# De l'intégration des équations différentielles à coefficients polynomiaux sur le corps des complexes et de la théorie de la monodromie scalaire

Alain Michel Wazner

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Alain Michel Wazner. De l'intégration des équations différentielles à coefficients polynomiaux sur le corps des complexes et de la théorie de la monodromie scalaire. 2025. hal-05182971

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Public Domain
De l'intégration des équations différentielles à
coefficients polynomiaux sur le corps des
complexes et de la théorie de la monodromie
scalaire

I.C. ain ç A Wazner
# L'Analogie formelle des polynômes de différentielles avec l'anneau des entiers.

## Aux lectrices et lecteurs.

La principale caractéristique de la langue française est son absence de neutre et si vous parvenez à lire ce texte vous le devez à vos yeux, aux technologies du Web et à votre connaissance du français. Il faut beaucoup d'imagination pour prouver des théorèmes de mathématique, il en faut autant pour chanter, aussi, faut-il prendre cet essai de vulgarisation comme tentative de rencontre virtuelle avec des artistes en tournée.

## Introduction.

Un des intérêts des connexions est qu'elles permettent par le lemme du vecteur cyclique de ramener l'étude d'un polynôme d'une algèbre non commutative à celle d'un opérateur particulier d'ordre 1 : une connexion différentielle. Par analo-
gie avec les algèbres commutatives de matrices,
l'étude des applications linéaires et de la réduction
d'endomorphismes est connectée à celle des polynô-
mes les caractérisant. Pour des applications linéai-
res sur un corps la théorie des diviseurs élémentaires
permet, grâce aux notions d'espaces cycliques ou
stables, la factorisation de polynômes en polynômes
irréductibles. Le but est, dans cet article, pour les
connexions sur des corps différentiels de traduire
certaines notions propres aux polynômes d'endomor-
phismes linéaires sur des corps.

Généralités sur les anneaux non commutatifs uni-
taires.

Dans cette section $A$ sera un anneau unitaire, non
nécessairement commutatif, $U_A$ sera son
groupe des inversibles et dans tout l'article on ob-
tiendra les mêmes énoncés en remplaçant *gauche*
ou son abréviation par *droite* ou son abréviation
et en renversant les produits.

Diviseurs, p.g.c.d., p.p.c.m., éléments irréductibles.

**Définition** : soit $a \in A$, on dit que $b \in A$ est un diviseur de $A$ à gauche si $a \in (b)_g$, où $(b)_g$ est l'idéal à gauche engendré par $b$. Autrement dit, si $\exists c \in A$ tel que $a = cb$ ce qu'on écrira $b|_g a$.
Définitions :

• si $E \subset A$ alors un *p.g.c.d.* à gauche des éléments de $E$, s'il en existe, est un élément $d \in A$ tel que $\forall e \in E$, $d|_g e$ et $(\forall e \in E, c|_g e) \Rightarrow c|_g d$.

• Si $E$ est une partie finie de $A$ alors un p.p.c.m. à gauche des éléments de $E$, s'il en existe, est un élément $p \in A$ tel que $\forall e \in E$, $e|_g p$ et $(\forall e \in E, e|_g q) \Rightarrow p|_g q$.

• Un **idéal à gauche** est un sous-groupe additif de $A$ stable pour la multiplication à gauche par tout élément de $A$.

• Un **idéal à gauche** $I \subset A$ est de type fini à gauche s'il est engendré par un nombre fini d'éléments de $A$.

• Un anneau $A$ est nœthérien à gauche si tout idéal à gauche $I$ de $A$ est de type fini.

• Un idéal à gauche $I$ de $A$ est dit monogène si et seulement si $(\exists i \in A) I = \{ai/a \in A\}$.

• Un anneau $A$ est principal à gauche si tout idéal à gauche $I$ de $A$ est monogène.

• Un anneau $A$ est gradué euclidien à gauche si $-\text{il est intègre.}$
- Il existe un stathme euclidien : une application $\nu : A\setminus\{0\} \to \mathbb{N}$ telle que $(\forall a, b \in A\setminus\{0\}), (\exists!q, r \in A) \text{ avec } a = qb + r \text{ et } (r = 0 \text{ ou } \nu(r) < \nu(b)). r, q$ sont appelés le reste et le quotient de la division euclidienne à gauche de $a$ par $b$.

$$-(\forall p, q \in A) \nu(pq) = \nu(qp) = \nu(p) + \nu(q).$$

* Tout anneau gradué euclidien à gauche est principal à gauche.

* Dans un anneau $A$ gradué euclidien à gauche un élément $a$ sera dit irréductible à gauche si et seulement si l'idéal $(a)_g$ est propre et maximal pour l'ordre de l'inclusion.

**On a:**

* soit $A$ un anneau nœthérien à gauche alors

(1) Tout idéal de $A$ à gauche est de type fini.

(2) Toute suite croissante d'idéaux de $A$ à gauche est stationnaire.

(3) Tout ensemble d'idéaux de $A$ à gauche a un élément maximal pour l'inclusion.

* Tout anneau principal à gauche est nœthérien à gauche.

* Tout anneau $A$ euclidien à gauche est principal à gauche.
* Tout élément irréductible d'un anneau unitaire gradué euclidien à gauche n'est pas le produit de deux éléments de $A\backslash U_A$ où $U_A$ est le groupe multiplicatif des inversibles de $A$.

* Dans un anneau unitaire gradué euclidien à gauche qui n'est pas un corps il existe des éléments irréductibles et tout élément qui n'est pas inversible est divisible à gauche par un élément irréductible à gauche.

**Preuves :**

* soit $A$ un anneau nœthérien à gauche.

(1)⇒ (2) : soit $I_1 \subset I_2 \subset \dots \subset I_n \subset \dots$ une suite croissante d'idéaux de $A$ à gauche alors la réunion $I = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} I_n$ est un idéal de $A$ à gauche engendré par $k$ éléments $a_1, \dots, a_k \in I$ qui sont tous dans $I_N$ pour un $N \in \mathbb{N}$. On a alors : $I = I_N$ et la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est stationnaire à partir du rang $N$.

(2)⇒ (3) : soit $E$ un ensemble d'idéaux de $A$ à gauche. Si $E$ n'a pas d'élément maximal alors on construit une suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d'idéaux de $A$ à gauche en choisissant $I_0$ dans $E$ et, $I_n$ étant choisi, $I_{n+1} \in E$ tel que $I_n \subsetneq I_{n+1}$. La suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$ n'est pas stationnaire et contredit (2).
(3) ⇒ (1) : soit $I$ un idéal à gauche de $A$ et $E$ l'ensemble des idéaux à gauche contenus dans $I$ et qui sont de type fini. $E$ n'est pas vide puisqu'il contient $\{0\}$, il a donc un élément maximal $J$ dont nous prouvons que c'est $I$. Soit $a \in I$ si $a \notin J$ alors $J+(a)_g$ est contenu dans $I$ et $J$ n'est pas maximal puisque $J \subsetneq J + (a)_g$ : ce qui est contradictoire.

• Tout idéal à gauche d'un anneau $A$ principal à gauche est monogène donc de type fini.

• Si $I$ est un idéal de $A$ à gauche et $i \in I$ tel que $\nu(i)$ soit minimal. Soit $a \in I$ on effectue la division euclidienne à gauche de $a$ par $i$: $a = qi + r$ avec $r = 0$ ou $\nu(r) < \nu(i)$. $r = 0$ puisque $\nu(i)$ est minimal. Il suit que $I = (i)_g$.

• Soit $A$ un anneau unitaire gradué euclidien à gauche. De $1 \times 1 = 1$ nous déduisons que $\nu(1) + \nu(1) = \nu(1)$ soit $\nu(1) = 0$. Si $u \in \mathcal{U}_A$ de $u \times u^{-1} = 1$ nous déduisons que $\nu(u) + \nu(u^{-1}) = 0$ soit $\nu(u) = \nu(u^{-1}) = 0$ puisque $\nu$ est à valeurs dans $\mathbb{N}$. Soit $a = b \times c$ avec $b, c \notin \mathcal{U}_A$ alors $(a)_g \subset (c)_g$ et $\nu(a) = \nu(b) + \nu(c)$ et puisque $\nu(c) > 0$ et $\nu(b) > 0$ c'est que $\nu(a) < \nu(c)$; la division euclidienne à gauche de $c$ par $a$ s'écrit alors $c = 0 \times a + c$ et comme son reste $c$ n'est
pas 0 c'est que $c \notin (a)_g : \text{l'idéal } (a)_g \text{n'est}
donc pas maximal et a n'est pas irréductible.
Soit $a \in A\setminus\{0\}$ alors soit il est irréductible,
auquel cas il est divisible par un irréductible
car divisible par lui-même, soit $a = b_1a_1$ avec
$b_1, a_1 \notin \mathcal{U}_A$, soit $a_1$ est irréductible auquel cas
$a$ est divisible par un irréductible soit $a_1 = b_2a_2$
(et donc $a = b_1b_2a_2$) avec $b_2, a_2 \notin \mathcal{U}_A \dots$, on
construit ainsi un ensemble $E$, indexé par $\mathbb{N}$,
d'idéaux $(a_i)_g \subset (a)_g$. $E$ a un élément ma-
ximal $a_n$ qui divise $a$, $a_n$ n'est pas produit de
deux éléments $b_n, c_n \notin \mathcal{U}_A$ car on aurait alors
$(b_n)_g \subset (a)_g$ et $(a_n)_g$ non maximal dans $E$, $a_n$
est donc un diviseur irréductible de $a$.

Propriété : si A est un anneau gradué euclidien à gauche alors :

(i) si $E \subset A$, l'ensemble des p.g.c.d. à gauche de $E$ est l'ensemble des $a \in A\setminus\{0\}$ tels que $\sum_{e \in E}(e)_g = (a)_g$.

(ii) L'ensemble des p.p.c.m. à gauche de $(a_1, \dots, a_n)$ est l'ensemble des $a \in A\setminus\{0\}$ tels que $\bigcap_{i=1}^n (a_i)_g = (a)_g$.

**Preuve :**

(i) un générateur de $\sum_{e \in E} (e)_g$ est un p.g.c.d. à gauche de $E$.
Soit $E \subset A$ alors $\sum_{e \in E}(e)_g$ est la catégorie des sommes $\sum_{i=1}^n a_i e_i$ où $a_i \in A$ et $e_i \in E$. Cette catégorie est la catégorie duale des p.p.c.m. à gauche.

Tout p.g.c.d. à gauche de E est un générateur de $\sum_{e \in E}(e)_g$. Nous distinguons deux cas :

- $E$ est un ensemble fini $\{e_1, \dots, e_n\}$. Soit $d$ un diviseur à gauche commun de $e_1, \dots, e_n$ alors $\forall i \in \{1, \dots, n\}, (e_i)_g \subset (d)_g$. En particulier si $m$ est un p.g.c.d. à gauche de $E$, $\forall i \in \{1, \dots, n\}, (e_i)_g \subset (m)_g$ ce qui entraîne $\sum_{i=1}^n (e_i)_g \subset (m)_g$. Mais, d'après ce qui précède, $\sum_{i=1}^n (e_i)_g \subset (m')_g$ où $m'$ est un p.g.c.d. à gauche de $E$, on a donc $(m')_g \subset (m)_g$. Ceci étant vrai pour tout $m', m$ p.g.c.d. à gauche de $E$, on peut dans les propositions qui précèdent, échanger $m$ et $m'$ et donc $(m)_g \subset (m')_g$ soit

$$ (m)_g = (m')_g = \sum_{i=1}^{n} (e_i)_g $$

- $E$ est un ensemble infini alors l'ensemble des sommes finies d'idéaux à gauche à générateurs dans $E$ est un ensemble d'idéaux de
A à gauche, anneau nœthérien à gauche,
il admet un élément maximal $\sum_{i=1}^n (e_i)_g$. Si
$m$ est un p.g.c.d. à gauche de $E$ alors $m$
divise à gauche chaque $e_i$ et donc
$\sum_{i=1}^n (e_i)_g \subset (m)_g$, mais comme $\sum_{i=1}^n (e_i)_g$
est maximal $\sum_{i=1}^n (e_i)_g = (m)_g$. Si
$(f_1, \dots, f_p)$ est un $p$-uplet quelquonque d'é-
léments de $E$ alors $m$, qui est un p.g.c.d.
à gauche de $E$, divise à gauche chaque $f_j$
et donc $\sum_{i=1}^p (f_j)_g \subset (m)_g$ : ceci prouve
que pour tout $m$ p.g.c.d. de $E$ à gauche
l'ensemble des sommes finies d'idéaux à gau-
che générés par un élément de $E$ a pour
élément maximum $(m)_g = \sum_{i=1}^n (e_i)_g$. Tout
générateur de cet élément maximum, donc
tout p.g.c.d. à gauche de $E$ est un généra-
teur de $\sum_{e \in E} (e)_g$ qui est l'idéal des sommes
finies d'idéaux à gauche à générateurs dans
$E$.

(ii) Nous montrons d'abord que $\forall P, Q \in A\{0\}$
$(P)_g \cap (Q)_g \neq (0)_g$ en montrant le

lemme : $\forall P, Q, R \in A \setminus \{0\}$,

$$
- \text{Si } (P)_g \cap (Q)_g = (0)_g \text{ alors}
$$

$$
(PR)_g \cap (QR)_g = (0)_g
$$

- Si $(P)_g \cap (Q)_g \neq (0)_g$ alors il existe au
moins un p.p.c.m. à gauche de $\{P, Q\}$,
notons le $P \wedge_g Q$ et il existe au moins un
$p.p.c.m. \text{ à gauche } de \{PR, QR\}$, notons
le $PR \wedge_g QR$, on a de plus :

$$ (\exists u \in \mathcal{U}_A), (P \wedge_g Q)R = v(PR \wedge_g QR). $$

**Preuve :** si $(P)_g \cap (Q)_g = (0)_g$ alors :

$$ HP = KQ = 0 \Rightarrow HP = KQ = 0 \text{ et comme } P, Q \in A\{0\} \text{ ceci équivaut à :} $$

$$ HP = KQ = 0 \Rightarrow H = K = 0 $$

Soient à présent $H, K \in A$ tels que $HPR = KQR$ alors $(HP - KQ)R = 0$. Mais $R \neq 0$ et $A$ intègre entraînent alors $HP = KQ$ qui entraîne $H = K = 0$.

Si $(P)_g \cap (Q)_g \neq (0)_g$ alors :

soit $P \wedge_g Q$ un $p.p.c.m. \text{ à gauche } de \{P, Q\}$,
$\exists H, K \in A\{0\}$ tel que
$P \wedge_g Q = HP = KQ$. On en déduit :

$$ (\forall R \in A\{0\}), (P \wedge_g Q)R = HPR = KQR. $$

Il suit $(P \wedge Q)_g R \in (PR)_g \cap (QR)_g$ : il existe
donc un $p.p.c.m. \text{ à gauche } de \{PR, QR\}$,
notons le $PR \wedge_g QR$.

$$ (\exists v \in A\{0\}), (P \wedge_g Q)R = v(PR \wedge_g QR) $$

Mais $PR \wedge_g QR \in (PR)_g \cap (QR)_g$, donc
$(\exists H', K' \in A\{0\})$,
$PR \wedge_g QR = H'PR = K'QR$ puis
$H'P = K'Q \in (P)_g \cap (Q)_g$. On a alors
$$ (\exists u \qquad \in \qquad A\{0\}), \\ H'P = K'Q = u(P \wedge_g Q) \text{ puis } (\exists u \in A\{0\}), \\ PR \wedge_g QR = H'PR = K'QR = u(P \wedge_g Q)R \\ \exists v, u \qquad \in \qquad A\{0\} \text{ avec} \\ \begin{cases} (P \wedge_g Q)R = v(PR \wedge_g QR) \\ PR \wedge_g QR = u(P \wedge_g Q)R \end{cases} \text{ donc} \\ \begin{cases} (P \wedge_g Q)R = vu(P \wedge_g Q)R \\ PR \wedge_g QR = uv(PR \wedge_g QR) \end{cases} \text{ soit} \\ \begin{cases} (1 - vu)(P \wedge_g Q)R = 0 \\ (1 - uv)(PR \wedge_g QR) = 0 \end{cases} $$

Mais $A$ est intègre donc $\begin{cases} (1 - vu) = 0 \\ (1 - uv) = 0 \end{cases}$ soit $v, u \in \mathcal{U}_A$. C.Q.F.D!

Nous pouvons à présent montrer par récurrence que

$$ (a_1, \dots, a_n) \in (A\{0\})^n \Rightarrow \bigcap_{i=0}^n (a_i)_g \neq (0)_g $$

il suffit, pour cela, de montrer que :

$$ (a, b) \in (A\{0\})^2 \Rightarrow (a)_g \cap (b)_g \neq (0)_g $$

Si $a$ ou $b$ sont des unités alors $(a)_g \cap (b)_g$ est $(b)_g \neq (0)_g$ ou $(a)_g \neq (0)_g$ suivant que $a$ ou $b$ est une unité. Si ni $a$ ni $b$ ne sont des unités alors nous supposons que $(a)_g \cap (b)_g = (0)_g$.

Posons $\begin{cases} a = a'(a \vee_g b) \\ b = b'(a \vee_g b) \end{cases}$, où $a \vee_g b$ est un
p.g.c.d. à gauche de $a$ et $b$, alors

$$ (0)_g = (a)_g \cap (b)_g = (a'(a \lor_g b))_g \cap (b'(a \lor_g b))_g $$

– **Supposons** $(a')_g \cap (b')_g \neq (0)_g$ : alors il existe un p.p.c.m. à gauche de $\{a', b'\}$ et, par le lemme qui précède, un p.p.c.m. à gauche de $\{a'(a \lor_g b), b'(a \lor_g b)\}$ que nous notons $a' \wedge_g b'$ et $a \wedge_g b$ et

$$ \exists u \in \mathcal{U}_A, (a' \wedge_g b')(a \lor_g b) = u(a \wedge_g b) $$

on en déduit que

$$ \begin{aligned} ((a' \wedge_g b')(a \lor_g b))_g &= ((a \wedge_g b))_g \\ &= (a)_g \cap (b)_g = (0)_g \end{aligned} $$

ceci entraîne que $(a' \wedge_g b')(a \lor_g b) = 0$ et donc, puisque $a' \wedge_g b' \neq 0$, $a \lor_g b = 0$ qui entraîne $a = b = 0$ : ce qui est contradictory.

– **Supposons** $(a')_g \cap (b')_g = (0)_g$ :

$$ (0)_g = (a'(a \lor_g b))_g \cap (b'(a \lor_g b))_g = (a)_g \cap (b)_g $$

de sorte que

$$ (a \lor_g b)_g = (a)_g + (b)_g = (a)_g \oplus (b)_g $$

Soient $f, g \in A$ tels que $a \lor_g b = fa + gb$ alors $(a \lor_g b)_g = (fa)_g + (gb)_g = (a)_g \oplus (b)_g$ entraîne que $f, g \in \mathcal{U}_A$.
De $(a)_g \oplus (b)_g = (fa + gb)_g = (fa)_g + (gb)_g$
il suit que $f, g \in \mathcal{U}_A$.

De

$$ 
\begin{align*}
(a \vee_g b)_g &= (a)_g \oplus (b)_g \\
(a \vee_g b)_g &= (a'(fa + gb))_g + (b'(fa + gb))_g \\
(a \vee_g b)_g &= ((a' + b')fa)_g + ((a' + b')gb)_g
\end{align*}
$$

il suit que $(a' + b')f \in \mathcal{U}_A$ ce qui entraîne
que $a' + b' \in \mathcal{U}_A$ puis $(a')_g + (b')_g = A$
soit $(\forall x \in A) \exists H, K \in A, x = Ha' + Kb'$.

**Nous prouvons à présent l'assertion**

$$ (\exists x \notin (a)_g) \wedge (Fx = Ga') \Rightarrow F = G = 0 $$

Soient $H, K \in A$ tels que $x = Ha' + Kb'$
alors $Fx = Ga'$ entraîne que
$(G - FH)a' = FKb'$ et comme
$(a')_g \cap (b')_g = (0)_g$, $FK = G - FH = 0$,
A est intègre : $(F = 0) \lor (K = 0)$. Si
$K = 0$ alors $x \in (a')_g$. Si nous choisis-
sons $x \notin (a')_g$ alors $K \neq 0$, donc $F = 0$
et puisque $Ga' = Fx$ et $a' \neq 0$ il suit
$G = F = 0$.

**Nous concluons :** l'assertion

$$ (\exists x \notin (a)_g) \wedge (Fx = Ga') \Rightarrow F = G = 0 $$

équivaut à l'assertion

$$ (\forall x \notin (a')_g)(a')_g \cap (x)_g = (0)_g $$
1 $\notin$ $(a')_g$ (sinon $a \in \mathcal{U}_A$) donc
$(0)_g = (a')_g \cap (1)_g = (a')_g$ ce qui contredit
que $a' \neq 0$.

Modules à gauche et dérivations sur un anneau
commutatif unitaire.

Modules à gauche et espaces vectoriels.

Soit $(A, +, \times)$ un anneau commutatif unitaire et
un groupe commutatif noté, au risque de la con-
fusion sur le $+$, $(M, +)$ on appelle opération ex-
terne de $A$ sur $M$, notée plus simplement . , toute
application $\cdot_A$ de $A \times M$ dans $M$ et on dit que
$(M, +, \cdot)$ est un $A$-module à gauche si les pro-
priétés qui suivent sont vérifiées :

• distributivité sur $M$

$$
a.(x + y) = a.x + a.y, \forall a \in A \forall x, y \in M
$$

• Distributivité sur $A$

$$
(a + b).x = a.x + b.x, \forall a, b \in A \forall x \in M
$$

$\bullet (a \times b).x = a.(b.x), \forall a,b \in A, \forall x \in M.$

• $1.x = x, \forall x \in M.$

Si $A$ est *un corps* alors on dit que $(M, +, \cdot)$ est un $A$-espace vectoriel.
Exemples :

* les ensembles $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ sont des $\mathbb{Z}$-modules à gau-
che et à droite.

* L'ensemble des vecteurs du plan euclidien, des fonctions d'un domaine $I$ dans $\mathbb{R}$ sont des $\mathbb{R}$-espaces vectoriels.

Dérivations sur un anneau commutatif unitaire.

Soit $(A, +, \times)$ un anneau commutatif unitaire et $D$ un morphisme du groupe $(A, +)$, qui n'est ni l'identité ni le morphisme nul alors on dit que $D$ est une dérivation s'il vérifie **l'identité de Leibnitz**

$$
D(a \times b) = D(a) \times b + a \times D(b), \forall a, b \in A
$$

de laquelle se déduit **la formule du binôme**

$$
\forall n \in \mathbb{N}, \forall a, b \in A
$$

$$
D^n(a \times b) = \sum_{k=0}^{n} C_n^k D^{n-k}(a) \times D^k(b)
$$

Exemple :

si $A$ est l'anneau des fonctions infiniment dérivables
d'un domaine $I$ dans $\mathbb{R}$ le morphisme qui à une
fonction associe sa dérivée est une dérivation.
### L'anneau des constantes $A_D$.

Si $D$ est une dérivation sur un anneau de caractéristique $c$ alors l'ensemble $\{x \in A | D(x) = 0\}$ est un anneau de caractéristique $c$ appelé anneau des constantes et noté $A_D$.

**Exemple :** si $A$ est l'anneau des fonctions $C^\infty$ d'un domaine $I$ dans $\mathbb{R}$ et $D$ la dérivation usuelle alors l'anneau des constantes est $\mathbb{R}$.

**Preuve :** $A_D$, noyau d'une application additive est un groupe abélien, c'est aussi le noyau d'un demi-groupe multiplicatif par l'identité de Leibnitz c'est un anneau de même caractéristique que $A$ puisque $1_A \in A_D$ est l'unité de $A_D$.

### L'exemple de l'anneau des polynômes différentiels $K[D]$.

Si $K$ est un corps, $K[X]$ son anneau des polynômes, $D$ est la dérivation des polynômes à coefficients sur $K$ et $D^i$ la composée $i$-ème de $D$ avec elle-même alors on appelle anneau des polynômes différentiels, l'anneau noté $K[D]$ des morphismes $\sum_{i=0}^n a_i D^i$ avec $a_i \in K[X]$ et muni des opérations d'addition et de composition. Cet anneau est gradué euclidien si on choisit le stathme euclidien $\nu$ par $\nu(\sum_{i=0}^n a_i D^i) = n$ si $a_n \neq 0$ et $\nu(0) = 0$. Son corps des constantes est $K$. La structure d'anneau non commutatif gradué euclidien de $K[D]$ s'enrichit en celle d'algèbre, *doublement non-commutative*,
par la donnée de la multiplication externe. définie par

$$ \therefore \left\{ \begin{array}{lcl} K[X] \times K[X][D] & \rightarrow & K[X][D] \\ (a, P) & \mapsto & aD^0 \times P \end{array} \right. $$

On a les

Propriétés :

(i) la famille $(D^n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une famille-base de l'espace vectoriel $(K[X][D], +, \cdot)$.

(ii) L'anneau $(K[X][D], +, \times)$ est gradué euclidien à gauche et à droite.

(iii) $U_{K[X][D]}$ est l'ensemble des opérateurs non nuls de degré (c'est $\nu$) 0 de $K[X][D]$. Ce groupe est isomorphe à $K\{0\}$.

Nous laissons aux lectorat le soin d'en faire la preuve qui est technique mais sans grande difficulté.

On a la

Propriété : si $a_n \neq 0$ alors les morphismes $\sum_{i=0}^{n} a_i D^i$ sont des applications $K$-linéaires de $K[X]$ dans $K[X]$ dont les noyaux sont des $K$-espaces vectoriels de dimension au plus $n$.

Preuve : par récurrence sur $n$.

Si $n = 0$ alors l'équation $L(s) = 0$ a pour solution $\{0\}$ espace vectoriel de dimension 0.

Si la propriété est vraie à l'ordre $n - 1$ et si $L = \sum_{i=0}^{n} a_i D^i$ avec $a_n \neq 0$ alors soit l'équation
différentielle $L(s) = 0$ n'a pas de solution sur $K[X]$, auquel cas l'espace vectoriel des solutions est de dimension 0, soit elle a une solution non nulle $s_0 \in K[X]$, nous effectuons alors le change-ment d'inconnue $s = s_0 u$. Par la **formule du binôme** on voit que $L(s_0 u) = H(u)$ où $H = \sum_{i=1}^n b_i D^i$ et $b_n = a_n$ de sorte que $H(u) = J(D(u))$ où $J = \sum_{i=0}^{n-1} b_{i+1} D^i$. L'équation $H(u) = 0$ est équivallente au système :

$$ \begin{cases} J(v) = 0 \\ D(u) = v \end{cases} $$

Nous appliquons à $J$ l'hypothèse de récurrence : le $K$-espace vectoriel $V$ des solutions de $J(v) = 0$ est au plus de dimension $n-1$. Si $E$ est le $K$-espace vectoriel $D^{-1}(V)$ et $p$ la projection canonique $E \to E/Ker(D) = E/K$ alors il existe un isomorphisme

$$ i : E/K \to D(E) = D(D^{-1}(V)) \subset V $$

tel que $i \circ p = D$.

$E/K$ est isomorphe à $D(E)$ $K$-espace vectoriel de dimension finie au plus $n-1$ et comme $K$ est un espace vectoriel sur lui-même de dimension 1, $E$ est un $K$-espace vectoriel de dimension au plus égale à $n$.

Le $K$-espace vectoriel des solutions de $H(u) = 0$ est de dimension au plus $n$ et, comme toute solu-
tion de $L(s) = 0$ s'exprime par $s = s_0 u$, où $s_0 \neq 0$ et $u$ est solution de $H(u) = 0$, le $K$-espace vectoriel des solutions de $L(s) = 0$ est de dimension au plus $n$.

Deux algorithmes de division euclidienne dans $K[X](D)$.

Pour un polynôme différentiel dans $K[X][D]$ le degré, soit le plus grand indice de ses coefficients non nuls, est un stathme euclidien dont nous nous servons pour construire des algorithmes de division euclidienne à gauche et à droite.

Pour la division euclidienne à gauche de $a = \sum_{i=0}^{deg(a)} a_i D^i$ par $b = \sum_{i=0}^{deg(b)} b_i D^i$ nous considérons les trois suites stationnaires $(r_n)_{n \in \mathbb{N}}$, $(q_n)_{n \in \mathbb{N}}$, $(\varepsilon_n)_{n \in \mathbb{N}}$ où
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\varepsilon_0 = 0 \\
q_0 = 0 \\
r_0 = a
\end{array}
\right.
$$
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\varepsilon_n = \text{Max}(0, \text{deg}(r_{n-1}) - \text{deg}(b)) \\
q_n = q_{n-1} + \varepsilon_n \frac{r_{n-1}^*}{b_{\text{deg}(b)}} D^{\varepsilon_n} b \\
r_n = r_{n-1} - q_n b
\end{array}
\right.
$$

où $r_{n-1}^*$ est le coefficient dominant de $r_n$.

Pour la division euclidienne à droite de
$a = \sum_{i=0}^{deg(a)} a_i D^i$ par $b = \sum_{i=0}^{deg(b)} b_i D^i$ nous con-
sidérons les trois suites stationnaires
$$ (r_n)_{n \in \mathbb{N}}, (q_n)_{n \in \mathbb{N}}, (\varepsilon_n)_{n \in \mathbb{N}} \text{ où } \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_0 = 0 \\ q_0 = 0 \\ r_0 = a \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_n = \operatorname{Max}(0, \operatorname{deg}(r_{n-1}) - \operatorname{deg}(b)) \\ q_n = q_{n-1} + b \varepsilon_n \frac{r_{n-1}^*}{b^{\operatorname{deg}(b)}} D^{\varepsilon_n} \\ r_n = r_{n-1} - b q_n \end{array} \right. $$

où $r_{n-1}^*$ est le coefficient dominant de $r_n$.

Ces suites sont stationnaires à partir de l'indice $i^* = \operatorname{Max}(0, \operatorname{deg}(a) - \operatorname{deg}(b))$ : ces deux algorithmes sont de complexité polynomiale.

**Algorithmes pour les p.g.c.d. à gauche et à droite d'un nombre fini de polynômes de $K[X][D]$**

Nous pouvons alors choisir pour algorithmes ceux des divisions euclidiennes, tels qu'ils sont enseignés au lycée pour les entiers, le stathme euclidien étant le degré et les produits s'effectuant à gauche ou à droite.

**Des connexions modulaires ou vectorielles à une variable.**

**Définitions :**

si $D$ est une dérivation sur un anneau commutatif unitaire $(A, +, \times)$ à valeurs dans un $A$-module $(M, +, \cdot)$ une connexion modulaire de dérivation $D$ sera une application $\nabla_D$, et plus simplement
$\nabla$, additive de $M$ dans $M$ qui satisfait l'identité dite de Leibnitz :

$$ \forall (x, a) \in M \times A \quad \nabla(a.x) = a.\nabla(x) + D(a).x $$

$\nabla$ sera dite vectorielle si $A$ est un corps et $M$ un espace vectoriel.

**Attention!** Il ne faut pas confondre les connections qui représentent des systèmes (d'équations différentielles) et les connections qui sont les géodésiques séparatrices de points singuliers (ceux qui an-nulent une différentielle) de variétés différentiables! Sauf dans l'exemple qui suit, dans tout ce qui suit les espaces vectoriels considérés seront de dimension finie et on appellera triplet $(K, D, E)$ la donnée d'un corps $K$, d'une dérivation $D$ sur $K$ et d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie sur $K$.

**Un exemple :**

soit l'anneau $K[X][D]$ alors l'application

$$ \nabla : \begin{cases} K[X][D] & \to K[X][D] \\ P & \mapsto D \times P \end{cases} $$

est une connexion vectorielle de dérivation $D$ telle que, pour tout idéal à gauche $I$ de $K[X][D]$ de générateur $i \in I : D(I) \subset I \Rightarrow \nabla(I) \subset I$.

**Preuve :** si $I = (i)_g$ alors $\forall x \in K[X] \ D(x.i) = D(x).i + x.D(i) \in (i)_g$.
Matrice d'une connexion vectorielle et formule de changement de base.

Dans cette partie $\nabla$ est une connexion de dérivation
$D$ sur un $K$-espace vectoriel $V$ de dimension $n$.

Matrice d'une connexion vectorielle.

Soit $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ une base de $V$ on appelle
matrice de $\nabla$ dans la base $\mathcal{B}$ la matrice dont les
vecteurs colonnes sont les coordonnées des vecteurs
$(\nabla(e_1), \dots, \nabla(e_n))$ dans la base $\mathcal{B}$, c'est une ma-
trice de $M_n(K)$ que l'on note $(\nabla)_{\mathcal{B}}$.

Formule de changement de base.

Soient $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ et $\mathcal{B}' = (e'_1, \dots, e'_n)$ nous
posons $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ la matrice des coordonnées des vecteurs
de $\mathcal{B}$ exprimées dans la base $\mathcal{B}'$.

Si $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'} = (P_{i,j})_{1\le i,j\le 1}$ alors

$$
\left\{
\begin{aligned}
e_1 &= P_{1,1} \cdot e'_1 + P_{2,1} \cdot e'_2 + \dots + P_{n,1} \cdot e'_n \\
e_2 &= P_{1,2} \cdot e'_1 + P_{2,2} \cdot e'_2 + \dots + P_{n,2} \cdot e'_n \\
\vdots & \vdots \\
e_n &= P_{1,n} \cdot e'_1 + P_{2,n} \cdot e'_2 + \dots + P_{n,n} \cdot e'_n
\end{aligned}
\right.
$$
$$
\left\{
\begin{aligned}
\nabla(e_1) &= P_{1,1} \cdot \nabla(e'_1) + P_{2,1} \cdot \nabla(e'_2) + \dots + P_{n,1} \cdot \nabla(e'_n) \\
&\quad + D(P_{1,1}) \cdot e'_1 + D(P_{2,1}) \cdot e'_2 + \dots + D(P_{n,1}) \cdot e'_n \\
\nabla(e_2) &= P_{1,2} \cdot \nabla(e'_1) + (P_{2,2} \cdot \nabla(e'_2) + \dots + P_{n,2} \cdot \nabla(e'_n) \\
&\quad + D(P_{1,2}) \cdot e'_1 + D(P_{2,2}) \cdot e'_2 + \dots + D(P_{n,2}) \cdot e'_n \\
\vdots &\vdots \\
\nabla(e_n) &= P_{1,n} \cdot \nabla(e'_1) + P_{2,n} \cdot \nabla(e'_2) + \dots + P_{n,n} \cdot \nabla(e'_n) \\
&\quad + D(P_{1,n}) \cdot e'_1 + D(P_{2,n}) \cdot e'_2 + \dots + D(P_{n,n}) \cdot e'_n
\end{aligned}
\right.
$$

ce qui donne la relation

$$
P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'} \times (\nabla)_{\mathcal{B}} = (\nabla)_{\mathcal{B}'} \times P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'} + D(P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'})
$$

Vecteurs cycliques.

Dans cette partie $E$ est un $K$-espace vectoriel de
dimension $n$, $D$ une dérivation sur $K$ et $\nabla$ une
connexion vectorielle.

**Définition** : un vecteur $y \in E$ est cyclique (pour $\nabla$) si et seulement si la famille $y, \nabla(y), \dots, \nabla^{n-1}(y)$ est une famille libre dans $E$. Autrement écrit : si et seulement si $(y, \nabla(y), \dots, \nabla^{n-1}(y))$ est une base de $E$. Dans ce cas $E$ est dit *cyclique pour* $\nabla$.

**Interprétation.** Si $E$ possède un vecteur cyclique alors $E$ est *stable* pour $\nabla$ (autrement écrit $\nabla(E) \subset E$). On peut écrire cette tautologie :
« Tout vecteur est cyclique pour l'espace vectoriel engendré par la suite des puissances de $\nabla$ appliquées à ce vecteur ». Ce qui suit essaie de répondre aux questions :

• existe-t-il un vecteur cyclique pour tout l'espace $E$?

• Tout espace stable pour $\nabla$ (qui contient son image par $\nabla$) est-il cyclique?

• Existe-t-il d'autres espaces stables que l'espace de départ $E$?

**Définitions et lemme** : on appelle *ordre cyclique* d'un vecteur la dimension de l'espace vectoriel engendré par la suite des puissances de $\nabla$ appliquées à ce vecteur et *espace caractéristique stable* de ce vecteur cet espace vectoriel engendré et on le note $Escars(\nabla, y)$. On appelle *base caractéristique* de ce vecteur la base extraite des premiers vecteurs indépendants de la suite des puissances de $\nabla$ appliquées à ce vecteur. La matrice d'une connexion vectorielle dans une base caractéristique est *compagnon*.

**Preuve** : pour une base caractéristique de cardinal $k$ il y a un vecteur $y$ pour lequel la base-suite $y, \nabla(y), \dots, \nabla^{k-1}$ est indépendante et $\nabla^k(y)$ est
lié par une relation

$$ \nabla^k(y) = c_{n-1} \nabla^{k-1} + \dots + c_1 \nabla(y) + c_0 y $$

L'espace vectoriel engendré par la base-uplet $(y, \nabla(y), \dots, \nabla^{k-1})$ est stable pour $\nabla$ et la matrice de $\nabla$ par rapport à cette base vient naturellement, c'est la matrice compagnon

$$ \begin{pmatrix} 0 & \dots & 0 & -c_0 \\ 1 & \ddots & 0 & -c_1 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & \dots & 1 & -c_{k-1} \end{pmatrix} $$

Définitions d'une transformée et d'une connexion associées aux espaces caractéristiques stables.

**La connexion dérivation. Lemme et définition :**

sur l'anneau $K[D]$ l'application

$$ D_{\times} : \begin{cases} K(D] \to K[D] \\ P \mapsto D \times P \end{cases} $$

est une connexion que nous appelons *la connexion dérivation*.

**Preuve :** la proposition « $D_{\times}$ est une connexion» se déduit de l'identité de Leibnitz.

La transformée dérivante en un vecteur $y \in E$. **Lemme et définition :** si $y \in E$ est cyclique d'ordre cyclique $k$ alors la famille$(y, \dots, \nabla^{k-1}(y))$ est une
base de son espace caractéristique stable et nous
appellons transformée dérivante en $y$ l'application
$K$-linéaire bijective qui transforme la base caracté-
ristique en la base $(1, D, \dots, D^{k-1})$. On note cet
isomorphisme $Dantes(\nabla, y)$.

Le polynôme différentiel caractéristique d'un vecteur $y \in E$. Dé-
$finition :$ à tout vecteur $y \in E$ d'ordre cyclique
$k$ on peut associer le polynôme différentiel unique
$D^k - \sum_{i=1}^{k-1} a_i D^i$ si la relation de dépendance de
$y, \dots, \nabla^{k-1}(y), \nabla^k(y)$ est la relation
$(\nabla^k - \sum_{i=1}^{k-1} a_i \nabla^i)(y) = 0$. On l'appelle le polynô-
me différentiel caractéristique de $y$ et on le note
$\kappa(\nabla, y)$.

La connexion dérivation du quotient de $K[D]$ par l'idéal caractéristique
d'un vecteur $y \in E$. . Lemme et définition : soit
$y \in E$ d'ordre cyclique $k$, $p(\nabla, y)$ la projection
canonique $E \xrightarrow{p(\nabla,y)} E/(\kappa(\nabla, y))_g$ alors il existe
une unique connexion notée $D_\times(\nabla, y)$, on l'appelle
la connexion dérivation caractéristique en $y$ qui
rende commutatif le shéma qui suit :

$$
\begin{tikzcd}
Escars($\nabla$, $y$) \arrow[r, $\nabla$] & Escars($\nabla$, $y$) \\
\arrow[d, "Dantes($\nabla,y$)"'] & \arrow[d, "Dantes($\nabla,y$)"'] \\
K[$D$] \arrow[r, $D_\times$] & K[$D$] \\
\arrow[d, "p($\nabla,y$)"'] & \arrow[d, "p($\nabla,y$)"'] \\
K[$D$]/($\kappa($$\nabla$$, $y$)$)$_g \arrow[r, $D_\times($$\nabla$$, $y$)$] & K[$D$]/($\kappa($$\nabla$$, $y$)$)$_g
\end{tikzcd}
$$

**Preuve :** la commutativité des quatres flêches de la partie supérieure du shéma est une conséquence directe des définitions qui précèdent. Soit à présent $P, P'$ tels que $P - P' \in (\kappa(\nabla, y))_g$ alors $\exists(Q, Q', R) \begin{cases} P = Q \times \kappa(\nabla, y) + R \\ P' = Q' \times \kappa(\nabla, y) + R \end{cases}$ soit $\begin{cases} D \times P = D \times Q \times \kappa(\nabla, y) + D \times R \\ D \times P' = D \times Q' \times \kappa(\nabla, y) + D \times R \end{cases}$ qui entraîne que

$$(D \times P - D \times P') = (D \times Q - D \times Q') \times \kappa(\nabla, y)$$

tous les représentants de la classe de $P$ appartiennent à la classe de $D \times P$ ce qui induit sur $K[D]/(\kappa(\nabla, y))_g$ une application unique, notée $D_\times(\nabla, y)$ qui a la classe de $P \in K[D]$ associe la classe de $D \times P \in K[D]$. Comme la classe de la somme $P+Q$ est la somme des classes de $P$ et $Q$ et comme l'application $D_\times$ est additive : $D_\times(\nabla, y)$ est additive. Si $a \in K$
$$
\text{alors de } \left\{ \begin{array}{l} P = Q \times \kappa(\nabla, y) + R \\ P' = Q' \times \kappa(\nabla, y) + R \end{array} \right. \text{ on déduit que } \\
\left\{ \begin{array}{l} D \times a.P = D \times a.Q \times \kappa(\nabla, y) \\ \qquad + (a.D + D(a)) \times R \end{array} \right. \quad \text{ce qui prou-} \\
\qquad D \times a.P' = D \times a.Q' \times \kappa(\nabla, y) \\ \qquad \qquad + (a.D + D(a)) \times R
$$

ve que $D_\times(\nabla, y)$ vérifie bien l'identité de Leibnitz, c'est donc une connexion. La commutativité des quatre flêches de la partie inférieure du shéma résulte alors de la stabilité sur toutes les classes de l'application $P \xrightarrow{D_\times} D \times P$.

L'isomorphisme de cast d'une connexion en un vecteur $y \in E$ :

**lemme et définition** : la composée $p(\nabla, y) \circ Dantes(\nabla, y)$ est un isomorphisme $K$-linéaire de $K[D]$ dans $K[D]/(\kappa(\nabla, y))_g$ appelé isomorphisme de cast et on le notera $Caste(\nabla, y)$.

**Preuve** : posons

$$p(\nabla, y) \circ Dantes(\nabla, y) = Caste(\nabla, y)$$

alors l'application $K$-linéaire $Caste$ est un isomorphisme car il transforme la base caractéristique du vecteur $y$ de $Escars(\nabla, y)$ en la base caractéristique de $K[D]/(\kappa(\nabla, y))$.

Nous en déduisons la commutativité du shéma de
cast

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Des polynômes de connexions vectorielles.

Définitions de polynômes d'une application, d'une conne-
xion, sur un triplet (K, D, E).

On se donne un triplet (K, D, E) et une applica-
tion f de E dans E et un polynôme
P = ∑ k i =0 a_i D^i ∈ K[D], le polynôme P(f) sera
défini comme l'application de E dans E telle que
x ↦→ ∑ k i =0 a_i f^i(x) où f^0 = Id et si i ≥ 1 alors
f^i = f ○ f^{i-1}. Cette définition s'applique en par-
ticulier aux connexions ∇ de E dans E.
Shéma de cast et shéma de projection.

Pour tout triplet (K, D, E) et tout polynôme
$P \in K[D]$ on a le shéma commutatif :

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

**Preuve :** la commutativité du shéma de cast

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

se formalise par

$$
Caste(\nabla, y) \circ \nabla = D_{\times}(\nabla, y) \circ Caste(\nabla, y)
$$

soit

$$
\nabla = \mathrm{Caste}(\nabla, y)^{-1} \circ \mathrm{D}_{\times}(\nabla, y) \circ \mathrm{Caste}(\nabla, y)
$$

qui, par compositions itérées et combinaison linéaire,
devient $\forall P \in K[D]$

$$
P(\nabla) = Caste(\nabla, y)^{-1} \circ P(D_{\times}(\nabla, y)) \circ Caste(\nabla, y)
$$

et prouve la commutativité du shéma supérieur.
Par l’utilisation du shéma d’axiomes de substitu-
tion la commutativité du shéma inférieur se déduit
du shéma de projection :

$$
\begin{tikzcd}
K[D]/(\kappa(\nabla, y))_g \arrow[r, "D_\times(\nabla,y)"'] & K[D]/(\kappa(\nabla, y))_g \arrow[d, "\uparrow p(\nabla,y)"'] \\
K[D] \arrow[r, "D_\times"'] & K[D]
\end{tikzcd}
$$

Polynômes de connexion et idéaux annulateurs d'un vecteur.

**Lemme** : si $y$ est un vecteur d'un triplet $(K, D, E)$
alors $\forall x \in Escars(\nabla, y), \forall P \in K[D],$

$$
P(\nabla)(x) = \mathrm{Caste}(\nabla, y)^{-1} \circ p(\nabla, y) (P \times \mathrm{Dantes}(\nabla, y)(x))
$$

**Preuve** : comme $Caste(\nabla, y)^{-1} \circ p(\nabla, y)$ est une
application $K$-linéaire de $K[D]$ dans $Escars(\nabla, y)$
il suffit de montrer que

$$
Caste(\nabla, y)^{-1} \circ p(\nabla, y) (D^i \times Dantes(\nabla, y)(x)) = \nabla^i
$$

pour toutes les valeurs entières de *i* ce que nous
faisons par récurrence sur *i* : *y* est d'ordre *k* alors
nous pouvons écrire *x* = Σ<sub>*j*=0</sub><sup>*k*-1<sub></sub> *c*<sub>*j*</sub>∇<sup>*j*</sup>(*y*) puis

$$
\begin{align*}
\mathrm{Dantes}(\nabla, y)(x) &= \sum_{j=0}^{k-1} c_j D^j \\
p(\nabla, y) (\mathrm{Dantes}(\nabla, y)) &= \sum_{j=0}^{k-1} c_j D^j \\
\mathrm{Caste}^{-1}(\nabla, y) \circ p(\nabla, y) (\mathrm{Dantes}(\nabla, y)) &= \sum_{j=0}^{k-1} c_j \mathrm{Caste}^{-1}(\nabla, y) (D^j) \\
&= \sum_{j=0}^{k-1} c_j \nabla^i(y) = x
\end{align*}
$$

qui montre le lemme pour *i* = 0. Supposons à
présent que

$$
Caste(\nabla, y)^{-1} \circ p(\nabla, y) (D^i \times Dantes(\nabla, y)(x)) = \nabla^i
$$
alors :

$$
\begin{align*}
\nabla^{i+1}(x) &= \mathrm{Caste}(\nabla, y)^{-1} \circ D \times_{\nabla, y} \circ p(\nabla, y) (D^i \times \mathrm{Dantes}(\nabla, y)(x)) \\
car \ \nabla^i &= \mathrm{Caste}(\nabla, y)^{-1} \circ D \times_{\nabla, y} \circ \mathrm{Caste}(\nabla, y) \\
&= \mathrm{Caste}(\nabla, y)^{-1} \circ p(\nabla, y) \circ D \times (\mathrm{Dantes}(\nabla, y)) \\
car \ D \times_{\nabla, y} \circ p(\nabla, y) &= p(\nabla, y) \circ D \times \\
&= \mathrm{Caste}(\nabla, y)^{-1} \circ (D \times_{\nabla, y} \mathrm{Dantes}(\nabla, y)) \\
&= \mathrm{Caste}(\nabla, y)^{-1} \circ (D^{i+1} \times \mathrm{Dantes}(\nabla, y))
\end{align*}
$$

**Lemme :** si $y$ est un vecteur d'un triplet $(K, D, E)$
alors l'ensemble des polynômes de connexion annu-
lateurs de $x \in E$ est un *idéal* de $K[D]$ à gauche.

**Preuve :** si $y$ annule $P, P' \in K[D]$ alors $\forall Q \in K[D]$ il annule $-P, P+P', QP$.

Le lemme du transporteur

s'énonce : si $A$ est un anneau euclidien gradué à gauche, $L, f \in A\setminus\{0\}$ alors l'ensemble $\{P \in A | P \times f \in (L)_g\}$ est un idéal à gauche dont on note $L : f \ll \text{un} \gg$ générateur (on remarquera que $L : f$ est un groupe multiplicatif). On a alors la double égalité :

$$
(L : f)_g f = (f : L)_g L = (f)_g \cap (L)_g
$$

Si $f$, $L$ sont premiers entre eux à gauche alors
l'idéal $(L : f)_g$ n'est pas nécessairement $K[D]$
contrairement au cas des idéaux sur les anneaux
gradués euclidiens commutatifs (par exemple
$K[X]$).

Preuve :

* soit $P_0 \in \{P \in A | P \times f \in (L)_g\}$ et soit
$Q \times P_0$ alors $Q \times P_0 \in (L)_g$ donc
$Q \times P_0 \in \{P \in A | P \times f \in (L)_g\} : \text{cet ensemble est un idéal.}$

* Les éléments de $(f)_g \cap (L)_g$ **sont** tous les polynômes $P \times f$, pour tous les $P \in K[D]$, tels que $P \times f \in (L)_g$ ce **sont** les éléments de l'idéal $(L : f)_g = \{P \in A | P \times f \in (L)_g\}$ dont on fait le produit à gauche par $f$ donc $(L : f)_g f = (f)_g \cap (L)_g$.

* Les propositions démontrées qui précèdent sont symétriques en $f$ et $L$- en effet $(f)_g \cap (L)_g = (L)_g \cap (f)_{g-}$ on peut donc, par l'axiome de substitution, échanger dans celles-ci $f$ et $L$, il suit que $(L : f)_g f = (f : L)_g L$.

**Lemme du transport cyclique** : si $y$ est un vecteur d'un triplet $(K, D, E)$ d'ordre cyclique $k$ et $x \in Escars(\nabla, y)$ alors l'idéal annulateur de $\nabla(x)$ est l'idéal à gauche $(\kappa(\nabla, y) : Dantes(\nabla, y)(x))_g$ et comme c'est aussi $(\kappa(\nabla, x))_g$ on a l'égalité

$$ \forall x \in Escars(\nabla, y), $$

$$ (\kappa(\nabla, x))_g = (\kappa(\nabla, y) : Dantes(\nabla, y)(x))_g $$

**Preuve** : $\forall x \in Escars(\nabla, y) \forall P \in K[D]$

$$ P(\nabla)(x) = \mathrm{Caste}(\nabla, y)^{-1} \circ p(\nabla, y) (P \times \mathrm{Dantes}(\nabla, y)(x)) $$
en particulier si $P(\nabla(x)) = 0$ alors

$$p(\nabla, y) (P \times \mathrm{Dantes}(\nabla, y)(x)) = 0$$

mais comme $x \in \mathrm{Escars}(\nabla, y)$ ceci équivaut à $P \times \mathrm{Dantes}(\nabla, y) \in (\kappa(\nabla, y))_g$ qui équivaut à $P \in (\kappa(\nabla, y) : \mathrm{Dantes}(\nabla, y))_g$ et comme cet idéal à gauche est $(\kappa(\nabla, x))_g$, il vient le lemme

étudiant une connexion sur un espace caractéristique stable $\mathrm{Escars}(\nabla, y)$ d'un vecteur $y$ d'un triplet $(K, D, E)$.

Dans toute cette section $y$ est d'ordre cyclique $k$ et $x \in \mathrm{Escars}(\nabla, y)$.

Cas où $\mathrm{Dantes}(\nabla, y)(x) \lor_g \kappa(\nabla, y) = 1$.

**Le lemme de l'égalité cyclique primaire :**

s'énonce $\mathrm{Escars}(\nabla, y) = \mathrm{Escars}(\nabla, x)$.

**Preuve :** $\exists Q, P \in K[D]$,

$$P \times \mathrm{Dantes}(\nabla, y(x)) + Q \times \kappa(\nabla, y) = 1$$

et en appliquant $\mathrm{Caste}^{-1}(\nabla, y) \circ p(\nabla, y)$ à cette égalité nous concluons $\exists P \in K[D], P(\nabla)(x) = y$ et donc $\mathrm{Escars}(\nabla, y) = \mathrm{Escars}(\nabla, x)$.

**Preuve :** $\nabla$ est stable sur $\mathrm{Escars}(\nabla, y)$ et donc

$$\begin{align*} x \in \mathrm{Escars}(\nabla, y) &\Rightarrow \forall i \in \mathbb{N}, \nabla^i(x) \in \mathrm{Escars}(\nabla, y) \\ &\Rightarrow \mathrm{Escars}(\nabla, x) \subset \mathrm{Escars}(\nabla, y) \end{align*}$$

$\nabla$ est stable sur $\mathrm{Escars}(\nabla, x)$ donc

$$\forall i \in \mathbb{N}, \nabla^i(x) \in \mathrm{Escars}(\nabla, x)$$
puis par combinaison linéaire à coefficients sur $K$, $\forall Q \in K[D]$, $Q(\nabla)(x) \in Escars(\nabla, x)$. En particulier pour $Q$ variant dans la famille $(D^i \times P)_{i \in \mathbb{N}}$ on obtient $\forall i \in \mathbb{N}$, $\nabla^i(P(\nabla)(x)) \in Escars(\nabla, x)$ soit $\forall i \in \mathbb{N}$, $\nabla^i(y) \in Escars(\nabla, x)$ qui entraîne que $Escars(\nabla, y) \subset Escars(\nabla, x)$.

Nous savons que

$$P(\nabla)(x) = \mathrm{Caste}(\nabla, x)^{-1} \circ p(\nabla, x) (P \times \mathrm{Dantes}(\nabla, x)(x))$$

et si on remarque que $\mathrm{Dantes}(\nabla, x)(x) = 1$ et effectue la division euclidienne à gauche de $P$ par $\kappa(\nabla, x)$ soit $P = R \times \kappa(\nabla, x) + P'$ avec $\deg(P') < \deg(\kappa(\nabla, z)) = k$ on obtient pour $y$ $$
\begin{align*}
P(\nabla)(x) &= \mathrm{Caste}(\nabla, x)^{-1} (p(\nabla, x) (R\kappa(\nabla, x))) \\
&\quad + \mathrm{Caste}(\nabla, x)^{-1} (p(\nabla, x)(P')) \\
&= \mathrm{Caste}(\nabla, x)^{-1} (p(\nabla, x)(P')) \\
&= \mathrm{Caste}(\nabla, x)^{-1} \circ p(\nabla, x) (P'\mathrm{Dantes}(\nabla, x)(x)) \\
&= P'(\nabla)(x)
\end{align*}
$$

Mais $P'(\nabla)(x) = y$ s'écrit aussi

$$
\begin{align*}
\mathrm{Caste}(\nabla, x)^{-1} \circ p(\nabla, x) (P' \times \mathrm{Dantes}(\nabla, x)(y)) &= \\
\qquad \mathrm{Caste}(\nabla, x)^{-1} \circ p(\nabla, x)(1) \\
\mathrm{Caste}(\nabla, x)^{-1} \circ p(\nabla, x) (P' \times \mathrm{Dantes}(\nabla, x)(y) - 1) \\
&= 0 \\
p(\nabla, x) (P' \times \mathrm{Dantes}(\nabla, x)(y) - 1) &= 0 \\
P' \times \mathrm{Dantes}(\nabla, x)(y) - 1 &= -Q' \times \kappa(\nabla, x) \\
P' \times \mathrm{Dantes}(\nabla, x)(y) + Q' \times \kappa(\nabla, x) &= 1 \\
\text{Comme } \deg(\mathrm{Dantes}(\nabla, x)(y)) = \deg(\kappa(\nabla, x) =
\end{align*}
$$
$k > 0$ et $deg(P') < k$ cette égalité entraîne

$\exists P', Q' \in K[D]$

$deg(P') < k \text{ et } deg(Q') < k$

$$P' \times \text{Dantes}(\nabla, x)(y) + Q' \times \kappa(\nabla, x) = 1$$

Ce qui a préparé le

**Théorème de Bézout** : si $f, L \in K[D] \setminus K$ vérifient $L \nabla_g f = 1$ alors $\exists Q, P \in K[D], (Q \times L + P \times f = 1)$ où $(deg(Q) < deg(f))$ et $(deg(P) < deg(L))$.

**Preuve** : on ne perd rien à la généralité en supposant que

$$deg(L) = \max(deg(f), deg(L)) = k > 0$$

Nous distinguons deux cas :

(1) $deg(L) > deg(f)$ : si $a_k \neq 0$ est le coefficient de $D^k$ dans $L$ alors $f \nabla_g L = f \nabla_g a_k^{-1} L = 1$. On pose $a_k^{-1} L = D^k - \sum_{i=0}^{k-1} c_i D^i$, $f = \sum_{i=0}^{k-1} b_i D^i$ où les coefficients $b_i$ ne sont pas tous nuls. Soit $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_k)$ la base canonique de $K^k$ et $\nabla$ la connexion dont la matrice dans la base $\mathcal{B}$ est la matrice compagnon de dernière colonne
$$ \begin{pmatrix} c_0 \\ \vdots \\ c_{k-1} \end{pmatrix} $$
alors, pour $\nabla$, $e_1$ est un vecteur cy-clique d'ordre $k$, $\kappa(\nabla, e_1) = a_n^{-1} L$, $\text{Dantes}(\nabla, e_1) (\sum_{i=0}^{k-1} b_i e_{i+1}) = f$ et par application de la préparation :
$\exists P', Q' \in K[D], P' \times f + Q' \times a_n^{-1}L = 1$
$deg(P') < deg(a_n^{-1}L)$ $deg(Q') < deg(f)$ et
en posant $P = P' \quad Q = a_k^{-1}$ nous obtenons le
théorème de Bézout.

(2) $deg(L) = deg(f)$ : nous posons $L = \sum_{i=0}^{k} c_i D^i$
$f = \sum_{i=0}^{k} b_i D^i$ avec $c_k \neq 0$ et $b_k \neq 0$ et effectuons la division euclidienne à gauche de $f$ par $L$, son reste est $R$ et le premier pas de l'algorithme du p.g.c.d. à gauche par divisions euclidiennes à gauche entraîne l'égalité

$1 = f \lor_g L = L \lor_g R$

$\exists P', Q' \in K[D]$ avec $deg(Q') < deg(R)$ et $deg(P') < deg(L)$ et $P'R + Q'L = 1$. Mais $f = a.L + R$ avec $a \in K\{0\}$ devient $f = R - a.L$ puis $P' \times f + (Q' - P'.a) \times L = 1$ et le théorème vient en posant $Q = Q' - P'.a$ et $P = P'$.

**Corollaire de Bézout :** si $f, L \in K[D]$ vérifient
$F \lor_g L = d$ alors $\exists P, Q \in K[D]$ avec
$deg(Q) < deg(f) - deg(d)$ et
$deg(P) < deg(L) - deg(d)$ tels que $Pf + QL = d$.

**Preuve :** nous posons $f = f'd$ et $L = L'd$ alors
$f' \lor_g L' = 1$ donc $\exists P, Q \in K[D]$ avec
$deg(Q) < deg(f') = deg(f) - deg(d)$
$deg(P) < deg(L') = deg(L) - deg(d)$ et
$Pf' + QL' = 1$.
$$ Pf' + QL' = 1 \Rightarrow Pf'd + QL'd = Pf + QL = d. $$
C.Q.F.D!

Cas générique $deg(Dantes(\nabla, y)(x) \lor_g \kappa(\nabla, y)) = e.$

**Lemme des degrés :** $\forall f, L \in K[D]$,

$$ deg(f \lor_g L) + deg(f \land_g L) = deg(f) + deg(L) $$

**Preuve :** sans perte de généralité on peut supposer que $k = deg(f) \ge deg(L)$ et si $f_k \in K \setminus \{0\}$ est le coefficient dominant de $f$ alors on peut écrire

$$ \left\{ \begin{array}{l} f \land_g L = (f_k^{-1} \cdot f) \land_g L \\ f \lor_g L = (f_k^{-1} \cdot f) \lor_g L \\ f_k^{-1} \cdot f = D^k - \sum_{i=0}^{k-1} f_i D^i \\ L = \sum_{i=0}^{k} l_i D^i \end{array} \right. \qquad \text{Soit} $$

$\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_k)$ la base canonique de $E = K^k$ et $\nabla$ la connexion de matrice $(\nabla)_{\mathcal{B}}$ égale à la matrice

compagnon de dernière colonne $\begin{pmatrix} f_0 \\ \vdots \\ f_{k-1} \end{pmatrix}$ alors $e_1$

est un vecteur cyclique d'ordre $k$,

$\kappa(\nabla, e_1) = f_{k-1}^{-1} \cdot f$ et

$Dantes(\nabla, e_1) (\sum_{i=0}^{k-1} l_i e_{i+1}) = L$ et, si on pose $z = \sum_{i=0}^{k-1} l_i e_{i+1}$, par le lemme du transport cyclique

$$ \kappa(\nabla, z) = (\kappa(\nabla, e_1) : Dantes(\nabla, e_1)(z))_g $$
Nous distinguons les cas (1) et (2) :

(1) $f \vee_g L = 1$. Suivant la définition du transporteur $\exists a \in K \setminus \{0\}$

$$ \kappa(\nabla, z) \times \mathrm{Dantes}(\nabla, e_1)(z) = a.\mathrm{Dantes}(\nabla, e_1)(z) \wedge_g \kappa(\nabla, e_1) $$

on alors

$$ \mathrm{deg}(af_{k-1}^{-1} \cdot f \wedge_g L) = $$

$$ \boxed{\mathrm{deg}(f \wedge_g L) =} $$

$$ \mathrm{deg}(a.\mathrm{Dantes}(\nabla, e_1)(z) \wedge_g \kappa(\nabla, e_1)) = $$

$$ \mathrm{deg}(\kappa(\nabla, z) \times \mathrm{Dantes}(\nabla, e_1)(z)) = $$

$$ \mathrm{deg}(\kappa(\nabla, z)) + \mathrm{deg}(\mathrm{Dantes}(\nabla, e_1)(z)) = $$

$$ \mathrm{deg}(f) + \mathrm{deg}(L) = $$

$$ \boxed{\mathrm{deg}(f) + \mathrm{deg}(L) - \mathrm{deg}(f \vee_g L)} $$

(2) $f \vee_g L = d \neq 1$. Posons $L = L'd$, $f = f'd$ alors $f' \vee_g L' = 1$ et d'après (1) on a l'égalité $\mathrm{deg}(f' \wedge_g L') + 0 = \mathrm{deg}(f') + \mathrm{deg}(L')$ équivallente à l'égalité

$$ \mathrm{deg}(f' \wedge_g L') + 2\mathrm{deg}(d) = \mathrm{deg}(f) + \mathrm{deg}(L) $$

équivallente à l'égalité

$$ \mathrm{deg}(f' \wedge_g L') + \mathrm{deg}(d) + \mathrm{deg}(f \vee_g L) = \mathrm{deg}(f) + \mathrm{deg}(L) $$

Il faut donc prouver que

$$ \mathrm{deg}(f \wedge_g L) = \mathrm{deg}(f' \wedge_g L') + \mathrm{deg}(d) $$

Nous utilisons pour le faire les transporteurs $f : L$ et $f' : L'$.
Nous savons que
$$
\left\{
\begin{array}{l}
(f : L)_g L \\
(f' : L')_g L'
\end{array}
\right.
= (f \wedge_g L)_g
= (f' \wedge_g L')_g
$$
soit
$$
\left\{
\begin{array}{l}
(f : L)_g L' d \\
(f' : L')_g L'
\end{array}
\right.
= (f \wedge_g L)_g
= (f' \wedge_g L')_g
$$
Les degrés de $f \wedge_g L$ et $f' \wedge_g L'$ sont ceux de $(f : L) \times L' \times d$ et $(f' : L') \times L'$ et la preuve vient en montrant que $(f : L)$ et $(f' : L')$ ont mêmes degrés ce qui est la conséquence des égalités d'idéaux à gauche qui suivent :

$$
\begin{align*}
(f' : L')_g &= \{P \in K[D] | Pf' \in (L')_g\} \\
&= \{P \in K[D] | Pf'd \in (L')_g d\} \\
&= \{P \in K[D] | Pf \in (L)_g\} \\
&= (f : L)_g
\end{align*}
$$

**Le degré des transporteurs :** soient $K$ un corps différentiel et une dérivation $D$ et soient $(f, L) \in K[D]^2$ alors

$$
\mathrm{deg}(L : f) = \mathrm{deg}(L) - \mathrm{deg}(L \vee_g f)
$$

**Preuve :** l'égalité d'idéaux à gauche
$(L : f)_g f = (f \wedge_g L)_g$ entraîne que les générateurs
de ces idéaux ont même degré.

* $(L : f)_g f$ a pour générateur $(L : f)f$ de degré $deg(L : f) + deg(f)$.

* $(f \wedge_g L)_g$ a pour générateur $f \wedge_g L$ de degré $deg(f) + deg(L) - deg(f \vee_g L)$.

Il suit que $deg(L : f) = deg(L) - deg(f \vee_g L)$.

L'algorithme de calcul des p.g.c.d. à gauche par
division euclidienne à gauche permet le calcul du degré des transporteurs.

Cas d'irréductibilité de $Caste(\nabla, y)$.

**Lemme :** $P \in K[D]$ est irréductible si et seulement si $deg(Q) < deg(P) \Rightarrow Q \nmid_P P = 1$, $\forall Q \in K[D]$.

**Preuve :**

* si $P$ n'est pas irréductible $\exists R, Q \in K[D] \setminus K, P = Q \times R$. On a alors $0 < deg(R) < deg(P)$ et $R \nmid_P Q = a.R$ avec $a \in K \setminus \{0\}$ soit $R \nmid_P Q \neq 1$.

* Si $\exists Q \in K[D] (deg(Q) < deg(P)) \land (P \nmid_Q Q \neq 1)$ alors $O = P \nmid_Q Q$ est un diviseur à gauche de $P$ et $\exists N \in K[D], P = N \times O$. $deg(N) > 0$ puisque $deg(O) < deg(P)$. P, le produit de deux éléments de $K[D] \setminus K$ n'est pas irréductible.

**Théorème de l'égalité cyclique irréductible.**

Si $y$ est un vecteur cyclique d'ordre $k$ d'un triplet $(K, D, E)$ et si $\kappa(\nabla, y)$ est irréductible alors $\forall x \in Escars(\nabla, y)$

* $Escar(\nabla, x) = Escars(\nabla, y)$.

* $\kappa(\nabla, x)$ est irréductible.

**Preuve :**
• soit $x \in Escars(\nabla, y)$ alors

$$Dantes(\nabla, y)(x) \leq k-1 < k = \deg(\kappa(\nabla, y))$$

$\kappa(\nabla, y)$ est irréductible donc $Dantes(\nabla, y)(x) \lor_g \kappa(\nabla, y) = 1$ ce qui entraîne, d'après ce qui précède, $Escars(\nabla, x) = Escars(\nabla, y)$.

• Supposons que $d$ soit un diviseur non unitaire à gauche de $\kappa(\nabla, x)$ alors $\exists \kappa'_x \in K[D], \kappa(\nabla, x) = \kappa'_x \times d$. Posons $d = \sum_{i=0}^{\deg(d)} d_i D^i$ et $\omega = \sum_{i=0}^{\deg(d)} d_i \nabla^i(x)$ alors $Dantes(\nabla, x)(\omega) = d$ et $Dantes(\nabla, x)(\omega) \lor_g \kappa(\nabla, x) = d$ et

$$\omega = \mathrm{Caste}(\nabla, x)^{-1} \circ p(\nabla, x)(d)$$

alors $\dim(Escars(\nabla, \xi)) = k$ ce qui est con-tradictoire avec

$$\dim(Escars(\nabla, \omega)) = \dim(Escars(\nabla, x)) - \deg(d)$$

et $\kappa(\nabla, x)$ n'a pas de diviseur propre à gauche : l'idéal $(\kappa(\nabla, x))_g$ est maximal.

**Sous-espaces vectoriels stables d'un espace vectoriel stable**
$Escars(\nabla, y)$ d'un triplet $(K, D, E)$.

**Le lemme de sous-recouvrement stable :**

soient un triplet $(K, D, E)$, une connexion $\nabla, y$ un vecteur d'un espace vectoriel $F \nabla$-stable, $p(\nabla, y, F)$
la projection canonique de $Escars(\nabla, y)$ sur $Escars(\nabla, y)/F$ alors il existe une unique connexion $\nabla|F$ sur $Escars(\nabla, y)/F$ qui rende commutatifs les shémas :

$$ \begin{array}{ccc} \begin{array}{c} Escars(\nabla, y) \\ \downarrow_{p(\nabla, y, F)} \end{array} & \xrightarrow{\nabla} & \begin{array}{c} Escars(\nabla, y) \\ \downarrow_{p(\nabla, y, F)} \end{array} \\ \begin{array}{c} Escars(\nabla, y)/F \\ \forall P \in K[D] \end{array} & \xrightarrow{\nabla|F} & \begin{array}{c} Escars(\nabla, y)/F \\ \end{array} \end{array} $$

$$ \begin{array}{ccc} \begin{array}{c} Escars(\nabla, y) \\ \downarrow_{p(\nabla, y, F)} \end{array} & \xrightarrow{P(\nabla)} & \begin{array}{c} Escars(\nabla, y) \\ \downarrow_{p(\nabla, y, F)} \end{array} \\ \begin{array}{c} Escars(\nabla, y)/F \\ \forall P \in K[D] \end{array} & \xrightarrow{P(\nabla|F)} & \begin{array}{c} Escars(\nabla, y)/F \\ \end{array} \end{array} $$

**Preuve :** soient $x, z \in Escars(\nabla, y)$, si $x - z \in F$ alors $\nabla(x - z) = \nabla(x) - \nabla(z) \in Escars(\nabla, y) \subset F$; il existe alors une unique application $\nabla|F$ qui rende commutatif le shéma

$$ \begin{array}{ccc} \begin{array}{c} Escars(\nabla, y) \\ \downarrow_{p(\nabla, y, F)} \end{array} & \xrightarrow{\nabla} & \begin{array}{c} Escars(\nabla, y) \\ \downarrow_{p(\nabla, y, F)} \end{array} \\ \begin{array}{c} Escars(\nabla, y)/F \\ \forall P \in K[D] \end{array} & \xrightarrow{\nabla|F} & \begin{array}{c} Escars(\nabla, y)/F \\ \end{array} \\ \text{c'est l'application } \nabla|F \text{ qui à la classe de } x \text{ modulo } F, \text{ notée } x/F, \text{ associe la classe de } \nabla(x) \text{ modulo } F \end{array} $$
dont nous laissons au lectorat le soin de vérifier que c'est une connexion sur $Escars(\nabla, y)/F$. Nous déduisons *par combinaisons linéaires* que $\forall P \in K[D]$

$$p(\nabla, y, F) \circ P(\nabla) = P(\nabla|F) \circ p(\nabla, y, F)$$

de

$$\forall n \in \mathbb{N}, p(\nabla, y, F) \circ \nabla^n = (\nabla|F)^n \circ p(\nabla, y, F)$$

que nous montrons par récurrence sur $n$. Ceci est vrai pour $n = 0$, nous supposons que

$$p(\nabla, y, F) \circ \nabla^n = (\nabla|F)^n \circ p(\nabla, y, F) \text{ alors :}$$

$$\begin{align*}
p(\nabla, y, F) \circ \nabla^{n+1} &= p(\nabla, y, F) \circ \nabla^n \circ \nabla \\
&= \nabla|F^n \circ p(\nabla, y, F) \circ \nabla \\
&= \nabla|F^n \circ \nabla|F \circ p(\nabla, y, F) \\
&= \nabla|F^{n+1} \circ p(\nabla, y, F)
\end{align*}$$

Idéaux associés aux sous-espaces stables d'Escars($\nabla, y$) d'un triplet $(K, D, E)$.

## Définitions et propriétés :

* un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ espace vectoriel d'un triplet $(K, D, E)$ est $\nabla$-stable si et seulement si $\nabla(F) \subset F$.

* Soit $y$ un vecteur d'un triplet $(K, D, E)$ et $I$ un idéal à gauche de $K[D]$ alors l'ensemble $I(y) = \{P(\nabla)(y) | P \in K[D]\}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ qui est $\nabla$-stable.
* Le sous-espace vectoriel $I(y) \subset E$ et l' *idéal* à gauche $I(y)$ sont dits associés.

* Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ qui est $\nabla$-stable s'il existe $y \in E$ tel que $F = \text{Escars}(\nabla, y)$ alors il existe $I$ *idéal* de $K[D]$ à gauche tel que $F = I(y)$.

**Preuve :**

* $I(y)$ est un sous-espace vectoriel de $E$ puisque $0 \in I(y)$ et si $P, Q \in I(y)$ et $\lambda, \mu \in K$ alors $\lambda.P + \mu.Q \in I(y)$. Soit $P \in I$ un *idéal* à gauche de $K[D]$ alors $D \times P \in I$ puis $\nabla(P(\nabla)(y)) \in I(y) : I(y)$ est $\nabla$-stable.

* Soit $J = \{P \in K[D] | P(\nabla)(y) \in F\}$ alors $0 \in J$ et si $P, Q \in J$ alors $P + Q, -P \in J$ puisque $F$ est un espace vectoriel. Soit $R \in K[D]$ alors $R \times P(\nabla)(y) \in F$ puisque $F$ est $\nabla$-stable. $J$ est un *idéal* de $K[D]$ à gauche. D'autre part $J \subset J(y)$ et si $P \in J(y)$ alors $P \in J$ puisque $P(\nabla)(y) \in F$ donc $J = J(y)$.

**Les lemmes d'égalité et d'additivité des sous-espaces caractéristiques.**

Soient $F, G$ deux sous-espaces vectoriels d'Escars$(\nabla, y)$ d'idéaux à gauche associés $I, J$ alors :

* $F + G$ est un sous-espace vectoriel d'Escars$(\nabla, y)$ d'idéal à gauche associé $I + J$.
• $F = G$ si et seulement si
$$ \begin{cases} I \subset J + (\kappa(\nabla, y))_g & \Leftrightarrow F \subset G \\ J \subset I + (\kappa(\nabla, y))_g & \Leftrightarrow G \subset F \end{cases} $$

**Preuve :**

• la somme $F+G$, des sous-espaces vectoriel $F$ et $G$ sous-espaces vectoriels d'Escars($\nabla, y$) est un sous-espace vectoriel d'Escars($\nabla, y$) et si $P, Q \in F, G$ alors il existe des idéaux de $K[D]$ à gauche tels que $(P, Q) \in I(y) \times J(y)$ et
$$ (P+Q)(\nabla)(y) = P(\nabla)(y) + Q(\nabla)(y) \text{ appartient à } I(y) + J(y) \text{ idéal de } K[D] \text{ à gauche car somme des idéaux à gauche } I(y) \text{ et } J(y). $$

• $F \subset G \Leftrightarrow I(y) \subset J(y) + (\kappa(\nabla, y))_g$ puisque chaque proposition qui suit est équivalente :
$$ - (\forall x \in F), x \in G. $$
$$ - (\forall P \in I(y), \exists Q \in I(y)) $$
$$ P(\nabla)(y) = Q(\nabla)(y). $$
$$ - (\forall P \in I(y), \exists Q \in I(y), \exists R \in K[D]) $$
$$ P = Q + R \times \kappa(\nabla, y). $$
$$ - I \subset J + (\kappa(\nabla, y))_g. $$

• Par l'axiome de substitution, on permutte $G$ et $F, P$ et $Q, I(y)$ et $J(y)$ dans la suite de propositions précédentes et on prouve que
$$ G \subset F \Leftrightarrow J \subset I + (\kappa(\nabla, y))_g. $$
Sous-espaces vectoriels $\nabla$-stables minimaux d'un espace vectoriel $E$ d'un triplet $(K, D, E)$.

**Définition.**

Un sous-espace vectoriel $F$ d'un espace vectoriel $E$ d'un triplet $(K, D, E)$ est $\nabla$-stable minimum s'il est $\nabla$-stable et non-nul et de dimension minimume dans l'ensemble des sous-espaces vectoriels $\nabla$-stables et non-nuls de $E$.

Existence et lemme de caractérisation des sous-espaces vectoriels $\nabla$-stables minimaux d'un espace vectoriel $E$ d'un triplet $(K, D, E)$.

**Existence.** Pour tout espace vectoriel $E$ d'un triplet $(K, D, E)$ il existe des sous-espaces $\nabla$-stables minimaux de $E$.

**Preuve :** la fonction $F \mapsto \dim(F)$ à valeur sur les sous-espaces vectoriels de $E$ non nuls et $\nabla$-stables est à valeur sur les entiers et atteint son minimum.

**Lemme de caractérisation.** Les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ $\nabla$-stable minimum.

(ii) $\exists y \in F, F = \text{Escars}(\nabla, y)$ et $\kappa(\nabla, y)$ est irréductible.
(iii) $\forall y \in F, F = \text{Escars}(\nabla, y)$ et $\kappa(\nabla, y)$ est irréductible.

**Preuve :** nous prouvons que

• (i) $\Rightarrow$ (ii) par sa contraposée. Supposons que $\forall y \in F, F \neq \text{Escars}(\nabla, y)$ ou $\kappa(\nabla, y)$ n'est pas irréductible. Si le premier terme de la conjonction est vraie alors $F$ n'est pas $\nabla$-stable ce qui prouve non (i). Si le second terme de la conjonction est vraie alors $\kappa(\nabla, y)$ un diviseur $d$ propre à gauche non unitaire. On peut alors reprendre la preuve du deuxième point du théorème de l'égalité cyclique primaire tout $\kappa(\nabla, y)$ est irréductible : ce qui contredit qu'il ne l'est pas.

• (ii) $\Rightarrow$ (iii) : c'est le deuxième point du théorème de l'égalité cyclique primaire.

• (iii) $\Rightarrow$ (i) : soit $G \subset F$ un sous-espace vectoriel $\nabla$-stable nous montrons par l'absurde que $G = F$. Supposons que $G \subsetneq F$ : soit $x \in G$ alors $F = \text{Escars}(\nabla, x)$ et $\text{Escars}(\nabla, x) \subset G$ puisque $G$ est $\nabla$-stable. On a donc $F \subset G$ qui contredit $G \subsetneq F$.
Infinitude de l'ensemble des polynômes caractéristiques d'un espace vectoriel $\nabla$ stable minimum et non-nilpotence de toute connexion $\nabla$ d'un triplet $(K, D, E)$.

**Lemme d'infinitude de l'ensemble des polynômes caractéristiques d'un espace vectoriel $\nabla$ stable minimum d'un triplet $(K, D, E)$ :** soit $F$ un espace vectoriel non nul, $\nabla$-stable et minimum d'un triplet $(K, D, E)$ si $\nabla$ n'est pas nilpotente alors l'ensemble $\{\kappa(\nabla, y)|y \in F\}$ n'est pas fini.

**Preuve :** si l'ensemble $\{\kappa(\nabla, y)|y \in F\}$ est fini et égal à $\{\kappa(\nabla, y_1), \dots, \kappa(\nabla, y_s)\}$ alors si nous considérons $P = \kappa(\nabla, y_1) \wedge_g \dots \wedge_g \kappa(\nabla, y_s)$ on a $P(\nabla)(y) = 0$, $\forall y \in F$ et en particulier

$$ (\forall \lambda \in K)(\forall y \in F), P(\nabla)(\lambda, y) = 0 $$

Soit $\phi$ l'homomorphisme d'anneau de $\mathbb{Z}$ vers $K$ tel que si $n > 0$ alors $\phi(n) = \underbrace{1_K + \dots + 1_K}_{n \text{ fois}}$ alors on pose pour des entiers $n \ge p \ge 0$ $\mathbb{C}_n^p = \phi(\mathbb{C}_n^p)$. Par l'application de $\phi$ à $\mathbb{C}_n^p$, indépendamment de la caractéristique de $K$, la proposition qui suit est vraie

$$ (\forall n, p \in \mathbb{N}), k + 1 \le n \Rightarrow \mathbb{C}_{n+1}^{p+1} = \mathbb{C}_n^p + \mathbb{C}_n^{p+1} $$

Grâce à elle on peut obtenir, par double récurrence sur $n$ et $p$, la proposition

$$ \begin{gather*} \forall p \in \mathbb{N}, (\forall \lambda \in K), (\forall y \in F) \\ \nabla^p (\lambda, y) = \sum_{j=0}^{p} \mathbb{C}_p^j D^{p-j}(\lambda) \nabla^j(y) \end{gather*} $$
Pour $j \in \mathbb{N}$ et $P \in K[D]$ nous notons $P^{(j)}$ l'image de l'endomorphisme $K$-linéaire définie sur la base $(D^l)_{l \in \mathbb{N}}$ par $(D^l)^{(j)} = 0$ si $j > l$ et $(D^l)^{(j)} = \mathbb{C}_l^j D^{l-j}$ si $j \le l$, on a alors la proposition

$$ \forall p \in \mathbb{N}, \ (\forall \lambda \in K), \ (\forall y \in F) \\ \nabla^p (\lambda.y) = \sum_{j=0}^{p} (D^p)^{(j)} (\lambda) \nabla^j (y) $$

puis par linéarité la proposition

$$ (\forall \lambda \in K), \ (\forall y \in F) \\ P(\nabla) (\lambda.y) = \sum_{j=0}^{\deg(P)} (P)^{(j)} (\lambda) \nabla^j (y) $$

si $P = \kappa(\nabla, y_1) \wedge_g \cdots \wedge_g \kappa(\nabla, y_s) = \sum_{l=0}^{\deg(P)} a_l D^l$
on a

$$ (\forall \lambda \in K), \ (\forall y \in F) \\ P(\nabla) (\lambda.y) = \sum_{j=0}^{\deg(P)} \left( \sum_{l=0}^{\deg(P)} a_l (D^l)^{(j)} (\lambda) \right) \nabla^j (y) \\ \boxed{(\forall y \in F) (\forall \lambda \in K)} $$

$$ 0 = P(\nabla) (\lambda.y) = \sum_{j=0}^{\deg(P)} P^{(j)}(\lambda) \nabla^j (y) $$

Mais $P^{(j)}(\lambda) = \frac{1}{\phi(j!)} \sum_{l=0}^{\deg(P)} a_l \frac{\phi(l!)}{\phi(l-j)} D^{l-j}$ et si

$Diff : \begin{cases} K[X] \to K[D] \\ X^n \mapsto D^n \end{cases}$ alors
$$P^{(j)} = \frac{1}{\phi(j!)} \mathrm{Diff} \left( \frac{d^j P}{(dX)^j} \right)$$

$$(\forall y \in F)(\forall \lambda \in K)$$

$$0 = P(\nabla) (\lambda.y) = \sum_{j=0}^{\mathrm{deg}(P)} \frac{1}{\phi(j!)} \mathrm{Diff} \left( \frac{d^j P}{(dX)^j} \right) (\lambda) \nabla^j(y)$$

puis

$$(\forall y \in F)(\forall \lambda \in K)$$

$$0 = \sum_{j=0}^{\mathrm{deg}(P)-1} \frac{1}{\phi(j!)} \mathrm{Diff} \left( \frac{d^j P}{(dX)^j} \right) (\lambda) \nabla^j(y) \\ + a_{\mathrm{deg}(P)} \nabla^p(y)$$

Quelque soit le choix de $\lambda \in K$ un polynôme de $K[D]$ de degré $deg(P)$ annule tout $y \in F$, il an-nule en particulier $y_1, \dots, y_s$ dont les polynômes caractéristiques différents sont $\kappa(\nabla, y_1), \dots, \kappa(\nabla, y_s)$ : c'est donc un multiple commun à gauche de $\kappa(\nabla, y_1), \dots, \kappa(\nabla, y_s)$ et donc de $\kappa(\nabla, y_1) \wedge_g \dots \wedge_g \kappa(\nabla, y_s)$ qui est de degré $deg(P)$, et puisque ce polynôme est unitaire c'est donc $\kappa(\nabla, y_1) \wedge_g \dots \wedge_g \kappa(\nabla, y_s)$. La suite $(a_0, \dots, a_p)$ des coefficients de $\kappa(\nabla, y_1) \wedge_g \dots \wedge_g \kappa(\nabla, y_s)$ est donc, indépendamment de $\lambda$, la suite $(\frac{1}{\phi(0!)}P(\lambda), \frac{1}{\phi(1!)}\mathrm{Diff} \left( \frac{dP}{dX} \right) (\lambda), \dots, 1)$. La suite $(\frac{1}{\phi(0!)}P(\lambda), \frac{1}{\phi(1!)}\mathrm{Diff} \left( \frac{dP}{dX} \right) (\lambda), \dots, 1)$ ne dépend pas de $\lambda$ que si $P(\nabla)(y) = \nabla^{deg(P)}$ auquel cas
$\nabla^{\text{deg}(P)}(y) = 0, \forall y \in F : \nabla$ est nilpotente. On a prouvé par la contraposée que si la connexion $\nabla$ n'est pas nilpotente alors l'ensemble $\kappa(\nabla, y)$ où $y \in F$ espace vectoriel non nul $\nabla$-stable n'est pas fini.

**Sur tout triplet $(K, D, E)$ il n'existe pas de connexion linéaire $\nabla$ nilpotente :** soit $\nabla$ une connexion linéaire sur un triplet $(K, D, E)$ et $p$ un entier tel que $\nabla^p = 0$ alors pour tout couple de bases $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ la formule de changement de base s'écrit

$$ (\nabla^p)_{\mathcal{B}'} = P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}^{-1} (\nabla^p)_{\mathcal{B}} P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'} + P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}^{-1} D \left( P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}^{-1} \right) $$

Elle entraîne que $D \left( P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}^{-1} \right) = 0$ soit $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}^{-1} \in \text{Gl}_n(K_D)$ pour tout couple de bases $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$. Ceci entraîne que $D = 0$, or $D$ n'est pas identiquement nul, il y a contradiction.

**Les connexions irréductibles et le lemme d'Euclide.**

**Connexions irréductibles.**

**Définition :** soit $\nabla$ une connexion d'un triplet $(K, D, E)$ alors $\nabla$ est dite irréductible si et seulement $E$ est un espace vectoriel $\nabla$-stable minimum.

**Corollaire d'irréductibilité de tout polynôme caractéristique de vecteur d'un espace vectoriel $\nabla$-stable minimum :** soit $\nabla$ une connexion irréductible d'un triplet $(K, D, E)$ alors
∀y ∈ E κ(∇, y) est irréductible.

**Preuve** : l’assertion qui précède est équivallente au lemme de caractérisation des espaces vectoriels stables minimaux.

La supplémentation diagonalisante des bases caractéristiques stables des sous-espaces vectoriels $\nabla$-stables minimaux prépare le lemme d’Euclidean.

**Introduction** : soient un triplet $(K, D, E)$, $\nabla$ une connexion de $E$ dans $E$ et $y$ un vecteur de $E$ alors l'espace caractéristique stable $Escars(\nabla, y)$ est $\nabla$-stable et s'il n'est pas tout $E$ alors sa base caractéristique $(y, \nabla(y), \dots)$ peut être complétée pour obtenir une base de $E$ par rapport à laquelle la matrice de la connexion est triangulaire inférieure par blocs et il en est de même si $Escars(\nabla, y)$ est $\nabla$-stable minimum et, de plus, le lemme de complétion diagonalisante des bases caractéristiques stables des sous-espaces vectoriels $\nabla$-stables minimaux exprime que dans ce cas il est possible de compléter la base caractéristique $(y, \nabla(y), \dots)$ de façon à obtenir une base de $E$ par rapport à laquelle la matrice de la connexion a deux blocs diagonaux, le premier bloc représentant la connexion dans la base caractéristique de $Escars(\nabla, y)$ et nous prouvons que cette technique permet la préparation du lemme d'Euclidean avec $\wedge_g$ comme produit gauche de «fonctions».
**Attention!** L'utilisation de «» à fonctions est faite pour souligner que le terme fonction est utilisé à défaut d'un meilleur terme. On trouve dans les anciennes publications le terme paradoxal de fonctions holomorphes multivaluées pour souligner, dans l'exemple où $K_D = \mathbb{C}$, que la représentation bidimensionnelle de $\mathbb{C}$ (un plan) est insuffisante et que le mathématicien Bernhard Riemann a eu l'in tuition de remplacer par celle de «surfaces courbes singulières» qui portent son nom, on trouvera une représentation $2D$ d'une surface de Riemann feuille tée pour une courbe elliptique à l'U.R.L. https://www.geogebra.org/m/V4Qwh9mG, nous reviendrons plus précisément sur cette notion qui provient de celle de variété différentiable (resp. holomorphe).

**Le lemme d'Euclidean :** soient $P, P_1, P_2 \in K[D]$ irré- ductibles et unitaires, si $P$ divise à gauche $P_1 \wedge_g P_2$ alors $P = P_1$ ou $P = P_2$.

**Preuve :** sans perte de généralité nous supposons que $\deg(P_1) \ge \deg(P_2)$.

* Si $P_2 = P_1$ alors $P_1 \wedge_g P_2 = P_1$ et si $P$ irréducti- ble et unitaire divise à gauche $P_2$ alors $P = P_2 = P_1$.

* Si $P_2 \neq P_1$ alors $P_2 \vee_g P_1 = 1$ et, pour $j = 1, 2$, on pose $P_j = \sum_{i=0}^{\deg(P_j)} p_{j,i} D^i$ où
$p_{j,deg(P_j)} = 1$ et on appelle $C_j$ la matrice com-pagnon de $M_{deg(P_j)}(K)$ dont la dernière colonne

est le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix} -p_{j,0} \\ \vdots \\ -p_{j,deg(P_j)-1} \end{pmatrix}$.

$\nabla$ sera la connexion dont la matrice, exprimée dans la base canonique de $K^{deg(P_2)+deg(P_1)}$ est diagonale par blocs de blocs $C_2$ et $C_1$. Les vecteurs $e_{deg(P_2)+1}$ et $e_1$ de la base canonique de $K^{deg(P_2)+deg(P_1)}$ sont cycliques d'ordre $deg(P_2)$ et $deg(P_1)$ et, parce que $P_2 = \kappa(\nabla, e_{deg(P_2)+1})$ et $P_1 = \kappa(\nabla, e_1)$ sont irréductibles $Escars(\nabla, e_{deg(P_2)+1})$ et $Escars(\nabla, e_1)$ sont $\nabla$-stables minimaux et supplémentaires. Le polynôme annulateur de degré minimum de $e_{deg(P_2)+1} + e_1$ est $P_2 \vee_g P_1 = Q \times P$ et par décomposition sur

$Escars(\nabla, e_{deg(P_2)+1}) \oplus Escars(\nabla, e_1)$

$$Q \times P(\nabla)(e_{deg(P_2)+1} + e_1) = 0$$

↓↓

$$(Q \times P(\nabla)(e_1) = 0) \vee (Q \times P(\nabla)(e_{deg(P_2)+1}) = 0)$$

$P$ irréductible est un diviseur à gauche du polynôme minimal irréductible $P_1$ de $e_1$ ou $P_2$ de $e_{deg(P_2)+1}$ donc $P$ est associé à $P_1$ ou $P_2$ et comme ces polynômes sont unitaires : $P = P_1$ ou $P = P_2$.
## Le lemme de décomposition des espaces caractéristiques $\nabla$-stables.

Soient un triplet $(K, D, E)$ et $y$ un vecteur de $E$ alors

$$ (\exists s \in \mathbb{N}, \exists y_1, \dots, y_s \in \mathrm{Escars}(\nabla, y)) $$

$$ \mathrm{Escars}(\nabla, y) = \bigoplus_{i=1}^{s} \mathrm{Escars}(\nabla, y_i) $$

où $\forall i$, $\mathrm{Escars}(\nabla, y_i)$ est $\nabla$-stable minimum.

**Preuve :** si $\mathrm{Escars}(\nabla, y)$ est $\nabla$-stable minimum alors on pose $s = 1$ et $y_1 = y$ et le lemme est démontré sinon $\mathrm{Escars}(\nabla, y)$ qui est $\nabla$-stable contient un sous-espace vectoriel $V_1$ $\nabla$-stable minimum et $\exists y_1 \in \mathrm{Escars}(\nabla, y)$, $V_1 = \mathrm{Escars}(\nabla, y_1)$. On remarquera, au besoin en utilisant la bonne division euclidienne à gauche que $y_1 = P(\nabla)(y)$ où $P \in K[D]$ et $\deg(P) < \deg(\kappa(\nabla, y))$. Soit $W_1$ tel que $\mathrm{Escars}(\nabla, y) = V_1 \oplus W_1$ alors $y = P(\nabla)(y_1) + w_1$ et, puisque $w_1 \in W_1 \subset \mathrm{Escars}(\nabla, y)$, en utilisant la bonne division euclidienne à gauche $w_1 = Q(\nabla)(y)$ où $Q \in K[D]$ et $\deg(Q) < \deg(\kappa(\nabla, y))$ et nous avons $y = \underbrace{P(\nabla)(y)}_{y_1 \in V_1} + \underbrace{Q(\nabla)(y)}_{w_1 \in W_1}$. Si, à présent, nous appliquons $\kappa(\nabla, y)(\nabla)$ à $y$ et $\kappa(\nabla, y_1)(\nabla)$
à $y_1$ nous obtenons :

$$ egin{cases} (1) \ \kappa(\nabla, y) \times P = R \times \kappa(\nabla, y) \\ (2) \ \kappa(\nabla, y) \times Q = S \times \kappa(\nabla, y) \\ (3) \ \kappa(\nabla, y_1) \times P = T \times \kappa(\nabla, y) \end{cases} $$

et en en simplifiant l'écriture

$$ egin{cases} (1) \ \kappa P = R\kappa \\ (2) \ \kappa Q = S\kappa \\ (3) \ \kappa_1 P = T\kappa \end{cases} $$

Les égalités (1) et (3) sont équivalentes à

$$ egin{cases} \kappa = U(\kappa : P) \\ \kappa_1 = V(\kappa : P) \end{cases} $$

$\kappa_1$ est irréductible et unitaire, $\kappa : P$ est un diviseur unitaire d'un polynôme irréductible unitaire donc soit $\kappa : P = \kappa_1$ soit $\kappa : P = 1_K$. $\kappa : P = 1_K$ c'est $P$ est associé $\kappa$ soit $V_1 = \text{Escars}(\nabla, y)$ et $W_1 = \{0\}$ est alors $\nabla$-stable soit $W_1 = V_2 = \text{Escars}(\nabla, y_2)$. Si $\kappa : P = \kappa_1$ alors $\kappa_1 \in (\kappa)_g$ soit $\kappa|_{g\kappa_1}$ soit $\kappa_1 = \kappa$ puisque ces polynômes sont irréductibles et unitaires et, si $\kappa_1 = \kappa$ alors $\text{Escars}(\nabla, y) = \text{Escars}(\nabla, y)$ est $\nabla$-stable minimum.

**Nous avons prouvé que**
$\text{Escars}(\nabla, y) = \text{Escars}(\nabla, y_1) \oplus \text{Escars}(\nabla, y_2)$
**avec** $\text{Escars}(\nabla, y_1)$ $\nabla$-stable minimum et
$y_2 \in \text{Escars}(\nabla, y)$ (**éventuellement** $y_2$ est nul). Ceci amorce une récurrence qui prouve que
$\exists s \in \mathbb{N}, \text{Escars}(\nabla) = \bigoplus_{i=1}^{s} \text{Escars}(\nabla, y_i)$ avec $y_i \in \text{Escars}(\nabla, y)$ et $\text{Escars}(\nabla, y_i)$ $\nabla$-stable minimum. L'arrêt de la récurrence provient de ce que chaque $\text{Escars}(\nabla, y_i)$ est de dimension finie non-nulle.

Les positions des espaces caractéristiques $\nabla$-stables minimaux et les indices caractéristiques.

Les positions des espaces caractéristiques minimaux.

**Le lemme de positions :** $\forall y_1, y_2 \in E$ si $\text{Escars}(\nabla, y_1)$ et $\text{Escars}(\nabla, y_2)$ sont $\nabla$-stables minimaux alors soit $\text{Escars}(\nabla, y_1) \cap \text{Escars}(\nabla, y_2) = \{0\}$ soit $\text{Escars}(\nabla, y_1) = \text{Escars}(\nabla, y_2)$.

**Preuve :** $\text{Escars}(\nabla, y_1) \cap \text{Escars}(\nabla, y_2) = \{0\}$ ou $\exists z \neq 0, z \in \text{Escars}(\nabla, y_1) \cap \text{Escars}(\nabla, y_2)$ le polynôme $\kappa(\nabla, y)$ a alors pour degré $\dim(\text{Escars}(\nabla, z))$ et puisque $z \in \text{Escars}(\nabla, y_1)$ et $z \in \text{Escars}(\nabla, y_1)$ il a aussi pour degré $\dim(\text{Escars}(\nabla, y_1))$ et $\dim(\text{Escars}(\nabla, y_2))$ et de $\text{Escars}(\nabla, z) \subset \text{Escars}(\nabla, y_1) \cap \text{Escars}(\nabla, y_2)$ l'égalité $\text{Escars}(\nabla, y_1) = \text{Escars}(\nabla, y_2)$ suit. Nous en déduisons le

**premier théorème de décomposition en espaces caractéristiques $\nabla$-stables minimaux :** soit $\nabla$ une connexion sur un triplet $(K, D, E)$ il n'y a qu'un nombre fini d'espaces ca-
ractéristiques $\nabla$-stables minimaux, ils sont en somme directe et leur somme est $E$.

**Preuve** : la finitude de l’ensemble des espaces caractéristiques $\nabla$-stables minimaux et qu’ils soient en somme directe est une conséquence du lemme qui précède. Soient $Escars(\nabla, y_1), \dots, Escars(\nabla, y_s)$ ces espaces vectoriels alors si $\oplus_{i=1}^s Escars(\nabla, y_i) \subsetneq E$ il existe un espace vectoriel $F \subset E$ tel que $E = \oplus_{i=1}^s Escars(\nabla, y_i) \oplus F$. Soit $z \neq 0 \in F$ alors $Escars(\nabla, z)$ est somme directe d’espaces caractéristiques $\nabla$-stables minimaux, nécessairement parmi $\{Escars(\nabla, y_i) | 1 \leq i \leq s\}$ ce qui entraîne que $z$ appartient à l’un des $Escars(\nabla, y_i)$ ($1 \leq i \leq s$) et contredit qu’il n’y appartient pas.

L’indice et la présentation d’indices des espaces caractéristiques $\nabla$-stables minimaux.

**Définitions** : soit un triplet $(K, D, E)$

• nous appelons indice d’espaces caractéristiques $\nabla$-stables minimaux, que nous notons $IEsCarMin(\nabla)$, leur nombre, ce nombre est un nombre cardinal.

• Nous supposons fixée, cela repose sur un arbitraire et il y a $IEsCarMin(\nabla)$! façons de le faire, une numérotation $EsCarMin_1, EsCarMin_2, \dots, EsCarMin_{IEsCarMin(\nabla)}$
des espaces caractéristiques $\nabla$-stables minimaux,
une présentation d'indices des espaces caracté-
ristiques minimaux est la donnée d'une suite

$$
\sigma \in S_{IEsCarMin(\nabla)}.
$$

Le premier théorème de représentation des connexions linéaires.

Soit un triplet (K, D, E),

* une présentation d'indices des *IEsCarMin*(*∇*)
espaces caractéristiques ∇-stables minimaux é-
tant choisie, nous les notons
*Escars*<sub>1</sub>, ..., *Escars*<sub>IEsCarMin(∇)</sub> et choisis-
sons un *IEsCarMin(∇)*-uplet
(*y*<sub>1</sub>, ..., *y*<sub>IEsCarMin(∇)</sub>) ∈ *Escars*<sub>1</sub>\{0} × ... × *Escars*<sub>IEsCarMin(∇)</sub>\{0}
tel que si *i* ∈ {1, ..., *IEsCarMin(∇)*} alors
les polynômes différentiels irréductibles κ(*∇*, *y*<sub>*i*</sub>)
sont deux à deux distincts.

* Pour 1 ≤ *r* ≤ *IEsCarMin*(*∇*) et à partir des polynômes différentiels irréductibles κ(*∇*, *y*<sub>1</sub>), ..., κ(*∇*, *y*<sub>IEsCarMin(*∇*)</sub>), nous définissons, ∀*j* ≤ *r*, des matrices, des espaces vectoriels, des base, des connexions vectorielles
  – *C*<sub>*j*</sub> est la matrice compagnon d'ordre deg (*κ*(*∇*, *y*<sub>*j*</sub>)) de dernier vecteur colonne
$$ \left( \begin{array}{c} a_{j,0} \\ \vdots \\ a_{j,\deg(\kappa(\nabla, y_j))-1} \end{array} \right) \quad \text{si} $$

$$ \kappa(\nabla, y_j) = D^{\deg(\kappa(\nabla, y_j))} - \sum_{i=0}^{\deg(\kappa(\nabla, y_j)-1)} a_{j,i} D^i $$

- $E_r = \bigoplus_{j=1}^r \text{Escars}_j$ et nous appelons $\nabla_r$ la connexion $\nabla$ restreinte à $E_r$.

- $\mathcal{B}_r$ est la base obtenue par concaténation des bases $y_j, \nabla(y_j), \dots, \nabla^{\deg(\kappa(\nabla, y_j))-1}$ où $j = 1, \dots, r$.

* Dans la base $\mathcal{B}_{IEsCarMin}(\nabla)$ la matrice de $\nabla$ est $\text{diag}(C_1, \dots, C_r)$.

Choisissons à présent une présentation d'indices des $IEsCarMin(\nabla)$ espaces caractéristiques $\nabla$-stables minimaux qui les ordonne par dimension croissante et supposons que pour deux indices consécutifs les sous-espaces $\nabla$-stables minimaux aient même dimension. Sans perte de généralité supposons que $\dim(\text{Escars}_1) = \dim(\text{Escars}_2)$, $y_1$ et $y_2$ étant choisis dans $\text{Escars}_1$ et $\text{Escars}_2$, nous appelons $a$ l'isomorphisme de $E$ dans $E$ tel que $a|_{IEsCarMin(\nabla)}_{\oplus_{i=3}^r \text{Escars}_i} = \text{Id}$, $a(\nabla^j(y_1)) = \nabla^j(y_2)$ où $j \in \{0, \dots, \dim(\text{Escars}_1) - 1\}$ et $L$ l'application linéaire de $E$ dans $E$ égale à $\nabla \circ a - a \circ \nabla$ et dont on remarque que
• $L|_{\oplus_{i=3}^{IEsCarMin(\nabla)} Escars_i} = 0.$

• Si $j < \dim(Escars_1) - 1$ alors
$L(\nabla^j(y_1)) = 0$ et si $j = \dim(Escars_1) - 1$
alors $L(\nabla^j(y_1)) = \kappa(\nabla, y_1)(\nabla)(y_2)$.

• Si $j < \dim(Escars_2) - 1$ alors
$L(\nabla^j(y_2)) = 0$ et si $j = \dim(Escars_2) - 1$
alors $L(\nabla^j(y_2)) = \kappa(\nabla, y_2)(\nabla)(y_1)$.

Soit $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{IEsCarMin(\nabla)}}(L) = \mathrm{diag} \left( M, 0_{\sum_{j=2}^{IEsCarMin(\nabla)}} \right)$
avec $M = \begin{pmatrix} 0 & M_{1,2} \\ M_{2,1} & 0 \end{pmatrix}$ où $M_{2,1}$ (resp. $M_{1,2}$)
a toutes ses colonnes nulles sauf la dernière qui est
la dernière colonne de $C_1$ (resp. $C_2$). Le polynôme
caractéristique de $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{IEsCarMin(\nabla)}}(L)$ est alors, en
développant $\det (\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{IEsCarMin(\nabla)}}(L) - \lambda I_{\sum_{j=1}^{IEsCarMin(\nabla)}})$
par rapport à ses colonnes,
$$ (-\lambda)^{\sum_{j=1}^{IEsCarMin(\nabla)} -2} \det \begin{pmatrix} -\lambda & C_{2\dim(Escars_2),\dim(Escars_2)} \\ C_{1\dim(Escars_1),\dim(Escars_1)} & -\lambda \end{pmatrix} $$
soit $$ (-\lambda)^{\sum_{j=1}^{IEsCarMin(\nabla)} -2} (\lambda^2 - C_{1\dim(Escars_1),\dim(Escars_1)} C_{2\dim(Escars_2),\dim(Escars_2)}) $$
Nous distinguons deux cas :

• $C_{1\dim(Escars_1),\dim(Escars_1)} C_{2\dim(Escars_2),\dim(Escars_2)} = 0$ et dans ce cas $D$ est un diviseur à gauche de $\kappa(\nabla, y_1)$ ou $\kappa(\nabla, y_2)$ irréductibles et donc $\dim(Escars_1) = \dim(Escars_2) = 1$.

• $C_{1\dim(Escars_1),\dim(Escars_1)} C_{2\dim(Escars_2),\dim(Escars_2)} \neq 0$ alors le polynôme caractéristique de $L$ est scindé
sur le corps de décomposition de
$X^2 - C_{1_{\dim(Escars_1)}, \dim(Escars_1)} C_{2_{\dim(Escars_2)}, \dim(Escars_2)} \in K[X]$
$L$ est diagonalisable sur ce corps de valeurs pro-
pres $\pm\sqrt{C_{1_{\dim(Escars_1)}, \dim(Escars_1)} C_{2_{\dim(Escars_2)}, \dim(Escars_2)}}$ d'or-
dres $\dim(Escar_1)$ et $0$ d'ordre
$\dim(E) - 2\dim(Escars_1)$. Posons, pour sim-
plifier l'écriture, $c = C_{1_{\dim(Escars_1)}, \dim(Escars_1)} C_{2_{\dim(Escars_2)}, \dim(Escars_2)}$
alors

$$
\begin{align*}
(L^2/c)^n &= P^{-1}\mathrm{diag}(I_{2\dim(Escars_1)}, 0_{\dim(E)-2\dim(Escars_1)})P \\
&= \mathrm{cst}
\end{align*}
$$

- Si $c \neq 1_K$ alors le terme $(L^2/c)^n$ dépend de $n$ si $L^2/c \neq 0$, on en déduit que $L^2/c = 0$ soit $L = 0$ donc $\nabla$ et $a$ commutent : l'image d'un espace vectoriel $\nabla$-stable (Resp. $\nabla$-stable minimum) par $a$ est $\nabla$-stable (Resp. $\nabla$-stable minimum).

- Si $c = 1_K$ alors

$$
L^2 = P^{-1} \mathrm{diag}(I_{2\dim(Escars_1)}, 0_{\dim(E)-2\dim(Escars_1)}) P = L
$$

autrement dit $L$ est un projecteur linéaire.
Mais si la caractéristique de $K$ n'est pas
2 le polynôme caractéristique de $L$ admet
$0, 1_K$ et $-1_K$ comme racines, ce qui con-
tredit que $L$ est un projecteur $K$-linéaire
(un projecteur linéaire n'admet que $0$ ou $1_K$
comme valeur propre). Nous en déduisons
que $c \neq 1_K$, mais comme le terme $(L^2/c)/n$
dépend de $n$ si $L^2/c \neq 0$, nous en déduisons
que $L^2/c = 0$ soit $L = 0$ et donc

$$L \left( \nabla^{\dim(Escars_1) - 1} \right) = \kappa(\nabla, y_1)(y_2) = 0$$

soit $\kappa(\nabla, y_1) = \kappa(\nabla, y_2)$ : ceci étant impossible par choix de $y_1$ et $y_2$ nous en déduisons que si la caractéristique de $K$ n'est pas 2 alors $Escars_1$ est le seul espace-vectoriel $\nabla$-stable minimum de dimension $\dim(Escars_1)$.

### Le deuxième théorème de représentation des connexions linéaires.

Soit un triplet $(K, D, E)$ avec $K$ de caractéristique différente de 2 :

* les sous-espaces vectoriels de $K$, $\nabla$-stables mi nimaux de dimension différentes de 1 sont de dimension deux à deux distinctes.

* Une présentation d'indice des $IEsCarMin(\nabla)$ espaces caractéristiques $\nabla$-stables minimaux les ordonnant par dimension croissante étant choisie nous les notons $Escars_1, \dots, Escars_{IEsCarMin(\nabla)}$ et choisissons un $IEsCarMin(\nabla)$-uplet $(y_1, \dots, y_{IEsCarMin(\nabla)} \in Escars_1 \setminus \{0\} \times \dots \times Escars_{IEsCarMin(\nabla)} \setminus \{0\}$ tel que si $i \in \{1, \dots, IEsCarMin(\nabla)\}$ alors les polynômes différentiels irréductibles $\kappa(\nabla, y_i)$ soient deux à deux distincts.

* Dans la base $\mathcal{B}_{IEsCarMin(\nabla)}$ la matrice de $\nabla$ est $\mathrm{diag}(C_1, \dots, C_{IEsCarMin(\nabla)})$.
La dimension des espaces stables minimaux.

Considérons le lemme du transport cyclique énoncé page 33 par si $y$ est un vecteur d'un triplet $(K, D, E)$ d'ordre cyclique $k$ et $x \in \text{Escars}(\nabla, y)$ alors

$$ (\kappa(\nabla, x))_g = (\kappa(\nabla, y) : \text{Dantes}(\nabla, y)(x))_g $$

et choisissons $y$ dans un espace $\nabla$-stable minimum alors $\kappa(\nabla, y)$ est irréductible et puisque $x \in \text{Escars}(\nabla, y)$ alors $\kappa(\nabla, x)$ est irréductible d'autre part, par définition des espaces stables minimaux et de la fonction $\kappa : y \mapsto \kappa(\nabla, y)$ on a
$$ \dim(\text{Escars}(\nabla, y)) = \deg(\kappa(\nabla, y)) = \deg(\kappa(\nabla, x)) $$

* Le degré de $P = \kappa(\nabla, y) : \text{Dantes}(\nabla, y)(x)$ est donc $\deg(\kappa(\nabla, x)) - \deg(\text{Dantes}(\nabla, y)(x))$.

* Le degré de $Q = \kappa(\nabla, x)$ est $\deg(\kappa(\nabla, x))$.

* $P$ et $Q$ sont les générateurs d'idéaux à gauche qui sont égaux ont donc même degré on a donc
$$ \forall x \in \text{Escars}(\nabla, y), \deg(\text{Dantes}(\nabla, y)(x)) = 0 $$
Par définition de $\text{Dantes}(\nabla, y)(x)$ ceci n'est possible que si $x$ et $y$ sont colinéaires. Ceci étant vrai pour tous les $x \in \text{Escars}(\nabla, y)$ on a donc $\dim(\text{Escars}(\nabla, y)) = 1$

On a le

**Théorème** : si la caractéristique de leur corps n'est pas 2 alors les espaces vectoriels $\nabla$-stables minimaux sont de dimension 1.
Le troisième théorème de représentation des connexions linéaires.

Soit un triplet $(K, D, E)$ avec $K$ de caractéristique différente de 2 :

* les sous-espaces vectoriels de $K$, $\nabla$-stables mi nimaux sont tous de dimension 1.

* Une présentation d'indice des $IEsCarMin(\nabla)$ espaces caractéristiques $\nabla$-stables minimaux les ordonnant par dimension croissante étant choisie nous les notons $Escars_1, \dots, Escars_{IEsCarMin(\nabla)}$ et choisissons un $IEsCarMin(\nabla)$-uplet $(y_1, \dots, y_{IEsCarMin(\nabla)} \in Escars_1 \setminus \{0\} \times \dots \times Escars_{IEsCarMin(\nabla)} \setminus \{0\}$ tel que si $i \in \{1, \dots, IEsCarMin(\nabla)\}$ alors les polynômes différentiels irréductibles $\kappa(\nabla, y_i)$ soient deux à deux distincts.

* Dans la base $\mathcal{B}_{IEsCarMin(\nabla)}$ la matrice de $\nabla$ est diagonale.

Le lemme d'existence de vecteur cyclique sur tout espace vectoriel $\nabla$-stable

**s'énonce** : soit un triplet $(K, D, E)$, il existe dans tout sous espace vectoriel $F$ de $E \nabla$-stable un vecteur cyclique d'ordre $dim(F)$. En particulier il existe dans $E$ un vecteur cyclique d'ordre $dim(E)$.

**Preuve** : soit une présentation d'indices des $IEsCarMin(\nabla)$ sous-espaces caractéristiques $\nabla$-stables minimaux de $E$ telle que $E = \bigoplus_{i=1}^{IEsCarMin(\nabla)} E_i$ où $\forall i$, $E_i \nabla$-stable mini-
mum. Pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E \nabla$-stable

$$F = F \cap E = F \cap \bigoplus_{i=1}^{IEsCarMin(\nabla)} E_i = \bigoplus_{i=1}^{IEsCarMin(\nabla)} F \cap E_i$$

Si on pose $\forall i \in \{1, \dots, IesCarMin(\nabla)\}$, $G_i = F \cap E_i$, chaque $G_i$ est sous-espace vectoriel non nul et $\nabla$-stable de $E$ et $F$, donc chaque $G_i$ est nul ou égal à $E_i$ et, comme $F$ n'est pas $\{0\}$, $F = \bigoplus_{i \in I} \text{fini} G_i$. Nous choisissons une collection finie $y_i \neq 0$ dans chaque $E_i$ et pour $i \in I$ de façon à ce que chaque polynôme irréductible $\kappa(\nabla, y_i)$ soit différent. Avec ce choix le vecteur $y = \sum_{i \in I} y_i$ est cyclique d'ordre $\text{dim}(F)$. En effet si $0 = P(\nabla)(y) = \sum_{i \in I} P(\nabla)(y_i)$ alors $P(\nabla)(y_i) = 0, \forall i \in I$ et donc $P \in (\Lambda_{g,i \in I} \kappa(\nabla, y_i))_g$ de degré $\text{dim}(F)$. Nous terminons la preuve en prouvant que $\Lambda_{g,i \in I} \kappa(\nabla, y_i)$ est **le** polynôme annulateur de $y$.

En effet $\forall i \in I, \exists Q_i \in K[D], \Lambda_{g,i \in I} \kappa(\nabla, y_i) = Q_i P_i$ et $(Q_i P_i)(\nabla_r)(y_i) = 0, \forall r \le \#I$ puisque $C_i$ est le $i$-ème bloc de $\text{diag}(C_1, \dots, C_r)$. Nous en déduisons que $\sum_{i=1}^r Q_i P_i(\nabla_r)(y_i) = 0$ ou autrement écrit

$$P_1 \wedge_g \dots \wedge_g P_r(\nabla_r) \left( \sum_{j=1}^r y_i \right) = 0$$

Et si, pour $P \in K[D], P(\nabla_r)(y) = 0, \forall r \le \#I$ alors $P(\nabla_r)(y_i) = 0, \forall i \in \{1, \dots, r\}$ puisque
$E_r \ni y = \sum_{i=1}^{r} \underbrace{y_i}_{\in E_i \ \nabla\text{-stable}}$. $P(\nabla)$ **doit** annuler chaque $y_i$ et **doit** être multiple à gauche de chaque $P_i$, c'est à dire **doit** être multiple commun à gauche des $P_i$: celui de plus petit degré possible est leur p.p.c.m. à gauche et puisque c'est un annulateur de $y$ c'est **le** polynôme différentiel annulateur de $y$.

**Le lemme de représentation idéale des sous-espaces $\nabla$-stables d'Escars($\nabla, y$)**

**s'énonce :** soient un triplet $(K, D, E)$ et $y \in E$ et $F$ un sous-espace vectoriel $\nabla$-stable d'Escars($\nabla, y$) alors il existe un unique idéal $I$ de $K[D]$ à gauche tel que $F = I(\nabla)(y)$ dont le degré du générateur est inférieur à $\dim(E)$.

**Preuve :**

* Existence : soit $z$ un vecteur cyclique de $F$ d'ordre $\dim(F)$ nous posons $d = \text{Dantes}(\nabla, z) \lor_g \kappa(\nabla, y)$ et $\xi = d(\nabla)(y)$ alors, d'après la section précédente, $\kappa(\nabla, y) = \kappa(\nabla, \xi)d$. Cette égalité entraîne que

$$ \text{Escars}(\nabla, \xi) = (\text{Dantes}(\nabla, z) \lor_g \kappa(\nabla, y))_g(\nabla)(y) $$

Nous posons $\text{Dantes}(\nabla, z) = f \times d$ alors, si $k = \dim(E)$, $f$ est un polynôme différentiel de degré au plus $k - \deg(d) - 1$ tel que $f(\nabla)(\xi) = z$, sachant que

$$ \dim(\text{Escars}(\nabla, \xi)) = \deg(\kappa(\nabla, \xi)) = k - \deg(d) $$
c'est que $z \in \text{Escars}(\nabla, \xi)$ $f = \kappa(\nabla, \xi)(z)$
$d = \text{Dantes}(\nabla, z) \vee_g \kappa(\nabla, y)$
On a alors
$= (f \times d) \vee_g (f)$ soit
$= f \times (d \vee_g 1)$
$= f$
$z = d(\nabla)(\xi) = d^2(\nabla)(y)$ et
$F = \text{Escars}(\nabla, z) = K[D](\nabla)(z) = (d^2)_g(\nabla)(y)$
donc si $I = (R)_g$ alors $F = I(\nabla)(y)$ où R est
le reste de la division *euclidienne à gauche* de
$d^2$ par $\kappa(\nabla, y)$.

* Unicité : si $I$ et $J$ sont deux idéaux à gauche de représentants unitaires $i$ et $j$ tels que $F = I(\nabla)(y) = J(\nabla)(y)$ alors $I = J+(\kappa(\nabla, y))_g$ soit $i = j + Q\kappa(\nabla, y)$ et comme $\deg(i), \deg(j) < \dim(E) = \deg(\kappa(\nabla, y))$ ceci entraîne que $i = j$ soit $I = J$.

L'application $\Phi$ des sous-espaces vectoriels $\nabla$-stables d'Escars($\nabla, y$) vers leurs idéaux de représentation.

Soit $y$ un vecteur d'un triplet $(K, D, E)$ alors $\Phi$
est l'application $\Phi : F \mapsto I$ avec

* $F$ sous-espace vectoriel $\nabla$-stable d'Escars($\nabla, y$).

* $I$ idéal de $K[D]$ à gauche qui représente $F$.

$\Phi$ est additive et croissante et injective au sens de
l'inclusion (des espaces vectoriels et des idéaux à
gauche).
Le lemme du degré du p.p.c.m. de polynômes différentiels irréductibles prépare le lemme d'Euclide à gauche.

**Lemme :**

• Soient $P_1, \dots, P_s \in K[D]$ deux à deux non associés et tous irréductibles alors $\deg(P_1 \wedge_g \dots \wedge_g P_s) \le \sum_{i=1}^s P_i$.

• Si $P \in K[D]$ divise à gauche $P_1 \wedge_g \dots \wedge_g P_s$ alors il est associé à l'un des $P_j$ pour $j \in \{1, \dots, s\}$.

**Preuve :** nous montrons d'abord par récurrence l'assertion $\mathcal{P}(s)$

$$ \forall (P_1, \dots, P_s) \in K[D] \text{ irréductibles} $$

$$ \deg(P_1 \wedge_g \dots \wedge_g P_s) \le \sum_{i=1}^s \deg(P_i) $$

$\mathcal{P}(2)$ est vraie :

$$ \begin{aligned} \deg(P_1 \wedge_g P_2) &= \deg(P_1) + \deg(P_2) \\ &\quad - \deg(P_1 \vee_g P_2) \\ &= \deg(P_1) + \deg(P_2) \end{aligned} $$

Si $\mathcal{P}(s)$ est vraie alors

$$ \begin{align*} \deg(P_1 \wedge_g \dots \wedge_g P_{s+1}) &= \deg((P_1 \wedge_g \dots \wedge_g P_s) \wedge_g P_{s+1}) \\ &= \deg(P_1 \wedge_g \dots \wedge_g P_s) \\ &\quad + \deg(P_{s+1}) \\ &\quad - \deg((P_1 \wedge_g \dots \wedge_g P_s) \vee_g P_{s+1}) \\ &\le \deg(P_1 \wedge_g \dots \wedge_g P_s) \\ &\quad + \deg(P_{s+1}) \\ &\le \sum_{i=1}^{s+1} \deg(P_i) \end{align*} $$
Nous prouvons alors par récurrence $\mathcal{Q}(r)$ :
( $\forall P_1, \dots, P_r \in K[D]$ si $P_1, \dots, P_r$ sont irréductibles alors $\deg(P_1 \wedge_g \dots \wedge_g P_r) = \sum_{i=1}^r \deg(P_i)$ )
et ( si $Q \in K[D]$ est irréductible et $Q|_g P_1 \wedge_g \dots \wedge_g P_r$ alors $\exists j \in \{1, \dots, r\} \text{ et } Q \text{ est associé à } P_j$ ).

* $\mathcal{Q}(1)$ et $\mathcal{Q}(2)$ sont vraies et nous supposons que $\mathcal{Q}(r)$ est vraie.

* Nous prouvons d'abord que $\deg(P_1 \wedge_g \dots \wedge_g P_{r+1}) = \sum_{j=0}^{r+1} \deg(P_j)$ par l'absurde en supposant que

$$ \deg(P_1 \wedge_g \dots \wedge_g P_{r+1}) < \sum_{j=1}^{r+1} \deg(P_j) $$

on déduit que

$$ \deg \left( \underbrace{(P_1 \wedge_g \dots \wedge_g P_r) \vee_g P_{r+1}}_{d_{r+1}} \right) > 0 $$

$d_{r+1}$ est un diviseur à gauche de $P_{r+1}$ irréductible ne peut qu'être associé à $P_{r+1}$ donc $\cap_{j=1}^r (P_j)_g + (P_{r+1})_g = (P_{r+1})_g$ ce qui entraîne que $(P_1 \wedge_g \dots \wedge_g P_r)_g \subset (P_{r+1})_g$ puis que $\exists Q_{r+1} \in K[D], P_1 \wedge_g \dots \wedge_g P_r = Q_{r+1}P_{r+1}$. $P_{r+1}$ est un diviseur à gauche de $P_1 \wedge_g \dots \wedge_g P_r$ et en utilisant l'hypothèse $\mathcal{Q}(r)$ il est associé à
l'un des $P_j$ ($1 \le j \le n$) ce qui est contradictoire.

Supposant que l'assertion $Q(r)$ est vraie nous pouvons alors démontrer le deuxième terme de la conjonction $Q(r+1)$ c'est à dire l'assertion $\mathcal{E}(r+1)$ ou lemme d'Euclide à gauche : l'assertion si $Q \in K[D]$ est irréductible et $Q|_g P_1 \wedge_g \cdots \wedge_g P_{r+1}$ alors $\exists i \in \{1, \dots, r+1\} Q$ est associé à $P_i$. Nous posons $P_1 \wedge_g \cdots \wedge_g P_{r+1} = \psi_{r+1}Q$ alors $P_1 \wedge_g \cdots \wedge_g P_{r+1}$ est multiple commun à gauche des $P_i$ ($1 \le i \le r+1$) et de $Q$; $P_1, \dots, P_{r+1}, Q$ ne peuvent pas être deux à deux non associés car, puisque $P_1, \dots, P_{r+1}$ sont deux à deux non associés le degré de $P_1 \wedge_g \cdots \wedge_g P_{r+1}$ devrait être a minima

$$ deg(Q) + \sum_{i=1}^{r+1} P_i > deg(P_1 \wedge_g \cdots \wedge_g P_{r+1}) $$

ce qui contredirait le lemme du degré du p.p.c.m. à gauche de polynômes irréductibles non-associés. $Q$ est donc associé à l'un des $P_i$ pour un $i$ tel que $1 \le i \le r+1$.

L'anneau $(K[D], +, \wedge_g)$ est factoriel.

**Théorème** : si la caractéristique de $K$ n'est pas $2$ alors :
• $\forall P \in K[D], \exists s \in \mathbb{N}, \exists P_1, \dots, P_s \in K[D] \text{ irréductibles et de degrés}$
1 \text{ tels que}
P = P_1 \wedge_g \dots \wedge_g P_s.

• Soit $P = P_1^* \wedge_g \dots \wedge_g P_r^*$ une autre décomposition alors $r = s$ et $\exists \sigma \in S_s$, $P_i^* \sim P_{\sigma(i)}$, $\forall i \in \{1, \dots, s\}$ où $\sim$ est l'équivalence sur $K[D] : P \sim Q \Leftrightarrow \exists a \in K, Q = aP$.

Preuve :

• soit $P = \sum_{i=0}^{n} a_i D^i$ de degré $n$ et $\nabla$ la connexion dont la matrice dans $(e_1, \dots, e_n)$ la base canonique de $K^n$ est la matrice compagnon
de dernier vecteur-colonne
$$ \left( \begin{array}{c} -\frac{a_0}{a_n} \\ \vdots \\ -\frac{a_{n-1}}{a_n} \end{array} \right) $$
alors

$e_1$ est un vecteur cyclique d'ordre $n$ du triplet $(K, D, K^n)$ et d'après le lemme de décomposition des espaces caractéristiques $\nabla$-stables,

$\exists y_1, \dots, y_n \in K^n, K^n = \bigoplus_{i=1}^s Escars(\nabla, y_i)$

avec $\forall i \in \{1, \dots, s\}$, $Escars(\nabla, y_i)$ stable minimum donc, $e_1$ s'écrit de manière unique
$e_1 = \sum_{i=1}^s f_i$ avec $\forall i \in \{1, \dots, s\}$,
$f_i \in Escars(\nabla, y_i)$. Soit à présent $Q \in K[D]$
tel que $Q(\nabla)(e_1) = 0$ alors comme $Q(\nabla)(e_1)$ se
décompose sur $\bigoplus_{i=1}^s Escars(\nabla, y_i)$ en
$Q(\nabla)(e_1) = \sum_{i=1}^s \underbrace{Q(\nabla)(f_i)}_{\in Escars(\nabla, y_i)}$ on a

$$
\forall i \in \{1, \dots, s\}, Q(\nabla)(f_i) = 0
$$

soit $Q \in (\kappa(\nabla, f_i))_g$, $\forall i \in \{1, \dots, s\} : Q$
est un multiple du p.p.c.m. à gauche des $s$
polynômes différents irréductibles
$\kappa(\nabla, f_i), \dots, \kappa(\nabla, f_s)$. En particulier

$\frac{1}{a_n} P = \kappa(\nabla, e_1)$ est un multiple du p.p.c.m. à gauche des $s$ polynômes différents irréductibles $\kappa(\nabla, f_i), \dots, \kappa(\nabla, f_s)$. Mais

$$
\begin{align*}
deg(P) &= n = \sum_{i=1}^{s} dim (Escars(\nabla, y_1)) \\
&= \sum_{i=1}^{s} deg (\kappa(\nabla, y_i))
\end{align*}
$$

donc $\frac{1}{a_n} P = \underbrace{\kappa(\nabla, y_1)}_{P_1} \wedge \dots \wedge \underbrace{\kappa(\nabla, y_s)}_{P_s}$ et
$(P)_g = \bigcap_{i=1}^s (P_i)_g$.

Soit $I$ l'ensemble image de la suite
$i \mapsto P_i$ alors si $I \subsetneq \{1, \dots, s\}$ alors
$P = \bigwedge_{g,i \in I} P_i$ ne peut qu'être de degré inférieur
strictement à $n$ et, a posteriori, les $P_i$ sont
deux à deux non associés.

* Soient deux décompositions de P en p.p.c.m. de polynômes irréductibles

$P = Q_1 \wedge_g \dots \wedge_g Q_r = P_1 \wedge_g \dots \wedge_g P_s$ alors chaque $Q_j$ divise $P_1 \wedge_g \dots \wedge_g P_s$ et, par le lemme
d'Euclide, est associé à un $P_i$, et, chaque $P_i$ di-
vise $Q_1 \wedge_g \cdots \wedge_g Q_r$ et, par le lemme d'Euclide,
est associé à un $Q_j$. Comme les $P_i$ sont deux
à deux non associés et les $Q_j$ sont deux à deux
non associés ceci prouve qu'à une permutation
près $P_i \sim Q_i$ ce qui entraîne que $r = s$ sinon
$deg(Q_1 \wedge_g \cdots \wedge_g Q_r) \neq deg(P_1 \wedge_g \cdots \wedge_g P_s)$.

Pour conclure cette première partie.

Pour qui s'intéresse aux solutions des équations
différentielles et au calcul de leurs solutions, ces
perturbations singulières d'équations différentielles
linéaires singulières ne sont pas scientifiques ce qu'il
faut comprendre (*cum prendre : prendre avec*)
par : cette théorie algèbrique doit être complétée
d'une théorie analytique, celle des variétés (différen-
tiables).
# Éléments de résolution d'équations différentielles linéaires scalaires par quadrature.

## Équations d'ordre 1.

Si $K = \mathbb{C}(X)$.

Nous utilisons la décomposition des fractions fractionnelles. Admettons le

**Théorème :** toute fraction rationnelle $F = P/Q$ admet une unique décomposition en éléments simples, c'est-à-dire comme somme d'un polynôme $T$ et de fractions $a/(x-z)^k$ avec $a$ et $z$ complexes et $k$ entier supérieur ou égal à 1. Si $Q$ admet la factorisation $Q = (x-x_1)^{n_1} \dots (x-x_s)^{n_s}$ alors la décomposition de $F$ est de la forme

$$F = P/Q = T + F_1 + \dots + F_p$$

$$F_i = a_{i,1}/(x - x_i)^1 + \dots + a_{i,n_1}/(x - x_i)^{n_1}$$

C'est-à-dire que les seuls $a/(x-z)^k$ avec $a$ non nul qui risquent d'apparaître sont pour $z$ égal à un pôle
de $F$ et $k$ inférieur ou égal à son ordre. (On dit que $z$ est un pôle d'ordre $n$ de la fraction $F$ si $z$ est une racine d'ordre $n$ de son dénominateur $Q$, dans une écriture $F = P/Q$ sous forme irréductible, c'est-à-dire simplifiée au maximum : avec $P$ et $Q$ premiers entre eux.)

Ainsi $a \in \mathbb{C}(x)$ peut-il se réécrire en

$$a = T + a_{1,1}/(x - x_1) + \dots + a_{p,1}/(x - x_p) + G$$

avec $T$ un polynôme, $G$ la somme des termes $a_{i,k}/(x-x_i)^k$ où $i$ varie de 1 à $p$ et $k$ de 2 à $n_i$, et la primitive de $G$ la somme des termes $\frac{-1}{k-1}a_{i,k}/(x-x_i)^{k-1}$ où $i$ varie de 1 à $p$ et $k$ de 2 à $n_i$ c'est à dire de termes dont l'ordre des pôles $x_1, \dots, x_p$ est au moins 1 au plus $n_1-1, \dots, n_p-1$, c'est une fraction rationnelle de pôles $x_1, \dots, x_p$.

**Comment et pourquoi résoud-on $y' = ay$ avec $a \in \mathbb{C}(X)$?**

**Qu'est-ce que le problème de Cauchy ?** C'est chercher à résoudre

$$\left\{ \begin{array}{l} y'(x) = a(x)y \\ y(0) = y_0 \\ x \in \mathcal{U} \end{array} \right. \text{ où } \mathcal{U} \text{ est un « bon » ou-}$$

vert de $\mathbb{C}$ : c'est à dire que par le choix d'un ouvert « convenable » il va apparaître une solution unique, et qui ne dépend que de $y_0$ qui représente une position initiale, à cette équation où $y$ représente une position et $y'$ une vitesse, c'est
faire de la mécanique (au sens de la physique) déterministe.

Par quelle bonne géométrie résoud-on le problème de Cauchy? $x_1$, ..., $x_p \in \mathbb{C}$ étant déterminés comme les affixes des points $M_1, \dots, M_p$ du plan orthonormé, nous considérons un point courant $M_{p+1}$ d'affixe $x$ qui n'est ni $x_1, \dots$, ni $x_p$. Les segments $[M_1, M_{p+1}], \dots, [M_p, M_{p+1}]$ étant des fermés, nous choisissons $\mathcal{U}(x)$ par $\mathcal{U}(x) = \mathcal{P} \setminus \cup_{i=1}^p [M_i, M_{p+1}]$ où $\mathcal{P}$ est le plan orthonormé. Sur $\mathcal{U}(x)$ nous cherchons la solution particulière $y(x) = y_0 e^{\int_0^x B}$, ce qui entraîne que $B = a$ et donne

$$y(x) = y_0 e^{\int_0^x T} \times \prod_{i=1}^p (x - x_i)^{a_{i,1}} \times e^{\int_0^x G}$$

En plus de cette forme algèbrique il est nécessaire de décrire des chemins d'intégration associés aux $\int$. Ceux permettant le calcul des générateurs de monodromie sont des contours difféomorphes à des cercles entourant les singularités isolées $x_i$ ($1 \le i \le p$). Par le théorème de Cauchy-Lipschitz il existe une solution unique à l'équation différentielle définie localement dans tout voisinage inclus dans l'ouvert $\mathcal{U}(x)$. Par un théorème de monodromie dû à Walter Rudin cette solution se recolle dans les intersections de deux voisinages quelquonques et
vérifie l'équation différentielle globalement sur tout contour entourant une singularité.

**Sur le groupe de monodromie des équations différentielles scalaires à coefficients polynomiaux**

Nous avons montré que, pour tout système différentiel linéaire d'ordre $n$, il existe un unique $n$-uplet de droites vectorielles dans lesquelles le choix de vecteurs directeurs définit, à une permutation près un unique changement linéaire bijectif d'inconnues qui transforme tout système différentiel linéaire en un système pour lequel le groupe de monodromie est nécessairement commutatif (on remarque que puisque $C(x)[D]$ est stable minimum, les générateurs de monodromie diagonalisent dans une base commune et unique que nous appelons **l'éther scalaire** : essayez le changement de base $y = \lambda I_n z$ pour la connexion associée à l'opérateur différentiel) et fini dont les générateurs diagonalisables ont tous pour valeurs propres les racines complexes de l'unité. Ceci définit un groupe une orbite et un point unique de l'orbite unique que nous appelons **l'éther scalaire et le point aveugle** : dans cette orbite unique et au **point aveugle** le groupe de monodromie est commutatif et fini (chaque générateur de monodromie associé à un contour isolant une singularité $x_i$ est un sous groupe du groupe de monodromie
isomorphe à $\mathbb{Z}/p_i\mathbb{Z}$ avec $p_i \in \mathbb{Z}\setminus\{0\}$ où $p_i$ est un multiple de $m$, le p.g.c.d des $p_i$, appelons ces groupes, les groupes de Carré-Wazner, cette orbite l'éther de Carré-Wazner, et ce point, le point aveugle de Carré-Wazner.

Villeurbannes 31 août 2003, Eybens-La Tronche 2 Mai 2021 5h locales.