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Theory

Volume 18
2024
No. 2

Sur les espaces homogènes de Borovoi-Kunyavskii

Nguyễn Manh Linh
# Sur les espaces homogènes de Borovoi–Kunyavskii

Nguyễn Mạnh Linh

Nous établissons le principe de Hasse et l'approximation faible pour certains espaces homogènes de $SL_m$ à stabilisateur géométrique nilpotent de classe 2, construits par Borovoi et Kunyavskii. Ces espaces homogènes vérifient donc une conjecture de Colliot-Thélène concernant l'obstruction de Brauer–Manin pour les variétés géométriquement rationnellement connexes.

We establish the Hasse principle and the weak approximation property for certain homogeneous spaces of $SL_m$ whose geometric stabilizer is of nilpotency class 2, which were constructed by Borovoi and Kunyavskii. These homogeneous spaces verify thus a conjecture of Colliot-Thélène on the Brauer–Manin obstruction for geometrically rationally connected varieties.

<table><tr><td>1. Introduction</td><td>349</td></tr><tr><td>2. Compatibilité avec les isomorphismes de Shapiro</td><td>353</td></tr><tr><td>3. La construction de Borovoi–Kunyavskii</td><td>361</td></tr><tr><td>4. Calculs des groupes de Brauer</td><td>369</td></tr><tr><td>5. Les principaux résultats</td><td>375</td></tr><tr><td>Remerciements</td><td>386</td></tr><tr><td>Bibliographie</td><td>386</td></tr></table>

## 1. Introduction

**1A. Intérêt du problème.** Soit $X$ une variété lisse définie sur un corps de nombres $k$. On dira que $X$ est un contre-exemple au principe de Hasse si $X$ possède des points locaux dans tous les complétés $k_v$ de $k$ mais $X(k) = \emptyset$. Manin [1971] a introduit une méthode générale pour l'étude des obstructions à l'existence de $k$-points sur $X$: à $X$ on associe le groupe de Brauer non ramifié $Br_{nr} X$ et l'on considère l'accouplement de Brauer–Manin

$$ \prod_v X(k_v) \times \mathrm{Br}_{nr} X, \quad \langle (P_v)_v, A \rangle_{\mathrm{BM}} = \sum_v \mathrm{inv}_v(A(P_v)), \quad (1-1) $$

où $v$ parcourt les places de $k$, et où $\mathrm{inv}_v : \mathrm{Br}_{k_v} \hookrightarrow \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ désigne l'invariant local. Notant $\mathrm{Br}_0 X = \mathrm{Im}(\mathrm{Br}_k \to \mathrm{Br} X)$, on voit par la loi de réciprocité globale que l'accouplement (1-1) se factorise par $(\mathrm{Br}_{nr} X)/(\mathrm{Br}_0 X)$.

<footnote>MSC2020: 11R34, 14G05, 14G12.</footnote>

<footnote>Mots-clefs: Galois cohomology, lien, nonabelian cohomology, homogeneous spaces, rational points, Hasse principle, weak approximation, Brauer–Manin obstruction.</footnote>
On plonge $X(k)$ diagonalement dans $\prod_v X(k_v)$. Alors l'adhérence de $X(k)$ (pour la topologie produit) est contenue dans l'ensemble (fermé) $(\prod_v X(k_v))^{\text{Br}}$ des familles de points locaux de $X$ qui sont orthogonales à $\text{Br}_{\text{nr}} X$ par rapport à l'accouplement (1-1). Si $X(k) \neq \emptyset$, on dira que l'obstruction de Brauer-Manin à l'approximation faible pour $X$ est la seule si $X(k)$ est dense dans $(\prod_v X(k_v))^{\text{Br}}$. On dira que l'obstruction de Brauer-Manin au principe de Hasse est la seule pour une classe $\mathcal{X}$ de variétés lisses sur $k$ si pour toute variété $X \in \mathcal{X}$, $(\prod_v X(k_v))^{\text{Br}} \neq \emptyset$ entraîne $X(k) \neq \emptyset$. Notons que ces deux propriétés sont des invariants birationnels stables.

Une conjecture de Colliot-Thélène [Colliot-Thélène et Skorobogatov 2021, Conjecture 14.1.2] prédit que l'obstruction de Brauer-Manin au principe de Hasse et à l'approximation faible est la seule pour les espaces homogènes de groupes algébriques linéaires. À la suite du travail de Demarche et Lucchini Arteche [2019], le cas général se réduit au cas où le groupe ambiant est $\text{SL}_m$ et où le stabilisateur géométrique est fini. On sait que cette conjecture vaut si le stabilisateur est abélien [Borovoi 1996, Theorem 2.2] : dans ce cas l'obstruction à l'existence de $k$-points sur $X$ est en fait contrôlée par un morphisme $\mathcal{E}(X) \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$, où $\mathcal{E}(X)$ est un sous-groupe de $(\text{Br}_{\text{nr}} X / \text{Br}_0 X)$, c'est la première obstruction de Brauer-Manin de $X$. Dans le cas où le stabilisateur géométrique n'est pas abélien, on ne sait pas si le groupe $\mathcal{E}(X)$ est suffisant pour expliquer le défaut du principe de Hasse. Borovoi et Kunyavskii ont essayé [1997] de construire un espace homogène où l'obstruction par rapport à $\mathcal{E}(X)$ ne suffit pas, mais il s'avère que cette construction ne marche pas [Borovoi et Kunyavskii 2001]. Nous allons, dans ce texte, étudier leur construction (qu'on va appeler *espaces homogènes de Borovoi-Kunyavskii*), et notamment nous montrons que ces espaces homogènes vérifient toujours le principe de Hasse ainsi que l'approximation faible ; ils vérifient donc la conjecture de Colliot-Thélène mentionnée ci-dessus (en fait il n'y pas d'obstruction de Brauer-Manin pour ceux-ci).

Il est à noter qu'un résultat récent de Harpaz et Wittenberg [2020, théorème B] dit que la conjecture de Colliot-Thélène vaut si le stabilisateur géométrique est hyper-résoluble (en tant que groupe fini muni d'une action extérieure du groupe de Galois absolu). Cela n'est pas toujours le cas pour les espaces homogènes de Borovoi-Kunyavskii (voir le corollaire 1.3 ci-dessous), malgré le fait que les stabilisateurs de ceux-ci sont nilpotents (un groupe *abstrait* fini et nilpotent est toujours hyper-résoluble, mais ce n'est pas le cas pour les groupes algébriques finis).

**1B. Notations et conventions.** On va fixer dans ce texte quelques notations.

Si $K$ est un corps parfait, $\bar{K}$ désigne une clôture algébrique de $K$ et $\Gamma_K = \text{Gal}(\bar{K}/K)$ est le groupe de Galois absolu de $K$.

Soit $K$ un corps de caractéristique nulle. Si $F$ est un $K$-groupe fini (un schéma en groupes fini sur $\text{Spec } K$), on l'identifiera au groupe abstrait $F(\bar{K})$ muni de l'action naturelle de $\Gamma_K$. On note aussi $\hat{F} = \text{Hom}(F, \bar{K}^\times)$ le $\Gamma_K$-module des caractères de $F$.

Lorsque $F$ est un groupe abstrait ou un schéma en groupes, on note $[F, F]$ son sous-groupe dérivé, $F^{\text{ab}} = F/[F, F]$ son abélianisé, $Z(F)$ son centre, $\text{Aut}(F)$ son groupe des automorphismes (en tant que groupe abstrait), $\text{Int}(F) = F/Z(F)$ son groupe des automorphismes intérieurs, $\text{int}(f) \in \text{Int}(F)$
la conjugaison par un élément $f \in F$, et $\text{Out}(F) = \text{Aut}(F)/\text{Int}(F)$ son groupe des automorphismes extérieurs. Si $F$ est un groupe fini et $\Gamma$ est un groupe profini, une action (resp. *action extérieure*) de $\Gamma$ sur $F$ est un morphisme *continu* (i.e., localement constant) de $\Gamma$ dans $\text{Aut}(F)$ (resp. dans $\text{Out}(F)$).

Rappelons la notion de groupe fini hyper-résoluble au sens de Harpaz-Wittenberg [2020, définition 6.4]. Soit $\kappa : \Gamma \to \text{Out}(F)$ une action extérieure d'un groupe profini $\Gamma$ sur un groupe fini $F$. Un sous-groupe distingué $G$ de $F$ est dit stable sous $\kappa$ si pour tout $\sigma \in \Gamma$, il existe un relevé $\phi \in \text{Aut}(F)$ de $\kappa(\sigma)$ tel que $\phi(G) \subseteq G$ (dans ce cas, comme $G$ est un sous-groupe distingué de $F$, tous les relevés de $\kappa(\sigma)$ vérifient cette propriété). On dit que $F$ (muni de l'action extérieure $\kappa$) est hyper-résoluble s'il existe un entier $n$ et une suite

$$ \{1\} = F_0 \subseteq F_1 \subseteq \dots \subseteq F_n = F $$

de sous-groupes distingués de $F$, stables sous $\kappa$, tels que $F_i/F_{i-1}$ soit cyclique pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$. Il est clair que dans ce cas, pour tout sous-groupe distingué $G$ de $F$ qui est stable sous $\kappa$, le quotient $F/G$ muni de l'action extérieure de $\Gamma$ induite par $\kappa$ est également hyper-résoluble<fnref n="1" />.

Les cohomologies utilisées seront cohomologie de groupes profinis, cohomologie galoisienne et cohomologie étale. On dispose aussi de la notion des $H^0$ et $H^1$ non abéliens. Le $H^2$ non abélien, défini dans [Flicker et al. 1998, § 1], sera mentionné dans le paragraphe 3A.

Si $G$ est un groupe et $H$ est un sous-groupe distingué de $G$, l'image d'un élément $\sigma \in G$ dans $G/H$ sera notée $\bar{\sigma}$. Pour tout $r \ge 1$, l'image dans $H^r$ d'un $r$-cocycle $a$ de $Z^r$ sera notée $[a]$.

Si $G$ est un groupe abstrait et $P \subseteq G$, $\langle P \rangle$ désigne le sous-groupe de $G$ (algébriquement) engendré par $P$. Si de plus $G$ est supposé topologique, l'adhérence $\overline{\langle P \rangle}$ est le sous-groupe de $G$ topologiquement engendré par $P$.

Soit $k$ un corps de nombres. L'ensemble des places de $k$ sera noté $\Omega_k$. Si $A$ est un $\Gamma_k$-module, $r$ est un entier et $v \in \Omega_k$, on notera $\text{loc}_v : H^r(k, A) \to H^r(k_v, A)$ le morphisme de localisation, et $\alpha_v = \text{loc}_v(\alpha)$ pour tout $\alpha \in H^r(k, A)$. De plus, on définit les sous-groupes

$$ \Pi_S^r(k, A) := \ker \left( H^r(k, A) \to \prod_{v \in \Omega_k \setminus S} H^r(k_v, A) \right) $$

pour tout sous-ensemble fini $S \subseteq \Omega_k$, et

$$ \Pi_{\omega}^{r}(k, A) := \bigcup_{S} \Pi_{S}^{r}(k, A), \quad \Pi^{r}(k, A) := \Pi_{\emptyset}^{r}(k, A). $$

Soit $X$ une variété lisse et géométriquement intègre sur un corps $K$ de caractéristique nulle. Le groupe de Brauer de $X$ est toujours le groupe de Brauer-Grothendieck $\text{Br} X := \text{H}^2(X, \mathbb{G}_m)$. Le groupe de Brauer non ramifié $\text{Br}_{\text{nr}} X$ est le groupe de Brauer de n'importe quelle variété propre et lisse contenant $X$ comme un ouvert dense ; c'est naturellement un sous-groupe de $\text{Br} X$, et c'est un invariant birationnel stable [Colliot-Thélène et Skorobogatov 2021, § 6.2]. Si $K$ est un corps, le groupe de Brauer de $K$ est alors $\text{Br} K = \text{H}^2(K, \mathbb{G}_m)$. Notons que $\text{H}^2(K, \mu_n) = (\text{Br} K)[n]$ pour tout entier $n$. Dans le cas où $K$ est un corps

<footnote n="1">1. Attention, $\kappa$ n'induit pas forcément une action extérieure de $\Gamma$ sur $G$.</footnote>
p-adique ou $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, $\text{inv}_K : \text{Br} K \hookrightarrow \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ désigne l'invariant local. Si $k$ un corps de nombres et $v$ est une place de $k$, on notera $\text{inv}_v = \text{inv}_{k_v}$.

Rappelons aussi l'interprétation cohomologique suivante de l'approximation faible, dont la preuve peut se trouver par exemple dans [Harari 2007, § 1.2].

**Lemme 1.1.** Soient $k$ un corps de nombres et $F$ un $k$-groupe fini. On choisit un plongement $F \hookrightarrow SL_m$ de $k$-groupes et l'on pose $X = F \backslash SL_m$. Alors pour tout sous-ensemble fini $S \subseteq \Omega_k$, on a équivalence entre :

1. $X(k)$ est dense dans $\prod_{v \in S} X(k_v)$.

2. La restriction $H^1(k, F) \to \prod_{v \in S} H^1(k_v, F)$ est surjective.

**1C. Énoncés des principaux théorèmes.** Soit $k$ un corps de nombres. On rappelle la construction de Borovoi–Kunyavskii. On construit une extension centrale de $k$-groupes finis

$$0 \to Z \to F \to M \oplus M \to 0 \qquad (1-2)$$

avec $Z = Z(F) = [F, F]$ (donc $F$ est nilpotent de classe 2) et on considère les espaces homogènes $X$ de $SL_m$ à stabilisateur géométrique $F$. Dans le paragraphe 3, cette construction sera discutée en détail. Pour le stabilisateur $F$ comme dans les théorèmes A et B ci-dessous, on verra dans le paragraphe 4 qu'il n'y a pas d'obstruction de Brauer–Manin pour ces espaces homogènes $X$: leurs groupes de Brauer non ramifiés sont réduits aux constantes (proposition 5.4).

Voici les principaux résultats de ce texte.

**Théorème A.** Soient $A$ un groupe abélien fini, $k$ un corps de nombres contenant $\mu_{\exp(A)}$, $L/k$ une extension finie galoisienne, $M = \text{Ind}_{\Gamma_k}^{\Gamma_L} A$, $j : A \otimes A \hookrightarrow M \otimes M$ l'inclusion canonique, $Z$ le conoyau de $j$ et $\phi : M \otimes M \to Z$ la projection. On définit l'application biadditive

$$\Phi : (M \oplus M) \times (M \oplus M) \to Z, \quad \Phi((x, y), (x', y')) = \phi(x \otimes y'),$$

vue comme 2-cocycle normalisé sur $M \oplus M$ à coefficients dans $Z$ (muni de l'action triviale de $M \oplus M$) et soit $F$ le produit croisé $Z \times_{\Phi} (M \oplus M)$, muni de l'action coordonnée par coordonnée de $\Gamma_k$. Alors les espaces homogènes de $SL_m$ de lien de Springer lien($F$) (voir paragraphe 3A pour la définition du lien de Springer d'un espace homogène) vérifient le principe de Hasse.

**Théorème B.** Avec les mêmes hypothèses du théorème A, soit $X$ un espace homogène de $SL_m$ de lien de Springer lien($F$). Si $X(k) \neq \emptyset$, alors $X$ vérifie l'approximation faible.

Les théorèmes A et B seront démontrés dans les paragraphes 5C et 5D. Leurs preuves reposent sur des calculs cohomologiques : comme $M = \text{Ind}_{\Gamma_k}^{\Gamma_L} A$, on peut utiliser le lemme de Shapiro pour passer de $H^I(k, M)$ à $H^I(L, A)$. La compatibilité avec l'isomorphisme de Shapiro de certaines applications sera donc nécessaire, et nous allons en discuter au paragraphe 2.

Pour toute extension $K$ de $k$, la flèche connectante $\Delta : H^1(K, M \oplus M) \to H^2(K, Z)$ induite par l'extension centrale (1-2) s'exprime en termes de cup-produits (voir lemme 3.8). Cette observation importante nous permet de réduire le problème des points rationnels sur $X$ aux calculs cohomologiques.
L'argument clé sera le théorème 5.5, qui est lui-même une application d'un « lemme arithmétique », les propositions 5.1 et 5.2 du paragraphe 5A. Ces propositions sont des généralisations de [Serre 1970, chapitre III, §2.2, théorème 4], qui décrivent une propriété globale du symbole de Hilbert, et dont les démonstrations reposent sur la dualité de Poitou-Tate.

Montrons que le stabilisateur des espaces homogènes de Borovoi-Kunyavskii comme dans l'énoncé du théorème A n'est pas toujours hyper-résoluble au sens de Harpaz-Wittenberg.

**Lemme 1.2.** Soit $\mathfrak{g}$ le groupe cyclique $\langle g : g^3 = 1\rangle$ et soit $M = (\mathbb{Z}/2)[\mathfrak{g}] = \bigoplus_{i=0}^2 (\mathbb{Z}/2)e_i$. Alors le quotient $\bar{M} = M/(e_0 + e_1 + e_2)$ est un $\mathfrak{g}$-module simple mais pas un groupe cyclique.

*Démonstration.* Le groupe $\bar{M}$ est bien un $\mathfrak{g}$-module puisque $e_0 + e_1 + e_2 \in M$ est fixé par $\mathfrak{g}$. Il est d'ordre 4 et d'exposant 2 donc non cyclique. Montrons qu'il est un $\mathfrak{g}$-module simple. Soit $N \subseteq \bar{M}$ un sous-groupe $\mathfrak{g}$-stable et supposons $N \neq 0$. Soit $x \in N \setminus \{0\}$ et affirmons que $x$ n'est pas fixé par $\mathfrak{g}$. En effet, on peut écrire $x = \overline{a_1e_1} + \overline{a_2e_2}$, où $a_1, a_2 \in \mathbb{Z}/2$. Alors $gx = \overline{a_1e_0} + \overline{a_2e_1}$. Si $gx = x$, alors il existe $b \in \mathbb{Z}/2$ tel que $a_1e_0 + a_2e_1 = a_1e_1 + a_2e_2 + b(e_0 + e_1 + e_2)$, d'où

$$a_1 = b, \quad a_2 = a_1 + b, \quad a_2 + b = 0,$$

et donc $a_1 = a_2 = 0$, ou $x = 0$. Cette contradiction montre qu'en fait on a $gx \neq x$. On en déduit que $N$ contient quatre éléments deux à deux distincts, à savoir $0, x, gx$ et $g^2x$. Comme $\bar{M}$ est d'ordre 4, on voit que $N = \bar{M}$, ce qui montre que $\bar{M}$ n'a pas de sous-groupe $\mathfrak{g}$-stable non trivial. $\square$

**Corollaire 1.3.** Soit $L/k$ une extension galoisienne de degré 3 de corps de nombres et $M = \text{Ind}_{\Gamma_k}^{\Gamma_L} \mu_2$. De $M$, on construit le $k$-groupe fini $F$ comme dans l'énoncé du théorème A. Alors $F$ n'est pas hyper-résoluble (en tant que groupe fini muni de l'action extérieure de $\Gamma_k$).

*Démonstration.* En effet, si $F$ était hyper-résoluble, alors $M \oplus M = F/Z$ serait un $\Gamma_k$-module hyper-résoluble. On en déduirait que ce serait aussi le cas pour $M$ et le quotient $\bar{M}$ comme dans le lemme 1.2. Mais $\bar{M}$ est un $\Gamma_k$-module simple non cyclique, donc non hyper-résoluble. Ainsi, $F$ n'est pas hyper-résoluble. $\square$

## 2. Compatibilité avec les isomorphismes de Shapiro

Dans cette section, $G$ est un groupe profini et $H$ est un sous-groupe ouvert, distingué de $G$.

Soit $r$ un entier. On rappelle que si $A$ est un groupe abélien muni de l'action triviale de $H$, le groupe $Z^r(H, A)$ des $r$-cocycles $H^r \to A$ est muni de l'action suivante de $G$ :

$$^{\sigma}a_{\tau_1, \dots, \tau_r} = a_{\sigma^{-1}\tau_1\sigma, \dots, \sigma^{-1}\tau_r\sigma} \quad \forall \sigma \in G, \forall a \in Z^r(H, A), \forall \tau_1, \dots, \tau_r \in H.$$

Cette action induit une action de $G$ sur le groupe $H^r(H, A)$. Le groupe $H$ agit trivialment sur $H^r(H, A)$ puisque les automorphismes intérieurs de $H$ induisent l'identité. On obtient ainsi une action de $G/H$ sur $H^r(H, A)$. Pour le reste de cette section, soit $M = \text{Ind}_G^H A$ (voir [Serre 1994, chapitre I, §2.5] pour la
notion de module induit). Alors $M$ est un $G$-module discret dont le groupe abélien sous-jacent est celui des applications $G/H \to A$, et dont l'action de $G$ est donnée par la formule

$$^{\sigma}f(g) = f(g\bar{\sigma}) \quad \forall \sigma \in G, \forall f \in M, \forall g \in G/H.$$

Pour tout $r \ge 1$, on dispose d'un morphisme

$$\mathrm{sh} : Z^r(G, M) \to Z^r(H, A)$$

qui à chaque $r$-cocycle $a : G^r \to M$ associe le $r$-cocycle

$$H^r \to A, \quad (\sigma_1, \dots, \sigma_r) \mapsto a_{\sigma_1, \dots, \sigma_r}(1).$$

Le lemme de Shapiro affirme que sh induit un isomorphisme $\mathrm{sh} : H^r(G, M) \to H^r(H, A)$. Le but de cette section est de donner quelques résultats de compatibilité des isomorphismes de Shapiro avec certaines applications.

**2A. Quasi-inverses aux applications de Shapiro.** On fixe une section (ensembliste) $u : G/H \to G$ avec $u(1) = 1$. Pour tous $g \in G/H$ et $\sigma \in G$, posons $\gamma(g, \sigma) := u(g)\sigma u(g\bar{\sigma})^{-1}$. Alors $\gamma(g, \sigma) \in H$ puisque son image dans $G/H$ est $g\bar{\sigma}(g\bar{\sigma})^{-1} = 1$. L'application $\gamma : G/H \times G \to H$ est continue. Elle vérifie une « condition de cocycle » :

$$\gamma(g, \sigma\tau) = \gamma(g, \sigma)\gamma(g\bar{\sigma}, \tau) \quad \forall g \in G/H, \forall \sigma, \tau \in G. \qquad (2-1)$$

Les résultats suivants décrivent des morphismes $Z^r(H, A) \to Z^r(G, M)$ pour $r = 1, 2$, qui induisent des inverses de sh au niveau de la cohomologie. Ils sont inspirés par [Naidu 2007, Lemma 2.1, Lemma 2.2].

**Lemme 2.1.** *Soit $a \in H^1(H, A)$, vu comme morphisme continu $H \to A$. Soit $x : G \to M$ l'application continue définie par*

$$x_{\sigma}(g) = a_{\gamma(g, \sigma)} \quad \forall \sigma \in G, \forall g \in G/H.$$

Alors $x$ est un 1-cocycle. De plus, pour tous $\sigma \in H$ et $g \in G/H$, on a $x_{\sigma}(g) = u(g)^{-1}a_{\sigma}$. En particulier, $\mathrm{sh}(x) = a$.

**Démonstration.** Pour tous $g \in G/H$ et $\sigma, \tau \in G$, au vu de (2-1), on a

$$x_{\sigma\tau}(g) = a_{\gamma(g, \sigma\tau)} = a_{\gamma(g, \sigma)\gamma(g\bar{\sigma}, \tau)} = a_{\gamma(g, \sigma)} + a_{\gamma(g\bar{\sigma}, \tau)} = x_{\sigma}(g) + x_{\tau}(g\bar{\sigma}) = x_{\sigma}(g) + \sigma x_{\tau}(g),$$

d'où $x_{\sigma\tau} = x_{\sigma} + \sigma x_{\tau}$, donc $x$ est bien un 1-cocycle.

Soient $\sigma \in H$ et $g \in G/H$. Alors $\gamma(g, \sigma) = u(g)\sigma u(g\bar{\sigma})^{-1} = u(g)\sigma u(g)^{-1}$, d'où

$$x_{\sigma}(g) = a_{u(g)\sigma u(g)^{-1}} = u(g)^{-1}a_{\sigma}.$$

En particulier, $x_{\sigma}(1) = a_{\sigma}$ puisque $u(1) = 1$ et donc $\mathrm{sh}(x) = a$. $\square$
**Lemme 2.2.** Soit $a \in Z^2(H, A)$. Soit $x : G \times G \to M$ l'application continue définie par

$$x_{\sigma, \tau}(g) = a_{\gamma(g, \sigma), \gamma(g\bar{\sigma}, \tau)} \quad \forall \sigma, \tau \in G, \forall g \in G/H.$$

Alors $x$ est un 2-cocycle. De plus, pour tous $\sigma, \tau \in H$ et $g \in G/H$, on a $x_{\sigma, \tau}(g) = u(g)^{-1}a_{\sigma, \tau}$. En particulier, $\mathrm{sh}(x) = a$.

**Démonstration.** Pour tous $g \in G/H$ et $\sigma, \tau, \upsilon \in G$, on a

$$ 
\begin{align*}
& \sigma x_{\tau,\upsilon}(g) - x_{\sigma\tau,\upsilon}(g) + x_{\sigma,\tau\upsilon}(g) - x_{\sigma,\tau}(g) \\
&= x_{\tau,\upsilon}(g\bar{\sigma}) - x_{\sigma\tau,\upsilon}(g) + x_{\sigma,\tau\upsilon}(g) - x_{\sigma,\tau}(g) \\
&= a_{\gamma(g\bar{\sigma},\tau),\gamma(g\bar{\sigma}\tau,\upsilon)} - a_{\gamma(g,\sigma\tau),\gamma(g\bar{\sigma}\tau,\upsilon)} + a_{\gamma(g,\sigma),\gamma(g\bar{\sigma},\tau\upsilon)} - a_{\gamma(g,\sigma),\gamma(g\bar{\sigma},\tau)} \\
&\stackrel{(2-1)}{=} a_{\gamma(g\bar{\sigma},\tau),\gamma(g\bar{\sigma}\tau,\upsilon)} - a_{\gamma(g,\sigma)\gamma(g\bar{\sigma},\tau),\gamma(g\bar{\sigma},\tau)\gamma(g\bar{\sigma}\tau,\upsilon)} + a_{\gamma(g,\sigma),\gamma(g\bar{\sigma},\tau)\gamma(g\bar{\sigma}\tau,\upsilon)} - a_{\gamma(g,\sigma),\gamma(g\bar{\sigma},\tau)} \\
&= 0,
\end{align*}
$$

où la dernière égalité découle du fait que $a$ est un 2-cocycle. De là, $\sigma x_{\tau,\upsilon} - x_{\sigma\tau,\upsilon} + x_{\sigma,\tau\upsilon} - x_{\sigma,\tau} = 0$ et donc $x$ est bien un 2-cocycle.

Soient $\sigma, \tau \in H$ et $g \in G/H$. Alors $\gamma(g, \sigma) = u(g)\sigma u(g\bar{\sigma})^{-1} = u(g)\sigma u(g)^{-1}$ et $\gamma(g\bar{\sigma}, \tau) = u(g\bar{\sigma})\tau u(g\bar{\sigma}\tau)^{-1} = u(g)\tau u(g)^{-1}$, d'où

$$x_{\sigma, \tau}(g) = a_{u(g)\sigma u(g)^{-1}, u(g)\tau u(g)^{-1}} = u(g)^{-1}a_{\sigma, \tau}.$$

En particulier, $x_{\sigma,\tau}(1) = a_{\sigma,\tau}$ puisque $u(1) = 1$ et donc $\mathrm{sh}(x) = a$. $\square$

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

**2B. Description globale.** À partir de ce paragraphe, on identifie $M \otimes M$ au groupe des applications $G/H \times G/H \to A \otimes A$, muni de l'action de $G$ définie par

$$\sigma f(g, h) = f(g\bar{\sigma}, h\bar{\sigma}) \quad \forall \sigma \in G, \forall f \in M \otimes M, \forall g, h \in G/H.$$

Alors pour tous $f_1, f_2 \in M$, l'élément $f_1 \otimes f_2 \in M \otimes M$ est donné par

$$(f_1 \otimes f_2)(g, h) = f_1(g) \otimes f_2(h) \quad \forall g, h \in G/H.$$

Pour tout $g \in G/H$, on définit le morphisme

$$\omega_g : M \otimes M \to \mathrm{Ind}_G^H(A \otimes A) = \{G/H \to A \otimes A\}, \quad \omega_g(f)(h) = f(gh, h). \quad (2-2)$$

On vérifie sans peine que $\omega_g$ est G-équivariant. Soit $\omega = (\omega_g)_{g \in G/H} : M \otimes M \to (\mathrm{Ind}_G^H(A \otimes A))^{[G:H]}$. Explicitons la composée $\mathrm{sh}' = \mathrm{sh}^{[G:H]} \circ \omega_* : Z^r(G, M \otimes M) \to Z^r(H, A \otimes A)^{[G:H]}$ pour tout $r \ge 1$.

**Lemme 2.3.** Soit $r \ge 1$.

1. $\omega$ est un isomorphisme de G-modules (donc $\mathrm{sh}' : H^r(G, M \otimes M) \to H^r(H, A \otimes A)^{[G:H]}$ est un isomorphisme).
2. Soit $x \in Z^r(G, M \otimes M)$. Pour tout $g \in G/H$, soit $a_g \in Z^r(H, A \otimes A)$ le $r$-cocycle $(\sigma_1, \dots, \sigma_r) \mapsto x_{\sigma_1, \dots, \sigma_r}(g, 1)$. Alors $\mathrm{sh}'(x) = (a_g)_{g \in G/H}$.

**Démonstration.** 1. Montrons l'injectivité de $\omega$. Soit $f \in M \otimes M$ tel que $\omega(f) = 0$. Alors

$$f(g, h) = f(gh^{-1}h, h) = \omega_{gh^{-1}}(f)(h) = 0$$

pour tous $g, h \in G/H$, d'où $f = 0$.

Montrons maintenant que $\omega$ est surjectif. Soit alors $(f_g)_{g \in G/H}$ une famille d'applications $G/H \to A \otimes A$. On définit l'élément $f \in M \otimes M$ par

$$f(g, h) = f_{gh^{-1}}(h) \quad \forall g, h \in G/H.$$

Pour tous $g, h \in G/H$, on a $\omega_g(f)(h) = f(gh, h) = f_{gh^{-1}}(h) = f_g(h)$, d'où $\omega_g(f) = f_g$ et donc $\omega(f) = (f_g)_{g \in G/H}$.

2. Pour tous $\sigma_1, \dots, \sigma_r \in H$ et $g \in G/H$, on a

$$((\omega_g)_*x)_{\sigma_1, \dots, \sigma_r}(1) = \omega_g(x_{\sigma_1, \dots, \sigma_r})(1) = x_{\sigma_1, \dots, \sigma_r}(g, 1) = (a_g)_{\sigma_1, \dots, \sigma_r},$$

$$\text{donc } \mathrm{sh}((\omega_g)_*x) = a_g, \text{ d'où } \mathrm{sh}'(x) = (\mathrm{sh}((\omega_g)_*x))_{g \in G/H} = (a_g)_{g \in G/H}.$$

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Décrivons l'application $H^1(H, A) \times H^1(H, A) \to H^2(H, A \otimes A)^{[G:H]}$ associée au cup-produit

$$\cup : H^1(G, M) \times H^1(G, M) \to H^2(G, M \otimes M).$$

**Lemme 2.4.** On a un diagramme commutatif, où les flèches verticales sont des isomorphismes :

$$
\begin{tikzcd}
H^1(H, A) \times H^1(H, A) \arrow[r, "(a,b) \mapsto (g^{-1}a \cup b)_{g \in G/H}"] \arrow[d, "\mathrm{sh}"] & H^2(H, A \otimes A)^{[G:H]} \arrow[d, "\mathrm{sh}'"] \\
H^1(G, M) \times H^1(G, M) \arrow[r, "\cup"] & H^2(G, M \otimes M)
\end{tikzcd}
$$

**Démonstration.** Soient $a, b \in H^1(H, A)$, vus comme morphismes continus $H \to A$. Soient $x, y : G \to M$ les 1-cocycles représentant les classes $\mathrm{sh}^{-1}(a)$, $\mathrm{sh}^{-1}(b) \in H^1(G, M)$ respectivement, qui sont construits dans le lemme 2.1. Alors l'on a $x_\sigma(g) = u^{(g)^{-1}}a_\sigma$ et $y_\sigma(g) = u^{(g)^{-1}}b_\sigma$ pour tous $\sigma \in H$ et $g \in G/H$ (où $u(g) \in G$ désigne un relevé de $g$).

Regardons le cup-produit $x \cup y \in Z^2(G, M \otimes M)$. Pour tous $g \in G/H$ et $\sigma, \tau \in H$, on a

$$(x \cup y)_{\sigma, \tau}(g, 1) = (x_\sigma \otimes \sigma y_\tau)(g, 1) = (x_\sigma \otimes y_\tau)(g, 1) = x_\sigma(g) \otimes y_\tau(1) = u^{(g)^{-1}} a_\sigma \otimes b_\tau = (u^{(g)^{-1}} a \cup b)_{\sigma, \tau}.$$

Par le lemme 2.3, on a $\mathrm{sh}'(x \cup y) = (u^{(g)^{-1}}a \cup b)_{g \in G/H}$ dans $Z^2(H, A \otimes A)^{[G:H]}$, ce qui implique que $\mathrm{sh}'([x] \cup [y]) = (g^{-1}a \cup b)_{g \in G/H}$ dans $H^2(G, A \otimes A)^{[G:H]}$, d'où le lemme. $\square$

<figure><img src="image_3.png" /></figure>
**Lemme 2.5.** On munit $A$ de l'action triviale de $G$. Soit $j : A \otimes A \hookrightarrow M \otimes M$ l'inclusion $G$-équivariante qui à tout $m \in A \otimes A$ associe l'application

$$G/H \times G/H \to A \otimes A, \quad (g, h) \mapsto m.$$

Soit $r \ge 1$ et soit $\text{res} : Z^r(G, A \otimes A) \to Z^r(H, A \otimes A)$ le morphisme de restriction. Alors l'on dispose d'un diagramme commutatif, où la flèche verticale est un isomorphisme :

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

**Démonstration.** Soit $x \in Z^r(G, A \otimes A)$. Alors $(j_*x)_{\sigma_1, \dots, \sigma_r}(g, 1) = j(x_{\sigma_1, \dots, \sigma_r})(g, 1) = x_{\sigma_1, \dots, \sigma_r}$ pour tous $\sigma_1, \dots, \sigma_r \in H$ et $g \in G/H$. Par le lemme 2.3, on a $\text{sh}'(j_*x) = (\text{res}(x), \dots, \text{res}(x))$ dans $Z^r(H, A \otimes A)^{[G:H]}$ et donc $\text{sh}'(j_*[x]) = (\text{res}([x]), \dots, \text{res}([x]))$ dans $H^r(H, A \otimes A)^{[G:H]}$. $\square$

**2C. Description locale.** Dans ce paragraphe et celui qui le suit, on prend $G = \Gamma_k$ et $H = \Gamma_L$, où $L/k$ est une extension finie galoisienne de corps de nombres. Posons $\mathfrak{g} = \text{Gal}(L/k) = \Gamma_k/\Gamma_L$. $A$ est toujours groupe abélien muni de l'action triviale de $\Gamma_L$ et $M = \text{Ind}_{\Gamma_k}^{\Gamma_L} A$.

On fixe une place $v$ de $k$, une place $w$ de $L$ divisant $v$ et une extension de $w$ à $\bar{k}$ (d'où une inclusion $\Gamma_{k_v} \subseteq \Gamma_k$ avec $\Gamma_{L_w} = \Gamma_{k_v} \cap \Gamma_L$). Soit $\mathfrak{g}_v = \text{Gal}(L_w/k_v) = \Gamma_{k_v}/\Gamma_{L_w} \subseteq \mathfrak{g}$ le groupe de décomposition de $w|v$. On choisit un système de représentants $\mathcal{E}_v$ des classes à gauche de $\mathfrak{g}$ suivant $\mathfrak{g}_v$ et l'on pose $e_v = |\mathcal{E}_v| = [\mathfrak{g} : \mathfrak{g}_v]$. Alors toute place de $L$ divisant $v$ est de la forme $sw$ pour un unique $s \in \mathcal{E}_v$.

Posons $M_v = \text{Ind}_{\Gamma_{k_v}}^{\Gamma_{L_w}} A = \{\mathfrak{g}_v \to A\}$. Pour tout $s \in \mathcal{E}_v$, soit $\zeta_s : M \to M_v$ le morphisme $\Gamma_{k_v}$-équivariant défini par

$$\zeta_s(f)(h) = f(sh) \quad \forall f \in M, \forall h \in \mathfrak{g}_v.$$

Soit $\zeta = (\zeta_s)_{s \in \mathcal{E}_v} : M \to M_v^{e_v}$ et soit $\text{sh}_v = \text{sh}^{e_v} \circ \zeta_* : Z^r(k_v, M) \to Z^r(L_w, A)^{e_v}$ pour tout $r \ge 1$.

**Lemme 2.6.** $\zeta$ est un isomorphisme de $\Gamma_{k_v}$-modules (donc $\text{sh}_v : H^r(k_v, M) \to H^r(L_w, A)^{e_v}$ est un isomorphisme pour tout $r \ge 1$).

**Démonstration.** Montrons l'injectivité de $\zeta$. Soit $f \in M$ tel que $\zeta(f) = 0$. Pour tout $g \in \mathfrak{g}$, on peut écrire $g = \text{sh}$, où $s \in \mathcal{E}_v$ et $h \in \mathfrak{g}_v$. Alors $f(g) = f(sh) = \zeta_s(f)(h) = 0$, d'où $f = 0$.

Montrons maintenant que $\zeta$ est surjectif. Soit alors $(f_s)_{s \in \mathcal{E}_v}$ une famille d'éléments de $M_v$. On définit l'élément $f \in M$ comme suit. Pour tout $g \in \mathfrak{g}$, il existe un unique $s \in \mathcal{E}_v$ et un unique $h \in \mathfrak{g}_v$ tel que $g = \text{sh}$. On définit $f(g) = f_s(h)$. Alors l'on a $\zeta_s(f)(h) = f(sh) = f_s(h)$ pour tous $s \in \mathcal{E}_v$ et $h \in \mathfrak{g}$, d'où $\zeta_s(f) = f_s$ et donc $\zeta(f) = (f_s)_{s \in \mathcal{E}_v}$. $\square$

Par le lemme 2.6, on dispose d'un isomorphisme

$$\zeta \otimes \zeta = (\zeta_s \otimes \zeta_t)_{s,t \in \mathcal{E}_v} : M \otimes M \to M_v^{e_v} \otimes M_v^{e_v} = (M_v \otimes M_v)^{e_v^2}$$
est commutatif, d'où la commutativité du carré du haut de (2-4). Le carré du bas de (2-4) commute tout simplement par fonctorialité du cup-produit. □

Le résultat suivant est une version locale du lemme 2.5.

**Lemme 2.8.** On munit $A$ de l'action triviale de $\Gamma_k$. Soit $j : A \otimes A \hookrightarrow M \otimes M$ l'inclusion $\Gamma_k$-équivariante qui à tout $m \in A \otimes A$ associe l'application

$$ g \times g \to A \otimes A, \quad (g, h) \mapsto m. $$

Soit $r \ge 1$ et soit $\text{res} : Z^r(k_v, A \otimes A) \to Z^r(L_w, A \otimes A)$ le morphisme de restriction. Alors l'on dispose d'un diagramme commutatif, où la flèche verticale est un isomorphisme :

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

**Démonstration.** Soit $x \in Z^r(k_v, A \otimes A)$. Pour tous $s, t \in \mathscr{E}_v, \sigma_1, \dots, \sigma_r \in \Gamma_{L_w}$ et $h \in \mathfrak{g}_v$, on a

(( $\varsigma_s \otimes \varsigma_t)_* j_* x)_{\sigma_1, \dots, \sigma_r} (h, 1) = (\varsigma_s \otimes \varsigma_t)(j(x_{\sigma_1, \dots, \sigma_r})) (h, 1) \stackrel{(2-3)}{=} j(x_{\sigma_1, \dots, \sigma_r}) (\text{sh}, t) = x_{\sigma_1, \dots, \sigma_r} = \text{res}(x)_{\sigma_1, \dots, \sigma_r}$, d'où $\text{sh}'((\varsigma_s \otimes \varsigma_t)_* j_* x) = (\text{res}(x), \dots, \text{res}(x)) \in Z^r(L_w, A \otimes A)^{\mathfrak{g}_v}$ pour tous $s, t \in \mathscr{E}_v$ en vertu du **lemme 2.3**. Ainsi, on a $\text{sh}'_v(j_*x) = (\text{sh}')^{e_v^2}((\varsigma \otimes \varsigma)_* j_* x) = (\text{res}(x), \dots, \text{res}(x))$ dans $Z^r(L_w, A \otimes A)^{\mathfrak{g}_v}$, ou $\text{sh}'_v(j_*[x]) = (\text{res}([x]), \dots, \text{res}([x]))$ dans $H^r(L_w, A \otimes A)^{\mathfrak{g}_v}$, ce qui achève la démonstration. □

**2D. Description des localisations.** On garde les notations du paragraphe précédent. Rappelons qu'on a des isomorphismes

$$ \text{sh} : H^1(k, M) \to H^1(L, A) \quad \text{et} \quad \text{sh}_v = \text{sh}^{e_v} \otimes \varsigma_* : H^1(k_v, M) \to H^1(L_w, A)^{e_v}. $$

Décrivons le morphisme $H^1(L, A) \to H^1(L_w, A)^{e_v}$ associé au morphisme de localisation

$$ \text{loc}_v : H^1(k, M) \to H^1(k_v, M). $$

**Lemme 2.9.** On a un diagramme commutatif, où les flèches verticales sont des isomorphismes :

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

**Démonstration.** Soit $a \in H^1(L, A)$, vu comme morphisme continu $\Gamma_L \to A$. Soit $x : \Gamma_k \to M$ le 1-cocycle représentant la classe $\text{sh}^{-1}(a) \in H^1(k, M)$ construit dans le **lemme 2.1**. Alors l'on a $x_\sigma(g) = u(g)^{-1}a_\sigma$ pour tous $\sigma \in \Gamma_L$ et $g \in \mathfrak{g}$ (où $u(g) \in \Gamma_k$ désigne un relevé de $g$).
Étudions le localisé $x_v : \Gamma_{k_v} \to M$. Pour tous $s \in \mathcal{E}_v$ et $\sigma \in \Gamma_{L_w}$, on a

$$((\varsigma_s)_*x_v)_\sigma(1) = \varsigma_s((x_v)_\sigma)(1) = (x_v)_\sigma(s) = x_\sigma(s) = (u(s)^{-1})_{a_\sigma} = ((u(s)^{-1})_w)_\sigma.$$

Ainsi, $\mathrm{sh}((\varsigma_s)_*x_v) = (u(s)^{-1}a)_w$ dans $Z^1(L_w, A)$, d'où $\mathrm{sh}_v(x_v) = ((\varsigma_s)_*x_v)_{s \in \mathcal{E}_v} = ((u(s)^{-1}a)_w)_{s \in \mathcal{E}_v}$ dans $Z^1(L_w, A)^{e_v}$, ou $\mathrm{sh}_v([x_v]) = ((s^{-1}a)_w)_{s \in \mathcal{E}_v}$ dans $H^1(L_w, A)^{e_v}$. $\square$

Rappelons maintenant qu'on a des isomorphismes

$$\mathrm{sh}': H^2(k, M \otimes M) \to H^2(L, A \otimes A)^{|\mathfrak{g}|} \quad \text{et} \quad \mathrm{sh}'_v = (\mathrm{sh}')^{e_v^2} \circ (\varsigma \otimes \varsigma)_* : H^2(k_v, M \otimes M) \to H^2(L_w, A \otimes A)^{e_v^2^{|\mathfrak{g}_v|}}.$$

Décrivons le morphisme $H^2(L, A \otimes A)^{|\mathfrak{g}|} \to H^2(L_w, A \otimes A)^{e_v^2^{|\mathfrak{g}_v|}}$ associé au morphisme de localisation

$$\mathrm{loc}_v : H^2(k, M \otimes M) \to H^2(k_v, M \otimes M).$$

**Lemme 2.10.** On a un diagramme commutatif, où les flèches verticales sont des isomorphismes :

$$ \begin{tikzcd} H^2(L, A \otimes A)^{|\mathfrak{g}|} \arrow[r, "(\alpha_g)_{g \in \mathfrak{g}} \mapsto ((t^{-1}\alpha_{sht^{-1}})_w)_{h \in \mathfrak{g}_v, s, t \in \mathcal{E}_v}"] & H^2(L_w, A \otimes A)^{e_v^2^{|\mathfrak{g}_v|}} \arrow[r, "\mathrm{sh}'"] & H^2(k, M \otimes M) \arrow[l, "\mathrm{loc}_v"] \arrow[r, "\mathrm{sh}'_v"] & H^2(k_v, M \otimes M) \end{tikzcd} $$

**Démonstration.** Soit $(a_g)_{g \in \mathfrak{g}}$ une famille de 2-cocycles $\Gamma_L \times \Gamma_L \to A \otimes A$. Pour tout $g \in \mathfrak{g}$, on note $x_g : \Gamma_k \times \Gamma_k \to \mathrm{Ind}_{\Gamma_k}^{\Gamma_L}(A \otimes A) = \{\mathfrak{g} \to A \otimes A\}$ le 2-cocycle construit dans le lemme 2.2 (appliqué au $A \otimes A$ au lieu de $A$), de sorte que $\mathrm{sh}(x_g) = a_g$ et que

$$(x_g)_{\sigma, \tau}(h) = u(h)^{-1}(a_g)_{\sigma, \tau} \quad \forall \sigma, \tau \in \Gamma_L, \forall h \in \mathfrak{g}, \qquad (2-5)$$

où $u(h) \in \Gamma_k$ désigne un relevé de $h$.

Reprenons les notations $\omega_g : M \otimes M \to \mathrm{Ind}_{\Gamma_k}^{\Gamma_L}(A \otimes A)$ et

$$\omega = (\omega_g)_{g \in \mathfrak{g}} : M \otimes M \to (\mathrm{Ind}_{\Gamma_k}^{\Gamma_L}(A \otimes A))^{|\mathfrak{g}|}$$

au début du paragraphe 2B. Par le lemme 2.3, il existe un 2-cocycle $y \in Z^2(k, M \otimes M)$ tel que $x_g = (\omega_g)_*y$ pour tout $g \in \mathfrak{g}$. Alors $\mathrm{sh}'(y) = (\mathrm{sh}((\omega_g)_*y))_{g \in \mathfrak{g}} = (\mathrm{sh}(x_g))_{g \in \mathfrak{g}} = (a_g)_{g \in \mathfrak{g}} \in Z^2(L, A \otimes A)^{|\mathfrak{g}|}$.

Étudions le localisé $y_v \in Z^2(k_v, M \otimes M)$. Pour tous $s, t \in \mathcal{E}_v$, $h \in \mathfrak{g}_v$ et $\sigma, \tau \in \Gamma_{L_w}$, on a

$$ \begin{align*} ((\varsigma_s \otimes \varsigma_t)_* y_v)_{\sigma, \tau}(h, 1) &= (\varsigma_s \otimes \varsigma_t)((y_v)_{\sigma, \tau})(h, 1) = (\varsigma_s \otimes \varsigma_t)(y_{\sigma, \tau})(h, 1) \stackrel{(2-3)}{=} y_{\sigma, \tau}(\mathrm{sh}, t) \\ &= y_{\sigma, \tau}(\mathrm{sht}^{-1}t, t) \stackrel{(2-2)}{=} \omega_{\mathrm{sht}^{-1}}(y_{\sigma, \tau})(t) = ((\omega_{\mathrm{sht}^{-1}})_* y)_{\sigma, \tau}(t) \\ &= (x_{\mathrm{sht}^{-1}})_{\sigma, \tau}(t) \stackrel{(2-5)}{=} u(t)^{-1}(a_{\mathrm{sht}^{-1}})_{\sigma, \tau} = (u(t)^{-1}(a_{\mathrm{sht}^{-1}})_w)_{\sigma, \tau}, \end{align*} $$

d'où $\mathrm{sh}'((\varsigma_s \otimes \varsigma_t)_* y_v) = (u(t)^{-1}(a_{\mathrm{sht}^{-1}})_w)_{h \in \mathfrak{g}_v}$ dans $Z^2(L_w, A \otimes A)^{|\mathfrak{g}_v|}$ par le lemme 2.3. Ainsi

$$\mathrm{sh}'_v(y_v) = (\mathrm{sh}'((\varsigma_s \otimes \varsigma_t)_* y_v))_{s, t \in \mathcal{E}_v} = ((u(t)^{-1}(a_{\mathrm{sht}^{-1}}))_w)_{h \in \mathfrak{g}_v, s, t \in \mathcal{E}_v}$$
dans $Z^2(L_w, A \otimes A)^{e_v^2|\mathfrak{g}_v|}$, ou $\mathrm{sh}'_v([y_v]) = ((l^{-1}[a_{sht^{-1}}])_w)_{h \in \mathfrak{g}_v, s, t \in \mathfrak{e}_v}$ dans $\mathrm{H}^2(L_w, A \otimes A)^{e_v^2|\mathfrak{g}_v|}$. Cette égalité établit le résultat voulu.
□

### 3. La construction de Borovoi-Kunyavskii

**3A. H<sup>2</sup> non abélien et espaces homogènes.** Soit $K$ un corps de caractéristique nulle. Pour étudier les $K$-espaces homogènes de $SL_m$ (qui peut ne pas avoir de $K$-point), il convient d'introduire la notion de 2-cohomologie non abélienne. Nous allons utiliser sa version concrète en termes de cocycles [Flicker et al. 1998, § 1].

Seuls les $K$-liens dont le $\bar{K}$-groupe sous-adjacent est fini (c'est donc simplement un groupe abstrait fini) seront pris en considération. Un $K$-lien (fini) $L = (F, \kappa)$ est alors la donnée d'un groupe fini $F$ muni d'une action extérieure $\kappa : \Gamma_K \to \mathrm{Out}(F)$. Si $F$ est un $K$-groupe — i.e., si une action (continue) $\rho : \Gamma_K \to \mathrm{Aut}(F)$ est donnée — on lui associe son $K$-lien canonique lien($F$).

Soit $L = (F, \kappa)$ un $K$-lien. Un 2-cocycle à coefficients dans $L$ est un couple $(\rho, u)$ où $\rho : \Gamma_K \to \mathrm{Aut}(F)$ et $u : \Gamma_K \times \Gamma_K \to F$ sont des applications continues telles que :

1. $\rho_\sigma$ relève $\kappa_\sigma$ pour tout $\sigma \in \Gamma_K$.

2. $\rho_{\sigma\tau} = \mathrm{int}(u_{\sigma,\tau}) \circ \rho_\sigma \circ \rho_\tau$ pour tous $\sigma, \tau \in \Gamma_K$.

3. $u_{\sigma,\tau\upsilon}\rho_\sigma(u_{\tau\upsilon}) = u_{\sigma\tau\upsilon}u_{\sigma,\tau}$ pour tous $\sigma, \tau, \upsilon \in \Gamma_K$.

Notons $Z^2(K, L)$ l'ensemble des 2-cocycles à coefficients dans $L$. Deux tels 2-cocycles $(\rho, u)$ et $(\rho', u')$ sont dits *cohomologues* s'il existe une application continue $c : \Gamma_K \to F$ telle que :

1. $\rho'_\sigma = \mathrm{int}(c_\sigma) \circ \rho_\sigma$ pour tout $\sigma \in \Gamma_K$.

2. $u'_{\sigma,\tau} = c_{\sigma\tau}u_{\sigma,\tau}\rho_\sigma(c_\tau)^{-1}c_\sigma^{-1}$ pour tous $\sigma, \tau \in \Gamma_K$.

Alors « être cohomologues » est une relation d'équivalence sur $Z^2(K, L)$. On appelle *ensemble de 2-cohomologie galoisienne à coefficients dans L* le quotient $Z^2(K, L)$ par cette relation, et on le note $\mathrm{H}^2(K, L)$. Si $F$ est un $K$-groupe, on note $\mathrm{H}^2(K, F) := \mathrm{H}^2(K, \mathrm{lien}(F))$. Dans le cas où $F$ est un $\Gamma_K$-module, $\mathrm{H}^2(K, F)$ est le groupe de 2-cohomologie galoisienne usuel.

Soit $L = (F, \kappa)$ un $K$-lien. Une classe $\eta \in \mathrm{H}^2(K, L)$ est dite *neutre* si elle est représentée par un 2-cocycle de la forme $(\rho, 1)$. Dans ce cas, $\rho : \Gamma_K \to \mathrm{Aut}(F)$ est une action continue de $\Gamma_K$ sur $F$ relevant $\kappa$ et donc $\eta$ correspond à une $K$-forme $F'$ ; on note $\eta = n(F')$. L'ensemble $\mathrm{H}^2(K, L)$ peut ne pas avoir de classe neutre, et elle peut également en posséder plusieurs. Si $F$ est un $K$-groupe et $\rho : \Gamma_K \to F$ désigne l'action de $\Gamma_K$, l'ensemble $\mathrm{H}^2(K, F)$ a une classe neutre privilégiée $\eta_0 = [(\rho, 1)] = n(F)$. Si $F$ est un $\Gamma_K$-module, la seule classe neutre du groupe $\mathrm{H}^2(K, F)$ est 0.

Soit $L = (F, \kappa)$ un $K$-lien et soit $Z = Z(F)$. Comme $Z$ est commutatif et caractéristique dans $F$, l'action extérieure de $\Gamma_K$ sur $F$ induit une action sur $Z$, i.e., $Z$ est naturellement un $\Gamma_K$-module. Dans le cas où l'ensemble $\mathrm{H}^2(K, L)$ est non vide, c'est un espace principal homogène du groupe abélien $\mathrm{H}^2(K, Z)$, l'action étant définie par

$$[\beta] \cdot [(\rho, u)] := [(\rho, \beta u)],$$
où $\beta$ (resp. $(\rho, u)$) est un 2-cocycle à coefficients dans $Z$ (resp. dans $L$) [Borovoi 1993, Lemma 1.9].

Soit $X$ un $K$-espace homogène d'un $K$-groupe algébrique $G$ à stabilisateur géométrique fini $F$. Alors $F$ n'est pas a priori muni d'une action, mais seulement d'une action extérieure de $\Gamma_K$. On peut donc définir le lien de Springer $L_X$ de $X$. Plus concrètement, soit $x \in X(\bar{K})$ un point géométrique et soit $F \subseteq G(\bar{K})$ son stabilisateur. Pour tout $\sigma \in \Gamma_K$, écrivons ${}^\sigma x = x \cdot g_\sigma$, où $g_\sigma \in SL_m(\bar{K})$ est unique modulo multiplication à gauche par un élément de $F$. On peut choisir les $g_\sigma$ de sorte que l'application $\sigma \mapsto g_\sigma$ est continue. On définit

$$ \rho_{\sigma}: F \to F, \quad \rho_{\sigma}(f) = g_{\sigma}{}^{\sigma}f g_{\sigma}^{-1}. $$

Alors $\rho : \Gamma_K \to \mathrm{Aut}(F)$ est continue et la composée $\kappa : \Gamma_K \xrightarrow{\rho} \mathrm{Aut}(F) \to \mathrm{Out}(F)$ est une action extérieure. On vérifie que le $K$-lien $L_X = (F, \kappa)$ ne dépend pas du choix de $x$ et des $g_\sigma$ ; c'est le lien de Springer de $X$. De plus, si l'on note $u_{\sigma, \tau} := g_{\sigma\tau}{}^{\sigma}g_{\tau}^{-1}g_\sigma^{-1}$ pour tous $\sigma, \tau \in \Gamma_K$, alors $(\rho, u)$ est un 2-cocycle à coefficients dans $L_X$. On définit la classe de Springer de $X$ comme étant $\eta_X := [(\rho, u)] \in \mathrm{H}^2(K, L_X)$. Elle est neutre si et seulement si $X$ est dominé par un $K$-torseur sous $G$ [Borovoi 1993, §7.6]. En particulier, si $\mathrm{H}^1(K, G) = 1$ (par exemple, c'est le cas pour $G = \mathrm{GL}_m$ ou $G = \mathrm{SL}_m$ par une variante du théorème 90 de Hilbert), alors $\eta_X$ est neutre si et seulement si $X(K) \neq \emptyset$.

**Lemme 3.1.** Soit $L$ un $K$-lien et soit $\eta \in \mathrm{H}^2(K, L)$. Alors il existe un entier $m$ et un espace homogène $X$ de $\mathrm{SL}_m$ de lien de Springer $L$ et de classe de Springer $\eta$. Deux tels espaces homogènes sont $K$-stablement binationnels.

*Démonstration.* On pourra consulter [Demarche et Lucchini Arteche 2019, corollaires 3.3 et 3.5]. □

**Remarque 3.2.** Soit $F$ un $K$-groupe fini et $Z = Z(F)$. À partir de chaque classe $\eta \in \mathrm{H}^2(K, Z)$, Borovoi et Kunyavskii [1997, §2] ont construit explicitement un espace homogène $X$ de $\mathrm{SL}_m$ de lien de Springer lien($F$). Notant $\eta_0 = n(F) \in \mathrm{H}^2(K, F)$ la classe neutre privilégiée, alors la classe de Springer de $X$ est $\eta \cdot \eta_0$ [Harari et Skorobogatov 2002, Lemma 5.3]. Puisque $\mathrm{H}^2(K, Z)$ agit transitivement sur $\mathrm{H}^2(K, F)$, cette construction-là donne tous les espaces homogènes de $\mathrm{SL}_m$ de lien de Springer lien($F$), à équivalence binationnelle stable près.

**Proposition 3.3.** Soient $F$ un $K$-groupe fini, $Z = Z(F)$ et $\eta_0 \in \mathrm{H}^2(K, F)$ la classe neutre privilégiée. On note $\Delta : \mathrm{H}^1(K, F/Z) \to \mathrm{H}^2(K, Z)$ l'application connectante induite par l'extension centrale

$$ 1 \to Z \to F \to F/Z \to 1 $$

(cf. [Serre 1962, chapitre VII, annexe, proposition 2]). Soit $\beta \in \mathrm{H}^2(K, Z)$ et soit $X$ un espace homogène de $\mathrm{SL}_m$ de lien de Springer lien($F$) et de classe de Springer $\eta_X = \beta \cdot \eta_0 \in \mathrm{H}^2(K, F)$. Alors $X(K) \neq \emptyset$ si et seulement s'il existe $\alpha \in \mathrm{H}^1(K, F/Z)$ tel que $\beta = \Delta(\alpha)$. Dans ce cas, $X$ est $K$-isomorphe à $\alpha F \setminus \mathrm{SL}_m$, où $\alpha : \Gamma_K \to F/Z$ est n'importe quel 1-cocycle représentant $\alpha$. Ici, $\alpha F$ désigne la $K$-forme de $F$ tordue par $\alpha$, c'est-à-dire que son action de Galois $\cdot_{\alpha} : \Gamma_k \times_{\alpha} F \to \alpha F$ est donnée par

$$ \sigma \cdot_{\alpha} f = \tilde{a}_{\sigma}{}^{\sigma}f \tilde{a}_{\sigma}^{-1} \quad \forall \sigma \in \Gamma_k, \forall f \in F, $$
où $\tilde{a}_{\sigma} \in F$ est un relevé quelconque de $a_{\sigma}$.

**Démonstration.** Par [Borovoi 1993, Lemma 2.4 et Lemma 2.5], $\eta_X$ est neutre si et seulement s'il existe un 1-cocycle $a : \Gamma_K \to F/Z$ tel que $\eta_X = n(aF) = \Delta([a]) \cdot \eta_0$. Cette égalité équivaut à $\Delta([a]) = \beta$ puisque l'action de $H^2(K, Z)$ sur $H^2(K, F)$ est libre. Dans ce cas, $X$ est $k$-stablement binationnel à$_a F \setminus SL_{m'}$, donc $X$ possède un $K$-point dont le stabilisateur est $K$-isomorphe à$_a F$, i.e., $X \simeq_a F \setminus SL_m$. $\square$

**Remarque 3.4.** Lorsque $K = k$ est un corps de nombres, $F$ est un $k$-groupe fini et $Z = Z(F) = [F, F]$, Harari et Skorobogatov ont utilisé une « théorie de la descente non abélienne » pour démontrer le fait suivant : si $X$ est un $k$-espace homogène de $SL_m$ de lien de Springer lien($F$) et de classe de Springer $\eta \cdot \eta_0$, où $\eta \in \mathrm{III}^2(k, Z)$, alors $X$ possède un point adélique orthogonal à $\mathrm{Br}_1 X := \mathrm{Ker}(\mathrm{Br} X \to \mathrm{Br} \bar{X})$ [Harari et Skorobogatov 2002, Proposition 5.5]. Ils ont soulevé la question si l'on peut en déduire l'existence de contre-exemples au principe de Hasse non expliqués par l'obstruction de Brauer-Manin algébrique (cf. loc. cit., Remark 5.6). Dans ce texte, nous y donnons une réponse partielle : c'est impossible pour les données de $k$ et de $F$ comme dans l'énoncé du théorème A.

**3B. Construction du stabilisateur.** Soit $K$ un corps de caractéristique nulle. Soient $M$ et $Z$ des $\Gamma_K$-modules finis et $\phi : M \otimes M \to Z$ un morphisme $\Gamma_K$-équivariant. On dira que $\phi$ est non dégénéré s'il possède les propriétés suivantes :

1. Si $x \in M$ est tel que $\phi(x \otimes y) = 0$ pour tout $y \in M$, alors $x = 0$.

2. Si $y \in M$ est tel que $\phi(x \otimes y) = 0$ pour tout $x \in M$, alors $y = 0$.

On munit $Z$ de l'action triviale de $M \oplus M$. Posons

$$ \Phi : (M \oplus M) \times (M \oplus M) \to Z, \quad \Phi((x, y), (x', y')) = \phi(x \otimes y'). \quad (3-1) $$

Alors $\Phi$ est biadditive, donc c'est un 2-cocycle normalisé $(\Phi(a, 0) = \Phi(0, a) = 0$ pour tout $a \in M \oplus M$). Soit $F$ le produit croisé $Z \times_{\Phi} (M \oplus M)$, c'est-à-dire que $F = Z \times (M \oplus M)$ comme ensemble et la loi de composition sur $F$ est donnée par la formule

$$ (z, a)(z', a') = (z + z' + \Phi(a, a'), a + a') \quad \forall z, z' \in Z, \forall a, a' \in M \oplus M. \quad (3-2) $$

En particulier, $(z, a) = (z, 0)(0, a) = (0, a)(z, 0)$. De plus, comme

$$ (0, a)(0, -a) = (\Phi(a, -a), 0) = (-\Phi(a, a), 0) = (\Phi(a, a), 0)^{-1}, $$

on a $(0, a)^{-1} = (\Phi(a, a), 0)(0, -a) = (\Phi(a, a), -a)$ et donc

$$ (z, a)^{-1} = (z, 0)^{-1}(0, a)^{-1} = (-z, 0)(\Phi(a, a), -a) = (\Phi(a, a) - z, -a). \quad (3-3) $$

On obtient une extension centrale de groupes abstraits :

$$ 0 \to Z \to F \to M \oplus M \to 0. \quad (3-4) $$

**Lemme 3.5.** Soient $M, Z, \phi, \Phi$, $F$ comme ci-dessus. Soient $z, z' \in Z$ et $a, a' \in M \oplus M$.
1. On $a(z, a)(z', a')(z, a)^{-1} = (z' + \Phi(a, a') - \Phi(a', a), a')$.

2. Le commutateur $[(z, a), (z', a')] = (\Phi(a, a') - \Phi(a', a), 0)$.

3. Si $\phi$ est surjectif, $Z = [F, F]$.

**Démonstration.** 1. On a

$$ 
\begin{align*}
(z, a)(z', a')(z, a)^{-1} &= (z, 0)(0, a)(z', a')(0, a)^{-1}(z, 0)^{-1} && (\text{Z central dans } F) \\
&= (0, a)(z', a')(0, a)^{-1} && (\text{par (3-2) et (3-3)}) \\
&= (z' + \Phi(a, a'), a + a')(\Phi(a, a), -a) && (\text{par (3-2)}) \\
&= (z' + \Phi(a, a') + \Phi(a, a) + \Phi(a + a', -a), a + a' - a) && (\text{par (3-2)}) \\
&= (z' + \Phi(a, a') - \Phi(a', a), a').
\end{align*}
$$

2. On a

$$ 
\begin{align*}
[(z, a), (z', a')] &= [(z, 0)(0, a), (z', 0)(0, a')] && (\text{Z central dans } F) \\
&= [(0, a), (0, a')] && \\
&= (0, a)(0, a')(0, a)^{-1}(0, a')^{-1} && (\text{par 1. et (3-3)}) \\
&= (\Phi(a, a') - \Phi(a', a), a')(\Phi(a', a'), -a') && (\text{par (3-2)}) \\
&= (\Phi(a, a') - \Phi(a', a) + \Phi(a', a') + \Phi(a', -a'), a' - a') && (\text{par (3-2)}) \\
&= (\Phi(a, a') - \Phi(a', a), 0).
\end{align*}
$$

3. Comme $F/Z = M \oplus M$ est commutatif, on a toujours que $[F, F] \subseteq Z$. De plus,

$$ \phi(x \otimes y) = \phi(x \otimes y) - \phi(0, 0) = \Phi((x, 0), (0, y)) - \Phi((0, y), (x, 0)) $$

pour tous $x, y \in M$, d'où

$$ (\phi(x \otimes y), 0) = (\Phi((x, 0), (0, y)) - \Phi((0, y), (x, 0)), 0) = [(0, (x, 0)), (0, (0, y))] \in [F, F] $$

par le deuxième point. Ainsi, on aura $Z = Z \times \{0\} \subseteq [F, F]$ dès que $\phi$ est surjectif. $\square$

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

**Lemme 3.6.** Soient $M, Z, \phi, \Phi, F$ comme ci-dessus. Si $\phi$ est non dégénéré, $Z = Z(F)$.

**Démonstration.** Comme $Z$ est centrale dans $F$, il reste à montrer que $Z(F) \subseteq Z$. Supposons $(z, a) \in Z(F)$, où $z \in Z$ et $a = (x, y) \in M \oplus M$. En vertu du lemme 3.5, on a

$$ (0, 0) = [(z, a), (0, a')] = (\Phi(a, a') - \Phi(a', a), 0) = (\phi(x \otimes y') - \phi(x' \otimes y), 0) $$

pour tout $a' = (x', y') \in M \oplus M$. En choisissant $x' = 0$, on obtient

$$ \phi(x \otimes y') = 0 \quad \forall y' \in M, $$

d'où $x = 0$ puisque $\phi$ est non dégénéré. De même, $y = 0$, d'où $a = 0$ et donc $(z, a) = (z, 0) \in Z$. $\square$
Finalement, on munit $F$ d'une action de $\Gamma_K$ qui est compatible avec celles sur $Z$ et sur $M \oplus M$ ; alors (3-4) devient une extension centrale de $K$-groupes finis. Dans ce texte, on se concentre principalement sur l'action *coordonnée* par *coordonnée*, c'est-à-dire

$$ \sigma(z, a) = (z^\sigma, a^\sigma) $$

pour tous $\sigma \in \Gamma_K$, $z \in Z$ et $a \in A$. De (3-2), on voit que cette action est bien compatible avec la loi de composition sur $F$ puisque $\Phi$ est $\Gamma_K$-équivariant.

**Définition 3.7.** On appelle *espace homogène de Borovoi-Kunyavskii* tout espace homogène de $SL_m$ dont les stabilisateurs géométriques $F$ sont de la forme du groupe du milieu de (3-4), avec $Z = Z(F) = [F, F]$.

Rappelons que la condition $Z = Z(F) = [F, F]$ se garantit lorsque $\phi$ est surjectif et non dégénéré (lemmes 3.5 et 3.6).

**3C. Quelques calculs avec des cocycles.** Soit $K$ un corps de caractéristique nulle. Soient $M$ et $Z$ des $\Gamma_K$-modules finis et $\phi : M \otimes M \to Z$ un morphisme $\Gamma_K$-équivariant. On définit l'application biadditive $\Phi : (M \oplus M) \times (M \oplus M) \to Z$ par (3-1) et l'on pose $F = Z \times_{\Phi} (M \oplus M)$, muni de l'action coordonnée par coordonnée de $\Gamma_K$.

Si $x, y : \Gamma_K \to M$ sont des 1-cochaînes, on notera $x \otimes y : \Gamma_K \to M \otimes M$ la 1-cochaîne $\sigma \mapsto x_\sigma \otimes y_\sigma$. On considérera le cup-produit des cochaînes à coefficients dans $M$ induit par l'accouplement $\otimes : M \times M \to M \otimes M$. Pour la preuve du théorème 5.6 (c'est-à-dire du théorème A), au vu de la proposition 3.3, il conviendra de décrire l'application connectante $\Delta : H^1(K, M \oplus M) \to H^2(K, Z)$ induite par (3-4).

**Lemme 3.8.** Avec les notations ci-dessus, on a les résultats suivants.

1. Soit $\mathfrak{a} = (\mathfrak{x}, \mathfrak{y}) : \Gamma_K \to M \oplus M$ un 1-cocycle (i.e., $\mathfrak{x}$ et $\mathfrak{y}$ sont des 1-cocycles), et soit $\mathfrak{a}F$ la $K$-forme de $F$ tordue par $\mathfrak{a}$ (cf. proposition 3.3). Soient $z : \Gamma_K \to Z$, $a = (x, y) : \Gamma_K \to M \oplus M$ des 1-cochaînes, et $f = (z, a) : \Gamma_K \to \mathfrak{a}F$. Alors $f$ est un cocycle si et seulement si :
$$ \begin{aligned} & - \mathfrak{a} \text{ est un cocycle (i.e., } x \text{ et y sont des cocycles).} \\ & - dz + \phi_*(\mathfrak{x} \cup y + x \cup \mathfrak{y} + x \cup y + d(x \otimes \mathfrak{y})) = 0. \end{aligned} $$

2. Notons $\Delta : H^1(K, M \oplus M) \to H^2(K, Z)$ l'application connectante induite par (3-4) (cf. [Serre 1962, chapitre VII, annexe, proposition 2]). Alors $\Delta([a]) = \phi_*[x \cup y]$ pour tout 1-cocycle $a = (x, y) : \Gamma_K \to M \oplus M$.

**Démonstration.** On note toujours $\cdot_a$ l'action de $\Gamma_K$ sur $F$ tordue par $\mathfrak{a}$. Alors

$$ \sigma \cdot_a (\zeta, \alpha) = (0, a_\sigma)^\sigma (\zeta, \alpha) (0, a_\sigma)^{-1} = (0, a_\sigma)^{\sigma\zeta} (a_\sigma, a_\sigma)^{-1} = (a_\sigma + \Phi(a_\sigma, a_\sigma)) - \Phi(a_\sigma, a_\sigma), a_\sigma \quad (3-5) $$

pour tous $(\zeta, \alpha) \in F$ et $\sigma \in \Gamma_K$, en vertu du lemme 3.5.
1. Le morphisme $\circled{a}F \to M \oplus M$ étant la deuxième projection, on voit que $a$ est forcément un 1-cocycle dès que $f$ l'est. Soient $\sigma, \tau \in \Gamma_K$. Sous la condition que $a$ est un cocycle, on a

$$ 
\begin{align*}
& (0, a_{\sigma})(\sigma \cdot_{\mathfrak{a}} (z_{\tau}, a_{\tau}))(0, a_{\sigma\tau})^{-1} \\
&= (0, a_{\sigma})(\sigma \cdot_{\mathfrak{a}} (z_{\tau}, a_{\tau})) (\Phi(a_{\sigma\tau}, a_{\sigma\tau}), -a_{\sigma\tau}) \tag{par (3-3)} \\
&= (0, a_{\sigma}) (\sigma z_{\tau} + \Phi(\mathfrak{a}_{\sigma}, \sigma a_{\tau}) - \Phi(\sigma a_{\tau}, \mathfrak{a}_{\sigma}), \sigma a_{\tau}) (\Phi(a_{\sigma\tau}, a_{\sigma\tau}), -a_{\sigma\tau}) \tag{par (3-5)} \\
&= (\sigma z_{\tau} + \Phi(\mathfrak{a}_{\sigma}, \sigma a_{\tau}) - \Phi(\sigma a_{\tau}, \mathfrak{a}_{\sigma}) + \Phi(a_{\sigma}, \sigma a_{\tau}), a_{\sigma} + \sigma a_{\tau}) (\Phi(a_{\sigma\tau}, a_{\sigma\tau}), -a_{\sigma\tau}) \tag{par (3-2)} \\
&= (\sigma z_{\tau} + \Phi(\mathfrak{a}_{\sigma}, \sigma a_{\tau}) - \Phi(\sigma a_{\tau}, \mathfrak{a}_{\sigma}) + \Phi(a_{\sigma}, \sigma a_{\tau}), a_{\sigma\tau}) (\Phi(a_{\sigma\tau}, a_{\sigma\tau}), -a_{\sigma\tau}) \\
&= (\sigma z_{\tau} + \Phi(\mathfrak{a}_{\sigma}, \sigma a_{\tau}) - \Phi(\sigma a_{\tau}, \mathfrak{a}_{\sigma}) + \Phi(a_{\sigma}, \sigma a_{\tau}) + \Phi(a_{\sigma\tau}, a_{\sigma\tau}) - \Phi(a_{\sigma\tau}, a_{\sigma\tau}), 0) \tag{par (3-2)} \\
&= (\sigma z_{\tau} + \Phi(\mathfrak{a}_{\sigma}, \sigma a_{\tau}) - \Phi(\sigma a_{\tau}, \mathfrak{a}_{\sigma}) + \Phi(a_{\sigma}, \sigma a_{\tau}), 0),
\end{align*}
$$

d'où

$$ 
\begin{align*}
f_{\sigma}(\sigma \cdot_{\mathfrak{a}} f_{\tau}) f_{\sigma\tau}^{-1} &= (z_{\sigma}, a_{\sigma})(\sigma \cdot_{\mathfrak{a}} (z_{\tau}, a_{\tau}))(z_{\sigma\tau}, a_{\sigma\tau})^{-1} \\
&= (z_{\sigma}, 0)(0, a_{\sigma})(\sigma \cdot_{\mathfrak{a}} (z_{\tau}, a_{\tau}))(0, a_{\sigma\tau})^{-1} (z_{\sigma\tau}, 0)^{-1} \\
&= (z_{\sigma}, 0)(\sigma z_{\tau} + \Phi(\mathfrak{a}_{\sigma}, \sigma a_{\tau}) - \Phi(\sigma a_{\tau}, \mathfrak{a}_{\sigma}) + \Phi(a_{\sigma}, \sigma a_{\tau}), 0) (-z_{\sigma\tau}, 0) \\
&= (z_{\sigma} + \sigma z_{\tau} - z_{\sigma\tau} + \Phi(\mathfrak{a}_{\sigma}, \sigma a_{\tau}) - \Phi(\sigma a_{\tau}, \mathfrak{a}_{\sigma}) + \Phi(a_{\sigma}, \sigma a_{\tau}), 0) \\
&= (z_{\sigma} + \sigma z_{\tau} - z_{\sigma\tau} + \phi(\mathfrak{x}_{\sigma} \otimes \sigma y_{\tau} - \sigma x_{\tau} \otimes y_{\sigma} + x_{\sigma} \otimes \sigma y_{\tau}), 0) \\
&= ((dz)_{\sigma, \tau} + \phi(\mathfrak{x} \cup y)_{\sigma, \tau} - \sigma x_{\tau} \otimes y_{\sigma} + (x \cup y)_{\sigma, \tau}, 0).
\end{align*}
$$

Notons de plus que

$$ x_{\sigma\tau} \otimes \mathfrak{y}_{\sigma\tau} = (x_{\sigma} + \sigma x_{\tau}) \otimes (\mathfrak{y}_{\sigma} + \sigma \mathfrak{y}_{\tau}) = x_{\sigma} \otimes \mathfrak{y}_{\sigma} + \sigma x_{\tau} \otimes \mathfrak{y}_{\sigma} + x_{\sigma} \otimes \mathfrak{y}_{\tau} + \sigma x_{\tau} \otimes \mathfrak{y}_{\tau}, $$

d'où $-\sigma x_{\tau} \otimes \mathfrak{y}_{\sigma} = x_{\sigma} \otimes \mathfrak{y}_{\tau} + (x_{\sigma} \otimes \mathfrak{y}_{\sigma} + \sigma(x_{\tau} \otimes \mathfrak{y}_{\tau}) - x_{\sigma\tau} \otimes \mathfrak{y}_{\sigma\tau}) = (x \cup \mathfrak{y})_{\sigma, \tau} + d(x \otimes \mathfrak{y})_{\sigma, \tau}$ et donc on a

$$ f_{\sigma}(\sigma \cdot_{\mathfrak{a}} f_{\tau}) f_{\sigma\tau}^{-1} = ((dz)_{\sigma, \tau} + \phi((\mathfrak{x} \cup y)_{\sigma, \tau} + (x \cup \mathfrak{y})_{\sigma, \tau} + d(x \otimes \mathfrak{y})_{\sigma, \tau} + (x \cup y)_{\sigma, \tau}), 0) \quad (3-6) $$

De (3-6), on voit que $f$ est un cocycle si et seulement si $a$ l'est et

$$ dz + \phi_*(\mathfrak{x} \cup y + x \cup \mathfrak{y} + x \cup y + d(x \otimes \mathfrak{y})) = 0, $$

d'où le premier point du lemme.

2. Soit $a = (x, y) : \Gamma_K \to M \oplus M$ un 1-cocycle. On considère la 1-cochaîne $f = (0, a) : \Gamma_K \to F$ relevant $a$. Alors

$$ f_{\sigma}^{\sigma} f_{\tau} f_{\sigma\tau}^{-1} = (\phi((x \cup y)_{\sigma, \tau}), 0) $$

pour tous $\sigma, \tau \in \Gamma_K$, au vu de (3-6). Par définition de $\Delta$, on a bien $\Delta([a]) = \phi_*[x \cup y]$. $\square$

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

Le lemme suivant sera utilisé dans la preuve du théorème 5.8 (c'est-à-dire du théorème B).
**Lemme 3.9.** Gardons les notations au début du paragraphe, et soit $\mathfrak{a} = (\mathfrak{x}, \mathfrak{y}) : \Gamma_K \to M \oplus M$ un 1-cocycle. Soient $f = (z, \mathfrak{a})$ et $f' = (z', \mathfrak{a}')$ des 1-cocycles $\Gamma_K \to \mathfrak{a}F$ (cf. proposition 3.3), où $\mathfrak{a} = (x, y)$ et $\mathfrak{a}' = (x', y')$ (voir lemme 3.8). On suppose que $\mathfrak{a} = (\xi, \eta) \in M \oplus M$ est un élément satisfaisant $\mathfrak{a}' = \mathfrak{a} + d\mathfrak{a}$ et l'on considère la 1-cochaîne

$$c := z' - z + \phi_*(-(x + \mathfrak{x}) \cup \eta + \xi \cup (y' + \mathfrak{y}) + d\xi \otimes \mathfrak{y}) : \Gamma_K \to Z.$$

1. $c$ est un cocycle.

2. Si $c$ est un cobord, $f$ et $f'$ sont cohomologues.

3. Supposons $\phi$ surjectif. Écrivons $z = \phi_*\epsilon$ et $z' = \phi_*\epsilon'$, où $\epsilon, \epsilon' : \Gamma_K \to M \otimes M$ sont des 1-cochaînes. Alors on peut écrire

$$d\epsilon + \mathfrak{x} \cup y + x \cup \mathfrak{y} + x \cup y + d(x \otimes \mathfrak{y}) = j_*\lambda \quad \text{et} \quad d\epsilon' + \mathfrak{x} \cup y' + x' \cup \mathfrak{y} + x' \cup y' + d(x' \otimes \mathfrak{y}) = j_*\lambda',$$

où $j : \text{Ker } \phi \hookrightarrow M \otimes M$ est l'inclusion et où $\lambda, \lambda' : \Gamma_K \times \Gamma_K \to \text{Ker } \phi$ sont des 2-cocycles. De plus, si $\delta : H^1(K, Z) \to H^2(K, \text{Ker } \phi)$ désigne le morphisme connectant induit par la suite exacte

$$0 \to \text{Ker } \phi \xrightarrow{j} M \otimes M \xrightarrow{\phi} Z \to 0,$$

alors $\delta([c]) = [\lambda' - \lambda]$.

**Démonstration.** 1. Par l'hypothèse, $x' = x + d\xi$ et $y' = y + d\eta$. Comme $f$ et $f'$ sont des cocycles, on a

$$dz = -\phi_*(\mathfrak{x} \cup y + x \cup \mathfrak{y} + x \cup y + d(x \otimes \mathfrak{y}))$$

et

$$\begin{aligned} dz' &= -\phi_*(\mathfrak{x} \cup y' + x' \cup \mathfrak{y} + x' \cup y' + d(x' \otimes \mathfrak{y})) \\ &= -\phi_*(\mathfrak{x} \cup (y + d\eta) + (x + d\xi) \cup \mathfrak{y} + (x + d\xi) \cup (y + d\eta) + d((x + d\xi) \otimes \mathfrak{y})) \end{aligned}$$

par le lemme 3.8. D'où

$$\begin{aligned} dz' - dz &= -\phi_*(\mathfrak{x} \cup d\eta + d\xi \cup \mathfrak{y} + x \cup d\eta + d\xi \cup y + d\xi \cup d\eta + d(d\xi \otimes \mathfrak{y})) \\ &= -\phi_*((x + \mathfrak{x}) \cup d\eta + d\xi \cup (y + \mathfrak{y} + d\eta) + d(d\xi \otimes \mathfrak{y})) \\ &= -\phi_*((x + \mathfrak{x}) \cup d\eta + d\xi \cup (y' + \mathfrak{y}) + d(d\xi \otimes \mathfrak{y})). \end{aligned}$$

Notant que $x, \mathfrak{x}, y'$ et $\mathfrak{y}$ sont des cocycles, on en déduit que

$$\begin{aligned} dc &= d(z' - z + \phi_*(-(x + \mathfrak{x}) \cup \eta + \xi \cup (y' + \mathfrak{y}) + d\xi \otimes \mathfrak{y})) \\ &= dz' - dz + \phi_*((x + \mathfrak{x}) \cup d\eta + d\xi \cup (y' + \mathfrak{y}) + d(d\xi \otimes \eta)) \\ &= 0, \end{aligned}$$

donc $c$ est bien un cocycle.
2. Écrivons $c = d\zeta$ avec $\zeta \in Z$. Pour tout $\sigma \in \Gamma_K$, on a

$$a'_{\sigma} + \alpha = a_{\sigma} + {}^{\sigma}\alpha \quad (3-7)$$

puisque $a' = a + d\alpha$ et

$$c + z + \phi_*((x + \mathfrak{r}) \cup \eta - \xi \cup (y' + \eta) - d\xi \otimes \eta) = z' \quad (3-8)$$

par définition de $c$. Calculons

$$ \begin{align*} (\zeta, \alpha)^{-1} f_{\sigma}(\sigma \cdot_{\mathfrak{a}} (\zeta, \alpha)) & = (\Phi(\alpha, \alpha) - \zeta, -\alpha)(z_{\sigma}, a_{\sigma})(\sigma \cdot_{\mathfrak{a}} (\zeta, \alpha)) \quad \text{(par (3-3))} \\ & = (\Phi(\alpha, \alpha) - \zeta, -\alpha)(z_{\sigma}, a_{\sigma})({}^{\sigma}\zeta + \Phi(a_{\sigma}, {}^{\sigma}\alpha) - \Phi({}^{\sigma}\alpha, a_{\sigma}), {}^{\sigma}\alpha) \quad \text{(par (3-5))} \\ & = (\Phi(\alpha, \alpha) - \zeta, -\alpha)(z_{\sigma} + {}^{\sigma}\zeta + \Phi(a_{\sigma}, {}^{\sigma}\alpha) - \Phi({}^{\sigma}\alpha, a_{\sigma}) + \Phi(a_{\sigma}, {}^{\sigma}\alpha), a_{\sigma} + {}^{\sigma}\alpha) \quad \text{(par (3-2))} \\ & = (\Phi(\alpha, \alpha) - \zeta, -\alpha)(z_{\sigma} + {}^{\sigma}\zeta + \Phi(a_{\sigma} + a_{\sigma}, {}^{\sigma}\alpha) - \Phi({}^{\sigma}\alpha, a_{\sigma}), a'_{\sigma} + \alpha) \quad \text{(par (3-7))} \\ & = (\Phi(\alpha, \alpha) - \zeta + z_{\sigma} + {}^{\sigma}\zeta + \Phi(a_{\sigma} + a_{\sigma}, {}^{\sigma}\alpha) - \Phi({}^{\sigma}\alpha, a_{\sigma}) - \Phi(\alpha, a'_{\sigma} + \alpha), a'_{\sigma}) \quad \text{(par (3-2))} \\ & = ({}^{\sigma}\zeta - \zeta + z_{\sigma} + \Phi(a_{\sigma} + a_{\sigma}, {}^{\sigma}\alpha) - \Phi({}^{\sigma}\alpha, a_{\sigma}) - \Phi(\alpha, a'_{\sigma}), a'_{\sigma}) \quad \text{(car $c = d\zeta$)} \\ & = (c_{\sigma} + z_{\sigma} + \phi((x_{\sigma} + \mathfrak{r}_{\sigma}) \otimes {}^{\sigma}\eta - {}^{\sigma}\xi \otimes \eta_{\sigma} - \xi \otimes y'_{\sigma}), a'_{\sigma}) \quad \text{(par (3-8))} \\ & = (c_{\sigma} + z_{\sigma} + \phi((x_{\sigma} + \mathfrak{r}_{\sigma}) \otimes {}^{\sigma}\eta - \xi \otimes (y'_{\sigma} + \eta_{\sigma}) - ({}^{\sigma}\xi - \xi) \otimes \eta_{\sigma}), a'_{\sigma}) \\ & = (z'_{\sigma}, a'_{\sigma}) \\ & = f'_{\sigma}. \end{align*} $$

Cette égalité signifie que $f$ et $f'$ sont cohomologues.

3. Comme $f$ est un cocycle, on a

$$\phi_*(d\varepsilon + \mathfrak{r} \cup y + x \cup \eta + x \cup y + d(x \otimes \eta)) = dz + \phi_*(\mathfrak{r} \cup y + x \cup \eta + x \cup y + d(x \otimes \eta)) = 0$$

par le lemme 3.8. Donc on peut écrire

$$d\varepsilon + \mathfrak{r} \cup y + x \cup \eta + x \cup y + d(x \otimes \eta) = j_*\lambda \quad (3-9)$$

pour une 2-cochaîne $\lambda : \Gamma_K \times \Gamma_K \to \text{Ker } \phi$. Le membre de gauche de (3-9) étant un cocycle, il en va de même pour $\lambda$ puisque $j$ est injectif. De même, on a

$$d\varepsilon' + \mathfrak{r} \cup y' + x' \cup \eta + x' \cup y' + d(x' \otimes \eta) = j_*\lambda' \quad (3-10)$$

pour un 2-cocycle $\lambda' : \Gamma_K \times \Gamma_K \to \text{Ker } \phi$. Considérons maintenant la 1-cochaîne

$$e := \varepsilon' - \varepsilon - (x + \mathfrak{r}) \cup \eta + \xi \cup (y' + \eta) + d\xi \otimes \eta : \Gamma_K \to M \otimes M.$$
Alors $\phi_*e = c$. Calculons le cobord

$$
\begin{align*}
de &= d\varepsilon' - d\varepsilon + (x + \mathfrak{z}) \cup d\eta + d\xi \cup (y' + \eta) + d(d\xi \otimes \eta) \\
&= d\varepsilon' - d\varepsilon + (x + \mathfrak{z}) \cup (y' - y) + (x' - x) \cup (y' + \eta) + d((x' - x) \otimes \eta) \\
&= (d\varepsilon' + \mathfrak{z} \cup y' + x' \cup \eta + x' \cup y' + d(x' \otimes \eta)) - (d\varepsilon + \mathfrak{z} \cup y + x \cup \eta + x \cup y + d(x \otimes \eta)) \\
&= j_*(\lambda' - \lambda),
\end{align*}
$$

où la dernière égalité vient de (3-9) et (3-10). Par définition de $\delta$, on a $\delta([c]) = [\lambda' - \lambda]$. $\square$

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

4. Calculs des groupes de Brauer

**4A. Généralités.** Soit $K$ un corps de caractéristique nulle et soit $X$ un $K$-espace homogène de $SL_m$.
Rappelons d'abord quelques groupes associés à $X$.

— Soit $\bar{X} = X \times_K \bar{K}$, alors $\mathrm{Br} \bar{X}$ est le *groupe de Brauer géométrique* de $X$.

— $\mathrm{Br}_1 X = \mathrm{Ker}(\mathrm{Br} X \to \mathrm{Br} \bar{X})$ est le *groupe de Brauer algébrique* de $X$ et

$$
\mathrm{Br}_{\mathrm{nr},1} X = \mathrm{Br}_1 X \cap \mathrm{Br}_{\mathrm{nr}} X
$$

est sa partie non ramifiée.

— $\mathrm{Br}_0 X = \mathrm{Im}(\mathrm{Br} K \to \mathrm{Br} X) \subseteq \mathrm{Br}_{\mathrm{nr},1} X$ est le sous-groupe des éléments constants de $\mathrm{Br} X$.

— $\mathrm{Br}_a X = (\mathrm{Br}_1 X)/(\mathrm{Br}_0 X)$ est le *groupe de Brauer arithmétique* de $X$ et

$$
\mathrm{Br}_{\mathrm{nr},a} X = (\mathrm{Br}_{\mathrm{nr},1})/(\mathrm{Br}_0 X)
$$

est sa partie non ramifiée.

— Lorsque $K = k$ est un corps de nombres, on note $X_v = X \times_k k_v$ pour toute place $v$ de $k$. On définit les groupes

$$
\mathcal{B}(X) = \mathrm{Ker} \left( \mathrm{Br}_a X \to \prod_{v \in \Omega_k} \mathrm{Br}_a X_v \right) = \{ \alpha \in \mathrm{Br}_a X : \forall v \in \Omega_k, \alpha_v = 0 \}
$$

et

$$
\mathcal{B}_{\omega}(X) = \{ \alpha \in \mathrm{Br}_a X : \alpha_v = 0 \text{ pour presque tout } v \in \Omega_k \}.
$$

Notons $F$ le stabilisateur géométrique de $X$, qu'on suppose fini. Alors $F$ est muni d'une action extérieure de $\Gamma_K$ (cf. paragraphe 3A), ce qui induit une action de $\Gamma_K$ sur $F^{ab} = F/[F, F]$. Les groupes $\mathrm{Br}_a X$, $\mathcal{B}(X)$ et $\mathcal{B}_\omega(X)$ s'expriment en termes de $F^{ab}$ ; c'est un argument classique qui se trouve par exemple dans [Skorobogatov 2001, Theorem 4.1.1].

Rappelons que $\hat{\cdot}$ désigne le foncteur de dual de Cartier.

**Proposition 4.1.** *Soit $K$ un corps de caractéristique nulle satisfaisant $H^3(K, \bar{K}^*) = 0$ et soit $X$ un $K$-espace homogène de $SL_m$ à stabilisateur géométrique $F$. On munit $\hat{F} = \operatorname{Hom}(F, \bar{K}^*)$ de l'action de $\Gamma_K$ induite par son action extérieure sur $F$.*

1. On a $\mathrm{Br}_a X = H^1(K, \hat{F})$.
2. Si $K = k$ est un corps de nombres, $\mathbb{G}(X) = \Pi^1(k, \hat{F})$ et $\mathbb{G}_\omega(X) = \Pi_\omega^1(k, \hat{F})$.

Appliquons maintenant la proposition 4.1 aux espaces homogènes de Borovoi–Kunyavskii.

**Corollaire 4.2.** Soient $k$ un corps de nombres, $M$ et $Z$ des $\Gamma_k$-modules finis, et $\phi : M \otimes M \to Z$ un morphisme $\Gamma_k$-équivariant. À partir de $\phi$, on construit l'extension

$$0 \to Z \to F \to M \oplus M \to 0$$

de groupes abstraits comme dans le paragraphe 3B. Supposons $Z = Z(F) = [F, F]$. Si $X$ est un espace homogène de $SL_m$ à stabilisateur géométrique $F$ (muni de n'importe quelle action extérieure de $\Gamma_k$ compatible avec celles sur $Z$ et sur $M \oplus M$, pas nécessairement celle induite par l'action coordonnée par coordonnée), alors $\mathbb{G}(X) = \Pi^1(k, \hat{M})^2$ et $\mathbb{G}_\omega(X) = \Pi_\omega^1(k, \hat{M})^2$.

**Démonstration.** Puisque $Z = [F, F]$, $F^{ab} = F/Z = M \oplus M$ et donc $\hat{F} = \hat{F}^{ab} = \hat{M} \oplus \hat{M}$. Ainsi, la proposition 4.1 donne $\mathbb{G}(X) = \Pi^1(k, \hat{F}) = \Pi^1(k, \hat{M})^2$ et $\mathbb{G}_\omega(X) = \Pi_\omega^1(k, \hat{F}) = \Pi_\omega^1(k, \hat{M})^2$. $\square$

**4B. Étude de la flèche $H^1(K, F) \to H^1(K, F^{ab})$.** Soit $X$ un espace homogène de Borovoi–Kunyavskii sur un corps de nombres $k$. Afin de calculer le sous-groupe $Br_{nr,a} X$ de $Br_a X$, on va utiliser la formule de Demarche. Il faudra étudier l'image de la flèche $H^1(k_v, F) \to H^1(k_v, F^{ab})$ (cette image n'est pas forcément un sous-groupe de $H^1(k_v, F^{ab}))$ pour presque toute place $v$ de $k$.

On se donne alors un corps $p$-adique $K$ et un $K$-groupe fini $F$. Dans le cas où $F$ est un $K$-groupe constant, Demarche [2010, § 3] a donné une description assez explicite du sous-groupe de $H^1(K, F^{ab})$ engendré par l'image de la flèche $H^1(K, F) \to H^1(K, F^{ab})$. Nous allons adapter son argument pour le cas où $F$ est un $K$-groupe non ramifié, c'est-à-dire que l'action du sous-groupe d'inertie de $\Gamma_K$ sur $F$ est trivial.

On note respectivement $K_{nr}$ et $K_{mr}$ l'extension maximale non ramifiée et modérément ramifiée de $K$. Soit $q$ le cardinal du corps résiduel de $K$. Notons $\pi : F \to F^{ab}$ la projection. Posons $\Gamma = \text{Gal}(K_{mr}/K) = \langle\sigma, \tau : \sigma\tau\sigma^{-1} = \tau^q\rangle$. Par l'hypothèse que $F$ est non ramifié, $\tau$ agit trivialement sur $F$. Étudions la flèche $\pi_* : H^1(\Gamma, F) \to H^1(\Gamma, F^{ab})$.

Soit $f : \Gamma \to F$ un cocycle. Comme $\tau$ agit trivialement sur $F$, on a

$$f(\tau)^q = f(\tau^q) = f(\sigma\tau\sigma^{-1}) = f(\sigma)^\sigma f(\tau)^{\sigma\tau} f(\sigma^{-1}) = f(\sigma)^\sigma f(\tau)^\sigma f(\sigma^{-1}).$$

Comme $1 = f(1) = f(\sigma\sigma^{-1}) = f(\sigma)^\sigma f(\sigma^{-1})$, on obtient $f(\sigma)^{-1}$ et donc

$$f(\tau)^q = f(\sigma)^\sigma f(\tau) f(\sigma)^{-1}.$$

Inversement, soient $a, b \in F$ tels que $a^{\sigma ba^{-1}} = b^q$. Alors il existe un unique cocycle $f : \Gamma \to F$ tel que $f(\sigma) = a$ et $f(\tau) = b$.

**Définition 4.3.** On appelle $q$-relevable tout élément $\bar{b} \in F^{ab}$ ayant un relevé $b \in F$ tel que $b^q$ soit conjugué à $^\sigma b$ (en particulier, $^\sigma \bar{b} = \bar{b}^q$).
L'inverse d'un élément $q$-relevable est encore $q$-relevable.

Si $f, g : \Gamma \to F^{ab}$ sont deux cocycles cohomologues, alors $f(\tau) = g(\tau)$ (car l'action de $\tau$ sur $F$ est triviale), donc $f(\tau)$ est $q$-relevable si et seulement si $g(\tau)$ l'est aussi.

On note $I(F)$ l'image de la flèche $\pi_*: H^1(\Gamma, F) \to H^1(\Gamma, F^{ab})$, et $J(F)$ le sous-ensemble de $H^1(\Gamma, F^{ab})$ formé des classes des cocycles $f$ tels que $f(\tau)$ soit $q$-relevable. Alors c'est évident que $I(F) \subseteq J(F)$, et que $J(F)$ est stable par l'inversion.

**Lemme 4.4.** *Les sous-groupes de $H^1(\Gamma, F^{ab})$ engendrés par $I(F)$ et par $J(F)$ coïncident.*

*Démonstration.* Soit $f : \Gamma \to F^{ab}$ un cocycle tel que $[f] \in J(F)$. Il existe un relevé $b \in F$ de $f(\tau)$ et un élément $a \in F$ tel que $a^{\sigma}ba^{-1} = b^q$. Soit $\tilde{f}_1 : \Gamma \to F^{ab}$ le cocycle déterminé par $\tilde{f}_1(\sigma) = a$ et $\tilde{f}_1(\tau) = b$. Posons $f_1 = \pi \circ \tilde{f}_1$, alors $f_1(\sigma) = \pi(a)$ et $f_1(\tau) = f(\tau)$.

Soit $a' \in F$ un relevé de $\pi(a)^{-1}f(\sigma)$. Soit $\tilde{f}_2 : \Gamma \to F$ le cocycle déterminé par $\tilde{f}_2(\sigma) = a'$ et $\tilde{f}_2(\tau) = 1$. Posons $f_2 = \pi \circ \tilde{f}_2$, alors $f_1(\sigma)f_2(\sigma) = f(\sigma)$ et $f_1(\tau)f_2(\tau) = f(\tau)$, donc $[f] = [f_1]+[f_2] \in H^1(\Gamma, F^{ab})$. Comme $[f_1], [f_2] \in I(F)$, $[f]$ appartient au sous-groupe engendré par $I(F)$. $\square$

**Proposition 4.5.** *Soit $K$ un corps $p$-adique et notons $q$ le cardinal du corps résiduel de $K$. Soit $\sigma \in \text{Gal}(K_{\text{mr}}/K)$ un relevé de l'automorphisme de Frobenius. Soit $F$ un $K$-groupe fini non ramifié de cardinal $|F| < p$. Alors on a équivalence entre :*

1. $H^1(K, F^{ab})$ est engendré par l'image de la flèche $H^1(K, F) \to H^1(K, F^{ab})$.

2. Le sous-groupe $\{a \in F^{ab} : \sigma a = a^q\}$ de $F^{ab}$ est engendré par les éléments $q$-relevables.

*Démonstration.* Pour tout cocycle $f : \Gamma_K \to F$, l'ensemble $\{v \in \Gamma_K : f(v) = 1\}$ est un sous-groupe ouvert de $\Gamma_K$. Il correspond à une extension finie $L/K$. On vérifie sans peine que pour tous $v, v' \in \Gamma_K$, $f(v') = f(v)$ équivaut à $v' \in v\Gamma_L$. En particulier, $[L : K] = [\Gamma_K : \Gamma_L] \le |F| < p$, donc $L/K$ est modérément ramifiée. Ainsi, tout cocycle $\Gamma_K \to F$ se factorise par un cocycle $\text{Gal}(K_{\text{mr}}/K) \to F$ et il en va de même pour $F^{ab}$. Donc le premier point équivaut à dire que $H^1(\text{Gal}(K_{\text{mr}}/K), F^{ab})$ est engendré par l'image $I(F)$ de la flèche $H^1(\text{Gal}(K_{\text{mr}}/K), F) \to H^1(\text{Gal}(K_{\text{mr}}/K), F^{ab})$.

Soit $\tau$ un générateur topologique de $\text{Gal}(K_{\text{mr}}/K_{\text{nr}})$, de sorte que $\sigma \tau \sigma^{-1} = \tau^q$.

Supposons 1. Soit $a \in F^{ab}$ satisfaisant $\sigma a = a^q$. Alors on peut définir un cocycle

$$f : \text{Gal}(K_{\text{mr}}/K) \to F^{ab}$$

par $f(\sigma) = 1$ et $f(\tau) = a$. Comme $I(F) \subseteq J(F)$, on peut écrire $[f] = [f_1] + \cdots + [f_r]$, où $[f_i] \in J(F)$, c'est-à-dire que chacun des $f_i(\tau)$ est $q$-relevable. Or $\tau$ agit trivialment sur $F^{ab}$, donc $a = f(\tau) = f_1(\tau) \cdots f_r(\tau)$, d'où 2.

Supposons 2. Soit $f : \text{Gal}(K_{\text{mr}}/K) \to F^{ab}$ un cocycle. Alors $\sigma f(\tau) = f(\tau)^q$ et donc $f(\tau) = \bar{b}_1 \cdots \bar{b}_r$, où chaque $\bar{b}_i \in F^{ab}$ est $q$-relevable. Définissons les cocycles $f_i : \text{Gal}(K_{\text{mr}}/K) \to F^{ab}$ par

$$f_1(\sigma) = f(\sigma), \quad f_1(\tau) = \bar{b}_1,$$

$$f_i(\sigma) = 1, \quad f_i(\tau) = \bar{b}_i, \quad i = 2, \dots, r.$$
Alors $[f_i] \in J(F)$ et $[f] = [f_1] + \cdots + [f_r]$, donc $[f]$ appartient au sous-groupe engendré par $J(F)$. Par le lemme 4.4, $[f]$ appartient au sous-groupe engendré par l'image de $H^1(\text{Gal}(K_{\text{mr}}/K), F) \to H^1(\text{Gal}(K_{\text{mr}}/K), F^{\text{ab}})$, d'où 1. $\square$

**4C. Groupe de Brauer arithmétique.** Nous allons maintenant combiner l'analyse du paragraphe 4B avec la formule de Demarche pour calculer le groupe de Brauer arithmétique non ramifié d'un espace homogène de Borovoi–Kunyavskii.

Rappelons d'abord la dualité locale de Tate (voir par exemple [Harari 2017, chapitre 10]). Soit $K$ un corps $p$-adique et soit $A$ un $\Gamma_K$-module fini, alors l'accouplement

$$H^1(K, \hat{A}) \times H^1(K, A) \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}, \quad (\alpha, a) \mapsto \text{inv}_K(\alpha \cup a)$$

est une dualité parfaite de groupes abéliens finis.

**Proposition 4.6.** Soient $k$ un corps de nombres, $M$ et $Z$ des $\Gamma_k$-modules finis, et $\phi : M \otimes M \to Z$ un morphisme $\Gamma_k$-équivalent. À partir de $\phi$, on construit l'extension

$$0 \to Z \to F \to M \oplus M \to 0$$

de groupes abstraits comme dans le paragraphe 3B. Supposons $Z = Z(F) = [F, F]$.

1. On munit $F$ de l'action coordonnée par coordonnée de $\Gamma_k$. Alors le groupe $H^1(k_v, F^{\text{ab}})$ est engendré par l'image de la flèche $H^1(k_v, F) \to H^1(k_v, F^{\text{ab}})$ pour presque tout $v \in \Omega_k$.

2. Soit $X$ est un espace homogène de $\text{SL}_m$ à stabilisateur géométrique $F$, muni de l'action extérieure de $\Gamma_k$ induite par l'action coordonnée par coordonnée. Alors $\text{Br}_{\text{nr},a} X = \text{B}_\omega(X) = \text{III}_\omega^1(k, \hat{M})^2$.

**Démonstration.** 1. Soit $L/k$ une extension finie galoisienne déployant $F$. Soit $v$ une place de $k$ qui est non ramifiée dans $L/k$, et qui divise un nombre premier impair $p > |F|$. On va démontrer que $H^1(k_v, F^{\text{ab}})$ est engendré par l'image de la flèche $H^1(k_v, F) \to H^1(k_v, F^{\text{ab}})$. Au vu de la proposition 4.5, il suffit de démontrer que tout élément $a \in F^{\text{ab}}$ satisfaisant $\sigma a = qa$ est $q$-relevable, où $q$ est le cardinal du corps résiduel de $k_v$ et où $\sigma \in \text{Gal}(k_{v,\text{mr}}/k_v)$ est un relevé de l'automorphisme de Frobenius. Notons que $F^{\text{ab}} = F/[F, F] = F/Z = M \oplus M$.

Rappelons de (3-1) qu'on dispose d'une application biadditive

$$\Phi : (M \oplus M) \times (M \oplus M) \to Z, \quad ((x, y), (x', y')) \mapsto \Phi(x \otimes y').$$

Soit $a = (x, y) \in M \oplus M$ tel que $\sigma a = qa$ et montrons que $a$ est $q$-relevable. Considérons alors le relevé $(0, a) \in F$ de $a$. On va démontrer que $(0, a)^q$ est conjugué à $\sigma(0, a) = (0, qa)$. À l'aide de (3-2), on peut calculer

$$(0, a)^q = \left(\frac{1}{2}q(q-1)\Phi(a, a), qa\right) \qquad (4-1)$$

par récurrence. Soit $a' = (\frac{1}{2}(q+1)x, y)$. Alors

$$\Phi(qa, a') = \phi(qx \otimes y) = q\Phi(a, a) \quad \text{et} \quad \Phi(a', qa) = \phi(\frac{1}{2}(q+1)x \otimes qy) = \frac{1}{2}q(q+1)\Phi(a, a). \quad (4-2)$$
On a

$$
\begin{align*}
(0, a')(0, qa)(0, a')^{-1} &= (\Phi(a', qa) - \Phi(qa, a'), qa) && \text{(par le lemme 3.5)} \\
&= (\frac{1}{2}q(q+1)\Phi(a, a) - q\Phi(a, a), qa) && \text{(par (4-2))} \\
&= (\frac{1}{2}q(q-1)\Phi(a, a), qa) \\
&= (0, a)^q && \text{(par (4-1))},
\end{align*}
$$

donc (0, a)q est bien conjugué à (0, qa) = σ(0, a), d'où a est q-relevable. Cela nous permet de conclure
que H¹(kv, Fª) est engendré par l'image de H¹(kv, F) → H¹(kv, Fª) pour presque toute place v de k.
2. Rappelons que Brₐ X = H¹(k, ȳ) = H¹(k, ȳ)² et que Brₐ X_v = H¹(k_v, ȳ) = H¹(k_v, ȳ)² pour toute
place v de k ; cf. proposition 4.1. Soit η₀ ∈ H²(k, F) la classe neutre privilégiée (où F est muni de l'action
coordonnée par coordonnée de Γk). Alors il existe une unique classe β ∈ H²(k, Z) telle que la classe de
Springer de X vaut η_X = β · η₀ (cf. paragraphe 3A). Pour presque tout v ∈ Ωk, on a β_v = 0 ∈ H²(k_v, Z),
donc loc_v(η_X) = loc_v(η₀), ou X_v est k_v-isomorphe à F \ SL_m (voir proposition 3.3). Par la formule de
Demarche [2010, théorème 1], un élément α ∈ Brₐ X appartient à Brₙₚₐ X si et seulement si pour presque
tout v ∈ Ωk, l'image de α_v dans H¹(k_v, ȳ) est orthogonale à l'image de H¹(k_v, F) → H¹(k_v, Fª). Par
dualité locale de Tate, cette dernière propriété signifie que α_v = 0 pour presque tout v ∈ Ωk, i.e., que
α ∈ Γ_ω(X). Ainsi, Brₙₚₐ X = Γ_ω(X) = Π_ω¹(k, ȳ) = Π_ω¹(k, ȳ)². □

**4D. Groupe de Brauer géométrique.** Dans ce paragraphe, soit *K* un corps *algébriquement clos* de caractéristique nulle. Pour calculer le groupe de Brauer géométrique non ramifié des espaces homogènes de Borovoi–Kunyavskii, on rappelle la formule suivante de Bogomolov [1987, § 3].

**Proposition 4.7.** *Soit F un groupe fini, vu comme K-groupe. On choisit un plongement F ↪→ SL_m de K-groupes et l'on pose X = F \ SL_m. Alors*

$$
\mathrm{Br}_{\mathrm{nr}} X = B_0(F) := \mathrm{Ker} \left( \mathrm{H}^2(F, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \to \prod_A \mathrm{H}^2(A, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \right),
$$

où A parcourt les sous-groupes abéliens de F.

Lorsque *F* est nilpotent de classe 2, on dispose d'un morphisme

$$
\lambda_F : \bigwedge^2 F^{ab} \to Z, \quad \lambda(a \wedge b) = [\tilde{a}, \tilde{b}], \tag{4-3}
$$

où Z = Z(F) et où ˜a, ˜b ∈ F sont des relevés respectifs de a, b ∈ F<sup>ab</sup>. Si de plus Z = [F, F], c'est-à-dire
que λ<sub>F</sub> est surjectif (par exemple, pour les espaces homogènes de Borovoi–Kunyavskii), le groupe B<sub>0</sub>(F)
a la description explicite en [Bogomolov 1987, Lemma 5.1]. (En fait, l'énoncé dans loc. cit. demande que
F soit un p-groupe, mais sa démonstration vaut pour F de cardinal quelconque.) Un énoncé similaire se
trouve dans [Moravec 2012, § 5]. On rappellera la preuve pour la commodité du lecteur.

**Lemme 4.8.** *Soit F un groupe fini vérifiant Z(F) = [F, F]. Notons Z = Z(F) et λ = λ<sub>F</sub> le morphisme surjectif défini par (4-3). Alors B<sub>0</sub>(F) = Hom(S/S<sub>λ</sub>, Q/Z), où S = Ker λ et où S<sub>λ</sub> est le sous-groupe de S engendré par S ∩ {a ∧ b : a, b ∈ F<sup>ab</sup>}.*
**Démonstration.** La première étape est de montrer que $B_0(F)$ est inclus dans l'image du morphisme d'inflation $\pi^* : H^2(F^{ab}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \to H^2(F, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ (où $\pi : F \to F^{ab}$ désigne la projection). C'est le lemme 3.5 dans [Bogomolov 1987] : dans la suite spectrale de Hochschild-Serre $H^p(F^{ab}, H^q(\mathbb{Z}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})) \Rightarrow H^{p+q}(F, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$, le groupe $H^2(F, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ admet une filtration $E_0 \subseteq E_1 \subseteq E_2$, où $E_0 \subseteq H^2(F, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ est l'image de $\pi^*$, où $E_1/E_0 \subseteq H^1(F^{ab}, H^1(\mathbb{Z}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}))$, et où $E_2/E_1 \subseteq H^2(\mathbb{Z}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$. Pour tout $\alpha \in B_0(F)$, son image (par restriction) dans $H^2(\mathbb{Z}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ est nulle, on peut alors considérer son image $\beta$ dans $H^1(F^{ab}, H^1(\mathbb{Z}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})) = \text{Hom}(F^{ab}, \text{Hom}(\mathbb{Z}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}))$. Il suffit de montrer que $\beta = 0$. En effet, soit $C \subseteq F^{ab}$ n'importe quel sous-groupe cyclique. On dispose de la suite spectrale de Hochschild-Serre $H^p(C, H^q(\mathbb{Z}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})) \Rightarrow H^{p+q}(\pi^{-1}(C), \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$, d'où une filtration $\tilde{E}_0 \subseteq \tilde{E}_1 \subseteq \tilde{E}_2$ compatible avec celle mentionnée ci-dessus. Le sous-groupe $\pi^{-1}(C) \subseteq F$ est abélien (c'est une extension centrale du groupe cyclique $C$). La classe $\alpha$ étant dans $B_0(F)$, elle se restreint à $0 \in H^2(\pi^{-1}(C), \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$, donc on a $\beta|_C = 0 \in H^1(C, H^1(\mathbb{Z}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}))$. Cela implique que $\beta = 0$, ou $\alpha \in E_0 = \text{Im} \, \pi^*$.

La deuxième étape est de décrire $\text{Im} \, \pi^*$. Il est connu qu'on a un isomorphisme

$$ H^2(F^{ab}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \simeq \operatorname{Hom}\left(\bigwedge^2 F^{ab}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\right) \qquad (4-4) $$

qui à la classe $[E]$ de toute extension centrale $0 \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z} \to E \to F^{ab} \to 0$ associe le morphisme $\lambda_E : \bigwedge^2 F^{ab} \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ défini par (4-3). Si $\pi^*[E] = 0 \in H^2(F, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$, la projection $\pi : F \to F^{ab}$ se relève en un morphisme $\rho : F \to E$. Dans ce cas, $\rho$ induit un morphisme $\chi : Z \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ satisfaisant $\lambda_E = \chi \circ \lambda$. Inversement, supposons qu'il existe un morphisme $\chi : Z \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ tel que $\lambda_E = \chi \circ \lambda$, alors $[E] = \chi_*[F]$, où $\chi_* : H^2(F^{ab}, Z) \to H^2(F^{ab}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ est le morphisme induit par $\chi$. Or $\pi^*[F] = 0 \in H^2(F, Z)$, donc $\pi^*[E] = 0 \in H^2(F, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ puisque les opérateurs $\pi^*$ et $\chi_*$ commutent. On en déduit que sous l'identification de (4-4), Ker $\pi^*$ correspond au sous-groupe $\text{Hom}(Z, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \subseteq \text{Hom}(\bigwedge^2 F^{ab}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ (l'inclusion étant induite par la surjection $\lambda$). On conclut que $\text{Im} \, \pi^* = \text{Hom}(S, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$.

Soit maintenant $0 \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z} \to E \to F^{ab} \to 0$ une extension centrale et $\chi : S \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ la restriction de $\lambda_E$. Soient $a, b \in F^{ab}$ tels que $a \wedge b \in S$, et relevons-les respectivement en $\tilde{a}, \tilde{b} \in F$. Comme $a \wedge b \in S$, la formule (4-3) implique que $\tilde{a}$ et $\tilde{b}$ commutent, donc le sous-groupe $\langle \tilde{a}, \tilde{b} \rangle \subseteq F$ est abélien. Si $[E] \in B_0(F)$, la composée $\bigwedge^2 \langle \tilde{a}, \tilde{b} \rangle \to \bigwedge^2 F^{ab} \xrightarrow{\lambda_E} \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ est nulle, donc en particulier $\chi(a \wedge b) = \lambda_E(a \wedge b) = 0$. Ainsi, $[E] \in B_0(F)$ implique $\chi|_{S_\lambda} = 0$. Inversement, supposons $\chi|_{S_\lambda} = 0$. Soit $A \subseteq F$ un sous-groupe abélien. Pour tous $\tilde{a}, \tilde{b} \in A$, on a $\lambda(a \wedge b) = 0$ (où $a = \pi(\tilde{a})$ et $b = \pi(\tilde{b})$), donc $a \wedge b \in S_\lambda$, d'où $\lambda_E(a \wedge b) = \chi(a \wedge b) = 0$. La composée $\bigwedge^2 A \to \bigwedge^2 F^{ab} \xrightarrow{\lambda_E} \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ est nulle, donc $[E] \mapsto 0 \in H^2(A, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$. On en déduit que $[E] \in B_0(F)$. Ainsi

$$ B_0(F) = \text{Ker}(\text{Hom}(S, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \to \text{Hom}(S_\lambda, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})) = \text{Hom}(S/S_\lambda, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}). \quad \square $$

**Proposition 4.9.** Soient $M$ et $Z$ des groupes abéliens, $\phi : M \otimes M \to Z$ un morphisme, à partir desquels on construit une extension

$$ 0 \to Z \to F \to M \oplus M \to 0 $$
de groupes abstraits comme dans le paragraphe 3B, vue comme extension de K-groupes finis. Supposons $Z = Z(F) = [F, F]$, soit $F \hookrightarrow SL_m$ un plongement de K-groupes et notons $X = F \backslash SL_m$. Alors $\mathrm{Br}_{\mathrm{nr}} X = \mathrm{Hom}((\mathrm{Ker} \phi)/H, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$, où $H$ est le sous-groupe $\langle x \otimes y : x, y \in M, \phi(x \otimes y) = 0 \rangle$ de $M \otimes M$. Démonstration. Sous l'identification $\wedge^2(M \oplus M) = (\wedge^2 M) \oplus (M \otimes M) \oplus (\wedge^2 M)$, on a

$$ (x, y) \wedge (x', y') = (x \wedge x', x \otimes y', y \wedge y') $$

pour tous $x, y, x', y' \in M$. Soit $\lambda = \lambda_F : \wedge^2(M \oplus M) \to Z$ le morphisme défini par (4-3). On note $\Phi : (M \oplus M) \times (M \oplus M) \to Z$ l'application biadditive définie par (3-1). Par le lemme 3.5, on a

$$ \begin{align*} \lambda(x \wedge y, 0, 0) &= \lambda((x, 0) \wedge (y, 0)) = \Phi((x, 0), (y, 0)) - \Phi((y, 0), (x, 0)) = \phi(x \otimes 0) - \phi(y \otimes 0) = 0, \\ \lambda(0, x \otimes y, 0) &= \lambda((x, 0) \wedge (0, y)) = \Phi((x, 0), (0, y)) - \Phi((0, y), (x, 0)) = \phi(x \otimes y) - \phi(0 \otimes 0) \\ &= \phi(x \otimes y), \\ \lambda(0, 0, x \wedge y) &= \lambda((0, x) \wedge (0, y)) = \Phi((0, x), (0, y)) - \Phi((0, y), (0, x)) = \phi(0 \otimes y) - \phi(0 \otimes x) = 0. \end{align*} $$

On en déduit que $\lambda(\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3) = \phi(\gamma_2)$ pour tous $\gamma_1, \gamma_3 \in \wedge^2 M$ et $\gamma_2 \in M \otimes M$, d'où $S = \mathrm{Ker} \, \lambda = \wedge^2(M \oplus M) = (\wedge^2 M) \oplus (\mathrm{Ker} \, \phi) \oplus (\wedge^2 M)$, au vu des notations du lemme 4.8.

Nous affirmons que $S_\lambda = \wedge^2(M \oplus M) = (\wedge^2 M) \oplus H \oplus (\wedge^2 M)$. En effet, soient $x, y, x', y' \in M$. Alors $\lambda((x, y) \wedge (x', y')) = \lambda'(x \wedge x', x \otimes y', y \wedge y') = \phi(x \otimes y')$, donc $(x, y) \wedge (x', y') \in S$ si et seulement si $\phi(x \otimes y') = 0$. Dans ce cas, $x \otimes y' \in H$ par définition, d'où $S_\lambda \subseteq (\wedge^2 M) \oplus H \oplus (\wedge^2 M)$. Inversement : — $(\wedge^2 M) \oplus \{0\} \oplus \{0\} \subseteq S_\lambda$ puisque $(x \wedge y, 0, 0) = (x, 0) \wedge (y, 0) \in S$ pour tous $x, y \in M$. — $\{0\} \oplus \{0\} \oplus (\wedge^2 M) \subseteq S_\lambda$ puisque $(0, 0, x \wedge y) = (0, x) \wedge (0, y) \in S$ pour tous $x, y \in M$. — $\{0\} \oplus H \oplus \{0\} \subseteq S_\lambda$ puisque $(0, x \otimes y, 0) = (x, 0) \wedge (0, y) \in S$ pour tous $x, y \in M$ tels que $\phi(x \otimes y) = 0$. Ces propriétés impliquent que $S_\lambda = (\wedge^2 M) \oplus H \oplus (\wedge^2 M)$ comme voulu. Finalement, $S/S_\lambda = (\mathrm{Ker} \, \phi)/H$ et donc la proposition 4.7 donne $\mathrm{Br}_{\mathrm{nr}} X = B_0(F) = \mathrm{Hom}(S/S_\lambda, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) = \mathrm{Hom}((\mathrm{Ker} \, \phi)/H, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$. $\square$

## 5. Les principaux résultats

**5A. Un lemme arithmétique.** Pour établir les principaux résultats de ce texte, une propriété globale du symbole de Hilbert est nécessaire. On propose la généralisation suivante de [Serre 1970, chapitre III, §2.2, théorème 4].

**Proposition 5.1** (« Lemme arithmétique » pour les groupes cycliques). Soient $k$ un corps de nombres, $n$ un entier et $(a_i)_{i \in I}$ une famille finie d'éléments de $H^1(k, \mathbb{Z}/n)$. Soit $(\lambda_i)_{i \in I} \in (\mathrm{Br} k)^{|I|}$ remplissant la condition suivante : pour tout $v \in \Omega_k$, il existe $c_v \in H^1(k_v, \mu_n)$ tel que $(a_i)_v \cup c_v = (\lambda_i)_v$ pour tout $i \in I$. Alors pour tout sous-ensemble fini $S \subseteq \Omega_k$, il existe $b \in H^1(k, \mu_n)$ tel que :

1. $a_i \cup b = \lambda_i$ pour tout $i \in I$.

2. $b_v = c_v$ pour tout $v \in S$.

La preuve de la proposition 5.1 repose sur des théorèmes de dualité arithmétique. Pour les détails de la théorie de la dualité arithmétique, on pourra consulter [Harari 2017, chapitre 17]. Rappelons alors
quelques notations. Soit $k$ un corps de nombres et soit $A$ un $\Gamma_k$-module fini. Pour toute place finie $v$
de $k$ telle que $A$ soit un $\Gamma_{k_v}$-module non ramifié, on note $H^1_{\text{nr}}(k_v, A)$ l'image de la flèche d'inflation
$H^1(\text{Gal}(k_{v,\text{nr}}/k_v), A) \to H^1(k_v, A)$. Notons $\mathbb{P}^1(k, A)$ le produit restreint $\prod'_{v \in \Omega_k} H^1(k_v, A)$ par rapport
aux sous-groupes $H^1_{\text{nr}}(k_v, A)$. On dispose d'une application diagonale de $H^1(k, A)$ dans $\mathbb{P}^1(k, A)$. En
rassemblant les dualités locales de Tate entre $H^1(k_v, A)$ et $H^1(k_v, \hat{A})$, on obtient un accouplement parfait
de groupes abéliens localement compacts

$$
\mathbb{P}^1(k, A) \times \mathbb{P}^1(k, \hat{A}) \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}, \quad ((a_v)_{v \in \Omega_k}, (b_v)_{v \in \Omega_k}) \mapsto \sum_{v \in \Omega_k} \text{inv}_v (a_v \cup b_v).
$$

Démonstration de la proposition 5.1. Calculons le sous-groupe

$$
P = \text{Im}(\text{H}^1(k, \mathbb{Z}/n) \to \mathbb{P}^1(k, \mathbb{Z}/n)) \cap \left( \prod_{v \in S} \text{H}^1(k_v, \mathbb{Z}/n) \times \prod_{v \in \Omega_k \setminus S} \langle (a_i)_v : i \in I \rangle \right)
$$

de $\mathbb{P}^1(k, \mathbb{Z}/n)$. Soit alors $a \in H^1(k, \mathbb{Z}/n)$ tel que pour tout $v \notin S$, $a_v$ soit une combinaison linéaire des $(a_i)_v$, $i \in I$. On voit les $a_i$ et $a$ comme des morphismes continus $\Gamma_k \to \mathbb{Z}/n$ ; alors il existe un quotient $G$ de $\Gamma_k$, qui est fini, abélien et de $n$-torsion, par lequel ces morphismes se factorisent. Notons $a'_i, a' \in \text{Hom}(G, \mathbb{Z}/n)$ les morphismes induits respectifs. La condition sur $a$ et le théorème de Chebotarev impliquent que $a'|_H \in \langle a'_i|_H : i \in I \rangle$ pour tout sous-groupe cyclique $H$ de $G$. En appliquant cette condition à chaque sous-groupe cyclique de $\bigcap_{i \in I} \text{Ker}(a'_i)$, on voit que $a'$ s'annule sur $\bigcap_{i \in I} \text{Ker}(a'_i)$. Au vu de l'accouplement parfait entre $G$ et $\text{Hom}(G, \mathbb{Z}/n)$, $a'$ est orthogonal à $\bigcap_{i \in I} \text{Ker}(a'_i)$, qui est l'orthogonal de $\langle a'_i : i \in I \rangle$, ainsi $a' \in \langle a'_i : i \in I \rangle$. Il s'ensuit que $a \in \langle a_i : i \in I \rangle$ et on conclut que $P = \langle ((a_i)_v)_{v \in \Omega_k} : i \in I \rangle$.

Lorsque $v \in \Omega_k \setminus S$ est une place telle que $(\lambda_i)_v = 0$ pour tout $i \in I$, on peut supposer que $c_v = 0$. Cela implique que $(c_v)_{v \in \Omega_k} \in \bigoplus_{v \in \Omega_k} H^1(k_v, \mu_n) \subseteq \mathbb{P}^1(k, \mu_n)$. Au vu de l'accouplement parfait entre $\mathbb{P}^1(k, \mathbb{Z}/n)$ et $\mathbb{P}^1(k, \mu_n)$, la loi de réciprocité globale implique que $(c_v)_{v \in \Omega_k}$ est orthogonal à $((a_i)_v)_{v \in \Omega_k}$ pour tout $i \in I$, i.e., il est orthogonal à $P$. Or l'orthogonal de $\text{Im}(H^1(k, \mathbb{Z}/n) \to \mathbb{P}^1(k, \mathbb{Z}/n))$ est $\text{Im}(H^1(k, \mu_n) \to \mathbb{P}^1(k, \mu_n))$ (c'est l'exactitude au 5e terme de la suite exacte à neuf termes de Poitou-Tate, cf. [Harari 2017, théorème 17.13]), donc

$$
P^{\perp} = \text{Im}(H^1(k, \mu_n) \to \mathbb{P}^1(k, \mu_n)) + \prod_{v \in S} \langle 0 : i \in I \rangle^{\perp}
$$

donc il existe $b \in H^1(k, \mu_n)$ satisfaisant les conditions suivantes :

1. Pour tout $v \in S$, $b_v - c_v = 0$ pour tout $v \in S$.

2. Pour tout $v \notin S$, $b_v - c_v$ est orthogonal aux $(a_i)_v$, $i \in I$.

On a ainsi que $(a_i \cup b)_v = (a_i)_v \cup c_v = (\lambda_i)_v$ pour tous $i \in I$ et $v \in \Omega_k$ (d'où $a_i \cup b = \lambda_i$ par la loi de réciprocité globale) et que $b_v = c_v$ pour tout $v \in S$. La proposition est finalement démontrée. $\square$

La proposition 5.1 se généralise en la proposition 5.2 ci-dessous. Afin de la démontrer, remarquons le
fait suivant : soient *m* et *n* deux entiers, soit *d* = *PGCD*(*m*, *n*), et soit *K* un corps de caractéristique nulle.
Alors l'on dispose d'un diagramme commutatif de $\Gamma_K$-modules, dont les flèches horizontales sont des isomorphismes :

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

et dont le morphisme $\iota_n^m$ est la composée

$$ \mathbb{Z}/m \to \mathbb{Z}/d \hookrightarrow \mathbb{Z}/n. \qquad (5-1) $$

Il s'ensuit qu'il y a un diagramme commutatif

$$ \begin{tikzcd} H^1(K, \mathbb{Z}/m) \times H^1(K, \mu_n) \arrow[r, "\cup"] & (\mathrm{Br} \, K)[d] \arrow[d, "(\iota_n^m)_*"'] \\ H^1(K, \mathbb{Z}/n) \times H^1(K, \mu_n) \arrow[r, "\cup"] & (\mathrm{Br} \, K)[n] \arrow[d, "(-)^{n/d} "] \end{tikzcd} \qquad (5-2) $$

D'ailleurs, dans le cas où $K$ contient $\mu_{\mathrm{PPCM}(m,n)}$ (un générateur duquel sera fixé), on dispose d'un diagramme commutatif de $\Gamma_K$-modules, à lignes exactes :

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

d'où un diagramme commutatif

$$ \begin{tikzcd} K^\times \arrow[r] \arrow[d, "(-)^{n/d}"] & H^1(K, \mathbb{Z}/m) \arrow[d, "(\iota_n^m)_*"'] \\ K^\times \arrow[r] & H^1(K, \mathbb{Z}/n) \arrow[d, "(-)^{n/d}"] \end{tikzcd} \qquad (5-3) $$

dont les flèches horizontales sont des morphismes de la théorie de Kummer.

**Proposition 5.2** (« Lemme arithmétique » pour les groupes abéliens finis). Soient $k$ un corps de nombres, A un groupe abélien fini muni de l'action triviale de $\Gamma_k$, et $(a_i)_{i \in I}$ une famille finie d'éléments de $H^1(k, \mathcal{A})$. Soit $(\lambda_i)_{i \in I} \in \mathbb{H}^2(k, \mathcal{A} \otimes \mathcal{A})^{\otimes I}$ remplissant la condition suivante : pour tout $v \in \Omega_k$, il existe $c_v \in H^1(k_v, \mathcal{A})$ tel que $(a_i)_v \cup c_v = (\lambda_i)_v$ pour tout $i \in I$. Alors pour tout sous-ensemble fini $S \subseteq \Omega_k$, il existe $b \in H^1(k, \mathcal{A})$ tel que :

$$ 1. a_i \cup b = \lambda_i \text{ pour tout } i \in I. $$
2. $b_v = c_v$ pour tout $v \in S$.

Démonstration. Écrivons $A = \prod_{p \in J} \mathbb{Z}/n_p$ (alors $\hat{A} = \prod_{q \in J} \mu_{n_q}$), et $d_{p,q} = \text{PGCD}(n_p, n_q)$ pour tous $p, q \in J$. De plus, pour tous $i \in I$ et $v \in \Omega_k$, écrivons

$$a_i = (a_i^p)_{p \in J} \in \mathrm{H}^1(k, A) = \prod_{p \in J} \mathrm{H}^1(k, \mathbb{Z}/n_p),$$

$$c_v = (c_v^q)_{q \in J} \in \mathrm{H}^1(k_v, \hat{A}) = \prod_{q \in J} \mathrm{H}^1(k_v, \mu_{n_q}),$$

$$\lambda_i = (\lambda_i^{p,q})_{p,q \in J} \in \mathrm{H}^2(k, A \otimes \hat{A}) = \prod_{p,q \in J} (\mathrm{Br} k)[d_{p,q}].$$

La condition $(a_i)_v \cup c_v = (\lambda_i)_v$ se réécrit sous la forme

$$((\ell_{n_q}^{n_p})_* a_i^p)_v \cup c_v^q = (a_i^p)_v \cup c_v^q = (\lambda_i^{p,q})_v \quad \forall p, q \in J \quad (5-4)$$

par biadditivité des cup-produits et au vu de (5-2), où $\ell_{n_q}^{n_p}: \mathbb{Z}/n_p \to \mathbb{Z}/n_q$ est défini comme la composée (5-1). Fixons $q \in J$ et appliquons la proposition 5.1 à la famille $((\ell_{n_q}^{n_p})_* a_i^p)_{i \in I, p \in J}$ pour trouver un $b^q \in \mathrm{H}^1(k, \mu_{n_q})$ tel que :

1. $a_i^p \cup b^q = \lambda_i^{p,q}$ pour tous $i \in I$ et $p \in J$.

2. $b_v^q = c_v^q$ pour tout $v \in S$.

Posons finalement $b = (b^q)_{q \in J} \in \mathrm{H}^1(k, \hat{A})$. Alors $a_i \cup b = \lambda_i$ (par biadditivité des cup-produits), et $b_v = c_v$ pour tout $v \in S$, ce qui achève la démonstration. $\square$

Afin d'appliquer la proposition 5.2, il convient de prouver l'énoncé suivant.

**Lemme 5.3.** Soient $(K, \nu)$ un corps p-adique et $n$ un entier tels que $K$ contienne $\mu_n$. Soit $d$ un diviseur de $n$ et soit $\tilde{a} \in K^\times$ tel que $\nu(\tilde{a})$ soit premier à $d$. Soit $a$ son image dans $\mathrm{H}^1(k, \mu_n)$ par la théorie de Kummer. Alors pour tout $r \in (1/d)\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$, il existe $b \in \mathrm{H}^1(K, \mathbb{Z}/n)$ tel que $\mathrm{inv}_K(a \cup b) = r$.

Démonstration. Posons $A := \{\mathrm{inv}_K(a \cup b) : b \in \mathrm{H}^1(K, \mathbb{Z}/n)\} \subseteq \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ et montrons que $A$ contient $1/d$.

Commençons par le cas où $d = n$. Il suffit de montrer que pour tout nombre premier $\ell$ divisant $n$, $A$ contient $1/\ell^{v_\ell(n)}$. En effet, comme $\ell$ ne divise pas $v(\tilde{a})$, on a $(\tilde{a})^{n/\ell} \notin K^{\times n}$ et donc $(n/\ell)a \neq 0$. Par dualité locale de Tate, il existe $b \in \mathrm{H}^1(k, \mathbb{Z}/n)$ tel que $\mathrm{inv}_K((n/\ell)a \cup b) \neq 0$ dans $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$. Écrivons $\mathrm{inv}_K(a \cup b) = t/n$ avec $t \in \mathbb{Z}$, alors $\mathrm{inv}_K((n/\ell)a \cup b) = (n/\ell) \mathrm{inv}_K(a \cup b) = t/\ell$ est non nul dans $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$, d'où $\ell$ ne divise pas $t$. Or $A$ contient $\mathrm{inv}_K(a \cup (n/\ell^{v_\ell(n)})b) = (n/\ell^{v_\ell(n)}) \mathrm{inv}_K(a \cup b) = t/\ell^{v_\ell(n)}$, donc il contient $1/\ell^{v_\ell(n)}$. Ainsi, $A$ contient $1/n$ comme voulu.

Revenons au cas général. On a un diagramme commutatif de $\Gamma_K$-modules

$$\begin{tikzcd}
1 \arrow[r] & \mu_n \arrow[r] \arrow[d, "(-)^{n/\ell}"] & \bar{K}^\times \arrow[r, "(-)^n"] \arrow[d, "(-)^{n/d}"] & \bar{K}^\times \arrow[r] \arrow[d, "(-)^d"] & 1 \\
1 \arrow[r] & \mu_d & & & 1
\end{tikzcd}$$
dont les deux lignes sont exactes. D'où un diagramme commutatif

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

D'où l'image $a'$ de $a \in H^1(K, \mu_n)$ par le morphisme induit par $\mu_n \xrightarrow{(-)^{n/d}} \mu_d$ coïncide avec l'image de $\tilde{a}$ dans $H^1(K, \mu_d)$ par la théorie de Kummer. Comme $v(\tilde{a})$ est premier à $d$, par le résultat dans le cas précédent, il existe $b' \in H^1(K, \mathbb{Z}/d)$ tel que $\mathrm{inv}_K(a' \cup b') = 1/d$. On a un diagramme commutatif

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

Notant $b \in H^1(K, \mathbb{Z}/n)$ l'image de $b'$ par le morphisme induit par $\mathbb{Z}/d \hookrightarrow \mathbb{Z}/n$, on a $a \cup b = a' \cup b'$, d'où $A$ contient $\mathrm{inv}_K(a \cup b) = \mathrm{inv}_K(a' \cup b') = 1/d$. Le lemme est finalement démontré. $\square$

**5B. Construction du morphisme $\phi : M \otimes M \to Z$.** Comme on a vu dans le paragraphe 3B, on peut construire une extension

$$0 \to Z \to F \to M \oplus M \to 0$$

à partir d'un morphisme $\phi : M \otimes M \to Z$. Nous allons maintenant choisir $M$, $Z$ et $\phi$. Les notations suivantes seront fixées jusqu'à la fin du texte.

* A est un groupe abélien fini et $k$ est un corps de nombres contenant $\mu_{\exp(A)}$. On munit $A$ de l'action triviale de $\Gamma_k$ et l'on fixe un générateur de $\mu_{\exp(A)}$ (ce qui définit un isomorphisme $A = \hat{A}$). $L/k$ est une extension finie galoisienne et $\mathfrak{g} = \mathrm{Gal}(L/k)$ (dans la construction originelle de [Borovoi et Kunyavskii 1997], $A = \mathbb{Z}/p^2$ et $\mathfrak{g} = \mathbb{Z}/p \times \mathbb{Z}/p$, où $p$ est un nombre premier).

* Pour toute place $v$ de $k$, une place $w_v$ de $L$ divisant $v$ est choisie et $\mathfrak{g}_v \subseteq \mathfrak{g}$ est le groupe de décomposition de $w_v|v$. On fixe également un système de représentants $\mathcal{E}_v$ des classes à gauche de $\mathfrak{g}$ suivant $\mathfrak{g}_v$ et l'on pose $e_v = |\mathcal{E}_v| = [\mathfrak{g} : \mathfrak{g}_v]$. Alors pour toute place $w$ de $L$ divisant $v$, il existe un unique $s \in \mathcal{E}_v$ tel que $w = sw_v$. De plus, si $\sigma \in \Gamma_k$ est un relevé de $s$, alors $\Gamma_{L_w} = \sigma \Gamma_{L_{w_v}} \sigma^{-1}$. De plus, pour tout $\Gamma_k$-module $B$ sur lequel $\Gamma_L$ agit trivialement et tout $r \ge 1$, on dispose d'un isomorphisme

$$Z^r(L_{w_v}, B) \to Z^r(L_w, B),$$

qui à chaque $r$-cocycle $c : \Gamma_{L_{w_v}}^r \to B$ associe le $r$-cocycle

$$\Gamma_{L_w}^r \to B, \quad (\tau_1, \dots, \tau_r) \mapsto c(\sigma^{-1}\tau_1\sigma, \dots, \sigma^{-1}\tau_r\sigma).$$
Cet isomorphisme-là induit un isomorphisme $H^r(L_{w_v}, B) \to H^r(L_w, B)$, qui est compatible avec les flèches de restriction de $H^r(k_v, B)$. On va noter l'image de chaque classe $\gamma \in H^r(L_{w_v}, B)$ par $^s\gamma \in H^r(L_w, B)$. Si $\gamma \in H^r(L, B)$, alors $^s(\gamma_{w_v}) = (^s\gamma)_{w_v} \in H^r(L, B)$.

* $M = \text{Ind}_{\Gamma_k}^{\Gamma_L} A$ et $j : A \otimes A \hookrightarrow M \otimes M$ est l'inclusion canonique, cf. lemme 2.5.

* Z est le conoyau de j et $\phi : M \otimes M \to Z$ est la projection. $\Phi : (M \oplus M) \times (M \oplus M) \to Z$ est l'application biadditive définie par (3-1), c'est-à-dire que

$$ \Phi((x, y), (x', y')) = \phi(x \otimes y') \quad \forall x, y, x', y' \in M. $$

Soit $F$ le produit croisé $Z \times_{\Phi} (M \oplus M)$. On verra que $Z = Z(F) = [F, F]$ (proposition 5.4). On munit $F$ d'une action de $\Gamma_k$ compatible avec celles sur $Z$ et sur $M \otimes M$.

**Proposition 5.4.** Avec les notations ci-dessus, on a les résultats suivants :

1. $Z = Z(F) = [F, F]$.

2. Soit $X$ un espace homogène de $SL_m$ à stabilisateur géométrique $F$. Alors $\mathfrak{B}(X) = \mathfrak{B}_{\omega}(X) = 0$ et $\text{Br}_{nr} X = \text{Br}_{nr, 1} X$. Si de plus l'action extérieure de $\Gamma_k$ sur $F$ est induite par l'action coordonnée par coordonnée, alors $\text{Br}_{nr} X = \text{Br}_0 X$.

*Démonstration.* On rappelle que $M = \{g \to A\}$ (le $\Gamma_k$-module des applications $g \to A$) et que $M \otimes M = \{g \times g \to A \otimes A\}$.

1. Par le lemme 3.5, $Z = [F, F]$ puisque $\phi$ est surjectif. Montrons que $\phi$ est non dégénéré.

Notons d'abord que si $a \in A$ est tel que $a \otimes b = 0$ pour tout $b \in A$, alors $a = 0$. En effet, en choisissant un isomorphisme $A \simeq \text{Hom}(A, \mathbb{Z}/\exp(A))$, on obtient un accouplement parfait $A \otimes A \to \mathbb{Z}/\exp(A)$.

Supposons maintenant que $x : g \to A$ est tel que $\phi(x \otimes y) = 0$ pour tout $y : g \to A$. Pour tout $a \in A$, soit $y_a : g \to A$ défini par $y_a(1) = a$ et $y_a(g) = 0$ pour tout $g \neq 1$. Alors $\phi(x \otimes y_a) = 0$, donc il existe $m_a \in A \otimes A$ tel que $x \otimes y_a = j(m_a)$, c'est-à-dire que

$$ x(g) \otimes y_a(h) = m_a \quad \forall g, h \in g, $$

d'où $x(g) \otimes a = m_a = x(g) \otimes 0 = 0$ pour tous $g \in g$ et $a \in A$, donc $x(g) = 0$, ainsi $x = 0$. De même, si $y \in M$ est tel que $\phi(x \otimes y) = 0$ pour tout $x \in M$, on vérifie sans peine que $y = 0$. Ainsi, $\phi$ est bien non dégénéré et donc $Z = Z(F)$ au vu du lemme 3.6.

2. Calculons $\text{Br}_{nr} \bar{X}$. Au vu de la proposition 4.9, ce groupe est $\text{Hom}((\text{Ker } \phi)/H, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$, où $H$ est le sous-groupe $\langle x \otimes y : x, y \in M, \phi(x \otimes y) = 0 \rangle$ de $M \otimes M$. Tout élément de $\text{Ker } \phi$ est de la forme $j(m)$ pour un $m \in A \otimes A$. Écrivons $m = \sum_{i \in I} a_i \otimes b_i$, où $I$ est fini et $a_i, b_i \in A$. On définit $x_i, y_i : g \to A$ par

$$ x_i(g) = a_i, \quad y_i(g) = b_i $$

pour tous $g \in g$ et $i \in I$. Alors $j(a_i \otimes b_i) = x_i \otimes y_i$, d'où $\phi(x_i \otimes y_i) = 0$. On en déduit que

$$ j(m) = \sum_{i \in I} j(a_i \otimes b_i) = \sum_{i} x_i \otimes y_i \in H, $$
d'où Ker $\phi = H$, donc $\mathrm{Br}_{\mathrm{nr},1} \bar{X} = 0$. Il s'ensuit que $\mathrm{Br}_{\mathrm{nr},1} X = \mathrm{Br}_{\mathrm{nr}} X$ et $\mathrm{Br}_{\mathrm{nr},a} X = (\mathrm{Br}_{\mathrm{nr}} X)/(\mathrm{Br}_0 X)$.

Calculons $\mathcal{B}(X)$ et $\mathcal{B}_\omega(X)$. Par le lemme de Shapiro, $\mathrm{III}_\omega^1(k, \hat{M}) = \mathrm{III}_\omega^1(L, \hat{A}) = \mathrm{III}_\omega^1(L, A)$. Or $\mathrm{III}_\omega^1(L, A) = 0$ par une application du théorème de Chebotarev (cf. [Harari 2017, corollaire 18.4]), donc $\mathrm{III}_\omega^1(k, \hat{M}) = 0$. Par la proposition 4.1, on a $\mathcal{B}_\omega(X) = 0$ et a fortiori $\mathcal{B}(X) = 0$.

Finalement, si l'action extérieure de $\Gamma_k$ sur $F$ est induite par l'action coordonnée par coordonnée, alors $\mathrm{Br}_{\mathrm{nr},a} X = \mathcal{B}_\omega(X) = 0$ par la proposition 4.6, d'où $\mathrm{Br}_{\mathrm{nr}} X = \mathrm{Br}_{\mathrm{nr},1} X = \mathrm{Br}_0 X$. $\square$

Pour les principaux théorèmes, on considère seulement l'action coordonnée par coordonnée de $\Gamma_k$ sur $F$. On suppose ceci pour le reste du texte.

**5C. Principe de Hasse.** Le théorème suivant sera le cœur des preuves de nos principaux résultats. Son deuxième point sera utile pour l'étude de l'approximation faible. Les lecteurs souhaitant s'habituer à l'idée de sa preuve sont conseillés de se restreindre au cas où $A = \mathbb{Z}/n$.

**Théorème 5.5.** Soient $A$ un groupe abélien fini, $k$ un corps de nombres contenant $\mu_{\exp(A)}$, $L/k$ une extension finie galoisienne, $M = \mathrm{Ind}_{\Gamma_k}^{\Gamma_L} A$, $j : A \otimes A \hookrightarrow M \otimes M$ l'inclusion canonique, $Z$ le conoyau de $j$ et $\phi : M \otimes M \to Z$ la projection. De $\phi$ on définit une application biadditive $\Phi : (M \oplus M) \times (M \oplus M) \to Z$ par (3-1) et l'on pose $F = Z \times_{\Phi} (M \oplus M)$, muni de l'action coordonnée par coordonnée de $\Gamma_k$. Soit $u \in \mathbb{H}^2(k, M \otimes M)$. Alors, étant donné :

- un sous-ensemble fini $S \subseteq \Omega_k$ tel que $u_v = 0$ pour tout $v \notin S$;

- pour tout $v \in S$, des éléments $x'_v, y'_v \in \mathbb{H}^1(k_v, M)$ et $\lambda'_v \in \mathbb{H}^2(k_v, A \otimes A)$ tels que $x'_v \cup y'_v = u_v + j_*\lambda'_v$ dans $\mathbb{H}^2(k_v, M \otimes M)$;

il existe $x, y \in \mathbb{H}^1(k, M)$ et $\lambda \in \mathbb{H}^2(k, A \otimes A)$ tels que les conditions suivantes soient satisfaites :

$$1. \ x \cup y = u + j_*\lambda \text{ dans } \mathbb{H}^2(k, M \otimes M).$$

$$2. \ x_v = x'_v, \ y_v = y'_v \text{ et } \lambda_v = \lambda'_v \text{ pour tout } v \in S.$$

**Démonstration.** Gardons les notations au début du paragraphe 5B. Par le lemme 2.3, on dispose d'un isomorphisme $\mathrm{sh}' : \mathbb{H}^2(k, M \otimes M) \to \mathbb{H}^2(L, A \otimes A)^{|\mathfrak{g}|}$ ; écrivons

$$\mathrm{sh}'(u) = (\gamma_g)_{g \in \mathfrak{g}} \in \mathbb{H}^2(L, A \otimes A)^{|\mathfrak{g}|}.$$

Par le lemme 2.10, on a

$$\forall v \notin S, \forall h \in \mathfrak{g}_v, \forall s, t \in \mathcal{E}_v, (t^{-1}\gamma_{sht^{-1}})_{w_v} = 0 \text{ dans } \mathbb{H}^2(L_{w_v}, A \otimes A),$$

ou $(\gamma_{sht^{-1}})_{tw_v} = 0$ dans $\mathbb{H}^2(L_{tw_v}, A \otimes A)$. Pour tous $g \in \mathfrak{g}$ et $w|v$, on peut écrire $w = tw_v$ pour un $t \in \mathcal{E}_v$, puis $gt = sh$ pour un $s \in \mathcal{E}_v$ et un $h \in \mathfrak{g}_v$. On a ainsi

$$\forall v \notin S, \forall g \in \mathfrak{g}, \forall w|v, (\gamma_g)_w = 0 \text{ dans } \mathbb{H}^2(L_w, A \otimes A). \quad (5-5)$$

On procède en plusieurs étapes.
**Étape 1.** Approchons les $\lambda'_v$. Écrivons $A = \prod_{p \in J} \mathbb{Z}/n_p = \prod_{p \in J} \mu_{n_p}$, et $d_{p,q} = \text{PGCD}(n_p, n_q)$ pour tous $p, q \in J$. Par le théorème de Chebotarev, il existe $|J|^2$ places (deux à deux distinctes) $v_{p,q} \notin S$ de $k$ ($p, q \in J$) qui sont finies et totalement décomposées dans $L$ (donc $\mathcal{E}_{v_{p,q}} = \mathfrak{g}$). Pour tout $v \in S$, écrivons

$$ \lambda_v' = (\lambda_v'^{p,q})_{p,q \in J} \in \mathrm{H}^2(k_v, A \otimes A) = \prod_{p,q \in J} (\mathrm{Br} k_v)[d_{p,q}]. $$

Pour tous $p, q \in J$, par la loi de réciprocité globale, il existe $\lambda^{p,q} \in (\mathrm{Br} k)[d_{p,q}]$ tel que :

1. $\lambda_v^{p,q} = \lambda_v'^{p,q}$ pour tout $v \in S$.

2. $\mathrm{inv}_{v_{p,q}}(\lambda_{v_{p,q}}^{p,q}) = -\sum_{v \in S} \mathrm{inv}_v(\lambda_v'^{p,q})$.

3. $\lambda_v^{p,q} = 0$ pour tout $v \notin S \cup \{v_{p,q}\}$.

Posons $\lambda = (\lambda^{p,q})_{p,q \in J} \in \prod_{p,q \in J} (\mathrm{Br} k)[d_{p,q}] = \mathrm{H}^2(k, A \otimes A)$. Alors $\lambda_v = \lambda_v'$ pour tout $v \in S$ et $\lambda_v = 0$ pour tout $v \notin S \cup \{v_{p,q} : p, q \in J\}$. En particulier, on a

$$ \forall v \in S, \quad x_v' \cup y_v' = u_v + j_* \lambda_v \quad \text{dans } \mathrm{H}^2(k_v, M \otimes M). \qquad (5-6) $$

**Étape 2.** Approchons les $x'_v$. Pour tout $v \in S$, on dispose (par le lemme 2.6) d'un isomorphisme

$$ \mathrm{sh}_v : \mathrm{H}^1(k_v, M) \xrightarrow{\sim} \mathrm{H}^1(L_{w_v}, A)^{e_v}. $$

Écrivons $\mathrm{sh}_v(x'_v) = (a'_{v,s})_{s \in \mathcal{E}_v} \in \mathrm{H}^1(L_{w_v}, A)^{e_v}$ et $\mathrm{sh}_v(y'_v) = (b'_{v,s})_{s \in \mathcal{E}_v} \in \mathrm{H}^1(L_{w_v}, A)^{e_v}$.

Pour tous $p, q \in J$, on choisit une uniformisante $\varpi_{p,q} \in k^\times$ de $k_{v_{p,q}}$. Pour tout $p \in J$, le théorème des restes chinois donne un élément $\tilde{a}^p \in L^\times$ tel que :

1. $\tilde{a}_w^p = \varpi_{p,q} \pmod{L_w^{\times n_p}}$ pour toute place $w$ de $L$ divisant une place $v_{p,q}$, où $q \in J$.

2. $\tilde{a}_w^p \in L_w^{\times n_p}$ pour toute place $w$ de $L$ divisant une place $v_{p',q}$, où $p' \in J \setminus \{p\}$ et $q \in J$.

On note $a'^p \in \mathrm{H}^1(L, \mu_{n_p}) = \mathrm{H}^1(L, \mathbb{Z}/n_p)$ l'image de $\tilde{a}^p$ par la théorie de Kummer. Comme $\mathrm{III}_\omega^1(L, A) = 0$ par le théorème de Chebotarev, le $\Gamma_L$-module $A$ vérifie l'approximation faible au sens du lemme 1.1 (cf. [Harari 2017, exercice 17.5 et corollaire 18.4]), donc il existe un $a \in \mathrm{H}^1(L, A)$ tel que :

1. $a_{sw_v} = {}^s a'_{v,s} \in \mathrm{H}^1(L_{sw_v}, A)$ pour tous $v \in S$ et $s \in \mathcal{E}_v$.

2. $a_w = (a_w'^p)_{p \in J} \in \prod_{p \in J} \mathrm{H}^1(L_w, \mathbb{Z}/n_p) = \mathrm{H}^1(L_w, A)$ pour toute place $w$ de $L$ divisant une place $v_{p,q}$, où $p, q \in J$.

Soit $x = \mathrm{sh}^{-1}(a) \in \mathrm{H}^1(k, M)$. Pour tous $v \in S$ et $s \in \mathcal{E}_v$, on a $a_{sw_v} = {}^s a'_{v,s} \in \mathrm{H}^1(L_{sw_v}, A)$, d'où $( {}^s a)_{w_v} = a'_{s,v} \in \mathrm{H}^1(L_{w_v}, A)$. Par le lemme 2.9, on a $x_v = x'_v$ pour tout $v \in S$. Ainsi (5-6) devient

$$ \forall v \in S, \quad x_v \cup y_v = u_v + j_* \lambda_v \quad \text{dans } \mathrm{H}^2(k_v, M \otimes M). $$

Au vu des lemmes 2.7, 2.8, 2.9 et 2.10, on a

$$ \forall v \in S, \forall h \in \mathfrak{g}_v, \forall s, t \in \mathcal{E}_v, \quad h^{-1}s^{-1}a_{w_v} \cup b'_{v,t} = (t^{-1}\gamma_{sht^{-1}})_{w_v} + \mathrm{res}(\lambda)_{w_v} \quad \text{dans } \mathrm{H}^2(L_{w_v}, A \otimes A), $$
ou $^{th-1}s^{-1}a_{tw_v} \cup {}^t b'_{v,t} = (\gamma_{sht^{-1}})_{tw_v} + \text{res}(\lambda)_{tw_v}$ dans $\mathbb{H}^2(L_{tw_v}, A \otimes A)$. Pour tous $g \in \mathfrak{g}$ et $t \in \mathfrak{E}_v$, on peut
écrire $gt = sh$ pour un $s \in \mathfrak{E}_v$ et un $h \in \mathfrak{g}_v$. On a ainsi

$$
\forall v \in S, \forall g \in \mathfrak{g}, \forall t \in \mathfrak{E}_v, \quad {}^{-1}a_{tw_v} \cup {}^t b'_{v,t} = (\gamma_g)_{tw_v} + \text{res}(\lambda)_{tw_v} \quad \text{dans } \mathbb{H}^2(L_{tw_v}, A \otimes A). \quad (5-7)
$$

**Étape 3.** Vérifions l'hypothèse du lemme arithmétique. On va appliquer la proposition 5.2 :

— au corps de nombres $L$ ;

— à la famille $(g^{-1}a)_{g \in \mathfrak{g}} \in \mathbb{H}^1(L, A)$;

— à la famille $(\gamma_g + \text{res}(\lambda))_{g \in \mathfrak{g}} \in \mathbb{H}^2(L, A \otimes A)^{|\mathfrak{g}|}$;

— et à l'ensemble $\{w \in \Omega_L : \exists v \in S \cup \{v_{p,q} : p, q \in J\}, w|v\}.$

Soit $w$ une place de $L$ et montrons qu'il existe $c_w \in \mathbb{H}^1(L_w, A)$ tel que

$$
\forall g \in \mathfrak{g}, \quad {}^{-1}a_w \cup c_w = (\gamma_g)_w + \mathrm{res}(\lambda)_w \quad \text{dans } \mathbb{H}^2(L_w, A \otimes A).
$$

Notons $v$ la place de $k$ au-dessous de $w$. On distingue trois cas.

— Si $v \in S$: au vu de (5-7), il suffit de prendre $c_w = {}^t b'_{v,t}$, où $t \in \mathfrak{E}_v$ est tel que $w = tw_v$.

— Si $v = v_{p',q'}$, où $p'$, $q'$ $J$ : rappelons que $v$ est totalement décomposée dans $L$ et que $\varpi := \varpi_{p',q'} \in k^\times$
est une uniformisante de $k_v$. D'une part, $\tilde{a}_w^{p'} = \varpi$ (mod $L_w^{\times n_{p'}}$), donc l'image $a_w^{p'} \in \mathrm{H}^1(L_w, \mu_{n_{p'}})$ de $\tilde{a}_w^{p'}$
(par la théorie de Kummer) est $\mathfrak{g}$-équivariante. Or $\tilde{a}_w^{p'} \in L_w^{\times n_p}$ pour tout $p \in J \setminus \{p'\}$, donc l'image de $\tilde{a}_w^{p'}$
dans $\mathrm{H}^1(L_w, \mu_{n_p})$ (par la théorie de Kummer) est $a_w^{p'} = 0$. En particulier, $a_w = (a_w^{p'})_{p \in J} \in \mathrm{H}^1(L_w, A)$
est $\mathfrak{g}$-équivariant. D'autre part, $(\gamma_g)_w = 0$ pour tout $g \in \mathfrak{g}$ puisque $u_v = 0$. Ainsi, il faut chercher
$c_w = (c_w^q)_{q \in J} \in \prod_{q \in J} \mathrm{H}^1(L_w, \mu_{n_q})$ tel que

$$
a_w \cup c_w = \mathrm{res}(\lambda)_w \quad \text{dans} \quad \mathbb{H}^2(L_w, A \otimes A),
$$

c'est-à-dire

$$
\forall p, q \in J, \quad a_w^p \cup c_w^q = \mathrm{res}(\lambda^{p,q})_w \quad \text{dans } (\mathrm{Br}\,L_w)[d_{p,q}]. \qquad (5-8)
$$

On choisit $c_w^q = 0$ pour tout $q \in J \setminus \{q'\}$. Pour le $c_w^{q'}$, on note $\alpha \in \mathbb{H}^1(L_w, \mu_{n_{q'}}) = \mathbb{H}^1(L_w, \mathbb{Z}/n_{q'})$ l'image
de $\tilde{a}_w^{p'}$ par la théorie de Kummer, et l'on choisit $r \in (\mathrm{Br}\,L_w)[n_{q'}]$ tel que $(n_{q'}/d_{p',q'})r = \mathrm{res}(\lambda^{p',q'})_w$.
Comme $w(\tilde{a}_{p'}) = v(\tilde{a}_{p'}) = 1$, le **lemme 5.3** assure qu'il existe $c_w^{q'} \in \mathbb{H}^1(L_w, \mathbb{Z}/n_{q'}) = \mathbb{H}^1(L_w, \mu_{n_{q'}})$ tel
que $\alpha \cup c_w^{q'} = r$, d'où $(n_{q'}/d_{p',q'})\alpha \cup c_w^{q'} = \mathrm{res}(\lambda^{p',q'})_w$. Au vu de (5-3), on a $(i_{n_{q'}}^{n_{p'}})_*a_w^{p'} = (n_{q'}/d_{p',q'})\alpha \in
\mathbb{H}^1(L_w, \mathbb{Z}/n_{q'})$, d'où $a_w^{p'} \cup c_w^{q'} = \mathrm{res}(\lambda^{p',q'})_w$ en vertu de (5-2).

On prend finalement $c_w = (c_w^q)_{q \in J}$. On a déjà vu que cet élément vérifie (5-8) pour $(p, q) = (p', q')$.
Or, pour tout $(p, q) \in (J \times J) \setminus \{(p', q')\}$, on a soit $a_w^p = 0$ (si $p \neq p'$) ou $c_w^q = 0$ (si $q \neq q'$), et de plus
$\lambda_v^{p,q} = 0$ par notre choix de $\lambda^{p,q}$, d'où $\mathrm{res}(\lambda^{p,q})_w = 0 = a_w^p \cup c_w^q$, ce qui établit (5-8) pour tous $p, q \in J$.

— Si $v \notin S \cup \{v_{p,q} : p, q \in J\}$. Dans ce cas, on a $u_v = 0$ et $\lambda_v = 0$, d'où $(\gamma_g)_w = \mathrm{res}(\lambda)_w = 0$ pour tous $g \in \mathfrak{g}$, donc il suffit de prendre $c_w = 0$.

L'hypothèse de la proposition 5.2 est alors vérifiée.

**Étape 4.** Utilisons le lemme arithmétique pour approcher les $y_v'$. La proposition 5.2 nous permet de fabriquer un élément $b \in \mathbb{H}^1(L, A)$ satisfaisant les conditions suivantes.
1. $g^{-1}a \cup b = \gamma_g + \text{res}(\lambda)$ dans $H^2(L, A \otimes A)$ pour tout $g \in g$.

2. $b_{Lw_v} = {}^t b'_{v,t}$ dans $H^1(L_{Lw_v}, A)$ pour tous $v \in S$ et $t \in \mathscr{E}_v$.

On note $y = \text{sh}^{-1}(b) \in H^1(k, M)$. Regardons les deux conditions ci-dessus.

1. Pour la première condition, par les lemmes 2.4 et 2.5, on a $x \cup y = u + j_*\lambda$ dans $H^2(k, M \otimes M)$.

2. Soit $v \in S$. Pour tout $t \in \mathscr{E}_v$, la deuxième condition implique que $t^{-1}b_{w_v} = b'_{t,v}$ dans $H^1(L_{w_v}, A)$. En vertu du lemme 2.9, on a $y_v = y'_v$. Rappelons qu'on a déjà $x_v = x'_v$ et $\lambda_v = \lambda'_v$ pour tout $v \in S$.

Le théorème est finalement démontré. $\square$

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

Nous sommes maintenant en mesure d'établir le théorème A.

**Théorème 5.6.** Soient $A$ un groupe abélien fini, $k$ un corps de nombres contenant $\mu_{\exp(A)}$, $L/k$ une extension finie galoisienne, $M = \text{Ind}_{\Gamma_k}^{\Gamma_L} A$, $j : A \otimes A \hookrightarrow M \otimes M$ l'inclusion canonique, $Z$ le conoyau de $j$ et $\phi : M \otimes M \to Z$ la projection. De $\phi$ on définit une application biadditive $\Phi : (M \oplus M) \times (M \oplus M) \to Z$ par (3-1) et l'on pose $F = Z \times_{\Phi} (M \oplus M)$. On munit $F$ de l'action coordonnée par coordonnée de $\Gamma_k$. Si $X$ est un espace homogène de $SL_m$ de lien de Springer lien($F$) tel que $X(k_v) \neq \emptyset$ pour toute place $v$ de $k$, alors $X(k) \neq \emptyset$.

**Démonstration.** Notons $\Delta : H^2(k, M \oplus M) \to H^2(k, Z)$ l'application connectante induite par l'extension centrale $0 \to Z \to F \to M \oplus M \to 0$. Rappelons que $Z = Z(F) = [F, F]$ par la proposition 5.4. Soit $\eta_0 \in H^2(k, F)$ la classe neutre privilégiée. Alors il existe une unique classe $\beta \in H^2(k, Z)$ telle que la classe de Springer de $X$ vaut $\eta_X = \beta \cdot \eta_0$ (cf. paragraphe 3A). Soit $v$ une place de $\Omega_k$. Si $X(k_v) \neq \emptyset$, par la proposition 3.3 et le lemme 3.8, il existera $(x'_v, y'_v) \in H^1(k_v, M \oplus M)$ tel que $\beta_v = \Delta(x'_v, y'_v) = \phi_*(x'_v \cup y'_v)$ dans $H^2(k_v, Z)$, donc l'image de $\beta_v$ dans $H^3(k_v, A \otimes A)$ sera nulle. Ainsi, lorsque $X(k_v) \neq \emptyset$ pour tout $v$, l'image de $\beta$ dans $H^3(k, A \otimes A)$ sera nulle partout localement. Or $\Pi\Pi^3(k, A \otimes A) = 0$ (c'est une conséquence d'une version simple de la dualité de Poitou-Tate, cf. [Harari 2017, théorème 17.13]), donc $\beta$ s'enverra sur $0 \in H^3(k, A \otimes A)$, d'où il existera $u \in H^2(k, M \otimes M)$ tel que $\beta = \phi_*(u)$.

Soit $S \subseteq \Omega_k$ l'ensemble des places $v$ telles que $u_v \neq 0$. Pour tout $v \in S$, comme $\phi_*(x'_v \cup y'_v) = \beta_v = \phi_*(u_v)$ dans $H^2(k_v, Z)$, il existe $\lambda'_v \in H^2(k_v, A \otimes A)$ tel que $x'_v \cup y'_v = u_v + j_*\lambda'_v$ dans $H^2(k_v, M \otimes M)$. Par le théorème 5.5, on peut trouver $x, y \in H^1(k, M)$ et $\lambda \in H^2(k, A \otimes A)$ tels que $x \cup y = u + j_*\lambda$ dans $H^2(k, M \otimes M)$. En particulier, $\beta = \phi_*(u) = \phi_*(x \cup y) = \Delta(x, y)$ par le lemme 3.8. Au vu de la proposition 3.3, on peut conclure que $X(k) \neq \emptyset$. $\square$

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

**5D. Approximation faible.** Gardons les notations au début du paragraphe 5B. On a une suite exacte

$$0 \to A \otimes A \xrightarrow{j} M \otimes M \xrightarrow{\phi} Z \to 0 \qquad (5-9)$$

de $\Gamma_k$-modules. En dualisant, on obtient une suite exacte

$$0 \to \hat{Z} \xrightarrow{\hat{\phi}} \widehat{M \otimes M} \xrightarrow{\hat{j}} \widehat{A \otimes A} \to 0. \qquad (5-10)$$

Notons que $\Gamma_k$ agit trivialment sur $A \otimes A$ et sur $\widehat{A \otimes A}$.
**Lemme 5.7.** Le sous-groupe $\Pi_{\omega}^{1}(k, \hat{Z}) \subseteq \text{H}^{1}(k, \hat{Z})$ est inclus dans l'image du morphisme connectant $\hat{\delta} : \widehat{A \otimes A} \to \text{H}^{1}(k, \hat{Z})$ induit par (5-10).

*Démonstration.* Comme (5-10) est déployé par $L$, on peut identifier $\text{H}^1(\mathfrak{g}, \hat{Z})$ à un sous-groupe de $\text{H}^1(k, \hat{Z})$ (par la suite exacte d'inflation-restriction). Une application du théorème de Chebotarev donne $\Pi_{\omega}^1(L, \hat{Z}) = 0$ (voir [Harari 2017, corollaire 18.4]), donc on a $\Pi_{\omega}^1(k, \hat{Z}) = \Pi_{\omega}^1(\mathfrak{g}, \hat{Z}) \subseteq \text{H}^1(\mathfrak{g}, \hat{Z})$. Maintenant, $M \otimes M$ est un $\mathfrak{g}$-module induit par le lemme 2.3, donc il en va de même pour $\widehat{M \otimes M}$. Par le lemme de Shapiro, $\text{H}^1(\mathfrak{g}, \widehat{M \otimes M}) = 0$ et donc le morphisme connectant $\widehat{A \otimes A} \to \text{H}^1(\mathfrak{g}, \hat{Z})$ est surjectif. D'où le lemme. $\square$

On démontre maintenant le théorème B.

**Théorème 5.8.** Soient $A$ un groupe abélien fini, $k$ un corps de nombres contenant $\mu_{\exp(A)}$, $L/k$ une extension finie galoisienne, $M = \text{Ind}_{\Gamma_k}^{\Gamma_L} A$, $j : A \otimes A \hookrightarrow M \otimes M$ l'inclusion canonique, $Z$ le conoyau de $j$ et $\phi : M \otimes M \to Z$ la projection. De $\phi$ on définit une application biadditive $\Phi : (M \oplus M) \times (M \oplus M) \to Z$ par (3-1) et l'on pose $F = Z \times_{\Phi} (M \oplus M)$. On munit $F$ de l'action coordonnée par coordonnée de $\Gamma_k$. Si $X$ est un espace homogène de $\text{SL}_m$ de lien de Springer lien($F$) tel que $X(k) \neq \emptyset$, alors $X$ vérifie l'approximation faible.

*Démonstration.* Par la proposition 3.3, $X \simeq_a F \setminus \text{SL}_m$ pour un certain 1-cocycle $a = (\mathfrak{x}, \mathfrak{y}) : \Gamma_k \to M \oplus M$. Par le lemme 1.1, on s'est ramené à la question d'approximation faible pour $aF$, i.e., il faut démontrer que pour tout sous-ensemble fini $S \subseteq \Omega_k$, la restriction

$$ \text{H}^1(k, aF) \to \prod_{v \in S} \text{H}^1(k_v, aF) $$

est surjective. Soit alors $f'_v = (z'_v, a'_v) : \Gamma_{k_v} \to aF$ une famille de 1-cocycles, $v \in S$, où $a'_v = (x'_v, y'_v)$. Pour tout $v \in S$, par le lemme 3.8, $a'_v$ est un cocycle et de plus

$$ \mathrm{d}z'_{v} + \phi_{*}(\mathfrak{r}_{v} \cup y'_{v} + x'_{v} \cup \mathfrak{h}_{v} + x'_{v} \cup y'_{v} + \mathrm{d}(x'_{v} \otimes \mathfrak{h}_{v})) = 0 \quad \text{dans } \mathbb{Z}^{2}(k_{v}, \mathbb{Z}). $$

Écrivons $z'_v = \phi_* \varepsilon'_v$ pour une 1-cochaîne $\varepsilon'_v : \Gamma_{k_v} \to M \otimes M$. Il existe alors un 2-cocycle $\lambda'_v : \Gamma_{k_v} \times \Gamma_{k_v} \to A \otimes A$ tel que

$$ \mathrm{d}\varepsilon'_{v} + \mathfrak{r}_{v} \cup y'_{v} + x'_{v} \cup \mathfrak{h}_{v} + x'_{v} \cup y'_{v} + \mathrm{d}(x'_{v} \otimes \mathfrak{h}_{v}) = j_* \lambda'_{v} \quad \text{dans } \mathbb{Z}^{2}(k_{v}, M \otimes M). \quad (5-11) $$

Considérons l'élément $u = [\mathfrak{x} \cup \mathfrak{h}] \in \text{H}^2(k, M \otimes M)$. Quitte à agrandir $S$, on peut supposer que $u_v = 0$ pour tout $v \notin S$. De (5-11), on a

$$ \forall v \in S, \quad [(x'_{v} + \mathfrak{r}_{v}) \cup (y'_{v} + \mathfrak{h}_{v})] = [\mathfrak{r}_{v} \cup \mathfrak{h}_{v}] + j_*[\lambda'_{v}] \quad \text{dans } \text{H}^{2}(k_{v}, M \otimes M). $$

Par le théorème 5.5, il existe des 1-cocycles $\tilde{x}, \tilde{y} : \Gamma_k \to M$ et un 2-cocycle $\lambda : \Gamma_k \times \Gamma_k \to A \otimes A$ tels que les conditions suivantes soient remplies :

1. $[\tilde{x} \cup \tilde{y}] = [\mathfrak{x} \cup \mathfrak{h}] + j_*[\lambda]$ dans $\text{H}^2(k, M \otimes M)$.

2. Pour tout $v \in S$, $[\tilde{x}_v] = [x'_v + \mathfrak{r}_v]$, $[\tilde{y}_v] = [y'_v + \mathfrak{h}_v]$ et $[\lambda_v] = [\lambda'_v]$.
Soient $x = \tilde{x} - \tilde{r}$, $y = \tilde{y} - \tilde{\eta}$ et $a = (x, y)$. Alors $[x_v] = [x'_v]$ et $[y_v] = [y'_v]$ pour tout $v \in S$. De $[\tilde{x} \cup \tilde{y}] = [\tilde{r} \cup \tilde{\eta}] + j_*[\lambda]$, on voit qu'il existe une 1-cochaîne $\varepsilon : \Gamma_k \to M \otimes M$ telle que

$$d\varepsilon + \tilde{r} \cup y + x \cup \tilde{\eta} + x \cup y + d(x \otimes \tilde{\eta}) = j_*\lambda. \quad (5-12)$$

Posons $z := \phi_*\varepsilon$, alors (5-12) implique que $dz + \phi_*(\tilde{x} \cup y + x \cup \tilde{\eta} + x \cup y + d(x \otimes \tilde{\eta})) = 0$ et donc $(z, a) : \Gamma_k \to F$ est un cocycle par le lemme 3.8.

Soit $v \in S$. Puisque $[x'_v] = [x_v]$ et $[y'_v] = [y_v]$ dans $H^1(k, M)$, on peut écrire $x'_v = x_v + d\xi_v$ et $y'_v = y_v + d\eta_v$, où $\xi_v, \eta_v \in M$. On considère le 1-cocycle

$$c_v := z'_v - z_v + \phi_*(- (x_v + \tilde{\xi}_v) \cup \eta_v + \tilde{\xi}_v \cup (y'_v + \tilde{\eta}_v) + d\tilde{\xi}_v \otimes \tilde{\eta}_v) : \Gamma_{k_v} \to Z$$

comme dans l'énoncé du lemme 3.9. Au vu de (5-11) et (5-12), le troisième point de ce lemme-là donne $\delta([c_v]) = [\lambda'_v - \lambda_v] = 0$, où $\delta : H^1(k_v, Z) \to H^2(k_v, A \otimes A)$ désigne le morphisme connectant induit par (5-9). Or, en vertu du lemme 5.7 tout élément de $\Pi_S^1(k, \hat{Z})$ appartient à l'image du morphisme connectant $\hat{\delta} : \widetilde{A} \otimes \widetilde{A} \to H^1(k, \hat{Z})$ induit par (5-10). Puisque les cup-produits sont compatibles avec les morphismes connectants, on voit que la famille $([c_v])_{v \in S}$ est orthogonale à $\Pi_S^1(k, \hat{Z})$ par rapport à l'accouplement

$$\prod_{v \in S} H^1(k_v, Z) \times H^1(k, \hat{Z}) \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z},$$

obtenu en rassemblant les dualités locales de Tate. Par [Harari 2017, exercice 17.5], il existe un 1-cocycle $\tilde{z} : \Gamma_k \to Z$ tel que $[\tilde{z}_v] = [c_v]$ dans $H^1(k_v, Z)$ pour tout $v \in S$. On pose finalement

$$f := (\tilde{z}, 0)(z, a) = (z + \tilde{z}, a) : \Gamma_k \to \mathfrak{a}F,$$

qui est un 1-cocycle puisque $(z, a)$ et $(\tilde{z}, 0)$ le sont (notons que $Z$ est central dans $\mathfrak{a}F$). Soit $v \in S$, il reste à montrer que $[f_v] = [f'_v]$ dans $H^1(k_v, \mathfrak{a}F)$. En effet, la 1-cochaîne

$$z'_v - (z_v + \tilde{z}_v) + \phi_*(- (x_v + \tilde{\xi}_v) \cup \eta_v + \tilde{\xi}_v \cup (y'_v + \tilde{\eta}_v) + d\tilde{\xi}_v \otimes \tilde{\eta}_v) = c_v - \tilde{z}_v : \Gamma_{k_v} \to Z$$

est un cobord, donc $f_v$ est cohomologue à $f'_v$ par le lemme 3.9. On a donc trouvé une classe $[f] \in H^1(k, \mathfrak{a}F)$ qui se restreint à $([f'_v])_{v \in S} \in \prod_{v \in S} H^1(k_v, \mathfrak{a}F)$. Ainsi $\mathfrak{a}F$ vérifie bien l'approximation faible, ce qui achève la démonstration du théorème. $\square$

## Remerciements

Ce travail est financé par un « Contrat doctoral spécifique normalien » de l'École normale supérieure de Paris. L'auteur est reconnaissant à David Harari pour ses commentaires précieux ainsi que pour son soutien. Il remercie Alexeï Skorobogatov, Jean-Louis Colliot-Thélène et Mikhaïl Borovoi pour les discussions pertinentes, ainsi que les rapporteurs pour avoir lu attentivement le texte et pour leurs remarques.

## Bibliographie

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Communicated by Bjorn Poonen

Received 2022-07-15

Revised 2022-12-22

Accepted 2023-02-13

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Laboratoire de mathématiques d'Orsay, Université Paris-Saclay, Orsay, France
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