# Théorie des probabilités et mécanique quantique

J. Ullmo

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J. Ullmo. Théorie des probabilités et mécanique quantique. Annales de l'ISUP, 1957, VI (3), pp.251-258. hal-04093702

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Submitted on 10 May 2023

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# THÉORIE DES PROBABILITÉS ET MÉCANIQUE QUANTIQUE

par
J. ULLMO

Un texte récent de Heisenberg, publié dans le livre jubilaire en l'honneur de N. Bohr (1), donne l'occasion de revenir sur l'interprétation de la mécanique quantique et la "querelle" du déterminisme : l'interprétation dite de Copenhague, généralement admise des physiciens pendant un quart de siècle, y est exposée avec un grand effort de clarté, soutenu par la critique qui y est faite des diverses tentatives d'interprétations différentes proposées ou reprises ces dernières années.

Grâce à ce jeu d'affirmations et de critiques, bien des points apparaissent en pleine lumière, portant sur la philosophie de la connaissance et l'application de la probabilité au monde microscopique : ce sont ces points que nous voudrions faire ressortir ici, pour l'intérêt qu'y a toujours montré M. Paul Lévy.

Il convient de rendre un hommage liminaire à la modération et au scrupule dont fait preuve Heisenberg, tout au cours de son exposé, en contraste avec certaines outrances antérieurement rencontrées parmi ceux qui ont développé l'interprétation "indéterministe". Et l'on pensera, sans doute, que les critiques auxquelles celle-ci a été soumise n'ont pas été inutiles, n'eussent-elles abouti qu'à cette forme épurée de la théorie de Copenhague, où il n'y a presque plus rien à redire, parce que les aspects les plus bizarres, aux implications malenentreuses, en ont été éliminés.

On pourrait pourtant penser à première vue que ces aspects subsistent, lorsqu'on lit les affirmations suivantes : "le plus important de ces aspects (de l'interprétation correcte) était l'introduction de la probabilité comme une nouvelle sorte de réalité physique "objective". Ce concept de probabilité est étroitement lié à celui de possibilité, la "puissance" de la philosophie naturelle des Anciens, tels qu'Aristote; il est, dans une certaine mesure, la transformation du vieux concept de "puissance" d'une notion qualitative en une notion quantitative" (pp. 12-13).

Pour confirmer ceci, H. nous rappelle que l'onde de probabilité introduite par Born en 1926 "est relative à un processus individuel. (Elle) décrit le comportement, non d'un grand nombre d'électrons, mais seulement d'un seul système de particules en nombre fini" (p; 13).

Il dira plus loin que "la transition du possible à l'actuel ne peut être omise de l'interprétation de la théorie quantique" (p. 22).

<footnote>(1) Niels Bohr and the development of physics (Pergamon Press, London 1955)</footnote>
Si l'on se borne à l'apparence, les citations qui précédent répètent les thèses extrêmes sur la probabilité immanente à l'objet individuel et la négation radicale de la causalité (deux objets représentés par la même fonction d'onde sont identiques, et pourtant n'évoluent pas nécessairement de même), d'où ont été tirées par d'autres auteurs les conséquences sur la liberté de l'Electron, la manifestation positive du Hasard, ou la négation du principe de raison suffisante (1). La référence insistante à Aristote, avec l'exhumation de la conception vénérable du "passage de la puissance à l'acte" semble accentuer encore ces thèses.

Et pourtant rien de tel ne ressort du contexte, et il serait déplorable qu'on isolât les citations précédentes pour défendre quelque position philosophique préconçue. Replacées dans la discussion d'H., et éclairées par elle, les affirmations en cause ne justifient plus d'outrances philosophiques ; elles rentrent dans le cadre d'une épistémologie acceptable, d'une conception admise de la probabilité : c'est ce que nous allons essayer de rendre clair.

Constatons tout d'abord qu'H. s'oppose avec la plus grande fermeté à deux attitudes philosophiques opposées, qui ont pourtant en commun de méconnaître la démarche authentique de la pensée scientifique : attitudes que nous désignerons par commodité sous les noms de positivisme et de matérialisme.

Nous nommons positivisme le parti-pris de refuser la distinction entre la réalité physique, et l'expérience que nous en prenons - entre la nature et la connaissance. Sous prétexte d'éliminer la métaphysique, on refuse l'être à tout ce qui n'est pas atteint par l'expérience; on refuse même d'en faire un objet légitime pour la pensée : c'est la philosophie des "pseudo-problèmes".

Nous nommons matérialisme le parti-pris de soumission absolue à l'objet, l'affirmation que la réalité physique est accessible immédiatement; elle se "reflète" directement dans la pensée, et n'est en rien déformée ou conditionnée par les propriétés de l'esprit ou les difficultés de la connaissance. C'est la philosophie de l'objectivité pure.

Ces philosophies ennemies négligent toutes deux la polarité essentielle de la science, qui est affrontement de la pensée et des choses; la connaissance joint ces deux pôles : sujet et objet, chacun d'eux la soumet à sa tension. Le positivisme veut oublier qu'il y a des objets qui résistent à la connaissance; le matérialisme oublie le rôle inévitable du sujet, qui a du mal à construire la connaissance et peut infléchir celle qu'il construit. Comme le dit H : "La science naturelle n'est pas la Nature elle-même, mais une part de la relation entre l'Homme et la Nature, et par conséquent dépend de l'Homme".

Dans ce cadre philosophique, les confusions que nous avons dénoncées ailleurs (2) ne peuvent se produire. Le réel est distingué de la connais-

<footnote>(1) Cf. par J. Ullmo : La mécanique quantique et la Causalité, Revue Philosophique, juillet 1949 (pp. 257-282) et octobre 1949 (pp. 441-473) - Le Théorème de von Neumann et la Causalité, Revue de Métaphysique et de Morale, 1951 (pp. 143-170). La Crise de la Physique Quantique (Hermann, Paris 1955).</footnote>

<footnote>(2) "Théorème de von Neumann" (loc. cit.), p. 154.</footnote>
sance et de la représentation, d'une part; d'autre part, l'objectivité n'apparaît plus comme un absolu posé a priori; elle se définit par l'élimination du sujet, du rôle de l'observateur, dans la connaissance expérimentale, et l'on peut discuter des moyens et des limites de cette élimination.

Reprenons maintenant l'affirmation de H. suivant laquelle la fonction d'onde représente un système unique; implique-t-elle vraiment que la probabilité qu'elle fournit est intrinsèque au système, qu'elle appartient à son "essence" (n'ayons pas scrupule à utiliser Aristote, puisque H. l'a fait avant nous) et lui confère ainsi une possibilité de choix entre ses futurs possibles ? Il n'en est rien, puisque H. réintroduit aussitôt un ensemble de systèmes décrits par cette même fonction d'onde "pour autant que l'expérience en question peut être répétée aussi souvent que nous voulons" (p. 13). Ces systèmes préparés de même, que nous avons proposé de nommer semblables, H. se garde bien de les déclarer identiques, car il sait bien que l'identité est une notion absolue qui s'applique concep-tuellement à la réalité profonde, alors qu'il n'a en vue explicitement que la notion, toute relative, purement opératoire, de systèmes produits par le même montage expérimental, sur lesquels par conséquent toutes nos informations sont les mêmes : égaux devant notre connaissance, non identiques en soi. Il précisera plus loin (p. 23) que les interactions d'un appareil de mesure avec le système et avec le reste du monde sont "partiellement indéfinies"; il en est évidemment de même pour l'appareil de préparation. Chaque fois qu'il est mis en contact avec le monde extérieur, notre connaissance du système est estompée par notre ignorance du détail des interactions qu'il subit. La naissance du système est le plus inévitable de ces contacts, il est donc bien clair que notre connaissance initiale en est incomplète, et l'introduction de la probabilité correspond naturellement à cette ignorance partielle. Comme le dit H. (p. 27): "La connaissance de l'actuel (c'est-à-dire ce qui se manifeste dans l'espace et le temps) est par nature toujours une connaissance incomplète". Tout le malentendu sur la causalité et le principe de raison suffisante, se trouve ainsi élucidé: il n'y a pas dans la nature de Hasard actif qui fasse diverger sans raison des systèmes identiques et ruine par là l'exigence de causalité, il y a dans notre connaissance une part d'ignorance qui se traduit en probabilité.

La citation précédente est la thèse centrale de H., qu'il prend soin de souligner lui-même dans son texte. Elle va lui servir d'argument contre les accusations des matérialistes, tels Alexandrow et Blochinzew, qui reprochent à son interprétation d'introduire la subjectivité dans la théorie physique par l'intervention de l'observateur, et de violer par là l'objectivité de la science.

Remarquons au préalable, pour déblayer le terrain, qu'ont été universellement abandonnées aujourd'hui les fantaisies auxquelles H. lui-même s'était parfois abandonné, sur la soumission des phénomènes au sujet pensant : personne ne prétend plus que l'électron n'a de spin que depuis qu'on l'observe, ou dans la conscience de l'observateur. Le rôle de celui-ci, qui peut être remplacé par un appareil enregistreur, est un phénomène purement physique, et Berkeley n'a rien à faire en l'occurence.
Blochinzew utilise une formulation identique à celle que nous avons proposée, en parlant d'un ensemble ou collection de systèmes semblables produits par une préparation et représentés par une fonction d'onde, collection inséparable au sortir du montage de préparation, mais qui sera analysée en sous-collections séparées par un appareil de mesure qui lui est appliqué ultérieurement, et il dit : "En mécanique quantique, nous décrivons, non l'état d'une particule "en soi", mais le fait que cette particule appartient à telle ou telle collection. Cette appartenance est complètement objective, et ne dépend pas d'affirmations faites par l'observateur".

Il est remarquable que H. ne conteste pas cette formulation au moyen de collections de systèmes semblables, -qui est en somme implicite dans la sienne propre - mais seulement l'affirmation qu'on atteint ainsi l'objectivité parfaite; en physique classique, remarque-t-il, "appartenir à une collection" signifie toujours, au moins quand il s'agit d'un événement passé, une affirmation _aussi_ sur le degré de connaissance du système par l'observateur (p. 23).

En bref, H. répond à Blochinzew que toute connaissance incomplète implique un certain degré de connaissance pour tel ou tel observateur; on ne peut échapper à la nécessité de spécifier l'observateur et son degré de connaissance, et l'exigence d'objectivité absolue est ainsi mise en défaut.

Nous reconnaissions là un paradoxe bien connu de la théorie classique des probabilités; dans son étude sur le fondement du calcul des probabilités (1), M. Paul Lévy reconnait que "notre ignorance ne suffit pas pour que nous puissions considérer différents cas comme également probables", (p. 169). Dans son livre sur la Théorie de l'addition des variables aléatoires (2), il ajoute : "Ensuite et surtout, au lieu de cette constatation négative que nous n'avons aucune raison d'établir une différence entre les différents cas, il faut une raison précise de leur attribuer des chances égales" (p. 7). Si l'on veut que la probabilité ne soit pas simplement constatée comme limite d'une fréquence observée - restant par là proprement incompréhensible - si l'on veut qu'elle se trouve justifiée rationnellement, une étude exhaustive de toutes les circonstances qui peuvent influencer les épreuves est nécessaire avant de pouvoir déclarer deux cas également probables (par le principe de raison suffisante), et rien n'assure que cette étude soit jamais achevée.

A l'encontre de cette difficulté classique, la mécanique quantique jouit d'une situation privilégiée; car on y a affaire à des systèmes élémentaires sur lesquels n'agissent que les interactions ultimes qui s'exercent au sein de la matière et des champs qui l'accompagnent, on pourra donc négliger les troublantes grossières qui risquent d'affecter les phénomènes à notre échelle. Mais surtout, et c'est là l'apport décisif de la théorie quantique, on sait d'où vient la limitation de notre degré de connaissance : de l'interposition obligée des instruments de mesure et de l'interaction ultime entre ceux-ci et les systèmes mesurés. En fait, la mécanique quantique fournit des renseignements statistiques sur cette interaction : le quantum d'action h (constante de Planck) de l'interaction ultime lie les couples de variables

<footnote>(1) Revue de Métaphysique et de Morale, avril-juin 1954, pp. 164-179.</footnote>

<footnote>(2) Gauthier-Villars, Paris 1954.</footnote>
dynamiques conjuguées; selon des schémas d'expériences connues, lorsqu'on mesure l'une d'entre elles, l'on perturbe l'autre; la fonction d'onde réduite après mesure donne la table statistique de ces perturbations; les relations d'incertitude d'Heisenberg résument plus sommairement la corrélation précision-perturbation au moyen de leurs variances respectives.

Le type des instruments de mesure, pour une même grandeur, ne fait pas de différence, parce que seules entrent en jeu leurs structures profondes (1) : pour une mesure optima, nous obtenons une connaissance maximale, toujours la même, représentée par la fonction d'onde réduite bien définie, qui traduit le résultat de la mesure et inclut l'effet inconnu des perturbations auxquelles elle a donné lieu.

C'est en ce sens que les probabilités (relatives à des expériences ultérieures) fournies par les fonctions d'onde peuvent être dites objectives : définition par un montage expérimental, mais indifférence au type d'appareil, reproductibilité, traduction d'une interaction ultime inévitable, mais réduite au minimum. Et c'est ainsi que s'éclaire la citation que nous avions faite au début, sur la probabilité comme une nouvelle sorte de réalité physique "objective" : notre degré de connaissance est lui-même un phénomène objectif.

> Il est fâcheux sans doute que H., qui rejette à plusieurs reprises "l'ontologie matérialiste" (pp. 21, 28), ait introduit le terme de "puissance" pour décrire ce qu'il appelle par ailleurs la transition du possible à l'actuel. Car l'expression aristotélicienne de passage de la puissance à l'acte évoque chez tout lecteur le réalisme ontologique de ses souvenirs scolaires, une propriété essentielle de l'objet : il n'y a qu'un pas de là à la "liberté" de l'électron !

Bien entendu, à la lumière de ce qui précède, il n'y a plus rien de tel dans la pensée de H. Il s'agit tout simplement de la plus classique des notions en probabilités classiques : l'épreuve dont le résultat accroît notre connaissance et peut modifier par là même les probabilités ultérieures. La fameuse "réduction du paquet d'ondes", qui consiste à remplacer brusquement la fonction d'onde connue juste avant une mesure par une autre fonction d'onde (un des termes du développement de la première en série de fonctions orthogonales associées à la grandeur mesurée) qui représente le résultat de la mesure, n'est rien d'autre que la traduction dans le formalisme de l'accroissement brusque de nos connaissances que nous procure l'épreuve de la mesure.

H. développe une comparaison thermodynamique pour éclairer ce point : un morceau de métal peut émettre des électrons du fait de l'agitation thermique; un appareil de mesure est placé au voisinage qui enregistre l'émission d'un électron dont la vitesse dépasse une certaine limite, par un processus irréversible, par exemple le noircissement d'une plaque photographique, avec un réglage tel que cet événement n'ait lieu que de loin en loin.

<footnote>(1) Cf. La mécanique quantique et la Causalité (loc. cit.), p. 283.</footnote>
Si la température du métal est connue, sans qu'il soit isolé du reste du monde, son énergie fluctue autour d'une valeur moyenne et la probabilité de l'émission d'un électron enregistrable peut être calculée, sans que le moment précis de son arrivée sur la plaque puisse être prévu. Si un observateur constate à un certain moment une telle arrivée, "la transition du possible à l'actuel est par là même accomplie en ce qui le concerne" et "il modifie en conséquence de façon discontinue la représentation mathématique" du phénomène. "Ceci correspond exactement à la réduction du paquet d'ondes en théorie quantique" (p. 26). Rien de moins mystérieux.

Nous avons repris cette comparaison parce qu'elle va nous permettre de préciser certains points relatifs aux rapports de la théorie des probabilités et de la théorie quantique.

Pour le métal, étudié par la mécanique statistique (et où H. suppose que les électrons suivent les lois de la mécanique classique), il se déroule un *processus stochastique* dont le phénomène élémentaire est le choc des électrons entre eux ou avec les particules constituant le réseau cristallin du métal, chocs régis par une loi de probabilité instantanée, et qui peuvent intervenir à chaque instant. C'est ce processus stochastique qui définira la probabilité de présence d'un électron à un moment donné, et en particulier celle de l'arrivée sur la plaque enregistreuse.

La probabilité de présence d'un système quantique (qui peut être un électron) est aussi définie par la fonction d'onde, mais celle-ci ne résulte pas d'un processus stochastique; elle est déterminée seulement par des conditions initiales et le fait de vérifier l'équation de Schrödinger. Des tentatives intéressantes ont été faites pour déduire l'équation de Schrödinger elle-même d'un processus stochastique, dont le phénomène élémentaire serait, par exemple, une diffusion, mais rien de décisif n'a été obtenu. L'équation de Schrödinger et les probabilités qui en résultent restent fondées, non sur l'intégration de processus élémentaires, mais sur le succès seul des prévisions expérimentales qu'elles permettent.

Ces prévisions expérimentales introduisent la notion, fondamentale, en théorie quantique, d'observable. Ici encore, la comparaison thermodynamique va être utile. Tant que le système quantique est isolé du reste du monde, sa fonction d'onde évolue de façon régulière, suivant l'équation de Schrödinger; mais cette représentation par la fonction d'onde, dit H. "est alors complétement abstraite et incompréhensible...; elle ne contient, pour ainsi dire, aucun élément physique" (p. 26). De même le métal isolé aurait une énergie bien déterminée, mais nous ne saurions rien sur lui.

La notion d'observable ne s'introduit que lorsqu'on met le système en relation avec un appareil de mesure, comme on a associé le métal et une plaque enregistreuse : la définition de l'observable est relative à l'association système- appareil. Elle implique donc que le système soit sorti de son isolement, comme le métal était mis en relation avec le monde extérieur par l'intermédiaire de la plaque. Le métal non isolé a une énergie fluctuante, c'est-à-dire que le métal étudié doit être considéré comme "un échantillon choisi arbitrairement dans un ensemble canonique
de Gibbs" (p. 25). De même, le système quantique mesuré, du fait qu'il est mis en relation avec le monde extérieur par l'intermédiaire de l'appareil de mesure avec lequel ses interactions sont partiellement inconnues, doit être considéré comme un échantillon choisi arbitrairement dans un ensemble statistique; c'est la collection des systèmes semblables dont nous avons parlé précédemment.

La comparaison choisie par H. démontre à l'évidence que l'état final de sa réflexion a complètement éliminé la "probabilité en soi", assignée au système, et dont les conséquences philosophiques et épistémologiques pouvaient faire scandale, pour se rallier à la conception classique de la probabilité comme propriété d'un ensemble statistique imparfaitement connu.

L'épreuve de la mesure sépare dans cet ensemble une sous-collection de systèmes qui ont réagi de même à l'appareil; cette sous-collection, n'est formée encore que de systèmes semblables parce que les perturbations qu'ils ont subies du fait de l'appareil ne sont pas identiques : leurs probabilités seront données par une nouvelle fonction d'onde réduite qui manifeste l'accroissement brusque de nos connaissances sur la sous-collection qu'elle représente; après sa préparation, nous connaissons maintenant, en outre, sa réaction à la mesure.

La fonction d'onde représente les probabilités relatives aux mesures de toutes les observables du système quantique. Mais l'ensemble statistique qu'elle décrit est modifié brusquement chaque fois qu'à lieu une mesure effective, et remplacé par un autre ensemble statistique décrit par une fonction d'onde réduite. Ceci explique qu'il n'a pas été possible de considérer simultanément les probabilités relatives à deux observables, - par exemple la position et la vitesse - et d'étudier leurs corrélations : celles-ci n'ont pas de signification expérimentale, car, contrairement au postulat ordinaire de la théorie des corrélations, l'épreuve que constitue la mesure d'une des observables modifie l'ensemble statistique auquel on a affaire et change brusquement les lois de probabilités. C'est ce qu'on nomme, en théorie quantique : l'interférence des probabilités.

Il nous parait important de constater, pour conclure, qu'il n'y a plus de contestation sur les principes : le dernier état de l'interprétation de Copenhague est parfaitement acceptable pour les tenants des notions classiques de probabilité, de causalité et de déterminisme. Sur ce dernier point, on ne peut définir le déterminisme que par la prévision; il n'y a pas de difficulté à n'admettre qu'une prévision imparfaite, dès lors que la connaissance est incomplète; et l'écran interposé inévitablement entre la nature et l'homme par les instruments dont il doit se servir, justifie suffisamment cette limitation de la connaissance.

Du côté de Copenhague, la conciliation est aussi manifeste : plus d'interdits, plus de négation a priori de la possibilité d'une théorie sous-jacente à la mécanique quantique actuelle, celle-là représentant l'objet individuel dont celle-ci décrit les ensembles. Les critiques d'Heisenberg ne portent plus que sur les insuffisances ou les lacunes des tentatives en ce sens, insuffisance et lacunes que leurs auteurs sont les premiers à reconnaître.
Tant que la querelle faisait rage, nourrie surtout de malentendus et de vocabulaires abusifs, on pouvait prétendre fonder telle ou telle affir- mation audacieuse, relative à la théorie de la connaissance ou à la philo- sophie générale, sur l'efficacité constatée de la mécanique quantique, opposée aux tâtonnements des théories qui visent à la remplacer. Après l'exposé d'Heisenberg, il doit être parfaitement clair que le redressement de ces conclusions aventureuses ne saurait dépendre de telle ou telle entreprise : il est d'ores et déjà acquis.

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