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# Utilisation d'une statistique linéaire correcte pour estimer la vitesse d'évasion des étoiles dans le plan galactique

J.-P. Massonie

► To cite this version:

J.-P. Massonie. Utilisation d'une statistique linéaire correcte pour estimer la vitesse d'évasion des étoiles dans le plan galactique. Annales de l'ISUP, 1965, XIV, pp.1-64. hal-04084789

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# UTILISATION D'UNE STATISTIQUE LINÉAIRE CORRECTE POUR ESTIMER LA VITESSE D'ÉVASION DES ÉTOILES DANS LE PLAN GALACTIQUE

MASSONIE J.-P.

## INTRODUCTION

En 1928, dans le B. A. N. (1), Oort étudiant la distribution des vitesses d'étoiles, constatait dans la direction de la rotation galactique l'absence de vitesses supérieures à 63 km/s. Construisant une courbe de densité des étoiles de vitesses supérieures à 63 km/s, en fonction de la longitude, il trouvait un trou dans la direction 1 = 55° (anciennes coordonnées).

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 1 - Distribution des points de grande vitesse en longitude galactique d'après Oort.</figcaption></figure>

Si on rapporte les vitesses au centre absolu des vitesses, on s'aperçoit qu'elles sont toutes contenues dans un grand cercle de rayon R. Si $V_c$ est la vitesse circulaire au voisinage du soleil, on a

$$R = V_c + 63 \quad (\text{fig. 2})$$
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 2 - Distribution des grandes vitesses dans le plan galactique.</figcaption></figure>
Nous nous proposons de reprendre ce problème d'un point de vue statistique en tenant compte du fait que s'il existe une troncature, elle doit être un peu au delà des plus grandes vitesses. Notre but est donc de déterminer plus exactement les caractéristiques du grand cercle signalé par Oort.

Nous savons que lorsque l'énergie cinétique d'une étoile dé-passe le potentiel du point où elle se trouve, cette étoile s'échappe. Le grand cercle correspond donc à la limite à ne pas dépasser par les vitesses, sinon il y aurait évasion.

Fricke (2) signale qu'il faut se servir des plus grandes vites-ses pour estimer la vitesse d'évasion et suggère que cette vitesse peut être nettement supérieure aux plus grandes vitesses observées.

Nous voyons donc apparaître deux problèmes, l'un dynamique : quel modèle choisir, quelle forme donner au potentiel, comment re-lier le potentiel et la distribution des vitesses ; l'autre statistique : comment estimer une troncature connaissant les plus grandes va-leurs d'une distribution.

Il restera pour en arriver aux applications à résoudre le pro-blème du matériel de vitesses à utiliser.

Nous verrons donc dans un premier chapitre l'étude du pro-blème dynamique.

Dans un deuxième chapitre, nous aborderons l'estimation sta-tistique d'un paramètre de troncature.

Dans le troisième chapitre, nous estimerons les autres para-mètres de nos distributions.

Dans le quatrième chapitre, nous étudierons l'influence des erreurs de mesures sur l'estimateur.

Enfin dans le cinquième chapitre, nous appliquerons nos mé-thodes à différents matériels de vitesses radiales.
# CHAPITRE I

## PROBLÈME DYNAMIQUE ET CINÉMATIQUE

Il nous faut un modèle de distribution des vitesses ; un tel modèle ne peut être obtenu que par des considérations cinématiques sur les vitesses d'étoiles connues, et dynamiques sur la structure même de la galaxie.

L'hypothèse de départ sera que la galaxie est un système de masse finie et que ce système est stationnaire. Moyennant cette hypothèse, on sait qu'il ne peut pas y avoir d'étoiles dont la vitesse soit supérieure en un lieu donné à une certaine valeur que nous ap-pellerons vitesse d'évasion $V_e$.

Cette vitesse $V_e$ est reliée au potentiel du lieu par

$$V_e = \sqrt{2\Omega}$$

où $\Omega$ est le potentiel.

Pour les étoiles de faible vitesse (inférieure à 60 km/s), la répartition ellipsoïdale, encore qu'elle présente quelques difficultés, est à peu près satisfaisante.

Cependant, dès lors qu'on aborde les grandes vitesses, elle ne rend plus compte des observations.

Fricke (2) propose un nouveau modèle à partir de considéra-tions dynamiques que nous allons rappeler.

Soit à trouver

$$f(x, y, z, u, v, w, t) \, dx \, dy \, dz \, du \, dv \, dw = P$$
qui est la probabilité qu'une étoile ait ses coordonnées et sa vitesse tel que

$$x < X < x + dx$$

$$u < U < u + du$$

$$y < Y < y + dy$$

$$v < V < v + dv$$

$$z < Z < z + dz$$

$$w < W < w + dw$$

Les hypothèses de Fricke sur le système sont les suivantes

a) stationnaire

b) masse finie

c) symétrie axiale

d) conservation du moment angulaire

e) égalité des masses des étoiles.

Montrant les difficultés d'une fonction de la forme Gram-Charlier pour les calculs ultérieurs, il utilise un développement de forme polynomiale généralisée.

$$f(E_1, E_2) = \sum_{i,k} \alpha_{ik} E_1^i E_2^k$$

où $\alpha_{ik}$ sont des constantes, i et k non forcément des entiers,

$$E_1 = 2\Omega(R, z) - V^2 \quad \text{intégrale de l'énergie}$$

$$E_2 = Rv \quad \text{moment angulaire}$$

$$V^2 = u^2 + v^2 + w^2$$

u, v, w les composantes des vitesses dans le système d'axe suivant v est orienté dans la direction de la rotation, u est orienté en sens inverse du centre galactique, w est l'axe perpendiculaire au plan galactique de façon à former avec v et u un trièdre direct.

Nous savons que la densité est liée à la fonction de densité des vitesses par

$$\rho(R, z) = \iiint f(E_1, E_2) du dv dw$$

On a donc
$$ \rho(R, z) = \sum_{i,k} \alpha_{ik} \iiint_{0 \le v \le \sqrt{2}\Omega} (2\Omega - V^2)^i (Rv)^k \, du \, dv \, dw $$

Nous passerons sur le détail, on obtient

$$ \rho(R, z) = 2\pi \sum_{i,k} \frac{\alpha_{i,2k}}{2k+1} \beta \left( k + \frac{3}{2}, i+1 \right) R^{2k} (2\Omega)^{i+k+\frac{3}{2}} $$

avec $i > 0$

On voit disparaître les termes impairs des puissances de $E_2$.

Pour que les hypothèses de départ soient respectées, nous devons imposer à cette fonction de vérifier l'équation de Poisson. D'autre part, la masse étant finie, le potentiel doit être équivalent à $\frac{M}{r}$ quand r tend vers l'infini.

En deuxième approximation, on prendra

$$ \Omega = \frac{M}{r} + \frac{M_2(\mu)}{r^{-2}} \quad \text{où : } \mu = \cos \chi $$

avec

$$ R = r \sin \chi $$

$$ r^2 = R^2 + z^2 $$

$$ z = r \cos \chi $$

En portant cette valeur du potentiel dans l'équation de Poisson et en identifiant avec le $\rho$ obtenu plus haut, on montre que l'on doit avoir la condition

$$ i \ge \frac{5}{2} + k $$

où $i$ indique l'exposant de plus bas de $E_1$.

La disparition des termes d'exposant impair de $k$ présente une difficulté ; en effet à une fonction de densité donnée correspond pour la densité des vitesses une fonction

$$ f = f_1 + f_2 $$

$$ \text{où} \quad f_1 = E_1^{\frac{2}{3}} \sum_{k=0 \text{ à } n,l} \alpha_{k+l,2k} E_1^{k+l} \cdot E_2^{2k} $$
et

$$f_2 = \sum \alpha_{i,2k+1} E_1^i E_2^{2k+1} \quad \begin{array}{l} k \text{ de } 0 \text{ à } n \\ l \text{ de } 0 \text{ à } n \end{array}$$

Fricke montre que pour $f_1$ le terme de plus bas degré pour $E_1$ est en $\frac{5}{2}$, la partie $f_2$ ne peut pas être atteinte et l'on est obligé de s'en tenir à des suppositions quant à son terme de plus bas degré en $E_1$.

La fonction $f_2$ est impaire, donc

$$f_2(-v) = -f_2(v)$$

pour que $f = f_1 + f_2 \ge 0$, il faut $f_1 \ge |f_2|$ pour tous les points de l'espace des phases.

$$\text{Comme } f_1 \approx E_1^{k+l+\frac{5}{2}} E_2^{2k} \quad \text{pour } r \to \infty$$

autrement dit

$$f_1 \approx r^{-l-\frac{5}{2}} \to 0$$

$f_2$ doit avoir un terme de plus bas degré au moins égal à celui de $f_1$.

Par d'autres considérations pour la limite $r = 0$, Fricke montre que le premier exposant de $f_2$ est de la forme

$$f_2 = E_1^{\frac{5}{2}+N+\frac{7}{2}}$$

Nous devons voir maintenant ce que donne cette fonction pour les vitesses radiales que nous utiliserons seulement comme étant meilleures.

Soit donc $f(u, v, w, \cdot)$ la distribution des vitesses.

Nous savons que la vitesse radiale est la projection de la vitesse sur la direction de l'étoile.

Soit $R$ la vitesse radiale

T la composante tangentielle dans le plan galactique

W est toujours la composante perpendiculaire au plan galactique.
Alors

$$u = u(R, T; l)$$

$$v = v(R, T; l)$$

et $f(u, v, w)$ devient $k(R, T, W; l) = f((u(R, T; l); v(R, T; l); w))$

La fonction de distribution des vitesses radiales sera donc obtenue en intégrant par rapport à T et w

$$h(R) = \iint_{\pi} k(R, T, w; l) \, dT \, dw$$

où $\pi$ est le plan perpendiculaire en son extrémité au vecteur R.

Nous voyons qu'un point de vitesse radiale peut être la projection de n'importe quel point du plan $\pi$.

Donc le grand cercle déterminant la vitesse d'évasion se transforme en une cardioïde (cf. figure ci-jointe).

Cependant si théoriquement le problème est simple, nous allons voir que pratiquement il reste des difficultés.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 3 - Construction de la cardioïde, limite d'évasion pour les vitesses radiales.</figcaption></figure>

O : point de vitesse absolue nulle ; C : point représentant la vitesse circulaire au voisinage du soleil ; $\hat{\omega}(l)$ : vitesse radiale maximum des étoiles de longueur $l$.
En effet, si $E_1$ reste identique dans sa forme quand on passe de $(u, v, w)$ à $(R, T, w)$, $E_2$ introduit des sin $l$ et cos $l$ qui vont compliquer le développement.

D'autre part, nous verrons par la suite que nous aurons à prendre la fonction inverse de la fonction de distribution, il nous faudra donc une expression relativement simple.

Puisque nous nous intéressons aux vitesses proches de la vitesse d'évasion, nous constatons que le terme de plus bas degré est prépondérant, donc nous nous limiterons à ce terme : mais il faudra faire très attention, quand on passera aux applications, à se limiter à des vitesses proches de la troncature.

Il reste une dernière difficulté : c'est l'origine des vitesses. Le modèle de Fricke est centré au zéro des vitesses, or nous avons des vitesses radiales par rapport au soleil ou au centre local, et nous ne voulons pas introduire la vitesse de rotation du soleil qui est mal connue.

Nous allons donc étudier le terme de plus bas degré du modèle de Fricke pour voir ce qu'il donne au point de vue de sa forme uniquement.

Soit donc

$$f(u, v, w) \approx \alpha(\omega^2 - V^2)^{\frac{5}{2}} \quad \text{où } \omega^2 = 2\Omega$$

$$ 
\begin{aligned}
f &= \alpha (\omega^2 - (u^2 + v^2 + w^2))^{\frac{5}{2}} \\
&= \alpha (\omega^2 - (R^2 + T^2 + w^2))^{\frac{5}{2}}
\end{aligned}
$$

En intégrant par rapport à w et T, il vient

$$h(R) = A(\omega^2 - R^2)^{\frac{1}{2}} \quad \text{où } A \text{ est une constante.}$$

Si R est proche de ω, on peut écrire

$$h(R) \approx A(2\omega)^{\frac{1}{2}} (\omega - R)^{\frac{1}{2}}$$

qui donne finalement pour la fonction de répartition

$$H(R) \approx 1 - B(\omega - R)^{\frac{9}{2}}$$
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 4 - On voit sur cette figure que la zone comprise entre la région de forte densité et $\omega$, est très différente suivant la longitude.</figcaption></figure>

Les deux cas extrêmes : pour $l = 90^\circ$ (a, b)

pour $l = 180^\circ$ (c, d)

que nous mettons sous la forme

$$H(R) = 1 - \left(\frac{\omega - R}{b}\right)^2$$

ou de manière plus générale

$$H(R) = 1 - \left(\frac{\omega - R}{b}\right)^k$$

Nous verrons que nous trouverons des estimateurs simples pour les paramètres $\omega$ et $b$ ; par contre $k$ sera difficile à estimer. Nous pourrons donc prendre $k = 9/2$.
Le modèle que nous avons adopté peut être contesté, nous voulons donc donner maintenant deux justifications quant à sa forme.

Si nous reprenons le problème de la relation entre la fonction de densité des vitesses $f$ et la densité des étoiles $\rho$, nous savons les difficultés rencontrées par Camm en particulier. Il est intéressant de développer les fonctions $f$ et $\rho$, en série car on trouvera entre les termes correspondants des développements, des relations intégrales du même type que celle existant entre $f$ et $\rho$.

Cherchons donc un développement de $f$ suivant les puissances de $E_2$, tel que les coefficients de ce développement seront des fonctions de densité pour $E_1$.

Autrement dit

$$f(E_1, E_2) = \sum \alpha_k E_2^k f_k(E_1)$$

avec

$$f_k(E_1) > 0$$

$$\int f_k(E_1) d E_1 = 1$$

On s'aperçoit que si en outre on cherche un système de fonctions $f_k$ orthonormées, il n'y a en général pas de solution. Par contre, si l'on se contente de chercher un système complet, des solutions sont possibles. Il est alors normal de penser à un système de puissance.

En prenant pour $f_k$ des puissances de $E_1$, on s'aperçoit que d'une part on a un développement en puissance de $E_1$ qui fournit donc un système complet, au sens de la décomposition des fonctions ; et d'autre part, en choisissant convenablement les coefficients $\alpha$, on aura bien des fonctions de densité pour $E_1$. En effet, $E_1 > 0$ donc aussi les puissances de $E_1$ et on peut choisir les $\alpha$ de façon que

$$\int_{0}^{\sqrt{2\Omega}} E_1^k d E_1 = 1$$

Le deuxième point de vue qui justifie un tel développement est d'ordre statistique.

Dans le cas d'une fonction tronquée sans faire d'autres hypothèses sur la forme de la fonction, pour travailler sur les valeurs extrêmes et trouver leurs distributions asymptotiques, Von Mises (3) (11) utilise un développement à proximité de la troncature.
On a $F(\omega) = 1$

et $f(\omega) = 0$

On suppose que

$$f'(\omega) = \dots = f^{(k-2)}(\omega) = 0$$

et que

$$f^{(k-1)}(\omega) = F^{(k)}(\omega) = (-1)^{k-1} b$$

k étant un entier supérieur à 1

On suppose en outre que

$|f^{(k)}(x)| \le A \quad \text{pour } x \text{ tel } \omega - \delta \le x \le \omega \quad \delta \text{ petit.}$

Le développement de Taylor donne

$$F(x) = F(\omega) + \frac{(x - \omega)^k}{k!} F^{(k)}(\omega) + \dots$$

Autrement dit

$$F(x) \approx 1 + \frac{(x - \omega)^k}{k!} b (-1)^{k-1}$$

ou $F(x) \approx 1 - B(\omega - x)^k$

avec $B = \frac{b}{k!}$

On voit donc apparaître la forme que nous avons adoptée.

### Remarque

Nous avons montré que, à la distribution de Fricke, correspond pour la fonction de distribution F des vitesses radiales, un exposant $k = 9/2$ pour le terme de plus bas degré.

Nous avons tabulé différentes fonctions, les unes en gardant la forme

$$F = 1 - \left( \frac{\omega^2 - R^2}{d^2} \right)^k$$

les autres

$$F = 1 - \left( \frac{\omega - R}{c} \right)^k$$
On s'aperçoit alors que l'approximation avec $1 - (\frac{\omega - R}{c})^k$ de la fonction $1 - (\frac{\omega^2 - R^2}{d^2})^{k'}$, est bien meilleure et sur un intervalle plus important si l'on prend

$$k = k' - 1$$

Nous ferons donc les estimations en prenant $k = \frac{9}{2} - 1 = \frac{7}{2}$ et nous pensons que c'est la meilleure valeur qui corresponde au modèle de Fricke.
de
alle
de
= 7/2
au

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 5 - Diagrammes de F(R) :</figcaption></figure>

$$
F(R) = 1 - \left( \frac{\omega - R}{c} \right)^k F(R) = 1 - \left( \frac{\omega^2 - R^2}{d^2} \right)^k
$$

$k = 3$

$k' = 3 \text{ ou} $

$k' = 4$
<figure><img src="image_8.png" /></figure>

MISES DE L'ACTION DE SÉRIE ET LE PLAN GALACTIQUE
# CHAPITRE II
## ESTIMATION D'UN PARAMÈTRE DE TRONCATURE

Nous avons vu que le problème qui se pose à nous est l'estimation du paramètre de troncature d'une fonction de distribution.

Nous allons tout d'abord rappeler un résultat simple sur ce problème dans le cas d'une distribution uniforme.

a) *Loi uniforme*.

Soit un échantillon de taille n, distribué uniformément entre 0 et ω. La densité de probabilité est donc $\frac{1}{\omega}$ et la vraisemblance d'un tel échantillon s'écrit

$$L = f(x_1; \omega) \cdot f(x_2; \omega) \dots f(x_n; \omega) = \frac{dx_1 \dots dx_n}{\omega^n}$$

Soit $M_n$ la plus grande valeur, on a

$$P_r(M_n < x) = \left(\frac{x}{\omega}\right)^n$$

et la densité correspondante est

$$\frac{n(x)^{n-1}}{\omega^n} dx$$

Si on applique le maximum de vraisemblance à L, donnée plus haut, on s'aperçoit que la plus grande valeur $M_n$ donne une estimation de ω. Mais si nous calculons la moyenne de la distribution de $M_n$, nous trouvons
$$ 
\begin{aligned}
E M_n &= \int_0^\omega M_n \cdot n \frac{M_n^{n-1}}{\omega^n} d M_n = \frac{n\omega}{n+1} \\
&= \omega - \frac{\omega}{n+1}
\end{aligned}
$$

Nous avons donc une estimation qui n'est pas correcte, par contre on peut montrer que la variance tend vers 0 avec n tendant vers l'infini.

Donc estimation : asymptotiquement correcte et efficace.

De même, on peut montrer que l'estimateur $M_n$ est exhaustif. En effet

$L(x_1, \dots, x_n)$ peut s'écrire

$$ L = n \frac{M_n^{n-1}}{\omega^n} \cdot \frac{\partial M_n}{\partial x_1} \cdot \frac{d x_1 \dots d x_n}{n M_n^{n-1} \frac{\partial M_n}{\partial x_1}} $$

qui est la forme canonique pour une estimation exhaustive (4).

Partant de ce schéma rapide, nous allons appliquer le maximum de vraisemblance, puis nous chercherons successivement à rendre les estimateurs utilisés corrects, efficaces.

b) *Maximum de vraisemblance.*

Nous allons estimer le paramètre de troncature d'une fonction du type de Fricke, c'est-à-dire

$$ F(x) = 1 - \left( \frac{\omega - x}{b} \right)^k \quad \text{pour } x < \omega $$

$$ F(x) = 1 \quad \text{pour } x \ge \omega $$

Pour cela nous utiliserons deux valeurs extrêmes, en effet si l'on essaye avec une valeur extrême, de mettre la vraisemblance sous forme canonique, on s'aperçoit que l'estimation n'est plus exhaustive. Nous verrons par la suite si nous pouvons utiliser plus de deux valeurs.

Calculons la probabilité pour que

$$ x < X_m < x + dx \quad \text{et} \quad y < Y_p < y + dy $$
où $X_m$ est la m° valeur en partant du sommet, et $Y_p$ la p°, avec $m > p$.

On a alors le schéma suivant

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

La probabilité cherchée s'écrit

$$Q \, dx \, dy = \frac{n!}{\alpha! \ \beta! \ \gamma!} (F(x))^\alpha (F(y) - F(x))^\beta (1 - F(y))^\gamma \, dF(x) \cdot dF(y)$$

Nous faisons le changement de variable de Cramer (5)

$$\frac{\xi}{n} = 1 - F(x)$$

$$\frac{\eta}{n} = 1 - F(y)$$

Il vient

$$\frac{n!}{\alpha! \ \beta! \ \gamma!} \left(1 - \frac{\xi}{n}\right)^{\alpha} \left(\frac{\xi}{n} - \frac{\eta}{n}\right)^{\beta} \left(\frac{\eta}{n}\right)^{\gamma} \cdot \frac{d\xi}{n} \cdot \frac{d\eta}{n}$$

Nous remarquons que cette fonction ne peut pas se ramener au produit de deux fonctions l'une de $\xi$, l'autre de $\eta$.

Nous introduirons donc la variable $\theta = \frac{\eta}{\xi}$, alors $Q \, dx \, dy$ devient

$X, Y$.

avec

$$X = \frac{n!}{(n-m)! \ n^m} \cdot \frac{\xi^{m-1}}{(m-1)!} \cdot \left(1 - \frac{\xi}{n}\right)^{n-m} \cdot d\xi$$

$$Y = (1 - \theta)^\beta \cdot \theta^\gamma \cdot \frac{(\beta + \gamma + 1)!}{\beta! \ \gamma!} \cdot d\theta$$

Nous appliquons ensuite le maximum de vraisemblance à la fonction jointe de $\xi$ et $\theta$. Nous passerons rapidement sur les calculs publiés par ailleurs. (8) (9)

On arrive aux équations
$$ \xi \left[ \frac{m-1}{\xi} - \left(1 - \frac{m}{n}\right) \frac{1}{1 - \frac{\xi}{n}} \right] = 1 $$

qui donne pour la racine $\hat{\xi}$

$$ \hat{\xi} = m $$

$$ \text{puis} \quad \left( \gamma + 1 - \frac{\beta\theta}{1 - \theta} \right)^k = \frac{1 + \theta^{1/k}}{1 - \theta^{1/k}} $$

dont la racine unique est telle que

$$ M = \frac{\hat{\omega} - y}{\hat{\omega} - x} $$

qui nous donne donc l'estimateur

$$ \hat{\omega} = \frac{y - Mx}{1 - M} $$

Le maximum du vraisemblance a donc donné un résultat simple dans sa forme finale. Mais l'application n'en sera pas très facile ; pour faire l'étude de l'estimateur, nous rencontrons une difficulté, le paramètre à estimer est une des bornes de l'intégrale

$$ \int f(x, \omega)dx = 1 $$

donc : $\sqrt{n}(\hat{\omega} - \omega)$ ne suivra pas une loi de Laplace-Gauss.

Cependant nous allons garder la forme simple du résultat : l'estimateur sera une combinaison linéaire.

c) *Estimateur linéaire correct.*

Nous allons donc prendre comme estimateur

$$ \hat{\omega} = \frac{y - Mx}{1 - M} $$

et nous lui imposerons d'être correct, autrement dit

$$ E\hat{\omega} = \omega $$

Calculons donc $\hat{\omega}$ en fonction des variables $\xi$ et $\theta$ introduites plus haut.
$$ \frac{\xi}{n} = \left( \frac{\omega - x}{b} \right)^k $$

$$ \text{d'où} \quad x = \omega - \left(\frac{\xi}{n}\right)^h \cdot b \quad \text{avec} \quad h = \frac{1}{k} $$

$$ \frac{\theta \xi}{n} = \left( \frac{\omega - y}{b} \right)^k $$

$$ \text{d'où} \quad y = \omega - \left( \frac{\xi \theta}{n} \right)^h b $$

$$ \text{donc} \quad \hat{\omega} = \frac{1}{1 - M} \left( \omega - \left( \frac{\xi \theta}{n} \right)^h b \right) - \frac{M}{1 - M} \left( \omega - \left( \frac{\xi}{n} \right)^h b \right) $$

$$ \hat{\omega} = \omega - \left(\frac{\xi}{n}\right)^h b \cdot \frac{\theta^h - M}{1 - M} $$

$$ E \hat{\omega} = \omega - b E \left( \frac{\xi}{n} \right)^h \cdot \frac{E(\theta^h) - M}{1 - M} $$

La condition $E \hat{\omega} = \omega$ impose donc

$$ E \theta^h = M $$

$$ \text{car } E \left( \frac{\xi}{n} \right)^h \text{ est différent de 0.} $$

La condition de correction nous permet donc de déterminer l'estimateur sans ambiguïté.

Nous pouvons nous demander si le fait de n'utiliser que deux valeurs, n'entraîne pas une perte importante d'informations.

Nous allons donc essayer d'utiliser plusieurs valeurs extrêmes. Le même calcul que plus haut fournira une solution.

On peut aussi utiliser une méthode soulignée par Blom (6) qui considère les valeurs d'un échantillon comme transformées de variables distribuées uniformément entre 0 et 1 ; la transformation étant la fonction inverse de la fonction de distribution initiale.

Blom fournit même des formules d'approximation pour calculer simplement les moments d'ordre 1 et 2 de ces variables.

Une telle méthode nous conduira à un estimateur
$$ \hat{\omega} = \sum a_i x_i $$

mais la condition de correction ne nous fournit que deux relations pour déterminer les $a_i$, ce qui est insuffisant.

Nous pouvons donc imposer à l'estimateur des conditions plus restrictives, qui en même temps permettront de le déterminer sans ambiguïté.

d) *Estimateur linéaire correct et consistant.*

Nous posons toujours le problème de l'estimation du paramètre de troncature de la fonction

$$ \begin{cases} F(x) = 1 - \left( \frac{\omega - x}{b} \right)^k & \text{pour } |x| \le \omega \\ = 1 & \text{pour } |x| > \omega \end{cases} $$

et nous utilisons un estimateur linéaire

$$ \hat{\omega} = \sum_{i=1}^{p} a_i x_i $$

où $x_i$ est la iᵉ variable en partant du sommet.

Nous imposerons deux conditions

$$ \begin{cases} 1) E \hat{\omega} = \omega \\ 2) \text{var}(\hat{\omega}) \text{ minimum} \end{cases} $$

La condition (1) impose comme nous avons vu

$$ E \hat{\omega} = \omega = \sum_{i=1}^{p} a_i E x_i $$

La condition (2) impose

$$ \text{var}(\hat{\omega}) = \sum_{i} \sum_{j} C_{ij} a_i a_j \text{ minimum} $$

avec

$$ C_{ij} = \text{Cov}(x_i, x_j) $$

et

$$ C_{ii} = \text{var}(x_i) $$
Pour faciliter les notations, nous poserons

$$E x_i = E_i$$

On a donc à rendre minimum la forme quadratique

$$V = \sum_{i} \sum_{j} a_{i} a_{j} C_{ij}$$

en tenant compte de la liaison

$$\sum a_i E_i = \omega$$

Nous savons que pour avoir la solution de ce problème (7), nous devons annuler les dérivées partielles de la fonction auxiliaire

$$G = \sum_{i} \sum_{j} a_{i} a_{j} C_{ij} + \lambda \sum_{i} \left( a_{i} E_{i} - \frac{\omega}{n} \right)$$

En fait, nous verrons par la suite que $E_i$ sera de la forme

$$E_i = \omega - D F_i$$

où D est une constante et $F_i$ une fonction du rang i.

On est donc obliger d'introduire deux inconnues auxiliaires et l'on aura comme fonction

$$G = \sum_{i} \sum_{j} a_{i} a_{j} C_{ij} + \lambda \sum \left( a_{i} - \frac{1}{n} \right) - \mu \sum a_{i} F_{i} D$$

En dérivant par rapport à $a_{i}$, on obtient

$$\sum_{j} a_{j} c_{ij} + \lambda \omega - \mu D F_{i} = 0$$

On aura autant de relations de cette forme que d'inconnues $a_i$.

On a en plus l'identité

$$\sum a_i E_i = \omega$$

$$\sum a_i (\omega - D F_i) = \omega$$

ou
qui donne deux relations

$$ \left\{ \begin{array}{l} \sum a_i = 1 \\ \sum a_i F_i = 0 \end{array} \right. $$

Donc si nous prenons une combinaison linéaire d'ordre p comme estimateur, on a

p + 2 relations et p inconnues $a_i$, plus les deux inconnues auxiliaires $\lambda$ et $\mu$.

Pour que le problème soit résolu, il faut maintenant calculer les variances, covariances et moyennes. Nous avons deux procédés à notre disposition

- calcul direct

- approximations de Blom.

Blom fait l'étude des transformations qui permettent de passer de la distribution uniforme à n'importe quelle autre distribution. En effet, soit X une variable aléatoire de fonction de répartition F(x) et soit $x_1, x_2... x_n$ un échantillon de taille n.

Posons

$$ u_i = F(x_i) $$

Nous faisons ainsi correspondre à chaque valeur $x_i$, une valeur $u_i$ comprise entre 0 et 1 ; la transformation inverse $F^{-1}$ fait passer de $u_i$ à $x_i$.

Nous poserons, pour faciliter les choses

$$ G = F^{-1} $$

donc

$$ x_i = G(u_i) $$

Si nous ordonnons notre échantillon $x_i$, de même en vertu de la monotonie de F, l'échantillon $u_i$ sera ordonné. Nous pouvons calculer la moyenne, la variance d'une variable $u_i$. Nous donnons les résultats sans démonstration

$$ \text{fonction densité : } \beta_i(u_i) = \frac{n!}{(i-1)! (n-i)!} u_i^{i-1} (1-u_i)^{n-i} $$
$$ \text{moyenne : } p_i = \frac{i}{n + 1} $$

$$ \text{variance : } v_i = \frac{p_i (1 - p_i)}{n + 2} $$

$$ \text{covariance : } c_{ij} = \frac{p_i (1 - p_j)}{n + 2} \quad i \le j $$

Blom montre que sous certaines hypothèses, on peut revenir par la transformation G aux moyennes, variances et covariances des variables $x_i$. On a

$$ E x_i = G \left( \frac{i}{n+1} \right) + R_i \quad \text{où } |R_i| < \frac{M}{n} $$

M étant une constante ne dépendant pas de i et n

$$ \text{cov}(x_i, x_j) = \frac{1}{n+2} p_i (1 - p_j) G'(p_i) G'(p_j) + R_{ij} $$

$$ \text{avec } |R_{ij}| < \frac{M}{n^2} \text{ où } G' \text{ est la dérivée de } G. $$

Avec certaines classes de transformations, on est obligé d'utiliser des formules plus compliquées.

Nous pourrions donc utiliser cette méthode.

Dans le cas qui nous intéresse, nous avons préféré un calcul direct, mais nous avons tenu à signaler cette méthode de Blom qui permet dans certains cas d'obtenir des résultats plus facilement.

## Calcul direct des $E(x_i)$

Dans ce paragraphe et les suivants, l'indice i est le rang compté à partir du sommet.

$$ E_i = E x_i = \int_{-\omega}^{+\omega} x_i \, d H(x_i) $$

où H est la fonction de répartition de la iᵉ valeur extrême à partir du sommet.
Passons à la variable $\xi_i$ du changement de variable de Cramer

$$ \xi_i = n[1 - F(x_i)] $$

$$ E_i = \int_0^h x_i(\xi) \cdot h(\xi) \cdot d\xi $$

or avec la forme adoptée pour F

$$ x_i(\xi) = \omega - b \left(\frac{\xi}{n}\right)^h $$

$$ \text{donc} \quad E_i = \int_0^n \left( \omega - b \left( \frac{\xi}{n} \right)^h \right) \cdot h(\xi) \cdot d\xi $$

et asymptotiquement, on a

$$ E_i = \int_0^n \left( \omega - b \left( \frac{\xi}{n} \right)^h \right) \frac{e^{-\xi} \xi^{i-1}}{\Gamma(i)} \cdot d\xi $$

qui donne

$$ E_i = \omega - \frac{b}{n^h} \frac{\Gamma(i+h)}{\Gamma(i)} $$

en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur à $\frac{1}{n^h}$

## Calcul des $C_{ij}$

De la même manière, on peut calculer les variances

$$ \begin{aligned} C_{ii} &= E(x_i - E_i)^2 = \int_0^n (x_i(\xi) - E_i)^2 \cdot \frac{e^{-\xi} \xi^{i-1}}{\Gamma(i)} \cdot d\xi \\ &= \int_0^n \left[ \frac{b}{n^h} \frac{\Gamma(i+h)}{\Gamma(i)} - b \left( \frac{\xi}{n} \right)^h \right]^2 \frac{e^{-\xi} \xi^{i-1}}{\Gamma(i)} \cdot d\xi \end{aligned} $$

ou finalement

$$ C_{ii} = \frac{b^2}{n^{2h}} \left[ \frac{\Gamma(i + 2h)}{\Gamma(i)} - \left( \frac{\Gamma(i + h)}{\Gamma(i)} \right)^2 \right] $$

## Calcul des $C_{ij}$ (i ≠ j covariance)

$$ \text{Cov}(x_i, x_j) = C_{ij} = \iint_{\text{pour } x_i \prec x_j} x_i(\xi) \cdot x_j(\xi \theta) \cdot h(\xi, \theta) \, d\xi \cdot d\theta $$
ramer

En utilisant la fonction h(ξ, θ) définie plus haut, on trouve
alors par un calcul identique au précédent

$$
C_{ij} = \frac{b^2}{n^{2h}} \left[ \frac{\Gamma(i + 2h)}{\Gamma(j)} \cdot \frac{\Gamma(j + h)}{\Gamma(i + h)} - \frac{\Gamma(i + h)}{\Gamma(j)} \frac{\Gamma(j + h)}{\Gamma(i)} \right]
$$

Le calcul est valable pour j < i, par symétrie on a les autres covariances.

Nous sommes maintenant en possession de tous les coefficients.

Remarquons que notre estimateur est indépendant de b, indépendant de n puisque nous avons utilisé des fonctions asymptotiques pour les ξᵢ.

Par contre, l'exposant k du terme de plus bas degré du développement de Fricke intervient considérablement.

Remarque.

Le système d'équations linéaires que nous obtenons a une forme très particulière. On a

$$
\vec{\text{AM}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}
$$

et la matrice M se décompose comme suit

$$
M = \begin{pmatrix}
T & 0 & 0 \\
0 & T & 0 \\
C_{ij} & T^* & T
\end{pmatrix}
$$

où T* est la transposée de T et C_{ij} une matrice symétrique.
(cf. tableau).

Enfin, en raison de la forme particulière du second membre,
les aᵢ apparaissent comme les termes de la première colonne de
la matrice inverse de la matrice M.

Donnons pour terminer, l'expression de la variance de notre
estimateur

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

dξ

θ
$$V = \frac{\sum_i \sum_j a_i a_j}{n^{2h}} C_{ij}$$

Remarquons que cette variance dépendra de b et sera de la forme

$$V = \frac{B}{n^{2h}}$$

$$où \quad B = b^2 \sum_i \sum_j a_i a_j D_{ij}$$

$$où \quad D_{ij} = n^{2h} C_{ij}$$

Matrice des variances et covariances pour k = 7/2,
à un facteur $(\frac{b^2}{n^{2h}}) \cdot 10^{-4}$ près.

<table><thead><tr><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th><th>6</th><th>7</th><th>8</th><th>9</th><th>10</th></tr></thead><tbody><tr><td>814</td><td>481</td><td>356</td><td>288</td><td>245</td><td>215</td><td>193</td><td>176</td><td>162</td><td>151</td></tr><tr><td>481</td><td>619</td><td>457</td><td>370</td><td>315</td><td>277</td><td>249</td><td>227</td><td>209</td><td>194</td></tr><tr><td>356</td><td>457</td><td>523</td><td>423</td><td>360</td><td>317</td><td>284</td><td>259</td><td>239</td><td>222</td></tr><tr><td>288</td><td>370</td><td>423</td><td>463</td><td>395</td><td>347</td><td>311</td><td>284</td><td>261</td><td>243</td></tr><tr><td>245</td><td>315</td><td>360</td><td>395</td><td>423</td><td>372</td><td>333</td><td>304</td><td>280</td><td>261</td></tr><tr><td>215</td><td>277</td><td>317</td><td>347</td><td>372</td><td>393</td><td>352</td><td>321</td><td>296</td><td>276</td></tr><tr><td>193</td><td>249</td><td>284</td><td>311</td><td>333</td><td>352</td><td>369</td><td>336</td><td>310</td><td>289</td></tr><tr><td>176</td><td>227</td><td>259</td><td>284</td><td>304</td><td>321</td><td>336</td><td>350</td><td>323</td><td>289</td></tr><tr><td>162</td><td>209</td><td>239</td><td>261</td><td>280</td><td>296</td><td>310</td><td>323</td><td>334</td><td>311</td></tr><tr><td>151</td><td>194</td><td>222</td><td>243</td><td>261</td><td>276</td><td>289</td><td>300</td><td>311</td><td>321</td></tr></tbody></table>
Matrice des variances et covariances pour $k = 9/2$,
à un facteur $(\frac{b^2}{n^{2h}}) \cdot 10^{-4}$ près.

<table><thead><tr><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th><th>6</th><th>7</th><th>8</th><th>9</th><th>10</th></tr></thead><tbody><tr><td>529</td><td>288</td><td>204</td><td>160</td><td>133</td><td>115</td><td>101</td><td>90</td><td>82</td><td>75</td></tr><tr><td>288</td><td>352</td><td>249</td><td>196</td><td>163</td><td>140</td><td>123</td><td>111</td><td>100</td><td>92</td></tr><tr><td>204</td><td>249</td><td>277</td><td>218</td><td>181</td><td>156</td><td>137</td><td>123</td><td>112</td><td>102</td></tr><tr><td>160</td><td>196</td><td>218</td><td>234</td><td>194</td><td>167</td><td>147</td><td>132</td><td>120</td><td>110</td></tr><tr><td>133</td><td>163</td><td>181</td><td>194</td><td>205</td><td>176</td><td>155</td><td>139</td><td>126</td><td>116</td></tr><tr><td>115</td><td>140</td><td>156</td><td>167</td><td>176</td><td>184</td><td>162</td><td>145</td><td>132</td><td>121</td></tr><tr><td>101</td><td>123</td><td>137</td><td>147</td><td>155</td><td>162</td><td>168</td><td>151</td><td>137</td><td>126</td></tr><tr><td>90</td><td>111</td><td>123</td><td>132</td><td>139</td><td>145</td><td>151</td><td>156</td><td>141</td><td>130</td></tr><tr><td>82</td><td>100</td><td>112</td><td>120</td><td>126</td><td>132</td><td>137</td><td>141</td><td>145</td><td>133</td></tr><tr><td>75</td><td>92</td><td>102</td><td>110</td><td>116</td><td>121</td><td>126</td><td>130</td><td>133</td><td>137</td></tr></tbody></table>

Tableau des coefficients de l'estimateur linéaire de $\omega$.

Combinaison d'ordre 10

Paramètre

<table><thead><tr><th>K</th><th>2,5</th><th>3,0</th><th>3,5</th><th>4,0</th><th>4,5</th></tr></thead><tbody><tr><td>a<sub>1</sub></td><td>1,0680</td><td>1,0783</td><td>1,1070</td><td>1,1402</td><td>1,1751</td></tr><tr><td>a<sub>2</sub></td><td>0,2496</td><td>0,3281</td><td>0,3912</td><td>0,4548</td><td>0,5321</td></tr><tr><td>a<sub>3</sub></td><td>0,1771</td><td>0,2377</td><td>0,3008</td><td>0,3708</td><td>0,3964</td></tr><tr><td>a<sub>4</sub></td><td>0,1464</td><td>0,2041</td><td>0,2425</td><td>0,3022</td><td>0,3575</td></tr><tr><td>a<sub>5</sub></td><td>0,1147</td><td>0,1621</td><td>0,2383</td><td>0,2616</td><td>0,3575</td></tr><tr><td>a<sub>6</sub></td><td>0,1043</td><td>0,1733</td><td>0,2014</td><td>0,3641</td><td>0,2083</td></tr><tr><td>a<sub>7</sub></td><td>0,0910</td><td>0,1230</td><td>0,2281</td><td>0,0008</td><td>0,3638</td></tr><tr><td>a<sub>8</sub></td><td>0,0868</td><td>0,0970</td><td>0,0945</td><td>0,3746</td><td>0,3416</td></tr><tr><td>a<sub>9</sub></td><td>0,0635</td><td>0,1478</td><td>0,1903</td><td>0,2137</td><td>0,0511</td></tr><tr><td>a<sub>10</sub></td><td>-1,1015</td><td>-1,5515</td><td>-1,9942</td><td>-2,4829</td><td>-2,8164</td></tr></tbody></table>
Combinaison d'ordre 8

<table><thead><tr><th>Paramètre</th><th>2,5</th><th>3,0</th><th>3,5</th><th>4,0</th><th>4,5</th></tr></thead><tbody><tr><td>K</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>a<sub>1</sub></td><td>1,190922</td><td>1,225821</td><td>1,269244</td><td>1,328307</td><td>1,373236</td></tr><tr><td>a<sub>2</sub></td><td>0,277836</td><td>0,369518</td><td>0,458969</td><td>0,528034</td><td>0,632180</td></tr><tr><td>a<sub>3</sub></td><td>0,199386</td><td>0,271835</td><td>0,334667</td><td>0,411945</td><td>0,487041</td></tr><tr><td>a<sub>4</sub></td><td>0,159139</td><td>0,220050</td><td>0,303833</td><td>0,409591</td><td>0,451740</td></tr><tr><td>a<sub>5</sub></td><td>0,124816</td><td>0,199661</td><td>0,268821</td><td>0,300605</td><td>0,406646</td></tr><tr><td>a<sub>6</sub></td><td>0,122497</td><td>0,190269</td><td>0,224250</td><td>0,345245</td><td>0,228286</td></tr><tr><td>a<sub>7</sub></td><td>0,111785</td><td>0,130661</td><td>0,204940</td><td>0,064575</td><td>0,411773</td></tr><tr><td>a<sub>8</sub></td><td>-1,186386</td><td>-1,607818</td><td>-2,064727</td><td>-2,388305</td><td>-2,990905</td></tr></tbody></table>

Nous avons fait le calcul de la forme quadratique correspondante qui servira pour le calcul de la variance.

$$Q = \sum_{i} \sum_{j} a_{i} a_{j} C_{ij}$$

Pour k = 4,5

$$Q = 0,396$$

Pour k = 3,5

$$Q = 0,472$$
# CHAPITRE III

## ESTIMATION DES PARAMÈTRES k ET b

### A - Estimation du paramètre k

Nous avions montré dans une publication précédente que lorsque k augmentait, la valeur donnée par l'estimateur augmentait.

Nous donnons ici deux essais pour estimer k, les deux se soldant par des difficultés d'ordre pratique.

Etant donné la forme de

$$E x_i = \omega - b E \left( \frac{\xi}{n} \right)^k$$

pour avoir un estimateur indépendant de ω et b, on trouve deux solutions

- une fonction homographique conduisant à un estimateur

$$\frac{x_i - x_j}{x_k - x_l}$$

Dans ce cas, la taille de l'échantillon n'intervient pas.

- une fonction homographique faisant intervenir des valeurs de deux échantillons différents

$$\frac{x_i - x_j}{y_i - y_j}$$

1er estimateur

Supposons deux échantillons ordonnés, indépendants, de taille n et p.
Prenons les variables de rang i et j dans chacun des échantillons et formons

$$ \frac{x_i - x_j}{y_i - y_j} $$

Cette quantité tend asymptotiquement vers la quantité $(\frac{p}{n})^n$. En effet

$$ \frac{x_i - x_j}{y_i - y_j} = \frac{\xi_j^n - \xi_i^n \left(\frac{b}{n}\right)^n}{\eta_j^n - \eta_i^n \left(\frac{b}{p}\right)^n} \rightarrow \left(\frac{p}{n}\right)^n $$

Donc si p et n sont assez différents, on doit avoir des résultats sensibles à h. L'application au matériel que nous avions, n'a pas donné de résultat.

### 2e estimateur

Nous partons de $x_1, x_2, x_i$ et formons la statistique

$$ \frac{x_1 - x_2}{x_1 - x_i} $$

Cherchons $h(x_1, x_2, x_i)$, fonction densité jointe de $x_1, x_2, x_i$.

$$ h(x_1, x_2, x_i) = \frac{n!}{(n-i)! (i-3)!} (F(x_i))^{i-3} (F(x_2) - F(x_i))^{i-3} \begin{array}{ll} dF(x_1) & \\ \cdot dF(x_2) & \\ \cdot dF(x_3) & \end{array} $$

Faisons le changement de variable habituel de Cramer.

Il vient

$$ g(\xi_1, \xi_2, \xi_i) = \frac{n!}{(n-i)! (i-3)!} \frac{1}{n^i} \left(1 - \frac{\xi_i}{n}\right)^{n-i} (\xi_i - \xi_2)^{i-3} d\xi_1 d\xi_2 d\xi_i $$

avec

$$ \xi_i = n[1 - F(x_i)] $$

Posons

$$ \theta_1 = \frac{\xi_1}{\xi_i} $$

$$ \theta_2 = \frac{\xi_2}{\xi_i} $$

Il vient

$$ k(\xi_i, \theta_1, \theta_2) = Q \left(1 - \frac{\xi_i}{n}\right)^{n-i} \cdot \xi_i^{i-3} (1 - \theta_2)^{i-3} d\xi_i d\theta_1 d\theta_2 \cdot J $$

où J est le jacobien de la transformation.
On montre que

$$J = \xi_i^2$$

Donc quand $n \to \infty$

$$k(\xi_i, \theta_1, \theta_2) \rightarrow \frac{1}{\Gamma(i-2)} e^{-\xi} \xi_i^{i-1} (1 - \theta_2)^{i-3} d\xi_i \ d\theta_1 \ d\theta_2$$

Alors

$$E \left( \frac{x_1 - x_2}{x_1 - x_i} \right) = \iiint \frac{x_1 - x_2}{x_1 - x_i} k(\xi_i, \theta_1, \theta_2) \, d\xi_i \, d\theta_1 \, d\theta_2$$

où $x_1, x_2, x_i$ sont exprimés en fonction de $\xi_i, \theta_1, \theta_2$.

L'intégration par rapport à $\xi_i$ est sans difficulté et il reste

$$E \left( \frac{x_1 - x_2}{x_1 - x_i} \right) = \int_0^1 (1 - \theta_2) \, d\theta_2 \int_0^{\theta_2} \frac{\theta_i^h - \theta_1^h}{1 - \theta_1^h} \, d\theta_1$$

En effet

$$x_1 > x_2 > x_i$$

$$0 < \xi_1 < \xi_2 < \xi_i < n$$

$$0 < \theta_1 < \theta_2 < 1$$

Le calcul donne

$$E = h((i - 3)!) \sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{[(j - 1)(h + 1)] \dots (j h + 1) \dots (j h + i - 1)}$$

Cette expression a deux inconvénients

1/ pour $i=2$ elle n'a pas de sens

2/ elle est difficile à manier

Nous avons alors utilisé l'idée suivante

pour $n \to \infty$

$$F(x_1) \text{ se "stabilise" à } 1 - \frac{1}{n}$$

$$F(x_2) \text{ se "stabilise" à } 1 - \frac{2}{n}$$

$$F(x_i) \text{ se "stabilise" à } 1 - \frac{i}{n}$$
donc

$$ \xi_i \approx \left(\frac{i}{n}\right) n = i $$

$$ \xi_1 \approx \left(\frac{1}{n}\right) n = 1 $$

$$ \xi_2 \approx \left(\frac{2}{n}\right) n = 2 $$

Notre statistique devient donc très simple et

$$ E \left( \frac{x_1 - x_2}{x_1 - x_i} \right) \approx \frac{2^h - 1}{i^h - 1} $$

Nous donnons ci-joint les résultats pour $\neq$ valeurs de h, jusqu'à i = 10.

<table><thead><tr><th>k</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th><th>6</th><th>1</th></tr></thead><tbody><tr><th>2</th><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>1</td></tr><tr><th>3</th><td>0,5658</td><td>0,5877</td><td>0,5986</td><td>0,6051</td><td>0,6094</td><td>0,5</td></tr><tr><th>4</th><td>0,4142</td><td>0,4425</td><td>0,4568</td><td>0,4654</td><td>0,4711</td><td>0,33</td></tr><tr><th>5</th><td>0,3351</td><td>0,3661</td><td>0,3820</td><td>0,3916</td><td>0,3980</td><td>0,25</td></tr><tr><th>6</th><td>0,2858</td><td>0,3181</td><td>0,3348</td><td>0,3450</td><td>0,3519</td><td>0,20</td></tr><tr><th>7</th><td>0,2517</td><td>0,2847</td><td>0,3020</td><td>0,3125</td><td>0,3197</td><td>0,18</td></tr><tr><th>8</th><td>0,2265</td><td>0,2599</td><td>0,2775</td><td>0,2883</td><td>0,2956</td><td>0,14</td></tr><tr><th>9</th><td>0,2071</td><td>0,2406</td><td>0,2585</td><td>0,2695</td><td>0,2769</td><td>0,125</td></tr><tr><th>10</th><td>0,1916</td><td>0,2251</td><td>0,2431</td><td>0,2542</td><td>0,2618</td><td>0,11</td></tr></tbody></table>

Nous constatons immédiatement que les valeurs sont très tassées et si l'on compare à ce que donne des échantillons, on s'aperçoit que notre statistique ne donne pas de renseignement, la fluctuation des résultats pratiques étant trop grande. cf. fig. 8, p. 35.

Par contre, il est encourageant de constater qu'à partir de i = 5 ou 6, pour les différents échantillons utilisés, on avait une excellente convergence vers les valeurs théoriques. Ceci implique donc que le modèle simplifié adopté représente assez correctement les observations.
<figure><img src="image_11.png" /></figure>

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 8 -</figcaption></figure>

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

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Par contre, il faut renoncer à l'estimation du paramètre k et nous fier à la valeur donnée par Fricke.

## B - Estimation du paramètre d'échelle b

Ce paramètre est un paramètre d'échelle, étant donné la forme de la fonction adoptée

$$F = 1 - \left( \frac{\omega - x}{b} \right)^k$$

Autrement dit, b n'a pas de signification physique, mais présente un intérêt car, donnant l'échelle, il permet d'expliquer l'aplatissement de la courbe à proximité de la troncature dans la direction 1 = 90, sans faire intervenir le paramètre k. Donc, dans la mesure où nous trouverons bien toujours b = 2ω, notre hypothèse de garder la même valeur de k dans les différentes directions, sera justifiée.

D'autre part, b servira au calcul de la variance de ω.

Nous allons donc estimer b de la même manière que le paramètre ω.

On posera

$$\hat{b} = \sum b_i x_i$$

en imposant

$$E \hat{b} = b$$

et

var $(\hat{b})$ minimum

La première condition conduit aux 2 équations

$$\left\{ \begin{array}{l} \sum b_i = 0 \\ \sum \frac{b_i}{n^h} \frac{\Gamma(i + h)}{\Gamma(i)} = 1 \end{array} \right.$$

La deuxième condition nous oblige à procéder comme précédemment par les multiplicateurs de Lagrange.

Soit λ et μ les deux variables auxiliaires.
La fonction auxiliaire sera

$$O = \sum_{i} \sum_{j} b_i b_j C_{ij} + \lambda \sum_{i} b_i + \mu \left( \left( \frac{\sum b_i F_i}{n^h} \right) - 1 \right)$$

avec

$$C_{ij} = \operatorname{cov}(x_i, x_j)$$

$$C_{ii} = \operatorname{var} x_i$$

$$F_i = \frac{\Gamma(i + h)}{\Gamma(i)}$$

On a donc à résoudre le système suivant

$$\sum b_i = 0$$

$$\sum \frac{b_i \Gamma(i + h)}{n^h \Gamma(i)} = 1$$

$$p \text{ équations} \quad \sum_j b_i C_{ij} + \lambda + \mu \frac{F_i}{n^h} = 0$$

Donc $p+2$ équations

et $p$ inconnues ($b_i$) + 2 inconnues auxiliaires $\lambda$ et $\mu$.

Le problème est donc théoriquement résolu.

Pratiquement, nous aurons à estimer $b$ en premier lieu.

## Tableau des coefficients de l'estimateur de B.

<table><thead><tr><th>k = 3</th><th>k = 3, 5</th><th>k = 4</th><th>k = 4, 5</th></tr></thead><tbody><tr><td>-0,505900</td><td>-0,579558</td><td>-0,646945</td><td>-0,710749</td></tr><tr><td>-0,154317</td><td>-0,204070</td><td>-0,259714</td><td>-0,322968</td></tr><tr><td>-0,110737</td><td>-0,158412</td><td>-0,210363</td><td>-0,236370</td></tr><tr><td>-0,098115</td><td>-0,123224</td><td>-0,169204</td><td>-0,240829</td></tr><tr><td>-0,072433</td><td>-0,127216</td><td>-0,143260</td><td>-0,216575</td></tr><tr><td>-0,085933</td><td>-0,107284</td><td>-0,218841</td><td>-0,114334</td></tr><tr><td>-0,057094</td><td>-0,126625</td><td>-0,013282</td><td>-0,230926</td></tr><tr><td>-0,040130</td><td>-0,037658</td><td>-0,219665</td><td>-0,223464</td></tr><tr><td>-0,073539</td><td>-0,101593</td><td>-0,134666</td><td>+0,011505</td></tr><tr><td>+1,198204</td><td>+1,565643</td><td>+1,989379</td><td>+2,284713</td></tr></tbody></table>
WHERE DO WE GO FROM HERE?

Per course, either one of the following additions to the list of places to go, or some other method of getting to them, is proposed.

1. The first place is proposed to be at the corner of 1st and 2nd streets, and the second at the corner of 2nd and 3rd streets.

2. The second place is proposed to be at the corner of 1st and 3rd streets, and the third at the corner of 2nd and 4th streets.

3. The third place is proposed to be at the corner of 2nd and 4th streets, and the fourth at the corner of 3rd and 5th streets.

4. The fourth place is proposed to be at the corner of 3rd and 5th streets, and the fifth at the corner of 4th and 6th streets.

5. The fifth place is proposed to be at the corner of 4th and 6th streets, and the sixth at the corner of 5th and 7th streets.

6. The sixth place is proposed to be at the corner of 5th and 7th streets, and the seventh at the corner of 6th and 8th streets.

## THE CHARACTER OF THE PLACES

<table><tr><td>1st</td><td>2nd</td><td>3rd</td><td>4th</td><td>5th</td></tr><tr><td>2000</td><td>2000</td><td>2000</td><td>2000</td><td>2000</td></tr><tr><td>1000</td><td>1000</td><td>1000</td><td>1000</td><td>1000</td></tr><tr><td>500</td><td>500</td><td>500</td><td>500</td><td>500</td></tr><tr><td>100</td><td>100</td><td>100</td><td>100</td><td>100</td></tr><tr><td>50</td><td>50</td><td>50</td><td>50</td><td>50</td></tr><tr><td>10</td><td>10</td><td>10</td><td>10</td><td>10</td></tr></table>
# CHAPITRE IV

## INFLUENCE DES ERREURS DE MESURE SUR L'ESTIMATION

Deux méthodes s'offrent à nous : d'une part, nous pouvons faire une étude théorique, d'autre part une étude expérimentale.

### A-Correction de la distribution théorique en tenant compte des erreurs

Le problème est classique, il s'agit de faire le produit de convolution de la fonction théorique adoptée et de la fonction d'erreur.

Pour les erreurs, nous prenons la loi de Gauss, d'écart QUADRATIQUE σ. Pour la fonction théorique, nous prenons la loi de Fricke en faisant attention aux bornes d'intégration et en nous limitant au voisinage de ω où l'approximation utilisée reste valable.

Nous pouvons travailler de la manière suivante : la fonction de Gauss tend très vite vers 0 et l'on peut admettre qu'elle soit inférieure à un nombre $\alpha$ fixé, pour une distance à la moyenne égale à $q\sigma$ où $q = q(\alpha)$.

Donc, on pourra intégrer par rapport à la variable de Gauss à partir de $-q\sigma$ en faisant la convention que $g(R)$ ne sera définie que pour $R > a + q\sigma$, alors que la fonction de Fricke approximée ne l'était que pour $X > a$.

Nous avons donc

$X$ variable de Fricke

$\epsilon$ variable de Gauss

$$R = X + \epsilon$$
Pour la borne supérieure d'intégration, il n'y a pas de pro-
blème, mais comme $f(x)=0$ pour $X > \omega$, on devra avoir $R - \varepsilon \le \omega$;
si l'on admet que $\varepsilon$ n'est plus intéressant au delà de $+q\sigma$, on
voit que l'on devra se limiter à

$$
R \le \omega - q\sigma
$$

autrement dit, on va intégrer par rapport à $\varepsilon$ de $-q\sigma$ à $+q\sigma$
avec la convention que la variable $R$ ne sera définie que dans l'inter-
tervalle $a+q\sigma$ à $\omega-q\sigma$.

On pourra donc écrire

$$
g(R) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-q\sigma}^{+q\sigma} f(R - \varepsilon) \cdot e^{-\frac{\varepsilon^2}{2\sigma^2}} \cdot d\varepsilon
$$

Soit, en prenant $f \equiv C(\omega - X)^3$

$$
g(R) = \frac{C}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-q\sigma}^{+q\sigma} (\omega - R + \varepsilon)^3 \cdot e^{-\frac{\varepsilon^2}{2\sigma^2}} \cdot d\varepsilon
$$

Loin de ω, on peut développer g(R) et compte tenu de la
symétrie de la loi de Gauss, on trouve

$$
g(R) = C \{(\omega - R)^3 A + (\omega - R) B\}
$$

A et B étant des constantes voisines de 1, comme $(\omega - R)^3$
est nettement plus grand, on voit que $g(R)$ est très proche de la
fonction initiale.

Etudions près de ω. La borne inférieure change car on doit
avoir

$R - \varepsilon \le \omega$

or R est plus proche de ω que qσ, on ne peut plus intégrer
que jusqu'à $-(\omega - R)$, on a donc

$$
g(R) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-(\omega-R)}^{+q\sigma} f(R - \varepsilon) \cdot e^{-\frac{\varepsilon^2}{2\sigma^2}} \cdot d\varepsilon
$$

Posons

$$
\alpha = -(\omega - R)
$$

$\beta = q\sigma$
$\varphi(x)$ pour la loi de Gauss

$\Phi(x)$ pour sa primitive

Développons le cube dans l'expression de $g(R)$, on obtient plusieurs intégrales à évaluer.

Il vient finalement avec les notations précédentes

$$g(R) = (\omega - R)^3 [1 - \Phi(\alpha)] + \sigma^2(\omega - R)^2 \varphi(\alpha) + \sigma^2(\omega - R) [1 - \Phi(\alpha)] + 2\sigma^4 \varphi(\alpha)$$

Soit en revenant aux notations d'origine

$$g(R) = (\omega - R)^3 \Phi(x) + (\omega - R)^2 \varphi(x) + \sigma^2(\omega - R) \Phi(x) + 2\sigma^4(x)$$

avec

$$x = \frac{\omega - R}{\sigma}$$

On voit donc que l'expression obtenue est difficile à manier et, d'autre part, elle ne peut être simplifiée à priori tant que l'on ne connaît pas l'importance des différents termes.

Nous avons calculé cette expression numériquement, ce qui donne les graphiques suivants (fig. 7).

On voit que les courbes semblent décalées parallèlement à elles-mêmes avec pour $\omega = 0$ la probabilité $\frac{2 \cdot 0,398\sigma^3}{C}$ qui donne un palier ; puis la courbe se comporte presque comme une loi de Gauss.

## B - Expérience avec des nombres au hasard

Nous prenons la loi de Fricke et, avec une table de nombres au hasard, nous fabriquons des échantillons de variables frckiennes. Nous tirerons ensuite des nombres au hasard suivant des lois de Gauss de paramètre $\sigma$ variable pour introduire des erreurs et nous chercherons à estimer le paramètre $\omega$, quand $\sigma$ varie.

Pour bien comprendre l'expérience, nous l'avons d'abord faite avec une loi uniforme.

Dans ce cas
$$g(R) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} F(R - \epsilon) e^{-\frac{\epsilon^2}{2\sigma^2}} d\epsilon \\ = R[\Phi(R) - \Phi(R - 1)] - \sigma[\phi(R - 1) - \phi(R)] + \Phi(R - 1)$$

On obtient le graphique A. (fig. 6).

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Figure 6 -</figcaption></figure>

Avec des nombres au hasard, un échantillon a été fabriqué et corrigé par des erreurs (graphique B).

On trouve donc un bon accord entre la loi théorique et l'expérience.

Notons que la courbe avec les erreurs se décompose en 3 zones, l'une presque confondue avec celle de la loi uniforme initiale ; puis entre 1 - 3σ et 1 + 3σ, une zone de mélange très perturbée ; puis enfin au delà de 1 + 3σ, une zone qui est presque une loi de Gauss.
<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Figure 7 -</figcaption></figure>
Nous avons ensuite fabriqué des échantillons de 1 000 valeurs, suivant la fonction de Fricke simplifiée ; soit

$$F(x) = 1 - \left( \frac{\omega - x}{b} \right)^k$$

avec les paramètres fixés aux valeurs suivantes

$\omega = 100$

$b = 100$

$k = 4$

Nous avons sélectionné les plus grandes valeurs seulement.

Nous nous proposons de faire des estimations avec ces 3 échantillons, puis de les corriger avec des erreurs.

<table><thead><tr><th>1er échantillon</th><th>2e échantillon</th><th>3e échantillon</th></tr></thead><tbody><tr><td>estimation<br>ω = 104</td><td>estimation<br>ω = 87,69</td><td>estimation<br>ω = 97,9</td></tr><tr><td>x = 73,2765</td><td>x = 73,8866</td><td>x = 75,7118</td></tr><tr><td>x = 73,0183</td><td>x = 70,4644</td><td>x = 69,2250</td></tr><tr><td>x = 70,0000</td><td>x = 72,8169</td><td>x = 85,7701</td></tr><tr><td>x = 82,5369</td><td>x = 74,6189</td><td>x = 70,3582</td></tr><tr><td>x = 71,2944</td><td>x = 72,7743</td><td>x = 69,9078</td></tr><tr><td>x = 71,3900</td><td>x = 70,1964</td><td>x = 72,8510</td></tr><tr><td>x = 69,7893</td><td>x = 68,9291</td><td>x = 79,1220</td></tr><tr><td>x = 81,3878</td><td>x = 79,9999</td><td>x = 78,7475</td></tr><tr><td>x = 69,0212</td><td></td><td></td></tr><tr><td>x = 68,9708</td><td></td><td></td></tr><tr><td>x = 79,6351</td><td></td><td></td></tr><tr><td>x = 80,2139</td><td></td><td></td></tr><tr><td>x = 87,4259</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Nous voyons avec ces trois échantillons que la fluctuation de l'estimation est importante ; ω variant de 87 à 104.

Remarquons aussi que les estimations avec la 1ère et la 5e valeur avaient donné respectivement : 100, 92, 107.

Nous avons fait d'autres expériences avec des nombres au hazard, en faisant varier b ; nous avons constaté une certaine in-
fluence du paramètre b ; comme le laisse prévoir la formule de la variance, la dispersion des estimations augmente avec b. Nous avons constaté d'autre part que, en majorité, les estimations pour un $\omega$ fixé à 100, étaient comprises entre 90 et 110 environ.

1er échantillon avec des erreurs.

Nous introduisons des erreurs $\epsilon$ tirées de la table de la Rand

$$1/ \sigma = 1$$

Nous avons fait trois tirages d'erreurs.

On trouve pour $\hat{\omega}$ successivement

$$- \hat{\omega} = 106$$

$$- \hat{\omega} = 109$$

$$- \hat{\omega} = 107$$

On trouve comme moyenne 107, et l'on trouve 3 d'écart avec l'estimation faite avec l'échantillon brut, soit 3 fois l'écart.

$$2/ \sigma = 3$$

Nous avons fait aussi trois tirages d'erreurs.

On trouve pour $\hat{\omega}$ successivement

$$- \hat{\omega} = 115$$

$$- \hat{\omega} = 114$$

$$- \hat{\omega} = 111$$

La moyenne est donc 113, on trouve donc encore bien une différence d'environ 3 fois l'écart.

Autrement dit, dans le cas d'erreurs, l'estimation peut donner une valeur supérieure d'environ trois fois l'écart, ce qui confirme bien la partie théorique à savoir que, approximativement, on a une fonction tronquée à une valeur $\omega + q\sigma$ au lieu de $\omega$.
The following is a collection of some of the most interesting and original ideas which have been suggested to me by the examples of the best classical writers. I have attempted to give them, in as clear a light as possible, the advantages of the various styles of furniture which have been described in the works of the most eminent classical writers. I have also given, in a separate section, an account of the most interesting and original ideas which have been suggested to me by the examples of the best modern designers, with an attempt to show their relation to the best classical ideas.

The following is a collection of some of the most interesting and original ideas which have been suggested to me by the examples of the best classical writers.

I have also given, in a separate section, an account of the most interesting and original ideas which have been suggested to me by the examples of the best modern designers, with an attempt to show their relation to the best classical ideas.

On the plan of the above, I have given, in a separate section, an account of the most interesting and original ideas which have been suggested to me by the examples of the best modern designers, with an attempt to show their relation to the best classical ideas.

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# CHAPITRE V

## APPLICATION A DES VITESSES RADIALES

Nous allons utiliser les méthodes mises au point dans les chapitres précédents pour estimer la vitesse d'évasion dans le plan galectique.

Rappelons que pour le paramètre $\omega$, nous prenons comme estimateur

$$ \hat{\omega} = \sum a_i x_i $$

où les $a_i$ sont des coefficients (cf. p. 21) obtenus en imposant à l'estimation d'être correcte et à variance minimum, où les $x_i$ sont les plus grandes valeurs de l'échantillon. Les indices i variant de 1 pour la plus grande valeur à 8 ou 10 suivant les cas.

Nous appliquons cette méthode à deux matériels de vitesses radiales

1/ des vitesses tirées du catalogue général de Wilson.

2/ des vitesses tirées du catalogue de Gliese.

Nous avons vu l'influence considérable des erreurs de mesure, on se rend donc compte qu'il faut un matériel homogène et de bonne qualité.

D'autre part, nous avons vu que la vitesse d'évasion était liée en un point au potentiel régnant. Nous nous proposons d'estimer la vitesse d'évasion au voisinage du soleil. Il nous faut donc utiliser des etoiles comprises dans un certain volume de l'espace ; donc il faut un critère de distance.
C'est pourquoi nous avons cherché à utiliser le catalogue de Gliese qui comporte des étoiles dont la distance est au plus égale à 20 parsecs. Ce catalogue est en fait un catalogue de vitesses spatiales, comprenant environ 900 étoiles. Or une fois un découpage en région effectué, on obtient dans chacune des échantillons trop petits.

Cependant si l'on admet que la répartition des vitesses est indépendante de la longitude, en projetant un nuage de vitesses spatiales sur une direction donnée, on obtient une distribution de vitesses radiales.

Nous avons utilisé ce procédé pour le catalogue de Gliese, ce qui nous fournit des échantillons d'environ 900 étoiles.

## Catalogue de Gliese

Nous avons donc projeté le nuage des vitesses spatiales sur quatre directions

1 = 90 (direction de rotation)

1 = 120

1 = 150

1 = 180 (direction opposée à celle du centre galactique)

Les 4 échantillons ainsi obtenus ne sont pas rigoureusement indépendants, cependant ce ne sont pas les mêmes vitesses qui ont donné les plus grandes valeurs de chaque direction. Les vitesses sont ici données par rapport au soleil.

## Résultats

Direction 1 = 90.

Dix plus grandes valeurs

58, 55, 55, 53, 49, 44, 41, 40, 39, 37.

$$ \text{- pour } k = \frac{9}{2} \qquad \begin{array}{l} \hat{\omega}_{90} = 93,5 \text{ km/s} \\ \sigma \omega \approx 18 \end{array} \qquad \hat{b}_{90} = 154 $$

$$ \text{- pour } k = \frac{7}{2} \qquad \begin{array}{l} \hat{\omega}_{90} = 83 \text{ km/s} \\ \sigma \omega \approx 19,5 \end{array} \qquad \hat{b}_{90} = 160 $$
Direction 1 = 120°

Dix plus grandes valeurs

81, 78, 74, 69, 64, 58, 57, 57, 52.

$$ \text{- pour } k = \frac{9}{2} \qquad \hat{\omega}_{120} = 127 \text{ km/s} \qquad \hat{b}_{120} = 204 \\ \sigma\omega \approx 24 $$

$$ \text{- pour } k = \frac{7}{2} \qquad \hat{\omega}_{120} = 114 \text{ km/s} \qquad \hat{b}_{120} = 216 \\ \sigma\omega \approx 25,5 $$

Direction 1 = 150°

Dix plus grandes valeurs

121, 115, 111, 103, 85, 83, 80, 77, 75, 73.

$$ \text{- pour } k = \frac{9}{2} \qquad \hat{\omega}_{150} = 189 \text{ km/s} \qquad \hat{b}_{150} = 326 \\ \sigma\omega \approx 37,5 $$

$$ \text{- pour } k = \frac{7}{2} \qquad \hat{\omega}_{150} = 168 \text{ km/s} \qquad \hat{b}_{150} = 272 \\ \sigma\omega \approx 40,5 $$

Direction 1 = 180°

Dix plus grandes valeurs

272, 151, 130, 130, 129, 121, 120, 120.

$$ \text{- pour } k = \frac{9}{2} \qquad \hat{\omega}_{180} = 361 \text{ km/s} \qquad \hat{b}_{180} = 611 \\ \sigma\omega \approx 74,5 $$

$$ \text{- pour } k = \frac{7}{2} \qquad \hat{\omega}_{180} = 315 \text{ km/s} \qquad \hat{b}_{180} = 698 \\ \sigma\omega \approx 81,5 $$

Nous constatons que le paramètre $\hat{b}$ est sensiblement égal à deux fois $\hat{\omega}$.

## Catalogue de Wilson (1)

Nous avons sélectionné dans ce catalogue des étoiles du plan galactique, en fait comprises entre b = - 30 et b = + 30. Pour le

<footnote>(1) Des réserves ayant été faites quant au critère de sélection utilisé pour les étoiles. Cette partie du travail doit être prise comme non définitive. L'application a un matériel équivalent sera publié par la suite.</footnote>
découpage en longitude, nous avons pris cinq zones. Quand cela était possible, c'est-à-dire quand il y avait assez d'étoiles, nous avons distingué les étoiles des parties symétriques ; sinon, nous regroupons les étoiles. Enfin, nous comptons les points de vitesse qui tombent dans une zone, ce qui peut correspondre soit à une vitesse positive, l'étoile étant dans la direction envisagée, soit à une vitesse négative, l'étoile étant dans la région opposée.

Les longitudes galactiques utilisées sont basées sur la direction du centre galactique ($l = 0$).

Les vitesses de la dernière colonne de nos listes sont des vitesses rapportées au centroïde de M. Delhaye (10), de coordonnées par rapport au point de vitesse du soleil $v = -12, u = +9$.

Nous ferons des estimations avec huit ou dix valeurs. Puis nous ferons une sélection suivant un critère de distance : nous éliminerons les étoiles plus lointaines que 100 parsecs environ ; la distance étant évaluée grossièrement à partir de la magnitude apparente et de la classe spectrale.

Vu le nombre de vitesses du catalogue de Wilson, nous avons uniquement sélectionné des queues de distribution, en évaluant le nombre approximatif d'étoiles tombant dans chaque zone.
<table><caption>Tableau des différentes zones.</caption><thead><tr><th></th><th>longitude des étoiles</th><th>signe des vitesses</th><th>points de vitesse</th></tr></thead><tbody><tr><td>zone 1, a</td><td>170 et 190 ou<br>350 et 10</td><td>+</td><td>170 et 190</td></tr><tr><td>zone 1, b</td><td>170 et 190 ou<br>350 et 10</td><td>-</td><td>350 et 10</td></tr><tr><td>zone 2, a</td><td>150 et 170 ou<br>330 et 350</td><td>+</td><td>150 et 170</td></tr><tr><td>zone 2, b</td><td>10 et 30 ou<br>190 et 210</td><td>+</td><td>10 et 30</td></tr><tr><td>zone 3</td><td>30 et 50 ou<br>210 et 230 ou<br>130 et 150 ou<br>310 et 330</td><td>-</td><td>30 et 50 ou<br>130 et 150</td></tr><tr><td>zone 4</td><td>110 et 130 ou<br>290 et 310 ou<br>50 et 70 ou<br>230 et 250</td><td>-</td><td>110 et 130 ou<br>50 et 70</td></tr><tr><td>zone 5</td><td>70 et 110 ou<br>250 et 290</td><td>+</td><td>70 et 110</td></tr></tbody></table>
Zone 1 ; a

<table><thead><tr><th>N° Wilson</th><th>V<sub>r</sub></th><th>Mg</th><th>Spc</th><th>V<sub>r</sub>/C</th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>2 420</td><td>339</td><td>8,9</td><td>dA 8</td><td>330</td><td>&(1)</td></tr><tr><td>4 100</td><td>195</td><td>10,0 var</td><td>cK 2 ev</td><td>186</td><td></td></tr><tr><td>9 237</td><td>-174</td><td>8,0 v</td><td>gM 4 e</td><td>165</td><td></td></tr><tr><td>11 040</td><td>-124</td><td>9,9</td><td>G 3</td><td>115</td><td>&</td></tr><tr><td>10 747</td><td>-122</td><td>......</td><td>P d</td><td>113</td><td></td></tr><tr><td>2 653</td><td>109</td><td>10,4 v</td><td>G 5</td><td>110</td><td>&</td></tr><tr><td>10 105</td><td>-106</td><td>9,9</td><td>P d</td><td>97</td><td></td></tr><tr><td>3 635</td><td>103</td><td>6,4</td><td>M 2</td><td>94</td><td></td></tr><tr><td>10 516</td><td>-103</td><td>11,3 v</td><td>R 3</td><td>94</td><td></td></tr><tr><td>9 667</td><td>-102</td><td>7,6</td><td>gM 2</td><td>93</td><td></td></tr><tr><td>3 645</td><td>99,9</td><td>6,4</td><td>M 0</td><td>90,9</td><td>&</td></tr><tr><td>9 930</td><td>98</td><td>9,3</td><td>G 3</td><td>89</td><td>&</td></tr><tr><td>2 627</td><td>96,3</td><td>7,8</td><td>gK 2</td><td>87,3</td><td></td></tr><tr><td>3 743</td><td>96</td><td>6,8</td><td>K 0</td><td>87</td><td>&</td></tr><tr><td>2 280</td><td>94</td><td>12,2</td><td>dM 4</td><td>85</td><td>&</td></tr><tr><td>9 741</td><td>-92</td><td>6,4</td><td>K 2</td><td>83</td><td>&</td></tr><tr><td>4 397</td><td>86,3</td><td>6,3</td><td>F 5</td><td>77,3</td><td>&</td></tr></tbody></table>

Zone 1 ; b

<table><thead><tr><th>N° Wilson</th><th>V<sub>r</sub></th><th>Mg</th><th>Spc</th><th>V<sub>r</sub>/C</th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>9 989</td><td>234</td><td>8,9</td><td>F 1</td><td>242</td><td>&</td></tr><tr><td>11 148</td><td>198</td><td>9</td><td>G 2</td><td>207</td><td>&</td></tr><tr><td>10 770</td><td>175</td><td>8,5 v</td><td>Q</td><td>184</td><td></td></tr><tr><td>3 662</td><td>-132</td><td>8,4 v</td><td>M 3 e</td><td>141</td><td>&</td></tr><tr><td>2 317</td><td>-112,5</td><td>8,3</td><td>gF 5</td><td>121,5</td><td></td></tr><tr><td>10 855</td><td>109</td><td>9,3</td><td>B 0</td><td>118</td><td></td></tr><tr><td>11 355</td><td>107</td><td>8,7</td><td>F 7</td><td>116</td><td>&</td></tr><tr><td>9 819</td><td>102</td><td>8,3</td><td>dF 3 e</td><td>111</td><td></td></tr><tr><td>9 058</td><td>95</td><td>8,9 v</td><td>gM 3 e</td><td>104</td><td></td></tr><tr><td>3 824</td><td>-91,5</td><td>9,3</td><td>dK 6</td><td>100,5</td><td>&</td></tr><tr><td>3 853</td><td>-87,1</td><td>6,4</td><td>K 0</td><td>96,1</td><td>&</td></tr><tr><td>2 460</td><td>-81</td><td>10,2</td><td>R 4</td><td>90</td><td></td></tr><tr><td>2 221</td><td>-80</td><td>10,0 v</td><td>gM 5</td><td>89</td><td></td></tr></tbody></table>

<footnote>(1) étoiles à des distances < 100 pcs.</footnote>
Zone 2 ; a

<table><thead><tr><th>N° Wilson</th><th>V<sub>r</sub></th><th>Mg</th><th>Spc</th><th>V<sub>r</sub>/C</th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>4 400</td><td>189</td><td>10,0</td><td>sdF 2</td><td>185</td><td>&</td></tr><tr><td>8 524</td><td>-187</td><td>......</td><td>A 9</td><td>183</td><td></td></tr><tr><td>9 723</td><td>-138</td><td>6,0</td><td>O 7 e</td><td>134</td><td></td></tr><tr><td>9 205</td><td>-130</td><td>10,8 v</td><td>cK 2 ev</td><td>126</td><td>&</td></tr><tr><td>8 789</td><td>-130,3</td><td>9,7</td><td>P e</td><td>125,9</td><td></td></tr><tr><td>2 745</td><td>112,6</td><td>7,3</td><td>dG 2</td><td>108,6</td><td>&</td></tr><tr><td>2 337</td><td>112</td><td>9,2</td><td>dK 4</td><td>108</td><td>&</td></tr><tr><td>9 712</td><td>-101</td><td>8,5</td><td>cB 0</td><td>97</td><td></td></tr><tr><td>1 714</td><td>87</td><td>8,6</td><td>G 0</td><td>83</td><td>&</td></tr><tr><td>2 534</td><td>79,9</td><td>8,8</td><td>dF 6</td><td>75,9</td><td>&</td></tr><tr><td>2 978</td><td>74</td><td>9,8</td><td>dM 0</td><td>70</td><td>&</td></tr><tr><td>8 795</td><td>-72</td><td>10,5</td><td>dK 5</td><td>68</td><td>&</td></tr><tr><td>2 275</td><td>70,1</td><td>4,0</td><td>O 7 n</td><td>66,1</td><td></td></tr><tr><td>8 631</td><td>-65,0</td><td>7,7</td><td>dK 5</td><td>61</td><td>&</td></tr><tr><td>8 713</td><td>-63</td><td>10,1</td><td>dF 4</td><td>59</td><td>&</td></tr><tr><td>9 680</td><td>-62,5</td><td>5,4</td><td>O 9 e</td><td>58,5</td><td>&</td></tr></tbody></table>

Zone 2 ; b

<table><thead><tr><th>N° Wilson</th><th>V<sub>r</sub></th><th>Mg</th><th>Spc</th><th>V<sub>r</sub>/C</th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>5 240</td><td>-240</td><td>8,2</td><td>dF 8</td><td>252</td><td>&</td></tr><tr><td>10 995</td><td>193,9</td><td>9,6</td><td>Pd</td><td>205</td><td></td></tr><tr><td>10 404</td><td>191</td><td>9,5</td><td>dG 0</td><td>203</td><td>&</td></tr><tr><td>3 785</td><td>-190</td><td>9,2</td><td>dF 8</td><td>202</td><td>&</td></tr><tr><td>5 047</td><td>-130</td><td>3,0</td><td>G 0</td><td>142</td><td>&</td></tr><tr><td>10 670</td><td>119,8</td><td>10,9</td><td>Pd</td><td>132</td><td></td></tr><tr><td>9 531</td><td>115</td><td>8,0</td><td>O 9</td><td>127</td><td></td></tr><tr><td>3 463</td><td>-112</td><td>6,1</td><td>gM 0</td><td>124</td><td></td></tr><tr><td>9 469</td><td>99,6</td><td>5,4</td><td>gM 2</td><td>112</td><td>&</td></tr><tr><td>10 969</td><td>95</td><td>8,9</td><td>G 5</td><td>107</td><td>&</td></tr><tr><td>10 298</td><td>91</td><td>6,3</td><td>A 2</td><td>103</td><td></td></tr><tr><td>4 431</td><td>-86,6</td><td>8,3</td><td>dG 3</td><td>99</td><td>&</td></tr><tr><td>12 265</td><td>85</td><td>5,5 v</td><td>gM 5 e</td><td>97</td><td>&</td></tr><tr><td>11 516</td><td>78,2</td><td>9,4</td><td>dG 3</td><td>91</td><td>&</td></tr><tr><td>9 766</td><td>81</td><td>13,2 v</td><td>G0-G4</td><td>93</td><td></td></tr><tr><td>9 764</td><td>73</td><td>7,6</td><td>G 0</td><td>85</td><td>&</td></tr></tbody></table>
## Zone 3 : 1 compris entre 30 et 50 ou 130 et 150

Le nombre des étoiles de cette zone étant moins grand, nous ne ferons pas la décomposition en deux parties symétriques.

<table><thead><tr><th>N° Wilson</th><th>V<sub>r</sub></th><th>Mg</th><th>Spc</th><th>V<sub>r</sub>/C</th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>11 715</td><td>151</td><td>7,0</td><td>A 9n</td><td>166</td><td>&</td></tr><tr><td>11 017</td><td>112</td><td>10,6</td><td>sdF 5</td><td>127</td><td>&</td></tr><tr><td>11 302</td><td>96</td><td>12,0</td><td>B 9</td><td>111</td><td></td></tr><tr><td>11 213</td><td>91</td><td>9,6 v</td><td>.....</td><td>106</td><td></td></tr><tr><td>11 754</td><td>91,1</td><td>.....</td><td>Pc</td><td>106</td><td></td></tr><tr><td>8 877</td><td>-69,1</td><td>5,7</td><td>dG 5</td><td>84</td><td>&</td></tr><tr><td>12 009</td><td>68</td><td>8,7</td><td>dK 5</td><td>83</td><td>&</td></tr><tr><td>5 231</td><td>-61,5</td><td>6,6</td><td>M 4</td><td>76</td><td>&</td></tr><tr><td>1 473</td><td>66,7</td><td>5,4 v</td><td>gM 4e</td><td>67,7</td><td>&</td></tr><tr><td>8 319</td><td>-66</td><td>10,1</td><td>B 2e</td><td>67</td><td>&</td></tr><tr><td>894</td><td>65,2</td><td>6,4</td><td>G 8</td><td>66,2</td><td>&</td></tr><tr><td>1 156</td><td>62</td><td>9,9</td><td>dM 0</td><td>63</td><td>&</td></tr><tr><td>8 500</td><td>-60</td><td>5,4</td><td>K 5</td><td>61</td><td>&</td></tr><tr><td>11 230</td><td>44</td><td>5,0 v</td><td>K 3ev</td><td>59</td><td>&</td></tr><tr><td>11 242</td><td>40</td><td>9,1</td><td>B 1</td><td>55</td><td></td></tr></tbody></table>

## Zone 4 : 1 compris entre 110 et 130 ou 50 et 70

Dans cette zone, nous ne ferons pas de subdivision.

<table><thead><tr><th>N° Wilson</th><th>V<sub>r</sub></th><th>Mg</th><th>Spc</th><th>V<sub>r</sub>/C</th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>11 638</td><td>194</td><td>10</td><td>WN 7</td><td>209</td><td></td></tr><tr><td>12 872</td><td>71</td><td>11,5</td><td>wA</td><td>86</td><td></td></tr><tr><td>10 005</td><td>58,9</td><td>7,1</td><td>gM 2</td><td>74</td><td>&</td></tr><tr><td>7 866</td><td>-65</td><td>5,0</td><td>F 4</td><td>71</td><td>&</td></tr><tr><td>261</td><td>61,1</td><td>8,2</td><td>dG 0</td><td>67</td><td>&</td></tr><tr><td>12 658</td><td>51</td><td>9</td><td>N</td><td>66</td><td></td></tr><tr><td>11 526</td><td>50</td><td>7</td><td>K 2</td><td>65</td><td>&</td></tr><tr><td>12 522</td><td>50</td><td>8,3 v</td><td>gM 6</td><td>65</td><td></td></tr><tr><td>12 040</td><td>50</td><td>11,6 v</td><td>cG 8v</td><td>65</td><td></td></tr><tr><td>12 737</td><td>48</td><td>8,3</td><td>K 0</td><td>63</td><td>&</td></tr><tr><td>13 344</td><td>45</td><td>11,1</td><td>cK 2v</td><td>60</td><td></td></tr><tr><td>11 389</td><td>44</td><td>5,7</td><td>gK 2</td><td>59</td><td>&</td></tr><tr><td>14 874</td><td>51,5</td><td>8,9</td><td>dK 2</td><td>57</td><td>&</td></tr><tr><td>12 051</td><td>42</td><td>11,8</td><td>R 6</td><td>57</td><td></td></tr><tr><td>12 622</td><td>42,1</td><td>.....</td><td>Pd</td><td>57</td><td></td></tr><tr><td>13 456</td><td>40</td><td>8,3</td><td>B 3n</td><td>55</td><td></td></tr><tr><td>845</td><td>40</td><td>7,2</td><td>K 5</td><td>46</td><td>&</td></tr></tbody></table>

L'examen préalable de cet échantillon montre qu'il faut éliminer l'étoile 11 638, ceci d'une part pour des raisons statistiques
(l'écart de cette valeur avec la suivante), d'autre part, en raison du type très particulier de cette étoile et de sa distance probablement grande.

Zone 5 : 1 compris entre 70 et 110

Dans cette zone, nous prenons le matériel déjà utilisé dans nos premiers essais (9).

46,1 36 32,4 31 30,2 33 29,6 27,8 26,7 24,8 22

(vitesses par rapport au soleil)

Deux autres étoiles à grande vitesse sont dans cette zone, mais leur type spectral n'est pas indiqué dans les catalogues de Wilson, elles sont donc particulières et tombent dans les catégories que nous éliminons.

Avant toute estimation de $\omega$ nous voyons sur la figure 8, ce que donne la statistique $\frac{x_1 - x_2}{x_1 - x_i}$ qui devrait permettre l'estimation du paramètre k. Nous voyons comme nous l'avions annoncé, que les fluctuations sont trop grandes pour faire une estimation convenable.

Tableau des échantillons.

<table><thead><tr><th rowspan="2">zone</th><th colspan="2">k = <sup>9</sup>&frasl;<sub>2</sub></th><th colspan="2">k = <sup>7</sup>&frasl;<sub>2</sub></th></tr><tr><th>échantillon brut</th><th>après élimination</th><th>échantillon brut</th><th>après élimination</th></tr></thead><tbody><tr><td>1 a</td><td>468</td><td>409</td><td>432</td><td>400</td></tr><tr><td>1 b</td><td>392</td><td>414</td><td>351</td><td>-</td></tr><tr><td>2 a</td><td>346</td><td>301</td><td>299</td><td>272</td></tr><tr><td>2 b</td><td>435</td><td>403</td><td>381</td><td>394</td></tr><tr><td>2 a + 2 b</td><td>-</td><td>395</td><td>369</td><td>369</td></tr><tr><td>3</td><td>276</td><td>251</td><td>242</td><td>239</td></tr><tr><td>4</td><td>-</td><td>133</td><td>105</td><td>114</td></tr><tr><td>5</td><td>-</td><td>87</td><td>-</td><td>70</td></tr></tbody></table>

Les estimations soulignées ont été obtenues avec 8 valeurs extrêmes, les autres avec 10 valeurs extrêmes.
## Vitesse d'évasion dans la direction de la rotation

Nous trouvons avec les étoiles du catalogue de Wilson 87 km/s, si l'on prend $k = 9/2$ et $70$ si l'on prend $k = 7/2$ ; avec le catalogue de Gliese, nous trouvons $93,5$ pour $k = 9/2$ et $83$ km pour $k = 7/2$.

Nous trouvons donc des valeurs plus grandes avec le catalogue de Gliese.

Remarquons aussi que ces valeurs concordent bien avec celles trouvées dans une publication précédente en utilisant deux valeurs extrêmes et le même matériel du catalogue de Wilson.

Remarquons aussi que l'accord entre l'estimation du paramètre $\omega$ et du paramètre $b$ semble meilleur pour $k = 7/2$ que pour $k = 9/2$.

Toutes ces considérations nous conduisant à une valeur de $83$ km/s environ.

## Cercle d'évasion dans le plan galactique

Nous avons à notre disposition des valeurs de la vitesse d'évasion dans différentes directions. Nous nous servirons de ces résultats pour ajuster le cercle d'évasion. Mais au-paravant, remarquons que la valeur trouvée dans la direction $1 = 180^\circ$, fournit le rayon du cercle d'évasion et que nous pouvons trouver la vitesse circulaire au voisinage du soleil en enlevant à ce rayon, la valeur trouvée pour la vitesse d'évasion dans la direction $1 = 90^\circ$.

Pour le catalogue de Gliese, cela donnerait

$$C = 268 \text{ km/s pour } k = \frac{9}{2}$$

$$C = 232 \text{ km/s pour } k = \frac{7}{2}$$

Ce sont là des valeurs assez correctes que nous pouvons préciser.

Nous allons appliquer ces résultats au calcul de la vitesse de rotation, par la méthode des moindres carrés. Remarquons, en raison de la façon dont les échantillons ont été obtenus, que cela n'est peut-être pas tout à fait justifié dans le cas du matériel de Gliese.
## Rappelons rapidement la méthode

Si nous appelons C la vitesse circulaire, $V_e$ la vitesse d'évasion par rapport au zéro des vitesses, on a

$$V_e = C \cos 1 + \omega_1$$

Si l'on utilise les estimations de $\omega_1$, soit $\hat{\omega}_1$, on a

$$V_e = C \cos 1 + \hat{\omega}_1 + \varepsilon_1$$

ou

$$V_e - C \cos 1 - \hat{\omega}_1 = \varepsilon_1$$

Formons

$$\sum_{1} \varepsilon_{1}^{2}=\sum_{1}\left(V_{e}-C \cos 1-\hat{\omega}_{1}\right)^{2}$$

et nous choisissons $V_e$ et $C$ pour rendre minimum cette quantité.

Il vient

$$V_e \sum \cos 1 - C \sum \cos^2 1 = \sum \hat{\omega}_1 \cos 1$$

$$V_e n - C \sum \cos 1 = \sum \hat{\omega}_1$$

où n est le nombre de directions.

Appliquons cette méthode aux estimations obtenues avec le matériel de Gliese, après l'avoir ramené au centroïde ($V = -12, u = +9$).

Pour $k = \frac{9}{2}$ nous obtenons

$$2,37 V_e - 2 C = 314$$

$$4 V_e - 2,37 C = 777$$

qui nous donne

$$V_e = 340 \text{ km/s}$$

$$C = 246 \text{ km/s}$$

Pour $k = \frac{7}{2}$ nous obtenons
$$2,37 V_e - 2 C = 282$$

$$4 V_e - 2,37 C = 686$$

qui nous donne

$$V_e = 296 \text{ km/s}$$

$$C = 209 \text{ km/s}$$

Nous obtenons avec le matériel de Wilson avec les estimations obtenues après élimination des étoiles plus lointaines que 100 parsecs

$$- \text{pour } k = \frac{9}{2}$$

$$C = 323 \text{ km/s}$$

$$V_e = 431 \text{ km/s}$$

$$- \text{pour } k = \frac{7}{2}$$

$$C = 347 \text{ km/s}$$

$$V_e = 433 \text{ km/s}$$

Nous obtenons avec le catalogue de Wilson des valeurs beaucoup trop grandes, il y a à celà trois raisons

1/ le critère de distance utilisé est assez grossier.

2/ le matériel n'est pas homogène et les erreurs de mesures interviennent fortement.

3/ les échantillons étant peu importants, nous avons utilisé des queues de distribution trop loin de la troncature dans une zone où l'approximation n'est plus valable.

Avec le matériel de Gliese, nous trouvons au contraire des valeurs cadrant assez bien avec les constantes généralement admises pour $k = 9/2$ ; mais si l'on prend $k = 7/2$, comme nous avons montré qu'il était préférable de faire, nous trouvons des valeurs du rayon du cercle d'évasion et de la vitesse circulaire nettement plus petites que celles admises généralement.

En revanche, si les 250 km/s admis pour la vitesse circulaire sont certains, cela conduit à prendre 9/2 pour k donc à trouver dans le modèle de Fricke un terme de plus bas degré d'exposant 7/2.
# CONCLUSION

Nous voici arrivés à la fin de cette étude.

Si nous admettons comme exposant du terme de plus bas degré dans le modèle de Fricke, $k = 5/2$, nous voyons que nous sommes conduits à une estimation un peu faible de la vitesse circulaire avec le matériel tiré du catalogue de Gliese, à une estimation au contraire un peu forte avec le matériel tiré du catalogue de Wilson.

Par contre, si le terme de plus bas degré a un exposant égal à $7/2$, on trouve avec le matériel de Gliese une estimation très convenable de la vitesse circulaire.

Nous voyons apparaître ainsi, dans la mesure où cette vitesse circulaire serait bien connue, un moyen d'estimer le paramètre $k$.

Quant aux résultats obtenus, nous attachons une plus grande signification à ceux déduits du matériel de Gliese : ceci, en raison de l'homogénéité d'une part, de la taille de ce matériel d'autre part. Nous pensons que le procédé artificiel qui a conduit à un tel échantillon est valable et nous voyons là une méthode efficace pour avoir de grands échantillons.

Nous avons fait avec des vitesses radiales de l'observatoire de Marseille, différents essais, mais les échantillons étaient trop petits pour donner de bons résultats.

Rappelons, à ce propos, que la variance de notre estimateur est de la forme

$$ \frac{D}{n^{p} 2^{h}} $$
où D est une constante

$$ \text{et } h = \frac{1}{k} = \frac{2}{7} \text{ ou } \frac{2}{9} $$

autrement dit, il faudrait un accroissement considérable des échantillons pour avoir des résultats appréciables. Mais, nous avons vu qu'il y avait deux autres facteurs intervenant

- d'une part, les erreurs de mesure ; il vaut donc mieux un matériel plus réduit, mais de très bonne qualité.

- d'autre part, la formule d'approximation à proximité de la troncature, n'étant plus valable loin de $\omega$, il faut utiliser des vitesses proches de $\omega$ ; il faut donc une queue de distribution importante, donc des échantillons assez grands.

Et c'est là, nous semble-t-il, la difficulté de la méthode : d'une part, une estimation faite avec un grand nombre de valeurs est certainement meilleure au point de vue statistique, mais d'autre part, nous ne devons pas trop nous éloigner de la troncature.

Mais regardons une zone caractéristique à ce point de vue : la zone 1 a du catalogue de Wilson, la plus grande valeur est 330, la suivante 186. Cet interval énorme montre bien que l'on ne peut attribuer aucune valeur à cet échantillon. Or, sur la figure 8, nous voyons la zone 1 a se comporter de manière spéciale.

Peut-être pourrions-nous trouver dans cette statistique $\frac{x_1 - x_2}{x_1 - x_i}$, un critère pour juger la validité des échantillons. Il faudrait pour cela en faire une étude théorique et aussi expérimentale avec des nombres au hasard. Puis construire le graphique pour chaque échantillon et voir s'il tombe dans une zone convenable ou non. Par exemple, avec le catalogue de Wilson, nous verrions que les zones 3, 2 b, 1 b et 4 conviennent à peu près.

Nous voyons donc apparaître les conditions d'emploi de notre méthode

- échantillon important dans chaque direction.

- vitesses de bonne qualité.

- discussion de chaque échantillon.
L'intérêt de la méthode réside surtout dans la simplicité de sa mise en oeuvre.

Cependant pour la rendre plus efficace, il serait bon, outre l'amélioration du matériel, d'utiliser une formule d'approximation plus compliquée, ceci serait possible grâce à des machines électroniques.

Nous signalons que nous avons rencontré un certain nombre d'étoiles de types très particuliers qui avaient des vitesses très grandes ; or le manque d'information ne nous a pas permis de connaître leur distance. (N° Wilson 13 143 - 13 489 - 12 259). Enfin, on constate que, dans nos queues de distributions, beaucoup d'étoiles n'appartiennent pas à la séquence principale et sont souvent de type géant, de type R et Q, ou figurent avec la mention particulière.

Pour terminer, signalons que nous ne nous sommes pas préoccupés du mouvement perpendiculaire au plan galactique, mais qu'il y aurait peut-être là aussi une étude à faire sur les grandes vitesses.
BIBLIOGRAPHIE

(1) OORT - B. A. N. 159 - p. 269 - 1928.

(2) FRICKE - Astronomische Nachrichten 280 - p. 193 - 1951.

(3) GUMBEL - Statistics of extremes - Columbia University - Press
1958.

(4) DUGUE - Statistique théorique et appliquée (analyse aléatoire)
Masson 1958.

(5) CRAMER - Mathematical Methods of Statistics - Princeton U. P.
1946.

(6) BLOM - Statistical estimates and transformed Beta-variables -
Stockholm 1958.

(7) GOURSAT - Cours d'analyse mathématique.

(8) F. NAHON - Comptes rendus, vol. 251 - p. 1963 - 1960.

(9) J. P. MASSONIE - Journal des observateurs vol. 44 - n° 4 - 1961.

(10) J. DELHAYE - Stars and stellar Systems vol. 5 (galactic
structure) chapitre 5 (sous-presse).

(11) VON MISES - Uber die Variationsbreite einer Beofachtungsreiche,
Berliner Math. Gesellschaft t. 22 p. 3 1923.

(12) GEFFROY - Contribution à la théorie des valeurs extrêmes.
Publ. Institut statistique de l'Université de Paris. Vol. 7 fas-
cicules 3 - 4. 1958.

(13) W. GLIESE - Katalog der Sterne näher als 20 Parsek für 1950,0
Astr. Rechen - Institut. Mitteilungen Serie A n° 18 Heidelberg.

(14) R. E. WILSON - General catalogue of stellar Radial velocities -
1963.

(15) Rand Corporation - A Million Random digits, Free Press.
TABLE DES MATIÈRES

<table><thead><tr><th></th><th>Pages</th></tr></thead><tbody><tr><td>INTRODUCTION</td><td>1</td></tr><tr><td>CHAPITRE I - Problème dynamique et cinématique</td><td>5</td></tr><tr><td>CHAPITRE II - Estimation d'un paramètre de troncature</td><td>17</td></tr><tr><td>CHAPITRE III - Estimation des paramètres k et b</td><td>31</td></tr><tr><td>CHAPITRE IV - Influence des erreurs de mesure sur l'estimation</td><td>39</td></tr><tr><td>CHAPITRE V - Application à des vitesses radiales</td><td>47</td></tr><tr><td>CONCLUSION</td><td>59</td></tr></tbody></table>