SPECTRE MAXIMAL D'UNE ALGÈBRE DE KRASNER

PAR

ALAIN ESCASSUT (TALENCE)

**Introduction.** Cet article a pour objet d'étudier les idéaux maximaux de codimension infinie d'une algèbre d'éléments analytiques au sens de Krasner. Soit un infraconnexe fermé borné $D$ d'un corps algébriquement clos ultramétrique complet $K$; en utilisant les résultats de [2] concernant la caractérisation des semi-normes multiplicatives continues de l'algèbre de Krasner $H(D)$ par des filtres circulaires de $D$, et grâce aux résultats de [8] montrant que tout idéal maximal de $H(D)$ définit au moins une semi-norme multiplicative continue, nous chercherons à associer à chaque idéal maximal de codimension infinie $\mathcal{M}$ un filtre circulaire particulier $\mathcal{F}$ tel que $\mathcal{M}$ soit l'idéal des éléments $f \in H(D)$ tels que

$$ \lim_{\mathcal{F}} f(x) = 0. $$

On retrouvera naturellement les problèmes classiques d'analycité et on utilisera fréquemment la notion de $T$-filtre [3].

Ce problème est en rapport avec celui évoqué par B. Guennebaud concernant l'existence de plusieurs valeurs absolues continues dans une extension $\Gamma$ de $K$ munie d'une structure de $K$-algèbre de Banach et nous tenterons de confirmer dans le cas des algèbres $H(D)$ sa conjecture selon laquelle si le corps résiduel de $K$ ou si le groupe des valeurs de $K$ est non dénombrable, alors $\Gamma$ n'admet qu'une seule valeur absolue continue.

# I. FILTRES CIRCULAIRES DISTINGUÉS

## 1. Rappels et notations.
Rappelons très brièvement quelques résultats et définitions de [1] et [2]. Dans tout cet article, on désignera par $K$ un corps algébriquement clos possédant une valeur absolue $|\cdot|$ ultramétrique pour laquelle il est complet, et par $k$ son corps résiduel.

Soit $D$ un fermé borné de $K$ et soit $K(D)$ la $K$-algèbre des fractions rationnelles $h(x) \in K(x)$, sans pôle dans $D$. Si $D$ est infini, on note $\|\cdot\|_D$ la norme de la convergence uniforme sur $D$ et on note $H(D)$ la $K$-algèbre
de Banach complétée de $K(D)$ pour cette norme. Les éléments de $H(D)$ sont appelés éléments analytiques au sens de Krasner sur D. Rappelons quelques propriétés élémentaires.

Pour tout point $a \in D$ l'idéal $\mathcal{I}(a)$ des éléments de $H(D)$ nuls au point $a$ est un idéal maximal de codimension 1 et, d'après le théorème IV.2 de [1] et le théorème I.3 de [4], il est clair que $\mathcal{I}(a)$ est engendré par le polynôme $x-a$ si $a \in \mathring{D}$ et que $\mathcal{I}(a)$ n'est pas de type fini si $a \in D - \mathring{D}$. Réciproquement, pour tout idéal maximal $\mathcal{M}$ de codimension 1 de $H(D)$, l'homomorphisme $\varphi$ de $H(D)$ sur $K$ tel que $\text{Ker}\varphi = \mathcal{M}$ est continu et si l'on note $a = \varphi(x)$ il est clair que $\varphi(f) = 0$ si et seulement si $f(a) = 0$, donc $\mathcal{M} = \mathcal{I}(a)$.

L'étude des idéaux maximaux de codimension infinie d'une telle algèbre $H(D)$ utilise les propriétés des semi-normes multiplicatives continues d'une $K$-algèbre normée.

Soit $A$ une $K$-algèbre normée dont la norme est notée $\|\cdot\|$. On notera $\text{Mult}(A, \|\cdot\|)$ l'ensemble des semi-normes multiplicatives de $A$ continues pour la norme $\|\cdot\|$.

Il est clair que l'ensemble $\text{Ker}\varphi$ des $x \in A$ tels que $\varphi(x) = 0$ ($\varphi \in \text{Mult}(A, \|\cdot\|)$) est un idéal premier. On notera $\text{Mult}_m(A, \|\cdot\|)$ l'ensemble des $\varphi \in \text{Mult}(A, \|\cdot\|)$ tels que $\text{Ker}\varphi$ soit un idéal maximal de $A$ et on notera $\text{Mult}_a(A, \|\cdot\|)$ l'ensemble des $\varphi \in \text{Mult}(A, \|\cdot\|)$ tels que $\text{Ker}\varphi$ soit un idéal maximal de codimension 1.

Le théorème 1 de [8] a pour conséquence la proposition I.1.

**PROPOSITION I.1.** *Pour tout idéal maximal *M* d'une *K*-algèbre de Banach *A*, le corps $\Gamma = A|\mathcal{M}$ muni de sa structure de *K*-algèbre de Banach quotient admet au moins une valeur absolue continue $|\cdot|$ et si $\Phi$ désigne la surjection canonique de *A* sur $\Gamma$, l'application $\varphi: x \to |\Phi(x)|$ est telle que $\text{Ker}\varphi = \mathcal{M}$.*

L'étude de $\text{Mult}(H(D), \|\cdot\|_D)$ (où $D$ est un fermé borné infini de $K$) a été faite dans [2] et [6]. Nous allons en rappeler les principaux résultats qui utilisent notamment la notion de filtre circulaire. Précisons d'abord quelques notations.

Soit $a \in K$ et $r \ge 0$. On notera $d(a, r)$ l'ensemble des $\xi \in K$ tels que $|\xi - a| \le r$, appelé disque circonférencié de centre $a$ de diamètre $r$. De même, l'ensemble $d^{-}(a, r)$ des $\xi \in K$ tels que $|\xi - a| < r$ est appelé disque non circonférencié de centre $a$ de diamètre $r$.

On notera $C(a, r)$ l'ensemble des $\xi \in K$ tels que $|\xi - a| = r$ (appelé cercle de centre $a$ de rayon $r$). Enfin soit $a \in K$ et soient $r_1, r_2 \in R$ tels que $0 \le r_1 \le r_2$. On notera $\Gamma(a, r_1, r_2)$ l'ensemble des $\xi \in K$ tels que $r_1 \le |\xi - a| \le r_2$.

D'autre part, on appellera *classe d'un disque circonférencié ou d'un cercle de diamètre* $r$ *tout disque non circonférencié de diamètre* $r$ *inclus dans ce disque ou ce cercle.*
Enfin, pour toute partie bornée $D$, de diamètre $R$, de $K$, on notera $\underline{D}$ le plus petit disque circonférencié contenant $D$, c'est-à-dire $d(a, R)$ pour $a \in D$.

On appelle filtre circulaire de $K$ un filtre de $K$ qui admet un système générateur de la forme $\Phi \cup \hat{\Phi}$ (que l'on nomme système générateur canonique), où $\Phi$ est une suite strictement décroissante de disques circonférenciers $d_n$ (où l'on note $r = \lim_{n \to \infty} \text{diam}(d_n)$) et où $\hat{\Phi}$ est la famille des couronnes $\Gamma(a, r_1, r_2)$ telles que

$$a \in \bigcap_{d \in \mathcal{F}} \underline{d} \quad \text{et} \quad r_1 < r < r_2$$

(en particulier, $\hat{\Phi}$ est la famille vide si $\bigcap_{d \in \mathcal{F}} \underline{d} = \emptyset$).

Le nombre $r$ est appelé diamètre de $\mathcal{F}$; on note $\Delta(\mathcal{F})$ l'ensemble $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} d_n$ et les points de $\Delta(\mathcal{F})$ sont appelés centres de $\mathcal{F}$. De plus, on dit qu'un filtre circulaire est large si son diamètre est positif (c'est-à-dire si ce n'est pas un filtre de Cauchy).

Enfin, pour tout filtre $\mathcal{F}$ dans $K$ sécant à une partie $D$ de $K$ (c'est-à-dire tel que $F \cap D \neq \emptyset$ pour tout $F \in \mathcal{F}$), on notera $\mathcal{F} \cap D$ le filtre induit par $\mathcal{F}$ sur $D$ (c'est-à-dire le filtre défini dans $D$ par les $F \cap D, F \in \mathcal{F}$).

Nous résumerons les résultats de [2] et [6] par le théorème I.1.

**THÉORÈME I.1.** Soit $D$ un fermé borné. Pour tout $\varphi \in \text{Mult}(H(D), \|\cdot\|_D)$ il existe un filtre circulaire unique $\mathcal{F}_\varphi$ sécant à $D$ tel que

$$\varphi(f) = \lim_{\mathcal{F}_{\varphi} \cap D} |f(x)|$$

et l'application $\varphi \to \mathcal{F}_\varphi$ est une bijection de $\text{Mult}(H(D), \|\cdot\|_D)$ sur l'ensemble des filtres circulaires de $K$ sécants à $D$.

De plus, $\varphi \in \text{Mult}_a(H(D), \|\cdot\|_D)$ si et seulement si $\mathcal{F}_\varphi$ est un filtre de Cauchy; alors, si $\varphi \in \text{Mult}_a(H(D), \|\cdot\|_D)$, $\mathcal{F}_\varphi \cap D$ est le filtre des voisinages d'un point $a \in D$ et l'on a $\varphi(f) = |f(a)|$ pour tout $f \in H(D)$.

Nous considérerons uniquement des filtres circulaires sécants à l'ensemble $D$ considéré et il est immédiat de voir que si deux filtres circulaires de $K$ ont une même intersection avec $D$, ils sont égaux. On nommera donc filtre circulaire de $D$ l'intersection avec $D$ d'un filtre circulaire de $K$ sécant à $D$ et on pourra confondre sans inconvénient tout filtre circulaire de $K$ sécant à $D$ avec son intersection avec $D$.

Alors, si $\mathcal{F}$ est un filtre circulaire de $D$, on notera $\Delta(\mathcal{F}, D)$ l'ensemble $\Delta(\mathcal{F}) \cap D$ (où l'on considère $\mathcal{F}$ comme filtre circulaire de $K$).

D'autre part, nous dirons ici qu'un filtre circulaire $\mathcal{F}$ est entouré par un filtre circulaire $\mathcal{G}$ si l'un des éléments de $\mathcal{F}$ est inclus dans $\Delta(\mathcal{G})$.

Enfin, on a défini dans [2] la notion de filtre monotone de $K$ que l'on peut résumer de la façon suivante: un filtre $\mathcal{G}$ de $K$ est décroissant
s'il admet un système générateur de la forme $\mathcal{F} \cap C\Delta(\mathcal{F})$, où $\mathcal{F}$ est un filtre circulaire large de $K$, et un filtre $\mathcal{G}$ est croissant s'il admet un système générateur de la forme $\mathcal{F} \cap d$, où $\mathcal{F}$ est un filtre circulaire et où $d$ est l'une des classes du disque $\Delta(\mathcal{F})$. Alors $d$ est le plus petit disque appartenant à $\mathcal{G}$.

Enfin, on appelle filtre monotone de $K$ un filtre croissant ou décroissant. Alors, il est clair qu'avec les notations ci-dessus, le filtre $\mathcal{F}$ servant à définir le filtre décroissant ou croissant $\mathcal{G}$ est le seul filtre circulaire sécant à $\mathcal{G}$. On l'appelle filtre circulaire associé à $\mathcal{G}$ et nous dirons ici qu'un filtre monotone $\mathcal{G}$ est entouré par un filtre circulaire $\mathcal{F}'$ si son filtre circulaire associé $\mathcal{F}$ est entouré par $\mathcal{F}'$. De même nous dirons que $\mathcal{F}'$ est entouré par $\mathcal{G}$ si $\mathcal{F}'$ est entouré par $\mathcal{F}$.

Alors, si $D$ est un fermé borné de $K$, on appelle filtre monotone de $D$, l'intersection avec $D$ d'un filtre monotone de $K$ sécant à $D$. D'autre part, si $\mathcal{G}$ est un filtre décroissant de $D$ et si $\mathcal{F}$ est son filtre circulaire associé, on appelle *plage de $\mathcal{G}$* l'ensemble

$$ \mathcal{P}(\mathcal{G}) = \Delta(\mathcal{F}, D); $$

si $\mathcal{G}$ est un filtre croissant de $D$, et si $\mathcal{F}$ est son filtre circulaire associé, on appelle *plage de $\mathcal{G}$* l'ensemble

$$ \mathcal{P}(\mathcal{G}) = (Cd) \cap D, $$

où $d$ est le plus petit disque appartenant à $\mathcal{G}$. Enfin, pour tout filtre monotone $\mathcal{F}$ de $D$, on appelle *chapeau de $\mathcal{F}$*, noté $\mathcal{C}(\mathcal{F})$, le complémentaire de $\mathcal{P}(\mathcal{F})$ dans $D$.

Rappelons qu'une partie $D$ de $K$ est dite *infraconnexe* si, pour tout $a \in D$, l'adhérence dans $\mathbb{R}$ de l'ensemble des $|x-a|$, $x \in D$, est un intervalle.

On a défini dans [2] une fonction $w_{\mathcal{F}}(f, \mu)$ associée à un filtre décroissant $\mathcal{F}$ sur un infraconnexe $D$, pour un élément analytique $f \in H(D)$ et un nombre réel $\mu$. Nous allons tenter de résumer cette définition.

Soit $D$ un infraconnexe fermé borné et soit $d(a, r)$ un disque circonférencié inclus dans $D$. Alors il existe un filtre circulaire unique $\mathcal{C}$ de $K$ tel que $\Delta(\mathcal{C}) = d(a, r)$ et on montre que $\mathcal{C}$ est sécant à $D$; notons $\varphi_{d(a,r)}$ la semi-norme multiplicative de $H(D)$ qu'il définit: on a donc, pour tout $f \in H(D)$,

$$ \varphi_{d(a,r)}(f) = \lim_{\substack{|x-a| \to r \\ |x-a| \neq r \\ x \in D}} |f(x)|. $$

On note

$$ v_a(f, \mu) = -\log \varphi_{d(a, \exp(\mu))}(f) \quad (\mu \in \mathbb{R}) $$

et on sait que la fonction de valuation $\mu \to v_a(f, \mu)$ (à valeurs dans $]-\infty, +\infty]$) est continue et, dans les intervalles où elle est bornée, elle est affine par morceaux [2] et [12].
Considérons maintenant un filtre décroissant $\mathcal{F}$ de $D$, de diamètre $R$ et soit $f \in H(D)$. On sait que $\mathcal{F}$ admet pour base une suite $D_n$ de la forme

$$[d(a_n, r_n) - \bigcap_{i=1}^{\infty} d(a_i, r_i)] \cap D,$$

où $d(a_n, r_n)$ est une suite décroissante de disques circonférenciés. Alors, pour $r \ge r_p$, on a $d(a_p, r) = d(a_n, r)$ pour tout $n \ge p$ et, par suite, si l'on considère $f \in H(D)$, la suite $n \to \varphi_{d(a_n,r)}(f)$ est constante pour $n \ge p$, de sorte que, pour tout $r \ge R$, la suite $n \to \varphi_{d(a_n,r)}(f)$ admet trivialment une limite.

Afin de pallier l'absence éventuelle de centre pour le filtre décroissant $\mathcal{F}$, on définit la fonction $\mu \to w_{\mathcal{F}}(f, \mu)$ dans l'intervalle $]-\infty, -\log R[$, à valeurs dans $]-\infty, +\infty]$, par

$$w_{\mathcal{F}}(f, \mu) = -\log \left( \lim_{n \to \infty} \varphi_{d(a_n, \exp(\mu))}(f) \right);$$

alors cette fonction est continue et, de plus, dans tout intervalle où elle est bornée, elle est affine par morceau [2].

D'autre part, il est clair que le filtre circulaire $\mathcal{C}$ associé à $\mathcal{F}$ définit une semi-norme $\varphi$ de $H(D)$ telle que

$$-\log \varphi(h) = w_{\mathcal{F}}(h, -\log R).$$

Nous dirons qu'un élément $f \in H(D)$ est annulé par un filtre $\mathcal{G}$ de $D$ si l'on a

$$\lim_{\mathcal{F}} f(x) = 0$$

et nous noterons $\mathcal{F}(\mathcal{G})$ l'idéal des $f \in H(D)$ tels que

$$\lim_{\mathcal{F}} f(x) = 0.$$

Maintenant, si $\mathcal{F}$ est un filtre décroissant de diamètre $R$, la propriété

$$\lim_{\mu \to -\log R} w_{\mathcal{F}}(f, \mu) = +\infty$$

implique $f \in \mathcal{F}(\mathcal{F})$. Nous dirons que $f$ est strictement annulé par un filtre décroissant $\mathcal{F}$ de diamètre $R$ si l'on a

$$\lim_{\mu \to -\log R} w_{\mathcal{F}}(f, \mu) = +\infty \quad \text{et} \quad w_{\mathcal{F}}(f, \mu) < +\infty \quad \text{pour tout} \quad \mu < -\log R.$$

De même, si $\mathcal{F}$ est un filtre croissant, de centre $a$, diamètre $R$, nous dirons que $f$ est strictement annulé par $\mathcal{F}$ si l'on a

$$\lim_{\mu \to -\log R} v_a(f, \mu) = +\infty \quad \text{et} \quad v_a(f, \mu) < +\infty \quad \text{pour tout} \quad \mu > -\log R.$$

Les filtres monotones $\mathcal{F}$ pour lesquels il existe un élément $f$ strictement annulé par $\mathcal{F}$ sont caractérisés à l'aide de la disposition et du diamètre des trous de $D$ et ils sont appelés T-filtres ([3], théorème I.6).
**2. Filtres circulaires distingués.** Nous allons caractériser les idéaux maximaux de codimension infinie par les filtres circulaires distingués que nous allons définir.

Nous dirons qu'un filtre circulaire $\mathcal{F}$ d'un infraconnexe $D$ est sous-distingué s'il possède les deux propriétés suivantes:

(i) $\Delta(\mathcal{F}, D)$ est vide ou bien admet une partition par une famille de chapeaux de $T$-filtres croissants.

(ii) Tout $T$-filtre décroissant de $\Delta(\mathcal{F}, D)$ est sécant à au moins un chapeau de $T$-filtre croissant de $\Delta(\mathcal{F}, D)$.

De plus, nous dirons qu'un filtre circulaire sous-distingué est distingué s'il possède la propriété (iii):

(iii) $\Delta(\mathcal{F}, D)$ est égal à $D$, ou bien à la plage d'un $T$-filtre décroissant de $D$.

**LEMME 1.1.** *Si $\mathcal{F}$ est un filtre circulaire distingué d'un infraconnexe fermé borné $D$, $\mathcal{I}(\mathcal{F})$ n'est inclus dans aucun idéal maximal de codimension 1.*

**Démonstration.** On a vu que tout idéal maximal de codimension 1 est de la forme $\mathcal{I}(a)$ (où $a \in D$). Or pour tout $a \in \Delta(\mathcal{F}, D)$ il existe un $T$-filtre $\mathcal{T}$ croissant de $\Delta(\mathcal{F}, D)$ de centre $a$ et il existe donc un élément $f \in H(D)$ strictement annulé par $\mathcal{T}$, tel que $f(a) \neq 0$, de sorte que $f \in \mathcal{I}(\mathcal{F})$ et $\mathcal{I}(\mathcal{F}) \notin \mathcal{I}(a)$. De même, pour tout $a \in D - \Delta(\mathcal{F}, D)$, grâce à la condition (iii), il existe un $T$-filtre décroissant $\mathcal{T}'$ entourant $\mathcal{F}$, tel que $f(a) \neq 0$ de sorte que $f \in \mathcal{I}(\mathcal{F})$ et $\mathcal{I}(\mathcal{F}) \notin \mathcal{I}(a)$.

**LEMME 1.2.** *Deux filtres circulaires distingués distincts définissent des idéaux incomparables.*

**Démonstration.** Soient $\mathcal{F}_1$ et $\mathcal{F}_2$ deux filtres circulaires distingués distincts. Supposons d'abord $\mathcal{F}_1$ entouré par $\mathcal{F}_2$. Alors $\Delta(\mathcal{F}_1, D) \neq D$, donc $\Delta(\mathcal{F}_2, D)$, qui contient strictement $\Delta(\mathcal{F}_1, D)$, admet au moins un $T$-filtre décroissant $\mathcal{T}$ non sécant à $\Delta(\mathcal{F}_1, D)$ et $\mathcal{T}$ est donc sécant à un chapeau de $T$-filtre croissant $\mathcal{S}$ de $\Delta(\mathcal{F}_2, D)$. Alors il existe un élément $f \in H(D)$ strictement annulé par $\mathcal{S}$, et non annulé par $\mathcal{T}$, de sorte que $f \notin \mathcal{I}(\mathcal{F}_1)$ et $f \in \mathcal{I}(\mathcal{F}_2)$ et il existe $g \in H(D)$, strictement annulé par $\mathcal{T}$, et non annulé par $\mathcal{I}$, de sorte que $g \notin \mathcal{I}(\mathcal{F}_2)$ et $g \in \mathcal{I}(\mathcal{F}_1)$, ce qui prouve que $\mathcal{I}(\mathcal{F}_1)$ et $\mathcal{I}(\mathcal{F}_2)$ sont incomparables.

**LEMME 1.3.** *Soient $\mathcal{F}$ et $\mathcal{G}$ deux filtres circulaires de diamètres $R$ et $S$ d'un infraconnexe fermé borné $D$ tels que $\mathcal{G}$ entoure $\mathcal{F}$. Alors on a $\mathcal{I}(\mathcal{F}) \supseteq \mathcal{I}(\mathcal{G})$ (respectivement $\mathcal{I}(\mathcal{F}) \subsetneq \mathcal{I}(\mathcal{G})$) si et seulement si $\mathcal{F}$ n'est entouré par aucun $T$-filtre croissant de diamètre $r \in ]R, S]$ (respectivement décroissant de diamètre $r \in [R, S[$).*

**Démonstration.** Soit $\mathcal{T}$ un $T$-filtre croissant entourant $\mathcal{F}$ et de diamètre $r \in ]R, S]$; il existe des éléments $f \in H(D)$ strictement annulés par $\mathcal{T}$, donc annulés par $\mathcal{G}$ et non annulés par $(\mathcal{F})$ de sorte que $\mathcal{I}(\mathcal{F}) \neq \mathcal{I}(\mathcal{G})$. Réciproquement, si $\mathcal{F}$ n'est entouré par aucun $T$-filtre croissant de dia-
mètre $r \in ]R, S]$, la relation

$$w_{\mathcal{F}}(f, -\log \mathcal{S}) = +\infty$$

implique

$$w_{\mathcal{F}}(f, \mu) = +\infty \quad \text{pour tout } \mu \in [-\log \mathcal{S}, -\log R[$}$

d'où $w_{\mathcal{F}}(f, -\log R) = +\infty$ et $\mathcal{I}(\mathcal{G}) \subset \mathcal{I}(\mathcal{F})$. De même, si $\mathcal{F}$ est un $T$-filtre décroissant entourant $\mathcal{F}$, de diamètre $r \in [R, S[$, il existe un élément $f \in H(D)$ strictement annulé par $\mathcal{F}$ et donc annulé par $\mathcal{F}$, mais non par $\mathcal{G}$, de sorte que $\mathcal{I}(\mathcal{F}) \notin \mathcal{I}(\mathcal{G})$, et si $\mathcal{F}$ n'est entouré par aucun $T$-filtre décroissant de diamètre $r \in [R, S[$, alors $\mathcal{I}(\mathcal{F}) \subset \mathcal{I}(\mathcal{G})$; le lemme I.3 est donc établi.

**Définitions.** Soit $D$ un infraconnexe. Nous dirons qu'une suite $\mathcal{G}_n$ de filtres croissants (respectivement décroissants) est *ascendante* si la suite $\mathcal{C}(\mathcal{G}_n)$ est croissante et nous appellerons diamètre de la suite $\mathcal{G}_n$ la limite de la suite $\text{diam}(\mathcal{G}_n)$.

Nous appellerons sommet d'une suite ascendante $\mathcal{G}_n$ le filtre des parties de $D$ de la forme $\bigcup_{n \ge q} A_n$, $A_n \in \mathcal{G}_n$, $q \in N$.

Remarque. Si $\mathcal{G}_n$ est une suite ascendante de filtres croissants et si son diamètre est $R < +\infty$, il est clair que pour tout $a \in \mathcal{C}(\mathcal{G}_n)$ ($n \in N$) le sommet de la suite $\mathcal{G}_n$ est le filtre croissant de centre $a$ et de diamètre $R$.

Si $\mathcal{G}_n$ est une suite ascendante de filtres décroissants, si son diamètre est $R > 0$, et si

$$\bigcap_{n \in N} \mathcal{P}(\mathcal{G}_n) \neq \emptyset,$$

il est clair que pour tout $a \in \bigcap_{n \in N} \mathcal{P}(\mathcal{G}_n)$ le sommet de la suite $\mathcal{G}_n$ est le filtre décroissant de centre $a$ et de diamètre $R$.

**Définition.** Nous appellerons *centre* d'une suite ascendante tout centre de son sommet.

**THÉORÈME I.2.** *Le sommet d'une suite ascendante de $T$-filtres est un $T$-filtre.*

**Démonstration.** Considérons par exemple une suite ascendante de $T$-filtres décroissants $\mathcal{T}_n$ de diamètres respectifs $r_n$ et soit $R$ le diamètre de la suite.

Pour tout entier $n$, considérons suivant les notations habituelles [3] une suite caractéristique du $T$-filtre $\mathcal{T}_n$: $(d_m^n, \gamma_m^n, q_m^n)_{m \in N}$. Alors il existe un rang $M_n$ tel que $d_{M_n}^n < r_n$ et, par hypothèse, on a

$$\lim_{m \to \infty} \gamma_m^n \prod_{j=M_n}^{m-1} \left( \frac{d_m^n}{d_j^n} \right)^{q_j^n} = 0.$$
Alors, pour tout $n \in \mathbb{N}$, soit

$$S_n = \sup_{m \ge M_n} \gamma_m^n \prod_{j=M_n}^{m-1} \left( \frac{d_m^n}{d_j^n} \right)^{q_j^n}$$

et soit $N_n$ tel que

$$\prod_{j=M_n}^{N_n} \left( \frac{r_n}{d_j^n} \right)^{q_j^n} < \frac{1}{nS_n}.$$

Considérons maintenant la suite $(d_m, \gamma_m, q_m)$ définie lorsque

$$\sum_{i=1}^{n} N_i - M_i < m \le \sum_{i=1}^{n+1} N_i - M_i$$

par

$$(d_m, \gamma_m, q_m) = (d_{\sigma(m)}^n, \gamma_{\sigma(m)}^n, q_{\sigma(m)}^n), \quad \text{où } \sigma(m) = m - \sum_{i=1}^n (N_i - M_i).$$

Alors il est immédiat de voir que cette suite $(d_m, \gamma_m, q_m)$ satisfait

$$\lim_{m \to \infty} \gamma_m \prod_{j=1}^{m-1} \left( \frac{d_m}{d_j} \right)^{q_j} = 0$$

et comme par hypothèse on a $\lim_{n \to \infty} d_n = R$, on voit que le sommet de la suite $\mathscr{G}'_n$ est un $T$-filtre. Il est clair qu'une démonstration symétrique prouve le résultat analogue lorsque les filtres $\mathscr{T}_n$ sont croissants.

**COROLLAIRE I.1.** Soit $D$ un infraconnexe borné admettant un recouvrement par une famille de chapeaux de $T$-filtres croissants $\mathscr{C}(\mathscr{T}_i)_{i \in I}$; alors $D$ admet une partition par une famille de chapeaux de $T$-filtres.

**Démonstration.** Pour tout $a \in D$, soit $r(a)$ la borne supérieure des diamètres de $T$-filtre $\mathscr{T}_i$ ($i \notin I$) tels que $a \in \mathscr{C}(\mathscr{T}_i)$. Alors, d'après le théorème I.2, le filtre croissant de centre $a$, de diamètre $r$ est un $T$-filtre que l'on notera $\mathscr{T}_a$ et il est immédiat de voir que la famille $\mathscr{C}(\mathscr{T}_a)_{a \in D}$ constitue une partition de $D$ car si $b \notin \mathscr{C}(\mathscr{T}_a)$, alors $\mathscr{T}_a$ et $\mathscr{T}_b$ sont complémentaires [4] donc

$$\mathscr{C}(\mathscr{T}_a) \cap \mathscr{C}(\mathscr{T}_b) = \emptyset.$$

**Définition.** Soit $\mathscr{F}$ un filtre circulaire distingué d'un infraconnexe $D$ et pour tout $a \in \Delta(\mathscr{F}, D)$ soit $\mathscr{T}_a$ le $T$-filtre croissant de centre $a$ et de plus grand diamètre. Nous appellerons partition canonique de $\Delta(\mathscr{F}, D)$ la famille $(\mathscr{T}_a)_{a \in \Delta(\mathscr{F}, D)}$.

**THÉORÈME I.3.** Si $\mathscr{F}$ est un filtre circulaire distingué d'un infraconnèxe $D$, on a $\mathscr{I}(\mathscr{T}_a) = \mathscr{I}(\mathscr{F})$ pour tout $a \in \Delta(\mathscr{F}, D)$.

**Démonstration.** Par hypothèse, d'après la condition (ii), pour tout $a \in \Delta(\mathscr{F}, D)$ et pour tout $T$-filtre décroissant $\tau$ de $\Delta(\mathscr{F}, D)$, $\tau$ est
sécant à $\mathscr{C}(\mathcal{T}_a)$ de sorte que le filtre circulaire $\mathscr{G}$ associé à $\mathcal{T}_a$ n'est entouré par aucun $T$-filtre décroissant de diamètre $r \in [\mathrm{diam}(\mathscr{G}), \mathrm{diam}(\mathscr{F})[$. De même puisque $\mathcal{T}_a$ est le $T$-filtre de plus grand diamètre, de $\Delta(\mathscr{F}, D)$ qui ait pour centre $a$, alors $\mathscr{G}$ n'est entouré par aucun $T$-filtre croissant de centre $a$, de diamètre $r \in ]\mathrm{diam}(\mathscr{G}), \mathrm{diam}(\mathscr{F})]$ de sorte que finalement $\mathscr{I}(\mathscr{F}) = \mathscr{I}(\mathscr{G});$ or $\mathscr{I}(\mathscr{G}) = \mathscr{I}(\mathcal{T}_a)$.

## II. CARACTÉRISATION DES IDÉAUX MAXIMAUX ET PROBLÈMES D'UNICITÉ

**1. Caractérisation.** Nous noûs proposons maintenant de caractériser les idéaux maximaux par les filtres circulaires distingués.

**LEMME II.1.** *Soit $\mathcal{F}$ un filtre circulaire d'un infraconnexe fermé borné $D$ tel que $\mathcal{I}(\mathcal{F})$ soit un idéal maximal de codimension $\infty$. Alors $\mathcal{F}$ est sous-distingué et il existe un filtre circulaire distingué $\mathscr{G}$ qui entoure $\mathcal{F}$ tel que $\mathcal{I}(\mathcal{F}) = \mathcal{I}(\mathscr{G})$.*

**Démonstration.** Nous allons montrer que $\mathcal{F}$ satisfait nécessairement (i) et (ii). En effet, pour tout $a \in \Delta(\mathcal{F}, D)$ il existe $f \in \mathcal{I}(\mathcal{F})$ tel que $f(a) \neq 0$; mais on a évidemment $v_a(f, -\log R) = +\infty$; soit $\mu_a$ le plus grand des nombres $\mu$ tels que $v_a(f, \mu) = +\infty$. Alors $f$ est strictement annulé par un $T$-filtre croissant $\mathcal{T}_a$ de centre $a$, de diamètre $\exp(-\mu_a) \le r$, de sorte que $\Delta(\mathcal{F}, D) \supset \mathcal{C}(\mathcal{T}_a)$. Or, par définition,

$$ \bigcup_{a \in \Delta(\mathcal{F}, D)} \mathcal{C}(\mathcal{T}_a) \supset \Delta(\mathcal{F}, D), $$

donc la condition (i) est satisfaite d'après le corollaire I.1.

Supposons maintenant que la condition (ii) ne soit pas satisfaite. Alors $\Delta(\mathcal{F}, D) \neq \emptyset$ et il existe un $T$-filtre décroissant $\mathcal{T}$ de $\Delta(\mathcal{F}, D)$, de diamètre $r$, qui n'est sécant à aucun chapeau de $T$-filtre croissant de $\Delta(\mathcal{F}, D)$. Alors, pour tout $f \in \mathcal{I}(\mathcal{F})$, on a $f \in \mathcal{I}(\mathcal{T})$ car $w_\mathcal{F}(f, -\log R) = +\infty$, donc

$$ w_\mathcal{F}(f, \mu) = +\infty \quad \text{pour tout } \mu \in [-\log R, -\log r] $$

puisque $\mathcal{T}$ n'est sécant à aucun chapeau de $T$-filtre croissant. Donc $\mathcal{I}(\mathcal{F}) \subset \mathcal{I}(\mathcal{T})$. Or puisque $\mathcal{T}$ est entouré par $\mathcal{F}$, il est clair que tout élément $f \in \mathcal{H}(D)$, strictement annulé par $\mathcal{T}$ n'appartient pas à $\mathcal{I}(\mathcal{F})$ ce qui contredit le fait que $\mathcal{I}(\mathcal{F})$ soit maximal. Donc la condition (ii) est satisfaite et $\mathcal{F}$ est sous-distingué.

Supposons maintenant que $\mathcal{F}$ ne soit pas distingué; alors il ne satis-fait pas la condition (iii). Supposons d'abord que $\mathcal{F}$ ne soit entouré par aucun $T$-filtre décroissant et soit $R'$ le diamètre de $D$. Soit $\mathscr{G}'$ le filtre circulaire de $D$ de diamètre $R'$, qui entoure $\mathcal{F}$. Alors on a $\mathcal{I}(\mathcal{F}) \subset \mathcal{I}(\mathscr{G}')$
d'après le lemme I.3, donc $\mathcal{I}(\mathcal{F}) = \mathcal{I}(\mathcal{G}')$ puisque $\mathcal{I}(\mathcal{F})$ est un idéal maximal. Supposons enfin qu'il existe des $T$-filtres décroissants qui entourent $\mathcal{F}$ et soit $R''$ la borne inférieure de l'ensemble de leurs diamètres. Alors, d'après le théorème I.2, $\mathcal{F}$ est entouré par un $T$-filtre de diamètre $R''$. Le filtre circulaire $\mathcal{G}''$ de diamètre $R''$ qui entoure $\mathcal{F}$ est tel que $\mathcal{I}(\mathcal{F}) = \mathcal{I}(\mathcal{G}'')$ (toujours grâce au lemme I.2) et le filtre $\mathcal{G} = \mathcal{G}'$ ou $\mathcal{G}''$ que nous avons fait apparaître est sous-distingué, puisque $\mathcal{I}(\mathcal{G})$ est maximal et il est clair que $\mathcal{G}$ satisfait la condition (iii), ce qui achève la démonstration du lemme II.1.

**PROPOSITION II.1.** Soit $\mathcal{F}$ un filtre circulaire distingué d'un infracon-
nexe fermé borné $D$. Alors $\mathcal{I}(\mathcal{F})$ est un idéal maximal de codimension infinie
de $H(D)$.

Démonstration. Soit $\mathcal{M}$ un idéal maximal contenant $\mathcal{I}(\mathcal{F})$. Alors $\mathcal{M}$ est de codimension infinie car sinon $\mathcal{M}$ serait de la forme $\mathcal{I}(a)$ (où $a \in D$) et on aurait donc $f(a) = 0$ pour tout $f \in \mathcal{I}(\mathcal{F})$, ce qui contredit le fait que $\mathcal{F}$ soit distingué. Alors, d'après le lemme II.1, $\mathcal{M}$ est de la forme $\mathcal{I}(\mathcal{G})$ où $\mathcal{G}$ est un filtre circulaire distingué. Mais, d'après le lemme I.2, on a $\mathcal{G} = \mathcal{F}$.

**THÉORÈME II.1.** *L'application $\mathcal{I}$ induit une bijection de l'ensemble des filtres circulaires distingués sur l'ensemble des idéaux maximaux de codimension $\infty$.*

Démonstration. Grâce au lemme I.2 et à la proposition II.1, il est clair que $\mathcal{I}$ induit une injection de l'ensemble des filtres circulaires distingués dans l'ensemble des idéaux maximaux de codimension $\infty$. Mais, grâce à la proposition II.1 et au lemme II.1, tout idéal maximal de codimension $\infty$ de $H(D)$ est de la forme $\mathcal{I}(\mathcal{F})$ où $\mathcal{F}$ est un filtre circulaire distingué, ce qui prouve le théorème.

**COROLLAIRE II.1.** *Un idéal maximal d'une algèbre de Banach $H(D)$ sans idempotent différent de 0 et 1 est*

ou bien principal, de codimension 1, de la forme $\mathcal{I}(a) = (x-a)H(D)$ où $a \in \mathring{D}$;

ou bien de type infini, de codimension 1, de la forme $\mathcal{I}(a)$ où $a \in D - \mathring{D}$;

ou bien de type et codimension infinis, de la forme $\mathcal{I}(\mathcal{F})$ où $\mathcal{F}$ est un
filtre circulaire distingué.

**2. Filtres distingués réguliers.** Nous allons chercher maintenant à quelle
condition on peut avoir un filtre sous-distingué $\mathcal{G}$ et un filtre distingué $\mathcal{F}$
tels que $\mathcal{I}(\mathcal{F}) = \mathcal{I}(\mathcal{G})$.

**PROPOSITION II.2.** *Soit $\mathcal{G}$ un filtre circulaire distingué de diamètre $S$ et soit $\mathcal{F}$ un filtre circulaire sous-distingué de diamètre $R$ tel que $\mathcal{I}(\mathcal{F}) = \mathcal{I}(\mathcal{G})$. Alors $\mathcal{G}$ entoure $\mathcal{F}$ et, pour tout $a \in D$ tel que $w_{\mathcal{F}}(a) \in [-\log S, -\log R]$, $a$ est centre d'un $T$-filtre croissant de diamètre $\rho \le p^{-w_{\mathcal{F}}(a)}$.*
**Démonstration.** Il est immédiat de voir que $\mathscr{G}$ entoure $\mathscr{F}$ car $\mathscr{F}$ est entouré par un filtre circulaire distingué $\mathscr{G}'$ tel que $\mathscr{I}(\mathscr{G}') = \mathscr{I}(\mathscr{F}) = \mathscr{I}(\mathscr{G})$. Or $\mathscr{I}(\mathscr{G}) = \mathscr{I}(\mathscr{G}')$ implique $\mathscr{G} = \mathscr{G}'$ d'après le lemme I.2. D'autre part, puisque $\mathscr{G}$ est distingué, pour tout $a \in \Delta(\mathscr{G}, D)$, $a$ est centre d'un $T$-filtre croissant $\mathscr{T}$ de diamètre $\varrho \le S$. Mais puisque $\mathscr{T}$ n'entoure pas $\mathscr{F}$, on a $-\log \varrho \ge w_{\mathscr{F}}(a)$, ce qui prouve la proposition II.2.

**Définition.** Nous dirons qu'un filtre circulaire distingué $\mathscr{G}$ d'un infraconnexe fermé borné $D$ est régulier si $D$ n'admet pas de filtre circulaire sous-distingué $\mathscr{F}$, différent de $\mathscr{G}$, tel que $\mathscr{I}(\mathscr{F}) = \mathscr{I}(\mathscr{G})$. Si $\mathscr{G}$ n'est pas régulier, nous dirons que $\mathscr{G}$ est irrégulier.

**Définition.** Nous dirons que la partition canonique $\mathscr{C}(\mathcal{T}_a)_{a \in \Delta(\mathscr{F}, D)}$ d'un filtre circulaire distingué est contigue si pour tout $a \in \Delta(\mathscr{F}, D)$ on a $\mathrm{diam}(\mathcal{T}_a) = \mathrm{diam}(\mathscr{F})$.

**THÉORÈME II.2.** *Un filtre circulaire distingué $\mathscr{F}$ est régulier si et seulement si $\Delta(\mathscr{F}, D)$ est vide ou bien admet une partition canonique contigue.*

**Démonstration.** Il est évident que si $\Delta(\mathscr{F}, D) = \emptyset$ alors $\mathscr{F}$ est régulier. De même, il est facile de voir que si $\Delta(\mathscr{F}, D)$ admet une partition canonique contigue, alors $\mathscr{F}$ est régulier. En effet, si $\mathscr{G}$ est un filtre circulaire sous-distingué tel que $\mathscr{I}(\mathscr{G}) = \mathscr{I}(\mathscr{F})$, on sait que $\mathscr{G}$ est sécant à $\Delta(\mathscr{F}, D)$ de sorte que l'un des filtres $\mathcal{T}_a$ entoure $\mathscr{G}$ et l'on a donc $\mathscr{I}(\mathscr{G}) \subset \mathscr{I}(\mathcal{T}_a)$. Mais par hypothèse $\mathscr{I}(\mathcal{T}_a) = \mathscr{I}(\mathscr{F}) = \mathscr{I}(\mathscr{G})$ et comme $\mathcal{T}_a$ est un $T$-filtre croissant, la relation $\mathscr{I}(\mathcal{T}_a) = \mathscr{I}(\mathscr{G})$ implique évidemment que $\mathscr{G}$ soit le filtre circulaire associé à $\mathcal{T}_a$, donc $\mathscr{G} = \mathscr{F}$.

Supposons maintenant que la partition canonique de $\Delta(\mathscr{F}, D)$ ne soit pas contigue. Alors il existe $a \in \Delta(\mathscr{F}, D)$ tel que $\mathrm{diam}(\mathcal{T}_a) < \mathrm{diam}(\mathscr{F})$ et le filtre circulaire de centre $a$ de diamètre $r = \mathrm{diam}(\mathcal{T}_a)$ est évidemment sous-distingué et distinct de $\mathscr{F}$. Mais d'après le théorème I.3 on a $\mathscr{I}(\mathcal{T}_a) = \mathscr{I}(\mathscr{F})$ et comme $\mathscr{I}(\mathcal{T}_a) = \mathscr{I}(\mathscr{G})$, on a donc $\mathscr{I}(\mathscr{G}) = \mathscr{I}(\mathscr{F})$, ce qui montre que $\mathscr{F}$ est irrégulier.

Le problème de l'existence de filtre circulaire irrégulier est assez délicat. Or ce problème est lié à un autre problème soulevé par B. Guennebaud :

Soit $(A, \|\cdot\|)$ une $K$-algèbre de Banach et soit $\mathcal{M}$ un idéal maximal de codimension infinie; le corps $\Gamma = A/\mathcal{M}$ peut-il être muni de plusieurs valeurs absolues continues pour la norme de $K$-algèbre de Banach de $\Gamma$ quotient de celle de $A$ ? Si l'on note $\Phi$ la surjection canonique de $A$ sur $\Gamma$, il est clair que l'ensemble des valeurs absolues continues $w$ du corps normé $\Gamma$ est en bijection avec l'ensemble des $f \in \mathrm{Mult}(A, \|\cdot\|)$ tels que $\mathrm{Ker}(f) = \mathcal{M}$ par l'application $w \to f_w$ telle que $f_w(x) = w(\Phi(x))$ et l'on est donc ramené, par l'intermédiaire des $f_w$, à rechercher deux filtres circulaires distincts $\mathcal{F}_1$ et $\mathcal{F}_2$ tels que $\mathscr{I}(\mathcal{F}_1) = \mathscr{I}(\mathcal{F}_2) = \mathcal{M}$.
Si $\mathcal{G}$ est un filtre circulaire irrégulier, alors il existe en effet des filtres circulaires sous-distingués $\mathcal{F} \neq \mathcal{G}$ tels que $\mathcal{I}(\mathcal{F}) = \mathcal{I}(\mathcal{G})$ et réciproquement, si $\mathcal{I}(\mathcal{F}_1) = \mathcal{I}(\mathcal{F}_2) = \mathcal{M}$ alors, d'après le lemme I.2 et la proposition II.1, $\mathcal{F}_1$ et $\mathcal{F}_2$ sont entourés par un même filtre circulaire distingué $\mathcal{G}$ tel que

$$ \mathcal{I}(\mathcal{G}) = \mathcal{I}(\mathcal{F}_1) = \mathcal{I}(\mathcal{F}_2) = \mathcal{M} $$

et comme $\mathcal{F}_1 \neq \mathcal{F}_2$ on a au moins $\mathcal{F}_1$ ou $\mathcal{F}_2 \neq \mathcal{G}$, ce qui prouve que $\mathcal{G}$ est irrégulier.

On voit donc que le problème posé par B. Guennebaud, lorsqu'il est restreint à l'étude des algèbres de Krasner, se ramène à celui de l'existence de filtres circulaires distingués irréguliers.

Nous allons résoudre ce problème grâce au théorème II.3.

**THÉORÈME II.3.** Si $|K|$ ou si $k$ est non dénombrable, tout filtre circulaire distingué d'un infraconnexe fermé borné de $K$ est régulier. Si $|K|$ et $k$ sont dénombrables, il existe des infraconnexes fermés bornés admettant des filtres circulaires distingués irréguliers.

**Démonstration.** Supposons qu'un infraconnexe $D$ admette un filtre circulaire distingué irrégulier $\mathcal{G}$, de diamètre $R$. Alors $\Delta(\mathcal{G}, D)$ admet une partition non triviale par une famille de chapeaux de $T$-filtres croissants et, d'après le théorème I.2, il existe un point $O \in \Delta(\mathcal{G}, D)$ (que nous prendrons pour origine) et un nombre $R' < R$ qui majore tous les diamètres des $T$-filtres croissants de $\Delta(\mathcal{G}, D)$ centrés en $O$, et tel que pour tout $r$ appartenant à l'ensemble $J = [R', R] \cap |K|$, toute classe $\Gamma$ du cercle $C(r) = \{x \in K, |x| = r\}$ contienne au moins un trou de $D$. Nous allons montrer que si $|K|$ ou $k$ est non dénombrable, alors $D$ admet un $T$-filtre croissant de centre $O$, de diamètre $R$, ce qui contredit l'existence de $R'$.

Supposons d'abord $k$ non dénombrable et montrons que $\Delta(\mathcal{G}, D)$ admet un $T$-filtre croissant de centre $O$, de diamètre $R$.

Pour cela, remarquons que, pour tout $r \in J$, il existe un nombre $\varrho(r) > 0$ et une suite $\Gamma_n(r)$ de classes de $C(r)$ contenant chacune au moins un trou de $D$, $T_n(r)$ de diamètre au moins égal à $\varrho(r)$. En effet, sinon, l'ensemble des classes percées de $C(r)$ serait dénombrable, car si l'on considère une famille $\Phi$ de nombres positifs, non dénombrable, alors il existe $\delta > 0$ et il existe une sous-famille $\Phi'$, non dénombrable de $\Phi$, telle que $x \ge \delta$ pour tout $x \in \Phi'_j$ or l'ensemble des classes percées n'est pas dénombrable puisque toute classe est percée et que $k$ n'est pas dénombrable. Nous allons construire le $T$-filtre croissant cherché de la façon suivante. Soit $d_n$ une suite croissante de $J$ telle que

$$ \lim_{n \to \infty} d_m = R $$
et soit $C_m = C(d_m)$ et $\varrho_m = \varrho(d_m)$. Pour tout $m \ge 2$, soit $q_{m-1}$ tel que

$$ \left( \frac{d_{m-1}}{d_m} \right)^{q_{m-1}} \frac{d_m}{\varrho_m} < \frac{1}{m}. $$

Alors il est clair que

$$ \frac{d_m}{\varrho_m} \prod_{j=1}^{m-1} \left( \frac{d_j}{d_m} \right)^{q_j} < \frac{1}{m} $$

quel que soit $m \ge 2$.

Considérons maintenant $q_m$ classes $\Gamma_1, \dots, \Gamma_{q_m}$ de $C_m$ contenant chacune au moins un trou de $D$ de diamètre supérieur ou égal à $\varrho_m$. Alors, on a trivalement

$$ \gamma_D(\Gamma_i, 1) \le \frac{d_m}{\varrho_m}. $$

Soit

$$ \gamma_m = \inf_{1 \le i \le q_m} \gamma(\Gamma_i, D, 1). $$

Il est clair que la suite $(C_m, d_m, q_m, \gamma_m)$ est une suite caractéristique d'un $T$-filtre croissant de $D$ dont le diamètre est $R$ (voir [3]). La démonstration est donc achevée pour $k$ non dénombrable.

Supposons maintenant que $|K|$ est non dénombrable. Soit $r_n$ une suite croissante de $J$ telle que

$$ \lim_{n \to \infty} r_n = R $$

et soit $r'_n$ une suite croissante de $J$ telle que $r_{n-1} < r'_n < r_n$, quel que soit $n$. Puisque $|K|$ est non dénombrable, $J \cap [r_{n-1}, r'_n]$ est non dénombrable et il existe une suite de nombres $\varrho_n > 0$ et, pour tout $n$ fixé, il existe une suite $j \to (\xi_j^n)$ de $J$ telle que $r_{n-1} < \xi_j^n < r'_n$ quel que soit $j$ et telle que le cercle $C(\xi_j^n)$ contienne au moins un trou $T_j^m$ de $D$ de diamètre supérieur ou égal à $\varrho_n$. Alors, pour tout $n$ fixé, choisissons une classe $\Gamma_j^m$ du cercle $C(\xi_j^n)$ telle que $\Gamma_j^m$ contienne un trou $T_j^m$ de diamètre au moins égal à $\varrho_n$. Alors, par hypothèse, on a $\gamma_D(\Gamma_j^m, 1) \le R/\varrho_n$ pour tout $j \in N$, et pour tout $n \in N$.

Définissons une suite $d_m$ de la façon suivante. Pour tout $n \in N$, soit $S_n \in N$ tel que

$$ \left( \frac{r'_n}{r_n} \right)^{S_n} \frac{1}{\varrho_n} < \frac{1}{n}. $$

et soit

$$ t_n = \sum_{i=1}^{n} S_i. $$
Alors soient $d_m = \xi_{m-t_n}^{n+1}$ et $\gamma_m = \gamma_D(\Gamma_{m-t_n}^{n+1}, 1)$ pour tout $m$ tel que $t_n < m \le t_{n+1}$. Il est clair que si $t_n < m \le t_{n+1}$, on a

$$ \gamma_m \prod_{j=1}^{m-1} \frac{d_j}{d_m} < \frac{1}{n}, $$

ce qui montre que la suite $(C(d_m), d_m, 1, \gamma_m)$ est une suite caractéristique d'un T-filtre [3] et la première partie du théorème est donc établie.

Montrons maintenant que si $|K|$ et $k$ sont dénombrables, alors il existe des infraconnexes fermés bornés admettant un filtre circulaire distingué irrégulier. Pour cela nous allons construire un infraconnexe $D$ inclus dans la couronne $\frac{1}{2} < |x| < 1$, tel que pour tout cercle $C(0, r)$, où $\frac{1}{2} < r < 1$ et $r \in |K|$, et pour toute classe $\Gamma$ de $C(0, r)$, $\Gamma \cap D$ soit un infraconnexe dont l'ensemble des trous internes est une suite à distances croissantes qui définit un T-filtre croissant $\mathcal{T}(\Gamma)$, de diamètre $r$, satisfaisant certaines conditions que nous préciserons ensuite.

Il est clair que la famille des ensembles $\mathcal{C}(\mathcal{T}(\Gamma))$, où $\Gamma$ parcourt l'ensemble $\Lambda$ des classes de tous les cercles $C(0, r)$, $r \in ]\frac{1}{2}, 1[$, $1[ \cap |K|$, est une partition de $D$; alors nous montrerons que l'on peut imposer aux T-filtres $\mathcal{T}(\Gamma)$ ($\Gamma \in \Lambda$) des conditions telles que tout T-filtre de $D$ appartienne à l'ensemble $\tau$ des T-filtres $\mathcal{T}(\Gamma)$, $\Gamma \in \Lambda$, ce qui prouve que le filtre circulaire de $D$ de centre 0, de diamètre 1, est distingué et irrégulier.

Remarquons d'abord que puisque $|K|$ est dénombrable, nous pouvons nous ramener au cas où $\log r \in Q$ pour tout $r \in |K|$, ce que nous supposerons donc.

Pour tout $r \in ]\frac{1}{2}, 1[$, $1[ \cap |K|$, écrivons $\log r$ sous sa forme irréductible $a/b \in Q$ et soit $l(r) = a^b$. Alors il est immédiat de voir que l'application définie sur $]\frac{1}{2}, 1[$, $1[ \cap |K|$ par $r \to l(r)$ est injective. Pour chaque cercle $C(0, r)$ et pour tout entier $q \ge 1$, soit

$$ \gamma(r, q) = \sup_{\substack{i=1, \dots, k \\ q_1 + \dots + q_k = q}} \gamma_D(\Gamma_i, q_i), $$

où les $\Gamma_i$ sont des classes quelconques du cercle $C(0, r)$.

Nous construirons ultérieurement l'ensemble $D$ tel que l'on ait pour tout $r$ et pour tout $q \in N$

$$ (1) \qquad \log \gamma(r, q) \ge l(r)^{2l(r)+1} \sqrt{q} $$

et nous allons montrer que si cette relation est vraie pour tout $r$ et pour tout $q$, alors le problème est résolu.

En effet, supposons que $D$ admette un T-filtre $\Phi$ qui n'appartienne pas à la famille $\tau$. Alors $\Phi$ n'est sécant à aucune classe $\Gamma$ d'aucun cercle
$C(0, r)$ puisque le seul $T$-filtre d'un ensemble de la forme $\Gamma \cap D$ appartient à $\tau$ par construction. Par conséquent, $\Phi$ admet l'origine pour centre; soit $R$ son diamètre. Nous supposerons pour la démonstration que $\Phi$ est croissant; si $\Phi$ est décroissant, on obtient naturellement par inversion une démonstration calquée sur celle-ci puisque de toute façon $\Phi$ est centré à l'origine.

Exprimons le fait que $\Phi$ soit un $T$-filtre croissant.

Il existe une suite $d_m \in K$ telle que

$$d_m < d_{m+1} \quad \text{et} \quad \lim_{m \to \infty} d_m = R$$

et une suite d'entiers $q_m$ satisfaisant

$$\lim_{m \to \infty} \sum_{j=1}^{m-1} (\log R - \log d_j) q_j - \log \gamma_m(q_m) = +\infty,$$

où l'on note $\gamma_m(q_m) = \gamma(d_m, q_m)$. A fortiori on a donc

$$\lim_{m \to \infty} \sum_{j=1}^{m-1} q_j - \log \gamma_m(q_m) = +\infty$$

et, trivialement, il existe un rang $u$ tel que, pour tout $m \ge u$, on ait

$$\sum_{j=1}^{m-1} q_j - \log \gamma_m(q_m) \ge 0,$$

d'où, grâce à (1),

$$(2) \qquad \sqrt{q_m} \le \frac{\sum_{j=1}^{m-1} q_j}{\lambda_m},$$

où l'on pose

$$(3) \qquad \lambda_m = l(d_m)^{2l(d_m)+1}.$$

Pour tout $m$, soit

$$h(m) = \sup_{j<m} q_j;$$

alors, d'après (2), on a

$$q_m \le \left( \frac{mh(m)}{\lambda_m} \right)^2.$$

On en déduit par récurrence et à l'aide de majorations grossières en posant $A = h(u)$ que la suite $q_m$ admet une suite majorante de la forme $(mA)^{2m}/\lambda_m^2$. En effet, il existe une suite finie décroissante $n_1, \dots, n_s$
telle que $q_{n_1} = h(m)$, $q_{n_{i+1}} = h(n_i)$, $1 \le i \le s-1$, $q_u = h(n_s)$ et l'on voit par récurrence que

$$q_m \le \frac{m^2 n_1^{2s} \cdots n_s^{2s+1} h(u)^{2s+1}}{\lambda_m^2 \lambda_{n_1}^{2s} \cdots \lambda_n^{2s+1}},$$

d'où a fortiori

$$q^m \le \frac{m^{\sum_{i=1}^{m-1} 2^i} A^{2^{m-1}}}{\lambda_m^2},$$

car $s+1 \le m-u \le m-1$; or

$$\sum_{i=1}^{m-1} 2^i = 2^m - 2,$$

d'où finalement

$$(4) \qquad q_m \le \frac{(m\Delta)^{2m}}{\lambda_m^2}.$$

D'autre part, comme la fonction définie sur $Q \cap ]\frac{1}{2}, 1[ \text{ par } r \to n(r)$ est injective, la suite $m \to g(m) = n(d_m)$ est injective et il existe donc une sous-suite $t \to m_t$ telle que $g(m_t) \ge m_t$ pour tout $t$. Alors, d'après (2) et (3), la relation (4) donne

$$\begin{align*} q_{m_t} \le & \frac{A^{2m_t} m_t^{2m_t}}{[g(m_t)^{2\sigma(m_t)}}]^{4}} \\ = & \frac{A^{2m_t}}{g(m_t)^{2\sigma(m_t)}} \frac{m_t^{2m_t}}{g(m_t)^{2\sigma(m_t)}} \frac{1}{g(m_t)^{2\sigma(m_t)+1}} \\ \le & \frac{1}{g(m_t)^{2\sigma(m_t)+1}}, \end{align*}$$

ce qui prouve que

$$\lim_{t \to \infty} q_{m_t} = 0,$$

donc $q_{m_t} < 1$ pour $t$ assez grand, ce qui est absurde puisque $q_m \ge 1$ pour tout $m$ par définition.

Construisons maintenant l'ensemble $D$ tel que pour toute classe $\Gamma \in \Lambda$, $\Gamma \cap D$ admette un $T$-filtre croissant de diamètre $r = \text{diam}(\Gamma)$ et tel que pour chaque cercle $C(0, r)$ l'on ait

$$\log \gamma(r, q) \ge l(r)^{2l(r)+1} \sqrt{q}.$$

Soit $\lambda \in \mathbb{R}^+$; nous allons définir un ensemble $\Lambda(\lambda)$ qui servira ensuite de modèle pour construire chaque classe d'un cercle $C(0, r)$ de l'ensemble
D cherché. Soit $a_1, \dots, a_n, \dots$ une suite de $K$ telle que $v(a_n) = \lambda/\sqrt{n}$ et soit $\Delta(\lambda)$ l'ensemble des $x \in K$ tels que $v(x) > 0$ et $v(x-a_n) \le \lambda\sqrt{n}/2$ quel que soit $n \in \mathbb{N}$.

Il est immédiat de voir que $\Delta(\lambda)$ admet un $T$-filtre croissant de diamètre 1. En effet, $\Delta(\lambda)$ admet un filtre percé croissant $\mathcal{F}$ de diamètre 1, défini par la suite des trous $T_n$ de centre $a_n$, de diamètre

$$ \varrho_n = \exp\left(-\frac{\lambda\sqrt{n}}{2}\right), $$

et si l'on note $\delta_n = d(0, T_n)$, on a $\log \delta_n = -\lambda/\sqrt{n}$ de sorte que

$$ \sum_{j=1}^{n-1} (\log \delta_n - \log \delta_j) = \lambda \left[ \left( \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{j}} \right) - \sqrt{n} \right] \ge \lambda \sqrt{n} $$

et

$$ \left( \sum_{j=1}^{n-1} \log \delta_n - \log \delta_j \right) + \log \varrho_n \ge \frac{\lambda}{2} \sqrt{n}, $$

ce qui prouve que $\mathcal{F}$ est un $T$-filtre.

Nous allons maintenant minorer les expressions $\gamma(\Delta(\lambda), q)$, $q \in \mathbb{N}$.
Nous allons établir la relation

$$ (5) \qquad \log \gamma(\Delta(\lambda), q) \ge \frac{\lambda \sqrt{q}}{2}. $$

En effet, soient $a_1, \dots, a_q$ appartenant à des trous internes $T_{n_1}, \dots, T_{n_q}$ (non nécessairement tous distincts) de $\Delta(\lambda)$. Alors ou bien il existe un indice $i$ tel que $n_i \ge q$, et alors

$$ \log \left\| \frac{1}{x - a_i} \right\|_{\Delta(\lambda)} = - \log \varrho_{n_i} \ge \frac{\lambda \sqrt{q}}{2}, $$

d'où a fortiori

$$ \log \left\| \frac{1}{\prod_{i=1}^{q} (x - a_i)} \right\|_{\Delta(\lambda)} \ge \frac{\lambda \sqrt{q}}{2}, $$

ou bien $n_i < q$ pour tout $i$ et alors pour $|x| \le d_q$, on a

$$ \left\| \prod_{i=1}^{q} (x - a_i) \right\|_{\Delta(\lambda)} \le d_q^q, $$

d'où

$$ \log \left\| \frac{1}{\pi(x - a_i)} \right\|_{\Delta(\lambda)} \ge \lambda q \log d_q = \lambda \sqrt{q}, $$

ce qui prouve la relation (5) dans tous les cas.
Avant de construire l'ensemble $\mathcal{D}$, remarquons encore que si un infraconnexe $D_2$ de $K$ est image d'un infraconnexe $D_1$ par une similitude $S$, on a pour tout $q \in N$, $\gamma(D_2, q) = \gamma(D_1, q)$. D'autre part, si $D_1$ admet, par exemple, un $T$-filtre de centre $a$ et de diamètre $r$, alors $D_2$ admet un $T$-filtre de centre $S(a)$ et de diamètre $\varrho r$, où $\varrho$ est le rapport de la similitude $S$.

Pour tout $r \in ]\frac{1}{2}, 1[$, on peut indexer les classes du cercle $C(0, r)$ en une suite $\Gamma_n$, puisque $k$ est dénombrable. Soit $a_n$ une suite de $C(0, r)$ telle que $a_n \in \Gamma_n$; notons $B(r) = l(r)^{2l(r)+1}$ et pour tout $n \in N$, soit $\Delta_{r,n}$ l'image de $\Delta(2^{n+1}B(r))$ par une similitude de rapport $r$ qui applique 0 sur $a_n$ et soit

$$D = \bigcup_{\substack{n \in N \\ r \in ]1/2, 1[}} \Delta_{r,n}.$$

D'après les propriétés des ensembles $\Delta(\lambda)$ que l'on retrouve dans les $\Delta_{r,n}$, il est clair que pour chaque classe $\Gamma$ de $C(0, r)$, $\Gamma \cap D$ possède un $T$-filtre unique croissant, de diamètre $r$; il reste donc à montrer que $D$ n'admet pas d'autre $T$-filtre que ceux-ci et pour cela, comme nous l'avons vu, que les expressions $\gamma(r, q)$ satisfont la relation (1).

En effet, d'après la relation (5), on a

$$\log \gamma(\Delta_{r,n}, q) \ge 2^{n+2} B(r) \frac{\sqrt{q}}{2} = 2^{n+1} B(r) \sqrt{q}.$$

Mais, en reprenant les notations précédentes, on a

$$\log \gamma(r, q) = \sup_{\substack{i=1, \dots, k \\ q_1 + \dots + q_k = q}} \log \gamma_D(\Gamma_i, q_i) = \sup_{\substack{i=1, \dots, k \\ q_1 + \dots + q_k = q}} \log \gamma(\Delta_{r,n_i}, q_i),$$

ce qui nous donne, pour tout $i = 1, \dots, k$,

$$\sqrt{q_i} 2^{n_i+1} B(r) \le \log \gamma(r, q),$$

d'où

$$q = \sum_{i=1}^{k} q_i \le \left( \frac{\log \gamma(r, q)}{B(r)} \right)^2 \sum_{i=1}^{k} 2^{-(n_i+1)}.$$

Mais comme $n_i \ne n_j$ pour $i \ne j$ (par définition), on a

$$\sum_{i=1}^{k} 2^{-(n_i+1)} \le \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-(n+1)} = 1,$$

d'où la relation cherchée $\sqrt{q} B(r) \le \log \gamma(r, q)$ et l'ensemble $D$ est construit.
TRAVAUX CITÉS

[1] A. Escassut, *Algèbres d'éléments analytiques en analyse non archimédienne*, Indagationes Mathematicae 36 (1974), p. 339-351.

[2] — *Eléments analytiques et filtres percés sur un ensemble infraconnexe*, Annali di Matematica Pura ed Applicata 110 (1977), p. 335-352.

[3] — *T-filtres, ensembles analytiques et transformation de Fourier p-adique*, Annales de l'Institut Fourier (Grenoble) 25 (2) (1975), p. 75-110.

[4] — *Algèbres de Krasner intègres et noethériennes*, Proceedings of the Section of Sciences. Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen, Series A, 79 (1976), p. 109-130.

[5] — *Algèbres de Banach ultramétriques et algèbres de Krasner-Tate*, Astérisque 10, Octobre 1973, p. 1-107.

[6] G. Garandel, *Les semi-normes multiplicatives sur les algèbres d'éléments analytiques au sens de Krasner*, Proceedings of the Section of Sciences. Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen, Series A, 78 (1975), p. 327-341.

[7] L. Gruson, *Algèbres de Banach ultramétriques*, Journées Poitou-Aquitaine (1967) (polycopié).

[8] B. Guennebaud, *Algèbres localement convexes sur les corps valués*, Bulletin des Sciences Mathématiques, 2-ème série, 91 (1967), p. 75-96.

[9] — *Sur une notion de spectre pour les algèbres normées ultramétriques*, Doctorat ès-Sciences, Université de Poitiers 1, 1973.

[10] M. Krasner, *Prolongement analytique uniforme et multiforme dans les corps valués complets. Les tendances géométriques en algèbre et théorie des nombres*, Colloques Internationaux du C.N.R.S. 143, Clermont-Ferrand 1964, Edition du C.N.R.S. 1966.

[11] — *Prolongement analytique dans les corps valués complets: démonstration du théorème de Mittag-Löffler; singularités au bord*, Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences, Paris, 245 (1957), p. 1285-1287.

[12] M. Lazard, *Les zéros d'une fonction analytique*, P.U.F. Paris, I.H.E.S., Publication Mathématique 14.

[13] E. Motzkin et Ph. Robba, *Prolongement analytique en analysé p-adique*, Séminaire de Théorie des Nombres, Faculté des Sciences de Bordeaux (J. Lesca) 3 (1968-1969) (polycopié).

[14] Ph. Robba, *Fonctions analytiques sur les corps valués ultramétriques complets*, Astérisque 10, Octobre 1973.

[15] P. Salmon, *Serie convergenti su un corpo non archimedeo con applicazione ai fasci analitici*, Annali di Matematica Pura ed Applicata, serie IVT, 65 (1964).

[16] J. Tate, *Rigid analytic spaces*, Inventiones Mathematicae 12 (1971), p. 257-289.

LABORATOIRE DE MATHÉMATIQUES ASSOCIÉ DU C.N.R.S.
UNIVERSITÉ DE BORDEAUX 1
TALENCE, FRANCE

Reçu par la Rédaction le 23. 9. 1975;
en version modifiée le 11. 3. 1976