SUR UN SYSTÈME NON LINÉAIRE
D'INÉGALITÉS DIFFÉRENTIELLES PARABOLIQUES
CONTENANT DES FONCTIONNELLES

PAR

J. SZARSKI (KRAKÓW)

Considérons un système d'inégalités différentielles de la forme suivante:

$$z_t^i \le f^i(t, x, z, z_x^i, z_{xx}^i, \xi(z(t, \cdot))) \quad (i = 1, \dots, m),$$

où $x = (x_1, \dots, x_n)$, $z = (z^1, \dots, z^m)$, $z_x^i$ est le gradient de la fonction $z^i(t, x)$ par rapport à $x$, $z_{xx}^i$ est la matrice de ses secondes dérivées et $\xi(z) = (\xi_1(z), \dots, \xi_p(z))$, $\xi_l(z)$ étant pour $l = 1, \dots, p$ une fonctionnelle dans l'espace des fonctions de $x$ définies dans un ensemble $G$ et dont les valeurs sont des points de l'espace à $m$ dimensions.

Posons dans l'espace-temps $(t, x_1, \dots, x_n)$

$$\Omega = (0, T) \times G \quad \text{et} \quad \Sigma = (0, T) \times \partial G,$$

où $G$ est un ensemble ouvert et borné dans l'espace $(x_1, \dots, x_n)$ et $T \le +\infty$. Etant donnée une fonction $\alpha(t, x)$ définie dans $\Sigma$, désignons par $\Sigma_a$ le sous-ensemble de $\Sigma$ dans lequel $\alpha(t, x) \ne 0$.

Soit $f^i(t, x, z, q, r, s)$ où $q = (q_1, \dots, q_n)$, $r = (r_{jk})$ est la matrice carrée à $n$ dimensions et $s = (s_1, \dots, s_p)$ une fonction définie pour $(t, x) \in \Omega$ et pour $z, q, r$ et $s$ arbitraires. Cette fonction sera dite *elliptique* par rapport à la fonctionnelle $\xi$ et à la fonction $u(t, x) = (u^1(t, x), \dots, u^m(t, x))$ de classe $C^1$ dans $\Omega$ lorsque pour tout couple des matrices réelles et symétriques $r = (r_{jk})$, $\tilde{r} = (\tilde{r}_{jk})$ telles que $r \le \tilde{r}$ (c'est-à-dire telles que la forme quadratique

$$\sum_{j,k=1}^{n} (r_{jk} - \tilde{r}_{jk}) \lambda_j \lambda_k$$

n'est pas positive) on a pour $(t, x) \in \Omega$ l'inégalité

$$\begin{align*}
& f^i(t, x, u(t, x), u_x^i(t, x), r, \xi(u(t, \cdot))) \\
& \le f^i(t, x, u(t, x), u_x^i(t, x), \tilde{r}, \xi(u(t, \cdot))).
\end{align*}$$
Ecrivons $z \le \tilde{z}$ pour deux points $z = (z^1, \dots, z^m)$ et $\tilde{z} = (\tilde{z}^1, \dots, \tilde{z}^m)$ lorsque $z^j \le \tilde{z}^j$ pour $j = 1, \dots, m$. Enfin, désignons par $C_m(\bar{G})$ l'espace des fonctions continues dans $\bar{G}$ et dont les valeurs sont des points de l'espace à $m$ dimensions, la norme pour $z(x) = (z^1(x), \dots, z^m(x)) \in C_m(\bar{G})$ étant définie par la formule

$$ \|z\| = \max_i \max_{x \in \bar{G}} |z^i(x)|. $$

**THÉORÈME.** Admettons que

1. les fonctions $f^i(t, x, z, q, r, s)$ où $i = 1, \dots, m$ sont définies pour $(t, x) \in \Omega^{(1)}$ et pour $z, q, r$ et $s$ arbitraires, la fonction $f^i$ étant croissante par rapport aux variables $z^1, \dots, z^{i-1}, z^{i+1}, \dots, z^m, s_1, \dots, s_p$;

2. on a $f^i(t, x, z, q, r, s) - f^i(t, x, \tilde{z}, q, r, \tilde{s}) \le \sigma(t, \max_j (z^j - \tilde{z}^j)) + \max_l |s_l - \tilde{s}_l|$ pour $t > 0$ et $z \ge \tilde{z}$, la fonction $\sigma(t, y)$ étant continue, croissante par rapport à $y$ et non négative pour $t > 0$ et $y \ge 0$, et telle que la fonction $y(t) = 0$ dans tout intervalle $0 < t < \gamma$ est l'unique solution de l'équation ordinaire $dy/dt = \sigma(t, (1+L)y)$ satisfaisant à la condition $\lim_{t \to 0} y(t) = 0$;

3. les fonctions $u(t, x) = (u^1(t, x), \dots, u^m(t, x))$ et $v(t, x) = (v^1(t, x), \dots, v^m(t, x))$ sont continues dans $\bar{\Omega}$, de classe $C^1$ dans $\Omega$ et possèdent des dérivées partielles du second ordre par rapport aux variables $x$ continues dans $\Omega$;

4. les fonctionnelles $\xi_l$ où $l = 1, \dots, p$, définies dans l'espace $C_m(\bar{G})$, sont croissantes et satisfont à la condition de Lipschitz

$$ |\xi_l(z) - \xi_l(\tilde{z})| \le L \|z - \tilde{z}\|; $$

5. la fonction $f^j$ est pour $j = 1, \dots, p$ elliptique par rapport à la fonctionnelle $\xi = (\xi_1, \dots, \xi_p)$ et à la fonction $u(t, x)$;

6. l'inégalité différentielle

$$ u_l^j(t, x) - v_l^j(t, x) \le f^j(t, x, u(t, x), u_x^j(t, x), u_{xx}^j(t, x), \xi(u(t, \cdot))) - f^j(t, x, v(t, x), v_x^j(t, x), v_{xx}^j(t, x), \xi(v(t, \cdot))) $$

est satisfaite en tout point $(t, x) \in E_j$ où

$$ E_j = \{(t, x) \in \Omega: u^j(t, x) > v^j(t, x)\}; $$

7. on a $u(0, x) \le v(0, x)$ pour $x \in \bar{G}$;

<footnote>(1) Le cylindre $\Omega$ peut d'ailleurs être remplacé par un ensemble beaucoup plus général (cf. [1]).</footnote>
8º les fonctions $a^i(t, x)$ sont non négatives dans $\Sigma$ et les fonctions $\varphi^i(t,x,y)$ définies pour $(t,x) \in \Sigma$ et y arbitraires, sont strictement croissantes par rapport à y;

9º à tout point de $\Sigma_{ai}$ vient correspondre une demidroite $l_i$ issue de ce point, orthogonale à l'axe $t$ et dont un segment initial est contenu dans $\bar{\Omega}$;

10º les fonctions $u^j(t, x)$, $v^j(t, x)$ ont leur dérivée suivant la demidroite $l_j$ en tout point de $\Sigma_{aj}$ et satisfont aux inégalités

$$ \varphi^j(t, x, u^j(t, x)) - \varphi^j(t, x, v^j(t, x)) \\ \le \alpha^j(t, x) \frac{d[u^j(t, x) - v^j(t, x)]}{dl_j} \quad \text{pour } (t, x) \in \Sigma_{aj}, \\ u^j(t, x) - v^j(t, x) \le 0 \quad \text{pour } (t, x) \in \Sigma \setminus \Sigma_{aj}. $$

Alors

$$ (1) \qquad u(t, x) \le v(t, x) \quad \text{en tout point } (t, x) \in \bar{\Omega}. $$

Démonstration. Posons

$$ M^i(t) = \max_{x \in \bar{G}} [u^i(t, x) - v^i(t, x)] \quad \text{et} \quad M(t) = \max_i M^i(t). $$

La thèse (1) équivaut évidemment à la suivante:

$$ (2) \qquad M(t) \le 0 \quad \text{pour } t \in [0, T), $$

qui sera établie dans la suite. Il est évident que

I. la fonction $M(t)$ est continue dans l'intervalle $[0, T)$, et que (cf. 7º)

II. on a $M(0) \le 0$.

Commençons par démontrer que

III. $D_-M(t) \le \sigma(t, (1+L)M(t))$ pour $t \in E$, où $E = \{t \in (0, T) : M(t) > 0\}$, et $D_-$ est la dérivée inférieure à gauche.

Soit $t_0 \in E$. Il existe un indice $j = 1, \dots, p$ et un point $x_0 \in \bar{G}$ tels que

$$ (3) \qquad M(t_0) = M^j(t_0) = u^j(t_0, x_0) - v^j(t_0, x_0), $$

$$ (4) \qquad D_- M(t_0) \le D^- M^j(t_0). $$

Les hypothèses 8º-10º impliquent (cf. [1]) que $(t_0, x_0)$ est un point intérieur de $\bar{\Omega}$. Il en résulte d'après 3º, (3) et la définition de $M^j(t)$, que

$$ (5) \qquad u_x^j(t_0, x_0) = v_x^j(t_0, x_0), $$

$$ (6) \qquad u_{xx}^j(t_0, x_0) \le v_{xx}^j(t_0, x_0). $$

Enfin (cf. [2], § 33)

$$ (7) \qquad D^- M^j(t_0) \le u_t^j(t_0, x_0) - v_t^j(t_0, x_0). $$
Vu que $t_0 \in E$ et, par conséquent, que $M(t_0) > 0$, il résulte de (3) que $(t_0, x_0) \in E_j$. On a donc en vertu de 6º, (4) et (7)

$$D_{-}M(t_0) \le f^j(t_0, x_0, u(t_0, x_0), u_x^j(t_0, x_0), u_{xx}^j(t_0, x_0), \xi(u(t_0, \cdot))) - \\ - f^j(t_0, x_0, v(t_0, x_0), v_x^j(t_0, x_0), v_{xx}^j(t_0, x_0), \xi(v(t_0, \cdot))).$$

D'après (5), la dernière inégalité peut être écrite sous la forme suivante:

$$D_{-}M(t_0) \le [f^j(t_0, x_0, u(t_0, x_0), v_x^j(t_0, x_0), u_{xx}^j(t_0, x_0), \xi(u(t_0, \cdot))) - \\ - f^j(t_0, x_0, u(t_0, x_0), v_x^j(t_0, x_0), v_{xx}^j(t_0, x_0), \xi(u(t_0, \cdot)))] + \\ + [f^j(t_0, x_0, u(t_0, x_0), v_x^j(t_0, x_0), v_{xx}^j(t_0, x_0), \xi(u(t_0, \cdot))) - \\ - f^j(t_0, x_0, v(t_0, x_0), v_x^j(t_0, x_0), v_{xx}^j(t_0, x_0), \xi(v(t_0, \cdot)))].$$

En vertu de 5º et (6), la première différence entre crochets n'est pas positive, donc

$$(8) \quad D_{-}M(t_0) \le f^j(t_0, x_0, u(t_0, x_0), v_x^j(t_0, x_0), v_{xx}^j(t_0, x_0), \xi(u(t_0, \cdot))) - \\ - f^j(t_0, x_0, v(t_0, x_0), v_x^j(t_0, x_0), v_{xx}^j(t_0, x_0), \xi(v(t_0, \cdot))).$$

On a en vertu de la définition de $M(t)$ et de (3)

$$u^j(t_0, x_0) = v^j(t_0, x_0) + M(t_0),$$

$$u^i(t_0, x) \le v^i(t_0, x) + M(t_0)$$

pour $x \in \bar{G}$ et pour $i = 1, \dots, m$.

Les fonctions $f^j$ étant monotones (cf. 1º), de même que les fonctionnelles $\xi$ (cf. 4º), deux dernières formules impliquent en vertu de (8) que

$$(9) \quad D_{-}M(t_0) \le f^j(t_0, x_0, v(t_0, x_0) + \bar{M}(t_0), v_x^j(t_0, x_0), v_{xx}^j(t_0, x_0), \xi[v(t_0, \cdot) + \bar{M}(t_0)]) - \\ - f^j(t_0, x_0, v(t_0, x_0), v_x^j(t_0, x_0), v_{xx}^j(t_0, x_0), \xi(v(t_0, \cdot))),$$

où $\bar{M}(t) = (M(t), \dots, M(t))$. Comme $M(t_0) > 0$, il vient pour la fonction constante $\bar{M}(t_0)$

$$\| \bar{M}(t_0) \| = M(t_0),$$

et la formule (9) prend en vertu de 2º et 4º la forme

$$D_{-}M(t_0) \le \sigma(t_0, (1+L)M(t_0)).$$

Le point $t_0 \in E$ étant arbitraire, la proposition III se trouve démontrée.

Or, les propositions I, II, III entraînent (cf. [2], § 14) l'inégalité (2), ce qui achève la démonstration de notre théorème.
TRAVAUX CITÉS

[1] J. Szarski, *Sur un système non linéaire d'inégalités différentielles paraboliques*, Annales Polonici Mathematici 15 (1964), p. 15-22.

[2] — *Differential inequalities*, Warszawa 1965.

Reçu par la Rédaction le 3. 1. 1966