[6] K. Goebel and W. A. Kirk, *A fixed point theorem for asymptotically nonexpansive mappings*, Proc. Amer. Math. Soc. 35 (1972), pp. 171-174.

[7] K. Goebel and T. Kuzumow, *A contribution to the theory of nonexpansive mappings*, preprint.

[8] D. Göhde, *Zum Prinzip der kontraktiven Abbildung*, Math. Nachr. 30 (1965), pp. 251-258.

[9] V. Gurarii, *On the differential properties of the modulus of convexity in Banach spaces* (Russian), Mat. Issled. 2 (1967), pp. 141-148.

[10] B. Halpern, *Fixed point theorems for outward maps*, Doctoral Thesis, Univ. of California, Los Angeles 1965.

[11] T. Kato, *Nonlinear semigroups and evolution equations*, J. Math. Soc. Japan 19 (1967), pp. 508-520.

[12] W. A. Kirk, *A fixed point theorem for mappings which do not increase distances*, Amer. Math. Monthly 72 (1965), pp. 1004-1006.

[13] W. A. Kirk and R. Schöneberg, *Some results on pseudocontractive mappings*, Pacific J. Math. 71 (1977), pp. 89-100.

DEPARTMENT OF MATHEMATICS
THE UNIVERSITY OF IOWA
IOWA CITY, IOWA

Received November 26, 1976 (1231)

Le groupe des isométries d'un espace de Banach

par

JACQUES STERN (Paris)

**Abstract.** We characterize those groups $G$ such that, for some Banach space $E$, $G$ is isomorphic to the group of (norm-preserving) isometries of $E$; they are exactly the groups which have a normal subgroup with two elements.

Les isométries d'un espace de Banach $E$ sont les automorphismes de $E$ qui conservent la norme, c'est-à-dire les surjections linéaires $T: E \to E$ qui sont telles que

$$ \forall \alpha \|T(\alpha)\| = \|\alpha\|. $$

Le but du présent article est de caractériser les groupes d'isométries des espaces de Banach. Si $G$ est le groupe des isométries de l'espace de Banach $E$, alors $G$ a un sous-groupe normal à deux éléments formé de l'identité de la symétrie $\sigma: x \to -x$. Inversement, on a:

**THÉORÈME 1.** *Soit $G$ un groupe qui a un sous-groupe normal à deux éléments et soit $\varepsilon$ un nombre réel strictement positif. Il existe un espace de Banach $1+\varepsilon$-isomorphe à un espace de Hilbert et dont le groupe des isométries est isomorphe à $G$.*

On rappelle que deux espaces de Banach $E$ et $F$ sont dits $1+\varepsilon$-isomorphes s'il existe un isomorphisme $T: E \to F$ tel que $\|T\| \cdot \|T^{-1}\| \le 1+\varepsilon$.

Remarques. 1. Soit $i$ l'élément neutre de $G$ et $\{i, j\}$ un sous-groupe à deux éléments. On peut alors préciser la conclusion du théorème 1 qui devient :

Il existe un espace de Banach $E$, $1+\varepsilon$-isomorphe à un espace de Hilbert et un isomorphisme $\tau$ de $G$ sur le groupe des isométries de $E$ tel que $\tau(i)$ soit l'identité de $E$ et $\tau(j)$ la symétrie de $E$.

2. Si $G$ est dénombrable, l'espace de Banach dont l'existence est affirmée par le théorème 1 peut être choisi séparable.

Pour étáblir le théorème 1, on prouvera au préalable le résultat suivant (suggéré à l'auteur par S. Shelah).

**THÉORÈME 2.** *Pour tout ensemble non vide $X$ et pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un espace de Banach $1+\varepsilon$-isomorphe à $l^2(X)$ et qui n'admet comme isométries que l'identité et la symétrie.*
$l^2(X)$ désigne l'espace des applications $u$ de $X$ dans $\mathbb{R}$ de carré sommable muni de la norme $(\sum_{\pi \in X} |u(x)|^2)^{1/2}$.

La preuve des théorèmes 1 et 2 utilise une construction d'espaces de Banach $1+\varepsilon$-isomorphes à $l^2$ introduite par l'auteur dans [1] pour résoudre le problème des enveloppes, et qu'on va d'abord rappeler.

**§ 1. Une méthode de construction d'espaces $1+\varepsilon$-isomorphes à un espace de Hilbert.** Soit $\mathcal{H}$ un espace de Hilbert réel de dimension $\ge 2$; on note $(x, y)$ le produit scalaire de $\mathcal{H}$ et $|x| = (x, x)^{1/2}$ la norme.

Si $\delta$ est un nombre réel strictement positif, et $e$ un point de $\mathcal{H}$ de norme 1, on note

$H(e, \delta)$ l'hyperplan d'équation $(x, e) = 1 - \delta$;

$F(e, \delta)$ l'intersection de cet hyperplan avec la boule unité $B$ de $\mathcal{H}$; on appelle facette un ensemble de la forme $F(e, \delta)$.

Si $x$ et $x'$ sont deux points de $\mathcal{H}$, on note $\theta(x, x')$ l'angle $\theta$ de $x$ et $x'$ défini par

$$ \cos \theta = \frac{(x, x')}{|x| \cdot |x'|}, \quad 0 \le \theta \le \pi. $$

On a alors:

**LEMME 3.** Soit $\theta_0$ un nombre réel, $0 < \theta_0 < \frac{1}{2}\pi$, et soient $e, e'$ des points de $\mathcal{H}$ de norme 1, satisfaisant $|e - e'| \ge 2\sin\theta_0$; il existe un nombre réel $\beta > 0$ (dépendant de $\theta_0$) tel que pour tous $\delta < \beta$ et $\delta' < \beta$ les propriétés suivantes soient vraies:

1. Si $x \in F(e, \delta)$ et $x' \in F(e', \delta')$, alors $\theta(x, x') \ge \theta_0$.

2. Si $x \in F(e, \delta)$ et $x' \in F(e, \delta)$, alors $\theta(x, x') \le \frac{1}{2}\theta_0$.

Preuve. De l'inégalité $|e - e'| \ge 2\sin\theta_0$, on déduit facilement $\theta(e, e') \ge 2\theta_0$. D'autre part, si $x \in F(e, \delta)$, on a

$$ |x - e|^2 = |x|^2 + |e|^2 - 2(x, e) \le 2 - 2(1 - \delta) $$

soit $|x - e| \le \sqrt{2\delta}$.

Il suffit donc pour obtenir les conclusions cherchées, d'utiliser la continuité de la fonction $\theta(x, x')$ aux points $(e, e')$ et $(e, e)$ respectivement.

Pour la suite de ce paragraphe, on fixe un nombre réel $\theta_0$, $0 < \theta_0 < \frac{1}{2}\pi$, et on choisit un nombre réel $\beta > 0$ qui satisfait la conclusion du lemme 3. Soit $\mathcal{A}$ un ensemble de points de norme 1 dans un espace de Hilbert $\mathcal{H}$ qui est tel que pour deux points distincts $a, a'$ de $\mathcal{A}$ on ait

$$ |a - a'| \ge 2 \sin \theta_0. $$

Soit d'autre part $\mathcal{A}$ une application de $\mathcal{A}$ dans $\mathbb{R}$ telle que pour tout $a \in \mathcal{A}$, on ait

$$ 0 < \mathcal{A}(\dot{a}) < \beta. $$

On note $\mathcal{H}(\mathcal{A}, \mathcal{D})$ l'espace $\mathcal{H}$ muni d'une nouvelle norme dont la boule unité est l'ensemble des points $x$ tels que

$$ \begin{cases} |x| \le 1, \\ |(x, a)| \le 1 - \mathcal{D}(a), \quad a \in \mathcal{A}. \end{cases} $$

On note $|x|$ la norme d'un élément $x$ dans $\mathcal{H}(\mathcal{A}, \mathcal{D})$.

La sphère unité de $\mathcal{H}(\mathcal{A}, \mathcal{D})$ est formée des facettes $F(\pm a, \mathcal{D}(a))$, $a \in \mathcal{A}$ et de eux des points $x$ de norme euclidienne 1 qui sont tels que le segment $[0, x]$ ne rencontre aucune des facettes $F(\pm a, \mathcal{D}(a))$ (où $[0, x] = \{y: y = \lambda x, \lambda \in [0, 1]\}$).

On considère maintenant un plan $P$ de $\mathcal{H}(\mathcal{A}, \mathcal{D})$ c'est-à-dire un sous-espace de dimension deux. On note $\Sigma_P$ la sphère unité de $P$ (pour la norme de l'espace $\mathcal{H}(\mathcal{A}, \mathcal{D})$) et $C_P$ le cercle unité de $P$ pour la norme hilbertienne (de $\mathcal{H}$).

**LEMME 4.** $\Sigma_P$ se compose d'un nombre fini de segments de droite et de points du cercle $C_P$; $C_P \cap \Sigma_P$ est infini.

Preuve. Il est clair que $\Sigma_P$ se compose de points de $C_P$ et d'ensembles de la forme

$$ P \cap F(\varepsilon a, \mathcal{D}(a)), \quad \varepsilon = \pm 1, a \in \mathcal{A}, $$

chacun de ces ensembles est un segment de droite. Soient $x$ et $x'$ deux points de $\Sigma_P$ appartenant à deux segments distincts, c'est-à-dire à deux facettes distinctes; d'après le lemme 3, on a

$$ \theta(x, x') \ge \theta_0. $$

Si $\mathcal{K}$ est un nombre entier tel que $K\theta_0 > 2\pi$ il y a donc moins de $\mathcal{K}$ facettes distinctes qui rencontrent $P$ et donc $\Sigma_P$ ne contient qu'un nombre fini de segments de droite.

Si $P$ ne rencontre aucune facette $F(\varepsilon a, \mathcal{D}(a))$, alors $C_P = \Sigma_P$; sinon soit $x$ un point de $\Sigma_P$ appartenant à une facette $F(\varepsilon a, \mathcal{D}(a))$; soit $y$ un élément quelconque de $C_P$ tel que

$$ \frac{1}{2}\theta_0 < \theta(x, y) < \theta_0; $$

alors, d'après le lemme 3, $y$ n'appartient à aucune des facettes $F(\varepsilon a, \mathcal{D}(a))$, $\varepsilon = \pm 1$, $a \in \mathcal{A}$, donc $y$ appartient à $\Sigma_P$ et à $C_P$.

Dans tous les cas, $\Sigma_P \cap C_P$ est infini.

**LEMME 5.** Toute isométrie de $\mathcal{H}(\mathcal{A}, \mathcal{D})$ est également une isométrie de $\mathcal{H}$.

Preuve. Soit $P$ un plan de $\mathcal{H}(\mathcal{A}, \mathcal{D})$ et $\Sigma_P$ la sphère unité de $P$. La norme de $\mathcal{H} \cap P$ est l'unique norme hilbertienne qui a une infinité de points en commun avec $\Sigma_P$. Toute autre norme hilbertienne admet pour sphère unité une ellipse distincte de $C_P$ qui rencontre $C_P$ en au plus quatre
points et chacun des segments de droite inclus dans $\Sigma_P$ en deux points au plus. Or, $\Sigma_P$ se compose de points de $C_P$ et d'un nombre fini de segments de droite.

Soit maintenant $\varphi$ une isométrie de $\mathcal{H}(A, \Delta)$ et $\omega$ un point tel que

$$|\varphi(\omega)| \neq |\omega|.$$

Soit $P$ un plan de $\mathcal{H}$ tel que $\omega \in P$, on pose $Q = \varphi(P)$; alors $\Sigma_Q = \varphi(\Sigma_P)$. L'application $N: Q \to R$ définie par $N(y) = |\varphi^{-1}(y)|$ est une norme euclidienne sur $Q$ qui a une infinité de points en commun avec $\varphi(\Sigma_P) = \Sigma_Q$. Donc

$$N(\varphi(\omega)) = |\varphi(\omega)|.$$

Or, $N(\varphi(\omega)) = |\varphi^{-1}\circ\varphi(\omega)| = |\omega|$; contradiction.

**LEMME 6.** Soit $\varphi$ une isométrie de $\mathcal{H}(A, \Delta)$ et $a$ un élément de $\Delta$; il existe $a' \in \Delta$ et $\varepsilon = \pm 1$, tels que $\varphi(a) = \varepsilon a'$; de plus $\Delta(a) = \Delta(a')$.

**Preuve.** Soit $a$ un élément de $\Delta$. D'après le lemme 5, $\varphi$ conserve norme hilbertienne et produit scalaire et par suite, on a

$$\varphi(H(a, \Delta(a))) = H(\varphi(a), \Delta(a))$$

et aussi

$$\varphi(F(a, \Delta(a))) = F(\varphi(a), \Delta(a)).$$

Or, l'image par $\varphi$ de la facette $F(a, \Delta(a))$ est contenue dans la sphère unité de $\mathcal{H}(A, \Delta)$ et donc dans une facette $F(\varepsilon a', \Delta(a'))$, $\varepsilon' = \pm 1$, $a' \in \Delta$. Par suite

$$H(\varphi(a), \Delta(a)) = H(\varepsilon a', \Delta(a')).$$

Or, ces deux hyperplans d'équations respectives

$$(\omega, \varphi(a)) = 1 - \Delta(a),$$

$$(\omega, \varepsilon a') = 1 - \Delta(a')$$

ne coïncident que si $\varphi(a) = \varepsilon a'$ et $\Delta(a) = \Delta(a')$.

Avant de passer à la preuve des théorèmes 1 et 2, on vérifie que $\mathcal{H}$ et $\mathcal{H}(A, \Delta)$ sont isomorphes.

**LEMME 7.** Soit $\varepsilon$ un nombre réel strictement positif tel que $1+\varepsilon > (1-\sup_{a \in \Delta} \Delta(a))^{-1}$, alors $\mathcal{H}$ et $\mathcal{H}(A, \Delta)$ sont $1+\varepsilon$-isomorphes.

**Preuve.** On pose $\sup_{a \in \Delta} \Delta(a) = \delta$. Puisque la boule unité de $\mathcal{H}(A, \Delta)$ est contenue dans celle de $\mathcal{H}$ on a

$$\forall \omega \in \mathcal{H} \quad |\omega| \leq ||\omega||.$$

D'autre part, si $\omega \in F(\varepsilon a, \Delta(a))$, alors

$$|\omega| \geq 1 - \Delta(a) \geq 1 - \delta$$

et donc puisque la sphère unité de $\mathcal{H}(A, \Delta)$ se compose de points de norme euclidienne 1 et des facettes $F(\varepsilon a, \Delta(a))$, $\varepsilon = \pm 1$, $a \in \Delta$

$$\forall \omega \in \mathcal{H} \ (1-\delta) ||\omega|| \leq |\omega|.$$

Donc l'identité est un $(1-\delta)^{-1}$ isomorphisme de $\mathcal{H}$ sur $\mathcal{H}(A, \Delta)$.

**2. Preuve des théorèmes 1 et 2.** On prouve d'abord le théorème 1; on suppose que $X$ a au moins deux éléments, sinon $\ell^2(X)$ est précisément $R$ et admet bien deux isométries exactement. On choisit un bon ordre sur $X$ et on note $a, \beta, \gamma$ les éléments de $X$.

On pose $\mathcal{H} = \ell^2(X)$. Si $a \in X$, $e_a$ est l'élément de $\ell^2(X)$ qui vaut 1 en $a, 0$ ailleurs.

On fixe $\theta_0$ tel que $2\sin\theta_0 \leq (2\sqrt{5}-4)/5$ et on choisit un nombre réel $\beta > 0$ qui satisfait la conclusion du lemme 3 et qui est tel que $(1-\beta)^{-1} \leq 1+\varepsilon$.

Soient $\delta$ et $\delta'$ deux nombres réels tels que

$$0 < \delta' < \delta < \beta.$$

L'espace de Banach cherché est l'espace $\mathcal{H}(A, \Delta)$ où

$A$ est formé des points $e_a$, $\alpha \in X$, et des points $(e_a+2e_\beta)/\sqrt{5}$, $\alpha \in X$, $\beta \in X$, $a < \beta$;

$$\Delta(e_a) = \delta, \quad \alpha \in X;$$

$$\Delta\left(\frac{e_a + 2e_\beta}{\sqrt{5}}\right) = \delta', \quad \alpha \in X, \beta \in X, a < \beta.$$

On laisse au lecteur le soin de vérifier que si $a$ et $a'$ sont éléments de $A$

$$|a \pm a'| \geq \frac{2\sqrt{5}-4}{5} \geq 2\sin\theta_0.$$

L'espace $\mathcal{H}(A, \Delta)$ ainsi constitué "code" la relation $a < \beta$ dans le sens suivant:

(*) Soient $\alpha$ et $\beta$ deux éléments distincts de $X$, $\varepsilon = \pm 1$, on a $\|e_a + 2\varepsilon e_\beta\|/\sqrt{5} > 1$ si et seulement si $\varepsilon = +1$ et $\alpha < \beta$.

En effect, si $\alpha$ et $\beta$ appartiennent à $X$, $(e_a - 2e_\beta)/\sqrt{5}$ n'appartient à aucune facette $F(\varepsilon a, \Delta(a))$. Il en est de même pour $(e_a + 2e_\beta)/\sqrt{5}$ si $\alpha > \beta$.

Puisque $(1-\beta)^{-1} \leq 1+\varepsilon$ le lemme 7 implique que $\mathcal{H}$ et $\mathcal{H}(A, \Delta)$ sont $1+\varepsilon$-isomorphes. Il reste à voir que les seules isométries de $\mathcal{H}(A, \Delta)$ sont l'identité et la symétrie ou encore, si $\alpha_0$ est l'élément minimal de $X$, pour le bon ordre choisi, que toute isométrie $\varphi$ de $\mathcal{H}(A, \Delta)$ telle que $\varphi(e_{\alpha_0}) = e_{\beta_0}$, $\beta_0 \in X$, est telle que

$$\forall \alpha \in X \quad \varphi(e_{\alpha}) = e_{\alpha}.$$

S'il n'en est pas ainsi, on choisit un contre-exemple $\varphi$ et on considère le
plus petit $\alpha$ tel que

$$ \varphi(e_a) \neq e_a. $$

D'après le lemme 6, il existe $\beta \in \mathcal{X}$ et $\varepsilon = \pm 1$ tels que

$$ \varphi(e_a) = \varepsilon \theta_{\beta}. $$

Si $\beta = \alpha$ alors $\varepsilon = -1$ et donc $\alpha > a_0$, d'après la propriété (*) on a alors:

$$ \frac{\|e_{a_0} + 2e_a\|}{\sqrt{5}} > 1 \quad \text{et} \quad \frac{\|e_{e_0} + 2\varphi(e_a)\|}{\sqrt{5}} = 1 $$

ce qui contredit le fait que $\varphi$ est une isométrie.

On n'a pas non plus $\beta < \alpha$ puisque, dans ce cas $\varphi(e_\beta) = e_\beta$; donc on a $\beta > \alpha$.

De la même façon, $\varphi^{-1}(e_a)$ est de la forme $\varepsilon' e_{\beta'}$ avec $\beta' > \alpha$. On a donc d'après (*)

$$ \frac{\|e_a + 2e_{\beta'}\|}{\sqrt{5}} > 1 $$

et par suite

$$ \frac{\|\varphi(e_a) + 2\varphi(e_{\beta'})\|}{\sqrt{5}} > 1 $$

soit donc

$$ \frac{\|\varepsilon e_{\beta} + 2\varepsilon' e_a\|}{\sqrt{5}} > 1 $$

d'après (*) cette inégalité prouve que $\varepsilon = \varepsilon'$ et que $\beta < \alpha$; contradiction.

On passe maintenant à la preuve du théorème 1. On se donne donc un groupe $\mathcal{G}$ d'élément neutre $i$ et un sous-groupe normal $I$ à deux éléments, $I = \{i, j\}$. On note $\pi$ l'homomorphisme canonique de $\mathcal{G}$ sur $\mathcal{G}/I$. On choisit une application $g$ définie sur un ensemble bien ordonné $\mathcal{X}$ à valeur dans $\mathcal{G}$ et telle que

(i) Si $\alpha \neq \beta$, $\alpha, \beta \in \mathcal{X}$, $\pi g(\alpha) \neq \pi g(\beta)$.

(ii) $\pi g$ est une surjection de $\mathcal{X}$ sur $\mathcal{G}/I$.

(iii) $g(a_0) = i$, où $a_0$ est le plus petit élément de $\mathcal{X}$.

On note $\mathcal{G}'$ l'image de $\mathcal{X}$ par $g$.

La preuve consiste essentiellement en la construction d'un espace $\mathcal{H}(\mathcal{A}, \Delta)$ qui „code" la structure de $\mathcal{G}$. La construction est cependant plus délicate que pour le théorème 1. On va commencer par donner une définition précise de l'angle $\theta_0$, qui doit être assez petit.

Dans l'espace euclidien $\mathbf{R}^6$, muni de sa base canonique $(e_i)_{1 \le i \le 6}$, on considère l'ensemble fini $\mathbf{B}$ des points suivants:

$$ \varepsilon e_i; 1 \le i \le 6, \varepsilon = \pm 1. $$

$$ \frac{\varepsilon e_i + 2\varepsilon' e_j}{\sqrt{5}}; i \neq j, 1 \le i, j \le 6, \varepsilon = \pm 1, \varepsilon' = \pm 1. $$

$$ \frac{\varepsilon_i e_i + 2\varepsilon_j e_j + 3\varepsilon_k e_k}{\sqrt{14}}; i, j, k \text{ deux à deux distincts, } 1 \le i, j, k \le 6, $$

$$ \varepsilon_i = \pm 1, \varepsilon_j = \pm 1, \varepsilon_k = \pm 1. $$

$\theta_0$ est le nombre réel défini par

$$ 0 < \theta_0 < \frac{1}{2}\pi, \quad 2\sin\theta_0 = \inf_{\substack{b \neq b' \\ b \in \mathbb{B} \\ b' \in \mathbb{B}}} |b - b'|. $$

$\theta_0$ étant fixé, on choisit un nombre réel $\beta > 0$ qui satisfait la conclusion du lemme 3 et qui est tel que $(1-\beta)^{-1} \le 1+\varepsilon$. Soient $\delta, \delta'$ et $\delta''$ trois nombres réels tels que

$$ 0 < \delta'' < \delta' < \delta < \beta. $$

On pose $\mathcal{H} = \ell^2(G' \cup G' \times \mathcal{X})$; si $f \in G'$, $e_f$ est l'élément de $\mathcal{H}$ qui vaut 1 en $f$ et 0 ailleurs. Si $f \in G'$ et $\alpha \in \mathcal{X}$, $e_{f,\alpha}$ est l'élément de $\mathcal{H}$ qui vaut 1 en $(f, \alpha)$ et 0 ailleurs. Si $f$ n'est pas dans $G'$, $f$ s'écrit $jf'$, $f' \in G'$; on désigne alors par $e_f$ l'élément $-e_{f'}$, et de même par $e_{f,\alpha}$ l'élément $-e_{f',\alpha}$.

L'espace cherché est de la forme $\mathcal{H}(\mathcal{A}, \Delta)$. $\mathcal{A}$ est l'ensemble des points suivants:

$$ e_f, f \in G'; $$

$$ e_{f,\alpha}, f \in G', \alpha \in \mathcal{X}; $$

$$ \frac{e_{f,\alpha} + 2e_{f,\beta}}{\sqrt{5}}, f \in G', \alpha \in \mathcal{X}, \beta \in \mathcal{X}, \alpha < \beta; $$

$$ \frac{e_f + 2e_{f,\alpha}}{\sqrt{5}}, f \in G', \alpha \in \mathcal{X}; $$

$$ \frac{e_{h,\alpha} + 2e_f + 3e_{f,g(\alpha)}}{14}, h \in \mathcal{G}, f \in G', \alpha \in \mathcal{X}, \alpha \neq a_0. $$

$\Delta$ est définie de la façon suivante:

$$ \Delta(a) = \begin{cases} \delta & \text{si } a \text{ est de la forme } e_f, f \in G'; \\ \delta' & \text{si } a \text{ est de la forme } e_{f,\alpha}, f \in G, \alpha \in \mathcal{X}; \\ \delta'' & \text{dans les autres cas.} \end{cases} $$

On doit vérifier que si $a$ et $a'$ sont deux points distincts de $\mathcal{A}$, $|a \pm a'| \ge 2 \sin \theta_0$. Mais, en se reportant à la définition de $\theta_0$, on voit facilement que calculer la distance $|a - a'|$ (resp. $|a + a'|$) revient à calculer la distance $|b - b'|$ de deux points de l'ensemble $\mathbf{B}$ de $\mathbf{R}^6$, d'où le résultat.
LEMME 8. Soit $\alpha$ un élément de $X$, $\alpha \neq a_0$; $h, f, f'$ des éléments de $G$; on a

$$ \|e_{h,a} + 2e_f + 3e_f'\| \neq \sqrt{14} $$

si et seulement si $f' = f \cdot g(a)$.

Preuve. On suppose d'abord que $f \in G'$.

Si $f' = f \cdot g(a)$, on a

$$ \|e_{h,a} + 2e_f + 3e_f'\| = \sqrt{14(1 - \delta'')^{-1}}. $$

Inversement, si $f' \neq f \cdot g(a)$, le point

$$ y = \frac{e_{h,a} + 2e_f + 3e_f'}{\sqrt{14}} $$

est tel que pour tout point $a$ de $\mathcal{A}$

$$ |y \pm a| \geq 2 \sin \theta_0. $$

Par suite, $\theta(y, \pm a) \geq 2\theta_0$ et donc la droite $[0, y]$ ne rencontre aucune des facettes $F(ea, \Delta(a))$, $a \in \mathcal{A}$, donc $\|y\| = 1$.

Si maintenant $f = f/f_0$, $f_0 \in G'$, on remarque que

$$ \|e_{h,a} + 2e_f + 2e_f'\| = \|e_{jh',a} + 2e_f' + 3e_{jf'}\| $$

et on se trouve ramené au cas précédent.

On démontre de la même façon

LEMME 9. Soient $h, f$ des éléments de $G$, $a \in \mathcal{X}$; on a $\|e_f + 2e_{h,a}\| \neq \sqrt{5}$ si et seulement si $f = h$.

On se donne maintenant une isométrie $\varphi$ de $\mathcal{H}(A, \Delta)$.

LEMME 10. On suppose $\varphi(e_f) = e_f'$. Alors, pour tout $\alpha \in \mathcal{X}$, $\varphi(e_{f,a}) = e_{f',a}$.

Preuve. D'après le lemme 6, $\varphi(e_{f,a})$ est de la forme $e_{h,\beta}$. Mais on a

$$ \|e_f + 2e_{f,a}\| \neq \sqrt{5} $$

et donc

$$ \|e_{f'} + 2e_{h,\beta}\| \neq \sqrt{5}, $$

ce qui d'après le lemme 9 implique $h = f'$.

Si on note $\mathcal{H}^f(A, \Delta)$ le sous-espace fermé de $\mathcal{H}(A, \Delta)$ engendré par les $e_{f,a}$, $\alpha \in \mathcal{X}$, il résulte de ce qui précède que $\varphi$ est une isométrie de $\mathcal{H}^f(A, \Delta)$ sur $\mathcal{H}^f(A, \Delta)$. Soit $\psi$ l'isométrie de $\mathcal{H}^f(A, \Delta)$ sur $\mathcal{H}^f(A, \Delta)$ définie par $\psi(e_{f',a}) = e_{f,a} \cdot \psi \circ \varphi$ est une isométrie de $\mathcal{H}^f(A, \Delta)$. Or, cet espace est précisément construit comme dans la preuve du théorème 1. Par suite, il existe $\varepsilon$ tel que

$$ \varphi(e_{f,a}) = \varepsilon e_{f',a}; $$

mais d'après les remarques faites au début de la preuve, on a $\varepsilon = 1$.

On suppose toujours donnée une isométrie $\varphi$ de $\mathcal{H}(A, \Delta)$. D'après le lemme 6, $\varphi(e_f)$, $f \in G$ est de la forme $e_f'$. On pose en particulier $\varphi(e_i) = e_{f,\varphi}$.

LEMME 11. Soit $f$ un élément de $G$, alors

$$ \varphi(e_f) = e_{f,\varphi f'} $$

Preuve. On suppose d'abord $f$ égal à $g(a)$. Si $a = a_0$, $f = i$ et le résultat est clair, sinon, d'après le lemme 8, on a pour $h$ quelconque, élément de $G$

$$ \|e_{h,a} + 2e_i + 3e_f'\| \neq \sqrt{14} $$

par suite

$$ \|\varphi(e_{h,a}) + 2\varphi(e_i) + 3\varphi(e_f')\| \neq \sqrt{14} $$

ou encore, pour un certain $h'$ dépendant de $h$

$$ \|e_{h',a} + 2e_{f,\varphi} + 3e_{f'}'\| \neq \sqrt{14} $$

d'où, d'après le lemme 8,

$$ f' = f, \varphi \cdot g(a). $$

Si maintenant $f$ est la forme $jg(a)$, on a:

$$ \varphi(e_f) = -\varphi(e_{f(a)}) = -e_{f,\varphi\varphi(a)} = e_{f,\varphi f'} $$

PROPOSITION 12. L'application $\varphi \to f_\varphi$ est un isomorphisme du groupe des isométries de $\mathcal{H}(A, \Delta)$ sur $G$.

Preuve. Soient $\varphi$ et $\psi$ des isométries de $\mathcal{H}(A, \Delta)$, $f_{\psi \circ \varphi} = \psi(\varphi(e_i)) = \psi(e_{f,\varphi})$. Or, d'après le lemme 11, $\psi(e_{f,\varphi}) = e_{f,\psi \circ f_\varphi}$ d'où $f_{\psi \circ \varphi} = f_\psi \cdot f_\varphi$, ce qui prouve que l'application $\varphi \to f_\varphi$ est un homomorphisme de groupes. C'est en fait un homomorphisme injectif; en effet, si $f_\varphi = i$, alors d'après le lemme 11, on a

$$ \varphi(e_f) = e_f; \quad f \in G, $$

et d'après le lemme 10,

$$ \varphi(e_{f,a}) = e_{f,a}; \quad f \in G, \alpha \in \mathcal{X}, $$

donc $\varphi$ est l'identité.

Il reste à voir que l'homomorphisme $\varphi \to f_\varphi$ est surjectif. Soit $f_0$ un élément de $G$; on considère l'application linéaire $\varphi$ de $\mathcal{H}(A, \Delta)$ définie
sur la base canonique de cet espace par

$$ 
\varphi(e_f) = e_{f_0f}, \quad f \in G', \\
\varphi(e_{f,a}) = e_{f_0f,a}, \quad f \in G', a \in X.
$$

Il est clair que $\varphi$ est une bijection linéaire et même une isométrie de l'espace de Hilbert $\mathcal{H}$. Par suite l'image d'une facette

$$ F(\varepsilon a, \Delta(a)) \\
F(\varepsilon\varphi(a), \Delta(a)). $$

Pour voir que $\varphi$ est une isométrie de $\mathcal{H}(\Delta, \Delta)$ il suffit donc de prouver les assertions suivantes:

$\varphi$ réalise une permutation de l'ensemble des points $\varepsilon e_f$, $\varepsilon = \pm 1$, $f \in G'$, c'est-à-dire de l'ensemble des points $e_f, f \in G$.

$\varphi$ réalise une permutation de l'ensemble des points $\varepsilon e_{f,a}$, $\varepsilon = \pm 1$, $f \in G'$, $a \in X$, c'est-à-dire de l'ensemble des points $e_{f,a}, f \in G$, $a \in X$.

$\varphi$ réalise une permutation de l'ensemble des points $\varepsilon \frac{e_{f,a}+2e_{f,\beta}}{\sqrt{5}}$, $\varepsilon = \pm 1$, $f \in G'$, $a, \beta \in X$, $a < \beta$, c'est-à-dire de l'ensemble des points $\frac{e_{f,a}+2e_{f,\beta}}{\sqrt{5}}$, $f \in G$, $a, \beta \in X$, $a < \beta$.

$\varphi$ réalise une permutation de l'ensemble des points $\frac{(e_{h,a}+2e_f+3e_{f,\varphi(a)})}{\sqrt{14}}$, $\varepsilon = \pm 1$, $h \in G$, $f \in G'$, $a \in X$, $a \neq a_0$, c'est-à-dire de l'ensemble des points $\frac{e_{h,a}+2e_f+2e_{f,\varphi(a)})}{\sqrt{14}}$, $h \in G$, $f \in G$, $a \in X$, $a \neq a_0$.

Chacune de ces assertions est facilement vérifiée. Pour prouver la dernière d'entre elles, par exemple, il suffit de remarquer que le point

$$ y = e_{h,a} + 2e_f + 3e_{f,\varphi(a)} $$

a pour image par $\varphi$ le point

$$ y' = e_{f_0h,a} + 2e_{f_0f} + 3e_{f_0f,\varphi(a)} $$

et pour image réciproque par $\varphi$ le point

$$ y'' = e_{f_0^{-1}h,a} + 2e_{f_0^{-1}f} + 3e_{f_0^{-1}f,\varphi(a)} $$

Le preuve des remarques qui suivent le théorème 1 est immédiate; en effet, si $\sigma$ est la symétrie de $\mathcal{H}(A, \Delta)$, on a $f = j$, ce qui établit la première remarque. Pour établir la seconde, on remarque que si $G$ est dénombrable, $X$ l'est aussi, et donc $\ell^2(G' \cup G' \times X)$ est séparable.

Bibliographie

[1] J. Stern, *The problem of envelopes for Banach spaces*, Israel J. Math. 24 (1976), pp. 1-15.

Received January 10, 1977

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