# Fonction caractéristique d'une forme quadratique de vecteur aléatoire gaussien non centré

J.-R. Barra

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J.-R. Barra. Fonction caractéristique d'une forme quadratique de vecteur aléatoire gaussien non centré. Annales de l'ISUP, 1967, XVI (2), pp.155-158. hal-04083914

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Submitted on 27 Apr 2023

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# FONCTION CARACTÉRISTIQUE D'UNE FORME QUADRATIQUE
DE VECTEUR ALÉATOIRE GAUSSIEN NON CENTRÉ

J.-R. BARRA

Il semble que la formule suivante ne figure pas dans les traités classiques.

Soit $M$ une matrice symétrique non négative et $X$ un vecteur aléatoire gaussien de moyenne $m$ et de covariance $\Lambda$, la variable aléatoire

$$Z = {}^t X M X$$

a pour fonction caractéristique

$$\varphi_z(t) = [\det(I - 2itM\Lambda)]^{-\frac{1}{2}} \cdot \exp \{it^m(I - 2itM\Lambda)^{-1} Mm\} \quad (1)$$

La démonstration repose sur le lemme suivant, où n désigne l'ordre de $M$ et $\Lambda$, r le rang de $\Lambda$.

LEMME.- *Il existe au moins une matrice $A$ d'ordre $(n, r)$ telle que*

$$\Lambda = A {}^t A$$

$${}^t A M A = K$$

où $K$ est une matrice diagonale dont les éléments diagonaux non nuls sont les valeurs propres non nulles de la matrice $M\Lambda$ (ou $\Lambda M$).

DÉMONSTRATION DE LA FORMULE(1). - D'après le lemme on peut écrire

$$X = m + AY$$

où $Y$ est un vecteur aléatoire de loi $N(O, I_r)$, d'où

$$Z = {}^t m Mm + 2 {}^t uY + {}^t Y K Y$$
où

$$ ^t u = (u_1, \dots, u_r) = ^t m M A . $$

Soit en désignant par $s_j$ les éléments diagonaux de $K$, il vient

$$ Z = ^t m M m + \sum_{j=1}^{r} (s_j Y_j^2 - 2 u_j Y_j) \quad (2) $$

Or, que $s_j$ soit nul ou non, la fonction caractéristique de la variable aléatoire

$$ s_j Y_j^2 - 2 u_j Y_j $$

est égale à

$$ (1 - 2 \text{its}_j)^{-\frac{1}{2}} \exp \left\{ - \frac{2 t^2 u_j^2}{1 - 2 \text{its}_j} \right\} $$

d'où il vient pour la fonction caractéristique de $Z$

$$ \varphi_Z(t) = \left[ \prod_{j=1}^{r} (1 - 2 \text{its}_j) \right]^{-\frac{1}{2}} \exp \{ \text{it} \, ^t m M m - 2t^2 \, ^t u (I - 2 \text{it} \, ^t K)^{-1} u \} . $$

Or, il découle du lemme que

$$ \text{dét}(I - 2\text{it}K) = \det(I - 2\text{it}M\Lambda), $$

et il nous reste donc seulement à vérifier que

$$ ^t m M m + 2 \text{it} ^t m M A (I - 2 \text{it} K)^{-1} ^t A M m = ^t m (I - 2 \text{it} M \Lambda)^{-1} M m $$

soit encore que

$$ I - 2 \text{it} M A (I - 2 \text{it} K)^{-1} ^t A = (I - 2 \text{it} M \Lambda)^{-1} $$

ou encore que

$$ [I - 2 \text{it} M A (I - 2 \text{it} K)^{-1} ^t A] (I - 2 \text{it} M \Lambda) = I . $$

Soit en développant

$$ -2 \text{it} M \Lambda - 2 \text{it} M A (I - 2 \text{it} K)^{-1} ^t A - 4t^2 M A (I - 2 \text{it} K)^{-1} ^t A M \Lambda = 0 $$
d'où en tenant compte de
$$ \Lambda = A \, {}^tA \quad \text{et} \quad {}^tA M A = K $$

$$ I - (I - 2itK)^{-1} + 2it(I - 2itK)^{-1} K = 0. $$

Ce qui est clair et la démonstration est achevée.

On vérifie d'ailleurs que $(I - 2it M \Lambda)^{-1} M = M(I - 2it \Lambda M)^{-1}$ est bien une matrice symétrique.

COROLLAIRE 1. — On a

$$ E(Z) = {}^tM M m + \mathrm{Tr}(M \Lambda) . $$

En effet, d'après la formule (2), il vient

$$ E(Z) = {}^tM M m + \sum_j s_j . $$

Or d'après le lemme

$$ \sum_j s_j = \mathrm{Tr} K = \mathrm{Tr} M \Lambda . $$

COROLLAIRE 2. — Si toutes les valeurs propres non nulles de la matrice $M \Lambda$ sont égales, Z suit une loi du "$\chi^2$"-décentré'.

Faculté des Sciences de Grenoble,

Reçu le 30 avril 1967