# Méthode Asymptotique Numérique pour le calcul des solutions et des instabilités dans les écoulements de fluides non newtoniens

Jean-Marc Cadou, Awatif Jawadi, Hassan Boutyour

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Jean-Marc Cadou, Awatif Jawadi, Hassan Boutyour. Méthode Asymptotique Numérique pour le calcul des solutions et des instabilités dans les écoulements de fluides non newtoniens. 12e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2015, Giens, France. hal-01517287

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# Méthode Asymptotique Numérique pour le calcul des solutions et des instabilités dans les écoulements de fluides non newtoniens.

J.M Cadou<fnref n="1" />, A. Jawadi<fnref n="2" />, H. Boutyour<fnref n="2" />

**Résumé** — Ce travail porte sur le calcul de solutions stationnaires d'écoulements de fluides non newtoniens. On s'intéresse plus particulièrement au comportement d'un fluide vérifiant une loi puissance. Ces lois de comportement étant fortement non linéaires, l'introduction des développements asymptotiques n'est pas immédiate. Il faut au préalable remplacer les relations originales par des expressions équivalentes permettant ainsi l'utilisation des développements asymptotiques. Une fois cette modification réalisée, les solutions peuvent alors être numériquement calculées. Des techniques originales, utilisées dans le cadre de fluides newtoniens sont ensuite introduites afin de déterminer les points de bifurcation stationnaires.

**Mots clés** — loi puissance, Méthode Asymptotique Numérique, stabilité.

## 1 Introduction

Dans cette étude, on s'intéresse aux écoulements stationnaires de fluides visqueux non newtoniens incompressibles. Ces écoulements sont régis par des équations non linéaires qui peuvent se mettre sous la forme symbolique suivante :

$$L(U) + Q^c(U, U) + Q^n(\eta, U) = 0 \text{ dans } \Omega \quad (1)$$

$$V = \lambda V_d \text{ sur } \partial\Omega_V \quad (2)$$

Le vecteur mixte $U$ contient les inconnues en vitesse ($V$) et en pression ($p$) dans le domaine fluide $\Omega$. Sur le bord de ce domaine, $\partial\Omega_V$, une vitesse $\lambda V_d$ est imposée. Le scalaire $\lambda$ représente l'intensité de cette vitesse. Le scalaire $\eta$ désigne la viscosité du fluide. L'opérateur $L(U)$ représente un opérateur linéaire en $U$ (les termes de pression ainsi que l'équation de continuité). Les opérateurs non-linéaires $Q^c(U, U)$ et $Q^n(\eta, U)$ désignent respectivement les termes de convection et les termes dépendant de la viscosité, $\eta$. L'opérateur $Q^n(\eta, U)$ contient les termes de la contrainte de cisaillement :

$$\tau_{ij} = \eta \dot{\gamma}_{ij} \quad (3)$$

où $\dot{\gamma}_{ij}$ désigne le taux de cisaillement ($\dot{\gamma}_{ij} = V_{i,j} + V_{j,i}$). Dans le cas d'une loi puissance[1], la viscosité effective, $\eta$ est définie par la relation suivante :

$$\eta = K |\dot{\gamma}|^{n-1} \quad (4)$$

Les paramètres $K$ et $n$ désignent respectivement la consistance et l'indice de structure (exposant de la loi puissance). La quantité $|\dot{\gamma}|$ est l'amplitude du taux de cisaillement définie dans le cas d'un écoulement en 2 dimensions par :

$$|\dot{\gamma}| = \sqrt{\frac{1}{2} \sum_{i} \sum_{j} \dot{\gamma}_{ij} \dot{\gamma}_{ji}} \quad (5)$$

Les équations précédentes définissent le problème non-linéaire à résoudre par la Méthode Asymptotique Numérique[2].

<footnote n="1">¹ LIMATB, Université de Bretagne Sud, Lorient,jean-marc.cadou@univ-ubs.fr</footnote>

<footnote n="2">² DPA, Faculté des Sciences et Technique, Université Hassan I, Settat, Maroc.</footnote>
## 2 Résolution par la Méthode Asymptotique Numérique

Les inconnues du problème [3], $X = \{U, \eta, \lambda\}$, sont cherchées sous la forme d'un développement asymptotique tronqué à l'ordre $h$ et dépendant d'un paramètre $a$ :

$$X = X_0 + \sum_{h=1}^{H} a^h X_h \qquad (6)$$

où $X_0$ est une solution connue et régulière du problème. Le paramètre de chemin $a$ est définit à l'aide d'une relation de pilotage telle que par exemple la méthode de la longueur d'arc[2]. Les développements asymptotiques (6) sont introduits dans l'équation (1) et en identifiant suivant les puissances de $a$, on obtient à chaque ordre de troncature $h$, un problème linéaire à résoudre :

$$L_t(U_h, \eta_h) = - \sum_{r=1}^{h-1} [Q^{\eta}(\eta_r, U_{h-r}) + Q^c(U_r, U_{h-r})] \quad \text{dans } \Omega \qquad (7)$$

$$V_h = \lambda_h V_d \quad \text{on} \quad \partial\Omega_V \qquad (8)$$

Tous les problèmes précédents admettent le même opérateur tangent $L_t(\bullet, \bullet)$ et différent seulement par leur second membre. Une seule triangulation de matrice et $H$ résolutions de système linéaire sont nécessaires pour déterminer les solutions $X$ pour tous les ordres $h$. L'opérateur tangent est par exemple défini à l'ordre 1 par : $L_t(U_1, \eta_1) = L(U_1) + Q^c(U_1, U_0) + Q^c(U_0, U_1) + Q^{\eta}(\eta_1, U_0) + Q^{\eta}(\eta_0, U_1)$.

La résolution des problèmes linéaires (7) nécessite d'obtenir explicitement la définition de la viscosité à l'ordre $h$, $\eta_h$. Les relations (4) ou (5) sont fortement non linéaires et également non régulières en fonction de la vitesse de l'écoulement. Il est alors nécessaire de modifier ces équations, par l'introduction de nouvelles variables ainsi que de paramètres de régularisation afin d'obtenir des équations finales pour lesquelles la résolution par la MAN est optimale. L'utilisation d'expression quadratique permet ainsi d'optimiser les temps de calculs des seconds membres à chaque ordre de la MAN. Le tableau (1) résume les relations introduites (ou modifiées) afin de résoudre les problèmes d'écoulements de fluides non-newtoniens dans le cas d'une loi puissance. Dans cette table, de nouvelles inconnues ($s, w, z$ et $I_2$) sont

<table><caption>TABLE 1 – Relations originales et modifiées pour une utilisation optimale de la MAN.</caption><thead><tr><th>Relations originales</th><th>Relations modifiées</th></tr></thead><tbody><tr><td>$\eta = K|\dot{\gamma}|^{n-1}$</td><td>$\eta = Ks$</td></tr><tr><td>$|\dot{\gamma}| = \sqrt{\frac{1}{2}\sum_{i}\sum_{j}\dot{\gamma}_{ij}\dot{\gamma}_{ji}}$</td><td>$s = w^{\alpha}$</td></tr><tr><td></td><td>$\alpha = \frac{n-1}{2}$</td></tr><tr><td></td><td>$w^2 = z^2 + \varepsilon$</td></tr><tr><td></td><td>$z = \frac{I_2}{2}$</td></tr><tr><td></td><td>$I_2 = \sum_{i}\sum_{j}\dot{\gamma}_{ij}\dot{\gamma}_{ji}$</td></tr><tr><td></td><td>$wds - \alpha sdw = 0$</td></tr></tbody></table>

introduites afin d'avoir des relations quadratiques. Le paramètre $\varepsilon$ désigne un paramètre de régularisation, qui permet d'éviter des relations non continues au voisinage de valeurs nulles. La valeur de ce paramètre est généralement choisie entre $10^{-3} - 10^{-5}$. En tenant compte de ces nouvelles expressions, le vecteur inconnu $X$ est maintenant défini par $X = \{\eta, s, w, z, I_2, \dot{\gamma}_{ij}\}$. Ce vecteur inconnu est alors cherché sous la forme polynomiale (6). Ces développements asymptotiques sont ensuite introduits dans les relations modifiées du tableau (1) et en identifiant suivant les puissances de 'a', un ensemble d'équations linéaires est obtenu à chaque ordre de troncature $h$. Ce système d'équations est alors résolu à l'aide de la méthode des éléments finis. Cette discrétisation spatiale est décrite en détail dans le cas de fluides newtoniens dans la référence [4].
### 3 Exemples numériques

Un premier exemple d'écoulement entre deux plans parallèles fixes permet de valider l'utilisation de la MAN dans le cas d'une loi puissance. Le fluide est soumis à l'action d'une force de volume verticale (suivant x). Les solutions obtenues avec la MAN sont comparées avec les solutions exactes données par exemple dans la référence [5]. L'évolution des vitesses verticales (rapportées à la vitesse moyenne $V_{mean}$) est tracée en fonction de y (axe horizontal) sur la figure (1). Les courbes obtenues avec la MAN sont les mêmes que les solutions exactes. Sur cette figure, seules sont reportées les solutions obtenues avec des valeurs de l'exposant de la loi puissance compris entre 0.6 et 1.2. Les solutions obtenues, non montrées dans ce document, avec des valeurs de n proches de 0.1 ou de 2 sont également identiques aux solutions analytiques. Durant le calcul de ces solutions stationnaires, il peut être intéressant de déterminer pour

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Comparaison des solutions exactes et numériques pour l'écoulement entre deux plans parallèles avec $H=20$, et $\epsilon = 10^{-4}$.</figcaption></figure>

quelle valeur du nombre de Reynolds, l'écoulement rencontre un point de bifurcation. Dans cette étude, on s'intéresse principalement aux points de bifurcation pour lesquels les écoulements deviennent non-symétriques et plus précisément aux écoulements dans des élargissements brusques (ou rétrécissements). Ces points singuliers peuvent être déterminer de plusieurs manières. Ainsi, pour des fluides newtoniens, nous avons proposés un indicateur de bifurcating [6, 7] qui permet d'accéder avec précision aux Reynolds critiques de l'écoulement. Dans cette étude, nous avons choisi d'utiliser une autre technique pour détecter les points de bifurcation stationnaire. Cette technique a été proposée récemment dans [8] et consiste à détecter l'émergence d'une suite géométrique dans la série polynomiale (6). L'apparition de cette suite géométrique est alors utilisée comme indicateur de bifurcation. A noter cependant que l'analyse est seulement réalisée sur le champ de vitesse, $V$, de l'inconnue $X$. Cette méthode a été utilisée dans le cas d'une loi puissance concernant l'écoulement dans un élargissement brusque. Le ratio entre les diamètres de sortie et d'entrée de l'élargissement est égal à 2 dans cette étude ($E=2$). Sur la figure (2), les Reynolds critiques pour lesquels la première bifurcation stationnaire apparaît sont donnés en fonction de la valeur de l'exposant $n$. Les résultats obtenus avec les techniques présentées dans cette étude montrent une bonne concordance avec ceux obtenus par Nefytou [9]. Dans ce papier, nous ne donnons pas précisemment la manière dont sont calculés les Reynolds critiques mais des précisions peuvent être trouvées dans les références suivantes [8, 10].

### Références

[1] P.J. Carreau, D. Dekee and R.P. Chhabra, Rheology of Polymeric Systems : Principles and Applications, Hanser, Munich, 1997.
<figure><img src="image_3.png" /></figure>

FIGURE 2 – Evolution du Reynolds critique en fonction de la valeur de l’index n de la loi puissance. Ecoulement dans une expansion soudaine, E=2. Comparaison entre les résultats de Neofytou [9] et ceux trouvés dans cette étude.

[2] B. Cochelin, *A path-following technique via an asymptotic-numerical method*, Comp. and Struct., 53(5), 1181-1192, 1994.

[3] M. Potier-Ferry, N.Damil, B. Braikat, J. Descamps, J.M. Cadou, H.L. Cao, A. Elhage-Hussein, *Traitement des fortes non-linéarités par la méthode asymptotique numérique*, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences Paris, Série II b, t. 324, 171-177, 1997.

[4] J.M. Cadou, B. Cochelin, N. Damil and M. Potier-Ferry, *Asymptotic Numerical method for stationary Navier-Stokes equations and with Petrov-Galerkin formulation*, Int. J. Numer. Meth. Engng, 50, 825-845, 2001.

[5] P. Ternik, *Planar sudden symmetric expansion flows and bifurcation phenomena of purely viscous shear-thinning fluids*, Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, 157, 15-25, 2009.

[6] J.M. Cadou, M. Potier-Ferry and B. Cochelin, *A numerical method for the computation of bifurcation points in fluid mechanics*, European Journal of Mechanics B/Fluids, 25, 234-254, 2006.

[7] Y. Guevel, H. Boutyour, J.M. Cadou, *Automatic detection and branch switching methods for steady bifurcation in fluid mechanics*, Journal of Computational Physics, 230(9), 3614-3629, 2011.

[8] B. Cochelin and M. Medale, *Power series analysis as a major breakthrough to improve the efficiency of Asymptotic Numerical Method in the vicinity of bifurcations*, Journal of Computational Physics, 236(1), 594-607, 2013.

[9] P. Neofytou, *Transition to asymmetry of generalised Newtonian fluid flows through a symmetric sudden expansion*, Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, 133(2-3), 132-140, 2006.

[10] A. Jawadi, H. Boutyour, J.M. Cadou, *Asymptotic numerical method for steady flow of power-law fluids*, Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, 202, 22-31, 2013.