# 6 CONCLUSION

Compte tenu de la complexité des phénomènes intervenant lors des crues torrentielles, l'étude des conditions d'écoulement doit résulter du croisement d'analyses historiques, géomorphologiques et hydrauliques permettant d'aboutir à un faisceau d'éléments convergents sur les zones pouvant être impactées en crue par les écoulements. **Les modèles numériques d'évolution du fond de lit viennent compléter l'ensemble des outils** à la disposition des chargés d'études pour l'analyse de l'aléa torrentiel. Ils ne doivent en aucun se substituer aux autres approches.

Une analyse approfondie du profil en long est nécessaire avant toute modélisation pour :

* appréhender de manière qualitative les évolutions potentielles du fond du lit en crue ;

* fournir les hypothèses de pente représentative des apports solides amont à prendre en compte dans les modélisations.

Le choix de la pente représentative des apports solides amont conditionne la tendance au dépôt ou à l'érosion modélisée, et ce quelle que soit la formule de transport solide utilisée. La formule de transport solide, utilisée pour calculer la différence des flux transportés au sein du modèle, n'a qu'une influence sur la magnitude des évolutions verticales. Pour le choix de la pente représentative des apports solides à l'amont du modèle (Is), il existe schématiquement 2 configurations possibles :

* **configuration 1** : le **bief amont** du modèle est un tronçon **alluvionnaire** où le transport solide est régulé → la pente réelle du lit constitue une **approximation correcte** de Is. Des fluctuations autour de la valeur de pente réelle sont possibles en crue : la magnitude de ces variations est directement liée à la capacité de régulation du lit, et donc à sa largeur.

* **configuration 2** : le **bief amont** est un tronçon **non alluvionnaire** - configuration typique de lits à blocs (torrents ou rivières torrentielles pavées)
  → la pente réelle du lit n'est pas en lien avec les apports solides amont. Lors de crues torrentielles intenses, il n'est pas possible de prédéterminer Is. Les flux solides mobilisés sont étroitement liés aux stocks sédimentaires dans le lit et en tête de bassin. L'évolution du lit au cours de crue doit être appréciée en prenant en compte **différentes hypothèses de pentes représentatives des apports solides amont**. La plausibilité des pentes choisies doit faire l'objet d'une discussion en fonction d'éléments géomorphologiques (pentes de dépôt observées sur d'anciennes terrasses, gamme de pente du cône déjection) ou historiques (localisation des zones de désordres historiques).

Nous avons décrit **8 modèles numériques 1D d'évolution du fond de lit** applicables aux crues de cours d'eau à pente forte ($I > 1,0$ à $1,5 \%$) : SEDFLOW, BASEMENT, TOMSED, LOGICCHAR, RUBARBE, EVOFOND, EFL, 3ST-1D. La liste n'est pas exhaustive. L'ensemble des modèles partagent une architecture commune avec 3 blocs principaux :

* le premier bloc correspond aux **choix préliminaires** effectués par le concepteur du modèle. Ils portent essentiellement sur la dimension du modèle (1D, 2D, 3D) et, dans le cas de modèles 1D, sur l'emprise spatiale et le mode de représentations des sections en travers ;

* les deux blocs qui suivent sont le cœur des modèles : ils correspondent aux **deux composantes** de calcul **hydraulique** et de **calcul de flux solides** à partir de formules de transport solide (sous forme de charriage). Comme dans la réalité, ces deux composantes sont couplées, avec des interactions respectives entre l'hydraulique et le transport solide.

Les caractéristiques techniques et le niveau de complexité des modèles identifiés sont très fortement variables. Cela rend illusoire, dans la plupart des cas, une inter-comparaison à paramètres identiques.

L'analyse des **formules de transport solide** intégrées à ces 8 modèles conduit aux conclusions suivantes :

* dans le cadre de modélisations d'évolution de fond de lit, le **choix** de la **formule de transport solide** doit **mobiliser moins d'énergie que le choix** de la **pente représentative des apports solides amont** ;

* l'utilisation des formules établies sur données de laboratoire maximise les flux solides calculés et va donc dans le sens de la sécurité. Leur usage peut être justifié dans le cadre de crues rares à exceptionnelles où les hypothèses de modélisation ne permettent pas de prendre en compte l'ensemble des phénomènes prévisibles (par exemple, dépôts exacerbés par apports latéraux) ;

* dans le contexte de **lits alluvionnaires**, nous proposons d'utiliser la formule de Lefort (2015) ou celle de Rickenmann (1991) pour les crues particulièrement intenses ;

* dans le contexte de **lits à blocs et cailloux**, la formule de Piton et Recking (2017) permet de prendre en compte une granulométrie du lit différente de la granulométrie transportée. L'utilisation des formules de Lefort (2015) et Rickenmann (1991) est également possible.
Les **trois cas d'application** de modélisation numérique 1D d'évolution de fond de lit permet de retenir les points suivants :

* Les modèles trouvent leur utilité dans le cadre d'une **approche de modélisation par scénarios** permettant de comparer les évolutions résultant d'hypothèses multiples : sur les conditions de fourniture hydrosédimentaire en amont de modèle, sur des scénarios d'aménagement du lit dans le cadre de travaux de réaménagement, ... L'intérêt est davantage d'**étudier les différences d'évolutions** modélisées résultant de 2 scénarios différents que de déterminer les variations d'évolution en valeur absolue.
La complexité des phénomènes en jeu lors de crues torrentielles et les nombreuses hypothèses simplificatrices effectuées doivent conduire les utilisateurs à **garder le recul** nécessaire vis-à-vis des résultats obtenus et de la capacité des modèles à reproduire avec précision les évolutions pouvant survenir en crue.

* Les **modèles 1D d'évolution du fond de lit** permettent de **capturer 2 grands types d'évolutions de fond de lit** :

o celles liées à l'évolution de la **capacité de transport**, et donc de la **pente longitudinale**, de la **largeur de lit**, et dans une moindre mesure de la granulométrie (en raisonnant à débit constant). Dans un cadre d'utilisation de modèles sur des cônes de déjections torrentiels, où la pente décroit régulièrement, les évolutions de fond de lit au cours de crues intenses sont avant tout liées à la baisse de la pente.

o celles liées à des **influences aval**, et notamment des **contractions brutales** du lit. Les évolutions de fond de lit liées à la présence de contractions brusques, rarement décrites, sont pourtant à l'origine d'évolutions qui peuvent être spectaculaires lors de crues réelles. L'aptitude des modèles à reproduire les évolutions pouvant survenir à l'amont de contractions brusques à fond inaffouillable nécessite un calcul des flux solides à partir de la ligne de charge (et non de la pente du fond).
Les **trois cas d'application** de modélisation numérique 1D d'évolution de fond de lit permet de retenir les points suivants :

* Les modèles trouvent leur utilité dans le cadre d'une **approche de modélisation par scénarios** permettant de comparer les évolutions résultant d'hypothèses multiples : sur les conditions de fourniture hydrosédimentaire en amont de modèle, sur des scénarios d'aménagement du lit dans le cadre de travaux de réaménagement, ... L'intérêt est davantage d'**'étudier les différences d'évolutions** modélisées résultant de 2 scénarios différents que de déterminer les variations d'évolution en valeur absolue.
La complexité des phénomènes en jeu lors de crues torrentielles et les nombreuses hypothèses simplificatrices effectuées doivent conduire les utilisateurs à **garder le recul** nécessaire vis-à-vis des résultats obtenus et de la capacité des modèles à reproduire avec précision les évolutions pouvant survenir en crue.

* Les **modèles 1D d'évolution du fond de lit** permettent de **capturer 2 grands types d'évolutions de fond de lit** :

* celles **liées à l'évolution** de la **capacité de transport**, et donc de la **pente longitudinale**, de la **largeur de lit**, et dans une moindre mesure de la granulométrie (en raisonnant à débit constant). Dans un cadre d'utilisation de modèles sur des cônes de déjections torrentiels, où la pente décroit régulièrement, les évolutions de fond de lit au cours de crues intenses sont avant tout liées à la baisse de la pente.

* celles **liées à des influences aval**, et notamment des **contractions brutales** du lit. Les évolutions de fond de lit liées à la présence de contractions brusques, rarement décrites, sont pourtant à l'origine d'évolutions qui peuvent être spectaculaires lors de crues réelles. L'aptitude des modèles à reproduire les évolutions pouvant survenir à l'amont de contractions brusques à fond inaffouillable nécessite un calcul des flux solides à partir de la ligne de charge (et non de la pente du fond).
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LISTE DES ANNEXES

**ANNEXE 1 : FORMULE DE TRANSPORT SOLIDES DEVELOPPEES POUR UNE APPLICATION SUR DES COURS D'EAU A PENTE FORTE (I > 1,0 à 1,5%)**

**ANNEXE 2 : ANALYSE DES FORMULES DE TRANSPORT SOLIDE ADAPTEES AU CONTEXTE TORRENTIEL**

**ANNEXE 3 : INTERET DE CORRIGER LA VALEUR DE LA LIGNE D'ENERGIE CONSIDEREE POUR LE CALCUL DES DEBITS SOLIDES - SYNTHESE ETUDE NITSCHE ET AL. (2011)**
# LISTE DES ANNEXES

**ANNEXE 1 : FORMULE DE TRANSPORT SOLIDES DEVELOPPEES POUR UNE APPLICATION SUR DES COURS D'EAU A PENTE FORTE (I > 1,0 à 1,5%)**

**ANNEXE 2 : ANALYSE DES FORMULES DE TRANSPORT SOLIDE ADAPTEES AU CONTEXTE TORRENTIEL**

**ANNEXE 3 : INTERET DE CORRIGER LA VALEUR DE LA LIGNE D'ENERGIE CONSIDEREE POUR LE CALCUL DES DEBITS SOLIDES - SYNTHESE ETUDE NITSCHE ET AL. (2011)**
# ANNEXE 1
## FORMULES DE TRANSPORT SOLIDES DEVELOPPEES POUR UNE APPLICATION SUR DES COURS D'EAU A PENTE FORTE (I > 1,0 à 1,5%)

### Formule de Smart et Jaeggi (1983)

La formule de Smart et Jaeggi fait suite à une série de 77 expériences réalisées au laboratoire d'hydraulique de l'ETH Zürich. Le modèle physique était un canal de pente ajustable comprise entre 3 et 20 %, avec 4 types de matériaux différents (2 distributions granulométries quasi uniformes et 2 autres distributions étendues). Ces expériences ont en premier lieu montré que la formule de Meyer-Meter et Müller (1948) – dans sa formulation originale – sous-estimait considérablement le débit solide pour des valeurs de pente supérieures à 3% (r²=0,36, sE=129%). D'après les auteurs, ceci est dû à la correction de prise en compte de rugosité de forme, ce qui n'a pas lieu d'être sur les expériences en canal à forte pente. Ainsi, l'usage de la formulation, adaptée aux lits plats, sans facteur correctif donne de biens meilleurs résultats (Figure 46 à droite, r²=0,87 sE=37%) avec toutefois une dispersion des prédictions augmentant pour les pentes fortes.

<figure><img src="image_79.png" /><figcaption>Figure 46 : Résultats de débits solides calculés en fonction des débits solides mesurés pour l'équation de Meyer-Peter et Müller et celle de Smart et Jaeggi et sur le jeu de données à forte pente (3 à 20 %) de Smart et Jaeggi (1983).</figcaption></figure>

(a) : formulation originale de Meyer-Peter et Müller avec correction liée à la prise en compte de rugosité de forme ;

(b) formulation simplifiée de Meyer-Peter et Müller sans correction ;

(c) résultats avec la formule Smart et Jaeggi.

Elles ont par ailleurs révélé que, dans un contexte de pente forte > 3 %, la hauteur d'eau décroit puis réaugmente en fonction de la pente (cf. Figure 47).
# ANNEXE 1
## FORMULES DE TRANSPORT SOLIDES DEVELOPPEES POUR UNE APPLICATION SUR DES COURS D'EAU A PENTE FORTE (I > 1,0 à 1,5%)

### Formule de Smart et Jaeggi (1983)

La formule de Smart et Jaeggi fait suite à une série de 77 expériences réalisées au laboratoire d'hydraulique de l'ETH Zürich. Le modèle physique était un canal de pente ajustable comprise entre 3 et 20 %, avec 4 types de matériaux différents (2 distributions granulométries quasi uniformes et 2 autres distributions étendues). Ces expériences ont en premier lieu montré que la formule de Meyer-Meter et Müller (1948) – dans sa formulation originale – sous-estimait considérablement le débit solide pour des valeurs de pente supérieures à 3% (r²=0,36, sE=129%). D'après les auteurs, ceci est dû à la correction de prise en compte de rugosité de forme, ce qui n'a pas lieu d'être sur les expériences en canal à forte pente. Ainsi, l'usage de la formulation, adaptée aux lits plats, sans facteur correctif donne de biens meilleurs résultats (Figure 46 à droite, r²=0,87 sE=37%) avec toutefois une dispersion des prédictions augmentant pour les pentes fortes.

<figure><img src="image_76.png" /><figcaption>Figure 46 : Résultats de débits solides calculés en fonction des débits solides mesurés pour l'équation de Meyer-Peter et Müller et celle de Smart et Jaeggi et sur le jeu de données à forte pente (3 à 20 %) de Smart et Jaeggi (1983).</figcaption></figure>

(a) : formulation originale de Meyer-Peter et Müller avec correction liée à la prise en compte de rugosité de forme ;

(b) formulation simplifiée de Meyer-Peter et Müller sans correction ;

(c) résultats avec la formule Smart et Jaeggi.

Elles ont par ailleurs révélé que, dans un contexte de pente forte > 3 %, la hauteur d'eau décroit puis réaugmente en fonction de la pente (cf. Figure 47).
<figure><img src="image_80.png" /><figcaption>Figure 47 : Hauteur d'écoulement en fonction de la pente lors des expériences de Smart et Jaeggi.
Source : Meunier, 1989</figcaption></figure>

Les auteurs ont cherché à caler une formulation adimensionnelle du type $\Phi = f(E, C, \theta, \theta - \theta_c)$, avec $\Phi$ le débit solide adimensionnel, E le ratio vitesse moyenne / vitesse de frottement, C un coefficient de résistance, et $\theta$ le nombre adimensionnel de Shields. Sur la base des données mesurées, la meilleure formulation trouvée pour le coefficient E dépendait de la pente et a été trouvé égal à 4,2. S<sup>0,6</sup> dans le cas des granulométries quasi uniformes. L'effet de la granulométrie étendue a été investigué et le rapport $d_{90}/d_{30}$ est celui qui a permis de mieux représenter l'effet d'une granulométrie étendue. La formule finale proposée par les auteurs dans le cas d'une granulométrie étendue est la suivante :

$$ \Phi = 4,0 \cdot \left(\frac{d_{90}}{d_{30}}\right)^{0,2} \cdot S^{0,6} \cdot C \cdot \theta^{0,5} \cdot (\theta - \theta_c) \quad (\text{Eq. 26}) $$

Avec : $\Phi$ le débit solide adimensionnel (paramètre d'Einstein), S la pente, $\theta$ le nombre adimensionnel de Shields, $\theta_c$ le nombre de Shields critique, et C un coefficient de résistance du lit égal au rapport de la vitesse moyenne U sur la vitesse de frottement u*.

Pour les calculs, le nombre de Shields critique est évalué avec la formulation suivante qui intègre une correction liée à la pente :

$$ \theta_c = \theta_{c0} \cos(\operatorname{atan}(S)) \cdot \left(1 - \frac{s}{\tan \varphi}\right) \quad (\text{Eq. 27}) $$

Avec $\theta_{c0}$ le Shields critique non corrigé par la pente considéré par les auteurs égal à 0,05 ; et $\varphi$ l'angle de frottement interne des matériaux pris égal dans leur étude à 35°.

Exprimée en débit solide volumique par unité de largeur sans les vides, l'équation (Eq. 26) devient :

$$ q_b = q \cdot \frac{4,0}{(s-1)} \left(\frac{d_{90}}{d_{30}}\right)^{0,2} \cdot S^{1,6} \cdot \left(1 - \frac{\theta_c \cdot d_m}{h_m \cdot S}\right) \quad (\text{Eq. 28}) $$

Avec $d_m$ le diamètre moyen des grains et $h_m$ la hauteur du mélange. Pour transformer l'équation (Eq. 26), on a considéré que débit solide adimensionnel et le nombre de Shields étaient tous deux exprimés en fonction du diamètre moyen des grains. On remarquera qu'il y a une faible influence du facteur ($d_{90}/d_{30}$) qui est ici à la puissance 0,2. Lorsque ce
<figure><img src="image_77.png" /><figcaption>Figure 47 : Hauteur d'écoulement en fonction de la pente lors des expériences de Smart et Jaeggi.
Source : Meunier, 1989</figcaption></figure>

Les auteurs ont cherché à caler une formulation adimensionnelle du type $\Phi = f(E, C, \theta, \theta - \theta_c)$, avec $\Phi$ le débit solide adimensionnel, E le ratio vitesse moyenne / vitesse de frottement, C un coefficient de résistance, et $\theta$ le nombre adimensionnel de Shields. Sur la base des données mesurées, la meilleure formulation trouvée pour le coefficient E dépendait de la pente et a été trouvé égal à 4,2. S<sup>0,6</sup> dans le cas des granulométries quasi uniformes. L'effet de la granulométrie étendue a été investigué et le rapport $d_{90}/d_{30}$ est celui qui a permis de mieux représenter l'effet d'une granulométrie étendue. La formule finale proposée par les auteurs dans le cas d'une granulométrie étendue est la suivante :

$$ \Phi = 4,0 \cdot \left(\frac{d_{90}}{d_{30}}\right)^{0,2} \cdot S^{0,6} \cdot C \cdot \theta^{0,5} \cdot (\theta - \theta_c) \quad (\text{Eq. 26}) $$

Avec : $\Phi$ le débit solide adimensionnel (paramètre d'Einstein), S la pente, $\theta$ le nombre adimensionnel de Shields, $\theta_c$ le nombre de Shields critique, et C un coefficient de résistance du lit égal au rapport de la vitesse moyenne U sur la vitesse de frottement u*.

Pour les calculs, le nombre de Shields critique est évalué avec la formulation suivante qui intègre une correction liée à la pente :

$$ \theta_c = \theta_{c0} \cos(\operatorname{atan}(S)) \cdot \left(1 - \frac{s}{\tan \varphi}\right) \quad (\text{Eq. 27}) $$

Avec $\theta_{c0}$ le Shields critique non corrigé par la pente considéré par les auteurs égal à 0,05 ; et $\varphi$ l'angle de frottement interne des matériaux pris égal dans leur étude à 35°.

Exprimée en débit solide volumique par unité de largeur sans les vides, l'équation (Eq. 26) devient :

$$ q_b = q \cdot \frac{4,0}{(s-1)} \left(\frac{d_{90}}{d_{30}}\right)^{0,2} \cdot S^{1,6} \cdot \left(1 - \frac{\theta_c \cdot d_m}{h_m \cdot S}\right) \quad (\text{Eq. 28}) $$

Avec $d_m$ le diamètre moyen des grains et $h_m$ la hauteur du mélange. Pour transformer l'équation (Eq. 26), on a considéré que débit solide adimensionnel et le nombre de Shields étaient tous deux exprimés en fonction du diamètre moyen des grains. On remarquera qu'il y a une faible influence du facteur ($d_{90}/d_{30}$) qui est ici à la puissance 0,2. Lorsque ce
paramètre est inconnu, les auteurs proposent de retenir une valeur de 1,05 pour le rapport ($d_{90}/d_{30}$)$^{0,2}$. Dans ce cas, et en faisant l'hypothèse d'une valeur de $s=2,68$ et de $\theta_c=0,05$, l'équation précédente (Eq. 28) devient :

$$q_b = q \cdot 2,5 \cdot S^{1,6} \cdot \left(1 - \frac{d_m}{12,1 \cdot h_m \cdot S}\right) \quad (\text{Eq. 29})$$

Le Tableau 10 donne les gammes de valeurs de Shields critiques ajustées suite aux expériences pour chacune des gammes granulométriques. A noter enfin que les hauteurs ont été mesurées manuellement à partir d'échelles graduées placées sur les parois du canal en plexiglass. Les auteurs reportent une erreur maximale de mesure de l'ordre de ± 5 mm pour les plus faibles pentes. Pour les expériences avec les pentes les plus fortes avec des concentrations élevées de sédiments, l'erreur pouvait atteindre jusqu'à ± 10 mm.

<table><caption>Tableau 10 : Caractéristiques des expériences de Smart et Jaeggi (1983)</caption><thead><tr><th>Expérience</th><th>Nombre N</th><th>Hauteur d'eau H (m)</th><th>Pente S (m/m)</th><th>Diamètre (m)</th><th>masse volumique sédimentaire ρ<sub>s</sub> (kg/m<sup>3</sup>)</th><th>Débit par unité de largeur q (m<sup>3</sup>/s/m)</th><th>Shields critique θ<sub>c</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="3">Expériences Gr1</td><td rowspan="3">14</td><td>0,031</td><td>0,03</td><td>d<sub>moy</sub> = 0,0042</td><td rowspan="3">2670</td><td>0,0242</td><td>0,034</td></tr><tr><td>à</td><td>à</td><td>d<sub>90</sub> = 0,0052</td><td>à</td><td>à</td></tr><tr><td>0,065</td><td>0,20</td><td>d<sub>90</sub>/d<sub>30</sub> = 1,44</td><td>0,1293</td><td>0,048</td></tr><tr><td rowspan="3">Expériences Gr2</td><td rowspan="3">26</td><td>0,029</td><td>0,034</td><td>d<sub>moy</sub> = 0,0105</td><td rowspan="3">2680</td><td>0,0241</td><td>0,034</td></tr><tr><td>à</td><td>à</td><td>d<sub>90</sub> = 0,0121</td><td>à</td><td>à</td></tr><tr><td>0,085</td><td>0,20</td><td>d<sub>90</sub>/d<sub>30</sub> = 1,34</td><td>0,1398</td><td>0,047</td></tr><tr><td rowspan="3">Expériences Gr3</td><td rowspan="3">11</td><td>0,028</td><td>0,10</td><td>d<sub>moy</sub> = 0,0020</td><td rowspan="3">2680</td><td>0,0240</td><td>0,027</td></tr><tr><td>à</td><td>à</td><td>d<sub>90</sub> = 0,0046</td><td>à</td><td>à</td></tr><tr><td>0,059</td><td>0,20</td><td>d<sub>90</sub>/d<sub>30</sub> = 4,60</td><td>0,1271</td><td>0,033</td></tr><tr><td rowspan="3">Expériences Gr4</td><td rowspan="3">26</td><td>0,03</td><td>0,03</td><td>d<sub>moy</sub> = 0,0043</td><td rowspan="3">2670</td><td>0,0240</td><td>0,034</td></tr><tr><td>à</td><td>à</td><td>d<sub>90</sub> = 0,0110</td><td>à</td><td>à</td></tr><tr><td>0,20</td><td>0,20</td><td>d<sub>90</sub>/d<sub>30</sub> = 8,46</td><td>0,150</td><td>0,048</td></tr></tbody></table>

## Formule de Meunier (1989)

La formule dite de Meunier (1989) est une formule simplifiée donnant le débit solide en fonction du débit liquide et de la pente. Cette formule a été obtenue par régression curviligne (cf. Figure 48) sur les données des expériences de Smart et Jaeggi (1983). Elle s'écrit :

$$Q_{svap} = 8,2 \cdot Q_1 \cdot S^2 \text{ ou } Q_{sv} = 6,3 \cdot Q_1 \cdot S^2 \quad (\text{Eq. 30})$$

Le coefficient de 6,3 correspond à l'expression donnée pour le débit solide volumique sans les vides. Le coefficient 8,2 intègre quant à lui la présence de vides. Le passage correspond ici à une porosité de 23 % (1-6,3/8,2).
paramètre est inconnu, les auteurs proposent de retenir une valeur de 1,05 pour le rapport ($d_{90}/d_{30}$)$^{0,2}$. Dans ce cas, et en faisant l'hypothèse d'une valeur de $s=2,68$ et de $\theta_c=0,05$, l'équation précédente (Eq. 28) devient :

$$q_b = q \cdot 2,5 \cdot S^{1,6} \cdot \left(1 - \frac{d_m}{12,1 \cdot h_m \cdot S}\right) \quad (\text{Eq. 29})$$

Le Tableau 10 donne les gammes de valeurs de Shields critiques ajustées suite aux expériences pour chacune des gammes granulométriques. A noter enfin que les hauteurs ont été mesurées manuellement à partir d'échelles graduées placées sur les parois du canal en plexiglass. Les auteurs reportent une erreur maximale de mesure de l'ordre de ± 5 mm pour les plus faibles pentes. Pour les expériences avec les pentes les plus fortes avec des concentrations élevées de sédiments, l'erreur pouvait atteindre jusqu'à ± 10 mm.

<table><caption>Tableau 10 : Caractéristiques des expériences de Smart et Jaeggi (1983)</caption><thead><tr><th>Expérience</th><th>Nombre N</th><th>Hauteur d'eau H (m)</th><th>Pente S (m/m)</th><th>Diamètre (m)</th><th>masse volumique sédimentaire ρ<sub>s</sub> (kg/m<sup>3</sup>)</th><th>Débit par unité de largeur q (m<sup>3</sup>/s/m)</th><th>Shields critique θ<sub>c</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="3">Expériences Gr1</td><td rowspan="3">14</td><td>0,031</td><td>0,03</td><td>d<sub>moy</sub> = 0,0042</td><td rowspan="3">2670</td><td>0,0242</td><td>0,034</td></tr><tr><td>à</td><td>à</td><td>d<sub>90</sub> = 0,0052</td><td>à</td><td>à</td></tr><tr><td>0,065</td><td>0,20</td><td>d<sub>90</sub>/d<sub>30</sub> = 1,44</td><td>0,1293</td><td>0,048</td></tr><tr><td rowspan="3">Expériences Gr2</td><td rowspan="3">26</td><td>0,029</td><td>0,034</td><td>d<sub>moy</sub> = 0,0105</td><td rowspan="3">2680</td><td>0,0241</td><td>0,034</td></tr><tr><td>à</td><td>à</td><td>d<sub>90</sub> = 0,0121</td><td>à</td><td>à</td></tr><tr><td>0,085</td><td>0,20</td><td>d<sub>90</sub>/d<sub>30</sub> = 1,34</td><td>0,1398</td><td>0,047</td></tr><tr><td rowspan="3">Expériences Gr3</td><td rowspan="3">11</td><td>0,028</td><td>0,10</td><td>d<sub>moy</sub> = 0,0020</td><td rowspan="3">2680</td><td>0,0240</td><td>0,027</td></tr><tr><td>à</td><td>à</td><td>d<sub>90</sub> = 0,0046</td><td>à</td><td>à</td></tr><tr><td>0,059</td><td>0,20</td><td>d<sub>90</sub>/d<sub>30</sub> = 4,60</td><td>0,1271</td><td>0,033</td></tr><tr><td rowspan="3">Expériences Gr4</td><td rowspan="3">26</td><td>0,03</td><td>0,03</td><td>d<sub>moy</sub> = 0,0043</td><td rowspan="3">2670</td><td>0,0240</td><td>0,034</td></tr><tr><td>à</td><td>à</td><td>d<sub>90</sub> = 0,0110</td><td>à</td><td>à</td></tr><tr><td>0,20</td><td>0,20</td><td>d<sub>90</sub>/d<sub>30</sub> = 8,46</td><td>0,150</td><td>0,048</td></tr></tbody></table>

## Formule de Meunier (1989)

La formule dite de Meunier (1989) est une formule simplifiée donnant le débit solide en fonction du débit liquide et de la pente. Cette formule a été obtenue par régression curviligne (cf. Figure 48) sur les données des expériences de Smart et Jaeggi (1983). Elle s'écrit :

$$Q_{svap} = 8,2 \cdot Q_1 \cdot S^2 \quad \text{ou} \quad Q_{sv} = 6,3 \cdot Q_1 \cdot S^2 \quad (\text{Eq. 30})$$

Le coefficient de 6,3 correspond à l'expression donnée pour le débit solide volumique sans les vides. Le coefficient 8,2 intègre quant à lui la présence de vides. Le passage correspond ici à une porosité de 23 % (1-6,3/8,2).
<figure><img src="image_81.png" /><figcaption>Figure 48 : Régression curviligne sur les données de Smart et Jaeggi. Source : Meunier, 1989.</figcaption></figure>

## Formule de Lefort-Sogreah (Couvert et al., 1991)

La formule de Lefort-Sogreah a été établie à partir de 269 mesures réalisées lors d'expériences sur des modèles physiques de la plateforme d'essais SOGREAH, auxquelles se rajoutent les 77 mesures réalisées lors des essais de Smart & Jaeggi (1983). On retrouve ici un récapitulatif des pentes des canaux lors des différents essais pris en compte :

* Essais SOGREAH :

* 114 mesures provenant d'essais sur des seuils RTM : pas de descriptif de pente ;

* 43 mesures dans un canal de 1,5 m pour des pentes comprises entre 0,25 et 4%;

* 60 mesures effectuées lors d'essais sur le torrent du Glandon (Savoie) avec pentes comprises entre 2,5 et 4,0%;

* 52 mesures sur le modèle du torrent de la Creusaz avec pente de 9%.

* Essais Smart & Jaeggi (1983) à l'ETH Zurich : 77 mesures avec pente comprise entre 3 et 20%.

La gamme complète de pente prise en compte pour l'établissement de la formule est donc de 0,25 à 20 %. La formule de Lefort-Sogreah est une formule avec prise en compte d'un débit seuil minimal d'entrainement. La formulation du débit seuil est issue d'une analyse théorique basée sur une transformation de la formule de Smart & Jaeggi. Les hypothèses sous-jacentes sont les suivantes :

* rapport L/H = cte =18 en référence aux observations de M. Ramette ;

* angle de repos de matériaux égal à 40° ;

* loi de frottement de Manning Strickler utilisée pour l'expression du débit liquide avec rugosité de grain égale à 21.

La formule de Lefort-Sogreah est présentée ci-après :

$$Q_{svapp} = 4,45Q \frac{S^{1,5}}{(s-1)} \left(\frac{D_{90}}{D_{30}}\right)^{0,2} \left[1 - \left(\frac{Q_c}{Q}\right)^{0,375}\right] \quad (\text{Eq. 31})$$

$$Q_c = 0,0776 \sqrt{D_m^5} \frac{(s-1)^{8/3}}{S^{13/6}} (1 - 1,2S)^{8/3} \quad (\text{Eq. 32})$$

Avec : $Q_{svapp}$ le débit solide volumique apparent [m³/s], $Q_c$ le débit solide critique de mise en mouvement [m³/s], S la pente longitudinale [m/m], s le rapport $\rho_s/\rho$ [-].

La publication originale (Couvert et al., 1991) indique que la formule donne un débit « global ». Il n'est pas précisé si le débit calculé est un débit volumique sans les vides ou un débit apparent. On a retrouvé de nombreuses sources ultérieures citant cette formule et la décrivant comme donnant un débit solide volumique apparent (Recking et al., 2010 ; Malavoi et al., 2011).
<figure><img src="image_78.png" /><figcaption>Figure 48 : Régression curviligne sur les données de Smart et Jaeggi. Source : Meunier, 1989.</figcaption></figure>

## Formule de Lefort-Sogreah (Couvert et al., 1991)

La formule de Lefort-Sogreah a été établie à partir de 269 mesures réalisées lors d'expériences sur des modèles physiques de la plateforme d'essais SOGREAH, auxquelles se rajoutent les 77 mesures réalisées lors des essais de Smart & Jaeggi (1983). On retrouve ici un récapitulatif des pentes des canaux lors des différents essais pris en compte :

* Essais SOGREAH :

* 114 mesures provenant d'essais sur des seuils RTM : pas de descriptif de pente ;

* 43 mesures dans un canal de 1,5 m pour des pentes comprises entre 0,25 et 4%;

* 60 mesures effectuées lors d'essais sur le torrent du Glandon (Savoie) avec pentes comprises entre 2,5 et 4,0%;

* 52 mesures sur le modèle du torrent de la Creusaz avec pente de 9%.

* Essais Smart & Jaeggi (1983) à l'ETH Zurich : 77 mesures avec pente comprise entre 3 et 20%.

La gamme complète de pente prise en compte pour l'établissement de la formule est donc de 0,25 à 20%. La formule de Lefort-Sogreah est une formule avec prise en compte d'un débit seuil minimal d'entrainement. La formulation du débit seuil est issue d'une analyse théorique basée sur une transformation de la formule de Smart & Jaeggi. Les hypothèses sous-jacentes sont les suivantes :

* rapport L/H = cte =18 en référence aux observations de M. Ramette ;

* angle de repos de matériaux égal à 40° ;

* loi de frottement de Manning Strickler utilisée pour l'expression du débit liquide avec rugosité de grain égale à 21.

La formule de Lefort-Sogreah est présentée ci-après :

$$Q_{svapp} = 4,45Q \frac{S^{1,5}}{(s-1)} \left(\frac{D_{90}}{D_{30}}\right)^{0,2} \left[1 - \left(\frac{Q_c}{Q}\right)^{0,375}\right] \quad (\text{Eq. 31})$$

$$Q_c = 0,0776 \sqrt{D_m^5} \frac{(s-1)^{8/3}}{S^{13/6}} (1 - 1,2S)^{8/3} \quad (\text{Eq. 32})$$

Avec : $Q_{svapp}$ le débit solide volumique apparent [m³/s], $Q_c$ le débit solide critique de mise en mouvement [m³/s], S la pente longitudinale [m/m], s le rapport $\rho_s/\rho$ [-].

La publication originale (Couvert et al., 1991) indique que la formule donne un débit « global ». Il n'est pas précisé si le débit calculé est un débit volumique sans les vides ou un débit apparent. On a retrouvé de nombreuses sources ultérieures citant cette formule et la décrivant comme donnant un débit solide volumique apparent (Recking et al., 2010 ; Malavoi et al., 2011).
## Formule de Rickenmann (1990)

La formule de Rickenmann (1990) est également issue d'essais en modèle physique. L'auteur a étudié les conditions d'écoulement de suspensions d'argiles de concentrations comprises entre 4 et 22%, dans un canal à pente forte variable avec fond mobile et fond fixe. Pour le développement de la formule de transport solide, Rickenmann a pris en compte les 46 résultats des essais à fond mobile auquel il a ajouté les résultats de 12 essais réalisés en eau claire de par Smart et Jaeggi (1983).

Les conditions expérimentales sont synthétisées ci-après :

* géométrie du canal : largeur de 20,1 cm et longueur de 5,0 m ;

* pente du canal : le tableau récapitulatif des essais indique des pentes comprises entre 7 et 20%; l'auteur indique une applicabilité de la formule entre 5 et 20%;

* granulométrie quasi uniforme avec $d_m = 1,0$ cm, $d_{90} = 1,2$ cm.

La formule proposée, qui fait l'hypothèse d'un débit seuil critique de mise en mouvement, est la suivante :

$$q_b = \frac{12,6}{(s-1)^{1,6}} \left(\frac{D_{90}}{D_{30}}\right)^{0,2} (q - q_c)S^2 \quad (\text{Eq. 33})$$

$$q_c = 0,065(s - 1)^{1,67} g^{0,5} D_{50}^{1,5} S^{-1,12} \quad (\text{Eq. 34})$$

Avec : $q_b$ le débit solide volumique par unité de largeur sans les vides [m³/s/m], $q_c$ le débit solide critique de mise en mouvement par unité de largeur [m³/s/m], $q$ le débit liquide par unité de largeur [m³/s/m], $S$ la pente longitudinale [m/m], $s$ le rapport $\rho_s/\rho$ [-].

La formulation du débit seuil critique de mise en mouvement des matériaux est voisine de celle proposée par Bathurst (1987). On remarquera par ailleurs que la formule (Eq. 33) proposée ici est très proche de celle de Smart et Jaeggi (1983) mais avec des différences qui méritent un commentaire :

* le terme de densité (s-1) présente un exposant 1,6 dans la formule de Rickenmann contre 1 dans la formule de Smart et Jaeggi (1983). La variation de la valeur de l'exposant illustre probablement ici l'effet de la densité du fluide transporteur. D'autres expériences menées par Low (1989) montrent la même tendance ;

* le terme de pente $S$ présente un exposant 2 dans la formule de Rickenmann contre 1 dans la formule de Smart et Jaeggi (1983). La plus faible valeur obtenue dans la formule de Smart et Jaeggi est vraisemblablement liée au fait que le nombre d'expériences où la pente était inférieure à 5% était largement majoritaire dans leur jeu de données. Rickenmann remarque que d'autres auteurs, ayant réalisé des essais à pente forte, retrouvent aussi une dépendance du débit solide à la pente avec un exposant de 2 (Mizuyama, 1981; Mizuyama et Shimohigashi, 1985).

## Formule de Rickenmann (1991)

La formule de Rickenmann (1991) est une extension de la formule précédente à un domaine de pente plus réduit (0,1 % ≤ S ≤ 20 %). Elle a été obtenue en incluant les données mesurées par Meyer-Peter et Müller au jeu de données de Rickenmann (1990). L'équation obtenue par régression est la suivante :

$$\Phi = \frac{3,1}{(s-1)^{0,5}} \left(\frac{d_{90}}{d_{30}}\right)^{0,2} S^{0,6} \theta^{0,5} (\theta - \theta_c) F^{1,1} \quad (\text{Eq. 35})$$

Avec : $\Phi$ le débit solide adimensionnel (paramètre d'Einstein), $S$ la pente, $\theta$ le nombre adimensionnel de Shields, $\theta_c$ le nombre de Shields critique, $s$ le rapport $\rho_s/\rho$ [-], et $F$ le nombre de Froude. Rickenmann indique que, pour le calage de la formule, $\theta_c$ a été pris égal à 0,047 pour les données de Meyer-Peter et Müller et qu'une correction prenant en compte la pente a été appliquée pour le jeu de données à forte pente ($S \ge 5\%$) selon la procédure de Stevens et al. (1976) déjà appliquée par Smart et Jaeggi (cf. Eq. 27).

La performance du modèle de régression sur l'ensemble du jeu de données est la suivante : $r^2=0,96$, $s_E = 35\%$. Elle est légèrement moins bonne sur le domaine des pentes fortes ($S \ge 5\%$) à celle obtenue avec la formule de 1990 où $r^2=0,96$, $s_E = 25\%$ mais constitue une amélioration par rapport à la formule de Smart et Jaeggi où $r^2=0,96$, $s_E = 44\%$.

En faisant les hypothèses simplificatrices suivantes :

* exposant sur le nombre de Froude $F$ de 1 au lieu de 1,1 ;
## Formule de Rickenmann (1990)

La formule de Rickenmann (1990) est également issue d'essais en modèle physique. L'auteur a étudié les conditions d'écoulement de suspensions d'argiles de concentrations comprises entre 4 et 22%, dans un canal à pente forte variable avec fond mobile et fond fixe. Pour le développement de la formule de transport solide, Rickenmann a pris en compte les 46 résultats des essais à fond mobile auquel il a ajouté les résultats de 12 essais réalisés en eau claire de par Smart et Jaeggi (1983).

Les conditions expérimentales sont synthétisées ci-après :

* géométrie du canal : largeur de 20,1 cm et longueur de 5,0 m ;

* pente du canal : le tableau récapitulatif des essais indique des pentes comprises entre 7 et 20%; l'auteur indique une applicabilité de la formule entre 5 et 20%;

* granulométrie quasi uniforme avec $d_m = 1,0$ cm, $d_{90} = 1,2$ cm.

La formule proposée, qui fait l'hypothèse d'un débit seuil critique de mise en mouvement, est la suivante :

$$q_b = \frac{12,6}{(s-1)^{1,6}} \left(\frac{D_{90}}{D_{30}}\right)^{0,2} (q - q_c)S^2 \quad (\text{Eq. 33})$$

$$q_c = 0,065(s - 1)^{1,67} g^{0,5} D_{50}^{1,5} S^{-1,12} \quad (\text{Eq. 34})$$

Avec : $q_b$ le débit solide volumique par unité de largeur sans les vides [m³/s/m], $q_c$ le débit solide critique de mise en mouvement par unité de largeur [m³/s/m], $q$ le débit liquide par unité de largeur [m³/s/m], $S$ la pente longitudinale [m/m], $s$ le rapport $\rho_s/\rho$ [-].

La formulation du débit seuil critique de mise en mouvement des matériaux est voisine de celle proposée par Bathurst (1987). On remarquera par ailleurs que la formule (Eq. 33) proposée ici est très proche de celle de Smart et Jaeggi (1983) mais avec des différences qui méritent un commentaire :

* le terme de densité (s-1) présente un exposant 1,6 dans la formule de Rickenmann contre 1 dans la formule de Smart et Jaeggi (1983). La variation de la valeur de l'exposant illustre probablement ici l'effet de la densité du fluide transporteur. D'autres expériences menées par Low (1989) montrent la même tendance ;

* le terme de pente $S$ présente un exposant 2 dans la formule de Rickenmann contre 1 dans la formule de Smart et Jaeggi (1983). La plus faible valeur obtenue dans la formule de Smart et Jaeggi est vraisemblablement liée au fait que le nombre d'expériences où la pente était inférieure à 5% était largement majoritaire dans leur jeu de données. Rickenmann remarque que d'autres auteurs, ayant réalisé des essais à pente forte, retrouvent aussi une dépendance du débit solide à la pente avec un exposant de 2 (Mizuyama, 1981; Mizuyama et Shimohigashi, 1985).

## Formule de Rickenmann (1991)

La formule de Rickenmann (1991) est une extension de la formule précédente à un domaine de pente plus réduit (0,1 % ≤ S ≤ 20 %). Elle a été obtenue en incluant les données mesurées par Meyer-Peter et Müller au jeu de données de Rickenmann (1990). L'équation obtenue par régression est la suivante :

$$\Phi = \frac{3,1}{(s-1)^{0,5}} \left(\frac{d_{90}}{d_{30}}\right)^{0,2} S^{0,6} \theta^{0,5} (\theta - \theta_c) F^{1,1} \quad (\text{Eq. 35})$$

Avec : $\Phi$ le débit solide adimensionnel (paramètre d'Einstein), $S$ la pente, $\theta$ le nombre adimensionnel de Shields, $\theta_c$ le nombre de Shields critique, $s$ le rapport $\rho_s/\rho$ [-], et $F$ le nombre de Froude. Rickenmann indique que, pour le calage de la formule, $\theta_c$ a été pris égal à 0,047 pour les données de Meyer-Peter et Müller et qu'une correction prenant en compte la pente a été appliquée pour le jeu de données à forte pente ($S \ge 5\%$) selon la procédure de Stevens et al. (1976) déjà appliquée par Smart et Jaeggi (cf. Eq. 27).

La performance du modèle de régression sur l'ensemble du jeu de données est la suivante : $r^2=0,96$, $s_E = 35\%$. Elle est légèrement moins bonne sur le domaine des pentes fortes ($S \ge 5\%$) à celle obtenue avec la formule de 1990 où $r^2=0,96$, $s_E = 25\%$ mais constitue une amélioration par rapport à la formule de Smart et Jaeggi où $r^2=0,96$, $s_E = 44\%$.

En faisant les hypothèses simplificatrices suivantes :

* exposant sur le nombre de Froude $F$ de 1 au lieu de 1,1 ;
* $(\frac{d_{90}}{d_{30}})^{0,2}$ égal à 1,05 ce qui correspond à une granulométrie quasi uniforme ;

* densité des sédiments s=2,68 ;

l'équation précédente peut se réduire à l'expression suivante :

$$q_b = 1,5(q - q_c)S^{1,5} \quad (\text{Eq. 36})$$

Avec : $q_b$ le débit solide volumique par unité de largeur sans les vides [m³/s/m], $q_c$ le débit solide critique de mise en mouvement par unité de largeur [m³/s/m], q le débit liquide par unité de largeur [m³/s/m], S la pente longitudinale [m/m].

Pour l'expression du débit critique de mise en mouvement, on reprendra la même formulation que celle de la formule de Rickenmann (1990) :

$$q_c = 0,065(s - 1)^{1,67} g^{0,5} D_{50}^{1,5} S^{-1,12} \quad (\text{Eq. 37})$$

## Formule de Recking (2008)

La formule de Recking (2008) est issue d'une d'agrégation de trois échantillons de données :

* 1567 mesures expérimentales en modèles physiques caractérisées par une granulométrie uniforme ou peu étendue ;

* 607 données sur des rivières à graviers ;

* 108 mesures sur modèle physique avec une granulométrie étendue.

Cette formule a été obtenue après une première phase d'analyse de l'interaction du transport solide sur les lois de frottement (à partir du premier échantillon de données de granulométrie uniforme). Il a ainsi été mis en évidence l'existence de trois régimes d'écoulement (Figure 20 et Figure 49) :

* Régime 1 : pas de charriage, f diminue avec une augmentation de R/D ;

* Régime 2 : charriage faible, f est constant pour une pente donnée, la couche de charriage se met en place, ce qui se traduit par une augmentation de la rugosité de surface ks ;

* Régime 3 : charriage important, f diminue à nouveau avec R/D.

<figure><img src="image_82.png" /><figcaption>Figure 49 : Ratios (8/f)⁰.⁵ et débits solides adimensionnels Φ associés – mesures avec matériau d=4,9 mm source : Recking, 2006</figcaption></figure>

Les caractéristiques des données expérimentales et des données sur sites réels sont récapitulées dans le Tableau 11 et le Tableau 12 qui suivent. L'ensemble des données couvrent une très large gamme de pentes avec S comprises entre 0,1 et 20%. On remarquera cependant qu'une large majorité de mesures concerne des pentes inférieures à 3%, caractéristiques de rivières torrentielles.

Poursuivant une analyse suivant chaque régime d'écoulement, Recking et al. (2008) proposent la formule suivante :

$$\text{Régime 2 : } \Phi = 15,6 (\theta - \theta_c) \quad \text{si } \theta < 0,65 \cdot S^{0,41} \quad (\text{Eq. 38})$$

$$\text{Régime 3 : } \Phi = 14,0 \cdot \theta^{2,45} \quad \text{si } \theta > 0,65 \cdot S^{0,41} \quad (\text{Eq. 39})$$
* $(\frac{d_{90}}{d_{30}})^{0,2}$ égal à 1,05 ce qui correspond à une granulométrie quasi uniforme ;

* densité des sédiments s=2,68 ;

l'équation précédente peut se réduire à l'expression suivante :

$$q_b = 1,5(q - q_c)S^{1,5} \quad (\text{Eq. 36})$$

Avec : q_b le débit solide volumique par unité de largeur sans les vides [m³/s/m], q_c le débit solide critique de mise en mouvement par unité de largeur [m³/s/m], q le débit liquide par unité de largeur [m³/s/m], S la pente longitudinale [m/m].

Pour l'expression du débit critique de mise en mouvement, on reprendra la même formulation que celle de la formule de Rickenmann (1990) :

$$q_c = 0,065(s - 1)^{1,67} g^{0,5} D_{50}^{1,5} S^{-1,12} \quad (\text{Eq. 37})$$

## Formule de Recking (2008)

La formule de Recking (2008) est issue d'une d'agrégation de trois échantillons de données :

* 1567 mesures expérimentales en modèles physiques caractérisées par une granulométrie uniforme ou peu étendue ;

* 607 données sur des rivières à graviers ;

* 108 mesures sur modèle physique avec une granulométrie étendue.

Cette formule a été obtenue après une première phase d'analyse de l'interaction du transport solide sur les lois de frottement (à partir du premier échantillon de données de granulométrie uniforme). Il a ainsi été mis en évidence l'existence de trois régimes d'écoulement (Figure 20 et Figure 49) :

* Régime 1 : pas de charriage, f diminue avec une augmentation de R/D ;

* Régime 2 : charriage faible, f est constant pour une pente donnée, la couche de charriage se met en place, ce qui se traduit par une augmentation de la rugosité de surface ks ;

* Régime 3 : charriage important, f diminue à nouveau avec R/D.

<figure><img src="image_79.png" /><figcaption>Figure 49 : Ratios (8/f)⁰.⁵ et débits solides adimensionnels Φ associés – mesures avec matériau d=4,9 mm source : Recking, 2006</figcaption></figure>

Les caractéristiques des données expérimentales et des données sur sites réels sont récapitulées dans le Tableau 11 et le Tableau 12 qui suivent. L'ensemble des données couvrent une très large gamme de pentes avec S comprises entre 0,1 et 20%. On remarquera cependant qu'une large majorité de mesures concerne des pentes inférieures à 3%, caractéristiques de rivières torrentielles.

Poursuivant une analyse suivant chaque régime d'écoulement, Recking et al. (2008) proposent la formule suivante :

$$\text{Régime 2 : } \Phi = 15,6 (\theta - \theta_c) \quad \text{si } \theta < 0,65 \cdot S^{0,41} \quad (\text{Eq. 38})$$

$$\text{Régime 3 : } \Phi = 14,0 \cdot \theta^{2,45} \quad \text{si } \theta > 0,65 \cdot S^{0,41} \quad (\text{Eq. 39})$$
Aucune formule n'est donnée pour le Régime 1, caractérisé par une absence de transport solide. Le nombre de Shields critique varie en fonction de la pente selon la formulation suivante :

$$ \theta_c = 0,15 \cdot S^{0,275} \quad (\text{Eq. 40}) $$

Comme dans toutes les formules de transport solide exprimées de manière adimensionnelles, un des points clés réside dans le calcul de la contrainte adimensionnelle qui fait intervenir le rayon hydraulique, celui-ci étant une variable intermédiaire inconnue. Sa détermination nécessite le choix d'une loi de frottement appropriée. En faisant l'hypothèse d'une section rectangulaire et en remarquant que $R = b(bh)/(b(b + 2h)) = bA/(b^2 + 2A)$, la loi de frottement prend la forme suivante :

$$ \frac{U}{u^*} = \frac{Q}{A \cdot u^*} = \frac{Q \cdot (b - 2R)}{R b^2 \sqrt{g R S}} = A + B \cdot \log \left( \frac{R}{c D_i} \right) \quad (\text{Eq. 41}) $$

Avec U la vitesse moyenne de l'écoulement [m/s], $u^*$ la vitesse de frottement [m/s], b la largeur du lit [m], R le rayon hydraulique [m], Di le diamètre représentant des grains de percentile i [m], A, B, et c des coefficients à caler.

Dans un cadre général d'application, Recking (2010) a proposé l'utilisation de la formule de Keulegan avec $A=6,25$, $B=5,75$, $c=3,5$, et $D_i=D_{84}$. Le coefficient c peut aussi être calculé de la manière suivante :

$$ c = \alpha_{RL} \cdot \alpha_{BR} \quad (\text{Eq. 42}) $$

$$ \text{avec } \alpha_{RL} = 4 \cdot \left(\frac{R}{D}\right)^{-0,43} \quad \text{avec } 1 \le \alpha_{RL} \le 3,5 \quad (\text{Eq. 43}) $$

$$ \text{et } \alpha_{BR} = 7 \cdot S^{0,85} \cdot \left(\frac{R}{D}\right)^{-0,43} \quad \text{avec } 1 \le \alpha_{BR} \le 2,6 \quad (\text{Eq. 44}) $$

$\alpha_{RL}$ est un coefficient de rugosité prenant en compte la déviation par rapport au profil de vitesse logarithmique observée pour de faibles submersions relatives, $\alpha_{BR}$ est un coefficient de rugosité prenant en compte l'effet de résistance additionnelle causée par le charriage.
Aucune formule n'est donnée pour le Régime 1, caractérisé par une absence de transport solide. Le nombre de Shields critique varie en fonction de la pente selon la formulation suivante :

$$ \theta_c = 0,15 \cdot S^{0,275} \quad (\text{Eq. 40}) $$

Comme dans toutes les formules de transport solide exprimées de manière adimensionnelles, un des points clés réside dans le calcul de la contrainte adimensionnelle qui fait intervenir le rayon hydraulique, celui-ci étant une variable intermédiaire inconnue. Sa détermination nécessite le choix d'une loi de frottement appropriée. En faisant l'hypothèse d'une section rectangulaire et en remarquant que $R = b(bh)/(b(b + 2h)) = bA/(b^2 + 2A)$, la loi de frottement prend la forme suivante :

$$ \frac{U}{u^*} = \frac{Q}{A \cdot u^*} = \frac{Q \cdot (b - 2R)}{R b^2 \sqrt{g R S}} = A + B \cdot \log \left( \frac{R}{c D_i} \right) \quad (\text{Eq. 41}) $$

Avec U la vitesse moyenne de l'écoulement [m/s], u* la vitesse de frottement [m/s], b la largeur du lit [m], R le rayon hydraulique [m], Di le diamètre représentant des grains de percentile i [m], A, B, et c des coefficients à caler.

Dans un cadre général d'application, Recking (2010) a proposé l'utilisation de la formule de Keulegan avec A=6,25, B=5,75, c=3,5, et Di=D84. Le coefficient c peut aussi être calculé de la manière suivante :

$$ c = \alpha_{RL} \cdot \alpha_{BR} \quad (\text{Eq. 42}) $$

$$ \text{avec } \alpha_{RL} = 4 \cdot \left(\frac{R}{D}\right)^{-0,43} \quad \text{avec } 1 \le \alpha_{RL} \le 3,5 \quad (\text{Eq. 43}) $$

$$ \text{et } \alpha_{BR} = 7 \cdot S^{0,85} \cdot \left(\frac{R}{D}\right)^{-0,43} \quad \text{avec } 1 \le \alpha_{BR} \le 2,6 \quad (\text{Eq. 44}) $$

$\alpha_{RL}$ est un coefficient de rugosité prenant en compte la déviation par rapport au profil de vitesse logarithmique observée pour de faibles submersions relatives, $\alpha_{BR}$ est un coefficient de rugosité prenant en compte l'effet de résistance additionnelle causée par le charriage.
<table><thead><tr><th>Author</th><th>D<sub>50</sub>, mm</th><th>σ</th><th>ρ<sub>0</sub>, t m<sup>-3</sup></th><th>Slope S, %</th><th>W, m</th><th>Values</th><th>Observation</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="3">Cao [1985]</td><td>22.2</td><td>1.29<sup>a</sup></td><td>2.57</td><td>1 to 9</td><td rowspan="3">0.6</td><td rowspan="3">124</td><td rowspan="3">steep slopes</td></tr><tr><td>44.3</td><td>1.21<sup>a</sup></td><td>2.75</td><td>1 to 9</td></tr><tr><td>11.5</td><td>1.24<sup>a</sup></td><td>2.65</td><td>0.5 to 1</td></tr><tr><td rowspan="4">Smart and Jaeggi [1983]</td><td>4.3</td><td>8.46<sup>b</sup></td><td></td><td>3 to 30</td><td rowspan="4">0.2</td><td rowspan="4">78</td><td rowspan="4">steep slopes</td></tr><tr><td>4.2</td><td>1.44<sup>b</sup></td><td></td><td>5 to 20</td></tr><tr><td>2</td><td>4.6<sup>b</sup></td><td></td><td>5 to 20</td></tr><tr><td>10.5</td><td>1.34<sup>b</sup></td><td></td><td>3 to 20</td></tr><tr><td>Rickenmann [1990]</td><td>10</td><td>1.34<sup>b</sup></td><td>2.68</td><td>7 to 20</td><td>0.2</td><td>46</td><td>various flow viscosities</td></tr><tr><td>Meyer-Peter and Muller [1948]</td><td>1.2 to 28.65</td><td></td><td>1.25 to 4.2</td><td>0.3 to 1.7</td><td>0.35 to 2</td><td>133</td><td>from Smart and Jaeggi [1983]</td></tr><tr><td rowspan="3">Bogardi and Yen [1939]</td><td>10.34</td><td>1.18</td><td>2.63</td><td>1.2 to 2.5</td><td>0.83</td><td rowspan="3">44</td><td rowspan="3">as reported by Brownlie [1981]</td></tr><tr><td>6.85</td><td>1.11</td><td>2.61</td><td>1 to 2.5</td><td>0.83</td></tr><tr><td>15.19</td><td>1.11</td><td>2.64</td><td>1.1 to 2</td><td>0.3</td></tr><tr><td rowspan="2">Casey [1935]</td><td>1</td><td>1.16</td><td>2.65</td><td>0.1 to 0.5</td><td>0.4</td><td rowspan="2">90</td><td rowspan="2">as reported by Brownlie [1981]</td></tr><tr><td>2.46</td><td>2.81</td><td>2.65</td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="2">Graf and Suszka [1987]</td><td>12.2</td><td>1.52<sup>b</sup></td><td>2.72</td><td>0.75 to 1.25</td><td>0.6</td><td rowspan="2">114</td><td rowspan="2"></td></tr><tr><td>23.5</td><td>1.53</td><td>2.74</td><td>1.5 to 2.5</td><td></td></tr><tr><td rowspan="4">Gilbert [1914]</td><td>3.17</td><td>1.13</td><td>2.65</td><td>0.8 to 2</td><td rowspan="4">0.13 to 0.6</td><td rowspan="4">377</td><td rowspan="4">as reported by Brownlie [1981]</td></tr><tr><td>4.94</td><td>1.13</td><td>2.65</td><td>0.6 to 3</td></tr><tr><td>7</td><td>1.12</td><td>2.65</td><td>0.7 to 3</td></tr><tr><td>0.506</td><td></td><td></td><td>0.3 to 2</td></tr><tr><td rowspan="6">Pang-Yung [1939]</td><td>1.4</td><td>1.96</td><td>2.64</td><td>0.1 to 0.5</td><td>0.4</td><td rowspan="6">80</td><td rowspan="6">as reported by Brownlie [1981]</td></tr><tr><td>2.01</td><td>1.9</td><td>2.45</td><td></td><td></td></tr><tr><td>3.13</td><td>2.24</td><td>2.49</td><td></td><td></td></tr><tr><td>4.36</td><td>1.59</td><td>2.7</td><td></td><td></td></tr><tr><td>6.28</td><td>1.49</td><td>2.66</td><td></td><td></td></tr><tr><td>4.18</td><td>1.23</td><td>2.66</td><td>0.1 to 1</td><td>0.82</td></tr><tr><td rowspan="6">Mavis et al. [1937]</td><td>3.12</td><td>1.25</td><td>2.66</td><td></td><td></td><td rowspan="6">283</td><td rowspan="6">as reported by Brownlie [1981]</td></tr><tr><td>2.03</td><td>1.29</td><td>2.66</td><td></td><td></td></tr><tr><td>1.41</td><td>1.24</td><td>2.66</td><td></td><td></td></tr><tr><td>3.73</td><td>1.30</td><td>2.66</td><td></td><td></td></tr><tr><td>1.68</td><td>1.36</td><td>2.66</td><td></td><td></td></tr><tr><td>22.2</td><td>1.07</td><td>2.65</td><td>0.1 to 1</td><td>0.91</td></tr><tr><td rowspan="2">Paintal [1971]</td><td>7.95</td><td>1.1</td><td>2.65</td><td></td><td></td><td rowspan="2">81</td><td rowspan="2">as reported by Brownlie [1981]</td></tr><tr><td>2.5</td><td>1.08</td><td>2.65</td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="3">Julien and Raslan [1998]</td><td>0.2</td><td>1.4<sup>b</sup></td><td>2.5</td><td>0.19 to 0.42</td><td>1.3</td><td rowspan="3">28</td><td rowspan="3">high R/D, “sheet flow”</td></tr><tr><td>0.6</td><td>1.43</td><td>2.7</td><td>2.57 to 5.11</td><td></td></tr><tr><td>0.4</td><td>2.39</td><td>2.6</td><td>3 to 5.3</td><td></td></tr><tr><td rowspan="3">Einstein and Chien [1955]</td><td>1.3</td><td>1.11</td><td>2.65</td><td>1.2 to 2.6</td><td>0.31</td><td rowspan="3">16</td><td rowspan="3">as reported by Brownlie [1981], high R/D</td></tr><tr><td>0.94</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>0.274</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Sumer et al. [1996]</td><td>0.13</td><td></td><td></td><td>0.38 to 0.94</td><td>0.3</td><td>19</td><td>high R/D, “sheet flow”</td></tr><tr><td>Kennedy [1961]</td><td>0.15</td><td>1.3</td><td>2.65</td><td>0.2–0.25</td><td>0.85</td><td>16</td><td></td></tr></tbody></table>

<table><caption>Tableau 11 : Données expérimentales prises en compte pour l'établissement de la formule de Recking (2008)</caption><thead><tr><th>Author</th><th>D<sub>50</sub>, mm</th><th>D<sub>84</sub>, mm</th><th>Slope S</th><th>θ/θ<sub>c</sub></th><th>Values</th></tr></thead><tbody><tr><td>Limerinos [1970]</td><td>17–152</td><td>38–747</td><td>?</td><td>/</td><td>50</td></tr><tr><td>Samide [1971]</td><td>13–76</td><td>NA</td><td>0.0015–0.008</td><td>1.5–6</td><td>55</td></tr><tr><td>Bathurst [1978]</td><td>170–240</td><td>280–485</td><td>0.008–0.0174</td><td>0.14–0.26</td><td>9</td></tr><tr><td>Hey [1979]</td><td>NA</td><td>20–250</td><td>0.001–0.031</td><td>0.06–2.29</td><td>17</td></tr><tr><td>Griffiths [1981]</td><td>12–301</td><td>NA</td><td>0.001–0.011</td><td>0.06–13</td><td>94</td></tr><tr><td>Bathurst et al. [1981] flume</td><td>8.8–54.25</td><td>11.5–58</td><td>0.004–0.37</td><td>0.06–0.89</td><td>88</td></tr><tr><td>White and Day [1982] flume</td><td>0.25–1.4</td><td>0.6–4</td><td>0.00045–0.0037</td><td>1–4.5</td><td>20</td></tr><tr><td>Colosimo [1983]</td><td>NA</td><td>9–662</td><td>0.001–0.12</td><td>&lt;1</td><td>29</td></tr><tr><td>Bathurst [1985]</td><td>60–343</td><td>113–740</td><td>0.004–0.037</td><td>0.14–1</td><td>44</td></tr><tr><td>Jarrett [1984]</td><td>15–426</td><td>792</td><td>0.002–0.034</td><td>0.051–1.36</td><td>75</td></tr><tr><td>Thorne and Zevenbergen [1985]</td><td>130–167</td><td>337–393</td><td>0.0143–0.0198</td><td>0.4–0.9</td><td>12</td></tr><tr><td>Hey and Thorne [1986]</td><td>14–176</td><td>25–624</td><td>0.0012–0.21</td><td>0.43–4</td><td>62</td></tr><tr><td>Pitlick [1992]</td><td>8–26</td><td>33–66</td><td>0.0057–0.011</td><td>5–11.2</td><td>8</td></tr><tr><td>Andrews [1994]</td><td>58</td><td>~100</td><td>0.0095–0.011</td><td>0.9–1.5</td><td>55</td></tr><tr><td>MacFarlane and Wohl [2003]</td><td>64–181</td><td>174–478</td><td>0.051–0.14</td><td>0.28–0.84</td><td>19</td></tr><tr><td>Wohl and Wilcox [2004]</td><td>38–650</td><td>140–1350</td><td>0.003–0.24</td><td>0.35–4</td><td>34</td></tr><tr><td>Mueller et al. [2005]<sup>b</sup></td><td>27–207</td><td>74–1008</td><td>0.0005–0.509</td><td>0.4–2.17</td><td>32</td></tr><tr><td>Orlandini et al. [2006]</td><td>NA</td><td>249–963</td><td>0.028–0.181</td><td>0.11–0.73</td><td>12</td></tr></tbody></table>

<caption>Tableau 12 : Echantillon de 715 données sur des rivières à graviers (607 valeurs) et sur modèle physique (108 valeurs) avec granulométrie étendue. Source : Recking et al., 2008</caption>

<footnote><sup>a</sup>Here σ = 0.5(D<sub>84</sub>/D<sub>50</sub> + D<sub>50</sub>/D<sub>16</sub>) except for D<sub>84</sub>/D<sub>16</sub>.</footnote>

<footnote><sup>b</sup>Here σ = 0.5(D<sub>84</sub>/D<sub>50</sub> + D<sub>50</sub>/D<sub>16</sub>) except for D<sub>90</sub>/D<sub>30</sub>.</footnote>

<footnote><sup>a</sup>Values for θ/θ<sub>c</sub> were calculated using D<sub>50</sub> and equation (22). NA indicates not available.</footnote>

<footnote><sup>b</sup>Bankfull flow conditions; D<sub>90</sub> instead of D<sub>84</sub>; only values where D<sub>90</sub> were available were considered.</footnote>
<table><thead><tr><th>Author</th><th>D<sub>50</sub>, mm</th><th>σ</th><th>ρ<sub>0</sub>, t m<sup>-3</sup></th><th>Slope S, %</th><th>W, m</th><th>Values</th><th>Observation</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="3">Cao [1985]</td><td>22.2</td><td>1.29<sup>a</sup></td><td>2.57</td><td>1 to 9</td><td rowspan="3">0.6</td><td rowspan="3">124</td><td rowspan="3">steep slopes</td></tr><tr><td>44.3</td><td>1.21<sup>a</sup></td><td>2.75</td><td>1 to 9</td></tr><tr><td>11.5</td><td>1.24<sup>a</sup></td><td>2.65</td><td>0.5 to 1</td></tr><tr><td rowspan="4">Smart and Jaeggi [1983]</td><td>4.3</td><td>8.46<sup>b</sup></td><td></td><td>3 to 30</td><td rowspan="4">0.2</td><td rowspan="4">78</td><td rowspan="4">steep slopes</td></tr><tr><td>4.2</td><td>1.44<sup>b</sup></td><td></td><td>5 to 20</td></tr><tr><td>2</td><td>4.6<sup>b</sup></td><td></td><td>5 to 20</td></tr><tr><td>10.5</td><td>1.34<sup>b</sup></td><td></td><td>3 to 20</td></tr><tr><td>Rickenmann [1990]</td><td>10</td><td>1.34<sup>b</sup></td><td>2.68</td><td>7 to 20</td><td>0.2</td><td>46</td><td>various flow viscosities</td></tr><tr><td>Meyer-Peter and Muller [1948]</td><td>1.2 to 28.65</td><td></td><td>1.25 to 4.2</td><td>0.3 to 1.7</td><td>0.35 to 2</td><td>133</td><td>from Smart and Jaeggi [1983]</td></tr><tr><td rowspan="3">Bogardi and Yen [1939]</td><td>10.34</td><td>1.18</td><td>2.63</td><td>1.2 to 2.5</td><td>0.83</td><td rowspan="3">44</td><td rowspan="3">as reported by Brownlie [1981]</td></tr><tr><td>6.85</td><td>1.11</td><td>2.61</td><td>1 to 2.5</td><td>0.83</td></tr><tr><td>15.19</td><td>1.11</td><td>2.64</td><td>1.1 to 2</td><td>0.3</td></tr><tr><td rowspan="2">Casey [1935]</td><td>1</td><td>1.16</td><td>2.65</td><td>0.1 to 0.5</td><td>0.4</td><td rowspan="2">90</td><td rowspan="2">as reported by Brownlie [1981]</td></tr><tr><td>2.46</td><td>2.81</td><td>2.65</td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="2">Graf and Suszka [1987]</td><td>12.2</td><td>1.52<sup>b</sup></td><td>2.72</td><td>0.75 to 1.25</td><td>0.6</td><td rowspan="2">114</td><td rowspan="2"></td></tr><tr><td>23.5</td><td>1.53</td><td>2.74</td><td>1.5 to 2.5</td><td></td></tr><tr><td rowspan="4">Gilbert [1914]</td><td>3.17</td><td>1.13</td><td>2.65</td><td>0.8 to 2</td><td rowspan="4">0.13 to 0.6</td><td rowspan="4">377</td><td rowspan="4">as reported by Brownlie [1981]</td></tr><tr><td>4.94</td><td>1.13</td><td>2.65</td><td>0.6 to 3</td></tr><tr><td>7</td><td>1.12</td><td>2.65</td><td>0.7 to 3</td></tr><tr><td>0.506</td><td></td><td></td><td>0.3 to 2</td></tr><tr><td rowspan="6">Pang-Yung [1939]</td><td>1.4</td><td>1.96</td><td>2.64</td><td>0.1 to 0.5</td><td>0.4</td><td rowspan="6">80</td><td rowspan="6">as reported by Brownlie [1981]</td></tr><tr><td>2.01</td><td>1.9</td><td>2.45</td><td></td><td></td></tr><tr><td>3.13</td><td>2.24</td><td>2.49</td><td></td><td></td></tr><tr><td>4.36</td><td>1.59</td><td>2.7</td><td></td><td></td></tr><tr><td>6.28</td><td>1.49</td><td>2.66</td><td></td><td></td></tr><tr><td>4.18</td><td>1.23</td><td>2.66</td><td>0.1 to 1</td><td>0.82</td></tr><tr><td rowspan="6">Mavis et al. [1937]</td><td>3.12</td><td>1.25</td><td>2.66</td><td></td><td></td><td rowspan="6">283</td><td rowspan="6">as reported by Brownlie [1981]</td></tr><tr><td>2.03</td><td>1.29</td><td>2.66</td><td></td><td></td></tr><tr><td>1.41</td><td>1.24</td><td>2.66</td><td></td><td></td></tr><tr><td>3.73</td><td>1.30</td><td>2.66</td><td></td><td></td></tr><tr><td>1.68</td><td>1.36</td><td>2.66</td><td></td><td></td></tr><tr><td>22.2</td><td>1.07</td><td>2.65</td><td>0.1 to 1</td><td>0.91</td></tr><tr><td rowspan="2">Paintal [1971]</td><td>7.95</td><td>1.1</td><td>2.65</td><td></td><td></td><td rowspan="2">81</td><td rowspan="2">as reported by Brownlie [1981]</td></tr><tr><td>2.5</td><td>1.08</td><td>2.65</td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="3">Julien and Raslan [1998]</td><td>0.2</td><td>1.4<sup>b</sup></td><td>2.5</td><td>0.19 to 0.42</td><td>1.3</td><td rowspan="3">28</td><td rowspan="3">high R/D, “sheet flow”</td></tr><tr><td>0.6</td><td>1.43</td><td>2.7</td><td>2.57 to 5.11</td><td></td></tr><tr><td>0.4</td><td>2.39</td><td>2.6</td><td>3 to 5.3</td><td></td></tr><tr><td rowspan="3">Einstein and Chien [1955]</td><td>1.3</td><td>1.11</td><td>2.65</td><td>1.2 to 2.6</td><td>0.31</td><td rowspan="3">16</td><td rowspan="3">as reported by Brownlie [1981], high R/D</td></tr><tr><td>0.94</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>0.274</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Sumer et al. [1996]</td><td>0.13</td><td></td><td></td><td>0.38 to 0.94</td><td>0.3</td><td>19</td><td>high R/D, “sheet flow”</td></tr><tr><td>Kennedy [1961]</td><td>0.15</td><td>1.3</td><td>2.65</td><td>0.2–0.25</td><td>0.85</td><td>16</td><td></td></tr></tbody></table>

<table><caption>Tableau 11 : Données expérimentales prises en compte pour l'établissement de la formule de Recking (2008)</caption><thead><tr><th>Author</th><th>D<sub>50</sub>, mm</th><th>D<sub>84</sub>, mm</th><th>Slope S</th><th>θ/θ<sub>c</sub></th><th>Values</th></tr></thead><tbody><tr><td>Limerinos [1970]</td><td>17–152</td><td>38–747</td><td>?</td><td>/</td><td>50</td></tr><tr><td>Samide [1971]</td><td>13–76</td><td>NA</td><td>0.0015–0.008</td><td>1.5–6</td><td>55</td></tr><tr><td>Bathurst [1978]</td><td>170–240</td><td>280–485</td><td>0.008–0.0174</td><td>0.14–0.26</td><td>9</td></tr><tr><td>Hey [1979]</td><td>NA</td><td>20–250</td><td>0.001–0.031</td><td>0.06–2.29</td><td>17</td></tr><tr><td>Griffiths [1981]</td><td>12–301</td><td>NA</td><td>0.001–0.011</td><td>0.06–13</td><td>94</td></tr><tr><td>Bathurst et al. [1981] flume</td><td>8.8–54.25</td><td>11.5–58</td><td>0.004–0.37</td><td>0.06–0.89</td><td>88</td></tr><tr><td>White and Day [1982] flume</td><td>0.25–1.4</td><td>0.6–4</td><td>0.00045–0.0037</td><td>1–4.5</td><td>20</td></tr><tr><td>Colosimo [1983]</td><td>NA</td><td>9–662</td><td>0.001–0.12</td><td>&lt;1</td><td>29</td></tr><tr><td>Bathurst [1985]</td><td>60–343</td><td>113–740</td><td>0.004–0.037</td><td>0.14–1</td><td>44</td></tr><tr><td>Jarrett [1984]</td><td>15–426</td><td>792</td><td>0.002–0.034</td><td>0.051–1.36</td><td>75</td></tr><tr><td>Thorne and Zevenbergen [1985]</td><td>130–167</td><td>337–393</td><td>0.0143–0.0198</td><td>0.4–0.9</td><td>12</td></tr><tr><td>Hey and Thorne [1986]</td><td>14–176</td><td>25–624</td><td>0.0012–0.21</td><td>0.43–4</td><td>62</td></tr><tr><td>Pitlick [1992]</td><td>8–26</td><td>33–66</td><td>0.0057–0.011</td><td>5–11.2</td><td>8</td></tr><tr><td>Andrews [1994]</td><td>58</td><td>~100</td><td>0.0095–0.011</td><td>0.9–1.5</td><td>55</td></tr><tr><td>MacFarlane and Wohl [2003]</td><td>64–181</td><td>174–478</td><td>0.051–0.14</td><td>0.28–0.84</td><td>19</td></tr><tr><td>Wohl and Wilcox [2004]</td><td>38–650</td><td>140–1350</td><td>0.003–0.24</td><td>0.35–4</td><td>34</td></tr><tr><td>Mueller et al. [2005]<sup>b</sup></td><td>27–207</td><td>74–1008</td><td>0.0005–0.509</td><td>0.4–2.17</td><td>32</td></tr><tr><td>Orlandini et al. [2006]</td><td>NA</td><td>249–963</td><td>0.028–0.181</td><td>0.11–0.73</td><td>12</td></tr></tbody></table>

<caption>Tableau 12 : Echantillon de 715 données sur des rivières à graviers (607 valeurs) et sur modèle physique (108 valeurs) avec granulométrie étendue. Source : Recking et al., 2008</caption>

<footnote><sup>a</sup>Here σ = 0.5(D<sub>84</sub>/D<sub>50</sub> + D<sub>50</sub>/D<sub>16</sub>) except for D<sub>84</sub>/D<sub>16</sub>.</footnote>

<footnote><sup>b</sup>Here σ = 0.5(D<sub>84</sub>/D<sub>50</sub> + D<sub>50</sub>/D<sub>16</sub>) except for D<sub>90</sub>/D<sub>30</sub>.</footnote>

<footnote><sup>a</sup>Values for θ/θ<sub>c</sub> were calculated using D<sub>50</sub> and equation (22). NA indicates not available.</footnote>

<footnote><sup>b</sup>Bankfull flow conditions; D<sub>90</sub> instead of D<sub>84</sub>; only values where D<sub>90</sub> were available were considered.</footnote>
## Formule de Recking (2010)

Cette formule correspond à une évolution de la version de 2008 avec : (a) calage d'une formule sur un échantillon de 1317 mesures en modèle physiques avec sédiments de granulométrie uniforme ou peu-étendue ; (b) comparaison de la loi obtenue sur un échantillon de 3200 mesures sur des rivières avec sédiments de granulométrie étendue en utilisant plusieurs diamètres représentatifs ; (c) calage d'une loi sur l'échantillon de données échantillonnées sur des rivières, dans le régime 2 (charriage faible) et en utilisant le $D_{84}$ comme diamètre représentatif.

La formule s'écrit :

$$ \Phi = \begin{cases} 0,0005 \cdot \left(\frac{d_{84}}{d_{50}}\right)^{-18\sqrt{5}} \cdot \left(\frac{\theta_{84}}{\theta_{c84}}\right)^{6,5} \text{ si } \theta < \theta_m \\ 14 \cdot \theta_{84}^{2,5} \text{ si } \theta > \theta_m \end{cases} \quad (\text{Eq. 45}) $$

$$ \theta_{c84} = (1,32 \cdot S + 0,037) \cdot \left(\frac{d_{84}}{d_{50}}\right)^{-0,93} \quad (\text{Eq. 46}) $$

$$ \theta_m = 12,53 \cdot \left(\frac{d_{84}}{d_{50}}\right)^{4,4\sqrt{5}} \theta_{c84}^{1,6} \quad (\text{Eq. 47}) $$

La première partie de l'Eq. 45 applicable pour $\theta < \theta_m$ dans le régime 2 (charriage faible) correspond à l'équation calée sur le jeu de données provenant de rivières. La seconde partie, identique à celle de la formule de 2006, correspond à l'équation calée en régime 3 (charriage intense) sur des données issues d'expérimentations en modèle physique. La valeur de Shields de mobilité $\theta_m$ caractérise le seuil de transition entre les régimes 2 et 3 d'écoulement.

Le calcul du débit solide adimensionnel $\Phi$ et du nombre de Shields $\theta_{84}$ doivent être effectués avec le diamètre représentatif $D_{84}$. Lorsque celui est inconnu, une bonne approximation est généralement obtenue en prenant $D_{84}=2,1 \cdot D_{50}$.

## Formule de Recking (2013) et développements ultérieurs

### Formule de Recking (2013)

La formule proposée par Recking (2013) correspond à une adaptation de la formule de 2010 avec : (a) écriture de la formule sous une forme continue ; (b) simplification de l'expression du Shields de mobilité $\theta_m$ qui n'est plus reliée à un Shields critique de mise en mouvement des grains de diamètre $D_{84}$ ; l'équation est donc uniquement fonction de $\theta_{84}$ et $\theta_m$ ; (c) calcul du rayon hydraulique directement à partir du débit par unité de la largeur [m³/s/m] en utilisant une relation présentée dans le travail de Rickenmann et Recking (2011) :

$$ \Phi = \frac{14 \cdot \theta_{84}^{2,5}}{1 + \left(\frac{\theta_m}{\theta_{84}}\right)^{4,0}} \quad (\text{Eq. 48}) $$

$$ \theta_m = (5,0 \cdot S + 0,06) \cdot \left(\frac{d_{84}}{d_{50}}\right)^{4,4\sqrt{5}-1,5} \quad (\text{Eq. 49}) $$

$$ \theta_{84} = \frac{R \cdot S}{(S-1) \cdot d_{84}} \quad (\text{Eq. 50}) $$

$$ R = \left[ \frac{2}{W} + k \cdot (g \cdot S)^p \cdot q^{-2p} \cdot d_{84}^{3p-1} \right]^{-1} \quad (\text{Eq. 51}) $$

avec $k=1,6$ et $p=0,23$ si $q/\sqrt{gSd_{84}}^3 < 100$, $k=3,2$ et $p=0,3$ sinon.

### Mise à jour (2016)

A partir d'une analyse de données laboratoire et de terrain - utilisées pour l'établissement des formules précédentes - visant à rattacher chaque mesure à un style morphologique, les travaux de Recking et al. (2016) ont permis d'identifier des variations de la formule suivant le contexte d'utilisation.
## Formule de Recking (2010)

Cette formule correspond à une évolution de la version de 2008 avec : (a) calage d'une formule sur un échantillon de 1317 mesures en modèle physiques avec sédiments de granulométrie uniforme ou peu-étendue ; (b) comparaison de la loi obtenue sur un échantillon de 3200 mesures sur des rivières avec sédiments de granulométrie étendue en utilisant plusieurs diamètres représentatifs ; (c) calage d'une loi sur l'échantillon de données échantillonnées sur des rivières, dans le régime 2 (charriage faible) et en utilisant le $D_{84}$ comme diamètre représentatif.

La formule s'écrit :

$$ \Phi = \begin{cases} 0,0005 \cdot \left(\frac{d_{84}}{d_{50}}\right)^{-18\sqrt{5}} \cdot \left(\frac{\theta_{84}}{\theta_{c84}}\right)^{6,5} \text{ si } \theta < \theta_m \\ 14 \cdot \theta_{84}^{2,5} \text{ si } \theta > \theta_m \end{cases} \quad (\text{Eq. 45}) $$

$$ \theta_{c84} = (1,32 \cdot S + 0,037) \cdot \left(\frac{d_{84}}{d_{50}}\right)^{-0,93} \quad (\text{Eq. 46}) $$

$$ \theta_m = 12,53 \cdot \left(\frac{d_{84}}{d_{50}}\right)^{4,4\sqrt{5}} \theta_{c84}^{1,6} \quad (\text{Eq. 47}) $$

La première partie de l'Eq. 45 applicable pour $\theta < \theta_m$ dans le régime 2 (charriage faible) correspond à l'équation calée sur le jeu de données provenant de rivières. La seconde partie, identique à celle de la formule de 2006, correspond à l'équation calée en régime 3 (charriage intense) sur des données issues d'expérimentations en modèle physique. La valeur de Shields de mobilité $\theta_m$ caractérise le seuil de transition entre les régimes 2 et 3 d'écoulement.

Le calcul du débit solide adimensionnel $\Phi$ et du nombre de Shields $\theta_{84}$ doivent être effectués avec le diamètre représentatif $D_{84}$. Lorsque celui est inconnu, une bonne approximation est généralement obtenue en prenant $D_{84}=2,1 \cdot D_{50}$.

## Formule de Recking (2013) et développements ultérieurs

### Formule de Recking (2013)

La formule proposée par Recking (2013) correspond à une adaptation de la formule de 2010 avec : (a) écriture de la formule sous une forme continue ; (b) simplification de l'expression du Shields de mobilité $\theta_m$ qui n'est plus reliée à un Shields critique de mise en mouvement des grains de diamètre $D_{84}$ ; l'équation est donc uniquement fonction de $\theta_{84}$ et $\theta_m$ ; (c) calcul du rayon hydraulique directement à partir du débit par unité de la largeur [m³/s/m] en utilisant une relation présentée dans le travail de Rickenmann et Recking (2011) :

$$ \Phi = \frac{14 \cdot \theta_{84}^{2,5}}{1 + \left(\frac{\theta_m}{\theta_{84}}\right)^{4,0}} \quad (\text{Eq. 48}) $$

$$ \theta_m = (5,0 \cdot S + 0,06) \cdot \left(\frac{d_{84}}{d_{50}}\right)^{4,4\sqrt{5}-1,5} \quad (\text{Eq. 49}) $$

$$ \theta_{84} = \frac{R \cdot S}{(s-1) \cdot d_{84}} \quad (\text{Eq. 50}) $$

$$ R = \left[ \frac{2}{W} + k \cdot (g \cdot S)^p \cdot q^{-2p} \cdot d_{84}^{3p-1} \right]^{-1} \quad (\text{Eq. 51}) $$

avec $k=1,6$ et $p=0,23$ si $q/\sqrt{gSd_{84}}^3 < 100$, $k=3,2$ et $p=0,3$ sinon.

### Mise à jour (2016)

A partir d'une analyse de données laboratoire et de terrain - utilisées pour l'établissement des formules précédentes - visant à rattacher chaque mesure à un style morphologique, les travaux de Recking et al. (2016) ont permis d'identifier des variations de la formule suivant le contexte d'utilisation.
Une relation a tout d'abord été calée uniquement sur les données issues de modèles physiques avec des variations dans l'exposant associé au rapport $(\frac{\theta_m}{\theta_{84}})$ ainsi que dans la formulation du seuil de mobilité $\theta_m$ :

$$ \Phi = \frac{14.0^{2.5}}{1 + \left(\frac{\theta_m}{\theta_0}\right)^{10.0}} \quad (\text{Eq. 52}) $$

$$ \theta_m = 0,26 \cdot S^{0,30} \quad (\text{Eq. 53}) $$

Reprenant ensuite une valeur moyenne d'exposant $\beta=4,0$ associée au rapport $(\frac{\theta_m}{\theta_{84}})$, les auteurs ont montré que la formule de 2013 était adaptée aux cas de lits relativement larges avec, par exemple, un style fluvial de type seuils-mouille-banc.

Enfin, sur le même principe, il a été montré que, dans le cas de lit étroits et plats, la formule suivante devait être préférée à celle de (2013) :

$$ \Phi = \frac{14.0^{2.5}}{1 + \left(\frac{\theta_m}{\theta_{84}}\right)^{4.0}} \quad (\text{Eq. 54}) $$

$$ \theta_m = 1,5 \cdot S^{0,75} \quad (\text{Eq. 55}) $$

## Concept de travelling bedload – Piton et Recking (2017)

Le concept de travelling bedload consiste à différencier la granulométrie effectivement transportée de la granulométrie du lit « immobile ». Ce concept s'applique au transport de matériaux de matériaux fins (graviers, cailloux, petits blocs) dans des lits à forte pente pavés ou présentant une granulométrie supérieure à la granulométrie effectivement transportée (lits non alluvionnaires ou semi alluvionnaires, Figure 50 - cas b à d). Ce genre de situation peut survenir dans le cas de transport de sédiments « fins » depuis les zones sources dans des lits à blocs. Il ne s'applique en revanche pas aux lits alluvionnaires où les sédiments du lit sont les matériaux effectivement transportés (Figure 50 - cas a).

<figure><img src="image_83.png" /><figcaption>Figure 50 : Schématisation du transport solide selon le contexte géomorphologique.</figcaption></figure>

Source : Piton et Recking, 2017
Une relation a tout d'abord été calée uniquement sur les données issues de modèles physiques avec des variations dans l'exposant associé au rapport ($\frac{\theta_m}{\theta_{84}}$) ainsi que dans la formulation du seuil de mobilité $\theta_m$ :

$$ \Phi = \frac{14.0^{2.5}}{1 + \left(\frac{\theta_m}{\theta_0}\right)^{10.0}} \quad (\text{Eq. 52}) $$

$$ \theta_m = 0.26 \cdot S^{0.30} \quad (\text{Eq. 53}) $$

Reprenant ensuite une valeur moyenne d'exposant $\beta=4,0$ associée au rapport ($\frac{\theta_m}{\theta_{84}}$), les auteurs ont montré que la formule de 2013 était adaptée aux cas de lits relativement larges avec, par exemple, un style fluvial de type seuils-mouille-banc.

Enfin, sur le même principe, il a été montré que, dans le cas de lit étroits et plats, la formule suivante devait être préférée à celle de (2013) :

$$ \Phi = \frac{14.0^{2.5}}{1 + \left(\frac{\theta_m}{\theta_{84}}\right)^{4.0}} \quad (\text{Eq. 54}) $$

$$ \theta_m = 1.5 \cdot S^{0.75} \quad (\text{Eq. 55}) $$

## Concept de travelling bedload – Piton et Recking (2017)

Le concept de travelling bedload consiste à différencier la granulométrie effectivement transportée de la granulométrie du lit « immobile ». Ce concept s'applique au transport de matériaux de matériaux fins (graviers, cailloux, petits blocs) dans des lits à forte pente pavés ou présentant une granulométrie supérieure à la granulométrie effectivement transportée (lits non alluvionnaires ou semi alluvionnaires, Figure 50 - cas b à d). Ce genre de situation peut survenir dans le cas de transport de sédiments « fins » depuis les zones sources dans des lits à blocs. Il ne s'applique en revanche pas aux lits alluvionnaires où les sédiments du lit sont les matériaux effectivement transportés (Figure 50 - cas a).

<figure><img src="image_80.png" /><figcaption>Figure 50 : Schématisation du transport solide selon le contexte géomorphologique.</figcaption></figure>

Source : Piton et Recking, 2017
Les auteurs reprennent les mêmes équations de base que dans la mise à jour de 2016 :

$$ \Phi = \frac{14.\theta_{84}^{2,5}}{1 + \left(\frac{\theta_m}{\theta_{84}}\right)^{4,0}} \quad (\text{Eq. 56}) $$

$$ \theta_m = 1,5 \cdot S^{0,75} \quad (\text{Eq. 57}) $$

MAIS la hauteur d'eau (et donc la contrainte $\tau$) est calculée avec la granulométrie structurant le lit ($D_{84,BS}$), et le nombre de Shields $\theta_{84}$ est évalué avec la granulométrie transportée ($D_{84,TB}$) :

$$ \theta_{84} = \frac{\tau}{g(\rho_s - \rho)D_{84,TB}} \quad (\text{Eq. 58}) $$

Pour le calcul de la hauteur d'eau, Piton et Recking (2017) proposent de reprendre l'expression issue des travaux de Rickenmann et Recking (2011) :

$$ h = 0,015 \cdot D_{84,BS} \frac{q^{2p}}{p^{2,5}} \quad (\text{Eq. 59}) $$

avec $q$ le débit volumique par unité de largeur ($m^2 \cdot s^{-1}$), $q^* = q/(gSD_{84,BS}^3)^{0,5}$, $p = 0,24$ si $q^* < 100$ et $p = 0,31$ autrement. L'expression du nombre de Shields devient alors :

$$ \theta_{84} = \frac{0,015 q^{2p} D_{84,BS}^{1-3p} S^{1-p}}{p^{2,5} g^p \left(\frac{\rho_s}{\rho} - 1\right) D_{84,TB}} \quad (\text{Eq. 60}) $$

On pourra se reporter au rapport final du projet HYDRODEMO (Morel et al., 2022) pour une aide sur l'application des formules d'estimation de transport solide par charriage et notamment sur les différentes formulations des formules de Recking.

## Formule de Lefort (2015)

La formule de Lefort (2015) utilise le même concept de débit de transition $q_0$ entre un régime de charriage partiel, qui ne modifie pas la couche grossière de surface, et un régime de charriage généralisé qui permet la mise en mouvement de la couche grossière constituant le pavage de surface. Il ne devra donc pas être confondu avec un débit seuil de début de transport.

Elle a été calée d'après des données de laboratoire et des mesures sur sites réels avec les caractéristiques suivantes :

* données de laboratoire : n= 3 817, pente comprise entre 0,03 et 20 %.

* données de terrain : n= 6 895, pente comprise entre 0,001 et 8,6 %.

Les prédictions de débit solides sont excellentes pour les données de laboratoire avec 80 à 94 % des débits calculés dans l'intervalle $[0,5 ; 2]$. $Q_{s,mesuré}$. Sur les données de terrain, on obtient par contre 38 à 72 % des débits calculés dans l'intervalle $[0,5 ; 2]$. $Q_{s,mesuré}$.

On notera une très grande différence de concentration maxima entre les données de laboratoire (36 à 960 000 ppm) et les données de terrain (5 à 8400 ppm) ce qui laisse présager des régimes de transport, et donc des Shields très disparates entre les deux sources de données.

La formule de Lefort définit en premier lieu un débit liquide de transition $q_0$ entre charriage partiel et charriage total :

$$ \frac{q_0}{\sqrt{g((s-1)d_m)^3}} = C(d_m^*) \cdot \left(\frac{d_m}{L}\right)^{1/3} \cdot \left(\frac{k_s}{k_r}\right)^{-0,5} \cdot J^{-n} \quad (\text{Eq. 61}) $$

Avec : s densité volumique relative du matériau [-], d_m le diamètre moyen, k_s/k_r le rapport entre le trickler du lit et le strickler attaché au grain [-], J la pente de la ligne d'énergie [m/m], n un paramètre de calcul intermédiaire, $C(d_m^*)$ la fonction décrivant la variation de la contrainte de Shields en fonction du diamètre sédimentologique $d_m^*$.

$d_m^*$, $C(d_m^*)$ et n sont définis par les équations suivantes :
Les auteurs reprennent les mêmes équations de base que dans la mise à jour de 2016 :

$$ \Phi = \frac{14.\theta_{84}^{2,5}}{1 + \left(\frac{\theta_m}{\theta_{84}}\right)^{4,0}} \quad (\text{Eq. 56}) $$

$$ \theta_m = 1,5 \cdot S^{0,75} \quad (\text{Eq. 57}) $$

MAIS la hauteur d'eau (et donc la contrainte $\tau$) est calculée avec la granulométrie structurant le lit ($D_{84,BS}$), et le nombre de Shields $\theta_{84}$ est évalué avec la granulométrie transportée ($D_{84,TB}$) :

$$ \theta_{84} = \frac{\tau}{g(\rho_s - \rho)D_{84,TB}} \quad (\text{Eq. 58}) $$

Pour le calcul de la hauteur d'eau, Piton et Recking (2017) proposent de reprendre l'expression issue des travaux de Rickenmann et Recking (2011) :

$$ h = 0,015 \cdot D_{84,BS} \frac{q^{2p}}{p^{2,5}} \quad (\text{Eq. 59}) $$

avec $q$ le débit volumique par unité de largeur ($m^2 \cdot s^{-1}$), $q^* = q/(gSD_{84,BS}^3)^{0,5}$, $p = 0,24$ si $q^* < 100$ et $p = 0,31$ autrement. L'expression du nombre de Shields devient alors :

$$ \theta_{84} = \frac{0,015 q^{2p} D_{84,BS}^{1-3p} S^{1-p}}{p^{2,5} g^p \left(\frac{\rho_s}{\rho} - 1\right) D_{84,TB}} \quad (\text{Eq. 60}) $$

On pourra se reporter au rapport final du projet HYDRODEMO (Morel et al., 2022) pour une aide sur l'application des formules d'estimation de transport solide par charriage et notamment sur les différentes formulations des formules de Recking.

## Formule de Lefort (2015)

La formule de Lefort (2015) utilise le même concept de débit de transition $q_0$ entre un régime de charriage partiel, qui ne modifie pas la couche grossière de surface, et un régime de charriage généralisé qui permet la mise en mouvement de la couche grossière constituant le pavage de surface. Il ne devra donc pas être confondu avec un débit seuil de début de transport.

Elle a été calée d'après des données de laboratoire et des mesures sur sites réels avec les caractéristiques suivantes :

* données de laboratoire : n= 3 817, pente comprise entre 0,03 et 20 %.

* données de terrain : n= 6 895, pente comprise entre 0,001 et 8,6 %.

Les prédictions de débit solides sont excellentes pour les données de laboratoire avec 80 à 94 % des débits calculés dans l'intervalle $[0,5 ; 2]$. $Q_{s,mesuré}$. Sur les données de terrain, on obtient par contre 38 à 72 % des débits calculés dans l'intervalle $[0,5 ; 2]$. $Q_{s,mesuré}$.

On notera une très grande différence de concentration maxima entre les données de laboratoire (36 à 960 000 ppm) et les données de terrain (5 à 8400 ppm) ce qui laisse présager des régimes de transport, et donc des Shields très disparates entre les deux sources de données.

La formule de Lefort définit en premier lieu un débit liquide de transition $q_0$ entre charriage partiel et charriage total :

$$ \frac{q_0}{\sqrt{g((s-1)d_m)^3}} = C(d_m^*) \cdot \left(\frac{d_m}{L}\right)^{1/3} \cdot \left(\frac{k_s}{k_r}\right)^{-0,5} \cdot J^{-n} \quad (\text{Eq. 61}) $$

Avec : s densité volumique relative du matériau [-], d_m le diamètre moyen, k_s/k_r le rapport entre le trickler du lit et le strickler attaché au grain [-], J la pente de la ligne d'énergie [m/m], n un paramètre de calcul intermédiaire, $C(d_m^*)$ la fonction décrivant la variation de la contrainte de Shields en fonction du diamètre sédimentologique $d_m^*$.

$d_m^*$, $C(d_m^*)$ et n sont définis par les équations suivantes :
$$d_m^* = d_m \cdot (g \cdot (s-1)/\nu^2)^{1/3} \qquad (\text{Eq. 62})$$

$$C(d_m^*) = 0,0444 \cdot \left[ 1 + \frac{15}{1 + d_m^*} - 1,5e^{-d_m^*/75} \right] \qquad (\text{Eq. 63})$$

$$n = 1,6 + 0,06 \cdot \log (J) \qquad (\text{Eq. 64})$$

Avec : v la viscosité cinématique de l'eau (≈1,0 10-6 m²s⁻¹ à 20-25°C)

Lorsque le coefficient de rugosité du lit ne peut être estimé, l'auteur préconise de calculer le rapport entre strickler de lit et strickler de grain en fonction du débit liquide adimensionnalisé q* :

$$q^* = \frac{q}{\sqrt{g \cdot J \cdot d_m^3}} \qquad (\text{Eq. 65})$$

$$\text{Si } q^* < 200 \text{ alors } \frac{k_s}{k_r} = 0,75 \cdot \left(\frac{q^*}{200}\right)^{0,23}, \text{ sinon } \frac{k_s}{k_r} = 0,75 \qquad (\text{Eq. 66})$$

De part et d'autre du débit liquide de transition, on calcule la concentration solide en sédiments $C_p$ [mg/l] avec la relation ci-après :

$$C_p = 1,7e^6 \cdot J^m \cdot \frac{s}{(s-1)^{1,65}} \cdot G_r^{0,2} \cdot \text{cor. F} \qquad (\text{Eq. 67})$$

Avec : m paramètre de calcul intermédiaire facteur de réduction du transport, $G_r$ la gradation du matériau (0,5 $\left[\frac{d_{84}}{d_{50}} + \frac{d_{50}}{d_{16}}\right]$), cor un terme correctif traduisant l'influence des fortes rugosités induites en laboratoire par certaines dunes et la majoration du frottement qui en résulte, F une fonction du débit liquide prenant une valeur différente en-dessous et au-dessus du débit liquide de transition.

Le paramètre m est défini par :

$$m = 1,8 + 0,08 \cdot \log (J) \qquad (\text{Eq. 68})$$

Le terme correctif cor lié à la présence de dunes dans les expériences de laboratoire s'écrit :

$$\text{Si } d_m^* < 14 \text{ et } \frac{k_s}{k_r} < 0,63 \text{ alors } \text{cor} = 1 - 1,4 \cdot \exp \left[ -0,9 \cdot \left( \frac{k_s}{k_r} \right)^2 \cdot \left( \frac{Q}{L \cdot q_0} \right)^{0,5} \right], \text{ sinon } \text{cor} = 1 \qquad (\text{Eq. 69})$$

Enfin la fonction de débit F est définie par :

$$\text{Si } q < q_0 \text{ alors } F = 0,06 \cdot \text{M. } \frac{q}{q_0}, \text{ sinon } F = \left[ 6,1 \left( 1 - 0,938 \left( \frac{q_0}{q} \right)^{0,284} \right)^{1,66} \right]^Z \qquad (\text{Eq. 70})$$

Avec : M un facteur de réduction du transport par charriage partiel i.e. le régime où $q/q_0 < 1$, et Z un coefficient décrivant la majoration du débit solide lorsqu'on passe du charriage à la suspension.

$$M = \frac{q_s + 2,5}{200} \qquad (\text{Eq. 71})$$

$$Z = 1 + \frac{0,38}{d_m^{*0,45}} \cdot \left[ \frac{q}{\sqrt{g \cdot d_m^3}} \right]^{0,192} \qquad (\text{Eq. 72})$$
$$d_m^* = d_m \cdot (g \cdot (s-1)/\nu^2)^{1/3} \qquad (\text{Eq. 62})$$

$$C(d_m^*) = 0,0444 \cdot \left[ 1 + \frac{15}{1 + d_m^*} - 1,5e^{-d_m^*/75} \right] \qquad (\text{Eq. 63})$$

$$n = 1,6 + 0,06 \cdot \log (J) \qquad (\text{Eq. 64})$$

Avec : v la viscosité cinématique de l'eau (≈1,0 10-6 m²s⁻¹ à 20-25°C)

Lorsque le coefficient de rugosité du lit ne peut être estimé, l'auteur préconise de calculer le rapport entre strickler de lit et strickler de grain en fonction du débit liquide adimensionnalisé q* :

$$q^* = \frac{q}{\sqrt{g \cdot J \cdot d_m^3}} \qquad (\text{Eq. 65})$$

$$\text{Si } q^* < 200 \text{ alors } \frac{k_s}{k_r} = 0,75 \cdot \left(\frac{q^*}{200}\right)^{0,23}, \text{ sinon } \frac{k_s}{k_r} = 0,75 \qquad (\text{Eq. 66})$$

De part et d'autre du débit liquide de transition, on calcule la concentration solide en sédiments C<sub>p</sub> [mg/l] avec la relation ci-après :

$$C_p = 1,7e^6 \cdot J^m \cdot \frac{s}{(s-1)^{1,65}} \cdot G_r^{0,2} \cdot \text{cor. F} \qquad (\text{Eq. 67})$$

Avec : m paramètre de calcul intermédiaire facteur de réduction du transport, G<sub>r</sub> la gradation du matériau (0,5[d<sub>84</sub>/d<sub>50</sub> + d<sub>50</sub>/d<sub>16</sub>]), cor un terme correctif traduisant l'influence des fortes rugosités induites en laboratoire par certaines dunes et la majoration du frottement qui en résulte, F une fonction du débit liquide prenant une valeur différente en-dessous et au-dessus du débit liquide de transition.

Le paramètre m est défini par :

$$m = 1,8 + 0,08 \cdot \log (J) \qquad (\text{Eq. 68})$$

Le terme correctif cor lié à la présence de dunes dans les expériences de laboratoire s'écrit :

$$\text{Si } d_m^* < 14 \text{ et } \frac{k_s}{k_r} < 0,63 \text{ alors } \text{cor} = 1 - 1,4 \cdot \exp \left[ -0,9 \cdot \left( \frac{k_s}{k_r} \right)^2 \cdot \left( \frac{Q}{L \cdot q_0} \right)^{0,5} \right], \text{ sinon } \text{cor} = 1 \qquad (\text{Eq. 69})$$

Enfin la fonction de débit F est définie par :

$$\text{Si } q < q_0 \text{ alors } F = 0,06 \cdot \text{M. } q/q_0, \text{ sinon } F = \left[ 6,1 \left( 1 - 0,938 \left( \frac{q_0}{q} \right)^{0,284} \right)^{1,66} \right]^Z \qquad (\text{Eq. 70})$$

Avec : M un facteur de réduction du transport par charriage partiel i.e. le régime où q/q₀ < 1, et Z un coefficient décrivant la majoration du débit solide lorsqu'on passe du charriage à la suspension.

$$M = \frac{q_s + 2,5}{200} \qquad (\text{Eq. 71})$$

$$Z = 1 + \frac{0,38}{d_m^{*0,45}} \cdot \left[ \frac{q}{\sqrt{g \cdot d_m^3}} \right]^{0,192} \qquad (\text{Eq. 72})$$
# ANNEXE 2

## Analyse des formules de transport solide adaptées au contexte torrentiel

### Comment choisir une formule de transport solide adaptée aux cours d'eau à pente forte lors de crues intenses ?

Une des questions centrales dans les études d'hydraulique torrentielle est l'identification des formules de transport solides les plus adaptées à un contexte à forte pente (rivières torrentielles et torrents). Pour ce qui concerne le RTM, ce choix impacte le calcul de débits solides ou volumes solides mobilisés en crue. Le domaine d'intérêt peut donc être formalisé de la manière suivante :

* pente du lit >1,0 à 1,5 % ;

* taux de transport, défini comme le rapport du nombre de Shields au nombre de Shields critique, $\tau_{84}^*/\tau_{c84}^* \ge 1$ (phases 2 et 3 de transport solide) ;

* suivant l'analyse des lois de frottement (cf § 4.2.2), on pourrait même restreindre ce domaine aux cours d'eau où la submersion relative reste faible à intermédiaire : $R/D_{84} \le 7,0$.

Trois approches peuvent être envisagées pour choisir une formule de transport solide :

* approche 1 : respect des gammes de pente sur lesquelles les formules ont été établies ;

* approche 2 : comparaison des résultats obtenus par les formules de transport solide aux données mesurées en laboratoire ou sur le terrain, en analysant si ces données sont cohérentes avec le domaine d'intérêt ;

* approche 3 : comparaison relative de plusieurs formules de transport solide sur un cas d'étude donné.

**Approche 1 : choix suivant les gammes de pentes des données de calage des formules**

Pour l'approche 1, toutes les formules listées en Annexe 1 semblent applicables. Pour les formules établies avec, en partie, des données de pente < 1,5 %, il est difficile de connaitre le poids de ces données à faible pente dans les procédures de calage sans faire une analyse détaillée des échantillons de données. Bien que plus « universelles », ces formules sont possiblement moins représentatives des données à pente forte. Inversement, les formules établies uniquement sur des gammes de pentes fortes (Smart & Jaeggi, 1983 ; Rickenmann, 1990) se basent sur des données expérimentales avec des conditions qui peuvent sensiblement s'éloigner de conditions réelles : faible largeur de lit, granulométrie uniforme ou peu étendue, lit plat sans macro-rugosités...

On propose ici une analyse des données publiées par Recking (2012), qui ont servi de base à la formule de 2010 et aux suivantes, avec une gamme de pente des données de calage allant de 0,02 % à 20%. Le jeu de données analysé comprend un échantillon de données expérimentales (1317 valeurs) et un échantillon de données de terrain (6319 valeurs). Les caractéristiques d'ensemble des deux échantillons laissent penser que les données sont représentatives de cours d'eau torrentiels avec des pentes comprises entre 0,001 et 0,2 m/m pour les données expérimentales et entre 0,002 et 0,08 m/m pour les données de terrain. Une analyse plus fine des caractéristiques respectives de ces deux échantillons montre en réalité que les données représentatives des cours d'eau torrentiels sont minoritaires (cf Figure 51 et Figure 52). Les données avec pente > 1,5 % et taux de transport > 1 représentent respectivement 27,5% et 6 % de l'échantillon des données expérimentales et de terrain. Ces pourcentages chutent encore si on ne considère que des submersions relatives inférieures à 7, avec des valeurs respectives de 16,8% et 3,5%. Sur l'échantillon de données de terrain, 50 % des valeurs de pentes sont inférieures ou égales à 1%, et 80% sont inférieures à 2%. Sur ce même jeu de données, le taux de transport médian $\tau_{84}/\tau_{c84}$ est de 0,69 et le quantile 80% est de 1,32. L'image typique du cours d'eau représentatif de ce jeu de données est donc une rivière de piémont, à pente de l'ordre de moins 1%, avec des données de transport solide représentatives d'un charriage peu intense.

L'analyse des gammes de pentes des données de calage des formules de transport solide peut être utile en première approche pour discriminer les formules non applicables pour une pente ou une gamme de pente donnée.

Au sein de la gamme de pente représentative du site étudié, le choix d'une formule parmi plusieurs reste un exercice difficile. Les formules récentes semblent plus universelles et robustes avec des gammes de pente d'utilisation plus larges et des données de calage comprenant un échantillon important de données de terrain.

Toutefois, une analyse détaillée des données utilisées pour l'établissement de la formule de Recking (2013) montre que le cours d'eau type représentatif de jeu de données est une rivière de piémont, à pente de l'ordre de moins 1% avec des données de transport solide représentatives d'un charriage peu intense. Les données représentatives des cours d'eau torrentiels sont minoritaires.
# ANNEXE 2

## Analyse des formules de transport solide adaptées au contexte torrentiel

## Comment choisir une formule de transport solide adaptée aux cours d'eau à pente forte lors de crues intenses ?

Une des questions centrales dans les études d'hydraulique torrentielle est l'identification des formules de transport solides les plus adaptées à un contexte à forte pente (rivières torrentielles et torrents). Pour ce qui concerne le RTM, ce choix impacte le calcul de débits solides ou volumes solides mobilisés en crue. Le domaine d'intérêt peut donc être formalisé de la manière suivante :

* pente du lit >1,0 à 1,5 % ;

* taux de transport, défini comme le rapport du nombre de Shields au nombre de Shields critique, $\tau_{84}^*/\tau_{c84}^* \ge 1$ (phases 2 et 3 de transport solide) ;

* suivant l'analyse des lois de frottement (cf § 4.2.2), on pourrait même restreindre ce domaine aux cours d'eau où la submersion relative reste faible à intermédiaire : $R/D_{84} \le 7,0$.

Trois approches peuvent être envisagées pour choisir une formule de transport solide :

* approche 1 : respect des gammes de pente sur lesquelles les formules ont été établies ;

* approche 2 : comparaison des résultats obtenus par les formules de transport solide aux données mesurées en laboratoire ou sur le terrain, en analysant si ces données sont cohérentes avec le domaine d'intérêt ;

* approche 3 : comparaison relative de plusieurs formules de transport solide sur un cas d'étude donné.

### Approche 1 : choix suivant les gammes de pentes des données de calage des formules

Pour l'approche 1, toutes les formules listées en Annexe 1 semblent applicables. Pour les formules établies avec, en partie, des données de pente < 1,5 %, il est difficile de connaitre le poids de ces données à faible pente dans les procédures de calage sans faire une analyse détaillée des échantillons de données. Bien que plus « universelles », ces formules sont possiblement moins représentatives des données à pente forte. Inversement, les formules établies uniquement sur des gammes de pentes fortes (Smart & Jaeggi, 1983 ; Rickenmann, 1990) se basent sur des données expérimentales avec des conditions qui peuvent sensiblement s'éloigner de conditions réelles : faible largeur de lit, granulométrie uniforme ou peu étendue, lit plat sans macro-rugosités...

On propose ici une analyse des données publiées par Recking (2012), qui ont servi de base à la formule de 2010 et aux suivantes, avec une gamme de pente des données de calage allant de 0,02 % à 20%. Le jeu de données analysé comprend un échantillon de données expérimentales (1317 valeurs) et un échantillon de données de terrain (6319 valeurs). Les caractéristiques d'ensemble des deux échantillons laissent penser que les données sont représentatives de cours d'eau torrentiels avec des pentes comprises entre 0,001 et 0,2 m/m pour les données expérimentales et entre 0,002 et 0,08 m/m pour les données de terrain. Une analyse plus fine des caractéristiques respectives de ces deux échantillons montre en réalité que les données représentatives des cours d'eau torrentiels sont minoritaires (cf Figure 51 et Figure 52). Les données avec pente > 1,5 % et taux de transport > 1 représentent respectivement 27,5% et 6 % de l'échantillon des données expérimentales et de terrain. Ces pourcentages chutent encore si on ne considère que des submersions relatives inférieures à 7, avec des valeurs respectives de 16,8% et 3,5%. Sur l'échantillon de données de terrain, 50 % des valeurs de pentes sont inférieures ou égales à 1%, et 80% sont inférieures à 2%. Sur ce même jeu de données, le taux de transport médian $\tau_{84}/\tau_{c84}$ est de 0,69 et le quantile 80% est de 1,32. L'image typique du cours d'eau représentatif de ce jeu de données est donc une rivière de piémont, à pente de l'ordre de moins 1%, avec des données de transport solide représentatives d'un charriage peu intense.

L'analyse des gammes de pentes des données de calage des formules de transport solide peut être utile en première approche pour discriminer les formules non applicables pour une pente ou une gamme de pente donnée.

Au sein de la gamme de pente représentative du site étudié, le choix d'une formule parmi plusieurs reste un exercice difficile. Les formules récentes semblent plus universelles et robustes avec des gammes de pente d'utilisation plus larges et des données de calage comprenant un échantillon important de données de terrain.

Toutefois, une analyse détaillée des données utilisées pour l'établissement de la formule de Recking (2013) montre que le cours d'eau type représentatif de jeu de données est une rivière de piémont, à pente de l'ordre de moins 1% avec des données de transport solide représentatives d'un charriage peu intense. Les données représentatives des cours d'eau torrentiels sont minoritaires.
<figure><img src="image_84.png" /><figcaption>Figure 51 : Statistiques sur l'échantillon de terrain utilisé par Recking (2012).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_85.png" /><figcaption>Figure 52 : Identification des données des échantillons de Recking (2012) correspondant au domaine des cours d'eau torrentiels.</figcaption></figure>

Gauche : échantillon de données expérimentales. Droite : échantillon de données de terrain.

Les points noirs correspondent aux points où $I < 0,015$ et $\tau/\tau_c < 1,0$.

Données expérimentales : $N_{tot} = 1317$ ; $N(R/D < 2,0 ; I \ge 0,015 \text{ m/m} ; \tau/\tau_c \ge 1,0)=4$ ; $N(2,0 \le R/D < 7,0 ; I \ge 0,015 \text{ m/m} ; \tau/\tau_c \ge 1,0)=217$ ; $N(R/D \ge 7,0 ; I \ge 0,015 \text{ m/m} ; \tau/\tau_c \ge 1,0)=142$

Données de terrain : $N_{tot} = 6326$ ; $N(R/D < 2,0 ; I \ge 0,015 \text{ m/m} ; \tau/\tau_c \ge 1,0)=183$ ; $N(2,0 \le R/D < 7,0 ; I \ge 0,015 \text{ m/m} ; \tau/\tau_c \ge 1,0)=40$ ; $N(R/D \ge 7,0 ; I \ge 0,015 \text{ m/m} ; \tau/\tau_c \ge 1,0)=162$
<figure><img src="image_81.png" /><figcaption>Figure 51 : Statistiques sur l'échantillon de terrain utilisé par Recking (2012).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_82.png" /><figcaption>Figure 52 : Identification des données des échantillons de Recking (2012) correspondant au domaine des cours d'eau torrentiels.</figcaption></figure>

Gauche : échantillon de données expérimentales. Droite : échantillon de données de terrain.

Les points noirs correspondent aux points où $I < 0,015$ et $\tau/\tau_c < 1,0$.

Données expérimentales : $N_{tot} = 1317$ ; $N(R/D < 2,0 ; I \ge 0,015 \text{ m/m} ; \tau/\tau_c \ge 1,0)=4$ ; $N(2,0 \le R/D < 7,0 ; I \ge 0,015 \text{ m/m} ; \tau/\tau_c \ge 1,0)=217$ ; $N(R/D \ge 7,0 ; I \ge 0,015 \text{ m/m} ; \tau/\tau_c \ge 1,0)=142$

Données de terrain : $N_{tot} = 6326$ ; $N(R/D < 2,0 ; I \ge 0,015 \text{ m/m} ; \tau/\tau_c \ge 1,0)=183$ ; $N(2,0 \le R/D < 7,0 ; I \ge 0,015 \text{ m/m} ; \tau/\tau_c \ge 1,0)=40$ ; $N(R/D \ge 7,0 ; I \ge 0,015 \text{ m/m} ; \tau/\tau_c \ge 1,0)=162$
## Approche 2 : Exploitation des travaux de recherche ayant porté sur la comparaison des débits calculés et débits observés

Pour l'approche 2, des travaux de recherche, à notre connaissance peu nombreux, ont porté sur la comparaison des formules de transport solide avec des données mesurées en laboratoire ou sur le terrain. Deux de ces travaux sont analysés ici.

L'étude de Recking et al. (2010, 2012) compare 16 formules de transport solide sur un très large échantillon de données expérimentales (1317 valeurs) et de données de terrain (6319 valeurs). Les principales conclusions tirées de l'analyse du jeu de données et des résultats présentés dans l'étude sont synthétisées ci-après.

Tout d'abord, les données représentatives des cours d'eau torrentiels sont minoritaires dans ces échantillons ; l'échantillon de données de terrain est même principalement représentatif d'une rivière de piémont (faible pente et faible taux de transport). Sur cette base, la formule de Recking (2010) est celle qui prend le mieux en compte les spécificités des données de terrain.

D'autre part, la performance des formules de transport solide est globalement bonne sur l'échantillon des données de laboratoire, mais elle est très médiocre sur l'échantillon de données de terrain, hormis pour la formule de Recking (2010b) (cf. Figure 53). La métrique utilisée est le ratio r correspondant au rapport du débit solide calculé sur débit le solide mesuré. Les scores indiquent le pourcentage de prédictions rentrant dans différents intervalles : [0,1 ; 10], [0,2 ; 5], [0,5 ; 2]. Pour l'intervalle [0,1.r ; 10.r], les scores de la plupart des formules testées dépassent 70% sur les données expérimentales alors qu'ils ne sont que de l'ordre de 10 à 15 % sur les données de terrain. Un facteur explicatif est que l'ensemble des formules testées sont basées intégralement ou très majoritairement sur des données de laboratoire. La formule de Recking (2010b) obtient de meilleurs résultats que les autres formules testées du fait qu'elle a été établie à partir des données, de terrain et de laboratoire, sur lesquelles la comparaison a été effectuée.

**Enfin, l'analyse de la** Formules testées : Meyer-Peter et Müller (1948), Engelund et Hansen (1967), Ackers et White (1973), Karim et Kennedy (1990), Parker (1979), Mizuyama (1977), Smart et Jaeggi (1983), Wong et Parker (2006), Yalin (1963), Van Rijn (1984), Schoklitsch (1962), Rickenmann (1991), Bagnold (1980), Yang (1984), Abrahams et Gao (2006), Einstein (1950), Brown (1950)

Figure 54 et de la Figure 55 permet de dégager les conclusions suivantes :

* la performance des formules de transport solide augmente avec l'augmentation du taux de transport $\theta_{84}/\theta_{c84}$. Les prédictions de débit solide instantané deviennent acceptables :

* sur les données de terrain : pour un taux de transport $> 2$ à 3 correspondant à la phase 3 de transport solide (charriage intense);

* sur les données expérimentales : pour un taux de transport $> 1,4$ correspondant aux phases 2 et 3 de transport solide (matériaux grossiers participent au transport solide). A noter que, dans la plupart des essais, les matériaux étaient de granulométrie uniforme ou peu étendue. Il est possible que la plus grande uniformité des matériaux du lit favorise de meilleurs résultats pour des taux de transport inférieurs à ceux observés sur les données de terrain, avec des effets de masquage beaucoup moins importants.

* l'influence de la pente et de la granulométrie ($D_{84}$) sur la performance des formules de transport solide implique qu'elles doivent être examinées séparément suivant les jeux de données :

* sur les données de terrain : la performance des formules de transport solide diminue lorsque la pente et le $D_{84}$ augmentent. Les meilleures performances correspondent au domaine des rivières à sables et graviers. Ceci amène plusieurs remarques. Tout d'abord, il ne s'agit pas du domaine de gammes de pentes des cours d'eau nous intéressant dans ce rapport, à savoir $1 > 1,5 \%$. Par ailleurs, contrairement aux rivières torrentielles et aux torrents, il existe dans ce domaine de rivières alluviales une plus grande similitude entre les matériaux du lit et les matériaux effectivement transportés. Une façon complémentaire d'exprimer la même idée est que la plupart de ces cours d'eau ne connaissent pas de limitation de la fourniture sédimentaire. Au contraire, à proximité des sources de sédiments, dans les torrents et rivières torrentielles, la fourniture est beaucoup plus intermittente. Dans ces zones, les matériaux les plus grossiers du lit sont mis en mouvement beaucoup moins fréquemment et, si la pente est suffisante, les matériaux plus fins sont rapidement exportés. La granulométrie du lit n'est donc pas ici toujours représentative de la charge solide couramment transportée par le cours d'eau;

* sur les données expérimentales : il est plus difficile de dégager des tendances en fonction de la granulométrie et de la pente du lit. Les performances des formules de transport sont acceptables quel que soit le diamètre considéré. La qualité des prédictions s'améliore pour des pentes supérieures à 0,5%, mais il semble que ce gain de performance est en fait directement corrélu au taux de transport.
## Approche 2 : Exploitation des travaux de recherche ayant porté sur la comparaison des débits calculés et débits observés

Pour l'approche 2, des travaux de recherche, à notre connaissance peu nombreux, ont porté sur la comparaison des formules de transport solide avec des données mesurées en laboratoire ou sur le terrain. Deux de ces travaux sont analysés ici.

L'étude de Recking et al. (2010, 2012) compare 16 formules de transport solide sur un très large échantillon de données expérimentales (1317 valeurs) et de données de terrain (6319 valeurs). Les principales conclusions tirées de l'analyse du jeu de données et des résultats présentés dans l'étude sont synthétisées ci-après.

Tout d'abord, les données représentatives des cours d'eau torrentiels sont minoritaires dans ces échantillons ; l'échantillon de données de terrain est même principalement représentatif d'une rivière de piémont (faible pente et faible taux de transport). Sur cette base, la formule de Recking (2010) est celle qui prend le mieux en compte les spécificités des données de terrain.

D'autre part, la performance des formules de transport solide est globalement bonne sur l'échantillon des données de laboratoire, mais elle est très médiocre sur l'échantillon de données de terrain, hormis pour la formule de Recking (2010b) (cf. Figure 53). La métrique utilisée est le ratio r correspondant au rapport du débit solide calculé sur débit le solide mesuré. Les scores indiquent le pourcentage de prédictions rentrant dans différents intervalles : [0,1 ; 10], [0,2 ; 5], [0,5 ; 2]. Pour l'intervalle [0,1.r ; 10.r], les scores de la plupart des formules testées dépassent 70% sur les données expérimentales alors qu'ils ne sont que de l'ordre de 10 à 15 % sur les données de terrain. Un facteur explicatif est que l'ensemble des formules testées sont basées intégralement ou très majoritairement sur des données de laboratoire. La formule de Recking (2010b) obtient de meilleurs résultats que les autres formules testées du fait qu'elle a été établie à partir des données, de terrain et de laboratoire, sur lesquelles la comparaison a été effectuée.

**Enfin, l'analyse de la** Formules testées : Meyer-Peter et Müller (1948), Engelund et Hansen (1967), Ackers et White (1973), Karim et Kennedy (1990), Parker (1979), Mizuyama (1977), Smart et Jaeggi (1983), Wong et Parker (2006), Yalin (1963), Van Rijn (1984), Schoklitsch (1962), Rickenmann (1991), Bagnold (1980), Yang (1984), Abrahams et Gao (2006), Einstein (1950), Brown (1950)

Figure 54 et de la Figure 55 permet de dégager les conclusions suivantes :

* la performance des formules de transport solide augmente avec l'augmentation du taux de transport $\theta_{84}/\theta_{c84}$. Les prédictions de débit solide instantané deviennent acceptables :

* sur les données de terrain : pour un taux de transport $> 2$ à 3 correspondant à la phase 3 de transport solide (charriage intense);

* sur les données expérimentales : pour un taux de transport $> 1,4$ correspondant aux phases 2 et 3 de transport solide (matériaux grossiers participent au transport solide). A noter que, dans la plupart des essais, les matériaux étaient de granulométrie uniforme ou peu étendue. Il est possible que la plus grande uniformité des matériaux du lit favorise de meilleurs résultats pour des taux de transport inférieurs à ceux observés sur les données de terrain, avec des effets de masquage beaucoup moins importants.

* l'influence de la pente et de la granulométrie ($D_{84}$) sur la performance des formules de transport solide implique qu'elles doivent être examinées séparément suivant les jeux de données :

* sur les données de terrain : la performance des formules de transport solide diminue lorsque la pente et le $D_{84}$ augmentent. Les meilleures performances correspondent au domaine des rivières à sables et graviers. Ceci amène plusieurs remarques. Tout d'abord, il ne s'agit pas du domaine de gammes de pentes des cours d'eau nous intéressant dans ce rapport, à savoir $1 > 1,5 \%$. Par ailleurs, contrairement aux rivières torrentielles et aux torrents, il existe dans ce domaine de rivières alluviales une plus grande similitude entre les matériaux du lit et les matériaux effectivement transportés. Une façon complémentaire d'exprimer la même idée est que la plupart de ces cours d'eau ne connaissent pas de limitation de la fourniture sédimentaire. Au contraire, à proximité des sources de sédiments, dans les torrents et rivières torrentielles, la fourniture est beaucoup plus intermittente. Dans ces zones, les matériaux les plus grossiers du lit sont mis en mouvement beaucoup moins fréquemment et, si la pente est suffisante, les matériaux plus fins sont rapidement exportés. La granulométrie du lit n'est donc pas ici toujours représentative de la charge solide couramment transportée par le cours d'eau;

* sur les données expérimentales : il est plus difficile de dégager des tendances en fonction de la granulométrie et de la pente du lit. Les performances des formules de transport sont acceptables quel que soit le diamètre considéré. La qualité des prédictions s'améliore pour des pentes supérieures à 0,5%, mais il semble que ce gain de performance est en fait directement corrélu au taux de transport.
<figure><img src="image_86.png" /><figcaption>Figure 53 : Comparaison de la performance de formules de transport solide : (gauche) sur un jeu de données expérimentales ; (droite) sur un jeu de données de terrain. Source : Recking et al., 2010</figcaption></figure>

<figure><img src="image_87.png" /></figure>

Formules testées : Meyer-Peter et Müller (1948), Engelund et Hansen (1967), Ackers et White (1973), Karim et Kennedy (1990), Parker (1979), Mizuyama (1977), Smart et Jaeggi (1983), Wong et Parker (2006), Yalin (1963), Van Rijn (1984), Schoklitsch (1962), Rickenmann (1991), Bagnold (1980), Yang (1984), Abrahams et Gao (2006), Einstein (1950), Brown (1950)

<caption>Figure 54 : Résultats d'ensemble d'intercomparaison de formules de transport solide sur un échantillon de 6319 données de terrain
Source : Recking et al., 2012. Le score donne la valeur du ratio r dans l'intervalle [0,1;10]</caption>
<figure><img src="image_83.png" /><figcaption>Figure 53 : Comparaison de la performance de formules de transport solide : (gauche) sur un jeu de données expérimentales ; (droite) sur un jeu de données de terrain. Source : Recking et al., 2010</figcaption></figure>

<figure><img src="image_84.png" /></figure>

Formules testées : Meyer-Peter et Müller (1948), Engelund et Hansen (1967), Ackers et White (1973), Karim et Kennedy (1990), Parker (1979), Mizuyama (1977), Smart et Jaeggi (1983), Wong et Parker (2006), Yalin (1963), Van Rijn (1984), Schoklitsch (1962), Rickenmann (1991), Bagnold (1980), Yang (1984), Abrahams et Gao (2006), Einstein (1950), Brown (1950)

<caption>**Figure 54 :** Résultats d'ensemble d'intercomparaison de formules de transport solide sur un échantillon de 6319 données de terrain

Source : Recking et al., 2012. Le score donne la valeur du ratio r dans l'intervalle [0,1;10]</caption>
<figure><img src="image_88.png" /></figure>

Formules testées : Meyer-Peter et Müller (1948), Engelund et Hansen (1967), Ackers et White (1973), Karim et Kennedy (1990), Parker (1979), Mizuyama (1977), Smart et Jaeggi (1983), Wong et Parker (2006), Yalin (1963), Van Rijn (1984), Schoklitsch (1962), Rickenmann (1991), Bagnold (1980), Yang (1984), Abrahams et Gao (2006), Einstein (1950), Brown (1950)

<caption>**Figure 55 :** Résultats d'ensemble d'intercomparaison de formules de transport solide sur un échantillon de 1317 données de laboratoire
Source : Recking et al., 2012. Le score donne la valeur du ratio r dans l'intervalle [0,1;10]</caption>

L'étude de Recking (2013) compare la performance de trois formules de transport solide (Rickenmann, 1991 ; Lefort-Sogreah, 1991 ; Recking, 2013) sur 100 cours d'eau, classés en quatre types de morphologies de lit (et donc de gammes de pente de lit) : lits à sables, à graviers, à cailloux et à blocs (cf. Figure 56). Comme précédemment, les formules donnent les meilleures prédictions pour les lits à sables et graviers (faible pente et faible limitation de la fourniture sédimentaire).

Les formules de Rickenmann (1991) et Lefort-Sogreah (1991), établies sur des données de laboratoire, conduisent à une surestimation des débits solides calculés par rapport aux débits mesurés pour les lits à cailloux et à blocs (cours d'eau à forte pente). Cette surestimation peut avoir plusieurs origines :

* les pertes de charge, liées aux macro-rugosités et irrégularités de forme du lit, sont plus fortes dans les cours d'eau torrentiels que dans les conditions expérimentales. Dans la réalité, la part de l'énergie restant disponible pour mettre en mouvement les sédiments est donc plus faible qu'en laboratoire. Ce constat a amené plusieurs auteurs à proposer une méthode de calcul pour isoler la composante de la ligne d'énergie participant au transport solide par charriage ;
<figure><img src="image_85.png" /></figure>

Formules testées : Meyer-Peter et Müller (1948), Engelund et Hansen (1967), Ackers et White (1973), Karim et Kennedy (1990), Parker (1979), Mizuyama (1977), Smart et Jaeggi (1983), Wong et Parker (2006), Yalin (1963), Van Rijn (1984), Schoklitsch (1962), Rickenmann (1991), Bagnold (1980), Yang (1984), Abrahams et Gao (2006), Einstein (1950), Brown (1950)

<caption>**Figure 55 :** Résultats d'ensemble d'intercomparaison de formules de transport solide sur un échantillon de 1317 données de laboratoire
Source : Recking et al., 2012. Le score donne la valeur du ratio r dans l'intervalle [0,1;10]</caption>

L'étude de Recking (2013) compare la performance de trois formules de transport solide (Rickenmann, 1991 ; Lefort-Sogreah, 1991 ; Recking, 2013) sur 100 cours d'eau, classés en quatre types de morphologies de lit (et donc de gammes de pente de lit) : lits à sables, à graviers, à cailloux et à blocs (cf. Figure 56). Comme précédemment, les formules donnent les meilleures prédictions pour les lits à sables et graviers (faible pente et faible limitation de la fourniture sédimentaire).

Les formules de Rickenmann (1991) et Lefort-Sogreah (1991), établies sur des données de laboratoire, conduisent à une surestimation des débits solides calculés par rapport aux débits mesurés pour les lits à cailloux et à blocs (cours d'eau à forte pente). Cette surestimation peut avoir plusieurs origines :

* les pertes de charge, liées aux macro-rugosités et irrégularités de forme du lit, sont plus fortes dans les cours d'eau torrentiels que dans les conditions expérimentales. Dans la réalité, la part de l'énergie restant disponible pour mettre en mouvement les sédiments est donc plus faible qu'en laboratoire. Ce constat a amené plusieurs auteurs à proposer une méthode de calcul pour isoler la composante de la ligne d'énergie participant au transport solide par charriage ;
* en contexte torrentiel, la fourniture sédimentaire a un caractère intermittent, avec le pavage du lit par les plus gros blocs qui limite les évolutions de pente en cas de déficit de la charge sédimentaire.

A contrario, la formule de Recking (2013), basée sur des données de terrain avec de faibles taux de transport, aurait un meilleur niveau de performance pour toutes les gammes de granulométrie. Mais ces résultats sont très dépendants d'un paramètre qui permet de séparer le comportement associé au données de terrain à faible taux de transport du comportement associé aux données de laboratoire à fort taux de transport (cf analyse critique au paragraphe suivant, p. 110). D'autre part, les résultats présentés sur la Figure 56 suivante mériteraient d'être réévalués sur des données de terrain associées à des taux de transport élevés

<figure><img src="image_89.png" /><figcaption>Figure 56 : Surestimation des débits solides calculés avec les formules de Rickenmann (1991) et de Lefort-Sogreah (1991) pour des lits à cailloux et blocs correspondant au domaine des rivières torrentielles et des torrents. Source : Recking et al., 2013</figcaption></figure>

L'exploitation des études recensées dans la littérature (Recking et al., 2012 ; Recking et al., 2013), ayant comparé les résultats obtenus par les formules de transport solide aux données mesurées en laboratoire ou sur le terrain, fournit peu d'indications quant au choix de la formule à retenir en contexte de forte pente.

Dans le jeu de données de Recking (2012), les données représentatives des cours d'eau torrentiels sont minoritaires. L'échantillon de données de terrain est principalement représentatif d'une rivière de piémont (faible pente et faible taux de transport). Sur cette base, la formule de Recking (2008) est celle qui obtient les meilleures performances.

Les comparaisons effectuées montrent que la performance d'ensemble des formules augmente avec l'augmentation du taux de transport $θ_{84}/θ_{c84}$. L'utilisation des formules pour estimer l'évolution de fond de lit au cours de crues intenses est donc à priori moins incertaine que l'utilisation des formules pour l'estimations des volumes moyens annuels transportés.

Les formules anciennes (Rickenmann, 1991, Lefort-Sogreah, 1991), établies à partir de données de laboratoire, tendent à surestimer le des débits solides dans le contexte de lits à blocs et cailloux. Cette surestimation peut avoir plusieurs causes : pertes de charges liées aux macro-rugosités des lits à blocs et cailloux plus fortes que dans les conditions expérimentales, intermittence de la fourniture sédimentaire.
* en contexte torrentiel, la fourniture sédimentaire a un caractère intermittent, avec le pavage du lit par les plus gros blocs qui limite les évolutions de pente en cas de déficit de la charge sédimentaire.

A contrario, la formule de Recking (2013), basée sur des données de terrain avec de faibles taux de transport, aurait un meilleur niveau de performance pour toutes les gammes de granulométrie. Mais ces résultats sont très dépendants d'un paramètre qui permet de séparer le comportement associé au données de terrain à faible taux de transport du comportement associé aux données de laboratoire à fort taux de transport (cf analyse critique au paragraphe suivant, p. 110). D'autre part, les résultats présentés sur la Figure 56 suivante mériteraient d'être réévalués sur des données de terrain associées à des taux de transport élevés

<figure><img src="image_86.png" /><figcaption>Figure 56 : Surestimation des débits solides calculés avec les formules de Rickenmann (1991) et de Lefort-Sogreah (1991) pour des lits à cailloux et blocs correspondant au domaine des rivières torrentielles et des torrents. Source : Recking et al., 2013</figcaption></figure>

L'exploitation des études recensées dans la littérature (Recking et al., 2012 ; Recking et al., 2013), ayant comparé les résultats obtenus par les formules de transport solide aux données mesurées en laboratoire ou sur le terrain, fournit peu d'indications quant au choix de la formule à retenir en contexte de forte pente.

Dans le jeu de données de Recking (2012), les données représentatives des cours d'eau torrentiels sont minoritaires. L'échantillon de données de terrain est principalement représentatif d'une rivière de piémont (faible pente et faible taux de transport). Sur cette base, la formule de Recking (2008) est celle qui obtient les meilleures performances.

Les comparaisons effectuées montrent que la performance d'ensemble des formules augmente avec l'augmentation du taux de transport $θ_{84}/θ_{c84}$. L'utilisation des formules pour estimer l'évolution de fond de lit au cours de crues intenses est donc à priori moins incertaine que l'utilisation des formules pour l'estimations des volumes moyens annuels transportés.

Les formules anciennes (Rickenmann, 1991, Lefort-Sogreah, 1991), établies à partir de données de laboratoire, tendent à surestimer le des débits solides dans le contexte de lits à blocs et cailloux. Cette surestimation peut avoir plusieurs causes : pertes de charges liées aux macro-rugosités des lits à blocs et cailloux plus fortes que dans les conditions expérimentales, intermittence de la fourniture sédimentaire.
## Approche 3 : comparaison relative de plusieurs formules de transport solide sur un cas d'étude donné

Pour l'approche 3, la comparaison de formules de transport solide sur des gammes de débit et de pente représentative du site étudié permet de dégager les ordres de grandeur de variation plausibles du débit solide et de caractériser les tendances d'ensemble données par les formules.

La Figure 57 présente une comparaison des formules de Meunier (1989), Rickenmann (1990, 1991), Lefort-Sogreah (1991), Recking (2013), Lefort (2015) et Piton et Recking (2017) pour des débits, paramètres granulométriques et largeur de lit représentatifs du torrent du Manival (Isère).

Les résultats montrent en premier lieu une très grande variabilité des débits solides calculés, augmentant avec la pente, et expliquant la difficulté pour les praticiens d'effectuer un choix sur les formules de transport solide à utiliser. On observe par ailleurs que, pour des taux de transport $τ_{84}^*/τ_{c84}^*$ compris entre 0,85 et 2,9 :

* les formules de Rickenmann (1990), Meunier (1989) et Lefort-Sogreah (1991) donnent des débits solides beaucoup plus élevés que l'ensemble des autres formules ;

* la formule de Rickenmann (1991) donne des résultats moyens vis à vis de l'ensemble des autres formules ;

* les formules de Lefort (2015) et Piton et Recking (2017) sont particulièrement sensibles aux valeurs de débit liquide (la 2ème formule étant plus sensible que la 1ère) : pour des débits liquides faibles, ces deux formules donnent des débits solides inférieurs à ceux obtenus avec la formule de Rickenmann (1991) ; pour des débits liquides élevés, les valeurs se rapprochent, sans les dépasser, des formules de Meunier (1989) et Lefort-Sogreah (1991) ;

* la formule de Recking (2013) donne des débits solides très faibles (cf. analyse critique au paragraphe suivant, p. 110).

<figure><img src="image_90.png" /><figcaption>Figure 57 : Illustration de calculs de débits solides avec des paramètres granulométriques représentatifs du torrent du Manival (Isère) et pour des débits liquides de 3, 7, 11, et 21 m³/s</figcaption></figure>
## Approche 3 : comparaison relative de plusieurs formules de transport solide sur un cas d'étude donné

Pour l'approche 3, la comparaison de formules de transport solide sur des gammes de débit et de pente représentative du site étudié permet de dégager les ordres de grandeur de variation plausibles du débit solide et de caractériser les tendances d'ensemble données par les formules.

La Figure 57 présente une comparaison des formules de Meunier (1989), Rickenmann (1990, 1991), Lefort-Sogreah (1991), Recking (2013), Lefort (2015) et Piton et Recking (2017) pour des débits, paramètres granulométriques et largeur de lit représentatifs du torrent du Manival (Isère).

Les résultats montrent en premier lieu une très grande variabilité des débits solides calculés, augmentant avec la pente, et expliquant la difficulté pour les praticiens d'effectuer un choix sur les formules de transport solide à utiliser. On observe par ailleurs que, pour des taux de transport $τ_{84}^*/τ_{c84}^*$ compris entre 0,85 et 2,9 :

* les formules de Rickenmann (1990), Meunier (1989) et Lefort-Sogreah (1991) donnent des débits solides beaucoup plus élevés que l'ensemble des autres formules ;

* la formule de Rickenmann (1991) donne des résultats moyens vis à vis de l'ensemble des autres formules ;

* les formules de Lefort (2015) et Piton et Recking (2017) sont particulièrement sensibles aux valeurs de débit liquide (la 2ème formule étant plus sensible que la 1ère) : pour des débits liquides faibles, ces deux formules donnent des débits solides inférieurs à ceux obtenus avec la formule de Rickenmann (1991) ; pour des débits liquides élevés, les valeurs se rapprochent, sans les dépasser, des formules de Meunier (1989) et Lefort-Sogreah (1991) ;

* la formule de Recking (2013) donne des débits solides très faibles (cf. analyse critique au paragraphe suivant, p. 110).

<figure><img src="image_87.png" /><figcaption>Figure 57 : Illustration de calculs de débits solides avec des paramètres granulométriques représentatifs du torrent du Manival (Isère) et pour des débits liquides de 3, 7, 11, et 21 m³/s</figcaption></figure>
La comparaison de formules de transport solide sur des gammes de débit liquide et de pente représentative du site étudié permet de dégager les ordres de grandeur de variation plausibles du débit solide et de caractériser les tendances d'ensemble données par les formules.

Sur l'exemple du Manival, l'application des trois formules de Rickenmann (1990), Meunier (1989) et Lefort-Sogreah (1991) fournissent des estimations de débits solides élevées allant dans le sens de la sécurité. A contrario, la formule de Recking (2013) donne les débits solides les plus faibles pour toutes les configurations testées. Les formules de Lefort (2015) et Piton et Recking (2017) traduisent quant à elles une forte sensibilité aux valeurs de débits liquides, cohérente avec les observations réalisées par Recking (cf. paragraphe suivant).

A notre connaissance, il n'existe pas d'approche simple ou d'étude existante qui permette d'établir, a priori aux calculs, quelle formule retenir pour la détermination du débit solide dans les cours d'eau torrentiel en crue.

## Analyse critique de la formule de Recking (2013)

Comme indiqué précédemment, la formule de Recking (2013) a un comportement atypique en donnant des débits solides très faibles en comparaison aux résultats obtenus par les autres formules. Dans sa construction, cette formule consiste dans le raccordement de 2 lois dissociées (cf. Figure 58) : la première est fortement liée aux données de terrain (faibles pentes et faibles taux de transport) ; la seconde a été établie à partir de données de laboratoire (comportement asymptotique pour des taux de transport élevés). Entre ces deux lois, il a été choisi d'établir une zone de raccordement progressive.

<figure><img src="image_91.png" /><figcaption>**Figure 58 :** Formule de transport solide de Recking (2013) consistant en l'approximation de 2 lois dissociées.
Source : Recking, 2013</figcaption></figure>

Pour une utilisation en torrent et rivière torrentielle, la problématique consiste à déterminer l'appartenance des conditions d'écoulement étudiées au domaine adéquat (domaine des faibles taux de transport - phase 1 ; domaine des forts taux de transport - phase 3). Celle-ci est déterminée par le calcul d'une variable intermédiaire, dénommée Shields de mobilité $\tau_m^*$ [-], qui forme la limite entre les deux domaines.

Pour des nombres de Shields éloignés de cette limite, les débits calculés avec la loi d'ensemble sont proches de ceux obtenus à partir des lois dissociées (Recking, 2013). A proximité de la limite, on se trouve alors dans la zone de raccordement intermédiaire. La présentation de la formule de transport solide en échelle logarithmique donne l'idée d'une convergence rapide entre la loi d'ensemble et la loi asymptotique au-delà de $\tau_m^*$. Le tracé en échelle linéaire montre au contraire que la convergence peut être lente avec des différentiels de débits solides entre la loi d'ensemble et la loi asymptotique pouvant être non négligeables (cf. Figure 60).

Au-delà des différentes modalités de calcul du nombre de Shields $\tau_{84}^*$, on pressent l'importance de la détermination de la position de la limite $\tau_m^*$. Les évolutions de la formule de Recking depuis 2006 portent d'ailleurs notamment sur l'expression de cette limite en fonction de différents contextes géomorphologiques (Recking et al., 2013, Recking et al., 2016). Sur la Figure 59, l'influence de l'expression de $\tau_m^*$ sur le calcul du débit solide est analysée dans le cas du torrent du Manival (Isère, en amont immédiat de la plage de dépôt RTM), pour des débits liquides de période de retour 100 ans et 1000 ans : quatre expressions possibles de $\tau_m^*$ ont été testées. Les observations de terrain réalisées sur ce torrent indiquent que, pour des périodes de retour aussi élevées, le transport solide devrait être très intense. On devrait donc se retrouver, suivant le concept introduit par Recking (2006), en phase 3 de charriage (ou en fin de phase 2), caractérisée par des taux de transport $\tau_{84}^*/\tau_{c84} \ge 2$. Le débit solide devrait donc plutôt être calculé avec la loi asymptomatique établie à partir des données de laboratoire. Selon la Figure 59, seule la formule simplifiée donnée par Recking et al. (2013) en
La comparaison de formules de transport solide sur des gammes de débit liquide et de pente représentative du site étudié permet de dégager les ordres de grandeur de variation plausibles du débit solide et de caractériser les tendances d'ensemble données par les formules.

Sur l'exemple du Manival, l'application des trois formules de Rickenmann (1990), Meunier (1989) et Lefort-Sogreah (1991) fournissent des estimations de débits solides élevées allant dans le sens de la sécurité. A contrario, la formule de Recking (2013) donne les débits solides les plus faibles pour toutes les configurations testées. Les formules de Lefort (2015) et Piton et Recking (2017) traduisent quant à elles une forte sensibilité aux valeurs de débits liquides, cohérente avec les observations réalisées par Recking (cf. paragraphe suivant).

A notre connaissance, il n'existe pas d'approche simple ou d'étude existante qui permette d'établir, a priori aux calculs, quelle formule retenir pour la détermination du débit solide dans les cours d'eau torrentiel en crue.

## Analyse critique de la formule de Recking (2013)

Comme indiqué précédemment, la formule de Recking (2013) a un comportement atypique en donnant des débits solides très faibles en comparaison aux résultats obtenus par les autres formules. Dans sa construction, cette formule consiste dans le raccordement de 2 lois dissociées (cf. Figure 58) : la première est fortement liée aux données de terrain (faibles pentes et faibles taux de transport) ; la seconde a été établie à partir de données de laboratoire (comportement asymptotique pour des taux de transport élevés). Entre ces deux lois, il a été choisi d'établir une zone de raccordement progressive.

<figure><img src="image_88.png" /><figcaption>**Figure 58 :** Formule de transport solide de Recking (2013) consistant en l'approximation de 2 lois dissociées.
Source : Recking, 2013</figcaption></figure>

Pour une utilisation en torrent et rivière torrentielle, la problématique consiste à déterminer l'appartenance des conditions d'écoulement étudiées au domaine adéquat (domaine des faibles taux de transport - phase 1 ; domaine des forts taux de transport - phase 3). Celle-ci est déterminée par le calcul d'une variable intermédiaire, dénommée Shields de mobilité $\tau_m^*$ [-], qui forme la limite entre les deux domaines.

Pour des nombres de Shields éloignés de cette limite, les débits calculés avec la loi d'ensemble sont proches de ceux obtenus à partir des lois dissociées (Recking, 2013). A proximité de la limite, on se trouve alors dans la zone de raccordement intermédiaire. La présentation de la formule de transport solide en échelle logarithmique donne l'idée d'une convergence rapide entre la loi d'ensemble et la loi asymptotique au-delà de $\tau_m^*$. Le tracé en échelle linéaire montre au contraire que la convergence peut être lente avec des différentiels de débits solides entre la loi d'ensemble et la loi asymptotique pouvant être non négligeables (cf. Figure 60).

Au-delà des différentes modalités de calcul du nombre de Shields $\tau_{84}^*$, on pressent l'importance de la détermination de la position de la limite $\tau_m^*$. Les évolutions de la formule de Recking depuis 2006 portent d'ailleurs notamment sur l'expression de cette limite en fonction de différents contextes géomorphologiques (Recking et al., 2013, Recking et al., 2016). Sur la Figure 59, l'influence de l'expression de $\tau_m^*$ sur le calcul du débit solide est analysée dans le cas du torrent du Manival (Isère, en amont immédiat de la plage de dépôt RTM), pour des débits liquides de période de retour 100 ans et 1000 ans : quatre expressions possibles de $\tau_m^*$ ont été testées. Les observations de terrain réalisées sur ce torrent indiquent que, pour des périodes de retour aussi élevées, le transport solide devrait être très intense. On devrait donc se retrouver, suivant le concept introduit par Recking (2006), en phase 3 de charriage (ou en fin de phase 2), caractérisée par des taux de transport $\tau_{84}^*/\tau_{c84} \ge 2$. Le débit solide devrait donc plutôt être calculé avec la loi asymptomatique établie à partir des données de laboratoire. Selon la Figure 59, seule la formule simplifiée donnée par Recking et al. (2013) en
cas de non-limitation de la fourniture sédimentaire permet de retrouver des taux de transport supérieurs à $\tau_m^*$ avec, par conséquent, des débits solides calculés avec la loi d'ensemble proches de ceux obtenus avec la loi dissociée asymptomatique. A noter que, si les tests sont renouvelés avec une granulométrie et une pente différentes, l'expression de $\tau_m^*$ maximisant les débits solides n'est pas nécessairement identique...

La Figure 60 montre les résultats obtenus avec les données du Manival en appliquant Piton et Recking (2017). Les débits solides calculés sur la base de cette adaptation sont nettement supérieurs à ceux calculés avec la formule de Recking (2013). On constate une fois de plus que l'utilisation de la loi d'ensemble conduit à des débits calculés plus faibles que ceux qui auraient été directement obtenus à partir de la loi dissociée asymptomatique, établie sur les données de laboratoire. On a pris ici en compte l'expression originale de $\tau_m^*$ proposée par Piton et Recking (2017) qui ne dépend que de la pente. Cette expression a été utilisée suite aux travaux menés par Recking et al. (2016) ayant montré son adaptation dans le cas de lits étroits et plans. L'augmentation très significative des résultats par rapport à la version de 2013 s'explique par les facteurs suivants :

* le rayon hydraulique est calculé en prenant en compte le $D_{84bs}$ du lit, i.e. le $D_{84}$ représentatif des macro-rugosités influençant l'hydraulique. Dans un concept où l'on individualise la granulométrie des sédiments transportés et des sédiments « fixes » du lit, le diamètre pris en compte ici devrait être supérieur (ou à minima égal) à celui que l'on aurait utilisé en prenant en compte une granulométrie d'ensemble ;

* le nombre de Shields ($\tau^* = RJ/1,65 \cdot D_{84tb}$) est évalué avec le rayon hydraulique précédemment calculé et le $D_{84}$ représentatif des grains transportés par l'écoulement. Ce dernier terme étant au dénominateur, la prise en compte d'un diamètre de grains plus petit par rapport à celui qui aurait été utilisé avec une granulométrie d'ensemble, concourt également au calcul de Shields supérieurs.

L'analyse détaillée de la formule de Recking (2013) montre que les résultats sont fortement dépendants de l'expression retenue pour établir $\tau_m^*$ parmi les différentes à disposition (Recking 2010, 2013, 2013b, 2016 ; Piton et Recking, 2017). L'analyse sur un cas d'étude (crues centennales et millénales sur le torrent du Manival (Isère)) montre que les résultats obtenus par les formules de Recking (2010, 2013, 2013b, 2016) ne sont pas cohérents (faible taux de transport) avec les observations de terrain (transport très intense). Par contre, l'application de la formule de Piton et Recking (2017) à ce même cas d'étude permet d'augmenter (et donc d'améliorer) significativement les résultats.

Ceci nous amène à ne pas conseiller la formule de Recking (2013) pour une utilisation en torrent ou rivière torrentielle en crue. On lui préfèrera l'adaptation récente de Piton et Recking (2017) qui introduit le concept de « travelling bedload », correspondant à l'analyse du découplage entre la granulométrie du lit et la granulométrie des matériaux effectivement transportés.
cas de non-limitation de la fourniture sédimentaire permet de retrouver des taux de transport supérieurs à $\tau_m^*$ avec, par conséquent, des débits solides calculés avec la loi d'ensemble proches de ceux obtenus avec la loi dissociée asymptomatique. A noter que, si les tests sont renouvelés avec une granulométrie et une pente différentes, l'expression de $\tau_m^*$ maximisant les débits solides n'est pas nécessairement identique...

La Figure 60 montre les résultats obtenus avec les données du Manival en appliquant Piton et Recking (2017). Les débits solides calculés sur la base de cette adaptation sont nettement supérieurs à ceux calculés avec la formule de Recking (2013). On constate une fois de plus que l'utilisation de la loi d'ensemble conduit à des débits calculés plus faibles que ceux qui auraient été directement obtenus à partir de la loi dissociée asymptomatique, établie sur les données de laboratoire. On a pris ici en compte l'expression originale de $\tau_m^*$ proposée par Piton et Recking (2017) qui ne dépend que de la pente. Cette expression a été utilisée suite aux travaux menés par Recking et al. (2016) ayant montré son adaptation dans le cas de lits étroits et plans. L'augmentation très significative des résultats par rapport à la version de 2013 s'explique par les facteurs suivants :

* le rayon hydraulique est calculé en prenant en compte le $D_{84bs}$ du lit, i.e. le $D_{84}$ représentatif des macro-rugosités influençant l'hydraulique. Dans un concept où l'on individualise la granulométrie des sédiments transportés et des sédiments « fixes » du lit, le diamètre pris en compte ici devrait être supérieur (ou à minima égal) à celui que l'on aurait utilisé en prenant en compte une granulométrie d'ensemble ;

* le nombre de Shields ($\tau^* = RJ/1,65 \cdot D_{84tb}$) est évalué avec le rayon hydraulique précédemment calculé et le $D_{84}$ représentatif des grains transportés par l'écoulement. Ce dernier terme étant au dénominateur, la prise en compte d'un diamètre de grains plus petit par rapport à celui qui aurait été utilisé avec une granulométrie d'ensemble, concourt également au calcul de Shields supérieurs.

L'analyse détaillée de la formule de Recking (2013) montre que les résultats sont fortement dépendants de l'expression retenue pour établir $\tau_m^*$ parmi les différentes à disposition (Recking 2010, 2013, 2013b, 2016 ; Piton et Recking, 2017). L'analyse sur un cas d'étude (crues centennales et millénales sur le torrent du Manival (Isère)) montre que les résultats obtenus par les formules de Recking (2010, 2013, 2013b, 2016) ne sont pas cohérents (faible taux de transport) avec les observations de terrain (transport très intense). Par contre, l'application de la formule de Piton et Recking (2017) à ce même cas d'étude permet d'augmenter (et donc d'améliorer) significativement les résultats.

Ceci nous amène à ne pas conseiller la formule de Recking (2013) pour une utilisation en torrent ou rivière torrentielle en crue. On lui préfèrera l'adaptation récente de Piton et Recking (2017) qui introduit le concept de « travelling bedload », correspondant à l'analyse du découplage entre la granulométrie du lit et la granulométrie des matériaux effectivement transportés.
<figure><img src="image_92.png" /></figure>

Chaque figure correspond à une expression possible différente de $\tau_m^*$.
En haut à gauche : expression donnée dans Recking et al., 2010.
En haut à droite : expression pour lits plats et étroits donnée dans Recking et al., 2016. En bas à droite : expression générale donnée dans Recking et al. 2013 et Recking 2013. En bas à droite : simplification en cas de forte disponibilité sédimentaire Recking et al, 2013.
Les points noirs correspondent aux calculs effectués sur le torrent du Manival avec les données suivantes issues de l'étude de bassin de risques RTM : $I = 0,11 \text{ m/m}$ ; $D_{84}=0,13 \text{ m}$ ; $D_{50}=0,055 \text{ m}$ ; $Q_{100} = 11 \text{ m}^3\text{/s}$ ; $Q_{1000}=21 \text{ m}^3\text{/s}$ (estimation SHYREG INRAE).

<figure><img src="image_93.png" /><figcaption>**Figure 59 :** Illustration de l'importance de la détermination du Shields limite $\tau_m^*$ pour le calcul des débit solides avec la formule de Recking (2013)</figcaption></figure>

Les points noirs correspondent aux calculs effectués sur le torrent du Manival avec les données suivantes issues de l'étude de bassin de risques RTM : $I = 0,11 \text{ m/m}$ ; $D_{84}=0,13 \text{ m}$ ; $D_{50}=0,055 \text{ m}$ ; $Q_{100} = 11 \text{ m}^3\text{/s}$ ; $Q_{1000}=21 \text{ m}^3\text{/s}$ (estimation SHYREG INRAE).

<caption>**Figure 60 :** Illustration de l'importance de la détermination du Shields limite $\tau_m^*$ pour le calcul des débit solides avec la formule de Piton et Recking (2017)</caption>
<figure><img src="image_89.png" /></figure>

Chaque figure correspond à une expression possible différente de $\tau_m^*$.
En haut à gauche : expression donnée dans Recking et al., 2010.
En haut à droite : expression pour lits plats et étroits donnée dans Recking et al., 2016. En bas à droite : expression générale donnée dans Recking et al. 2013 et Recking 2013. En bas à droite : simplification en cas de forte disponibilité sédimentaire Recking et al, 2013.
Les points noirs correspondent aux calculs effectués sur le torrent du Manival avec les données suivantes issues de l'étude de bassin de risques RTM : $I = 0,11 \text{ m/m}$ ; $D_{84}=0,13 \text{ m}$ ; $D_{50}=0,055 \text{ m}$ ; $Q_{100} = 11 \text{ m}^3\text{/s}$ ; $Q_{1000}=21 \text{ m}^3\text{/s}$ (estimation SHYREG INRAE).

<figure><img src="image_90.png" /><figcaption>**Figure 59 :** Illustration de l'importance de la détermination du Shields limite $\tau_m^*$ pour le calcul des débit solides avec la formule de Recking (2013)</figcaption></figure>

Les points noirs correspondent aux calculs effectués sur le torrent du Manival avec les données suivantes issues de l'étude de bassin de risques RTM : $I = 0,11 \text{ m/m}$ ; $D_{84}=0,13 \text{ m}$ ; $D_{50}=0,055 \text{ m}$ ; $Q_{100} = 11 \text{ m}^3\text{/s}$ ; $Q_{1000}=21 \text{ m}^3\text{/s}$ (estimation SHYREG INRAE).

<caption>**Figure 60 :** Illustration de l'importance de la détermination du Shields limite $\tau_m^*$ pour le calcul des débit solides avec la formule de Piton et Recking (2017)</caption>
# ANNEXE 3

## INTERET DE CORRIGER LA VALEUR DE LA LIGNE D'ENERGIE CONSIDEREE POUR LE CALCUL DES DEBITS SOLIDES - SYNTHESE ETUDE NITSCHET ET AL. (2011)

Pour ce travail (Figure 61), la formule de Rickenmann (2001, simplification de celle de 1991) et celle de Parker (1990) ont été prises en compte. De multiples méthodes de correction ont été testées. La métrique de comparaison est le ratio entre volume de sédiments calculé et volume de sédiments mesuré. Les volumes de sédiments correspondent ici à des volumes piégés dans des plages de dépôt. Les auteurs ont constitué plusieurs groupes de bassins versants :

(a) selon la taille des blocs en concentration dans le lit (niveau < 0,1);

(b) selon les caractéristiques des lits en step pools;

(c) selon le type de données:

* de long terme sur plusieurs années avec jaugeage des débits liquides et mesure des volumes piégés dans les plages de dépôt;

* évènementielles correspondant à des crues exceptionnelles : pour ce groupe, les hydrogrammes ont été reconstitués avec des modélisations pluie-débit.

Les résultats illustrent les bonnes performances de la méthode correction, notamment celle de Rickenmann et Recking (2011), appliquées à la formule de Rickenmann (2001) pour des données de long terme comme pour des données évènementielles.

<figure><img src="image_94.png" /><figcaption>Figure 61 : Ratios de volumes calculés sur volumes mesurés. Chaque graphe illustre la performance d'un couple formule de transport solide – méthode correction. Source : Nitsche et al., 2011</figcaption></figure>

Ex : RI-no = formule de Rickenmann (2001), sans correction.

- Formules de transport solide - RI : formule de Rickenmann (2001) ; P : formule de Parker (1990)

- Méthode de correction de la ligne d'énergie - No : pas de correction ; PC : correction avec méthode Pagliara et Chiavaccini (2006) ; W : méthode de correction de Whitaker (1988) ; Y : méthode de correction de Yager (2007) ; EA : méthode de correction de Egashira et Ashida (1991) ; RR : méthode de correction de Rickenmann et Recking (2011)

- Type de lits - Γhi : lits avec concentration en blocs > 0,1 ; Γlo : lits avec concentration en blocs < 0,1 ; H/L hi ou lo : paramètres de hauteur et longueur décrivant les lits de type step-pools
# ANNEXE 3

## INTERET DE CORRIGER LA VALEUR DE LA LIGNE D'ENERGIE CONSIDEREE POUR LE CALCUL DES DEBITS SOLIDES - SYNTHESE ETUDE NITSCH ET AL. (2011)

Pour ce travail (Figure 61), la formule de Rickenmann (2001, simplification de celle de 1991) et celle de Parker (1990) ont été prises en compte. De multiples méthodes de correction ont été testées. La métrique de comparaison est le ratio entre volume de sédiments calculé et volume de sédiments mesuré. Les volumes de sédiments correspondent ici à des volumes piégés dans des plages de dépôt. Les auteurs ont constitué plusieurs groupes de bassins versants :

(a) selon la taille des blocs en concentration dans le lit (niveau < 0,1);

(b) selon les caractéristiques des lits en step pools;

(c) selon le type de données:

* de long terme sur plusieurs années avec jaugeage des débits liquides et mesure des volumes piégés dans les plages de dépôt;

* évènementielles correspondant à des crues exceptionnelles : pour ce groupe, les hydrogrammes ont été reconstituer avec des modélisations pluie-débit.

Les résultats illustrent les bonnes performances de la méthode correction, notamment celle de Rickenmann et Recking (2011), appliquées à la formule de Rickenmann (2001) pour des données de long terme comme pour des données évènementielles.

<figure><img src="image_91.png" /><figcaption>Figure 61 : Ratios de volumes calculés sur volumes mesurés. Chaque graphe illustre la performance d'un couple formule de transport solide – méthode correction. Source : Nitsche et al., 2011</figcaption></figure>

Ex : RI-no = formule de Rickenmann (2001), sans correction.

- Formules de transport solide - RI : formule de Rickenmann (2001) ; P : formule de Parker (1990)

- Méthode de correction de la ligne d'énergie - No : pas de correction ; PC : correction avec méthode Pagliara et Chiavaccini (2006) ; W : méthode de correction de Whitaker (1988) ; Y : méthode de correction de Yager (2007) ; EA : méthode de correction de Egashira et Ashida (1991) ; RR : méthode de correction de Rickenmann et Recking (2011)

- Type de lits - Γhi : lits avec concentration en blocs > 0,1 ; Γlo : lits avec concentration en blocs < 0,1 ; H/L hi ou lo : paramètres de hauteur et longueur décrivant les lits de type step-pools