<figure><img src="image_1.png" /></figure>

HAL
open science

# Problèmes non linéaires motivés par les équations de leslie pour les cristaux liquides nématiques incompressibles

João Paulo Dias

► To cite this version:

João Paulo Dias. Problèmes non linéaires motivés par les équations de leslie pour les cristaux liquides nématiques incompressibles. [Rapport de recherche] IRIA-RR-363, IRIA. 1979, pp.35. hal-04716604

HAL Id: hal-04716604

https://inria.hal.science/hal-04716604v1

Submitted on 1 Oct 2024

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License
IRIA

laboria

Institut de Recherche
d'Informatique
et d'Automatique

Domaine de Voluceau
Rocquencourt
B. P. 105 78150 - Le Chesnay
France
Tél.: 954 90 20

laboratoire de recherche
en informatique
et automatique

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

PROBLÈMES NON LINÉAIRES
MOTIVÉS PAR
LES ÉQUATIONS DE LESLIE
POUR LES CRISTAUX LIQUIDES
NÉMATIQUES INCOMPRESSIBLES

João-Paulo DIAS

35p.

Rapport de Recherche N° 363

Septembre 1979
# PROBLEMES NON LINÉAIRES MOTIVÉS PAR LES ÉQUATIONS DE LESLIE POUR LES CRISTAUX LIQUIDES NÉMATIQUES INCOMPRESSIBLES

João-Paulo Dias*

## Résumé :

Suivant [2] et [1], nous déduisons, à partir du modèle de Leslie (cf. [9]), une formulation faible pour les équations d'évolution couplées d'un cristal liquide nématique incompressible soumis à l'action d'un très fort champ magnétique homogène, et nous démontrons quelques résultats concernant l'existence, l'unicité et la régularité des solutions faibles (cf. [2], [4] et [1]). Nous utilisons les méthodes introduites dans [8], [7] et [10].

## Abstract :

Following [2] and [1], we deduce, from Leslie's model (cf. [9]), a weak formulation for the time dependent coupled equations of an incompressible nematic liquid crystal submitted to a strong homogeneous magnetic field, and we give some results about the existence, uniqueness and regularity of weak solutions (cf. [2], [4] and [1]). Here we use the methods developed in [8], [7] and [10].

<footnote>* En congé du Département de Mathématiques de l'Université de Lisbonne.</footnote>
P L A N

<table><thead><tr><th></th><th></th><th>Pages</th></tr></thead><tbody><tr><td><strong>Chapitre 1.</strong></td><td><strong>LE MODELE VARIATIONNEL APPROXIME ET QUELQUES RESULTATS AUXILIAIRES.</strong></td><td>1</td></tr><tr><td>1.</td><td>Le modèle variationnel approximé</td><td>1</td></tr><tr><td>2.</td><td>Quelques résultats auxiliaires.</td><td>6</td></tr><tr><td><strong>Chapitre 2.</strong></td><td><strong>RESULTATS GENERAUX</strong></td><td>11</td></tr><tr><td>1.</td><td>Existence globale de soulution faible et unicité pour N = 2.</td><td>11</td></tr><tr><td>2.</td><td>Existence et unicité de solutions régulières.</td><td>18</td></tr><tr><td>3.</td><td>Estimations dans L<sup>∞</sup> pour les solutions régulières.</td><td>27</td></tr><tr><td><strong>Chapitre 3.</strong></td><td><strong>LE CAS PARTICULIER OU v ≡ O.</strong></td><td>30</td></tr><tr><td>1.</td><td>Théorème d'existence et unicité de solution globale forte.</td><td>30</td></tr><tr><td><strong>Références.</strong></td><td></td><td>33</td></tr></tbody></table>
# Chapitre 1. LE MODELE VARIATIONNEL APPROXIME ET QUELQUES RESULTATS AUXILIAIRES.

## 1. Le modèle variationnel approximé

Soit $\Omega$ un ouvert borné régulier de $\mathbb{R}^N$, $N = 2$ ou $3$, de frontière $\Gamma$, que nous supposons occupé par un cristal liquide nématique incompressible lequel est soumis, pendant l'intervalle de temps $[0,T]$, $0 < T < +\infty$, à l'action d'un très fort champ magnétique homogène $h \in C([0,T]; \mathbb{R}^N)$.

Soient $u = u(x,t)$, $v = v(x,t)$, $\Pi = \Pi(x,t)$, respectivement, le champ du directeur (cf. [9] et [12]), le champ des vitesses et la pression, et considérons les équations de Leslie (cf. [9] et [12]), où l'on a négligé l'inertie d'orientation moléculaire (nous utilisons la convention de sommation pour les indices et nous posons $u_{i,k} = \frac{\partial u_i}{\partial x_k}$, $A_{ij}(u) = \frac{1}{2}(u_{i,j} + u_{j,i})$,

$B_{ij}(u) = \frac{1}{2}(u_{j,i} - u_{i,j})$ :

$$ \gamma_1 \left[ \frac{\partial u_i}{\partial t} + v_k u_{i,k} + B_{ik}(v) u_k \right] + \gamma_2 A_{ik}(v) u_k - \left( \frac{\partial f}{\partial u_{i,j}} \right)_{,j} + \frac{\partial f}{\partial u_i} - \lambda u_i = 0, $$ 
$$ |u| = (u.u) = 1, $$

$$ \rho \left( \frac{\partial v_i}{\partial t} + v_k v_{i,k} \right) = - \Pi, \quad i = 1, \dots, 6, \quad \left\{ \begin{array}{l} - \frac{\partial f}{\partial u_{k,j}} u_{k,i} + \alpha_1 A_{kp}(v) u_k u_p u_i u_j + \\ \qquad + \alpha_2 \left[ \frac{\partial u_i}{\partial t} + v_k u_{i,k} + B_{ik}(v) u_k \right] u_j + \\ \qquad + \alpha_3 \left[ \frac{\partial u_i}{\partial t} + v_k u_{j,k} + B_{jk}(v) u_k \right] u_i + \\ \qquad + \alpha_4 A_{ji}(v) + \alpha_5 A_{ik}(v) u_j u_k + \alpha_6 A_{jk}(v) u_i u_k \end{array} \right\}, j $$ 
$$ \text{div } v = 0, $$

où les $\alpha_i$, $i = 1, \dots, 6$, sont les viscosités caractéristiques,

$\gamma_1 = \alpha_3 - \alpha_2 > 0$, $\gamma_2 = \alpha_6 - \alpha_5 = \alpha_2 + \alpha_3$, $\rho > 0$ est la densité usuelle,
$$f = \frac{1}{2} \left[ k_1 (\mathrm{div} \, u)^2 + k_2 (\mathrm{u.} \, \mathrm{rot} \, u)^2 + k_3 |\mathrm{u} \times \mathrm{rot} \, \mathrm{u}|^2 - \chi (\mathrm{u.h})^2 \right]$$

est la densité de l'énergie libre, $k_i > 0$, $i = 1,2,3$, sont des constantes élastiques, $\chi > 0$ est la partie anisotrope de la susceptibilité magnétique par unité de volume et $\lambda = \lambda(x,t)$ est la tension d'orientation.

Si l'on suppose $k_1 = k_2 = k_3$, on en déduit (puisqu'on a $|u \times \mathrm{rot} \, u|^2 = |u|^2 |\mathrm{rot} \, u|^2$ - $(\mathrm{u.} \, \mathrm{rot} \, u)^2 = |\mathrm{rot} \, u|^2$ - $(\mathrm{u.} \, \mathrm{rot} \, u)^2)$,

$$f = \frac{1}{2} \left[ k_1 (\mathrm{div} \, u)^2 + k_2 |\mathrm{rot} \, u|^2 - \chi (\mathrm{u.h})^2 \right],$$

$$\text{et donc } \left( \frac{\partial f}{\partial u_{i,j}} \right)_{,j} = k_1 \Delta u_i.$$

En éliminant $\lambda$ (il suffit de multiplier par $u_i$ la première équation), on déduit, de la première équation,

$$\gamma_1 \frac{\partial u_i}{\partial t} - k_1 \Delta u_i + \gamma_1 v_k u_{i,k} + \chi (\mathrm{u.h})^2 u_i - \chi (\mathrm{u.h}) h_i + \theta_i - k_1 u_{k,p} u_{k,p} u_i = 0, \quad (1.1)$$

où

$$\theta_i = \gamma_1 B_{ik}(v) u_k + \gamma_2 A_{ik}(v) u_k - \gamma_2 A_{kp}(v) u_k u_p u_i \quad (1.2)$$

On ne tiendra pas compte des deux derniers termes du premier membre de (1.1) et on perdra ainsi la propriété $|u|=1$. On prend comme conditions aux limites $u.v = 0$, $\frac{\partial u}{\partial v} \times v = 0$ sur $\Gamma$, où $v$ est la normale extérieure unitaire \hfill (1.3)

On obtient ainsi

$$\gamma_1 \int_{\Omega} \frac{\partial u}{\partial t} \cdot m \, dx + k_1 \int_{\Omega} u_{i,k} m_{i,k} \, dx + \gamma_1 \int_{\Omega} v_k u_{i,k} m_i \, dx + \chi \int_{\Omega} (u.h)^2 (u.m) \, dx - \chi \int_{\Omega} (u.h) (h.m) \, dx = 0, \forall m \in W,$$

où

$$W = \{ u \in (H^1(\Omega))^N \mid u.v = 0 \text{ sur } \Gamma \},$$
avec la norme

$$ ||u|| = \left( \int_{\Omega} u_{i,k} u_{i,k} \, dx \right)^{1/2} \qquad (1.4) $$

Regardons maintenant ce qui se passe avec les équations du champ des vitesses. Si l'on néglige les termes avec des dérivées de $u$, on obtient

$$ \rho \left( \frac{\partial v_i}{\partial t} + v_k v_{i,k} \right) + \Pi,{}_i - \left[ \begin{aligned} & (\alpha_1 - \gamma_2) A_{kp}(v) u_k u_p u_i u_j + \\ & + \alpha_4 A_{ji}(v) + \alpha_3 B_{jk}(v) u_k u_i + \alpha_6 A_{jk}(v) u_k u_i + \\ & + \alpha_3 B_{ik}(v) u_k u_j + \alpha_6 A_{ik}(v) u_k u_j \end{aligned} \right],{}_j + (\theta_i u_j),{}_j = 0, $$

où $\theta_i$ est défini par (1.2).

En travaillant avec l'équation (1.1), il est aisé de voir que l'hypothèse "u ne dépend que du temps" entrainerait $\theta_i = 0$. Evidemment ce n'est pas notre cas. Malgré cela, on fera la simplification qui correspond à négliger $\theta_i$.

On en déduit, en supposant $u(t) \in (L^\infty(\Omega))^N$,

$$ \rho \int_{\Omega} \frac{\partial v}{\partial t} w dx + \rho \int_{\Omega} v_k v_{i,k} w_i dx + a(u;v,w) = 0, \forall w \in v, \quad (1.5) $$

où

$$ V = \{ v \in (H_0^1(\Omega))^N \mid \text{div } v = 0 \text{ dans } \Omega \}, $$

avec la norme définie par (1.4) (cf. [10], chap.1), et

$$ a(u;v,w) = \alpha_4 \int_{\Omega} A_{ij}(v) A_{ij}(w) \, dx + (\alpha_1 - \gamma_2) \int_{\Omega} A_{kp}(v) u_k u_p A_{ij}(w) \, u_i u_j \, dx + 2 \alpha_6 \int_{\Omega} A_{ik}(v) u_k A_{ij}(w) \, u_j \, dx + 2 \alpha_3 \int_{\Omega} B_{ik}(v) u_k A_{ij}(w) \, u_j \, dx $$

qui est une forme bilinéaire continue sur $V \times V$.

Supposons $v_o = v(0) \in H \cap (W^1, P(\Omega))^N$, avec $p > N$, où
$H = \{ v \in (L^2(\Omega))^N \mid \operatorname{div} v = 0 \text{ dans } \Omega \text{ et } v \cdot v = 0 \text{ sur } \Gamma \}$, avec la norme usuelle de $(L^2(\Omega))^N$ (cf. [10], chap.1).

Nous ferons alors l'approximation

$$a(u; v, w) \approx a(u_o; v, w) + b_1(u_o, v_o; u - u_o, w)$$

où

$$b_1(u_o, v_o; m, w) = \int_{\Omega} \frac{\partial}{\partial u_q} \left[ (\alpha_1 - \gamma_2) A_{kp}(v_o) u_k u_p A_{ij}(w) u_i u_j + 2 \alpha_6 A_{ik}(v_o) u_k A_{ij}(w) u_j + 2 \alpha_3 B_{ik}(v_o) u_k A_{ij}(w) u_j \right]_{u=0} \, \mathrm{mq}$$

est une forme bilinéaire continue sur $(L^r(\Omega))^N \times V$, où

$$\frac{1}{r} = \frac{1}{2} - \frac{1}{p} \text{ (observons qu'on a } W \subset (L^r(\Omega))^N \text{).}$$

On arrive finalement à la formulation faible suivante (cf. [2] et [1]) (pour simplifier on pose $\mu = k_1 /\gamma_1$ et on remplace $(\chi/\gamma_1)^{1/2}$ h par h) :

$$\left\{
\begin{array}{l}
u \in L^2(0,T; W) \cap L^\infty(0,T; (L^2(\Omega))^N), \quad (u,h) \in L^2(0,T; (L^2(\Omega))^N), \\
\displaystyle\frac{d}{dt} \int_{\Omega} u \cdot m \, dx + \mu \int_{\Omega} u_{i,k} m_{i,k} \, dx + \int_{\Omega} (u.h)^2 (u.m) \, dx - \\
\qquad - \int_{\Omega} (u.h) (h.m) \, dx + \int_{\Omega} v_k u_{i,k} m_i \, dx = 0, \quad \forall m \in W \\
u(0) = u_o \in (L^\infty(\Omega))^N, \text{ avec } |u_o|_\infty \le 1,
\end{array}
\right.
\quad (1.6)$$

$$\left\{
\begin{array}{l}
v \in L^2(0,T; V) \cap L^\infty(0,T; H), \\
\\
\rho \frac{d}{dt} \int_{\Omega} v \cdot w \, dx + \rho \int_{\Omega} v_k v_{i,k} w_i \, dx + a(u_o; v, w) + \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \cdot \\
\qquad \qquad \qquad \qquad + b_1(u_o, v_o; u - u_o, w) = 0, \forall w \in V, \\
\\
v(0) = v_o \in H \cap (W^{1,p}(\Omega))^N, \text{ avec } p > N.
\end{array}
\right.
\quad (1.7)$$
**Remarque 1.1** : Si N = 2 on a (cf. coro. 2.1)

$u \in L^2(0,T; W) \cap L^\infty(0,T; (L^2(\Omega))^2) \subset L^4(0,T; (L^4(\Omega))^2)$,
et donc (u.h) $u \in L^2(0, T; (L^2(\Omega))^2)$.

**Remarque 1.2** : On peut déduire de (1.6), (1.7) (cf. lemme 2.5) qu'on a
$$u'=\frac{du}{dt} \in L^1(0,T; W') , v' \in L^1(0,T; V') \text{ ce qui donne un sens aux conditions initiales (cf. coro. 2.4).}$$

Nous supposons dans la suite (ce qui est physiquement acceptable (cf. [12] )) :

$$\alpha_1 - \gamma_2 \ge 0, \quad \alpha_3 \le 0, \quad \alpha_6 \le 0 \qquad (1.8)$$

Nous allons démontrer le lemme suivant :

**Lemme 1.1** (cf. [2]) : Supposons N = 2, $u_o \in (L^\infty(\Omega))^2$ et $|u|_\infty \le 1$. Alors, on a
$$\underline{a(u_o; v,v) \ge \alpha ||v||^2, \quad \forall v \in V}, \qquad (1.9)$$

$\underline{où \alpha = \frac{1}{2} (\alpha_3 + \alpha_4 + \alpha_6) > 0 \ est \ la \ viscosité \ de \ Miesowicz \ (cf. \ [12]).}$

**Démonstration** : Il est facile de voir qu'on a (1'égalité est encore vraie si $N = 3$) :

$$\int_{\Omega} A_{ij}(v) A_{ij}(v) \, dx = \frac{1}{2} \int_{\Omega} v_{i,j} v_{i,j} \, dx, \quad \forall v \in V \qquad (1.10)$$

Ceci étant fixons $v \in V$ et posons $A_{ij} = A_{ij}(v)$. On a $A_{12} = A_{21}$, $A_{11} + A_{22} =$
$= \text{div } v = 0$ et donc

$$2 \int_{\Omega} A_{ik} u_{ok} A_{ij} u_{oj} \, dx = 2 \int_{\Omega} \left[ A_{11}^2 (u_{o1}^2 + u_{o2}^2) + A_{12}^2 (u_{o1}^2 + u_{o2}^2) \right] \, dx \le \\ \le 2 \int_{\Omega} (A_{11}^2 + A_{12}^2) \, dx = \int_{\Omega} A_{ij} A_{ij} \, dx \qquad (1.11)$$

Supposons maintenant qu'on a $|u_o(x)| = 1$, pour un certain $x \in \Omega$,
et posons $u_{o1}(x) = \cos \varphi$, $u_{o2}(x) = \sin \varphi$. Il vient, avec $B_{ij} = B_{ij}(v)$, et au
point x,
$$
\begin{align*}
2 B_{ik} u_{ok} A_{ij} u_{oj} &= 2 \left( 2 B_{12} A_{11} u_{o1} u_{o2} + B_{12} A_{12} (u_{o2}^2 - u_{o1}^2) \right) = \\
&= (v_{2,1} - v_{1,2}) \sin 2\varphi v_{1,1} - \frac{1}{2} (v_{2,1} - v_{1,2}) \cos 2\varphi (\dot{v}_{2,1} + v_{1,2}) \le \\
&\le \frac{1}{4} (v_{2,1} - v_{1,2})^2 \sin^2 2\varphi + v_{1,1}^2 + \frac{1}{4} (v_{2,1} - v_{1,2})^2 \cos^2 2\varphi + \\
&\qquad + \frac{1}{4} (v_{2,1} + v_{1,2})^2 = \frac{1}{2} v_{i,j} v_{i,j}.
\end{align*}
$$

$$
\text{Si } |u_o(x)| = d, 0 < d < 1, \text{ posons } \tilde{u}_o = \frac{u_o}{d} .
$$

$$
\begin{align*}
\text{Au point } x, \text{ on aura } 2 B_{ik} u_{ok} A_{ij} u_{oj} &= \\
&= d^2 (2 B_{ik} \tilde{u}_{ok} A_{ij} \tilde{u}_{oj}) \le d^2 (\frac{1}{2} v_{i,j} v_{i,j}) \le \frac{1}{2} v_{i,j} v_{i,j}.
\end{align*}
$$

Donc,

$$
2 B_{ik} u_{ok} A_{ij} u_{oj} \le \frac{1}{2} v_{i,j} v_{i,j} \text{, p.p. dans } \Omega,
$$

et ainsi

$$
2 \int_{\Omega} B_{ik} u_{ok} A_{ij} u_{oj} \, dx \le \frac{1}{2} \int_{\Omega} v_{i,j} v_{i,j} \, dx \quad (1.12)
$$

Le lemme 1.1 est maintenant une conséquence immédiate de (1.8), (1.10), (1.11)
et (1.12).

Si N = 3 la situation est moins claire, mais on peut donner des conditions
sur u_o pour que (1.9) soit encore satisfait (par exemple, si |u_o|_∞ ≤ 1/2).

2. *Quelques résultats auxiliaires*

Nous allons commencer pour démontrer le

Lemme 2.1 (cf. [3]) : Dans l'espace W, la norme $||.||$ définie par (1.4) est
équivalente à la norme usuelle dans $(H^1(\Omega))^N$.

Démonstration : Nous voulons prouver qu'il existe $c > 0$ tel que $|u| \le c ||u||$, $\forall u \in W$, où $|u|_{1,2}^2 = ||u||^2 + |u|_2^2$ et $|u|_p$ est la norme $(L^p(\Omega))^N$.
Dans le cas contraire, on trouverait une suite $u_n \in W$ telle que

$$
1 = |u_n|_{1,2} > ||u_n||
$$
**Corollaire 2.2** : Soit $N=2$ et prenons $q \in [2, +\infty[, r \in ]2, +\infty[$ tels que $\frac{1}{q} + \frac{1}{r} = \frac{1}{2}$. Alors, on a, pour $T \in ]0, +\infty[$, $L^2(0,T; H^1(\Omega)) \cap L^\infty(0,T; L^2(\Omega)) \hookrightarrow L^r(0,T; L^q(\Omega))$ (2.4)

**Lemme 2.4** : Soit $N=3$ et prenons $q \in [3, +\infty[$. Alors, il existent deux constantes $c = c(q) > 0$ et $c' = c'(q,\Omega) > 0$ telles que

$$|u|_{2q/q-2} \le c |\text{grad } u|_2^{3/q} |u|_2^{1-3/q}, \quad u \in H_0^1(\Omega) \quad (2.5)$$

$$|u|_{2q/(q-2)} \le c' \left( |u|_2 + |\text{grad } u|_2^{3/q} |u|_2^{1-3/q} \right), \quad \forall u \in H^1(\Omega) \quad (2.6)$$

**Corollaire 2.2** : Soit $N=3$ et prenons $q \in [2,6]$, $r \in [2, +\infty[$ tels que $\frac{3}{2q} + \frac{1}{r} = \frac{3}{4}$. Alors, on a (2.4), pour $T \in ]0, +\infty[$.

Nous introduisons maintenant les espaces

$W_s = \text{fermeture dans } (H^s(\Omega))^N$ de l'espace $W_2$, avec $s \in ]0,2]$,

$V_s = \text{fermeture dans } (H^s(\Omega))^N$ de l'espace

$$\nu = \left\{ v \in (\mathcal{D}(\Omega))^N \mid \text{div } v = 0 \text{ dans } \Omega \right\},$$

avec $s \in ]0, +\infty[$ (cf. [10], chap. 1).

Pour simplifier, nous écrirons

$$(u,v) = \int_{\Omega} u_i v_i \, dx, \text{ si } u,v \in (L^2(\Omega))^N,$$

$$a_o(u,v) = \int u_i v_{i,k} \, dx \quad \text{et} \quad b(u,v,w) = \int u_k v_{i,k} w_i \, dx, \quad \text{si } u,v,w \in (H^1(\Omega))^N.$$

Ceci étant, nous allons démontrer le lemme suivant (cf. [1], pour $N=3$) :

**Lemme 2.5** : Soit $\{u,v\}$ une solution du système (1.6), (1.7). Alors, on a, si $N=2$, $u' \in L^2(0,T; W_s) \cap L^1(0,T; W')$, $s \in ]1,2[$, $v' \in L^2(0,T; V')$ ; et, si $N=3$, $u' \in L^2(0,T; W_s) \cap L^1(0,T; W')$, $s \in ]3/2,2[$, $v' \in L^2(0,T; V') \cap L^1(0,T; V')$.
**Démonstration** : La démonstration des autres propriétés étant similaire, on va se borner à démontrer que, si $N=3$, alors $u' \in L^2(0,T; W_s') \cap L^1(0,T; W')$, $s \in ]\frac{3}{2}, 2[$.

En rappelant que $H^{3/2}(\Omega) \subset W^{1,3}(\Omega)$ (cf. [13]) nous obtenons

$$|b(v,u,m)| = |-b(v,m,u)| \le c |v|_3 |u|_3 |m|_{W^{3/2}} \quad , \forall m \in W^{3/2}, \\ \text{p.p. dans } ]0,T[, \text{ et donc}$$

$$b(v,u,m) = \langle g(v,u), m \rangle_{W^{\frac{3}{2}}} \times W^{\frac{3}{2}}, \text{ avec } g(v,u) \in W^{\frac{3}{2}} \text{ et}$$

$$|g(v,u)|_{W^{\frac{3}{2}}} \le c |v|_3 |v|_3 .$$

En outre, nous avons $v,u \in L^4(0,T; (L^3(\Omega))^3)$ (cf. le coro 2.3).

$$\text{Donc, } g(v,u) \in L^2(0,T; W_s^{3/2}) \subset L^2(0,T; W_s').$$

Maintenant, nous avons, puisque $H^s(\Omega) \subset L^\infty(\Omega)$, pour $s > 3/2$ (cf. [13]),

$$\begin{aligned} \int_{\Omega} (u.h)^2 (u.m) \, dx &\le c |m|_{\infty} |u|_2 |(u.h) u|_2 \\ &\le c(u) |(u.h) u|_2 |m|_{W_s} \quad , \forall m \in W_s, \text{ p.p. dans } ]0,T[. \end{aligned}$$

$$\text{Donc, } \int_{\Omega} (u.h)^2 (u.m) \, dx = \langle g_1(u), m \rangle_{W_s'} \times W_s, \text{ avec } g_1(u) \in W_s' \text{ et}$$

$$|g_1(u)|_{W_s'} \le c(u) |(u.h) u|_2 .$$

Mais, par (1.6), nous avons $(u.h) u \in L^2(0,T; (L^2(\Omega))^3)$, et ainsi

$$g_1(u) \in L^2(0,T; W_s').$$

Soient maintenant $A_0 \in \mathcal{L}(W, W')$, $g_2(u) \in W'$, tels que
$$\langle A_0 w, m \rangle_{W'} \times W = a_0(w,m), \quad \langle g_2(u), m \rangle_{W'} \times W = - \int_{\Omega} (u.h) (h.m) \, dx, \forall w,m \in W.$$

Nous avons $A_0 u, g_2(u) \in L^2(0,T; W') \subset L^2(0,T; W_s')$, et ainsi, par (1.6) et le lemme 1.1 de [16], chap. 3, nous obtenons $u' \in L^2(0,T; W_s')$.

Finalement, nous avons

$$|b(v,u,m)| \le c |v|_4 |u|_4 ||m||_4, \quad \int_{\Omega} (u.h)^2 (u.m) \, dx \le c |u|_{18/5}^3 ||m||_5,$$
V m ∈ W, p.p. dans ]0,T[, et ainsi, puisque par le cor. 2.3,
v, u ∈ L⁸/³(0,T ; (L⁴(Ω))³), u ∈ L³(0,T ; (L¹⁸/⁵(Ω))³), nous obtenons
u' ∈ L¹(0,T ; W').

Corollaire 2.4 : *Soit {u,v} une solution du système (1.6), (1.17). Alors, on a*
*u ∈ C([0,T],W') , v ∈ C([0,T] ; V').*

Remarque 2.1 : Par application des résultats d'interpolation de [11], on peut aussi déduire qu'on a u ∈ C([0,T] ; (L²(Ω))ⁿ- faible) , v ∈ C([0,T] ; H- faible) (v ∈ C([0,T] ; H) pour N=2).

On peut démontrer, en raisonnant comme dans la démonstration du lemme 2.5,
qu'on a, pour N=2,

$$
u' \in (L^2(0,T; W) \cap L^4(0,T; (L^4(\Omega))^2))'.
$$

De plus, on peut alors vérifier qu'on a $\langle u', u \rangle_{W' \times W} \in L^1(0,T)$ et que
$\langle u', u \rangle_{W' \times W'} = \frac{d}{dt} |u|^2_2$ dans $\mathcal{D}'([0,T])$.

En particulier, ceci entraîne que $|u|^2_2 \in C([0,T])$.

Chapitre 2. RESULTATS GENERAUX.

1. Existence globale de solution faible et unicité pour N=2.

Le résultat suivant est contenu dans [1] et [2] :

Théorème 1.1 : Si N=2 ou si N=3 et u₀ vérifie (1.9), chap. 1, alors il existe une solution {u,v} du système (1.6), (1.7) chap. 1. Si N=2 cette solution est unique.

Démonstration : Nous commençons par démontrer l'existence pour N=3 (pour N=2 la démonstration est du même type, mais plus simple) :

Nous utilisons la méthode de Galerkin avec une base spéciale, comme dans la démonstration du théorème 6.1 de [10].

Puisque les injections $W_s \subset C([L^2(\Omega))^3, s \in \mathbb{R})^3$, $2[., V_3/2] \subset C(H)$ sont compactes,
nous pouvons prendre une base $\{m_n\}$ dans $(L^2(\Omega))^3$ et une base $\{w_n\}$ dans $H$ telles
que
$$((m_n, m))_S = \lambda_n(m_n, m), \quad \forall m \in W_S, \lambda_n > 0,$$

$$((w_n, w))^{3/2} = \lambda'_n(w_n, w), \quad \forall w \in V^{3/2}, \lambda'_n > 0,$$

où (( , )) est le produit scalaire dans $H^S(\Omega))^3$ et $\{\lambda_n\}, \{\lambda'_n\}$ sont les suites des valeurs propres correspondantes.

Maintenant, prenons $u_{on} \in [m_1, \dots, m_n]$ (sous-espace engendré par $m_1, \dots, m_n$) et $v_{on} \in [w_1, \dots, w_n]$ tels que

$$u_{on} \xrightarrow{n \to \infty} u_o \quad \text{dans } (L^2(\Omega))^3, \quad v_{on} \xrightarrow{n \to \infty} v_o \quad \text{dans } H.$$

Nous voulons trouver des fonctions $h_{pn}, g_{pn} : [0,T] \to \mathbb{R}$ telles que $h_{pn}, g_{pn} \in C^1$ et $u_n, v_n$ définis par

$$u_n(t) = \sum_{p=1}^{n} h_{pn}(t) m_p$$

$$v_n(t) = \sum_{p=1}^{n} g_{pn}(t) w_p$$

$$u_n(0) = u_{on}$$

$$v_n(0) = v_{on}$$

vérifient le système

$$(u'_n, m_p) + u a_o(u_n, m_p) + b(v_n, u_n, m_p) + \int_{\Omega} (u_n \cdot h)^2 (u_n \cdot m_p) \, dx - \int_{\Omega} (u_n \cdot h) (h \cdot m_p) \, dx = 0, \quad 1 \le p \le n, \quad (1.1)$$

$$\rho(v'_n, w_p) + a(u_o; v_n, w_p) + \rho b(v_n, v_n, w_p) + \\ + b_1(u_o, v_o; u_n - u_o, w_p) = 0, \quad 1 \le p \le n \quad (1.2)$$

Il est facile de voir, par application du théorème de Cauchag, qu'il existe une sous solution locale. Pour prouver qu'il existe une solution globale (i.e. dans $[0,T]$) nous déduisons à partir de (1.1), par linéarité,
$$ \frac{1}{2} \frac{d}{dt} |u_n|^2 + \mu |u_n|^2 + \int_{\Omega} (u_n \cdot h)^2 |u_n|^2 dx - \int_{\Omega} (u_n \cdot h)^2 dx = 0, $$

$$ \frac{\partial}{\partial t} |v_n|^2 + a(u_o; v_n, v_n) + b_1(u_o, v_o; u_n - u_o, v_o) = 0, $$

$$ \text{et alors, avec } \frac{1}{r} = \frac{1}{2} - \frac{1}{p} = \frac{p-2}{2p}, \ 3 < p < +\infty, \ v_o \in (W^1, P(\Omega))^3, $$

$$ \frac{1}{2} \frac{d}{dt} |u_n|^2 + \mu |u_n|^2 + \int_{\Omega} (u_n \cdot h)^2 |u_n|^2 dx \leq c |u_n|^2 \quad (1.3) $$

$$ \frac{\partial}{\partial t} |v_n|^2 + \alpha |v_n|^2 \leq c |u_n|^2_r \quad |v_n| + c |v_n|^2 \leq $$

$$ \leq \frac{\alpha}{2} |v_n|^2 + c |u_n|^2_r + c \leq \frac{\alpha}{2} |v_n|^2 + \frac{\mu}{2} |u_n|^2 + c |u_n|^2 + c, \quad (1.4) $$

par application de (2.6), chap. 1, à $|u_n|^2_r$.

A partir de (1.3), (1.4), nous obtenons, en intégrant sur $[0,t]$ et en appliquant l'inégalité de Gronwall,

$$ |u_n|^2 + |v_n|^2 \leq c. $$

Ainsi, la solution est globale. Nous obtenons, aussi à partir de (1.1), (1.2),

$\{u_n\}$ est bornée dans $L^2(0,T; W) \cap L^\infty(0,T;(L^2(\Omega))^3)$,

$\{(u_n \cdot h) u_n\}$ est bornée dans $L^2(0,T; (L^2(\Omega))^3)$,

$\{v_n\}$ est bornée dans $L^2(0,T; V) \cap L^\infty(0,T; H)$.

En outre, si l'on raisonne comme dans les démonstrations du théorème 6.1 de [10], chap. 1, et du lemme 2.5, chap. 1, de ce travail, on déduit aussi

$\{u'_n\}$ est bornée dans $L^2(0,T; W'_S)$,

$\{u'_n\}$ est bornée dans $L^2(0,T; V'^{3/2})$.

Nous concluons, comme dans la démonstration du résultat cité de [10], qu'il existe une sous-suite $\{u_n\}$ de $\{u_n\}$ et une sous-suite $\{v_n\}$ de $\{v_n\}$, telles que

$u_n \xrightarrow{n \to \infty} u$ dans $L^2(0,T; W)$- faible, $L^\infty(0,T; (L^2(\Omega))^3)$- faible*,
$$L^2(0,T; (L^2(\Omega))^3) \text{ et p.p. dans } Q = \Omega \times ]0,T[, \quad (1.5)$$

$$(u_n,h)' \xrightarrow[n \to \infty]{2} (u.h)^2 \quad \text{dans } L^2(Q) - \text{faible,} \quad (1.6)$$

$$u'_n \xrightarrow[n \to \infty]{n} u' \quad \text{dans } L^1(0,T; W_s') - \text{faible,} \quad (1.7)$$

$$v_n \xrightarrow[n \to \infty]{n} v \quad \text{dans } L^2(0,T; V) - \text{faible, } L^\infty(0,T; H) - \text{faible}^*$$

$$L^2(0,T; H) \text{ et p.p. dans } Q = \Omega \times ]0,T[ \quad (1.8)$$

$$\text{et} \quad v'_n \xrightarrow[n \to \infty]{3/2} v' \quad \text{dans } L^1(0,T; V') - \text{faible} \quad (1.9)$$

Donc, en particulier, on a $u_n(0) \xrightarrow[n \to \infty]{n} u(0)$ dans $W_s'$ - faible, $v_n(0) \xrightarrow[n \to \infty]{n} v(0)$ dans $V'^{3/2}$ - faible, et ainsi $u(0) = u_0$, $v(0) = v_0$.

On a aussi, par le théorème de Fatou,

$$\int_0^T \int_\Omega (u.h)^2 |u|^2 dx dt \le \liminf_{n \to \infty} \int_0^T \int_\Omega (u_n.h)^2 |u_n|^2 dx dt < + \infty$$

Finalement, nous obtenons, toujours avec la même technique, et en faisant $n \to \infty$ dans (1.1, et (1.2),

$$\langle u', m_p \rangle_{W_s' \times W_s} + \mu a_o(u, m_p) + b(v, u, m_p) + \int_{\Omega} (u.h)^2 (u.m_p) dx - \int_{\Omega} (u.h) (h.m_p) dx = 0, \quad 1 \le p < + \infty \quad (1.10)$$

$$\rho \langle v', w_p \rangle_{V'^{3/2} \times V'^{3/2}} + a(u_o; v, w_p) + \rho b(v, v, w_p) + b_1(u_o, v_o; u - u_o, w_p) = 0, \quad 1 \le p < + \infty, \quad (1.11)$$

et ainsi (1.10), (1.11) sont vérifiées, respectivement, pour tout $m \in W_s$ et tout $v \in V'^{3/2}$.
Raisonnant maintenant comme dans la démonstration du lemme 2.5, chap. 1, il est
aisé de voir que cela entraîne $u' \in L^1(0,T; W')$, $v' \in L^1(0,T; V')$, ce qui
achève la démonstration de l'existence d'une solution $\{u,v\}$ du système (1.6),
(1.7), chap. 1.

Nous allons maintenant démontrer l'unicité dans le cas où N = 2 :

D'après le lemme 2.5 et la remarque 2.1 du chap. 1, nous avons

$$
u' \in [L^2(0,T; W') + L^{4/2}(0,T; (L^{4/3}(\Omega))^2] \subset L^1(0,T; W'),
$$

pour toute solution {u,v} du système (1.6), (1.7), chap. 1, et, p.p. dans
]0,T[,

$$
\begin{align*}
& \langle u', m \rangle_{W'} \times W' + \mu \int_{\Omega} u_{i,k} m_{i,k} \, dx + \int_{\Omega} (u.h)^2 (u.m) \, dx - \\
& \quad - \int_{\Omega} (u.h) (h.m) \, dx + \int_{\Omega} v_k u_{i,k} m_i \, dx = 0, \forall m \in L^2(0,T; W) \cap L^4(0,T; (L^4(\Omega))^2), \\
& \rho \langle v', w \rangle_{V'} \times V' + \rho \int_{\Omega} v_k v_{i,k} w_i \, dx + a(u_o; v,w) + \\
& \quad + b_1(u_o, v_o; u - u_o, w) = 0, \forall w \in L^2(0,T; V).
\end{align*}
$$

Soient alors {u,v}, {ū,v̄} deux solutions du système (1.6), (1.7), chap. 1. Si
l'on pose m = u - ū et w = v - v̄ dans les équations ci-dessous, écrites, respec-
tivement, pour {u,v} et {ū,v̄}, on en déduit, par soustraction, en supposant
μ = ρ = α = 1,

$$
\begin{align*}
& \frac{1}{2} \frac{d}{dt} |u-\bar{u}|_2^2 + ||u-\bar{u}||^2 + b(v,u,u-\bar{u}) - b(\bar{v},\bar{u},u-\bar{u}) + \\
& \qquad + \int_{\Omega} (u.h)^2 (u.u-\bar{u}) \, dx - \int_{\Omega} (\bar{u}.h)^2 (\bar{u}.u-\bar{u}) \, dx - \int_{\Omega} (u-\bar{u}.h)^2 \, dx + \\
& \qquad + \frac{1}{2} \frac{d}{dt} |v-\bar{v}|_2^2 + ||v-\bar{v}||^2 + b(v,v,v-\bar{v}) - b(\bar{v},\bar{v},v-\bar{v}) + \\
& \qquad + b_1(u_o,v_o; u-\bar{u},v-\bar{v}) \le 0 \tag{1.12}
\end{align*}
$$
Nous avons aussi

$$
\begin{align*}
\theta_1 &= b(v,u,u-\bar{u}) - b(\bar{v},\bar{u},u-\bar{u}) = b(v,u-\bar{u},u-\bar{u}) + \\
&\quad + b(v,\bar{u},u-\bar{u}) - b(\bar{v},\bar{u},u-\bar{u}) = \\
&\quad = b(v-\bar{v},\bar{u},u-\bar{u}) = -b(v-\bar{v},u-\bar{u},\bar{u}),
\end{align*}
$$

et donc, par le lemme 2.3 du chap. 1 avec $q = 4$,

$$
\begin{align*}
|\theta_1| &\le c |v-\bar{v}|_4 |\bar{u}|_4 ||u-\bar{u}|| \le \\
&\le c |v-\bar{v}|_2^{1/2} ||v-\bar{v}||_2^{1/2} (|\bar{u}|_2^{1/2} + |u-\bar{u}|_2^{1/2} ||\bar{u}||) ||u-\bar{u}|| \le \\
&\le c |v-\bar{v}|_2^{1/2} ||v-\bar{v}||_2^{1/2} (1 + ||\bar{u}||) ||u-\bar{u}||,
\end{align*}
$$

où, dans la suite de cette démonstration, $c_1 > 0$ est une constante qui dépend aussi des normes de $u$ et $\bar{u}$ dans $L^\infty(0,T; (L^2(\Omega))^2)$. On en déduit

$$
\begin{align*}
|\theta_1| &\le c_1 |v-\bar{v}|_2 ||v-\bar{v}|| (1 + ||\bar{u}||) + \frac{1}{4} ||u-\bar{u}||^2 \le \\
&\le \frac{1}{4} ||u-\bar{u}||^2 + ||v-\bar{v}||^2 + c_1 (1 + ||\bar{u}||^2) |v-\bar{v}|_2^2 \tag{1.13}
\end{align*}
$$

Soit maintenant

$$
\begin{align*}
\theta_2 &= \int_{\Omega} (u.h)^2 (u.u-\bar{u}) \,dx - \int_{\Omega} (\bar{u}.h)^2 (\bar{u}.u-\bar{u}) \,dx = \\
&= \int_{\Omega} \left[ (u.h)^2 (u-\bar{u}.u-\bar{u}) + (u.h)^2 (\bar{u}.u-\bar{u}) - (\bar{u}.h)^2 (\bar{u}.u-\bar{u}) \right] \,dx = \\
&= \int_{\Omega} \left\{ (u.h)^2 |u-\bar{u}|^2 + (\bar{u}.u-\bar{u}) \left[ (u.h)^2 - (\bar{u}.h)^2 \right] \right\} \,dx = \\
&= \int_{\Omega} \left\{ (u.h)^2 |u-\bar{u}|^2 + (\bar{u}.u-\bar{u}) \left[ (u+\bar{u}.h) (\bar{u}-\bar{u}.h) \right] \right\} \,dx,
\end{align*}
$$

et donc

$$
\begin{align*}
|\theta_2| &\le c \int_{\Omega} (|u|^2 |u-\bar{u}|^2 + |\bar{u}| |u+\bar{u}| |u-\bar{u}|^2) \,dx \le \\
&\le c \int_{\Omega} (|\bar{u}|^2 + |u|^2) |u-\bar{u}|^2 \,dx \le c (|\bar{u}|_4^2 + |u|_4^2) |u-\bar{u}|_4^2 \le
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
&\le c \left( \left( |\bar{u}|_4^2 + |u|_4^2 \right) \left( |u-\bar{u}|_2^2 + |u-\bar{u}|_2^2 + |u-\bar{u}| \right) \right) \le \\
&\le c \left( |\bar{u}|_4^2 + |u|_4^2 \right) |u-\bar{u}|_2^2 + c \left( |\bar{u}|_4^2 + |u|_4^2 \right) |u-\bar{u}|_2^2 + |u-\bar{u}| \le \\
&\le \frac{1}{4} ||u-\bar{u}||^2 + c \left( |\bar{u}|_4^2 + |u|_4^2 + |\bar{u}|_4^4 + |u|_4^4 \right) |u-\bar{u}|_2^2 \tag{1.14}
\end{align*}
$$

$$
\text{Si l'on pose } \theta_3 = \int_{\Omega} (u-\bar{u}.h)^2 dx \text{ il vient}
$$
$$
|\theta_3| \le c |u-\bar{u}|_2^2 \qquad (1.15)
$$

Posons maintenant $\theta_4 = b(v,v,v-\bar{v}) - b(\bar{v},\bar{v},v-\bar{v})$. Il vient

$$
\theta_4 = b(v,v-\bar{v},v-\bar{v}) + b(v,\bar{v},v-\bar{v}) - b(\bar{v},\bar{v},v-\bar{v}) = b(v-\bar{v},\bar{v},v-\bar{v}),
$$
et donc

$$
\begin{align*}
|\theta_4| &\le c |v-\bar{v}|_4^2 \quad ||\bar{v}|| \le c |v-\bar{v}|_2 \quad ||v-\bar{v}|| \quad ||\bar{v}|| \\
&\le \frac{1}{4} ||v-\bar{v}||^2 + c ||\bar{v}||^2 \quad |v-\bar{v}|_2^2 \tag{1.16}
\end{align*}
$$

Finalement, soit $\theta_5 = b_1(u_o, v_o; u-\bar{u}, v-\bar{v})$. Nous avons, avec $r$ tel que
$$ \frac{1}{r} = \frac{1}{2} - \frac{1}{p}, \quad p > 2, \quad v_o \in (W^{1,p}(\Omega))^2, $$
et en appliquant le lemme 2.3, chap. 1, avec $q=p$,

$$
\begin{align*}
|\theta_5| &\le c |u-\bar{u}|_r |v-\bar{v}| \le \frac{1}{4} |v-\bar{v}|^2 + c |u-\bar{u}|_r^2 \le \\
&\le \frac{1}{4} |v-\bar{v}|^2 + \frac{1}{4} |u-\bar{u}|^2 + c |u-\bar{u}|_2^2 \tag{1.17}
\end{align*}
$$

Nous déduisons, à partir de (1.12), (1.13), (1.14), (1.15), (1.16) et (1.17),

$$
\begin{align*}
& \frac{1}{2} \frac{d}{dt} \left( |u-\bar{u}|_2^2 + |v-\bar{v}|_2^2 \right) + \frac{1}{4} \left( ||u-\bar{u}||_2^2 + ||v-\bar{v}||_2^2 \right) \le \\
& \le c \left( 1 + |\bar{u}|_4^2 + |u|_4^2 + |\bar{u}|_4^4 + |u|_4^4 \right) |u-\bar{u}|_2^2 + \\
& \phantom{\le c \left( 1 + |\bar{u}|_4^2 + |u|_4^2 + |\bar{u}|_4^4 + |u|_4^4 \right) } + \left[ c_1 (1 + ||\bar{u}||^2) + c ||v-\bar{v}||^2 \right] |v-\bar{v}|_2^2 \le \\
& \le g(t) \frac{1}{2} \left( |u-\bar{u}|_2^2 + |v-\bar{v}|_2^2 \right), \quad \text{où}
\end{align*}
$$
$$g(t) = 2 \left[ c \left( 1 + |\bar{u}|_4^2 + |u|_4^2 + |\bar{u}|_4^4 + |u|_4^4 + |\bar{v}|_4^2 \right) + c_1 (1 + |\bar{u}|_4^2) \right].$$

Par le corol. 2.2 du chap. 1, nous avons $g \in L^1(0,T)$ et, avec
$$\phi = \frac{1}{2} (|u-\bar{u}|_2^2 + |v-\bar{v}|_2^2) \in C([0,T]) \text{ (cf. remarque 2.1, chap. 1), on a}$$

$$\phi(t) \le \phi(0) + \int_0^T g(s) \phi(s) \, ds, \text{ p.p. dans } ]0,T[.$$

On en déduit, par l'inégalité de Gronwall,

$$\phi(t) \le \phi(0) \exp\left(\int_0^T g(s) \, ds\right), \forall t \in [0,T].$$

Mais, par hypothèse, $\phi(0) = 0$ et donc $\phi(t) = 0$, $t \in [0,T]$,
ce qui prouve l'unicité.

Ceci achève la démonstration du théorème 1.1.

## 2. Existence et unicité de solutions régulières.

On a le

**Théorème 2.1 (cf. [2]):** Supposons $N=2$, $h \in C^1([0,T] ; \mathbb{R}^2)$, $u_0 \in W_2$ et $v_0 \in V \cap (H^2(\Omega))^2$. Alors la solution (unique) $\{u,v\}$du système (1.6), (1.7), chap.1, vérifie $u \in C([0,T] ; W)$, $v \in C([0,T] ; V)$, $u' \in L^2(0,T ; W) \cap L^\infty(0,T ; (L^2(\Omega))^2)$, $v' \in L^2(0,T ; V) \cap L^\infty(0,T ; H)$.

**Démonstration :** Nous allons, par application de la méthode de Galerkin, démontrer l'existence d'une solution $\{u,v\}$ du système (1.6), (1.7), chap. 1, avec la régularité désirée.

Puisque $W$ et $\tilde{V} = V \cap (H^2(\Omega))^2$ sont des sous-espaces fermés de $(H^2(\Omega))^2$, nous pouvons choisir des bases $\{m_n\}$ dans $W_2$ et $\{w_n\}$ dans $\tilde{V}$ que nous pouvons supposer aussi.n. dans $(L^2(\Omega))^2$.

Prenons, maintenant, $u_{on} \in [m_1, \dots, m_n]$ et $v_{on} \in [w_1, \dots, w_n]$ tels que

$$u_{on} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} u_o \quad \text{dans } W_2, \qquad v_{on} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} v_o \quad \text{dans } \tilde{V}$$
Nous voulons trouver des fonctions h<sub>pn</sub>, g<sub>pn</sub> : [0,T] → IR telles que h<sub>pn</sub>,
g<sub>pn</sub> ∈ C<sup>1</sup> et u<sub>n</sub>, v<sub>n</sub> définis comme dans la démonstration du théorème 1.1
(première partie) vérifiant (1.1), (1.2). Puisque H<sup>2</sup>(Ω) C̄ L<sup>P</sup>(Ω), 2 < p < + ∞,
nous retrouvons (1.3), (1.4), ce qui entraîne l'existence globale. Puisque
h ∈ C<sup>1</sup>, nous avons aussi h<sub>pn</sub>, g<sub>pn</sub> ∈ C<sup>2</sup>. De plus, (1.3), (1.4) entrainent, encore
qu'on a

$$
\{u_n\} \text{ est borné dans } L^2(0,T; W) \cap L^\infty(0,T; (L^2(\Omega))^2),
$$

$$
\{v_n\} \text{ est borné dans } L^2(0,T; W) \cap L^\infty(0,T; H)
$$

Dérivons maintenant (1.1) par rapport à t. Nous obtenons, par linéarité,

$$
\begin{align*}
(u_n'', u_n') + \mu a_o(u_n', u_n') + b(v_n', u_n, u_n') + \\
& \int_{\Omega} \left[ 2(u_n \cdot h) (u_n' \cdot h) (u_n \cdot u_n') + 2(u_n \cdot h) (u_n \cdot h') (u_n \cdot u_n') \right. \\
& \qquad \left. + (u_n \cdot h)^2 (u_n' \cdot u_n') \right] dx - \int_{\Omega} \left[ (u_n' \cdot h) (h \cdot u_n') \right. \\
& \qquad \left. + (u_n \cdot h') (h \cdot u_n') + (u_n \cdot h) (h' \cdot u_n') \right] dx = 0,
\end{align*}
$$

$$
puisque b(v_n', u_n', u_n) = 0. \text{ On en déduit}
$$

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \frac{1}{2} \frac{d}{dt} |u_n'|_2^2 + \mu |||u_n'||^2 \le c \int_{\Omega} (|u_n|^2 + 1) |u_n'|^2 dx + \\
& \qquad + c \int_{\Omega} (|u_n|^3 + |u_n|) |u_n'| dx + |b(v_n', u_n, u_n')|
\end{aligned}
\tag{2.1}
\end{equation}
$$

Nous allons maintenant estimer les termes du second membre de (2.1). On obtient,
compte tenu du lemme 2.3, chap. 1 :

$$
\begin{align*}
& c \int_{\Omega} |u_n|^2 |u_n'|^2 \, dx \le c |u_n|^2_4 |u_n'|^2_4 \le c (|u_n|^2_2 + |||u_n||| |u_n|_2) (|u_n'|^2_2 + \\
& \phantom{c \int_{\Omega} |u_n|^2 |u_n'|^2 \, dx \le} + |||u_n'|||| |u_n'|) \le
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
& \le c (1 + |||u_n|||) (|u_n'|^2_2 + |||u_n||| |u_n'|_2) \le \\
& \le \varepsilon |||u_n'||^2 + c(\varepsilon) (1 + |||u_n|||^2) |u_n'|^2_2 \tag{2.2}
\end{align*}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\int_{\Omega} (|u_n|^3 + |u_n|) |u_n'| \, dx &\le |u_n|^3{}_6 |u_n'|{}_2 + |u_n|^3{}_2 |u_n'|{}_2 \\
&\le c (|u_n|^3{}_6 + 1) |u_n'|{}_2^2 + c (|u_n|^3{}_6 + 1)
\end{aligned}
\tag{2.3}
\end{equation}
$$

$$
\begin{align*}
|b(v'_n, u_n, u'_n)| &= |b(v'_n, u'_n, u_n)| \le c |v'_n|_4 |u'_n|_4 ||u'_n|| \\
&\le c ||v'_n||_2^{1/2} |v'_n|_2^{1/2} ||u'_n|| \left( |u_n|_2 + |u_n|_2^{1/2} ||u_n||^{1/2} \right) \\
&\le \varepsilon ||u'_n||^2 + c(\varepsilon) ||v'_n|| \left( |v'_n|_2 + \varepsilon ||u'_n||^2 + c(\varepsilon) ||v'_n|| \left( |v'_n|_2 ||u_n|| \right. \right. \\
&\qquad \left. \left. + 2\varepsilon ||v'_n||^2 + c(\varepsilon) (1 + ||u_n||^2) \right) |v'_n|_2^2 \right) \tag{2.4}
\end{align*}
$$

Nous déduisons à partir de (2.1), (2.2), (2.3) et (2.4), en choisissant
$\epsilon = \min \left( \frac{\mu}{6} , \frac{\alpha}{8} \right)$,

$$
\frac{1}{2} \frac{d}{dt} |u_n'|_2^2 + \frac{\mu}{2} |||u_n'||^2 - \frac{\alpha}{4} ||v_n'||^2 \le c \left( 1 + |||u_n|^2 \right) ||v_n'|_2^2 + \\
\qquad + c \left( 1 + |||u_n|^2 + |u_n|^3_6 \right) |u_n'|_2^2 + c \left( 1 + |u_n|^3_6 \right) \tag{2.5}
$$

Posons maintenant $t = 0$ dans (1.1). Nous obtenons, par linéarité,

$$
\begin{align*}
|u_n'(0)|^2 + \mu \int_{\Omega} (u_{on})_{i,k} (u_n'(0))_{i,k} \, dx &+ b(v_{on}, u_{on}, u_n'(0)) + \\
&+ \int_{\Omega} (u_{on} \cdot h(0))^2 (u_{on} \cdot u_n'(0)) \, dx - \int_{\Omega} (u_{on} \cdot h(0)) (h(0) \cdot u_n'(0)) \, dx = 0.
\end{align*}
$$

On en déduit, puisque $u_n'(0)$, $u_{on} \in W_2$, et par application du théorème de Sobolev,

$$
\begin{align*}
|u_n'(0)|_2^2 &\le c ||u_{on}||_W^2 |u_n'(0)|_2 + c |v_{on}|_4 |\nabla u_{on}|_4 |u_n'(0)|_2 + \\
&\quad + c |u_{on}|_6^3 |u_n'(0)|_2 + c |u_{on}|_2 |u_n'(0)|_2 \\
&\le c \left( |u_{on}|_W^2 + ||v_{on}|| |u_{on}|_W^2 + ||u_{on}||^3_2 + |u_{on}|_2^3 \right) |u_n'(0)|_2,
\end{align*}
$$

et ainsi

$$
|u_n'(0)|_2 \le c \tag{2.6}
$$

Dérivons maintenant (1.2) par rapport à t. Nous obtenons, par linéarité,

$$
\rho (v_n'', v_n') + a(u_o ; v_n', v_n') + \rho b(v_n' ; v_n, v_n') + b_1 (u_o, v_o ; u_n', v_n') = 0 ,
$$
puisque $b(v_n, v_n', v_n') = 0$. On en déduit
$$ \frac{\rho}{2} \frac{d}{dt} |v_n'|_2^2 + \alpha ||v_n||_2^2 \le \rho |b(v_n', v_n, v_n')| + |b_1(u_o, v_o; u_n', v_n')| \quad (2.7) $$

Nous avons aussi

$$ \begin{aligned} |b(v_n', v_n, v_n')| &= |b(v_n', v_n', v_n)| \le c |v_n'|_4 |v_n|_4 ||v_n'|_4 \le \\ &\le c |v_n'|_2^{1/2} ||v_n'|_4^{3/2} |v_n|_4 \le \varepsilon ||v_n'|_4^2 + c(\varepsilon) |v_n|_4^4 |v_n'|_2^2 \end{aligned} \quad (2.8) $$

Finalement, puisque $v_o \in (H^2(\Omega))^2$, $c \in (W^{1,4}(\Omega))^2$, nous avons, avec $\frac{1}{r} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$,

$$ \begin{aligned} |b_1(u_o, v_o; u_n', v_n')| &\le c |u_n'|_4 ||v_n'|_4 \le \varepsilon ||v_n'|_4^2 + c(\varepsilon) |u_n'|_4^2 \\ &\le \varepsilon ||v_n'|_4^2 + c(\varepsilon) \left( |u_n'|_2^2 + ||u_n'|_4 || |u_n'|_2 \right) \le \\ &\le \varepsilon ||v_n'|_4^2 + \varepsilon ||u_n'|_4^2 + c(\varepsilon) |u_n'|_2^2 \end{aligned} \quad (2.9) $$

Nous déduisons, à partir de (2.7), (2.8) et (2.9), avec $\varepsilon = \min(\frac{\mu}{4}, \frac{\alpha}{4})$,

$$ \frac{\rho}{2} \frac{d}{dt} |v_n'|_2^2 + \frac{\alpha}{2} ||v_n'|_4^2 \le c |v_n'|_4^4 |v_n'|_2^2 + c |u_n'|_2^2 \quad (2.10) $$

Posons maintenant $t = 0$ dans (1.2). Nous obtenons, par linéarité,

$$ \rho |v_n'( )|_2^2 + a(u_o ; v_{on}, v_n'( )) + \rho b(v_{on}, v_{on}, v_n'( )) + \\ + b_1(u_o, v_o ; u_{on} - u_o, v_n'( )) = 0 \quad (2.11) $$

D'autre part, on a, puisque $v_o \in (H^2(\Omega))^2$,

$$ \begin{aligned} |a(u_o ; v_{on}, v_n'( ))| &\le c |v_{on}|_{\tilde{V}} |v_n'( )|_2 + c |u_o|_{W_2} |v_{on}|_{\tilde{V}} |v_n'( )|_2, \\ |b(v_{on}, v_{on}, v_n'( ))| &\le c ||v_{on}||_2 |v_{on}|_{\tilde{V}} |v_n'( )|_2, \\ |b_1(u_o, v_o ; u_{on}, v_n'( ))| &\le c |u_o|_{W_2} |v_o|_{\tilde{V}} |u_{on}|_{W_2} |v_n'( )|_2 + \\ &\quad + c |v_o|_{\tilde{V}} |u_{on}|_{W_2} |v_n'( )|_2, \end{aligned} $$
$$|b_1(u_o, v_o; u_o v'(o))| \le |u_o|_W |v'_n(o)|_2 + |v_o|_V |v'_n(o)|_2,$$

et alors, par (2.11), on obtient

$$|v'_n(o)| \le c \qquad (2.12)$$

Maintenant on déduit, à partir de (2.5) et (2.10),

$$\begin{aligned} \frac{d}{dt} (|u'_n|^2_2 + |v'_n|^2_2) + (||u'_n||^2 + ||v'_n||^2) &\le \\ &\le \phi_n(t) (|u'_n|^2_2 + |v'_n|^2_2) + \Psi_n(t), \end{aligned} \qquad (2.13)$$

$$où \phi_n(t) = c (1 + ||u_n||^2 + |u_n|^3_6 + |v_n|^4_4), \quad \Psi_n(t) = c (1 + |u_p|^3_6).$$

Par le coro. 2.2 du chap.1, nous pouvons conclure que les suites {$\phi_n$} et {$\Psi_n$} sont bornées dans $L^1(0,T)$.

Intégrons (2.13) et utilisons (2.6) et (2.12). On en déduit

$$\begin{aligned} & (|u'_n|^2_2 + |v'_n|^2_2) (t) + \int_0^T (||u'_n||^2 + ||v'_n||^2) (s) ds \le \\ & \le c + \int_0^T \phi_n(s) (|u'_n|^2_2 + |v'_n|^2_2) (s) ds. \end{aligned}$$

Nous concluons, par l'inégalité de Gronwall, qu'on a

$\{u'_n\}$ est borné dans $L^\infty(0,T; (L^2(\Omega))^2) \cap L^2(0,T; W)$,

$\{v'_n\}$ est borné dans $L^\infty(0,T; H) \cap L^2(0,T; V)$.

Soient alors des sous-suites {$u_n$} et {$v_n$} respectivement, de {$u_n$} et {$v_n$} telles que

$u_n \xrightarrow{n \to \infty} u \in L^2(0,T; W) \cap L^\infty(0,T; (L^2(\Omega))^2)$ et $u'_n \xrightarrow{n \to \infty} u'_n \in L^2(0,T; W) \cap L^\infty(0,T; (L^2(\Omega))^2)$,

dans $L^2(0,T; W)$- faible et dans $L^\infty(0,T; (L^2(\Omega))^2)$- faible * ,

$v_n \xrightarrow{n \to \infty} v \in L^2(0,T; V) \cap L^\infty(0,T; H)$ et $v'_n \xrightarrow{n \to \infty} v' \in L^2(0,T; V) \cap L^\infty(0,T; H)$,

dans $L^2(0,T; V)$- faible et dans $L^\infty(0,T; H)$- faible * .
Comme dans la démonstration du théorème 1.1 (première partie) ou aussi en
raisonnant comme dans la démonstration du théorème 1.2 de [2] , on arrive à

$$
\begin{align*}
(u', m_p) + \mu a_o(u,m_p) + b(v,u,m_p) + \int_{\Omega} (u.h)^2 (u.m_p) \, dx - \\
- \int_{\Omega} (u.h) (h.m_p) \, dx &= 0, 1 \le p < \infty,
\end{align*}
$$

$$
\rho(v', w_p) + a(u_o; v, w_p) + \rho b(v, v, w_p) + \\
\qquad + b_1(u_o, v_o; u-u_o, w_p) = 0, \quad 1 \le p < \infty,
$$

ce qui entraîne que {u,v} est une solution du système (1.6), (1.7), chap. 1,
ce qui achève la démonstration.

Théorème 2.2 (cf. [1] : Supposons N=3, h ∈ C¹([0,T] ; IR³), u₀ ∈ W₂ vérifiant (1.9), chap. 1, et v₀ ∈ V ∩ (H²(Ω))³. Alors, il existe T₁ ∈ ]0,T] tel que, dans 1'intervalle ]0,T] [le système (1.6), (1.7), chap. 1, a une unique solution {u,v} vérifiant u ∈ C([0,T]; W), v ∈ C([0,T]; V), u' ∈ L²(0,T₁; W) ∩ L∞(0,T₁; (L²(Ω))³), v' ∈ L²(0,T₁; V) ∩ L∞(0,T₁; H).

**Démonstration** : La preuve de l'unicité est similaire à celle du théorème 1.1 (deuxième partie). Il suffit d'appliquer convenablement le lemme 2.4 du chap. 1, à la place du lemme 2.3 du même chapitre.

Nous allons établir maintenant l'existence d'une solution locale régulière du système (1.6), (1.7), chap. 1, au sens de l'énoncé du théorème 2.2.

Nous suivons la démarche de la démonstration du théorème 2.1 mais nous prenons
des bases de $W_2$ et de $\tilde{V} = V \cap (H^2(\Omega))^3$, respectivement $\{m_n\}$ et $\{w_n\}$,
telles qu'on puisse choisir

$$
u_{on} \underset{n \to \infty}{\to} u_0 \quad \text{dans} \quad W_2, \quad v_{on} \underset{n \to \infty}{\to} v_0 \quad \text{dans} \quad \tilde{V},
$$

vérifiant

$$
|u_{on}|_{W_2} \le |u_o|_{W_2}, \quad |v_{on}|_{\tilde{V}} \le |v_o|_{\tilde{V}} \qquad (2.14)
$$

Nous voulons trouver des fonctions h<sub>pn</sub> , g<sub>pn</sub> : [0,T] → IR de classe C¹ et u<sub>n</sub>, v<sub>n</sub> définis comme dans la démonstration du théorème 1.1 (première partie) vérifiant (1.1), (1.2).
Puisque $H^2(\Omega) \subsetneq L^6(\Omega)$, nous retrouvons (1.3), (1.4), ce qui entraîne l'existence globale. Puisque $h \in C^1$, nous avons aussi $h_{pn}, g_{pn} \in C^2$. De plus, (1.3), (1.4) entraînent encore qu'on a

$$ \{u_n\} \text{ est bornée dans } L^2(0,T; W) \cap L^\infty(0,T; (L^2(\Omega))^3), $$

$$ \{(u_n.h) u_n\} \text{ est bornée dans } L^2(0,T; (L^2(\Omega))^3), $$

$$ \{v_n\} \text{ est bornée dans } L^2(0,T; V) \cap L^\infty(0,T; H). $$

En dérivant (1.1) par rapport à t nous obtenons (2.1).

Nous allons maintenant estimer les termes du second membre de (2.1). On obtient, compte tenu du lemme 2.4, chap. 1 :

$$ \begin{align*} c \int_{\Omega} |u_n|^2 |u'_n|^2 dx &\le c_1 |u_n|^2 |u'_n|^2 \le \\ &\le c_7 (|u_n|^2 + ||u_n||^{3/2} |u_n|^{{1}/{2}}) (|u'_n|^2 + ||u'_n||^{3/2} |u'_n|^{{1}/{2}}) \le \\ &\le c_8 (1 + ||u_n||^{3/2}) + (|u'_n|^2 + ||u'_n||^{3/2} |u'_n|^{{1}/{2}}) \le \\ &\le c_8 (1 + ||u_n||^{3/2}) |u'_n|^2 + \varepsilon ||u_n||^{4/3} ||u'_n||^2 + c_9 (\varepsilon) ||u_n||^2 |u'_n|^2 + \\ &\phantom{\le c_8 (1 + ||u_n||^{3/2}) |u'_n|^2 +} + \varepsilon ||u'_n||^2 + c_{10} (\varepsilon) |u'_n|^2 \le \end{align*} $$
$$ \le c_{11} (\varepsilon) (1 + ||u_n||^2) |u'_n|^2 + \varepsilon (1 + ||u_n||^{4/3}) ||u'_n||^2 \quad (2.15) $$

D'autre part, on a, puisque $W \subsetneq (L^6(\Omega))^3$,

$$ \begin{align*} \int_{\Omega} |u_n|^3 |u'_n| dx &\le c_{12} |u_n|^3 |u'_n|^2 \le \frac{1}{2} c_{12} ( |u_n|^4_6 + |u_n|^2_6 |u'_n|^2_2 ) \le \\ &\le c_{13} ( ||u_n||^4 + ||u_n||^2 |u'_n|^2_2 ) \tag{2.16} \end{align*} $$

Mais, de (1.3), on déduit

$$ \begin{align} (u'_n, u_n) + \mu ||u_n||^2 &\le c_{14} |u_n|^2_2, \nonumber \\ ||u_n||^2 &\le c_{15} (1 + |u'_n|^2_2), \tag{2.17} \end{align} $$
et donc on a, par (2.16), (2.17),

$$ \int_{\Omega} |u_n|^3 |u'_n| dx \le c_{16} [1 + (1 + ||u_n||^2) |u'_n|^2] \quad (2.18) $$

Donc, on peut écrire, par (2.15), (2.18),

$$ \begin{aligned} & c \int_{\Omega} (|u_n|^2 + 1) |u'_n|^2 dx + c \int_{\Omega} (|u_n|^3 + |u_n|) |u'_n| dx \le \\ & \le c_{17} + c_{18}(\varepsilon) (1 + ||u_n||^2) |u'_n|^2_2 + \varepsilon (1 + ||u_n||^{4/3}) ||u'_n||^2 \end{aligned} \quad (2.19) $$

De plus, on a

$$ \begin{aligned} |b(v'_n, u_n, u'_n)| &\le c_{19} ||u_n|| |v'_n|_4 |u'_n|_4 \le \frac{1}{2} c_{19} ||u_n|| (|v'_n|^2_4 + |u'_n|^2_4) \\ &\le c_{20}(\varepsilon) ||u_n|| (|v'_n|^2_2 + |u'_n|^2) + \varepsilon ||u_n|| (||v'_n||^2 + ||u'_n||^2) \end{aligned} \quad (2.20) $$

En dérivant (1.2) par rapport à t nous obtenons (2.7). On établit alors les estimations suivantes :

$$ \rho |b(v'_n, v_n, v'_n)| \le c_{21}(\varepsilon) ||v_n|| |v'_n|^2_2 + \varepsilon ||v_n|| ||v'_n|^2 \quad (2.21) $$

$$ \begin{aligned} |b_1(u_o, v_o; u'_n, v'_n)| &\le c_{22} |u'_n|_3 ||v'_n|| \le c_{23}(\varepsilon) |u'_n|^2_3 + \varepsilon ||v'_n||^2 \\ &\le c_{24}(\varepsilon) (|u'_n|^2_2 + ||u'_n|| |u'_n|_2) + \varepsilon ||v'_n||^2 \\ &\le c_{25}(\varepsilon) |u'_n|^2_2 + \varepsilon ||u'_n||^2 + \varepsilon ||v'_n||^2 \end{aligned} \quad (2.22) $$

On déduit de (2.1), (2.7), (2.19), (2.20), (2.21) et (2.22),

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{2} \frac{d}{dt} |u'_n|^2_2 + \frac{\rho}{2} \frac{d}{dt} |v'_n|^2_2 + (\mu - 2\varepsilon - \varepsilon ||u_n||^3 - \varepsilon ||u_n||) ||u'_n||^2 + \\ & + (\alpha - \varepsilon - \varepsilon ||u_n|| - \varepsilon ||v_n||) ||v'_n||^2 + \int_{\Omega} (u_n \cdot h)^2 |u'_n|^2 \\ & \le c_{17} + (c_{18}(\varepsilon) + c_{25}(\varepsilon) + c_{20}(\varepsilon) ||u_n|| + c_{18}(\varepsilon) ||u_n||^2) |u'_n|^2_2 \\ & + (c_{20}(\varepsilon) ||u_n|| + c_{21}(\varepsilon) ||v_n||) |v'_n|^2_2, \end{aligned} $$
$$
\begin{align*}
& \frac{1}{2} \frac{d}{dt} |u'_n|^2_2 + \frac{\rho}{2} \frac{d}{dt} |v'_n|^2_2 + \left[ \min(\mu, \alpha) - 2\epsilon - \epsilon \frac{|u'_n|^4}{|||u'_n|||} - \epsilon \frac{|u_n|^4}{|||u_n|||} - \right. \\
& \qquad \left. - \epsilon \frac{|v'_n|^4}{|||v'_n|||} \right] (|u'_n|^2 + |v'_n|^2) + \int_{\Omega} (u_n \cdot h)^2 |u'_n|^2 dx \le \\
& \le c_{17} + c_{22} (\epsilon) (1 + |u_n|^2 + |v_n|^2) |u'_n|^2_2 + \\
& \qquad + c_{23} (\epsilon) (|u_n|^2 + |v_n|^2) |v'_n|^2_2 \tag{2.23}
\end{align*}
$$

Soient maintenant $\theta > 0$, $K > 0$, et $\epsilon > 0$, tels que

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\min(\mu, \alpha) - 2\epsilon - \epsilon \left( |u_o|^2_{W_2} + K \right)^{4/3} - \epsilon \left( |u_o|^2_{W_2} + K \right) - & \\
& - \epsilon \left( |v_o|^2_{\tilde{V}} + K \right) \ge \frac{1}{2} \theta
\end{aligned}
\tag{2.24}
\end{equation}
$$

et soit $T_1(n)$ la plus grande valeur de $t \in ]0,T]$ telle que

$$
\|u_n(t)\| \le |u_o|^2_{W_2} + K, \quad \|v_n(t)\| \le |v_o|^2_{\tilde{V}} + K, \quad \forall t \in [0, T_1(n)] \tag{2.25}
$$

Nous déduisons de (2.23), (2.24) et (2.25), pour $t \in [0, T_1(n)]$,

$$
\begin{align*}
& \frac{d}{dt} |u'_n|^2_2 + \rho \frac{d}{dt} |v'_n|^2_2 + \theta (|u'_n|^2 + |v'_n|^2) + \int_{\Omega} (u_n \cdot h)^2 |u'_n|^2 dx \le \\
& \le c_{24} + c_{25} |u'_n|^2_2 + c_{26} |v'_n|^2_2 \tag{2.26}
\end{align*}
$$

De plus, il est facile de prouver, comme dans la démonstration du théorème
2.1, qu'on a

$$
\max \left( |u_n'(0)|_2, |v_n'(0)|_2 \right) \le c_{27} \quad (2.27)
$$

(remarquons qu'on a, par exemple,

$$
\begin{align*}
& |b_1(u_o, v_o; u_{on} - u_o, v'_n(0))| \le |b_1(u_o, v_o; u_{on}, v'_n(0))| + |b_1(u_o, v_o; u_o, v'_n(0))| \le \\
& \le c_{28} \left( |u_o|^2_{W_2} |v_o|^2_{\tilde{V}} |u_{on}|^2_{W_2} + |v_o|^2_{\tilde{V}} |u_{on}|^2_{W_2} \right) |v_{on}(0)|_2^2 \\
& \quad + c_{29} \left( |u_o|^2_{W_2} |v_o|^2_{\tilde{V}} + |v_o|^2_{\tilde{V}} |v'_n(0)|_2^2 \right).
\end{align*}
$$
Ainsi, on déduit de (2.26), (2.27),

$$ \max_{t \in [0, T_1(n)]} \left( |u_n'(t)|_2, |v_n'(t)|_2 \right) \le c_{30}, $$

$$ \max \left( \int_0^{T_1(n)} \left( \left| \|u_n'\| \right|^2 dt, \int_0^{T_1(n)} \left| \|v_n'\| \right|^2 dt \right) \le c_{31}, \right. $$

où, comme habituellement, $c_{30}$ et $c_{31}$ ne dépendent pas de n.

D'autre part, on a, compte tenu de (2.14),

$$ \begin{aligned} \left|\|u_n(t)\|\right| &\le \left|\|u_n(0)\|\right| + \int_0^t \left|\|u_n'\|\right| d\tau \le |u_{on}|_W + t^{1/2} \left( \int_0^t \left|\|u_n'\|\right|^2 d\tau \right)^{1/2} \le \\ &\le |u_o|_W + (T_1(n) c_{31})^{1/2}, \quad \forall t \in [0, T_1(n)], \end{aligned} $$

$$ \left|\|v_n(t)\|\right| \le |v_o|_V + (T_1(n) c_{31})^{1/2}, \quad \forall t \in [0, T_1(n)], $$

et ainsi, par la définition de $T_1(n)$, on déduit

$$ (T_1(n) c_{31})^{1/2} \ge K. $$

Donc, on a $T_1 = \inf_{n} T_1(n) \ge K^2 / c_{31} > 0$, et, par (2.26), nous obtenons alors que

$\{u_n'\}$ est bornée dans $L^\infty(0, T_1; (L^2(\Omega))^3) \cap L^2(0, T_1; W)$,

$\{v_n'\}$ est bornée dans $L^\infty(0, T_1; H) \cap L^2(0, T_1; V)$.

Maintenant, la démonstration du théorème 2.2 peut se compléter comme la démonstration du théorème 2.1.

### 3. Estimations dans $L^\infty$ pour les solutions régulières.

Nous voulons démontrer le résultat suivant :

**Théorème 3.1 (cf. [1]):** Sous les hypothèses des théorèmes 2.1 et 2.2 soit $\{u,v\}$ une solution du système (1.6), (1.7), chap. 1, telle que $u \in C([0,T];W)$,
$v \in C([0,T]; V)$, $u' \in L^2(0,T; L^2(\Omega))^N$, $v' \in L^2(0,T; H)$. Alors, on a $u(t) \in W_2^*$, p.p. dans $]0,T[ \text{ et } |u(t)|_\infty \le 1$.

**Démonstration :** Nous avons, p.p. dans $]0,T[$, puisque $H^1(\Omega) \subsetneq L^6(\Omega)$, $u' - (u.h)^2 u - (u.h) h \in (L^2(\Omega))^N$, $v_k u_{,k} \in (L^{3/2}(\Omega))^N$.

De plus, on a

$$ \mu \int_{\Omega} u_{i,k} m_{i,k} \, dx = - \int_{\Omega} u'.m \, dx - \int_{\Omega} (u.h)^2 (u.m) \, dx + \int_{\Omega} (u.h) (h.m) \, dx - \int_{\Omega} v_k u_{i,k} m_{i,k} \, dx, \forall m \in W \quad (3.1) $$

Nous pouvons alors conclure, par la prop. 2.1 du chap. 1, qu'on a (p.p. dans $]0,T[ \text{ et } |u|_{W^{2,3/2}(\Omega)} \le 1$) $v_k u_{,k} \in (L^2(\Omega))^N$.

Donc, on a $v_k u_{,k} \in L^2(\Omega)^N$ et ainsi, par la même proposition, nous obtenons, p.p. dans $]0,T[$,

$u(t) \in W_2$, $u' - \mu \Delta u + (u.h)^2 u - (u.h) h + v_k u_{,k} = 0$ p.p. dans $\Omega$.

Maintenant, pour $t \in ]0,T[$ tel que $u(t) \in W_2 \subset (C(\bar{\Omega}))^N$, posons

$$ m = |u|^{2P} u, \quad p = 0,1,2,\dots $$

Nous déduisons, à partir de (3.1), puisqu'on a

$$ \int_{\Omega} v_k u_{i,k} m_{i,k} \, dx = \int_{\Omega} v_k \frac{1}{2(p+1)} |u|_{,k}^{2(p+1)} \, dx = - \int_{\Omega} v_{k,k} \frac{1}{2(p+1)} |u|^{2(p+1)} \, dx = 0, $$
et $$ \int_{\Omega} u_{i,k} m_{i,k} \, dx \ge 0: $$

$$ \frac{1}{2(p+1)} \frac{d}{dt} |u|_{2(p+1)}^{2(p+1)} + \int_{\Omega} (u.h)^2 |u|^{2(p+1)} \, dx \le \int_{\Omega} (u.h)^2 |u|^{2P} \, dx, $$

$$ \int_0^T \int_{\Omega} (u.h)^2 |u|^{2(p+1)} \, dx \, dt \le \frac{1}{2(p+1)} |u_0|_{2(p+1)}^{2(p+1)} + \int_0^T \int_{\Omega} (u.h)^2 |u|^{2P} \, dx \, dt \le $$
$$ \leq \frac{|\Omega|}{2(p+1)} + \int_{0}^{\tau} \int_{\Omega} (u.h)^2 |u|^{2P} dx dt \leq $$

$$ \leq |\Omega| \left[ \frac{1}{2(p+1)} + \frac{1}{2p} + \dots + \frac{1}{2} \right] + \int_{0}^{\tau} \int_{\Omega} (u.h)^2 dx dt, $$

où $\tau \in ]0,T]$ et $|\Omega|$ est la mesure de $\Omega$.

Soit maintenant

$$ A_{k,\tau} = \{ (x,t) \in \Omega \times ]0,\tau[ \mid |u(x,t)| \geq k \}, k > 1. $$

On en déduit

$$ \int_{A_{k,\tau}} (u.h)^2 dx dt \leq |\Omega| k^{-2} (p+1) \left[ \frac{1}{2(p+1)} + \frac{1}{2p} + \dots + \frac{1}{2} \right] + \\ + k^{-2} (p+1) \int_{0}^{\tau} \int_{\Omega} (u.h)^2 dx dt \underset{p \to +\infty}{\longrightarrow} 0. $$

Nous concluons que

$$ u.h = 0 \text{ p.p. dans } A_{\tau} = \{ (x,t) \in \Omega \times ]0,\tau[ \mid |u(x,t)| > 1 \}, $$

et ainsi

$$ u' - \mu \Delta u + v_k u, = 0 \text{ p.p. dans } A_{\tau}. $$

Posons $\varphi = |u|^2$. Nous avons

$$ \varphi(t) \in H^2(\Omega), \text{ p.p. dans } ]0,T[, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial v} = 2 \text{ u. } \frac{\partial u}{\partial v} = 0 \text{ sur } \Gamma, $$

$$ \varphi' - \mu \Delta \varphi + v_k \varphi, = 2 \text{ u. } (u' - \mu \Delta u + v_k u, -) \\ - 2 \mu \sum_i |\nabla u_i|^2 \le 0 \text{ p.p. dans } A_{\tau}. $$

On en déduit, avec $\varphi_1 = \varphi - \min\{\varphi, 1\}$,

$$ \int_0^\tau \int_\Omega (\varphi' - \mu \Delta \varphi + v_k \varphi, ) \varphi_1 dx dt = \int_{A_\tau} (\varphi' - \mu \Delta \varphi + v_k \varphi, ) \varphi_1 dx dt \le 0 \quad (3.2) $$
De plus, puisque $|u_o|_\infty \le 1$, $\frac{\partial \varphi}{\partial \nu} = 0$ sur $\Gamma$, $v_{k,k} = 0$ dans $\Omega$, on a

$$ \int_{0}^{\tau} \int_{\Omega} \varphi'_{1} \varphi_{1} \, dx \, dt = \int_{0}^{\tau} \int_{\Omega} \varphi'_{1} \varphi_{1} \, dx \, dt = \frac{1}{2} |\varphi_{1}(\tau)|_{2}^{2}, $$

$$ - \int_{0}^{\tau} \int_{\Omega} \Delta \varphi \varphi_{1} \, dx \, dt = \int_{0}^{\tau} \int_{\Omega} \nabla \varphi \nabla \varphi_{1} \, dx \, dt = \int_{0}^{\tau} \int_{\Omega} |\nabla \varphi_{1}|^{2} \, dx \, dt \ge 0, $$

$$ \int_{0}^{\tau} \int_{\Omega} v_{k} \Delta_{k} \varphi_{1} \, dx \, dt = \int_{0}^{\tau} \int_{\Omega} v_{k} \frac{1}{2} (\Delta_{k} \varphi_{1})^{2} \, dx \, dt = $$

$$ = - \int_{0}^{\tau} \int_{\Omega} v_{k,k} \frac{1}{2} \varphi_{1}^{2} \, dx \, dt = 0, $$

et ainsi, par (3.2), nous obtenons $|\varphi_1(\tau)|_2^2 \le 0$.

Donc, $|u(x,\tau)| \le 1 \text{ p.p. dans } \Omega$, ce qui achève la démonstration du théorème 3.1.

# Chapitre 3. LE CAS PARTICULIER OU $v \equiv 0$.

## 1. Théorème d'existence et unicité de solution globale forte.

Notre but est de démontrer le résultat suivant :

**Théorème 1.1 (cf. [4]):** Soit $h \in C^1([0,T]; \mathbb{R}^N)$, $u_0 \in W_2$.

Alors, il existe une unique fonction $u$ telle que

$$ u \in C([0,T]; W_2) \cap C^1([0,T]; (L^2(\Omega))^N), \quad (1.1) $$

$$ u' - \mu \Delta u + (u.h)^2 u - (u.h) h = 0 \text{ dans } \Omega, \quad \forall t \in [0,T], \quad (1.2) $$

$$ u(0) = u_0 \quad (1.3) $$

Le théorème 1.1 est une conséquence des deux propositions suivantes :

**Proposition 1.1 :** Sous les hypothèses du théorème 1.1, si $u$ vérifie (1.1),
(1.2), (1.3), alors on a

$$
|u(t)|_{W_2} + |u'(t)|_2 \le c(t), \forall t \in [0,T], \text{ avec } c \in C([0,T]; \mathbb{R}_+) \quad (1.4)
$$

Démonstration : Par le théorème 3.1 du chap. 2, nous avons

$$
|u(t)|_{\infty} \le 1, \quad \forall t \in [0,T] \tag{1.5}
$$

Posons $f = - (u.h)^2 u + (u.h) u$. On a $f \in C^1([0,T] ; (L^2(\Omega))^N)$ et

$$
|f'(t)|_2 \le c(t) (1 + |u'(t)|_2^2), \quad \forall t \in [0,T], \quad (1.6)
$$

compte tenu de (1.5).

Maintenant, soit $A \in \mathcal{L}^2(W, W')$ défini par

$$
\langle A v, w \rangle_{W' \times W} = \mu a_o(v,w), \quad \forall v,w \in W, \quad (1.7)
$$

et soit $v \in L^2(0,T; W)$, tel que $v' \in L^2(0,T; W')$; la solution de

$$
v' + A v = f' , \quad v(0) = u'(0) .
$$

Il est facile de voir qu'on a $v = u'$ et donc

$$
u' \in L^2(0,T; W), \quad u'' \in L^2(0,T; W'), \quad u'' + Au' = f' \quad (1.8)
$$

Nous déduisons de (1.8)

$$
\langle u'', u' \rangle_{W' \times W} + \langle A u', u' \rangle_{W' \times W} = \int_{\Omega} f'. u' \, dx, \text{ p.p. dan } ]0,T[,
$$
et donc, par (1.6),

$$
\frac{1}{2} \frac{d}{dt} |u'(t)|_2^2 \le |f'(t)|_2^2 |u'(t)|_2 \le c(t) (1 + |u'(t)|_2^4).
$$

Ceci entraîne, par l'inégalité de Gronwall et puisque $u'(0) = \mu \Delta u(0) + f(0)$,

$$
|u'(t)|_2 \le c(t), \forall t \in [0,T], \quad (1.9)
$$
avec $c \in C([0,T] ; \mathbb{R}_+)$ et donc

$$|\mu \Delta u(t)|_2 \le |u'(t)|_2 + |f(t)|_2 \le c(t).$$

Mais, d'autre part, nous avons (cf.[14]),

$$|v|_{W_2} \le c |\Delta v|_2, \forall v \in W_2,$$

et ainsi

$$|u(t)|_{W_2} \le c(t), \forall t \in [0,T], \text{ avec } c \in C([0,T] ; \mathbb{R}_+)$$

**Proposition 1.2** : Sous les hypothèses du théorème 1.1 nous pouvons choisir $T' \in ]0,T]$ tel qu'il existe une unique fonction $u$ vérifiant (1.1), (1.2), (1.3) avec $T$ remplacé par $T'$.

**Démonstration** : D'après le coro. 2.1 et la propo. 2.1 du chap. 1., nous pouvons considérer le semi-groupe de contractions $S(t)$ engendré dans $(L^2(\Omega))^N$ par l'opérateur $\mu \Delta$ avec domaine $W_2$. Supposons $h \in C^1([0, +\infty] ; \mathbb{R})^N$ et soit alors

$$K : W_2 \times [0, +\infty] \to (L^2(\Omega))^N \text{ l'opérateur défini par}$$

$$K(v,t) = -(v.h(t))^2 v + (v.h(t)) h(t).$$

Puisqu'on a $W_2 \subset (L^\infty(\Omega))^N$, il est aisé de voir que la fonction

$$K_2 : W_2 \times (W_2, \text{avec la norme } L^2) \times [0, +\infty] \to (L^2(\Omega))^N,$$

définie par

$$K_1(v,w,t) = \frac{\partial K(v,t)}{\partial t} + \left[ \frac{\partial K(v,t)}{\partial v} \right] (w) = -2(v.h(t))(v.h'(t))v + \\ + (v.h'(t))h(t) + (v.h(t))h'(t) - \\ - 2(v.h(t))(w.h(t))v - (v.h(t))^2 w + (w.h(t))h(t), \\ \text{est localement lipschitzienne en } v \text{ et } w, \text{ uniformément sur les compacts de } [0, +\infty[.$$

La proposition 1.2 est maintenant une conséquence facile du théorème 2 de [15].

**Remarque 1.1** : L'étude du comportement à l'infini pour la solution $u$ du problème (1.1), (1.2), (1.3) est abordé dans [4] et [5].
REFERENCES.

[1] D. Cioranescu et J.P. Dias, A time dependent coupled system related to the tridimensional equations of a nematic liquid crystal, J. of Math. Anal. and Appli., à paraître.

[2] J.P. Dias, A simplified variational model for the bidimensional coupled evolution equations of a nematic liquid crystal, J. of Math. Anal. and Appli. 67 (1979), 525-541

[3] J.P. Dias, Un problème aux limites pour un système d'équations non linéaires tridimensionnel, Boll. Unio. Math. Ital. 16- B (1979), à paraître.

[4] J.P. Dias, On the existence of a strong solution for a non linear evolution system, J. of Nonlinear Analysis, à paraître.

[5] J.P. Dias et A. Haraux, Smoothing effect and asymptotic behavior for the solutions of a non linear time dependent system, à paraître.

[6] O.A. Ladyzhenskaya, "The mathematical theory of viscous incompressible flow" Gordon and Breach, New-York, 1963.

[7] O.A. Ladyzhenskaya et N.N. Unal'ceva, "Equations aux dérivées partielles de type elliptique", Dunod, Paris, 1968.

[8] J. Leray, Etude de diverses équations intégrales non linéaires et de quelques problèmes que pose l'hydrodynamique, J. de Math. Pures et Appliquées. 12 (1933), 1-82.

[9] F.M. Leslie, Some constitutive equations for liquid crystals, Arch. Rat. Mech. Anal. 28 (1968), 265-283.

[10] J.L Lions, "Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires", Dunod et Gauthier-Villars, Paris, 1969.

[11] J.L. Lions et E. Magenes, "Problèmes aux limites non homogènes et applications", vol. 1, Dunod, Paris, 1968.
[12] A.F. Martins, Contribution à l'étude de la dynamique moléculaire dans les phases nématique et isotrope des cristaux liquides, Portugaliae Phys. 8, (1972), 1-166.

[13] J. Peetre, Espaces d'interpolation et théorème de Sobolev, Ann. Inst. Fourier 16 (1966), 279-317.

[14] M. Schoenauer, Quelques résultats de régularité pour la solution d'un système elliptique avec des conditions aux limites couplées, à paraître.

[15] I. Segal, Non linear semi-groups, Annals of Math. 78 (1963), 339-364.

[16] R. Temam, "Navier-Stokes equations", North-Holland, Amsterdam, 1977.