<figure><img src="image_1.png" /></figure>

HAL
open science

# Modélisation de la propagation de fissures en découpage de tôle

Philippe Picart, Vincent Lemiale, Jérôme Chambert

► To cite this version:

Philippe Picart, Vincent Lemiale, Jérôme Chambert. Modélisation de la propagation de fissures en découpage de tôle. 17e Congrès Français de Mécanique, Aug 2005, Troyes, France. hal-00020708

HAL Id: hal-00020708

https://hal.science/hal-00020708v1

Submitted on 28 Apr 2023

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons CC BY 4.0 - Attribution - International License
# Modélisation de la propagation de fissures en découpage de tôle

Philippe Picart, Vincent Lemiale, Jérôme Chambert

Institut FEMTO-ST – UMR 6174
Département de Mécanique Appliquée (LMARC)
24, rue de l'Epitaphe, 25000 Besançon
jerome.chambert@univ-fcomte.fr

## Résumé :

L'objectif du travail présenté est de proposer un outil numérique efficace pour simuler le procédé de découpage et pour déterminer les caractéristiques géométriques et mécaniques d'une pièce découpée. Le critère de rupture de Freudenthal a été utilisé pour prédire l'amorçage de la fissure. Deux stratégies distinctes sont proposées pour simuler la propagation de fissure, premièrement une méthode d'élimination des éléments finis, et deuxièmement une méthode de séparation des éléments finis appelée approche de fissuration discrète. La capacité de ces deux méthodes de propagation à prédire un profil de rupture réaliste est analysée. Les courbes effort-déplacement du poinçon obtenues par ces deux méthodes de propagation de fissure sont comparées à des courbes expérimentales.

## Abstract :

The purpose of this paper is to propose an efficient numerical tool to simulate the blanking process and predict the geometric and mechanical characteristics of the blanked component. The local Freudenthal's fracture criterion is adopted here to predict crack initiation. A description of two different strategies to simulate the fracture propagation is proposed, first, a finite element elimination method and second, a finite element separation method, denoted discrete cracking approach. The ability of these methods to predict a realistic cut edge profile is analysed. The load-penetration punch curves obtained by both fracture propagation methods are compared to the experimental one.

## Mots clefs :

Découpage ; MEF ; Remaillage ; Propagation de fissure.

## 1 Introduction

Le procédé de découpage est très utilisé par les industries électronique et micro-mécanique pour produire en grande quantité des pièces de très faibles dimensions. Actuellement, la conception et la fabrication de ces composants reposent encore pour une bonne part sur le savoir-faire des opérateurs. Or les besoins industriels imposent de produire plus rapidement des pièces de plus en plus petites, constituées de matériaux variés possédant des propriétés mécaniques spécifiques avec un contrôle géométrique très précis. Dans la plupart des cas, l'approche empirique n'est plus suffisante.

Afin de prévenir les méthodes empiriques et de réduire les coûts de production, de nombreuses approches analytiques et numériques par éléments finis ont été développées par des scientifiques et des chercheurs pour modéliser le processus complet de découpage de tôle métallique. Dans cet article, l'accent est mis spécialement sur deux techniques d'initiation et de propagation de fissure développées dans un cadre de calculs par éléments finis : la méthode d'élimination des éléments [1,2] et l'approche de fissuration discrète [2,3].

La méthode d'élimination des éléments consiste à supprimer du maillage les éléments finis pour lesquels la valeur critique d'un critère local d'endommagement est atteinte. Dans le cadre de l'approche de fissuration discrète, la direction et l'intensité de la propagation de fissure sont obtenues par l'examen d'un
champ de rupture ou d'endommagement (obtenu à partir d'un critère de rupture ou d'endommagement, respectivement) à proximité de la pointe de fissure. Un nouveau nœud correspondant à la position réactualisée de la pointe de fissure est ajouté au contour du maillage et un remaillage complet est alors effectué.

Les deux méthodes de propagation de fissure ont été implémentées dans le code de calcul par éléments finis BLANKFORM développé au sein de notre laboratoire [2]. Dans cet article, les deux approches sont appliquées pour simuler un essai de découpage en utilisant un modèle par éléments finis 2D-axisymétrique et elles sont comparées à des résultats expérimentaux.

# 2 Modélisation de la fissuration

## 2.1 Critère de rupture

L'utilisation d'un critère de rupture est l'une des méthodes permettant de détecter le lieu d'amorçage d'une fissure. Des travaux de synthèse sur l'analyse de l'endommagement et de la rupture dans le découpage de tôle peuvent être trouvés dans les références [2,4]. Dans cet article, une approche non couplée est utilisée : une fonction critère représentative de l'état d'endommagement est introduite dans la modélisation sans que la dégradation progressive des propriétés mécaniques du matériau ne soit prise en compte. La méthode propagagtion de fissures proposée s'applique à tout modèle de comportement élasto-plastique ou élastoviscoplastique couplé à un endommagement ductile de type Lemaître ou Gurson. Le critère de rupture retenu est celui de Freudenthal :

$$D = \int_{0}^{\varepsilon_{eq}^{p}(t)} \sigma_{eq} d\varepsilon_{eq}^{p} \quad (1)$$

où $\sigma_{eq}$ représente la contrainte équivalente de von Mises et $\varepsilon_{eq}^p$ la déformation plastique équivalente.

Dès que la variable d'endommagement $D$ atteint une valeur critique $D_C$, une fissure est supposée s'amorcer. $D_C$ est un paramètre matériau qui peut être identifié par des méthodes directes ou inverses à partir de données expérimentales.

## 2.2 Méthode d'élimination des éléments

La méthode d'élimination des éléments consiste à enlever du maillage les éléments finis qui satisfont à une valeur critique de l'endommagement. Les éléments endommagés sont simplement supprimés et ils ne contribuent plus au calcul de la matrice globale de rigidité. La figure 1 montre les différentes configurations pour lesquelles des éléments endommagés peuvent être ou non éliminés. Cette méthode a été implémentée dans le code BLANKFORM [2] pour des éléments triangulaires sous les conditions suivantes :

* Seuls les éléments dont au moins un nœud appartient au contour de la pièce peuvent être éliminés. Par conséquent, les fissures ne peuvent s'amorcer que sur les bords de la tôle. Il est donc impossible d'enlever l'élément 5 sur la figure 1a,

* Si seulement un nœud de l'élément appartient au contour, alors ce nœud est dédoublé (en ajoutant un nœud supplémentaire sur le contour) et l'élément est ôté du maillage (voir l'élément 3 sur la figure 1c),

* Considérons le cas pour lequel deux ou trois nœuds de l'élément appartiennent au contour. Si ces nœuds sont consécutifs sur le contour, alors l'élément est supprimé (voir les éléments 1 et 4 sur les figures 1b et 1d, respectivement), sinon l'élément n'est pas retiré (voir l'élément 2 sur la figure 1a).

## 2.3 Approche de fissuration discrète

Cette méthode numérique, relativement proche de celle proposée dans [3], a été incorporée dans BLANKFORM en considérant les trois étapes suivantes :

1. Amorçage d'une fissure en utilisant un critère de rupture,
2. Propagation ou non de la fissure initiée,

3. Détermination du trajet de fissuration si propagation.

L'implémentation numérique doit respecter les restrictions suivantes :

* L'initiation d'une fissure n'est possible que sur le contour originel de la pièce,

* L'amorçage d'une nouvelle fissure n'est pas autorisé sur les lèvres d'une fissure existante,

* Le calcul est arrêté si la pièce est divisée en deux parties ou si la distance entre les deux pointes de fissure atteint une valeur seuil.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIG. 1 – *Description géométrique : (a, b, c, d) Méthode d'élimination des éléments ; (e, f) Approche de fissuration discrète*</figcaption></figure>

Les figures 1e et 1f illustrent la propagation d'une fissure existante. Le nœud O correspond à la pointe de fissure. Les nœuds A et B, situés sur le contour de la pièce, sont adjacents au nœud O. Le vecteur unitaire $\vec{u}$ représente la médiatrice des droites OA et OB. La direction de la propagation de fissure est définie par le vecteur unitaire $\vec{v}$. La propagation de fissure n'est possible qu'à l'intérieur d'un domaine circulaire d'angle $2\theta$ limité par les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$. Le paramètre L est la longueur prédéfinie d'accroissement de fissure. Si un point d'intégration de Gauss, situé dans le secteur circulaire, atteint la valeur $D_C$ alors la fissure se propage. Dans ce cas, pour chaque point de Gauss à l'intérieur du secteur circulaire, un vecteur unitaire donnant une direction « probable » de la pointe de fissure est défini. La direction « réelle » $\vec{v}$ de propagation de fissure est obtenue par une moyenne pondérée de chaque direction probable, d'une part en fonction de la distance entre le point de Gauss et la pointe de fissure, et d'autre part en fonction de la valeur du critère de rupture D au point de Gauss considéré. Un nouveau nœud P, correspondant à la pointe de fissure actualisée, est alors ajouté au maillage comme le montre la figure 1f. Le nœud O est ensuite divisé en deux nœuds afin d'ouvrir les lèvres de la fissure. Une fois les nouveaux nœuds créés, un remaillage complet est effectué ainsi qu'un incrément de rééquilibrage de la structure.

# 3 Découpage en condition axisymétrique

## 3.1 Logiciel de calcul par éléments finis

Les simulations numériques ont été effectuées en utilisant le code de calcul par éléments finis BLANKFORM. Ce logiciel est dédié à la simulation numérique du procédé de découpage 2D et axisymétrique avec un comportement thermo-élasto-viscoplastique en grandes déformations. La résolution globale du problème d'équilibre a été effectuée par un algorithme quasi-statique implicite, dans lequel le problème non linéaire est remplacé par un système d'équations linéaires résolu par une méthode de type Newton-Raphson [2].
## 3.2 Description du test

Les méthodes proposées d'amorçage et de propagation de fissure sont appliquées pour simuler un test de découpage axisymétrique et confrontées aux données expérimentales provenant de [5]. La géométrie et le maillage initial de la tôle sont présentés sur la figure 2a. Seulement une moitié du problème est étudiée à cause de la présence d'un axe de symétrie. Le poinçon se situe sur le côté gauche supérieur ; alors que la matrice et le serre flan sont sur le côté droit, respectivement inférieur et supérieur. La figure 2b représente un zoom de la zone de localisation de la déformation située entre les arêtes du poinçon et de la matrice.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIG. 2 – a) Géométrie des outils et maillage initial ; b) Agrandissement de la zone de cisaillement.</figcaption></figure>

Les principales caractéristiques géométriques du modèle sont résumées dans le tableau 1a. Pour les besoins de la simulation, les outils (la matrice, le poinçon et le serre flan) sont considérés comme des solides rigides indéformables et ils sont représentés uniquement par leurs contours (voir figure 2a). Dans les simulations proposées, le traitement du contact est effectué sur la base d'un glissement parfait entre la tôle et les outils. Le chargement est décomposé en incréments de déplacement du poinçon de 2,5 10⁻³ mm. Le maillage initial de la tôle est composé de 1342 éléments triangulaires à 6 nœuds et 6 points de Gauss. Ce choix de sur-intégration est dû au transport des champs mécaniques dans l'algorithme de remaillage. Une des étapes du remaillage consiste à transporter les champs calculés des points de Gauss aux nœuds. Afin d'éviter tout lissage des résultats, le nombre de points de Gauss a été choisi égal au nombre de nœuds [2]. Dans la zone affinée du maillage, la taille de maille de 0,075 mm est conservée tout au long du calcul. Le remaillage de la tôle est effectué périodiquement, tous les 3% de déplacement du poinçon. Pour l'approche de fissuration discrète, l'accroissement L de fissure a été choisi égal à 0,015 mm [2].

<table><thead><tr><th>Paramètre</th><th>Dimension (en mm)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Rayon poinçon, R<sub>p</sub></td><td>4</td></tr><tr><td>Rayon matrice, R<sub>m</sub></td><td>4,125</td></tr><tr><td>Rayon arête poinçon, r<sub>p</sub></td><td>0,225</td></tr><tr><td>Rayon arête matrice, r<sub>m</sub></td><td>0,15</td></tr><tr><td>Epaisseur tôle, e</td><td>2,5</td></tr><tr><td>Jeu poinçon-serre flan, J<sub>dp</sub></td><td>0,2</td></tr><tr><td>Rayon tôle, l</td><td>12</td></tr></tbody></table>

a)

<table><thead><tr><th>Paramètre</th><th>Valeur</th></tr></thead><tbody><tr><td>Module de Young, E</td><td>210000 MPa</td></tr><tr><td>Coefficient de Poisson, ν</td><td>0,29</td></tr><tr><td>Limite initiale d'élasticité, σ<sub>y</sub></td><td>150 MPa</td></tr><tr><td>Constante du matériau, k</td><td>448 MPa</td></tr><tr><td>Exposant d'écrouissage, n</td><td>0,406</td></tr></tbody></table>

b)

<caption>TAB. 1 – a) Caractéristiques géométriques du test de découpage axisymétrique ; b) Propriétés mécaniques de l'acier XES.</caption>

## 3.3 Comportement du matériau

Le matériau de la tôle est un acier de qualité XES dont les propriétés mécaniques sont données dans le tableau 1b. Sachant que les essais expérimentaux ont été réalisés avec une vitesse poinçon de 5 mm/min,
les effets thermiques et visqueux ont été négligés dans les simulations numériques. Le comportement du matériau considéré est élasto-plastique et la contrainte effective $\sigma_0$ suit la loi d'écrouissage suivante :

$$ \sigma_0 = \sigma_y + k (\varepsilon_{eq}^p)^n \quad (2) $$

La valeur critique à rupture $D_C$ du critère de Freudenthal a été identifiée numériquement de sorte que l'amorçage de fissure simulé par éléments finis corresponde au niveau de pénétration obtenu expérimentalement par [5], soit 76% de l'épaisseur. Une valeur de 1,36 a alors été obtenue pour $D_C$.

## 3.4 Résultats numériques

La figure 3a illustre le profil à rupture du contour déterminé par la méthode d'élimination des éléments pour une pénétration du poinçon de 89% de l'épaisseur. Le profil obtenu par l'approche de fissuration discrète est présenté sur la figure 3b pour une pénétration du poinçon de 82%. En comparant les figures 3a et 3b, nous constatons que le profil de la pièce découpée est simulé de manière plus précise par l'approche de fissuration discrète que par la méthode d'élimination des éléments. Cela peut s'expliquer par le fait que la méthode d'élimination est fortement dépendante du maillage (figure 3a).

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIG. 3 – Profils de découpe : a) Méthode d'élimination des éléments ; b) Approche de fissuration discrète.</figcaption></figure>

L'évolution du champ d'endommagement pendant la propagation de fissure est présentée sur la figure 4 en utilisant l'approche de fissuration discrète.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIG. 4 – Evolution de la variable d'endommagement D avec l'approche de fissuration discrète.</figcaption></figure>

On peut voir qu'une première fissure s'amorce au niveau de l'arête de la matrice pour une pénétration du poinçon de 76% (figure 4a), puis une seconde fissure apparaît près de l'arête du poinçon (figure 4b). Finalement, les deux fissures se propagent rapidement et de manière réaliste l'une vers l'autre (figures 4c et 4d). Il semble donc que les phases d'initiation et de propagation des fissures sont correctement simulées par l'approche de fissuration discrète.

La figure 5 présente les courbes effort-déplacement du poinçon expérimentale et numériques obtenues par les deux méthodes de propagation de fissure. La courbe effort-déplacement expérimentale est
correctement prédite par les deux modèles. On observe que les deux courbes obtenues par simulation numérique coïncident jusqu'à un déplacement de 1,8 mm. Puis, la chute de la résistance mécanique est simulée plus précisément par l'approche de fissuration discrète que par la méthode d'élimination des éléments. Les résultats peuvent être améliorés par une meilleure identification de la valeur critique d'endommagement $D_C$ [2]. La surévaluation de l'effort du poinçon peut être réduite en utilisant une approche couplée des équations constitutives qui prend en compte l'adoucissement des propriétés mécaniques dû à l'endommagement [2].

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIG. 5 – Comparaison des courbes d'effort-déplacement expérimentale et calculées par les méthodes de propagation de fissures.</figcaption></figure>

## 4 Conclusion

Un logiciel de calcul par éléments finis, appelé BLANKFORM, a été développé pour simuler le procédé de découpage de tôle. En utilisant un critère de rupture ou d'endommagement pour prédire l'initiation de fissure, des simulations numériques ont été menées pour tester deux méthodes de propagation de fissure : la méthode d'élimination des éléments et l'approche de fissuration discrète. Les résultats obtenus ont montré un assez bon accord avec les données expérimentales en termes de courbe effort-déplacement du poinçon. Cependant, l'approche de fissuration discrète fournit une meilleure prédiction du profil de la pièce découpée que la méthode d'élimination des éléments. La simulation numérique permet d'obtenir des informations intéressantes en termes de déformation plastique équivalente, de contraintes et d'endommagement permettant de caractériser les propriétés mécaniques de la pièce découpée [2].

## Remerciements

Les auteurs remercient la société AUGE Découpage pour sa collaboration et son soutien financier.

## Références

[1] E. Taupin, J. Breitling, W.T. Wu et T. Altan. Material fracture and burr formation in blanking results of FEM simulations and comparison with experiments. *J. Mater. Proc. Techn.*, 59:68-78, 1996.

[2] V. Lemiale. *Contribution à la modélisation et à la simulation numérique du découpage des métaux*. Thèse de Doctorat, Université de Franche-Comté, Besançon, 2004.

[3] D. Brokken. *Numerical modelling of ductile fracture in blanking*. PhD Thesis, Eindhoven University of Technology, The Netherlands, 1999.

[4] R. Hambli. *Etude expérimentale, numérique et théorique du découpage de tôles en vue de l'optimisation du procédé*, Thèse de Doctorat, ENSAM d'Angers, 1996.

[5] A. Maillard. *Etude expérimentale et théorique du découpage*, Thèse de Doctorat, Université de Technologie de Compiègne, 1991.