# Analyse numérique de la stabilité dans les géomatériaux

Kamel Hamadi, Arézou Modaressi, Félix Darve

► To cite this version:

Kamel Hamadi, Arézou Modaressi, Félix Darve. Analyse numérique de la stabilité dans les géomatériaux. 17ème Congrès Français de Mécanique, Sep 2005, Troyes, France. hal-05432596

HAL Id: hal-05432596

https://hal.science/hal-05432596v1

Submitted on 26 Dec 2025

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License
Analyse numérique de la stabilité dans les géomatériaux

Kamel Hamadi<fnref n="1" />, Arézou Modaressi<fnref n="1" />, Félix Darve<fnref n="2" />

Résumé :

Les problèmes d’analyse de stabilité ont longtemps été étudiés dans le cadre de la théorie classique de la plasticité. Ces analyses font souvent l’hypothèse de l’associativité du comportement des matériaux. Or, des instabilités et des bifurcations peuvent se développer à l’intérieur strict du critère de plasticité dans la mesure où le matériau est « non associé ». Le présent travail porte sur une analyse des conditions d’instabilité pour le modèle élasto-plastique de l’ECP dans les conditions drainées. Les principaux résultats sont constitués par la mise en évidence d’un large domaine potentiellement instable et de plus par l’existence d’un seul cône de directions instables avant d’atteindre la condition limite de plasticité. La réponse obtenue est en accord avec les observations expérimentales et les analyses théoriques.

Abstract :

For a long time, stability analysis problems have been studied in the framework of the classical theory of plasticity. These
analyses are often based on the associative hypothesis of material behaviour. However, some instabilities and bifurcations can be
developed in the strict inside of the plasticity criterion in so far as the material is non associated. So, the present research work
deals with instability conditions analysis for the ECP elasto-plastic model under drained conditions. It puts into evidence a
large domain potentially instable and the existence of a cone of unstable directions before the limit plasticity condition is reached.
Finally, the obtained responses are in close agreement with both experimental observations and theoretical analysis.

Mots clefs :

Instabilité matérielle; critère de Hill; critère classique; Modèle d'Hujeux.

1 Introduction

La recherche des instabilités et des bifurcations constitue actuellement un enjeux important dans le domaine
du génie civil. Les glissements de terrain, les avalanches, les boues torrentielles, etc sont des phénomènes
naturels en grande partie inexpliqués à l'aide des méthodes classiques. Par exemple, beaucoup de
glissements de terrain surviennent sous faible, voire très faible pente, en contradiction avec les analyses de
stabilités classiques. L'état limite classique est caractérisé en élasto-plasticité par une déformation
indéterminée pour une contrainte incrémentale nulle (palier de la plasticité parfaite : dσ = 0 et || de ||
indéfini non nul). La condition limite de plasticité est donc associée à l'annulation du déterminant de la
matrice élasto-plastique : La théorie élasto-plastique (Hill [6], Thomas [16], Mandel[15], Bigoni & Hueckel
[2]) a montré d'une manière classique que des instabilités et des bifurcations pouvaient se développer à
l'intérieur strict du critère classique dans la mesure où le matériau est non-associé (la limite élastique est
alors distincte de la règle d'écoulement).

De nouvelles approches sont nécessaires pour prendre en compte ces modes de rupture (Darve & Laouafa [5]). Localement, les instabilités sont décrites dans le cadre général avec la condition de base de stabilité (Lypunov [14]). La stabilité a été définie comme suit : pour toute sollicitation incrémentale « petite », la

<footnote n="1">¹ Lab. MSS-Mat, CNRS UMR 8579, Ecole Centrale Paris, 99295, Châtenay Malabry Cedex, France.</footnote>

<footnote n="2">² Lab Sols, Solides, Structures (L3S), INPG/UJF/CNRS, ALERT, BP.53, 38041 France.</footnote>
réponse incrémentale est également « petite ». Dans la pratique, la condition du travail de second ordre (Hill [6]) permet un suivi local des instabilités. Cette condition s'exprime comme suit : un matériau ayant une histoire de déformation donnée, et un état de contrainte donné, est considéré comme stable si, pour l'ensemble des couples d'incréments de contrainte et de déformation reliés par la loi de comportement, le travail du second ordre est strictement positif ( $\forall d\sigma, d\epsilon \quad d^2w = d\sigma : d\epsilon > 0$ ).

La condition de Hill est liée à l'annulation du déterminant de la partie symétrique de la matrice élasto-plastique (condition équivalente à l'annulation du travail de second ordre pour les lois incrémentales linéaires). Les matériaux non associés (cas des géomatériaux) possèdent une matrice non-symétrique. D'une part, les deux conditions sont distinctes dans ce cas et, d'autre part, le déterminant de la partie symétrique s'annule toujours avant le déterminant de la matrice elle même. Donc, la condition d'instabilité sera rencontrée avant la condition limite de plasticité.

Le présent article porte sur une analyse des conditions de stabilité du modèle multimécanisme de l'ECP généralement appelé « modèle d'Hujeux». La capacité de ce modèle à prédire la rupture a été examinée sur des chemins drainés dans les conditions axisymétriques. Dans la section 2, on présente les aspects essentiels de ce modèle. La section 3, porte dans un premier temps, sur les résultats d'une simulation numérique d'un essai triaxial classique d'un sable lâche dans les conditions non drainées. Nous montrons l'existence des instabilités avant d'atteindre la condition limite de plasticité. Il apparaît que, pour les sables dense et lâche, sollicités dans les conditions axisymétriques drainées, peut se manifester un comportement potentiellement instable comparable à celui qui est mis en évidence sur le chemin non drainé. Ces instabilités apparaissent avant que la condition limite de plasticité soit vérifiée. La dernière partie est consacrée à la détermination des limités des domaines d'instabilité pour deux densités différentes dans les mêmes conditions que précédemment.

## 2 Modèle Elasto-plastique

Le modèle d'Hujeux (Hujeux [7], Hujeux & al [8], Aubry & al [1], Lassoudière [11], Hujeux [9]) écrit en termes de contraintes effectives est une loi de comportement élasto-plastique multimécanisme ayant : trois mécanismes déviatoriques et un mécanisme isotrope. Cette loi repose sur le concept d'état critique et vérifie le critère de Mohr-Coulomb à la plasticité parfaite. Le domaine élastique obéit à une loi élastique isotrope non linéaire ou la rigidité évolue avec la contrainte moyenne. La fonction de charge de chaque mécanisme déviatorique est définie comme suit :

$$f_k(\sigma, \epsilon^p, r_k) = q_k + p_k \quad \text{F} \sin\phi_{pp} \quad r_k \quad (1)$$

$$\text{avec : } F = 1 - b \ln\left(\frac{p_k}{p_c}\right) \quad \text{et} \quad p_c = p_{co} \exp(\beta \epsilon^p) \quad (2)$$

où $p_k$ et $q_k$ représentent la contrainte moyenne et déviatorique sur le plan k :

$$p_k = \frac{\sigma_{ii} + \sigma_{jj}}{2} \quad \text{et} \quad q_k = \left[ \left( \frac{\sigma_{ii} - \sigma_{jj}}{2} \right) + \sigma_{ij}^2 \right]^{\frac{1}{2}} \quad (3)$$

$\phi_{pp}$ est l'angle de frottement à la plasticité parfaite. b est un paramètre qui contrôle la surface de charge et qui, varie entre 0 pour une surface de charge de type Mohr-Coulomb et 1.0 pour une surface de type Cam-Clay. $p_{co}$ et $\beta$ sont la pression critique et le module de compressibilité plastique du modèle de Cam-Clay. La variable interne $r_k$, appelée degré de mobilisation de frottement, introduit l'effet du durcissement dû au cisaillement associé au mécanisme k. Cette variable permet la décomposition du comportement du sol en trois domaines : pseudo-élastique, hystérétique et à la mobilisation maximale par l'intermédiaire de la loi de dilatance. Cette dernière qui détermine l'évolution de la déformation volumique plastique $\epsilon^p$ qui est de type Roscoe :

$$\epsilon_{vk}^{p} = \lambda_{k}^{p} \cdot \alpha_{\psi} \cdot \alpha_{K}(r_{k}) \left(\sin\psi + \frac{q_{k}}{p_{k}}\right) \quad (4)$$
où $\psi$ est l'angle caractéristique ou angle de dilatance, et $\alpha_{\psi}$ un paramètre constant généralement égal à l'unité. $\alpha_K(r_k)$ évolue de zéro à l'unité pour des domaines hystérétiques et à la mobilisation maximale respectivement. La surface de charge isotrope est associée et donnée par :

$$f_{iso} = |p| + d p_c r_{iso} \qquad (5)$$

où d est un paramètre du modèle qui représente la distance entre la droite de consolidation isotrope et la droite d'état critique dans le plan (e-lnp'). $r_k$ et $r_{iso}$ évoluent selon une loi hyperbolique avec les déformations plastiques déviatorique sur le plan k et la déformation plastique volumique respectivement. Le matériau étudié est le Sable RF d'Hostun avec deux densités relatives $Dr = 40\%$ et $88\%$. Le jeu de paramètres utilisé est celui identifié par (Lopez et al [13]).

## 3 Analyse numérique d'instabilité

Nous présentons sur la figure 1 une simulation numérique d'un chemin triaxial non drainé sur un sable lâche ($Dr=40\%$).

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1 : simulation d'essai numérique sur un sable lâche.</figcaption></figure>

La figure 1 met en évidence un pic de la contrainte déviatoire $q = \sigma_1 - \sigma_3$ dans le plan q-p'. Ce pic est atteint à l'intérieur de la surface limite de Mohr-Coulomb (la droite $q = Mp'$ sur la figure 1.b). Etudions sur cet exemple la condition de stabilité de Hill. L'expression générale du travail de second ordre devient, dans le cas axisymétrique ($\sigma_2 = \sigma_3$) et en ajoutant la condition de non variation de volume due au non drainage ($d\epsilon_v = 0$) : $d^2w = dq \cdot d\epsilon_1$. Le travail de second ordre s'annule à la contrainte ($dq = 0$) et reste négatif le long de la branche descendante ($dq < 0$), tant que la compression de l'échantillon se poursuit ($d\epsilon_1 > 0$) (Darve & Chau [3]). On calcule le signe du travail de second ordre le long de ce chemin. Si le travail de second ordre est positif, le tracé est continu en bleu sur la figure 1. Si la condition de Hill est violée on remplace le trait continu bleu par des cercles rouges. Ainsi la figure 1 montre que le travail de second ordre est négatif à partir du maximum du déviateur. Cela confirme le développement analytique précédent. L'expérience a mis en évidence l'existence des instabilités pour un matériau granulaire dans les conditions drainés avant d'arriver à la condition limite de plasticité (Darve et al [5]). Afin de déterminer les directions d'instabilités possibles dans les conditions drainées, nous avons étudié d'une manière systématique le signe du travail de second ordre. Plusieurs simulations numériques, comportant une phase de chargement triaxial, suivie par des chemins radiaux en contraintes imposées ($d\sigma_1$ et $d\sigma_2 = d\sigma_3$) dans toutes les directions axisymétriques ont été réalisées. Les résultats sont exprimés en considérant les représentations polaires du travail de second ordre normalisé ($t=d^2w/||d\sigma||/||d\epsilon||$ dans l'espace des contraintes (Darve et al [4]). Chaque chemin est caractérisé par le rapport $\xi = \sigma_1/\sigma_3$, décrivant l'état de contrainte après la phase initiale et les directions de sollicitations radiales avec l'angle $\theta$ variant de 5° d'une direction à l'autre: $d\sigma_1 = \sin\theta$ et $d\sigma_3 = \cos\theta$, avec $\theta = [0, 2\pi]$.
La figure 2 montre qu'aucune instabilité n'est apparue jusqu'a un rapport $\xi = 1.3$ (le travail du second ordre reste positif dans toutes les directions). Si, on poursuit le chargement, on constate qu'il existe une première direction $\theta = 50°$, pour laquelle le travail de second ordre devient négatif (état où $\xi = 2.0$).

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2. Analyse de stabilité dans le cas d'un sable d'Hostun $Dr = 40\%$ en conditions axisymétriques ($\sigma_3 = 100 \text{ kPa}$ et $\xi = 1.3, 2.0$ et $2.5$ de la gauche vers la droite).</figcaption></figure>

Ce même chemin de chargement est réalisé pour différents niveaux de confinements ($\sigma_3 = 200, 300, 400, 500, 600 \text{ kPa}$). Pour chaque confinement et niveau de contrainte axiale, une recherche directionnelle a été effectuée, afin de trouver la première direction instable. Les résultats obtenus pour le sable d'Hostun ($Dr = 40\%$ et $88\%$) sont représentés sur la figure 3. L'existence d'un large domaine instable pour les deux densités est confirmée. De plus, la limite des domaines est voisine pour les deux cas étudiés. Le modèle de l'ECP fournit un très large domaine en comparaison avec d'autres résultats dans la littérature. Par exemple, on constate que pour le modèle non linéaire de Darve, les premières directions instables ont été détectées à partir d'un rapport $\xi > 2$ dans le cas d'un sable lâche (Darve & Laouafa [5]).

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 3. limite du domaine instable dans les conditions axisymétriques</figcaption></figure>

Si on poursuit l'augmentation de la contrainte axiale ($\sigma_3 = 100 \text{ kPa}, \xi > 2$), plusieurs directions peuvent conduire à des instabilités, mais l'ensemble de ces instabilités forme un et un seul cône de directions instables. L'existence de ce cône est très cohérent avec les observations expérimentales (Imposimato & Nova [10]). Cette existence a été démontée d'une manière théorique sur la loi octo-linéaire de Darve (en
axisymétrie et en déformation plane, Laouafa & Darve [12]). Les figures 4 donnent les représentations de ces cônes pour le sable d'Hostun avec les deux densités en conditions axisymétriques dans le plan bissecteur des contraintes.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 4. Cônes instables d'un sable d'Hostun $Dr = 40\%$ dans les conditions axisymétriques.</figcaption></figure>

La recherche des états limites conduit à rechercher les directions d'annulation du déterminant de la matrice élasto-plastique constitutive. Dans le cadre des lois incrémentales linéaires, l'annulation du déterminant conduit à l'énoncé de la règle d'écoulement. La figure 5 montre donc l'évolution du déterminant de la matrice élasto-plastique sous forme polaire ainsi que l'enveloppe réponse en déformation pour les trois rapports de contrainte précédents.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 5. Condition de plasticité dans le cas d'un sable d'Hostun $Dr = 40\%$ sur des chemins axisymétriques pour ($\sigma_3 = 100$ kPa et $\xi = 1.3, 2.0$ et $2.5$ de la gauche vers la droite).</figcaption></figure>

Avec les figures 3 et 4, on remarque que la plasticité parfaite est atteinte pour un rapport de contrainte $\xi \approx 3.4$. On constate également, sur la figure 5, que le déterminant de la matrice élasto-plastique reste positif dans les trois positifs. Cela a été confirmé sur les tracés des enveloppes réponses en déformation qui ne dégénèrent pas en un segment. Ceci, confirme donc que la condition limite de plasticité n'est pas encore complètement atteinte ( l'état de contrainte en est cependant très proche). La présentation polaire du
déterminant élasto-plastique montre l'existence de deux blocs séparés par une frontière qui passe par l'origine. Ces deux blocs représentent deux mécanismes de chargement distincts, associés à des directions qui correspondent à une décharge élastique et à celles dans les quelles le chargement plastique se poursuit. On constate que l'orientation de la direction séparant les deux blocs évolue avec le rapport ξ.

## 4 Conclusion

Dans ce travail nous avons abordé la question de la stabilité au sens de Hill, afin de montrer les limites de la condition classique de plasticité. Les résultats obtenus sont en accord avec les observations expérimentales et les analyses théoriques. On a présenté les résultats d'une simulation numérique d'un essai triaxial sur un chemin non drainé sur un sable lâche montrant une instabilité avant d'atteindre l'état critique. Ce type d'instabilité peut être prédite par le critère de Hill. Nous avons étendu l'analyse à des chemins drainés dans le plan bissecteur des contraintes. L'étude du modèle de comportement d'Hujeux a montré l'existence d'un large domaine potentiellement instable à l'intérieur strict du critère de Mohr-Coulmb. Le domaine instable est plus étendu pour un sable ayant une densité relative moins importante. L'étude approfondie de la stabilité nous a conduit à mettre en évidence l'existence d'un et d'un seul cône de directions instables.

## 5 References

[1] Aubry D. et al. 1982, *A Double Memory Model with Multiple Mechanisms for Cyclic Soil Behavior*, Proc, Int. Symp. Num. Methods in Geom, Zurich, pp. 3-13.

[2] Bigoni D. & Hueckel. 1991, *Uniqueness and localization: I. associative and non-associative elastoplasticity*, Int. J. Solids Structures, vol. 28, n°2, p. 197-213.

[3] Darve F. Chau B. 1987, *In constitutive instabilities in incrementally non-linear modelling, Constitutive laws for engineering materials, Theory and applications*. C.S. Desai and G.H. Gallagher (Eds.), p. 301-310.

[4] Darve F. Laouafa F. 1999, *Plane strain instabilities in soil: application to slope stability Proc of VII International Symp. On Numerical Models in Geomachanics, Pande, Pietruszczak, Schweiger* (eds), *Balkema*, Rotterdam, pages 85-90, 1999.

[5] Darve F. Laouafa F. 2000, *Instabilities in granular materials and applications to landslides*, Mech. Cohes. Frict. Mater, vol.5, n°8, 627-652

[6] Hill R.1958, *A general theory of uniqueness and stability in elastic-plastic solids*, *J. of the Mech. and Phys. of Solids*. Vol 6, p. 239-249.

[7] Hujeux J.C. 1979, *Calcul Numérique des Problèmes de Consolidation Elasto-plastique*, Thèse D.D.I, ECP, Paris.

[8] Hujeux J.C. et al. 1981, *A Critical State Type Stress-Strain Law for Monotonous and Cyclic Loading*, Geot. Num. Consideration, Proc. Symp. Implementation of Computer Procedures and Stress-Strain Laws in Geot. Eng., Chicago.

[9] Hujeux J.C. 1985, *Une Loi de Comportement pour le Chargement Cyclique des Sols*, Génie Parasismique, Chapitre IV, Edition Davidovitchi, Press de l'ENPC, pp. 287-302.

[10] Imposimato. S & Nova. R 2001, *On the value of the second of the order work in the homogeneous test on loose sand specimens*, In Muehlaus and al, eidtor, Bifurcation and localization Theory in the Geomechanis, P 209-216. *Zwets and Zeitllinger*.

[11] Lassoudière F. 1984, *Modélisation du Comportement des Sols sous Sollicitations Fortes Pressions*, Thèse D.D.I., Université de Grenoble, France.

[12] Laouafa F; Darve F. 2002, *Modelling of slope failure by a material instability mechanism*, Computers and Geotechnics, vol.29, n°4, 301-325

[13] Lopez F., Modaressi A & Elmi F. 2003, *Identification of an elasto-plastic model parameters using laboratory and in situ tests*, Deformation Characteristics of Geomaterials IS Lyon 03. pp 1183-1190, eds : Di Benedetto et al, A.A. Balkema.

[14] Lyapunov A M. 1907, *Problème général de la stabilité des mouvements*, Annales de la faculté des sciences de Toulouse

[15] Mandel J 1966, *Stabilité et postulat de Drucker*. Proc. I.U.T.A.M. Symp. on Rheology and Soils Mechanics, J. Kravtchenko and P.M. Sirieys eds, Springer Verlag, Berlin, p. 58-68.

[16] Thomas T Y. 1966, *Plastic flow and fracture in solids*, Academic Press, New York.