# Méthode d'aide à la conception en présence d'imprécisions

Franck Massa, Thierry Tison, Bertrand Lallemand

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Franck Massa, Thierry Tison, Bertrand Lallemand. Méthode d'aide à la conception en présence d'imprécisions. 7e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2005, Giens, France. hal-01813043

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# Méthode d'aide à la conception en présence d'imprécisions

Franck Massa, Thierry Tison, Bertrand Lallemand

Laboratoire d'Automatique, de Mécanique et d'Informatique Industrielles et Humaines, UMR 8530, Université de Valenciennes
Le Mont Houy, 59313 Valenciennes cedex 9
Franck.Massa@univ-valenciennes.fr

RÉSUMÉ. Cet article présente un processus d'aide à la conception permettant d'ajuster les paramètres de définition d'un modèle en fonction de contraintes de conception non booleanes appliquées sur les solutions non déterministes issues d'une analyse modale. Ces solutions caractérisent l'ensemble des évolutions du comportement d'une structure modélisée par éléments finis et sont calculées en combinant une analyse fonctionnelle et des approximations d'ordre élevé.

ABSTRACT. This paper presents an aiding-design process, which allows to adjust the definition of the parameters with respect to non boolean constraints applied on non deterministic modal solutions. These formers characterize the possible variations of the behavior of finite element structures and are calculated with both a functional analysis and some higher order approximations.

MOTS-CLÉS : Données imprécises, Sous-ensemble flou, Méthode des éléments finis, Conception robuste.

KEYWORDS: Imprecise data, Fuzzy sets, Finite element method, Robust design.
# 1. Introduction

Au cours de ces dernières années, le développement des ressources informatiques a permis de modifier radicalement le type de problèmes abordables avec les outils de simulations. Aujourd'hui, les simulations numériques sont bien implantées dans le monde industriel et sont devenues incontournables en phase de conception des structures mécaniques. Bien que les modèles numériques soient de plus en plus complexes et réalistes, les résultats obtenus présentent encore des écarts non négligeables par rapport à la réalité. Ces écarts peuvent être dus notamment à des défauts de réalisation et à des conditions de fonctionnement ou d'implantation mal connues. Les imperfections induites affectent alors inévitablement la réponse de la structure aux sollicitations et, par conséquent, sa fiabilité.

En mécanique, plusieurs approches non déterministes ont été proposées pour modéliser et gérer des imperfections de différentes natures. Ces approches peuvent être de type probabiliste, intervalle, convexe ou encore exploitent la théorie des sous-ensembles flous.

Dans cet article, le formalisme flou (Zadeh, 1965) est retenu pour la prise en compte des imprécisions endogènes et exogènes dans une analyse modale (Massa et al., 2004). La méthode de calcul permet de déterminer, rapidement et avec une très bonne précision, l'ensemble des variations du comportement de la structure étudiée. Un autre intérêt est de pouvoir intégrer des imprécisions et des contraintes de conception de natures diverses dans des outils numériques d'aide à la conception (Massa et al., 2005). L'objectif, dans ce cas, est de fournir au concepteur des outils pour optimiser le produit en tenant compte des imperfections de réalisation ou environnementales.

# 2. Méthode d'aide à la conception

## 2.1. Imprécisions et formalisme flou

La prise en compte des imprécisions nous amène, tout d'abord, à définir le moyen de modélisation, en l'occurrence la théorie des sous-ensembles flous. A chaque donnée imprécise, une fonction d'appartenance est associée pour modéliser l'imprécision. Le degré d'appartenance $\mu$, (compris entre 0 et 1) attribué à chaque valeur que peut prendre le paramètre étudié, traduit la perception que peut avoir l'utilisateur de l'imprécision. Ces paramètres non déterministes sont ensuite introduits au niveau des équations régissant le comportement modal de la structure.

$$K(\tilde{p}_1, \dots, \tilde{p}_n)\tilde{\Phi} = M(\tilde{p}_1, \dots, \tilde{p}_n)\tilde{\Phi}\tilde{\Lambda} \quad [1]$$

où le symbole ~ désigne une quantité floue. Les quantités $\tilde{p}$ représentent des paramètres structuraux imprécis.
## 2.2. Méthode d'aide à la conception

L'objectif de la méthode est de déterminer le domaine de validité des paramètres de conception d'une structure, pour lequel des contraintes d'origines diverses (linguistiques, observées expérimentalement ou simplement connues a priori) soient vérifiées. Le processus fournit alors un ensemble de comportements pondérés en terme d'acceptabilité de la conception. Cet ensemble est caractérisé par les fonctions d'appartenance associées aux paramètres de conception.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1. Processus d'ajustement des variables de conception</figcaption></figure>

Le processus d'ajustement présenté sur la Figure 1, fait intervenir des lois restrictives non booléennes et trois catégories de paramètres. Le rôle et la nature de ces quantités sont précisés dans les paragraphes suivants.

## 2.3. Description du paramétrage

Chaque **paramètre de conception** (Figure 1-a) est décrit par un nombre flou, qui définit le domaine initial de variation. Par exemple, les paramètres peuvent être modélisés par des nombres flous triangulaires, dont les valeurs centres correspondent à une proposition initiale du concepteur ou sont issues d'une étude antérieure. Les supports des nombres flous représentent le domaine des variations tolérées. La construction de cette fonction de forme est subjective et fait appel aux connaissances et aux expériences de l'utilisateur. Durant le processus, ces fonctions d'appartenance vont être ajustées en fonction de lois restrictives afin de fournir au concepteur les plages de variations autorisées pour les différents paramètres de conception tout en respectant le cahier des charges.

Les **paramètres imprécis** (Figure 1-b & 1-c) peuvent représenter des données matérielles ou géométriques mal définies (modules de Young, sections, épaisseurs
...) ou correspondant à des limites de fonctionnement imposées par le cahier des charges (par exemple le chargement dans le cas statique). Selon la nature de la restriction, mal bornée ou non, la représentation peut être un nombre flou, un intervalle flou ou un intervalle ordinaire.

## 2.4. Description et calcul des solutions floues

Dans cette étude, les **solutions floues** (Figure 1-d) correspondent aux résultats d'un calcul modal (valeurs et vecteurs propres). Elles dépendent directement des données d'entrée du problème et sont calculées par la méthode PAEM (Padé Approximant with Extrema Management), déjà utilisée pour une analyse statique (Massa *et al.*, 2004). Cette méthode repose sur l'utilisation combinée d'une analyse fonctionnelle, de techniques de sensibilité et des approximants de Padé (Elhage-Hussein *et al.*, 2000) pour assurer une bonne précision.

## 2.5. Optimisation des paramètres de conception

Les **lois restrictives** (Figure 1-e) sont définies afin de respecter les comportements imposés par le cahier des charges. Le paramétrage flou permet d'intégrer une latitude sur les limites d'acceptabilité de la conception. La description est ici limitée à trois domaines d'acceptabilité.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2. Processus d'ajustement des variables de conception</figcaption></figure>

La précision et la nature ensembliste du calcul sont mises à profit pour répercuter directement le traitement effectué sur les résultats du calcul sur les paramètres de conception. Le traitement consiste à rechercher les limites des domaines d'acceptabilité correspondant à l'intersection entre les lois restrictives et les solutions floues initiales. Ces limites sont définies par deux $\alpha$-coupures, $L_{GA}^i$ et $L_{AP}^i$, pour chaque couple « loi/solution » (Figure 2-a). Les $\alpha$-coupures finales, $L_{GA}$ et $L_{AP}$, sont obtenues en retenant respectivement le maximum des transitions « bon-acceptable» ($L_{GA}^i$) et « acceptable-mauvais » ($L_{AP}^i$). Ces $\alpha$-coupures sont ensuite appliquées aux fonctions d'appartenance des paramètres de conception pour définir les nouveaux domaines de variation qui respectent les lois restrictives (Figure 2-b & 2-c). Ce résultat est direct en l'absence de paramètres imprécis. Dans le cas contraire, les paramètres de conception optimisés sont obtenus en quelques itérations avec le processus d'ajustement décrit précédemment.
# 3. Application numérique

## 3.1. Définition des données du problème

Une étude de dimensionnement est menée sur un chariot d'impact d'un puit de chute (Figure 3). La structure est modélisée avec 37386 degrés de liberté (éléments coques et volumiques) et est étudiée en analyse modale (libre-libre). On considère, dans ce cas, deux variables de conception (épaisseur $e_1$ et $e_2$) et une loi restrictive appliquée à la première fréquence propre. Le domaine de variation initial des paramètres de conception est défini par $e_1=1\text{mm}\pm20\%$ et $e_2 = 0.8\text{mm}\pm20\%$ (Figure 3). Le comportement de la structure est jugé acceptable si la 1ère fréquence est située entre 100Hz et 110Hz et bon au-delà de 110Hz (Figure 4). Le but est de définir les fonctions d'appartenance des paramètres $e_1$ et $e_2$ en accord avec cette définition.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 3. Modèle élément fini du chariot du puit de crash</figcaption></figure>

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 4. Définition de la loi restrictive</figcaption></figure>

## 3.2. Calcul des valeurs propres floues et optimisation des paramètres flous

Les variables de conception sont ajustées en fonction de la loi restrictive floue. Les limites d'acceptabilité $L_{GA}$ et $L_{AP}$ sont respectivement obtenues pour $\alpha=0.453$ et $\alpha=0.139$ à partir de la loi restrictive (Figure 5-a), puis reportées sur les variables de conception. Les nouvelles fonctions d'appartenance associées décrivent alors un ensemble de configurations, qui vérifient pleinement le cahier des charges (Figure 5-b).

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 5. Détermination des limites d'acceptabilité (a) et résultats (b)</figcaption></figure>
Les domaines décrits par les fonctions d'appartenance fournissent un ensemble
de valeurs permettant de choisir différentes configurations nominales des
paramètres. Ils intègrent également des tolérances sur ces valeurs en conservant un
degré, jugé acceptable, sur le respect des contraintes de réalisation imposées.

4. Conclusion

Une méthode est proposée pour aider à la conception de structures décrites par
des informations imprécises. Elle exploite le calcul d'un ensemble de solutions
obtenues à partir d'une méthode de développement d'ordre élevé. Le formalisme
flou permet aussi de définir des lois de restriction non booléennes qui traduisent les
connaissances, que peut avoir un expert sur les écarts de comportement d'une
structure particulière. Ces informations sont répercutées sur les paramètres de
conception sous forme de degrés d'acceptabilité au travers de fonctions
d'appartenance. Cette démarche peut gérer simultanément des restrictions de nature
variée.

**5. Bibliographie**

Elhage-Hussein A., Potier-Ferry M., Damil N., « A numerical continuation method based on Padé approximants », *International Journal of Solids and Structures*, vol. 37, 2000, p. 6981-7001.

Massa F., Lallemand B., Tison T., « Comportement statique et modal des structures en présence de variabilités paramétriques », *6ème colloque national en calcul de structures, Giens, France*, 2003, p. 415-422.

Massa F., Lallemand B., Tison T., Level P., « Fuzzy eigensolutions of mechanical structures », *Engineering Computations*, vol. 21, n°1, 2004, p. 66-77.

Massa F., Tison T., Lallemand B., « Prise en compte des imprécisions en conception des structures mécaniques », *XIVème Colloque Vibrations Chocs et Bruit*, Lyon, France, 2004.

Massa F., Tison T., Lallemand B., « A fuzzy procedure for the static design of imprecise structures », *Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering*, 2005, (à paraître).

Zadeh L.A., « Fuzzy sets », *Information and Control*, vol. 8, 1965, p. 338-353.