# Sur les distributions de probabilité de Laurent Schwartz et quelques unes de leurs applications au calcul des probabilités

R. Féron

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R. Féron. Sur les distributions de probabilité de Laurent Schwartz et quelques unes de leurs applications au calcul des probabilités. Annales de l'ISUP, 1956, V (1), pp.13-27. hal-04095302

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# SUR LES DISTRIBUTIONS DE PROBABILITÉ DE LAURENT SCHWARTZ

ET QUELQUES UNES DE LEURS APPLICATIONS AU CALCUL DES PROBABILITÉS

par

R. FÉRON

SOMMAIRE : La distribution de probabilité de Laurent Schwartz est une sorte de densité de probabilité généralisée.

On démontre en effet que la dérivée d'une fonction de répartition (prise au sens des distributions) est une distribution de probabilité au sens de Laurent Schwartz et que réciproquement toute distribution de probabilité est la dérivée d'une certaine fonction de répartition. De sorte que la définition de la probabilité de Schwartz est complètement identique à la définition classique de la probabilité comme fonction complètement additive d'ensembles.

Nous verrons toutefois dans le cours de ce travail qu'il est plus simple et plus intuitif pour la démonstration de certains théorèmes d'adopter la définition de Schwartz plutôt que la définition classique. On voit en effet mieux ce qui se passe en raisonnant sur les distributions plutôt que sur les fonctions de répartition.

Ce théorème permet notamment d'étudier les couples aléatoires ayant des distributions marginales données. Certains d'entre eux sont définis par des distributions ayant leur support tout entier contenu sur des courbes que l'on définit d'une manière précise.

## PLAN DU TRAVAIL

1. Définitions fondamentales

2. Exemples

3. Généralisation à l'espace à n dimensions

4. Dérivées d'une Distribution

5. Application à l'étude des couples aléatoires dont les distributions marginales sont connues

6. Application au problème de Bertaut.
# 1. - DÉFINITIONS FONDAMENTALES

Laurent Schwartz (¹) a caractérisé toute variable aléatoire X au moyen d'une certaine distribution particulière notée T ou Tₓ et appelée par lui sa distribution de probabilité. Aussi après avoir rappelé brièvement la définition des distributions de Laurent Schwartz indiquerons-nous en détail les conditions que doit vérifier une distribution pour lui conférer la qualité de distribution de probabilité.

## I. Définition des distributions de Laurent Schwartz

**Définition** : On appelle distribution une fonctionnelle linéaire continue sur l'espace vectoriel $\mathcal{D}$ des fonctions indéfiniment dérivables à support borné.

Cela signifie qu'à toute fonction $\varphi(x)$ indéfiniment dérivable (²) et nulle en dehors d'un intervalle borné (si $x \in \mathbb{R}^1$) ou d'un pavé borné (si $x \in \mathbb{R}^n$) on associe un nombre noté $T(\varphi)$ ou $<T, \varphi>$ jouissant des propriétés suivantes :

1°) T est une fonctionnelle linéaire, c'est-à-dire que :

$$<T, \varphi_1 + \varphi_2> = <T, \varphi_1> + <T, \varphi_2>$$

et :

$$<T, \lambda \varphi> = \lambda <T, \varphi>$$

2°) T est continu sur $\mathcal{D}$, autrement dit $<T, \varphi_j> \to <T, \varphi_j>^{(3)}$ si la suite de fonctions $\varphi_j$ converge vers $\varphi$ au sens de la pseudo-topologie de $\mathcal{D}$, c'est-à-dire si :

a) les $\varphi_j$ sont nuls en dehors d'un intervalle (ou d'un pavé) borné indépendant de j.

b) les dérivées de tout ordre m des $\varphi_j$ convergent uniformément vers les dérivées correspondantes de $\varphi^{(4)}$

<footnote>(1) cf. Laurent Schwartz cours de MMP 1954 fasc. 4, p. 15.</footnote>

<footnote>(2) Il existe effectivement de telles fonctions, par exemple $\varphi(x) = 0$ si $|x| > 1$ et $\varphi(x) = e^{-\frac{1}{|x|^2}}$ si $|x| < 1$.</footnote>

<footnote>(3) Cette dernière définition est évidemment complètement équivalente à celle donnée par Schwartz dans son livre : Théorie des distributions (p. 21 et 24). Il dit en effet ceci :</footnote>

<footnote>1°) Nous appellerons $\mathcal{D}$ l'espace vectoriel des fonctions complexes $\varphi(x) = \varphi(x, \dots, x_n)$ de n variables réelles indéfiniment dérivables à support compact...</footnote>

<footnote>2°) Une distribution T sera alors une forme linéaire continue sur $\mathcal{D}$. T($\varphi$) est continue signifie que : Si des $\varphi_j \in \mathcal{D}$ ont leurs supports contenus dans un compact fixe de $\mathbb{R}^n$ et si elles convergent uniformément vers 0 dans $\mathbb{R}^n$ ainsi que chacune de leurs dérivées, alors les nombres complexes $T(\varphi_j)$ convergent vers zéro.</footnote>

<footnote>(4) On remarquera que Laurent Schwartz a imposé aux fonctions $\varphi$ et à la pseudotopologie sur $\mathcal{D}$ les conditions les plus restrictives possibles. L'intérêt de ces restrictions tient dans le fait que $\mathcal{D}$ étant le plus petit possible son dual sera le plus grand possible et les théorème obtenus sur les distributions sont les plus généraux possibles. Il existe évidemment d'autres théories obtenues en remplaçant l'espace $\mathcal{D}$ par des espaces moins généraux. Telle est par exemple la théorie de la mesure où l'espace $\mathcal{D}$ est remplacé par l'espace $\mathcal{C}$ des fonctions continues. Les théorèmes obtenus à l'aide de ces théories seront parfois plus puissants que ceux obtenus dans la théorie des distributions. Ils seront toujours moins généraux.</footnote>
## II. Distributions de probabilité de Laurent Schwartz

Laurent Schwartz attache à toute variable aléatoire (v.a) une certaine distribution $T_X$ appelée sa distribution de probabilité (¹) et qui devra être positive et telle que $<T, 1_{-\infty+\infty}> = 1$.

Cette définition comporte les trois points suivants :

a/ T est une distribution (voir définition plus haut)

b/ La distribution T est positive.

C'est-à-dire que pour toute fonction $\varphi(x) \ge 0$ pour tout $x$ le nombre $<T, \varphi>^>$ est un nombre positif.

c/ $<T, 1_{-\infty+\infty}> = 1$

Cette définition peut surprendre, attendu que $1_{-\infty+\infty}$ fonction identique à 1 sur tout l'intervalle $(-\infty, +\infty)$ n'est pas à support borné.

Laurent Schwartz arrive pourvant à sa définition en se basant sur les théorème suivants :

**Théorème I.** - Toute fonction continue $\chi(x)$ à support (²) borné $K$, peut être uniformément approchée à $\epsilon$ près quel que soit $\epsilon > 0$ par une fonction indéfiniment dérivable $\varphi \in \mathcal{D}$ et on peut astreindre $\varphi(x)$ à avoir son support contenu dans un voisinage arbitraire du support $K$ de $\chi(x)$.

**Théorème II.** - (Fréchet (³)). - Si $\varphi(x)$ est une fonction mesurable, il existe une suite de fonctions $\chi_n(x)$ continues qui pour j tendant vers l'infini convergent presque partout vers $\varphi(x)$.

**Théorème III.** - Si nous convenons de désigner $\varphi$ par $<f, \varphi>^>$ et $\varphi$ par $<g, \varphi>^>$ les fonctionnelles $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \varphi(x) dx$, $\int_{-\infty}^{+\infty} g(x) \varphi(x) dx$ (f et g localement sommables (4) et à part cela quelconques).

Alors on ne peut avoir $<f, \varphi>^> = <g, \varphi>^>(1)$ pour tout $\varphi \in \mathcal{D}$ que si $f = g$ presque partout.

Pour prouver ce théorème Schwartz montre que :

a) si (1) a lieu pour une suite de $\varphi_j$ convergeant vers une fonction continue à support borné $\chi$, alors d'après le théorème I :

$$ \int f(x) \chi(x) dx = \int g(x) \chi(x) dx \quad (2) $$

<footnote>(1) On notera que la définition de la distribution de probabilité de Laurent Schwartz ne coincide pas avec celle de la probability distribution des Anglo-Saxons. On peut toutefois montrer que la connaissance de la distribution de probabilité de Schwartz entraîne celle de la probability distribution et réciproquement, de sorte que le terme ne risque pas d'induire le lecteur en erreur.</footnote>

<footnote>(2) Rappelons qu'on appelle support d'une fonction continue $f(x)$ l'adhérence de l'ensemble des points $x$ (de $R^1$ ou de $R^n$) tels que $f(x) \neq 0$.</footnote>

<footnote>(3) Le théorème II démontré par Lebesgue dans le cas des fonctions sommables a été démontré pour le cas des fonctions mesurables par Maurice Fréchet dans sa thèse.</footnote>

<footnote>(4) C'est-à-dire sommables sur tout intervalle fini.</footnote>
b) Si (2) a lieu pour une suite $X_j$ de valeur de $X$ qui pour $j$ tendant vers l'infini convergent presque partout vers une certaine fonction mesurable $\psi$ alors :

$$ \int f(x) \psi(x) dx = \int g(x) \psi(x) dx \quad (3) $$

Ces théorèmes conduisent Schwartz à définir le "prolongement analytique" de $\langle T, \varphi \rangle$ dans le champ plus étendu des fonctions continues à support borné, puis dans le champ des fonctions mesurables à support borné et enfin dans le champ des fonctions mesurables à support quelconque et à adopter les définitions suivantes :

a) On définit la quantité $\langle T, X \rangle$ où $X$ est une fonction continue à support borné comme la limite si elle existe, d'une suite de nombres : $\langle T, \varphi_i \rangle$ (cf. th. I).

b) On définit le nombre $\langle T, \varphi \rangle$ où $\varphi$ est une fonction mesurable à support borné comme la limite si elle existe d'une suite de nombres $\langle T, X_i \rangle$.

c) On définit $\langle T, \omega \rangle$ où $\omega$ est une fonction mesurable quelconque comme la limite si elle existe d'une suite de nombres $\langle T, \varphi_i \rangle$.

En particulier, le fait que $\langle T, 1_{-\infty} \rangle = 1$ signifie que si j'appelle $1_{X_1, X_2}$ la fonction identique à 1 sur l'intervalle $X_1, X_2$ nulle ailleurs (1), alors la limite de $\langle T, 1_{X_1, X_2} \rangle$ quand $X_1 \to -\infty$ et $X_2 \to +\infty$ existe et que cette limite est précisément égale à 1.

Ceci étant, nous appellerons **probabilité** (2) pour que la v.a. $X$ soit comprise entre deux nombres $x_1$ et $x_2$ la quantité :

$$ \mathrm{Pr}(x_1 \le X \le x_2) = \langle T, 1_{X_1, X_2} \rangle \quad (4) $$

## 2. - EXEMPLES

a) **Définition.** - On dit qu'une distribution quelconque $T$ peut être identifiée à la fonction $f$ si quel que soit $\varphi \in \mathcal{D}$ on a :

$$ \langle T, \varphi \rangle = \int f(x) \varphi(x) dx \quad (5) $$

Alors on a les 2 propositions suivantes :

1/ Si $f$ est une densité de probabilité et si $T$ peut être identifiée à $f$, alors $T$ est une distribution de probabilité et (4) donne :

$$ \mathrm{Pr} \left\{ x_1 < X < x_2 \right\} = \int_{x_1}^{x_2} f(x) dx \quad (5') $$

2/ Réciproquement si $T$ est une distribution de probabilité et peut être identifiée à une fonction $f$, alors $f$ est nécessairement une densité de probabilité et on a (5')

b) Si on a $\langle T, \varphi \rangle = \varphi(0)$ (6), alors $\mathrm{Pr}(X = 0) = 1$ nous dirons dans ce cas que la distribution $T$ peut être identifiée avec la distribution de Dirac $\delta$.

$$ \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) dx = +1 $$

<footnote>(1) $1_{X_1, X_2}$ est souvent appelée l'indicatrice de l'intervalle $x_1, x_2$.</footnote>

<footnote>(2) On peut montrer qu'en vertu des hypothèses faites sur $T$ la quantité définie par (4) est bien une probabilité au sens classique.</footnote>

<footnote>(3) La distribution de Dirac $\delta$ a été introduite par Laurent Schwartz pour éviter l'emploi de la fonction de Dirac $\delta(x)$ qui est définie comme possédant les 2 propriétés mathématiquement contradictoires d'être nulle partout sauf pour $x = 0$ et d'être telle que :</footnote>
c) Si on a $<T, \varphi> = \varphi(x^i)$ (7), alors $\text{Pr}(X = x^i) = 1$; nous dirons alors que T peut être identifiée à la "translatée" $\delta_{x^i}$ de la distribution de Dirac $\delta$ et nous écrirons $T = \delta_{x^i}$.

d) si on a $<T, \varphi> = \sum p_i \varphi(x_i)$ (8), alors $\text{Pr}(X=x^i) = p_i$ et on a $T = \sum p_i \delta_{x^i}$ (8)

**Définition.** - On dit que la distribution $T$ quelconque, peut être identifiée à une mesure $\mu(x)$ si $<T, \varphi> = \int \varphi(x) d\mu(x)$ (9).

Alors on a les 2 propositions suivantes :

1/ Si $\mu(x)$ est une fonction de répartition et si $T$ peut être identifiée à la mesure $\mu(x)$ alors $T$ est nécessairement une distribution de probabilité et (4) donne :

$$ \text{Pr}(x^1 < X \leq x^2) = \mu(x^2) - \mu(x^1) \quad (9') $$

2/ Réciproquement si $T$ est une distribution de probabilité et peut être identifiée à une mesure $\mu(x)$ alors $\mu(x)$ est nécessairement une fonction de répartition et on a (9').

### 3. - GÉNÉRALISATION A L'ESPACE A n DIMENSIONS

Nous pouvons généraliser à l'espace à n dimensions les résultats de Laurent Schwartz. A tout vecteur aléatoire $\bar{X}$ nous associons une distribution $T_{\bar{X}}$ positive et telle que :

$$ <T_{\bar{X}_1, \dots, \bar{X}_n}, 1(-\infty, \dots, -\infty), (+\infty, \dots, +\infty) > = 1 \quad (10) $$

où $1(-\infty, \dots, -\infty), (+\infty, \dots, +\infty)$ est la fonction identique à 1 sur tout l'espace.

Et nous appellerons **probabilité** pour que le vecteur aléatoire $\bar{X}$ soit dans le pavé $x(x^1, \dots, x^n), \bar{y}(y^1, \dots, y^n)$, le nombre $<T_{\bar{X}_1, \dots, \bar{X}_n}, 1(x^1, \dots, x^n), (y^1, \dots, y^n)>$ où $1(x^1, \dots, x^n), (y^1, \dots, y^n)$ est la fonction identique à 1 sur le pavé $(x,y, \in \mathbb{R})$ à 0 ailleurs.

Avec cette définition de probabilité, la fonction de répartition s'écrira évidemment :

$$ F(x) = <T_{\xi_1, \dots, \xi_n}, 1(-\infty, \dots, -\infty), (x^1, \dots, x^n)> \quad (11) $$

Ceci posé, Laurent Schwartz a montré (†) que :

**Théorème IV.** - Toute distribution positive peut être identifiée à une mesure positive (2).

(1) Laurent Schwartz théorie des distributions p. 28 th. V.

(2) La démonstration de ce théorème fondamental est basée sur le fameux théorème de Riesz (C.R. 148, 1909, P. 974-6) qui dit qu'à toute forme linéaire $<L, \varphi>$ continue sur l'espace $\mathcal{C}$ des fonctions continues, on peut associer une mesure bien déterminée et telle que $<\mu, \varphi> = <L, \varphi>$.

Il en résulte que pour montrer le théorème IV, il suffit de montrer que si $T$ est une distribution positive le fait que les $\varphi_j$ convergent vers 0 dans $\mathcal{C}$ (c'est-à-dire sont tels que la suite des $\varphi_j$ converge uniformément vers 0, mais pas la suite des $\varphi_j^{(n)}$ entraine à lui seul que la suite $<T, \varphi_j>$ converge vers 0.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>
Du théorème IV résulte immédiatement :

**Théorème V.** - Toute distribution de probabilités peut être identifiée à une fonction de répartition : $<T; \varphi> = \int \varphi(x) d F(x)$

Ayant donc montré l'intérêt de la définition de la probabilité de Schwarts, rappelons brièvement les quelques définitions et théorèmes fondamentaux qui nous sont indispensables pour travailler sur elle (¹). Certains de ces théorèmes (ceux relatifs aux distributions en général) sont classiques. D'autres (ceux relatifs aux distributions de probabilité) sont nouveaux.

## 4. - DÉRIVÉES D'UNE DISTRIBUTION

a) **Théorèmes sur les distributions en général.**

1) **Cas de l'espace à une dimension.**

**Définition** : La dérivée de la distribution T est la fonctionnelle $S = \frac{dT}{dx}$ définie par :

$$ \langle \frac{dT}{dx}, \varphi \rangle = - \langle T, \frac{d\varphi}{dx} \rangle \quad (12) $$

$(\varphi \in \mathcal{D}) (2).$

Les théorèmes suivants sont presque évidents :

**Théorème VI.** - La dérivée d'une distribution est une distribution.

**Théorème VII.** - Si T peut être identifiée à la fonction f continue et dérivable en tous points, alors sa dérivée $\frac{dT}{dx}$ peut être identifiée à la fonction $f'$, on écrit alors $\frac{df}{dx} = f'$ (13) et par abus de langage, on dit que si f est continue, sa dérivée au sens des distributions est égale à sa dérivée au sens des fonctions. Ainsi, si une variable X possède une densité de probabilité cette densité est la dérivée de la fonction de répartition $F(x)$ de x au sens des distributions.

Par contre si la fonction $F(x)$ présente des discontinuités sa dérivée $f(x) = F'(x)$ au sens des distributions n'est pas identique à $\{F'(x)\}$ distribution identifiée à la fonction (³) égale à la dérivée (au sens de la théorie des fonctions) de $F(x)$ aux points de continuité.

<footnote>(1) Nous ne rappellerons ici que les définitions et théorèmes dont nous avons effectivement besojn. D'autres définitions sont encore plus fondamentales en calcul des probabilités comme celles concernant le produit de convolution de deux distributions et la transformée de Fourier d'une distribution.</footnote>

<footnote>(2) L'expression (12) reste évidemment valable si $\varphi \in \mathcal{D}^{(n)}$ ensemble des fonctions dérivables, pour certains opérateurs T particuliers (notamment si T peut être identifié à une fonction.</footnote>

<footnote>(3) Dans cette théorie deux fonctions presque partout égales sont considérées comme identiques.</footnote>
**Exemple :** Supposons que la v.a. X soit presque certainement nulle. Dans ces conditions, sa fonction de répartition est la **fonction de Heaviside** $\gamma(x)$ (lire Upsilon de x) telle que

$$ 
\begin{aligned}
\gamma(x) &= 0 & \text{si} \quad &x < 0 \\
\gamma(x) &= 1 & \text{si} \quad &x \ge 0
\end{aligned} 
\qquad (14) 
$$

Acette fonction correspond la distribution de Heaviside que par convention nous désignons aussi par $\gamma(x)$ et qui est telle que :

$$ \langle \gamma(x), \varphi(x) \rangle = \int_{0}^{\infty} \varphi(x) dx $$

Il est clair que la distribution $\{\gamma'(x)\}$ est la **distribution identiquement nulle**, c'est-à-dire que $\langle \gamma'(x), \varphi(x) \rangle = 0$ quel que soit $\varphi \in \mathcal{L}$. Par contre, on peut montrer que :

**Théorème VIII.** - La dérivée de la distribution $\gamma(x)$ de Heaviside est la distribution de Dirac $\delta$ (définie par (6)) :

$$ \frac{d \gamma(x)}{dx} = \delta \qquad (16) $$

**Définition.** - On appelle **translatée** de L de la distribution $T_X$ la distribution définie par :

$$ \langle T_{X-L}, \varphi(x) \rangle = \langle T_X, \varphi(x+L) \rangle $$

On en tire immédiatement le théorème suivant :

**Théorème IX.** - Les opérations translation et dérivation sont **permutables**.

On en déduit évidemment que la dérivée $\gamma'_x(x)$ fonction de répartition $d$'une variable aléatoire, presque certainement égale à $x^1$ n'est autre que $\delta_{x^1}$ translatée de la distribution de Dirac définie par (7).

On concluit donc que la fonction de Heaviside et la distribution de Dirac sont destinées à jouer un rôle capital en calcul des probabilités. Cette importance est encore accrue par le théorème suivant.

**Théorème X.** - Si la fonction $F(x)$ a une dérivée $F'(x)$ pour $x \neq x^1, x^2, \dots, x^n$ et si on pose $p_i = F(x^i + 0) - F(x^i - 0)$, alors la **dérivée de la distribution F est la distribution**

$$ F'(x) = \{F'(x)\} + \sum p_i \delta_{x^i} \qquad (17) $$

2) **Cas de l'espace à n dimensions**

**Définition.** - On appelle **dérivée partielle** de la distribution notée $T_X$ ou $T_{X_1} \dots T_{X_n}$ par rapport à $x_i$ la fonctionnelle $\frac{\partial T}{\partial x_i}$ définie par :

$$ \langle \frac{\partial T}{\partial x_i}, \varphi \rangle = - \langle T, \frac{\partial \varphi}{\partial x_i} \rangle \qquad (18) $$
Evidemment, on peut répéter sur cette dérivée partielle tous les théorèmes de la section précédente.

Naturellement, on peut considérer ensuite les dérivées successives si par exemple nous considérons l'opérateur de dérivation $\frac{\partial^{r_1}}{(\partial x_1)^{r_1}} \cdots \frac{\partial^{r_n}}{(\partial x_n)^{r_n}}$ alors on a

$$< \frac{\partial^{r_1}}{(\partial x_1)^{r_1}} \cdots \frac{\partial^{r_n}}{(\partial x_n)^{r_n}} T, \varphi > = (-1)^{r_1+\cdots+r_n} <T, \frac{\partial^{r_1}}{(\partial x_1)^{r_1}} \cdots \frac{\partial^{r_n}}{(\partial x_n)^{r_n}} \varphi > \quad (19)$$

Parmi tous les opérateurs de dérivation, il en est un destiné à jouer un rôle primordial en calcul des probabilités, c'est l'opérateur $\frac{\partial}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial}{\partial x_n}$. On a évidemment :

$$< \frac{\partial}{\partial x} T, \varphi > = (-1)^n < T, \frac{\partial \varphi}{\partial x} > \quad (20)$$

formule qui généralise (12).

Il est clair que :

**Théorème XI.** — Toute distribution est indéfiniment dérivable et que l'on peut intervertir l'ordre des dérivations (!).

On généralise aisément à l'espace à n dimensions la notion de fonction de Heaviside : c'est la fonction notée $\gamma(x)$ ou $\gamma(x_1, \dots, x_n)$ qui est égale à la fonction de répartition d'une variable aléatoire presque certainement nulle.

On généralise aussi la distribution de Dirac et on appelle $\delta(x)$ ou $\delta(x_1, \dots, x_n)$ la distribution telle que $<\delta_{x_1, \dots, x_n}, \varphi> = \varphi(0, \dots, 0)$ et l'on aura :

$$\frac{\partial^n}{\partial x_1 \dots \partial x_n} \gamma(x_1, \dots, x_n) = \delta_{x_1, \dots, x_n} \quad (21)$$

ou sous forme condensée :

$$\frac{\partial \gamma(x)}{\partial x} = \delta(x) \quad (21)$$

La translatée sera toujours définie par

$$<T_{x-L}, \varphi(x)> = <T_x, \varphi(x+L)> \\ = <T_{x_1} \dots x_n, \varphi(x_1+x'_1, x_2+x'_2, \dots, x_n+x'_n)>$$

et nous noterons la translatée de $\delta$ par $\delta_{x_1, \dots, x_n}$ ou plus brièvement par $\delta_{x_1}$, on aura donc

$$< \delta_{x_1}, \varphi > = \varphi(x_1, \dots, x_n)$$

<footnote>(1) Une fonction $f(x)$ localement sommable apparaît ainsi comme indéfiniment dérivable au sens des distributions. Mais sa dérivée sera une distribution qui ne pourra être identifiée à une fonction que si $f$ est suffisamment régulière; c'est ce qui fait que les fonctions dérivées de $f$ au sens usuel peuvent être telles que $\frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} \neq \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}$ alors que pour les distributions dérivées on a toujours $\frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}$</footnote>
### 3) Support d'une distribution

**Définition :** On appelle support de la distribution $T_X$ le complémentaire du plus grand ouvert $\Omega$ tel que pour tout $\varphi \in \mathcal{D}$ ayant son support dans $\Omega$, on ait $\langle T_X, \varphi \rangle = 0$

En particulier on peut montrer que le support d'une distribution de probabilité est le complémentaire du plus grand ouvert tel que :

$$ \mathrm{Pr} (X \in E) = 0 \quad \text{pour tout} \quad E \in \Omega $$

### Exemples :

α) Si $f(x)$ est une fonction continue, la distribution $f(x)$ aura pour support un ensemble fermé $F$ qui est l'adhérence de l'ensemble des points $x$ tels que $f(x) \neq 0$ ($x \in \mathbb{R}^1$ ou de $\mathbb{R}^n$), c'est-à-dire qu'il coïncidera avec le support de $f$ considérée comme fonction.

β) Le support de $\delta_{x_1}, \dots, \delta_{x_n}$ est l'origine

γ) dans $\mathbb{R}^1$ le support de la distribution $\sum p_i \delta_{x_i}$ est constitué par les seuls points $x = x^1$.

**Théorème XII.** - Le support $S$ de la distribution dérivée $\frac{dT}{dx}$ (ou $\frac{\partial^{n_1}}{\partial x_1^{p_1}} \cdots \frac{\partial^{p_n}}{\partial x_n^{p_n}} T$) est contenu dans le support de la distribution $T$.

Ces deux supports ne sont d'ailleurs pas nécessairement identiques par exemple le support de la distribution de Heaviside est $l'intervalle \ 0, +\infty$ alors que le support de la distribution de Dirac $\delta$ se réduit à l'origine.

### b) Théorèmes relatifs aux distributions de probabilité

#### 1) Cas de l'espace à une dimension

Nous allons prouver le théorème suivant :

**Théorème XIII.** - $F(x)$ étant une certaine fonction de répartition, la dérivée de la distribution $F(x)$ est une distribution de probabilité. Réciproquement toute distribution de probabilité est la dérivée d'une certaine fonction de répartition.

α) En effet, si $F(x)$ est une fonction de répartition, $\frac{dF(x)}{dx}$ est une distribution de probabilité.

1° - la dérivée $\frac{dF}{dx}$ de la distribution $F$ est une distribution (théorème VI)

2° - cette distribution est telle que :

$$ \begin{align} \langle \frac{dF}{dx}, \varphi \rangle &= - \left\langle F, \frac{d\varphi}{dx} \right\rangle \nonumber \\ &= - \int_{-\infty}^{+\infty} F(x) \frac{d\varphi}{dx} dx \tag{22} \end{align} $$

Mais comme par hypothèse le support de $\varphi$ est un intervalle fermé ab (22) peut s'écrire :

$$ \langle \frac{dF}{dx}, \varphi \rangle = - \int_a^b F(x) \frac{d\varphi}{dx} dx \quad (23) $$
ab étant un intervalle borné et $\varphi$ étant une fonction continue, les conditions pour que s'applique le théorème d'intégration par parties de Saks (1) sont remplies et on a :

$$ 
\begin{aligned}
\langle \frac{dF}{dx}, \varphi \rangle &= - \left\{ F(b+)\varphi(b+) - F(a-)\varphi(a-) - \int_a^b \varphi(x) \, dF(x) \right\} \\
&= \int_a^b \varphi(x) \, dF(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) \, dF(x)
\end{aligned} 
\quad (24) $$

et sous la forme (24) il est évident que si $\varphi \in \mathcal{D}$ est positive $\langle \frac{dF}{dx}, \varphi \rangle$ le sera aussi.

3°- Si la suite des $\varphi_i$ tend vers la fonction continue $\chi(x)$ à support borné comme il est dit dans 1°, il est clair que $\int_{+\infty} \varphi_i(x) \, dF(x)$ tendra vers $\int_{-\infty} \chi(x) \, dF(x)$.

Si ensuite la suite des fonctions continues $\chi_i(x)$ converge presque partout vers la fonction $l_{a,b}$, il est clair que $\int_{-\infty}^{+\infty} \chi_i(x) \, dF(x)$ convergera vers $\int_a^b dF(x) = F(b) - F(a)$.

Enfin quand $b \to -\infty$ et $a \to -\infty$, $F(b) - F(a) \to 1$

$$ \text{donc :} \quad \langle \frac{dF}{dx}, 1_{-\infty,+\infty} \rangle = 1 $$

ce qui achève de démontrer la première partie du théorème.

β) Réciproquement, montrons que toute distribution de probabilité est la dérivée d'une fonction de répartition.

Soit en effet $T$ une distribution de probabilité. D'après le théorème IV, il existe une mesure positive $\mu(x)$ telle que :

$$ 
\begin{aligned}
\langle T, \varphi \rangle &= \int_a^b \varphi(x) \, d\mu(x) \quad (25) \\
&= - \int_a^b \mu \left( \frac{d\varphi}{dx} \right) dx \text{ d'après le théorème de Saks} \\
&= - \left\langle \mu, \frac{d\varphi}{dx} \right\rangle \\
&= \left\langle \frac{d\mu}{dx}, \varphi \right\rangle
\end{aligned} $$

$$ \text{donc :} \quad T = \frac{d\mu}{dx} \quad (27) $$

<footnote>(1) Saks. Théorie de l'intégrale (p. 102 de l'édition anglaise).</footnote>
En outre de (25) et du fait que $<T, 1_{-\infty}, +\infty> = 1$ on déduit que
$$ \int_{-\infty}^{+\infty} d\mu(x) = 1, \text{ ce qui achève de démontrer le théorème puisque } \mu \text{ est déterminé à une constante additive près.} $$

### Cas de l'espace à n dimensions

**Théorème XIV.** - $F(x) = F(x_1, x_2, \dots, x_n)$ étant une certaine fonction de répartition, la "dérivée" $\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x_1} \frac{\partial}{\partial x_2} \dots \frac{\partial}{\partial x_n}$ de la distribution $F(x)$ est une distribution de probabilité dans $\mathbb{R}^n$.

Réciproquement, toute distribution de probabilité T dans $\mathbb{R}^n$ est la "dérivée" d'une certaine fonction de répartition.

Ce théorème se démontre exactement de la même manière que le précédent.

Ceci posé, nous avons maintenant les éléments de base nécessaires pour traiter les applications que nous avons en vue. A cet effet, nous modifierons un peu nos notations et appellerons désormais $F(x,y)$ la fonction de répartition du couple aléatoire XY.

## 5. - ÉTUDE DES COUPLES ALÉATOIRES DONT LES DISTRIBUTIONS MARGINALES SONT CONNUES

Considérons donc un couple aléatoire XY dont la distribution $T_{xy}$ est inconnue, mais dont on connaît les distributions marginales $R_x$ et $S_y$.

Divers problèmes se posent à propos de ce couple.

### a) Quelle relation y a-t-il entre $R_x$, $S_y$ et $R_{xy}$ ?

On a évidemment

$$ \text{Théorème XV.} \quad R_x = < T_{xy}, 1_{-\infty}, +\infty > \qquad (28) $$

En effet, la fonction de répartition $F(x,y)$ du couple XY est donnée par :

$$ F(x,y) = < T_{\xi\eta}, 1_{(-\infty, +\infty)}, (x,y) > \qquad (29) $$

la fonction de répartition marginale de la v.a. X vaut donc :

$$ F(x, \infty) = < T_{\xi\eta}, 1_{(-\infty, +\infty)}, (x, \infty) > \qquad (30) $$

$$ = \ll T_{\xi\eta}, 1_{(-\infty, +\infty)} > 1_{(-\infty, \infty)} > 1_{(-\infty, \infty)} \qquad (31) $$

Mais on a aussi :

$$ F(x, \infty) = < R_{\xi}, 1_{(-\infty, \infty)}, x > $$

ce qui démontre (28).
b) Distributions $T_{xy}$ remarquables

Ceci posé Maurice Fréchet (¹) remarque que d'une part on a toujours :

$$F(x,y) \le \text{Min} \{ F(x,\infty), F(\infty,y) \} \quad (32)$$

et d'autre part :

$$ 
\begin{aligned}
F(x,y) &\ge \text{Max} \{ 0, 1 - [1 - F(x,\infty)] - [1 - F(\infty,y)] \} \\
&\ge \text{Max} \{ 0, F(x,\infty) + F(\infty,y) - 1 \}
\end{aligned} 
\quad (33) $$

et il a montré que les fonctions :

$$F^{(1)}(x,y) = \text{Min} \{ F(x,\infty), F(\infty,y) \} \quad (34)$$

$$F^{(2)}(x,y) = \text{Max} \{ 0, F(x,\infty) + F(\infty,y) - 1 \} \quad (35)$$

étaient effectivement des fonctions de répartition et définissaient dans le cas où X est une v.a. discrète et dans le cas où les fonctions de répartition marginales sont continues, ce qu'on peut appeler des liaisons statistiquement non décroissantes et statistiquement non croissantes. Nous nous proposons ici de donner une autre démonstration des théorèmes de Fréchet, démonstration qui a le mérite de préciser ce qu'il faut entendre par liaison statistiquement croissante (décroissante) dans le cas général. Considérons donc la fonction $F^{(1)}(x,y)$ définie par (3) et cherchons s'il existe une distribution de probabilité telle que :

$$<T_{\xi\eta}^{(1)}, 1_{(-\infty, -\infty)}, xy> = F^{(1)}(x,y) \quad (36)$$

la démonstration comprend 3 points.

1°) Il existe une distribution vérifiant (36) :

$$\text{c'est} \qquad T_{xy}^{(1)} = \frac{\partial F^{(1)}(x,y)}{\partial x \partial y}$$

2°) Cette distribution est positive, en effet :

$$ 
\begin{aligned}
&< \frac{\partial^2 F^{(1)}}{\partial x \partial y}, \varphi > = < F^{(1)}, \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x \partial y} > \\
&= \iint F^{(1)}(x,y) \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x \partial y} dx dy
\end{aligned} 
$$

Or $F^{(1)}$ étant à variation bornée, on peut appliquer le théorème de Saks, il vient :

$$< \frac{\partial^2 F^{(1)}}{\partial x \partial y}, \varphi > = \iint \varphi d F^{(1)}(x,y)$$

et sous cette forme, on voit que si $\varphi \in \mathcal{D}$ est positive $\frac{\partial^2 F^{(1)}}{\partial x \partial y}$ est positive puisque l'élément d'intégration d $F^{(1)}$ l'est (comme on le vérifie sans peine)

<footnote>(1) Maurice Fréchet. Sur les tableaux de corrélation dont les marges sont données. Ann. Univ. Lyon, 9, 1951, p. 53-7.</footnote>
$$
\begin{align*}
\text{3°) On a : } & \langle T_{\xi\eta}^{(1)}, 1_{(-\infty, -\infty)} \rangle_{(+\infty, +\infty)} = F^{(1)}_{(+\infty, +\infty)} \\
& = \text{Min} \{ F(\infty, \infty), F(\infty, \infty) \} \\
& = 1
\end{align*}
$$

Nous avons donc démontré que $T_{XY}^{(1)}$ est bien une distribution de probabilité. Nous nous proposons maintenant de chercher le support de cette distribution.

A cet effet, remarquons que le plan peut être séparé en 2 régions E₁ et E₂ telles que l'on ait :

pour E₁ $F(x, \infty) \geq F(\infty, y)$

pour E₂ $F(x, \infty) < F(\infty, y)$

Soient $E'_1$ et $E'_2$ les plus grands ouverts contenus dans $E_1$ et $E_2$, $\mathcal{E}_1$ leur frontière. Nous nous proposons de montrer que le support de $T_{XY}^{(1)}$ est tout entier contenu dans $\mathcal{E}_1$. Pour cela, il suffit de montrer que quelle que soit $\varphi \in \mathcal{D}$ et ayant son support dans $E'_1$ ou dans $E'_2$ on a $\langle T_{XY}^{(1)}, \varphi \rangle = 0$. Supposons d'abord que $\varphi$ a son support dans $E'_1$, alors on a :

$$
\langle T_{xy}^{(1)}, \varphi \rangle = \left\langle \frac{\partial^2 F^{(1)}}{\partial x \partial y}, \varphi \right\rangle = - \left\langle \frac{\partial F^{(1)}}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y} \right\rangle \rightarrow
$$

mais sur $E'_1$, $F^{(1)}(x,y) = F(\infty,y)$ la dérivée $\frac{\partial F^{(1)}}{\partial x}$ au sens des fonctions existe donc et est nulle, la distribution pourra donc être identifiée à la fonction nulle, donc $\langle T_{xy}, \varphi \rangle = 0$. On verrait de même que si $\varphi$ a son support sur $E'_1$,

$$
\bar{F}^{(1)}(x,y) = F(x,\infty)
$$

et

$$
\langle T_{xy}^{(1)}, \varphi \rangle = - \left\langle \frac{\partial F^{(1)}}{\partial y}, \frac{\partial \varphi}{\partial x} \right\rangle = 0
$$

ce qui démontre le théorème.

Il est aisé par ailleurs de voir que la courbe $\mathcal{C}_1$ peut être représentée par une fonction non décroissante de x.

Pour le prouver, il suffit de montrer que si $x_0, y_0$ est un point de $E_1$, $x, y_0$ est aussi un point de $E_1$ pour tout $x > x_0$ autrement dit que si on a :

$$
F(x_0, \infty) \geq F(\infty, y_0)
$$

on a aussi

$$
F(x, \infty) \geq F(\infty, y_0)
$$

pour tout $x > x_0$

ce qui est évident.

Généralement d'ailleurs le support de $T_{XY}^{(1)}$ ne coincide pas avec $\mathcal{C}_1$. Si par exemple les v.a. marginales sont discontinues et susceptibles de prendre seulement les valeurs $x_i, y_j$ on aura :

$$
R_x = \sum_i \delta_{xi} p_i
$$

$$
S_y = \sum_j \delta_{yj} p_j
$$

$$
T_{xy} = \sum_{i} \sum_{j} \delta_{xyij} P_{ij}
$$
où les $p_{ij}$ représentent les sauts aux points $x^i y^j$ de la fonction :
$$F^{(1)}(x,y) = \text{Min} \{ F(x, \infty), F(\infty, y) \}$$

Dans ces conditions, le support de $T_{xy}$ est évidemment constitué par les seuls points $x^i y^j$ de $\mathscr{C}_1$ pour lesquels $p_{ij} \neq 0$.

Cette dernière remarque nous conduit à essayer de déterminer exactement quel est le support de $T_{xy}^{(1)}$ connaissant $R_x$ et $S_y$. Soient A le support de $R_x$ et B le support de $S_y$, on peut démontrer le lemme suivant :

**Lemme.** - Le support de $T_{xy}^{(1)}$ est constitué par l'ensemble des points de $C_1$ qui appartiennent à l'ensemble $A \times B$.

Par ailleurs, il est aisé de voir qu'il existe une distribution de probabilité $T_{xy}^{(2)}$ telle que (35) soit vérifiée et que cette distribution a son support tout entier contenu sur la courbe $\mathscr{C}_2$ définie par une certaine fonction non croissante (Pour le voir on peut, soit reprendre pas à pas la démonstration précédente, soit plus simplement se ramener au cas précédent en remarquant que (35) peut s'écrire :

$$F(\infty, y) - F(x, y) = \text{Min} \{ F(\infty, y), 1 - F(x, \infty) \}$$
ou
$$\text{Pr} \{ X > x, Y \le y \} = \text{Min} \{ \text{Pr}(y \le Y), \text{Pr}(X > x) \}$$

évidemment on ne pourra avoir $T_{xy}^{(1)} = T_{xy}^{(2)}$ que si ou bien il existe une valeur $x_0$ de x telle que $R_x = \delta_{x_0}$ ou bien il existe une valeur $y_0$ de y telle que $S_y = \delta_{y_0}$, c'est-à-dire si l'une des variables aléatoires XY est presque sûrement constante.

Les résultats de ce paragraphe sont résumés dans le théorème suivant :

### Théorème XVI.-

1° - Il existe en général une infinité de couples aléatoires XY de distribution de probabilité $T_{xy}$, admettant des distributions marginales $R_x$, $S_y$ connues (Il n'en serait autrement que si on peut trouver $x_0$ ou $y_0$ telles que l'on ait ou bien $R_x = \delta_{x_0}$ ou bien $S_y = \delta_{y_0}$).

2° - Si nous ordonnons l'ensemble E des $T_{xy}$ en convenant de dire que $T'_{xy} < T''_{xy}$ si $F'(x,y) \le F''(x,y)$ quels que soient x et y l'ensemble E a un élément maximum $T_{xy}^{(1)}$ et un élément minimum $T_{xy}^{(2)}$.

3° - Le support de $T_{xy}^{(1)}$ est tout entier contenu sur une courbe $\mathscr{C}_1$ qui peut être représentée par une fonction non décroissante et de même le support de $T_{xy}^{(2)}$ est tout entier contenu sur une courbe $\mathscr{C}_2$ qui peut être représentée par une fonction non croissante.

## 6. - APPLICATION AU PROBLÈME DE BERTAUT

Dans une note aux Comptes Rendus (¹) J. Bertaut dit ceci (textuellement aux notations près) :

"Définitions : Soient n variables stochastiques $X_1, \dots, X_n$ et soit $dx = dx^1 dx^2 \dots dx^n$ la probabilité élémentaire définie de telle sorte que :

$$\int_0^1 dx = \int_0^1 \Pi^1 dx = \int_0^1 \dots \int_0^1 dx_1 \dots dx_n = 1$$

<footnote>(1) J. Bertaut. Sur la probabilité de valeurs de fonctions. Applications à la cristallographie. C.R. 10 janvier 1955, p. 152, t. 240.</footnote>
Soit $\partial (z-a)$ la fonction de Dirac nulle pour $z \neq a$ et telle que
$$ \int_{-\infty}^{+\infty} \partial (z-a) dz = 1 \qquad (37) $$

Soit enfin une fonction $\psi(x_1, \dots, x_n)$ prenant toutes ses valeurs dans l'intervalle $0 < x_j < 1$ ($j = 1, \dots, n$), elle peut être zéro à l'extérieur de l'intervalle ou encore être périodique.

**Théorème.** - La probabilité $P(y)$ dy pour que la fonction $\phi(X_1, \dots, X_n)$ des n variables indépendantes $X_j$ prenne des valeurs comprises entre y et $y + dy$ est telle que :

$$ P(y) = \int_{0}^{1} \partial(\psi - y) \prod_{j=1}^{n} dx_j \qquad (38) $$

Outre que nous n'admettons pas l'existence de la fonction de Dirac l'intégrale (37) étant évidemment nulle. Nous voyons mal comment on peut en appliquant (38) trouver une évaluation correcte de la densité de probabilité $P(y)$. Monsieur Bertaut ne dit pas comment il s'y est pris pour démontrer son soi-disant théorème. Il est probable qu'il a remarqué que : si le couple aléatoire XY a une densité de probabilité, si de plus X est uniformément réparti sur le pavé $0 < 1$, et si enfin Y est en corrélation dure (1) par rapport à X, la densité de probabilité liée $f_X(y)$ est de la forme $\alpha[y - \psi(\bar{x})]$ et la densité de probabilité de y est :

$$ f(y) = \int_{0}^{1} \alpha[y - \psi(x)] \prod_{j=1}^{n} dx_j \qquad (39) $$

et il est probable que de (39) il a inféré (38).

Il est aisé de mettre (38) sous une forme rigoureuse. On a :

**Théorème XVII.** - La distribution $T_Y$ de la variable aléatoire : $Y = \psi(X_1, \dots, X_n)$ est telle que $\langle T_Y, \varphi(y) \rangle = \ll \delta_{\varphi, \psi}(y) \rangle_{1,0} \rangle$ où $1_{0,1}$ désigne la fonction identique à 1 sur le pavé $(0, \dots, 0), (1, \dots, 1)$.

On peut démontrer ce théorème, soit en passant par les fonctions de répartition en utilisant la formule :

$$ F(\infty, y) = \int \dots \int F_X(y) dx $$

soit plus simplement en utilisant le théorème de Schwartz sur la convergence d'une suite de distributions $f_i(y)$ vers la distribution $\delta$.

<footnote>(1) Pour la définition de la notion de corrélation dure, voir S. Bernstein, Fonde- ments géométriques de la théorie des corrélations, Metron 1928.</footnote>