# Plėtiniai ir diferencialiniai invariantai erdvėje $Y_n$

Algimantas Pranaš URBONAS (VPU)
el. paštas: urbonas@vpu.lt

## 1. Plėtiniai

Ivesime diferencialinio-geometrinio objekto plėtinio sąvoką.

**Apibrėžimas.** k-tuoju diferencialinio-geometrinio objekto $\Omega^J(x, y)$ plėtiniu taške $(x_0^i, y_k^o)$ vadinsime k-ąją šio objekto dalinę išvestinę normalinėse koordinatėse, apskaičiuotą taške, kurį atitinka normalinė sistema:

$$ (\Omega^J_{i_1 i_2 \dots i_k}) (x_0^i, y_k^o) = \left( \frac{\partial^k \Omega^J}{\partial \vec{x}^{i_1} \partial \vec{x}^{i_2} \dots \partial \vec{x}^{i_k}} \right)_o . \quad (1.1) $$

Ženklas „v“ rodo, kad objektas imamas normaliojoje koordinačių sistemoje, o „o“ – reiškia, kad ši reikšmė imama taške, kuriam atitinka normalinė sistema. Iš apibrėžimo seka, kad plėtinys yra simetrinis pagal indeksus $i_1, i_2, \dots, i_k$.

Nesunku įrodyti, kad tenzoriaus k-tasis plėtinys yra tenzorius. Pažymėsime taip pat, kad plėtinys dviejų tenzorių (vienodo valentingumo) arba kokio tai tenzoriaus $T^i_{jk}$ ir afininio sąryšio objekto $\Lambda^i_{jk}$ yra tenzoriai atitinkamo valentingumo. Objektų sandaugos plėtiniai tenkina įprastas diferencialinio skaičiavimo taisykles.

## 2. Normalieji tenzoriai

**Apibrėžimas.** Normaliaisiais tenzoriais vadinsime objekto $\Gamma_{jk}$ ir jo dalinių išvestinių pagal atraminį objektą visų eilių plėtinius:

$$ \begin{align} \left( \Gamma_{jk, i_1 i_2 \dots i_p} \right)_{(x_0^i, y_k^o)} &= \left( \frac{\partial^p \Gamma^v_{jk}}{\partial \vec{x}^{i_1} \partial \vec{x}^{i_2} \dots \partial \vec{x}^{i_p}} \right)_o, \notag \\ \left( \Gamma^i_{jk, i_1 i_2 \dots i_p} \right)_{(x_0^i, y_k^o)} &= \left( \frac{\partial^p \Gamma^v_{jk}}{\partial \vec{x}^{i_1} \partial \vec{x}^{i_2} \dots \partial \vec{x}^{i_p}} \right)_o, \notag \\ \left( \Gamma^{il}_{jk, i_1 i_2 \dots i_p} \right)_{(x_0^i, y_k^o)} &= \left( \frac{\partial^p \Gamma^v_{jk}}{\partial \vec{x}^{i_1} \partial \vec{x}^{i_2} \dots \partial \vec{x}^{i_p}} \right)_o, \tag{2.1} \end{align} $$

$$ \left( \Gamma^{il \dots r}_{jk, i_1 i_2 \dots i_p} \right)_{(x_0^i, y_k^o)} = \left( \frac{\partial^p \Gamma^{il \dots r}_{jk}}{\partial \vec{x}^{i_1} \partial \vec{x}^{i_2} \dots \partial \vec{x}^{i_p}} \right)_o . $$
Čia ir ateityje $\Gamma_{jk}^{il} = -\frac{\partial^2 \Gamma_{jk}}{\partial y_i \partial y_l}$, ..., $\Gamma_{jk}^{il...r} = -\frac{\partial^r \Gamma_{jk}}{\partial y_i \partial y_l \dots \partial y_r}$. Paprastindami užrašus, (2.1) normaliuosius tenzorius žymėsime raide N su atitinkamais indeksais.

$$ \text{Pvz., } \left( \Gamma_{jk,i_1 i_2}^i \right)_{(x_o^i, y_k^o)} = N_{jk,i_1 i_2}^i. $$

**1 teorema.** Objektai $\Gamma_{jk}$ ir $\Gamma_{jk}^i$ normaliosios sistemos pradiniame taške yra lygūs nuliui, t.y.

$$ \left( \Gamma_{jk}^{\nu} \right)_o = 0, \qquad (2.2) $$

$$ \left( \Gamma_{jk}^{\nu i} \right)_o = 0. \qquad (2.3) $$

**Irodymas.** Geodezinių kreivių lygtys normaliojoje koordinačių sistemoje yra:

$$ \frac{d^2 \bar{x}^i}{dt^2} + \Gamma_{jk}^{ij} \frac{d\bar{x}^j}{dt} \cdot \frac{d\bar{x}^k}{dt} = 0. $$

Šios diferencialinių lygčių sistemos sprendiniai taške $(x_o^i, y_k^o)$, kaip buvo pažymėta anksčiau, yra tiesinės funkcijos

$$ \bar{x}^i = b^i t, \qquad (2.4) $$

kur $b^i$ – pastovūs skaičiai ir ne visi kartu lygūs nuliui. Tai reiškia, kad šioje sistemoje geodezinių kreivių taškuose yra patenkintos lygybės:

$$ \Gamma_{jk}^{ij} b^j b^k = 0. \qquad (2.5) $$

Iš čia, turėdami omenyje konstantų $b^i$ parinkimo laisvę, išvedame

$$ \left( \Gamma_{jk}^{ij} \right)_o = 0. \qquad (2.6) $$

$$ (2.2) \text{ išplaukia iš } \Gamma_{jk}^{ij} y_i = -\Gamma_{jk}. $$

**3. Normaliųjų tenzorių tapatybės**

Imame objektus $\Gamma_{jk}$ ir $\Gamma_{jk}^i$ normaliojoje koordinačių sistemoje ir jų skleidinius eilutėmis ant geodezinių linijų:

$$ \begin{aligned} \Gamma_{jk}^{\nu} = & \left\{ \left( \partial_{i_1} \Gamma_{jk}^{\nu} \right)_o \bar{x}^{i_1} - \left( \Gamma_{jk}^{\nu i} \right)_o \Delta \bar{y}_i \right\} \\ & + \frac{1}{2!} \left\{ \left( \partial_{i_1 i_2} \Gamma_{jk}^{\nu} \right)_o \bar{x}^{i_1} \bar{x}^{i_2} - 2 \left( \partial_{i_1} \Gamma_{jk}^{\nu i} \right)_o \bar{x}^{i_1} \Delta \bar{y}_i - \left( \Gamma_{jk}^{\nu i} \right)_o \Delta \bar{y}_i \Delta \bar{y}_l \right\} \end{aligned} $$
$$ + \frac{1}{3!} \left\{ \left( \partial_{i_1 i_2 i_3} \Gamma_{jk}^{\nu} \right)_o \bar{x}^{i_1} \bar{x}^{i_2} \bar{x}^{i_3} - 3 \left( \partial_{i_1 i_2} \Gamma_{jk}^{\nu} \right)_o \Delta \bar{y}_i - 3 \left( \partial_{i_1} \Gamma_{jk}^{\nu i} \right)_o \Delta \bar{y}_i \Delta \bar{y}_l - \left( \Gamma_{jk}^{\nu i s} \right)_o \Delta \bar{y}_i \Delta \bar{y}_l \Delta \bar{y}_s \right\} + \dots \quad (3.1) $$

$$ \begin{aligned} \Gamma_{jk}^{\nu i} = & \left\{ \left( \partial_{i_1} \Gamma_{jk}^{\nu i} \right)_o \bar{x}^{i_1} + \left( \Gamma_{jk}^{\nu i l} \right)_o \Delta \bar{y}_l \right\} \\ & + \frac{1}{2!} \left\{ \left( \partial_{i_1 i_2} \Gamma_{jk}^{\nu i} \right)_o \bar{x}^{i_1} \bar{x}^{i_2} + 2 \left( \partial_{i_1} \Gamma_{jk}^{\nu i l} \right)_o \bar{x}^{i_1} \Delta \bar{y}_l + \left( \Gamma_{jk}^{\nu i s} \right)_o \Delta \bar{y}_l \Delta \bar{y}_s \right\} \\ & + \frac{1}{3!} \left\{ \left( \partial_{i_1 i_2 i_3} \Gamma_{jk}^{\nu i} \right)_o \bar{x}^{i_1} \bar{x}^{i_2} \bar{x}^{i_3} + 3 \left( \partial_{i_1 i_2} \Gamma_{jk}^{\nu i l} \right)_o \bar{x}^{i_1} \bar{x}^{i_2} \Delta \bar{y}_l \right. \\ & \left. \qquad + 3 \left( \partial_{i_1} \Gamma_{jk}^{\nu i s} \right)_o \bar{x}^{i_1} \Delta \bar{y}_l \Delta \bar{y}_s + \left( \Gamma_{jk}^{\nu i s p} \right)_o \Delta \bar{y}_l \Delta \bar{y}_s \Delta \bar{y}_p \right\} + \dots \end{aligned} \quad (3.2) $$

Čia elemento $\bar{y}_i$ pokytis einant geodezine linija iš taško $(0, \bar{y}_i^o)$ į tašką $(\bar{x}^i, \bar{y}_i)$ yra $\Delta \bar{y}_i = \bar{y}_i - \bar{y}_i^o$, kurį galima išreikšti eilute

$$ \Delta \bar{y}_i^V = - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} \left( \Gamma_{i_1 i_2 \dots i_k}^{\nu} \right)_o \bar{x}^{i_1} \bar{x}^{i_2} \dots \bar{x}^{i_k} \quad (3.3) $$

Atsižvelgę į (3.3) ir į normaliųjų tenzorių apibrėžimą bei jų žymenis, formules (3.1) ir (3.2) užrašysime pavidalu:

$$ \begin{aligned} \Gamma_{jk}^{\nu} = & \mathring{N}_{jk i_1} \bar{x}^{i_1} + \frac{1}{2!} \mathring{N}_{jk(i_1 i_2)} \bar{x}^{i_1} \bar{x}^{i_2} \\ & + \frac{1}{3} \left\{ \mathring{N}_{jk(i_1 i_2 i_3)} - 3 \mathring{N}_{jk(i_1}^{i} \mathring{N}_{i \mid i_2 i_3)}^{i_2} \right\} \bar{x}^{i_1} \bar{x}^{i_2} \bar{x}^{i_3} + \dots \end{aligned} \quad (3.4) $$

$$ \begin{aligned} \Gamma_{jk}^{\nu i} = & \mathring{N}_{jk i_1}^{i} \bar{x}^{i_1} + \frac{1}{2} \left( \mathring{N}_{jk(i_1 i_2)}^{i} - \mathring{N}_{jk}^{il} \mathring{N}_{l(i_1 i_2)} \right) \bar{x}^{i_1} \bar{x}^{i_2} \\ & + \frac{1}{3!} \left\{ \mathring{N}_{jk(i_1 i_2 i_3)}^{i} - \mathring{N}_{jk}^{il} \mathring{N}_{l(i_1 i_2 i_3)} - 3 \mathring{N}_{jk(i_1}^{il} \mathring{N}_{i \mid i_2 i_3)}^{l} \right\} \bar{x}^{i_1} \bar{x}^{i_2} \bar{x}^{i_3} + \dots \end{aligned} \quad (3.5) $$

Tuo būdu, tiesinės sieties $\Gamma_{jk}^{\nu}$ bei afininės sieties $\Gamma_{jk}^{\nu i}$ koeficientai ant geodezinių linijų apibrėžiami duotomis normaliųjų tenzorių reikšmėmis (aišku, tokiomis, kad eilutės (8.4) ir (8.5) konverguotų), be to, turi būti patenkintos tapatybės:

$$ \begin{aligned} N_{(jk i_1)}^{i} &= 0, \\ N_{(jk i_1 i_2)}^{i} - N_{(jk}^{il} N_{|l| i_1 i_2)} &= 0, \\ N_{(jk i_1 i_2 i_3)}^{i} - N_{(jk}^{il} N_{|l| i_1 i_2 i_3)} - 3 N_{(jk i_1}^{il} N_{|l| i_2 i_3)} &= 0, \end{aligned} \quad (3.6) $$

Šias tapatybes gauname $\Gamma_{jk}^{\nu}$ išraišką (8.5) įstatę į lygybę

$$ \Gamma_{jk}^{\nu i} \bar{x}^{j} \bar{x}^{k} = 0, \quad (3.7) $$
kuri išplaukia iš $\frac{d^2\bar{x}^i}{dt^2} = \bar{\Gamma}_{jk}^i \frac{d\bar{x}^j}{dt} \frac{d\bar{x}^k}{dt} = 0$ ir $\bar{x}^i = \tau_o^i t$.

Pažymėsime, kad kitos normaliųjų tenzorių savybės yra tokios:

$$ 
\begin{align*}
N_{jki_1i_2\dots i_p} &= N_{(jk)i_1i_2\dots i_p}, \\
N_{jki_1i_2\dots i_p} &= N_{jk(i_1i_2\dots i_p)}, \\
N_{jki_1i_2\dots i_p}^i &= N_{(jk)i_1i_2\dots i_p}^i, \\
N_{jki_1i_2\dots i_p}^i &= N_{jk(i_1i_2\dots i_p)}^i, \\
(p = 1, 2, 3, \dots).
\end{align*}
$$

Užrašykime kreivumo tenzorių $R_{ijk}$ normaliosiose koordinatėse:

$$ \bar{R}_{ijk} = 2 \left( \partial_{[j} \bar{\Gamma}_{i|k]} - \bar{\Gamma}_{i[j}^{p} \bar{\Gamma}_{|p|k]} \right). $$

Iš čia ir normaliųjų tenzorių savybių išplaukia

$$ R_{ijk} = N_{ikj} - N_{ijk}, \quad (3.8) $$

$$ R_{[ijk]} = 0 \quad (3.9) $$

## 4. Apie erdvės $Y_n$ diferencialinius invariantus

Normaliųjų tenzorių pagrindu galima pagrįsti visą erdvės $Y_n$ diferencialinių invariantų teoriją. Šią galimybę iliustruoja tokia teorema.

**2 teorema.** Jei turime tenzorinių diferencialinių invariantų

$$ 
\begin{align*}
T^A &= F^A(\Gamma_{jk}, \partial_{i_1} \Gamma_{jk}, \partial_{i_1 i_2} \Gamma_{jk}, \dots, \partial_{i_1 i_2 \dots i_p} \Gamma_{jk}; \\
& \quad \Gamma_{jk}^i, \partial_{i_1} \Gamma_{jk}^i, \partial_{i_1 i_2} \Gamma_{jk}^i, \dots, \partial_{i_1 i_2 \dots i_s} \Gamma_{jk}^i; \\
& \quad \Gamma_{jk}^{il}, \partial_{i_1} \Gamma_{jk}^{il}, \partial_{i_1 i_2} \Gamma_{jk}^{il}, \dots, \partial_{i_1 i_2 \dots i_t} \Gamma_{jk}^{il}; \dots),
\end{align*}
$$

tai jis nepasikeis, jei jo argumentus pakeisime atitinkamais normaliaisiais tenzoriais, o $\Gamma_{jk}^i$ ir $\Gamma_{jk}^i - \text{nuliais}$.

**Įrodymas.** Pereikime į normaliąją koordinačių sistemą, kurioje teisinga lygybė

$$ (T^A)_{(x_o^i, y_i^o)} = (\bar{T}^A)_o $$

dėl šio objekto tenzorinio pobūdžio ir pareinamybių

$$ \left( \frac{\partial x^i}{\partial \bar{x}^k} \right)_o = \delta_k^i, \quad \left( \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^k} \right)_o = \delta_k^i. $$
Kitaip tariant,

$$ (T^A)_{(x_o^i, y_i^o)} = \int_F^A \left( \begin{array}{l} \Gamma^v_{jk}, \partial_{i_1} \Gamma^v_{jk}, \dots, \partial_{i_1 i_2 i_p} \Gamma^v_{jk}; \Gamma^v_{jk}; \partial_{i_1} \Gamma^v_{jk}, \dots, \partial_{i_1 i_2 \dots i_s} \Gamma^v_{jk}; \\ \Gamma^v_{jk} \partial_{i_1} \Gamma^v_{jk}, \dots, \partial_{i_1 i_2 \dots i_t} \Gamma^v_{jk} \end{array} \right) \bigg|_{(t=0)} \, dt $$

o tai reiškia, kad

$$ (T^A)_{(x_o^i, y_i^o)} = F^A \left( \begin{array}{l} 0, N_{jk i_1}, N_{jk i_1 i_2}, \dots, N_{jk i_1 i_2 \dots i_p}; \\ 0, N^i_{jk i_1}, N^i_{jk i_1 i_2}, \dots, N^i_{jk i_1 i_2 \dots i_s}; \\ N^{il}_{jk}, N^{il}_{jk i_1}, N^{il}_{jk i_1 i_2}, \dots, N^{il}_{jk i_1 i_2 \dots i_t}; \dots \end{array} \right) \bigg|_{(x_o^i, y_i^o)} $$

Kadangi paskutinė lygybė teisinga bet kokiam elementui $(x_o^i, y_i^o)$, tai ji teisinga visoje erdvėje $Y_n$.

Surasime dar ryšius tarp normaliųjų tenzorių ir kreivumo tenzoriaus bei jo kovariantinių išvestinių.

Iš (4.10) formulės [1], užrašytos normaliojoje koordinačių sistemoje atitinkančioje nagrinėjanajį elementą, skaičiuodami $R^i_{jkl}$ reikšmę pradiniame taške, gauname

$$ (R^i_{jkl})_{(x'_o, y'_i)} = 2 \left( \partial_{[k} \Gamma^i_{j|l]} \right)_o $$

t.y.

$$ R^i_{jkl} = 2N^i_{j[kl]} \qquad (4.1) $$

Iš čia ir (8.6), gauname

$$ N^i_{jkl} = -\frac{2}{3} R^i_{(jk)l}. $$

Iš čia išplaukia kreivumo tenzoriaus kovariantinių išvestinių reiškimas normaliaisiais tenzoriais:

$$ \nabla_{i_1} \nabla_{i_2} \dots \nabla_{i_p} R^i_{jkl} = 2 \nabla_{i_1} \nabla_{i_2} \dots \nabla_{i_p} N^i_{j(kl)}, \qquad (4.2) $$

$$ \nabla_{i_1} \nabla_{i_2} \dots \nabla_{i_p} N^i_{jkl} = -\frac{2}{3} \nabla_{i_1} \nabla_{i_2} \dots \nabla_{i_p} R^i_{(jk)l}. \qquad (4.3) $$

Difrencijuodami $R^i_{jkl}$ išraišką normaliosiose koordinatėse pagal $\bar{x}^s$, gausime

$$ \nabla_s R^i_{jkl} = 2(N^i_{j[kl]} + N^{ip}_{j[k} N_{|p|l]}). $$

Diferencijuodami toliau pagal $\bar{x}^{i_1}, \bar{x}^{i_2}, \dots, \bar{x}^{i_t}$ ir apskaičiuodami reikšmę pradiniame elemente, turėsime

$$ R^i_{jkl, i_1, i_2, \dots, i_t} = 2(N^i_{j[kl]} i_1 i_2 \dots i_t + \dots), $$
kur daugtaškiu pažymėtas daugianaris nuo normaliųjų tenzorių. Tuo būdu, kreivumo vektoriaus plėtiniai gali būti išreikšti normaliųjų tenzorių racionaliąja funkcija.

## Literatūra

[1] J. Pakalnytė, A. Urbonas, *Plėtiniai ir diferencialiniai invariantai erdvėje $Y_n$* (1999).

## Extentions et invariants différentiels dans l'espace $Y_n$

### A.P. Urbonas

On étudie les extentions des objets différentiels – géométriques, les tenseurs normales et invariants différentiels dans l'espace $Y_n$.