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C'est un petit val qui mousse de fonctions

Alexis Marin Bozonat, Greg Mcshane

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Alexis Marin Bozonat, Greg Mcshane. C'est un petit val qui mousse de fonctions. 2025. hal-05248312v2

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Preprint submitted on 2 Oct 2025

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# C'est un petit val qui mousse de fonctions

par Alexis Marin, illustrations de Greg McShane

à Jean Cerf pour son nonante-septième anniversaire.

## Résumé

Aux *f et θ*-fibrés de Marston Morse on substitue ici les *vals de fonctions*, ils se modifient par le «trivial abaissement des minimas», se caractérisent par la méthode du chemin de Moser et souplement décrivent «stabilisation de fonctions» et «réduction au cas des courbes».

Une excursion passant par une «extension canonique de nappe transverse» conduira la lectrice sans technicités de plongement de modèles à leurs sources, les «Lemmes de Morse» : forme canonique, abaissement de valeur critique et élimination de paire de points critiques.

## Abstract

Easy lowering local minima, after introducing *valley functions* on smooth manifolds gives, without gluing technicities, “M. Morse’s lemma’s” : canonical form, moving critical values and eliminating pair of critical points theorems, reducing the last to its one dimensional case.

2020 Mathematics Subject Classification :

Primary: 57R35; Secondary: 57R80, 57-03.

Key Words and Phrases. Morse functions, Morse lemmas, elimination of critical points Aut$^+(F_2)$.

L'introduction en cortège de définitions et énoncés au §1 se complète par la postroduction au §3 de commentaires bibliographiques. Le §2 déduit le lemme d'élimination d'une paire de points critiques en bonne position (le **Corollaire C** en toute fin du §1) des **Corollaires A', B, Lemmes C, D** et leurs compléments.

Ces **Corollaires A', A et B** suivent des Lemmes de même lettre établis, ainsi que leurs compléments, dans les quatre appendices A, B, C, D. correspondants.
§1 Introduction : définitions et fil des énoncés

**Définitions 0** Soit une variété lisse $V$ munie d'une fonction réelle lisse $f : V \to \mathbb{R}$.

i) Un *val* $\mathcal{V}_W$ pour $f$ est un microvoisinage tubulaire métrique<fnref n="1" /> $(\mathcal{V}_W, T, \pi, q)$ $W \subset T \subset \mathcal{V}_W \subset V$, $\pi : \mathcal{V}_W \to W$ microfibré euclidien en boules de métrique $q : \mathcal{V}_W \to \mathbb{R}$ d'une sous variété localement fermée $W \subset V$ au voisinage de qui, pour une famille de difféomorphismes $\eta : W \to \text{Diff}_0(\mathbb{R})$ de $\mathbb{R}$ fixant des voisinages de l'origine, l'application $f$ est $\eta$-translatée de la métrique :

$f|_T - f|_T \circ \pi = (\eta \circ \pi) \cdot q$; pour tout $x \in T$, $f(x) - f(\pi(x)) = \eta(\pi(x))(q(x))$ ainsi $f|_{\partial T}$ se factorise $f|_{\partial T} = h_{f,W} \circ \pi$ par une fonction $h_{f,W} : W \to \mathbb{R}$.

On dira alors que $f$ est *fonction val*, de $i0$) *val* $\mathcal{V}_W$ et :

$$i1) \text{ fond } W, \quad i2) \text{ taille } r_W = r_{f,W}, \quad \text{et} \quad i3) \text{ crête } h_W = h_{f,W}$$

i4) Le *val* $\mathcal{V}_W$ est *constant* près d'un compact $K \subset W$ si son fibré a un choix de microparamétrisations fibrées<fnref n="2" /> $(\phi_j : W_j \times \mathbb{R}^r \to \tilde{\pi}^{-1}(W_j))_{j \in J}$ dont le cocycle dans le groupe orthogonal $g_{i,j} : W_i \cap W_j \to \mathbf{O}$ est constant près des $K \cap W_i \cap W_j$, $i, j \in J$.

**Notations.** — Soit $h, k : X \to \mathbb{R}, Y \subset X$ on note

$h \leq_Y k$ (resp. $h <_Y k$) si pour tout $y \in Y$, $h(y) \leq k(y)$ (resp. $h(y) < k(y)$).

Les ensembles de fonctions lisses sur $V$ et fonctions val de fond $W$ sont notés :

$$\mathfrak{A}(V) = \mathfrak{A} = \{f : V \to \mathbb{R} ; f \text{ lisse}\}$$

$$\mathfrak{B}(V, W) = \mathfrak{B}_W = \{f \in \mathfrak{A} ; f \text{ est fonction val de fond } W\}$$

Sans définir de structure de variété sur $\mathfrak{A}(V)$, $\mathfrak{B}(V, W)$, ..., une application $\phi : \mathcal{D} \to \mathfrak{B}(V, W)$ définie sur une partie $\mathcal{D}$ de $\mathfrak{A}(V)$, $\mathfrak{B}(V, W) \times \mathfrak{A}(W)$, ... est dite *lisse* si pour toute variété lisse $X$ et $\gamma : X \to \mathcal{D}$ d'évaluation lisse<fnref n="3" />, alors l'application $\phi \circ \gamma : X \times V \to \mathbb{R}$, $(x, v) \mapsto \phi \circ \gamma(x, v) = \phi \circ \gamma(x)(v)$ est lisse.

**Définitions 1** Soit $a < b \in \mathbb{R}$, un chemin de fonctions val de fond $W$ [resp. fonctions] paramétré par l'intervalle $[a, b]$ est $\gamma : \mathbb{R} \to \mathfrak{B}(V, W)$ [resp. $\mathfrak{A}(V)$], $s \mapsto \gamma_s$ lisse telle que pour tout $s \leq a$, $\gamma_s = \gamma_a$ et pour tout $s' \geq b$, $\gamma_{s'} = \gamma_b$, les vals [resp. fonctions] $\gamma_{-\infty} = \gamma_a$ et $\gamma_{\infty} = \gamma_b$ sont dits *origine* et *extrémité* du chemin $\gamma$.

<footnote n="1">¹ c. a d. un voisinage tubulaire ouvert $\mathcal{V}_W$ dans $V$ de la sous-variété $W$ de $V$ munie d'un fibré euclidien $\tilde{\pi} : E \to W$, $\tilde{q} : E \to \mathbb{R}_+$ et d'une fonction de taille $r_{f,W} = r : W \to ]0, +\infty[$ positive lisse tels que, si $E_r = \{x \in E ; \tilde{q}(x) \leq r(\tilde{\pi}(x))\}$, il y a un difféomorphisme $\tilde{\vartheta} : (E_{2r}, W) \to (\mathcal{V}_W, W)$ avec $\tilde{q} = q \circ \tilde{\vartheta}$ et $\tilde{\pi} = \pi \circ \tilde{\vartheta}$, se restreignant à un difféomorphisme $\vartheta = \tilde{\vartheta}|_{E_r} : E_r \to T$ sur le tube fermé $T$.</footnote>

<footnote n="2">² coordinate bundle 2.3 de [St] pour $G = \mathbf{O}(\text{codim}_V(W))$ le groupe orthogonal.</footnote>

<footnote n="3">³ l'application $(x, \underline{v}) \in X \times V, X \times V \times W, \dots \mapsto \bar{\gamma}(x, \underline{v}) = \gamma(x)(\underline{v}) \in \mathbb{R}$ est lisse.</footnote>
**LEMME A.** — Soit $(f, e) \in \mathfrak{V}(V, W) \times \mathfrak{A}(W)$, des compacts $K, L \subset W$ avec :
$$K \subset \mathring{L} \subset L, e \le \frac{h_W + 2f_{|W}}{3}, e - f_{|W} \text{ localement constante près de } K \text{ et } e_{|W \setminus \mathring{L}} = f_{|W \setminus \mathring{L}}.$$

Alors il y a un chemin $f_{e,s} \in \mathfrak{V}(V, W)$ lisse en $(f, e, s)$ de $f_{e,0} = f$ à $f_{e,1} = f_e$ où $f_{e|W} = e$, pour tout $s \in \mathbb{R}$, $h_{f_{e,s},W} = h_{f,W}$, $f_{e,s}|_{V \setminus (\mathring{T} \cap \pi_{|T}^{-1}(\mathring{L}))} = f|_{V \setminus (\mathring{T} \cap \pi_{|T}^{-1}(\mathring{L}))}$, près de $K$, $f_{e,s} - f$ est localement constante et, si $e \le f|_W$, pour tout $s \in \mathbb{R}$, $f_{e,s} \le f$.

**Définitions 2** Soit $F \subset V, u' < u \in \mathbb{R}$ et une application $f: V \to \mathbb{R}$.

Le tronqué de $F$ au dessus de $u$ est $f,uF = uF = f^{-1}([u, +\infty[) \cap F$, l'application $f$ est dite $F$-propre au dessus de $u'$ si $f|_\cdot: u'F \to ]u', +\infty[$ est continue et propre$^4$.

Soit $\kappa \in \mathbb{R}$, une nappe (de $C$) pour $f$ au niveau $\kappa$ est le fond $W \subset V$ d'un val de $f$ avec $\emptyset \ne \kappa W = f^{-1}(\kappa) \cap W \stackrel{\text{Def}}{=} C$ et $f|_{W \setminus C}$ est non singulière.

**COROLLAIRE A.** — Soit $W$ une nappe pour $f$ au niveau $\kappa$ et $u' < u < \kappa$ tels que :
$$(\mathcal{P}_{u'}W) \qquad f \text{ est } W\text{-propre au dessus de } u'$$

Alors si $\mathcal{U}$ est voisinage de $u'W$ il y a un chemin à support dans $\mathcal{U}$ de fonctions $f_\sigma$ pour lesquelles $W$ reste nappe de $C$ et un voisinage $C$ de $C$ avec si $\sigma \le \sigma'$ :

$$f_{\infty} \le f_{\sigma'} \le f_{\sigma} \le f_0 = f, \quad \text{et} \quad f|_C - \kappa + u = f_{\infty}|_C$$

**Notations.** — Si $W$ est sous-variété d'une variété $V$ et $v \in V$, $w \in W$, on note :
$\mathfrak{A}_v$ l'anneau des germes$^5$ en $v$ de l'anneau $\mathfrak{A}=\mathfrak{A}(V)$ des fonctions lisses sur $V$.

$\mathfrak{M} = \{a \in \mathfrak{A} ; a|_W = 0\} \subset \mathfrak{M} = \mathfrak{M}(w) = \{b \in \mathfrak{A} ; b(w) = 0\} \subset \mathfrak{A}$ les idéaux nuls sur $W$ et en $w$ respectivement et $\mathfrak{M}_w \subset \mathfrak{M}_w \subset \mathfrak{A}_w$ les idéaux de germes correspondants.

L'anneau quotient $\mathfrak{B}=\mathfrak{A}/\mathfrak{M}$ s'identifie à l'anneau des fonctions lisses sur $W$.

On note $\rho : \mathfrak{A} \to \mathfrak{B}$, $\rho_w : \mathfrak{A}_w \to \mathfrak{B}_w$ les morphismes quotient de restriction.

Le $\mathfrak{A}$-module $\mathcal{X}(V)$ des champs de vecteurs$^6$ sur $V$ contient le sous-module $\mathcal{Y}=\mathcal{Y}_W(V)=\{Y \in \mathcal{X} ; Y(\mathfrak{M}) \subset \mathfrak{M}\}$ des champs tangents à $W$.

Pour $v \in V, w \in W, Z \in \mathcal{X}, Y \in \mathcal{Y}$, on note $Z_v : \mathfrak{A} \to \mathbb{R}, Y_w : \mathfrak{B} \to \mathbb{R}$ les vecteurs tangents à $V$ et $W$ en $v$ et $w$, définis par $Z_v(a) = Z(a)(v)$ et $Y_w(b) = Z(b)(w)$, éléments $Z_v \in T_vV, Y_w \in T_wW$ des espaces tangents à $V$ et $W$ en $v$ et $w$ correspondants qui s'identifient$^7$aux quotients :

$$T_w V = \mathcal{X}_w / \mathfrak{M}_w \mathcal{X}_w, \quad T_w W = \mathcal{Y}_w / (\mathfrak{M}_w \mathcal{Y}_w + \mathfrak{M}_w \mathcal{X}_w)$$

<footnote>$^4$ c'est automatique si $F$ est fermé et l'application $f$ est continue et propre.</footnote>

<footnote>$^5$ deux fonctions ont même germe en $v$ si elles coïncident sur un voisinage de $v$.</footnote>

<footnote>$^6$ $\mathcal{X}(V)=\{X : \mathfrak{A} \to \mathfrak{A} ; \text{ si } f,g \in \mathfrak{A}, X(f+g)=X(f)+X(g), X(f \cdot g)=X(f) \cdot g + f \cdot X(g)\}$</footnote>

<footnote>$^7$ car $\mathfrak{M}\mathcal{X} \subset \mathcal{Y}$, même si $w \in \mathfrak{M}, X \in \mathcal{X}, wX(\mathfrak{A}) \subset \mathfrak{M}$, car $\mathfrak{M}$ étant idéal à droite, $wX(\alpha) \in \mathfrak{M}$ et notant, si $v \in V, w \in W, \mathcal{X}_v, \mathcal{Y}_w$ les $\mathfrak{A}_v$-modules de germes de champs de vecteurs associés.</footnote>
L'idéal Jacobien de $f$ est : $\mathfrak{J}(f) = \mathcal{X}(f) = \{X(f); X \in \mathcal{X}\} \subset \mathfrak{A}$, celui de la restriction $f|_W$ de $f$ à $W$ est donc $\mathfrak{J}(f|_W) = \rho(\mathcal{Y}(f)) = \{\rho(Y(f); Y \in \mathcal{Y})\} \subset \mathfrak{B}$.

**Définitions 3** Soit $W \subset V$ une sous-variété et une fonction $f : V \to \mathbb{R}$ lisse.

i0) Un champ de vecteur $Z$ défini près de $W$ est $f$-plat si $Z(f) \in \mathfrak{W}$.

i1) Un tube $\pi : T \to W$ autour de $W$ dans $V$ est $f$-plat si tout champ de vecteurs $Z$ sur $T$ porté$^8$ par les fibres de $\pi$ est $f$-plat.

i2) La sous-variété $W$ est $f$-directe dans $V$ si :

$$ (D) \qquad \text{pour tout } w \in W, \rho_w(\mathfrak{J}_w(f)) \subset \mathfrak{J}_w(f|_W) $$

ii1) Les ensemble critique et ensemble critique sur $W$ de $f$ sont$^9$ :

$$ \Sigma(f) = \{c \in V; \mathcal{X}_c(f)(c) = 0\} \text{ et } \Sigma_W(f) = \{d \in W; \mathcal{Y}_d(f)(d) = 0\} = \Sigma(f|_W) $$

ii2) Un point $w \in \Sigma_W(f)$ critique de la sous-variété $W$ est $\mathfrak{W}$-défini positif si :

$$ (D_{\mathfrak{W}}) \qquad \mathfrak{W}_w \subset \mathfrak{J}_w(f) $$

$$ (P) \qquad \text{pour tout } X \in \mathcal{X}_w \text{ f-plat, } X(X(f))(w) \geq 0 $$

[Si $f|_W$ est de Morse$^{10}$ traduisez : si $y \in \Sigma_W(f)$, $y \in \Sigma(f)$ non dégénéré avec $\mathrm{Ind}_y(f) = \mathrm{Ind}_y(f|_W)$.]

iii1) $f$ est stabilisée en $W$, ou $W$-stabilisée, si elle est fonction val de fond $W$.

iii2) $f$ est infinitésimalement stabilisée, ou $\mathfrak{W}$-stabilisée, en $W$ si $W$ est $f$-directe dans $V$ et tout $w \in \Sigma_W(f)$ point critique sur $W$ est $\mathfrak{W}$-défini positif.

**LEMME B.** — Soit $W \subset V$ une sous-variété paracompacte.

(1) $W$ a un tube $f$-plat si et seulement elle est $f$-directe dans $V$.

(2) $f$ est stabilisée en $W$ si et seulement si elle l'est infinitésimalement.

Dans la suite toutes les variétés sont supposées paracompactes.

Appliquant le **Lemme B** à $f$ et $W \subset V$ contenant un point $c \in \Sigma(f) \cap W$ critique de $f$ avec $N := T_c W \subset T_c V$ défini négatif pour $q_c$ de dimension maximale, puis à $-f|_W$ et $\{c\} \subset W$ :

**COROLLAIRE B** (Lemme de Morse de forme canonique des points critiques non dégénérés)

Soit $c \in \Sigma(f)$ point critique non dégénéré$^{11}$ de $f : V \to \mathbb{R}$ et $N \subset E = T_c V$ (resp. $P \subset E$) sous espace défini négatif (resp. positif) maximal pour la Hessienne$^{12}$ $q = q_c : T_c V \to \mathbb{R}$ de $f$ en $c$ et $P = N^{\perp b}$ (resp. $N = P^{\perp b}$) son $b$-orthogonal.

<footnote>$^8$ c. a d. pour tout $t \in T$, $T_t(\pi)(Z_t) = 0 \in T_{\pi(t)}W$.</footnote>

<footnote>$^9$ $\mathcal{X}_c(f)(c) = 0$ signifiant pour tout $X \in \mathcal{X}_c$, $X(f)(c) = 0$.</footnote>

<footnote>$^{10}$ voir les **Définitions 4 iii), i)** ci dessous et la fin de l'appendice B.</footnote>

<footnote>$^{11}$ c.ad. la dérivée seconde $b_c$ de $c$ induit un isomorphisme de $T_c V$ sur son dual $T_c^*V$.</footnote>

<footnote>$^{12}$ rappelons que si $w \in \Sigma(f)$ la forme quadratique Hessienne de $f$ en $w$ (terme quadratique de la formule de Taylor en $w$) est $q_{Hw} = q_w : \mathcal{X}_w \to \mathbb{R}$, $q_{Hw}(X) = \frac{1}{2}X(X(f))(w)$ se factorise par l'espace tangent $T_w V = \mathcal{X}_w / \mathfrak{M}_w \mathcal{X}_w$ et a pour forme bilinéaire symmétrique associée la dérivée seconde $b_w = b : \mathcal{X}_w \times \mathcal{X}_w \to \mathbb{R}$, $b(X, X') = q(X + X') - q(X) - q(X') = X(X'(f))(w)$.</footnote>
Alors 0 a des voisinages étoilés $U_N, U_P$, $U=U_N+U_P$ dans $N, P$, $E=N\oplus P$ et un difféomorphisme de paramétrisation $\psi : (U, 0) \to (\mathcal{U}, c) \subset (V, c)$ avec :

$$T_0\psi=\mathrm{Id}_{T_cV} \quad \text{et} \quad f \circ \psi - f(c) = q|_U = (q|_N \oplus q|_P)|_U = (-(-q|_N) \oplus q|_P)|_U$$

**Remarque.** — Si $N' \subset E$ est un autre sous-espace défini négatif maximal alors $N \cap P = 0$ et $N' = \{(x, g_{N,N'}(x)) \in N \oplus P = E; x \in N\}$ où $g_{N,N'} \in \mathrm{Hom}(N, P)$. L'ensemble des choix de $N$ s'identifiant à $\{g \in \mathrm{Hom}(N, P); q|_P \circ g <_N -q|_N\}$, convexe dans $\mathrm{Hom}(N, P)$, est contractile.

**Définitions 4** i) L'indice et le coindice en le point $c \in \Sigma(f)$ critique de $f$, notés respectivement $\mathrm{Ind}_c(f)$ et $\mathrm{Ind}_c(-f)$, sont les dimensions de sous-espace respectivement $q_c$ négatif ou nul et $q_c$ positif ou nul maximaux de $T_cV$.

ii) Un voisinage d'un point critique non dégénéré est de Morse si il a une paramétrisation, dite de Morse, donnée par le COROLLAIRE B.

iii) La fonction $f$ est de Morse si tous ses points critiques sont non dégénérés.

iv) Une métrique adaptée à $f$ est une métrique qui dans des paramétrisations de Morse de ses points critiques est $\mu=\mu^N \oplus \mu^P : T_cV = N \oplus P \to \mathbb{R}$ où $\mu^N, \mu^P$ sont les formes quadratiques définies positives : $\mu^N = -q|_N : N \to \mathbb{R}, \mu^P = q|_P : P \to \mathbb{R}$.

v) Un champ de vecteurs $Z$, sur $X$ est pseudo-gradient faible (abrégé en pgf) d'une fonction lisse $f$ si en tout point régulier $x \in V \setminus \Sigma(f)$ on a $Z(f)(x) > 0$.

Si de plus $f$ est de Morse et dans des paramétrisations de Morse de ses points critiques, le pgf $Z=\mathrm{grad}_\mu(f)$ est gradient de $f$ pour une métrique adaptée, ce champ de vecteur $Z$ est dit pseudo-gradient (abrégé en pg) de $f$.

vi) Une donnée $\mathcal{F} = (f, Z)$ [resp. donnée de Morse $\mathcal{F} = (f, \Psi, Z) \stackrel{\text{abr.}}{=} (f, Z)$] est une fonction [resp. fonction de Morse] $f$ munie d'un pgf [resp. pg] $Z$ [resp. et d'une famille $\Psi = (\psi_c : (U_c, 0) \to (\mathcal{U}_c, c))_{c \in \Sigma(f)}$ de paramétrisations de Morse dans lesquelles $Z=\mathrm{grad}_\mu(f)$ est, pour une métrique adaptée $\mu$, gradient de $f$].

vii) $\mathcal{F}=(f, Z)$ est $Z$-modifiée de $\mathcal{F}'=(f', Z')$, noté $\mathcal{F} \preceq \mathcal{F}'$, si $Z=Z'^{13}$.

viii) Soit $W \subset V$ sous-variété directe sur qui la restriction $f|_W$ est de Morse. Une donnée de Morse adaptée à $W$ est une donnée de Morse $\mathcal{F}=(f, \Psi, Z)$ dont le champ $Z$ est tangent à $W$ et si $c \in \Sigma(f|_W)$, la paramétrisation de Morse $\psi_c$ de $\mathcal{U}_c$ induit une paramétrisation de Morse $\psi_{c|\mathcal{U}_c \cap T_c(W)}$ du voisinage $\mathcal{U}_{W,c}=\mathcal{U}_c \cap W$.

ix) Un val $\underline{\nu}_W$ pour une fonction $f$ ayant une donnée de Morse adaptée à $W$ est de Morse si son tube a en tout $c \in \Sigma(f|_W)$ pour (micro)paramétrisation fibrée, une donnée de Morse adaptée à $W$ d'un voisinage $\mathcal{U}_c$ de $c$.

**COMPLÉMENT B<fnref n="14" />.** — Si $f$ a une donnée de Morse adaptée à $W$ et est infinitésimalement stabilisée, elle est stabilisée en $W$ et munie d'un val de Morse $\underline{\nu}_W$.

<footnote n="13">¹³ et donc $f$ et $f'$ ont même ensemble ciritique $\Sigma(f)=\Sigma(f')$.</footnote>

<footnote n="14">¹⁴ **Complément X** signifie **Complément** du **Lemme X**, ses notations étant reprises.</footnote>
COMPLÉMENT A. — Si de plus $e \le f|_W, \Sigma_W(f) \subset K$ et $f$ a une donnée $\mathcal{F}=(f, Z)$ avec $Z|_W$ pseudo-gradient faible (resp. pseudogradiant) de $e$ alors :

Quitte à réduire la taille du val $\mathcal{V}_W$, le champ $Z$ est pgf (resp. pg) de $f_e$.

**Définitions 5** Notant $\Phi_t$ le flot$^{15}$de $Z$, pour $x, y \in V$ deux points de $V$ on dira :

i) $x$ est $(Z)$-avant $y$ (noté $x \le^Z y$) si il y a $b \in [0, +\infty]$ avec $\lim_{t \to b} \Phi_t(x) = y$.

ii) $x$ est $(Z)$-sous $y$ (noté $x \preceq^Z y$) si $x$ est, pour un $n \in \mathbb{N}$, $nZ$-sous $y$, défini récursivement par : soit $n=0$ et $x \le^Z y$, soit il y $y_1 \le^Z y$ avec $x \preceq^Z_{n-1} \lim_{t \to -\infty} \Phi_t(y_1)$, Les relations $\le^Z, \preceq^Z$ sont des ordres sur $V$. Soit $c \in \Sigma(f)$ un point critique de $f$.

iii) La nappe de $c$ par $Z$ est $c_{\searrow}(Z) = \{x \in V; x \le^Z c\}$.

iv) La conappe de $c$ par $Z$ est $c_{\nwarrow}(Z) = c_{\searrow}(-Z)$.

v) La nappe saturée de $c$ par $Z$ est le fermé $\bar{c}_{\searrow\dots\searrow}(Z) = \{x \in V; x \preceq^Z c\}$

vi) Le saturé de $c$ par $Z$ est le fermé $\bar{c}(Z) = \bar{c}_{\searrow\dots\searrow}(Z) \cup \bar{c}_{\nwarrow\dots\nwarrow}(-Z)$

Remarque A. — (1) Si $(f, Z)$ est une donnée de Morse la nappe $c_{\searrow}(Z) = W$ définie en iii) est une sous-variété, nappe pour la Définition 2. Laissons la lectrice traduire le Corollaire A :

**Corollaire A'** (lemme d'abaissement de Morse). — Si $(f, Z)$ est une donnée de Morse, le chemin $f_s$ du Corollaire A produit un chemin $(f_s, Z) \preceq (f, Z)$ de données de Morse Z-modifiées.

(2). — Si, au lieu de la condition $(\mathcal{P}_{u'}c)^{\text{Def}} \cong (\mathcal{P}_{u'}W)$ du Corollaire A', on a$^{16}$ :

$(\bar{P}_{u'}c)$ $f$ est $\bar{c}_{\searrow\dots\searrow}(Z)$-propre au dessus de $u'$

la nappe saturée tronquée $u\bar{c}_{\searrow\dots\searrow}(Z)$ n'a, hormis $c$, qu'un nombre fini de points critiques.

Une Z-modification laissant inchangées nappes et nappes saturées, le Corollaire A' conduit$^{17}$ au même énoncé en remplaçant l'ouvert $U \supset u c_{\searrow}(Z)$ par $V \supset u \bar{c}_{\searrow\dots\searrow}(Z)$.

(3). — En appliquant **Corollaire A'** et remarque A (2) à la fonction opposée $-f$ on obtient pour $f$ deux lemmes d'élévation d'énoncés laissés aussi aux bons soins de la lectrice, puis au :

**coCorollaire A'** (lemme déplacement de Morse). — Soit une donnée de Morse $(f, Z)$ et $g : (\Sigma(f), \preceq^Z) \to (\mathbf{R}, \le)$ strictement croissante, égale à $f|_{\Sigma}$ hors d'un ensemble fini. Alors si pour tout $c \in \Sigma(f)$ avec $g(c) \neq f(c)$ la restriction $f|_{\bar{c}(Z)}$ est propre et $U$ est voisinage de

$$ \bigcup_{c \in \Sigma, g(c) \neq f(c)} \bar{c}(Z) \cap f^{-1}([\min(f(c), g(c)), \max(f(c), g(c))]) $$

il y a un chemin lisse $(f_s, Z) \preceq (f, Z)$ à support dans $\mathcal{U}$ de données de Morse Z-modifiées de $f_{-\infty} = f$ à $f_1 = f_\infty$ tel que, près de tout $c \in \Sigma$, $f_s = f + f_s(c) - f(c)$ et $f_{1|\Sigma} = g$.

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<footnote>$^{15}$ $\Phi: V \times \mathbf{R} \supset \mathcal{Z} \to V, (x, t) \mapsto z_x(t)$ solution maximale de $z(0)=x$ et $z'(t)=Z(z(t))$.</footnote>

<footnote>$^{16}$ une condition plus faible, car automatiquement satisfaite si $f$ est propre.</footnote>

<footnote>$^{17}$ par induction croissante sur l'ordre $\preceq^Z$ de ces points critiques.</footnote>
Avec les notations $c \in \Sigma(f)$, $N, P \subset E$, $\psi: U=U_N+U_P \to \mathcal{U}$, $q$ du Corollaire B, $\mu=\mu^N \oplus \mu^P$, $Z$
de la **Définition 4**, le champ $Z^{U_{\text{Def}}}=\psi_*^{-1}(Z|_{\mathcal{U}})$, de flot $\Phi_t^U$, restriction à $U$ de $\Lambda_t=e^{-t\text{Id}_N}+t\text{Id}_P$,
a pour orbites les intersections avec $U$ de celles de $\Lambda_t$. Soit $p \in P$, $\mu^P(p)=1$ et $R=p^{\perp_{\mu^P}}$, notons
$\gamma=\mathbf{R}_+^* \cdot p \cap U$, $\mathcal{U}^\epsilon=\{u \in E; \mu(u)<\epsilon^2\}$, $(N^\epsilon, P^\epsilon, R^\epsilon)=(N, P, R) \cap \mathcal{U}^\epsilon$. Si $s>0$ avec $s \cdot p \in \gamma$ on a :

LEMME C (extension cannonique d'une nappe transverse)

Soit $M \subset U$ une sous-variété invariante<fnref n="18" /> par le flot $\Phi_t^U$, et telle que le rayon $\gamma$ est ouvert dans $M \cap P$ avec intersection transverse. Alors :

$$
(1) \text{ Il y a } s, \nu, \rho > 0, N^{\nu} \subset U_N, s \cdot p + R^{\rho} \subset U_P \text{ et } \theta: (N^{\nu}, 0) \to (R, 0) \text{ lisse avec :}
$$
$$
(M - s \cdot p) \cap (N^{\nu} + R^{\rho}) = \{n + \theta(n); n \in N^{\nu}\}
$$

$$
(2) \text{ Il y a } 0 < \delta \text{ tel que l'application :}
$$

$$
\chi : (N^{\delta}, \{0\}) \times] -\delta, \delta[ \to E, \quad \chi(n, \tau) = n + \tau p + \frac{\tau}{s} \cdot \theta(\frac{\tau}{s} \cdot n)
$$

est une paire de plongements d'image tangente au champ $Z^U$ avec :

$$
\chi(0)=0, \quad \chi(\{0\} \times]0, \delta[) = \gamma \cap \mathcal{U}^{\delta} \quad \text{et} \quad \chi(N^{\delta} \times]0, \delta[) \subset M \cap \{q>0\} := M'
$$

$$
(3) \text{ Le seul point critique, de } f \circ \psi \circ \chi \text{ est } 0, \text{ il est non dégénéré de coindice } 1.
$$

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

Paramétrisation d'une sous-variété invariante par le flot $\Phi_t^U$

Ainsi il y a une paire de variétés $(M_\chi, l_\chi)$ telle que $c \in l_\chi \subset M_\chi$ et contenant $(M', \gamma) \subset (M_\chi, l_\chi)$ comme sous-paire ouverte et une immersion $\xi: M_\chi \to U$ avec $c$ unique point critique des restrictions $f \circ \xi|_{M_\chi}, f \circ \xi|_{l_\chi}$, les coindices étant 1.

<footnote n="18">¹⁸ Une partie $A \subset U$ est dite *invariante par $\Phi^U$* si pour tout $u \in U$ et $t \in \mathbb{R}$ telle que $\Phi_t^U(u)$ est défini alors $a \in A$ si et seulement si $\Phi_t^U(a) \in A$.</footnote>
COMPLÉMENT C. — Il y a un voisinage $(M^+, \lambda^+)$ de $(\{0\} \cup M', \{0\} \cup \gamma)$ dans $(M_\chi, l_\chi)$ sur lequel $\xi, \xi|_{l_\chi}$ induisent des plongements si et seulement si :

(4) Le rayon $\gamma = P \cap M$ est toute l'intersection de P avec M.

En ce cas $\psi \circ \xi(M^+), \psi \circ \xi(\lambda^+)$ sont fonds de vaux de Morse pour $f$ et $-f|_{M^+}$.

LEMME D (Lemme du dromadaire)

Soit $I \subset \mathbb{R}$ un intervalle ouvert, $k : I \to \mathbb{R}$, $b < c < d < n \in I$ avec :

$$ (D) \qquad k'^{-1}([ - \infty, 0], \{0\}) = ([c, d], \{c, d\}) \text{ et } k(c) < k(n) $$

Alors il y a un chemin $k_t$, issu de $k_0=k$ à $k_\infty=k_2$ et $t_0 \in ]1, 2[$ avec :

(1) pour tout $t \le t'$, $k_t \le k_{t'}$ avec égalité si $x \notin ]b, n[$.

(2) Si $0 < t < t_0$, $k_t$ est de Morse, et si $t_0 < t$, $k_t'^{-1}([ - \infty, 0]) = \emptyset$, de plus :

(3) près de $[c, d]$ et pour $1 \le t$, $k_t$ est restriction d'un polynôme cubique.

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

COROLLAIRE C (Lemme d'élimination de Morse). — Soit $\mathcal{F} = (f, Z)$ une donnée de Morse, $b, c \in \Sigma(f)$ et $l$ une $Z$-orbite avec $\bar{l} = l \cup \{b, c\}$. On

suppose $(\mathcal{P}_{f(c)}b)$ et

$$ (\mathcal{I}_{dl^c}) \qquad l = \overleftarrow{c}(Z) \cap \overline{b}(Z), \text{ l'intersection étant transverse en } l $$

Alors pour tout voisinage $(\mathcal{B}, \mathcal{L})$ dans $V$ de la paire $(\{c\} \cup f(c)b(Z), \bar{l})$, il y a un chemin $\mathcal{F}_t = (f_t, Z_t)$, $t \in \mathbb{R}$ issu de $\mathcal{F}$ de données avec :

(1) les supports des chemins $f_t$ et $Z_t$ sont dans $\mathcal{B}$ et $\mathcal{L}$ respectivement.

(2) la restriction $\mathcal{F}_{t|_{\sqrt{\mathcal{L}}}}$ est une $Z_{|_{\sqrt{\mathcal{L}}}}$-modification.

(3) il y a $t_0 \in \mathbb{R}$ tel que si $t \ne t_0$, la donnée $\mathcal{F}_t$ est de Morse. De plus $t_0$ est point de la traversée de la strate de codimension 1 des singularités cubiques<fnref n="19" />.

(4) si $t > t_0$, l'ensemble des points critiques de $f_t$ est $\Sigma(f_t) = \Sigma(f) \setminus \{b, c\}$.

<footnote n="19">¹⁹ c. a d. ayant le modèle $k_s(x) = -x_1^2 \cdots -x_i^2 + x_{i+1}^2 \cdots + x_n^2 + x_n^3 + 3(s-t_0)x_n$, $s \in ]t_0-\epsilon, t_0+\epsilon[$.</footnote>
## §2 Réduction du lemme d'élimination aux lemmes A, B, C, D

Si $B = b(Z)$, $M = B \cap U$, le COMPLÉMENT C pour la paramérisation de Morse en $c$ donne $(B^+, l^+)$, paire de variétés contenant $(f_{(c)}B, l)$ comme sous-paire ouverte, avec $\{b, c\} \subset l^+ \subset B^+$ uniques points critiques de $(f_{|B^+}, f_{|l^+})$.

On identifie $l^+$, le nom des points conservé, à un intervalle réel $I \ni b < c$.

Le COMPLÉMENT B donne alors des vaux de Morse $B^+ \subset \mathcal{B}$ et $\mathcal{L}^+ \subset \mathcal{L} \cap B^+$ pour les fonctions $f$ et $-f_{|B^+}$, quitte à restreindre $(B^+, l^+)$, il y a $c < n \in l^+$ avec

$$h_{f,B^+} > 3f(n) - 2f(c) = f(c) + 3\epsilon$$

Pour $\frac{2f(c)+f(n)}{3} = u' < u = \frac{f(c)+2f(n)}{3}$ et $\mathcal{N}$ disjoint de $uB^+$ et voisinage de $[c, n]$, le COROLLAIRE A' donne un chemin $\tilde{f}_s$ de $Z$-modifications à support, dans $\mathcal{B}$ et disjoint de $\mathcal{N}$, de $\tilde{f}_{-1} = f$ à $\tilde{f}_{\infty} = \tilde{f}_0$ avec

$$\tilde{f}_0(b) < f(n) = \tilde{f}_0(n) < h_{\tilde{f}_s, B^+} = h_{f, B^+}$$

Soit $k_s : l^+ \to \mathbb{R}$ produit par le LEMME D appliqué à la restriction $k = \tilde{f}_{0|l^+}$.

Le LEMME A appliqué à $V = \mathcal{L}$, $f = -\tilde{f}_{0|\mathcal{L}}$, $e_s = -k_s$ donne alors un chemin de fonctions $\tilde{f}_s : V \to \mathbb{R}$, avec $\tilde{f}_{s|V \setminus \mathcal{L}} = \tilde{f}_{0|V \setminus \mathcal{L}}$, de $\tilde{f}_0 = \tilde{f}_0$ à $\tilde{f}_{\infty} = \tilde{f}_1$ tel que le chemin $\mathcal{F}_t = (f_t, Z_t)$, où :

$$f_t : V \to \mathbb{R}, \text{ si } t \le 0, \quad f_t = \tilde{f}_t, \text{ si } t \ge 0, \quad f_t = \tilde{f}_t$$

et $Z_t$ est obtenu en interpolant<fnref n="1" /> entre $V \setminus \mathcal{L}^+$ et le tube fermé $T_{\mathcal{L}^+}$ de $\mathcal{L}^+$ entre $Z$ et le gradient $\text{grad}_{\mu}(f_t)$ de $f_t$ pour la métrique $\mu$ adaptée à $f$, convient. ■

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Baisser la bosse sous le niveau de la nuque

puis, appliquer le lemme du dromadaire.

<footnote n="1">¹ avec $r = r_W$ (Cf. **Définition 2** i2)) et la fonction $\beta$ (Cf. le début des Appendices), prendre $Z_t(x) = (1 - \beta(\frac{f_t(x)}{r})) \cdot \text{grad}_{\mu}(f_t) + \beta(\frac{f_t(x)}{r}) \cdot Z(x)$.</footnote>
§3 Commentaires bibliographiques

1925-1969 Les écrits de Morse (et avec Huebsch)

En 1925 ([5](1)) Morse établi son « Lemme » de forme canonique d'une fonction $f(x_1, \dots, x_n)$ de classe $C^3$ en 0, point critique non dégénéré, en montrant que $f$ est translatée d'une « forme quadratique à coefficients variables différentiables » Après factorisation de la première variable, la régularité du quotient par formule de Taylor avec reste ponctuel<fnref n="1" />, la première réduction s'obtient par récurrence sur le nombre de variables

$$ 
\begin{align*} 
f(\underline{x}) &= f(0, \underline{x}') + a(x_1, \underline{x}')x_1 = f(0, \underline{x}') + \frac{\partial f}{\partial x_1}(0, \underline{x}')x_1 + b_{1,1}(x_1, \underline{x}')(x_1)^2 = \\ 
&= f(0) + \sum_{i,j=2}^{n} b_{i,j}(\underline{x}')x_i \cdot x_j + \sum_{i=2}^{n} b_{i,1}(\underline{x}')x_i \cdot x_1 + b_{1,1}(x_1, \underline{x}')(x_1)^2 
\end{align*} 
$$

puis diagonalisant cette dernière par le procédé de Lagrange<fnref n="2" />.

Si les flots de gradient et les bases des décompositions en anses apparaissent dans ce premier article, la géométrie des fonctions de Morse sera en veille<fnref n="3" /> jusqu'à [113] en 1960 où il construit sur toute variété compacte connexe, une fonction de Morse polaire<fnref n="4" />: Quand le sous-niveau {$f(x) \le c$} d'une fonction de Morse $f$ à valeurs critiques distinctes perd une composante connexe quand $c$ croit passant par la valeur d'un point critique $A_0$ d'indice un, dit séparant, il exhibe un minimum $A_1$ et une déformation à support dans un voisinage d'un arc contenant $\{A_0, A_1\}$ et disjoint de $\Sigma(F) \setminus \{A_0, A_1\}$ de $f=f_0$ à $f_1$ avec $\Sigma(f_1)=\Sigma(f) \setminus \{A_0, A_1\}$.

Il y lance les bases des lemmes géométriques que Smale utilisera pour le h-cobordisme : existence de fonctions de Morse à valeurs critiques distinctes, modification des gradients pour que les liaisons ne soient que vers un point d'indice supérieur⁵et, sans lui donner encore de nom, sa notion de $f$-fonction de base $\beta$ qu'il ne cessera de d'utiliser dans [139], [117], [138], [140], [150] :

<footnote n="1">¹ A partir de [113], pour la forme canonique, il renvoit à [M], donnant la première réduction par la formule de Taylor avec reste intégral (La régularité est alors claire et cette première étape passe à paramètres, ce n'est pas le cas de la seconde qui reste par diagonalisation de Lagrange.)</footnote>

<footnote n="2">² Si $f(\underline{x}) = \sum_{i,j=1}^n b_{i,j}(\underline{x}) \cdot x_i \cdot x_j$ avec $b_{i,j} = b_{j,i}$ et $\sum_{i,j=1}^n b_{i,j}(0) \cdot x_i \cdot x_j$ non dégénérée, après un éventuel changement de variable linéaire pour que $b_{1,1}(0) \neq 0$, vérifier que $\underline{x} \mapsto \underline{x}_2$ où $x_{2,1} = \frac{1}{\sqrt{|b_{1,1}|}} \cdot x_1, x_{2,1} = -\frac{b_{1,1}}{b_{1,1}} \cdot x_1 + x_i, 1 < i \le n$ est difféomorphisme au voisinage de 0.</footnote>

<footnote>Comme $f(\underline{x}_2) = \pm(x_{2,1})^2 + \sum_{i,j=2}^n b_{2,i,j}(\underline{x}_2) \cdot x_{2,i} \cdot x_{2,j}$ et $\sum_{i,j=2}^n b_{2,i,j}(0) \cdot x_{i,2} \cdot x_{j,2}$ est non dégénérée, le procédé s'itère pour obtenir la diagonalisation $f(\underline{x}_n) = \pm(x_{1,n})^2 + \cdots + \pm(x_{n,n})^2$.</footnote>

<footnote n="3">³ dans l'intervalle le principal domaine d'application des fonctions de Morse sera le calcul variationnel abstrait, notons l'exposé [ST] quasi simultané à [M] de cette « théorie de de Morse » qui n'utilise pas le lemme de forme canonique, se contentant d'un développement limité.</footnote>

<footnote n="4">⁴ c.ad. avec un seul minimum local et un seul maximum local.</footnote>

<footnote n="5">⁵ se limitant à obtenir que les deux lignes de gradient tendant vers $A_0$ viennent de deux minimas $A_1, A_{-1}$ avec $f(A_{-1}) < f(A_1)$, d'où un arc ouvert direct $\gamma$ passant par $A_{-1}, A_0, A_1$.</footnote>
C'est une fonction $f : M \to \mathbf{R}$ sur une variété Riemannienne $M$ et une sous-variété$^6\beta \subset M$ avec $f$ croissante au sens large sur les germes de géodésiques normales$^7$à $\beta$, germes dont l'union des images est un tube $\mathcal{A}$ autour de $\beta$. Ainsi :

Si $g : \beta \to \mathbf{R}$, $\theta : \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ sont des fonctions lisses vérifiant $g \le f|_{\beta}$ avec égalité hors d'un compact, $\theta$ décroit de $\theta=1$ sur $]-\infty, 0]$ à $\theta=0$ sur $[\epsilon, +\infty[$ avec $\theta' < 0$ sur $]0, \epsilon[$, la fonction $\mathcal{F} : M \to \mathbf{R}$ définie par $\mathcal{F} = f$ hors de $\mathcal{A}$ et sur tout rayon normal à $\beta$, paramétré par longeur d'arc de $r(0)=b \in \beta$ à $r=r(s) \in \mathcal{A}$ :

$$ (*) \qquad \mathcal{F}(r) = f(r) - \theta(s^2)(f(b) - g(b)) $$

a, si $\Sigma(f) \cap \mathcal{A} \subset \beta$, pour uniques points critiques sur $\mathcal{A}$, $\Sigma(\mathcal{F}|_{\mathcal{A}}) = \Sigma(g)$ ceux de $g$.

La très faible condition de croissance au sens large sur les rayons suffit pour la magie de (*) et permet à M. Morse de choisir, hors de voisinages de $\Sigma(g)$, le tube $\mathcal{A}$ fibré par niveaux de $f$. Il le paye par des constructions très techniques de recollement dans des paramétrisations de Morse des points de $\Sigma(g)$.

D'autres notions récurrentes dans ces articles de Morse sont celles de boule (bowl) (et dôme) ascendants et descendant d'un point critique $c$ non dégéné muni d'une paramétrisation de Morse (et d'un pseudo-gradient $Z$), ce sont :

$$ \mathcal{B}_-(c) = c_{\frown}(f, Z), \quad (B_-(c) = \mathcal{B}_-(c) \cap f^{-1}([f(c'), f(c)])) $$

$$ \mathcal{B}_+(c) = \frown c(f, Z), \quad (B_+(c) = \mathcal{B}_+(c) \cap f^{-1}([f(c), f(c'')])) $$

les nappes et conappes de $c$ par $Z$ (tronquées aux valeurs $f(c')$, $f(c'')$ du$^8$point critique le plus haut et le plus bas adhérent) : $(\overline{B_-(c)}, \overline{B_+(c)}) \cap \Sigma(f) = (\{c', c\}, \{c, c''\})$.

Pour tout voisinage $N$ de $B_{\pm}(c)$ et $\eta \in f(B_{\pm}(c))$ il y a $\dot{f}$ ayant mêmes points critiques que $f$, égale à $f$ hors de $N$ et telle que $\dot{f}(c) = \eta$. ([138], précisé par [150]).

La condition$^9$d'élimination d'une paire $\{c, d\}$, $f(d) < f(c)$ de points critiques, introduite dans l'esquisse [139]$^{10}$, est que les dômes $B_-(c) \cap B_+(d) = \gamma$ se coupent transversalement, l'intersection étant réduite à une orbite $\gamma$ du pseudo-gradient $Z$.

Il produit d'abord, sur $\beta = B_{\pm}(c)$ (resp. une sous-variété $\beta \supset B_-(c) \cup \{d\}$ contenant $d$ et dans laquelle le dôme de $c$ est ouvert), une fonction $g$ avec $c$ unique point critique et $g(c) = \eta$ (resp. $g$ non singulière) et $g \le f|_{\beta}$ avec égalité hors d'un compact, puis l'étend par (*), une fois prouvé que $\beta$ est base de $f$-fonction.

N'ayant remarqué le **Lemme C** la seule construction de $\beta$ demande une modification du pseudo-gradient nécessitant de longues préparations, qui sont

<footnote>$^6$ localement fermée, non nécessairement fermée.</footnote>

<footnote>$^7$ On note $\epsilon > 0$ tel que ces germes sont de longueur $2\epsilon$.</footnote>

<footnote>$^8$ sans paramètres en vue, Morse suppose ses fonctions à valeurs critiques distinctes.</footnote>

<footnote>$^9$ substituant la séparation dans [113] pour éliminer un point d'indice 1 (avec un minimum).</footnote>

<footnote>$^{10}$ démontrations complètes dans [117] qui utilise [136], [140] et [143] (annoncé dans [137]).</footnote>
reprises dans presque tous les articles, pour que le dôme de $c$ entre dans un
voisinage de Morse de $d$ par un espace de coordonées.

Outre la technicité de la construction [143] de $g$ pour l’élimination, une
grande difficulté pour lire Morse est que, bien que citant [St] paru plus de dix
ans auparavant, dans presque chaque article Morse¹¹nous demande d’entrer dans
ses définitions de variétés différentiables, fibrés et voisinages tubulaire géodésiques,
obligeant une lectrice qui sauterait ces « précisions » à perdre nombres « notations
permanentes » nécessaires pour entrer dans les parties techniques.

1960-1968

Le h-cobordisme de Smale et ses expositions par Milnor et Cerf

Si Morse ne considère les pseudo-gradients que comme outils de construction,
dès 1949 Thom [T0] les révèlent comme apportant une information globale sur
la variété et, en préliminaire au h-cobordisme, Smale [Sm0] établit que le
gradient d'une fonction de Morse sur une variété V s'approxime par un champ
de vecteur à même singularités, dont les variétés stables et instables s'intersectent
transversalement et dont les ensembles limites sont des singularités. Il montre
qu'un tel champ X est pseudo-gradient d'une fonction de Morse en construisant
inductivement des hypersurfaces $B_k$, $0 \le k < n = \dim(V)$ transverses au champ,
séparant donc V en $G_h$ et $H_k$ telles que $G_{k-1} \subset G_k$, $k=1, \dots, n-1$ et $G_k$ contient
les points critiques d'indice $\le k$, la variété $G_k$ étant obtenue en ajoutant à $G_{k-1}$
des voisinages disjoints des nappes des points critiques d'indice $k$.

Ces voisinage de nappes, difféomorphes à des disques, sont des *anses*, pierre
angulaire de la théorie de Smale. Le HANDELBODY THEOREM¹²d'élimination de
deux anses $h_i, h_{i+1}$ consécutives<fnref n="13" /> *en bonne position* suit de ce que l'union d'une
variété à bord W et d'un disque de même dimension sur des disques de codimension
zéro de leurs bords est difféomorphe à W<fnref n="14" />, méthode perdant tout contrôle dans
l'élimination de deux points critiques en bonne position d'une fonction de Morse<fnref n="15" />.

C'est sans doute ce qui pousse Milnor ([MSS] et Cerf ([CG])<fnref n="16" />à n'y jamais
mentionner explicitement les anses, Milnor mettant l'accent sur ses *gradient-like*

<footnote n="11">¹¹ loin de l'aisance de Thom [T1] pour ces notions dans son article fondateur dix ans avant.</footnote>

<footnote n="12">¹² **theorem C** de [Sm1], **2.1** de [Sm3], **Lemme fondamental** de [C1] et [C2].</footnote>

<footnote n="13">¹³ $h_i$ et $h_{i+1}$ attachées à $W_{i-1}$ et $W_i = W_{i-1} \cup h_i$ respectivement, $W_{i+1} = W_i \cup h_{i+1}$.</footnote>

<footnote n="14">¹⁴ donnant d'abord que $h_i \cup h_{i+1}$ est un disque, puis $W_{i+1} = (W_{i-1} \cup h_i) \cup h_{i+1} = W_{i-1} \cup (h_i \cup h_{i+1})$ est difféomorphe à $W_{i-1}$.</footnote>

<footnote n="15">15 outre ce lemme d'union au bord d'un disque il faut utiliser deux fois de suite la pas très explicite construction de [Sm0] de passage de décomposition ordonnée en anses à fonction ordonnée esquissée au paragraphe précédent.</footnote>

<footnote n="16">¹⁶ dans ces deux rédactions en 1965 et 1968 de cours professés par Milnor et Cerf en 1963 et 1966 et rédigées par des auditeurs de ces cours il est difficile, sans contact avec auteurs et rédacteurs de distinguer ce qui vient de Milnor et Cerf des « améliorations » des rédacteurs!</footnote>
vector fields<sup>17</sup>alors qu'ils n'apparaissent pas chez Cerf qui, quitte à changer de métrique riemannienne<sup>18</sup>, anticipant sans doute sa théorie de Cerf de déformation de familles à paramètres de fonctions ([C4] débutée en [C3]), se concentre sur les fonctions et n'utilise que le gradient. Son approche s'appuie sur une étude fine du modèle de Morse, le modifiant par difféomorphismes de but et source<sup>19</sup> respectant les niveaux de la fonction et la possibilité de, au lieu de ne les considérer qu'au voisinage des points critiques, les étendre le long de toute nappe d'un point critique c jusqu'au niveau a<sup>20</sup>, d'où un lemme de descente<sup>21</sup> de démonstration limpide.

Pour le lemme d'élimination il montre que deux singularités en bonne position ont aussi un modèle<sup>22</sup>. Ceci le ramène à un seul cas<sup>23</sup> qu'il traite explicitement<sup>24</sup>.

1956-1982

M̯J², singularités différentiables et méthode du chemin par Samuel, Moser, Mather,...

Le « Lemme M̯J² » selon ceux qui l'énoncent au début des années 70²⁵ est issu du séminaire de Thom à l'I.H.E.S. sur les travaux de Mather.

Sans la méthode du chemin, mais par un procédé d'approximations successives, il avait été dégagé<sup>26</sup> bien avant par Samuel (LEMME 2 de [Sa]) pour donner un modèle algébriques aux singularités isolées d'une hypersurface définie sur l'anneau des séries formelles<sup>27</sup>.

<footnote n="17"><sup>17</sup> nos pseudo-gradients, éliminant des singularités en bonne position (Theorem 5.4 de [MSS]) d'un pseudo-gradient, il le modifie au voisinage de la liaison, sans contrôler la fonction.</footnote>

<footnote n="18"><sup>18</sup> **Proposition II 2.4 de [CG]**. C'est ce qui nous a suggéré notre notion de *métrique adaptée* (précisant, en imposant des valeurs propres de la Hessienne de norme 1, celle de IV 1 de [CG]) permettant notre **lemme C** qui nous évite toute construction technique de *double modèle*.</footnote>

<footnote n="19"><sup>19</sup> que, pour ceux de source, il nomme *rétractions*.</footnote>

<footnote n="20"><sup>20</sup> une sous variété de dimension l'indice de c, ayant un maximum non dégénéré en c, sur laquelle f est à valeurs dans [a, f(c)], non singulière hors de c et propre.</footnote>

<footnote n="21"><sup>21</sup> (Proposition 1 de III de [CG])</footnote>

<footnote n="22"><sup>22</sup> a un niveau entre les deux valeurs critiques, il « plombe » la sphère d'attachement de la nappe montante du point inférieur à celle descendante du points supérieur créant son « double modèle de Morse » de ces deux points critiques, puis le « sature » en suivant les lignes de gradients jusqu'à deux niveaux entourant les deux valeurs critiques.</footnote>

<footnote n="23"><sup>23</sup> celui de son modèle de naissance $k_s(x) = -x_1^2 - \dots - x_i^2 + x_{i+1}^2 + \dots + x_n^2 + x_n^3 - 3sx_n, s \in [-1, 1]$</footnote>

<footnote n="24"><sup>24</sup> après avoir « engouffré » dans un double modèle des points (0, ±1) le support d'une fonction cloche $\omega$ avec $\omega(x', t)=1$ près de $\{0\} \times [-1, 1]$, il prend $k_{\omega(1-t)}(x), x \in [0, 1]$.</footnote>

<footnote n="25"><sup>25</sup> **Lemme fondamental de [CL]**, Theorem 1. en tout début du cours au C.I.M.E. [P]. Il ne semble célébré que par l'« école d'Orsay », J. Martinet en 1974 a un énoncé à la fois plus et moins fort ((b) de la proposition de II 4. de [Mar], la traduction anglaise en 1982 de ce cours à la P.U.C. de Rio) avec M̯J² en lieu de M̯J², mais en supposant le reste dans M̯k ⊂ M̯²J.</footnote>

<footnote n="26"><sup>26</sup> Comme signalé aux auteurs de [CL] par B. Teissier que nous remercions de, près de 50 ans après et par retour d'un courriel, nous avoir indiqué la référence [Sa].</footnote>

<footnote n="27"><sup>27</sup> Si $\mathcal{P} = (F) \subset K[[X_1, \dots, X_n]] := R$ est l'idéal premier principal de l'anneau de séries</footnote>
La méthode du chemin systématiquement utilisée par J. Mather dans ses travaux de 1968 à 1970 sur la stabilité des applications $C^\infty$, par exemple LEMMA 1 du §7 de [Mat], semble être dégagée avant en 1965 par J. Moser à la fin de [Mo] pour donner une démonstration alternative de l'unicité, qu'il venait d'établir directement, à isotopie près des formes volumes de même intégrale sur une variété compacte, en obtenant par la même occasion l'unicité à isotopie près des 2-formes symplectiques dans une classe de cohomologie fixée.

## 2012-2014

Deux «reprises» de la géométrie de Morse-Cerf par Laudenbach

Dès le début de 2012 Laudenbach se repenche sur la théorie de Morse-Cerf pour démontrer par «théorie de Cerf» le théorème de Reidemeister-Singer<fnref n="28" />.

Il donne<fnref n="29" /> un lemme de décroissance de valeur critique valable dans une famille à paramètres<fnref n="30" /> et des «versions élémentaires» de lemmes énoncés et montrés par Cerf dans le cas simplement connexe en grande dimmension. Il ne détaille que son “elementary swallow tail lemma” disant les autres démonstrations être analogues<fnref n="31" />. Mais signale, pour le cancellation lemma, sa note [L2].

La «version française abrégée»<fnref n="32" /> est assez séduisante: Il construit un arc $A$ en prolongeant, dans la variété instable du point critique supérieur $p$, la liaison jusqu'à atteindre un niveau inférieur à l'autre valeur critique $f(q)$, modifie la liaison au voisinage de $q$ pour, tout en passant par $q$, être dans la variété stable de $q$ et

<footnote>formelles $R$ définissant l'hypersurface et le point $0$ a une singularité isolée alors une puissance $M^d \subset \mathfrak{J}(F) + (F)$ de l'idéal maximal de $R$ est incluse dans l'idéal jacobien de la singularité. Le lemme $M\mathfrak{J}^2$ assure alors que la singularité est équivalente à celle de l'hypersurface polynomiale définie par le tronqué à l'ordre $2d + 1$ de la série formelle $F$.</footnote>

<footnote n="28">²⁸ (unicité à stabilisation et isotopie près des scindements de Heegaard des 3-variétés) publié en 2014 [L1], voir https://arxiv.org/abs/1202.1130, pour les versions antérieures, v4 contient l'énoncé du theorem 1.3 sans la coupure le rendant incompréhensible dans la version publiée.</footnote>

<footnote n="29">²⁹ avec force construction à l'aide de pseudo gradient d'un modèle de voisinage d'une nappe.</footnote>

<footnote n="30">³⁰ ses références, contrairement à celles de [L2], n'incluent pas [CG] dont la démonstration de la proposition 1 de III est bien plus élégante et fonctionne tout autant à paramètres.</footnote>

<footnote n="31">³¹ suivant les leitmotivs «se ramener à la dimension un», méthode du chemin et lemme $M\mathfrak{J}^2$.</footnote>

<footnote n="32">³² à part une «réécriture de l'histoire» affirmant que Smale utilisait le lemme d'élimination de Morse alors que, comme rappelé plus haut et dans [MSS], Smale ne travaillait qu'avec les anses, les fonction de Morse n'étant utilisées qu'au tout début pour consttuire une décomposition en anses et, à part [113](5) en indice 0 pour la construction de fonctions polaires, tous les articles de Morse sur l'élimination des points critiques sont bien postérieurs aux travaux de Smale.

2) une coquille $h(0) = f(q) - \epsilon$ au lieu de $h(0) = f(p) - \epsilon$ et 3) le manque de précaution dans le choix de la fonction croissante $h_1 \le h$ et la déformation de son lemme d'abaissement faisant qu'il n'y a aucune raison que dans son chemin entre la fontion initiale et celle où deux points critiques ont disparu il n'y ait qu'un seul point critique non dégénéré et que ce point soit cubique.</footnote>
un peu au delà de q et munit un voisinage de cet arc contenant un voisinage du dôme<fnref n="33" /> de p de coordonnées (u, y, z) telles que $f(u, y, z) = h(u) - |y|^2 + |z|^2$. Ceci lui permet de considérer la fonction sur ce voisinage comme la trace d'une famille de fonctions de Morse paramétrée par la coordonnée u de l'arc A. Il applique alors son lemme pour descendre la valeur critique $f(u) = h(u)$ jusqu'à $h_1(u)$ où la fonction $h_1 \le h$ est strictement croissante et égale à h près du bord de A, faisant par là même disparaitre les deux points critiques. La version anglaise détaillée par contre, oublie que Cerf sait simplement substituer aux modèles locaux de Morse ses nappes descendantes globales et n'ayant remarqué notre Lemme C et son complément(extension canonique d'une nappe transverse)<fnref n="34" /> qui donne gratuitement sa variété $W = \{z=0\}$, a besoin de fastidieux recollements.

RÉFÉRENCES<fnref n="1" />

[C1] J. CERF. — *La théorie de Smale sur le h-cobordisme des variétés*, Séminaire Henri Cartan, tome 14 (1961-1962), exp. n° 11-13, p. 1-23, 1962.

[C2] J. CERF. — *Travaux de Smale sur la structure des variétés*, Séminaire N. Bourbaki, 1961-1962, exp. n° 230, p. 113-128, 1962.

[C3] J. CERF. — *La nullité de π₀(Diff(S³)) 1 Position du problème*, Séminaire H. Cartan 15, 1962-1963, exp. n° 20, p. 1-29, 1963.

[C4] J. CERF. — *La stratification naturelle des espaces de fonctions différentiables rélles et le théorème de la pseudo isotopie*, Pub. Math. IHES, t. 39, p. 5-173, 1970.

[CG] J. CERF, A. GRAMAIN. — *Le théorème du h-cobordisme (Smale)*, Secr. math. Ec. normale sup., cours professé au printemps 1965 à la faculté des sciences d'Orsay<fnref n="2" />, 1968.

[CL] A. CHENCINER, F. LAUDENBACH. — *Singularités de codimension 1 et chemins élémentaires d'élimination*, C.R.A.S., 270, 1575-1578, 1970.

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[L1] F. LAUDENBACH. — *A proof of Reidemeister-Singer's theorem by Cerf's methods*, Ann. fac. sc. Toulouse 23 1 (2014), 197-221 2014.

[L2] F. LAUDENBACH. — *A proof of Morse's theorem about the cancellation of critical points*, C.R.A.S., 351, 483-488, 2013.

[Mar] J. MARTINET. — *Singularities of smooth functions and maps*, London Mathematical Society Lecture Note Series 58, 1982.

[Mat] J. MATHER. — *Stability of C∞ mappings: II Infinitesimal stability implies stability*, Annals of mathematics 89, 254-291, 1969.

[MSS] J. MILNOR. — *Lectures on the h-cobordism theorem, Notes by L. Siebenmann and J. Sondow*, Princeton university press, 1965.

<footnote n="33">³³ en reprenant les termes de Morse rappelés ci-dessus.</footnote>

<footnote n="34">³⁴ nécessitant un choix judicieux de métrique riemannienne.</footnote>

<footnote n="1">¹ [k](j) est l'article [k], du volume j, des oeuvres complètes de Morse [M0].</footnote>

<footnote n="2">² Cf. http://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/surgery/cerfgram.pdf</footnote>
[MO] M. MORSE. — collected works, Springer, 1981.

[5](1). — *Relations between the critical points of a function of n independent variables*, T.A.M.S., 27, 345-396, 1925.

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[M] M. MORSE. — *Functional topology and abstract variational calculus*, Mémorial des sciences mathématiques 92, Gauthier-Villars, Paris, 1939.

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[P] V. POÉNARU. — *Lectures on the singularities of $C^\infty$ mappings*, Singularities of analytic spaces (A. Tognoli ed.) C.I.M.E., 83-144 1974.

[Sa] P. SAMUEL. — *Algébricité de certains points algébroïdes*, J. Math. pures et appliquées t. 35 1, 1-6 1956.

[ST] H. SEIFERT, W. THRELFALL. — *Variationsrechnung im Grossen*, Teubner 1938.

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[Sm2] S. SMALE. — *Generalized Poincaré's conjecture in dimension greater than four*, Annals of mathematics, 74, 391-405 1961.

[Sm3] S. SMALE. — *On the structure of manifolds*, American journal of mathematics, 84, 387-399 1962.
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[T0] R. THOM. — *Sur une partition en cellules associée à une fonction sur une variéte*,
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[T1] R. THOM. — *Quelques propriétés globales des variétés différentiables*,
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[T2] R. THOM. — *Bifurcation des gradients*,
Conférence à l'I.H.E.S., décembre 1969 1969.

# APPENDICES

## Notations

Soit $\rho : \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ une fonction lisse à support dans $[0, 1]$ telle<fnref n="1" /> que $\int \rho^2 = 1$.
On note $\beta : \mathbf{R} \to \mathbf{R}$, $\beta(x) = \int_{-\infty}^{x} \rho^2$ donc, pour tout $a, \epsilon \in \mathbf{R}$, $\epsilon > 0$, les fonctions

$$ \beta_{\epsilon,a}, \alpha_{\epsilon}^{a} : \mathbf{R} \to \mathbf{R}, \quad \beta_{\epsilon,a}(x) = \beta\left(\frac{x-a}{\epsilon}\right), \quad \alpha_{\epsilon}^{a}(x) = \beta\left(\frac{a-x}{\epsilon}\right) $$

sont respectivement croissante de 0 sur $]-\infty, a]$ à 1 sur $[a + \epsilon, +\infty[$ et décroissante de 1 sur $]-\infty, a - \epsilon]$ à 0 sur $[a, +\infty[$. On note $\alpha_{\epsilon,a} = 1 - \beta_{\epsilon,a}$, $\beta_{\epsilon}^{a} = 1 - \alpha_{\epsilon}^{a}$.

Ainsi les flots $\phi_{\epsilon,a,t}$, $\psi_{\epsilon,t}^{a} : \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ des fonctions $\beta_{\epsilon,a}$, $\alpha_{\epsilon}^{a}$ vues comme champ de vecteur sur $\mathbf{R}$:

i) sont de dérivée en espace $D\phi_{\epsilon,a,t}$, $D\psi_{\epsilon,t}^{a} = O(\frac{1}{\epsilon})$ et respectivement :

ii) fixent les demi droites $]-\infty, a]$ et $[a, +\infty[$.

iii) sont la translation par $t$, $(x, t) \mapsto x + t$ sur $\{x + t \ge a + \epsilon\}$ et $\{x + t \le a - \epsilon\}$.

## A Ascenseur de val

*Démonstration du Lemme A.* — Soit $(a, \epsilon, t) = (\bar{a}, \bar{\epsilon}, \bar{t}) \circ \pi : T \to \mathbf{R}$ donné par :

$$ \bar{a} = h_W, \quad \bar{\epsilon} = \frac{1}{3}(h_W - f|_W) = \frac{1}{3}(a - f|_W), \quad \bar{t} = e - f|_W $$

il suffit de définir le chemin $f_{e,s}$ par : si $v \notin T$, $f_{e,s}(v) = f(v)$ et si $v \in T$ :

$$ (A) \qquad f_{e,s}(v) = \psi_{\epsilon(\pi(v)),st(v)}^{a(v)}(f(v)) $$

En effet $a, \epsilon, t$ se factorisant par $\pi$, sur chaque fibre $\pi_w = \pi^{-1}(w)$, $w \in W$, l'application $f_{e,s}$ est composée au but de $f|_{\pi_w}$ par un difféomorphisme de $\mathbf{R}$ qui, au voisinage $\{f(v) < a(v)) - \epsilon(v)\}$ de $w$ dans $\pi_w$ est la translation par $s[e(\pi(v)) - f(\pi(v))]$. ■

*Démonstration du Corollaire A.* — si $u' < a = \frac{2u' + u}{3}$, $\epsilon = \frac{u-u'}{3}$, la composée au but de la restriction $f|_W$ par les difféomorphismes $\phi_{\epsilon,a,\beta(\sigma)(u-\kappa)}$ fait le travail sur $W$.

La continuité en $(f, e)$ du LEMME A pour les compacts $L = aW, K = \kappa - \epsilon W$ et le chemin $e_{\sigma} = \phi_{\epsilon,a,\beta(\sigma)(u-\kappa)} \circ f|_W$ donne le $f_{\sigma} = f_{e_{\sigma},1}$ cherché. ■

<footnote n="1">¹ par exemple définie par si $x \in ]0, 1[$ par $\rho(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \frac{\exp(-\cot g^2 \pi x)}{\sin \pi x}$ et sinon $\rho(x) = 0$.</footnote>
Démonstration du Complément A. — L'hypothèse $e \le f_W$ étant satisfaite sur tout val indépendamment de sa crête, on pourra réduire le val à loisir.

Dans le support du chemin $f_{e,s}$, $Z^{-1}(0) = Z_{|W}^{-1}(0) = \Sigma(f_{|W}) \subset K$, la fin du LEMME A et la formule (A) font le travail sur un voisinage ouvert $S$ de $\Sigma \subset W$.

Le compact $L \setminus S \subset W$ est recouvert par un nombre fini d'ouverts $W_j$ bases de microparamétrisations fibrées $\phi = \phi_j = \vartheta \circ \phi_j : W_j \times B_r \to V_j \subset \pi^{-1}(W_j)$ du tube, dans lesquelles $Z \circ \phi = (X, Y)$, $(w, y) \mapsto (X(w, y), Y(w, y))$ avec $X(w, 0) = Z(w)$.

Le champ $Z$ étant tangent à $W$ on a $Y=O(\|y\|)$ et $X(f \circ \phi)|_{W_i \times \{0\}} > 0$ donc comme, près de $0 \in B_r$, $f \circ \phi(w, y) - f \circ \phi(w, 0) = q(y)$, on a $Y(f \circ \phi) = O(\|y\|^2)$.

Comme $3\epsilon \ge h_W \circ \pi - f \ge \|y\|$, la propriété i) du flot $\psi_{a,t}^\epsilon$ et (A) donnent $Y(f_{e,s} \circ \psi)(w, y) = O(\frac{1}{\epsilon} \|y\|^2) = O(\|y\|)$, et pour $\|y\|$ assez petit $Z(f_{e,s}) > 0$.

Ainsi, quite à réduire le val, on a $Z(f_{e,s})|_{V \cap \Sigma(f)} > 0$.

## B Stabilisation infinitésimale et stabilisation

Dans cet appendice on se fixe une sous-variété directe $W \subset V$ de la variété $V$ et deux fonctions lisses $h, k : V \to \mathbf{R}$, $h|_{W \cup C} = k|_{W \cup C}$ égales sur $W$ et sur un voisinage $C$ dans $V$ d'un fermé $C \subset W$.

On note $d = h - k$. On a $d|_W = 0$ donc pour tout $w \in W$, $d_w \in \mathfrak{W}_w$.

### 1 La méthode du chemin de Moser

Une isotopie<fnref n="1" /> $\phi_t : V \to V, t \in \mathbf{R}$ fixe $W$ et est à support dans un voisinage $V_W$ de $W$ dans $V$ et, près de $W$ pour $0 \le t \le 1$, vérifie la relation

$$ (k + td) \circ \phi_t = k \quad \text{donc} \quad h \circ \phi_1 = k $$

si et seulement son champ $Z_t = \frac{d}{dt} \phi_t$ est nul sur $W$, à support dans un voisinage $V_W$ de $W = W \times [0, 1]$ dans $\underline{V} = V \times \mathbf{R}$ et ce champ vérifie la relation de Moser :

$$ (M_W) \qquad \text{pour tout } (v,t) \text{ près de } \underline{W}, \quad Z_t(k + td)(v) = -d(v) $$

Cette condition étant affine en $Z_t$, on peut d'une part imposer le support de l'isotopie disjoint de $C$ et d'autre part il suffit que près de tout $p = (w, t) \in \underline{W}$ il y ait un germe de champ $Z_p$ nul sur $\underline{W}$ et vérifiant la relation de Moser germifiée :

$$ (m_{p,W}) \qquad Z_p(k + td) = -d_p \in \mathfrak{A}(\underline{V})_p $$

<footnote n="1">¹ c. a d. chemin pour $-\epsilon \le t \le 1 + \epsilon$, issu de $\phi_0 = \text{Id}_V$ de difféomorphismes de $V$.</footnote>
Démonstration. — Soit $\psi = \psi^C$ fonction lisse nulle près de $C$ et égale à 1 près de $V \setminus C$ et soit $p \in \mathcal{V}_p \subset \underline{V}$ voisinage de $p$ tel que $(m_{p,W})$ soit l'égalité sur $\mathcal{V}_p$ et $(\varphi_p)_{p \in \underline{W}}$ partition de l'unité subordonnée à ce recouvrement ouvert $(\mathcal{V}_p)_{p \in \underline{W}}$ de $\underline{W}$ et $Z'_t = \psi \cdot (\sum_{p \in \underline{W}} \varphi_p \cdot Z_{p,t})$.

Ce champ dépendant du temps vérifie alors la relation de Moser ($M_W$) et son flot est défini sur un voisinage $\mathcal{V}'_W$ de $\underline{W}$. Si $\phi = \phi_W$ est lisse à valeurs dans $[0, 1]$ égale à 1 près de $W$ et à support dans $\mathcal{V}'_W$ le champ $Z_t = \phi \cdot Z'_t$ produit l'isotopie cherchée. ■

## 2 Un lemme $\mathfrak{M}\mathfrak{J}^2$ relatif

LEMME ($\mathfrak{M}\mathfrak{J}^2$relatif). — Si pour tout $y \in \Sigma_W(h)$, $d \in \mathfrak{M}_y\mathfrak{J}_y^2(h)$.

Alors il y a des voisinages $C \subset C' \subset C$, $W \subset V' \subset V$ de $C$ et $W$ dans $V$ et une isotopie $\phi_t : V \to V$ avec :

$$ (1) \quad \phi_{t|W \cup C' \cup (V \setminus V)} = \mathrm{Id}_{|W \cup C' \cup (V \setminus V)} $$

$$ (2) \quad \text{près de } \Sigma_W(h), \mathrm{T}\phi_1 = \mathrm{Id} $$

$$ (3) \quad h \circ \phi_{1|V'} = k|_{V'} $$

Démonstration. — Par la méthode du chemin, on vérifie les relations de Moser germifiées : i) Si $w \in W \setminus \Sigma_W$ il y a un champ tangent à $W$, $Z_w \in \mathcal{Y}_w$ tel que $Z_w(h)(w) \neq 0$.

Comme $d \in \mathfrak{M}_w$, $Z_w(d) \in \mathfrak{M}_w \subset \mathfrak{M}_w$ et $Z_w(d)(w) = 0$. Si $U_p$ est un voisinage de $p = (w, t_0)$ dans $\underline{V}$ sur lequel $|Z_w(h)| > |(t-1)Z_w(d)|$ et $\rho$ est lisse à support dans $U_w$ égale à 1 près de $w$, le champ $Z_{w,t}$ donné par $Z_{w,t}|_{U_p} = -\rho \frac{d}{Z_w(k)+tZ_w(d)} \cdot Z_w$ et nul hors de $U_p$, vérifie $(m_{p,W})$. □

Scholie. — Si $w \in \Sigma_W$ et $d \in \mathfrak{M}_w\mathfrak{J}_w^2$ alors pour tout $t \in \mathbb{R}$, on a :

$$ \mathfrak{J}_w(k + td) = \mathfrak{J}_w(h + (t-1)d) = \mathfrak{J}_w(h) \subset \mathfrak{M}_w $$

Démonstration. — L'inclusion traduit $w \in \Sigma_W$, la première égalité est tautologique.

Pour la seconde soit $Z_1, \dots, Z_n \in \mathcal{X}_w$ engendrant le $\mathfrak{A}_w$-module $\mathcal{X}_w$.

Alors, si $m \in \mathfrak{M}_w$ et $1 \le k, l \le n$, d'après la règle de Leibnitz :

$$ \begin{aligned} Z_i(m \cdot Z_k(h) \cdot Z_l(h)) &= Z_i(m) \cdot Z_k(h) \cdot Z_l(h) + m \cdot Z_i(Z_k(h)) \cdot Z_l(h) + m \cdot Z_k(h) \cdot Z_i(Z_l(h)) = \\ Z_l(h)Z_i(m) \cdot Z_k(h) + mZ_i(Z_k(h)) \cdot Z_l(h) + mZ_i(Z_l(h)) \cdot Z_k(h) &= \sum_{j=1}^{n} m_{i,j} \cdot Z_j(h) \end{aligned} $$

où, puisque $W$ est directe dans $V$ et $w \in \Sigma_W$, on a $w \in \Sigma(h)$ donc $\mathfrak{J}_w \subset \mathfrak{M}_w$, d'où $m_{i,j} \in \mathfrak{M}_w$ ainsi $^t[Z_1(k+td), \dots, Z_n(k+td)] = M^t[Z_1(h), \dots, Z_n(h)]$ avec $M = [\mathrm{Id}_n + (t-1)(m_{i,j})]_{0 \le j, i \le n}$, donnant l'inclusion $\mathfrak{J}_w(k+td) \subset \mathfrak{J}_w(h)$, l'inclusion inverse suivant de ce que, comme $\det M(w) = 1$, cette matrice $M$ est inversible au voisinage de $w$. □

Ainsi si $y \in \Sigma_W, k-h = -d \in \mathfrak{M}_y\mathfrak{J}_y^2(k+td)$ et, pour tout $p = (y,t) \in \Sigma_W$, il y a $a^2$ $f_1, \dots, f_n \in \mathfrak{M}_p\mathfrak{J}_p \subset \mathfrak{M}_p\mathfrak{M}_p$ avec $Z_{p,t} = \sum_{i=0}^n f_i Z_i$ défini sur $\mathcal{V}_p$, nul sur $\underline{W}$ et vérifiant $(m_p)$. □

<footnote n="2">² en notant $\mathfrak{M}_p, \mathfrak{J}_p, \mathfrak{M}_p$ les germes en $p$ de fonctions de $\mathfrak{A}(\underline{V})$ dont les tranches en $t'$ sont respectivement nulles sur $W \times \{t'\}$, en $p$ et dans $\mathfrak{J}_y(h)$.</footnote>
Soit donc des $Z_{p,t}$ vérifiant, pour tout $p \in \mathbb{W}$, la relation de Moser germifiée ($m_{p,W}$) on peut supposer, si $w \notin \Sigma_W \cup U_{w,t} \cap V_p = \emptyset$, ainsi un $Z_t$ vérifiant ($M_W$) associé à ces $Z_{p,t}$ étant nul à l'ordre deux sur $\Sigma_W$ a son flot tangent à l'identité sur $\Sigma_W$. $\square \blacksquare$

### 3 Démonstration du LEMME B

**Nécessité** dans (1). — W étant paracompacte, par partition de l'unité, on peut supposer le tube f-plat $\pi: T \to W$ trivial, muni d'une paramétrisation fibrée $\phi: W \times \mathbb{R}^r \to V$, $(w, z) \mapsto \phi(w, z)$.

Tout $X \in \mathcal{X}$ s'écrit $X = Y + \sum_{i=1}^r x_i Z_i$, $Y \in \mathcal{Y}$, $x_i \in \mathfrak{A}$, $Z_i = T\phi_*\left(\frac{\partial}{\partial x_i}\right)$, or pour tout $w \in W$, $Z_{iw} \in \ker(\pi_w)$, donc $Z_i(f)_w = 0$ et $\rho(X(f)) = \rho(Y(f)) \in \mathfrak{J}(f|_W)$. $\square$

**Suffisance** dans (1). — W étant paracompacte, on peut supposer V munie, près de W, d'une métrique riemannienne. Le tube f-plat cherché sera géodésiquement radial construit à partir d'une section<fnref n="3" /> $s: T|_W V/TW \to TV|_W$ du fibré normal à W dans V telle que pour tout $w \in W$, $z \in T_w V/T_w W$, $s(z)(f)(w) = 0$.

Ce fibré normal a une section<fnref n="4" /> $s_\emptyset$ il suffit d'établir la :

*Scholie.* — Soit $C, D \subset W$ un fermé et un compact de W et $s_C: T|_W V/TW \to TV|_W$ une section telle que pour tout $c' \in W$ près de $C$, $z' \in T_{c'}V/T_{c'}W$ on a $s_C(z')(f)(c') = 0$.

Alors il y a une section $s_{C \cup D}: T|_W V/TW \to TV|_W$ telle que, près de $C$, $s_{C \cup D} = s_C$ et pour tout $c''$ près de $C \cup D$ et $z'' \in T_{c''}V/T_{c''}W$ on a $s_{C \cup D}(z'')(f)(c'') = 0$.

*Démonstration.* — Le compact $D$ est recouvert par un nombre fini de compacts $D_k$ inclus dans des ouverts $U_k$ de paramétrisations fibrées $\phi: U_k \times \mathbb{R}^r$, $(u, z) \mapsto \phi(u, z)$ d'un (micro-)tube géodésique normal défini par $s_C$. Il suffit de traiter le cas où $D = D_k$ est l'un de ceux-ci.

Comme W est f-directe il y a des champs de vecteurs tangent à W, $Y_i \in \mathcal{Y}$ tels que pour $i=1, \dots, r$ on ait, si $Z_i = \phi_* \frac{\partial}{\partial z_i} - Y_i$, $\rho(Z_i) = 0\sqrt{\pi}$.

Soit $\alpha, \beta: U \to [0, 1]$, $\alpha(C) = 1 = \beta(C \cup D)$ lisses à support dans des voisinages de $C \cap U$ et $(C \cup D) \cap U$ respectivement. La section $s_{C \cup D}$ définie en modifiant $s_C$ sur U par $s_{C \cup D}(\frac{\partial \phi}{\partial z_i}) = \beta(\alpha \frac{\partial \phi}{\partial z_i} + (1-\alpha)Z_i) + \sqrt{\pi}(1-\beta)\phi_*\left(\frac{\partial}{\partial z_i}\right)$ convient. $\square$

**Nécessité** dans (2). — les conditions $(\mathcal{D})$, $(D_{\mathfrak{W}})$, $(P)$ étant locales<fnref n="5" />, on peut supposer $V = W \times \mathcal{N}$ où $\mathcal{N}$ est un voisinage de $0 \in \mathbb{R}^r$ et, pour une famille $q_w: \mathbb{R}^r \to \mathbb{R}$, $w \in W$ de formes quadratiques définies positives que :

$$f: (V, W) = (\mathcal{W} \times (\mathcal{N}, \{0\}) \to \mathbb{R}, \quad f(w, z) = f(w, 0) + q_w(z)$$

Les coordonnées $z_i$, $i=1, \dots, r$ $\mathfrak{W}$ engendrent<fnref n="6" /> et $\mathcal{X}$ l'est par $\mathcal{Y}$ et les $Z_i = \frac{\partial}{\partial z_i}$.

Comme $Z_i(f)(w, 0) = Z_i(q_w)(0) = 0$ la condition $(\mathcal{D})$ est vérifiée. $\square$

On a<fnref n="7" /> $\langle Z_1(f), \dots, Z_r(f) \rangle = \langle z_1(f), \dots, z_r(f) \rangle = \mathfrak{W}$ d'où $(D_{\mathfrak{W}})$. $\square$

<footnote n="3">³ de l'application quotient $T|_W V \to T|_V/TW$.</footnote>

<footnote n="4">⁴ quelquonque, sans la condition $s(z)(f)(w) = 0$ ci-dessus, possible car W est paracompacte.</footnote>

<footnote n="5">⁵ et invariantes par difféomorphismes de la source.</footnote>

<footnote n="6">⁶ comme $\mathfrak{A}$-module: $\mathfrak{W} = \langle z_1, \dots, z_r \rangle := \mathfrak{A}z_1 + \dots + \mathfrak{A}z_r$.</footnote>

<footnote n="7">⁷ car $q_w$ est non-dégénérée.</footnote>
Enfin si $w \in \Sigma_W$ et si $X = Y + Z \in \mathcal{X}_w = \mathcal{Y}_w + \langle Z_1, \dots, Z_r \rangle$ est $f$-plat et, comme $Z$ l'est, on a $Z(f) \in \mathfrak{M}$, donc $Y(f) \in \mathfrak{M}$ ainsi, par définition de $\mathcal{Y}, Y(Z(f)), Y(Y(f)) \in \mathfrak{M}$ donc, comme les $Z_i$ commutent$^8$ sur $W$ avec les vecteurs tangents à $W$, on a $X(X(f))(w) = X(Y(f) + Z(f))(w) = Y(Y(f))(w) + Y(Z(f))(w) + Z(Y(f))(w) + Z(Z(f))(w) = Y(Y(f))(w) + 2Y(Z(f))(w) + Z(Z(f))(w)$ et $X(X(f))(w) = Z(Z(f))(w) = Z(Z(q_w)) \ge 0$ puisque la forme quadratique $q_w$ est positive d'où la relation (P). $\square \blacksquare$

**Suffisance** dans (2). — Soit $\pi: T \to W$, tube $f$-plat autour de $W$ donné par (1).

Ainsi tout point $w \in W$ est point singulier de la restriction de $f$ à $\pi^{-1}(w)$. On note $q_{Hw}$ la Hessienne de cette restriction.

Si $w_0 \in \Sigma_W$ est point singulier de $f|_W$ cette Hessienne $q_{Hw_0}: T_{w_0}\pi^{-1}(w_0) \to \mathbb{R}$ est selon $(D_{\mathfrak{M}})$ non dégénérée et, d'après (P) positive. Il en est de même pour tout $w \in S_{w_0}$ dans un voisinage de $w_0$.

Par convexité des formes quadratiques définies positives$^9$, ce germe en $\Sigma_W$ de famille de formes quadratiques définies positives $((q_w)_{w \in \cup S_{w_0}})_{w_0 \in \Sigma_W}$ s'étend en une métrique euclidienne $\tilde{q}: E \to \mathbb{R}$ sur fibré normal $\tilde{\pi}: E = TV/TW \to W$.

On note $\mathcal{E}$ un voisinage de $W$ dans $E$ sur lequel est défini un plongement ouvert $\vartheta: \mathcal{E} \to V$ d'image un voisinage de $T$ tel que, sur $\vartheta^{-1}(T)$ on ait $\tilde{\pi} = \pi \circ \vartheta$.

Comme $f$ est, en chaque $w \in W$, singulière le long des fibres de $\pi$, la formule de Taylor à l'ordre 2 donne $F_2: X \to \mathcal{Q}(E)$ lisse à valeur dans les formes quadratiques sur $E$ telle que pour tout $x=(w, z) \in \mathcal{E}$ $[w=\tilde{\pi}(x) \in W, z \in \tilde{\pi}^{-1}(w)]$, on a :

$$f \circ \vartheta(w, z) = f(w) + F_2(w, z)(z) = f \circ \vartheta \circ \tilde{\pi}(x) + \tilde{q}_w(z) + d(w, z)$$

Avec les notations du LEMME $\mathfrak{M}\mathfrak{J}^2$ relatif :

**Affirmation**. — Le LEMME $\mathfrak{M}\mathfrak{J}^2$ relatif s'applique au reste :

$$d: X \to \mathbb{R}, d(w, z) = F_2(w, z)(z) - \tilde{q}_w(z)$$

**Démonstration**. — Soit $w$ près de $w_0 \in \Sigma_W$. Le choix de la métrique de $E$ donne $\tilde{q}_w = F_2(w, 0)$. Rappelons que $z \in \mathfrak{M}$ et, d'après $(D_{\mathfrak{M}})$, $\mathfrak{M}_{w_0} \subset \mathfrak{J}_{w_0}$, donc$^{10}$ :

$$F_2(w, z)(z) - \tilde{q}_w(z) = [F_2(w, z) - F_2(w, 0)](z) \in \mathfrak{M}_y(\mathfrak{M}_{w_0}^2) \subset \mathfrak{M}_{w_0} \mathfrak{J}_{w_0}^2$$

Fin de la démonstration. — Si $\mathcal{V}'$ et $\phi_t: \mathcal{E} \to \mathcal{E}$ sont le voisinage de $W$ et l'isotopie donnée par le LEMME $\mathfrak{M}\mathfrak{J}^2$ relatif et $E_{2r'} \subset \mathcal{V}'$ alors $\vartheta_1 = \vartheta \circ \phi_{1|_{E_{2r'}}}$ est un plongement de microvoisinage tubulaire de val pour $f$ cherché. $\blacksquare$

**Remarque**. — Si $w \in \Sigma(f|_W)$ est non dégénéré alors il est $\mathfrak{M}$-défini positif si et seulement si, comme point critique de $f$ il est non dégénéré de même indice que pour $f|_W$.

<footnote>$^8$ car les $z_i$ sont des coordonnées normales à $W$.</footnote>

<footnote>$^9$ et puisque $W$ est paracompacte.</footnote>

<footnote>$^{10}$ car, par Taylor à l'ordre 1, $F_2(w, z) - F_2(w, 0) = F_1(w, z)(z)$, $F_1(w, z) \in \text{End}(E, \mathcal{Q})$ et lisse.</footnote>
Démonstration. — Comme $w \in \Sigma(f|_W)$ est non dégénéré on a $\mathfrak{J}_w(f|_W) = \mathfrak{M}_w(W)$ donc $(D\mathfrak{M})$ implique $\mathfrak{J}_w(f) = \mathfrak{M}_w(V)$ (c. a d. $w \in \Sigma(f)$ non dégénéré) et, par $(P)$, si $N \subset T_w V$ est sous-espace $q_w$-défini négatif maximal alors $N \subset T_w W$ donc $\mathrm{Ind}_w(f) = \mathrm{Ind}_w(f|_W)$. $\square$

Réciproquement, si $w \in \Sigma(f)$ est non dégénéré de même indice que $w \in \Sigma(f|_W)$ alors$^{11}q_w^{\perp b}$ est définie positive (donc non dégénérée) d'où $(P)$ et $(D\mathfrak{M})$ et $\mathfrak{J}(f|_W)_w = \mathfrak{M}_w$ d'où $(\mathcal{D})$. $\square$ ■

C Canonicité de l'extension d'une nappe transverse

Avec les notations du **Lemme C**, le rayon $\gamma \cap \mathcal{U}^\delta$ a pour voisinage dans $\mathcal{U}^\delta$ le cône

$$V^{\delta}(\gamma) = N^{\delta} + \{\tau \cdot p + r; r \in R^{\delta}, s^{2}\mu(r) \leq \tau^{2}\rho^{2}\}$$

Démonstration du **Lemme C**. — (1) suit de la transversalité en $s \cdot p$ de $M_s$ et $P_s$, transversalité qui découle de celle de $M$ et $P$ en $s \cdot p \in \gamma \subset M \cap P$. $\square$

**Affirmation.** — (i) Pour la bonne définition de $\chi$, il suffit de prendre $0 < \delta \leq \sqrt{s\nu}$
(ii) On a $V^\delta(\gamma) \subset \chi(N^\delta \times]0, \delta[) \subset M$ et l'image de $\chi$ est tangente à $Z^U$.

Preuve de (i). — $(\frac{\tau}{s})\delta < \frac{\delta^2}{s} \leq \nu$ ainsi $\theta$ étant lisse, $\chi$ est définie et lisse.

Comme $\chi = \mathrm{Id} + O(\tau^2\sqrt{\mu^N(x)})$, pour $\delta$ assez petit, $\chi$ est un plongement. $\square$
Preuve de (ii). — Si $0 < \tau < \delta$, $t = \log(\frac{s}{\tau})$, $n \in N^\delta$, $r \in R$ et $u = n + \tau \cdot p + r$, on a :

$$\Lambda_t(u) = \frac{\tau}{s} \cdot n + s \cdot p + \frac{s}{\tau} \cdot r$$

Si $u = \chi(n, \tau)$, $u' = \Lambda_t(u) = \frac{\tau}{s} \cdot n + s \cdot p + \theta(\frac{\tau}{s} \cdot n) \in M$ et $\Phi_t^U(u)$ est défini et, par invariance de $M$ par $\Phi_t^U$, $\chi(n, \tau) \in M$, d'où la seconde inclusion. D'autre part : $s\tau \frac{d}{d\tau}\chi(n, \tau)_{\tau_0} = s\tau \frac{d}{d\tau}\Phi_{-t}^U(u')_{\tau_0} = Z^U(\chi(n, \tau_0))$ et $Z^U$ est tangent à l'image de $\chi$. $\square$

Si $u \in V^\delta(\gamma) \cap M$, $\Lambda_t(u) \in s \cdot p + (N^\nu + R^\rho)_0$ et $\Phi_t^U(u)$ est encore défini. Par invariance de $M$ par $\Phi_t^U$, $\Lambda_t(u) \in M$, donc d'après (1), $\frac{s}{\tau} \cdot r = \theta(\frac{\tau}{s} \cdot n)$ et $u = \chi(n, \tau) \in \chi(N^\delta \times]0, \delta[)$ et la première inclusion. $\square$

(3) du LEMME C s'obtient, quitte à éventuellement réduire $\delta$, en remarquant :

$$f \circ \psi \circ \chi(n, \tau) = -\mu^N(n) + \mu^P(s \cdot p) + O(\tau^4 \mu^N(n))$$

$\square$ ■

Démonstration du **Complément C**. — D'après la première inclusion de (ii) il n'y a pas de voisinage $M^+$ de $\{0\} \cup M'$ dans $M_\chi$ de topologie de variété, celle induite par l'immersion $\xi$, si et seulement si il y a une suite $m_n \in M' \setminus V(\gamma)$ qui tende vers 0.

<footnote>$^{11}$ car tout $X_w$ dans l'orthogonal pour $q_{Hw}$ de $TW_w$ sétend en un champ $f$-plat et en notant $q_w^{\perp b}$ la restriction de $q_{Hw}$ à cet orthogonal.</footnote>
Si $c_n(t)$ est la courbe intégrale de $Z^U$ avec $c_n(0) = m_n$, il y a un $t_n > 0$ tel que $c_n(t_n) = m'_n \in \text{Fr}(N^\delta \times P^\delta)$. Cette suite a une valeur d'accumulation $m'_\infty$ qui d'une part, puisque $m_n \in M$ et par $\Phi_t^U$-invariance $m'_n \in M$ est$^{12}$dans $M'$ et d'autre part, comme $m_n$ tend vers 0 et $V^\delta(\gamma) \subset \text{Im}(\chi)$, doit être dans $\text{Fr}(P^\delta \setminus V(\gamma))$, donc distincte de $\delta \cdot p$ et $(\mathbf{R}_+^* \cdot m'_\infty) \cap U \subset M \cap P \setminus \gamma$ est un autre rayon d'intersection.

D Lemme du dromadaire

Sur $I$ soit huit points $b' < b < c' < c < d < d' < n < n'$, $k(d') < k(c)$.

Un polynôme cubique $p$ tel $p_i(X) = 2i(X-d) - 3(c-d)(X-d)^2 + 2(X-d)^3$, $i \in \{0,1\}$, est rahla$^1$ d'une fonction $k$ (en $c,d,n$-dromadaire) vérifiant (D) si :

$$p'(n) > 0, p(d) = 0 \quad \text{et} \quad p'^{-1}(0) \in \{\{c,d\}, \emptyset\}$$

SCOLIE. — Soit une rahla $q$ de $k$. Il y a alors $0 < \eta$ et une fonction $g_1$ avec :

$$(1) \quad g_1|_{[c',d')} = k(c) + \eta + \eta q|_{[c',d']}$$

$$(2) \quad k \le g_1 \text{ avec égalité sur } I \setminus b, n$$

$$(3) \quad g'_1|_{I \setminus [c,d]} > 0$$

$$(4) \quad g_1(c) < g_1(n)$$

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

Démonstration. — Soit $q_1 = k(c) + \eta(1 + q|_I) : I \to \mathbb{R}$. Si $0 < \eta$ est assez petit on a $k <_{[b',d')} q_1$ et $0 <_{[d',n']} q'_1 <_{[d',n']} k'$ et, puisque $k(c) < k(n)$ et $k(d') < k(c)$, il y a $e \in ]d', n[ \subset ]d, n[$ tel que $k(e) = q_1(e)$.

<footnote>$^{12}$ puisque $q(m_n) > 0$ car $m_n \in M'$ et $q$ croit sur les courbes intégrale de $Z^U = \text{grad}_\mu(q)$.</footnote>

<footnote n="1">1 selle de dromadaire des sahariens voir [FR].</footnote>
Si $0 < \delta_1 < e - d'$ on pose $g_1 : I \to \mathbb{R}$ défini par :

$$ \tilde{g}_1(t) = k(e) + \int_e^t \alpha_{\delta_1}^e q_1' + \beta_{\delta_1}^e k' = k + \int_e^t \alpha_{\delta_1}^e (q_1' - k') = q_1 + \int_e^t \beta_{\delta_1}^e (k' - q_1') $$

Si $t \ge e$, comme $\alpha_{\delta_1}(t) = 0$, on $\tilde{g}_1(t) = k(t)$, donc $k \le_{[e,n')} \tilde{g}_1$. Par convexité on a $k \le_{[b',d')} \tilde{g}_1$ puisque $q_1 = k(e) + \int_e^t q_1'$, $k = k(e) + \int_e^t k'$ et $k \le_{[b',d')} q_1$. On a aussi $k \le_{[d',e]} \tilde{g}_1$ puisque $q_1' \le_{[d',n')} k'$. Ainsi $k \le_{[b',n')} \tilde{g}_1$ et (2) sauf l'égalité pour $t \le b$.

Si $0 < \delta < b - c'$ il suffit de prendre :

$$ g_1 = \alpha_{\delta,b} k + \beta_{\delta,b} \tilde{g}_1 $$

Démonstration du Lemme D. — La SCOLIE avec $(k,q) = (k,p_0)$ donne une fonction $g_1 = k_1 \ge k$ en $c,d,n$-dromadaire, la SCOLIE pour $(k,q) = (k_1,p_1)$ donne alors une fonction non singulière $k_2 \ge k_1 \ge k$ et il suffit de poser

$$ k_s = \alpha_1^1(s)[\alpha_0^1(s)k + \beta_0^1(s)k_1] + \beta_1^1(s)k_2 $$
INDEXES

Dans la colonne de droite **0** i 2 (resp. **N** 2) et 1 2 signifient
**Définition 0 i)** page 2. (resp. **Notations** page 2.) et **note¹** page 2.

Index des notations

<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>U<sub>W</sub> = (V, T, π, q)</td>
      <td>0 i) 2</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>r<sub>W</sub> = r<sub>f,W</sub></td>
      <td>0 i) 2</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>h<sub>W</sub> = h<sub>f,W</sub></td>
      <td>0 i) 2</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>h &le;Y, h &lt;Y</td>
      <td>1 ii) 2</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>&kappa;,f F = &kappa;F =</td>
      <td>2 ) 3</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>(P<sub>u'W</sub>)</td>
      <td>3</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A(V)<sub>v</sub> = A<sub>v</sub>, M(V)<sub>v</sub> = M<sub>v</sub>, A(V)<sub>v</sub> = A<sub>v</sub>,</td>
      <td>3</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>X(V) = X, Y(V) = Y, X<sub>v</sub>, Y<sub>v</sub></td>
      <td>3</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>J<sub>w</sub>(f)</td>
      <td>4</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>&Sigma;(f), &Sigma;<sub>W</sub>(f)</td>
      <td>3 ii1) 4</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>q<sub>H,w</sub></td>
      <td>12 4</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>(D)</td>
      <td>3 i2) 4</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>(D<sub>M</sub>), (P)</td>
      <td>3 ii2) 4</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Ind<sub>c</sub>(f)</td>
      <td>4 i) 5</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>&mu; = &mu;<sup>N</sup> &oplus; &mu;<sup>P</sup></td>
      <td>4 iv) 5</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>F = (f, Z), F = (f, &Psi;, Z) abr. = (f, Z)</td>
      <td>4 vi) 5</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>&le;Z</td>
      <td>5 i) 6</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>&le;Z</td>
      <td>5 ii) 6</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>c<sub>~</sub>(Z)</td>
      <td>5 iii) 6</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>c(Z)</td>
      <td>5 iv) 6</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>c&#773;<sub>~</sub>..~</sub></td>
      <td>5 v) 6</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>(&Pcirc;u'c)</td>
      <td>6</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>&Phi;<sup>U</sup><sub>t</sub>, &Lambda;<sub>t</sub></td>
      <td>7</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>&theta;, &chi;, &chi;(n, &tau;) = n + &tau;p + &tau;/s &middot; &theta;(&tau;/s &middot; n)</td>
      <td>7</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>&beta;, &beta;<sub>&epsilon;,a</sub>, &alpha;<sub>&epsilon;</sub><sup>a</sup>, &beta;<sub>&epsilon;</sub><sup>a</sup>, &alpha;<sub>&epsilon;,a</sub></td>
      <td>17</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>&phi;<sub>&epsilon;,a,t</sub>, &psi;<sub>&epsilon;,t</sub><sup>a</sup></td>
      <td>17</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>(M<sub>W</sub>), (m<sub>pW</sub>)</td>
      <td>18</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
Index terminologique

<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>adaptée [donnée de Morse adaptée à]</td>
      <td>4 viii)</td>
      <td>5</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>adaptée [métrique adaptée à]</td>
      <td>4 iv)</td>
      <td>5</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>avant [point Z-avant un autre]</td>
      <td>5 i)</td>
      <td>6</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>chemin de fonctions de à</td>
      <td>1 ii)</td>
      <td>2</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>coindice d'un point critique</td>
      <td>4 i)</td>
      <td>5</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>conappe d'un point critique</td>
      <td>5 iv)</td>
      <td>6</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>crête d'un val</td>
      <td>0 i)</td>
      <td>2</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>dromadaire [fonction en c, d, n-dromadaire]</td>
      <td>D</td>
      <td>23</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ensemble de points critiques d'une fonction</td>
      <td>3 ii1)</td>
      <td>4</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>donnée (de Morse)</td>
      <td>4 vi)</td>
      <td>5</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>fonction de Morse</td>
      <td>4 iii)</td>
      <td>5</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>fonction val ou de val</td>
      <td>0 i)</td>
      <td>2</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>fond d'un val</td>
      <td>0 i)</td>
      <td>2</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>indice d'un point critique</td>
      <td>4 i)</td>
      <td>5</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>infinitésimalment stabilisée d'une fonction</td>
      <td>3 iii2)</td>
      <td>4</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>métrique adaptée</td>
      <td>4 iv)</td>
      <td>5</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Z-modifiée [donnée de Morse (faible) Z-modifiée]</td>
      <td>4 vii)</td>
      <td>5</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>nappe (d'un fermé critique à un niveau</td>
      <td>2 iii)</td>
      <td>3</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>nappe d'un point critique</td>
      <td>5 iii)</td>
      <td>6</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>nappe saturée d'un point critique</td>
      <td>5 v)</td>
      <td>6</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>paramétrisation de Morse d'un point critique</td>
      <td>4 ii)</td>
      <td>5</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>plat [champ de vecters f-plat]</td>
      <td>3 i0)</td>
      <td>4</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>plat [tube f-plat]</td>
      <td>3 i1)</td>
      <td>4</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>propre [application F-propre]</td>
      <td>2)</td>
      <td>3</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>pseudogradient (faible)</td>
      <td>4 v)</td>
      <td>5</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>rahla d'une fonction en c, d, n-dromadaire</td>
      <td>D</td>
      <td>23</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>sous [point Z-sous un autre]</td>
      <td>5 ii)</td>
      <td>6</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>stabilisée d'une fonction</td>
      <td>3 iii1)</td>
      <td>4</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>taille d'un val</td>
      <td>0 i)</td>
      <td>2</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>val de Morse</td>
      <td>4 ix)</td>
      <td>5</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>val constant</td>
      <td>0 i)</td>
      <td>2</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>val pour une fonction</td>
      <td>0 i)</td>
      <td>2</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>(micro)voisinage tubulaire métrique ouvert, fermé</td>
      <td>1</td>
      <td>2</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
TABLE DES MATIÈRES

<table><tr><td>Résumé et Abstract.</td><td>1</td></tr><tr><td>Guide de lecture.</td><td>1</td></tr><tr><td>§1 Introduction : définitions et fil des énoncés</td><td>2</td></tr><tr><td>§2 Réduction du lemme d'élimination aux Lemmes A, B, C, D.</td><td>9</td></tr><tr><td>§3 Commentaires bibliographiques.</td><td>10</td></tr><tr><td>1925-1969 Les écrits de More (et avec Huebsch)</td><td>10</td></tr><tr><td>1960-1968 Le h-cobordisme de Smale et ses expositions par Milnor et Cerf</td><td>12</td></tr><tr><td>1956-1982 M̄z², singularités et méthode du chemin par Samuel, Mother, Mather,...</td><td>13</td></tr><tr><td>2012-2014 Deux «reprises» de la géométrie de Cerf par Laudenbach</td><td>14</td></tr><tr><td>Références.</td><td>15</td></tr></table>

Appendices

<table><tr><td>A Notations</td><td>17</td></tr><tr><td>A L'ascenseur de val</td><td>17</td></tr><tr><td>B Stabilisation infinitésimale et stabilisation</td><td>18</td></tr><tr><td>1 La méthode du chemin de Moser</td><td>18</td></tr><tr><td>2 Un lemme M̄z² relatif</td><td>19</td></tr><tr><td>3 Démonstration du LEMME B</td><td>20</td></tr><tr><td>C Canonicité de l'extension d'une nappe transverse</td><td>22</td></tr><tr><td>D Lemme du dromadaire</td><td>23</td></tr><tr><td>Index des notations.</td><td>25</td></tr><tr><td>Index terminologique.</td><td>26</td></tr></table>

Metteur en scène et secrétaire : Alexis Marin Bozonat
courriel : alexis.charles.marin@gmail.com

Institut Fourier, UMR 5582, Laboratoire de Mathématiques Université Grenoble Alpes, CS 40700, 38058 Grenoble cedex 9, France