t)} \\ y(t) = \frac{\omega_2 t^2}{D(t)} \end{cases} $$
et nous avons :

$$
\begin{cases}
x(t)y(t) = \omega_0 \omega_2 \left(\frac{(1-t)t}{D(t)}\right)^2 \\
x(t)+y(t) = \frac{\omega_0(1-t)^2 + \omega_2 t^2}{D(t)} = \frac{D(t)-2\omega_1(1-t)t}{D(t)} = 1-2\omega_1\frac{(1-t)t}{D(t)}
\end{cases}
$$

ce qui conduit à l'équation implicite suivante :

$$
xy = \omega_0 \omega_2 \frac{(1 - x - y)^2}{4\omega_1^2} \qquad (2.12)
$$

et nous obtenons l'équation d'une conique propre affine.

Donnons le type de la conique définie par la CBRQ en fonction des valeurs relatives des poids en utilisant le dénominateur D (t), formule (2.11) :

★ si $\omega_1^2 - \omega_2 \omega_0 = 1$ alors le dénominateur s'annule une seule fois et la conique coupe la **droite de l'infini** une fois, la CBRQ est un arc de parabole,

★ si $\omega_1^2 - \omega_2 \omega_0 > 0$ alors le dénominateur s'annule deux fois et la conique coupe la **droite de l'infini** deux fois, la CBRQ est un arc d'hyperbole,

★ si $\omega_1^2 - \omega_2 \omega_0 < 0$ alors le dénominateur ne s'annule pas et la conique ne coupe pas la **droite de l'infini**, la CBRQ est un arc d'ellipse.

Lorsque nous avons $\omega_0 = \omega_2 = 1$ et $\omega_1 > 0$, la CBRQ est dite sous **forme standard**, et, la valeur de $\omega_1$ détermine alors la nature de la conique obtenue [Gar07] puisqu'il suffit de comparer $|\omega_1|$ à 1.

Par ailleurs, nous avons :

$$
\frac{d}{dt} \overrightarrow{OM(t)} = - \frac{\sum_{i=0}^{2} \omega_i B_i'(t)}{\left(\sum_{i=0}^{2} \omega_i B_i(t)\right)^2} \sum_{i=0}^{2} \omega_i B_i(t) \overrightarrow{OP_i} + \frac{1}{\sum_{i=0}^{2} \omega_i B_i(t)} \sum_{i=0}^{2} \omega_i B_i'(t) \overrightarrow{OP_i}
$$

d'où :

$$
\frac{d}{dt} \overrightarrow{OM(0)} = - \frac{2(-\omega_0 + \omega_1)}{(\omega_0)^2} \omega_0 \overrightarrow{OP_0} + \frac{2}{\omega_0} \left( -\omega_0 \overrightarrow{OP_0} + \omega_1 \overrightarrow{OP_1} \right) = \frac{2 \omega_1}{\omega_0} \overrightarrow{P_0 P_1}
$$

et :

$$
\frac{d}{dt} \overrightarrow{OM(1)} = - \frac{2(-\omega_1 + \omega_2)}{(\omega_2)^2} \omega_2 \overrightarrow{OP_2} + \frac{2}{\omega_2} (\omega_2 \overrightarrow{OP_2} - \omega_1 \overrightarrow{OP_1}) = \frac{2 \omega_1}{\omega_2} \overrightarrow{P_1 P_2}
$$

ce qui démontre que la droite ($P_0P_1$) (resp. ($P_2P_1$)) est la tangente à la CBRQ au point $P_0$ (resp. $P_2$).

Si $P_0, P_1$ et $P_2$ sont trois points non alignés, $\mathbb{R}^3\mathbb{C}\{(P_0; P_1; P_2)\}$ désigne une courbe de Bézier rationnelle quadratique de points de contrôle $P_0, P_1$ et $P_2$ tandis que la notation
RQBC {($P_0$; $P_1$; $P_2$), $\omega$} désigne la courbe de Bézier rationnelle quadratique quasi standard de points de contrôle ($P_0$; 1), ($P_1$; $\omega$) et ($P_2$; 1).

En connaissant la droite de l'infini, nous avons accès à la nature affine de la conique, support de la CBRQ. Sans cette droite, un espace projectif est un espace quotient et il n'existe pas de justification pour privilégier l'un ou l'autre des représentants d'une classe d'équivalence. De plus, étant donné une métrique sur un espace affine, il n'est pas possible de prolonger cette métrique sur la fermeture projective de cet espace affine. Afin de remédier à ce problème métrique, nous introduisons l'ensemble des points massiques et verrons que nous pouvons, dans cet ensemble, utiliser n'importe quelle forme quadratique.

## 2.3 Ensemble des points massiques

Dans ce paragraphe, nous nous plaçons dans les plans vectoriel $\vec{P}$ et affine $\mathcal{P}$, ceux-ci peuvent être remplacés par tout espace affine $\mathcal{E}$ de dimension $n$, $n \in \mathbb{N}^* - \{1; 2\}$, d'espace vectoriel attaché $\vec{\mathcal{E}}$.

### 2.3.1 Définition

L'ensemble des vecteurs du plan vectoriel $\vec{P}$ et des points pondérés du plan affine $\mathcal{P}$ sont regroupés dans l'espace $\vec{\mathcal{P}}$ défini par :

$$ \tilde{\mathcal{P}} = (\mathcal{P} \times \mathbb{R}^*) \cup (\vec{P} \times \{0\}) \qquad (2.13) $$

et il est possible d'identifier $\tilde{\mathcal{P}}$ à $\vec{\mathcal{E}}_2 = \vec{P} \oplus \vec{R}$. L'idée est de considérer le plan affine $\mathcal{P}$ comme un hyperplan de $\vec{\mathcal{E}}_2$ d'équation $\omega = 1$ : la coordonnée supplémentaire représente le poids du point pondéré. Un point massique est soit un point pondéré du plan $\mathcal{P}$, soit un vecteur du plan vectoriel $\vec{P}$ à qui nous affectons un poids nul.

Rappelons que le barycentre d'une famille de points pondérés dont la somme des poids est nulle n'est pas un point, mais le vecteur :

$$ \vec{u} = \sum_{i \in I} \omega_i \overrightarrow{MA_i} $$

qui est indépendant du point $M$. Il est donc naturel de regrouper dans un même espace les points pondérés de $\mathcal{P}$ et les vecteurs de $\vec{P}$, identifié à l'hyperplan de $\vec{\mathcal{E}}_2$ d'équation $\omega = 0$. Nous pouvons ainsi généraliser la notion de barycentre aux familles des points pondérés dont la somme des poids est nulle.

M. Fiorot et al. travaillent directement dans $\vec{\mathcal{E}}_2$, qui est en bijection avec $\tilde{\mathcal{P}}$, et termine par une projection (sans le poids) sur $\mathcal{P}$ ou $\vec{P}$ selon le cas.

Etant donné un point $M$ du plan affine, tous les points de $\tilde{\mathcal{P}}$ situés sur la droite ($O_{\vec{\mathcal{E}}_2}M$), privée de $O_{\vec{\mathcal{E}}_2}$, ont même projection sur le plan affine et sont donc notés avec la même lettre $M$. Si
un point $M$ a pour coordonnées $(x; y)$, et si $\omega$ est un réel non nul, nous obtenons, dans le cadre de la théorie des points massiques, le point pondéré $(M; \omega)$ représenté par $((x; y); \omega)$ tandis que les coordonnées homogènes de ce point seraient $(\omega x; \omega y; \omega)$. Afin de pouvoir manipuler, de façon très simple et très pédagogique, les coordonnées des points ou des vecteurs, nous définissons l'opération d'addition en utilisant que des concepts faisant intervenir des transformations affines ou vectorielles planes. Ainsi, l'addition sur l'espace $\tilde{\mathcal{P}}$, notée $\boxplus$, est définie de la façon suivante :

$$ \bullet \quad \omega = -\mu \neq 0 \implies (M; \omega) \boxplus (N; \mu) = (M; \omega) \boxplus (N; -\omega) = (\omega \overrightarrow{NM}; 0) $$

$$ \bullet \quad \omega \neq 0 \implies (M; \omega) \boxplus (M; -\omega) = (\omega \overrightarrow{MM}; 0) = (\vec{0}; 0) $$

$$ \bullet \quad \omega\mu (\omega + \mu) \neq 0 \implies (M; \omega) \boxplus (N; \mu) = (\operatorname{bar}\{(M; \omega); (N; \mu)\}; \omega + \mu) $$

$$ \bullet \quad (\vec{u}; 0) \boxplus (\vec{v}; 0) = (\vec{u} + \vec{v}; 0) $$

$$ \bullet \quad \omega \neq 0 \implies (M; \omega) \boxplus (\vec{u}; 0) = (\mathcal{T}_{\frac{1}{\omega}\vec{u}}(M); \omega) \text{ où } \mathcal{T}_{\vec{v}} \text{ est la translation de } \mathcal{P} \text{ de vecteur } \vec{v}. $$

Remarquons que le barycentre des points pondérés $(M; \omega)$ et $(N; \mu)$, avec la condition $\omega+\mu \neq 0$, s'exprime très facilement en utilisant la translation :

$$ \begin{align} (M; \omega) \boxplus (N; \mu) &= (M; \omega + \mu) \boxplus (M; -\mu) \boxplus (N; \mu) \nonumber \\ &= (M; \omega + \mu) \boxplus (\mu \overrightarrow{MN}; 0) \tag{2.14} \\ &= \left( \mathcal{T}_{\frac{\mu}{\omega+\mu}\overrightarrow{MN}}(M); \omega + \mu \right) \nonumber \end{align} $$

et si $\alpha, \mu$ et $\omega$ sont trois nombres non nuls, nous avons :

$$ (M; \alpha \omega) \boxplus (\alpha \vec{u}; 0) = \left( \mathcal{T}_{\frac{1}{\omega}\vec{u}}(M); \alpha \omega \right) \quad (2.15) $$

d'une part et :

$$ (M; \alpha \omega) \boxplus (N; \alpha \mu) = \left( \operatorname{bar}\{(M; \omega); (N; \mu)\}; \alpha (\omega + \mu) \right) \quad (2.16) $$

d'autre part. De plus, si $\omega\mu (\omega + \mu) \neq 0$, alors, nous avons :

$$ (M; \omega) \boxplus (M; \mu) = (M; \omega + \mu) \quad (2.17) $$

Sur l'espace $\tilde{\mathcal{P}}$, nous définissons la multiplication par un scalaire, notée $\Box$, de la façon suivante :

$$ \bullet \quad \alpha \times \omega \neq 0 \implies \alpha \Box (M; \omega) = (M; \alpha \omega) $$

$$ \bullet \quad \omega \neq 0 \implies 0 \Box (M; \omega) = (\vec{0}; 0) $$

$$ \bullet \quad \alpha \Box (\vec{u}; 0) = (\alpha \vec{u}; 0) $$

Notons que la multiplication $\alpha \Box (M; \omega)$ permet d'exhiber la différence profonde entre l'ensemble des points massiques et l'utilisation des coordonnées homogènes dans le cadre de la géométrie projective. De plus, la formule (2.15) peut s'écrire :

$$ (M; \alpha \omega) \boxplus (\alpha \vec{u}; 0) = \alpha \Box ((M; \omega) \boxplus (\vec{u}; 0)) \quad (2.18) $$
La figure 2.8 donne une interprétation géométrique de la somme $\boxplus$ et du produit $\Box$ dans l'hyperplan $\mathcal{H}_y$ d'équation $y = 0$ de $\tilde{P}$ et permet de retrouver l'associativité du barycentre, illustrée par la formule :

$$ (G_1; 3) \boxplus (N; 1) = (M; 2) \boxplus (N; 1) \boxplus (N; 1) = (M; 2) \boxplus (N; 2) = (G_2; 4) $$

qui définit le point $(G_2; 1)$ comme intersection de la droite passant $O_{\vec{\varepsilon}_2}$ et $G_2^4 = (G_2; 4)$ avec le plan $\mathcal{P}$. $(G_2; 1)$ est le milieu du segment défini par $N = (N; 1)$ et $M = (M; 1)$.

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>FIGURE 2.8 – Interprétation géométrique de la somme $\boxplus$ et du produit $\Box$ dans l'hyperplan d'équation $y = 0$ de $\tilde{P}$.</figcaption></figure>

Toujours dans $\mathcal{H}_y$, $(M; 2) \boxplus (\overrightarrow{MN}; 0)$ se traduit, sur la droite d'équation $\omega = 2$, par :
$$ \overrightarrow{M^2G_2^2} = \overrightarrow{MN} $$

tandis que sur la droite d'équation $\omega = 1$, nous avons :

$$ \overrightarrow{MG_2} = \frac{1}{2}\overrightarrow{MN} $$

et en introduisant l'homothétie vectorielle $\overrightarrow{H_1}$ de rapport $\frac{1}{2}$, nous avons :

$$ \overrightarrow{H_1} (\overrightarrow{O_{\vec{\varepsilon}_2} M^2}) = \overrightarrow{O_{\vec{\varepsilon}_2} M}, \quad \overrightarrow{H_1} (\overrightarrow{O_{\vec{\varepsilon}_2} G_2^2}) = \overrightarrow{O_{\vec{\varepsilon}_2} G_2}, \quad \overrightarrow{H_1} (\overrightarrow{M^2 G_2^2}) = \overrightarrow{MG_2} = \frac{1}{2} \overrightarrow{MN} $$
Dans $\tilde{P}$, la somme $(M; \omega_0) \boxplus (\vec{u}; 0)$ traduit une translation de vecteur $\vec{u}$ dans l'hyperplan d'équation $\omega = \omega_0$, qui via l'homothétie $\mathcal{H}_{\omega_0}^-$ se traduit dans le plan affine $\mathcal{P}$ par une translation de vecteur $\frac{1}{\omega_0} \vec{u}$. De plus, nous avons :

$$ (M; 1) \boxplus (N; 1) = (M; 2) \boxplus (M; -1) \boxplus (N; 1) = (M; 2) \boxplus (\overrightarrow{MN}; 0) = (G_2; 2) $$

et nous généralisons l'associativité du barycentre aux vecteurs.

La relation de Chasles s'écrit :

$$ (\overrightarrow{AB}; 0) = (A; -1) \boxplus (B; 1) = (A; -1) \boxplus (C; 1) \boxplus (C; -1) \boxplus (B; 1) = (\overrightarrow{AC}; 0) \boxplus (\overrightarrow{CB}; 0) $$

Montrons la puissance de ce formalisme avec deux petits exercices :

**Exercice 1 : Exercice 4.9 p 131 de [Gou83]**

Soit $\alpha$ un réel non nul et différent de 1. Soit $A, B$ et $C$ trois points non alignés.

$$ \text{Soit } A' = \bar{\text{bar}}\{(B; \alpha); (C; 1-\alpha)\}, B' = \bar{\text{bar}}\{(C; \alpha); (A; 1-\alpha)\} \text{ et} $$

$$ C' = \bar{\text{bar}}\{(A; \alpha); (B; 1-\alpha)\}. $$

Montrer que l'isobarycentre $G$ de $A'$, $B'$ et $C'$ est le centre de gravité du triangle $ABC$.

Par hypothèse, nous avons :

$$ (A'; 1) = (B; \alpha) \boxplus (C; 1-\alpha), \quad (B'; 1) = (C; \alpha) \boxplus (A; 1-\alpha), \quad (C'; 1) = (A; \alpha) \boxplus (B; 1-\alpha) $$

et l'isobarycentre $G$ de $A'$, $B'$ et $C'$ est défini par :

$$ \begin{align*} (G; 3) &= (A'; 1) \boxplus (B'; 1) \boxplus (C'; 1) \\ &= ((B; \alpha) \boxplus (C; 1-\alpha)) \boxplus ((C; \alpha) \boxplus (A; 1-\alpha)) \boxplus ((A; \alpha) \boxplus (B; 1-\alpha)) \\ &= ((A; 1-\alpha) \boxplus (A; \alpha)) \boxplus ((B; \alpha) \boxplus (B; 1-\alpha)) \boxplus ((C; \alpha) \boxplus (C; 1-\alpha)) \\ &= (A; 1) \boxplus (B; 1) \boxplus (C; 1) \end{align*} $$

donc $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$.

*

**Exercice 2 : Exercice 4.10 p 131 de [Gou83]**

Soit $\alpha, \beta$ et $\gamma$ trois réels non nuls, de somme non nulle vérifiant :

$$ -\alpha + \beta + \gamma \neq 0 \quad \alpha - \beta + \gamma \neq 0 \quad \alpha + \beta - \gamma \neq 0 $$

Soit $A, B$ et $C$ trois points non alignés.

$$ \text{Soit } G_1 = \bar{\text{bar}}\{(A; \alpha); (B; \beta); (C; \gamma)\}, G_2 = \bar{\text{bar}}\{(A; -\alpha); (B; \beta); (C; \gamma)\}, \\ G_3 = \bar{\text{bar}}\{(A; \alpha); (B; -\beta); (C; \gamma)\} \text{ et } G_4 = \bar{\text{bar}}\{(A; \alpha); (B; \beta); (C; -\gamma)\} $$
1. Montrer que $G_1$ appartient à $(AG_2) \cap (BG_3) \cap (CG_4)$.

2. Montrer que $C \in (G_2G_3)$, $A \in (G_3G_4)$ et $B \in (G_2G_4)$

Par hypothèse, nous avons :

$$
\begin{align*}
(G_1; \alpha + \beta + \gamma) &= (A; \alpha) \boxplus (B; \beta) \boxplus (C; \gamma) \\
(G_2; -\alpha + \beta + \gamma) &= (A; -\alpha) \boxplus (B; \beta) \boxplus (C; \gamma) \\
(G_3; \alpha - \beta + \gamma) &= (A; \alpha) \boxplus (B; -\beta) \boxplus (C; \gamma) \\
(G_4; \alpha + \beta - \gamma) &= (A; \alpha) \boxplus (B; \beta) \boxplus (C; -\gamma)
\end{align*}
$$

1. Nous avons :

$$
\begin{align*}
(G_1; \alpha + \beta + \gamma) &= (A; \alpha) \boxplus (B; \beta) \boxplus (C; \gamma) \\
&= ((A; 2\alpha) \boxplus (A; -\alpha)) \boxplus (B; \beta) \boxplus (C; \gamma) \\
&= (A; 2\alpha) \boxplus (G_2; -\alpha + \beta + \gamma)
\end{align*}
$$

et comme nous avons $\alpha + \beta + \gamma \neq 0$ d'une part et $\alpha \neq 0$ d'autre part, le point $G_1$ est le barycentre de $(A; 2\alpha)$ et $(G_2; -\alpha + \beta + \gamma)$ ce qui montre que $G_1$ appartient à la droite $(AG_2)$. Les deux autres cas se traitent par permutations circulaires.

2. Nous avons :

$$
\begin{align*}
& (G_2; -\alpha + \beta + \gamma) \boxplus (G_3; \alpha - \beta + \gamma) \\
& = ((A; -\alpha) \boxplus (B; \beta) \boxplus (C; \gamma)) \boxplus ((A; \alpha) \boxplus (B; -\beta) \boxplus (C; \gamma)) \\
& = ((A; -\alpha) \boxplus (A; \alpha)) \boxplus ((B; \beta) \boxplus (B; -\beta)) \boxplus ((C; \gamma) \boxplus (C; \gamma)) \\
& = (\overrightarrow{AA}; 0) \boxplus (\overrightarrow{BB}; 0) \boxplus (C; 2\gamma) \\
& = (C; 2\gamma)
\end{align*}
$$

et comme $\gamma$ est non nul, $C$ est le barycentre de $(G_2; -\alpha + \beta + \gamma)$ et $(G_3; \alpha - \beta + \gamma)$
ce qui montre que $C$ appartient à la droite $(G_2G_3)$. Les deux autres cas se traitent de la
même manière.

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

Notons que la définition de l'espace $\tilde{\mathcal{P}}$ n'utilise que des notions affines (barycentres et translations $^3$) ou vectorielles à partir des plans affine $\mathcal{P}$ et vectoriel $\vec{\mathcal{P}}$ : nous pouvons définir n'importe quelle forme quadratique sur le plan vectoriel $\vec{\mathcal{P}}$.

<footnote n="3">3. Un vecteur est un représentant d'une classe d'équivalence de bipoints équipollents : un parallélogramme peut être caractérisé par le fait que ses côtés sont parallèles deux à deux.</footnote>
## 2.3.2 Matrice massique d'une transformation affine

### 2.3.2.1 Définition

Une transformation affine est une application $\mathcal{F}$ bijective qui conserve le barycentre. A toute transformation affine correspond un et un seul endomorphisme $\vec{\mathcal{F}}$. La réciproque est naturellement fausse : une application affine $\mathcal{F}$ est complètement déterminé par son endomorphisme associé $\vec{\mathcal{F}}$ auquel il faut ajouter le couple $(M, \mathcal{F}(M))$ où $M$ est un point de $\mathcal{P}$. En général, $M$ est soit un point fixe de $\mathcal{F}$, soit l'origine du repère.

Soit $(a; b; c; d)$ quatre réels vérifiant :

$$ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \neq 0 $$

et :

$$ \mathcal{M}_{\vec{\mathcal{F}}} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$

la matrice d'un endomorphisme (bijectif) de $\vec{\mathcal{P}}$. La matrice massique de la transformation affine $\mathcal{F}$ tel que $\mathcal{F}(O)(x_0; y_0)$ est :

$$ \mathcal{M}_{\vec{\mathcal{F}}} = \begin{pmatrix} a & b & x_0 \\ c & d & y_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad (2.19) $$

et la composition de transformations affines se calcule en utilisant la multiplication classique des matrices. L'image du point $M(x; y)$ de poids 1 se détermine par le calcul :

$$ \begin{pmatrix} a & b & x_0 \\ c & d & y_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \boxtimes \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a x + b y + x_0 \\ c x + d y + y_0 \\ 1 \end{pmatrix} $$

mais le problème se pose si le poids n'est pas égal à 1 : **l'image d'un point pondéré doit toujours être le même quel que soit son poids.** Dans le cas général, la multiplication à droite d'une matrice par un vecteur colonne est définie comme suit :

$$ \begin{pmatrix} a & b & x_0 \\ c & d & y_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \boxtimes \begin{pmatrix} x \\ y \\ \omega \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a x + b y + x_0 \\ c x + d y + y_0 \\ \omega \end{pmatrix} $$

c'est-à-dire que l'image du point pondéré $(M; \omega)$ est $\mathcal{F}(M; \omega) = (\mathcal{F}(M); \omega)$ qui est un abus de notation, en toute rigueur, nous devrions écrire :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \tilde{\mathcal{F}}(M; \omega) = (\mathcal{F}(M); \omega) \\ \tilde{\mathcal{F}}(\vec{u}; 0) = (\vec{\mathcal{F}}(\vec{u}); 0) \end{array} \right. $$

ce qui alourdirait considérablement le texte. Naturellement, **nous gardons l'associativité du produit × des matrices affines puisque le poids n'interviennent pas dans leurs calculs**, mais
il reste à définir la multiplication d'une matrice par un vecteur colonne dans le cas d'un vecteur de $\vec{\mathcal{P}}$. Pour ce faire, considérons le vecteur $\vec{u}(x; y)$ qui est un point massique de poids nul, nous avons :

$$ \begin{pmatrix} a & b & x_0 \\ c & d & y_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \boxtimes \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a x + b y \\ c x + d y \\ 0 \end{pmatrix} $$

qui est équivalent à :

$$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a x + b y \\ c x + d y \end{pmatrix} $$

ce qui permet de retrouver le point massique $(\vec{\mathcal{F}}(\vec{u}); 0)$. Notons que :

$$ \det(\mathcal{M}_{\mathcal{F}}) = \det(\mathcal{M}_{\vec{\mathcal{F}}}) $$

et que les matrices de transformations affines définies ici ne sont pas celles utilisées dans le cadre des coordonnées homogènes : hormis le fait que nous n'avons pas de relation d'équivalence, les multiplications (à droite, celle à gauche n'est pas définie volontairement dans notre cadre) d'une matrice par un vecteur colonne ne sont pas les mêmes.

En résumé, la multiplication $\boxtimes$ est définie comme suit :

$$ \begin{pmatrix} a & b & x_0 \\ c & d & y_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \boxtimes \begin{pmatrix} x \\ y \\ \omega \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \times x + b \times y + x_0 \times \mathbb{I}_{\mathbb{R}^*}(\omega) \\ c \times x + d \times y + y_0 \times \mathbb{I}_{\mathbb{R}^*}(\omega) \\ \omega \end{pmatrix} $$

où $\mathbb{I}_A$ désigne la fonction indicatrice $(\mathbb{I}_A(x) = 1 \iff x \in A \text{ et } \mathbb{I}_A(x) = 0 \iff x \notin A)$.

Si nous nous plaçons dans un espace affine de dimension $n$, $n > 2$, la matrice de la transformation affine $\mathcal{F}$ est de la forme :

$$ \mathcal{M}_{\mathcal{F}} = \begin{pmatrix} \tilde{\mathcal{M}}_{\vec{\mathcal{F}}} & \mathcal{F}(\tilde{O}) \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

où $\tilde{\mathcal{M}}_{\vec{\mathcal{F}}}$ représente les lignes et colonnes de la matrice $\mathcal{M}_{\vec{\mathcal{F}}}$ et $\mathcal{F}(\tilde{O})$ désigne les coordonnées (sur une colonne) de $\mathcal{F}(O)$.

### 2.3.2.2 Exemple dans le cas des homothéties

Soit $k_1$ et $k_2$ deux réels non nuls. Considérons les homothéties affines $\mathcal{H}_1$ et $\mathcal{H}_2$ de centre respectifs $\Omega_1(x_1; y_1)$ et $\Omega_2(x_2; y_2)$ et de rapport respectif $k_1$ et $k_2$. Ces homothéties peuvent être définies par les matrices :

$$ \mathcal{M}_{\mathcal{H}_1} = \begin{pmatrix} k_1 & 0 & X_1 \\ 0 & k_1 & Y_1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \mathcal{M}_{\mathcal{H}_2} = \begin{pmatrix} k_2 & 0 & X_2 \\ 0 & k_2 & Y_2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
où les coordonnées $(X_1; Y_1)$ et $(X_2; Y_2)$ sont à déterminer. Le point $\Omega_1$ est invariant par $\mathcal{H}_1$ si et seulement si :

$$ \begin{pmatrix} k_1 & 0 & X_1 \\ 0 & k_1 & Y_1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \boxtimes \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

qui est équivalent au système :

$$ \begin{cases} k_1x_1 + X_1 = x_1 \\ k_1y_1 + Y_1 = y_1 \end{cases} $$

d'où :

$$ \begin{cases} X_1 = x_1 (1 - k_1) \\ Y_1 = y_1 (1 - k_1) \end{cases} $$

et nous obtenons (les calculs sont identiques pour $\mathcal{H}_2$) :

$$ \mathcal{M}_{\mathcal{H}_1} = \begin{pmatrix} k_1 & 0 & x_1 (1 - k_1) \\ 0 & k_1 & y_1 (1 - k_1) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \mathcal{M}_{\mathcal{H}_2} = \begin{pmatrix} k_2 & 0 & x_2 (1 - k_2) \\ 0 & k_2 & y_2 (1 - k_2) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad (2.20) $$

d'où :

$$ \mathcal{M}_{\mathcal{H}_2 \circ \mathcal{H}_1} = \mathcal{M}_{\mathcal{H}_2} \times \mathcal{M}_{\mathcal{H}_1} = \begin{pmatrix} k_2 \times k_1 & 0 & k_2 x_1 (1-k_1) + x_2 (1-k_2) \\ 0 & k_2 \times k_1 & k_2 y_1 (1-k_1) + y_2 (1-k_2) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad (2.21) $$

et la question est la suivante : quelles sont les natures de $\overrightarrow{\mathcal{H}_2} \circ \overrightarrow{\mathcal{H}_1}$ et $\mathcal{H}_2 \circ \mathcal{H}_1$ ?

* La matrice de $\overrightarrow{\mathcal{H}_2} \circ \overrightarrow{\mathcal{H}_1}$ est :

$$ \mathcal{M}_{\overrightarrow{\mathcal{H}_2} \circ \overrightarrow{\mathcal{H}_1}} = \begin{pmatrix} k_2 \times k_1 & 0 \\ 0 & k_2 \times k_1 \end{pmatrix} $$

qui est la matrice de l'homothétie vectorielle de rapport $k_2 \times k_1$. De plus, la commutativité de la multiplication dans $\mathbb{R}$ permet de retrouver que **l'ensemble des homothéties vectorielles forment un groupe commutatif.**

* La nature de $\mathcal{H} = \mathcal{H}_2 \circ \mathcal{H}_1$ dépend de $k_2 \times k_1$

$\odot \text{ Cas 1 : } k_2 \times k_1 = 1.$

L'endomorphisme $\mathcal{H}$ associé à $\mathcal{H}$ est l'identité : $\mathcal{H}$ est donc une translation$^4$. Pour déterminer le vecteur de translation, servons nous de $\mathcal{H}(\Omega_1)$. $\mathcal{H}(\Omega_1) = \Omega_1$ d'où $\mathcal{H}(\Omega_1) = \mathcal{H}_2(\Omega_1)$ ce qui conduit au calcul :

$$ \begin{pmatrix} k_2 & 0 & x_2 (1 - k_2) \\ 0 & k_2 & y_2 (1 - k_2) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \boxtimes \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k_2 x_1 + x_2 (1 - k_2) \\ k_2 y_1 + y_2 (1 - k_2) \\ 1 \end{pmatrix} $$

<footnote n="4">4. La commutativité de l'addition des réels implique que l'ensemble des translations forme un groupe commutatif.</footnote>
d'où :

$$ \overrightarrow{\Omega_1 \mathcal{H}(\Omega_1)} \begin{pmatrix} (k_2 - 1) x_1 + x_2 (1 - k_2) \\ (k_2 - 1) y_1 + y_2 (1 - k_2) \\ 0 \end{pmatrix} $$

Or :

$$ \begin{pmatrix} (k_2 - 1) x_1 + x_2 (1 - k_2) \\ (k_2 - 1) y_1 + y_2 (1 - k_2) \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 - k_2) (x_2 - x_1) \\ (1 - k_2) (y_2 - y_1) \\ 0 \end{pmatrix} $$

et nous pouvons énoncer :

**Proposition 1 :**

Soit $k_1 \in \mathbb{R}^*$. Soit les homothéties affines $\mathcal{H}_1$ et $\mathcal{H}_2$ de centres respectifs $\Omega_1 (x_1; y_1)$ et $\Omega_2 (x_2; y_2)$ et de rapports respectifs $k_1$ et $k_2 = \frac{1}{k_1}$.

La transformation affine $\mathcal{H} = \mathcal{H}_2 \circ \mathcal{H}_1$ est la translation de vecteur :

$$ \frac{k_1 - 1}{k_1} \overrightarrow{\Omega_1 \Omega_2} = (1 - k_2) \overrightarrow{\Omega_1 \Omega_2} \qquad (2.22) $$

Si $k_1 = 1$, nous retrouvons que la composée de la transformation identité avec elle-même est la transformation identité.

$\odot \text{ Cas 2 : } k_2 \times k_1 \neq 1.$

L'endomorphisme $\mathcal{H}$ associé à $\mathcal{H}$ est une homothétie vectorielle de rapport $k_1 k_2$ : $\mathcal{H}$ est donc une homothétie affine, de rapport $k_1 k_2$. Il reste à déterminer le centre $\Omega_0 (x_0; y_0)$ de $\mathcal{H}$ en résolvant :

$$ \begin{pmatrix} k_2 k_1 & 0 & k_2 x_1 (1 - k_1) + x_2 (1 - k_2) \\ 0 & k_2 k_1 & k_2 y_1 (1 - k_1) + y_2 (1 - k_2) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \boxtimes \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ 1 \end{pmatrix} $$

qui est équivalente à :

$$ \left\{ \begin{array}{l} (1 - k_2 k_1) x_0 = k_2 x_1 (1 - k_1) + x_2 (1 - k_2) \\ (1 - k_2 k_1) y_0 = k_2 y_1 (1 - k_1) + y_2 (1 - k_2) \end{array} \right. $$

Or :

$$ k_2 (1 - k_1) + (1 - k_2) = 1 - k_2 k_1 $$

et nous pouvons énoncer :

**Proposition 2 :**

Soit $k_1$ et $k_2$ deux réels non nuls, non inverses l'un de l'autre.

Soit les homothéties affines $\mathcal{H}_1$ et $\mathcal{H}_2$ de centres respectifs $\Omega_1 (x_1; y_1)$ et $\Omega_2 (x_2; y_2)$ et de rapports respectifs $k_1$ et $k_2$.

Soit $\Omega_0$ le barycentre de $(\Omega_1; k_2 (1 - k_1))$ et de $(\Omega_2; 1 - k_2)$.
La transformation affine $\mathcal{H} = \mathcal{H}_2 \circ \mathcal{H}_1$ est l'homothétie de centre $\Omega_0$ et de rapport $k_2 k_1$.

Considérons le cas particulier où $\Omega_2 = \Omega_1$. La matrice de la formule (2.21) devient :

$$ \mathcal{M}_{\mathcal{H}_2 \circ \mathcal{H}_1} = \mathcal{M}_{\mathcal{H}_2} \times \mathcal{M}_{\mathcal{H}_1} = \begin{pmatrix} k_2 \times k_1 & 0 & x_1 (1 - k_1 k_2) \\ 0 & k_2 \times k_1 & y_1 (1 - k_1 k_2) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad (2.23) $$

et, par analogie avec la formule (2.20), $\mathcal{H}_2 \circ \mathcal{H}_1$ est l'homothétie de centre $\Omega_1$ et de rapport $k_1 k_2$ et nous retrouvons le fait que **l'ensemble des homothéties affines de même centre est un groupe (commutatif)**.

Dans cet exercice, nous venons de retrouver, très facilement grâce à ce formalisme, que :

* l'ensemble des homothéties vectorielles est un groupe commutatif;

* l'ensemble des homothéties affines n'a pas de structure particulière;

* l'ensemble constitué par les homothéties affines et par les translations est un groupe (non commutatif) qui contient deux sous-groupes commutatifs : celui des homothéties de même centre; celui des translations.

### 2.3.3 Courbes de Bézier rationnelles quadratiques dans $\tilde{P}$

Ce paragraphe est une généralisation du paragraphe 2.2.2 : il est alors possible de sortir de l'espace affine $\mathcal{P}$ en incluant les vecteurs de $\tilde{P}$, les points de contrôle sont alors des points massiques (i.e. des points pondérés de $\mathcal{P}$ ou des vecteurs de $\tilde{P}$) que nous supposons non alignés c'est-à-dire :

* si $\prod_{i=0}^{2} \omega_i \neq 0$, il s'agit de la notion usuelle;

* si $\omega_i = 0$ et les deux autres poids sont non nuls, $\vec{P}_i$ n'est pas un vecteur directeur de la droite engendrée par les deux autres points;

* si $\omega_i = 0$ et $\omega_j = 0$, avec $i \neq j$, alors $\vec{P}_i$ et $\vec{P}_j$ ne sont pas colinéaires.

**Définition 3** : CBRQ dans $\tilde{P}$

Soit $(P_0; \omega_0)$, $(P_1; \omega_1)$ et $(P_2; \omega_2)$ trois points massiques, de $\tilde{P}$, non alignés.

Soit I l'ensemble des indices des points massiques ayant des poids non nuls.

Soit J l'ensemble des indices des points massiques ayant des poids nuls.

Soit la fonction $\omega_f$ définie sur $[0; 1]$ par :

$$ \omega_f(t) = \sum_{i \in I} \omega_i \times B_i(t) $$

Un point massique $(M; \omega)$ ou $(\vec{u}; 0)$ appartient à la courbe de Bézier quadratique de points massiques de contrôle $(P_0; \omega_0)$, $(P_1; \omega_1)$ et $(P_2; \omega_2)$, s'il existe un réel $t_0$ de $[0; 1]$ tel que :
• si $\omega_f(t_0) \neq 0$ alors, nous avons :

$$ 
\left\{ 
\begin{aligned}
\overrightarrow{OM} &= \frac{1}{\omega_f(t_0)} \sum_{i \in I} \omega_i B_i(t_0) \overrightarrow{OP_i} + \frac{1}{\omega_f(t_0)} \sum_{i \in J} B_i(t_0) \overrightarrow{P_i} \\
\omega &= \omega_f(t_0)
\end{aligned}
\right. 
\qquad (2.24) 
$$

• si $\omega_f(t_0) = 0$ alors, nous avons :

$$ \vec{u} = \sum_{i \in I} \omega_i B_i(t_0) \overrightarrow{OP_i} + \sum_{i \in J} B_i(t_0) \overrightarrow{P_i} \qquad (2.25) $$

L'ensemble $I$ est toujours non vide. Si $J$ l'est aussi, dans les deux cas, nous avons une partie affine $(\overrightarrow{OP_i})_{i \in I}$ et une partie vectorielle $(\overrightarrow{P_i})_{i \in J}$. Comme dans le cas classique, la CBRQ peut être définie sur $\mathbb{R}$, ceci nous sera utile dans les paragraphes 2.3.4 et 3.4. Introduisons :

**Notation 1 :**

La notation $\text{RQBC}\{(P_0; \omega_0); (P_1; \omega_1); (P_2; \omega_2)\}$ désigne une CBRQ de points massiques de contrôle $(P_0; \omega_0)$, $(P_1; \omega_1)$ et $(P_2; \omega_2)$.

La notation $\overline{\text{RQBC}}\{(P_0; \omega_0); (P_1; \omega_1); (P_2; \omega_2)\}$ désigne la conique propre contenant l'arc de courbe définie par $\text{RQBC}\{(P_0; \omega_0); (P_1; \omega_1); (P_2; \omega_2)\}$.

La CBRQ étant définie à partir de vecteurs et de points pondérés dont la somme des poids vaut 1, elle ne dépend pas du point $O$ choisi.

En utilisant les additions et multiplications définies dans le cadre du formalisme des points massiques, dans le cas où $(P; 1)$ est un point de la CBRQ, nous aurions la notation suivante :

$$ 
\begin{aligned}
(P; 1) &= \frac{1}{\sum_{i \in I} \omega_i \times B_i(t_0)} \Box \left( \sum_{i \in I} \Box B_i(t_0) \Box (P_i; \omega_i) \right) \\
&\oplus \frac{1}{\sum_{i \in I} \omega_i \times B_i(t_0)} \Box \left( \sum_{i \in J} \Box B_i(t_0) \Box (\vec{P}_i; 0) \right)
\end{aligned} 
\qquad (2.26) 
$$

où $\oplus$ désigne une somme de $\oplus$. La formule (2.26) se simplifie en :

$$ (P; 1) = \sum_{i \in I} \oplus \left( P_i; \frac{\omega_i \times B_i(t_0)}{\sum_{i \in I} \omega_i \times B_i(t_0)} \right) \oplus \left( \sum_{i \in J} \oplus \left( \frac{B_i(t_0)}{\sum_{i \in I} \omega_i \times B_i(t_0)} \vec{P}_i; 0 \right) \right) \qquad (2.27) $$
Le point massique $(\vec{u}; 0)$ s'écrit :

$$ (\vec{u}; 0) = \sum_{i \in I} \oplus \omega_i B_i(t_0) \boxtimes (\overrightarrow{\Omega P_i}; 0) \oplus \left( \sum_{i \in J} \oplus B_i(t_0) \boxtimes (\overrightarrow{P_i}; 0) \right) \quad (2.28) $$

Considérons le cas particulier où $\omega_0, \omega_2 > 0$ et $\omega_1 = 0$. D'après la formule (2.24), le point $M(t)$ appartient à la courbe si et seulement si :

$$ \overrightarrow{OM}(t) = \frac{1}{\omega_0 B_0(t) + \omega_2 B_2(t)} \left( \omega_0 B_0(t) \overrightarrow{OP_0} + \omega_2 B_2(t) \overrightarrow{OP_2} + B_1(t) \overrightarrow{P_1} \right) \quad (2.29) $$

d'où $M(0) = P_0$ et $M(1) = P_2$. De plus, la détermination des tangentes en ces points est assez facile. La formule (2.29) ne dépend pas du point $O$, nous avons donc :

$$ \overrightarrow{P_0 M(t)} = \frac{1}{\omega_0 B_0(t) + \omega_2 B_2(t)} \left( \omega_2 B_2(t) \overrightarrow{P_0 P_2} + B_1(t) \overrightarrow{P_1} \right) \quad (2.30) $$

d'où :

$$ \frac{d}{dt} \overrightarrow{P_0 M(0)} = \frac{1}{\omega_0 B_0(0)} \left( B'_1(0) \vec{P}_1 \right) = \frac{2}{\omega_0} \vec{P}_1 \quad (2.31) $$

et la tangente à la courbe en $P_0$ est la droite, de vecteur directeur $\vec{P}_1$ passant par $P_0$. De façon analogue, nous pourrions montrer que la tangente à la courbe en $P_2$ est la droite, de vecteur directeur $\vec{P}_2$ passant par $P_2$.

Il peut être intéressant, si nous voulons déterminer les paramètres de la conique propre modélisée par une CBRQ, de changer d'arcs de conique c'est-à-dire de déterminer les nouveaux points massiques de contrôle à partir des points massiques de contrôle initiaux. Pour ce faire, il suffit de définir un changement de paramètre homographique.

### 2.3.4 Changement de paramètre homographique

Commençons par un lemme concernant la multiplication de tous les points massiques de contrôle par un même scalaire non nul généralisant un résultat classique.

**Lemme 1 :**

Soit $(P_0; \omega_0)$, $(P_1; \omega_1)$ et $(P_2; \omega_2)$ trois éléments de $\tilde{\mathcal{P}}$.

Soit I (resp. J) l'ensemble des indices des points massiques ayant des poids non nuls (resp. nuls).

Soit $\lambda$ un réel non nul. Alors, si $\sum_{i \in I} \omega_i \times B_i(t_0)$ est non nul, nous avons :

$$ \mathrm{RQBC} \left\{ (P_i; \omega_i)_{i \in I} ; (\vec{P}_j; 0)_{j \in J} \right\} = \mathrm{RQBC} \left\{ (P_i; \lambda \omega_i)_{i \in I} ; (\lambda \vec{P}_j; 0)_{j \in J} \right\} \quad (2.32) $$
Démonstration :

$$
\begin{align*}
& \frac{1}{\sum_{i \in I} \omega_i \times B_i(t_0)} \left( \sum_{i \in I} \omega_i B_i(t_0) \overrightarrow{OP_i} + \sum_{j \in J} B_j(t_0) \overrightarrow{P_j} \right) \\
&= \frac{1}{\sum_{i \in I} \lambda \omega_i \times B_i(t_0)} \left( \sum_{i \in I} \lambda \omega_i B_i(t_0) \overrightarrow{OP_i} + \sum_{j \in J} B_j(t_0) \lambda \overrightarrow{P_j} \right)
\end{align*}
$$

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

Si $J = \emptyset$, nous ne changeons pas les points de contrôle d'une CBRQ en multipliant tous les poids par un même réel non nul.

**Théorème 1 : Changement de paramètre homographique**

Soit une courbe de Bézier $\gamma$ de points massiques de contrôle $(P_0; \omega_0)$, $(P_1; \omega_1)$ et $(P_2; \omega_2)$ de
support la conique C. Soit les réels $a, b, c$ et $d$ vérifiant :

$$
\left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right| \neq 0 \tag{2.33}
$$

Soit $h$ définie par :

$$
\begin{align*}
h: \quad \overline{\mathbb{R}} &\rightarrow \overline{\mathbb{R}} \\
u &\mapsto \frac{a(1-u)+bu}{c(1-u)+du} \tag{2.34}
\end{align*}
$$

alors $\gamma \circ h$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(Q_0; \bar{\omega}_0)$, $(Q_1; \bar{\omega}_1)$ et $(Q_2; \bar{\omega}_2)$ de support la conique C avec :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
(Q_0; \bar{\omega}_0) = (c-a)^2 \Box (P_0; \omega_0) \boxplus 2a(c-a) \Box (P_1; \omega_1) \boxplus a^2 \Box (P_2; \omega_2) \\
\\
(Q_1; \bar{\omega}_1) = (c-a)(d-b) \Box (P_0; \omega_0) \boxplus (bc-2ab+ad) \Box (P_1; \omega_1) \\
\qquad \boxplus ab \Box (P_2; \omega_2) \\
\\
(Q_2; \bar{\omega}_2) = (d-b)^2 \Box (P_0; \omega_0) \boxplus 2b(d-b) \Box (P_1; \omega_1) \boxplus b^2 \Box (P_2; \omega_2)
\end{array}
\right.
\qquad (2.35)
$$

Démonstration : [Béc97]

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

**Corollaire 1 :** *Changement de paramètre homographique laissant invariant 0 et 1*

Soit une courbe de Bézier $\gamma$ de points massiques de contrôle $(P_0; \omega_0)$, $(P_1; \omega_1)$ et $(P_2; \omega_2)$ de
support la conique C. Soit $b$ et $c$ deux réels non nuls. Soit $h$ définie par :

$$
\begin{align*}
h: \quad \overline{\mathbb{R}} &\rightarrow \overline{\mathbb{R}} \\
u &\mapsto \frac{bu}{c(1-u)+bu}
\end{align*}
\tag{2.36}
$$
alors $\gamma \circ h$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(Q_0; \varpi_0)$, $(Q_1; \varpi_1)$ et $(Q_2; \varpi_2)$ de support la conique C avec :

$$ \left\{ \begin{array}{l} (Q_0; \varpi_0) = c^2 \Box (P_0; \omega_0) \underbrace{=}_{\text{si } \omega_0 \neq 0} (P_0; c^2 \omega_0) \\[1em] (Q_1; \varpi_1) = b c \Box (P_1; \omega_1) \underbrace{=}_{\text{si } \omega_1 \neq 0} (P_1; b c \omega_1) \\[1em] (Q_2; \varpi_2) = b^2 \Box (P_2; \omega_2) \underbrace{=}_{\text{si } \omega_2 \neq 0} (P_2; b^2 \omega_2) \end{array} \right. \qquad (2.37) $$

Démonstration : [Béc97]

Nous avons $h(0) = 0$ et $h(1) = 1$.

Pour obtenir la formule (2.37), il suffit d'appliquer la formule (2.35) en remarquant que dans la formule (2.36), nous avons $a = 0$ et $b - d = 0$.

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

Dans les chapitres suivants, toutes les démonstrations utilisant le théorème 1 et le corollaire 1 sont très inspirées de la thèse de J. P. Bécar, mais sont adaptées à nos approche et définition des points massiques.

Si $\omega_0$ et $\omega_2$ sont deux réels strictement positifs, en prenant $c = \frac{1}{\sqrt{\omega_0}}$ et $b = \frac{1}{\sqrt{\omega_2}}$, si $\omega_1$ est non nul alors nous avons :

$$ \mathrm{RQBC} \{(P_0; \omega_0); (P_1; \omega_1); (P_2; \omega_2)\} = \mathrm{RQBC} \left\{ (P_0; 1); \left( P_1; \frac{\omega_1}{\sqrt{\omega_0 \omega_2}} \right); (P_2; 1) \right\} \quad (2.38) $$

et nous retrouvons le résultat donné par Farin [Far99], tandis que si $\omega_1$ est nul alors nous avons :

$$ \mathrm{RQBC} \left\{ (P_0; \omega_0); \left( \vec{P}_1; 0 \right); (P_2; \omega_2) \right\} = \mathrm{RQBC} \left\{ (P_0; 1); \left( \frac{1}{\sqrt{\omega_0 \omega_2}} \vec{P}_1; 0 \right); (P_2; 1) \right\} \quad (2.39) $$

## 2.4 Synthèse du chapitre

Dans ce chapitre, nous avons défini les différentes notions : plan affine ou vectoriel, plan projectif et espace des points massiques réunissant le plan affine et le plan vectoriel. Dans l'espace des points massiques, nous avons défini la matrice d'une transformation affine. Nous avons défini les courbes de Bézier quadratiques dans ces espaces. Nous avons aussi donné un algorithme de subdivision d'arcs de parabole basé sur l'algorithme de De Casteljau.
# Chapitre 3

## Constructions d'arcs de coniques propres dans le plan affine euclidien

Dans ce chapitre, dans le plan affine euclidien $\mathcal{P}$, après avoir donné la matrice massique d'une rotation, nous allons déterminer les éléments caractéristiques d'une conique propre en utilisation la théorie des points massiques. Nous montrons ensuite, comment déterminer l'image, par une similitude directe, d'une courbe de Bézier rationnelle quadratique à points massiques de contrôle. Dans le dernier paragraphe, nous allons construire des subdivisions itératives d'arcs de cercles. Il est possible de réaliser le même travail dans le cas de l'ellipse et de l'hyperbole [Gar10]. Pour des raisons de taille, nous ne présentons pas ces travaux ici et dans le chapitre 4, nous retrouverons les mêmes résultats en choisissant une métrique de telle façon que les ellipses et hyperboles soient vues comme des cercles unitaires.

Dans tout ce chapitre, $\mathcal{P}$ est le plan affine euclidien orienté usuel muni du repère orthonormé direct $(O; \vec{i}; \vec{j})$.

### 3.1 Matrice massique d'une rotation affine

Comme nous sommes dans un espace euclidien orienté, à partir de la définition de matrice de transformation affine, paragraphe 2.3.2, nous pouvons définir les matrices de rotations. Considérons les rotations affines $\mathcal{R}_1$ et $\mathcal{R}_2$ de centre respectifs $\Omega_1 (2; 3)$ et $\Omega_2 (-5; 7)$ et d'angle respectif $r_1 = \frac{\pi}{3}$ et $r_2 = \frac{\pi}{4}$. Ces rotations peuvent être définies par les matrices :

$$ \mathcal{M}_{\mathcal{R}_1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & x_1 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} & y_1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

et

$$ \mathcal{M}_{\mathcal{R}_2} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & x_2 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & y_2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
où les coordonnées $(x_1; y_1)$ et $(x_2; y_2)$ sont à déterminer. En utilisant les nombres complexes<fnref n="1" />,
nous avons trivalement :

$$
\begin{align*}
x_1 + i y_1 &= 2 + 3i + e^{i\frac{\pi}{3}} (0 - (2 + 3i)) = 2 - 2 \times \frac{1}{2} + 3\frac{\sqrt{3}}{2} + i \left(3 - 3\frac{1}{2} - 2\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\
&= \frac{2 + 3\sqrt{3}}{2} + i \frac{3 - 2\sqrt{3}}{2}
\end{align*}
$$

et :

$$
\begin{align*}
x_2 + i y_2 &= -5 + 7i + e^{i\frac{\pi}{4}} (-(-5 + 7i)) = -5 + 5 \times \frac{\sqrt{2}}{2} + 7\frac{\sqrt{2}}{2} + i \left(7 - 7\frac{\sqrt{2}}{2} + 5\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\
&= -5 + 6\sqrt{2} + i (7 - \sqrt{2})
\end{align*}
$$

d'où :

$$
M_{\mathbb{R}_1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{2+3\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3-2\sqrt{3}}{2} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
$$

et

$$
M_{\mathbb{R}_2} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -5 + 6\sqrt{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 7 - \sqrt{2} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
$$

Nous avons :

$$
M_{\mathbb{R}_2 \circ \mathbb{R}_1} = M_{\mathbb{R}_2} \times M_{\mathbb{R}_1} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} & -\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} & \frac{-20 + 23\sqrt{2} + 5\sqrt{6}}{4} \\ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} & \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} & \frac{28 + \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
$$

Or, nous avons :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \\
\\
\sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}
\end{array}
\right.
$$

et nous en déduisons :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} = -\sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \cos\left(7\frac{\pi}{12}\right) \\[2ex]
\displaystyle \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} = \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \sin\left(7\frac{\pi}{12}\right)
\end{array}
\right.
$$

<footnote n="1">1. Leur utilisation facilite le calcul dans le plan, mais il n’est pas possible de généraliser les calculs aux autres dimensions contrairement à l’utilisation des matrices.</footnote>
et $M_{\mathbb{R}_2} \times M_{\mathbb{R}_1}$ est la matrice de la rotation affine, d'angle $7\frac{\pi}{12}$ telle que les coordonnées de l'image de $O$ soient :

$$ \begin{pmatrix} \frac{-20 + 23\sqrt{2} + 5\sqrt{6}}{4} \\ \frac{28 + \sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} \end{pmatrix} $$

Vérifions avec les complexes. Nous avons :

$$ z_1 = x_1 + iy_1 = \frac{2+3\sqrt{3}}{2} + i\frac{3-2\sqrt{3}}{2} $$

et il suffit de calculer :

$$ z'_{1} = -5 + 7i + e^{i\frac{\pi}{4}} (z_{1} - (-5 + 7i)) $$

ce qui donne<fnref n="2" /> :

$$ z'_{1} = \frac{-20 + 23\sqrt{2} + 5\sqrt{6}}{4} + i\frac{28 + \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} $$

Finissons par un exemple. Soit $\omega$ un réel non nul et considérons le point massique $(O; \omega)$ ainsi que son image $(\mathbb{R}_2 \circ \mathbb{R}_1(O); \omega)$. Nous avons :

$$ \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} & \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} & \frac{-20 + 23\sqrt{2} + 5\sqrt{6}}{4} \\ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} & \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} & \frac{28 + \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \boxtimes \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \omega \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-20 + 23\sqrt{2} + 5\sqrt{6}}{4} \\ \frac{28 + \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \\ \omega \end{pmatrix} $$

c'est-à-dire que les coordonnées de l'image de $O$ par $\mathbb{R}_2 \circ \mathbb{R}_1$ sont :

$$ \left( \frac{-20 + 23\sqrt{2} + 5\sqrt{6}}{4} ; \frac{28 + \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \right) $$

et le poids de $\mathbb{R}_2 \circ \mathbb{R}_1(O)$ est $\omega$.

## 3.2 Courbe de Bézier rationnelle quadratique et conique

Si tous les points de contrôle de la courbe de Bézier rationnelle quadratique sont des points pondérés ($J = \emptyset$) le discriminant réduit du dénominateur est :

$$ \Delta' = \omega_1^2 - \omega_2 \omega_0 \qquad (3.1) $$

et nous pouvons en déduire :

<footnote n="2">2. Les calculs sont laissés aux lecteurs.</footnote>
• si $ω_1^2 - ω_2 ω_0 = 0$ alors le dénominateur s'annule une et une seule fois et la conique est une parabole;

• si $ω_1^2 - ω_2 ω_0 < 0$ alors le dénominateur ne s'annule pas et la conique est une ellipse;

• si $ω_1^2 - ω_2 ω_0 > 0$ alors le dénominateur s'annule deux fois et la conique est une hyperbole.

Notons que le critère est le même si $J$ n'est pas l'ensemble vide.

Un arc de parabole peut être défini par trois points pondérés ($P_0$; 1), ($P_1$; $ω$) et ($P_2$; $ω^2$), $ω \neq 0$ ou un point pondéré ($P_0$; 1) et deux vecteurs ($\vec{P_1}$; 0) et ($\vec{P_2}$; 0), figure 3.1;

Un arc d'ellipse peut être défini par trois points pondérés ($P_0$; 1), ($P_1$; $ω_1$) et ($P_2$; $ω_2$) ou deux points pondérés ($P_0$; 1) et ($P_2$; 1) et un vecteur ($\vec{P_1}$; 0), figure 3.1;

Un arc d'hyperbole peut être défini par trois points pondérés ($P_0$; 1), ($P_1$; $ω_1$) et ($P_2$; $ω_2$) ou deux points pondérés ($P_0$; 1) et ($P_2$; -1) et un vecteur ($\vec{P_1}$; 0) ou un point pondéré ($P_1$; 1) et deux vecteurs ($\vec{P_0}$; 0) et ($\vec{P_2}$; 0), figure 3.1.

Avant de nous focaliser sur la détermination des éléments caractéristiques, commençons par nous « débarrasser » du cas pathologique : le cercle. En effet, ce dernier est bien une conique et même une ellipse particulière en définissant les coniques comme section d'un cône par un plan. Cependant, contrairement aux autres coniques propres, un cercle ne peut pas être défini par un foyer, une directrice et son excentricité. De plus, dans la partie III, nous ne modéliserons que des arcs de cercles<fnref n="3" /> pour la métrique de Lorentz et, par rapport au paragraphe suivant, nous n'aurons qu'à modifier la forme quadratique utilisée sur le plan idoine.

<footnote n="3">3. Ces cercles se tracent comme des ellipses ou des hyperboles.</footnote>
<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>FIGURE 3.1 – Six exemples de courbes de Bézier rationnelles quadratiques utilisant des vecteurs comme points de contrôle modélisant des arcs de coniques propres. Les points massiques de contrôle ($P_0$; 2), ($\vec{P}_1$; 0) et ($\vec{P}_2$; 0) définissent un arc de parabole $\mathcal{P}$. Les points massiques de contrôle ($Q_0$; 1), ($\vec{Q}_1$; 0) et ($Q_2$; 2) définissent un arc d'ellipse $\mathcal{E}$. Les points massiques de contrôle ($\vec{R}_0$; 0), ($R_1$; 2) et ($\vec{R}_2$; 0) définissent un arc d'hyperbole $\mathcal{H}$.</figcaption></figure>
## 3.3 Modélisation d'arcs de cercles

### 3.3.1 Utilisation des trois points pondérés

Il est possible de modéliser des arcs de cercles en utilisant des courbes de Bézier rationnelles quadratiques. Lorsque les extrémités de l'arc de cercle modélisé ne sont pas diamétralement opposées, les démonstrations sont issues de [Gar07], dans le cas contraire, les preuves sont inspirées de [FJ89] et adaptées à notre définition des points massiques.

#### 3.3.1.1 Condition géométrique

Soit $\gamma$ une CBRQ de points pondérés de contrôle $P_0$, $P_1$ et $P_2$. La condition nécessaire $P_0P_1 = P_2P_1$ n'est pas suffisante puisque le triangle $P_0P_1P_2$ peut être isocèle en $P_1$ et la CBRQ $\gamma$ une conique quelconque : pour cela, il suffit que les droites ($P_0P_1$) et ($P_1P_2$) soient symétriques par rapport à l'un des axes de la conique. Réciproquement, le théorème 2 permet de construire le point $P_1$ pour que la CBRQ $\gamma$ soit l'un des deux arcs de cercle de centre donné et d'extrémités $P_0$ et $P_2$. Ainsi, pour modéliser un arc de cercle d'extrémités $P_0$ et $P_2$ par une CBRQ, nous déterminerons le centre du cercle à l'aide de trois points de cet arc, puis nous pourrons calculer le troisième point de contrôle $P_1$.

**Théorème 2** : Connaissant le centre du cercle, construction du point $P_1$

Soit C le cercle de centre $O_0$ et de rayon R passant par $P_0$ et $P_2$ et $I_1$ le milieu du segment $[P_0P_2]$, $P_0$ et $P_2$ n'étant pas diamétralement opposés.

Une condition nécessaire que doit vérifier $P_1$ pour que $RQBC(P_0; P_1; P_2)$ soit un arc de cercle de C passant par les deux points distincts $P_0$ et $P_2$ est la suivante :

$$ \overrightarrow{I_1P_1} = t_1 \overrightarrow{O_0I_1} \quad \text{avec} \quad t_1 = \frac{\overrightarrow{O_0P_0} \cdot \overrightarrow{I_1P_0}}{\overrightarrow{O_0P_0} \cdot \overrightarrow{O_0I_1}} \quad (3.2) $$

**Démonstration :**

Soit $I_1$ le milieu du segment $[P_0P_2]$.

Tout diamètre de cercle est axe de symétrie donc $P_1$ appartient à la droite ($O_0I_1$) donc il existe un réel $t_1$ tel que $\overrightarrow{I_1P_1} = t_1\overrightarrow{O_0I_1}$. La droite ($P_0P_1$) est une tangente au cercle en $P_0$ donc nous avons $\overrightarrow{O_0P_0} \cdot \overrightarrow{P_0P_1} = 0$.

$$ \begin{align*} \overrightarrow{O_0P_0} \cdot \overrightarrow{P_0P_1} &= 0 & \iff \overrightarrow{O_0P_0} \cdot (\overrightarrow{P_0I_1} + \overrightarrow{I_1P_1}) &= 0 \\ & & \iff \overrightarrow{O_0P_0} \cdot \overrightarrow{P_0I_1} + \overrightarrow{O_0P_0} \cdot \overrightarrow{I_1P_1} &= 0 \\ & & \iff \overrightarrow{O_0P_0} \cdot \overrightarrow{P_0I_1} + t_1 \overrightarrow{O_0P_0} \cdot \overrightarrow{O_0I_1} &= 0 \\ & & \iff t_1 \overrightarrow{O_0P_0} \cdot \overrightarrow{O_0I_1} = \overrightarrow{O_0P_0} \cdot \overrightarrow{I_1P_0} \end{align*} $$
$$ \Leftrightarrow t_1 = \frac{\overrightarrow{O_0P_0} \cdot \overrightarrow{I_1P_0}}{\overrightarrow{O_0P_0} \cdot \overrightarrow{O_0I_1}} $$

Nous avons bien $\overrightarrow{O_0P_0} \cdot \overrightarrow{O_0I_1} \neq 0$ puisque chaque vecteur est non nul et ils ne peuvent pas être orthogonaux car $I_1$ appartient à une corde du cercle de centre $O_0$ issue de $P_0$.

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

### 3.3.1.2 Calculs des poids

Après avoir déterminé le point de contrôle $P_1$, nous allons, dans ce paragraphe, donner les conditions sur les poids $\omega_0, \omega_1$ et $\omega_2$ pour qu'une CBRQ modélise un arc de cercle.

**Théorème 3** : Cercle déterminé par deux points et les tangentes en ces points

Soit C le cercle de centre $O_0$ et de rayon R passant par $P_0$ et $P_2$ et ayant comme tangente ($P_0P_1$) et ($P_2P_1$), les points $P_0$ et $P_2$ n'étant pas diamétralement opposé. Soit $(\omega_0; \omega_2) \in (\mathbb{R}_+^*)^2$.

La CBRQ $\gamma$ de points de contrôle pondérés $(P_i; \omega_i)_{0 \le i \le 2}$, est un arc de cercle si et seulement si :

$$ \omega_1^2 = \omega_0 \omega_2 \cos^2 \left( \overrightarrow{P_0P_1}; \overrightarrow{P_0P_2} \right) = \omega_0 \omega_2 \left( \frac{\overrightarrow{P_0P_1} \cdot \overrightarrow{P_0P_2}}{P_0P_1 \times P_0P_2} \right)^2 \quad (3.3) $$

**Démonstration :**

Le point $\gamma(\frac{1}{2})$ appartient au cercle C si et seulement si :

$$ \left\| \overrightarrow{O_0\gamma} \left(\frac{1}{2}\right) \right\| = R \quad (3.4) $$

Nous avons : $B_0(\frac{1}{2}) = B_2(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$ et $B_1(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ d'où

$$ \omega_0 B_0 \left(\frac{1}{2}\right) + \omega_1 B_1 \left(\frac{1}{2}\right) + \omega_2 B_2 \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\omega_0}{4} + \frac{\omega_1}{2} + \frac{\omega_2}{4} = \frac{1}{4} (\omega_0 + \omega_2 + 2\omega_1) $$

De façon analogue, nous avons :

$$ \overrightarrow{O_0\gamma}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{4}{\omega_0 + 2\omega_1 + \omega_2} \left( \frac{\omega_0}{4} \overrightarrow{O_0P_0} + \frac{\omega_1}{2} \overrightarrow{O_0P_1} + \frac{\omega_2}{4} \overrightarrow{O_0P_2} \right) $$

et nous obtenons la relation fondamentale :

$$ (\omega_0 + 2\omega_1 + \omega_2) \overrightarrow{O_0\gamma}\left(\frac{1}{2}\right) = \omega_0 \overrightarrow{O_0P_0} + 2\omega_1 \overrightarrow{O_0P_1} + \omega_2 \overrightarrow{O_0P_2} \quad (3.5) $$
et le point $\gamma(\frac{1}{2})$ appartient au cercle C si et seulement si :

$$ (\omega_0 + 2\omega_1 + \omega_2)^2 R^2 = (\omega_0 \overrightarrow{O_0P_0} + 2\omega_1 \overrightarrow{O_0P_1} + \omega_2 \overrightarrow{O_0P_2})^2 \quad (3.6) $$

Développons le membre de gauche :

$$ (\omega_0 + 2\omega_1 + \omega_2)^2 R^2 = (\omega_0^2 + 4\omega_1^2 + \omega_2^2 + 2\omega_0\omega_2 + 4\omega_1(\omega_0 + \omega_2)) R^2 \quad (3.7) $$

Simplifions le membre de droite :

$$ \begin{align*} & (\omega_0 \overrightarrow{O_0P_0} + 2\omega_1 \overrightarrow{O_0P_1} + \omega_2 \overrightarrow{O_0P_2})^2 \\ &= \omega_0^2 R^2 + 4\omega_1^2 \overrightarrow{O_0P_1}^2 + \omega_2^2 R^2 + 2\omega_0\omega_2 \overrightarrow{O_0P_0} \cdot \overrightarrow{O_0P_2} + 4\omega_1 (\omega_0 \overrightarrow{O_0P_0} + \omega_2 \overrightarrow{O_0P_2}) \cdot \overrightarrow{O_0P_1} \\ &= (\omega_0^2 + \omega_2^2) R^2 + 4\omega_1^2 (R^2 + P_0 P_1^2) + 2\omega_0\omega_2 \overrightarrow{O_0P_0} \cdot (\overrightarrow{O_0P_0} + \overrightarrow{P_0P_2}) \\ &\quad + 4\omega_1 (\omega_0 \overrightarrow{O_0P_0} \cdot (\overrightarrow{O_0P_0} + \overrightarrow{P_0P_1}) + \omega_2 \overrightarrow{O_0P_2} \cdot (\overrightarrow{O_0P_2} + \overrightarrow{P_2P_1})) \\ &= (\omega_0^2 + \omega_2^2 + 4\omega_1^2 + 2\omega_0\omega_2 + 4\omega_1(\omega_0 + \omega_2)) R^2 + 4\omega_1^2 P_0 P_1^2 + 2\omega_0\omega_2 \overrightarrow{O_0P_0} \cdot \overrightarrow{P_0P_2} \end{align*} $$

En introduisant le milieu $I_1$ du segment $[P_0P_2]$, la formule (3.6) est équivalente à :

$$ \omega_1^2 P_0 P_1^2 = \omega_0 \omega_2 \overrightarrow{O_0P_0} \cdot \overrightarrow{I_1P_0} \quad (3.8) $$

comme :

$$ \overrightarrow{O_0P_0} \cdot \overrightarrow{I_1P_0} = (\overrightarrow{O_0I_1} + \overrightarrow{I_1P_0}) \cdot \overrightarrow{I_1P_0} = I_1 P_0^2 $$

l'équation (3.8) est équivalente à :

$$ \omega_1^2 = \omega_0 \omega_2 \left( \frac{I_1 P_0}{P_0 P_1} \right)^2 $$

qui est équivalente à :

$$ \omega_1^2 = \omega_0 \omega_2 \cos^2 \left( \overrightarrow{P_0P_1}; \overrightarrow{P_0P_2} \right) $$

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

### 3.3.2 Modélisation de demi-cercles dans $\tilde{P}$

L'utilisation des courbes de Bézier rationnelles quadratiques définies à partir de points masques permet, entre autres, de tracer des demi-cercles.
**Théorème 4** : Demi-cercle déterminé par deux points diamétralement opposés et un vecteur

Soit C le cercle de centre $O_0$ et de rayon $R$.

Soit $P_0$ et $P_2$ deux points diamétralement opposés de C.

Soit $\omega_0$ et $\omega_2$ deux nombres réels non nuls et de même signe.

Soit $\overrightarrow{P_1}$ un vecteur orthogonal à $\overrightarrow{P_0P_2}$.

La courbe de Bézier $\gamma$ de points massiques de contrôle ($P_0; \omega_0$), $(\overrightarrow{P_1}; 0)$ et ($P_2; \omega_2$) est un demi-cercle de C si et seulement si :

$$ \omega_0 \omega_2 \overrightarrow{P_0 P_2}^2 = 4 \overrightarrow{P_1}^2 \quad (3.9) $$

**Démonstration du théorème :**

$\gamma(\frac{1}{2})$ appartient au cercle C et $B_0(\frac{1}{2}) = B_2(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$ et $B_1(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

Nous avons :

$$ \omega_0 B_0 \left(\frac{1}{2}\right) + \omega_2 B_2 \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\omega_0}{4} + \frac{\omega_2}{4} = \frac{1}{4} (\omega_0 + \omega_2) $$

et :

$$ \overrightarrow{O\gamma\left(\frac{1}{2}\right)} = \frac{4}{\omega_0 + \omega_2} \left( \frac{\omega_0}{4} \overrightarrow{OP_0} + \frac{\omega_2}{4} \overrightarrow{OP_2} + \frac{1}{2} \overrightarrow{P_1} \right) $$

La définition vectorielle d'une courbe de Bézier rationnelle ne dépend pas du point O choisi, nous prenons donc O au centre du cercle $O_0$ et nous avons les relations :

$$ (\omega_0 + \omega_2) \overrightarrow{O_0\gamma\left(\frac{1}{2}\right)} = \left( \omega_0 \overrightarrow{O_0P_0} + \omega_2 \overrightarrow{O_0P_2} + 2\overrightarrow{P_1} \right) \quad (3.10) $$

et :

$$ \frac{1}{2} \overrightarrow{P_0P_2} = \overrightarrow{O_0P_2} = -\overrightarrow{O_0P_0} $$

Le point $\gamma(\frac{1}{2})$ appartient au cercle C si et seulement si nous avons :

$$ \left\| \overrightarrow{O_0\gamma\left(\frac{1}{2}\right)} \right\| = \frac{1}{2} \left\| \overrightarrow{P_0P_2} \right\| $$

Ainsi, en prenant le carré scalaire de la formule (3.10), nous obtenons :

$$ \begin{align*} (\omega_0 + \omega_2)^2 \overrightarrow{P_0 P_2}^2 &= 4 \left( \omega_0 \overrightarrow{O_0 P_0} + \omega_2 \overrightarrow{O_0 P_2} + 2 \overrightarrow{P_1} \right)^2 \\ &= 4 \left( -\frac{\omega_0}{2} \overrightarrow{P_0 P_2} + \frac{\omega_2}{2} \overrightarrow{P_0 P_2} + 2 \overrightarrow{P_1} \right)^2 \end{align*} $$
$$
\begin{align*}
&= 4 \left( \frac{\omega_2 - \omega_0}{2} \overrightarrow{P_0 P_2} + 2 \overrightarrow{P_1} \right)^2 \\
&= 4 \left( \frac{\omega_2^2 + \omega_0^2 - 2 \omega_2 \omega_0}{4} \overrightarrow{P_0 P_2}^2 + 2 (\omega_2 - \omega_0) \underbrace{\overrightarrow{P_0 P_2} \cdot \overrightarrow{P_1}}_{=0} + 4 \overrightarrow{P_1}^2 \right) \\
&= (\omega_2^2 + \omega_0^2 - 2 \omega_2 \omega_0) \overrightarrow{P_0 P_2}^2 + 16 \overrightarrow{P_1}^2
\end{align*}
$$

qui est équivalent à :

$$
2 \omega_0 \omega_2 \overrightarrow{P_0 P_2}^2 = -2 \omega_0 \omega_2 \overrightarrow{P_0 P_2}^2 + 16 \overrightarrow{P_1}^2
$$

qui se simplifie en :

$$
\omega_0 \omega_2 \overrightarrow{P_0 P_2}^2 = 4 \overrightarrow{P_1}^2
$$

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

Si nous avons $\omega_0 \omega_2 = 1$, la formule (3.9) traduit le fait que la longueur d'un diamètre et
égale à deux fois celle d'un rayon.

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>FIGURE 3.2 – Modélisation de deux demi-cercles par modification des poids. Les coordonnées du point P₀ (resp. P₂) sont (4; 0) (resp. (-4; 0)) tandis que les composantes de $\overrightarrow{P_1}$ sont (0; 4).</figcaption></figure>

La figure 3.2, utilisant le package pstricks disponible à l'adresse :

https://www.ctan.org/pkg/pst-bezier,

montre deux demi-cercles, d'un même cercle, modélisés par une courbe de Bézier rationnelle
quadratique à points massiques de contrôle $(P_0; 1)$, $(\vec{P}_1; 0)$ et $(P_2; 1)$ d'une part et $(P_0; \frac{1}{2})$,
$(\text{-1/2} \vec{P}_1; 0)$ et $(P_2; \text{1/2})$ d'autre part.
3.4 Détermination des éléments caractéristiques d’une conique propre non circulaire

Dans cette section, nous allons, selon le type de la conique, effectuer quelques reparamétrisa-
sation afin d'obtenir une forme « canonique » de courbes de Bézier :

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

FIGURE 3.3 – Forme « canonique » des courbes de Bézier rationnelles quadratiques en fonction du type de la conique propre modélisée. Les points massiques de contrôle ($P_0$; 1), ($\vec{P}_1$; 0) et ($\vec{P}_2$; 0), avec $\vec{P}_1 \perp \vec{P}_2$, définissent un arc de parabole $\mathcal{P}$. Les points massiques de contrôle ($Q_0$; 1), ($\vec{Q}_1$; 0) et ($Q_2$; 1), avec $\vec{Q}_1 \perp \vec{Q}_0\vec{Q}_2$ définissent un arc d'ellipse $\mathcal{E}$. Les points massiques de contrôle ($\vec{R}_0$; 0), ($R_1$; 1) et ($\vec{R}_2$; 0), avec $\|\vec{R}_0\| = \|\vec{R}_2\|$ définissent un arc d'hyperbole $\mathcal{H}$.

• Cas de la parabole.

Le premier point de contrôle est le sommet, le second est le vecteur tangent au sommet,
le dernier est un vecteur directeur de l'axe focal, figure 3.3;

• Cas de l'ellipse.

Les premier et dernier points de contrôle sont deux sommets du même axe, le point de contrôle intermédiaire est un vecteur directeur de l'autre axe, figure 3.3;

• Cas de l'hyperbole.

Les premier et dernier points de contrôle sont deux vecteurs, de même norme, non coli-
néaires et directeur des asymptotes, le point de contrôle intermédiaire est le centre de la
conique, figure 3.3.
Toute cette partie est une réécriture d'une partie de la thèse de Jean-Paul Bécar [Béc97, BG14] en utilisant notre approche des points massiques.

### 3.4.1 Cas de la parabole

Trivialement, en prenant $\omega_0 = 1$, $RQBC\{(P_0; 1); (P_1; \omega_1); (P_2; \omega_2)\}$ est un arc de parabole si et seulement si nous avons :

$$ \omega_2 = \omega_1^2 $$

c'est-à-dire que la courbe est de la forme $RQBC\{(P_0; 1); (P_1; \omega); (P_2; \omega^2)\}$.

La première étape est de transformer les deuxième et troisième points pondérés en vecteurs : le point de contrôle intermédiaire est un vecteur tangent à la courbe au premier point de contrôle tandis que le dernier point massique de contrôle est un vecteur de la courbe c'est-à-dire un vecteur directeur de l'axe focal. Nous pouvons énoncer :

**Théorème 5 :**

Soit une courbe de Bézier $\gamma$ de points pondérés de contrôle $(P_0; 1)$, $(P_1; \omega)$ et $(P_2; \omega^2)$. Nous devons distinguer deux cas :

1. Si $\omega = 1$.

Soit $h$ définie par :

$$ h: \begin{array}{rcl} \bar{R} & \rightarrow & \bar{R} \\ u & \mapsto & \frac{u}{1-u} \end{array} \qquad (3.11) $$

alors $\gamma \circ h$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(P_0; 1)$, $(\vec{U}_1; 0)$ et $(\vec{U}_2; 0)$ avec :

$$ \left\{ \begin{array}{l} (\vec{U}_1; 0) = (\overrightarrow{P_0P_1}; 0) \\ (\vec{U}_2; 0) = (\overrightarrow{P_1P_0} + \overrightarrow{P_1P_2}; 0) \end{array} \right. \qquad (3.12) $$

et :

$$ \overline{RQBC\{(P_0; 1); (P_1; \omega); (P_2; \omega^2)\}} = \overline{RQBC\{(P_0; 1); (\overrightarrow{P_0P_1}; 0); (\overrightarrow{P_1P_0} + \overrightarrow{P_1P_2}; 0)\}} $$

2. Si $\omega \notin \{0; 1\}$.

Soit $h$ définie par :

$$ h: \begin{array}{rcl} \bar{R} & \rightarrow & \bar{R} \\ u & \mapsto & \frac{u}{1-u} \end{array} \qquad (3.13) $$
alors $\gamma \circ h$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(P_0; 1)$, $(\vec{U}_1; 0)$ et $(\vec{U}_2; 0)$ avec :

$$ \left\{ \begin{array}{l} (\vec{U}_1; 0) = \left( \frac{\omega}{1-\omega} \overrightarrow{P_0P_1}; 0 \right) \\ (\vec{U}_2; 0) = \left( \left( \frac{\omega}{1-\omega} \right)^2 (\overrightarrow{P_1P_0} + \overrightarrow{P_1P_2}) ; 0 \right) \end{array} \right. \qquad (3.14) $$

et :

$$ \overline{RQBC\{(P_0; 1); (P_1; \omega); (P_2; \omega^2)\}} = \overline{RQBC\{(P_0; 1); (\vec{U}_1; 0); (\vec{U}_2; 0)\}} $$

Démonstration :

1. Si $\omega = 1$.

Nous utilisons le théorème 1 avec :

$$ a = 0; \quad b = 1; \quad c = 1; \quad d = 0 $$

$$ (Q_0; \varpi_0) = (P_0; 1) $$

$$ \begin{aligned} (Q_1; \varpi_1) &= -1 \Box (P_0; 1) \oplus 1 \Box (P_1; 1) \\ &= (P_0; -1) \oplus (P_1; 1) \\ &= (\overrightarrow{P_0P_1}; 0) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} (Q_2; \varpi_2) &= 1 \Box (P_0; 1) \oplus -2 \Box (P_1; 1) \oplus 1 \Box (P_2; 1) \\ &= (P_0; 1) \oplus (P_1; -1) \oplus (P_1; -1) \oplus (P_2; 1) \\ &= (\overrightarrow{P_1P_0}; 0) \oplus (\overrightarrow{P_1P_2}; 0) \\ &= (\overrightarrow{P_1P_0} + \overrightarrow{P_1P_2}; 0) \end{aligned} $$

et le calcul est plus simple que celui fait dans le lemme 20 de l'annexe F.

2. Si $\omega \notin \{0; 1\}$.

Nous utilisons le théorème 1 avec :

$$ a = 0; \quad b = \frac{1}{1-\omega}; \quad c = 1; \quad d = 1 $$
$$ (Q_0; \varpi_0) = (P_0; 1) $$

$$
\begin{align*}
(Q_1; \varpi_1) &= \left(1 - \frac{1}{1-\omega}\right) \boxtimes (P_0; 1) \boxplus \frac{1}{1+\omega} \boxtimes (P_1; \omega) \\
&= \frac{-\omega}{1-\omega} \boxtimes (P_0; 1) \boxplus \frac{1}{1-\omega} \boxtimes (P_1; \omega) \\
&= \left(P_0; -\frac{\omega}{1-\omega}\right) \boxplus \left(P_1; \frac{\omega}{1-\omega}\right) \\
&= \left(\frac{\omega}{1-\omega} \overrightarrow{P_0 P_1}; 0\right)
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
(Q_2; \varpi_2) &= \left(\frac{\omega}{1-\omega}\right)^2 \boxtimes (P_0; 1) \boxplus 2 \frac{1}{1-\omega} \left(\frac{-\omega}{1-\omega}\right) \boxtimes (P_1; \omega) \boxplus \left(\frac{1}{1-\omega}\right)^2 \boxtimes (P_2; \omega^2) \\
&= \left(P_0; \left(\frac{\omega}{1-\omega}\right)^2\right) \boxplus \left(P_1; -2\left(\frac{\omega}{1-\omega}\right)^2\right) \boxplus \left(P_2; \left(\frac{\omega}{1-\omega}\right)^2\right) \\
&= \left(P_0; \left(\frac{\omega}{1-\omega}\right)^2\right) \boxplus \left(P_1; -\left(\frac{\omega}{1-\omega}\right)^2\right) \\
&\quad \boxplus \left(P_1; -\left(\frac{\omega}{1-\omega}\right)^2\right) \boxplus \left(P_2; \left(\frac{\omega}{1-\omega}\right)^2\right) \\
&= \left(\left(\frac{\omega}{1-\omega}\right)^2 \left(\overrightarrow{P_1 P_0} + \overrightarrow{P_1 P_2}\right); 0\right)
\end{align*}
$$

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

Les points pondérés de contrôle initiaux $(P_0; 1) = ((0; 6); 1)$, $(P_1; \omega) = ((-13; 0); \omega)$ et $(P_2; \omega^2) = ((-1; -1); \omega^2)$, figure 3.4.

Les figures 3.5, 3.6 et 3.7 illustrent le théorème 5 avec les points pondérés de contrôle de la figure 3.4.

La figure 3.5 illustre le cas $\omega = 1$ et nous obtenons :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \vec{U}_1 (-13; -6) \\ \vec{U}_2 (25; 5) \end{array} \right. $$

La figure 3.6 illustre le cas $\omega = -1$ et nous obtenons :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \vec{U}_1 \left( \frac{13}{2} ; 3 \right) \\ \vec{U}_2 \left( \frac{25}{4} ; \frac{5}{4} \right) \end{array} \right. $$
<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>FIGURE 3.4 – Courbe initiale qui permet d’illustrer les diverses paramétrisations afin d’obtenir la forme « canonique » d’une parabole en utilisant les divers théorèmes de ce paragraphe. Pour $\omega \in \{1; 5\}$, l’arc de courbe est l’arc rouge borné tandis pour $\omega = -1$, l’arc de courbe est l’arc rose non borné.</figcaption></figure>

Notons que pour $t = \frac{1}{2}$, nous avons :

$$ \left(1 - \frac{1}{2}\right)^2 - 2\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 0 $$

ce qui montre que le point massique correspondant est un vecteur directeur de l’axe focal. Notons que ce résultat est un invariant c’est-à-dire que ce résultat est vrai quelles que soient les positions spatiales des points pondérés de contrôle.

La figure 3.7 illustre le cas $\omega = 100$ et nous obtenons :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \vec{U}_1 \left( \frac{1300}{99} ; \frac{200}{33} \right) \\ \\ \vec{U}_2 \left( \frac{250000}{9801} ; \frac{50000}{9801} \right) \end{array} \right. $$

ce qui donne, en valeurs approchées :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \vec{U}_1 \approx (13, 1313; 6.06060606) \\ \\ \vec{U}_2 \approx (25, 50760012; 4.10152025) \end{array} \right. $$

Nous pouvons énoncer :
<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>FIGURE 3.5 – Illustration du théorème 5 lorsque nous avons la condition $\omega = 1$, l’axe de la parabole est en pointillé.</figcaption></figure>

**Théorème 6 :**

Soit une courbe de Bézier $\gamma$ de points massiques de contrôle $(P_0; 1)$, $(\vec{U}_1; 0)$ et $(\vec{U}_2; 0)$ telle que :

$$ \vec{U}_1 \bullet \vec{U}_2 \neq 0 $$

Soit $r$ le réel défini par :

$$ r = \frac{1}{\|\vec{U}_2\|^2} \vec{U}_1 \bullet \vec{U}_2 \qquad (3.15) $$

Soit $h$ définie par :

$$ h: \begin{array}{rcl} \bar{\mathbb{R}} & \to & \bar{\mathbb{R}} \\ u & \mapsto & \frac{r u}{(1-u) + r u} \end{array} \qquad (3.16) $$

alors $\gamma \circ h$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(P_0; 1)$, $(\vec{V}_1; 0)$ et $(\vec{V}_2; 0)$ avec :

$$ \left\{ \begin{array}{l} (\vec{V}_1; 0) = (r \vec{U}_1; 0) \\ (\vec{V}_2; 0) = (r^2 \vec{U}_2; 0) \end{array} \right. \qquad (3.17) $$

Alors :

$$ \overline{\text{RQBC} \{(P_0; 1); (\vec{U}_1; 0); (\vec{U}_2; 0)\}} = \overline{\text{RQBC} \{(P_0; 1); (\vec{V}_1; 0); (\vec{V}_2; 0)\}} $$
<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>FIGURE 3.6 – Illustration du théorème 5 lorsque nous avons la condition $\omega = -1$, l'axe de la parabole est en pointillé.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>FIGURE 3.7 – Illustration du théorème 5 lorsque nous avons la condition $\omega = 100$, l'axe de la parabole est en pointillé.</figcaption></figure>
Démonstration :

Nous utilisons le corollaire 1 avec :

$b = r, \ c = 1,$

d'où :

$$ (Q_0; \varpi_0) = (P_0; 1) \quad (Q_1; \varpi_1) = (\vec{V}_1; 0) = (r \vec{U}_1; 0) \quad (Q_2; \varpi_2) = (\vec{V}_2; 0) = (r^2 \vec{U}_2; 0) $$

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

Dans la suite, nous n'illustrons que le cas correspondant à la figure 3.5. La figure 3.8 illustre le théorème 6 à partir de $(P_0; 1) = ((0; 6); 1)$, $(P_1; 1) = ((-13; 0); 1)$ et $(P_2; 1) = ((-1; -1); 1)$ et du théorème 5.

<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>FIGURE 3.8 – Illustration du théorème 6 lorsque nous avons la condition $\omega = 1$.</figcaption></figure>

Nous avons :

$$ r = \frac{-71}{130} \approx -0,546 $$

d'où :

$$ \begin{cases} \vec{V}_1 \approx (7, 1; 3, 277) \\ \vec{V}_2 \approx (7, 457; 1, 491) \end{cases} $$

Concernant la dernière étape, nous pouvons énoncer :

**Théorème 7 :**

Soit une courbe de Bézier $\gamma$ de points massiques de contrôle $(P_0; 1)$, $(\vec{V}_1; 0)$ et $(\vec{V}_2; 0)$ telle que :

$$ \vec{V}_1 \bullet \vec{V}_2 \neq 0 $$
Soit $h$ définie par :

$$ 
\begin{aligned}
h: \quad & \overline{\mathbb{R}} \longrightarrow \overline{\mathbb{R}} \\
u \longmapsto & \frac{-(1-u)+u}{u}
\end{aligned} 
\qquad (3.18) $$

alors $\gamma \circ h$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(Q_0; 1)$, $(\overrightarrow{W_1}; 0)$ et $(\overrightarrow{V_2}; 0)$ avec :

$$ 
\left\{ 
\begin{aligned}
(Q_0; 1) &= (\mathcal{T}_{\overrightarrow{V_2}-2\overrightarrow{V_1}}(P_0); 1) \\
(\overrightarrow{W_1}; 0) &= (\overrightarrow{V_1} - \overrightarrow{V_2}; 0)
\end{aligned} 
\right. 
\qquad (3.19) $$

Alors :

$$ \overline{\mathrm{RQBC} \{(P_0; 1); (\overrightarrow{V_1}; 0); (\overrightarrow{V_2}; 0)\}} = \overline{\mathrm{RQBC} \{(Q_0; 1); (\overrightarrow{W_1}; 0); (\overrightarrow{V_2}; 0)\}} $$

Démonstration :

Nous utilisons le théorème 1 avec :

$$ a = -1, \quad b = 1, \quad c = 0, \quad d = 1 $$

$$ 
\begin{align*}
(Q_0; \varpi_0) &= 1 \boxdot (P_0; 1) \boxplus -2 \boxdot (\overrightarrow{V_1}; 0) \boxplus 1 \boxdot (\overrightarrow{V_2}; 0) \\
&= (P_0; 1) \boxplus (-2 \overrightarrow{V_1}; 0) \boxplus (\overrightarrow{V_2}; 0) \\
&= (P_0; 1) \boxplus (\overrightarrow{V_2} - 2 \overrightarrow{V_1}; 0) \\
&= (\mathcal{T}_{\overrightarrow{V_2}-2\overrightarrow{V_1}}(P_0); 1)
\end{align*} $$

$$ (Q_1; \varpi_1) = 1 \boxdot (\overrightarrow{V_1}; 0) \boxplus -1 \boxdot (\overrightarrow{V_2}; 0) = (\overrightarrow{V_1} - \overrightarrow{V_2}; 0) $$

$$ (Q_2; \varpi_2) = 1 \boxdot (\overrightarrow{V_2}; 0) = (\overrightarrow{V_2}; 0) $$

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

Nous pouvons remarquer :

**Proposition 3** :

Soit $\omega \in \mathbb{R}^*$.

Soit les courbes $\mathrm{RQBC} \{(P_0; 1); (P_1; \omega); (P_2; \omega^2)\}$ et $\mathrm{RQBC} \{(Q_0; 1); (\overrightarrow{W_1}; 0); (\overrightarrow{V_2}; 0)\}$, cette dernière courbe étant obtenue en utilisant les théorèmes 5, 6 puis 7.

Alors, nous avons :

$$ \overrightarrow{W_1} \bullet \overrightarrow{V_2} = 0 \qquad (3.20) $$
Démonstration :

$$
\begin{align*}
\overrightarrow{W_1} \cdot \overrightarrow{V_2} &= (\overrightarrow{V_1} - \overrightarrow{V_2}) \cdot \overrightarrow{V_2} = \overrightarrow{V_1} \cdot \overrightarrow{V_2} - \overrightarrow{V_2}^2 = r^3 \overrightarrow{U_1} \cdot \overrightarrow{U_2} - r^4 \overrightarrow{U_2}^2 \\
&= \left( \frac{1}{\|\overrightarrow{U_2}\|^2} \overrightarrow{U_1} \cdot \overrightarrow{U_2} \right)^3 \left( \overrightarrow{U_1} \cdot \overrightarrow{U_2} - \frac{1}{\|\overrightarrow{U_2}\|^2} (\overrightarrow{U_1} \cdot \overrightarrow{U_2}) \overrightarrow{U_2}^2 \right) \text{ (cf. formule (3.15))} \\
&= 0
\end{align*}
$$

<figure><img src="image_29.png" /></figure>

Nous pouvons énoncer :

**Théorème 8 :**

Soit $\omega \in \mathbb{R}^*$. Soit la courbe $\mathcal{R}QBC \{(P_0; 1); (P_1; \omega); (P_2; \omega^2)\}$.

Soit la courbe $\mathcal{R}QBC \{(Q_0; 1); (\overrightarrow{W_1}; 0); (\overrightarrow{V_2}; 0)\}$ obtenue en utilisant les théorèmes 5, 6 puis 7.

Alors, $\overline{\mathcal{R}QBC \{(P_0; 1); (P_1; \omega); (P_2; \omega^2)\}}$ est la parabole $\mathcal{P}$ :

$$
\star \text{ de sommet } Q_0,
$$

$$
\star \text{ de foyer } F \left( 0; \frac{\| \overrightarrow{W_1} \|^2}{\| \overrightarrow{V_2} \|} \right) \text{ dans le repère orthonormal } \left( Q_0; \frac{1}{\| \overrightarrow{W_1} \|} \overrightarrow{W_1}; \frac{1}{\| \overrightarrow{V_2} \|} \overrightarrow{V_2} \right),
$$

$$
\star \text{ d'axe focal } \Delta = (Q_0; \vec{V}_2), \text{ qui est un axe de symétrie de } \mathcal{P},
$$

$$
\star \text{ de tangente } \Delta' = (Q_0; \vec{W}_1) \text{ en } Q_0,
$$

$$
\star \text{ d'équation :}
$$

$$
X^2 = \frac{4 \left\| \overrightarrow{W_1} \right\|^2}{\left\| \overrightarrow{V_2} \right\|} \qquad Y = 2 p Y, \quad \text{où} \quad p = \frac{2 \left\| \overrightarrow{W_1} \right\|^2}{\left\| \overrightarrow{V_2} \right\|}
$$

$$
\text{dans le repère orthonormal } \left( Q_0; \frac{1}{\|\overrightarrow{W_1}\|} \overrightarrow{W_1}; \frac{1}{\|\overrightarrow{V_2}\|} \overrightarrow{V_2} \right);
$$

$$
\star \text{ de directrice } \mathcal{D} : Y = - \frac{\| \overrightarrow{W_1} \|^2}{\| \overrightarrow{V_2} \|} \text{ dans le repère orthonormal } \left( Q_0; \frac{1}{\| \overrightarrow{W_1} \|} \overrightarrow{W_1}; \frac{1}{\| \overrightarrow{V_2} \|} \overrightarrow{V_2} \right).
$$

Démonstration :
L'expression de $RQBC\{(Q_0; 1); (\overrightarrow{W_1}; 0); (\overrightarrow{V_2}; 0)\}$ est :

$$ \overrightarrow{Q_0 M(t)} = \frac{1}{B_0(t)} (B_1(t) \overrightarrow{W_1} + B_2(t) \overrightarrow{V_2}), \quad t \neq 1 \quad (3.21) $$

d'où :

$$ \overrightarrow{Q_0 M(0)} = \vec{0} $$

et :

$$ \begin{align} \frac{d}{dt} \overrightarrow{Q_0 M(0)} &= \frac{-B_0'(0)}{B_0^2(0)} (B_1(0) \overrightarrow{W_1} + B_2(0) \overrightarrow{V_2}) \nonumber \\ &\quad + \frac{1}{B_0(0)} (B_1'(0) \overrightarrow{W_1} + B_2'(0) \overrightarrow{V_2}) \tag{3.22} \\ &= 2 \overrightarrow{W_1} \nonumber \end{align} $$

ce qui prouve que le vecteur tangent à P en $Q_0$ est colinéaire à $\overrightarrow{W_1}$. A partir de la formule (3.21), nous avons :

$$ \begin{align*} \overrightarrow{Q_0 M(t)} &= \frac{1}{(1-t)^2} \left( 2t(1-t)\overrightarrow{W_1} + t^2\overrightarrow{V_2} \right) \\ &= 2 \frac{t}{1-t} \overrightarrow{W_1} + \left( \frac{t}{1-t} \right)^2 \overrightarrow{V_2} \quad \text{d'où :} \end{align*} $$

$$ \overrightarrow{Q_0 M(u)} = 2 \left\| \overrightarrow{W_1} \right\| u \frac{1}{\left\| \overrightarrow{W_1} \right\|} \overrightarrow{W_1} + \left\| \overrightarrow{V_2} \right\| u^2 \frac{1}{\left\| \overrightarrow{V_2} \right\|} \overrightarrow{V_2} \quad (\text{en posant } u = \frac{t}{1-t}) $$

et l'équation de P, dans le repère orthonormal $\left( Q_0; \frac{1}{\left\| \overrightarrow{W_1} \right\|} \overrightarrow{W_1}; \frac{1}{\left\| \overrightarrow{V_2} \right\|} \overrightarrow{V_2} \right)$ est :

$$ X^2 = \frac{4 \left\| \overrightarrow{W_1} \right\|^2}{\left\| \overrightarrow{V_2} \right\|} \quad Y = 2 p Y $$

avec :

$$ p = \frac{2 \left\| \overrightarrow{W_1} \right\|^2}{\left\| \overrightarrow{V_2} \right\|} $$

Le sommet est $Q_0$. Puisque les vecteurs $\overrightarrow{W_1}$ et $\overrightarrow{V_2}$ sont orthogonaux, l'axe focal est $\Delta = (Q_0; \overrightarrow{V_2})$.

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

La figure 3.9 montre deux arcs d'une parabole modélisés à l'aide de deux CBRQs de points pondérés de contrôle ($P_0$; 1), ($P_1$; 1) et ($P_2$; 1) d'une part et ($Q_0$; 1), ($\overrightarrow{W_1}$; 0) et ($\overrightarrow{V_2}$; 0) d'autre part. Cette dernière nous permet de déterminer les paramètres de la parabole en utilisant le théorème 8.
<figure><img src="image_31.png" /></figure>

<table><tr><td>(P<sub>0</sub>; ω<sub>0</sub>) = ((<sup>0</sup>&frasl;<sub>6</sub>); 1)</td><td>(P<sub>1</sub>; ω<sub>1</sub>) = ((<sup>-13</sup>&frasl;<sub>0</sub>); 1)</td><td>(P<sub>2</sub>; ω<sub>2</sub>) = ((<sup>-1</sup>&frasl;<sub>-1</sub>); 1)</td></tr><tr><td>(Q<sub>0</sub>; ϖ<sub>0</sub>) = ((<sup>-6, 74</sup>&frasl;<sub>0, 94</sub>); 1)</td><td>(<span style="text-decoration: overline">W&#x20D7;<sub>1</sub></span>; 0) = ((<sup>-0, 36</sup>&frasl;<sub>1, 79</sub>); 0)</td><td>(<span style="text-decoration: overline">V&#x20D7;<sub>2</sub></span>; 0) = ((<sup>7, 46</sup>&frasl;<sub>1; 48</sub>); 0)</td></tr><tr><td><span style="text-decoration: overline">V&#x20D7;<sub>2</sub></span> • <span style="text-decoration: overline">W&#x20D7;<sub>1</sub></span> = 1, 15 × 10<sup>-14</sup></td><td>p ≃ 0, 87</td><td>F ≃ (<sup>-6, 31</sup>&frasl;<sub>1, 02</sub>)</td></tr></table>

FIGURE 3.9 – Deux arcs d'une parabole modélisés à l'aide de deux CBRQs de points massiques de contrôle (P₀; 1), (P₁; 1) et (P₂; 1) d'une part et (Q₀; 1), (W̃₁; 0) et (Ṽ₂; 0) d'autre part.

### 3.4.2 Cas de l'ellipse

Les poids vérifient la condition : $ω_1^2 - ω_2 ω_0 < 0$. Sans perte de généralités, nous nous plaçons dans le cas $ω_0 = 1$ et $ω_2 > 0$ et nous avons le lemme suivant :

**Lemme 2 :**

Soit une courbe de Bézier $\gamma$ de points pondérés de contrôle (P₀; ω₀), (P₁; ω₁) et (P₂; ω₂) avec $ω₁ ≤ 0$.

Soit $h$ définie par :

$$h: \begin{array}{rcl} \overline{R} & \rightarrow & \overline{R} \\ u & \mapsto & \frac{u}{-(1-u)+u} \end{array} \qquad (3.23)$$

et nous devons distinguer deux cas.
* si $\omega_1 < 0$, alors $\gamma \circ h$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(P_0; 1)$, $(P_1; -\omega_1)$ et $(P_2; \omega_2)$ et :

$$ \overline{RQBC\{(P_0; 1); (P_1; \omega_1); (P_2; \omega_2)\}} = \overline{RQBC\{(P_0; 1); (P_1; -\omega_1); (P_2; \omega_2)\}} $$

* si $\omega_1 = 0$, alors $\gamma \circ h$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(P_0; 1)$, $(-\vec{P}_1; 0)$ et $(P_2; \omega_2)$ et :

$$ \overline{RQBC\{(P_0; 1); (\vec{P}_1; 0); (P_2; \omega_2)\}} = \overline{RQBC\{(P_0; 1); (-\vec{P}_1; 0); (P_2; \omega_2)\}} $$

**Démonstration :**

Nous utilisons le corollaire 1 avec :

$$ b = 1, \quad c = -1 $$

$$ (Q_0; \varpi_0) = (P_0; 1) $$

$$ \omega_1 < 0 \implies (Q_1; \varpi_1) = -1 \Box (P_1; \omega_1) = (P_1; -\omega_1) $$

$$ \omega_1 = 0 \implies (\vec{Q}_1; 0) = -1 \Box (\vec{P}_1; 0) = (-\vec{P}_1; 0) $$

$$ (Q_2; \varpi_2) = (P_2; \omega_2) $$

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

La première étape consiste à transformer le second point pondéré de contrôle en un vecteur tangent aux deux autres points de contrôle puisque, après cette étape, les premier et dernier points pondérés de contrôle sont symétriques par rapport au centre de l'ellipse. Nous pouvons énoncer :

**Théorème 9 :**

Soit une courbe de Bézier $\gamma$ de points pondérés de contrôle $(P_0; 1)$, $(P_1; \omega_1)$ et $(P_2; \omega_2)$ avec $\omega_1 > 0$.

Soit $r$ le réel défini par :

$$ r = -\frac{1}{\omega_1} $$

Soit $h$ définie par :

$$ h: \begin{array}{rcl} \mathbb{R} & \to & \mathbb{R} \\ u & \mapsto & \frac{r u}{(1-u) + (1+r) u} \end{array} \qquad (3.24) $$

alors $\gamma \circ h$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(P_0; 1)$, $(\vec{U}_1; 0)$ et $(P_3; \varpi_3)$ avec :
$$
\left\{
\begin{array}{l}
(\vec{U}_1; 0) = (\overrightarrow{P_1P_0}; 0) \\
(P_3; \varpi_3) = (\mathrm{bar}\{(P_0; 1); (P_1; -2)\} (P_2; \frac{\omega_2}{\omega_1^2}) ; -1 + \frac{\omega_2}{\omega_1^2})
\end{array}
\right.
\qquad (3.25)
$$

Alors :

$$
\overline{RQBC\{(P_0; 1); (P_1; \omega_1); (P_2; \omega_2)\}} = \overline{RQBC\{(P_0; 1); (\overrightarrow{U_1}; 0); (P_3; \varpi_3)\}}
$$

Démonstration : Nous utilisons le théorème 1 avec :

$a = 0, \ b = r, \ c = 1, \ d = 1 + r$

$$
(Q_0; \varpi_0) = (P_0; \omega_0)
$$

$$
(Q_1; \varpi_1) = (P_0; 1) \boxplus r \boxminus (P_1; \omega_1) = (P_0; 1) \boxplus (P_1; -1) = (\overrightarrow{P_1P_0}; 0)
$$

$$
(Q_2; \varpi_2) = 1 \boxtimes (P_0; 1) \boxplus 2 r \boxtimes (P_1; \omega_1) \boxplus r^2 \boxtimes (P_2; \omega_2)
$$

$$
= (P_0; 1) \boxplus (P_1; -2) \boxplus \left( P_2; \frac{\omega_2}{\omega_1^2} \right)
$$

$$
= \left( \mathrm{bar} \left\{ (P_0; 1); (P_1; -2) (P_2; r^2 \omega_2) \right\} ; -1 + \frac{\omega_2}{\omega_1^2} \right)
$$

La figure 3.10 illustre le théorème 9 avec (P₀; 1) = ((0; 6); 1), (P₁; 1) = ((-13; 0); ½) et (P₂; 1) = ((-1; -1); 1). Nous obtenons $\vec{U}_1$ (13; 6) et $P_3$ (22/3; 2/3).

Nous pouvons énoncer :

**Théorème 10 :**

Soit une courbe de Bézier $\gamma$ de points pondérés de contrôle $(P_0; 1)$, $(\vec{U}_1; 0)$ et $(P_3; \omega_3)$ avec $\omega_3 > 0$.

Soit $h$ définie par :

$$
\[
h: \quad \bar{\mathbb{R}} \longrightarrow \bar{\mathbb{R}}
\]
\[
u \longmapsto \frac{u}{-\sqrt{\omega_3}(1-u) + u} \tag{3.26}
\]
$$

alors $\gamma \circ h$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(P_0; 1)$, $(\vec{V}_1; 0)$ et $(P_3; 1)$ avec :

$$
\vec{V}_1 = -\frac{1}{\sqrt{\omega_3}} \vec{U}_1 \qquad (3.27)
$$
<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>FIGURE 3.10 – Illustration du théorème 9.</figcaption></figure>

Alors :

$$ \overline{RQBC\{(P_0; \omega_0); (P_1; \omega_1); (P_2; \omega_2)\}} = \overline{RQBC\{(P_0; 1); (\vec{V}_1; 0); (P_3; 1)\}} $$

Démonstration :

Nous utilisons le corollaire 1 avec :

$$ b = 1, \quad c = -\sqrt{\omega_3} $$

$$ (Q_0; \varpi_0) = \omega_3 \Box (P_0; 1) = (P_0; \omega_3) $$

$$ (Q_1; \varpi_1) = -\sqrt{\omega_3} \Box (\vec{U}_1; 0) = (-\sqrt{\omega_3} \vec{U}_1; 0) $$

$$ (Q_2; \varpi_2) = (P_3; \omega_3) $$

Ainsi, $\gamma \circ h$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(P_0; \omega_3)$, $(-\sqrt{\omega_3} \vec{U}_1; 0)$ et $(P_3; \omega_3)$. D'après la formule (2.32), en prenant $\lambda = \frac{1}{\omega_3}$, $\gamma \circ h$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(P_0; 1)$, $(-\frac{1}{\sqrt{\omega_3}} \vec{U}_1; 0)$ et $(P_3; 1)$.

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

La figure 3.11 illustre le théorème 10, avant la normalisation des poids à 1, avec les points de la figure 3.10.
<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>FIGURE 3.11 – Illustration du théorème 10 avant la normalisation des poids à 1.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>FIGURE 3.12 – Illustration du théorème 10 après normalisation des poids à 1.</figcaption></figure>
La figure 3.12 illustre le théorème 10 après normalisation des poids à 1, avec les points de la figure 3.10.

Si nous avons :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{P_0P_3} \cdot \overrightarrow{V_1} = 0 \\ P_0P_3^2 = 4 \overrightarrow{V_1}^2 \end{array} \right. $$

alors la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(P_0; 1)$, $(\overrightarrow{V_1}; 0)$ et $(P_3; 1)$ est un arc de cercle, théorème 4. Dans la suite de ce paragraphe, nous excluons ce cas particulier d'ellipses.

Nous pouvons énoncer :

**Théorème 11 :**

Soit une courbe de Bézier $\gamma$ de points pondérés de contrôle $(P_0; 1)$, $(\overrightarrow{V_1}; 0)$ et $(P_3; 1)$.

Soit $k_1$ et $k_2$ les nombres définis par :

$$ \left\{ \begin{array}{l} k_1 = \overrightarrow{P_0P_3} \cdot \overrightarrow{V_1} \\ k_2 = \overrightarrow{V_1}^2 - \frac{1}{4} P_0 P_3^2 \end{array} \right. \qquad (3.28) $$

Si $k_2 = 0$, nous posons $\theta = \frac{\pi}{8}$, sinon, nous posons :

$$ \theta = \frac{1}{4} \arctan \left( \frac{k_1}{k_2} \right) $$

Soit $P_4 = bar \left\{ (P_0; \cos^2(\theta)); (P_3; \sin^2(\theta)) \right\}$ et $P_5 = bar \left\{ (P_3; \cos^2(\theta)); (P_0; \sin^2(\theta)) \right\}$.

Soit $h$ définie par :

$$ \begin{array}{l} h: \quad \bar{R} \longrightarrow \bar{R} \\ u \longmapsto \frac{\sin(\theta) (1-u) + \cos(\theta) u}{(\cos(\theta) + \sin(\theta)) (1-u) + (\cos(\theta) - \sin(\theta)) u} \end{array} \qquad (3.29) $$

alors $\gamma \circ h$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(Q_0; 1)$, $(\overrightarrow{W_1}; 0)$ et $(Q_2; 1)$ avec :

$$ \left\{ \begin{array}{l} (Q_0; 1) = \left( \mathcal{T}_{\sin(2\theta)} \overrightarrow{V_1} (P_4); 1 \right) \\ (\overrightarrow{W_1}; 0) = \left( \frac{\sin(2\theta)}{2} \overrightarrow{P_0P_3} + \cos(2\theta) \overrightarrow{V_1}; 0 \right) \\ (Q_2; 1) = \left( \mathcal{T}_{-\sin(2\theta)} \overrightarrow{V_1} (P_5); 1 \right) \end{array} \right. \qquad (3.30) $$

Alors :

$$ \overline{RQBC \{(P_0; \omega_0); (P_1; \omega_1); (P_2; \omega_2)\}} = \overline{RQBC \{(Q_0; 1); (\overrightarrow{W_1}; 0); (Q_2; 1)\}} $$
Démonstration :

Nous utilisons le théorème 1 avec :

$$a = \sin(\theta), \quad b = \cos(\theta) \quad c = a + b, \quad d = b - a$$

$$ \begin{align*} (Q_0; \varpi_0) &= \cos^2(\theta) \Box (P_0; 1) \boxplus 2 \sin(\theta) \cos(\theta) \Box (\vec{V}_1; 0) \boxplus \sin^2(\theta) \Box (P_3; 1) \\ &= (P_0; \cos^2(\theta)) \boxplus (P_3; \sin^2(\theta)) \boxplus \sin(2\theta) \Box (\vec{V}_1; 0) \\ &= (P_4; 1) \boxplus (\sin(2\theta) \vec{V}_1; 0) \quad \text{où } P_4 = \operatorname{bar}\{ (P_0; \cos^2(\theta)); (P_3; \sin^2(\theta)) \} \\ &= (\mathcal{T}_{\sin(2\theta)} \vec{V}_1; (P_4); 1) \end{align*} $$

$$ \begin{align*} (Q_1; \varpi_1) &= -\sin(\theta) \cos(\theta) \Box (P_0; 1) \boxplus (b(a+b) - 2ab + a(b-a)) \Box (\vec{V}_1; 0) \\ &\quad \boxplus \sin(\theta) \cos(\theta) \Box (P_3; 1) \\ &= \left(P_0; -\frac{\sin(2\theta)}{2}\right) \boxplus \left(P_3; \frac{\sin(2\theta)}{2}\right) \boxplus (b^2 - a^2) \Box (\vec{V}_1; 0) \\ &= \left(\frac{\sin(2\theta)}{2} \overrightarrow{P_0P_3}; 0\right) \boxplus \left(\cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)\right) \Box (\vec{V}_1; 0) \\ &= \left(\frac{\sin(2\theta)}{2} \overrightarrow{P_0P_3}; 0\right) \boxplus \cos(2\theta) \Box (\vec{V}_1; 0) \\ &= \left(\frac{\sin(2\theta)}{2} \overrightarrow{P_0P_3} + \cos(2\theta) \vec{V}_1; 0\right) \end{align*} $$

$$ \begin{align*} (Q_2; \varpi_2) &= \sin^2(\theta) \Box (P_0; 1) \boxplus -2 \sin(\theta) \cos(\theta) \Box (\vec{V}_1; 0) \boxplus \cos^2(\theta) \Box (P_3; 1) \\ &= (P_0; \sin^2(\theta)) \boxplus (P_3; \cos^2(\theta)) \boxplus -\sin(2\theta) \Box (\vec{V}_1; 0) \\ &= (P_5; 1) \boxplus (-\sin(2\theta) \vec{V}_1; 0) \quad \text{où } P_5 = \operatorname{bar}\{ (P_3; \cos^2(\theta)); (P_0; \sin^2(\theta)) \} \\ &= (\mathcal{T}_{-\sin(2\theta)} \vec{V}_1; (P_5); 1) \end{align*} $$

<figure><img src="image_37.png" /></figure>

Notons que la condition $k_2 = 0$ de la formule (3.28) est équivalente à :

$$\|\vec{V}_1\| = \frac{1}{2} P_0 P_3 = O_0 P_0 = O_0 P_3$$

où $O_0$, milieu du segment $[P_0P_3]$, est le centre de l'ellipse. De plus, si $k_2 = 0$ alors $k_1 \neq 0$ puisque l'ellipse n'est pas un cercle. Enonçons le lemme :
**Lemme 3 :**

Soit la courbe $\mathbb{R}QBC \{(P_0; 1); (P_1; \omega_1); (P_2; \omega_2)\}$.

Considérons la courbe $\mathbb{R}QBC \{(Q_0; 1); (\overrightarrow{W_1}; 0); (Q_2; 1)\}$ obtenue, à partir de la précédente, en utilisant les théorèmes 9, 10 puis 11. Alors nous avons :

$$ \overrightarrow{Q_0Q_2} \bullet \overrightarrow{W_1} = 0 $$

**Démonstration :**

Une démonstration analytique en utilisant un logiciel de calcul formel est triviale.

<figure><img src="image_38.png" /></figure>

Il reste à déterminer les éléments caractéristiques de l'ellipse et nous pouvons énoncer :

**Théorème 12** Eléments caractéristiques de l'ellipse

Soit la courbe $\mathbb{R}QBC \{(P_0; 1); (P_1; \omega_1); (P_2; \omega_2)\}$.

Considérons la courbe $\mathbb{R}QBC \{(Q_0; 1); (\overrightarrow{W_1}; 0); (Q_2; 1)\}$ obtenue, à partir de la précédente, en utilisant les théorèmes 9, 10 puis 11. Alors l'ellipse :

$$ \overline{\mathbb{R}QBC \{(Q_0; 1); (\overrightarrow{W_1}; 0); (Q_2; 1)\}} $$

vérifie les conditions :

$$ \left\{ \begin{array}{lclcl} k_1 & = & \overrightarrow{Q_0Q_2} \bullet \overrightarrow{W_1} & = & 0 \\ k_2 & = & \overrightarrow{W_1}^2 - \frac{1}{4} Q_0 Q_2^2 & \neq & 0 \end{array} \right. $$

Distinguons deux cas :

• $k_2 < 0$. Nous posons :

$$ \vec{i} = \frac{1}{a} \frac{1}{2} \overrightarrow{Q_0Q_2} \text{ avec } a = \left\| \frac{1}{2} \overrightarrow{Q_0Q_2} \right\|, \quad \vec{j} = \frac{1}{b} \overrightarrow{W_1} \text{ avec } b = \left\| \overrightarrow{W_1} \right\| $$

• $k_2 > 0$. Nous posons :

$$ \vec{i} = \frac{1}{a} \overrightarrow{W_1} \text{ avec } a = \left\| \overrightarrow{W_1} \right\|, \quad \vec{j} = \frac{1}{b} \frac{1}{2} \overrightarrow{Q_0Q_2} \text{ avec } b = \left\| \frac{1}{2} \overrightarrow{Q_0Q_2} \right\| $$

Soit $c = \sqrt{a^2 - b^2}$. Toutes les coordonnées sont données dans le repère $(\Omega_0; \vec{i}; \vec{j})$. La CBRQ définit l'ellipse :

★ de centre $\Omega_0$, milieu du segment $[Q_0Q_2]$, et nous avons :

$$ (\Omega_0; 1) = \left(Q_0; \frac{1}{2}\right) \boxplus \left(Q_2; \frac{1}{2}\right) $$

★ d'axe focal $\Delta = (\Omega_0; \vec{i})$,
★ d'axe non focal $\Delta' = (\Omega_0; \vec{j})$

★ de sommets A (a; 0) et A' (-a; 0), situés sur l'axe focal,

★ de sommets B (0; b) et B' (0; -b), situés sur l'axe non focal,

★ de foyers F (c; 0) et F' (-c; 0),

★ de directrices D et D' d'équations respectives $X = \frac{a^2}{c}$ et $X = -\frac{a^2}{c}$,

★ d'excentricité $e = \frac{c}{a}$,

★ dont une équation paramétrique est :

$$ \begin{cases} x(t) = a \cos t \\ y(t) = b \sin t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} \qquad (3.31) $$

Démonstration :

Trivialement, la base $(\vec{i}; \vec{j})$ est orthonormale. De plus, nous avons :

$$ k_2 > 0 \iff \vec{W}_1^2 > \frac{1}{4} Q_0 Q_2^2 \iff \|\vec{W}_1\| > \frac{1}{2} Q_0 Q_2 $$

et dans les deux cas, nous avons $a > b$. Dans le repère $(\Omega; \vec{i}; \vec{j})$ nous avons :

● si $k_2 < 0$, nous avons :

$$ Q_0(-a; 0), \ Q_2(a; 0) \ \text{et} \ \vec{W}_1 = (0; b) $$

d'où :

$$ \begin{gather*} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \frac{1}{1-2t+t^2+t^2} \left( (1-2t+t^2) \begin{pmatrix} -a \\ 0 \end{pmatrix} + 2t(1-t) \begin{pmatrix} 0 \\ b \end{pmatrix} + t^2 \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix} \right) \\ = \frac{1}{1-2t+2t^2} \begin{pmatrix} -a(1-2t) \\ b(2t-2t^2) \end{pmatrix} \quad \text{d'où :} \end{gather*} $$

$$ \begin{pmatrix} x(u) \\ y(u) \end{pmatrix} = \frac{1}{1+u^2} \begin{pmatrix} -a \ 2u \\ b(1-u^2) \end{pmatrix} \quad \text{en posant } t = \frac{1-u}{2}, $$

et nous avons :

$$ \frac{x^2(u)}{a^2} + \frac{y^2(u)}{b^2} = \frac{4u^2 + (1-u^2)^2}{(1+u^2)^2} = \frac{4u^2 + 1 - 2u^2 + u^4}{(1+u^2)^2} = \frac{1 + 2u^2 + u^4}{(1+u^2)^2} = 1 $$

● si $k_2 > 0$, nous avons :

$$ Q_0(0; -b), \ Q_2(0; b) \ \text{et} \ \vec{W}_1 = (a; 0) $$

d'où :
$$
\begin{gather*}
\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \frac{1}{1 - 2t + t^2 + t^4} \left( (1 - 2t + t^2) \begin{pmatrix} 0 \\ -b \end{pmatrix} + 2t(1-t) \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix} + t^2 \begin{pmatrix} 0 \\ b \end{pmatrix} \right) \\
= \frac{1}{1 - 2t + 2t^2} \begin{pmatrix} a(2t - 2t^2) \\ -b(1 - 2t) \end{pmatrix} \text{ d'où} \\
\begin{pmatrix} x(u) \\ y(u) \end{pmatrix} = \frac{1}{1 + u^2} \begin{pmatrix} a(1 - u^2) \\ -b(2u) \end{pmatrix} \text{ en posant } t = \frac{1 - u}{2},
\end{gather*}
$$

et nous avons :

$$
\frac{x^2(u)}{a^2} + \frac{y^2(u)}{b^2} = \frac{(1-u^2)^2 + 4u^2}{(1+u^2)^2} = \frac{1-2u^2+u^4+4u^2}{(1+u^2)^2} = \frac{1+2u^2+u^4}{(1+u^2)^2} = 1
$$

<figure><img src="image_39.png" /></figure>

La figure 3.13 montre deux arcs d'une ellipse modélisés à l'aide de deux CBRQs de points
pondérés de contrôle $(P_0; 1)$, $(P_1; \frac{1}{2})$ et $(P_2; 1)$ d'une part et $(Q_0; 1)$, $(\vec{W}_1; 0)$ et $(Q_2; 1)$ d'autre
part. Cette dernière nous permet de déterminer les paramètres de l'ellipse en utilisant le théo-
rème 12.

**3.4.3 Cas de l'hyperbole**

Nous supposons que $\omega_0 = 1$. Les poids vérifient la condition : $\omega_1^2 - \omega_2 > 0$. Dans un premier temps, cherchons les vecteurs de la courbe de Bézier rationnelle quadratique modélisant un arc d'hyperbole. Nous pouvons énoncer :

Théorème 13 :

Soit une courbe de Bézier $\gamma$ de points pondérés de contrôle $(P_0; 1)$, $(P_1; \omega_1)$ et $(P_2; \omega_2)$. Nous devons distinguer deux cas.

* Si $1 - 2\omega_1 + \omega_2 \neq 0$, l'équation (2.11) est de degré 2 et admet deux racines $t_1$ et $t_2$ définies par :

$$
t_1 = \frac{1 - \omega_1 + \sqrt{\omega_1^2 - \omega_2}}{1 - 2\omega_1 + \omega_2} \quad t_2 = \frac{1 - \omega_1 - \sqrt{\omega_1^2 - \omega_2}}{1 - 2\omega_1 + \omega_2}
$$

Soit $h$ définie par :

$$
\[
h: \quad \begin{array}{r@{\,}c@{\,}l@{\quad}l}
\overline{\mathbb{R}} & \longrightarrow & \overline{\mathbb{R}} & \\
u & \longmapsto & t_1(1-u) + t_2 u &
\end{array}
\tag{3.32}
\]
$$

alors $\gamma \circ h$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(Q_0; \bar{\omega}_0)$, $(Q_1; \bar{\omega}_1)$ et $(Q_2; \bar{\omega}_2)$ avec :
<figure><img src="image_40.png" /></figure>

<table><caption>FIGURE 3.13 – Deux arcs d'une ellipse modélisés à l'aide de deux CBRQs de points massiques de contrôle (P₀; 1), (P₁; ½) et (P₂; 1) d'une part et (Q₀; 1), (<span style="text-decoration: overline">W&#x20d7;</span><sub>1</sub>; 0) et (Q₂; 1) d'autre part. —</caption><tr><td>(P<sub>0</sub>; ω<sub>0</sub>) = ((<sup>0</sup>&frasl;<sub>6</sub>); 1)</td><td>(P<sub>1</sub>; ω<sub>1</sub>) = ((<sup>-13</sup>&frasl;<sub>0</sub>); <sup>1</sup>&frasl;<sub>2</sub>)</td><td>(P<sub>2</sub>; ω<sub>2</sub>) = ((<sup>-1</sup>&frasl;<sub>-1</sub>); 1)</td></tr><tr><td>(Q<sub>0</sub>; ϖ<sub>0</sub>) ≈ ((<sup>4,731</sup>&frasl;<sub>-0,304</sub>); 1)</td><td>(<span style="text-decoration: overline">W&#x20d7;</span><sub>1</sub>; 0) ≈ ((<sup>8,285</sup>&frasl;<sub>2,425</sub>); 0)</td><td>(Q<sub>2</sub>; ϖ<sub>2</sub>) ≈ ((<sup>2,602</sup>&frasl;<sub>6,970</sub>); 1)</td></tr><tr><td><span style="text-decoration: overline">Q<sub>0</sub>Q<sub>2</sub></span> • <span style="text-decoration: overline">W&#x20d7;</span><sub>1</sub> = -3,2 × 10<sup>-14</sup></td><td>θ ≈ 0,163309</td><td>Ω<sub>0</sub> ≈ (3,667; 3,333)</td></tr><tr><td><span style="text-decoration: overline">W&#x20d7;</span><sub>1</sub><sup>2</sup> - <sup>1</sup>&frasl;<sub>4</sub> Q<sub>0</sub>Q<sub>2</sub><sup>2</sup> ≈ 60,16443</td><td>A ≈ (11,952; 5,759)</td><td>A' ≈ (-4,619; 0,908)</td></tr><tr><td>a = ||<span style="text-decoration: overline">W&#x20d7;</span><sub>1</sub>|| ≈ 8,633</td><td>b ≈ 3,790</td><td>||<span style="text-decoration: overline">Q<sub>0</sub>Q<sub>2</sub></span>|| ≈ 7,580</td></tr><tr><td>F' = (<sup>-3,777</sup>&frasl;<sub>1,154</sub>)</td><td></td><td>F = (<sup>11,110</sup>&frasl;<sub>5,513</sub>)</td></tr></table>
$$
\left\{
\begin{array}{l}
(\vec{U}_0; 0) = (B_0(t_1) \overline{\Omega P_0} + \omega_1 B_1(t_1) \overline{\Omega P_1} + \omega_2 B_2(t_1) \overline{\Omega P_2}; 0) \\
\\
(Q_1; \varpi_1) = (\operatorname{bar}\{(P_0; (1-t_1)(1-t_2)); (P_1; \omega_1 t_3); (P_2; t_1 t_2 \omega_2)\}; \alpha_4) \\
\\
(\vec{U}_2; 0) = (B_0(t_2) \overline{\Omega P_0} + \omega_1 B_1(t_2) \overline{\Omega P_1} + \omega_2 B_2(t_2) \overline{\Omega P_2}; 0)
\end{array}
\right.
\qquad (3.33)
$$

où :

$$t_3 = t_2 - 2t_1 t_2 + t_1$$

et :

$$\alpha_4 = \frac{2(\omega_2 - \omega_1^2)}{(1 - 2\omega_1 + \omega_2)}$$

Alors :

$$\overline{\mathrm{RQBC}\{(P_0; \omega_0); (P_1; \omega_1); (P_2; \omega_2)\}} = \overline{\mathrm{RQBC}\{(\vec{U}_0; 0); (Q_1; \varpi_1); (\vec{U}_2; 0)\}}$$

* Si $1 - 2\omega_1 + \omega_2 = 0$, l'équation (2.11) est de degré 1 et admet une racine :

$$t_0 = \frac{1}{2(1 - \omega_1)}$$

Soit $h$ définie par :

$$
\begin{array}{rcl}
h: & \overline{\mathbb{R}} & \to \overline{\mathbb{R}} \\
u & \mapsto & \displaystyle\frac{t_0 (1-u) + u}{(1-u)}
\end{array}
\qquad (3.34)
$$

alors $\gamma \circ h$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(Q_0; \varpi_0)$, $(Q_1; \varpi_1)$ et $(Q_2; \varpi_2)$ avec :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
(\vec{U}_0; 0) = (B_0(t_0) \overline{\Omega P_0} + \omega_1 B_1(t_0) \overline{\Omega P_1} + \omega_2 B_2(t_0) \overline{\Omega P_2}; 0) \\
\\
(Q_1; \varpi_1) = (\operatorname{bar}\{(P_0; t_0 - 1); (P_1; \omega_1 (1 - 2t_0)); (P_2; t_0 \omega_2)\}; \omega_1 - 1) \\
\\
(\vec{U}_2; 0) = (\overline{\Omega P_0} - 2 \omega_1 \overline{\Omega P_1} + \omega_2 \overline{\Omega P_2}; 0)
\end{array}
\right.
\qquad (3.35)
$$

Alors :

$$\overline{\mathrm{RQBC}\{(P_0; \omega_0); (P_1; \omega_1); (P_2; \omega_2)\}} = \overline{\mathrm{RQBC}\{(\vec{U}_0; 0); (Q_1; \varpi_1); (\vec{U}_2; 0)\}}$$

Démonstration :

* Si $1 - 2\omega_1 + \omega_2 \neq 0$

Nous utilisons le théorème 1 avec :

$$a = t_1, \quad b = t_2, \quad c = 1, \quad d = 1$$
$$
\begin{align*}
(Q_0; \bar{\omega}_0) &= (1 - t_1)^2 \sqcap (P_0; 1) \boxplus 2 t_1 (1 - t_1) \sqcap (P_1; \omega_1) \boxplus t_1^2 \sqcap (P_2; \omega_2) \\
&= (P_0; B_0(t_1)) \boxplus (P_1; \omega_1 B_1(t_1)) \boxplus (P_2; \omega_2 B_2(t_1)) \\
&= B_0(t_1) \overrightarrow{\Omega P_0} + \omega_1 B_1(t_1) \overrightarrow{\Omega P_1} + \omega_2 B_2(t_1) \overrightarrow{\Omega P_2} \text{ car } t_1 \text{ est solution de (2.11).}
\end{align*}
$$

Simplifions le calcul de $\bar{\omega}_1$ afin de montrer qu'il n'est pas nul.

$$
\begin{align*}
& (1 - t_1)(1 - t_2) + \omega_1(t_2 - 2t_1t_2 + t_1) + t_1t_2\omega_2 \\
= & 1 - (t_1 + t_2) + t_1t_2 + \omega_1(t_2 - 2t_1t_2 + t_1) + t_1t_2\omega_2 \\
= & 1 - (t_1 + t_2)(1 - \omega_1) + t_1t_2(1 - 2\omega_1 + \omega_2) \\
= & 1 - \frac{-2(\omega_1 - 1)(1 - \omega_1)}{(1 - 2\omega_1 + \omega_2)} + \frac{1}{(1 - 2\omega_1 + \omega_2)}(1 - 2\omega_1 + \omega_2), \quad t_1 \text{ et } t_2 \text{ sont solutions de (2.11)} \\
= & -\frac{2(\omega_1 - 1)^2 - 2(1 - 2\omega_1 + \omega_2)}{(1 - 2\omega_1 + \omega_2)} \\
= & -2\frac{\omega_1^2 - \omega_2}{(1 - 2\omega_1 + \omega_2)} \neq 0.
\end{align*}
$$

Ainsi :

$$
\begin{align*}
(Q_1; \bar{\omega}_1) & \\
& = (1 - t_1)(1 - t_2) \sqcap (P_0; 1) \boxplus (t_2 - 2t_1t_2 + t_1) \sqcap (P_1; \omega_1) \boxplus t_1t_2 \sqcap (P_2; \omega_2) \\
& = (P_0; (1 - t_1)(1 - t_2)) \boxplus (P_1; \omega_1(t_2 - 2t_1t_2 + t_1)) \boxplus (P_2; t_1t_2\omega_2) \\
& = (\operatorname{bar}\{(P_0; (1 - t_1)(1 - t_2)); (P_1; \omega_1(t_2 - 2t_1t_2 + t_1)); (P_2; t_1t_2\omega_2)\}; \bar{\omega}_1)
\end{align*}
$$

avec :

$$
\bar{\omega}_1 = -2 \frac{\omega_1^2 - \omega_2}{(1 - 2\omega_1 + \omega_2)}
$$

et :

$$
\begin{align*}
(Q_2; \bar{\omega}_2) & \\
&= (1 - t_2)^2 \sqcap (P_0; 1) \boxplus 2 t_2 (1 - t_2) \sqcap (P_1; \omega_1) \boxplus t_2^2 \sqcap (P_2; \omega_2) \\
&= (P_0; B_0(t_2)) \boxplus (P_1; \omega_1 B_1(t_2)) \boxplus (P_2; \omega_2 B_2(t_2)) \\
&= B_0(t_2) \overrightarrow{\Omega P_0} + \omega_1 B_1(t_2) \overrightarrow{\Omega P_1} + \omega_2 B_2(t_2) \overrightarrow{\Omega P_2} \text{ car } t_2 \text{ est racine de l'équation (2.11).}
\end{align*}
$$

$$
\bullet \text{ Si } 1 - 2\omega_1 + \omega_2 = 0
$$

$$
\text{Si } \omega_1 = 1 \text{ alors } \omega_2 = 1 \text{ et } \omega_1^2 - \omega_2 = 1 - 1 \not\asymp 0 \text{ d'où}
$$

$1 - \omega_1 \neq 0$

Nous utilisons le théorème 1 avec :

$a = t_0, \quad b = 1, \quad c = 1, \quad d = 0$
$$
\begin{align*}
(Q_0; \bar{\varpi}_0) &= (1 - t_0)^2 \Box (P_0; 1) \boxplus 2 t_0 (1 - t_0) \Box (P_1; \omega_1) \boxplus t_0^2 \Box (P_2; \omega_2) \\
&= (P_0; B_0(t_0)) \boxplus (P_1; \omega_1 B_1(t_0)) \boxplus (P_2; \omega_2 B_2(t_0)) \\
&= B_0(t_0) \overrightarrow{\Omega P_0} + \omega_1 B_1(t_0) \overrightarrow{\Omega P_1} + \omega_2 B_2(t_0) \overrightarrow{\Omega P_2}, \quad t_0 \text{ est racine de l'équation (2.11).}
\end{align*}
$$

Remarquons que nous avons :

$$
t_0 - 1 + \omega_1 (1 - 2 t_0) + \omega_2 t_0 = \omega_1 - 1 + \frac{1}{2(1-\omega_1)} \left( \underbrace{1 - 2\omega_1 + \omega_2}_{=0} \right) = \omega_1 - 1 \neq 0
$$

$$
\begin{align*}
(Q_1; \bar{\varpi}_1) &= -(1-t_0) \Box (P_0; 1) \boxplus (1-2t_0) \Box (P_1; \omega_1) \boxplus t_0 \Box (P_2; \omega_2) \\
&= (P_0; t_0 - 1) \boxplus (P_1; \omega_1 (1-2t_0)) \boxplus (P_2; \omega_2 t_0) \\
&= (\operatorname{bar}\{(P_0; t_0 - 1); (P_1; \omega_1 (1-2t)); (P_2; t_0 \omega_2)\}; \omega_1 - 1)
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
(Q_2; \bar{\varpi}_2) &= (P_0; 1) \boxplus -2(P_1; \omega_1) \boxplus (P_2; \omega_2) \\
&= (P_0; 1) \boxplus (P_1; -2\omega_1) \boxplus (P_2; \omega_2) \\
&= \overrightarrow{\Omega P_0} - 2\omega_1 \overrightarrow{\Omega P_1} + \omega_2 \overrightarrow{\Omega P_2} \quad \text{car } 1 - 2\omega_1 + \omega_2 = 0.
\end{align*}
$$

<figure><img src="image_41.png" /></figure>

Dans le premier cas, les deux vecteurs sont directement déterminés par le fait que le dénominateur admet deux racines réelles distinctes. Dans le second cas, le dénominateur est de degré 1, nous obtenons un vecteur en résolvant une équation du premier degré. Le second vecteur est calculé en utilisant le fait que le coefficient du monôme du second degré est nul.

La figure 3.14 illustre le premier cas du théorème 13 avec $(P_0; 1) = ((\sqrt{2}; 1); 1)$, $(P_1; \omega_1)$ et $(P_2; 1) = ((2; -\sqrt{3}); 1)$ avec :

$$
(P_1; \omega_1) = \left( \left( \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} & (3 + \sqrt{3}) \\ 1 + (1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{2}) & \end{pmatrix} \right) ; \frac{\sqrt{2\sqrt{3} + 4\sqrt{2} + 2}}{2} \right)
$$

c'est-à-dire :

$$
(P_1; \omega_1) \approx \left( \left( \begin{pmatrix} 0,614 \\ -0,132 \end{pmatrix} \right) ; 1,667 \right)
$$

Nous obtenons :

$$
(t_1; t_2) \approx (-0,500; 1,500)
$$

d'où :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
(\vec{U}_0; 0) \approx ((2, 145; 2, 145); 0) \\
(Q_1; \bar{\varpi}_1) \approx ((0, 000; 0, 000); 2, 667) \\
(\vec{U}_2; 0) \approx ((3, 316; -3, 316); 0)
\end{array}
\right.
$$
<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>FIGURE 3.14 – Illustration du premier cas du théorème 13.</figcaption></figure>

La figure 3.15 illustre le second cas du théorème 13 en modifiant seulement le poids intermédiaire, par rapport à la figure 3.14. Ainsi, nous choisisons :

$$\omega_2 = 2 + \sqrt{3} + 2\sqrt{2} + \sqrt{6} \approx 9,010$$

ce qui conduit à :

$$\omega_1 \approx 5,005$$

Nous obtenons :

$$t_0 \approx -0,125$$
d'où :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
(\vec{U}_0; 0) \approx ((1, 207; 1, 207); 0) \\
(Q_1; \varpi_1) \approx ((0, 000; 0, 000); 4, 005) \\
(\vec{U}_2; 0) \approx ((13, 288; -13, 288); 0)
\end{array}
\right.
$$

Concernant l'étape suivante, nous allons effectuer un changement homographique afin que le
point de contrôle intermédiaire ait un poids de 1.

<figure><img src="image_43.png" /><figcaption>FIGURE 3.15 – Illustration du second cas du théorème 13.</figcaption></figure>

Nous pouvons énoncer :

**Théorème 14 :**

Soit une courbe de Bézier $\gamma$ de points massiques de contrôle $(\vec{U}_0; 0)$, $(Q_1; \varpi_1)$ et $(\vec{U}_2; 0)$
avec $\varpi_1 \neq 0$. Posons :
$$
\left\{
\begin{array}{l}
(\vec{V}_0; 0) = \left( \frac{1}{\omega_1} \vec{U}_0; 0 \right) \\
(\vec{V}_2; 0) = \left( \frac{1}{\omega_1} \vec{U}_2; 0 \right)
\end{array}
\right.
\qquad (3.36)
$$

Alors :

$$
\overline{RQBC \{ (\vec{U}_0; 0); (Q_1; \varpi_1); (\vec{U}_2; 0) \}} = \overline{RQBC \{ (\vec{V}_0; 0); (Q_1; 1); (\vec{V}_2; 0) \}}
$$

Démonstration :

Il suffit d'appliquer la formule (2.32) du lemme 1 aux résultats obtenus dans le théorème 13.

<figure><img src="image_44.png" /></figure>

La figure 3.16 (resp. 3.17) illustre le premier (resp. second) cas du théorème 14 à partir de
l'exemple de la figure 3.14 (resp. 3.15).

<figure><img src="image_45.png" /><figcaption>FIGURE 3.16 – Illustration de la suite du premier cas du théorème 14 à partir de l'exemple de la figure 3.14.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>FIGURE 3.17 – Illustration de la suite du second cas du théorème 14 à partir de l'exemple de la figure 3.15.</figcaption></figure>
Nous pouvons énoncer :

**Théorème 15 :**

Soit une courbe de Bézier $\gamma$ de points pondérés de contrôle $(\vec{V}_0; 0)$, $(Q_1; 1)$ et $(\vec{V}_2; 0)$.

Soit $r$ défini par :

$$r = \sqrt[4]{\frac{\|\vec{V}_0\|}{\|\vec{V}_2\|}}$$

Soit $h$ définie par :

$$h: \begin{array}{rcl} \bar{R} & \rightarrow & \bar{R} \\ u & \mapsto & \frac{ru}{\frac{1}{r}(1-u)+ru} \end{array} \qquad (3.37)$$

alors $\gamma \circ h$ est la courbe de Bézier de points massiques de contrôle $(Q_0; \bar{\varpi}_0)$, $(Q_1; 1)$ et $(Q_2; \bar{\varpi}_2)$ avec :

$$\left\{ \begin{array}{l} (Q_0; \bar{\varpi}_0) = (\vec{W}_0; 0) \quad = \quad \left( \sqrt{\frac{\|\vec{V}_2\|}{\|\vec{V}_0\|}} \quad \vec{V}_0; 0 \right) \\ \\ (Q_2; \bar{\varpi}_0) = (\vec{W}_2; 0) \quad = \quad \left( \sqrt{\frac{\|\vec{V}_0\|}{\|\vec{V}_2\|}} \quad \vec{V}_2; 0 \right) \end{array} \right. \qquad (3.38)$$

Alors :

$$\overline{RQBC \{ (\vec{V}_0; 0); (Q_1; 1); (\vec{V}_2; 0) \}} = \overline{RQBC \{ (\vec{W}_0; 0); (Q_1; 1); (\vec{W}_2; 0) \}}$$

et :

$$\|\vec{W}_0\| = \|\vec{W}_2\| \qquad (3.39)$$

Démonstration :

Nous utilisons le corollaire 1 avec :

$$b = r, \quad c = \frac{1}{r}$$

$$(Q_0; \bar{\varpi}_0) = (\vec{W}_0; 0) = \frac{1}{r^2} \Box (\vec{V}_0; 0) = \left( \sqrt{\frac{\|\vec{V}_2\|}{\|\vec{V}_0\|}} \quad \vec{V}_0; 0 \right)$$