# Courbes aléatoires

Maurice Fréchet

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Maurice Fréchet. Courbes aléatoires. Annales de l'ISUP, 1955, IV (1), pp.11-20. hal-04095171

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Submitted on 11 May 2023

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# COURBES ALÉATOIRES

par

Maurice FRÉCHET

Pour illustrer notre théorie générale des éléments aléatoires de nature quelconque (1) nous avions voulu faire une étude expérimentale de courbes aléatoires. Nous avions d'abord considéré à cet effet les formes que prenait sur un plan, un fil noué jeté au hasard sur ce plan. Nous avions l'intention d'en étudier une représentation paramétrique en séries de Fourier. Mais les formes obtenues pour cent jets du même fil se sont trouvées si compliquées, que le nombre de termes nécessaires dans le développement a dû dépasser 60. Il en résultait des calculs si longs que nous n'avons pu analyser ainsi les 100 courbes.

Nous avons donc momentanément abandonné cet essai et nous avons considéré des formes beaucoup plus simples, celles de contours craniens, pour lesquels une douzaine d'harmoniques assuraient une approximation suffisante. Mme LAURENT-DUHAMEL a bien voulu procéder à l'étude de ces contours et les résultats de son travail ont paru dans le vol.II., fasc.3 1953 du présent périodique.

Cependant, il nous a paru qu'il pourrait être utile de ne pas laisser ignorer tout ce qui avait été fait sur les fils aléatoires. Pour chaque jet on avait calqué la forme plane du fil jeté. Puis on a déterminé les courbes représentatives des coordonnées x, y d'un point de la courbe en fonction de son abscisse curviligne s. On a enfin déterminé pour plusieurs de ces courbes les 30 premières harmoniques des développement de x et y en série de Fourier en fonction de s.

Nous reproduisons ci-après les courbes représentatives de x et y pour une vingtaine de ces courbes.

<footnote>(1) Voir un résumé de cette théorie au Chapitre VI de la Deuxième édition du Premier Livre de nos Recherches théoriques modernes sur le Calcul des Probabilités, chez Gauthier Villars.</footnote>
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Courbe 1 Echelles $\begin{cases} x \to 0,7 \\ y \to 1 \end{cases}$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Courbe 2 Echelles $\begin{cases} x \to 0,65 \\ y \to 1 \end{cases}$</figcaption></figure>
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Courbe 3 Echelles
$$ \begin{cases} x \to \frac{2}{3} \\ y \to 1 \end{cases} $$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Courbe 4 Echelles
$$ \begin{cases} x \to 0,6 \\ y \to 1 \end{cases} $$</figcaption></figure>
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<figure><img src="image_8.png" /></figure>
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Courbe 8 Echelles : x → 0,66667 y → 1</figcaption></figure>

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Courbe 9 Echelles : x → 1 y → 1</figcaption></figure>

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Courbe 10 Echelles : x → 1 y → 1</figcaption></figure>
<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Courbe 11</figcaption></figure>

Echelles

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Courbe 12</figcaption></figure>

Echelles

<figure><img src="image_15.png" /></figure>
<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Courbe 13</figcaption></figure>

Echelles

$$ \begin{cases} x \to 1 \\ y \to 1 \end{cases} $$

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>Courbe 14</figcaption></figure>

Echelles

$$ \begin{cases} x \to \frac{2}{3} \\ y \to 1 \end{cases} $$
<figure><img src="image_18.png" /></figure>

<figure><img src="image_19.png" /></figure>
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<figure><img src="image_21.png" /></figure>

<figure><img src="image_22.png" /></figure>
<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>Courbe 22</figcaption></figure>

Échelles