**Satz II<fnref n="16" />). Wenn die lipschitz'schen Flächen**

$$x = \varphi_m(u, v), \quad y = \psi_m(u, v); \quad z = \chi_m(u, v)$$

gegen eine lipschitz'sche Fläche

$$x = \varphi(u, v); \quad y = \psi(u, v); \quad z = \chi(u, v)$$

gleichmäßig konvergieren, dann gilt

$$\begin{align*}
& \iint_Q \left[ \frac{D(\varphi, \psi)}{D(u, v)} \right]^2 + \left[ \frac{D(\psi, \chi)}{D(u, v)} \right]^2 + \left[ \frac{D(\chi, \varphi)}{D(u, v)} \right]^2 du dv \le \\
& \le \liminf_{m \to \infty} \iint_Q \left[ \frac{D(\varphi_m, \psi_m)}{D(u, v)} \right]^2 + \left[ \frac{D(\psi_m, \chi_m)}{D(u, v)} \right]^2 + \left[ \frac{D(\chi_m, \varphi_m)}{D(u, v)} \right]^2 du dv \quad <fnref n="17" />).
\end{align*}$$

Sur un type infini de dimensions qui est
localement fini.

Par

W. Sierpiński (Varsovie).

Dans une note récemment parue <fnref n="1" />) M. K. Kunugui, en résol-
vant une question proposée par M. Fréchet <fnref n="2" />) a prouvé qu'il
existe des espaces, dont les types de dimensions sont infinis et in-
férieurs à celui de l'espace (Ω) de M. Hilbert.

Un tel espace est, d'après M. Kunugui, la partie (ω) de l'es-
pace (Ω) formée de tous les points de cet espace n'ayant qu'un
nombre fini (ou nul) des coordonnées non nulles.

Le but de cette note est de construire un espace E à un nom-
bre infini de dimensions, tel que dE < dω.

Les points de notre espace E seront déterminés par un nombre
fini de coordonnées (réelles), ce nombre pouvant varier avec le
point considéré.

La distance de deux points de E

$$X(x_1, x_2, \dots, x_m) \text{ et } Y(y_1, y_2, \dots, y_n), \text{ où } m \le n.$$

sera définie par la formule

$$\rho(X, Y) = \begin{cases} u - m + \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + \dots + (x_m - y_m)^2 + y_m^2 + 1} & \dots + y_n^2. \\ + \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + \dots + (x_m - y_m)^2 + y_m^2 + 1} & \dots + y_n^2. \end{cases}$$

Les points de E à m coordonnées (x₁, x₂, ..., xₘ) forment un
sous-ensemble E_m de E qui est évidemment superposable avec l'es-
pace cartésien R_m à m dimensions.

<footnote n="16">¹⁶) Vgl. T. Rado: Über das Flächenmass rektifizierbarer Flächen. Math. Ann. Band 100.</footnote>

<footnote n="17">¹⁷) Diese überlegungen behalten ihre Gültigkeit für den n-dimensionalen Fall.</footnote>

<footnote n="1">¹) C. R. t. 187, p 876 878 (12 Novembre 1928).</footnote>

<footnote n="2">²) M. Fréchet: *Les espaces abstraits*, Paris 1928, p. 78.</footnote>
On a donc $dE \ge dR_m$, pour $m = 1, 2, 3, \dots$, c'est-à-dire l'espace $E$ a un type infini de dimensions.

Or, nous avons évidemment

$$ (1) \qquad E = E_1 + E_2 + E_3 + \dots $$

les termes de (1) étant disjoints. Je dis que les ensembles $E_k$ sont ouverts dans $E$. En effet, il résulte tout de suite de la définition de la distance dans l'espace $E$ que si $X \in E_k$, et si $Y$ est un point de $E$, tel que $\rho(X, Y) < 1$, on a $Y \in E_k$. L'espace $E$ est donc localement euclidien (le type local de dimensions de $E$ est donc fini en tout point $X$ de $E$, pouvant varier avec le point $X$).

Or, l'espace $(\omega)$ ne jouit pas de cette prepriété. En effet, il résulte tout de suite de la définition de l'espace $(\omega)$ que, pour tout point $p$ de $(\omega)$ et tout nombre positif $\varepsilon$, l'ensemble de tous les points $q$ de $(\omega)$, tels que

$$ (p, q) < \varepsilon $$

(où $(p, q)$ désigne la distance entre $p$ et $q$ dans $(\omega)$) contient, pour $m = 1, 2, 3, \dots$, un ensemble superposable avec une hypersphère $m$-dimensionnelle de rayon $\varepsilon$.

La dimension locale de $(\omega)$ n'est donc finie en aucun point de $(\omega)$. Il en résulte que

$$ (2) \qquad dE \ne d\omega. $$

D'autre part, considérons la suite infinie de points de $(\omega)$

$$ p_n(2n, 0, 0, 0, \dots), \text{ où } n = 1, 2, 3, \dots; $$

nous avons évidemment

$$ (p_i, p_k) \ge 2, \text{ pour } i \ne k. $$

L'indice $n$ étant donné, désignons par $Q_n$ l'ensemble de tous les points

$$ p(x_1, x_2, \dots, x_n, 0, 0, 0, \dots) $$

de $(\omega)$, tels que

$$ (p, p_n) < 1. $$

On voit sans peine que l'ensemble $Q_n$, en tant que superposable avec l'intérieur d'une hypersphère à $n$ dimensions, est homéomorphe avec l'espace $R_n$, donc à l'ensemble $E_n$.

Posons

$$ (3) \qquad Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 + \dots $$

les ensembles $Q_n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) sont évidemment disjoints et ouverts dans $Q$. Pareillement, les termes de la série (1) sont disjoints et ouverts dans $E$. Les termes correspondants de (1) et (3) étant homéomorphes, on en déduit facilement que les ensembles $E$ et $Q$ sont homéomorphes.

L'espace $E$ est donc homéomorphe à un sous-ensemble de $(\omega)$, d'où résulte que $dE \le d\omega$, donc, d'après (2):

$$ dE < d\omega, \qquad \text{c. q. f. d.} $$

Or, on peut démontrer qu'il n'existe aucun ensemble $H$, tel que

$$ (4) \qquad dH < dE $$

et

$$ (5) \qquad dH \ge dR_n, \text{ pour } n = 1, 2, 3, \dots $$

En effet, admettons qu'un tel ensemble $H$ existe. D'après (4), $H$ est homéomorphe à un sous-ensemble $S$ de $E$ et, d'après (1), on a

$$ (6) \qquad S = S_{E_1} + S_{E_2} + S_{E_3} + \dots $$

Les termes de la somme (1) étant disjoints et ouverts dans $E$, nous concluons tout de suite que les termes de la somme (6) sont disjoints et ouverts dans $S$.

D'après (5), $R_n$ est homéomorphe à un sous-ensemble $H_n$ de $H$, donc, à un sous-ensemble $S_n$ de $S$, et on a, d'après $S \subset E$ et (1):

$$ (7) \qquad S_n = S_n E_1 + S_n E_2 + S_n E_3 + \dots $$

et les termes de la somme (7) sont disjoints et ouverts dans $S_n$.

Désignons par $k_n$ le plus petit indice $k$. Tel $S_n E_{k_n} \ne 0$ (un tel indice $k_n$ existe, puisque $S_n \ne 0$). L'ensemble $S_n E_{k_n}$ étant ouvert dans $S_n$ et non vide, et $S_n$ étant homéomorphe à $R_n$, nous concluons sans peine que $S_n E_{k_n}$ contient un ensemble, soit $T_{k_n}$, homéomorphe à $R_n$. Or, $E_{k_n}$ étant superposable avec $R_{k_n}$, il en résulte tout de suite (d'après $T_{k_n} \subset E_{k_n}$) que $k_n \ge \mu$ (pour $n = 1, 2, 3, \dots$). Par conséquent, il existe une suite infinie croissante des indices $r_1, r_2, r_3, \dots$, telle que $r_1 < k_{r_2} < k_{r_3} < \dots$.

L'ensemble $T_{k_n}$ est homéomorphe à $R_{k_n}$ et on a $k_{r_n} \ge r_n \ge \mu$: il en résulte tout de suite que $T_{k_n}$ contient un ensemble $U_n$ homéomorphe à $R_n$.
Posons

$$ (8) \qquad U = U_1 + U_2 + U_3 + \dots $$

Nous avons $U_n \subset T_{k_n} \subset S_n E_{k_n} \subset SE_{k_n}$, et $k_n < k_{n+1}$ (pour $n = 1, 2, 3, \dots$): les termes de la somme (6) étant disjoints et ouverts dans $S$, il résulte de (8) que les termes de la somme (8) sont disjoints et ouverts dans $U$. Or, $U_n$, en tant que homéomorphe à $R_n$, est homéomorphe à $E_n$: il en résulte donc, de de (1) et (8), que les ensembles $E$ et $U$ sont homéomorphes.

Or, de $U_n \subset S$, pour $n = 1, 2, 3, \dots$ et de (8), résulte que $U \subset S$. Nous avons donc $dE \le dS$, donc ($S$ étant homéomorphe à $H$): $dE \le dH$, contrairement à (4).

Notre assertion est ainsi démontrée.

Or, il est à remarquer qu'on pourrait sans peine construire des
espaces, dont les types de dimensions sont intermédiaires entre $dE$
et $d\omega$.

D'autre part, on pourrait démontrer l'existence des ensembles $H$
dont les types de dimensions ne sont pas finis, et tels que $dH < dE$.

En effet, M. Mazurkiewicz a démontré <fnref n="1" />) l'existence, pour tout $n$ naturel, d'un ensemble $G_\delta$, soit $M_n$, situé dans $R_n$, punctiforme et non homéomorphe à aucun sous-ensemble de $R_{n-1}$. Or, $R_n$ étant superposable avec $E_n$, il existe un sous-ensemble de $N_n$ de $E'_n$, superposable avec $M_n$, et on voit sans peine que l'ensemble $H = N_1 + N_2 + N_3 + \dots$ joint des propriétés désirées.

Remark on the generalised Bernstein's theorem.

By
Stanisław Ulam (Lwów).

Bernstein's theorem, that from $2m=2n$ follows $m=n$, for every pair of cardinal numbers was recently generalised in the following way <fnref n="1" />):

Let a set $E$ be twice decomposed into two equivalent parts:

$$ E = M + N = P + Q, \quad MN = O = PQ $$

and let $\varphi$ and $\psi$ be one-one correspondances between $M$ and $N$
and $P$ and $Q$ respectively, then the sets $M$ and $Q$ can be decom-
posed into four disjunctive subsets:

$$ M = M_1 + M_2 + M_3 + M_4 $$

$$ Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4 $$

such that:

$$ Q_1 = \alpha_1(M_1), \quad Q_2 = \alpha_2(M_2), \quad Q_3 = \alpha_3(M_3), \quad Q_4 = \alpha_4(M_4). $$

where $\alpha_i$ ($i = 1, \dots, 4$) are four functions belonging to the group $P$
created by combining the functions $\varphi$ and $\psi$. (The first of them are:

$$ 0 = \text{Identity, } \varphi, \psi, \varphi\psi, \psi\varphi, \varphi\psi\varphi, \psi\varphi\psi, \text{ etc.} $$

I shall prove, that in this theorem the number *four* cannot be
diminished <fnref n="2" />). I shall define indeed a set *E*. two subsets *M* and *Q*
and two one-one correspondances between *M* and *E*—*M* and *Q*

<footnote n="1">¹) Fund. Math. t. X, p. 311.</footnote>

<footnote n="1">¹) See C. Kuratowski, *Fund. Math.* VI. p. 240–243, D. König *Math. Ann.* 77, and *Fund. Math.* VIII. See also Banach and Tarski, *Fund. Math.* VI, where use is made of this theorem.</footnote>

<footnote n="2">²) This problem was raised in the Seminary of Prof. C. Kuratowski.</footnote>