# Sur une classe de fonctions univalentes

par Cz. BUCKA et K. CIOZDA (Lublin)

Résumé. Dans le travail on étudie la classe $S_\gamma$ des fonctions $f(z)$ holomorphes dans le cercle unité $K_1$ et satisfaisant aux conditions:

$$f(0) = 0, f'(0) = 1 \text{ et } \frac{zf'(z)}{f(z)} = [(1-\alpha)p^\gamma(z) + \alpha],$$

où $p(z) \in P, 0 < \alpha < 1, 0 < \gamma < 1$.

Pour $\gamma = 1$ et $\alpha = 0$ on obtient la classe $S^*$, pour $\gamma = 1$ et $\alpha \in (0, 1)$ — la classe $S_\gamma$ enfin pour $\alpha = 0$ et $\gamma \in (0, 1)$ la classe $S_\gamma$ [3].

Dans la classe $S_\gamma$ on donne la formule structurelle, on détermine le domaine de variation de la fonctionnelle $\frac{zf'(z)}{f(z)}$ et on trouve les limitations supérieure et inférieure des modules de la fonction et de la dérivée. On détermine aussi la fonction extrémale et on trouve les limitations de $a_2$ et $a_3$ dans cette classe. Ces résultats sont contenus respectivement dans les théorèmes 1, 2, 3, 4, 5. Les limitations obtenues sont exactes.

## 1. Notations. Désignons par $S$ la classe des fonctions $f(z)$ de la forme

$$(1.1) \qquad f(z) = z + a_2 z^2 + a_3 z^3 + \dots$$

régulières et univalentes dans le cercle $K_1$, où $K_r = \{z: |z| < r\}$. Soit $S^* \subset S$ la classe des fonctions étoilées par rapport à l'origine, c'est-à-dire satisfaisant à la condition

$$(1.2) \qquad \operatorname{Re} \frac{zf'(z)}{f(z)} > 0 \quad \text{pour } z \in K_1.$$

Par $S_\alpha \subset S$ nous désignerons la classe des fonctions $f(z)$ de la forme (1.1) qui satisfont à la condition

$$(1.3) \qquad \left| \arg \frac{zf'(z)}{f(z)} \right| \le a \cdot \frac{\pi}{2}, \quad z \in K_1, 0 < a \le 1.$$

Cette classe a été étudiée par D. A. Brannan et W. E. Kirwan [1], ainsi que par J. Stankiewicz [3].
Désignons encore par $S_a^* \subset S$ la classe des fonctions $\alpha$-étoilées, c'est-à-dire satisfaisant à la condition

$$ (1.4) \qquad \operatorname{Re} \frac{zf'(z)}{f(z)} > \alpha, \quad z \in K_1, \quad 0 \le a < 1. $$

Soit $P$ la classe des fonctions $p(z) = 1+p_1z+p_2z^2+...$ régulières dans $K_1$ et satisfaisant à la condition

$$ (1.5) \qquad \operatorname{Re} p(z) > 0 \quad \text{pour} \quad z \in K_1. $$

Désignons enfin par $S_{(\alpha, \beta)}^*$ la classe des fonctions $f(z) = z + a_2z^2 + ...$ régulières dans $K_1$ et satisfaisant à la condition

$$ (1.6) \qquad \frac{zf'(z)}{f(z)} = \left[ (1-\alpha) \frac{1+z}{1-z} + \alpha \right]^{2\beta/\pi}, \quad 0 < \alpha \le 1, 0 \le \beta \le \pi/2, z \in K_1. $$

Cette classe a été étudiée par A. Wesołowski [4].

**2. La classe $S_a^\gamma$.** Dans les définitions des classes $S_a^*$, $S_a$, $S_{(a,\beta)}^*$ on demande que l'expression $\frac{zf'(z)}{f(z)}$ soit dans un domaine univalent contenant le point $w = 1$ et contenu dans le demi-plan droit. Considérons donc la classe $S_a^\gamma$ des fonctions $f(z) = z + a_2z^2 + ...$ telles que l'expression $\frac{zf'(z)}{f(z)}$ soit dans le domaine $F(K_1)$, où

$$ F(z) = \left[ (1 - \alpha) \left( \frac{1+z}{1-z} \right)^{\gamma} + \alpha \right] \epsilon P $$

est une fonction univalente dans $K_1$ et telle que $0 \le \alpha < 1$, $0 < \gamma \le 1$, $z \in K_1$. Le domaine $F(K_1)$ est un angle symétrique par rapport à l'axe réel, de sommet $\alpha$ et d'ouverture $\gamma\pi$. Cette définition de la classe $S_a^\gamma$ semble plus naturelle que celle de la classe $S_{(a,\beta)}^*$ et son étude présente un certain intérêt, car dans les cas limites cette classe se confond avec les classes étudiées jusqu'à présent par différents auteurs. On a, en effet:

$$ S_0^\gamma = S_\gamma, $$

$$ S_a^1 = S_a^*, $$

$$ S_0^1 = S^*. $$

**3. Limitations de quelques fonctionnelles dans la classe $S_a^\gamma$**.

**THÉORÈME 1.** La fonction $f(z)$ appartient à la classe $S_a^\gamma$ si et seulement s'il existe une fonction $p(z)$ de la classe $P$ telle que

$$ (3.1) \qquad f(z) = z \exp \int_0^z \frac{1-\alpha}{z} [p^\gamma(z)-1] dz. $$
Démonstration. En effet, la définition de la classe $S_a^\gamma$ implique directement que $f(z) \in S_a^\gamma$ si et seulement s'il existe une fonction $p(z) \in P$ telle que

$$ \frac{zf'(z)}{f(z)} = (1-\alpha)p'(z) + \alpha. $$

De là on tire

$$ \begin{align*} \frac{f'(z)}{f(z)} - \frac{1}{z} &= \frac{1}{z}[(1-\alpha)p'(z) + \alpha - 1], \\ \ln \frac{f(z)}{z} &= \int_{0}^{z} \frac{1}{z}[(1-\alpha)p'(z) + \alpha - 1]dz, \\ f(z) &= z \exp \left\{ \int_{0}^{z} \frac{1}{z}(1-\alpha)[p'(z) - 1]dz \right\}. \end{align*} $$

La formule (3.1) sera appelée formule structurelle de la classe $S_a^\gamma$.

THÉORÈME 2. Dans la classe $S_a^\gamma$, pour tout $z$ fixé, $|z| = r$, $r < 1$, le domaine de variation de l'expression $\frac{zf'(z)}{f(z)}$ est un domaine fermé, convexe, limité par la courbe:

$$ (3.2) \qquad w = (1-\alpha) \left( \frac{1+re^{i\theta}}{1-rc^{i\theta}} \right)^{\gamma} + \alpha, \quad \text{où} \quad -\pi \le \theta \le \pi. $$

Démonstration. Cela résulte directement du fait que

$$ \frac{zf'(z)}{f(z)} = \alpha + (1-\alpha)p'(z) $$

et que le domaine de variation de $p(z)$, $|z| = r$, est l'image du cercle $|z| \le r$ dans la transformation $w = \frac{1+z}{1-z}$, $|z| = r$.

Les considérations précédentes mènent ainsi aux limitations exactes suivantes:

$$ (3.3) \qquad \left(\frac{1-r}{1+r}\right)^{\gamma} (1-\alpha) \le \left|\frac{zf'(z)}{f(z)} - \alpha\right| \le \left(\frac{1+r}{1-r}\right)^{\gamma} (1-\alpha), $$

$$ (3.4) \qquad \left(\frac{1-r}{1+r}\right)^{\gamma} (1-\alpha) + \alpha \le \operatorname{Re} \frac{zf'(z)}{f(z)} \le \left(\frac{1+r}{1-r}\right)^{\gamma} (1-\alpha) + \alpha. $$

Dans les cas limites on en tire les limitations connues dans les classes des fonctions correspondantes.
**THÉORÈME 3.** Pour les fonctions $f(z) \in S_a^\gamma$, $|z| = r < 1$, on a la limitation exacte:

$$ (3.5) \quad r \exp \int_0^r \frac{1-a}{r} \left[ \left( \frac{1-r}{1+r} \right)^\gamma - 1 \right] dr \le |f(z)| \le r \exp \int_0^r \frac{1-a}{r} \left[ \left( \frac{1+r}{1-r} \right)^\gamma - 1 \right] dr, $$

$$ (3.6) \quad \left[ \left( \frac{1-r}{1+r} \right)^\gamma (1-\alpha) + \alpha \right] \exp \int_0^r \frac{1-\alpha}{r} \left[ \left( \frac{1-r}{1+r} \right)^\gamma - 1 \right] dr \le |f'(z)| \\ \le \left[ \left( \frac{1+r}{1-r} \right)^\gamma (1-\alpha) + \alpha \right] \exp \int_0^r \frac{1-\alpha}{r} \left[ \left( \frac{1+r}{1-r} \right)^\gamma - 1 \right] dr. $$

La fonction extrémale est la fonction donnée par la formule

$$ (3.7) \quad f(z) = z \exp \int_0^z \frac{1-\alpha}{z} \left[ \left( \frac{1+z}{1-z} \right)^\gamma - 1 \right] dz. $$

**Démonstration.** En dérivant et en multipliant par $r$ les deux membres de l'égalité

$$ \ln \frac{f(z)}{z} = \ln \left| \frac{f(z)}{z} \right| + i \arg \frac{f(z)}{z} $$

on obtient

$$ \frac{zf'(z)}{f(z)} = 1 + r \frac{\partial}{\partial r} \ln \left| \frac{f(z)}{z} \right| + i r \frac{\partial}{\partial r} \arg \frac{f(z)}{z}, \quad \text{où} \quad z = r e^{i\theta}, $$

donc

$$ \operatorname{Re} \frac{zf'(z)}{f(z)} = 1 + r \frac{\partial}{\partial r} \ln \left| \frac{f(z)}{z} \right|. $$

En profitant de (3.4) on trouve

$$ (1-\alpha) \left[ \left( \frac{1-r}{1+r} \right)^{\gamma} - 1 \right] \le r \frac{\partial}{\partial r} \ln \left| \frac{f(z)}{z} \right| \le (1-\alpha) \left[ \left( \frac{1+r}{1-r} \right)^{\gamma} - 1 \right]. $$

Divisant les deux membres par $r$ et intégrant de $0$ à $r$ on obtient les inégalités (3.5). La seconde partie du théorème résulte directement de (3.3) et (3.5).

Dans le cas où $\alpha = 0$, $\gamma \in (0, 1)$ on obtient les limitations connues dans la classe $S_\gamma$ [3]:

$$ \begin{align*} r \exp \left\{ \int_0^r \frac{1}{r} \left[ \left( \frac{1-r}{1+r} \right)^\gamma - 1 \right] dr \right\} &\le |f(z)| \le r \exp \left\{ \int_0^r \frac{1}{r} \left[ \left( \frac{1+r}{1-r} \right)^\gamma - 1 \right] dr \right\}, \\ \left( \frac{1-r}{1+r} \right)^\gamma \exp \left\{ \int_0^r \frac{1}{r} \left[ \left( \frac{1-r}{1+r} \right)^\gamma - 1 \right] dr \right\} &\le |f'(z)| \\ &\le \left( \frac{1+r}{1-r} \right)^\gamma \exp \left\{ \int_0^r \frac{1}{r} \left[ \left( \frac{1+r}{1-r} \right)^\gamma - 1 \right] dr \right\}. \end{align*} $$
Si $\alpha = 0, \gamma = 1$, les limitations (3.5) et (3.6) fournissent les limitations connues dans la classe $S$:

$$ \frac{r}{(1+r)^2} \le |f(z)| \le \frac{r}{(1-r)^2}; \quad \frac{1-r}{(1+r)^3} \le |f'(z)| \le \frac{1+r}{(1-r)^3}. $$

Enfin, dans le cas où $\gamma = 1$ on en tire les limitations dans la classe $S_a^*$:

$$ \frac{r}{(1+r)^2(1-\alpha)} \le |f(z)| \le \frac{r}{(1-r)^2(1-\alpha)}; \quad \frac{r}{(1+r)^3(1-\alpha)} \le |f'(z)| \le \frac{r}{(1-r)^3(1-\alpha)}. $$

**THÉORÈME 4.** Si $f(z) = z + a_2z^2 + a_3z^3 + \dots \in S_a^\gamma$, on a
$$ |a_2| \le 2\gamma(1-\alpha). $$

La fonction extrémale est la fonction donnée par la formule (3.7).

**Démonstration.** Soit $p(z) = 1 + p_1z + p_2z^2 + \dots \in P$. De la formule (3.1) on tire

$$ \frac{zf'(z)}{f(z)} = (1-\alpha)[p(z)]^\gamma + \alpha; $$

d'où

$$ f''(0) = 2(1-\alpha)\gamma[p(0)]^{\gamma-1}p'(0). $$

Comme $a_2 = f''(0)/2$, $p(0) = 1$ et $p'(0) = p_1$, on a $a_2 = (1-\alpha)\gamma p_1$. Puisque $|p_1| \le 2$, il s'ensuit

$$ |a_2| \le 2\gamma(1-\alpha). $$

Pour la fonction (3.7) $p(z) = (1+z)/(1-z)$ et $p_1 = 2$, la limitation de $|a_2|$ est donc exacte, c.q.f.d.

Par un raisonnement analogue au précédent on tire de la formule structurelle

$$ a_3 = \frac{(1-\alpha)\gamma}{4} \{(3\gamma - 2\gamma\alpha - 1)p_1^2 + 2p_2\}. $$

**THÉORÈME 5.** Si $f(z) = z + a_2z^2 + a_3z^3 + \dots \in S_a^\gamma$, on a la limitation exacte:

$$ (a) \quad |a_3| \le (1-\alpha)(3-2\alpha)\gamma^2 \quad \text{pour} \quad \frac{1}{3-2\alpha} < \gamma < 1, $$

$$ (b) \quad |a_3| \le (1-\alpha)\gamma \quad \text{pour} \quad 0 < \gamma < \frac{1}{3-2\alpha}. $$

Les fonctions extrémales sont dans les cas (a) et (b) respectivement les fonctions:

$$ f_1(z) = z \exp \left\{ \int_0^z \frac{1-\alpha}{z} \left[ \left( \frac{1+z}{1-z} \right)^\gamma - 1 \right] dz \right\}, $$

$$ f_2(z) = z \exp \left\{ \int_0^z \frac{1-\alpha}{z} \left[ \left( \frac{1+z^2}{1-z^2} \right)^\gamma - 1 \right] dz \right\}. $$
**Démonstration.** Dans le cas où l'expression $(3\gamma - 2\gamma\alpha - 1)$ est positive, c'est-à-dire si $1/(3-2\alpha) < \gamma < 1$, la limitation (a) résulte directement de l'expression obtenue pour $a_3$ en profitant de l'inégalité $|p_n| \le 2$.

Si, au contraire, l'expression $(3\gamma - 2\gamma\alpha - 1)$ est négative, c'est-à-dire si $0 < \gamma < 1/(3-2\alpha)$, la limitation (b) s'obtient comme il suit: si $w(z) = w_1z + w_2z^2 + \dots$ est une fonction régulière dans $K_1$ et satisfaisant aux hypothèses du lemme de Schwarz, on sait qu'il existe une fonction $p(z) = 1 + p_1z + p_2z^2 + \dots$, de partie réelle positive, telle que

$$w(z) = \frac{p(z') - 1}{p(z) + 1}.$$

Par un simple calcul on trouve: $p_1 = 2w_1$, $p_2 = 2(w_1^2 + w_2)$. Le coefficient $a_3$ s'exprime donc sous la forme:

$$ 
\begin{aligned}
|a_3| &= \frac{(1-\alpha)\gamma}{4} |(3\gamma - 2\gamma\alpha - 1)4w_1^2 + 4(w_1^2 + w_2)| \\
&= (1-\alpha)\gamma |(3\gamma - 2\gamma\alpha - 1)w_1^2 + w_2| \\
&= (1-\alpha)\gamma |w_2 + (1+3\gamma - 2\gamma\alpha - 1)w_1^2| \\
&= (1-\alpha)\gamma |w_2 + (3\gamma - 2\gamma\alpha)w_1^2|,
\end{aligned}
$$

où $3\gamma - 2\gamma\alpha > 0$.

En profitant de l'inégalité connue [2]:

$$|w_2| \le 1 - |w_1|^2$$

on obtient

$$ 
\begin{aligned}
|w_2 + (3\gamma - 2\gamma\alpha)w_1^2| &\le |w_2| + (3\gamma - 2\gamma\alpha) |w_1|^2 \\
&\le 1 - |w_1|^2 + (3\gamma - 2\gamma\alpha) |w_1|^2 \\
&\le 1 - (1 - 3\gamma + 2\gamma\alpha) |w_1|^3.
\end{aligned}
$$

Mais $(1 - 3\gamma + 2\gamma\alpha) < 1$, donc $|w_2 + (3\gamma - 2\gamma\alpha)w_1^2| \le 1$, d'où

$$|a_3| \le (1-\alpha)\gamma.$$

Dans les cas limites on obtient: dans la classe $S^*$: $|a_3| \le 3$, dans la classe $S_\gamma$: $|a_3| \le \gamma$ pour $0 < \gamma < \frac{1}{2}$ et $|a_3| \le 3\gamma^2$ pour $\frac{1}{2} < \gamma < 1$, enfin dans la classe $S_\alpha^*$: $|a_3| \le (1-\alpha)(3-2\alpha)$.

Références

[1] D. A. Brannan, W. E. Kirwan, *On some classes of bounded univalent functions*, J. London Math. Soc., Second series, 1 (1969), p. 431-433.

[2] Г. М. Голузин, *Геометрическая теория функций комплексного переменного*, Москва 1966.

[3] J. Stankiewicz, *Some remarks concerning starlike functions*, Bull. Acad. Polon. Sci., Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 18 (1970), p. 721-734.

[4] A. Wesołowski, *Sur les sous-classes de la classe des fonctions étoilées*, ibidem 19 (1971), p. 577-585.

Reçu par la Rédaction le 12. 4. 1972