# Mathematical methods for analysis swimming at low Reynolds number

Laëtitia Giraldi

► To cite this version:

Laëtitia Giraldi. Mathematical methods for analysis swimming at low Reynolds number. Optimization and Control [math.OC]. École Polytechnique X, 2013. English. NNT: 2013EPXX0047. pastel-00873294

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Doctorat de l'Ecole polytechnique

(spécialité mathématiques appliquées)

présentée par

Laetitia GIRALDI

pour l'obtention du diplôme de

Docteur de l'Ecole polytechnique

Sujet de la thèse :

# Méthodes mathématiques pour l'analyse de la natation à l'échelle microscopique

Soutenue publiquement le 25 septembre 2013

après avis des rapporteurs :

Emmanuel Trélat

Marius Tucsnak

devant le jury composé de :

François Alouges Directeur de thèse

Karine Beauchard Examinateur

Vincent Calvez Examinateur

Olivier Glass Examinateur

Bertrand Maury Examinateur

Emmanuel Trélat Rapporteur

Marius Tucsnak Rapporteur
Mis en page avec la classe thloria.
À la mémoire de mes chers grands-parents Jeanne Weber et Robert Ruelle,
Remerciements

Que mon directeur de thèse, François Alouges, veuille trouver ici l'expression de ma vive
gratitude pour sa bienveillance, ses précieux conseils et sa confiance jamais altérée pendant
ces trois années. Je le remercie de m'avoir confié le sujet passionnant qui a motivé ces re-
cherches. Si travailler avec lui a toujours été extrêmement enrichissant, la grande liberté qu'il
m'a offerte a été essentielle dans ce travail.

Je voudrais remercier Emmanuel Trélat, d'avoir accepté de rapporter cette thèse. En plus
d'être touchée par l'intérêt qu'il a porté à mon travail, je suis honorée par sa présence dans
mon jury. Je dois avouer que son livre occupe une place de choix dans ma bibliothèque
lorsqu'il n'est pas sur ma table de chevet. Je remercie également Marius Tucsnak, dont le
nom est cité de nombreuses fois dans ce manuscrit, de m'avoir fait l'honneur de rapporter ce
travail. Je lui témoigne toute ma gratitude pour les discussions très instructives et conviviales
que nous avons eu lors de mon séjour à l'institut Élie Cartan de Nancy.

Je remercie aussi Karine Beauchard, Olivier Glass et Bertrand Maury de me faire l'hon-
neur d'être membre de mon jury. De même, j'exprime ma sincère gratitude à Vincent Calvez
pour sa participation au jury de la thèse et pour m'avoir offert le Post-doc "de mes rêves".

Je tiens à remercier tous mes co-auteurs, sans qui rien n'aurait été possible.

J'ai eu la chance de collaborer avec Thomas Chambrion qui m'a fait découvrir la géométrie sous-riemannienne. Je le remercie pour les séances de travail passionnées dans son bureau pendant lesquelles la sélection de références allait du célèbre livre d'Andrei Agrachev au fameux passage du film Matrix lorsque l'armurerie vient à "Néo" évoqué comme un parallèle à l'utilisation de résultats mathématiques sophistiqués.

J'adresse toute ma gratitude à Antonio DeSimone pour son hospitalité, pour le temps qu'il m'a consacré, pour ses précieux conseils et enfin pour sa gentillesse. Ce fut pour moi un grand honneur de travailler avec lui et notre collaboration a été une expérience très formatrice. J'espère que l'occasion de revenir à la SISSA se présentera à nouveau.

J'ai eu le grand plaisir de travailler avec David Gérard-Varet. Je lui sais gré d'avoir ac-
cepté d'étudier avec moi "la contrôlabilité du Three-sphere avec un bord rugueux". Outre la
grande fierté que j'ai eu à travailler avec un mathématicien de cette réputation, j'ai été très
touchée par sa simplicité. J'avoue que cette fabuleuse aventure pleine de péripéties a été très
formatrice.

Je remercie Pierre Martinon pour le temps qu'il m'a consacré. J'ai beaucoup apprécié
le dynamisme qui a animé notre petit groupe ces six derniers mois. Je me souviens de ses
recommandations avisées, qui résonnaient pour moi comme des formules magiques pour
prévenir les mauvaises critiques.

J'exprime également ma sincère gratitude à Alexandre Munnier. Un grand merci pour son
hospitalité. Je lui suis également très reconnaissante pour ses corrections qui ont beaucoup
profité à la dernière partie de cette thèse.

Enfin, je remercie très chaleureusement ma plus jeune collaboratrice, Marta Zoppello.
C'est un grand plaisir de travailler avec Marta.

Je souhaite adresser mes sincères remerciements à Benoît Perthame, à l'époque il était
responsable de mon Master 2. Je n'oublie pas le temps précieux qu'il m'a consacré pour
m'aider à choisir mon sujet de thèse.

Cette thèse a été effectué au Centre de mathématiques appliquées de l'École polytechnique (CMAP), où j'ai pu bénéficier de conditions de travail exceptionnelles. Les chercheurs ont toujours été très accessibles et sympathiques. Plus particulièrement, j'adresse mes sincères remerciements à Antonin Chambolle, pour sa bienveillance et parce qu'il a soutenu ma parti-
cipation à de nombreuses conférences, et à Sylvie Méléard, pour sa gentillesse et ses conseils toujours très enrichissants. Je témoigne également ma sincère gratitude à Ugo Boscain pour m'avoir consacré un temps précieux, à Grégoire Allaire pour sa sollicitude, à Emmanuel Gobet pour nos conversations agréables, à Frederic Bonnans pour sa convivialité, à Carl Graham pour nos discussions lors des pots de thèse du laboratoire et à Anne De Bouard pour sa courtoisie. Je souhaite aussi remercier Benoit Merlet pour sa franchise et Stefano De Marco pour sa sympathie.

Pendant la thèse, j'ai eu la chance d'enseigner à l'École polytechnique les mathématiques appliquées aux élèves du parcours EV2. Je voudrais remercier Olivier Pantz et Aline Lefebvre qui m'ont accompagné dans cette mission. Je remercie également très chaleureusement Pascale Harinck, chargée de recherche et responsable du parcours EV2. Elle a été une confidente pour moi, je lui sais gré de nos discussions sur les mathématiques, sur l'enseignement ou bien sur la vie en général.

Je souhaite profiter de l'occasion pour saluer le travail de l'équipe administrative du CMAP. Un grand merci à Nasséra Naar et Alexandra Noiret sans qui bien des choses auraient été plus compliquées. Je n'oublie pas non plus Christian Feeley qui a rejoint le sud de la France. Je remercie également Sylvain Ferrand pour avoir été toujours à l'écoute de mes problèmes informatiques.

J'adresse mes sincères remerciements à la principauté de Monaco qui m'a permis de bénéficier d'un logement au sein de la Fondation de Monaco à la Cité internationale universitaire de Paris pendant ces trois années de thèse.

Je remercie tous mes camarades doctorants et post-docs avec qui j'ai partagé d'agréables moments, un repas, une pause café, un trajet RER et bien plus encore. En particulier, je pense à Pascal Benchimol, Camille Coron, Davide Barilari, Xavier Dupuis, Gwenael Mercier, Gorgios Michailidis, Sepideh Mirrahimi, Laurent Pfeiffer et Dario Prandi. En cette occasion spéciale, je tiens également à saluer la fidélité de mes amis, Audrey Abbattista, Khanh Dao-duc, Marie-Hélène Djivas, Michaël Goldman, Mathieu Pedro, Marine Tort, Magali Tournus et Romain Yvinec.

J'exprime aussi ma gratitude à mes oncles et mes tantes, à Bernard Ruelle pour m'avoir fait découvrir les mathématiques, à Jean-Marc Giraldi pour son aide, à Martine Ruelle pour son affection. Je remercie également mes grands-parents Jean-Albert et Ida Giraldi. À leurs côtés j'ai compris ce que voulait dire le mot travail.

J'ai une pensée très affectueuse pour mes parents, Philippe Giraldi et Brigitte Ruelle-Weber. Je les remercie de l'amour qu'ils me manifestent. J'exprime ma profonde gratitude à ma sœur Caroline Giraldi, que je tiens en haute estime, pour le grand réconfort qu'elle m'apporte lorsque je suis égarée. Je remercie également ma petite sœur, Juliette Giraldi, pour tout l'amour qu'elle me témoigne. Enfin, je remercie le "petit" Jean-Baptiste Ricard l'attachement qu'il me porte.

Mes derniers remerciements sont adressés à Areski Cousin. Merci d'avoir partagé avec moi toutes ces épreuves, d'avoir été fort lorsque j'étais faible, d'avoir été enthousiaste lorsque j'étais triste, d'avoir eu foi en moi lorsque j'échouais, d'avoir été valide lorsque j'étais malade, d'avoir été bavard lorsque j'étais silencieuse, d'avoir ennobli mon âme. L'amour que tu me donnes est à nul autre pareil.
"It is very difficult to find a black cat in a dark room, warns an old proverb.
Especially when there is no cat."

Stuart Firestein, in **Ignorances : how it drives sciences**
# Table des matières

<table><tr><td>Introduction</td><td>1</td></tr><tr><td>1 Du couplage fluide-solide vers la dynamique du nageur</td><td>2</td></tr><tr><td>1.1 Description générique des nageurs</td><td>2</td></tr><tr><td>1.2 Modélisation du fluide</td><td>3</td></tr><tr><td>1.3 Equation du mouvement du nageur</td><td>3</td></tr><tr><td>2 Quelques résultats classiques de la théorie du contrôle géométrique</td><td>4</td></tr><tr><td>3 Synthèse des principales contributions de la thèse</td><td>6</td></tr><tr><td>3.1 Partie 1 : Le N-link swimmer</td><td>6</td></tr><tr><td>3.2 Partie 2 : Effets des bords sur la contrôlabilité d'un nageur</td><td>8</td></tr><tr><td>3.3 Partie 3 : Problème de contrôle optimal</td><td>13</td></tr><tr><td>4 Conclusions et perspectives</td><td>17</td></tr></table>

## Partie I N-link swimmer 21

### Chapitre 1

Self-propulsion of slender micro-swimmers by curvature control : N-link swimmers

<table><tr><td>1.1 Introduction</td><td>24</td></tr><tr><td>1.2 Mathematical setting of the problem</td><td>25</td></tr><tr><td>1.2.1 Kinematics of the N-link swimmer</td><td>25</td></tr><tr><td>1.2.2 Equations of motion</td><td>25</td></tr><tr><td>1.3 Applications</td><td>29</td></tr><tr><td>1.3.1 Purcell's 3-link swimmer</td><td>29</td></tr><tr><td>1.3.2 N-link swimmers</td><td>33</td></tr><tr><td>1.4 Conclusions and perspectives</td><td>39</td></tr><tr><td>1.5 Appendix A</td><td>40</td></tr></table>

### Chapitre 2

Controllability and Optimal Strokes for N-linkMicroswimmer

<table><tr><td>2.1 Introduction</td><td>44</td></tr></table>
<table><tbody><tr><td>2.1.1</td><td>Locomotion at low Reynolds Number</td><td>44</td></tr><tr><td>2.1.2</td><td>Contribution</td><td>44</td></tr><tr><td>2.2</td><td>Setting of the problem</td><td>44</td></tr><tr><td>2.2.1</td><td>The N-link swimmer</td><td>45</td></tr><tr><td>2.2.2</td><td>Dynamics</td><td>45</td></tr><tr><td>2.3</td><td>Controllability</td><td>47</td></tr><tr><td>2.3.1</td><td>Classical results in geometric control</td><td>47</td></tr><tr><td>2.3.2</td><td>Regularity</td><td>48</td></tr><tr><td>2.3.3</td><td>Controllability of the Purcell Swimmer (N=3)</td><td>48</td></tr><tr><td>2.3.4</td><td>Controllability of the N-link swimmer</td><td>50</td></tr><tr><td>2.4</td><td>Minimum time optimal problem for the N-link swimmer</td><td>50</td></tr><tr><td>2.4.1</td><td>Optimal Time Control Problem Statement</td><td>51</td></tr><tr><td>2.4.2</td><td>Optimization Strategy</td><td>51</td></tr><tr><td>2.5</td><td>Numerical simulation for the Purcell's swimmer (N= 3)</td><td>52</td></tr><tr><td>2.5.1</td><td>The classical Purcell stroke</td><td>53</td></tr><tr><td>2.5.2</td><td>Comparison of the optimal stroke with the classical Purcell stroke</td><td>53</td></tr><tr><td>2.6</td><td>Conclusions</td><td>56</td></tr></tbody></table>

# Partie II Les effets du bord sur la contrôlabilité de micro-nageurs 57

## Chapitre 3

### Enhanced controllability of low Reynolds number swimmers in the presence of a wall

<table><tbody><tr><td>3.1</td><td>Introduction</td><td>60</td></tr><tr><td>3.2</td><td>Notation and main results</td><td>61</td></tr><tr><td>3.2.1</td><td>The Four-sphere swimmer</td><td>61</td></tr><tr><td>3.2.2</td><td>The Three-sphere swimmer</td><td>62</td></tr><tr><td>3.2.3</td><td>Main results</td><td>63</td></tr><tr><td>3.3</td><td>Mathematical setting of the problem</td><td>63</td></tr><tr><td>3.3.1</td><td>Modelization of the fluid</td><td>63</td></tr><tr><td>3.3.2</td><td>Equation of motion</td><td>65</td></tr><tr><td>3.3.3</td><td>Classical results in geometric control</td><td>66</td></tr><tr><td>3.4</td><td>The Four-sphere swimmer</td><td>67</td></tr><tr><td>3.5</td><td>The Three-sphere swimmer</td><td>68</td></tr><tr><td>3.5.1</td><td>Equation of motion for the Three-sphere swimmer</td><td>68</td></tr><tr><td>3.5.2</td><td>Symmetry properties of the vector fields</td><td>69</td></tr><tr><td>3.5.3</td><td>Approximation for small spheres and large distances</td><td>71</td></tr><tr><td>3.5.4</td><td>Asymptotic expansion of the motion equation</td><td>74</td></tr></tbody></table>
<table><tr><td>3.5.5</td><td>Dimension of Lie algebra under the small spheres hypothesis</td><td>77</td></tr><tr><td>3.6</td><td>Conclusion</td><td>82</td></tr></table>

## Chapitre 4

### Rough wall effect on micro-swimmers

<table><tr><td>4.1</td><td>Introduction</td><td>84</td></tr><tr><td>4.2</td><td>Mathematical setting</td><td>84</td></tr><tr><td>4.2.1</td><td>Swimmers</td><td>85</td></tr><tr><td>4.2.2</td><td>Fluid flow</td><td>86</td></tr><tr><td>4.2.3</td><td>Dynamics</td><td>87</td></tr><tr><td>4.2.4</td><td>Main results</td><td>88</td></tr><tr><td>4.3</td><td>Analyticity of the dynamics</td><td>89</td></tr><tr><td>4.3.1</td><td>Regularity</td><td>89</td></tr><tr><td>4.3.2</td><td>Application to the 4-sphere swimmer</td><td>90</td></tr><tr><td>4.4</td><td>Asymptotic expansion of the Dirichlet-to-Neumann</td><td>91</td></tr><tr><td>4.4.1</td><td>Expansion for small ε</td><td>93</td></tr><tr><td>4.4.2</td><td>Expansion for small a</td><td>95</td></tr><tr><td>4.5</td><td>Controllability of the Three-sphere swimmer</td><td>97</td></tr><tr><td>4.5.1</td><td>Preliminary remarks on the 3-sphere dynamics</td><td>97</td></tr><tr><td>4.5.2</td><td>Asymptotics of the 3-sphere dynamics</td><td>99</td></tr><tr><td>4.5.3</td><td>Reachable set</td><td>102</td></tr><tr><td>4.6</td><td>Conclusions and perspectives</td><td>105</td></tr><tr><td>4.7</td><td>Appendix: A well-posedness result for the Stokes system</td><td>106</td></tr></table>

# Partie III Problèmes optimaux associés au déplacement d'un micro-nageur

109

## Chapitre 5

### Optimal strokes for driftless swimmers : a geometrical approach

<table><tr><td>5.1</td><td>Introduction</td><td>112</td></tr><tr><td>5.1.1</td><td>Contribution</td><td>112</td></tr><tr><td>5.1.2</td><td>Abstract Framework and Notation</td><td>113</td></tr><tr><td>5.1.3</td><td>Outline and Main Achievements</td><td>114</td></tr><tr><td>5.2</td><td>Modeling</td><td>114</td></tr><tr><td>5.2.1</td><td>Low Reynolds number swimmers</td><td>116</td></tr><tr><td>5.2.2</td><td>High Reynolds number swimmers</td><td>118</td></tr><tr><td>5.2.3</td><td>Examples of cost functionals</td><td>120</td></tr><tr><td>5.2.4</td><td>Regularity results</td><td>121</td></tr><tr><td>5.2.5</td><td>An example of swimmer in a potential flow</td><td>122</td></tr></table>
<table><tr><td>5.3</td><td>Controllability</td><td>125</td></tr><tr><td>5.3.1</td><td>General results</td><td>125</td></tr><tr><td>5.3.2</td><td>Swimmer in a potential flow</td><td>127</td></tr><tr><td>5.4</td><td>Seeking of Optimal Strokes</td><td>128</td></tr><tr><td>5.4.1</td><td>Statement of optimal problems</td><td>128</td></tr><tr><td>5.4.2</td><td>Firsts Properties of the Optimal Strokes</td><td>130</td></tr><tr><td>5.4.3</td><td>Further Properties of the Optimal Strokes</td><td>133</td></tr><tr><td>5.5</td><td>The case N = 2</td><td>137</td></tr><tr><td>5.5.1</td><td>Optimal Strokes and Isoperimetric Inequalities</td><td>137</td></tr><tr><td>5.5.2</td><td>Pontryagin's maximum principle</td><td>137</td></tr><tr><td>5.5.3</td><td>Contact sub-Riemannian structure</td><td>140</td></tr><tr><td>5.5.4</td><td>Local structure of small geodesics</td><td>142</td></tr><tr><td>5.6</td><td>Swimmer in a potential flow: Numerics</td><td>143</td></tr><tr><td>5.7</td><td>Appendix A: Riemannian Geometry</td><td>154</td></tr><tr><td>5.8</td><td>Appendix B: A brief Survey of the Orbit Theorem</td><td>155</td></tr><tr><td>5.8.1</td><td>Attainable sets</td><td>155</td></tr><tr><td>5.8.2</td><td>Lie algebra of vector fields</td><td>155</td></tr><tr><td>5.8.3</td><td>The Orbit Theorem</td><td>156</td></tr></table>
Introduction

Le but de cette thèse est d'étudier les mécanismes permettant la nage à l'échelle microscopique. Les domaines d'applications de ce travail concernent la biologie, à travers la compréhension du déplacement des bactéries, des spermatozoïdes, du plancton et d'autres microorganismes, et l'ingénierie puisque les résultats de cette thèse pourraient être exploités pour la conception de micro-robots "nageurs".

Les stratégies de déplacement des micro-organismes immergés dans un fluide différent de celles qui sont utilisées à l'échelle humaine. En effet, l'écoulement du fluide a lieu à faible nombre de Reynolds. De plus, l'inertie d'un micro-nageur est négligeable et sa dynamique est gouvernée principalement par l'effet des forces de viscosité. L'étude de la nage à échelle microscopique se développe à partir des années 50 avec le travail de G. Taylor [84] qui propose un modèle d'auto-propulsion basé sur le mouvement sinusoïdal d'un flagelle. Il montre qu'un fil infini immergé dans un fluide de Stokes qui suit des oscillations sinusoïdales se déplace à une vitesse non nulle.

Contrairement à ce que l'intuition pourrait laisser supposer, le théorème de la coquille Saint-Jacques, prouvé par E. M. Purcell en 1977 dans [70] mentionne que pour effectuer un déplacement effectif dans un fluide de Stokes, il faut adopter un cycle de déformation non réciproque. Le nom de ce résultat évoque le fait qu'une coquille Saint-Jacques effectue exactement un mouvement réciproque au cours d'une brassée, i.e., un mouvement périodique et symétrique en temps (cf Fig 1). E. M. Purcell propose alors deux types de stratégies qui permettent le déplacement à cette échelle.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Le mouvement d'une coquille Saint-Jacques.</figcaption></figure>

La première stratégie consiste à imposer un mouvement de rotation à certaines extrémités du nageur dans le but de créer des forces de friction sur le fluide puis de produire une propulsion (voir par exemple la Fig. 2 du nageur proposé par E. M. Purcell dans [70]). La seconde stratégie est basée sur un cycle non réciproque de déformations du corps du nageur. Le "Three links swimmer", proposé par E. M. Purcell, constitue le premier exemple d'un tel modèle de nageur. La preuve formelle du déplacement du Three links swimmer sera donnée bien des années plus tard (voir par exemple [5], [15], [44]). Dans la suite de la thèse, nous nous concentrerons sur des nageurs qui utilisent des déformations non réciproques pour se mouvoir. Pour des exemples d'études de nageurs qui utilisent la première stratégie pour se
déplacer, nous renvoyons le lecteur aux travaux de Y. Or et M. Murray [68], [98] et ceux de J. San Martin, T. Takahashi et M. Tucsnak [61].

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Nageur capable de se déplacer sans se déformer (voir [70]).</figcaption></figure>

D'autres développements importants sur le sujet proviennent de connexions récentes entre la théorie du contrôle et la nage à faible nombre de Reynolds. A échelle microscopique, la dynamique d'un nageur est donnée par une équation différentielle ordinaire qui est linéaire en la vitesse de ses déformations et sans dérive. En considérant que les vitesses de déformations sont des paramètres maîtrisables, on peut alors s'intéresser à la contrôlabilité d'un tel système, i.e., la possibilité pour le nageur d'atteindre un point donné connaissant sa position initiale et le cycle de déformation qu'il effectue. Parmi les contributions qui considèrent la nage comme un problème de contrôle, nous citons, par exemple, les travaux de A. Shapere et F. Wilczek [79], J. San Martin, T. Takahashi et M. Tucsnak [61], J. Loheac et J. F. Scheid [60], J. Loheac et A. Munnier [59], ainsi que F. Alouges, A. DeSimone et A. Lefebvre [8], F. Alouges, A. DeSimone et L. Heltai [6], E. Lauga et S. Michelin [62].

La suite de cette introduction s'organise en quatre parties. La première partie est consacrée au rappel des principes du couplage fluide-solide qui permettent de déduire la dynamique du nageur. La deuxième partie introduit les principaux résultats de la théorie du contrôle qui seront utilisés dans la thèse. La troisième partie décrit le contenu de cette thèse et présente les principaux résultats obtenus. Enfin, une section de conclusion évoque les perspectives qui émanent de ce travail.

# 1 Du couplage fluide-solide vers la dynamique du nageur

Dans cette partie, nous rappelons comment le mouvement d'un micro-nageur dans un fluide peut-être gouverné par une équation différentielle ordinaire qui est linéaire en la vitesse de déformation du nageur et sans dérive (voir par exemple [7], [8], [32], [59], [64]).

## 1.1 Description générique des nageurs

Le nageur est représenté par un domaine solide noté $\mathcal{N}$. Il est décrit par le couple $(\xi, \mathbf{p})$,

* où la variable notée $\xi$ décrit la forme du nageur. Généralement, elle est représentée par un $k$-uplet. Une brassée consiste en un changement de forme périodique (i.e., les coordonnées de $\xi$ sont des fonctions périodiques);

* la variable $\mathbf{p} \in \mathbb{R}_+^3 \times SO(3)$ représente la position du nageur. Elle donne à la fois les coordonnées d'un point fixé $\mathbf{x}_e$ du nageur et son orientation dans l'espace.
Remarquons que toutes ces variables dépendent implicitement du temps à travers le transport et la déformation du nageur.

Enfin, nous appellons $S \subset \mathbb{R}^M$ (pour un entier $M \in \mathbb{N}$ convenable) l'ensemble des états admissibles $(\xi, \mathbf{p})$. Généralement, l'ensemble des états admissibles contient des contraintes géométriques, comme par exemple le non contact entre le nageur et les bords du domaine fluide, où d'autres contraintes spécifiques au modèle du nageur. Dans tous les exemples qui suivront, $S$ sera supposé être une sous-variété lisse de $\mathbb{R}^M$.

## 1.2 Modélisation du fluide

Nous considérons que le nageur est totalement immergé. Il évolue dans le domaine fluide, noté par $\mathcal{O}$. La vitesse du fluide en chaque point du domaine $\mathcal{F} := \mathcal{O} \setminus \mathcal{N}$ est notée $\mathbf{u}$, et la pression est notée $p$. Nous supposons que le fluide est gouverné par les équations de Stokes, i.e., $(\mathbf{u}, p)$ est solution de l'équation,

$$ -\mu \Delta \mathbf{u} + \nabla p = 0, \quad \text{div } \mathbf{u} = 0 \quad \text{dans } \mathcal{F}, \qquad (1) $$

où $\mu$ est la viscosité du fluide. Nous ajoutons les conditions standards de non glissement sur les bords,

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \mathbf{u} = \Omega \times (\mathbf{x} - \mathbf{x}_c) + \mathbf{v} + \mathbf{u}_d & \text{sur } \partial \mathcal{N}, \\ \mathbf{u} = 0 & \text{sur } \partial \mathcal{O}. \end{array} \right. \qquad (2) $$

En d'autres termes, nous imposons la continuité des vitesses à la fois sur le bord fixe du domaine fluide et sur le bord déformable du nageur. Remarquons que le champ de vitesses est composé de deux parties.

* Tout d'abord, la première partie correspond à un mouvement rigide inconnu, ayant une vitesse angulaire $\Omega$ et une vitesse de translation $\mathbf{v}$. On peut identifier le vecteur $\mathbf{v}$ à la vitesse du point $\mathbf{x}_c$.

* Ensuite, la seconde partie associée à la vitesse $\mathbf{u}_d$ est due à la déformation connue du nageur.

En introduisant l'espace de Hilbert

$$ \mathcal{V} = \left\{ \mathbf{u} \in \mathcal{D}'(\mathcal{F}, \mathbf{R}^3) \middle| \nabla \mathbf{u} \in L^2(\mathcal{F}), \frac{\mathbf{u}(\mathbf{r})}{\sqrt{1+|\mathbf{r}|^2}} \in L^2(\mathcal{F}) \right\}, \qquad (3) $$

nous obtenons, pour toutes configurations du nageur $\mathcal{N}$ et vitesses $(\Omega, \mathbf{v}, \mathbf{u}^d) \in H^{1/2}(\partial \mathcal{N})$, l'existence d'une unique solution $(\mathbf{u}, p)$ de l'équation (1)-(2) dans $\mathcal{V} \times L^2(\mathcal{F})$.

## 1.3 Equation du mouvement du nageur

Les précédentes relations décrivent les équilibres du fluide à chaque instant $t$. Pour obtenir une équation qui décrit le modèle (c'est-à-dire qui gouverne le couplage “fluide-nageur” au cours du temps), nous allons appliquer les lois de Newton sur le système. En négligeant l'inertie, celles-ci s'expriment de la manière suivante :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \int_{\partial \mathcal{N}} \sigma(\mathbf{u}, p) \cdot \mathbf{n} \, ds = 0, \\ \\ \displaystyle \int_{\partial \mathcal{N}} \sigma(\mathbf{u}, p) \cdot \mathbf{n} \times (\mathbf{x} - \mathbf{x}_c) \, ds = 0, \end{array} \right. \qquad (4) $$

où $\sigma(\mathbf{u}, p) = \mu(\nabla \mathbf{u} + \nabla^t \mathbf{u}) - p\mathbf{Id}$ est le tenseur de Cauchy.
De plus, si nous introduisons une base orthonormale ($e_1, e_2, e_3$) et en utilisant la linéarité de l'équation de Stokes, $\mathbf{u}$ se décompose en plusieurs termes,

$$ \mathbf{u} = \sum_{i=1}^{3} \Omega_i \mathbf{u}_i + \sum_{i=4}^{6} v_{i-3} \mathbf{u}_i + \mathbf{u}^d. $$

On a noté $\mathbf{u}_i$ et $\mathbf{u}^d$ les solutions de l'équation de Stokes, avec une condition de Dirichlet nulle au bord du fluide $\partial\mathcal{O}$, et une condition de Dirichlet inhomogène aux extrémités du nageur. Les données de Dirichlet sont $\mathbf{e}_i \times (\mathbf{x} - \mathbf{x}_c)$ pour $i = 1, 2, 3$, $\mathbf{e}_{i-3}$ for $i = 4, 5, 6$, $\mathbf{u}_d$ pour la vitesse de déformation maitrisée par le nageur $\mathbf{u}^d$. Remarquons que la vitesse $\mathbf{u}^d$ peut s'exprimer comme une combinaison linéaire des vitesses de déformation du corps du nageur $(\dot{\xi}_i)_{i=1}^k$,

$$ \mathbf{u}^d = \sum_{i=1}^{k} \mathbf{u}_i^d \dot{\xi}_i. \qquad (5) $$

En identifiant $(\Omega, \mathbf{v})^t$ avec $\dot{\mathbf{p}}$, le système (4) se réduit à une équation différentielle ordinaire que l'on peut écrire sous la forme :

$$ \mathbf{M}(\xi, \mathbf{p}) \dot{\mathbf{p}} + \mathbf{N}(\xi, \mathbf{p}) = 0 \qquad (6) $$

où la matrice $\mathbf{M}(\xi, \mathbf{p})$ est définie par,

$$ \mathbf{M}_{i,j}(\xi, \mathbf{p}) := \begin{cases} \sum_{l=i}^{N} \int_{\partial B_l} ((\mathbf{x} - \mathbf{x}_c) \times \mathbf{e}_i) \cdot \boldsymbol{\sigma}(\mathbf{u}_j, p_j) \mathbf{n}_t \, \mathrm{d}s & (1 \le i \le 3, 1 \le j \le 6), \\ \sum_{i=i}^{N} \int_{\partial B_l} \mathbf{e}_{i-3} \cdot \boldsymbol{\sigma}(\mathbf{u}_j, p_j) \mathbf{n}_t \, \mathrm{d}s & (4 \le i \le 6, 1 \le j \le 6), \end{cases} $$

et $\mathbf{N}(\xi, \mathbf{p})$ est le vecteur de $\mathbb{R}^6$ dont les composantes sont définies par

$$ \mathbf{N}_i(\xi, \mathbf{p}) := \begin{cases} \sum_{l=1}^{N} \int_{\partial B_l} ((\mathbf{x} - \mathbf{x}_c) \times \mathbf{e}_i) \cdot \boldsymbol{\sigma}(\mathbf{u}^d, p^d) \mathbf{n}_t \, \mathrm{d}s & (1 \le i \le 3), \\ \sum_{l=1}^{N} \int_{\partial B_l} \mathbf{e}_{i-3} \cdot \boldsymbol{\sigma}(\mathbf{u}^d, p^d) \mathbf{n}_t \, \mathrm{d}s & (4 \le i \le 6). \end{cases} $$

La matrice $\mathbf{M}(\xi, \mathbf{p})$ est symétrique définie positive. En l'inversant, l'équation (6) se réécrit comme l'équation qui gouverne l'état du nageur,

$$ \dot{\mathbf{p}} = -\mathbf{M}^{-1}(\xi, \mathbf{p})\mathbf{N}(\xi, \mathbf{p}). \qquad (7) $$

En utilisant (5), nous déduisons qu'il existe $k$ champs de vecteurs $\mathbf{F}_i$, $i = 1, \dots, k$, définis sur $\mathcal{S}$, tels que l'équation (4.8) s'exprime

$$ \dot{\mathbf{p}} = \sum_{i=1}^{k} \mathbf{F}_i(\xi, \mathbf{p}) \dot{\xi}_i. \qquad (8) $$

## 2 Quelques résultats classiques de la théorie du contrôle géométrique

Dans cette section, nous rappelons les principaux résultats de contrôlabilité utilisés dans cette thèse.
Soient **F** et **G** deux champs définis sur une variété lisse de dimension finie $\mathcal{M}$. Le crochet de Lie de **F** et **G** est le champ de vecteurs défini par $[\mathbf{F}, \mathbf{G}](\mathbf{X}) := (\mathbf{F} \cdot \nabla) \mathbf{G}(\mathbf{X}) - (\mathbf{G} \cdot \nabla) \mathbf{F}(\mathbf{X})$, pour tout point $\mathbf{X} \in \mathcal{M}$. Pour une famille de champs de vecteurs $\mathcal{F}$ sur $\mathcal{M}$, Lie($\mathcal{F}$) représente l'algèbre de Lie générée par $\mathcal{F}$. En d'autres termes, elle est définie comme la plus petite algèbre qui contient l'ensembles des crochets de Lie et leurs itérés de la famille de champs de vecteurs $\mathcal{F}$. Finalement, pour tout point $\mathbf{X} \in \mathcal{M}$, Lie$_{\mathbf{X}}(\mathcal{F})$ représente l'espace de tous les vecteurs tangents $\mathbf{V}(\mathbf{X})$ avec $\mathbf{V}$ dans Lie($\mathcal{F}$). Il s'en suit que Lie$_{\mathbf{X}}(\mathcal{F})$ est un sous espace linéaire de $T_{\mathbf{X}}\mathcal{M}$ et donc il est de dimension finie.

Les crochets de Lie et l'algèbre de Lie jouent un rôle important en théorie du contrôle de dimension finie. En effet, nous rappelons le théorème de Chow (voir [29] pour plus de détails) :

**Théorème 1 (Chow)** Soit $\mathcal{M}$ une variété connexe non vide. Supposons que $\mathcal{F} = (\mathbf{F}_i)_{i=1}^m$ soit une famille de champs de vecteurs sur $\mathcal{M}$ telle que $\mathbf{F}_i \in C^\infty(\mathcal{M}, T\mathcal{M})$, $\forall i \in \{1, \dots, m\}$. Si l'algèbre de Lie vérifie

$$ \mathrm{Lie}_{\mathbf{X}}(\mathcal{F}) = T_{\mathbf{X}}(\mathcal{M}), \forall \mathbf{X} \in \mathcal{M}, $$

alors, pour tout $(\mathbf{X}^0, \mathbf{X}^1) \in \mathcal{M} \times \mathcal{M}$, et pour tout $T > 0$, il existe $\mathbf{u} \in L^\infty([0, T]; \mathbb{R}^m)$ tel que la solution du problème de Cauchy,

$$ \left\{ \begin{array}{l} \dot{\mathbf{X}} = \sum_{i=1}^{m} u_i \mathbf{F}_i(\mathbf{X}), \\ \mathbf{X}(0) = \mathbf{X}^0, \end{array} \right. \qquad (9) $$

soit définie sur $[0, T]$ et satisfasse $\mathbf{X}(T) = \mathbf{X}^1$.

Le théorème 1 est un résultat de contrôlabilité global. Nous rappelons aussi celui qui donne la contrôlabilité locale pour des temps petits (voir [29], p. 135).

**Théorème 2** Soient $\Omega$ un sous espace non vide de $\mathbb{R}^n$ et $\mathcal{F} = (\mathbf{F}_i)_{i=1}^m$, une famille de champs de vecteurs, tel que $\mathbf{F}_i \in C^\infty(\Omega, \mathbb{R}^n)$, $\forall i \in \{1, \dots, m\}$. Soit $\mathbf{X}_e \in \mathcal{M}$ tel que

$$ \mathrm{Lie}_{\mathbf{X}_e}(\mathcal{F}) = \mathbb{R}^n. $$

Alors, pour tout $\epsilon > 0$, il existe un nombre réel $\eta > 0$ tel que, pour tout $(\mathbf{X}^0, \mathbf{X}^1) \in \{\mathbf{X} \text{ tel que } \|\mathbf{X} - \mathbf{X}_e\| < \eta\}^2$, il existe une fonction bornée et mesurable $\mathbf{u} : [0, \epsilon] \to \mathbb{R}^n$ tel que la solution du problème de Cauchy

$$ \left\{ \begin{array}{l} \dot{\mathbf{X}} = \sum_{i=1}^{m} u_i \mathbf{F}_i(\mathbf{X}), \\ \mathbf{X}(0) = \mathbf{X}^0, \end{array} \right. \qquad (10) $$

est définie sur $[0, \epsilon]$ et satisfait $\mathbf{X}(\epsilon) = \mathbf{X}^1$.

Lorsque les champs de vecteurs sont analytiques et la variété $\mathcal{M}$ est analytique, le théorème de Hermann-Nagano donne des résultats plus fins (voir par exemple [51]).

**Théorème 3 (Hermann-Nagano)** Soit $\mathcal{M}$ un variété lisse, et $\mathcal{F}$ une famille de champs de vecteurs analytique sur $\mathcal{M}$. Alors,

1. chaque orbite de $\mathcal{F}$ est une sous-variété analytique de $\mathcal{M}$, et
2. si $\mathcal{N}$ est une orbite de $\mathcal{F}$, alors l'espace tangent de $\mathcal{N}$ au point $\mathbf{X}$ est donné par $\mathrm{Lie}_{\mathbf{X}}(\mathcal{F})$. En particulier, la dimension de $\mathrm{Lie}_{\mathbf{X}}(\mathcal{F})$ est constante lorsque $\mathbf{X}$ varie sur l'orbite $\mathcal{N}$.

Dans notre contexte, la famille de champs de vecteurs est donnée par les fonctions $\mathcal{F} = (\mathbf{F}_i)_{1\le i\le k}$ qui apparaissent dans la dynamique du nageur (8) et qui sont définies sur la variété $\mathcal{S}$. Enfin, les contrôles $u_i$ sont représentés par les vitesses de déformation du nageur $\dot{\xi}_i$.

# 3 Synthèse des principales contributions de la thèse

La thèse est composée de trois parties découpées en cinq chapitres indépendants avec chacun leur propre notation.

La première partie de cette thèse présente un modèle de nageur appelé le “N-link swimmer”. Cette partie est composée de deux chapitres. Le premier chapitre présente le “N-link swimmer”. Ce modèle a l'intérêt d'avoir une dynamique simple, permettant ainsi à notre prototype d'être un outil facile à utiliser pour le design et l'optimisation de micro-machine inspirée de la biologie. Le second chapitre étudie la contrôlabilité du “N-link swimmer”. Il en résulte une analyse numérique des brassées associées à un déplacement optimal en temps. La seconde partie traite de l'effet de la présence d'un bord sur la contrôlabilité de micro-nageurs. Cette étude sera développée pour des nageurs particuliers constitués de plusieurs boules reliés les unes aux autres par des bras. Tout d'abord, nous consacrons le chapitre 3 à l'analyse des effets d'un bord lisse sur la contrôlabilité de ces nageurs. Ensuite, le chapitre 4 étend les résultats du chapitre précédent au cas d'un bord rugueux. Enfin, la partie 5 s'intéresse aux propriétés mathématiques qui caractérisent un déplacement optimal d'un nageur ayant une dynamique sans dérive.

Nous développons maintenant une synthèse des principaux résultats obtenus pour chaque chapitre de la thèse.

## 3.1 Partie 1 : Le N-link swimmer

Cette partie est consacrée à l'étude d'un modèle de nageur simplifié, appelé le “N-link swimmer”. Il est une généralisation à $N$ tiges du “Three-link swimmer”, nageur introduit par Purcell dans [70]. Nous proposons une étude approfondie de ses caractéristiques en terme de mobilité dans le plan et de stratégie optimale de déplacement. Le chapitre 1 introduit le modèle. Le chapitre 2 est consacré au problème de la contrôlabilité du nageur et de ses déplacements optimaux.

### Chapitre 1 : Self-propulsion of slender micro-swimmers by curvature control : N-link swimmers

Les résultats de ce chapitre ont fait l'objet d'une publication écrite en collaboration avec François Alouges, Antonio DeSimone et Marta Zoppello, à paraître dans la revue *International Journal of Non-Linear Mechanics*.

Le N-link swimmer est un modèle de nageur constitué de $N$ tiges rigides liées les unes aux autres. Il est supposé évoluer dans un plan. L'état du nageur est décrit par les coordonnées de l'extrémité de la première tige, notée $\mathbf{x}_1$ et par son orientation, notée $\theta_1$. La forme du nageur est représentée par le $(N-1)$-uplet $(\alpha_2, \dots, \alpha_N)$ qui décrit l'orientation relative des tiges (voir figure 1.1).
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 3 – Système de coordonnées du “N-link swimmer”.</figcaption></figure>

Dans ce chapitre, nous utilisons l'approximation de la “Resisitive Force Theory” pour obtenir les forces que le fluide exerce sur le nageur. Cette approximation de couplage hydrodynamique entre le fluide et le solide est introduite par J. Gray and J. Hancock en 1955 dans [49] pour approcher la dynamique d'un flagelle. La dynamique prédite en utilisant ce couplage dépend beaucoup du ratio des coefficients de friction η et ξ. Leur valeur est un paramètre clef qui a été le sujet de nombreuses études (voir [23], [26], [31], [50], [55], [78]). Il a été observé ( [26], [49], [52], [73], [96]) que cette approche simple et concise permet une bonne approximation de la dynamique d'un flagelle lorsque celui-ci est confiné entre deux surfaces solides.

En notant $\mathbf{e}_i$ (respectivement $\mathbf{e}_i^\perp$) le vecteur unitaire directeur d'une tige de longueur $L$ (respectivement le vecteur directeur perpendiculaire à la tige), la “Resistive Force Theory” définie la densité des forces exercées par le fluide sur la tige par l'expression,

$$ \mathbf{f}_i(s) := -\xi (\mathbf{v}_i(s) \cdot \mathbf{e}_i) \mathbf{e}_i - \eta (\mathbf{v}_i(s) \cdot \mathbf{e}_i^\perp) \mathbf{e}_i^\perp, \quad (11) $$

où $s \in [0, L]$, $\eta$ et $\xi$ sont respectivement des coefficients de friction.

En négligeant la force que les tiges exercent les unes sur les autres, nous obtenons une expression de la dynamique du N-link swimmer de la forme,

$$ \left(\begin{matrix} \dot{\mathbf{x}}_1 \\ \dot{\theta}_1 \end{matrix}\right) = \sum_{i=2}^{N} \mathbf{g}_i (\theta_1, \alpha_2, \dots, \alpha_N) \dot{\alpha}_i, \quad (12) $$

où les $N-1$ champs de vecteurs $\{\mathbf{g}_i\}_{i=2}^N$ sur $[0, 2\pi]^{N-1}$ sont explicites (voir chapitre 1). Les angles entre les tiges permettent une représentation discrète de la courbure du nageur, concentrée en chaque point de lien entre les tiges. Ainsi, l'équation du mouvement (12) donne une unique trajectoire en réponse à une déformation donnée du nageur.

La simplicité des équations qui gouvernent la dynamique (12) permet de faire de notre modèle un outil intéressant pour le design de micro-robots nageurs et l'optimisation de leur performance. Le chapitre 1 contient une étude numérique qui teste les propriétés de précisions et de robustesse de ce modèle à travers trois exemples représentatifs de la micro-nage :
le Purcell’s swimmer, la récente étude quantitative du mouvement circulaire d’un sperma-
tozoïde contenu dans le papier de Fredrich [37] et le nageur de Taylor introduit dans [84].
Enfin, nous obtenons aussi une formule explicite du déplacement du Purcell’s swimmer in-
troduit par Purcell (voir [70]) pour des déformations de petites amplitudes.

Chapitre 2 : Controllability and Optimal Strokes for N-link Microswimmer

Les résultats de ce chapitre ont fait l’objet d’un proceeding écrit en collaboration avec Pierre Martinon et Marta Zoppello, soumis à la conférence Decision and Control 2013 (IEEE).

Le chapitre 2 étudie la mobilité du “N-link swimmer”. En particulier, les questions traitées sont les suivantes :

1. Le “N-link swimmer” est-il capable d’atteindre tous les points de l’espace dans lequel il évolue (i.e., le plan) ?

2. Quelle est la meilleure stratégie pour atteindre le plus rapidement possible une position donnée ?

La contrôlabilité du “N-link swimmer” est caractérisée par le résultat suivant :

**Théorème 4** *En considérant le "N-link swimmer" décrit plus haut avec $N \ge 3$. Pour presque toutes longueurs de tiges ($L_i$)$_{i=1,...,N}$, pour toutes configurations initiales ($\mathbf{x}_1^i, \theta_1^i, \alpha_2^i, \dots, \alpha_N^i) \in \mathbb{R}^2 \times [0, 2\pi]^N$, pour toutes configurations finales ($\mathbf{x}_1^f, \theta_1^f, \alpha_2^f, \dots, \alpha_N^f) \text{ et pour tout temps } T > 0$, il existe une déformation de forme du nageur ($\alpha_2, \dots, \alpha_N) \in W^{1,\infty}([0,T])$ qui verifie ($\alpha_2, \dots, \alpha_N)(0) = (\alpha_2^i, \dots, \alpha_N^i)$ et ($\alpha_2, \dots, \alpha_N)(T) = (\alpha_2^f, \dots, \alpha_N^f)$ et telle que si le nageur démarre au point ($\mathbf{x}_1^i, \theta_1^i$) avec la forme ($\alpha_2^i, \dots, \alpha_N^i$), il atteint la position ($\mathbf{x}_1^f, \theta_1^f$) avec la forme ($\alpha_2^f, \dots, \alpha_N^f$) au temps $T$ en utilisant la déformation $t \mapsto (\alpha_2, \dots, \alpha_N)(t)$.*

En d'autres termes, pour tout nageur composé de plus de trois tiges, il existe un cycle de dé-
formation qui lui permet d'atteindre la position désirée. La preuve de ce résultat repose sur
l'utilisation d'outils développés par la théorie du contrôle géométrique (théorème de Chow 1
et théorème de Nagano 3). Intuitivement, un nageur constitué de nombreux degrés de liberté
devrait être contrôlable. La résultat précédent permet de montrer que le "N-link swimmer"
est contrôlable dès lors que $N \ge 3$.

Par conséquent, le problème de contrôle optimal qui consiste à trouver un cycle de dé-
formation de forme qui minimise le temps d'atteinte de la configurations désirée en partant
d'un point fixé est bien posé. L'existence de solutions est un corollaire du résultat de contrô-
labilité 4 et s'appuie sur le theorème de Filippov-Cesary (voir [85]).

Enfin, plusieurs stratégies optimales obtenues numériquement dans le cas $N = 3$ sont comparées à la brassée introduite par Purcell. Ces développements numériques indiquent que, pour certaines positions initiales et finales, les solutions au problème de contrôle optimal sont périodiques et peuvent donc être assimilées à des brassées.

3.2 Partie 2 : Effets des bords sur la contrôlabilité d'un nageur

Dans cette partie, nous examinerons les effets de la présence d'un bord sur la mobilité de micro-nageurs. En effet, le bord modifie la distribution de vitesse du fluide à l'intérieure du domaine (voir par exemple [24], [20]). De nombreuses expériences biologiques ont montré que la mobilité de micro-organismes est affectée dans un espace confiné (voir par exemple
[74], [91], [92]). Ces observations conduisent à des investigations plus théoriques qui mettent en évidence les conséquences de la présence du bord sur le déplacement de micro-nageurs. Ainsi, les travaux de J. R. Blake et al. [38], [81], [82] modélisent les effets attractifs de la présence de bord sur la dynamique de nageurs ayant un flagelle. D'autres approches plus théorique, comme celle de A. P. Berke et P. Allison dans [17] (ils mettent en évidence des effets attractifs lorsque le nageur est modélisé par un dipôle), et celle de Y. Or et M. Murray dans [68], ils analysent la dynamique de nageurs près d'un mur plat, cependant les modèles considérés se déplacent sans changer de forme i.e., qu'ils imposent un mouvement de rotation sur leur extrémités. Dans cette partie, nous analysons l'influence du mur plat ou rugueux sur la mobilité de micro-nageurs, en faisant usage de la théorie du contrôle pour développer notre analyse. L'objectif est de comprendre si la présence d'un bord change la capacité de déplacement d'un micro nageur. Nous commençons par étudier, dans le chapitre 3, les effets de la présence d'un mur "lisse" (i.e., plat) sur la contrôlabilité de micro-nageurs. Puis, le chapitre 4 propose d'élargir l'analyse précédente au cas où le bord est rugueux.

Chapitre 3 : Enhanced controllability of low Reynolds number swimmers in
the presence of a wall

Les résultats de ce chapitre ont fait l'objet d'une publication écrite en collaboration avec François Alouges, publiée dans la revue *Acta Applicandae Mathematicae* (voir [11]).

Dans ce chapitre, le domaine fluide $\mathcal{O}$ est défini par le demi-espace $\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \text{ s.t. } z \ge 0\}$. De plus, nous considérons deux nageurs particuliers constitués de plusieurs boules liées par des bras très fins. Plus particulièrement, nous concentrons notre attention sur le “3-sphere” et le “4-sphere swimmer” représentés (resp.) par la figure 4.2 et la figure 4. Le “3-sphere swimmer” a été introduit par Najafi and Golestanian dans [66], Ce modèle de nageur a ensuite été le sujet de nombreuses études, citons par exemples les travaux Golestanian et Adjari [47], [48], et ceux de F. Alouges et A. DeSimone et al. [7], [8].

Soit un tétraèdre régulier ($\mathbf{S}_1, \mathbf{S}_2, \mathbf{S}_3, \mathbf{S}_4$) ayant pour centre $\mathbf{O} \in \mathbf{R}_+^3$. Le “4-sphere swimmer” est constitué de quatre sphères reliées par des bras qui sont capables de se rétrécir ou bien de se rallonger selon la direction $\vec{\mathbf{O}\mathbf{S}_i}$ (voir Fig. 4). Le nageur est décrit par la liste de paramètres $(\xi_1, \dots, \xi_4, \mathbf{c}, \mathbf{R}) \in \mathcal{S}$ où $\mathbf{S} = (\sqrt{\frac{3}{2}}a, \infty)^4 \times \mathbb{R}_+^3 \times SO(3)$. La variable $\xi_i$ denote la longueur du bras $i$ ($i = 1, \dots, 4$), $\mathbf{c}$ est la coordonnée du centre du nageur et $\mathbf{R}$ décrit l'orientation du nageur.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 4 – The Four-sphere swimmer.</figcaption></figure>
Le “3-sphere swimmer” est constitué de trois boules alignées (voir Fig 4.2). Il est représenté par le vecteur $(\xi_1, \xi_2, \theta, \phi, \mathbf{x}_c) \in \mathbb{R}^3 \times [0, 2\pi]^2$ où $\theta$ est l’angle entre le nageur et l’axe $z$, $\phi$ est l’angle entre l’axe $y$ et la projection de la direction du nageur dans le plan $Oxy$ et $\mathbf{x}_c$ est la coordonnée du centre de la sphère milieu.

L'objectif est de comparer les résultats obtenus pour ces nageurs dans l'espace $\mathbb{R}^3$ tout entier avec leur généralisation dans le cas où ils évoluent dans le demi-espace $\mathcal{F}$. Dans le cas de l'espace $\mathbb{R}^3$, il a été montré dans [7] que le “4-sphere swimmer” est contrôlable, tandis que le “3-sphere swimmer” peut se déplacer dans une unique direction (celle qui définie son orientation).

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 5 – Coordinates of the 3-sphere swimmer</figcaption></figure>

On considère que le nageur est constitué de $N$ sphères de rayon $a$ que l'on note $B_l$, $l = 1, \dots, N$ ($N = 3$ pour le “3-sphere swimmer” et $N = 4$ pour le “4-sphere swimmer”). Par ailleurs, on note $H^{1/2}$ (resp. $H^{-1/2}$) l'espace fractionnaire de Sobolev classique (resp. l'espace fonctionnel définie comme l'espace image par l'opérateur Trace de $H^1$), pour une définition plus détaillée de ces espaces voir [25].

Une étape préliminaire est de considérer l'opérateur Dirichlet-to-Neumann associé au problème de Stokes.

$$DN : \prod_{l=1}^{N} H^{1/2}(\partial B_l) \to \prod_{l=1}^{N} H^{-1/2}(\partial B_l), \quad (\mathbf{u}_l) \mapsto (\mathbf{f}_l := \sigma(\mathbf{u}, p)n|_{\partial B_l}),$$

où $(\mathbf{u}, p)$ est solution du problème de Stokes

$$-\Delta \mathbf{u} + \nabla p = 0, \quad \text{div } \mathbf{u} = 0 \quad \text{in } \mathcal{F}, \quad \mathbf{u}|_{\partial \mathcal{O}} = 0, \quad \mathbf{u}|_{\partial B_l} = \mathbf{u}_l.$$

Plus précisément, les champs de vecteurs utilisent l'opérateur $DN$ restreint aux $N$-uplet de champ vitesses rigides définis sur la frontière entre les boules et le fluide, i.e., $\partial B_l$,
$l = 1, \dots, N$. Nous appelons $\mathbb{R}$ l'espace de dimension fini de tel $N$-uplets. Nous pouvons remarquer que pour tout $(\mathbf{u}_l)_{l=1}^N \in \mathbb{R}$

$$DN((\mathbf{u}_l)) = \mathcal{T}^{-1}((\mathbf{u}_l))$$

où

$$\mathcal{T} : \prod_{l=1}^{N} H^{-1/2}(\partial B_l) \mapsto \prod_{l=1}^{N} H^{1/2}(\partial B_l), \quad (\mathbf{f}_l) \mapsto (\mathbf{u}_l := \mathbf{u}|_{\partial B_l})$$

et $\mathbf{u}$ est la solution du problème de Stokes suivant dans $\mathcal{O}$ :

$$-\Delta \mathbf{u} + \nabla p = \sum_{l=1}^{N} \mathbf{1}_{\partial B_l} \mathbf{f}_l, \quad \text{div } \mathbf{u} = 0 \quad \text{dans } \mathcal{O}, \quad \mathbf{u}|_{\partial \mathcal{O}} = 0.$$

Dans le cas d'un mur plat, l'opérateur $\mathcal{T}$ est explicite et s'exprime à l'aide de la formulation intégrale suivante,

$$\forall \mathbf{r} \in \partial B, \quad (\mathcal{T}(\mathbf{f}_1, \dots, \mathbf{f}_N))_i(\mathbf{r}) = \sum_{j=1}^{N} \int_{\partial B} \mathbf{K}(\mathbf{x}_i + a\mathbf{r}, \mathbf{x}_j + a\mathbf{s})\mathbf{f}_j(\mathbf{s})d\mathbf{s}. \quad (13)$$

La fonction de Green $\mathbf{K}$ est exprimée comme une perturbation de la fonction de Green $\mathbf{G}$ associée à l'espace $\mathbb{R}^3$. En d'autres termes, la fonction $\mathbf{K}$ s'écrit comme suit

$$\mathbf{K}(\mathbf{r}, \mathbf{r}_0) = \mathbf{G}(\mathbf{r} - \mathbf{r}_0) + \tilde{\mathbf{K}}_1(\mathbf{r}, \mathbf{r}_0). \quad (14)$$

où $\tilde{\mathbf{K}}_1$ est donnée explicitement dans le chapitre 3. Notons que la fonction $\tilde{\mathbf{K}}_1$ a été introduite par Blake dans les années 70 (voir [20]).

Une première conséquence de ces derniers developpements est l'obtention du résultat de persistance de la contrôlabilité du “4-sphere swimmer” presque partout dans le demi-espace. Le résultat s'énonce comme suit,

**Théorème 5** Soit le “4-sphere swimmer”. Nous supposerons qu’il est auto-propulsé, qu’il est immergé dans un fluide de Stokes, et qu’il évolue dans un demi-espace. Pour presque toute configuration initiale $(\xi^i, \mathbf{p}^i) \in S$, pour presque toute configuration finale $(\xi^f, \mathbf{p}^f)$ dans un voisinage de $(\xi^i, \mathbf{p}^i) \in S$ et pour tout temps $T > 0$, il existe une brassée $\xi \in W^{1,\infty}([0,T])$ qui vérifie $\xi(0) = \xi^i$ et $\xi(T) = \xi^f$ et telle que le nageur démarre en position $\mathbf{p}^i$ avec la forme $\xi^f$ au temps $T$ par la déformation $t \mapsto \xi(t)$.

Notons que la preuve de ce théorème utilise des arguments généraux qui peuvent probablement être utilisés pour d'autre modèle de micro-nageurs.

La seconde partie de ce chapitre traite de la contrôlabilité du “3-sphere swimmer”. Remarquons que, due à la symétrie du système “fluide-nageur”, celui-ci ne peut pas quitter le plan dans lequel il démarre au temps $t = 0$. En d'autres termes, l'angle $\phi$ reste constant égal à $\phi(0)$ pour tout $t > 0$.

Dans le cas du “3-sphere swimmer”, nous montrons que la présence d’un bord augmente le nombre de directions dans lesquelles le nageur peut se déplacer. Plus précisément, nous montrons que ce nageur peut atteindre localement toutes les directions du plan. Le théorème que nous obtenons s’énonce comme suit,
**Théorème 6** Soit le “3-sphere swimmer”. Nous supposerons qu’il est auto-propulsé, qu’il est immergé dans un fluide de Stokes et qu’il évolue dans un demi-espace. Pour presque toute configuration initiale $(\xi^i, \mathbf{p}^i) \in S$, pour presque toute configuration finale $(\xi^f, \mathbf{p}^f)$ dans un voisinage de $(\xi^i, \mathbf{p}^i) \in S$ et pour tout temps $T > 0$, il existe une brassée $\xi \in W^{1,\infty}([0,T])$ qui vérifie $\xi(0) = \xi^i$ et $\xi(T) = \xi^f$ et telle que le nageur démarre en position $\mathbf{p}^i$ avec la forme $\xi^i$ au temps initial et atteint la position $\mathbf{p}^f$ et la forme $\xi^f$ au temps $T$ par la déformation $t \mapsto \xi(t)$.

La preuve de ce théorème est basée sur une analyse très précise de l’algèbre de Lie engendrée par les champs de vecteurs de la dynamique du nageur. Cette étude est basée sur un développement asymptotique des champs de vecteurs qui génèrent l’algèbre de Lie considérée. Finalement, le résultat de contrôlabilité est basé sur le théorème de Chow 1. Notons que la régularité des champs de vecteurs est fondamentale dans la preuve de ce résultat.

## Chapitre 4 : Rough wall effect on micro-swimmers

Les résultats de ce chapitre ont été écrits en collaboration avec David Gérard-Varet.

Ce chapitre est une généralisation du précédent. Il concerne l'extension des Théorèmes 5 et 6 dans le cas où le mur présente une rugosité, représenté par la surface $(x, y) \mapsto \varepsilon h(x, y)$. Nous supposons que $\|h\|_{\infty} = 1$. Ainsi, la variable $\varepsilon$ représente l'amplitude de la rugosité du bord.

Le principe, qui guide cette étude, est de considérer le nouveau système “fluide-nageur” comme une perturbation du système précédent. Le système fluide-solide est représenté par le problème de Stokes (1) où le domaine du fluide est donné par

$$ \mathcal{O} := \{(x, y, z) \text{ tel que } z > h(x, y)\}. $$

La difficulté intervient, principalement, dans le fait que l'opérateur Dirichlet-to-Neumann associé à ce problème n'est pas explicite, contrairement au cas du bord lisse traité précédemment. Ainsi, la régularité des champs de vecteurs constitue dans ce chapitre un résultat délicat. Il s'énonce comme suit.

**Théorème 7** Soit l'ensemble

$$ \mathcal{A} := \{(\varepsilon, a, \xi, \mathbf{p}) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}_+^* \times (\mathbb{R}_+^*)^k \times (\mathbb{R}^3 \times SO(3)) \text{ tel que} \\ B_i \cap B_j = \emptyset \quad \forall i \neq j, \text{ and } B_i \cap \partial \mathcal{O} = \emptyset \quad \forall i\}, $$

pour tout $i = 1, \dots, k$, le champ $\mathbf{F}^i(\xi, p)$ associé à la dynamique (8) du nageur pour le domaine fluide $\mathcal{F}$ est une fonction analytique de $(\varepsilon, a, \xi, p)$ sur $\mathcal{A}$.

La preuve nécessite plusieurs étapes. Tout d'abord, un habile changement de variables permet de se ramener à un problème elliptique à bord fixe ayant les paramètres qui interviennent analytiquement en tant que coefficient. Ensuite, la régularité découle du théorème des fonctions implicites ainsi que de la proposition suivant qui garantie l'existence de solutions au problème de Stokes “généralisé”.

**Proposition 8** Soit

$$ \bar{V}_0 := \left\{ \mathbf{U} \in D'(\bar{\mathcal{F}}, \mathbf{R}^3) \mid \nabla \mathbf{U} \in L^2(\bar{\mathcal{F}}), \frac{\mathbf{U}(\mathbf{r})}{\sqrt{1 + |\mathbf{r}|^2}} \in L^2(\bar{\mathcal{F}}), \mathbf{U}|_{\partial \bar{\mathcal{O}}} = 0. \right\}. $$
Soit $(F, G, V_1, ..., V_N)$ donné dans $(V_0)' \times L^2(\mathcal{F}) \times \prod_l H^{1/2}(B_l)$. Il existe une unique solution $(V, Q)$ in $V_0 \times L^2(\mathcal{F})$ de

$$ 
\begin{array}{l@{\qquad}l}
-\Delta V + \nabla Q = F & \text{in } \mathcal{F}, \\
div V = G & \text{in } \mathcal{F}, \\
V = 0 & \text{at } \partial \mathcal{O}, \quad V = V_l \text{ at } \partial B_l, \quad l = 1...N.
\end{array}
$$

Cette proposition est l'extension du résultat de Bogovskii (voir [39]). Le théorème 5 dans le cas d'un mur rugueux découle de la régularité des champs de vecteurs.

Ensuite, nous montrons que la présence de rugosité permet au “3-sphere swimmer” d’être localement contrôlable. Il est important de remarquer que l’angle qui définit la rotation du nageur autour de son axe n’est pas utile pour décrire la position du nageur. Il sera prouvé dans ce chapitre qu’il n’intervient pas dans les termes principaux du développement asymptotique considéré par la suite pour prouver le théorème suivant énonçant la contrôlabilité du “3-sphere swimmer”.

**Théorème 9** *Il existe une surface $h(x, y)$ telle que le 3-sphere swimmer est localement controlable presque partout (à rotation autour de son axe près).*

Notons d'abord que la dynamique considérée pour obtenir ce résultat est celle du sous-système qui gouvernent l'évolution des variables $\xi_1, \xi_2, \theta, \phi$ et $x_c$.

La preuves de ce résultat est basée sur le développement asymptotique des champs de vecteurs $F_i, i = 1, ..., k$ lorsque la rugosité $\epsilon$ et le rayon des boules $a$ sont petits. Il s'agit ensuite de calculer les premiers crochets de Lie de ces champs de vecteurs et d'expliciter le développement asymptotique du déterminant de cinq d'entres eux. La contrôlabilité du nageur en découle en utilisant le théorème de Chow 1.

## 3.3 Partie 3 : Problème de contrôle optimal

Les résultats de ce chapitre ont été écrit en collaboration avec Thomas Chambrion et Alexandre Munnier.

L'objectif de ce travail est de fournir un cadre à l'étude de problèmes de contrôle optimal associés aux déplacements de micro-nageurs. L'étude propose de développer la connexion, déjà souligné dans le livre de R. Montgomery [63], entre la géométrie sous-Riemannienne et les problèmes de contrôle optimal liés à la nage de micro-organismes. Plus précisément, nous utilisons les structures géométriques, Riemannienne et sous-Riemannienne, sous-jacentes afin de caractériser les stratégies optimales de déplacement pour les nageurs ayant une dynamique sans dérive. Plus particulièrement, nos résultats s'appliquent à tous les nageurs qui sont gouvernés par une dynamique linéaire en les vitesses de déformations de leur corps et sans dérive. Ce type d'équation du mouvement est aussi obtenu lorsque le fluide est gouvernée par l'équation d'Euler sans vorticité. Ce régime est utilisé pour modéliser le déplacement de poisson ayant un corps très allongé (comme par exemple une anguille). Nous citons les travaux de T. Chambrion et A. Munnier sur ce sujet [27], [28], [64], [65]. Nous signalons que dans le cas d'un fluide parfait ayant une vorticité non nulle, la dynamique du nageur n'a plus la forme considéré plus haut (linéaire en les vitesse de déformation de l'objet). Nous referons au travaux de O. Glass et T. Horsin qui prouvent des résultats de contrôlabilité un ensemble de particules (représenté par une courbe de Jordan) immergée dans un fluide parfait en dimension deux et trois ([45], [46]).
Afin de mieux comprendre les problèmes de contrôle optimal qui sont considérés dans ce chapitre, nous présentons le contexte mathématique sous-jacent. Dans la suite, nous nous intéressons à l'étude de brassée optimale i.e., le problème optimal a pour contrainte que le nageur ait la même forme au début et à la fin de son mouvement. Nous allons associé au nageur le 5-uplet $\mathcal{G} = (S, g, Q^S, s^\dagger, \mathcal{L})$, où :

* $(S, g)$ est une variété connectée de dimension $N$ ($N \ge 1$) muni d'une structure Riemannienne $g$. Chaque élément $s$ de $S$ correspond à une forme du nageur possible. La déformation du nageur est représentée par une fonction à valeur dans $[0, T]$, l'intervalle de temps considéré, $s : [0, T] \mapsto s(t) \in S$.

* La métrique $g$ est utilisée pour quantifier le cout nécessaire à la déformation du nageur. Le cout du changement de forme $s : [0, T] \mapsto s(t) \in S$ est, par exemple, donné par la longueur de la courbe paramétrée par la fonction $s$, i.e.

$$ \int_{0}^{T} \sqrt{g_{s}(t)(\dot{s}(t), \dot{\dot{s}}(t))} dt, \qquad (15a) $$

ou représenté par un cout “énergétique”,

$$ \frac{1}{2} \int_{0}^{T} g_{s}(t)(\dot{s}(t), \dot{\dot{s}}(t)) dt. \qquad (15b) $$

* L'application $Q^S : TS \to \mathbb{R}^n$ est une forme linéaire analytique. Elle représente les contraintes physiques imposées sur la déformation du nageur (comme, par exemple, conservation du volume au cours de la déformation, ou bien, empêcher les mouvement de translation du centre de masse). Pour être plus explicite,

**Définition 10** Une déformation admissible est représentée par toute courbe absolu-ment continue $s : [0, T] \to S$, ayant une dérivée bornée et qui vérifie pour presque tout temps,

$$ Q_{s(t)}^{S} \dot{s}(t) = 0. \qquad (16) $$

* La forme de référence $s^\dagger$ est un point de $S$ qui peut être la forme avec laquelle le nageur commence sa brassée.

* Pour simplifier, nous supposons que la déformation du corps du nageur est axisymé-trique. Par conséquent, elle provoque un déplacement du centre de masse du nageur dans une unique direction. On dénote par le réel $r$ la position du centre de masse du nageur. Le mouvement dans cette direction est mesuré pare à la forme linéaire $\mathcal{L}$ sur $S$. Plus précisément, pour toute courbe admissible $s : [0, T] \to S$, le déplacement du nageur, qui résulte de cette déformation, est donné par la formule :

$$ \int_{0}^{T} \mathcal{L}_{s}(t)(\dot{s}(t))dt. \qquad (17) $$

Dans ce chapitre, l'équation du mouvement du nageur (8) est modifiée, on prend aussi en compte la dynamique de ses variables de formes. En notant par $\xi$ le vecteur $(s, r)$, on obtient l'existence d'une famille de champs de vecteurs, noté par $\mathcal{X}$, et représentée par des fonctions $Z_j (j = 1, \dots, p$ pour un certain $p \in \mathbb{N})$ de $\mathcal{M} := S \times \mathbb{R}$, tel que la dynamique de la position du nageur et de sa forme soit gouvernée par :
$$ \dot{\xi}(t) = \sum_{j=1}^{p} u_j(t) \mathbf{Z}_j(\xi(t)) \quad (t > 0), \qquad (18a) $$

$$ \xi(0) = \xi^{\dagger}, \qquad (18b) $$

où $\xi^\dagger = (\mathbf{s}^\dagger, 0)$ est la configuration initiale du nageur où $\mathbf{s}^\dagger$ représente sa forme initiale et 0 est sa position initiale. Ensuite, nous introduisons les projections $\pi_S$ et $\pi_R$ par :

$$ \pi_S: \begin{array}{rcl} \mathcal{M} & \to & \mathcal{S} \\ (\mathbf{s}, r) & \mapsto & \pi_S(\xi) = \mathbf{s} \end{array} \quad \text{et} \quad \pi_R: \begin{array}{rcl} \mathcal{M} & \to & \mathbb{R} \\ (\mathbf{s}, r) & \mapsto & \pi_R(\xi) = r. \end{array} $$

De plus, nous définissons l'ensemble des contrôles 'admissibles' par :

**Définition 11** Soient $T > 0$ et $\mathcal{S} = (\mathcal{S}, \mathbf{g}, \mathbf{Q}^S, \mathbf{s}^\dagger, \mathcal{L})$ un 5-uplet associé au nageur considéré et soit une famille de champs de vecteur analytique $\mathcal{X}$, nous appelons par $\mathcal{U}_{\mathcal{S}}^{\mathcal{X}}(T)$ l'ensemble de tous les contôles $\mathbf{u} = (u_j)_{1\le j\le p} \in L^\infty([0, T], \mathbb{R}^p)$ pour lesquels la solution de (18) est définie sur $[0, T]$.

Pour chaque contrôle $\mathbf{u} \in \mathcal{U}_{\mathcal{S}}^{\mathcal{X}}(T)$, on appelle

$$ t \in [0, T] \mapsto \xi_{\mathcal{S}}^{\mathcal{X}}(t, \mathbf{u}) \in \mathcal{M}, $$

la solution de (18) avec le contrôle $\mathbf{u}$. Soit $\mathcal{S} = (\mathcal{S}, \mathbf{g}, \mathbf{Q}^S, \mathbf{s}^\dagger, \mathcal{L})$ un nageur contrôlable, soit $\mathcal{K}$ un compact de $\mathcal{S}$ contenant $\mathbf{s}^\dagger$ et soit $\mathcal{X}$ une famille de champs de vecteurs telle que leur projection sur $\mathcal{S}$ est base orthonormale de ker $\mathbf{Q}^S$. Soient $\xi^\dagger \in \mathcal{M}$ et $T \ge 0$, nous allons définir les sous-espaces de $\mathcal{U}_{\mathcal{S}}^{\mathcal{X}}(T)$ suivants :

$$ \mathcal{U}_{\mathcal{S}}^{\mathcal{X}}(\xi^{\dagger}, T) := \{ \mathbf{u} \in \mathcal{U}_{\mathcal{S}}^{\mathcal{X}}(T) : \xi_{\mathcal{S}}^{\mathcal{X}}(T, \mathbf{u}) = \xi^{\dagger} \}; $$

$$ \hat{\mathcal{U}}_{\mathcal{S}}^{\mathcal{X}}(\xi^{\dagger}, T) := \{ \mathbf{u} \in \mathcal{U}_{\mathcal{S}}^{\mathcal{X}}(\xi^{\dagger}, T) : \|\mathbf{u}(t)\|_{\mathbb{R}^p} = 1 \ \forall t \in [0, T] \}; $$

$$ \mathcal{U}_{\mathcal{S}, \mathcal{K}}^{\mathcal{X}}(T) := \{ \mathbf{u} \in \mathcal{U}_{\mathcal{S}}^{\mathcal{X}}(T) : \pi_S \xi_{\mathcal{S}}^{\mathcal{X}}(t, \mathbf{u}) \in \mathcal{K} \ \forall t \in [0, T] \}; $$

$$ \mathcal{U}_{\mathcal{S}, \mathcal{K}}^{\mathcal{X}}(\xi^{\dagger}, T) := \{ \mathbf{u} \in \mathcal{U}_{\mathcal{S}}^{\mathcal{X}}(\xi^{\dagger}, T) : \pi_S \xi_{\mathcal{S}}^{\mathcal{X}}(t, \mathbf{u}) \in \mathcal{K} \ \forall t \in [0, T] \}; $$

$$ \hat{\mathcal{U}}_{\mathcal{S}, \mathcal{K}}^{\mathcal{X}}(\xi^{\dagger}, T) := \{ \mathbf{u} \in \mathcal{U}_{\mathcal{S}, \mathcal{K}}^{\mathcal{X}}(\xi^{\dagger}, T) : \|\mathbf{u}(t)\|_{\mathbb{R}^p} = 1 \ \forall t \in [0, T] \}. $$

Les problèmes de contrôle optimal auxquels on s'intéresse sont formulés par les énoncés suivants.

**Problème 12 (Minimiser la longueur Riemannienne)** Soient $\delta^\dagger \in \mathbb{R}$ et $T > 0$, posons $\xi^\dagger = (\mathbf{s}^\dagger, \delta^\dagger)$ la position initiale du nageur et déterminons :

$$ \Phi_{\mathcal{S}, \mathcal{K}}^{\mathcal{X}}(\delta^{\dagger}, T) = \inf \left\{ \int_{0}^{T} \|\mathbf{u}(t)\|_{\mathbb{R}^p} dt : \mathbf{u} \in \mathcal{U}_{\mathcal{S}, \mathcal{K}}^{\mathcal{X}}(\xi^{\dagger}, T) \right\}. \qquad (19) $$

En modifiant le cout, nous nous considérons le problème lié au déplacement qui minimise l'action (l'énergie).

**Problème 13 (Minimiser l'action)** Pour tout $\delta^\dagger \in \mathbb{R}$ et $T > 0$, posons $\xi^\dagger = (\mathbf{s}^\dagger, \delta^\dagger)$ et déterminons :

$$ \Theta_{\mathcal{S}, \mathcal{K}}^{\mathcal{X}}(\delta^{\dagger}, T) = \inf \left\{ \frac{1}{2} \int_{0}^{T} \|\mathbf{u}(t)\|_{\mathbb{R}^p}^2 dt : \mathbf{u} \in \mathcal{U}_{\mathcal{S}, \mathcal{K}}^{\mathcal{X}}(\xi^{\dagger}, T) \right\}. \qquad (20) $$
Nous énonçons maintenant le problème de temps optimal, étudié par exemple dans ce contexte dans [60].

**Problème 14 (Optimiser le temps)** Pour tout $\delta^\dagger \in \mathbb{R}$, on appelle $\xi^\dagger = (\mathbf{s}^\dagger, \delta^\dagger)$ et déterminons :

$$T_{\mathcal{G},\mathcal{K}}^{\chi}(\delta^{\dagger}) = \inf\{T : \hat{\mathcal{U}}_{\mathcal{G},\mathcal{K}}^{\chi}(\xi^{\dagger}, T) \neq \emptyset\}.$$

Enfin, les problèmes suivants se concentrent sur les stratégies qui permettent au nageur de se déplacer le plus loin possible avec une contrainte sur sa brassée.

**Problème 15 (Nager le plus loin possible avec une longueur Riemannienne bornée)**
Pour tout $l \ge 0$ and $T \ge 0$, détermine :

$$\Psi_{\mathcal{G},\mathcal{K}}^{\chi}(l,T) = \sup \left\{ \begin{array}{l} \pi_{\mathbb{R}} \xi_{\mathcal{G}}^{\chi}(T, \mathbf{u}) : \mathbf{u} \in \mathcal{U}_{\mathcal{G},\mathcal{K}}^{\chi}(T), \pi_S \xi_{\mathcal{G}}^{\chi}(T, \mathbf{u}) = \mathbf{s}^{\dagger}, \\ \text{and} \\ \qquad \int_{0}^{T} \|\mathbf{u}(t)\|_{\mathbb{R}^p} dt \le l \end{array} \right\}. \quad (21)$$

**Problème 16 (Nager le plus loin possible avec une action bornée)** Pour tout $l \ge 0$ et $T \ge 0$, déterminons :

$$\Lambda_{\mathcal{G},\mathcal{K}}^{\chi}(l,T) = \sup \left\{ \begin{array}{l} \pi_{\mathbb{R}} \xi_{\mathcal{G}}^{\chi}(T, \mathbf{u}) : \mathbf{u} \in \mathcal{U}_{\mathcal{G},\mathcal{K}}^{\chi}(T), \pi_S \xi_{\mathcal{G}}^{\chi}(T, \mathbf{u}) = \mathbf{s}^{\dagger}, \\ \text{and} \\ \qquad \frac{1}{2} \int_{0}^{T} \|\mathbf{u}(t)\|_{\mathbb{R}^p}^2 dt \le l \end{array} \right\}. \quad (22)$$

L'objectif de ce chapitre est d'analyser les aspects mathématiques de ces problèmes. Plus particulièrement, nous démontrons :

1. l'existence de solutions à ces problèmes.

2. Nous montrons comment ces problèmes de contrôle optimal pour différents couts fonctionnelles peuvent se déduire les uns des autres.

3. Nous nous intéressons aux propriétés quantitatives des solutions. En particulier, certaines preuves de ces propriétés résultent de la structure de variété sous-Riemannienne que l'on peut définir sur $\mathcal{M}$ muni de la distance, dite de *Carnot-Caratheodory* défini par :

$$d(\xi^{\dagger}, \xi^{\ddagger}) = \inf \left\{ \int_{0}^{T} \|\mathbf{u}(s)\|_{\mathbb{R}^{p}} ds, \mathbf{u} \in \mathcal{U}_{\mathcal{G}}^{\chi}(T, \xi^{\dagger}) \right\},$$

où $(\xi^{\dagger}, \xi^{\ddagger})$ sont deux points de $\mathcal{M}$.

4. Nous observons que dans le cas où il y a deux degrés de liberté, la variété $\mathcal{M}$ possède une structure géométrique particulière (elle est dite de *contact*). Ainsi, en utilisant les résultats de l'étude de A. A. Agrachev [1], nous en déduisons des propriétés géométriques supplémentaires pour les solutions des problèmes de contrôle optimal.

5. Enfin, toutes les propriétés seront discutées numériquement en utilisant un modèle de nageur immergé dans un fluide parfait ayant une dynamique explicite (introduit par T. Chambrion et A. Munnier dans [27]).
# 4 Conclusions et perspectives

Cette section traite des conclusions et des perceptives de la thèse. Elle est divisée en quatre parties. Les trois première sections traitent de la conclusion de la partie considérée et la dernière partie donne des perspectives générales qui émanent de ce travail.

## Partie 1 : N-link swimmer

Le N-link swimmer est un modèle de nageur simplifié. Son intérêt principal est qu'il possède une dynamique explicite tout en ayant un comportement proche d'observations empiriques. Les simulations numériques présentées dans le chapitre 2 suggèrent que les solutions du problème de contrôle optimal en temps sont des brassées, c'est à dire des solutions périodiques, sans que cette contrainte soit imposée. Une étude en cours a pour but de montrer théoriquement qu'il existe des stratégies optimales de déplacement qui sont effectivement des brassées.

Dans un second temps, pour élargir notre étude numérique,

* nous souhaitons, tout d'abord, réaliser des tests pour des "N-link swimmer" constitués de plus de trois tiges. Observera-t-on des comportements limites pour N grand ? L'obtention de tel résultat permettrait une comparaison avec la nage de micro-organismes constitués de filaments.

* Ensuite, nous voudrions aussi changer le coût fonctionnel à minimiser. En d'autres termes, plutôt que de travailler sur les stratégies qui minimisent le temps d'atteinte d'un point cible, nous souhaiterions obtenir des stratégies optimales de nage qui minimisent une énergie pour le système (à définir).

* Enfin, l'optimisation des longueurs des tiges du nageur est aussi une direction que nous étudions. Quel profil de nageurs va-t-on obtenir ? Des nageurs ayant des longueurs de tiges égales, toutes différentes, rangées par ordre croissant, etc... ?

Enfin, une dernière perspective de ce travail est de considérer que les tiges du nageur posèdent une charge magnétique et que la déformation du corps du nageur est due à un champ magnétique qui se propage dans le fluide. Que se passe-t-il pour la contrôlabilité d'un tel système de nageur ? Quel champ magnétique permettrait le déplacement désiré ? A ce jour, des physiciens du laboratoire le Spintec à Grenoble, T. Dietsch et H. Joisten, travaillent en collaboration avec F. Alouges, A. DeSimone et moi-même pour tenter de réaliser un micro robot de ce type. Une étude théorique est en cours et plusieurs tests de tels micro-robots ont déjà vu le jour.

## Partie 2 : Effets du bord sur la contrôlabilité des micro-nageurs

Dans cette partie, nous étudions l'impact du bord sur la mobilité de nageurs constitués de sphères reliées entre elles. Nous montrons que la présence du bord ne change pas la capacité d'un nageur à se déplacer. Cependant, nous prouvons l'introduction d'un bord permet à un nageur d'augmenter ses directions de déplacement. Intuitivement, la présence du bord a pour effet de briser les symétries du système fluide-solide. La conclusion de cette étude peut s'énoncer simplement : dans la nature, tous les micro-nageurs, aussi symétriques qu'ils soient, sont contrôlables.

Nous souhaiterions poursuivre ces travaux dans deux voies distinctes.

* La première direction est de généraliser cette étude de contrôlabilité à des domaines fluides bornés.
* La seconde direction est de comparer les stratégies de nage optimales dans différents cas : $\mathbb{R}^3$ tout entier, bord lisse et bord rugueux. Cette étude à la fois numérique et théorique permettrait d'expliquer les observations des biologistes si elle montre qu'il est "plus difficile" de s'éloigner du bord plutôt que de s'en rapprocher.

## Partie 3 : Problèmes de contrôle optimal

Dans ce chapitre nous proposons un cadre d'étude au problème de contrôle optimal assoxié au déplacement de nageur ayant une dynamique sans dérive. L'étude est appliquée à un modèle de nageur ayant une dynamique explicite. Une des directions de recherche est d'appliquer notre analyse à un nageur dont la dynamique est non explicite. C'est le cas par exemple du "3-sphere swimmer". En particulier, serait-il possible d'utiliser ici les développements asymptotiques de la partie II pour obtenir les caractérisations géométriques présentées dans la partie III ?

Enfin, un terme de dérive apparaît dans la dynamique du nageur lorsque des forces extérieures sont considérées (par exemple dans le cas d'un champ magnétique exogène qui agit sur le corps du nageur). Comment est-il possible d'étendre cette étude dans le cas où le nageur est gouverné par une dynamique avec dérive ?

### Perspectives générales

Les perspectives générales de cette thèse sont développées ci-dessous.

* Une piste de recherche est de modéliser le déplacement de nageurs encore plus petits (de la taille d'un nanomètre). A cette échelle, l'agitation des molécules d'eau a un effet notable sur le déplacement du nageur. L'action "aléatoire" des molécules d'eau sur le corps du nageur peut-être formalisée par l'ajout d'un terme stochastique dans sa dynamique. Comment obtenir l'équation du mouvement du nageur ? Comment est-il possible d'étendre les résultats de contrôlabilité à ce cas ?

* Par ailleurs, de nombreux groupes de recherche travaillent sur la modélisation de la nage lorsque le fluide n'est plus gouverné par les équations de Stokes mais par celles d'Euler ou plus généralement celles de Navier-Stokes (qui ne sont plus linéaires). Nous référons aux récentes études de S. Court [30] et de J. San Martín, J. F. Scheid, T. Takahashi, et M. Tucsnak [75] qui montrent l'existence de solutions fortes globales en temps pour le problème du couplage fluide-solide en utilisant les équations de Navier-Stokes ainsi qu'aux travaux de G. P. Galdi et al. (voir par exemple [40] et [41]). Nous mentionnons aussi les résultats de O. Glass et T. Horsin qui traitent de la contrôlabilité d'un ensemble de particules immergé dans un fluide parfait (voir [45],[46]). Plus généralement, l'extension de résultats de contrôlabilité de solides immergés dans un fluide qui est régi par une équation non linéaire (par exemple lorsque le fluide est parfait ou bien lorsqu'il est gouverné par les équations de Navier-Stokes) est l'enjeu de nombreuses études en cours (voir par exemple la section conclusion de la thèse de J. Lohéac [58]).

* Enfin, une autre voie de recherche concerne la modélisation du déplacement de population de micro-organismes. Nous référons aux travaux P. Degond et al. [33], L. V. Berlyand et al. [18] et [19] qui traitent de ce sujet en utilisant les outils de la théorie cinétique. Une nouvelle approche, en cours d'étude avec F. Alouges, S. De Marco et moi-même, est d'étudier l'évolution d'une densité de nageurs mais en faisant usage de résultats empruntés au calcul de Malliavin. Dans notre travail, nous nous intéressons
au cas d'une population de "3-sphere swimmer" qui nagent tous indépendamment les uns des autres et dont les déformations sont gouvernées par une loi de probabilité (voir par exemple [48] qui étudie l'évolution d'un "3-sphere swimmer" et d'un "2-sphere swimmer" dans ce cas).
Première partie

N-link swimmer
<figure><img src="image_7.png" /></figure>
# Chapitre 1

## Self-propulsion of slender micro-swimmers by curvature control : N-link swimmers

This work is done in collaboration with F. Alouges, A. DeSimone and M. Zoppello. It will appear in International Journal of Non-linear Mechanics. We discuss a reduced model to compute the motion of slender swimmers which propel themselves by propagating a bending wave along their body. Our approach is based on the use of Resistive Force Theory for the evaluation of the viscous forces and torques exerted by the surrounding fluid, and on discretizing the kinematics of the swimmer by representing its body through an articulated chain of *N* rigid links capable of planar deformations. The resulting system of ODEs governing the motion of the swimmer is easy to assemble and to solve, making our reduced model a valuable tool in the design and optimization of bio-inspired engineered microdevices. We test the accuracy and robustness of our approach on three benchmark examples: Purcell's 3-link swimmer, Taylor's swimming sheet and some recent quantitative observations of circular motion of a sperm cell. An explicit formula for the displacement of Purcell's 3-link swimmer generated by a square stroke of small amplitude is also discussed.
1.1 Introduction

The study of the swimming strategies of micro-organisms is attracting increasing attention
in the recent literature. This is both because of the intrinsic biological interest, and for the
possible implications these studies may have on the design of bio-inspired artificial replicas
reproducing the functionalities of biological systems. The reader is referred to the recent
reviews [38, 53] for an extensive list of references.

One of the pioneering works in the field is the one by Taylor [84], who established the
mathematical setting for the problem of biological self-propulsion powered by thin undulating
filaments. He called attention on the paradoxical nature of swimmers of microscopic size:
they move by exploiting (viscous) resistance to motion, since at small scales viscous forces
dominate over inertial ones. This is apparent by recalling the definition of Reynolds number
Re = $\frac{LV}{\nu}$, a dimensionless measure of the relative importance of inertial versus viscous
forces, where L is the body size, V is the swimming speed, and $\nu$ is the kinematic viscosity
to the surrounding fluid (10$^{-6}$(m$^2$s$^{-1}$)$^{-1}$ for water at room temperature). Since for biological
swimmers V is typically of the order of one body length per second, Re $\sim$ 1 for organisms
of 1-mm size, and Re $\sim 10^{-6}$ $<$ $<$ 1 when the size drops to 1 $\mu$m. It follows that for micron-
sized swimmers inertial effects are negligible: Taylor's analysis focussed on a model swimmer
consisting of an infinite sheet propelling itself by propagating a sinusoidal traveling wave of
deformation, while surrounded by a fluid governed by Stokes equations (the zero-Re-limit of
Navier-Stokes equations).

Later, Purcell showed that, at low Reynolds numbers, reciprocal strokes inevitably produce
zero net displacements (a statement commonly referred to as the ‘scallop theorem’ [70]).
Moreover, he proposed a minimal device (the 3-link swimmer) able to ‘beat’ the scallop
theorem, namely, to exhibit net displacements by executing periodic, non-reciprocal strokes.

Another crucial development for our analysis is the recent emergence of the connection
between swimming and Control Theory, see, e.g., [63]. In fact, low Reynolds number swim-
ming can be considered as a control problem which is linear in the control, and without
drift [8]. Many recent works share this point of view, see for example [7, 11, 13, 28, 60].
One of the main difficulties in exploiting Control Theory in order to solve effectively motion
planning or optimal control problems is the complexity of the hydrodynamic forces exerted
by the fluid on the swimmer as a reaction to its shape changes. Resistive Force Theory [49]
provides a simple and concise way to compute a local approximation of such forces, and it
has been successfully used in several recent studies, see for example [15, 37]. In this paper,
we use this approach as well, in order to obtain the forces acting on the swimmer.

In addition, we simplify the kinematics of the swimmer by discretizing its body. This
is represented by a chain of *N* rigid links moving in a plane (*N*-link swimmer). Thus, its
motion is described by a system of ODEs that can be easily assembled and solved, hence
providing a valuable tool for the quantitative description of the motion of biological micro-
swimmers. The simplicity of the governing equations makes our model particularly appealing
as a tool for the design of engineered devices and for the optimization of their performance as
some design parameters are varied. We prove the accuracy and robustness of our approach
by checking it against three benchmark examples: Purcell’s 3-link swimmer, some recent
quantitative observations of circular motion of a sperm cell contained in [37], and Taylor’s
swimming sheet.

Thanks to the application of well known tools from Geometric Control Theory, we also
obtain an explicit formula for the displacement of Purcell's 3-link swimmer generated by a
square stroke of small amplitude.
## 1.2 Mathematical setting of the problem

In this section we describe the kinematics of the N-link swimmer, a generalization of Purcell's 3-link swimmer. The angles between successive links provide a discrete representation of the swimmer's curvature, concentrated at the joints between successive links. We think of them as freely prescribed shape parameters. We then write the equations of motion (balance of total viscous force and torque) and solve for the time evolution of position and orientation of the swimmer in response to a prescribed history of (concentrated) curvatures along the swimmer's body.

### 1.2.1 Kinematics of the N-link swimmer

We focus here on essentially one-dimensional swimmers moving in a plane. This two-dimensional setting is suitable for the study of slender, essentially one-dimensional swimmers exploring planar trajectories. While the general case is slightly more involved because of the non-additivity of three-dimensional rotations, see e.g. [7], it can be handled with similar techniques.

Our swimmer consists of N rigid links with joints at their ends (see Fig. 1.1), moving in a plane (2d lab-frame) which is defined by the vectors ($e_x, e_y$). We set $e_z := e_x \times e_y$. The i-th link is the segment with end points $\mathbf{x}_i$ and $\mathbf{x}_{i+1}$. It has length $L_i > 0$ and makes an angle $\theta_i$ with the horizontal x-axis. The size of the sticks is chosen such that the length of the swimmer is of order of $\mu m$. We define by $\mathbf{x}_i := (x_i, y_i)$ ($i = 1, \dots, N$) the coordinates of the first end of each link. Note that, for $i \in \{2 \cdots N\}$, the coordinates $\mathbf{x}_i$ can be expressed as a function of $\mathbf{x}_1, \theta_k$ and $L_k$, with $k \in \{1 \cdots i - 1\}$:

$$ \mathbf{x}_i := \mathbf{x}_1 + \sum_{k=1}^{i-1} L_k \begin{pmatrix} \cos(\theta_k) \\ \sin(\theta_k) \end{pmatrix}. \quad (1.1) $$

The swimmer is described by two sets of variables:

* the state variables which specify the position and the orientation of one selected link, labeled as the i*-th one;

* the shape variables which describe the relative orientations between successive links. For each link with $i > i^*$, this is the angle relative to the preceding one, denoted by $\alpha_i = \theta_i - \theta_{i-1}$, for $i^* < i \le N$. For $i < i^*$ this is the angle relative to the following one, denoted by $\alpha_i = \theta_{i+1} - \theta_i$, for $1 \le i < i^*$.

For example, if the triplet $(\mathbf{x}_1, \theta_1)$ describes the state of the swimmer then the vector $(\alpha_2 = \theta_2 - \theta_1, \dots, \alpha_N = \theta_N - \theta_{N-1})$ represents the shape of the swimmer. This will be the default choice in the rest of the paper, with the only exception of subsection 1.3.1, where the central link is selected as the i*-th one, in order to exploit the symmetries of the 3-link swimmer.

### 1.2.2 Equations of motion

The equations which govern the dynamics of the swimmer form a system of three ODEs, which is linear with respect to the rate of deformation, and without drift.

The dynamics of the swimmer follows from Newton laws, in which inertia is neglected. These read

$$ \left\{ \begin{array}{l} \mathbf{F} = 0, \\ \mathbf{e}_z \cdot \mathbf{T}_{\mathbf{x}_1} = 0, \end{array} \right. \qquad (1.2) $$

where $\mathbf{F}$ is the total force exerted on the swimmer by the fluid and $\mathbf{T}_{\mathbf{x}_1}$ is the corresponding total torque computed with respect to the point $\mathbf{x}_1$.
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 1.1: Coordinates for the N-link swimmer.</figcaption></figure>

To couple the fluid and the swimmer, we use the local drag approximation of Resistive Force Theory. We denote by $s$ the arc length coordinate on the $i$-th link ($0 \le s \le L_i$) and by $\mathbf{v}_i(s)$ the velocity of the corresponding point. We also introduce the unit vectors $\mathbf{e}_i = \begin{pmatrix} \cos(\theta_i) \\ \sin(\theta_i) \end{pmatrix}$ and $\mathbf{e}_i^{\perp} = \begin{pmatrix} -\sin(\theta_i) \\ \cos(\theta_i) \end{pmatrix}$ in the directions parallel and perpendicular to the $i$-th link and write $\mathbf{x}_i(s) = \mathbf{x}_i + s\mathbf{e}_i$. By differentiation, we obtain,

$$ \mathbf{v}_i(s) = \dot{\mathbf{x}}_i + s\dot{\theta}_i\mathbf{e}_i^{\perp}. \qquad (1.3) $$

The density of the force $\mathbf{f}_i$ acting on the $i$-th segment is assumed to depend linearly on the velocity. It is defined by

$$ \mathbf{f}_i(s) := -\xi (\mathbf{v}_i(s) \cdot \mathbf{e}_i) \mathbf{e}_i - \eta (\mathbf{v}_i(s) \cdot \mathbf{e}_i^{\perp}) \mathbf{e}_i^{\perp}, \qquad (1.4) $$

where $\xi$ and $\eta$ are respectively the drag coefficients in the directions of $\mathbf{e}_i$ and $\mathbf{e}_i^{\perp}$ measured in N·m$^{-2}$. We thus obtain

$$ \left\{ \begin{array}{l} \mathbf{F} = \sum_{i=1}^{N} \int_{0}^{L_i} \mathbf{f}_i(s) \, ds, \\ \\ \mathbf{e}_z \cdot \mathbf{T}_{\mathbf{x}_1} = \mathbf{e}_z \cdot \sum_{i=1}^{N} \int_{0}^{L_i} (\mathbf{x}_i(s) - \mathbf{x}_1) \times \mathbf{f}_i(s) \, ds. \end{array} \right. \qquad (1.5) $$

Using (2.3) and (2.4) into (2.5), the total force and torque can be expressed as

$$ \mathbf{F} = - \sum_{i=1}^{N} L_i \xi (\dot{\mathbf{x}}_i \cdot \mathbf{e}_i) \mathbf{e}_i + \left( L_i \eta (\dot{\mathbf{x}}_i \cdot \mathbf{e}_i^{\perp}) + \frac{L_i^2}{2} \eta \dot{\theta}_i \right) \mathbf{e}_i^{\perp}, \qquad (1.6) $$

and

$$ \begin{aligned} \mathbf{e}_z \cdot \mathbf{T}_{\mathbf{x}_1} = & - \sum_{i=1}^{N} \frac{L_i^2}{2} \eta (\dot{\mathbf{x}}_i \cdot \mathbf{e}_i^{\perp}) + \frac{L_i^3}{3} \eta \dot{\theta}_i \\ & + (\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_1) \times \left( L_i \xi (\dot{\mathbf{x}}_i \cdot \mathbf{e}_i) \mathbf{e}_i + \left( L_i \eta (\dot{\mathbf{x}}_i \cdot \mathbf{e}_i^{\perp}) + \frac{L_i^2}{2} \eta \dot{\theta}_i \right) \mathbf{e}_i^{\perp} \right) \cdot \mathbf{e}_z. \end{aligned} \qquad (1.7) $$
Moreover, differentiating (2.1) gives

$$ \dot{\mathbf{x}}_i = \dot{\mathbf{x}}_1 + \sum_{k=1}^{i-1} L_k \dot{\theta}_k \mathbf{e}_k^{\perp}, \qquad (1.8) $$

an expression linear in $\dot{\mathbf{x}}_1$ and $(\dot{\theta}_k)_{1 \le k \le N}$. This entails that (2.6) and (2.7) are linear in $\dot{\mathbf{x}}_1$ and $\dot{\theta}_i$ for $i \in [1 \cdots N]$, and therefore system (2.2) reads

$$ \left( \begin{array}{c} \mathbf{F} \\ \mathbf{e}_z \cdot \mathbf{T}_{\mathbf{x}_1} \end{array} \right) = \mathbf{M} (\theta_1, \dots, \theta_N) \begin{pmatrix} \dot{\mathbf{x}}_1 \\ \dot{\theta}_1 \\ \dot{\theta}_2 \\ \vdots \\ \dot{\theta}_N \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}. \qquad (1.9) $$

Observing that for all $i \in \{2, \cdots, N\}$, $\alpha_i = \theta_i - \theta_{i-1}$, equations (2.6) and (2.7) can be expressed using the angles $(\alpha_i)_{i=2, \cdots, N}$ instead of the variables $(\theta_i)_{2 \le i \le N}$. To this end, we introduce the matrix $\mathbf{C}$ defined by

$$ \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & \cdots & \cdots & \vdots \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & \cdots & \vdots \\ 0 & 0 & -1 & \cdots & \cdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \qquad (1.10) $$

and obtain

$$ \mathbf{C} \begin{pmatrix} \dot{\mathbf{x}}_1 \\ \dot{\theta}_1 \\ \dot{\theta}_2 \\ \vdots \\ \dot{\theta}_N \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dot{\mathbf{x}}_1 \\ \dot{\theta}_1 \\ \dot{\alpha}_2 \\ \vdots \\ \dot{\alpha}_N \end{pmatrix}. \qquad (1.11) $$

Therefore, by setting

$$ \mathbf{N}(\theta_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_N) := \mathbf{M}(\theta_1, \theta_2(\theta_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_N), \cdots, \theta_N(\theta_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_N)) \mathbf{C}^{-1}, \qquad (1.12) $$

system (1.9) can be rewritten in the equivalent form

$$ \mathbf{N}(\theta_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_N) \begin{pmatrix} \dot{\mathbf{x}}_1 \\ \dot{\theta}_1 \\ \dot{\alpha}_2 \\ \vdots \\ \dot{\alpha}_N \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}. \qquad (1.13) $$

We observe that the $3 \times (N+2)$ matrix $\mathbf{N}(\theta_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_N)$ can be block-decomposed into a $3 \times 3$ sub-matrix $\mathbf{A}(\theta_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_N)$ and a $3 \times (N-1)$ sub-matrix $\mathbf{B}(\theta_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_N)$, according to

$$ \mathbf{N} = (\mathbf{A} | \mathbf{B}). \qquad (1.14) $$
The matrix **A** is the 'grand-resistance-matrix' of a rigid system evolving at frozen shape, i.e., with $\dot{\alpha}_i \equiv 0$, $i = 2, \dots, N$, see [24]. It is symmetric and negative definite [24], as it can be easily verified, hence it is invertible. We can then recast the equations of motion of the swimmer as an affine system without drift. Indeed, solving (1.13) for $(\dot{\mathbf{x}}_1, \dot{\theta}_1)$ leads to

$$ \begin{pmatrix} \dot{\mathbf{x}}_1 \\ \dot{\theta}_1 \end{pmatrix} = -\mathbf{A}^{-1} (\theta_1, \alpha_2, \dots, \alpha_N) \mathbf{B} (\theta_1, \alpha_2, \dots, \alpha_N) \begin{pmatrix} \dot{\alpha}_2 \\ \vdots \\ \dot{\alpha}_N \end{pmatrix} $$

that we rewrite in the form

$$ \begin{pmatrix} \dot{\mathbf{x}}_1 \\ \dot{\theta}_1 \end{pmatrix} = \sum_{i=2}^{N} \mathbf{g}_i (\theta_1, \alpha_2, \dots, \alpha_N) \dot{\alpha}_i, \qquad (1.15) $$

where the $N-1$ vector fields $\{\mathbf{g}_i\}_{i=2}^N$, are the columns of the $3 \times (N-1)$ matrix $-\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}$.

The equation above links the displacement (both translation and rotation) of the swimmer to its deformation. In other words, for a given history of shapes, prescribed through functions $t \mapsto (\alpha_2, \dots, \alpha_N)(t)$, the motion of the swimmer is obtained by solving the system (1.15). Typically, in what follows a stroke is given by a time-periodic shape change, i.e., the functions $t \mapsto \alpha_i(t)$, $i = 2, \dots, N$ are all periodic, with the same period.

In order to solve (1.15) numerically, we need to construct the vector fields $\mathbf{g}_i$ explicitly. To this end, we observe that $\mathbf{F}$ and $\mathbf{T}_{\mathbf{x}_1}$ depend linearly on $(\dot{\mathbf{x}}_i)_{1 \le i \le N}$ and $(\dot{\theta}_i)_{1 \le i \le N}$ and that these quantities depend in turn linearly on $(\dot{\mathbf{x}}_1, \dot{\theta}_1, \dots, \dot{\theta}_N)$ in view of (2.8). Therefore, we can rewrite (2.6) and (2.7) as

$$ \mathbf{F} = \mathbf{P}_1 \begin{pmatrix} \dot{\mathbf{x}}_1 \\ \vdots \\ \dot{\mathbf{x}}_N \\ \hline \dot{\theta}_1 \\ \vdots \\ \dot{\theta}_N \end{pmatrix} = \mathbf{P}_1 \mathbf{Q} \begin{pmatrix} \dot{\mathbf{x}}_1 \\ \dot{\theta}_1 \\ \vdots \\ \dot{\theta}_N \end{pmatrix}, \quad \mathbf{e}_z \cdot \mathbf{T}_{\mathbf{x}_1} = \mathbf{P}_2 \begin{pmatrix} \dot{\mathbf{x}}_1 \\ \vdots \\ \dot{\mathbf{x}}_N \\ \hline \dot{\theta}_1 \\ \vdots \\ \dot{\theta}_N \end{pmatrix} = \mathbf{P}_2 \mathbf{Q}, \qquad (1.16) $$

where

$$ \mathbf{P}_1 := (-\mathbf{m}_1 \quad \dots \quad -\mathbf{m}_N \quad | \quad \frac{\eta}{2} L_1^2 \mathbf{e}_1^{\perp} \quad \dots \quad \frac{\eta}{2} L_N^2 \mathbf{e}_N^{\perp}) $$

with $\mathbf{m}_i := L_i(\xi \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_i + \eta \mathbf{e}_i^{\perp} \otimes \mathbf{e}_i^{\perp})$ for $i = 1 \dots N$,

$$ \mathbf{P}_2 := \left( \dots - (L_i^2 \eta \mathbf{e}_i^{\perp} + (\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_1) \times \mathbf{m}_i)^T \dots \middle| \dots \eta L_i^2 \left( \frac{L_i}{3} + \frac{(\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_1) \times \mathbf{e}_i^{\perp} \cdot \mathbf{e}_z}{2} \right) \dots \right), $$

and, finally,

$$ \mathbf{Q} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & L_1 \mathbf{e}_1^{\perp} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & L_1 \mathbf{e}_1^{\perp} & L_2 \mathbf{e}_2^{\perp} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & L_1 \mathbf{e}_1^{\perp} & L_2 \mathbf{e}_2^{\perp} & \cdots & L_{N-1} \mathbf{e}_{N-1}^{\perp} & 0 \\ 0 & \mathbf{e}_1^{\perp} & \mathbf{e}_2^{\perp} & \cdots & \mathbf{e}_{N-1}^{\perp} & \mathbf{e}_N^{\perp} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & \mathbf{e}_1^{\perp} & \mathbf{e}_2^{\perp} & \cdots & \mathbf{e}_{N-1}^{\perp} & \mathbf{e}_N^{\perp} \end{pmatrix} $$

We thus have

$$ \mathbf{M} = \begin{pmatrix} \mathbf{P}_1 \mathbf{Q} \\ \mathbf{P}_2 \mathbf{q} \end{pmatrix} $$
and can compute $N = C^{-1}M$, where $C^{-1}$ is explicitly given as

$$C^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 1 & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 1 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & 1 & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 1 & 1 \end{pmatrix}. \quad (1.17)$$

Matrices **A** and **B** are obtained from the columns of **N** as in (1.14) and, finally, the vectors $g_i$ are simply the columns of $-A^{-1}B$.

## 1.3 Applications

### 1.3.1 Purcell's 3-link swimmer

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 1.2: Purcell's 3-link swimmer.</figcaption></figure>

We now focus on the case $N = 3$ (Purcell's 3-link swimmer). To benefit from the symmetry of the system, we use as state variables the coordinate $\mathbf{x}_2 := (x_2, y_2)$ of the middle point of the second segment, and the angle $\theta_2$ that it forms with the x-axis. With the notation of the preceding sections, we call $\alpha_1 = \theta_2 - \theta_1$ and $\alpha_3 = \theta_3 - \theta_2$ the relative angles to the central link of the left and right arms respectively, see Figure 2.2.

Purcell introduced this system in [70], where he predicted that it would exhibit net motion as a consequence of a suitable non-reciprocal stroke (a square loop in the $(\alpha_1, \alpha_3)$ plane). He also argued by symmetry that, for a swimmer with first and third links of equal length, this symmetric stroke would produce a net displacement along the direction of the central link, but did not provide a formula to predict either the sign or the magnitude of this displacement. In the following, we show the connection between Purcell's proposed stroke and Lie brackets, a classical tool of Geometric Control Theory. This enables us to obtain a formula for the displacement induced by a Purcell-type stroke of infinitesimal amplitude. We also compute numerically the motion resulting from a Purcell-type stroke of finite amplitude and check it against the theoretical prediction.
Setting $\mathbf{X} := (\alpha_1, \alpha_3, x_2, y_2, \theta_2)^T$, and using (1.15), the equations of motion become

$$ \dot{\mathbf{X}} = \mathbf{g}_1(\theta_2, \alpha_1, \alpha_3)\dot{\alpha}_1 + \mathbf{g}_2(\theta_2, \alpha_1, \alpha_3)\dot{\alpha}_3. \qquad (1.18) $$

We refer the reader to Appendix A for the explicit calculation of the coefficients appearing in (1.18). We remark that none of them depends on $(x_2, y_2)$ as a consequence of the translational invariance of the problem.

### Displacement for square strokes of small amplitude

**Proposition 1.3.1** Let $\epsilon > 0$, and consider the square stroke defined by

$$ \begin{align} (\dot{\alpha}_1(t), \dot{\alpha}_3(t)) &= (1, 0) \quad \text{for } t \in (0, \epsilon), \nonumber \\ (\dot{\alpha}_1(t), \dot{\alpha}_3(t)) &= (0, 1) \quad \text{for } t \in (\epsilon, 2\epsilon), \tag{1.19} \\ (\dot{\alpha}_1(t), \dot{\alpha}_3(t)) &= (-1, 0) \quad \text{for } t \in (2\epsilon, 3\epsilon), \nonumber \\ (\dot{\alpha}_1(t), \dot{\alpha}_3(t)) &= (0, -1) \quad \text{for } t \in (3\epsilon, 4\epsilon). \nonumber \end{align} $$

Then, for small $\epsilon$, the solution of (1.18) with initial condition $\mathbf{X}(0)$ is given by

$$ \mathbf{X}(4\epsilon) - \mathbf{X}(0) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \epsilon^2\delta + O(\epsilon^3) \\ O(\epsilon^3) \\ O(\epsilon^3) \end{pmatrix}, \qquad (1.20) $$

where

$$ \delta = \frac{L_1 L_2 L_3 (L_1^2 + L_1(L_2 + L_3) + L_3(L_2 + L_3)) (\eta - \xi)}{(L_1 + L_2 + L_3)^4 \xi} \qquad (1.21) $$

**Proof:** The first two components in (1.20) vanish, as it is obvious from direct integration of (1.19). Moreover, it is well known (see,e.g., [29]) and easy to check that the solution of (1.18) for the square stroke given by (1.19) satisfies the expansion

$$ X(4\epsilon) - X(0) = \epsilon^2[\mathbf{g}_1, \mathbf{g}_2] + O(\epsilon^3) $$

where the Lie bracket $[\mathbf{g}_1, \mathbf{g}_2]$ is defined by

$$ [\mathbf{g}_1, \mathbf{g}_2](\mathbf{y}) := (\mathbf{g}_1 \cdot \nabla) \mathbf{g}_2(\mathbf{y}) - (\mathbf{g}_1 \cdot \nabla) \mathbf{g}_2(\mathbf{y}). \qquad (1.22) $$

The direct calculation of this Lie bracket<fnref n="1" /> shows that

$$ [\mathbf{g}_1, \mathbf{g}_2](\mathbf{y})|_{\mathbf{y}=(0,0,0)} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \delta \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad (1.23) $$

□

The proposition above provides us with an explicit formula for the net displacement which, in the symmetric case $L_1 = L_3 = L$, reads

$$ \Delta \mathbf{x}_2 = \epsilon^2 \frac{L_1^3 L_2 (3L + 2L_2)}{(2L + L_2)^4} \left( \frac{\eta - \xi}{\xi} \right) \mathbf{e}_2 + O(\epsilon^3). \qquad (1.24) $$

<footnote n="1">¹We have used for this step the symbolic computation software MAPLE and the formulas given in Appendix A.</footnote>
Formula (1.24) above shows that the net displacement at leading order is along the axis of the central link and vanishes when $\eta = \xi$. As already stated by Purcell, it can also be shown that a square stroke (1.19) on such a symmetric swimmer does not produce any global rotation or vertical displacement.

By integrating numerically the equations of motion for small angle excursion $\epsilon$ and small times $4\epsilon$, we have obtained the state of the swimmer, $t \mapsto (x_2(t), y_2(t), \theta_2(t))$. We have verified that after the square stroke $y_2(4\epsilon)$ and $\theta_2(4\epsilon)$ vanish, in accordance with the previous remark, and that the net displacement along the x-axis is given by formula (1.24) (see Figure 1.3).

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure 1.3: Graphs of the displacement of the 3-link-swimmer in meters after one square stroke, as a function of the angle amplitude $\epsilon$ in radians. Here $L_1 = L_3 = 1\mu m$, $L_2 = 2\mu m$, and $\eta = 2\xi \text{ N s m}^{-2}$. The blue squares are obtained by numerical integration of the equations of motion, while the red circles are obtained from the Lie bracket formula (1.24).</figcaption></figure>

Displacement for square strokes of large amplitude

The preceding results only apply to infinitesimal strokes. For strokes of large amplitude, we can integrate the equations of motion numerically and compare our results to known results from the literature. To this aim, we use the same data as in [15], namely $L_1 = L_3 = L = 1$, $L_2 = 2$, $\xi = 1$ and $\eta = 2$, $\Delta\theta = \frac{\pi}{3}$ and the control angles given by

$$ \alpha_1(t) = \begin{cases} -(\frac{\Delta\theta}{2} - t) & \text{if } 0 \le t \le \Delta\theta \\ \frac{\Delta\theta}{2} & \text{if } \Delta\theta \le t \le 2\Delta\theta \\ -(t - \frac{5\Delta\theta}{2}) & \text{if } 2\Delta\theta \le t \le 3\Delta\theta \\ -\frac{\Delta\theta}{2} & \text{if } 3\Delta\theta \le t \le 4\Delta\theta \end{cases}, \quad \alpha_3(t) = \begin{cases} \frac{\Delta\theta}{2} & \text{if } 0 \le t \le \Delta\theta \\ (\frac{3\Delta\theta}{2} - t) & \text{if } \Delta\theta \le t \le 2\Delta\theta \\ -\frac{\Delta\theta}{2} & \text{if } 2\Delta\theta \le t \le 3\Delta\theta \\ (t - \frac{7\Delta\theta}{2}) & \text{if } 3\Delta\theta \le t \le 4\Delta\theta \end{cases}. $$
This leads to a square stroke of amplitude $\frac{\pi}{3}$, as shown in Figure 1.4. Such a stroke produces the displacement of the swimmer given in Figure 1.5, which matches exactly Figure 6 in [15].

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 1.4: Control functions $\alpha_1$ (red) and $\alpha_3$ (blue) as functions of time (left), and their phase portrait (right). The square loop on the right is traced clockwise.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 1.5: Graphs of $x_2(t)$ (blue), and $y_2(t)$ (red) as a function of time during the stroke of Figure 1.4. A net horizontal backward displacement is observed when the square stroke is traced clockwise, matching the results of [15].</figcaption></figure>
### 1.3.2 N-link swimmers

The full N-link swimmer can be used as a discrete model of a flexible tail whose shape is controlled by curvature. We show how curvature control can be implemented in our model in some concrete cases reproducing the motion of Taylor's sheet [84] and the motion of a sperm cell analyzed in [37].

#### Curvature approximation

Here, we show how to approximate the curvature of a beating tail with a discrete N link swimmer. Let $L > 0$ be the total length of the flexible tail and let us denote by $\mathbf{r}(s, t)$ the position at time $t > 0$ of the point of arc-length coordinate $s \in [0, L]$ along the tail, in the body frame of the swimmer (see Figure 1.6). We also define $\Psi(s, t)$ as the angle between the tangent vector to the tail at the point $\mathbf{r}(s, t)$ and the x-axis in the lab-frame. We recall that the derivative of $\Psi(s, t)$ with respect to $s$ is the local curvature of the curve.

We divide the swimmer into $N$ equal parts of size $L_i = L/N$, and define the angles $(\theta_i)_{1 \le i \le N}$ by averaging $\Psi(s, t)$ on the interval $[iL/N, (i+1)L/N]$

$$ \theta_i(t) = \frac{N}{L} \int_{\frac{(i-1)L}{N}}^{\frac{iL}{N}} \Psi(s,t) ds, \quad i = 1 \dots N. \qquad (1.25) $$

Finally, we differentiate (1.25) with respect to time to get $\dot{\theta}_i$, $i = 1, \dots, N$,

$$ \dot{\theta}_i(t) = \frac{N}{L} \int_{\frac{(i-1)L}{N}}^{\frac{iL}{N}} \frac{\partial \Psi(s,t)}{\partial t} ds, \quad i = 1 \dots N. \qquad (1.26) $$

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Figure 1.6: A prescribed continuous wave (red curve) and its discrete approximation by the N-link swimmer (blue curve), $N = 15$.</figcaption></figure>

#### N-link approximation of Taylor's swimming sheet

We now use our discretization method to compute the displacement and velocity of the so-called Taylor sheet [84]. To that aim, we describe a sinusoidal wave propagating along the tail in its frame by

$$ \mathbf{r}(s, t), t) = b \sin(kx - \sigma t) + b \sin(\sigma t) \qquad (1.27) $$

where the arclength $s$ and $x$ are linked by

$$ s(x, t) = \int_{0}^{x} \sqrt{1 + b^{2}k^{2}(\cos(ku - \sigma t))^{2}} du. \qquad (1.28) $$
(Notice that $\mathbf{r}(0, t) = 0$, which keeps the origin fixed in the swimmer's frame.)

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Figure 1.7: A sinusoidal wave (red) and its N-link approximation (blue) with N = 10</figcaption></figure>

Using Resistive Force Theory, Gray and Hancock give in [49] the following formula for the velocity of the sheet in the horizontal direction:

$$V_x = \sigma k b^2 \left( \frac{\xi - \eta}{\eta} \right), \qquad (1.29)$$

from which one can recover Taylor's formula

$$V_x = -\frac{1}{2}k\sigma b^2 \qquad (1.30)$$

by setting $\xi = 1$ and $\eta = 2$. The net displacement of the swimmer after a period $T = \frac{2\pi}{\sigma}$ is therefore

$$\Delta x = V_x T = \sigma k b^2 \left( \frac{\xi - \eta}{\eta} \right) T. \qquad (1.31)$$

We have solved numerically the equations of motion choosing as parameters $\sigma = 1 \text{ rad s}^{-1}$, $k = 4 \text{ rad m}^{-1}$, and $N = 50$ links to describe the swimmer, and drag coefficients $\xi = 1 \text{ N s m}^{-2}$ and $\eta = 2 \text{ N s m}^{-2}$. The displacement in the parallel direction after one period is plotted in Figure 1.8, together with the one predicted by (1.31), for a wave amplitude $b = 0.001 \text{ m}$.
<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Figure 1.8: Graphs of the displacement of Taylor’s sheet for $b = 1 \cdot 10^{-3}$ µm. The blue curve is the one obtained by numerical integration of the equations of motion while the red one is the one predicted by (1.31).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Figure 1.9: Logarithmic plot of the *x*-displacement as a function of the amplitude *b* (blue squares) compared with the one obtained from (1.31) (red dots).</figcaption></figure>

The dependence of the displacements on the amplitude *b* is shown in Figure 1.9. The
graph shows that formula (1.31) gives an accurate prediction for an amplitude of the wave b smaller than $1 \cdot 10^{-1}$.

## N-link approximation of sperm cell swimmer

We now turn to the simulation of the motion of a sperm cell and compare to the one reported in [37]. To that aim, we modify the first segment of the N-link swimmer to take into account the presence of the head of the sperm cell, which possesses its own translational and rotational viscous drag. Indeed, we call $\mathbf{x}_1$ the position of the center of the head and $\theta_1$ the angle that the direction $\mathbf{e}_1$ of first segment (attached to the head) makes with the horizontal axis. We assume that the viscous force and torque generated by a movement of the head are given by

$$ \mathbf{F}_{\text{head}} = -\xi_{\text{head}}(\dot{\mathbf{x}}_1 \cdot \mathbf{e}_1)\mathbf{e}_1 - \eta_{\text{head}}(\dot{\mathbf{x}}_1 \cdot \mathbf{e}_1^{\perp})\mathbf{e}_1^{\perp}, \quad (1.32) $$

and

$$ \mathbf{T}_{\text{head}} \cdot \mathbf{e}_z = -\zeta_{\text{head}} \dot{\theta}_1. \quad (1.33) $$

We also assume that the head length is $L_{\text{head}} = 10 \, \mu\text{m}$ and we call again $L$ the length of the tail which is fixed to one of the extremities of the head segment. The wave profile along the tail of the sperm cell was obtained from experimental data, keeping only the two first Fourier modes as suggested in [72] and we use the method described in section 1.3.2 to approximate the motion of the tail.

More precisely, we describe the wave shape shown in Fig. 1.10 by

$$ \mathbf{r}(s, t) = \frac{L_{\text{head}}}{2} \mathbf{e}_1(t) + \int_0^s \cos(\Psi(u, t)) \mathbf{e}_1(t) + \sin(\Psi(u, t)) \mathbf{e}_1^{\perp}(t) du. \quad (1.34) $$

where

$$ \Psi(s, t) = K_0 s + 2A_0 s \cos(\omega t - \frac{2\pi s}{\lambda}). \quad (1.35) $$

In the preceding equations, $K_0$ is the mean flagellar curvature while $\omega$, $\lambda$ and $A_0$ are respectively the frequency, the wave-length and the amplitude of the wave. Following [37], in the numerical simulations below we use the following values for the wave parameters: $A_0 = 15.2 \cdot 10^3 \, \text{rad m}^{-1}$, $K_0 = 19.1 \cdot 10^3 \, \text{rad m}^{-1}$, $\omega = 200 \, \text{rad s}^{-1}$ and $\lambda = 71.6 \cdot 10^{-6} \, \text{m}$.

Apart from the first segment, the rest of the tail is discretized with $N-1$ segments of extremities $(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_{i+1})$ for $i = 2, \dots, N$. We discretize the beating wave using the method described in section 1.3.2, and obtain the shapes shown in Figure 1.11 for one period ($0 \le t \le \frac{2\pi}{\omega}$).
<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>Figure 1.10: The prescribed continuous wave (red curve) and its discrete approximation by the N-link swimmer (blue curve), N = 15.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>Figure 1.11: Flagellar beating during one period. The red curve represents the tail as described by formula (1.34) while the blue links describe the tail according to our discrete approximation.</figcaption></figure>

With the notation above, the equations of motion become

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\mathbf{F} = \mathbf{F}_{\text{head}} + \sum_{i=1}^{N} \int_{0}^{L_i} \mathbf{f}_i(s) \, ds, \\
\mathbf{T}_{\mathbf{x}_1} = \mathbf{T}_{\text{head}} + \sum_{i=1}^{N} \int_{0}^{L_i} \mathbf{f}_i(s) \times (\mathbf{x}_i(s) - \mathbf{x}_1) \, ds.
\end{array}
\right.
\qquad (1.36)
$$

where $L_i = L/N$ is the length of each segment $(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_{i+1})$ for $i = 2, \dots, N$, while the first segment, also of size $L_1 = L/N$ is given by $(\mathbf{x}_1 + \frac{L_{\text{head}}}{2}\mathbf{e}_1, \mathbf{x}_2)$.

Thanks to the fact that the two previous formulas (1.36) are linear in $\dot{\theta}_1$ and $\dot{x}_1$, we get the same compact expression of the equations of motion as in (1.15). More in detail, the matrix $\mathbf{P}_1$ and $\mathbf{P}_2$ defined the system (1.16) are replaced by

$$
\mathbf{P}_1^{\text{head}} := \left( -\xi_{\text{head}} \mathbf{e}_1 \otimes \mathbf{e}_1 + \eta_{\text{head}} \mathbf{e}_1^{\perp} \otimes \mathbf{e}_1^{\perp} \quad -\mathbf{m}_1 \quad \dots \quad -\mathbf{m}_N \quad | \quad \frac{\eta}{2} L_1^2 \mathbf{e}_1^{\perp} \quad \dots \quad \frac{\eta}{2} L_N^2 \mathbf{e}_N^{\perp} \right)
$$
and

$$ \mathbf{P}_2^{\text{head}} := (-p_1 \cdots -p_N \mid -\zeta_{\text{head}} + q_1 \ q_2 \cdots \ q_N), $$

with $\mathbf{m}_i := L_i(\xi \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_i + \eta \mathbf{e}_i^{\perp} \otimes \mathbf{e}_i^{\perp})$ for $i = 1 \cdots N$, and $p_i := (L_i^2 \eta \mathbf{e}_i^{\perp} + (\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_1) \times \mathbf{m}_i)^T$, $q_i := \eta L_i^2 (\frac{L_i}{3} + \frac{(\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_1) \times \mathbf{e}_i^{\perp} \cdot \mathbf{e}_z}{2})$, for $i = 1 \cdots N$.

We use the following values for the drag coefficients

* for the head, $\xi_{\text{head}} = 40.3 \cdot 10^3 \text{ pN s m}^{-1}$, $\eta_{\text{head}} = 46.1 \cdot 10^3 \text{ pN s m}^{-1}$, and $\zeta_{\text{head}} = 0.84 \cdot 10^{-6} \text{ pN s m}$

* for the links representing the tail, $\xi = 0.38 \cdot 10^9 \text{ pN s m}^{-2}$, $\eta = 1.89$.

Our results, summarized by the graphs in Figures 1.12 and 1.13 below, are in perfect agreement with those of [37] (see Figure 3 for the trajectory and Figure 4 for the various speeds).

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Figure 1.12: Above translational speed of the swimmer head in the tangent and perpendicular directions, and below rotational speed.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>Figure 1.13: Trajectory of the head of the sperm-cell during one period.</figcaption></figure>

1.4 Conclusions and perspectives

In this paper, we have presented a discrete model of a slender swimmer which swims by
propagating bending waves along its body, and in which hydrodynamic interactions are
treated with the local drag approximation of Resistive Force Theory. The model is easy to
assemble and to solve, and surprisingly accurate, as shown by the comparison with some
benchmark examples such as the measured trajectories of sperm cells reported in [37]. The
ease of use of our model will be very valuable in the study of optimal design and stroke
optimization questions, which will be the subject of future work.

The approach described in this paper can be extended in a number of natural ways. To be-
gin with, we have restricted our attention to slender swimmers exploring planar trajectories.
The general three-dimensional case, while computationally more demanding, is conceptu-
ally straightforward, see [7, 32]. Furthermore, in several realistic situations, curvature is not
entirely controlled. For example, it may happen that the curvature actuation mechanism is
present or activated only in a portion of the filament (active part of the filament, say, the
part closer to the ‘head’), while the curvature of the remainder (passive part of the filament,
say at the tail end) is a-priori unknown and emerges from the balance of viscous forces from
the fluid against elastic restoring forces due its bending stiffness. Interesting examples of
this type are the octopus tentacles [95], or artificial systems such as the one discussed in
[69]. The extension of our model to scenarios of this kind is immediate, by representing the
bending stiffness of the passive part of the filament through angular springs reacting elas-
tically to angle differences between two successive links. Future work will also explore the
possibilities offered by active materials capable of large deformations, such as Liquid Crystal
Elastomers actuated in bending [16, 35, 77], and of more classical concepts such as flexible filaments made of magnetic particles and driven by oscillating magnetic fields [34, 36].

**Acknowledgments.** Part of this work was done while LG and MZ were visiting SISSA, whose hospitality and financial support are gratefully acknowledged. We thank also Direction Générale de l'Armement (DGA) for a financial support to LG.

## 1.5 Appendix A

The forces $\mathbf{F}_i$, $i = 1, 2, 3$ acting on each segment of Purcell's 3-link swimmer, introduced in subsection 1.3.1 are given by

$$ \mathbf{F}_1 = -\xi L_1 (\dot{x}_2 \cos(\theta_2 + \alpha_1) + \dot{y}_2 \sin(\theta_2 + \alpha_1) - \frac{L_2}{2} \sin \alpha_1 \dot{\theta}_2) \mathbf{e}_1 - \eta (-L_1 \dot{x}_2 \sin(\theta_2 + \alpha_1) + L_1 \dot{y}_2 \cos(\theta_2 + \alpha_1) - \frac{L_1 L_2}{2} \cos \alpha_1 \dot{\theta}_2 - \frac{L_1^2}{2} (\dot{\theta}_2 + \dot{\alpha}_1)) \mathbf{e}_1^\perp, $$

$$ \mathbf{F}_2 = -\xi L_2 (\dot{x}_2 \cos \theta_2 + \dot{y}_2 \sin \theta_2) \mathbf{e}_2 - \eta L_2 (-\dot{x}_2 \sin \theta_2 + \dot{y}_2 \cos \theta_2) \mathbf{e}_2^\perp, $$

$$ \mathbf{F}_3 = -\xi L_3 (\dot{x}_2 \cos(\theta_2 + \alpha_3) + \dot{y}_2 \sin(\theta_2 + \alpha_3) + \frac{L_2}{2} \sin \alpha_3 \dot{\theta}_2) \mathbf{e}_3 + \eta (-L_3 \dot{x}_2 \sin(\theta_2 + \alpha_3) + L_3 \dot{y}_2 \cos(\theta_2 + \alpha_3) + \frac{L_3^2}{2} \cos \alpha_3 \dot{\theta}_2 + \frac{L_3^2}{2} (\dot{\theta}_2 + \dot{\alpha}_3)) \mathbf{e}_3^\perp, \quad (1.37) $$

while the total torque, obtained by using formula (2.5), is given by

$$ \begin{aligned} \mathbf{T}_{x_2} \cdot \mathbf{e}_z ={}& \dot{x}_2 \left( \xi \frac{L_1 L_2}{2} \sin \alpha_1 \cos(\theta_2 + \alpha_1) - \eta \frac{L_1 L_2}{2} \cos \alpha_1 \sin(\theta_2 + \alpha_1) - \eta \frac{L_1^2}{2} \sin(\theta_2 + \alpha_1) \right. \\ & \left. - \xi \frac{L_3 L_2}{2} \sin \alpha_3 \cos(\theta_2 + \alpha_3) + \eta \frac{L_3 L_2}{2} \cos \alpha_3 \sin(\theta_2 + \alpha_3) + \eta \frac{L_3^2}{2} \sin(\theta_2 + \alpha_3) \right) \\ & + \dot{y}_2 \left( \xi \frac{L_1 L_2}{2} \sin \alpha_1 \sin(\theta_2 + \alpha_1) + \eta \frac{L_1 L_2}{2} \cos \alpha_1 \cos(\theta_2 + \alpha_1) + \eta \frac{L_1^2}{2} \cos(\theta_2 + \alpha_1) \right. \\ & \left. - \xi \frac{L_3 L_2}{2} \sin \alpha_3 \sin(\theta_2 + \alpha_3) - \eta \frac{L_3 L_2}{2} \cos \alpha_3 \cos(\theta_2 + \alpha_3) - \eta \frac{L_3^2}{2} \cos(\theta_2 + \alpha_3) \right) \\ & + \dot{\theta}_2 \left( -\xi \frac{L_1 L_2^2}{4} \sin^2 \alpha_1 - \eta L_1 \left( \frac{L_1}{2} + \frac{L_2}{2} \cos \alpha_1 \right)^2 + \eta \frac{L_1^3}{12} - \xi \frac{L_3 L_2^2}{4} \sin^2 \alpha_3 \right. \\ & \left. - \eta L_1 \left( \frac{L_3}{2} + \frac{L_2}{2} \cos \alpha_3 \right)^2 + \eta \frac{L_3^3}{12} \right) \\ & + \dot{\alpha}_1 \left( -\eta \left( \frac{L_1^3}{3} + \frac{L_1^2 L_2}{4} \cos \alpha_1 \right) + \dot{\alpha}_3 \left( -\eta \left( \frac{L_3}{3} + \frac{L_3^2 L_2}{4} \cos \alpha_3 \right) \right) \right). \end{aligned} \quad (1.38) $$

We now write the equations of motion of the system. Since we are neglecting inertia these reduce to $F = 0$ and $M = 0$. These scalar equations can be seen as ODEs in the unknown functions $x_2(t)$, $y_2(t)$ and $\theta_2(t)$. Explicitly, they read as

$$ \begin{aligned} F_x ={}& \dot{x}_2 (-\xi L_1 (\cos(\theta_2 + \alpha_1))^2 - \eta L_1 (\sin(\theta_2 + \alpha_1))^2 - \xi L_2 (\cos(\theta_2))^2 - \eta L_2 (\sin(\theta_2))^2 - \\ & - \xi L_3 (\cos(\theta_2 + \alpha_3))^2 - \eta L_3 (\sin(\theta_2 + \alpha_3))^2) \\ & + \dot{y}_2 (-\xi L_1 \cos(\theta_2 + \alpha_1) \sin(\theta_2 + \alpha_1) + \eta L_1 \cos(\theta_2 + \alpha_1) \sin(\theta_2 + \alpha_1) - \xi L_2 \sin(\theta_2) \cos(\theta_2) + \\ & + \eta L_2 \cos(\theta_2) \sin(\theta_2) - \xi L_3 \sin(\theta_2 + \alpha_3) \cos(\theta_2 + \alpha_3) + \eta L_3 \sin(\theta_2 + \alpha_3) \cos(\theta_2 + \alpha_3)) + \\ & + \dot{\theta}_2 (\xi L_1 \frac{L_2}{2} \sin(\alpha_1) \cos(\theta_2 + \alpha_1) - \eta L_1 \frac{L_2}{2} \cos(\alpha_1) \sin(\theta_2 + \alpha_1) - \eta L_1 (\frac{L_1}{2}) \sin(\theta_2 + \alpha_1) \\ & - \xi L_3 \frac{L_2}{2} \sin(\alpha_3) \cos(\theta_2 + \alpha_3) + \eta L_3 \frac{L_2}{2} \cos(\alpha_3) \sin(\theta_2 + \alpha_3) + \eta L_3 (\frac{L_3}{2}) \sin(\theta_2 + \alpha_3) \\ & + \dot{\alpha}_1 (-\eta \frac{L_1^2}{2} \sin(\theta_2 + \alpha_1)) + \dot{\alpha}_3 (\eta \frac{L_3^2}{2} \sin(\theta_2 + \alpha_3)) = 0. \end{aligned} \quad (1.39) $$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
F_y = \dot{x}_2 & (-\xi L_1 \cos(\theta_2 + \alpha_1) \sin(\theta_2 + \alpha_1) + \eta L_1 \cos(\theta_2 + \alpha_1) \sin(\theta_2 + \alpha_1) - \xi L_2 \sin(\theta_2) \cos(\theta_2) + \\
& + \eta L_2 \cos(\theta_2) \sin(\theta_2) - \xi L_3 \sin(\theta_2 + \alpha_3) \cos(\theta_2 + \alpha_3) + \eta L_3 \sin(\theta_2 + \alpha_3) \cos(\theta_2 + \alpha_3)) + \\
& + \dot{y}_2 (-\xi L_1 (\sin(\theta_2 + \alpha_1))^2 - \eta L_1 (\cos(\theta_2 + \alpha_1))^2 - \xi L_2 (\sin(\theta_2))^2 - \eta L_2 (\cos(\theta_2))^2 - \\
& - \xi L_3 (\sin(\theta_2 + \alpha_3))^2 - \eta L_3 (\cos(\theta_2 + \alpha_3))^2) + \\
& + \dot{\theta}_2 (\xi L_1 \frac{L_2}{2} \sin(\alpha_1) \sin(\theta_2 + \alpha_1) + \eta L_1 \frac{L_2}{2} \cos(\alpha_1) \cos(\theta_2 + \alpha_1) + \eta L_1 (\frac{L_1}{2}) \cos(\theta_2 + \alpha_1) \\
& - \xi L_3 \frac{L_2}{2} \sin(\alpha_3) \sin(\theta_2 + \alpha_3) - \eta L_3 \frac{L_2}{2} \cos(\alpha_3) \cos(\theta_2 + \alpha_3) - \eta L_3 (\frac{L_3}{2}) \cos(\theta_2 + \alpha_3)) \\
& + \dot{\alpha}_1 (\eta \frac{L_1^2}{2} \cos(\theta_2 + \alpha_1)) + \dot{\alpha}_3 (-\eta \frac{L_3^2}{2} \cos(\theta_2 + \alpha_3)) = 0.
\end{aligned}
\tag{1.40}
\end{equation}
$$

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
T_{x_2} = \dot{x}_2 & (\xi L_1 \frac{L_2}{2} \sin(\alpha_1) \cos(\theta_2 + \alpha_1) - \eta L_1 \frac{L_2}{2} \cos(\alpha_1) \sin(\theta_2 + \alpha_1) - \eta L_1 (\frac{L_1}{2}) \sin(\theta_2 + \alpha_1) \\
& - \xi L_3 \frac{L_2}{2} \sin(\alpha_3) \cos(\theta_2 + \alpha_3) + \eta L_3 \frac{L_2}{2} \cos(\alpha_3) \sin(\theta_2 + \alpha_3) + \eta L_3 (\frac{L_3}{2}) \sin(\theta_2 + \alpha_3)) \\
\dot{y}_2 & (\xi L_1 \frac{L_2}{2} \sin(\alpha_1) \sin(\theta_2 + \alpha_1) + \eta L_1 \frac{L_2}{2} \cos(\alpha_1) \cos(\theta_2 + \alpha_1) + \eta L_1 (\frac{L_1}{2}) \cos(\theta_2 + \alpha_1) \\
& - \xi L_3 \frac{L_2}{2} \sin(\alpha_3) \sin(\theta_2 + \alpha_3) - \eta L_3 \frac{L_2}{2} \cos(\alpha_3) \cos(\theta_2 + \alpha_3) - \eta L_3 (\frac{L_3}{2}) \cos(\theta_2 + \alpha_3)) \\
\dot{\theta}_2 & (-\xi L_1 \frac{(L_2)^2}{4} (\sin(\alpha_1))^2 + \frac{\eta}{3} ((\frac{L_2}{2} \cos(\alpha_1))^3 - (\frac{L_2}{2} \cos(\alpha_1) + L_1)^3) \\
& - \eta (\frac{L_2}{12}) - \xi L_3 \frac{(L_2)^2}{4} (\sin(\alpha_3))^2 - \frac{\eta}{3} ((\frac{L_2}{2} \cos(\alpha_3) + L_3)^3 - (\frac{L_2}{2} \cos(\alpha_3))^3)) \\
& + \dot{\alpha}_1 (-\eta (\frac{L_1^3}{3} + \frac{L_1^2 L_2}{4} \cos \alpha_1)) + \dot{\alpha}_3 (-\eta (\frac{L_3^3}{3} + \frac{L_3^2 L_2}{4} \cos \alpha_3)) = 0.
\end{aligned}
\tag{1.41}
\end{equation}
$$

These equations lead to the system

$$
A(\theta_2, \alpha_1, \alpha_3) \begin{pmatrix} \dot{x}_2 \\ \dot{y}_2 \\ \dot{\theta}_2 \end{pmatrix} + \mathbf{b}_1(\theta_2, \alpha_1, \alpha_3) \dot{\alpha}_1 + \mathbf{b}_2(\theta_2, \alpha_1, \alpha_3) \dot{\alpha}_3 = 0, \quad (1.42)
$$

where

$$
A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \qquad (1.43)
$$
is a symmetric matrix with

$$a_{11} = -\xi L_1 \cos(\theta_2 + \alpha_1) \sin(\theta_2 + \alpha_1) + \eta L_1 \cos(\theta_2 + \alpha_1) \sin(\theta_2 + \alpha_1) - \xi L_2 \sin(\theta_2) \cos(\theta_2) + \\ + \eta L_2 \cos(\theta_2) \sin(\theta_2) - \xi L_3 \sin(\theta_2 + \alpha_3) \cos(\theta_2 + \alpha_3) + \eta L_3 \sin(\theta_2 + \alpha_3) \cos(\theta_2 + \alpha_3),$$

$$a_{12} = -\xi L_1 \cos(\theta_2 + \alpha_1) \sin(\theta_2 + \alpha_1) + \eta L_1 \cos(\theta_2 + \alpha_1) \sin(\theta_2 + \alpha_1) - \xi L_2 \sin(\theta_2) \cos(\theta_2) + \\ + \eta L_2 \cos(\theta_2) \sin(\theta_2) - \xi L_3 \sin(\theta_2 + \alpha_3) \cos(\theta_2 + \alpha_3) + \eta L_3 \sin(\theta_2 + \alpha_3) \cos(\theta_2 + \alpha_3),$$

$$a_{13} = (\xi L_1 \frac{L_2}{2} \sin(\alpha_1) \cos(\theta_2 + \alpha_1) - \eta L_1 \frac{L_2}{2} \cos(\alpha_1) \sin(\theta_2 + \alpha_1) - \eta L_1(\frac{L_1}{2}) \sin(\theta_2 + \alpha_1) \\ - \xi L_3 \frac{L_2}{2} \sin(\alpha_3) \cos(\theta_2 + \alpha_3) + \eta L_3 \frac{L_2}{2} \cos(\alpha_3) \sin(\theta_2 + \alpha_3) + \eta L_3(\frac{L_3}{2}) \sin(\theta_2 + \alpha_3),$$

$$a_{22} = -\xi L_1(\sin(\theta_2 + \alpha_1))^2 - \eta L_1(\cos(\theta_2 + \alpha_1))^2 - \xi L_2(\sin(\theta_2))^2 - \eta L_2(\cos(\theta_2))^2 - \\ - \xi L_3(\sin(\theta_2 + \alpha_3))^2 - \eta L_3(\cos(\theta_2 + \alpha_3))^2,$$

$$a_{23} = (\xi L_1 \frac{L_2}{2} \sin(\alpha_1) \sin(\theta_2 + \alpha_1) + \eta L_1 \frac{L_2}{2} \cos(\alpha_1) \cos(\theta_2 + \alpha_1) + \eta L_1(\frac{L_1}{2}) \cos(\theta_2 + \alpha_1) \\ - \xi L_3 \frac{L_2}{2} \sin(\alpha_3) \sin(\theta_2 + \alpha_3) - \eta L_3 \frac{L_2}{2} \cos(\alpha_3) \cos(\theta_2 + \alpha_3) - \eta L_3(\frac{L_3}{2}) \cos(\theta_2 + \alpha_3)),$$

$$a_{33} = (-\xi L_1 \frac{(L_2)^2}{4} (\sin(\alpha_1))^2 + \frac{\eta}{3} ((\frac{L_2}{2} \cos(\alpha_1))^3 - (\frac{L_2}{2} \cos(\alpha_1) + L_1)^3) \\ - \eta(\frac{L_2}{12}) - \xi L_3 \frac{(L_2)^2}{4} (\sin(\alpha_3))^2 - \frac{\eta}{3} ((\frac{L_2}{2} \cos(\alpha_3) + L_3)^3 - (\frac{L_2}{2} \cos(\alpha_3))^3)).$$

The vector $\mathbf{b}_1$ (resp. $\mathbf{b}_2$) is the vector of total force and torque due to a rotation of the left (resp. right) arm $\dot{\alpha}_1 = 1$ (resp. $\dot{\alpha}_3 = 1$) while the other coordinates are kept constant. These vectors are given by

$$\mathbf{b}_1 = \begin{pmatrix} -\eta \frac{L_2^2}{2} \sin(\theta_2 + \alpha_1) \\ \eta \frac{L_2^2}{2} \cos(\theta_2 + \alpha_1) \\ -\eta \left(L_1\left(\frac{L_1^2}{3} + \frac{L_2 L_1}{4}\cos\alpha_1\right)\right) \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b}_2 = \begin{pmatrix} \eta \frac{L_3^2}{2} \sin(\theta_2 + \alpha_3) \\ -\eta \frac{L_3^2}{2} \cos(\theta_2 + \alpha_3) \\ -\eta L_3 \left(\frac{L_3^2}{3} + \frac{L_2 L_3}{4}\cos\alpha_3\right) \end{pmatrix}. \quad (1.44)$$

Thanks to the invertibility of the matrix $A$ we obtain the system (1.18), with

$$\mathbf{g}_1(\theta_2, \alpha_1, \alpha_3) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -\mathbf{A}^{-1}(\theta_2, \alpha_1, \alpha_3)\mathbf{b}_1(\theta_2, \alpha_1, \alpha_3) \end{pmatrix} \quad (1.45)$$

and

$$\mathbf{g}_2(\theta_2, \alpha_1, \alpha_3) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -\mathbf{A}^{-1}(\theta_2, \alpha_1, \alpha_3)\mathbf{b}_2(\theta_2, \alpha_1, \alpha_3) \end{pmatrix}. \quad (1.46)$$
# Chapitre 2

## Controllability and Optimal Strokes for N-link Microswimmer

In this paper we focus on the N-link swimmer, a generalization of the classical Purcell swimmer [70] that was introduced in [5]. We use the simplification of the Resistive Force Theory to derive the equation of motion for the swimmer in a fluid with a low Reynolds number, see for instance [49]. We prove that the swimmer is controllable in the whole plane when it is composed by more than 3 sticks and for almost every set of stick lengths. As a direct result, we show that there exists an optimal swimming strategy which leads to minimize the time to reach a desired configuration. Numerical experiments on the case of $N = 3$ (Purcell swimmer) suggest that the optimal strategy is periodic, i.e. composed of a sequence of identical strokes. Our results indicate that this candidate for an optimal stroke indeed gives abetter speed than the classical Purcell stroke.
## 2.1 Introduction

### 2.1.1 Locomotion at low Reynolds Number

Swimming at a micro scale is a subject of growing interest. A better understanding of the swimmer motion can lead to many useful applications in several fields such as medicine or micro and nano technology. The world of low Reynolds Number is inhabited by the majority of the micro organisms, for this reason the study of their swimming strategy is attracting increasing attention in the recent literature (see for instance [53] for an extensive list of references). One of the pioneering works is probably the one by Taylor in 1951 (see [84]) who introduces a model of swimmer as an infinite sheet in the form of a sinusoidal traveling wave. In this paper, Taylor presents a mathematical setting for the problem of self-propulsion of this thin undulating filament. Later in 1977, Purcell proved in [70] that the swimming strategies must change the shape of the swimmer in a non-reciprocal way, in order to permit a displacement through the fluid. In the same paper, he introduced a 3-link swimmer model, known as the "Purcell swimmer", along with a stroke that allows it to move. More recently, several works have studied in more detail the physical characteristic of the Purcell swimmer as a toy model, see for instance [83], [15], [5], [69]. Another crucial development for our analysis is the recent emergence of the connection between swimming and Control Theory (see for instance [63], [8], [11], [28], [60], [?]). One of the difficulties is the study of the swimmer-fluid coupling which leads to derive the dynamics of the swimmer. At a micro scale, the non local hydrodynamic forces exerted by the fluid on the swimmer can be approximated with local drag forces depending linearly on the velocity of each point (see [49], [37]). This technique called Resistive Force Theory provides a simplified dynamics of the micro swimmer, that gives results in good agreement with those obtained by the full hydrodynamic, see [5], [37]. We use here the same approach than [5] to derive the dynamics of the N-link swimmer.

### 2.1.2 Contribution

In this paper, we present a controllability result for the *N*-link swimmer, and a new optimal stroke for displacement in minimum time. First, we prove by geometric control techniques that for *N* ≥ 3 sticks, the *N*-link swimmer is capable to reach any configuration in the plane. More precisely, we show that for almost any swimmer (i.e. for almost every set of stick lengths) and for any initial configuration, the swimmer can reach any shape and position. The global controllability result proved here shows the existence of a suitable shape deformation which steers the swimmer to the desired final state. As a direct consequence, we show that the optimal swimming problem, that is to minimize the time to reach a given configuration, is well posed. Therefore, there exists an optimal strategy which leads to the final position and configuration in minimum time. Finally, we perform some numerical simulations for the Purcell swimmer (*N* = 3), without any assumptions on the structure of the optimal strategy. Our results suggest that the optimal swimming motion is indeed periodic, and we show that the stroke we obtain gives a better speed than the Purcell one.

## 2.2 Setting of the problem

In this section, we recall the *N*-link swimmer introduced in [5], and present its dynamics as a system of three ODEs. The system is linear with respect to the rate of deformation, and has no drift.
## 2.2.1 The N-link swimmer

The swimmer consists of $N \in \mathbb{N}$ rigid links with joints at their ends, see Fig. 2.1. Movement is expressed in the laboratory-frame, defined by the vectors $(\mathbf{e}_x, \mathbf{e}_y)$. We set $\mathbf{e}_z := \mathbf{e}_x \times \mathbf{e}_y$. The $i$-th link is the segment with end points $\mathbf{x}_i$ and $\mathbf{x}_{i+1}$. We note its length $L_i > 0$ and $\theta_i$ its angle with the horizontal $x$-axis. We define by $\mathbf{x}_i := (x_i, y_i)$ ($i = 1, \dots, N$) the coordinates of the first end of each link. Note that, for $i \in \{2 \cdots N\}$, the coordinates $\mathbf{x}_i$ can be expressed as a function of $\mathbf{x}_1$, $\theta_k$ and $L_k$, with $k \in \{1 \cdots i-1\}$:

$$ \mathbf{x}_i := \mathbf{x}_1 + \sum_{k=1}^{i-1} L_k \begin{pmatrix} \cos(\theta_k) \\ \sin(\theta_k) \end{pmatrix}. \qquad (2.1) $$

The swimmer is described by two sets of variables:

* the state variables which specify the position and the orientation of the first link, associated with the triplet $(\mathbf{x}_1 = (x_1, y_1), \theta_1)$.

* the shape variables which describe the relative orientations between successive links. For each link with $i \in [2, \dots, N]$, we note $\alpha_i = \theta_i - \theta_{i-1}$ the angle relative to the preceding one. In the following, the vector $(\alpha_2, \dots, \alpha_N)$ represents the shape of the swimmer.

<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>Figure 2.1: Coordinates for the N-link swimmer.</figcaption></figure>

## 2.2.2 Dynamics

The dynamics for this swimmer was already described in [5]. We recall in this section the main steps to obtain the equations of motion.

The dynamics of the swimmer stems from Newton laws, in which inertia is neglected. These read

$$ \left\{ \begin{array}{l} \mathbf{F} = 0, \\ \mathbf{e}_z \cdot \mathbf{T}_{\mathbf{x}_1} = 0, \end{array} \right. \qquad (2.2) $$

where $\mathbf{F}$ is the total force exerted on the swimmer by the fluid and $\mathbf{T}_{\mathbf{x}_1}$ is the corresponding total torque computed with respect to the point $\mathbf{x}_1$.
To couple the fluid and the swimmer, we use the local drag approximation of Resistive Force Theory. We denote by $s$ the arc length coordinate on the $i$-th link ($0 \le s \le L_i$) and by $\mathbf{v}_i(s)$ the velocity of the corresponding point. We also introduce the unit vectors in the directions parallel and perpendicular to the $i$-th link

$$ \mathbf{e}_i = \begin{pmatrix} \cos(\theta_i) \\ \sin(\theta_i) \end{pmatrix} \quad \text{and} \quad \mathbf{e}_i^{\perp} = \begin{pmatrix} -\sin(\theta_i) \\ \cos(\theta_i) \end{pmatrix} $$

and write $\mathbf{x}_i(s) = \mathbf{x}_i + s\mathbf{e}_i$. By differentiation, we obtain,

$$ \mathbf{v}_i(s) = \dot{\mathbf{x}}_i + s\dot{\theta}_i \mathbf{e}_i^{\perp}. \qquad (2.3) $$

The density of the force $\mathbf{f}_i$ acting on the $i$-th segment is assumed to depend linearly on the velocity. It is defined by

$$ \mathbf{f}_i(s) := -\xi (\mathbf{v}_i(s) \cdot \mathbf{e}_i) \mathbf{e}_i - \eta (\mathbf{v}_i(s) \cdot \mathbf{e}_i^{\perp}) \mathbf{e}_i^{\perp}, \qquad (2.4) $$

where $\xi$ and $\eta$ are respectively the drag coefficients in the directions of $\mathbf{e}_i$ and $\mathbf{e}_i^{\perp}$. We thus obtain

$$ \left\{ \begin{array}{l} \mathbf{F} = \sum_{i=1}^{N} \int_{0}^{L_i} \mathbf{f}_i(s) \, ds, \\ \\ \mathbf{e}_z \cdot \mathbf{T}_{\mathbf{x}_1} = \mathbf{e}_z \cdot \sum_{i=1}^{N} \int_{0}^{L_i} (\mathbf{x}_i(s) - \mathbf{x}_1) \times \mathbf{f}_i(s) \, ds. \end{array} \right. \qquad (2.5) $$

Using (2.3) and (2.4) into (2.5), the total force $\mathbf{F}$ can be expressed as

$$ -\sum_{i=1}^{N} L_i \xi (\dot{\mathbf{x}}_i \cdot \mathbf{e}_i) \mathbf{e}_i + \left( L_i \eta (\dot{\mathbf{x}}_i \cdot \mathbf{e}_i^{\perp}) + \frac{L_i^2}{2} \eta \dot{\theta}_i \right) \mathbf{e}_i^{\perp}, \qquad (2.6) $$

and and torque $\mathbf{e}_z \cdot \mathbf{T}_{\mathbf{x}_1}$ as

$$ \begin{aligned} & - \sum_{i=1}^{N} L_i \eta (\dot{\mathbf{x}}_i \cdot \mathbf{e}_i^{\perp}) (\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_1) \times \mathbf{e}_i^{\perp} + \\ & \qquad L_i \xi (\dot{\mathbf{x}}_i \cdot \mathbf{e}_i) (\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_1) \times \mathbf{e}_i + \\ & \qquad \frac{L_i^2}{2} \eta \dot{\theta}_i (\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_1) \times \mathbf{e}_i^{\perp} + \\ & \qquad \frac{L_i^2}{2} \eta (\dot{\mathbf{x}}_i \cdot \mathbf{e}_i^{\perp}) + \frac{L_i^3}{3} \eta \dot{\theta}_i. \end{aligned} \qquad (2.7) $$

Moreover, differentiating (2.1) gives

$$ \dot{\mathbf{x}}_i = \dot{\mathbf{x}}_1 + \sum_{k=1}^{i-1} L_k \dot{\theta}_k \mathbf{e}_k^{\perp}, \qquad (2.8) $$

which is linear in $\dot{\mathbf{x}}_1$ and $(\dot{\theta}_k)_{1 \le k \le N}$.

The angles $(\dot{\alpha}_k)_{2 \le k \le N}$ are a linear combination of $(\dot{\theta}_k)_{2 \le k \le N}$, thus formulas (2.6) and (2.7) are linear in $\dot{\mathbf{x}}_1$, $\dot{\theta}_1$ and $(\dot{\alpha}_k)_{2 \le k \le N}$.

Writing the system 2.5 in a matricial form we obtain

$$ \mathbf{A} (\theta_1, \alpha_2, \dots, \alpha_N) \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ \theta_1 \end{pmatrix} - \mathbf{B} (\theta_1, \alpha_2, \dots, \alpha_N) \cdot \begin{pmatrix} \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_N \end{pmatrix} = 0 \qquad (2.9) $$
where the matrix $\mathbf{A}$ ($\theta_1, \alpha_2, \dots, \alpha_N$) is known as "Grand Resistance Matrix", and $\mathbf{B}$ ($\theta_1, \alpha_2, \dots, \alpha_N$) is the linear map associated to the coefficients describing the shape of the swimmer [5].

By inverting $\mathbf{A}$, we get the existence of the family of vector fields $\{\tilde{\mathbf{g}}_i(\theta_1, \alpha_2, \dots, \alpha_N)\}_{i=1,\dots,N-1}$ defined on $[0, 2\pi]^N$ by $\tilde{\mathbf{g}}_i := \mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}$. Then the dynamics of the swimmer reads

$$ \begin{pmatrix} \dot{\alpha}_2 \\ \vdots \\ \dot{\alpha}_N \\ \dot{\mathbf{x}}_1 \\ \dot{\theta}_1 \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^{N-1} \begin{pmatrix} \mathbf{b}_i \\ \tilde{\mathbf{g}}_i(\theta_1, \alpha_2, \dots, \alpha_N) \end{pmatrix} \dot{\alpha}_{i+1}. \quad (2.10) $$

where $\mathbf{b}_i$ is the $i$-th vector of the canonical basis of $\mathbf{R}^{N-1}$.

## 2.3 Controllability

This Section is devoted to the controllability result of the $N$-link swimmer. Namely, we prove that there exist control functions which allow the swimmer to move everywhere in the plane.

**Theorem 2.3.1** Consider the $N$-link swimmer described in Section 2.2 evolving in the space $\mathbf{R}^2$. Then for almost every lengths of the sticks ($L_i$)$_{i=1,\dots,N}$ and for any initial configuration $(\mathbf{x}_1^i, \theta_1^i, \alpha_2^i, \dots, \alpha_N^i) \in \mathbf{R}^2 \times [0, 2\pi]^N$, any final configuration $(\mathbf{x}_1^f, \theta_1^f, \alpha_2^f, \dots, \alpha_N^f)$ and any final time $T > 0$, there exists a shape function $(\alpha_2, \dots, \alpha_N) \in W^{1,\infty}([0,T])$, satisfying $(\alpha_2, \dots, \alpha_N)(0) = (\alpha_2^i, \dots, \alpha_N^i)$ and $(\alpha_2, \dots, \alpha_N)(T) = (\alpha_2^f, \dots, \alpha_N^f)$ and such that if the self-propelled swimmer starts in position $(\mathbf{x}_1^i, \theta_1^i)$ with the shape $(\alpha_2^i, \dots, \alpha_N^i)$ at time $t=0$, it ends at position $(\mathbf{x}_1^f, \theta_1^f)$ and shape $(\alpha_2^f, \dots, \alpha_N^f)$ at time $t=T$ by changing its shape along $(\alpha_2, \dots, \alpha_N)(t)$.

**Proof:** The proof of the theorem is divided into three steps. First, we deal with the analyticity of the dynamics vector fields. Then, we prove the controllability of the Purcell 3-link swimmer, exploiting the Chow theorem and the Orbit theorem. Finally, we generalize the result to the $N$-link swimmer. We start by recalling some classical results used in the proof.

### 2.3.1 Classical results in geometric control

**Theorem 2.3.2** (Chow (see [29])) Let $m, n \in \mathbf{N}$ and let $(f_i)_{i=1,n}$ be $C^\infty$ vector fields on $\mathbf{R}^n$. Consider the control system, of state trajectory $\mathbf{q}$,

$$ \dot{q} = \sum_{i=1}^{m} u_i f_i(\mathbf{q}), \quad (2.11) $$

with input function $\mathbf{u} = (u_i)_{i=1,m} \in L^\infty([0, +\infty[, \mathbf{B}_{\mathbf{R}^n}(0, r))$ for some $r > 0$. Let $\mathcal{O}$ an open and connected set of $\mathbf{R}^n$ and assume that

$$ \mathbf{L}_{\mathcal{O}}(f_1, \dots, f_m) = \mathbf{R}^n \quad \mathbf{q} \in \mathcal{O}. $$

Then the system (2.11) is controllable, i.e., for every $\mathbf{q}_0, \mathbf{q}_1$ in $\mathcal{O}$ and for every $T > 0$ exists $\mathbf{u} \in L^\infty((0, T), \mathbf{B}_{\mathbf{R}^n}(0, r))$ such that $\mathbf{q}(0) = \mathbf{q}_0$ and $\mathbf{q}(T) = \mathbf{q}_1$ and $\mathbf{q}(t) \in \mathcal{O}$ for every $t \in [0, T]$.
If the vector fields are analytic, we can apply the Orbit Theorem to extend the dimension property of the Lie algebra defined by the dynamics vector fields on the whole orbit.

**Theorem 2.3.3** (Orbit (see [51])) Let $\mathcal{M}$ be an analytic manifold, and $\mathcal{F}$ a family of analytic vector fields on $\mathcal{M}$. Then

a) each orbit of $\mathcal{F}$ is an analytic submanifold of $\mathcal{M}$, and

b) if $N$ is an orbit of $\mathcal{F}$, then the tangent space of $\mathcal{N}$ at $x$ is given by $\mathrm{Lie}_x(\mathcal{F})$. In particular the dimension of $\mathrm{Lie}_x(\mathcal{F})$ is constant as $x$ varies on $\mathcal{N}$.

In our case, the manifold in which the state and the shape of the swimmer evolve is defined by $\mathcal{M} := [0, 2\pi]^{N-1} \times \mathbf{R}^2 \times [0, 2\pi]$ The vector fields of the dynamics are denoted by

$$ \mathbf{g}_i(\theta_1, \alpha_2, \dots, \alpha_N) := \begin{pmatrix} \mathbf{b}_i \\ \tilde{\mathbf{g}}_i(\theta_1, \alpha_2, \dots, \alpha_N) \end{pmatrix}. $$

We say that the Lie algebra of the family of vector fields $\{\mathbf{g}_i\}_{i=1,\dots,N-1}$ is fully generated at the point $\mathbf{q} = (\alpha_2, \dots, \alpha_N, x_1, y_1, \theta_1) \in \mathcal{M}$ if the tangent space of the manifold, $T_{\mathbf{q}}\mathcal{M}$, is equal to the Lie algebra $\mathrm{Lie}((\mathbf{g}_i))_{i=1,\dots,N-1}(\mathbf{q})$.

### 2.3.2 Regularity

The first step is to prove that the vector fields of the motion equation of the swimmer are analytic on $\mathcal{M}$.

As a direct consequence of (2.6) and (2.7), the linear maps $\mathbf{A}$ and $\mathbf{B}$ belong to the set of matrices whose entries are analytic functions on $[0, 2\pi]^N$. The family of vector $(\tilde{\mathbf{g}}_i(\theta_1, \alpha_2, \dots, \alpha_N))_{i=1,\dots,N-1}$ is obtained by the multiplication of $\mathbf{A}^{-1}$ by $\mathbf{B}$. Since the coefficients of $\mathbf{A}^{-1}$ are obtained by multiplication and division of those of $\mathbf{A}$, and because the determinant of $\mathbf{A}$ is never null, the entries of inverse matrix $\mathbf{A}^{-1}$ remain analytic functions on $[0, 2\pi]^N$. Thus, the family of vector fields $(\tilde{\mathbf{g}}_i)_{i=1,\dots,N}$ are analytic on $[0, 2\pi]^N$.

### 2.3.3 Controllability of the Purcell Swimmer ($N=3$)

Now we prove the controllability of the Purcell's swimmer. By replacing $N = 3$ in (5.10), the Purcell's dynamics reads

$$ \begin{pmatrix} \dot{\alpha}_2 \\ \dot{\alpha}_3 \\ \dot{x}_1 \\ \dot{y}_1 \\ \dot{\theta}_1 \end{pmatrix} = \mathbf{g}_1(\theta_1, \alpha_2, \alpha_3)\dot{\alpha}_2 + \mathbf{g}_2(\theta_1, \alpha_2, \alpha_3)\dot{\alpha}_3. \quad (2.12) $$

We now express the Lie algebra of the vector fields $\mathbf{g}_1$ and $\mathbf{g}_2$ for any $\theta_1 \in [0, 2\pi]$ at the point $(\alpha_2, \alpha_3) = (0, 0)$, for a swimmer whose sticks have the length $L_1 = L_3 = L$ and $L_2 = 2L$ where $L > 0$.
The two vectors $\mathbf{g}_1(\theta_1, 0, 0)$ and $\mathbf{g}_2(\theta_1, 0, 0)$ are

$$ \mathbf{g}_1(\theta_1, 0, 0) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \frac{9L \sin(\theta_1)}{64} \\ -\frac{9L \cos(\theta_1)}{64} \\ \frac{27}{32} \end{pmatrix}, \quad \mathbf{g}_2(\theta_1, 0, 0) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -\frac{7L \sin(\theta_1)}{64} \\ \frac{7L \cos(\theta_1)}{64} \\ -\frac{5}{32} \end{pmatrix}. $$

Then, the iterated Lie brackets are equals to

$$ [\mathbf{g}_1, \mathbf{g}_2](\theta_1, 0, 0) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{7L(\eta-\xi)\cos(\theta_1)}{128\xi} \\ \frac{7L(\eta-\xi)\sin(\theta_1)}{128\xi} \\ 0 \end{pmatrix}, $$

$$ [\mathbf{g}_1, [\mathbf{g}_1, \mathbf{g}_2]](\theta_1, 0, 0) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -\frac{L(126\eta^2+31\xi\eta-76\xi^2)\sin(\theta_1)}{4096\eta\xi} \\ \frac{L(126\eta^2+31\xi\eta-76\xi^2)\cos(\theta_1)}{4096\eta\xi} \\ -\frac{3(9\eta^2-4\xi\eta+4\xi^2)}{2048\eta\xi} \end{pmatrix}, $$

$$ [\mathbf{g}_2, [\mathbf{g}_1, \mathbf{g}_2]](\theta_1, 0, 0) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{L(36\eta^2-103\xi\eta+148\xi^2)\sin(\theta_1)}{4096\eta\xi} \\ -\frac{L(36\eta^2-103\xi\eta+148\xi^2)\cos(\theta_1)}{4096\eta\xi} \\ \frac{3(9\eta^2-4\xi\eta+4\xi^2)}{2048\eta\xi} \end{pmatrix}. $$

The determinant of the matrix whose columns are the previous vector fields is equal to

$$ \begin{aligned} & \left| \left( \mathbf{g}_1 \mathbf{g}_2 [\mathbf{g}_1, \mathbf{g}_2] [\mathbf{g}_1, [\mathbf{g}_1, \mathbf{g}_2]] [\mathbf{g}_2, [\mathbf{g}_1, \mathbf{g}_2]] \right) (\theta_1, 0, 0) \right| \\ & = \frac{21 L^2 (\eta - \xi)^2 (45 \eta + 112 \xi) (9 \eta^2 - 4 \eta \xi + 4 \xi^2)}{536870912 \eta^2 \xi^3}. \end{aligned} \quad (2.13) $$

Since the two drag coefficients $\xi$ and $\eta$, are supposed positive, this determinant is never null except for isotropic coefficients ($\xi = \eta$). If we assume the drag coefficients to be equal, physically means that the sticks are subjected to the same drag force in both parallel and orthogonal directions, so they would not be sticks but spheres. Thus this case is not physically acceptable.

Thus for any $\theta_1 \in [0, 2\pi]$, the Lie algebra of the vector fields $\mathbf{g}_1$ and $\mathbf{g}_2$ is fully generated at the point $(\theta_1, \alpha_2, \alpha_3) = (\theta_1, 0, 0)$. Remark that any point $(\alpha_2, \alpha_3, \mathbf{x}_1, \theta_1) \in$
$[0, 2\pi]^2 \times \mathbf{R}^2 \times [0, 2\pi]$ belongs to the orbit of the point $(0, 0, \mathbf{x}_1, \theta_1)$. Since the vector fields are analytic, Orbit Theorem 2.3.3 guarantees that the Lie algebra of $\mathbf{g}_1$ and $\mathbf{g}_2$ is fully generated everywhere in the manifold $[0, 2\pi]^2 \times \mathbf{R}^2 \times [0, 2\pi]$.

To conclude, by Chow Theorem 2.3.2 we get the controllability of the Purcell's swimmer whose sticks have same length.

### 2.3.4 Controllability of the N-link swimmer

The third step is to generalize the previous controllability result to the N-link swimmer.

The dynamics of this swimmer is described by the ODE (5.10). By construction, the family of vector fields $\mathbf{g}_i$ generates the tangent space of the manifolds $[0, 2\pi]^{N-1}$,

$$ \mathrm{Span}(\mathbf{g}_1, \dots, \mathbf{g}_{N-1}) = \mathbf{R}^{N-1}. \qquad (2.14) $$

The two vector fields $\mathbf{g}_1$ and $\mathbf{g}_2$ are related to the Purcell's one defined in (2.12): we add $N-2$ rows of zeroes, take sticks of null length $L_i = 0$ for $4 \le i \le N-1$, while keeping the three sticks $L_1 = L_3 = L$ and $L_2 = 2L$ unchanged.

In this case, for any $(\mathbf{x}_1, \theta_1) \in \mathbf{R}^2 \times [0, 2\pi]$ Subsection 2.3.3 shows that the vectors $\mathbf{g}_1(\theta_1, 0, \dots, 0)$, $\mathbf{g}_2(\theta_1, 0, \dots, 0)$ and their iterated Lie brackets $[\mathbf{g}_1, \mathbf{g}_2](\theta_1, 0, \dots, 0)$, $[\mathbf{g}_1, [\mathbf{g}_1, \mathbf{g}_2]](\theta_1, 0, \dots, 0)$, and $[\mathbf{g}_2, [\mathbf{g}_1, \mathbf{g}_2]](\theta_1, 0, \dots, 0)$ are linearly independent.

Therefore, the Lie algebra of the family $(\mathbf{g}_i)_{i=1,\dots,N-1}$ at the point $(\theta_1, 0, \dots, 0)$ is equal to the tangent space $T_{(0,\dots,0,\mathbf{x}_1,\theta_1)}\mathcal{M}$.

Then, by analyticity of the vector fields $\mathbf{g}_i$, Orbit Theorem 2.3.3 states that the Lie algebra is fully generated everywhere for a swimmer whose the length of sticks verify $L_1 = L_3 = L$, $L_2 = 2L$ and $L_i = 0$, for $4 \le i \le N-1$.

Notice that the vector fields of the motion equation depend analytically also on the sticks length $L_i$, $i = 1, \dots, N$. We define by $D^{(0, \dots, 0)}$, the function which associates to the $N$-uplet of the stick lengths the determinant of the vectors $\mathbf{g}_1(0, \dots, 0), \dots, \mathbf{g}_{N-1}(0, \dots, 0)$ and their iterated Lie brackets at $(0, \dots, 0)$.

Since the dependence on $L_i$ of vector fields $\mathbf{g}_i$ is analytic, we get the analyticity of the function $D^{(0, \dots, 0)}$. Thus for any $L > 0$, the value of $D^{(0, \dots, 0)}$ at the point $(L, 2L, L, 0, \dots, 0)$ is not null. Then, by analyticity it remains non null almost everywhere in $\mathbf{R}^N$. Therefore, we obtain that the Lie algebra of a full rank for almost every swimmer.

Finally, by using Chow Theorem 2.3.2, we get the controllability stated in the Theorem 2.3.1.

## 2.4 Minimum time optimal problem for the N-link swimmer

This Section describes the minimum time optimal control problem for the N-link swimmer. The problem is defined in 2.4.1, and is well defined, from the controllability result proven in 2.3. Then in 2.4.2 we present the optimization strategy we used to find a solution to this optimal control problem.
## 2.4.1 Optimal Time Control Problem Statement

For any time $t > 0$, let us denote the state of the swimmer by $\mathbf{z}(t) := (\alpha_2, \dots, \alpha_N, \mathbf{x}_1, \theta_1)(t)^T$, the control function by $\mathbf{u}(t) := (\dot{\alpha}_2, \dots, \dot{\alpha}_N)(t)$ and the dynamics by $\mathbf{f}(\mathbf{z}(t), \mathbf{u}(t)) = \sum_{i=1}^{N-1} g_i(\mathbf{z}(t)) \dot{\alpha}_{i+1}(t)$. In the following we assume that the swimmer starts at the initial configuration $\mathbf{z}^i$ and we set a final state $\mathbf{z}^f$. We want to find an optimal swimming strategy which minimizes the time to reach the final configuration, i.e.,

$$ (OCP) \quad \left\{ \begin{array}{l} \inf T, \\ \dot{\mathbf{z}}(t) = f(\mathbf{z}(t), \mathbf{u}(t)), \quad \forall t \in [0, T], \\ \mathbf{u}(t) \in \mathbf{U} := [-1, 1]^N, \quad \forall t \in [0, T], \\ \mathbf{z}(0) = \mathbf{z}^i, \\ \mathbf{z}(T) = \mathbf{z}^f. \end{array} \right. $$

By applying Filippov-Cesary Theorem (as stated in [85]), there exist a minimal time such that the constraints are satisfied, and the optimal problem reads

$$ (OCP) \quad \left\{ \begin{array}{l} \min T, \\ \dot{\mathbf{z}}(t) = f(\mathbf{z}(t), \mathbf{u}(t)), \quad \forall t \in [0, T], \\ \mathbf{u}(t) \in \mathbf{U} := [-1, 1]^N, \quad \forall t \in [0, T], \\ \mathbf{z}(0) = \mathbf{z}^i, \\ \mathbf{z}(T) = \mathbf{z}^f. \end{array} \right. \qquad (2.15) $$

## 2.4.2 Optimization Strategy

In order to solve this optimal control problem, we use a so-called direct approach. The direct approach transforms the infinite dimensional optimal control problem (OCP) into a finite dimensional optimization problem (NLP). This is done by a discretization in time applied to the state and control variables, as well as the dynamics equation. These methods are usually less precise than indirect methods based on Pontryagin's Maximum Principle, but more robust with respect to the initialization. Also, they are more straightforward to apply, hence they are widely used in industrial applications.

Summary of the time discretization:

$$ \begin{array}{l@{\quad}c@{\quad}l} \begin{array}{l} t \in [0, T] \\ z(\cdot), u(\cdot) \end{array} & \rightarrow & \begin{array}{l} \{t_0 = 0, \dots, t_N = T\} \\ X = \{z_0, \dots, z_N, u_0, \dots, u_{N-1}, T\} \end{array} \\ \begin{array}{l} \text{Criterion} \\ \text{Dynamics} \\ \text{Adm. Cont.} \\ \text{Bnd. Cond.} \end{array} & \rightarrow & \begin{array}{l} \min T \\ (\text{ex : Euler}) \quad z_{i+1} = z_i + hf(z_i, u_i) \\ -1 \le u_i \le 1 \\ \Phi(z_0, z_N) = 0 \end{array} \end{array} $$

We therefore obtain a nonlinear programming problem on the discretized state and control variables

$$ (NLP) \quad \left\{ \begin{array}{l} \min F(z) = T \\ LB \le C(z) \le UB \end{array} \right. $$

All tests were run using the software BOCOP<fnref n="2" /> ([21]). The discretized nonlinear optimization problem is solved by the well-known solver IPOPT [86] with MUMPS [12], while the derivatives are computed by sparse automatic differentiation with ADOL-C [87] and COLPACK [42]. In the numerical experiments, we used a Midpoint (implicit 2nd order) discretization with 1000 time steps. Execution times on a Xeon 3.2GHz CPU were a few minutes.

<footnote n="2">²http://bocop.org</footnote>
## 2.5 Numerical simulation for the Purcell's swimmer (N=3)

In this Section, we present the numerical simulations associated with the problem (2.15) in the case of N = 3 sticks (Purcell's swimmer). We observe that while we did not make any assumptions on the structure of the optimal trajectory, the solution given by the direct solver Bocop shows a periodic structure. We extract a stroke from these solutions, and check that we obtain a better displacement better than the one of Purcell ([70], [15]).

In the rest of the paper, we reformulate the system in order to match the state variables used in the literature for the Purcell swimmer [15]. Following [15], we take the sticks lengths $L_1 = L_3 = 1$ and $L_2 = 2$. From now on, the state of the swimmer (see Fig 2.2) is described by

* the position $(x_2, y_2)$ of the center of the second stick, and $\theta_2 := \theta_1 - \alpha_2$ the angle between the x-axis and the second stick

* the shape of the swimmer, defined by the two angles $\beta_1 := -\alpha_2$ and $\beta_3 := \alpha_3$.

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>Figure 2.2: Purcell's 3-link swimmer.</figcaption></figure>

The time derivative of the new variables which describe the swimmer are linear in the previous ones,

$$ \begin{pmatrix} \dot{\beta}_1 \\ \dot{\beta}_3 \\ \dot{\mathbf{x}}_2 \\ \dot{\theta}_2 \end{pmatrix} = \mathbf{M}(\theta_2, \beta_1) \begin{pmatrix} \dot{\alpha}_2 \\ \dot{\alpha}_3 \\ \dot{\mathbf{x}}_1 \\ \dot{\theta}_1 \end{pmatrix}, $$

where the matrix $\mathbf{M}(\theta_2, \beta_1)$ is defined by,

$$ \mathbf{M}(\theta_2, \beta_1) = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \sin(\theta_2) + \cos(\beta_1) & 0 & 1 & -\sin(\theta_2) \\ -\cos(\beta_1) - \cos(\theta_2) & 0 & 0 & \cos(\theta_2) \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$

As a result, the dynamics (5.10) reads in this case

$$ \begin{pmatrix} \dot{\beta}_1 \\ \dot{\beta}_3 \\ \dot{\mathbf{x}}_2 \\ \dot{\theta}_2 \end{pmatrix} = \tilde{\mathbf{f}}_1(\theta_2, \beta_2, \beta_3) \dot{\beta}_1 + \tilde{\mathbf{f}}_2(\theta_2, \beta_2, \beta_3) \dot{\beta}_3 \quad (2.16) $$
where for $i = 1, 2$

$$ \tilde{\mathbf{f}}_i(\theta_2, \beta_1, \beta_3) = \mathbf{M}(\theta_2, \beta_1, \mathbf{\gamma}) \tilde{\mathbf{g}}_i(\theta_1, \alpha_2, \alpha_3). \quad (2.17) $$

Since the variables which describe the swimmer are the image of the previous one by a one-to-one mapping, it is clear that the controllability result proved in Section 2.3.3 holds for the ODE (2.16).

## 2.5.1 The classical Purcell stroke

The stroke presented by Purcell in [70] is used in the rest to compare the optimal strategy given by our numerical results. Let us denote by $\Delta\theta$, the angular excursion of $\beta_1$ and $\beta_3$. It means that during the stroke $\beta_1$ and $\beta_3$ belong to the interval $[-\frac{\Delta\theta}{2}, \frac{\Delta\theta}{2}]$. Calling $T$ the interval of time in which the swimmer performs the stroke, the Purcell stroke is defined by the following periodic cycle of deformation,

$$ \beta_1(t) = \begin{cases} \frac{4\Delta\theta}{T}t - \frac{\Delta\theta}{2} & \text{if } 0 \le t \le \frac{T}{4} \\ \frac{\Delta\theta}{2} & \text{if } \frac{T}{4} \le t \le \frac{T}{2} \\ -\frac{4\Delta\theta}{T}t + \frac{5\Delta\theta}{2} & \text{if } \frac{T}{2} \le t \le \frac{3T}{4} \\ -\frac{\Delta\theta}{2} & \text{if } \frac{3T}{4} \le t \le T \end{cases}, $$

and

$$ \beta_3(t) = \begin{cases} \frac{\Delta\theta}{2} & \text{if } 0 \le t \le \frac{T}{4} \\ -\frac{4\Delta\theta}{T}t + \frac{3\Delta\theta}{2} & \text{if } \frac{T}{4} \le t \le \frac{T}{2} \\ -\frac{\Delta\theta}{2} & \text{if } \frac{T}{2} \le t \le \frac{3T}{4} \\ \frac{4\Delta\theta}{T}t - \frac{7\Delta\theta}{2} & \text{if } \frac{3T}{4} \le t \le T \end{cases}. $$

In the following, we call the “classical” Purcell stroke the one corresponding to $\Delta\theta = \frac{\pi}{3}$ and $T = 4\Delta\theta$. The time period $T$ is chosen for satisfying the constraints on the speed of deformation fixed by the optimal problem (2.15) (i.e., $\dot{\beta}_i(t) \in [-1, 1]$, $i = 1, 3$, for all time $t \in [0, T]$).

## 2.5.2 Comparison of the optimal stroke with the classical Purcell stroke

For the comparison, we take the initial position $\mathbf{x}_2 = (0, 0)$ and $\theta_2 = 0$ and the final position $\mathbf{x}_2 = (-0.25, 0)$ and $\theta_2 = 0$. We also constrain the angles $\beta_1(t)$ and $\beta_3(t)$ to vary between $-\frac{\pi}{6}$ and $\frac{\pi}{6}$ for all time $t > 0$. Solving the minimum time problem with the direct method gives us a periodic solution from which we extract a candidate for the time optimal stroke. We describe this stroke in more details, and show its displacement versus the Purcell one.

Solving the optimal problem (2.15) we observe that the solution is periodic, as show the graphs on Fig. 2.3 for the angles functions $\beta_1, \beta_3$ and the x-displacement.
<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>Figure 2.3: Angles and x-displacement for a whole periodic trajectory.</figcaption></figure>

From the plots above it is evident that the optimal controls have a periodic structure and perform more than one period in the optimal interval of time. In order to compare the results for the displacement with the Purcell’s ones, we need to select only one period (i.e. one stroke). We show on Fig. 2.4 the angles functions $β_1$ and $β_3$, as well as the phase portrait for both the classical Purcell stroke and our selected optimal stroke. Notice that for satisfying the constraints on the speed of deformation $u \in [-1, 1]$, the time performed by the swimmer to do the Purcell Stroke is greater than the time to do the optimal one.

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>Figure 2.4: Angles and phase portrait - Purcell stroke and optimal stroke.</figcaption></figure>

We show now the shape changes in the (X,Y) plane for the Purcell and optimal stroke. Figure 2.5 shows the Purcell swimmer in four different times during the classical Purcell stroke, and Fig. 2.6 shows the swimmer performing the selected optimal stroke.
<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>Figure 2.5: Shape changes for the Purcell's stroke.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>Figure 2.6: Shape changes for the optimal stroke.</figcaption></figure>

We draw on Fig. 2.7 the $x$-displacement of the swimmer when it uses the classical Purcell stroke represented by the red curve and the optimal stroke depicted by the bleu curve. The interval of time $[0, 15.3252]$ is the one given by the numeric simulation, it leads the swimmer to reach $\mathbf{x}_2 = (-0.25, 0)$ with the optimal strategy, instead by the Purcell strategy the swimmer reaches only ($\approx -0.18, 0$). We observe that our optimal stroke allows the swimmer to move further in the $x$-direction. More precisely, the optimal stroke leads a $x$-displacement close to one given by the Purcell stroke. But, the cycle of deformation of the optimal stroke is performed in less time than the Purcell one. So, for a time fixed, the optimal stroke steers the swimmer to have a greater $x$-displacement. In Fig. 2.7, we discern that almost 3.5 Purcell strokes are performed during the time $[0, 15.3252]$, whereas there are six optimal strokes in the same time.

**Remark 2.5.1** We see that the gap between the two curves grows with time, which confirms that the optimal stroke is better, regardless of the small difference in the initial shape of the swimmer.

Notice that the final displacement after one Purcell strokes matches the results of [15].

<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>Figure 2.7: x and y displacement for one Purcell and one optimal stroke.</figcaption></figure>
We study now for both strokes the x-displacement for a stroke with respect to the angular excursion, as shown on Fig. 2.8. In both cases, we see that a larger interval of angular excursion gives a greater displacement. Here again, it is obvious that the strokes given by our optimization strategy produce a greater speed (x-displacement over stroke period) than the Purcell one for any range of angular excursion.

<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>Figure 2.8: x displacement, noted $\Delta x$, over the time period to perform a stroke, denoted by $T$, wrt angular excursion, Purcell (in red) and optimal stroke (in bleu).</figcaption></figure>

## 2.6 Conclusions

In this paper we study the *N*-link swimmer, and use the Resistive Force Theory to derive its dynamics, as was done in [5]. In this context, we prove that for *N* greater than 3 and for almost any *N*-uplet of sticks lengths, the swimmer is globally controllable in the whole plane. Then, we focus on finding a swimming strategy that leads the *N*-link swimmer from an fixed initial position to a given final position, in minimum time. As a consequence of the controllability result, we show that there exists a shape change function which allows to reach the final state in a minimal time. We formulate this optimal control problem and solve it with a direct approach (BOCOP) for the case *N* = 3 (Purcell swimmer). Without any assumption on the structure of the trajectory, we obtain a periodic solution, from which we identify an optimal stroke. Comparing this optimal stroke with the Purcell one confirms that it is better, actually giving a greater displacement speed. More precisely, the difference is due to the fact that optimal stroke is executed in less time than the Purcell one.

Current and still ongoing works include solving the optimal control problem for more complex displacements (along the y axis, rotations) and/or for different cost functions (such as energy-type). Also, noticing that the *N*-link swimmer was introduced in [5] in the perspective of approximating the motion of several living micro-organisms, an interesting extension of this model is to generalize the simulations to greater values of *N*. Of course, comparing the candidate for the optimal motion strategy with the one used by real micro-organisms could be a more tricky issue. On the other hand, another interesting direction is to study formally the existence of the periodic solution for the optimal problem.
Deuxième partie

Les effets du bord sur la
contrôlabilité de micro-nageurs
<figure><img src="image_29.png" /></figure>
# Chapitre 3

## Enhanced controllability of low Reynolds number swimmers in the presence of a wall

<footnote>This work is done in collaboration with F. Alouges. It was published in *Acta Applicandae Mathematicae* (see [11]). Swimming, i.e., being able to advance in the absence of external forces by performing cyclic shape changes, is particularly demanding at low Reynolds numbers which is the regime of interest for micro-organisms and micro-robots. We focus on self-propelled stokesian robots composed of assemblies of balls and we prove that the presence of a wall has an effect on their motility. To rest on what has been done in [7] for such systems swimming on $R^3$, we demonstrate that a controllable swimmer remains controllable in a half space whereas the reachable set of a non fully controllable one is increased by the presence of a wall.</footnote>
## 3.1 Introduction

Swimming at low Reynolds number is now a well established topic of research which probably dates back to the pioneering work of Taylor [84] who explains how a micro-organism can swim without inertia. Later on, Purcell [70] formalized the so-called “scallop theorem” which states that, due to the reversibility of the viscous flow, a reciprocal deformation of the body cannot lead to a displacement of the swimmer. However, this obstruction can be circumvented using many swimming strategies [70]. Swimmers can be distinguished with respect to their ability to change their shape or to impose rotational motions of some parts of their body in order to create viscous friction forces on the fluid, and produce by reaction, the propulsion.

Many applications are concerned by this problem as for example, the conception of medical micro devices. The book by J.P. Sauvage [76] presents a lot of engine models adapted for tiny devices while the design and fabrication of such engines have been recently investigated by e.g. B. Watson, J. Friend, and L. Yeo [88]. As an example, let us quote the toroidal swimmer, first introduced by Purcell [70] and which has been subsequently improved by A.M Leshansky and O. Kenneth [57], Y. Or and M. Murray [68], A. Najafi and R. Zargar [67] among others.

The strategy for swimming consists in a cyclic deformation of body with a non-reciprocal motion. The first swimmer prototype belonging to this class is the three link swimmer also designed by Purcell [70]. More recently, R. Golestanian and A. Ajdari [47] introduced the Three-sphere swimmer which is geometrically simpler and allows for exact calculations of motion and speed [8], or even explicit in some asymptotic regimes [47]. Numerical approaches may also be used as in [6].

In the continuation of [8], F. Alouges, A. DeSimone, L. Heltai, A. Lefebvre, and B. Merlet [7] showed that the trajectory of the Three-sphere swimmer is governed by a differential equation whose control functions correspond to the rate of changing shape. The swimming capability of the device now is recast in terms of a control problem to which classical results apply [10].

Of particular importance for applications is the issue of the influence of any boundary on the effective swimming capabilities of micro-devices or real micro-swimmers. Indeed, boundaries clearly affect the hydrodynamics (see [24]) and may have an influence on the swimmer's capabilities. In that direction, a biological study of Rothschild [74] claimed for instance that spermatozoids tend to accumulate on walls. More recently, H. Winet, G. S. Bernstein, and J. Head [91] proved this related boundary effect for the sperm of humans which evolves in a narrow channel. Swimming in a geometrically confined environment has then become a subject of major interest, in particular to model this attraction phenomenon (see [81], [38], [17]). D. J Smith, E. A. Gaffney and J. R. Blake [82] have described the motion of a stylized bacterium propelled by a single flagellum and they show that the attraction by the wall is effective. Later, H. Shum, E.A Gaffney, and J. Smith [80] investigated to which extent this attraction effect is impacted by a change in swimmer's morphology.

On a more theoretical side, other approaches provide results that show an attraction effect by the wall. A. P. Berke and P. Allison [17], modelling the swimmer with a simple dipole, put in evidence an attraction due to the presence of the wall. Y. Or and M. Murray [68] derived the swimmer dynamics near a wall for three various swimmers, but with unvarying shapes.

The case of a changing shape swimmer has been studied by R. Zargar and A. Najafi [97], where the dynamics of the Three-sphere swimmer in the presence of a wall is given. However, some fundamental symmetry are not satisfied in their swimmer's motion equation.

The aim of this paper is to attack the same problem, namely, the influence of a plane wall on the swimmer's capabilities of motion, by means of control theory. Several recent works present a controllability results for a self-propelled micro-swimmers in a space without
boundary, as example, let us quote the review paper [9] or the paper by J. Lohéac, J. F. Scheid and M. Tucsnak [60] and the study of J. Lohéac and A. Munnier [59] made of the spherical swimmer in the whole space (see also [28] for the same kind of results in a perfect fluid). Furthermore, F. Alouges, A. DeSimone, L. Heltai, A. Lefebvre, and B. Merlet [7] treated with the controllability on $\mathbf{R}^3$ for the Three-sphere swimmer and others specific swimmers. The question that we want to address now is whether the presence of the plane wall modifies the controllability results. We here prove two results in that direction. Namely, considering the fully controllable Four sphere swimmer proposed in [7], we show that in the half space, the swimmer remains fully controllable, while a Three-sphere swimmer enriches its reachable set, at least generically which seems at first sight contradictory with earlier results. Indeed, although previous works show an attraction from the boundary, the set of reachable points could be of higher dimension. In other words, if the dynamics is somehow more constrained due to the presence of the wall, the set of points that the swimmer may reach could be larger than what it was without the wall.

The paper is organized as follows. In Section 3.2, we describe the two model swimmers to which our analytical and numerical tools are later applied. Section 3.2.3 presents the main controllability results associated with the introduced swimmers. In Section 3.3, we show that swimming is indeed an affine control problem without drift by using a similar approach than [10, 7].

The controllability result is proved in Section 3.4 for the Four-sphere swimmer and in Section 3.5 for the Three-sphere swimmer. Concluding remarks are given in Section 3.6.

## 3.2 Notation and main results

We carry on the study of specific swimmers that were considered in [7] in $\mathbf{R}^3$. In order to fix notation, the wall is modeled by the plane $W = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \text{ s. t. } y = 0\}$, and the swimmers, which consist of $N$ spheres $(B_i)_{i=1..N}$ of radii $a$ connected by thin jacks, are assumed to move in the half space $\mathbf{R}_+^3 = \{(x, y, z) \in \mathbf{R}^3 \text{ s. t. } y > 0\}$. As in [7], the viscous resistance associated with the jacks is neglected and the fluid is thus assumed to fill the whole set $\mathbf{R}_+^3 \setminus \cup_{i=1}^N B_i$. The state of the swimmer is described by two sets of variables :

* the shape variables, denoted by $\xi$ (here in $\mathbf{R}^{N-1}$ or $\mathbf{R}^N$), which define the lengths of the jacks. A stroke consists in changing the lengths of these jacks in a periodic manner;

* the position variables, denoted by $\mathbf{p} \in \mathbf{R}_+^3 \times SO(3)$, which define swimmer's position and orientation in the half-space.

In what follows, we call $S \subset \mathbf{R}^M$ for a suitable $M \in \mathbb{N}$ the set of admissible states $(\xi, \mathbf{p})$ that we assume to be a connected nonempty smooth submanifold of $\mathbf{R}^M$. We thereafter focus on two swimmers that have been considered in the literature, the Three-sphere swimmer (see [66], [8], [7]) and the Four sphere swimmer (see [7]). It turns out that this latter is easier to understand than the former, and we therefore start with it.

### 3.2.1 The Four-sphere swimmer

We consider a regular tetrahedron ($\mathbf{S}_1, \mathbf{S}_2, \mathbf{S}_3, \mathbf{S}_4$) with center $O \in \mathbf{R}_+^3$. The swimmer consists of four balls linked by four arms of fixed directions $O\vec{S}_i$ which are able to elongate and shrink (in a referential associated to the swimmer). The four ball cluster is completely described by the list of parameters $(\xi, \mathbf{p}) = (\xi_1, \dots, \xi_4, \mathbf{c}, \mathcal{R}) \in S = (\sqrt{3}a, \infty)^4 \times \mathbf{R}_+^3 \times SO(3)$. It is known (see [7]) that the Four sphere swimmer is controllable in $\mathbf{R}^3$. This means that it is able to move to any point and with any orientation under the constraint of being self-propelled, and when the surrounding flow is dominated by the viscosity. This swimmer is depicted in Fig. 4.1.
<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>Figure 3.1: The Four-sphere swimmer.</figcaption></figure>

### 3.2.2 The Three-sphere swimmer

This swimmer is composed of three aligned spheres as shown in Fig. 3.2. We assume that at $t = 0$ the swimmer starts in the vertical half-plane $H = \{(x, y, 0) \in \mathbb{R}^3 \text{ s.t. } y \ge 0\}$, it is clear from the symmetry of the problem that the swimmer stays in $H$ for all time, for whatever deformation of its arms it may carry out. We characterize swimmer's position and orientation in $H$ by the coordinates $(\mathbf{c}, \theta) \in \mathbb{R}^2 \times [0, 2\pi]$, where $\mathbf{c} \in H$ is the position of one of the three spheres, and $\theta$ is the angle between the swimmer and the $x$-axis. Therefore, in that case, the swimmer is completely described by the vector $(\xi, \mathbf{p}) = (\xi_1, \xi_2, \mathbf{c}, \theta) \in S = (2a, \infty)^2 \times H \times [0, 2\pi) \subset (2a, \infty)^2 \times \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$. In the three dimensional space $\mathbb{R}^3$ (when there is no boundary), it is obvious by symmetry that the angle $\theta$ cannot change in time, and thus this swimmer is not fully controllable. One of the main contributions of this paper is to understand the modifications of this behavior due to the presence of the plane wall.

<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>Figure 3.2: The Three-sphere swimmer.</figcaption></figure>
### 3.2.3 Main results

Consider any of the swimmers described above, and assume it is self-propelled in a three dimensional half space viscous flow modeled by Stokes equations. In this paper, we establish that both swimmers are locally fully controllable almost everywhere in $S$. By this we mean the precise following statements.

**Theorem 3.2.1** Consider the Four-sphere swimmer described in Section 3.2.2, and assume it is self-propelled in a three dimensional viscous flow modeled by Stokes equations in the half space $\mathbf{R}_+^3$. Then for almost any initial configuration $(\xi^i, \mathbf{p}^i) \in S$, any final configuration $(\xi^f, \mathbf{p}^f)$ in a suitable neighborhood of $(\xi^i, \mathbf{p}^i)$ and any final time $T > 0$, there exists a stroke $\xi \in W^{1,\infty}([0,T])$, satisfying $\xi(0) = \xi^i$ and $\xi(T) = \xi^f$ and such that if the self-propelled swimmer starts in position $\mathbf{p}^i$ with the shape $\xi^i$ at time $t=0$, it ends at position $\mathbf{p}^f$ and shape $\xi^f$ at time $t=T$ by changing its shape along $\xi(t)$.

**Theorem 3.2.2** Consider the Three-sphere swimmer described in Section 3.2.1, and assume it is self-propelled in a three dimensional viscous flow modeled by Stokes equations in the half space $\mathbf{R}_+^3$. Then for almost any initial configuration $(\xi^i, \mathbf{p}^i) \in S$ such that $\mathbf{p}^i \in H$, any final configuration $(\xi^f, \mathbf{p}^f)$ in a suitable neighborhood of $(\xi^i, \mathbf{p}^i)$ with $\mathbf{p}^f \in H$ and any final time $T > 0$, there exists a stroke $\xi \in W^{1,\infty}([0,T])$, satisfying $\xi(0) = \xi^i$ and $\xi(T) = \xi^f$ and such that if the self-propelled swimmer starts in position $\mathbf{p}^i$ with the shape $\xi^i$ at time $t=0$, it ends at position $\mathbf{p}^f$ and shape $\xi^f$ at time $t=T$ by changing its shape along $\xi(t)$ and staying in $H$ for all time $t \in [0,T]$.

**Remark 3.2.3** The sense of "almost every initial configuration" can be further precised as everywhere outside a (possibly empty) analytic manifold of codimension 1.

The proof of the controllability of the Four-sphere swimmer is given in Section 3.4 whereas Section 3.5 is devoted to demonstrate Theorem 3.2.2.

## 3.3 Mathematical setting of the problem

As for their 3D counterparts, the equation of motion of both swimmers take the form of an affine control problem without drift. In this section, we detail the derivation of this system.

### 3.3.1 Modelization of the fluid

The flow takes place at low Reynolds number and we assume that inertia of both the swimmer and the fluid is negligible. As a consequence, denoting by $\Omega = \bigcup_{i=1}^N B_i$ the space occupied by the swimmer, the flow in $\mathbf{R}_+^3 \setminus \Omega$ satisfies the (static) Stokes equation

$$ egin{cases} -\mu \Delta \mathbf{u} + \nabla p = 0 & \text{in } \mathbf{R}_+^3 \setminus \Omega, \\ \text{div } \mathbf{u} = 0 & \text{in } \mathbf{R}_+^3 \setminus \Omega, \\ -\boldsymbol{\sigma} \mathbf{n} = \mathbf{f} & \text{on } \partial\Omega, \\ \mathbf{u} = 0 & \text{on } \partial\mathbf{R}_+^3, \\ \mathbf{u} \to 0 & \text{at } \infty. \end{cases} \quad (3.1) $$

Here, we have denoted by $\boldsymbol{\sigma} = \mu(\nabla \mathbf{u} + \nabla^t \mathbf{u}) - p\mathbf{Id}$ the Cauchy stress tensor, $\mathbf{n}$ is the unit normal to $\partial\Omega$ pointing outward to the swimmer. We also set

$$ \mathcal{V} = \left\{ \mathbf{u} \in \mathcal{D}'(\mathbf{R}_+^3 \setminus \Omega, \mathbf{R}^3) \mid \nabla \mathbf{u} \in L^2(\mathbf{R}_+^3 \setminus \Omega), \frac{\mathbf{u}(\mathbf{r})}{\sqrt{1 + |\mathbf{r}|^2}} \in L^2(\mathbf{R}_+^3 \setminus \Omega) \right\}. $$
It is well known that $\mathcal{V}$ is a Hilbert space when endowed with the norm (and the associated scalar product)

$$ \|\mathbf{u}\|_{\mathcal{V}}^2 := \int_{\mathbf{R}_+^3 \setminus \Omega} |\nabla \mathbf{u}|^2 . $$

We also assume that $\mathbf{f} \in H^{-1/2}(\partial\Omega)$ in order to obtain a unique solution $(\mathbf{u}, p)$ to the problem (3.1) in $\mathcal{V} \times L^2(\mathbf{R}_+^3 \setminus \Omega)$ which can be expressed in terms of the associated Green's function (obtained by the method of "images", see [20]) as

$$ \mathbf{u}(\mathbf{r}) = \int_{\partial\Omega} \mathbf{K}(\mathbf{r}, \mathbf{s})\mathbf{f}(\mathbf{s})d\mathbf{s}, \quad (3.2) $$

where the matricial Green function $\mathbf{K} = (K_{ij})_{i,j=1,2,3}$ is given by

$$ \mathbf{K}(\mathbf{r}, \mathbf{r}_0) = \mathbf{G}(\mathbf{r} - \mathbf{r}_0) + \mathbf{K}_1(\mathbf{r}, \mathbf{r}_0) + \mathbf{K}_2(\mathbf{r}, \mathbf{r}_0) + \mathbf{K}_3(\mathbf{r}, \mathbf{r}_0), \quad (3.3) $$

the four functions $\mathbf{G}$, $\mathbf{K}_1$, $\mathbf{K}_2$ and $\mathbf{K}_3$ being respectively the Stokeslet

$$ \mathbf{G}(\mathbf{r}) = \frac{1}{8\pi\mu} \left( \frac{\mathbf{Id}}{|\mathbf{r}|} + \frac{\mathbf{r} \otimes \mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3} \right) \quad (3.4) $$

and the three "images"

$$ \mathbf{K}_1(\mathbf{r}, \mathbf{r}_0) = -\frac{1}{8\pi\mu} \left( \frac{\mathbf{Id}}{|\mathbf{r}'|} + \frac{\mathbf{r}' \otimes \mathbf{r}'}{|\mathbf{r}'|^3} \right), \quad (3.5) $$

$$ K_{2,ij}(\mathbf{r}, \mathbf{r}_0) = \frac{1}{4\pi\mu} y_0^2 (1 - \delta_{j2}) \left( \frac{\delta_{ij}}{|\mathbf{r}'|^3} - \frac{3r'_i r'_j}{|\mathbf{r}'|^5} \right), \quad (3.6) $$

$$ K_{3,ij}(\mathbf{r}, \mathbf{r}_0) = -\frac{1}{4\pi\mu} y_0 (1 - 2\delta_{j2}) \left( \frac{r'_2}{|\mathbf{r}'|^3} \delta_{ij} - \frac{r'_j}{|\mathbf{r}'|^3} \delta_{i2} + \frac{r'_i}{|\mathbf{r}'|^3} \delta_{j2} - \frac{3r'_i r'_j r'_2}{|\mathbf{r}'|^5} \right). \quad (3.7) $$

Here $\mathbf{r}_0 = (x_0, y_0, z_0)$ and $\mathbf{r}' = \mathbf{r} - \tilde{\mathbf{r}}_0$, where $\tilde{\mathbf{r}}_0 = (x_0, -y_0, z_0)$ stands for the "image" of $\mathbf{r}_0$, that is to say, the point symmetric to $\mathbf{r}_0$ with respect to the wall.

Let $B$ be the sphere of radius 1 centered at the origin. We identify the boundary of the domain occupied by the swimmer, $\partial\Omega$, with $(\partial B)^N$ and we represent by $\mathbf{f}_i \in H^{-1/2}(\partial B)$ the distribution of force on the sphere $B_i$. Correspondingly, $\mathbf{u}_i \in H^{1/2}(\partial B)$ stands for the velocity distribution on the sphere $B_i$ (and of the fluid due to non-slip contact).

Following [7], we denote by $\mathcal{T}_{(\xi, \mathbf{p})}$ the Neumann-to-Dirichlet map

$$ \mathcal{T}_{(\xi, \mathbf{p})}: \quad \mathcal{H}^{-1/2} \quad \rightarrow \quad \mathcal{H}^{1/2} \\ (\mathbf{f}_1, \dots, \mathbf{f}_N) \quad \mapsto \quad (\mathbf{u}_1, \dots, \mathbf{u}_N) \quad (3.8) $$

where we have denoted by $\mathcal{H}^{\pm 1/2}$ the space $(H^{\pm 1/2}(\partial B))^N$. It is well known that the map $\mathcal{T}_{(\xi, \mathbf{p})}$ is a one to one mapping onto while its inverse is continuous.

Using (3.2), we can express $\mathbf{u}_i$ ($i = 1, \dots, N$) by

$$ \forall \mathbf{r} \in \partial B, \quad \mathbf{u}_i(\mathbf{r}) = \sum_{j=1}^{N} \int_{\partial B} \mathbf{K}(\mathbf{x}_i + a\mathbf{r}, \mathbf{x}_j + a\mathbf{s})\mathbf{f}_j(\mathbf{s})d\mathbf{s} \quad (3.9) \\ := \sum_{j=1}^{N} \langle \mathbf{f}_j, \mathbf{K}(\mathbf{x}_i + a\mathbf{r}, \mathbf{x}_j + a\cdot) \rangle_{\partial B}, $$

where $\langle \cdot, \cdot \rangle_{\partial B}$ stands for the duality $(H^{-1/2}(\partial B), H^{1/2}(\partial B))$.
**Proposition 3.3.1** The mapping $(\xi, \mathbf{p}) \mapsto \mathcal{T}_{(\xi, \mathbf{p})}$ is analytic from $S$ into $\mathcal{L}(\mathcal{H}^{-1/2}, \mathcal{H}^{1/2})$. Furthermore, $\mathcal{T}_{(\xi, \mathbf{p})}$ is an isomorphism for every $(\xi, \mathbf{p}) \in S$, and the mapping $(\xi, \mathbf{p}) \mapsto \mathcal{T}_{(\xi, \mathbf{p})}^{-1}$ is also analytic.

**Proof.** The proof is identical to the one given in [7], replacing the Stokeslet by the Green kernel $K$ which is also analytic outside its singularity.

**Remark 3.3.2** As the direct consequence, the mapping $\mathcal{T}_{(\xi, \mathbf{p})}$ and its inverse depend analytically on $a$.

### 3.3.2 Equation of motion

In this section, we use the self-propulsion assumption in order to express the dynamics of the swimmer as an affine control system without drift.

This equation of motion is by now classical in this context (see [7], [8], [32], [59] or [64]). Let us recall the principle of its derivation.

We define the map $\Phi_i$ which give the position of the current point of the $i$-th sphere of the swimmer in the state $(\xi, \mathbf{p}) \in S$

$$ \Phi_i: \partial B_i \times S \to \mathbf{R}^3. \qquad (3.10) $$

The non-slip boundary condition of the fluid on $\partial B_i$ imposes that the velocity of the fluid is given by

$$ \frac{d}{dt} \Phi_i(\mathbf{r}, \xi, \mathbf{p}) = (\dot{\xi} \cdot \nabla \xi) \Phi_i(\mathbf{r}, \xi, \mathbf{p}) + (\dot{\mathbf{p}} \cdot \nabla_{\mathbf{p}}) \Phi_i(\mathbf{r}, \xi, \mathbf{p}). \qquad (3.11) $$

When inertia is negligible, self-propulsion of the swimmer implies that the total viscous force and torque exerted by the surrounding fluid on the swimmer vanish i.e.,

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \sum_{i=1}^{N} \int_{\partial B} \mathcal{T}_{(\mathbf{p}, \xi)}^{-1} \left( \frac{d}{dt} \Phi_1(\mathbf{r}, \xi, \mathbf{p}), \dots, \frac{d}{dt} \Phi_N(\mathbf{r}, \xi, \mathbf{p}) \right) d\mathbf{x}_t & = 0, \\ \\ \displaystyle \sum_{i=1}^{N} \int_{\partial \Omega_t} \mathbf{x}_t \times \mathcal{T}_{(\mathbf{p}, \xi)}^{-1} \left( \frac{d}{dt} \Phi_1(\mathbf{r}, \xi, \mathbf{p}), \dots, \frac{d}{dt} \Phi_N(\mathbf{r}, \xi, \mathbf{p}) \right) d\mathbf{x}_t & = 0. \end{array} \right. \qquad (3.12) $$

By using (3.11) and the linearity of the Dirichlet-to-Neumann map, the system (3.12) is a set of linear equations which link $\dot{\mathbf{p}}$ and $\dot{\xi}$. The coefficients corresponding to the swimmer's position $\dot{\mathbf{p}}$ consist in an invertible linear map, known as a *grand-resistance-matrice* (see [59] or [24]).

By inverting it, this permit us to solve $\dot{\mathbf{p}}$ uniquely and linearly in terms of $\dot{\xi}$,

$$ \dot{\mathbf{p}} = \sum_{i=1}^{N} \mathbf{W}_i(\xi, \mathbf{p}) \dot{\xi}_i. \qquad (3.13) $$

Finally, by considering the vector fields $\mathbf{F}_i(\xi, \mathbf{p}) := \begin{pmatrix} \mathbf{e}_i \\ \mathbf{W}_i(\xi, \mathbf{p}) \end{pmatrix}$ defined on the tangent bundle of $S$, (here $\mathbf{e}_i$ is the $i$-th vector of the canonical basis of $\mathbf{R}^N$), we get the differential system which governs both state and shape of the swimmer,

$$ \frac{d}{dt} \begin{pmatrix} \xi \\ \mathbf{p} \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^{N} \mathbf{F}_i(\xi, \mathbf{p}) \dot{\xi}_i. \qquad (3.14) $$
### 3.3.3 Classical results in geometric control

Let us recall some results which are used to study the controllability of such systems of ODE (see for instance [51]).

Let $F$ and $G$ be two vector fields defined on a smooth finite dimensional manifold $\mathcal{M}$. The Lie bracket of $F$ and $G$ is the vector field defined at any point $X \in \mathcal{M}$ by $[F, G](X) := (F \cdot \nabla)G(X) - (G \cdot \nabla)F(X)$. For a family of vector fields $\mathcal{F}$ on $\mathcal{M}$, $Lie(\mathcal{F})$ denotes the Lie algebra generated by $\mathcal{F}$. Namely, this is the smallest algebra - defined by the Lie bracket operation - which contains $\mathcal{F}$ (therefore $\mathcal{F} \subset Lie(\mathcal{F})$) and for any two vectorfields $F \in Lie(\mathcal{F})$ and $G \in Lie(\mathcal{F})$, the Lie bracket $[F, G] \in Lie(\mathcal{F})$. Eventually, for any point $X \in \mathcal{M}$, $Lie_X(\mathcal{F})$ denotes the set of all tangent vectors $V(X)$ with $V$ in $Lie(\mathcal{F})$. It follows that $Lie_X(\mathcal{F})$ is a linear subspace of $T_X\mathcal{M}$ and is hence finite-dimensional.

Lie brackets and Lie algebras play a prominent role in finite dimensional control theory. Indeed, we recall Chow's theorem:

**Theorem 3.3.3 (Chow [29])** Let $\mathcal{M}$ be a connected nonempty manifold. Let us assume that $\mathcal{F} = (F_i)_{i=1}^m$, a family of vector fields on $\mathcal{M}$, is such that $F_i \in C^\infty(\mathcal{M}, TM), \forall i \in \{1, \dots, m\}$.

Let us also assume that

$$Lie_X(\mathcal{F}) = T_X(\mathcal{M}), \forall X \in \mathcal{M}.$$

Then, for every $(X^0, X^1) \in \mathcal{M} \times \mathcal{M}$, and for every $T > 0$, there exists $u \in L^\infty([0, T]; \mathbf{R}^m)$ such that the solution of the Cauchy problem,

$$\left\{
\begin{array}{l}
\dot{X} = \sum_{i=1}^{m} u_i F_i(X), \\
X(0) = X^0,
\end{array}
\right.
\qquad (3.15)$$

is defined on $[0, T]$ and satisfies $X(T) = X^1$.

The theorem 3.3.3 is a global controllability result, we also recall the one which gives a small-time local controllability.

**Theorem 3.3.4 ([29], p. 135)** Let $\Omega$ be an nonempty open subset of $\mathbf{R}^n$, and let $\mathcal{F} = (F_i)_{i=1}^m$, a family of vectorfields, such that $F_i \in C^\infty(\Omega, \mathbf{R}^n), \forall i \in \{1, \dots, m\}$.

Let $X_e$ such that

$$Lie_{X_e}(\mathcal{F}) = \mathbf{R}^n.$$

Then, for every $\epsilon > 0$, there exists a real number $\eta > 0$ such that, for every $(X^0, X^1) \in \{X \text{ s. t. } \|X - X_e\| < \eta\}^2$, there exists a bounded measurable function $u : [0, \epsilon] \to \mathbf{R}^n$ such that the solution of the Cauchy problem

$$\left\{
\begin{array}{l}
\dot{X} = \sum_{i=1}^{m} u_i F_i(X), \\
X(0) = X^0,
\end{array}
\right.
\qquad (3.16)$$

is defined on $[0, \epsilon]$ and satisfies $X(\epsilon) = X^1$.

When the vector fields are furthermore analytic (and the manifold $\mathcal{M}$ is also analytic) one also has the Hermann-Nagano Theorem of which we will make an important use in the theoretical study of the controllability for our model swimmers.

**Theorem 3.3.5 (Hermann-Nagano [51])** Let $\mathcal{M}$ be an analytic manifold, and $\mathcal{F}$ a family of analytic vectorfields on $\mathcal{M}$. Then
1. each orbit of $\mathcal{F}$ is an analytic submanifold of $\mathcal{M}$, and

2. if $\mathcal{N}$ is an orbit of $\mathcal{F}$, then the tangent space of $\mathcal{N}$ at $X$ is given by $\mathrm{Lie}_X(\mathcal{F})$. In particular, the dimension of $\mathrm{Lie}_X(\mathcal{F})$ is constant as $X$ varies over $\mathcal{N}$.

In our context, the family of vector fields is given by $\mathcal{F} = (\mathbf{F}_i)_{1\le i\le k}$ which are defined on the manifold $\mathcal{M} = \mathcal{S}$, and the controls $u_i$ are given by the rate of shape changes $\dot{\xi}_i$. In view of the preceding theorems, the controllability question of our model swimmers raised by Theorems 3.2.1 and 3.2.2 relies on the dimension of the Lie algebra generated by the vectorfields $(\mathbf{F}_i)_{1\le i\le k}$ which define the dynamics of the swimmer. In particular they are direct consequences of the following Lemma.

**Lemma 3.3.6** For almost every point (in the sense of remark 3.2.3) $(\xi, \mathbf{p}) \in \mathcal{S}$, the Lie algebra generated by the vectorfields $(\mathbf{F}_i)_{1\le i\le k}$ at $(\xi, \mathbf{p})$ is equal to $T_{(\xi, \mathbf{p})}\mathcal{S}$.

The proof of this lemma is developed until the rest of the paper. Several tools are used in order to characterize this dimension among which we mainly use asymptotic behavior and symbolic computations. As we shall see, although the theory is clear, the explicit computation (or at least asymptotic expressions) is by no means obvious and requires a lot of care. In particular, before using symbolic calculations, a rigorous proof of the expansion, together with a careful control of the remainders in the expressions allowed us to go further.

## 3.4 The Four-sphere swimmer

In this section, we give the proof of the controllability result stated in Theorem 3.2.1.

**Proof.** The argument of the proof is based on the fact that $\mathbf{K}$ given by (4.13) satisfies

$$ \mathbf{K}(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = \mathbf{G}(\mathbf{r} - \mathbf{r}') + O\left(\frac{1}{y}\right), \qquad (3.17) $$

where $\mathbf{r} = (x, y, z)$ and $\mathbf{r}' = (x', y', z')$ are two points of $\mathbf{R}_+^3$, and $\mathbf{G}$ is the Green function of the Stokes problem in the whole space $\mathbf{R}^3$, namely the Stokeslet, defined by (4.14).

As a consequence, we obtain that the Neumann to Dirichlet map given by (3.8) satisfies for a swimmer of shape $\xi$ at position $\mathbf{p} = (p_x, p_y, p_z, \mathcal{R}) \in \mathbf{R}_+^3 \times \mathcal{S}\mathcal{O}_3$

$$ \mathcal{T}_{(\xi, \mathbf{p})} = \mathcal{T}_{\xi}^0 + O\left(\frac{1}{p_y}\right), \qquad (3.18) $$

where $\mathcal{T}_{\xi}^0$ is the Neumann-to-Dirichlet map associated to the Green function $\mathbf{G}$.

The system (3.12) now reads

$$ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \int_{\partial \Omega_t} \left( (\mathcal{T}_{\xi}^0)^{-1} + O\left(\frac{1}{p_y}\right) \right) \left( \frac{d}{dt} \Phi_1(\mathbf{r}, \xi, \mathbf{p}), \dots, \frac{d}{dt} \Phi_N(\mathbf{r}, \xi, \mathbf{p}) \right) d\mathbf{x}_t = 0, \\ \displaystyle \int_{\partial \Omega_t} \mathbf{x}_t \times \left( (\mathcal{T}_{\xi}^0)^{-1} + O\left(\frac{1}{p_y}\right) \right) \left( \frac{d}{dt} \Phi_1(\mathbf{r}, \xi, \mathbf{p}), \dots, \frac{d}{dt} \Phi_N(\mathbf{r}, \xi, \mathbf{p}) \right) d\mathbf{x}_t = 0. \end{array} \right. $$

Consequently, the ODE (3.14) becomes

$$ \frac{d}{dt} \begin{pmatrix} \xi \\ \mathbf{p} \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^{4} \left( \mathbf{F}_{i}^{0}(\xi) + O\left(\frac{1}{p_y}\right) \right) \dot{\xi}_{i}, \qquad (3.19) $$

where $(\mathbf{F}_i^0)_{i=1, \dots, 4}$ are the vector fields obtained in the case of the whole space $\mathbf{R}^3$.
In other words, we obtain the convergence

$$ \mathbf{F}(\xi, \mathbf{p}) = \mathbf{F}^0(\xi) + O\left(\frac{1}{p_y}\right) \quad \text{as } p_y \to +\infty \qquad (3.20) $$

and also for all its derivatives to any order.

It has been proved in [7] that $dim Lie_{\xi}(\mathbf{F}^0) = 10$ at all admissible shape $\xi$, showing the global controllability in the whole space of the underlying swimmer. We thus obtain that for $p_y$ sufficiently large

$$ \dim \mathrm{Lie}_{(\xi, \mathbf{p})}(\mathbf{F}) = 10, \qquad (3.21) $$

and therefore due to the analyticity of the vector fields $(\mathbf{F}_i)_{i=1,...,4}$, (3.21) holds in a dense subset of $S$. This shows that the system satisfies the full rank condition almost everywhere in $S$ and proves Lemma 3.3.6 in this context, and thus Theorem 3.2.1 by a simple application of Chow's theorem.

The preceding proof can be generalized to any swimmer for which the Lie algebra satisfies the full rank condition in $\mathbf{R}^3$. We now turn to an example for which this is not the case, namely the Three-sphere swimmer of Najafi Golestanian [66]. Indeed, when there is no boundary, this swimmer is constrained to move along its axis of symmetry. The purpose of the next section is to understand to which extent this is still the case when there is a flat boundary.

## 3.5 The Three-sphere swimmer

This section details the proof of Theorem 3.2.2 which is much more involved. It is organized in several subsections, and each of them focus on a particular step. In Section 3.5.1, we recall the expression of the equation of motion of the Three-sphere swimmer. Section 3.5.2 deals with the special symmetries which need to be verified by the vector fields of the motion equation. From this symmetry properties, we deduce the reachable set of the particular case where the swimmer is perpendicular to the wall. In Section 3.5.3, we give an expansion of the Neumann-To-Dirichlet map associated to the Three-sphere swimmer and its inverse, in the case where the radius of the sphere $a$ is small enough and the lengths of the arms sufficiently large. In Section 4.5.2, we deduce from this previous approximation an expansion of the motion equation, for $a$ small. Finally, the Section 3.5.5 presents some formal calculations of the vectorfields of the motion equation and their Lie brackets which lead to the dimension of its Lie algebra almost everywhere.

### 3.5.1 Equation of motion for the Three-sphere swimmer

From Section 3.2.2, we know that the swimmer's position is parameterized by the vector $(x, y, \theta)$ where $(x, y)$ is the coordinate of the center of $B_2$ as depicted in Fig. 3.2 and $\theta$ is the angle between the swimmer and the $x$-axis. We recall that $\xi := (\xi_1, \xi_2)$ stands for the lengths of both arms of the swimmer.

The motion equation (3.14) thus reads,

$$ \frac{d}{dt} \begin{pmatrix} \xi_1 \\ \xi_2 \\ x \\ y \\ \theta \end{pmatrix} = \mathbf{F}_1(\xi, x, y, \theta) \dot{\xi}_1 + \mathbf{F}_2(\xi, x, y, \theta) \dot{\xi}_2. \qquad (3.22) $$

Notice that, from translational invariance of the problem, both $\mathbf{F}_1$ and $\mathbf{F}_2$ actually do not depend on $x$.
In what follows, we denote by

$$d_{(\xi, y, \theta)} = \dim \mathrm{Lie}_{(\xi, y, \theta)}(\mathbf{F}_1, \mathbf{F}_2)$$

the dimension of the Lie algebra $\mathrm{Lie}_{(\xi, y, \theta)}(\mathbf{F}_1, \mathbf{F}_2) \subset \mathbb{R}^5$ at $(\xi, y, \theta)$. It is clear, since $\mathbf{F}_1$ and $\mathbf{F}_2$ are independent one to another and never vanish, that

$$2 \le d_{(\xi, y, \theta)} \le 5. \qquad (3.23)$$

### 3.5.2 Symmetry properties of the vector fields

**Proposition 3.5.1** Let $\mathbf{S}$ be the $5 \times 5$ matrix defined by

$$\mathbf{S} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Then one has for all $\xi = (\xi_1, \xi_2, x, y, \theta) \in \mathbf{S}$

$$\mathbf{F}_1(\xi_1, \xi_2, y, \theta) = \mathbf{S}\mathbf{F}_2(\xi_2, \xi_1, y, 2\pi - \theta) \qquad (3.24)$$

and similarly for the Lie bracket

$$[\mathbf{F}_1, \mathbf{F}_2](\xi_1, \xi_2, y, \theta) = \mathbf{S}[\mathbf{F}_2, \mathbf{F}_1](\xi_2, \xi_1, y, 2\pi - \theta). \qquad (3.25)$$

**Proof.** Although the plane breaks the 3D axisymmetry along the swimmer's axis, we can still make use of the symmetry with respect to the vertical plane that passes through the center of the first sphere $B_2$. A swimmer with position $(x, y, \theta)$ and shape $(\xi_1, \xi_2)$ is transformed by this symmetry to one at position $(x, y, 2\pi - \theta)$ and shape $(\xi_2, \xi_1)$ (see Fig. 3.3). Making use of the fact that corresponding solutions to Stokes equations are symmetric one to another, we easily get the proposition.

Eventually, one deduces the Lie bracket symmetries by applying the former symmetries on the vectorfields themselves. An easy recurrence shows that the same identities hold for any Lie bracket of any order of the vectorfields $\mathbf{F}_1$ and $\mathbf{F}_2$. In particular one has for instance

$$[\mathbf{F}_1, [\mathbf{F}_1, \mathbf{F}_2]](\xi_1, \xi_2, y, \theta) = \mathbf{S}[\mathbf{F}_2, [\mathbf{F}_2, \mathbf{F}_1]](\xi_2, \xi_1, y, 2\pi - \theta). \qquad (3.26)$$

As a direct consequence of proposition 3.5.1, we deduce that the fourth coordinate of the Lie bracket $[\mathbf{F}_1, \mathbf{F}_2]$ vanishes at $(\xi, \xi, y, 0)$ and at $(\xi, \xi, y, \pi)$.

**Proposition 3.5.2** Let $\mathbf{T}$ be the $5 \times 5$ matrix defined by

$$\mathbf{T} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Then one has for all $\xi = (\xi_1, \xi_2, x, y, \theta) \in \mathbf{S}$, and $i = 1, 2$

$$\mathbf{F}_i(\xi_1, \xi_2, y, \theta) = \mathbf{T}\mathbf{F}_i(\xi_1, \xi_2, y, \pi - \theta) \qquad (3.27)$$

and similarly for the Lie bracket

$$[\mathbf{F}_1, \mathbf{F}_2](\xi_1, \xi_2, y, \theta) = \mathbf{T}[\mathbf{F}_1, \mathbf{F}_2](\xi_1, \xi_2, y, \pi - \theta). \qquad (3.28)$$
<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>Figure 3.3: The plane symmetry which links the situation at $(\xi_1, \xi_2, x, y, \theta)$ with those at $(\xi_2, \xi_1, x, y, 2\pi - \theta)$. In both cases, solutions to Stokes flow are also symmetric one to another.</figcaption></figure>

**Proof.** The two identities readily come from the symmetry which transforms a swimmer with position $(x, y, \theta)$ and a shape $(\xi_1, \xi_2)$ to one at position $(x, y, \pi - \theta)$ with the same shape (see Fig. 3.4).

Eventually, one deduces the Lie bracket symmetries by applying the former symmetries on the vectorfields themselves. An easy recurrence shows that the same identities hold for any Lie bracket of any order of the vectorfields $\mathbf{F}_1$ and $\mathbf{F}_2$.

As a result, in the case where $\theta = \pm \frac{\pi}{2}$, we get the dimension of the Lie algebra of the vector field $\mathbf{F}_1$ and $\mathbf{F}_2$.

**Corollary 3.5.3** *The dimension of the Lie algebra Lie$_{(\xi_1, \xi_2, y, \pi/2)}$($\mathbf{F}_1$, $\mathbf{F}_2$) is less than or equal to 3.*

**Proof.** We deduce from the preceding proposition that for $i = 1, 2$ and $j = 3, 5$, $\mathbf{F}_i^j(\xi_1, \xi_2, y, \pm \pi/2) = 0$. This simply means that a swimmer starting in the vertical position cannot change its angle $\theta$ and its abscissa $x$ by changing the size of its arms. As a matter of fact, the same holds true for any Lie bracket of $\mathbf{F}_1$ and $\mathbf{F}_2$ at any order, and we can deduce from this that

$$d_{(\xi_1, \xi_2, y, \pi/2)} \leq 3,$$

since any vector of the Lie algebra Lie$_{(\xi_1, \xi_2, y, \pi/2)}$($\mathbf{F}_1$, $\mathbf{F}_2$) has a vanishing third and fifth component.

Moreover, by using the argument introduced in Section 3.4, we get, for almost every $y$, that the dimension of the Lie algebra is almost equal to the one without boundary (see [7]).

**Remark 3.5.4** *By using Hermann-Nagano Theorem (see [51]), in the case where the swimmer is perpendicular to the wall, the set of states where the dimension of the Lie algebra*
<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>Figure 3.4: The plane symmetry which links the situation at $(\xi_1, \xi_2, x, y, \theta)$ with those at $(\xi_1, \xi_2, x, y, \pi - \theta)$. In both cases, solutions to Stokes flow are also symmetric one to another.</figcaption></figure>

generated by $\mathbf{F}_1$ and $\mathbf{F}_2$ is equal to two is an union of analytic submanifold of $S$ of dimension two.

Furthermore, the proof of the corollary 3.5.3 can be applied to all generic positions then, it implies that the dimension of the Lie algebra is at least equal to 3, almost everywhere, i.e.,

$$3 \le d_{(\xi_1, \xi_2, y, \theta)} \le 5.$$

### 3.5.3 Approximation for small spheres and large distances

For the general case ($\theta \ne \pi/2$), the preceding computation is not sufficient to conclude. In order to proceed, we make an expansion of the vectorfields and their Lie brackets with respect to $a$ (the radius of the balls) near 0.

This part is devoted to the proof of the expansion of the Neumann to Dirichlet map (4.29) together with its inverse (4.30) at large arms' lengths. Let us first define for all $(i, j) \in \{1, 2, 3\}^2$, the linear map $\mathcal{T}_{i,j}$ as

$$ \mathcal{T}_{i,j} : H^{-1/2}(\partial B) \rightarrow H^{1/2}(\partial B) \\ \mathbf{f}_j \mapsto \int_{\partial B} \mathbf{K}(\mathbf{x}_i + a \cdot \mathbf{x}_j + a\mathbf{s}) \mathbf{f}_j(\mathbf{s}) \, d\mathbf{s}. $$

We recall that the Green kernel $\mathbf{K}$ writes (following (4.13)) as

$$ \mathbf{K}(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = \mathbf{G}(\mathbf{r} - \mathbf{r}') + \mathbf{K}_1(\mathbf{r}, \mathbf{r}') + \mathbf{K}_2(\mathbf{r}, \mathbf{r}') + \mathbf{K}_3(\mathbf{r}, \mathbf{r}'), $$
where **G** is the Stokeslet (see (4.14)) and each kernel is given by the corresponding counterpart in (4.13). Eventually, we call $\mathcal{T}^0$ the Neumann to Dirichlet map associated to **G**

$$ \mathcal{T}^0: H^{-1/2}(\partial B) \rightarrow H^{1/2}(\partial B) \\ \mathbf{f} \mapsto \int_{\partial B} \mathbf{G}(a(\cdot - \mathbf{s})) \mathbf{f}(\mathbf{s}) \, d\mathbf{s}. $$

**Proposition 3.5.5** Let $(i, j) \in \{1, 2, 3\}^2$. We have the following expansions, valid for $a \ll 1$:

* if $i \neq j$ then

$$ \mathcal{T}_{i,j} = \mathbf{K}(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) \langle \mathbf{f}_j, \mathbf{Id} \rangle_{\partial B} + \mathbf{R}_1 \quad (3.29) $$

$$ \text{where } \|\mathbf{R}_1\|_{\mathcal{L}(H^{-1/2}, H^{1/2})} = O(a), $$

* otherwise

$$ \mathcal{T}_{i,i} = \mathcal{T}^0 + \sum_{k=1}^{3} \mathbf{K}_k(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_k) \langle \mathbf{f}_i, \mathbf{Id} \rangle_{\partial B} + \mathbf{R}_2 \quad (3.30) $$

$$ \text{where } \|\mathbf{R}_2\|_{\mathcal{L}(H^{-1/2}, H^{1/2})} = O(a). $$

**Proof.** Let $(i, j) \in \{1, 2, 3\}^2$ be such that $i \neq j$, and $\mathbf{f}_j \in H^{-1/2}(\partial B)$. We define

$$ \forall \mathbf{r} \in \partial B, \quad \mathbf{u}_i(\mathbf{r}) := (\mathcal{T}_{i,j} \mathbf{f}_j)(\mathbf{r}) = \int_{\partial B} \mathbf{K}(\mathbf{x}_i + a\mathbf{r}, \mathbf{x}_j + a\mathbf{s}) \mathbf{f}_j(\mathbf{s}) d\mathbf{s}, \quad (3.31) $$

and

$$ \mathbf{v}_i(\mathbf{r}) = \mathbf{u}_i(\mathbf{r}) - \mathbf{K}(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) \int_{\partial B} \mathbf{f}_j(\mathbf{s}) \, d\mathbf{s} = \int_{\partial B} (\mathbf{K}(\mathbf{x}_i + a\mathbf{r}, \mathbf{x}_j + a\mathbf{s}) - \mathbf{K}(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j)) \mathbf{f}_j(\mathbf{s}) \, d\mathbf{s}. $$

Our aim is to estimate the $H^{1/2}(\partial B)$ norm of $\mathbf{v}_i$. But<fnref n="3" />

$$ \|\mathbf{v}_i\|_{H^{1/2}(\partial B)} \leq \|\mathbf{v}_i\|_{H^1(B)}, $$

and since $\mathbf{K}(\mathbf{x}, \mathbf{y})$ is a smooth function in the neighborhood of $\mathbf{x} = \mathbf{x}_i$ and $\mathbf{y} = \mathbf{x}_j$, one has
$\forall \mathbf{r}, \mathbf{s} \in B$

$$ |\mathbf{K}(\mathbf{x}_i + a\mathbf{r}, \mathbf{x}_j + a\mathbf{s}) - \mathbf{K}(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j)| = O(a), \quad (3.32) $$

and for the gradients in both **r** and **s**

$$ |\nabla_{\mathbf{r}} \mathbf{K}(\mathbf{x}_i + a\mathbf{r}, \mathbf{x}_j + a\mathbf{s})| = O(a), $$

$$ |\nabla_{\mathbf{s}} \mathbf{K}(\mathbf{x}_i + a\mathbf{r}, \mathbf{x}_j + a\mathbf{s})| = O(a), $$

$$ |\nabla_{\mathbf{r}} \nabla_{\mathbf{s}} \mathbf{K}(\mathbf{x}_i + a\mathbf{r}, \mathbf{x}_j + a\mathbf{s})| = O(a^2). $$

Therefore, we obtain $\forall \mathbf{r} \in B$

$$ \begin{aligned} |\mathbf{v}_i(\mathbf{r})| & \leq \|\mathbf{K}(\mathbf{x}_i + a\mathbf{r}, \mathbf{x}_j + a\cdot) - \mathbf{K}(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j)\|_{H^{1/2}} \|\mathbf{f}_j\|_{H^{-1/2}} \\ & \leq O(a) \|\mathbf{f}_j\|_{H^{-1/2}}, \end{aligned} $$

and similarly

$$ \begin{aligned} |\nabla_{\mathbf{r}} \mathbf{v}_i(\mathbf{r})| & \leq \|\nabla_{\mathbf{r}} (\mathbf{K}(\mathbf{x}_i + a\mathbf{r}, \mathbf{x}_j + a\cdot))\|_{H^{1/2}} \|\mathbf{f}_j\|_{H^{-1/2}} \\ & \leq O(a) \|\mathbf{f}_j\|_{H^{-1/2}}. \end{aligned} $$

$$ \|\mathbf{v}\|_{H^{1/2}(\partial B)} = \min_{\mathbf{w} \in H^1(B, \mathbb{R}^3), \mathbf{w}=\mathbf{v} \text{ on } \partial B} \|\mathbf{w}\|_{H^1(B)}. $$

<footnote n="3">³Here and in the sequel, we use the definition for the $H^{1/2}(\partial B)$ norm:</footnote>