ANNALES MATHÉMATIQUES BLAISE PASCAL

LEMNOUAR NOUI

PHILIPPE REVOY

**Formes multilinéaires alternées**

*Annales mathématiques Blaise Pascal*, tome 1, n° 2 (1994), p. 43-69

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# FORMES MULTILINEAIRES ALTERNEES

Lemnouar NOUI et Philippe REVOY

Plusieurs auteurs ont étudiés les formes multilinéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif. Le cas bilinéaire étant simple, celui des formes trilinéaires est l'objet principal des recherches : seules les dimensions 6 à 9 permettent une étude poussée soit sur un corps algébriquement clos ([6],[17],[19]), soit sur $\mathbb{R}$ ([5],[21]). Le second auteur ([14],[15]) ainsi que A. Cohen et A. Helminck ([4]) ont étudié les dimensions 6 et 7. Dans cet article, nous revenons sur ces questions en apportant compléments et précisions à la lumière de [10], complétant les classifications connues sur un corps quelconque par la considération d'autres invariants.

## Résumé.

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur le corps commutatif $K$. L'objet de cet article est l'action du groupe linéaire $Gl(E)$ sur les espaces $\Lambda^p E$. Du fait des isomorphismes $\Lambda^p E^* \simeq (\Lambda^p E)^*$, on emploiera indifféremment le langage des formes alternées ou des $p$-vecteurs. Plusieurs études ont été consacrées au cas $p=3$ et $n \le 9$, soit sur un corps algébriquement clos, soit dans le cas général. Dans ce travail nous revenons sur le cas $n \le 7$ après avoir donné un aperçu général sur les invariants arithmétiques, algébriques et géométriques que l'on peut associer à un $p$-vecteur. Nous donnons une description précise des résultats sur les corps finis et une démonstration du théorème de Schouten sur l'action de $Gl_7(K)$ sur $\Lambda^3 K^7$ dans le cas algébriquement clos.

## Abstract.

Let $E$ a finite dimensional $K$-vector space. The object of our work is the study of the action of the linear group $GL(E)$ on the spaces $\Lambda^p E$. As $\Lambda^p E^* \simeq (\Lambda^p E)^*$, there is no difference between alternating forms and $p$-vectors. Some papers have studied the case $p=3$ and $\dim E \le 9$, over an algebraically closed field and in the general case.

In this work, we are still interested by the $n=7$ case; we, first, talk about invariants of arithmetical, algebraic and geometric meaning that one may assign to a $p$-vector. Then we apply this to the cases $n=6$, $n=7$ giving a complete analysis of the situation. We give a complete proof of Schouten's classification for $p=3$, $n=7$ and algebraically closed $K$ and a precise description for the finite fields case.
§1 - Rappels sur l'algèbre extérieure

1.1. Rappelons l'action de $E^*$, dual de $E$, sur $\Lambda E$ définie par : $d_f(1) = 0$, $d_f|_E = f$ et $d_f(xu) = -xd_f(u) + f(x)u$ pour $x \in E$, $u \in \Lambda E$. Ainsi $d_f$ est une antidérivation de degré -1, nulle sur la sous-algèbre $\Lambda(\text{Ker } f)$, de carré nul et $f \mapsto d_f$ est une application linéaire ([3]). Pour $w \in \Lambda^p E$ fixé, $f \mapsto d_f(w)$ est une application linéaire de $E^*$ dans $\Lambda^{p-1} E$, dont le noyau $R_w$ est un sous-espace de $E^*$ ; son orthogonal $R_w^\circ$ dans $E$ est le support noté $S_w$ de $w : S_w = \bigcap_{f \in R_w} \text{Ker } f$ est le plus petit sous-espace $F$ de $E$ tel que $w \in \Lambda^p F$. Le rang de $\omega$, noté $r(w)$, est la dimension de $S_w$ et c'est un invariant sous l'action du groupe linéaire. Si on considère $w \in \Lambda^p E^*$ une forme $p$-linéaire, $R_w$ le radical de $w$ est l'ensemble des $x$ de $E$ tels que $w(x, x_2, \dots, x_p) = 0$ quels que soient $x_2, \dots, x_p$ dans $E$ : si $R_w = \{0\}$, on dit que $w$ est non dégénérée et $w$ de rang maximal.

1.2. L'invariant $r(w)$ est le premier d'une suite d'invariants numériques. Soit $\alpha$ un sous-espace vectoriel de $E$ et $w_\alpha$ l'image canonique de $w$ dans $\Lambda^p(E/\alpha)$ : on pose $d_k(w) = \inf_\alpha r(w_\alpha)$ où $\alpha$ parcourt la grassmanienne des sous-espaces vectoriels de dimension $k$ de $E$ et $d_0(w) = r(w)$. La suite $r(w), d_1(w), \dots, d_k(w)$ est strictement décroissante jusqu'à la valeur 0 où elle devient stationnaire.

La propriété suivante est immédiate : $d_1(w) = 0$ si et seulement si $w$ est divisible par un vecteur. Dans le cas des 2-vecteurs ou formes bilinéaires alternées, la formule $d_k(w) = \sup(0, r(w) - 2k)$ se vérifie aisément.

1.3. La sous-algèbre commutative des éléments de degré pair de l'algèbre extérieure, $\Lambda_0 E = \bigoplus_{k \ge 0} \Lambda^{2k} E$ possède un système de puissances divisées et si $K$ est de caractéristique 2, il y a des puissances divisées dans $\bar{\Lambda}(E) = \bigoplus_{k \ne 1} \Lambda^k E$ ([1],[13]) ce qui peut servir pour $p=3$.

Rappelons que si $A$ est une $Q$-algèbre commutative, les puissances divisées sont définies par $\gamma_k(u) = \frac{u^k}{k!}$ et si $u = \sum_{i=1}^{i=r} x_{2i-1}x_{2i}$ où $\{x_1, \dots, x_{2r}, \dots, x_n\}$ est une base de $E$, $\gamma^k(u) = \sum_{1 \le i_1 < \dots < i_k \le r} x_{2i_1-1}x_{2i_1} \dots x_{2i_k-1}x_{2i_k}$ de sorte que $r(u) = 2k$ équivaut à : $\gamma^k(u) \ne 0$ et $\gamma^{k+1}(u) = 0$. Les puissances divisées permettent d'étudier les sous-espaces vectoriels de $\Lambda^2 E$ ([14]).

1.4. Un élément $w \in \Lambda^p E$ est dit *scindable* s'il existe une décomposition $E = E_1 \oplus E_2$ telle que $w$ appartienne au facteur direct $E_1 \otimes \Lambda^{p-1} E_2$ de $\Lambda^p E$. Si dim $E_1 = r$, on dira que $w$ est $r$-scindable : si $r = 1$, cela signifie que $w$ est divisible, propriété qui ne dépend pas du corps de base car c'est équivalent à : $E \to \Lambda^{p+1} E$, $x \mapsto xw$ n'est pas injective. Par contre, si $r \ge 2$ cette propriété dépend du corps de base ; notons aussi que $w$ $r$-scindable implique $d_r(w) = 0$ car $w_{E_1} = 0$, mais la réciproque est fausse.

Soit $w$ un élément $r$-scindable et $\{e_1, \dots, e_r\}$ une base de $E_1 : w = \sum_{i=1}^{r} e_i u_i$ où les $u_i \in \Lambda^{p-1} E_2$ sont déterminées par les $e_i$ car $u_i = d_{e_i^*}(w)$ où $e_i^*$ est définie par $e_i^*(e_j) = \delta_{ij}$ et $e_i^*(E_2) = 0$. Si on change de base dans $E_1$, les $u_i$ sont
soumis au changement de base contragrédient : de l'isomorphisme $E_1 \otimes \Lambda^{p-1}E_2 \simeq \operatorname{Hom}(E_1^*, \Lambda^{p-1}E_2)$ on voit qu'à $w$ est associé un sous-espace vectoriel $F$ de $\Lambda^{p-1}E_2$ qui est de dimension $r$ si les $u_i$ sont indépendants. Si on s'intéresse aux éléments $r$-scindables de rang maximal $r(w) = \dim E$, il faut étudier l'action du groupe linéaire $\operatorname{Gl}(E_2)$ sur la grasmanienne $\operatorname{Gr}_r(E_2)$ des sous-espaces vectoriels de dimension $r$ de $\Lambda^{p-1}E_2$. C'est ce qui est fait pour $p=3$ et pour certaines valeurs du couple $(r, n-r)$ dans [14], le cas $n-r$ pair étant plus simple car on dispose alors de puissances divisées à valeurs dans un espace vectoriel de dimension 1.

**1.5.** Les invariants algébriques classiques sont les automorphismes et les dériva-
tions : si $w \in \Lambda^p E$, Aut$(w)$ est le sous-groupe de $\operatorname{Gl}(E)$ des automorphismes $f$ de
$E$ qui laisse $w$ invariant : $\Lambda^p f(w) = w$. Soit maintenant $w$ une forme $p$-linéaire
alternée sur $E$ : on appelle $D(w)$ l'ensemble des applications linéaires $d : E \to E$
telles que $\sum_{i=1}^{p} w(x_1, \dots, x_{i-1}, dx_i, x_{i+1}, \dots, x_p) = 0$ quels que soient $x_1, \dots, x_p$
dans $E$ : c'est une $K$-algèbre de Lie et, en caractéristique 0, l'algèbre de Lie du
groupe algébrique Aut$(w) = \{f | f \in \operatorname{Gl}(E) \text{ et } w(fx_1, \dots, fx_p) = w(x_1, \dots, x_p) \forall x_1, \dots, x_p \in E\}$.

Un troisième invariant a été introduit par B. Kahn ([10]), le commutant de w.
Si w ∈ Λ^pE*, on désigne par C(w) le sous-ensemble de End_K(E) formé des f : E →
E telles que les p applications w_i : (x_1, ..., x_p) ↦→ w(x_1, ..., x_{i-1}, f x_i, x_{i+1}, ..., x_p)
sont égales (i.e. ne dépendent pas de i). Nous montrerons que C(w) est une K-
algèbre qui possède des propriétés intéressantes.

1.6. Dans [15] sont définis, à la suite de [11], des covariants algébriques de certaines
formes trilinéaires alternées de rang 6 et 7 qui permettent de mieux les comprendre.
On peut généraliser à certains couples (p, n) ces deux constructions.

Dans le premier cas soit $w \in \Lambda^p E^*$ où $\dim E = 2p$ : si $f \in E^*$ et $x \in E$, $f w d_x(w)$ est dans l'espace vectoriel $\Lambda^{2p} E^*$ de dimension 1. L'application $(f, x) \mapsto f w d_x(w)$ est bilinéaire et induit une application linéaire $t_w : E^* \otimes E \to \Lambda^{2p} E^*$. La transposée de $t_w$ est un élément de $\operatorname{Hom}(\Lambda^{2p} E, E^* \otimes E)$ qui est 0 ou qui détermine une droite $D$ dans $E^* \otimes E \simeq \operatorname{End}_K(E)$ ; on peut donc associer à $w$ une application linéaire $U_w : E \to E$ déterminée à une homothétie près qui est un covariant de $w$. Si $p$ est pair, on verra que c'est une homothétie mais le cas $p=3$ montre qu'on peut en espérer une information plus riche quand $p$ est impair.

Dans le second cas, on généralise le covariant quadratique associée à un
trivecteur de rang 7 : soit $w \in \Lambda^{2h+1} E^*$ où $E$ est un espace vectoriel de dimension
$6h+1$. Soit $x \in E$ ; $d_x(w) \in \Lambda^{2h} E^*$ et si $f \in E^*$ vérifie $f(x) = 1$, $f \gamma_3(d_x(w))$
elément de $\Lambda^{6h+1} E^* = \text{dét } E^*$ ne dépend pas de $f$ et dépend quadratiquement de $x$.
Comme $\Lambda^{6h+1} E^*$ est de dimension 1, on obtient une droite de formes quadratiques
sur $E$, généralisant la construction de [15].

§2 - Commutant et dérivations
Dans ce paragraphe, nous développons les propriétés de $C(w)$ et de $D(w)$ définis en 1.5. généralisant des résultats de [10].

Rappelons que, si $w \in \Lambda^p E^*$, $C(w)$ est l'ensemble des endomorphismes $f$ de $E$ tel que $w(x_1, \dots, x_{i-1}, fx_i, x_{i+1}, \dots, x_p)$ ne dépend pas de l'entier $i$ mais seulement des $x_i$. On suppose naturellement $p \ge 3$ ; il suffit alors de supposer que $w(x_1, fx_2, x_3, \dots, x_p) = w(fx_1, x_2, x_3, \dots, x_p)$. Si $f \in C(w)$, il est clair que la fonction $(x_1, \dots, x_p) \mapsto w(fx_1, x_2, \dots, x_p)$ qu'on notera $w_f$ est $p$-linéaire alternée.

**2.1. Proposition.** $C(w)$ est une sous-algèbre unitaire de $End_K(E)$ et $f \mapsto w_f$ est une application linéaire de $C(w)$ dans $\Lambda^p E^*$.

Comme $w$ est linéaire, $C(w)$ contient les homothéties et est stable par multiplication par un scalaire et par addition. La linéarité de $f \mapsto w_f$ est claire. Supposons donc que $f$ et $g$ sont dans $C(w) : w(fgx_1, x_2, x_3, \dots, x_p) = w(gx_1, x_2, fx_3, x_4, \dots, x_p) = w(x_1, gx_2, fx_3, x_4, \dots, x_p)$ montre que $fg \in C(w)$ et on voit bien la nécessité de l'hypothèse $p \ge 3$.

**2.2. Proposition.** $\text{Hom}_K(E, R_w)$ est un idéal bilatère $I$ de $C(w)$ et le quotient $C(w)/I$ est commutatif ; $I$ est le noyau de l'application linéaire $f \mapsto w_f$.

$I$ est contenu dans $C(w)$ car $w(x_1, \dots, fx_i, \dots, x_p) = 0$ si $f \in I$ et réciproquement si $w_f = 0$, $f(x) \in R_w$ quel que soit $x$ dans $E$, de sorte que $I$ est bien le noyau de $f \mapsto w_f$. C'est aussi un idéal à droite de $C(w)$ car c'en est un dans $\text{End}_K(E)$. Pour voir que c'est un idéal à gauche de $C(w)$, soit $g \in C(w)$ et $f \in I : w(gfx_1, x_2, \dots, x_p) = w(fx_1, gx_2, x_3, \dots, x_p) = 0$ car $fx_1 \in R_w$. Enfin soient $f$ et $g$ dans $C(w) : w(fgx_1, x_2, \dots, x_p) = w(gx_1, fx_2, \dots, x_p) = w(x_1, gfx_2, \dots, x_p)$ est aussi égal à $w(x_1, fgx_2, \dots, x_p)$ donc $fg - gf \in I$, ce qui montre que $C(w)/I$ est commutatif.

On suppose désormais $E$ de dimension finie.

**2.3. Proposition.** Soit $w$ une $p$-forme non dégénérée : $C(w)$ est une $K$-algèbre commutative produit direct fini d'anneaux locaux commutatifs et il existe une décomposition de $E$ en somme directe de sous-espaces vectoriels $E_{i,1 \le i \le k}$, et des formes $p$-linéaires $w_i \in \Lambda^p E_i^*$ telles que $w = w_1 + w_2 + \dots + w_k$ et $C(w)$ est produit des anneaux locaux $C(w_i)$.

Comme $R_w = 0$, $C(w)$ est commutatif d'après 2.2. $E$ étant de dimension finie, $C(w)$ l'est aussi ; c'est donc un produit fini d'anneaux locaux commutatifs et $1_E = e_1 + e_2 + \dots + e_k$ où les $e_i$ sont des idempotents de $C(w)$, orthogonaux deux à deux et indécomposables. Soit $E_i = e_i E : E = \bigoplus_i E_i$ ; si $x \in E_i$ et $y \in E_j$, $w(x, y, x_3, \dots, x_p) = w(e_i x, e_j y, x_3, \dots, x_p) = w(x, e_i e_j y, x_3, \dots, x_p) = 0$.

Il en résulte que $w = w_1 + \dots + w_k$ où $w_i$ est la restriction de $w_i$ à $E_i$ ; on vérifie que $R_{w_i} = 0$ et que $C(w_i) = C(w)e_i$.
Remarquons que si $f \in C(w)$, ses parties semi-simples et nilpotentes sont dans $C(w)$ car ce sont des polynômes en $f$. On dira que $w$ est indécomposable (resp. absolument indécomposable) si $C(w)$ est local (resp. le reste par extension des scalaires). Si $w$ est indécomposable, $f \in C(w)$ est inversible si et seulement si sa partie semi-simple $f_s$ est non nulle. Cela montre que l'application $f \mapsto f_s$ est un endomorphisme idempotent de $C(w)$ dont le noyau est le radical $N$ de $C(w)$ et dont l'image est un sous-corps $L$ de $C(w)$, isomorphe à $C(w)/N$ et extension algébrique finie de $K$. Comme $C(w)$ commute à l'extension des scalaires, $L$ coïncide avec $K$ si $w$ est absolument simple. Dans le cas général, $V$ est un $L$-espace vectoriel de dimension finie et $C(w)$ une $L$-algèbre. Si $L$ est séparable, il existe une extension $M$ de $K$ telle que $L \otimes_K M \simeq M \times \dots \times M \dim L$ fois et la forme $w_M$ obtenue par extension des scalaires de $K$ à $M$ est décomposable en somme orthogonale de $h = \dim L$ formes sur des sous-espaces vectoriels de $V \otimes_K M = V_M$. Nous allons étudier plus en détail les formes absolument indécomposables : $A = C(w) = K \oplus N$ et regardons le cas où $\dim N = 1$. $A = K[\varepsilon]$ avec $\varepsilon^2 = 0$ est l'algèbre des nombres duaux. Alors $E$ est un $A$-module de type fini et de l'inclusion $0 \subset \text{Im } \varepsilon \subset \text{Ker } \varepsilon \subset E$, on déduit qu'il existe des entiers $n_1$ et $n_2$ tels que $E \simeq A^{n_1} \oplus A^{n_2}$ en tant que $A$-module.

Soit alors $w' : Ep \to A$ l'application définie par $w'(x_1, x_2, \dots, x_p) = w(\varepsilon x_1, x_2, \dots, x_p) + \varepsilon w(x_1, \dots, x_p)$ qu'on écrit $w' = w_\varepsilon + \varepsilon w$.

## 2.4. Lemme. $w'$ est une forme $A$-multilinéaire alternée non dégénérée sur $E$.

La seule propriété non immédiate est la $A$-linéarité : $w'(\varepsilon x_1, x_2, \dots, x_p) = w(\varepsilon^2 x_1, x_2, \dots, x_p) + \varepsilon w(\varepsilon x_1, \dots, x_p) = \varepsilon w(\varepsilon x_1, x_2, \dots, x_p) = \varepsilon[w(\varepsilon x_1, x_2, \dots, x_p) + \varepsilon w(x_1, \dots, x_p)]$.

Soit $d : A \to K$ la dérivation définie par $d(a + b\varepsilon) = b$ : alors $w = d \circ w'$ : $Ep \xrightarrow{w'} A \xrightarrow{d} K$. Ainsi il y a une bijection naturelle entre les triples $(E, w, \varepsilon)$ et $(E', w')$ où $w$ est une forme $p$-linéaire alternée non dégénérée sur $E$ et $\varepsilon$ un élément de carré nul de $C(w)$ et où $E'$ est un $A$-module de type fini et $w'$ une $A$-forme $p$-linéaire alternée non dégénérée sur $E'$.

Une classe de tels exemples s'obtient ainsi : soit $(E_0, w_0)$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie munie d'une $p$-forme alternée non dégénérée : on pose $E' = E \otimes_K A$ et $w'$ la forme déduite de $w_0$ par extension des scalaires. Alors

$$w'((x_i + \varepsilon y_i)) = w_0(x_1, \dots, x_p) + \sum_{i=1}^{p} w_0(x_1, \dots, x_{i-1}, y_i, x_{i+1}, \dots, x_p)$$

où $x_i, y_i \in E_0$. Sur le $K$-espace vectoriel $E_1 = E_0 \oplus \varepsilon E_0$, on obtient une $p$-forme non dégénérée $w = d \circ w'$ : c'est une forme scindable qu'on peut décrire ainsi. Dans $\Lambda^p(E_0 \oplus E_0)^*$, on considère le sous-espace vectoriel $E_0^* \otimes \Lambda^{p-1} E_0^* \simeq \text{Hom}(E_0, \Lambda^{p-1} E_0^*)$ : à $w_0$ est associée l'application de $E_0$ dans $\Lambda^{p-1} E_0^*$ définie
par $x \mapsto d_x(w_0)$. Alors $w$ correspond exactement à cette application par les isomorphismes naturels.

Une autre classe d'exemples est la suivante : soit $L$ une extension étale de $K$ (produit fini d'extensions algébriques séparables) et soit $E = L^p$. Sur $E$, il y a une forme $p$-linéaire canonique le déterminant noté $\det : E \to L$. Pour toute forme linéaire $f : L \to K$, dont le noyau ne contient aucune sous-algèbre de $L$ on considère sur $E$, la forme $p$-linéaire $w = f \circ \det : E^p \to K$ où $E$ est considéré comme un $K$-espace vectoriel.

**2.5. Proposition.** $w$ est une forme $p$-linéaire alternée non dégénérée sur $E$ telle que $C(w) = L$.

Il est clair que $C(w)$ contient $L$; si on étend les scalaires à une clôture séparable $\overline{K}$ de $K$, $L$ devient $\overline{K}^m$, $m = \dim_K L$ et $w$ la somme directe de $m$ formes déterminant sur $\overline{K}^p$. Alors $C(\overline{w}) = \overline{K}^m$; comme $C(w) \otimes_K \overline{K}$ s'injecte dans $C(\overline{w})$ et que $\dim_K L = \dim_K C(\overline{w})$, $C(w)$ est exactement égal à $L$.

Notons le résultat suivant dû à B. Kahn ([10]).

**2.6. Proposition.** *Supposons que $C(w)$ est une $K$-algèbre étale :*

$$ \dim E \geq p \dim C(w). $$

On peut supposer $K$ algébriquement clos; alors $C(w) \simeq K^m$, $E = \bigoplus_{i=1}^m E_i$ et $w = w_1 + \dots + w_m$ où $w_i \in \Lambda^p V_i^*$ est non dégénérée. Comme $\dim E_i \geq p$, on a bien $\dim E \geq p m = p \dim C(w)$.

Nous allons généraliser ce résultat à d'autres cas, quand $C(w)$ n'est plus étale. On suppose que $K$ est algébriquement clos. Rappelons qu'une $K$-algèbre semi-locale de dimension finie $A$ est dite frobeniusienne si le $A$-module $A^* = \operatorname{Hom}(A, K)$ est isomorphe à $A$. En voici deux caractérisations :

**2.7. Proposition.** 1) $A$ est frobeniusienne si et seulement si il existe une forme bilinéaire symétrique non dégénérée $B : A \times A \to K$ telle que $B(ab, c) = B(a, bc)$ quels que soient $a, b$ et $c$ dans $A$.

2) $A$ est frobeniusienne si et seulement si le socle $S$ de $A$ (l'annulateur dans $A$ de l'idéal maximal $N$) est de dimension 1.

Si $A^*$ est isomorphe à $A$, on en déduit aisément une forme bilinéaire sur $A$ vérifiant les conditions voulues; pour la seconde partie, cela découle d'un isomorphisme naturel entre $A^*/NA^*$ et le socle $S$ de $A$.

Des exemples d'anneaux fröbeniusiens sont : $\Lambda_0 E = \bigoplus_{k \geq 0} \Lambda^{2k} E$ où $\dim E$ est finie paire ; $K[T_1, \dots, T_k]/(T_1^{n_1}, \dots, T_k^{n_k})$ ou encore $A = K \oplus V \oplus K$ où $V$ est muni d'une forme bilinéaire symétrique non dégénérée $B_0$ et le produit est donné
par $(\lambda, v, \mu)(\lambda', v', \mu') = (\lambda\lambda', \lambda v' + \lambda'v, \lambda\mu' + \lambda'\mu + B_0(v, v'))$. Alors $A$ est locale,
$N = V \oplus K$ et $S = \{(0, 0, \mu)|\mu \in K\}$, donc $A$ est frobeniusienne.

**2.8. Théorème.** Soit $w \in \Lambda^p E^*$ une forme p-linéaire alternée non dégénérée telle que $A = C(w)$ est frobeniusienne : dim $E \ge p$ dim $C(w)$.

Considérons l'application de $E^p \times A$ dans $K$ définie par $(x_1, \dots, x_p, a) \mapsto w(ax_1, x_2, \dots, x_p) = w_a(x_1, \dots, x_p)$. Elle est $K$-multilinéaire, alternée par rapport aux $x_i$. Elle induit donc une application $\varphi : E^p \to A^* = \operatorname{Hom}(A, K)$ qui est $A$-p-linéaire alternée : pour $x_1, \dots, x_p$ fixés dans $E$ $\varphi(a.x_1, \dots, x_p) = (a.\varphi)(x_1, \dots, x_p)$. Il suffit de le vérifier sur un élément $b$ de $A : \varphi(a.x_1, \dots, x_p)(b) = \varphi(b ax_1, x_2, \dots, x_p)$ et $(a.\varphi)(x_1, \dots, x_p)(b) = \varphi(x_1, \dots, x_p)(ab) = \varphi(abx_1, x_2, \dots, x_p)$ coïncident. On en déduit une application $A$-linéaire $w' : \Lambda_A^p E \to A^*$ qui est surjective, sinon il existerait $a$ non nul dans $A$ tel que $\varphi(x_1, \dots, x_p)(a) = 0$ pour tous $x_1, \dots, x_p$ dans $E$, donc $w(ax_1, x_2, \dots, x_p) = 0$. Comme $w$ est non dégénérée, $a.x_1 = 0$ et $a = 0$. Comme $A$ est frobeniusienne, $A^* \xrightarrow{\sim} A$ et $u \circ w' : \Lambda_A^p E \to A$ est surjectif : il existe $(x_1, \dots, x_p)$ dans $E$ tels que $u \circ w'(x_1, \dots, x_p) = 1$. Le sous $A$-module de $E$ engendré par $x_1, \dots, x_p$ est libre de rang $p : E$ contient $A^p$ et dim $E \ge p$ dim $A$.

On peut construire un exemple de couple $(E, w)$ tel que $C(w) = A$ est un anneau frobeniusien en généralisant 2.5 : soit $E = A^p$ et $\pi : A \to K$ une forme linéaire non nulle sur le socle de $A$. Alors $w = \pi \circ \text{dét}_A : E = A^p \to K$ est une $K$-forme p-linéaire alternée non dégénérée sur $E$ dont le commutant $C(w)$ est égal à $A$, comme on l'a montré en 2.5.

Une question naturelle se pose : y-a-t-il des *p*-formes alternées $w$ telles que $C(w)$ ne soit pas frobeniusienne ? et, dans ce cas $a$-t-on encore $r(w) \ge p$ dim$C(w)$ ? L'exemple le plus simple à traiter est celui où $A = K \oplus N$ ou $N$ est un idéal à produit nul avec dim $N \ge 2$. Nous nous intéressons désormais à l'algèbre de Lie $D(w)$ introduite en 1.5, $D(w) = \{d : E \to E | \sum_{i=1}^{p} w(x_i, \dots, x_{i-1}, dx_i, x_{i+1}, \dots, x_p) = 0\}$. Pour simplifier, on supposera que $p=3$ sans restreindre la généralité du propos.

**2.9. Proposition.** Soit $w$ une forme non dégénérée, $f \in C(w)$ et $d \in D(w)$ : alors $[d, f] = d \circ f - f \circ d \in C(w)$. Si $C(w)$ est étale, $[d, f] = 0$ et $D(w)$ est une $C(w)$-algèbre de Lie.

La première affirmation se vérifie aisément : supposant $p=3$, $w(fdx, y, z) = w(dx, fy, z) = -w(x, dfy, z) - w(x, fy, dz) = -w(x, dfy, z) - w(fx, y, dz) = -w(x, dfy, z) + w(fx, dy, z) + w(dfx, y, z) = -w(x, dfy, z) + w(x, fdy, z) + w(dfx, y, z)$ soit $w((fd - df)x, y, z) = w(x, (fd - df)(y), z)$.

Le reste de la proposition provient du

**2.10. Lemme.** Si $V = V_1 \oplus V_2$ et $w = w_1 + w_2$, $w_i \in \Lambda^p V_i^*$, non dégénérés, $D(w) = D(w_1) \times D(w_2)$.
Il suffit de montrer que si $d = \begin{pmatrix} 0 & d_{21} \\ d_{12} & 0 \end{pmatrix} \in \text{End}_K(V_1 \oplus V_2)$ est une dérivation de $w$, $d = 0$. Prenons alors $x \in V$, $y$ et $z \in V_2$: on a $w(x, dy, z) = w(x, y, dz) = 0$ car $dy$ et $z$ (resp. $y$ et $dz$) sont dans deux sous-espaces orthogonaux. On a donc $w(dx, y, z) = 0$ quels que soient $y$ et $z$ dans $V_2$ et donc $d_{12} = 0$; de la même façon on montre que $d_{21} = 0$.

Pour démontrer 2.9, nous supposons $C(w)$ étale; quitte à faire une extension des scalaires, on peut supposer que $C(w) = K^n$ et $w$ est somme orthogonale de $n$ formes non dégénérées $w_i$. Alors $D(w) = \prod_i D(w_i)$ et tout élément de $C(w)$ est une homothétie sur le support de $w_i$ d'où $[d, f] = 0$ si $d \in D(w)$ et $f \in C(w)$. Il est immédiat de vérifier aussi que $f \circ d \in D(w)$, c'est-à-dire que $D(w)$ est une $C(w)$-algèbre.

### §3 - Trivecteurs et formes de rang 6

3.1. En dimension petite, les 3-vecteurs, comme les $p$-vecteurs se classent facilement : si $\dim E < p$, $\Lambda^p E = \{0\}$ et si $\dim E = p$, $\Lambda^p E$ est de dimension 1. En dimension $p$, il n'y a qu'une classe de $p$-vecteurs non nuls : si $w \in \Lambda^p E \setminus \{0\}$, il existe $\{e_1, \dots, e_p\}$ base de $E$ telle que $w = e_1 e_2 \dots e_p$. Alors Aut $w = \text{Sl}(E) = \{f \mid \text{dét } f = 1\}$, $C(w) = K$ et $D(w) = \text{sl}(E)$ qui est simple si la caractéristique de $K$ ne divise pas la dimension de $E$.

Il n'y a pas de $p$-vecteurs de rang $p+1$ : tout $p$-vecteur non nul $w$ de $\Lambda^p E$, $\dim E = p+1$, est produit de $p$ vecteurs linéairement indépendants et $S_w = \text{Ker } (E \xrightarrow{u} \Lambda^{p+1} E)$ où $u(x) = xw$. En rang $p+2$, il y a de nouvelles classes de $p$-vecteurs ; il y a un isomorphisme naturel entre $\Lambda^p E$ et $\Lambda^2 E^* \otimes \Lambda^{p+2} E$ par le produit $\Lambda^p E \times \Lambda^2 E \to \Lambda^{p+2} E$ car ce dernier espace est de dimension 1. Nous supposons désormais $p=3$ : si $\dim E = 5$, un trivecteur $w$ de rang maximal est nécessairement divisible par un vecteur $e_1 : w = e_1 u$ où $u$ est un bivecteur de rang 4. On peut choisir pour $S_u$ tout supplémentaire de $K e_1$ dans $E$ et il existe une base $(e_i)$, $1 \le i \le 5$, de $E$ telle que $w = e_1(e_2 e_3 + e_4 e_5)$. Pour le rang 6, la classification est plus délicate et nous rappelons les principaux résultats de [14].

3.2. **Lemme.** *Tout élément de rang 6 de $\Lambda^3 E$ est 2-scindable.*

Comme nous l'avons dit en 1.4, la classification des 3-vecteurs de rang 6 se fait à partir de celle des sous-espaces vectoriels $V$ de dimension 2 de $\Lambda^2 K^4$, étudiés en [14]. Si $K$ est quadratiquement clos, deux cas se présentent : géométriquement, la droite $D$ associée à $V$ dans $\mathbb{P}(\Lambda^2 K^4)$ rencontre la grasmanienne $G_{2,4}$ (quadrique de Plücker $p_{12}p_{34} - p_{13}p_{24} + p_{14}p_{23} = 0$) en deux points distincts ou bien en un point double (elle est alors tangente à $G_{2,4}$), d'où :

3.3. **Lemme.** *Sur un corps quadratiquement clos, il y a deux classes d'isomorphisme*
de 3-vecteurs de rang 6. Dans une base $e_i$, $1 \le i \le 6$, de $E$ ils s'écrivent

$$ 
\begin{aligned}
w_1 &= e_1 e_2 e_3 + e_4 e_5 e_6 \\
w_2 &= e_1 e_2 e_4 + e_2 e_3 e_5 + e_1 e_3 e_6
\end{aligned}
 $$

Sur un corps arbitraire, les deux cas se décomposent ainsi : $D$ rencontre $G_{2,4}$ en deux points distincts $K$-rationnels ou définis sur une extension quadratique séparable de $K$ pour $w_1$. Dans le second cas, celui du contact, le point de contact est défini soit sur $K$ pour $w_2$, soit sur une extension quadratique inséparable de $K$ qui est non parfait de caractéristique 2. Cela donne les types suivants. Pour $w_1$ si $K' = K[x]$ avec $x^2 = d$, $d \notin K^{*2}$, car $K \neq 2$ :

$$ w_{1,d} = e_1(e_3e_4 + e_5e_6) + e_2(e_3e_6 - de_4e_5) $$

Si car $K=2$, le même $K' = K[x]$ avec $x^2 = d \notin K^{*2}$ est une extension inséparable de $K$ et l'expression donnée plus haut est un 3-vecteur $w_{2,d}$ de type $w_2$.

Si car $K=2$, $K' = K[x]$ avec $x^2 = x + a$, $a \notin \{\alpha^2 + \alpha | \alpha \in K\} = p(K)$, est une extension séparable de $K$ :

$$ w_{1,a} = e_1(e_3e_4 + ae_5e_6) + e_2(e_3e_6 + e_4e_5 + e_5e_6) $$

est une classe de type $w_1$.

**3.4.** Cette description des orbites du groupe $Gl_6(K) \simeq Gl(E)$ agissant sur l'espace vectoriel $\Lambda^3 K^6 \simeq \Lambda^3 E$ peut se faire autrement dans le langage des formes 3-linéaires alternées et cela nous donnera les invariants $C(w)$, Aut$w$ et $D(w)$. Soit pour cela $L$ une extension quadratique séparable de $K$ (éventuellement $K \times K$) et $F$ un $L$-espace vectoriel de dimension 3. Choisissons une base $(f_1, f_2, f_3)$ de $F$ et soit $\varphi : \Lambda_L^3 F \to L$ la forme déterminant normalisée par $\varphi(f_1, f_2, f_3) = 1$. Soit alors $\mathrm{Tr}_L : L \to K$ la forme trace et $w_L = \mathrm{Tr}_L \circ \varphi : E \times E \times E \to K$ ; c'est une forme $K$-multilinéaire alternée de rang 6 sur $E = F$ considéré comme espace vectoriel sur $K$. Un calcul explicite montre qu'en choisissant convenablement une $K$-base de $E$ et en écrivant $L = K[x]$ avec $x^2 = d$ ou $x^2 = x + a$ suivant la caractéristique, on trouve pour expression de $w_L$, $w_{1,d}$ ou $w_{1,a}$ et si $L = K \times K$, $w_L = w_1 = e_1 e_2 e_3 + e_4 e_5 e_6$.

Pour obtenir $w_{2,d}$ en caractéristique 2, on emploie un procédé parallèle : $K' = K[x]$ avec $x^2 = d$. Soit $F = K^{\prime 3}$, $\varphi : \Lambda_K^3 F \to K'$ la forme déterminant canonique et $w_{K'} : F \times F \times F \to K$ la composée de $\varphi$ et de la dérivation $d : K' \to K$ définie par $d(x) = 1$ et $d(1) = 0$. (Si $K$ est parfait, $K'$ est remplacé par $K[\varepsilon]$ avec $\varepsilon^2 = 0$ et $d(a + b\varepsilon) = b$). Alors $w_{K'}$ est une forme $K$-multilinéaire alternée sur le $K$-espace vectoriel de dimension 6, $K^{\prime 3}$ dont l'expression dans une base convenable est $w_{2,d}$ (respectivement $w_2$ si $K' = K[\varepsilon]$).
Dans ces deux cas, il devient facile de déterminer $C(w)$ : en effet si $\alpha \in L$ ou $K'$,

$$ \varphi(\alpha x_1, x_2, x_3) = \alpha \varphi(x_1, x_2, x_3) = \varphi(x_1, \alpha x_2, x_3) $$

et la multiplication par $\alpha$ dans $F$ est un élément de $C(w_L)$ ou de $C(w_{K'})$. Donc $L$ (resp. $K'$) s'injecte dans $C(w_L)$ (resp. $C(w_{K'})$).

Comme on l'a vu en 2.8, on a nécessairement $C(w_L) = L$ d'où

**3.5 Théorème.** Soit $w \in \Lambda^3 E^*$ une forme 3-linéaire alternée de rang 6. La $K$-algèbre $C(w)$ est frobeniusienne de rang 2 et caractérise la classe d'équivalence de $w$ sous l'action du groupe linéaire $Gl(E)$.

On peut en déduire le groupe $Aut\,w_L$ : on suppose tout d'abord que $L$ est séparable. Si $L = K \times K$, $w_L = w_1$ dont le groupe des automorphismes est produit semi-direct de $Sl_3(K) \times Sl_3(K)$ (groupe des automorphismes de $K^6$ qui laissent invariants $e_1e_2e_3$ et $e_4e_5e_6$) par le groupe $Z/(2)$ correspondant à la permutation de ces deux 3-vecteurs. Si $L$ est un corps extension séparable de $K$, le groupe $Sl_3(L)$ est un sous-groupe de $Aut\,w_L$ car il fixe $\varphi : \varphi(ux, uy, uz) = (dét\,u)\varphi(x, y, z)$ si $u \in Gl_L(F)$. De même la conjugaison $s$ de $L$ sur $K$ induit un $K$-automorphisme involutif $\bar{s}$ de $F$ qui laisse invariant la base canonique de $F$. On a alors $\varphi(\bar{s}x, \bar{s}y, \bar{s}z) = s(\varphi(x, y, z))$ de sorte que $\bar{s} \in Aut\,w_L$ ; alors $Aut\,w_L$ est produit semi-direct de $Sl_3(L)$ par $\{1, \bar{s}\} \simeq Z/(2) \simeq Gal(L/K)$.

Le groupe des automorphismes de $w_2$ (et de $w_{2,d}$) contient $Sl_3(K[\bar{\varepsilon}])$ (resp. $Sl_3(K')$) mais ne lui est pas égal. Remarquons que par $\varepsilon \mapsto 0$, $K[\bar{\varepsilon}] \to K$, on obtient la suite exacte de groupes

$$ 1 \to sl_3(K) \to Sl_3(K[\bar{\varepsilon}]) \to Sl_3(K) \to 1, $$

où $sl_3(K) \simeq K^8$ est considéré uniquement comme groupe additif. Le groupe $Aut\,w_2$ possède $sl_3(K)$ comme sous-groupe distingué et le quotient est $Gl_3(K)$ : si $\{e_1, e_2, e_3\}$ est une base de $F$ sur $K[\bar{\varepsilon}]$, et $e_{i+3} = \varepsilon e_i$, $w_2 = e_1e_2e_6 - e_1e_3e_5 + e_2e_3e_4$. Alors $F_0 = \varepsilon F$ est stable par $Aut\,w_2$ et on a la suite exacte

$$ 1 \to sl_3(K) \to Aut\,w_2 \to Gl(F_0) \to 1 $$

Le sous-groupe à un paramètre $e_i \mapsto \lambda e_i$ pour $i \le 3$ $e_i \mapsto \mu e_i$ pour $i > 3$ avec $\lambda^2\mu = 1$ est contenu dans $Aut\,w_2$ sans être dans $Gl_3(K(\bar{\varepsilon}))$ car ce n'est pas $K[\bar{\varepsilon}]$-linéaire. On détermine de la même manière $Aut\,(w_{2,d})$ qui est strictement plus grand que $Sl_3(K')$.

**3.6 Les formes trilinéaires alternées de rang 6 de type $w_1$ peuvent s'obtenir à partir des algèbres de Lie semi-simples de dimension 6. Soit $A$ une $K$-algèbre de Lie semi-simple et $k : A \times A \to K$ sa forme de Killing (on supposera pour simplifier $K$ de caractéristique 0) ; à $k$ est associée, la forme trilinéaire alternée
$w : (a, b, c) \mapsto k([a, b], c)$ car $k$ est invariante. De plus $w$ est de radical nul car son
radical est l'orthogonal pour $k$ de l'idéal dérivé.

Supposons $A$ de dimension $6$ ; si $K$ est algébriquement clos, $A \simeq so(4, K) \simeq sl(2, K) \times sl(2, K)$ et la forme $w$ est $w_1$. Si $K$ n'est pas algébriquement clos, $w$ devient isomorphe à $w_1$ par extension des scalaires donc est du type $w_{1,d}$. On sait qu'alors le centroïde de $A$, (c'est la sous-algèbre de $End_K(A)$ formée des applications linéaires qui commutent avec les opérateurs adjoints cf. [12]), qui est $C(w)$, est une extension quadratique séparable $L$ de $K$ de sorte que $A$ est une $L$-algèbre de Lie simple de dimension $3$. Alors $A = so(\varphi_L)$ où $\varphi_L$ est une $L$-forme quadratique non dégénérée de rang $3$ et $k : A \times A \to K$ est la forme $\mathrm{Tr}_{L/K} \circ k_L$.

Pour la forme trilinéaire $w_2$, on a une interprétation analogue sur un corps de caractéristique différente de $2$. On considère l'algèbre de Lie $sl_2(K)$ et le produit semi direct $A$ de $sl_2(K)$ par le $sl_2(K)$-module $sl_2(K)^*$. C'est une algèbre de Lie de dimension $6$ sur laquelle la forme hyperbolique canonique $(\cdot, \cdot)$ est invariante par les opérateurs adjoints. Comme $D(A) = A$, le produit mixte $w$ défini comme plus haut par $w(a, b, c) = ([a, b], c)$ est une forme trilinéaire alternée de rang $6$ et un calcul direct montre que $w \simeq w_2$. On a aussi

**3.7. Proposition.** *L'algèbre de Lie $D(w_1)$ est isomorphe à $sl_3(K) \times sl_3(K)$. Celle de $w_{1,d} = w_L$ est isomorphe à $sl_3(L)$ où $L$ est l'extension quadratique $C(w)$.*

Pour $w_1$, c'est immédiat par exemple en utilisant 2.10. Pour $w_{1,d} = \omega_L$, on sait déjà que $D(w)$ est une $L$-algèbre de Lie par 2.9. Par extension des scalaires $D(w) \otimes_K L \simeq sl_3(L) \times sl_3(L)$; donc $D(w)$ est semi-simple et de dimension $8$, soit $sl_3(L)$, soit une $L$-forme non décomposée de $sl_3 : sl(D)$ ou $su(\varphi)$ où $\varphi$ est hermitienne de rang 3. Ces deux cas sont impossibles : $D \otimes_K L$ est un corps gauche de centre $L$ et $su(\varphi) \otimes_K L = su(\varphi_L)$ reste simple.

**3.8. Proposition.** a) Si $\mathrm{car}(K) \neq 2$, l'algèbre de Lie $D(w_2)$ vérifie la suite exacte :

$$0 \to K^8 \to D(w_2) \to gl_3(K) \to 0$$

b) Si $\mathrm{car}(K) = 2$, $D(w_2) = Kv \oplus H$ où $v^2 = 0$ et $v$ est de rang 3 et $H$ vérifie la suite exacte d'algèbres de Lie :

$$0 \to K^8 \to H \to gl_3(K) \to 0.$$

a). On détermine $D(w_2)$ en caractéristique différente de $2$ en remarquant que c'est le noyau de l'homomorphisme $\mathrm{Aut}(w_2)_{K[\epsilon]} \to \mathrm{Aut}(w_2)_K : \epsilon \mapsto 0$.

On a les suites exactes :
<figure><img src="image_1.png" /></figure>

d'où la suite exacte d'algèbres de Lie.

$$0 \to K^8 \to D(w_2) \to gl_3(K) \to 0$$

Ainsi $D(w_2)$ est produit semi-direct de $gl_3(K)$ par la représentation adjointe restreinte à $K^8 = sl_3(K)$.

On peut obtenir le résultat a) autrement : en effet on sait que $C(w_2) = K[\epsilon]$ où $\epsilon^2 = 0$ est de rang 3, $V_0^* = \{x \in E^*/w_2(x)\}$ est de rang 3} $\cup \{0\}$ est un sous-espace vectoriel de $E^*$, de dimension 3, stable par Aut($w_2$). On a $E = V_0 \oplus \epsilon V_0$ et $w_2 \in (\epsilon V_0)^* \otimes \Lambda^2(V_0^*)$ ; notons aussi $\epsilon$ l'élément correspondant dans $gl_3(K)$ à l'isomorphisme $\epsilon : V_0 \to \epsilon V_0$.

Alors si $\mathrm{car}(K) \neq 2$ et si $f \in D(w_2)$ sa matrice $M(f)$ est de la forme $\begin{pmatrix} A & 0 \\ B & C \end{pmatrix}$, par conséquent l'application linéaire $\psi : D(w_2) \to gl_3(K)$ définie par $\psi(M) = C$, est un homomorphisme d'algèbres de Lie, surjectif et de noyau $sl_3(K)$.

b) En caractéristique 2, tout élément $f$ de $D(w_2)$ s'écrit d'une manière unique $f_1 + f_2$ où $f_1 \in Kv, v$ étant l'isomorphisme réciproque de $\epsilon : V_0 \to \epsilon V_0$, et $f_2$ appartient à la sous-algèbre de Lie $H$ formée des matrices $M = \begin{pmatrix} A & 0 \\ B & C \end{pmatrix}$ telles que $C \in sl_3(K), B \in \epsilon sl_3(K)$ et $A = A_0 - \lambda_3 I_3$ avec $\lambda_3 \in K$ et $A_0 = (a_{ij}) \in gl_3(K), a_{33} = 0, A$ et $C$ vérifiant la relation $A + \mathrm{Tr}(A)I_3 = \epsilon^{-1}C\epsilon$.

Alors l'application linéaire $\varphi : H \to sl_3(K) \times K$ définie par $\varphi(M) = (C, \lambda_3)$ est un homomorphisme d'algèbres de Lie, surjectif et de noyau $sl_3(K)$, d'où la suite exacte :

$$0 \to K^8 \to H \to gl_3(K) \to 0.$$

**3.9.** Un covariant peut être associé à un trivecteur de rang 6. Plus généralement soit $w \in \Lambda^k E$ où $E$ est un espace vectoriel, $n = 2k$. Si $f \in E^*$ et $x \in E$, l'application $(x, f) \mapsto xwd_f(w)$ induit une application linéaire $t_w : E \otimes E^* \to \Lambda^{2k} E$ c'est à dire un élément $U_w$ de $E^* \otimes E \otimes \Lambda^{2k} E \simeq \mathrm{End}_K(E) \otimes \Lambda^{2k} E$.
Si $k$ est pair, ou si $k$ est impair supérieur ou égal à 3 et $K$ de caractéristique 2, $w$ possède des puissances divisées et on a $x w d_f(w) = f(x)\gamma_2(w)$. Comme les deux membres de l'égalité sont quadratiques en $w$, il suffit de vérifier le résultat sur une base convenable de $\Lambda^k E$, ainsi que la relation polarisée. Soit $e_i$, $1 \le i \le 2k$, une base de $E$ et $e_I = e_{i_1}e_{i_2}\dots e_{i_k}$, $1 \le i_1 < i_2 < \dots < i_k \le 2k$ la base de $\Lambda^k E$ qu'on en déduit : $\gamma_2(e_I) = 0$ et $e_I d_f(e_I) = 0$ quel que soit $f$. La relation polarisée est vraie également pour $e_I$ et $e_J$ si $I \cap J \neq \emptyset$; reste le cas où $I$ et $J$ sont deux parties complémentaires de $\{1, \dots, 2k\}$, par exemple $I = \{1, \dots, k\}$ et $J = \{k+1, \dots, 2k\}$. On vérifie la propriété cas par cas en prenant $x = e_i$, $f = e_i^*$ et en calculant $e_i e_I d_{e_i^*}(e_J) + e_i e_J d_{e_i^*}(e_I)$ : si $i \neq j$, il est clair que c'est 0. Si $i = j$, $e_i e_I = 0$ ou bien $e_i e_I$ ou $e_i e_J = 0$ suivant que $i \le k$ ou non. On supposera $i = 1$ et $e_1 e_J d_{e_i^*}(e_I) = e_1 e_J e_{I-\{1\}} = e_I e_J$.

Cette relation montre que l'élément $U_w$ associé à $w$ est $1_E \otimes \gamma_2(w)$. Dans le cas où on ne dispose pas de puissances divisées de $w$ ($k$ impair et car $K \neq 2$), on peut prendre la trace de $U_w$ en appliquant $\text{End}_K(E) \otimes \Lambda^{2k} E$ dans $\Lambda^{2k} E$ par la trace. Alors $\text{Tr } U_w = 0$: la démonstration est analogue à la précédente. On a $\text{dim } E = 4h + 2 = 2k$ et on prend une base $e_i$, $1 \le i \le 4h + 2$, de $E$: $\text{Tr } U_w = \sum_i e_i w d_{e_i^*}(w)$ dépend quadratiquement de $w$. On démontre que c'est constamment nul en le montrant pour $e_I = e_{i_1}e_{i_2}\dots e_{i_k}$, $1 \le i_1 < \dots < i_k \le 4h+2$ et en montrant que

$$ \sum (e_i e_I d_{e_i^*}(e_J) + e_i e_J d_{e_i^*}(e_I)) = 0 $$

pour deux parties $I$ et $J$ à $k = 2h + 1$ éléments de $\{1, \dots, 2k\}$.

Si $U_w \neq 0$, on peut lui associer une droite $D$ dans $\text{End}_K(E)$ donc un endomorphisme de $E$ ou de son dual $E^*$ par transposition. On a alors si $p = 3$, si $w$ est de rang 6 et si la caractéristique de $K$ diffère de 2.

### 3.10. Théorème. $C(w) = K 1_E \oplus D$.

Notons que $\text{Tr}(U_w) = 0$ signifie que $D$ est formée d'endomorphismes de trace nulle. Pour démontrer le théorème, il suffit de le démontrer si $K$ est algébriquement clos, c'est-à-dire pour $w_1$ et pour $w_2$. Un calcul élémentaire montre que pour $w_1 = e_1 e_2 e_3 + e_4 e_5 e_6$, $e_i w d_{e_i^*} w = 0$ si $i \neq j$, $e_i w d_{e_i^*} w = e_1 e_2 e_3 e_4 e_5 e_6$ si $i \le 3$ et $-e_1 e_2 e_3 e_4 e_5 e_6$ si $i > 3$. Cela montre que $D = Kv$ où $v$ a pour matrice dans la base $(e_i)$ $\text{Diag}(1, 1, 1, -1, -1, -1)$ et donc $K 1_E \oplus D = C(w_1)$. On obtient un résultat analogue pour $w_2 = e_1 e_2 e_4 + e_2 e_3 e_5 + e_1 e_3 e_6$: les seuls $e_i w d_{e_i^*}(w)$ qui ne sont pas nuls sont : $e_4 w d_{e_3^*}(w)$, $e_5 w d_{e_1^*}(w)$ et $e_6 w d_{e_2^*}(w)$ qui valent $-2t, -2t$ et $2t$ où $t = e_1 e_2 e_3 e_4 e_5 e_6$. Cela montre que $D = Kv$ où $v^2 = 0$, et $v$ est de rang 3: on trouve encore $C(w_2) = K 1_E \oplus D$. On peut aussi calculer $e_i w d_{e_i^*} w$ pour les trivecteurs $w_{1,d}$ ce qui est un autre moyen d'obtenir ce résultat.

On peut alors faire un calcul formel : soit $K$ une clôture algébrique du corps $\mathbb{Q}(X_{ijk})$ des fractions rationnelles à $C_6^3$ indéterminées et sur $E = K^6$
soit $w = \sum X_{ijk} e_i e_j e_k$ un 3-vecteur générique. On sait que par changement de base dans $E$, $w$ se met sous la forme de $w_1$ de sorte $C(w) = K1_E \oplus Kv$ et $v^2$ est une homothétie dont le rapport s'exprime polynomialement en fonction des composantes $X_{ijk}$ de $w$. En fait $U_w \in E^* \otimes E \otimes \Lambda^6 E$ donne par produit tensoriel $U_w \otimes U_w \in E^* \otimes E \otimes \Lambda^6 E \otimes E^* \otimes E \otimes \Lambda^6 E$: en contractant ce tenseur au moyen de la trace appliquée au premier facteur $E$ et au second facteur $E^*$, on obtient $\tilde{U}_w$ de $E^* \otimes E \otimes (\Lambda^6 E)^{\otimes 2}$ correspondant à $U_w \circ U_w$. Dire que $v^2$ est une homothétie signifie que $\tilde{U}_w = 1_E \otimes P(w)$ où $P(w)$ est un élément de $(\Lambda^6 E)^{\otimes 2}$ et le principe de prolongement des identités algébriques nous dit que

**3.11. Théorème.** Il existe un élément $P(w) \in \Lambda^6 E \otimes \Lambda^6 E$ dépendant au quatrième degré de $w$ tel que

$$ \tilde{U}_w = 1_E \otimes P(w) $$

En caractéristique 2, $P(w)$ est $\gamma_2(w) \otimes \gamma_2(w)$.

Notons aussi que les covariants $P(w)$ et $C(w)$ peuvent avoir une interprétation topologique. Soit $M$ une variété différentielle réelle munie d'une 3-forme différentielle fermée $w$: en chaque point $x$ de $M$, il y a une forme 3-linéaire alternée, $w_x$, sur l'espace tangent $T_x(M)$. Supposons $M$ de dimension 6 et $w_x$ de rang maximal en chaque point, il est associé à $w$ un faisceau de $\mathbb{R}$-algèbres de fibre en $x$, $C(w_x)$, qui est soit $C$, soit $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$, soit $\mathbb{R}[\varepsilon]$ avec $\varepsilon^2 = 0$ et ceci dépendant du signe du nombre réel $P(w_x)$ (négatif, positif ou nul). Sur l'ouvert $U$ (resp. $V$) des point $x$ de $M$ où $P(w_x) < 0$ (resp. $P(w_x) > 0$) la variété $M$ a une structure presque complexe (resp. presque produit) car $(U_w)_x$ donne un endomorphisme du fibré tangent de carré $sg(P(w_x))$ Id.

## §4 - Trivecteurs de rang 7.

Dans ce paragraphe, nous donnons une démonstration du théorème de classification des 3-vecteurs de rang 7 sur un corps algébriquement clos dû à Schouten et abordons le cas d'un corps quelconque ([17],[4],[15]).

**4.1. Lemme.** Soit $u \in \Lambda^2 V^*$ une forme bilinéaire alternée sur un espace vectoriel de dimension finie. Soit $W$ un sous-espace de codimension $k$ de $V$, $W^0$ son orthogonal dans $V^*$ et $w$ un $k$-vecteur non nul de $\Lambda^k W^0 \subset \Lambda V^*$ : $W$ est totalement isotrope pour $u$ si et seulement si $uw = 0$.

Soit $\{f_1, \dots, f_k\}$ une base de $W^0$ telle que $w = f_1 f_1 \dots f_k$ complétée en une base $\{f_1, \dots, f_n\}$ de $V^*$ et soit $\{e_1, \dots, e_n\}$ la base duale de $V$ : $\{e_{k+1}, \dots, e_n\}$ est une base de $W$. Ecrivons $u = \sum_{1 \le i < j \le n} a_{ij} f_i f_j$ : $uw = 0$ signifie que $a_{ij} = 0$ pour $k < i < j$. Comme $a_{ij} = u(e_i, e_j)$, le lemme s'en déduit.

**4.2. Lemme** ([14]). Soit $H$ un plan vectoriel dans $\Lambda^2 K^5$ non contenu dans $\Lambda^2 V$, pour tout hyperplan $V$ de $K^5$. Alors $H$ possède une base de l'un des types suivants :
$$ \begin{cases} u_1 = e_1 e_2 \\ u_2 = e_2 e_3 + e_4 e_5 \end{cases} \quad \text{ou} \quad \begin{cases} u_1 = e_1 e_2 + e_3 e_4 \\ u_2 = e_1 e_3 + e_4 e_5 \end{cases} $$

où {$e_1, \dots, e_5$} est une base de $K^5$.

Supposons d'abord que $H$ contient un bivecteur $u_1$ de rang 2. Tout bivecteur $u_2$ non collinéaire à $u_1$ est de rang 4 car $H \subset \Lambda^2 (S_{u_1} + S_{u_2})$. Alors $S_{u_1} \cap S_{u_2}$ est une droite $Ke_2$ et on peut écrire $u_1 = e_1 e_2 \quad u_2 = e_2 e_3 + e_4 e_5$ d'où le premier type.

Supposons maintenant que tout élément non nul de $H$ est de rang 4. Soit {$u_1, u_2$} une base de $H : S_{u_1} \cap S_{u_2} = W$ est de dimension 3. Considérons l'application $\pi : \Lambda^2 W \to \Lambda^4 S_{u_1} \oplus \Lambda^4 S_{u_2}$ qui à $v$ associe le couple $(vu_1, vu_2)$. Comme dim $\Lambda^2 W = 3$, Ker $\pi$ est une droite $D = Ke_1 e_4$ de $\Lambda^2 H$ et on peut écrire : $u_i = e_1 x_i + e_4 y_i$. Posons $x_1 = e_2, y_1 = -e_3$ et $y_2 = e_5$ : on a alors $x_2 = \sum_i a_i e_i$. Alors on peut prendre $a_1 = 0$ et absorber $a_5 e_5$ dans $e_4 e_5$ d'où une modification de $e_4$ donc de $e_3$ et $u_2 = e_1(a_2 e_2 + a_3 e_3 + a_4 e_4) + e_4 e_5$ : le terme $a_4 e_4$ disparaît en modifiant $e_5$ en $e_5 - a_4 e_1$ et on a $u_1 = e_1 e_2 + e_3 e_4, u_2 = e_1(a_2 e_2 + a_3 e_3) + e_4 e_5$. Si $a_3$ était nul, $u_1 - a_2 u_2$ serait de rang 2 : par homothétie sur $u_2$ et $e_5$, on peut supposer $a_3 = 1$ et en remplaçant $u_2$ par $u_2 - a_2 u_1$, on achève d'amener la base {$u_1, u_2$} à la forme annoncée.

En utilisant ces préliminaires, nous pouvons démontrer le

**4.3. Théorème (Schouten).** Sur un corps algébriquement clos, il existe cinq classes d'équivalence de 3-vecteurs de rang 7. Dans une base $(e_i)$ de $E$, $1 \le i \le 7$, un représentant de chaque classe est donné par

$$ \begin{align*} w_1 &= e_1(e_2e_3 + e_4e_5 + e_6e_7) \\ w_2 &= w_1 + e_2e_4e_6 \\ w_3 &= e_1e_2e_3 + e_3e_4e_5 + e_5e_6e_7 \\ w_4 &= e_1(e_2e_3 + e_4e_5) + e_2e_4e_6 + e_3e_5e_7 \\ w_5 &= w_2 + e_3e_5e_7. \end{align*} $$

La démonstration utilise l'invariant $d_1(w)$, la classification des 3-vecteurs de rang inférieur et les lemmes précédents. Rappelons que si $d_1(w) = k$, il existe $e_1 \in E - \{0\}, u \in \Lambda^2 E', w' \in \Lambda^3 E'$ où $E'$ est un supplémentaire de $Ke_1$ dans $E$ tels que

$$ w = e_1 u + w' \quad \text{avec} \quad rg(w') = k. $$

Comme dim $E = 7$, l'invariant $d_1(w)$ est un des entiers 0, 3, 5 ou 6 et on étudie successivement les différents cas. Si $d_1(w) = 0$, $w' = 0$ et $w$ est divisible : $u$ est de rang 6 et $w$ est de type $w_1$.

Si $d_1(w) = 3$, $w'$ est décomposable; le rang de $u$ est au moins 4 car $S_w \subset Ke_1 + S_u + S_{w'}$. Si le rang de $u$ vaut 4, dim $S_u \cap S_{w'} = 1$ et on peut écrire dans $E' \quad w' = abc \text{ et } u = aa' + b'c' \text{ où } \{a, b, c, a', b', c'\} \text{ sont six vecteurs}$
de $E'$. Comme $w$ est de rang 7, ils forment une base de $E'$ et en les numérotant, on obtient $w_3$. Si le rang de $u$ est 6 et si $uw' = 0$, le lemme 4.1. permet d'écrire $u = aa' + bb' + cc'$ et $w' = abc$ : en numérotant convenablement $\{a, b, c, a', b', c'\}$ on obtient $w_2$. Si $uw' \neq 0$, soit $E' = E_1 \oplus E_2$ où $S_{w'} = E_2 : u = u_1 + v + u_2$ où $u_i \in \Lambda^2 E_i$ et $v \in E_1 \otimes E_2$. Comme $uw' = u_1w' \neq 0$, $u_1$ est non nul. On peut donc écrire $u = e_2e_4 + e_2x + e_4y + e_6z + u_2$ où $\{e_2, e_4, e_6\}$ est une base de $E_1$ et $x, y, z$ trois vecteurs de $E_2 : u = (e_2 - y)(e_4 + x) + e_6z + yx + u_2$ et $yx + u_2 \in \Lambda^2 E_2$ est nul ou divise $w'$; de sorte qu'en changeant $E_2$, on peut le supposer nul. On est ramené au cas où le rang de $u$ vaut 4, déjà étudié.

Supposons $d_1(w) = 5 : w = e_1u + w'$ où $w'$ de rang 5 est divisible par un vecteur $e_2$. Posant $\alpha = Ke_2$, on a $w_\alpha = \bar{e}_1\bar{u}$ et le rang de $w_\alpha$ est au moins 5 : donc le rang de $u$ est au moins 4. Si le rang de $u$ vaut 4, $w = e_1u + e_2u'$ où $u$ et $u'$ sont deux bivecteurs de rang 4 : on ne peut avoir $e_1 \in S_{e_2u'}$, ni $e_2 \in S_{e_1u}$ car on aurait alors $d_1(w) < 5$. On peut alors prendre $u$ et $u'$ de sorte que leurs supports soient dans un supplémentaire $E''$ du plan $Ke_1 \oplus Ke_2$ de $E$. En utilisant le lemme 4.2., on voit que l'on obtient pour $w$ la forme $w_4$. Si le rang de $u$ vaut 6, $e_2 \in S_u$ et $u = e_2x + v$ où $v$ est de rang 4. Si $x \in S_{u'}$, $w = e_1v + e_2(u' + xe_1)$ et $u' + xe_1$ est de rang inférieur ou égal à 5, donc au plus 4 et on est ramené au cas précédent. Si $x \notin S_{u'}$, $w = e_1e_2x + e_1v + e_2u'$ et $e_1v + e_2u'$ est de rang 6, donc 2-scindable Donc il existe $y \in Ke_1 \oplus Ke_2$ tel que l'image de $e_1v + e_2u'$ dans $\Lambda^3 E/Ky$ est de rang 3 (c'est la première fois que nous utilisons l'hypothèse $K$ algébriquement clos). Comme l'image de $e_1e_2x$ dans $\Lambda^3 E/Ky$ est 0, le rang de $w$ est au plus 3, ce qui n'est pas.

Supposons que $d_1(w) = 6 :$ nous désignerons par $w_{6,1}$ et $w_{6,2}$, les 3-vecteurs notés $w_1$ et $w_2$ en 3.3. Alors $w = xu + w'$ où $w'$ est de type $w_{6,1}$ ou $w_{6,2}$. Le rang de $u$ est au moins 4 ; sinon prenant pour $\alpha$ une droite contenue dans $S_u$, on aurait $w_\alpha = w'_\alpha$ est de rang au plus 5. Supposons $rgu = 4$ et $w'$ de type 6.1. Alors $w' = w'_1 + w'_2$ où $w'_i$ est décomposable et soit $F_i = S_{w_i} :$ si $a_i \in S_u \cap F_i - \{0\}$ et $ua_1a_2 = 0$, $u = a_1b_1 + a_2b_2$ et $w_{Ka_1}$ est divisible par $a_2$ de sorte que $d_1(w) < 6$. Donc $ua_1a_2 \neq 0 :$ $u$ peut s'écrire $\lambda_1a_1a_2 + v$ avec $rg v = 2$ et quitte à changer l'un des $a_i$ on peut supposer $\lambda = 1$. On a donc $w = xa_1a_2 + xv + a_1b_1c_1 + a_2b_2c_2$ où $\{x, a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2\}$ est une base de $E$ et $rg v = 2$. Posons $P_i = Kb_i \oplus Kc_i :$ si $S_v \cap P_i \neq \{0\}$, il existe une droite $\alpha = Ky$ tel que $y$ divise $xv + a_ib_ic_i$. Alors $w_{Ky}$ est divisible et $d_1(w) \leq 5$. Donc $S_v \cap P_1 = S_v \cap P_2 = \{0\} :$ $v = yz$ avec $y = y_1+y_2$, $z = z_1+z_2$ avec $y_i, z_i \in P_i - \{0\}$. Comme on peut remplacer $y$ par une combinaison linéaire de $y$ et $z$, $\{y_i, z_i\}$ est une base de $P_i$ et $b_ic_i = \lambda_i y_i z_i$. On a donc $w = xa_1a_2 + x(y_1+y_2)(z_1+z_2) + \lambda_1 a_1 y_1 z_1 + \lambda_2 a_2 y_2 z_2$. En ajoutant à $a_i$ un multiple convenable de $x$, on peut écrire : $w = xa_1a_2 + x(y_1z_2+y_2z_1)+\lambda_1a_1y_1z_1+\lambda_2a_2y_2z_2$. Prenant $x = e_1$ et remplaçant les $a_i, y_i, z_i$ par des vecteurs collinéaires, on met $w$ sous la forme $w_5$.

Reste le cas où le rang de $u$ vaut 4 et $w'$ est de type 6.2. et celui où le rang de $u$ vaut 6. Examinons le premier cas : $w' = f_1f_2f_4 + f_2f_3f_5 + f_1f_3f_6$ et $w'_\alpha$ est de rang 3 si $\alpha$ est contenu dans $V = Kf_1 \oplus Kf_2 \oplus Kf_3$. Comme $S_u \cap V \neq \{0\}$, $w_\alpha$
sera somme de 2 trivecteurs décomposables et donc $w_\alpha$ est soit de rang 5, soit de rang 6 et de type 6.1. Supposons que $u$ est de rang 6 et que $w'$ est de type 6.1 : on utilise encore la décomposition $w' = w'_1 + w'_2$ où $w'_i$ est décomposable de support $F_i$ : si $uw'_i = 0$ pour un indice $i$, le lemme 4.1. donne $u = a_1a'_1 + b_1b'_1 + c_1c'_1$ et $w'_1 = a_1b_1c_1$. On décompose $a'_1, b'_1$ et $c'_1$ suivant $F_1 \oplus F_2$ en $x_1 + x_2, y_1 + y_2$ et $z_1 + z_2$, de sorte que $u = a_1x_1 + b_1y_1 + c_1z_1 + a_1x_2 + b_1y_2 + c_1z_2 = u_1 + u_2$ où $u_1 \in \Lambda^2 F_1$ divise $w'_1$ et où $u_2 \in F_1 \otimes F_2$. Si $u_1 \neq 0$, $u_1$ divise $w'_1$ et en modifiant les vecteurs $a_1, b_1$ et $c_1$, on peut supposer $u_1 = 0$. Si le rang de $a_1x_2 + b_1y_2 + c_1z_2$ est 4, on est ramené à un cas déjà étudié ; sinon $x_2y_2z_2$ et $a_2b_2c_2$ sont proportionnels et on obtient $w_5$ en remplaçant $x$ par un multiple convenable.

Il ne reste plus que le cas où $rgu = 6$ et $w'$ est de type 6.2. Soit alors $F$ l'espace de dimension 3 tel que si $\alpha \in \mathbb{P}(F)$, $w'_\alpha$ est de rang 3. Si $F^\circ$ est totalement isotrope pour $u, u \in F \otimes G$ où $G$ est un supplémentaire arbitraire de $F$ dans $E'$. Comme $w' \in \Lambda^2 F \otimes G'$ où $G'$ est un supplémentaire de $F$ dans $E'$, on peut prendre $G = G'$. Soit $H = F \oplus Kx$ : on a $w' \in \Lambda^2 H \otimes G$ et $xu \in Kx \otimes F \otimes G \subset \Lambda^2 H \otimes G$ donc $w$ est 3-scindable. La classification des sous-espaces vectoriels de dimension 3 de $\Lambda^2 K^4$ faite en [14] montre que $w$ est de l'un des types $w_1, w_2, w_3$ ou $w_4$ et donc que $d_1(w) < 6$. Il reste le cas où $F^\circ$ n'est pas totalement isotrope pour $u$ ; on raisonne alors comme lorsque $d_1(w) = 3$ : on pose $x = e_1$ et $w' \in \Lambda^2 F \otimes G$ s'écrit $\sum_{i=2}^4 v_i e_i$ où $\{v_i\}$ est une base de $\Lambda^2 F$ et $\{e_i\}$ une base de $G$. De $E' = F \oplus G$, résulte $u = u_1 + v + u_2$ où $u_1 \in \Lambda^2 F$, $u_2 \in \Lambda^2 G$ et $v = \sum_2^4 y_i e_i \in F \otimes G$. L'hypothèse sur $F^\circ$ signifie que $u_2 \neq 0$ ; en changeant de base dans $G$, on peut écrire $u_2 = e_2 e_3$. Alors $u = u_1 + y_3 y_2 + y_4 e_4 + (e_2 + y_3)(e_3 - y_2)$ et $u_1 + y_3 y_2 \in \Lambda^2 F$. En modifiant $G$, on peut supposer $e_2 + y_3, e_3 - y_2$ et $e_4$ est une base de $G$ (les $v_i$ sont modifiés mais on les désigne encore par $v_i$). On a alors $u_1 + y_3 y_2 = \sum_{i=2}^4 \lambda_i v_i$ et $w = e_1 (\sum_i \lambda_i v_i + y_4 e_4 + e_2 e_3) + \sum_i v_i e_i$ soit

$$e_1 [y_4(e_4 + \lambda_4 e_1) + (e_2 + \lambda_2 e_1)(e_3 + \lambda_3 e_1)] + \sum_i v_i (e_i + \lambda_i e_1)$$

Cela donne $w = e_1 u' + w''$ où $u'$ est de rang 4 et $w''$ de type 6.2, cas déjà étudié.

Comme l'a montré Westwick, seuls les trivecteurs $w_1, w_3$ et $w_4$ sont de longueur 3, c'est-à-dire somme de 3 trivecteurs décomposables. Il est clair que $w_2$ n'étant pas de longueur 3, ext exactement de longueur 4 ; il en est de même pour $w_5$ car dans la discussion précédente, nous avons obtenu :

$$w_5 = e_1[e_2e_3 + (e_4 + e_7)(e_5 - e_6)] + (e_1 + e_2)e_4e_6 + (e_1 + e_3)e_5e_7,$$

comme on l'a vu plus haut.

Un calcul direct sur les $w_i$ donne le résultat suivant : si $w$ est de rang 7, $C(w) = K$. On peut alors montrer
**4.5. Proposition.** Supposons que $dimE = n$ : alors les propriétés suivantes sont équivalentes : (i) pour tout trivecteur $w$ de rang $n$ : $C(w) = K$, (ii) $n \in \{3, 5, 7\}$.

L'entier $n$ est supposé supérieur ou égal à 3 et différent de 4. Comme on l'a vu, si $n \in \{3, 5, 7\}$, $C(w) = K$. Supposons donc $n \notin \{3, 5, 7\}$ : $n = 6$ ou $n \ge 8$. Dans le premier cas, $C(w)$ est de dimension 2 donc différent de $K$ ; si $n \ge 8$, $n = 3p + 5q$ avec $p, q \in \mathbb{N}$ et $p + q \ge 2$. Soient $\alpha$ un 3-vecteur de rang 3 et $\beta$ un 3-vecteur de rang 5 : la somme orthogonale de $p$ exemplaires de $\alpha$ et de $q$ exemplaires de $\beta$ est un 3-vecteur $w$ de rang $n$ tel que $C(w) = K^{p+q}$, donc $C(w) \neq K$.

## §5 - Trivecteurs de rang 7 sur un corps quelconque.

**5.1.** L'étude des 3-vecteurs de rang 7 sur un corps ([4],[15]) repose sur le théorème 4.4. On dira que $w \in \Lambda^3 E$ est de type $w_i$ si sur la clôture algébrique $K$ de $K$, $w_K \simeq w_i$. Suivant 1.6, on associe à $w$ une application quadratique de $E^*$ dans $\Lambda^7 E$ qui devient une forme quadratique $q_w$ en fixant dans $\Lambda^7 E$ un générateur. Pour $x \in E$ et $f \in E^*$ tels que $f(x) = 1$, on considère $x\gamma_3(d_f(w)) \in \Lambda^7 E$ et $0$ si $f=0$: cela ne dépend pas du choix de $x$ et c'est quadratique en $f$. En caractéristique différente de 2 et de 3, l'application bilinéaire associée est $(f,g) \mapsto w d_f(w) d_g(w)$ et il est clair que si $w$ est de rang 6, $q_w = 0$.

La forme $q_w$ commute à l'extension des scalaires ; on calcule donc $q_w$ pour les $w_i$ de 4.4. et on trouve pour rang des $q_i$, les entiers 1, 1, 2, 4 et 7 ($q_w$ ne distingue pas $w_1$ et $w_2$) en caractéristique différente de 2 et 0, 0, 2,4 et 6 en caractéristique 2 (dans ce dernier cas, il existe donc une partie semilinéaire non nulle pour $w_1$, $w_2$ et $w_5$ qui est non singulière). Comme l'action du groupe linéaire commute aux opérateurs $d_f$ et aux puissances divisées, le groupe Aut $w$ conserve $q_w$ et donc son radical $R_w$ contenu dans $E^*$ ainsi que l'orthogonal ($R_w$)°, sous-espace vectoriel de $E$.

On peut considérer $w \in \Lambda^3 E$ comme une forme 3-linéaire sur $E^*$ : le sous-groupe des $\varphi \in Gl(E^*)$ tels que $w(\varphi f, \varphi g, \varphi h) = w(f, g, h)$ quels que soient $f, g, h \in E^*$ est isomorphe à Aut $w$ par $\varphi \mapsto {}^t\varphi^{-1}$. Ce groupe laisse invariant $R_w$. On pose $A_i = \text{Aut } w_i$.

**5.2.** Un 3-vecteur $w$ est de type $w_1$ si et seulement si il est isomorphe à $w_1$ car $w_1$ est divisible et cette propriété se descend : elle équivaut à la non injectivité de l'application $x \mapsto xw$ de $E$ dans $\Lambda^4 E$. Le groupe $A_1$ se détermine en remarquant que ce noyau $Ke_1$ est stable par $A_1$ : les matrices de $A_1$ s'écrivent par blocs dans la base $e_i : M = \begin{pmatrix} \lambda & v \\ 0 & \varphi \end{pmatrix}$ où $\lambda \in K^*$, $v \in \operatorname{Hom}(V, Ke_1)$, $\varphi \in Gl(V)$ où $V = \bigoplus_{i \ge 2} Ke_i$, $\varphi$ est une similitude symplectique de rapport $\lambda^{-1}$ de la forme $\sum_k e_{2k}^* e_{2k+1}^*$.

On a les deux suites exactes de groupes :

$$1 \to A'_1 \to A_1 \to K^* \to 1$$
$$1 \to \operatorname{Hom}(V, K e_1) \to A'_1 \to \operatorname{Sp}_6(K) \to 1$$

Si $K$ est le corps fini $\mathbb{F}_q$, card $A_1 = q^6(q-1)\operatorname{Card}\operatorname{Sp}_6(K)$.

**5.3.** En ce qui concerne $w_2$, on suppose d'abord $K$ algébriquement clos : l'orthogonal du radical de $q_{w_2}$ (du noyau de la forme semi-linéaire $q_{w_2}$ en caractéristique 2) est invariant par $A_2$ et le calcul montre que c'est $Ke_1$. Les matrices $M$ de $A_2$ s'écrivent par blocs sous la même forme que celles de $A_1$ et on a la suite exacte de groupes :

$$1 \to A'_2 \to A_2 \to K^* \to 1$$

Si $f \in A'_2 \Lambda^4 f(e_1 w) = e_1 w = e_1 e_2 e_4 e_6$ donc $W = K e_1 \oplus (\oplus_{i \ge 1} K e_{2i}) = K e_1 \oplus V_0$ est invariant par $A'_2$: alors $f|_W$ a pour matrice $N = \begin{pmatrix} 1 & v_0 \\ 0 & f_{V_0} \end{pmatrix}$ où $f_{V_0} \in \operatorname{SL}(V_0)$ et $v_0 \in \operatorname{Hom}_K(V_0, K e_1)$. On a donc une seconde suite exacte de groupes :

$$1 \to A''_2 \to A'_2 \to \operatorname{SL}(V_0) \to 1$$

où la surjectivité est immédiate. Les éléments de $A''_2$ s'écrivent alors dans la base $e_1, e_2, e_4, e_6, e_3, e_5, e_7$

$$\begin{pmatrix} 1 & a_2 & a_4 & a_6 & a_3 & a_5 & a_7 \\ 0 & 1_3 & & & & & \\ 0 & 0 & & 1_3 & & & \end{pmatrix}$$

où $A$ est une matrice carrée symétrique d'ordre 3 : $A''_2$ est un groupe 2-nilpotent de type Heisenberg et on a la suite exacte $1 \to K^3 \to A''_2 \to K^9 \to 1$. Ceci montre que si $G$ désigne le groupe de Galois absolu de $\overline{K}$ sur $K$, $K$ corps quelconque, $H^1(G, A_2(\overline{K})) = \{1\}$ c'est-à-dire que ([15]) tout 3-vecteur $w \in \Lambda^3 E$ de type $w_2$ est isomorphe à $w_2$ sur $K$. Le groupe Aut$_w_2 = A_2(K)$ se décrit comme dans le cas algébriquement clos ; si $K$ est le corps fini $\mathbb{F}_q$, $\operatorname{Card}A_2(\mathbb{F}_q) = q^{12}\operatorname{Card}\operatorname{SL} - 3(\mathbb{F}_q)$. Si $K$ est le corps fini $\mathbb{F}_q$, alors $\operatorname{Card}A_2 = q^{12}(q-1) \operatorname{Card}\operatorname{SL}_3(\mathbb{F}_q)$.

**5.4.** Soit $w_3 = e_1 e_2 e_3 + e_3 e_4 e_5 + e_5 e_6 e_7$ ; la forme $q_3$ est de rang 2 et l'orthogonal de son radical est le plan $P = K e_3 \oplus K e_5$. Dans $P$, $K e_3$ et $K e_5$ sont caractérisés comme les droites $\alpha$ telles que $w_\alpha \in \Lambda^3(E/\alpha)$ est de rang 3 (pour les autres droites, $w_\alpha$ est de rang 5). Donc $A_3$ laisse invariant $K e_3 \cup K e_5$ : les matrices des restrictions à P des éléments de $A_3$ sont de l'un des 2 types suivants : $\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$ ou $\begin{pmatrix} 0 & \mu_2 \\ \mu_1 & 0 \end{pmatrix}$. On a donc les suites exactes de groupes :

$$1 \to A'_3 \to A_3 \to G \to 1$$

$$1 \to K^* \times K^* \to G \to \mathbb{Z}/(2) \to 1$$
car $G$ est le produit semi direct du groupe des matrices diagonales par $\mathbb{Z}/2$ opérant par échange des vecteurs de base. Alors $A'_3 = \{f | f \in A_3 \ f(e_3) = e_3, f(e_5) = e_5\}$

Il en résulte que $\Lambda^4 f(e_3w) = e_3w$ et $\Lambda^4 f(e_5w) = e_5w$. Comme $e_3w = e_3e_5e_6e_7$ et $we_5 = e_1e_2e_3e_5$, on a la suite exacte

$$1 \to A''_3 \to A'_3 \to Sl_2(K) \times Sl_2(K) \to 1$$

en associant à $f$ le couple formé des sous-matrices carrées d'ordre deux formées des deux premières, et des deux dernières, lignes et colonnes. Le groupe $A''_3$ est un groupe additif isomorphe à $K^{10}$ : si $f \in A''_3$, $f(e_i) = e_i + z_i$ où $z_i \in P$ pour $i = 1, 2, 6$ et $7$ et $f(e_4) = e_4 + z_4 + t_4$ où $z_4 \in P$ et $t_4$ dépend des autres $z_i$. On voit alors que $A_3$ contient un sous-groupe distingué $A_3^0$ d'indice 2, noyau de l'homomorphisme qui vaut $\bar{I}$ sur les $f$ qui échangent $Ke_3$ et $Ke_5$ et $\bar{0}$ sur les autres. De plus, $A_3^0$ est produit direct de deux sous-groupes isomorphes à un groupe $B$, qui agissent respectivement sur $\oplus_{i \le 4} Ke_i$ et $\oplus_{i \ge 4} Ke_i$ : on a les suites exactes

$$1 \to B' \to B \to K^* \to 1$$

$$1 \to B'' \to B' \to Sl_2(K) \to 1$$

et $B'' \simeq K^5$ de sorte que $H^1(G, B(\bar{K})) = 1$. Le lemme de [14] nous donne alors $H^1(G, A_3(\bar{K})) \simeq H^1(G, \mathbb{Z}/(2)) \simeq Q(K)$ le groupe des extensions quadratiques séparables de $K$. Il en résulte que pour chaque extension quadratique séparable $L$ de $K$, il existe $w_L \in \Lambda^3 E$ tel que $w_L \neq w_3$ et $w_L \otimes L \in \Lambda^3 (E \otimes_K L)$ est $L$-isomorphe à $w_3$.

Il existe donc une $L$-base $e_i$ de $E \otimes_K L$ telle que $w_L = e_1e_2e_3 + e_3e_4e_5 + e_5e_6e_7$ ; on note — la conjugaison de $E \otimes_K L$ qui se prolonge en une conjugaison de $\Lambda E \otimes_K L$ et laisse $w_L$ invariant. L'orthogonal du radical de $q_{w_L}$ est un plan $P$ de $E$ : par extension à $L$, $P \otimes_K L = Le_3 \oplus Le_5$. Comme $w_L \neq w_3$, $e_3$ et $e_5$ ne sont pas dans $E$ : les droites $Le_3$ et $Le_5$ sont donc conjuguées sur $K$ et on peut supposer $e_5 = \bar{e}_3$. De $\bar{w}_L = w_L$, on déduit

$$\bar{e}_1\bar{e}_2\bar{e}_3 + \bar{e}_3\bar{e}_4e_3 + e_3\bar{e}_6\bar{e}_7 = e_1e_2e_3 + e_3e_4\bar{e}_3 + \bar{e}_3e_6e_7$$

Multipliant par $e_3$ (ou $\bar{e}_3$), on trouve :

$$\bar{e}_1\bar{e}_2\bar{e}_3e_3 = e_6e_7\bar{e}_3e_3 \neq 0 \text{ dans } E \otimes L.$$

On a donc $e_6 = a\bar{e}_1 + b\bar{e}_2 + c\bar{e}_3 + de_3$ et $e_7 = a'\bar{e}_1 + b'\bar{e}_2 + c'\bar{e}_3 + d'e_3$. De l'égalité précédente, on déduit $ab' - a'b = 1$ ; remplaçant dans $w_L$, on obtient $w_L = e_1e_2e_3 + e_3e_4\bar{e}_3 + \bar{e}_3(\bar{e}_1\bar{e}_2 + e_3x)$, soit $e_1e_2e_3 + \bar{e}_1\bar{e}_2\bar{e}_3 + e_3e_4'\bar{e}_3$. Comme on l'a vu pour $w_{6,1}$, on trouve $e_1e_2e_3 + \bar{e}_1\bar{e}_2\bar{e}_3 = w_{6,1,d}$ ou bien $w_{6,1,a}$ suivant la caractéristique de $K$. On pose pour cela $e_i = f_i + xf_{8-i}$ pour $i = 1, 2, 3$ où $f_i, f_{8-i} \in E$, $L = K[x]$ avec $x^2 = d$ ou $x^2 = x + a$ et $\bar{e}_i = f_i + \bar{x}f_{8-i}$ ($\bar{x} = -x$ ou $x+1$ suivant la caractéristique de $K$). On remarque également que $e_3e_4'\bar{e}_3$ doit être invariant par conjugaison ce
qui nous donne $w_L = w_{3,d} = f_1(f_2f_3 - df_5f_6) + f_7(f_2f_5 - f_3f_6) + f_3f_4f_5$ ou bien
$w_L = w_{3,a} = f_1(f_2f_3 + af_5f_6) + f_7(f_2f_5 + f_3f_6 + f_5f_6) + f_3f_4f_5$ et le 3-vecteur $w_L$
est 3-scindable : $w_L \in E_1 \otimes \Lambda^2 E_2$ où $E_1$ est engendré par $f_1, f_4$ et $f_7$.

Le groupe Aut $w_L = A_{3,L}$ se détermine ainsi : il laisse invariant le plan
$P = Kf_3 \oplus Kf_5$ et, dans $P \otimes_K \mathcal{L}$, ses éléments sont diagonalisables dans la base
$\{e_3, \bar{e}_3\}$ ou échangent ces 2 vecteurs : on a donc les suites exactes

$$
\begin{array}{r@{\;}c@{\;}l@{\quad}l@{\quad}l@{\quad}l}
1 & \to & A_{3,L}^{\circ} & \to & A_{3,L} & \to \mathbb{Z}/2 & \to 1 \\
1 & \to & A'_{3,L} & \to & A_{3,L}^{\circ} & \to \mathcal{L}^{*} & \to 1 \\
& & \multicolumn{1}{c@{\quad}}{f} & \mapsto & \lambda & &
\end{array}
$$

où $\lambda$ est la valeur propre de $f$ relativement au vecteur $e_3 = f_3 + xf_5(\lambda \in L^*)$. Soit
$f \in A'_{3,L}$ : on a $\Lambda^4 f(f_3w) = f_3w$ et $\Lambda^4 f(f_5w) = f_5w$. Donc $\Lambda^4 f$ laisse invariant
$f_3f_5(f_7f_2+df_1f_6)$ et $f_3f_5(f_1f_2+f_7f_6)$. Donc modulo le plan $P$, $\Lambda^2 f$ laisse invariant
$u_1 = f_1f_2+f_7f_6$ et $u_2 = f_7f_2+df_1f_6$ donc $u_2+xu_1$ (et son conjugué $u_2-xu_1$) qui
sont de rang 2 sur $L$. Il existe donc des vecteurs $p, q \in E \otimes_K L$ tels que $u_2+xu_1 = pq$
et $u_2-xu_1 = \overline{pq}$ et $\{p, q, \overline{p}, \overline{q}\}$ est une base de $W \otimes_K L$ où $W$ est le sous-espace
engendré par $f_1, f_2, f_6$ et $f_7$. La matrice de la restriction de $f$ est donc de la forme
$$
\begin{pmatrix}
A & 0 \\
0 & B
\end{pmatrix}
$$
où $A$ et $B \in Sl_2(L)$ ; comme $f$ est définie sur $K$, $B = \overline{A}$ et on a la suite
exacte $1 \to A''_{3,L} \to A'_{3,L} \to Sl_2(L) \to 1$ et comme pour $w_3$, $A''_{3,L} \simeq K^{10}$.

$$
\text{Si } K = \mathbb{F}_q, L \text{ est le corps } \mathbb{F}_{q^2} \text{ et } \text{Card} A_{3,L} = 2q^{10}(q^2 - 1)\text{Card}(Sl_2(\mathbb{F}_{q^2})).
$$

5.5. L'étude de $w_4 = e_1(e_2e_3+e_4e_5)+e_2e_4e_6+e_3e_5e_7$ se fait à l'aide de $q_4$: son rang est 4 et $R_{w_4}$ est le sous-espace vectoriel de base $e_1^*$, $e_6^*$ et $e_7^*$ qui est globalement invariant par Aut$w_4 = A_4$. Le sous-espace $(R_w)^\circ$ de $E$, de dimension 4, et l'image de $R_w$ dans $\Lambda^2 E$ par l'application $f \mapsto d_f(w)$, sous-espace vectoriel $V$ de dimension 3 de $\Lambda^2 E$ sont également globalement invariants par $A_4$. De plus si $f \in R_w$ et $d_f(w)$ est de rang au plus 4 et son support est contenu dans $(R_w)^\circ = \bigcap_{g \in R_w} \text{Kerg}$; il y a donc une application quadratique, de $R_w$ dans $\Lambda^4(R_w)^\circ$, $f \mapsto \gamma_2(d_f(w))$. Si $\varphi \in A_4$, la restriction de $t\varphi^{-1}$ à $R_w$ et celle de $\Lambda^4\varphi$ à $\Lambda^4(R_w)^\circ$ sont compatibles avec cette application. On a donc la suite exacte :

$$
\begin{array}{r@{\;}c@{\;}l@{\quad}l@{\quad}l}
1 & \to & A'_{4} & \to & \underset{\varphi}{\overset{u}{A}} & \to \mathrm{Gl}(R_w) \\
& & & \mapsto & t\varphi^{-1}_{|R_w} &
\end{array}
$$

et l'image de $\varphi$ dans $Gl(R_w)$ est une similitude de la forme quadratique associée.
Le groupe $u(A_4)$ vérifie la suite exacte

$$
1 \to SO(q) \to u(A_4) \to K^* \to 1
$$

où $q$ est la forme quadratique ternaire $(u, v, w) \mapsto uv - w^2$. Le groupe $A'_4$
est le sous-groupe de Aut$w_4$ formé des $\varphi$ qui laissent invariants les 2-vecteurs
$d_{e_1^*}(w) = e_2e_3 + e_4e_5$, $d_{e_6^*}(w) = e_2e_4$ et $d_{e_7^*}(w) = e_3e_5$: on a la suite exacte
$$1 \to A_4'' \to A_4' \to Sl_2(K) \to 1$$
car si $\varphi \in A_4'$ laisse invariants les plans $Ke_2 \oplus Ke_4$ et $Ke_3 \oplus Ke_5$; ses deux restrictions sont de déterminant 1 et $\varphi$
s'écrit
$$\begin{pmatrix} M & 0 \\ 0 & tM^{-1} \end{pmatrix}$$
car $e_2e_3 + e_4e_5$ est également invariante par $\Lambda^2\varphi$. Le groupe $A_4''$ est le sous-groupe de $A_4$ formé des $\varphi \in Gl(E)$ telles que $\varphi(e_i) = e_i$ pour $i \in \{2,3,4,5\}$: c'est un groupe commutatif de matrices triangulaires qui est isomorphe à $K^8$. On a donc $H^1(G, A_4') = \{0\}$. Le groupe $SO(\varphi)$ s'identifie au groupe $PGl_2(K) = Aut_{K-alg}(M_2(K))$ car un automorphisme de $M_2(K)$ est déterminé par sa restriction à $sl_2(K)$, et par sa conservation de la forme quadratique déterminant sur cet espace.

Si le corps $K$ est de groupe de Brauer nul, par exemple un corps fini ou un corps $C^1$, $H^1(G, PGl_2(K)) = \{1\}$ car toute algèbre simple sur $K$ est une algèbre de matrices. Il en résulte que $H^1(G, A_4) = \{1\}$ et tout 3-vecteur de type $w_4$ est isomorphe à $w_4$. Dans le cas général, on peut montrer que $H^1(G, A_4) \to H'(G, PGl_2(K))$ est une bijection d'ensembles pointés : l'ensemble des classes de K-isomorphismes de 3-vecteurs de type $w_4$ est en bijection avec celui des classes de K-algèbres de quaternions, ou encore avec celui des formes quadratiques ternaires de discriminant 1 (à l'aide de la norme réduite sur l'espace des quaternions purs). Ces classes se retrouvent directement par le même raisonnement que celui qui a été fait pour $w_4$. On considère l'espace $V$ de dimension 3, image par $f \mapsto df(w)$ de $R_w$ dans $\Lambda^2 E$ : comme $V$ est contenu dans $\Lambda^2(R_w)^\circ$, l'application quadratique $\gamma_2 : R_w \to \Lambda^2(R_w)^\circ$ induit une forme quadratique non dégénérée à 3 variables, définie à un multiple près, d'où une algèbre de quaternions $Q_w$. On peut obtenir directement ces 3-vecteurs $w$ car on sait écrire ([14]) les sous-espaces vectoriels $V$ de dimension 3 de $\Lambda^2 K^4$ dont la forme quadratique est non singulière. Cela nous décrit l'image de $R_w$ dans $\Lambda^2(R_w)^\circ$. Prenant une base $\{x_i\}$ d'un supplémentaire de $(R_w)^\circ$ dans $E$, on en déduit une base de $E$ et $w$ s'écrit $\sum_{i=1}^3 x_i u_i$ où $u_i$ est une base de $V$ et on peut énoncer.

### 5.6. Proposition. Tout trivecteur de type $w_4$ est 3-scindable.

Leurs groupes d'automorphismes se décrivent comme celui de $w_4$; notons que les 3-vecteurs de type $w_1$, $w_2$ et $w_3$ sont également 3-scindables, pouvant être considéré comme des singularités du cas 3-scindable générique $w_4$.

Pour étudier $w_5$, on supposera la caractéristique de $K$ différente de 2 et de 3, bien que cela ne soit pas toujours indispensable. Pour $K$ algébriquement clos, soit $0_K$ l'algèbre des octonions, extension cayleyenne de $M_2(K)$ ([2]). C'est une algèbre alternative de dimension 8 possédant une norme multiplicative non dégénérée $N$ et une trace. Sur l'espace $\bar{0}_K$ des octonions purs, noyau de la trace, de dimension 7, il existe un produit vectoriel $u : \Lambda^2 \bar{0}_K \to \bar{0}_K$, vérifiant $N(u(x, y)) = N(x)N(y) - \langle x, y \rangle^2$ où $2\langle x, y \rangle = N(x + y) - N(x) - N(y)$. Sur $\bar{0}_K$ est canoniquement définie une forme trilinéaire alternée $w \in \Lambda^3 \bar{0}_K$ par $w(x, y, z) = \langle u(x, y), z \rangle$ et on a
### 5.7. Proposition. w est isomorphe à $w_5$.

Cela se vérifie par un calcul direct. Il en résulte que $\mathrm{Aut}w_5 = A_5$ contient le groupe des automorphismes de $0_K$, le groupe algébrique simple $G_2(K)$. Comme il est de dimension 14 et que $\dim Gl_7(K) - \dim \Lambda^3 K^7 = 14$, $G_2(K)$ est la composante connexe de l'identité de $A_5$ et $A_5 \simeq G_2(K) \times H$, où $H$ est un sous-groupe discret formé d'homothéties de $0_K$ qui laissent $w$ invariant ; c'est-à-dire de rapport une racine cubique de l'unité : $A_5 = G_2(K) \times \mu_3$ ($\mu_n$ est le groupe des racines $n$-ième de l'unité).

Si $K$ est un corps quelconque de clôture algébrique $\overline{K}$, les 3-vecteurs de type $w_5$ sont en bijection avec l'ensemble pointé $H^1(G, G_2(\overline{K})) \times H^1(G, \mu_3) : H^1(G, G_2(\overline{K}))$ est en bijection ([7]) avec l'ensemble des classes d'isomorphisme de $K$-algèbres octonions (en bijection avec celui des 3-formes quadratiques de Pfister au moyen de la norme de ces algèbres). Le second ensemble est, si $K$ contient une racine cubique primitive de l'unité, en bijection avec l'ensemble $K^*/K^{*3}$ ; une description explicite des 3-vecteurs $w$ de type $w_5$ s'obtient ainsi. (On note $w_A$ le produit mixte de l'algèbre d'octonions $A$).

### 5.8. Théorème. Tout trivecteur $w \in \Lambda^3 K^7$ de type $w_5$ est $K$-isomorphe à un 3-vecteur $\lambda w_A$, $\lambda \in K^* ; \lambda w_A \simeq \mu w_B$ si et seulement si $A \simeq B$ et $\lambda \mu^{-1} \in K^{*3}$.

Remarquons que si $K^* = K^{*3}$, tout 3-vecteur de type $w_5$ est isomorphe à un trivecteur $w_A$. Sur un corps fini $\mathbb{F}_q$, il n'y a qu'une seule classe d'algèbres d'octonions car toute forme quadratique à 3 variables représente 0. Si $q \equiv 2(3)$, $K^* = K^{*3}$ et il existe un seul type de 3-vecteurs de type $w_5$ ; si $q \equiv 1(3)$, $K^*/K^{*3}$ a trois éléments et il existe 3 classés : $w_5$, $\lambda w_5$ et $\lambda^2 w_5$ où $\lambda \notin K^{*3}$. Dans le premier cas $\mathrm{Aut}w_5 = G_2(K)$ et, dans le second, $\mathrm{Aut}w_5 = \mathrm{Aut}\lambda w_5 = \mathrm{Aut}\lambda^2 w_5 = G_2(K) \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$. Cela montre que dans les deux cas le nombre de 3-vecteurs de type $w_5$ est donné par la même expression $\mathrm{Card}Gl_7(K)/\mathrm{Card}(G_2(K))$.

## 6. Trivecteurs de rang 7 sur les corps finis et les corps locaux.

Les résultats précédents permettent de décrire complètement les 3-vecteurs sur un espace vectoriel de dimension au plus 7 sur un corps fini. On sait que si $G$ est un groupe fini et $X$ un $G$-ensemble fini, $X$ est réunion d'un nombre fini d'orbites $O_i : \text{si } x_i \in O_i \text{ et si } G_i \text{ est le stabilisateur de } x_i$, $\mathrm{Card}X = \sum_i \mathrm{Card}O_i = \sum_i \mathrm{Card}G/\mathrm{Card}G_i$. Cela permet de vérifier l'exactitude dans le cas des corps finis des résultats trouvés en 3 et 5 en prenant $G = Gl_n(\mathbb{F}_q)$, $X = \Lambda^3 K^n$ avec $n = 6$ et 7 (pour $n = 7$, on supposera la caractéristique de $\mathbb{F}_q$ supérieure à 3).

Rappelons des résultats classiques et faciles à vérifier ([2],[3]):
$$ \mathrm{Card}Gl_n(\mathbb{F}_q) = (q-1)\mathrm{Card}Sl_n(\mathbb{F}_q) = q^{\frac{n(n-1)}{2}} \prod_{k=1}^{n} (q^k - 1); \mathrm{Card}G_{n,p}(\mathbb{F}_q) = \mathrm{Card}Gl_n(\mathbb{F}_q)/\mathrm{Card}Gl_p(\mathbb{F}_q) \times \mathrm{Card}Gl_{n-p}(\mathbb{F}_q) \times q^{p(n-p)} \text{ où } G_{n,p}(\mathbb{F}_q) \text{ est la grassmanienne des sous-espaces vectoriels de dimension } p \text{ de } \mathbb{F}_q^n, 1 \le p \le n-1. $$
Le cardinal de $Sp_{2n}(\mathbb{F}_q)$ est le nombre de bases symplectiques de $\mathbb{F}_q^{2n}$ pour une forme bilinéaire alternée $B$ non dégénérée quelconque. On calcule d'abord le nombre $f_n(q)$ de paires symplectiques $(x, y)$ i.e. $x$ et $y \in \mathbb{F}_q^{2n}$ et $B(x, y) = 1$ : on choisit d'abord $x \neq 0$ puis $y$ dans l'hyperplan affine d'équation $B(x, y) = 1$, d'où $f_n(q) = q^{2n-1}(q^{2n} - 1)$ puis

$$ \mathrm{Card} \, Sp_{2n}(q) = q^{n^2} \prod_{k=1}^{n} (q^{2k} - 1). $$

**6.1.** Pour $n = 6$, il y a six orbites dans $\Lambda^3 K^6$ pour l'action de $Gl_6(\mathbb{F}_q) : 1$ de rang 0, 3 et 5 et trois orbites de rang $6 w_{6,1}$, $w_{6,2}$ et $w_{\mathbb{F}_q^2}$. La première orbite a un seul élément ; les orbites de rang 6, $0_{6,1}$, $0_{6,2}$ et $0_{\mathbb{F}_q^2}$ ont pour cardinaux respectifs $Card\, Gl_6(\mathbb{F}_q)/2 \cdot Card\, Sl_3(\mathbb{F}_q)$, $Card\, Gl_6(\mathbb{F}_q)/q^8 \cdot Card\, Gl_3(\mathbb{F}_q)$ et $Card\, Gl_6(\mathbb{F}_q)/2 \cdot Card\, Sl_3(\mathbb{F}_q^2)$. Soit $w = e_1e_2e_3 : \text{l'orbite de } w \text{ dans } \Lambda^3 K^n \text{ se déduit de la connaissance du support de } \Lambda^3 f(w), \text{ un élément de } G_{n,3}(\mathbb{F}_q) \text{ et du nombre d'éléments } w \text{ ayant même support. On a donc si } n = 6, \mathrm{Card}\,O(w) = (q-1) \cdot \mathrm{Card}\,G_{6,3}(\mathbb{F}_q)$. Pour $w = e_1(e_2e_3 + e_4e_5)$, on calcule tout d'abord son orbite dans $\Lambda^3 K^5 : \text{ c'est } \mathrm{Card}\, \Lambda^3 \mathbb{F}_q^5 - (q-1) \cdot \mathrm{Card}\, G_{5,3}(\mathbb{F}_q) - 1 \text{ ou bien } \mathrm{Card}\, Gl_5(\mathbb{F}_q)/\mathrm{Card}\, Aut\, w ; ensuite le cardinal de son orbite dans $\Lambda^3 K^6$ s'obtient en multipliant par $\mathrm{Card}\, G_{6,5}(\mathbb{F}_q) = \mathrm{Card}\, (P_1(\mathbb{F}_q))$. On obtient alors

**6.2. Proposition.** $\sum_i \mathrm{Card}\, O_i = \mathrm{Card}\, \Lambda^3 \mathbb{F}_q^6$.

Pour $n = 7$, on suppose que la caractéristique de $K$ dépasse 3. Le nombre d'orbites dépend de la valeur de $q$ modulo 3 et les résultats de 5 disent

**6.3. Proposition.** Si $q \equiv 1(3)$ (resp. $q \equiv 2(3)$), il y a quatorze (resp. douze) orbites sous l'action de $Gl_7$ sur $\Lambda^3 K^7$ dont huit (resp. six) de rang 7.

Comme on l'a remarqué en 5.8, cela n'affecte pas le poids des orbites de type $w_5$ dans $\Lambda^3 \mathbb{F}_q^7$ et on a encore, après vérification, $\sum_i \mathrm{Card}\, O_i = \mathrm{Card}\, \Lambda^3 \mathbb{F}_q^7$ en utilisant $\mathrm{Card}\, G_2(\mathbb{F}_q) = q^6(q^6 - 1)(q^2 - 1)$. Remarquons aussi que les résultats obtenus pour les orbites qui ne sont pas de type $w_5$ sont encore valables en caractéristique 2 et 3 et on obtient

$$ \sum_w \mathrm{Card}\, O_w = \mathrm{Card}\, \Lambda^3 \mathbb{F}_q^7 - \mathrm{Card}\, Gl_7(\mathbb{F}_q)/q^6(q^6 - 1)(q^2 - 1). $$

où la sommation est étendue aux orbites qui ne sont pas de type $w_5$.

**6.4** Rappelons qu'un corps local $K$ est un corps valué complet pour une valuation discrète $v$ de corps résiduel fini $k$. C'est une extension algébrique finie du corps $\mathbb{Q}_p$ ou du corps $\mathbb{F}_p((X))$ des séries formelles sur $\mathbb{F}_p$. La caractéristique de $k$ est finie
et égale à *p* et le degré de *k* sur $\mathbb{F}_p$, appelé degré résiduel de *K*, est noté *f* ; la caractéristique de *K* est 0 ou *p* suivant que *K* contient $\mathbb{Q}_p$ ou non, le premier cas est dit d'inégale caractéristique ([18]).

Alors le groupe $Q(K)$ des extensions quadratiques séparables de $K$ est un
groupe abélien fini $(\mathbb{Z}/2)^r$, où $r = 2$ sauf si $K$ est une extension algébrique
de $\mathbb{Q}_2$. L'ensemble des classes de $K$-algèbres de quaternions a 2 éléments car
$Br(K) \simeq \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ et ces classes constituent le sous-groupe des éléments d'ordre 2
de $Br(K)$. De plus il n'y a qu'une seule algèbre d'octonions sur $K$ car toute forme
quadratique à 5 variables a un zéro non trivial.

6.5. **Proposition.** Si $K$ est un corps local de caractéristique résiduelle différente de 2, il y a 8 classes de 3-vecteurs de rang inférieur ou égal à 6 ; si la caractéristique de $k$ diffère de 3, il y a 17 3-vecteurs de rang 7 si $\text{card } k = 1(3)$ et 11 3-vecteurs de rang 7 si $\text{card } k = 2(3)$.

En rang 6, cela provient de la considération de $Q(K)$ qui a 4 éléments. Si le
rang est 7, $w_1$ et $w_2$ donnent une seule orbite, $w_3$, comme $w_{6,1}$, donne 4 orbites et
$w_4$ en donne deux. Pour $w_5$, il faut distinguer deux cas suivant que $K$ contient une
racine cubique primitive de l'unité, ce qui est le cas si et seulement si $k$ en contient
une. Suivant les cas, $K^*/K^{*3}$ est formé de 9 ou 3 éléments, d'où les orbites de type
$w_5$.

Reste le cas où *K* est un corps dyadique, soit une extension algébrique finie
de Q₂ en rang 6 et 7, soit une extension finie de F₂((X)) en rang 6. On a alors

6.6. **Proposition.** *Soit $K$ une extension de degré $n$ de $\mathbb{Q}_2$ : il y a $4+2^{n+2}$ classes de 3-vecteurs de rang au plus 6. Si $f$ est pair (resp. impair), il y a $13+2^{n+2}$ classes (resp. $7+2^{n+2}$ classes) de 3-vecteurs de rang 7.*

En rang 7, on raisonne d'après Card $k = 2^f$ modulo 3. En rang 6, on utilise
un résultat classique ([18]) sur les corps dyadiques : Card$(K^*/K^{*2}) = 2^{n+2}$.

6.7. La classification de 3-vecteurs de rang 8 est connu dans le cas algébriquement clos et dans le cas du corps des réels ([5]). Il n'y a encore qu'un nombre fini d'orbites dont la liste est donnée pour $\mathbb{C}$ dans [6]. Un calcul sur les expressions données dans ce livre montre que $C(w) = K$ à l'exception des trois cas suivants $w = e_1(e_2e_3 + e_4e_5) + e_6e_7e_8$, somme directe des 3-vecteurs de rang 3 et 5 pour lequel $C(w) = K \times K$ ainsi que $w + e_2e_5e_8$ et $w' = e_8(e_2e_5 - e_3e_4 + e_6e_7) + e_1e_4e_5$ pour lesquels on trouve $K[\varepsilon]$, avec rang $\varepsilon = 3$.

Remarquons également que le trivecteur de rang 8 dont l'orbite est ouverte
dans $\Lambda^3\mathbb{C}^8$ peut s'obtenir de la façon suivante : on considère l'algèbre de Lie
$sl_3(\mathbb{C})$ et la forme de Killing $(x, y) \xrightarrow{k} \text{Tr}(adx \circ ady)$. Comme on a vu en rang
6, $w : sl_3(\mathbb{C})^3 \to \mathbb{C}$ définie par $w(x, y, z) = k([x, y], z)$ est une forme trilinéaire
alternée de rang 8. En prenant une base adaptée, on trouve pour expression de $w$
celle du 3-vecteur de rang maximal dans $\Lambda^3\mathbb{C}^8$.
Bibliographie

[1] M. André, Algèbre homologique des anneaux locaux à corps résiduels de caractéristique 2, Sém. P. Dubreuil, Paris, 1977-1978, Lect. Notes 740, p. 237-242.

[2] N. Bourbaki, Algèbre, Chapitre 1 à 3, Hermann, Paris, 1970.

[3] N. Bourbaki, Algèbre, Chapitre 9, Hermann, Paris, 1959.

[4] A. Cohen et A. Helminck, Trilinear alternating forms on a vector space of dimension 7, Comm. in Algebra 16 (1), 1988, p. 1-25.

[5] D. Djokovics, Classification of trivectors of an eight dimensional real vector space, Lin. and multilin. Algebra, 13 (3), 1983, p. 3-39.

[6] G.B. Gurevitch, Theory of algebraic invariants, P. Noordhof LTD, Groningen, the Netherland, 1964.

[7] H. Hijikata, A remark on the groups of type $G_2$ and $F_4$, J. Math. Soc. Jap. vol. 15, 2, 1963, p. 159-164.

[8] J. Igusa, Arithmetic of a singular invariant, Amer. J. of Math. 100, 2, 1988, p. 197-233.

[9] N. Jacobson, Cayley numbers and normal simple Lie algebras of type G. Duke Math. J. 5, 1939, p. 775-783.

[10] B. Kahn, Sommes de tenseurs décomposables, prépublication de l'université Paris VII, mai 1991, 28 p. et correspondance personnelle.

[11] T. Kimura, On the construction of some relative invariants for $Gl(n)$, $n = 6, 7, 8$, by the decomposition of the Young diagrams, Sém. Alg. P. Dubreil et M.P. Malliavin, 1980, Lect. Notes 867, p. 38-48.

[12] A. Médina, et Ph. Revoy, Algèbres de Lie et produits scalaires invariants, Ann. E.N.S. t. 18, 1985, p. 553-561.

[13] Ph. Revoy, Formes alternées et puissances divisées, Sém. P. Dubreil, 26ème année, 1972-73.

[14] Ph. Revoy, Trivecteurs de rang 6, in Coll. sur les formes quadratiques, Mémoire SMF 59, 1979, p. 141-155.

[15] P. Revoy, Formes trilinéaires alternées de rang 7, Bull. Sc. Math. 112, 1988, p. 357-368.

[16] N. Roby, Les algèbres à puissances divisées, Bull. Sc. Math. 89, 1965, p. 75-91.

[17] J. Schouten, Klassifizierung der alternierenden Grössendritten Grades in 7 dimensions, Rend. Circ. Mat. Palermo, 55, 1931, p. 137-156.

[18] J.P. Serre, Corps locaux, Hermann, Paris, 1968.
[19] E. Vinberg et A. Elasvili, Classification of trivectors of a nine-dimensional space, Trudy. Sem. Vekt. Tenz. Analyizn, MGU nXIX, 1979, p. 155-177.

[20] A. Weil, Algebras with involution and classical groups, J. Indian. Math. Soc. 24, 1961, p. 589-623.

[21] R. Westwick, Real trivectors of rank seven, Lin. and multilin. Algebra, 10 (3), 1981, p. 183-204.

Lemmouar NOUI et Philippe REVOY
Université de Montpellier 2
Département des Sciences Mathématiques
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34095 MONTPELLIER CEDEX 5