# Gestion des contacts 2D dans une approche par macro-éléments discrets de l'effondrement de portiques en béton-armé

Jean-Luc Hanus, Hélène Lachapèle, Patrice Bailly

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Jean-Luc Hanus, Hélène Lachapèle, Patrice Bailly. Gestion des contacts 2D dans une approche par macro-éléments discrets de l'effondrement de portiques en béton-armé. 8e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2007, Giens, France. hal-01495797

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# Gestion des contacts 2D dans une approche par macro-éléments discrets de l'effondrement de portiques en béton-armé

Jean-Luc Hanus — Hélène Lachapèle — Patrice Bailly

ENSI de Bourges et Université d'Orléans
88 boulevard Lahitolle, F-18020 Bourges Cedex
{jean-luc.hanus, helene.lachapele, patrice.bailly}@ensi-bourges.fr

**RÉSUMÉ.** Un code dynamique bidimensionnel, reposant sur l'utilisation de macro-éléments discrets de poutre, a été développé pour comprendre les mécanismes d'effondrements de structures de type portique suite à une agression accidentelle (impact d'un projectile, explosion...). L'objectif de cette communication est de présenter les nouveaux développements portant sur la gestion et la détection automatique précise des contacts. La modélisation retenue est celle des corps déformables associée à l'utilisation d'une hiérarchie de boites englobantes orientées qui permet une détection précise des collisions.

**ABSTRACT.** A computer bidimensionnal frame progressive collapse procedure, based on the use of macro-discrete beam elements, has been proposed. The aim of this paper is to present the development of an accurate and efficient strategy for collision detection and contact forces determination. The contact-detection algorithm lies on an OBB-tree hierarchical representation associated with the method of separating axis theorem.

**MOTS-CLÉS:** contact, macro-élément discret, dynamique, OBB, axe de séparation, poutre, portique, effondrement

**KEYWORDS:** contact, macro-discrete element, dynamic, OBB, separating axis, frame structure, collapse
# 1. Introduction

La modélisation de l'effondrement d'un bâtiment soumis à une agression accidentelle (impact d'un projectile, explosion...) est un phénomène, dynamique par essence, très complexe à appréhender. Ce qui fait la force de la méthode des éléments finis, à savoir que la structure est considérée comme un milieu continu, devient un handicap pour l'analyse de l'effondrement qui implique que la milieu initialement continu va se fragmenter. Certains auteurs ont adapté la méthode des éléments finis (Isobe et al., 2000), (Kaewkulchai et al., 2004). Nous avons, pour notre part, privilégié une approche discrète alternative reposant sur l'utilisation de macro-éléments de poutres. Les premiers résultats avaient permis de qualifier la méthode par comparaison des réponses élastiques et élastoplastiques de portiques obtenus avec la méthode des éléments finis (Reimeringer et al., 2005).

L'objectif de cette communication est de présenter les nouveaux développements portant sur la gestion et la détection précise des contacts.

# 2. Macro éléments discrets

Les éléments constitutifs du portique, poutres et colonnes, sont modélisés comme un ensemble de corps rigides reliés par des laisons rhéologiques dans lesquelles est localisé le comportement, tant linéaire que non linéaire, des matériaux. Cette formulation discrète s'inspire des analogies entre les éléments finis et les assemblages masse ressort RBSM (Rigid Body Spring Model) proposées par Kawai (Kawai, 1980) et Toi (Toi, 1991) dans le domaine des petites perturbations.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>**Figure 1.** Elément discret $e_i$</figcaption></figure>

Le comportement global est décrit en variables généralisés ($N - \epsilon$, $V - \gamma$, $M - \chi$)

$$ \text{avec } \epsilon_i = \frac{l_i - l_0}{l_0}, \quad \gamma_i = \frac{\sin(\psi - \theta_i) + \sin(\psi - \theta_{i-1})}{2}, \quad \chi_i = \frac{\theta_i - \theta_0}{l_0} $$

Notre macro-élément discret de poutre étant équivalent à l'élément fini de poutre de Timoshenko, tout modèle de comportement global, phénoménologique ou basé sur la thermodynamique des processus irréversibles, peut-être utilisé.
L'intégration temporelle des équations de mouvements est réalisée au moyen de l'algorithme explicite dit des «différences centrées».

### 3. Détection des contacts

Différentes représentations géométriques peuvent être utilisées pour simplifier la détection du contact entre deux corps rigides en 2D. Les plus courantes (Lin et al., 1998) sont par ordre de complexité : les cercles englobants, les boites englobantes alignées sur les axes ou AABB (Axis Aligned Bounding Box), les boites englobantes orientées ou OBB (Oriented Bounding Box) et les k-DOP (Discrete Oriented Polygon).

Les corps rigides élémentaires intervenant dans notre modélisation n'ont pas une forme quelconque, il s'agit soit de rectangles soit de l'union d'au plus deux rectangles (figure 2). L'utilisation d'une hiérarchie de boites englobantes orientées nous permettra donc une détection précise des collisions puisque l'enveloppe retenue coïncidera exactement avec la surface extérieure de nos corps rigides (figure 3).

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2. Portique en vue éclatée</figcaption></figure>

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 3. Surfaces englobantes</figcaption></figure>

Le test de recouvrement de deux OBB est basé sur le théorème<fnref n="1" /> de l'axe de séparation (Gottschalk, 2000). Appliqué à deux macro-éléments (figure 4), composés éventuellement chacun de deux sous-éléments, ce test nécessitera de nombreuses opérations de calcul. Notre choix s'est donc porté sur un test de recouvrement en deux étapes :

- test rapide/grossier de tri des candidats au contact par cercles englobants;

- test exact par arbre d'OBB sur ceux jugés en contact après le test grossier.

<footnote n="1">1. Deux polygons convexes disjoints en 2D peuvent toujours être séparés par une droite qui est parallèle à un côté de l'un des polygons. On appelle axe de séparation, un axe sur lequel les images projetées des deux polygons sont disjointes. En conséquence, deux polygons convexes sont disjoints s'il existe un axe de séparation orthogonal à un côté d'un des polygons. Nous aurons donc au maximum 4 tests à effectuer associés aux 2 axes directeurs de chaque rectangle.</footnote>
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>**Figure 4.** Exemple : projections sur les axes $\underline{a_1}$ et $\underline{a_2}$

Recouvrement dans les deux cas : $d_{12} = \text{Min}(d_{\underline{a_1}1}, d_{\underline{a_2}2})$</figcaption></figure>

## 4. Efforts associés au contact

La gestion des contacts entre solides rigides peut classiquement être abordée au moyen de deux approches opposées : l'école des corps déformables popularisée par Cundall (Cundall, 1971) et l'école des corps indéformables, dans le cadre de la mécanique des contacts non réguliers, initiée par Moreau (Moreau, 1988).

C'est la première méthode qui a été privilégiée pour sa simplicité de mise en oeuvre et sa cohérence avec la modélisation simplifiée retenue qui utilise déjà des modèles rhéologiques pour représenter le comportement des matériaux constitutifs.

A l'issue de l'étape de détection de contact entre deux éléments *i* et *j* nous disposons, en cas de test positif, des informations suivantes : distance d'interpénétration $d_{ij}$, normale au contact et point de contact $P_c$.

L'effort normal est, pour sa partie réversible, proportionnel à la distance d'interpénétration et, pour sa partie dissipative, proportionnel à la vitesse normale relative des deux éléments en contact :

$$F_n^{i \to j} = -K_n d_{ij} - m_{eff} \gamma v_{rel}^n$$

L'effort tangentiel est déterminé de manière incrémentale, l'incrément étant proportionnel à la vitesse tangentielle relative des deux éléments en contact. Une loi de Coulomb est adoptée pour modéliser les frottements entre deux éléments :

$$\Delta F_t^{i \to j} = -K_t v_{rel}^t \Delta t$$
$$F_t^{i \to j} = -\min (|F_t^{i \to j}|, \mu |F_n^{i \to j}|) \frac{v_{rel}^t}{|v_{rel}^t|}$$

Ces efforts engendrent des moments sur les deux éléments en contact :

$$\underline{M}^{i \to j} = \underline{F}^{i \to j} \wedge \underline{P_c} \underline{C}^j$$

avec $K_n$ raideur normale associée au contact et $K_t$ raideur tangentielle, $m_{eff} = \frac{m^i m^j}{m^i+m^j}$ masse effective, $\gamma$ coefficient d'amortissement et $\mu$ coefficient de frottement.

## 5. Application à l'étude de la cinématique d'un effondrement

L'exemple proposé est celui d'un portique en béton-armé pour lequel on suppose qu'une colonne du rez-de-chaussée a été détruite par une chargement accidentel (Kaewkulchai et al., 2004). Le modèle de comportement retenu est une simple loi bilinéaire moment-courbure avec seuil de rupture.

La séquence (figure 5) présente en vue éclatée différentes phases de l'effondrement du portique :

- plastification puis rupture de liaisons consécutives à l'endommagement initial;

- chute libre d'une partie et rupture de liaisons lors de l'impact avec le sol;

- empilement des éléments rompus et état final du portique<fnref n="2" />.

## 6. Conclusion

La gestion explicite des contacts par arbre d'OBB permet de représenter de manière géométriquement précise les chocs entre éléments et les impacts sur le sol. L'effondrement d'un portique en béton armé avec une loi globale « moment-courbure » illustre les potentialités de la démarche proposée pour décrire, de manière simplifiée, la ruine d'une structure.

## 7. Bibliographie

Cundall P. A., « A computer model for simulating progressive large scale movements of blocky rock systems », *Symposium of the international society of rock mechanics*, vol. 1, Nancy, p. 132-150, 1971.

Gottschalk S., Collision Queries using Oriented Bounding Boxes, PhD thesis, University of North Carolina, Department of Computer Science, 2000.

Isobe D., Toi Y., « Analysis of structurally discontinuous reinforced concrete building frames using the ASI technique », *Computers and Structures*, vol. 76, n° 4, p. 471-481, 2000.

<footnote n="2">2. Les sphères bleues représentent les liaisons dont le comportement demeure élastique, les sphères vertes les liaisons plastifiées.</footnote>
Kaewkulchai G., Williamson E., « Beam element formulation and solution procedure for dynamic progressive collapse analysis », *Computer and Structures*, vol. 82, p. 639-651, 2004.

Kawai T., « Some considerations on the finite element method », *Int. J. for Num. Meth. in Eng.*, vol. 16, n° 1, p. 81-120, 1980.

Lin M. C., Gottschalk S., « Collision detection between geometric models : A survey », *IMA Conference on Mathematics of Surfaces*, Budapest, p. 37-56, 1998.

Moreau J. J., « Unilateral contact and dry friction in finite freedom dynamics », in, J. J. Moreau, P. D. Panagiotopoulos (eds), *Non Smooth Mechanics and Applications*, vol. 302, CISM Courses and Lectures, Springer-Verlag, Vienna, p. 1-82, mai, 1988.

Reimeringer M., Hanus J., Woznica K., « Effondrement de structures en béton armé : une approche par éléments discrets », 7ième colloque national en Calcul de Structures, Giens, mai, 2005.

Toi Y., « Shifted integration technique in one-dimensionnal plastic collapse analysis using linear and cubic finite elements », *Int. J. for Num. Meth. in Eng.*, vol. 31, n° 8, p. 1537-1552, 1991.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>**Figure 5.** Cinématique d'effondrement d'un portique en béton armé</figcaption></figure>