**Loi 2 : proposée dans [212].** Cette loi se base sur la modification des propriétés électromécaniques du haut-parleur, et prend la forme d'une fonction de transfert entre la pression acoustique mesurée et le courant électrique :

$$I^*(s) = \frac{S_d \rho c - s M_m (1 - \mu) - R_m - \frac{K_m}{s} (1 - \mu)}{B l \left( \mu s \frac{M_m}{S_d} + \rho c + \mu \frac{K_m}{s S_d} \right)} P(s), \quad (6.26)$$

où $P(s)$ et $I^*(s)$ sont les transformées de Laplace de respectivement $p_{ac}(t)$ et $i^*(t)$, et $\mu \in [0, 1]$ est un paramètre de contrôle qui modifie la largeur de bande de l'absorption.

Des simulations sont effectuées prenant la pression acoustique totale $p_{ac}(t)$ comme entrée et donnant le courant électrique généré par une loi de commande donnée ainsi que la vécilité de la membrane comme sorties. Ensuite, la pression reflétée à la membrane est calculée comme

$$p^{-}(t) = \frac{p_{ac}(t) - \rho c \dot{\xi}(t)}{2}. \quad (6.27)$$

On a utilisé les paramètres de contrôle $k_1 = 750000$, $k_2 = 50$, $\alpha = 0.8$, $\beta = 1.1K_m$, $\gamma = 1.1$, $\mu = 0.15$ et les mêmes paramètres du modèle de haut-parleur que ceux dans [212]. La fréquence d'échantillonnage de la simulation est $f_s = 44100Hz$.

La simulation dans le domaine temporel de la pression reflétée $p^{-}(t)$ à la membrane du haut-parleur pour une entrée $p_{ac}(t)$ à 94dB est montrée Figure 6.10. L'amplitude réduite de la pression reflétée $p^{-}(t)$ comparée à la pression totale $p_{ac}(t)$ montre une absorption du son efficace pour les deux lois de commande.

<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>FIGURE 6.10 – Simulations dans le domaine temporel de la pression reflétée $p^{-}(t)$ à la membrane du haut-parleur pour une entrée $p_{ac}(t)$ à 94dB, pour les deux lois de commande.</figcaption></figure>

L'efficacité d'absorption est aussi évaluée dans le domaine fréquentiel en calculant le coefficient d'absorption comme une fonction de la fréquence, qui est définie comme

$$\alpha(f) = 1 - \left| \frac{Z(f) - \rho c}{Z(f) + \rho c} \right|^2, \quad (6.28)$$

où $Z(f) = P(f)/V(f)$, et $P(f)$ et $V(f)$ sont respectivement les transformées de Fourier du signal de pression $p_{ac}(t)$ et du signal de vitesse $\dot{\xi}(t)$.

Le coefficient $\alpha(f)$ est montré Figure 6.11. On note que la **Loi 2** obtient sa meilleure absorption du son ($\alpha$ très proche de 1) autour de la fréquence de résonance du haut-parleur (84Hz). La **Loi 1** proposée est particulièrement efficace à des fréquences plus basses que la fréquence de résonance, et a une largeur de bande un peu plus grande.
<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>FIGURE 6.11 – Coefficient d'absorption en fonction de la fréquence pour les deux lois de commande et pour des pressions d'entrée à 94dB et 106dB. La **Loi 1** (non linéaire) a été appliquée à deux niveaux sonores de pression d'entrée, tandis que la **Loi 2** (linéaire) ne dépend pas de l'amplitude de la pression d'entrée.</figcaption></figure>

On note au passage que la boucle fermée consistant du modèle linéaire du haut-
parleur (6.16) et du contrôleur non linéaire (6.25) est non linéaire. Pour cette raison,
son comportement varie avec l'amplitude de la pression d'entrée, comme c'est visible
sur la Figure 6.11 pour $p_{ac}(t)$ aux niveaux sonores de 94dB et 106dB.

6.4 PERSPECTIVES

Dans ce chapitre, on a montré comment établir une loi de commande passive en temps fini pour un système physique du deuxième ordre, où la passivité sert à obtenir une robustesse contre une mauvaise estimation des paramètres.

On pourrait essayer de généraliser cette approche au contrôle passif en temps fini d'EDOs d'ordre $n$ quelconque. Ce résultat pourrait être combiné avec une approche par platitude afin de pouvoir contrôler la classe des systèmes physiques plats en temps fini.

La difficulté pour le cas des ordres supérieurs à 2 consiste en le fait qu'il faut être capable de réécrire le système contrôlé en temps fini (p.ex. avec l'une des lois mentionnés dans la Sous-section 5.2.2) comme un SHP.

De plus, si l'on arrive à réécrire un système d'ordre $n$ comme un SHP, on peut aussi généraliser la méthode numérique par le gradient discret avec une linéarisation locale déraidissante qui a été mentionnée pour l'ordre 1 en Sous-section 7.2.2.
Ce chapitre mentionne les méthodes existantes pour la simulation numérique d'une EDO stabilisée en temps fini, qui est nécessairement infiniment raide à l'origine (Section 7.1). Ensuite, on propose une méthode de simulation avec une linéarisation locale autour de l'origine pour des buts d'implémentation sur un microcontrôleur, et qui peut aussi être incorporée dans la méthode de simulation d'un Système Hamiltonien à Ports par le gradient discret (Section 7.2).

<table><caption>TABLE DES MATIÈRES</caption><tr><td>7.1 Méthodes existantes</td><td>69</td></tr><tr><td>7.1.1 Méthode de simulation d'Euler explicite/implicite</td><td>69</td></tr><tr><td>7.1.2 Méthode de simulation préservant la stabilité en temps fini</td><td>70</td></tr><tr><td>7.2 Méthode avec une linéarisation locale</td><td>70</td></tr><tr><td>7.2.1 Linéarisation locale et la méthode d'Euler explicite</td><td>71</td></tr><tr><td>7.2.2 Perspective : linéarisation locale et la méthode du gradient discret</td><td>73</td></tr></table>

## 7.1 MÉTHODES EXISTANTES

Comme illustrée dans le Chapitre 5, un système EDO stabilisé en temps fini est nécessairement non Lipschitz continue au point d'équilibre (l'origine) [103, 174]. Le champ de vecteurs y devient infiniment raide, ce qui peut poser des problèmes numériques lors d'une simulation ou implémentation sur de la loi de commande sur un microcontrôleur.

La question de la simulation numérique d'un système EDO stabilisé en temps fini n'a pas obtenu beaucoup d'attention jusqu'à récemment. Après l'étude de l'utilisation des méthodes d'Euler explicite et implicite (Sous-section 7.1.1), une méthode de discrétisation a été développé pour des systèmes homogènes, qui préserve la stabilité en temps fini en utilisant une transformation basée sur l'homogénéité (Sous-section 7.1.2).

### 7.1.1 Méthode de simulation d'Euler explicite/implicite

En 2016-2017, Efimov, Polyakov, Levant et Perruquetti [76, 77] ont étudié l'utilisation des méthodes de discrétisation d'Euler explicite/implicite pour la simulation d'un système EDO stabilisé en temps fini. Ils ont montrés que des approximations acceptables de la solution vers une petite région autour de l'origine peuvent être obtenues par la méthode d'Euler explicite, qui s'améliorent si le pas temporel devient plus petit. La méthode d'Euler implicite permet d'atteindre l'origine, mais nécessite un calcul implicite (itératif).

**EXEMPLE** À titre illustratif, le double intégrateur contrôlé en temps fini,

$$ \begin{cases} \dot{x}_1 = x_2 \\ \dot{x}_2 = -k_1[x_1]^{2-\frac{\alpha}{\alpha}} - k_2[x_2]^\alpha, \end{cases} $$
avec $\alpha = 0,6$ et $k_1 = k_2 = 1$, est simulé par la méthode d'Euler explicite, ce qui donne la relation explicite

$$ egin{cases} \frac{x_1(k+1) - x_1(k)}{\delta t} = x_2(k) \\ \frac{x_2(k+1) - x_2(k)}{\delta t} = -k_1|x_1(k)|^{\frac{\alpha}{2-\alpha}} - k_2|x_2(k)|^{\alpha}, \end{cases} $$

et par la méthode d'Euler implicite, ce qui donne la relation implicite

$$ egin{cases} \frac{x_1(k+1) - x_1(k)}{\delta t} = x_2(k+1) \\ \frac{x_2(k+1) - x_2(k)}{\delta t} = -k_1|x_1(k+1)|^{\frac{\alpha}{2-\alpha}} - k_2|x_2(k+1)|^{\alpha}. \end{cases} $$

Le résultat pour $\delta t = 10^{-3}$s est montré Figure 7.1, où la relation implicite de la méthode d'Euler implicite a été résolue par la méthode de Newton-Raphson (erreur d'itération de $10^{-6}$).

<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>FIGURE 7.1 – Simulation d'un double intégrateur contrôlé en temps fini par les méthodes d'Euler explicite et implicite (à titre indicatif, on voit aussi une solution par la méthode du gradient discret standard).</figcaption></figure>

### 7.1.2 Méthode de simulation préservant la stabilité en temps fini

En 2019, Polyakov, Efimov et Brogliato [196] ont établi une méthode de simulation dédiée pour un système bouclé homogène, permettant de préserver la stabilité en temps fini lors de la discrétisation.

Plus précisément, ils utilisent l'homogénéité du système considéré pour définir une transformation d'état non linéaire vers un nouvel état dans lequel ils peuvent garantir que la discrétisation par la méthode d'Euler implicite (calcul itératif) préserve la stabilité en temps fini. Par la transformation d'état inverse, on obtient ainsi la simulation de la trajectoire dans les coordonnées d'origine.

**EXEMPLE** Plus de détails concernant l'utilisation de cette méthode seront donnés dans la Sous-sous-section 11.6.2.1, où elle est appliquée à la simulation du double intégrateur, dont le résultat de la simulation est montrée Figure 7.2 pour le cas $\alpha = 1/2$ et $\delta t = 10^{-4}$. Contrairement à la figure précédente, ici, on obtient en effet une simulation qui atteint zéro en un temps fini.

## 7.2 MÉTHODE AVEC UNE LINÉARISATION LOCALE

Le fait que les lois de commande en temps fini soient très raides autour de l'origine, l'expression non linéaire $|x|^{\alpha}$, $\alpha \in ]0,1[$, n'étant pas Lipschitz continue à $x = 0$, peut
<figure><img src="image_49.png" /><figcaption>FIGURE 7.2 - Simulation d'un double intégrateur contrôlé en temps fini par la méthode préservant la stabilité en temps fini (à titre indicatif, on voit aussi une solution par un solveur numérique standard odeint)</figcaption></figure>

poser des problèmes lors d'une implémentation numérique. Dans la Sous-section 7.2.1, on propose de remplacer l'expression non linéaire par une loi linéaire dans une petite zone arbitraire autour de l'origine. Dans la Sous-section 7.2.2, on mentionne que l'on peut incorporer cette méthode dans la méthode du gradient discret dans le formalisme des SHPs.

### 7.2.1 Linéarisation locale et la méthode d'Euler explicite

On se place dans l'exemple du système masse-ressort-amortisseur (6.1), contrôlée par la loi de commande

$$u = m \left( k_1 \underbrace{\left\lfloor x_1 \right\rfloor^{\frac{\alpha}{2-\alpha}}}_{(\text{NL1})} + k_2 \underbrace{\left\lfloor \frac{x_2}{m} \right\rfloor^{\alpha}}_{(\text{NL2})} \right) + kx_1 + \frac{c}{m} x_2, \quad (7.1)$$

qui contient deux contributions non linéaires (non Lipschitz continues), (NL1) et (NL2). On propose de définir des zones autour de l'origine,

$$x_1 \in \mathcal{D}_1 = ]-\sigma_1, \sigma_1[$$

$$\frac{x_2}{m} \in \mathcal{D}_2 = ]-\sigma_2, \sigma_2[$$

de taille $2\sigma_i$ arbitraire (petite), dans lesquelles les expressions non linéaires sont remplacées par des interpolations linéaires, comme indiqué dans la Figure 7.3, enlevant la partie la plus raide du champ de vecteurs du système (voire infiniment raide à 0).

Cette méthode de simulation « déraidissante » ne préserve pas la propriété de stabilité en temps fini. Elle remplace une loi de commande en temps fini, comme (7.1), par une loi de commande « quasi temps-fini » : le système convergera en temps fini vers une
<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>FIGURE 7.3 – Approximation linéaire des non-linéarités autour de l'origine dans la loi de commande en temps fini (7.1).</figcaption></figure>

(petite) zone autour de l'origine, puis continuera à converger asymptotiquement vers l'origine.

**EXEMPLE** Le système masse-ressort-amortisseur (6.1) avec $m = 1, c = 1, k = 3$, contrôlé par la loi (7.1) avec $\alpha = 0,6, k_1 = 1, k_2 = 2$ est simulée pour plusieurs tailles d'intervalle $\sigma \triangleq \sigma_1 \triangleq \sigma_2$ (Fig. 7.4). On remarque que l'erreur logarithmique suit une courbe de stabilisation en temps fini (qui terminerait par une pente infinie en théorie lorsque l'origine est atteinte), et s'en détache à un moment d'autant plus tard que $\sigma$ est petit.

<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>FIGURE 7.4 – Simulation d'un système masse-ressort-amortisseur contrôlé en temps fini par la méthode avec linéarisation locale autour de l'origine pour plusieurs tailles d'intervalle $\sigma$.</figcaption></figure>

**IMPLÉMENTATION EXPÉRIMENTALE** Dans la Sous-section 10.3.1, lors d'une implémentation sur un microcontrôleur d'une loi de commande en temps fini pareille avec un calcul par la méthode d'Euler explicite dans le contexte du contrôle actif du tom, la méthode numérique avec linéarisation locale autour de l'origine a été utilisée avec succès pour enlever un phénomène numérique de *chattering*.
### 7.2.2 Perspective : linéarisation locale et la méthode du gradient discret

La méthode de simulation utilisant une linéarisation locale pour enlever la zone problématique raide, introduite dans la sous-section précédente, peut être interprétée dans le formalisme des SHPs. On montre ici pour le cas d'un simple intégrateur contrôlé en temps fini que l'on peut incorporer la linéarisation locale dans la méthode de simulation numérique par le gradient discret en agissant sur la fonction hamiltonienne.

Une perspective<fnref n="1" /> serait d'étendre cet exemple à une méthode de simulation par gradient discret déraidissante pour le cas général d'une loi de commande d'un système EDO d'ordre *n* quelconque.

**EXEMPLE** Système : intégrateur simple contrôlé en temps fini

$$ \dot{x} = u = -[x]^\alpha, \alpha \in ]0,1[. $$

Forme SHP du modèle :

$$ \dot{x} = (0 - 1) \nabla H(x) $$

avec

$$ H(x) = \frac{1}{\alpha + 1} |x|^{\alpha+1} $$

$$ H'(x) = [x]^\alpha $$

$$ H''(x) = \alpha |x|^{\alpha-1}. $$

Il faut limiter $H''(x)$ qui atteint une valeur $+\infty$ en $x = 0$. On propose de saturer $H''(x)$ à l'intersection avec la fonction constante $K$ (dont la valeur est à choisir). Les points d'intersection sont

$$ x_K^* \triangleq \left( \frac{\alpha}{K} \right)^{\frac{1}{1-\alpha}} $$

donc

$$ H_K''(x) \triangleq \begin{cases} K & \text{si } |x| \le x_K^* \\ \alpha |x|^{\alpha-1} & \text{sinon.} \end{cases} $$

Cette fonction est dessinée Figure 7.5.

Pour $H'(x)$, ça donne

$$ H'_{K}(x) \triangleq \begin{cases} Kx & \text{si } |x| \le x_{K}^{*} \\ Kx_{K}^{*} + x^{\alpha} - x_{K}^{*\alpha} & \text{si } x > x_{K}^{*} \\ -Kx_{K}^{*} - |x|^{\alpha} + x_{K}^{*\alpha} & \text{si } x < -x_{K}^{*} \end{cases} \\ = \begin{cases} Kx & \text{si } |x| \le x_{K}^{*} \\ [x]^{\alpha} + (Kx_{K}^{*} - x_{K}^{*\alpha})\operatorname{sgn}(x) & \text{sinon.} \end{cases} $$

Cette fonction est dessinée Figure 7.6.

Pour $H(x)$, ça donne

$$ H_K(x) = \begin{cases} \frac{K}{2} x^2 & \text{si } |x| \le x_K^* \\ (Kx_K^* - x_K^{*\alpha})x + \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} - \frac{K}{2} x_K^{*2} + \frac{\alpha}{\alpha+1} (x_K^*)^{\alpha+1} & \text{sinon.} \end{cases} $$

Cette fonction est dessinée Figure 7.7.

<footnote n="1">1. L'extension au cas 2D se fait immédiatement avec la loi de commande du double intégrateur (5.9) pour laquelle on a une fonction de Lyapunov qui peut être utilisée comme fonction hamiltonienne, comme montré dans la Sous-section 6.2.3, mais pour des dimensions plus larges, il n'est pas clair si une écriture d'un système contrôlé sous forme SHP est possible (cf. les lois de commande en haute dimension mentionnées dans la Sous-section 5.2.2).</footnote>
<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>FIGURE 7.5 – Méthode de simulation par gradient discret déraidissante, le cas de l’intégrateur simple : $H_K''(x)$ avec $\alpha \to 0$ (ligne pointillée), $\alpha = 0,5$ (ligne pleine), $\alpha \to 1$ (ligne tiretée)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_53.png" /><figcaption>FIGURE 7.6 – Méthode de simulation par gradient discret déraidissante, le cas de l’intégrateur simple : $H_K'(x)$ avec $\alpha \to 0$ (ligne pointillée), $\alpha = 0,5$ (ligne pleine), $\alpha \to 1$ (ligne tiretée)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_54.png" /><figcaption>FIGURE 7.7 – Méthode de simulation par gradient discret déraidissante, le cas de l’intégrateur simple : $H_K(x)$ avec $\alpha \to 0$ (ligne pointillée), $\alpha = 0,5$ (ligne pleine), $\alpha \to 1$ (ligne tiretée)</figcaption></figure>
Dans ce chapitre, on s'intéresse à une application de contrôle actif d'une corde (Section 8.1). Dans la Section 8.2, le modèle de la corde non linéaire considéré est introduit, qui présente un glissement fréquentiel. Dans la section 8.3, on montre comment on peut commander ce système en temps fini vers une trajectoire cible, correspondant à un système hypothétique ayant d'autres paramètres physiques (amortissement $\mu$ ou facteur $\epsilon$ de l'importance de la contribution non linéaire). Une simulation du cas où le glissement fréquentiel est supprimé dans un mode de la corde est montrée dans la Section 8.4. La perspective de ce travail serait une étude de la passivité du contrôleur de suivi de trajectoire en temps fini (Section 8.5).

Ce chapitre vise à énoncer de manière sommaire les étapes de la démarche suivie. Une version plus complète de cette contribution sera publiée sous la forme de l'article [W8].

TABLE DES MATIÈRES

<table><tr><td>8.1 Contexte</td><td>75</td></tr><tr><td>8.1.1 Contrôle actif d'une corde</td><td>75</td></tr><tr><td>8.1.2 Contrôle actif d'une corde musicale</td><td>76</td></tr><tr><td>8.2 Modèle</td><td>76</td></tr><tr><td>8.2.1 Modèle EDP</td><td>76</td></tr><tr><td>8.2.2 Reformulation comme un SHP</td><td>77</td></tr><tr><td>8.2.3 Projection modale et réduction d'ordre</td><td>77</td></tr><tr><td>8.3 Commande en temps fini vers un comportement cible</td><td>78</td></tr><tr><td>8.3.1 But du contrôle</td><td>78</td></tr><tr><td>8.3.2 Obtention de la loi de commande</td><td>78</td></tr><tr><td>8.4 Simulation d'une suppression du glissement fréquentiel dans un mode</td><td>79</td></tr><tr><td>8.5 Perspective : vers une commande passive en temps fini par suivi de trajectoire</td><td>80</td></tr></table>

## 8.1 CONTEXTE

On s'intéresse au développement d'un contrôleur de la corde non linéaire dans le contexte du contrôle actif d'instruments de musique.

### 8.1.1 Contrôle actif d'une corde

Il existe une quantité considérable de résultats concernant la suppression de vibration de la corde, utilisant des modèles linéaires ou des modèles pouvant inclure plusieurs types de non-linéarités. La corde peut être actionnée aux limites ou dans son domaine, parfois en prenant en compte des interactions avec des systèmes dynamiques de type EDO couplés à la corde. Une grande variété de méthodes de conception de contrôle a été appliquée, et les résultats ont été validés en simulation et expérimentalement.

En particulier, le contrôle par suivi de trajectoire a été utilisé dans [175, 224] où une commande à la frontière d'une corde a été conçue pouvant faire suivre une position de référence par une masse attachée à la corde. Dans des applications concernant des cordes se déplaçant horizontalement, un suivi de vitesse a aussi été utilisé [268].
### 8.1.2 Contrôle actif d'une corde musicale

Dans un contexte musical, le but du contrôle actif et d'influencer la vibration de cordes présentes dans des instruments tels le violon, le piano, la guitare, etc. qui sont produites d'une variété de matériaux comme le nylon et le métal. Des capteurs de déplacement de corde peuvent être électromagnétiques [184], piézoélectriques [88] ou optiques (par exemple [144, 259]). Pour actionner une corde, on peut utiliser un principe électromagnétique (par exemple avec l'EBow [107] qui est produit commercialement, ou l'alternative [26], dans le cas d'une corde métallique, ou l'utilisation d'un aimant attaché à une corde non magnétique [259]), ou encore un actionneur piézoélectrique [74].

Concernant le contrôle d'une corde isolée, les résultats suivants ont été rapportés. Dans [29], les principes d'un contrôle PID d'une corde ont été discutées, utilisant un capteur et un actionneur colocalisés, et permettant de modifier la fréquence de résonance et l'amortissement. Plusieurs dispositifs expérimentaux pour le contrôle de la corde ont été développés. Dans [28], une corde de guitare métallique d'une longueur de 24cm accordée à 248Hz a été amortie utilisant un capteur optique et un actionneur électromécanique [26]. Dans [62], les cinq premiers modes d'une corde de guitare ont été amorties utilisant un retour d'état à partir d'une mesure du déplacement de la corde par un laser, et avec un actionneur électromagnétique. Finalement, dans [74], le dispositif consistait d'une corde de guitare métallique de 50cm accordée à 220Hz, un capteur de déplacement optique et un actionneur piézoélectrique à une extrémité de la corde. Basé sur des concepts de commande d'ondes progressives, un amortissement actif est obtenu, et des non-linéarités peuvent être injectées, menant à des effets timbraux.

Le contrôle actif d'autres parties d'instruments couplées à la corde vibrante est aussi possible, comme le chevalet d'un violon [44] ou la table d'harmonie d'un monochorde, guitare acoustique ou violoncelle [20]. Dans [160], la construction d'un piano avec contrôle actif est décrite, avec un capteur piézoélectrique sur la table d'harmonie, et des électro-aimants au-dessus des 88 unités d'actionneurs de corde. Il est possible d'obtenir un son perpétuel (infinite sustain), un crescendo sur une note, et plusieurs effets timbraux. Finalement, un système de contrôle embarqué utilisant plusieurs capteurs et actionneurs peut être trouvé dans quelques instruments commercialement disponibles comme le Sensus Smart Guitar (MIND Music Labs) [245] et le Smart Acoustic Guitar (HyVibe<fnref n="1" />).

## 8.2 Modèle

Le modèle EDP de la corde non linéaire (Sous-section 8.2.1) est réécrite comme un SHP (Sous-section 8.2.2), et projeté sur une base modale (Sous-section 8.2.3). En imposant ici une forme spécifique à l'entrée u du système, une réduction d'ordre exacte est obtenue.

### 8.2.1 Modèle EDP

Un modèle de Kirchoff adimensionné pour la vibration transverse d'une corde non linéaire est considéré ([130, 223], Fig. 8.1) :

$$ \partial_{tt} w(z,t) + \mu \partial_t w(z,t) - \left( 1 + \varepsilon \left[ \int_{\Omega} (\partial_z w(z,t))^2 dz \right] \right) \partial_{zz} w(z,t) = u(z,t), \quad (8.1) $$

avec u la force distribuée définie sur $(z,t) \in \Omega \times \mathbb{R}^+$, $\Omega = [0,1]$, $\mu$ un coefficient positif représentant l'amortissement visqueux et $\varepsilon$ représentant l'importance relative de la non-linéarité due à la variation de tension exprimée par l'intégrale $\int_{\Omega} (\partial_z w(z,t))^2 dz$.

<footnote n="1">1. Smart Acoustic Guitar, HyVibe, Paris, https://www.hyvibeguitar.com/.</footnote>
<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>FIGURE 8.1 – Modèle de corde non linéaire</figcaption></figure>

La corde est fixée aux deux extrémités et initialement au repos (conditions à la frontière de Dirichlet) :

$$u(z=0, t) = 0$$

$$u(z=1, t) = 0$$

$$\forall t \in \mathbb{R}^{+}$$

$$u(z, t=0) = 0$$

$$\partial_t u(z, t=0) = 0$$

$$\forall z \in \Omega.$$

### 8.2.2 Reformulation comme un SHP

Comme montré dans [111], la corde non linéaire (8.1) peut être réécrite sous la forme d'un SHP de dimension infinie d'état

$$x(z,t) \triangleq \begin{bmatrix} q(z,t) \\ p(z,t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \partial_z w(z,t) \\ \partial_t w(z,t) \end{bmatrix},$$

et avec une fonction hamiltonienne non quadratique

$$\mathcal{H}(\mathbf{x}(z,t)) = \frac{1}{2} \int_{\Omega} [p^2(z,t) + T(q(z,t))q^2(z,t)] \, dz, \qquad (8.2)$$

où

$$T(q) = 1 + \varepsilon \left[ \int_{\Omega} (q(z,t))^2 \, dz \right].$$

On retrouve le SHP suivant :

$$\left\{ \begin{array}{l} \left[ \frac{\partial_t q}{\partial_t p} \right] = \left( \begin{bmatrix} 0 & \partial_z \\ \partial_z & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \mu \end{bmatrix} \right) \left[ \begin{matrix} \delta_q \mathcal{H} \\ \delta_p \mathcal{H} \end{matrix} \right] + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} u \\ \\ y = \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \delta_q \mathcal{H} \\ \delta_p \mathcal{H} \end{bmatrix}. \end{array} \right. \qquad (8.3)$$

L'entrée $u(z,t)$ étant la force distribuée appliquée à la corde, on obtient que la sortie associée $y(z,t) = \partial_t w(z,t)$ est sa vitesse transverse. L'expression $\int_{\Omega} u(z,t)y(z,t) \, dz$ représente ainsi la puissance externe instantanée transférée à la corde.

### 8.2.3 Projection modale et réduction d'ordre

Ce modèle SHP est projeté sur les modes propres de la corde fixée aux deux extrémités :

$$e_m(z) = \sqrt{2} \sin(m\pi z), \quad m > 0$$

et une réduction d'ordre exacte à K modes est effectuée :

$$w(z,t) \approx \sum_{m=1}^{K} e_m(z) W_m(t).$$
D'après un calcul précisé dans [111], on obtient l'état

$$
x(z,t) \approx \begin{bmatrix} \partial_z e_1(z) \dots \partial_z e_K(z) & \mathbf{O}_{1 \times K} \\ \mathbf{O}_{1 \times K} & e_1(z) \dots e_K(z) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{W}(t) \\ \partial_t \mathbf{W}(t) \end{bmatrix} \triangleq \mathbf{\Phi}^{\mathrm{T}}(z) \mathbf{X}(t),
$$

et le Hamiltonien

$$
H(\mathbf{X}(t)) = \frac{1}{2} \mathbf{X}^{\mathrm{T}}(t) \mathbf{L}_{\mathbf{K}} \mathbf{X}(t),
$$

avec

$$
\mathbf{L}_K = \begin{bmatrix} D_K^2 (1 + \varepsilon \mathbf{X}^\mathrm{T}(t) \mathbf{N} \mathbf{X}(t)) & \mathbf{O}_{K \times K} \\ \mathbf{O}_{K \times K} & \mathbf{I}_{K \times K} \end{bmatrix}, \quad \mathbf{N} = \begin{bmatrix} D_K^2 & \mathbf{O}_{K \times K} \\ \mathbf{O}_{K \times K} & \mathbf{O}_{K \times K} \end{bmatrix},
$$
$$
D_K^2 = \pi^2 \mathrm{diag}(1, 2^2, \dots, K^2).
$$

Le modèle SHP du système projeté (de dimension finie) s'écrit

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{d}{dt} \mathbf{X} = \left( \begin{bmatrix} \mathbf{O}_{K \times K} & \mathbf{I}_{K \times K} \\ -\mathbf{I}_{K \times K} & \mathbf{O}_{K \times K} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \mathbf{O}_{K \times K} & \mathbf{O}_{K \times K} \\ \mathbf{O}_{K \times K} & \mu \mathbf{I}_{K \times K} \end{bmatrix} \right) \nabla H(\mathbf{X}) + G\mathbf{U} \\
\\
\displaystyle Y = \mathbf{G}^{\mathrm{T}} \nabla H(\mathbf{X}),
\end{array}
\right.
\qquad (8.4)
$$

$$
\text{avec } G = [\mathbf{O}_{1 \times K} \quad \mathbf{I}_{1 \times K}]^{\mathrm{T}}.
$$

HYPOTHÈSE SUR L'ENTRÉE
Nous considérons ici le cas où la loi de commande $u(z,t)$ du système de dimension finie ne contient seulement des contributions selon les $K$ premiers modes $e_m(z)$, par exemple de la forme

$$
u(z,t) = \sum_{m=1}^{K} e_m(z) U(t). \tag{8.5}
$$

RÉDUCTION D'ORDRE EXACTE
Sous cette hypothèse sur l'entrée, une réduction
d'ordre exacte est obtenue dans le modèle (8.4).

8.3 COMMANDE EN TEMPS FINI VERS UN COMPORTEMENT CIBLE

8.3.1 But du contrôle

L'architecture de contrôle considéré est schématisé dans la Figure 8.2.

On définit une dynamique cible {$S^*$} d'une corde non linéaire avec des paramètres cibles ($\mu^*, \epsilon^*$). Si l'on applique une entrée donnée $v$ à ce système cible, une trajectoire de référence cible est générée.

On veut contrôleur un système physique {$S$} ayant des paramètres $(\mu, \epsilon)$ de sorte qu'il suit la trajectoire de référence cible pour une même entrée $v$, comme s'il avait les paramètres physiques $(\mu^*, \epsilon^*)$ du système cible {$S^*$}.

À ce but, un contrôleur {$C$} est conçue, effectuant un suivi de trajectoire en temps fini.

HYPOTHÈSE SUR LES CAPTEURS On suppose ici que l'état entier de la corde non linéaire {S} est connu.

8.3.2 Obtention de la loi de commande

Le modèle SHP projeté (8.4) du système considéré {$S$} contient $K$ oscillateurs non linéaires couplés, ayant chacun un état

$$
\begin{bmatrix} W_m(t) \\ \dot{W}_m(t) \end{bmatrix}, \quad 1 \le m \le K.
$$
<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>FIGURE 8.2 – Architecture du contrôleur de suivi de trajectoire</figcaption></figure>

Pareillement, le système cible {$S^*$} peut être représenté par le modèle SHP projeté (8.4) et contient K oscillateurs non linéaires couplés, ayant chacun un état

$$ \begin{bmatrix} W_m^*(t) \\ \dot{W}_m^*(t) \end{bmatrix}, \quad 1 \le m \le K. $$

Ici, l'évolution des oscillateurs ($W_m^*, \dot{W}_m^*$) peut être calculée numériquement pour une entrée donnée $v$.

On définit une erreur

$$ e_L(t) \triangleq W_L(t) - W_L^*(t), $$

pour le $L^{ème}$ mode (au choix). Si l'on est capable d'imposer une dynamique en temps fini pour cette erreur :

$$ \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} e_L(t) \\ \dot{e}_L(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dot{e}_L(t) \\ -l_1 \lfloor e_L(t) \rfloor^{\frac{\delta}{2-\delta}} - l_2 \lfloor \dot{e}_L(t) \rfloor^{\frac{\delta}{2-\delta}} \end{bmatrix}, \quad (8.6) $$

avec $\alpha \in ]0,1[$ et $l_1, l_2 > 0$, on aura que le $L^{ème}$ mode du système considéré {$S$} est contrôlé en temps fini vers le $L^{ème}$ mode du système cible {$S^*$} :

$$ W_L(t) \xrightarrow{\text{en temps fini}} W_L^*(t) $$

$$ \dot{W}_L(t) \xrightarrow{\text{en temps fini}} \dot{W}_L^*(t). $$

En utilisant l'architecture de la Figure 8.2 et le modèle SHP projeté pour le système contrôlé {$S$} et le système cible {$S^*$}, on peut calculer la loi de commande modale $U(t)$ réalisant la dynamique de l'erreur 8.6.

Ensuite, d'après (8.5), on peut remonter à la loi de commande $u(z, t)$. Pour l'hypothèse sur l'entrée (8.5) utilisée ici, il se trouve que l'on peut seulement contrôler un mode à la fois.

## 8.4 SIMULATION D'UNE SUPPRESSION DU GLISSEMENT FRÉQUENTIEL DANS UN MODE

### Système non contrôlé
Le cas d'une corde non linéaire (8.5) à deux modes est simulé. Le système {$S$} est caractérisé par les paramètres ($\mu = 1, \varepsilon = 9,74$), et le système cible {$S^*$} par les paramètres ($\mu^* = 1, \varepsilon^* = 0$). Une simulation de l'évolution des deux systèmes à partir d'une condition initiale

$$ W_1^{(*)}(0) = 1, \quad \dot{W}_1^{(*)}(0) = 0, \quad W_2^{(*)}(0) = 1, \quad \dot{W}_2^{(*)}(0) = -1, $$

obtenue avec la méthode d'Euler explicite à un pas temporel de $\delta t = 10^{-3}$ est montrée Figure 8.3. On observe un glissement fréquentiel très prononcé : au début de la simulation, la fréquence des deux modes est nettement plus élevée que sa valeur du régime linéaire qu'elle atteindra à des amplitudes plus petites.
<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>FIGURE 8.3 – Simulation du système {$S$} non contrôlé et du système cible {$S^*$}</figcaption></figure>

### SYSTÈME CONTRÔLÉ
La loi de commande en temps fini basée sur l'erreur $e_1(t)$ est calculée et appliquée au système {$S$}. Puisque l'on simule la trajectoire de référence d'un système cible {$S^*$} avec $\varepsilon^* = 0$, l'application de la loi de commande au système {$S$} devrait faire disparaître le glissement fréquentiel dans le premier mode.

La simulation de l'évolution temporelle est montrée Figure 8.4, pour des paramètres de contrôle $\alpha = 0.6$, $k_1 = 8$, $k_2 = 1,5$, où l'on voit le suivi de trajectoire pour le premier mode. En représentation fréquentielle (Fig. 8.5), on voit qu'il n'y a plus de glissement fréquentiel dans le premier mode pour le cas contrôlé. Les simulations montrent également l'effet de la commande sur le deuxième mode, une influence que l'on ne peut éviter (système couplé et hypothèse sur la loi de commande (8.5)).

## 8.5 PERSPECTIVE : VERS UNE COMMANDE PASSIVE EN TEMPS FINI PAR SUIVI DE TRAJECTOIRE

À travers l'exemple montré ci-dessus, nous avons illustré que l'on peut utiliser une loi de commande en temps fini pour contrôler un système dynamique vibratoire vers une dynamique cible.

Comme dans la Sous-section 6.2.3, on peut s'intéresser à une étude de la passivité de telles lois de commande, en les réinterprétant comme un contrôle IDA-PBC.

Le lien entre un suivi de trajectoire et l'IDA-PBC a été considéré dans le passé [89, 134]. La trajectoire cible $y$ est une fonction temporelle $f(t)$ prescrite, p.ex. une lévitation magnétique qui laisse une masse métallique suivre un sinus dans le temps, et non pas une trajectoire produite par un système physique cible (simulé).
<figure><img src="image_58.png" /><figcaption>FIGURE 8.4 – Simulation du système {$S$} contrôlé et du système cible {$S^*$}. Un suivi de trajectoire est réalisé pour le mode $W_1(t)$.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_59.png" /><figcaption>FIGURE 8.5 – Comparaison des spectres des deux modes du système {$S$} pour le cas sans et avec contrôle. Le glissement fréquentiel est enlevé dans le mode 1 par l'action du contrôle.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_60.png" /></figure>
Quatrième partie

CONTRÔLE EN TEMPS FINI D'UN SYSTÈME HYBRIDE
(EDP-EDO) : LE CAS DU TOM
<figure><img src="image_61.png" /></figure>
Ce chapitre est consacré au développement du contrôle actif d'un tom, qui est pourvu d'un haut-parleur. Le contrôle a pour but de modifier des fréquences des modes de vibration de la membrane supérieure de l'instrument lorsqu'elle est frappée par le musicien.

Dans un premier temps, l'acoustique des membranophones avec un couplage membrane-cavité est récapitulée, avec une attention particulière à l'influence de la présence de la cavité sur les fréquences des modes propres axisymétriques de la membrane circulaire.

Ensuite, un modèle physique pour le tom est établi, incorporant le couplage membrane-cavité-haut-parleur. Ce modèle hybride couplant une EDP à une EDO est réinterprété comme un Système Hamiltonien à Ports (SHP), adimensionné, et une projection modale et réduction d'ordre sont effectuées, menant à un modèle EDO pur.

Finalement, un observateur-régulateur est développé, fournissant une loi de commande en courant pour le haut-parleur. D'abord, le régulateur en temps-fini est développé sous l'hypothèse de disposer d'une mesure de la pression dans la cavité et d'une mesure de la vibration de la membrane supérieure. Ensuite, un observateur temps-fini est construit afin d'estimer la vibration de la membrane supérieure pour laquelle nous ne disposons pas de capteur direct. Le fonctionnement de l'observateur-régulateur est illustré en simulation, et des remarques envers une implémentation pratique sont données.

Des parties de ce chapitre reprennent les informations des articles [W6] et [W7].

<table><caption>TABLE DES MATIÈRES</caption><tbody><tr><td>9.1 Contexte</td><td>86</td></tr><tr><td>9.1.1 Membranophones</td><td>86</td></tr><tr><td>9.1.2 Contrôle actif de membranophones</td><td>86</td></tr><tr><td>9.1.3 Contrôle actif de tom visé</td><td>87</td></tr><tr><td>9.2 Acoustique des membranophones</td><td>88</td></tr><tr><td>9.2.1 Vibration d'une membrane circulaire</td><td>88</td></tr><tr><td>9.2.2 Vibration d'une membrane circulaire couplée à une cavité</td><td>94</td></tr><tr><td>9.2.3 Déviations du modèle pour la vibration transverse d'une membrane circulaire attachée au bord couplée à une cavité</td><td>98</td></tr><tr><td>9.3 Modèle</td><td>101</td></tr><tr><td>9.3.1 Modèle physique</td><td>101</td></tr><tr><td>9.3.2 Modèle SHP : modèle hybride</td><td>104</td></tr><tr><td>9.3.3 Modèle SHP : adimensionnement du modèle hybride</td><td>108</td></tr><tr><td>9.3.4 Modèle SHP de dimension finie : projection modale et réduction d'ordre</td><td>109</td></tr><tr><td>9.3.5 Représentation d'état</td><td>111</td></tr><tr><td>9.4 Contrôle modal</td><td>113</td></tr><tr><td>9.4.1 Régulateur en temps fini</td><td>115</td></tr><tr><td>9.4.2 Observateur en temps fini</td><td>119</td></tr><tr><td>9.4.3 Vers une implémentation pratique</td><td>123</td></tr><tr><td>9.5 Conclusion</td><td>125</td></tr></tbody></table>
## 9.1 CONTEXTE

Le travail décrit concerne le contrôle actif d'un tom, un exemple d'un instrument de percussion de type membranophone caractérisé par un couplage membrane-cavité. Dans la présente section, le tom est introduit comme membre de la famille des membranophones (Sous-section 9.1.1). Ensuite, des résultats existants sur le contrôle actif de membranophones sont énoncés dans la Sous-section 9.1.2, avant de préciser dans la Sous-section 9.1.3 la cible du contrôle de tom visé dans le présent chapitre.

### 9.1.1 Membranophones

Il existe une grande variété d'instruments de percussion, dont une partie peut être qualifiée de « membranophones », c'est-à-dire, des instruments dont le son est essentiellement produit par une membrane. Quelques exemples sont montrés dans la Figure 9.1. Parmi les membranophones, on s'intéresse ici particulièrement aux instruments ayant une membrane, frappée par le musicien, qui est couplée à un fût ou une cavité contant un volume d'air. La présence de cette cavité améliore le rendement de rayonnement de l'instrument [60, Chapitre 14], et influence l'harmonicité des modes de vibration de la membrane, comme précisé dans la Sous-section 9.2.2 ci-dessous.

Les membranophones peuvent être catégorisés [143, 252, 253] selon la façon de laquelle la membrane est excitée : en frappant la membrane directement par une mailloche ou la main (p.ex. le tom), en tirant une corde<fnref n="1" /> attachée à la membrane (p.ex. le gubguba indien), en frottant la peau (p.ex. le bodhrán irlandais), par sympathie au chant (p.ex. le kazoo), etc. De plus, on peut distinguer une variété de formes de fût, comme un fût cylindrique (p.ex. le tom), conique (p.ex. le timbal brésilien), en forme de chaudron (p.ex. les timbales d'orchestre), en forme de sablier (le tama ou « tambour parlant » africain).

**LE TOM** Le tom (tom-tom drum) (Fig. 9.1(a)) est un instrument à membrane directement frappée. Il est constitué d'une paroi cylindrique avec une membrane supérieure (batter head) qui est excitée par le musicien et une membrane inférieure (resonant head) qui résonne par sympathie.

Le son du tom est caractérisé comme étant « sans hauteur déterminée » ou encore ayant « une hauteur moins bien définie » [233]. Il se trouve dans une position ambiguë entre des instruments à hauteur bien définie comme la timbale (Fig. 9.1(e)) et des instruments sans hauteur comme la grosse caisse (Fig. 9.1(b)).

Il existe différentes tailles de tom. Dans un dispositif standard de batterie, on retrouve typiquement un tom basse (floor tom ou low tom) qui est plus grand, accordé plus bas et a des pattes, ainsi que deux toms plus petits, souvent montés sur la grosse caisse. Il existe également un dispositif comportant plusieurs toms de tailles différentes qui peuvent être portés par un musicien de fanfare les jouant en défilant. Finalement, on peut mentionner l'existence du rototom, un tom sans cavité.

### 9.1.2 Contrôle actif de membranophones

Plusieurs cas de contrôle actif d'instruments de percussion avec un couplage membrane-cavité ont été reportés. Dans [213], on a contrôlé quatre modes d'une peau de tambour utilisant quatre accéléromètres sur la membrane comme capteurs et quatre haut-parleurs agissant sur la cavité comme actionneurs. Un contrôleur PID s'est avéré instable en pratique, et il a été remplacé par un contrôleur anticipateur (feedforward). Une grosse caisse [149] a été contrôlée par un retour d'état négatif, utilisant un capteur piézocéramique attaché au bord pour mesurer la déflexion de la membrane, et un seul haut-parleur comme actionneur. On a attaché un microphone de contact à une

<footnote n="1">1. On peut argumenter qu'il s'agit ici plutôt d'un chordophone, comme le cas du banjo.</footnote>
<figure><img src="image_62.png" /><figcaption>FIGURE 9.1 – Quelques exemples d'instruments de percussion de type membranophone couplant une membrane à une cavité. [Dessins reproduits d'après [30, 165]]</figcaption></figure>

membrane de conga [249] en guise de capteur et mis un haut-parleur dans la cavité comme actionneur, permettant d'altérer la réponse en fréquence de l'instrument. Un retour d'état à partir d'un capteur piézoélectrique placé sur la membrane supérieure d'un tom [100] a été appliqué à la membrane inférieure en utilisant un actionneur électromagnétique. Un microphone dynamique agissant comme capteur a été placé à l'intérieur d'un actionneur électromagnétique attaché à la membrane inférieure d'une grosse caisse dans [206]. Récemment, une caisse claire [261] a été contrôlé par un capteur optique sur la membrane supérieure, et en utilisant plusieurs actionneurs : deux transducteurs tactiles sur la membrane supérieure, et un haut-parleur supplémentaire monté sur un support à l'intérieur de la cavité.

### 9.1.3 Contrôle actif de tom visé

Le projet décrit consiste à appliquer un contrôle à un tom, dont la membrane inférieure est remplacée par une planche en bois dans laquelle un haut-parleur est monté, cf. la Fig. 9.2). Une boucle de contrôle est conçue, qui mesure la pression à l'intérieur de la cavité et calcule une loi de commande pour le courant<fnref n="2" /> du haut-parleur.

<footnote n="2">2. Dans le chapitre 10 suivant, une loi de commande pour la tension électrique sera implémentée.</footnote>
Le but est de modifier la pression qui agit sur l'EDP de la membrane supérieure sur laquelle frappe le musicien, en influençant ainsi ses modes axisymétriques de vibration, en en changeant par exemple une (des) fréquence(s) ou amortissement(s).

<figure><img src="image_63.png" /><figcaption>FIGURE 9.2 – Système constitué d’un tom avec un haut-parleur</figcaption></figure>

## 9.2 ACOUSTIQUE DES MEMBRANOPHONES

Dans cette section, on rappelle la théorie de la vibration d'une membrane circulaire seule attachée au bord (Sous-section 9.2.1) et montre l'influence du couplage de cette membrane à une cavité (Sous-section 9.2.1), en vue de la modélisation du dispositif de tom considéré (Fig. 9.2) dans la Section 9.3. Finalement, quelques déviations de la théorie sont mentionnées dans la Sous-section 9.2.3, en vue de l'identification des paramètres physiques du dispositif qui sera précisée dans le chapitre suivant.

### 9.2.1 Vibration d'une membrane circulaire

DÉRIVATION DE L'EDP On commence par l'étude de la vibration transverse d'une membrane circulaire dans le vide attachée au bord (reprise d'après [129, §4.2]-[99]). On suppose une membrane mince de densité massique surfacique $\sigma$ [kg/m²], qui subit une tension uniforme (force linéique $T$ [N/m]), et effectue de petits déplacements transverses $y(x, z, t)$, $x$ et $z$ étant les deux coordonnées cartésiennes.

On considère une aire élémentaire $dS = dxdz$ (Fig. 9.3). La force linéique $T$ agit sur les bords de l'aire, ce qui se traduit selon une approximation de premier ordre en une force transverse composée des contributions : celle de la force $Tdz$,

$$ Tdz \left[ \left. \frac{\partial y}{\partial x} \right|_{x+dx} - \left. \frac{\partial y}{\partial x} \right|_{x} \right] \approx T \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} dxdz, \qquad (9.1) $$

et celle de la force $Tdx$,

$$ Tdx \left[ \left. \frac{\partial y}{\partial z} \right|_{z+dz} - \left. \frac{\partial y}{\partial z} \right|_{z} \right] \approx T \frac{\partial^2 y}{\partial z^2} dxdz. \qquad (9.2) $$

L'aire a une masse $\sigma dS$ et une accélération transverse $\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$, de sorte que le bilan des forces dans la direction transverse peut être écrit comme

$$ T \left( \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 y}{\partial z^2} \right) dxdz = \sigma \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} dxdz. $$
<figure><img src="image_64.png" /><figcaption>FIGURE 9.3 – Aire élémentaire de la membrane exécutant un déplacement transverse [figure d’après [129, §4.2]]</figcaption></figure>

Avec la vitesse des ondes dans la membrane

$$c = \sqrt{\frac{T}{\sigma}}$$

et l'opérateur Laplacien $\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$, on retrouve l'équation des ondes 2D :

$$\Delta y = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}. \qquad (9.3)$$

### SOLUTION DE L'EDP
Pour simuler la vibration d'une membrane circulaire de rayon $a$ (Fig. 9.4), on considère l'EDP (9.3), exprimée en coordonnées polaires, avec

$$\Delta = \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2}. \qquad (9.4)$$

La membrane est attachée au bord, ce qui se traduit par la condition

$$y(r = a, \theta, t) = 0. \qquad (9.5)$$

<figure><img src="image_65.png" /><figcaption>FIGURE 9.4 – Membrane circulaire attachée au bord</figcaption></figure>

L'EDP est résolue par la méthode de séparation des variables. On pose

$$y(r, \theta, t) \triangleq R(r)\Theta(\theta)T(t),$$

dont la substitution dans l'EDP (9.3) donne

$$\frac{R''}{R} + \frac{1}{r} \frac{R'}{R} + \frac{1}{r^2} \frac{\Theta''}{\Theta} = \frac{1}{c^2} \frac{T''}{T} \triangleq C, \qquad (9.6)$$

où $R' = dR(r)/dr$ etc. La partie gauche de l'Éq. (9.6) dépend de $r$ et $\theta$, et la partie droite de $t$. C'est la raison pour laquelle on peut les mettre égales à une constante $C$, dont il s'avère qu'une valeur négative

$$C \triangleq -\lambda^2$$
mène à une fonction temporelle périodique

$$T(t) = C_1 \cos \lambda ct + C_2 \sin \lambda ct, \qquad (9.7)$$

d'après la partie droite de (9.6).

De la même manière, la partie gauche peut aussi se séparer en une partie dépendant de $r$ et une partie dépendant de $\theta$ :

$$r^2 \frac{R''}{R} + r \frac{R'}{R} + r^2 \lambda^2 = - \frac{\Theta''}{\Theta} \triangleq D.$$

Supposant à nouveau une fonction périodique pour $\Theta$, puisque $y(r, \theta = 2\pi, t) = y(r, \theta = 0, t)$, on obtient que

$$D \triangleq n^2$$

correspond à

$$\Theta(\theta) = C_3 \cos n\theta + C_4 \sin n\theta. \qquad (9.8)$$

Finalement, il reste encore

$$\begin{gathered} r^2 R'' + r R' + (\lambda^2 r^2 - n^2) R = 0 \\ \iff (\lambda r)^2 \frac{d^2 R}{d(\lambda r)^2} + \lambda r \frac{d R}{d(\lambda r)} + (\lambda^2 r^2 - n^2) R = 0, \end{gathered}$$

appelée l'équation différentielle de Bessel [2, Chapitre 9]. Cette ODE du deuxième ordre admet deux solutions : la fonction de Bessel 3 de première espèce d'ordre $n$, $J_n(\lambda_{nm}r)$, et la fonction de Neumann (appelée encore la fonction de Bessel de deuxième espèce) d'ordre $n$, $Y_n(\lambda_{nm}r)$. La fonction de Neumann atteint une valeur infinie en $r = 0$. Cette singularité n'ayant pas de sens dans une membrane circulaire 4, seules les contributions des fonctions de Bessel de première espèce sont retenues dans la solution :

$$R_{nm}(r) = J_n(\lambda_{nm}r), \qquad (9.9)$$

où la condition à la frontière (9.5) détermine la valeur des $\lambda_{nm}$ qui peuvent être calculés en fonction des zéros $\lambda_{nm}$ de la fonction de Bessel en question,

$$J_n(\lambda_{nm}a) = 0,$$

numérotés $m = 1, \dots, +\infty$, et que l'on peut calculer numériquement ou retrouver dans des tableaux (cf. le Tableau C.1 de l'Annexe C).

En somme, combinant les contributions (9.7)-(9.8)-(9.9), la solution de (9.3)-(9.5) s'écrit comme une décomposition modale

$$y(r, \theta, t) = \sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{m=1}^{+\infty} J_n(\lambda_{nm} r) [C_3 \cos n\theta + C_4 \sin n\theta] [C_1 \cos \lambda ct + C_2 \sin \lambda ct],$$

où les coefficients $C_i$ dépendent des conditions initiales considérées.

On peut aussi grouper les modes propres par deux en écrivant [60, Chapitre 3]

$$y(r, \theta, t) = \sum_{m=1}^{+\infty} \left[ \begin{aligned} & \sum_{n=0}^{+\infty} \underbrace{J_n(\lambda_{nm}r) \cos n\theta}_{\triangleq \Psi_{nm}(r, \theta)} (A_{nm} \cos \omega_{nm}t + B_{nm} \sin \omega_{nm}t) \\ & + \sum_{n=1}^{+\infty} \underbrace{J_n(\lambda_{nm}r) \sin n\theta}_{\triangleq \Psi_{nm}(r, \theta)} (\tilde{A}_{nm} \cos \omega_{nm}t + \tilde{B}_{nm} \sin \omega_{nm}t) \end{aligned} \right].$$

<footnote n="3">3. Voir la Sous-section C.1.1 de l'Annexe C pour plus d'informations.</footnote>

<footnote n="4">4. Par contre, les fonctions de Neumann sont présentes dans le cas d'une membrane annulaire, comme p.ex. chez le tambour annulaire [97].</footnote>
Ici, on a nommé les modes propres spatiaux

$$
\begin{cases}
\Psi_{nm}(r, \theta) \triangleq J_n(\lambda_{nm}r) \cos n\theta \\
\Psi_{nm}(r, \theta) \triangleq J_n(\lambda_{nm}r) \sin n\theta,
\end{cases}
$$

et on dénote $\psi_{nm}(r) \triangleq J_n(\lambda_{nm}r)$.

FORME DES MODES PROPRES Un nombre de modes propres $\Psi_{nm}(r, \theta)$ sont dessinés dans la Figure 9.5. On voit que les modes avec $n = 0$ sont axisymétriques (par rapport à l'axe perpendiculaire au plan de la membrane au repos $y = 0$, à $r = 0$), et que les modes avec $n > 0$ (entier) ne le sont pas.

<figure><img src="image_66.png" /><figcaption>FIGURE 9.5 – Quelques modes propres $\Psi_{nm}(r, \theta)$ de la membrane circulaire attachée au bord. On les dénote par $nm$, comme indiqué sous les figures.</figcaption></figure>

En regardant l'intersection des modes propres $\Psi_{nm}(r, \theta)$ avec le plan $y = 0$, on retrouve ce que l'on appelle des cercles nodaux et lignes nodales (Fig. 9.6). Ce sont des lieux géométriques immobiles : leur position transverse reste à $y = 0$ au cours de la vibration de la membrane selon le mode concerné.

<figure><img src="image_67.png" /><figcaption>FIGURE 9.6 – Cercles nodaux et lignes nodales pour quelques modes propres *nm* de la membrane circulaire attachée au bord. À comparer avec la Figure 9.5.</figcaption></figure>
<table><caption>Tableau 9.1 – Ratio des fréquences propres de quelques modes propres de la membrane circulaire attachée au bord</caption><tr><td>f<sub>01</sub></td><td>f<sub>11</sub> = 1.59f<sub>01</sub></td><td>f<sub>21</sub> = 2.14f<sub>01</sub></td></tr><tr><td>f<sub>02</sub> = 2.30f<sub>01</sub></td><td>f<sub>12</sub> = 2.92f<sub>01</sub></td><td>f<sub>22</sub> = 3.50f<sub>01</sub></td></tr><tr><td>f<sub>03</sub> = 3.60f<sub>01</sub></td><td>f<sub>13</sub> = 4.23f<sub>01</sub></td><td>f<sub>23</sub> = 4.83f<sub>01</sub></td></tr></table>

Il s'avère qu'un mode propre $\Psi_{nm}(r, \theta)$ a $m$ cercles nodales et $n$ lignes nodaux, où $m$ ne peut être zéro puisqu'il y a toujours au moins le cercle nodal à $r = a$, où la membrane est attachée.

### – FRÉQUENCES DES MODES PROPRES

Comme montré ci-dessus, la forme spatiale des composantes de la vibration de la membrane circulaire est décrite par des fonctions de Bessel $J_n(\lambda_{nm}r)$. Par identification, on a que les pulsations $\omega_{nm} = \lambda_{nm}c$, ou les fréquences [129, Chapitre 4] :

$$f_{nm} = \frac{\lambda_{nm}c}{2\pi}. \qquad (9.10)$$

Un calcul direct nous montre que le rapport des fréquences propres (Tableau 9.1) est indépendant du rayon $a$ de la membrane circulaire. Cependant, contrairement à la corde linéaire p.ex., ici, les fréquences partielles ne forment pas de série harmonique, où les fréquences seraient des multiples entiers de la fréquence fondamentale $f_{01}$. On étudiera dans la Sous-section 9.2.2 l'influence de la charge d'air et d'un couplage avec une cavité sur les fréquences propres.

En faisant varier la tension $T$ (Fig. 9.7) ou le rayon $a$ (Fig. 9.8), on peut faire évoluer les fréquences propres de la membrane circulaire (calculées avec (9.10)), maintenant toujours les rapports indiqués dans le Tableau 9.1.

<figure><img src="image_68.png" /><figcaption>FIGURE 9.7 – Évolution des premières fréquences propres de la membrane circulaire en fonction de la tension de membrane $T$. (Constantes physiques utilisées : $a = 0.162\text{m}$, $\sigma = 0.267\text{kg/m}^2$.)</figcaption></figure>

### – REMARQUES

1. *Modes axisymétriques* – Les modes axisymétriques, c'est-à-dire symétriques par rapport à l'axe passant par le milieu de la membrane et perpendiculaire au champ au repos de la membrane (Fig. 9.4), correspondent au cas où la position
<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>FIGURE 9.8 – Évolution des premières fréquences propres de la membrane circulaire en fonction du rayon de la membrane *a*. (Constantes physiques utilisées : T = 420N/m, σ = 0.267kg/m².)</figcaption></figure>

transverse *y* n'a pas de dépendance en *θ*. Dans ce cas, le Laplacien (9.4) s'écrit sans le terme en $\partial^2/\partial\theta^2$ et on ne retrouve pas de contribution $\Theta(\theta)$ dans la solution. Les modes axisymétriques sont nommés $0m$ (cf. les Figs. 9.5-9.6).

2. Charge d'air – Dans les dérivations ci-dessus, on a considéré une membrane dans le vide. Un modèle pour l'influence d'une charge d'air, exerçant une pression distribuée sur la membrane, est développé dans [87, Chapitre 18]. L'effet de la charge d'air varie avec la fréquence. En basse-fréquence, elle a pour effet d'augmenter les fréquences, et dès ca. 500Hz, son influence est négligeable. (Des références d'études concernant l'influence du rayonnement sur l'harmonicité chez des instruments concrets comme la timbale ou le tabla seront données plus bas.)

En basse-fréquence, on peut approximer la charge d'air comme si elle correspondait à la masse d'un disque d'air du rayon de la membrane et d'une épaisseur de [87, Chapitre 18]

$$ \frac{8a}{3\pi} \approx 0,85a. $$

C'est la raison pour laquelle, dans le modèle présenté en Section 9.3, nous utiliserons l'approximation grossière consistant à considérer une influence de la charge d'air indépendamment de la fréquence sous la forme d'un terme s'ajoutant à la densité massique de la membrane $\sigma$ (dans le vide) :

$$ \sigma_m \triangleq \sigma + 0,85a\rho_{\text{air}} \quad \text{(charge d'un côté de la membrane)} $$

$$ \sigma_m \triangleq \sigma + 2 \cdot 0,85a\rho_{\text{air}} \quad \text{(charge des deux côtés de la membrane),} $$

avec $\rho_{\text{air}}$ la densité massique volumétrique de l'air.

3. Amortissement – On peut ajouter un amortissement fluide dans l'EDP (9.3), qui devient

$$ \Delta y = \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} + \mu \frac{\partial y}{\partial t}, $$

avec $\mu$ [kg/m²s] un coefficient de frottement fluide. Procédant de la même manière que ci-dessus, on obtient l'équation

$$ T'' + \mu T' + \lambda^2 c^2 T = 0. $$
La présence du terme $\mu T'$ a deux effets.

1. $T(t)$ est maintenant exponentiellement amorti par $e^{-\frac{\mu}{2}t}$.

2. La fréquence $\omega = \lambda c$ devient $\omega_d = \sqrt{\omega - \left(\frac{\mu}{2}\right)^2}$.

On remarque dans [129, Chapitre 4] qu'en réalité, les coefficients $\mu/2$ sont fonction de la fréquence. Il y a des pertes associées avec la déflexion de la membrane qui augmentent avec la fréquence, et des pertes associées avec la radiation du son qui décroissent avec la fréquence. Souvent, l'effet net est que les modes haute-fréquence sont amortis plus vite que les modes basse-fréquence.

Dans ce chapitre, l'influence de ce type d'amortissement sur les fréquences propres de la membrane a été négligée. On considère seulement l'influence sur les fréquences due au couplage avec une cavité, comme étudiée dans la sous-section suivante.

### 9.2.2 Vibration d'une membrane circulaire couplée à une cavité

#### DÉRIVATION DE L'EDP
La membrane circulaire attachée au bord est couplée à une cavité de volume $V_0$ au repos comme montré Figure 9.9.

<figure><img src="image_70.png" /><figcaption>FIGURE 9.9 – Membrane circulaire attachée au bord, couplée à une cavité</figcaption></figure>

À cause du couplage entre la membrane et la cavité, une pression nette non nulle peut agir sur la membrane pendant sa vibration. Selon la loi des gaz parfaits et en supposant que le gaz dans la cavité n'a pas de dynamique (discuté plus en détail dans la Section 9.3), cette pression nette $\Delta p(t)$ est le résultat instantané du changement net du volume $\Delta V(t)$ de la cavité. On peut distinguer deux cas, selon le fait si un mode (non) axisymétrique est excité (Fig. 9.10).

Pour le cas d'un *mode non axisymétrique*, le changement de volume net est toujours nul. De ce fait, la pression nette appliquée sur la membrane par la cavité est aussi nulle. On retrouve donc l'EDP de la membrane seule (9.3), et les modes propres non axisymétriques du cas avec cavité, nommés $\Phi_{nm}(r, \theta)$, $n > 0$, sont égaux aux modes propres non axisymétriques du cas sans cavité, nommés $\Psi_{nm}(r, \theta)$, $n > 0$ :

$$ egin{cases} \Phi_{nm}(r, \theta) = \Psi_{nm}(r, \theta) = J_n(\lambda_{nm}r) \cos n\theta, & n > 0, \\ \hat{\Phi}_{nm}(r, \theta) = \hat{\Psi}_{nm}(r, \theta) = J_n(\lambda_{nm}r) \sin n\theta, & n > 0, \end{cases} $$

avec les conditions au bord

$$ \varphi_{nm}(a) \triangleq \psi_{nm}(a) = J_n(\lambda_{nm}a) = 0. $$

Pour le cas des *modes axisymétriques*, où le changement de volume net n'est pas nul, on peut procéder de la manière suivante. D'après [99] et en suivant un développement comme ci-dessus, on peut formuler l'équation des ondes avec une source de pression $\Delta p(t)$ comme

$$ T\Delta y(r,t) + \Delta p(t) = \sigma \frac{\partial^2}{\partial t^2} y(r,t). $$
<figure><img src="image_71.png" /><figcaption>FIGURE 9.10 – Changement de volume de cavité suite à la vibration de la membrane</figcaption></figure>

Selon la loi des gaz parfaits (cf. (9.14) ci-dessous), on peut calculer la pression nette $\Delta p(t)$ comme

$$\Delta p(t) = -\gamma \frac{p_0}{V_0} \Delta V(t),$$

où $p_0$ est la pression atmosphérique, $\gamma$ l'indice adiabatique, et $\Delta V(t)$ le changement de volume, hachuré dans la Fig. 9.10(a), qui peut être calculé comme

$$\Delta V(t) = \int_S y(r,t) \, dS(r).$$

En somme, on obtient l'EDP suivante :

$$c^2 \Delta y(r,t) - \frac{\partial^2}{\partial t^2} y(r,t) = \frac{\gamma p_0}{\sigma V_0} \int_S y(r,t) dS(r). \quad (9.11)$$

On rappelle que $\sigma$ peut être remplacé par $\sigma_m$ si l'on veut prendre en compte l'influence de la charge d'air, comme indiqué ci-dessus.

### – SOLUTION DE L'EDP
Dans [171], il est démontré que l'Équation (9.11), admet des solutions axisymétriques

$$\Phi_{0m}(r, \theta) \triangleq \varphi_{0m}(r) \triangleq [J_0(\lambda_m r) - J_0(\lambda_m a)].$$

Par construction, la condition aux limites en $r = a$ est satisfaite. En substituant ces fonctions propres dans l'EDP (9.11), on obtient que les $\lambda_m$ satisfont la condition implicite<fnref n="5" /> [171]

$$\lambda_m^2 a^2 J_0(\lambda_m a) = - \underbrace{\frac{\pi a^4 \gamma p_0}{T V_0}}_{\triangleq B} J_2(\lambda_m a), \quad (9.12)$$

dans laquelle la grandeur sans dimension $B$ peut être interprétée comme le rapport entre la force de rappel appliquée par l'air dans la cavité et la tension de la membrane [129].

### REMARQUE
On souligne que dans ce modèle, la vibration du bord du fût<fnref n="6" /> et la vibration de l'air dans le fût ne sont pas prises en compte (Fig. 9.11).

<footnote n="5">5. Dans les simulations ci-dessous, les solutions de cette équation implicite sont obtenues par un algorithme numérique utilisant un développement en série de Chebyshev [48].</footnote>

<footnote n="6">6. Une mesure des modes du fût est effectuée dans [220] pour le cas d'une caisse claire, par interférométrie holographique.</footnote>
<figure><img src="image_72.png" /><figcaption>FIGURE 9.11 – Vibration prise en compte dans le modèle de la membrane couplée à une cavité [Dessin d'après [207]]</figcaption></figure>

– FORME DES MODES PROPRES Les trois premiers modes propres $\Phi_{0m}(r, \theta)$ de la membrane circulaire couplée à une cavité sont dessinés dans la Figure 9.12. On remarque que leur forme est similaire aux modes propres $\Psi_{0m}(r, \theta)$ de la membrane sans cavité, et que l'influence de la cavité est la plus grande pour la fréquence la plus basse.

<figure><img src="image_73.png" /><figcaption>FIGURE 9.12 – Comparaison des formes spatiales des premiers modes axisymétrique de la membrane circulaire avec et sans couplage à un volume $V_0$. (Valeurs physiques utilisées : $a = 1\text{m}, B = 11$.)</figcaption></figure>
### FRÉQUENCES DES MODES PROPRES
Sur la Figure 9.13, on montre l'évolution des fréquences des modes axisymétriques de la membrane circulaire couplée à une cavité en fonction du volume $V_0$. On observe que les fréquences montent pour un petit volume, et que la plage d'influence est la plus grande en basse-fréquence. En regardant la condition (9.12), on peut quantifier ce comportement.

- Pour un volume $V_0 \to +\infty$, la condition devient $J_0(\lambda_m a) = 0$, donc on retrouve les modes propres axisymétriques du cas de la membrane sans cavité. Si le volume est grand devant le changement de volume induit par le mouvement de la membrane, la pression nette agissant sur la membrane sera petite.

- Pour un volume $V_0 \to 0$ (dans la limite que c'est géométriquement possible), la condition devient $J_2(\lambda_m a) = 0$, donc les fréquences des modes axisymétriques $\varphi_{0m}(r)$ se rapprochent des fréquences des modes non axisymétriques $\varphi_{2m} = \psi_{2m} = J_2(\lambda_m r)$.

<figure><img src="image_74.png" /><figcaption>FIGURE 9.13 – Évolution des fréquences des modes axisymétriques d'une membrane circulaire couplée à une cavité de volume $V_0$ variable. (Constantes physiques utilisées : $a = 0.162\text{m}$, $\sigma = 0.267\text{kg/m}^2$, $T = 420\text{N/m}$.)</figcaption></figure>

Pour un volume $V_0$ bien choisi, on peut rendre les modes $\Phi_{n1}, n > 0$, harmoniques, ce qui est fait chez la timbale (timpani ou kettledrum)<fnref n="7" /> pour obtenir une sensation de hauteur tonale [60, 129]. De plus, sur la Figure 9.14, on voit que l'on peut faire varier les fréquences des modes axisymétriques $\Phi_{0m}$ tellement, qu'ils croisent les fréquences des modes non axisymétriques $\Phi_{nm}, n > 0$ (non influencées par le volume), changeant ainsi l'ordre fréquentiel des modes.

L'évolution des fréquences des modes en fonction du rayon $a$ de la membrane est montrée Figure 9.15.

- Pour un rayon $a \to 0$, la condition (9.12) devient $J_0(\lambda_m a) = 0$.

<footnote n="7">7. On ne détaille pas ici d'autres phénomènes physiques intervenant lors de ce couplage entre l'air de la cavité, la membrane en vibration, et l'air autour de l'instrument lors du rayonnement, qui peuvent contribuer à rapprocher cette série de fréquences d'un rapport $2f : 3f : 4f : 5f$ par rapport à une fondamentale $f$ absente [24, 60, 129]. En plus, on mentionne dans [60, Chapitre 14] que la note perçue a la fréquence $2f$, et non pas celle de la fondamentale $f$ absente (ambiguïté d'octave).</footnote>

<footnote>Pour une étude plus détaillée de la timbale, regarder [66, 91] utilisant des fonctions de Green, et [209] utilisant des éléments finis.</footnote>
<figure><img src="image_75.png" /><figcaption>FIGURE 9.14 – Évolution des fréquences des modes axisymétriques d'une membrane circulaire couplée à une cavité de volume $V_0$ variable. Superposition des fréquences des modes non axisymétriques. (Constantes physiques utilisées : $a = 0.162\text{m}$, $\sigma = 0.267\text{kg/m}^2$, $T = 420\text{N/m}$.)</figcaption></figure>

— Pour un rayon $a \to +\infty$, la condition devient $J_2(\lambda_m a) = 0$. Les fréquences des modes axisymétriques $\varphi_{0m}(r)$ se rapprochent des fréquences des modes non axisymétriques $\varphi_{2m}(r) = \psi_{2m}(r) = J_2(\lambda_m r)$.

Plus la surface $S = \pi a^2$ de la membrane est grande pour un même volume $V_0$, plus le changement relatif de volume (et donc de pression) suite au mouvement de la membrane peut être grand. Ici, des croisements de fréquence sont également possibles.

En revanche, si l'on modifie $a$ et $V_0$ en même temps de sorte que le rapport $a^4/V_0$ reste constant, $B$ reste constant dans la condition (9.12) et on ne modifie pas les fréquences des modes axisymétriques $\varphi_{0m}$, tandis que les fréquences des modes non axisymétriques $\varphi_{nm}$, $n > 0$ varient avec $a$ (et ne sont pas influencées par $V_0$) [129, Chapitre 4].

Dans la Figure 9.16, on voit l'influence d'un changement de tension de la membrane sur les fréquences propres. Comme pour un changement de volume $V_0$ ou de rayon $a$, la condition (9.12) peut se rapprocher de $J_0(\lambda_m a) = 0$ ou $J_2(\lambda_m a) = 0$, et des croisements de fréquence sont possibles.

### 9.2.3 Déviations du modèle pour la vibration transverse d'une membrane circulaire attachée au bord couplée à une cavité

On peut identifier plusieurs déviations du modèle pour la vibration transverse d'une membrane circulaire attachée au bord couplée à une cavité spécifié ci-dessus, que l'on peut rencontrer chez un vrai instrument de percussion : l'influence d'une densité massique surfacique inhomogène, d'une tension inhomogène, et d'une modulation de tension suite à une excitation forte.

#### DENSITÉ MASSIQUE SURFACIQUE INHOMOGÈNE
Si un nombre d'instruments utilise une membrane à densité massique surfacique homogène, comme le tom et la caisse claire, la densité massique surfacique peut varier considérablement d'un point de la membrane à un autre chez des instruments comme le tabla (Fig. 9.1(f)) et
<figure><img src="image_76.png" /><figcaption>FIGURE 9.15 – Évolution des fréquences des modes (non) axisymétriques d'une membrane circulaire couplée à une cavité, pour un changement du rayon de la membrane. (Constantes physiques utilisées : $\sigma = 0.267\text{kg/m}^2$, $T = 420\text{N/m}$, $V_0 = 0.0195\text{m}^3$.)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_77.png" /><figcaption>FIGURE 9.16 – Évolution des fréquences des modes (non) axisymétriques d'une membrane circulaire couplée à une cavité, pour un changement de la tension. (Constantes physiques utilisées : $a = 0.162\text{m}$, $\sigma = 0.267\text{kg/m}^2$, $V_0 = 0.0195\text{m}^3$.)</figcaption></figure>
mridanga indiens, ou encore chez le *pat wain* birman, suite à la méthode de production (application de pâte). On peut s'en servir pour accorder<fnref n="8" /> les modes basse-fréquence selon une série harmonique [15, 157, 226, 227].

### TENSION INHOMOGÈNEE
Un cercle est la forme géométrique se prêtant le mieux à obtenir une tension homogène dans le domaine de la membrane, contrairement à d'autres formes comme un carré ou rectangle.

Toutefois, certains mécanismes d'accordage des instruments de musique impliquent une tension qui sera intrinsèquement légèrement non homogène. Pour le cas du tom (schématisé dans la Fig. 10.15), on utilise 6 vis d'accordage. Même si l'on accorde ces vis de sorte à ce qu'elles fournissent toutes une même tension dans leur environnement direct, une baisse de tension s'installe naturellement entre deux vis. Un modèle mathématique ad hoc pour ce phénomène [226] est illustré Figure 9.17.

<figure><img src="image_78.png" /><figcaption>FIGURE 9.17 – Modèle mathématique ad hoc pour une distribution de tension dans une membrane de tom circulaire de rayon $a = 0.1778$ : cas d'étude avec un désaccordage extrême [226]</figcaption></figure>

La tension inhomogène se manifeste sous la forme de dédoublements de pics (peak doublings ou mode splitting) : un pair de modes non axisymétriques

$$ 
\begin{cases}
\Psi_{nm}(r, \theta) = J_n(\lambda_{nm}r) \cos n\theta \\
\hat{\Psi}_{nm}(r, \theta) = J_n(\lambda_{nm}r) \sin n\theta,
\end{cases}
$$

ayant théoriquement la même fréquence, obtiennent des fréquences légèrement différentes, ce qui mène à des battements [263]-[60, Chapitre 14].

Avec le modèle de tom décrit de la Figure 9.17, on obtient des écarts allant jusqu'à 21,4Hz en simulation [226], et on observe en effet des écarts de 2 à 28Hz dans la mesure expérimentale chez un tom décrite dans [263].

En outre de l'influence sur la fréquence, l'inhomogénéité de la tension peut déformer les lignes et cercles nodaux (p.ex. [7], et observé utilisant un type d'interférométrie dans [263]). Deux cas sont montrés Fig. 9.18.

### MODULATION DE TENSION (GLISSEMENT FRÉQUENTIEL)
Lorsqu'une membrane est frappée considérablement fort de sorte à obtenir des déplacements transverses plus importants, on peut obtenir un glissement fréquentiel (pitch glide) [217]-[210, §2.2.7]-[243]. Chez ce phénomène non linéaire, la tension est augmentée, ce qui résulte en des fréquences modales plus élevées en début de vibration, qui décroissent ensuite jusqu'à retrouver leurs valeurs constantes correspondantes au régime linéaire (que l'on pourrait obtenir directement sans glissement fréquentiel dans le cas avec une excitation moins

Distribution de tension :

$$ T(\tilde{r}, \tilde{\theta}) = d_0 T_0 + [d(\tilde{r}) - d_0] b(\tilde{\theta}) T_0, $$

avec rayon $\tilde{r} \in [0, 1]$, angle $\tilde{\theta} \in [0, 2\pi]$, $T_0 = 2700\,\text{N/m}$, $d_0 = 1$, $d_1 = 1/3$, $q = \pi/16$, $N = 6$, $B_0 = B_6 = 1$, $B_2 = B_3 = B_4 = 1/2$, $B_1 = B_5 = 0$ et

$$ 
\begin{aligned}
d(\tilde{r}) &= d_0 \left[ \frac{d_1}{d_0} \right]^{\tilde{r}} \\
b(\tilde{\theta}) &= \sum_{n=0}^{N} B_n e^{-\frac{(\tilde{\theta} - 2\pi n / N)^2}{2q^2}}.
\end{aligned}
$$

<footnote n="8">8. Comme déjà mentionné, il y a une influence aditionnelle du rayonnement sur l'harmonicité de la vibration de la membrane, par exemple chez le tabla [242] et le mridanga [37].</footnote>
<figure><img src="image_79.png" /><figcaption>FIGURE 9.18 – Possibles déformations de cercles et lignes modaux sous l'influence d'une tension inhomogène</figcaption></figure>

forte). Ce phénomène serait plus facilement réalisable dans le cas d'une membrane accordée à une faible tension, où l'on a besoin de relativement moins de force pour augmenter la tension de la membrane [210, §2.2.7].

Pour le cas d'un tom de 32 – 33cm de diamètre, une augmentation de fréquence de 8 – 10% (plus qu'un demi-ton) a été mentionnée dans [43, 214]. Dans [73], on mentionne même un glissement fréquentiel de 20Hz (presque 4 demi-tons) en basse-fréquence en frappant fort sur un tom. On mentionne que pour cet instrument, perceptivement, ce phénomène pourrait être partiellement masqué par la présence de beaucoup de composants haute-fréquence (à fort impact) dont la fréquence est beaucoup moins influencée par un changement de tension. Dans [53, 86], le cas d'une grosse caisse est considéré, où l'on mentionne des changements de fréquence de 6 – 10% en la frappant fort (ca. 3,5Hz ou un ton, dans le cas d'un déplacement transverse typique de 6mm).

## 9.3 MODÈLE

Dans cette section, un modèle physique pour le dispositif montré dans la Figure 9.2 est développé (Sous-section 9.3.1) à partir du modèle de membrane couplée à une cavité mentionné dans la Section précédente. Le modèle physique obtenu sera ensuite réécrit sous la forme d'un Système Hamiltonien à Ports (Sous-section 9.3.2). Après un adimensionnement (Sous-section 9.3.3), l'ordre du modèle à dimension infinie est réduit à *N* modes de vibration grâce à une projection modale (Sous-section 9.3.4). Finalement, une représentation alternative en espace d'état est donnée dans la Sous-section 9.3.5 ainsi qu'une simulation de la dynamique non contrôlé du modèle.

### 9.3.1 Modèle physique

#### 9.3.1.1 Configuration

Le modèle est schématisé dans la Figure 9.19 dont les variables seront introduites ci-dessous. Nous observons le couplage membrane-cavité-haut-parleur.

#### 9.3.1.2 Hypothèses

Lors de l'établissement des équations du modèle physique, un certain nombre d'hypothèses simplificatrices sont faites. Bien que ces hypothèses limitent la capacité du modèle d'être représentatif du comportement physique détaillé du système, le modèle résultant est considéré en premier lieu comme « modèle de contrôle » utilisée pour la conception d'une loi de commande 9.

<footnote n="9">9. Après une évaluation de l'implémentation expérimentale de la loi de commande basée sur le présent modèle physique, ce qui sera fait dans le Chapitre 10, on pourrait décider d'adapter le modèle physique ainsi que le loi de commande et de refaire un test expérimental.</footnote>
<figure><img src="image_80.png" /><figcaption>FIGURE 9.19 – Modèle du système</figcaption></figure>

Les hypothèses prises dans l'établissement du modèle physique sont les suivantes.

## 1 – MEMBRANE

(H1a) La membrane exécute de petites déplacements transverses et sa tension est uniforme.

(H1b) La vibration transverse de la membrane ne contient que des modes axisymétriques<fnref n="10" />.

(H1c) Le rayonnement du son produit par la membrane dans l'air de la pièce dans laquelle se trouve l'instrument est modélisé approximativement en ajoutant $0,85aρ_{air}$ à la densité massique surfacique de la membrane [129], $a$ étant le rayon de la membrane et $ρ_{air}$ la densité massique volumétrique de l'air.

## 2 – CAVITÉ

(H2a) La pression à l'intérieur de la cavité est uniforme (modèle à paramètres concentrés sans propagation).

(H2b) L'air à l'intérieur de la cavité se comporte comme un gaz idéal subissant une compression adiabatique.

(H2c) Au repos, la pression à l'intérieur de la cavité égale la pression atmosphérique à l'extérieur. Ceci est réalisé automatiquement par des petits trous présents dans la paroi cylindrique<fnref n="11" />.

## 3 – HAUT-PARLEUR

(H3a) Le haut-parleur est modélisé comme un piston plan.

(H3b) Le haut-parleur fonctionne au-dessus de sa fréquence de résonance.

<footnote n="10">10. Des modes avec des lignes nodales ne sont pas considérées dans le modèle parce qu'il n'y a pas d'influence nette de la cavité comme mentionné ci-dessus : de par leur symétrie par rapport au plan au repos de la membrane, à tout moment, un même volume monte et descend du plan au repos. Cette hypothèse signifie en pratique que le musicien frappe la membrane au milieu, n'excitant que les modes axisymétriques.</footnote>

<footnote n="11">11. Ce trou fonctionne comme la trompe d'Eustache dans l'oreille humaine [84, Chapitre 3]. On argumente dans [60, Chapitre 14] chez l'exemple de la timbale qu'un tel trou (vent hole) n'a pas d'effet sur l'acoustique de l'instrument vu sa petite dimension devant les longueurs d'onde des fréquences d'intérêt, la timbale n'ayant peu d'énergie au-dessus de 1kHz (34cm). On peut supposer que c'est aussi le cas pour le tom. Toujours chez la timbale, des expériences comparant les cas avec trou ouvert et bouché par du caoutchouc ont démontré que le trou n'a très peu voire pas d'influence acoustique [218].</footnote>
### 9.3.1.3 Modèle physique

Le modèle physique du système sous les hypothèses énoncées ci-dessus est maintenant établi. Il consistera de trois parties : la membrane (EDP) et le haut-parleur (EDO), qui sont couplés à travers la cavité (relation statique), comme illustré Figure 9.19.

1. **MEMBRANE** Sous les hypothèses (H1a)-(H1b), on peut formuler l'équation des ondes avec une source de pression comme [99]

$$T\Delta y_m(r,t) + p_c(t) = \sigma_m \frac{\partial^2}{\partial t^2} y_m(r,t) + \mu \frac{\partial}{\partial t} y_m(r,t), \quad (9.13)$$

où $\Delta = \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}$ en coordonnées polaires, $y_m(r,t)$ est le déplacement transverse de la membrane [m], $T$ est la tension [N/m], $\sigma_m = \sigma + 0,85a\rho_{\text{air}}$ est la densité massique surfacique équivalente [kg/m²] correspondant à (H1c), $\mu$ est un coefficient de frottement fluide <fnref n="12" /> [kg/m²s] et $p_c$ est la pression nette [Pa] appliquée sur la membrane. La vitesse d'onde dans la membrane est $c = \sqrt{T/\sigma_m}$.

La condition à la frontière de l'EDP (9.13) correspondant à une membrane attachée au bord $r = a$ est

$$y_m(a, t) = 0.$$

La condition initiale représentant un coup avec une baguette <fnref n="13" /> est

$$\frac{\partial y}{\partial t}(r, 0) = -V_0 \mathbb{I}_{\varepsilon} \delta_0,$$

d'amplitude $V_0$ [$\frac{m}{s}$], $\mathbb{I}_{\varepsilon}(r)$ étant une fonction lisse variant entre une valeur 1 à $r = 0$ et 0 à $r \ge \varepsilon$, et $\delta_0$ la fonction $\delta$ de Dirac à $t = 0$.

2. **CAVITÉ** Les hypothèses (H2a)-(H2b) correspondent à une valeur constante de $pV^{\gamma}$, avec $p$ la pression totale, $V$ le volume total et $\gamma$ l'indice adiabatique de l'air <fnref n="14" />. En dérivant cette relation,

$$d(pV^{\gamma}) = V^{\gamma} dp + \gamma V^{\gamma-1} p dV = 0,$$

$$\iff \frac{dp}{p} = -\gamma \frac{dV}{V},$$

et, en approximant les différentielles par des différences et en utilisant les quantités acoustiques $p_c$ et $V_c$, qui sont les déviations de la pression et le volume par rapport aux valeurs $p_0$ et $V_0$ au repos,

$$\begin{cases} p_c \triangleq p - p_0 \\ V_c \triangleq V - V_0, \end{cases}$$

on obtient la relation approximative (d'ordre 1)

$$\frac{p_c}{p_0} = -\gamma \frac{V_c}{V_0}. \quad (9.14)$$

Il y a deux contributions au changement de volume $V_c$, qui sont hachurées dans la Figure 9.19. Le volume change à cause du mouvement transverse de la membrane

<footnote n="12">12. Dissipation qui ne dépend pas de la fréquence. Une dissipation qui dépend de la fréquence est $\eta \frac{\partial^3}{\partial \varphi^2} y_m(r,t)$ qui est p.ex. prise en compte dans le modèle de timbale de [91, 209] etc.</footnote>

<footnote n="13">13. Pour une discussion plus précise sur le contact entre mailloche et membrane dans le cas de la timbale, regarder [61, 209].</footnote>

<footnote n="14">14. L'indice adiabatique du gaz parfait, ou coefficient de Laplace, est définie comme le rapport $\gamma = C_p/C_v$ entre les capacités thermiques isobare et isochore. Pour l'air, qui contient surtout les gaz diatomiques diazote $N_2$ et dioxygène $O_2$, on utilise une valeur de 1,4 à une température de 20°C.</footnote>
supérieure et à cause de la position de la membrane du haut-parleur, qui est modélisé par un piston plan de position verticale $l_1$ et de surface effective $S_1$. Ainsi,

$$V_c(t) = \int_S y_m(r,t) \, dS(r) - S_1 l_1(t), \qquad (9.15)$$

avec $dS(r) = 2\pi r dr, r \in [0, a]$. Après substitution de (9.15) dans (9.14), on obtient

$$p_c(t) = -\gamma \frac{p_0}{V_0} \left[ \int_S y_m(r,t) dS(r) - S_1 l_1(t) \right]. \qquad (9.16)$$

### 3. HAUT-PARLEUR
D'après l'Hypothèse du piston plan (H3a), le haut-parleur est modélisé comme un disque rigide de surface effective $S_1$. La balance des forces sur ce disque correspond à

$$m_1 \ddot{l}_1(t) + c_1 \dot{l}_1(t) + k_1 l_1(t) = -S_1 p_c(t) + B l_1(t). \qquad (9.17)$$

Le membre gauche de cette expression représente les forces d'un système masse-amortisseur-ressort standard avec une masse $m_1$, un amortissement $c_1$ et une raideur $k_1$ équivalents. La pression dans la cavité applique une force $-S_1 p_c(t)$ sur le haut-parleur (force de réaction correspondant à $p_c$ qui est la pression des parois sur le gaz). Le courant $i_1(t)$ est commandé. Elle induit une force de Laplace $B l_1(t)$, avec $B$ le champ magnétique $[T]$ et $l$ $[m]$ la longueur de la bobine du haut-parleur à l'intérieur du champ magnétique. Plus d'informations concernant ce modèle<fnref n="15" /> à paramètres concentrées de Thiele & Small [230, 231, 239, 240] seront données dans la Section 10.1.3 du chapitre prochain.

### 9.3.2 Modèle SHP : modèle hybride

#### MODÈLE HYBRIDE (EDP-EDO)
En combinant les Équations (9.13)-(9.16)-(9.17), on obtient un modèle hybride (EDP-EDO) :

$$\left\{ \begin{array}{l} T \Delta y_m(r,t) + p_c(t) = \sigma_m \frac{\partial^2}{\partial t^2} y_m(r,t) + \mu \frac{\partial}{\partial t} y_m(r,t) \\ p_c(t) = -\gamma \frac{p_0}{V_0} \left[ \int_S y_m(r,t) dS(r) - S_1 l_1(t) \right] \\ m_1 \ddot{l}_1(t) + c_1 \dot{l}_1(t) + k_1 l_1(t) = -S_1 p_c(t) + B l_1(t), \end{array} \right.$$

dont les variables et constantes physiques sont récapitulées dans le Tableau 9.2.

On propose de réécrire ce modèle sous la forme d'un Système Hamiltonien à Ports (SHP) hybride, combinant des états de dimension infinie (EDP) et des états de dimension finie (EDO). À cette fin, les éléments de la Définition 4.2 (Sous-section 4.1.2) sont énoncés, avant de formuler le modèle SHP.

#### 9.3.2.1 État

Soit $\Omega \triangleq (0, a)$. On définit l'état comme

$$x \triangleq \begin{bmatrix} \pi_m(r,t) \\ \epsilon_m(r,t) \\ V_c(t) \\ \pi_l(t) \\ l_1(t) \end{bmatrix},$$

contenant les variables définies dans le Tableau 9.3

<footnote n="15">15. Pour plus d'informations sur les différents phénomènes non linéaires présents dans les haut-parleurs et comment les inclure dans un modèle à paramètres localisés de type Thiele & Small, voir [125, 131, 141, 205]-[83], et les références y figurant]. Il existe aussi des modèles de haut-parleur EDP prenant en compte la dépendance spatiale du mouvement de la membrane (p.ex. [202] pour le cas d'un modèle non linéaire).</footnote>
<table><caption>Tableau 9.2 – Liste des variables et constantes physiques du modèle de tom</caption><thead><tr><th colspan="3">Variables indépendantes</th></tr></thead><tbody><tr><td>r</td><td>[m]</td><td>coordonnée radiale de la membrane supérieure</td></tr><tr><td>t</td><td>[s]</td><td>temps</td></tr><tr><th colspan="3">Variables dépendantes</th></tr><tr><td>y<sub>m</sub>(r, t)</td><td>[m]</td><td>déplacement transversal de la membrane</td></tr><tr><td>p<sub>c</sub>(t)</td><td>[N/m<sup>2</sup>]</td><td>pression incrémentale dans la cavité</td></tr><tr><td>l<sub>1</sub>(t)</td><td>[m]</td><td>position verticale du haut-parleur</td></tr><tr><td>i<sub>1</sub>(t)</td><td>[A]</td><td>courant du haut-parleur</td></tr><tr><th colspan="3">Constantes</th></tr><tr><td>T</td><td>[N/m]</td><td>tension dans la membrane supérieure</td></tr><tr><td>σ<sub>m</sub></td><td>[kg/m<sup>2</sup>]</td><td>densité surfacique de la membrane supérieure équivalente</td></tr><tr><td>c</td><td>[m/s]</td><td>vitesse d'onde dans la membrane supérieure</td></tr><tr><td>a</td><td>[m]</td><td>rayon de la membrane supérieure</td></tr><tr><td>S</td><td>[m<sup>2</sup>]</td><td>surface de la membrane supérieure</td></tr><tr><td>γ</td><td>[-]</td><td>indice adiabatique de l'air</td></tr><tr><td>p<sub>0</sub></td><td>[N/m<sup>2</sup>]</td><td>pression initiale dans la cavité</td></tr><tr><td>V<sub>0</sub></td><td>[m<sup>3</sup>]</td><td>volume initiale de la cavité</td></tr><tr><td>S<sub>1</sub></td><td>[m<sup>2</sup>]</td><td>surface du haut-parleur (piston plan)</td></tr><tr><td>m<sub>1</sub></td><td>[kg]</td><td>masse du haut-parleur</td></tr><tr><td>c<sub>1</sub></td><td>[kg/s]</td><td>amortissement du haut-parleur</td></tr><tr><td>k<sub>1</sub></td><td>[N/m]</td><td>raideur du haut-parleur</td></tr><tr><td>Bl</td><td>[N/A]</td><td>facteur de la force de Laplace</td></tr></tbody></table>

<table><caption>Tableau 9.3 – Liste des états du modèle de tom</caption><thead><tr><th colspan="3">Variables d'état</th></tr></thead><tbody><tr><td>π<sub>m</sub>(r, t)</td><td>[kg/m·s]</td><td>quantité de mouvement surfacique de la membrane supérieure</td></tr><tr><td>ε<sub>m</sub>(r, t)</td><td>[-]</td><td>déformation de la membrane supérieure</td></tr><tr><td>V<sub>c</sub>(t)</td><td>[m<sup>3</sup>]</td><td>volume incrémental de la cavité</td></tr><tr><td>π<sub>l</sub>(t)</td><td>[kg·m/s]</td><td>quantité de mouvement de la membrane du haut-parleur</td></tr><tr><td>l<sub>1</sub>(t)</td><td>[m]</td><td>position verticale de la membrane du haut-parleur</td></tr></tbody></table>

L'espace d'état est l'espace de Hilbert

$$X \triangleq H_0^1(\Omega, \mathbb{R}; 2\pi r dr) \times H^1(\Omega, \mathbb{R}; 2\pi r dr) \times \mathbb{R}^3,$$

muni du produit scalaire $\langle x, y \rangle_X$ qui est défini à partir du Hamiltonien, comme introduit ci-dessous.

### 9.3.2.2 Énergie

La fonction hamiltonienne $H(x(t))$ du système représente son énergie en fonction de l'état $x(t)$. Cette énergie est la somme des 5 contributions suivantes.
— L'énergie cinétique de la membrane :

$$E_{m,c} = \frac{1}{2} \int_S \frac{\pi_m^2}{\sigma_m} dS(r).$$

— L'énergie élastique de la membrane :

$$E_{m,e} = \frac{1}{2} \int_S T \varepsilon_m^2 dS(r).$$

— L'énergie de compression adiabatique de l'air dans la cavité : à partir de $E_c = \int_{V_0}^{V_c} (-p_c) dV_c$ et en utilisant la relation (9.14), on obtient

$$E_c = \frac{\gamma p_0 V_0}{2} \left(\frac{V_c}{V_0}\right)^2 = \frac{E_0}{2} \left(\frac{V_c}{V_0}\right)^2, \qquad (9.18)$$

avec $E_0 \triangleq \gamma p_0 V_0$.

Remarque – Interprétation de l'énergie de compression comme un Hamiltonien « décalé » (en fonction d'un variable de déviation) L'énergie de compression du gaz dans la cavité peut être interprétée d'une autre manière. L'énergie de compression d'un gaz à volume V peut aussi être obtenue comme

$$E_{\text{gaz}} = E_{\text{gaz},0} \left(\frac{V}{V_0}\right)^{1-\gamma},$$

par rapport à l'énergie au repos $E_{gaz,0} = \frac{C_v}{R} p_0 V_0$. Prenant cette énergie comme hamiltonien $\tilde{H}(V)$ en fonction du volume $V = V_0 + V_c$, on peut définir un hamiltonien « décalé »<fnref n="16" /> $H(V_c)$ en fonction de la déviation de volume $V_c$ par rapport au volume au repos $V_0$ comme

$$\begin{align*} H(V_c) &= \tilde{H}(V) - \left[ \tilde{H}(V_0) + \left. \frac{d\tilde{H}}{dV} \right|_{V=V_0} \cdot V_c \right] \\ &= E_{\text{gaz},0} \left( 1 + \frac{V_c}{V_0} \right)^{1-\gamma} - \left[ E_{\text{gaz},0} + E_{\text{gaz},0} (1-\gamma) \frac{V_c}{V_0} \right] \\ &= E_{\text{gaz},0} \left[ \left( 1 + \frac{V_c}{V_0} \right)^{1-\gamma} - 1 - (1-\gamma) \frac{V_c}{V_0} \right] \end{align*}$$

Son approximation quadratique, de laquelle la loi linéarisée gouvernant la pression découle, est donnée par le développement limité en série binomiale à l'ordre 2 :

$$(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2} x^2 + \mathcal{O}(x^3).$$

On obtient

$$\begin{align*} H(V_c) &\approx E_{\text{gaz},0} \left[ \lambda + (1-\gamma) \frac{V_c}{V_0} + \frac{\gamma(1-\gamma)}{2} \left( \frac{V_c}{V_0} \right)^2 - \lambda - (1-\gamma) \frac{V_c}{V_0} \right] \\ &= E_{\text{gaz},0} \frac{\gamma(\gamma-1)}{2} \left( \frac{V_c}{V_0} \right)^2 . \end{align*}$$

Substituant $E_{gaz,0}$, et sachant que $\gamma = \frac{C_p}{C_V}$ et $R = C_p - C_v$, on obtient

$$H(V_c) = \frac{\gamma p_0 V_0}{2} \left(\frac{V_c}{V_0}\right)^2,$$

<footnote n="16">16. Shifted Hamiltonian, [167, Éq. 7].</footnote>
comme l'expression de l'Éq. (9.18).

La dérivée de l'énergie $E_c$ par rapport au variable d'état $V_c$, dont on aura besoin plus bas, est

$$ \frac{dE_c}{dV_c} = \gamma \frac{p_0}{V_0} V_c^{(9.14)} = -p_c. $$

— L'énergie cinétique du haut-parleur :

$$ E_{l,c} = \frac{1}{2} \frac{\pi_l^2}{m_l}. $$

— L'énergie élastique du ressort du haut-parleur :

$$ E_{l,e} = \frac{1}{2} k_1 \ell_1^2. $$

### 9.3.2.3 Produit scalaire et fonction hamiltonienne

On définit le produit scalaire

$$ \langle x, y \rangle_X \triangleq \int_S \begin{bmatrix} x_1(r) & x_2(r) \end{bmatrix} L_m \begin{bmatrix} y_1(r) \\ y_2(r) \end{bmatrix} dS(r) + \begin{bmatrix} x_3 & x_4 & x_5 \end{bmatrix} L_{c\&l} \begin{bmatrix} y_3 \\ y_4 \\ y_5 \end{bmatrix} \quad (9.19) $$

avec

$$ L_m = \operatorname{diag} \left( \frac{1}{\sigma_m}, T \right) \succ 0, \quad L_{c\&l} = \operatorname{diag} \left( \frac{E_0}{V_0^2}, \frac{1}{m_1}, k_1 \right) \succ 0. $$

Avec ce produit scalaire, la fonction hamiltonienne

$$ \mathcal{H}(\mathbf{x}) = \frac{1}{2} \langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle_X = E_{m,c} + E_{m,e} + E_c + E_{l,c} + E_{l,e} $$

correspond à l'énergie totale du système.

### 9.3.2.4 Dérivée de la fonction hamiltonienne

Nous avons affaire à un PHS mixte qui combine une partie de dimension finie et une partie de dimension infinie. De ce fait, on peut définir la dérivée $D_x \mathcal{H}(\mathbf{x})$ qui contient à la fois des dérivées variationnelles, pour les variables d'état de dimension infinie, et des gradients, pour les variables d'état de dimension finie :

$$ D_x \mathcal{H}(\mathbf{x}) = \left[ \frac{\delta_{x_m} \mathcal{H}(\mathbf{x})}{\nabla_{x_{c\&l}} \mathcal{H}(\mathbf{x})} \right] = \mathcal{L} \mathbf{x}. $$

On remarque que

$$ \mathcal{L} \mathbf{x} = \left[ \frac{\pi_m}{\sigma_m} \quad T \varepsilon \left| \frac{E_0}{V_0^2} V_c(= -p_c) \quad \frac{\pi_l}{m_l} \quad k_1 \ell_1 \right]^{\mathrm{T}}, $$

qui représente respectivement la vitesse de la membrane, la projection radiale de la force de tension de la membrane (pour des petits déplacements), la densité d'énergie de la cavité (= la pression dans la cavité), la vitesse du haut-parleur et la force élastique sur le haut-parleur.
### 9.3.2.5 Modèle SHP

On obtient le modèle SHP

$$ egin{cases} 
\partial_t x = (\mathcal{J} - \mathcal{R}) D_x \mathcal{H}(x) + \mathcal{G} u \\ 
y = \mathcal{G}^* \delta_x \mathcal{H}(x) 
\end{cases} $$

où la première équation correspond à

$$ \frac{\partial}{\partial t} \begin{bmatrix} \pi_m \\ \frac{\varepsilon_m}{V_c} \\ \frac{\ell_1}{\pi_l} \end{bmatrix} = \left( \begin{bmatrix} 0 & \text{div} & -1 & 0 & 0 \\ \text{grad} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{\int_S \cdot dS}{\pi_l} & 0 & 0 & -S_l & 0 \\ 0 & 0 & S_l & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \mu & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c_l & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \right) \begin{bmatrix} \frac{\pi_m}{c_m} \\ T\varepsilon \\ \frac{E_0}{V_c^2} \\ \frac{\pi_l}{m_l} \\ k_l\ell_l \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{0}{B_l} \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \dot{i}_l \quad (9.20) $$

et la deuxième à

$$ y = B l \dot{\ell}_1. \quad (9.21) $$

Dans la première équation, $l$ représente l'opérateur unitaire. L'opérateur (matrice) $\mathcal{R} = \text{diag}(\mu \ge 0, 0, 0, c_l \ge 0, 0)$ est semi-définie positive. L'opérateur $\mathcal{J}$ a comme domaine

$$ \mathcal{D}(\mathcal{J}) = H_0(\text{grad}) \times H(\text{div}) \times \mathbb{R}^3, $$

où $\text{grad} = \frac{\partial}{\partial r}$ et $\text{div} = \left(\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r}\right)$ dans des coordonnées polaires, en prenant en compte la Hypothèse (H1b) qui implique qu'il n'y a pas de variation dans la direction angulaire. Par une intégration par parties, on prouve que l'opérateur $\mathcal{J}$ est formellement anti-auto-adjoint (Lemme C.1 de l'Annexe C).

La deuxième équation du modèle SHP, (9.21), représente la force électromotrice. Ainsi, le produit entre entrée $i_1$ et sortie $u_1$ représente la puissance électrique apportée au haut-parleur du système. Cette deuxième équation ne sera pas considérée explicitement dans la suite des développements.

### 9.3.3 Modèle SHP : adimensionnement du modèle hybride

Nous procédons ensuite à une mise à l'échelle du modèle SHP (9.20)-(9.21). Ce procédé consiste à remplacer chaque variable (in)dépendante $v$ par sa version adimensionnée $\tilde{v}$ selon

$$ \tilde{v} \triangleq \frac{v - v_0}{v_{\text{ref}}}. \quad (9.22) $$

Ici, $v_0$ est une valeur qui sert à déplacer le zéro ($v_0 = 0$ dans la suite) et $v_{\text{ref}}$ est une valeur de référence à préciser. Puisque les grandeurs $v$, $v_0$ et $v_{\text{ref}}$ ont la même unité physique, $\tilde{v}$ est une grandeur sans dimension.

On commence par substituer les variables par (9.22) dans le modèle (9.20)-(9.21) et par appliquer la règle de dérivation en chaîne. Ensuite, on obtient des relations algébriques entre les valeurs de référence $v_{\text{ref}}$. Finalement, on peut choisir un certain nombre de valeurs de référence au choix et les autres valeurs de référence en découlent<fnref n="17" />. Pour les valeurs de références au choix, on prend souvent des grandeurs caractéristiques du problème physique sous considération (p.ex. une distance [m] d'un objet, etc.)<fnref n="18" />.

Ici, la mise à l'échelle du modèle SHP est effectuée afin de réduire le nombre de constantes physiques présentes dans la suite des calculs<fnref n="19" />. Des groupes adimensionnées

<footnote n="17">17. Pour plus d'infos sur l'analyse dimensionnelle et le nombre de groupes adimensionnées, voir le Théorème de Buckingham-Pi ([41, 265, 272] avec de nombreux exemples).</footnote>

<footnote n="18">18. Dans [138], la procédure de mise à l'échelle est appliquée à plusieurs EDOs et EDPs typiques.</footnote>

<footnote n="19">19. Dans d'autres contextes, une remise à l'échelle peut aussi remédier à des problèmes numériques présents quand les différentes variables du modèle ont des ordres de grandeurs très différents. Après une mise à l'échelle, on peut les faire varier toutes dans l'intervalle $[0, 1]$ par exemple [138].</footnote>
apparaîtront, que l'on peut soit donner la valeur 1 par un choix judicieux des valeurs de référence, soit renommer par une lettre.

Après un calcul qui est explicité dans la Section C.2.2 en Annexe, on obtient le modèle SHP adimensionné suivant :

$$
\frac{\partial}{\partial \tilde{t}} \begin{bmatrix} \frac{\tilde{\pi}_m}{\tilde{\varepsilon}_m} \\ \frac{\tilde{V}_c}{\tilde{\pi}_1} \\ \tilde{l}_1 \end{bmatrix} = \left( \begin{bmatrix} 0 & \left(\frac{\partial}{\partial t} + \frac{1}{\tilde{r}}\right) & -\alpha \mathbf{1} & 0 & 0 \\ \frac{\partial}{\partial \tilde{r}} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \alpha \int_S \cdot d\mathcal{S} & 0 & 0 & -\beta_1 & 0 \\ 0 & 0 & \beta_1 & 0 & -\beta_2 \\ 0 & 0 & 0 & \beta_2 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \zeta & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \zeta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \right) \begin{bmatrix} \frac{\pi_m}{\tilde{\varepsilon}_m} \\ \frac{\tilde{V}_c}{\tilde{\pi}_1} \\ \tilde{l}_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{0}{0} \\ \frac{1}{0} \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \tilde{l}_1 \quad (9.23)
$$

où $d\tilde{S} = 2\pi\tilde{r} d\tilde{r}$, $\tilde{r} \in \tilde{\Omega} = [0, 1]$ et les formules d'adimensionnement sont données dans
le Tableau 9.4.

<caption>Tableau 9.4 – Adimensionnement des variables et constantes</caption>

$$
\begin{array}{c|c|c}
\tilde{r} = \frac{r}{a} & \tilde{t} = \frac{c}{a} t & \tilde{S} = \frac{S}{a^2} \\
\tilde{\pi}_m = \frac{\pi_m}{a^{-1} \sqrt{\sigma_m \gamma p_0 V_0}} & \tilde{\varepsilon}_m = \frac{\varepsilon_m}{a^{-1} \sqrt{\gamma p_0 V_0 T^{-1}}} & \tilde{V}_c = \frac{V_c}{V_0} \\
\tilde{\pi}_1 = \frac{\pi_1}{\sqrt{m_1 \gamma p_0 V_0}} & \tilde{l}_1 = \frac{l_1}{\sqrt{k_1^{-1} \gamma p_0 V_0}} & \tilde{H} = \frac{H}{\gamma p_0 V_0} \\
\tilde{l}_1 = \frac{i_1}{c (a B l)^{-1} \sqrt{m_1 \gamma p_0 V_0}} & \zeta = \frac{a c l_1}{c m_1} & \zeta = \frac{\mu a}{c \sigma_m} \\
\alpha = \frac{a^2}{c} \sqrt{\frac{\gamma p_0}{c \sigma_m V_0}} & \beta_1 = \frac{a S_1}{c} \sqrt{\frac{\gamma p_0}{m_1 V_0}} & \beta_2 = \frac{a}{c} \sqrt{\frac{k_1}{m_1}} \\
\tilde{p}_c = \frac{p_c}{p_0} & \tilde{y}_m = \frac{y_m}{a} & \tilde{\phi}_n = \phi_n \\
\tilde{z}_n = \frac{z_n}{a} & \tilde{\lambda}_n = a \lambda_n & \tilde{f} = \frac{a}{c} f
\end{array}
$$

9.3.4 Modèle SHP de dimension finie : projection modale et réduction d'ordre

9.3.4.1 Choix de la base modale

Nous procédons à une projection modale du modèle SHP sur une base modale orthonormale au choix. Le résultat sera tronqué à *N* modes et ainsi, une réduction d’ordre approximative est obtenue, remplaçant le modèle hybride EDP-EDO par un modèle purement EDO, qui sera utilisé plus tard pour la conception de la loi de commande.

Pour effectuer la projection modale d'une variable $\tilde{v}(\tilde{r}, \tilde{t})$ sur une fonction de la base $\tilde{w}(\tilde{r})$, le produit scalaire suivant est défini, en version adimensionnée comme

$$
\langle \tilde{v}(\tilde{r}, \tilde{t}), \tilde{w}(\tilde{r}) \rangle_P \triangleq \int_{\tilde{S}} \tilde{v}(\tilde{r}, \tilde{t}) \tilde{w}(\tilde{r}) \, d\tilde{S} = 2\pi \int_{0}^{1} \tilde{v}(\tilde{r}, \tilde{t}) \tilde{w}(\tilde{r}) \tilde{r} \, d\tilde{r},
$$

où en version redimensionnée comme

$$
\langle v(r,t), \bar{w}(r) \rangle_P \triangleq \frac{1}{a^2} \int_S v(r,t) \bar{w}(r) \, dS = \frac{2\pi}{a^2} \int_0^a v(r,t) \bar{w}(r) \, r \, dr.
$$

(Ici, $\bar{w}(r)$ indique une fonction de la base modale (encore à définir), et $\tilde{w}$ sa version adimensionnée.)

Une possibilité serait de construire une base modale composée des modes propres
axisymétriques de la membrane circulaire encastrée au bord (cf. la Sous-section 9.2.1),
grâce au lemme suivant.
**Lemme 9.1.** Les fonctions

$$
\left\{ \bar{\psi}_n(r) \triangleq \frac{1}{\sqrt{\pi} J_1(\lambda_n a)} J_0(\lambda_n r) \right\},
$$

avec $\lambda_n$ t.q. $J_0(\lambda_n a) = 0$, forment une base orthonormale.

Démonstration. En Sous-section C.2.3 de l'Annexe C.

<figure><img src="image_81.png" /></figure>

Nous choisissons d'utiliser une base modale composée des modes propres axisy-
métriques de la membrane circulaire encastrée au bord couplée à une cavité (cf. la
Sous-section 9.2.2), selon le lemme suivant.

**Lemme 9.2.** *Les fonctions*

$$
\left\{ \bar{\varphi}_n(r) \triangleq \frac{1}{w_n} [J_0(\lambda_n r) - J_0(\lambda_n a)] \right\},
$$

avec $\lambda_n$ qui satisfait (9.12) et les poids

$$
w_n = \lambda_n a |J_0(\lambda_n a)| \sqrt{2\pi \left( \frac{a^4 \lambda_n^4}{8B^2} - \frac{a^2 \lambda_n^2}{4B} + \frac{1}{B} + \frac{1}{8} \right)},
$$

forment une base orthonormale.

Démonstration. En Sous-section C.2.3 de l'Annexe C.

<figure><img src="image_82.png" /></figure>

On souligne que pour les $\lambda_n$ satisfaisant la condition (9.12) qui sont utilisés dans le
Lemme 9.2, on a que $J_0(\lambda_n a) \neq 0$, contrairement au cas de la membrane seule (Lemme
9.1).

ADIMENSIONNEMENT DE LA BASE MODALE On prend $\bar{\phi}_n^{\text{ref}} \triangleq 1$, de sorte que
$$ \tilde{\phi}(\tilde{r}) = \bar{\phi}(\tilde{r}). $$
La base modale s'écrit alors

$$
\left\{ \bar{\phi}_n(r) = \frac{1}{w_n} [J_0(\bar{\lambda}_n \tilde{r}) - J_0(\bar{\lambda}_n)] \right\},
$$

et la condition implicite des fréquences (9.12) devient

$$
\bar{\lambda}_n^2 J_0(\bar{\lambda}_n) = -B J_2(\bar{\lambda}_n). \tag{9.24}
$$

9.3.4.2 Projection modale du SHP et troncation à N modes

PROCÉDURE La projection modale correspond à

$$
y_m(r,t) = \sum_{n=1}^{+\infty} \bar{\phi}_n(r) z_n(t),
$$

où les fonctions spatiales $\bar{\phi}_n(r)$ de la base modale sont définies dans le Lemme 9.2 et où les évolutions temporelles $z_n(t)$ sont inconnues et seront obtenues par une simulation du modèle.

Une troncature à N modes est effectuée :

$$
y_m(r,t) \approx \sum_{n=1}^{N} \bar{\phi}_n(r) z_n(t).
$$

On note que les modes des ordres les plus bas sont les plus importants pour le son
produit [129]. De plus, ce sont ces modes qui sont le plus influencés par la cavité [171],
comme illustré dans la Figure 9.12.

Alternativement, en variables adimensionnées, on note

$$
\tilde{y}_m(\tilde{r}, \tilde{t}) \approx \sum_{n=1}^{N} \tilde{\phi}_n(\tilde{r}) \tilde{z}_n(\tilde{t}).
$$
SHP PROJETÉ ET TRONQUÉ Après les calculs détaillés en Sous-section C.2.3, un SHP de dimension finie (EDO pure) est obtenu. Pour $N = 2$ modes, par exemple, il s'écrit de la façon suivante :

$$
\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} \bar{z}_1 \\ \bar{z}_2 \\ \partial_t \bar{z}_1 \\ \partial_t \bar{z}_2 \\ \frac{\bar{V}_c}{\bar{\pi}_1} \\ \bar{l}_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \frac{1}{\kappa^2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\kappa^2} & 0 & 0 \\ -\frac{1}{\kappa^2} & 0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\kappa B \chi_{I,1}} \tilde{\lambda}_1 \operatorname{sign}_1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{\kappa^2} & 0 & 0 & \frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\kappa B \chi_{I,2}} \tilde{\lambda}_2 \operatorname{sign}_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\kappa B \chi_{I,1}} \tilde{\lambda}_1 \operatorname{sign}_1 & -\frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\kappa B \chi_{I,2}} \tilde{\lambda}_2 \operatorname{sign}_2 & 0 & -\beta_1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \beta_1 & 0 - \beta_2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \beta_2 & 0 \end{bmatrix} \\
- \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\zeta}{\kappa^2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{\zeta}{\kappa^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\zeta}{\kappa^2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \times \\
\times \begin{bmatrix} \kappa^2 \tilde{\lambda}_1^2 \frac{\lambda_{T,1}^2}{\lambda_{T,1}^2} & -\frac{\kappa^2}{B} \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\chi_{I,1} \chi_{I,2}} \operatorname{sign}_1 \operatorname{sign}_2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{\kappa^2}{B} \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\chi_{I,1} \chi_{I,2}} \operatorname{sign}_1 \operatorname{sign}_2 & \kappa^2 \frac{\lambda_2^2}{\lambda_{T,2}^2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \kappa^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \kappa^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar{z}_1 \\ \bar{z}_2 \\ \partial_t \bar{z}_1 \\ \partial_t \bar{z}_2 \\ \frac{\bar{V}_c}{\bar{\pi}_1} \\ \bar{l}_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \frac{\bar{\pi}_1}{\bar{l}_1} \\ 0 \end{bmatrix} \quad (9.25)
$$

où $\operatorname{sign}_i \triangleq \operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_i))$ et

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\kappa \triangleq a \sqrt{T(\gamma p_0 V_0)^{-1}} \\
\chi_{I,i} \triangleq \sqrt{\frac{\tilde{\lambda}_i^4}{4B^2} - \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{2B} + \frac{1}{4} + \frac{2}{B}} \\
\chi_{II,i} \triangleq \sqrt{\frac{\tilde{\lambda}_i^4}{4B^2} - \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{2B} + \frac{1}{4} + \frac{1}{B}}
\end{array}
\right.
$$

Ce SHP tronqué contient $2N+3$ équations, pour un nombre de modes axisymétriques de la membrane $N$ au choix : $2N$ équations pour les $N$ modes de la membrane, une équation pour la cavité, et $2$ équations pour le haut-parleur.

Les SHP projetés pour les cas $N = 1$ et $N = 3$ sont également explicités dans la Sous-section C.2.3.

9.3.5 Représentation d'état

La $(2N+1)^{me}$ ligne du modèle SHP tronqué (9.25) représente la version projetée

$$
- \tilde{V}_c = \frac{1}{\gamma} \tilde{p}_c(\tilde{t}) = \sum_{i=1}^{N} \frac{\sqrt{\pi \alpha \kappa}}{B \chi_{I,i}} \tilde{\lambda}_i \operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_i)) \tilde{z}_i(\tilde{t}) + \frac{\beta_1}{\beta_2} \tilde{l}_1(\tilde{t}) \quad (9.26)
$$

de l'équation statique de la cavité (9.16). Cette relation algébrique est instantanée, et,
du point de vue de l'automatique, redondante. Elle peut être enlevée du SHP (9.25)
qui peut alors être réécrit comme une représentation en espace d'état classique

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} + B\mathbf{u} \\
y = C\mathbf{x}.
\end{array}
\right.
\qquad (9.27)
$$
Dans cette écriture, l'état $x \in \mathbb{R}^{2N+2}$ correspond à l'état utilisé dans (9.25) mais dont la variable du volume $\tilde{V}_c$ (reliée à la pression $\tilde{p}_c$) a été enlevée. Cet état ne contient alors plus que des véritables degrés de liberté. L'entrée du système $u(\tilde{t})$ est le courant du haut-parleur $\tilde{i}(\tilde{t})$, et la sortie du système $y(\tilde{t})$ est la mesure physique de la pression dans la cavité $\tilde{p}_c(\tilde{t})$.

Pour le cas $N = 2$, la forme (9.27) correspond à

$$ \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} \tilde{z}_1 \\ \tilde{z}_2 \\ \partial_t \tilde{z}_1 \\ \partial_t \tilde{z}_2 \\ \bar{\pi}_1 \\ \bar{\ell}_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{\lambda_1 \lambda_2}{B} \frac{\partial_\ell \lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 \lambda_1 \lambda_2 \lambda_1 \lambda_2} - \frac{\pi \alpha^2}{B^2 \lambda_1 \lambda_1} & \frac{\lambda_1 \lambda_2 \text{sign}_1 \text{sign}_2}{\lambda_1 \lambda_1 \lambda_2 \lambda_1 \lambda_2 \text{sign}_1 \text{sign}_2} & -\zeta & 0 & 0 & \frac{\sqrt{\pi \alpha}}{\kappa B \lambda_1 \lambda_1} & \lambda_1 \text{sign}_1 \\ \frac{\lambda_1 \lambda_2}{B} \frac{\partial_\ell \lambda_1 \lambda_2 \text{sign}_1 \text{sign}_2}{\lambda_1 \lambda_1 \lambda_2 \lambda_1 \lambda_1 \lambda_2 \text{sign}_1 \text{sign}_2} & \frac{\lambda_1 \lambda_2 \partial_\ell \lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 \lambda_1 \lambda_2 \lambda_1 \lambda_2} & -\zeta & 0 & 0 & \frac{\sqrt{\pi \alpha}}{\kappa B \lambda_1 \lambda_1} & \lambda_2 \text{sign}_2 \\ -\beta_1 \frac{\kappa \sqrt{\pi \alpha}}{B \lambda_1 \lambda_1} \lambda_1 \text{sign}_1 & -\beta_1 \frac{\kappa \sqrt{\pi \alpha}}{B \lambda_1 \lambda_2} \lambda_2 \text{sign}_2 & 0 & 0 & -\zeta & -\beta_2 & -\beta_2^2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \beta_2 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde{z}_1 \\ \tilde{z}_2 \\ \partial_t \tilde{z}_1 \\ \partial_t \tilde{z}_2 \\ \bar{\pi}_1 \\ \bar{\ell}_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \tilde{i}_1 $$

$$ y = \left[ \gamma \frac{\kappa \sqrt{\pi \alpha}}{B \lambda_{1,1}} \tilde{\lambda}_1 \text{sign}_1 \quad \gamma \frac{\kappa \sqrt{\pi \alpha}}{B \lambda_{1,2}} \tilde{\lambda}_2 \text{sign}_2 \quad 0 \quad 0 \quad 0 \quad \gamma \frac{\beta_1}{\beta_2} \right] \begin{bmatrix} \tilde{z}_1 \\ \tilde{z}_2 \\ \partial_t \tilde{z}_1 \\ \partial_t \tilde{z}_2 \\ \bar{\pi}_1 \\ \bar{\ell}_1 \end{bmatrix}, $$

où l'abréviation $\text{sign}_i \triangleq \text{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_i))$ est utilisée. Les cas $N = 1$ et $N = 3$ sont explicités dans la Sous-section C.2.4.

Par la suite, la représentation (9.27) sera utilisée pour la conception de la loi de commande.

**SIMULATION 1** Dans le présent chapitre, la simulation du modèle de tom (9.27) est revisitée à plusieurs reprises, avec un état initial zéro à l'exception des vitesses modales $\partial_t \tilde{z}_i = -0.001$, et avec $B = 5.54$, $\kappa = 0.171$, $\gamma = 1.4$, $\alpha = 1.33$, $\beta_1 = 0.768$, $\beta_2 = 0.353$, $\zeta = 0.0923$, $\xi = 0.1$ comme paramètres physiques du modèle. L'évolution temporelle du modèle est simulée en utilisant une méthode numérique standard (Adams/BDF avec détection automatique de raideur numérique et commutation [113], avec un pas temporel $\Delta \tilde{t} = 0.001$).

Une première simulation concerne le cas du modèle à $N = 2$ modes sans contrôle (Fig. 9.20). On remarque que la simulation du déplacement de la membrane à son milieu,

$$ \tilde{y}(\tilde{r} = 0, \tilde{t}) = J_0(0)\tilde{z}_1(\tilde{t}) + J_0(0)\tilde{z}_2(\tilde{t}), $$

contient trois fréquences : les deux fréquences correspondant aux deux modes de membrane axisymétriques modélisés, et une petite contribution basse-fréquence qui est la fréquence de résonance du haut-parleur, qui oscille librement par sympathie à travers le couplage membrane–cavité–haut-parleur.

L'évolution de l'état entier du SHP est montrée Figure 9.21. Ici, la variable $\tilde{V}_c$, ne faisant pas partie de la reformulation (9.27) qui a été simulée, est calculée avec la
<figure><img src="image_83.png" /><figcaption>FIGURE 9.20 – Simulation du système non contrôlé, avec N = 2 modes : évolution du déplacement au milieu de la membrane ŷ(0, ţ) et son contenu fréquentiel.</figcaption></figure>

relation statique (9.26). Dans la même figure, on voit aussi l'évolution temporelle du
Hamiltonien du système discrétisé, calculé comme

$$
\tilde{H}(\tilde{x}(\tilde{t})) = \begin{bmatrix} \tilde{z}_1 & z_2 & \partial_{\tilde{t}}\tilde{z}_1 & \partial_{\tilde{t}}\tilde{z}_2 & \tilde{V}_c & \tilde{\pi}_1 & \tilde{l}_1 \end{bmatrix} \quad \left[ \begin{array}{c} \tilde{W} \\ \hline 1 \\ \hline 1 \end{array} \right] \quad \begin{bmatrix} \tilde{z}_1 \\ z_2 \\ \partial_{\tilde{t}}\tilde{z}_1 \\ \partial_{\tilde{t}}\tilde{z}_2 \\ \tilde{V}_c \\ \tilde{\pi}_1 \\ \tilde{l}_1 \end{bmatrix},
$$

où la matrice $\tilde{W}$ est définie par l'Équation (C.25) en Annexe C. Au début de la simulation, une énergie initiale est apportée au système sous la forme des conditions initiales représentant un coup de mailloche. Ensuite, au cours de la vibration de l'instrument, cette énergie est dissipée dans la membrane supérieure ($\mu$) et dans l'amortisseur (équivalent) du haut-parleur ($c_l$), ce qui correspond à un Hamiltonien décroissant.

9.4 CONTROLETMODAL

Un observateur-régulateur est développé qui a pour but de changer des fréquences
.et/ou amortissements) des premiers N modes axisymétriques de la membrane (z̃i),
utilisant le modèle tronqué à N modes (9.25). D'abord, le régulateur temps-fini est
conçu sous l'hypothèse que tout l'état est connu (Sous-section 9.4.1), et ensuite, l'obser-
<figure><img src="image_84.png" /><figcaption>FIGURE 9.21 – Simulation du système non contrôlé, avec N = 2 modes : évolution de l'état entier et du Hamiltonien.</figcaption></figure>
vateur temps fini est ajouté (Sous-section 9.4.2). Finalement, dans la Sous-section 9.4.3, quelques remarques envers une implémentation pratique sont données.

### 9.4.1 Régulateur en temps fini

Dans cette sous-section, une loi de commande pour le courant du haut-parleur $\tilde{i}_1$ est développée, supposant la connaissance de la pression $\tilde{p}_c$ dans la cavité et les évolutions temporelles $\tilde{z}_i$ des N premiers modes. En changeant la position verticale du haut-parleur, le volume et donc la pression de la cavité sont changés. Cette pression agit sur la membrane supérieure du tom, influençant ainsi son comportement vibratoire. Ce dispositif est schématisé dans la Figure 9.22.

<figure><img src="image_85.png" /><figcaption>FIGURE 9.22 – Disposition du contrôleur : mesure de la pression dans la cavité $p_c(t)$ et évolutions temporelles des modes de la membrane $z_i(t)$ comme entrée, et courant du haut-parleur $i_1(t)$ comme sortie.</figcaption></figure>

La conception de la loi de commande basée sur le modèle projeté à N modes (9.27) consiste en trois étapes : un placement de pôles sur la membrane, l'utilisation du couplage entre les trois sous-systèmes, et un contrôle de position du haut-parleur en temps fini.

#### 9.4.1.1 Étape 1 : Contrôle de la membrane par un placement de pôles

Les premières 2N équations du modèle (9.25) représentent le sous-système de la membrane : N modes axisymétriques soumis à une pression uniforme $\tilde{p}_c$ que l'on considère ici comme une entrée intermédiaire (même si on ne la contrôle pas directement). On peut réécrire ce sous-système comme un système linéaire contrôlé par la pression

$$ \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} \vdots \\ \tilde{z}_i(\tilde{t}) \\ \vdots \\ \vdots \\ \frac{d}{dt} \tilde{z}_i(\tilde{t}) \\ \vdots \end{bmatrix} = A_m \begin{bmatrix} \vdots \\ \tilde{z}_i(\tilde{t}) \\ \vdots \\ \vdots \\ \frac{d}{dt} \tilde{z}_i(\tilde{t}) \\ \vdots \end{bmatrix} + B_m \tilde{p}_c(\tilde{t}), \quad (9.28) $$
où les matrices $\mathbf{A}_m$ et $\mathbf{B}_m$ sont spécifiées dans la Section C.3.1 de l'Annexe C pour les cas $N = 1, 2, 3$. Pour le cas $N = 2$, ce système s'écrit

$$
\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} \tilde{z}_1 \\ \tilde{z}_2 \\ \partial_{\tilde{t}} \tilde{z}_1 \\ \partial_{\tilde{t}} \tilde{z}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -\tilde{\lambda}_1^2 \frac{\chi_{II,1}^2}{\chi_{I,1}^2} & \frac{1}{B} \frac{\tilde{\lambda}_1 \tilde{\lambda}_2}{\chi_{I,1} \chi_{I,2}} \text{sign}_1 \text{sign}_2 & -\zeta & 0 \\ \frac{1}{B} \frac{\tilde{\lambda}_1 \tilde{\lambda}_2}{\chi_{I,1} \chi_{I,2}} \text{sign}_1 \text{sign}_2 & -\tilde{\lambda}_2^2 \frac{\chi_{II,2}^2}{\chi_{I,2}^2} & 0 & -\zeta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde{z}_1 \\ \tilde{z}_2 \\ \partial_{\tilde{t}} \tilde{z}_1 \\ \partial_{\tilde{t}} \tilde{z}_2 \end{bmatrix} \\
+ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -\frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\gamma\kappa B \chi_{I,1}} \tilde{\lambda}_1 \text{sign}_1 \\ -\frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\gamma\kappa B \chi_{I,2}} \tilde{\lambda}_2 \text{sign}_2 \end{bmatrix} \tilde{p}_c \quad (9.29)
$$

On montre également dans la Sous-section C.3.1 que le système (9.28) est commandable. Il est alors possible de définir une loi de commande

$$
\tilde{p}_c^*(\tilde{t}) = - \sum_{i=1}^{K} \left[ k_{i,a} \tilde{z}_i(\tilde{t}) + k_{i,b} \frac{d}{dt} \tilde{z}_i(\tilde{t}) \right] = -K \begin{bmatrix} \vdots \\ \tilde{z}_i(\tilde{t}) \\ \vdots \\ \vdots \\ \frac{d}{dt} \tilde{z}_i(\tilde{t}) \\ \vdots \end{bmatrix}, \quad (9.30)
$$

qui réalise un placement de pôles, de sorte à obtenir le système bouclé

$$
\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} \vdots \\ \tilde{z}_i(\tilde{t}) \\ \vdots \\ \vdots \\ \frac{d}{dt} \tilde{z}_i(\tilde{t}) \\ \vdots \end{bmatrix} = (\mathbf{A}_m - \mathbf{B}_m \mathbf{K}) \begin{bmatrix} \vdots \\ \tilde{z}_i(\tilde{t}) \\ \vdots \\ \vdots \\ \frac{d}{dt} \tilde{z}_i(\tilde{t}) \\ \vdots \end{bmatrix}, \quad (9.31)
$$

où le vecteur $\mathbf{K}$ contient les constantes $k_{i,a}$ et $k_{i,b}$ qui sont choisies de telle manière à obtenir des fréquences et amortissements désirés pour la dynamique des $N$ modes en boucle fermée.

Notons que dans le vrai système du tom, on n’est pas capable de piloter la pression $\tilde{p}_c$ directement. On utilisera la « commande » (9.30) comme valeur désirée dans la suite (indiquée avec un astérisque) : le but est maintenant de faire en sorte que la pression dans la cavité $\tilde{p}_c$ est contrôlée vers la pression cible $\tilde{p}_c^*$ (9.30).

### 9.4.1.2 Étape 2 : Couplage statique entre les sous-systèmes

La $(2N + 1)^{\text{me}}$ ligne du modèle (9.25) nous donne une relation statique entre les évolutions temporelles $\tilde{z}_i(\tilde{t})$ des premiers $N$ modes de la membrane, la pression $\tilde{p}_c(\tilde{t})$ dans la cavité et la position $\ell_1(\tilde{t})$ du haut-parleur (Éq. (9.26)) :

$$
\frac{1}{\gamma} \tilde{p}_c(\tilde{t}) = \sum_{i=1}^{N} \frac{\sqrt{\pi \alpha \kappa}}{B \chi_{1,i}} \tilde{\lambda}_i \text{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_i)) \tilde{z}_i(\tilde{t}) + \frac{\beta_1}{\beta_2} \tilde{\ell}_1(\tilde{t}).
$$
— Si l'on substitue des mesures des $\tilde{z}_i^m(\tilde{t})$ ("m" pour "mesuré") et de la pression $\tilde{p}_c^m(\tilde{t})$ dans cette relation statique, on obtient une mesure (implicite) de la position du haut-parleur :

$$ \tilde{l}_1(\tilde{t}) \triangleq \tilde{l}_1^m(\tilde{t}). $$

(Une mesure directe de la position du haut-parleur par un capteur de position dans l'instrument serait difficile à implémenter.)

— Si l'on substitue des mesures des $\tilde{z}_i^m(\tilde{t})$ et la pression cible $p_c^*(\tilde{t})$ (9.30), on obtient une référence pour la position du haut-parleur :

$$ \tilde{l}_1(\tilde{t}) \triangleq \tilde{l}_1^*(\tilde{t}). $$

De cette manière, une erreur de pression

$$ \tilde{p}_c^m(\tilde{t}) - \tilde{p}_c^*(\tilde{t}) $$

est réécrite comme une erreur de position

$$ \tilde{l}_1^m(\tilde{t}) - \tilde{l}_1^*(\tilde{t}), $$

qui sera utilisée pour la conception d'un contrôle de position de la membrane du haut-parleur en temps fini dans l'étape suivante.

### 9.4.1.3 Étape 3 : Contrôle en temps fini du haut-parleur vers une dynamique cible

Il a été montré dans la Sous-section 6.2.3 comment une loi de commande en temps fini pour un double intégrateur peut être utilisée pour formuler une loi de commande passive pour le courant d'un haut-parleur dans le but de contrôler sa position $\ell_1^m(\tilde{t})$ vers une position cible $\ell_1^*(\tilde{t})$ dans un temps fini.

L'avant-dernière équation du modèle (9.25) représente l'ODE du haut-parleur (9.17) (adimensionnée) et peut être réécrite comme

$$ \frac{1}{\beta_2} \frac{d^2}{d\tilde{t}^2} \tilde{l}_1 + \frac{\zeta}{\beta_2} \frac{d}{d\tilde{t}} \tilde{l}_1 + \beta_2 \tilde{l}_1 = - \frac{\beta_1}{\gamma} \tilde{p}_c + \tilde{i}_1. $$

Par identification, on trouve que la loi de commande passive en temps fini correspondante est la suivante :

$$ \tilde{i}_1 = \frac{\beta_1}{\gamma} \tilde{p}_c^m + \beta_2 \tilde{l}_1^m + \frac{\zeta}{\beta_2} \frac{d}{d\tilde{t}} \tilde{l}_1^m - \bar{k}_3 (\tilde{l}_1^m - \tilde{l}_1^*) - \bar{k}_4 \left( \frac{d}{d\tilde{t}} \tilde{l}_1^m - \frac{d}{d\tilde{t}} \tilde{l}_1^* \right) \\ - \frac{1}{\beta_2} \left( \bar{k}_1 [\tilde{l}_1^m - \tilde{l}_1^*]^2 - \bar{k}_2 \left[ \frac{d}{d\tilde{t}} \tilde{l}_1^m - \frac{d}{d\tilde{t}} \tilde{l}_1^* \right]^2 \right), \quad (9.32) $$

avec des paramètres de contrôle $\bar{k}_1, \bar{k}_2 > 0, \bar{a} \in ]0,1[, \bar{k}_3 > \beta_2, \bar{k}_4 > \frac{\zeta}{\beta_2}$. Les signaux $\ell_1^m(\tilde{t})$ et $\ell_1^*(\tilde{t})$ définis dans l'Étape 2 sont substitués dans cette loi de commande. (Une dérivation numérique est nécessaire pour calculer les dérivées temporelles de ces signaux.)

### STABILITÉ DE LA STRUCTURE EN CASCADE
En appliquant la loi de commande (9.32), la pression cible $\tilde{p}_c^*(\tilde{t})$ dans la cavité peut être obtenue, réalisant le contrôle par placement de pôles de la membrane supérieure. Cette structure du régulateur est montrée dans la Figure 9.23.

Le système global peut être considéré au sens d'une perturbation singulière. La membrane contrôlée par la pression (9.31) peut être interprétée comme un sous-système lent, stabilisé exponentiellement, tandis que le haut-parleur peut être interprété comme un sous-système vite, contrôlé en temps fini par le courant électrique du haut-parleur. Le système global est alors stabilisé exponentiellement selon le Théorème de Tikhonov (cf. par exemple [262, Théorème A.11]).
<figure><img src="image_86.png" /><figcaption>FIGURE 9.23 – Structure du régulateur. Les équations correspondantes sont indiquées.</figcaption></figure>

**SIMULATION 1 (CONTINUÉE)** La loi de commande (9.32) avec les paramètres $\bar{k}_1 = \bar{k}_2 = 10$, $\bar{k}_3 = 2\beta_2$, $\bar{k}_4 = 2\zeta/\beta_2$, $\bar{\alpha} = 0.9$ est appliquée au système avec $N = 2$ modes. Il est supposé que l'état entier est connu. Le but du contrôle était d'obtenir un ratio de fréquences de $\tilde{f}_2 : \tilde{f}_1 = 2 : 1$ pour les deux modes de membrane, correspondant aux paramètres de contrôle $k_{1a} = 0.3$, $k_{2a} = -0.7$, $k_{1b} = k_{2b} = 0$. Les changements de fréquence sont observés dans la simulation (Fig. 9.24).

<figure><img src="image_87.png" /><figcaption>FIGURE 9.24 – Simulation du système à $N = 2$ modes contrôlé. Le spectre pour le cas sans contrôle (cf. Fig. 9.20) est indiqué en gris pour comparaison.</figcaption></figure>

**SIMULATION 2** Un deuxième cas est simulé, avec activation de la loi de commande après un temps $\bar{t} = 15$. Ici, seulement un mode a été considéré. Contrairement aux autres simulations dans ce chapitre, la méthode numérique du gradient discret (cf. Section 4.2) a été utilisée, avec un pas temporel $\delta\bar{t} = 0.01$.
Paramètres du modèle : état initial zéro sauf $\partial_t \tilde{z}_1 = -1$, $B = 5.54$, $\tilde{\lambda}_1 = 3.08$, $\kappa = 0.171$, $\gamma = 1.4$, $\alpha = 1.33$, $\beta_1 = 0.768$, $\beta_2 = 0.353$, $\zeta = 0.0923$, $\tilde{\zeta} = 0.1$. Paramètres de contrôle : $k_1 = 0.1$, $k_2 = 0.0005$, $\tilde{\alpha} = 0.8$, $\tilde{k}_1 = 10$, $\tilde{k}_2 = 10$, $\tilde{k}_3 = 2\beta_2$, $\tilde{k}_4 = 2\zeta/\beta_2$.

L'évolution temporelle correspondante de l'état est montrée Figure 9.25 ainsi que le périodogramme de $\tilde{z}_1$ pour les cas (non) contrôlé. La simulation confirme que le contrôleur est capable de modifier la fréquence du mode $\tilde{z}_1$. On observe à nouveau que le pic basse-fréquence de résonance du haut-parleur est présent dans le cas non contrôlé.

<figure><img src="image_88.png" /><figcaption>FIGURE 9.25 – Simulation du modèle à N = 1 mode avec activation du contrôleur à $\tilde{t} = 15$. (DSP : densité spectrale de puissance)</figcaption></figure>

### 9.4.2 Observateur en temps fini

PRINCIPE La loi de commande (9.32) utilise les mesures de la pression dans la cavité $\tilde{p}_c$ et des déplacements modaux $\tilde{z}_i$ de la membrane. La mesure de la pression $\tilde{p}_c$ dans la cavité est facile à obtenir avec un microphone. Une mesure de la partie temporelle $\tilde{z}_i$ de la vibration transversale de la membrane, en utilisant un capteur
optique, piézoélectrique ou autre semble être plus difficile<fnref n="20" />. C'est la raison pour laquelle nous proposons de développer un observateur qui reconstruit les $\tilde{z}_i$ à partir de l'unique mesure de la pression $\tilde{p}_c$ et en utilisant le modèle tronqué à N modes (9.25), qui est observable (cf. la Sous-section C.3.2 de l'Annexe C). Cette disposition est schématisée dans la Figure 9.26, et précisée dans la Figure 9.27.

<figure><img src="image_89.png" /><figcaption>FIGURE 9.26 – Disposition du contrôleur : mesure de la pression dans la cavité $p_c(t)$ comme entrée et courant du haut-parleur $i_1(t)$ comme sortie.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_90.png" /><figcaption>FIGURE 9.27 – Structure de l'observateur-régulateur. Les équations correspondantes sont indiquées.</figcaption></figure>

### 9.4.2.1 L'observateur en temps fini

Pour un système linéaire comme 9.27, un observateur linéaire standard est l'observateur de Luenberger [276] :

$$ \hat{x} = A\hat{x} + Bu + L(y - C\hat{x}), \qquad (9.33) $$

où l'estimation de l'état $\hat{x}$ converge vers le vrai état $x$ (inconnu) en copiant la dynamique du système de base et en corrigeant l'erreur entre la sortie mesurée du système $y$ et la sortie estimée $C\hat{x}$. La matrice de poids $L$ est choisie en effectuant un compromis entre la vitesse de convergence et la robustesse de l'observateur contre du bruit de mesure.

Dans la présente contribution, nous avons opté pour l'utilisation d'un observateur en temps fini (non linéaire), qui est présenté dans le lemme suivant.

**Lemme 9.3 (Observateur temps-fini [188]).** Soit un système non linéaire

$$ \left\{ \begin{array}{l} \dot{x} = \eta(x, u) \\ y = h(x) \end{array} \right. \qquad (9.34) $$

<footnote n="20">20. Il faudrait vérifier si la présence d'un capteur de contact ne perturbe pas trop la vibration de la membrane, et en plus, on souhaite exciter et mesurer au milieu de la membrane. Une imagerie par vibrométrie laser 3D [33, 236] pourrait nous fournir les $\tilde{z}_i$, mais est difficile à mettre en pratique sur ce prototype.</footnote>
avec $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n, \mathbf{u} \in \mathbb{R}^m$, qui est localement observable et suppose l'existence d'une transformation de coordonnées locale qui transforme le système en sa forme canonique observable

$$
\begin{cases}
\dot{\mathbf{z}} = \mathbf{A}^{\circ} \mathbf{z} + \mathbf{f}(\mathbf{y}, \mathbf{u}, \dot{\mathbf{u}}, \dots, \mathbf{u}^{(r)}) \\
\mathbf{y} = \mathbf{C}^{\circ} \mathbf{z}
\end{cases}
$$

avec

$$
\mathbf{A}^{\circ} = \begin{bmatrix} a_1 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ a_2 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n-1} & 0 & 0 & \dots & 1 \\ a_n & 0 & 0 & \dots & 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{C}^{\circ} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \end{bmatrix},
$$

et un nouvel état $\mathbf{z} \in \mathbb{R}^n$. Alors, il existe un nombre $\varepsilon \in [1 - \frac{1}{n-1}, 1[$ tel que le système

$$
\dot{\mathbf{z}} = \mathbf{A}^{\circ} \mathbf{z} + \mathbf{f}(\mathbf{y}, \mathbf{u}, \dot{\mathbf{u}}, \dots, \mathbf{u}^r) + \begin{bmatrix} h_1 \lfloor y - \mathbf{C}^{\circ} \dot{\mathbf{z}} \rfloor^{\theta_1} \\ \vdots \\ h_n \lfloor y - \mathbf{C}^{\circ} \dot{\mathbf{z}} \rfloor^{\theta_n} \end{bmatrix} \quad (9.35)
$$

avec les paramètres $\theta_i = i\theta - (i-1)$, $\theta \in ]1-\varepsilon, 1[$ et gains $h_i$ tels que la matrice

$$
\begin{bmatrix}
-h_1 & 1 & 0 & \dots & 0 \\
-h_2 & 0 & 1 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-h_{n-1} & 0 & 0 & \dots & 1 \\
-h_n & 0 & 0 & \dots & 0
\end{bmatrix}
$$

est Hurwitz<fnref n="21" />, est un observateur en temps fini du système (9.34).

Dans le cas du système linéaire (9.27), on a que $f(y, u, \dot{u}, \dots, u') = Bu$. On exprime maintenant l'observateur temps-fini (9.35) dans les coordonnées d'origine du système linéaire (9.27).

**Lemme 9.4** (Transformation vers les coordonnées d'origine). *L'observateur temps-fini (9.35) défini dans le Lemme 9.3 est exprimé dans les coordonnées d'origine comme*

$$
\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}\mathbf{u} + \mathbf{PQ} \begin{bmatrix} h_1 \lfloor y - \mathbf{C}\mathbf{x} \rfloor^{\theta_1} \\ \vdots \\ h_n \lfloor y - \mathbf{C}\mathbf{x} \rfloor^{\theta_n} \end{bmatrix}. \quad (9.36)
$$

Cette formule contient deux matrices de transformation d'état :

$$
\mathbf{P} = \begin{bmatrix} \mathbf{H} & \mathbf{A}\mathbf{H} & \dots & \mathbf{A}^{n-1}\mathbf{H} \end{bmatrix},
$$

où

$$
\mathbf{H} = \mathcal{O}^{-1} \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
$$

<footnote n="21">21. Une matrice dont les valeurs propres ont toutes une partie réelle strictement négative.</footnote>
est la dernière colonne de l'inverse de la matrice d'observabilité

$$
\mathcal{O} = \begin{bmatrix} C \\ CA \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix}
$$

du système linéaire (9.27), et

$$
Q = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} .
$$

Démonstration. On peut transformer le système d'origine (9.27) d'état x en un système d'état z utilisé dans le Lemme 9.3 par deux transformations de similarité<fnref n="22" /> :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\dot{x} = Ax + Bu \\
y = Cx
\end{array}
\right.
\xrightarrow{P}
\left\{
\begin{array}{l}
\dot{\xi} = A^1\xi + B^1u \\
y = C^1\xi
\end{array}
\right.
\xrightarrow{Q}
\left\{
\begin{array}{l}
\dot{z} = A^{\circ}z + B^{\circ}u \\
y = C^{\circ}z.
\end{array}
\right.
$$

(1) La transformation de similarité exprimée par la matrice P définie dans l'énoncé du lemme permet d'effectuer un changement d'état x = Pξ menant à une écriture sous la forme canonique observable suivante [276] :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\dot{\xi} = A^1\xi + B^1 u \\
y = C^1\xi,
\end{array}
\right.
\qquad (9.37)
$$

avec

$$
A^1 = P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_n \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 1 & \cdots & \cdots & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix},
$$

où le polynôme caractéristique de A est

$$
\chi_A(s) = \det(sI - A) = s_n + a_1 s^{n-1} + \dots + a_n
$$

et

$$
\mathbf{B}^1 = \mathbf{P}^{-1}\mathbf{B},
$$

$$
C^1 = CP = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \end{bmatrix}.
$$

(2) Le système (9.37) d'état ξ est sous une forme canonique observable, différente de la forme canonique observable alternative utilisée dans le Lemme 9.3 à une permutation près, exprimée par une deuxième transformation de similarité ξ = Qz, où Q est la matrice de permutation définie dans l'énoncé du lemme.

<footnote n="22">22. (cf. la Sous-section 3.4.1)</footnote>
On peut appliquer les transformations inverses $Q^{-1}$ puis $P^{-1}$ sur l'observateur temps-fini (9.35) du Lemme 9.3 d'état z afin de pouvoir l'exprimer dans l'état d'origine $x$ :

$$ \dot{\hat{z}} = A^{\circ} \hat{z} + B^{\circ} u + \begin{bmatrix} \vdots \\ h_i \lfloor y - C^{\circ} \hat{z} \rfloor^{\theta_i} \\ \vdots \end{bmatrix} $$

$$ (Q^{-1}\hat{\xi}) = (Q^{-1}A^{1}Q)(Q^{-1}\hat{\xi}) + (Q^{-1}B^{1})u + \begin{bmatrix} \vdots \\ h_i \lfloor y - (C^{1}Q)(Q^{-1}\hat{\xi}) \rfloor^{\theta_i} \\ \vdots \end{bmatrix} $$

$$ \dot{\hat{\xi}} = A^{1}\hat{\xi} + B^{1}u + Q \begin{bmatrix} \vdots \\ h_i \lfloor y - C^{1}\hat{\xi} \rfloor^{\theta_i} \\ \vdots \end{bmatrix} $$

$$ (P^{-1}\hat{x}) = (P^{-1}AP)(P^{-1}\hat{x}) + (P^{-1}B)u + Q \begin{bmatrix} \vdots \\ h_i \lfloor y - (CP)(P^{-1}\hat{x}) \rfloor^{\theta_i} \\ \vdots \end{bmatrix} $$

$$ \dot{\hat{x}} = A\hat{x} + Bu + PQ \begin{bmatrix} \vdots \\ h_i \lfloor y - C\hat{x} \rfloor^{\theta_i} \\ \vdots \end{bmatrix}, $$

ce qui correspond à l'Éq. (9.36). ☐

<figure><img src="image_91.png" /></figure>

On peut remarquer que l'application de l'observateur temps-fini à un système linéaire (9.27) revient à une structure similaire à l'observateur linéaire classique de Luenberger (9.33), mais où le terme de correction $L(y - C\hat{x})$ a été remplacé par une expression non linéaire. C'est cette expression non linéaire qui garantit la convergence en temps fini de l'observateur, au lieu d'une convergence asymptotique.

**SIMULATION 1 (CONTINUÉE)** Le contrôleur de la simulation précédente est reconsidéré, où l'état présent dans la loi de commande est maintenant observé à partir de la mesure de pression dans la cavité $\bar{p}_c^m$. Les paramètres de l'observateur sont $\theta = 0.95$ et

$$ [h_1 \dots h_6] = [13.5 \ 73.75 \ 208.125 \ 319 \ 250.875 \ 78.75] $$

Comme montré dans la Fig. 9.28, après une transitoire initiale à cause de la convergence de l'observateur, on obtient les mêmes fréquences $\tilde{f}_1$ et $\tilde{f}_2$ que dans la simulation de la Figure 9.24 (sans observateur).

### 9.4.3 Vers une implémentation pratique

La présentation du contrôleur combinant un observateur temps-fini et un régulateur temps-fini est conclue par deux réflexions en vue de l'implémentation dans le chapitre prochain : le *chattering* et le *spillover*.

#### 9.4.3.1 Chattering

Comme mentionné dans le Chapitre 5, les lois de commande non linéaires sont nécessairement non Lipschitz continues quand la cible est atteinte. Cette raideur peut
<figure><img src="image_92.png" /><figcaption>FIGURE 9.28 – Simulation du système à N = 2 modes contrôlé par l'observateur-régulateur. L'observation de $\tilde{y}(0, \tilde{t})$ est dessinée en gris.</figcaption></figure>

poser des problèmes numériques lors d'un calcul sur un micro-contrôleur, ce qui sera en effet observé dans l'implémentation rapportée dans le Chapitre 10. Une possible solution pratique est d'utiliser la méthode localement déraidissante introduite en Section 7.2.1 : il s'agit de remplacer à la fois l'observateur temps-fini et le régulateur temps fini par des expressions linéaires dans une petite zone autour de la cible, évitant la zone la plus raide qui pose des problèmes numériques.

Cette méthode numérique sera utilisée avec succès chez l'implémentation expérimentale du contrôleur-régulateur du tom dans le chapitre suivant.

### 9.4.3.2 Spillover

Dans notre approche modale, un observateur-régulateur a été développé basé sur un modèle à N modes (au choix). La loi de commande résultante sera appliquée au système physique contenant théoriquement une infinité de modes. De ce fait, deux types de spillover peuvent avoir lieu :

- Spillover de commande : la loi de commande peut exciter des modes d'ordre supérieur, ce qui pourrait mener à une instabilité.

- Spillover d'observation : la mesure de la sortie du système contient des contributions de modes d'ordre supérieur, ce qui influence le fonctionnement de l'observateur.

On mentionne deux réponses que l'on peut apporter à ces phénomènes, basées sur une approche linéaire locale.

- Spillover de commande : il faut prouver que l'énergie des modes non-contrôlés (d'ordres élevés) est bornée [17].

- Spillover d'observation : on peut ajouter un filtre passe-bas après la mesure (indiqué dans la Figure 9.29) [16]. De cette manière, seulement les basses fréquences correspon-
dant aux N premiers modes considérés dans l'observateur-régulateur seront prises en compte et réinjectées dans le système.

Une étude plus détaillée des effets de spillover (dont aussi des phénomènes non linéaires) et de leur influence sur l'aspect temps-fini du système en boucle fermée n'est pas effectuée ici.

<figure><img src="image_93.png" /><figcaption>FIGURE 9.29 – Structure de l'observateur-régulateur avec filtre passe-bas (FPB) pour réduire le spillover d'observation. Les équations correspondantes sont indiquées.</figcaption></figure>

**SIMULATION 1 (CONTINUÉE)** L'observateur-régulateur, précédemment simulé en se basant sur les $N = 2$ premiers modes, est maintenant appliquée au modèle (9.27) avec les 7 premiers modes, introduisant alors des effets de spillover à cause de la présence de plusieurs modes haute-fréquence. Le modèle a des conditions initiales nulles sauf $\partial_t \bar{z}_i = -0.001$ pour tous les 7 modes.

Le résultat est comparé au cas sans contrôle dans la Figure 9.30. Dans cet exemple, les effets de spillover n'ont pas provoqué d'instabilité du système en boucle fermée. Néanmoins, le filtre passe-bas mentionné pourrait toujours être ajouté à la boucle de commande afin de réduire une détérioration de l'action de contrôle à cause de la présence de modes haute-fréquence non modélisés. Dans ce cas, il faut faire attention au retard de groupe du filtre, qui pourrait aussi causer une instabilité du système bouclé.

## 9.5 CONCLUSION

Après une récapitulation de l'influence d'une cavité couplée à une membrane circulaire encastrée au bord sur les modes propres de vibration de cette dernière, un modèle physique pour un tom muni d'un haut-parleur a été développé. Il s'agit d'un modèle hybride (EDP-EDO) qui a été réinterprété comme un Système Hamiltonien à Ports (SHP).

Le modèle à dimension infinie a été adimensionné et projeté sur une base modale constituée des modes propres de la membrane circulaire encastrée au bord couplée à une membrane, dans le but d'effectuer une réduction d'ordre, menant à un modèle purement EDO.

Basé sur ce modèle, un contrôleur contenant un observateur temps-fini et un régulateur temps-fini a été développé, dont le but est de modifier les fréquences de N modes de vibration axisymétriques de la membrane de tom, utilisant seulement une mesure de la pression dans la cavité. Quelques aspects concernant l'implémentation pratique ont été évoqués.
<figure><img src="image_94.png" /><figcaption>FIGURE 9.30 – Simulation du système à 7 modes sans contrôle (gris) et contrôle par l'observateur-régulateur considérant seulement les premiers 2 modes.</figcaption></figure>
Le contrôleur développé dans le chapitre précédent est implémenté sur un prototype expérimental. D'abord, les paramètres physiques du modèle figurant dans la loi de commande sont identifiés à partir de mesures sur le système physique dans la Section 10.1. Ensuite, le capteur et l'actionneur sont sélectionnés, le contrôleur est implémenté sur un microcontrôleur, et un système de frappe reproductible est monté (Section 10.2). Finalement, l'influence du contrôleur sur le système physique est mesurée dans la Section 10.3 et une conclusion est donnée dans la Section 10.4.

<table><caption>TABLE DES MATIÈRES</caption><tr><td>10.1</td><td>Identification</td><td>127</td></tr><tr><td>10.1.1</td><td>Montage</td><td>127</td></tr><tr><td>10.1.2</td><td>Cavité</td><td>127</td></tr><tr><td>10.1.3</td><td>Haut-parleur</td><td>129</td></tr><tr><td>10.1.4</td><td>Membrane</td><td>139</td></tr><tr><td>10.1.5</td><td>Conclusion</td><td>162</td></tr><tr><td>10.2</td><td>Dispositif de contrôle</td><td>163</td></tr><tr><td>10.2.1</td><td>Composants</td><td>163</td></tr><tr><td>10.2.2</td><td>Dispositif expérimental complet</td><td>166</td></tr><tr><td>10.2.3</td><td>Système de frappe reproductible</td><td>167</td></tr><tr><td>10.3</td><td>Évaluation du contrôle</td><td>173</td></tr><tr><td>10.3.1</td><td>Méthode numérique régularisant</td><td>173</td></tr><tr><td>10.3.2</td><td>Changement de fréquence</td><td>177</td></tr><tr><td>10.4</td><td>Conclusion et perspectives</td><td>187</td></tr></table>

## 10.1 IDENTIFICATION

Dans cette section, les paramètres physiques du système sous considération (Tableau 10.1) sont identifiés. Ces paramètres apparaissent dans l'expression de l'observateur-régulateur, qui sera implémenté plus tard.

### 10.1.1 Montage

Le tom<fnref n="1" />, montré Figure 9.2 dans le chapitre précédent, est maintenant dépourvu de ses deux membranes, de sorte à isoler la paroi cylindrique. Le cylindre est monté sur un support en bois dans lequel un haut-parleur basse-fréquence est placé à la position de la face inférieure du cylindre. Le support en bois est fermé de tous les côtés, faisant office d'enceinte du haut-parleur. Ce montage est montré dans la Figure 10.1.

La membrane du tom ne sera ajoutée qu'en Sous-Section 10.1.4, après avoir identifié les paramètres géométriques de la cavité et du haut-parleur.

<footnote n="1">1. Modèle : tom 1309T, Pearl drums, Japon, https://pearldrum.com.</footnote>
<figure><img src="image_95.png" /><figcaption>(a) Vue de dessus</figcaption></figure>

<figure><img src="image_96.png" /><figcaption>(b) Vue de face</figcaption></figure>

<figure><img src="image_97.png" /><figcaption>(c) Schéma de la vue de face</figcaption></figure>

FIGURE 10.1 – Montage du tom et du haut-parleur dans une enceinte
<table><caption>Tableau 10.1 – Liste des paramètres physiques à identifier</caption><tbody><tr><td rowspan="4">membrane</td><td>a rayon</td><td>[m]</td></tr><tr><td>σ densité massique</td><td>[kg/m³]</td></tr><tr><td>T tension</td><td>[N/m]</td></tr><tr><td>μ coefficient de frottement</td><td>[1/s]</td></tr><tr><td>cavité</td><td>V₀ volume au repos</td><td>[m³]</td></tr><tr><td rowspan="7">haut-parleur</td><td>m₁ masse équivalente</td><td>[kg]</td></tr><tr><td>c₁ amortissement équivalent</td><td>[kg/s]</td></tr><tr><td>k₁ raideur équivalente</td><td>[N/m]</td></tr><tr><td>Bl facteur de la force de Laplace</td><td>[T·m = N/A]</td></tr><tr><td>R résistance électrique</td><td>[Ω]</td></tr><tr><td>L inductance électrique</td><td>[H]</td></tr><tr><td>S₁ surface équivalente</td><td>[m<fnref n="2" />]</td></tr></tbody></table>

### 10.1.2 Cavité

#### 10.1.2.1 Volume $V_0$

Le volume $V_0$ de la cavité au repos est composé d'une contribution cylindrique du tom et un petit volume supplémentaire en haut de la membrane du haut-parleur (Fig. 10.2). Avec un mètre-ruban, on mesure que l'intérieur du cylindre a un diamètre $d_{cyl} = 31,3\text{cm}$ et une hauteur $h_{cyl} = 22,7\text{cm}$. La forme de la contribution de volume du haut-parleur peut être approximée par un cône de diamètre $d_{cône} = 31,3\text{cm}$ et de hauteur $h_{cône} = 8\text{cm}$. On calcule que

$$ 
\begin{aligned}
V_0 &= V_{cyl} + V_{cône} = \pi \left(\frac{d_{cyl}}{2}\right)^2 h_{cyl} + \frac{\pi}{3} \left(\frac{d_{cône}}{2}\right)^2 h_{cône} \\
&= 0,0175\text{m}^3 + 0,00205\text{m}^3,
\end{aligned}
$$

donc

$$ V_0 = 0,0195\text{m}^3. $$

#### 10.1.3 Haut-parleur

Un haut-parleur<fnref n="2" /> de type caisson de basses (subwoofer) d'un diamètre nominal extérieur de 320mm est utilisé. Nous procédons à l'identification expérimentale des paramètres du modèle Thiele & Small linéaire, qui peuvent différer des données constructeur en fonction de la production, du montage spécifique, et d'effets de vieillissement.

##### 10.1.3.1 Modèle de Thiele & Small linéaire

Une représentation schématique de la structure d'un haut-parleur électrodynamique est donnée dans la Figure 10.3. Comme mentionné avant, il s'agit d'un convertisseur électro-magnéto-mécano-acoustique. Une tension électrique alternée est appliquée

<footnote n="2">2. Modèle : AXX 1212, Raveland, États-Unis. Les données constructeur sont données en Section D.4 de l'Annexe D.</footnote>
<figure><img src="image_98.png" /><figcaption>FIGURE 10.2 – Volume de la cavité : contributions cylindrique et conique</figcaption></figure>

aux bornes du haut-parleur, suite à quoi un courant parcourt le circuit électrique contenant une bobine placée sur un équipage mobile. La bobine se trouve dans le champ magnétique d'un aimant permanent, ce qui induit une force de Laplace agissant sur l'équipage mobile. L'équipage mobile étant attaché à un système mécanique contenant une suspension (*spider*) et la membrane, le tout est mis en vibration. Finalement, une onde sonore est créée, qui se propage dans l'air. En modulant l'amplitude et la fréquence de la tension électrique appliquée, on peut ainsi générer du son de parole, de la musique, etc.

<figure><img src="image_99.png" /><figcaption>FIGURE 10.3 – Structure d'un haut-parleur électrodynamique</figcaption></figure>

Comme mentionné dans la Sous-section 9.3.1, on considère le modèle linéaire de Thiele & Small [230, 231, 239, 240], qui néglige notamment la dépendance spatiale du mouvement de la membrane, en la remplaçant par un piston plan de position
verticale notée (ici) $x_1(t)$. On peut écrire le bilan des forces sur la membrane, comme dans l'Équation (9.17) (mais sans influence d'une cavité ici),

$$m_1\ddot{x}_1 + c_1\dot{x}_1 + k_1x_1 = Bli_1, \quad (10.1)$$

complété par le bilan des tensions dans le circuit électrique équivalent,

$$v_1 = R i_1 + L \frac{d}{dt} i_1 + B l \dot{x}_1, \quad (10.2)$$

où $v_1$ est la tension appliquée aux bornes du haut-parleur, et $R$ et $L$ respectivement la résistance et l'inductance du circuit électrique.

Il existe plusieurs méthodes d'identification du modèle de Thiele & Small. Pour le modèle linéaire, comme ci-dessus, on a des méthodes dans le domaine temporel [133] et dans le domaine fréquentiel [132]. Pour le cas de l'identification de paramètres non linéaires, se référer à [47, 51, 142] et autres. De plus, des caractéristiques du haut-parleur peuvent varier en fonction de la température [136], d'où l'intérêt de développer des méthodes d'identification en ligne (online) [186] capables de suivre leur évolution, pour une utilisation dans des algorithmes de contrôle de haut-parleur raffinés.

Ici, une méthode linéaire dans le domaine fréquentiel standard (offline) est appliquée.

### 10.1.3.2 Méthode fréquentielle d'identification des paramètres linéaires de Thiele & Small

Dénotant les transformations de Laplace comme

$$\left\{ \begin{array}{l} v_1(t) \leftrightarrow V(s) \\ i_1(t) \leftrightarrow I(s) \\ x_1(t) \leftrightarrow X(s), \end{array} \right.$$

avec $s = j\omega = j(2\pi f)$ la variable de Laplace, à la fréquence $f$, la transformation des Équations (10.1)-(10.2) s'écrit comme

$$(m_1 s^2 + c_1 s + k_1) X(s) = B I I(s)$$

$$V(s) = (R + Ls)I(s) + BLsX(s).$$

On peut donc définir les fonctions de transfert suivantes :

$$H_{X/I}(s) = \frac{X(s)}{I(s)} = \frac{Bl}{m_1 s^2 + c_1 s + k_1}$$

$$H_{V/I}(s) = \frac{V(s)}{I(s)} = \frac{B^2 l^2 s}{m_1 s^2 + c_1 s + k_1} + Ls + R$$

$$H_{X/V}(s) = \frac{X(s)}{V(s)} = \frac{Bl}{B^2 l^2 s + (Ls + R)(m_1 s^2 + c_1 s + k_1)}$$

On peut effectuer une mesure où l'on applique au haut-parleur une tension sinusoidale dont la fréquence augmente dans le temps (chirp ou sweep) :

$$v_1(t) = A \cos(2\pi f(t) \cdot t),$$

où $A$ [V] est une amplitude choisie et $f(t)$ [Hz] une fréquence augmentant p.ex. linéairement ou logarithmiquement dans la plage fréquentielle d'intérêt. Ainsi, on excite le système à ces fréquences, en mesurant le courant $i_1(t)$ et le déplacement $x_1(t)$ correspondants.

À partir de ces mesures, on peut estimer les paramètres linéaires du modèle de Thiele & Small par un ajustement de courbe des fonctions de transfert $H_{X/I}$, $H_{V/I}$ et $H_{X/V}$ théoriques aux versions calculées à partir des mesures, selon une procédure spécifiée ci-dessous.
<figure><img src="image_100.png" /><figcaption>FIGURE 10.4 – Dispositif d'identification du haut-parleur : schéma</figcaption></figure>

### 10.1.3.3 Dispositif de mesure

On utilise un banc de mesure qui avait été développé dans [142] par Tristan Lebrun (Figures 10.4-10.5, Tableau 10.2). Un fichier son contenant un sweep logarithmique entre 0,1Hz et 2000Hz pendant 10s (avec *fade in* et *fade out*), fourni, après amplification, le signal de tension appliquée. Le courant est mesuré avec un capteur de courant, et le déplacement du milieu de la membrane avec un capteur laser. On mentionne que le script d'acquisition de données fourni [142] compense un délai connu du capteur laser, afin d'aligner les mesures correctement dans le temps.

<table><caption>Tableau 10.2 – Dispositif d'identification du haut-parleur : liste des instruments</caption><tr><td>Amplificateur de puissance</td><td>Newton4th Ltd LPA05</td></tr><tr><td>Capteur de courant</td><td>Newton4th Ltd HF003</td></tr><tr><td>Capteur laser</td><td>Keyence LK-H050</td></tr><tr><td>Carte d'acquisition</td><td>National Instruments 9234</td></tr></table>

Les mesures pour ($v_1, i_1, x_1$) ainsi obtenues sont montrés dans la Figure 10.6. On y observe l'effet passe-bas de la carte son en basse-fréquence, où l'amplitude est plus
<figure><img src="image_101.png" /><figcaption>FIGURE 10.5 – Dispositif d'identification du haut-parleur : le capteur laser monté au-dessus de la membrane du haut-parleur</figcaption></figure>

petite, et la résonance électrique au moment que le courant devient temporairement plus petit.

### 10.1.3.4 Identification des paramètres de Thiele & Small ($m_1, c_1, k_1, Bl, R, L$)

Les fonctions de transfert des mesures sont calculés avec la FFT et montrées Figures 10.7-10.8.

On applique ensuite la procédure d'estimation des paramètres par d'ajustement de courbe utilisée dans la thèse de Tristan Lebrun [142].

#### 1. FRÉQUENCE DE RÉSONANCE MÉCANIQUE
À la fréquence de résonance mécanique $f_0$, la fonction de transfert $H_{X/I}$ est maximale, et la phase passe par 0. On trouve une fréquence de $f_0 = 35,425Hz$ (Fig. 10.9). La pulsation correspondante est

$$ \omega_0 = 2\pi f_0 = \sqrt{\frac{k_1}{m_1}} $$

#### 2. AJUSTEMENT DE COURBE À LA FONCTION DE TRANSFERT $H_{X/I}$
On réécrit les fonctions de transfert comme

$$ H_{X/I}(s) = \frac{X(s)}{I(s)} = \frac{Bl}{m_1s^2 + c_1s + k_1} \triangleq \frac{A}{s^2 + 2\zeta\omega_0s + \omega_0^2} $$

$$ H_{V/I}(s) = \frac{V(s)}{I(s)} = \frac{B^2l^2s}{m_1s^2 + c_1s + k_1} + Ls + R \triangleq R \left( 1 + \frac{\tau_e}{2\pi}s + \frac{CAs}{s^2 + 2\zeta\omega_0s + \omega_0^2} \right), $$
<figure><img src="image_102.png" /><figcaption>FIGURE 10.6 – Mesures pour l'identification des paramètres du haut-parleur</figcaption></figure>
<figure><img src="image_103.png" /><figcaption>FIGURE 10.7 – Fonctions de transfert calculées à partir des signaux mesurés : $H_{V/I}$ et $H_{X/V}$</figcaption></figure>
<figure><img src="image_104.png" /><figcaption>FIGURE 10.8 – Fonctions de transfert calculées à partir des signaux mesurés : $H_{X/I}$</figcaption></figure>
<figure><img src="image_105.png" /><figcaption>FIGURE 10.9 – Détermination de la fréquence de résonance $f_0$ du haut-parleur</figcaption></figure>

où l'on a défini les variables réduites

$$ egin{cases} A = \frac{Bl}{m_1} \\ \zeta = \frac{c_1}{2\sqrt{k_1}m_1} \\ R = R \\ \tau_e = 2\pi \frac{L}{R} \\ D = \frac{Bl}{R}. \end{cases} $$

On effectue maintenant un ajustement de courbe à la fonction de transfert $H_{X/I}$ sur la plage fréquentielle [0,500]Hz, par une méthode numérique des moindres carrés non linéaire 3 4 et en précisant que les paramètres recherchés ($A, \zeta$) sont positifs. On obtient ainsi une première estimation

$$ (\hat{A}^{(1)}, \hat{\zeta}^{(1)}). $$

3. AJUSTEMENT DE COURBE À LA FONCTION DE TRANSFERT $H_{U/I}$ De la même façon, on effectue un ajustement de courbe à la fonction de transfert $H_{U/I}$, en utilisant les estimations préalables

$$ (\hat{A}^{(1)}, \hat{\zeta}^{(1)}). $$

<footnote n="3">3. « Trust Region Reflective » [49]</footnote>

<footnote n="4">4. On note que dans [142], on a utilisé un algorithme de minimisation d'une fonction de coût, pondérant les fréquences de manière logarithmique.</footnote>
Des estimations

$$ (\hat{R}^{(1)}, \hat{\tau}_{e}^{(1)}, \hat{D}^{(1)}) $$

sont obtenues.

4. AJUSTEMENT DE COURBE CONJOINT AUX FONCTIONS DE TRANSFERT $H_{X/I}$ ET $H_{U/I}$ On procède à un ajustement de courbe conjoint aux deux fonctions de transfert $H_{X/I}$ et $H_{U/I}$, en utilisant les premières estimations des Étapes 2-3,

$$ (\hat{A}^{(1)}, \hat{\zeta}^{(1)}, \hat{R}^{(1)}, \hat{\tau}_{e}^{(1)}, \hat{D}^{(1)}), $$

comme valeurs initiales de l'algorithme. Le résultat de ce dernier ajustement de courbe est montré Fig. 10.10.

<figure><img src="image_106.png" /><figcaption>FIGURE 10.10 – Ajustement de courbe obtenu : le cas de $H_{V/I}(s)$</figcaption></figure>

Dans l'Étape 4, on obtient une mise à jour des estimations des paramètres, ce qui donne les valeurs suivantes :

$$ \left\{ \begin{array}{l} R = 5,52\Omega \\ L = R\tau_{e} = 4,37\text{mH} \\ Bl = CR = 17,4\text{T} \cdot \text{m} \\ m_{1} = R\frac{C}{A} = 157\text{g} \\ c_{1} = 2\zeta\omega_{0}R\frac{C}{A} = 4,87\frac{\text{kg}}{\text{s}} \\ k_{1} = 7,80\text{kN}. \end{array} \right. $$

VÉRIFICATION En Sous-section D.1.1, une comparaison de ces valeurs avec les données constructeur est donnée.

### 10.1.3.5 Surface équivalente

La surface équivalente $S_1$ du haut-parleur peut être définie à partir d'un rayon $a_1$ entre le point milieu et la moitié de la suspension au bord (Fig. 10.11).

On mesure avec un mètre-ruban que le diamètre effectif du haut-parleur vaut $d_1 = 2a_1 = 25,6\text{cm}$, ce qui correspond à une surface équivalente de

$$ S_1 = 0,0515\text{m}^2. $$
<figure><img src="image_107.png" /><figcaption>FIGURE 10.11 – Définition de la surface équivalente $S_1$ du haut-parleur décrit comme un piston plan</figcaption></figure>

VÉRIFICATION Cette valeur correspond à la valeur de 0,05147m² indiquée dans les données constructeur (cf. Section D.4).

### 10.1.4 Membrane

À présent, la membrane est montée sur la paroi cylindrique tu tom. Il s'agit d'une membrane de la marque Remo<fnref n="5" /> de diamètre nominal de 13", ou un rayon nominal de 16,51cm.

#### 10.1.4.1 Rayon effectif a

Le détail de la configuration au bord est montrée dans la Figure 10.12. Un bord métallique est baissée à l'aide de 6 vis d'accordage (dont les écrous sont attachés à la paroi extérieure du fût, comme on peut le voir dans la vue de dessus dans la Figure 10.1a). De ce fait, l'intérieur de la paroi cylindrique en bois détermine le rayon effectif de la partie vibrante de la membrane. On mesure avec un mètre-ruban que ce diamètre effectif vaut 32,4cm, ce qui correspond à un rayon effectif de

$$a = 16,2\text{cm}.$$

#### 10.1.4.2 Densité massique $\sigma$

Jadis, des peaux d'animaux étaient utilisées pour fabriquer des membranes, comme des peaux de chèvre [33] et de veau ou d'autres animaux<fnref n="6" /> chez la timbale. Aujourd'hui, beaucoup de membranes sont fabriquées en Mylar®<fnref n="7" />, qui offre des caractéristiques plus homogènes, est moins sensible aux changements d'humidité et de température, et a une plus grande résistance en traction [33, 60]. Dans [60], on indique que sa densité massique surfacique est dans l'ordre de grandeur de 0,1kg/m².

<footnote n="5">5. Remo Inc., États-Unis, www.remo.com</footnote>

<footnote n="6">6. Dans [105], on mentionne aussi des références à l'utilisation de peaux d'âne, cheval, chien, mouton et loup. De plus, une référence du 17ème siècle [235] propose d'étaler de l'ail et de l'eau-de-vie sur la peau, que l'on laisse ensuite sécher au soleil ou à côté d'un feu, ce qui améliorerait le son (mais pas l'odeur [105]).</footnote>

<footnote n="7">7. Le polyester polythéréphtalate d'éthylène, $(C_{10}H_{8}O_{4})_{n}$</footnote>
<figure><img src="image_108.png" /><figcaption>FIGURE 10.12 – Détail de la condition aux limites de la membrane. La membrane circulaire est posée sur le bord en bois du fût. Un anneau en métal (1) est attaché à la membrane, qui est descendu par l'action d'un deuxième anneau (2) dont la position verticale est imposée par les 6 vis d'accordage (3).</figcaption></figure>
La membrane utilisée, à diamètre nominal 13" = 33,0cm, a une épaisseur « 10-mil », c'est-à-dire 10 · 1/1000 · 1" = 0,254mm(⁸). Plus de données constructeur ne sont pas disponibles.

<figure><img src="image_109.png" /><figcaption>FIGURE 10.13 – Membrane du tom</figcaption></figure>

Nous observons que la membrane plastique est attachée à un bord en métal. De plus, même s'il n'y avait pas de bord en métal, le rayon effectif a de la membrane encastrée est plus petite, comme expliqué ci-dessus. Afin de déterminer la densité massique surfacique σ de la membrane, on est donc obligé de d'en découper une partie (rectangulaire, Fig. 10.14a). Cette partie mesure 19,5cm × 25,0cm et pèse 13,00g (Fig. 10.14b). Ceci correspond à une densité massique surfacique de

$$ \sigma = 0,267 \frac{\text{kg}}{\text{m}^2}. $$

**VÉRIFICATION** Dans [209], la même procédure est appliquée à une membrane de timbale et une densité massique surfacique de 0,262kg/m² est obtenue.

### 10.1.4.3 Tension T

La tension que subit la membrane dépend de la position des six vis d'accordage (dont on en peut voir une sur la Figure 10.12(a)). Dans la littérature, on mentionne p.ex. les cas de valeurs entre 1000 et 2800N/m pour le cas d'un tom [226] et entre 3100 et 3770N/m pour le cas d'une timbale [209]. On rappelle également que la non-uniformité spatiale de la tension de la membrane aura un dédoublement des fréquences des modes non axisymétriques comme conséquence (cf. Sous-section 9.2.3).

On commence par l'accordage de la membrane, avant d'appliquer deux méthodes d'identification de tension.

#### ACCORDAGE DE LA MEMBRANE
Nous proposons d'utiliser ici un accordage de membrane à faible tension, supposant que les fréquences de premiers modes seront plus facilement à influencer par le contrôleur dans ce cas que dans le cas d'une membrane avec une plus haute tension. Afin d'obtenir une tension la plus homogène

<footnote n="8">8. Avec un pied à coulisse, nous mesurons une épaisseur de 0,78mm pour 4 membranes, soit 0,195mm pour une membrane.</footnote>
<figure><img src="image_110.png" /><figcaption>FIGURE 10.14 – Pièce de membrane rectangulaire</figcaption></figure>

possible, pour correspondre le mieux au modèle développé dans le chapitre précédent, la méthode d'accordage suivante est proposée (indiquée dans les Figures 10.15-10.16 et le Tableau 10.3, similaire à [211]).

1. *Accord* – Une des six vis est ajustée.

2. *Impact* – On frappe la membrane dans l'environnement de la vis ajustée à une distance d'environ $r = a/2$, avec un marteau d'impact (mesurant la force $F(t)$ [N]), et on mesure le son (pression extérieure $p_e(t)$ [Pa]).

3. *Analyse* – La partie du son en oscillation libre est isolée (dès que le signal de force $F(t)$ est redevenu zéro). Deux exemples d'un paire de mesures<fnref n="9" /> ($F(t), p_e(t)$) sont montrés dans la Figure 10.17, où l'on remarque dans le cas de la Figure 10.17(a) des battements dans le son, causés par des modes dédoublés. Ensuite, une analyse fréquentielle de cette partie est effectuée par la méthode FFT. On regarde dans le spectre (p.ex. Fig. 10.18 plus bas), où l'on observe notamment plusieurs pics proches aux alentours de 100Hz d'un premier mode<fnref n="10" />. On décide de se baser sur ces pics et d'essayer de les rapprocher le plus possible les uns des autres, sachant que l'annulation des dédoublements de pics est en effet utilisé en pratique pour accorder une peau (*clearing the drumhead*, [60, Chapitre 14]-[211]). Dans ce but, la procédure est répétée pour la même vis. Ensuite, on passe à une autre vis, et ceci non pas dans l'ordre circulaire (vis 1-2-3-4-5-6), mais selon un ordre « en étoile » (vis 1-4-2-5-3-6, par exemple).

Après quelques essais, on voit que l'on est en effet capable de rapprocher les pics de ce premier mode (dans la limite de la résolution de la FFT <fnref n="11" />). Toutefois, il s'avère que ce n'est pas une tâche facile pour une personne inexpérimentée en la question : il n'est

<footnote n="9">9. Dans ces mesures, l'amplitude de la pression $p_e(t)$ n'est pas importante puisqu'on s'intéresse seulement à son contenu fréquentiel. Cette amplitude sera différente selon l'amplitude de la force de frappe appliquée et selon la distance entre le microphone et le point d'impact pour la mesure donnée. Pour cette raison, la mesure peut être multipliée par une constante au choix (voire normalisée). Quand une mesure n'est pas représentée dans son unité physique, mais qu'un facteur multiplicatif arbitraire a été omis, on l'indique par ~ sur l'axe verticale dans le présent chapitre.</footnote>

<footnote n="10">10. On verra plus bas qu'il ne s'agit pas du premier mode 01 de membrane, mais du mode 11!</footnote>

<footnote n="11">11. Il existe des méthodes haute-résolution, nous permettant d'obtenir une meilleure résolution que la FFT. On peut par exemple mentionner des méthodes fréquentielles par interpolation et ajustement de courbe (p.ex. [237] appliquée au cas de la timbale), des méthodes temporelles basées sur des propriétés d'invariance de sous-espaces (telles ESPRIT [13, 222], qui sera utilisée plus bas) ou encore le *Snail* [109], complétant la FFT par une interpolation et une démodulation de phase.</footnote>
<figure><img src="image_111.png" /><figcaption>FIGURE 10.15 – Dispositif d'accordage de la membrane : schéma et principe</figcaption></figure>
<figure><img src="image_112.png" /><figcaption>FIGURE 10.16 – Dispositif d'accordage de la membrane : marteau d'impact et microphone</figcaption></figure>

<table><caption>Tableau 10.3 – Dispositif d'accordage de la membrane : liste des instruments</caption><tr><td>Microphone</td><td>Bruel & Kjær 4190</td></tr><tr><td>Conditionneur de microphone</td><td>Nexus 2690</td></tr><tr><td>Marteau d'impact</td><td>Dytran 5800SL</td></tr><tr><td>Amplificateur de marteau d'impact</td><td>MMF M32</td></tr><tr><td>Carte d'acquisition</td><td>National Instruments 9234</td></tr></table>

pas clair a priori sur quel mode se baser, et également quelle vis utiliser pour rectifier le contenu fréquentiel. En plus, on a aussi essayé de caler des pics à une autre fréquence, ce qui a désaccordé le premier pic. C'est la raison pour laquelle on a choisi de raccorder le premier pic le mieux possible avec la FFT, ce qui n'a pas pu enlever les battements à tous les endroits de la membrane, et de garder cet accordage pour l'ensemble des mesures à suivre. Une étude plus approfondie de méthodes d'accordage [210, Chapitre 3], et un échange avec un musicien professionnel pourraient permettre d'obtenir un meilleur accordage, avec une pression plus uniforme.

Pour l'accordage final, les spectres obtenus pour des frappes au milieu et à plusieurs endroits à une distance $r \approx a/2$ sont montrés Figure 10.18, dans le but de discerner quels modes sont axisymétriques et lesquels ne le sont pas. Dans la Figure (a), on observe notamment une petite contribution de la fréquence de résonance du haut-parleur à 42Hz. En ce qui concerne la membrane, même s'il y a des différences claires entre les Figures (a) et (b), il est difficile de formuler une conclusion sur ce point. Est-ce que le pic à 100Hz lors de la frappe au milieu de la membrane est le mode 01 ?<fnref n="12" /> Quel autre pic correspond véritablement à un mode, et lequel ? On visualisera pour la deuxième méthode d'estimation les figures de Chladni, pour clarifier ce contenu fréquentiel.

Étant donné cet accordage, il faut appliquer une méthode d'estimation de tension de la membrane. En regardant dans la littérature, on apprend qu'il n'est pas facile de la déterminer expérimentalement. Dans [58, 60], on propose deux méthodes<fnref n="13" /> classiques pour l'identification de la tension $T$ [N/m] supposée uniforme d'une membrane

<footnote>À ce point, on s'est contenté d'utiliser la méthode FFT. Pour une étude plus détaillée de l'accordage, dans le but d'obtenir une distribution de tension plus homogène dans la membrane, une telle méthode d'analyse devrait être utilisée.</footnote>

<footnote n="12">¹². Non : on verra que c'est le mode 11, plus prononcé dans la Figure (b), mais qui est aussi excité en frappant au milieu, à cause de la non-uniformité/non-symétrie de la tension dans la membrane.</footnote>

<footnote n="13">¹³. On peut noter qu'une troisième méthode est proposée dans [7], où la tension est estimée d'après les contributions des moments exercés par les vis d'accordage, mesurés par une clé dynamométrique. Toutefois, on y remarque que cette méthode est encore moins précise que la méthode mécanique avec le poids ajouté,</footnote>
<figure><img src="image_113.png" /><figcaption>FIGURE 10.17 – Dispositif d'accordage de la membrane : mesures de force et son obtenue à deux endroits de la membrane pendant la procédure d'accordage</figcaption></figure>
<figure><img src="image_114.png" /><figcaption>FIGURE 10.18 – Dispositif d'accordage de la membrane : spectres de mesures de la pression au-dessus de plusieurs endroits de la membrane (représentées dans des couleurs différentes), pour la membrane à son accordage final</figcaption></figure>
circulaire : une méthode mécanique se basant sur la déflexion statique d'un poids mis sur la membrane, qui est moins précise, et une méthode basée sur le contenu fréquentiel du son, qui est plus précise. Ces deux méthodes sont maintenant appliquées au tom.

## 1. MÉTHODE MÉCANIQUE : DÉPLACEMENT TRANSVERSE STATIQUE DE LA MEMBRANE SOUMISE À UNE MASSE

Cette méthode d'identification de la tension T se base sur le déplacement transverse statique de la membrane lorsqu'un poids est mis dessus. Dans [58, 172], on explique que ce déplacement transverse $\eta$ de la membrane circulaire de rayon a soumise à une force de gravité $F = Mg$ causé par un cylindre de base de rayon b et de poids M en son centre peut être approximé comme

$$ \eta(b) \approx \frac{M_g}{2\pi T} \ln \frac{a}{b}. \qquad (10.3) $$

Ici, on suppose que $b \ll a$ pour se rapprocher d'une force ponctuelle, et un régime linéaire, ce qui implique un déplacement $\eta$ limité, et qui selon [58] correspond à

$$ \frac{1}{2} \left( \frac{M_g}{2\pi T b} \right)^2 \ll 1, $$

ce qui limite le poids de M que l'on peut utiliser. (Dans le cas non linéaire, la tension dépendrait du déplacement : la tension linéaire serait multipliée par un facteur

$$ \left[ 1 + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial \eta}{\partial r} \right)^2 \right] $$

d'après [58]).

Il y est encore mentionné qu'en outre de la limite sur le poids de M, une précision sur la mesure du déplacement transverse d'au moins égale à 0,1mm est nécessaire pour le cas concret d'une timbale, ce qui est possible mais long et coûteux à réaliser.

Dans [220], cette méthode est appliquée à une caisse claire. Pour plus de précision, on y répète la mesure pour plusieurs masses incrémentant de 20g, et on effectue une extrapolation pour en déduire la tension à une déflexion nulle.

Pour mesurer le déplacement $\eta$, on peut procéder de la manière suivante. On connaît la hauteur du poids qui est un solide indéformable. Si l'on mesure consécutivement la position verticale de la membrane au repos et ensuite la position verticale du dessus du poids une fois posé au milieu de la membrane, on peut en déduire le déplacement vertical net de la membrane suite à l'action du poids. Toutefois, la petite plage dans laquelle le capteur laser peut mesurer une position verticale ne permet pas de faire ces deux mesures de position verticale sans devoir déplacer le laser. C'est la raison pour laquelle nous proposons une procédure alternative, moins précise, qui est la suivante (Figures 10.19-10.20 et Tableau 10.4).

1. Le poids se trouve initialement en dehors de la plage du capteur laser avant d'être descendu vers la membrane.

2. Le poids est tenu dans les mains de sorte à toucher la membrane sans pour autant la baisser.

3. Le poids est lâché et la position verticale au milieu de la membrane se stabilise à une certaine hauteur.

L'évolution de la position verticale du dessus du poids dans le temps est affichée Figure 10.21, dans laquelle ces trois phases sont indiquées. On peut en déduire graphiquement que le milieu de la membrane a subi un déplacement vertical $\eta$ d'environ 2,71mm.

<footnote>dont on verra qu'elle n'est pas très précise. C'est la raison pour laquelle cette dernière méthode ne sera pas implémentée.</footnote>
<figure><img src="image_115.png" /><figcaption>FIGURE 10.19 – Dispositif d'identification de la tension de la membrane (méthode mécanique) : schéma</figcaption></figure>

<figure><img src="image_116.png" /><figcaption>FIGURE 10.20 – Dispositif d'identification de la tension de la membrane (méthode mécanique) : le laser et le poids sur la membrane</figcaption></figure>

<table><caption>Tableau 10.4 – Dispositif d'identification de la tension de la membrane (méthode mécanique) : liste des instruments</caption><tr><td>Capteur laser</td><td>Keyence LK-H050</td></tr><tr><td>Carte d'acquisition</td><td>National Instruments 9234</td></tr></table>

De l'Équation (10.3), avec une masse $M = 0,94847\text{kg}$, $g = 9,81\text{m/s}^2$, $a = 0,162\text{m}$, $b = 0,0265\text{m}$ (rayon d'un cercle ayant le même aire que le rectangle du poids utilisé), on calcule une tension

$$T = 932,6\text{N/m}.$$
<figure><img src="image_117.png" /><figcaption>FIGURE 10.21 – Mesure de la hauteur du dessus du poids dans le temps</figcaption></figure>

Toutefois, vu la précision limitée de la méthode et de notre implémentation, on ne retiendra pas cette valeur, dont on verra chez la 2ème Méthode (acoustique) qu'il s'agit d'une surestimation.

## 2. MÉTHODE ACOUSTIQUE : ANALYSE DU SIGNAL DE PRESSION
Une deuxième méthode d'estimation de la tension de la membrane, décrite dans [58], effectue un ajustement des fréquences théoriques de la membrane circulaire de tension inconnue (sans cavité et avec une charge d'air) à un enregistrement du son produit par la membrane. Cette méthode devrait être plus précise que la 1re Méthode (mécanique).

Pour pouvoir appliquer cette méthode, il faut d'abord être capable d'identifier clairement les fréquences des premiers modes de vibration de la membrane, ce qui n'est pas évident (cf. la discussion de la Figure 10.18). Pour cette raison, nous proposons de réaliser des figures de Chladni, afin de compléter cette information <fnref n="14" />.

Des figures de Chladni <fnref n="15" /> sont obtenus quand on met une substance granulaire comme du sel ou du sable sur une structure vibrante que l'on met en vibration à une fréquence précise. Quand la fréquence d'excitation correspond à une fréquence d'un mode propre de la structure, la structure vibre selon ce mode, et les grains s'accumulent sur les courbes nodales correspondantes (cercles et lignes pour le cas de la membrane circulaire) qui restent stationnaires pendant la vibration. Ainsi, en excitant la structure aux fréquences des pics du spectre précédemment obtenu, on peut visualiser la forme modale correspondante et être sûr de quel mode il s'agit.

Des figures de Chladni ont été obtenu avec succès chez la timbale [85, 218], le tabla [203], le tambour sur cadre [264], et le tom (membrane supérieure d'un tom à deux membranes dans [210, Annexe B]).

Dans l'expérience décrite ici, du sel mélangé avec des paillettes bleues a été utilisé. La poudre est distribuée de manière uniforme sur la membrane. Ensuite, la membrane est mise en vibration à l'aide du haut-parleur interne (Figure 10.22 et Tableau 10.5) ou d'un pot vibrant monté au-dessus de la membrane (Figures 10.23-10.24 et Tableau 10.6).

Comme le haut-parleur, le pot vibrant (*shaker*) contient une bobine dans le champ magnétique d'un aimant permanent. En y appliquant une tension sinusoïdale, un

<footnote n="14">14. Des méthodes alternatives sont p.ex. l'utilisation d'un microphone pour scanner la surface et l'affichage des figures de Lissajous composées par cette mesure en fonction de l'excitation de la membrane [7], ou encore l'interférométrie [263].</footnote>

<footnote n="15">15. Dans son livre de 1787 [63, 64], des figures « de Chladni » de plaques, barres et membranes sont dessinées.</footnote>
<figure><img src="image_118.png" /><figcaption>FIGURE 10.22 – Dispositif pour les figures de Chladni (excitation par le haut-parleur interne) : schéma.</figcaption></figure>

courant sinusoïdal parcoure la bobine, créant une force de Laplace sinusoïdale, causant le mouvement périodique d'un bâton, qui peut être utilisé pour mettre en vibration la membrane, cf. la Figure 10.25.

On suppose que le contact avec le bâton du pot vibrant et la présence des graines n'ont pas une grande influence sur les modes de vibration de la membrane à l'étude. On a aussi vérifié que la membrane du tom soit à l'horizontale. De plus, on aurait pu avoir ajouté un amortissement artificiel 16 contre la paroi extérieure du tom, pour minimiser une éventuelle influence de ses modes de vibration sur ceux de la membrane supérieure (Cf. Fig. 9.11).

Les figures de Chladni en basse-fréquence ainsi obtenues sont montrés dans les Figures 10.26 (mode 11), 10.27 (mode 21) et 10.28 (mode 20). Quelques modes à des fréquences plus élevées sont montrés en Sous-section D.1.2.

<table><caption>Tableau 10.5 – Dispositif pour les figures de Chladni (excitation par le haut-parleur interne) : liste des instruments</caption><tr><td>Générateur basse-fréquence</td><td>TTi TG2000</td></tr><tr><td>Amplificateur</td><td>Newtonson4th Ltd LPA05</td></tr><tr><td>Haut-parleur</td><td>Raveland AXX 1212</td></tr></table>

<footnote n="16">16. Dans [220], on utilise des sacs avec du sable chez une caisse claire pendant des mesures sur sa membrane supérieure.</footnote>
<figure><img src="image_119.png" /><figcaption>FIGURE 10.23 – Dispositif pour les figures de Chladni (excitation par un pot vibrant externe) : schéma.</figcaption></figure>
<table><caption>Tableau 10.6 – Dispositif pour les figures de Chladni (excitation par un pot vibrant externe) : liste des instruments</caption><tr><td>Générateur basse-fréquence</td><td>TTi TG2000</td></tr><tr><td>Amplificateur</td><td>ILP Electronics US1 Power slave</td></tr><tr><td>Pot vibrant</td><td>Bruel & Kjær 4810</td></tr></table>

<figure><img src="image_120.png" /><figcaption>FIGURE 10.24 – Dispositif pour les figures de Chladni (excitation par un pot vibrant externe) : le pot vibrant et la membrane vibrant selon le mode 21.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_121.png" /><figcaption>FIGURE 10.25 – Fonctionnement du pot vibrant. (A.P. : aimant permanent).</figcaption></figure>

Premièrement, si l'on a observé clairement les modes 11, 21 et 02, on n'a pas retrouvé la figure de Chladni du mode 01, qui consisterait seulement en le cercle nodal extérieur, qui est présent chez tous les modes 17.

<footnote n="17">17. On calculera plus bas dans la Figure 10.29 qu'ici, à cause du choix de la tension de la membrane suite à son accordage, un croisement des fréquences des modes 01 et 11 a eu lieu, le mode 01 étant à une fréquence</footnote>
<figure><img src="image_122.png" /><figcaption>(a) Forme théorique</figcaption></figure>

<figure><img src="image_123.png" /><figcaption>(b) f = 105Hz</figcaption></figure>

<figure><img src="image_124.png" /><figcaption>(c) f = 116Hz</figcaption></figure>

<figure><img src="image_125.png" /><figcaption>(d) f = 129Hz</figcaption></figure>

<figure><img src="image_126.png" /><figcaption>(e) f = 132Hz</figcaption></figure>

<figure><img src="image_127.png" /><figcaption>(f) f = 132Hz (bis)</figcaption></figure>

FIGURE 10.26 – Figures de Chladni du mode 11. La fréquence d'excitation est indiquée.
<figure><img src="image_128.png" /><figcaption>(a) Forme théorique</figcaption></figure>

<figure><img src="image_129.png" /><figcaption>(b) f = 146Hz</figcaption></figure>

<figure><img src="image_130.png" /><figcaption>(c) f = 158Hz</figcaption></figure>

FIGURE 10.27 – Figures de Chladni du mode 21. La fréquence d'excitation est indiquée.
<figure><img src="image_131.png" /><figcaption>FIGURE 10.28 – Figures de Chladni du mode 02. La fréquence d'excitation est indiquée.</figcaption></figure>
Deuxièmement, on constate que les figures de Chladni obtenues dévient de la forme théorique<fnref n="18" /> à cause de la non-uniformité de la tension de la membrane. On pourrait en fait essayer de modifier la position des vis d'accordage dans le but d'obtenir des figures de Chladni plus symétriques, mais on décide de ne pas le faire ici.

## ESTIMATION DE LA TENSION
Une fois les fréquences des premiers modes connues, on peut suivre la méthode d'estimation décrite dans [58], qui néglige l'influence sur la fréquence de la cavité (qui est pourtant importante en basse-fréquence, donc on ne considère pas les modes $f_{0m}$ pour l'identification dans la suite) et du couplage de la membrane avec l'air extérieur. La procédure se décline comme suivant.

- On considère un mode propre à fréquence $f_{nm}$, dans l'intervalle $[0, 1]$kHz.

- On estime la célebrité des ondes de flexion comme

$$c_F(\omega_{nm}) = \frac{\omega_{nm}}{\lambda_{nm}},$$

où $\lambda_{nm}$ satisfait $J_n(\lambda_{nm}a) = 0$.

- On obtient une estimation de la tension T d'après l'équation de dispersion (couplage entre onde élastique et acoustique [209], supposant une célebrité des ondes de flexion $c_F$ inférieure à la célebrité des ondes acoustiques dans l'air $c_a$) :

$$T = c_F^2(\omega) \left[ \sigma + \frac{2\rho_{\text{air}}}{\omega \sqrt{\frac{1}{c_F^2(\omega)} - \frac{1}{c_a^2}}} \right],$$

avec $\rho_{\text{air}}$ la densité de l'air et $\sigma$ la densité massique surfacique de la membrane. (On note que pour des hautes fréquences, la célebrité des ondes de flexion $c_F(\omega)$ se rapproche de la célebrité des ondes de flexion transverses dans le vide, $c_f = \sqrt{T/\sigma}$.)

Finalement, on prend la moyenne des estimations de tension pour les modes considérés, sauf ceux qui sont axisymétriques ($f_{0m}$). Dans [58], cette méthode est appliquée au cas d'une timbale et par comparaison à un modèle numérique [209], on voit que l'erreur sur l'estimation est de 4%.

En appliquant la méthode aux plages fréquentielles des modes 11 et 21 obtenues par les figures de Chladni, on obtient les estimations listées dans le Tableau 10.7. En moyennant leurs estimations, on obtient une estimation de la tension de

$$335,6 \, \text{N/m}. \qquad (10.4)$$

## VÉRIFICATION
La tension de la membrane vient d'être estimée avec la 2me méthode (acoustique), qui utilise une modélisation plus raffinée pour le rayonnement, contrairement à la relation constante dans notre modèle :

$$\sigma_m = \sigma + 0,85 a \rho_a. \qquad (10.5)$$

En même temps, l'influence de la cavité sur les fréquences axisymétriques $f_{0m}$ n'a pas été prise en compte, qui correspondent aux solutions de la condition implicite (9.12).

Pour cette raison, même si l'estimation (10.4) vise à se rapprocher au mieux de la réalité physique, nous proposons de remplacer cette estimation par un ajustement ad hoc des fréquences de notre modèle aux fréquences des figures de Chladni, sachant que la valeur de la tension estimée sera utilisée dans l'implémentation du contrôleur basé sur ce modèle (simplifié).

<footnote>plus élevée et le mode 11 devenant la fréquence fondamentale. De plus, il semble que dans nos observations, le mode 01 était masqué par le mode 21 qui a une fréquence proche et que l'on a observé clairement.</footnote>

<footnote n="18">18. Les figures de Chladni en basse-fréquence obtenues en [210, Annexe B] pour le tom sont plus symétriques, donc un meilleur accord à tension plus uniforme y a été obtenu. De plus, il se trouve que le mode 01 y a la fréquence la plus basse, ce qui n'est pas le cas chez nous ici (à détailler plus bas).</footnote>
<table><caption>Tableau 10.7 – Estimation de la tension avec la 2ème méthode d'après les fréquences des figures de Chladni</caption><thead><tr><th>nm</th><th>f<sub>nm</sub> [Hz]</th><th>λ<sub>nm</sub>a [-]</th><th>c<sub>F</sub>(f<sub>nm</sub>) [m/s]</th><th>T [N/m]</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">11</td><td>101</td><td rowspan="2">3,832</td><td>26,8</td><td>265,4</td></tr><tr><td>132</td><td>35,1</td><td>453,6</td></tr><tr><td rowspan="2">21</td><td>146</td><td rowspan="2">5,136</td><td>28,9</td><td>287,1</td></tr><tr><td>158</td><td>31,3</td><td>336,3</td></tr><tr><td rowspan="2">02</td><td>201</td><td rowspan="2">5,520</td><td>37,1</td><td>464,1</td></tr><tr><td>219</td><td>40,4</td><td>551,1</td></tr></tbody></table>

Comme dans le chapitre précédent, on peut tracer l'évolution des modes 01, 02, 11 et 21 en fonction de la tension T (utilisant ici l'expression pour $\sigma_m$ (10.5), Fig. 10.29) et on compare ces fréquences aux plages de fréquences des figures de Chladni. La meilleure correspondance est obtenue pour la valeur

$$T = 420 \frac{N}{m}.$$

Cette valeur est retenue comme estimation de la tension T supposée constante de la membrane.

On voit dans la Figure 10.29 qu'à cette faible tension, un croisement de fréquences a eu lieu, et la fréquence du mode 01 (premier mode axisymétrique) est devenue plus élevée que celle du mode 11. De plus, la fréquence du mode 01 est proche de la plage du mode 21, donc le mode 01 peut avoir été masqué par ce dernier mode, d'où le fait que nous l'avons pas observé expérimentalement.

De ce dernier fait, on propose d'étudier pour l'implémentation de la loi de commande ci-dessous sa capacité de déplacer la fréquence du deuxième mode axisymétrique 02, qui, quant à lui, a été observé clairement expérimentalement.

### 10.1.4.4 Coefficient de frottement $\mu$

**MÉTHODE HR ESPRIT** Dans notre modèle, le coefficient de frottement $\mu$ [1/s] correspond à la décroissance exponentielle du signal $y_m(r,t)$ dans le temps, qui ne dépend pas de la fréquence. Ce coefficient a été identifié de plusieurs manières dans le passé. Dans [59] par exemple, pour le cas d'une barre de xylophone, on excite la structure, coupe l'excitation, et étudie le temps de décroissance du son<fnref n="19" />.

Ici, nous proposons d'utiliser la méthode d'analyse haute résolution (HR) ESPRIT (Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques, [13, 222]). Dans ce contexte, le signal à analyser $y(t)$ est modélisé comme un mélange de sinusoïdes exponentiellement amorties (EDS pour *Exponentially Damped Sinusoids*). Dans un premier temps, on l'écrit comme

$$y(t) = \sum_{p=1}^{N} \alpha_p z_{p}^{t}$$

<footnote n="19">19. (avec la méthode *matrix pencil* [139], qui est liée à la méthode haute-résolution que nous utiliserons ci-dessous)</footnote>
<figure><img src="image_132.png" /><figcaption>FIGURE 10.29 – Identification de la tension de la membrane T : ajustement des fréquences du modèle (affichées en gris en fonction de la tension inconnue T) aux plages de fréquences des figures de Chladni (zones jaunes).</figcaption></figure>

où $\alpha_p = a_p e^{j\varphi_p}$ est une amplitude complexe sous forme polaire contenant l'amplitude $a_p$ et la phase $\varphi_p$ et $z_p = e^{\delta_p} e^{j2\pi f_p}$ un pôle complexe contenant le facteur d'amortissement $\delta_p$ et la fréquence $f_p$. La transformation inverse est

$$ 
\begin{cases}
\delta_p = \ln(|z_p|) \\
f_p = \frac{1}{2\pi} \angle(z_k) \\
a_p = |\alpha_p| \\
\varphi_p = \angle(\alpha_p).
\end{cases}
$$

Après substitution, on obtient alors

$$ y(t) = \sum_{p=1}^{N} a_p e^{\delta_p t} e^{j(2\pi f_p t + \varphi_p)}. $$

Dans le cas d'un signal réel $y(t)$, on a un nombre pair de pôles avec à chaque fois

$$ 
\begin{cases}
a_p = a_{p+1} \triangleq \frac{a}{2} \\
\delta_p = \delta_{p+1} \triangleq \delta \\
f_p = -f_{p+1} \triangleq f \\
\varphi_p = -\varphi_{p+1} \triangleq \varphi,
\end{cases}
$$

de sorte à pouvoir recombiner les contributions complexes deux à deux :

$$ 
\begin{align*}
& a_p e^{\delta_p t} e^{j(2\pi f_p t + \varphi_p)} + a_{p+1} e^{\delta_{p+1} t} e^{j(2\pi f_{p+1} t + \varphi_{p+1})} \\
&= ae^{\delta t} \frac{e^{j(2\pi f_t t + \varphi_t)} + e^{-j(2\pi f_t t + \varphi_t)}}{2} \\
&= ae^{\delta t} \cos(2\pi f_t t + \varphi),
\end{align*}
$$
ce qui est une contribution réelle. Le modèle de signal EDS peut donc se réécrire comme

$$y(t) = \sum_{q=1}^{N} a_q e^{\delta_q t} \cos(2\pi f_q t + \varphi_q).$$

Pour un nombre (pair) de pôles N donné, la méthode ESPRIT permet d'estimer les paramètres ($a_q, \delta_q, f_q, \varphi_q$), en séparant des contributions désirées et perturbatrices dans le signal $y(t)$, et en utilisant des propriétés d'invariance de rotation dans ces sous-espaces (pour plus de détails, voir [13, 140]). On peut choisir le nombre de pôles N manuellement, mais il existe aussi des méthodes d'estimation du nombre de pôles optimal pour représenter le signal donné $y(t)$ par un modèle EDS, [13, Sec. IV.3-IV.4], comme la méthode ESTER (ESTimation Error, [14]).

Afin d'avoir une estimation correcte pour le coefficient $\mu$ (qui ait un sens physique) en utilisant la méthode ESPRIT<fnref n="20" />, il faut que le signal $y(t)$ couvre le régime linéaire de vibration. C'est la raison pour laquelle nous isolons ce régime dans les signaux de mesure, avant de procéder à l'estimation même du paramètre.

## 1. ISOLATION DU RÉGIME LINÉAIRE

Lorsque l'on frappe sur la membrane du tom, on peut distinguer plusieurs régimes, comme schématisé dans la Figure 10.30. Pendant la frappe, la force $F(t)$ est non nulle, et la membrane (pression $p_e(t)$) se trouve en régime forcé. Dès que la frappe est terminée, la force est nulle, et la membrane est en régime d'oscillation libre. Dans l'analyse décrite dans les Figures 10.15 et suivantes pour l'accordage, seulement le régime d'oscillation libre avait été considéré pour calculer le spectre du son obtenu.

Toutefois, le régime libre se décompose en une potentielle partie en régime non linéaire (glissement fréquentiel, lorsque l'on a frappé suffisamment fort) suivi par le régime linéaire. On souhaite ici isoler seulement ce régime linéaire dans les sons que l'on utilisera pour l'estimation du paramètre $\mu$. On commence par prendre cinq sons de frappe de l'expérience précédemment décrite (Fig. 10.31). On regarde les représentations fréquentielles (« HR-ogramme » s [137], calculés avec la méthode ESPRIT-ESTER, dont un exemple est montré Fig. 10.32). En regardant les contributions fréquentielles entre 100 et 250Hz, on observe un glissement fréquentiel : les fréquences sont plus élevées au début, et baissent vers leurs valeurs du régime linéaire. On mesure l'amplitude à la fin du glissement fréquentiel sur le signal temporel. Cette procédure est répétée pour les 5 sons, et l'amplitude minimale des 5 est prise comme amplitude après laquelle on est en régime linéaire (sélection indiquée en rouge dans la Figure 10.31).

## 2. ESTIMATION DU PARAMÈTRE $\mu$

On peut maintenant appliquer la méthode ESPRIT aux 5 mesures du son $p_e(t)$ en régime linéaire. On propose de se focaliser sur la contribution du mode 02. On augmente manuellement le nombre de pôles N du modèle EDS, jusqu'à l'apparition d'un mode à une fréquence au-dessus de 200Hz.

Pour l'exemple montré dans la Figure 10.33, on monte jusqu'à 8 pôles, et on obtient quatre contributions dans le modèle EDS dont les fréquences et amortissements sont listées dans le Tableau 10.8. On voit sur le graphe qu'il y a une bonne correspondance entre le signal d'origine et son approximation par un modèle EDS à 8 pôles.

En appliquant la procédure aux 5 sons, on obtient les estimations

$$(-1,6680935; -1,5783776; -1,493121; -1,375677; -1,238403) [1/s]$$

pour le coefficient d'amortissement $\delta$ du mode 02. En prenant la moyenne, on obtient une valeur de $\delta = -1,4707\frac{1}{s}$, donc on utilisera dans le modèle du tom un coefficient

$$\mu = 1,4707\frac{1}{s}.$$

<footnote n="20">20. Dans la suite, on utilise une implémentation des algorithmes ESPRIT et ESTER de la boîte à outils DESAM (Décomposition en Éléments Sonores et Applications Musicales, [137]).</footnote>
<figure><img src="image_133.png" /><figcaption>FIGURE 10.30 – Représentation schématique des régimes dans le son d'un coup sur la membrane du tom</figcaption></figure>

<figure><img src="image_134.png" /><figcaption>FIGURE 10.31 – Sélection du régime linéaire dans cinq sons de frappe : signaux temporels (le régime linéaire étant indiqué en rouge)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_135.png" /><figcaption>FIGURE 10.32 – Sélection du régime linéaire dans cinq sons de frappe : HR-ogramme d’un des cinq signaux</figcaption></figure>

<figure><img src="image_136.png" /><figcaption>FIGURE 10.33 – Approximation d'un signal $p_e(t)$ par un modèle EDS à 4 paires de pôles par la méthode ESPRIT</figcaption></figure>
<table><caption>Tableau 10.8 – Approximation par un modèle EDS à 4 paires de pôles du signal de la Figure 10.33 : fréquences et amortissements</caption><thead><tr><th>f<sub>q</sub> [Hz]</th><th>δ<sub>q</sub> [1/s]</th></tr></thead><tbody><tr><td>101,0621</td><td>-0,48282</td></tr><tr><td>101,3171</td><td>-2,702996</td></tr><tr><td>154,9807</td><td>-2,946332</td></tr><tr><td>202,4544</td><td>-1,375677</td></tr></tbody></table>

### 10.1.5 Conclusion

En résumé, les paramètres physiques du modèle identifiés dans la présente section sont listés dans le Tableau 10.9.

<table><caption>Tableau 10.9 – Liste des paramètres physiques identifiés</caption><tbody><tr><td rowspan="4">membrane</td><td>a rayon</td><td>0,162</td><td>m</td></tr><tr><td>σ densité massique</td><td>0,267</td><td>kg/m<sup>3</sup></td></tr><tr><td>T tension</td><td>420</td><td>N/m</td></tr><tr><td>μ coefficient de frottement</td><td>1,4707</td><td>1/s</td></tr><tr><td>cavité</td><td>V<sub>0</sub> volume au repos</td><td>0,0195</td><td>m<sup>3</sup></td></tr><tr><td rowspan="7">haut-parleur</td><td>m<sub>1</sub> masse équivalente</td><td>0,157</td><td>kg</td></tr><tr><td>c<sub>1</sub> amortissement équivalent</td><td>4,87</td><td>kg/s</td></tr><tr><td>k<sub>1</sub> raideur équivalente</td><td>7,80</td><td>kN/m</td></tr><tr><td>Bl facteur de la force de Laplace</td><td>17,4</td><td>T·m</td></tr><tr><td>R résistance électrique</td><td>5,52</td><td>Ω</td></tr><tr><td>L inductance électrique</td><td>4,37</td><td>mH</td></tr><tr><td>S<sub>1</sub> surface équivalente</td><td>0,0515</td><td>m<sup>2</sup></td></tr></tbody></table>
## 10.2 DISPOSITIF DE CONTRÔLE

Dans la présente section, le dispositif de contrôle est préparé, qui implémentera l'observateur régulateur (9.36)-(9.32). Dans la Sous-section 10.2.1, on spécifie les composants utilisés et précise comment le Coala a été programmé. Le dispositif expérimental complet, incorporant une acquisition de données, est précisé dans la Sous-section 10.2.2. Dans la Sous-section 10.2.3, un système de frappe reproductible est développé et testé.

### 10.2.1 Composants

Le dispositif de contrôle est montré dans la Figure 10.34. Il suit l'architecture typique spécifiée dans la Figure 2.6. On détaille les composants utilisés : le capteur (microphone), le microcontrôleur (Coala) et l'actionneur (haut-parleur).

#### 10.2.1.1 Capteur : microphone

La loi de commande a besoin d'une mesure de la pression dans la cavité. À cet effet, un microphone Bruel & Kjær 4939 est utilisé, ayant des caractéristiques adaptées aux forts niveaux sonores pouvant apparaître à l'intérieur du tom.

Le microphone est introduit dans la cavité à travers l'un des deux trous latéraux dans la paroi (Fig. 10.35).

#### 10.2.1.2 Actionneur : haut-parleur

Le haut-parleur interne décrit ci-dessus est utilisé comme actionneur du système. Il est commandé en tension (et non pas en courant). La loi de commande sortant du Coala passe par un amplificateur de puissance qui multiplie l'amplitude de la tension par un gain 10, avant de l'appliquer aux bornes du haut-parleur (cf. Fig. 10.35).

La loi de commande (9.32) a été développée pour un haut-parleur contrôlé en courant. Or, dans le dispositif décrit, il est contrôlé en tension. D'après l'Équation (10.2) du modèle de Thiele & Small, on a une relation

$$v_1 = R i_1 + L \frac{di_1}{dt} + B l \dot{l}_1$$

entre le courant $i_1$ et la tension $v_1$. Le courant désiré d'après la loi de commande pourrait être vu comme une valeur cible, pour un asservissement par la tension, ce qui ajouterait une troisième boucle dans la topologie du contrôleur (cf. schéma-bloc 9.27). Toutefois, puisque le Coala permet seulement un calcul à une entrée et une sortie (SISO pour Single Input – Single Output), on propose de négliger le terme $Ldi_1/dt$ :

$$v_1(t) \approx R i_1(t) + B l \dot{l}_1(t). \qquad (10.6)$$

Cette approximation peut être faite en basse-fréquence puisque le temps caractéristique de la partie électrique du haut-parleur (l'inductance L étant petite) est plus petit que celui de la partie mécanique. On suppose alors que la dynamique électrique est immédiate, et on néglige la pente $Ls$ à la droite de la fréquence de résonance dans la fonction de transfert $H_V/I(s)$ (Fig. 10.7(a)).

#### 10.2.1.3 Microcontrôleur : le Coala

Le contrôleur (observateur (9.36) – régulateur (9.32), avec les constantes physiques identifiées dans la section précédente) est implémenté dans le Coala [191], qui a déjà été introduit dans la Section 2.3.2. Les deux premiers modes axisymétriques ($\tilde{z}_1, \tilde{z}_2$) seront pris en compte dans le contrôleur.
<figure><img src="image_137.png" /><figcaption>FIGURE 10.35 – Dispositif de contrôle : microphone dans la cavité comme capteur de pression. (Dans cette photo, un autre modèle de microphone est monté à titre indicatif.)</figcaption></figure>

**ARCHITECTURE** L'intérieur du Coala était montrée Fig. 2.8. Il contient un ordinateur à carte unique, le BeagleBone<fnref n="21" />, sur lequel tourne un système d'opération Linux avec des extensions temps-réel Xenomai<fnref n="22" /> (comme c'est aussi le cas chez le microcontrôleur pour le traitement audio présenté dans [161]).

**PROGRAMMATION** Le Coala peut être programmé en utilisant le logiciel Max MSP, ou par du code C++. Nous utilisons la deuxième option. Le programme exécuté par le Coala est structuré dans un nombre de fichiers contenant des fonctions à une entrée et une sortie, qui pourront être activées séparément ou superposées pendant que le Coala est actif.

On implémente l'observateur-régulateur comme une fonction

out = control(in),

où in représente la mesure venant du convertisseur analogique-numérique (la mesure de la pression venant du microphone), et out le résultat numérique allant à convertisseur numérique-analogique (l'instruction qui est envoyée au haut-parleur). À chaque temps d'échantillonnage, une mesure in est obtenue, un calcul de la loi de commande est effectué, et l'instruction résultante out sort du Coala.

L'Équation (9.36) de l'observateur est discrétisée temporellement par la méthode d'Euler explicite :

$$ \hat{x}(t) = A\hat{x}(t) + Bu(t) + PQ \begin{bmatrix} h_1 \lfloor y(t) - C\hat{x}(t) \rfloor^{\theta_1} \\ \vdots \\ h_n \lfloor y(t) - C\hat{x}(t) \rfloor^{\theta_n} \end{bmatrix} $$

devient

$$ \hat{x}(t + T_s) = \hat{x}(t) + T_s \cdot \left[ A\hat{x}(t) + Bu(t) + PQ \begin{bmatrix} h_1 \lfloor y(t) - C\hat{x}(t) \rfloor^{\theta_1} \\ \vdots \\ h_n \lfloor y(t) - C\hat{x}(t) \rfloor^{\theta_n} \end{bmatrix} \right], \quad (10.7) $$

où $T_s$ est la période d'échantillonnage, $y(t)$ est la mesure (in) et les variables $\hat{x}(t)$ et $u(t)$ (représentant la commande en courant $i_1(t)$) ont été sauvegardées au temps d'échantillonnage précédent.

Ensuite, la loi de commande en courant $i_1(t + T_s)$ (9.32) est calculée. (Elle nécessite la connaissance de la vitesse instantanée de la membrane du haut-parleur $\hat{l}_1$.) Cette

<footnote n="21">21. https://beagleboard.org/</footnote>

<footnote n="22">22. http://xenomai.org/</footnote>
vitesse n'est pas mesurée mais provient de l'observateur temps-fini (10.7).) Finalement, la commande en tension $u_1(t + T_s)$ (out) est calculée d'après l'Éq. (10.6).

On précise que les formules de l'observateur-régulateur (9.36)-(9.32) avaient été ex-
primées dans le Chapitre 9 pour des variables adimensionnées. Pour l'implémentation
pratique, un redimensionnement des amplitudes des signaux et du temps a été effectué.

Les paramètres de l'observateur utilisés sont $\theta = 0,86$ et

$$
[h_1 \dots h_6] = [6 \quad 17.5 \quad 30 \quad 33.0625 \quad 22.125 \quad 8.125]
$$

(obtenus après des tests dans le but de concilier rapidité de convergence et robustesse
au bruit). Les paramètres du régulateur sont $\bar{\alpha} = 0,9$, $\bar{k}_1 = \bar{k}_2 = 0,3$, $\bar{k}_3 = 2\beta_2$, $\bar{k}_4 = 2\frac{\zeta}{\beta_2}$.

Pendant la programmation de la fonction control, il faut apporter une attention
particulière au fait d'allouer de la mémoire pour stocker des variables intermédiaires 23,
ce qui ne peut se faire en temps réel. De plus, les calculs non linéaires présents dans
les expressions de l'observateur-régulateur (9.36)-(9.32) étant un peu plus lents que
les calculs linéaires précédemment implémentés sur le Coala (cf. [22] et d'autres cas
mentionnés dans la Sous-section 2.3.2), une période d'échantillonnage de $T_s = 100\mu s$
(plus grande que d'habitude) sera utilisée partout. Ceci correspond à une fréquence
d'échantillonnage de $f_s = 10kHz$ (plus grand d'un facteur dix [79] par rapport aux
fréquences d'intérêt du contrôleur, notamment le mode 02 vers 200Hz).

La fonction control est programmée sur un ordinateur qui communique avec le
Coala à travers une connexion sans fil depuis un terminal. Après compilation, le Coala
est prêt à effectuer le calcul défini en temps réel.

UTILISATION Une fois la programmation et la compilation terminées, l'utilisation du Coala en temps réel se fait depuis une page web de l'ordinateur (Fig. 10.36). Nous nous en servons pour démarrer ou arrêter la boucle de contrôle temps-réel, pour faire varier un gain multiplicatif à la sortie (pour des raisons de débogage), et pour activer si besoin la sauvegarde des variables internes du Coala (après l'arrêt de la boucle temps-réel, pour des raisons de monitorage ou débogage 24).

10.2.2 Dispositif expérimental complet

À partir du dispositif de contrôle précisé dans la sous-section précédente (Fig. 10.34), on construit le dispositif expérimental complet qui incorpore des possibilités d'acquisition de données (schématisé dans la Figure 10.37)

Comme mentionné, le Coala permet d'exporter des variables internes comme un
fichier text : l'évolution de ses variables d'entrée in (mesure de la pression p_c(t)) et de
sortie out (loi de commande v_1(t) divisé par 10), ainsi que l'évolution de l'observateur
d'état x(t).

En plus, un microphone a été placé proche du milieu de la membrane (Fig. 10.38),
qui sera utilisé pour évaluer l'effet du contrôle sur le son du tom. La mesure de la
pression de ce microphone, p_e(t), ainsi que celle du microphone dans la cavité utilisé
comme capteur de la boucle de contrôle, p_c(t) et la tension électrique v_1(t) appliquée
au haut-parleur sont acquises.

Dans la section prochaine, le développement d'un système de frappe reproductible est détaillé. Ensuite, le dispositif expérimental complet est installé dans la chambre anéchoïque de l'Ircam (Figure 10.39 - Tableau 10.10) pour effectuer les tests décrits dans la Section 10.3. La chambre anéchoïque a la forme d'un pavé droit de volume utilisable de 5.7 × 4.3 × 4.2m³ avec les parois couvertes de prismes triangulaires de néoprène et fournit un niveau sonore de fond d'environ 18.5 dB SPL (A) [54].

<footnote n="23">23. Ou la sauvegarde de variables pour les exporter après l'exécution de la boucle temps-réel pour des raisons de monitorage ou débogage.</footnote>

<footnote n="24">24. Un fichier text est créé, qui peut être lu et affiché par un script PYTHON.</footnote>
COALA 2.1.0.1

☐ bypass

start pause stop exit start OSC server

Download output data

Upload Matlab files

Parcourir... Aucun...nné.

Display transfer function

☐ modal active control

☐ modulated gain

☐ biquad (2nd order filter)

☐ gen~ (Max MSP module)

☐ chirp

☑ hard real time

☑ share time if possible

☐ automatic sample period

☐ record data

<table><tr><td>gain</td><td>1</td></tr><tr><td>gain mod. freq.</td><td>0.0</td></tr><tr><td>period</td><td>100 µs</td></tr><tr><td>time</td><td>∞ sec.</td></tr><tr><td>smoothing time</td><td>0.02 sec.</td></tr><tr><td>chirp start</td><td>80 Hz</td></tr><tr><td>chirp end</td><td>2000 Hz</td></tr></table>

<figure><img src="image_138.png" /></figure>

23:56:31

product: COALA

version: 2.1.0.1

bypass: FALSE

running: TRUE

realtime: TRUE

share time: TRUE

record: FALSE

auto sample period: FALSE

sample period: 0.0001

time limit: 86400

output gain: 1

smoothing time: 0.02

oscstatus: 0

webstatus: 1

coucou c'est Marc a nouveau, avec le nouveau MarcFilter!!

<caption>FIGURE 10.36 – Commande à distance de la boucle temps-réel du Coala depuis une page web</caption>

Tableau 10.10 – Dispositif expérimental complet en chambre anéchoïque : liste des instruments

<table><tr><td>Carte d'acquisition</td><td>National Instruments 9234</td></tr><tr><td>Microphone au-dessus de la cavité</td><td>Bruel & Kjær 4191</td></tr><tr><td>Microphone dans la cavité</td><td>Bruel & Kjær 4393</td></tr><tr><td>Conditionneur des microphones</td><td>Nexus 2690</td></tr><tr><td>Microcontrôleur</td><td>Coala (v1) « Alto »</td></tr><tr><td>Amplificateur du haut-parleur</td><td>Newton4th Ltd LPA05</td></tr><tr><td>Haut-parleur</td><td>Raveland AXX 1212</td></tr></table>

### 10.2.3 Système de frappe reproductible

Le tom sera excité par un coup de baguette au milieu de la membrane. Afin de pouvoir comparer le cas sans contrôle avec le cas avec contrôle, il est indispensable de maîtriser la force et le point d'impact le mieux possible afin de garantir la reproductibilité. En effet, si l'on frappe manuellement à plusieurs reprises, il y a des variations de force et de point d'impact, ce qui influencera le degré d'excitation des différents modes de la membrane et le degré de présence d'éventuels phénomènes non linéaires.

Afin de pouvoir mieux contrôler les conditions initiales, nous proposons une excitation par un support de baguette 25 montré Figure 10.40. Ce support a été adapté du support de mailloche développé dans la thèse de Marguerite Jossic [121, Fig. 2.15] pour exciter un gong. Pour pouvoir l'utiliser avec la baguette 26, une pièce d'ajustement de diamètre a été fabriquée en impression 3D (cf. la Sous-section D.2.2 en annexe).

<footnote n="25">25. On peut mentionner un actionneur piézoélectrique ou un marteau de piano (p.ex. [192] pour le cas d'un banjo) comme manières alternatives d'excitation.</footnote>

<footnote n="26">26. La baguette pèse un peu plus lourd que la mailloche, mais son centre de gravité est plus loin de son extrémité touchant la membrane.</footnote>
<figure><img src="image_139.png" /><figcaption>FIGURE 10.37 – Dispositif expérimental complet : schéma</figcaption></figure>
<figure><img src="image_140.png" /><figcaption>FIGURE 10.38 – Microphone au-dessus de la membrane qui sera utilisé pour évaluer l’effet du contrôle au point milieu de la membrane, en outre du microphone dans la cavité utilisé comme capteur dans la boucle de contrôle.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_141.png" /><figcaption>FIGURE 10.39 – Dispositif expérimental complet : installation en chambre anéchoïque</figcaption></figure>
<figure><img src="image_142.png" /><figcaption>FIGURE 10.40 – Support-baguette monté dans le dispositif expérimental dans le but d'obtenir une frappe reproductible au milieu de la membrane</figcaption></figure>
<figure><img src="image_143.png" /><figcaption>FIGURE 10.41 – Système de frappe reproductible</figcaption></figure>

La manière de frappe utilisée est schématisée dans la Figure 10.41 et consiste des étapes suivantes. Tout d'abord, le pied de support du système de frappe est positionné de telle manière à ce que la baguette se trouve au repos au milieu de la membrane.

1. **LÂCHAGE** – La baguette est tenue par un doigt de la main contre une butée préalablement fixée à un angle au choix et a donc une certaine énergie potentielle due à la gravité. En retirant très vite le doigt, la baguette tombe.

2. **IMPACT** – La baguette réalise un impact sur le milieu de la membrane, l'excitant, et rebondit.

3. **RATTRAPAGE** – On rattrape la baguette montante avec le même doigt pour éviter qu'elle ne redescende une deuxième fois.

En cas d'échec, on obtient deux ou plus de rebonds, et on est obligé de réessayer.

L'efficacité de ce système est évaluée en donnant 5 coups de la manière décrite ci-dessus, puis en donnant 5 coups avec une baguette tenue dans la main, en essayant de viser le milieu de la membrane et de frapper avec une même force à chaque fois.
Sur la Figure 10.42, on voit les débuts des mesures de la pression dans la cavité $p_e$ du tom, où le temps commence au début de la frappe. On voit que les signaux temporels successifs pour le cas avec le support-baguette sont à peine distinguables, ce qui indique une bonne reproductibilité des conditions initiales. En revanche, les signaux temporels successifs pour le cas manuel connaissent une plus grande variabilité. Sur la même Figure, la densité spectrale de puissance [260] de ces signaux (de durée 1,8s) est indiquée, à titre indicatif. On y voit aussi qu'il y a moins de différences entre les 5 signaux pour le cas du support-baguette.

<figure><img src="image_144.png" /><figcaption>FIGURE 10.42 – Efficacité du support-baguette. Condition non anéchoïque.</figcaption></figure>