# Optimisation de modèles de circuit équivalent pour des métasurfaces à motifs métalliques

Ilyes Moufid, Paula Aguilera, Justine Labat

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Ilyes Moufid, Paula Aguilera, Justine Labat. Optimisation de modèles de circuit équivalent pour des métasurfaces à motifs métalliques. Journées de Caractérisation Microondes et Matériaux, Mar 2025, Saint-Etienne, France. hal-05135407

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# Optimisation de modèles de circuit équivalent pour des métasurfaces à motifs métalliques

Ilyes Moufid¹, Paula Aguilera¹ et Justine Labat¹

¹CEA Cesta, 15 avenue des sablières, Le Barp, France
ilyes.moufid@cea.fr

**Résumé**— Dans un objectif de conception de revêtements absorbants pour la furtivité radar, nous nous intéressons à la caractérisation numérique de métasurfaces, constituées de matériaux plans homogènes comportant des inclusions périodiques métalliques planaires. Leur modélisation est faite analytiquement par un circuit équivalent sous l'hypothèse d'une illumination à une longueur d'onde très grande par rapport à la taille caractéristique des motifs. Ce papier présente une étude numérique de la validité des modèles circuits en fonction de la géométrie des motifs, suivie d'une optimisation de cette dernière se basant sur le domaine de validité obtenu.

**Mots clés**— Métasurfaces absorbantes, surface à motifs périodiques, circuit équivalent, optimisation.

## I- INTRODUCTION

Dans le cadre d'une recherche visant à diminuer la signature d'un objet, l'une des approches utilisées consiste à le munir d'un revêtement absorbant réduisant la réflexion spéculaire. Selon la problématique, le choix du revêtement est contraint par la bande fréquentielle sur laquelle l'absorption est souhaitée, par son poids et son épaisseur, généralement voulus faibles par rapport à l'objet initial. Ces contraintes conduisent à la conception de revêtements communément appelés métasurfaces, et à leur optimisation en fonction des propriétés absorbantes ciblées.

Dans la littérature, il est possible de trouver des matériaux homogènes classiques à propriétés électromagnétiques absorbantes. Ces dernières peuvent se révéler insuffisantes selon les applications. Pour modifier les propriétés de ces matériaux, il est possible d'y ajouter des inclusions en surface ou à l'intérieur, de façon périodique afin de garder des propriétés macroscopiques homogènes au sein de la métasurface résultante. Le critère d'homogénéité permet une modélisation de la métasurface par une impédance de surface $Z_s$, directement reliée au coefficient de réflexion $R$, et donc à la surface équivalente radar.

Nous nous intéressons dans toute la suite à des inclusions périodiques de motifs métalliques, pour lesquelles il existe des modèles de circuit équivalent (ECM) [1]. Ces derniers sont parfois insuffisamment précis, ou construits en fonction de la phénoménologie de la surface à motif, et donc a posteriori de simulations numériques ou de résultats expérimentaux. Une optimisation se basant sur un modèle obtenu a posteriori peut être coûteuse et inhérente à la géométrie des motifs étudiée [2].

Nous souhaitons pallier ce problème en proposant une démarche d'optimisation des métasurfaces a priori, en se

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIG. 1. Configuration de lamelles parallèles d'épaisseur nulle et de longueur infinie selon $y$.</figcaption></figure>

basant sur des ECM uniquement définis par des propriétés géométriques respectant un certain niveau de fidélité. Pour cela, nous commençons par introduire la modélisation par circuit équivalent de motifs métalliques sans, puis avec substrat en Section II-, à travers deux exemples de géométrie classique de la littérature. Une étude numérique du domaine de validité des ECM est ensuite effectuée en Section III-1. Les résultats obtenus dans la section précédente sont utilisés pour effectuer une optimisation de métasurfaces construites à partir d'un matériau ferromagnétique et d'anneaux métalliques carrés en Section III-2. Une conclusion est présentée dans la dernière Section IV-.

## II- MODÈLE DE CIRCUIT ÉQUIVALENT

L'origine des modèles circuits provient de l'étude théorique d'un réseau de lamelles infinies parallèles d'épaisseur nulle et périodiquement espacées [3], comme présenté en Figure 1. Il est possible d'obtenir une modélisation par impédance de cette configuration sous la condition

$$ \lambda \gg p \gg l, \qquad (1) $$

où $\lambda$ est la longueur d'onde incidente, $p$ est la largeur associée à la périodicité du réseau de lamelles et $l$ est une longueur caractéristique des phénomènes physiques mis en jeu. Cette dernière représente la largeur des lamelles $w$ ou l'espacement $g$ entre les lamelles selon que le champ électrique incident $E_{inc}$ soit parallèle ou perpendiculaire aux lamelles, respectivement. De plus, l'impédance de surface du réseau de lamelles dépend de l'angle d'incidence $\theta$ et de la polarisation de l'onde incidente. Ainsi pour la polarisation transverse électrique, l'impédance du réseau de lamelles est

$$ X_{TE}(p, w, \lambda, \theta) = \omega L = \cos(\theta) F(p, w, \lambda, \theta), \quad (2a) $$

$$ B_{TE}(p, g, \lambda, \theta) = \omega C = 4 F(p, g, \lambda, \theta) / \cos(\theta), \quad (2b) $$

où $\omega$ est la fréquence angulaire, $X_{TE}$ la réactance, $L$ l'inductance du circuit associé, $B_{TE}$ la susceptance, $C$ la capacité du circuit associé et

$$ F(p, l, \lambda, \theta) := \frac{p}{\lambda} \left[ \log \left( \frac{1}{\sin \frac{\pi l}{2p}} \right) + G(p, l, \lambda, \theta) \right], \quad (3) $$
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIG. 2. Similarité entre un réseau périodique de lamelles infinies et un réseau de carrés pleins pour un champ E<sub>inc</sub> selon x.</figcaption></figure>

avec G un terme correctif [4] qui est généralement faible devant le terme principal en logarithme [5]. Il est à noter que les travaux présentés dans cet article sont uniquement réalisés en incidence normale (θ = 0), donc nous omettrons les dépendances angulaires et la polarisation dans la suite, par souci de clarté.

1- Modélisation circuit de motifs métalliques périodiques

En se basant sur la configuration initiale, il est possible d'obtenir des modèles approchés de géométries similaires ayant, par exemple, certaines symétries ou davantage de degrés de liberté.

Un exemple classique de surface à motifs utilisée dans la littérature est celle constituée de carrés métalliques pleins, comme présenté dans la Figure 2b. Un tel réseau de motifs génère une réponse électromagnétique similaire à celle d'un réseau de lamelles infinies lorsque le champ électrique incident est perpendiculaire aux bords des lamelles (E<sub>inc</sub> perpendiculaire à y dans la Figure 2a), à la différence près que le réseau de carrés présente des discontinuités où le champ électrique ne peut s'installer et contribuer aux effets capacitifs. Ces derniers sont notamment prépondérants par rapport aux effets inductifs, qui sont par conséquent négligés [6]. De tout cela découle le circuit équivalent d'un réseau périodique de carrés pleins métalliques dans l'air :

$$Z_c (p, g, \lambda) = \frac{1}{j \frac{d}{p} \varepsilon_{\text{eff}} B (p, g, \lambda)}, \quad (4)$$

où le coefficient $d/p$ représente la portion de la cellule périodique sur laquelle se produisent les effets capacitifs, et $\varepsilon_{\text{eff}}$ est associé à la permittivité effective du milieu environnant les motifs. Dans cette section, les motifs étant placés dans l'air, $\varepsilon_{\text{eff}} = 1$. Les symétries des motifs carrés permettent en outre d'avoir le même comportement électromagnétique que E<sub>inc</sub> soit selon x ou selon y.

Il est possible d'utiliser la même démarche pour construire un ECM d'un réseau d'anneaux carrés métalliques, illustré dans la Figure 3a. Ce réseau se comporte comme la superposition de deux réseaux de lamelles parallèles fendues et perpendiculaires l'un à l'autre (cf. Fi-

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIG. 3. Similarité entre un réseau périodique d'anneaux carrés et un réseau périodique de lamelles fendues parallèles.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIG. 4. Modélisations d'un réseau d'anneaux carrés métalliques par circuit équivalent.</figcaption></figure>

gure 3b), générant des effets capacitifs et inductifs. Que le champ E<sub>inc</sub> soit selon x ou y, l'impédance proposée dans la littérature [2, 5, 7] de cette surface à motifs est

$$Z_{LC} (p, g, w, \lambda) = j \frac{d}{p} X (p, w, \lambda) + \frac{1}{j \frac{d}{p} \varepsilon_{\text{eff}} B (p, g, \lambda)}$$

avec X et 1/B associés, respectivement, aux effets inductifs (L<sub>a</sub>) le long des lamelles dans la direction du champ E<sub>inc</sub> et aux effets capacitifs (C<sub>ext</sub>) entre anneaux. Ce modèle circuit LC, représenté en Figure 4a, donne de très bonnes prédictions [5], malgré le fait qu'il néglige les effets capacitifs pouvant se produire au sein de chaque anneau. Pour prendre en compte ces effets internes aux anneaux, nous proposons d'enrichir ce modèle par l'ajout d'une capacité en parallèle de la première, comme présenté en Figure 4b. L'impédance associée au nouveau circuit LCC est

$$Z_{LCC} (p, g, w, \lambda) = j \frac{d}{p} X (p, w, \lambda) + \frac{1}{j \varepsilon_{\text{eff}} \frac{d}{p} B (p, g, \lambda) + \frac{d-2w}{p} B (p, d-2w, \lambda)}, \quad (6)$$

où les effets capacitifs à l'intérieur des anneaux (C<sub>int</sub>) sont pris en compte dans le dernier terme de Z<sub>LCC</sub>.

2- Modélisation d'une métasurface à motifs

Les modèles circuits présentés dans la Section II-1- sont obtenus pour des motifs placés dans l'air, c'est-à-dire dans un milieu de permittivité relative $\varepsilon_a \approx 1$ et de perméabilité relative $\mu_a \approx 1$. Dès lors que les motifs sont en interaction avec un milieu différent de l'air, l'impédance des ECM peut différer. Nous nous intéressons ici à deux cas de figure représentés dans la Figure 5.

- Cas "on" : les motifs métalliques sont placés sur un matériau de permittivité relative $\varepsilon_r$ et de perméabilité relative $\mu_r$. Dans ce cas, les parties capacitives se trouvent être modifiées par un facteur $\varepsilon_{\text{eff}}$ communément pris égal à la moyenne des permittivités :

$$\varepsilon_{\text{eff}} = (\varepsilon_a + \varepsilon_r) / 2. \quad (7)$$

Il existe néanmoins des corrections plus précises données dans la littérature, restreintes à des géométries de motifs spécifiques [2, 8].

- Cas "in" : les motifs métalliques sont placés dans un matériau, mis à mi-hauteur dans cette étude. Si les phénomènes capacitifs n'interagissent pas avec l'extérieur du matériau, il suffit de prendre $\varepsilon_{\text{eff}} = \varepsilon_r$. Dans le cas où les motifs sont proches des bords du matériau les contenant, une correction doit être faite sur la permittivité $\varepsilon_{\text{eff}}$.

Dans les deux cas de figure, on et in, nous supposons avoir un matériau absorbant sur une référence métallique. De ce fait, l'impédance de la métasurface (substrat + motifs
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIG. 5. Réseau d'anneaux métalliques (gris) sur ou dans un matériau absorbant (orange) placé sur une référence métallique (noir).</figcaption></figure>

métalliques) s'obtient par l'ajout d'une ligne de transmission d'impédance

$$Z_{\text{mat}}(z) = \sqrt{\frac{\mu_r}{\epsilon_r}} \frac{Z_0 + j\sqrt{\frac{\mu_r}{\epsilon_r}} \tan(z\omega\sqrt{\epsilon_r\mu_r}/c_0)}{\sqrt{\frac{\mu_r}{\epsilon_r}} + jZ_0 \tan(z\omega\sqrt{\epsilon_r\mu_r}/c_0)}, \quad (8)$$

(ou de deux dans le cas in) pour prendre en compte la propagation des ondes électromagnétiques dans le matériau d'épaisseur notée h, avec c₀ la vitesse de la lumière dans le vide. L'impédance totale de la métasurface dans la configuration on est :

$$Z_{\text{tot}} = \frac{Z_{\text{mot}} Z_{\text{mat}}}{Z_{\text{mot}} + Z_{\text{mat}}}, \quad (9)$$

où Z$_{mot}$ est associée à l'impédance de la surface à motifs (e.g. équations (4)-(6)), et Z$_{mat}$ est calculée à z = h, avec Z$_{0}$ = 0. Dans la configuration in, il faut tout d'abord calculer une impédance intermédiaire Z$_{int}$ en utilisant l'équation (9) avec (8) à z = h/2 et Z$_{0}$ = 0, puis utiliser à nouveau l'équation (8) avec Z$_{0}$ = Z$_{int}$.

### III- ÉTUDES NUMÉRIQUES

L'objectif premier est de déterminer les limitations des circuits équivalents pour un ensemble de géométries classiques. Cela permettra d'obtenir un domaine de validité des ECM sur lequel s'appuyer lors de l'optimisation sans avoir à appliquer de correctifs a posteriori. La démarche se veut être générale, afin qu'elle soit applicable à de nouveaux motifs.

#### 1- Domaine de validité des ECM

Les modèles circuits sont obtenus analytiquement à partir de la condition (1). Ici nous souhaitons quantifier plus précisément des limites acceptables pour les valeurs de p et l. Pour ce faire, nous avons utilisé un code de simulation 3D volumique périodique résolvant les équations de Maxwell en régime fréquentiel [9]. Ceci nous a permis de modéliser numériquement la réponse en incidence normale d'un réseau de lamelles infinies périodiquement espacées et de comparer les résultats numériques avec les ECM dans les configurations capacitives et inductives pour des fréquences de l'ordre du GHz. La Figure 6 présente l'erreur relative entre le coefficient de réflexion R$_{ecm}$ du circuit équivalent et le coefficient de réflexion R$_{num}$ obtenu numériquement dans les configurations inductive et capacitive.

Le résultat principal découlant de ces comparaisons est la mise en évidence d'une erreur provenant majoritairement de la modélisation des effets capacitifs, et plus précisément lorsque la largeur w des lamelles est trop faible. En configuration inductive, l'erreur de modélisation est quant à elle bien inférieure, en dessous des -30 dB, avec une diminution nette de l'erreur pour de petites valeurs de g.

Afin de mettre en évidence ces résultats, nous avons modélisé deux surfaces à anneaux métalliques carrés de période p = 3 cm et d'espacement g = 3,187 mm entre anneaux. Ces derniers ont une largeur de w = 0,5 mm dans

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>(a) Configuration inductive (E$_{inc}$ || e$_{y}$).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>(b) Configuration capacitive (E$_{inc}$ || e$_{x}$).</figcaption></figure>

<caption>FIG. 6. Erreur de la modélisation circuit à 3 GHz d'un réseau périodique de lamelles parallèles.</caption>

un cas, et dans l'autre, une largeur de w = 2,5 mm. Les coefficients de transmission calculés à partir des modèles circuits associés et des résultats numériques pour ces deux configurations sont présentés dans la Figure 7. Pour des anneaux fins, w/λ$_{3}$$_{GHz}$ ≈ 0,005, la prédiction de la fréquence de résonance est erronée d'environ 300 MHz, tandis que pour des anneaux plus épais, w/λ$_{3}$$_{GHz}$ ≈ 0,025, la prédiction par modélisation circuit est précise à la dizaine de mégahertz près.

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIG. 7. Comparaison du coefficient de transmission de réseaux périodiques d'anneaux carrés métalliques de largeur différente.</figcaption></figure>

Ces résultats préliminaires obtenus dans le domaine des micro-ondes montrent une meilleure fiabilité des ECM lorsque la zone w des parties métalliques d'où proviennent les effets capacitifs est la plus grande. Ainsi, si une optimisation de la géométrie pour une absorption maximale à une fréquence donnée est possible pour deux valeurs de w, nous nous orienterons vers celle proposant le w le plus grand.

#### 2- Optimisation d'une métasurface à motifs

Partons d'un matériau ferromagnétique homogène de hauteur h = 2,5 mm, placé sur une plaque métallique et de propriétés ε$_{r}$ ∈ [10,22; 10,38] + j [0,13; 0,3] et µ$_{r}$ ∈ [1,29; 2,9] + j [0,6; 1,1] pour des fréquences allant de 1 à 10 GHz. Afin de modifier les propriétés électromagnétiques de ce matériau, qui a naturellement un pic d'absorption aux alentours des 6,3 GHz, nous nous basons sur l'inclusion
d'anneaux métalliques au sein du substrat pour maximiser les performances d'absorption à $f_{obj} = 3,5$ GHz. Nous avons, à première vue, 3 degrés de liberté nous permettant d'optimiser l'absorption : la taille de cellule $p$, la largeur des anneaux $w$ et l'espacement des anneaux $g$.

Tout d'abord, la fréquence $f_{obj}$ est associée à une longueur d'onde de 85,7 mm. Une taille de cellule périodique de l'ordre de $p \approx 10$ mm est donc suffisante pour vérifier l'hypothèse (1) : $\lambda \gg p$. Suite à une étude numérique préliminaire, nous avons constaté une mauvaise modélisation circuit lorsque $p$ est grand devant $h$, erreur que l'on associe à l'interaction des lignes de champ électrique responsable des effets capacitifs avec la référence métallique. Pour éviter cela, sachant qu'il n'est pas aisé de prendre cette contribution en compte dans les ECM [2], nous choisissons de diminuer la zone effective des effets capacitifs en prenant une taille de cellule périodique $p = 3$ mm, de l'ordre de l'épaisseur $h$ du substrat. Nous pouvons ensuite définir la fonction objectif à minimiser

$$F_{\text{obj}}(g, w) = \left\| \frac{Z_{\text{tot}}(g, w) - 1}{Z_{\text{tot}}(g, w) + 1} \right\|_2 \quad (10)$$

où $Z_{tot}$ est l'impédance de la métasurface, donnée par l'équation (9). Minimiser $F_{obj}$ revient donc à minimiser le coefficient de réflexion de la métasurface, défini ici pour une unique fréquence $f_{obj}$.

Nous présentons en Figure 8 les valeurs prises par la fonction $F_{obj}$ pour la configuration on en utilisant les circuits équivalents LC et LCC, et pour la configuration in avec le circuit LCC. Une première observation générale des figures nous permet de voir que le minimum de $F_{obj}$ est principalement guidé par $g$. De plus, placer les motifs sur le matériau absorbant offre de meilleures valeurs d'absorption que lorsqu'ils sont placés au milieu du matériau d'après les Figures 8b et 8c. Enfin, les circuits LC et LCC semblent donner des minima proches, mais avec des différences notables pour $0,25 \text{ mm} \le w \le 1,3 \text{ mm}$ sur les Figures 8a et 8b.

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>FIG. 8. Fonction objectif pour différentes configurations.</figcaption></figure>

Au vu de ces observations, une optimisation à deux variables ($w, g$) peut aboutir à des minima de $F_{obj}$ très proches pour des valeurs de $w$ très différentes. Sachant que les ECM sont plus précis pour de grandes valeurs de $w$, nous choisissons de fixer la largeur des anneaux $w$ à 1 mm pour qu'elle soit suffisamment grande, tout en gardant un espace ment à l'intérieur de l'anneau non nul. Les valeurs de $p$ et $w$ étant fixées, nous pouvons alors obtenir la valeur optimale de $g$ à prendre pour minimiser $F_{obj}$. Les différentes valeurs sont regroupées dans le Tableau 1.

<table><caption>TABLEAU 1. Optimisation de la géométrie des anneaux carrés pour différentes configurations, avec $p = 3$ mm et $w = 1$ mm.</caption><thead><tr><th></th><th>Cas on (LC)</th><th>Cas on (LCC)</th><th>Cas in (LCC)</th></tr></thead><tbody><tr><th>g [mm]</th><td>0,278</td><td>0,347</td><td>0,270</td></tr></tbody></table>

Les trois configurations données dans le Tableau 1 sont ensuite modélisées et simulées pour comparer le coefficient

de réflexion prédit par les modèles circuits avec le coefficient de réflexion obtenu par simulation numérique. Les résultats sont présentés dans la Figure 9. Nous pouvons y observer en trait plein le coefficient de réflexion obtenu numériquement du matériau seul, et des deux métasurfaces chacune associée à une configuration différente (détaillée dans la Section II-2-). Les modélisations circuits sont elles représentées par des traits en pointillé. Le circuit LCC est visiblement très proche des résultats numériques pour les deux configurations, avec une erreur relative moyenne de 18% pour le cas in et de 2% pour le cas on. Il y a, de plus, un écart notable entre le modèle LC et les résultats numériques pour le cas on, avec une erreur de 200 MHz sur la fréquence d'absorption maximale. Ces résultats encouragent donc à enrichir les modèles circuits de tous les phénomènes possiblement mis en jeu, pour améliorer le domaine de fiabilité de la fonction objectif.

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>FIG. 9. Modélisation d'un matériau ferromagnétique (sub) avec inclusion d'anneaux métalliques (mot).</figcaption></figure>

## IV- CONCLUSION

Ces travaux présentent une étude numérique de la précision des ECM pour des géométries classiques, permettant d'orienter ou limiter le domaine où appliquer l'optimisation des paramètres géométriques. En s'appuyant sur ces résultats, nous avons optimisé avec succès une métasurface faite d'un matériau ferromagnétique avec ajout d'anneaux métalliques. Une modélisation circuit LC issue de la littérature a été comparée à une modélisation LCC enrichie proposée dans cet article, aboutissant à de meilleurs résultats pour le circuit LCC plus général. Suite à cela, nous cherchons à étendre l'étude sous incidence oblique, ainsi qu'à étudier la modélisation circuit de géométries donnant davantage de degrés de liberté, comme celle étudiée dans [10].

## RÉFÉRENCES

[1] N. Marcuvitz *Waveguide Handbook* The Institution of Engineering and Technology (1951) ISBN 978-0-86341-058-1.

[2] D. Ferreira, et al. "Square loop and slot frequency selective surfaces study for equivalent circuit model optimization" IEEE Transactions on Antennas and Propagation 63 9 (2015) pp. 3947-3955.

[3] M. J. Archer "Wave reactance of thin planar strip gratings" International Journal of Electronics 58 2 (1985) pp. 187-230.

[4] G. G. Macfarlane "Surface impedance of an infinite parallel-wire grid at oblique angles of incidence" Journal of the Institution of Electrical Engineers - Part IIIA : Radiolocation 93 (1946) pp. 1523-1527.

[5] R. Langley, E. Parker "Equivalent circuit model for arrays of square loops" Electronics Letters 18 (1982) pp. 294-296.

[6] F. Costa, et al. "An overview of equivalent circuit modeling techniques of frequency selective surfaces and metasurfaces" Applied Computational Electromagnetics Society Journal (ACES) 29 12 (2021) p. 960-976.

[7] A. E. Yilmaz, M. Kuzuoglu "Design of the square loop frequency selective surfaces with particle swarm optimization via the equivalent circuit model." Radioengineering 18 2.

[8] F. Costa, et al. "Efficient analysis of frequency-selective surfaces by a simple equivalent-circuit model" IEEE Antennas and Propagation Magazine 54 4 (2012) pp. 35-48.

[9] C. Prigent, et al. "Simulation of granular media by numerical characterization in the microwave range in coaxial line and in free space" IEEE pp. 409-412.

[10] A. Sellier, et al. "Design and model of wideband absorber made of ultrathin metamaterial structures" Applied Physics A 117 2 (2014) pp. 739-746.