l'articulation fût lancée dans le séminaire XVI de J. Lacan « Le signifiant comme appareil de
jouissance », il y a eu notablement la parole vide (Fonction et champ de la parole et du
langage) et la voix-de-personne (Le séminaire sur « La Lettre volée »). C'est donc une notion
importante. L'analyse par J. Lacan du psittacisme a été retravaillée plusieurs fois au cours
de son enseignement. Aussi chaque blabla présente peut-être un problème différent chez
chacun.

Déplions « Le signifiant [en tant qu'] appareil de jouissance ». L'être humain doit faire avec
le signifiant, pourrait-on résumer de la leçon du 14 janvier 1970⁶⁷. Il doit *faire avec*.
L'expression est assez équivoque en français. Et, J. Lacan développe le coté usant : l'humain
fait avec le signifiant quoi qu'il en soit excédé, au sens péjoratif du terme comme au sens
neutre, d'un signifiant qui nous dépasse ou nous ravi. Lacan réaffirme son postulat d'un
renvoi subjectivant de l'articulation signifiante. De ce dernier, le sujet (il parle d'expérience
analytique) en use jusqu'à la marque, atterrissage qui fait toucher du doigt l'effet des
signifiants sur le corps. Nous pouvons donc imager cet appareil comme une bobine qui se
dévide. Verbe réflexif qui a pour corrélat, du moins dans le langage, qu'un sujet au départ
serait embobiné (se faire embobiné étant succomber à une suggestion en langage familier).
Lacan indique encore :

> « (...) ce point de perte est le seul point régulier par où nous ayons accès à ce qu'il en est de la jouissance. En ceci, se traduit, se boucle, et se motive, ce qu'il en est de l'incidence du signifiant dans la destinée de l'être parlant. Cela a peu à faire avec sa parole. Cela a à faire avec la structure, laquelle s'appareille. L'être humain, qu'on appelle ainsi sans doute parce qu'il n'est que l'humus du langage, n'a qu'à s'apparoler à cet appareil-là<fnref n="68" />. »

Ce passage n'est pas simple. *S'apparoler* est un jeu de mot. Catherine Bonninge<fnref n="69" /> écrit « L'apparole est un terme de Jacques Lacan forgé à partir de parole et d'appareil. (...) [II] vient renouveler le concept de la parole ». Elle précise que J. Lacan modifie ce concept à partir de celui qui était dans *Fonction et Champ de la parole et du langage*. Et, J.-A. Miller relit ce texte du 1er Lacan en notant que dans la fonction de la parole, à cette époque,

<footnote n="67">⁶⁷ Lacan J., *Le séminaire livre XVII - l'envers de la psychanalyse*, Paris, Seuil, 1991, p.57.</footnote>

<footnote n="68">⁶⁸ Lacan J., *Le séminaire livre XVII - l'envers de la psychanalyse*, Paris, Seuil, 1991.</footnote>

<footnote n="69">⁶⁹ Bonninge C., *Le Witz de la fin, L'apparole et autres blablas*, La Cause Freudienne, 34, 1996, p. 3-4.</footnote>
« question et réponse » (à la parole) sont toujours supposées<sup>70</sup>. La parole est adressée, dans le 1<sup>er</sup> enseignement de Lacan, elle « est une relation, un dialogue ». S'il y a renouvellement en disant « l'apparole », c'est de soustraire au concept de parole *la nécessité* d'une interlocution, et ainsi de la faire participer d'un possible mouvement de repli sur soi, à rebours de l'optique naïve sur la fonction de parole qui met tout l'accent sur la communication.

> « L'apparole est un monologue. Avec ce nouveau concept, l'ensemble de la référence à la communication s'effondre, ou au moins au niveau où il s'agit de l'apparole, il n'y a pas de dialogue, pas de communication, il y a autisme. Il n'y a pas l'Autre avec un grand A<sup>71</sup>. »

Pourquoi Lacan affirme-t-il que la structure s'appareille<sup>72</sup> ? J.-A. Miller nous permet de mieux l'entendre : « je serais prêt à construire le concept d'appareil comme un concept opposé à celui de structure<sup>73</sup>. »

A l'appareil : la complexité, car il s'agit d'un assemblage – indique J.-A. Miller. La structure, elle, paraît d'un seul tenant dans la réalité. A l'appareil, d'être tout de suite branché sur une finalité, à la structure d'être sans objet ou sans focale, du moins : « une structure cela se déchiffre, se construit, mais c'est un peu dans l'élément contemplatif. » indique J.-A. Miller<sup>74</sup>. Enfin J.-A. Miller indique que la structure est du côté du ternaire suivant : la parole, le langage, la lettre, alors que l'appareil n'est pas de ce côté. Il est le pendant de la structure, du côté du ternaire : l'apparole, lalangue, *Lituraterre*<sup>75</sup>.

J.-A. Miller nous indique un point de méthode : lire l'enseignement de Lacan à partir du dernier Lacan. Le propos de Lacan au séminaire XXIII est

> « Ce sont les hasards qui nous poussent à droite et à gauche, et dont nous faisons notre destin, car c'est nous qui le tressons comme tel. Nous en faisons notre destin parce que nous parlons. Nous croyons que nous disons ce que nous voulons, mais, c'est ce qu'ont voulu les autres, plus particulièrement notre famille, qui nous parle.

<footnote n="70"><sup>70</sup> Miller J.-A., « Le monologue de l'apparole », *La Cause Freudienne*, 34, 1996, p. 6-18.</footnote>

<footnote n="71"><sup>71</sup> Miller J.-A., « Le monologue de l'apparole », *La Cause Freudienne*, 34, 1996, p. 6-18.</footnote>

<footnote n="72"><sup>72</sup> Lacan J., « Savoir moyen de jouissance », dans *Le séminaire livre XVII - l'envers de la psychanalyse 1969-1970*, Paris, Seuil, 1991. p. 43-59.</footnote>

<footnote n="73"><sup>73</sup> Miller J.-A., « Le monologue de l'apparole », *La Cause Freudienne*, 34, 1996, p. 16.</footnote>

<footnote n="74"><sup>74</sup> Miller J.-A., « Le monologue de l'apparole », art. cité, p. 16.</footnote>

<footnote n="75"><sup>75</sup> Lacan J., « Lituraterre », dans *Autres Écrits*, Paris, Seuil, 2001 [1971], p. 11-20.</footnote>
> Entendez là ce nous comme un complément direct. Nous sommes parlés, et, à cause de ça, nous faisons, des hasards qui nous poussent, quelque chose de tramé. En effet, il y a une trame – nous appelons ça notre destin. De sorte que ce n’est sûrement pas par hasard, quoi qu’il soit difficile d’en retrouver le fil (...)<fnref n="76" /> »

En ce point de son enseignement J. Lacan enseigne que le grand Autre, un lieu qui serait réservé pour l'énonciation (en particulier l'assignation d'une destinée) n'existe pas<fnref n="77" />, c'est-à-dire qu'il faut la rencontre d'un sujet avec une énonciation pour quelle porte à conséquence pour ce sujet. Il s'appuie sur une logique des conséquences, et une pragmatique des locuteurs et des discours.

## Appareil probabiliste plutôt que structure

Par aléa nous entendons le hasard scientifisé. Il nous semble (hypothèse, thèse en attente de confirmation) qu'il y aurait là un appareil, et non une structure. Un aléa mathématique par définition est un sous-ensemble d'un ensemble, dont l'on peut dire qu'il est réalisé ou non au vu de l'expérience<fnref n="78" />.

J.-A. Miller a fourni des éclairages sur le discours mathématique, et le réel-de-discours<fnref n="79" />. Il offre dans un texte ultérieur la clef de lecture suivante du Séminaire sur « La Lettre volée » : « Lacan a voulu démontrer à partir d'un raisonnement élémentaire, une émergence de l'impossible à partir du hasard<fnref n="80" />.» Dans L'os d'une cure, il en reprend le formalisme de manière plus simple et sans perdre en démonstration, en se délestant ou en séparant la question du montage probabiliste pour ne conserver que la question cryptologique, celle du codage. Cette ouverture actuelle, sur le texte de J. Lacan de 1953, propose un repérage à l'aide du terme d'impossible. Ce terme a été défini par J. Lacan le 10 avril 1973 comme

<footnote n="76">⁷⁶ Lacan, J., *Le séminaire Livre XXIII - Le sinthome*, Paris, Seuil, 2005, p.162-163.</footnote>

<footnote>Notons que le participe passé substantivé "parlé", encore davantage au pluriel, est un néo-sémantème. Ce texte a été établi par J.-A. Miller, qui porte cette novation sur la place publique en 2005.</footnote>

<footnote n="77">⁷⁷ Korestsky C. « Le destin en psychanalyse, historisation trauma et sinthome », leçon d'un séminaire de l'Ecole de la Cause Freudienne du 04/12/2020, inédite.</footnote>

<footnote n="78">⁷⁸ Méléard S., *Aléatoire - Introduction à la théorie et au calcul des probabilités*, éd. de l'école Polytechnique, 2001, p.18.</footnote>

<footnote n="79">⁷⁹ Miller J.-A., « Un rêve de Lacan », dans Cartier P., Charraud N. (dir.), *Le réel en mathématiques*, Agalma, 2002, p. 107-133.</footnote>

<footnote n="80">⁸⁰ Miller J.-A., *L'os d'une cure*, Paris, Navarin éditeur, 2018, p.39.</footnote>
ce qui ne cesse pas de ne pas s'écrire<sup>81</sup>. La direction vers un signifiant nouveau<sup>82</sup>, mobilisant « ce qui ne cesse pas de ne pas s'écrire », fournissant une version plus aboutie de la notion de parole pleine.

Au contraire, l'aléa par construction/définition lui « ne cesse pas de s'écrire ». Il s'articule alors à la catégorie du nécessaire du dernier enseignement de J. Lacan.

Aussi, rapporté à la catégorie du nécessaire, nous entendons bien qu'il y a un lien entre l'aléa, le hasard scientificisé et l'apparole. Parler du nécessaire, en quelque sorte, c'est faire acte d'apparole, c'est parler pour ne rien dire. Qui se pose la question : le jour se lèvera-t-il demain ? Poser cette question au sens vrai, ce serait sous-entendre qu'il n'y ait pas là une nécessité à l'œuvre (la course de la planète). Si l'on refuse ce sous-entendu parce qu'insensé, alors cela ouvre la question du psittacisme, de l'apparole.

Michel Serfati nomme « formes sans significations » le point d'où les mathématiciens déplacent une ou des conventions de notations traditionnelles vers nouvelle théorie mathématique<sup>83</sup>. Le présent travail s'est attaché à la question de l'invention (mathématique)<sup>84</sup>. Une intégration de cette notion à celle de l'inconscient au travail chez le mathématicien fut possible. Nous verrons qu'un nouvel assemblage conçu par un mathématicien (Markov) fournit une vue extrêmement aiguë sur la langue.

## La fonction d'écran par la compréhension

Chez le dernier Lacan, une proposition est articulée, minimaliste : « qu'on dise reste oublié derrière ce qui se dit dans ce qui s'entend »<sup>85</sup>. Elle ouvre la première partie de l'Étourdit jusqu'à cette proposition conséquente à la première : « Répondre ainsi suspend ce que le dit a de véritable<sup>86</sup>. » Dans cette dernière, à « répondre » nous pouvons faire équivaloir la discussion, le mode de la discussion. Lacan propose que ce mode aère « le dit », lui, lesté de la question de la vérité. La première proposition fait qu'il prend position, met en garde

<footnote n="81"><sup>81</sup> Lacan J., *Le Séminaire livre XX Encore (1972-1973)*, Paris, Seuil, 1975, p.87.</footnote>

<footnote n="82"><sup>82</sup> Lacan J., « Peut-être à Vincennes », *Autres Écrits*, Seuil, 2001, p.313.</footnote>

<footnote n="83"><sup>83</sup> Serfati M., *La constitution de l'écriture symbolique*, Thèse de doctorat, Université Paris 1, 1997, 459 p.</footnote>

<footnote n="84"><sup>84</sup> Hulak F., « Chaslin, La clinique de la discordance et le réel en mathématique », *L'évolution psychiatrique*, 74 (2009) p.376-389.</footnote>

<footnote n="85"><sup>85</sup> Lacan J., « L'Étourdit », *Silicet*, 4, Paris, Seuil (coll. Le champ freudien), 1973, p.5.</footnote>

<footnote n="86"><sup>86</sup> Lacan J., « L'Étourdit », art. cité, p.9.</footnote>
contre le risque, dans la technique, de soutenir l'écran du « ce qui se dit ». En conséquence ultime de quoi il ménage une ouverture, à la fin, sur la question de l'allègement du dit. Ce faisant, ce texte inscrit qu'un écart s'observe entre les mathématiques en tant que discours (a fortiori les sciences), et l'acte du psychanalyste, « répondre ». L'interprétation n'est pas une science (ni un art), mais une pratique. Cet écart entre le discours des mathématiques et la pratique de l'interprétation analytique, n'est pas une antinomie mais une articulation (la ronde). Il témoigne de ce que lui a appris sa tentative de s'être servi de mathématiques pour rendre compte de l'expérience analytique.

L'incipit de l'Étourdit offre une seconde idée. Lacan indique que, dans sa proposition initiale, le sens se boucle à la fois par un renvoi rétroactif et par un autre, progressif cf. fig. suivante de la double boucle.

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Il témoigne alors : « Où je note au passage le défaut de l'essai 'transformationnel' de faire logique du recours à une structure profonde qui serait celle d'un arbre à étage. »<fnref n="87" /> Que nous lisons comme une critique adressée aux logiques qui fonctionnent par couches, par réseau de neurones, par pure consécution informatique et algorithmique, ainsi certainement qu'à l'essai des grammaires formelles ou universelles.

L'objet mathématique chaîne de Markov couvre un champ plus général que ses usages liés à la structure d'arbre. Toutefois nous estimons que la postérité actuelle des chaînes de Markov est bien un usage intensif dans cette veine-là.

Le graphe de type arbre n'a pas de boucle. Lorsqu'un parcours (aléatoire) s'y déroule selon une chaîne de Markov, les extrémités de l'arbre font points d'arrêt ou absorbants.

Dans la structure de graphe mobilisable pour des questions d'interprétation d'une énonciation, indispensables et irrémédiables restent les questions de cycles et de renvois.

<footnote n="87">⁸⁷ Lacan J., « L'Étourdit », Silicet, 4, Paris, Seuil (coll. Le champ freudien), 1973, p. 7.</footnote>
Un arbre à étage est, autrement dit, un graphe *acyclique* (qu'il soit ou non orienté). De ne pas tolérer le cycle, un arbre se trouve en défaut de ce qu'énonce proposition telle que « qu'on dise reste... ».

Du recueil de ces quelques écarts et points de contacts entre les mathématiques et l'enseignement de J. Lacan (nous disons bien l'enseignement et non la pratique de la psychanalyse), nous tirons l'hypothèse de travail qu'il doit y avoir une antinomie entre l'effet de sens par la rétroaction *versus* la structure d'arbre à étage.

> « Socrate : L'écriture, Phèdre, a un grave inconvénient, tout comme la peinture. Les produits de la peinture sont comme s'ils étaient vivants ; mais pose leur une question, ils gardent gravement le silence. Il en est de même des discours écrits. »

Platon, Phèdre, 275 d

## 6) Conclusion

La répétition d'un certain symptôme ou de ses modalités principales et la répétition de symboles ont d'abord été des constats cliniques freudiens. La clinique des névroses et des perversions permet d'isoler un appareil ou un montage, faiseur de cette répétition, dont le sujet tire un bénéfice (dit secondaire) au-devant en quelque sorte de la structure ou qui permet de la cacher comme dans le Fort/Da.

L'itération dans la stéréotypie participe, elle, de la structure à son niveau propre c'est-à-dire d'une autre facture que la répétition du symptôme lisible ou interprétable. Elle n'a pas d'autre appareillage que le sens, qui est princeps à la relation d'échange de parole en tant que telle. Par conséquent la fixation idéelle (ou la « signification privée » ) au principe de la stéréotypie reste, elle, hors de la prise langagière. La quête du sens est, si l'on veut, notre stéréotypie en tant que nous n'en avons guère d'autres. La surdétermination du langage, qui s'effectue du fait de sa forme réticulaire ou branchée, n'effectue (donc) pas nécessairement un bouclage. Dans la même veine, il peut y avoir une jouissance de parler inarrêtable, en tant qu'elle cède sur l'exigence du sens et son économie induite.

Chercher à comprendre un message en déchiffrant c'est faire porter l'enjeu sur le respect de la norme conventionnelle avec laquelle une langue peut-être étayée (par des grammairiens et des linguistes) et mettre au-devant un travail sur les messages de codes (aussi dit autonymes). Le dernier Lacan propose de se garder d'une telle orientation pour l'analyse (même s'il garde parfois des expressions comme le psychanalyse est un linguiste).
Au contraire, la compréhension fait écran à la motérialité, c'est à dire la manière nue dont les signifiants auquel un sujet tient, en viennent à lui procurer telle ou telle signification singulière par le simple jeux de leur positions ou combinaisons, arrangement dont résulte leur syntaxe et les nuances subtiles qu'ils peuvent ainsi écrire et historiciser.

Bien que les phonèmes soient en nombre restreint, cette base suffit à ce qu'il puisse y avoir une myriade de leur combinaisons dès que déployé par paquets entre 1 et 10 environ pour un mot, par dizaines pour une phrase et par milliers pour un propos un peu étayé. Ce phénomène pourrait porter le nom d'explosion combinatoire s'il s'agissait d'un phénomène mathématisable, cf. la présente thèse p. 190.

Par ailleurs, l'énonciation comporte la rencontre avec un corps, éventuellement le sien propre. Parler part du corps et y revient avec un décalage. C'est une première formation en boucle qui en tant que telle n'a aucun sens -- l'objet voix n'a pas de sens. La fonction de l'écrit interfère avec cette formation, avec ce phénomène d'écho naturel. L'écrit à la fois l'objective et matérialise la langue sous forme de glyphs (agglomérats de lettres, idéogrammes composés de traits, formules, assemblages de signes). Platon, à travers Socrate, le présente (l'écrit) sous l'espèce d'un inconvénient, une chose qui peut inspirer la gravité, le silence.

La langue fait-t-elle vraiment système comme le développe la linguistique ? Il est certain qu'il y a dans le langage tel que matérialisé, fixé ou constitué par l'écrit, un repérage possible d'un jeu de renvoi, et que ces renvois, ces boucles sont nécessaires à ce qu'émerge un sens. C'est le point de capiton. La ponctuation sert à indexer ce système de renvoi au fil d'un en programme écrit. Elle matérialise le point de capiton, qui sinon passe par la prosodie : la tonalité de la voix baisse en fin de phrase sauf pour une interrogation ou une exclamation.

La répétition du point de capiton ou la rétroaction participent du sens. En revanche, l'itération (de la lettre) constitue un support à la question du sens, mais n'y participe qu'indirectement. Elle y participe, au moins via la fonction du point de capiton (pas seulement via elle toutefois). Il faut donc distinguer l'itération, qui a cours par exemple en tant d'itinéraire sur l'axe de la syntaxe, qui est un pas à pas du processus primaire, et la répétition qui nécessite la fonction du deux, c'est à dire de la mise dans la parenthèse d'un ensemble.
Enfin, ouvrons une perspective. Quels sont les effets de promouvoir la standardisation d'une langue, ce que visent les académies et les dictionnaires ? Notons qu'une certaine systématisation de la langue est déjà à l'œuvre par l'emploi récurrent dans l'échange verbal, convergence par habituation qui précède en général toute convention explicite ou institution. Toutefois c'est un fait que conventions, lois linguistiques et institutions ont bien pu favoriser le degré de standardisation ou non (cf. la normalisation du russe p.299)

A priori le but de cette normalisation serait de pourvoir à compréhension mutuelle entre locuteur d'une même langue. Toutefois, le poète n'est-il pas plus hardi dans cette tâche, en semant son grain de sel, et mettant ses lecteurs au défi d'une interprétation assumée, au défi d'assumer une lecture personnelle d'un poème ou d'un des signifiant de celui-ci qui serait alors à situer au littoral entre texte lui-même et son lecteur - interprète ? Cela indique d'explorer l'hypothèse paradoxale que les tentatives de (sur)normalisation de la langue pourrait avoir des effets contre-productifs en matière de compétence verbale.
IV) Le travail inconscient en mathématique

L'ensemble de cette partie est une lecture des contributions au champ freudien de N. Charraud. Nous reprenons pour titre l'expression ciselée de N. Charraud<fnref n="1" />, car c'est un point essentiel pour notre propre élaboration. L'article « un travail inconscient en mathématique » s'appuie sur l'ouvrage publié en 1994, soit un an auparavant, consacré à l'œuvre mathématique et la vie de Georg Cantor. Dans cet article, elle met en relation l'illumination de sa découverte d'un ordonnancement de classes d'infinis, d'abord avec l'objet mathématique et puis par conséquent avec le désir du mathématicien. Il faut noter que la forme de ce désir est en l'occurrence celle d'une recherche systématique à propos d'une notion encore obscure, la consistance de la continuité des points sur la droite réelle.

N. Charraud établi la relation d'une telle recherche systématique avec le concept psychanalytique de La Chose / Das Ding<fnref n="2" />, grâce à l'expression la Chose mathématique<fnref n="3" />.

N. Charraud soutient que « la chose mathématique n'est pas l'objet<fnref n="4" /> ». Elle a retracé biographiquement ce passage, de la chose mathématique encore avec sa gangue d'équivoque à la bonne définition, dans le cas de Cantor frayant sa voie vers une écriture

<footnote n="1">¹ Charraud N., « Infini et inconscient chez Cantor », *Séminaire de Philosophie et Mathématiques*, fascicule 5, 1995, « Infini et inconscient chez Cantor », p. 1-10.</footnote>

<footnote>(http://www.numdam.org/item/SPHM_1995_5_A1_0.pdf, dernière consultation 30/07/2022)</footnote>

<footnote n="2">² Hulak F., « La division du sujet « à ciel ouvert » », dans *La lettre et l'œuvre dans la psychose*, Eres, 2006, p.62 :</footnote>

<footnote>« Ce qui a été exclu au temps premier de la symbolisation, c'est *das Ding*, repéré par Freud dans l'*Esquisse comme stimulus endogène* : ' l'élément qui est à l'origine isolé par le sujet, dans son expérience du *Nebenmensch*, comme étant de sa nature étranger ' [commentaire de J Lacan le 09/12/1959, p.65 Ethique de la psychanalyse (1986)] », indique F. Hulak à propos du cas de Mme L. (de Jules Séglas) et de l'expulsion [*Ausstossung*].</footnote>

<footnote>Freud a mis en question la chose [*Das Ding*] ou le ça, jusqu'à son dernier *opus* (Freud S., «Le monde extérieur», dans *Abrégé de psychanalyse*, Puf, 1997, p.72). Elle serait inertie, non pas intrinsèque, mais inertie supposée, sujette à l'assimilation que ce qui ne bouge pas ne se perçoit pas, d'où sa relation à une partie, un reste, de *stimulus* endogène. Elle serait substrat supposé par absence de qualité.</footnote>

<footnote n="3">³ En parcourant la correspondance de Charles Hermite (1822-1901), nous nous souvenons d'un passage dont la référence nous reste non-retrouvée, dans lequel il exhorte un jeune mathématicien a bien peser ce qu'il en coûte de s'orienter vers une telle carrière qui vous rend « esclave des mathématiques ».</footnote>

<footnote n="4">⁴ Charraud N., « La chose mathématique », *La Cause freudienne*, 44, p.97-104.</footnote>
mathématique de « la puissance du continu ». Sa ligne rédactionnelle suit l'avènement du
nouvel objet mathématique que sont les nombres transfinis.

Dans son essai *Infini et Inconscient*, N. Charraud fait l'analyse critique des éléments biographiques qui nous sont parvenus à propos du mathématicien G. Cantor, en repartant souvent du matériel original, notamment sa correspondance<fnref n="5" />. A cette occasion est décrit comment un objet mathématique survient sur fond d'une chose mathématique<fnref n="6" />, mal définie, c'est-à-dire de l'indistinct premier et qui pose problème au mathématicien, en l'occurrence pour G. Cantor la « puissance » de l'ensemble des points de la droite réelle formant un continu.

La chose mathématique revêt ainsi ce trait d'indéfinition, au sens littéral de n'avoir pas encore reçu de bonne définition. Et de telles choses existent bel et bien en mathématique. L'objet lui est opposable en ce qu'il met un terme à ce trait d'indéfinition. Produit d'un travail de recherche, s'il finit par être porté à ce statut du nécessaire, c'est d'abord par un sujet dans sa singularité. Le frayage de N. Charraud consiste à ne pas faire l'impasse sur la dimension singulière et historique d'une telle élaboration. Nous inscrivons notre recherche sur A.A. Markov dans une continuité de méthode avec celle inventée par N. Charraud.

1) Dithyrambes à Cantor

Dithyrambes à Cantor, plutôt qu'à Dionysos comme dans le titre de Nietzsche<fnref n="7" />, mais référence à l'inventeur du gai savoir tout de même puisque l'écriture de N. Charraud en instille.

Au départ, et dans la même veine que les travaux d'un Riemann, un collègue de G. Cantor, R. Dedekind, a la bonne idée de définir d'une certaine manière un ensemble non-infini c'est-à-dire fini, et c'est la manière suivante : il n'y a pas d'application qui mette un tel ensemble en relation biunivoque avec une partie stricte de lui-même alors que pour les ensembles infinis, si.

<footnote n="5">⁵ N. Charraud, *Infini et inconscient - essai sur Georg Cantor*, Paris, Anthropos-Economica, 1994.</footnote>

<footnote n="6">⁶ N. Charraud, « La chose mathématique », *La Cause Freudienne*, 44, fev. 2000, p. 97–104.</footnote>

<footnote n="7">⁷ Nietzsche, qualifié par J. Lacan de *supernovae* dans la philosophie morale, c'est-à-dire d'un soleil tout de même et qui éclaire d'un jour nouveau mais qui a explosé.</footnote>
Pour la mnémotechnique, cela pourrait être noté d'une boucle, comme dans le Silicet 4⁸:

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

- pas possible : ensemble fini, versus

- si, c'est possible : ensemble infini.

Cette définition peut-être dite topologique ce qu'elle s'appuie sur une mise en relation, peu importe son extension, pour autant qu'elle soit biunivoque<fnref n="9" />. Sont mis en relation des parties, ou des bouts d'ensemble, dont la taille n'est pas en cause, ni d'ailleurs leur caractère trouvé ou non, mais leur nature vis-à-vis du continu. Et G. Cantor étendit cette définition en construisant celle d'équipotence (ou de puissance) des ensembles de nombres $N$ – les entiers naturels, $Q$ – les rationnels, et $\mathbb{R}$ – les réels.

Les réels entrent en bijections avec des segments de la droite réel, découvre-t-il d'abord. Les réels n'ont pas la même puissance que les entiers (ce n'est pas une question de nombre de nombres en plus ou en moins mais une question de consistance d'ensemble). Les entiers naturels sont, eux, équipotents avec $\mathbb{Z}$ – les entiers relatifs ou avec $\mathbb{Q}$, car n'importe quel rationnel s'écrit $p$ sur $q$, avec $p$ et $q$ dans les entiers naturels non-nuls. Cantor fonde en rigueur la dénombrabilité mathématique, et le caractère énumérable ou pas de certains ensembles de nombres.

## Le pas de Cantor

Fait central et tout à fait marquant de sa vie professionnelle, en 1891, il modifie l'argument pivot par lequel classer les ensembles comme dénombrables ou non. Alors qu'avant il en passait par une mise en relation avec de l'indénombrable (et l'examen si la relation tient ou non fait pivot à la démonstration), le nouvel argument dont il tire profit est la fameuse preuve par la diagonale. Au lieu de fonder sa démonstration sur un passage par la droite

<footnote n="8">⁸ Anonyme, « L'infini et la castration (Eléments) », Silicet, 4, Paris, Seuil, 1972, p. 5-133.</footnote>

<footnote n="9">⁹ La bi-univocité est ici cardinale. Il s'agit que tout antécédent ait une image, et que deux images différentes aient deux antécédents différents, soit la surjectivité et l'injectivité respectivement – deux propriétés de fonction essentielles à cette théorie. Cela assure d'une relation deux à deux dans l'ensemble de départ et d'arrivée, c'est-à-dire de la consistance du maintien de la séparation de chaque points à travers l'application (ou la fonction c'est synonyme).</footnote>
réelle continue<fnref n="10" /> il fonde sa démonstration sur un fait d'écriture, de numération décimale (l'écriture des nombres dans ce système particulier). Certes ce sont des écritures infinies qui mobilisent de l'ininscriptible au sens concret, mais la fécondité du topos mathématique ainsi trouvé montre qu'il ne s'agit plus du même mixte d'imaginaire et de symbolique, mais d'un nouveau mixte<fnref n="11" />.

G. Cantor en 1891 décline les écritures des nombres décimaux dans un tableau, et montre que ces écritures n'entrent pas en relation avec du dénombrable, car lorsqu'on le suppose par énumération de ceux-ci dans un tableau, il y a des nombres « en plus » construits sur la (ou les) diagonale(s) du tableau. Or, ces nombres en plus compromettent alors à la relation de bijection posée en prémisse entre les suites de nombres décimaux inscriptibles tabulées et les entiers. N'allons pas plus loin dans l'examen de la démonstration car le parcours d'écriture livré par N. Charraud sert précisément cette cause d'exposer jusqu'à la lettre l'affaire.

Nous lisons qu'il y là un déplacement par le bord, au sens de l'expression de construire sur un bord (p.181) et de la consistance du bord (p.99) de la logique du Sinthome de F. Hulak<fnref n="12" />. Il y a un déplacement, certes autour de l'énigmatique puissance ou équipotence du continue, qui est la Chose mathématique au sens de N. Charraud, mais aussi parce qu'il parvient à rainurer le tableau des écritures censé entrer en correspondance terme à terme

<footnote n="10">¹⁰ La droite continue ou l'un des segments, comme 0 – 1 ce qui revient au même pour la mise en relation de dénombrabilité. Inutile de préciser 0 – 1 ouvert ou fermé ici car le raisonnement n'est pas à 2 points près. Le raisonnement ne porte pas sur le bord mais sur la consistance.</footnote>

<footnote n="11">¹¹ Et ce topos démonstratif vaut plus généralement pour différents ensembles construits de manière intermédiaire entre les entiers et les réels, exemple les unions de très nombreuses parties des entiers, jusqu'au cas par exemple de l'ensemble des parties de pile ou face infini. Le topos démonstratif vaut jusqu'à nos jours, et d'ailleurs peut servir à établir un bord entre l'informatique des nombres et leur traitement formel mathématique. Seule la première requiert qu'ils soient inscriptibles, du moins dans certaines implémentations qui utilisent une mémoire informatique.</footnote>

<footnote n="12">¹² Hulak F., « IV Topologie en acte », dans *La logique du Sinthome*, Nîmes, Champ social, 2016, p.179-226.</footnote>
avec les entiers<fnref n="13" />. Par ce pas, Cantor passe d'un abord topologique à un abord scripturaire<fnref n="14" />.

Ce que N. Charraud montre, de plus, c'est que ce déplacement par le bord avait pour étape intermédiaire une enquête, celle sur les types d'ordres, la théorie des types d'ordres.

Cette théorie est à connaître, nous ne la développons pas ici, mais elle est féconde en paradoxes et montre qu'il n'est plus évident d'énumérer ou de classer des ensemble de nombres quand il y en a « beaucoup » (y compris quand l'écriture peut laisser croire qu'il n'y a que du dénombrable dans la construction d'un ensemble, tout dépend comment ce dénombrable est combiné).

Sans entrer dans la phase intermédiaire, mais sans laquelle il n'y eût pas d'éclosion sans doute, son abord de la question avant 1891 était topologique dans le sens où il abordait l'indénombrable par son caractère connexe et parfait, mais cela « ne pénètr[ait] pas encore suffisamment la structure du continue<fnref n="15" /> », et son abord en passe, après, par des écritures.

Et cela ce fut d'abord très important pour Cantor, car c'était un pas de gagné sur l'énigme tout en lui laissant une large part énigmatique (notons la proxémie énigmatique – agalmatique).

Avec la construction formelle des classes d'équipotence, le premier cap épistémologique a été franchi et Cantor frayait une voie pour construire les nombres désignant et mettant en ordre ces classes d'infinis. Une relation d'ordre a été élaborée, qui ordonne les classes d'équipotence. Par exemple, la classe d'équipotence des nombres irrationnels est supérieure à celle des rationnels, car la première équivaut à la droite réelle continue, alors que la seconde est celle du discret (dénombrable).

<footnote n="13">¹³ Reformulée par Cantor, la faille devient celle d'une infinité d'écritures non-complètes dans leur éventuelle liaison terme à terme avec les entiers. Il faut rentrer dans la démonstration pour se rendre compte de l'effet de surprise : l'infinitude de l'écriture systématisée, alors qu'intuitivement elle pourrait sembler corrélée à celle dénombrable c'est à dire des entiers (parce qu'elle est organisée sous forme énumérable) se trouve en fait corrélée à l'infinitude du continue qui est d'une autre puissance. Elle se trouve d'ailleurs en fait non-énumérable, c'est un raisonnement apagogique (par l'absurde) où toutes les prémisses de la démonstration se déconstruisent d'elles-mêmes.</footnote>

<footnote n="14">¹⁴ Charraud N., *Georg Cantor - Infini et inconscient*, Spartacus, 2019 (2ème éd.), p. 144.</footnote>

<footnote n="15">¹⁵ *Ibid*., p. 130.</footnote>
N. Charraud écrit le processus de création de ce mathématicien illustre, en maintenant la psychobiographie à bonne distance, en puisant dans le matériel d'archives de son travail et de sa vie. Dans cet effort d'écriture, il y a un passage où N. Charraud livre une interprétation, dont la valeur ne peut ressortir qu'à considérer l'ensemble de son ouvrage. Elle a repéré un fantasme dont l'histoire/histoire de Cantor l'aurait fait sujet. Il peut paraître surprenant à la 1ère lecture, osé, et c'est pourquoi nous développons N. Charraud rapproche la construction d'ensemble infiniment emboité du fonctionnement du fantasme des poupées russes :

> « Si l'on réitère l'emboitement à l'infini, il converge vers un point et non le vide ! Cette structure évoque ces objets précieux, ces agalmata, contenus dans le Silène, qu'Alcibiade compare à Socrate dans le Banquet de Platon<fnref n="16" />. »

Cantor se serait ainsi attelé à son travail de mathématicien, aurait suivi lorsqu'il était étudiant « sa petite voix intérieure » dans cette voie, parce qu'ayant trouvé un appui au niveau d'un amour des mathématiques. C'est un affect sur laquelle M. Charraud, mathématicienne, s'engage, en connaissance de cause. Ce passage, pourtant dans la partie 'côté cour' de l'exposé, c'est à dire consacré à sa vie mathématique, renvoie vers un passage « côté jardin » chap. XVI.

> « Chez Cantor, un risque de dispersion imaginaire de morcellement se trouve compensé par ce qui fait tenir ensemble, par la théorie des ensembles elle-même, son propre corps. Ce qui fait sinthome chez lui est la mathématique<fnref n="17" /> (...) »

Et, plus loin elle évoque le « fantasme de corps morcelé<fnref n="18" /> [de Cantor] ». Là, il y a une difficulté. Les faits biographiques rapportés montrent que Cantor ne disposait pas de la métaphore paternelle<fnref n="19" />. Sentiments de persécutions, délire, laissés tombés du corps, à la fin de sa vie, ont dévoilé la structure dont il était le sujet. Donc il ne peut pas s'agir de fantasme dans son cas. Nous lui faisons tout de même crédit de l'idée sous-jacente : Cantor tenta toute sa vie (Mme Charraud l'a établi de fait) que tienne ensemble l'idée du continue au sens écrit. Il a trouvé à sublimer au lieu même où ne fonctionne pas, pour tenir un corps, l'habillage phallique du recours à la métaphore du nom-du-père. Pourvoyant un travail

<footnote n="16">16 Charraud N., *Georg Cantor - Infini et inconscient*, Spartacus, 2019 (2ème éd.), p. 57.</footnote>

<footnote n="17">17 *Ibid.*, p. 238.</footnote>

<footnote n="18">18 *Ibid.*, p. 253.</footnote>

<footnote n="19">19 *Ibid.*, p. 200.</footnote>
permanent et faisant appel à l'invention, cette sublimation a tenue (30 ans) en tant que
position subjectivante. C'est un mode non-fantasmatique de souscrire à la consistance de
l'Autre (d'y croire) toutefois il ne s'agit pas d'un fantasme.

A notre lecture, il y a un déplacement sur le bord repérable quand cet argument de la diagonale de 1895, par un effort d'écriture supplémentaire (dans plusieurs sens de ce terme d'ailleurs), vient à se clore sous la forme d'un raisonnement apagogique, et donc se terminant dans une déconstruction. Un tour supplémentaire a été donné à la percée mathématique vers l'indénombrable (aleph 1) pour en former une démonstration plus fondamentale encore que celle maniant les bijections d'ensembles avec une partie d'eux-mêmes.

Le mathématicien de génie Cantor, au passage, détail qui a une importance considérable,
a construit des ensembles à l'aide de suites particulières (les triadiques) dont les propriétés
ont permis de donner leur signification correctes aux notions de partout dense,
dénombrable, première espèce (équipotence), ensemble de mesure nulle. Autrement dit,
ses résultats ont permis de fonder l'abord topologique de la droite, d'en affuter le concept.
Or, il s'agit aussi du premier ensemble fractal découvert<fnref n="20" />. Cette notion que l'on associe
maintenant si souvent à la nature (distribution fractale des pluies, trait de côte bretonne
fractale, fractale du chou romanesco) a pour lieu de découverte : l'étude mathématique de
la droite réelle. C'est un fait qui mérite qu'on s'y arrête un temps.

Pour conclure au sujet du continu, Cantor a recherché et peiné, manqué à en démontrer
« l'hypothèse du continu », c'est-à-dire sa propre hypothèse selon laquelle il n'y a pas de
classe d'ensemble d'intermédiaire entre celle des entiers naturels (aleph zéro) et la classe
de la droite réelle (aleph 1, en nombre transfinis). Et pour cause : à la fin du 20ème siècle
toujours, elle restait non-démontrable, au sens logique de « indécidable »<fnref n="21" />.

Résumé de la note de bas de page : Paul Cohen, logicien, aurait démontré en 1963 que l'hypothèse du continu n'est pas démontrable dans la théorie des ensembles (actuelle) basée sur certains axiomes de Zermelo-Fraenkel. Soit le continue est l'objet d'un axiome, soit sa supposition fait ressortir la question à l'examen de ces axiomes, et la recherche peut et même doit continuer du côté de l'interface entre la logique et les mathématiques !

<footnote n="20">²⁰ https://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_Cantor</footnote>

<footnote n="21">²¹ Charraud N., *Georg Cantor - Infini et inconscient*, Spartacus, 2019, p. 134.</footnote>
Il reste qu'entre 1880 et 1882, d'abord en écrivant les nombres transfinis puis en tirant les conséquences mathématiques de cette écriture, Cantor a inventé une nouvelle classe de nombre (des alephs, les nombres transfinis) dont un ordonnancement a été possible. Il a dû pour cela échafauder une première théorisation *des classes d'infinis* qui n'avait pas évoluée depuis la dichotomie infini potentiel vs actuel d'Aristote (malgré les paradoxes que les nombres infinitésimaux soulevaient en même temps qu'ils résolvaient certains comme celui du reste à parcourir de la flèche de Zenon)<fnref n="22" />. En chemin, G. Cantor a forgé des outils mathématiques eux-mêmes objets d'une branche entière des mathématiques du XXᵉ siècle, les fractales. Il a aussi refondé la théorie des ensembles, esquissé la notion de point d'adhérence en topologie, montré des difficultés que présentent les relations d'ordre sur des ensembles non-dénombrables, dont personne avant lui ne s'était préoccupé.

## La croyance comme phénomène

Le cas de Cantor permet de mesurer combien Freud et Lacan ont permis de reformuler une des hypothèses de Ph. Chaslin (1857-1923), psychiatre (dit classique), sur la psychologie du mathématicien. F. Hulak a rédigé une synthèse de ses travaux tardifs à ce sujet<fnref n="23" />. Ph. Chaslin, en empiriste, questionnait la croyance des mathématiciens en des « êtres mathématiques », notamment la fonction. Et il rapprochait cette croyance systématique d'une question de mysticisme.

Premier point, ce rapprochement siérait très peu dans le cas de Cantor. Si, dans les termes de Chaslin, il croyait certainement en des « êtres mathématiques » comme la continuité paraît l'être, en revanche Cantor n'était nullement mystique. Il pratiquait certains rites du Protestantisme et croyait en Dieu mais sans dogmatisme. Ainsi la contribution de N. Charraud offre l'analyse fouillée d'un cas où il est patent que différents modes de croire

<footnote n="22">²² Un ensemble quelconque peut dès lors être rapporté à un ensemble classifiant, dans une démarche minimaliste c'est finalement celui de ses points d'adhérences. Cette notion essentielle de topologie permet de montrer l'équipotence des nombres réels $\mathbb{R}$ avec d'une part l'ensemble des nombres rationnels (p / q) d'autre part l'ensemble des irrationnels (R sans les (p/q)).</footnote>

<footnote n="23">²³ Hulak F., « Chaslin, clinique de la discordance et le réel en mathématique », dans *Logique du sinthome - mise en pratique*, Nîmes, Champ social, 2016, p.84-116.</footnote>
peuvent tout à fait coexister chez le mathématicien. Reste qu'il ne faut pas généraliser à partir d'un cas.

Deuxième point, comme le résume D. Arpin : « Le phénomène que Freud appelle *Unglauben* (incroyance), n'a rien d'un refus de croire<sup>24</sup>. Il y a un caractère d'absoluité dans chacun des termes, souvent peu nombreux, auxquels il est cru dans l'expérience ou la pensée psychotique<sup>25</sup>. De manière prosaïque : mysticisme et psychose se tiennent en mutuelle indépendance, idem pour mysticisme et recherche mathématique, idem pour recherche mathématique et psychose. Il y a absoluité de tels domaines, ... sauf cas particuliers !

L'erreur est certes facile à critiquer ainsi rétrospectivement, et donc concluons. C'est par la
phénoménologie de la croyance que Ph. Chaslin abordait la question de l'énigme, or, grâce
à Lacan et à Freud, la veille dichotomie croyance/incroyance est désormais battue en
brèche. Il est vrai qu'il y a une ascèse des mathématiciens, dont Cantor, mais elle n'a rien
de mystique. Ainsi n'existe-t-il rien qui ne puisse nous autoriser à subsumer d'une part la
grande ferveur religieuse de certains mathématiciens<sup>26</sup>, un Leibnitz par exemple et d'autre
part sa « croyance aux 'êtres mathématiques' » (Chaslin) par un « Y croire » (expression de
J. Lacan) les dépassant ? Au risque de nous répéter, c'est toute l'importance de
l'interprétation de Mme Charraud de s'engager sur une interprétation, corrélée par des
faits, en ce point, sous-jacent. Il ne s'agit pas d'une subsumation globale mais d'un petit
ressort, un ordre de faits affectifs et pris dans une vie, contingent à chaque cas. Cela lui
appartient en propre. Cela le divise peut-être toute sa vie (un appareil<sup>27</sup> à se jouir non-

<footnote n="24">24 Arpin, D., « Figures de l'incroyance », *La Cause freudienne*, 69, 2008, p. 176-184.
La formule que nous citons dit l'envers de ce que nous développions avant mais le point de séparation en jeu est le même : c'est-à-dire qu'un parfait agnostique voir un athée pourrait très bien croire dans l'horizon mathématique de son travail poursuivi sur plusieurs années.</footnote>

<footnote n="25">²⁵ Ce terme est de J.-A. Miller que nous avons trouvé sous la plus de Pierre Vermeesch : Vermeesch P., « Le moteur de l'impossible- une élucubration de Marcel Duchamps sur l'acte pictural : le Grand Verre, dans F. Hulak (dir.) Pensée psychotique et création de systèmes – la machine mise à nu, p. 110.</footnote>

<footnote n="26">²⁶ Au demeurant, N. Charraud n'ignore pas, et même le note, qu'il y a parfois interférence de la question religieuse au sein du travail du mathématicien. Mais pour Cantor comment ce problème survient ? Principalement via le contexte (social) qui faisait que toucher à « l'unité de l'Infini (...) inaccessible et réservée à Dieu » pouvait lui attirer des critiques voire des ennuis à la fin du XIXe.</footnote>

<footnote n="27">27 Le concept Millerien d'appareil en tant qu'opposé à la structure nous sert ici à subsumer le point que nous avons mis en débat plus haut concernant l'accès possible ou non au « fantasme » (sit venia verbo) chez Cantor.</footnote>
morcelé au niveau mathématique, plutôt qu'un fantasme de corps morcelé/unifié), tout se constituant chez lui en position subjective, ce qui aura soutenu ses élaborations durant trois décennies<fnref n="28" />.

Le travail inconscient en mathématique n'est donc pas d'ordre mystique. Il n'en reste pas moins que ce travail s'effectue au niveau du chiffrage de la pulsion, ce que confirme d'autres travaux ultérieurs élaborés par des mathématiciens eux-mêmes<fnref n="29" />.

Troisième point, soulignons l'acquis méthodologique de l'étude *in vivo* des productions des mathématiciens. Car cela lève l'obstacle qui bloquait un Ph. Chaslin. Il croyait en l'autonomie du phénomène psychique qu'est la consécution logique. En effet, F. Hulak rapporte qu'il espérait mettre à jour une sorte de logique du raisonnement. Il voulait comprendre comment fonctionne le raisonnement, « le raisonnement en cherchant sous les formules abstraites de la logique les opérations réellement faites par l'esprit ». La psychanalyse, lacanienne, aura de facto permis de dissoudre cette diplopie. Au demeurant, Ph. Chaslin, rapporte F. Hulak, restait motivé (à la fin de sa vie d'ailleurs) par un fragment de réel : « le réel énigmatique recouvert par la notion de psittacisme ». Son intuition reste intéressante, qu'en matière de logique il s'agit d'une chose éternellement resassée, le châtiment qui frappe Echo<fnref n="30" />.

N. Charraud ramifie sa démonstration psychanalytique désormais à différentes contributions du champ freudien. Il y a là un véritable acquis pour la psychanalyse du XXIᵉ siècle, tant méthodologie qu'idéel : la lettre mathématique, via laquelle le découvreur passe à une bonne définition et cède au monde un objet mathématique, sur fond d'un

<footnote n="28">²⁸ Son sentiment intime de la vie tenait à son sinthome partir de ses 16 ans (1861) lorsque « sa petite voix intérieure » l'oriente vers les mathématiques, jusqu'en ~1896 ou 1897 (lettre au ministère de l'intérieur où son délire fait disruption dans sa carrière).</footnote>

<footnote n="29">²⁹ *Le primate* en nous (mathématicien) dont la perception des autres et du monde résulte d'une sédimentation d'expérience, dit Bernard Tessier : Tessier B., « Le mur du langage », dans *Le réel en mathématiques*, [textes réunis par P. Cartier, N. Charraud] Agalma diff. le Seuil, 2002, p.24.</footnote>

<footnote n="30">³⁰ La pulsion comme écho (dans le corps du fait qu'il y ait un dire) boucle notre boucle (qui part de situer l'invention mathématique au niveau pulsionnel) autour d'un « réel énigmatique ». Pour le mythe d'Echo cf. Ovide, « Livre III », *Les métamorphoses* (I-V), Les Belles lettres, 1985, p.81-86.</footnote>
travail acharné d'entame de la Chose mathématique, est produite au niveau du chiffrage
de la pulsion chez le sujet mathématicien.

Il y a à cette occasion ce point nodal qu'une énigme rencontrée « met en route le travail inconscient ».

Pour terminer dézoomons un peu le sujet maintenant. Cette manière de prendre les
questions mathématiques par le désir du mathématicien fait suite aussi à la remarque de
J. Lacan, dans son premier enseignement, que

> « (...) la science si l'on y regarde de près, n'a pas de mémoire. Elle oublie les péripéties dont elle est née, quand elle est constituée, autrement dit une dimension de la vérité que la psychanalyse met là hautement en exercice<fnref n="31" />. »

La suite du propos de J. Lacan en appelle à une étude du drame subjectif qu'a coûté
certaines crises épistémologiques, notamment pour des mathématiciens. Cantor est cité.
Lacan estimait alors que cette étude restait bloquée du fait qu'elle se situe au-delà de
l'Œdipe (E. Laurent évoque ce problème dans la postface à l'ouvrage de N. Charraud réédité
en 2020).

Les minuties

Nous pourrions-nous demander en quoi cela intéresserait le département de psychanalyse
de l'université Paris VIII de multiplier ainsi les travaux sur certains mathématiciens ? Si nous
n'y mettons pas de condition, est-ce que notre département ne fusionnerait pas avec celui
de l'histoire des mathématiques ou de la philosophie des mathématiques ?

Premièrement, il faut noter que le récit d'histoire du mathématicien est mise en œuvre
par N. Charraud au service de la transmission de la psychanalyse, puisqu'elle en a dégagé
la lettre, dont les pleins et les déliés s'organisent en divins détails : invention des nombres
p-adiques, scrupules sur la solidité/validité de sa démonstration de la puissance du
continue (aleph 1), invention de l'argument de la diagonale (qui vient rainurer des écrits
sériés), autant d'éclats d'un gai savoir qui excite la curiosité d'en savoir davantage.

Nous pourrions réhabiliter l'acceptation vieillie du substantif minutie, au sens où l'employait
Renan « *Les orthodoxes sont trop concrets ; ils tiennent à des faits, à des riens, à des
minuties* (Renan, *Souvenir d'enfance*,1883, p.407) » en précisant qu'il y a là un

<footnote n="31">³¹ Lacan J., « La science et la vérité », Écrits, Paris, Seuil, 1966, p.869.</footnote>
rebroussement possible au niveau de l'inconscient. Certaines minuties se trouvent dans l'inconscient en position d'attirer à eux une libido insoupçonnée. D'où notre proposition titre de faire la netteté, de tirer au clair parmi l'accumulation des détails d'une vie ces minuties, à la manière aussi de P. Pichon dans les *Vies minuscules* dont la poésie nous a marqué.

Ces minuties pourront s'organiser au mieux ensuite en vertu d'un cadre.

L'énoncé (que nous avons vu plus haut) de l'hypothèse du continu, au départ mathématique, fournit un exemple paradigmaticque *d'un parcours d'écriture* au sens de la psychanalyse. Ce n'est que se rapporter, terme à terme, à l'angle du sujet mis à l'étude. C'est bien parce qu'est soupçonné au sein des découvertes de Cantor, une activité de la lettre au sens de la psychanalyse, au sens lacanien, que dès le Silicet 4 des travaux s'y consacrent pour l'École freudienne de Paris<fnref n="32" />. Toutefois une lettre constitue aussi un piège, dans lequel cet article tombe un peu, en raison de son caractère exploratoire et hardi. Il ne faut pas partir des nombres transfinis (aleph 0, aleph 1) déjà constitués, coulisse de sortie de la lettre<fnref n="33" />. Ce piège rejoint le problème que mentionne Lacan dans la citation des Ecrits (supra) : telle enquête ne s'ouvre qu'avec les moyens de tirer au clair ce qui a cours au-delà de l'Œdipe<fnref n="34" />.

Comment ne pas tomber dans le piège ? Il y a un point de vue sur la lettre sous lequel elle obture son propre accès. Pour s'en sortir, le geste le plus naturel de l'analyse consiste à tenir côte à côte, et plutôt séparé, psychanalyse et mathématique. N. Charraud l'a organisé dans son écrit qui sépare le côté cour, la vie de mathématicien de G. Cantor du « côté jardin », ses éléments de vie privée, avec pour seul pont opératoire l'interprétation que nous avons dite (et soutenue) plus haut.

<footnote n="32">³² Anonyme, « L'infini et la castration (Eléments) », *Silicet* 4, Paris, Seuil, 1972, p. 75-133.</footnote>

<footnote n="33">³³ En effet, l'article en question (*L'infini et la castration* dans *Silicet*, 4, op. cit.) peine à tenir son sujet du titre, déjà dual, et diverge dans les directions qui sont permises par les petits déplacements surajoutés à la trajectoire propre de Cantor, déclinant un savoir académique (parfois postérieur) sur l'hypothèse du continu : vers la continuité en terme topologie, vers le concept global de continuité mathématique ou vers l'histoire de ce concept. Ainsi cet article met-il en tension l'infini antique vs l'infini moderne, l'unification mathématique et hébraïque, les figures de topologie de Lacan, d'où son titre 'éléments'.</footnote>

<footnote n="34">³⁴ L'auteur de 1972 n'avait eu que 6 ans pour assimiler les Écrits, il nous semble que c'était encore court.</footnote>
Qu'il faille tenir pour séparatif le 'et' de « psychanalyse et mathématique », c'est aussi l'une des leçons à tirer du débat entre Serge Cottet et Éric Laurent à la fin de son intervention prononcée dans le cadre de la section clinique le 27 mars 1996. Faire coexister côte à côte de la psychanalyse et de la science constitue l'état le moins pire qui soit pour les deux<fnref n="35" />. Le micmac entre science et psychanalyse devait donc être évité. Rappelons que S. Cottet posait la question de savoir si à l'instar de Freud, finalement Lacan ne serait pas allez trop loin du côté du savoir scientifique, notamment parce qu'il était un homme. Éric Laurent répond en termes d'éthique de la psychanalyse, ce qui au départ semble loin de la question. É. Laurent émet cette critique qu'au niveau de *L'Œuvre Claire*<fnref n="36" />, la pertinence d'une position éthique propre à la psychanalyse ne transparaît pas. Or, insiste-t-il « il y a une éthique de la psychanalyse, qui nécessite un vouloir propre à elle, un vouloir dire » précise-t-il, « quand bien même complètement étouffé à l'ère scientifique ». Il équilibre son avis concernent *L'Œuvre Claire* en ajoutant que « Milner dégage bien par ailleurs {répond Éric Laurent à Serge Cottet dans les questions à la fin de ce cours} un vouloir propre à refuser, à se défaire des liens possibles de type psychanalyse-science, politique-science, etc., car lorsqu'existe de tels liens, des crimes se produisent, dit-il ». Enfin, É. Laurent pointe que J.C. Milner se serait laissé lui-même un point de dégagement de sa position désespérée. Ce point de dégagement étant, précise É. Laurent du côté de la pureté, et parce qu'il est « un dialecticien hors-pair ». Le point important à conserver de ce débat est surtout l'exigence du maintien d'un vouloir bien-dire les choses condition sine qua non à la tenue (éthique) de la psychanalyse, à la limite contre le dialogisme.

Mme Charraud a su éviter le piège d'entremêler les deux par une construction charpentée. Remarquons en outre que cet espace d'écriture dans lequel venir inscrire un apport pour la psychanalyse en intention ne poursuit aucune chimère de type récit des origines, la notion de continuité ne datant pas de la fin du XIXe. Ainsi, en analysant en profondeur le versant de l'« essai de rigueur » d'un Cantor, avec ses trouvailles mais aussi ses difficultés<fnref n="37" />,

<footnote n="35">³⁵ Laurent E., « Les dits de Freud dans les cinq psychanalyses », *La cause freudienne*, 34 L'apparole et autres blablas, intervention section clinique 27/03/1996, oct. 1996, p.19-29.</footnote>

<footnote n="36">³⁶ Milner J.-C, *L'Œuvre Claire*, Paris, Seuil, 1995, 173 p.</footnote>

<footnote n="37">³⁷ Notamment dans le relationnel académique avec Kronecker, qui, il faut le dire, ne donnait aucune marque de bienveillance à l'égard de son correspondant, et faisant montre d'une sévérité certaine. Au reste, un coup</footnote>
N. Charraud se déplace dans un espace d'écriture propice dont elle de dote pour tenir d'un côté une lecture psychanalytique des faits et constats rassemblés, et de l'autre pour situer et cerner ce qui s'est constitué en lettre pour G. Cantor, sans l'usurper, sans s'identifier à lui non plus d'ailleurs, dans la tranche de vie même dans laquelle cette lettre a été promue « dans la culture » à un moment historique donné.

L'« essai de rigueur » est un syntagme associé à la psychose par la remarque J. Lacan devant les étudiants de Yale University le 24 nov. 1975³⁸. Dans la veine de S. Freud lecteur de D. Schreber « inconscient à ciel ouvert », l'enquête minutieuse sur G. Cantor vise à prendre un appui dans le mode de pensée de la psychose, dont tirer quelques enseignement de psychanalyse<fnref n="39" />, celle que nous appelons psychanalyse en intension avec N. Charraud, c'est-à-dire par écrits interposés par ex. la psychanalyse théorique ou la politique de la psychanalyse.

Deuxièmement, il nous semblait faisable et valable de mettre au travail l'acquis conceptuel et méthodologique ici exposé sur du nouveau matériel.

Ainsi Nathalie Charraud a rendu compte d'un double parcours de mathématicien et d'homme, à certains moments mis en crise, à partir du détail de la vie de travail de Georg Cantor (1845-1918)<fnref n="40" />. La construction mathématique de ce mathématicien, quasi l'exact contemporain de A.A. Markov (1856-1922), qui fait aujourd'hui encore autorité, la dénombrabilité, les nombres transfinis, la structure de nombres p-adiques (début des fractales), s'éclaire ainsi du jour rasant d'une énigme autour de laquelle gravite la période augurale et édificatrice de son œuvre. N. Charraud nomme cette énigme « la puissance du continu ». Avoir cerné l'énigme a constitué, en soi, son apport psychanalytique.

J.A. Miller a traité de l'énigme. Il l'a mise en perspective, en la différentiant notamment de la surprise. Il dégage ce que nous pourrions résumer comme le moment de la surprise et,

<footnote>bien plus dur aurait résulté de la lettre de Mittag-Leffler du 3 mars 1895 fermant la possibilité d'ultérieures publications dans des revues importantes mathématiques (citée p. 137 N. Charraud 2ème édition 2019).</footnote>

<footnote n="38">³⁸ Lacan J., « J. Lacan : Conférences et entretiens dans les universités nord-américaines », Silicet 6/7, Seuil, 1976, p.7-63 (p.9).</footnote>

<footnote n="39">³⁹ Ajoutons en marge que l'impossible de faire la psychanalyse de Cantor sans lui n'empêche en rien cette manière d'élucider les ressorts plus ou moins cachés d'une œuvre culturelle, puisqu'il s'agit de la psychanalyse et de G. Cantor, ici un « et » séparateur, et non de la psychanalyse de Cantor.</footnote>

<footnote n="40">⁴⁰ Charraud N., *Infini et Inconscient – Essais sur Georg Cantor*, édition Anthropos – Economica, 1994.</footnote>
d'un tout autre ordre, une instance de l'énigme. Cerner, aborder, rendre compte des effets
de cette dernière devient essentiel si l'on s'attache aux cas rares et aux inclassables de la
clinique<fnref n="41" /> d'une part, et d'autre part si l'on se plaît à aborder le dernier enseignement de
Lacan où la signifi ance des signifiants n'est pas le ressort essentiel. Ce ressort essentiel
serait plutôt ce à quoi un sujet les emploie<fnref n="42" />. Selon J.A. Miller, l'énigme opère par
excellence un clivage sémantique en rompant le joint entre la signifi ance en tant que telle
et le défilé des signifiants. Un implicite fondamental, mais mythique, est mis par elle à bas.
L'énigme ne se cerne qu'à épurer les emplois des termes. Ce qui fait énigme le peut par-
delà l'opération de la métonymie et celle de la métaphore. Ces indications ne peuvent que
confirmer la précaution de méthode présentée dans notre premier point.

Finalement, il s'agit de remonter aux inventions mathématiques, à leurs coordonnées
humaines et sociales, aux contingences qui ont accompagné l'écriture de ces inventions,
rassemblant les pièces d'un puzzle où une énigme viendrait à être posée.

Notons que l'énigme est l'un des fil autour duquel se nouent plusieurs contributions à l'ouvrage *Pensée psychotique et création de systèmes* : elle s'incarne dans les termes de certaines zones érogènes dans le cas Raymond présenté par E. Zuliani<fnref n="43" />, et c'est encore elle qui résiste à ce que soit complète la théorie mécanique du syndrome S d'un G. De Clérambault, et qui amène Lacan à clore le sujet par cette considération que « les stéréotypies ne tiennent pour le psychotique que pour leur sens<fnref n="44" /> ».

Cela ne dit pas si ce sens est partageable ou non, cela laisse entendre qu'il peut y en avoir
une version partageable, une traduction. Le chapitre conclusif du recueil de contribution
sur la *Pensée psychotique et création de systèmes* met en avant la notion d'intervalle
signifiant. Cet intervalle n'est pas résorbable, le tropisme vers l'identité rigidifiée ou l'usage
de tautologies ne l'entame pas même, qu'elle soit explicitement fausse tautologie ou au

<footnote n="41">⁴¹ Miller J. A., « Ouverture, de la surprise à l'énigme », dans *Le conciliabule d'Angers*, Seuil, Paris, 2005, p.9-22.</footnote>

<footnote n="42">⁴² L'essentiel est à situer dans quelque chose du signifiant qui fait énigme au sujet, du côté de sa langue privée — comme dit J. C. Milner dans *l'Œuvre Claire* tissant un lien par-là avec la psychiatrie classique alors que le mot de lalangue équivalent de Lacan se pose comme invention et subversion à cette époque.</footnote>

<footnote n="43">⁴³ Zuliani E., « Un système langagier : trois valeurs du symptôme », dans *Pensée psychotique et création de systèmes*, Ramonville Saint-Agne, Éres, 2010, p.219-223.</footnote>

<footnote n="44">⁴⁴ Lacan J., « J. Lacan : Conférences et entretiens dans les universités nord-américaines », *Silicet* 6/7, Seuil, 1976, p.7-63 (p.29).</footnote>
début d'une systématisation. Il y a pourtant une production, une extraction d'une position
de vérité possible en se munissant, précisément de la logique pour mettre en lumière ce
qui se loge au principe de l'élaboration systématique<fnref n="45" />. La tautologie, malgré qu'elle
devienne un espace d'écriture (plus ou moins stéréotypée) ne permet pas de résoudre ou
de dépasser cet intervalle. Les auteurs livrent ainsi une version très informée, assise d'un
pont psychiatrie-psychanalyse prometteur, du clivage sémantique dont J.-A. Miller donne
une version en des termes hérités du structuralisme. Quel intervalle signifiant nous
intéresse en termes d'énigme à cerner ?

2) Réel-de-discours

Pour l'acte de la conférence « Un rêve de Lacan », J.-A. Miller s'appuie sur comment certains mathématiciens travaillent, tel Andrew Wiles qui a démontré la conjecture de Fermat, pour présenter la notion de réel de discours<fnref n="46" />.

L'objet mathématique « a valeur de réel », peut-on préciser en suivant J.A. Miller qui en
2002 dans sa conférence un rêve de Lacan, formalise ce qui chute du discours
mathématique, et qu'il appelle un réel-de-discours. Il survient quand une notion s'avère la
cheville indispensable d'une démonstration bien qu'elle ne soit pas démontrable, ni
d'ailleurs que sa non-existence non ne soit démontrable, ce qui est le cas de la puissance
du continu. L'axiome participe donc de cet objet que J.-A. Miller nomme en tant que
solidaire d'un discours.

Lors de cette conférence, Miller introduit la notion de réel-de-discours, précisément en
partant d'un raisonnement sur le discours mathématique. Cette construction de 2002 est
affine à ce qu'a repéré Mme Charraud au milieu des années 90 dans la contingence de la
vie de Cantor, qu'elle explique en termes de passage de la Chose mathématique à l'objet
mathématique<fnref n="47" />.

<footnote n="45">⁴⁵ Macary P., Borgnis-Desbordes E. Frank Allen D., « Psychose et système », dans *Pensée psychotique et création de systèmes*, Ramonville Saint-Agne, Éres, 2010, p.269-276.</footnote>

<footnote n="46">⁴⁶ Miller J.-A., « Un rêve de Lacan », dans *Le réel en mathématiques*, Agalma (diff. Le Seuil), 2002, p.107-133.</footnote>

<footnote n="47">⁴⁷ Isoler la question cruciale de la définition (Lacan : les mathématiques prennent leur départ d'un dire ~ axiome, définitions), ce qui constitue les mathématiques en point de rebroussement de l'ontologie des rapports dans la physique depuis Galilée (Judith Miller) ou du monde Archimédéen de la science moderne selon Koyré. Archimédéen signifiant infiniment divisé, réduit en miettes (fractales ?) D'où le fil de l'énigme justifié par un nouveau biais.</footnote>
Nous reprenons les termes de Miller en sélectionnant ce qui concerne l'effet de chute du discours des mathématiques dans son intervention <fnref n="48" />.

Le réel-de-discours « est régi par la rétroaction »<fnref n="49" /> et :

> « C'est ce qui a valeur de réel, (...) ce qui ne signifie pas que le réel ait un sens, mais que quelque chose prenne sens de réel pour nous quand se réalise cette opération, où ce qui est produit au terme des démarches est nécessairement posé comme d'avant celles-ci<fnref n="50" />. »

Cette construction permet de penser une rétroaction qui diffère de celle de la métaphore paternelle. Rappelons brièvement que cette dernière scelle l'entrée dans la névrose dans l'enseignement classique de J. Lacan<fnref n="51" />. Cette rétroaction diffère de la métaphore sans l'exclure non-plus : elle s'en démarque. Dans la métaphore, un effet de saisissement marque un avant et un après, sur fond d'ineffable (cf. effet poétique), alors qu'en matière de réel-de-discours le jalon qui marque un avant et un après tient à une écriture, littérale, elle-même sur fond de butée logique.

Ce nouveau syntagme réel-de-discours revisite ainsi la notion de suppléance à la forclusion du nom-du-père, la déplace dans une clinique où « la forclusion de toute démarche logique » devient le point d'appui d'où s'enseigner pour la psychanalyse.

Cette construction explique que le temps 1 de la démonstration, et le temps 2 de la bonne définition de l'objet mathématique nouveau, puissent prendre valeur de suppléance, voire de sinthome. C'est ce que ces élaborations croisées de J.A. Miller et de N. Charraud auront permis de préciser.

## Que devient-il du réel opaque d'exclure le sens dans cette construction ?

L'articulation du sens et du réel, au décours de l'opération que constitue le réel-de-discours reste toujours problématique. Un sens prend valeur de réel, dit J.A. Miller, soulignons la précaution du verbe « prendre valeur » qui évite la copule. Et c'est ce qu'il se passe quand

<footnote n="48">⁴⁸ Miller J. A., « Un rêve de Lacan », dans Cartier P., Charraud N. (dir.), *Le réel en mathématiques*, Agalma (diff. Le Seuil), 2004, pp. 107-133.</footnote>

<footnote>Cette conférence porte aussi sur le désir de Lacan, son histoire et sur la psychanalyse.</footnote>

<footnote n="49">⁴⁹ Miller J. A., « Un rêve de Lacan », dans *Le réel en mathématiques*, op.cit., p.124.</footnote>

<footnote n="50">⁵⁰ Miller J. A., « Un rêve de Lacan », dans *Le réel en mathématiques*, op.cit., p.126.</footnote>

<footnote n="51">⁵¹ Lacan, J., « D'une question préliminaire à tout traitement de la psychose », dans *Écrits*, Paris, Seuil, 1966, p.575.</footnote>
nous assimilons une démonstration au point de savoir la refaire et l'enseigner. Dans le discours cela va plus loin car les objets ont la propriété d'un faire-croire (make-believe), dont Miller souligne la valeur d'enseignement pour la notion de semblant en psychanalyse.

D'ailleurs, pour n'importe quelle preuve démonstrative indique Miller (« n'importe quel théorème » selon ces termes), dans l'après-coup de la démonstration, il y a une connexion directe entre l'impossible et le nécessaire<fnref n="52" />.

Il distingue ce type de connexion entre l'impossible et le nécessaire, d'un autre type de preuve où survient l'aporie fondamentale d'une démonstration, celle de l'indécidable, ou plus prosaïquement une démonstration qui aboutit à ce que ne puisse pas être affirmé si un objet introduit est nécessaire ou ne l'est pas. Ce type d'aboutissement logique subsume une connexion directe entre impossible et nécessaire. Par exemple concernant Cantor, il s'agit de l'hypothèse du continu, selon laquelle entre les ensembles qui ont la puissance du dénombrable et ceux qui ont la puissance du continu, il n'y a pas d'aleph intermédiaire. Rappelons qu'il a été démontré plus tard (Cohen) que c'était là un indécidable, et qu'il fallait donc où bien poser en axiome le continu, ou bien engager un travail de révision des axiomes de la logique de la théorie des ensembles (Zermelo-Frankel).

## Un lieu pour qu'ait lieu le détachement d'ek-sistence

Miller fait un usage du qualificatif de scientifique nouveau et circonscrit. Son pivot est la notion de détachement d'ek-sistence, qui correspond à la chute que nous évoquions plus haut, « chute du discours des mathématiques ». Miller propose de qualifier de scientifique un discours dont un réel se détache.

Le discours des mathématiques est un tel discours, dont un réel se détache à certaines occasions. Il est équivalent de dire que la forme réflexive du « se détache » est là cruciale ou de dire qu'il s'agit ainsi d'un réel-de-discours.

De plus, pour en revenir à ce expression de « détachement d'ek-sistence », il survient dans le moment de l'impossible. Il est dénoté par ces démonstrations particulières un impossible que ceci puisse être affirmé ou nié. Ce type de démonstration relève d'une modalité de

<footnote n="52">⁵² En effet, lorsque démonstration a été faite, en logique ou en mathématique, c'est qu'il ne peut pas en être autrement au sein des catégories utilisées, ou alors ce n'est pas une démonstration. Le vel est donc ici exclusif.</footnote>
l'impossible « qui surplombe l'opposition simple de l'impossible et du nécessaire ». Ce n'est plus leur mise en rapport possible, c'est un impossible générateur, « actif » dit Miller.

Pour G. Cantor, le continu est ce qui a pris valeur de réel. Ce le fut aussi pour ses mathématiciens interlocuteurs ayant élaboré et débattu avec lui ce « nouveau réel<fnref n="53" /> » en cause<fnref n="54" />. Toutefois, il ne suffit pas de repasser dans les pas de ceux qui ont atteint l'aporie pour que, pensant comme eux, l'on atteigne à ce réel.

En outre, Miller avance qu'à remettre en cause la procédure produisant le détachement d'ek-sistence, cela « retenti » sur ce réel.

Comment entendre cela ? L'histoire de Cantor en offre deux exemples patents, deux manières quasi opposables, qu'à remettre en cause le travail effectué, le mathème en gésine est ébranlé.

Premièrement, Cantor a reçu une lettre de Mittag-Leffler en tant qu'éditeur des *Acta Mathematica*, lettre qui a remise en question la pertinence dans l'actualité de la recherche mathématique d'un de ses articles soumis en train d'être corrigé<fnref n="55" />. Il s'agissait des *Prinzipien*, article qui concerne la théorie de l'ordre sur les ensembles<fnref n="56" />. Cette lettre du 9 mars 1885 ne remettait pas en question la rigueur, ni la nécessité, ni la fécondité d'une telle démarche, mais signifiait que les nouvelles notions auraient été trop sujettes à caution

<footnote n="53">⁵³ L'expression « nouveau réel » est de J.A. Miller. L'ensemble de la conférence décline plusieurs modalités autour du registre de réel. Il y a le réel qualifié de nouveau, pour situer qu'il y a aussi un bord entre l'impossible et le nécessaire qui ne l'est pas. Ces deux réels sont ensuite qualifiés de « conclusifs ». Il faut lire cette modalité avec la fin du propos : Miller termine sa conférence en épelant différentes autres lettres du réel : « Il y a le réel du dire, dans une donation d'univers de discours dans le système d'axiome, il y a le réel des difficultés, et il y a enfin le réel conclusif, comme un ressaut de l'impossible. Le rêve de Lacan était d'extraire du discours analytique quelque chose qui aurait à voir avec les réels mathématiques. C'est un rêve d'ambition d'autant plus extrême que la psychanalyse vise aussi autre chose. »</footnote>

<footnote n="54">⁵⁴ Dedekind durant un temps premier de sa carrière (éloignement ensuite plutôt que rupture), Peano, Frege, Bernstein, Zermelo König et Hilbert. Sans doute devrions-nous aussi y inclure ceux qui ont reculé devant le « nouveau réel », à savoir Kronecker en Allemagne et Poincaré et Borel en France. Il participe du groupe au fait de l'émergence d'un nouveau réel, comme position conservatrice de rejet. Le débat fait partie d'une réception réussie, pense J.-A. Miller dans *Un rêve de Lacan*, son article du recueil *Le réel en mathématique*. Enfin, sans doute devrions-nous aussi y inclure le cas du renversement d'opinion, Julius Koenig. Ayant tenté de s'opposer un temps à Cantor, sa correspondance monter qu'il fut finalement un partisan des nouveautés en théorie des ensembles apportées par Cantor.</footnote>

<footnote n="55">⁵⁵ Charraud N., *Georg Cantor - Infini et inconscient*, 2ème édition revue et augmentée, Spartacus, 2019, p.187-188.</footnote>

<footnote n="56">⁵⁶ Il s'agissait d'un travail pionnier sur la théorie des type d'ordre des nombres dans les ensembles, certainement pétri de questions non-résolues, mais enfin la suite pu montrer que le sujet n'attendrait pas 100 ans, 10 ans tout au plus).</footnote>
dans le temps présent et renvoyait au prochain siècle la tâche de publier sur ce sujet. Cantor
prit cette manière de formuler l'objection contre son élaboration comme une offense très
sérieuse. Elle provoqua finalement chez Cantor qu'il refuse la publication de ce travail, à
jamais.

Cette lettre, en effet, était vraiment dissonante avec l'élaboration de G. Cantor car elle ne
se plaçait pas sur le terrain des mathématiques, Mittag-Leffler (pourtant mathématicien)
ne prit pas le soin d'objecter en termes de mathématiques.

Avec la notion de réel-de-discours, nous trouvons que s'éclaire le fait que c'est l'existence
même du discours que menace une telle objection superficielle. S'il n'y a pas à s'offusquer
que la phase de publication reste un mixte de rigueur et de rhétorique, que cette dernière
prenne le pas sur la première exclusivement consacré au travail formel, et c'est d'une fin
de non-recevoir qu'il s'agit. Il s'agit de réel-de-discours en ce qu'une telle indifférence le
menace de manière autrement plus pernicieuse que l'opposition dialectique. C'est un
produit du discours qui n'existe pas sans une reprise par l'Autre du langage, sans un
minimum d'interprétation. Au sujet de cette lettre de Mittag-Leffler, une formation de
l'inconscient, l'intrication de la bonne et de la mauvaise foi est sans doute, là, à rappeler<fnref n="57" />.
N'est-elle pas une formation de l'inconscient remarquable, de la psychopathologie de la vie
quotidienne<fnref n="58" />, peu reprise, à part par J. Lacan ?

Deuxièmement, en août 1904 lors du troisième congrès international des mathématiciens
à Heidelberg est annoncé avec sensation que l'exposé magistral de Julius Koenig va récuser
l'hypothèse du continu de G. Cantor<fnref n="59" />. Cette récusalation-ci porte bien sur les lemmes et
définitions de la théorie des types d'ordre sur un ensemble. Si la démonstration du

<footnote n="57">57 Avec son style très cordial, cette lettre du 3 mars 1895 à Cantor illustre très bien que l'erreur de bonne foi est entre toute la plus impardonnable – aphorisme choc de Lacan bien connu : car au fond la mauvaise foi dont elle fait preuve se situe au niveau du discours des mathématiques. Mittag-Leffler est ou semble de bonne foi, mais il commet une chose détonnant avec toute procédure d'élaboration de l'objet mathématique (sur fond de Chose mathématique). Cette épistole fait litière du problème de la Chose mathématique. Cela ferme la porte d'un lieu d'énonciation mathématique pour Cantor.</footnote>

<footnote n="58">58 « Trouble du jugement typique auquel nous sommes sujets lorsqu’il s’agit de nos parents les plus proches [Urteilsstörung, welcher wir unterliegen, wenn es sich um unsere nächsten Angehörigen handelt] »
cf. Freud S., *Psychopathologie de la vie quotidienne*, Gallimard, Paris, 1997, p. 235.</footnote>

<footnote n="59">⁵⁹ Charraud N., *Georg Cantor - Infini et inconscient*, 2ème édition revue et augmentée, Spartacus, 2019, p195.</footnote>
contradicteur s'est avérée fausse<fnref n="60" />, il n'empêche qu'il a permis de mettre en évidence qu'une notion méritait une meilleure élucidation : la théorie des types ordres de différents types d'ensembles.

Ces faits donnent corps à l'affirmation par J.-A. Miller que « le réel est conditionné par la démonstration. (...) toute mise en cause, comme l'on dit justement, tout soupçon ou toute récusalation des procédures de démonstration retenti sur l'existence de ce réel<fnref n="61" />. »

Retentir est à rapprocher ici de retenter<fnref n="62" />. Un réel-de-discours ne tenant qu'à une architecture symbolique très précise, quand des tentatives viennent en éprouver le comportement symbolique (elles ont à être suffisamment sérieuses pour y atteindre), cela ébranle ce réel.

Par ailleurs, G. Cantor aussi en a été ébranlé, d'autant plus qu'il s'agissait d'un cheminement de pensée que lui-même était en mesure d'avoir pris. Quelle ironie du sort ! Cantor, lui, avait l'espoir que les réels puissent être « bien ordonnés », notion dont il lui manquait une définition de la théorie des ensembles. Il critiqua ensuite vertement la position de Koenig. Par lettre à Hilbert en 1906 il refuse l'assemblage ou le bricolage par J. Koenig de « définition infinie (d'un nombre ordinal) » dont il met en valeur auprès de son correspondant l'aspect de *contraditio in terminis* – or, n'en avait-il pas vu d'autres (le domaine de la théorie des nombres regorge de tels oxymorons lorsque l'on tente de l'exprimer en mots) ? Finalement, aujourd'hui, le postulat de Koenig s'est avéré le bon. Il est démontrable et admis que l'ordre sur les réels ne peut pas être dit un « bon ordre ».

« Quand il y a un nouveau réel, c'est autour de l'impossible que se focalisent les questions » note J.-A. Miller dans l'article sus-cité.

<footnote n="60">⁶⁰ « Dès le lendemain » de l'exposé la démonstration de J. Koenig, Zermelo y pointa un problème, au niveau de l'emploi du lemme de Bernstein. Et Berstein confirma que son lemme avait été employé hors des conditions de sa validité.</footnote>

<footnote n="61">⁶¹ Miller J.-A., « Un rêve de Lacan », », dans Cartier P., Charraud N. (dir.), *Le réel en mathématiques*, Agalma (diff. Le Seuil), 2004, p. 137.</footnote>

<footnote n="62">⁶² Koenig avança l'argument qu'il n'y a pas de « bon ordre » sur les réels, au sens où il y a un bon ordre quand toute partie non-vide de l'ensemble a un plus petit élément. C'est un point qu'il démontra un an après (1905)</footnote>
## Création de systèmes hors rétroaction de l'Œdipe

La rétroaction de l'Œdipe est une expression employée par Lacan qui signifie le réordonnancement des complexes infantiles en termes œdipiens chez le sujet qui y a inconsciemment souscrit (à ce mythe) par le conflit interne que la relation d'objet instille dans le sujet, cf. schéma R<fnref n="63" />.

J.-A. Miller explicite bien que la rétroaction qu'il avance est à situer au-delà de l'Œdipe, du point de vue psychanalytique. C'est ce qu'il nomme sa « sixième conséquence » (à son postulat qu'il y ait un réel-de-discours). Cette rétroaction est atteinte par le discours des mathématiques en ce qu'il s'arme de la logique pour faire ex-sister des apories réelles, c'est-à-dire des points de butées logique et mathématique.

Il n'est pas possible d'ordonner un ensemble selon un « bon ordre » sans emporter son caractère dénombrable au passage. Et l'inverse est faux. Il est impossible d'écrire un nombre rationnel non-nul qui serait « le plus petit ». Ce qui montre qu'il y a même des ensembles dénombrables qui n'admettent pas de « bon ordre ».

Ainsi, nous pourrions dire avec Miller et Charraud : la notion d'ordre (ou de plus petit élément d'un ensemble, ou de bord inférieur) ek-siste à la notion d'ensemble dénombrable.

## Retour sur la Chose mathématique

La chose mathématique a l'essence d'une chose en cours d'élaboration, de formalisation.

Donc le mode work-in-progress sied à la Chose mathématique. L'exigence du publicateur, finalement, d'obtenir un travail abouti au plan de l'objet mathématique devient ici ambivalente : certes, en tant qu'exigence de rigueur logique, elle participe de l'émergence d'un réel conclusif, mais elle scie les jambes du chercheur lorsqu'elle est formulée maladroitement, comme une mise en cause de la notion elle-même, de la perspective elle-même. L'attaque du contradicteur, de même, est ambivalente : elle a ébranlé Cantor mais a permis de mettre l'accent sur une direction de recherche qui s'est avéré féconde et que Cantor même avait anticipée.

<footnote n="63">⁶³ Lacan J., « D'une question préliminaire à tout traitement de la psychose », Écrits, Paris, Seuil, 1966, p.554.</footnote>
Notre lecture permet de mettre en évidence les périls propres à la phase de la réception du travail d'un scientifique. Différents des périls de la vérité, leur caractère cinglant n'en semble pas moindre, au contraire.

« Elle [la science] volatilise même tout ce qui au départ pouvait vous accrocher dans la recherche et la substance même de la chose<fnref n="64" />. »

Le retentissement dans le réel (dont il s'agit avec la sixième conséquence à la proposition de J.-A. Miller qu'il y ait un réel-de-discours) n'est pas forcément là à lier à la question du déclenchement. Il suffit qu'une porte se fût refermée pour Cantor sur un lieu d'énonciation. Or un discours ne tient pas sans un tel lieu, notion sur laquelle nous avons maintenant suffisamment insisté. Le réel-de-discours<fnref n="65" /> ne tient pas sans un « lieu de l'énonciation<fnref n="66" /> ».

## Le désir du mathématicien : une raison de structure

Nathalie Charraud se sert du témoignage de Poincaré pour retracer l'existence d'un discours du mathématicien, le procédé qui permet d'écrire des mathématiques et qui en passe par quatre étapes successives : la préparation, l'incubation, l'illumination et les vérifications. D'autres mathématicien d'ailleurs, en témoignent en des termes variés, mais concordants. Hadamard compare la sortie du moment de l'incubation à la retrouvaille d'un mot perdu. Cela ne peut que résonner avec la notion psychanalytique de l'oubli de mot.

En appliquant cette grille de lecture au cas qu'elle connaît parfaitement, celui de Géorg Cantor, Nathalie Charraud rapporte encore que la phase de l'illumination s'ouvre également de manière caractéristique par une énigme.

> « une énigme, celle qui met en route le processus de travail inconscient. Dans le cas de Cantor, l'énigme qui le pousse à travailler sera, de façon constante, la question de l'essence du continu. Cette énigme deviendra pour lui encore plus fascinante après

<footnote n="64">⁶⁴ Miller J.-A. « L'ère de l'homme sans qualité », *La Cause freudienne*, 57, (texte et notes établis par C. Bonningue à partir des leçons du 14, 21 janv. et 4 fév. 2004 de l'Orientation lacanienne III, 6, dept. Psychanalyse Paris VIII) 2004, p.73-97.</footnote>

<footnote n="65">⁶⁵ La notion prolonge et permet de subsumer des formulations du dernier Lacan comme « se faire dupe » (de la science), formulation qui nous restait ambiguë. La notion de semblant à laquelle J.-A. Miller l'articule inclut qu'il puisse y avoir du signifiant dans le réel (mais pas du semblant, donc reste la question du sens en position littorale), sans forcément aborder de front l'opposition différentiel nouage-dénouage.</footnote>

<footnote n="66">⁶⁶ Charraud N., *Georg Cantor - Infini et inconscient, 2ème éd.*, op.cit., p.190. « Si Cantor ne publie pas pendant ces années de retrait, il garde des lieux d'énonciation mathématique, comme son séminaire à Halle et une conférence à la rencontre annuelle de la SSMA (Société scientifique et médicale allemande) », le syntagme est souligné par nous.</footnote>
sa découverte que les espaces de dimensions supérieures [NDLR : supérieures à R la droite continue de dimension une] ont la même cardinalité que celle de R, ce qui heurte l'intuition que l'on peut avoir de la dimension (...)<fnref n="67" />»

Enfin, elle analyse en quoi le travail du mathématicien, bien qu'il soit particulièrement systématique et rigoureux, se différentie d'un délire.

La comparaison que fait Hadamard (que rapport N Charraud) selon laquelle le moment fécond de la découverte mathématique causerait la même extinction d'un tourment qu'un mot retrouvé, bien qu'exprimé sous la forme d'une analogie, se trouve avoir une formule structurelle qui en fait davantage que cela.

J.-A. Miller l'expose dans *L'os d'une cure*<fnref n="68" />. En un premier temps, une division du sujet tend à prendre corps en fonction du ou des signifiants<fnref n="69" />.

$$F(S) \to s$$

En un second temps, un « effet investi de signifié » se dégage d'obtenir la maîtrise d'un savoir, effet pour lequel J. Lacan a proposé un déictique : l'objet a<fnref n="70" />.

$$\frac{S_1}{s} \to \frac{S_2}{a}$$

Et J.-A. Miller précise : « cela permet de s'apercevoir de la nécessité de la formule du fantasme, qui conjoint ces deux effets. » Autrement dit (s poinçon a) est une version antérieure du même concept que celui consigné par le mathème qu'a écrit Miller, disons celui de fantasme, pour reprendre son acception la plus ancienne et de Freud. Aussi, J.-A. Miller pointe « la nécessité de la formule du fantasme », comment l'entendons-nous ? La nécessité, Lacan l'a dite « ce qui ne cesse pas de s'écrire ».

Au dernier terme, pour s'y retrouver parmi la batterie des signifiants, ce dont le sujet dispose c'est de l'écrit. La clinique de la confusion mentale apporte des gages sur ce point.

<footnote n="67">⁶⁷ Charraud N., « Infini et inconscient chez Cantor », *Séminaire de Philosophie et Mathématiques*, fascicule 5, 1995, p.1-10.</footnote>

<footnote n="68">⁶⁸ Miller J.-A., *L'os d'une cure*, Paris, Navarin, 2018, p.56.</footnote>

<footnote n="69">⁶⁹ Non sans un affect, un tourment.</footnote>

<footnote n="70">⁷⁰ L'objet (a) est défini par Lacan dans le séminaire Livre XVI p.56 « la conséquence de ce que le savoir se réduit à l'articulation signifiante ». L'ensemble de l'effet investi de signifié décompose ce qui se joue dans le terme technique, freudien, de l'« introjection ».</footnote>
La maîtrise que l'écrit procure offre au sujet un appui dans le langage. Il se nomme, si l'on suit l'élaboration du champ freudien de Freud à Miller, le fantasme.

Et, l'une des formes les plus abouties du fantasme ainsi entendu se trouve dans les mathématiques, du moins l'une des formes les plus littérale, c'est-à-dire condensée. Ce que les lettres mathématiques condensent c'est — selon le mot de M. Serfati, « un paratexte » qui en constitue « le renseignement », autrement dit tout une littérature et même parfois une histoire. La démonstration en mathématiques épouse donc la structure d'un point de capiton, c'est à dire d'une phrase jusqu'à la ponctuation qui lui confère un ou plusieurs sens.

Ce n'est pas dire qu'il y aurait un inconscient collectif qui serait mathématique.

Pour en revenir à la formule ci-dessus J.-A. Miller précise enfin : « Lacan a expliqué que c'est dans le fantasme que la libido est conjointe à l'effet du signifiant. Le fantasme est le lieu par excellence de l'investissement<sup>71</sup>. » Ainsi nous avons là un point de structure : le maître relève de la même nécessité que l'écrit, que la clarification des concepts par l'écrit, y compris mathématique. Et cela vivifie l'effet du signifiant auprès d'un sujet, sinon plutôt mortifié et contraint par les signifiants. Donc cela lui en donne l'idée d'une maîtrise sur le plan fantasmatique. C'est aussi le plan qui institue le savoir en tant que tel. Qui procure le fantasme agit en maître, c'est ce qu'énonce d'une autre manière la fable du Corbeau et du Renard.

Grâce à la lecture de N. Charraud, est apporté à l'analyse de l'invention mathématique cette raison de structure qu'elle n'est pas sans la poursuite d'un objet cause du désir, à l'origine point de circulation sur le graphe du désir<sup>72</sup>.

Quand Hadamard indique que le mathématicien aperçoit après-coup qu'il s'agissait de retrouver un nom, il pointe un phénomène de rétroaction. La démonstration interprète le travail du mathématicien. C'était cela qu'il s'agissait de prouver. Le paradigme de l'invention mathématique serait alors bien une intuition *symbolique*, dans le sens qu'après-coup elle devient ce qui est lisible de l'écriture mathématique elle-même.

<footnote n="71">71 Miller J.-A., *L'os d'une cure*, Navarin, 2018, p. 56.</footnote>

<footnote n="72">72 Lacan, J., « Subversion du sujet et dialectique du désir dans l'inconscient freudien », dans *Écrits*, Paris, Seuil, 1966, p.818.</footnote>
C'est par une intuition symbolique qu'à de rares occasions mais tout de même cernable, le mathématicien opère sur le refoulement, le lève en un point, et cela semble réconcilier le sujet avec une partie ce qui pourtant le divise.

### 3) La lettre en mathématique

La lettre est préservée dans l'inconscient, en tant qu'insu du sujet. Nathalie Charraud a mis en évidence une spécificité de l'écriture mathématique, le passage de la chose mathématique à l'objet.

Nous notons qu'en psychanalyse, J. Lacan, dans *L'Étourdit*, a exprimé précisément ce fait que les mathématiques partent d'un dire<sup>73</sup>. En mathématique, il s'agit d'un rapport à l'écriture, en quelque sorte, systématisé.

Et en effet, pour les philosophes des mathématiques<sup>74</sup>, la modélisation statistique pourrait être considérée comme constructiviste au cas par cas, en acceptant pour constructivisme générique celui qui s'insère dans une démarche fondationelle. Par démarche fondationelle, J.-M. Salanskis signifie recherche d'axiomes (démarche Euclidienne : le plus simples, les plus fécons, cf. rasoir d'Ockham). Par constructivisme, il signifie rejet de l'intuitionnisme (Brouwerien), rejet d'introduction de choses mal définies (au sens de N. Charraud).

La lettre mathématique pourvoit ainsi à un dire premier, un prosdiorisme. Elle est cause formelle à laquelle s'associe une cause substantielle<sup>75</sup> ou principielle (un ce que c'est) –là sont les deux causes premières pour Aristote. Après elles, la cause matérielle est secondaire, ainsi que la cause finale.

La substance vient à la cause formelle comme par l'extérieur pour certains mathématiciens. Elle fait le point de passage entre les mathématiques « pures » et « appliquées » (beaucoup y reconnaissent des effets retour toutefois, au moins dans l'histoire des mathématiques).

<footnote n="73"><sup>73</sup> Lacan J., « L'Étourdit », *Scilicet* 4, Paris, Seuil, 1973, p.5-52.</footnote>

<footnote n="74"><sup>74</sup> Salanskis J.-M., « Logique et mathématique », *Philosophie des mathématiques*, Paris, Vrin, p.132-137.</footnote>

<footnote n="75"><sup>75</sup> Aristote, *Métaphysique*, [IVe siècle av. J.-C], prés. et trad. par Marie-Paule Duminil et Annick Jaulin, Paris, Garnier Flammarion (2008), p.79.</footnote>
Quelles sont-elles ces mathématiques appliquées ? Gardons la question ouverte ici pour tenter d'y répondre plus tard, lors de notre approche du travail de Markov (et lors d'une lecture d'un article sur Galilée de Judith Miller).

## La lettre du 06 janvier 1819 de Gauss à Gerling

Il y a lettre mathématique en tant qu'un mathématicien se trouve affecté par elle. L'évènement survient lors d'une intuition symbolique. Une illustration nous permettra d'ajouter un cas à la série de ces intuitions mathématiciennes auprès desquelles nous recherchons un enseignement d'ordre psychanalytique dans le fil de la démarche de Pensée psychotique et création de systèmes et du Cantor de N. Charraud.

K. F. Gauss a fait la découverte disruptive du polygone régulier à 17 cotés<sup>76</sup>. Le divin détail est que, dans la même lettre, ses observations astronomiques font les frais d'une ellipse de sa part (or c'est l'un des sujets important jusqu'à lors de cette correspondance). C'est-à-dire qu'il entérine dans cette lettre une décision inconsciente qui s'approche d'un acte. Il décrit que son objet de prédilection a d'abord muté, et qu'ensuite cela a entraîné des conséquences sur ce qu'il a pu découvrir ou non.

C'est une affaire de goût, qu'il exprime en termes d'avoir pris conscience à un moment d'une préférence pour l'arithmétique devant l'astronomie. Nous constatons qu'en contrepartie de la découverte qu'il a faite 23 ans auparavant, Gauss indique avoir dû faire le choix de ne plus partager ses observations astronomiques, à ce moment-là, alors que c'était son violon d'Ingres. Ce choix de priorisation peut paraître de l'ordre du détail, certes. Le récit épistolaire peut paraître un roman personnel, certes. Toutefois, ce détail nous a semblé digne de considérations du fait qu'il touchât à la question d'écrire. Entre deux écritures, Gauss dit dans cette lettre avoir dû faire un choix, s'être orienté. Gauss a fait passer un sujet devant, et remis l'autre pour plus tard. Et, ensuite, le sujet a fait une découverte sentie comme majeure (en introduction il précise : en ayant recherché dans l'arithmétique des formes supérieurement belles à celles de l'astronomie). Majeure s'entend ici au sens d'une extraordinaire fécondité à venir, que Gauss ressent, mais ne le

<footnote n="76"><sup>76</sup> Schäfer, C. *Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauß und Christian Ludwig Gerling*. Otto Elsner Verlagsgesellschaft M.B.H., Berlin, 1927 (lettre du 6. Januar 1819) consulté le 05/11/2022 : https://gauss.adw-goe.de/handle/gauss/399?locale-attribute=de</footnote>
sait pas, ne peut pas expliciter. C'est une part d'indicible dans son actualité à l'époque, qui laisse à désirer. Il s'en souvient comme si c'était hier alors qu'il écrit 23 ans après.

> « Durch angestrengtes Nachdenken über den Zusammenhang aller Wurzeln untereinander nach arithmetischen Gründen glückte es mir, bei einem Ferienaufenthalt in Braunschweig am Morgen des gedachten Tages (ehe ich aus dem Bette aufgestanden war) diesen Zusammenhang auf das klarste anzuschauen, so daß ich die spezielle Anwendung auf das 17-Eck und die numerische Bestätigung auf der Stelle machen konnte. »

> « Après un laborieux effort intellectuel au sujet de la relation d'ordre arithmétique qui liait les racines entre-elles ai-je eu enfin la main heureuse, le matin d'un jour de relâche à Braunschweig alors que je m'étais accordé une grasse-matinée, à voir en toute clarté cette relation, de sorte que je fus en mesure de l'appliquer au cas particulier du 17-côtés et d'en apporter la confirmation numérique sur place. »

Cette forte implication théorique que seul l'avenir pourra éclairer a trait à la théorie des groupes. Il constate : nous pouvons disposer de telles preuves sur un cercle (celles du système d'équations qui démontre qu'il y a un polygone régulier à 17 cotés), elles forment des groupes de preuves. Ce n'était pas un hasard, cela devait lui arriver, dit-il. Pour expliquer cela, il raconte donc les conditions de cette liaison de pensées mathématiques qui lui est venu. Il travaillait sur les racines d'une autre équation :

$$ \frac{x^p - 1}{x - 1} = 0 $$

Ce racines se répartissent en deux groupes. Un matin de l'hiver 1796, sans qu'il soit sorti de son lit, il s'efforçait de penser arithmétiquement ce problème arithmétique-géométrique. Et, alors, il a "vu" le mouvement de ces racines organisées sur un cercle s'appliquer à l'heptadecagone, qui serait alors régulier. Ce faisant, il narre un souvenir d'il y avait 23 ans à l'époque, et avec des détails très vivants, voire vivaces.

Nous disons, pour la présente argumentation, que la préférence de Gauss de 1819, qui fit qu'il correspondit avec Gerling d'abord de l'arithmétique, devait être déjà-là ou en germe en 1796, lorsqu'il a fait la découverte majeure (dont il livre à Gerling une nouvelle démonstration synthétique, épurée et donc magnifique). Ce que nous appelons un maître (du savant) est ce qui se découvre pour lui-même de ce qui le motive, et qui prolonge son chemin en science, son désir. En bref et pour conclure de manière un peu hégelienne, c'est parce qu'il s'était soumis à ce maître qu'il devient lui-même un mathématicien novateur.
Faisons donc un pas de plus, par désir. La théorie classique des probabilités construit une prévisibilité sous certaines conditions qui portent sur la distribution des erreurs. Y est postulé l'erreur d'observation. Cette erreur nous pouvons la qualifier de tâche : d'une part car il s'agit d'une théorie de l'observation, qui cerne ainsi un objet regard, d'autre part car elle suppose un écran continue, une trame de fond continue. Foncièrement c'est la théorie du bord de la tâche, qui reste une dimension inférieure à une théorie du bord du trou (2D vs 3D, généralisable à (N-1)D vs N-D), une projection, un placage, un rabotage d'un relief.

En effet, pour aller de l'erreur à la constriction de l'erreur, pour aller du « observable aujourd'hui » à « observable demain », cela n'a pas été noté tout de suite mais il y a une condition particulière qui s'impose : l'hypothèse d'une invariance niveau d'un cadre qui s'exprime : « toutes conditions égales par ailleurs ». Que veut dire ce toutes conditions égales ? Il n'a que très peu de sens concret, mais signifie la virtualité du propos et poinçonne son caractère d'abstraction. C'est Poincaré qui note finalement, début 20ème, que le cadre probabiliste peut fusionner avec celui de l'analyse mathématique dans une théorie de la mesure, de l'étalonnage. Mais rétrospectivement, à lire l'expression rigoureuse de la loi de Bernoulli par Bunyakovski, nous pouvons lire en ce théorème l'expression de la continuité au sens de l'analyse (mathématique). En effet, les quanteurs et la forme logique de la proposition sont ceux de la continuité, soit à peu près : quel que soit la loi du tirage, il existe un intervalle aussi petit que l'on le prenne qui encadre la distribution (gaussienne) des erreurs. Bref, sans que ce fut logifié déjà, mais déjà depuis le début du XIXème, Laplace et Bunyakowksi (et grâce aux fondations formidables en analyse posées par Gauss), la loi de Bernoulli est l'expression d'une continuité prise dans un certain contexte mathématique.

*Nota bene :* Il ne s'agit pas, en faisant valoir comment une condition d'ordre topologique, la continuité, se lovait depuis longtemps à l'entrecroisement de l'analyse fonctionnelle et des probabilités, il ne s'agit pas de faire oublier qu'il y a la théorie des combinatoires à probabilités discrètes, c'est-à-dire portant sur des ensembles discrets d'éléments, en nombre fini, ou en nombre dénombrables. Cependant, il s'agit de poser que, tant que la combinatoire usait d'ensembles discrets, la question de la topologie devait rester latente. En effet la topologie discrète à quelque chose de parfaitement naturelle (un élément compte pour un, le multipolaire) et en même temps de fort complexe et rebutante, avec
un nombre de trous très grand puisqu'égal au moins au nombre d'éléments discrets moins un, ce minimum étant atteint dans la dimension-un, et dépassé pour les suivantes. Rien qu'entre 0 et 1, il y a un trou.

D'où provient cette condition de continuité ? Là, il y a un bord aux mathématiques. Justifier la continuité en appel à un de facto, à partir des résultats eux-mêmes et de la possibilité de les écrire. Ou alors, cela en appelle à un mythe, une fiction d'un univers vraiment lisse et harmonieux telle que le proposait un Poincaré<fnref n="77" />.

Qu'est la continuité pour lui ? Il l'imagine comme extérieur aux équations lemmes et définitions. Avec le temps, il y a un processus d'amortissement et d'érodabilité à l'œuvre en tout et partout qui fait que les aspérités finissent par se gommer et qu'au fond, c'est cela la continuité en pratique qui est logifié en mathématique. Il ne nous dit pas, notons-le, ce qu'il peut advenir dans cette sédimentologie personnelle, des trous. Pour assurer la continuité il faudrait que les trous, s'il y en a, ne soient pas davantage taraudés, mais ensablés ou comblés par les limons qui viennent du reste des processus d'uniformisation. La petite science-fiction que propose Poincaré, dans l'impossibilité même de son geste, donne matière à méditer. C'est un bouchage.

Nous en sommes venus au point où, partis du postulat d'une tâche ou d'un point aveugle (l'erreur), nous arrivons à la question qui porte sur la présence ou l'absence d'un trou (le problème de la continuité). Nous constatons qu'il y a, dans ce travail à l'œuvre, le déplacement d'une question et qu'elle fait intervenir un manque. Il y a un travail sur le manque, mais cela ne le fait pas disparaître, c'est le point auquel nous voulions en venir. A chaque fois c'est un manque particulier. Et Poincaré est le 1er à reconnaître une forme du pas-tout. Ce n'est pas tout l'univers, à chaque fois que nous mathématisons, qui tombe sous le joug de nos équations. C'est à chaque fois un point de vue mathématique sur une partie seulement des phénomènes de l'univers.

Avec l'axiomatisation (de Bernstein), une clarification se fait jour. Postuler l'existence d'une fonction de probabilité, c'est postuler celle d'un ensemble comme statique (au sens où une répétition doit pouvoir s'y exercer un nombre de fois indéfini, typiquement, une itération

<footnote n="77">⁷⁷ Poincaré H., *Science et méthode*, [rééd. de l'ouvrage de 1908], Paris, Kimé, coll. *Philosophia scientiæ*. Cahier spécial 3, 2011, 256 p.</footnote>
notée par un indice en entier naturel). Ce postulat résout, donne un sens précis, à l'ancienne ambiguïté entre équipossibilité et équiprobabilité. Avant de lever cette ambiguïté, la lecture était permise de la loi des grands nombres comme une tautologie.

Les occurrences de ces répétitions peuvent subir elles-mêmes des conditions externes modificatrices, mais de manière modérée. C'est-à-dire : les probabilités conditionnelles se rattachent à la même axiomatisation que les probabilités classiques, à la remarque près qu'il faut que le conditionnement ne vienne pas étendre de manière rétrograde le jeu des causes à un ordre de complexité trop important, au sens où un tel excès obèrerait la possibilité de vérifier par l'observation la fixité du cadre dans lequel les tirages sont effectués. Nous retrouvons ici que cette borne logique de la vérifiabilité des observations, plus contraignante d'ailleurs que la simple observabilité<sup>78</sup> (c'est de cette dernière que science fleurit, laquelle n'est d'ailleurs pas la seule à en fleurir, Nietzche ayant aperçu un lien insoupçonné entre contemplation et morale par exemple).

Probabiliser consiste donc à tenir dans l'embrasure d'un ensemble des évènements voués à faire série. Probabiliser requiert en son principe un principe d'indifférenciation. Les éléments partie d'ensemble, aussi hétéroclites soient-ils, doivent pouvoir être lissés entièrement par la valuation.

La prime question, donc, ne serait pas que les probabilités ouvrent sur une quantification et une comparabilité assez généralisée. Il y a là matière à préciser un point du malaise qu'un Olivier Rey tenter de circonscrire par la philosophie<sup>79</sup>, démarche (éthique) à laquelle nous adhérons, en ce qu'elle prend au sérieux la dialectique nombre *versus* signifiants. Oui la question de l'évaluation pose des problèmes, cela pose d'autres problèmes (chiffrages, condensations...). Nous, nous voudrions mettre l'accent sur l'indifférenciation qu'il est nécessaire de supposer (la couleur des boules peut varier mais elle doivent se présenter dans la main d'une manière indifférente) et sur la fixation d'un cadre, ce qui est proprement faire un totem finalement, de n'importe quel signifiant. Cet appareil -- les probabilités -- est un montage qui sert à jouir d'une certaine manière d'un logogriffe -- un signifiant à tout faire au lieu de l'ombilic d'un rêve. Les probabilités rejoignent en cela le programme à demi

<footnote n="78"><sup>78</sup> Il nous semble en outre que le fait qu'il y ait des cycles dans le jeu des causes vient provoquer l'excès en question et faire sortir de la vérifiabilité statistique, du moins dans les travaux qui nous ont été lisibles.</footnote>

<footnote n="79"><sup>79</sup> Rey O., *Quand le monde s'est fait nombre*, Paris, Stock, 2016.</footnote>
ironique d'un Perec qui propose une science de l'infra-ordinaire, c'est-à-dire qui dévoile
des ressorts cachés aux faits du quotidien (cf. tentative d'épuisement d'un lieu parisien<fnref n="80" />.
« Ce qui se passe quand il ne se passe rien, sinon du temps, des gens, des voitures et des
nuages<fnref n="81" /> » magnifique zeugma qui ordonne sous le terme du passage à la fois du temps et
des voitures. C'est l'irréalisation du signifiant, bien sûr, qui permet cela dès lors que nous
choisissons de nous servir de la disjonction signifiant / signifié.

Avec les probabilités, science peut devenir en puissance science de n'importe quoi et tout
à fait rejoindre ce que souhaitait Georges Perec. Et ce potentiel tient à cette postulation
initiale qu'un ensemble, de sa fermeture, distribue des possibles et étale une extension sur
laquelle venir inscrire « les données » et venir les coter, peser ou évaluer avec des fonctions
(dont les probabilités). S'il y a là quelque chose de génialement systématique, nous voulons
dire dès lors qu'il y a là proprement un délire, un délire auquel chacun peut avoir de temps
en temps donné trop de largesse, et dont, une fois que nous en avons dénudé le ressort,
n'a plus d'autre crédit que la cogitation dont elle s'ordonne. C'est une sorte là de
complément à *Die Verneinung* – La Dénégation, sachant que le probable est bien une forme
de négation partielle, cela est cohérent.

Sur le plan psychanalytique, le postulat sur lequel repose tout modèle probabiliste
constitue une modalité de l'illusion (terme étayé sur *ludus* qui signifie jeu en latin<sup>82</sup>).
L'indifférenciation jetée sur les évènements à probabiliser est comme le voile du magicien
qui soustrait un objet au regard du spectateur.

Les savants nomment avant tout, mais au 21<sup>ème</sup>, ils en restent bien oublieux, et davantage
porté sur la culture du chiffre. Nommer va jusqu'à la lettre, car elle est produite du discours.
Faire œuvre de science, c'est nommer mieux, s'inscrire dans la philosophie qu'attribuer à
chaque chose un meilleur nom que l'actuel améliore le monde, réduit la confusion. Certes

<footnote n="80">⁸⁰ Perec G., *Tentative d'épuisement d'un lieu parisien*, Christian Bourgois Editeur / Collection Titres, 2008, 49 p.</footnote>

<footnote n="81">⁸¹ *Ibid*., p. 10.</footnote>

<footnote n="82">⁸² Kristeva J. Interview par Marcel Brisebois pour l'émission Rencontres, Radio Canada, archives de l'émission Rencontres, 1er nov. 1987.
https://ici.radio-canada.ca/archives/grandes-entrevues</footnote>
l'esprit scientifique est une philosophie paranoïde liée à l'institution du moi<fnref n="83" />. Certes cela
procède d'un étayage du narcissisme (gardons-nous de moraliser en ce point).

Or, aujourd'hui, la production à la chaîne d'études statistiques ne nomme rien de nouveau,
elle rebat des signifiants que la grammaire permet déjà de mettre au travail et de « traiter »
au niveau de chaque expérience humaine. Aucune disruption n'est à en attendre, mais
litanies, psittacismes, amalgames, confusions, accumulations...

Comment la grammaire génère-t-elle déjà les supputations et les ligatures tentés avec
force statistique ? Il y a, bien sûr, le conditionnel, qui, dans la conjugaison, dénote une
coordination entre des évènements qu'il soit ou non advenus. Il y a aussi un aspect de
verbe, l'accompli versus l'inaccompli, qui marque la nuance entre le fait d'être survenu ou
de le pouvoir. Cela est laborieux à dire en français qui use de construction syntaxique pour
rendre cette fonction grammaticale. La statistique ne se maintien plus que de la culture du
chiffre, oublieuse non seulement des effets éthiques d'un bien-dire, mais également
épistémiques.

En déracinant la pente vers le pire que promeut ce topos du probable, et qui envahit et
étouffe la science, la caducité de nombreuses études pourrait donner un certain vertige.

La démarche même d'une nosographie pourrait bien s'avérer avant tout le témoignage
d'un effort individuel et non le partage d'un savoir séparable du parcours d'écriture en
question.

Qu'il serait beau, que nous ayons le chiffre exact, que nous ayons l'observation ultimement
fine, au-delà de la raie, le trait. Lacan a fourni du trait une version archéologique : une
coche pour l'animal mort. Il avait enseigné aussi qu'en matière d'ensemble, les
anthropologues et l'archéologues notent l'éclectisme des objets dans les tombes, ceux
dont ont été dotés les morts par tradition pour leur voyage vers l'au-delà (cf. les traditions
égyptiennes). Aussi en France à notre époque, lors de la mise en terre, il peut être proposé
de laisser au défunt un symbole, un pour chacun (donc éclectisme), du souvenir de la
présence du défunt auprès de nous.

<footnote n="83">⁸³ Laurent D. « En quoi la forclusion du sujet par la science laisse-t-elle le champ libre aux paranoïas collectives ? », Ironik, 49, 23/12/2021.</footnote>

<footnote>URL : https://www.lacan-universite.fr/en-quoi-la-forclusion-du-sujet-par-la-science-laisse-t-elle-le-champ-libre-aux-paranoias-collectives/</footnote>
Nous n'avons pas vraiment fait un pas de plus que Lacan dans la mesure où le dernier Lacan dit cela, mais nous montrons ce qui dans ses enseignements précédents venait préparer une telle position antiscience (antiscience en psychanalyse, pour le développement de la psychanalyse uniquement, c'est à dire anti-mélange des genres, mais pas antiscience en général : ce qui serait un obscurantisme).

Le désir du savant est de repartir de noms bien faits, de refaire une réalité, la réduire, par l'écrit. Et cela marche ! Ce point est partagé par l'éthique du bien-dire en psychanalyse, à cet écart notable près que les psychanalyste s'y prennent autrement avec la question de la vérité, en n'admettant pas comme elle, que la vérité opérerait d'ailleurs que du vécu d'un corps. Que ce soit avec le délire, le fantasme, le psychanalyse doit opérer sans le critiquer ni le conforter. Conférer le statut d'hypothèse à une phrase à déjà la structure ou bien du fantasme, ou bien d'un germe délirant.

## La mathématisation de la physique

Judith Miller s'est penchée sur le passage entre la physique aristotélicienne et la physique après le pli pris par Galilée, qui devait donner naissances aux physiques ultérieures<fnref n="84" />. Ce passage est la consomption, la fusion, de la distinction aristotélicienne entre mouvement naturel et violent. Ce passage vide le sens de la définition aristotélicienne du mouvement naturel comme ramenant les objets vers leur lieu d'origine.

P. Duhem en avait étudié l'archéologie en repérant que, par exemple un Jean Buridan au XIV siècle commençait d'oser nier certaines parties de la Physique d'Aristote, avec des explications sérieuses. Nous pourrions ajouter avec le Lacan de RSI, ce J. Buridan ne le croyait plus (Aristote), mais continuant d'y croire (au mouvement) il devait forger à nouveau frais la notion d'impetus dans l'école de Paris<fnref n="85" />. Elle est la proposition qu'une certaine impulsion, ou impression d'une force dans une masse, qui se conserverait dans le vide, varie en fonction de l'expérience.

<footnote n="84">⁸⁴ Miller J., « Métaphysique de la physique de Galilée », *Cahier pour l'analyse*, 9 (Généalogie des sciences), Seuil, été 1968, p.138-149.</footnote>

<footnote n="85">⁸⁵ Duhem P., « V. partie : La physique parisienne au XIVe siècle - Chap VIII : le vide et le mouvement dans le vide », dans *Le système du monde : histoire des doctrine cosmologiques de Platon à Copernic*, tome 8, Paris, p.101.</footnote>

<footnote>ca.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k2425f ; voir aussi : https://fr.wikipedia.org/wiki/Impetus</footnote>
Koyré avait, lui, tenté de nuancer l'importance de Galilée, en épistémologue, en démontrant que ses résultat devait davantage à la conjecture qu'à la précision métrologique, puisqu'avant l'horloge d'Huygens la question des marges de précisions des mesures grevait la démonstration physique.

Judith Miller, elle, s'attache à un autre élément du savant humaniste italien. Galilée a pris la peine d'expliquer ce en quoi il croit dans le *Dialogue sur les deux plus grands systèmes du monde*<sup>86</sup>, le parti qu'il a pris antérieurement aux développements scientifiques de cette nouvelle physique. Et, ce témoignage est passé à la postérité.

La « révolution » Galiléenne, ce qui semble se perpétuer en elle (mouvement, vitesse, force) « change radicalement de sens », faisant « coupure épistémologique au sens de Bachelard », indique J. Miller.

L'ontologie galiléenne consiste à remplacer à des grandeurs définies d'abord dans une physique (l'espace, le temps), par des rapports. Typiquement la vitesse prend alors sens comme quantité en m par seconde, et non comme vitesse relative entre deux mobiles ou bien parcourant des distances différentes dans un même temps, ou bien parcourant un étalon de distance dans des temps différents.

Avec Galilée, un rapport devient une chose en soi, devient ontologique. Conjoindre dans une opération mathématique des quantités dont les dimensions physiques ne sont pas commensurables fait moins problème, par ex. conjoindre des mètres et des secondes. Cela ne fait moins problème que pour autant qu'à chaque chiffre sa dimension lui reste indexée. Le problème est déplacé. La substance garde un statut à travers la reformulation. C'est pourquoi J. Miller rapporte qu'il y a une ontologie (nouvelle), il reste du substantiel, reformulé.

> « Décerner [la] fonction {du fondement} à la logique (comme Aristote) ou aux mathématiques (comme Galilée) décide de deux ontologies : celle de l'aristotélisme est une ontologie de la substance et de la contingence, celle de Galilée est une ontologie de la relation et de la nécessité. » (les italiques sont d'origine).

<footnote n="86"><sup>86</sup> Galilée, *Dialogue sur les deux plus grands systèmes du monde*, Seuil point, 656 p.</footnote>
J. Miller d'après Hemlsev souligne qu'il y a là une avant-garde au structuralisme, doctrine conférant une prime importance aux rapports différentiels, dans le sens où ces rapports décideraient de la signification.

Si le même Galilée a introduit le calcul des probabilités<sup>87</sup>, ce n'est peut-être pas un hasard. Une telle ontologie modifie aussi ce sur quoi porte fondamentalement une affirmation, en l'occurrence scientifique et philosophique. Elle ne porte plus sur la nature. Il y a là un tout début de Kantisme au sens où ce dernier aurait postérieurement exposé (croyons-nous) qu'une limite interne est nécessaire dans la raison (pure) en termes de croyance. Et encore postérieurement, est ouvert par « l'ontologie des rapports et de la nécessité » le chemin qui mène à la définition d'une affirmation scientifique (hors sciences exactes) en termes de falsifiabilité<sup>88</sup> ; c'est-à-dire conditionnelle à un dispositif logico-expérimental.

## Science vs religion

En résumé, le statut d'une affirmation commençait alors d'être nuancé de telle sorte à rejoindre celui d'une proposition. Partant, alors même qu'un franchissement était acquis par rapports aux maîtres antiques de philosophie-sciences par Galilée, devait faire retour dans les sciences en général, de manière délocalisée mais partout prégnante, un « le-croire » (méthodique, à prendre au sérieux) venant supplanter un « y croire », de moins en moins important jusqu'à être banni du mouvement des sciences à partir du 19ème siècle, ce qui passe outre la proposition Kantienne donc. L'exercice de la science porte au scientisme. Il y a là un cercle vicieux (un système) c'est à dire un appareil dont il est possible de jouir de la fermeture propre, un appareil qui n'est pas celui de la religion mais qui élaborer un faire-croire (make-believe) concurrents de ceux de la religion. Ils sont concurrents non dans le sens d'un marché, mais plutôt ayant la même fonction de voile de la perte de l'objet (a). Historiquement, le symbolique (croire ce qui est écrit) couvrait d'un voile le réel par le récit, voire le réel-de-discours pour un récit donné, soit la tentative plus ou moins probante de problématisation d'une expérience donnée.

Cela a eût pour prix une extension doublée d'une relativisation, les deux extrêmes, de la question de la vérité, du moins pour ceux qui souhaitait adhérer aux propositions de la

<footnote n="87"><sup>87</sup> E. Borel, *Hasard et certitudes*, Que sais-je (n°445), Paris, Puf, 1950, p.18.</footnote>

<footnote n="88"><sup>88</sup> Popper K., *La logique de la découverte scientifique*, Paris, Payot, 1984 [1954], 471 p.</footnote>
science, non sans affecter la théologie chrétienne dans ce milieu, par isolation et par une accentuation de l'aspect mythique du récit biblique non-contrôle par l'Eglise. Toutefois il semble que le Vatican se soit fait une raison, depuis.

Pour autant qu'il nous paraît, que ce n'est pas le mouvement scientifique sceptique qui peut prévaloir dans le collectif des locuteurs et tenir des positions sur le long terme non plus, et cela dit sans vouloir habiliter un Autre du langage qui serait pleinement consistant.

Dans les faits, dans nos mœurs actuelles, il est proposé aux enfants l'idéal de dire la vérité bien avant toute leçon de science, encore moins de scientificité (logique). Nombreux sont ces petits d'hommes déjà rompus à plusieurs fortes repressions civilisationnelles. Certes, nous venons de voir que l'introduction de la démarche scientifique inscrivait par-dessus une conception et un mouvement de relativisation qui sape l'idéal sous-jacent de vérité (mais laissant un champ à l'honnêteté) mais enfin il faut qu'elle soit bien fragile pour ne pas tenir. Cela qui explique au passage la rareté des profils de scientifiques au sens fort de ceux novateurs. La question de la franchise atteint le domaine du privé, d'atteindre la Spalltung d'où il est exigible de ne pas se mentir et/ou de résoudre nos conflits avec nous-même. C'est un fait clinique, pas une généralité. Le conflit intérieur, la douleur qu'il existe chose dans laquelle le sujet se trouve pris peut rappeler au sujet l'existence de sa division (là n'est pas son seul effet, ni son effet nécessaire).

## Le rapport du désir et de la lettre dans l'enseignement de Jacques Lacan

J. Lacan indique qu'« Il faut prendre le désir à la lettre »<fnref n="89" />. Réexpliquons cette phrase, le plus brièvement possible puisqu'il l'explique déjà bien.

Qu'est-ce que demander ? Il y a demande, d'une part, lorsque le besoin peut attendre un minimum. Et, d'autre part, s'il y a chose demandée ce n'est jamais sans une parole articulée, c'est-à-dire de laquelle puisse s'interpréter un objet de la demande, par ex. « j'ai faim ». L'objet nourriture s'entend là.

<footnote n="89">⁸⁹ Lacan J. « La direction de la cure et les principes de son pouvoir », dans *Écrits*, Paris, Seuil, 1966 [1958], p.620.</footnote>
Donc, les objets des demandes varient, suivant notre théorie autant que les combinaisons langagières de sujets, verbes et compléments.

Or, dans la pratique, pour chaque analysant en particulier, la myriade de combinaisons ci-avant rêvée n'a guère cours. De plus, certains analysants repèrent un motif organisateur, qui peut se présenter comme une phrase, quoiqu'il y ait alors là une difficulté d'interprétation, une phrase qui condense à elle seule tant de raisons de demander tant de choses, qu'elle suffit à produire un effet de rebroussement.

Lacan reprend le rêve de la belle Bouchère qu'a rapporté Freud dans la Traumdeutung. Et il ajoute après Freud, que la déduction du rébus de son rêve qu'elle désirerait du caviar ne serait d'aucune utilité, puisqu'elle avait déjà expliqué comment, par ailleurs le jour, ce caviar, elle se le refuse. Le caviar lui sert à marquer d'une pierre blanche une croisée des chemins où émerge par bribe une manière prégnante dont elle désire son mari<fnref n="90" />. Ce fait clinique a été repérable sous transfert, c'est-à-dire après s'être attelé au travail psychanalytique proposé par S. Freud.

Le logogriphe du rêve, un signifiant qui accroche, est le mot « saumon » / Lachs<fnref n="91" />. « Le saumon est un logogriphe qui vient condenser les questions du sujet hystérique, en tant que signifiant du désir de l'Autre ». A. Adam propose la notion de signifiant « à tout faire ». Est-ce que cette nouvelle notion a à voir avec le signifiant quelconque (dans l'algorithme du transfert) ? Déjà notée par F. Hulak à propos de Néo-Codion pour M. A.

Le titre « le sens de la lettre »<fnref n="92" /> d'une partie de la conférence de Lacan de 1958 fait donc jouer la lettre en tant qu'élément matériel constituant et support des signifiants. Les deux réductions : du signifiant vers la lettre, et de multiples demandes vers le désir bordent la cure. Certains analysants témoigneront peut-être d'autres façon d'y avoir opéré leur

<footnote n="90">⁹⁰ Freud S., « L'interprétation du rêve », dans Œuvres complètes Psychanalyse vol. IV 1899-1900, Puf, Paris, 2004, p 182.</footnote>

<footnote n="91">⁹¹ Adam A., Le Logogriphe du rêve de la belle bouchère, billet d'une préparation du XIIe congrès de l'AMP sur Le rêve, son interprétation et son usage dans la cure lacanienne, URL : http://ecf-cartello.fr/2021/04/14/le-logogriphe-du-reve-de-la-belle-bouchere/ dernière consult. 06/2022</footnote>

<footnote n="92">⁹² Lacan J., « L'instance de la lettre dans l'inconscient ou la raison depuis Freud », dans Écrits, Paris, Seuil, 1966, p.495.</footnote>
réduction. J.-A. Miller propose ce résumé : « En contraste (avec l'abondance de signifiants) j'introduis la réduction, comme l'opération analytique. »<fnref n="93" />

## Le rapport du manque à la demande

Les signifiants sont porteurs de significations. Toutefois, J. Lacan oriente la question de l'interprétation analytique vers la lettre qui en tant que cause matérielle<fnref n="94" /> du sens, via l'articulation, signifiante n'a que peu à voir avec cette question du sens.

Le demandeur anticipe sur la question du sens, en tant qu'il escompte sa demande honorée. Il se présente autant de réponses que d'expériences concrètes d'accueils, de réceptions et de réponses à une demande. L'universel n'a là pas cours. Des contingences peuvent affecter une demande vécue.

L'idée d'un traitement universel de la demande peut-il ne pas la ravaler, l'annihiler en tant que demande ?

Avec l'idée d'un traitement universel de la demande vient celle de la traiter avec célité. Or, la demande, telle que nous l'avons introduite, peut tenir certain temps, parfois très longtemps, parfois non. En perspective, cette question concerne le rapport amoureux, mais aussi la question de la haine et de l'ignorance<fnref n="95" />.

J. Lacan note, au passage, que la conception du désir lisible chez S. Freud permet de le distinguer alors du vœu [Wunsch]<fnref n="96" />, par exemple le caviar de la Belle Bouchère, lui-même distinguishable de l'objet d'une demande.

J. Lacan a ainsi déplié en trois pans l'effet diffractant de l'expression verbale. Résumons : en tant que chaque demande particulière ne tende vers un effet escompté qu'à travers son expression verbale, il en résulte qu'aucune ne se suffise jamais à elle-même. Trois niveaux s'inscrivent au moins : celui de l'expression d'une demande (d'où et comment elle survient), la demande en tant que telle (sa nature), et celui de ses effets (en particulier ceux escomptés). Le manque se déduit donc de la demande selon des modes, des niveaux.

<footnote n="93">⁹³ Miller J.-A., *L'os d'une cure*, Paris, Navarin, 2018, p.25.</footnote>

<footnote n="94">⁹⁴ Aristote, « Livre II », dans *La physique*, Paris, Vrin, nouvelle traduction annotée par A. Stevens, 2012, p.113 ou [194b16].</footnote>

<footnote n="95">⁹⁵ Lacan J., « La direction de la cure et les principes de son pouvoir », dans *Écrits*, Paris, Seuil, 1966, p.627.</footnote>

<footnote n="96">⁹⁶ *Ibid*., p.620.</footnote>
Cette différentiation, nécessaire en psychanalyse, Lacan la connote du manque-à-être<fnref n="97" />. Le manque fait ici référence aux intervalles de diffraction exposés ci-dessus. Le à-être fait référence à l'advenir de petit d'homme et introduit à la question de l'histoire d'un sujet, le matériel d'une psychanalyse.

Or, il ne peut à ce point que devenir très schématique d'évoquer l'être ou le devenir sans le cas. Par simplification, dans la prime enfance, par le truchement de la satisfaction des besoins et de l'amour maternel, l'objet d'amour est susceptible de faire enforme (enforme : un cintre pour la chemise, un ébauchoir pour une chaussure) à la demande infantile<fnref n="98" />, c'est-à-dire de lui faire adopter cette forme, à partir d'un premier besoin ou produit. Dès lors, qui dit demande dit manque-à-être, non seulement à être-aimé en réponse, mais à partir aussi de l'être-du-besoin (l'hilfslosigkeit / le sans-défense, l'être qui a nécessité le soin). D'ailleurs il se dit en français : « je me risque à le demander ». Où le mot risque, bien qu'emphatique, présente la connotation du danger.

Par ailleurs, si la cure psychanalytique permet un certain déchiffrage de la question du désir au cas par cas et sous transfert, que nous en sachions davantage sur notre désir ne met pas fin à nos demandes, pouvons-nous constater.

J. Lacan indique du désir : «[le pervers] se défend lui aussi à sa façon dans son désir. Car le désir est une défense, défense d'outre-passer une limite dans la jouissance<fnref n="99" />.» Le désir constitue un autre bord que la demande, un bord sur « la jouissance », qu'il articuler à un ravinement (de lettres) à partir de *Lituraterre*<fnref n="100" />. La demande met plutôt en cause l'être et peut rappeler à notre bon souvenir un manque-à-être quasi-immémorial.

En conclusion, le rapport de la demande au désir n'est pas direct, mais médié par le rapport des différentes formes du manque à la demande.

<footnote n="97">⁹⁷ Lacan J., « Remarque sur le rapport de Daniel Lagache », dans *Écrits*, Paris, Seuil, 1966, p.655.</footnote>

<footnote n="98">⁹⁸ *Ibid*., p.654.</footnote>

<footnote n="99">⁹⁹ Lacan J., « Subversion du sujet et dialectique du désir dans l'inconscient freudien », dans *Écrits*, Paris, Seuil, 1966, p.825.</footnote>

<footnote n="100">¹⁰⁰ Lacan J., « *Lituraterre* », dans *Autres Écrits*, Paris, Seuil, 2001 [1971], p. 11-20.</footnote>
La compacité de la tâche

Un postulat de base de la théorie des probabilités mathématiques a eu cours pendant plusieurs siècles, avant d'être comme éteint par la formulation nouvelle de cette théorie, celle dite axiomatisée, au 20ème siècle. Ce postulat de base était qu'il y a erreur d'observation. Nous en trouvons une expression limpide par exemple chez un bon théoricien russe, Bunyakowski, autour de 1820 et cité dans la fresque historique érudite de Maistrov (1974) « Bunyakowski states that errors in observation are inevitable ».

D'ailleurs, petit commentaire, c'était presque un constat à l'époque, car cette théorie dite « des chances » restait très au contact de chacune de ses applications, c'était davantage qu'une hypothèse, ou alors c'aurait été une hypothèse d'une prégnance telle qu'elle aurait eût un caractère fort systématique, et comme naturellement théorique. NBP C'est dans ce type de situation qu'il est loisible de croire universelles ces assertions alors qu'aucune ne l'est bien sûr et d'abord pour les scientifiques authentiques qui font en général preuve de modestie en même temps qu'ils publient leur démonstration (mais leurs épigones...). Au fond, l'erreur ou la falsifiabilité n'a pas de caractère universel pour la science, seul un philosophe des sciences peut avancer un tel credo.

Pourquoi la psychanalyse viendrait-elle commenter ce postulat de base des probabilités classique ? Il n'y a pas de nécessité à venir en dire quelque chose de supplémentaire aux épistémologues et aux mathématiciens.

Par méthode, dans cette thèse, nous avons cherché à nous abstenir de toute articulation mathématico-psychanalytique ou psychanalytico-mathématique, nous avons tenu adjoint les mathématiques d'un coté, en dialogue avec, la psychanalyse de l'autre.

Au demeurant, nous ne plaidons pas que chacun reste dans sa discipline et ignore l'autre. Essayons de nous parler, en interdisciplinaire. Certes, depuis le dernier enseignement de J. Lacan, il y a un écart et même des chemins divergents entre psychanalyse d'un côté, et le chemin de n'importe quelle autre science ou théorie valable de l'autre. Par esprit scientifique, nous rêvons, nous fantasmons. Or, le fantasme fait problème. La cure tente d'en dégager une écriture (et cette réduction se soutient même d'un horizon d'expulsion, ou du moins de serrage très subtil au cas par cas de ce qu'il y a d'abjection initiale, un trou, dans le montage du fantasme). Tous nous avons à savoir mieux y faire avec la chose, [Das
Ding] – le mortifère. Et cela implique de faire un pas de coté de la science. Il n’est pas dit que les femmes et des hommes de science n’adhèrerons pas à ce point d’éthique.

## Le clivage du sujet et son identification

L'article fait cet effort de tirer au clair les nouvelles élaborations du séminaire sur l'identification (1962). Celles-ci tournent autour de questions topologiques. La coupure signifiante était devenue pour Lacan un objet topologique qu'il est possible d'élaborer pour en rendre compte à travers l'expérience analytique pour J. Lacan. L'abord topologique permet de passer outre le domaine du spéculaire pour y substituer l'effort d'écriture (mathématique) de correspondances points à points, symboliques, la corrélation<fnref n="101" />.

Ce que J. Lacan analyse de l'einziger zug de Freud (chapitre VII de Psychologie collective et analyse du moi ?) a pu bénéficier de l'article de Jakobson « signe zéro ». Lacan revisite la pensée freudienne sur la fonction de ce trait en marquant la différence entre un trait qui unifierait les signifiant (ce que n'est pas l'einziger Zug) et une pure différence, il est ce que les autres ne sont pas, il est pur support de la différence, ou de l'altérité radicale. Ce n'est pas le un d'un système de numération déjà fonctionnant, mais le caillou (calculus) auquel l'école Pythagoricienne par exemple se réfère pour classer différent type de nombres par groupes répétés (les nombres carrés, les triangulaires etc.).

L'article de Jakobson « signe zéro » soutient en linguistique que l'absence d'un signifiant dans un morceau de phrase suffit à recueillir de la signification, par pure différence d'avec les autres possibilités de la langue. Exemple, l'absence de la copule « est » permet, dans les langues qui use d'une telle copule comme le latin, à ce qu'il y ait une différence entre *deus bonus* et *deus bonus est* (dieu bon / dieu est bon). La possibilité grammaticale du « ne » explétif offre un autre exemple, quoique dans ce cas-là, l'absence du « ne » ne s'accompagne pas nécessairement d'une modification de signification.

Il n'est possible de rendre ludique le phallus qu'en passant par les signifiants, y compris sous la forme de la roulette ou du dé, d'une combinatoire. L'opération qui en résulte est

<footnote n="101">101 Voir dans Histoire de la topologie algébrique de Pont, la fonction du trait (Zug) pour cerner les singularités des fonctions holomorphe (Riemann) et la promotion par Moebuis d'une algébère des correlations qui permet de s'émanciper des questions de formes et/ou de dilatation pour ne retenir que les relations de lieux à lieux. Pont explique que ce fut la première tentative réussi de topologie algébrique.</footnote>
l'injection de signifiants – comme qui pour se muscler s'injecterait des stéroïdes (le père adoptif dans le film *Titane*)

Nous cherchons à démontrer qu'il y a un rapport logique entre programmer pour optimiser (une fonction) et la privation.

Une perte sans remédiation instaure la privation, un vide, toutefois, « c'est l'exclusion de l'objet du désir, c'est-à-dire l'objet de la castration, qui permet de la concevoir »<fnref n="102" />. La logique des classes instaure cette exclusion du désir.

Laquelle est-elle ? Utilisons la théorie logique des classes de Jean Houdebine<fnref n="103" />. Les classes sont des objets mathématiques. Ce sont les ensembles, et aussi les « collections » d'ensembles ayant une même propriété<fnref n="104" />.

J. Houdebine pose l'axiome d'extensionnalité pour construire les classes. Il s'énonce ainsi : quel que soit x, quel que soit y, quel que soit z, *lorsqu'* est vérifiable la relation d'équivalence (x est de la classe de y si et seulement si x est de la classe de z) alors il y a égalité de y et de z. Autrement dit, une classe va être fondée sur une propriété d'appartenance, à un point pivot toujours égal à lui-même (par axiome est posé ce tiers exclu, fondation de la logique, les points pivots y et z restent eux-mêmes éternellement). Cet axiome fonde la relation d'égalité entre 2 classes qui n'en font finalement qu'une. Ensuite, ce qui permet de définir une classe est une relation classifiante.

Une relation R est classifiante en [NDLR : la propriété] x si, étant donné y une lettre n'appartenant pas à la classe R [NDLR : comme déjà constituée], il est vrai que : (Il existe cet y) et (pour tout x) se vérifie [ (x est de la classe de y si et seulement si R) ]

Autrement dit : R classifie les x selon y (et il est possible de faire disparaître y car Rₓ

Elles sont construites pour accueillir des classes d'ensembles, car construire des ensembles d'ensembles « amène à abandonner (...) les schémas de sélection et réunion pourtant indispensable à la construction de la plupart des notions. ».

<footnote n="102">¹⁰² Anonyme, « le clivage du sujet », *Silicet* 2/3, p.133.</footnote>

<footnote n="103">¹⁰³ Houdebine J., *Classes et ensembles, Topologie et géométrie différentielle*. Cahiers du Séminaire dirigé par Charles Ehresmann, tome 6 (1964), exp. no 4, p. 1-22.</footnote>

<footnote n="104">¹⁰⁴ https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_ensembles_de_Morse-Kelley</footnote>
Ce qui fonde une classe est une relation classifiante, qu'est-ce ? Prenons un y dont il n'est pas su a priori s'il appartient ou non à une classe, à entrer dans une relation, à chacun des autres termes classables, cet y est incorporé. Ce type de relation (agglomérante ou vérificatrice selon le point de vue) est ce qui définit une classe. En résumé, c'est le fait de classifier en y qui assure du caractère classifiant d'une relation. Prenons un exemple, la relation « n'appartient pas à ». Elle s'énonce : x n'appartient pas, mettons, aux nombres entiers. Cette relation est-elle classifiante ?

En cherchant à démontrer qu'il y a un rapport logique entre programmer pour optimiser (une fonction) et la privation, nous tombons sur cet écueil :

La privation, qu'est-ce ? être privé, adulte des délices de l'enfance par exemple, ce qui se traduit par une nostalgie que beaucoup pourront ressentir il semble, ou encore être privé de découvrir pour la première fois, ce que j'ai déjà découvert, à l'instar des premiers émois amoureux et du désir. Il n'y a pas tellement d'ontologie à en faire, car l'affect de privation se lit à certains termes historiques selon l'histoire de chacun(e).

Programme pour optimiser mobilise la logique des ensembles, bâti sur la fonction du vide, et qui s'en détache strictement. La privation comporte une part de vide reconstruit dans mon histoire.

> « sans doute y'a-t-il là une réflexion au niveau de l'écriture. C'est par l'intermédiaire de l'écriture que la parole se décompose en s'imposant comme telle<fnref n="105" />. »

## 4) Conclusion

Nous entendons mieux désormais sur quel plan un travail inconscient œuvre à l'invention chez le mathématicien. L'articulation d'un signifiant à un autre, émise à ses propres frais par un sujet en tant qu'il fantasme ou rêve, peut avoir un effet boomerang, repéré par le sujet, alors, comme l'affectant, comme émergence de la structure, main posé sur la buttée auquel il se confrontait, produit d'un discours du maître. Cette émergence ne se situe que de fluctuer. Lorsque s'entrouvrent les conditions de nécessité de la relation fantasmatique d'un sujet, l'effet de saisissement lui en revient, l'intuition est produite et « il fallait que

<footnote n="105">¹⁰⁵ Lacan J., « R,S,I » leçon du 21 janvier 1975, *Ornicar* ?, 3, mai 1975, p.95-103.</footnote>
cela lui arrive ». Une telle ouverture prend chez chaque mathématicien les lettres propres à sa relation à la cause de son désir.

Ainsi, les intuitions symboliques des mathématiciens témoignent de l'ordonnancement général autour du concept de faire-croire, l'appareil créditeur permettant de voiler la structure dans son obscénité<fnref n="106" />. Avec les formations de rêve, les inventions mathématiques ouvrent une voie royale à l'inconscient en tant que chiffrage, l'inconscient transférentiel, l'inconscient qui peut encore se travailler.

Ce temps secondaire est conditionné d'un temps primaire. Le blocage de tout effet de retour consiste d'abord, lors d'un temps premier, en un symptôme qui est de butée contre le langage, en tant qu'une image verbale (un dire) reste d'abord incompréhensible pour un sujet (à chacun le sien), qu'elle reste confuse. Notons au passage que le mathématicien joue ici le rôle de poursuivant l'énigme soulevée par un mathématicien antécédent. Et l'histoire des mathématiques a une forme remarquablement réticulaire, pas exclusivement mais remarquablement, comme le montre le travail de Edmund Robertson and John O'Connor de plus de 2000 pages<fnref n="107" />. Ce blocage ne se résout que dans un pas de coté de la relation sociale ou discursive, parce qu'au fond il s'agit derrière la poursuite du non-démontré d'un antécédent, de l'insu propre à un seul susceptible d'ordonner un nouveau signifiant, du savoir. Et c'est ce pas de côté, double donc, que fomente la rigueur nécessaire aux mathématiques. Le mathématicien œuvre directement à la réarticulation du fantasme. Il est producteur de réalités nouvelles. Il se situe à l'avant-garde du réalisme, rejoignant en cela les poètes, les plasticiens et la position de mère vis-à-vis de l'enfant (en tant qu'infans signifie étymologiquement être d'avant le langage).

*Das Ding* se présente déjà chez Freud, cernable à l'écart des investissements d'objets dans la schizophrénie de Bleuler, comme une altération singulière de la langue (Veränderung des Sprache)<fnref n="108" />. N. Charraud en décline une version, celle d'un mathématicien aux prises avec la langue d'abord dans un état inorganisé pour le corpus des mathématiques, de sorte

<footnote n="106">¹⁰⁶ make-believe, faire-croire.</footnote>

<footnote n="107">¹⁰⁷ O'Connor J. and Robertson E., MacTutor History of Mathematics Archive, MacTutor is a free online resource containing biographies : https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/</footnote>

<footnote n="108">¹⁰⁸ Freud S. « VII Die Agnosierung des Unbewusten », dans *Das Unbewusste (1915) - Das Ich und das Es – metapsychologische Schriften*, Psychologie Fischer, Frankfurt am Main 2011, p146-153.</footnote>
qu'elle le brouille. D'en passer par la démonstration la jouissance répétitive du (a) en tant que chiffrage enfermé dans la verbosité initiale, cède une nouvelle articulation. La Chose (mathématique) passe à l'objet.
# V) L'exploration du monde discret par Markov

## 1) Introduction

Avec la méthode de N. Charraud, tentons de cerner l'apport singulier d'A.A. Markov en dépoussiérant son histoire de mathématicien, tentons de rendre compte au mieux des quelques percées effectuées par ce sujet.

Y-aura-t'il alors du nouveau sur son œuvre ou bien sur sa vie ? Markov (père) n'a pas manqué de biographes. Ils ont en général aussi résumé ses travaux. La plus large part de ce chapitre s'appuie sur cette bibliographie.

Notre titre indique l'accent sur l'importance des mathématiques du discret, ce à quoi notre enquête a mené. Markov nourrissait-il un goût spécial plus général pour des éléments finies, entier ? Était-il moniste, c'est-à-dire partisan d'une vision du monde philosophique où l'ensemble des particularités tombe sous le coup d'une réduction à une seule chose fondatrice et fondamentale, position rappelant celle des Pythagoriciens ? Qualifier d'un seul terme ses œuvres n'est pas une fin en soi. Ce que nous souhaitons souligner c'est, au sein des questions ouvertes par l'existence du monde discret et auquel il a particulièrement contribué, d'une part la question de l'écriture (des chiffres), et d'autre part la question de la troncature, du reste (à majorer), sachant que ces deux questions sont liées. Il s'agit de faire entendre comment ces deux questions sont liées dans l'œuvre de Markov et pourquoi ce lien est déterminant en ce qu'il prépare sa percée à la plus connue, qui est celle des chaînes de probabilités conditionnées.

### Un premier survol

L'œuvre mathématique de A.A. Markov est déjà bien documenté par l'histoire des mathématiques. Rappelons au passage pourquoi cette discipline connexe importe aux mathématiciens eux-mêmes : car elle constitue un moyen didactique très efficace d'une
part<fnref n="1" />, et car il y subsiste parfois des perles qui ouvrent une voie à de nouvelles découvertes d'autre part.

Trois champs de ses investigations ont été revisité, que nous citerons dans l'ordre chronologique d'apparition dans ses œuvres, ce qui dessine un parcours : premièrement, la théorie des nombres, deuxièmement, les formules d'intégration ou du calcul intégral par approximation, et troisièmement, le calcul des probabilités.

Si ce survol pointe ses avancées en tant que chercheur, celles qui figurent aussi dans sa correspondance avec les éminences mathématiques de son temps<fnref n="2" />, Markov avait aussi une activité intense d'enseignement à la chaire de physique mathématique de l'Université de Saint-Pétersbourg, pour laquelle il a élaboré deux traités de mathématiques : calcul des probabilités vers 1884 et calcul différentiel en 1898. Enfin Markov, avec Nikolay Y. Sonin, furent les éditeurs scientifiques des Œuvres complètes de Čhebyšev en 1899. Ouvrage qui devait offrir une référence en Russie comme à l'étranger pour plusieurs générations de mathématiciens, d'autant que l'ouvrage est partiellement écrit en français.

En théorie des nombres, Markov a trouvé une série, de majorants, qui jalonne la manière itérative dont une certaine équation trouve une borne. Il s'agit d'une équation à 2 inconnues qui n'a pas de solution entière, une forme quadratique indéfinie en termes consacrés, et dont la résolution implique donc une technique d'approximation numérique, laquelle peut se faire selon un resserrage progressif de plus en plus fin à conditions d'extraire certains nombres de solutions à chaque pas. La suite des nombre de Markov correspond aux majorations assurées pour cette approximation itérative.

En théorie de l'intégration, Markov a énoncé des formules d'intégration avec un reste pour une fonction quelconque positive bornée sur un intervalle.

En probabilités, ses premiers travaux avancent des formules de majoration, puis il recherche de l'extension du domaine de validité du théorème central limite – c'est-à-dire le théorème qui fournit à la théorie des probabilités son ressort central. Il recherche

<footnote n="1">¹ Pour une discipline qui en a besoin, car les exercices et les démonstrations mathématiques sont d'un abord ardu, au moins pour un temps non-négligeable, même aux mathématiciens. L'affect de perplexité ou de rébarbativité n'y est pas évitable. Pratiquer les mathématiques suppose de négocier avec cet affect.</footnote>

<footnote n="2">² Par exemple Hermite ou Steiltjes.</footnote>
l'extension de ce théorème aux variables dépendantes, et c'est en faisant ce parcours qu'il
inventa les chaînes qui portent son nom, hybride de théorie des graphes et de probabilités.

La francophonie de l'intelligentsia russe du XIXe permet un certain accès, pour nous français ne sachant pas le russe, à des sources primaires : une demi-douzaine d'articles a paru directement en français, de sa plume, et d'autres ont été traduit à quelques années près de leur sortie en russe. Les traductions en allemand de ses deux traités de mathématiques constituent aussi des sources plutôt primaires, dans la mesure où il s'agit d'une mathématique déjà très formelle et calculatoire où les mots ont principalement des fonctions d'indexation, ce qui passe plus aisément à la traduction que des métaphores.

En revanche, les traductions en anglais ou en allemand de ses lettres à différents correspondants doivent être dites sources secondaires, et pour autant ce matériel concerne directement notre enquête.

A côté de ce matériel d'enquête, nous nous sommes appuyés sur les revues érudites et parfois très éclairantes en mathématiques d'historiens des mathématiques le concernant, dont la biographie du père par son fils, qui, elle, n'aborde pas du tout l'aspect mathématique<fnref n="3" />. Enfin, des travaux de mathématiciens plus récents voire récents ont aussi permis d'éclairer son travail. Ce qu'il y avait de précurseur dans les travaux de Markov n'est sorti du cénacle des mathématiciens souvent qu'à l'ère de l'informatique ! Ces graines à germination décalées représentent encore une étrangeté attachante des mathématiques et qui étaye d'éveiller l'attention des psychanalystes pour ce domaine.

## L'essor des mathématiciens russes au XIXᵉ

L'œuvre mathématique de Markov a pour contexte culturel une période nommée l'Âge d'argent russe Серебряный век (serebriani vek) autour de 1890-1920. Il s'agit d'une seconde période florissante après l'Âge d'or du premier tiers du XIXᵉ siècle quand étincelaient Alexandre Puškin, Mikhail Lermontov et Nicolas Gogol. Le XIXᵉ siècle Russe a

<footnote n="3">³ Dans la série un passé qui ne passe pas... La version de la biographie de Markov par Markov fils qui était consultable en russe en 2018, et qui ne l'est plus en 2022 (http://www.apmath.spbu.ru/ru/misc/markov.html auquel bien des articles Internet se réfèrent), avait de toute façon été expurgée de plus de la moitié du texte du fils Markov. En témoigne la version intégrale traduite par Sheynin en 2004 (traduite en anglais de la publication originale de 14 pages de 1951 dans une encyclopédie biographique de scientifiques Russes). Ce que le fils rapportait de 'la vie de citoyen' de son père, ses critiques scandaleuses de l'autocratie du Tsar, était passé sous silence. A noter que, par le même coup, sa lutte contre l'antisémitisme est aussi censurée (nous parlons bien de ce qu'il se passe en 2022).</footnote>
été propice aux arts, à la culture et aux universités, et à la langue russe elle-même<fnref n="4" />. Avant d'aborder l'œuvre de Markov dans son époque mathématique, il convient de dire quelques mots des apports de son professeur et mentor, la sommité mathématique qu'a été Pafnuty Čhebyšev, et de l'essor de l'Université.

## L'essor des Universités dans l'empire russe

Cet essor provient des fondateurs de l'Empire Russe au XVIIIe, Pierre le Grand et Catherine II. Ils avaient anticipé sur le XIXe en impulsant l'ouverture de l'empire russe sur l'Europe de l'Ouest, ouverture qui devait se constituer en un problème national Russe repéré par Koyré<fnref n="5" />. Par organisation impériale, et en particulier par la création d'Universités et de presses<fnref n="6" />, les Romanov du XVIIIe mirent le pays sur le chemin d'une nation briguant le progrès industriel et commercial, et apte au dialogue intellectuel et universitaire avec le royaume de Prusse de Frédéric II, les royaumes de France et d'Angleterre. C'est une des raisons de l'Âge d'Or russe mentionné plus haut. En sept 1726 l'académie royale des sciences de Saint-Pétersbourg avait invité les mathématiciens suisses Daniel et Nicolaus Bernoulli à fonder une chaire, ce qu'ils firent. C'est à l'université de Saint-Pétersbourg que Leonhard Euler a débuté sa carrière de professeur et mathématicien entre 1727 et 1741⁷.

<footnote n="4">⁴ cf. chapitre Le formalisme Russe p.212 de la présente Thèse.</footnote>

<footnote n="5">⁵ Alexandre Koyré, *La philosophie et le problème national en Russie*, Gallimard Idées (1976, texte de 1929), 320 p.</footnote>

<footnote n="6">⁶ Dupré de Saint-Maure, P.-J.-É, *Anthologie russe - suivie de poésies originales*, C.J. Trouvé, Paris, 1823 (en ligne sous Gallica.fr), page VII : « C'est au Tzar Iwan Vassiliévitch, que la Russie est redevable de l'introduction des presses d'imprimerie. Elle eut lieu en 1553, sous la direction d'un Danois, nommé Gouze ; mais depuis son établissement jusqu'en 1711, on n'imprima que les Livres sacrés et les oukazes des souverains. À cette dernière époque, une imprimerie russe, que Jean Tessing, Hollandais, avoit formée à Amsterdam, par privilège de Pierre le Grand, fut transportée en Russie, où elle fut remise en activité par le Polonais Kopiewsky. Plusieurs ouvrages sur l'Histoire, et des livres de mathématiques sortirent de cette typographie.» (date de 1711, soulignée par nous)</footnote>

<footnote n="7">⁷ Euler deviendra une figure majeure des mathématiques européenne du XVIIIe, et sera réinvité à s'intégrer dans la haute-société Russe par Catherine II à la cour de Russie à la fin de sa carrière et de sa vie. Justement lorsqu'il est à Saint-Pétersbourg en 1736, il fit date en démontrant qu'il n'y a pas de solution au problème des ponts de Königsberg, problème de topologie posé par Leibnitz. Si l'on ne peut pas encore parler de théorie des graphes, le pivot de sa démonstration (par l'absurde) repose sur l'ordonnancement des lieux successifs parcourus et l'équivalence strict entre la parité du nombre de ponts sur chaque lieu (île) et la règle d'avoir à passer par chaque pont et de ne le faire qu'une seule fois. Le texte est en latin, et outre cela, nous le simplifions à l'extrême avec un net biais rétrospectif pour notre point de vue, ici. Son approche est calculatoire : il dresse la table des lieux, par nombre de liens décroissants installés au départ, et déduit d'un parcours l'exhaustion du nombre de liens (avec reste). A la seconde règle imposée par le jeu qui est de revenir à son point de départ correspond une clôture de parité des restes de la table.</footnote>
Quelques années après, entre 1821 et 1831, les polytechniciens Gabriel Lamé et Benoît-Emile Clapeyron furent détachés à l'université de Saint-Pétersbourg <fnref n="8" />. Aleksandr Nikolayevich Korkin sera l'élève de Lamé avant de devenir l'un des piliers de l'école de mathématique physique de Saint-Pétersbourg, le bras droit du grand P. Čhebyšev dans cette entreprise.

Pour l'histoire de l'université au XIXᵉ en Russie, A. Koyré décrit bien dans La philosophie et le problème national en Russie que cette nation naissante (concept de narodnoi ~existence nationale), en fait d'une solide édification, effectue ses premiers pas sur fond d'une dialectique vive d'assimilation et de rejet des idées occidentales<fnref n="9" />.

Koyré expose comment le souffle des Lumières touche l'intelligentsia Russe au XIXᵉ, après qu'eût cessé le bellicisme Napoléonien. La Russie participe alors du Romantisme.

A partir de 1816, des disciples des philosophes essentiellement anglais et allemands, des lecteurs de Kant par exemple, transmettent des idées nouvelles sur la liberté, l'entendement et sur le langage, à Kazan, Saint-Pétersbourg, Riazan, Moscou et Kharkiv <fnref n="10" />.
Le détail historique fin dont nous disposons sur la vie universitaire et mondaine de Lamé et Clapeyron, les salons auxquels ils ont participé etc., permettent de connaître l'intensité et les modalités du métissage qui était en cours lors de l'Age d'Or Russe <fnref n="11" />. Ce qu'il est permis de connaître et d'espérer se modifie, rapidement sur deux décennies, 1820-40, mais, analyse Koyré, avec de violentes résistances en retour sur le plan politique et idéologique, voire théologique. Pourtant, le discours de la philosophie morale prévaut, non sans arrière-pensée de politique économique et sociale. Au reste c'est un discours qui porte le changement dans le sens d'une participation aux mouvement des Lumières, certes limité à une fringe éduquée et aisée de la société :

<footnote n="8">⁸ Gouzévitch I. et D., « Gabriel Lamé à Saint Pétersbourg (1820 – 1831) », Bulletin de la Sabix, 44, | 2009, p.20-43.
consulté le 13 août 2022. URL : http://journals.openedition.org/sabix/624</footnote>

<footnote n="9">⁹ Alexandre Koyré, *La philosophie et le problème national en Russie*, Gallimard (Idées), 1976 [1929], 320 p.</footnote>

<footnote n="10">¹⁰ L'université de Kharkiv est fondée vers 1804 et Aleksandr Potebnia y élabore un point de vue renouvelé sur les langues slaves, à partir du folklore Ukrainien et de sa compétence en philologie historique (cf chapitre sur les formalismes Russes)</footnote>

<footnote n="11">¹¹ Gouzévitch I. et D., « Gabriel Lamé à Saint Pétersbourg (1820 – 1831) », art. cité.</footnote>
« Le 5 juin 1817, le professeur de l'Université de Kazan, Sréznevski prononça un discours *Sur les différents systèmes de morale*, comparés dans leur principe, dans lequel il défend Kant contre les accusations dont on l'accable (athéisme)<fnref n="12" />. »

La politique universitaire fit l'objet d'une intense et parfois violente dialectique entre l'appareil d'Etat et l'Eglise ou plus généralement les forces conservatrices<fnref n="13" />.

Pour en revenir à l'essor universitaire du XIXe enfin, Koyré décrit dans le détail l'épisode et les tractations lorsque l'université de Kazan faillit être fermée. Alexandre ler restaurait d'un côté dans ses prérogatives l'université de Saint-Pétersbourg en 1819 (université qui avait fondé en 1724 par Pierre Le Grand mais qui avait cessé de fonctionner en 1804¹⁴), mais d'un autre côté failli fermer Kazan, sous la pression des opposants au Kantisme, au plus haut niveau de l'Etat en y nommant le curateur Magnistki en 1819¹⁵. Cependant qu'à Kazan, sur le terrain, le professeur de sciences mathématiques Nikolski su ménager la chèvre et le choux, c'est-à-dire les sensibilités religieuses ultra-conservatrices d'un côté et l'adhésion par ailleurs des Russes à l'utilitarisme, ou même simplement au progressisme de type Catherine II de l'autre. Koyré rapporte que Nikolski plaide un esprit mathématique purement tourné vers les vérités Divines, et la question de l'existence de l'Unité dans un univers multiple, une mathématique pouvant d'ailleurs faire barrage au matérialisme<fnref n="16" />. Koyré analyse que son discours vise à faire « pardonner (les mathématiciens), [pour] leur habitude du raisonnement et le désir de la preuve<fnref n="17" />. » Et un compromis fût trouvé finalement. La fermeture des chaires universitaires (facultés) de Kazan fut évitée, à la condition que les étudiants acceptassent un encadrement militaire strict.

<footnote n="12">¹² Koyré A., *La philosophie et le problème national en Russie*, Gallimard (Idées), 1976 [1929], p.91.</footnote>

<footnote n="13">¹³ Un véritable problème national russe s'est ainsi constitué, analyse Koyré. Sa formulation même paraissait tenir de termes importés, durant tout le XIXe. Ce problème a fini par mettre en opposition un camp slaviste et un camp européen, mais d'autres lignes de fractures socio-politiques devaient en relativiser la portée, à la fin du XIXe. Durant la fin de règne des Romanov, un ultra-nationalisme d'Etat montra son jour violent, en particulier antisémite, et utilisant la censure avec de moins en moins de discernement. C'est alors la fidélité aveugle au Tsarisme ou au contraire l'aspiration à une révolution de type française pour instaurer un régime parlementaire, qui devait marquer le début du XXe siècle : cf. la révolution de 1905.</footnote>

<footnote n="14">¹⁴ En s'étant repliée sur le mode d'un institut pédagogique de Saint-Pétersbourg.</footnote>

<footnote n="15">¹⁵ Koyré A., *La philosophie et le problème national en Russie, op. cit.*, p. 93-123.</footnote>

<footnote n="16">¹⁶ *Ibid.*, p. 97.</footnote>

<footnote n="17">¹⁷ *Ibid.*, p. 98.</footnote>
## Čhebyšev, cet algébriste visionnaire

Čhebyšev a légué aux mathématiciens russes en particulier des apports majeurs dans au moins trois domaines : la théorie des nombres, la décomposition polynomiale des fonctions, technique dite aussi de l'interpolation, et les probabilités. L'écriture des mathématiques connait une transition importante à l'époque, c'est le début du passage obligé par la démonstration. Certains écrits s'en affranchissent encore, mais cette norme en tant que telle faisait sentir son exigence. Une partie des publications de Čhebyšev n'en contiennent que des débuts ou des morceaux (à l'instar de celles d'Euler ou des Bernoullis). En tel cas les auteurs s'en excusent, et plaide le lancement d'idées, le défrichage, l'idée d'un travail qui pourra être parachevé moyennant des connexions à d'autres sujets. A.A. Markov a consacré toute une partie de sa carrière d'universitaire à consolider ainsi les esquisses mathématiques du maître. Aussi est-il introductif à son travail que d'évoquer au préalable ce qui animait Čhebyšev.

Čhebyšev a marqué une époque et une génération en ce qu’il a été un enseignant hors pair, d’après témoignage de ses étudiants d’abord, dont A.A. Markov, mais aussi d’après ce qui se lit encore aujourd’hui de son style mathématique, didactique, généreux en astuces, en articulations inédites. Il enseignait avec le soucis de la réception, en s’écartant parfois du tableau noir pour consacrer du temps au commentaire, y compris historique, pour revenir sur les points pivots des équations et des démonstrations qui y avait été inscrites, pour mettre en débat les difficultés<fnref n="18" />.

Issu d'une famille noble ayant émigrée à Moscou pour parachever l'éducation supérieure de deux de leurs fils dont Čhebyšev, ce dernier est diplômé de l'université de Moscou en 1841 (en mathématique – algèbre polynomiale) puis nommé professeur adjoint à l'université de Saint-Pétersbourg à partir de 1847. Čhebyšev avec Bunyakovsky établirent dans les années 1840 une édition intégrale de la théorie des nombres d'Euler, somme de quatre-vingt-dix-neuf articles publiées à partir d'un état initial plus ou moins rédigées<fnref n="19" />.

<footnote n="18">¹⁸ Delone B.N., « Andrei Andreevitch Markov », dans *The St Petersburg School of Number Theory*, Providence, RI, AMS, 2005, p.93.</footnote>

<footnote n="19">¹⁹ Un travail d'édition scientifique conséquent, malgré une période extrêmement difficile à Moscou dans les années 1840 à cause de la famine elle-même liée à une crise économique grave, et d'une épidémie de choléra.</footnote>
Suite à cet achèvement, en 1850, Čhebyšev est alors entré dans l'histoire des mathématiques, par une découverte brillante en théorie des nombres. Cette théorie devait beaucoup à Leonhard Euler au XVIIIe siècle, le premier qui sortit la théorie des nombres de sa gangue antique, en dévoilant l'existence et théorisant les nombres complexes par exemple. Prenant la relève, Čhebyšev démontra que le nombre de nombres premiers inférieurs à une borne donnée peut être approximé par la fonction $\frac{x}{\ln(x)}$<fnref n="20" />. Et il démontrait conjointement qu'il existe au moins un nombre premier entre n et 2 n<fnref n="21" />.

Une précision : sa démonstration de repose sur un système d'encadrement de ladite fonction, $\pi(B)$, du nombre de nombres premiers inférieurs à une borne B donnée. Čhebyšev fait usage alors à la fois d'analyse fonctionnelle classique, et d'arithmétique sur les nombres premiers, ce qui fût considéré comme hardi. Il posait ainsi les bases d'un large mouvement mathématique, qui devait apparaître rétrospectivement comme le moment de l'« analyse arithmétique algébrique »<fnref n="22" /> ou encore nommé arithmétisation de l'analyse par Jacqueline Boniface<fnref n="23" />. Bref, cet article se situe à l'avant-garde, Eulérienne, d'un mouvement pour lequel ultérieurement bien des mathématiciens devaient consacrer du labeur. Le tour de force a consisté à démontrer que deux coefficients numériques permettaient de borner, par dessous et par-dessus, la fonction à laquelle équivaut asymptotiquement $\pi(B)$.

Nous devions faire cette précision car l'emploi de telles doubles inégalités de serrage revient dans plusieurs de ses démonstrations de Čhebyšev, et dans celles de Markov<fnref n="24" />. La technique en elle-même date de l'antiquité, depuis l'approximation du nombre $\pi$ (3,14159...), le rapport de la circonférence au diamètre, par Archimède / *Αρχιμήδης*.

<footnote n="20">²⁰ P. L. Čhebyšev, « Sur la totalité des nombres premiers inférieurs à une limite donnée », *Journal de Mathématiques Pures et Appliquées*, Série 1: tome 17, 1852, p.341-365.</footnote>

<footnote n="21">²¹ Ce théorème fournit une idée de la distribution des nombres premiers dans les entiers. Joseph Bertrand en avait énoncé le postulat en 1845.</footnote>

<footnote n="22">²² Par Catherine Goldstein dans : Goldstein C. « Gabriel Lamé et la théorie des nombres : « une passion malheureuse » ? », *Bulletin de la Sabix* [En ligne], 44, 2009, mis en ligne le 26 mai 2011. L'histoire de cette rencontre interdisciplinaire au sein des mathématiques serait éclairée par l'ouvrage (que nous n'avons pas encore lu) de Catherine Goldstein, Norbert Schappacher, et Joachim Schwermer *The shaping of Arithmetic after C.F. Gauss's Disquisitiones Arithmeticae*, Berlin, Heidelberg : Springer, 2007</footnote>

<footnote n="23">²³ Boniface, J. *Les constructions des nombres réels : dans le mouvement d'arithmétisation de l'analyse*, Ellipses, Paris, 2002.</footnote>

<footnote n="24">²⁴ Les mathématiciens plaisantent dessus en l'appelant : le lemme des gendarmes, en anglais Sandwich lemma, et surtout en allemand : Einschnürungssatz que nous traduisons par le lemme des lacets ou du licol.</footnote>
Comment Archimède procédait permet de donner une idée du mixte dont il est fait usage en analyse arithmétique algébrique. Archimède lance, « sans explications »<fnref n="25" />, que :

$$ \frac{265}{133} < \sqrt{3} < \frac{1351}{780} $$

Comment expliquer cette double inéquation ? G. Lachaud le déplie pour nous. « En notant $x$ et $y$ le numérateur et le dénominateur, de ces fractions, il s'avère que l'on a respectivement :

$$ x^2 - 3y^2 = -2 \text{ (avec 265 et 133)} $$

$$ x^2 - 3y^2 = 1 $$

Archimède fabriquait donc une approximation de racine de 3. C'est-à-dire il opérait une substitution à l'équation unique et qui n'a pas de solution :

$$ x^2 - 3y^2 = 0 $$

Il la substituait par deux équations, qu'il savait, elles, résoudre, à quelques unités du membre de droite près, par excès et par défaut<fnref n="26" />. Archimède a proposé un encadrement de la solution. Et cet encadrement n'est pas l'ultime réponse à l'équation insoluble avec zéro comme membre de droite, il présente les bornes initiales d'une double série de bornes inférieures et supérieur à ce nombre irrationnel (dit irrationnel quadratique car une équation comme la dernière présenté fait jouer comme membre de gauche une forme quadratique). La solution de l'équation irrésolvable, aujourd'hui noté $\sqrt{3}$, a été nommée au XIXe un nombre irrationnel quadratique<fnref n="27" />.

Dans l'analyse fonctionnelle, Čhebyšev mit à profit une grande dextérité calculatoire avec les polynômes. Les polynômes sont des fonctions modèles car avec eux les calculs s'avères simplifiables, et par ailleurs leur dérivabilité est connue et l'opération qui consiste à les

<footnote n="25">²⁵ Lachaud G., « Irrationnels et formes quadratiques binaires, de Platon à Gauss », Séminaire de Philosophie et Mathématiques, 1991, fascicule 1, p11-15. Disponible en ligne sur numdam.org</footnote>

<footnote n="26">²⁶ Ces nombres ont été appelé des *irrationnels quadratiques*. À chacun d'eux correspond une forme quadratique, une équation où la combinaison de puissance de $x$ par principe s'annule, et dont chacun représente une solution, une racine.</footnote>

<footnote n="27">²⁷ Il a été démontré l'impossibilité de résoudre cette équation avec des entiers naturels pour $x$ et $y$, ou même des nombres rationnels. Cela de démontre en exprimant la série du développement de ce nombre comme s'il pouvait appartenir aux rationnels, cas dans lequel la série devrait s'arrêter à un certain terme, et en montrant que la série se développe à l'infini.</footnote>
dériver se ramène à des produits et des sommes<fnref n="28" />. A partir du problème de l'interpolation (c'est-à-dire de contraindre un polynôme à passer par certains points aux coordonnées fixées d'avance), les premiers rudiments de la théorie de l'approximation émergent et ce développement devait même se prolonger dans l'optimisation : où comment représenter au mieux une fonction non-connue sinon en certains points, par d'autres fonctions mieux connues voir très connues et maniables. Les polynômes forment un corps, une structure algébrique qui facilite les calculs, à partir de laquelle il est possible d'épouser les formes d'autres fonctions, un corps algébrique sans lequel la plupart des calculs seraient inextricables. Chose importante à noter pour la suite du propos sur Markov : ce corps des polynômes (cet outil d'approximation des fonctions) n'est pas adapté pour épouser les extrémités des fonctions, aux asymptotes, mais très adapté pour le faire sur un segment borné (de la droite des abscisses).

Čhebyšev a résolu certaines équations différentielles à l'aide de méthode d'interpolation,
sur laquelle les méthodes numériques du XXᵉ furent fondées. La décomposition en
polynômes de Čhebyšev, d'une fonction dont l'expression analytique n'est pas
connaissable, n'est pas connu ou est inaccessible dans un temps court, continue de servir
de base aux calculs d'approximation numérique actuels, par exemple dans le domaine du
contrôle optimal ou du contrôle dynamique, c'est-à-dire le calcul et la correction pas à pas
d'un système dynamique autour de la valeur d'un paramètre qui lui assure la stabilité locale
la plus importante. On peut parler de mathématiques concrètes, et durables.

Čhebyšev et à sa suite l'école de physique mathématique de Saint-Pétersbourg dotèrent la théorie de l'approximation de nouvelle applications industrielles (optimisation, réduction des frottements). Čhebyšev a optimisé les formes de pièces mécaniques des machines à Vapeur afin d'économiser des frottements. Féru d'applications pratiques et industrielles, et participant du mouvement libéral naissant en Russie, il voyagea en Europe, étend son réseau académique aux français, notamment Bienaymé, Hermite.

Čhebyšev incitait ses étudiants à se frotter constamment aux applications concrètes, car lui-même y trouvait de l'inspiration. En France, il demanda à visiter des usines. Certaines

<footnote n="28">²⁸ Les polynômes sont même des fonctions génératrices de certains espaces de fonction, cf. la notion de fonction génératrice en probabilité.</footnote>
crises, notamment économiques et en particulier la famine de 1840 l'ont peut être marqué et amener à constituer cette réponse d'établir les bases solides d'une mathématique concrète au service des physiciens, chimistes et de l'industrie. G. Lamé à l'époque niait toute différence entre mathématiques appliquées ou pures. Dans un certain mouvement idéologique, le Saint-Simonisme, a été conçu une praxis physico-mathématique et industrielle. Le métier d'ingénieur se diversifiait et se renforçait autour d'un usage des mathématiques.

En revanche, il n'était pas question de débattre de ces applications ou de faire de la philosophie. Alors qu'en Europe, les applications faisaient débat, avec par exemple un Adolphe Quételet<fnref n="29" />, l'école de Saint-Pétersbourg de probabilités ne s'en est pas lesté. Il faut dire qu'elle n'avait pas le choix : l'interface entre le politique et le social faisait l'objet d'un véritable anathème au sein de la sphère universitaire, placé sous la férule du Tzar, comme nous l'avons évoqué. Cette école a visée des applications industrielles et commerciales, comme le calcul des pensions de retraites et l'optimisation des pièces mécaniques et des processus chimiques.

Notre troisième point concerne l'apport de Čhebyšev dans le domaine des probabilités. L'ami et collègue de Čhebyšev, Bunyakovsky, avait traduit et introduit en Russie le premier traité mathématique sur les probabilités. P. Čhebyšev tenta de faire avancer le sujet, notamment en donnant une formulation analytique de la loi faible des grands nombres, déduite par ailleurs en France par Poisson de ses travaux mathématiques en 1846.

Cette loi indique, si on se donne $p_i$ une probabilité de succès du i-ième tirage ($p_i$ dite probabilité instantanée), et après n tirages indépendants en notant $X_n$ la somme des succès (où le nombre de succès, $X_n$ constitue une variable aléatoire car elle varie pas à pas), qu'alors la probabilité de $X_n$ sur n respecte un type de convergence. Elle tend vers la somme des probabilités instantanées $p_i/n$. Quand il y a indépendance des tirages, les valeurs observées de la somme qu'est par exemple le nombre de succès, doivent, au fur et à mesure que n augmente, se grouper autour d'une valeur moyenne.

Čhebyšev a ainsi formalisé la loi des grands nombres, c'est-à-dire le théorème de convergence de l'espérance d'une somme de variables aléatoires indépendantes, vers la

<footnote n="29">²⁹ Miller J.-A, « L'ère de l'homme sans qualité », La Cause freudienne, 57, 2004, p.73-97.</footnote>
somme des espérances de ces variables, en la formalisant au sein même de la théorie des probabilités. Avec sa nouvelle conception de ce domaine de calcul comme système de loi de transformation des probabilités les unes dans les autres, il portait un regard nouveau sur l'ontologie même d'une variable aléatoire, en la concevant comme une transformations fonctionnelle, ce qui va au-delà des apports d'un Laplace ou d'un Poisson – par ailleurs de contributeurs certains à ce calcul, mais en retrait des Russes sur ce point conceptuel et qui est précisément le point de jonction entre la théorie des probabilités et celle de l'intégration. Čhebyšev par exemple a initié un maniement différentié des convergences entre convergence en probabilité versus convergence au sens des suites de fonctions. Il fit abstraction, dans le champ des probabilités, de l'optique traditionnelle dite fréquentielle, attachée à l'image d'un dé évènementiel derrière chaque occurrence, en considérant de manière très pragmatique qu'il importait de décrire les lois de calculs de certaines probabilités composées, sommes ou dérivées à partir de fonction de probabilités de base préexistantes, sans forcément expliquer la provenance de ces dernières<fnref n="30" />.

En résumé, Čhebyšev transmis et anima auprès de la génération montante de mathématiciens une variété importante de champs d’investigations mathématiques nouveaux : l’interpolation des fonctions à base de polynômes, le calcul intégral (la résolution d’équation différentielles), l’étude de la convergence ou d’encadrement en théorie des nombres et en théorie des probabilités.

Ces mathématiciens étaient tous francophones et bon nombres de leurs travaux furent
publiés en français dès l'époque. Il en va ainsi des œuvres complètes de Čhebyšev publiées
par Markov en 1899. C'est une chance pour se pencher sur leur manière de penser et pour
étudier A.A. Markov.

<footnote n="30">³⁰ Maistrov L.E., *Probability theory – a historical sketch*, London, Academic Press, 1974, p.207.</footnote>
## 2) L'œuvre mathématique de Markov

### Un théoricien des nombres

Une publication séminale de Markov dérive du travail d'élaboration de sa thèse à l'Université impériale de Saint-Pétersbourg « Sur les formes quadratiques binaires indéfinies<fnref n="31" /> », qu'il soutiendra en 1880.

Markov effectua alors une certaine percée mathématique. Il s'agissait de trouver l'expression du meilleur majorant du reste de l'approximation d'un réel donné par des rationnels. Il s'est appuyé, pour former cette écriture, sur la représentation des nombres irrationnels par les fractions continues<fnref n="32" /> dans ses deux grands articles des années 1880 sur les minima des formes quadratiques. Pour livrer un aperçu de son contenu, nous nous servirons d'un exposé de mai 2020 de Christophe Reutenauer<fnref n="33" />.

Un nombre réel $\xi$ peut toujours être approché numériquement par une suite de rationnels, indicée par le nombre entier $i$, suite notée $\frac{p_i}{q_i}$, $p_i$ et $q_i$ étant des entiers. Il est possible de l'approcher par cette suite mais pas sans un reste.

Et, il a été montré, à défaut de pouvoir exprimer numériquement ce reste, qu'il rapetisse quadratiquement, c'est-à-dire en $\frac{1}{q_i^2}$. Cela constitue un théorème, généralement attribué à Dirichlet<fnref n="34" /> dont l'équation princeps énonce que, quel que soit un réel $\xi$, il existe une suite $\frac{p_i}{q_i}$ (avec $q_i$ croissants<fnref n="35" />) telle qu'à chaque pas nous ayons en valeur absolue la majoration suivante :

<footnote n="31">³¹ Markov A.A, « Sur les formes quadratiques binaires indéfinies » *Mathematische Annalen*, volume XV, Teubner, 1879, p.381-406.</footnote>

<footnote n="32">³² Technique qui lui avait été enseigné plutôt dans le cadre de la résolution des équations différentielles mais qui avait déjà été mis à profit en théorie des nombres (P. M. Legendre).</footnote>

<footnote n="33">³³ Reutenauer C., « La théorie de Markoff ou le vilain nombre d'or », *Bulletin AMQ*, Vol. LX, no 2, mai 2020, p21-28.</footnote>

<footnote n="34">³⁴ Un mathématicien d'origine prussien (flamande) du premier tiers du XIXᵉ, qui a enseigné et diffusé les mathématiques en prenant appui sur les *Disquisitiones Arithmeticae*, l'opus de K.F Gauss fondateur de la théorie (moderne) des nombres. A partir de la section V, cet ouvrage traite des formes quadratiques entières à deux indéterminées et ouvre le champ de recherches dans lequel s'inscrit le travail d'A.A Markov ici objet de notre enquête.</footnote>

<footnote n="35">³⁵ Étant formée pour approcher le réel cible, les dénominateurs sont de plus en plus grands.</footnote>
$$|\xi - \frac{p_i}{q_i}| < \frac{1}{q_i^2}$$

Plus simplement encore ce théorème assure que « le terme d'erreur [ndlr : celui dont on considère la valeur absolue] est petit, comparé à l'inverse du dénominateur », observe Reutenauer.

Toutefois, il s'est avéré qu'un meilleur majorant que celui du théorème de Dirichlet existât, lui aussi valable quel que soit le nombre irrationnel $\xi$ à approcher, à savoir :

$$|\xi - \frac{p_n}{q_n}| < \frac{1}{C \cdot q_n^2}$$

Avec $C = \sqrt{5}$, soit environ 2,236, nombre qui est bien supérieur à C = 1 du théorème de Dirichlet. Et à partir de là se posait la question : « Peut-on mieux faire ? Existe-t-il une constante C supérieure encore à $\sqrt{5}$ telle que tout réel $\xi$ ait une infinité d'approximations rationnelles avec un terme d'erreur satisfaisant l'équation [la dernière posée ci-dessus] ? La réponse en général est non. », explique Reutenauer.

Et pour cause, pour un irrationnel particulier, à savoir le nombre d'or $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$, il avait été montré que quel que soit $C > \sqrt{5}$, il n'existe qu'un nombre fini d'approximations rationnelles de $\xi$ avec un terme d'erreur satisfaisant l'équation (la dernière posée ci-dessus). Autrement dit : impossible d'espérer formuler une suite *infinie* de rationnels qui approchent $\xi$ plus vite qu'avec $C = \sqrt{5}$. En conclusion, cette constante, si l'on raisonne « quel que soit un réel $\xi$ », représente donc une borne maximum<fnref n="36" />.

Ceci étant entendu, qu'en est-il pour l'ensemble des autres nombres réels que le nombre d'or ? Pour les nombres réels en général, il est possible de faire un pas de plus et de trouver une constante $C' = \sqrt{8}$, à l'exclusion d'un ensemble (dénombrable) de nombres construits sur le modèle du nombre d'or en représentation par les fractions continues.

Qu'est-ce qu'une fraction continue ? C'est l'expression (biunivoque) de l'écriture d'un nombre réel $\xi$ sous la forme d'une fraction composée à l'infinie :

<footnote n="36">³⁶ Elle correspond à une borne minimum d'une équation quadratique qui fait formulation duale du même problème, duale c'est-à-dire parfaitement synonyme.</footnote>
$$ \xi = a_0 \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3 + \frac{1}{1+\dots+\frac{1}{a_n+\dots}}}}} $$

Cette fraction infinie, unique<fnref n="37" /> pour $\xi$, est notée de manière abrégée $\xi = [a_0, a_1, a_2, ..., a_n, ...]$ Parmi les différents types de nombres irrationnels, il en est certains dont l'écriture sous forme de fraction continue les identifie comme appartenant à cette classe de nombres, ce qui est le cas pour les nombres irrationnels quadratiques<fnref n="38" />.

En pratique les fractions continue s'avèrent utiles pour extraire « à la main » une racine carré ou cubique. Elles ont constitué longtemps l'algorithme qu'il convient de poser pour ce calcul. Peu le connaissent aujourd'hui. On appliquait la formule :

$$ \sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \ldots}}}} $$

Calcula que l'on stoppe en fonction de la précision voulue :
- à la deuxième itération le membre de droite, $1 + \frac{2}{5}$ vaut 1,4 ce qui est une approximation au dixième près de cette racine <fnref n="39" />,
- à la troisième itération il vaut $1 + \frac{5}{12}$ qui s'écrit aussi 1,41666... ce qui est une approximation au centième près de cette racine.

<footnote n="37">³⁷ Cette unicité est apparente pour l'ensemble des nombres rationnels – et l'on sait si l'on s'est intéressé à Cantor que ces nombres sont denses dans les réels c'est-à-dire qu'ils permettent assurément de tous les avoisiner aussi près que requis par le calcul. Pour les nombres rationnels, cette unicité est liée au lemme suivant : pour tout rationnel r, l'écriture de r sous la forme $r = p/q$, avec p et q premiers entre eux et q strictement positif, est unique. Disons-cela en termes un peu tautologiques : il y a unicité de la réduction en une fraction irréductible.</footnote>

<footnote n="38">³⁸ Le nombre d'or est un irrationnel quadratique. La série de coefficients entiers représente la décomposition du nombre avec reste dans une division euclidienne itérée. On rappelle que, dans la division euclidienne de 39 par 7, le quotient est 5 et le reste 2. La division euclidienne est une division entière avec expression du reste. Le nombre d'or $\phi$ est remarquable en ce que $\phi = [1, 1, 1, 1, ...]$ avec l'écriture du 1 qui se répète à l'infini. Cela est connu depuis Bombelli et les mathématiciens italiens de la fin du XVIIᵉ. Cela fait de $\phi$ le nombre pivot ou paradigmatique d'un lien, unique d'ailleurs, entre les deux modes d'écritures : décimales et en fractions continues. Notons que le qualificatif français de « continue » est vieilli, et son sens perturbateur pour approcher cet objet mathématique.</footnote>

<footnote n="39">³⁹ Racine de 2 a pour écriture décimale 1,414213 tronquée au 6ème chiffre après la virgule.</footnote>
Nous touchons ainsi du doigt qu'il y a un rapport logarithmique entre la précision atteinte et les itérations. L'algorithme fait gagner un ordre de grandeur de précision à chaque étape, ce qui est non-seulement efficace, mais utile à savoir, car l'on peut alors pousser le calcul à l'étape suffisante pour une précision requise par le contexte physique ou numérique du calcul.

L'histoire des nombres irrationnels et transcendants permet de remettre les fractions continues dans le contexte mathématique de cette époque<fnref n="40" />. Avant la fin du XIXᵉ, il n'était pas démontré que le nombre *e*, base du logarithme népérien, et $\pi$, étaient transcendants c'est-à-dire n'étaient racines<fnref n="41" /> d'aucun polynôme à coefficients entiers. Autour de cette question irrésolue de multiples séries de décomposition-recomposition des nombres et des fonctions furent inventées.

Au contraire, racine de 2 est le paradigme du nombre irrationnel algébrique. Il est la racine de l'équation $x^2 - 2 = 0$, qui est la plus simple des formes quadratiques.

Un théorème de pointe d'époque (années 80 du XIXᵉ), le théorème de Lagrange<fnref n="42" /> énonce que la fraction continue d'un réel $\xi$ est ultimement périodique si est seulement si $\xi$ est un nombre irrationnel quadratique <fnref n="43" />, c'est-à-dire solution d'un type d'équation correspondant aux formes quadratiques<fnref n="44" />. Ces développements mènent à constater que Markov fit preuve de virtuosité calculatoire avec les fractions continues<fnref n="45" />.

<footnote n="40">⁴⁰ Serfati M., « Quadrature du cercle, fractions continues et autres contes : sur l'histoire des nombres irrationnels et transcendants aux XVIIIᵉ et XIXᵉ siècles. », brochure A.P.M.E.P n°86, 1992.</footnote>

<footnote n="41">⁴¹ Une racine d'un polynôme signifie un nombre pour lequel il s'annule, un antécédent qui le fait nul.</footnote>

<footnote n="42">⁴² Lagrange J.-L., Additions au mémoire sur la résolution des équations numériques, § II. — Sur la manière d'approcher de la valeur numérique des racines des équations, 1770, réédition Joseph-Alfred Serret, Œuvres de Lagrange, vol. II, Gauthier-Villars, 1877
Une introduction historique de qualité à cette démonstration se trouve à la page d'une encyclopédie en ligne :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction%27un_irrationnel_quadratique</footnote>

<footnote n="43">⁴³ Walter C., « Chapitre 2 - Fractions continues », dans *Cours de L1 Maths et L1 Info : Option "Arithmétique"* [en ligne], Université Sophia Antipolis, 2011, url : https://math.unice.fr/~walter/L1_Arith/ dernière consultation le 15/08/2021</footnote>

<footnote n="44">⁴⁴ Korkin, et Zolotarev, poursuivant une idée de Gauss rapportaient, la question de recherche d'un majorant C (vu ci-dessus) à celle de la recherche d'un minorant, minimum d'une forme quadratique, dont ils avaient trouvé des algorithmes de décomposition qui facilitent les calculs, algorithme dit « de Gauss » de décomposition des formes quadratiques, selon Youshkevitsch.</footnote>

<footnote n="45">⁴⁵ Inventé et développée par les premiers mathématiciens de l'approximation (Huygens, Euler, Lagrange), Markov, avec d'autres, en montrent l'usage et l'intérêt pour le calcul intégral. Le pont entre théorie des nombres et calcul intégral, qui était faiblement aperçu, tient dans le fait que les fractions continues</footnote>
Revenons-en à l'article de Markov de 1879 « Sur les formes quadratiques binaires indéfinies ». Les nombres pour lesquels il n'existe qu'un nombre fini d'approximations rationnelles de ξ, et dont il n'y a pas d'amélioration du théorème de Dirichlet après $C = \sqrt{5}$, sont « du type du nombre d'or », qui a pour fraction continue [1,1,1,1,1,...]. L'expression « du type » renvoie à un ensemble (dénombrable) d'irrationnels qui s'écrivent en fraction continue avec un début de développement quelconque, jusqu'à un certain terme où il n'y a plus que des 1 comme pour le nombre d'or<fnref n="46" />. Une fois les nombres du type de φ écartés, une meilleure majoration du reste est $C' = \sqrt{8}$.

À ce point, en passant par l'étude des minimum de la même forme quadratique équivalente (avec des coefficients actualisées au nouveau pas de l'itération), Markov montre que l'on peut introduire une nouvelle exception, les nombre de type<fnref n="47" /> : $1 + \sqrt{2}$.

Hormis les nombres du type nombre d'or et ces derniers, il obtient le calcul d'une nouvelle majoration en $\sqrt{\frac{221}{25}}$, et ainsi de suite. La progression $1 < \sqrt{5} < \sqrt{8} < \sqrt{\frac{221}{25}} < ..$ ne s'arrête pas, et A.A. Markov d'en calculer... les 20 premiers, avec ce que l'on peut appeler son algorithme. Effectuer ces vingt calculs de constantes a dû être le fruit de plusieurs journées d'un travail rigoureux de calculs assez répétitifs. Un effort de calcul conséquent, dans la veine utilitaire de tabuler des abaques, des nombres repères.

Markov avait environ 20 ans : ainsi fait-il correspondre ainsi le terme des calculs de son article à son propre âge. Coïncidence ? Sa publication contiendrait-elle une sorte de faire-part : « me voici devenu mathématicien » ? Dans l'analyse que fait J.-A. Miller du rôle du mathème et de la rhétorique dans la diffusion du travail des mathématiciens, nous touchons-là du doigt un élément de rhétorique, isolé<fnref n="48" />.

<footnote>permettent d'approcher des solutions aux formes quadratique indéfinies. Il fallait toutefois, pour effectuer ce prolongement, une dextérité calculatoire très particulière, et qui dénote une grande rigueur.</footnote>

<footnote n="46">⁴⁶ Formellement ces nombres ont une fraction continue qui s'écrit $[a_0,a_1, ..., a_n, 1,1,1...]$.</footnote>

<footnote n="47">⁴⁷ Derrière cette appellation, à nouveau est désigné un ensemble de nombres dont la fraction continue se termine comme celle de $1 + \sqrt{2}$.</footnote>

<footnote n="48">⁴⁸ Miller J.A., « Un rêve de Lacan », dans *Le réel en mathématiques - psychanalyse et mathématiques*, Agalma (diff. Le Seuil), 2004, p.107-133.</footnote>

<footnote>Pour un mathématicien 19ème siècle, il a été observé que le style d'A.A. Markov reste faiblement rhétorique.</footnote>
Ces résultats firent grande impression sur P. Čhebyšev<fnref n="49" /> qui y décela la pointe de la qualité de travail de ses étudiants.

Ce 1er article de Markov a eu une postérité mathématique, une fécondité bien ultérieure. La voie difficile, calculatoire qu'emprunta Markov a connu un regain d'intérêt un siècle plus tard, dans un contexte mathématique très rénové, celui de l'arithmétique modulaire, c'est-à-dire la théorie des congruences d'où s'isolent certaines régularités dans l'écriture même des grands nombres<fnref n="50" />. Lors de la deuxième moitié du XXe, Jean Bourgain et Enrico Bombieri ont réinterprétés l'approche de Markov. Sa démonstration reposait sur l'élimination de certaines possibilités d'écriture des fractions continues. J. Bourgain et Enrico Bombieri ont montré que « les nombres de Markov » s'organisent en triplets racines de l'équation

$$ \Phi(x, y, z) = x^3 + y^3 + z^3 - 3 \cdot x \cdot y \cdot z = 0 $$

Cela fait que de tels triplets suivent une progression arborescente en récurrence double : d'un coté de cette arborescence, les triplets de nombres suivent une suite de Fibonacci et de l'autre côté, les nombres de Pell<fnref n="51" /> ont été reconnus. Enfin, un certain type de rotation entre ces nombres permet aussi de retrouver un triplet de Markov valide (qui résout la dernière équation ci-dessus). Ainsi, les nombres de Markov ont pu être réinterprétés dans le cadre de l'arithmétique diophantienne<fnref n="52" />.

Pour revenir aux mathématiques de l'époque de Markov, celui-ci est parvenu à l'âge de 20 ans à formaliser la poursuite du lemme de Dirichlet, a montrer comment il s'avère récurent, et à en fournir l'algorithme de calcul.

Le fait que Markov ait débuté sa carrière par un apport en théorie des nombres nous mène à un raisonnement historique. À l'époque, en effet, l'énigme du dernier théorème de Fermat devait planer sur de nombreux esprits mathématiciens. On rappelle que Fermat a conjecturé qu'il n'y avait pas de triplet de nombres entiers x, y, z, à partir de leur mise en exposant n=3 et supérieur tel que :

<footnote n="49">⁴⁹ Delone B.N., « Andrei Andreevitch Markov », dans *The St Petersburg School of Number Theory*, Providence, RI, AMS, 2005, p.93.</footnote>

<footnote n="50">⁵⁰ Un exemple : qu'un nombre se « termine » par 0 ou 5 et nous savons à simplement lire, « sans calcul », qu'il est divisible par 5 (et qu'il n'est pas premier). C'est une considération basique d'arithmétique modulaire.</footnote>

<footnote n="51">⁵¹ Le lien avec les nombres de Pell est aussi établi dans l'article de Reteunauer d'un abord plus aisé que les travaux de Jean Bourgain ou ceux de Enrico Bombieri.</footnote>

<footnote n="52">⁵² L'arithmétique autour d'équation dont l'on recherche des solutions entières.</footnote>
$$x^n + y^n = z^n$$

Cette conjecture fut publiée par le fils de Pierre de Fermat dans l'édition commentée (par son père) du traité d'Arithmétique de Diophante vers 1670. Cette énigme fait le pivot entre la théorie antique des nombres et celle moderne, c'est autour d'elle que s'organise le travail mathématique à partir de la fin du XVIIIe et durant les XIXe et XXe<fnref n="53" />. Quand Markov prolonge et itère le théorème de Dirichlet de majoration du reste, grâce à la formulation équivalente du problème en termes de minimisation d'une forme quadratique et en appliquant les fractions continues avec dextérité aux racines de ces formes quadratiques, il était (il est) loisible d'imaginer que ces nouvelles écritures mathématiques apportaient une prise sur la conjecture de Fermat<fnref n="54" />, même si la réinterprétation (Bourgain-Bombieri) ci-dessus n'était pas formellement établie.

C'est pourquoi nous pensons qu'historiquement, l'existence de ce problème mathématique irrésolu a été un facteur facilitateur substantiel de la réception du travail de A.A. Markov, et de l'écho à l'international qu'il a reçu, un écho très favorable. Faute d'une formalisation incrémentale, la série 1 < √5 < √8 restait de l'ordre de l'artisanat numérique.

L'époque est charnière en mathématique dans le sens où L. Euler avait institué en quelque sorte en un art de la découverte et de l'exploration mathématique de telles séries, notamment au service du calcul différentiel et de la question de la sommabilité des séries, leur convergence ou non asymptotique, « leur comportement limite ». De tels « exercices »

<footnote n="53">⁵³ Théorème finalement démontré par Andrew Wiles en 1995, dans l'article qui dépasse notre entendement : Wiles A., « Modular Elliptic Curves and Fermat's Last Theorem », *Annals of mathematics second Series*, vol. 141:3, May, 1995, p. 443-451.</footnote>

<footnote n="54">⁵⁴ L'usage des fractions continues dans leur rapport à certains nombres irrationnels semble lisible comme (à confirmer) un germe historique de la démonstration d'Andrew Wiles. Pour ce qui concerne les nombres irrationnels, ceux que l'on rencontre de prime abord sont ceux des solutions d'équations quadratiques, dits « irrationnels quadratiques », dont l'exemple paradigmatique est racine de 2, connus depuis les grecs. Développés en fraction continue, les irrationnels quadratiques finissent par avoir un développement périodique (c'est à dire cyclique). Cette propriété sert à Markov pour majorer le terme d'erreur que nous avons exprimé plus haut, à chaque étape de son calcul. Cette périodicité sert aussi à Andrew Wiles, certes dans un contexte d'arithmétique modulaire bien plus élaboré qui ressort d'une algèbre de Galois que nous ne maîtrisons pas, mais il nous semble en percevoir une sorte d'écho dans la démonstration du dernier théorème de Fermat. Ces démonstrations en passent par une connexion entre un mécanisme de rejet, un crible, et ce qui se referme dans une classe, de présenter une périodicité.</footnote>
d'artisanat numérique, avait constitué une clef de son style et de sa novation, que l'on retrouve dans la geste d'un Čhebyšev.

Markov, lui, connu sa première reconnaissance en en formalisant une rigoureusement le lemme de Dirichlet. Que cette reconnaissance soit limitée à son cercle professionnel et à quelques mathématiciens européens n'importe guère, en revanche il importait qu'il obtînt les postes universitaires et la latitude pour continuer ses recherches. Il le fit dans une grande rigueur, et marqué d'un style épuré. Markov ne livre que peu d'autocommentaires. En revanche, son style était généreux en développement des calculs, avec des indexations nombreuses. Là réside sa force didactique, et l'impression de rigueur qui s'en dégage n'en est que renforcée. Certes, ce type d'article paraît de prime abord débordant par son aspect calculatoire.

Il y a un commentaire historique de l'écriture mathématique, certes assez confidentiel, mais analogue à l'histoire des mouvements littéraires, mieux connue.

Markov inaugure un champ baptisé "analyse arithmétique algébrique" par Catherine Goldstein<fnref n="55" />. Il est difficile de rendre compte d'un champ mathématique obsolète. En littérature, le naturalisme consistait à faire montre d'objectivité en décrivant des scènes de vie jusqu'au moindre détail y compris dans ses aspects les plus vulgaires. Nous pourrions tenter un parallèle en ce que Markov traite d'un problème plutôt très circonscrit, en traquant un encadrement d'un reste, analogue du vulgaire, jusque dans ses moindres écritures développées, et quitte à démultiplier les cas et à avoir une démonstration à soufflets ou télescopique.

Un accueil très favorable devait être réservé à un telle démonstration novatrice en théorie des nombres, puisqu'elle pouvait s'avérer féconde à une future résolution de l'énigme du théorème de Fermat. Et Markov y pu effectuer un début dans sa vie de mathématicien. Markov commençait alors de s'attacher aux mathématiques du discret, ce qui semble une trivialité si l'on ne précise pas de quelle manière : au-delà de leur caractère instrumental ou calculatoire, Markov commençait de pratique un mathématique du discret en tant que nouvelle mathématique à part entière, si l'on nous permet ce jeu de mot !

<footnote n="55">⁵⁵ Catherine Goldstein, « Gabriel Lamé et la théorie des nombres : « une passion malheureuse » ? », *Bulletin de la Sabix* [En ligne], 44, 2009, consulté le 08 septembre 2020 : http://journals.openedition.org/sabix/690</footnote>
Il s'efforce de formaliser les restes que ne manquent pas de produire l'approximation rationnelle de solutions entières à des équations... qui n'en ont pas (les formes quadratiques ou de manière synonyme les polynômes à coefficients entiers), et il le fait par une technique de décomposition. Par rapport à G. Cantor, la distance est donc marquée, la question du continue ne met pas A.A. Markov au travail. Au contraire ce qui le met au travail est l'impossibilité d'écrire formellement certains restes, et comment passer outre cette impossibilité par le calcul, par une technique d'approximation. Le calcul et la formalisation ont constitué pour Markov la perspective d'une Aufhebung [un passer-outre], qui puisse subsumer une dialectique initiale : en l'occurrence celle entre nombres entiers (auquel rattacher les rationnels) et autres « types » de nombres réels. C'est pourquoi nous pouvons conclure qu'il a été lancé en tant qu'explorateur du monde discret.

Facilitation d'écriture des nombres tronqués par observation de régularités

En 1881, une question d'écriture de nombres renouvelle l'attention mathématique de A.A. Markov. Il s'attache à un problème de substitutions d'écritures afin d'éviter ou de s'épargner des calculs dans : *Sur une question de Jean Bernoulli (Mathematische Annalen volume 19, p27-36)*. Markov y reprend de Bernoulli des propositions techniques de simplification des calculs<sup>56</sup>. Ce champ de mathématique est devenu à nos jours l'arithmétique modulaire<sup>57</sup>. La question n'est pas strictement une question numération,

<footnote n="56"><sup>56</sup> Un exemple simple d'une économie de calcul en général : lorsque nous posons la multiplication 153 fois 153, lorsque l'on en vient à multiplier par le chiffre des centaines, qui est 1, il suffit de recopier 153 comme ligne intermédiaire. Autre exemple. Quoi de plus facile que de multiplier un nombre entier par 10 en numération décimale ? En effet, il suffit d'ajouter un zéro à droite. Enfin dernier exemple : en numération binaire, *diviser par deux* un nombre pair (qui se termine par 0 à gauche) ne nécessite pas de calcul, mais une simple réécriture, une copie. En effet, il suffit de ne plus tenir compte du dernier 0 à gauche, et de réécrire tous les autres chiffres. Copier, au lieu de calculer. Et si c'était là un aperçu de ce qu'il y a de sous-jacent dans le transfert pour l'informatique, pour le numérique ? Alors, il y aurait un relatif contre-sens à croire que le transfert pour l'informatique s'accompagne d'un transfert pour le calcul. Une aversion pour le calcul le fonderait plutôt.</footnote>

<footnote n="57"><sup>57</sup> L'arithmétique modulaire date de l'antiquité (Euclide, les traités de calculs chinois), mais elle prend une autre tournure en 1801 en Europe avec Gauss, puis avec les mathématiques du XIX<sup>e</sup>. Il s'agit de la divisibilité modulo [n] de nombres que l'on peut alors ranger en classes : les multiples de 3, les multiples de 5 etc. Au XIX<sup>e</sup> ce concept de modularité, *a priori* valable dans la théorie des nombres, s'étend à certaines classes de fonctions. Elle s'étend en particulier aux ensembles de polynômes. On dit aujourd'hui qu'ils forment un anneau (ce qui suppose une structure de groupe). Cette extension de l'arithmétique modulaire à des ensembles de fonctions est un programme mathématique réussi du XIX<sup>e</sup> c'est en faisant jouer cette structure que Lagrange démontre le théorème de Wilson. Ce dernier est un théorème par lequel un nombre est vu comme premier s'il est le reste modulo lequel un autre nombre impair formé à partir de lui est... divisible. Ce</footnote>
mais elle y est liée. Ce n'est pas la question de la base de numération qui est au-devant, mais il pose à nouveau frais après Bernoulli la question de la troncature et de l'écriture de la dernière décimale.

J. Bernoulli en son temps avait pressenti une « nouvelle espèce de calcul ». Il avait proposé des simplifications spécifiques lorsque des astronomers dressent un éphéméride ou lorsqu'un algébriste dresse une table de logarithmes<fnref n="58" />. Dans une telle table, il y a une progression de chiffre réglée sur l'avancement du nombre en entrée avec un certain pas. En plus de suivre un certain pas, la table est dressée avec une certaine précision décimale : au centième ou au millième par exemple. Le pas de calcul, la graduation ou la maille de la table, se trouve trop lâche pour certaines applications astronomiques, pose Bernoulli à l'orée de la « nouvelle espèce de calcul » qu'il propose<fnref n="59" />.

Il convient alors de prolonger la table entre deux des valeurs du nombre en entrée, de manière linéaire, c'est-à-dire en interpolant les valeurs internes à rajouter à la table par une règle de trois. Et c'est pour ce problème, lorsqu'il faut compléter la table de chiffres de références entre les mailles avec lesquelles elle a été tabulée, que Bernoulli expose des formules pour s'épargner bon nombre de calculs. Il dit disposer de la démonstration mais n'en donne que des pistes, qui sont fécondes au demeurant.

Un astuce parmi d'autre (la dernière que son article indique) assez évidente et qui donne un idée du reste, quand l'on comble par 20 nouveaux chiffres entre deux résultats dont celui de départ est 2,6133 et celui à la fin de 2,6245, aucun calcul n'est nécessaire pour le chiffre des unités et pour le chiffres des dixièmes, qui ne seront pas modifiés dans toute l'interpolation. Il est loisible d'inscrire au frontispice de la sous-table à insérer 2,6.. et de travailler en dessous la question entre ..133 et ..245. Dit autrement, avec des termes anachroniques : le préfixe... est fixe.

<footnote>point de vue s'appelle l'inversion modulaire et sa fécondité réside dans le fait de mettre en avant la question du reste par la division euclidienne. Cette inversion se retrouve lorsque l'on manie les fractions continues. Ce théorème de Wilson est un bijou baroque, car il ne sert pratiquement à rien en termes de calculs, mais, historiquement, c'est une sorte de salle des pas perdus entre la théorie des nombres et celles des anneaux de polynômes.</footnote>

<footnote n="58">⁵⁸ Une table de logarithme servait, au départ, à faciliter les calculs en astronomie, car à une addition dans la partie des nombres logarithmiques correspond une multiplication dans la partie des nombres physiques, des nombres physiques qu'il est problématique de multiplier tellement ils sont grands.</footnote>

<footnote n="59">⁵⁹ Bernouilli J, « Sur une nouvelle espèce de calcul », dans *Recueil pour les astronomes*, Desaint - Librairie, Paris, p.255-284, 1771.</footnote>