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# Contrôle en temps fini de systèmes vibratoires hybrides couplant équations aux dérivées partielles et équations aux dérivées ordinaires : les cas du tom et du câble pesant

Marc Wijnand

► To cite this version:

Marc Wijnand. Contrôle en temps fini de systèmes vibratoires hybrides couplant équations aux dérivées partielles et équations aux dérivées ordinaires : les cas du tom et du câble pesant. Acoustique [physics.class-ph]. Sorbonne Université, 2021. Français. NNT : 2021SORUS456 . tel-03722379

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Submitted on 13 Jul 2022

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# THÈSE DE DOCTORAT DE SORBONNE UNIVERSITÉ

Spécialité
Acoustique et automatique

École doctorale Sciences Mécaniques, Acoustique,
Électronique et Robotique de Paris

Présentée par

Marc Wijnand

Équipe S3AM, STMS Lab

(Ircam – Sorbonne Université – CNRS)

ANR Finite4SoS

Pour obtenir le grade de
DOCTEUR DE SORBONNE UNIVERSITÉ

Contrôle en temps fini de systèmes vibratoires hybrides couplant
équations aux dérivées partielles et équations aux dérivées ordinaires :
les cas du tom et du câble pesant

Soutenue le 5 juillet 2021
devant le jury composé de

M. Yann Le Gorrec

M. Cyril Touzé

M. Pascal Morin

M. Andrey Polyakov

Mme. Brigitte d'Andréa-Novel

M. Thomas Hélie

M. Lionel Rosier

M. David Roze

FEMTO-ST, Besançon

ENSTA, Paris

Sorbonne Université, Paris

Inria, Lille

Sorbonne Université, Paris

CNRS, Paris

Université du Littoral

Côte d'Opale, Calais

CNRS, Paris

Rapporteur

Rapporteur

Examinateur

Examinateur

Directrice de thèse

Encadrant

Encadrant

Encadrant
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# RÉSUMÉ

Une première contribution de cette thèse concerne une combinaison d'une loi de commande en temps fini (pour l'efficacité) avec la passivité (pour garantir la robustesse, par exemple, face à une mauvaise identification des paramètres du modèle), dans le cas d'un système EDO du deuxième ordre. Cette loi de commande est utilisée pour le contrôle d'un haut-parleur dans une application d'absorbeur électroacoustique. Ensuite, une méthode numérique passive résolvant un problème de raideur intrinsèque chez des systèmes EDO stabilisés en temps fini est proposée. Finalement, une deuxième application au contrôle d'une corde non linéaire par suivi de trajectoire en temps fini est proposée.

Une deuxième contribution concerne le contrôle en temps fini de systèmes hybrides sous la forme d'une EDP hyperbolique couplée à une EDO. Deux cas de systèmes vibratoires concrets sont développés : un tom (instrument de percussion augmenté par rétroaction sur un haut-parleur), et un chariot avec câble pesant (modèle pour le mouvement 2D dans une grue de construction ou un pont roulant). Un observateur-régulateur pour cas du tom est construit par une approche modale et est implémenté sur un prototype pour une évaluation expérimentale. Une stabilisation en temps fini du modèle 2D de la grue a été obtenue en mettant à profit un théorème existant sur le contrôle en temps fini à la frontière d'une EDP hyperbolique.

# ABSTRACT

Finite-time control of hybrid vibratory systems coupling PDEs to ODEs: the cases of the tom-tom drum and the overhead crane

The first contribution of this PhD thesis consists of the combination of a finite-time control law (for efficiency) with passivity (in order to guarantee robustness against, for example, a bad identification of the model parameters), for the case of a second order ODE. This control law is used to control a loudspeaker in order to achieve an electroacoustic absorber. Next, a passive numerical method is proposed that is able to cope with the intrinsic stiffness present in ODEs controlled in finite-time. Finally, a second application concerning the control of a nonlinear string using finite-time tracking control is proposed.

The second contribution is concerned with the finite-time control of hybrid systems coupling a hyperbolic PDE to an ODE. Two specific cases of vibratory systems are developed: a tom-tom drum (percussion instrument that has been augmented by a feedback on a loudspeaker) and a moving platform to which a heavy cable is attached (a model for the 2D movement present in a construction or overhead crane). An observer-regulator is designed for the tom-tom drum using a modal approach, that is implemented on a prototype for an experimental assessment. A finite-time stabilization of the 2D crane model is achieved based on an existing theorem for the finite-time boundary control of a hyperbolic PDE.
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Des résultats de cette thèse sont apparus dans les publications suivantes.

## Article de journal

[W9] M. Wijnand, B. d'Andréa-Novel and L. Rosier. Finite-time stabilization of an overhead crane with a flexible cable submitted to an affine tension. Accepté pour publication dans ESAIM Control, Optimisation and Calculus of Variations.

## Articles de conférence

[W8] M. Wijnand, T. Hélie, and D. Roze. Finite-time tracking control of a nonlinear string to reference dynamics. 10th European Nonlinear Dynamics Conference (ENOC), 2022, Lyon. Accepté.

[W7] M. Wijnand, B. d'Andréa-Novel, T. Hélie, and D. Roze. Active control of the axisymmetric vibration modes of a tom-tom drum using a modal-based observer-regulator. EAA e-Forum Acusticum, 2020, Lyon.

[W6] M. Wijnand, B. d'Andréa-Novel, B. Fabre, T. Hélie, L. Rosier, and D. Roze. Active control of the axisymmetric vibration modes of a tom-tom drum. IEEE 58th Conference on decision and Control (CDC), 2019, Nice, pp. 6887-6892.

[W5] T. Lebrun, M. Wijnand, T. Hélie, D. Roze, and Brigitte d'Andréa-Novel. Electroacoustic absorbers based on passive finite-time control of loudspeakers: a numerical investigation. Proceedings of the First International Dynamics Conference (NODYCON, 2019, Rome), Volume II – Nonlinear dynamics and Control, 2020, pp. 23-31, Springer-Cham.

[W4] M. Wijnand, B. d'Andréa-Novel, T. Hélie, and D. Roze. Contrôle des vibrations d'un oscillateur passif : stabilisation en temps fini et par remodelage d'énergie. Congrès Français d'Acoustique (CFA), 2018, Le Havre, pp. 1369-1375.

## Posters

[W3] M. Wijnand, B. d'Andréa-Novel, T. Hélie, and D. Roze. Contrôle actif des fréquences d'une membrane de tom : implémentation expérimentale. Congrès des Jeunes Chercheurs en Mécanique (Méca-J), 2021, en ligne.

[W2] M. Wijnand, B. d'Andréa-Novel, B. Fabre, T. Hélie, L. Rosier, and D. Roze. Contrôle actif des modes axisymétriques d'un tom : Système Hamiltonien à Ports et perspectives. Journées Jeunes Chercheurs en Audition, Acoustique musicale et Signal audio (JJCAAS), 2019, Le Mans.

[W1] M. Wijnand, B. d'Andréa-Novel, T. Hélie, and D. Roze. Contrôle des vibrations d'un oscillateur passif : stabilisation en temps fini et par remodelage d'énergie. Journées Jeunes Chercheurs en Audition, Acoustique musicale et Signal audio (JJCAAS), 2018, Brest.
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GRRRyRrRrRg
GRRrRRgRRgRGR

— Chewbacca dans *Le réveil de la force* (La guerre des étoiles) de George Lucas (2015)

Ech héiren eppes

— D'Maus Ketti dans *D'Maus Ketti* d'Auguste Liesch (1936)

Noe valle d'ch toch d'n sjeun oet, este dat huurs

— dans *Nuits du recueil Zal iech uuch ins get vertèlle...* de Pol Brounts (1986)

Ma qué? ... Ma qué sé passe-t-il maintenant? ... Cette brouit bizarre! ... Diavolo! ...
Jé mé demande ... Ouné pistoné? ... Ouné soupapé? ...

— Arturo Cartoffoli dans *L'affaire Tournesol (Tintin)* d'Hergé (1956)

Wie erklären wir das?

— Priorin Jadwiga dans *Der Teufel vom Chiemsee* d'Ina May (2017)

Meten is weten
(Mesurer, c'est savoir)
Ein Buchfink und ein Bücherwurm
bestiegen einen Aussichtsturm
und hofften, nich zu scheitern,
durch freien Blick ins weite Land
den angelesenen Wissensstand
erheblich zu erweitern.

Nach dem gelungenen Versuch
verfassten sie ein schlaues Buch,
das von dem Thema handelt,
wie sich aus ganz verschied'ner Sicht,
nach Standort, Perspektive, Licht,
der Horizont verwandelt.

Da staunten alle Leseratten,
die davon keine Ahnung hatten.

— Günter Nehm
Merci aux encadrants, Brigitte, Thomas, David et Lionel, de m'avoir guidé le long de cette thèse. Vos expertises diverses m'ont permis de travailler sur un sujet assez large combinant l'automatique et l'acoustique, de la théorie en passant par la simulation à une implémentation expérimentale. J'ai appris beaucoup et c'était un plaisir de travailler avec vous et de participer à de belles aventures.

Merci aux rapporteurs, Cyril Touzé et Yann Le Gorrec, pour leur retour constructif et bienveillant sur le manuscrit.

Merci à l'ensemble du jury (Pascal Morin, Andrey Polyakov en plus de ces 6 personnes) pour examiner mon travail lors de la soutenance à l'Ircam.

Merci également à Cyril et Pascal pour les discussions en tant que comité de suivi de thèse pour Sorbonne Université.

Merci à Charlotte Vallin pour la gestion administrative de l'ED SMAER, et à sa direction, Djimédo Kondo et Faiz Ben Amar.

Merci au projet ANR Finite4SoS porté par Wilfrid Perruquetti d'avoir financé cette thèse, et à Catherine Drouet et Malika Larcher du Laboratoire Jacques-Louis Lions de Sorbonne Université pour sa gestion administrative.

Merci à Camille, Emmanuel et Arnaud (équipe PIP) et Djellal, Tristan et Robert (équipe S3AM) au laboratoire STMS pour leur support technique lors des expériences sur le tom.

Merci à Thomas et son équipe S3AM (permanents : Joël, Henri, René, Brigitte, Robert, David ; non-permanents : Quentin, Djellal ; doctorants : Marguerite, Damien, Tristan, Rémy, Pierre, Victor, Judy, Alexis, Colette, Loïc ; et tous les stagiaires) de m'avoir soutenu pendant ma thèse. C'était un privilège de pouvoir faire partie d'une équipe si motivée et sympathique. On a bien travaillé mais aussi bien ri, bien mangé, bien voyagé* et joué de la musique (même du funk !).

Merci à tous les collègues du laboratoire STMS et de l'Ircam pour la bonne ambiance, y compris pendant de multiples activités de midi comme la course à pied à la tour Eiffel et l'atelier de tricot. Merci aussi aux forces administratives (Anne-Marie, Viktoriya, Carole, Sylvie, Ghislaine) pour résoudre mes problèmes efficacement.

Merci aux multiples collègues de ma mission d'enseignement à Sorbonne Université, pilotée par Farouk. C'était une expérience enrichissante de pouvoir transmettre de la matière et d'interagir avec les étudiants.

Merci aux organisateurs et participants du projet français ANR Finite4SoS (porté par Wilfrid Perruquetti) et du projet franco-allemand ANR-DFG INFIDHEM (porté par Birgit Jacob et Bernhard Maschke) pour les échanges autour de la commande en temps fini et des SHPs.

Merci aux organisateurs et participants des écoles d'été sur les SHPs (Wuppertal, 2018 & Chiemsee, 2019; ANR-DFG INFIDHEM) et de l'école d'été sur la dynamique non linéaire (Fréjus, 2018; GDR DYNOLIN).

Merci aux organisateurs et participants des Journées Jeunes Chercheurs en Audition, Acoustique musicale et Signal audio (Brest, 2018; Le Mans, 2019) et du Congrès des Jeunes Chercheurs en Mécanique (en ligne, 2021).

Merci à ceux qui m'ont donné une astuce ou une référence bibliographique. En particulier, Emmanuel Bernuau pour une discussion concernant la loi de commande de Bhat & Bernstein pour un intégrateur d'ordre n, Henrik Anfinsen pour une discussion concernant son livre co-écrit avec Ole Morte Aamo et la mise à disposition d'un code
MATLAB, et Roland Badeau, Olivier Derrien et Mathieu Lagrange pour quelques détails concernant l'utilisation de la boîte à outils DESAM.

Merci à la Cité Internationale Universitaire de Paris, aux directions de la Fondation Biermans-Lapôtre (Belgique-Luxembourg) et du Collège d'Espagne ainsi qu'aux résidents.

Merci à l'Orchestre Symphonique Inter-Universitaire de Paris, à mon professeur d'orgue Jean Galard, et à Geert De Praetere, qui m'a fait découvrir l'Ircam et quelques logiciels dans ses cours d'harmonie au conservatoire il y a un moment.

Merci à tous mes amis sportifs/musicaux/autres.

Merci beaucoup à ma famille pour toutes les formes de soutien.

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Ce document a été rédigé utilisant le template *A Classic Thesis Style* (André Miede et Ivo Pletikosić, 2018).

<footnote>*Aperçu des voyages pendant la thèse :</footnote>
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TABLE DES MATIÈRES

I INTRODUCTION

<table><tr><td>1</td><td>SITUATION DU SUJET</td><td>3</td></tr><tr><td>1.1</td><td>Contexte</td><td>3</td></tr><tr><td>1.1.1</td><td>Projet ANR sur le contrôle en temps fini</td><td>3</td></tr><tr><td>1.1.2</td><td>Laboratoire des Sciences et Technologies de la Musique et du Son</td><td>4</td></tr><tr><td>1.2</td><td>Contributions de cette thèse</td><td>4</td></tr><tr><td>1.2.1</td><td>Vers un contrôle passif en temps fini d'un système EDO dans le formalisme des Systèmes Hamiltoniens à Ports</td><td>4</td></tr><tr><td>1.2.2</td><td>Contrôle en temps fini d'un système hybride EDP-EDO</td><td>4</td></tr><tr><td>2</td><td>CONTRÔLE ACTIF D'INSTRUMENTS DE MUSIQUE</td><td>7</td></tr><tr><td>2.1</td><td>Topologie</td><td>7</td></tr><tr><td>2.1.1</td><td>Topologie 1 : musicien humain non contrôlé</td><td>7</td></tr><tr><td>2.1.2</td><td>Topologie 2 : musicien humain contrôlé</td><td>8</td></tr><tr><td>2.1.3</td><td>Topologie 3 : musicien non humain non contrôlé</td><td>8</td></tr><tr><td>2.1.4</td><td>Topologie 4 : musicien non humain contrôlé</td><td>10</td></tr><tr><td>2.1.5</td><td>Topologie hybride : deux boucles de rétroaction</td><td>11</td></tr><tr><td>2.2</td><td>But du contrôle actif d'instruments de musique</td><td>12</td></tr><tr><td>2.2.1</td><td>Modification du son d'un instrument de musique</td><td>12</td></tr><tr><td>2.2.2</td><td>Suppression d'un phénomène indésirable dans un instrument de musique</td><td>13</td></tr><tr><td>2.2.3</td><td>Étude de la physique d'un instrument de musique</td><td>13</td></tr><tr><td>2.3</td><td>Architecture de la boucle de contrôle et composants utilisés</td><td>13</td></tr><tr><td>2.3.1</td><td>Capteurs</td><td>13</td></tr><tr><td>2.3.2</td><td>Contrôleur</td><td>15</td></tr><tr><td>2.3.3</td><td>Actionneurs</td><td>16</td></tr></table>

II OUTILS

<table><tr><td>3</td><td>RAPPEL EN THÉORIE DU CONTRÔLE</td><td>21</td></tr><tr><td>3.1</td><td>Introduction</td><td>21</td></tr><tr><td>3.2</td><td>Modélisation</td><td>22</td></tr><tr><td>3.2.1</td><td>Classes de systèmes dynamiques</td><td>22</td></tr><tr><td>3.2.2</td><td>Stabilité d'un point d'équilibre</td><td>25</td></tr><tr><td>3.3</td><td>Simulation</td><td>27</td></tr><tr><td>3.4</td><td>Contrôle</td><td>27</td></tr><tr><td>3.4.1</td><td>Transformation de similarité</td><td>27</td></tr><tr><td>3.4.2</td><td>Commandabilité</td><td>27</td></tr><tr><td>3.4.3</td><td>Observabilité</td><td>29</td></tr><tr><td>3.4.4</td><td>Remarques</td><td>30</td></tr><tr><td>4</td><td>SYSTÈMES HAMILTONIENS À PORTS</td><td>31</td></tr><tr><td>4.1</td><td>Modèle</td><td>31</td></tr><tr><td>4.1.1</td><td>Modèle de dimension finie</td><td>31</td></tr><tr><td>4.1.2</td><td>Modèle de dimension infinie</td><td>34</td></tr><tr><td>4.2</td><td>Méthode de simulation</td><td>36</td></tr><tr><td>4.3</td><td>Méthodes de contrôle</td><td>36</td></tr><tr><td>4.3.1</td><td>Remodelage d'énergie</td><td>37</td></tr><tr><td>4.3.2</td><td>IDA-PBC</td><td>37</td></tr><tr><td>5</td><td>CONTRÔLE EN TEMPS FINI</td><td>39</td></tr><tr><td>5.1</td><td>Introduction</td><td>39</td></tr><tr><td>5.1.1</td><td>Exemple introductif</td><td>39</td></tr><tr><td>5.1.2</td><td>Définition</td><td>40</td></tr><tr><td>5.1.3</td><td>Avantages et inconvénients du contrôle en temps fini</td><td>41</td></tr><tr><td>5.2</td><td>Contrôle en temps fini d'équations aux dérivées ordinaires</td><td>41</td></tr></table>
<table><tbody><tr><td>9.1.3</td><td>Contrôle actif de tom visé</td><td>87</td></tr><tr><td>9.2</td><td>Acoustique des membranophones</td><td>88</td></tr><tr><td>9.2.1</td><td>Vibration d'une membrane circulaire</td><td>88</td></tr><tr><td>9.2.2</td><td>Vibration d'une membrane circulaire couplée à une cavité</td><td>94</td></tr><tr><td>9.2.3</td><td>Déviations du modèle pour la vibration transverse d'une membrane circulaire attachée au bord couplée à une cavité</td><td>98</td></tr><tr><td>9.3</td><td>Modèle</td><td>101</td></tr><tr><td>9.3.1</td><td>Modèle physique</td><td>101</td></tr><tr><td>9.3.2</td><td>Modèle SHP : modèle hybride</td><td>104</td></tr><tr><td>9.3.3</td><td>Modèle SHP : adimensionnement du modèle hybride</td><td>108</td></tr><tr><td>9.3.4</td><td>Modèle SHP de dimension finie : projection modale et réduction d'ordre</td><td>109</td></tr><tr><td>9.3.5</td><td>Représentation d'état</td><td>111</td></tr><tr><td>9.4</td><td>Contrôle modal</td><td>113</td></tr><tr><td>9.4.1</td><td>Régulateur en temps fini</td><td>115</td></tr><tr><td>9.4.2</td><td>Observateur en temps fini</td><td>119</td></tr><tr><td>9.4.3</td><td>Vers une implémentation pratique</td><td>123</td></tr><tr><td>9.5</td><td>Conclusion</td><td>125</td></tr><tr><td>10</td><td>LE TOM : IMPLÉMENTATION EXPÉRIMENTALE</td><td>127</td></tr><tr><td>10.1</td><td>Identification</td><td>127</td></tr><tr><td>10.1.1</td><td>Montage</td><td>127</td></tr><tr><td>10.1.2</td><td>Cavité</td><td>127</td></tr><tr><td>10.1.3</td><td>Haut-parleur</td><td>129</td></tr><tr><td>10.1.4</td><td>Membrane</td><td>139</td></tr><tr><td>10.1.5</td><td>Conclusion</td><td>162</td></tr><tr><td>10.2</td><td>Dispositif de contrôle</td><td>163</td></tr><tr><td>10.2.1</td><td>Composants</td><td>163</td></tr><tr><td>10.2.2</td><td>Dispositif expérimental complet</td><td>166</td></tr><tr><td>10.2.3</td><td>Système de frappe reproductible</td><td>167</td></tr><tr><td>10.3</td><td>Évaluation du contrôle</td><td>173</td></tr><tr><td>10.3.1</td><td>Méthode numérique régularisant</td><td>173</td></tr><tr><td>10.3.2</td><td>Changement de fréquence</td><td>177</td></tr><tr><td>10.4</td><td>Conclusion et perspectives</td><td>187</td></tr></tbody></table>

V CONTRÔLE EN TEMPS FINI D'UN SYSTÈME HYBRIDE (EDP-EDO) : LE CAS DU CÂBLE PESANT

<table><tbody><tr><td>11</td><td>LE CÂBLE PESANT</td><td>191</td></tr><tr><td>11.1</td><td>Contexte : stabilisation de systèmes hybrides EDP-EDO</td><td>192</td></tr><tr><td>11.2</td><td>Introduction</td><td>192</td></tr><tr><td>11.2.1</td><td>Mouvement 2D</td><td>192</td></tr><tr><td>11.2.2</td><td>Modèle hybride 2D du câble pesant</td><td>192</td></tr><tr><td>11.2.3</td><td>But du contrôle</td><td>195</td></tr><tr><td>11.2.4</td><td>Stabilisation en temps fini de systèmes hyperboliques 2 × 2</td><td>196</td></tr><tr><td>11.2.5</td><td>Stabilité en temps fini d'un système d'évolution abstrait</td><td>197</td></tr><tr><td>11.2.6</td><td>Structure du présent chapitre</td><td>198</td></tr><tr><td>11.3</td><td>Obtention de la forme d'un système quasi hyperbolique 2 × 2</td><td>198</td></tr><tr><td>11.3.1</td><td>Première transformation</td><td>198</td></tr><tr><td>11.3.2</td><td>Deuxième transformation</td><td>199</td></tr><tr><td>11.4</td><td>Stabilisation en temps fini de l'EDP</td><td>199</td></tr><tr><td>11.4.1</td><td>Système cible</td><td>200</td></tr><tr><td>11.4.2</td><td>Transformation de coordonnées de type backstepping</td><td>202</td></tr><tr><td>11.4.3</td><td>Calcul des noyaux de transformation</td><td>203</td></tr><tr><td>11.4.4</td><td>Loi de commande à la frontière de l'EDP</td><td>205</td></tr><tr><td>11.5</td><td>Stabilisation en temps fini du système hybride EDP-EDO</td><td>205</td></tr><tr><td>11.5.1</td><td>Conception de la loi de commande</td><td>206</td></tr></tbody></table>
<table><tr><td>11.5.2</td><td>Preuve de stabilité en temps fini du système hybride</td><td>208</td></tr><tr><td>11.6</td><td>Simulation</td><td>209</td></tr><tr><td>11.6.1</td><td>Calcul numérique des noyaux de transformation</td><td>210</td></tr><tr><td>11.6.2</td><td>Simulation de l'évolution temporelle du système contrôlé</td><td>210</td></tr><tr><td>11.7</td><td>Conclusions et perspectives</td><td>221</td></tr><tr><td>11.7.1</td><td>Conclusions</td><td>221</td></tr><tr><td>11.7.2</td><td>Perspectives</td><td>222</td></tr></table>

## VI CONCLUSION

<table><tr><td>12</td><td>CONCLUSION ET PERSPECTIVES</td><td>225</td></tr><tr><td>12.1</td><td>Conclusion</td><td>225</td></tr><tr><td>12.1.1</td><td>Vers un contrôle passif en temps fini d'un système EDO dans le formalisme des Systèmes Hamiltoniens à Ports</td><td>225</td></tr><tr><td>12.1.2</td><td>Contrôle en temps fini d'un système hybride EDP-EDO : le cas du tom</td><td>226</td></tr><tr><td>12.1.3</td><td>Contrôle en temps fini d'un système hybride EDP-EDO : le cas du câble pesant</td><td>226</td></tr><tr><td>12.2</td><td>Perspectives</td><td>226</td></tr><tr><td>12.2.1</td><td>Vers un contrôle passif en temps fini d'un système EDO dans le formalisme des Systèmes Hamiltoniens à Ports</td><td>226</td></tr><tr><td>12.2.2</td><td>Contrôle en temps fini d'un système hybride EDP-EDO : le cas du tom</td><td>226</td></tr><tr><td>12.2.3</td><td>Contrôle en temps fini d'un système hybride EDP-EDO : le cas du câble pesant</td><td>227</td></tr></table>

## Appendix

<table><tr><td>A</td><td>BASES DE MATHÉMATIQUES</td><td>231</td></tr><tr><td>A.1</td><td>Algèbre</td><td>231</td></tr><tr><td>A.2</td><td>Analyse</td><td>231</td></tr><tr><td>A.3</td><td>Équations aux dérivées partielles</td><td>232</td></tr><tr><td>B</td><td>CROCHETS</td><td>235</td></tr><tr><td>C</td><td>CONTRÔLE ACTIF DU TOM : MODÈLE ET CONTRÔLE MODAL</td><td>237</td></tr><tr><td>C.1</td><td>Acoustique des membranophones</td><td>237</td></tr><tr><td>C.1.1</td><td>Functions de Bessel et propriétés</td><td>237</td></tr><tr><td>C.2</td><td>Modèle</td><td>239</td></tr><tr><td>C.2.1</td><td>Modèle SHP : modèle hybride</td><td>239</td></tr><tr><td>C.2.2</td><td>Modèle SHP : adimensionnement du modèle hybride</td><td>241</td></tr><tr><td>C.2.3</td><td>Modèle SHP de dimension finie : projection modale et réduction d'ordre</td><td>245</td></tr><tr><td>C.2.4</td><td>Représentation d'état</td><td>266</td></tr><tr><td>C.3</td><td>Contrôle modal</td><td>270</td></tr><tr><td>C.3.1</td><td>Régulateur en temps fini</td><td>270</td></tr><tr><td>C.3.2</td><td>Observateur en temps fini</td><td>273</td></tr><tr><td>D</td><td>LE TOM : IMPLÉMENTATION EXPÉRIMENTALE</td><td>277</td></tr><tr><td>D.1</td><td>Identification</td><td>277</td></tr><tr><td>D.1.1</td><td>Haut-parleur</td><td>277</td></tr><tr><td>D.1.2</td><td>Membrane</td><td>278</td></tr><tr><td>D.2</td><td>Dispositif de contrôle</td><td>280</td></tr><tr><td>D.2.1</td><td>Composants</td><td>280</td></tr><tr><td>D.2.2</td><td>Système de frappe reproductible</td><td>280</td></tr><tr><td>D.3</td><td>Évaluation du contrôle</td><td>282</td></tr><tr><td>D.3.1</td><td>Changement de fréquence</td><td>282</td></tr><tr><td>D.4</td><td>Données constructeur</td><td>285</td></tr><tr><td>D.5</td><td>Dans les coulisses</td><td>300</td></tr><tr><td>E</td><td>LE CÂBLE PESANT</td><td>303</td></tr></table>
<table><tr><td>E.1</td><td>Stabilisation en temps fini du système hybride EDP-EDO</td><td>303</td></tr><tr><td>E.1.1</td><td>Conception de la loi de commande</td><td>303</td></tr><tr><td>E.1.2</td><td>Preuve de stabilité en temps fini du système hybride</td><td>306</td></tr><tr><td colspan="2">BIBLIOGRAPHIE</td><td>313</td></tr></table>
TABLE DES FIGURES

<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>FIGURE 1.1</td>
      <td>Deux systèmes hybrides EDP-EDO considérés</td>
      <td>5</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 2.1</td>
      <td>Topologie 1 : Musicien humain non contrôlé</td>
      <td>8</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 2.2</td>
      <td>Topologie 2 : Musicien humain contrôlé</td>
      <td>9</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 2.3</td>
      <td>Topologie 3 : Musicien non humain non contrôlé</td>
      <td>9</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 2.4</td>
      <td>Topologie 4 : Musicien non humain contrôlé</td>
      <td>10</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 2.5</td>
      <td>Topologie 5 : Topologie hybride avec deux boucles de rétroaction agissant sur le même instrument de musique</td>
      <td>11</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 2.6</td>
      <td>Représentation schématique des composants utilisés dans l'implémentation d'une boucle de contrôle.</td>
      <td>13</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 2.7</td>
      <td>Quelques capteurs typiques utilisés en contrôle actif d'instruments de musique</td>
      <td>14</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 2.8</td>
      <td>Le Coala, un contrôleur temps-réel</td>
      <td>15</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 2.9</td>
      <td>Quelques actionneurs typiques utilisés en contrôle actif d'instruments de musique</td>
      <td>16</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 3.1</td>
      <td>Un avion contrôlé par le pilote automatique</td>
      <td>22</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 3.2</td>
      <td>Système entrée-sortie avec état interne</td>
      <td>22</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 3.3</td>
      <td>Système masse-amortisseur-ressort linéaire</td>
      <td>23</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 3.4</td>
      <td>Point d'équilibre stable et point d'équilibre attractif</td>
      <td>25</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 4.1</td>
      <td>Système masse-ressort-amortisseur</td>
      <td>33</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 4.2</td>
      <td>Corde</td>
      <td>34</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 4.3</td>
      <td>Principe de la méthode de contrôle par remodelage d'énergie</td>
      <td>37</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 5.1</td>
      <td>Trajectoires du système x̂(t) = u(t) pour différentes lois de contrôle</td>
      <td>40</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 5.2</td>
      <td>Loi de commande (5.4) avec paramètres k = 1 et différentes valeurs de α</td>
      <td>44</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 5.3</td>
      <td>Trajectoires de la boucle fermée (5.5) d'après l'Équation (5.6) pour plusieurs combinaisons de conditions initiales et paramètres de contrôle</td>
      <td>45</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 5.4</td>
      <td>Influence de l'état initial x₀ et des paramètres de contrôle (k, α) sur le temps d'établissement T(x₀)</td>
      <td>46</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 6.1</td>
      <td>Système masse-ressort-amortisseur</td>
      <td>54</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 6.2</td>
      <td>Contrôle du système linéaire : évolution de la position dans le temps pour plusieurs points cibles et plusieurs lois de commande.</td>
      <td>60</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 6.3</td>
      <td>Contrôle du système linéaire : évolution dans l'espace des états.</td>
      <td>60</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 6.4</td>
      <td>Contrôle du système linéaire : évolution de l'erreur de position dans le temps</td>
      <td>60</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 6.5</td>
      <td>Contrôle du système non linéaire : évolution de la position dans le temps</td>
      <td>62</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 6.6</td>
      <td>Contrôle du système non linéaire : évolution dans l'espace des états</td>
      <td>62</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 6.7</td>
      <td>Contrôle du système linéaire : évolution de l'erreur de position dans le temps</td>
      <td>62</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 6.8</td>
      <td>Propagation d'ondes planes dans un tube semi-infini. Un piston plan à z = 0 représente le modèle de haut-parleur.</td>
      <td>63</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 6.9</td>
      <td>Schéma-bloc de l'architecture de contrôle proposée</td>
      <td>65</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 6.10</td>
      <td>Simulations dans le domaine temporel de la pression reflétée p⁻(t) à la membrane du haut-parleur pour une entrée pₐc(t) à 94dB, pour les deux lois de commande.</td>
      <td>67</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>FIGURE 6.11</td>
      <td>Coefficient d'absorption en fonction de la fréquence pour les deux lois de commande et pour des pressions d'entrée à 94dB et 106dB</td>
      <td>68</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 7.1</td>
      <td>Simulation d'un double intégrateur contrôlé en temps fini par les méthodes d'Euler explicite et implicite (à titre indicatif, on voit aussi une solution par la méthode du gradient discret standard).</td>
      <td>70</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 7.2</td>
      <td>Simulation d'un double intégrateur contrôlé en temps fini par la méthode préservant la stabilité en temps fini (à titre indicatif, on voit aussi une solution par un solveur numérique standard odeint)</td>
      <td>71</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 7.3</td>
      <td>Approximation linéaire des non-linéarités autour de l'origine dans la loi de commande en temps fini (7.1).</td>
      <td>72</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 7.4</td>
      <td>Simulation d'un système masse-ressort-amortisseur contrôlé en temps fini par la méthode avec linéarisation locale autour de l'origine pour plusieurs tailles d'intervalle σ</td>
      <td>72</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 7.5</td>
      <td>Méthode de simulation par gradient discret déraidissante, le cas de l'intégrateur simple : H''<sub>K</sub>(x)</td>
      <td>74</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 7.6</td>
      <td>Méthode de simulation par gradient discret déraidissante, le cas de l'intégrateur simple : H'<sub>K</sub>(x)</td>
      <td>74</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 7.7</td>
      <td>Méthode de simulation par gradient discret déraidissante, le cas de l'intégrateur simple : H<sub>K</sub>(x)</td>
      <td>74</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 8.1</td>
      <td>Modèle de corde non linéaire</td>
      <td>77</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 8.2</td>
      <td>Architecture du contrôleur de suivi de trajectoire</td>
      <td>79</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 8.3</td>
      <td>Simulation du système {S} non contrôlé et du système cible {S*}</td>
      <td>80</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 8.4</td>
      <td>Simulation du système {S} contrôlé et du système cible {S*}. Un suivi de trajectoire est réalisé pour le mode W<sub>1</sub>(t).</td>
      <td>81</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 8.5</td>
      <td>Comparaison des spectres des deux modes du système {S} pour le cas sans et avec contrôle. Le glissement fréquentiel est enlevé dans le mode 1 par l'action du contrôle.</td>
      <td>81</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 9.1</td>
      <td>Quelques exemples d'instruments de percussion de type membranophone couplant une membrane à une cavité.</td>
      <td>87</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 9.2</td>
      <td>Système constitué d'un tom avec un haut-parleur</td>
      <td>88</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 9.3</td>
      <td>Aire élémentaire de la membrane exécutant un déplacement transverse</td>
      <td>89</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 9.4</td>
      <td>Membrane circulaire attachée au bord</td>
      <td>89</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 9.5</td>
      <td>Quelques modes propres Ψ<sub>nm</sub>(r, θ) de la membrane circulaire attachée au bord.</td>
      <td>91</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 9.6</td>
      <td>Cercles nodaux et lignes nodales pour quelques modes propres nm de la membrane circulaire attachée au bord. À comparer avec la Figure 9.5.</td>
      <td>91</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 9.7</td>
      <td>Évolution des premières fréquences propres de la membrane circulaire en fonction de la tension de membrane T.</td>
      <td>92</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 9.8</td>
      <td>Évolution des premières fréquences propres de la membrane circulaire en fonction du rayon de la membrane a.</td>
      <td>93</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 9.9</td>
      <td>Membrane circulaire attachée au bord, couplée à une cavité</td>
      <td>94</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 9.10</td>
      <td>Changement de volume de cavité suite à la vibration de la membrane</td>
      <td>95</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 9.11</td>
      <td>Vibration prise en compte dans le modèle de la membrane couplée à une cavité</td>
      <td>96</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 9.12</td>
      <td>Comparaison des formes spatiales des premiers modes axisymétrique de la membrane circulaire avec et sans couplage à un volume V<sub>0</sub>.</td>
      <td>96</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 9.13</td>
      <td>Évolution des fréquences des modes axisymétriques d'une membrane circulaire couplée à une cavité de volume V<sub>0</sub> variable.</td>
      <td>97</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>FIGURE 9.14</td>
      <td>Évolution des fréquences des modes axisymétriques d'une membrane circulaire couplée à une cavité de volume V₀ variable. Superposition des fréquences des modes non axisymétriques.</td>
      <td>98</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 9.15</td>
      <td>Évolution des fréquences des modes (non) axisymétriques d'une membrane circulaire couplée à une cavité, pour un changement du rayon de la membrane.</td>
      <td>99</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 9.16</td>
      <td>Évolution des fréquences des modes (non) axisymétriques d'une membrane circulaire couplée à une cavité, pour un changement de la tension.</td>
      <td>99</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 9.17</td>
      <td>Modèle mathématique ad hoc pour une distribution de tension dans une membrane de tom circulaire de rayon a = 0.1778 : cas d'étude avec un désaccordage extrême</td>
      <td>100</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 9.18</td>
      <td>Possibles déformations de cercles et lignes modaux sous l'influence d'une tension inhomogène</td>
      <td>101</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 9.19</td>
      <td>Modèle du système</td>
      <td>102</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 9.20</td>
      <td>Simulation du système non contrôlé, avec N = 2 modes : évolution du déplacement au milieu de la membrane ŷ(0, ţ) et son contenu fréquentiel.</td>
      <td>113</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 9.21</td>
      <td>Simulation du système non contrôlé, avec N = 2 modes : évolution de l'état entier et du Hamiltonien.</td>
      <td>114</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 9.22</td>
      <td>Disposition du contrôleur : mesure de la pression dans la cavité p_c(t) et évolutions temporelles des modes de la membrane z_i(t) comme entrée, et courant du haut-parleur i_l(t) comme sortie.</td>
      <td>115</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 9.23</td>
      <td>Structure du régulateur</td>
      <td>118</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 9.24</td>
      <td>Simulation du système à N = 2 modes contrôlé. Le spectre pour le cas sans contrôle (cf. Fig. 9.20) est indiqué en gris pour comparaison.</td>
      <td>118</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 9.25</td>
      <td>Simulation du modèle à N = 1 mode avec activation du contrôleur à ţ = 15.</td>
      <td>119</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 9.26</td>
      <td>Disposition du contrôleur : mesure de la pression dans la cavité p_c(t) comme entrée et courant du haut-parleur i_l(t) comme sortie.</td>
      <td>120</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 9.27</td>
      <td>Structure de l'observateur-régulateur</td>
      <td>120</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 9.28</td>
      <td>Simulation du système à N = 2 modes contrôlé par l'observateur-régulateur. L'observation de ŷ(0, ţ) est dessinée en gris.</td>
      <td>124</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 9.29</td>
      <td>Structure de l'observateur-régulateur avec filtre passe-bas pour réduire le spillover d'observation</td>
      <td>125</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 9.30</td>
      <td>Simulation du système à 7 modes sans contrôle (gris) et contrôle par l'observateur-régulateur considérant seulement les premiers 2 modes.</td>
      <td>126</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.1</td>
      <td>Montage du tom et du haut-parleur dans une enceinte</td>
      <td>128</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.2</td>
      <td>Volume de la cavité : contributions cylindrique et conique</td>
      <td>130</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.3</td>
      <td>Structure d'un haut-parleur électrodynamique</td>
      <td>130</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.4</td>
      <td>Dispositif d'identification du haut-parleur : schéma</td>
      <td>132</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.5</td>
      <td>Dispositif d'identification du haut-parleur : le capteur laser monté au-dessus de la membrane du haut-parleur</td>
      <td>133</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.6</td>
      <td>Mesures pour l'identification des paramètres du haut-parleur</td>
      <td>134</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.7</td>
      <td>Fonctions de transfert calculées à partir des signaux mesurés : H<sub>V/I</sub> et H<sub>X/V</sub></td>
      <td>135</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.8</td>
      <td>Fonctions de transfert calculées à partir des signaux mesurés : H<sub>X/I</sub></td>
      <td>136</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.9</td>
      <td>Détermination de la fréquence de résonance f₀ du haut-parleur</td>
      <td>137</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.10</td>
      <td>Ajustement de courbe obtenu : le cas de H<sub>V/I</sub>(s)</td>
      <td>138</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.11</td>
      <td>Définition de la surface équivalente S₁ du haut-parleur décrit comme un piston plan</td>
      <td>139</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.12</td>
      <td>Détail de la condition aux limites de la membrane</td>
      <td>140</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.13</td>
      <td>Membrane du tom</td>
      <td>141</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.14</td>
      <td>Pièce de membrane rectangulaire</td>
      <td>142</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.15</td>
      <td>Dispositif d'accordage de la membrane : schéma et principe</td>
      <td>143</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.16</td>
      <td>Dispositif d'accordage de la membrane : marteau d'impact et microphone</td>
      <td>144</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.17</td>
      <td>Dispositif d'accordage de la membrane : mesures de force et son obtenues à deux endroits de la membrane pendant la procédure d'accordage</td>
      <td>145</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.18</td>
      <td>Dispositif d'accordage de la membrane : spectres de mesures de la pression au-dessus de plusieurs endroits de la membrane, pour la membrane à son accordage final</td>
      <td>146</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.19</td>
      <td>Dispositif d'identification de la tension de la membrane (mé-thode mécanique) : schéma</td>
      <td>148</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.20</td>
      <td>Dispositif d'identification de la tension de la membrane (mé-thode mécanique) : le laser et le poids sur la membrane</td>
      <td>148</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.21</td>
      <td>Mesure de la hauteur du dessus du poids dans le temps</td>
      <td>149</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.22</td>
      <td>Dispositif pour les figures de Chladni (excitation par le haut-parleur interne) : schéma.</td>
      <td>150</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.23</td>
      <td>Dispositif pour les figures de Chladni (excitation par un pot vibrant externe) : schéma.</td>
      <td>151</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.24</td>
      <td>Dispositif pour les figures de Chladni (excitation par un pot vibrant externe) : le pot vibrant et la membrane vibrant selon le mode 21.</td>
      <td>152</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.25</td>
      <td>Fonctionnement du pot vibrant</td>
      <td>152</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.26</td>
      <td>Figures de Chladni du mode 11</td>
      <td>153</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.27</td>
      <td>Figures de Chladni du mode 21</td>
      <td>154</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.28</td>
      <td>Figures de Chladni du mode 02</td>
      <td>155</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.29</td>
      <td>Identification de la tension de la membrane T : ajustement des fréquences du modèle aux plages de fréquences des figures de Chladni</td>
      <td>158</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.30</td>
      <td>Représentation schématique des régimes dans le son d'un coup sur la membrane du tom</td>
      <td>160</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.31</td>
      <td>Sélection du régime linéaire dans cinq sons de frappe : signaux temporels</td>
      <td>160</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.32</td>
      <td>Sélection du régime linéaire dans cinq sons de frappe : HR-ogramme d'un des cinq signaux</td>
      <td>161</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.33</td>
      <td>Approximation d'un signal p<sub>e</sub>(t) par un modèle EDS à 4 paires de pôles par la méthode ESPRIT</td>
      <td>161</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.34</td>
      <td>Dispositif de contrôle utilisant un microphone comme capteur, le Coala pour implémenter l'algorithme de contrôle, et le haut-parleur comme actionneur</td>
      <td>164</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.35</td>
      <td>Dispositif de contrôle : microphone dans la cavité comme capteur de pression.</td>
      <td>165</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.36</td>
      <td>Commande à distance de la boucle temps-réel du Coala depuis une page web</td>
      <td>167</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.37</td>
      <td>Dispositif expérimental complet : schéma</td>
      <td>168</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.38</td>
      <td>Microphone au-dessus de la membrane qui sera utilisé pour évaluer l'effet du contrôle au point milieu de la membrane, en outre du microphone dans la cavité utilisé comme capteur dans la boucle de contrôle.</td>
      <td>169</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.39</td>
      <td>Dispositif expérimental complet : installation en chambre ané-choïque</td>
      <td>169</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.40</td>
      <td>Support-baguette monté dans le dispositif expérimental dans le but d'obtenir une frappe reproductible au milieu de la membrane</td>
      <td>170</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.41</td>
      <td>Système de frappe reproductible</td>
      <td>171</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.42</td>
      <td>Efficacité du support-baguette. Condition non anéchoïque.</td>
      <td>172</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.43</td>
      <td>Évaluation de la méthode numérique : variables internes du Coala (mesure de pression, état de l'observateur, loi de commande en courant puis en tension) pour un calcul par la méthode d'Euler explicite</td>
      <td>174</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.44</td>
      <td>Évaluation de la méthode numérique : variables internes du Coala (mesure de pression, état de l'observateur, loi de commande en courant puis en tension) pour un calcul par la méthode d'Euler explicite avec une linéarisation locale autour de l'origine</td>
      <td>175</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.45</td>
      <td>Évaluation de la méthode numérique : comparaison d'une partie de l'évolution temporelle de l'estimation de ŷ₁ de l'observateur calculée par la méthode d'Euler explicite, avec/sans linéarisation locale.</td>
      <td>176</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.46</td>
      <td>Comparaison des signaux de pression extérieure p_e pour deux ensembles de paramètres de placement de pôles, et le cas sans contrôle. Chaque mesure est répétée 3 fois. Condition non anéchoïque.</td>
      <td>178</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.47</td>
      <td>Densité spectrale de puissance pour un nombre de mesures de p_e avec des paramètres de placement de pôles différents. Chaque mesure est répétée 3 fois. Condition non anéchoïque.</td>
      <td>179</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.48</td>
      <td>Détail de la Figure 10.47. Les plages fréquentielles des modes expérimentalement observés par les figures de Chladni sont indiquées en gris.</td>
      <td>180</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.49</td>
      <td>Détails des HR-ogrammes pour une mesure de p_e sans contrôle, avec un premier contrôle et un deuxième contrôle</td>
      <td>181</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.50</td>
      <td>Densité spectrale de puissance pour un nombre de mesures de p_e avec des paramètres de placement de pôles différents. Chaque mesure est répétée 3 fois. Condition anéchoïque.</td>
      <td>183</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.51</td>
      <td>Détail de la Figure 10.50. Les plages fréquentielles des modes expérimentalement observés par les figures de Chladni sont indiquées en gris.</td>
      <td>184</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.52</td>
      <td>Détail des densités spectrales de puissance pour le cas non contrôlé et deux cas contrôlés. Condition anéchoïque.</td>
      <td>185</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.53</td>
      <td>Détails des HR-ogrammes correspondants à la Fig. 10.52</td>
      <td>186</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 10.54</td>
      <td>Propagation des ondes sonores à l'intérieur de la cavité</td>
      <td>187</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 11.2</td>
      <td>Schéma du modèle de grue</td>
      <td>193</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 11.3</td>
      <td>Contribution linéaire importante dans d(s) pour le cas avec m = 2kg, ρ = 2kg/m², g = 9.81m/s².</td>
      <td>194</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 11.4</td>
      <td>But du contrôle</td>
      <td>195</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 11.5</td>
      <td>Représentation schématique de l'EDP comme sous-système du système hybride EDP-EDO</td>
      <td>200</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 11.6</td>
      <td>Schéma du système de deux EDPs de type advection</td>
      <td>201</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 11.7</td>
      <td>Évolution temporelle d'un système de type advection avec condition aux limites transparente : tout devient zéro</td>
      <td>202</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 11.8</td>
      <td>Domaine triangulaire T</td>
      <td>204</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 11.9</td>
      <td>Domaine triangulaire T avec grille de discrétisation uniforme</td>
      <td>205</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 11.10</td>
      <td>Représentation schématique du système hybride EDP-EDO</td>
      <td>206</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 11.11</td>
      <td>Noyaux directs K. Les bordss dessinés en rouge indiquent les conditions aux limites à (x, 0) et (x, x) du système de Goursat (11.35). Les bordss dessinés en vert correspondent à des gains de contrôle évalués à (1, ξ) et utilisés dans la loi de commande (11.38).</td>
      <td>210</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>FIGURE 11.12</td>
      <td>Noyaux inverses L. Les bords dessinés en rouge indiquent les conditions aux limites à (x, 0) et (x, x) du système de Goursat (11.36). Les bords dessinés en vert correspondent à des gains de contrôle évalués à (1, ξ) et utilisés dans la loi de commande (11.51) ainsi que dans les Équations (11.41) et (11.48).</td>
      <td>211</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 11.13</td>
      <td>Gains de contrôle L(1, ξ) utilisés dans la loi de commande (11.51) et dans les Équations (11.41) et (11.48).</td>
      <td>211</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 11.14</td>
      <td>Simulation de l'évolution temporelle de la variable auxiliaire φ(t) et φ̇(t).</td>
      <td>216</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 11.15</td>
      <td>Simulation de l'évolution temporelle de β(x, t) et α(x, t), affichée pour x = 0 et x = 1.</td>
      <td>217</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 11.16</td>
      <td>Simulation de l'évolution temporelle de β(x, t) et α(x, t), affichée pour tout x.</td>
      <td>218</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 11.17</td>
      <td>Simulation de l'évolution temporelle de la position de la plate-forme Xp(t) et la position du câble y(s, t) à s = 0 et s = 1.</td>
      <td>219</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 11.18</td>
      <td>Simulation de l'évolution temporelle de la position du câble z(x, t) = y(s, t).</td>
      <td>220</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE 11.19</td>
      <td>Aperçu du mouvement du système dans l'espace. Le maillage spatial dans la coordonnée s(x) curviligne le long du câble est représenté par des points. La position du câble est affichée pour un nombre de temps équidistant et sa couleur varie du rouge au pourpre puis au bleu pendant le mouvement.</td>
      <td>221</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE A.1</td>
      <td>Fonction de Heaviside</td>
      <td>232</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE C.1</td>
      <td>Graphe des premières fonctions de Bessel de première espèce</td>
      <td>238</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE D.1</td>
      <td>Figures de Chladni de quelques modes plus élevés</td>
      <td>279</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE D.2</td>
      <td>Câblage du Coala</td>
      <td>280</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE D.3</td>
      <td>Conception de la pièce d'ajustement de diamètre</td>
      <td>281</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE D.4</td>
      <td>Impression 3D de la pièce d'ajustement de diamètre</td>
      <td>281</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE D.5</td>
      <td>Montage du support-baguette</td>
      <td>281</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE D.6</td>
      <td>Dispositif concernant le déphasage dans la cavité : schéma</td>
      <td>283</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE D.7</td>
      <td>Mesures concernant le déphasage dans la cavité : signaux mesurés</td>
      <td>284</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE D.8</td>
      <td>Mesures concernant le déphasage dans la cavité : fonctions de transfert.</td>
      <td>284</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE D.9</td>
      <td>Détail de la figure de Chladni à 275Hz</td>
      <td>300</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE D.10</td>
      <td>Figure de Chladni à 792Hz</td>
      <td>300</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE D.11</td>
      <td>Chambre anéchoïque</td>
      <td>301</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>FIGURE D.12</td>
      <td>Son et lumière</td>
      <td>302</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

LISTE DES TABLEAUX

<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>Tableau 5.1</td>
      <td>Détails des trois lois de commande. Calculs pour le cas x(t) &gt; 0.</td>
      <td>39</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau 5.2</td>
      <td>Temps d'établissement correspondant aux trajectoires de la Figure 5.3.</td>
      <td>46</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau 9.1</td>
      <td>Ratio des fréquences propres de quelques modes propres de la membrane circulaire attachée au bord</td>
      <td>92</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau 9.2</td>
      <td>Liste des variables et constantes physiques du modèle de tom</td>
      <td>105</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau 9.3</td>
      <td>Liste des états du modèle de tom</td>
      <td>105</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau 9.4</td>
      <td>Adimensionnement des variables et constantes</td>
      <td>109</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau 10.1</td>
      <td>Liste des paramètres physiques à identifier</td>
      <td>129</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau 10.2</td>
      <td>Dispositif d'identification du haut-parleur : liste des instruments</td>
      <td>133</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau 10.3</td>
      <td>Dispositif d'accordage de la membrane : liste des instruments</td>
      <td>144</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table><tr><td>Tableau 10.4</td><td>Dispositif d'identification de la tension de la membrane (mé-thode mécanique) : liste des instruments</td><td>148</td></tr><tr><td>Tableau 10.5</td><td>Dispositif pour les figures de Chladni (excitation par le haut-parleur interne) : liste des instruments</td><td>151</td></tr><tr><td>Tableau 10.6</td><td>Dispositif pour les figures de Chladni (excitation par un pot vibrant externe) : liste des instruments</td><td>152</td></tr><tr><td>Tableau 10.7</td><td>Estimation de la tension avec la 2ème méthode d'après les fré-quences des figures de Chladni</td><td>157</td></tr><tr><td>Tableau 10.8</td><td>Approximation par un modèle EDS à 4 paires de pôles du signal de la Figure 10.33 : fréquences et amortissements</td><td>162</td></tr><tr><td>Tableau 10.9</td><td>Liste des paramètres physiques identifiés</td><td>162</td></tr><tr><td>Tableau 10.10</td><td>Dispositif expérimental complet en chambre anéchoïque : liste des instruments</td><td>167</td></tr><tr><td>Tableau C.1</td><td>Premiers zéros des premières fonctions de Bessel de première espèce</td><td>238</td></tr><tr><td>Tableau D.1</td><td>Comparaison entre les valeurs identifiées du haut-parleur et les valeurs constructeur.</td><td>278</td></tr><tr><td>Tableau D.2</td><td>Dispositif concernant le déphasage dans la cavité : liste des instruments</td><td>282</td></tr></table>

ACRONYMES

EDO Équation aux Dérivées Ordinaires

EDP Équation aux Dérivées Partielles

SHP Système Hamiltonien à Ports
Première partie

INTRODUCTION
<figure><img src="image_7.png" /></figure>
Cette thèse s'inscrit dans des recherches menées dans un projet ANR sur le contrôle en temps fini et a eu lieu dans le Laboratoire des Sciences et Technologies de la Musique et du Son (Section 1.1).

Le contenu de cette thèse s'articule en deux parties (Section 1.2). Elle apporte d'abord une contribution concernant une combinaison d'une loi de commande en temps fini (pour l'efficacité) avec la passivité (pour garantir la robustesse face à, par exemple, une mauvaise estimation des paramètres du modèle), dans le cas d'un système EDO du deuxième ordre. Cette loi de commande est utilisée pour le contrôle d'un haut-parleur dans une application d'absorbeur électroacoustique. Ensuite, une méthode numérique passive résolvant un problème de raideur intrinsèque chez des systèmes EDO stabilisés en temps fini est proposée et une deuxième application au contrôle actif d'une corde non linéaire par suivi de trajectoire en temps fini est proposée.

Dans un deuxième temps, cette thèse s'intéresse au développement de lois de commande en temps fini pour le cas de deux systèmes hybrides (EDP-EDO) vibratoires concrets, le tom et le câble pesant, où le contrôleur du tom sera également implémenté sur un prototype pour une évaluation expérimentale.

<table><caption>TABLE DES MATIÈRES</caption><tr><td>1.1 Contexte</td><td>3</td></tr><tr><td>1.1.1 Projet ANR sur le contrôle en temps fini</td><td>3</td></tr><tr><td>1.1.2 Laboratoire des Sciences et Technologies de la Musique et du Son</td><td>4</td></tr><tr><td>1.2 Contributions de cette thèse</td><td>4</td></tr><tr><td>1.2.1 Vers un contrôle passif en temps fini d'un système EDO dans le formalisme des Systèmes Hamiltoniens à Ports</td><td>4</td></tr><tr><td>1.2.2 Contrôle en temps fini d'un système hybride EDP-EDO</td><td>4</td></tr></table>

## 1.1 CONTEXTE

### 1.1.1 Projet ANR sur le contrôle en temps fini

Cette thèse a été financée par le projet ANR Finite4SoS (« Finite time control and estimation for systems of systems »<fnref n="1" />). Le programme de ce projet ANR s'inspire du fait que notre société contient de plus en plus de systèmes interconnectés (systems of systems) qui communiquent entre eux et qui ont besoin d'être contrôlés en garantissant de la robustesse et la prise en compte de contraintes de temps, pour des raisons de sécurité ou de productivité. Des exemples comme des systèmes embarqués dans des outils de ménage, d'industrie ou de transport et des robots de service ou médicaux sont mentionnés.

Les systèmes interconnectés peuvent être de natures différentes et contenir des modèles dynamiques et logiques. Dans le projet ANR, on se focalise sur quatre types de modèles dynamiques spécifiques :

- des équations aux dérivées ordinaires (EDO, dynamiques à variables localisées)

- des équations aux dérivées partielles (EDP, dynamiques à variables spatialement distribuées)

<footnote n="1">1. Projet sur la commande et estimation en temps fini pour les systèmes de systèmes, porté par Wilfrid Perruquetti de l'École Centrale de Lille, https://anr.fr/Projet-ANR-15-CE23-0007.</footnote>
— des inclusions différentielles (permettant des dynamiques non uniques, correspondant à des sauts dans la dynamique)

— des systèmes à retard (prenant en compte des latences de communication).

### 1.1.2 Laboratoire des Sciences et Technologies de la Musique et du Son

Le Laboratoire des Sciences et Technologies de la Musique (UMR STMS <fnref n="2" />) est hébergé à l'Ircam (Institut de recherche et de coordination acoustique/musique <fnref n="3" />) à Paris. Cette thèse a été effectuée au sein de l'équipe S3AM (Systèmes et signaux sonores : Audio/acoustique, instruments <fnref n="4" />), qui s'intéresse à l'étude de systèmes multiphysiques comme les instruments de musique, et développe des modèles physiques, des méthodes de simulation numérique et des algorithmes de contrôle.

## 1.2 CONTRIBUTIONS DE CETTE THÈSE

Après une introduction du sujet de cette thèse et de son contexte dans la Partie I et des rappels concernant les outils utilisés dans la Partie II, les contributions de cette thèse sont les suivantes.

### 1.2.1 Vers un contrôle passif en temps fini d'un système EDO dans le formalisme des Systèmes Hamiltoniens à Ports

Dans un premier temps, cette thèse s'intéresse à une réinterprétation de lois de commande en temps fini existantes pour des EDOs dans le formalisme des Systèmes Hamiltoniens à Ports (SHP), dans le but d'ajouter la propriété de passivité. Si la commande en temps fini permet d'atteindre une cible de manière efficace, la passivité garantira en plus une robustesse dans le cas, par exemple, d'une mauvaise identification des paramètres du modèle. La passivité d'une loi de commande en temps fini pour un système EDO du deuxième ordre est obtenue, qui est appliquée au contrôle d'un haut-parleur électrodynamique fonctionnant comme absorbeur.

Ensuite, une méthode numérique passive est proposée, qui réalise une linéarisation locale autour du point cible, où le système EDO contrôlé en temps fini est infiniment raide (lois non linéaires qui sont non Lipschitz continues à l'origine). Cette méthode numérique offrira en effet une solution au problème de *chattering* (oscillations numériques) rencontré lors d'une implémentation expérimentale de la loi passive en temps fini pour l'EDO du deuxième dans le cadre du contrôle de tom mentionné ci-dessous.

Finalement, une application au contrôle d'une corde non linéaire par suivi de trajectoire par une loi de commande en temps fini (non passif) est étudiée.

Une perspective de ce travail serait de généraliser ce résultat au cas du contrôle passif en temps fini d'une EDO d'ordre $n$ quelconque, permettant de contrôler des systèmes appartenant à la classe des systèmes physiques plats.

Cette contribution est détaillée dans la Partie III.

### 1.2.2 Contrôle en temps fini d'un système hybride EDP-EDO

Dans un deuxième temps, on s'intéresse au contrôle en temps fini de systèmes hybrides constitués d'une partie EDP couplée à une partie EDO. Deux applications à des systèmes vibratoires concrets sont traitées (Fig. 1.1) : un tom (instrument de percussion augmenté par rétroaction sur un haut-parleur), et un chariot avec câble pesant (modèle pour le mouvement 2D dans une grue de construction ou un pont

<footnote n="2">2. https://www.stms-lab.fr</footnote>

<footnote n="3">3. https://www.ircam.fr</footnote>

<footnote n="4">4. https://www.stms-lab.fr/team/systemes-et-signaux-sonores-audioacoustique-instruments</footnote>
roulant). Ces deux systèmes vibratoires sont traités avec des approches spécifiques distinctes, décrites ci-dessous.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE 1.1 – Deux systèmes hybrides EDP-EDO considérés</figcaption></figure>

### 1.2.2.1 Le tom

**MODÉLISATION** Dans cette application acoustique, le système est un instrument de percussion qui consiste d'une membrane (EDP) couplée à un haut-parleur (EDO) à travers d'une cavité. D'abord, une projection modale avec troncature est appliquée à cette dynamique hybride afin d'obtenir une dynamique à N modes (EDO pure), qui est considérée par la suite.

**CONTRÔLE** On veut construire une loi de commande en temps fini pour le courant du haut-parleur qui a pour but de modifier le comportement vibratoire de la membrane supérieure du tom.

Dans un premier temps, la loi de commande est nourrie par une mesure de la pression dans la cavité et d'une mesure du mouvement de la membrane supérieure. À partir de ces quantités, la loi de commande réalise un suivi de trajectoire qui est censé rapprocher le comportement vibratoire de (quelques modes de) la membrane vers un comportement cible. Ainsi, des fréquences et/ou amortissements de certains modes pourront être modifiés et, avec eux, le son produit par l'instrument lorsqu'il est frappé par un musicien.

Dans un deuxième temps, un observateur temps-fini est ajouté dans la boucle de contrôle, ce qui permet de supprimer le capteur de déplacement de la membrane, une mesure qui serait difficilement réalisable en pratique.

Certains aspects pratiques de la loi de commande proposée sont mentionnés : le phénomène de spillover introduit par la troncature modale du modèle de membrane, et des effets numériques (chattering) attendus dus à la raideur de la loi en temps fini. Le problème de chattering sera traité par la suite par la méthode numérique avec une linéarisation locale déraidissante mentionnée dans la première partie.

**IDENTIFICATION** En vue d'une implémentation expérimentale de la loi de commande, une identification des paramètres physiques du système considéré est effectuée. Il s'agit de la mise en pratique de méthodes standard pour l'estimation de paramètres supposés constants dans le temps et dans l'espace.

**ÉVALUATION EXPÉRIMENTALE DU CONTRÔLEUR** Un dispositif expérimental est développé, incorporant un microcontrôleur adapté au contrôle actif d'instruments de musique (le Coala, qui sera introduit plus bas), et un système de frappe reproductible. D'abord, des problèmes de raideur numérique dans le calcul du microcontrôleur sont résolus. Ensuite, on montre que l'on est capable de modifier des fréquences dans la vibration de la membrane supérieure, mais qu'il reste un écart significatif avec le
modèle, ce qui souligne la nécessité d'affiner le modèle utilisé dans le contrôleur.

*Cette contribution est détaillée dans la Partie IV.*

1.2.2.2 Le câble pesant

Dans cette application, un câble flexible (EDP) portant une masse est attaché à une
plateforme qui exécute une translation horizontale (EDO) et qui est contrôlée en force.
Cette dynamique peut être trouvée dans une grue de construction ou un pont roulant.

On souhaite stabiliser la dynamique du système hybride EDP-EDO en temps fini,
cette fois-ci sans procéder à une projection modale. On met à profit un théorème
existant (sur le contrôle en temps fini à la frontière d'une EDP hyperbolique) pour
concevoir la loi de commande qui produit la force à appliquer à la plateforme pour
stabiliser le système hybride complet.

Le calcul de la loi de commande et la simulation de la dynamique en boucle fermée sont effectués en appliquant des méthodes de simulation récentes.

Pour une implémentation plus réaliste de la loi de commande, il serait nécessaire
d'ajouter un observateur en temps fini qui se base sur une mesure à l'extrémité supé-
rieure du câble. De plus, un mouvement 3D au lieu de 2D pourrait être considéré.

*Cette contribution est détaillée dans la Partie V.*
Une partie de cette thèse se situe dans le domaine du contrôle actif d'instruments de musique, qui consiste à ajouter une boucle de contrôle artificielle à un instrument de musique acoustique, dans le but d'en influencer la vibration.

Dans le présent chapitre, nous donnons des informations générales concernant la topologie considérée, le but du contrôle, et les composants typiquement utilisés pour son implémentation. De la bibliographie plus spécifique pour les cas considérés sera mentionnée dans les chapitres correspondants (Section 8.1 pour la corde et Sous-section 9.1.2 pour la membrane).

<table><caption>TABLE DES MATIÈRES</caption><tr><td>2.1</td><td>Topologie</td><td>7</td></tr><tr><td>2.1.1</td><td>Topologie 1 : musicien humain non contrôlé</td><td>7</td></tr><tr><td>2.1.2</td><td>Topologie 2 : musicien humain contrôlé</td><td>8</td></tr><tr><td>2.1.3</td><td>Topologie 3 : musicien non humain non contrôlé</td><td>8</td></tr><tr><td>2.1.4</td><td>Topologie 4 : musicien non humain contrôlé</td><td>10</td></tr><tr><td>2.1.5</td><td>Topologie hybride : deux boucles de rétroaction</td><td>11</td></tr><tr><td>2.2</td><td>But du contrôle actif d'instruments de musique</td><td>12</td></tr><tr><td>2.2.1</td><td>Modification du son d'un instrument de musique</td><td>12</td></tr><tr><td>2.2.2</td><td>Suppression d'un phénomène indésirable dans un instrument de musique</td><td>13</td></tr><tr><td>2.2.3</td><td>Étude de la physique d'un instrument de musique</td><td>13</td></tr><tr><td>2.3</td><td>Architecture de la boucle de contrôle et composants utilisés</td><td>13</td></tr><tr><td>2.3.1</td><td>Capteurs</td><td>13</td></tr><tr><td>2.3.2</td><td>Contrôleur</td><td>15</td></tr><tr><td>2.3.3</td><td>Actionneurs</td><td>16</td></tr></table>

## 2.1 TOPOLOGIE

Nous énumérons ici plusieurs cas où un instrument de musique acoustique est joué. On peut discerner plusieurs topologies selon la présence d'un être humain et d'un contrôle. Finalement, la topologie hybride qui est considérée dans cette thèse, est présentée.

### 2.1.1 Topologie 1 : musicien humain non contrôlé

Avant tout, un instrument de musique peut être considéré comme un système dynamique (Fig. 2.1). Le musicien applique une action sur l'instrument, qui est l'entrée au système. Suite à cette entrée, l'état interne de l'instrument (le système) change selon les lois physiques qui le régissent. Ensuite, le son résultant que génère l'instrument peut être vu comme un signal de sortie quittant le système.

Dans la Figure 2.1(a), on évoque l'exemple d'un pianiste qui appuie sur une touche du piano. La force qu'il exerce se traduit par la mécanique interne en un mouvement d'un marteau qui vient frapper une corde. La corde se met à vibrer, une vibration qui se transmet sur la table d'harmonie et se propage ensuite dans l'air. Le musicien fait abstraction de la physique interne de l'instrument et se l'approprie véritablement comme un système entrée-sortie. Sans réfléchir à ce qui se passe physiquement à
l'intérieur de l'instrument, il observe qu'une certaine force appliquée sur une touche se traduit en un certain son. S'il appuie ensuite plus ou moins fort sur une autre touche, le son produit sera différent en conséquence.

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIGURE 2.1 – Topologie 1 : Musicien humain non contrôlé</figcaption></figure>

### 2.1.2 Topologie 2 : musicien humain contrôlé

Dans la Topologie 1, nous avons négligé le fait qu'un musicien expérimenté incorpore de manière naturelle une certaine forme de contrôle dans son jeu (2.2). Un exemple est un violoniste qui frotte une corde avec l'archet qu'il tient dans sa main droite, et raccourcit la corde en question avec la main gauche, ce qui influence la fréquence du son obtenu. Pendant qu'il joue, il écoute le son. Si le son ne correspond pas à l'intention sonore du musicien, il peut l'influencer : déplacer la main gauche pour rectifier l'intonation, ajouter du vibrato, modifier la pression ou la position de l'archet, etc.

Cette boucle de contrôle de type rétroaction est représentée dans la Figure 2.2(b). On y voit que l'oreille du musicien agit comme un capteur avec lequel le musicien s'informe du signal de sortie du système. Dans son cerveau, il compare le son écouté avec son attente sonore (correspondant à son intention, potentiellement en fonction d'une partition écrite qu'il exécute). En fonction de l'écart entre ces deux signaux, le musicien va adapter l'action qu'il applique sur l'instrument en temps réel dans le but d'approcher le son obtenu de la cible sonore.

### 2.1.3 Topologie 3 : musicien non humain non contrôlé

On peut imaginer des dispositifs où l'on se passe complètement du musicien. Des instruments autonomes (ne contenant pas de contrôle mais fonctionnant en boucle ouverte) existent depuis longtemps, appelés parfois des automates musicaux. Pensons p.ex. à la boîte à musique, l'horloge musicale, le piano mécanique reproducteur, l'orgue de barbarie ou l'orgue de foire.

Dans la Figure 2.3(a), le cas d'un carillon autonome est schématisé. Un tambour métallique exécute une rotation grâce à un moteur électrique. Le tambour contient un maillage de trous dans lesquels des petites barres métalliques (« picots ») peuvent être placées, représentant la musique à jouer. Pendant la rotation, les barres passent sous un mécanisme qui est relié aux cloches dans la tour et les actionne selon les instructions reçues.
<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>(a) Exemple concret : le violon</figcaption></figure>

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>FIGURE 2.2 – Topologie 2 : Musicien humain contrôlé</figcaption></figure>

Cette topologie, montrée Figure 2.3(b), correspond tout à fait à celle de la Figure 2.1(b) sans boucle de rétro-action, à la seule différence que le musicien a été remplacé par un actionneur mécanique.

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>(a) Exemple concret : le carillon autonome</figcaption></figure>

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>FIGURE 2.3 – Topologie 3 : Musicien non humain non contrôlé</figcaption></figure>

On remarque qu'une telle topologie n'a qu'une expressivité limitée. Il s'agit souvent de machines exécutant de manière automatique une représentation limitée de la musique, même si l'on a développé des manières d'incorporer un certain degré
d'expressivité<fnref n="1" />. De plus, il n'est pas possible de rectifier l'influence de facteurs externes comme la température sur le son, ce qui sera le cas pour la Topologie 4.

### 2.1.4 Topologie 4 : musicien non humain contrôlé

Il est également possible d'ajouter une boucle de contrôle artificielle dans un dispositif jouant automatiquement d'un instrument de musique. De ce fait, il sera possible de rectifier le résultat sonore vers une cible prédéfinie, ce qui n'est pas le cas pour la Topologie 3 en boucle ouverte.

L'exemple du contrôle de la fréquence d'une flûte à coulisse est illustré Figure 2.4(a). Chez cet instrument, la position de la coulisse détermine la fréquence du son produit. Ici, un microphone mesure le son produit. Si la fréquence de jeu ne correspond pas exactement à la fréquence souhaitée, le contrôleur donne une instruction au moteur pour rectifier la position de la coulisse en temps réel.

La topologie correspondante est représentée dans le schéma-bloc 2.4(b). Il est pareil au schéma-bloc 2.2, à la différence que toutes les fonctions du musicien humain ont été remplacées par une machine.

Il existe plusieurs exemples d'instruments robotisés<fnref n="2" /> comme le piano automatique avec contrôle du volume [106] et la flûte à coulisse robotisée [278, 279, 283] (dispositif très similaire au cas traité ci-dessus). Des robots humanoïdes jouant d'un instrument de musique à corde, à vent, de percussion, ou le piano ont aussi été développés (MPR pour Musical Performance Robot, [50, 127, 232]).

### 2.1.5 Topologie hybride : deux boucles de rétroaction

Dans le cas du contrôle actif du tom développé dans cette thèse, nous considérons une topologie hybride avec un musicien et un contrôleur artificiel agissant sur un même instrument de musique. L'exemple de la Figure 2.5(a) reprend le violoniste qui joue maintenant d'un violon augmenté : un contrôleur agit sur la table d'harmonie à l'aide d'un capteur et un actionneur piézoélectriques (voir Section 2.3) dans le but d'en influencer les vibrations. On remarque qu'il s'agit donc d'une combinaison de deux boucles de rétroaction : on combine une première boucle de rétroaction humaine et une deuxième boucle de rétroaction artificielle, agissant toutes les deux sur un même instrument de musique (Fig. 2.5(b)).

On peut s'intéresser à plusieurs aspects de cette topologie. Nous nous focalisons dans le présent travail sur le tom explicitement sur le développement de la boucle de contrôle artificielle en fonction de l'acoustique de l'instrument sous considération et le but du contrôle recherché. Des questions portant par exemple sur l'expressivité

<footnote n="1">1. D'une part, on a cherché à augmenter les capacités de la représentation de la musique. Pour le cas de carillons et orgues autonomes dont la musique est représentée sur un cylindre, on peut citer le travail de « tonotechnie » de Joseph Engramelle datant du 18ème siècle, où il est déjà question d'articulation et d'ornementations [80, 248].</footnote>

<footnote>D'autre part, on peut quand même ajouter une action d'un musicien pour influencer le jeu, même si la majorité de la production du son reste confiée à une machine. Une personne pourrait faire varier la vitesse à laquelle une carte perforée passe dans une orgue de barbarie manuelle et influencer ainsi le tempo, par exemple. Un piano mécanique reproducteur utilise également une carte perforée pour reproduire une pièce par un actionnement mécanique ou pneumatique des touches. Plusieurs variantes de ce principe ont vu le jour dès le 19ème siècle (dont le célèbre Pianola aux États-Unis et le Pleyela développé par Gustave Lyon da la maison Pleyel à Paris [158] pour lequel ils ont entre autres enregistré Igor Stravinsky, avant que ce dernier ne se soit intéressé aux gramophones [32]). Chez ces instruments, il était possible d'influencer la vitesse et la dynamique manuellement pendant l'exécution automatique d'une pièce. Un autre exemple est le piano mécanique reproducteur allemand Welte Mignon utilisé entre autres par Maurice Ravel et qui permettait déjà une reproduction plus fidèle des caractéristiques de jeu du musicien comme le tempo, la dynamique et l'articulation grâce à un mécanisme plus complexe [148]. On note qu'il existe des systèmes plus récents comme le Disklavier de la marque Yamaha utilisant des bobines, capables de réaliser une reproduction fidèle du jeu expressif du musicien [96].</footnote>

<footnote n="2">2. Si le robot joue d'un instrument de musique sans avoir besoin d'un musicien humain, il existe cependant des cas d'interaction entre un musicien humain jouant d'un instrument de musique et un robot autonome jouant d'un autre ou du même instrument de musique, comme p.ex. [18, 189, 255-258].</footnote>
<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>FIGURE 2.4 – Topologie 4 : Musicien non humain contrôlé</figcaption></figure>

du musicien lors d'une interaction homme-machine [150, 151, 246, 256] ou une étude perceptive des sons produits ne sont pas abordées ici.

## 2.2 BUT DU CONTRÔLE ACTIF D'INSTRUMENTS DE MUSIQUE

Nous discutons maintenant plus en détail l'utilité de la topologie hybride introduite dans la section précédente. Le fait d'ajouter une boucle de contrôle (souvent électronique) à un instrument de musique acoustique avait été imaginé à la fin du dernier millénaire [34-36]. Pour insister sur le fait qu'une boucle de contrôle artificielle soit ajoutée, permettant d'influencer le son produit par l'instrument pendant qu'il est joué [27], on parle souvent de « contrôle actif d'instruments de musique »<fnref n="3" />. On parle parfois aussi d'« instruments de musique augmentés » ou encore « hybrides ». De plus, dans certains cas, une communication entre l'instrument de musique et d'autres appareils est prévu et on parle d'« instruments de musique intelligents (smart instruments) » [245].

Le contrôle actif d'instruments de musique est un cas spécifique du contrôle actif de vibration [78, 90]. Contrairement à beaucoup de cas d'étude en industrie ou en transport ou encore le casque anti-bruit, où l'on cherche souvent à réduire des vibrations qui sont sources de perte de temps ou provoquent des nuisances sonores et dégradations mécaniques, dans le cas du contrôle actif de vibration d'instruments de musique, on ne cherche souvent pas à atténuer le son, mais plutôt à changer ses caractéristiques.

En regardant les cas d'étude du contrôle actif de vibration d'instrument de musique, on peut discerner trois types d'applications, mentionnés ci-dessous.

### 2.2.1 Modification du son d'un instrument de musique

La plupart des applications de contrôle actif d'instruments de musique visent à influencer le son produit à des fins artistiques. On peut par exemple changer des fréquences et amortissements respectifs du son produit (« contrôle modal », [92, 201]) : par exemple pour des cordes couplées à une table d'harmonie [22] ou pour un tube de clarinette [164]. Un exemple plus développé serait le fait de faire sonner un violon comme s'il était produit en un autre type de bois (qui coûte éventuellement plus

<footnote n="3">3. On souligne que cette terminologie n'a pas de lien avec le concept de contrôle passif qui sera discuté dans la Sous-section 6.2.3 dans le cadre de la théorie de contrôle. Il s'agit de deux notions séparées, et non pas de deux cas contraires d'une même notion.</footnote>
<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>(a) Exemple concret : le violon augmenté</figcaption></figure>

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>FIGURE 2.5 – Topologie 5 : Topologie hybride avec deux boucles de rétroaction agissant sur le même instrument de musique</figcaption></figure>

cher, [104]), voire une transition continue entre deux types de bois pendant le jeu du musicien. D'autres applications ajoutent des effets comme la réverbération ou une modulation d'amplitude (p.ex. [190] dans le cas de la cymbale).

On trouve des applications dans toutes les familles d'instruments : les bois (p.ex. le tube de clarinette [163, 164]), les cuivres (p.ex. des sourdines actives de trompette et trombone [11, 55, 56, 163]), les cordes (p.ex. la corde de guitare [28], le chevalet du violon [44, 45], le violoncelle [95]), les percussions (p.ex. la grosse caisse [149], la conga [249], la lame de xylophone [44, 46], la cymbale [190], la plaque métallique d'un gong d'opéra chinois [121-123]), et autres (p.ex. le piano [160]). Des prototypes expérimentaux de mesure sont parfois utilisés en concert (p.ex. [149]<fnref n="4" /> et [206]). Il existe aussi quelques produits commercialisés comme le Sensus Smart Guitar (MIND Music Labs) [245] et le Smart Acoustic Guitar (HyVibe<fnref n="5" />).

Le contrôle actif d'instruments de musique permet ainsi d'élargir la palette sonore de l'instrument, et ceci en préservant l'ergonomie de l'instrument et l'expressivité du

<footnote n="4">4. « Gran Cassa and the interactive instrument Feed-Drum », Centro Ricerche Musicali, Rome, https://www.youtube.com/watch?v=chhxK.RhZIk, https://www.youtube.com/watch?v=G41JGAYsgsg.</footnote>

<footnote n="5">5. Smart Acoustic Guitar, HyVibe, Paris, https://www.hyvibeguitar.com/.</footnote>
musicien. D'autres formes de musique utilisant de l'électronique nécessitent souvent d'autres ergonomies (codage sur ordinateur, interfaces graphiques, capteurs tactiles, capteurs de mouvement, etc. [94, 199, 238]) et connaissent d'autres formes d'expressivité. On peut aussi mentionner l'existence de la musique mixte (remontant aux années '60, [19]), où des haut-parleurs diffusent des sons en temps différé ou réel autour de l'instrument acoustique. Dans cette configuration, il y a une certaine séparation spatiale entre l'instrument acoustique et les haut-parleurs, tandis que dans le cas du contrôle actif d'un instrument de musique comme décrit ci-dessus, on agit directement sur la vibration de l'instrument de musique, donc il y a une source sonore unique.

### 2.2.2 Suppression d'un phénomène indésirable dans un instrument de musique

Quelques cas ont été décrits, où l'on cherche à supprimer des phénomènes indésirables. Dans [95, 177], on se sert d'un contrôle actif pour atténuer la « note du loup » (« *wolf tone* ») du violoncelle, qui est une résonance par sympathie parasitaire de la table d'harmonie. Dans [163], on arrive à pallier un problème de mauvaise jouabilité de certaines notes sur le trombone quand on utilise une sourdine droite insérée dans le pavillon (*straight mute*).

### 2.2.3 Étude de la physique d'un instrument de musique

Dans le cas décrit dans [23], on propose le contrôle actif comme méthode expérimentale pour étudier des phénomènes physiques vibratoires en détail. On s'intéresse en particulier à l'étude de l'interaction entre les cordes de la guitare et la table d'harmonie.

## 2.3 ARCHITECTURE DE LA BOUCLE DE CONTRÔLE ET COMPOSANTS UTILISÉS

L'architecture typique d'une boucle de contrôle rencontrée dans le contrôle actif d'un instrument de musique est schématisée dans la Figure 2.6. Avec un *capteur*, l'état actuel de l'instrument de musique est mesuré. Cette mesure s'exprime comme une tension électrique analogique qui entre dans le *contrôleur* en passant par un convertisseur analogique-numérique (CAN). Un microcontrôleur (μC) effectue ensuite des calculs selon un algorithme de contrôle préalablement développé et programmé dessus. Le résultat numérique de ces calculs passe par un convertisseur numérique-analogique (CNA) de sorte qu'une instruction sous forme d'une tension électrique analogique est délivrée à l'actionneur qui agira sur l'instrument de musique.

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>FIGURE 2.6 – Représentation schématique des composants utilisés dans l'implémentation d'une boucle de contrôle. (CAN : convertisseur analogique-numérique ; μC : microcontrôleur ; CNA : convertisseur numérique-analogique.)</figcaption></figure>

Dans la présente section, des informations générales concernant les capteurs, contrôleurs et actionneurs sont données. Le choix détaillé des composants à utiliser dépendra
de l'application spécifique considérée, comme p.ex. le cas du tom qui sera implémenté
dans le Chapitre 10.

2.3.1 Capteurs

Le contrôleur a besoin de capteurs pour être informé de l'état du système à contrôler.
Ces capteurs se fondent sur des principes physiques permettant de traduire une
quantité comme une pression ou un déplacement en une tension électrique : on les
appelle des « transducteurs ». Un nombre de capteurs que l'on peut utiliser en contrôle
actif d'instruments de musique sont mentionnés ci-dessus (Fig. 2.7).

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>FIGURE 2.7 – Quelques capteurs typiques utilisés en contrôle actif d'instruments de musique</figcaption></figure>

(a) *Microphone* – Un microphone transforme une pression acoustique en une tension électrique. Il existe plusieurs types de microphones [219, §§10.1–10.8], dont le *microphone dynamique* qui fonctionne selon le principe inverse du haut-parleur (détaillé ci-dessous), le *microphone piézoélectrique*, le *microphone à électret*, ou le *microphone à condensateur* où l'onde sonore incidente fait varier la distance entre deux armatures d'un condensateur. Le choix du type de microphone dépend de l'application visée : il faut entre autres considérer sa taille et sa directivité.

(b) *Capteur piézoélectrique* – Un capteur piézoélectrique est doté d’un matériau cristallin présentant le phénomène piézoélectrique direct : lorsqu’il est déformé (suite aux vibrations de l’objet auquel il est attaché), il génère une tension électrique proportionnelle. On retrouve ce phénomène par exemple chez le quartz, et chez des piézocéramiques (PZT pour *titano-zirconates de plomb*, d’après LZT pour *lead zirconate titanate*) ou encore des polymères (PVDF pour *polyfluorure de vinylidène*). Pour plus de détails, voir [44, §1.3.2 et les références s’y trouvant].

(c) *Accéléromètre* – L'accéléromètre [219, §10.14] est un petit objet à coller sur la surface d'une structure vibrante. À l'intérieur se trouve une masse de test sur un support piézoélectrique. L'accéléromètre vibre avec la structure vibrante, et grâce à l'élément piézoélectrique, on peut mesurer la force (et donc l'accélération) subie. Par intégration temporelle, on obtient la vitesse puis le déplacement en le point de la structure vibrante considéré. Il faut être conscient que le fait d'ajouter une masse sur une structure puisse en influencer le mode de vibration.
(d) Capteur laser – Un laser (originellement de Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) génère un faisceau de lumière monochromatique et directionnelle. Il est reflété sur la surface en mouvement et permet d'en déduire la hauteur dans le temps en un point. L'avantage de ce système est qu'il n'y a pas de contact entre le capteur et l'instrument de musique.

Il existe aussi des techniques plus avancées de vibrométrie laser basées sur l'effet Doppler. On peut ainsi mesurer la vibration d'un objet sur un maillage spatial de points, permettant de visualiser les modes de vibration (voir [75], appliqué p.ex. à des mesures de vibration du violon dans [101]). Cependant, il s'agit ici surtout d'une méthode de mesure expérimentale, plutôt qu'un capteur à utiliser dans une application pratique de contrôle actif d'instrument de musique.

### 2.3.2 Contrôleur

#### 2.3.2.1 Algorithme de contrôle

Dans une grande partie des applications décrites, on a implémenté un régulateur linéaire tel que le régulateur Proportionnel (p.ex. [149]), ou le régulateur PID (Proportionnel-Intégral-Dérivé) (p.ex. [27, 35]), éventuellement avec l'ajout d'un terme anticipateur (feedforward) (p.ex. [213]). Si nécessaire, il est également possible d'utiliser un contrôleur non linéaire (p.ex. [25]).

Certaines applications intègrent également un observateur pour reconstruire des grandeurs physiques non mesurées, comme un observateur linéaire de Luenberger (p.ex. [23, 123]). Parfois, il est nécessaire d'utiliser un observateur non linéaire (p.ex. [282]).

Dans le cas du tom présenté dans les Chapitres 9-10, un contrôle composé d'un observateur en temps fini (non linéaire) et un contrôleur en temps fini (non linéaire) sera développé.

#### 2.3.2.2 Microcontrôleur

L'algorithme de contrôle est implémenté sur un microcontrôleur, qui peut être vu comme un ordinateur embarqué avec des entrées et sorties, de la mémoire et un processeur, permettant des calculs en temps réel. Pour atteindre ce but, une petite latence de calcul est nécessaire [159], mais aussi une cadence régulière entre deux temps d'échantillonnage.

En outre de l'importance d'une fréquence d'échantillonnage élevée pour la stabilité numérique des algorithmes de contrôle discrétisés, le retard numérique a une influence sur la perception du son. Des tests sur le retour de musique dans les oreilles de l'auditeur ont notamment montré une détection de délais de 42ms, pouvant déscendre à 1.4ms, par l'homme [145]. Ces tests suggèrent le besoin d'avoir une période d'échantillonnage inférieure à la milliseconde [161]. Quelques exemples de microcontrôleurs de petite latence utilisés dans des applications audio sont donnés dans [159, 161, 170].

**LE COALA** Dans le cas du tom implémenté Chapitre 10, nous utiliserons le Coala<fnref n="6" /> (Fig. 2.8), un microcontrôleur conçu à l'Ircam [191] pour le contrôle modal d'instruments de musique avec une très petite latence, de l'ordre de 50-100 µs selon la complexité du calcul, mais pouvant déscendre à environ 20 µs dans certains cas décrits dans [21].

Ce contrôleur a été utilisé en recherche pour contrôler une table d'harmonie couplée à des cordes [21, 22], un tube de clarinette [164], le gong d'opéra chinois xiaoluo [121-123] et une plaque métallique rectangulaire [65]. Il a également été utilisé dans des compositions comme<fnref n="7" /> *Waiting – 4 rêveries* de Nicolas Mondon (2015) pour violon

<footnote n="6">6. Le nom est inspiré du fait que le contrôleur s'attache à un instrument de musique comme un coala à un arbre.</footnote>

<footnote n="7">7. Base de documentation sur la musique contemporaine, Ircam, Paris, http://brahms.ircam.fr/.</footnote>
<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>FIGURE 2.8 – Le Coala, un contrôleur temps-réel</figcaption></figure>

augmenté<fnref n="8" />, *Notturno sulle corde vuote* de Francesco Filidei (2016) pour quatuor à cordes augmenté avec 4 Coalas<fnref n="9" />, *Hauteurs* de Tomás Bordalejo (2016) pour guitare augmentée avec un Coala bleu (version 2)<fnref n="10" />, *Inside-out* de Carmine-Emanuele Cella (2017) pour piano et 3 percussionnistes où 3 Coalas agissent sur une grosse caisse, un gong et une plaque tonnerre<fnref n="11" />. Actuellement, un successeur de ce microcontrôleur est commercialisé par HyVibe<fnref n="12" />.

Plus de détails techniques concernant l'utilisation du Coala seront donnés dans le Chapitre 10.

### 2.3.3 Actionneurs

Les actionneurs servent à transmettre des instructions du contrôleur au système considéré. À cet effet, ils traduisent une tension électrique en une autre quantité physique comme une pression ou une force. Comme les capteurs, il s'agit donc de transducteurs, mais cette fois-ci fonctionnant selon des principes inverses. Deux actionneurs typiques que l'on peut utiliser en contrôle actif d'instruments de musique sont mentionnés ci-dessous (Fig. 2.9).

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>FIGURE 2.9 – Quelques actionneurs typiques utilisés en contrôle actif d'instruments de musique</figcaption></figure>

(a) *Haut-parleur* – Le type de haut-parleur le plus commun est le *haut-parleur dynamique*. Il comporte une bobine plongée dans un champ magnétique d'un aimant. Lorsque la bobine est parcourue par un courant électrique, une force de Laplace est générée qui cause un mouvement de la membrane attachée à une suspension

<footnote n="8">8. Vidéo : Ircam, Paris, https://medias.ircam.fr/xf34410.</footnote>

<footnote n="9">9. Vidéo : Images d'une œuvre n° 20, Philippe Langlois & Véronique Caye, Ircam, Paris, https://medias.ircam.fr/x589030.</footnote>

<footnote n="10">10. Vidéo : Ircam, Paris, https://medias.ircam.fr/xe959cf.</footnote>

<footnote n="11">11. Vidéo : Ircam, Paris, https://medias.ircam.fr/xc6dcde.</footnote>

<footnote n="12">12. HyVibe, Paris, https://www.hyvibe.audio/.</footnote>
mobile. Il s'agit donc d'un transducteur électro-magnéto-mécano-acoustique dont le fonctionnement sera détaillé dans les Chapitres 9-10.

Un haut-parleur peut être utilisé pour générer du son qui interagira avec du son généré par l'instrument de musique (cf. casque anti-bruit). Il est aussi possible de démunir le HP de sa membrane et de coller l'équipage mobile restant sur une structure (p.ex., une table d'harmonie d'un violon) qui sera par conséquent mise en vibration, faisant office de membrane.

(b) Actionneur piézoélectrique – Il s'agit ici du phénomène piézoélectrique indirect, l'inverse de ce qui se passe pour le capteur piézoélectrique : ici, le fait d'appliquer une tension variable engendre une déformation du cristal et par la suite de la structure de l'instrument de musique à laquelle l'actionneur est collé. Un avantage de ce type d'actionneur est sa possibilité d'appliquer une action répartie sur la structure vibrante [44, §1.3.2]. Des informations sur la localisation optimale de cet actionneur peuvent être trouvées dans [70].

À travers l'exemple de ces deux actionneurs, on remarque que le contrôleur peut agir de deux façons sur un instrument de musique [44]. Dans le cas du contrôle acoustique, le contrôle agit sur un fluide. Un exemple est l'utilisation d'un haut-parleur afin de créer de l'interférence destructive dans l'air pour annuler du son. Dans le cas de contrôle structurel, le contrôle agit directement sur un solide, par exemple en utilisant des actionneurs piézoélectriques collés sur un instrument, ou encore le haut-parleur sans membrane.
<figure><img src="image_21.png" /></figure>
Deuxième partie

OUTILS
<figure><img src="image_22.png" /></figure>
Dans ce chapitre, des notions élémentaires de la théorie du contrôle sont rappelées. Ces notions sont préliminaires pour la compréhension du formalisme des Systèmes Hamiltoniens à Ports (Chapitre 4) et des lois de commande en temps fini (Chapitre 5), et seront utilisées dans la suite de la thèse.

<table><caption>TABLE DES MATIÈRES</caption><tr><td>3.1 Introduction</td><td>21</td></tr><tr><td>3.2 Modélisation</td><td>22</td></tr><tr><td>3.2.1 Classes de systèmes dynamiques</td><td>22</td></tr><tr><td>3.2.2 Stabilité d'un point d'équilibre</td><td>25</td></tr><tr><td>3.3 Simulation</td><td>27</td></tr><tr><td>3.4 Contrôle</td><td>27</td></tr><tr><td>3.4.1 Transformation de similarité</td><td>27</td></tr><tr><td>3.4.2 Commandabilité</td><td>27</td></tr><tr><td>3.4.3 Observabilité</td><td>29</td></tr><tr><td>3.4.4 Remarques</td><td>30</td></tr></table>

### 3.1 INTRODUCTION

La théorie du contrôle étudie comment on peut développer un contrôleur qui influence l'évolution d'un système dynamique donné afin d'obtenir un comportement cible. Un exemple simplificateur est montré dans la Figure 3.1. On y a affaire à un avion qui est un système dynamique : son état (ici : position) peut varier dans le temps. Avant tout, on peut développer un modèle mathématique qui prédit le comportement de l'avion suite à une entrée de commande donnée par le pilote humain. Dans un deuxième temps, on peut développer un pilote automatique qui agit comme un contrôleur sur le système : il a des capteurs pour se renseigner de l'état actuel du système, il effectue des calculs selon une loi de commande préalablement conçue dans le but de rapprocher le système contrôlé d'un comportement cible, et à cette fin, il donne des instructions à des actionneurs agissant sur le système contrôlé. Dans l'exemple, des capteurs dans l'avion détectent la position de l'avion dans le ciel. Admettons que l'on ait demandé au pilote automatique de piloter l'avion tout droit. Dès qu'il détecte que l'avion dévie de sa trajectoire de référence (p.ex. à cause d'un vent variable), il donne automatiquement une instruction à des actionneurs hydrauliques dans les ailes qui adapteront la position des volets afin de rectifier la position de l'avion.

On retrouve de telles boucles de commande partout : d'une régulation basique de température dans l'industrie alimentaire ou un bras robotique de soudage de carrosserie de voiture, à des systèmes de contrôle plus haut-niveau comme chez des robots et transports autonomes.

Certains notions élémentaires de la théorie du contrôle sont mentionnées dans le présent chapitre.

- **MODÉLISATION** – Un modèle est une représentation mathématique du comportement du système sous considération. En fonction de la complexité du système, on peut avoir affaire à un modèle linéaire, non linéaire, contenant des délais, de dimension possiblement très large, à constantes localisées ou distribuées, etc.
<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>FIGURE 3.1 – Un avion contrôlé par le pilote automatique</figcaption></figure>

Ayant construit un modèle, on peut prédire le comportement du système suite à l'application d'une entrée.

- SIMULATION – Souvent, le calcul analytique de l'évolution du modèle n'est pas possible. On a alors besoin de méthodes de simulation pour pouvoir la calculer numériquement.

- CONTRÔLE – Étant donné la complexité du modèle (représentant le système considéré) et d'une cible définie par l'application (stabilisation vers un point d'équilibre constant, suivi d'une trajectoire, ...), il existe plusieurs méthodes de conception d'une loi de commande. On regarde avant tout la notion de la **stabilité** du système contrôlé, mais aussi des potentielles propriétés additionnelles comme la **passivité** et des différentes formes de **robustesse**. De plus, il existe des **observateurs** qui permettent de reconstruire des informations que l'on ne peut mesurer directement.

- IDENTIFICATION – Si la loi de commande utilise explicitement un modèle du système contrôlé, on a besoin de méthodes d'identification qui permettent d'estimer les valeurs des paramètres physiques y figurant.

À défaut d'une citation spécifique, les principes élémentaires mentionnés ci-dessous sont empruntés d'ouvrages de référence tels que [124, 128, 178, 277]. Le lecteur est invité à s'y rendre pour plus de détails formels et plus d'exemples.

## 3.2 MODÉLISATION

### 3.2.1 Classes de systèmes dynamiques

Il existe plusieurs classes de systèmes dynamiques. Dans le présent chapitre, on considère le cas des systèmes à constantes localisées, c'est-à-dire, des systèmes représentés par des équations aux dérivées ordinaires (EDOs). Un système peut être linéaire ou non linéaire. On modélise des systèmes à temps continu, mais il existe aussi des systèmes à temps discret (intrinsèquement, ou après discrétisation temporelle d'un modèle à temps continu).

En outre de l'entrée et de la sortie du système, on peut définir son état (Fig. 3.2).

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>FIGURE 3.2 – Système entrée-sortie avec état interne</figcaption></figure>

**Définition 3.1** (État d'un système dynamique). L'état **x**(T) d'un système dynamique à un instant T est l'information dont il faut disposer, en outre des entrées **u**(t ≥ T), afin de pouvoir déterminer de manière unique sa future trajectoire.
L'état représente en quelque sorte des effets de mémoire du système. Dans le cas d'un système mécanique, les positions et vitesses de ses composantes constituent l'état : il faut les connaître afin de déterminer la réaction du système à une force d'entrée.

Il est possible de formuler le modèle d'un système dans l'espace des états. On parlera alors d'une représentation d'état, que nous explicitons maintenant.

### 3.2.1.1 Système linéaire

#### TEMPS CONTINU

**Définition 3.2** (Représentation d'état d'un système linéaire à temps continu). *Un système linéaire à temps continu peut s'écrire sous la forme*

$$ egin{cases} \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) \\ y(t) = Cx(t) + Du(t) \end{cases} $$

avec

* l'état $x(t) \in \mathcal{X} \subseteq \mathbb{R}^n$ (l'espace d'état)

* l'entrée $u(t) \in \mathcal{U} \subseteq \mathbb{R}^p$ (l'espace des commandes)

* la sortie $y(t) \in \mathcal{Y} \subseteq \mathbb{R}^q$ (l'espace des sorties)

* la matrice d'état $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$

* la matrice de commande $B \in \mathbb{R}^{n \times p}$

* la matrice d'observation $C \in \mathbb{R}^{q \times n}$

* la matrice d'action directe $D \in \mathbb{R}^{q \times p}$.

Ici, les matrices de système $(A, B, C, D)$ sont constantes mais plus généralement, elles pourraient dépendre du temps ou d'un autre paramètre (système linéaire non invariant dans le temps ou LPV (linear parameter-varying)).

**EXEMPLE : LE SYSTÈME MASSE-AMORTISSEUR-RESSORT LINÉAIRE** On considère le système mécanique représenté Figure 3.3. Si l'on dénote la position verticale de la masse par $x$, on peut écrire le bilan des forces

$$ m\ddot{x}(t) + c\dot{x}(t) + kx(t) = f_{\text{ext}}(t) $$

avec la masse $m$, l'amortissement $c$, la raideur $k$, et la force extérieure $f_{\text{ext}}(t)$ appliquée sur la masse.

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>FIGURE 3.3 – Système masse-amortisseur-ressort linéaire</figcaption></figure>

Choisissant position et vitesse de la masse comme état :

$$ x(t) = \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix} \triangleq \begin{bmatrix} x(t) \\ \dot{x}(t) \end{bmatrix}, $$
on obtient la représentation d'état de la Définition 3.2 :

$$ \begin{bmatrix} \dot{x}_1(t) \\ \dot{x}_2(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{k}{m} & -\frac{c}{m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{m} \end{bmatrix} u(t), $$

ou l'entrée $u(t) \triangleq f_{\text{ext}}(t)$.

Si l'on a par exemple un capteur de position de la masse, la deuxième équation devient

$$ y(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix}. $$

### TEMPS DISCRET

Chez un système à temps discret, on n'a plus affaire à une dynamique décrite par une EDO comme dans la Définition 3.2, mais à une dynamique décrite par une équation de récurrence entre le temps $k$ et le temps $k + 1$, espacés de la période (ici constante) $T$ [s].

**Définition 3.3** (Représentation d'état d'un système linéaire à temps discret). *Un système linéaire à temps discret peut s'écrire sous la forme*

$$ \begin{cases} x_{k+1} = Ax_k + Bu_k \\ y_k = Cx_k + Du_k \end{cases} $$

avec

* l'état $x_k \in \mathcal{X} \subseteq \mathbb{R}^n$ (l'espace d'état)

* l'entrée $u_k \in \mathcal{U} \subseteq \mathbb{R}^p$ (l'espace des commandes)

* la sortie $y_k \in \mathcal{Y} \subseteq \mathbb{R}^q$ (l'espace des sorties)

* la matrice d'état $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$

* la matrice de commande $B \in \mathbb{R}^{n \times p}$

* la matrice d'observation $C \in \mathbb{R}^{q \times n}$

* la matrice d'action directe $D \in \mathbb{R}^{q \times p}$.

Ici, les matrices de système $(A, B, C, D)$ sont à nouveau supposées constantes.

#### 3.2.1.2 Système non linéaire

### TEMPS CONTINU

**Définition 3.4** (Système non linéaire à temps continu). *Un système non linéaire à temps continu peut s'écrire sous la forme*

$$ \begin{cases} \dot{x}(t) = f(x(t), u(t)) \\ y(t) = g(x(t), u(t)) \end{cases} $$

avec

* l'état $x(t) \in \mathcal{X} \subseteq \mathbb{R}^n$ (l'espace d'état)

* l'entrée $u(t) \in \mathcal{U} \subseteq \mathbb{R}^p$ (l'espace des commandes)

* la sortie $y(t) \in \mathcal{Y} \subseteq \mathbb{R}^q$ (l'espace des sorties)

* $f(\cdot, \cdot)$ et $g(\cdot, \cdot)$ deux fonctions non linéaires (mais ne dépendant ici pas du temps ou d'un autre paramètre externe).
**Définition 3.5** (Système non linéaire à temps discret). *Un système non linéaire à temps discret peut s'écrire sous la forme*

$$
\begin{cases}
x_{k+1} = f(x_k, u_k) \\
y_k = g(x_k, u_k)
\end{cases}
$$

avec

• l'état $x_k \in \mathcal{X} \subseteq \mathbb{R}^n$ (l'espace d'état)

• l'entrée $u_k \in \mathcal{U} \subseteq \mathbb{R}^p$ (l'espace des commandes)

• la sortie $y_k \in \mathcal{Y} \subseteq \mathbb{R}^q$ (l'espace des sorties)

• $f(\cdot, \cdot)$ et $g(\cdot, \cdot)$ deux fonctions non linéaires (mais ne dépendant ici pas du temps ou d'un autre paramètre externe).

3.2.2 Stabilité d'un point d'équilibre

3.2.2.1 Définition

Étant donné un modèle de système, on peut étudier sa stabilité à un point d'équilibre appelé souvent 0 (après un changement de coordonnées, si besoin).

On note le système dynamique

$$
\dot{x} = F(x) \tag{3.1}
$$

pouvant représenter soit

$$
\dot{x} = f(x, 0)
$$

dans le cas du système non contrôlé, soit

$$
\dot{x} = f(x, u)
$$

dans le cas du système contrôlé par une loi de commande **u** (à concevoir). Le flot $\Phi_t(x(0))$ représente la trajectoire que suit le système dynamique (3.1) à partir d'un état initial $x(0)$. On peut définir les propriétés de stabilité suivantes.

**Définition 3.6** (Notions de stabilité d'un système non linéaire [276]). Le point d'équilibre 0 d'un système dynamique (3.1) sur un ouvert $M \subseteq \mathbb{R}^n$ est

• stable si pour tout voisinage $U$ de $0$ il existe un voisinage $U_0$ de $0$ t.q. pour tout $x$ dans $U_0$, $\Phi_t(x)$ est défini et appartient à $U$ pour tout $t \ge 0$ (l'état reste proche du point d'équilibre, Fig. 3.4(a));

• asymptotiquement stable s'il est stable et s'il existe un voisinage $U$ de $0$ ayant la propriété suivante : pour tout $x$ dans $U$, $\Phi_t(x)$ tend vers $0$, lorsque $t \to +\infty$ (l'état converge vers le point d'équilibre qui est un point attractif, Fig. 3.4(b));

• instable s'il n'est pas stable.

Ces propriétés de stabilité peuvent être valables *localement* (dans une zone autour du point d'équilibre) ou *globalement* (dans tout l'espace d'état $\mathcal{X}$).

3.2.2.2 Lemmes de stabilité

On mentionne quelques lemmes pouvant être utilisés pour prouver la stabilité d'un
point d'équilibre pour un système donné.
<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>FIGURE 3.4 – Point d'équilibre stable et point d'équilibre attractif (dessins d'après [276])</figcaption></figure>

**SYSTÈME LINÉAIRE** On considère le cas d'un système linéaire

$$ \dot{x} = F(x) = Ax. \tag{3.2} $$

**Lemme 3.1** (Stabilité asymptotique d'un système linéaire [276]). Soit A dans (3.2) une matrice réelle carrée de taille n avec des valeurs propres distinctes $\lambda_1, \dots, \lambda_r$.

Si toutes les valeurs propres sont à partie réelle strictement négative,

$$ \Re(\lambda_j) < 0 \quad \forall j, $$

le système dynamique (3.2) est asymptotiquement stable.

**SYSTÈME NON LINÉAIRE** On prend

$$ \dot{x} = F(x) = f(x, 0) \tag{3.3} $$

et suppose que le champ de vecteurs $f(\cdot, \cdot) \in C^1$.

**Définition 3.7** (Fonction de Lyapunov [276]). On définit une fonction de Lyapunov comme une fonction $V$ de $M \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, $V \in C^1$, si

* $V$ est définie positive ($V(x) > 0$ sauf en $x = 0$ où $V(0) = 0$)

* la dérivée directionnelle $V$ dans la direction du champ $f$ est semi-définie positive :

$$ \dot{V} = \nabla V(x) \cdot f(x) \le 0. $$

**Lemme 3.2** (Stabilité asymptotique d'un système non linéaire [276]). S'il existe une fonction de Lyapunov $V$ pour le champ de vecteurs $f$ au voisinage du point d'équilibre 0, alors 0 est stable.

Si en plus, $\dot{V} < 0$, il s'agit d'une stabilité asymptotique.

Pour un système donné, il n'est pas toujours facile de trouver une fonction de Lyapunov, mais dans le cas de systèmes physiques, on peut souvent s'inspirer de la fonction d'énergie du système (cf. aussi le Hamiltonien dans le Chapitre 4.)

**Lemme 3.3** (Stabilité asymptotique d'un système non linéaire : Théorème de LaSalle [276]). Soient $F$ le champ de vecteurs de (3.3) sur un ouvert $M \subseteq \mathbb{R}^n$ et $V$ une fonction différentiable $C^1$ à dérivées continues d'un ouvert $U$ de $M$ dans $[0, +\infty[$ telle que

* $V$ est propre ($\{x \in U \mid V(x) \le R\}$ est compact pour tout $R > 0$, ce qui est le cas lorsque $V$ est définie sur $\mathbb{R}^n$ et que $V(x) \to +\infty$ quand $||x|| \to +\infty$)
* la dérivée directionnelle de V dans la direction du champ F est négative :

$$ \dot{V}(x) \leq 0. $$

Si I est le plus grand sous-ensemble de {$x, \dot{V}(x) = 0$} qui soit invariant par le flot de (3.3), alors toute trajectoire du système (3.3) est bornée et attirée par I au sens où, pour tout x dans M, on a

$$ \Phi_t(x) \xrightarrow{t \to +\infty} I $$

(c'est-à-dire

$$ \mathrm{dist}(\varphi_t(x), I) \xrightarrow{t \to +\infty} 0). $$

Ce lemme peut être utilisé pour obtenir la stabilité asymptotique dans certains cas où l'on a que $\dot{V} \leq 0$, ce qui ne permet pas d'utiliser le Lemme 3.2.

Dans le cas d'un système linéaire, une fonction de Lyapunov quadratique peut être définie, qui est de la forme [276]

$$ V(x) = x^\top P x, $$

avec la matrice $P = P^\top > 0$ étant la solution de l'équation de Lyapunov

$$ A^\top P + PA + Q = 0, $$

avec $Q = Q^\top > 0$ une matrice au choix.

### 3.3 SIMULATION

Dans certains cas simples, une solution analytique de la trajectoire $\Phi_t(x_0)$ peut être obtenue, comme, pour le système linéaire,

$$ x(t) = e^{At}x_0 + \int_0^t e^{A(t-\tau)} Bu(\tau) \, d\tau. $$

En général, pour une loi de commande $u(x(t))$ non linéaire ou un système non linéaire, la trajectoire du système doit être calculée numériquement.

### 3.4 CONTRÔLE

On peut utiliser les lemmes mentionnés ci-dessus pour concevoir des contrôleurs stabilisant un point d'équilibre d'un système (non) linéaire donné asymptotiquement. Dans ce cas, on considère le champ de vecteurs

$$ \dot{x} = F(x) = f(x, u(x(t))), $$

où $u(x(t))$ est la loi de commande obtenue.

Dans la présente section, on spécifie seulement les concepts de commandabilité et observabilité d'un système linéaire, après avoir mentionné la transformation de similarité dont on a besoin.

#### 3.4.1 Transformation de similarité

Étant donné un système linéaire

$$ \Sigma_1 \triangleq \begin{cases} \dot{x} = A_1x + B_1u \\ y = C_1x, \end{cases} $$
on peut obtenir une équivalence avec un deuxième système linéaire d'état $\xi = P\boldsymbol{x}$,
la matrice $P$ correspondant à un changement de coordonnées inversible, et de sortie
$\zeta = \boldsymbol{y}$,

$$
\Sigma_2 \triangleq \begin{cases} \xi = A_2\xi + B_2u \\ \zeta = C_2\zeta, \end{cases}
$$

si les matrices des systèmes satisfait

$$
\begin{cases}
A_2 = P A_1 P^{-1} \\
B_2 = P B_1 \\
C_2 = C_1 P^{-1}.
\end{cases}
$$

On parle d'une transformation de similarité entre les systèmes $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$.

3.4.2 Commandabilité

3.4.2.1 Définition

**Définition 3.8** (Commandabilité d'un système linéaire [276]). *Un système linéaire est commandable si pour tout couple de vecteurs $(\mathbf{x}_d, \mathbf{x}_a)$ de $\mathbb{R}^n$, il existe un temps $T$ fini et une commande $\mathbf{u}$ définie sur $[0, T]$ tels que, lorsque l'on applique la commande $\mathbf{u}$, la solution $\mathbf{x}(t)$ du système partant de $\mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_d$ vérifie $\mathbf{x}(T) = \mathbf{x}_a$.*

3.4.2.2 Critère de Kalman de commandabilité

**Lemme 3.4** (Critère de Kalman de commandabilité). Si la matrice de commandabilité

$$
\mathbf{C} \triangleq \begin{bmatrix} \mathbf{B} & \mathbf{A}\mathbf{B} & \dots & \mathbf{A}^{n-1}\mathbf{B} \end{bmatrix}
$$

est de rang $n$ alors le système (« le pair $(\mathbf{A}, \mathbf{B})$ ») est commandable.

3.4.2.3 Forme canonique commandable

Si un pair $(\mathbf{A}, \mathbf{B})$ est commandable, il existe une transformation de similarité avec la
matrice de transformation $\mathbf{P}$ t.q.

$$
\mathbf{A}_c = \mathbf{P} \mathbf{A} \mathbf{P}^{-1}, \quad \mathbf{B}_c = \mathbf{P} \mathbf{B},
$$

avec $A_c$ et $B_c$ de la forme

$$
A_c = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ -a_n & -a_{n-1} & \cdots & -a_2 & -a_1 \end{bmatrix}, \quad B_c = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},
$$

où les coefficients $a_i$ correspondent au polynôme caractéristique de $A$,

$$
\chi_A(s) = \det(sI - A) = s^n + a_1 s^{n-1} + \dots + a_n.
$$

On appelle cette forme la forme canonique commandable, ou la forme compagnon commandable.
Plus spécifiquement [276],

$$
P \triangleq \begin{bmatrix} L \\ LA \\ \vdots \\ LA^{n-1} \end{bmatrix}
$$

avec

$$
L \triangleq [0 \ 0 \ \dots \ 0 \ 1] C^{-1}.
$$

3.4.2.4 Régulateur par placement de pôles

Pour un système linéaire commandable, on peut définir un bouclage d’état linéaire

$$
u(t) = -Kx(t), \tag{3.4}
$$

où la matrice K peut être définie de sorte à placer les modes propres de la matrice
A – BK de la boucle fermée,

$$
\dot{x} = (A - BK)x,
$$

arbitrairement, influençant les fréquences et amortissements de la dynamique du
système [3].

3.4.3 Observabilité

Selon l'application envisagée, il peut être cher ou difficile d'utiliser des capteurs pour chaque variable d'état qui est utilisée dans la loi de commande conçue. Pour cette raison, on peut parfois remplacer un certain capteur par un observateur d'état qui reconstitue la partie de l'état non mesurée à partir de la mesure, si l'on a la propriété d'observabilité.

3.4.3.1 Définition

**Définition 3.9** (Observabilité d'un système linéaire [276]). *Un système linéaire est observable si pour tout vecteur x<sub>d</sub> de ℝ<sup>n</sup>, il existe un temps T fini et une commande u définie sur [0, T] tels que, si x(0) = x<sub>d</sub> et que l'on applique u, alors la connaissance de la trajectoire de y sur l'intervalle de temps [0, T] permet de déterminer x<sub>d</sub>*

3.4.3.2 Critère de Kalman d'observabilité

**Lemme 3.5** (Critère de Kalman d'observabilité). Si la matrice d'observabilité

$$
\mathcal{O} \triangleq \begin{bmatrix} C \\ CA \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix}
$$

est de rang *n* alors le système (« le pair (*A*, *C*) ») est observable.

3.4.3.3 Forme canonique observable

Si un pair (A, C) est observable, il existe une transformation de similarité avec la
matrice de transformation P t.q.

$$
A_0 = P^{-1}AP, \quad C_0 = CP,
$$
avec $A_0$ et $C_0$ de la forme

$$A_0 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 & -a_n \\ 1 & 0 & \dots & 0 & -a_{n-1} \\ 0 & 1 & \dots & \dots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 & -a_2 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & -a_1 \end{bmatrix}, \quad C_0 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

où les coefficients $a_i$ correspondent au polynôme caractéristique de $A$,

$$\chi_A(s) = \det(sI - A) = s^n + a_1 s^{n-1} + \dots + a_n.$$

On appelle cette forme la forme canonique observable, ou la forme compagnon observable.

Plus spécifiquement [276],

$$P \triangleq [H \quad AH \quad \dots \quad A^{n-1}H]$$

avec

$$H = \mathcal{O}^{-1} \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

### 3.4.3.4 Observateur par placement de pôles

Si le système est observable, il est possible de construire un observateur asymptotique linéaire appelé observateur de Luenberger, qui sera mentionné dans la Sous-section 9.4.2 (Éq. (9.33)). Ici, comme pour le régulateur (3.4), on peut aussi utiliser un placement de pôles pour imposer la dynamique de l'observateur.

Il se trouve que les notions de commandabilité et d'observabilité sont duales. De plus, pour un système linéaire et une loi de commande linéaire, on peut concevoir le contrôleur et l'observateur séparément puisque l'on a une propriété de superposition. Dans le cas général d'un système non linéaire, ceci n'est plus le cas.

### 3.4.4 Remarques

* À partir de la stabilité asymptotique (Déf. 3.6) d'un point d'équilibre (stationnaire) 0, on peut définir des lois de commande stabilisant un système donné vers un point d'équilibre. Il est aussi possible de définir la stabilité autour d'une trajectoire de référence, et des lois de commande sont conçues dans le but de stabiliser un système donné vers une telle trajectoire de référence. On parle dans ce cas d'un *suivi de trajectoire* (tracking).

* Dans le Chapitre 5, une notion de stabilité plus forte que la stabilité asymptotique sera considérée : la *stabilité en temps fini*.

* Si des lois de commande peuvent être développées à partir de modèles pour un système physique donné, elles ont pour but d'être appliquées au vrai système physique. En outre de la stabilité du modèle contrôlé, on peut étudier des propriétés de robustesse du contrôleur pour améliorer son comportement en pratique.

Il existe plusieurs types de robustesse, dont la robustesse en présence de perturbations extérieures dans le système et de bruits de mesure dans les capteurs utilisés,
la présence potentielle de régimes ou comportements du système pas (suffisamment) pris en compte par le modèle, une mauvaise identification des paramètres physiques du système dont on a besoin pour calculer la loi de commande, etc.
<figure><img src="image_27.png" /></figure>
Dans ce chapitre, le formalisme des Systèmes Hamiltoniens à Ports (SHP) est introduit. C'est une manière de modéliser un système physique basé sur ses échanges énergétiques (Section 4.1). Dans ce formalisme, à partir du modèle, on peut définir des méthodes de simulation stables (Section 4.2) et des méthodes de contrôle robustes (Section 4.3).

<table><caption>TABLE DES MATIÈRES</caption><tr><td>4.1 Modèle</td><td>31</td></tr><tr><td>4.1.1 Modèle de dimension finie</td><td>31</td></tr><tr><td>4.1.2 Modèle de dimension infinie</td><td>34</td></tr><tr><td>4.2 Méthode de simulation</td><td>36</td></tr><tr><td>4.3 Méthodes de contrôle</td><td>36</td></tr><tr><td>4.3.1 Remodelage d'énergie</td><td>37</td></tr><tr><td>4.3.2 IDA-PBC</td><td>37</td></tr></table>

## 4.1 Modèle

Le formalisme des Systèmes Hamiltoniens à Ports (SHP) a été développé à partir des années '90 [155] et connaît à ce jour une bibliographie riche. Dans ce chapitre, seulement les éléments utilisés dans la thèse sont mentionnés. Pour plus d'informations concernant entre autres les fondamentaux mathématiques rigoureux et les applications diverses, se référer à [204, 284] et les références y figurant.

Dans ce formalisme, la modélisation se fonde sur une vision énergétique du système physique. Dans un système physique, trois types de transfert d'énergie peuvent avoir lieu : des composants internes du système peuvent stocker de l'énergie, dissiper de l'énergie, et participer à des échanges d'énergie avec des composants extérieurs au système considéré, à travers des ports. Le modèle prend ce bilan d'énergie explicitement en compte dans sa structure. Aussi, il est possible de coupler plusieurs systèmes physiques, pouvant appartenir à des domaines physiques différents (systèmes multiphysiques : mécanique, électr(on)ique, thermique, chimique, etc.) <fnref n="1" />.

Une formulation classique d'un modèle SHP est introduite ci-dessous, pour le cas d'un état de dimension finie puis de dimension infinie. On remarquera dans les définitions ci-dessus que l'on obtient une sorte de représentation d'état comme dans la Section 3.2, mais qui est plus structurée (structure physique). La formulation permet également d'utiliser une écriture similaire pour les cas d'un système (non) linéaire et de dimension (in)finie.

### 4.1.1 Modèle de dimension finie

**Définition 4.1** (SHP de dimension finie). *Une formulation classique d'un Système Hamiltonien à Ports (SHP) en dimension finie $n \ge 1$, d'état $x \in \mathbb{R}^n$, est*

$$ \begin{cases} \dot{x} = (J - R)\nabla H(x) + Gu \\ y = G^T \nabla H(x), \end{cases} \qquad (4.1) $$

<footnote n="1">1. Cf. aussi les *bond graphs* [93], un formalisme plus ancien se basant également sur les transferts d'énergie d'un système physique</footnote>
pour laquelle :

(i) $\mathbf{u} \in \mathbb{R}^q$ est l'entrée de dimension $q \ge 1$,

(ii) $\mathbf{y} \in \mathbb{R}^q$ est la sortie associée à l'entrée (différente de la sortie mesurée $\mathbf{y}_m$),

(iii) $H(\mathbf{x}) > 0$ est la fonction hamiltonienne qui fournit l'énergie totale $E$ stockée dans le système en fonction de son état,

(iv) $\mathbf{J} = -\mathbf{J}^\top$ est une matrice antisymétrique ($n \times n$) exprimant les échanges entre les composants stockants,

(v) $\mathbf{R} = \mathbf{R}^\top \ge 0$ est une matrice symétrique ($n \times n$) dont la positivité traduit la dissipation,

(vi) $\mathbf{G}$ est une matrice ($n \times q$).

Les matrices peuvent dépendre de l'état $\mathbf{x}$, de l'entrée $\mathbf{u}$ ou de paramètres constants ou variant dans le temps.

### REMARQUE 1
La propriété fondamentale d'un SHP est de vérifier un bilan de puissance : la nullité de

$$B \triangleq \frac{dE}{dt} + P_{\text{dissip}} - P_{\text{ext}}$$

où la variation d'énergie est

$$\frac{dE}{dt} = \nabla H(\mathbf{x})^{\top} \dot{\mathbf{x}},$$

la puissance dissipée

$$P_{\text{dissip}} = \nabla H(\mathbf{x})^{\top} \mathbf{R} \nabla H(\mathbf{x}) \geq 0$$

est positive d'après (v) et la puissance extérieure est

$$P_{\text{ext}} = \mathbf{y}^{\top} \mathbf{u}.$$

En effet, d'après (4.1),

$$B = \underbrace{\nabla H(\mathbf{x})^{\top} \mathbf{J} \nabla H(\mathbf{x})}_{= 0 \text{ d'après (iv)}} + \underbrace{\nabla H(\mathbf{x})^{\top} \mathbf{G} \mathbf{u}}_{\mathbf{y}^{\top} \mathbf{u}} - \mathbf{y}^{\top} \mathbf{u} = 0.$$

### REMARQUE 2
Dans la Définition 4.1, il s'agit de la formulation classique (input-state-output) d'un SHP [285]. Des variantes de cette formulation, et une formulation plus générale (algébro-différentielle) sont définies dans [285].

### EXEMPLE D'UN SYSTÈME LINÉAIRE
Nous considérons le modèle d'un système masse-ressort-amortisseur linéaire (Figure 4.1) dont la dynamique obéit l'EDO

$$m\ddot{\mathbf{x}} + c\dot{\mathbf{x}} + k\mathbf{x} = f_{\text{ext}},$$

avec

$x$ la position verticale de la masse [m]

$m$ la masse [kg]

$c$ le coefficient d'amortissement $\begin{bmatrix} \frac{Ns}{m} = \frac{kg}{s} \\ \frac{N}{m} = \frac{kg}{s^2} \end{bmatrix}$

$k$ la constante de raideur $\begin{bmatrix} N = kg \\ m \end{bmatrix}$

$f_{\text{ext}}$ la force extérieure $\begin{bmatrix} N = kg \frac{m}{s^2} \end{bmatrix}$

avec des conditions initiales en position et vitesse. (Dans ce modèle, l'influence de la pesanteur n'est pas considérée.)

Dans ce système, la masse et le ressort échangent de l'énergie; l'amortisseur en dissipe. La force extérieure apporte de l'énergie au système è travers le port "(force sur la masse, vitesse de la masse)".
<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>FIGURE 4.1 – Système masse-ressort-amortisseur</figcaption></figure>

Pour l'écriture du modèle SHP, on définit l'état comme

$$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \triangleq \begin{bmatrix} x \\ p \end{bmatrix},$$

où $p$ est la quantité de mouvement : $p = m\dot{x}$ [$kg\frac{m}{s}$].

Le système étant linéaire, on a un Hamiltonien quadratique

$$H(x) = \frac{1}{2} kx^2 + \frac{1}{2m} p^2, \qquad (4.2)$$

qui représente l'énergie du système en fonction de son état $x(t)$. Il est constitué de l'énergie potentielle du ressort qui est allongé et comprimé, et l'énergie cinétique de la masse qui est en mouvement.

On calcule que le gradient du Hamiltonien vaut

$$\nabla H(x) = \begin{bmatrix} \partial_x H(x) \\ \partial_p H(x) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} kx \\ \frac{p}{m} \end{bmatrix}.$$

Le modèle SHP s'écrit finalement comme

$$\left\{
\begin{array}{l}
\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \left( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & c \end{bmatrix} \right) \begin{bmatrix} kx_1 \\ \frac{1}{m}x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} u \\[1em]
y = \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} kx_1 \\ \frac{1}{m}x_2 \end{bmatrix}.
\end{array}
\right.
\qquad (4.3)$$

Dans la première équation matricielle, la première équation représente l'égalité des vitesses et la deuxième équation représente l'égalité des forces. L'écriture satisfait les conditions de la Définition 4.1 avec notamment la matrice $R$ qui est semi-définie positive puisque ses valeurs propres sont $\{0, c > 0\}$.

Nous observons que si nous contrôlons la masse en force ($u \triangleq f_{\text{ext}}$), la sortie $y = \frac{1}{m}x_2 = \dot{x}$ est la vitesse de la masse, la variable conjuguée dans le sens que leur produit

$$uy = f_{\text{ext}}\dot{x} \quad \left[ \frac{\text{kg} \cdot \text{m}^2}{\text{s}^3} = \text{W} \right]$$

représente la puissance externe apportée au système. Cette sortie a un autre sens que la sortie $y_{\text{mes}}$ qui correspond à la mesure, en fonction des capteurs utilisés (cf. l'exemple du masse-ressort-amortisseur dans la Sous-section 3.2.1.1, où l'on a en plus pris un autre état).
**EXEMPLE D'UN SYSTÈME NON LINÉAIRE** Un cas d'un système non linéaire sera considéré dans la Section 6.1.2. Il s'agit d'un système masse-ressort-amortisseur avec un ressort raidissant. La forme SHP du modèle sera la même que le modèle (4.3), mais dans lequel l'expression pour l'énergie potentielle du ressort qui apparaît dans le Hamiltonien ne sera plus quadratique.

### 4.1.2 Modèle de dimension infinie

**Définition 4.2 (SHP de dimension infinie).** Une formulation classique d'un Système Hamiltonien à Ports (SHP) d'état $\boldsymbol{x}$ de dimension infinie est [71, 108]

$$ \left\{ \begin{array}{l} \partial_t \boldsymbol{x} = (\mathcal{J} - \mathcal{R})\delta_x \mathcal{H}(\boldsymbol{x}) + \mathcal{G}\boldsymbol{u} \\ \boldsymbol{y} = \mathcal{G}^* \delta_x \mathcal{H}(\boldsymbol{x}) \end{array} \right. \qquad (4.4) $$

pour laquelle

- $\mathcal{X}$ est l'espace des états énergétiques,

- $\boldsymbol{u}$ et $\boldsymbol{y}$ sont l'entrée et sa sortie associée,

- un produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle_{\mathcal{X}}$ et norme $\| \cdot \|_{\mathcal{X}}$ sont définis,

- la fonction Hamiltonienne est définie comme

$$ \mathcal{H}(\boldsymbol{x}) \triangleq \frac{1}{2} \|\boldsymbol{x}\|_{\mathcal{X}}^2, $$

- l'opérateur $\delta_x$ est la dérivée variationnelle [251],

- l'opérateur $\mathcal{J}$ est formellement anti-auto-adjoint (skew-symmetric) et l'opérateur $\mathcal{R}$ est non-négatif symétrique, par rapport au produit scalaire,

- $\mathcal{G}$ est un opérateur et $\mathcal{G}^*$ son opérateur adjoint.

**Définition 4.3 (Opérateur anti-auto-adjoint (skew-symmetric) [251]).** Un opérateur $\mathcal{J}$ est anti-auto-adjoint si

$$ \langle \mathcal{J} v_1, v_2 \rangle = - \langle v_1, \mathcal{J} v_2 \rangle. $$

avec $\langle \cdot, \cdot \rangle$ le produit scalaire défini sur la géométrie du système considéré.

**EXEMPLE D'UN SYSTÈME LINÉAIRE** Un modèle linéaire pour la vibration transverse $w(z, t)$ d'une corde est considérée (Fig. 4.2) [110, 111]. Il s'agit de l'EDP

$$ \partial_{tt} w(z,t) + \mu \partial_t w(z,t) - \partial_{zz} w(z,t) = u(z,t). $$

Ici, $u(z,t)$ représente une force linéique distribuée définie sur $(z,t) \in \Omega \times \mathbb{R}^+$, $\Omega = [0,1]$ et $\mu$ est un coefficient représentant de l'amortissement visqueux. La corde est fixée aux extrémités (condition de Dirichlet) et a une position et vitesse données comme conditions initiales.

<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>FIGURE 4.2 – Corde</figcaption></figure>
Pour l'écriture du SHP, on définit l'état comme

$$x = \begin{bmatrix} q(z,t) \\ p(z,t) \end{bmatrix} \triangleq \begin{bmatrix} \partial_z w(z,t) \\ \partial_t w(z,t) \end{bmatrix}.$$

Le système étant linéaire, le Hamiltonien a un intégrande quadratique, qui est intégré sur le domaine spatial $\Omega$ de la corde :

$$\mathcal{H}(x(z,t)) = \frac{1}{2} \int_{\Omega} [p^2(z,t) + q^2(z,t)] \, dz.$$

Les densités d'énergie quadratiques correspondent aux densités d'énergie potentielle et cinétique d'un point élémentaire de la corde. Dans ce cas, la dérivée variationnelle correspond à [251]

$$\delta_x \mathcal{H}(x(z,t)) = \begin{bmatrix} \delta_q \mathcal{H} \\ \delta_p \mathcal{H} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} q \\ p \end{bmatrix}.$$

Le modèle SHP s'écrit comme

$$\left\{
\begin{array}{l}
\left[ \begin{matrix} \partial_t q \\ \partial_t p \end{matrix} \right] = \left( \begin{matrix} 0 & \partial_z \\ \partial_z & 0 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & \mu \end{matrix} \right) \left[ \begin{matrix} q \\ p \end{matrix} \right] + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} u \\[1em]
y = \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} q \\ p \end{bmatrix}.
\end{array}
\right.
\qquad (4.5)$$

Cette écriture satisfait les conditions de la Définition 4.2. Nous démontrons ici que l'opérateur

$$\mathcal{J} = \begin{bmatrix} 0 & \partial_z \\ \partial_z & 0 \end{bmatrix}$$

est formellement anti-auto-adjoint. Soient deux vecteurs d'état

$$x_I(z,t) \triangleq \begin{bmatrix} q_1 \\ p_1 \end{bmatrix} (z,t)$$

$$x_{II}(z,t) \triangleq \begin{bmatrix} q_2 \\ p_2 \end{bmatrix} (z,t),$$

zéro aux bords. Il faut prouver que

$$\langle \mathcal{J} x_I, x_{II} \rangle = - \langle x_I, \mathcal{J} x_{II} \rangle \qquad (4.6)$$

avec

$$\langle x_I, x_{II} \rangle = \int_0^1 \begin{bmatrix} q_1 & p_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} q_2 \\ p_2 \end{bmatrix} \, dz.$$

Le membre gauche de (4.6) vaut

$$\langle \mathcal{J} x_I, x_{II} \rangle = \int_0^1 \begin{bmatrix} \partial_z p_1 & \partial_z q_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} q_2 \\ p_2 \end{bmatrix} \, dz = \int_0^1 \begin{bmatrix} \partial_z p_1 \cdot q_2 + \partial_z q_1 \cdot p_2 \end{bmatrix} \, dz$$

et le membre droit

$$\langle x_I, \mathcal{J} x_{II} \rangle = \int_0^1 \begin{bmatrix} q_1 \cdot \partial_z p_2 + p_1 \cdot \partial_z q_2 \end{bmatrix} \, dz.$$
Par une intégration par parties, on a que

$$ \int_{0}^{1} \partial_{z} p_{1} \cdot q_{2} \mathrm{d}z=\int_{z=0}^{z=1} q_{2} \mathrm{d} p_{1}=p_{1} \overline{q_{2}}|_{0}^{1}-\int_{z=0}^{z=1} p_{1} \mathrm{d} q_{2}=-\int_{0}^{1} p_{1} \cdot \partial_{z} q_{2} \mathrm{d} z $$

et, pareillement, que

$$ \int_{0}^{1} \partial_{z} q_{1} \cdot p_{2} \mathrm{d} z=-\int_{0}^{1} \partial_{z} q_{1} \cdot p_{2} \mathrm{d} z, $$

ce qui prouve l'Équation (4.6).

Finalement, puisque le SHP (4.5) est contrôlé par une force $u(z,t)$, la sortie duale est $y = p(z,t) = \partial_t w(z,t)$, la vitesse, de sorte que $\int_{\Omega} u y \mathrm{d}z = \int_{\Omega} u(z,t) \partial_t w(z,t) \mathrm{d}z$ représente la puissance externe apportée au système.

### EXEMPLE D'UN SYSTÈME NON LINÉAIRE
L'exemple d'une corde avec une non-linéarité due à une modulation de tension sera traité dans le Chapitre 8.

## 4.2 MÉTHODE DE SIMULATION

Étant donné un modèle SHP, contrôlé ou non, on peut calculer son évolution temporelle par une méthode numérique. Dans le cas d'un SHP de dimension infinie, on applique d'abord une discrétisation spatiale [204, Section 5] afin d'obtenir un SHP de dimension finie pour la simulation.

La méthode numérique sert à simuler la trajectoire du système en temps discret : il s'agit de calculer l'état $x(k+1)$ étant donné l'état $x(k)$. En fonction du modèle et de la commande, on a affaire à un calcul explicite ou implicite.

Pour une méthode de simulation passive (stable), on veut discrétiser les équations du système en préservant le bilan de puissance : on remplace la dérivée temporelle $\dot{x}$ par $\frac{\delta x}{\delta t}$, et le gradient $\nabla H(x)$ par le gradient discret $\nabla^d H(x, \delta x)$ [82, 119, 241]. Dans le cas d'un Hamiltonien à variables séparées ($H(x) = \sum_{i}^{n} H_i(x_i)$), le gradient discret $\nabla^d H(x, \delta x)$ est défini par les composants

$$ [\nabla^d H(x, \delta x)]_i = \begin{cases} \frac{H_i(x_i + \delta x_i) - H_i(x_i)}{\delta x_i} & \text{si } \delta x_i \neq 0 \\ H'_i(x_i) & \text{si } \delta x_i = 0. \end{cases} $$

### CALCUL EXPLICITE
Dans le cas d'un système bouclé linéaire, il existe une méthode explicite [241] pour le calcul de la différence d'état $\delta x(k) \triangleq x(k+1) - x(k)$. On peut écrire le Hamiltonien comme la forme quadratique $H(x) = 1/2x^\top Wx$, avec $W = W^\top > 0$. Avec le gradient discret $\nabla^d H(x(k), \delta x(k)) = W(x(k) + \delta x(k)/2)$, et la notation $M \triangleq (J - R)W$, on peut retrouver l'expression suivante pour $\delta x$ :

$$ \delta x = (I_n - \delta t / 2 \cdot M)^{-1} (M x_k + G_k u_k) \delta t. $$

### CALCUL IMPLICITE
Dans le cas plus général, on obtient un système implicite (non linéaire) en $x(k+1)$ après discrétisation, qu'il faut résoudre itérativement, par exemple par la méthode de Newton-Raphson [266].

## 4.3 MÉTHODES DE CONTRÔLE

Il existe plusieurs méthodes de contrôle à partir d'une structure SHP, à la fois pour des SHP de dimension finie [181] et infinie [204, Sections 4.1-4.3]. Ici, nous mentionnons deux méthodes pour le cas des SHP de dimension finie [179, 180, 182].
### 4.3.1 Remodelage d'énergie

Le Hamiltonien $H(x)$ du système non contrôlé est une fonction de Lyapunov qui a un minimum à un point d'équilibre. La méthode de contrôle par remodelage d'énergie [179] consiste à construire un nouveau Hamiltonien $H_d(x)$ qui a un minimum à un autre point d'équilibre vers lequel on veut contrôler le système (comme illustré dans la Figure 4.3).

**Théorème 4.1** (Condition de correspondance pour le contrôle par remodelage d'énergie [179]). Considérons un SHP en boucle ouverte de forme (4.1) avec un Hamiltonien $H(x) \succ 0$. Pour obtenir un SHP en boucle fermée avec un Hamiltonien $H_d(x) \succ 0$, la commande utilisée doit satisfaire la condition de correspondance

$$ \nabla H_a(x)^{\top} \dot{x} = -y^{\top} u, \qquad (4.7) $$

où $H_a(x) \triangleq H_d(x) - H(x) \succeq 0$, sous l'hypothèse que

$$ R \nabla H_a(x) = 0. $$

La preuve est basée sur les bilans de puissance du système en boucle ouverte et en boucle fermée [179].

<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>FIGURE 4.3 – Principe de la méthode de contrôle par remodelage d'énergie</figcaption></figure>

### 4.3.2 IDA-PBC

La méthode IDA-PBC (Interconnection and Damping Assignment Passivity-Based Control, [182]) consiste à associer le remodelage d'énergie ($H_d(x)$) à un changement des matrices d'interconnexion ($J_d$) et de dissipation ($R_d$). Le système (4.1) est ainsi remplacé par le système cible

$$ \dot{x} = (J_d - R_d) \nabla H_d(x) \qquad (4.8) $$

par l'action du contrôle.

La méthode IDA-PBC répond à deux besoins :

- certains systèmes ne peuvent être contrôlés avec un remodelage d'énergie seul, par exemple lorsqu'il y a un transfert infini d'énergie au point d'équilibre (dissipation obstacle, cf. [269]),

- on veut améliorer la performance du contrôle.
Nous définissons les différences $H_a(x)$ comme avant, et $J_a \triangleq J_d - J$, $R_a \triangleq R_d - R$. L'entrée qui effectue ceci peut être obtenue par la condition de correspondance suivante.

**Théorème 4.2** (Condition de correspondance pour l'IDA-PBC [182]). *Considérons un SHP en boucle ouverte de forme (4.1) avec un Hamiltonien $H(x) \succ 0$ et matrices $J$ et $R$. Par l'action du contrôle, nous voulons obtenir un SHP (4.8) avec un Hamiltonien $H_d(x) \succ 0$ et matrices $J_d$ et $R_d$. Les Hamiltoniens et matrices doivent satisfaire la condition de correspondance*

$$-g^{\perp}(J_a - R_a)\nabla H(x) = g^{\perp}[(J + J_a) - (R + J_a)]\nabla H_a(x),$$

où $g^{\perp}$ est un annihilateur à gauche au choix (qui satisfait $g^{\perp}g = 0$). La commande correspondante est

$$u = (g^{\top}g)^{-1}g^{\top}[(J_d - R_d)\nabla H_d(x) - (J - R)\nabla H(x)].$$

Cette condition de correspondance suit de l'égalité entre les équations dynamiques du système en boucle ouverte et en boucle fermée.

En fonction des éléments imposés dans cette équation, on a affaire à une méthode de résolution différente. La référence [182] offre plus d'informations à ce sujet et propose une version plus générale de la condition de correspondance.
Dans ce chapitre, le contrôle en temps fini est introduit. Dans la Section 5.1, on définit la stabilité en temps fini et explique pourquoi cette propriété peut être utile. La Section 5.2 est consacrée aux lois de commande (non linéaires) pour la stabilisation en temps fini d'EDOs, tandis que le cas des EDPs est mentionné dans la Section 5.3. Finalement, en Section 5.4, on mentionne des informations supplémentaires concernant le contrôle non asymptotique dont le contrôle en temps fini fait partie.

<table><caption>TABLE DES MATIÈRES</caption><tr><td>5.1 Introduction</td><td>39</td></tr><tr><td>5.1.1 Exemple introductif</td><td>39</td></tr><tr><td>5.1.2 Définition</td><td>40</td></tr><tr><td>5.1.3 Avantages et inconvénients du contrôle en temps fini</td><td>41</td></tr><tr><td>5.2 Contrôle en temps fini d'équations aux dérivées ordinaires</td><td>41</td></tr><tr><td>5.2.1 Méthodes de construction de lois de commande</td><td>41</td></tr><tr><td>5.2.2 Quelques lois de commande pour des EDOs</td><td>43</td></tr><tr><td>5.3 Contrôle en temps fini d'équations aux dérivées partielles</td><td>49</td></tr><tr><td>5.4 Autres types de commande non-asymptotique</td><td>49</td></tr></table>

## 5.1 INTRODUCTION

Le contrôle en temps fini concerne le fait d'atteindre un état d'équilibre en un temps fini, et non pas asymptotiquement, comme c'est souvent le cas avec des méthodes de contrôle plus standard. La question du contrôle en temps fini d'une EDO a été posée pour la première fois en 1966 par Roxin [221] puis en 1986 par Haimo [103], mais la recherche sur le temps fini s'intensifie dès les années 2000 [39]. Dans la présente section, on commence par un exemple introductif pour illustrer la stabilité en temps fini, avant d'en donner la définition mathématique et l'utilité.

### 5.1.1 Exemple introductif

On considère le système $\dot{x}(t) = u(t)$ avec un état initial $x_0 > 0$. On veut concevoir la loi de commande $u$ pour que l'état $x(t)$ atteigne 0 en un temps fini $T$. Nous comparons trois différentes lois de commande dont les trajectoires résultantes respectives sont montrées dans la Figure 5.1 et dont les détails sont listés dans le Tableau 5.1.

Il s'agit des trois lois de commande suivantes.

1) **RÉGULATEUR P** Une commande « P » (proportionnelle, [10]) génère une trajectoire exponentiellement décroissante, qui n'atteint 0 jamais exactement mais s'en approche éternellement (stabilité asymptotique).

2) **CONTRÔLE « TOUT OU RIEN »** (« bang-bang ») La commande appliquée égale une constante $U_{cst}$ multipliée par le signe de l'état. La trajectoire est alors une droite décroissante. En $x(t) = 0$, on applique l'entrée $u(t) = 0$. En réalité, à cause de la pente (vitesse) non nulle au moment où $x(t) = 0$, l'état deviendra légèrement négatif. Le contrôle repoussera l'état vers zéro mais il dépassera à nouveau dans le domaine positif,
<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>FIGURE 5.1 – Trajectoires du système $\dot{x}(t) = u(t)$ pour différentes lois de contrôle</figcaption></figure>

<table><caption>Tableau 5.1 – Détails des trois lois de commande. Calculs pour le cas $x(t) > 0$.</caption><thead><tr><th>contrôle</th><th>commande</th><th>trajectory</th><th>T</th></tr></thead><tbody><tr><td>régulateur P</td><td>u(t) = -Kx(t)</td><td>x(t) = x<sub>0</sub>e<sup>-Kt</sup></td><td>+∞</td></tr><tr><td>bang-bang</td><td>u(t) = -sign(x(t))U<sub>cst</sub></td><td>x(t) = x<sub>0</sub> - U<sub>cst</sub>t</td><td>x<sub>0</sub>/U<sub>cst</sub></td></tr><tr><td>temps fini</td><td>u(t) = -sign(x(t))|x(t)|<sup>α</sup>, α ∈ ]0,1[</td><td>x(t) = x<sub>0</sub> (1 - α) / √[1 - (1/α)<sup>α</sup>]</td><td>x<sub>0</sub><sup>1-α</sup> / (1-α)</td></tr></tbody></table>

et ainsi de suite... Ceci résulte en un mouvement de zig-zag (chattering, [147]) qui est indésiré dans une application réelle.

3) **CONTRÔLE EN TEMPS FINI** Nous voulons donc obtenir une trajectoire qui arrive en 0 avec une pente nulle. Il se trouve que c'est par exemple le cas avec la loi

$$u(t) = -\mathrm{sign}(x(t))|x(t)|^{\alpha} \triangleq -[x(t)]^{\alpha}, \alpha \in ]0,1[$$.

Nous observons que cette loi est non linéaire, contient une puissance fractionnaire et est non Lipschitz continue à l'origine [103]. On verra dans la suite que la condition $\alpha \in ]0,1[$ correspond à une condition d'homogénéité, qui garantit la stabilité en temps fini. Pour le cas $\alpha = 0$, on retrouve une loi de commande discontinue de type bang-bang, et pour le cas $\alpha = 1$, une trajectoire asymptotique.

Dans la suite de la présente section, après la définition formelle de la stabilité en temps fini, nous montrons comment de telles commandes peuvent être construites. Nous mentionnons ici déjà qu'il n'y a pas unicité de la loi en temps fini.

### 5.1.2 Définition

**Définition 5.1** (Stabilité en temps fini de l'origine [39]). Soit un système $\dot{x} = f(x)$. Soit $\Phi_t(x_0)$ l'évolution de l'état dans le temps étant donné un état initial $x_0$ à ($t = 0$).

L'origine dudit système est **stable en temps fini** sur un voisinage ouvert $U \subset \mathbb{R}^n$ si

1. (Convergence en temps fini) Il existe une fonction $T: U \setminus \{0\} \to \mathbb{R}^+$ telle que pour tout $x_0 \in U \setminus \{0\}$, l'évolution $\Phi_t(x_0)$ est définie et unique sur $[0, T(x_0)]$ et

$$\lim_{t \to T(x_0)} \Phi_t(x_0) = 0.$$

On appelle $T(\cdot)$ la fonction de temps d'établissement (settling time) du système.
2. (Stabilité au sens de Lyapunov) Il existe une fonction $\delta \in K$ telle que pour tout $x_0 \in U$, 
$$ ||\Phi_t(x_0)|| \le \delta(||x_0||) \text{ pour tout } t \ge 0. $$

Si $U = \mathbb{R}^n$, on appelle le système **globalement stable en temps fini**. Si seulement la propriété (1) est satisfaite, l'origine est dite **attractive en temps fini**.

On voit que la propriété de stabilité en temps fini est plus stricte que la stabilité asymptotique au sens de Lyapunov (cf. la Définition 3.6).

### 5.1.3 Avantages et inconvénients du contrôle en temps fini

Voici quelques remarques sur le contrôle en temps fini, avec lequel une cible (point d'équilibre ou trajectoire de référence) peut être atteinte dans un temps fini.

#### 5.1.3.1 Avantages

- Le contrôle en temps fini est utile pour des applications avec des contraintes de temps.

- Il y a certains résultats qui montrent que le contrôle en temps fini a des propriétés de robustesse supérieures par rapport à d'autres types de contrôle comme le contrôle asymptotique et exponentielle (p.ex. dans [39] concernant le rejet de perturbations).

#### 5.1.3.2 Inconvénients

- Il n'y a souvent pas d'expression analytique pour le temps d'établissement $T$ (mais parfois on a une borne supérieure). De ce fait, la méthode de conception d'un contrôleur pour un $T$ donné par une application n'est pas toujours évidente.

- Le système contrôlé en temps fini n'est pas Lipschitz continu à l'état cible. De ce fait, le système devient de plus en plus raide lorsque l'état se rapproche du point d'équilibre. Cette propriété peut mener à des difficultés numériques lors d'une simulation ou implémentation sur un microcontrôleur (voir plus bas).

## 5.2 CONTRÔLE EN TEMPS FINI D'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES ORDINAIRES

Dans la présente section, on énonce des méthodes de construction de lois de commande en temps fini pour des EDOs (Sous-section 5.2.1), et on donne quelques exemples de lois de commande ainsi obtenues (Sous-section 5.2.2).

### 5.2.1 Méthodes de construction de lois de commande

Étant donné la définition de la stabilité en temps fini, nous plusieurs méthodes de conception de lois en temps fini pour un système EDO donné ont été développées.

#### 5.2.1.1 Fonctions de Lyapunov strictes

Si l'on peut trouver une commande $u(x, t)$ et une fonction de Lyapunov de contrôle $V(x(t), u(t))$ associée, qui satisfasse

$$ \dot{V}(x(t), u(t)) \le -k[V(x(t), u(t))]^\alpha, \quad (5.1) $$

avec $k > 0, \alpha \in ]0, 1[$, alors cette loi stabilise le système en temps fini [12, 39, 40]. La difficulté est qu'il n'est pas toujours facile de trouver une telle fonction de Lyapunov. Des exemples de lois construites avec cette méthode sont [117, 120, 267, 270].

Il existe aussi un théorème inverse : chaque système stabilisé en temps fini admet une fonction de Lyapunov stricte.
### 5.2.1.2 Homogénéité

On définit d'abord la notion d'homogénéité dont on a besoin.

**Définition 5.2** (Homogénéité d'une fonction et d'un champ de vecteurs [112]). Soient $\lambda > 0$ un nombre réel strictement positif et $r$ un vecteur de n poids $r_i > 0$ strictement positifs. Soit l'opérateur de dilatation $\Lambda_r$ tel que

$$ \Lambda_r \mathbf{x} \triangleq [ \dots \ \lambda^{r_i} x_i \ \dots ]^\mathrm{T}. $$

— Une fonction $f(\mathbf{x}) : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ est homogène si l'on peut l'écrire comme

$$ f(\Lambda_r \mathbf{x}) = \lambda^\nu f(\mathbf{x}). $$

— Un champ de vecteurs $f(\mathbf{x}) : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ est homogène si l'on peut l'écrire comme

$$ f(\Lambda_r \mathbf{x}) = \lambda^\nu \Lambda_r f(\mathbf{x}). \qquad (5.2) $$

L'exposant $\nu \in \mathbb{R}$ s'appelle le degré d'homogénéité.

**Remarque 1** – Le degré d'homogénéité $\nu$ est fixé à un facteur multiplicatif strictement positif près, puisque l'on peut multiplier les composants du vecteur de poids $r$ par un même facteur multiplicatif.

**Remarque 2** – Dans [196, Section 3.1], on utilise une définition alternative d'homogénéité « généralisée », qui est équivalente à la Définition 5.2 et sera utilisée dans la Sous-sous-section 11.6.2.1. Cette définition est la suivante.

**Définition 5.3** (Homogénéité généralisée d'une fonction et d'un champ de vecteurs [196, Déf. 3.6]).

— Une fonction $f(\mathbf{x}) : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ est **d-homogène** si l'on peut l'écrire comme

$$ f(\mathbf{d}(s)\mathbf{x}) = e^{\nu s} f(\mathbf{x}), \quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \setminus \{\mathbf{0}\}, \forall s \in \mathbb{R}. $$

— Un champ de vecteurs $f(\mathbf{x}) : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ est homogène si l'on peut l'écrire comme

$$ f(\mathbf{d}(s)\mathbf{x}) = e^{\nu s} \mathbf{d}(s) f(\mathbf{x}), \quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \setminus \{\mathbf{0}\}, \forall s \in \mathbb{R}. $$

Ici, $\mathbf{d}(s)$ est une dilatation [196, Déf. 3.1] comme la dilatation uniforme

$$ \mathbf{d}_1(s) \triangleq e^s \mathbf{I}_n $$

ou la dilatation pondérée

$$ \mathbf{d}_2(s) \triangleq \mathrm{diag}(e^{r_1 s}, e^{r_2 s}, \dots, e^{r_n s}), \quad r_i > 0. $$

**Remarque 3** – Si un système non linéaire est homogène, certaines propriétés locales peuvent devenir globales [12, 196].

La propriété d'homogénéité est utilisée pour la construction de lois de commande selon le lemme suivant.

**Lemme 5.1** (Stabilité en temps fini d'un système homogène à degré d'homogénéité strictement négatif [12, 216]). Si un système EDO est asymptotiquement stable, et homogène à degré d'homogénéité strictement négatif, alors le système est aussi stable en temps fini.

Si l'on peut construire une commande $u(t)$ qui rend le champ de vecteurs

$$ \dot{x}(t) = f(\mathbf{x}(t), u(t)) $$

homogène d'un degré d'homogénéité $\nu$ strictement négatif, la stabilité asymptotique est donc une condition suffisante pour la stabilité en temps fini. (On note que l'on peut parfois aussi construire une approximation homogène autour du point de l'équilibre pour obtenir une stabilisation en temps fini locale [8].)
### 5.2.1.3 Fonctions de Lyapunov implicites

Cette méthode n'est pas précisée ici. Se référer à [197, 198].

### 5.2.2 Quelques lois de commande pour des EDOs

#### 5.2.2.1 Loi additive pour un intégrateur d'ordre n

**INTÉGRATEUR SIMPLE** Considérons l'intégrateur simple

$$ \dot{x}(t) = u(t) \tag{5.3} $$

avec l'état $x \in \mathbb{R}$. La stabilité en temps fini de l'origine peut être obtenue avec la loi de commande décrite dans le lemme suivant.

**Lemme 5.2** (Contrôle en temps fini de l'intégrateur simple). *L'origine 0 est un point d'équilibre stable en temps fini pour l'intégrateur simple (5.3) contrôlé par la loi de commande*

$$ u(t) = -k[x(t)]^\alpha \tag{5.4} $$

avec $\alpha \in ]0, 1[, k > 0$ et

$$ [x(t)]^\alpha \triangleq \operatorname{sign}(x(t))|x(t)|^\alpha. $$

La loi de commande définie par (5.4) est illustrée dans la Figure 5.2 pour différentes valeurs du paramètre $\alpha$. On note à nouveau que pour la limite $\alpha \to 1$, on retrouve un contrôleur linéaire $u(t) = -kx(t)$, et pour la limite $\alpha \to 0$, on retrouve un contrôleur discontinu $u(t) = -k\operatorname{sign}(x(t))$.

Dans l'Annexe B, des règles de calcul pour les crochets figurant dans cette loi sont énoncées.

**Démonstration.** L'intégrateur simple (5.3) contrôlé par la loi de commande (5.4) correspond au système en boucle fermée

$$ \dot{x}(t) = -k[x(t)]^\alpha. \tag{5.5} $$

On définit la fonction de Lyapunov<fnref n="1" />

$$ V(x(t)) \triangleq \frac{x^2}{2} > 0. $$

On calcule que

$$ \begin{aligned} \dot{V}(x(t)) &= \partial_{x(t)} V(x(t)) \dot{x}(t) = x(t) \cdot (-k[x(t)]^\alpha) \\ &= -k[x]^1 \cdot [x(t)]^\alpha = -k|x(t)|^{\alpha+1} < 0, \end{aligned} $$

puisque $k > 0$. D'après la 1ère méthode de Lyapunov (cf. Lemme 3.2), l'origine est un point d'équilibre asymptotiquement stable du système (5.5).

On montre que le champ de vecteurs $f(x)$ du système en boucle fermée (5.5) est homogène. La condition (5.2) se traduit en

$$ \begin{aligned} -k\lambda^{r_1}x(t)]^\alpha &= -\lambda^\nu\lambda^{r_1}k[x(t)]^\alpha \quad \text{avec } \lambda > 0, r_1 > 0 \\ -k\lambda^{r_1\alpha}[x(t)]^\alpha &= -k\lambda^{\nu+r_1}[x(t)]^\alpha \\ \nu &= (\alpha - 1)r_1. \end{aligned} $$

Pour un choix du vecteur de poids

$$ \boldsymbol{r} = \left[ \frac{1}{\alpha} \right], $$

<footnote n="1">1. On pourrait aussi utiliser la fonction de Lyapunov $V(x) = |x|$.</footnote>
on obtient un degré d'homogénéité

$$v = \frac{\alpha - 1}{\alpha}.$$

Ce degré d'homogénéité est strictement négatif pour des valeurs du paramètre $\alpha \in ]0, 1[$.

En utilisant le Lemme 5.1, on conclut que l'origine est un point d'équilibre stable en temps fini du système (5.5). □

<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>FIGURE 5.2 – Loi de commande (5.4) avec paramètres $k = 1$ et différentes valeurs de $\alpha$</figcaption></figure>

**Expression analytique pour la trajectoire et le temps d'établissement** Dans le cas de l'intégrateur simple (5.3) contrôlé par la loi de commande (5.4), il est possible d'obtenir une expression analytique pour la trajectoire du système bouclé (5.5), ainsi qu'une expression analytique pour le temps d'établissement $T(x_0)$.

Calcul de la trajectoire à partir d'une condition initiale $x_0 = x(0)$.

- Pour $x_0 > 0, x(t) > 0$, on a que $|x(t)|^\alpha = x(t)^\alpha$ et on obtient

$$\dot{x}(t) = -kx(t)^\alpha$$

$$\int_{x_0}^{x(t)} x(t)^{-\alpha} dx(t) = - \int_{0}^{t} k dt$$

$$\frac{x(t)^{1-\alpha}}{1-\alpha} \Big|_{x_0}^{x(t)} = (-kt)|_{0}^{t}$$

$$x(t) = \sqrt[1-\alpha]{x_0^{1-\alpha} - (1-\alpha)kt}.$$

La trajectoire atteint zéro quand le radical vaut zéro, c'est-à-dire, pour un temps

$$t = \frac{x_0^{1-\alpha}}{k(1-\alpha)}.$$

On l'appelle le temps d'établissement $T(x_0)$ (ici dans le cas $x_0 > 0$).

- Pour $x_0 = 0$, on a $x(t) = 0$ avec un temps d'établissement $T(x_0) = 0$.

- Pour $x_0 < 0, x(t) < 0$, on a que $|x(t)|^\alpha = -|x(t)|^\alpha$ et on obtient
$$
\begin{align*}
\dot{x}(t) &= +k|x(t)|^{\alpha} \\
\int_{x_0}^{x(t)} |x(t)|^{-\alpha} \, dx(t) &= \int_{0}^{t} k \, dt \\
\frac{\operatorname{sign}(x(t)) |x(t)|^{1-\alpha}}{1-\alpha} \Bigg|_{x_0}^{x(t)} &= (kt)|_0^t \\
|x(t)| &= \sqrt[1-\alpha]{|x_0|^{1-\alpha} - (1-\alpha)kt} \\
x(t) &= -\sqrt[1-\alpha]{|x_0|^{1-\alpha} - (1-\alpha)kt}.
\end{align*}
$$

Dans ce cas, le temps d'établissement vaut $T(x_0) = \frac{|x_0|^{1-\alpha}}{k(1-\alpha)}$.

- En conclusion, on obtient la trajectoire

$$
x(t) = \begin{cases} \operatorname{sign}(x_0) \sqrt[1-\alpha]{|x_0|^{1-\alpha} - (1-\alpha)kt} & \quad \text{si } t < T(x_0) \\ 0 & \quad \text{si } t \ge T(x_0), \end{cases} \qquad (5.6)
$$

avec le temps d'établissement

$$
T(x_0) = \frac{|x_0|^{1-\alpha}}{k(1-\alpha)}. \qquad (5.7)
$$

L'évolution temporelle des trajectoires de la boucle fermée (5.5) selon l'Équation (5.6)
est affichée dans la Figure 5.3, pour deux conditions initiales et différentes paires de
paramètres de contrôle (k, α). Les temps d'établissement correspondants calculés avec
l'Eq. (5.7) sont montrées dans le Tableau 5.2.

<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>FIGURE 5.3 – Trajectoires de la boucle fermée (5.5) d’après l’Équation (5.6) pour conditions initiales $x_0 \in \{3, -2\}$ et différentes paires de paramètres de contrôle $(k, \alpha)$ indiquées sur la Figure. Les points indiquent les états initiaux et les moments où un état atteint zéro.</figcaption></figure>

L'influence de l'état initial x₀ et des paramètres de contrôle (k, α) sur le temps d'établissement T(x₀) selon l'Éq. (5.7) est montrée graphiquement dans la Figure 5.4. Dans le cas de l'intégrateur simple, pour une application avec un état initial x₀ connu et un temps d'établissement désiré, on est capable de concevoir les paramètres de la
<table><caption>Tableau 5.2 – Temps d’établissement correspondant aux trajectoires de la Figure 5.3.</caption><thead><tr><th>x<sub>0</sub></th><th>k</th><th>α</th><th>T(x<sub>0</sub>)</th></tr></thead><tbody><tr><td>3</td><td>1</td><td>1/2</td><td>3.464</td></tr><tr><td>3</td><td>1</td><td>2/5</td><td>3.222</td></tr><tr><td>-2</td><td>1</td><td>1/2</td><td>2.828</td></tr><tr><td>-2</td><td>2</td><td>1/2</td><td>1.414</td></tr></tbody></table>

loi de commande $(k, \alpha)$. Dans le cas d'autres lois de commande en temps fini, on ne dispose pas d'une relation analytique entre les paramètres de contrôle et le temps d'établissement, donc il faut utiliser des méthodes de simulation pour choisir leurs valeurs.

<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>FIGURE 5.4 – Influence de l'état initial $x_0$ et des paramètres de contrôle $(k, \alpha)$ sur le temps d'établissement $T(x_0)$</figcaption></figure>

### INTÉGRATEUR DOUBLE
Après l'intégrateur simple, considérons maintenant l'intégrateur double

$$ \begin{cases} \dot{x}_1(t) = x_2(t) \\ \dot{x}_2(t) = u(t), \end{cases} \qquad (5.8) $$

avec l'état $x(t) = [x_1(t) \ x_2(t)]^T \in \mathbb{R}^2$. La stabilité en temps fini de l'origine peut être obtenue avec la loi de commande décrite dans le lemme suivant.
**Lemme 5.3** (Contrôle en temps fini de l'intégrateur double [39]). L'origine 0 est un point d'équilibre stable en temps fini pour l'intégrateur double (5.8) contrôlé par la loi de commande

$$u(t) = -k_1[x_1(t)]^{\frac{\alpha}{2-\alpha}} - k_2[x_2(t)]^{\alpha} \quad (5.9)$$

avec $\alpha \in ]0,1[$ et $k_1, k_2 > 0$.

**Démonstration.** La preuve repose sur la fonction de Lyapunov [31]

$$V(x) = k_1 \frac{2-\alpha}{2} |x_1|^{\frac{2}{2-\alpha}} + \frac{x_2^2}{2} > 0 \quad (5.10)$$

On calcule que

$$ \begin{aligned} \dot{V}(x) &= \nabla_x V(x)^\mathrm{T} \dot{x} \\ &= k_1 |x_1|^{\frac{\alpha}{2-\alpha}} x_2 + x_2 \left( -k_1 |x_1|^{\frac{\alpha}{2-\alpha}} - k_2 |x_2|^{\alpha} \right) \\ &= -k_2 |x_2|^{\alpha+1} \le 0. \end{aligned} $$

Cette expression vaut 0 pour tout $x = [x_1 \ 0]^\mathrm{T}$ donc elle est semi-définie négative. La stabilité asymptotique du double intégrateur contrôlé par la loi de commande (5.9) est obtenue d'après le Lemme de LaSalle (3.3) : $\dot{V}(x) = 0 \Rightarrow x_2 = 0 \Rightarrow \dot{x}_2 = 0 \stackrel{(5.8)}{\Rightarrow} x_1 = 0$.

Par construction, la loi de commande (5.9) rend le double intégrateur en boucle fermée (5.8) homogène. La condition (5.2) se traduit en

$$ \left[ \begin{array}{c} \lambda^{r_2} \\ -k_1[\lambda^{r_1}x_1]^{\frac{\alpha}{2-\alpha}} - k_2[\lambda^{r_2}x_2]^{\alpha} \end{array} \right] = \lambda^{\nu} \left[ \begin{array}{c} \lambda^{r_1}x_2 \\ \lambda^{r_2} \left( -k_1[x_1]^{\frac{\alpha}{2-\alpha}} - k_2[x_2]^{\alpha} \right) \end{array} \right], $$

donc

$$ \left\{ \begin{array}{l} r_2 = \nu + r_1 \\ r_1 \frac{\alpha}{2-\alpha} = \nu + r_2 \\ r_2 \alpha = \nu + r_2. \end{array} \right. $$

Ce système est sous-déterminé. Pour un choix du vecteur de poids

$$r = \begin{bmatrix} \frac{1}{\alpha} & \frac{2-\alpha}{2} \end{bmatrix},$$

on obtient un degré d'homogénéité

$$\nu = \frac{\alpha - 1}{\alpha}.$$

Ce degré d'homogénéité est strictement négatif pour des valeurs du paramètre $\alpha \in ]0,1[$.

Dans le cas d'un degré d'homogénéité strictement négatif, le système en boucle fermée asymptotiquement stable est aussi stable en temps fini (Lemme 5.1). $\square$

## Remarques

- Une version alternative de la loi de commande avait été proposée dans [103] :

$$u(t) = -k_1[x_1(t)]^{\beta} - k_2[x_2(t)]^{\alpha},$$

avec $\beta > \frac{\alpha}{2-\alpha}$, tandis que dans la loi de commande ci-dessus [39], $\beta = \frac{\alpha}{2-\alpha}$.

- La loi de commande (5.9) est un cas spécifique de la loi de Bhat & Bernstein (5.13) pour le cas $n$ général mentionnée ci-dessous.
– Il existe d'autres fonctions de Lyapunov pour le double intégrateur (5.8)-(5.8). On peut citer la fonction de Lyapunov stricte [275, Théorème 3.4]

$$V(x) = k_1 \frac{2-\alpha}{2} |x_1|^{\frac{2}{2-\alpha}} + \frac{x_2^2}{2} + \varepsilon |x_1|^{\frac{1}{2-\alpha}}.$$

Il existe un $\varepsilon_0 > 0$ tel que $\forall \varepsilon \in ]0, \varepsilon_0[$,

$$\dot{V} \leq -c(\varepsilon)V^{\frac{\alpha+1}{2}},$$

avec $c(\varepsilon) > 0$.

Dans [183], on introduit une fonction de Lyapunov locale ad hoc de la forme

$$V(x) = k_1 \frac{2-\alpha}{2} |x_1|^{\frac{2}{2-\alpha}} + \frac{x_2^2}{2} + \kappa_1 x_1 x_2 |x_2| + \kappa_1 \kappa_2 |x_1|^{\frac{4-\alpha}{2(2-\alpha)}} \mathrm{sign}(x_1) x_2 |x_2|^\alpha \\ + 2\kappa_1 \kappa_2 \kappa_3 x_1^3 x_2 |x_2|^{\frac{\alpha}{2}} + \kappa_1 \kappa_2 \kappa_3 \kappa_4 x_1^5 x_2, \quad (5.11)$$

avec $\kappa_i$ des constantes positives satisfaisant certaines inégalités.

– Une autre loi de commande pour le double intégrateur a été présentée par Bhat & Bernstein dans [38]. Elle a été développée en utilisant la théorie des modes glissants.

Loi :

$$u(x) = -|x_2|^\alpha - \left| x_1 + \frac{1}{2-\alpha} |x_2|^{2-\alpha} \right|^{\frac{\alpha}{2-\alpha}}.$$

Fonction de Lyapunov candidate :

$$V(x) = \frac{2-\alpha}{3-\alpha} |x_1 + \frac{1}{2-\alpha} |x_2|^{2-\alpha}|^{\frac{3-\alpha}{2-\alpha}} + s \left( x_1 + \frac{1}{2-\alpha} |x_2|^{2-\alpha} \right) x_2 + \frac{r}{3-\alpha} |x_2|^{3-\alpha},$$

avec $r$ et $s$ positifs.

## INTÉGRATEUR D'ORDRE $n$

Les lois de commande additifs pour le simple et double intégrateur peuvent être généralisées de la manière suivante.

### • Une approche par continuité [40]

**Théorème 5.1** (Contrôle en temps fini d'un intégrateur d'ordre $n$ (Bhat & Bernstein [40]). Soient $k_1, \dots, k_n$ tels que le polynôme $s^n + k_n s^{n-1} + \dots + k_2 s + k_1$ est Hurwitz, et soit le système

$$\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1 = x_2 \\ \vdots \\ \dot{x}_{n-1} = x_n \\ \dot{x}_n = u. \end{array} \right. \qquad (5.12)$$

Il existe un $\varepsilon \in ]0, 1[$ tel que, pour tout $\alpha \in ]1 - \varepsilon, 1[$, l'origine est globalement stabilisée en temps fini pour le système (5.12) contrôlé par

$$u = \chi_a(x_1, \dots, x_n) = -k_1 |x_1|^{\alpha_1} - \dots - k_n |x_n|^{\alpha_n} \qquad (5.13)$$

où les $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ satisfont

$$\alpha_{i-1} = \frac{\alpha_i \alpha_{i+1}}{2\alpha_{i+1} - \alpha_i}, \quad i = 2, \dots, n,$$

avec $\alpha_{n+1} = 1$ et $\alpha_n = \alpha$.
L'inconvénient de ce résultat est, contrairement au cas du simple et double intégrateur étudiés ci-dessus, que l'on ne connaît pas de fonction de Lyapunov et que l'on ne connaît pas la borne inférieure de l'intervalle pour $\alpha$. Dans la thèse d'Emmanuel Moulay [173], on conjecture que la plus petite valeur pour $\alpha$ serait $\frac{1}{n}$, mais ce n'est pas prouvé<fnref n="2" />.

### 5.2.2.2 D'autres lois de commande

Pour un intégrateur d'ordre $n$, on a aussi d'autres approches, différentes de la loi de commande additive mentionnée ci-dessus.

* Une approche géométrique de Praly [200]

* Des méthodes récursives de Hong [116] et d'Andréa-Novel, Coron & Perruquetti [275] qui permettent d'obtenir des lois de commande et des fonctions de Lyapunov pour un système d'ordre $n$ de façon itérative supposant qu'un sous-système d'ordre $n-1$ est contrôlé en temps fini avec une loi de commande et une fonction de Lyapunov connues.

* Une méthode utilisant des inégalités matricielles de Zimenko, Polyakov, Efimov & Perruquetti [271].

## 5.3 CONTRÔLE EN TEMPS FINI D'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

Le contrôle en temps fini d'EDPs est un sujet de recherche actif. On peut mentionner des résultats comme [6, 81, 162, 195] et le cas de [69] qui sera utilisé dans le Chapitre 11.

## 5.4 AUTRES TYPES DE COMMANDE NON-ASYMPTOTIQUE

La stabilité en temps fini (finite-time stability) décrite dans ce chapitre est une forme de stabilité non asymptotique, où le temps d'établissement dépend de l'état initial. Il existe d'autres variantes de stabilité non asymptotique, comme la stabilité en temps fixe (fixed-time stability, [193]), où il existe une borne supérieure sur le temps d'établissement, pour n'importe quel état initial, et la stabilité en temps préscrit (prescribed-time stability, [234]), une stabilité à temps fixe où la borne supérieure sur le temps d'établissement peut être imposée par construction.

On mentionne aussi qu'en temps discret, il existe le dead beat control, qui réalise une stabilisation en temps fini quand la matrice d'état en boucle fermée est nilpotente : pour le cas d'un système linéaire $x_{k+1} = Ax_k + Bu_k$ avec $u_k = -Kx_k$, si

$$ \exists k^* : (A - BK)^{k^*} = 0 \quad \Rightarrow \quad x_{k^*} = (A - BK)^{k^*} x_0 = 0. $$

<footnote n="2">2. Je remercie Emmanuel Bernuau pour une discussion concernant ces lois de commande en temps fini.</footnote>
<figure><img src="image_35.png" /></figure>
Troisième partie

VERS LE CONTRÔLE PASSIF EN TEMPS FINI D'UN
SYSTÈME EDO DANS LE FORMALISME DES SYSTÈMES
HAMILTONIENS À PORTS
<figure><img src="image_36.png" /></figure>
CONTRÔLE PASSIF EN TEMPS FINI DU DOUBLE INTÉGRATEUR AVEC UNE APPLICATION À UN HAUT-PARLEUR COMME ABSORBEUR ÉLECTROACOUSTIQUE

Ce chapitre est concerné avec l'interprétation d'un double intégrateur contrôlé en temps fini comme un Système Hamiltonien à Ports (SHP) dans le but d'obtenir une version passive de la loi de commande, permettant de garantir de la robustesse contre une mauvaise estimation des paramètres physiques du modèle. Dans la Section 6.1, le modèle SHP d'un système masse-ressort-amortisseur (non) linéaire est donné. À partir de cet exemple d'un système EDO du deuxième ordre qui sera contrôlé en temps fini, on montre comment obtenir une version passive de cette loi de commande (Section 6.2). Dans la Section 6.3, la loi passive sera utilisée pour contrôler la position d'un haut-parleur dans une application d'absorbeur électroacoustique. Une perspective serait d'essayer de généraliser la loi de commande passive en temps fini au cas d'un système d'ordre *n* quelconque (Section 6.4).

Ce chapitre reprend les informations des articles [W4] et [W5].

TABLE DES MATIÈRES

<table><tbody><tr><td>6.1</td><td>Modèle SHP d'un système masse-ressort-amortisseur</td><td>53</td></tr><tr><td>6.1.1</td><td>Modèle linéaire</td><td>53</td></tr><tr><td>6.1.2</td><td>Modèle non linéaire</td><td>55</td></tr><tr><td>6.2</td><td>Loi de commande passive en temps fini</td><td>55</td></tr><tr><td>6.2.1</td><td>Commande asymptotique par remodelage d'énergie et réallocation d'amortissement (IDA-PBC)</td><td>55</td></tr><tr><td>6.2.2</td><td>Commande en temps fini</td><td>56</td></tr><tr><td>6.2.3</td><td>Obtention d'une loi passive en temps fini</td><td>58</td></tr><tr><td>6.2.4</td><td>Simulation</td><td>59</td></tr><tr><td>6.3</td><td>Application au contrôle d'un haut-parleur comme absorbeur électroacoustique</td><td>61</td></tr><tr><td>6.3.1</td><td>Contexte</td><td>63</td></tr><tr><td>6.3.2</td><td>Modèle électroacoustique</td><td>63</td></tr><tr><td>6.3.3</td><td>Conception de la loi de commande</td><td>64</td></tr><tr><td>6.3.4</td><td>Simulation numérique</td><td>66</td></tr><tr><td>6.4</td><td>Perspectives</td><td>68</td></tr></tbody></table>

## 6.1 MODÈLE SHP D'UN SYSTÈME MASSE-RESSORT-AMORTISSEUR

### 6.1.1 Modèle linéaire

#### 6.1.1.1 EDO et représentation d'état

Considérons un oscillateur mécanique linéaire amorti (masse-amortisseur-ressort) de masse *m*, d'amortissement *c* et de raideur *k*, excité par une force extérieure *f*<sub>ext</sub> (Figure 6.1). Cet oscillateur est décrit par l'équation différentielle ordinaire

$$m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = f_{\text{ext}}$$

où la position de la masse est repérée par rapport à l'équilibre ($x = 0$ au repos).
Ce système d'entrée $u = f_{ext}$ admet la représentation d'état suivante :

$$ \begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{m} \\ -k & -\frac{c}{m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} u, \qquad (6.1) $$

dans laquelle l'état $x \triangleq [x_1 \ x_2]^T$ est défini par $x_1 \triangleq x$ (position), $x_2 \triangleq p = m\dot{x}$ (quantité de mouvement) et initialisé par $x(0) = x_0 \in \mathbb{R}^2$.

<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>FIGURE 6.1 – Système masse-ressort-amortisseur</figcaption></figure>

En fonction des capteurs à disposition, nous définissons la sortie mesurée :

$$ y_{\text{mes}} = Cx. \qquad (6.2) $$

### 6.1.1.2 Modèle SHP

Dans l'oscillateur considéré ici, on a une échange d'énergie entre la masse et le ressort, une dissipation d'énergie à travers l'amortissement, et l'apport d'une énergie externe à travers le port formé par la force extérieure qui travaille selon la vitesse produite par le système.

Son énergie est composée de l'énergie potentielle du ressort ($kx^2/2$) et de l'énergie inertielle de la masse ($p^2/(2m)$). Le Hamiltonien est donc donné par :

$$ H(x) = \frac{1}{2} k x_1^2 + \frac{1}{2m} x_2^2. \qquad (6.3) $$

Comme montrée dans la Sous-section 4.1.1, à partir de l'équation dynamique (6.1) et suivant la Définition 4.1, nous obtenons le modèle sous forme SHP :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \left( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & c \end{bmatrix} \right) \begin{bmatrix} kx_1 \\ \frac{1}{m}x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} u \\ \\ y = \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} kx_1 \\ \frac{1}{m}x_2 \end{bmatrix}. \end{array} \right. \qquad (6.4) $$

On peut remarquer que $\nabla H(x)$ isole les lois constitutives des composants stockants, que la première ligne décrit l'égalité des vitesses pour la masse et du ressort, et que la seconde exprime un bilan de forces : ces deux lignes expriment en fait une connexion rigide entre les composants.

La matrice *J* représente l'échange d'énergie entre le ressort et la masse, et la matrice *R* représente la dissipation d'énergie par l'amortisseur.

On remarque également que l'on ne peut choisir la signification physique de la sortie du modèle SHP : elle est impliquée par le choix de l'entrée. L'entrée étant la force extérieure, la sortie doit être la vitesse de son point de contact pour que leur produit exprime la puissance apportée au système par ce point de contact (port d'interconnexion).
### 6.1.2 Modèle non linéaire

Le formalisme des SHP nous permet de faire une extension immédiate du contrôle à un système non linéaire. Nous considérons le cas d'un ressort raidissant, avec la loi constitutive

$$F_r = kL \sinh\left(\frac{x_1}{L}\right),$$

avec L l'elongation critique.

Cet oscillateur peut être modélisé comme un SHP de forme (6.4), avec les mêmes matrices *J* et *R* que dans le cas du ressort linéaire, mais avec le Hamiltonien

$$H(x) = kL^2 \left[ \cosh\left(\frac{x_1}{L}\right) - 1 \right] + \frac{1}{2m} x_2^2.$$

## 6.2 LOI DE COMMANDE PASSIVE EN TEMPS FINI

Dans la présente section, on applique deux méthodes de commande différentes dans le but de stabiliser l'oscillateur passif linéaire sur un état d'équilibre cible qui sont examinées, comparées, puis associées.

La première approche repose sur le formalisme des Systèmes Hamiltoniens à Ports (systèmes passifs admettant un bilan de puissance équilibré) et une méthode de contrôle s'appuyant sur la passivité, par remodelage d'énergie et réallocation d'amortissement (méthode dite IDA-PBC, Sous-section 6.2.1). Cette méthode s'appuie sur une fonction de Lyapunov, qui correspond à une énergie physique naturelle du système.

La seconde approche repose sur une représentation d'état standard du système et une méthode de contrôle non linéaire, permettant d'atteindre un point d'équilibre en un temps fini (Sous-section 6.2.2), propriété utile pour des applications avec des contraintes de temps. Cette méthode s'appuie sur une analyse par fonction de Lyapunov homogène.

Dans la Sous-section 6.2.3 on montre alors que cette méthode de contrôle en temps fini admet une reformulation passive de type SHP, à partir de la fonction de Lyapunov et une interprétation comme un contrôle IDA-PBC.

Enfin, dans la Sous-section 6.2.4 on effectue une simulation du système original ((non) linéaire) et du système bouclé (non linéaire).

### 6.2.1 Commande asymptotique par remodelage d'énergie et réallocation d'amortissement (IDA-PBC)

Le formalisme des SHP nous permet de construire des lois de commande basées sur l'énergie. Dans cet article, le but est de contrôler le système vers l'origine et vers un autre point d'équilibre non nul

$$x^* \triangleq \left[ x_1^* \quad 0 \right]^T.$$

Nous appliquons deux méthodes : le remodelage d'énergie (Sous-sous-section 6.2.1.1) et l'IDA-PBC (Sous-sous-section 6.2.1.2).

#### 6.2.1.1 Remodelage d'énergie

Le Hamiltonien $H(x)$ (Éq. 6.1) a un minimum au point d'équilibre $[0 \quad 0]^T$. C'est une fonction de Lyapunov du système sans contrôle, pour lequel l'état évolue vers ce point d'équilibre.

La méthode par remodelage d'énergie consiste à construire un nouveau Hamiltonien $H_d(x)$ qui a un minimum à un autre point d'équilibre vers lequel on veut contrôler le système.
Ici, nous définissons un Hamiltonien cible d'équilibre $\boldsymbol{x}^* = [\boldsymbol{x}_1^* \ 0]^T$ :

$$H_d(\boldsymbol{x}) = \frac{1}{2}(k+K)(\boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_1^*)^2 + \frac{1}{2m}\boldsymbol{x}_2^2 + \kappa, \qquad (6.5)$$

avec $K > 0$ une raideur positive au choix. La constante $\kappa$ est choisie pour assurer la positivité de $H_d$. Les calculs conduisent à

$$\kappa = \boldsymbol{x}_1^{*2} \frac{k(k+K)}{2K}.$$

La condition de correspondance de la Sous-section 4.3.1 et le modèle en SHP (6.4) conduisent à la loi de commande

$$u = -K(\boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_1^*) + k\boldsymbol{x}_1^*.$$

Ainsi, cette méthode génère des lois à partir d'une énergie cible, qui conduit ici à un simple régulateur proportionnel.

### 6.2.1.2 IDA-PBC

La méthode IDA-PBC (Interconnection and Damping Assignment Passivity-Based Control, [182]) consiste à associer le remodelage d'énergie ($H_d(\boldsymbol{x})$) à un changement des matrices d'interconnexion ($J_d$) et de dissipation ($R_d$). Le système d'origine $\dot{\boldsymbol{x}} = (\boldsymbol{J} - \boldsymbol{R})\nabla H(\boldsymbol{x})$ est remplacé par le système cible

$$\dot{\boldsymbol{x}} = (\boldsymbol{J}_d - \boldsymbol{R}_d)\nabla H_d(\boldsymbol{x}) \qquad (6.6)$$

par l'action du contrôle. L'entrée qui effectue ceci peut être obtenue par la condition de correspondance de la Sous-section 6.2.1.2.

Nous imposons le Hamiltonien $H_d(\boldsymbol{x})$ (Éq. 6.5) et calculons les conditions sur les matrices $J_a$ et $R_a$ (supposées constantes), issues de la condition de correspondance et du fait que $J_a = -J_a^T$ et $R_a = R_a^T \ge 0$.

Nous obtenons les matrices

$$J_a = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad R_a = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & D \end{bmatrix},$$

avec $D \ge 0$, et la commande

$$u = -Kx_1 + (k+K)x_1^* - D \frac{x_2}{m}.$$

On a affaire à la commande obtenue précédemment par le remodelage d'énergie à laquelle est ajoutée une injection d'amortissement $D$; ou encore à un régulateur proportionnel-différentiel.

### 6.2.2 Commande en temps fini

Dans la sous-section précédente, nous avons introduit un contrôle linéaire (de type PID), pour lequel le système connaît une évolution exponentielle dans le temps. L'état se rapproche donc en permanence de l'état cible. Dans la présente section, nous voulons appliquer un contrôle en temps fini, où l'état atteint l'état cible dans un temps fini.

On utilisera la loi de commande en temps fini pour le double intégrateur suivante (cf. la Sous-sous-section 5.2.2.1).

**Lemme 6.1** (Contrôle en temps fini du double intégrateur [39]). La commande

$$v = -k_1[z_1]^{\frac{\alpha}{2-\alpha}} - k_2[z_2]^\alpha$$
avec $k_1 > 0, k_2 > 0$ et $\alpha \in ]0,1[$ rend l'origine du double intégrateur

$$
\begin{cases}
\dot{z}_1 = z_2 \\
\dot{z}_2 = v
\end{cases}
$$

globalement stable en temps fini. Nous avons utilisé la notation $|x|^{\alpha} \triangleq \mathrm{sign}(x)|x|^{\alpha}$.

Afin de pouvoir utiliser cette commande, nous transformons le système masse-
ressort-amortisseur (6.1) en un double intégrateur, à l'aide du lemme de Brunovský.

**Lemme 6.2** (Forme normale de Brunovský [52, 124, 208]). *Soit un système linéaire en représentation d'état*

$$
\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}\mathbf{u},
$$

avec $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}, \mathbf{B} \in \mathbb{R}^{n \times q},$ qui est commandable, c'est-à-dire qui a une matrice de commandabilité

$$
C \triangleq \begin{bmatrix} B & A B & \dots & A^{n-1} B \end{bmatrix}
$$

de rang n.

Il existe un changement d'état **z** = **T****x** (T** *inversible*)** et une entrée **v** satisfaisant le change-
ment **u** = **E****z** + **F****v** (F **inversible**) tels que les équations du système dans les nouvelles variables
(**z**, **v**) s'écrivent sous la forme de q chaînes d'intégrateurs d'ordre ρᵢ ≥ 1, Σ质量管理 = n de la
forme suivante :

$$
\mathbf{z} = \begin{bmatrix} z_{1,1} & z_{1,2} & \dots & z_{1,\rho_1} & \dots & z_{q,\rho_q} \end{bmatrix}^{\mathrm{T}},
$$

avec

$$
z_{i,j} = z_{i,j+1} \quad \text{pour } 1 \le j \le \rho_i - 1,
$$

$$
z_{i, \rho_i} = v_i \quad \text{pour } 1 \le i \le q.
$$

Le système (6.1) est commandable. Le lemme de Brunovský nous permet de trouver
le changement d'état entre **z** et **x** :

$$
\begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \end{bmatrix} = \mathbf{T} \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}
$$

et le bouclage

$$
u = Ez + Fv = \begin{bmatrix} k & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \end{bmatrix} + m \cdot v.
$$

Après le changement d'état inverse, on trouve la commande

$$
u = kx_1 + \frac{c}{m}x_2 - m \left( k_1 \lfloor x_1 \rfloor^{\frac{\alpha}{2-\alpha}} + k_2 \lfloor \frac{x_2}{m} \rfloor^{\alpha} \right). \quad (6.7)
$$

Le système (6.1), contrôlé en temps fini vers l'origine par (6.7), s'écrit comme

$$
\begin{cases}
\dot{x}_1 = \frac{x_2}{m} \\
\dot{x}_2 = -m \left( k_1 \lfloor x_1 \rfloor^{\frac{\alpha}{2-\alpha}} + k_2 \lfloor \frac{x_2}{m} \rfloor^{\alpha} \right).
\end{cases}
\qquad (6.8)
$$

Après un changement d'état, on obtient la commande suivante pour la régulation en
un point stationnaire non nul **x**\* = [x\*₁ 0]ᵀ :

$$
u = kx_1 + \frac{c}{m}x_2 - m \left( k_1 \lfloor x_1 - x_1^* \rfloor^{\frac{\alpha}{2-\alpha}} + k_2 \lfloor \frac{x_2}{m} \rfloor^{\alpha} \right).
$$
### 6.2.3 Obtention d'une loi passive en temps fini

#### 6.2.3.1 Interprétation comme SHP

Afin d'obtenir une version passive de la loi de commande en temps fini, le système bouclé est réinterprété comme un SHP.

Avec un Hamiltonien défini comme suit :

$$H_d(x) \triangleq mk_1 \frac{2 - \alpha}{2} |x_1|^{\frac{2}{2-\alpha}} + \frac{1}{2m} x_2^2 > 0,$$

par analogie avec la fonction de Lyapunov (5.10), le système contrôlé (6.8) peut être réécrit comme un SHP

$$ 
\begin{aligned}
\dot{x} &= (J_d - R_d) \nabla H_d(x) \\
&= \left( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & mk_2 |\frac{x_2}{m}|^{\alpha-1} \end{bmatrix} \right) \begin{bmatrix} mk_1 |x_1|^{\frac{\alpha}{2-\alpha}} \\ \frac{x_2}{m} \end{bmatrix}.
\end{aligned} 
\quad (6.9) $$

La matrice $R_d$ dépend de l'état $x$ et est singulière en $x_2 = 0$. Elle est semi-définie positive car ses valeurs propres 0 et $mk_2 |\frac{x_2}{m}|^{\alpha-1}$ sont positives.

#### 6.2.3.2 Lien avec la méthode IDA-PBC

Nous souhaitons réinterpréter le contrôle en temps fini sous la forme d'un asservissement de type IDA-PBC. D'après le calcul de ses quantités caractéristiques (cf. la Sous-section 4.3.2), le système d'asservissement n'est pas passif : $R_a$ n'est pas semi-définie positive et $H_a(x)$ n'est pas borné inférieurement. Nous proposons de modifier le système d'asservissement de sorte qu'il réalise toujours un contrôle en temps fini et soit passif (SHP). Ce système est obtenu pour le système cible suivant :

$$R_d \triangleq \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & mk_2 |\frac{x_2}{m}|^{\alpha-1} + \gamma \end{bmatrix}, \quad \gamma > c,$$

$$H_d(x) \triangleq mk_1 \frac{2 - \alpha}{2} |x_1 - x_1^*|^{\frac{2}{2-\alpha}} + \frac{\beta}{2} (x_1 - x_1^*)^2 + \frac{1}{2m} x_2^2, \quad \beta > k.$$

La commande pour ce contrôle passif en temps fini est

$$u = kx_1 - \beta(x_1 - x_1^*) + \frac{c - \gamma}{m} x_2 - m \left( k_1 |x_1 - x_1^*|^{\frac{\alpha}{2-\alpha}} + k_2 \lfloor \frac{x_2}{m} \rfloor^{\alpha} \right).$$

L'intérêt de cette version passive de la loi de commande en temps fini réside dans sa robustesse dans le cas d'une mauvaise estimation de paramètres. Dans le cas de la loi non passive, les termes $\pm kx_1$ et $\pm cx_2/m$ ne s'annuleraient pas exactement, menant à la présence des différences ($k_{physique}x_1 - k_{identifié}x_1$) etc., ce qui pourrait causer une perte de performance du contrôleur voire une instabilité. En ajoutant les termes $\beta x_1$ et $\gamma x_2/m$, avec $\beta > k$ et $\gamma > c$, on réalise une marge de robustesse.

**REMARQUE** On rappelle que le double intégrateur contrôlé en temps fini par la loi du Lemme 6.1 s'écrit

$$ 
\left\{ 
\begin{array}{l} 
\dot{x}_1 = \frac{x_2}{m} \\ 
\dot{x}_2 = -m \left( k_1 \lfloor x_1 \rfloor^{\frac{\alpha}{2-\alpha}} + k_2 \lfloor \frac{x_2}{m} \rfloor^{\alpha} \right). 
\end{array} 
\right. 
\quad (6.10) $$

La stabilité en temps fini avait été prouvée dans le Chapitre 5 en utilisant le Lemme 5.1 : la loi rend le système asymptotiquement stable et (par construction) homogène d'un degré d'homogénéité strictement négatif, donc le système est aussi stable en temps fini.
Dans le cas du double intégrateur contrôlé par la loi de commande passive en temps fini,

$$ egin{cases} \dot{x}_1 = \frac{x_2}{m} \\ \dot{x}_2 = -\beta x_1 - \frac{\gamma}{m}x_2 - m \left( k_1 \lfloor x_1 \rfloor^{\frac{\alpha}{2-\alpha}} + k_2 \lfloor \frac{x_2}{m} \rfloor^{\alpha} \right), \end{cases} \quad (6.11) $$

l'homogénéité est brisée à cause de la présence des termes $-\beta x_1$ et $-\gamma/mx_2$ dans le champ de vecteurs. Toutefois, la stabilité en temps fini est préservée puisque ces termes aident à converger plus vite vers zéro que dans le cas du système non passif (6.10) qui était déjà stable en temps fini, donc (6.11) est aussi stable en temps fini.

### 6.2.4 Simulation

#### 6.2.4.1 Méthode numérique

La simulation du système bouclée est effectuée par la méthode du gradient discret mentionnée dans la Section 4.2.

Après la discrétisation en substituant $\frac{\delta x}{\delta t}$ et $\nabla^d H(x, \delta x)$ dans les équations du système, nous obtenons un système de deux équations soit explicites soit implicites (non linéaires) en $x_1(k+1)$ et $x_2(k+1)$. Dans ce deuxième cas, à chaque pas temporel, ce système est résolu itérativement par la méthode de Newton-Raphson (tolérance $10^{-10}$, max. $10^6$ itérations).

#### 6.2.4.2 Système linéaire

Nous simulons le système masse-amortisseur-ressort avec $m = 1\text{kg}$, $c = 1\frac{\text{kg}}{\text{s}}$, $k = 3\frac{\text{N}}{\text{m}}$. Pour une lecture facile, nous omettrons les unités ici. Nous calculons l'évolution de l'état initial $[-1 \ -1]^T$ vers l'origine sans contrôle, avec injection d'amortissement ($u = -Dx_2/m$, $D = 3$), avec un contrôle en temps fini ($k_1 = 1$, $k_2 = 2$, $\alpha = 0,6$) et avec un contrôle passif en temps fini ($k_1 = 1$, $k_2 = 2$, $\alpha = 0,6$, $\beta = 6$, $\gamma = 2$). Ensuite le même état initial est contrôlé vers l'état $[3 \ 0]^T$ par remodelage d'énergie ($K = 2$), le contrôle IDA-PBC ($K = 2$, $D = 4$), le contrôle en temps fini ($k_1 = 1$, $k_2 = 2$, $\alpha = 0,6$) et le contrôle passif en temps fini ($k_1 = 1$, $k_2 = 2$, $\alpha = 0,6$, $\beta = 6$, $\gamma = 2$).

Les simulations pour le contrôle (passif) en temps fini sont effectuées par calcul implicite ($\delta t = 10^{-3}$). Les autres simulations sont effectuées par calcul explicite.

L'évolution de l'état est montrée dans les Figures 6.2-6.3. Pour le cas du contrôle vers le point $[3 \ 0]^T$, l'évolution de l'erreur logarithmique de la position par rapport à la position cible est montrée dans la Figure 6.4. Sans contrôle, le système est en régime pseudo-périodique, ce qui se traduit par un comportement oscillatoire. Avec une injection d'amortissement, l'état évolue selon une exponentielle, donc l'erreur logarithmique est une droite décroissante. Le contrôle (passif) en temps fini est caractérisé par une décroissance de l'erreur qui tend théoriquement vers $-\infty$, mais qui est bornée par la précision numérique dans ces simulations.

#### 6.2.4.3 Système non linéaire

On répète la conception des différentes lois de commande pour le cas du système masse-ressort-amortisseur avec un ressort raidissant.

REMODELAGE D'ÉNERGIE Nous définissons le Hamiltonien

$$ H_d = (K + k)L^2 \cosh \frac{x_1 - x_1^*}{L} + \kappa + \frac{1}{2m}x_2^2. \quad (6.12) $$

Les valeurs de $\kappa$ et $K$ sont choisies telles que le Hamiltonien du contrôleur $H_d$ soit définie positive.
<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>FIGURE 6.2 – Contrôle du système linéaire : évolution de la position dans le temps. Trajectoires vers l'origine sans contrôle (----), avec injection d'amortissement (---), en temps fini (—) et avec la méthode passive en temps fini (—). Trajectoires vers [3 0] avec le contrôle par remodelage d'énergie (----), l'IDA-PBC (---), le contrôle en temps fini (—) et avec le contrôle passif en temps fini (—).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>FIGURE 6.3 – Contrôle du système linéaire : évolution dans l'espace des états. Même légende que la Figure 6.2.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_40.png" /><figcaption>FIGURE 6.4 – Contrôle du système linéaire : évolution de l’erreur de position dans le temps, correspondant au contrôle vers 3 par remodelage d’énergie (----), l’IDA-PBC (— —), le contrôle en temps fini (—) et le contrôle passif en temps fini (—).</figcaption></figure>
De la condition de compatibilité (Théorème 4.1), nous obtenons

$$u = -(K + k)L \sinh \frac{x_1 - x_1^*}{L} + kL \sinh \frac{x_1}{L}.$$

### IDA-PBC
Nous imposons le Hamiltonien $H_d$ (Éq. 6.12) dans le Théorème 4.2 et obtenons les mêmes matrices $J_a$ et $R_a$ que dans le cas linéaire, ce qui correspond à la superposition d'une injection d'amortissement et de la commande obtenue par remodelage d'énergie :

$$u = -(K + k)L \sinh \frac{x_1 - x_1^*}{L} + kL \sinh \frac{x_1}{L} - D \frac{x_2}{m}.$$

### CONTRÔLE EN TEMPS FINI
D'après les mêmes calculs que dans le cas linéaire, la commande pour le contrôle en temps fini est

$$u = kL \sinh \frac{x_1}{L} + \frac{c}{m}x_2 - m \left( k_1 \lfloor x_1 \rfloor^{\frac{\alpha}{2-\alpha}} + k_2 \lfloor \frac{x_2}{m} \rfloor^{\alpha} \right).$$

Le système bouclé est égal au système (6.8).

### CONTRÔLE PASSIF EN TEMPS FINI
De façon analogue au cas du système linéaire (Sous-section 6.2.3), nous construisons la commande

$$u = kL \sinh \frac{x_1}{L} - \beta L \sinh \frac{x_1 - x_1^*}{L} + \frac{c - \gamma}{m} x_2 - m \left( k_1 \lfloor x_1 - x_1^* \rfloor^{\frac{\alpha}{2-\alpha}} + k_2 \lfloor \frac{x_2}{m} \rfloor^{\alpha} \right), \quad \text{avec } \gamma > c, \beta > k.$$

### SIMULATION
Nous simulons le système masse-ressort-amortisseur avec $m = 1$ kg, $c = 1 \frac{\text{kg}}{\text{s}}$, et un ressort raidissant avec $k = 3 \frac{N}{m}$ et $L = 1$ m. Nous calculons l'évolution de l'état initial $[-1 \ -1]^T$ vers l'origine sans contrôle, avec injection d'amortissement ($D = 3$), avec le contrôle en temps fini ($k_1 = 1, k_2 = 2, \alpha = 0,6$) et avec le contrôle passif en temps fini ($k_1 = 1, k_2 = 2, \alpha = 0,6, \beta = 6, \gamma = 2$). Ensuite le même état initial est contrôlé vers l'état $[3 \ 0]^T$ avec le remodelage d'énergie ($K = 58$), l'IDA-PBC ($K = 58, D = 20$), le contrôle en temps fini ($k_1 = 1, k_2 = 2, \alpha = 0,6$) et le contrôle passif en temps fini ($k_1 = 1, k_2 = 2, \alpha = 0,6, \beta = 6, \gamma = 2$).

Toutes les simulations sont effectuées par calcul implicite ($\delta t = 10^{-3}$).

L'évolution de l'état est montrée dans les Figures 6.5-6.6. Pour le cas du contrôle vers l'état cible $[3 \ 0]^T$, l'évolution de l'erreur logarithmique de la position est montrée dans la Figure 6.7. De nouveau, dans le cas du contrôle (passif) en temps fini, l'erreur tend théoriquement vers $-\infty$ mais elle est bornée par la précision numérique dans ces simulations.

## 6.3 APPLICATION AU CONTRÔLE D'UN HAUT-PARLEUR COMME ABSORBEUR ÉLECTROACOUSTIQUE

Dans la présente section, une collaboration avec Tristan Lebrun est décrite. Il s'agit d'appliquer la loi de commande passive en temps fini pour un système masse-amortisseur-ressort à un haut-parleur qui sera commandé dans une application d'absorption actif du son. Le contrôle du haut-parleur est basé sur une mesure de la vitesse et de la pression acoustique à la membrane et permettrait d'après une simulation une absorption du son efficace en basse-fréquence.

Le texte est repris de [W5].
<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>FIGURE 6.5 – Contrôle du système non linéaire : évolution de la position dans le temps. Même légende que la Figure 6.2.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>FIGURE 6.6 – Contrôle du système non linéaire : évolution dans l'espace des états. Même légende que la Figure 6.2.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_43.png" /><figcaption>FIGURE 6.7 – Contrôle du système linéaire : évolution de l'erreur de position dans le temps, correspondant au contrôle vers 3. Même légende que la Figure 6.4. La ligne décroissante sature pour des raisons numériques.</figcaption></figure>
### 6.3.1 Contexte

Des absorbeurs acoustiques passives ne sont pas efficaces pour des fréquences basses en raison de la largeur de matériau nécessaire à ces longueurs d'onde. C'est la raison pour laquelle des haut-parleurs commandés ont été utilisée comme absorbeurs acoustiques en pour des basses fréquences.

Une approche possible consiste en la commande des caractéristiques du haut-parleur dans le but de les faire correspondre à l'impédance acoustique caractéristique de l'air dans le tube. Dans ce cas, le système se comporte comme une ligne de transmission acoustique [42] et absorbe le son.

Plus spécifiquement, un absorbeur actif utilisant un haut-parleur commandé en courant, se basant sur un retour d'état à partir de la pression ou la vitesse a été proposé dans [212]. Il était capable de fournir une absorption sur une large plage fréquentielle.

Dans la présente contribution, le même modèle et principe de correspondance d'impédance que dans [212] sont utilisés. Une loi de commande non linéaire (passive en temps fini, Sous-section 6.2.3) est appliqué au modèle, et son efficacité est évaluée par une simulation numérique.

### 6.3.2 Modèle électroacoustique

Le modèle consiste d'un tube dans lequel des ondes planes se propagent (Sous-sous-section 6.3.2.1) couplé à un haut-parleur électrodynamique contrôlé en courant (Sous-sous-section 6.3.2.2).

#### 6.3.2.1 Modèle de propagation d'ondes planes dans un tube

On considère un tube semi-infini avec un haut-parleur monté à $z = 0$, dont la membrane est modélisé comme un piston plan (Fig. 6.8, cf. le modèle de Thiele & Small qui sera introduit dans la Sous-sous-section 9.3.1.3 et dans la Sous-section 10.1.3). Une propagation en ondes planes est supposée, de sorte que le champ de pression peut être décomposé en des ondes progressives $p^+(t - z/c)$ et $p^-(t + z/c)$, où $c$ est la vitesse du son. À $z = 0$, la vitesse des particules de l'air égale celle du piston plan, ce qui donne la relation suivante entre le champ de pression $p_{ac}(t)$ à $z = 0$ et la vitesse du piston plan $\dot{\xi}(t)$ :

$$p_{ac}(t) = 2p^{+}(t) - \rho c \dot{\xi}(t), \qquad (6.13)$$

où $\rho$ est la densité massique volumétrique de l'air.

<figure><img src="image_44.png" /><figcaption>FIGURE 6.8 – Propagation d'ondes planes dans un tube semi-infini. Un piston plan à $z = 0$ représente le modèle de haut-parleur. [Figure de Tristan Lebrun]</figcaption></figure>

#### 6.3.2.2 Modèle de haut-parleur commandé en courant

**MODÈLE PHYSIQUE** Le haut-parleur est monté dans une enceinte. Selon le modèle de Thiele & Small, sa membrane est représentée comme un piston plan qui est un oscillateur mécanique de déplacement $\dot{\xi}(t)$ et de quantité de mouvement $p(t) = M_m \dot{\xi}(t)$, où $M_m$ est la masse en mouvement. L'oscillateur est excité par la force de
Lorentz $Bl(t)$ et la force due à la pression acoustique $S_d p_{ac}(t)$, de sorte que sa dynamique est représentée par la balance des forces :

$$K_m \dot{\xi}(t) + R_m \dot{\xi}(t) + \dot{p}(t) + Bl i(t) = S_d p_{ac}(t), \quad (6.14)$$

où $K_m$ [N/m]) est la raideur associée avec la suspension et l'enceinte, $R_m$ [Ns/m]) est le coefficient d'amortissement mécanique, $Bl$ [N/A]) le facteur de couplage électromécanique, et $i$ le courant électrique (entrée du système). Puisque le haut-parleur est commandé en courant, le comportement électrique du haut-parleur (résistance $R_e$ [Ω] et induction $L_e$ [H] de la bobine) ne doit pas être pris en compte.

### MODÈLE SHP
Le modèle de haut-parleur de l'Éq. (6.14) peut être reformulé comme un SHP avec la fonction Hamiltonienne

$$\mathcal{H}(\xi, \mathbf{p}) = \frac{K_m \xi^2}{2} + \frac{\mathbf{p}^2}{2M_m}, \quad (6.15)$$

représentant la somme des énergies potentielle et cinétique. Définissant l'état et l'entrée du système par

$$\mathbf{x}(t) \triangleq \begin{bmatrix} \xi(t) : \text{déplacement} \\ \mathbf{p}(t) : \text{qté. de mvt.} \end{bmatrix}, \quad \mathbf{u}(t) \triangleq \begin{bmatrix} i(t) : \text{courant électrique} \\ p_{ac}(t) : \text{pression acoustique} \end{bmatrix},$$

le SHP s'écrit

$$\{S\} : \left\{ \begin{array}{l} \dot{\mathbf{x}} = \underbrace{\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}}_{J} - \underbrace{\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & R_m \end{bmatrix}}_{R} \nabla \mathcal{H}(\mathbf{x}) + \underbrace{\begin{bmatrix} G_i & G_p \end{bmatrix}}_{G} \mathbf{u}, \\ \\ \mathbf{y} = \underbrace{\begin{bmatrix} G_i^T \\ G_p^T \end{bmatrix}}_{G^T} \nabla \mathcal{H}(\mathbf{x}), \end{array} \right. \quad (6.16)$$

avec $J$ antisymétrique, $R$ semi-défini positive, $G_i = [0 \ -Bl]^T$ et $G_p = [0 \ S_d]^T$. Les sorties sont définies comme les quantités énergétiques duales

$$\mathbf{y}(t) = \begin{bmatrix} e(t) : \text{tension de la force contre-électromotrice} \\ v_{ac}(t) : \text{vitesse acoustique} \end{bmatrix}.$$

### 6.3.3 Conception de la loi de commande

Dans la présente sous-section, un contrôleur est conçu qui fournit le courant d'entrée $i^*(t)$ étant donné

1. un mouvement de membrane cible $(\xi^*(t), \dot{\xi}^*(t))$ et

2. la mesure de la pression acoustique $p_{ac}(t)$ et la vitesse $\dot{\xi}(t)$ à la membrane du haut-parleur.

La vitesse cible de la membrane peut être déduite de la mesure de la pression selon

$$\dot{\xi}^*(t) = \frac{p_{ac}(t)}{\rho c} \quad (6.17)$$

de sorte que l'impédance acoustique à la membrane égale l'impédance acoustique caractéristique $\rho c$.
### 6.3.3.1 Loi de commande en temps fini

Le modèle du haut-parleur est un système du deuxième ordre de la forme d'un masse-ressort-amortisseur linéaire. Par identification avec la loi de commande en temps fini du double intégrateur (Lemme 6.1), on trouve la loi de commande en temps fini

$$i^*(t) = \frac{S_d p_{ac}(t) - K_m \xi(t) - R_m \xi^*(t) + M_m \left( k_1 |\xi(t) - \xi^*(t)|^{\frac{a}{2-a}} + k_2 |\xi^*(t) - \xi^*(t)|^a \right)}{Bl} \quad (6.18)$$

### 6.3.3.2 Loi de commande passive en temps fini

**PRINCIPE** Le but de l'utilisation de la loi de commande passive en temps fini est de garantir

1. la convergence vers la dynamique cible $\xi^*(t)$ et

2. la stabilité dans le cas d'une mauvaise estimation des paramètres physiques du système.

Dans ce but, on exige que le contrôleur ait la structure SHP suivante :

$$\{C\} : \left\{ \begin{array}{l} \dot{\mathbf{x}}_c = (\mathbf{J}_c - \mathbf{R}_c) \nabla \mathcal{H}_c(\mathbf{x}_c) + \mathbf{G}_c \mathbf{u}_c \\ \mathbf{y}_c = \mathbf{G}_c^T \nabla \mathcal{H}(\mathbf{x}_c), \end{array} \right. \quad (6.19)$$

avec $\mathbf{J}_c$ anti-symétrique et $\mathbf{R}_c$ semi-positive définie. Une interconnexion préservant la puissance (power-preserving interconnection, cf. [180]) de $\{C\}$ avec $\{S\}$ est obtenue par (cf. Fig. 6.9)

$$\begin{bmatrix} i(t) \\ \mathbf{u}_c(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e(t) \\ \mathbf{y}_c(t) \end{bmatrix}, \quad (6.20)$$

permettant d'écrire le système en boucle fermée comme le SHP

$$\{S + C\} : \left\{ \begin{array}{l} \begin{bmatrix} \dot{\mathbf{x}} \\ \dot{\mathbf{x}}_c \end{bmatrix} = \left( \begin{bmatrix} J & -G_c G_c^T \\ G_c G_c^T & J_c \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} R & O_{2 \times 2} \\ O_{2 \times 2} & R_c \end{bmatrix} \right) \begin{bmatrix} \nabla \mathcal{H}(\mathbf{x}) \\ \nabla \mathcal{H}_c(\mathbf{x}_c) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} G_p \\ O_{2 \times 1} \end{bmatrix} p_{ac} \\ v_{ac} = \begin{bmatrix} G_p^T & O_{1 \times 2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \nabla \mathcal{H}(\mathbf{x}) \\ \nabla \mathcal{H}_c(\mathbf{x}_c) \end{bmatrix}. \end{array} \right. \quad (6.21)$$

Dans la suite, on utilise les mêmes états pour le système et le contrôleur : $\mathbf{x} = \mathbf{x}_c$.

<figure><img src="image_45.png" /><figcaption>FIGURE 6.9 – Schéma-bloc de l'architecture de contrôle proposée. [Figure de Tristan Lebrun]</figcaption></figure>

Ensuite, on modifie l'énergie totale $\mathcal{H}_{s+c}(\mathbf{x})$ du système bouclé ainsi que les matrices d'interconnexion dans (6.21), ce qui correspond à la méthode de commande IDA-PBC ([182], cf. la Sous-section 6.2.1).

Le contrôleur $\{C\}$ est alors conçu suivant les étapes suivantes.

1. On choisit une énergie $\mathcal{H}_{s+c}(\mathbf{x}) \ge 0$ par le système en boucle fermé qui ait un minimum à un état cible $\mathbf{x}^*$, pour que l'état converge vers cet état cible $\mathbf{x}^*$.
2. On en déduit l'énergie du contrôleur selon

$$
\mathcal{H}_c(\mathbf{x}) = \mathcal{H}_{s+c}(\mathbf{x}) - \mathcal{H}(\mathbf{x}) \geq 0.
$$

3. La loi de commande est fournie par la deuxième ligne de l'Éq. (6.19) :

$$
\mathbf{y}_c = \mathbf{G}_c^T \nabla \mathcal{H}_c(\mathbf{x}).
$$

APPLICATION À LA LOI DE COMMANDE PROPOSÉE L'énergie de la boucle fermée est choisie comme

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathcal{H}_{s+c}(q, \mathbf{p}) ={}& M_m k_1 \frac{2-\alpha}{2} |\tilde{\zeta} - \tilde{\zeta}^*|^{\frac{2}{2-\alpha}} + \frac{M_m k_2}{R_m} \frac{1}{\alpha+1} \left| \frac{\mathbf{p}-\mathbf{p}^*}{M_m} \right|^{\alpha+1} \\
& + \frac{\beta}{2} (\tilde{\zeta} - \tilde{\zeta}^*)^2 + \frac{\gamma}{2M_m} (\mathbf{p}-\mathbf{p}^*)^2.
\end{aligned}
\tag{6.22}
\end{equation}
$$

Cette énergie a un minimum à $\tilde{\zeta} = \tilde{\zeta}^*$ et $\mathbf{p} = \mathbf{p}^*$, donc on peut l'utiliser pour concevoir
le contrôleur permettant de contrôler l'état du système bouclé $\{S+C\}$ vers les cibles
$(\tilde{\zeta}^*, \mathbf{p}^*)$. L'énergie du contrôleur est déduite en soustrayant (6.15) de (6.22), ce qui
donne

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathcal{H}_c(q, \mathbf{p}) ={}& M_m k_1 \frac{2-\alpha}{2} |\tilde{\zeta} - \tilde{\zeta}^*|^{\frac{2}{2-\alpha}} + \frac{M_m k_2}{R_m} \frac{1}{\alpha+1} \left| \frac{\mathbf{p}-\mathbf{p}^*}{M_m} \right|^{\alpha+1} \\
& + \frac{\beta}{2} (\tilde{\zeta} - \tilde{\zeta}^*)^2 + \frac{\gamma}{2M_m} (\mathbf{p}-\mathbf{p}^*)^2 - \frac{1}{2M_m} \mathbf{p}^2 - \frac{K_m}{2} \tilde{\zeta}^2,
\end{aligned}
\tag{6.23}
\end{equation}
$$

où $\beta > K_m$ et $\gamma > 1$ garantissent que $\mathcal{H}_c(\tilde{\zeta}, \mathbf{p})$ est inférieurement bornée. Finalement,
en imposant la structure SHP

$$
\{C\} : \quad \left\{
\begin{array}{ll}
\dot{\mathbf{x}} = \underbrace{\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}}_{J_c} - \underbrace{\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}}_{R_c} \nabla \mathcal{H}_c(\mathbf{x}) + \underbrace{\begin{bmatrix} \frac{1}{Bl} \\ \frac{R_m}{Bl} \end{bmatrix}}_{G_c} \mathbf{u}_c & (6.24) \\
\mathbf{y}_c = \underbrace{\begin{bmatrix} \frac{1}{Bl} & \frac{R_m}{Bl} \end{bmatrix}}_{G_c^T} \nabla \mathcal{H}(\mathbf{x}_c), &
\end{array}
\right.
$$

la sortie du contrôleur s'écrit

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{y}_c = \frac{1}{Bl} \left[ M_m k_1 |\tilde{\zeta} - \tilde{\zeta}^*|^{\frac{\alpha}{2-\alpha}} + M_m k_2 \left|\frac{\mathbf{p}-\mathbf{p}^*}{M_m}\right|^{\alpha} - K_m \tilde{\zeta} - R_m \frac{\mathbf{p}}{M_m} \right. \\
\left. \qquad + \gamma R_m \left(\frac{\mathbf{p}-\mathbf{p}^*}{M_m}\right) + \beta(\tilde{\zeta} - \tilde{\zeta}^*) \right].
\end{aligned}
\tag{6.25}
\end{equation}
$$

Cette loi de commande (6.25) est une version passive de la loi (6.18), quelles que soient
les valeurs des paramètres de contrôle $\beta > K_m$ et $\gamma > 1$.

6.3.4 Simulation numérique

Cette simulation a été effectuée par Tristan Lebrun.

Deux lois de commande différentes sont utilisées dans le but d'atténuer une excitation en pression $p_{ac}(t)$ en forme de chirp allant de 20Hz à 300Hz à des niveaux sonores de 94dB et 106dB.

Loi 1 : la loi de commande passive en temps fini proposée (6.25). La loi est évaluée en simulant le système en boucle fermée $\{S+C\}$ en utilisant la méthode numérique du gradient discret [82, 241].