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- Feuilleter

- Série 6 : Tome 19 (2010)

- no. 1

- p. 191-229

- Résumé (VO)

- Abstract

Dans cette article on décrit le spectre semi-classique d’un opérateur de Schrödinger sur ℝ avec un potentiel type double puits. La description qu’on donne est celle du spectre autour du maximum local du potentiel. Dans la classification des singularités de l’application moment d’un système intégrable, le double puits représente le cas des singularités non-dégénérées de type hyperbolique.

In this paper we describe the semi-classical spectrum of a Schrödinger operator on ℝ with a double well. We describe the spectrum around the local maximum of the potential. In the classification of the singularities of the moment map of an integrable system, the double well represents the case of non-degenerate singularities of hyperbolic type.

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Olivier Lablée 1

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- Cité par

[1] Abramowitz (M.), Stegun (I.A).— Handbook of Mathematical functions with formulas, graphs and mathematical tables. New York : Dover, p. 255-258 and p. 260-263, (1972). | Zbl | MR

[2] Audin (M.).— Les systèmes hamiltoniens et leurs intégrabilité, Cours spécialisés 8, SMF, (2001). | Zbl | MR

[3] Brummelhuis (R.), Paul (T.), Uribe (A.).— Spectral estimates around a critical level, Duke Math. J, 78(3) p. 477-530, (1995). | Zbl | MR

[4] Carleman (T.).— Sur la théorie mathématique de l’équation de Schrödinger, Ark. Mat. Astr. Fys. 24B 11 p. 1-7, (1934). | Zbl

[5] Carry (J.), Rusu (P.).— Separatrix eingenfunction, Phys. Review A 45(12) p. 8501-8512, (1992).

[6] Colin de Verdiere (Y.), Vey (J.).— Le lemme de Morse isochore, Topology, 19 p. 283-293, (1979). | Zbl | MR

[7] Colin de Verdiere (Y.).— Spectre conjoint d’opérateurs pseudo-différentiels qui commute II, Math. Z., vol 71, p. 51-73, (1980). | Zbl | Numdam

[8] Colin de Verdiere (Y.), Parisse (B.).— Equilibre instable en régime semi-classique I : Concentration microlocale, Comm PDE, 19 p. 1535-1564, (1994). | Zbl | MR

[9] Colin de Verdiere (Y.), Parisse (B.).— Equilibre instable en régime semi-classique II : Conditions de Bohr-Sommerferld, Ann. IHP, 61 p. 347-367, (1999). | Zbl | Numdam | MR

[10] Colin de Verdiere (Y.), Lombardi (M.), Pollet (J.).— The microlocal Landau-Zener formula, Ann. IHP, 71 p. 95-127, (1999). | Zbl | Numdam | MR | EuDML

[11] Colin de Verdiere (Y.), Parisse (B.).— Singular Bohr-Sommerfeld rules, Commun. Math. Phys, 205 p. 459-500, (2000). | Zbl | MR

[12] Colin de Verdiere (Y.).— Bohr-Sommerfeld rules to all orders, Henri Poincaré Acta, 6, p. 925-936, (2005). | Zbl | MR

[13] Colin de Verdiere (Y.).— Méthodes semi-classique et théorie spectrale, Cours de DEA, (2006).

[14] Courant (R.), Hilbert (D.).— Methods of mathematical physics, Intersciences Publishers, New York, (1953). | Zbl | MR

[15] Dimassi (M.), Sjöstrand (J.).— Spectral asymptotics in the semi-classical limit, London Math Society Lectures Note Series 268, (1999). | Zbl | MR

[16] Evans (L.), Zworski (M.).— Lectures on semiclassical analysis. http ://mathh-berkeley.edu/~zworski/semiclassical.pdf.

[17] Friedrichs (K.).— Spektraltheorie halbbeschränkter Operatoren und Anwendung auf die Spektralzerlegung von Differentialoperatoren, Math. Ann. 109 : p. 465-487, p. 685-713, (1934). | EuDML | JFM

[18] Fujiie (S.), Ramond (T.).— Breit-Wigner formula at barrier tops, J. Math. Phys, 44(5) : 1971-1983, 2003. | Zbl | MR

[19] Kondrat’ev (V. A.), Shubin (M.A.).— Discreteness of the spectrum for Schrödinger operators on manifolds of bounded, geometry , Proceedings of the conference “Functional Analysis, Partial Differential Equations and Applications” dedicated to the V. G. Maz’ya 60th birthday, Rostock, (1998). | Zbl

[20] Kondrat’ev (V. A.), Shubin (M.A.).— Conditions for the discreteness of the spectrum for Schrödinger operators on manifolds, Funct. Anal. and Appl. 33, (1999). | Zbl | MR

[21] Gel’fand (I.), Shilov (G.).— Generalized Functions, Vol. 1, Academic Press, 1964. | Zbl | MR

[22] Gerard (C.), Grigis (A.).— Precise estimates of tunneling and eigenvalues near a potential barrier, Journal of Differential Equation 72 p. 149-177, (1988). | Zbl | MR

[23] Helffer (B.), Robert (D.).— Puit de potentiel généralisé et asymptotique semi-classique, Annales de l’IHP Physique Théorique 41(3) p. 291-331, (1984). | Zbl | Numdam | MR | EuDML

[24] Helffer (B.), Sjöstrand (J.).— Multiple wells in the semi-classical limit I, Comm. in Partial Differential Equation 9(4) p. 337-408, (1984). | Zbl | MR

[25] Helffer (B.), Sjöstrand (J.).— Semiclassical analysis of Harper’s equation, Bulletin, Société Mathématique de France, Mémoire, 39, (1990). | Numdam

[26] Lablee (O.).— Spectre du Laplacien et de l’opérateur de Schrödinger sur une variété : de la géométrie spectrale à l’analyse semi-classique, Gazette des Mathématiciens, Société Mathématique de France :116, (2008). | Zbl

[27] Laudenbach (F.).— Calcul différentiel et intégral, Editions de l’école polytechnique, (2000).

[28] Moser (J.).— The Analytic Invariants of an Area-Preserving Mapping Near a Hyperbolic Fixed Point, Comm. on pure an d applied math, Vol. 9, p. 673-692, (1956). | Zbl | MR

[29] Marz (C.).— Spectral Asymptotics for Hill’s Equation near the potential maximum, Asymptotics Analysis 5 p. 221-267, (1992). | Zbl | MR

[30] Martinez (A.).— An introduction to Semiclassical and Microlocal Analysis, Springer, (2001). | Zbl | MR

[31] Nadirashvili (N.).— Multiple eigenvalues of the Laplace operator, Math. USSR Sbornik, 61 p. 225-238, (1988). | Zbl | MR

[32] Oleinik (I. M.).— On the essential self-adjointness of the Schrödinger operators on a complete Riemannian manifold, Math. Notes. 54 p. 934-939, (1993). | Zbl

[33] Ramond (T.).— Semiclassical study of quantum scattering on the line, Comm. Math. Phys., 177, p. 221-254, (1996). | Zbl | MR

[34] Robert (D.).— Autour de l’approximation semi-classique, volume 68 of Progress in Mathematics, Birkhäuser, (1987). | Zbl | MR

[35] Sjöstrand (J.).— Microlocal analysis for the periodic magnetic Schrödinger equation and related questions, Microlocal analysis and applications (Montecatini Terme, 1989), Lect. Notes in Math., (1495), Springer, Berlin, (1991). | Zbl | MR

[36] Sjöstrand (J.).— Density of states oscillations for magnetic Schrödinger operators, Differential equations and mathematical physics (Birmingham, AL, 1990), 295-345, Math. Sci. Engrg., 186, Academic Press, Boston, MA, (1992). | Zbl | MR

[37] Vu Ngoc (S.).— Sur le spectre des systèmes complètement intégrables semi-classiques avec singularités, PhD Thesis Institut Fourier (1998).

[38] Vu Ngoc (S.).— Formes normales semi-classiques des systèmes complètement intégrables au voisinage d’un point critique de l’application moment, Asymptotic analysis, vol. 24 (3-4), p. 319-342, (2000). | Zbl | MR

[39] Vu Ngoc (S.).— Bohr-Sommerfeld conditions for integrable systems with critical manifolds of focus-focus type, Comm. Pure and Applied Math., vol 53, number 2, p. 143-217, (2000). | Zbl | MR

[40] Vu Ngoc (S.).— Systèmes intégrables semi-classiques : du local au global, Panoramas et synthèses 22, SMF, (2006). | Zbl

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