## 10.3 ÉVALUATION DU CONTRÔLE

On utilise le dispositif expérimental complet décrit dans la section précédente, excité avec le système de frappe reproductible. Deux tests sont effectués : une évaluation du calcul numérique du contrôleur non linéaire (Sous-section 10.3.1) et une évaluation de la possibilité de changer la fréquence des premiers deux modes axisymétriques de la membrane par le contrôleur (Sous-section 10.3.2).

### 10.3.1 Méthode numérique régularisant

Le contrôleur-observateur avec un calcul par la méthode d'Euler explicite est activé et un coup est donné avec le support-baguette. L'évolution des variables internes du Coala est montrée Figure 10.43.

On observe (et entend) un bruit haute-fréquence qui persiste, même quand la pression dans la cavité a été atténuée beaucoup. On suppose que c'est dû à cause de la raideur des lois non linéaires en temps fini. C'est la raison pour laquelle on implémente une linéarisation locale autour de 0 des expressions non linéaires (cf. la Sous-section 7.2.1) pour un intervalle de l'argument de [-10⁻⁵, 10⁻⁵] pour l'observateur et [-10⁻³, 10⁻³] pour le régulateur. Avec cette adaptation, le bruit haut-fréquence est enlevé (Fig. 10.44, et une comparaison Fig. 10.45 où l'on voit le *chattering* pour le cas sans linéarisation locale).
<figure><img src="image_145.png" /><figcaption>FIGURE 10.44 – Évaluation de la méthode numérique : variables internes du Coala (mesure de pression en vert, état de l'observateur en bleu, loi de commande en courant puis en tension en rouge) pour un calcul par la méthode d'Euler explicite avec une linéarisation locale autour de l'origine. Condition non anéchoïque.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_146.png" /><figcaption>FIGURE 10.45 – Évaluation de la méthode numérique : comparaison d'une partie de l'évolution temporelle de l'estimation de ŷ₁ de l'observateur calculée par la méthode d'Euler explicite, avec/sans linéarisation locale.</figcaption></figure>
### 10.3.2 Changement de fréquence

Finalement, on évalue si le contrôleur proposé permet en effet de modifier des fréquences de vibration de la membrane supérieure. Les deux premiers modes axisymétriques ($\bar{z}_1$ et $\bar{z}_2$, correspondant aux modes 01 et 02) sont pris en compte dans l'implémentation sur le Coala.

#### 10.3.2.1 Influence de la propagation dans le fût sur la stabilité

Dans un premier temps, plusieurs placements de pôles visant à modifier légèrement la fréquence du deuxième mode avaient été calculés, mais il s'est avéré que l'implémentation sur le Coala menait dans certains cas à une instabilité du contrôle. En même temps, il a été possible d'obtenir un contrôle stable avec le Coala pour certains paramètres de placement de pôles, pour lesquels le modèle numérique était instable. Inspiré par cette observation, on a supposé que la non-prise en compte (dans le modèle utilisé dans le contrôleur) de la propagation dans le fût entre le haut-parleur et la membrane supérieure en était la cause principale. En effet, un petit test mentionné en Sous-section D.3.1 illustre qu'il existe un déphasage entre le haut-parleur et la membrane supérieure qui dépend de la fréquence (longueur d'onde).

À cause de cette observation que le modèle est insuffisamment détaillé pour permettre une utilisation correcte des paramètres du placement de pôles, on a choisi de procéder à une série de mesures variant dans le Coala ces paramètres, sans pour autant vérifier par le modèle du tom à quelle cible fréquentielle pour les modes 01 et 02 ils correspondraient.

#### 10.3.2.2 Changement de fréquence observé

Pour les cas de paramètres de placement de pôles donnant lieu à un contrôle stable suite à une frappe au milieu de la membrane par le système de frappe reproductible, on a mesuré la pression $p_e$ au dessus du point milieu dans le but de comparer le son obtenu au son obtenu sans contrôle, dont les analyses sont discutées ici.

**SIGNAL TEMPOREL** Dans la Figure 10.46, on voit le début de l'évolution temporelle de signaux de pression extérieure $p_e$ pour deux ensembles de paramètres de placement de pôles, et pour le cas sans contrôle. Comme montré précédemment, le système de frappe reproductible permet d'obtenir des résultats très similaires quand on répète une même expérience. En comparant les trois cas affichés, on peut conclure que le contrôleur a une influence nette sur l'évolution temporelle de la vibration de la membrane supérieure.

**DENSITÉ SPECTRALE DE PUISSANCE** En comparant la densité spectrale de puissance pour un nombre de mesures de la pression $p_e$ avec des paramètres de placement de pôles différents, on peut voir si le contenu fréquentiel des signaux est influencé (Fig. 10.47). Le cas sans contrôle est affiché en bleu marin, et il connaît un pic en dessous de 50Hz, correspondant à la fréquence de résonance du haut-parleur. En comparant les cas avec contrôle avec le cas sans contrôle, on voit que des pics comme celui à 100Hz (mode non axisymétrique 11) ne sont pas du tout impactés par le contrôle. À d'autres endroits, comme dans les régions des modes axisymétriques 01 et 02 visés par le contrôle, mais aussi ailleurs, des décalages de fréquences sont observés (cf. la Figure 10.48 qui se focalise sur la plage fréquentielle visée par le contrôleur).

**HR-OGRAMME** À partir des Figures 10.47-10.48, on peut sélectionner des mesures pour lesquelles un changement de fréquence net a été observé, et calculer leur HR-ogramme (spectrogramme à haute résolution, cf. ci-dessus) pour évaluer l'évolution temporelle des fréquences.
<figure><img src="image_147.png" /><figcaption>FIGURE 10.46 – Comparaison des signaux de pression extérieure $p_e$ pour deux ensembles de paramètres de placement de pôles, et le cas sans contrôle. Chaque mesure est répétée 3 fois. Condition non anéchoïque.</figcaption></figure>

Un exemple est montré Figure 10.49, où l'on regarde la densité spectrale de puissance et le HR-ogramme en détail autour de 150Hz (mode 01). La méthode HR y a identifié deux modes à fréquences proches. Dans le cas sans contrôle, ces fréquences ne sont pas stables et les modes sont atténués assez vite. Dans le cas des deux contrôleurs montrés, les contributions des modes durent plus longtemps. Chez le premier contrôleur, une baisse des deux fréquences de ca. 1Hz est obtenue, et les nouvelles fréquences restent stables dans le temps. Chez le deuxième contrôleur, une hausse de ca. 1Hz par rapport au cas sans contrôle est obtenue, et les nouvelles fréquences varient dans le temps.
<figure><img src="image_148.png" /><figcaption>FIGURE 10.47 – Densité spectrale de puissance pour un nombre de mesures de $p_e$ avec des paramètres de placement de pôles différents. Chaque mesure est répétée 3 fois. Condition non anéchoïque.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_149.png" /><figcaption>FIGURE 10.48 – Détail de la Figure 10.47. Les plages fréquentielles des modes expérimentalement observés par les figures de Chladni sont indiquées en gris.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_150.png" /><figcaption>FIGURE 10.49 – Détails des HR-ogrammes pour une mesure de $p_e$ sans contrôle, avec un premier contrôle (paramètres : $k_{1a} = -0,5, k_{1b} = k_{2a} = k_{2b} = 0$) et un deuxième contrôle (paramètres : $k_{1a} = k_{2a} = +0,5, k_{1b} = k_{2b} = 0$). La DSP des cas contrôlés est affichée en vert, du cas non contrôlé en noir.</figcaption></figure>
CHAMBRE ANÉCHOÏQUE Ces mesures sont répétées en chambre anéchoïque. Sur les densités spectrales de puissance (Figures 10.50-10.51), on obtient un résultat pareil. Toutefois, ici, il semble que des pics comme celui à 100Hz, qui ne changeait pas dans les Figures 10.47-10.48, semblent aussi pouvoir être déplacés.

Les HR-ogrammes de deux cas contrôlés sont montrés Figures 10.52-10.53.
<figure><img src="image_151.png" /><figcaption>FIGURE 10.50 – Densité spectrale de puissance pour un nombre de mesures de $p_e$ avec des paramètres de placement de pôles différents. Chaque mesure est répétée 3 fois. Condition anéchoïque.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_152.png" /><figcaption>FIGURE 10.51 – Détail de la Figure 10.50. Les plages fréquentielles des modes expérimentalement observés par les figures de Chladni sont indiquées en gris.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_153.png" /><figcaption>FIGURE 10.52 – Détail des densités spectrales de puissance pour le cas non contrôlé et deux cas contrôlés (contrôle 1 avec $k_{2a} = 0,5, k_{1a} = k_{1b} = k_{2b} = 0$, contrôle 2 avec $k_{2a} = -0,5, k_{1a} = k_{1b} = k_{2b} = 0$). Condition anéchoïque.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_154.png" /><figcaption>FIGURE 10.53 – Détails des HR-ogrammes correspondants à la Fig. 10.52</figcaption></figure>
10.4 CONCLUSION ET PERSPECTIVES

Après une identification des paramètres physiques du tom augmenté et une im-
plémentation de la loi de commande en temps fini sur le Coala (avec la méthode
numérique déraidissante), des tests ont été effectués pour évaluer la performance quant
à un changement ciblé des deux premiers modes axisymétriques de la membrane
supérieure de l'instrument.

Il s'est avéré que le modèle utilisé par le contrôleur ne correspond pas très bien avec la réalité. Nous supposons que c'est en premier lieu dû à la non-prise en compte de la propagation du son dans la cavité, entre le haut-parleur et la membrane supérieure, qui a une influence importante sur la performance et la stabilité du système contrôlé.

Pour cette raison, il faudrait affiner le modèle utilisé par le contrôleur afin de mieux prendre en compte la réalité physique.

— En premier lieu, il faut prendre en compte la propagation des ondes sonores dans la cavité (Fig. 10.54), voire d'autres effets comme des réflexions internes ou des modes de cavité ou de parois, si une analyse acoustique plus détaillée montre que ces contributions sont importantes pour le contrôleur.

<figure><img src="image_155.png" /><figcaption>FIGURE 10.54 – Propagation des ondes sonores à l'intérieur de la cavité</figcaption></figure>

— On pourrait aussi regarder l'accordage de la membrane plus en détail, dans le but d'obtenir une distribution de tension plus homogène, faisant correspondre le système mieux avec son modèle à tension supposée constante. En plus, on pourrait accorder le tom à une tension plus élevée, pour laquelle les modes de la membrane seraient plus espacés en fréquence et le mode 01 serait à la fréquence la plus basse (pas de croisement de mode comme c'était le cas ci-dessus); mais il est possible que un changement des fréquences à une haute tension de membrane soit plus difficilement réalisable par le contrôleur.

— Finalement, on pourrait affiner le modèle encore plus en prenant aussi en compte l'influence du rayonnement sur les fréquences de la membrane, en outre de celle de la cavité que nous avons prise en compte dans le modèle actuel.
<figure><img src="image_156.png" /></figure>
Cinquième partie

CONTRÔLE EN TEMPS FINI D'UN SYSTÈME HYBRIDE
(EDP-EDO) : LE CAS DU CÂBLE PESANT
<figure><img src="image_157.png" /></figure>
Dans ce chapitre, le mouvement 2D d'un câble pesant flexible est considéré, que l'on peut retrouver dans un pont roulant ou une grue de construction. Il est modélisé par un système hybride EDP-EDO, dont la partie EDO décrit le mouvement d'une plateforme et l'EDP décrit le mouvement d'un câble attaché à la plateforme. Il s'agit d'une équation des ondes avec une tension variable en fonction de l'abscisse curviligne le long du câble.

Ce système hybride EDP-EDO est stabilisé en temps fini par une loi de commande non linéaire obtenue à partir d'un résultat pour la stabilisation de systèmes hyperboliques quasi linéaires $2 \times 2$ [69]. Son application au problème décrit nécessite plusieurs changements de variables, une transformation d'intégrale de Voltera de type backstepping, et la stabilisation en temps-fini d'un système ODE du deuxième ordre décrivant la dynamique d'une variable bien choisie. Ainsi, ce résultat généralise la stabilisation du cas avec une tension constante le long du câble qui est considéré dans [280] au cas d'une tension affine dans l'abscisse curviligne le long du câble. La simulation du système contrôlé nécessite la solution numérique d'équations de noyaux de transformation et de la dynamique temps-fini, ce qui est fait en utilisant des méthodes numériques récentes [9, 196].

Une grande partie de ce chapitre a été reprise de [W9].

TABLE DES MATIÈRES

<table><tr><td>11.1 Contexte : stabilisation de systèmes hybrides EDP-EDO</td><td>192</td></tr><tr><td>11.2 Introduction</td><td>192</td></tr><tr><td>11.2.1 Mouvement 2D</td><td>192</td></tr><tr><td>11.2.2 Modèle hybride 2D du câble pesant</td><td>192</td></tr><tr><td>11.2.3 But du contrôle</td><td>195</td></tr><tr><td>11.2.4 Stabilisation en temps fini de systèmes hyperboliques $2 \times 2$</td><td>196</td></tr><tr><td>11.2.5 Stabilité en temps fini d'un système d'évolution abstrait</td><td>197</td></tr><tr><td>11.2.6 Structure du présent chapitre</td><td>198</td></tr><tr><td>11.3 Obtention de la forme d'un système quasi hyperbolique $2 \times 2$</td><td>198</td></tr><tr><td>11.3.1 Première transformation</td><td>198</td></tr><tr><td>11.3.2 Deuxième transformation</td><td>199</td></tr><tr><td>11.4 Stabilisation en temps fini de l'EDP</td><td>199</td></tr><tr><td>11.4.1 Système cible</td><td>200</td></tr><tr><td>11.4.2 Transformation de coordonnées de type backstepping</td><td>202</td></tr><tr><td>11.4.3 Calcul des noyaux de transformation</td><td>203</td></tr><tr><td>11.4.4 Loi de commande à la frontière de l'EDP</td><td>205</td></tr><tr><td>11.5 Stabilisation en temps fini du système hybride EDP-EDO</td><td>205</td></tr><tr><td>11.5.1 Conception de la loi de commande</td><td>206</td></tr><tr><td>11.5.2 Preuve de stabilité en temps fini du système hybride</td><td>208</td></tr><tr><td>11.6 Simulation</td><td>209</td></tr><tr><td>11.6.1 Calcul numérique des noyaux de transformation</td><td>210</td></tr><tr><td>11.6.2 Simulation de l'évolution temporelle du système contrôlé</td><td>210</td></tr><tr><td>11.7 Conclusions et perspectives</td><td>221</td></tr><tr><td>11.7.1 Conclusions</td><td>221</td></tr><tr><td>11.7.2 Perspectives</td><td>222</td></tr></table>
## 11.1 CONTEXTE : STABILISATION DE SYSTÈMES HYBRIDES EDP-EDO

La stabilisation de systèmes hybrides EDP-EDO a attiré l'attention de la communauté du contrôle depuis plusieurs décennies. On peut mentionner des applications comme le contrôle d'un disque rotatif auquel est attachée une poutre, sans amortissement naturel [68] ainsi que le cas d'une poutre rotative attachée à une inertie en translation [156], une flûte à coulisse [278], des systèmes électriques comme un convertisseur de puissance commuté avec une ligne de transmission [72] ou un convertisseur statique de puissance de type Modulateur de Largeur d'Impulsion courant continu – courant continu de type buck (hacheur série), couplé à une barre avec diffusion de chaleur [4, 5], le mouvement turbulent d'un fluide et le flux de trafic [244], et la grue en prenant en compte la flexibilité du câble, comme développé ci-dessous.

## 11.2 INTRODUCTION

### 11.2.1 Mouvement 2D

Nous nous intéressons au mouvement planaire d'une plateforme motorisée pouvant exécuter une translation horizontale, à laquelle est attaché un câble tenant une masse. On peut supposer que ce mouvement a lieu dans une grue de construction (tower crane) ou un pont roulant (overhead crane) quand le rail sur lequel se déplace la plateforme n'exécute pas de rotation ou translation, respectivement, comme illustré dans la Figure 11.1. De plus, dans la suite, nous supposons que le câble a une longueur fixe. Ceci implique que des variations de la hauteur de la masse transportée sont uniquement dues à des variations de courbure du câble, et non pas à des éventuelles actions d'une poulie.

<figure><img src="image_158.png" /><figcaption>FIGURE 11.1 – Mouvement planaire considéré</figcaption></figure>

### 11.2.2 Modèle hybride 2D du câble pesant

Dans [281], les auteurs ont dérivé et étudié un modèle pour la dynamique d'une plateforme motorisée de masse *M* pouvant exécuter une translation horizontale le
long d'un rail horizontal (schématisé Fig. 11.2). Un câble flexible et non extensible de longueur $l = 1 \text{ m}$ est attaché à la plateforme à son extrémité supérieure et à une masse de charge $m$ à son extrémité inférieure. En supposant de petits déplacements transversaux et angulaires et en négligeant l'accélération de la masse de charge, ils obtiennent le système suivant :

$$y_{tt}(s,t) - (d(s)y_s(s,t))_s = 0, \qquad (11.1)$$

$$y_s(0,t) = 0 \qquad (11.2)$$

$$y(1,t) = X_p(t) \qquad (11.3)$$

$$\dot{X}_p(t) = \lambda [d(s)y_s(s,t)]_{(s=1)} + \frac{V(t)}{M}, \qquad (11.4)$$

avec

$$d(s) \triangleq gs + \frac{gm}{\rho} \qquad (11.5)$$

$$\lambda \triangleq \frac{(m + \rho)g}{Md(1)}. \qquad (11.6)$$

<figure><img src="image_159.png" /><figcaption>FIGURE 11.2 – Schéma du modèle de grue</figcaption></figure>

Les conditions initiales sont

$$\left\{
\begin{array}{l}
y(s,0) = y^0(s) \\
y_t(s,0) = y^1(s) \\
X_p(0) = X_p^0 \\
\dot{X}_p(0) = X_p^1.
\end{array}
\right.
\qquad (11.7)$$

Dans ce modèle, $s$ dénote l'abscisse curviligne (longueur d'arc) le long du câble, avec $s = 0$ à son extrémité inférieure et $s = 1$ à son extrémité supérieure, $y = y(s,t)$ est le déplacement horizontal d'un point du câble à l'abscisse curviligne $s$ au moment $t$, $X_p$ est l'abscisse de la plateforme, $\rho$ la densité linéique de masse du câble et $V$ la force appliquée à la plateforme. Les dérivées partielles sont notées comme $y_{tt} = \partial^2 y/\partial t^2$, $y_{ss} = \partial^2 y/\partial s^2$, etc., et $\dot{X}_p = d^2 X_p/dt^2$.

La corde subit une tension affine $d(s)$ (Éq. 11.5) composée d'une contribution constante $\frac{gm}{\rho}$ due à la masse de charge $m$ et une contribution linéaire $gs$ due à la masse du corde. On mentionne que dans [280], les auteurs ont supposé que $m \gg \rho \cdot l$, et donc $gm/\rho \gg gs$ pour $s \in ]0, 1[$ ce qui implique que la fonction $d(s) \approx \frac{gm}{\rho} \triangleq d$ est constante. Dans la présente contribution, nous retournons au problème originel sans cette approximation, de sorte que la tension $d(s)$ est donnée par son expression affine (11.5). En particulier, on simulera dans la Section 11.6 le cas avec $m = 2\text{kg}, \rho = 2\text{kg/m}, g = 9.81\text{m/s}^2$,
c'est-à-dire un câble qui est lourd devant le poids déplacé, ce qui correspond à une
contribution linéaire importante dans l'expression $d(s)$, comme montré Figure 11.3.

<figure><img src="image_160.png" /><figcaption>FIGURE 11.3 – Contribution linéaire importante dans $d(s)$ pour le cas avec $m = 2\text{kg}$, $\rho = 2\text{kg/m}^2$, $g = 9.81\text{m/s}^2$.</figcaption></figure>

En appliquant la loi de commande intermédiaire suivante :

$$
V(t) = M \cdot U(t) - (m + \rho)g\theta(t), \text{ avec } \theta(t) \triangleq y_s(1, t), \quad (11.8)
$$

où la déviation angulaire $\theta(t)$ du câble par rapport à l'axe verticale, au point $s = 1$
(c'est-à-dire, au point de connexion avec la plateforme), est supposée mesurée (cf. Fig.
11.2), le système suivant est obtenu :

$$
y_{tt} - (d(s)y_s)_s = 0 \qquad (s,t) \in ]0,1[ \times ]0, +\infty[ \qquad (11.9)
$$

$$
y_s(0, t) = 0 \qquad t \in ]0, +\infty[ \tag{11.10}
$$

$$
y(1, t) = X_p(t) \qquad t \in ]0, +\infty[ \tag{11.11}
$$

$$
\ddot{X}_p(t) = U(t), \qquad t \in ]0, +\infty[. \tag{11.12}
$$

avec les conditions initiales (11.7).

REMARQUE 1 – SYSTÈME HYBRIDE (EDP-EDO) On voit que le modèle (11.9)–(11.12) est un système hybride (EDP-EDO) : la dynamique de la corde est décrite par une EDP couplée à une EDO décrivant la dynamique de la plateforme. Le système global est contrôlé par l'entrée U, l'accélération imposée à la plateforme.

On mentionne que le contrôleur en temps fini pour ce système sera développé selon
une autre approche que celle suivie pour le système hybride du tom dans le Chapitre 9.
En effet, dans le présent chapitre, une stabilisation du système sera obtenue en agissant
directement sur l'EDP, sans la projeter sur une base modale comme c'était le cas chez
le tom.

REMARQUE 2 – CÂBLE OU CORDE ? Pour la modélisation de la grue de construction, du pont roulant et d'autres appareils similaires, on utilise souvent une approche à constantes localisées où le câble est représenté par un pendule rigide [1, 115]. Au contraire, dans une approche à constantes distribuées, on prend en compte la flexibilité du câble en le modélisant par une EDP.
Dans le modèle adopté ci-dessus, nous avons choisi de modéliser le câble par une EDP de corde<fnref n="1" />. La raison de ce choix est que le modèle EDP de la corde contient seulement une dérivée spatiale d'ordre 2, tandis que le modèle EDP d'un câble, p.ex.

$$ \rho y_{tt} - g m y_{ss} + E I y_{ssss} = 0, $$

avec des conditions aux limites et initiales, et où E [Pa] est le module de Young et I [m⁴] le moment d'inertie quadratique [118, 247], contient une dérivée spatiale d'ordre 4. À notre connaissance, il n'existe à ce jour pas de résultat sur la stabilisation en temps fini d'une telle EDP du 4ème ordre, qui serait similaire au théorème sur la stabilisation en temps fini d'une EDP du 2ème ordre [69], que nous appliquerons dans la suite (cf. le Théorème 11.1 ci-dessous).

### 11.2.3 But du contrôle

On souhaite construire une loi de commande pour $U(t)$ qui déplace le système plateforme-câble (11.9)-(11.12) d'une position au repos

$$ (X_P(0) = \text{cst.} \neq 0, \quad \dot{X}_P(0) = 0, \quad y(s, 0) = 0, \quad y_t(s, 0) = 0) $$

à une autre position au repos

$$ (X_P(t_F) = 0, \quad \dot{X}_P(t_F) = 0, \quad y(s, t_F) = 0, \quad y_t(s, t_F) = 0), $$

et ceci dans un temps fini $t_F$. (Par convention, on définit que l'origine de l'abscisse de $X_P$ se trouve à la position cible désirée : $X_P(t_F) = \text{cst.}_2 \triangleq 0$.)

Ce but de contrôle est schématisé dans la Figure 11.4(a)-(b). On ne veut pas avoir un état final où la plateforme s'arrête, possiblement en temps fini, à un endroit différent de la position 0 (Fig. 11.4(c)), avec un câble qui se stabilise soit en temps fini, soit asymptotiquement. Un autre état final non désiré est le cas de la Fig. 11.4(d), où la plateforme se stabilise bien en temps fini à la position 0, mais le câble n'est stabilisé qu'asymptotiquement.

<figure><img src="image_161.png" /><figcaption>FIGURE 11.4 – But du contrôle</figcaption></figure>

<footnote n="1">1. Cf. aussi les Chapitres 4-8 dans lequels l'EDP de corde linéaire ou avec une tension non linéaire est considérée.</footnote>
RÉSULTATS DE CONTRÔLE EXISTANTS POUR LE MODÈLE 2D DU CÂBLE PESANT
Une stabilisation asymptotique (mais non pas exponentielle) du système (11.1)-(11.4) a été établie dans [281], tandis qu'une stabilisation exponentielle a ensuite été obtenue dans [274] en utilisant la structure en cascade du système et une approche par *backstepping* (cf. [135] concernant cette approche). Un résultat similaire a été obtenu pour le système (11.9)-(11.12) avec une tension constante et des conditions limites de type Dirichlet dans [169]. La dynamique de la masse de charge a été prise en compte dans [166].

L'approche par *backstepping* est un outil puissant pour la conception de contrôleurs stabilisants dans le contexte de systèmes de dimension finie (cf. p.ex. [228]), mais la structure en cascade de systèmes mécaniques flexibles couplant un EDO et EDP est aussi une propriété utile, comme c'est la cas du modèle 2D de la grue avec un câble flexible. On peut aussi mentionner [68], où les auteurs proposent une classe de lois de commande non linéaires à la frontière stabilisant asymptotiquement un disque rotatif auquel est attachée une poutre, sans amortissement naturel. Notons également que dans [273], la stabilisation asymptotique du modèle 2D de la grue avec une longueur de câble variable a été considérée.

Dans [274], le système (11.9)-(11.12) a été considéré, avec une tension constante (redimensionnée à 1). On y propose le retour d'état linéaire

$$ U(t) = -K^{-1} [y_{st}(1,t) + k y_t(1,t)] - \mu \left[ \dot{X}_p(t) + K^{-1} [y_s(1,t) + k y(1,t)] \right], \quad (11.13) $$

avec $k, K > 0$ et $\mu > K/2$ des constantes arbitraires, et prouve que le système (11.9)-(11.13) est exponentiellement stable.

Dans [280], le même système à tension constante a été stabilisé en temps fini par le retour d'état non linéaire

$$ U(t) = -y_{st}(1,t) - \lfloor y_t(1,t) + y_s(1,t) \rfloor^{\nu_2} - \left\lfloor y(1,t) + \int_0^1 y_t(\xi, t) \, d\xi \right\rfloor^{\nu_1}, \quad (11.14) $$

$$ \text{avec } 0 < \nu_2 < 1, \nu_1 > \frac{\nu_2}{2-\nu_2} \text{ et } \lfloor x \rfloor^{\nu_1} \triangleq \text{sign}(x) |x|^{\nu_1}. $$

REMARQUE Pour plus de résultats concernant le contrôle de la grue de construction, du pont roulant et d'autres appareils similaires, consulter [1, 115] et les références s'y trouvant.

### 11.2.4 Stabilisation en temps fini de systèmes hyperboliques 2 × 2

Certains systèmes hyperboliques avec des conditions aux limites transparentes (non reflétantes, cf. la Sous-section 11.4.1 plus bas) admettent des solutions qui atteignent l'état d'équilibre en temps fini. Une telle propriété, appelée *stabilité en temps fini* dans [6, 187] ou *super-stabilité* dans [229] a été discutée pour la première fois dans [152] pour le cas de l'équation des ondes. L'extension d'une telle propriété à l'équation des ondes sur un réseau a été étudiée dans [6, 229]. Il s'avère que la stabilité en temps fini est aussi valable pour des systèmes hyperboliques quasi linéaires du premier ordre unidimensionnels diagonaux et sans termes source [146, 187]. L'incorporation de termes source dans de tels systèmes mène à une perte de la propriété de stabilité en temps fini si les conditions aux limites sont transparentes, mais la stabilisation reste toujours rapide [102]. Cependant, dans le cas linéaire, l'utilisation d'une loi de rétroaction à la frontière basée sur une transformation de type *backstepping* permet de retrouver la stabilité en temps fini pour des systèmes hyperboliques avec des termes source [69].
11.2.5 Stabilité en temps fini d'un système d'évolution abstrait

11.2.5.1 Système EDO

La stabilité en temps fini d'un système d'évolution EDO

$$
\dot{x}(t) = f(x(t))
$$

est définie comme suit.

**Définition 11.1** (Stabilité en temps fini d'un système d'évolution EDO [39]). Soit $\mathbf{\Phi} = \mathbf{\Phi}(\mathbf{x}, t)$, $\mathbf{x} \in V$, $t \in \mathbb{R}_+$, le flot associé à un système d'évolution EDO dans une espace de dimension finie $V \subseteq \mathbb{R}^n$, avec $\mathbf{x} = \mathbf{0}$ un ponit d'équilibre, c'est-à-dire, $\mathbf{\Phi}(\mathbf{0}, t) = \mathbf{0}$ pour tout $t \in \mathbb{R}_+$.

On dit que le flot $(\mathbf{\Phi}(\mathbf{x}, t))_{(x,t)\in V\times\mathbb{R}_+}$ est globalement stable en temps fini

— s'il existe une fonction non décroissante $T : (0, +\infty) \to (0, +\infty)$ appelée la fonction de temps d'établissement telle que $\mathbf{\Phi}(\mathbf{x}, t) = \mathbf{0}$ pour tout $\mathbf{x} \in V \setminus \{0\}$ et tout $t \ge T(\|\mathbf{x}\|_V)$ (convergence en temps fini);

— et si le point d'équilibre $\mathbf{x} = \mathbf{0}$ est stable au sens de Lyapunov $^2$, c'est-à-dire, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un $\delta > 0$ tel que

$$
\|\mathbf{x}\|_V < \delta \Rightarrow \|\mathbf{\Phi}(\mathbf{x}, t)\|_V < \varepsilon, \quad \forall t \ge 0.
$$

REMARQUE – STABILITÉ EN TEMPS FINI DU DOUBLE INTÉGRATEUR

**Lemme 11.1** (Stabilité en temps fini du double intégrateur). L'EDO du 2me ordre

$$
\ddot{x} = -[\dot{x}]^{v_2} - [x]^{v_1},
$$

équivalente au système du premier ordre

$$
\begin{cases}
\dot{x}_1 = x_2 \\
\dot{x}_2 = -[x_2]^{v_2} - [x_1]^{v_1},
\end{cases}
$$

$(x_1 \triangleq x, x_2 \triangleq \dot{x})$, est stable en temps fini pour $0 < v_2 < 1$ et $v_1 \ge \frac{v_2}{2-v_2}$.

(Le cas $v_1 > \frac{v_2}{2-v_2}$ a été prouvé par Haimo [103] et le cas $v_1 = \frac{v_2}{2-v_2}$ par Bhat & Bernstein [12, 39].)

11.2.5.2 Système hybride EDP–EDO

La stabilité en temps fini d'un système d'évolution hybride EDP-EDO dépendant d'une variable spatiale $z \in [0,1]$ et une variable temporelle $t \in \mathbb{R}_+$ peut être définie comme suit.

**Définition 11.2** (Stabilité en temps fini d'un système d'évolution hybride EDP-EDO).
Soit $\mathbf{\Phi} = \mathbf{\Phi}(\mathbf{x}, z, t)$, $\mathbf{x} \in H$, $z \in [0,1]$, $t \in \mathbb{R}_+$, le flot associé à un système d'évolution dans une espace de Hilbert $H$. On suppose que $\mathbf{\Phi}$ satisfait la propriété de semi-groupe [57, 71, 185] : $\mathbf{\Phi}(\mathbf{\Phi}(\mathbf{x}, z, s), z, t) = \mathbf{\Phi}(\mathbf{x}, z, t + s)$ pour tout $\mathbf{x} \in H$, tout $z \in [0,1]$, et tout $t, s \in \mathbb{R}_+$; et que $\mathbf{x} = \mathbf{0}$ est un point d'équilibre, c'est-à-dire, $\mathbf{\Phi}(\mathbf{0}, z, t) = \mathbf{0}$ pour tout $z \in [0,1]$ et $t \in \mathbb{R}_+$.

On dit que le flot $(\mathbf{\Phi}(\mathbf{x}, z, t))_{(x,z,t) \in H \times [0,1] \times \mathbb{R}_+}$ est globalement stable en temps fini

— s'il existe une fonction non décroissante $T : (0, +\infty) \to (0, +\infty)$ appelée la fonction de temps d'établissement telle que $\mathbf{\Phi}(\mathbf{x}, z, t) = \mathbf{0}$ pour tout $\mathbf{x} \in H \setminus \{0\}$, pour tout $z \in [0, 1]$ et tout $t \ge T(\|\mathbf{x}\|_H)$ (convergence en temps fini);

— et si le point d'équilibre $\mathbf{x} = \mathbf{0}$ est stable au sens de Lyapunov, c'est-à-dire, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un $\delta > 0$ tel que

$$
\|\mathbf{x}\|_H < \delta \Rightarrow \|\mathbf{\Phi}(\mathbf{x}, z, t)\|_H < \varepsilon, \quad \forall z \in [0, 1], t \ge 0.
$$

<footnote n="2">2. (cf. Déf. 3.6)</footnote>
### 11.2.6 Structure du présent chapitre

La conception de la loi de commande $U(t)$ à la frontière stabilisant le système hybride EDP-EDO (11.9)-(11.12) avec une tension affine en temps fini se déroulera de la façon suivante.

Afin de pouvoir utiliser l'approche développée dans [69, Proposition 3.1] pour des systèmes hyperboliques quasi linéaires $2 \times 2$ découplés, deux changements de variables doivent être effectués permettant de réécrire le système d'origine (11.9)-(11.12) sous la forme appropriée (Section 11.3).

Dans un premier temps (Section 11.4), la stabilisation en temps fini de l'EDP seule sera considérée. Les notions de système cible, transformation de type backstepping et le calcul de noyaux de transformation sont détaillées, permettant finalement l'expression de la loi de commande à la frontière de [69].

Ensuite, dans la Section 11.5, la stabilisation du système hybride entier (EDP-EDO, c'est-à-dire câble à tension affine & plateforme) est considérée. Basée sur les résultats de la section précédente pour l'EDP, une loi de commande pour l'accélération $U(t)$ imposée à la plateforme est construite dont on prouve qu'elle stabilise le système hybride entier en temps fini.

Une simulation illustrant la stabilisation en temps fini d'un câble pesant est montrée dans la Section 11.6, utilisant des méthodes numériques récentes [9, 196] pour la résolution numérique des noyaux de transformation et pour la simulation d'une dynamique ODE en temps fini, avant de conclure dans la Section 11.7.

## 11.3 OBTENTION DE LA FORME D'UN SYSTÈME QUASI HYPERBOLIQUE $2 \times 2$

Deux transformations sont définies, qui permettent de réécrire l'équation hyperbolique du deuxième ordre (11.9) avec conditions aux limites (11.10)-(11.11) et conditions initiales (11.7) comme un système hyperbolique quasi linéaire découplé $2 \times 2$, la forme nécessaire pour pouvoir appliquer le Théorème 11.1, comme montré dans la Section 11.4.

### 11.3.1 Première transformation

Suivant [154], une première transformation $z(x, t) \triangleq y(s, t)$ est définie, où

$$x(s) = \frac{1}{J} \int_{0}^{s} d^{-1}(\sigma) \, d\sigma = \frac{1}{gJ} \ln \left( 1 + \frac{\rho}{m} s \right) > 0 \quad (11.15)$$

et

$$J = \int_{0}^{1} d^{-1}(\sigma) \, d\sigma = \frac{1}{g} \ln \left( 1 + \frac{\rho}{m} \right) > 0,$$

de sorte que $x(0) = 0$ et $x(1) = 1$. Avec cette transformation, l'EDP (11.9) peut être réécrite comme

$$z_{tt}(x,t) - \lambda^2(x)z_{xx}(x,t) = 0, \quad (11.16)$$

où

$$\lambda(x) = \frac{1}{J \sqrt{\tilde{d}(x)}}, \quad \tilde{d}(x) \triangleq d(s(x)) = \frac{gm}{\rho} e^{gJx} \quad (11.17)$$

avec les conditions aux limites

$$\begin{cases} z_x(0,t) = 0 \\ z(1,t) = X_p(t) \\ \dot{X}_p(t) = U(t), \end{cases} \quad (11.18)$$
$X_p(t)$ étant la position de la plateforme et $\ddot{X}_p(t) = U(t)$ son accélération, et les conditions initiales

$$ 
\begin{aligned}
z(x,0) &= z^0(x) = y^0(s) \\
z_t(x,0) &= z^1(x) = y^1(s).
\end{aligned} 
\qquad (11.19) 
$$

### 11.3.2 Deuxième transformation

L'Équation (11.16) est ensuite réécrite comme un système de deux EDPs du premier ordre. En notant que $(\partial_t - \lambda \partial_x)(\partial_t + \lambda \partial_x)z = -\lambda \lambda' z_x = (\partial_t + \lambda \partial_x)(\partial_t - \lambda \partial_x)z$, il peut être démontré que les fonctions

$$ 
\begin{cases} 
S(x,t) \triangleq z_t(x,t) + \lambda(x)z_x(x,t) \\ 
D(x,t) \triangleq z_t(x,t) - \lambda(x)z_x(x,t) 
\end{cases} 
$$

(invariants de Riemann) satisfont le système

$$ 
\begin{aligned}
S_t(x,t) - \lambda(x)S_x(x,t) &= -\frac{\lambda'(x)}{2}(S(x,t) - D(x,t)) & (11.20) \\
D_t(x,t) + \lambda(x)D_x(x,t) &= -\frac{\lambda'(x)}{2}(S(x,t) - D(x,t)). & (11.21)
\end{aligned} 
$$

En mettant

$$ w(x,t) = \begin{bmatrix} u(x,t) \\ v(x,t) \end{bmatrix} \triangleq \begin{bmatrix} e^{-\frac{1}{2}\ln(\lambda(x))} D(x,t) \\ e^{-\frac{1}{2}\ln(\lambda(x))} S(x,t) \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{\lambda(x)}} \begin{bmatrix} D(x,t) \\ S(x,t) \end{bmatrix}, \qquad (11.22) $$

on obtient le système

$$ w_t(x,t) = \begin{bmatrix} -\lambda(x) & 0 \\ 0 & \lambda(x) \end{bmatrix} w_x(x,t) + \begin{bmatrix} 0 & -\frac{\lambda'(x)}{2} \\ \frac{\lambda'(x)}{2} & 0 \end{bmatrix} w(x,t) \qquad (11.23) $$

avec les conditions aux limites

$$ u(0,t) = v(0,t), \qquad (11.24) $$

équivalente à la condition aux limites originelle $y_s(0,t) = 0$, et

$$ v(1,t) = W(t), \qquad (11.25) $$

$W(t)$ étant une loi de commande qui est reliée à la commande physique originelle $U(t) = \ddot{X}_p(t)$ et l'angle $\theta(t) = y_s(1,t)$ selon

$$ W(t) = \sqrt{L} \sqrt{d}(1) \left( \dot{X}_p(t) + \sqrt{d}(1) \theta(t) \right) $$

(avec $\dot{X}_p(t) = \int_0^t \ddot{X}_p(\tau) d\tau$).

Ce système est sous la forme requise pour l'application de la transformation de type backstepping qui sera définie plus bas (avec $q = 1$).

## 11.4 STABILISATION EN TEMPS FINI DE L'EDP

Dans la présente section, nous ne considérons temporairement que la partie EDP (câble) du modèle hybride, qui a été réécrite sous la forme (11.22), comme schématisé dans la Figure 11.5. Nous étudions l'application d'un résultat de stabilisation en temps fini de ce type d'EDP utilisant une loi de commande à la frontière [69], même si, dans l'application décrite, nous ne pouvons pas agir directement à ce point de suspension du câble à la plateforme. Dans la section suivante, on exposera comment utiliser ce résultat pour construire une loi de commande $U(t)$ agissant sur la plateforme, stabilisant le système hybride complet (plateforme & câble).
<figure><img src="image_162.png" /><figcaption>FIGURE 11.5 – Représentation schématique de l'EDP comme sous-système du système hybride EDP-EDO</figcaption></figure>

### 11.4.1 Système cible

Dans [69], la stabilisation en temps fini du système hyperbolique quasi linéaire découplé 2 × 2 suivant est considéré :

$$ 
\begin{aligned}
w_t(x,t) &= \Sigma(x)w_x(x,t) + C(x)w(x,t) \\
&= \begin{bmatrix} -\varepsilon_1(x) & 0 \\ 0 & \varepsilon_2(x) \end{bmatrix} w_x(x,t) + \begin{bmatrix} 0 & c_1(x) \\ c_2(x) & 0 \end{bmatrix} w(x,t)
\end{aligned} 
\quad (11.26) 
$$

$$ u(0,t) = qv(0,t) \quad (11.27) $$

$$ v(1,t) = W(t), \quad (11.28) $$

où

$$ w(x,t) = \begin{bmatrix} u(x,t) \\ v(x,t) \end{bmatrix}, $$

$x \in [0,1], t \ge 0$, $c_1(x)$ et $c_2(x)$ sont des fonctions $C^0([0,1])$, $\varepsilon_1(x)$ et $\varepsilon_2(x)$ sont des fonctions $C^1([0,1])$ strictement positives, et $q \ne 0$ (ici$^3$).

Le système (11.23) avec conditions aux limites (11.24)-(11.25) est de la forme du système (11.26) avec conditions aux limites (11.27)-(11.28) si l'on prend

$$ 
\begin{aligned}
\varepsilon_1(x) &= \varepsilon_2(x) = \lambda(x) && \forall x \in [0,1] \\
c_2(x) &= \frac{\lambda'(x)}{2} = -c_1(x) && \forall x \in [0,1] \\
q &= 1.
\end{aligned}
 $$

Dans la Sous-section suivante 11.4.2, une transformation d'état de type backstepping sera définie, entre les variables d'état d'origine

$$ w(x,t) = \begin{bmatrix} u(x,t) \\ v(x,t) \end{bmatrix} $$

<footnote n="3">3. Le cas $q=0$ est également traité dans [69, §3.5].</footnote>
et des variables d'état cibles

$$ \gamma(x,t) = \begin{bmatrix} \alpha(x,t) \\ \beta(x,t) \end{bmatrix} $$

satisfaisant la dynamique cible

$$ \gamma_t(x,t) = \Sigma(x)\gamma_x(x,t) \qquad (11.29) $$

avec les conditions aux limites

$$ \begin{cases} \alpha(0,t) = q\beta(0,t) \\ \beta(1,t) = 0, \end{cases} \qquad (11.30) $$

$q \neq 0$, et une condition initiale $\gamma(x,0) = \gamma_0 \in L^2([0,1])$.

### REMARQUE – STABILITÉ EN TEMPS FINI DE CE SYSTÈME DE TYPE ADVECTION

Cette dynamique cible est stabilisée en temps fini grâce à la condition aux limites transparente $\beta(1,t) = 0$, comme cela a déjà été mentionné dans la Sous-section 11.2.4. En effet, l'Équation (11.29) représente un système de deux EDPs de type advection :

$$ \alpha_t(x,t) = -\lambda(x)\alpha_x(x,t) \qquad (11.31) $$

$$ \beta_t(x,t) = \lambda(x)\beta_x(x,t). \qquad (11.32) $$

Chacune de ces EDPs peut représenter la translation 1D à une vitesse $\mp\lambda(x)$ d'un produit dans un canal d'eau (ou d'une information dans un canal de communication, comme schématisée dans la Figure 11.6). En particulier, ici, une information entre le système sous la forme $\beta(1,t)$. L'information est translatée dans la coordonnée $\beta$ pour $x$ de $1 \to 0$. Ensuite, on a la deuxième condition aux limites $\alpha(0,t) = q\beta(0,t)$, à la suite de quoi l'information est translatée dans la coordonnée $\alpha$ pour $x$ de $0 \to 1$. Finalement, l'information quitte le domaine $x \in [0,1]$ à $\alpha(1,t)$. De ce fait, si à partir d'un moment donné, on peut maintenir $\beta(1,t)$ à 0, après un temps fini qui vaut

$$ T = 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{\lambda(x)} dx, $$

le temps d'effectuer un retour puis un aller, $\alpha$ et $\beta$ auront atteint 0.

<figure><img src="image_163.png" /><figcaption>FIGURE 11.6 – Schéma du système de deux EDPs de type advection</figcaption></figure>

Ce comportement est visible dans la Figure 11.7, où l'on voit l'évolution temporelle du système (11.29) pour les conditions initiales

$$ \begin{cases} \alpha(x,0) = 1+x \\ \beta(x,0) = 1-x, \end{cases} $$

les conditions aux limites

$$ \begin{cases} \alpha(0,t) = \beta(0,t) \\ \beta(1,t) = 0, \end{cases} $$
et avec la vitesse $\lambda(x)$ qui a été définie dans la Sous-section 11.3.1.

(Cette simulation a été obtenue par le schéma numérique amont-aval, que l'on
utilisera dans la Section 11.6.2, au lieu de la méthode analytique des caractéristiques.)

<figure><img src="image_164.png" /><figcaption>FIGURE 11.7 – Évolution temporelle d’un système de type advection avec condition aux limites transparente : tout devient zéro</figcaption></figure>

11.4.2 Transformation de coordonnées de type backstepping

Dans la présente sous-section, la transformation de type backstepping entre le système (11.23) de base et le système cible (11.29) est définie.

**Définition 11.3** (Transformation de type backstepping [69]). *Une transformation de type backstepping est définie entre les variables d'état d'origine w(x, t) et des variables d'état cibles γ(x, t) comme l'équation intégrale de Volterra*

$$
\gamma(x,t) = w(x,t) - \int_{0}^{x} K(x, \xi) w(\xi, t) \, d\xi \quad (11.33)
$$

et la transformation inverse comme

$$
\begin{equation}
w(x,t) = \gamma(x,t) + \int_0^x L(x, \xi) \gamma(\xi, t) \, d\xi, \tag{11.34}
\end{equation}
$$

avec des noyaux directs

$$
\mathbf{K}(x, \xi) = \begin{bmatrix} K^{uu} & K^{uv} \\ K^{vu} & K^{vv} \end{bmatrix} (x, \xi)
$$

et des noyaux inverses

$$
L(x, \xi) = \begin{bmatrix} L^{\alpha\alpha} & L^{\alpha\beta} \\ L^{\beta\alpha} & L^{\beta\beta} \end{bmatrix} (x, \xi).
$$
**Lemme 11.2** (Condition sur les noyaux [69]). Par calcul direct, on démontre que les noyaux directs $K$ satisfont un système de type Goursat 4 constitué de deux systèmes EDP $2 \times 2$ hyperboliques du premier ordre :

$$ 
\left\{
\begin{aligned}
\varepsilon_1(x) K_x^{uu} + \varepsilon_1(\xi) K_\xi^{uu} &= -\varepsilon'_1(\xi) K^{uu} - c_2(\xi) K^{uv} \\
\varepsilon_1(x) K_x^{uv} - \varepsilon_2(\xi) K_\xi^{uv} &= \varepsilon'_2(\xi) K^{uv} - c_1(\xi) K^{uu} \\
\varepsilon_2(x) K_x^{vu} - \varepsilon_1(\xi) K_\xi^{vu} &= \varepsilon'_1(\xi) K^{vu} + c_2(\xi) K^{vv} \\
\varepsilon_2(x) K_x^{vv} + \varepsilon_2(\xi) K_\xi^{vv} &= -\varepsilon'_2(\xi) K^{vv} + c_1(\xi) K^{vu}
\end{aligned}
\right.
\qquad (11.35) $$

avec des conditions aux limites

$$ 
\left\{
\begin{aligned}
K^{uu}(x,0) &= \frac{\varepsilon_2(0)}{q\varepsilon_1(0)} K^{uv}(x,0) \\
K^{uv}(x,x) &= \frac{c_1(x)}{\varepsilon_1(x) + \varepsilon_2(x)} \\
K^{vu}(x,x) &= -\frac{c_2(x)}{\varepsilon_1(x) + \varepsilon_2(x)} \\
K^{vv}(x,0) &= \frac{q\varepsilon_1(0)}{\varepsilon_2(0)} K^{vu}(x,0)
\end{aligned}
\right.
$$

sur le domaine triangulaire $T = \{(x, \xi) | 0 \le \xi \le x \le 1\}$ (dessiné Fig. 11.8).

On démontre que les noyaux indirects $L$ satisfont un système de type Goursat similaire de $4 \times 4$ EDPs hyperboliques du premier ordre :

$$ 
\left\{
\begin{aligned}
\varepsilon_1(x) L_x^{\alpha\alpha} + \varepsilon_1(\xi) L_\xi^{\alpha\alpha} &= -\varepsilon'_1(\xi) L^{\alpha\alpha} + c_1(x) L^{\beta\alpha} \\
\varepsilon_1(x) L_x^{\alpha\beta} - \varepsilon_2(\xi) L_\xi^{\alpha\beta} &= \varepsilon'_2(\xi) L^{\alpha\beta} + c_1(x) L^{\beta\beta} \\
\varepsilon_2(x) L_x^{\beta\alpha} - \varepsilon_1(\xi) L_\xi^{\beta\alpha} &= \varepsilon'_1(\xi) L^{\beta\alpha} - c_2(x) L^{\alpha\alpha} \\
\varepsilon_2(x) L_x^{\beta\beta} + \varepsilon_2(\xi) L_\xi^{\beta\beta} &= -\varepsilon'_2(\xi) L^{\beta\beta} - c_2(x) L^{\alpha\beta}
\end{aligned}
\right.
\qquad (11.36) $$

avec des conditions aux limites

$$ 
\left\{
\begin{aligned}
L^{\alpha\alpha}(x,0) &= \frac{\varepsilon_2(0)}{q\varepsilon_1(0)} L^{\alpha\beta}(x,0) \\
L^{\alpha\beta}(x,x) &= \frac{c_1(x)}{\varepsilon_1(x) + \varepsilon_2(x)} \\
L^{\beta\alpha}(x,x) &= -\frac{c_2(x)}{\varepsilon_1(x) + \varepsilon_2(x)} \\
L^{\beta\beta}(x,0) &= \frac{q\varepsilon_1(0)}{\varepsilon_2(0)} L^{\beta\alpha}(x,0)
\end{aligned}
\right.
$$

sur le même domaine triangulaire.

Notons qu'il est aussi possible de déterminer les noyaux inverses $L$ à partir de la connaissance des noyaux directs $K$ [9] :

$$ L(x, \xi) = K(x, \xi) + \int_{\xi}^{x} K(x, \sigma) L(\sigma, \xi) \, d\sigma. \qquad (11.37) $$

### 11.4.3 Calcul des noyaux de transformation

Pour le cas des coefficients $\varepsilon_i(x)$ et $c_i(x)$ présents dans les systèmes de type Goursat ((11.35), (11.36)) constants, donc indépendants des coordonnées $x$ et $\xi$, une solution

<footnote n="4">4. Comme mentionné dans [69], on propose le terme « problème de Goursat généralisé » p.ex. dans [114]. Le problème de Goursat remonte à ses travaux sur des EDPs il y a plus d'un siècle [98].</footnote>
<figure><img src="image_165.png" /><figcaption>FIGURE 11.8 – Domaine triangulaire T</figcaption></figure>

analytique des noyaux a été obtenue dans [250]. Cette solution contient des fonctions de Bessel modifiées de première espèce ainsi que la fonction de Marcum Q généralisée du premier ordre 5.

Pour le cas général à coefficients $\varepsilon_i(x)$ et $c_i(x)$ non constants 6, des méthodes numériques pour la résolution des systèmes de Goursat ont été développées [9]. On définit une grille de discrétisation uniforme dans le domaine triangulaire $\mathcal{T}$ pour des pas $\Delta x$ et $\Delta \xi$ donnés (comme illustré dans la Fig. 11.9). Ensuite, les parties gauches des équations de Goursat (11.35) et (11.36), qui contiennent des dérivées par rapport à $x$ et $\xi$ des noyaux inconnus, sont approximées par des dérivées directionnelles. On a par exemple [9, d'après l'Appendice F.2] :

$$ \varepsilon_1(x)K_x^{uu} + \varepsilon_1(\xi)K_\xi^{uu} \approx \frac{\sqrt{\varepsilon_1^2(x) + \varepsilon_1^2(\xi)}}{\sigma(x, \xi)} [K^{uu}(x, \xi) - K^{uu}(x - \sigma(x, \xi)v_1(x, \xi), \xi - \sigma(x, \xi)v_2(x, \xi))], $$

où $\sigma(x, \xi) > 0$ est une longueur de pas choisie et

$$ v(x, \xi) = \begin{bmatrix} v_1(x, \xi) \\ v_2(x, \xi) \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_1^2(x) + \varepsilon_1^2(\xi)}} \begin{bmatrix} \varepsilon_1(x) \\ \varepsilon_1(\xi) \end{bmatrix}, $$

c'est-à-dire, les composants d'un vecteur d'unité selon la direction de la courbe caractéristique. Ces approximations sont ensuite exprimées en interpolant des valeurs des noyaux inconnus des points de la grille voisins. On obtient ainsi un système linéaire d'équations à résoudre pour retrouver les valeurs des noyaux dans tous les points de la grille de discrétisation.

$$ Q_1(\sqrt{x}, \sqrt{y}) = 1 - ye^x \int_0^1 e^{-sy} I_0(2\sqrt{xy}) ds = e^{-(x+y)} \sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{x^n y^{n+m}}{n!(n+m)!} $$

<footnote n="5">5. La fonction de Marcum Q généralisée du premier ordre est définie comme</footnote>

<footnote>avec $I_0(\cdot)$ la fonction de Bessel modifiée de première espèce d'ordre 0. Elle a été définie par J.I. Marcum dans le cadre de ses recherches sur la communication radar et est aussi utilisée en statistique [153, 250, et les références qui s'y trouvent].</footnote>

<footnote n="6">6. Dans la littérature, il existe plusieurs méthodes « quasi-analytiques » qui sont utilisées pour résoudre des systèmes (non linéaires) d'EDPs (p.ex. [126]). Les solutions recherchées sont décomposées d'une certaine manière et substituées dans les équations, ce que mène à des conditions sur les composantes de la décomposition. Dans certains cas, on peut reconnaître une structure dans les composantes de la décomposition (développement en série des fonctions sin, cos, exp, etc.) et obtenir une forme analytique de la solution. Des essais ont été faits pour le système de Goursat (11.35), mais sa complexité semble ne pas permettre d'obtenir une solution analytique.</footnote>
<figure><img src="image_166.png" /><figcaption>FIGURE 11.9 – Domaine triangulaire $\mathcal{T}$ avec grille de discrétisation uniforme</figcaption></figure>

### 11.4.4 Loi de commande à la frontière de l'EDP

Utilisant la transformation de type backstepping développée ci-dessus, on peut exprimer une loi de commande à la frontière de l'EDP permettant de la stabiliser en temps fini.

**Théorème 11.1** (Contrôle en temps fini d'un système (11.26) [69]). Le système d'origine (11.26), avec ses conditions aux limites et conditions initiales, est transformé en le système cible (11.29) à dynamique stable en temps fini, avec ses conditions aux limites et conditions initiales, par la transformation de type backstepping (11.33) avec des noyaux satisfaisant le système (11.35) et en appliquant la loi de commande à la frontière

$$W(t) = \int_{0}^{1} K^{vu}(1, \xi)u(\xi, t) \, d\xi + \int_{0}^{1} K^{vv}(1, \xi)v(\xi, t) \, d\xi. \quad (11.38)$$

Une stabilisation de l'EDP (11.26) en temps fini est alors obtenue, avec un temps d'établissement

$$T_F = \int_0^1 \left[ \frac{1}{\varepsilon_1(\xi)} + \frac{1}{\varepsilon_2(\xi)} \right] \, d\xi. \quad (11.39)$$

Ici, $\varepsilon_1(x)$ et $\varepsilon_2(x)$ sont les vitesses de translation respectives dans le système d'advection dans les coordonnées $(\alpha, \beta)$ (cf. l'exemple en simulation dans la Sous-section 11.4.1).

## 11.5 STABILISATION EN TEMPS FINI DU SYSTÈME HYBRIDE EDP-EDO

Retournant à la Figure 11.5, on conclut de la Sous-section 11.4.4 que l'on est capable de stabiliser l'EDP (le câble) sous l'hypothèse de pouvoir contrôler le câble au bord par la loi de commande $W(t)$ exprimée par l'Équation (11.38). Or, dans le système complet hybride (EDP-EDO) décrit par les Équations (11.9)-(11.12), complétées par les conditions aux limites et initiales, et schématisé dans la Fig. 11.10, on ne contrôle pas la condition aux limites $v(1, t) = W(t)$ de l'EDP, mais l'accélération $\dot{X}_p = U(t)$ de la plateforme. De plus, dans ce cas, la condition à la frontière transparente $\beta(1, t) = 0$, nécessaire dans le système cible (11.30) pour garantir la stabilité en temps fini de la partie EDP, n'est pas nécessairement satisfaite.

Dans la présente section, notre but est de concevoir une loi de commande pour l'accélération $U(t)$ de la plateforme de telle manière à garantir qu'à la fois $\beta(1, t) = 0$ et une variable auxiliaire $\varphi(t)$ deviennent zero après un temps fini dont la valeur dépend des conditions initiales. Ensuite, du fait de la condition à la frontière transparente $\beta(1, t) = 0$ et par construction de la variable auxiliaire $\varphi(t)$, à la fois le système cible $\gamma(x, t)$ (câble) et la position de la plateforme $X_p(t)$ deviennent zéro après un temps fini additionnel. En somme, le système hybride global (11.9)-(11.12) avec les conditions aux limites et initiales sera ainsi stabilisé en un temps fini.
<figure><img src="image_167.png" /><figcaption>FIGURE 11.10 – Représentation schématique du système hybride EDP-EDO</figcaption></figure>

### 11.5.1 Conception de la loi de commande

Nous procédons à la conception d'une loi de commande $U(t)$ stabilisant le système hybride (plateforme & câble à tension affine). Elle sera exprimée dans les coordonnées

$$ (X_p(t), \alpha(x,t), \beta(x,t)). $$

Le but sera d'obtenir une condition à la frontière de l'EDP transparente

$$ \beta(1,t) = 0 $$

après un certain temps, grâce à l'utilisation d'une variable auxiliaire $\varphi$ astucieusement définie, comme nous développons ci-dessus.

#### 11.5.1.1 Définition de la variable auxiliaire $\varphi$

On calcule que

$$ \begin{aligned} 2 \frac{\dot{X}_p}{\sqrt{\lambda(1)}} &= 2 \frac{z_t(1,t)}{\sqrt{\lambda(1)}} \\ &= [\begin{matrix} 1 & 1 \end{matrix}] w(1,t) \\ &= [\begin{matrix} 1 & 1 \end{matrix}] \gamma(1,t) + \int_0^1 [\begin{matrix} 1 & 1 \end{matrix}] L(1,\xi) \gamma(\xi,t) \, d\xi \\ &= \alpha(1,t) + \beta(1,t) + \int_0^1 \left[ \begin{aligned} & (L^{\alpha\alpha}(1,\xi) + L^{\beta\alpha}(1,\xi)) \alpha(\xi,t) \\ & + (L^{\alpha\beta}(1,\xi) + L^{\beta\beta}(1,\xi)) \beta(\xi,t) \end{aligned} \right] \, d\xi. \quad (11.40) \end{aligned} $$

À ce point, nous définissons la quantité auxiliaire

$$ \varphi(t) \triangleq \frac{2}{\sqrt{\lambda(1)}} X_p(t) + \int_0^1 [a(x)\alpha(x,t) + b(x)\beta(x,t)] \, dx, \quad (11.41) $$
où les fonctions $a(x)$ et $b(x)$ sont à définir par la suite. Dans ce cas, on calcule que

$$
\begin{align*}
\dot{\phi}(t) &= \frac{2}{\sqrt{\lambda(1)}} \dot{X}_{\text{P}}(t) + \int_{0}^{1} [a\alpha_{t} + b\beta_{t}] \, dx \\
&= \frac{2}{\sqrt{\lambda(1)}} \dot{X}_{\text{P}}(t) + \int_{0}^{1} [-a\lambda\alpha_{x} + b\lambda\beta_{x}] \, dx \\
&= \frac{2}{\sqrt{\lambda(1)}} \dot{X}_{\text{P}}(t) + [-a(x)\lambda(x)\alpha(x,t) + b(x)\lambda(x)\beta(x,t)]_{x=0}^{1} \\
&\quad + \int_{0}^{1} [(a\lambda)_{x}\alpha - (b\lambda)_{x}\beta] \, dx, \tag{11.42}
\end{align*}
$$

utilisant une intégration par parties sur la dernière ligne. Remplaçant $\dot{X}_{\text{P}}$ dans (11.42) par son expression de l'Équation (11.40), on obtient

$$
\begin{equation}
\begin{split}
\dot{\phi}(t) ={}& \alpha(1,t) + \beta(1,t) + [-a\lambda\alpha + b\lambda\beta]_{x=0}^{1} \\
& + \int_{0}^{1} \Biggl[ (L^{\alpha\alpha}(1,x) + L^{\beta\alpha}(1,x) + (a\lambda)_{x})\alpha \\
& \phantom{{} + \int_{0}^{1} \Biggl[} + (L^{\alpha\beta}(1,x) + L^{\beta\beta}(1,x) - (b\lambda)_{x})\beta \Biggr] \, dx.
\end{split}
\tag{11.43}
\end{equation}
$$

Maintenant, on définit les fonctions $a(x)$ et $b(x)$ comme

$$
a(x) \triangleq \frac{1}{\lambda(x)} \left( a_0 - \int_0^x \left( L^{\alpha\alpha}(1,\xi) + L^{\beta\alpha}(1,\xi) \right) \, d\xi \right) \quad (11.44)
$$

$$
b(x) \triangleq \frac{1}{\lambda(x)} \left( b_0 + \int_0^x \left( L^{\alpha\beta}(1,\xi) + L^{\beta\beta}(1,\xi) \right) \, d\xi \right), \quad (11.45)
$$

avec les constantes $a_0, b_0$ qui sont toujours à définir. Ainsi, on a que

$$
L^{\alpha\alpha}(1,x) + L^{\beta\alpha}(1,x) + (a\lambda)_{x} = 0 = L^{\alpha\beta}(1,x) + L^{\beta\beta}(1,x) - (b\lambda)_{x},
$$

ce qui implique que (11.43) devient

$$
\dot{\phi} = [1 - (a\lambda)(1)]\alpha(1,t) + [1 + (b\lambda)(1)]\beta(1,t) + (a_0 - b_0)\alpha(0,t)
$$

pour $\alpha(0,t) = \beta(0,t)$, $(q=1)$. On fixe encore

$$
a_0 = b_0 \triangleq 1 + \int_0^1 \left( L^{\alpha\alpha}(1,\xi) + L^{\beta\alpha}(1,\xi) \right) d\xi, \quad (11.46)
$$

et donc

$$
1 - (a\lambda)(1) = 0 = a_0 - b_0.
$$

Finalement, on obtient que

$$
\begin{align*}
\dot{\phi}(t) &= [1 + (b\lambda)(1)]\beta(1,t) \\
&= \left[ 1 + b_0 + \int_0^1 [L^{\alpha\beta}(1,x) + L^{\beta\beta}(1,x)] \, dx \right] \beta(1,t) \\
&= \mu\beta(1,t) \tag{11.47}
\end{align*}
$$

avec

$$
\mu \triangleq 2 + \int_{0}^{1} \left( L^{\alpha\alpha}(1,x) + L^{\beta\alpha}(1,x) + L^{\alpha\beta}(1,x) + L^{\beta\beta}(1,x) \right) dx. \quad (11.48)
$$

L'Équation (11.47) fournit une relation directe entre la vitesse $\dot{\phi}(t)$ de la variable auxiliaire et la condition à la frontière de l'EDP $\beta(1,t)$. Pour les développements ultérieurs, il est important d'avoir que le facteur $\mu \neq 0$ : on aura alors que

$$
\dot{\phi}(t) = 0 \implies \beta(1,t) = 0. \tag{11.49}
$$

La non-nullité du facteur multiplicatif $\mu$ est garantie par le lemme suivant.
**Lemme 11.3.** Les noyaux inverses $L(x, \xi)$ satisfont

$$L^{\alpha\alpha}(x, \xi) = L^{\beta\beta}(x, \xi) \geq 0 \quad \forall (x, \xi) \in \mathcal{T}$$

$$L^{\alpha\beta}(x, \xi) = L^{\beta\alpha}(x, \xi) \geq 0 \quad \forall (x, \xi) \in \mathcal{T},$$

ce qui implique par (11.48) que $\mu \geq 2$ et ne peut donc être 0.

**Démonstration.** La preuve est donnée en Sous-section E.1.1 de l'Annexe E.

<figure><img src="image_168.png" /></figure>

**11.5.1.2** Obtention de la loi de commande $U(t)$

La loi de commande de la plateforme $\ddot{X}_p = U(t)$ peut être conçue de manière à imposer la dynamique en temps fini du Lemme 11.1 à la variable auxiliaire $\varphi(t)$ :

$$\ddot{\varphi}(t) + \int \dot{\varphi}(t) \mathrm{d}t + \int \varphi(t) \mathrm{d}t = 0, \quad (11.50)$$

$0 < \nu_2 < 1, \nu_1 > \frac{\nu_2}{2-\nu_2}$, ce qui suivant la Définition pour $\varphi(t)$ (11.41) correspond à une loi de commande

$$U(t) = \ddot{X}_p(t) = -\frac{\sqrt{\lambda(1)}}{2} \left[ \int_0^1 (a(x)\alpha_{tt}(x,t) + b(x)\beta_{tt}(x,t)) \mathrm{d}x + \left[ \frac{2}{\sqrt{\lambda(1)}} \dot{X}_p(t) + \int_0^1 (a(x)\alpha_t(x,t) + b(x)\beta_t(x,t)) \mathrm{d}x \right]^{\nu_2} + \left[ \frac{2}{\sqrt{\lambda(1)}} X_p(t) + \int_0^1 (a(x)\alpha(x,t) + b(x)\beta(x,t)) \mathrm{d}x \right]^{\nu_1} \right]. \quad (11.51)$$

Nous prouvons dans la sous-section suivante que le système hybride (plateforme & câble à tension affine) sera stabilisé en temps fini en appliquant cette loi de commande de type rétroaction sur la plateforme. Nous procédons d'abord dans les variables

$$(\varphi(t), \gamma(x,t)),$$

et retournons ensuite aux variables d'origine

$$(X_p(t), y(s,t)).$$

**11.5.2** Preuve de stabilité en temps fini du système hybride

Nous prouvons ici la stabilité en temps fini du système hybride (11.9)-(11.12) contrôlé par la loi de commande (11.51). La preuve repose sur le fait que la loi stabilise $\varphi(t)$ et $\dot{\varphi}(t)$ à 0 dans un temps fini $T_0$. Dès ce moment, la condition $\beta(1,t) = 0$ (11.49), et le système cible d'EDPs de type advection (11.29) se stabilise dans un temps fini supplémentaire $T_1$, comme mentionné dans les Sous-sections 11.2.4 et 11.4.1. À ce moment, puisque $\varphi(t), \alpha(x,t)$ et $\beta(x,t)$ sont à zéro, de la définition de $\varphi(t)$ (Éq. 11.41) suit que $X_p(t)$ est aussi stabilisé à 0.

En conclusion, après un temps fini $T \triangleq T_0 + T_1$, on a que

$$X_p(t \geq T) = 0, \quad \alpha(x, t \geq T) = 0, \quad \beta(x, t \geq T) = 0,$$

ou, en exécutant les transformations inverses vers l'écriture originale du modèle,

$$X_p(t \geq T) = 0, \quad y(s, t \geq T) = 0.$$

**Théorème 11.2.** Le système (11.9)-(11.12) contrôlé par la loi de commande (11.51) est stabilisé en temps fini : $\exists T \mid X_p(t \geq T) = 0 \land y(s \in [0,1], t \geq T) = 0.$
**Démonstration.** Par construction (11.50), $\varphi(t)$ est zéro dans un temps fini $T_0$. Pour $t \ge T_0$ on a aussi $\dot{\varphi}(t) = 0$, et par (11.49), $\beta(1, t) = 0$.

Pour $t \ge T_0$, $\gamma(x,t)$ satisfait le système d'EDPs cible (11.29) avec $\alpha(0,t) = \beta(0,t)$ et $\beta(0,t) = 0$. Regardant les caractéristiques [152] pour une condition aux limites transparente, on en déduit que $\gamma(x,t) = 0$ pour tout $x \in [0,1]$ et $t \ge T_1 + T_0$.

Ainsi, puisque $\varphi(t)$, $\alpha(x,t)$ et $\beta(x,t)$ sont à zéro pour $t \ge T_1 + T_0$, de la définition pour $\varphi(t)$ (Éq. (11.41)) suit que $X_p(t) = 0$ également.

Finalement, de

$$w(x,t) = \frac{1}{\sqrt{\lambda(x)}} \begin{bmatrix} z_t(x,t) - \lambda(x)z_x(x,t) \\ z_t(x,t) + \lambda(x)z_x(x,t) \end{bmatrix},$$

(11.22), où $w(x,t) = 0$ a cause de la transformation (11.34), on conclut que $z_t(x,t) = z_x(x,t) = 0$ pour $t \ge T_1 + T_0$. Combiné avec le fait que

$$z(1,t) \stackrel{(11.15)}{=} y(1,t) \stackrel{(11.11)}{=} X_p(t) = 0,$$

on a que $z(x,t) = 0$ pour tout $x \in [0,1]$ et $t \ge T_1 + T_0$.

En conclusion, après avoir appliqué la transformation inverse de (11.15) afin de retourner dans la variable originale $y(s,t)$, la stabilité en temps fini du système d'origine (11.9)-(11.12) est obtenue pour le temps d'établissement

$$T \triangleq T_0 + T_1. \qquad (11.52)$$

□

**REMARQUE 1 – REMARQUE TECHNIQUE** Une preuve plus formelle de la stabilité du système hybride contrôlé par la loi de commande (11.51) intégrant la régularité et le caractère bien posé du problème est fournie en Sous-section E.1.2 de l'Annexe E.

**REMARQUE 2 – TEMPS D'ÉTABLISSEMENT** Il n'existe pas d'expression analytique pour le temps d'établissement $T$ (11.52). Si l'on peut calculer $T_1$ de la formule (11.39) avec $\varepsilon_1(x) = \varepsilon_2(x) = \lambda(x)$, il n'existe à notre connaissance pas de formule analytique pour le temps $T_0$ de la dynamique de $\varphi(t)$ du Lemme 11.1.

**REMARQUE 3 – PAS DE STABILITÉ EN TEMPS FIXE** La fonction de temps d'établissement (comme introduite dans la Définition 11.2) correspondante à la stabilization en temps fini du système (11.16)-(11.18) commandée par la loi (11.51) obtenue par le Théorème E.2 est composée de deux contributions : une première contribution correspondant à la stabilisation en temps fini de la variable $\varphi$ (décrite par (11.50), avec un temps d'établissement dont la valeur dépend des paramètres de commande $v_1$ et $v_2$), et une deuxième contribution correspondant à la stabilisation en temps fini des variables $\beta$ et $\alpha$ (décrites par (11.29)-(11.30), avec un temps d'établissement de $2 \int_0^1 \lambda^{-1}(x) \, dx$ d'après (11.39)). La valeur de cette deuxième contribution ne dépend seulement des paramètres physiques du système (c.f. (11.17)). C'est la raison pour laquelle nous ne pouvons pas obtenir de stabilisation en temps fixe [193] du système hybride EDP-EDO.

## 11.6 SIMULATION

En guise d'illustration numérique, le système (11.9)-(11.12) contrôlé par la loi de commande (11.51) est simulé. Les paramètres physiques suivants sont utilisés :

$$m = 2\text{kg}, \quad \rho = 2\text{kg/m}, \quad g = 9.81\text{m/s}^2,$$

ce qui correspond au cas d'une contribution linéaire importante dans la tension du câble (cf. Fig. 11.3).

On commence par le calcul numérique des noyaux de transformation (Sous-section 11.6.1), avant de pouvoir simuler l'évolution temporelle du système contrôlé (Sous-section 11.6.2).
### 11.6.1 Calcul numérique des noyaux de transformation

Les noyaux directs K sont calculés en résolvant le système (11.35) numériquement [9]$^7$, où le domaine $\mathcal{T}$ est discrétisé avec $\Delta x = \Delta \xi = 0.005$. Connaissant les noyaux directs K, les noyaux inverses L sont calculés d'après l'équation (11.37)$^8$.

Les noyaux ainsi obtenus sont montrés Figures 11.11-11.12, où les conditions aux limites et les gains de contrôleur sont indiqués. En particulier, les gains de contrôle utilisés dans la loi de commande (11.51) provenant de l'évaluation des noyaux L à la frontière $(x = 1, \xi)$, sont montrés en détail sur la Figure 11.13.

<figure><img src="image_169.png" /><figcaption>FIGURE 11.11 – Noyaux directs K. Les bords dessinés en rouge indiquent les conditions aux limites à $(x, 0)$ et $(x, x)$ du système de Goursat (11.35). Les bords dessinés en vert correspondent à des gains de contrôle évalués à $(1, \xi)$ et utilisés dans la loi de commande (11.38).</figcaption></figure>

### 11.6.2 Simulation de l'évolution temporelle du système contrôlé

Une fois les noyaux de transformation connus, l'évolution temporelle du système (11.9)-(11.12) contrôlé par la loi de commande (11.51) peut être simulée. Afin de simplifier le calcul$^9$, nous effectuerons la simulation dans un premier temps dans les coordonnées

$$ (X_p(t), \alpha(x,t), \beta(x,t)). $$

Ensuite, les transformations de coordonnées inverses seront appliquées, de sorte à obtenir l'évolution temporelle du système dans les coordonnées d'origine

$$ (X_p(t), y(s)). $$

<footnote n="7">7. Un code MATLAB de l'algorithme est fourni avec le livre.</footnote>

<footnote n="8">8. Une implémentation MATLAB a gentiment été mise à disposition par Henrik Anfinsen.</footnote>

<footnote n="9">9. Il se trouve que l'EDP (11.29) de type advection permet une résolution numérique par la méthode amont-aval, comme montré ci-dessous. Au contraire, une simulation de l'EDP dans les coordonnées d'origine nécessiterait une projection (et troncature) sur une base modale. Pour le cas d'une tension constante, les modes propres pour $y(s,t)$ sont de la forme $\psi_i(s) = A_i \sin(\omega_i s) + B_i \cos(\omega_i s)$ [280] et pour le cas de la tension affine, il s'agit des modes propres $\psi_i(\sigma(s)) = A_i J_0(\sigma(s)) + B_i Y_0(\sigma(s))$ avec $J_0(\cdot)$ la fonction de Bessel de premier espèce d'ordre 0 et $Y_0(\cdot)$ la fonction de Neumann-Bessel de deuxième espèce d'ordre 0 [281].</footnote>
<figure><img src="image_170.png" /><figcaption>FIGURE 11.12 – Noyaux inverses $L$. Les bords dessinés en rouge indiquent les conditions aux limites à $(x, 0)$ et $(x, x)$ du système de Goursat (11.36). Les bords dessinés en vert correspondent à des gains de contrôle évalués à $(1, \xi)$ et utilisés dans la loi de commande (11.51) ainsi que dans les Équations (11.41) et (11.48).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_171.png" /><figcaption>FIGURE 11.13 – Gains de contrôle $L(1, \xi)$ utilisés dans la loi de commande (11.51) et dans les Équations (11.41) et (11.48).</figcaption></figure>
**CONDITIONS INITIALES** On considère le cas de conditions initiales nulles, sauf $X_P(0) = 0.5$ m, c'est-à-dire que le système est initialement au repos avec la plateforme qui se trouve à une position non nulle, comme représenté sur la Figure 11.4(a).

### 11.6.2.1 Évolution temporelle de la variable auxiliaire $\varphi(t)$

L'évolution temporelle de la variable $\varphi(t)$ qui suit une dynamique stable en temps fini (11.50) est simulée par une méthode numérique proposée dans [196] qui préserve la stabilité en temps fini après discrétisation temporelle. La méthode suppose que le champ de vecteurs $F$ du système à simuler est $d$-homogène [196, Déf. 3.6]$^{10}$, ce qui correspond à prendre $v_1 = \frac{v_2}{2-v_2}$ dans (11.50). Une transformation de coordonnées non linéaire est donnée, qui permet d'obtenir une représentation alternative en temps continu

$$ \dot{z} = \tilde{F}(z), $$

qui admet un schéma de discrétisation implicite préservant la stabilité en temps fini en temps discret. Après la transformation de coordonnées inverse, le schéma de discrétisation implicite préservant la stabilité en temps fini peut être exprimé dans les coordonnées d'origine.

La dynamique (11.50) est réécrite comme

$$ \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} \varphi \\ \dot{\varphi} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dot{\varphi} \\ -[\varphi]^{\frac{v_1}{2-v_1}} - [\dot{\varphi}]^{v_1} \end{bmatrix} \triangleq F \begin{pmatrix} [\varphi] \\ [\dot{\varphi}] \end{pmatrix}. \quad (11.53) $$

Nous vérifions que les conditions de [196, Theorème 4.1] sont satisfaites. On a que le champ de vecteurs $F(x)$, avec

$$ x \triangleq \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}, $$

est uniformément continu sur la sphère d'unité, $d$-homogène de degré d'homogénéité $v_d = -1$ pour la dilatation pondérée

$$ d(s) = \begin{bmatrix} e^{r_1 s} & 0 \\ 0 & e^{r_2 s} \end{bmatrix} $$

où

$$ \begin{bmatrix} r_1 \\ r_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2-v_1}{1-v_1} \\ \frac{1}{1-v_1} \end{bmatrix}, $$

et $F(-x) = -F(x)$. Soit $G_d = \text{diag}(r_1, r_2)$ le générateur de la dilatation $d(s)$ et soit la matrice $P \triangleq I_2$ satisfaisant $PG_d + G_d^T P > 0$.

Finalement, il est exigé que la condition

$$ z^T \Xi^T(z) P \Xi(z) \left[ \frac{(I_2 - G_d) z z^T P}{z^T P G_d z} + I_2 \right] F \left( \frac{z}{\|z\|} \right) < 0 \quad (11.54) $$

soit satisfaite pour tout $z \in \mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$, où $\Xi = I_2$ et $\|z\| = \sqrt{z^T P z}$, ce qui selon [196, Thm. 3.8]-[194, Thm. 4] garantit l'existence d'une fonction de Lyapunov quadratique $V(z) = z^T P z = \|z\|$ pour le système défini comme

$$ \dot{z} = \left( \frac{(I_2 - G_d) z z^T P}{z^T P G_d z} + I_2 \right) F \left( \frac{z}{\|z\|} \right) \triangleq \tilde{F}(z), \quad (11.55) $$

<footnote n="10">10. (reprise dans la Définition 5.3 dans le Chapitre 5)</footnote>
ce qui est la version transformée du système d'origine $\dot{x} = \tilde{F}(x)$ en utilisant la transformation de coordonnées non linéaire qui sera explicitée ci-dessous dans les Équations (11.58)-(11.59).

La condition (11.54) se simplifie à

$$ \frac{\|z\|^3}{r_1 z_1^2 + r_2 z_2^2} \left[ \frac{z_1 z_2}{\|z\|^2} - \frac{z_2}{\|z\|} \left[ \frac{z_1}{\|z\|} \right]^{1/2} - \frac{z_2}{\|z\|} \left[ \frac{z_2}{\|z\|} \right]^{1/2} \right] < 0. \quad (11.56) $$

On observe que l'inégalité stricte (11.56) n'est pas satisfaite pour $z_2 = 0$, puisque l'expression du côté gauche vaut alors 0. On remarque que pour $z_2 = 0 = \dot{z}_2$, (11.55) se réduit à

$$ \begin{bmatrix} \dot{z}_1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ - \lfloor \operatorname{sign}(z_1) \rfloor^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2_2}} \end{bmatrix}, $$

ce qui implique que $z_1 = \dot{z}_1 = 0$. Alors, la stabilité asymptotique de l'origine de (11.55) est obtenue par le théorème d'invariance de LaSalle<fnref n="11" /> si l'on prouve l'inégalité stricte (11.56) pour le cas $z_2 \neq 0$. De plus, il suffit de considérer la négativité stricte de l'expression entre crochets, ce qui est fait dans le lemme suivant.

**Lemme 11.4.** Soient $v_2 \in ]0,1[$ et $v_1 = \frac{1}{2-\frac{1}{v_2}} \in ]0,1[$. Alors on a pour tout

$$ x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} $$

avec $x_1 \in \mathbb{R}$ et $x_2 \in \mathbb{R}^*$, que

$$ \frac{x_2}{\|x\|} \left[ \frac{x_1}{\|x\|} - \left[ \frac{x_1}{\|x\|} \right]^{1/2} - \left[ \frac{x_2}{\|x\|} \right]^{1/2} \right] < 0. $$

**Démonstration.** Soit

$$ f(z) \triangleq \frac{z_2}{\|z\|} \left[ \frac{z_1}{\|z\|} - \left[ \frac{z_1}{\|z\|} \right]^{1/2} - \left[ \frac{z_2}{\|z\|} \right]^{1/2} \right], \quad z \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^*. $$

On commence par noter que

$$ f(0, z_2) = - \left| \frac{z_2}{\|z\|} \right|^{1+\frac{1}{2}} < 0 $$

pour $z_2 \neq 0$. On peut donc supposer que l'on a également que $z_1 \neq 0$. Soit

$$ y = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix} \triangleq \frac{z}{\|z\|}. $$

Alors $y_1, y_2 \in ]-1,0[ \cup ]0,1[$, $\|y\| = 1$ et $f(z) = g(y) = y_2 (y_1 - \lfloor y_1 \rfloor^{1/2} - \lfloor y_2 \rfloor^{1/2})$. De $\|y\| = 1$, on déduit que

$$ y_2 = \pm \sqrt{1 - y_1^2}. $$

Il faut considérer quatre cas :

(i) $y_1 \in ]0,1[$ et $y_2 = \sqrt{1 - y_1^2}$;

(ii) $y_1 \in ]0,1[$ et $y_2 = -\sqrt{1 - y_1^2}$;

(iii) $y_1 \in ]-1,0[$ et $y_2 = \sqrt{1 - y_1^2}$;

<footnote n="11">11. (cf. Lemme 3.3)</footnote>
$$
(\text{iv}) \quad y_1 \in ]-1,0[ \text{ et } y_2 = -\sqrt{1-y_1^2}.
$$

Dans le cas (i), on a que $g(y) < 0$, pour $y_1 - |y_1|^{1/1} < 0$. Dans le cas (iv), on a aussi
que $g(y) < 0$, pour

$$
y_1 - |y_1|^{1/1} - |y_2|^{1/2} = -(|y_1| - |y_1|^{1/1}) + |y_2|^{1/2} > 0.
$$

On définit $h(s) \triangleq -s + s^{v_1} - (1-s^2)^{\frac{v_2}{2}}$ pour $s \in ]0,1[$. Alors dans le cas (ii), on a que

$$
g(\boldsymbol{y}) = \sqrt{1 - y_1^2} h(y_1),
$$

pendant que dans le cas (iii), on a que

$$
g(\mathbf{y}) = \sqrt{1 - y_1^2} \left( -|y_1| + |y_1|^{1/1} - \left(1 - y_1^2\right)^{1/2} \right) = \sqrt{1 - y_1^2} h(|y_1|).
$$

Donc, il reste à prouver que $h(s) < 0$ pour $s \in ]0, 1[$. Définissant $\sigma \triangleq s^{v_1} \in ]0, 1[$, on note
que

$$
\begin{align*}
h(s) < 0 &\iff -\sigma^{\frac{1}{v_1}} + \sigma < \left(1 - \sigma^{\frac{2}{v_1}}\right)^{\frac{v_2}{2}} \\
&\iff \sigma \left(1 - \sigma^{\frac{1}{v_1} - 1}\right) < \left(1 + \sigma^{\frac{1}{v_1}}\right)^{\frac{v_2}{2}} \left(1 - \sigma^{\frac{1}{v_1}}\right)^{\frac{v_2}{2}} \\
&\iff \sigma^{\frac{2}{v_2}} \left(1 - \sigma^{\frac{1}{v_1} - 1}\right)^{\frac{2}{2}} < \left(1 + \sigma^{\frac{1}{v_1}}\right) \left(1 - \sigma^{\frac{1}{v_1}}\right). \tag{11.57}
\end{align*}
$$

Mais pour $\sigma \in ]0, 1[$, on a que

$$
\left(1 - \sigma^{\frac{1}{v_1} - 1}\right)^{\frac{2}{v_2}} < 1 - \sigma^{\frac{1}{v_1} - 1} < 1 - \sigma^{\frac{1}{v_1}}
$$

(puisque $2/v_2 > 2$ et $1/v_1 > 1$) et

$$
\sigma^{\frac{2}{v_2}} < 1 < 1 + \sigma^{\frac{1}{v_1}},
$$

ce qui implique que l'inégalité (11.57) est satisfaite. $\square$

On peut maintenant appliquer [196, Théorème 4.1] au champ de vecteurs bidimen-
sionnelle (11.53), et définir une transformation de coordonnées non linéaire entre l'état
d'origine

$$
\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \triangleq \begin{bmatrix} \varphi \\ \dot{\varphi} \end{bmatrix}
$$

et un nouvel état

$$
\mathbf{z} = \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \end{bmatrix} :
$$

$$
\mathbf{z} = \mathbf{\Phi}(\mathbf{x}) = \|\mathbf{x}\|_{d} \mathbf{d} (-\ln\|\mathbf{x}\|_{d}) \mathbf{x}, \quad (11.58)
$$

avec transformation inverse

$$
\mathbf{x} = \mathbf{\Phi}^{-1}(\mathbf{z}) = \mathbf{d} (\ln \|\mathbf{z}\|) \frac{\mathbf{z}}{\|\mathbf{z}\|}. \quad (11.59)
$$
Ici, la « norme » canonique homogène [196, Eq. 3.4] est définie comme

$$
\|x\|_d = e^{s_x}
$$

où $s_x \in \mathbb{R}$ satisfait

$$
\| \mathbf{d}(-s_x)\mathbf{x} \| = 1. \tag{11.60}
$$

Plus explicitement, (11.58) correspond à

$$
\begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \end{bmatrix} = \begin{cases} \begin{bmatrix} e^{\frac{-s_x}{1-\nu_2}} x_1 \\ e^{\frac{-\nu_2 s_x}{1-\nu_2}} x_2 \end{bmatrix} & \text{si } (x_1, x_2) \neq (0,0) \\ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} & \text{sinon,} \end{cases}
$$

où $s_x$ est la solution de la condition implicite (11.60)

$$
\sqrt{e^{-\frac{2(2-\nu_2)s_x}{1-\nu_2}} x_1^2 + e^{-\frac{2s_x}{1-\nu_2}} x_2^2} = 1
$$

qui est résolue numériquement [168] à chaque instant temporel de la simulation.

Finalement, le schéma numérique implicite s'écrit comme

$$
\frac{z(t + \Delta t) - z(t)}{\Delta t} = \tilde{F}(z(t + \Delta t)),
$$

dans les coordonnées transformées z, avec

$$
\tilde{F}(z) = \left( \frac{(I_2 - G_d) z z^\top}{z^\top G_d z} + I_2 \right) F \left( \frac{z}{\sqrt{z^\top z}} \right).
$$

En utilisant cette méthode, l'évolution temporelle de la variable auxiliaire $\varphi(t)$ avec des paramètres de contrôle $v_2 = \frac{1}{2}$, $v_1 = \frac{1}{3}$ est simulée pour un pas temporel $\Delta t = 0.01$ (Fig. 11.14). En regardant l'erreur logarithmique, on observe qu'elle est stabilisée en un temps fini de $T_0 \approx 4.23$ s.

11.6.2.2 Simulation temporelle de $\alpha(x, t)$ et $\beta(x, t)$

Les deux EDPs du premier ordre pour $\beta(x,t)$, (11.32), et pour $\alpha(x,t)$, (11.31) sont résolues numériquement par un schéma du premier ordre amont-aval [225]. Des discrétisations spatiale ($\Delta x = 0.05$) et temporelle ($\Delta t = 0.01$) équidistantes sont choisies, respectant la condition CFL de stabilité $\max(\lambda(x)) \frac{\Delta t}{\Delta x} \le 1$.

À chaque instant $t$ de la simulation, les étapes suivantes sont exécutées. D'abord,
la condition à la frontière $\beta(1,t)$ est évaluée de l'Éq. (11.47) connaissant la valeur de
$\dot{\varphi}(t)$, et avec $\mu = 2.379$ qui a été calculé numériquement de (11.48) par la méthode des
trapèzes sur le maillage spatial. Ensuite, le schéma numérique du premier ordre aval

$$
\beta(x,t) = \beta(x, t - \Delta t) + \lambda(x) \frac{\Delta t}{\Delta x} (\beta(x + \Delta x, t - \Delta t) - \beta(x, t - \Delta t))
$$

translate l'information dans la coordonnée $\beta$ pour $x$ allant de 1 à 0 sur le maillage
spatial. Ensuite, la condition à la frontière $\alpha(0,t) = \beta(0,t)$ est évaluée. Finalement, le
schéma numérique du premier ordre amont

$$
\alpha(x,t) = \alpha(x, t - \Delta t) - \lambda(x) \frac{\Delta t}{\Delta x} (\alpha(x, t - \Delta t) - \alpha(x - \Delta x, t - \Delta t))
$$

translate l'information dans la coordonnée $\alpha$ pour $x$ allant de 0 à 1 sur le maillage
spatial.

L'évolution temporelle de $\beta(x, t)$ et $\alpha(x, t)$ obtenue est montrée Figures 11.15-11.16.
On observe que ces variables sont stabilisées en un temps fini dont la valeur peut être
vérifiée par l'expression (c.f. (11.39))

$$
T_1 = T_0 + 2 \int_0^1 \frac{1}{\lambda(x)} dx = T_0 + 2 \sqrt{\frac{m}{\rho g}} (e^{\frac{gl}{2}} - 1) \approx 4.76 \text{ s.}
$$
<figure><img src="image_172.png" /><figcaption>FIGURE 11.14 – Simulation de l'évolution temporelle de la variable auxiliaire $\varphi(t)$ et $\dot{\varphi}(t)$.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_173.png" /><figcaption>FIGURE 11.15 – Simulation de l'évolution temporelle de $\beta(x,t)$ et $\alpha(x,t)$, affichée pour $x = 0$ et $x = 1$.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_174.png" /><figcaption>FIGURE 11.16 – Simulation de l'évolution temporelle de β(x,t) et α(x,t), affichée pour tout x</figcaption></figure>
11.6.2.3 Simulation de l'évolution temporelle de la position de la plateforme Xp(t)

À chaque temps discret *t*, φ(*t*), α(*x*, *t*) et β(*x*, *t*) sont connues sur le maillage de la variable *x*. La valeur numérique correspondante de la position de la plateforme Xp(*t*) est calculée de la définition pour φ(*t*), (11.41), où l'intégrale est calculée numériquement par la méthode des trapèzes sur le maillage spatial. L'évolution temporelle de Xp(*t*) ainsi obtenue est montrée Figure 11.17.

<figure><img src="image_175.png" /><figcaption>FIGURE 11.17 – Simulation de l'évolution temporelle de la position de la plateforme $X_p(t)$ et la position du câble $y(s,t)$ à $s = 0$ et $s = 1$.</figcaption></figure>
11.6.2.4 Simulation de l'évolution temporelle de la position du câble y(s,t)

Étant donné les valeurs des variables $(\alpha(x,t), \beta(x,t))$, on peut effectuer les transformations inverses afin d'exprimer le mouvement du câble dans les coordonnées d'origine $y(s,t)$ :

$$ 
\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} (x,t) \xrightarrow{\textcolor{blue}{(11.34)}} \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} (x,t) \xrightarrow{\textcolor{blue}{(11.22)}} \frac{1}{\sqrt{\lambda(x)}} \begin{bmatrix} D(x,t) \\ S(x,t) \end{bmatrix} \\
\xrightarrow{\substack{\text{combinaison} \\ \text{linéaire}}} z_x(x,t) \xrightarrow{\int \cdot dx} z(x,t) \xrightarrow{\textcolor{blue}{(11.15)}} y(s,t).
$$

Pour l'intégration numérique de $z_x(x,t)$ à un temps donné $t$, on prend la valeur $z(1,t) = X_p(t)$ afin de garantir la condition de compatibilité (11.11). L'intégration spatiale est ensuite évaluée numériquement par la méthode des trapèzes pour $x$ allant de 1 à 0 sur le maillage spatial.

L'évolution temporelle de la position du câble $y(s,t) = z(x,t)$ obtenue est montrée Figures 11.17-11.18.

<figure><img src="image_176.png" /><figcaption>FIGURE 11.18 – Simulation de l'évolution temporelle de la position du câble $z(x,t) = y(s,t)$.</figcaption></figure>
En conclusion, le système hybride consistant de la plateforme ($X_p(t)$) et du câble ($y(s, t)$) a été stabilisé à l'origine dans un temps fini, dans ce cas d'une valeur de $T_1 \approx 4.76$ s. Un aperçu de la simulation du mouvement du système hybride dans l'espace est affiché Figure 11.19.

<figure><img src="image_177.png" /><figcaption>FIGURE 11.19 – Aperçu du mouvement du système dans l'espace. Le maillage spatial dans la coordonnée $s(x)$ curviligne le long du câble est représenté par des points. La position du câble est affichée pour un nombre de temps équidistant et sa couleur varie du rouge au pourpre puis au bleu pendant le mouvement.</figcaption></figure>

## 11.7 CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES

### 11.7.1 Conclusions

Une loi de commande stabilisant un modèle planaire hybride décrivant un câble à tension affine attaché à une plateforme a été développée. Cette loi de commande se base sur un résultat existant sur le contrôle en temps fini de systèmes $2 \times 2$ d'EDPs hyperboliques quasi linéaires, qui nécessite le calcul de noyaux définis par un système d'EDPs de type Goursat. Des méthodes numériques de résolution récentes sont utilisées pour le calcul des noyaux et pour la simulation de la stabilisation du modèle 2D de câble pesant en un temps fini.
11.7.2 Perspectives

Le calcul de la loi de commande $U(t)$ (11.51) proposée nécessite la connaissance
de la position $y(s, t)$ sur toute la longueur du câble. Pour une implémentation plus
réaliste, on aurait besoin d'un observateur d'état [9] qui se base sur une mesure de la
position $y(1, t)$ et de l'angle $\theta(t)$ en haut du câble.

De plus, on pourrait étendre les résultats au cas d'une longueur de câble variable (cf. [273]) ou à un modèle 3D représentant une grue de construction ou un pont roulant, incorporant une rotation ou translation du rail sur lequel se translate la plateforme (comme indiqué dans la Sous-section 11.2.1).
Sixième partie

CONCLUSION
<figure><img src="image_178.png" /></figure>
<table><caption>TABLE DES MATIÈRES</caption><tr><td>12.1 Conclusion</td><td>225</td></tr><tr><td>12.1.1 Vers un contrôle passif en temps fini d'un système EDO dans le formalisme des Systèmes Hamiltoniens à Ports</td><td>225</td></tr><tr><td>12.1.2 Contrôle en temps fini d'un système hybride EDP-EDO : le cas du tom</td><td>226</td></tr><tr><td>12.1.3 Contrôle en temps fini d'un système hybride EDP-EDO : le cas du câble pesant</td><td>226</td></tr><tr><td>12.2 Perspectives</td><td>226</td></tr><tr><td>12.2.1 Vers un contrôle passif en temps fini d'un système EDO dans le formalisme des Systèmes Hamiltoniens à Ports</td><td>226</td></tr><tr><td>12.2.2 Contrôle en temps fini d'un système hybride EDP-EDO : le cas du tom</td><td>226</td></tr><tr><td>12.2.3 Contrôle en temps fini d'un système hybride EDP-EDO : le cas du câble pesant</td><td>227</td></tr></table>

12.1 CONCLUSION

12.1.1 Vers un contrôle passif en temps fini d'un système EDO dans le formalisme des Systèmes Hamiltoniens à Ports

Le cas du contrôle en temps fini d'un double intégrateur a été étudié dans le formalisme des Systèmes Hamiltoniens à Ports. À partir d'une réinterprétation du système bouclé comme une commande dite IDA-PBC (qui change l'énergie et la dynamique du système), il est possible d'obtenir une reformulation passive de la loi de commande en temps fini. Cette passivité peut apporter de la robustesse, face à, par exemple, une mauvaise identification des paramètres physiques du système. La démarche suivie repose sur le fait que la loi de commande en temps fini utilisée a une fonction de Lyapunov qui peut servir de fonction hamiltonienne dans le formalisme des SHP.

La loi de commande passive en temps fini a été appliquée à la commande d'un haut-parleur comme absorbeur électroacoustique, et à la commande d'une corde non linéaire. Toutefois, dans le cas d'un suivi de trajectoire en temps fini, la propriété de passivité n'a pas encore été obtenue.

Finalement, une méthode numérique implémentant une linéarisation localement déraidissante à l'origine, où les lois de commande sont intrinsèquement non Lipschitz continues, a été proposée. Si cette méthode ne préserve pas la propriété de la stabi- lisation en temps fini, elle permet de résoudre des problèmes comme le *chattering* pouvant se manifester lors d'une implémentation numérique, ce qui a été montré expérimentalement. Il serait aussi possible d'incorporer cette méthode numérique dans la méthode de simulation par le gradient discret, mais ceci nécessiterait, comme pour le cas de la généralisation de la loi de commande passive en temps fini, d'être capable de formuler le système en boucle fermée comme un SHP.
12.1.2 Contrôle en temps fini d'un système hybride EDP-EDO : le cas du tom

Un contrôleur-observateur a été développé, capable de piloter un haut-parleur dans un tom dans le but de modifier des fréquences dans la vibration de la membrane supérieure de l'instrument. Le contrôleur se base sur une projection modale d'un modèle physique négligeant notamment la propagation du son dans la cavité, entre le haut-parleur et la membrane supérieure du tom.

Une implémentation sur un prototype expérimentale a montré que le contrôleur est en effet capable de modifier des fréquences de la vibration de la membrane supérieure, mais qu'il existe un écart significatif entre le modèle et les mesures. L'utilisation de la méthode de simulation localement déraidissante a permise d'enlever dans la pratique un problème de *chattering* à cause de la raideur des lois de commande utilisées.

La préservation de la stabilité en associant un contrôleur en temps fini et un observateur en temps fini avec un modèle modal tronqué n'a pas été étudiée, ni la passivité de l'observateur.

12.1.3 Contrôle en temps fini d'un système hybride EDP-EDO : le cas du câble pesant

Basé sur un théorème portant sur la commande à la frontière d'une EDP hyperbolique en temps fini, une loi de commande pour la force appliquée à une plateforme à laquelle est attachée un câble a été développée. L'expression de la loi de commande nécessite une intégration numérique d'une expression contenant des noyaux d'une transformation de type *backstepping* préalablement calculés numériquement. Aussi, il est supposé que l'état entier est connu, et seulement le mouvement 2D du système a été considéré.

12.2 PERSPECTIVES

12.2.1 Vers un contrôle passif en temps fini d'un système EDO dans le formalisme des Systèmes Hamiltoniens à Ports

Une généralisation de cette contribution consisterait en (i) l'obtention de la propriété de passivité pour un système EDO du deuxième ordre contrôlé par un *suivi de trajectoire* en temps fini, et (ii) une généralisation de la méthode de commande passive en temps fini (vers un point d'équilibre stable ou une trajectoire) au cas d'un système physique *plat d'ordre n*. Si l'on est capable d'obtenir la stabilisation passive en temps fini pour ces systèmes EDO, on peut aussi généraliser la méthode de simulation localement déraidissante incorporée dans la méthode du gradient discret, dont la forme dépendrait de la forme de la loi de commande passive obtenue.

Le problème pratique pour obtenir ces généralisations par l'approche suivie dans le formalisme des SHP est que l'on doit être capable de reformuler un système donné en boucle fermée commandé par une loi de commande en temps fini comme un SHP. Des essais de réécriture de systèmes commandés par les lois en temps fini pour des ordres supérieurs à 2 (p.ex. de Bhat & Bernstein, de Hong, ou de d'Andréa-Novel-Coron-Perruquetti) en essayant d'utiliser des fonctions de Lyapunov données comme fonction hamiltonienne ou en essayant de construire une fonction hamiltonienne soi-même n'ont pas abouti à une structure SHP.

S'il s'avère qu'il n'est pas possible de retrouver une structure SHP, il faudrait appr-
cher la généralisation d'une autre manière.

12.2.2 Contrôle en temps fini d'un système hybride EDP-EDO : le cas du tom

Si l'on veut améliorer la performance du contrôleur pour la loi de commande proposée (observateur-régulateur en temps fini, capteur de pression dans la cavité et haut-parleur comme actionneur), il semble être primordial de prendre en compte la propagation dans le fût dans le modèle utilisé dans le contrôleur.
De plus, il faudrait regarder plus en détail l'accordage du tom afin d'obtenir une distribution de tension plus homogène dans la membrane supérieure.

Finalement, si l'on veut aussi être capable d'influencer des modes de vibration de la membrane supérieure non axisymétriques, il faudrait considérer d'ajouter d'autres actionneurs comme une capsule piézoélectrique sur la membrane, éloignée de son centre.

Une étude de la propriété de stabilité en temps fini du système avec l'architecture de commande proposée basée sur une approche modale peut être faite. À cause des expressions non linéaires dans l'observateur-régulateur, on ne peut utiliser la propriété de superposition dans l'analyse, qui serait valide dans le cas d'un système bouclé linéaire. De plus, du fait de l'approche modale, l'influence de spillover doit être prise en compte dans l'analyse. Concernant l'étude de la passivité, si l'on utilise l'approche dans le formalisme des SHP, il faut commencer par une reformulation passive de l'observateur, ce qui n'a pas été faite ici.

### 12.2.3 Contrôle en temps fini d'un système hybride EDP-EDO : le cas du câble pesant

Pour approcher cette contribution plus d'une implémentation expérimentale, il faudrait ajouter un observateur d'état en temps fini au modèle, basé sur p.ex. la mesure de l'angle en haut du câble.

De plus, le résultat pourrait être généralisé au cas d'un mouvement 3D (une rotation supplémentaire dans le cas d'une grue de construction, ou une translation supplémentaire dans le cas d'un pont roulant).
<figure><img src="image_179.png" /></figure>
# APPENDIX
<figure><img src="image_180.png" /></figure>
Fonction de Heaviside (échelon, Fig. A.1) :

$$
H(t) = \begin{cases} 0 & \text{if } t < 0 \\ 1 & \text{if } t \ge 0. \end{cases}
$$

<figure><img src="image_181.png" /><figcaption>FIGURE A.1 – Fonction de Heaviside</figcaption></figure>

Une fonction continue $\alpha : [0, a[ \to [0, +\infty[$ appartient à la classe de fonctions de comparaison $\mathcal{K}$ [128] si elle est strictement croissante et $\alpha(0) = 0$. Si $a = +\infty$ et $\alpha(r) \to +\infty$ pour $r \to +\infty$, elle appartient à la classe $\mathcal{K}_{\infty}$.

DISTRIBUTIONS

La distribution de Dirac $\delta(t)$ (ou, par abus de langage, la fonction $\delta$ de Dirac) peut
être vue comme une fonction nulle dans tout $\mathbb{R}$ sauf une valeur infinie en 0. Elle
satisfait la condition

$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) \, dt = 1.
$$

CLASSES DE RÉGULARITÉ

Une fonction réelle $f(x)$ appartient à la classe des *fonctions de carré sommable* $L^2(D)$
sur un domaine $D \subseteq \mathbb{R}$ si l'intégrale

$$
\|f\|_2 \triangleq \sqrt{\int_D |f(x)|^2 dx}
$$

existe et vaut un nombre fini. Cette condition permet un nombre fini de discontinuités
dans la fonction f(x).

Une fonction réelle $f(x)$ appartient à la classe des *fonctions* $C(D)$ sur un domaine $D \subseteq \mathbb{R}$ si elle y est continue.

Une fonction réelle $f(x)$ appartient à la classe des *fonctions* $C^1(D)$ sur un domaine $D \subseteq \mathbb{R}$ si elle y est continue, une fois dérivable, et sa dérivée $df(x)/dx$ est continue.

Une fonction réelle $f(x)$ : $D(\subseteq \mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ est Lipschitz *continue* s'il existe une constante réelle et positive $L$, telle que, pour tout $x_1, x_2 \in D$,

$$
|f(x_2) - f(x_1)| \leq L|x_2 - x_1|.
$$

Cette notion forte signifie qu'il existe un maximum (fini) pour la pente que peut avoir
la fonction *f* dans son domaine *D*.

A.3 ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

ORDRE D'UNE EDP

L'ordre d'une EDP est l'ordre de la dérivée partielle la plus élevée présente dans
l'EDP.
## QUELQUES EDPS

Il existe beaucoup de types d'EDPs, dont quelques exemples standard sont mentionnés ici [135], où $t$ est la variable de temps et $x$ la variable d'espace. On note que, contrairement aux EDOs, il n'existe pas de méthodes d'analyse ou de commande générales; il faut les étudier au cas par cas.

### EDPs du premier ordre

Un EDP contenant une $\partial_t$ et une $\partial_x$ représente un modèle de transport ou une ligne à retard.

### EDPs du second ordre

- Une EDP contenant une $\partial_t$ et une $\partial_{xx}$ est une EDP parabolique, modélisant p.ex. un système de réaction-advection-diffusion.

- Une EDP contenant une $\partial_{tt}$ et une $\partial_{xx}$ est une EDP hyperbolique, modélisant p.ex. la propagation des ondes.

- Une EDP contenant une $\partial_{tt}$ et une $\partial_{xxxx}$ peut représenter le modèle d'une poutre.

- Une EDP contenant une $\partial_{xx}$ et ne contenant pas de dérivée temporelle est une EDP elliptique, pouvant représenter p.ex. la solution à l'état d'équilibre de l'équation de chaleur.
<figure><img src="image_182.png" /></figure>
Des règles de calcul pour les crochets $[x]^{\alpha} \triangleq \text{sign}(x)|x|^{\alpha}$ sont obtenues directement de la définition. Nous en mentionnons quelques-unes ici.

$$[x]^1 = x$$

$$[x]^{\alpha} = -[x]^{\alpha}$$

$$\frac{1}{[x]^{\alpha}} = [x]^{-\alpha}$$

$$[x]^{2n-1} = x^{2n-1}, \quad n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$$

$$[x]^{2n} = \text{sign}(x) \cdot x^{2n}$$

$$[kx]^{\alpha} = [k]^{\alpha} [x]^{\alpha}$$

$$[\lfloor x \rfloor^{\alpha}]^{\beta} = [x]^{\alpha\beta}$$

$$[k \lfloor x \rfloor^{\alpha}]^{\beta} = \text{sign}(kx) [k]^{\beta} [x]^{\alpha\beta} = [k]^{\beta} [x]^{\alpha\beta}$$

$$[k \lfloor x \rfloor^{\alpha}]^{\beta} = [k]^{\beta} [x]^{\alpha\beta}$$

$$[k \lfloor x \rfloor^{\alpha}]^{\beta} = [k]^{\beta} [x]^{\alpha\beta}$$

$$[k \lfloor x \rfloor^{\alpha}]^{\beta} = [k]^{\beta} [x]^{\alpha\beta}$$

$$[x]^{\alpha} [x]^{\beta} = [x]^{\alpha+\beta}$$

$$[x]^{\alpha} [\lfloor x \rfloor]^{\beta} = [\lfloor x \rfloor]^{\alpha+\beta}$$

$$[\lfloor x \rfloor^{\alpha} [\lfloor x \rfloor]^{\beta} = [x]^{\alpha+\beta}$$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} [x]^{\alpha} = \alpha [x]^{\alpha-1}$$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} [x]^{\alpha} = \alpha |x|^{\alpha-1}$$

$$\int |x|^{\alpha} \mathrm{d}x = \frac{1}{1-\alpha} [x]^{1+\alpha} + C$$

$$\int [x]^{\alpha} \mathrm{d}x = \frac{1}{1-\alpha} |x|^{1+\alpha} + C$$
<figure><img src="image_183.png" /></figure>
Ce chapitre contient les détails des calculs correspondant au Chapitre 9.

TABLE DES MATIÈRES

<table><tbody><tr><td>c.1</td><td>Acoustique des membranophones</td><td>237</td></tr><tr><td>c.1.1</td><td>Fonctions de Bessel et propriétés</td><td>237</td></tr><tr><td>c.2</td><td>Modèle</td><td>239</td></tr><tr><td>c.2.1</td><td>Modèle SHP : modèle hybride</td><td>239</td></tr><tr><td>c.2.2</td><td>Modèle SHP : adimensionnement du modèle hybride</td><td>241</td></tr><tr><td>c.2.3</td><td>Modèle SHP de dimension finie : projection modale et réduction d'ordre</td><td>245</td></tr><tr><td>c.2.4</td><td>Représentation d'état</td><td>266</td></tr><tr><td>c.3</td><td>Contrôle modal</td><td>270</td></tr><tr><td>c.3.1</td><td>Régulateur en temps fini</td><td>270</td></tr><tr><td>c.3.2</td><td>Observateur en temps fini</td><td>273</td></tr></tbody></table>

C.1 ACOUSTIQUE DES MEMBRANOPHONES

C.1.1 Fonctions de Bessel et propriétés

C.1.1.1 Définition

Comme mentionné dans le Chapitre 9, les fonctions de Bessel de première espèce d'ordre $m \in \mathbb{N}$,

$$J_m(z),$$

sont une solution de l'EDO de Bessel [2]

$$z^2 \frac{d^2 y}{dz^2} + z \frac{dy}{dz} + (z^2 - m^2)y = 0.$$

On peut les exprimer comme la série [2]

$$J_m(z) = \left(\frac{1}{2}z\right)^m \sum_{k=0}^{m+\infty} \frac{\left(-\frac{1}{4}z^2\right)^k}{k!\Gamma(m+k+1)},$$

ou comme l'intégrale [2]

$$J_m(z) = \frac{\left(\frac{1}{2}z\right)^m}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(m+\frac{1}{2}\right)} \int_0^\pi \cos(z \cos \theta) \sin^{2m} \theta \, d\theta.$$

Quelques fonctions de Bessel de première espèce sont montrées Figure C.1. Elles ont une infinité de zéros [2], dont les premières valeurs numériques sont répertoriées dans le Tableau C.1.

C.1.1.2 Propriétés

Les propriétés suivantes sont répertoriées dans [2, 171, 215].
<figure><img src="image_184.png" /><figcaption>FIGURE C.1 – Graph des premières fonctions de Bessel de première espèce</figcaption></figure>

<table><caption>Tableau C.1 – Premiers zéros des premières fonctions de Bessel de première espèce [254]</caption><thead><tr><th>fonction</th><th colspan="5">zéros</th></tr></thead><tbody><tr><td>J<sub>0</sub>(z)</td><td>2.405</td><td>5.520</td><td>8.654</td><td>11.792</td><td>14.931</td></tr><tr><td>J<sub>1</sub>(z)</td><td>3.832</td><td>7.016</td><td>10.174</td><td>13.324</td><td>16.471</td></tr><tr><td>J<sub>2</sub>(z)</td><td>5.136</td><td>8.417</td><td>11.620</td><td>14.796</td><td>17.960</td></tr><tr><td>J<sub>3</sub>(z)</td><td>6.380</td><td>9.761</td><td>13.015</td><td>16.224</td><td>19.409</td></tr><tr><td>J<sub>4</sub>(z)</td><td>7.588</td><td>11.065</td><td>14.373</td><td>17.616</td><td>20.827</td></tr></tbody></table>

VALEUR EN 0 En z = 0, on a que $J_0(0) = 1$ et $J_k(0) = 0$ pour tout $k$ entier $> 0$ (cf. Fig. C.1).

RELATION ENTRE TROIS FONCTIONS DE BESSEL CONSÉCUTIVES

$$J_{m-1}(z) + J_{m+1}(z) = \frac{2m}{z} J_m(z) \qquad (C.1)$$

avec en particulier :

$$J_0(z) + J_2(z) = \frac{2}{z} J_1(z) \qquad (C.2)$$

(On remarque que dans le cas d'une membrane couplée à une cavité, développé dans le Chapitre 9, on a aussi la relation (9.12) entre $J_0(z)$ et $J_2(z)$.)

DÉRIVÉES

$$\frac{d}{dz} J_0(z) = -J_1(z) \qquad (C.3)$$

$$\frac{d}{dz} J_m(z) = \frac{1}{2} [J_{m-1}(z) - J_{m+1}(z)]$$

donc

$$\frac{d}{dz} J_1(z) = \frac{1}{2} [J_0(z) - J_2(z)] \qquad (C.4)$$

INTÉGRALES (La constante d'intégration est représentée par C.)

$$\int z J_0(z) dz = z J_1(z) + C \qquad (C.5)$$
$$ \int z J_1(z) \, dz = \frac{\pi z}{2} [J_1(z) H_0(z) - J_0(x) H_1(z)] + C \quad (C.6) $$

où $H_v(z)$ est la fonction de Struve [215, p. 7] définie comme [2, Chapitre 12]

$$ H_v(z) = \left(\frac{1}{2}z\right)^{v+1} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k \left(\frac{1}{2}z\right)^{2k}}{\Gamma\left(k+\frac{3}{2}\right) \Gamma\left(k+v+\frac{3}{2}\right)} $$

Propriété [2, p. 497] :

$$ H_0(z) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{J_{2k+1}(z)}{2k+1} \quad (C.7) $$

$$ \int z J_0^2(z) \, dz = \frac{z^2}{2} [J_0^2(z) + J_1^2(z)] + C \quad (C.8) $$

$$ \int z J_m^2(z) \, dz = \frac{z^2}{2} [J_m^2(z) - J_{m-1}(z) J_{m+1}(z)] + C $$

donc

$$ \int z J_1^2(z) \, dz = \frac{z^2}{2} [J_1^2(z) - J_0(z) J_2(z)] + C \quad (C.9) $$

ou encore, après substitution de $J_2(z)$ selon l'Éq. (C.2),

$$ \int z J_1^2(z) \, dz = \frac{z}{2} [z J_0^2(z) + z J_1^2(z) - 2 J_0(z) J_1(z)] + C \quad (C.10) $$

$$ \int z J_0(\alpha z) J_0(\beta z) \, dz = \frac{z}{\alpha^2 - \beta^2} [\alpha J_1(\alpha z) J_0(\beta z) - \beta J_0(\alpha z) J_1(\beta z)] + C \quad (C.11) $$

$$ \int z J_1(\alpha z) J_1(\beta z) \, dz = \frac{z}{\alpha^2 - \beta^2} [\beta J_1(\alpha z) J_0(\beta z) - \alpha J_0(\alpha z) J_1(\beta z)] + C \quad (C.12) $$

$$ \int z^2 J_1(z) \, dz = z [2J_1(z) - z J_0(z)] + C \quad (C.13) $$

## C.2 MODÈLE

### C.2.1 Modèle SHP : modèle hybride

**Lemme C.1.** L'opérateur $\mathcal{J}$ du modèle SHP (9.20) est formellement anti-auto-adjoint.

*Démonstration.* D'après la définition [251], il faut prouver que

$$ \langle \mathbf{a}, \mathcal{J} \mathbf{b} \rangle = - \langle \mathcal{J} \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle, \quad (C.14) $$

avec le produit scalaire

$$ \langle \mathbf{a}, \mathcal{J} \mathbf{b} \rangle \triangleq \int_S \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} \, dS + \begin{bmatrix} a_3 & a_4 & a_5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_3 \\ b_4 \\ b_5 \end{bmatrix} $$
et des vecteurs d'état

$$
\mathbf{a}(r,t) = \begin{bmatrix} a_1(r,t) \\ a_2(r,t) \\ a_3(t) \\ a_4(t) \\ a_5(t) \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b}(r,t) = \begin{bmatrix} b_1(r,t) \\ b_2(r,t) \\ b_3(t) \\ b_4(t) \\ b_5(t) \end{bmatrix},
$$

où

$$
a_1(r=a,t) = 0, \quad b_2(r=a,t) = 0, \quad b_1(r=a,t) = 0, \quad b_2(r=a,t) = 0
$$

et

$$
\mathcal{J} = \begin{bmatrix} 0 & \text{div} & -1 & 0 & 0 \\ \text{grad} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \int_S \cdot \, dS & 0 & 0 & -S_1 & 0 \\ 0 & 0 & S_1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}.
$$

On calcule que

$$
\mathcal{J} \mathbf{b} = \begin{bmatrix} \operatorname{div}(b_2) - b_3 \\ \operatorname{grad}(b_1) \\ \int_S b_1 \, dS - S_1 b_4 \\ S_1 b_3 - b_5 \\ b_4 \end{bmatrix},
$$

avec grad = $\frac{\partial}{\partial r}$ et div = $\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r}$. On a alors que

$$
\begin{align*}
\langle \mathbf{a}, \mathcal{J} \mathbf{b} \rangle \\
&= \int_S \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \left(\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r}\right) b_2 - b_3 \\ \frac{\partial}{\partial r} b_1 \end{bmatrix} \, dS + \begin{bmatrix} a_3 & a_4 & a_5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \int_S b_1 \, dS - S_1 b_4 \\ S_1 b_3 - b_5 \\ b_4 \end{bmatrix} \\
&= 2\pi \int_0^1 a_1 \left[ \left(\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r}\right) b_2 - b_3 \right] r dr + 2\pi \int_0^1 a_2 \frac{\partial}{\partial r} b_1 r dr \\
&\quad + a_3 \left[ 2\pi \int_0^1 b_1 r dr - S_1 b_4 \right] + a_4 [S_1 b_3 - b_5] + a_5 b_4,
\end{align*}
$$

et

$$
- \langle \mathcal{J} \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle \\
= -2\pi \int_{0}^{1} b_{1} \left[ \left( \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r} \right) a_{2} - a_{3} \right] r dr - 2\pi \int_{0}^{1} b_{2} \frac{\partial}{\partial r} a_{1} r dr \\
- b_{3} \left[ 2\pi \int_{0}^{1} a_{1} r dr - S_{1} a_{4} \right] - b_{4} [S_{1} a_{3} - a_{5}] - b_{5} a_{4}.
$$

Par une intégration par parties (I.P.), on calcule que

$$
\begin{align*}
\int_0^1 a_2 \frac{\partial}{\partial r} b_1 \, dr &= \int_{r=0}^{r=1} a_2 r \, d(b_1) \stackrel{\text{I.P.}}{=} \left. a_2 b_1 r \right|_0^1 - \int_{r=0}^{r=1} b_1 \, d(a_2 r) \\
&= - \int_0^1 b_1 \left[ r \frac{\partial a_2}{\partial r} + a_2 \right] \, dr = - \int_0^1 \left[ b_1 \frac{\partial a_2}{\partial r} + \frac{a_2 b_1}{r} \right] \, r dr
\end{align*}
$$
et

$$
\int_{0}^{1} b_{2} \frac{\partial}{\partial r} a_{1} r dr = - \int_{0}^{1} \left[ a_{1} \frac{\partial b_{2}}{\partial r} + \frac{a_{1} b_{2}}{r} \right] r dr.
$$

On peut sortir $a_3$ et $b_3$ des intégrales, puisqu'ils ne dépendent pas de $r$. En identifiant les termes respectifs, on obtient (C.14). $\square$

C.2.2 Modèle SHP : adimensionnement du modèle hybride

Nous divisons toutes les variables par des références et dénotons les variables adimensionnées par un tilde :

$$
\tilde{v} \triangleq \frac{v}{v_{\text{ref}}},
$$

où les variables de références $v_{\text{ref}}$ seront choisis ci-dessus dans un but de remplacer un
maximum de groupes adimensionnées par la valeur 1, facilitant l'écriture du modèle
dans les calculs subséquents.

C.2.2.1 Choix préliminaire de quelques références

Á ce point, on définit déjà les références

$$
\tilde{r} = \frac{r}{a} \in \tilde{\Omega} = [0, 1]
$$

et

$$
\tilde{t} = \frac{c}{a} t.
$$

REMARQUE On a que $S = \pi a^2$ et $\tilde{S} = \pi$, ou encore $S = a^2 \tilde{S}$. De ce fait, l'intégration sur le domaine de la membrane s'écrira $\int_S \cdot dS = a^2 \int_S \cdot d\tilde{S}$, ou encore $\int_0^a \cdot (2\pi r)dr = a^2 \int_0^1 \cdot (2\pi \tilde{r})d\tilde{r}$.

C.2.2.2 Adimensionnement formel

Ici, nous adimensionnons tout par des références arbitraires et calculons ce que
devient le SHP. Après, un choix judicieux pour les références pourra être fait.

• ADIMENSIONNEMENT DE L’ÉTAT Soit

$$
\tilde{x}_i = \frac{x_i}{x_i^{\text{ref}}}
$$

avec $x_i$ un composant de l'état $\mathbf{x}$ et $x_i^{\text{ref}}$ une référence à déterminer ultérieurement. Le vecteur de variables de références est

$$
\mathbf{x}^{\text{ref}} = \left[ \pi_m^{\text{ref}} \quad \varepsilon_m^{\text{ref}} \quad V_c^{\text{ref}} \quad \pi_l^{\text{ref}} \quad l_l^{\text{ref}} \right]^T.
$$

DÉRIVÉE DE L'ÉTAT

$$
\frac{d\tilde{x}}{dt} = \frac{a}{c} \left[ \frac{1}{\pi_m^{\text{ref}}} \quad \frac{1}{\varepsilon_m^{\text{ref}}} \quad \frac{1}{V_c^{\text{ref}}} \quad \frac{1}{\pi_l^{\text{ref}}} \quad \frac{1}{l_l^{\text{ref}}} \right] \frac{dx}{dt}
$$

• ADIMENSIONNEMENT DU HAMILTONIEN On définit un Hamiltonien $\tilde{H}(\tilde{x})$ qui correspond à $H(x)$ adimensionné en le divisant par une référence (à déterminer) $E_0^{\text{ref}}$ [J] et en substituant les variables d'état adimensionnées $\tilde{x}$ :

$$
H(x) [J] \xrightarrow{\text{état adimensionné}} H(\tilde{x}) [J] \xrightarrow{\text{diviser par } E_0^{\text{ref}}} \tilde{H}(\tilde{x}) [-]
$$
On obtient

$$
H(x) = \frac{1}{2} \int_S \frac{\pi_m^2}{\sigma_m} dS + \frac{1}{2} \int_S T \epsilon_m^2 dS + \frac{1}{2} \frac{\gamma p_0}{V_0} V_c^2 + \frac{1}{2} \frac{\pi_1^2}{m_1} + \frac{1}{2} k_1 l_1^2
$$

$$
H(\tilde{x}) = \frac{1}{2} a^2 \frac{(\pi_m^{\text{ref}})^2}{\sigma_m} \int_S \tilde{\pi}_m^2 d\tilde{S} + \frac{1}{2} a^2 T (\varepsilon_m^{\text{ref}})^2 \int_S \tilde{\varepsilon}_m^2 d\tilde{S} \\
\qquad + \frac{1}{2} \frac{\gamma p_0}{V_0} (V_c^{\text{ref}})^2 (V_c) + \frac{1}{2} \frac{(\pi_1^{\text{ref}})^2}{m_1} \tilde{\pi}_1^2 + \frac{1}{2} k_1 (l_1^{\text{ref}})^2 \tilde{l}_1^2
$$

$$
\tilde{H}(\tilde{x}) = \frac{H(\tilde{x})}{E_0^{\text{ref}}} = \frac{1}{2} \frac{E_1^{\text{ref}}}{E_0^{\text{ref}}} \int_{\tilde{S}} \tilde{\pi}_m^2 d\tilde{S} + \frac{1}{2} \frac{E_2^{\text{ref}}}{E_0^{\text{ref}}} \int_{\tilde{S}} \tilde{\varepsilon}_m^2 d\tilde{S} \\
\qquad + \frac{1}{2} \frac{E_3^{\text{ref}}}{E_0^{\text{ref}}} \tilde{V}_c^2 + \frac{1}{2} \frac{E_4^{\text{ref}}}{E_0^{\text{ref}}} \tilde{\pi}_1^2 + \frac{1}{2} \frac{E_5^{\text{ref}}}{E_0^{\text{ref}}} \tilde{l}_1^2,
$$

où

$$
\left\{
\begin{array}{l}
E_1^{\text{ref}} \triangleq a^2 \frac{(\pi_m^{\text{ref}})^2}{\sigma_m} \\
E_2^{\text{ref}} \triangleq a^2 T (\varepsilon_m^{\text{ref}})^2 \\
E_3^{\text{ref}} \triangleq \frac{\gamma p_0}{V_0} (V_c^{\text{ref}})^2 \\
E_4^{\text{ref}} \triangleq \frac{1}{m_1} (\pi_1^{\text{ref}})^2 \\
E_5^{\text{ref}} \triangleq k_1 (l_1^{\text{ref}})^2,
\end{array}
\right.
$$

le tout en [J].

DÉRIVÉE VARIATIONNELLE DU HAMILTONIEN Avec ce Hamiltonien $\tilde{H}(\tilde{x})$ correspond une dérivée variationnelle (cf. [251])

$$
D_{\tilde{x}} \tilde{H}(\tilde{x}) = \begin{bmatrix} D_1(\tilde{\pi}_m) \tilde{H} \\ D_2(\tilde{\varepsilon}_m) \tilde{H} \\ D_3(\tilde{V}_c) \tilde{H} \\ D_4(\tilde{\pi}_1) \tilde{H} \\ D_5(\tilde{l}_1) \tilde{H} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{a^2 (\pi_m^{\text{ref}})^2}{\sigma_m E_0^{\text{ref}}} \tilde{\pi}_m \\ \frac{a^2 T (\varepsilon_m^{\text{ref}})^2}{E_0^{\text{ref}}} \tilde{\varepsilon}_m \\ \frac{\gamma p_0 (V_c^{\text{ref}})^2}{V_0 E_0^{\text{ref}}} \tilde{V}_c \\ \frac{(\pi_1^{\text{ref}})^2}{m_1 E_0^{\text{ref}}} \tilde{\pi}_1 \\ \frac{k_1 (l_1^{\text{ref}})^2}{E_0^{\text{ref}}} \tilde{l}_1 \end{bmatrix} .
$$

• SHP ADIMENSIONNÉ On substitue les références dans les 5 équations du SHP
9.21.

(1)

$$
\frac{d\pi_m}{dt} = \operatorname{div}(T\epsilon_m) + p_c = T\left(\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r}\right)\epsilon_m + p_c - \mu\frac{\pi_m}{\sigma_m}
$$

$$
\frac{d\tilde{\pi}_m}{d\tilde{t}} = \frac{T}{c} \frac{\varepsilon_m^{\text{ref}}}{\pi_m^{\text{ref}}} \left( \frac{\partial}{\partial \tilde{r}} + \frac{1}{\tilde{r}} \right) \tilde{\varepsilon}_m + \frac{a}{c} \frac{1}{\pi_m^{\text{ref}}} p_c - \frac{a\mu}{c\sigma_m} \tilde{\pi}_m
$$

$$
\frac{d\tilde{\pi}_m}{d\tilde{t}} = \frac{1}{a^2 c} \frac{E_0^{\text{ref}}}{\pi_m^{\text{ref}} \varepsilon_m^{\text{ref}}} \left(\frac{\partial}{\partial \tilde{r}} + \frac{1}{\tilde{r}}\right) D_2 \tilde{H} - \frac{a}{c} \frac{E_0^{\text{ref}}}{\pi_m^{\text{ref}} V_c^{\text{ref}}} D_3 \tilde{H} - \frac{\mu}{ac} \frac{E_0^{\text{ref}}}{(\pi_m^{\text{ref}})^2} D_1 \tilde{H}
$$
(2)

$$
\frac{d\varepsilon_m}{dt} = \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{1}{\sigma_m} \pi_m \right)
$$

$$
\frac{d\tilde{\epsilon}_m}{d\tilde{t}} = \frac{1}{a^2 c} \frac{E_0^{\text{ref}}}{\epsilon_m^{\text{ref}} \pi_m^{\text{ref}}} \frac{\partial}{\partial \tilde{r}} D_1 \tilde{H}
$$

(3)

$$
\frac{dV_c}{dt} = \int_S \frac{dy_m}{dt} dS - S_1 \frac{d\ell_1}{dt}
$$

$$
\frac{d\tilde{V}_c}{d\tilde{t}} = \int_S \frac{a^3}{c\sigma_m} \frac{\pi_m^{\text{ref}}}{V_c^{\text{ref}}} \tilde{\pi}_m d\tilde{S} - \frac{aS_1}{c m_1} \frac{\pi_1^{\text{ref}}}{V_c^{\text{ref}}} \tilde{\pi}_1
$$

$$
\frac{d\tilde{V}_c}{d\tilde{t}} = \int_S \frac{a}{c} \frac{E_0^{\text{ref}}}{V_c^{\text{ref}} \pi_m^{\text{ref}}} D_1 \tilde{H} d\tilde{S} - \frac{aS_1}{c} \frac{E_0^{\text{ref}}}{V_c^{\text{ref}} \pi_1^{\text{ref}}} D_4 \tilde{H}
$$

(4)

$$
\frac{d\pi_1}{dt} = -S_1 p_c - \frac{c_1}{m_1} \pi_1 - k_1 \ell_1 + B l i_1
$$

$$
\frac{d\tilde{\pi}_1}{d\tilde{t}} = \frac{aS_1}{c} \frac{E_0^{\text{ref}}}{\pi_1^{\text{ref}} V_c^{\text{ref}}} D_3 \tilde{H} - \frac{ac_1}{c} \frac{E_0^{\text{ref}}}{(\pi_1^{\text{ref}})^2} D_4 \tilde{H} - \frac{a}{c} \frac{E_0^{\text{ref}}}{\pi_1^{\text{ref}} \ell_1^{\text{ref}}} D_5 \tilde{H} + \frac{aBl}{c} \frac{i_1^{\text{ref}}}{\pi_1^{\text{ref}} \tilde{i}_1}
$$

(5)

$$
\frac{d\ell_1}{dt} = \frac{d\ell_1}{dt}
$$

$$
\frac{d\tilde{l}_1}{d\tilde{t}} = \frac{a}{c} \frac{E_0^{\text{ref}}}{\ell_1^{\text{ref}} \pi_1^{\text{ref}}} D_4 \tilde{H}
$$

Ainsi, on obtient un SHP formellement adimensionné :

$$
\frac{d}{d\tilde{t}} \begin{bmatrix} \tilde{\pi}_m \\ \tilde{\epsilon}_m \\ \tilde{V}_c \\ \tilde{\pi}_1 \\ \tilde{l}_1 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
-\frac{\mu}{ac} \frac{E_0^{\text{ref}}}{(\pi_m^{\text{ref}})^2} & \frac{1}{a^2c} \frac{E_0^{\text{ref}}}{\pi_m^{\text{ref}} \pi_m^{\text{ref}}} \left(\frac{\partial}{\partial \tilde{t}} + \frac{1}{\tilde{t}}\right) & -\frac{a}{c} \frac{E_0^{\text{ref}}}{\pi_m^{\text{ref}} V_c^{\text{ref}}} & 0 & 0 \\
\frac{1}{a^2c} \frac{E_0^{\text{ref}}}{c \pi_m^{\text{ref}} \pi_m^{\text{ref}}} \frac{\partial}{\partial \tilde{t}} & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\frac{a}{c} \frac{E_0^{\text{ref}}}{V_c^{\text{ref}} \pi_m^{\text{ref}}} \int_S d\tilde{S} & 0 & 0 & -\frac{aS_1}{c} \frac{E_0^{\text{ref}}}{V_c^{\text{ref}} \pi_1^{\text{ref}}} & 0 \\
0 & 0 & \frac{aS_1}{c} \frac{E_0^{\text{ref}}}{\pi_1^{\text{ref}} V_c^{\text{ref}}} & -\frac{ac_1}{c} \frac{E_0^{\text{ref}}}{(\pi_1^{\text{ref}})^2} & -\frac{a}{c} \frac{E_0^{\text{ref}}}{\pi_1^{\text{ref}} \tilde{l}_1^{\text{ref}}} \\
0 & 0 & 0 & \frac{a}{c} \frac{E_0^{\text{ref}}}{\ell_1^{\text{ref}} \pi_1^{\text{ref}}} & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a^2 (\pi_m^{\text{ref}})^2 & \tilde{\pi}_m \\
\sigma_m E_0^{\text{ref}} & \tilde{\epsilon}_m \\
\frac{a^2 T (\epsilon_m^{\text{ref}})^2}{E_0^{\text{ref}}} & \tilde{\pi}_m \\
\frac{\gamma P_0 (V_c^{\text{ref}})^2}{V_0 E_0^{\text{ref}}} & \tilde{V}_c \\
(\pi_1^{\text{ref}})^2 & \tilde{l}_1 \\
m_1 E_0^{\text{ref}} & \tilde{\pi}_1 \\
\frac{k_1 (\ell_1^{\text{ref}})^2}{E_0^{\text{ref}}} & \tilde{l}_1
\end{bmatrix}
+ \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
\frac{aBl}{c} \frac{\ell_1^{\text{ref}}}{\pi_1^{\text{ref}}} \\
0
\end{bmatrix} \tilde{l}_1. \quad (C.15)
$$

On remarque la symétrie dans l'opérateur $\mathcal{J} - \mathcal{R}$ (écrit ici comme une seule matrice).

On vérifie que chaque composant non nul dans ce SHP est sans dimension physique
([-]).
### C.2.2.3 Choix des références

BUT On peut proposer deux buts pour l'adimensionnement :

- mettre un maximum de coefficients à 1 dans le gradient du Hamiltonien

- mettre un maximum de coefficients à 1 dans les opérateurs $\mathcal{J}$ et $\mathcal{R}$.

Après dénombrement du nombre de degrés de liberté et comparaison au nombre de variables de référence (5 pour l'état, $E_0^{\text{ref}}$ et $i_1^{\text{ref}}$), on constate que l'on ne peut obtenir les deux buts à la fois. Nous choisissons de mettre tous les coefficients dans $D_{\tilde{x}}\tilde{H}(\tilde{x})$ à 1, et donc

$$D_{\tilde{x}}\tilde{H}(\tilde{x}) = [\tilde{\pi}_m \quad \tilde{\epsilon}_m \quad \tilde{V}_c \quad \tilde{\pi}_l \quad \tilde{l}_l]^T. \quad (C.16)$$

On obtient ainsi 5 conditions. Une 6me consiste à mettre un 1 devant $\tilde{l}_1$, et il reste encore une 7me condition à choisir.

CHOIX RETENU Après quelques essais, nous proposons la démarche suivante.

Il se trouve que le fait de choisir $\mathcal{J}(1,3) = 1$ (ou un autre coefficient des opérateurs $\mathcal{J}$ ou $\mathcal{R}$) mène à un système d'équations surdéterminé sans solution. Pour cette raison, nous choisissons $V_c^{\text{ref}} \triangleq V_0$ et alors $E_0^{\text{ref}} \triangleq \gamma p_0 V_0$ d'après la condition sur $D_3\tilde{H}$. Finalement, nous obtenons les références

$$ \left\{ \begin{array}{l} E_0^{\text{ref}} \triangleq \gamma p_0 V_0 \\ V_c^{\text{ref}} \triangleq V_0 \\ \pi_l^{\text{ref}} \triangleq \sqrt{m_1 \gamma p_0 V_0} \\ \ell_l^{\text{ref}} \triangleq \sqrt{\frac{\gamma p_0 V_0}{k_l}} \\ \pi_m^{\text{ref}} \triangleq \frac{1}{a} \sqrt{\sigma_m \gamma p_0 V_0} \\ \varepsilon_m^{\text{ref}} \triangleq \frac{1}{a} \sqrt{\frac{\gamma p_0 V_0}{T}} \\ i_1^{\text{ref}} \triangleq \frac{c}{aBl} \pi_l^{\text{ref}} = \frac{c}{aBl} \sqrt{m_1 \gamma p_0 V_0}. \end{array} \right. $$

On remarque que le Hamiltonien s'écrit alors comme

$$\tilde{H}(\tilde{x}) = \frac{1}{2} \int_{\tilde{S}} \tilde{\pi}_m^2 d\tilde{S} + \frac{1}{2} \int_{\tilde{S}} \tilde{\epsilon}_m^2 d\tilde{S} + \frac{1}{2} \tilde{V}_c^2 + \frac{1}{2} \tilde{\pi}_l^2 + \frac{1}{2} \tilde{l}_l^2. \quad (C.17)$$
### C.2.2.4 SHP adimensionné

En substituant les définitions des variables de références dans le SHP (C.15), on obtient le SHP

$$ \frac{d}{d\tilde{t}} \begin{bmatrix} \tilde{\pi}_m \\ \tilde{\epsilon}_m \\ \tilde{V}_c \\ \tilde{\pi}_1 \\ \tilde{l}_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{\mu a}{c\sigma_m} & \left(\frac{\partial}{\partial \tilde{r}} + \frac{1}{\tilde{r}}\right) & -\frac{a^2}{c} \sqrt{\frac{\gamma p_0}{\sigma_m V_0}} & 0 & 0 \\ \frac{\partial}{\partial \tilde{r}} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{a^2}{c} \sqrt{\frac{\gamma p_0}{\sigma_m V_0}} \int_{\tilde{S}} \cdot d\tilde{S} & 0 & 0 & -\frac{aS_1}{c} \sqrt{\frac{\gamma p_0}{m_1 V_0}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{aS_1}{c} \sqrt{\frac{\gamma p_0}{m_1 V_0}} & -\frac{ac_1}{cm_1} & -\frac{a}{c} \sqrt{\frac{k_1}{m_1}} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{a}{c} \sqrt{\frac{k_1}{m_1}} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde{\pi}_m \\ \tilde{\epsilon}_m \\ \tilde{V}_c \\ \tilde{\pi}_1 \\ \tilde{l}_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \tilde{l}_1. $$

Introduisant des noms pour les groupes adimensionnels qui restent dans le SHP, on a finalement

$$ \frac{d}{d\tilde{t}} \begin{bmatrix} \tilde{\pi}_m \\ \tilde{\epsilon}_m \\ \tilde{V}_c \\ \tilde{\pi}_1 \\ \tilde{l}_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\zeta & \left(\frac{\partial}{\partial \tilde{r}} + \frac{1}{\tilde{r}}\right) & -\alpha \mathbb{1} & 0 & 0 \\ \frac{\partial}{\partial \tilde{r}} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \alpha \int_{\tilde{S}} \cdot d\tilde{S} & 0 & 0 & -\beta_1 & 0 \\ 0 & 0 & \beta_1 & -\zeta & -\beta_2 \\ 0 & 0 & 0 & \beta_2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde{\pi}_m \\ \tilde{\epsilon}_m \\ \tilde{V}_c \\ \tilde{\pi}_1 \\ \tilde{l}_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \tilde{l}_1 $$

avec

$$ \left\{ \begin{array}{l} \alpha \triangleq \frac{a^2}{c} \sqrt{\frac{\gamma p_0}{\sigma_m V_0}} \\ \beta_1 \triangleq \frac{aS_1}{c} \sqrt{\frac{\gamma p_0}{m_1 V_0}} \\ \beta_2 \triangleq \frac{a}{c} \sqrt{\frac{k_1}{m_1}} \\ \zeta \triangleq \frac{ac_1}{cm_1} \\ \zeta \triangleq \frac{\mu a}{c\sigma_m}. \end{array} \right. $$

### C.2.3 Modèle SHP de dimension finie : projection modale et réduction d'ordre

#### C.2.3.1 Choix de la base modale

**Lemme C.2. Les fonctions**

$$ \left\{ \bar{\psi}_n(r) = \frac{1}{\sqrt{\pi J_1(\lambda_n a)}} J_0(\lambda_n r) \right\}, $$
avec $\lambda_n \text{ t.q. } J_0(\lambda_n a) = 0$, forment une base orthonormale.

**Démonstration.** En utilisant le produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle_P$, on vérifie par un calcul que les propriétés d'orthogonalité et normalisation sont satisfaites.

$$
(1) \text{ \underline{Orthogonalité}} : \langle \bar{\phi}_p, \bar{\phi}_q \rangle_P = 0, p \neq q
$$

$$
\begin{align*}
& \left\langle \frac{1}{\sqrt{\pi} J_1(\lambda_p a)} J_0(\lambda_p r), \frac{1}{\sqrt{\pi} J_1(\lambda_q a)} J_0(\lambda_q r) \right\rangle_P \\
&= \frac{2\pi}{\pi a^2 J_1(\lambda_p a) J_1(\lambda_q a)} \int_0^a J_0(\lambda_p r) J_0(\lambda_q r) r \, dr \\
&\stackrel{\text{(C.11)}}{=} \frac{2}{a^2 J_1(\lambda_p a) J_1(\lambda_q a)} \left[ \frac{\lambda_p r J_1(\lambda_p r) J_0(\lambda_q r) - \lambda_q r J_0(\lambda_p r) J_1(\lambda_q r)}{\lambda_p^2 - \lambda_q^2} \right]_{r=0}^{r=a} \\
&= 0
\end{align*}
$$

puisque $J_0(\lambda_p a) = 0 = J_0(\lambda_q a)$.

$$
(2) \text{ \underline{Normalisation}} : \langle \bar{\psi}_n, \bar{\psi}_n \rangle_P = \| \bar{\psi}_n \|^2 = 1
$$

$$
\begin{align*}
& \left\langle \frac{1}{\sqrt{\pi} J_1(\lambda_n a)} J_0(\lambda_n r), \frac{1}{\sqrt{\pi} J_1(\lambda_n a)} J_0(\lambda_n r) \right\rangle_P \\
&= \frac{2\pi}{\pi a^2 J_1^2(\lambda_n a)} \int_0^a J_0^2(\lambda_n r) r \, dr \\
&= \frac{2\pi}{\pi a^2 J_1^2(\lambda_n a) \lambda_n^2} \int_{r=0}^{r=a} J_0^2(\lambda_n r) (\lambda_n r) \, d(\lambda_n r) \\
&\stackrel{\text{(C.8)}}{=} \frac{2\pi}{\pi a^2 J_1^2(\lambda_n a) \lambda_n^2} \left[ \frac{(\lambda_n r)^2}{2} (J_0^2(\lambda_n r) + J_1^2(\lambda_n r)) \right]_{r=0}^{r=a} \\
&= \frac{1}{J_1^2(\lambda_n a)} (J_0^2(\lambda_n a) + J_1^2(\lambda_n a)) \\
&= 1
\end{align*}
$$

□

**Lemme C.3.** *Les fonctions*

$$
\left\{ \bar{\varphi}_n(r) = \frac{1}{w_n} [J_0(\lambda_n r) - J_0(\lambda_n a)] \right\},
$$

avec $\lambda_n$ qui satisfait (9.12) et le poids

$$
w_n = \lambda_n a |J_0(\lambda_n a)| \sqrt{2\pi \left( \frac{a^4 \lambda_n^4}{8B^2} - \frac{a^2 \lambda_n^2}{4B} + \frac{1}{B} + \frac{1}{8} \right)},
$$

forment une base orthonormale.

**Démonstration.** En utilisant le produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle_P$, on vérifie par un calcul que les propriétés d'orthogonalité et normalisation sont satisfaites.

$$
(1) \text{ \underline{Orthogonalité}}
$$

$$
\begin{align*}
& \frac{a^2 w^2}{2\pi} \langle \bar{\phi}_p, \bar{\phi}_q \rangle_P \\
&= \int_0^a [J_0(\lambda_p r) - J_0(\lambda_p a)] [J_0(\lambda_q r) - J_0(\lambda_q a)] r \, dr \\
&= \underbrace{\int_0^a J_0(\lambda_p r) [J_0(\lambda_q r) - J_0(\lambda_q a)] r \, dr}_{\triangleq I_1} - \underbrace{J_0(\lambda_p a) \int_0^a [J_0(\lambda_q r) - J_0(\lambda_q a)] r \, dr}_{\triangleq I_2}
\end{align*}
$$
avec

$$
\begin{align*}
I_1 &\stackrel{(C.5)}{=} \frac{1}{\lambda_p^2} \int_{r=0}^{r=a} [J_0(\lambda_q r) - J_0(\lambda_q a)] \, d[\lambda_p r J_1(\lambda_p r)] \\
&\stackrel{\text{I.P.}}{=} \frac{1}{\lambda_p^2} \left[ \underbrace{\left[ (J_0(\lambda_q r) - J_0(\lambda_q a)) \lambda_p r J_1(\lambda_p r) \right]}_{r=0} \right]^{r=a} - \int_{r=0}^{r=a} \lambda_p r J_1(\lambda_p r) \, d[J_0(\lambda_q r) - J_0(\lambda_q a)] \\
&\stackrel{(C.3)}{=} \frac{1}{\lambda_p^2} \lambda_p \lambda_q \int_0^a r J_1(\lambda_p r) J_1(\lambda_q r) \, dr \\
&\stackrel{(C.12)}{=} \frac{\lambda_q}{\lambda_p} \left[ \frac{r}{\lambda_p^2 - \lambda_q^2} (\lambda_q J_1(\lambda_p r) J_0(\lambda_q r) - \lambda_p J_1(\lambda_q r) J_0(\lambda_p r)) \right]_{r=0}^{r=a} \\
&= \frac{\lambda_q}{\lambda_p (\lambda_p^2 - \lambda_q^2)} a \left[ \lambda_q J_1(\lambda_p a) J_0(\lambda_q a) - \lambda_p J_1(\lambda_q a) J_0(\lambda_p a) \right]
\end{align*}
$$

(On se rappelle que $J_0(\lambda_i a) \neq 0$ ici.)

et

$$
\begin{align*}
I_2 &= -J_0(\lambda_p a) \int_{r=0}^{r=a} [J_0(\lambda_q r) - J_0(\lambda_q a)] \, d\left(\frac{r^2}{2}\right) \\
&= -J_0(\lambda_p a) \left[ \underbrace{\left[ (J_0(\lambda_q r) - J_0(\lambda_q a)) \frac{r^2}{2} \right]}_{r=0} \right]^{r=a} - \int_{r=0}^{r=a} \frac{r^2}{2} \, d[J_0(\lambda_q r) - J_0(\lambda_q a)] \\
&\stackrel{(C.3)}{=} -J_0(\lambda_p a) \int_0^a \frac{r^2}{2} J_1(\lambda_q r) \lambda_q dr \\
&= -\frac{J_0(\lambda_p a) \lambda_q}{2} \int_0^a J_1(\lambda_q r) r^2 dr \\
&= -\frac{J_0(\lambda_p a)}{2\lambda_q^2} \int_0^a J_1(\lambda_q r) (\lambda_q r)^2 d(\lambda_q r) \\
&\stackrel{(C.13)}{=} -\frac{J_0(\lambda_p a)}{2\lambda_q^2} \left[ (\lambda_q r) [2J_1(\lambda_q r) - (\lambda_q r)J_0(\lambda_q r)] \right]_{r=0}^{r=a} \\
&= -\frac{a}{\lambda_q} J_0(\lambda_p a) J_1(\lambda_q a) + \frac{a^2}{2} J_0(\lambda_p a) J_0(\lambda_q a)
\end{align*}
$$

Nous substituons les propriétés

$$
\frac{2}{a\lambda_i} J_1(\lambda_i a) - J_0(\lambda_i a) = J_2(\lambda_i a) \quad (\text{cf. Eq. (C.2)}) \quad (C.18)
$$

et

$$
-\frac{a^2 \lambda_i^2}{B} J_0(\lambda_i a) = J_2(\lambda_i a) \quad (\text{condition sur les fréquences (9.12)}) \quad (C.19)
$$

dans les expressions pour $I_1$ et $I_2$ pour ainsi transformer toutes les $J_1(\cdot)$ en $J_0(\cdot)$, que l'on factorise ensuite. Plus précisément, en combinant (C.18) et (C.19), on a que

$$
\frac{2}{a\lambda_i} J_1(\lambda_i a) = \left(1 - \frac{a^2\lambda_i^2}{B}\right) J_0(\lambda_i a). \qquad (C.20)
$$
$$
\begin{align*}
I_1 + I_2 &= \frac{\lambda_q^2 a}{\lambda_p (\lambda_p^2 - \lambda_q^2)} J_0(\lambda_q a) \frac{a \lambda_p}{2} \left[ J_0(\lambda_p a) - \frac{a^2 \lambda_p^2}{B} J_0(\lambda_p a) \right] \\
&\quad - \frac{\lambda_q a}{\lambda_p^2 - \lambda_q^2} J_0(\lambda_p a) \frac{a \lambda_q}{2} \left[ J_0(\lambda_q) - \frac{a^2 \lambda_q^2}{B} J_0(\lambda_q a) \right] \\
&\quad + \frac{a^4 \lambda_q^2}{2B} J_0(\lambda_p a) J_0(\lambda_q a) \\
&= J_0(\lambda_p a) J_0(\lambda_q a) \frac{\lambda_q^2 a^2 B - a^4 \lambda_p^2 \lambda_q^2 - \lambda_q^2 a^2 B + a^4 \lambda_q^4 + a^4 \lambda_q^2 (\lambda_p^2 - \lambda_q^2)}{(\lambda_p^2 - \lambda_q^2) 2B} \\
&= 0
\end{align*}
$$

(2) Normalisation

$$
\begin{align*}
\langle \bar{\phi}_n, \bar{\phi}_n \rangle_P &= \frac{2\pi}{a^2 w^2} \int_0^a [J_0(\lambda_n r) - J_0(\lambda_n a)]^2 r \, dr \\
&= \frac{2\pi}{a^2 w^2} \left[ \underbrace{\int_0^a J_0^2(\lambda_n r) r dr}_{\triangleq K_1} - \underbrace{2J_0(\lambda_n a) \int_0^a J_0(\lambda_n r) r dr}_{\triangleq K_2} + \underbrace{J_0^2(\lambda_n a) \int_0^a r dr}_{\triangleq K_3} \right]
\end{align*}
$$

avec

$$
\begin{align*}
K_1 &= \frac{1}{\lambda_n^2} \int_{r=0}^{r=a} J_0^2(\lambda_n r) (\lambda_n r) \mathrm{d}(\lambda_n r) \\
&\stackrel{(C.8)}{=} \frac{1}{\lambda_n^2} \left[ \frac{(\lambda_n r)^2}{2} (J_0^2(\lambda_n r) + J_1^2(\lambda_n r)) \right]_{r=0}^{r=a} \\
&= \frac{a^2}{2} (J_0^2(\lambda_n a) + J_1^2(\lambda_n a))
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
K_2 &= -\frac{2J_0(\lambda_n a)}{\lambda_n^2} \int_{r=0}^{r=a} J_0(\lambda_n r) (\lambda_n r) \mathrm{d}(\lambda_n r) \\
&\stackrel{(C.5)}{=} -\frac{2J_0(\lambda_n a)}{\lambda_n^2} [(\lambda_n r) J_1(\lambda_n r)]_{r=0}^{r=a} \\
&= -\frac{2a}{\lambda_n} J_0(\lambda_n a) J_1(\lambda_n a)
\end{align*}
$$

$$
K_3 = \frac{a^2}{2} J_0^2(\lambda_n a)
$$
Donc

$$
\begin{align*}
\langle \bar{\phi}_n, \bar{\phi}_n \rangle_P &= \frac{2\pi}{a^2 w^2} \left[ \frac{a^2}{2} J_1^2(\lambda_n a) + a^2 J_0^2(\lambda_n a) - \frac{2a}{\lambda_n} J_0(\lambda_n a) J_1(\lambda_n a) \right] \\
&= \frac{2\pi}{a^2 w^2} \left[ \frac{a^2}{2} J_1^2(\lambda_n a) + a^2 J_0(\lambda_n a) \left( J_0(\lambda_n a) - \frac{2}{a\lambda_n} J_1(\lambda_n a) \right) \right] \\
&\stackrel{(C.18)}{=} \frac{2\pi}{a^2 w^2} \left[ \frac{a^2}{2} J_1^2(\lambda_n a) - a^2 J_0(\lambda_n a) J_2(\lambda_n a) \right] \\
&\stackrel{(C.19)}{=} \frac{2\pi}{a^2 w^2} \left[ \frac{a^2}{2} J_1^2(\lambda_n a) + \frac{a^4 \lambda_n^2}{B} J_0^2(\lambda_n a) \right] \\
&= \frac{2\pi}{w^2} \left[ \frac{1}{2} J_1^2(\lambda_n a) + \frac{a^2 \lambda_n^2}{B} J_0^2(\lambda_n a) \right] \\
&\stackrel{(C.20)}{=} \frac{2\pi}{w^2} J_0^2(\lambda_n a) \left[ \frac{1}{2} \frac{a^2 \lambda_n^2}{4} \left( 1 - \frac{a^2 \lambda_n^2}{B} \right)^2 + \frac{a^2 \lambda_n^2}{B} \right] \\
&= \frac{2\pi}{w^2} J_0^2(\lambda_n a) a^2 \lambda_n^2 \left[ \frac{1}{8} \left( 1 - \frac{2a^2 \lambda_n^2}{B} + \frac{a^4 \lambda_n^4}{B^2} \right) + \frac{1}{B} \right] \\
&= \frac{2\pi}{w^2} J_0^2(\lambda_n a) a^2 \lambda_n^2 \left[ \frac{a^4 \lambda_n^4}{8B^2} - \frac{a^2 \lambda_n^2}{4B} + \frac{1}{B} + \frac{1}{8} \right].
\end{align*}
$$

Avec $\langle \bar{\phi}_n, \bar{\phi}_n \rangle_P = 1$ correspond la valeur

$$
w_n \triangleq \lambda_n a |J_0(\lambda_n a)| \sqrt{2\pi \left( \frac{a^4 \lambda_n^4}{8B^2} - \frac{a^2 \lambda_n^2}{4B} + \frac{1}{B} + \frac{1}{8} \right)}. \quad (C.21)
\qquad \square
$$

C.2.3.2 Projection modale du SHP et troncation à N modes

TRAVAUX PRÉLIMINAIRES La partie de dimension infinie du SHP adimensionné 9.23 est isolée :

$$
\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} \tilde{\pi}_m \\ \tilde{\epsilon}_m \\ \tilde{V}_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \left(\frac{\partial}{\partial \tilde{r}} + \frac{1}{\tilde{r}}\right) & -\alpha \mathbb{1} \\ \frac{\partial}{\partial \tilde{r}} & 0 & 0 \\ \alpha \int_{\tilde{S}} \cdot d\tilde{S} & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde{\pi}_m \\ \tilde{\epsilon}_m \\ \tilde{V}_c \end{bmatrix},
$$

que nous dénotons dans la présente sous-section comme

$$
\frac{d\tilde{x}}{dt} = \tilde{J}\tilde{x}.
$$

(Nous n'indiquons donc pas explicitement ici qu'il s'agit seulement de la sous-partie
(1 : 3) × (1 : 3) du SHP total 5 × 5).

Afin de pouvoir projeter $\tilde{y}_m(\tilde{r}, \tilde{t})$, nous le faisons apparaître dans l'état $\tilde{x}$. On peut
calculer que

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \tilde{\pi}_m = \frac{c\sigma_m}{a} \frac{y_m^{\text{ref}}}{\pi_m^{\text{ref}}} \frac{d\tilde{y}_m}{d\tilde{t}} = \kappa \frac{d\tilde{y}_m}{d\tilde{t}} \\[2ex]
\displaystyle \tilde{\epsilon}_m = \frac{1}{\epsilon_m^{\text{ref}}} \frac{\partial \tilde{y}_m}{\partial \tilde{r}}
\end{array}
\right.
$$

avec

$$
\kappa \triangleq a \sqrt{\frac{T}{\gamma p_0 V_0}} [-]
$$
et donc

$$
\tilde{\mathbf{x}} = \begin{bmatrix} \tilde{\pi}_m \\ \tilde{\epsilon}_m \\ \tilde{V}_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \kappa \frac{d\tilde{\mathbf{y}}_m}{d\tilde{t}} \\ \kappa \frac{\partial \tilde{\mathbf{y}}_m}{\partial \tilde{r}} \\ \tilde{V}_c \end{bmatrix}.
$$

PROJECTION DE L'ÉTAT La projection correspond à

$$
y_m(r,t) = \sum_{n=1}^{+\infty} \bar{\phi}_n(r) z_n(t) \approx \sum_{n=1}^{N} \bar{\phi}_n(r) z_n(t)
$$

avec $y_m(r,t)[\text{m}]$ la position de la membrane, $\bar{\phi}_n[-]$ les fonctions de la base modale (à
spécifier plus bas) et $z_n[\text{m}]$ les évolutions temporelles correspondantes.

On adimensionne la formule de la projection en définissant les références addition-
nelles

$$
\left\{
\begin{aligned}
\tilde{y}_m &= \frac{y_m}{y_m^{\text{ref}}} \triangleq \frac{y_m}{a} \\
\tilde{\phi}_n &= \frac{\bar{\phi}_n}{\phi^{\text{ref}}} \triangleq \frac{\bar{\phi}_n}{1} \\
\tilde{z}_n &= \frac{z_n}{z^{\text{ref}}} \triangleq \frac{z_n}{a}
\end{aligned}
\right.
$$

et obtient

$$
\tilde{y}_m(\tilde{r}, \tilde{t}) \approx \sum_{n=1}^{N} \tilde{\phi}_n(\tilde{r}) \tilde{z}_n(\tilde{t}). \quad (C.22)
$$

Dénotons par $\tilde{F}(\tilde{t})$ un vecteur $N \times 1$ contenant les évolutions temporelles $\tilde{z}_n(\tilde{t})$, $n \in [1, N]$ (à simuler) et par $\tilde{E}(\tilde{t})$ un vecteur $N \times 1$ contenant les fonctions de la base modale $\tilde{\phi}_n(\tilde{r})$, $n \in [1, N]$ (connues). Nous pouvons alors écrire

$$
\tilde{x} = \tilde{\Phi}(\tilde{r})^{\top} \tilde{Z}(\tilde{t})
\begin{bmatrix} \kappa \frac{d\tilde{y}_m}{d\tilde{t}} \\ \kappa \frac{\partial \tilde{y}_m}{\partial \tilde{r}} \\ \tilde{V}_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \kappa \tilde{E}^{\top}(\tilde{r}) & 0 \\ \kappa \frac{\partial \tilde{E}^{\top}(\tilde{r})}{\partial \tilde{r}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde{F}(\tilde{t}) \\ \frac{d\tilde{F}(\tilde{t})}{d\tilde{t}} \\ \tilde{V}_c(\tilde{t}) \end{bmatrix}.
$$

(Par abus de notation, $\tilde{x}$ représente ici l'approximation des composantes 1 : 3 de l'état adimensionné $\tilde{x}$.) Par exemple, pour $N = 2$,

$$
\tilde{\mathbf{x}} = \begin{bmatrix} \kappa \frac{d\tilde{\mathbf{y}}_m}{d\tilde{t}} \\ \kappa \frac{\partial \tilde{\mathbf{y}}_m}{\partial \tilde{r}} \\ \tilde{V}_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \kappa \tilde{\phi}_1 & \kappa \tilde{\phi}_2 & 0 \\ \kappa \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_1 & \kappa \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde{z}_1 \\ \tilde{z}_2 \\ \partial_{\tilde{t}} \tilde{z}_1 \\ \partial_{\tilde{t}} \tilde{z}_2 \\ \tilde{V}_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \kappa (\tilde{\phi}_1 \partial_{\tilde{t}} \tilde{z}_1 + \tilde{\phi}_1 \partial_{\tilde{r}} \tilde{z}_2) \\ \kappa (\partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_1 \tilde{z}_1 + \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_2 \tilde{z}_2) \\ \tilde{V}_c \\ \end{bmatrix} .
$$

PROJECTION DU HAMILTONIEN Grâce à l'adimensionnement, le Hamiltonien contient des formes quadratiques sans constantes physiques (facteurs '1') (C.17) :

$$
\tilde{H}(\tilde{x}) = \frac{1}{2} \int_{\tilde{S}} \tilde{\pi}_{\mathrm{m}}^{2} \mathrm{d}\tilde{S} + \frac{1}{2} \int_{\tilde{S}} \tilde{\epsilon}_{\mathrm{m}}^{2} \mathrm{d}\tilde{S} + \frac{1}{2} \tilde{V}_{\mathrm{c}}^{2} + \frac{1}{2} \tilde{\pi}_{1}^{2} + \frac{1}{2} \tilde{l}_{1}^{2}
$$

et on considère ici la partie 1 : 3, c'est-à-dire,

$$
\tilde{H}_{1:3} = \frac{1}{2} \int_S \tilde{\pi}_m^2 d\tilde{S} + \frac{1}{2} \int_S \tilde{\epsilon}_m^2 d\tilde{S} + \frac{1}{2} \tilde{V}_c^2.
$$
On a que

$$
\begin{align*}
\tilde{H}_{1:3} &= \frac{1}{2} \int_S \tilde{x}_{1:2}^\top \tilde{x}_{1:2} \, d\tilde{S} + \frac{1}{2} \tilde{x}_3^2 \\
&= \frac{1}{2} \int_0^1 \tilde{Z}_{1:2}^\top (\tilde{t}) \tilde{\Phi}_{(1:2)\times(1:2)} (\tilde{r}) \tilde{\Phi}_{(1:2)\times(1:2)}^\top (\tilde{r}) \tilde{Z}_{1:2} (\tilde{t}) (2\pi \tilde{r} \, d\tilde{r}) + \frac{\tilde{Z}_3^2}{2} \\
&= \frac{1}{2} \tilde{Z}^\top \tilde{W} \tilde{Z}
\end{align*}
$$

où

$$
\tilde{W} \triangleq \begin{bmatrix} \tilde{W}_{1:2} & 0 \\ 0 & \tilde{W}_3 \end{bmatrix}
$$

avec

$$
\tilde{W}_{1:2} = \int_{0}^{1} \tilde{\Phi}_{(1:2)\times(1:2)} \tilde{\Phi}_{(1:2)\times(1:2)}^{\top} (2\pi \tilde{r} d\tilde{r})
$$

$$
\tilde{W}_3 = 1 ( = \tilde{\Phi}_{3,3}^2 ).
$$

Ensuite, on calcule $\tilde{W}_{1:2}$, en utilisant les propriétés des fonctions de Bessel listées ci-dessus. On montre ici le cas $N = 2$.

$$
\begin{align*}
\tilde{W}_{1:2} &= 2\pi \int_0^1 \tilde{\Phi}_{(1:2)\times(1:2)} \tilde{\Phi}_{(1:2)\times(1:2)}^\top \tilde{r} d\tilde{r} \\
&= 2\pi \int_0^1 \int_0^1 \begin{bmatrix} 0 & \kappa \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_1 \\ 0 & \kappa \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_2 \\ \kappa \tilde{\phi}_1 & 0 \\ \kappa \tilde{\phi}_2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & \kappa \tilde{\phi}_1 & \kappa \tilde{\phi}_2 \\ \kappa \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_1 & \kappa \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_2 & 0 & 0 \end{bmatrix} \tilde{r} d\tilde{r} d\tilde{r} \\
&= 2\pi \kappa^2 \int_0^1 \int_0^1 \begin{bmatrix} (\partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_1)^2 & \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_1 \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_2 & 0 & 0 \\ \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_1 \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_2 & (\partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_2)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (\tilde{\phi}_1)^2 & \tilde{\phi}_1 \tilde{\phi}_2 \\ 0 & 0 & \tilde{\phi}_1 \tilde{\phi}_2 & (\tilde{\phi}_2)^2 \end{bmatrix} \tilde{r} d\tilde{r} d\tilde{r}
\end{align*}
$$

Nous calculons les éléments de la matrice étant donné que (Lemme 9.2) :

$$
\tilde{\phi}_i = \frac{1}{w_i} [J_0(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) - J_0(\tilde{\lambda}_i)]
$$

$$
w_i = \tilde{\lambda}_i |J_0(\tilde{\lambda}_i)| \sqrt{2\pi \left( \frac{\tilde{\lambda}_i^4}{8B^2} - \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{4B} + \frac{1}{B} + \frac{1}{8} \right)} = \tilde{\lambda}_i |J_0(\tilde{\lambda}_i)| \sqrt{\pi \chi_{1,i}} \quad (\text{cf. (C.21)})
$$

$$
\partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_i = - \frac{\tilde{\lambda}_i}{w_i} J_1(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) \quad (\text{en utilisant la propriété (C.3)}).
$$

On calcule donc

$$
\bullet 2\pi\kappa^2 \int_0^1 \tilde{\phi}_i^2 \tilde{r} \, d\tilde{r} = \kappa^2 \frac{2\pi}{w_n^2} \int_0^1 [J_0(\tilde{\lambda}_n \tilde{r}) - J_0(\tilde{\lambda}_n)]^2 \tilde{r} \, d\tilde{r} = \kappa^2.
$$

La dernière étape suit de la normalisation (cf. Lemme 9.2) :

$$
\langle \bar{\phi}_n, \bar{\phi}_n \rangle_P = \frac{2\pi}{a^2 w_n^2} \int_0^a [J_0(\lambda_n r) - J_0(\lambda_n a)]^2 r dr = \frac{2\pi}{w_n^2} \int_0^1 [J_0(\tilde{\lambda}_n \tilde{r}) - J_0(\tilde{\lambda}_n)]^2 \tilde{r} d\tilde{r} = 1.
$$
$$
\bullet 2\pi\kappa^2 \int_0^1 \tilde{\phi}_i \tilde{\phi}_j \, \tilde{r} \, d\tilde{r} = \frac{2\pi\kappa^2}{w_i w_j} \int_0^1 [J_0(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) - J_0(\tilde{\lambda}_i)] [J_0(\tilde{\lambda}_j \tilde{r}) - J_0(\tilde{\lambda}_j)] \, \tilde{r} \, d\tilde{r} = 0
$$

La dernière étape suit de l'orthogonalité (cf. Lemme 9.2).

$$
\begin{align*}
\bullet \ 2\pi\kappa^2 \int_0^1 (\partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_i)^2 \tilde{r} d\tilde{r} &= \frac{2\pi\kappa^2 \tilde{\lambda}_i^2}{w_i^2} \int_0^1 J_1^2(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) \tilde{r} d\tilde{r} \\
&= \frac{2\pi\kappa^2}{w_i^2} \int_{\tilde{r}=0}^{\tilde{r}=1} J_1^2(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) (\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) d(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) \\
&\stackrel{\text{(C.9)}}{=} \frac{2\pi\kappa^2}{w_i^2} \left[ \frac{(\tilde{\lambda}_i \tilde{r})^2}{2} \left[ J_1^2(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) - J_0(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) J_2(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) \right] \right]_{\tilde{r}=0}^{\tilde{r}=1} \\
&= \frac{\pi\kappa^2 \tilde{\lambda}_i^2}{w_i^2} \left[ J_1^2(\tilde{\lambda}_i) - J_0(\tilde{\lambda}_i) J_2(\tilde{\lambda}_i) \right] \\
&\stackrel{\text{(C.20)}}{=} \frac{\pi\kappa^2 \tilde{\lambda}_i^2}{w_i^2} \left[ \frac{\tilde{\lambda}_i^6}{4B^2} - \frac{\tilde{\lambda}_i^4}{2B} + \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{4} + \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{B} \right] J_0^2(\tilde{\lambda}_i) \\
&= \frac{\pi\kappa^2 \tilde{\lambda}_i^2 \left[ \frac{\tilde{\lambda}_i^6}{4B^2} - \frac{\tilde{\lambda}_i^4}{2B} + \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{4} + \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{B} \right] J_0^2(\tilde{\lambda}_i)}{\tilde{\lambda}_i^2 J_0^2(\tilde{\lambda}_i) 2\pi \left[ \frac{\tilde{\lambda}_i^4}{8B^2} - \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{4B} + \frac{1}{B} + \frac{1}{8} \right]} \\
&= \kappa^2 \tilde{\lambda}_i^2 \frac{\frac{\tilde{\lambda}_i^4}{4B^2} - \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{2B} + \frac{1}{4} + \frac{1}{B}}{\frac{\tilde{\lambda}_i^4}{4B^2} - \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{2B} + \frac{1}{4} + \frac{2}{B}} \\
&= \kappa^2 \tilde{\lambda}_i^2 \frac{\chi_{1I,i}^2}{\chi_{1I,i}^2}, \tag{C.23}
\end{align*}
$$

où l'on propose la notation simplifiée avec

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\chi_{I,i} \triangleq \sqrt{\frac{\tilde{\lambda}_i^4}{4B^2} - \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{2B} + \frac{1}{4} + \frac{2}{B}} \\[1em]
\chi_{II,i} \triangleq \sqrt{\frac{\tilde{\lambda}_i^4}{4B^2} - \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{2B} + \frac{1}{4} + \frac{1}{B}}.
\end{array}
\right.
$$

On peut aussi écrire

$$
2\pi\kappa^2 \int_0^1 (\partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_i)^2 \tilde{r} d\tilde{r} = \kappa^2 \tilde{\lambda}_i^2 \frac{\left( \frac{\tilde{\lambda}_i^4}{4B^2} - \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{2B} + \frac{1}{4} + \frac{2}{B} \right) - \frac{1}{B}}{\frac{\tilde{\lambda}_i^4}{4B^2} - \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{2B} + \frac{1}{4} + \frac{2}{B}} = \kappa^2 \tilde{\lambda}_i^2 \left( 1 - \frac{1}{B \chi_{I,i}^2} \right).
$$
$$
\begin{align*}
& \bullet 2\pi\kappa^2 \int_0^1 \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_i \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_j \, \tilde{r} \, d\tilde{r} \\
&= \frac{2\pi\kappa^2 \tilde{\lambda}_i \tilde{\lambda}_j}{w_i w_j} \int_0^1 J_1(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) J_1(\tilde{\lambda}_j \tilde{r}) \, \tilde{r} \, d\tilde{r} \\
&\stackrel{\text{(C.12)}}{=} \frac{2\pi\kappa^2 \tilde{\lambda}_i \tilde{\lambda}_j}{w_i w_j} \left[ \frac{\tilde{r}}{\tilde{\lambda}_i^2 - \tilde{\lambda}_j^2} \left[ \tilde{\lambda}_j J_1(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) J_0(\tilde{\lambda}_j \tilde{r}) - \tilde{\lambda}_i J_0(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) J_1(\tilde{\lambda}_j \tilde{r}) \right] \right]_{\tilde{r}=0}^{\tilde{r}=1} \\
&= \frac{2\pi\kappa^2 \tilde{\lambda}_i \tilde{\lambda}_j}{w_i w_j} \frac{1}{\tilde{\lambda}_i^2 - \tilde{\lambda}_j^2} \left[ \tilde{\lambda}_j J_1(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) J_0(\tilde{\lambda}_j \tilde{r}) - \tilde{\lambda}_i J_0(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) J_1(\tilde{\lambda}_j \tilde{r}) \right] \\
&\stackrel{\text{(C.20)}}{=} \frac{2\pi\kappa^2 \tilde{\lambda}_i \tilde{\lambda}_j}{w_i w_j} \frac{1}{\tilde{\lambda}_i^2 - \tilde{\lambda}_j^2} \left[ \tilde{\lambda}_j \frac{\tilde{\lambda}_i}{2} \left( 1 - \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{B} \right) J_0(\tilde{\lambda}_i) J_0(\tilde{\lambda}_j) - \tilde{\lambda}_i \frac{\tilde{\lambda}_j}{2} \left( 1 - \frac{\tilde{\lambda}_j^2}{B} \right) J_0(\tilde{\lambda}_j) J_0(\tilde{\lambda}_i) \right] \\
&= -\frac{\kappa^2 \pi \tilde{\lambda}_i^2 \tilde{\lambda}_j^2}{B w_i w_j} J_0(\tilde{\lambda}_i) J_0(\tilde{\lambda}_j) \\
&= -\frac{\kappa^2 \pi \tilde{\lambda}_i^2 \tilde{\lambda}_j^2 J_0(\tilde{\lambda}_i) J_0(\tilde{\lambda}_j)}{B \tilde{\lambda}_i |J_0(\tilde{\lambda}_i)| \sqrt{2\pi \left( \frac{\tilde{\lambda}_i^4}{8B^2} - \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{4B} + \frac{1}{B} + \frac{1}{8} \right)} \tilde{\lambda}_j |J_0(\tilde{\lambda}_j)| \sqrt{2\pi \left( \frac{\tilde{\lambda}_j^4}{8B^2} - \frac{\tilde{\lambda}_j^2}{4B} + \frac{1}{B} + \frac{1}{8} \right)}} \\
&= -\frac{\kappa^2}{2B} \tilde{\lambda}_i \tilde{\lambda}_j \frac{\operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_i)) \operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_j))}{\sqrt{\frac{\tilde{\lambda}_i^4}{8B^2} - \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{4B} + \frac{1}{B} + \frac{1}{8}} \sqrt{\frac{\tilde{\lambda}_j^4}{8B^2} - \frac{\tilde{\lambda}_j^2}{4B} + \frac{1}{B} + \frac{1}{8}}} \\
&= -\frac{\kappa^2}{B} \tilde{\lambda}_i \tilde{\lambda}_j \frac{\operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_i)) \operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_j))}{\sqrt{\frac{\tilde{\lambda}_i^4}{4B^2} - \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{2B} + \frac{1}{4} + \frac{2}{B}} \sqrt{\frac{\tilde{\lambda}_j^4}{4B^2} - \frac{\tilde{\lambda}_j^2}{2B} + \frac{1}{4} + \frac{2}{B}}} \\
&= -\frac{\kappa^2}{B} \tilde{\lambda}_i \tilde{\lambda}_j \frac{\operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_i)) \operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_j))}{\chi_{I,i} \chi_{I,j}}. \tag{C.24}
\end{align*}
$$

On souligne que dans ce cas (base modale {$\tilde{\phi}(\tilde{r})$} pour la membrane encastrée au
bord couplée à une cavité), les termes non diagonaux

$$
\begin{align*}
& 2\pi\kappa^2 \int_0^1 \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_i \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_j \, \tilde{r} \, d\tilde{r} \\
& \stackrel{\text{(C.12)}}{=} \frac{2\pi\kappa^2 \tilde{\lambda}_i \tilde{\lambda}_j}{w_i w_j} \left[ \frac{\tilde{r}}{\tilde{\lambda}_i^2 - \tilde{\lambda}_j^2} \left[ \tilde{\lambda}_j J_1(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) J_0(\tilde{\lambda}_j \tilde{r}) - \tilde{\lambda}_i J_0(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) J_1(\tilde{\lambda}_j \tilde{r}) \right] \right]_{\tilde{r}=0}^{\tilde{r}=1} \\
&= \frac{2\pi\kappa^2 \tilde{\lambda}_i \tilde{\lambda}_j}{w_i w_j} \frac{1}{\tilde{\lambda}_i^2 - \tilde{\lambda}_j^2} \left[ \tilde{\lambda}_j J_1(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) J_0(\tilde{\lambda}_j \tilde{r}) - \tilde{\lambda}_i J_0(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) J_1(\tilde{\lambda}_j \tilde{r}) \right] \\
&\stackrel{\text{(C.20)}}{=} \frac{2\pi\kappa^2 \tilde{\lambda}_i \tilde{\lambda}_j}{w_i w_j} \frac{1}{\tilde{\lambda}_i^2 - \tilde{\lambda}_j^2} \left[ \tilde{\lambda}_j \frac{\tilde{\lambda}_i}{2} \left( 1 - \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{B} \right) J_0(\tilde{\lambda}_i) J_0(\tilde{\lambda}_j) - \tilde{\lambda}_i \frac{\tilde{\lambda}_j}{2} \left( 1 - \frac{\tilde{\lambda}_j^2}{B} \right) J_0(\tilde{\lambda}_j) J_0(\tilde{\lambda}_i) \right] \\
&= -\frac{\kappa^2 \pi \tilde{\lambda}_i^2 \tilde{\lambda}_j^2}{B w_i w_j} J_0(\tilde{\lambda}_i) J_0(\tilde{\lambda}_j) \\
&= -\frac{\kappa^2 \pi \tilde{\lambda}_i^2 \tilde{\lambda}_j^2 J_0(\tilde{\lambda}_i) J_0(\tilde{\lambda}_j)}{B \tilde{\lambda}_i |J_0(\tilde{\lambda}_i)| \sqrt{2\pi \left( \frac{\tilde{\lambda}_i^4}{8B^2} - \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{4B} + \frac{1}{B} + \frac{1}{8} \right)} \tilde{\lambda}_j |J_0(\tilde{\lambda}_j)| \sqrt{2\pi \left( \frac{\tilde{\lambda}_j^4}{8B^2} - \frac{\tilde{\lambda}_j^2}{4B} + \frac{1}{B} + \frac{1}{8} \right)}} \\
&= -\frac{\kappa^2}{2B} \tilde{\lambda}_i \tilde{\lambda}_j \frac{\operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_i)) \operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_j))}{\sqrt{\frac{\tilde{\lambda}_i^4}{8B^2} - \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{4B} + \frac{1}{B} + \frac{1}{8}} \sqrt{\frac{\tilde{\lambda}_j^4}{8B^2} - \frac{\tilde{\lambda}_j^2}{4B} + \frac{1}{B} + \frac{1}{8}}} \\
&= -\frac{\kappa^2}{B} \tilde{\lambda}_i \tilde{\lambda}_j \frac{\operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_i)) \operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_j))}{\sqrt{\frac{\tilde{\lambda}_i^4}{4B^2} - \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{2B} + \frac{1}{4} + \frac{2}{B}} \sqrt{\frac{\tilde{\lambda}_j^4}{4B^2} - \frac{\tilde{\lambda}_j^2}{2B} + \frac{1}{4} + \frac{2}{B}}} \\
&= -\frac{\kappa^2}{B} \tilde{\lambda}_i \tilde{\lambda}_j \frac{\operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_i)) \operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_j))}{\chi_{I,i} \chi_{I,j}}. \tag{C.24}
\end{align*}
$$

ne sont pas nuls, puisque $J_0(\tilde{\lambda}_i) \neq 0$, où les $\tilde{\lambda}_i$ sont les solutions de la condition implicite (9.24). Au contraire, pour la base modale correspondant à la membrane seule,

$$
\left\{ \tilde{\phi}(\tilde{r}) = \frac{1}{\sqrt{\pi} J_1(\tilde{\lambda}_n)} J_0(\tilde{\lambda}_n \tilde{r}) \right\},
$$

avec la condition $J_0(\tilde{\lambda}_n) = 0$, on aurait

$$
\begin{align*}
& 2\pi \int_0^1 (\partial_{\tilde{r}} \tilde{\psi}_i)(\partial_{\tilde{r}} \tilde{\psi}_j) \tilde{r} d\tilde{r} \\
&= 2\pi w^2 \tilde{\lambda}_i \tilde{\lambda}_j \int_0^1 J_1(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) J_1(\tilde{\lambda}_j \tilde{r}) \tilde{r} d\tilde{r} \\
&= 2\pi w^2 \tilde{\lambda}_i \tilde{\lambda}_j \frac{\tilde{r}}{\tilde{\lambda}_i^2 - \tilde{\lambda}_j^2} \left[ \tilde{\lambda}_j J_1(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) J_0(\tilde{\lambda}_j \tilde{r}) - \tilde{\lambda}_i J_0(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) J_1(\tilde{\lambda}_j \tilde{r}) \right]_{\tilde{r}=0}^{\tilde{r}=1} \\
&= 2\pi w^2 \frac{\tilde{\lambda}_i \tilde{\lambda}_j}{\tilde{\lambda}_i^2 - \tilde{\lambda}_j^2} \left[ \tilde{\lambda}_j J_1(\tilde{\lambda}_i) J_0(\tilde{\lambda}_j) - \tilde{\lambda}_i J_0(\tilde{\lambda}_i) J_1(\tilde{\lambda}_j) \right] \\
&= 0
\end{align*}
$$

Dans ce cas, il existe une relation d'orthogonalité entre les dérivées spatiales des
fonctions de la base modale. De ce fait, la matrice $\tilde{W}$ sera diagonale pour la base
modale $\{\tilde{\phi}(\tilde{r})\}$, et seulement diagonale par blocs pour la base modale $\{\tilde{\phi}(\tilde{r})\}$.
GRADIENT DU HAMILTONIEN On a que

$$D_{1:3} \tilde{H}_{1:3}(\tilde{x}_{1:3}) = \tilde{W} \tilde{Z}(\tilde{t}).$$

INVERSE DE $\tilde{W}$ Dans la suite, on aura besoin de l'inverse de la matrice $\tilde{W}$, que nous calculons analytiquement pour les cas $N = 2$. En substituant des valeurs typiques pour les constantes physiques du tom, on vérifie numériquement que la matrice $\tilde{W}$ est définie positive, ce qui signifie que l'énergie est bien posée et que la matrice est inversible.

Pour le cas $N = 1$, on obtient une matrice diagonale :

$$\tilde{W} = \begin{bmatrix} \frac{\kappa^2 \tilde{\lambda}_1^2 \chi_{II,1}^2}{\chi_{I,1}^2} & 0 & 0 \\ 0 & \kappa^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

donc

$$\tilde{W}^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\kappa^2 \tilde{\lambda}_1^2 \chi_{II,1}^2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\kappa^2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Pour les cas $N > 1$, on a affaire à une matrice diagonale par blocs de la forme

$$\tilde{W} \triangleq \begin{bmatrix} A & O \\ O & D \end{bmatrix},$$

que l'on inverse par bloc :

$$\tilde{W}^{-1} = \left[ \begin{array}{c|c} A & O \\ \hline O & D \end{array} \right]^{-1} = \left[ \begin{array}{c|c} A^{-1} & O \\ \hline O & D^{-1} \end{array} \right].$$

En particulier, pour le cas $N = 2$, ceci correspond à

$$\tilde{W} = \begin{bmatrix} \frac{\kappa^2 \tilde{\lambda}_1^2 \chi_{II,1}^2}{\chi_{I,1}^2} & -\frac{\kappa^2 \tilde{\lambda}_1 \tilde{\lambda}_2 \operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_1)) \operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_2))}{\chi_{I,1} \chi_{I,2}} & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{\kappa^2 \tilde{\lambda}_1 \tilde{\lambda}_2 \operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_1)) \operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_2))}{\chi_{I,1} \chi_{I,2}} & \frac{\kappa^2 \tilde{\lambda}_1^2 \chi_{II,2}^2}{\chi_{I,2}^2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \kappa^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \kappa^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad (C.25)$$

dont on calcule que l'inverse est

$$\tilde{W}^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{\chi_{I,1}^2 \chi_{II,2}^2}{\kappa^2 \tilde{\lambda}_1^2 (\chi_{II,1}^2 \chi_{II,2}^2 - \frac{1}{B^2})} & \frac{\chi_{I,1} \chi_{I,2} \operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_1)) \operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_2))}{\kappa^2 B \tilde{\lambda}_1 \tilde{\lambda}_2 (\chi_{II,1}^2 \chi_{II,2}^2 - \frac{1}{B^2})} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{\chi_{I,1} \chi_{I,2} \operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_1)) \operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_2))}{\kappa^2 B \tilde{\lambda}_1 \tilde{\lambda}_2 (\chi_{II,1}^2 \chi_{II,2}^2 - \frac{1}{B^2})} & \frac{\chi_{I,2}^2 \chi_{II,1}^2}{\kappa^2 \tilde{\lambda}_2^2 (\chi_{II,1}^2 \chi_{II,2}^2 - \frac{1}{B^2})} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{\kappa^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\kappa^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$$
PROJECTION DES OPÉRATEURS $\tilde{\mathcal{J}}, \tilde{\mathcal{R}}$ ET $\tilde{\mathcal{G}}$

Formule générale

$$
\frac{d\tilde{x}}{d\tilde{t}} = (\tilde{\mathcal{J}} - \tilde{\mathcal{R}}) \tilde{x} + \tilde{\mathcal{G}} \tilde{u}
$$

$$
\Downarrow \tilde{x} = \tilde{\Phi}(\tilde{r})^{\mathrm{T}} \tilde{Z}(\tilde{t})
$$

$$
\tilde{\Phi}^{\mathrm{T}} \frac{\partial \tilde{Z}}{\partial \tilde{t}} = (\tilde{\mathcal{J}} - \tilde{\mathcal{R}}) \tilde{\Phi}^{\mathrm{T}} \tilde{Z} + \tilde{\mathcal{G}} \tilde{u}
$$

$$
\tilde{\Phi} \tilde{\Phi}^{\mathrm{T}} \frac{\partial \tilde{Z}}{\partial \tilde{t}} = \tilde{\Phi} (\tilde{\mathcal{J}} - \tilde{\mathcal{R}}) \tilde{\Phi}^{\mathrm{T}} \tilde{Z} + \tilde{\Phi} \tilde{\mathcal{G}} \tilde{u}
$$

$$
\Downarrow \tilde{Z} \text{ et } \tilde{u} \text{ ne dépendent pas de } \tilde{r}
$$

$$
\underbrace{\left[ \int_0^1 \left[ \begin{bmatrix} \tilde{\Phi} \tilde{\Phi}^\mathrm{T} \end{bmatrix}_{(1:(2N),:)} (2\pi \tilde{r}) d\tilde{r} \right] \right]}_{\triangleq \tilde{W}} \frac{\partial \tilde{Z}}{\partial \tilde{t}} = \underbrace{\left[ \int_0^1 \left[ \begin{bmatrix} \tilde{\Phi} \tilde{\mathcal{J}} \tilde{\Phi}^\mathrm{T} \end{bmatrix}_{(1:(2N),:)} (2\pi \tilde{r}) d\tilde{r} \right] \right]}_{\triangleq \tilde{V}} - \underbrace{\left[ \int_0^1 \left[ \begin{bmatrix} \tilde{\Phi} \tilde{\mathcal{R}} \tilde{\Phi}^\mathrm{T} \end{bmatrix}_{(1:(2N),:)} (2\pi \tilde{r}) d\tilde{r} \right] \right]}_{\triangleq \tilde{V}_2} \tilde{Z} \\
\qquad + \underbrace{\left[ \int_0^1 \left[ \begin{bmatrix} \tilde{\Phi} \end{bmatrix}_{(1:(2N),:)} (2\pi \tilde{r}) d\tilde{r} \right] \right]}_{\triangleq \tilde{u}} \tilde{\mathcal{G}} \tilde{u}
$$

$$
\Downarrow \tilde{Z} = \tilde{W}^{-1} \nabla \tilde{H}
$$

$$
\tilde{W} \frac{\partial \tilde{Z}}{\partial \tilde{t}} = (\tilde{V} - \tilde{V}_2) \tilde{W}^{-1} \nabla \tilde{H} + \tilde{U} \tilde{\mathcal{G}} \tilde{u}
$$

$$
\frac{\partial \tilde{Z}}{\partial \tilde{t}} = \underbrace{\left[ \tilde{W}^{-1} \tilde{V} \tilde{W}^{-1} - \tilde{W}^{-1} \tilde{V}_2 \tilde{W}^{-1} \right]}_{\triangleq \tilde{J}} \nabla \tilde{H} + \underbrace{\tilde{W}^{-1} \tilde{U} \tilde{\mathcal{G}} \tilde{u}}_{\triangleq \tilde{\mathcal{G}}} \quad (C.26)
$$

On rappelle qu’ici, $x$ représente temporairement seulement la partie 1 : $(2N + 1)$ de l’état. De ce fait, $\tilde{\mathcal{G}}$ est zéro, l’entrée $\tilde{l}_1$ agissant sur la partie EDO du SHP, qui n’est pas concernée par la projection.

Projection de l'opérateur $\tilde{\mathcal{J}}$

$$
\tilde{\Phi} \tilde{\mathcal{J}} \tilde{\Phi}^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} 0 & \kappa \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_1 & 0 \\ 0 & \kappa \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_2 & 0 \\ \kappa \tilde{\phi}_1 & 0 & 0 \\ \kappa \tilde{\phi}_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & \left(\frac{\partial}{\partial \tilde{r}} + \frac{1}{\tilde{r}}\right) & -\alpha \\ \frac{\partial}{\partial \tilde{r}} & 0 & 0 \\ \alpha \int_{\tilde{S}} \cdot d\tilde{S} & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & \kappa \tilde{\phi}_1 & \kappa \tilde{\phi}_2 & 0 \\ 0 & \kappa \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \kappa \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
$$

$$
= \begin{bmatrix} 0 & \kappa \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_1 & 0 \\ 0 & \kappa \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_2 & 0 \\ \kappa \tilde{\phi}_1 & 0 & 0 \\ \kappa \tilde{\phi}_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \kappa \left(\frac{\partial}{\partial \tilde{r}} + \frac{1}{\tilde{r}}\right) \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_1 & \kappa \left(\frac{\partial}{\partial \tilde{r}} + \frac{1}{\tilde{r}}\right) \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_2 & 0 & 0 & -\alpha \\ 0 & 0 & \kappa \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_1 & \kappa \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_2 & 0 \\ 0 & 0 & \alpha \kappa \int_{\tilde{S}} \tilde{\phi}_1 d\tilde{S} & \alpha \kappa \int_{\tilde{S}} \tilde{\phi}_2 d\tilde{S} & 0 \end{bmatrix}
$$

$$
= \begin{bmatrix}
0 & 0 & \kappa^2 (\partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_1)^2 & \kappa^2 (\partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_1 \cdot \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_2) & 0 \\
0 & 0 & \kappa^2 (\partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_1 \cdot \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_2)^2 & \kappa^2 (\partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_2)^2 & 0 \\
\kappa^2 \tilde{\phi}_1 \left(\frac{\partial}{\partial \tilde{r}} + \frac{1}{\tilde{r}}\right) \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_1 & \kappa^2 \tilde{\phi}_1 \left(\frac{\partial}{\partial \tilde{r}} + \frac{1}{\tilde{r}}\right) \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_2 & 0 & 0 & -\alpha \kappa \tilde{\phi}_1 \\
\kappa^2 \tilde{\phi}_2 \left(\frac{\partial}{\partial \tilde{r}} + \frac{1}{\tilde{r}}\right) \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_1 & \kappa^2 \tilde{\phi}_2 \left(\frac{\partial}{\partial \tilde{r}} + \frac{1}{\tilde{r}}\right) \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_2 & 0 & 0 & -\alpha \kappa \tilde{\phi}_2 \\
0 & 0 & \alpha \kappa \int_{\tilde{S}} \tilde{\phi}_1 d\tilde{S} & \alpha \kappa \int_{\tilde{S}} \tilde{\phi}_2 d\tilde{S} & 0
\end{bmatrix}
$$
$$
\begin{align*}
\tilde{V} &= \begin{bmatrix} \int_0^1 \left[ \frac{\tilde{\Phi} \tilde{\mathcal{J}} \tilde{\Phi}^\top}{(1:(2N),:)} (2\pi \tilde{r}) d\tilde{r} \\ \left[ \frac{\tilde{\Phi} \tilde{\mathcal{J}} \tilde{\Phi}^\top}{(2N+1, :)} \right] \end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix} \int_0^1 \begin{bmatrix} 0 & 0 & \kappa^2 (\partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_1)^2 & \kappa^2 (\partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_1 \cdot \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_2)^2 & 0 \\ 0 & 0 & \kappa^2 (\partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_1 \cdot \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_2)^2 & \kappa^2 (\partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_2)^2 & 0 \\ \kappa^2 \tilde{\phi}_1 \left( \frac{\partial}{\partial \tilde{r}} + \frac{1}{\tilde{r}} \right) \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_1 & \kappa^2 \tilde{\phi}_1 \left( \frac{\partial}{\partial \tilde{r}} + \frac{1}{\tilde{r}} \right) \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_2 & 0 & 0 & -\alpha \kappa \tilde{\phi}_1 \\ \kappa^2 \tilde{\phi}_2 \left( \frac{\partial}{\partial \tilde{r}} + \frac{1}{\tilde{r}} \right) \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_1 & \kappa^2 \tilde{\phi}_2 \left( \frac{\partial}{\partial \tilde{r}} + \frac{1}{\tilde{r}} \right) \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_2 & 0 & 0 & -\alpha \kappa \tilde{\phi}_2 \end{bmatrix} \tilde{r} d\tilde{r} \end{align*}
$$

On calcule les expressions<fnref n="1" /> de la matrice $\tilde{V}$.

$$
\begin{align*}
\bullet \quad \alpha \kappa \int_{\tilde{S}} \tilde{\phi}_i d\tilde{S} &= 2\pi \frac{\alpha \kappa}{w_i} \int_0^1 [J_0(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) - J_0(\tilde{\lambda}_i)] \tilde{r} d\tilde{r} \\
&= 2\pi \frac{\alpha \kappa}{w_i} \left[ \frac{1}{\tilde{\lambda}_i^2} \int_{\tilde{r}=0}^{\tilde{r}=1} J_0(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) (\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) d(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) - J_0(\tilde{\lambda}_i) \int_0^1 \tilde{r} d\tilde{r} \right] \\
&\stackrel{(C.5)}{=} 2\pi \frac{\alpha \kappa}{w_i} \left[ \frac{1}{\tilde{\lambda}_i^2} [(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) J_1(\tilde{\lambda}_i \tilde{r})]_{\tilde{r}=0}^{\tilde{r}=1} - \left[ \frac{\tilde{r}^2}{2} \right]_{\tilde{r}=0}^{\tilde{r}=1} \right] \\
&= 2\pi \frac{\alpha \kappa}{w_i} \left[ \frac{1}{\tilde{\lambda}_i} J_1(\tilde{\lambda}_i) - \frac{J_0(\tilde{\lambda}_i)}{2} \right] \\
&\stackrel{(C.20)}{=} 2\pi \frac{\alpha \kappa}{w_i} \left[ \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{B} \right) J_0(\tilde{\lambda}_i) - \frac{J_0(\tilde{\lambda}_i)}{2} \right] \\
&= - \frac{\pi \alpha \kappa \tilde{\lambda}_i^2}{B w_i} J_0(\tilde{\lambda}_i) \tag{C.27}
\end{align*}
$$

ou encore

$$
= - \frac{\pi \alpha \kappa \tilde{\lambda}_i^2 J_0(\tilde{\lambda}_i)}{B \tilde{\lambda}_i |J_0(\tilde{\lambda}_i)| \sqrt{\pi \chi_{I,i}}} = - \frac{\sqrt{\pi \alpha \kappa}}{B \chi_{I,i}} \tilde{\lambda}_i \mathrm{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_i))
$$

$$
\begin{align*}
\bullet \quad \left(\frac{\partial}{\partial \tilde{r}} + \frac{1}{\tilde{r}}\right) \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_i &= -\frac{\tilde{\lambda}_i}{w_i} \left(\frac{\partial}{\partial \tilde{r}} + \frac{1}{\tilde{r}}\right) J_1(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) \\
&\stackrel{(C.4)}{=} -\frac{\tilde{\lambda}_i}{w_i} \left[ \frac{\tilde{\lambda}_i}{2} [J_0(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) - J_2(\tilde{\lambda}_i \tilde{r})] + \frac{J_1(\tilde{\lambda}_i \tilde{r})}{\tilde{r}} \right] \\
&\stackrel{(C.2)}{=} -\frac{\tilde{\lambda}_i}{w_i} \left[ \frac{\tilde{\lambda}_i}{2} [J_0(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) - J_2(\tilde{\lambda}_i \tilde{r})] + \frac{\tilde{\lambda}_i}{2} [J_0(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) + J_2(\tilde{\lambda}_i \tilde{r})] \right] \\
&= -\frac{\tilde{\lambda}_i^2}{w_i} J_0(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) \tag{C.28}
\end{align*}
$$

$$
\bullet \ 2\pi \int_0^1 \kappa^2 (\partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_i)^2 \tilde{r} d\tilde{r} = 2\pi \kappa^2 \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{w_i^2} \int_0^1 J_1^2(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) \tilde{r} d\tilde{r} \\
\stackrel{(C.23)}{=} \kappa^2 \tilde{\lambda}_i^2 \frac{\frac{\tilde{\lambda}_i^4}{4B^2} - \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{2B} + \frac{1}{4} + \frac{1}{B}}{\frac{\tilde{\lambda}_i^4}{4B^2} - \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{2B} + \frac{1}{4} + \frac{2}{B}} \\
= \kappa^2 \tilde{\lambda}_i^2 \frac{\chi_{II,i}^2}{\chi_{I,i}^2}
$$

<footnote n="1">1. Partout dans les calculs, une expression avec $i$ et $j$ ($\in \mathbb{N}$) sous-entend que $i \neq j$. L'expression avec $j = i$ est calculée séparément; on ne la retrouve pas (forcément) en prenant le cas $j = i$ dans la formule pour $j \neq i$!</footnote>
$$
\begin{align*}
\bullet 2\pi \int_0^1 \kappa^2 (\partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_i \cdot \partial_{\tilde{r}} \varphi_j) \tilde{r} d\tilde{r} &= 2\pi\kappa^2 \frac{\tilde{\lambda}_i \tilde{\lambda}_j}{w_i w_j} \int_0^1 J_1(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) J_1(\tilde{\lambda}_j \tilde{r}) \tilde{r} d\tilde{r} \\
&\stackrel{\text{(C.24)}}{=} -\frac{\kappa^2}{B} \tilde{\lambda}_i \tilde{\lambda}_j \frac{\operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_i)) \operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_j))}{\sqrt{\frac{\tilde{\lambda}_i^4}{4B^2} - \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{2B} + \frac{1}{4} + \frac{2}{B}} \sqrt{\frac{\tilde{\lambda}_j^4}{4B^2} - \frac{\tilde{\lambda}_j^2}{2B} + \frac{1}{4} + \frac{2}{B}}} \\
&= -\frac{\kappa^2}{B} \tilde{\lambda}_i \tilde{\lambda}_j \frac{\operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_i)) \operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_j))}{\chi_{I,i} \chi_{I,j}}
\end{align*}
$$

$$
\bullet 2\pi \int_0^1 \alpha \kappa \tilde{\phi}_i \tilde{r} d\tilde{r} = \frac{2\pi \alpha \kappa}{w_i} \int_0^1 [J_0(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) - J_0(\tilde{\lambda}_i)] \tilde{r} d\tilde{r} \\
\stackrel{(C.27)}{=} -\frac{\pi \alpha \kappa \tilde{\lambda}_i^2}{B w_i} J_0(\tilde{\lambda}_i)
$$

$$
\begin{align*}
\bullet 2\pi \int_0^1 \left( \alpha \kappa \int_{\tilde{S}} \tilde{\phi}_i \, d\tilde{S} \right) \tilde{r} \, d\tilde{r} &\stackrel{(C.27)}{=} 2\pi \int_0^1 \left( -\frac{\pi \alpha \kappa \tilde{\lambda}_i^2}{B w_i} J_0(\tilde{\lambda}_i) \right) \, \tilde{r} \, d\tilde{r} \\
&= -\frac{2\pi^2 \alpha \kappa \tilde{\lambda}_i^2}{B w_i} J_0(\tilde{\lambda}_i) \int_0^1 \tilde{r} \, d\tilde{r} \\
&= -\frac{2\pi^2 \alpha \kappa \tilde{\lambda}_i^2}{B w_i} J_0(\tilde{\lambda}_i) \left[ \frac{\tilde{r}^2}{2} \right]_{\tilde{r}=0}^{\tilde{r}=1} \\
&= -\frac{\pi^2 \alpha \kappa \tilde{\lambda}_i^2}{B w_i} J_0(\tilde{\lambda}_i)
\end{align*}
$$

$$
\bullet 2\pi \int_0^1 \kappa^2 \tilde{\phi}_i \left( \frac{\partial}{\partial \tilde{r}} + \frac{1}{\tilde{r}} \right) \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_i \tilde{r} d\tilde{r} \\
\stackrel{(C.28)}{=} -2\pi\kappa^2 \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{w_i^2} \int_0^1 [J_0(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) - J_0(\tilde{\lambda}_i)] J_0(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) \tilde{r} d\tilde{r} \\
= -2\pi\kappa^2 \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{w_i^2} \left[ \int_0^1 J_0^2(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) \tilde{r} d\tilde{r} - J_0(\tilde{\lambda}_i) \int_0^1 J_0(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) \tilde{r} d\tilde{r} \right] \\
\stackrel{(C.8)(C.5)}{=} -\frac{2\pi\kappa^2}{w_i^2} \left[ \int_{\tilde{r}=0}^{\tilde{r}=1} J_0^2(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) (\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) d(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) - J_0(\tilde{\lambda}_i) \int_{\tilde{r}=0}^{\tilde{r}=1} J_0(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) (\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) d(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) \right] \\
= -\frac{2\pi\kappa^2}{w_i^2} \left[ \left[ \frac{(\tilde{\lambda}_i \tilde{r})^2}{2} (J_0^2(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) + J_1^2(\tilde{\lambda}_i \tilde{r})) \right]_{\tilde{r}=0}^{\tilde{r}=1} - J_0(\tilde{\lambda}_i) \left[ (\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) J_1(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) \right]_{\tilde{r}=0}^{\tilde{r}=1} \right] \\
= -\frac{2\pi\kappa^2}{w_i^2} \left[ \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{2} \left[ J_0^2(\tilde{\lambda}_i) + J_1^2(\tilde{\lambda}_i) \right] - J_0(\tilde{\lambda}_i) \tilde{\lambda}_i J_1(\tilde{\lambda}_i) \right] \\
\stackrel{(C.20)}{=} -\frac{2\pi\kappa^2}{w_i^2} \left[ \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{2} \left[ J_0^2(\tilde{\lambda}_i) + \tilde{\lambda}_i^2 \left( \frac{1}{4} - \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{2B} + \frac{\tilde{\lambda}_i^4}{4B^2} \right) J_0^2(\tilde{\lambda}_i) \right] - \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{2} J_0^2(\tilde{\lambda}_i) \left( 1 - \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{B} \right) \right] \\
= -\pi\kappa^2 \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{w_i^2} J_0^2(\tilde{\lambda}_i) \left[ 1 + \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{4} - \frac{\tilde{\lambda}_i^4}{2B} + \frac{\tilde{\lambda}_i^6}{4B^2} - 1 + \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{B} \right] \\
= -\pi\kappa^2 \frac{\tilde{\lambda}_i^4}{w_i^2} J_0^2(\tilde{\lambda}_i) \left[ \frac{\tilde{\lambda}_i^4}{4B^2} - \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{2B} + \frac{1}{4} + \frac{1}{B} \right] \\
= -\pi\kappa^2 \frac{\tilde{\lambda}_i^4}{w_i^2} J_0^2(\tilde{\lambda}_i) \chi_{II,i}^2 \\
= -\pi\kappa^2 \frac{\tilde{\lambda}_i^4 J_0^2(\tilde{\lambda}_i)}{\tilde{\lambda}_i^2 J_0^2(\tilde{\lambda}_i)} \pi \chi_{I,i} \\
= -\kappa^2 \tilde{\lambda}_i^2 \frac{\chi_{II,i}^2}{\chi_{I,i}^2}
\end{aligned}
$$
Ou encore (cf. Éq. (C.23))

$$ = -\kappa^2 \tilde{\lambda}_i^2 \left( 1 - \frac{1}{B \chi_{1,i}^2} \right). $$

$$
\bullet \ 2\pi \int_0^1 \kappa^2 \tilde{\phi}_i \left( \frac{\partial}{\partial \tilde{r}} + \frac{1}{\tilde{r}} \right) \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_j \tilde{r} d\tilde{r}
$$
$$
\begin{align*}
& \stackrel{(C.28)}{=} -2\pi\kappa^2 \frac{\tilde{\lambda}_j^2}{w_i w_j} \int_0^1 [J_0(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) - J_0(\tilde{\lambda}_i)] J_0(\tilde{\lambda}_j \tilde{r}) \tilde{r} d\tilde{r} \\
&= -2\pi\kappa^2 \frac{\tilde{\lambda}_j^2}{w_i w_j} \left[ \int_0^1 J_0(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) J_0(\tilde{\lambda}_j \tilde{r}) \tilde{r} d\tilde{r} - J_0(\tilde{\lambda}_i) \int_0^1 J_0(\tilde{\lambda}_j \tilde{r}) \tilde{r} d\tilde{r} \right] \\
&= -2\pi\kappa^2 \frac{\tilde{\lambda}_j^2}{w_i w_j} \left[ \int_0^1 J_0(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) J_0(\tilde{\lambda}_j \tilde{r}) \tilde{r} d\tilde{r} - \frac{J_0(\tilde{\lambda}_i)}{\tilde{\lambda}_j^2} \int_{\tilde{r}=0}^{\tilde{r}=1} J_0(\tilde{\lambda}_j \tilde{r}) (\tilde{\lambda}_j \tilde{r}) d(\tilde{\lambda}_j \tilde{r}) \right] \\
& \stackrel{(C.11),(C.5)}{=} -2\pi\kappa^2 \frac{\tilde{\lambda}_j^2}{w_i w_j} \left[ \frac{\tilde{r}}{\tilde{\lambda}_i^2 - \tilde{\lambda}_j^2} (\tilde{\lambda}_i J_1(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) J_0(\tilde{\lambda}_j \tilde{r}) - \tilde{\lambda}_j J_0(\tilde{\lambda}_i \tilde{r}) J_1(\tilde{\lambda}_j \tilde{r})) - \frac{J_0(\tilde{\lambda}_i)}{\tilde{\lambda}_j^2} (\tilde{\lambda}_j \tilde{r}) J_1(\tilde{\lambda}_j \tilde{r}) \right]_{\tilde{r}=0}^{\tilde{r}=1} \\
&= -2\pi\kappa^2 \frac{\tilde{\lambda}_j^2}{w_i w_j} \left[ \frac{1}{\tilde{\lambda}_i^2 - \tilde{\lambda}_j^2} (\tilde{\lambda}_i J_1(\tilde{\lambda}_i) J_0(\tilde{\lambda}_j) - \tilde{\lambda}_j J_0(\tilde{\lambda}_i) J_1(\tilde{\lambda}_j)) - \frac{J_0(\tilde{\lambda}_i)}{\tilde{\lambda}_j} J_1(\tilde{\lambda}_j) \right] \\
&= -2\pi\kappa^2 \frac{\tilde{\lambda}_j^2}{w_i w_j} \left[ \left( \frac{-\tilde{\lambda}_j}{\tilde{\lambda}_i^2 - \tilde{\lambda}_j^2} - \frac{1}{\tilde{\lambda}_j} \right) J_0(\tilde{\lambda}_i) J_1(\tilde{\lambda}_j) + \frac{\tilde{\lambda}_i}{\tilde{\lambda}_i^2 - \tilde{\lambda}_j^2} J_0(\tilde{\lambda}_j) J_1(\tilde{\lambda}_i) \right] \\
&= -2\pi\kappa^2 \frac{\tilde{\lambda}_j^2}{w_i w_j} \left[ \frac{-\tilde{\lambda}_i^2}{\tilde{\lambda}_j (\tilde{\lambda}_i^2 - \tilde{\lambda}_j^2)} J_0(\tilde{\lambda}_i) J_1(\tilde{\lambda}_j) + \frac{\tilde{\lambda}_i \tilde{\lambda}_j}{\tilde{\lambda}_j (\tilde{\lambda}_i^2 - \tilde{\lambda}_j^2)} J_0(\tilde{\lambda}_j) J_1(\tilde{\lambda}_i) \right] \\
&= -2\pi\kappa^2 \frac{\tilde{\lambda}_i \tilde{\lambda}_j}{w_i w_j (\tilde{\lambda}_i^2 - \tilde{\lambda}_j^2)} \left[ -\tilde{\lambda}_i J_0(\tilde{\lambda}_i) J_1(\tilde{\lambda}_j) + \tilde{\lambda}_j J_0(\tilde{\lambda}_j) J_1(\tilde{\lambda}_i) \right] \\
& \stackrel{(C.20)}{=} -2\pi\kappa^2 \frac{\tilde{\lambda}_i \tilde{\lambda}_j}{w_i w_j (\tilde{\lambda}_i^2 - \tilde{\lambda}_j^2)} \left[ -\tilde{\lambda}_i J_0(\tilde{\lambda}_i) \frac{\tilde{\lambda}_j}{2} \left( 1 - \frac{\tilde{\lambda}_j^2}{B} \right) J_0(\tilde{\lambda}_j) + \tilde{\lambda}_j J_0(\tilde{\lambda}_j) \frac{\tilde{\lambda}_i}{2} \left( 1 - \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{B} \right) J_0(\tilde{\lambda}_i) \right] \\
&= -\frac{2\pi\kappa^2 \tilde{\lambda}_i \tilde{\lambda}_j}{w_i w_j (\tilde{\lambda}_i^2 - \tilde{\lambda}_j^2)} J_0(\tilde{\lambda}_i) J_0(\tilde{\lambda}_j) \left[ -\frac{\tilde{\lambda}_i \tilde{\lambda}_j}{2} \left( 1 - \frac{\tilde{\lambda}_j^2}{B} \right) + \frac{\tilde{\lambda}_i \tilde{\lambda}_j}{2} \left( 1 - \frac{\tilde{\lambda}_i^2}{B} \right) \right] \\
&= +\frac{2\pi\kappa^2 \tilde{\lambda}_i \tilde{\lambda}_j}{w_i w_j (\tilde{\lambda}_i^2 - \tilde{\lambda}_j^2)} J_0(\tilde{\lambda}_i) J_0(\tilde{\lambda}_j) \frac{\tilde{\lambda}_i \tilde{\lambda}_j (\tilde{\lambda}_i^2 - \tilde{\lambda}_j^2)}{2B} \\
&= \frac{\pi\kappa^2 \tilde{\lambda}_i^2 \tilde{\lambda}_j^2}{B w_i w_j} J_0(\tilde{\lambda}_i) J_0(\tilde{\lambda}_j) \\
&= \frac{\pi\kappa^2 \tilde{\lambda}_i^2 \tilde{\lambda}_j^2 J_0(\tilde{\lambda}_i) J_0(\tilde{\lambda}_j)}{B \tilde{\lambda}_i |J_0(\tilde{\lambda}_i)| \sqrt{\pi \chi_{1,i} \tilde{\lambda}_j} |J_0(\tilde{\lambda}_j)| \sqrt{\pi \chi_{1,j}}} \\
&= \frac{\kappa^2 \tilde{\lambda}_i \tilde{\lambda}_j \operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_i)) \operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_j))}{B \chi_{1,i} \chi_{1,j}}
\end{align*}
$$
$$
\begin{array}{c}
\hat{V} = \left[
\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & 2\pi\kappa^2 \int_0^1 (\partial_{\tau} \bar{\phi}_1)^2 \bar{\tau} d\bar{\tau} & 2\pi\kappa^2 \int_0^1 (\partial_{\tau} \bar{\phi}_1 \cdot \partial_{\tau} \bar{\phi}_2) \bar{\tau} d\bar{\tau} & 0 \\
0 & 0 & 2\pi\kappa^2 \int_0^1 (\partial_{\tau} \bar{\phi}_1 \cdot \partial_{\tau} \bar{\phi}_2) \bar{\tau} d\bar{\tau} & 2\pi\kappa^2 \int_0^1 (\partial_{\tau} \bar{\phi}_1)^2 \bar{\tau} d\bar{\tau} & 0 \\
2\pi\kappa^2 \int_0^1 \bar{\phi}_1 \left(\frac{\partial}{\partial \bar{\tau}} + \frac{1}{\bar{\tau}}\right) \partial_{\tau} \bar{\phi}_1 \bar{\tau} d\bar{\tau} & 2\pi\kappa^2 \int_0^1 \bar{\phi}_1 \left(\frac{\partial}{\partial \bar{\tau}} + \frac{1}{\bar{\tau}}\right) \partial_{\tau} \bar{\phi}_2 \bar{\tau} d\bar{\tau} & 0 & -2\pi\alpha\kappa \int_0^1 \bar{\phi}_1 \bar{\tau} d\bar{\tau} & 0 \\
2\pi\kappa^2 \int_0^1 \bar{\phi}_2 \left(\frac{\partial}{\partial \bar{\tau}} + \frac{1}{\bar{\tau}}\right) \partial_{\tau} \bar{\phi}_1 \bar{\tau} d\bar{\tau} & 2\pi\kappa^2 \int_0^1 \bar{\phi}_2 \left(\frac{\partial}{\partial \bar{\tau}} + \frac{1}{\bar{\tau}}\right) \partial_{\tau} \bar{\phi}_2 \bar{\tau} d\bar{\tau} & 0 & -2\pi\alpha\kappa \int_0^1 \bar{\phi}_2 \bar{\tau} d\bar{\tau} & 0
\end{array}
\right]
\\
\\
= \left[
\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & \kappa^2 \bar{\lambda}_1^2 \chi_{1,1}^2 & -\frac{\kappa^2 \bar{\lambda}_1 \bar{\lambda}_2}{B} \frac{\text{sign}(I_0(\bar{\lambda}_1)) \text{sign}(I_0(\bar{\lambda}_2))}{\chi_{1,1}\chi_{1,2}} & 0 \\
0 & 0 & -\kappa^2 \bar{\lambda}_1^2 \chi_{1,1}^2 & 0 & 0 \\
-\kappa^2 \bar{\lambda}_1^2 \chi_{1,1}^2 & -\kappa^2 \bar{\lambda}_1^2 \chi_{1,2}^2 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{\pi\alpha\kappa}}{B\chi_{1,1}} \bar{\lambda}_1 \text{sign}(I_0(\bar{\lambda}_1)) \\
\frac{\kappa^2 \bar{\lambda}_1 \bar{\lambda}_2}{B} \frac{\text{sign}(I_0(\bar{\lambda}_1)) \text{sign}(I_0(\bar{\lambda}_2))}{\chi_{1,1}\chi_{1,2}} & -\kappa^2 \bar{\lambda}_2^2 \chi_{1,1}^2 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{\pi\alpha\kappa}}{B\chi_{1,2}} \bar{\lambda}_2 \text{sign}(I_0(\bar{\lambda}_2)) \\
0 & 0 & -\frac{\sqrt{\pi\alpha\kappa}}{B\chi_{1,1}} \bar{\lambda}_1 \text{sign}(I_0(\bar{\lambda}_1)) & -\frac{\sqrt{\pi\alpha\kappa}}{B\chi_{1,2}} \bar{\lambda}_2 \text{sign}(I_0(\bar{\lambda}_2)) & 0
\end{array}
\right]
\end{array}
$$
$$
\tilde{f} = \tilde{w}^{-1} \cdot \tilde{v} \tilde{w}^{-1}
$$

$$
\tilde{f} = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
-\tilde{\lambda}_1^2 \frac{\chi_{II,1}^2}{\chi_{I,1}^2} & \frac{\tilde{\lambda}_1 \tilde{\lambda}_2}{B} \frac{\text{sign}_1 \text{sign}_2}{\chi_{I,1} \chi_{I,2}} & 0 & 0 & \frac{\sqrt{\pi \alpha}}{\kappa B \chi_{I,1}} \tilde{\lambda}_1 \text{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_1)) \\
\frac{\tilde{\lambda}_1 \tilde{\lambda}_2}{B} \frac{\text{sign}_1 \text{sign}_2}{\chi_{I,1} \chi_{I,2}} & -\tilde{\lambda}_2 \frac{\chi_{II,1}^2}{\chi_{I,2}^2} & 0 & 0 & \frac{\sqrt{\pi \alpha}}{\kappa B \chi_{I,2}} \tilde{\lambda}_2 \text{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_2)) \\
\multicolumn{5}{c}{-\frac{\sqrt{\pi \alpha \kappa}}{B \chi_{I,1}} \tilde{\lambda}_1 \text{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_1)) - \frac{\sqrt{\pi \alpha \kappa}}{B \chi_{I,2}} \tilde{\lambda}_2 \text{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_2))}
\end{bmatrix}
$$
Finalement, on obtient

$$
\tilde{J} = \begin{bmatrix}
0 & 0 & \frac{1}{\kappa^2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{1}{\kappa^2} & 0 \\
-\frac{1}{\kappa^2} & 0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{\pi a}}{\kappa B_{\chi_{1,1}}} \tilde{\Lambda}_1 \operatorname{sign}(J_0(\tilde{\Lambda}_1)) \\
0 & -\frac{1}{\kappa^2} & 0 & 0 & \frac{\sqrt{\pi a}}{\kappa B_{\chi_{1,2}}} \tilde{\Lambda}_2 \operatorname{sign}(J_0(\tilde{\Lambda}_2)) \\
0 & 0 & -\frac{\sqrt{\pi a}}{\kappa B_{\chi_{1,1}}} \tilde{\Lambda}_1 \operatorname{sign}(J_0(\tilde{\Lambda}_1)) & -\frac{\sqrt{\pi a}}{\kappa B_{\chi_{1,2}}} \tilde{\Lambda}_2 \operatorname{sign}(J_0(\tilde{\Lambda}_2)) & 0
\end{bmatrix}
$$

On a que

$$
\tilde{J}^{\mathrm{T}}=-\tilde{J}.
$$

Projection de l'opérateur $\mathcal{R}$

$$
\begin{align*}
\tilde{\Phi} \tilde{R} \tilde{\Phi}^{\mathrm{T}} &=
\begin{bmatrix}
0 & \kappa \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_1 & 0 \\
0 & \kappa \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_2 & 0 \\
\kappa \tilde{\phi}_1 & 0 & 0 \\
\kappa \tilde{\phi}_2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\zeta & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 0 & \kappa \tilde{\phi}_1 & \kappa \tilde{\phi}_2 & 0 \\
\kappa \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_1 & \kappa \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}
0 & \kappa \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_1 & 0 \\
0 & \kappa \partial_{\tilde{r}} \tilde{\phi}_2 & 0 \\
\kappa \tilde{\phi}_1 & 0 & 0 \\
\kappa \tilde{\phi}_2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 0 & \kappa \zeta \tilde{\phi}_1 & \kappa \zeta \tilde{\phi}_2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \kappa^2 \zeta \tilde{\phi}_1^2 & \kappa^2 \zeta \tilde{\phi}_1 \tilde{\phi}_2 & 0 \\
0 & 0 & \kappa^2 \zeta \tilde{\phi}_1 \tilde{\phi}_2 & \kappa^2 \zeta \tilde{\phi}_2^2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \\
&= \kappa^2 \zeta
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \tilde{\phi}_1^2 & \tilde{\phi}_1 \tilde{\phi}_2 & 0 \\
0 & 0 & \tilde{\phi}_1 \tilde{\phi}_2 & \tilde{\phi}_2^2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\tilde{V}_2 &= 2\pi\kappa^2\zeta \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \int_0^1 \tilde{\phi}_1^2 \tilde{r} \, d\tilde{r} & \int_0^1 \tilde{\phi}_1 \tilde{\phi}_2 \tilde{r} \, d\tilde{r} & 0 \\
0 & 0 & \int_0^1 \tilde{\phi}_1 \tilde{\phi}_2 \tilde{r} \, d\tilde{r} & \int_0^1 \tilde{\phi}_2^2 \tilde{r} \, d\tilde{r} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \\
&= \kappa^2 \zeta \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \kappa^2 \zeta & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \kappa^2 \zeta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\end{align*}
$$
$$
\tilde{W}^{-1} \tilde{V}_2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \zeta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \zeta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
$$

$$
\tilde{\mathbf{R}} = \tilde{\mathbf{W}}^{-1} \tilde{\mathbf{V}}_2 \tilde{\mathbf{W}}^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\zeta}{\kappa^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{\zeta}{\kappa^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
$$

On a que $\tilde{\mathbf{R}} = \tilde{\mathbf{R}}^{\mathrm{T}} \succeq 0$.

SHP projeté

En injectant les expressions obtenues pour $\tilde{J}$, $\tilde{\mathbf{R}}$, $\tilde{\mathbf{W}}$ dans la formule de projection (C.26), et en considérant à nouveau l'état entier, on trouve après quelques multiplications la forme SHP projeté à N modes.

Dans la suite, sign $(J_0(\tilde{\lambda}_i))$ sera noté comme $\text{sign}_i$.

SHP projeté pour $N = 1$

$$
\frac{d}{d\tilde{t}} \begin{bmatrix} \tilde{z}_1 \\ \partial_{\tilde{t}} \tilde{z}_1 \\ \tilde{V}_c \\ \tilde{\pi}_1 \\ \tilde{l}_1 \end{bmatrix} = \\
\left( \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{\kappa^2} & & & \\ -\frac{1}{\kappa^2} & 0 & \frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\kappa B \chi_{1,1}} & \tilde{\lambda}_1 \text{sign}_1 & \\ 0 & -\frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\kappa B \chi_{1,1}} & \tilde{\lambda}_1 \text{sign}_1 & 0 & \\ 0 & 0 & \beta_1 & 0 & \\ 0 & 0 & 0 & \beta_2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \tilde{l}_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\zeta}{\kappa^2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \zeta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\zeta}{\kappa^2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \zeta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \right) \\
\times \begin{bmatrix} \kappa^2 \tilde{\lambda}_1^2 \frac{\chi_{l,1}^2}{\tilde{\lambda}_{l,1}} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \kappa^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde{z}_1 \\ \partial_{\tilde{t}} \tilde{z}_1 \\ \tilde{V}_c \\ \tilde{\pi}_1 \\ \tilde{l}_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \tilde{l}_1
$$
SHP projeté pour N = 2

$$
\frac{d}{df} \begin{bmatrix} \bar{z}_1 \\ \bar{z}_2 \\ \partial_t \bar{z}_1 \\ \partial_t \bar{z}_2 \\ \bar{V}_c \\ \bar{\pi}_1 \\ \bar{\zeta}_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \frac{1}{\kappa^2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\kappa^2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{1}{\kappa^2} & 0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\kappa B\chi_{1,1}} \lambda_1 \text{sign}_1 & 0 & 0 & 0 & -\frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\kappa B\chi_{1,2}} \lambda_2 \text{sign}_2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{\kappa^2} & 0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\kappa B\chi_{1,1}} \lambda_1 \text{sign}_1 & 0 & -\beta_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\kappa B\chi_{1,1}} \lambda_1 \text{sign}_1 & 0 & 0 & -\frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\kappa B\chi_{1,2}} \lambda_2 \text{sign}_2 & \beta_1 & 0 & -\beta_2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} \kappa^2 \bar{\lambda}_1^2 \frac{\lambda_{1,1}^2}{\lambda_{1,1}} & -\kappa^2 \bar{\lambda}_1^2 \frac{\lambda_{1,2}^2}{\lambda_{1,2}} & \kappa^2 \bar{\lambda}_2^2 \frac{\lambda_{1,2}^2}{\lambda_{1,2}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\kappa^2 \bar{\lambda}_1^2 \frac{\lambda_{1,2}^2}{\lambda_{1,2}} \text{sign}_1 \text{sign}_2 & \kappa^2 \bar{\lambda}_2^2 \frac{\lambda_{1,2}^2}{\lambda_{1,2}} & 0 & \kappa^2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \bar{z}_1 \\ \bar{z}_2 \\ \partial_t \bar{z}_1 \\ \partial_t \bar{z}_2 \\ \bar{V}_c \\ \bar{\pi}_1 \\ \bar{\zeta}_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}
$$
SHP projeté pour N = 3

<figure><img src="image_185.png" /></figure>
### C.2.4 Représentation d'état

Pour réécrire le SHP sous la représentation d'état standard, on calcule d'abord le produit $(\tilde{J} - \tilde{\mathbf{R}})\tilde{W}$ de sorte à obtenir (pour $N = 2$)

$$ \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} \tilde{z}_1 \\ \tilde{z}_2 \\ \partial_t \tilde{z}_1 \\ \partial_t \tilde{z}_2 \\ \tilde{V}_c \\ \tilde{\pi}_1 \\ \tilde{\ell}_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{\tilde{\lambda}_1^2}{\tilde{B}} \frac{\tilde{\lambda}_{1,1}^2}{\tilde{\lambda}_{1,1}^2 \tilde{\lambda}_{1,2}^2} & \frac{\tilde{\lambda}_1 \tilde{\lambda}_2}{\tilde{B}} \text{sign}_1 \text{sign}_2 & -\zeta & 0 & \frac{\sqrt{\pi \alpha}}{x B \tilde{\chi}_{1,1}} \tilde{\lambda}_1 \text{sign}_1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{\tilde{\lambda}_1 \tilde{\lambda}_2}{B} \frac{\text{sign}_1 \text{sign}_2}{\tilde{\lambda}_{1,1} \tilde{\lambda}_{1,2}} & -\frac{\tilde{\lambda}_2^2}{\tilde{B}} \frac{\tilde{\lambda}_{1,1}^2}{\tilde{\lambda}_{1,2}^2} & 0 & -\zeta & \frac{\sqrt{\pi \alpha}}{x B \tilde{\chi}_{1,2}} \tilde{\lambda}_2 \text{sign}_2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{\kappa \sqrt{\pi \alpha}}{B \tilde{\chi}_{1,1}} \tilde{\lambda}_1 \text{sign}_1 & -\frac{\kappa \sqrt{\pi \alpha}}{B \tilde{\chi}_{1,2}} \tilde{\lambda}_2 \text{sign}_2 & 0 & -\beta_1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \beta_1 & -\zeta & -\beta_2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \beta_2 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde{z}_1 \\ \tilde{z}_2 \\ \partial_t \tilde{z}_1 \\ \partial_t \tilde{z}_2 \\ \tilde{V}_c \\ \tilde{\pi}_1 \\ \tilde{\ell}_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \tilde{\ell}_1 $$

On substitue ensuite la relation statique de la cavité :

$$ \frac{d\tilde{V}_c}{d\tilde{t}} = -\frac{\kappa\sqrt{\pi\alpha}}{B\chi_{1,1}}\tilde{\lambda}_1\text{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_1))\frac{d\tilde{z}_1}{d\tilde{t}} - \frac{\kappa\sqrt{\pi\alpha}}{B\chi_{1,2}}\tilde{\lambda}_2\text{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_2))\frac{d\tilde{z}_2}{d\tilde{t}} - \beta_1\tilde{\pi}_1, $$

qui, puisque

$$ \tilde{\pi}_1 = \frac{1}{\beta_2} \frac{d\tilde{\ell}_1}{d\tilde{t}}, $$

s'écrit comme

$$ \frac{d\tilde{V}_c}{d\tilde{t}} = -\frac{\kappa\sqrt{\pi\alpha}}{B\chi_{1,1}}\tilde{\lambda}_1\text{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_1))\frac{d\tilde{z}_1}{d\tilde{t}} - \frac{\kappa\sqrt{\pi\alpha}}{B\chi_{1,2}}\tilde{\lambda}_2\text{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_2))\frac{d\tilde{z}_2}{d\tilde{t}} - \frac{\beta_1}{\beta_2}\frac{d\tilde{\ell}_1}{d\tilde{t}}, $$

et après intégration,

$$ \tilde{V}_c = -\frac{\kappa\sqrt{\pi\alpha}}{B\chi_{1,1}}\tilde{\lambda}_1\text{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_1))\tilde{z}_1 - \frac{\kappa\sqrt{\pi\alpha}}{B\chi_{1,2}}\tilde{\lambda}_2\text{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_2))\tilde{z}_2 - \frac{\beta_1}{\beta_2}\tilde{\ell}_1. $$

La représentation d'état $\dot{x} = Ax + Bu$ ainsi obtenue est montrée pour les cas $N = 1,2,3$ ci-dessous.

La sortie (mesure) $y$ est la pression dans la cavité (cas $N = 2$) :

$$ y = \tilde{p}_c = -\gamma \tilde{V}_c = \gamma \frac{\kappa \sqrt{\pi \alpha}}{B \chi_{1,1}} \tilde{\lambda}_1 \text{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_1)) \tilde{z}_1 + \gamma \frac{\kappa \sqrt{\pi \alpha}}{B \chi_{1,2}} \tilde{\lambda}_2 \text{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_2)) \tilde{z}_2 + \gamma \frac{\beta_1}{\beta_2} \tilde{\ell}_1, $$

donc $y = Cx$ s'écrit comme

$$ y = \begin{bmatrix} \gamma \frac{\kappa \sqrt{\pi \alpha}}{B \chi_{1,1}} \tilde{\lambda}_1 \text{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_1)) & \gamma \frac{\kappa \sqrt{\pi \alpha}}{B \chi_{1,2}} \tilde{\lambda}_2 \text{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_2)) & 0 & 0 & 0 & \gamma \frac{\beta_1}{\beta_2} \\ \partial_t \tilde{z}_1 & \partial_t \tilde{z}_2 & \tilde{\pi}_1 & \tilde{\ell}_1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde{z}_1 \\ \tilde{z}_2 \\ \partial_t \tilde{z}_1 \\ \partial_t \tilde{z}_2 \\ \tilde{\pi}_1 \\ \tilde{\ell}_1 \end{bmatrix}. $$

Représentation d'état pour $N = 1$

$$ \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} \tilde{z}_1 \\ \partial_t \tilde{z}_1 \\ \tilde{\pi}_1 \\ \tilde{\ell}_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\tilde{\lambda}_1^2 \frac{\tilde{\lambda}_{1,1}^2}{\tilde{\lambda}_{1,1}^2} - \frac{\pi \alpha^2}{B^2 \tilde{\lambda}_{1,1}^2} \tilde{\lambda}_1^2 & -\zeta & 0 & -\frac{\beta_1}{\beta_2} \frac{\sqrt{\pi \alpha}}{\kappa B \tilde{\chi}_{1,1}} \tilde{\lambda}_1 \text{sign}_1 \\ -\beta_1 \frac{\kappa \sqrt{\pi \alpha}}{B \tilde{\chi}_{1,1}} \tilde{\lambda}_1 \text{sign}_1 & 0 & -\zeta & -\beta_2 - \frac{\beta_1^2}{\beta_2^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \beta_2 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde{z}_1 \\ \partial_t \tilde{z}_1 \\ \tilde{\pi}_1 \\ \tilde{\ell}_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \tilde{\ell}_1 $$
Représentation d'état pour N = 2

$$
\frac{\begin{bmatrix} \tilde{z}_1 \\ \tilde{z}_2 \\ \tilde{r}_1 \\ \tilde{t}_1 \end{bmatrix}}{\frac{\begin{bmatrix} \tilde{z} \\ \tilde{z} \\ \tilde{r} \\ \tilde{t} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix} \partial_t \tilde{z}_1 \\ \partial_t \tilde{z}_2 \\ \tilde{r}_1 \\ \tilde{t}_1 \end{bmatrix}}} = \frac{\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -\tilde{\lambda}_1^2 \frac{\tilde{\lambda}_{1,1}^2}{\tilde{\lambda}_{1,1}} - \frac{\pi \alpha^2}{B^2 \tilde{\lambda}_{1,1}^2} \tilde{\lambda}_1^2 \\ -\tilde{\lambda}_1^2 \frac{\tilde{\lambda}_{1,2}^2}{\tilde{\lambda}_{1,2}} - \frac{\pi \alpha^2}{B^2 \tilde{\lambda}_{1,2}^2} \tilde{\lambda}_1^2 \\ \frac{\tilde{\lambda}_1 \tilde{\lambda}_2}{B} \text{sign}_1 \text{sign}_2 - \frac{\pi \alpha^2}{B^2 \tilde{\lambda}_{1,1}^2} \tilde{\lambda}_1 \tilde{\lambda}_2 \text{sign}_1 \text{sign}_2 \\ -\beta_1 \frac{\kappa \sqrt{\pi \alpha}}{B \tilde{\lambda}_{1,1}} \tilde{\lambda}_1 \text{sign}_1 \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -\tilde{\zeta} \\ -\beta_1 \frac{\kappa \sqrt{\pi \alpha}}{B \tilde{\lambda}_{1,2}} \tilde{\lambda}_2 \text{sign}_2 \end{bmatrix}}
$$

(C.29)
### C.3 CONTRÔLE MODAL

#### C.3.1 Régulateur en temps fini

##### C.3.1.1 Sous-système de la membrane contrôlée en pression

Nous isolons les 2N premières équations du SHP. La matrice $\tilde{W}$ est diagonale pour le cas $N = 1$ ou diagonale par blocs pour $N \ge 2$ et le seul couplage avec la partie « cavité » est à travers l'élément $\tilde{\mathcal{J}}_{2N,2N+1}$. Nous considérons $\tilde{V}_c$ (ou encore $\tilde{p}_c$) comme une entrée (au lieu d'un état), ce qui donne, pour $N = 1$,

$$ 
\begin{aligned}
\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} \tilde{z}_1 \\ \partial_t \tilde{z}_1 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{\kappa^2} \\ -\frac{1}{\kappa^2} & -\frac{\zeta}{\kappa^2} \end{bmatrix} \tilde{W}_{(1:2)\times(1:2)} \begin{bmatrix} \tilde{z}_1 \\ \partial_t \tilde{z}_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\kappa B \chi_{I,1}} \tilde{\lambda}_1 \operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_1)) \end{bmatrix} \tilde{W}_{3,3} \tilde{V}_c \\
&= \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{\kappa^2} \\ -\frac{1}{\kappa^2} & -\frac{\zeta}{\kappa^2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \kappa^2 \tilde{\lambda}_1^2 \frac{\chi_{II,1}}{\chi_{I,1}^2} & 0 \\ 0 & \kappa^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde{z}_1 \\ \partial_t \tilde{z}_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\kappa B \chi_{I,1}} \tilde{\lambda}_1 \operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_1)) \end{bmatrix} \cdot 1 \cdot \left(-\frac{\tilde{p}_c}{\gamma}\right) \\
&= \underbrace{\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\tilde{\lambda}_1^2 \frac{\chi_{II,1}}{\chi_{I,1}^2} & -\zeta \end{bmatrix}}_{A} \begin{bmatrix} \tilde{z}_1 \\ \partial_t \tilde{z}_1 \end{bmatrix} + \underbrace{\begin{bmatrix} 0 \\ -\frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\gamma \kappa B \chi_{I,1}} \tilde{\lambda}_1 \operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_1)) \end{bmatrix}}_{B} \tilde{p}_c.
\end{aligned}
$$

De la même manière, le cas $N = 2$ est calculé comme suivant :

$$ 
\begin{aligned}
\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} \tilde{z}_1 \\ \partial_t \tilde{z}_1 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & \frac{1}{\kappa^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\kappa^2} \\ -\frac{1}{\kappa^2} & 0 & -\frac{\zeta}{\kappa^2} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{\kappa^2} & 0 & -\frac{\zeta}{\kappa^2} \end{bmatrix} \tilde{W}_{(1:4)\times(1:4)} \begin{bmatrix} \tilde{z}_1 \\ \partial_t \tilde{z}_1 \\ \partial_t \tilde{z}_2 \\ \partial_t \tilde{z}_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\kappa B \chi_{I,1}} \tilde{\lambda}_1 \operatorname{sign}_1 \\ \frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\kappa B \chi_{I,2}} \tilde{\lambda}_2 \operatorname{sign}_2 \end{bmatrix} \tilde{W}_{5,5} \tilde{V}_c \\
&= \begin{bmatrix} 0 & 0 & \frac{1}{\kappa^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\kappa^2} \\ -\frac{1}{\kappa^2} & 0 & -\frac{\zeta}{\kappa^2} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{\kappa^2} & 0 & -\frac{\zeta}{\kappa^2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \kappa^2 \tilde{\lambda}_1^2 \frac{\chi_{II,1}}{\chi_{I,1}^2} & -\frac{\kappa^2}{B} \frac{\tilde{\lambda}_1 \tilde{\lambda}_2}{\chi_{I,1} \chi_{I,2}} \operatorname{sign}_1 \operatorname{sign}_2 \\ -\frac{\kappa^2}{B} \frac{\tilde{\lambda}_1 \tilde{\lambda}_2}{\chi_{I,1} \chi_{I,2}} \operatorname{sign}_1 \operatorname{sign}_2 & \kappa^2 \tilde{\lambda}_2^2 \frac{\chi_{II,2}}{\chi_{I,2}^2} \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde{z}_1 \\ \tilde{z}_2 \\ \partial_t \tilde{z}_1 \\ \partial_t \tilde{z}_2 \end{bmatrix} \\
&\quad + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\kappa B \chi_{I,1}} \tilde{\lambda}_1 \operatorname{sign}_1 \\ \frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\kappa B \chi_{I,2}} \tilde{\lambda}_2 \operatorname{sign}_2 \end{bmatrix} \cdot 1 \cdot \left(-\frac{\tilde{p}_c}{\gamma}\right) \\
&= \underbrace{\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -\tilde{\lambda}_1^2 \frac{\chi_{II,1}}{\chi_{I,1}^2} & \frac{\tilde{\lambda}_1 \tilde{\lambda}_2}{\chi_{I,1} \chi_{I,2}} \operatorname{sign}_1 \operatorname{sign}_2 & -\zeta & 0 \\ \frac{\tilde{\lambda}_1 \tilde{\lambda}_2}{\chi_{I,1} \chi_{I,2}} \operatorname{sign}_1 \operatorname{sign}_2 & \frac{\tilde{\lambda}_2^2 \chi_{II,2}}{\chi_{I,2}^2} & 0 & -\zeta \end{bmatrix}}_{A} \begin{bmatrix} \tilde{z}_1 \\ \tilde{z}_2 \\ \partial_t \tilde{z}_1 \\ \partial_t \tilde{z}_2 \end{bmatrix} + \underbrace{\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -\frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\gamma \kappa B \chi_{I,1}} \tilde{\lambda}_1 \operatorname{sign}_1 \\ -\frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\gamma \kappa B \chi_{I,2}} \tilde{\lambda}_2 \operatorname{sign}_2 \end{bmatrix}}_{B} \tilde{p}_c
\end{aligned}
$$

Modèle pour $N = 1$

$$ \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} \tilde{z}_1 \\ \partial_t \tilde{z}_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\tilde{\lambda}_1^2 \frac{\chi_{II,1}}{\chi_{I,1}^2} & -\zeta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde{z}_1 \\ \partial_t \tilde{z}_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ -\frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\gamma\kappa B\chi_{I,1}} \tilde{\lambda}_1 \operatorname{sign}_1 \end{bmatrix} \tilde{p}_c $$
Modèle pour N = 2

$$
\frac{d}{d\hat{t}} \begin{bmatrix} \hat{z}_1 \\ \hat{z}_2 \\ \partial_{\hat{t}} \hat{z}_1 \\ \partial_{\hat{t}} \hat{z}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -\tilde{\lambda}_1^2 \frac{\tilde{\lambda}_{1,1}^2}{\tilde{\lambda}_{1,1}^2} & \frac{1}{B} \frac{\tilde{\lambda}_1 \tilde{\lambda}_2}{\tilde{\lambda}_{1,1} \tilde{\lambda}_{1,2}} \operatorname{sign}_1 \operatorname{sign}_2 & -\zeta & 0 \\ \frac{1}{B} \frac{\tilde{\lambda}_1 \tilde{\lambda}_2}{\tilde{\lambda}_{1,1} \tilde{\lambda}_{1,2}} \operatorname{sign}_1 \operatorname{sign}_2 & -\tilde{\lambda}_2^2 \frac{\tilde{\lambda}_{1,2}^2}{\tilde{\lambda}_{1,2}^2} & 0 & -\zeta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{z}_1 \\ \hat{z}_2 \\ \partial_{\hat{t}} \hat{z}_1 \\ \partial_{\hat{t}} \hat{z}_2 \end{bmatrix} \\
+ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -\frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\gamma\kappa B \chi_{1,1}} \tilde{\lambda}_1 \operatorname{sign}_1 \\ -\frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\gamma\kappa B \chi_{1,2}} \tilde{\lambda}_2 \operatorname{sign}_2 \end{bmatrix} \tilde{p}_c
$$

Modèle pour N = 3

$$
\frac{d}{d\hat{t}} \begin{bmatrix} \hat{z}_1 \\ \hat{z}_2 \\ \hat{z}_3 \\ \partial_{\hat{t}} \hat{z}_1 \\ \partial_{\hat{t}} \hat{z}_2 \\ \partial_{\hat{t}} \hat{z}_3 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
-\tilde{\lambda}_1^2 \frac{\tilde{\lambda}_{1,1}^2}{\tilde{\lambda}_{1,1}^2} & \frac{1}{B} \tilde{\lambda}_1 \tilde{\lambda}_2 \frac{\operatorname{sign}_1 \operatorname{sign}_2}{\tilde{\lambda}_{1,1} \tilde{\lambda}_{1,2}} & \frac{1}{B} \tilde{\lambda}_1 \tilde{\lambda}_3 \frac{\operatorname{sign}_1 \operatorname{sign}_3}{\tilde{\lambda}_{1,1} \tilde{\lambda}_{1,3}} & -\zeta & 0 & 0 \\
\frac{1}{B} \tilde{\lambda}_1 \tilde{\lambda}_2 \frac{\operatorname{sign}_1 \operatorname{sign}_2}{\tilde{\lambda}_{1,1} \tilde{\lambda}_{1,2}} & -\tilde{\lambda}_2^2 \frac{\tilde{\lambda}_{1,2}^2}{\tilde{\lambda}_{1,2}^2} & \frac{1}{B} \tilde{\lambda}_2 \tilde{\lambda}_3 \frac{\operatorname{sign}_2 \operatorname{sign}_3}{\tilde{\lambda}_{1,2} \tilde{\lambda}_{1,3}} & 0 & -\zeta & 0 \\
\frac{1}{B} \tilde{\lambda}_1 \tilde{\lambda}_3 \frac{\operatorname{sign}_1 \operatorname{sign}_3}{\tilde{\lambda}_{1,1} \tilde{\lambda}_{1,3}} & \frac{1}{B} \tilde{\lambda}_2 \tilde{\lambda}_3 \frac{\operatorname{sign}_2 \operatorname{sign}_3}{\tilde{\lambda}_{1,2} \tilde{\lambda}_{1,3}} & -\tilde{\lambda}_3^2 \frac{\tilde{\lambda}_{1,3}^2}{\tilde{\lambda}_{1,3}^2} & 0 & 0 & -\zeta
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\hat{z}_1 \\ \hat{z}_2 \\ \hat{z}_3 \\ \partial_{\hat{t}} \hat{z}_1 \\ \partial_{\hat{t}} \hat{z}_2 \\ \partial_{\hat{t}} \hat{z}_3
\end{bmatrix}
+ \begin{bmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\
-\frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\gamma\kappa B \chi_{1,1}} \tilde{\lambda}_1 \operatorname{sign}_1 \\ -\frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\gamma\kappa B \chi_{1,2}} \tilde{\lambda}_2 \operatorname{sign}_2 \\ -\frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\gamma\kappa B \chi_{1,3}} \tilde{\lambda}_3 \operatorname{sign}_3
\end{bmatrix} \tilde{p}_c
$$

C.3.1.2 Commandabilité

On prouve que le sous-système de la membrane contrôlée par la pression est com-
mandable. Pour cela, il faut prouver que la matrice de commandabilité C est de rang
pleine. On montre les cas N = 1 et 2.

Cas N = 1 (ici sans dissipation)

Matrice de commandabilité :

$$
\begin{align*}
C \triangleq [B \quad AB] &= \begin{bmatrix} 0 & -\frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\gamma\kappa B\chi_{1,1}}\tilde{\lambda}_1 \operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_1)) \\ -\frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\gamma\kappa B\chi_{1,1}}\tilde{\lambda}_1 \operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_1)) & 0 \end{bmatrix} \\
&= -\frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\gamma\kappa B\chi_{1,1}}\tilde{\lambda}_1 \operatorname{sign}(J_0(\tilde{\lambda}_1)) \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}.
\end{align*}
$$

On a que rang($C$) = 2 donc le système est commandable.
Cas N = 2 (avec dissipation)

$$C \triangleq \begin{bmatrix} B & AB & A^2B & A^3B \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} 0 & -\frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\gamma k B \chi_{1,1}} \lambda_1 \operatorname{sign}_1 & \frac{\zeta \sqrt{\pi\alpha}}{\gamma k B \chi_{1,1}} \lambda_1 \operatorname{sign}_1 & \lambda_1^3 \frac{\chi_{1,1}^2}{\chi_{1,1}} \frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\gamma k B} \operatorname{sign}_1 - \frac{\lambda_1 \lambda_2^2}{\chi_{1,1} \chi_{1,2}} \frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\gamma k B} - \frac{\zeta^2 \sqrt{\pi\alpha}}{\gamma k B \chi_{1,1}} \lambda_1 \operatorname{sign}_1 \\ 0 & -\frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\gamma k B \chi_{1,2}} \lambda_2 \operatorname{sign}_2 & \frac{\zeta \sqrt{\pi\alpha}}{\gamma k B \chi_{1,2}} \lambda_2 \operatorname{sign}_2 & -\frac{\lambda_1^2 \lambda_2}{\chi_{1,1} \chi_{1,2}} \frac{\operatorname{sign}_2 \sqrt{\pi\alpha}}{\gamma k B} + \frac{\lambda_2^3 \chi_{1,2}^2}{\chi_{1,2}^3} \frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\gamma k B} \operatorname{sign}_2 - \frac{\zeta^2 \sqrt{\pi\alpha}}{\gamma k B \chi_{1,2}} \lambda_2 \operatorname{sign}_2 \\ -\frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\gamma k B \chi_{1,1}} \lambda_1 \operatorname{sign}_1 & \frac{\zeta \sqrt{\pi\alpha}}{\gamma k B \chi_{1,1}} \lambda_1 \operatorname{sign}_1 & \lambda_1^3 \frac{\chi_{1,1}^2}{\chi_{1,1}} \frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\gamma k B} \operatorname{sign}_1 - \frac{\lambda_1 \lambda_2^2}{\chi_{1,1} \chi_{1,2}} \frac{\operatorname{sign}_1 \sqrt{\pi\alpha}}{\gamma k B} - \frac{\zeta^2 \sqrt{\pi\alpha}}{\gamma k B \chi_{1,1}} \lambda_1 \operatorname{sign}_1 & -\frac{\lambda_1^3 \chi_{1,1}^2}{\chi_{1,1}^3} \frac{\zeta \sqrt{\pi\alpha}}{\gamma k B} \operatorname{sign}_1 + \frac{\lambda_1 \lambda_2^2}{\chi_{1,1} \chi_{1,2}} \frac{\operatorname{sign}_1 \zeta \sqrt{\pi\alpha}}{\gamma k B} - \zeta \operatorname{sign}_1 (3.3) \\ -\frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\gamma k B \chi_{1,2}} \lambda_2 \operatorname{sign}_2 & \frac{\zeta \sqrt{\pi\alpha}}{\gamma k B \chi_{1,2}} \lambda_2 \operatorname{sign}_2 & -\frac{\lambda_1^2 \chi_{1,2}^2}{\chi_{1,2}^3} \frac{\operatorname{sign}_2 \zeta \sqrt{\pi\alpha}}{\gamma k B} - \frac{\lambda_2^3 \chi_{1,2}^2}{\chi_{1,2}^3} \frac{\zeta \sqrt{\pi\alpha}}{\gamma k B} \operatorname{sign}_2 - \zeta \operatorname{sign}_2 (4.3) \\ \hline 0 & -\frac{\lambda_1}{\chi_{1,1}} \operatorname{sign}_1 & \frac{\zeta \chi_{1,1}}{\chi_{1,1}} \operatorname{sign}_1 & \lambda_1^3 \frac{\chi_{1,1}^2}{\chi_{1,1}} \frac{\operatorname{sign}_1 \zeta \chi_{1,1}}{\gamma k B} - \frac{\zeta^2 \chi_{1,1}}{\chi_{1,1} \chi_{1,2}} \lambda_1 \operatorname{sign}_1 \\ 0 & -\frac{\lambda_2}{\chi_{1,2}} \operatorname{sign}_2 & \frac{\zeta \chi_{1,2}}{\chi_{1,2}} \operatorname{sign}_2 & -\frac{\lambda_1^2 \chi_{1,2}^2}{\chi_{1,2}^3} \frac{\operatorname{sign}_2 \zeta \chi_{1,2}}{\gamma k B} + \frac{\lambda_2^3 \chi_{1,2}^2}{\chi_{1,2}^3} \frac{\operatorname{sign}_2 \zeta \chi_{1,2}}{\gamma k B} - \zeta \operatorname{sign}_2 (4.3) \\ \hline \sqrt{\pi\alpha} & \frac{\lambda_1}{\chi_{1,1}} \operatorname{sign}_1 & \frac{\zeta \lambda_1}{\chi_{1,1}} \operatorname{sign}_1 & \lambda_1^3 \frac{\chi_{1,1}^2}{\chi_{1,1}} \frac{\operatorname{sign}_1 \zeta \lambda_1 \operatorname{sign}_1}{\gamma k B} - \frac{\lambda_1 \lambda_2^2}{\chi_{1,1} \chi_{1,2}} \frac{\operatorname{sign}_1 \zeta \lambda_1 \chi_{1,1}}{\chi_{1,1} \chi_{1,2}} + \zeta \frac{\lambda_1 \lambda_2^2}{\chi_{1,1} \chi_{1,2}} \frac{\operatorname{sign}_1 \zeta^3 \lambda_1 \operatorname{sign}_1}{\chi_{1,1} \chi_{1,2}} + \zeta \frac{\lambda_1 \lambda_2^2}{\chi_{1,1} \chi_{1,2}} \frac{\operatorname{sign}_2 \zeta \lambda_1 \chi_{1,1}}{\chi_{1,1} \chi_{1,2}} + \zeta \frac{\lambda_1 \lambda_2^2}{\chi_{1,1} \chi_{1,2}} \frac{\operatorname{sign}_2 \zeta \lambda_1 \chi_{1,2}}{\chi_{1,2} \chi_{1,2}} + \zeta^3 \lambda_2 \operatorname{sign}_2 \\ -\frac{\lambda_2}{\chi_{1,2}} \operatorname{sign}_2 & \frac{\zeta \lambda_2}{\chi_{1,2}} \operatorname{sign}_2 & -\frac{\lambda_1^2 \lambda_2}{\chi_{1,1} \chi_{1,2}} \frac{\operatorname{sign}_2 \zeta \lambda_2 \operatorname{sign}_2}{\gamma k B} - \frac{\lambda_2^2 \chi_{1,2}^2}{\chi_{1,2}^3} \frac{\operatorname{sign}_2 \zeta \lambda_2 \chi_{1,2}^2}{\gamma k B} - \zeta \frac{\lambda_2^3 \chi_{1,2}^2}{\chi_{1,2}^3} \operatorname{sign}_2 + \zeta \frac{\lambda_2^3 \chi_{1,2}^2}{\chi_{1,2}^3} \operatorname{sign}_2 + \zeta^3 \lambda_2 \operatorname{sign}_2 \\ = \frac{\sqrt{\pi\alpha}}{\gamma k B} \begin{bmatrix} 0 & -1 & \zeta & \lambda_1^2 \frac{\chi_{1,1}^2}{\chi_{1,1}} - \frac{1}{B} \frac{\chi_{1,2}^2}{\chi_{1,2}} - \zeta^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_1^2 \frac{\chi_{1,1}^2}{\chi_{1,1}} - \frac{\lambda_1^2}{B} \frac{\chi_{1,2}^2}{\chi_{1,2}} - \zeta \lambda_2 \chi_{1,1}^2 + \frac{\zeta}{B} \frac{\lambda_1^2}{\chi_{1,1}^2} + \zeta^3 \\ -1 & \zeta & \lambda_1^2 \frac{\chi_{1,1}^2}{\chi_{1,1}} & -\zeta \lambda_2 \chi_{1,1}^2 + \frac{\zeta}{B} \frac{\lambda_1^2}{\chi_{1,1}^2} - \zeta \lambda_2^2 \chi_{1,1}^2 + \frac{\zeta}{B} \frac{\lambda_1^2}{\chi_{1,1}^2} + \zeta^3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} + \frac{\lambda_2 \operatorname{sign}_2}{\chi_{1,2}} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \lambda_2^2 \frac{\chi_{1,2}^2}{\chi_{1,2}} - \frac{1}{B} \frac{\lambda_1^2}{\chi_{1,1}} - \zeta^2 \\ 0 & -1 & \zeta & \lambda_2^2 \frac{\chi_{1,2}^2}{\chi_{1,2}} - \frac{1}{B} \frac{\lambda_1^2}{\chi_{1,1}} - \zeta^2 \\ 0 & 0 & 0 & -\zeta \lambda_2^2 \chi_{1,2}^2 + \frac{\zeta}{B} \frac{\lambda_1^2}{\chi_{1,1}^2} - \zeta \lambda_2 \chi_{1,2}^2 + \frac{\zeta}{B} \frac{\lambda_1^2}{\chi_{1,1}^2} + \zeta^3 \\ -1 & \zeta & \lambda_2^2 \frac{\chi_{1,2}^2}{\chi_{1,2}} - \frac{1}{B} \frac{\lambda_1^2}{\chi_{1,1}} - \zeta^2 & -\zeta \lambda_2^2 \chi_{1,2}^2 + \frac{\zeta}{B} \frac{\lambda_1^2}{\chi_{1,1}^2} + \zeta^3 \end{bmatrix} \end{bmatrix}$$
Dans la dernière expression, la première matrice est de rang 2 :

$$
\begin{bmatrix} 0 & -1 & \dots & \dots \end{bmatrix} \neq k \cdot \begin{bmatrix} -1 & \zeta & \dots & \dots \end{bmatrix}.
$$

Pareillement, la deuxième matrice est de rang 2 :

$$
\begin{bmatrix} 0 & -1 & \dots & \dots \end{bmatrix} \neq k \cdot \begin{bmatrix} -1 & \zeta & \dots & \dots \end{bmatrix}.
$$

La matrice entière est donc de rang 4 : les deux vecteurs des deux matrices ne peuvent
être les mêmes (pour tout ζ) vu que $\tilde{\lambda}_1 \neq \tilde{\lambda}_2$.

On a que rang($\mathcal{C}$) = 4 donc le système est commandable.

c.3.2 Observateur en temps fini

c.3.2.1 Observabilité

On considère le cas $N=2$ (Éq. (C.29)). Il faut prouver que la matrice d'observabilité

$$
\mathcal{O} = \begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ CA^3 \\ CA^4 \\ CA^5 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{6 \times 6}
$$

est de rang plein :

$$
\mathrm{rang}(\mathcal{O}) = 6.
$$

Pour le calcul, on note :

$$
C \triangleq \begin{bmatrix} \gamma \kappa T_1 & \gamma \kappa T_2 & 0 & 0 & 0 & \gamma \frac{\beta_1}{\beta_2} \end{bmatrix},
$$

où $T_i \triangleq \frac{\sqrt{\pi\alpha}}{B\chi_{1,i}}\tilde{\lambda}_i\text{sign}_i$, et

$$
A \triangleq \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
U_1 & U_{12} & -\zeta & 0 & 0 & -\frac{\beta_1}{\beta_{2\kappa}} T_1 \\
U_{12} & U_2 & 0 & -\zeta & 0 & -\frac{\beta_1}{\beta_{2\kappa}} T_2 \\
-\beta_1 \kappa T_1 & -\beta_1 \kappa T_2 & 0 & 0 & -\zeta & -\beta_2 - \frac{\beta_1^2}{\beta_2} \\
0 & 0 & 0 & 0 & \beta_2 & 0
\end{bmatrix}
$$

avec

$$
U_1 \triangleq -\bar{\lambda}_1^2 \frac{\chi_{11,1}^2}{\chi_{1,1}^2} - \frac{\pi \alpha^2}{B^2 \chi_{1,1}^2} \bar{\lambda}_1^2
$$

$$
U_{12} \triangleq \frac{\bar{\lambda}_1 \bar{\lambda}_2 \operatorname{sign}(J_0(\bar{\lambda}_1)) \operatorname{sign}(J_0(\bar{\lambda}_2))}{B \chi_{1,1} \chi_{1,2}} \\
\qquad - \frac{\pi \alpha^2}{B^2 \chi_{1,1} \chi_{1,2}} \bar{\lambda}_1 \bar{\lambda}_2 \operatorname{sign}(J_0(\bar{\lambda}_1)) \operatorname{sign}(J_0(\bar{\lambda}_2))
$$

$$
U_2 \triangleq -\bar{\lambda}_2^2 \frac{\chi_{11,2}^2}{\chi_{1,2}^2} - \frac{\pi \alpha^2}{B^2 \chi_{1,2}^2} \bar{\lambda}_2^2.
$$
Un calcul analytique mène à une forme longue dont les premiers termes sont montrés sur la page suivante. Un logiciel analytique confirme que cette expression est de rang 6 ($\lambda_1$ et $\lambda_2$ étant différents), de même qu'un logiciel numérique lorsque les valeurs physiques utilisées dans la Simulation 1 dans le Chapitre 9 sont substituées. On peut donc conclure que le système est observable et que l'on peut concevoir un observateur.
<figure><img src="image_186.png" /></figure>
Ce chapitre contient quelques informations supplémentaires concernant l'implémentation expérimentale du contrôleur modal du tom dans le Chapitre 10.

<table><caption>TABLE DES MATIÈRES</caption><tr><td>D.1</td><td>Identification</td><td>277</td></tr><tr><td>D.1.1</td><td>Haut-parleur</td><td>277</td></tr><tr><td>D.1.2</td><td>Membrane</td><td>278</td></tr><tr><td>D.2</td><td>Dispositif de contrôle</td><td>280</td></tr><tr><td>D.2.1</td><td>Composants</td><td>280</td></tr><tr><td>D.2.2</td><td>Système de frappe reproductible</td><td>280</td></tr><tr><td>D.3</td><td>Évaluation du contrôle</td><td>282</td></tr><tr><td>D.3.1</td><td>Changement de fréquence</td><td>282</td></tr><tr><td>D.4</td><td>Données constructeur</td><td>285</td></tr><tr><td>D.5</td><td>Dans les coulisses</td><td>300</td></tr></table>

## D.1 IDENTIFICATION

### D.1.1 Haut-parleur

VÉRIFICATION DE L'IDENTIFICATION DES PARAMÈTRES À titre indicatif, nous souhaitons comparer les valeurs que nous avons identifiées (pour une configuration du haut-parleur dans une enceinte de volume $V_e = 70 \cdot 50 \cdot 46,3\text{cm}^3$ – ca. 2238cm$^3$ = 0,160m$^3$) avec les valeurs constructeur données (pour une autre enceinte de 0,038m$^3$). À cet effet, nous corrigeons l'influence de l'enceinte qui consiste en les deux points suivants.

1. L'air déplacé agit comme une raideur supplémentaire [176]

$$k_e = \frac{F_e}{\Delta x}.$$

La force $F_e = \Delta p \cdot S_d$ ($S_d$ étant la surface du piston plan, $\Delta p$ par rapport à la pression atmosphérique $p_0$) appliquée sur la membrane comprime l'air dans l'enceinte et fait descendre la membrane d'une distance $\Delta x$. Ce changement de hauteur de membrane correspond à un changement de volume de $\Delta V$ par rapport au volume $V_e$ au repos de l'enceinte. Si nous supposons un processus adiabatique, nous avons la relation

$$\frac{|\Delta p|}{p_0} = \gamma \frac{|\Delta V|}{V_e},$$

où $\gamma$ est l'indice adiabatique (1,4 pour l'air). Il en suit que

$$k_e = \gamma S_d^2 \frac{p_0}{V_e}.$$

Avec $S_d = 0.0515\text{m}^2$, $p_0 = 103525\text{Pa}$ et $V_e = 0,160\text{m}^3$, ceci correspond à une valeur $k_e = 2351\text{N/m}$.
2. L'ajout de la raideur $k_e$, qui consiste à remplacer la raideur $k$ par une raideur équivalente $k_{eq} \triangleq k + k_e$ dans les équations de Thiele & Small, induit un changement de fréquence :

$$f_e = \sqrt{\frac{k_{eq}}{m}} = \sqrt{\frac{k + k_e}{m}} = f\sqrt{1 + \kappa},$$

avec $\kappa \triangleq k_e/k$ le rapport des deux contributions de raideur.

Ainsi, une fréquence $f_e = 35,425$Hz identifiée sur le haut-parleur monté dans une enceinte correspondrait à une fréquence de $f = 27,22$Hz pour un haut-parleur bafflé mais sans enceinte.

La comparaison est donnée dans le Tableau D.1, ou l'erreur relative est calculée comme

$$e_{rel} = \frac{|valeur_{identif.} - valeur_{ref.}|}{valeur_{ref.}}.$$

<table><caption>Tableau D.1 – Comparaison entre les valeurs identifiées du haut-parleur et les valeurs constructeur.</caption><thead><tr><th></th><th>IDENTIF.</th><th>CORR.</th><th>REF.</th><th>CORR.</th><th>e<sub>REL</sub> [%]</th></tr></thead><tbody><tr><td>f<sub>0</sub> [Hz]</td><td>35,425</td><td>31,05</td><td>35<br>(monté ?)</td><td></td><td></td></tr><tr><td>R [Ω]</td><td>5,52</td><td></td><td>3,2</td><td></td><td>72,5</td></tr><tr><td>L [mH]</td><td>4,37</td><td></td><td>?</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Bl [Tm]</td><td>17,4</td><td></td><td>18,653</td><td></td><td>6,7</td></tr><tr><td>m [g]</td><td>157</td><td></td><td>188</td><td></td><td>16,5</td></tr><tr><td>c [kg/s]</td><td>4,87</td><td></td><td>8,68</td><td></td><td>43,9</td></tr><tr><td>k [N/m]</td><td>7800</td><td>5449</td><td>9088<br>(monté ?) ?</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Les valeurs de référence proviennent des données constructeur de la Section D.4. Pour faire les conversions à partir des paramètres de Thiele & Small « petit signal » y figurant, on utilise

$$m = \left( \frac{cS_d}{2\pi f_0} \right)^2 \frac{\rho}{V_{as}}$$

avec les données de l'air $\rho = 1,20\text{kg/m}^3$, $c = 343\text{m/s}$, $V_{as} = 41,2 \cdot 10^{-3}\text{m}^3$

$$Bl = \sqrt{\frac{2\pi f_0 m R_e}{Q_{es}}}$$

$$c = R_m s = \frac{2\pi f_0 m}{Q_{ms}}$$

$$k = \frac{1}{C_{ms}} = \frac{\rho c^2 S_d^2}{V_{as}}.$$

### D.1.2 Membrane

Des figures de Chladni en haute-fréquence sont montrées Figure D.1.
<figure><img src="image_187.png" /></figure>

FIGURE D.1 – Figures de Chladni de quelques modes plus élevés. La fréquence d'excitation est indiquée.
## D.2 DISPOSITIF DE CONTRÔLE

### D.2.1 Composants

#### D.2.1.1 Microcontrôleur : le Coala

**CÂBLAGE** Le câblage du Coala permettant d'utiliser les connecteurs Ext in et Ext out est montré Figure D.2.

<figure><img src="image_188.png" /><figcaption>FIGURE D.2 – Câblage du Coala</figcaption></figure>

### D.2.2 Système de frappe reproductible

Le plan de la pièce d'ajustement de diamètre est montré Figure D.3 et son impression 3D Figure D.4. Le support-baguette monté (encore sans pied de support et butée) est montré Figure D.5.
<figure><img src="image_189.png" /><figcaption>FIGURE D.3 – Conception de la pièce d'ajustement de diamètre</figcaption></figure>

<figure><img src="image_190.png" /><figcaption>FIGURE D.4 – Impression 3D de la pièce d'ajustement de diamètre</figcaption></figure>

<figure><img src="image_191.png" /><figcaption>FIGURE D.5 – Montage du support-baguette</figcaption></figure>