## D.3 ÉVALUATION DU CONTRÔLE

### D.3.1 Changement de fréquence

#### DÉPHASAGE DANS LA CAVITÉ
Pour avoir une indication du déphasage entre le mouvement de la membrane du haut-parleur et le son propagé au niveau de la membrane supérieure du tom, on applique une tension en forme de sweep logarithmique d'une durée de 100s allant de 0,1Hz à 10kHz et mesure le son en un point à l'intérieur de la cavité et en un point au-dessus du milieu de la membrane supérieure du tom (Figures 10.38-D.6 et Tableau D.2).

<table><caption>Tableau D.2 – Dispositif concernant le déphasage dans la cavité : liste des instruments</caption><tr><td>Microphone dans la cavité</td><td>Bruel & Kjær 4939</td></tr><tr><td>Microphone au-dessus de la membrane</td><td>Bruel & Kjær 4191</td></tr><tr><td>Conditionneur des microphones</td><td>Nexus 2690</td></tr><tr><td>Amplificateur du haut-parleur</td><td>Newton4th Ltd LPA05</td></tr><tr><td>Générateur basse-fréquence</td><td>TTi TG2000</td></tr><tr><td>Carte d'acquisition</td><td>National Instruments 9234</td></tr></table>

Les signaux mesurés sont affichés Figure D.7. Dénotant leurs transformées de Laplace comme

$$ 
\begin{cases}
v_1(t) \leftrightarrow V(s) \\
p_c(t) \leftrightarrow P_c(s) \\
p_e(t) \leftrightarrow P_e(s),
\end{cases}
$$

on définit les fonctions de transfert

$$ \frac{P_c(s)}{V(s)} \quad \text{et} \quad \frac{P_e(s)}{V(s)}, $$

qui sont montrées Figure D.8.

On voit que la phase de la fonction de transfert $P_c(s)/V(s)$ varie beaucoup dans la plage d'intérêt du contrôleur [0,300]Hz. On peut donc s'attendre à des déphasages entre la membrane du haut-parleur et la membrane supérieure du tom en fonction de la fréquence, voire des influences de modes du volume et de la paroi du fût, le tout n'étant pas pris en compte par le modèle utilisé pour le développement de la loi de commande.
<figure><img src="image_192.png" /><figcaption>FIGURE D.6 – Dispositif concernant le déphasage dans la cavité : schéma</figcaption></figure>
<figure><img src="image_193.png" /><figcaption>FIGURE D.7 – Mesures concernant le déphasage dans la cavité : signaux mesurés</figcaption></figure>

<figure><img src="image_194.png" /><figcaption>FIGURE D.8 – Mesures concernant le déphasage dans la cavité : fonctions de transfert</figcaption></figure>
CARTE D'ACQUISITION

National instruments 9234

DATASHEET

NI 9234

4 A1, ±5 V, 24 Bit, 51.2 kS/s/ch Simultaneous, AC/DC Coupling, IEPE
AC Coupling

<figure><img src="image_195.png" /></figure>

* Software-selectable AC/DC coupling (AC coupled at 0.5 Hz)

* Software-selectable IEPE signal conditioning with AC coupling (2 mA)

* -40 °C to 70 °C operating, 5 g vibration, 50 g shock

* 24-bit resolution

* Anti-aliasing filters

* 102 dB dynamic range

* Smart TEDS sensor compatibility

The NI 9234 is a four-channel dynamic signal acquisition module for making high-accuracy measurements from IEPE sensors. The NI 9234 delivers 102 dB of dynamic range and incorporates Integrated Electronics Piezoelectric (IEPE) signal conditioning at 2 mA constant current for accelerometers and microphones. The four input channels simultaneously acquire at rates up to 51.2 kS/s. In addition, the module includes built-in anti-aliasing filters that automatically adjust to your sampling rate. Compatible with a single-module USB carrier and NI CompactDAQ and CompactRIO hardware, the NI 9234 is ideal for a wide variety of mobile or portable applications such as industrial machine condition monitoring and in-vehicle noise, vibration, and harshness testing.

<figure><img src="image_196.png" /></figure>

NATIONAL
INSTRUMENTS™
<figure><img src="image_197.png" /></figure>

RAVELAND

<figure><img src="image_198.png" /></figure>

AXX 1010/1212/1515
Car-HiFi Subwoofer Chassis

- silver coated cone

- silver push terminals

- double magnet

- double spider

- lin. excursion +/- 9 mm

- silver die cast basket

- kapton voice coil former

- 30 mm high excursion foam surround

- designed for small cabinets

Gehäusevorschläge / recommended enclosures:

<figure><img src="image_199.png" /></figure>

AXX 1010

Bassreflex: volume 20 l,
Port: 1 x BR 8136 X + BR 8136 XT
6 cm x 15 cm ]

<figure><img src="image_200.png" /></figure>

AXX 1212

Bassreflex: volume 38 l,
Port: 2 x BR 8136 X + BR 8136 XT
6 cm x 15 cm ]

<figure><img src="image_201.png" /></figure>

AXX 1515

Bassreflex: volume 65 l,
Port: 2 x BR 8146 X + BR 8146 XT
9 cm x 15 cm ]

<figure><img src="image_202.png" /></figure>

<figure><img src="image_203.png" /></figure>

<figure><img src="image_204.png" /></figure>

Technische Daten und Parameter / technical data and parameter

<table><thead><tr><th>Typ / type:</th><th>AXX 1010</th><th>AXX 1212</th><th>AXX 1515</th></tr></thead><tbody><tr><td>Nom. Impedanz Ohm / nom. impedance ohms:</td><td>4</td><td>4</td><td>4</td></tr><tr><td>Aussendurchmesser / overall diameter mm.</td><td>270</td><td>320</td><td>390</td></tr><tr><td>Einbaudurchmesser / mounting diameter mm:</td><td>236</td><td>286</td><td>354</td></tr><tr><td>Re Ohm / RDC ohms:</td><td>3.2</td><td>3.2</td><td>3.2</td></tr><tr><td>Resnanzfrequenz / resonance frequency Fz Hz</td><td>36</td><td>35</td><td>34</td></tr><tr><td>Mech. Dämpfung / mech. damping Qms:</td><td>4.65</td><td>4.76</td><td>4.35</td></tr><tr><td>Elekt. Dämpfung / elect. damping Qes:</td><td>0.37</td><td>0.38</td><td>0.34</td></tr><tr><td>Gesamt Dämpfung / total damping Qts:</td><td>0.34</td><td>0.35</td><td>0.32</td></tr><tr><td>Äquivalentvolumen / equivalent volume VAS L:</td><td>21.8</td><td>41.2</td><td>88</td></tr><tr><td>Membranfläche / cone area cm²:</td><td>333</td><td>515</td><td>804</td></tr><tr><td>Schalldruck / sound pressure level SPL dB:</td><td>88</td><td>90</td><td>93</td></tr><tr><td>Belastbarkeit Watt R.M.S. / power handling watts R.M.S.</td><td>200</td><td>220</td><td>300</td></tr><tr><td>Belastbarkeit Watt max. / power handling watts max.</td><td>500</td><td>600</td><td>800</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_205.png" /></figure>

RAVELAND

<figure><img src="image_206.png" /></figure>

Distribution: speaker trade, Neuenhofer Str. 42-44, 42657 Solingen, Germany. Tel: + 49 - 02 12 - 38226-0, Fax: + 49 - 02 12 - 38226-40, Internet: www.raveland.de

<footnote n="1">1. Ce modèle semble ne plus être produit. Les données constructeur ont été obtenues de l'entreprise Speaker Trade, Solingen, Allemagne.</footnote>
Laboratory power amplifier LPA05

<figure><img src="image_207.png" /></figure>

Features:

* DC and AC wide bandwidth

* Switch selectable coupling options: AC, AC+DC or AC with reduced DC

* Fixed x10 Gain

* Switch selectable bandwidth

* High slew rate

* Isolated BNC or 4mm output sockets

* ± 40V peak
  3A rms / 5A peak
  (LPA05A resistive load)

* ± 16V peak
  5A rms / 8A peak
  (LPA05B resistive load)

* Isolated from ground to prevent earth loops

* Robust metal enclosure

LPA05A & LPA05B provide wide bandwidth signal amplification at up to 8A peak, extending the range of industrial and laboratory applications into which the LPA series can be used.

**LPA05:** High frequency, high current testing of very low impedance loads, follow guidance in user manual if DUT impedance is below 5 ohms

-Also in the LPA range -

**LPA01:** High frequency, testing of low impedance loads at up to 1Apk e.g. wound components

**LPA400:** High voltage, high frequency testing and calibration
Driving high voltage actuators (e.g. piezo) up to ± 400V

<figure><img src="image_208.png" /></figure>

Newtons4th Ltd

Newtons4th Ltd
1 Bede Island Road

Leicester
LE2 7EA, UK

Tel +44 116 2301066

Fax +44 116 2301061

e-mail office@newtons4th.com

Website www.newtons4th.com
The LPA range of power amplifiers from N4L are robust and reliable for use in a variety of industrial and laboratory applications. Designed originally for use with the PSM* range Phase Sensitive Multimeters, they can also be used anywhere where there is a need to boost a signal either in voltage or current.

They combine dc accuracy with wide bandwidth to faithfully reproduce complex waveforms, driving loads that may be capacitive, inductive or resistive.

Optionally, the dc component can be eliminated with ac coupling, or can be reduced with ac+(dc) coupling. To limit high frequency noise, the input bandwidth can be reduced with a linear phase, 2nd order, low pass filter for low frequency applications.

Specifications:

<table><thead><tr><th>Parameter</th><th>LPA05A</th><th>LPA05B</th></tr></thead><tbody><tr><td>Max Output Voltage</td><td>80V pk-pk (28Vrms)</td><td>32V pk-pk (12Vrms)</td></tr><tr><td>Max ac output current (&gt;100Hz)</td><td>3A rms<br>5A pk</td><td>5A rms<br>8A pk</td></tr><tr><td>Max dc output current</td><td>2A</td><td>4A</td></tr><tr><td>Input connector</td><td colspan="2">isolated BNC</td></tr><tr><td>Input impedance</td><td colspan="2">10kΩ</td></tr><tr><td>Peak input voltage<sup>1</sup></td><td>±4V</td><td>±2V</td></tr><tr><td>Input common mode range</td><td colspan="2">±40V</td></tr><tr><td>Input offset voltage</td><td colspan="2">5mV (max)<br>1mV (typ)</td></tr><tr><td>Input coupling</td><td colspan="2">ac, ac+dc, ac+(dc)</td></tr><tr><td>AC coupling filter -3dB</td><td colspan="2">16Hz</td></tr><tr><td>(dc) gain factor</td><td colspan="2">0.1</td></tr><tr><td>Low B/W filter attenuation</td><td colspan="2">40 dB/decade</td></tr><tr><td>Low B/W filter type</td><td colspan="2">linear phase</td></tr><tr><td>Gain</td><td colspan="2">x10</td></tr><tr><td>Slew rate</td><td colspan="2">120 V/us</td></tr><tr><td>Output connector</td><td colspan="2">isolated BNC + 4mm safety connectors</td></tr><tr><td>Output power</td><td>90 VA</td><td>60 VA</td></tr><tr><td>Operating temperature range</td><td colspan="2">0 - 40 °C</td></tr><tr><td>Size</td><td colspan="2">30 x 15 x 25 cm</td></tr><tr><td>Weight</td><td colspan="2">6 kg (approx)</td></tr><tr><td>Power source</td><td colspan="2">90-265V 45-63Hz</td></tr><tr><td>Power consumption</td><td colspan="2">150 VA</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_209.png" /></figure>

All specifications at 23°C +/- 5°C

These specifications are quoted in good faith but Newtons4th Ltd reserves the right to amend any specification at any time without notice

The LPA range is designed & manufactured in the UK by Newtons4th Ltd.

<footnote n="1">¹ The input voltages should be limited to ensure that the output does not exceed the permitted limits.</footnote>

<footnote>* The PSM range includes the PSM1700, PSM1735, PSM2200 and PSM2201 that incorporate gain/phase analysis, LCR meter, phase angle voltmeter, wideband true rms meter, Power analyser, harmonic analyser and more.</footnote>
SONDE DE COURANT

Newtons4th Ltd HF003 Sonde de courant

<figure><img src="image_210.png" /></figure>

Newtons4th Ltd

office@newtons4th.com

www.newtons4th.com

High Frequency Current Shunts for the PPA Series
HF003 to HF500

<figure><img src="image_211.png" /><figcaption>HF003 / HF006 / HF020</figcaption></figure>

<figure><img src="image_212.png" /><figcaption>HF200</figcaption></figure>

<figure><img src="image_213.png" /><figcaption>HF100</figcaption></figure>

<figure><img src="image_214.png" /><figcaption>HF500</figcaption></figure>

The HF series shunts provide an accurate current sensing solution for many wideband power measurement applications up to 500Arms.

Utilising an innovative design unique to N4L that exhibits exceptionally low parasitic inductance, each shunt will maintain its specified resistance over a frequency range from DC to 1MHz without exhibiting the phase shift that is normally associated with high current resistive shunts.

While the HF series was primarily designed for use with the PPA series power analyzers from N4L that provide exceptional wideband accuracy, dynamic range and common mode rejection, the HF series can be used as a precise current sensing device for other equipment.

<table><thead><tr><td>Model</td><td>Nominal Resistance</td><td>Phase Error</td><td>Continuous Current</td><td>PPA typical* min Current</td><td>Input Connector</td></tr></thead><tbody><tr><td>HF500</td><td>0.2mΩ ± 0.1%</td><td>0.1° / kHz</td><td>500Arms</td><td>0.5Arms</td><td>M16 bolt/lug</td></tr><tr><td>HF200</td><td>0.5mΩ ± 0.1%</td><td>0.1° / kHz</td><td>200Arms</td><td>0.2Arms</td><td>M10 bolt</td></tr><tr><td>HF100</td><td>1mΩ ± 0.1%</td><td>0.05° / kHz</td><td>100Arms</td><td>0.1Arms</td><td>HD binding post</td></tr><tr><td>HF020</td><td>10mΩ ± 0.1%</td><td>0.01° / kHz</td><td>20Arms</td><td>10mArms</td><td>4mm socket</td></tr><tr><td>HF006</td><td>100mΩ ± 0.1%</td><td>0.001° / kHz</td><td>6Arms</td><td>1mArms</td><td>4mm socket</td></tr><tr><td>HF003</td><td>470mΩ ± 0.1%</td><td>0.0001° / kHz</td><td>3Arms</td><td>0.2mArms</td><td>4mm socket</td></tr></tbody></table>

Permitted Crest Factor: 10 (e.g. repetitive peak current for HF100 is 1000Apk)

Maximum peak current: Single peak current with ≤ 100uS duration is 2 x Apk (e.g. single peak current for HF100 is 2000Apk ≤ 100uS)

Nominal inductance: < 1nH

Minimum current*: Based on use with a PPA analyzer ext. input and CF of ≤ 3

Output connector: Safety BNC - Non isolated with non inverted polarity (Output is at line potential therefore safety BNC to BNC leads must be used for instrument connection)

Protection rating: 600V Cat II
CAPTEUR LASER

Keyence LK-H050 Capteur laser

Fiche technique

KEYENCE

<figure><img src="image_215.png" /></figure>

LK-H050

Tête de capteur, type à spot

CE

SPÉCIFICATIONS

<table><tr><td>Modèle</td><td colspan="2">LK-H050</td></tr><tr><td>Type de montage</td><td colspan="2">Réflexion diffuse</td></tr><tr><td>Distance de référence</td><td colspan="2">50 mm</td></tr><tr><td>Plage de mesure</td><td colspan="2">±10 mm<sup>1</sup></td></tr><tr><td rowspan="2">Source de lumière</td><td>Type</td><td>Laser rouge à semi-conducteur</td></tr><tr><td>Longueur d'onde</td><td>655nm</td></tr><tr><td>Source lumineuse</td><td>Classe laser</td><td>CEI 60825-1: Classe 3R</td></tr><tr><td>Source de lumière</td><td>Émission</td><td>4.8mW</td></tr><tr><td>Diamètre de spot (à la distance standard)</td><td colspan="2">e50 µm</td></tr><tr><td>Linéarité</td><td colspan="2">±0,02 % de la pleine échelle (Pleine échelle = 20 mm)<sup>2</sup></td></tr><tr><td>Répétabilité</td><td colspan="2">0,025 µm<sup>3</sup></td></tr><tr><td>Cadence d'échantillonnage</td><td colspan="2">2.55/5/10/20/50/100/200/500/1000 µs (9 étapes réglables)</td></tr><tr><td>Caractéristiques de température</td><td colspan="2">0,01 % de la pleine échelle/°C (Pleine échelle = 20 mm)</td></tr><tr><td rowspan="5">Résistance à l'environnement</td><td>Indice de protection</td><td>IP67</td></tr><tr><td>Lumière ambiante</td><td>Lampe à incandescence ou fluorescence: 10,000 lux max.</td></tr><tr><td>Température ambiante</td><td>De 0 à +50 °C<sup>4</sup></td></tr><tr><td>Humidité relative</td><td>35 à 85 % HR (Sans condensation)</td></tr><tr><td>Résistance aux vibrations</td><td>De 10 à 55 Hz. Double amplitude de 1.5 mm, 2 heures dans chacune des directions X, Y et Z</td></tr><tr><td>Matériau</td><td colspan="2">Aluminium coulé sous pression</td></tr><tr><td>Poids</td><td colspan="2">Environ 260 g</td></tr></table>

<footnote n="1">1) Plage de mesure lorsque le cycle d'échantillonnage est de 20 µs ou plus.</footnote>

<footnote n="2">2) Cette valeur est obtenue lorsque la cible standard KEYENCE (pièce blanche diffusante ou pièce pourvue d'une surface métallique réfléchissante uniquement pour le LK-H005/LK-H008W) est mesurée avec le mode de mesure normal.</footnote>

<footnote n="3">3) Cette valeur est obtenue lorsque la cible standard KEYENCE (pièce blanche diffusante ou pièce pourvue d'une surface métallique réfléchissante uniquement pour le LK-H008/LK-H008W) est mesurée à la distance de référence, le nombre de mesures utilisées pour calculer la moyenne étant fixé à 16384. La valeur entre parenthèses est un e x emplé type de mesure dont le nombre de mesures utilisées pour calculer la moyenne est fixé à 65536 et le cycle d'échantillonnage à 200 µs.</footnote>

<footnote n="4">4) Lorsque la température ambiante est supérieure ou égale à 40 °C, réalisez un montage sur plaque métallique avant utilisation.</footnote>
## MARTEAU D'IMPACT

### Dytran 5800SL Impulse hammer

<figure><img src="image_216.png" /></figure>

## CONDITIONNEUR DU MARTEAU D'IMPACT

### Metra Mess- und Frequenztechnik M32 Conditioning module

Manfred Weber

Metra Mess- und Frequenztechnik in Radebeul e.K.

D-01445 Radebeul

Meißner Str. 58

Internet: www.MMF.de

Tel. +49-351-836 2191

Fax +49-351-836 2940

Email: Info@MMF.de

<figure><img src="image_217.png" /></figure>

## Instruction Manual

## IEPE Conditioning Module M32

### Application

The IEPE Conditioning Module M32 is a signal conditioner for transducers with IEPE compatible output. It provides the necessary power supply for the electronic circuit of the sensor. The unit features 3 gain ranges and a plug-in low pass filter. The M32 can be used as a front end for PC based data acquisition systems. It can be combined with the IEPE Supply Module M28. The M32 is suited for both benchtop applications and DIN rail attachment in switch cabinets. The wide supply voltage range of the M32 allows power supply from external batteries, from the available mains plug adapter or from an industrial 24 VDC supply.

### What is IEPE?

IEPE is a well-established standard for the output of piezoelectric transducers and microphones. It stands for "Integrated Electronics Piezo Electric". Other brand names for the same principle are ICP®, Isotron®, Delta-tron®, Piezotron® etc. The integrated circuit of the sensor transforms the charge signal of the piezo-ceramic sensing element, with its very high impedance and high EMI sensitivity, into a voltage signal with low impedance.

A special feature of the IEPE electronics is that power supply and measuring signal are transmitted via the same cable. So, an IEPE transducer requires, like a transducer with charge output, only one single-ended shielded cable.
Technical Data

Input / output: BNC sockets

Output circuit: DC coupled; impedance approx. 100 Ω

Dynamic range: ± 10 V

Constant current source: 3.8 .. 5.6 mA, compliance voltage >24 V

IEPE sensor indicator: Bicolor LED; off = open input; yellow = 1 .. 24 V = OK; red = shorted

Gain ranges: 1 / 10 / 100 ± 1 % typically; ± 2 % maximum

Output noise: < 1 mV<sub>rms</sub> with 30 kHz low pass

Frequency range (- 3 dB): 0.1 Hz .. 30 kHz (depending on lowpass module)

Low pass filter: Plug-in module FB2-...; Butterworth; 4<sup>th</sup> order; attenuation > 70 dB/decade available frequencies (-3 dB): FB2 - 0.1 / 0,3 / 1 / 3 / 5 / 10 / 30 kHz

Power supply: U<sub>S</sub> = 5 .. 26 VDC; < 200 mA; insulated from signal path;

via DIN 45323 circular power connector (positive terminal at tip)
or two banana plugs

Case: Aluminum, connected to negative terminal of power supply

Included accessories: 2 screw-in banana plugs for power supply connection with other modules

Optional accessories:
**PS500:** mains plug adapter for 100 .. 240 VAC; 12 VDC / 500 mA sufficient for one unit M32
**PS1000:** mains plug adapter for 100 .. 240 VAC; 12 VDC / 1000 mA sufficient for up to 3 units M32

**M28+32DIN:** 35 mm DIN rail adapter

Operating temperature: -10 .. 55 - C; 95 % relative humidity; no condensation

Weight: 170 g

Dimensions (W x H x D): 56 mm x 59 mm x 44 mm

<figure><img src="image_218.png" /></figure>
POT VIBRANT

Bruel & Kjær 4810 petit pot vibrant

PRODUCT DATA

Mini-shaker Type 4810

Uses

* Accelerometer calibration

* Vibration testing of small objects

* Mechanical impedance and mobility measurements

* Experimental modal analysis

Features

* Force rating 10 N (2.25 lbf) sine peak

* Frequency range DC to 18 kHz

* First axial resonance above 18 kHz

* Max. displacement 4 mm (0.16 in) peak-to-peak

* Max. bare table acceleration 550 m/s²

* Rugged construction

* Optimized performance using Power Amplifier Type 2718

<figure><img src="image_219.png" /></figure>

140087

Description

Mini-shaker Type 4810 is of the electrodynamic type with a
permanent field magnet. It is well-suited as the force generator
in general vibration tests, mechanical impedance and mobility
measurements, and experimental modal analysis where only
smaller force levels are required. It can also be used in the
calibration of vibration transducers, both to determine their
sensitivity, by comparison with a standard accelerometer, as
well as their frequency response, up to 18 kHz.

The suspension system consists of radial flexure springs that restrict the moving element to almost perfectly rectilinear motion. Laminated flexure springs provide a high degree of damping to minimise distortion due to flexure resonances.

The object to be vibrated is attached to the table by means of a 10–32 UNF screw, the thread size commonly used for mounting accelerometers. Performance limits defined by the maximum displacement (4 mm), maximum force (10 N or 7 N depending on frequency), and the first axial resonance of the moving element (above 18 kHz), are shown in Fig. 1.

<figure><img src="image_220.png" /><figcaption>Fig. 1 Sine performance curves for Type 4810</figcaption></figure>

<figure><img src="image_221.png" /></figure>
## AMPLIFICATEUR DU POT VIBRANT

<figure><img src="image_222.png" /><figcaption>ILP Electronics US1 Power slave</figcaption></figure>

## MICROPHONES

<figure><img src="image_223.png" /><figcaption>Bruel & Kjær 4190 microphone 1/2"</figcaption></figure>

<caption>Bruel & Kjær 4191 microphone 1/2"</caption>
CONDITIONNEUR DES MICROPHONES

NEXUS 2690 conditionneur

<figure><img src="image_224.png" /><figcaption>**Fig. 2.1**
Front panel of
NEXUS
Conditioning
Amplifier showing
the Amplifier Set-up
menu</figcaption></figure>
# Chapter 6

## Specifications

### 6.1 Specifications – Types 2690 to 2693

#### Charge Input

**Connector:** TNC (TNC to 10–32 UNF adaptor JP-0162 included)

**Grounding:** Single-ended or floating

#### MAX. INPUT

**Differential Charge:** 10 nC (peak); Type 2692-C/D: 100 nC (peak)

**Common Mode Voltage:** 4.2 V (peak)

At gain ≥ 0.316 mV/pC (–10 dB gain with 1 nF transducer capacitance)

#### INPUT PROTECTION

**Differential Charge:** ≤ 300 nC (peak)

**Common Mode Voltage:** ≤ 15 V (peak)

**Common Mode Rejection Ratio:** > 50 dB (typical)

(50 to 60 Hz with 1 nF transducer capacitance)

**Amplifier Gain:** 0.1 mV/pC to 10^7 pV/C (–20 to +80 dB gain with 1 nF transducer capacity); Type 2692-C/D: 0.01 mV/pC to 10 V/pC (–40 to +80 dB gain with 1 nF transducer capacity)

#### TRANSDUCER SENSITIVITY RANGE

10^–19 to 10^–6 C/MU

(MU = mechanical units: m/s²; g, N, lb., Pa)

#### CALIBRATED OUTPUT

Selectable in 10 dB steps. 100 dB attenuator range, 10^–15 to 10^7 V/MU; Type 2692-C/D: Selectable in 10 dB steps. 120 dB attenuator range, 10^–16 to 10^7 V/MU

±1% for 0°C ≤ T_a ≤ +40°C and ±2% for –10°C ≤ T_a ≤ +55°C

Frequency range from 5 × f<sub>I</sub> to 0.2 × f<sub>U</sub>

f<sub>I</sub> = lower freq. limit: 0.1, 1.0 or 10 Hz

f<sub>U</sub> = upper freq. limit: 0.1, 1, 3, 10, 30 or 100 kHz

#### FREQUENCY RANGE (–10%)

**Acceleration:** 0.1 Hz to 100 kHz (transducer cable length <10 m)

**Velocity (optional):** 1.0 Hz to 10 kHz

**Displacement (optional):** 1.0 Hz to 1 kHz

#### LOW-PASS FILTER (–10%)

0.1, 1, 3, 10, 22.4, 30 or 100 kHz, attenuation slope 40 dB/decade

#### HIGH-PASS FILTER (–10%)

**Acceleration:** 0.1, 1.0 or 10 Hz; Type 2692-C/D: 0.1, 1 or 20 Hz

**Velocity (optional):** 1.0 or 10 Hz

**Displacement (optional):** 1.0 or 10 Hz

#### INHERENT NOISE (2 Hz to 22.4 kHz)

<5 fC referred to input, –10°C ≤ T_a ≤ +40°C

<10 fC referred to input, 40°C ≤ T_a ≤ +55°C

(Amplifier sensitivity (>20 dB) with 1 nF transducer capacitance)

#### HARMONIC DISTORTION AND NOISE (2 Hz to 22.4 kHz, Q<sub>in</sub>

≤ 2 nC peak, V<sub>out</sub> ≤ 3.16 V peak;

<0.003% for amplifier gain ≤ 0.1 V/pC

(<40 dB gain with 1 nF transducer capacitance)

#### ENVIRONMENTAL SUSCEPTIBILITY (referred to input)

**Magnetic Field:** <0.2 fC/(A/m)

**Electromagnetic Field:** <20 fC/(V/m) or <4 fC/V

**Vibration (10 to 500 Hz):** <30 fC/(m/s²)

#### MOUNTED RESONANCE TESTING<sup>A</sup>

**EP Patent 715.722, US Patent 5.753.793**

Mounted resonance testing of the accelerometer and cable interconnection, controllable from front panel and RS-232 interface

#### TEST TONE OSCILLATOR

ω = 1000 rad/s (159.2 Hz), sinusoidal

**Test Level:** 1 mV to 10 V (±1%). Controllable from front panel and RS-232 interface

**Reference Tone:** 1 V (RMS), (±1%), 159.2 Hz

**Rise Time:** > 7.5 V/µs (100 kHz bandwidth)

#### CHANNEL TO CHANNEL PHASE-MATCH

2.1° – 0.1° × (f<sub>I</sub>/f<sub>U</sub>) from f<sub>I</sub> to 20 × f<sub>I</sub>

0.1° from 20 × f<sub>I</sub> to 0.1 × f<sub>U</sub>

(f<sub>I</sub>/f<sub>U</sub>)° from 0.1(f<sub>I</sub>) to f<sub>U</sub>

f<sub>I</sub>: lower freq. limit: 10 Hz

f<sub>U</sub>: upper freq. limit: 0.1, 1, 3, 10, 30 or 100 kHz

#### OPTIONAL FILTERS

**Integration:** Single and double

**Type 2692-C:** Single and double integration filters included

**Type 2692-D:** Single and double integration filters optional

#### Microphone Input

**Connector:** 7-pin LEMO

**Grounding:** Outer shield grounded to chassis

**Input Impedance:** 1 MΩ || 300 pF (AC coupled)

**Max. Input:** 31.6 V (peak)

**Input Protection:** ≤ 50 V (peak)

<footnote>a. Brüel & Kjær patent</footnote>
**Amplifier Gain:** -20 to +60 dB (80 dB with reduced specs.)

### TRANSDUCER SENSITIVITY RANGE

10⁻¹² to 10³ V/MU
(MU = mechanical units: Pa, mm)

### CALIBRATED OUTPUT

Suitable in 10 dB steps, 100 dB attenuator range, 10⁻¹⁵ to 10⁷ V/MU
(±0.1 dB for 0°C ≤ T_a ≤ +40°C and ±0.2 dB for -10°C ≤ T_a ≤ +55°C
Frequency range from 5 × fᵢ to 0.2 × f_u
fᵢ = lower freq. limit: 0.1 or 20 Hz
f_u = upper freq. limit: 0.1, 1, 3, 10, 22.4, 30 or 100 kHz)

### POLARIZATION VOLTAGE (±0.5V or ±0.25%)

0 or 200 V (all channels simultaneously selected, short-circuit protected)

### PREAMPLIFIER SUPPLY

Fixed ±14 V, ±40 V or controlled automatically in accordance with input range (short-circuit protected)

### FREQUENCY RANGE (-1 dB)

0.1 Hz to 100 kHz (gain ≤60 dB) (complies with IEC 1260 Class 0 and ANSI S1.11 Type 0-AA for fᵢ = 0.1 Hz and f_u = 100 kHz)

### HIGH-PASS FILTER (-1 dB)

0.1 Hz, attenuation slope 40 dB/decade or 20 Hz, attenuation slope 80 dB/decade

### LOW-PASS FILTER (-1 dB)

0.1, 1, 3, 10, 22.4, 30 or 100 kHz, attenuation slope 40 dB/decade

### A-WEIGHTING FILTER

Complies with IEC 651 Type 0

### INHERENT NOISE (referred to input, gain >20 dB)

<2 µV A-weighted

### HARMONIC DISTORTION AND NOISE (2 Hz to 22.4 kHz, V<sub>in</sub> ≤ 20 V peak, V<sub>out</sub> ≤ 3.16 V peak)

<0.003% for amplifier gain ≤ 40 dB

### ENVIRONMENTAL SUSCEPTIBILITY (referred to input)

**Magnetic Field:** <0.2 µV/(A/m)
**Electromagnetic Field:** <10 µV/(V/m) or <10 µV/V
**Vibration (10 to 500 Hz):** <2 µV/(m/s²)

### CHARGE INJECTION CALIBRATION<sup>b</sup>

Verification of the entire measurement set-up including the microphone, preamplifier and connecting cable. Controllable from front panel and RS-232 interface
**Reference Tone:** 1 V (RMS) ±1%, 1 kHz

### OVERLOAD DETECTION

Microphone preamplifier overload detection with respect to cable length (3 to 1000 meter)

**Rise Time:** >7.5 V/µs (100 kHz bandwidth)

### CHANNEL TO CHANNEL PHASE-MATCH:

5.1° – 0.1° × (fᵢ/f_u) from fᵢ to 50 × fᵢ (fᵢ = 0.1 Hz)
2.1° – 0.1° × (fᵢ/f_u) from fᵢ to 20 × fᵢ (fᵢ = 20 Hz)
0.1° from 50 × fᵢ to 0.1 × f_u (fᵢ = 0.1 Hz)
0.1° from 20 × fᵢ to 0.1 × f_u (fᵢ = 20 Hz)
(fᵢ/f_u) from 0.1(f_u) to fᵢ

where:
f_u = upper frequency limit: 0.1, 1, 3, 10, 22.4, 30 or 100 kHz

### OPTIONAL FILTERS

A-, B-, C- and D-weighting (one module)
(Complies with IEC 651 Type 0)

### Intensity Input

Specifications as for microphone input, except when using the "Intensity" filter

**Connector:** 7-pin LEMO (two connectors on two input modules – adaptor required)

### CHANNEL TO CHANNEL PHASE-MATCH AND FREQUENCY RESPONSE (with "Intensity" filter (20 Hz HP/22.4 kHz LP, 40 dB/ decade))

Complies with IEC 1043 standard Class 1 and ANSI S1.12–1995
Class 1, with Brüel & Kjær sound intensity probes
(Conditions: output sensitivity for the two channels must be equal Transducer sensitivity must be equal within 0.5 dB)

### DeltaTron® Input

**Connector:** BNT
**Grounding:** Single-ended or floating
**Input Impedance:** 1 MΩ || 100 pF (AC coupled)

### MAX. INPUT

**Differential Voltage:** <31.6 V (peak)

**Common Mode Voltage:** 4.2 V (peak)

### INPUT PROTECTION

**Differential Voltage:** ≤50 V (peak)

**Common Mode Voltage:** ≤15 V (peak)

**Common Mode Rejection Ratio:** 50 dB (50 to 60 Hz) (typical)

**Amplifier Gain:** -20 to +60 dB gain (80 dB with reduced specs.)

### TRANSDUCER SENSITIVITY RANGE

10⁻¹² to 10³ V/MU
(MU = mechanical units: m/s², m/s, g, N, lb., Pa)

### CALIBRATED OUTPUT

Suitable in 10 dB steps. 100 dB attenuator range, 10⁻¹⁶ to 10⁷ V/MU
(±0.1 dB for 0°C ≤ T_a ≤ +40°C and ±0.2 dB for -10°C ≤ T_a ≤ +55°C
Frequency range from 5 × fᵢ to 0.2 × f_u
fᵢ = lower frequency limit: 0.1, 1.0 or 10 Hz
f_u = upper frequency limit: 0.1, 1, 3, 10, 22.4, 30 or 100 kHz)

**Constant Current Supply (±15%):** +4 mA or +10 mA with a +28 V voltage source

**Tacho Probe Supply:** +8 V DC at BNT inner shield (short-circuit protected)

### FREQUENCY RANGE (-10%)

0.1 Hz to 100 kHz (gain <60 dB) attenuation slope 40 dB

### HIGH-PASS FILTER (-10%)

0.1 Hz or 1.0 Hz (with attenuation slope 40 dB) or 10 Hz (with attenuation slope 60 dB/decade)

### LOW-PASS FILTER (-10%)

0.1, 1, 3, 10, 22.4, 30 or 100 kHz

### INHERENT NOISE (referred to input, gain >20 dB):

<2.4 µV A-weighted
<3.3 µV lin. 2 Hz to 22.4 kHz

<footnote>b. Brüel & Kjær patent</footnote>
### HARMONIC DISTORTION AND NOISE (2 Hz to 22.4 kHz, $V_{in} \le 20$ V peak, $V_{out} \le 3.16$ V peak)

<0.003% for amplifier gain ≤40 dB

**Rise Time:** >7.5 V/µs (100 kHz bandwidth)

### ENVIRONMENTAL SUSCEPTIBILITY (referred to input)

**Magnetic Field:** <0.2 µV/(A/m)

**Electromagnetic Field:** <3 µV/(V/m) or <3 µV/V

**Vibration (10 to 500 Hz):** <2 µV/(m/s²)

### OVERLOAD DETECTION

Preamplifier overload detection with respect to cable length (3 to 1000 meter)

### CHANNEL TO CHANNEL PHASE-MATCH

5.1° – 0.1° × (f/f₀) from f₀ to 50 × f₀ (f₀ = 0.1 or 1 Hz)

2.1° – 0.1° × (f/f₀) from f₀ to 20 × f₀ (f₀ = 10 Hz)

0.1° from 50 × f₀ to 0.1 × f₀ for f₀ = 0.1, 1 Hz

0.1° from 20 × f₀ to 0.1 × f₀ for f₀ = 10 Hz

(f/f₀) from 0.1(f₀) to f₀

where:

$f₀$, upper freq. limit: 1, 3, 10, 22.4, 30 or 100 kHz

**Reference Tone:** 1 V (RMS) ±1% (0.1 dB), 1 kHz

### OPTIONAL FILTERS

A-, B-, C- and D-weighting (one module)

(complies with IEC 651 Type 0)

**Integration:** Single and double (one module)

Other filters available upon request

## General Specifications

### Power Supply

#### INTERNAL BATTERY (not included)

Nickel-Metal Hydride rechargeable battery supporting SMBUs and on-battery charge level meter. Provides typically 15 hours of continuous use with a single channel and 4 hours with four channels without backlighting and without optional filters. With backlighting on, and with optional filters, battery provides typically 3 hours of continuous use. If NEXUS is not used for more than a month, please remove the battery to prevent discharging. Charging time is approximately 4 hours

### EXTERNAL DC POWER INPUT

Complies with ISO 7637-1 (12 V) and 7637-2 (24 V)

**Input Range:** 10 to 33 V DC

### MAINS SUPPLY

Supported via supplied Mains Adaptor ZG-0429 (included), 90–264 VAC, 40–65 Hz

### Digital Control Interface

#### SERIAL INTERFACE

Conforms to EIA/TIA-574 (RS-232)

**Baud rate:** 2400, 4800, 9600

**Parity:** None

**Data Bits:** 8

**Stop Bits:** 1

**Handshake:** X-on/X-off

“Plug and play” interface coupling

**Communication Speed for a Baud Rate of 9600:** Transmission

time for one command of 5 characters is ~ 4 ms

Transmission time for one command of 5 characters and to receive an echo after each character is ~ 8 ms

Execution time for one command is 100 ms to several seconds. Time to configure a complete 4-channel NEXUS using short form set-up with approx. 600 characters requires transmission time of 2 to 3 s (4 to 6 s with echo after each character)

Execution time in NEXUS is from 40 to 60 s

For set-ups with over 1000 characters, the transmission time will be

increased by at least 30 s due to delay in emptying receiver buffer

Response time after requesting a status of one load: <0.5 s

Response time after requesting a peak meter reading: <0.5 s

### Display Interface

#### DISPLAY

64 × 128 pixel graphical display with back-lighting on/off

#### OVERLOAD DETECTION

On both common-mode and differential signals applied before filters LED overload indication at the front panel and overload indication via RS-232 control interface

#### Peak Meter

**Dynamic Range:** -30 to +10 dBV (peak)

**Resolution:** 1 dB

#### Analogue Output

**Connector:** BNC

**Grounding:** Single-ended or floating

**Output Impedance:** 50 Ω/500 pF

**Max. Output (differential voltage):** 3.16 V peak (6.32 V peak to peak); Type 2692-C/D: 10 V peak (20 V peak to peak)

**Max. DC Offset:** ±25 mV, typically <2 mV

#### OUTPUT PROTECTION

**Differential Voltage:** ≤50 V (peak)

**Common Mode Voltage:** ≤15 (peak)

**Common Mode Rejection:** >50 dB (50 to 60 Hz) for Common Mode Voltage ≤2 V peak (voltage injected into instrument)

#### OUTPUT DRIVE CAPACITY

100 mV of cable length (100 pF/m) to 20 kHz

1000 mV of cable length (100 pF/m) to 2 kHz

**Channel Separation:** Better than -100 dB at 1 kHz

### Dimensions and Weight

**Height:** 90 mm (3.5")

**Width:** 144 mm (5.7")

**Depth:** 230 mm (9.1")

**Weight:** Approx. 3 kg (6.6 lb.), for a 4-channel unit including battery

**Note:** All values are typical at 25°C (77°F), unless measurement uncertainty is specified. All uncertainty values are specified at 2σ (that is, expanded uncertainty using a coverage factor of 2)

### Calibration

NEXUS amplifiers are supplied with a Manufacturer's Certificate of Conformance. An initial calibration can be supplied as an option. The calibration services in the table below are based on one channel. There is an extra charge for each additional channel:
## GBF (GÉNÉRATEUR DE BASSES FRÉQUENCES)

<figure><img src="image_225.png" /><figcaption>TTi TG2000 20MHz DDS function generator</figcaption></figure>

0.001Hz to 10MHz or 20MHz frequency range, 6 digits or 1mHz setting resolution.

1ppm stability and better than 10 ppm absolute accuracy for one year.

Sine, square, triangle, positive pulse and negative pulse waveforms.

Low distortion, high spectral purity sine waves.

Internal sweep, linear or logarithmic, full range phase continuous, adjustable marker.

Modulations modes of gated, AM, FSK and tone switching; built-in trigger generator.

5mV to 20V pk-pk output from 50 or 600; plus multi function auxiliary output.
## D.5 DANS LES COULISSES

<figure><img src="image_226.png" /><figcaption>FIGURE D.9 – Détail de la figure de Chladni à 275Hz</figcaption></figure>

<figure><img src="image_227.png" /><figcaption>FIGURE D.10 – Figure de Chladni à 792Hz</figcaption></figure>
<figure><img src="image_228.png" /><figcaption>FIGURE D.11 – Chambre anéchoïque</figcaption></figure>
<figure><img src="image_229.png" /></figure>

<figure><img src="image_230.png" /></figure>

<figure><img src="image_231.png" /><figcaption>FIGURE D.12 – Son et lumière</figcaption></figure>
Dans cette annexe, des preuves techniques de l'article [W9] sont reprises.

TABLE DES MATIÈRES

E.1 Stabilisation en temps fini du système hybride EDP-EDO . . . . . . . . . 303

E.1.1 Conception de la loi de commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

E.1.2 Preuve de stabilité en temps fini du système hybride . . . . . . . . . 306

E.1 STABILISATION EN TEMPS FINI DU SYSTÈME HYBRIDE EDP-EDO

E.1.1 Conception de la loi de commande

**Lemme E.1.** Les noyaux $L$ satisfont

$$L^{\alpha\alpha}(x, \xi) = L^{\beta\beta}(x, \xi) \geq 0 \quad \forall (x, \xi) \in \mathcal{T},$$

$$L^{\alpha\beta}(x, \xi) = L^{\beta\alpha}(x, \xi) \geq 0 \quad \forall (x, \xi) \in \mathcal{T},$$

et donc $\mu \geq 2$.

*Démonstration.* On rappelle que $\varepsilon_1(x) = \varepsilon_2(x) = \lambda(x)$ et que $c_1(x) = -c_2(x) = -\frac{\lambda'(x)}{2}$. Soient $C_1 > 0$ et $C_2 > 0$ définis par

$$\lambda(x) = \frac{1}{J \sqrt{\frac{gm}{\rho} e^{\beta Jx}}} =: C_1 e^{-C_2 x}.$$

Alors, le système de Goursat satisfait par les noyaux $L$ s'écrit (voir [69])

$$\lambda(x)L_x^{\alpha\alpha} + \lambda(\xi)L_{\xi}^{\alpha\alpha} = -\lambda'(\xi)L^{\alpha\alpha} - \frac{\lambda'(x)}{2}L^{\beta\alpha}, \quad (x, \xi) \in \mathcal{T}, \quad (E.1)$$

$$\lambda(x)L_x^{\alpha\beta} - \lambda(\xi)L_{\xi}^{\alpha\beta} = \lambda'(\xi)L^{\alpha\beta} - \frac{\lambda'(x)}{2}L^{\beta\beta}, \quad (x, \xi) \in \mathcal{T}, \quad (E.2)$$

$$\lambda(x)L_x^{\beta\alpha} - \lambda(\xi)L_{\xi}^{\beta\alpha} = \lambda'(\xi)L^{\beta\alpha} - \frac{\lambda'(x)}{2}L^{\alpha\alpha}, \quad (x, \xi) \in \mathcal{T}, \quad (E.3)$$

$$\lambda(x)L_x^{\beta\beta} + \lambda(\xi)L_{\xi}^{\beta\beta} = -\lambda'(\xi)L^{\beta\beta} - \frac{\lambda'(x)}{2}L^{\alpha\beta}, \quad (x, \xi) \in \mathcal{T}, \quad (E.4)$$

avec les conditions aux limites

$$L^{\alpha\alpha}(x, 0) = L^{\alpha\beta}(x, 0), \quad 0 \leq x \leq 1, \quad (E.5)$$

$$L^{\alpha\beta}(x, x) = -\frac{\lambda'(x)}{4\lambda(x)} = \frac{C_2}{4}, \quad 0 \leq x \leq 1, \quad (E.6)$$

$$L^{\beta\alpha}(x, x) = \frac{C_2}{4}, \quad 0 \leq x \leq 1, \quad (E.7)$$

$$L^{\beta\beta}(x, 0) = L^{\beta\alpha}(x, 0), \quad 0 \leq x \leq 1. \quad (E.8)$$

L'existence et l'unicité de la solution $(L^{\alpha\alpha}, L^{\alpha\beta}, L^{\beta\alpha}, L^{\beta\beta}) \in [C^0(\mathcal{T})]^4$ ont déjà été établies dans [69, Théorème A.1]. Cependant, les affirmations du Lemme E.1 doivent encore être justifiées.
On introduit le système 2 × 2 suivant :

$$
\lambda(x)f_x + \lambda(\xi)f_{\xi} = -\lambda'(\xi)f + \mu(x)g, \quad (x, \xi) \in \mathcal{T}, \qquad (E.9)
$$

$$
\lambda(x)g_x - \lambda(\xi)g_{\xi} = \lambda'(\xi)f + \mu(x)f, \quad (x, \xi) \in \mathcal{T}, \qquad (\text{E.10})
$$

avec les conditions aux limites

$$
f(x,0) = g(x,0), \quad 0 \le x \le 1, \tag{E.11}
$$

$$
g(x, x) = C, \quad 0 \le x \le 1, \tag{E.12}
$$

où $C := C_2/4 > 0$ et $\mu(x) = -\lambda'(x)/2 > 0$ pour $x \in [0,1]$. Si l'on prouve l'existence d'une solution $(f,g)$ de (E.9)-(E.12) dans $[C^0(\mathcal{T})]^2$, alors en mettant $L^{\alpha\alpha} = L^{\beta\beta} := f$, $L^{\alpha\beta} = L^{\beta\alpha} := g$, on obtient une solution de (E.1)-(E.8) dans $[C^0(\mathcal{T})]^4$. L'unicité d'une telle solution réduit l'étude du système (E.1)-(E.8) à celle du système (E.9)-(E.12). De ce fait, le Lemme E.1 est une conséquence directe du Lemme suivant.

**Lemme E.2.** Soient $C > 0$, $\lambda \in C^1([0,1])$ et $\mu \in C^0([0,1])$ avec $\lambda(x) > 0$ et $\mu(x) > 0$ pour tout $x \in [0,1]$. Alors il existe une solution unique $(f,g) \in [C^0(\mathcal{T}, \mathbb{R}_+)]^2$ de (E.9)-(E.12), où $\mathbb{R}_+ = [0, +\infty)$.

Preuve du Lemme E.2. On exprime d'abord $(f,g)$ comme un point fixe d'une application de $[C^0(\mathcal{T}, \mathbb{R}_+)]^2$ vers soi-même. Ensuite, réduisant le domaine $(x, \xi)$ à un « trapézoïde », on prouve que cette application est une contraction. Le domaine total $\mathcal{T}$ est couvert en itérant la construction ci-dessus.

Le système caractéristique pour (E.9) s'écrit

$$
\frac{dx}{ds} = \lambda(x),
$$

$$
\frac{d\xi}{ds} = \lambda(\xi),
$$

$$
\frac{dz}{ds} = -\lambda'(\xi)z + \mu(x)g,
$$

avec les conditions aux limites $x(0) = x_0$, $\xi(0) = 0$, et $z(0) = g(x_0,0)$.

Soit $\Lambda(x) := \int_0^x \frac{ds}{\lambda(s)}$. Alors on obtient facilement

$$
x(s) = \Lambda^{-1}(\Lambda(x_0) + s), \quad \zeta(s) = \Lambda^{-1}(s)
$$

et

$$
\begin{align*}
f(x(s), \xi(s)) &= z(s) \\
&= e^{-\int_0^s \lambda'(\xi(\sigma)) \, d\sigma} \left( g(x_0, 0) + \int_0^s e^{\int_0^\sigma \lambda'(\xi(\tau)) \, d\tau} \mu(x(\sigma)) g(x(\sigma), \xi(\sigma)) \, d\sigma \right).
\end{align*}
$$

Puisque $s = \Lambda(\xi)$, $x_0 = \Lambda^{-1}(\Lambda(x) - \Lambda(\xi))$, on a que $x(\sigma) = \Lambda^{-1}(\Lambda(x) - \Lambda(\xi) + \sigma)$,
$\xi(\sigma) = \Lambda^{-1}(\sigma)$ et

$$
\begin{equation}
\begin{split}
f(x, \xi) = e^{-\int_{0}^{\Lambda(\xi)} \lambda'(\Lambda^{-1}(\sigma)) \, d\sigma} & \left[ g(\Lambda^{-1}(\Lambda(x) - \Lambda(\xi)), 0) \right. \\
& \left. + \int_{0}^{\Lambda(\xi)} e^{\int_{0}^{\sigma} \lambda'(\Lambda^{-1}(\tau)) \, d\tau} \mu(\Lambda^{-1}(\Lambda(x) - \Lambda(\xi) + \sigma)) g(\Lambda^{-1}(\Lambda(x) - \Lambda(\xi) + \sigma), \Lambda^{-1}(\sigma)) \, d\sigma \right].
\end{split}
\tag{E.13}
\end{equation}
$$

Pareillement, le système caractéristique pour (E.10) s'écrit

$$
\frac{dx}{ds} = \lambda(x),
$$

$$
\frac{d\xi}{ds} = -\lambda(\xi),
$$

$$
\frac{dz}{ds} = \lambda'(\xi)z + \mu(x)f,
$$
avec les conditions aux limites $x(0) = x_0$, $\zeta(0) = x_0$, et $z(0) = C$.
On obtient facilement

$$x(s) = \Lambda^{-1}(\Lambda(x_0) + s), \quad \zeta(s) = \Lambda^{-1}(\Lambda(x_0) - s)$$

de sorte que

$$s = \frac{\Lambda(x) - \Lambda(\zeta)}{2}, \quad x_0 = \Lambda^{-1} \left( \frac{\Lambda(x) + \Lambda(\zeta)}{2} \right),$$

et

$$g(x(s), \zeta(s)) = z(s) \\ = e^{\int_{0}^{s} \lambda'(\zeta(\sigma)) d\sigma} \left( C + \int_{0}^{s} e^{-\int_{0}^{\sigma} \lambda'(\zeta(\tau)) d\tau} \mu(x(\sigma)) f(x(\sigma), \zeta(\sigma)) d\sigma \right).$$

Il en suit que

$$g(x, \zeta) = e^{\int_{0}^{\frac{\Lambda(x)-\Lambda(\zeta)}{2}} \lambda'\left(\Lambda^{-1}\left(\frac{\Lambda(x)+\Lambda(\zeta)}{2}-\sigma\right)\right)} d\sigma \left( C + \int_{0}^{\frac{\Lambda(x)-\Lambda(\zeta)}{2}} e^{-\int_{0}^{\sigma} \lambda'\left(\Lambda^{-1}\left(\frac{\Lambda(x)+\Lambda(\zeta)}{2}-\tau\right)\right)} d\tau \mu\left(\Lambda^{-1}\left(\frac{\Lambda(x)+\Lambda(\zeta)}{2}+\sigma\right)\right) \times f\left(\Lambda^{-1}\left(\frac{\Lambda(x)+\Lambda(\zeta)}{2}+\sigma\right), \Lambda^{-1}\left(\frac{\Lambda(x)+\Lambda(\zeta)}{2}-\sigma\right)\right) d\sigma \right). \quad (\text{E.14})$$

Remplaçant dans (E.14) $f$ par son expression dans (E.13), on arrive à $g = \Gamma(g)$, où

$$\Gamma(g)(x, \zeta) := e^{\int_{0}^{\frac{\Lambda(x)-\Lambda(\zeta)}{2}} \lambda'\left(\Lambda^{-1}\left(\frac{\Lambda(x)+\Lambda(\zeta)}{2}-\sigma\right)\right)} d\sigma \left( C + \int_{0}^{\frac{\Lambda(x)-\Lambda(\zeta)}{2}} e^{-\int_{0}^{\sigma} \lambda'\left(\Lambda^{-1}\left(\frac{\Lambda(x)+\Lambda(\zeta)}{2}-\tau\right)\right)} d\tau \mu\left(\Lambda^{-1}\left(\frac{\Lambda(x)+\Lambda(\zeta)}{2}+\sigma\right)\right) \times e^{-\int_{0}^{\frac{\Lambda(x)+\Lambda(\zeta)}{2}} -\sigma \lambda'\left(\Lambda^{-1}(\sigma)\right)} d\sigma \left\{ g(\Lambda^{-1}(2\sigma), 0) + \int_{0}^{\frac{\Lambda(x)+\Lambda(\zeta)}{2}} -\sigma e^{\int_{0}^{\kappa} \lambda'\left(\Lambda^{-1}(\tau)\right)} d\tau \mu(\Lambda^{-1}(2\sigma + \kappa)) \times g(\Lambda^{-1}(2\sigma + \kappa), \Lambda^{-1}(\kappa)) d\kappa \right\} d\sigma \right). \quad (\text{E.15})$$

Pour $0 \le \varepsilon_1 \le \varepsilon_2 \le 1$, soient

$$\mathcal{T}_{\varepsilon_1, \varepsilon_2} := \{ (x, \zeta) \in \mathcal{T} ; \Lambda(\varepsilon_1) \le \Lambda(x) - \Lambda(\zeta) \le \Lambda(\varepsilon_2) \},$$

$$E_{\varepsilon_1, \varepsilon_2} := C^0(\mathcal{T}_{\varepsilon_1, \varepsilon_2}, \mathbb{R}_+).$$

Soit $\varepsilon \in ]0,1[$. En notant que la restriction de $\Gamma(g)$ à $\mathcal{T}_{0,\varepsilon}$ dépend seulement de la restriction de $g$ à $\mathcal{T}_{0,\varepsilon}$, on peut définir une application $g \in E_{0,\varepsilon} \to \Gamma(g) \in E_{0,\varepsilon}$ et trouver une constante $K = K(\|\mu\|_{L^\infty(0,1)}, \|\lambda'\|_{L^\infty(0,1)}, \|\Lambda\|_{L^\infty(0,1)}) > 0$ de sorte que

$$\|\Gamma(g_1) - \Gamma(g_2)\|_{L^\infty(\mathcal{T}_{0,\varepsilon})} \le K \sup_{(x, \zeta) \in \mathcal{T}_{0,\varepsilon}} \frac{\Lambda(x) - \Lambda(\zeta)}{2} \|g_1 - g_2\|_{L^\infty(\mathcal{T}_{0,\varepsilon})} \\ \le \frac{K\Lambda(\varepsilon)}{2} \|g_1 - g_2\|_{L^\infty(\mathcal{T}_{0,\varepsilon})}.$$

Pour $\varepsilon > 0$ assez petit, on a que $K\Lambda(\varepsilon)/2 < 1$, de sorte que l'application $g \in E_{0,\varepsilon} \to \Gamma(g) \in E_{0,\varepsilon}$ est une contraction, et a donc un point fixe unique d'après le Théorème du
point fixe pour une contraction. En utilisant (E.13), ceci mène à une solution unique $(f,g) \in E_{0,\varepsilon}^2$. En procédant de la même manière (en utilisant les valeurs de $g$ sur la courbe caractéristique $\Lambda(x) - \Lambda(\xi) = \Lambda(\varepsilon)$ calculée dans l'étape précédente), on peut étendre $g$ et $f$ sur les trapézoïdes $T_{\varepsilon,2\varepsilon}$, $T_{2\varepsilon,3\varepsilon}$, etc. Finalement, les fonctions $g$ et $f$ sont définies sur le domaine entier $\mathcal{T}$ et elles prennent des valeurs non négatives. Les preuves des Lemmes E.2 et E.1 sont complétées ainsi. $\square$

### REMARQUE
En fait, il suit de (E.13) et (E.14) que $f$ et $g$ prennent des valeurs strictement positives $\mathcal{T}$. La même chose est valable pour $L^{\alpha\alpha} = L^{\beta\beta}$ et $L^{\alpha\beta} = L^{\beta\alpha}$.

## E.1.2 Preuve de stabilité en temps fini du système hybride

On prouve qu'avec la loi de commande (11.51), la plateforme et le câble avec une tension affine sont stabilisés en un temps fini. On établit d'abord la stabilité temps-fini du système dans les nouvelles variables $(\gamma, \varphi)$, et ensuite, on retourne aux variables d'origine $(z, X_p)$. Soit $H := [L^2(0,1)]^2 \times \mathbb{R}^2$ muni de la norme

$$ \| (\alpha, \beta, \varphi^0, \varphi^1) \|_H^2 := \int_0^1 [\alpha(x)^2 + \beta(x)^2] \, dx + |\varphi^0|^2 + |\varphi^1|^2. $$

### Théorème E.1. Soient $v_1, v_2 \in \mathbb{R}$ avec $0 < v_2 < 1$ et $v_1 \ge \frac{v_2}{2-v_2}$. Alors le système (11.29), (11.50), avec les conditions aux frontières

$$ \alpha(0,t) = \beta(0,t), \quad \beta(1,t) = \mu^{-1}\dot{\varphi}(t), \qquad (E.16) $$

est bien posé et globalement stable en temps fini dans l'espace de Hilbert H. Plus précisément, il existe une fonction non décroissante $T_1: (0, +\infty) \to (0, +\infty)$ telle que pour tous $(\alpha^0, \beta^0, \varphi^0, \varphi^1) \in H$, la solution de (11.29), (11.50), (E.16) et $(\alpha(\cdot, 0), \beta(\cdot, 0), \varphi(0), \dot{\varphi}(0)) = (\alpha^0, \beta^0, \varphi^0, \varphi^1)$ satisfait

$$ \alpha(x,t) = \beta(x,t) = 0, \quad \forall x \in [0,1], \forall t \ge T_1(\|(\alpha^0, \beta^0, \varphi^0, \varphi^1)\|_H), \qquad (E.17) $$

$$ \varphi(t) = 0, \quad \forall t \ge T_1(\|(\alpha^0, \beta^0, \varphi^0, \varphi^1)\|_H). \qquad (E.18) $$

### Démonstration.
On utilise la structure en cascade du système EDP-EDO, en commençant par la partie EDO. Le problème de Cauchy

$$ \dot{\varphi}(t) + |\dot{\varphi}(t)|^{v_1} + |\varphi(t)|^{v_2} = 0, \quad t \in [0, T], \qquad (E.19) $$

$$ (\varphi(0), \dot{\varphi}(0)) = (\varphi^0, \varphi^1), \qquad (E.20) $$

admet des solutions $\varphi \in C^2([0, T])$ pour un certain temps $T > 0$ (possiblement petit) d'après le Théorème de Peano. La solution est en fait unique en temps positifs, définie sur $[0, T]$ pour tout $T > 0$, et une stabilité globale en temps fini est obtenu pour le système (11.50) (voir [12, 39, 103]). Soit $T_0: (0, +\infty) \to (0, +\infty)$ une fonction non décroissante telle que

$$ \varphi(t) = 0 \text{ si } t \ge T_0(||(\varphi^0, \varphi^1)||) $$

$$ \text{où } ||(\varphi^0, \varphi^1)|| = (|\varphi^0|^2 + |\varphi^1|^2)^{\frac{1}{2}}. $$

Ensuite, on couple la partie EDO à la partie EDP. On considère le système

$$ \beta_t = \lambda(x)\beta_x, \quad x \in ]0,1[, \quad t > 0, \qquad (E.21) $$

$$ \beta(1,t) = \mu^{-1}\dot{\varphi}(t), \quad t > 0, \qquad (E.22) $$

$$ \beta(x,0) = \beta^0(x), \quad x \in ]0,1[. \qquad (E.23) $$

Suivant [67, Définition 2.1 p. 25], pour des $T > 0$, $\beta^0 \in L^2(0,1)$ et $\varphi \in H^1(0,T)$ donnés, on dit qu'une solution du problème de Cauchy (E.21)-(E.23) est une fonction
$\beta \in C^0([0, T], L^2(0,1))$ telle que, pour tout $\tau \in [0, T]$ et pour tout $\eta \in C^1([0,1] \times [0,\tau])$ tel que $\eta(0,t) = 0$ pour tout $t \in [0, T]$, on a

$$ - \int_0^\tau \int_0^1 (\eta_t - (\lambda\eta)_x)\beta \, dxdt - \frac{\lambda(1)}{\mu} \int_0^\tau \eta(1,t)\dot{\phi}(t) \, dt + \int_0^1 [\eta(x,\tau)\beta(x,\tau) - \eta(x,0)\beta^0(x)] \, dx = 0. $$

Alors, suivant de près [67, Théorème 2.4 p. 27], il peut être prouvé qu'il existe une solution unique $\beta \in C^0([0, T], L^2(0,1))$ du système de Cauchy (E.21)-(E.23). De plus, notant $\lambda(x) = C_1e^{-C_2x}$ (c.f. (11.17)), on obtient facilement, par la méthode des caractéristiques, que $\beta$ est donné par

$$ \beta(x,t) = \begin{cases} \beta^0 \left( \frac{1}{C_2} \ln(e^{C_2 x} + C_1 C_2 t) \right) & \text{si } t < \frac{e^{C_2} - e^{C_2 x}}{C_1 C_2}, \\ \mu^{-1} \dot{\phi} \left( t + \frac{e^{C_2 x} - e^{C_2}}{C_1 C_2} \right) & \text{si } t \ge \frac{e^{C_2} - e^{C_2 x}}{C_1 C_2}. \end{cases} \quad (E.24) $$

En particulier, puisque $\varphi(t) = 0$ pour $t \ge T_0(\|(\varphi^0, \varphi^1)\|)$, on déduit que $\beta(x,t) = 0$ pour $x \in [0,1]$ et $t \ge T_0(\|(\varphi^0, \varphi^1)\|) + \frac{e^{C_2} - e^{C_2 x}}{C_1 C_2}$.

On note aussi que $\beta$ a une trace $\beta(0, \cdot) \in L^2(0, T)$ pour tout $T > 0$, qui est donnée par

$$ \beta(0,t) = \begin{cases} \beta^0 \left( \frac{1}{C_2} \ln(1 + C_1 C_2 t) \right) & \text{si } t < \frac{e^{C_2} - 1}{C_1 C_2}, \\ \mu^{-1} \dot{\phi} \left( t + \frac{1 - e^{C_2}}{C_1 C_2} \right) & \text{si } t \ge \frac{e^{C_2} - 1}{C_1 C_2}. \end{cases} $$

Pareillement, il peut être prouvé que pour tout $\alpha^0 \in L^2(0,1)$, il existe pour tout $T > 0$ une solution unique $\alpha \in C^0([0, T], L^2(0,1))$ du problème de Cauchy

$$ \alpha_t = -\lambda(x)\alpha_x, \quad x \in [0,1[, \quad t > 0, \quad (E.25) $$

$$ \alpha(0,t) = \beta(0,t), \quad t > 0, \quad (E.26) $$

$$ \alpha(x,0) = \alpha^0(x), \quad x \in [0,1[. \quad (E.27) $$

De plus, elle est donnée par

$$ \alpha(x,t) = \begin{cases} \alpha^0 \left( \frac{1}{C_2} \ln(e^{C_2 x} - C_1 C_2 t) \right) & \text{si } t < \frac{e^{C_2 x} - 1}{C_1 C_2}, \\ \beta \left( 0, t - \frac{e^{C_2 x} - 1}{C_1 C_2} \right) & \text{si } t \ge \frac{e^{C_2} - 1}{C_1 C_2}. \end{cases} \quad (E.28) $$

Puisque $\alpha(0,t) = \beta(0,t) = 0$ pour $t \ge T_0(\|(\varphi^0, \varphi^1)\|) + \frac{e^{C_2} - 1}{C_1 C_2}$, on déduit que $\alpha(x,t) = 0$ pour $x \in [0,1]$ et $t \ge T_0(\|(\varphi^0, \varphi^1)\|) + \frac{e^{C_2} + e^{C_2 x} - 2}{C_1 C_2}$. Alors

$$ \varphi(t) = 0, \quad \text{pour } t \ge T_1(\|(\alpha^0, \beta^0, \varphi^0, \varphi^1)\|_H) \\ \qquad := T_0(\|(\varphi^0, \varphi^1)\|) + \frac{2e^{C_2} - 2}{C_1 C_2}, \\ \alpha(x,t) = \beta(x,t) = 0, \quad \text{pour } t \ge T_1(\|(\alpha^0, \beta^0, \varphi^0, \varphi^1)\|_H) \text{ et } x \in [0,1]. $$

En utilisant la stabilité de l'origine en $\mathbb{R}^2$ pour (11.50) et les formules (E.24), (E.28), on en déduit la stabilité de l'origine en $H$ pour le système (11.29), (11.50) et (E.16), qui est alors stable en temps fini (d'après la Définition 11.2). $\square$

Le Théorème E.1 prouve la stabilité en temps fini du système hybride EDP-EDO dans les coordonnées $(X_p(t), \alpha(x,t), \beta(x,t))$. On retourne maintenant aux coordonnées d'origine $(X_p(t), z(x,t) = y(s,t))$.
On introduit l'espace

$$
\mathcal{H} := \{(z^0, z^1, \Omega^0, \Omega^1) \in H^2(0,1) \times H^1(0,1) \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}; \\
z_x^0(0) = 0, z^0(1) = \Omega^0, \\
\mu\beta^0(1) = \frac{2}{\sqrt{\lambda(1)}}\Omega^1 - a(1)\lambda(1)\alpha^0(1) + b(1)\lambda(1)\beta^0(1) \\
+ \int_0^1 [(a\lambda)_x\alpha^0 - (b\lambda)_x\beta^0] \,dx, \\
\text{avec } \begin{bmatrix} \alpha^0 \\ \beta^0 \end{bmatrix}(x) := \begin{bmatrix} u^0 \\ v^0 \end{bmatrix}(x) - \int_0^x \mathbf{K}(x, \xi) \begin{bmatrix} u^0 \\ v^0 \end{bmatrix}(\xi) \,d\xi \quad \forall x \in [0,1] \\
\text{et } \begin{bmatrix} u^0 \\ v^0 \end{bmatrix}(x) := \frac{1}{\sqrt{\lambda(x)}} \begin{bmatrix} z^1(x) - \lambda(x)z_x^0(x) \\ z^1(x) + \lambda(x)z_x^0(x) \end{bmatrix} \quad \forall x \in [0,1]\}
$$

$$
\text{muni de la norme } \|(z^0, z^1, \Omega^0, \Omega^1)\|_{\mathcal{H}}^2 := \|z^0\|_{H^2(0,1)}^2 + \|z^1\|_{H^1(0,1)}^2 + |\Omega^0|^2 + |\Omega^1|^2.
$$

On peut maintenant formuler le résultat de stabilité.

**Théorème E.2.** Le système (11.16)-(11.18) avec la loi de commande (11.51), contenant les exposants $v_1, v_2 \in \mathbb{R}$ avec $0 < v_2 < 1$ et $v_1 \ge \frac{v_2}{2}$, et $a(x)$ et $b(x)$ définies par (11.44)-(11.45)-(11.46), est bien posé et globalement stable en temps fini dans l'espace de Hilbert $\mathcal{H}$. Plus précisément, il existe une fonction non décroissante $T: (0, +\infty) \to (0, +\infty)$ telle que pour tous $(z^0, z^1, \Omega^0, \Omega^1) \in \mathcal{H}$, la solution de (11.16)-(11.18), (11.51) et $(z(\cdot, 0), z_t(\cdot, 0), X_p(0), \dot{X}_p(0)) = (z^0, z^1, \Omega^0, \Omega^1)$ satisfait

$$
z(x,t) = 0, \quad \forall x \in [0,1], \forall t \ge T(\|(z^0,z^1,\Omega^0,\Omega^1)\|_{\mathcal{H}}), \quad (\text{E.29})
$$

$$
X_p(t) = 0, \quad \forall t \ge T(\|(z^0, z^1, \Omega^0, \Omega^1)\|_{H}). \qquad (\text{E.30})
$$

Démonstration. Soient $u^0, v^0, a^0, \beta^0 \in H^1(0,1)$ comme dans la définition de l'espace $\mathcal{H}$.
On note que $a^0(0) = \beta^0(0)$, pour $z_x^0(0) = 0$. Soient

$$
\varphi^0 := \frac{2}{\sqrt{\lambda(1)}} \Omega^0 + \int_0^1 \left[ a(x)\alpha^0(x) + b(x)\beta^0(x) \right] dx, \quad (\text{E.31})
$$

$$
\varphi^1 := \mu\beta^0(1). \tag{E.32}
$$

On déduit du Théorème E.1 l'existence et l'unicité d'une solution $(\alpha, \beta, \varphi)$ sur $\mathbb{R}_+$ de
(11.29), (11.50), (E.16), et $(\alpha(\cdot, 0), \beta(\cdot, 0), \varphi, \dot{\varphi}) = (\alpha^0, \beta^0, \varphi^0, \varphi^1)$, et que cette solution
satisfait (E.17)-(E.18). On sait aussi du Théorème E.1 que $\alpha, \beta \in C^0([0, T], L^2(0,1))$ et
que $\varphi \in C^2([0, T])$ pour tout $T > 0$.

Ici, les données initiales are plus régulières, et de ce fait, il est supposé que les trajectoires sont plus régulières.

HYPOTHÈSE 1. $\alpha, \beta \in C^0([0, T], H^1(0,1)) \cap C^0([0,1], H^1(0, T))$ pour tout $T > 0$.

En effet, en utilisant les propriétés $\beta^0 \in H^1(0,1)$, $\dot{\phi} \in C^1([0,T]) \subset H^1(0,T)$, la condition de compatibilité (E.32) et la formule (E.24), on déduit que $\beta \in C^0([0,T], H^1(0,1)) \cap C^0([0,1], H^1(0,T))$. En particulier, $\beta(0,\cdot) \in H^1(0,T)$. De la même façon, en utilisant les propriétés $\alpha^0 \in H^1(0,1)$, $\beta(0,\cdot) \in H^1(0,T)$, la condition de compatibilité $\alpha^0(0) = \beta^0(0)$ et la formule (E.28), on conclut que $\alpha \in C^0([0,T], H^1(0,1)) \cap C^0([0,1], H^1(0,T))$.

Ensuite, on définit respectivement $X_p(t)$ comme

$$
X_p(t) := \frac{\sqrt{\lambda(1)}}{2} \left( \varphi(t) - \int_0^1 [a(x)\alpha(x,t) + b(x)\beta(x,t)] dx \right), \quad (\text{E.33})
$$

$w(x,t)$ comme

$$
w(x,t) = \begin{bmatrix} u(x,t) \\ v(x,t) \end{bmatrix} := \gamma(x,t) + \int_0^x \mathbf{L}(x, \xi) \gamma(\xi, t) \, d\xi \quad (\text{E.34})
$$
$$
(\text{avec } \gamma(x,t) := [\alpha(x,t) \ \beta(x,t)]^T), \text{ et } [D(x,t) \ S(x,t)]^T \text{ comme}
$$
$$
\begin{bmatrix} D(x,t) \\ S(x,t) \end{bmatrix} := \sqrt{\lambda(x)} w(x,t). \tag{E.35}
$$

Il est clair que l'on a aussi que

$$
u, v, D, S \in C^0([0, T], H^1(0, 1)) \cap C^0([0, 1], H^1(0, T)) \quad \forall T > 0. \quad (E.36)
$$

De plus, puisque $\gamma$ satisfait (11.29), on obtient que $w$ satisfait (11.23) et que les fonctions $D, S$ satisfont le système (11.20)-(11.21). On peut maintenant définir la fonction $z(x,t)$.

HYPOTHÈSE 2. Tour tout $T > 0$, il existe une fonction unique $z \in C^0([0, T], H^2(0,1)) \cap C^0([0,1], H^2(0, T))$ du système

$$
z_t = \frac{S+D}{2}, \quad (x,t) \in ]0,1[ \times ]0,T[ \qquad (E.37)
$$

$$
z_x = \frac{S - D}{2\lambda}, \quad (x,t) \in ]0, 1[ \times ]0, T[, \qquad (E.38)
$$

$$
z(1,0) = z^0(1) = X_p(0). \tag{E.39}
$$

En effet, en mettant $f := (S+D)/2$ et $g := (S-D)/(2\lambda)$, on note que la condition de
Schwarz $f_x = g_t$ est satisfaite, puisque, d'après (11.20)-(11.21),

$$
g_t = \frac{S_t - D_t}{2\lambda} = \lambda \frac{S_x + D_x}{2\lambda} + 0 = f_x.
$$

En même temps, la condition de compatibilité $z^0(1) = X_p(0)$ est satisfaite, pour

$$
X_p(0) = \frac{\sqrt{\lambda(1)}}{2} \left( \varphi^0 - \int_0^1 [a(x)\alpha^0(x) + b(x)\beta^0(x)] dx \right) = \Omega^0 = z^0(1),
$$

où l'on a utilisé (E.33), (E.31) et la propriété $z^0(1) = \Omega^0$ de la définition de $\mathcal{H}$. Il en
suit qu'il existe une solution unique $z = z(x, t)$ du système (E.37)-(E.39) qui est donnée
explicitement par

$$
\begin{align*}
z(x,t) = X_p(0) &+ \int_0^t f(1,s) \, ds + \int_1^x g(s,t) \, ds \\
&= z^0(1) + \int_1^x g(s,0) \, ds + \int_0^t f(x,s) \, ds. \tag{E.40}
\end{align*}
$$

Combiné avec (E.36), ceci donne

$$
z \in C^0([0, T], H^2(0,1)) \cap C^1([0, T], H^1(0,1)) \cap C^0([0, 1], H^2(0, T)). \quad (E.41)
$$

On suppose que $z(x,0) = z^0(x)$ pour tout $x \in [0,1]$. En effet, on a d'après (E.40), (E.35), et quelques conditions de la définition de $\mathcal{H}$ que pour tout $x \in [0,1]$

$$
\begin{align*}
z(x,0) &= z^0(1) + \int_1^x g(s,0) \, ds \\
&= z^0(1) + \int_1^x \frac{S(s,0) - D(s,0)}{2\lambda(s)} \, ds \\
&= z^0(1) + \int_1^x \frac{1}{2\sqrt{\lambda(s)}} (v^0(s) - u^0(s)) \, ds \\
&= z^0(1) + \int_1^x z_x^0(s) \, ds \\
&= z^0(x).
\end{align*}
$$
On suppose aussi que

$$z(1,t) = X_p(t) \quad \forall t \ge 0. \tag{E.42}$$

En effet, on peut déduire de (E.40) et (E.35) que

$$\begin{align*} z(1,t) &= \int_0^t f(1,s)ds + X_p(0) = \int_0^t \frac{S(1,s) + D(1,s)}{2} ds + X_p(0) \\ &= \frac{\sqrt{\lambda(1)}}{2} \int_0^t (u(1,s) + v(1,s)) ds + X_p(0) \end{align*}$$

de sorte que (E.34)

$$\begin{align*} z_t(1,t) &= \frac{\sqrt{\lambda(1)}}{2} (u(1,t) + v(1,t)) \\ &= \frac{\sqrt{\lambda(1)}}{2} \left( \alpha(1,t) + \beta(1,t) + \int_0^1 \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} L(1,\xi) \begin{bmatrix} \alpha(\xi,t) \\ \beta(\xi,t) \end{bmatrix} d\xi \right). \end{align*}$$

En même temps, (E.33) donne (11.41) et donc (11.42). En utilisant (11.44)-(11.45), on obtient

$$\begin{align*} \dot{\phi}(t) &= \frac{2}{\sqrt{\lambda(1)}} \dot{X}_p(t) \\ &\quad + \underbrace{\left(-a_0 + \int_0^1 (L^{\alpha\alpha}(1,\xi) + L^{\beta\alpha}(1,\xi)) d\xi\right)}_{=-1} \alpha(1,t) \\ &\quad + \underbrace{\left(b_0 + \int_0^1 (L^{\alpha\beta}(1,\xi) + L^{\beta\beta}(1,\xi)) d\xi\right)}_{=\mu-1} \beta(1,t) \\ &\quad - \int_0^1 \left[ (L^{\alpha\alpha}(1,x) + L^{\beta\alpha}(1,x))\alpha(x,t) + (L^{\alpha\beta}(1,x) + L^{\beta\beta}(1,x))\beta(x,t) \right] dx. \end{align*}$$

Combiné avec (E.22), ceci donne

$$\begin{align*} \dot{X}_p(t) &= \frac{\sqrt{\lambda(1)}}{2} \left( \alpha(1,t) + \beta(1,t) \right. \\ & \qquad \left. + \int_0^1 \left[ (L^{\alpha\alpha}(1,x) + L^{\beta\alpha}(1,x))\alpha(x,t) + (L^{\alpha\beta}(1,x) + L^{\beta\beta}(1,x))\beta(x,t) \right] dx \right) \\ &= z_t(1,t). \end{align*}$$

En intégrant par rapport à $t$ et en utilisant $X_p(0) = z^0(1) = z(1,0)$, on obtient (E.42).

Vérifions que $z$ est une solution du système (11.16)-(11.19).

Remplaçant $z_t$ et $z_x$ par leur expression en fonction de $S,D$ et utilisant (11.20)-(11.21), on obtient

$$z_{tt} - \lambda^2 z_{xx} = \frac{S_t + D_t}{2} - \lambda^2 \left( \frac{S_x - D_x}{2\lambda} - \lambda' \frac{S - D}{2\lambda^2} \right) = 0.$$

Pour les conditions aux limites (11.18), on a que $z(1,t) = X_p(t)$ (par construction de $z$), et que

$$\begin{align*} z_x(0,t) &= \frac{S(0,t) - D(0,t)}{2\lambda(0)} = \frac{\sqrt{\lambda(0)}}{2\lambda(0)} (v(0,t) - u(0,t)) \\ &= \frac{1}{2\sqrt{\lambda(0)}} (\beta(0,t) - \alpha(0,t)) = 0. \end{align*}$$
Pour les conditions initiales (11.19), on a que $z(\cdot, 0) = z^0$ (par construction de z) et que

$$ 
\begin{aligned}
z_t(x, 0) &= \frac{S(x, 0) + D(x, 0)}{2} = \frac{\sqrt{\lambda(x)}}{2}(u(x, 0) + v(x, 0)) \\
&= \frac{\sqrt{\lambda(x)}}{2}(u^0(x) + v^0(x)) = z^1(x) \quad \forall x \in [0, 1].
\end{aligned}
$$

Étudions la dynamique de $X_p$. On écrit $U(t) := \ddot{X}_p(t)$ pour $t \in \mathbb{R}_+$.

HYPOTHÈSE 3. $U \in L^2(0, T)$ pour tout $T > 0$.

On déduit de (11.50) et (E.33) que

$$ 
\begin{aligned}
U(t) &= \ddot{X}_p(t) \\
&= \frac{\sqrt{\lambda(1)}}{2} \left( \dot{\varphi}(t) - \int_0^1 [a\alpha_{tt} + b\beta_{tt}] \, dx \right) \\
&= -\frac{\sqrt{\lambda(1)}}{2} \left( \lfloor \dot{\varphi}(t) \rfloor^{\nu_2} + \lfloor \varphi(t) \rfloor^{\nu_1} - \int_0^1 [a\alpha_{tt} + b\beta_{tt}] \, dx \right).
\end{aligned}
$$

Puisque $\varphi \in C^2([0, T])$, les deux premiers termes de la dernière équation appartiennent à $C^0([0, T])$, et donc à $L^2(0, T)$. Il reste à prouver que l'application $t \to \int_0^1 [a\alpha_{tt} + b\beta_{tt}] \, dx$ appartient à $L^2(0, T)$ pour tout $T > 0$. En utilisant (E.21) et (E.25) et ensuite une intégration par parties, on obtient

$$ 
\begin{aligned}
\int_0^1 [a\alpha_{tt} + b\beta_{tt}] \, dx &= \int_0^1 [a(-\lambda\alpha_{xt}) + b\lambda\beta_{xt}] \, dx \\
&= \int_0^1 [(a\lambda)_x\alpha_t - (b\lambda)_x\beta_t] \, dx + [-a\lambda\alpha_t + b\lambda\beta_t]_0^1.
\end{aligned}
$$

En remplaçant dans la dernière intégrale les termes $\alpha_t$ et $\beta_t$ par $-\lambda\alpha_x$ et $\lambda\beta_x$, respectivement, et en intégrant par parties à nouveau, on obtient

$$ 
\begin{aligned}
\int_0^1 [a\alpha_{tt} + b\beta_{tt}] \, dx = \int_0^1 [((a\lambda)_x\lambda)_x\alpha + ((b\lambda)_x\lambda)_x\beta] \, dx \\
- [(a\lambda)_x\lambda\alpha + (b\lambda)_x\lambda\beta]_0^1 + [-a\lambda\alpha_t + b\lambda\beta_t]_0^1. \quad (\text{E.43})
\end{aligned}
$$

(On note que $(a\lambda)_x = -L^{\alpha\alpha}(1, x) - L^{\beta\alpha}(1, x)$ et $(b\lambda)_x = L^{\alpha\beta}(1, x) + L^{\beta\beta}(1, x)$.) Il est clair que les premiers termes de la partie droite de (E.43) sont dans $C^0([0, T])$ (et alors dans $L^2(0, T)$), pour $\alpha, \beta \in C^0([0, T], H^1(0, 1))$. En même temps, en utilisant (11.50), (E.22) et (E.26), on obtient que

$$ 
\begin{aligned}
[-a\lambda\alpha_t + b\lambda\beta_t]_0^1 &= -a(1)\lambda(1)\alpha_t(1, t) + b(1)\lambda(1)\mu^{-1}\dot{\varphi}(t) \\
&= -a(1)\lambda(1)\alpha_t(1, t) + b(1)\lambda(1)\mu^{-1}(\lfloor\dot{\varphi}(t)\rfloor^{\nu_1} + \lfloor\varphi(t)\rfloor^{\nu_2}).
\end{aligned}
$$

Puisque $\varphi \in C^2([0, T])$ et $\alpha \in C^0([0, 1], H^1(0, T))$ (et donc $\alpha_t(1, \cdot) \in L^2(0, T)$), on déduit que l'application $t \to [-a\lambda\alpha_t + b\lambda\beta_t]_0^1$ appartient aussi à $L^2(0, T)$ pour tout $T > 0$. L'Hypothèse 3 est alors prouvée.

Regardons les conditions initiales pour $X_p$. D'après (E.20), (E.31) et (E.33), on a que

$$ X_p(0) = \frac{\sqrt{\lambda(1)}}{2} \left( \varphi^0 - \int_0^1 [a(x)\alpha^0(x) + b(x)\beta^0(x)] \, dx \right) = \Omega^0. $$

En même temps, (E.33) donne (11.41) et (11.42). Prenant $t = 0$ et utilisant (E.22), on obtient

$$ 
\begin{aligned}
\mu\beta(1, 0) = \dot{\varphi}(0) &= \frac{2}{\sqrt{\lambda(1)}} \dot{X}_p(0) - a(1)\lambda(1)\alpha^0(1) + b(1)\lambda(1)\beta^0(1) \\
&\quad + \int_0^1 [(a\lambda)_x\alpha^0 - (b\lambda)_x\beta^0] \, dx.
\end{aligned}
$$
Par comparaison à la condition

$$ \mu\beta^0(1) = \frac{2}{\sqrt{\lambda(1)}}\Omega^1 - a(1)\lambda(1)\alpha^0(1) + b(1)\lambda(1)\beta^0(1) + \int_0^1 [(a\lambda)_x\alpha^0 - (b\lambda)_x\beta^0] \, dx, $$

présente dans la définition de $\mathcal{H}$, on déduit que $\dot{X}_p(0) = \Omega^1$.

En utilisant l'Hypothèse 2, on voit que l'unicité de $(z, X_p)$ suit de celle de $(\alpha, \beta, \varphi)$.

On sait que $\alpha(x,t) = \beta(x,t) = \varphi(t) = 0$ pour $x \in [0,1]$ et $t \ge T_1(\|(\alpha^0, \beta^0, \varphi^0, \varphi^1)\|_H)$.

On déduit de (E.33) que $X_p(t) = 0$ pour $t \ge T_1(\|(\alpha^0, \beta^0, \varphi^0, \varphi^1)\|_H)$.

Finalement, de (E.34) et (E.35), on déduit que

$$ u(x,t) = v(x,t) = D(x,t) = S(x,t) = 0, \quad \forall x \in [0,1], \forall t \ge T_1(\|(\alpha^0, \beta^0, \varphi^0, \varphi^1)\|_H). $$

Il en suit que

$$ z_t(x,t) = z_x(x,t) = 0, \quad \forall x \in [0,1], \forall t \ge T_1(\|(\alpha^0, \beta^0, \varphi^0, \varphi^1)\|_H). $$

Puisque $z(1,t) = X_p(t) = 0$ pour $t \ge T_1(\|(\alpha^0, \beta^0, \varphi^0, \varphi^1)\|_H)$, on peut conclure que

$$ z(x,t) = 0, \quad \forall x \in [0,1], \forall t \ge T_1(\|(\alpha^0, \beta^0, \varphi^0, \varphi^1)\|_H). $$

On peut prendre

$$ T(R) := \sup\{T_1(\|(\alpha^0, \beta^0, \varphi^0, \varphi^1)\|_H); \|(z^0, z^1, \Omega^0, \Omega^1)\|_{\mathcal{H}} \le R\}. $$

Il reste à prouver la stabilité de l'origine de $\mathcal{H}$ pour le système (11.16)-(11.18) et (11.51). Suppose que $\|(z^0, z^1, \Omega^0, \Omega^1)\|_{\mathcal{H}}$ est petite, et (au moins) plus petite que 1. Alors $\|(\alpha^0, \beta^0, \varphi^0, \varphi^1)\|_H$ est petite, est d'après le Théorème E.1, $\varphi(t)$ et $\dot{\varphi}(t)$ restent petites. On sait que $z(\cdot, t)$, $X_p(t)$, $\alpha(\cdot, t)$, $\beta(\cdot, t)$, et $\varphi(t)$ disparaissant pour $t \ge T(1)$. En utilisant (E.24) et (E.28), on voit que $\|\beta(\cdot, t)\|_{H^1(0,1)}$ et $\|\alpha(\cdot, t)\|_{H^1(0,1)}$ restent petites. En utilisant (E.33) et (11.42), on déduit que $X_p(t)$ et $\dot{X}_p(t)$ restent petites aussi. Clairement, $\|D(\cdot, t)\|_{H^1(0,1)}$ et $\|S(\cdot, t)\|_{H^1(0,1)}$ restent petites aussi d'après (E.34)-(E.35). Pour cette raison, $\|z_t(\cdot, t)\|_{H^1(0,1)}$ reste petite, d'après (E.37). En utilisant (E.38) et (E.42), on déduit que $\|z(\cdot, t)\|_{H^2(0,1)}$ reste petite.

Le système (11.16)-(11.18)-(11.51) est donc globalement stable en temps fini d'après la Définition 11.2.

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