### 5.1.3 Comment les singularités apparaissent.

Voici trois modes très communs d'apparition des singularités en Mathématiques.

• *Projections*. Illustrons ce mode en trois versions :

1) projection sur un plan d'une courbe lisse dans l'espace : on peut voir apparaître un croisement, ou un point de rebroussement.

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIG. 5.1 -</figcaption></figure>

2) projection d'une surface lisse dans l'espace à 3 dimensions sur une surface (e.g. la rétine).

Un observateur regarde des collines : les contours sont en général des courbes lisses (plis), mais peuvent apparaître des singularités (frances...). Figuration des draperies en peinture (études de Dürer<fnref n="3" />, Vinci...)

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>FIG. 5.2 -</figcaption></figure>

3) projection d'une surface lisse dans l'espace à 3 dimensions sur une droite : lignes de niveau

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>FIG. 5.3 -</figcaption></figure>

• *Dégénérescences* : ajout de fibres « dégénérées » dans le processus de compactification d'une famille de variétés lisses. Par exemple, si l'on veut compactifier la famille d'hyperboles $x_1x_2 = \lambda$, il faut ajouter les fibres correspondant à $\lambda = 0$ et $\lambda = \infty$. En $\lambda = 0$, il s'agit de deux droites ayant un point d'intersection, qui est donc une singularité.

<footnote n="3">³Geometric libris, 1532.</footnote>
<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>FIG. 5.4 -</figcaption></figure>

• *Quotients, repliements.* Il ne s'agit pas ici des quotients « sauvages » qui mènent aux espaces non commutatifs. Des quotients très « modérés », comme celui du plan par un groupe fini de symétries, peuvent présenter des singularités, qui correspondent aux points fixes sous l'action du groupe (voir 5.5.3 ci-après).

## 5.2 Points critiques.

### 5.2.1 Linéarisation des champs de vecteurs.

Considérons une variété lisse *M* et un champ de vecteurs $\vec{v}$, c'est-à-dire la donnée, pour tout point *x* de *M* d'un vecteur tangent $\vec{v}(x)$ qui varie de manière continue et même lisse avec *x*. Un théorème classique affirme qu'au voisinage de tout point *x* où $\vec{v}(x)$ ne s'annule pas, le champ de vecteur est linéarisable, c'est-à-dire équivalent à un champ de vecteurs constant (en termes heuristiques : on peut peigner là où il n'y a pas d'épi !) :

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>FIG. 5.5 -</figcaption></figure>

### 5.2.2 Points critiques de fonctions.

Considérons une fonction lisse *f* sur *M*. Un point $\xi$ de *M* est dit *critique* pour *f* si la partie linéaire de $f - f(\xi)$ s'annule en $\xi$. Cela revient à dire que dans des coordonnées locales convenables $x_1, \dots, x_n$ au voisinage du point $\xi$, le champ de vecteurs défini par les dérivées partielles $(\partial f / \partial x_1, \dots, \partial f / \partial x_n)$ s'annule en $\xi^4$. L'image $f(\xi)$ par *f* d'un point critique $\xi$ s'appelle *valeur critique* de *f* (ces valeurs sont exceptionnelles).

Le théorème de linéarisation précédent implique qu'au voisinage de tout point *non critique*, la fonction *f* est équivalente à sa partie linéaire.

<footnote n="4">⁴cette condition ne dépend pas en fait du choix des coordonnées locales, bien que le champ de vecteurs en dépende.</footnote>
<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>FIG. 5.6 –</figcaption></figure>

Plus précisément, fixons une valeur $\nu$ de $f$ et considérons la fibre $f^{-1}(\nu)$ de $f$ au-dessus $\nu$, c'est-à-dire l'ensemble des points $\xi$ en lesquels $f$ prend la valeur $\nu$ (si $M$ représente la surface d'un ensemble de collines, et $f$ est la fonction altitude, $f^{-1}(\nu)$ n'est autre que la *ligne de niveau* $\nu$). Si $\nu$ n'est pas une valeur critique, alors en tout point $\xi$ de la fibre $f^{-1}(\nu)$, il existe un système de coordonnées $x_1, \dots, x_n$ dans lequel cette fibre est définie par l'équation linéaire $a_1x_1 + \dots + a_nx_n = \nu$; elle est donc lisse. On voit ainsi que les points critiques correspondent à des singularités, non de $M$ ni de $f$ (qui sont lisses), mais des fibres $f^{-1}(\nu)$ (lignes de niveau).

### 5.2.3 Points critiques génériques.

En un point critique $\xi$ (où il n'est plus vrai qu'une fonction soit équivalente à sa partie linéaire), que peut-on dire ?

Il se trouve qu'il y a une hiérarchie de points critiques. En particulier, on peut définir la notion de point critique « générique ». Au voisinage d'un point *critique générique*, la fonction *f* est équivalente à sa partie quadratique : elle est en fait de la forme $f(x) \sim \nu + a_1x_1^2 + \dots + a_nx_n^2$, les $a_i$ étant non nuls, pour un choix convenable de coordonnées locales $x_1, \dots, x_n$ (la constante $\nu$ étant la valeur de $f$ au point $\xi$ considéré).

L'indice d'un point critique générique est le nombre de $a_i$ positifs. Par exemple, en dimension 2, on trouve trois types de points critiques génériques : le sommet ($f \sim \nu - x_1^2 - x_2^2$, d'indice 0), le col ($f \sim \nu + x_1^2 - x_2^2$, d'indice 1), le bassin ($f \sim \nu + x_1^2 + x_2^2$, d'indice 2).

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>FIG. 5.7 –</figcaption></figure>

On montre que toute fonction lisse « générique » *f* est de Morse, c'est-à-dire n'admet que des points critiques génériques, et qu'il n'y a pas deux points critiques en lesquels *f* prend même valeur.
### 5.2.4 Topographie et Théorie de Morse.

L'idée, ancienne, vient de la topographie : représenter un relief, un paysage montagneux, par des lignes de niveaux. Sa mise en œuvre mathématique, ébau-chée au XIXe par le physicien Maxwell et l'avocat-mathématicien Cayley, a abouti au XXe à la Théorie de Morse, qui montre que la topologie d'une variété lisse com-pacte M peut être reconstruite, de manière combinatoire, à partir de l'étude des points critiques (singularités des fibres) d'une fonction auxiliaire f suffisamment générique.

Pour en saisir l'intuition, dans l'exemple du paysage montagneux, on peut se représenter que le relief est progressivement submergé par une crue, et essayer de se figurer la variation de la topologie de la partie immergée lors de la mon-tée des eaux. Il est assez clair que celle-ci ne change pas lorsque le niveau n'est pas critique. Avec un certain effort d'attention, on peut se rendre compte que le franchissement d'un sommet revient, topologiquement, à attacher un point sup-plémentaire (0-cellule), celui d'un col à attacher un segment (1-cellule), celui d'un bassin à attacher un disque (2-cellule).

Il s'agit d'un phénomène général, valable en toute dimension<fnref n="5" /> : la partie au-dessus du niveau critique $v$ se construit, topologiquement, en attachant à la partie au-dessous du niveau $v$ une cellule de dimension égale à l'indice.

## 5.3 Généricité et stabilité.

### 5.3.1 La dialectique générique/singulier selon Poincaré.

En jetant les bases de la théorie qualitative des systèmes dynamiques, H. Poin-caré a mis en lumière l'importance cruciale du générique dans ce domaine, et la subtilité de la dialectique générique/singulier (bien au-delà de la simple opposi-tion logique)<fnref n="6" />.

Dans la perpective des applications de l'étude des systèmes dynamiques aux sciences de la nature, il paraît raisonnable, dans un premier temps, de se limiter aux situations génériques : en effet, les paramètres du système ne sont connus qu'approximativement en pratique, et une modification arbitrairement petite des paramètres permet toujours de sa ramener au cas générique.

Toutefois, l'argument tombe en défaut lorsqu'il s'agit précisément d'analyser une famille de systèmes : on rencontre inévitablement, en général, un lieu de bifurcation $\Sigma$. Le principe de généricité doit être affiné de la manière suivante : s'il s'agit d'une famille à un paramètre de systèmes, on pourra, en pratique, se limiter aux bifurcations génériques (c'est-à-dire correspondant à presque tous les points de $\Sigma$). Plus généralement, on aura une stratification de $\Sigma$, les strates de codimension $i$ correspondant aux systèmes à $i + 1$ paramètres génériques.

Un programme de classification ambitieux consiste alors à chercher les formes normales, c'est-à-dire des équations les plus simples possibles, auxquelles se ra-mènent les systèmes à $i$ paramètres (ou, si l'on veut, à $i$ degrés de liberté).

<footnote n="5">⁵cf. J. Milnor, *Morse Theory*, Princeton 1963.</footnote>

<footnote n="6">⁶pour les détails concernant ce paragraphe et les suivants, nous renvoyons à V. Arnold, *Catas-troph theory*, Springer, 1984, et D. Bennequin, *Caustique mystique*, Séminaire Bourbaki 634 (1984).</footnote>
### 5.3.2 L'exemple des draperies.

Les Mathématiques ont récemment achevé<fnref n="7" />, sur le plan théorique, la tradition des études de Dürer et Vinci, en menant à bien la classification complète de toutes les singularités des draperies qui apparaissent lorsque l'observateur-peintre se déplace : il y en a 13.

Le manteau $M$ est vu comme surface lisse plongée dans l'espace usuel $\mathbb{R}^3$. L'observateur-peintre occupe une position $\omega$ (le point de vue) dans $\mathbb{R}^3$, et ce qu'il observe/peint est la projection de $M$ sur un plan $\mathbb{R}^2$, suivant le point de vue $\omega$. Voici la classification des singularités qui apparaissent, suivant le nombre de degrés de liberté qu'on accorde au point de vue.

• Pour un point de vue $\omega$ générique, il n'y a, d'après un théorème classique de Whitney, que deux singularités possibles (dépendant de la forme de $M$ dans $\mathbb{R}^3$) : le *pli* et la *fronce*.

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>FIG. 5.8 -</figcaption></figure>

Les formes normales de $M$ correspondantes s'écrivent respectivement

$$x_3 = x_1^2, \quad x_3 = x_1^3 + x_1x_2$$

(dans des coordonnées pour lesquelles la projection est donnée par élimination de la troisième coordonnée, de sorte que $\omega$ est considéré comme rejeté à l'infini).

• Pour des points de vue $\omega$ à un degré de liberté, s'introduisent trois nouvelles singularités (correspondant à des bifurcations génériques) : la *lèvre*, le *bec-à-bec* et le *passage du chameau*.

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>FIG. 5.9 -</figcaption></figure>

Les formes normales de $M$ s'écrivent respectivement

$$x_3 = x_1^3 + x_1x_2^2, \quad x_3 = x_1^3 - x_1x_2^2, \quad x_3 = x_1^4 + x_1x_2.$$

• Pour des points de vue $\omega$ à deux degré de liberté, s'introduisent quatre nouvelles singularités (correspondant à des bifurcations de codimension 1). Les

<footnote n="7">⁷travaux successifs de Whitney, Arnold, Platonova, Sherback.</footnote>
formes normales de $M$ s'écrivent respectivement

$$x_3 = x_1^3 + x_1x_2^3, \quad x_3 = x_1^4 + x_1x_2 + x_1x_2^2, \quad x_3 = x_1^5 + x_1^3x_2 + x_1x_2^2, \quad x_1^5 - x_1^3x_2 + x_1x_2^2.$$

• Enfin, si l'on tient compte de tous les points de vue possibles, s'introduisent encore quatre nouvelles singularités (correspondant à des bifurcations de codimension 2). Les formes normales de $M$ s'écrivent respectivement

$$x_3 = x_1^3 + x_1x_2^4, \quad x_3 = x_1^3 - x_1x_2^5, \quad x_3 = x_1^4 + x_1^2x_2 + x_1x_3, \quad x_1^5 + x_1x_2.$$

Le théorème de Whitney sur le pli et la fronce a été popularisé par les modélisations (plus ou moins fantaisistes) de la « Théorie des catastrophes appliquée ». Voici un exemple d'interprétation catastrophiste de la fronce<fnref n="8" />. Dans cet essai de « modélisation de la créativité », $x_1$ mesure l'enthousiasme, $x_2$ la force technique, $x_3$ la réussite (!). Sans grand enthousiasme, la réussite croît de façon monotone en fonction de la force technique ; mais si l'enthousiasme est grand, il peut y avoir un saut qualitatif dans la qualité des résultats à partir d'une certaine virtuosité (bifurcation entre maniaques et génies (!)).

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>FIG. 5.10 –</figcaption></figure>

« Défiez-vous des ensorcellements et des attraits diaboliques de la géométrie. »

Fénelon

### 5.3.3 Singularités stables.

Une singularité est dite *stable* si toute déformation suffisamment petite des conditions où elle apparaît donne lieu à une singularité « équivalente ».

Exemple : le croisement, comme singularité de projection de courbe, est stable ; en revanche, le point de rebroussement ne l'est pas.

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>FIG. 5.11 –</figcaption></figure>

On peut alors se demander si toute singularité générique est stable.

La réponse dépend en fait de ce qu'on entend, ci-dessus, par « équivalente ». Dans le contexte purement topologique<fnref n="9" />, la réponse est oui (théorème de Mather).

<footnote n="8">⁸E.C. Zeeman, *Catastroph theory*, selected papers 1972-77, Addison-Wesley, 1977.</footnote>

<footnote n="9">⁹où « équivalente » est entendu comme « isomorphe en tant qu'espace topologique ».</footnote>
# 5.4 Déploiements et catastrophes.

## 5.4.1 Comment les singularités se déploient.

Considérons à nouveau une fonction $f$ sur une variété lisse de dimension $d$ (par exemple sur une surface, pour fixer les idées) à valeurs réelles (ou complexes), et poursuivons l'étude des points critiques $\xi$ (de valeur critique $f(\xi) = 0$ pour fixer les idées), sans plus nous limiter au cas générique.

Plus précisément, penchons-nous sur les singularités isolées $\xi$ de la fibre $f^{-1}(0)$ (l'hypersurface de $M$ définie par $f(x) = 0$).

Un déploiement de $(f, \xi)$ est une déformation $F$ de $f$ à un ou plusieurs para-mètres $\lambda$, qui s'annule en $\xi$ (tout comme $f$). Autrement dit :

$F(x, 0) = f$ pour tout $x \in M$, $F(\xi, \lambda) = 0$ pour tout $\lambda$.

On montre qu'il existe un déploiement $F$ dit versel$^{10}$, dont tous les autres se déduisent.

L'ensemble des $\lambda$ pour lesquels la variété définie par $F(x, \lambda) = 0$ est singulière (c'est-à-dire non lisse) s'appelle le *discriminant*.

Exemples. • Le déploiement versel de $(f(x) = x^3, 0)$ est $F(x) = x^3 + \lambda x$. Le discriminant est $\lambda = 0$.

• Le déploiement versel de $(x^4, 0)$ est $x^4 + \lambda_1 x^2 + \lambda_2 x$. Le discriminant est une frome.

• Le déploiement versel de $(x^5, 0)$ est $x^5 + \lambda_1 x^3 + \lambda_2 x^2 + \lambda_3 x$. Le discriminant est une *queue d'aronde*.

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>FIG. 5.12 -</figcaption></figure>

## 5.4.2 Singularités simples.

Une singularité est dite *simple* si, par déformation suffisamment petite, elle n'« engendre » qu'un nombre fini de classes d'équivalence de singularités.

La classification complète des singularités simples du type précédent (singularités isolées d'hypersurfaces) est achevée, et fait intervenir - encore eux ! - les diagrammes de Dynkin (cf. 4.4.3). En fait, ces singularités correspondent exactement aux diagrammes de Dynkin sans arête double, c'est-à-dire les diagrammes de type $A, D, E$, la liste des formes normales étant la suivante (Arnold et al...):

<footnote>$^{10}$pas tout-à-fait universel, il y a un petit grain de sel technique...</footnote>
$$A_n : \circ - \circ - \cdots - \circ - \circ \rightsquigarrow f = x_1^{n+1} + \sum_3^d x_i^2,$$

$$D_n : \circ - \circ - \cdots - \circ < \circ \rightsquigarrow f = x_1^{n-1} + x_1 x_2^2 + \sum_3^d x_i^2,$$

$$E_6 : \begin{array}{c|c} \circ & \circ \\ \circ - \circ - & \circ - \circ - \circ \end{array} \rightsquigarrow f = x_1^3 + x_2^4 + \sum_3^d x_i^2,$$

$$E_7 : \begin{array}{c|c} \circ & \circ \\ \circ - \circ - & \circ - \circ - \circ \end{array} \rightsquigarrow f = x_1^3 + x_1 x_2^3 + \sum_3^d x_i^2,$$

$$E_8 : \begin{array}{c|c} \circ & \circ \\ \circ - \circ - & \circ - \circ - \circ \end{array} \rightsquigarrow f = x_1^3 + x_2^5 + \sum_3^d x_i^2.$$

Le principe du codage par les diagrammes est le suivant : dans un déploie-ment versel, la singularité se transforme en un ensemble de cercles (dits *évanes-cents*)<fnref n="11" />, chacun étant figuré par un sommet du diagramme ; une arête relie deux sommets quand les cercles associés se touchent.

<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>FIG. 5.13 -</figcaption></figure>

### 5.4.3 Géométrie symplectique et catastrophes.

De même que la Géométrie euclidienne est modelée sur l'espace euclidien, défini par un crochet (, ) symétrique (i.e. inchangé lorsque l'on permute les deux vecteurs), la Géométrie symplectique<fnref n="12" /> est modelée sur l'espace symplectique, défini par un crochet (, ) antisymétrique : le signe change lorsque l'on permute les deux vecteurs.

Cette géométrie, qui est sous-jacente à la mécanique hamiltonienne, est aussi celle sous-jacente à la Théorie des catastrophes<fnref n="13" /> développée par Thom et Arnold.

Il se trouve que les catastrophes sont classifiées, elles aussi, par les dia-grammes de Dynkin de type *A*, *D*, *E*. L'explication est que cette classification se ramène à la précédente : les catastrophes ne sont autres que les singularités des discriminants des déploiements versels des singularités isolées simples d'hyper-surfaces. Par exemple, en dimension $\le 4$, on trouve les catastrophes élémentaires de Thom :

<footnote n="11">¹¹voir les petits films de C. Sorger, http://www.math.sciences.univ-nantes.fr/[tilde]sorger/colloquium/</footnote>

<footnote n="12">¹²le terme est dû à Weyl.</footnote>

<footnote n="13">¹³techniquement : les catastrophes associées aux applications lagrangiennes en Géométrie sym-plectique.</footnote>
$A_2$ : le pli,

$A_3$ : la froncé,

$A_4$ : la queue d'aronde,

$D_4$ : l'ombilic (dont Thom distingue deux sous-espèces),

$A_5$ : le papillon,

$D_5$ : le champignon.

## 5.5 Le contexte analytique (i.e. « plus-que-lisse »).

### 5.5.1 Principe du prolongement analytique.

Si le lisse est l'infiniment doux à la caresse, que peut bien être le plus-que-lisse ?

Eh bien, c'est ce dont la forme est si harmonieuse que le toucher ou la contemplation d'un fragment permet de deviner la forme entière !

Par exemple, les fonctions analytiques sont celles qui sont non seulement dévettables en puissances de la variable $x$ à un ordre arbitraire, mais qui sont en fait sommes de leur série de puissances : $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ (on parle de même de variété analytique $M$ (réelle ou complexe), de fonction analytique $f$ sur $M$, etc...)).

Le principe de prolongement analytique<fnref n="14" /> assure que si on étend un germe de fonction analytique sur $M$ le long d'un chemin tracé sur $M$, ce prolongement ne change pas si on déforme le chemin, à extrémités fixées.

En revanche, le long de deux chemins non déformables l'un sur l'autre, on peut très bien aboutir à deux valeurs différentes de la fonction. On a déjà vu ces ambiguïtés galoisiennes en 1.2.1 et 3.3.2.

### 5.5.2 Comment les singularités disparaissent.

On connaît deux moyens de faire disparaître les « aspérités » en Géométrie, qu'on pourrait comparer à la « lime » et à la « dynamite » respectivement.

On peut parfois « limer » les singularités par déploiement (c'est par exemple le cas des singularités simples isolées d'hypersurfaces). Les « traces » qu'elles laissent en se déployant sont ces cercles évanescents évoqués en 5.4.2.

L'autre moyen, plus « brutal » mais qui marche toujours dans le cadre analytique en vertu d'un théorème fondamental de Hironaka (1964), est d'éclater les singularités.

L'exemple le plus simple d'éclatement est celui de l'origine $O$ dans le plan : on remplace $O$ par l'ensemble des droites passant par $O$ (ensemble qui lui-même forme une droite projective, c'est-à-dire un cercle dans le cas réel), ce qui revient à faire le changement de variable $(x_1, x_2) \mapsto (x_1, x_2/x_1)$.

Partant d'une variété $M$ ayant un lieu singulier $\Sigma$ (qui peut être un point, ou une sous-variété de dimension quelconque), le procédé de désingularisation

<footnote n="14">¹⁴mis en forme par Weierstrass dans les années 1880.</footnote>
de Hironaka<fnref n="15" /> consiste à éclater une sous-variété lisse soigneusement choisie de $\Sigma$, et à itérer autant de fois qu'il le faut pour aboutir à une variété lisse $\tilde{M}$. On peut même s'arranger pour que l'image inverse de $\Sigma$ dans $\tilde{M}$ soit une réunion d'hypersurfaces<fnref n="16" /> lisses $H_i$ se coupant transversalement.

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>FIG. 5.14 -</figcaption></figure>

Autrement dit, $M$ s'obtient à partir de la variété analytique lisse $\tilde{M}$ par contraction des hypersurfaces $H_i$ sur $\Sigma$. Hors de $\Sigma$ et des $H_i$ respectivement, $M$ et $\tilde{M}$ coïncident. Les $H_i$ sont en quelque sorte la « trace » que laisse le lieu singulier $\Sigma$ en disparaissant par éclatement.

### 5.5.3 Le rôle des « groupes platoniciens ».

Soit $G$ l'un des groupes finis suivants : le groupe cyclique des rotations d'un polygône à $n$ côtés, le groupe diédral de toutes les symétries d'un tel polygône, l'un des trois groupes de symétries d'un solide platonicien (tétraèdre, cube/octaèdre, icosaèdre/dodécaèdre).

Le quotient du plan, fabriqué en identifiant des points au moyen de $G$, est singulier à l'origine (qui est un point fixe de $G$). Là encore, la singularité se code au moyen des diagrammes de Dynkin $A, D, E$ :

* $A_n$ correspond aux groupes cycliques,
* $D_n$ aux groupes diédraux,
* $E_6$ au groupe du tétraèdre,
* $E_7$ au groupe du cube,
* $E_8$ au groupe de l'icosaèdre.

Le principe de ce codage par les diagrammes est le suivant : dans une résolution par éclatements à la Hironaka, la singularité se transforme en un ensemble de droites projectives - c'est-à-dire de cercles dans le cas réel -, chacune étant fidurée par un sommet du diagramme ; une arête relie deux sommets quand les cercles associés se touchent.

Au bout du compte - après ce qui a été dit plus haut des discriminants de singularités isolées simples et des catastrophes en Géométrie symplectique -, on voit que la classification des catastrophes en toute dimension se ramène à celle des groupes platoniciens. Retour au Timée de Platon ?

<footnote n="15">¹⁵dont la preuve a été progressivement considérablement simplifiée, voir J. Kollar, Lectures on Resolution of Singularities, 2007 ; le procédé a même été algorithmisé, voir http://www.risc.uni-linz.ac.at/projects/basic/adjoints/blowup/index.html</footnote>

<footnote n="16">¹⁶c'est-à-dire de sous-variétés de dimension un de moins que la dimension de $\tilde{M}$.</footnote>
# Chapitre 6

## Dualité.

La dualité est présente depuis la nuit des temps dans la pensée humaine.

Elle a traversé toute la philosophie occidentale, de Platon à Descartes et au-delà, en se modifiant considérablement. Elle a hanté la physique : rappelons le rôle capital joué par la dualité onde-corpuscule, dont l'histoire s'étend de Huygens et Newton à Heisenberg et De Broglie.

Aussi est-il curieux de constater que la dualité ne fait son entrée que tardivement dans l'histoire des Mathématiques, aux alentours de 1820 (à propos de Géométrie projective). Cette idée fondamentale a peu à peu essaimé, sous divers avatars, dans toutes les branches des Mathématiques, tout en conservant son sens originel précis.

### 6.1 Dualité linéaire.

#### 6.1.1 Débuts et vicissitudes de la Géométrie projective.

C'est dans le contexte de la Géométrie projective que la dualité apparaît en Mathématiques. Nous allons donc commencer par dire quelques mots de cette dernière.

On considère que son acte de naissance est le traité de 1822 du capitaine Poncelet intitulé « Traité des Propriétés Projectives des Figures ». Mais il s'inspire fortement de la Géométrie descriptive de ses maîtres Monge et L. Carnot<fnref n="1" />.

L'histoire singulière de ces trois personnages mérite sans doute d'être très brièvement évoquée. Chacun d'eux fut non seulement géomètre, mais aussi ingénieur, administrateur et homme public (politique ou militaire).

<footnote n="1">¹et, pour remonter davantage dans le temps, les transformations projectives et les points à l'infini avaient été étudiés et utilisés un siècle avant eux par Desargues dans sa théorie de la perspective centrale, qui eut le malheur de déplaire aux artistes, et tomba en oubli malgré le soutien de Descartes. Voir 7.3.1</footnote>
Monge, jacobin puis bonapartiste, fut le cofondateur de l'École Normale et de l'École Polytechnique.

Carnot, montagnard modéré, général, créa les 14 armées de la République en 1793 ; proscrit en 1795 puis banni, il fut entre-temps élu à l'Académie et exclu l'année suivante pour céder son fauteuil (sur l'instigation de Monge !) à... Bonaparte, qui le rappela comme ministre de la guerre. Il fut réélu à l'Académie en 1800 et banni à nouveau, comme régicide, sous la restauration (qui exclut Monge à son tour de l'Académie).

Quant à Poncelet, lieutenant dans la campagne de Russie, il fut laissé pour mort sur le champ de Krasnoié en 1812. Fait prisonnier et transféré par marche forcée (1500 kilomètres) dans les prisons de Saratov, il y reconstitua l'enseignement de Monge et Carnot, puis développa *ab ovo* la Géométrie projective, avant de rentrer en France en 1814, où il finit sa carrière comme général commandant Polytechnique. Connu pour son goût de la polémique<fnref n="2" />, il réussit à se brouiller avec quasiment tous les contemporains notables qui s'intéressèrent à ses travaux : admirateurs et disciples (qu'il accusait de plagiat) comme adversaires.

La Géométrie projective avait pour objet d'étudier celles des propriétés des figures qui sont stables par projection (e.g. les propriétés d'incidence), dans l'espace « projectif » (espace complété par un plan à l'infini). L'enthousiasme qui habitait les disciples est palpable dans cette vigoureuse citation de Gergonne :

> Il ne s'agit pas moins que de commencer, pour la géométrie, mal connue depuis près de deux mille ans sans qu'on s'en occupe, une ère tout-à-fait nouvelle ; il s'agit d'en mettre tous les anciens traités à peu près au rebut, de leur substituer des traités d'une forme tout-à-fait différente, des traités vraiment philosophiques qui nous montrent enfin cette étendue, réceptacle universel de tout ce qui existe, sous sa véritable physionomie, que la mauvaise méthode d'enseignement adoptée jusqu'à ce jour ne nous avait pas permis de remarquer ; il s'agit, en un mot, d'opérer dans la science une révolution aussi impérieusement nécessaire qu'elle a été jusqu'ici peu prévue.

> Ce n'est précisément pas parce que la nouvelle doctrine promet une moisson plus abondante de théorèmes qu'elle mérite toute notre attention. Qu'important, en effet, quelques théorèmes de plus qui demeureront peut-être éternellement sans applications ? [...] Mais, comme toutes les révolutions, celle qui se prépare dans la science de l'étendue, et que M. Poncelet regarde peut-être à tort comme étant presque achevée, doit compter pour adversaires, ou tout au moins pour spectateurs indifférents, tous ceux qui n'y auront pas coopéré.

Un peu plus loin :

> Ce qu'il y a de plus important et de plus éminemment philosophique dans ces recherches, c'est, ce nous semble, d'une part cette double face de la géométrie que son dernier mémoire a pour objet de mettre en évidence, et de l'autre la possibilité de démontrer, sans aucune sorte de calculs ni de constructions, la totalité peut-être des théorèmes qui ne dépendent ni des relations d'angles ni des relations de longueur.

<footnote n="2">²ce goût n'a pas disparu dans la profession, mais ses tenants omettent de rendre hommage au grand ancêtre !</footnote>
Ce à quoi fait allusion Gergonne, c'est d'une part le principe de dualité (cf. ci-dessous), et d'autre part le « principe de continuité »<fnref n="3" /> de Monge-Poncelet qui exprime que la déformation continue d'une configuration n'altère pas ses propriétés descriptives quitte à interpréter correctement les modifications survenues (par exemple une sécante devenant tangente, etc...).

Ce dernier principe, proche de la métaphysique de Leibniz (« la Nature ne procède pas par sauts »), fut sévèrement critiqué, notamment par Cauchy. À titre d'exemple, voyons comment on en dérive, en un tour de main, le théorème de Bézout selon lequel deux courbes dans le plan projectif, de degrés *m* et *n*, s'intersectent en *mn* points (comptés avec multiplicité) : on peut toujours faire dégénérer, par déformation, une courbe plane de degré *m* en une réunion de *m* droites en position générale, et dans ce cas le résultat devient évident.

La Géométrie projective (au sens de Poncelet et Gergonne) s'étiola vers le milieu du XIXe siècle, en partie parce qu'elle ne faisait plus guère qu'accumuler des résultats sans portée générale, mais aussi parce que le principe de continuité de Poncelet était mathématiquement mal fondé (il dut attendre plus d'un siècle un fondement rigoureux et général).

Assez récemment, toutefois, on assiste à un vif regain d'intérêt, voire une résurrection, en raison d'interactions insoupçonnées avec d'autres disciplines, comme

* la Physique théorique : les idées de la symétrie-miroir notamment ont permis de résoudre tout une hiérarchie de problèmes réputés inaccessibles de Géométrie projective.

* l'imagerie scientifique : plus précisément, la Photogrammétrie, où l'on se pose le problème de reconstituer une image 3D à partir de sections planes (photographies). Voir le projet zürichois d'application à la reconstruction des Bouddhas de Bamiyan (dynamités par les Talibans)<fnref n="4" />.

### 6.1.2 Dualité en Géométrie projective.

L'histoire de la dualité en Mathématiques débute donc par la découverte commune de Gergonne et de Poncelet (source de leur polémique)<fnref n="5" />.

Poncelet remarque d'abord la symétrie de certains énoncés (ou configurations) de Géométrie projective plane si l'on échange dans ces énoncés les mots « point » et « droite ».

Par exemple la configuration formée de trois points sur une droite admet comme duale la configuration formée de trois droites concourantes : les relations

<footnote n="3">³que Monge appelait « principe des relations contingentes ».</footnote>

<footnote n="4">⁴http://www.photogrammetry.ethz.ch/research/bamiyan/pub/index.html</footnote>

<footnote n="5">⁵voir J.D. Gergonne, Réflexion sur le précédent article. Annales de Gergonne, 17 (1826-1827), 272-276 (http://www.numdam.org)</footnote>

<footnote>J.D. Gergonne, Polémique mathématique. Réclamation de M. le capitaine Poncelet (extraite du bulletin universel des annonces et nouvelles scientifiques) ; avec des notes. Annales de Gergonne, 18 (1827-1828), p. 125 (http://www.numdam.org)</footnote>

<footnote>J.V. Poncelet, Traité des propriétés projectives des figures, 1822. http://imgbase-scd-ulpustrasbg.fr/thumbnails.php?album=433</footnote>
d'incidence sont inversées. Le tétraèdre est auto-dual, le dual d'un cube est un octaèdre, le dual d'un icosaèdre est un dodécaèdre. La duale de la duale est la configuration originale.

Poncelet déduit de là un principe général de dualité qui permet de démontrer automatiquement de nouveaux théorèmes à partir d'anciens.

Un peu plus tard, Chasles<fnref n="6" /> proposera une autre variante, dynamique, de la dualité projective, qui échange translations et rotations autour d'un axe :

Mais ne peut-on pas supposer, maintenant, que les deux mouvements in-
séparables des corps de l'Univers doivent donner lieu à des théories mathé-
matiques, dans lesquelles ces deux mouvements joueraient identiquement le
même rôle ? Et alors, le principe qui unirait ces deux théories, qui servirait à
passer de l'une à l'autre, comme le théorème sur lequel nous avons basé la
dualité géométrique de l'étendue au repos [...], pourrait jeter un grand jour
sur les principes de la philosophie naturelle.

Peut-on prévoir même où s'arrêteraient les conséquences d'un tel prin-
cipe de dualité ? Après avoir lié deux à deux tous les phénomènes de la na-
ture et les lois mathématiques qui les gouvernent, ce principe ne remonterait-
il point aux causes même de ces phénomènes ?

Nous reviendrons sur cette mystérieuse dualité de Chasles à la fin du chapitre.

6.1.3 Formes linéaires et dualité.

Plutôt que la dualité projective, c'est la dualité linéaire, c'est-à-dire entre es-
paces vectoriels qui est désormais considérée comme fondamentale en Mathéma-
tiques.

Soit $V$ un espace vectoriel (réel ou complexe). Son dual $V^*$ est l'espace vecto-
riel formé des *formes linéaires* sur $V$, c'est-à-dire des fonctions linéaires (à valeurs
réelles ou complexes selon le cas).

On a donc un accouplement de dualité entre $V^*$ et $V$, qui à la forme linéaire $v^* \in V^*$ et au vecteur $v$ associe le nombre (réel ou complexe)

$$
\langle v^*, v \rangle = v^*(v).
$$

Cet accouplement permet, au rebours, de voir $v$ comme un forme linéaire sur $V^*$, c'est-à-dire un élément du bidual $V^{**}$. Lorsque $V$ est de dimension finie, ceci permet d'identifier $V$ et son bidual $V^{**}$.

Dans le cas d'un espace euclidien $V$, on a déjà un poduit scalaire $<$, $>$ sur $V$.
Celui-ci permet d'identifier $V$ avec son propre dual $V^*$.

Le lien avec le cas projectif est le suivant. Plutôt que de voir un espace projectif $P$ de dimension $n$ comme un espace usuel vectoriel complété à l'infini, on peut le voir comme l'espace des droites $P(V)$ d'un espace vectoriel de dimension $n + 1$.

L'espace projectif dual $P^*$ n'est autre que l'espace $P(V^*)$ attaché à l'espace
vectoriel dual.

<footnote n="6">⁶ Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie, 1837, cité dans G. Châtelet, *Les enjeux du mobile*, Seuil, ch. 5.</footnote>
## 6.2 Dualités catégoriques.

### 6.2.1 Exemple primordial : espaces vectoriels de dimension finie.

Voyons la dualité linéaire d'un point de vue catégorique : soit $Vec$ la catégorie des espaces vectoriels (réels ou complexes, au choix) de dimension finie. La dualité transforme tout objet $V$ de $Vec$ en un autre $V^*$, et $V^{**} \stackrel{can}{\cong} V$. Mais on a plus : la dualité est un foncteur contravariant : elle transforme tout morphisme (c'est-à-dire toute application linéaire) $F : V \to W$ en un autre qui va dans l'autre sens $F^* : W^* \to V^*$, l'adjoint de $F$, et vis-à-vis de la composition, on a la formule

$$ (GF)^* = F^*G^*. $$

Ceci amène à généraliser, et appeler dualité dans une catégorie quelconque toute auto-équivalence contravariante (elle renverse le sens des flèches) et involutive (on dit aussi : réflexive : en l'appliquant deux fois, on trouve l'identité).

### 6.2.2 Autres exemples.

* *Inversion dans un groupe* : tout groupe peut être vu comme catégorie à un seul objet, les éléments du groupe étant les (auto)morphismes de cet objet. L'inversion $g \mapsto g^{-1}$ est une dualité (au sens catégorique).

* *Ensembles ordonnés* : tout ensemble (partiellement) ordonné $\Delta$ peut être vu comme une catégorie (il y a une flèche - et une seule - entre $x$ et $y$ si et seulement si $x \le y$). Une dualité est une involution de $\Delta$ qui inverse l'ordre.

Cas particulier : en Logique classique (et plus généralement dans un treillis de Boole), la négation est une dualité<fnref n="7" />, qui échange « et » (l'inf) et « ou » (le sup) ; en Logique intuitionniste, ce n'est plus une dualité au sens précédent car l'involutivité est perdue.

Autre cas particulier : soit $V$ un espace vectoriel de dimension finie, et soit $S \subset V$ un convexe (i.e contenant tout l'intervalle joignant deux quelconques de ses points) contenant $0$. Son polaire $S^* \subset V^*$ est le convexe, contenant $0$, formé des $v^*$ tels que

$$ <v^*, v> \le 1 $$

pour tout $v \in S$. On a $S^{**} = S$. La polarité échange réunion et intersection. Dans un espace euclidien (donc autodual), la polarité est donc une dualité sur l'ensemble ordonné par inclusion des convexes contenant $0$.

### 6.2.3 Produit tensoriel et dualité.

Rappelons (4.2.5) qu'il existe la notion de produit tensoriel $V \otimes W$ de deux espaces vectoriels (de dimension finie). Étant donné un troisième espace vectoriel $U \in Vec$, on a alors un isomorphisme canonique

$$ \operatorname{Hom}(U \otimes V^*, W) \stackrel{can}{\cong} \operatorname{Hom}(U, V \otimes W) : $$

<footnote n="7">⁷dualité de De Morgan, *Formal Logic: or, The calculus of inference, necessary and probable*, 1847.</footnote>
les foncteurs $\otimes V^*$ et $V \otimes -$ sont adjoints (cf. 1.5.3). La notion de dualité est
donc subordonnée à celle de produit tensoriel.

En fait cela s'étend, dans le contexte de Tannaka (cf. 4.3.3), aux représentations
de groupes compacts. Le $\otimes$ permet de retrouver le produit du groupe, et la dualité
permet de retrouver l'inverse.<fnref n="8" />

## 6.3 Dualités analytiques.

### 6.3.1 Dualité linéaire topologique.

En dimension infinie, on n'a plus $V = V^{**} : V$ est seulement un sous-espace
de $V^{**}$.

Par ailleurs, on l'a déjà vu (cf. 2.2.4), l'Algèbre linéaire ne marche pas seule
en dimension infinie, il faut y mettre de la topologie, par exemple au moyen de
normes. Ainsi, si $V$ est un espace vectoriel topologique (par exemple un espace de
Hilbert), on définit son dual comme l'espace vectoriel des formes linéaires conti-
nues sur $V$. En ce sens, l'espace de Hilbert est auto-dual.

### 6.3.2 Distributions.

L'idée de base est la suivante : on part d'un espace de fonctions-test $\phi$ qui ne
posent pas de problèmes (lisses et nulles hors d'un compact).

Alors toute fonction (mesurable<fnref n="9" />) $f$ définit une forme linéaire sur cet espace :

$$ \langle f, \phi \rangle = \int f \phi \, dt. $$

Si $f$ est lisse, on a

$$ \langle \frac{df}{dt}, \phi \rangle = - \langle f, \frac{d\phi}{dt} \rangle. $$

Cela suggère de considérer, suivant L. Schwartz, toutes les formes linéaires<fnref n="10" /> $D$
(appelées *distributions*) sur l'espace de fonctions-test, et de définir la dérivée $\frac{dD}{dt}$ de
$D$ par la formule

$$ \langle \frac{dD}{dt}, \phi \rangle = - \langle D, \frac{d\phi}{dt} \rangle. $$

Exemple : la distribution de Dirac $\delta$, définie par $\delta(\phi) = \phi(0)$. C'est la dérivée
de la fonction-marche d'escalier de Heaviside (qui vaut 0 pour $t < 0$, 1 pour
$t > 0$). En fait, toute distribution est, localement, la dérivée itérée d'une fonction
continue.

<footnote n="8">⁸Note : Parfois, on va même jusqu'à appeler « dualité » tout couple d'anti-équivalences ad-
jointes entre deux catégories. Par exemple, la dualité de Gelfand entre algèbres stellaires commu-
tatives et espaces compacts (cf. 2.5.2).</footnote>

<footnote n="9">⁹cf. 2.3.1, en prenant pour $\mathfrak{B}$ la plus petite tribu contenant les ouverts et les parties de mesure nulle. Dans le cadre de ces leçons, il suffit de savoir que toutes les fonctions qu'on rencontre en pratique sont mesurables - en fait, on ne peut construire de fonction non mesurable sans invoquer l'axiome du choix non dénombrable.</footnote>

<footnote n="10">¹⁰continues, par rapport à une topologie sur les fonctions-test qui tient compte de toutes les dérivées.</footnote>
Ainsi toute fonction, même non dérivable (= non différentiable), devient dérivable au sens des distributions. En un sens, on évacue d'emblée, à l'aide de cette géniale idée de dualité, la question des singularités ! Mais il y a un prix à payer : il est très difficile de multiplier les distributions (et davantage encore de les diviser), ce qui rend délicat leur emploi dans les problèmes non-linéaires.

### 6.3.3 Transformée de Fourier. Dualité onde-corpuscule.

La transformée de Fourier d'une fonction $f$ est la fonction $\hat{f}$ définie par

$$ \hat{f}(\omega) = \int f(t)e^{-i\omega t}dt. $$

Plus $f$ est concentrée, plus $\hat{f}$ est diffuse.

La transformation de Fourier s'étend en un automorphisme de l'espace des distributions « tempérées »<fnref n="11" />. Elle a la vertu d'échanger dérivation et multiplication par $i\omega$.

La transformation de Fourier permet de passer d'une fonction des positions et du temps $(q, t)$ à une fonction des impulsions et de la fréquence $(p, \omega)$. Ce que Heisenberg nous a appris à voir comme un changement de repère en mécanique quantique, associé à la dualité onde-particule.

La dualité onde-particule stipule que tous les objets du domaine quantique présentent simultanément des propriétés d'ondes et de particules, ces deux aspects ne pouvant adéquatement être pris isolément.

L'origine de ce principe remonte à la concurrence entre la théorie ondulatoire de la lumière de Huygens et celle, corpusculaire, de Newton. Avec la théorie des ondes électromagnétiques de Maxwell, la théorie ondulatoire (qui rendait compte du phénomène de polarisation) sembla occulter sa concurrente, avant que les travaux d'Einstein, de Broglie, Heisenberg et d'autres n'imposent le principe de dualité. Les relations d'incertitude de Heisenberg limitent les points de vue en dualité.

### 6.3.4 Transformée de Legendre. Mécanique lagrangienne et Mécanique hamiltonienne.

La dualité est aussi très importante dans les problèmes d'extrémaux et d'optimisation (en Mécanique, Économie mathématique, transport optimal<fnref n="12" />, etc...). Elle apparaît souvent via la notion de transformée de Legendre.

Soit $V$ un espace vectoriel réel (de dimension finie, ou un Hilbert, disons) et soit $V^*$ son dual.

Soit $f: V \to \mathbb{R}$ une fonction convexe (c'est-à-dire majorée sur tout segment par la fonction affine qui prend les mêmes valeurs aux extrémités du segment). Sa transformée de Legendre $f^*: V^* \to \mathbb{R}$ est la fonction convexe définie par

$$ f^*(v^*) = \sup < v^*, v > -f(v), $$

<footnote n="11">¹¹variante des distributions obtenue en prenant pour fonctions-test les fonctions lisses rapidement décroissantes à l'infini.</footnote>

<footnote n="12">¹²des remblais... une théorie initiée par Monge et actuellement très active.</footnote>
où $v^*$ désigne un élément quelconque de $V^*$. On a

$$f^{**} = f.$$

(on ignore ici les discontinuités). On a donc

$$<v^*, v> \leq f^*(v^*) + f(v),$$

c'est-à-dire la majoration du *produit scalaire* par la *somme* d'une fonction du premier argument et d'une fonction du second argument. On peut choisir la fonction convexe $f$ arbitrairement, et tirer de là (et du fait que le minimum de $f - v^*$ est $-f^*(v^*)$) beaucoup d'inégalités fondamentales de l'Analyse (inégalités de Hölder, Minkowski, ...).

Voici un exemple en Mécanique rationnelle. En prenant pour $V$ l'espace des vitesses $q'$, et pour $V^*$ l'espace des impulsions $p$, la transformée de Legendre de $\frac{mq'^2}{2}$ est $\frac{p^2}{2m}$. C'est le cas particulier le plus élémentaire du fait que le passage du lagrangien $L(q, q', t)$ à l'hamiltonien

$$H(p, q, t) = pq' - L(q, q', t)$$

(avec $p = \frac{\partial L}{\partial q'}$) est une transformée de Legendre (par rapport à $q'$). L'équation de Lagrange

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial q'}\right) = \frac{\partial L}{\partial q}$$

est alors équivalente aux équations de Hamilton

$$p' = -\frac{\partial H}{\partial q}, \quad q' = \frac{\partial H}{\partial p}.$$

$p$ et $q$ sont les coordonnées usuelles de l'espace des phases (impulsions et positions) ; le prime désigne bien sûr la dérivée temporelle.

## 6.4 Dualités géométriques/homologiques.

### 6.4.1 Dualité de Poincaré.

Les nombres de Betti $b_i$ d'une variété $M$ (compacte orientable) de dimension $n$ sont définis en termes de « triangulations » (par exemple si $M$ est la sphère, $b_0 = b_n = 1$, et les autres $b_i$ sont nuls). La première manifestation de la dualité de Poincaré (1893) est que

$$b_i = b_{n-i}.$$

L'argument<fnref n="13" /> exploite une sorte de dualité entre cellules, qui généralise la dualité de Poncelet-Gergonne entre polyèdres.

En termes de ces cellules, on définit en fait des espaces vectoriels d'homologie $H_i(M)$, dont la dimension est $b_i$. La dualité de Poincaré proprement dite est que

$$H_i(M) = (H_{n-i}(M))^*.$$

<footnote n="13">¹³d'abord trouvé, et corrigé à plusieurs reprises par Poincaré.</footnote>
## 6.4.2 Dualité de de Rham-Hodge.

Soit $\omega$ une $i$-forme différentielle : une expression du type

$$ \omega = \sum f_{j_1, \dots, j_i} \cdot dx_{j_1} \wedge \dots \wedge dx_{j_i}, \quad j_1 < \dots < j_i, $$

où les $x_j$ sont des coordonnées locales sur $M$, et $f_{j_1, \dots, j_i}$ des fonctions sur $M$. On peut l'intégrer sur les $i$-cellules $\sigma$, d'où un accouplement

$$ <\omega, \sigma> = \int_{\sigma} \omega. $$

On peut définir le bord $d\omega$, qui est une $i + 1$-forme différentielle, et on a la « formule de Stokes »

$$ <d\omega, \sigma> = <\omega, \partial\sigma> $$

où $\partial\sigma$ est le bord de la cellule $\sigma$. On a $dd\omega = 0$.

Supposons $M$ muni d'une structure riemannienne : l'espace tangent en tout point est un espace euclidien de dimension $n$. À partir de la dualité entre $i$-plans et $(n-i)$-plans dans un tel espace, Hodge a introduit un opérateur *, involutif (au signe près), qui transforme $i$-formes différentielles en $(n-i)$-formes différentielles sur $M$. Cet opérateur de Hodge permet de définir d'abord le cobord $\partial\omega = *d*\omega$ (qui est une $(i-1)$-forme différentielle), puis les espaces vectoriels de cohomologie de de Rham-Hodge $H^i(M)$ formés des $i$-formes différentielles de bord et cobord nuls (formes dites harmoniques).

Le théorème de de Rham-Hodge affirme que l'intégration induit une dualité

$$ H_i(M) = (H^i(M))^* $$

(la terminologie « homologie/cohomologie » et la notation par indice inférieur/supérieur indiquent d'ailleurs la dualité). En outre, traduite en terme de cohomologie de de Rham-Hodge, la dualité de Poincaré est induite par l'opérateur * de Hodge.

Ces dualités sont contravariantes par rapport aux applications continues entre variétés.

Ces dualités géométriques ont de nombreux avatars, mais nous préférons terminer par une application dans le contexte de l'électromagnétisme de Maxwell.

## 6.4.3 Dualité de Maxwell.

Les équations de Maxwell pour les champs électrique $E$ et magnétique $B$ dans l'espace-temps (vide) $\mathbb{R}^4$ s'écrivent

$$ \nabla \times B = \frac{\partial E}{\partial t}, \quad \nabla \times E = -\frac{\partial B}{\partial t}, \\ \nabla \cdot B = 0, \quad \nabla \cdot E = 0. $$

Elles sont donc invariante par $E \mapsto B$, $B \mapsto -E$. C'est l'exemple primordial de dualité en physique classique.
Dans le dernier chapitre de son livre *Les enjeux du mobile*, G. Châtelet restitue la longue quête de Faraday, Maxwell et Hamilton, à partir d'une intuition du philosophe Schelling, pour interpréter géométriquement la dualité électricité-magnétisme. Le symbole $\nabla$ de Hamilton lui-même (que celui-ci introduisait *via* ses quaternions) en est dérivé.

En termes modernes, la dualité implicite dans les équations de Maxwell s'explicite comme une dualité mathématique de la façon suivante. Selon les idées des « théories de jauge (abéliennes) », les composantes de $E$ et de $B$ sont les 6 composantes<fnref n="14" /> d'une 2-forme différentielle $\omega$ sur l'espace de Minkowski ($\mathbb{R}^4$, $ds^2 = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 - c^2dt^2$), qui s'avère être un bord, donc vérifier

$$d\omega = 0,$$

(ce qui traduit la 1ère et la 4ème équations de Maxwell), tandis que l'équation de jauge (Yang-Mills) s'écrit

$$\partial\omega = 0,$$

ou, ce qui revient au même,

$$d \star \omega = 0$$

(ce qui traduit la 2ème et la 3ème équations de Maxwell, compte tenu de ce que l'action de l'opérateur $\star$ de Hodge se traduit par $E \mapsto B$, $B \mapsto -E$).

Ainsi ce « tire-bouchon » qu'est l'opérateur de Hodge en dimension 4 rend compte non seulement de la dualité de Maxwell, mais aussi de la dualité de Chasles (en dimension 3), qu'il unifie : « la rotation est à la translation ce que le magnétisme est à l'électricité ».

C'est pour conserver cette symétrie en présence de charges et de courants que Dirac a fait l'hypothèse du monopôle magnétique (non encore détecté expérimentalement). Plus récemment, on s'est aperçu que la symétrie complète est récupérée dans le cadre d'une théorie de jauge à 4 supersymétries en dimension 4, qui échange courte et longue échelles (Sen, 1994), ce qui a mené aux dualités étranges qui hantent les théories de cordes d'aujourd'hui.

Sous des dehors très divers, toutes ces dualités sont au fond des variations sur le même thème, la dualité linéaire (deux espaces « se regardant en chiens de faïence, crocs apparents » < >).

<footnote n="14">¹⁴les composantes de $E$ sont celles de $\omega$ en les $dx_i \wedge dt$, celles de $B$ sont celles de $\omega$ en les $dx_i \wedge dx_j$.</footnote>
# Chapitre 7

## « Des infinis subtils ».

> « Nous buvons la hantise des causes
> dans le pétillement vénéneux de nos coupes
> et nous frôlons de nos crochets
> des infinis subtils comme une mort légère.
> Mais où les jonchets s'entremêlent
> l'enfant reste sans mots :
> l'univers dort dans le berceau
> d'une petite éternité. »

O. Mandelstam (1933) *Simple promesse*<fnref n="1" />.

Les Mathématiques passent, pour de bonnes et de mauvaises raisons, pour la science de l'infini.

Il est indéniable que l'infini est, de nos jours, le pain quotidien du mathématicien. Sa mie n'est pas toujours tendre, mais il a perdu sa croûte métaphysique, et avec elle la méfiance et la répugnance qu'il a inspirées aux mathématiciens, de l'antiquité jusqu'au début du XXᵉ siècle.

### 7.1 L'infini(tésimal) et son calcul.

#### 7.1.1 L'infini à penser - à propos du mouvement.

Durant près de deux millénaires en effet, les mathématiciens, échaudés par les fameux paradoxes de Zénon, sont restés fidèles à la conception essentiellement négative de l'infini portée par la tradition philosophique grecque. En reprenant la distinction aristotélicienne, on peut dire qu'ils se sont prudemment rangés du côté du fini et de l'« infini en puissance », et ont constamment rejeté l'« infini en acte » (gouffre de perdition pour l'« évidence géométrique », voire pour la raison).

Ainsi, par exemple, Euclide n'énonçait pas : « il existe une infinité de nombres premiers », mais « les nombres premiers sont plus nombreux que toute multipli-cité donnée (sous-entendu : finie) de nombres premiers ».

<footnote n="1">¹La Dogana, trad. L. Martinez, J.-C. Schneider, P. Jaccottet. « Des infinis subtils » est aussi le titre d'une œuvre pour piano de F. Nicolas, qui nous a fait découvrir ces vers de Mandelstam.</footnote>
Ce qui fit entrer « le loup dans la bergerie », dans la première moitié du XVIIe,
ce fut le problème galiléen de la géométrisation du mouvement. La question du
passage graduel du repos au mouvement et vice-versa, celle plus générale de l'in-
divisibilité de l'espace, du temps et du mouvement, semblaient faire ressurgir
inexorablement les apories de l'infini en acte et le spectre des paradoxes de Zé-
non. Les savants de l'époque entreprirent alors de répondre à l'exigence qui se
posait de (re)penser l'infini, dans le cadre d'une intelligibilité géométrique.

Tandis que Pascal admettait dans la nature, en les soulignant,

les merveilleuses infinités qu'elle a proposées aux hommes, non pas à
concevoir mais à admirer ;

tandis que Descartes préconisait dans ses *Principes de la philosophie* (§26)

qu'il ne faut point tâcher de comprendre l'infini, mais seulement penser
que tout ce en quoi nous ne trouvons aucunes bornes est indéfini;

Leibniz, dans sa *Théorie du mouvement abstrait*<fnref n="2" />, expliquait quant à lui que le mou-
vement est un continu et qu'

il y a des parties données en acte dans le continu. [...] Celles-ci sont infi-
nies en acte. [...] Des indivisibles ou inétendus sont donnés, sans quoi ni le
commencement, ni la fin du mouvement et du corps ne sont concevables<fnref n="3" />.

C'est sur fond de tels débats philosophiques, et dans le prolongement d'une
intense activité autour de calculs de tangentes et d'aires, que Newton et Leibniz
élaborèrent dans les dernières décennies du XVIIe leurs « calculs de l'infini »<fnref n="4" />...

des œuvres où le futur souligne à nos yeux des manques, ceux des
concepts de fonction, de variable, de continuité, de limite, de nombre réel,
mais où la confiance dans un symbolisme tout neuf pour Leibniz, l'extraor-
dinaire habileté arithmétique et algébrique pour Newton et l'unification des
recherches antérieures pour les deux ont permis qu'une nouvelle étape soit
franchie et vienne justement combler ces manques. C'est l'ambiguïté même
de leurs positions, les lacunes de leurs concepts qui ouvrent un champ de
recherches propres à les faire disparaître à leur tour<fnref n="5" />.

7.1.2 Calcul et écriture de l'infini.

Il est très remarquable que la confrontation des mathématiciens à l'exigence
de penser l'infini ait fait éclore, non pas un *concept* mathématique de l'infini, mais

<footnote n="2">²antérieur de cinq ans environ à son invention du Calcul infinitésimal.</footnote>

<footnote n="3">³plus tard, Leibniz en rabattit un peu sous le feu de la critique, et ne défendit plus qu'au titre de « fictions » ces infinitésimaux.</footnote>

<footnote n="4">⁴« calcul des fluxions » et « calcul différentiel » respectivement, assez différents d'esprit. Si le calcul de Leibniz (et de ses successeurs les Bernoulli) fait la part belle à l'algorithme, celui de Newton invoque une analyse des « premières et dernières raisons », ancêtre des limites. Sur tout cela, voir l'ouvrage *Reading the Principia* de N. Guicciardini (Cambridge 1999), qui mène le lecteur par la main, avec douceur, à travers les textes originaux de Newton, Leibniz et des Bernoulli, en faisant percevoir leurs échos réciproques.</footnote>

<footnote n="5">⁵P. Raymond, La naissance du calcul infinitésimal, *Philosophie et calcul de l'infini* (Maspéro 1976), p. 72.</footnote>
un calcul et une écriture de l'infini (de l'infiniment petit comme de l'infiniment grand).

Le symbole $\infty$ lui-même, dû à Wallis (Arithmetica infinitorum, 1655), inaugure cette écriture opératoire et survivra jusqu'à aujourd'hui, tout comme les symboles leibniziens pour les différentielles $dx$ et pour les intégrales $\int$ (pensées comme sommations d'une infinité d'éléments), et le symbole $\sum$ de sommation d'Euler. L'écriture ouvre et jalonne la voie du progrès conceptuel.

Écrire $\sum_{1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = 1$, $\sum_{1}^{\infty} \frac{1}{n} = \infty$, $\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^2} = 1$, $\int_{0}^{1} \frac{dx}{x} = \infty$, etc... suppose déjà qu'on distingue clairement entre *processus opératoire infini* [ou non] (indiqué par le $\infty$ en haut du signe somme), et *résultat infini* [ou non] de l'opération (indiqué au membre de droite), et marque en particulier le dépassement des paradoxes de Zénon.

Euler place au cœur de l'Analyse la notion de *fonction*, et

c'est avec une passion d'entomologiste qu'[il] consacre la plus grande partie de son œuvre en Analyse à découvrir sans cesse de nouvelles et surprenantes propriétés de fonctions particulières, qui excitent encore aujourd'hui notre admiration<fnref n="6" />,

à commencer par la fonction exponentielle<fnref n="7" />, dont la notation $e^x$ absorbe et étend

> C'est la forme d'un cordon souple que l'on abandonne à lui-même en tenant les deux bouts ; c'est la ligne qui régit la configuration d'une voile gonflée par le vent ; c'est la courbure de la sacoche à lait de la bique revenant de remplir sa traînante mamelle. Et tout cela fait appel au nombre $e$.

Que de science abstruse pour un bout de ficelle ! N'en soyons pas surpris. Un grain de plomb qui oscille à l'extrémité d'un fil, une goutte de rosée qui ruisselle le long d'une paille, une flaque d'eau qui se ride aux caresses de l'air, un rien, en somme, exige un échafaudage de Titans lorsqu'il faut y plonger le regard du calcul. [...] Certes, nos méthodes d'investigation mathématique sont ingénieuses ; on ne saurait trop admirer les puissantes cervelles qui les ont inventées ; mais combien lentes et pénibles en face des moindres réalités ! Ne nous sera-t-il jamais donné de scruter le vrai de façon plus simple ? [...]

Voici que l'abracadabrant nombre $e$ reparaît, inscrit sur un fil d'araignée. Considerons, par une matinée brumeuse, le réseau qui vient d'être construit pendant la nuit. À cause de leur hygrométrie, les gluaux se sont chargés de gouttelettes et, fléchissant sous le poids, sont devenus autant de chaînettes, autant de chapelets de gemmes limpides, gracieux chapelets rangés en ordre exquis et retombant en courbes d'escarplette. Si le soleil perce le brouillard, l'ensemble s'illumine de feux diaprés et devient splendide girandole. Le nombre $e$ est dans toute sa gloire. La géométrie, c'est-à-dire l'harmonie dans l'étendue, préside à tout. Elle est dans l'arrangement des écailles d'un cône de pin comme dans l'arrangement des gluaux d'une épeire, elle est dans la rampe d'un escargot, dans le chapelet d'un fil d'araignée, comme dans l'orbite d'une planète ; elle est partout, aussi savante dans le monde des atomes que dans le monde des immensités.

<footnote n="6">⁶Dieudonné, L'Analyse mathématique au dix-huitième siècle, Abrégé d'Histoire des Mathématiques, I, V.</footnote>

<footnote n="7">⁷cette fonction apparaît « toutes les fois que la pesanteur et la flexibilité agissent de concert » : comme l'ont montré simultanément Leibniz, Joh. Bernoulli et Huygens (1691), la courbe suivant laquelle s'infléchit une chaîne suspendue en deux de ses points non situés sur la même verticale est, non pas un arc de parabole comme le croyait Galilée, mais un arc de *chaînette*, dont l'équation peut s'écrire $y = \frac{e^x+e^{-x}}{2}$. Elle a inspiré au célèbre entomologiste J.-H. Fabre cette page pittoresque (Souvenirs entomologiques, IX, 10, Les épeires. Géométrie de la toile.) :</footnote>
toute l'efficace souplesse de l'écriture algébrique des exposants.

Le lien entre calcul différentiel et calcul intégral s'écrit sous la forme compacte : $f(b) - f(a) = \int_a^b \frac{df}{dx} \cdot dx$. Si, suivant Lagrange, on pense à $\frac{df}{dx}$ comme à une nouvelle fonction, la dérivée de $f$, toute référence à l'infini a disparu de cette formule<fnref n="8" />. Le calcul s'oriente alors vers celui des dérivées et des primitives, et vers la résolution des équations différentielles, porté par un symbolisme affuté, aussi élégant qu'efficace.

### 7.1.3 L'Analyse du XVIIIᵉ et la maîtrise du calcul.

Le développement de la puissance et de la cohérence opératoire du Calcul infinitésimal au XVIIIᵉ s'accompagne d'un double mouvement de conquête de nouveaux territoires en aval et d'élucidation de ses propres fondements en amont.

Longtemps, en effet, on a louvøyé avec l'infini, comme en témoignent les traités successifs encombrés d'avertissements, explications et réponses aux objections à propos des infinitésimaux, bien plus proches en cela de la tradition métaphysico-théologique que du grand style géométrique hérité des grecs, comme le fait remarquer non sans malice l'évêque G. Berkeley dans son pamphlet *The Analyst* (1734).

Le nouveau calcul essuie, à son grand profit, les critiques de théologiens<fnref n="9" />, de philosophes, et aussi et surtout de géomètres. Voici par exemple la critique bien sentie de MacLaurin<fnref n="10" /> à propos de la « Géométrie de l'infini » de ses prédécesseurs (parfois appelée « Géométrie sublime » par ses thuriféraires !) :

> En voulant ainsi élever la Géométrie, il peut bien se faire qu'on la dégrade et qu'on la dépouille du caractère qui lui est propre, et qui consiste dans l'évidence la plus parfaite. Car une idée aussi arbitraire<fnref n="11" /> ne laisse dans l'esprit que des connaissances obscures et imparfaites, au lieu de la clarté qui résulte des démonstrations vraiment géométriques. C'est de là que vient le penchant que l'on a fait paraître dans ces derniers temps d'introduire des mystères dans une science où tout doit être démontré.

À la fin du siècle, l'Analyse a relevé le défi et revendique hautement le non-recours à l'exutoire de l'infini métaphysique, comme en témoigne le titre de l'ouvrage de Lagrange : *Théorie des fonctions analytiques contenant les principes du calcul différentiel, dégagés de toute considération d'infiniment petits ou d'évanouissants, de limites ou de fluxions, et réduits à l'analyse algébrique des quantités finies* (1797)<fnref n="12" />.

<footnote n="8">⁸rappelons que l'intétgrale $\int_a^b \frac{df}{dx} \cdot dx$ représente, géométriquement, l'aire limitée par le graphe de $f$ entre $a$ et $b$ (et par le segment $[a, b]$ de l'axe des $x$).</footnote>

<footnote n="9">⁹attendues, puisque la notion d'infini actuel, logico-métaphysique chez Aristote, avait pris une très forte connotation théologique chez les Scolastiques.</footnote>

<footnote n="10">¹⁰Treatise of fluxions, 1742. Cité par P. Raymond, *op. cit.*</footnote>

<footnote n="11">¹¹que des quantités infinies de divers ordres, voire intermédiaires entre finies et infinies, entre nulles et non nulles.</footnote>

<footnote n="12">¹²Il faut sans doute ouvrir ici une parenthèse anachronique et glisser un mot de la prétendue « analyse non-standard », compte tenu de l'incroyable publicité dont elle a joui. Si ses « tenants », en Logique et en Théorie des ensembles, sont fascinants et fécons, ses « aboutissants » sont en revanche plutôt douteux : combat d'arrière-garde pour « justifier les indivisibles » des débuts du Calcul infinitésimal, sans regard épistémologique critique sur les liens supposés entre ses « néo-</footnote>
Du côté des philosophes, c'est Hegel (lecteur attentif de Lagrange) qui a pris la mesure de la hardiesse du Calcul infinitésimal comme réponse mathématique aux problèmes de l'infini dépassant les conceptions métaphysiques classiques.

Dans une perspective philosophique, l'infini mathématique est impor-
tant pour cette raison qu'en fait c'est le concept de l'infini véritable qui se
trouve à son fondement, et qu'il se tient beaucoup plus haut que ce qu'habi-
tuellement on appelle l'infini métaphysique, à partir de quoi sont faites des
objections contre le premier.

Il conclut que c'est à la Philosophie qu'il revient toutefois d'élucider le concept dialectique de l'infini que les Mathématiques ont dégagé et mis en œuvre.

### 7.1.4 L'Analyse du XIXᵉ et la rigueur du calcul.

Les acquis du calcul infinitésimal à la fin du XVIIIᵉ sont éclatants<fnref n="13" />. Si éclatants
que Lagrange a pu écrire - enthousiasme ou pessimisme ? - qu'il

reste peu de moyens de faire de grands progrès avec l'Analyse dans l'état
actuel où elle se trouve<fnref n="14" />.

Une période de stagnation a suivi en effet, où l'on s'est rendu compte que l'on s'était débarrassé à trop bon compte des difficultés liées aux infinitésimaux. D'Alembert notait déjà que Euler se souciait

d'agrandir l'édifice plus que d'en éclairer l'entrée.

Si l'algébrisation progressive de l'Analyse, poussée par Lagrange, avait évacué les mystères de l'infini, le caractère trop formel des opérations symboliques du calcul infinitésimal et l'usage immodéré des développements en séries laissait planer une ombre sur les fondements; et tout particulièrement sur la faculté même d'une fonction d'être développée en série de puissances (son analyticité).

En entreprenant d'éclairer « l'entrée de l'édifice », Bolzano puis Cauchy se sont vus contraints de penser à nouveaux frais les notions de fonction continue et de limite (ces limites que Lagrange se faisait fort de contourner !).

Pour eux, une fonction (d'une variable $x$) est *continue* en un point $x_0$ si la valeur absolue de la différence $f(x) - f(x_0)$ décroît indéfiniment avec celle de $x - x_0$. On peut, suivant Weierstrass, exprimer cette condition de manière encore plus explicite (ou plus pédante) : pour tout nombre réel $\epsilon > 0$, il en existe un autre $\delta$ tel que $|x - x_0| < \delta$ implique $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$.

<footnote>infinitésimaux » et ceux, fort divers, des anciens. Son foyer d'intérêt - des questions inactuelles de fondements - étant très loin des problèmes qui drainent l'Analyse contemporaine, il n'est pas étonnant que ses contributions y soient minimes. Mais elle s'est bien vendue auprès d'épistémo-logues friands de curiosités « non-standard » (et semble actuellement faire des ravages en didac-tique).</footnote>

<footnote n="13">¹³séries trigonométriques $\sum_{0}^{\infty} a_n e^{inx}$, calcul des variations et équation de Euler-Lagrange $\frac{\partial f}{\partial x}$ – $\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial f}{\partial \dot{x}} \right) = 0$, développements asymptotiques, application du Calcul infinitésimal à l'étude et parfois à la résolution des équations différentielles à une ou plusieurs variables...</footnote>

<footnote n="14">¹⁴cité par P. Dugac, *Fondements de l'analyse*, in *Abrégé d'histoire des mathématiques*, VI. Hermann 1978.</footnote>
De même, la notion de limite est posée, aussi transparente et non métaphysique, et l'intégrale est rigoureusement construite (Cauchy, Riemann).

Pour finir de bâtir solidement l'édifice de l'Analyse classique, pour achever ce qu'on appelait « l'arithmétisation de l'Analyse » et comprendre à fond le continuum, il ne restait plus qu'une tâche : élucider la notion même de nombre réel.

Cette tâche fut menée à bien, quelques 200 ans après les débuts du Calcul infinitésimal, par Weierstrass, Méray, Dedekind et Cantor.

Ainsi, au bout de deux siècles et demi d'efforts, les mathématiciens, initialement confrontés à l'exigence de penser l'infini sur fond problématique du continu et du mouvement, ont produit, en s'abstenant de forger un concept mathématique de l'infini, un calcul de l'infini, calcul dont l'approfondissement les a conduits à un concept mathématique du continu (nombres réels et fonctions continues).

## 7.2 Les multiplicités infinies et leur mesure.

### 7.2.1 Dedekind et Cantor.

C'est à ce moment, où l'on pouvait croire l'infini actuel définitivement délogé des Mathématiques, à ce point précis où l'on achevait « l'arithmétisation de l'Analyse », que « le loup entra de nouveau dans la bergerie ». Non plus au niveau des grandeurs numériques, mais au niveau des multiplicités, des ensembles.

En effet, les constructions du continu à partir des nombres entiers et des nombres rationnels brisaient un tabou - elles faisaient intervenir inexorablement des multiplicités infinies en acte -, et s'y brisaient elles-mêmes en tant que tentatives de ramener le continu au fini illimité. La construction de Dedekind, par exemple, assimilait un nombre réel à une totalité infinie de nombres rationnels : précisément, à un ensemble de nombres rationnels formant intervalle sans extrémités, borné inférieurement et non borné supérieurement.

Cette intrusion in extremis de l'infini actuel si longtemps traqué convainquit les mathématiciens de son irréductibilité.

Faute de pouvoir le chasser, il s'est agi alors de le domestiquer - c'est-à-dire d'apprendre à connaître et maîtriser les multiplicités infinies, et à en prévenir les paradoxes. C'est l'objet de la Théorie des ensembles, dont Dedekind et Cantor sont les fondateurs<fnref n="15" /> (on oublie trop souvent le premier).

Une fois admis l'existence d'ensembles infinis et légitimé leur emploi, la confrontation de Dedekind et Cantor à l'axiome euclidien « le tout est plus grand que la partie » les conduit tout d'abord à préciser ce que « plus grand » peut vouloir dire dans le cas d'ensembles éventuellement infinis.

Réponse : un ensemble *A* est (strictement) « plus grand » qu'un autre *B* s'il existe une application injective<fnref n="16" /> de *B* dans *A* mais pas dans l'autre sens.

<footnote n="15">¹⁵la construction des nombres réels n'est d'ailleurs pas la seule source de la théorie : l'arithmétique des idéaux de Dedekind (1871), ensembles infinis sujets à des opérations algébriques, comme des nombres, en est une autre. L'étude de Cantor (1871) des parties de $\mathbb{R}$ où les séries de Fourier s'annulent, une autre encore.</footnote>

<footnote n="16">¹⁶c'est-à-dire une règle associant à tout élément de *B* un élément de *A*, des éléments distincts</footnote>
Par exemple, Cantor observe que l'ensemble des parties d'un ensemble est toujours « plus grand » que cet ensemble. Il observe aussi qu'étant donnés deux ensembles qui ne sont pas en bijection<fnref n="17" />, il y en a forcément un qui est « plus grand » que l'autre<fnref n="18" />.

Dedekind et Cantor montrent que l'axiome euclidien caractérise en fait les ensembles finis. D'où un renversement de perspective : au lieu de concevoir négativement l'infini comme « apeiron » (in-fini, illimité), est déclaré *infini* tout ensemble *A* qui est en bijection avec une de ses parties *B* ≠ *A*.

### 7.2.2 Le transfini. Procession des ordinaux et cardinaux.

Cantor est allé plus loin et a introduit des *nombres transfinis*, initiant une *combinatoire de l'infini*. Les entiers naturels servent d'une part à mesurer la taille d'un ensemble fini et d'autre part à repérer la position d'un terme dans une suite. Dans le domaine transfini, ces deux usages sont portés par des notions distinctes : les *cardinaux* et les *ordinaux*.

Les cardinaux sont associés aux ensembles amorphes, c'est-à-dire sans structure supplémentaire : deux ensembles en bijection ont même cardinal. Le premier cardinal transfini, noté $\aleph_0$, est celui de l'ensemble $\mathbb{N}$ des entiers naturels. Le cardinal $2^{\aleph_0}$ de l'ensemble des parties de $\mathbb{N}$ est aussi celui du continu, c'est-à-dire de l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels. La relation « être plus grand que » entre ensembles ordonne les cardinaux en une « procession ».

Les ordinaux sont associés aux ensembles *bien ordonnés*, c'est-à-dire munis d'un ordre total pour lequel toute partie a un minimum. Le premier ordinal transfini, noté $\omega$, est celui de $\mathbb{N}$ avec son ordre naturel : $0 < 1 < 2 < ...$. On peut effectuer des opérations sur les ordinaux : addition, multiplication, puissance. Par exemple, $\omega + 1$ est $\mathbb{N}$ auquel on ajoute un élément $+\infty$ plus grand que tous les précédents. S'ensuit toute une procession : $\omega + 2, \dots, \omega + \omega = \omega \times 2, \dots, \omega^2, \dots, \omega^{\omega}, \dots, \omega^{\omega^{\omega}} \dots$

### 7.2.3 L'infini derrière le fini. La patience de Goodstein.

Voici une patience fort simple, inventée par le logicien R. Goodstein, qui se joue non pas avec des cartes, mais avec des chiffres. Elle est basée sur l'écriture en base *b* itérée : on part de l'écriture en base *b*, puis on écrit tous les exposants en base *b*, de même pour les exposants des exposants, etc... Par exemple, l'écriture en base 2 itérée de 25 est $2^{2^2} + 2^{2^2} + 1$.

On « tire » pour commencer un entier $n > 0$. On l'écrit en base 2 itérée, on change tous les 2 en 3 (par exemple $25 = 2^{2^2} + 2^{2^2} + 1$ devient $3^3 + 3^{3+1} + 1 = 7625597485069$), et puis on retranche 1.

<footnote>de *B* correspondant par cette règle à des éléments distincts de *A* ; de sorte qu'on peut identifier *B*, au moyen d'une telle règle, à une partie de *A*.</footnote>

<footnote n="17">¹⁷cf. 1.1.5.</footnote>

<footnote n="18">¹⁸théorème de Cantor-Bernstein-Schröder, qui, contrairement à une opinion courante (et à la preuve originale de Cantor), ne requiert pas l'axiome du choix, cf. S. Wagon, *The Banach-Tarski Paradox*, Cambridge.</footnote>
On écrit le nombre ainsi obtenu en base 3 itérée, on change tous les 3 en 4, et puis on retranche 1, *etc...*

Le jeu s'arrête dès qu'on tombe sur 0.

Ainsi, si l'on part de $n = 2$, on obtient la séquence $2^1 \rightsquigarrow 3^1 - 1 = 2 \rightsquigarrow 2 - 1 = 1 \rightsquigarrow 0$: le jeu s'arrête dès la troisième étape.

Pour $n = 3$, on a la séquence $3 = 2^1 + 1 \rightsquigarrow 3^1 + 1 - 1 = 3 \rightsquigarrow 4^1 - 1 = 3 \rightsquigarrow 2 \rightsquigarrow 1 \rightsquigarrow 0$: le jeu s'arrête à la cinquième étape.

Pour $n = 4$, on a la séquence $4 = 2^2 \rightsquigarrow 3^3 - 1 = 26 = 2 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^1 + 2 \rightsquigarrow 2 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4^1 + 1 = 41 \rightsquigarrow 2 \cdot 5^2 + 2 \cdot 5^1 = 60 \rightsquigarrow 83 \dots$ et le jeu ne s'arrête qu'à l'étape 3. $(2^{402653211} - 1)$ : une « petite éternité » !

Et la patience traîne invraisemblablement en longueur lorsque $n$ croît...

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>FIG. 7.1 –</figcaption></figure>

Pourtant, le jeu s'arrête toujours. La « souris qui grignote » une unité à chaque étape finit par avoir raison des sauts gigantesques occasionnés par les changements de base itérée de $b$ à $b + 1$ !

« Patience et longueur de temps... »

La démonstration qu’en a donnée Goodstein (1944) passe par l’infini, comme suit. On observe que la fonction qui à l’écriture en base $b$ d’un entier $m$ associe l’ordinal obtenu en changeant tous les $b$ en $\omega$ est croissante en $m$. Donc si l’on mime la patience en remplaçant, à chaque étape $k$, la base $b = k + 2$ par $\omega$ (au lieu de $b + 1$) puis en retranchant 1, on obtient une suite *strictement décroissante* d’ordinaux dénombrables, à cause de l’unité soustraite à chaque étape. Une telle suite aboutit nécessairement à 0, et il en est donc de même de la suite originale.

N’y aurait-il pas une démonstration plus standard, par récurrence, n’utilisant pas l’infini ? Eh bien, non<fnref n="19" />. Le déroulement de l’algorithme est si lent – pire que ce que peut contrôler toute fonction de $n$ définie par récurrence – qu’il échappe aux axiomes de Peano du fini : toute preuve du fait qu’elle s’arrête (toujours) requiert l’existence de $\omega$.

On peut donc voir ce jeu d’innocente apparence comme un *reflet*, dans le monde fini, de l’axome de l’infini ; mieux : comme un marqueur de la *suture ontologique entre fini et infini*.

Mais la présence de l’infini derrière le fini, en Mathématiques, ne se borne pas, tant s’en faut, à de tels exemples limites un peu artificiels.

<footnote n="19">¹⁹Kirby et Paris, Bull. London Math. Soc. 14 (1982).</footnote>
La plus grande partie de la combinatoire finie témoigne de cette présence. Sa technique fondamentale, remarquablement efficace, est celle des séries généra-trices. Grosso modo, s'agissant de dénombrer les configurations de tel ou tel type A, la méthode consiste à insérer A dans une hiérarchie de types de configurations $A_n$ liées par des relations de récurrence, et à introduire la série $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ dont les coefficients $a_n$ dénambrent les configurations de type $A_n$. Les récurrences se traduisent par une équation différentielle ou fonctionnelle satisfaite par $f(x)$. Même lorsque l'on ne sait pas (ou peut pas) résoudre explicitement l'équation, l'Analyse asymptotique permet souvent d'obtenir le comportement de $f(x)$ à l'in-fini, et partant, de bonnes estimations pour les $a_n$.

Au reste, la question du comportement de grands nombres issus de la combi-natoire et des probabilités a été l'un des moteurs du développement de l'Analyse asymptotique<fnref n="20" /> au XVIIIᵉ.

### 7.2.4 L'enjeu des grands cardinaux.

Disons quelques mots de ces fameux grands cardinaux qui fascinent tant, pour des raisons souvent bien éloignées des enjeux proprement mathématiques.

Partant du cardinal $\aleph_0$ dénombrable, on forme la suite croissante de cardinaux

$$ \aleph_0, 2^{\aleph_0} \text{ (cardinal du continu), } 2^{2^{\aleph_0}}, 2^{2^{2^{\aleph_0}}}, \dots $$

Deux questions se posent :

1) en bas de l'échelle, y a-t-il des cardinaux intermédiaires entre les deux premiers barreaux (entre le dénombrable et le continu) ? [Plus généralement, y a-t-il des intermédiaires entre les barreaux ?]

2) et en haut de l'échelle ? Y a-t-il des cardinaux au-delà ?

La question 1) est indécidée (Cantor penchait pour la réponse négative : c'est l'hypothèse du continu). En fait, l'axiomatique usuelle des ensembles, ZFC (Zermelo-Fraenkel + axiome du choix), est trop faible pour la trancher, comme l'ont démontré Gödel et Cohen.

Ce résultat négatif n'est nullement une liquidation de la question 1), mais plu-tôt une critique de ZFC<fnref n="21" />. Comment compléter ZFC devient un problème, qui est loin d'être réglé, mais l'histoire récente de la Théorie des ensembles montre qu'une réponse précise à la question 2) est une clé. C'est la problématique des grands cardinaux. Les récents travaux de W. Woodin<fnref n="22" /> semblent indiquer que l'existence de certains très grands cardinaux infirmerait l'hypothèse du continu.

Quoi qu'il en soit, le haut de l'échelle influe sur le bas ; le phare des grands cardinaux éclaire les eaux troubles entre le dénombrable et le continu, et c'en est le véritable enjeu pour les mathématiciens.

<footnote n="20">²⁰formule sommatoire d'Euler-MacLaurin pour $\sum_{0}^{n} f(k)$, méthode de Laplace pour les inté-grales $\int_{0}^{\infty} f(x)g(x)^{n} dx$, etc...</footnote>

<footnote n="21">²¹ZFC a le grand mérite d'avoir mis fin aux paradoxes, mais n'est nullement « gravée dans le marbre » ; elle ne doit pas devenir « le carcan de la théorie des ensembles », cf. 1.6.1. L'argument parfois avancé que modifier ZFC demanderait à réécrire toutes les mathématiques est une im-posture : la quasi-totalité de la littérature mathématique ne fait aucune référence, ni explicite ni implicite, à ZFC ; pour ce qu'elle retient de la Théorie des ensembles, voir 7.2.5 ci-après.</footnote>

<footnote n="22">²²voir P. Dehornoy, Les travaux de Woodin sur l'hypothèse du continu, *Encyclopedia Universalis*, La science au présent 2004, 123-128.</footnote>
### 7.2.5 (Non-)influence de la Théorie des ensembles sur les Mathématiques.

Que retiennent les Mathématiques de tous ces travaux sur les multiplicités infinies ?

La réponse est double, et très tranchée.

* En ce qui concerne l'usage et le langage (élémentaire) des ensembles, à la ma- nière de Dedekind disons, ils ont envahi toutes les Mathématiques. L'usage des ensembles a ouvert la voie à la Topologie générale<fnref n="23" />, à la Théorie de la mesure, et à l'Analyse fonctionnelle (où l'on traite d'ensembles de fonctions comme s'il s'agis- sait de points d'un espace). D'autre part, le langage des ensembles, sous l'impul- sion de Bourbaki notamment, a beaucoup contribué à la précision du langage mathématique en général. Les mathématiciens ont aussi retenu quelques règles d'« hygiène logique » pour éviter les paradoxes de l'infini<fnref n="24" />, ainsi que l'usage conscient mais circonspect de l'axiome du choix et de ses variantes<fnref n="25" />.

Au reste, la plupart des ensembles considérés par les mathématiciens sont des ensembles définis « en compréhension », pour lesquels l'appartenance veut dire, concrètement, satisfaire une certaine propriété explicite ; à ce niveau basique, les ensembles n'offrent guère qu'un langage « réaliste » un peu plus commode que le maniement logique des propriétés elles-mêmes.

* En revanche, en ce qui concerne les travaux de Cantor sur la combinatoire transfinie, l'axiomatique ensembliste et tous les développements ultérieurs de la Théorie des ensembles, les Mathématiques (hors Théorie des ensembles et Lo- gique) n'en retiennent quasi-rien. Il n'arrive pratiquement jamais, par exemple, qu'un mathématicien<fnref n="26" /> ait à faire une récurrence transfinie ; dans l'autre sens, il est extrêmement rare qu'un théoricien des ensembles contribue au reste des Ma- thématiques ou utilise des méthodes issues d'un domaine autre que la Théorie des ensembles ou la Logique<fnref n="27" />.

Cet isolement (non irrémédiable, au demeurant) est l'un des arguments qui empêchent de prendre au sérieux le discours conventionnel, bien dépassé, sur la Théorie des ensembles comme fondement des Mathématiques<fnref n="28" />. Pour des ba- taillons de mathématiciens, les théoriciens des ensembles apparaissent plutôt comme des *sentinelles de l'infini*, qui de loin rassurent sur les questions de fon- dements des multiplicités infinies<fnref n="29" />, et évitent aux autres (pour qui les questions fondamentales ne sont pas du tout des questions de fondements) d'y penser.

<footnote n="23">²³voie frayée par Dedekind lui-même, d'ailleurs. La définition ensembliste des applications continues - celles pour lesquelles l'image inverse d'un ouvert est un ouvert - est bien plus souple et plus générale que celles de Cauchy et Weierstrass (rappelées plus haut).</footnote>

<footnote n="24">²⁴dont la forme la plus sophistiquée est l'usage « préventif » des univers de Grothendieck.</footnote>

<footnote n="25">²⁵dans la plupart des situations, l'axiome du choix dénombrable (qui pose qu'à partir d'une suite d'ensembles non vides $X_n$, on peut légitimement construire une suite d'éléments $x_n \in X_n$) suffit.</footnote>

<footnote n="26">²⁶non théoricien des ensembles ni logicien.</footnote>

<footnote n="27">²⁷les exceptions confirment la règle !</footnote>

<footnote n="28">²⁸voir 8.1. Il convient aussi de rappeler que la Théorie des ensembles a par ailleurs une influence nulle dans les sciences de la nature, ce qui n'ôte rien à l'importance de ses enjeux intellectuels.</footnote>

<footnote n="29">²⁹par exemple, le résultat de Gödel « si ZF est cohérent, ZFC l'est aussi » rassure sur l'usage de l'axiome du choix.</footnote>
## 7.3 L'horizon : l'infiniment loin.

Nous passons maintenant à l'infini géométrique.

### 7.3.1 Points de fuite.

Revenons aux XVᵉ et XVIᵉ siècles, où concevoir l'infini en acte était non seulement difficile, mais même dangereux (Giordano Bruno...).

À cette époque, pourtant, les artistes italiens, en mettant au point et en pratique la *perspective centrale*, avaient donné (sans la penser comme telle) une première représentation de l'infini actuel, marquée comme *point de fuite* sur l'horizon.

Après deux siècles de pratique de la perspective centrale et d'« éducation de l'oeil », Desargues<fnref n="30" /> en théorise la géométrie d'un point de vue radical : plutôt que de borner la perspective à une représentation fictive de la réalité géométrique familière, il « croit ses yeux » et identifie parallélisme et concours à l'infini. Ce qui l'amène à revisiter et subvertir la géométrie des coniques des Anciens en y introduisant des considérations d'infini, et lui permet de montrer l'équivalence de toutes les coniques par changement de perspective.

Ces idées hétérodoxes pour l'époque, violemment combattues puis oubliées, préfigurent la Géométrie projective (cf. 6.1.1), où l'espace usuel est « compactifié » par ajout d'un plan à l'infini.

### 7.3.2 Compactifications.

*Compactifier* est une opération fondamentale en Topologie. Elle consiste à plonger un espace donné *X* comme sous-espace dense d'un espace compact $\bar{X}$, donc d'empêcher en quelque sorte les points de « fuir » à l'infini, en captant les « fuyards ». Plus précisément : de toute suite de points de *X* on peut extraire une sous-suite qui a une limite dans $\bar{X}$.

Par exemple, on peut compactifier la droite réelle $\mathbb{R}$ en ajoutant un seul point à l'infini, ce qui la transforme en un cercle (droite projective réelle) ; de même avec $\mathbb{C}$, ce qui donne la *sphère de Riemann* (droite projective complexe).

Ces exemples montrent déjà que le procédé n'est pas aussi rudimentaire qu'il paraît : l'« horizon » qu'il campe n'est pas un simple bord recollé (le cercle et la sphère n'ont pas de bord !). On remarque aussi qu'après compactification, ces espaces deviennent plus homogènes, c'est-à-dire acquièrent davantage de symétries. En Géométrie projective, c'est cette homogénéité renforcée par l'incorporation du plan à l'infini qui permet d'éliminer toutes les fastidieuses considérations de « cas de figures ». Intégrer l'horizon à la réalité familière libère bien des potentialités (du moins chez les artistes et les géomètres)...

Avec l'horizon, l'infini trouve enfin un lieu d'accouplement avec le fini. Son absence ruine l'homogénéité créarice que donne la profondeur. [...] La finitude fétichise l'itération. [...] Une itération privée d'horizon doit renoncer à tirer parti de l'enveloppement des choses.<fnref n="31" />

<footnote n="30">³⁰Brouillon project d'une atteinte aux évènemens des rencontres d'un cône avec un plan, 1639.</footnote>

<footnote n="31">³¹G. Châtelet, *Les enjeux du mobile*, Seuil, ch. 2.</footnote>
Au reste, la compactification n'est pas un procédé « uniforme » : comme le
savaient déjà les artistes qui perfectionnaient la perspective centrale, il y a une
certaine liberté de choix de ce qu'on place à l'infini (points ou lignes de fuite) ; le
tableau change notablement suivant ce choix, qui requiert du discernement.

Toute timidité à décider l'horizon fait basculer l'infini dans un *indéfini*.
[...] Dans l'indéfini, tout « finit » par être la même chose : ce sont les « lointains », et ces « lointains » se risquent parfois jusqu'aux premiers plans, un peu comme les fantômes errants de l'infini qui n'a pas été résolument transché.

Il faut donc, pour refuser toute concession à l'indéfini et s'approprier un
infini géométrique, décider l'horizon, en se pénétrant de la discipline de discer-
nement qu'il propose et qui fait resplendir l'infini dans chaque chose finie<fnref n="32" />.

7.3.3 Compétition métrique.

Les compactifications s'appliquent dans le contexte topologique général
(contexte de la « localité » au sens de 2.3.2) et ne tiennent pas compte - et par-
fois même détruisent - d'éventuelles structures supplémentaires, par exemple
métriques (contexte « topographique », au sens de 2.3.3).

Pour dessiner un « horizon » en tenant compte de la métrique, la *compétition* est un procédé parfois plus pertinent, et « uniforme ». Elle consiste à plonger l'espace *X* comme sous-espace dense d'un espace *X̂*, en respectant la structure métrique, et de façon à ce que toute suite de points *x*<sub>n</sub> de *X*, telle que *x*<sub>n</sub> soit arbitrairement proche de tous les *x*<sub>m</sub> suivants (quand *n* est assez grand), tende vers une limite dans *X̂*.

La compétition sert à faire aboutir les procédés de construction de solutions par *approximations successives*, pour toutes sortes de problèmes. Par exemple, toute application contractante *T* de *X̂* dans lui-même admet un unique point fixe (qu'on obtient comme limite de la suite *x*, *Tx*, *T*²*x*,... dont le point de départ *x* est arbitraire).

Un exemple important est celui où X l'espace vectoriel engendré par une base
orthonormée formée d'une suite de vecteurs *e*<sub>n</sub> : la compétition de *X* est l'espace
de Hilbert dont les points sont les combinaisons linéaires infinies Σ λ<sub>n</sub>e<sub>n</sub> telles
que Σ |λ<sub>n</sub>|<sup>2</sup> ≠ ∞ (cf. 2.4.2). Plus généralement, la compétition d'espaces vecto-
riels de fonctions pour des normes savamment choisies est une opération fon-
damentale en Analyse fonctionnelle, qui permet de trouver des solutions à bien
des équations (ou des questions d'optimisation) fonctionnelles - ainsi que dans la
théorie des représentations linéaires de dimension infinie (cf. 4.3.5)<sup>33</sup>.

Comme le fait remarquer P. Cartier, c'est dans l'Analyse fonctionnelle du mi-
lieu du XXᵉ, notamment à propos de distributions (cf. 6.3.2), que viennent se mê-
ler aux limites « classiques » les limites « catégoriques » (cf. 1.5.3) inductives et
projectives (espaces de Fréchet et leurs duaux); et c'est de là que Grothendieck a

<footnote n="32">³²G. Châtelet, loc. cit.</footnote>

<footnote n="33">³³rappelons-nous aussi la « bonne classe » des algèbres de von Neumann *moyennables*, caractérisées par la propriété d'être approximées par des sous-algèbres stellaires de dimension finie (algèbres de dimension infinie, mais « pas trop », cf. 2.6.4).</footnote>
importé l'usage massif de méthodes « infinitaires » dans son traitement catégorique des faisceaux et de la cohomologie.

Il y aurait bien davantage à dire sur « l'infiniment loin » en Mathématiques, notamment en liaison avec la dégénérescence, l'évanescence et les singularités (chapitre 5).

Il y aurait tout autant à dire sur « l'infiniment proche ». On pourrait évoquer notamment le parcours conceptuel menant des *germes* (de fonctions analytiques) à la Weierstrass (cf. 5.5.1) aux *fibres* (de faisceaux) à la Leray-Cartan (cf. 1.5.4) *via l'étude des variétés analytiques*, ou celui menant des *points infiniment proches* de la Géométrie algébrique du début du XXe - points dont l'existence séparée se révèle par éclatement (cf. 5.5.2) - à la refonte algébrique, par Grothendieck, du calcul infinitésimal au moyen des *éléments nilpotents* et à son invention du *topos infinitésimal*. Mais cela nous entraînerait bien loin...

## 7.4 L'infini importun.

### 7.4.1 Contrôler la divergence.

Même domestiqué, l'infini reste un « loup » qui sévit en Analyse sous la forme de la divergence. On dit qu'il y a *divergence* lorsqu'un processus opératoire aboutit à un résultat infini (par exemple, la série $\sum_{0}^{\infty} \frac{1}{n}$ diverge).

Mais comment, à quelle vitesse ? (Euler savait par exemple que $\sum_{0}^{N} \frac{1}{n}$ croît comme $\log N + 0,577...$).

Comme le note Dieudonné dans la préface de son manuel classique<fnref n="34" />,

pour acquérir le « sens de l'Analyse » indispensable jusque dans les spéculations les plus abstraites, il faut avoir appris à distinguer ce qui est « grand » de ce qui est « petit », ce qui est « prépondérant » de ce qui est « négligeable ». En d'autres termes, le Calcul infinitésimal [...] est l'apprentissage du maniement des *inégalités* bien plus que des égalités, et on pourrait le résumer en trois mots : MAJORER, MINORER, APPROCHER.

L'Analyse a mis au point tout un arsenal de microscopes et télescopes virtuels pour appréhender, à leurs différentes échelles, l'infiniment petit et l'infiniment grand. La sensibilité dont parle Dieudonné guide le choix délicat de ces instruments d'observation et de mesure (métriques, mesures, espaces fonctionnels adaptés à chaque problème), ainsi que l'usage d'une formidable boîte à outils techniques (prolongement analytique, résidus, distributions, régularisations, transformée de Fourier, ondelettes, etc...).

Le « sens de l'Analyse », c'est cet esprit de finesse face aux deux infinis, et sa virtuosité.

C'est vers l'Analyse que se tourne la Théorie des nombres lorsqu'elle aborde les formidables problèmes de répartition des nombres premiers, c'est à l'Analyse que sont dues les avancées les plus considérables de la Géométrie différentielle<fnref n="35" />.

<footnote n="34">³⁴Calcul infinitésimal, Hermann, 1980. Il existe des manuels moins austères : par exemple J. Steele, *The Cauchy-Schwarz master class: an introduction to the art of mathematical inequalities*, Cambridge.</footnote>

<footnote n="35">³⁵comme la classification des variétés de dimension 3, cf. 8.5.</footnote>
Car c'est bien *l'Analyse* (et non la Théorie des ensembles) qui est la « science dure » de l'infini mathématique, science « des infinis subtils », qualitatifs.

### 7.4.2 Dépasser la divergence.

Euler n'hésitait pas à braver la divergence en écrivant des formules comme :

$$1 + 2 + 4 + 8 + 16 + \cdots = -1, \quad 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots = -1/12,$$

ou en attribuant une valeur précise à la somme $1 - 1! + 2! - 3! + 4! - 5! + \cdots$. Ces formules « scandaleuses », sévèrement critiquées aux temps de la quête de la rigueur en Analyse, furent pleinement éclaircies et justifiées ultérieurement (à l'abus de notation près qu'elles commettent). Par exemple, la première formule n'est autre que l'évaluation en $x = 1$ de la série de puissances $1 + 2x + 4x^2 + \cdots = 1/(1-2x)$; stricto sensu, c'est la valeur en 1 du prolongement analytique (cf. 5.5.1) de la fonction $1/(1-2x)$ de la variable complexe $x$ définie par cette série (série qui ne converge que pour $|x| < 1/2$).

La seconde formule est nettement plus profonde et attendit 120 ans sa justification : elle exprime la valeur en $s = -1$ du prolongement analytique de la fonction

$$\zeta(s) = \sum_{1}^{\infty} n^{-s} = \prod_{p} \frac{1}{1 - p^{-s}}$$

de Riemann (qui contrôle la répartition des nombres premiers $p$)$^{36}$.

La troisième formule est la valeur en 1 de la sommation canonique $\int_0^x e^{-t/x} \frac{dt}{1+t}$ de la série formelle $y = x - 1!x^2 + 2!x^3 - 3!x^4 + \cdots$, cf. 3.4.

La divergence est encore bien plus importune en Physique qu'en Mathématiques. Elle infeste pourtant la Physique des champs quantiques et, comme on l'a brièvement évoqué en 3.6, les physiciens ont dû bâtir un arsenal de techniques, bien plus élaborées que celles de Euler, pour la dépasser. C'est la théorie de la renormalisation. Il est fascinant de constater qu'en jonglant avec des intégrales divergentes, donc dépourvues de sens physique (et même mathématique, a priori), la renormalisation aboutit à des quantités finies, en accord remarquable avec l'expérience de surcroît. Elle réussit le tour de force d'extraire, systématiquement, du (dé)fini de l'in(dé)fini.

« Qu'il n'y ait plus ni fini ni infini. Que seul l'amour devenu lieu demeure. »

O. V. de L. Milosz (1927) *Les Arcanes*.

<footnote>$^{36}$Dans son article visionnaire de 1859 (Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, *Monatsberichte der Berliner Akademie*), Riemann prouve, pour tout nombre complexe $s$, la symétrie suggérée par Euler entre $\zeta(s)$ et $\zeta(1-s)$, et il explique le lien entre la distribution des nombres premiers et la position des zéros de $\zeta$ (c'est-à-dire des valeurs de $s$ pour lesquelles $\zeta(s)$ s'annule). C'est en suivant ces arguments que J. Hadamard et C. de la Vallée-Poussin ont démontré qu'entre 1 et $n$, il y a environ $\frac{n}{\log n}$ nombres premiers (1896). La célèbre *conjecture de Riemann*, qui préciserait de manière essentielle et optimale ce résultat, dit que les zéros non triviaux (c'est-à-dire distincts des entiers pairs strictement négatifs) de $\zeta$ se trouvent tous sur l'axe de symétrie, c'est-à-dire la droite verticale d'abscisse $1/2$.</footnote>
# Chapitre 8

## Épilogue : s'orienter dans la pensée mathématique.

Qu'est-ce que s'orienter dans la pensée, pour un mathématicien ?

Comment le mathématicien s'oriente-t-il, de la recherche des questions fécondes à la formulation et à la démonstration des théorèmes ?

Du mystère à la théorie, quelles boussoles pour le guider ?<fnref n="1" />

En effleurant ces questions profondes de l'intellectualité mathématique<fnref n="2" />, nous nous efforcerons surtout de mettre en lumière le rôle singulier qu'y joue *l'art des conjectures*. Hétérogènes à l'appareil déductif du discours mathématique, les conjectures ont un statut heuristique transitoire et semblent suspendues à leur mystérieux pouvoir d'énonciation ; telles des phares, elles pointent une cible sans indiquer le chemin qui y mène.

Avant d'aborder notre thème proprement dit, il va nous falloir déblayer un peu le terrain, en tentant de récuser deux des préjugés les plus courants sur les Mathématiques.

### 8.1 L'arbuste.

Le premier préjugé que nous avons en vue a trait à *l'architecture* des Mathématiques. Nous l'épinglerons par l'image de « l'arbuste des mathématiques ». En référence, bien sûr, à la célèbre image cartésienne de l'arbre de la philosophie<fnref n="3" />. Rappelons-nous : l'arbre dont les racines sont la métaphysique ; le tronc, la physique ; les branches : la morale, la médecine, la mécanique, chacune ayant ses fruits. Et les mathématiques, dans cette image cartésienne ? Elles sont la sève de l'arbre.

<footnote n="1">¹cet épilogue est la version abrégée d'un article intitulé « Le problème de l'orientation dans la pensée mathématique et l'art des conjectures » à paraître au journal *Synthèse*.</footnote>

<footnote n="2">²et en nous limitant aux Mathématiques dites pures - donc en laissant de côté tout ce qui touche aux applications.</footnote>

<footnote n="3">³*Principes de la Philosophie*, lettre-préface.</footnote>
L'arbuste des mathématiques, lui, aurait pour racines la Logique, pour tronc la Théorie des ensembles, et pour branches l'Algèbre, l'Analyse, la Géométrie.

Nous voudrions soulever quatre objections contre cette image.

1ère objection : cette image rend compte de manière totalement faussée de l'état des lieux, en paraissant donner un rôle central et nourricier à la Logique et à la Théorie des ensembles. En réalité,

i) ces deux disciplines occupent une place à la fois marginale et relativement congrue dans le paysage mathématique (ce qui n'ôte rien à leur intérêt propre);

ii) loin d'entretenir un rapport nourricier avec la « grande composante connexe » des Mathématiques (Algèbre, Théorie des nombres, Géométrie algébrique et différentielle, Topologie algébrique et différentielle, les grands domaines de l'Analyse linéaire et non-linéaire, etc...), elles en sont presque disconnectées (cf. 7.2.5);

Si l'on tenait à l'image de l'arbuste, il faudrait du moins convenir que la fascinante unité des Mathématiques n'est pas fondée sur une racine ou un tronc, mais sur la circulation d'une mystérieuse sève entre les nombreux rameaux qui forment la « grande composante connexe ».

2ème objection : contre le réductionnisme qui accompagne cette image. Ce réductionnisme, qui opère en deux mouvements, est surtout le fait d'un certain courant d'épistémologie bien implanté; nous appellerons ses adeptes les « épistémologues courants » (en empruntant le mot à A. Badiou).

Le premier mouvement de réduction est l'élagage de l'arbuste : ces « épistémo- logues courants », tout préoccupés de fondements, se figurent que pour penser les Mathématiques, il suffit, si celles-ci reposent sur la Logique et la Théorie des ensembles, de ne retenir que ces dernières en ignorant tout le reste. Ce « reste » ne serait qu'épiphénomènes laissés aux techniciens.

Une fois ce sciage de branches effectué, ils sont alors aussi bien placés pour parler des fondements des Mathématiques que le serait un sourd n'ayant jamais ouvert une partition, mais possédant son solfège, pour parler des fondements de la musique !

Or voici, après l'élagage, le second mouvement de réduction, le rabougrissement de l'arbuste : pour « améliorer » encore leur point de vue, nos « épistémo- logues courants » se sont avisés qu'on ne comprend jamais si bien un domaine de la pensée qu'à travers ses crises. Dès lors, ils focalisent toute leur attention sur la petite trentaine d'années dite de « la crise des fondements », au début du siècle dernier.

À les lire, on a souvent l'impression que les Mathématiques furent pendant une génération entière comme frappées de tétraplégie, jusqu'à ce que l'organe central, la Logique, eût enfin réparé les ravages causés par le traumatisme des paradoxes. Il est à peine besoin de mentionner à quel point cette vision est fausse, absurde, ridicule : le début du XXe fut en réalité une époque extraordinairement fertile, qui vit la naissance de l'Algèbre abstraite, de l'Analyse abstraite, de la Topologie générale et algébrique, etc...

3ème objection : contre le caractère de fondement de la Logique. A. Lautman avait soutenu dès 1937
cette idée que la véritable logique n’est pas *a priori* par rapport aux mathématiques mais qu’il faut à la logique une mathématique pour exister.

Cette idée trouve dans les travaux contemporains très influentiels de J.-Y. Girard, créateur de la Logique linéaire, une confirmation éloquente. Outre ses objections vigoureuses contre le piètre fondement que constitue la traditionnelle régression à l'infini des méta-, méta-méta-théories logiques, se soutenant l'une l'autre en gigogne, mentionnons son programme actuel qui, renversant l'image traditionnelle, vise à fonder la Logique sur les Mathématiques, et les Mathématiques parmi les plus avancées : la Géométrie non commutative<fnref n="4" />.

Il y a un autre aspect de l'évolution de la Logique mathématique qui conduit à lui dénier tout statut spécial *a priori*, c'est le rôle récent et de plus en plus important qu'elle joue en informatique théorique, qui n'est pas du tout celui d'un fondement, mais celui d'un outil au service de l'invention de nouveaux langages de programmation ou d'algorithmes...

À notre sens, c'est une émancipation : enfin des rôles créatifs et non plus de soutènement ! Le logicien Atlas est libéré, sans que la voûte des Mathématiques ne s'effondre dans le Tartare !

4ème objection : *contre l'illusion de la recherche « essentialiste » de fondements immuables*. Pendant qu'Atlas s'en est allé cueillir les pommes de silicium au jardin de l'informatique, il n'est nul besoin qu'un Hercule le remplace...

Nous ne développerons pas ce point, qui nous entraînerait trop loin, et nous contenterons de remarquer que la critique la plus radicale à cet égard est celle d'Alain Badiou, pour qui il ne saurait être question de fondements ontologiques sur lesquels s'appuieraient les Mathématiques : en effet, la thèse inaugurale de son livre *L'être et l'évènement* - d'une radicalité stupéfiante pour un mathématicien - est justement l'identité : Mathématiques = Ontologie ; plus précisément :

les mathématiques sont l'historicité du discours sur l'être-en-tant-qu'être.

Voilà pour les objections contre l'image de « l'arbuste des mathématiques ».

## 8.2 Le tricotin.

Venons-en au second préjugé, qui touche non plus à l'architecture des Mathématiques vivantes, mais à sa *nature* même. Nous épinglerons ce préjugé par l'image du « tricotin », ce jouet de bois jadis populaire, portant quatre épingles, à l'aide duquel on tricotait indéfiniment une tresse de laine, la seule variation possible étant celle des couleurs des fils enroulés autour des épingles.

Ce que nous visons ici, c'est une certaine forme vulgaire de logicisme, et cette image des Mathématiques qu'elle véhicule : des axiomes enroulés ad libitum autour de quatre épingles, tricotés indéfiniment en une tresse ininterrompue de vérités qui s'en déduisent, modus ponens, modus tollens, maille à l'endroit, maille à l'envers !...

<footnote n="4">⁴voir *Le point aveugle*.</footnote>
Nous voudrions de nouveau soulever quatre objections contre cette image.

1ère objection. Certes, le discours mathématique est un discours déductif, qui soumet ses énoncés à un ordre rigoureux. Mais l'image du tricotin omet un point évident (déjà chez Euclide) : à savoir qu'un texte mathématique n'est pas un enchaînement uniforme d'implications, mais apparaît polarisé entre « énoncés » d'un côté, et « démonstrations » de l'autre ; en outre, le côté « énoncé » est lui-même stratifié suivant une hiérarchie d'importance et de profondeur, en lemmes, propositions, théorèmes, corollaires. Ni cette polarisation, ni cette hiérarchie, qui percent l'universalité égalitaire du texte ne résultent d'une loi formelle, mais de choix délicats du mathématicien qui vont bien plus loin que de simples choix rédactionnels ou de style.

2ème objection : contre le *réductionnisme* du logicisme vulgaire, qui consiste à réduire les Mathématiques à la suite de symboles dont est tricoté le texte mathématique, et aux règles élémentaires du tricotage.

Certes, c'est une singularité de la Mathématique parmi les sciences que s'être *dotée d'une écriture propre* (on peut en dire autant de la musique parmi les arts). Pour autant, elle ne se réduit pas à son écriture.

Rien n'empêche, certes, d'étudier de manière purement formelle un certain discours mathématique idéalisé, comme le fait notamment la Théorie de la démonstration ; pourvu qu'on ne prétende pas représenter ainsi la pensée mathématique, ni même les démonstrations réelles des mathématiciens, - mais seulement leur trace formelle.

Une des aberrations les plus visibles de ce réductionnisme grossier est de faire table rase de toute heuristique, à commencer par l'opposition, si fondamentale dans la pensée du mathématicien, entre le trivial et le profond.

3ème objection : la démonstration, celle pratiquée par le mathématicien au travail, n'est pas un processus formel, elle ne tient pas de la bureaucratie des formules et des procès-verbaux. Démonstration n'est pas identique à vérification.

Certaines vérifications peuvent être automatisées. La démonstration présuppose une idée - ce que les mathématiciens appellent une idée de démonstration -, même si elle se réduit à un calcul. Les mathématiciens savent bien, d'ailleurs, qu'il y a des démonstrations de qualités bien différentes - indépendamment des questions de rigueur -, et ils passent beaucoup de temps à reprouver des théorèmes connus. Les démonstrations les plus frustes - et frustrantes - sont celles qui se réduisent à un calcul : elles emportent conviction, certes, mais il reste à comprendre le calcul lui-même - *pourquoi* cela marche. À l'autre extrême, il y a des démonstrations qui illuminent, qui ouvrent des horizons.

4ème objection : contre l'arbitraire des axiomes. Que sont les axiomes, en fait ? Ce sont des parties constitutives de la définition d'un concept, ou plus largement d'un cadre conceptuel mathématique. Or les mathématiciens sont généralement de grands adeptes du rasoir d'Ockham, et détestent la multiplication gratuite des concepts (et donc des axiomes) ; ils travaillent assidûment à la recherche du « bon cadre conceptuel », qui fait l'objet de débats passionnés entre spécialistes, et est tout sauf arbitraire. Les changements de systèmes d'axiomes correspondent à des changements de cadre conceptuel, à des mutations de point de vue, hautement significatifs pour l'histoire de la discipline. Si, suivant Cantor,
l'essence des Mathématiques, c'est la liberté,

la liberté du mathématicien ne consiste certainement pas dans l'arbitraire et le gratuit.

## 8.3 Brouillards et analogies.

Nous sommes maintenant prêts à aller au cœur du sujet de ce chapitre. Nous irons vite, pour arriver enfin aux conjectures ; qu'on nous pardonne de commencer un peu comme un catéchisme !

– Qu'est-ce qui meut le mathématicien dans sa pensée ?

– Le désir.

– Quel désir ?

– Le désir de comprendre.

– Comprendre quoi ?

– Certaines choses concernant les objets mathématiques, et surtout les mystères de leurs rapports mutuels.

– Et ce qui excite ce désir ?

– Le mystère même ; le mystère qui enflamme l'imagination, qui elle-même fait surgir les idées nouvelles, qui déchireront le voile.

La plupart du temps, il est vrai, cette pêche au mystère, cette recherche des problèmes, n'est qu'un cabotage le long des côtes bien familières des théories constituées. Souvent aussi, il s'agit de la recherche d'un isthme entre deux terres connues mais jusque-là séparées. Quelquefois, il s'agit vraiment de pêche en eaux profondes.

Ce qui s'y joue, A. Weil l'a peint dans un célèbre passage<fnref n="5" /> :

> Rien n'est plus fécond, tous les mathématiciens le savent, que ces obscurcures analogies, ces troubles reflets d'une théorie à l'autre, ces furtives caresses, ces brouilleries inexplicables; rien aussi ne donne plus de plaisir au chercheur. Un jour vient où l'illusion se dissipe; le pressentiment se change en certitude; les théories jumelles revèlent leur source commune avant de disparaître; comme l'enseigne la Gita, on atteint à la connaissance et à l'indifférence en même temps. La métaphysique est devenue mathématique, prête à former la matière d'un traité dont la beauté froide ne saurait plus nous émouvoir. [...] Heureusement pour les chercheurs, à mesure que les brouillards se dissipent sur un point, c'est pour se reformer sur un autre.

Ainsi, ces « obscures analogies » conditionnent-elles, orientent-elles à la façon d'une boussole - mais encore dans le trouble - le cheminement de la pensée mathématique.

## 8.4 Points de vue fécons.

C'est là, dans le passage mystérieux des troubles reflets initiaux à la découverte de questions, notions, théorèmes nouveaux, que se pose la question de

<footnote n="5">⁵De la métaphysique aux mathématiques, 1960.</footnote>
l'orientation de la pensée mathématique. Le jour « où l'illusion se dissipe » n'ad-
vient qu'après la longue patience de ce travail d'orientation. A. Grothendieck a
admirablement décrit le rôle qu'y joue la recherche de points de vue fécons<fnref n="6" /> :

[...] ces innombrables questions, notions, énoncés [...] ne prennent [...] un sens qu'à la lumière d'un tel « point de vue » - ou pour mieux dire, ils en naissent spontanément, avec la force de l'évidence. [...] Le point de vue fécond est celui qui nous révèle, comme autant de parties vivantes d'un même Tout qui les englobe et leur donne un sens, ces questions brûlantes que nul ne sentait, et (comme en réponse peut-être à ces questions) ces notions tellement naturelles que personne n'avait songé à dégager, et ces énoncés enfin qui semblent couler de source, et que personne ne risquait de poser, aussi longtemps que les questions qui les ont suscités, et les notions qui permettent de les formuler, n'étaient pas apparues encore. Plus encore que ce qu'on appelle les théorèmes-clef en Mathématique, ce sont les points de vue fécons qui sont, dans notre art, les plus puissants outils de découverte - ou plutôt, ce ne sont pas des outils, mais ce sont les yeux même du chercheur qui, passionnément, veut connaître la nature des choses mathématiques.

8.5 Conjectures.

se perdre en conjectures...

L'idée que nous voudrions développer est que dans cette traversée « de la métaphysique aux mathématiques », comme disait Weil, dans ce long cheminement labyrinthique allant des brouillards vers la clarté du théorème, ce qui oriente la pensée non plus à la manière d'une boussole, mais comme un phare éclairant de loin la petite porte cachée qui ouvre sur la clarté, c'est la conjecture. Aux avantpostes de ces points de vue dont parle Grothendieck, les conjectures marquent et éclairent un but... mais pas du tout le chemin pour l'atteindre.

« Conjecture » a un sens bien précis en Mathématiques. Il s'agit d'un énoncé destiné à devenir un théorème. Ce qui manque encore, c'est la démonstration.

La conjecture fait donc partie du domaine heuristique. Son existence, en tant que conjecture, est en principe transitoire. Elle n'a aucune place dans l'image logiciste des Mathématiques.

Une fois la conjecture formulée, la question de l'orientation de la pensée dans cette aventure mathématique devient celle de la recherche de stratégies de démonstration (ou de réfutation, éventuellement !). Après maint tatônnement, on a fini par mettre un doigt sur le nœud du mystère, on en a un condensé formulé, un précipité ; et l'aventure se poursuit sur un mode plus concret et souvent plus technique.

Cela peut même se traduire par un relais des compétences : les conjectures sont souvent ce point où les « theory-builders » (les bâtisseurs de théories) passent le relais aux « problem-solvers » (les résolveurs de problèmes). Mais le cycle se réferme : la résolution des grandes conjectures s'accompagne souvent d'idées tout

<footnote n="6">⁶Récoltes et Semailles.</footnote>
à fait nouvelles, dont l'approfondissement est alors l'occasion d'un passage de relai dans l'autre sens.

**Critères.** Pour être acceptée comme telle, une conjecture doit satisfaire à certains critères (qui naturellement sont bien différents des critères de vérité, de preuve rigoureuse, exigés pour un théorème). Nous en distinguerons quatre :

1) puisqu'elle est censée devenir, telle quelle, un théorème, son énonciation doit satisfaire aux mêmes critères formels que ceux d'un théorème : précision, absence d'ambiguïté, unité interne. Ce n'est pas une simple question.

2) À défaut de preuve, elle doit être accompagnée de ce qu'on appelle en anglais « some evidence » (ce qui n'est pas de l'évidence, mais ce qu'on pourrait traiture par « témoignage en faveur de » ou « bien-fondé heuristique »). Cette « evidence » peut être de nature diverse et hétérogène : il peut s'agir d'expérimentations (numériques ou non), de la démonstration de cas particuliers, ou encore d'analogies précises avec des énoncés qui sont déjà des théorèmes.

3) La conjecture doit être en situation, se rapporter à un problème identifié. On doit pouvoir lui attribuer une portée non nulle. Cela exclut les simples devinettes.

4) En formulant une conjecture, l'auteur de la conjecture s'engage, prend parti. C'est une sorte de pari. La réputation de l'auteur, comme expert et comme visionnaire, joue un rôle certain dans l'obtention de l'assentiment de la communauté. Ce dernier critère doit toutefois être nuancé. Notamment lorsqu'il s'agit de conjectures anciennes - parfois présentées par leurs auteurs comme des questions intéressantes « qui les entraîneraient trop loin » ; c'est la postérité qui en a fait des conjectures.

**Gestes.** Nous avons parlé, à propos de conjecture, de condensation, de prédiction, d'engagement, de pari. La conjecture, par nature transitoire, est suspendue au mystérieux pouvoir de son énonciation. G. Châtelet écrivait ceci :

> les vérités mathématiques sont bien éternelles, mais leur conquête, en vue de leur stratification dans un savoir, présuppose des gestes qui les font ressortir pour les arracher au tissu de l'Être.

Ainsi sont ces gestes qui posent les conjectures architectoniques : gestes qui captent et qui pointent. Et qu'il ne faut pas confondre avec ces évènements capitaux, ces grands catalyseurs de la pensée mathématique, que sont les irruptions d'idées nouvelles ; autres gestes : déchirure, coup d'aile.

**Typologie.** En tant que « phares », les conjectures sont de portée très variable. Les plus puissantes sont celles que nous appellerons, en suivant le mathématicien B. Mazur, *architectoniques* : elles façonnent le paysage conjectural d'un domaine.

Parfois, elles engendrent de véritables programmes de travail mettant en jeu de nombreux mathématiciens, ce qu'on a pu ironiquement appeler les *plans quinquénaux* des Mathématiques.

Par ailleurs, il arrive dans certains domaines mathématiques que les conjectures ne soient pas isolées, mais nombreuses et liées les unes aux autres par des liens logiques ou heuristiques très forts ; c'est typiquement le cas dans la Théorie des « motifs », créée par Grothendieck, où les conjectures forment comme l'armature idéale dans laquelle s'échafaude la théorie.
*Exemple.* Nous aimerions mentionner brièvement au moins un exemple emblématique de conjecture architectonique : la conjecture de W. Thurston (1976)<fnref n="7" /> qui dessine le paysage de la Géométrie en dimension 3. Elle prédit qu'il y a huit modèles-type et huit seulement, dont toute variété de dimension trois se déduit, après découpage canonique et identifications par symétries ; en outre, le modèle-type dont dépend telle variété donnée est déterminé par la structure algébrique de son groupe fondamental (cf. 3.3.2).

Les récents travaux d'Analyse de G. Perelman permettent de démontrer cette conjecture (les experts sont en train de vérifier les derniers détails)<fnref n="8" />.

## 8.6 Conclusion.

On sera peut-être surpris de n'avoir pas entendu, jusqu'à ce point, de tirade sur la beauté des Mathématiques, comme aiment à les faire les mathématiciens. C'est que, s'il est aisé de chanter l'épithalame de la beauté et de la vérité en Mathématiques, il semble bien difficile de penser leur union, ou même de marquer les modalités précises de rencontre entre elles.

En guise de conclusion, nous voudrions hasarder que les conjectures architectoniques illustrent la modalité suivante :

*Beauté, promesse de vérité.*

Il ne s'agit que d'une « conjecture » ! Et la seule « evidence » que nous avons à verser au dossier, c'est que nous ne connaissons pas d'exemple de conjecture architectonique qui se soit révélée fausse ! Ce qui étaie quelque peu le sentiment fréquent du mathématicien devant les grandes idées heuristiques : « c'est trop beau pour être faux »<fnref n="9" />.

Et même si cela arrivait, ce serait peut-être encore plus intéressant - que le bouleversement complet de nos conceptions dans le domaine qu'elle éclaire conduise à une nouvelle traversée du désert, ou bien qu'elle s'accompagne de la découverte d'une réalité mathématique insoupçonnée. Du reste, l'essentiel n'est peut-être pas d'atteindre le but marqué par la conjecture : il est plutôt dans les idées nouvelles qui surgissent dans l'effort déployé vers ce but, et dont la portée peut dépasser celle de la conjecture originaire au point de rendre celle-ci dérisoire.

Une des sources de la beauté en Mathématiques réside dans la cohérence et l'harmonie. Il en est ainsi dans ces constellations de conjectures que nous évoquions. Voici, pour finir, ce qu'en dit Grothendieck (op. cit. p. 211), grand maître ès conjectures s'il en fut :

<footnote n="7">⁷conjecture qui date des années 70 et contient la fameuse conjecture de Poincaré (1905) comme cas particulier.</footnote>

<footnote n="8">⁸l'histoire de la conjecture est contée, en évitant les aspects techniques, sur http://images.math.cnrs.fr/Geometriser-l-espace-de-Gauss-a.html. Voir aussi G. Szpiro, *La conjecture de Poincaré : Comment Grigori Perelman a résolu l'une des plus grandes énigmes mathématiques*, Lattès.</footnote>

<footnote n="9">⁹dans l'autre sens, il arrive fréquemment en recherche que l'on écarte d'emblée telle ligne d'attaque d'un problème en raison de son manque d'élégance. Sur le rôle des considérations esthétiques dans « l' invention mathématique », on pourra lire le bel article de Poincaré portant ce titre (1908).</footnote>
Dix choses soupçonnées seulement, dont aucune [...] n'entraîne conviction, mais qui mutuellement s'éclairent et se complètent et semblent concourir à une même harmonie encore mystérieuse, acquièrent dans cette harmonie force de vision. Alors même que toutes les dix finiraient par se révéler fausses, le travail qui a abouti à cette vision provisoire n'a pas été fait en vain...
Index terminologique

<table><tr><td>algèbre</td><td>2.2.5</td></tr><tr><td>algèbre de Lie</td><td>4.1.2, 4.3.5, 4.4.3</td></tr><tr><td>algèbre de von Neumann</td><td>2.6, 4.3.5, 7.3.3</td></tr><tr><td>algèbre stellaire</td><td>2.4.3, 2.5, 2.6</td></tr><tr><td>analyticité</td><td>4.1.2, 5.5.1, 7.1.3</td></tr><tr><td>application</td><td>1.1.5, 1.3.1, 1.5.1, 1.5.2</td></tr><tr><td>application linéaire</td><td>2.2, 2.4.3, 2.5.2, 4.1.1, 4.1.2, 4.3.3, 4.4.4, 6.2.1</td></tr><tr><td>associativité</td><td>1.1.4, 1.5.1, 2.1, 2.2.1, 2.2.5, 2.7, 3.1.2</td></tr><tr><td>automorphisme, isomorphisme</td><td>1.5.1, 3.1.2, 3.3, 3.4, 4.2.4, 6.3.3</td></tr><tr><td>base</td><td>2.2.3, 2.4.1, 2.4.2, 4.1.1, 4.2.2, 4.2.5, 4.3.1, 4.3.2</td></tr><tr><td>bifurcation</td><td>5.3.1, 5.3.2</td></tr><tr><td>bijection</td><td>1.1.5, 7.2.1, 7.2.2</td></tr><tr><td>caractère</td><td>2.5.1, 4.3.1</td></tr><tr><td>cardinal</td><td>7.2.2, 7.2.4</td></tr><tr><td>carquois</td><td>4.4.4</td></tr><tr><td>catastrophe</td><td>5.4.3, 5.5.3</td></tr><tr><td>catégorie</td><td>1.2.3, 1.4.1, 1.5.1, 1.5.2, 1.6.1, 2.2.2, 3.3.2, 4.2.1, 4.3.3, 6.2.2</td></tr><tr><td>champ de vecteurs</td><td>1.3.2, 5.2.1</td></tr><tr><td>cohomologie</td><td>1.3.3, 1.4.1, 6.4.2</td></tr><tr><td>(non) commutativité</td><td>1.3.3, 1.5.1, 2.1, 2.3.5, 2.5.2, 2.6.1, 2.6.5, 3.1.2, 4.1.1, 4.3.1, 4.3.2</td></tr><tr><td>compacité, compactification</td><td>2.3.2, 7.3.2</td></tr><tr><td>complétude, complétion</td><td>2.3.2, 7.3.3</td></tr><tr><td>composition</td><td>1.2.3, 1.3.1, 1.5.1, 1.5.2, 2.1, 2.2, 2.4.3, 4.1.1, 4.2.3, 6.2.1</td></tr><tr><td>conjugaison</td><td>2.6.3, 3.1.3, 4.3.1</td></tr><tr><td>continuité</td><td>1.1.5, 1.3.2, 1.5.1, 2.2.5, 2.3.2, 2.4.3, 2.5.2, 4.2.5, 5.2.1, 6.1.1, 6.3.1, 7.1.4</td></tr><tr><td>corps</td><td>3.1.2, 3.1.3, 3.3.1</td></tr><tr><td>covariance, contravariance</td><td>1.4.1, 1.5.2, 6.2.1</td></tr><tr><td>déploiement</td><td>5.4.1, 5.4.3, 5.5.2</td></tr><tr><td>dérivabilité, dérivée, différentiabilité</td><td>2.3.3, 4.1.2, 3.4, 5.1.1, 6.3.2, 7.1.2</td></tr><tr><td>diagramme de Dynkin</td><td>4.4.3, 4.4.4, 5.4.2, 5.4.3, 5.5.3</td></tr><tr><td>dimension</td><td>1.1.1, 1.3.1, 2.2, 2.2.3, 2.4.2, 2.6.2</td></tr><tr><td>discriminant</td><td>5.4.1, 5.4.3</td></tr><tr><td>distribution</td><td>6.3.2, 6.3.3, 7.3.3</td></tr><tr><td>divergence</td><td>3.4, 3.6, 7.4.1, 7.4.2</td></tr><tr><td>éclatement</td><td>5.5.2, 5.5.3</td></tr><tr><td>équation algébrique</td><td>3.1.1</td></tr><tr><td>équation différentielle</td><td>3.4, 4.2.5, 7.2.3</td></tr><tr><td>équivalence de catégories</td><td>1.4.1, 1.5.2</td></tr><tr><td>espace de Hilbert</td><td>2.4.2, 4.3.2, 7.3.3</td></tr><tr><td>espace dual</td><td>6.1.3, 6.3.1</td></tr><tr><td>espace euclidien</td><td>1.5.3, 2.4.1, 2.4.2, 2.5.1, 4.3.1, 4.3.2, 4.4.3, 6.1.3</td></tr><tr><td>espace topologique</td><td>1.1.1, 1.1.4, 1.2.3, 1.3.1, 1.4.1, 1.4.2, 1.5.4, 1.6.3, 2.5.1, 2.5.2, 5.3.3</td></tr><tr><td>espace vectoriel</td><td>1.5.3, 2.2, 2.2.1, 2.4.1, 2.6.2, 3.1.2, 3.4, 4.1.1, 4.1.2, 4.2.5, 4.4.4, 6.1.3</td></tr><tr><td>évanescence</td><td>5.4.2, 5.5.2</td></tr><tr><td>facteur</td><td>2.6, 2.6.1</td></tr><tr><td>facteur moyennable</td><td>2.6.4, 7.3.3</td></tr><tr><td>faisceau</td><td>1.3.1, 1.3.2, 1.3.3, 1.4.1, 1.4.2, 1.5.1, 1.5.3, 1.5.4</td></tr><tr><td>fibre</td><td>1.5.4, 7.3.3</td></tr></table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>filtre</td>
      <td>1.1.2, 1.1.4,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>fonction</td>
      <td>1.1.5, 1.2.1, 1.2.2, 2.2.5, 2.3, 2.4.2, 2.5.2, 3.4, 4.1.2, 5.2, 5.2, 6.3.2, 7.1.2,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>foncteur</td>
      <td>1.4.1, 1.5.2, 1.5.3, 1.5.4, 3.3.2, 6.2.1, 6.2.3,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>foncteurs adjoints</td>
      <td>1.5.3, 1.5.4, 1.6.2, 1.6.3, 6.2.3,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>forme différentielle</td>
      <td>6.4.2, 6.4.3,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>forme linéaire</td>
      <td>6.1.3, 6.3.1,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>forme normale</td>
      <td>5.3.1,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>généricité</td>
      <td>5.1.1, 5.3,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>groupe</td>
      <td>1.3.3, 1.4.1, 2.2.1, 3.1.2,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>groupe de Galois</td>
      <td>3.1.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 4.3.3,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>groupe de Lie simple</td>
      <td>4.4.3,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>groupe fini simple</td>
      <td>4.4.2,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>groupe fondamental (de Poincaré)</td>
      <td>3.3.2, 3.3.3, 4.2.5, 8.5,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td></td>
      <td>1.1.3, 1.6.3,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>intérieur</td>
      <td>2.5.2, 3.5, 7.1.2,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>intégrale</td>
      <td>2.5.2, 3.5, 7.1.2,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>langage ensembliste</td>
      <td>1.1.3, 7.2.5,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>limite</td>
      <td>1.5.3, 3.3.1, 3.3.2, 7.1.4, 7.3.2, 7.3.3,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>lissité</td>
      <td>4.1.2, 5.5.1,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>matrice</td>
      <td>2.2.3, 2.3.5, 2.6.1, 3.4, 4.1.1,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>mesurabilité, mesure</td>
      <td>2.3.1, 2.5.2, 4.3.2, 7.4.1,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>monodromie</td>
      <td>3.4, 4.2.5,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>morphisme</td>
      <td>1.2.3, 1.3.1, 1.5.1, 1.5.2, 2.2.2, 4.2.4,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>nombre algébrique, nombre transcendant</td>
      <td>3.3.1, 3.5,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>nombre (réel, complexe)</td>
      <td>1.1.5, 7.2.1,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>norme</td>
      <td>2.4.1, 2.4.2, 2.4.3, 2.5.2, 6.3.1, 7.3.3,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>obstruction</td>
      <td>1.3.3, 3.2.3,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>opérateur</td>
      <td>2.2, 2.4, 2.5, 2.6, 4.1.1,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>opérateur adjoint</td>
      <td>1.5.3, 2.4.1, 2.6.1, 6.2.1,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>opérateur unitaire</td>
      <td>2.4.1, 2.6.2, 4.3.1, 4.3.2, 4.3.4,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ordinal</td>
      <td>7.2.2, 7.2.3,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ordre</td>
      <td>1.1.4, 1.5.1, 6.2.2, 7.2.2,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>orthogonalité</td>
      <td>2.4.1, 4.4.3,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>point critique</td>
      <td>5.2, 5.4,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>présentation</td>
      <td>4.2.3,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>projecteur (orthogonal)</td>
      <td>2.4.1, 2.6.2,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>produit scalaire</td>
      <td>2.4.1, 2.4.2, 4.3.1, 4.3.2, 6.1.3,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>produit tensoriel</td>
      <td>4.2.5, 4.3.3, 6.2.3,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>prolongement analytique</td>
      <td>5.5.1, 7.4.1, 7.4.2,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>racine d'une équation algébrique</td>
      <td>3.1.1, 3.1.2,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>renormalisation</td>
      <td>3.6, 7.4.2,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>représentation</td>
      <td>4.2.4,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>représentation linéaire</td>
      <td>4.2.5, 4.3, 4.4, 7.3.3,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>résolubilité</td>
      <td>3.1.1, 3.1.3, 3.2.4, 3.4,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>revêtement</td>
      <td>1.2.2, 1.2.3, 3.3.2, 3.3.3,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>singularité</td>
      <td>3.4, 4.2.5, 5.1.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 6.3.2,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>site</td>
      <td>1.2.3, 1.4.2,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>stabilité</td>
      <td>4.1.2, 5.3.3,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>surface de Riemann</td>
      <td>1.2.2, 1.4.2, 3.3.2,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>symplectique</td>
      <td>4.4.3, 5.4.3, 5.5.3,</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>topos</td>
      <td>1.4, 1.5.4, 1.6,</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table><tr><td>trace</td><td>4.1.1, 4.3.1,</td></tr><tr><td>transformée de Fourier</td><td>6.3.3,</td></tr><tr><td>transformée de Legendre</td><td>6.3.4,</td></tr><tr><td>treillis</td><td>1.1.4, 1.1.5, 1.2.3, 1.4.1, 1.6.3, 3.2.2, 6.2.2,</td></tr><tr><td>variété</td><td>1.3.1, 1.3.3, 2.3.5,</td></tr><tr><td>variété algébrique</td><td>1.2.3, 1.4.1,</td></tr><tr><td>variété analytique</td><td>5.5.1, 5.5.2,</td></tr><tr><td>variété lisse</td><td>1.3.2, 5.1.1, 5.5.2,</td></tr><tr><td>variété riemannienne</td><td>2.3.3, 6.4.2,</td></tr></table>

Index de mathématiciens cités

<table><tr><td>Abel N. (1802-1829)</td><td>3.1.1, 3.2.3,</td></tr><tr><td>Arnold V. (1937-)</td><td>5.3.2, 5.4.2, 5.4.3,</td></tr><tr><td>Bolzano B. (1781-1848)</td><td>7.1.4,</td></tr><tr><td>Bourbaki N. (1935-)</td><td>1.1.1, 7.2.5,</td></tr><tr><td>Burnside W. (1852-1927)</td><td>4.3.1, 4.4.2,</td></tr><tr><td>Cantor G. (1845-1918)</td><td>2.2, 2.3.1, 7.1.4, 7.2.1, 7.2.2, 7.2.4,</td></tr><tr><td>Carnot L. (1753-1823)</td><td>6.1.1,</td></tr><tr><td>Cartan É. (1869-1951)</td><td>4.4.3,</td></tr><tr><td>Cartan H. (1904-2008)</td><td>1.3.1, 7.3.3,</td></tr><tr><td>Cauchy A. (1789-1857)</td><td>7.1.4,</td></tr><tr><td>Cayley A. (1821-1895)</td><td>3.1.2, 5.2.4,</td></tr><tr><td>Chasles M. (1793-1880)</td><td>6.1.2, 6.4.3,</td></tr><tr><td>Cohen P. (1934-2007)</td><td>7.2.4,</td></tr><tr><td>Connes A. (1947-)</td><td>2.3.5, 2.6.3, 2.6.4, 3.5,</td></tr><tr><td>Dedekind R. (1831-1916)</td><td>2.2, 4.3.1, 7.1.4, 7.2.1, 7.2.5,</td></tr><tr><td>Desargues G. (1591-1661)</td><td>6.1.1, 7.3.1,</td></tr><tr><td>Drinfeld V. (1954-)</td><td>3.3.3,</td></tr><tr><td>Euler L. (1707-1783)</td><td>7.1.2, 7.1.4, 7.4.1, 7.4.2,</td></tr><tr><td>Fourier J. (1768-1830)</td><td>2.4.2, 6.3.3,</td></tr><tr><td>Frobenius F. (1849-1917)</td><td>4.3.1, 4.4.2,</td></tr><tr><td>Galois É. (1811-1832)</td><td>3.1, 3.2, 3.4, 4.4.2,</td></tr><tr><td>Gauss F. (1777-1855)</td><td>2.3.3,</td></tr><tr><td>Gelfand I. (1913-)</td><td>2.5.1, 2.5.2, 4.3.5,</td></tr><tr><td>Gergonne J. (1771-1859)</td><td>6.1.1, 6.1.2,</td></tr><tr><td>Girard J.-Y. (1947-)</td><td>2.7, 8.1,</td></tr><tr><td>Gödel K. (1906-1978)</td><td>7.2.4, 7.2.5,</td></tr><tr><td>Goodstein R. (1912-1985)</td><td>7.2.3,</td></tr><tr><td>Grassmann H. (1809-1877)</td><td>2.2,</td></tr><tr><td>Grothendieck A. (1928-)</td><td>1.2.3, 1.4.1, 1.4.2, 1.5.4, 1.6.1, 3.3.2, 3.3.3, 3.5, 4.3.3, 7.3.3,</td></tr><tr><td>Hausdorff F. (1868-1942)</td><td>1.1,</td></tr><tr><td>Hilbert D. (1862-1943)</td><td>2.4.2,</td></tr><tr><td>Hironaka H. (1931-)</td><td>5.5.2,</td></tr><tr><td>Hodge W. (1903-1975)</td><td>6.4.2,</td></tr><tr><td>Jones V. (1952-)</td><td>2.6.5,</td></tr><tr><td>Klein F. (1849-1925)</td><td>3.2.2, 3.3.2,</td></tr><tr><td>Killing W. (1847-1923)</td><td>4.4.3,</td></tr><tr><td>Lagrange L. (1736-1813)</td><td>3.1.1, 4.1.2, 6.3.4, 7.1.2, 7.1.3, 7.1.4,</td></tr></table>
<table><tr><td>Laplace P.-S. (1749-1827)</td><td>4.1.2, 7.2.3,</td></tr><tr><td>Leibniz G. (1646-1716)</td><td>1.1, 7.1.1,</td></tr><tr><td>Leray J. (1906-1998)</td><td>1.3.1, 1.4.2, 7.3.3,</td></tr><tr><td>Liouville J. (1809-1882)</td><td>3.4,</td></tr><tr><td>MacLane S. (1909-2005)</td><td>1.5.1,</td></tr><tr><td>Monge G. (1746-1818)</td><td>6.1.1,</td></tr><tr><td>Newton I. (1643-1727)</td><td>2.6.1, 6.3.3, 7.1.1,</td></tr><tr><td>Novikov P. (1901-1975)</td><td>4.2.3,</td></tr><tr><td>Peano G. (1858-1932)</td><td>2.2, 7.2.3,</td></tr><tr><td>Perelman G. (1966-)</td><td>8.5,</td></tr><tr><td>Poincaré H. (1854-1912)</td><td>3.3.2, 6.4.1,</td></tr><tr><td>Poncelet V. (1788-1867)</td><td>6.1.1, 6.1.2,</td></tr><tr><td>Ramis J.-P. (1943-)</td><td>3.4,</td></tr><tr><td>Riemann B. (1826-1866)</td><td>1.1, 1.2.2, 2.3.1, 2.3.3, 3.3.2, 7.1.4, 7.3.2, 7.4.2,</td></tr><tr><td>Riesz F. (1880-1956)</td><td>2.5.2, 2.6.1,</td></tr><tr><td>Schwartz L. (1915-2002)</td><td>6.3.2,</td></tr><tr><td>Thom R. (1923-2002)</td><td>5.4.3,</td></tr><tr><td>Thurston W. (1946-)</td><td>8.5,</td></tr><tr><td>Viète F. (1540-1603)</td><td>3.1.1,</td></tr><tr><td>von Neumann J. (1903-1957)</td><td>2.6.1, 2.6.2, 4.3.5,</td></tr><tr><td>Weierstrass K. (1815-1897)</td><td>5.5.1, 7.1.4, 7.3.3,</td></tr><tr><td>Weyl H. (1885-1955)</td><td>4.3.2, 4.3.4, 4.4.3, 5.4.3,</td></tr><tr><td>Whitney H. (1907-1989)</td><td>5.3.2,</td></tr><tr><td>Woodin H. (1955-)</td><td>7.2.4.</td></tr></table>

# Glossaire des structures de base

## Notions et notations ensemblistes

Ces notions traitent des « multiplicités », dans la plus grande généralité.

L'ensemble vide est noté $\emptyset$.

La notation $x \in X$ veut dire : $x$ appartient à l'ensemble $X$, i.e. est un élément de $X$.

La notation $A \subset X$ veut dire : $A$ est une partie de $X$, i.e. est un ensemble d'éléments de $X$. Si $A$ et $B$ sont deux parties de $X$, $A \cap B$ désigne leur intersection (ensemble des éléments appartenant à $A$ et à $B$), $A \cup B$ leur réunion (ensemble des éléments appartenant à $A$ ou à $B$). $X \setminus A$ désigne le complémentaire de la partie $A$ dans $X$ (ensemble des éléments de $X$ n'appartenant pas à $A$).

Le produit cartésien $X_1 \times \dots \times X_n$ d'ensembles $X_1, \dots, X_n$ est l'ensemble des suites $(x_1, \dots, x_n)$ avec $x_1 \in X_1, \dots, x_n \in X_n$. Si $X_1 = \dots = X_n = X$, on le note $X^n$.

Une application d'un ensemble (source) $X$ vers un ensemble (but) $Y$ est une règle $f$ qui associe à tout élément $x$ de $X$ un élément $f(x)$ de $Y$. On utilise souvent les notations $f : X \to Y$, $X \stackrel{f}{\to} Y$ et $x \mapsto f(x)$. On dit parfois fonction au lieu d'application, surtout lorsque $Y$ est l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels ou bien l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes.

L'application identique de $X$ est l'application de $X$ dans $X$ qui ne modifie aucun élément. Elle est notée $\mathrm{id}_X$ ou $1_X$.

La composée d'une application $f : X \to Y$ et d'une application $g : Y \to Z$ est l'application de $X$ vers $Z$ (notée $g \circ f$ ou simplement $gf$) définie par $x \mapsto g(f(x))$.
Le *graphe* de $f : X \to Y$ est l'ensemble des couples $(x, f(x))$, lorsque $x$ parcourt les éléments de $X$ (lorsque $X$ et $Y$ sont des intervalles de $\mathbb{R}$, c'est la notion familière de courbe plane représentant la fonction $f$).

On dit que $f$ est une *bijection* si tout élément $y$ de $Y$ est l'image par $f$ d'un et d'un seul élément $f^{-1}(y)$ de $X$ ; ce qui permet de définir la bijection inverse $f^{-1} : Y \to X$.

L'image inverse $f^{-1}(B)$ d'une partie $B$ de $Y$ par une application $f : X \to Y$ est la partie de $X$ formée de tous les éléments que $f$ applique dans $B$.

## Notions topologiques

Ces notions traitent qualitativement des « lieux » et des « relations spatiales ».

Un espace topologique est un ensemble $X$ muni d'une collection $\mathcal{D}$ de parties dites *ouvertes*, qui comprend $\emptyset$ et $X$, qui est stable par réunion et par intersection finie. Les éléments de $X$ sont appelés *points*. L'exemple de base est celui de $X = \mathbb{R}$ en prenant pour $\mathcal{D}$ la collection de toutes les réunions d'intervalles privés de leurs extrémités (et plus généralement $\mathbb{R}^n$, en remplaçant intervalles privés de leurs extrémités par boules privées de leur circonférence).

La partie complémentaire d'une partie ouverte est dite *fermée*.

On appelle *voisinage* d'un point $x \in X$ toute partie de $X$ qui contient une partie ouverte à laquelle $x$ appartient.

Une application $f : X \to Y$ entre espaces topologiques est dite *continue* si l'image inverse de toute partie ouverte de $Y$ est une partie ouverte de $X$ (lorsque $X$ et $Y$ sont des intervalles de $\mathbb{R}$, cela correspond à la notion « intuitive » : on peut « tracer le graphe de $f$ sans lever le crayon »).

On dit que $f$ est un *isomorphisme* (ou *homéomorphisme*) si $f$ est une bijection continue dont l'inverse $f^{-1}$ est aussi continue.

Une variété topologique de dimension $n$ est un espace topologique $X$ qui est réunion de parties ouvertes $U_i$ (appelés *cartes*) isomorphes à des ouverts de $\mathbb{R}^n$ (on démontre que la dimension $n$ est alors définie sans ambiguïté). Sur les intersections $U_i \cap U_j$, on dispose donc de bijections, appelées *changements de cartes*, d'un ouvert de $\mathbb{R}^n$ vers un autre. Selon les propriétés particulières de ces changements de cartes, lissité, analyticité, etc..., on parle de variétés lisses, analytiques, etc...

Un espace topologique $X$ est *compact* si, de quelque manière qu'on l'écrive comme réunion de parties ouvertes $U_i$, $X$ est déjà réunion d'un nombre fini d'entre les $U_i$.

## Notions algébriques

La notion de groupe modélise l'aspect « opératoire » de toutes sortes de « symétries ».

Un groupe est un ensemble $G$ muni d'une application $G \times G \to G$ *associative* (i.e. vérifiant $x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z$), qui admet un élément neutre $1_G$ (i.e. tel que $1_G \cdot x = x \cdot 1_G = x$), et eu égard à laquelle tout élément $x \in G$ admet un inverse $x^{-1}$ (i.e. tel que $x \cdot x^{-1} = x^{-1} \cdot x = 1_G$). L'exemple de base est le groupe des permutations des éléments d'un ensemble $X$, pour la composition, l'élément neutre étant l'application identique de $X$ (en fait, tout groupe est sous-groupe d'un groupe de permutations).

Un groupe $G$ est dit *commutatif* ou *abélien* si on a $x \cdot y = y \cdot x$ pour tout $(x, y) \in G^2$. L'exemple de base est le groupe des entiers, pour l'addition.

Un *morphisme* (ou *homomorphisme*) de groupes $f : G \to H$ est une application de $G$ vers $H$ telle que $f(x \cdot y) = f(x) \cdot f(y)$ pour tout $(x, y) \in G^2$. Par exemple, étant donné $g \in G$, la *congugaison* par $g$ est le morphisme de $G$ dans lui-même défini par $h \mapsto ghg^{-1}$.

En termes informels, un corps est un ensemble dans lequel il est possible d'« effectuer des additions, des soutractions, des multiplications et des divisions (sauf par 0) ».
Précisément, un corps est un ensemble $K$ muni de deux applications $K \times K \xrightarrow{+\cdot} K$, telles que $(K, +)$ soit un groupe abélien (dont l'élément neutre est noté $0$), que $(K \setminus \{0\}, \cdot)$ soit aussi un groupe abélien (dont l'élément neutre est noté $1$), les deux étant reliés par distributivité : $x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z$. Les exemples de base sont le corps $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels (fractions), le corps $\mathbb{R}$ des nombres réels, et le corps $\mathbb{C}$ des nombres complexes.

La notion d'espace vectoriel donne un substrat aux combinaisons linéaires, qui mobilisent à la fois l'addition de certaines « grandeurs » entre elles et leur multiplication par des « nombres ».

Précisément, un espace vectoriel sur un corps $K$ est la donnée d'un groupe abélien $(V, +)$ et d'une application $K \times V \to V$ associative (eu égard aux lois $\cdot$ de $K$ et $V$), vérifiant

$$1 \cdot v = v, \lambda \cdot (v + w) = \lambda \cdot v + \lambda \cdot w, (\lambda + \mu) \cdot v = \lambda \cdot v + \mu \cdot v$$

pour tout $(\lambda, \mu, v, w) \in K^2 \times V^2$. Les éléments de $V$ sont appelés vecteurs (le vecteur nul ou origine est l'élément neutre de $+$). L'exemple de base est $\mathbb{R}^n$, $+$ étant l'addition coordonnée par coordonnée, $\cdot$ étant la multiplication de chaque coordonnée par un même nombre.

Une application $f : V \to W$ entre espaces vectoriels sur $K$ est dite linéaire si elle préserve les combinaisons linéaires, i.e. $f(\lambda \cdot v + \mu \cdot w) = \lambda \cdot f(v) + \mu \cdot f(w)$ pour tout $(\lambda, \mu, v, w) \in K^2 \times V^2$. Lorsque $V = W$, on parle d'opérateur (linéaire) sur $V$. Lorsque $f$ est une bijection, son inverse est linéaire. Le groupe des opérateurs linéaires inversibles (pour la composition) est noté $GL(V)$.

## Notions catégoriques

La notion de catégorie fournit un point de vue très général sur les objets mathématiques où l'on occulte délibérément leur structure interne pour mettre l'accent sur leurs rapports mutuels.

Une catégorie $\mathcal{C}$ consiste d'une part en une collection d'objets $A$, et d'autre part en la donnée, pour tout couple d'objets $(A, B)$, d'un ensemble $\mathcal{C}(A, B)$ dont les éléments sont appelés morphismes ou flèches de $A$ vers $B$. On requiert que les morphismes se composent lorsque cela fait sens (i.e. le composé $gf$ de $f \in \mathcal{C}(A, B)$ et de $g \in \mathcal{C}(B, C)$ est un élément de $\mathcal{C}(A, C)$), la composition étant associative (i.e. vérifiant $h(gf) = (hg)f$); on requiert aussi qu'il y ait un morphisme identité $1_A$ de $A$ vers lui-même, qui composé avec tout morphisme de source ou de but $A$, ne le modifie pas. Les exemples de base sont la catégorie des ensembles (les morphismes étant les applications), la catégorie des espaces topologiques (les morphismes étant les applications continues), la catégorie des espaces vectoriels (les morphismes étant les applications linéaires).

On dit que $f \in \mathcal{C}(A, B)$ est un isomorphisme s'il admet un inverse, i.e. s'il existe $g \in \mathcal{C}(B, A)$ tels que $fg = 1_B$, $gf = 1_A$; que $f$ est un automorphisme si de plus $A = B$.

De même que les ensembles sont reliés par des applications, les catégories sont reliées par des foncteurs, qui agissent tant sur les objets que sur les morphismes.

Un foncteur $\phi : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ associe à chaque objet $A$ de $\mathcal{C}$ un objet $\phi(A)$ de $\mathcal{D}$ et à chaque morphisme $f \in \mathcal{C}(A, B)$ un morphisme $\phi(f) \in \mathcal{D}(\phi(A), \phi(B))$. On requiert que $\phi$ préserve les identités et la composition. Le foncteur identique $\mathrm{Id}_\mathcal{C} : \mathcal{C} \to \mathcal{C}$ est celui qui ne modifie ni objet ni morphisme.

Les foncteurs de $\mathcal{C}$ vers $\mathcal{D}$ peuvent être vus comme les objets d'une nouvelle catégorie : un morphisme (ou transformation naturelle) de $\phi_1$ vers $\phi_2$ est une règle qui associe à tout objet $A$ de $\mathcal{C}$ un morphisme $u_A \in \mathcal{D}(\phi_1(A), \phi_2(A))$, de sorte que pour tout morphisme $f \in \mathcal{C}(A, B)$ dans $\mathcal{C}$, on ait $\phi_2(f) \circ u_A = u_B \circ \phi_1(f)$.

Deux catégories $\mathcal{C}, \mathcal{D}$ sont dites équivalentes s'il existe des foncteurs $\phi : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$, $\psi : \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ tels que les foncteurs composés $\psi\phi$ et $\phi\psi$ soient isomorphes aux foncteurs identiques $\mathrm{Id}_\mathcal{C}$ et $\mathrm{Id}_\mathcal{D}$ respectivement.
# Table des matières

<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>1</td>
      <td>Espace I. Topos</td>
      <td>7</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.1</td>
      <td>Topologie générale</td>
      <td>8</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.1.1</td>
      <td>Ce que c'est</td>
      <td>8</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.1.2</td>
      <td>Voisinages</td>
      <td>9</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.1.3</td>
      <td>Intérieur et frontière</td>
      <td>10</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.1.4</td>
      <td>De l'espace topologique au treillis de ses ouverts</td>
      <td>11</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.1.5</td>
      <td>Applications continues</td>
      <td>12</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.2</td>
      <td>L'idée de surface de Riemann. Sites</td>
      <td>12</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.2.1</td>
      <td>Ambiguïtés</td>
      <td>12</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.2.2</td>
      <td>Revêtements à plusieurs feuillets</td>
      <td>13</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.2.3</td>
      <td>Du treillis des ouverts aux sites de Grothendieck</td>
      <td>13</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.3</td>
      <td>Du local au global. Faisceaux</td>
      <td>14</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.3.1</td>
      <td>Données locales. Préfaisceaux</td>
      <td>14</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.3.2</td>
      <td>Recollement de données locales compatibles. Faisceaux</td>
      <td>15</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.3.3</td>
      <td>Théorie des obstructions</td>
      <td>15</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.4</td>
      <td>Faisceaux sur un site. Topos de Grothendieck</td>
      <td>15</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.4.1</td>
      <td>Ce que c'est.</td>
      <td>15</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.4.2</td>
      <td>Espaces et topos.</td>
      <td>16</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.5</td>
      <td>Catégories, foncteurs, adjonction</td>
      <td>17</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.5.1</td>
      <td>Catégories</td>
      <td>17</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.5.2</td>
      <td>Foncteurs</td>
      <td>18</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.5.3</td>
      <td>Foncteurs adjoints</td>
      <td>19</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.5.4</td>
      <td>Application : morphismes de topos et points d'un topos</td>
      <td>20</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.6</td>
      <td>Topos et Logique intuitionniste</td>
      <td>20</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.6.1</td>
      <td>Les topos entre Géométrie et Logique</td>
      <td>20</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.6.2</td>
      <td>Règles du calcul propositionnel</td>
      <td>21</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.6.3</td>
      <td>Logique intuitionniste et treillis de Heyting</td>
      <td>22</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2</td>
      <td>Espace II. Algèbres d'opérateurs</td>
      <td>23</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.1</td>
      <td>Associativité et commutativité</td>
      <td>24</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.2</td>
      <td>Petite boîte à outils d'algèbre linéaire</td>
      <td>24</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.2.1</td>
      <td>Espaces vectoriels</td>
      <td>25</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.2.2</td>
      <td>Applications linéaires</td>
      <td>25</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.2.3</td>
      <td>Bases, dimension, matrices</td>
      <td>26</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.2.4</td>
      <td>Importance des problèmes linéaires</td>
      <td>27</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.2.5</td>
      <td>Algèbres</td>
      <td>27</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.3</td>
      <td>Espaces et fonctions</td>
      <td>28</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.3.1</td>
      <td>Grandeur</td>
      <td>28</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.3.2</td>
      <td>Localité.</td>
      <td>29</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>2.3.3</td>
      <td>Topographie</td>
      <td>29</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.3.4</td>
      <td>Le point de vue fonctionnel sur les espaces</td>
      <td>30</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.3.5</td>
      <td>L'idée de Géométrie non commutative</td>
      <td>31</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.4</td>
      <td>Espaces de Hilbert et Analyse fonctionnelle</td>
      <td>32</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.4.1</td>
      <td>Espaces euclidiens</td>
      <td>32</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.4.2</td>
      <td>Espaces de Hilbert</td>
      <td>34</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.4.3</td>
      <td>Opérateurs sur un espace de Hilbert et algèbres stellaires</td>
      <td>34</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.5</td>
      <td>Spectres</td>
      <td>35</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.5.1</td>
      <td>De Newton à Gelfand</td>
      <td>35</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.5.2</td>
      <td>Retour au point de vue fonctionnel</td>
      <td>36</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.6</td>
      <td>Algèbres de von Neumann, facteurs et poids</td>
      <td>37</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.6.1</td>
      <td>Ce que c'est</td>
      <td>37</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.6.2</td>
      <td>Facteurs de type II et géométrie en dimension continue</td>
      <td>38</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.6.3</td>
      <td>Facteurs de type III et dynamique</td>
      <td>39</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.6.4</td>
      <td>Classification des facteurs moyennables</td>
      <td>39</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.6.5</td>
      <td>Prolongements</td>
      <td>40</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.7</td>
      <td>Logique des interactions</td>
      <td>41</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3</td>
      <td>Symétries I. Idées galoisiennes</td>
      <td>43</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1</td>
      <td>Théorie de Galois des équations algébriques</td>
      <td>44</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1.1</td>
      <td>Résolubilité par radicaux</td>
      <td>44</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1.2</td>
      <td>Groupe de Galois</td>
      <td>45</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1.3</td>
      <td>Correspondance de Galois</td>
      <td>47</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2</td>
      <td>Portée et enjeux de la « théorie de l'ambiguïté »</td>
      <td>47</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.1</td>
      <td>Émergence d'un corps de concepts d'un type nouveau</td>
      <td>47</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.2</td>
      <td>Fécondité du principe de correspondance galoisienne</td>
      <td>48</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.3</td>
      <td>Thématisation des obstructions</td>
      <td>49</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.4</td>
      <td>Changement de paradigme dans la conception des problèmes</td>
      <td>49</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3</td>
      <td>Revêtements, groupes fondamentaux</td>
      <td>50</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.1</td>
      <td>La « montée vers l'absolu ». Le groupe Gal(Q̄/Q)</td>
      <td>50</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.2</td>
      <td>Théorie de Galois des revêtements</td>
      <td>50</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.3</td>
      <td>Une vision géométrique de Gal(Q̄/Q)</td>
      <td>51</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4</td>
      <td>Ambiguïtés galoisiennes en Analyse</td>
      <td>52</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.5</td>
      <td>Groupes de Galois et nombres transcendants</td>
      <td>53</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.6</td>
      <td>Un groupe de Galois « cosmique »?</td>
      <td>54</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4</td>
      <td>Symétries II. Représentations linéaires</td>
      <td>55</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.1</td>
      <td>Linéarité. Linéarisation</td>
      <td>56</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.1.1</td>
      <td>Bref retour à l'Algèbre linéaire</td>
      <td>56</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.1.2</td>
      <td>Linéarisation</td>
      <td>56</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2</td>
      <td>Le concept mathématique de représentation</td>
      <td>58</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.1</td>
      <td>Objets généraux/objets particuliers</td>
      <td>58</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.2</td>
      <td>Mode intrinsèque/mode extrinsèque</td>
      <td>59</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.3</td>
      <td>Présentations</td>
      <td>60</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.4</td>
      <td>Représentations</td>
      <td>61</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.5</td>
      <td>Représentations linéaires</td>
      <td>62</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3</td>
      <td>Représentations linéaires des groupes</td>
      <td>63</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.1</td>
      <td>Caractères : la théorie de Frobenius</td>
      <td>63</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.2</td>
      <td>Groupes compacts et Analyse harmonique</td>
      <td>65</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.3</td>
      <td>Problème de Tannaka</td>
      <td>65</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>4.3.4</td>
      <td>Représentations linéaires et mécanique quantique</td>
      <td>66</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.5</td>
      <td>Représentations linéaires en dimension infinie</td>
      <td>66</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.4</td>
      <td>Problèmes de classification</td>
      <td>67</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.4.1</td>
      <td>« Taxinomie » mathématique</td>
      <td>67</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.4.2</td>
      <td>Classification des groupes finis simples</td>
      <td>68</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.4.3</td>
      <td>Classification des groupes de Lie simples</td>
      <td>69</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.4.4</td>
      <td>Classification des représentations linéaires et indécidabilité</td>
      <td>70</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5</td>
      <td>Singularités</td>
      <td>73</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.1</td>
      <td>Généricité, lissité, singularités</td>
      <td>73</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.1.1</td>
      <td>Notion de singularité</td>
      <td>73</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.1.2</td>
      <td>Enjeux</td>
      <td>74</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.1.3</td>
      <td>Comment les singularités apparaissent</td>
      <td>75</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2</td>
      <td>Points critiques</td>
      <td>76</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2.1</td>
      <td>Linéarisation des champs de vecteurs</td>
      <td>76</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2.2</td>
      <td>Points critiques de fonctions</td>
      <td>76</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2.3</td>
      <td>Points critiques génériques</td>
      <td>77</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2.4</td>
      <td>Topographie et Théorie de Morse</td>
      <td>78</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.3</td>
      <td>Généricité et stabilité</td>
      <td>78</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.3.1</td>
      <td>La dialectique générique/singulier selon Poincaré</td>
      <td>78</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.3.2</td>
      <td>L'exemple des draperies</td>
      <td>79</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.3.3</td>
      <td>Singularités stables</td>
      <td>80</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.4</td>
      <td>Déploiements et catastrophes</td>
      <td>81</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.4.1</td>
      <td>Comment les singularités se déploient</td>
      <td>81</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.4.2</td>
      <td>Singularités simples</td>
      <td>81</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.4.3</td>
      <td>Géométrie symplectique et catastrophes</td>
      <td>82</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.5</td>
      <td>Le contexte analytique</td>
      <td>83</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.5.1</td>
      <td>Principe du prolongement analytique</td>
      <td>83</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.5.2</td>
      <td>Comment les singularités disparaissent</td>
      <td>83</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.5.3</td>
      <td>Le rôle des « groupes platoniciens »</td>
      <td>84</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6</td>
      <td>Dualité</td>
      <td>85</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.1</td>
      <td>Dualité linéaire</td>
      <td>85</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.1.1</td>
      <td>Débuts et vicissitudes de la Géométrie projective</td>
      <td>85</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.1.2</td>
      <td>Dualité en Géométrie projective</td>
      <td>87</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.1.3</td>
      <td>Formes linéaires et dualité</td>
      <td>88</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.2</td>
      <td>Dualités catégoriques</td>
      <td>89</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.2.1</td>
      <td>Exemple primordial : espaces vectoriels de dimension finie</td>
      <td>89</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.2.2</td>
      <td>Autres exemples</td>
      <td>89</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.2.3</td>
      <td>Produit tensoriel et dualité</td>
      <td>89</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.3</td>
      <td>Dualités analytiques</td>
      <td>90</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.3.1</td>
      <td>Dualité linéaire topologique</td>
      <td>90</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.3.2</td>
      <td>Distributions</td>
      <td>90</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.3.3</td>
      <td>Transformée de Fourier. Dualité onde-corpuscule</td>
      <td>91</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.3.4</td>
      <td>Transformée de Legendre. Mécanique lagrangienne et Mécanique hamiltonienne</td>
      <td>91</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.4</td>
      <td>Dualités géométriques/homologiques</td>
      <td>92</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.4.1</td>
      <td>Dualité de Poincaré</td>
      <td>92</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.4.2</td>
      <td>Dualité de de Rham-Hodge</td>
      <td>93</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.4.3</td>
      <td>Dualité de Maxwell</td>
      <td>93</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
7 « Des infinis subtils » 95

7.1 L'infini(tésimal) et son calcul 95

7.1.1 L'infini à penser - à propos du mouvement 95

7.1.2 Calcul et écriture de l'infini 96

7.1.3 L'Analyse du XVIIIᵉ et la maîtrise du calcul 98

7.1.4 L'Analyse du XIXᵉ et la rigueur du calcul 99

7.2 Les multiplicités infinies et leur mesure 100

7.2.1 Dedekind et Cantor 100

7.2.2 Le transfini. Procession des ordinaux et cardinaux 101

7.2.3 L'infini derrière le fini. La patience de Goodstein 101

7.2.4 L'enjeu des grands cardinaux 103

7.2.5 (Non-)influence de la Théorie des ensembles 104

7.3 L'horizon : l'infiniment loin 105

7.3.1 Points de fuite 105

7.3.2 Compactifications 105

7.3.3 Complétion métrique 106

7.4 L'infini importun 107

7.4.1 Contrôler la divergence 107

7.4.2 Dépasser la divergence 108

8 S'orienter dans la pensée mathématique 109

8.1 L'arbuste 109

8.2 Le tricotin 111

8.3 Brouillards et analogies 113

8.4 Points de vue fécons 113

8.5 Conjectures 114

8.6 Conclusion 116