<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>Figure 9.2: Représentation graphique de 4 réponses fréquentielles de filtres numériques idéaux (passe-bas, passe-haut, passe-bande, coupe-bande). L'axe horizontal correspond aux fréquences.</figcaption></figure>
La méthodologie à suivre pour synthétiser un filtre numérique, consiste à choisir un filtre idéal noté $\mathcal{H}_i$ (type et fréquence de coupure) et à suivre les étapes suivantes.

1. On calcule de la transformée de Fourier temps discret inverse de la réponse fréquentielle du filtre idéal, $\hat{H}_i(f)$ de façon à obtenir une réponse impulsionnelle notée

$$h_n^a = \text{TFTD}^{-1}[\hat{H}_i(f)]$$

2. Troncature de la réponse impulsionnelle

$$h_n^b = h_n^a \mathbf{1}_{\{-N..N\}}[n]$$

3. Application d'un retard sur la réponse impulsionnelle de façon à décaler les indices et à rendre causal le filtre ainsi synthétisé.

$$h_n^c = h_{n-N}^b$$

Pour synthétiser un filtre passe-haut, on peut appliquer la méthodologie présentée en considérant comme filtre idéal un filtre passe-haut, soit appliquer la méthodologie précédente avec un filtre idéal passe-bas de même fréquence de coupure et intercaler une étape supplémentaire entre la deuxième et la troisième étape : $h_n^{bBis} = \delta_n - h_n^b$. En effet une telle transformation sur la réponse impulsionnelle permet de transformer un passe-bas en un passe-haut ($\hat{H}^{bBis}(f) = 1 - \hat{H}^b(f)$).

## 9.3 Utilisation des fenêtres

La deuxième étape de troncature en modifiant la réponse impulsionnelle modifie aussi la réponse fréquentielle, l'éloigne du filtre idéal en y ajoutant des ondulations. C'est ce qu'illustre la figure 9.3 sur un exemple. La partie gauche de la figure représente les réponses impulsionnelles, la partie droite représente les réponses fréquentielles. La deuxième ligne correspond à l'application de la transformée de Fourier temps discret inverse à un filtre passe-bas idéal. La première ligne correspond à la transformée de Fourier inverse du filtre idéal analogique et nous fournit une réponse impulsionnelle temps continu dont la deuxième ligne est l'échantillonnage. La réponse fréquentielle de la deuxième ligne est périodique, ce qui est normal pour un filtre numérique, et cela peut aussi se voir comme la conséquence de cet échantillonnage. La troisième ligne consiste à transformer le filtre passe-bas en un filtre passe-haut par l'intermédiaire de la relation $h_n^{bBis} = \delta_n - h_n^b$. La quatrième ligne supprime les oscillations de la réponse impulsionnelle grâce à une troncature de la réponse impulsionnelle, mais les introduit sur la réponse fréquentielle. La cinquième ligne est justement l'utilisation d'une fenêtre (en l'occurence d'une fenêtre triangulaire) qui aboutit à réduire les oscillations sur la réponse fréquentielle. Les traits en semi-pointillés (alternance de traits longs et courts) indiquent les fréquences $f_e/2$ et $-f_e/2$ qui sont des axes de symétrie du module d'une réponse fréquentielle.

Au delà de cet exemple particulier, la troncature d'un signal produit des ondulations sur la réponse fréquentielle. En effet la troncature peut se voir comme le fait de multiplier la réponse impulsionnelle par un signal porte $p[n] = \mathbf{1}_{\{-N/2...N/2\}}[n]$ dont la transformée de Fourier est un quotient de sinusoides :

$$\text{TFTD}[p[n]](f) = \frac{\sin(\pi f(N + 1)T_e)}{\sin(\pi f T_e)}$$

Cette fonction ressemble à basse fréquence à un sinus cardinal, mais diffère à plus haute fréquence puisque cette fontion est aussi périodique de période $f_e = 1/T_e$. Or le fait de faire une multiplication de signaux dans le domaine temporel est équivalent au produit de convolution dans le domaine fréquentiel. C'est donc en ce sens que la troncature produit des ondulations.

L'objectif d'une fenêtre à temps discret est de multiplier la réponse impulsionnelle par un signal tronqué et dont l'effet est de rapprocher la nouvelle réponse fréquentielle de celle obtenue avant la troncature. Plus formellement on peut définir l'objectif recherché, on notant $x_n$ un signal quelconque et $w_n$ le signal associé à la fenêtre qui doit être nul sauf pour les instants compris entre $t = -NT_e$ et $t = NT_e$. On cherche à avoir la meilleure approximation pour la relation suivante :

$$\text{TFTD}[w_n x_n](f) \approx \text{TFTD}[x_n](f)$$

Voici quelques exemples de fenêtres

1. Fenêtre rectangulaire

$$h_n = \mathbf{1}_{\{-N,N\}}[n]$$

2. Fenêtre triangulaire

$$h_n = \frac{N + 1 - |n|}{N + 1} \mathbf{1}_{\{-N,N\}}[n]$$
<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>Figure 9.3: Réponses impulsionnelles et réponses fréquentielles ayant servies à la synthèse d'un filtre numérique passe-haut de fréquence de coupure à 1.5Hz pour une fréquence d'échantillonnage de $f_e = 5$Hz.</figcaption></figure>
3. Fenêtre de Hann

$$h_n = \left[ 0.5 - 0.5 \cos(2\pi \frac{n+N}{2N+1}) \right] \mathbf{1}_{\{-N,N\}}[n]$$

4. Fenêtre de Hamming

$$h_n = \left[ 0.54 - 0.46 \cos(2\pi \frac{n+N}{2N+1}) \right] \mathbf{1}_{\{-N,N\}}[n]$$

En pratique, l'utilisation d'une fenêtre se fait juste après la troncature de la réponse impulsionnelle et avant l'application d'un retard sur la réponse impulsionnelle. Elle consiste simplement à multiplier terme à terme la réponse impulsionnelle.

$$h_n^{bBis} = h_n^b w_n$$

L'utilisation d'une fenêtre ne peut malgré tout pas suppléer aux performances que l'on peut obtenir en utilisant un filtre numérique plus long. Il existe d'ailleurs une relation entre la longueur du filtre numérique synthétisé $N$, la raideur de la réponse fréquentielle du filtre synthétisé ($\Delta F$ désigne la largeur de bande de transition), les ondulations présentes sur la bande passante ($\delta_1$) et la bande d'atténuation ($\delta_2$). Formellement $\delta_1$ et $\delta_2$ sont des coefficients entre 0 et 1, il s'agit de la différence en valeur absolue entre la valeur réelle et la valeur du module de la réponse fréquentielle idéale divisé par le module de la réponse fréquentielle idéale sur la bande passante.

$$N = \frac{2}{3\Delta F} \ln \left( \frac{1}{10\delta_1\delta_2} \right)$$

De telles relations sont désignées sous le terme de relation temps-fréquence.

De telles relations permettent de faire un compromis à faire entre l'objectif d'atteindre le plus précisément le filtre idéal et le fait de ne pas d'obtenir un filtre dont la réponse impulsionnelle n'est pas trop longue. Ce compromis dépend de l'application visée.

On définit la notion de résolution fréquentielle. Un signal a une résolution $\Delta F$ s'il est possible de distinguer deux fréquences $f$ et $f + \Delta F$.

## 9.4 Méthode de l'invariant impulsionnel

La méthode de l'invariant impulsionnel est un exemple de technique permettant de discrétiser un filtre. Ce que l'on appelle discrétiser un filtre, consiste à transformer un filtre analogique en un filtre numérique. L'objectif recherché est en général de faire en sorte que la relation entrée sortie du filtre numérique soit la plus proche de la relation entrée sortie du filtre analogique. Et comme le produit de convolution à temps discret est une opération un peu différente du produit de convolution à temps continu, l'objectif recherché est un peu différent de celui qui consiste à discrétiser un signal à temps continu.

La méthode de l'invariant impulsionnel consiste à définir un filtre numérique par sa réponse impulsionnelle est obtenue à partir de la discrétisation de la réponse impulsionnelle du filtre analogique

$$h_n^\# = T_e h(nT_e) \qquad (9.1)$$

où $h(t)$ est la réponse impulsionnelle du filtre analogique.

Ce n'est pas forcément une méthode simple si la réponse impulsionnelle du filtre analogique est difficile à calculer. Ce n'est pas a priori une méthode à utiliser si la réponse fréquentielle du filtre analogique ne respecte pas le critère de Nyquist. En effet la réponse fréquentielle du filtre numérique ainsi discrétisé est définie par

$$\hat{H}(f) = \sum_k \hat{H}(f - k f_e) \qquad (9.2)$$

Cette méthode est utilisée par exemple pour définir un filtre moyenneur ou un filtre gaussien.

La remarque 1 (p. 11) est aussi valable ici. Lorsque la réponse impulsionnelle $h(t)$ présente une discontinuité, ce qui est assez fréquent en $t = 0$, il est important de modifier l'équation (9.1) qui devient alors

$$h_n^\# = \frac{T_e}{2} h(nT_e^-) + \frac{T_e}{2} h(nT_e^+) \qquad (9.3)$$

où $h(nT_e^-)$ et $h(nT_e^+)$ désignent les limites à gauche et à droite de $t \mapsto h(t)$ en $t = nT_e$. Si on ne tient pas compte de cette remarque alors qu'il y a une discontinuité en $t = nT_e$ alors l'équation (9.1) n'est plus valable.
# 9.5 Application aux signaux aléatoires

## 9.5.1 Généralités

On distingue les signaux déterministes des signaux aléatoires (ou stochastiques). Les premiers prennent à chaque instant une valeur définie, tandis que les seconds prennent une plage de valeurs, à chacune de ces valeurs est affectée un coefficient appelé probabilité qui traduit la confiance que l'on a dans le fait que tel signal prennent effectivement telle valeur. Le fait de savoir appliquer des outils sur des signaux aléatoires est l'objet d'un autre cours, notamment du traitement du signal aléatoire. Cependant ces deux cours sont en réalité complémentaires. Le traitement du signal propose des outils qui sont définis sur des signaux déterministes, mais qui ont des propriétés stochastiques intéressantes lorsqu'on les applique à des signaux aléatoires.

L'autocorrélation d'un signal aléatoire à temps discret pourrait être défini comme pour un signal déterministe par $\gamma_B[k] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} B_n B_{n-k}$. Mais le résultat devient une quantité aléatoire. Aussi pour un processus aléatoire ce qu'on appelle l'autocorrélation est l'espérance.

$$ \gamma_B[k] = E \left[ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} B_n B_{n-k} \right] $$

Il s'agit de faire une moyenne sur les différentes valeurs prises par $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} B_{n+k}B_n$ en les pondérant par la probabilité de ces valeurs. En pratique pour calculer cette quantité on utilise les propriétés des lois gaussiennes sans chercher à calculer la densité de probabilité de $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} B_n B_{n-k}$. La puissance d'un signal aléatoire est définie par

$$ P_B = E[B_n^2] $$

La densité spectrale de puissance d'un signal aléatoire est la transformée de Fourier à temps discret de l'autocorrélation, l'espérance peut être calculée soit avant soit après avoir appliqué la transformée de Fourier à temps discret.

$$ \Gamma_B(f) = \text{TFTD} [\gamma_B[k]] (f) $$

Elle peut aussi s'exprimer à partir du module au carré de la transformée de Fourier à temps discret, mais il faut aussi appliquer l'espérance

$$ \Gamma_X(f) = E \left[ |\text{TFTD}[X_n](f)|^2 \right] $$

Un exemple particulier de bruit aléatoire à temps discret est le bruit blanc à temps discret. Le signal à chaque instant est une variable aléatoire indépendante du signal à tous les autres instants. Il est de moyenne statistique nulle et a la même définition stochastique à chaque instant

$$ E[B_k B_l] = \sigma^2 \delta_{k-l} $$

où $\delta_{k-l} = 0$ si $k \neq l$ et $\delta_0 = 1$. Son autocorrélation est

$$ \gamma_B[k] = \sigma^2 \delta_k $$

Sa puissance est

$$ P_B = \sigma^2 $$

Une tel signal aléatoire une densité spectrale de puissance constante

$$ \Gamma_B(f) = \sigma^2 $$

On peut écouter un bruit blanc avec les instructions Matlab suivantes :

```
y=randn(1,10000);
sound(y)
```

La première instruction génère une réalisation d'un bruit blanc gaussien d'écart-type 1. La seconde envoie les valeurs ainsi tirées aléatoirement vers un haut-parleur (via une carte son). On peut alors entendre un suffplement.

Le bruit blanc joue un rôle important dans l'étude des signaux aléatoires. Considérons un signal aléatoire ayant des caractéristiques suffisamment régulières pour avoir une densité spectrale $\Gamma_Y(f) = |\hat{H}(f)|^2$ où $\hat{H}(f)$ est la réponse fréquentielle d'un filtre. Ce signal a alors la même autocorrélation que s'il avait été généré par un bruit blanc filtré par un filtre $\mathcal{H}$ de réponse fréquentielle $\hat{H}(f)$.

L'application d'un filtre $Y_n = \mathcal{H}[X_n]$ de réponse fréquentielle $\hat{H}(f)$ déforme la densité spectrale $\Gamma_X(f)$ d'un signal $X_n$ en la densité spectrale $\Gamma_Y(f)$ d'un signal $Y_n$

$$ \Gamma_Y(f) = |\hat{H}(f)|^2 \Gamma_X(f) $$
### 9.5.2 Application au débruitage d'un signal

Pour expliquer la différence entre les résultats théoriques et les résultats pratiques lors d'une expérimentation, on dit qu'il y a une différence entre le signal observé et le signal réel (dit aussi signal source). La différence peut bien sûr provenir aussi d'une modélisation inexacte ou trop simplifié, mais une telle inexactitude est difficile à modéliser, alors cette différence là aussi est souvent modélisé comme une différence entre le signal réel et le signal observé. On appelle cela le bruit. Et l'hypothèse souvent utilisée est que la différence entre le vrai signal et le signal modélisé est un bruit blanc. Autrement dit le signal observé est la somme d'un signal déterministe (appelé signal source ou vrai signal) et d'un signal aléatoire (appelé bruit additif).

On mesure la proportion du bruit dans le signal en considérant la puissance $P_S$ du signal déterministe et $P_B$ la puissance du bruit. On mesure alors le rapport du signal sur bruit en décibel.

$$RSB_{dB} = 20 \log_{10} \left( \frac{\sqrt{P_s}}{\sqrt{P_b}} \right)$$

Le rapport signal sur bruit est d'autant plus élevé qu'il y a moins de bruit. Ce rapport signal sur bruit augmente de 6dB quand on multiplie par deux le siganl réel sans changer le bruit. Il diminue de 20dB si on multiplie le bruit par 10 sans rien changer au signal source.

On appelle débruitage le fait d'appliquer un filtre à un signal bruité de façon à ce que la sortie de ce filtre appelé signal filtré soit plus proche du signal réel que le signal filtré, (le rapport signal sur bruit du signal filtré doit être plus élevé que le rapport signal sur bruit du signal non filtré). En théorie on peut débruiter au moins un petit peu un signal si pour certaines fréquences le bruit est plus important que le signal. Dans ce cas, a priori, le filtre idéal à utiliser est

$$ \begin{cases} \hat{H}(f) = 1 & \text{si } \Gamma_X(f) > \Gamma_B(f) \\ \hat{H}(f) = 0 & \text{sinon} \end{cases} $$

où $\Gamma_X(f)$ est la densité spectrale du signal réel et $\Gamma_B(f)$ est la densité spectrale du bruit.

## QCM

**Question 1** On cherche à synthétiser un filtre à réponse impulsionnelle finie (RIF), passe-bas, de fréquence de coupure $f_c = 1$kHz. On considère des signaux échantillonnés à $f_e = 4$kHz.

* A. La méthodologie pour synthétiser un tel filtre préconise d'utiliser une transformée de Fourier à temps discret inverse.

* B. La méthodologie pour synthétiser un tel filtre préconise d'utiliser une transformée de Fourier discrète inverse.

* C. La réponse fréquentielle du filtre synthétisée est quasiment nulle en la fréquence nulle.

* D. Si un signal comporte du bruit alors un tel filtre a en général tendance à réduire le bruit présent.

**Question 2** On cherche à synthétiser un filtre, à réponse impulsionnelle finie, passe-haut, de fréquence de coupure $f_c = 1$kHz. On considère des signaux échantillonnés à $f_e = 4$kHz.

* A. Lorsqu'on a déjà réussi à synthétiser un filtre passe-bas de fréquence de coupure $f_c = 1$kHz il est facile d'en déduire le filtre passe-haut recherché par une simple soustraction.

* B. Plus on se donne un nombre important d'échantillons non-nuls sur la réponse impulsionnelle, plus on peut espérer un courbe raide sur la réponse fréquentielle.

* C. L'invariant impulsionnel est un méthode qui permet de calculer la réponse impulsionnelle à partir de la réponse fréquentielle du filtre.

* D. La fréquence de coupure peut parfois être plus grande que la fréquence d'échantillonnage.

**Question 3** On considère l'expérience suivante. Un signal d'origine ayant un spectre essentiellement localisé sur les basses fréquences est bruité par un bruit blanc, puis filtré par un filtre. On espère qu'après le filtrage le signal est plus proche du signal d'origine que le signal avant le filtrage.

* A. Il vaut mieux utiliser un filtre passe-bande.

* B. Le signal bruité filtré a tendance à être plus lisse que le signal bruité.

* C. Si ce rapport signal sur bruit augmente, cela veut dire que le filtre marche moins bien.

* D. Si le filtre utilisé est un filtre idéal alors il est possible de retrouver parfaitement le signal d'origine.
**Question 4** On considère une fenêtre triangulaire de 11 termes dans le contexte des filtres numériques.

• A. C'est ainsi que l'on appelle un signal temps discret avec une forme triangulaire et composée de 11 termes.

• B. Une fenêtre ne s'applique que par une multiplication terme à terme avec une signal temps discret.

• C. Une telle fenêtre est utilisée dans le cours pour la synthèse des filtres MA.

• D. Une fenêtre rectangulaire de 11 termes serait plus efficace pour la synthèse des filtres MA.

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>Figure 9.4: Module et phase des réponses fréquentielles des différents filtres pour deux troncatures à N = 6 et N = 100, avec et sans application de la fenêtre triangulaire, (qcm 5)</figcaption></figure>

**Question 5** On considère quatre filtres à réponses impulsionnelles finies qui ont été synthétisés de façon à réaliser un filtre passé-bas de fréquence de coupure à 170Hz, la fréquence d'échantillonnage étant à 1kHz. Les réponses fréquentielles de ces filtres sont représentées sur la figure 19.1. Deux des quatre filtres ont été synthétisés avec une fenêtre, et deux ont été réalisés sans fenêtre. Deux des quatre réponses impulsionnelles sont de longueurs courtes (N = 6), et deux des quatre réponses impulsionnelles sont de grande longueurs (N = 100).

• A. La courbe a représente la réponse fréquentielle d'un filtre de grande taille.

• B. La courbe b représente la réponse fréquentielle d'un filtre synthétisé sans l'utilisation d'une fenêtre.

• C. La courbe c représente la réponse fréquentielle d'un filtre de taille courte.

• D. La courbe d représente la réponse fréquentielle d'un filtre synthétisé avec l'utilisation d'une fenêtre.

Mettre des croix dans les cases qui vous semblent vraies.
<table><thead><tr><th></th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th></tr></thead><tbody><tr><th>A</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>B</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>C</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>D</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
# Chapter 10

## Synthèse de filtres à réponses impulsionnelles infinies : Cours H

L'objectif de ce chapitre est de présenter une technique pour synthétiser des filtres numériques ARMA, c'est-à-dire pour calculer les coefficients d'un filtre en fonction de ce qu'il s'agit d'un passe-bas, passe-haut, passe-bande, coupe-bande ayant telles ou telles fréquences de coupures. La méthode proposée ici utilise les filtres de Butterworth parce qu'ils sont plus simples à calculer. Les autres méthodes, toutes en étant plus complexes présentent de nombreuses similitudes avec la méthode présentée ici.

### 10.1 Définition d'un filtre de Butterworth

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>Figure 10.1: Représentation graphique du module des 4 réponses fréquentielles en fonction de la fréquence des 4 premiers filtres de Butterworth, $H_1, H_2, H_3, H_4$.</figcaption></figure>

Les filtres de Butterworth sont une famille de filtre analogiques dont les réponses fréquentielles sont toutes des courbes décroissantes valant 1 en $f = 0$ et 0 en $f = +\infty$. Elles ont toutes la même fréquence de coupure $f_c = \frac{1}{2\pi}$ (l'écriture de ces réponses fréquentielles est plus simple lorsqu'elle est faite en fonction de la pulsation $\omega = 2\pi f$, la pulsation de coupure vérifie alors $\omega_c = 1$). Les différentes réponses fréquentielles diffèrent seulement par leur raideur qui augmente avec l'ordre de ces filtres. Les réponses fréquentielles de ces filtres sont représentées sur la figure 10.1.

Les filtres de Butterworth d'ordres 1 à 4 sont donnés par

$$H_1(p) = \frac{1}{p + 1}$$

$$H_2(p) = \frac{1}{p^2 + \sqrt{2}p + 1}$$

$$H_3(p) = \frac{1}{(p + 1)(p^2 + p + 1)}$$
$$H_4(p) = \frac{1}{(1 + 2 \cos(\frac{3\pi}{8})p + p^2)(1 + 2 \cos(\frac{\pi}{8})p + p^2)}$$

avec $\cos(\pi/8) \approx 0.92$ et $\cos(3\pi/8) = 0.38$.

Une définition plus générale de ces filtres de Butterworth s'appuie sur les polynômes suivants. Les polynômes de degré paires $N = 2P$ sont définis par

$$B_{2P}(p) = \prod_{k=1}^{P} (1 + 2 \cos(\varphi_k)p + p^2)$$

avec $\varphi_k = \frac{1-2k}{4P}\pi$ pour $k \in \{1..P\}$

Les polynômes de degré impaires $N = 2P + 1$ sont définis par

$$B_{2P+1}(p) = (p+1) \prod_{k=1}^{P} (1 + 2 \cos(\varphi_k)p + p^2)$$

avec $\varphi_k = \frac{-k}{2P+1}\pi$ pour $k \in \{1..P\}$

Les filtres de Butterworth d'ordre $N$ sont définis par

$$H(p) = \frac{1}{B_N(p)}$$

La réponse fréquentielle de ces filtres est donnée par

$$|\hat{H}(f)|^2 = \frac{1}{((4\pi^2 f^2)^N + 1)}$$

Avec cette écriture on retrouve d'une part que leur fréquence de coupure commune est $f_c = \frac{1}{2\pi}$ :

$$f = \frac{1}{2\pi} \Rightarrow |\hat{H}(f)| = \frac{\sqrt{2}}{2} \max(|\hat{H}(f)|)$$

## 10.2 Synthèse d'un filtre analogique par un filtre de Butterworth

On souhaite maintenant utiliser les filtres de Butterworth pour définir un filtre analogique qui soit un passe-bas, passe-haut, passe-bande, coupe-bande et qui ait les bonnes fréquences de coupures et une raideur suffisante.

La raideur est déterminée par l'ordre $N$, plus $N$ est élevé plus le filtre obtenu est raide. Il existe des techniques permettant de calculer $N$ en fonction d'objectifs à atteindre sur la courbe de la réponse fréquentielle à calculer. En fonction du type de filtre à synthétiser on considère différentes méthodologies.

**Méthodologie 1 (Synthèse d'un filtre passe-bas avec un filtre de Butterworth)** On se donne la réponse fréquentielle correspondant à un filtre passe-bas idéal de fréquence de coupure $f_c$.

1. Choisir l'ordre $N$ du filtre de Butterworth,

2. On définit le changement de variable $p' = \frac{p}{2\pi f_c}$. Le filtre analogique de Butterworth associé est :

$$H'(p) = H(\frac{p}{2\pi f_c}) = \frac{1}{B_N(\frac{p}{2\pi f_c})}$$

3. La réponse fréquentielle du nouveau filtre est alors

$$|\hat{H}'(f)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{f}{f_c})^{2N}}}$$

**Méthodologie 2 (Synthèse d'un filtre passe-haut avec un filtre de Butterworth)** On se donne la réponse fréquentielle correspondant à un filtre passe-haut idéal de fréquence de coupure $f_c$.

1. Choisir l'ordre $N$ du filtre de Butterworth

2. On définit le changement de variable $p' = \frac{p}{2\pi f_c}$. Le filtre analogique de Butterworth associé est :

$$H'(p) = H(\frac{2\pi f_c}{p}) = \frac{1}{B_N(\frac{2\pi f_c}{p})}$$
3. La réponse fréquentielle du nouveau filtre est alors

$$|\hat{H}'(f)| = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{f_c}{f}\right)^{2N}}}$$

**Méthodologie 3 (Synthèse d'un filtre passe-bande avec un filtre de Butterworth)** On se donne la réponse fréquentielle correspondant à un filtre passe-bande idéal de fréquence de coupure $f_1$ et $f_2$.

1. On pose $B = f_2 - f_1$ et $f_0 = \sqrt{f_1 f_2}$.

2. Choisir l'ordre N du filtre de Butterworth.

3. On définit le changement de variable

$$p' = \frac{f_0}{B} \left( \frac{p}{2\pi f_0} + \frac{2\pi f_0}{p} \right)$$

Calculer le filtre analogique de Butterworth associé :

$$\hat{H}'(p) = \hat{H}(p') = \frac{1}{B_N(p')}$$

4. La réponse fréquentielle du nouveau filtre est alors

$$|\hat{H}'(f)| = \frac{1}{\sqrt{1 + g(f)^{2N}}}$$

$$g(f) = \frac{f_0}{B} \left( \frac{f}{f_0} + \frac{f_0}{f} \right)$$

**Remarque 2** Pour la synthèse d'un passe-bande et d'un coupe-bande, on a en fait qu'une approximation des propriétés souhaitées. La réponse fréquentielle est bien nulle en la fréquence nulle et en la fréquence infinie.

$$\lim_{f \to 0} |\hat{H}'(f)| = \lim_{f \to +\infty} |\hat{H}'(f)| = 0$$

Les fréquences $f = f_1$ et $f = f_2$ ne sont pas exactement les fréquences de coupures :

$$|\hat{H}(f_1)| = |\hat{H}(f_2)| = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{1+\frac{f_1}{f_2}}{1-\frac{f_1}{f_2}}\right)^{2N}}} \neq \frac{1}{\sqrt{2}}$$

L'allure globale de la réponse fréquentielle est d'être croissante sur l'intervalle $[0, f_0]$ (intervalle contenant $f_1$) et décroissante sur l'intervalle $[f_0, +\infty[$ (intervalle contenant $f_2$).

**Méthodologie 4 (Synthèse d'un filtre coupe-bande avec un filtre de Butterworth)** On se donne la réponse fréquentielle correspondant à un filtre passe-bande idéal de fréquence de coupure $f_1$ et $f_2$.

1. On pose $B = f_2 - f_1$ et $f_0 = \sqrt{f_1 f_2}$.

2. Choisir l'ordre N du filtre de Butterworth.

3. On définit le changement de variable

$$\frac{1}{p'} = \frac{f_0}{B} \left( \frac{p}{2\pi f_0} + \frac{2\pi f_0}{p} \right)$$

Calculer le filtre analogique de Butterworth associé :

$$\hat{H}'(p) = \hat{H}(p') = \frac{1}{B_N(p')}$$

4. La réponse fréquentielle du nouveau filtre est alors

$$|\hat{H}'(f)| = \frac{1}{\sqrt{1 + g(f)^{2N}}}$$

$$g(f) = \frac{B}{f_0} \frac{1}{\frac{f}{f_0} + \frac{f_0}{f}}$$
## 10.3 Transformée Bilinéaire

Nous avons comment faire la synthèse de filtres analogiques. Mais pour appliquer cela il faudrait un outil qui définissent les coefficients d'un filtre numériques en fonction des coefficients d'un filtre analogique. Nous avons déjà vu précédemment l'invariant impulsionnel qui propose de considérer comme filtre numérique, celui associé à l'échantillonnage de la réponse impulsionnelle. Mais cette transformation ne convient pas ici, parce qu'il est difficile de calculer la réponse impulsionnelle et que d'autre part l'invariant impulsionnel suppose que la réponse fréquentielle du filtre analogique soit nulle en deça de $f_e/2$ où $f_e$ est la fréquence d'échantillonnage, et justement cette réponse fréquentielle n'est en général pas nulle sur cet intervalle.

La transformée bilinéaire est une autre transformation qui à un filtre analogique associe le filtre numérique dont la fonction de transfert $H^#(z)$ est calculé à partir de la fonction de transfert du filtre analogique $H(p)$

$$H(p) = H^#(z) \text{ où } p = \frac{2}{T_e} \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$$

$T_e$ est la période d'échantillonnage. Si le filtre analogique est stable, le filtre numérique le sera aussi et si le filtre numérique est stable, c'est que le filtre analogique l'était aussi. La réponse fréquentielle du filtre numérique $\hat{H}^#(f)$ peut aussi se déduire de la réponse fréquentielle du filtre analogique $\hat{H}(f)$

Si on pose :

$$f = \frac{f_e}{\pi} \tan\left(\frac{\pi f^#}{f_e}\right) \qquad (10.1)$$

alors $\hat{H}(f) = \hat{H}^#(f^#)$

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>Figure 10.2: En haut à gauche : réponse fréquentielle du filtre analogique $\frac{1}{p+1}$. En haut à droite : réponse fréquentielle du filtre numérique $\frac{1+z^{-1}}{2}$. En bas à gauche : bissectrice qui change l'abscisse en ordonnée. En bas à droite : compression des fréquences qui transforme $f$ en $f^#$.</figcaption></figure>

La figure 10.2 permet d'illustrer comment calculer la réponse fréquentielle du filtre numérique à partir de la réponse fréquentielle du filtre analogique. En haut à gauche se trouve la réponse fréquentielle du filtre de fonction de transfert $H(p) = \frac{1}{p+1}$, notée $\hat{H}(f)$. En haut à droite se trouve la réponse fréquentielle de $H^#(z) = \frac{1+z^{-1}}{2}$, notée $\hat{H}^#(f^#)$, elle est obtenue en appliquant la transformée bilinéaire sur le filtre $H$. Le trait en pointillé en haut joint un point de la réponse fréquentielle de $\hat{H}(f)$ avec un point de la réponse fréquentielle de $\hat{H}^#(f^#)$ mais à une différente fréquence (et en l'occurence à plusieurs autres fréquences, étant donné que la réponse fréquentielle $\hat{H}^#(f^#)$ est en réalité périodique de période $f_e$). L'objet des deux graphiques en dessous est de donner une méthode graphique pour déterminer $f^#$ en fonction de $f$. Le graphique en bas à gauche représente la bissectrice et permet de positionner sur l'axe des ordonnées la fréquence qui se trouvait sur l'axe des abscisses. Ainsi la position verticale du trait plein horizontal est en fait liée à la position horizontale du trait plein vertical, elle-même liée à la fréquence du premier point étudié. Le graphique en bas à droite permet ensuite de transformer une fréquence $f$ (axe des ordonnées) en une fréquence $f^#$ (axe des abscisses) ; l'équation de cette courbe est données par (10.1).

## 10.4 Synthèse d'un filtre numérique par un filtre de Butterworth

On pourrait penser que pour synthétiser un filtre numérique, il suffit de synthétiser un filtre analogique du type souhaité (passe-bas, passe-haut, passe-bande, coupe-bande) et avec la/les fréquences de coupure souhaitées, et d'appliquer la transformée
bilinéaire. Malheureusement en faisant cela on aura bien un filtre numérique du type souhaité mais avec a priori les mauvaises fréquences de coupure, parce que modifiées par la transformée bilinéaire. Il faut donc au préalable calculer la/les valeurs des fréquences de coupures du filtre analogiques $f_c$ qui soient telles qu'après l'application de la transformée bilinéaire on puisse avoir les fréquences de coupures $f_c^\#$ souhaitées. Cela se fait en appliquant (10.1) à $f_c^\#$. Une astuce qui permet de simplifier les calculs consiste à combiner les deux transformations, celle permettant de modifier la fréquence de coupure du filtre analogique et celle associée à la transformée bilinéaire. On peut alors appliquer la transformation globale à un des filtres de Butterworth.

**Méthodologie 5 (Synthèse d'un filtre numérique par un filtre de Butterworth)** On se donne un gabarit que le filtre numérique doit respecter et une fréquence d'échantillonnage $f_e$.

1. Calculer le gabarit que devrait respecter le filtre analogique si le filtre numérique est déduit du filtre analogique avec une transformée bilinéaire. On applique

$$f^{\#} \mapsto f = \frac{f_e}{\pi} \tan\left(\frac{\pi f^{\#}}{f_e}\right)$$

2. Calculer l'ordre du filtre de Butterworth et la transformation $p \mapsto p'$

3. Calculer la nouvelle transformation $z \mapsto p'$ sachant que $p = \frac{2}{T_e} \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$ :

$$H^{\#}(z) = H'(p) = H(p')$$

où $H$ est le filtre de Butterworth défini à partir des polynômes de Butterworth et $H^\#$ est le filtre numérique souhaité.

4. En déduire le filtre numérique de Butterworth.

## 10.5 Synthèse avec d'autres filtres

**Méthodologie 6 (Synthèse d'un filtre numérique avec un autre type de filtre)** L'étape 2 est modifiée, parce que pour les autres filtres il n'y a pas forcément que l'ordre du filtre à déterminer.

**Propriétés 1 (Les autres filtres)** 1. Le filtre de Tchebycheff de type 1 présente des ondulations dans la bande passante.

2. Le filtre de Tchebycheff de type 2 présente des ondulations constantes dans la bande atténuée

3. Le filtre elliptique (ou filtre de Cauer) présente des ondulations constantes à la fois dans la bande passante et dans la bande atténuée, mais au prix d'une distortion de phase plus forte.

4. Le filtre de Bessel a une réponse indicielle optimale.

## QCM

**Question 1** On cherche à réaliser un filtre ARMA passe-bas de fréquence de coupure $f_c = 1$kHz. La fréquence d'échantillonnage est $f_e = 4$kHz.

* A. Dans la méthodologie présentée en cours, les polynômes de Butterworth servent à transformer le filtre analogique calculé en un filtre numérique.

* B. Plus on choisit un ordre élevé pour le polynôme de Butterworth, plus on peut espérer que la courbe associée au module de la réponse fréquentielle du filtre synthétisé aura une pente très raide.

* C. Dans l'application de la méthodologie pour synthétiser un ARMA, la fréquence de coupure du filtre numérique synthétisé est égale à la fréquence de coupure du filtre analogique.

* D. En utilisant une fenêtre on peut améliorer l'efficacité du filtre ARMA synthétisé.

**Question 2** On considère des signaux échantillonnés à $f_e = 2$kHz. On synthétise un filtre passe-bas de fréquence de coupure $f_c$ en utilisant les filtres de Butterworth et en suivant précisément la méthodologie indiquée en cours.

* A. Il est possible de réussir à synthétiser un tel filtre avec $f_c = 1.5$kHz.

* B. Le module de la réponse fréquencielle du filtre synthétisé est nécessairement croissant entre -1kHz et 0kHz.

* C. Le module de la réponse fréquencielle du filtre synthétisé vaut 1 en la fréquence nulle.

* D. Le module de la réponse fréquentielle vaut approximativement 0.7 en $f = f_c$.
**Question 3** On a réussi à synthétiser $\mathcal{H}$ un filtre ARMA passe-haut en utilisant les polynômes de Butterworth.

* A. Le module de la réponse fréquentielle $|\hat{H}(f)|$ de $\mathcal{H}$ est symétrique par rapport à la fréquence nulle.

* B. La réponse impulsionnelle $h_n$ de $\mathcal{H}$ est symétrique par rapport à l'indice nul.

* C. La fonction de transfert $H(z)$ de $\mathcal{H}$ est définie pour tout $z$ tel que $|z| > 1$.

* D. La fonction de transfert $H(z)$ de $\mathcal{H}$ est définie pour tout $z$ tel que $|z| < 1$.

**Question 4** On considère un filtre analogique de fonction de transfert $H(p) = \frac{1}{p+1}$ et un filtre numérique de fonction de transfert $H^{\#}(z)$ obtenu avec la transformée bilinéaire.

* A. Le calcul de $H^{\#}(z)$ se fait à partir de $H(p)$ et $z = \frac{2}{T_e} \frac{1-p^{-1}}{1+p^{-1}}$ et $H^{\#}(z) = H(p)$

* B. Le calcul de $H^{\#}(z)$ se fait à partir de $H(p)$ et $p = \frac{2}{T_e} \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$ et $H^{\#}(z) = H(p)$

* C. La réponse fréquentielle de $H^{\#}$ se déduit de celle de $H$ par repliement fréquentiel (c'est-à-dire $\hat{H}^{\#}(f) = K \sum_k \hat{H}(f - k f_e)$ où $K$ est un coefficient de proportionnalité).

* D. A basse fréquence $\hat{H}^{\#}$ et $\hat{H}$ ont approximativement le même comportement fréquentiel.

**Question 5** On échantillonne un signal $s(t)$ à $f_e = 1$kHz

* A. Si $s(t)$ ne satisfait pas le critère de Shannon-Nyquist alors du fait du repliement de spectre le signal échantillonné ne permet plus de retrouver le signal de départ.

* B. Après repliement de spectre, le spectre obtenu est périodique de période $1$kHz.

* C. Si $s(t)$ satisfait le critère de Shannon-Nyquist, la reconstruction du signal de départ en un instant $t_0$ à partir du signal temps discret s'appelle aussi interpolation du signal à temps discret à cet instant $t_0$.

* D. En pratique l'interpolation consiste en général en l'application d'un filtre passe-haut de fréquence de coupure $f_e/4$.

Mettre des croix dans les cases qui vous semblent vraies.

<table><thead><tr><th></th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th></tr></thead><tbody><tr><th>A</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>B</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>C</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>D</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
# Chapter 11

## Cours A : description d'un signal

### 11.1 Exercices d'application
**Exercice 1** (s6) On considère un signal temps discret non-périodique défini par $x_n = \delta_n - 1.1\delta_{n-4}$ avec $f_e = 2$Hz.

1. Que devient le signal quand on amplifie par un facteur 2 ?

2. Que devient le signal quand on lui ajoute 2 ?

3. Que devient le signal quand on dilate l'échelle des temps par un facteur 2 ?

4. Que devient le signal quand on retarde le signal d'une seconde ?

5. On cherche ce que devient le signal quand on le quantifie sur 2bits.

(a) Montrez que $x_n \in [-1.1, 1]$.

(b) Montrez que le pas de quantification est $Q = 0.525$.

(c) On note $\mathcal{Q}$ le fait de quantifier le signal : $x_q[n] = \mathcal{Q}[x_n](t)$. Proposez des valeurs pour $a, b, c, d$ et des intervalles $I_a, I_b, I_c, I_d$ tels que

$$ \mathcal{Q}[x_n](t) = \begin{cases} a & \text{si } x_n \in I_a \\ b & \text{si } x_n \in I_b \\ c & \text{si } x_n \in I_c \\ d & \text{si } x_n \in I_d \end{cases} $$

Généralement les valeurs et intervalles proposées vérifient ces propriétés.

• $a \in [-1.1, 1]$ et $b \in [-1.1, 1]$ et $c \in [-1.1, 1]$ et $d \in [-1.1, 1]$.

• $[-1.1, 1] \subset I_a \cup I_b \cup I_c \cup I_d$

• $I_a \cap I_b = \emptyset, I_b \cap I_c = \emptyset, I_c \cap I_d = \emptyset$.

• $I_a, I_b, I_c, I_d$ sont des intervalles de même longueurs qui est $Q$.

• $a \in I_a, b \in I_b, c \in I_c, d \in I_d$.

• $a \le b \le c \le d$.

• $b - a = c - b = d - c = Q$.

(d) Donnez le résultat graphiquement ?

Dans chacun des cas représentez sur une figure ce que devient le signal.
**Exercice 2** ((29)) On considère un signal $s_1(t) = \cos(2\pi t)$ et $s_2(t) = |\cos(2\pi t)|$ où $t$ représente le temps mesuré en secondes.

1. Représentez $s_1(t)$ et $s_2(t)$ sur un graphique pour $t \in [0, 2]$.

2. Montrez que $s_1$ est périodique de période 1.

3. Proposez une formule à appliquer pour calculer la puissance du signal ?

4. Démontrez la formule trigonométrique $\cos^2(2\pi t) = \frac{1+\cos(4\pi t)}{2}$

5. Déduisez la puissance de $s_1$.

6. Montrez que $s_2$ est périodique de période $1/2$.

7. Proposez une formule à appliquer pour calculer la puissance, si possible la même que la précédente.

8. Montrez que la puissance de $s_2$ est la même que la puissance de $s_1$.
11.2 Exercices pour approfondir
**Exercice 3** ((ex28)) On considère un robinet qui goutte. On considère que les gouttes d'eau sont de même taille et ont un volume de 1/20mL. Le débit de la moyen de la fuite est de 0.3Lh⁻¹. Expliquez comment ce phénomène peut se modéliser par :

1. un signal temps continu à valeurs réelles,

2. un signal temps continu à valeurs discrètes,

3. un signal temps discret à valeurs réelles,

4. un signal temps discret à valeurs discrètes.

Pour chacun de ces modèles indiquez la période d'échantillonnage et la fréquence d'échantillonnage lorsque cela est nécessaire.
Chapter 12

Cours B : Echantillonnage d'un signal

12.1 Exercices d'application
**Exercice 4** (ss) On considère un signal dont les mesures aux instants : $t = 0, t = 15s, t = 30s$ sont les suivantes 0.5, 0, 1.5.

1. Montrez comment on peut interpréter ces mesures comme celles associées à un signal temps discret non-périodique. Quelle est la fréquence d'échantillonnage ?

2. Trouvez l'énergie correspondante.

3. Montrez comment on peut interpréter ces mesures comme celles associées à un signal temps discret périodique. Représentez graphique le signal correspondant.

4. Trouvez la puissance correspondante.
12.2 Exercices pour approfondir
**Exercice 5** (33) Un filtre anti-repliement de spectre est souvent placé avant l'échantillonnage. À quoi est-ce que cela sert ? Ce filtre est souvent analogique, comment pourrait-on utiliser un filtre numérique à la place ?
Chapter 13

# Cours C : Série de Fourier, transformée de Fourier

## 13.1 Exercices d'application
**Exercice 6 (s1)** On considère le signal temps continu et périodique de période 2 défini par sur $[0, 2]$ par $x(t) = \mathbf{1}_{[0,1]}(t)$. Calculez la transformée de Fourier et représentez graphiquement le module de la transformée de Fourier en fonction de la fréquence. Montrez d'abord que les coefficients de la série de Fourier sont $\hat{X}_k = \frac{1-(-1)^k}{2jk\pi}$ pour $k \neq 0$ et $\hat{X}_0 = \frac{1}{2}$. Puis montrez que

$$ \hat{X}(f) = \frac{1}{2}\delta(f) + \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\pi(2k+1)j}\delta\left(f - k - \frac{1}{2}\right) $$
**Exercice 7** (s3) On considère trois signaux temps continu, $x(t), y(t), z(t)$.

• $x(t)$ est périodique de période 2 et pour $t \in [0, 2[$, il est défini par $x(t) = \mathbf{1}_{[0,1]}(t)$.

• $y(t)$ n'est pas périodique et pour $t \in \mathbb{R}$, il est défini par $x(t) = \mathbf{1}_{[0,1]}(t)$.

• $z(t)$ est périodique de période $T$ et pour $t \in [0, T[$, il est défini par $x(t) = \mathbf{1}_{[0,1]}(t)$.

1. Représentez sur un même graphique pour $t \in [0, 4]$, $x(t), y(t), z(t)$ avec $T = 3$.

2. Calculez la transformée de Fourier de $x(t)$.

3. Calculez la transformée de Fourier de $y(t)$.

4. Calculez la transformée de Fourier de $z(t)$ en l'exprimant à partir de $\hat{Y}(f)$.

5. Représentez les trois spectres pour $f \in [-2, 2]$ avec $T = 4$.
**Exercice 8** (30) On cherche à calculer la transformée de Fourier de $s(t) = \sin^2(2\pi t) = \frac{1-\cos(4\pi t)}{2}$

1. Représentez sur une même figure les fonctions $\sin(2\pi t)$, $\cos(2\pi t)$, $-1/2 \cos(4\pi t)$ et $\sin^2(2\pi t)$ pour $t \in [0, 1]$.

2. Ecrivez $\sin(2\pi t)$ comme une combinaison linéaire d'exponentielles complexes.

3. Montrez que $\sin(2\pi t)$ est périodique de période 1. Déduisez de ceci que la précédente formule est en fait la décomposition en série de Fourier de $\sin(2\pi t)$ en exponentielles complexes. Que valent les coefficients de la série Fourier de $\sin(2\pi t)$ ?

4. Que vaut la transformée de Fourier de $\sin(2\pi t)$ ?

5. En déduire la transformée de Fourier de $\cos(2\pi t) = -\sin(2\pi(t - 1/4))$ ? (la fonction cosinus est en avance d'un quart de période par rapport à la fonction sinus, elle est donc en opposition de phase avec la fonction sinus retardée d'un quart de période).

6. On observe que la fonction $\cos(4\pi t)$ est une contraction de la fonction $\cos(2\pi t)$, calculez sa transformée de Fourier ?

7. Quelle est la transformée de Fourier de la fonction constante $t \mapsto 1$ ?

8. En utilisant la formule trigonométrique initiale, quelle est la transformée de Fourier de $\sin^2(2\pi t)$ ?

9. Calculez la transformée de Fourier inverse de celle trouvée et retrouvez la formule trigonométrique initiale.
Exercice 9 (31) On cherche à déterminer la transformée de Fourier de

$$
s(t) = \mathbf{1}_{[0,1]}(t) + \mathbf{1}_{[0,2]}(t)
$$

1. Représentez le signal s pour t ∈ [0, 2].

2. Calculez la transformée de Fourier de $s_1(t) = \mathbf{1}_{[0,1]}(t)$ en utilisant la transformée de Fourier $S(f) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t)e^{-j2\pi ft}dt$, montrez qu'elle se met sous la forme de

$$
\hat{S}_1(f) = e^{-j\pi f} \frac{\sin(\pi f)}{\pi f}
$$

3. Expliquez le fait que ce signal ne soit pas à valeurs réelles ?

4. Calculez la transformée de Fourier en $f = 0$ sans utiliser la formule plus haut.

5. Déduisez la transformée de Fourier de $s_2(t) = \mathbf{1}_{[0,2]}(t)$

6. Montrez que la transformée de Fourier de s se met sous la forme suivante :

$$
\hat{S}(f) = \frac{2 - e^{-2j\pi f} - e^{-4j\pi f}}{2j\pi f}
$$

7. Pour faciliter la représentation du module de la transformée de Fourier, il est en général souhaitable d'exprimer ce module sous la forme de produit de fonction simple. Après avoir remarqué que le numérateur s'annule en la fréquence nulle et effectué une factorisation.

En effet pour $f = 0, 2 - e^{-2j\pi f} - e^{-4j\pi f} = 0$.

D'autre part $2 - e^{-2j\pi f} - e^{-4j\pi f} = (1 - e^{-2j\pi f})(2 + e^{-2j\pi f})$.

Montrez que le module de la transformée de Fourier se met sous la forme suivante :

$$
|\hat{S}(f)| = \left| \frac{\sin \pi f}{\pi f} \right| \sqrt{5 + 4 \cos 2\pi f}
$$

Vous pouvez montrer d'abord que $1 - e^{-2j\pi f} = e^{-j\pi f}(e^{j\pi f} - e^{-j\pi f})$, et d'autre part que
$|2 + e^{-2j\pi f}|^2 = (2 + \cos(2\pi f))^2 + \sin^2(2\pi f) = 5 + 4 \cos(2\pi f)$

8. Dessinez à main levée le module de la transformée de Fourier pour $f \in [-4, 4]$.
Exercice 10 (c)

Soit le signal défini par $x(t) = 0 \text{ pour } t \notin ]-1,3[, \ x(t) = t \text{ pour } t \in ]1,2[, \ x(t) = 2-t \text{ pour } t \in ]0,1[ \text{ et } x(t) = 2 \text{ pour } t \in ]-1,0[ \text{ et aussi pour } t \in ]2,3[.

$$
1. Calculez \arg(\hat{X}(f)).
$$

2. Calculez $\hat{X}(0)$.

3. Calculez $\int_{-\infty}^{+\infty} \hat{X}(f) df$.

4. Calculez $\int_{-\infty}^{+\infty} \left| \hat{X}(f) \right|^2 df$.
<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>Figure 13.1: Représentation de deux sinusoïdes auquel on a ajouté 1 et de la somme de ces deux sinusoïdes auquel on a encore ajouté 1. Exercice 11</figcaption></figure>

Exercice 11 (s8)

1. Après observation précise de la figure 13.1, montrez qu'une des trois courbes n'est pas une sinusoïdes et que les deux autres sont en fait des sinusoïdes ajoutées chacune à une composante continue.

2. En vous inspirant de l'annexe C du polycopié, montrez que deux des trois courbes sont données par

$$
\begin{cases}
x_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos \left( 2\pi \frac{t}{30} \right) \\
x_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos \left( 2\pi \frac{t}{60} \right)
\end{cases}
$$

3. On considère maintenant le signal

$$
x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos \left( 2\pi \frac{t}{30} \right) - \frac{1}{2} \cos \left( 2\pi \frac{t}{60} \right)
$$

Montrez que ce signal coïncide avec les mesures de l'exercice 4 (p. 83). Ces mesures sont définies aux instants $t = 0, t = 15s, t = 30s$ et valent respectivement 0.5, 0, 1.5.

4. Calculez la transformée de Fourier de ce signal.

5. Déduisez la puissance de ce signal.
13.2 Exercices pour approfondir
Exercice 12 (3)

Donnez le développement en série de Fourier d'un pulse périodique de période T, de largeur τ et d'amplitude A, centré par rapport à l'origine. En posant K = T/τ, donnez le nombre de raies du lobe principal et des lobes secondaires. Que se passe-t-il pour K → +∞ en maintenant A/K constant.
Exercice 13 (a)

Donnez la transformée de Fourier d'un pulse de largeur $\tau$ et d'amplitude $A$, centré autour de l'origine. Donnez la largeur du lobe principale et des lobes secondaires. Que se passe-t-il pour $\tau \to 0$ en maintenant $A\tau$ constant ?
Chapter 14

Cours D : TFD, TFTD

14.1 Exercices d'application
**Exercice 14** (40) On considère deux signaux $x_n$ et $y_n$ définis par

$$x_n = \delta_n + \delta_{n-2} \quad \text{et} \quad y_n = \delta_n + \delta_{n-1} + \delta_{n-2} \qquad (14.1)$$

où $\delta_n$ est la suite nulle sauf en $n = 0$ où elle vaut 1. On cherche à calculer la transformée de Fourier. La fréquence d'échantillonnage est notée $f_e$ et vaut 1kHz.

1. Dessinez les signaux $x_n$ et $y_n$. S'agit-il de signaux à temps discret/temps continu, s'agit-il de signaux périodiques ou non-périodiques. Quelle transformée de Fourier vous semble adaptée pour de tels signaux ?

2. Calculez la transformée de Fourier de $x_n$, notée $\hat{X}(f)$.

3. Retrouvez la signal $x_n$ en calculant la transformée de Fourier inverse. Pour cela il est conseillé de traiter séparément les trois cas $n = 0, n = 2, n \notin \{0, 2\}$.

4. On considère un complexe $z$, montrez que

$$1 + z + z^2 = \frac{z^{3/2}}{z^{1/2}} \left( \frac{z^{-3/2} - z^{3/2}}{z^{-1/2} - z^{1/2}} \right) \qquad (14.2)$$

5. Déduisez de (14.2) que

$$1 + e^{j\theta} + e^{2j\theta} = e^{j\theta} \frac{\sin(\frac{3}{2}\theta)}{\sin(\frac{1}{2}\theta)} \qquad (14.3)$$

6. Utilisez (14.3) pour en déduire la transformée de Fourier de $y_n$, notée $\hat{Y}(f)$.

7. Représentez sur $f \in [-3f_e/2, 3f_e/2]$, $|\hat{Y}(f)|$ en utilisant le fait qu'à basse fréquence cela ressemble à un sinus cardinal.
**Exercice 15** (45) On considère $x_n$, un signal temps discret périodique de période 4 échantillonné à la fréquence $f_e = 100$Hz.
Les premières valeurs de $x_n$ sont $x_0 = x_1 = 1$ et $x_2 = x_3 = 0$.

Calculez le module de la transformée de Fourier de ce signal. Représentez graphiquement le module de la transformée de Fourier en fonction de la fréquence.
14.2 Exercices pour approfondir
Exercice 16 (34)

On considère le signal périodique $x_1[n]$ de motif $\{1,0,0,1\}$ et le signal $x_2[n]$ périodique de motif $\{1,0,0,1,1,0,0,1\}$. Calculez les transformées de Fourier discrètes de ces deux signaux. Montrez comment les deux s'expriment en fonction d'un cosinus et comment la deuxième aurait pu se déduire de la première.
Exercice 17 (15)

On considère le signal cosinus tel que : $x[k] = \cos(2\pi k/6)$, observé sur une durée limitée $T=N.T_e$, avec comme fréquence d'échantillonnage $f_e = 1$kHz. On considère 3 cas : $N=6$, $N=12$ et $N=16$.

1. Quelle est la fréquence du signal à temps discret s'il était défini sur une durée infinie ?

2. Calculez la TFD dans les deux premiers cas. On pourra s'aider de ce que sur l'ordinateur on trouve les résultats affichés sur la figure 14.1.

3. Le calcul de la TFD dans ces 3 configurations donne les résultats suivants montrés sur la figure 14.1. Mettez les bonnes échelles en fréquences pour les trois graphiques. Confrontez ce résultat à ceux trouvés précédemment. Expliquez pourquoi le troisième cas est différent.

4. Proposez une idée pour atténuer les distorsions dans le 3ème cas ?

<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>Figure 14.1: s0,se,sa</figcaption></figure>
Chapter 15

Cours E : Repliement de spectre

15.1 Exercices d'application
<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>Figure 15.1: Représentation du spectre pour une valeur particulière de r. Exercice 18</figcaption></figure>

**Exercice 18 (157)** On considère le spectre d'un signal défini par

$$ \hat{X}(f) = \frac{1-r}{1-re^{-j2\pi f T_e}} \qquad (15.1) $$

Le module de ce spectre est représenté sur la figure 15.1 pour une certaine valeur de r ∈ ]0, 1[

1. À partir de cette figure, le signal associé à ce spectre est-il temps discret et non-périodique ? Quelle est la fréquence d'échantillonnage ?

2. À partir de (15.1) trouvez la valeur du module du spectre en f = f_c/2 ? Dessinez le graphique associé à ces valeurs en fonction de r pour r ∈ ]0, 1[ ?

3. Quelle est la valeur de r ∈ ]0, 1[ associée à ce graphique, sachant que sur le graphique on observe que |X̂(f_c/2)| = 0.05 ?

4. À partir de la figure 15.1, trouvez la fréquence de coupure de ce signal, en supposant qu'on interprète ce spectre comme la réponse fréquentielle d'un filtre ? S'agit-il d'un filtre passe-bas/passe-haut/passe-bande/coupe-bande/passe-tout ?
**Exercice 19 (60)** On considère un filtre dont la réponse fréquentielle est définie par

$$ \hat{H}(f) = \frac{1 + e^{-j2\pi f T_e}}{2} $$

1. En factorisant le numérateur avec $e^{j\pi f T_e}$ montrer que le module de la réponse fréquentielle est

$$ |\hat{H}(f)| = |\cos(\pi f T_e)| $$

2. En observant que $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, montrez que la fréquence de coupure est $f_c = \frac{f_e}{4}$.
<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>Figure 15.2: Représentations des modules de $\hat{X}(f)$, $\hat{Y}(f)$, $\hat{X}(f) + \hat{X}(f - f_e)$, $\hat{X}(f) + \hat{X}(f + f_e)$ en fonction de $f$ sur l'intervalle $[-f_e, f_e]$. Exercice 20.</figcaption></figure>

**Exercice 20 (61)** On considère un signal $x(t) = e^{-|t|}$ pour $t \in \mathbb{R}$. On note $x_+(t) = x(t)\mathbf{1}_{\mathbb{R}_+}(t)$ la restriction aux instants positifs de ce signal. On échantillonne ce signal avec une fréquence d'échantillonnage $f_e = \frac{1}{\ln(2)}$. On note le signal échantillonné $y_n$. On note $y_+[n] = y_n \mathbf{1}_{\mathbb{N}}[n]$.

1. Montrez que la transformée de Fourier de $x_+(t)$ est

$$ \hat{X}_+(f) = \frac{1}{1 + j2\pi f} $$

2. Montrez que $\hat{X}(f) = 2\Re(e(f))$ et déduisez que

$$ \hat{X}(f) = \frac{2}{1 + 4\pi^2 f^2} \qquad (15.2) $$

3. Calculez $\hat{X}(0)$ d'une part en utilisant l'équation (15.2) et d'autre part en utilisant la définition de $x(t)$.

4. Montrez que $y_n = \frac{1}{2^{|n|}}$

5. Montrez que $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} y_n = 3$.

6. Expérimentalement on observe que $\hat{X}(0) = 2$ est très proche de $\ln(2)\sum_{n=-\infty}^{+\infty} y_n$ qui vaut 2.08. Comment expliquez-vous cela ?

7. Montrez que la transformée de Fourier de $y_+[n]$ vaut

$$ \hat{Y}_+(f) = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}e^{-j2\pi fT_e}} $$

8. Montrez que $\hat{Y}(f) = 2\Re(\hat{Y}_+(f)) - 1$

9. Montrez que

$$ \hat{Y}(f) = \frac{3}{5 - 4 \cos(2\pi f T_e)} $$

10. Expliquez pourquoi on devrait observer que

$$ \hat{Y}(f) = \frac{1}{\ln(2)} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{2}{1 + 4\pi^2(f - k \ln(2))^2} $$

11. La figure 15.2 représente les modules de $\hat{X}(f)$, $\hat{Y}(f)$, $\hat{X}(f) + \hat{X}(f - f_e)$, $\hat{X}(f) + \hat{X}(f + f_e)$ en fonction de $f$ sur l'intervalle $[-f_e, f_e]$. Les quatre courbes sont désignées par les quatre lettres a, b, c, d. Indiquez pour chaque lettre à quelle courbe, elle est associée.
Chapter 16

Cours EBis : Filtre et descripteur de signaux
Densité spectrale et autocorrélation

16.1 Exercices d'application
Exercice 21 (52)

On considère un signal $x_n$ échantillonné à la fréquence $f_e$ et défini par

$$x_n = \delta_n + \delta_{n-1} + \delta_{n-2}$$

On définit $y_n = x_n * x_n$ Calculez $y_n$
**Exercice 22** (a1) On considère une suite $h_n = \delta_n - \delta_{n-1}$. On considère une entrée ayant les valeurs suivantes

$$x_0 = 1 \quad x_1 = 1 \quad x_2 = 0 \quad x_3 = 0 \quad x_4 = 1 \quad x_5 = -1$$

Calculez $y_n = h_n^d * x_n$. Vous pourrez d'abord montrer que

$$y_n = x_n - x_{n-1}$$

Remarquez qu'on a ici calculé la sortie $y_n$ d'un filtre de réponse impulsionnelle $h_n$ dont l'entrée est $x_n$.
**Exercice 23** (a2) On considère une filtre analogique défini par

$$y(t) = \int_{t-1}^{t} x(\tau) d\tau$$

où $x(t)$ est l'entrée et $y(t)$ est la sortie.

1. Calculez $y(t)$ quand $x(t) = \delta(t)$ en distinguant le cas où $t < 0$, $t \in [0, 1]$ et $t > 1$. On note $h(t)$ le résultat trouve, c'est la réponse impulsionnelle.

2. Tracez la réponse impulsionnelle.

3. Calculez la transformée de Fourier de $h(t)$. On pourra utiliser le fait que

$$TF[1_{[-1/2,1/2]}] (f) = \frac{\sin(\pi f)}{\pi f}$$

C'est la réponse fréquentielle notée $\hat{H}(f)$.

4. S'agit-il d'un passe-bas, passe-haut, passe-bande, coupe-bande ou passe-tout ?
**Exercice 24** (A3) On considère une fréquence d'échantillonnage $f_e = 100Hz$. On considère un filtre numérique défini par

$$y_n = x_{n-1} \tag{16.1}$$

1. On considère une entrée $x_n = \delta_n$. Calculez la sortie $y_n$ correspondant à cette entrée. Cette sortie est notée $h_n$, il s'agit de la réponse impulsionnelle du filtre.

2. Tracez la réponse impulsionnelle

3. Calculez la transformée de Fourier à temps discret de $h_n$. C'est ce qu'on appelle la réponse fréquentielle notée $\hat{H}(f)$.

4. Tracez le module de la réponse fréquentielle. S'agit-il d'un passe-bas, passe-haut, passe-bande, coupe-bande ou un passe-tout ?

5. Montrez en utilisant (16.1) que

$$\hat{Y}(f) = \hat{H}(f)\hat{X}(f)$$
**Exercice 25** (a4) On considère un signal $x_n$ échantillonné à la fréquence $f_e = 1$Hz. On le sur-échantillonne en doublant la fréquence d'échantillonnage. On suppose que $x_n = 0$ pour $n < 0$. Le procédé consiste à d'abord rajouter des échantillons nuls après chaque échantillon, le signal obtenu est $z_n$

$$z_{2n} = x_n \quad z_{2n+1} = 0$$

Puis on applique un filtre au signal $z_n$, la sortie du filtre est notée $y_n$

$$y_n = z_n + z_{n-1}$$

1. On considère le cas de $x_n$ défini par

$$x_0 = 2 \quad x_1 = 1 \quad x_2 = -3 \quad x_3 = -2$$

Tracez sur le même graphique $x_n$, $z_n$ et $y_n$ avec une échelle en temps (s) et non en valeurs de n.

2. Exprimez $y_0, \dots, y_7$ en fonction de $x_0, x_1, x_2, x_3$

3. Démontrez les relations suivantes

$$y_{2n+1} = x_n \quad y_{2n} = x_n$$
**Exercice 26** (49) On considère la fréquence d'échantillonnage $f_e = 100Hz$. On considère le filtre numérique $\mathcal{H}$ défini par l'équation aux différences suivante

$$y_{n+1} + \frac{y_n}{2} = x_n$$

où $x_n$ est l'entrée et $x_n$ est la sortie. Montrez que

$$TFTD\left[y_{n+1} + \frac{1}{2}y_n\right] = \left(e^{2j\pi f T_e} + \frac{1}{2}\right) TFTD[y_n]$$

Calculez la réponse fréquentielle.
**Exercice 27** (a6) On considère un signal temps continue non-périodique $x(t) = 1_{[0,1]}(t)$. Calculez la densité spectrale d'énergie.
Représentez graphiquement cette densité spectrale d'énergie.
16.2 Exercices pour approfondir
<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>Figure 16.1: Représentations des spectres $\hat{X}(f)$, $\hat{Y}_a(f)$, $\hat{Z}(f)$, $\hat{Y}_b(f)$. Exercice 28</figcaption></figure>

**Exercice 28 (54)** On considère un signal $x_n$

$$x_n = \frac{(-1)^n}{2^n} 1_N[n]$$

échantillonné à la fréquence $f_e = 2Hz$.

1. Sous-échantillonnez ce signal à $f'_e = 1Hz$ en ne conservant qu'un échantillon sur deux. Calculez le nouveau signal obtenu appelé $y_a[n]$.

2. On applique un filtre à $x_n$, ce filtre est défini par la relation entrée sortie :

$$z_n = \frac{x_n + x_{n-1}}{2} \qquad (16.2)$$

Calculez le signal $z_n$.

3. Sous-échantillonnez le signal $z_n$ à $f'_e = 1Hz$ en ne conservant qu'un échantillon sur deux. Calculez le nouveau signal obtenu appelé $y_b[n]$.

4. Tracez les $x_n$, $y_a[n]$, $y_b[n]$, $z_n$ pour les trois premières secondes. Commentez l'intérêt de considérer $y_b[n]$.

5. Calculez la fréquence de coupure associée au filtre défini par (16.2).

6. Sur la figure 16.1, sont représentés les spectres $\hat{X}(f)$, $\hat{Z}(f)$, $\hat{Y}_a(f)$, $\hat{Y}_b(f)$. Trouvez quelle courbe correspond à quel spectre.
# Chapter 17

## Cours 1F : Filtres analogiques

### 17.1 Exercices d'applications
Exercice 29 (11)

1. Calculez la transformée de Laplace de $s_1(t) = \cos(2\pi f_0 t) 1_{\mathbb{R}_+}(t)$.

2. $s_2(t) = \sin(2\pi f_0 t) 1_{\mathbb{R}_+}(t)$ s'exprime en fonction de la dérivée de $s_1(t)$ en déduire la transformée de Laplace de $s_2(t)$.
Commentez la pertinence physique de ce calcul.
**Exercice 30** (a7) On considère un filtre analogique $H$ défini par l'équation différentielle suivante

$$ \frac{dy}{dt} + \frac{y}{2} = x $$

où $x(t)$ est l'entrée et $y(t)$ est la sortie. Montrez que ce filtre est stable.
17.2 Exercices pour approfondir
Exercice 31 (9)

On considère un filtre de transformée de Laplace $H(p) = a \frac{p+1}{p+b}$, avec a, b dans R.

1. Pour quelles valeurs de b ce filtre est-il stable ?

2. Calculez la réponse fréquentielle de ce filtre.

3. Donnez la relation entre a et b pour que $\hat{H}(0) = 1$. A quoi sert cette relation ?

4. Représentez le module de la réponse fréquentielle quand $b \in [0, 1[$ puis quand $b \in ]1, +\infty[$. Commentez.

5. Calculez la réponse impulsionnelle de ce filtre. Commentez sur la stabilité du filtre.

6. Reprendre les deux dernières questions en considérant une nouvelle échelle de temps $t' = 2t$ appliquée à un nouveau filtre $H(p) = \frac{1}{p+1}$.

7. Ecrire la relation entrée-sortie sous la forme d'une équation différentielle.

8. Ecrivez la relation entrée-sortie sous la forme d'une équation intégrale.

$$ \text{La transformée de Laplace est définie par } H(p) = \int_{0}^{+\infty} h(t)e^{-pt}dt $$

$$ \text{La transformée de Fourier est définie par } \hat{H}(f) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t)e^{-j2\pi ft}dt $$
Exercice 32 (39) On considère un filtre de réponse impulsionnelle

$$
h(t) = \mathbf{1}_{[0,1]}(t)
$$

L'entrée de ce filtres est notée x(t) et la sortie est notée y(t). Un tel filtre est appelé moyenneur.

1. Expliquez pourquoi ce filtre est causal ?

2. Expliquez pourquoi ce filtre est stable ?

3. Montrez que la sortie du filtre s'exprime en fonction de l'entrée

$$
y(t) = \int_{t-1}^{t} x(\tau) d\tau
$$

4. On place en entrée un échelon : x(t) = 1[0,+∞[ (t) Calculez la sortie y(t) en distinguant le cas t < 0, t ∈ [0, 1] et le cas t > 1.

5. Représentez graphiquement la sortie du filtre y(t).

6. Calculez la fonction de transfert de ce filtre.

7. Expliquez pourquoi ce filtre n'est pas un filtre rationnel ?

8. Montrez que $\hat{H}(0) = 1$. Pourquoi est-ce une propriété attendue d'un filtre moyenneur.
# Chapter 18

## Cours 2F : Filtres numériques, MA, AR, ARMA, Transformée en Z

### 18.1 Exercices d'application
<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>Figure 18.1: s0,se,sa (exercice 33, (12))</figcaption></figure>

**Exercice 33** (12)

On désigne par $e_n$ et $s_n$ respectivement les valeurs de l'entrée et de la sortie du filtre à l'instant $nT_e$ défini dans la figure 18.1 (p. 123).

1. Montrer que l'algorithme de ce filtre peut s'écrire : $s_n = ae_n + bs_{n-1}$, (a et b sont deux coefficients constants).

2. En déduire que la fonction de transfert en z de ce filtre peut s'écrire : $T(z) = \frac{a}{1-bz^{-1}}$.

La transformée en Z s'écrit $TZ[h_n] = \sum_{n \ge 0} h_n z^{-n}$
**Exercice 34** (48) On considère le filtre numérique $\mathcal{H}$ défini par l'équation aux différences suivante

$$y_{n+1} + \frac{y_n}{2} = x_n$$

où $x_n$ est l'entrée et $y_n$ est la sortie. Calculez la réponse impulsionnelle.
**Exercice 35** (s0) On considère la fréquence d'échantillonnage $f_e = 100Hz$. On considère le filtre numérique $\mathcal{H}$ défini par l'équation aux différences suivante

$$y_{n+1} + \frac{y_n}{2} = x_n$$

où $x_n$ est l'entrée et $x_n$ est la sortie. Calculez la réponse fréquentielle.
**Exercice 36** (c14) On définit deux filtres. Le premier filtre est défini par sa réponse impulsionnelle : $h_n^a = \delta[n]+2\delta[n-1]+\delta[n-2]$.
Le deuxième filtre est défini par sa fonction de transfert : $H(z) = \frac{1+3z^{-1}}{2-z^{-1}}$.

Pour les différents filtres ci-dessus, utilisés avec une fréquence d'échantillonnage de 1MHz, compléter les informations de manière à avoir :

1. Le type de filtre (RII,RIF)

2. La stabilité

3. Le diagramme de pôle et de zéros

4. La réponse impulsionnelle

5. L'allure du module de la réponse fréquentielle.

6. Quelle est l'équation qui lie l'entrée et la sortie.
<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>Figure 18.2: Diagramme associée à une relation entrée-sortie. Exercice 37.</figcaption></figure>

**Exercice 37** (62) La figure 18.2 donne le diagramme d'une relation entrée-sortie. Σ désigne un sommateur et toutes les flèches arrivant à ce sommateur indiquent les quantités qui sont ajoutées pour former la valeur transmise et indiquée par la flèche sortante.

1. Écrivez la relation entrée-sortie.

2. Donnez la réponse impulsionnelle.

3. Ce filtre est-il stable ?
18.2 Exercices pour approfondir
Exercice 38 (20)

On considère le filtre de fonction de transfert $H^#(z) = 1 + 3z^{-1} + 6z^{-2} + 3z^{-3} + z^{-4}$. Pourquoi ce filtre est-à phase linéaire ?
Montrez qu'il se comporte comme un filtre à retard, quel est ce retard ?
**Exercice 39 (59)** On considère un filtre moyenneur de taille N défini par

$$h_n = \frac{1}{N} \mathbf{1}_{\{0,...,N-1\}}[n] \qquad (18.1)$$

La fréquence d'échantillonnage considérée est $f_e$. La réponse fréquentielle de ce filtre est un sinus cardinal ingénieur, il s'agit d'un passe-bas. Trouvez un moyen de justifier le fait que pour N assez grand, la fréquence de coupure de ce filtre est donnée par

$$f_e \sim f_e \left( \frac{1}{N} - \frac{\sqrt{2}}{N^2} \right) \qquad (18.2)$$
Chapter 19

Cours G : Synthèse de filtre MA, gabarit, fenêtre, invariant impulsionnel

19.1 Exercices d'applications
Exercice 40 (19)

On cherche à synthétiser avec un filtre à réponse impulsionnelle finie un passe-haut de fréquence de coupure $f_c = f_e/6$, avec $f_e = 1$kHz, à l'aide de la fenêtre triangulaire.

1. On considère une suite temps discret $h_n^1$ dont la transformée de Fourier est périodique de période $f_e$ et égale à $\mathbf{1}_{[-f_c, f_c]}$ sur l'intervalle $[-f_e/2, f_e/2]$. Quelle transformée de Fourier utiliser pour calculer $h_n^a$ ?

2. On sait que la transformée de Fourier de $\mathbf{1}_{[-1/2,1/2]}(t)$ est $\frac{\sin(\pi f)}{\pi f}$. Montrez qu'alors la transformée de Fourier inverse de $\mathbf{1}_{[-f_c,f_c]}(f)$ est $\frac{\sin(\pi tf_e/3)}{\pi t}$ ?

3. Déduisez que $h_n^a = \frac{\sin(\pi n/3)}{\pi n}$

4. On note $h_n^b$ la suite dont la transformée de Fourier vaut $\mathbf{1}_{[-f_e/2,-f_e]} + \mathbf{1}_{[f_e,f_e/2]}$ au sein de l'intervalle $[-f_e/2, f_e/2]$. Que vaut $h_n^b$.

5. On souhaite maintenant un filtre causal avec une réponse impulsionnelle $h_n^c$ causale sur sept termes (i.e. ailleurs que sur ces sept termes la réponse impulsionnelle est nulle). Que vaut $h_n^c$ ?

6. On utilise maintenant une fenêtre triangulaire, que vaut le filtre $h_n^d$ ainsi modifié ?

7. Pourquoi le filtre obtenu est-il à phase linéaire ?

8. Les modules et les phases des filtres recherchés sont représentés sur la figure 19.1 (p. 132), précisez quelle courbe correspond à quel filtre.

<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>Figure 19.1: Module et phase des réponse fréquentielle des différents filtres pour deux troncatures à N = 6 et N = 100, avec et sans application de la fenêtre triangulaire, (exercice 40)</figcaption></figure>
**Exercice 41** (35) Les signaux audio stéréo sont numérisés sur 16 bits à la fréquence d'échantillonnage avec $f_e = 44.1$kHz. $\log_{10}(2) \approx 0.3$ et $\log_{10}(3) \approx 0.5$.

1. Déterminez le rapport signal sur bruit en décibel pour une sinusoïde à plein échelle.

2. Le nombre de bits est multiplié par 1.05 (bit d'horloge, correcteur d'erreur, contrôle, affichage). Quel est le débit du système d'enregistrement ?

3. On peut enregistrer une heure de musique sur un CD. Evaluez le nombre de bits que l'on peut stocker.

4. A titre de comparaison : un dictionnaire peut posséder jusqu'à 1500 pages avec deux colonnes par page, 100 lignes par colonne, 8 mots par ligne, 6 lettres par mot. Il faut 7 bits pour coder une lettre. Combien de dictionnaires peut on stocker sur un CD ?
**Exercice 42** (37) La fréquence d'échantillonnage est $f_c = 1$kHz. Faites la synthèse d'un filtre passe-bas de fréquence de coupure $f_c = 250$Hz avec une fenêtre rectangulaire et en utilisant que 7 termes non-nuls.
19.2 Exercice pour approfondir
<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>Figure 19.2: Transformée de Fourier de $w_n^{(a)}$ et $w_n^{(b)}$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>Figure 19.3: Transformée de Fourier de $x_n$, $x_n w_n^{(a)}$ (avec $N = 20$) et $x_n w_n^{(b)}$ (avec $N = 10$).</figcaption></figure>

**Exercice 43 (36)** On étudie l'impact d'une fenêtre sur la synthèse d'un filtre de réponse impulsionnelle $h_n$. La fréquence d'échantillonnage est $f_e = 1$kHz.

1. Montrez que la transformée de Fourier de $w_n^{(a)} = \frac{1}{N+1} \mathbf{1}_{0..N}[n]$

$$TF[w_n^{(a)}](f) = \frac{1}{N+1} e^{-j\pi f N T_e} \frac{\sin \pi f (N+1) T_e}{\sin \pi f T_e} \quad (19.1)$$

2. Expliquez en quoi le résultat trouvé se distingue d'un sinus cardinal.

3. On considère $w_n^{(b)} = w_n^{(a)} \stackrel{d}{=} w_n^{(a)}$. Calculez $w_n^{(b)}$. Pour cela on pourra d'abord considérer le cas $N = 2$, $N = 3$ puis généraliser en considérant séparément le cas $n \le N$ et le cas $n \ge N$.

4. Comment appele-t-on la fenêtre associée à $w_n^{(b)}$ ?

5. A partir de la définition de $w_n^{(b)} = w_n^{(a)} \stackrel{d}{=} w_n^{(a)}$ et à partir (19.1), calculez le module de la transformée de Fourier de $w_n^{(b)}$.
6. Indiquez à partir de la figure 19.2 à quelle courbe 1, 2 ou 3 correspondent les modules des transformées de Fourier de $w_n^{(a)}$ pour N = 10 et N = 20 et $w_n^{(b)}$ pour N = 10 ? Justifiez votre réponse ?

7. La figure 19.3 représente les modules des transformées de Fourier de $x_n = \cos(2\pi f_0 n T_e)$, $x_n w_n^{(a)}$ et $x_n w_n^{(b)}$, avec $f_0 = 240\text{Hz}$.
Ecrivez (sans faire de véritables calculs) les modules des transformées de Fourier de ces trois signaux. Indiquez à partir de
la figure 19.3 à quelle courbe 4,5,6 correspondent les transformées de Fourier de ces signaux ? Justifiez votre réponse ?

8. Commentez sur l'intérêt d'utiliser la fenêtre $w_n^{(b)}$ par rapport à la fenêtre $w_n^{(a)}$.
Chapter 20

Cours H : Synthèse de filtre AR, gabarit,
transformées bilinéaires

20.1 Exercices d'applications
Exercice 44 (22)

On cherche à synthétiser avec un filtre numérique de Butterworth un passe-bas de fréquence de coupure $f_c^# = f_e/6$, avec $f_e = 1$kHz à l'ordre 3.

1. On cherche le gabarit que devrait avoir le filtre analogique pour qu'après application de la transformée bilinéaire le filtre numérique obtenu soit celui souhaité. L'ingénieur A dit que les fréquences sont transformées par une application non-linéaire qui est une tangeante, il propose $f^# = a \tan(bf)$, où f désigne les fréquences du filtre analogique et $f^#$ désigne les fréquences du filtre numérique ; quand pour deux fréquences f et $f^#$ cette relation est vérifiée alors il y a égalité entre $\hat{H}(f)$ et $\hat{H}^#(f)$. Pourquoi cette relation, telle qu'elle est proposée par l'ingénieur A n'est pas pertinente ? L'ingénieur B propose une autre relation $f = a \tan(bf^#)$. Proposez un raisonnement permettant de fixer b ; puis un deuxième raisonnement permettant de fixer a en fonction de b en utilisant le fait qu'à basse fréquence on souhaite que le filtre analogique et le filtre numérique ait le même comportement. Quel est alors le gabarit ?

2. Sachant que les fonctions de transfert des filtres de Butterworth vérifient $H(p)H(-p) = \frac{1}{(-1)^n p^{2n+1}}$, montrez que le changement de variable $p = \frac{p'}{2\pi f_0}$ permet d'approcher le gabarit recherché, calculez pour cela la réponse fréquentielle. Comment choisir alors $f_0$ ?

3. La table des filtres de Butterworth indique que pour $n = 3$, $H(p) = \frac{1}{(p+1)(p^2+p+1)}$. D'après la façon de construire ces filtres et par suite sans calcul, donnez les pôles de ces filtres.

4. Calculez $H^a$ la fonction de transfert du filtre analogique qui s'approche du gabarit, ainsi que la réponse fréquentielle.

5. Calculez $H^b$ la fonction de transfert du filtre numérique recherché (fonction de transfert et réponse fréquentielle). Les calculs sont simplifiés en montrant d'abord que $p = \sqrt{3} \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$.

$$H^b(z) = \frac{1 + 3z^{-1} + 3z^{-2} + z^{-3}}{(5\sqrt{3} + 7) - (7\sqrt{3} + 3)z^{-1} + (7\sqrt{3} - 3)z^{-2} + (-5\sqrt{3} + 7)z^{-3}}$$

6. Sans utiliser ce dernier résultat, calculez la réponse fréquentielle du filtre numérique recherché.
Exercice 45 (13)

On cherche à comparer la réponse impulsionnelle d'une filtre analogique avec la réponse impulsionnelle d'un filtre numérique.
La transformée de Laplace du filtre analogique étudié est $H(p) = \frac{p}{p+1}$

1. Pourquoi $H$ est-il stable ?

2. On considère que la fréquence d'échantillonnage est de $fe = 1$Hz. Montrez la transformée bilinéaire $H^d$ de $H$ peut se mettre sous la forme $H^d(z) = a + \frac{b}{1-cz^{-1}}$, avec $a = 2, b = -4/3, c = 1/3$.

3. Calculez la réponse impulsionnelle.

4. Du fait de l'utilisation de la transformée bilinéaire, il existe une relation entre la réponse fréquentielle du filtre analogique et la réponse fréquentielle du filtre numérique. Quelle est cette relation, redémontrez cette relation et en déduire le module de la réponse fréquentielle du filtre numérique ? Représentez le module de la réponse fréquentielle sur $[-2f_e, 2f_e]$.
Exercice 46 (16)

On considère un filtre de transformée de Laplace $H(p) = \frac{1}{p+1}$. L'unité de temps choisie est la seconde.

1. En quoi cette précision sur l'unité donne un sens plus précis à ce qui précède ?

2. Montrez que la relation entrée-sortie associée est : $y' + y = u$.

3. Ce filtre est-il stable ?

4. On définit un filtre linéaire numérique par sa fonction de transfert $H^#(z) = H(\frac{2}{T_e}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}})$, où $T_e$ est la période d'échantillonnage égale à 1ms. Il s'agit de la transformée linéaire. Quelle est la relation entre la réponse fréquentielle de ce filtre numérique et celle du filtre analogique précédent ?

5. Calculez le filtre numérique associé.

6. Ce filtre est-il stable ?
20.2 Exercices pour approfondir
Exercice 47 (23)

On cherche à construire un filtre numérique passe-bande de fréquences de coupures $f_e/8$ et $3f_e/8$, avec une fréquence d'échantillonnage de $f_e = 1$kHz en utilisant les filtres de Butterworth à l'ordre 1, 2 ou 3. Le gabarit et les filtre numériques synthétisés sont représentés à droite de la figure 20.1 (p. 143).

1. Dessinez le gabarit du filtre anal ogique que l'on recherche. On pourra utiliser que tan($\pi/8$) = $\sqrt{2} - 1$ et que tan($3\pi/8$) = $\sqrt{2} + 1$. On pose $f_1 = \frac{f_e(\sqrt{2}-1)}{\pi}$ et $f_2 = \frac{f_e(\sqrt{2}+1)}{\pi}$

2. On propose le changement de variable

$$p = \frac{\sqrt{f_1 f_2}}{f_2 - f_1} \left( \frac{p'}{2\pi\sqrt{f_1 f_2}} + \frac{2\pi\sqrt{f_1 f_2}}{p'} \right)$$

A quoi doit servir un tel changement de variable ? Quel est le changement de variable en fréquence correspondant ? Montrez que si $f' = \sqrt{f_1 f_2}$ alors $f$ vaut 0. Montrez que si $f' = f_1$ ou si $f' = f_2$ alors $|f| = \frac{1}{2\pi}$. Montrez que si $f' > f_2$ ou si $f' < f_1$ alors $|f| > \frac{1}{2\pi}$. Montrez pourquoi un tel changement de variable permet de transformer le gabarit d'un filtre de Butterworth en le gabarit du filtre analogique recherché.

3. Montrez que le filtre numérique s'obtient avec le changement de variable $p = \frac{1+z^{-2}}{1-z^{-2}}$.

4. Sur les tables des filtres de Butterworth, on a $H(p) = \frac{1}{p+1}$, $H(p) = \frac{1}{p^2+\sqrt{2}p+1}$ et $H(p) = \frac{1}{(p+1)(p^2+p+1)}$. En déduire trois filtres numériques qui répondent au problème. Le troisième est $H(z) = \frac{1-3z^{-2}+3z^{-4}-z^{-6}}{6+2z^{-4}}$.

<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>Figure 20.1: A gauche : gabarit d'un passe-bas et filtre de Butterworth analogique. A droite : gabarit du passe-bande et filtres numériques synthétisés en utilisant les filtres de Butterworth à l'ordre 1, 2 et 3 (exercice 47, (23))</figcaption></figure>
Exercice 48 (24)

On cherche à déterminer l'ordre minimal du filtre de Butterworth qui permet de respecter le gabarit d'un filtre passe-bas. On utilise pour le gain une échelle en dB inversée définie par $\alpha = -10 \log_{10} (|\hat{H}(f)|^2)$. Cette échelle est commune aux filtres analogiques et numériques. L'objectif porte sur le filtre numérique à synthétiser, il est que $\alpha \in [0, \alpha_1]$ en $f^\# \le f_1^\#$ et $\alpha > \alpha_2$ en $f^\# \ge f_2^\#$.

1. Pourquoi souhaite-t-on que le filtre numérique synthétisé vérifie $\alpha = 0$ en la fréquence nulle ? Pourquoi $\alpha \ge 0$ ?

2. Déterminez le gabarit du filtre analogique correspondant, exprimez $f_1$ et $f_2$ en fonction de $f_1^\#$ et $f_2^\#$.

3. On considère le changement de variable $p = \frac{p'}{2\pi f_0}$, montrez qu'alors les filtres de Butterworth se transforment en des filtres de réponses fréquentielles $|\hat{H}'(f')|^2 = \frac{1}{\left(\frac{f'}{f_0}\right)^{2n}+1}$. Pour cette question et les suivantes, on note $p$ et $f$ pour les variables associées aux filtres de Butterworth définis dans les tables et on note $p'$ et $f'$ pour les variables associés aux filtres de Butterworth transformés.

4. Montrez que si $f' = f_0$ alors $\alpha = 3$. Les réponses fréquentielles dépendent de $f_0$ et de $n$, montrez comment $f_0$ et $n$ modifient ces réponses fréquentielles.

5. Montrez que

$$n = \frac{\log_{10} \left( \frac{\frac{\alpha_2}{10} - 1}{\frac{\alpha_1}{10} - 1} \right)}{\log_{10} \left( \frac{f_2}{f_1} \right)}$$

6. Montrez que par substitution on peut ensuite trouver $f_0$ :

$$f_0 = f_1 (10^{\frac{\alpha_1}{10}} - 1)^{-\frac{1}{2n}}$$

7. Montrez que l'on peut exprimer l'ordre du filtre directement à partir des fréquences du gabarit du filtre numérique.

$$n = \frac{\log_{10} \left( \frac{\frac{\alpha_2}{10} - 1}{\frac{\alpha_1}{10} - 1} \right)}{\log_{10} \left( \frac{\tan(f_2^\# \pi/f_e)}{\tan(f_1^\# \pi/f_e)} \right)}$$
Chapter 21

Devoir à rendre
### 21.0.1 Description du travail à rendre

Le travail consiste à inventer l'énoncé d'un exercice et de le résoudre, sous la forme d'un document **pdf**. Le choix de cet exercice est libre, une liste d'exercices est donnée à titre indicatif pour aider à trouver de l'inspiration. Un aspect primordial est que ce qui est énoncé dans ce document doit être exact<fnref n="1" />. Le sujet est à rendre sur Moodle.

https://moodlelms.univ-paris13.fr/

**Le document doit comporter les éléments suivants.**

* Une description précise de l'énoncé de l'exercice à résoudre. Cette description doit utiliser correctement la terminologie du traitement du signal.

* Il doit y avoir une part plus ou moins importante de calculs. Il est important de préciser au début du calcul qu'est-ce qu'on cherche à calculer et qu'est-ce qu'on utilise dans l'énoncé pour faire ce calcul. Le calcul lui-même peut être écrit à la main et photographié avec le portable et inclu dans le document **pdf** en tant que photo, il peut être écrit avec Word, LibreOffice ou LaTeX.<fnref n="2" />

* Il doit y avoir une part de simulation numériques. Une façon de vérifier numériquement un calcul consiste à tirer aléatoirement les valeurs des paramètres libres de ce calcul et de mesurer l'écart entre la théorie et la simulation. L'ensemble de ce code doit se trouver dans le document **pdf** éventuellement organisé en différentes fonctions.

* Il doit y avoir des graphiques, avec une échelle cohérente avec les données de l'énoncé et avec la légende de l'axe. Pour rendre ces graphes plus visibles, vous pouvez utiliser

```matlab
set(gca, 'FontSize', 20, 'fontName', 'Times');
plot(x,y,'WideWidth',2);
```

* Il doit y avoir une présentation des graphiques, ce qu'ils montrent et ce qu'éventuellement vous en pensez, en réfléchissant à une manière de tester la pertinence de votre commentaire.

Le devoir est à rendre sur Moodle

https://moodlelms.univ-paris13.fr/

dans la rubrique Rattrapage Matlab M1.

### 21.0.2 Exemple de sujets

Ces sujets sont donnés à titre indicatif, pour vous aider à en imaginer d'autres. Vous pouvez par exemple partir d'un sujet et à force de creuser dans le détail parvenir à une nouvelle formulation ou à une généralisation de la notion étudiée.

**Exercice 49** On considère un signal $b_n$ un bruit blanc gaussien centré d'écart-type 1. Il est filtré par un filtre moyenneur de réponse impulsionnelle $h_n = \frac{1}{5}(\delta_n + \delta_{n-1} + \delta_{n-2} + \delta_{n-3} + \delta_{n-4})$. La sortie de ce filtre est noté $x_n$ et est considérée comme le signal utile à retrouver. Ce signal $x_n$ est ensuite sous-échantillonné d'un facteur 2 puis sur-échantillonné d'un facteur 2, le résultat de ces deux transformations successives est noté $y_n$. Proposez un filtre à appliquer à $y_n$ dont la sortie notée $z_n$ soit une bonne approximation de $x_n$, éventuellement retardé d'un certain retard à définir. Donnez une définition pertinente du signal sur bruit dans ce contexte particulier ou le signal utile à retrouver est $x_n$ et le bruit (ou déformation à minimiser) est $y_n - x_n$ ou $z_n - x_n$. Mesurez expérimentalement le gain en terme de rapport signal sur bruit obtenu en utilisant ce filtre. Justifiez d'un point de vue traitement du signal le choix de ce filtre.

**Exercice 50** On considère un signal $x_n$ un bruit blanc gaussien centré d'écart-type 1. Ce signal est ensuite sur-échantillonné d'un facteur 20, puis quantifié sur 2 niveaux et ensuite sous-échantillonné d'un facteur 20. Le sur-échantillonnage et le sous-échantillonnage sont accompagnés de transformations notées $T_1$ et $T_2$, qui peuvent être des filtres. Le signal ainsi modifié est noté $y_n$. Donnez une définition pertinente du signal sur bruit dans ce contexte particulier ou le signal utile à retrouver est $x_n$ et le bruit (ou déformation à minimiser) est $y_n - x_n$. On note r le rapport signal sur bruit calculé en décibel. Choisissez $T_1$ et $T_2$ de façon à minimiser r. Mesurez expérimentalement r et proposez un calcul théorique permettant d'approcher la valeur mesurée. Trouvez des façons de confirmer numériquement la pertinence de vos calculs.

<footnote n="1">¹Concrètement, cela signifie que quand un calcul théorique vous amène affirmer un certain résultat, il est nécessaire de faire une simulation numérique avec Matlab/Octave pour vérifier que le calcul théorique est vrai. Et il est nécessaire d'indiquer dans le devoir d'une part la simulation numérique, ce qu'elle permet de vérifier et le code informatique utilisé.</footnote>

<footnote n="2">²Notez qu'il est possible de vérifier les calculs effectués en utilisant des calculs symboliques disponibles sur Matlab/Octave.

% Pour Octave
pkg load symbolic; syms x; f=x^2; diff(f,x),</footnote>
**Exercice 51** D'après le cours, lorsqu'on retarde un certain type de signaux d'un retard $\tau$, le module de la transformée de Fourier est retardé et la phase est modifiée par une soustraction de $2\pi f \tau$. Montrez par simulation numérique que ceci est vrai pour quatre types de signaux : non-périodique et temps continu, périodique et temps continu, non-périodique et temps discret, périodique et temps discret. Pour être convainquant, une simulation numérique ne doit pas consister seulement en des courbes qui semblent se superposer. Il s'agit de mesurer la différence et de voir comment celle-ci peut être diminuée en modifiant certains paramètres. Proposez un calcul théorique permettant de donner un ordre de grandeur de cette différence.

**Exercice 52** On considère un signal $x_n$ obtenu avec un bruit blanc gaussien centré d'écart-type 1. Ce signal est transformé en deux signaux $y_c[n]$ et $y_s[n]$.

$$ \left\{ \begin{array}{l} y_c[n] = x_n \cos(2\pi f_0 n T_e + \varphi) \\ y_s[n] = x_n \sin(2\pi f_0 n T_e + \varphi) \end{array} \right. \qquad (21.1) $$

Proposez une technique pour retrouver $x_n$ à partir de $y_c[n]$ et $y_s[n]$ lorsque $\varphi = 0$. En réalité on connaît la valeur de $f_0$, mais pas celle de $\varphi$. Montrez d'une part que si on change globalement le signe de $x_n$, il est toujours possible d'observer les mêmes valeurs de $y_c$ et de $y_s$. On note s le signe de la moyenne des valeurs de $x_n$ et on cherche à estimer $\tilde{x}_n = sx_n$. La technique proposée consiste à supposer que $\varphi$ prend différentes valeurs tirées aléatoirement et de moyenner les différents signaux $\tilde{x}_n$ obtenus. Testez cette technique, montrez qu'à un coefficient de proportionnalité près, ceci permet de retrouver la valeur de $\tilde{x}_n$. Proposez un calcul théorique de ce coefficient de proportionnalité.

**Exercice 53** On considère un signal $x(t) = 1_{[-0.5,0.5]}(t)$ de transformée de Fourier $\hat{X}(f)$. On échantillonne $x(t)$ à une fréquence $f_e$ en un signal $x_e[n]$ et on calcule sa transformée de Fourier $\hat{X}_e(f)$. Montrez par le calcul que pour cet exemple, $\hat{X}(f)$ après application de la formule de repliement de spectre coïncide avec $\hat{X}_e(f)$ quelque soit la valeur de $f_e$. Montrez par une simulation numérique que les deux spectre obtenus coïncident avec une bonne précision et qu'ils coïncident avec les calculs théoriques. Montrez numériquement qu'il est possible d'améliorer cette précision.

**Exercice 54** On considère un signal $x_n$ un bruit blanc gaussien centré d'écart-type 1. Il est filtré par un filtre moyenneur de réponse impulsionnelle $h_n = \frac{1}{5}(\delta_n + \delta_{n-1} + \delta_{n-2} + \delta_{n-3} + \delta_{n-4})$. La sortie est notée $y_n$. Trouvez un filtre ou une formule à appliquer à $y_n$ pour retrouver une approximation de $x_n$. Donnez une définition pertinente du signal sur bruit dans ce contexte particulier ou le signal utile à retrouver est $x_n$ et le bruit (ou déformation à minimiser) est $y_n - x_n$. Justifiez votre choix du filtre à trouver en utilisant les notions vues en traitement du signal. Mesurez le rapport signal sur bruit. Trouvez un calcul théorique permettant de calculer un ordre de grandeur de ce rapport signal sur bruit.

**Exercice 55** Le signal d'origine noté $x_n$ est obtenu en comptant la longueur des mots successifs d'un texte. Par exemple pour le texte suivant

Un texte est une série orale ou écrite de mots.

le signal associé est

$$ x_n = 2\delta_n + 5\delta_{n-1} + 3\delta_{n-2} + 3\delta_{n-3} + 5\delta_{n-4} + 5\delta_{n-5} + 2\delta_{n-6} + 6\delta_{n-7} + 2\delta_{n-8} + 4\delta_{n-9}. \qquad (21.2) $$

Réalisez un programme permettant de convertir un texte en un signal. Appliquez ce programme sur une centaine de textes. En observant une estimation de la densité de probabilité, l'autocorrélation et la densité spectrale obtenus pour ces différents textes, cherchez un descripteur permettant de regrouper les textes en deux ou trois catégories. Ce qu'on appelle un descripteur est une formule simple utilisant une ou plusieurs de ces quantités en un ou plusieurs points. Pour chaque texte, ce descripteur prend une valeur particulière. Trouvez un descripteur qui permette d'obtenir des regroupements qui coïncident avec un regroupement qu'on aurait pu faire en lisant ces textes. Cherchez un calcul théorique expliquant que le descripteur choisi permet un tel regroupement.

**Exercice 56** Dans certains cours de traitement numérique du signal, il est affirmé que

$$ \lim_{t \to 0^+} h(t) = \lim_{p \to +\infty} pH(p) \qquad (21.3) $$

Proposez une justification théorique de cette affirmation, par exemple en considérant d'abord des exemples simples $H(p) = \frac{a}{p+b}$, puis en généralisant avec une décomposition en éléments simples. Testez cette affirmation en tirant aléatoirement un grand nombre de filtres analogiques rationnels pour lesquelles valeurs de $\lim_{t \to 0^+} h(t)$ sont diverses. Simulez numériquement les quantités à gauche et à droite de cette égalité et mesurez la différence. Montrez comment réduire cette différence.

**Exercice 57** Dans certains cours de traitement numérique du signal, il est affirmé que

$$ \lim_{t \to +\infty} h(t) = \lim_{p \to 0} pH(p) \qquad (21.4) $$

Proposez une justification théorique de cette affirmation, par exemple en considérant d'abord des exemples simples $H(p) = \frac{a}{p}$, puis en généralisant avec une décomposition en éléments simples. Testez cette affirmation en tirant aléatoirement un grand nombre de filtres analogiques rationnels pour lesquelles valeurs de $\lim_{t \to +\infty} h(t)$ sont diverses. Simulez numériquement les quantités à gauche et à droite de cette égalité et mesurez la différence. Montrez comment réduire cette différence.
**Exercice 58** On souhaite simuler numériquement sur 10 secondes la solution $x(t)$ de l'équation différentielle

$$ \frac{d}{dt}y(t) + y(t) = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \quad \text{et} \quad y(0) = 0 \qquad (21.5) $$

Calculez théoriquement un schéma de discrétisation en utilisant la transformée bilinéaire et en interprétant cette équation différentielle comme un filtre analogique dont la relation entrée-sortie est $\frac{d}{dt}y(t) + y(t) = x(t)$. On cherche ensuite à vérifier numériquement la précision de cette simulation. Utilisez ce même schéma de discrétisation pour déterminer cette fois une approximation de $\frac{d}{dt}y(t)$ et calculez ensuite $z(t) = \frac{d}{dt}y(t) + y(t) - \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$, représentez $z(t)$ et calculez une approximation de $E = \sqrt{\int_0^{10} z^2(t) dt}$. Donnez un calcul permettant de prédire un ordre de grandeur de $E$.

**Exercice 59** On souhaite simuler numériquement sur 10 secondes la solution $x(t)$ de l'équation différentielle

$$ \frac{d}{dt}y(t) + y(t) = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \quad \text{et} \quad y(0) = 0 \qquad (21.6) $$

Calculez théoriquement un schéma de discrétisation en utilisant l'invariant impulsionnel et en interprétant cette équation différentielle comme un filtre analogique dont la relation entrée-sortie est $\frac{d}{dt}y(t) + y(t) = x(t)$. On cherche ensuite à vérifier numériquement la précision de cette simulation. Utilisez ce même schéma de discrétisation pour déterminer cette fois une approximation de $\frac{d}{dt}y(t)$ et calculez ensuite $z(t) = \frac{d}{dt}y(t) + y(t) - \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$, représentez $z(t)$ et calculez une approximation de $E = \sqrt{\int_0^{10} z^2(t) dt}$. Donnez un calcul permettant de prédire un ordre de grandeur de $E$.

**Exercice 60** On souhaite simuler numériquement sur 10 secondes la solution $x(t)$ de l'équation différentielle

$$ \frac{d}{dt}y(t) + y(t) = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \quad \text{et} \quad y(0) = 0 \qquad (21.7) $$

En interprétant encore cette équation différentielle comme un filtre analogique dont la relation entrée-sortie est $\frac{d}{dt}y(t)+y(t) = x(t)$, mais en appliquant la transformée de Fourier à l'entrée puis en multipliant par la réponse fréquentielle et en appliquant la transformée on a théoriquement la sortie du filtre. Appliquez ces outils en utilisant des approximations pour les intégrations. On cherche ensuite à vérifier numériquement la précision de cette simulation. Utilisez ce même schéma de discrétisation pour déterminer cette fois une approximation de $\frac{d}{dt}y(t)$ et calculez ensuite $z(t) = \frac{d}{dt}y(t) + y(t) - \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$, représentez $z(t)$ et calculez une approximation de $E = \sqrt{\int_0^{10} z^2(t) dt}$. Donnez un calcul permettant de prédire un ordre de grandeur de $E$.

**Exercice 61** On considère une famille de filtre décrits par des coefficients a, b, c, d

$$ H(z) = \frac{a + bz^{-1}}{c + dz^{-1}} \qquad (21.8) $$

On cherche à ce que ce filtre ressemble le plus possible à $H^*(z) = z^{-5}$ lorsque le signal en entrée est un bruit blanc gaussien centré d'écart-type 1. Justifiez théoriquement un choix de valeurs a, b, c, d. On cherche ensuite à vérifier numériquement la précision de cette approximation. Pour cela on la puissance de la différence entre la sortie provenant du filtre $H^*$ et celle provenant de $H$. Mesurez la moyenne et la variance de cette approximation.

**Exercice 62** On considère un filtre décrit par sa relation entrée-sortie

$$ y_n - \frac{1}{2}y_{n-1} = x_n \qquad (21.9) $$

Le signal en entrée est $x_n = \cos(2\pi f_0 n T_e)$ et le signal en sortie est noté

$$ y_n = a(f_0) \cos(2\pi f_0 n T_e + \varphi(f_0)) \qquad (21.10) $$

Déterminez théoriquement les fonctions $a(f_0)$ et $\varphi(f_0)$. Vérifiez numériquement que ces fonctions sont correctes.

**Exercice 63** On considère un filtre défini par sa relation entrée-sortie

$$ y_n - 0.5y_{n-1} = x_n + 0.5x_{n-1} \qquad (21.11) $$

On considère en entrée un signal périodique de période 4. Le signal en sortie est aussi de période 4. Montrez qu'il existe un matrice 4×4 qui transforme le vecteur colonne constitué des 4 premiers échantillons $x_0, x_1, x_2, x_3$ en le vecteur colonne contenant les 4 premiers échantillons de la sortie $y_0, y_1, y_2, y_3$. Calculez cette matrice et vérifiez par simulation que le calcul est correct.
# Appendix A

## Rappel sur les complexes

### A.1 Écriture d'un complexe

Dans le cadre de ce cours, on note $j$, le complexe imaginaire dont le carré vaut $-1$.

$$j^2 = -1$$

Les complexes sont notés

$$z = a + jb$$

$a$ est la partie réelle de $z$ notée $\Re(z)$ et $b$ est la partie imaginaire de $z$ notée $\Im(z)$. On peut interpréter un complexe comme un point dans un plan dont la première coordonnée est $a$ et la deuxième coordonnée est $b$.

### A.2 Représentation angulaire de complexes de module 1

Certains complexes peuvent s'écrire comme

$$z = e^{j\theta} = \cos(\theta) + j\sin(\theta)$$

$\theta$ est l'argument de ce complexe, il est aussi appelé parfois la phase. Quand $z = 0$, cet argument n'est pas défini<fnref n="1" />.

Parmi ces complexes, on trouve

$$e^{j0} = 1$$

$$e^{j\frac{\pi}{2}} = j$$

$$e^{j\pi} = -1$$

$$e^{j\frac{3\pi}{2}} = -j$$

$$e^{j2\pi} = 1$$

Avec l'interprétation géométrique, tous ces complexes sont sur le cercle unité de centre 0 et de rayon 1.

### A.3 Module et argument d'un complexe

Tous les complexes s'écrivent <fnref n="2" />

$$z = re^{j\theta}, \text{ avec } \theta \in [-\pi, \pi]$$

On note $r = |z|$ c'est ce qu'on appelle le module de $z$. On note $\theta = \arg(z)$, c'est ce qu'on appelle l'argument.

<footnote n="1">¹En effet pour tout $\theta$, $0 = 0e^{j\theta}$.</footnote>

<footnote n="2">²Il existe différentes conventions pour définir $\arg(z)$.</footnote>
### A.3.1 Argument d'un complexe

On dispose de règles de calcul. Il existe $k$ entier positif ou négatif tel que <fnref n="3" />

$$ \arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) + 2k\pi \text{ et } \arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) - \arg(z_2) - 2k\pi \quad (A.1) $$

Il est possible de déterminer l'argument en fonction du complexe.

$$ \arg(a + jb) = \begin{cases} \arctan\left(\frac{b}{a}\right) & \text{si } a > 0 \\ \frac{\pi}{2} & \text{si } a = 0, b > 0 \\ -pi + \arctan\left(\frac{b}{a}\right) & \text{si } a > 0, b > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & \text{si } a = 0, b < 0 \\ pi + \arctan\left(\frac{b}{a}\right) & \text{si } a > 0, b < 0 \end{cases} $$

Ce calcul est implémenté dans Matlab/Octave avec la fonction **angle**. Dans le cadre de cette formation, on ne cherche pas à déterminer exactement l'argument et on se contente de déterminer cet argument modulo $\pi$.

Il existe $k$ entier positif ou négatif

$$ \arg(a + jb) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) \quad k\pi $$

### A.3.2 Module d'un complexe

On dispose de règles de calcul

$$ |z_1 z_2| = |z_1| |z_2| \text{ et } \left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} $$

Il est possible de déterminer l'argument en fonction du complexe.

$$ |a + jb| = \sqrt{a^2 + b^2} $$

<footnote n="3">³Dans l'équation (A.1), on n'a pas toujours l'égalité parfois il y a une différence qui est un multiple de $2\pi$. Ainsi $0 = \arg(1) = \arg(jjjj) = (\frac{pi}{2} + \frac{pi}{2} + \frac{pi}{2} + \frac{pi}{2}) - 2\pi$.</footnote>
# Appendix B

# Justification des égalités de Parseval

Il s'agit ici de montrer le lien entre les égalités de Parseval et le reste du cours de traitement numérique du signal.

## B.1 Cas d'un signal temps continu non-périodique

L'égalités de Parseval peut se voir comme un cas particulier du fait que le spectre associé à un signal qui résulte d'un produit de convolution de deux signal est le produit des spectres de ces deux signaux.

Considérons un signal $x(t)$ temps continu et non-périodique. L'énergie de ce signal est donnée par (2.3) dans la section 2.4 (p. 12) :

$$E_x = \int_{-\infty}^{\infty} x^2(t) dt$$

La section 3.5.1 (p. 18) affirme (3.7) :

$$E_x = \int_{-\infty}^{+\infty} |\hat{X}(f)|^2 df$$

Il est assez simple de montrer le lien avec le produit de convolution. Soit $y(t) = x(-t)$, alors le changement de variable $t' = -t$ montre que

$$\hat{Y}(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} y(t)e^{-j2\pi ft} dt = \int_{+\infty}^{-\infty} y(-t')e^{j2\pi ft'} (-dt') = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t')e^{j2\pi ft'} dt' = \overline{\hat{X}(f)}$$

Soit $z(t) = x(t) * y(t)$. Alors

$$z(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)y(-\tau) d\tau = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2(\tau) d\tau = E_x$$

Du fait des propriétés de la transformée de Fourier et du produit de convolution,

$$z(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{Z}(f) df = \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{X}(f) \hat{Y}(f) df = \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{X}(f) \overline{\hat{X}(f)} df = \int_{-\infty}^{+\infty} |\hat{X}(f)|^2 df$$

## B.2 Cas d'un signal temps continu et périodique

Soit $x(t)$ un signal temps continu et périodique de période $T$. Dans la section 2.4, (p. 12), la puissance s'exprime ainsi (2.2) :

$$P = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} x^2(t) dt$$

Dans la section 3.3, (p. 16, la puissance s'exprime aussi en fonction des coefficients de la transformée de Fourier :

$$P = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} |\hat{X}_k|^2$$

La justification utilise ici le fait que les exponentielles complexes forment en quelque sorte une base des fonctions périodiques.
1. $x(t)$ s'exprime en fonction de $\hat{X}_k$ au moyen de la transformée de Fourier inverse (3.1)

$$x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{X}_k e^{j2\pi k \frac{t}{T}}$$

2. Les différentes exponentielles complexes forment une base orthonormée pour le produire scalaire généralement utilisé pour les fonctions périodiques :

$$\frac{1}{T} \int_{0}^{T} e^{j2\pi k \frac{t}{T}} e^{-j2\pi l \frac{t}{T}} dt = \delta_{k-l}$$

Ce résultat se démontre en explicitant la primitive qui est, soit $t$ lorsque $k = l$, soit $\frac{T}{j2\pi(k-l)}e^{j2\pi(k-l)\frac{t}{T}}$ qui est une fonction périodique. Le calcul de l'intégrale donne 1 dans le premier cas et 0 dans l'autre cas.

3. La propriété (3.4) énoncée p. 17 section 3.3 indique que :

$$\hat{X}_{-k} = \overline{\hat{X}_k}$$

4. Ces propriétés permettent de faire le calcul suivant.

D'après la propriété 1

$$\frac{1}{T} \int_{0}^{T} x^{2}(t) dt = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \left( \sum_{k \in \mathbb{Z}} \sum_{l \in \mathbb{Z}} \hat{X}_{k} \hat{X}_{l} e^{j2\pi(k+l)\frac{t}{T}} \right) dt$$

D'après la propriété 2

$$\frac{1}{T} \int_{0}^{T} x^{2}(t) dt = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \hat{X}_{k} \hat{X}_{-k}$$

D'après la propriété 3

$$\frac{1}{T} \int_{0}^{T} x^{2}(t) dt = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \overline{\hat{X}_{k} \hat{X}_{-k}} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} |\hat{X}_{k}|^{2}$$

## B.3 Cas d'un signal temps discret non-périodique

Soit $x_n$ un signal temps discret non-périodique. Soit $T_e$ la période d'échantillonnage et $f_e$ la fréquence d'échantillonnage. Dans la section 2.4, (p. 12), l'énergie s'exprime ainsi (2.5) :

$$E = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_n^2$$

Dans la section 4.2, (p. 22), la puissance s'exprime aussi en fonction des coefficients de la transformée de Fourier :

$$E = \frac{1}{f_e} \int_{-\frac{f_e}{2}}^{\frac{f_e}{2}} |\hat{X}(f)|^2 df$$

La justification se fait exactement de la même façon que pour la section B.2, il n'y a que les notations qui changent.

1. $\hat{X}(f)$ s'exprime en fonction de $x_n$ au moyen de la transformée de Fourier à temps discret (4.1)

$$\hat{X}(f) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_n e^{-j2\pi fnT_e}$$

2. Les différentes exponentielles complexes forment une base orthonormée pour le produire scalaire généralement utilisé pour les fonctions périodiques :

$$\frac{1}{f_e} \int_{-\frac{f_e}{2}}^{\frac{f_e}{2}} e^{j2\pi k f T_e} e^{-j2\pi l f T_e} df = \delta_{k-l}$$

Ce résultat se démontre en explicitant la primitive qui est, soit $f$ lorsque $k = l$, soit $\frac{1}{j2\pi T_e(k-l)}e^{j2\pi(k-l)fT_e}$ qui est une fonction périodique. Le calcul de l'intégrale donne 1 dans le premier cas et 0 dans l'autre cas.
3. Comme le signal $x_n$ est à valeurs réelles, le conjugué de la transformée de Fourier s'exprime ainsi :

$$ \overline{\hat{X}(f)} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_n e^{j2\pi fnT_e} $$

4. Ces propriétés permettent de faire le calcul suivant.

D'après les propriétés 1 et 3

$$ \begin{aligned} \frac{1}{f_e} \int_{-\frac{f_e}{2}}^{\frac{f_e}{2}} |\hat{X}(f)|^2 df &= \frac{1}{f_e} \int_{-\frac{f_e}{2}}^{\frac{f_e}{2}} \hat{X}(f) \overline{\hat{X}(f)} df \\ &= \frac{1}{f_e} \int_{-\frac{f_e}{2}}^{\frac{f_e}{2}} \sum_{m \in \mathbb{Z}} \sum_{n \in \mathbb{Z}} x_m e^{-j2\pi fmT_e} x_n e^{j2\pi fnT_e} df \end{aligned} $$

et

$$ \frac{1}{f_e} \int_{-\frac{f_e}{2}}^{\frac{f_e}{2}} |\hat{X}(f)|^2 df = \frac{1}{f_e} \int_{-\frac{f_e}{2}}^{\frac{f_e}{2}} \sum_{m \in \mathbb{Z}} \sum_{n \in \mathbb{Z}} x_m x_n e^{-j2\pi f(m-n)T_e} df $$

D'après la propriété 2

$$ \frac{1}{f_e} \int_{-\frac{f_e}{2}}^{\frac{f_e}{2}} |\hat{X}(f)|^2 df = \sum_{m \in \mathbb{Z}} x_m x_m = \sum_{n \in \mathbb{Z}} x_n^2 $$

## B.4 Cas d'un signal temps discret périodique

Soit $x_n$ un signal temps discret périodique de période $N$. Soit $T_e$ la période d'échantillonnage et $f_e$ la fréquence d'échantillonnage. Dans la section 2.4, (p. 12), la puissance s'exprime ainsi (2.4) :

$$ P = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x_n^2 $$

Dans la section 4.4, (p. 26), d'après (4.12), la puissance s'exprime aussi en fonction des coefficients de la transformée de Fourier :

$$ P = \sum_{k=0}^{N-1} |\hat{X}_k|^2 $$

La justification est un peu différente car elle utilise le produit scalaire généralement utilisé pour les suites périodiques.

1. $\hat{X}_k$ s'exprime en fonction de $x_n$ au moyen de la transformée de Fourier discrète (4.8)

$$ \hat{X}_k = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-j2\pi \frac{kn}{N}} $$

2. Les différentes exponentielles complexes forment une base orthonormée pour le produire scalaire généralement utilisé pour les suites périodiques :

$$ \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} e^{j2\pi \frac{kn}{N}} e^{-j2\pi \frac{ln}{N}} = \delta_{k-l} $$

* Si $k = l$, alors le terme de la série est 1 et la somme normalisée vaut 1.

* Si $k \neq l$, cette expression s'interprète comme la somme d'une suite géométrique

$$ \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} e^{j2\pi \frac{(k-l)n}{N}} = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \left(e^{j2\pi \frac{(k-l)}{N}}\right)^n = \frac{1 - \left(e^{j2\pi \frac{(k-l)}{N}}\right)^N}{1 - \left(e^{j2\pi \frac{(k-l)}{N}}\right)} = \frac{1 - e^{j2\pi(k-l)}}{1 - e^{j2\pi \frac{(k-l)}{N}}} = 0 $$

Le numérateur de la dernière expression est nulle parce que $k-l$ est un entier.
3. Comme le signal $x_n$ est à valeurs réelles, le conjugué de la transformée de Fourier discrète s'exprime ainsi :

$$ \overline{\hat{X}_k} = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{j2\pi \frac{kn}{N}} $$

4. Ces propriétés permettent de faire le calcul suivant.

D'après les propriétés 1 et 3

$$ \sum_{k=0}^{N-1} |\hat{X}_k|^2 = \sum_{k=0}^{N-1} \hat{X}_k \overline{\hat{X}_k} = \frac{1}{N^2} \sum_{k=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} \sum_{n=0}^{N-1} x_m e^{-j2\pi \frac{km}{N}} x_n e^{j2\pi \frac{kn}{N}} $$

$$ \sum_{k=0}^{N-1} |\hat{X}_k|^2 = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} x_m \left( \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-j2\pi \frac{k(m-n)}{N}} \right) $$

D'après la propriété 2

$$ \sum_{k=0}^{N-1} |\hat{X}_k|^2 = \sum_{m=0}^{N-1} x_m \left( \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x_n \delta_{n-m} \right) = \frac{1}{N} \sum_{m=0}^{N-1} x_m^2 $$
# Appendix C

## Exemple de calculs

### C.1 Calcul de la transformée de Laplace inverse d'une fonction de transfert dont le dénominateur contient une racine double

On s'intéresse ici à

$$H(p) = \frac{p-1}{(p+1)^2}$$

Le dénominateur est un polynôme qui a une racine double en $p = -1$. La décomposition en élément simple du polynôme se fait en cherchant $a$ et $b$ tel que

$$H(p) = \frac{a}{p+1} + \frac{b}{(p+1)^2} = \frac{b+a(p+1)}{(p+1)^2} = \frac{(b+a)+ap}{(p+1)^2}$$

Cette décomposition se fait avec $a = 1$ et $b = -2$.

$$H(p) = \frac{1}{p+1} - \frac{2}{(p+1)^2}$$

L'utilisation de (7.22), p. 48, donne

$$h(t) = e^{-t}1_{\mathbb{R}}(t) - 2te^{-t}1_{\mathbb{R}}(t) = (1 - 2t)e^{-t}1_{\mathbb{R}}(t)$$

### C.2 Exemple de calcul de la transformée en Z inverse d'une fonction de transfert dont le dénominateur contient une racine double

On cherche ici à calculer la transformée en Z inverse de

$$H(z) = \frac{1 - z^{-1}}{(1 + z^{-1})^2}$$

Le dénominateur contient une racine double en $z = -1$. Aussi en application de (8.18), p. 57, il existe $a$ et $b$ tel que

$$h_n = (an + b)(-1)^n 1_{\mathbb{N}}[n]$$

La relation entrée-sortie associée à cette fonction de transfert est

$$y_n + 2y_{n-1} + y_{n-2} = x_n - x_{n-1} \quad (C.1)$$

On place en entrée $x_n = \delta_n$. L'application de (C.1) pour $n = 0$ montre qu'alors $y_0 + 2 \times 0 + 1 \times 0 = 1 - 1 \times 0$ et donc $y_0 = 1$. L'application de (C.1) pour $n = 1$ montre qu'alors $y_1 + 2y_0 + 1 \times 0 = 1 \times 0 - 1$ et donc $y_1 = -3$. Les valeurs de $y_n$ sont celles de $h_n$ et par suite ces calculs permettent d'en déduire les valeurs de $a$ et de $b$ :

$$\begin{aligned} (a \times 0 + b) \times 1 &= h_0 = 1 \Rightarrow b = 1 \\ (a \times 1 + b) \times (-1) &= h_1 = -3 \Rightarrow a + b = 3 \Rightarrow a = 2 \end{aligned}$$

Par ailleurs $h_n$ vérifie (C.1) pour $n \ge 2$ lorsque $x_n = \delta_n$ :

$$\begin{aligned} y_n + 2y_{n-1} + y_{n-2} &= (2n+1)(-1)^n + 2(2(n-1)+1)(-1)^{n-1} + (2(n-2)+1)(-1)^{n-2} \\ y_n + 2y_{n-1} + y_{n-2} &= (2n+1+2n-3-4n+2)(-1)^{n-1} = 0 = \delta_n - \delta_{n-1} = x_n - x_{n-1} \end{aligned}$$

On a finalement bien prouvé que

$$h_n = (2n+1)(-1)^n 1_{\mathbb{N}}[n]$$
# Appendix D

## Trouver les paramètres d'un signal sinusoïdal ajouté à une composante continue

L'objectif est de trouver les valeurs de $a, b, f_0, \varphi$ à partir de la courbe représentative du signal temps continu ainsi défini :

$$x(t) = a + b \cos (2\pi f_0 t + \varphi)$$

Sur la courbe représentative du signal, on cherche à mesurer les valeurs suivantes :

* $\max x(t)$ : valeur du maximum du signal

* $\min x(t)$ : valeur du minimum du signal

* $T$ : période du signal

* $\tau = \arg \max x(t)$ : un instant où le signal est maximal

Ces quantités sont illustrées sur la figure D.1. Elles permettent d'en déduire les quantités à retrouver.

$$ 
\left\{ 
\begin{aligned}
a &= \frac{\max x(t) + \min x(t)}{2} \\
b &= \frac{\max x(t) - \min x(t)}{2} \\
f_0 &= \frac{1}{T} \\
\tau &= \arg \max x(t) \\
\varphi &= -2\pi f_0 \tau
\end{aligned}
\right. 
$$
<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>Figure D.1: Signal sinusoïdal ajouté à une composante continue.</figcaption></figure>
# Appendix E

## Exemple de correction d'exercices

### E.1 Énoncé

On cherche à estimer l'impact de l'utilisation d'une fenêtre triangulaire pour synthétiser un filtre passe-bas. On suppose que l'on considère des signaux échantillonnés à fe et que l'on a réalisé la synthèse d'un filtre numérique passe-bas de fréquence de coupure $f_c$, avec une réponse impulsionnelle causale qui contient $2N + 1$ termes non-nuls. La fenêtre rectangulaire est donnée par

$$r_n = \mathbf{1}_{\{-N...N\}}[n]$$

Elle a pour transformée de Fourier à temps discret

$$\hat{R}(f) = \frac{\sin(\pi(N + 1)fT_e)}{\sin(\pi fT_e)}$$

La fenêtre triangulaire est donnée par

$$t_n = \left(1 - \frac{|n|}{N + 1}\right) \mathbf{1}_{\{-N...N\}}[n]$$

Elle a pour transformée de Fourier à temps discret

$$\hat{T}(f) = \frac{1}{N+1} \frac{\sin^2(\pi(N+1)fT_e)}{\sin^2(\pi fT_e)}$$

**Question 1** Montrez que la réponse fréquentielle du filtre synthétisé est donnée par

$$\hat{H}_R(f) = \frac{1}{f_e} \int_{f-e}^{f+e} \hat{R}(\nu) d\nu$$

$$\hat{H}_T(f) = \frac{1}{f_e} \int_{f-e}^{f+e} \hat{T}(\nu) d\nu$$

**Question 2** Donnez la largeur des lobes du sinus cardinal en terme de bande de fréquences et montrez que si N est grand devant $f_e/f_c$ alors la largeur de ces lobes est petite devant $f_c$.

**Question 3** En utilisant cette approximation (N grand devant $f_e/f_c$), montrez que

$$\hat{H}_R(f_c) \approx \hat{H}_T(f_c) \approx \frac{1}{2}$$

### E.2 Correction

#### E.2.1 Question 1

Je démontre d'abord le fait que pour deux signaux à temps discret $a_n$ et $b_n$ de transformée de Fourier à temps discret $\hat{A}(f)$ et $\hat{B}(f)$

$$a_n b_n = \text{TFTD}^{-1} \left[ \frac{1}{f_e} \int_{-\frac{f_e}{2}}^{\frac{f_e}{2}} \hat{A}(f_1) \hat{B}(f - f_1) df_1 \right] \quad (E.1)$$
Du fait des définitions de $\hat{A}(f)$ et $\hat{B}(f)$,

$$a_n b_n = \text{TFTD}^{-1}[\hat{A}(f)] \text{TFTD}^{-1}[\hat{B}(f)]$$

J'utilise les définitions de la TFTD et j'utilise deux variables d'intégration différentes

$$a_n b_n = \frac{1}{f_e} \int_{-\frac{f_e}{2}}^{\frac{f_e}{2}} \hat{A}(f_1) e^{j2\pi f_1 n T_e} df_1 \times \frac{1}{f_e} \int_{-\frac{f_e}{2}}^{\frac{f_e}{2}} \hat{B}(f_2) e^{j2\pi f_2 n T_e} df_2$$

Ce produit d'intégrale peut se voir comme une intégrale double et je fais le changement de variable $f_1 = f_1$ et $f = f_1 + f_2$

$$a_n b_n = \frac{1}{f_e^2} \int_{-\frac{f_e}{2}}^{\frac{f_e}{2}} \int_{f_1 - \frac{f_e}{2}}^{f_1 + \frac{f_e}{2}} \hat{B}(f - f_1) e^{j2\pi(f - f_1)nT_e} df \hat{A}(f_1) e^{j2\pi f_1 nT_e} df_1$$

La fonction $f \mapsto \hat{B}(f - f_1)e^{j2\pi(f - f_1)nT_e}$ étant périodique de période $f_e$ cela me permet de changer les bornes de la deuxième intégrale

$$a_n b_n = \frac{1}{f_e^2} \int_{-\frac{f_e}{2}}^{\frac{f_e}{2}} \int_{-\frac{f_e}{2}}^{\frac{f_e}{2}} \hat{B}(f - f_1) e^{j2\pi(f - f_1)nT_e} df \hat{A}(f_1) e^{j2\pi f_1 nT_e} df_1$$

Après simplification des deux exponentielles complexes en une seule on retrouve (E.1).

Je pose $h_n$ la réponse impulsionne du filtre passe-bas idéal de réponse fréquentielle $\hat{H}(f) = \mathbf{1}_{[-f_c, f_c]}(f)$ sur l'intervalle $[-\frac{f_e}{2}, \frac{f_e}{2}]$. Ensuite l'application de (E.1) montre que :

$$r_n h_n = \text{TFTD}^{-1} \left[ \frac{1}{f_e} \int_{-\frac{f_e}{2}}^{\frac{f_e}{2}} \hat{R}(f_1) \hat{H}(f - f_1) df_1 \right]$$

L'application de TFTD à cette équation et d'autre part le fait d'utiliser la définition de $\hat{H}(f - f_1)$ montre que

$$\text{TFTD}[h_n r_n] = \hat{H}_R(f) = \frac{1}{f_e} \int_{f-f_c}^{f+f_c} \hat{R}(f_1) df_1$$

Enfin l'application de (E.1) montre que :

$$t_n h_n = \text{TFTD}^{-1} \left[ \frac{1}{f_e} \int_{-\frac{f_e}{2}}^{\frac{f_e}{2}} \hat{T}(f_1) \hat{H}(f - f_1) df_1 \right]$$

L'application de TFTD à cette équation et d'autre part le fait d'utiliser la définition de $\hat{H}(f - f_1)$ montre que

$$\text{TFTD}[h_n t_n] = \hat{H}_T(f) = \frac{1}{f_e} \int_{f-f_c}^{f+f_c} \hat{T}(f_1) df_1$$

### E.2.2 Question 2

La fonction $f \mapsto \sin(\pi(N + 1)fT_e)$ s'annule en tous les multiples de $\frac{f_e}{N+1}$ sauf en $f = 0$. Aussi les lobes de $\hat{R}(f)$ et de $\hat{T}(f)$ sont de largeur $\frac{f_e}{N+1}$, sauf le lobe central qui est deux fois plus large.

Quand N est grand devant $f_e/f_c$ alors $\frac{f_e}{(N+1)f_c}$ est petit devant 1 et $\frac{f_e}{N+1}$ est petit devant $f_c$.

### E.2.3 Question 3

Dans un premier temps je considère $f_c \le \frac{f_e}{4}$.

$$\hat{H}_R(f_c) = \frac{1}{f_e} \int_0^{2f_c} \hat{R}(\nu) d\nu \approx \frac{1}{f_e} \int_0^{\frac{f_e}{2}} \hat{R}(\nu) d\nu$$

L'approximation est justifiée par le fait que $\hat{R}(\nu)$ est faible sur l'intervalle $[2f_c, f_e/2]$ parce que les lobes sont petits devant $f_c$. Par ailleurs $\hat{R}(\nu) = |\hat{R}(\nu)|$ est une fonction paire

$$\frac{1}{f_e} \int_0^{\frac{f_e}{2}} \hat{R}(\nu) d\nu = \frac{1}{2} \frac{1}{f_e} \int_{-\frac{f_e}{2}}^{\frac{f_e}{2}} \hat{R}(\nu) d\nu = \frac{1}{2} r[0] = \frac{1}{2}$$
En reliant les deux équations, on trouve l'approximation demandée.

Dans une deuxième temps je considère $f_c \ge \frac{f_e}{4}$ avec toujours $f_c < \frac{f_e}{2}$. J'utilise une autre approximation N grand devant $\frac{f_e}{f_e-2f_c}$. La périodicité de $\hat{R}$ montre que :

$$ \hat{H}_R(f_c) = \frac{1}{f_e} \int_0^{2f_c} \hat{R}(\nu) d\nu = \frac{1}{f_e} \int_0^{\frac{f_e}{2}} \hat{R}(\nu) d\nu + \frac{1}{f_e} \int_{-\frac{f_e}{2}}^{2f_c-f_e} \hat{R}(\nu) d\nu $$

Pour les mêmes raisons que précédemment, le premier terme vaut $\frac{1}{2}$. L'approximation considérée maintenant permet d'affirmer que les lobes ont une largeur petite devant $f_e - 2f_c < f_e/2$ et que donc $\hat{R}(\nu)$ est faible sur l'intervalle $[f_e - 2f_c, \frac{f_e}{2}]$, ce qui par symétrie signifie aussi que $\hat{R}(\nu)$ est faible sur l'intervalle $[-\frac{f_e}{2}, 2f_c - f_e]$. Le deuxième terme est donc de valeur faible. Ainsi se trouve justifié l'approximation dans le deuxième cas.

Le raisonnement est le même pour $\hat{H}_T(f_c)$.
# Appendix F

## Calcul avec les intégrales et les fonctions caractéristiques

On appelle fonction caractéristique

$$ \mathbf{1}_A(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x \in A \\ 0 & \text{si } x \notin A \end{cases} \qquad (F.1) $$

Quand A est un intervalle, la fonction caractéristique est en fait une porte.

$$ \mathbf{1}_{[a, b]}(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } a \le x \le b \\ 0 & \text{si } x < a \\ 0 & \text{si } x > b \end{cases} \qquad (F.2) $$

Il est possible de déplacer les termes au sein de la définition de la fonction caractéristique sur un intervalle

$$ \mathbf{1}_{[a,b]}(t) = \mathbf{1}_{[a-t, b-t]}(0) = \mathbf{1}_{[0, b-a]}(t-a) \qquad (F.3) $$

Cette fonction permet de transformer une intégrale sur un intervalle en une intégralle sur $\mathbb{R}$.

$$ \int_{a}^{b} f(t), dt = \int_{\mathbb{R}} \mathbf{1}_{[a,b]}(t) f(t) dt = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathbf{1}_{[a,b]}(t) f(t) dt \qquad (F.4) $$

L'intégrale de cette fonction porte est

$$ \int_{\mathbb{R}} \mathbf{1}_{[a,b]}(t) dt = b - a \qquad (F.5) $$

Le centre de cette fonction porte est

$$ \int_{\mathbb{R}} t \mathbf{1}_{[a,b]}(t) dt = \frac{a+b}{2} \qquad (F.6) $$
# Appendix G

## Différentes techniques pour représenter le module d'une réponse fréquentielle

Les simulations numériques permettent de visualiser rapidement le module de la réponse fréquentielle d'un filtre. Cela étant il peut être intéressant d'avoir quelques techniques permettant dans certains cas simples d'en obtenir aussi une allure.

$$ \text{G.1} \quad |\hat{H}(f)| = |1 + e^{j\alpha f}| $$

$$ \text{G.2} \quad |\hat{H}(f)| = |1 + e^{j\alpha f}| $$
# Appendix H

## Bibliographie

Dans le livre [?], les probabilités sont présentées dans l'annexe A. Le traitement du signal se trouve dans l'annexe B et dans les sections 2.3, 2.4.1 et 2.5 du chapitre 2. La psychoacoustique est présentée en section 2.2.3 du chapitre 2. Le traitement du son se trouve dans dans les sections 2.2, 2.4 et 2.5 du chapitre 2 et la section 12.3 du chapitre 12.

Dans le livre [?], le traitement du signal est présenté dans les chapitres 1 et 2. En particulier la synthèse des filtres est faite différemment. La psychoacoustique est présentée dans l'annexe C.

Dans le livre [?], le traitement du signal est présenté dans les chapitre 1, où se trouve aussi quelques notions sur le bruit rose. Le chapitre 5 présente les notions de psychoacoustiques.
Bibliography

[1] Federico Avanzini and Giovanni De Poli. *Fundamentals of digital audio processing*. Creative Commons, 2005.

[2] Francesco Camastra and Alessandro Vinciarelli. *Machine Learning for Audio, Image and Video Analysis: Theory and Applications (Advanced Information and Knowledge Processing)*. Springer-Verlag, first edition, 2008.

[3] David Rocchesso. *Introduction to Sound Processing*. Creative Commons, 2003.