# Cinématiques des milieux généralisés et repères mobiles

Clément Ecker, Rodrigue Desmorat, Boris Kolev

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Clément Ecker, Rodrigue Desmorat, Boris Kolev. Cinématiques des milieux généralisés et repères mobiles. 2025. hal-05061286

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Preprint submitted on 9 May 2025

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# Cinématiques des milieux généralisés et repères mobiles

C. ECKER, R. DESMORAT, B. KOLEV

Université Paris-Saclay, CentraleSupélec, ENS Paris-Saclay, CNRS, LMPS - Laboratoire de Mécanique Paris-Saclay, 91190, Gif-sur-Yvette, France. clement.ecker@ens-paris-saclay.fr

## Résumé :

Ce travail présente un cadre géométrique unifié pour la modélisation des milieux généralisés en grandes déformations : en toutes dimensions (poutres, coques, milieux 3D), en toutes théories micromorphes d'ordre un (micromorphes, Cosserat, micro-dilatation, etc) et toutes théories du second gradient (second gradient, micro-couples, etc). Notre approche repose sur l'utilisation de repères mobiles définis en tout point du matériau, interprétés comme des configurations généralisées. Ces repères fournissent un moyen intuitif mais rigoureux de suivre les déformations, en décrivant les changements de positions, d'orientations et d'échelles en chaque point du matériau. Contrairement à d'autres approches qui s'appuient sur des structures micromécaniques complexes, notre cadre repose sur une approche lagrangienne intrinsèque s'alignant étroitement sur les idées originales des frères Cosserat. Dans ce travail, nous nous concentrons sur la façon dont ce cadre facilite la compréhension et les liens entre les théories généralisées de différents types et de différentes dimensions.

## Abstract :

This work presents a unified geometrical framework for modeling generalised continua in finite strains : in any dimension (rods, shells, 3D media), in any micromorphic theory of order one (micromorphic, Cosserat, micro-dilatation, etc) and in any second gradient theory (strain-gradient, couple-stresses, etc). Central to our approach is the use of moving frames defined at any point in the material, interpreted as generalised configurations. These frames provide an intuitive yet rigorous means of tracking deformations, encapsulating shifts in position, orientation, and scaling at each material point. In contrast to other approaches that rely on complex micro-mechanical structures, our framework relies on an intrinsic Lagrangian point of view aligning closely with the original insights of the Cosserat brothers. In this work, we focus on how this framework ease the understanding and the links between generalised theories of different types and different dimensions.

**Mots clefs :** Milieux généralisés, Milieux micromorphes, Cinématiques des poutres, Fibrés des repères.
# 1 Introduction

La mécanique des milieux continus non linéaire classique [1, 2] modélise un matériau par un body B, une variété compacte à bords de dimension $d \in \{1, 2, 3\}$ munie d'une forme volume $\mu$, la mesure de masse. Ce body est plongé dans l'espace euclidien $\mathcal{E}$ par deux plongements $p_0, p$ du body dans l'espace euclidien, i.e. des immersions (applications lisses dont la différentielle est injective) homéomorphes sur leurs images (bijectives et dont la réciproque est aussi lisse). On défini $\Omega_0 := p_0(B)$ la configuration de référence, $\Omega := p(B)$ la configuration déformée et $\varphi := p \circ p_0^{-1}$ la transformation.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

On suppose qu'il existe une énergie libre $\mathcal{W}$ avec une densité spécifique $\psi$ du premier gradient en $p_0$ et $p$ décrivant le matériau, c'est-à-dire, $\mathcal{W}[p_0, p] = \int_B \psi(p_0, Tp_0, p, Tp) \mu$, $\mu$ la mesure de masse sur le body. Sous certaines hypothèses, en particulier en supposant que le milieu est homogène, l'énergie libre est généralement définie sur la configuration de référence par

$$ \mathcal{W}[\varphi] = \int_{\Omega_0} \psi(\varphi, T\varphi = \mathbf{F}) \rho_0 \mathrm{vol}_{\mathbf{q}} \quad (1) $$

dans laquelle $\mathbf{q}$ est la métrique euclidienne sur $\Omega_0$ et $\rho_0$ est la densité de masse ($\rho_0 \mathrm{vol}_{\mathbf{q}}$ est le poussé en avant ou push-forward de $\mu$ par $p_0$). Il est alors établi que si cette énergie est objective, en particulier invariante par les mouvements de corps rigide appliqués à la configuration déformée, alors $\psi$ dépend seulement de $\mathbf{C} = \mathbf{F}^*\mathbf{q}\mathbf{F}$, le tenseur de Cauchy-Green (droit), où $\mathbf{F}^*$ est la transposée non métrique du gradient de la transformation $\mathbf{F} := T\varphi$ et $\mathbf{q}$ est la métrique euclidienne sur $\Omega$.

Dans le contexte des milieux généralisés 3D [3], il est classiquement admis que la dénomination des milieux élastiques généralisés englobe toutes les théories mécaniques dans lesquelles un milieu continu admet une densité d'énergie libre $\psi$ dépendant de quantités autres que le tenseur de Cauchy-Green C. Les milieux micromorphes (et leurs sous-modèles, appelés milieux d'ordres supérieurs [3]) sont ceux dans lesquels un autre champ, $\chi$ la micro-déformation (fonction à valeurs matricielles) [4], est indépendante de la transformation $\varphi$ et dont l'énergie libre $\psi$ dépend de celle-ci au premier gradient. Les exemples les plus connus sont les milieux micromorphes [4] où $\chi$ est une matrice inversible et les milieux de Cosserat [5] où $\chi$ est une rotation. Les milieux du second gradient (appelés milieux de degrés supérieurs [3]) sont ceux pour lesquels l'énergie libre dépend également d'une partie du second gradient de $\varphi$, c'est-à-dire, $TF$ où $\mathbf{F}$ est le gradient de la transformation $\varphi$. L'exemple le plus connu est la théorie du second gradient [6]. Il existe un lien entre ces deux familles (et les milieux de Cauchy) lorsqu'une relation entre $\chi$ et $\mathbf{F}$ est imposée. Dans cette situation, une théorie micromorphe du premier gradient impliquant les variables $\varphi, \chi$ et leurs premiers gradients devient une théorie du second gradient sur $\varphi$. De plus, un milieu de Cauchy est obtenu lorsque l'énergie ne dépend pas de $\chi$ ou de $TF$: voir Figure 1.

Historiquement, les problèmes 2D (coques, plaques, membranes) ou 1D (poutres, barres, fils) ont été utilisés pour étudier des matériaux avec des dimensions prédominantes plutôt que des modèles 3D principalement pour des raisons pratiques [7]. En se concentrant sur les problèmes 1D, il existe une famille de modèles avec différentes hypothèses permettant ou non la modélisation de certains phénomènes : le fil (Euler) ne supporte pas la flexion et peut être obtenu comme une théorie de Cauchy pour un corps 1D.
Pour les poutres (supportant la flexion), celles permettant la torsion (torsion le long de la fibre neutre) ou non, et celles avec des sections (plans non colinéaires à la fibre neutre) perpendiculaires à la fibre, incluent Euler-Bernoulli en petites déformations ou Reissner [8] en grandes déformations. Celles permettant des rotations locales comme Timoshenko en petites déformations et la poutre géométriquement exacte (Simo [9]) en grandes déformations. Dans les modèles précédents, il est supposé que les sections restent rigides (pas de déformations dans le plan), sinon, on peut parler de poutres micromorphes, mais il est toujours supposé que les sections restent droites (déformations homogènes dans la section). Il existe des familles similaires pour les plaques, dont les exemples les plus célèbres sont les plaques de Kirchhoff-Love (second gradient et petites déformations) et de Mindlin (micromorphe et petites déformations) [10]. Comme pour les milieux 3D, il est possible de passer d'une théorie micromorphe (Timoshenko) du premier gradient à une théorie du second gradient (Euler-Bernoulli).

Nous introduisons un formalisme, déjà partiellement appliqué aux poutres de Cosserat/Reissner en robotique souple [11], permettant une synthèse générale de ces familles en grandes déformations quelle que soit la dimension du body. Il permet notamment des interprétations géométriques et la formalisation des nombreux liens entre ces théories (voir Figure 1) : le lien entre micromorphe et second gradient (contrainte cinématique), le lien entre plusieurs théories micromorphes par réduction d'un groupe (micromorphe vers Cosserat), et enfin, le lien entre la mécanique des milieux continus 3D de Cauchy et les milieux généralisés des poutres ou des coques. Ce formalisme compatible avec le principe de moindre action [12, 13], permet également de considérer un problème d'abord dans la théorie la plus générale (micromorphe) sans s'appuyer sur des modèles micro-mécaniques complexes [4, 11, 14] avant d'appliquer des hypothèses physiques réduisant le modèle à une sous-famille plutôt que de commencer avec un modèle précis [7, 11].

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Diagramme représentant certains milieux continus généralisés et leurs liens [3].</figcaption></figure>

# 2 Cinématique des milieux micromorphes et repères mobiles

## 2.1 Configurations généralisées

Un repère ponctuel $R_X$ en un point $X$ de l'espace euclidien 3D $\mathcal{E}$ peut être vu soit comme la donnée d'une base (non nécessairement orthonormée) ($v_i$) de l'espace tangent $T_X\mathcal{E}$ (on peut parler de trièdre directeur [15]) soit comme une bijection linéaire $R_X : \mathbb{R}^3 \rightarrow T_X\mathcal{E}$. On considère alors

$$ \mathcal{R}(\mathcal{E}) := \bigcup_{X \in \mathcal{E}} \{R_X \text{ est un repère ponctuel en un point } X \text{ de l'espace euclidien } \mathcal{E}\}, $$
l'ensemble des repères ponctuels en tout point de l'espace. On définit $\pi : \mathcal{R}(\mathcal{E}) \to \mathcal{E}$ la projection canonique qui associe à un repère $R_X$ son point de base $X$ de l'espace euclidien $\mathcal{E}$. On appelle $\mathcal{R}(\mathcal{E})$ le fibré des repères de l'espace euclidien et $\pi^{-1}(X)$ est l'ensemble contenant tous les repères ponctuels au point $X$. De plus, le groupe linéaire général $\text{GL}_3(\mathbb{R})$ des matrices réelles inversibles $3 \times 3$ agit à droite par composition sur les repères comme suit

$$g \in \text{GL}_3(\mathbb{R}), R_X \in \pi^{-1}(X), \quad R_X g := R_X \circ g \in \pi^{-1}(X).$$

En effet, étant donné un repère ponctuel $R_X$ en un point $X$ décrit par une base $(v_i)$, une transformation inversible $g \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ peut être appliquée fournissant une autre base $(\tilde{v}_i := gv_i)$ définissant un nouveau repère en ce point. Un repère mobile $R : X \mapsto R(X)$ est une application lisse d'un domaine de $\mathcal{E}$ vers $\mathcal{R}(\mathcal{E})$. Pour deux repères mobiles $R, \tilde{R}$ sur $\Omega$ un domaine de l'espace euclidien, il existe une unique fonction de transition $G : \Omega \to \text{GL}_3(\mathbb{R})$ qui est le changement de base entre les vecteurs de base de $R$ et les vecteurs de base de $\tilde{R}$ en tout point $X$ de $\Omega$ :

$$\tilde{R}(X) = R(X)G(X).$$

Sur l'espace euclidien $\mathcal{E}$, il existe un repère mobile global canonique $R^{\text{can}}$ généré par $(e_i)$, la base canonique de $\mathbb{R}^3$, sur tout $\mathcal{E}$, et par conséquent $\mathcal{R}(\mathcal{E})$ est trivialisable. Cela signifie que tout repère mobile $R$ de l'espace peut être déduit de $R^{\text{can}}$ par une fonction de transition $G$ telle que $R(X) = R^{\text{can}}(X)G(X)$. Plus précisément, tout repère ponctuel de l'espace euclidien peut être caractérisé par son point de base<fnref n="1" /> et une matrice inversible $3 \times 3$ :

$$\begin{array}{rcl} \mathcal{R}(\mathcal{E}) & \to & \mathcal{E} \times \text{GL}_3(\mathbb{R}) \\ R_X & \mapsto & \left( \begin{array}{c} X := \pi(R_X) \\ G := R^{\text{can}}(X)^{-1} R_X \end{array} \right) \end{array} \qquad (2)$$

On définit un plongement généralisé $P$ comme un plongement (immersion injective et homéomorphe sur son image) du body $B$ dans le fibré des repères $\mathcal{R}(\mathcal{E})$ tel que $p := \pi \circ P$ est un plongement de $B$ dans $\mathcal{E}$ : chaque particule du body est associée à un repère tel que le placement du point de base du repère dans l'espace euclidien est un plongement de $B$ dans $\mathcal{E}$. Ensuite, nous appelons $K := P(B)$ la configuration généralisée, $R := P \circ p^{-1}$ le repère mobile associé et $\Omega := p(B)$ la configuration classique.

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

De manière équivalente si $B$ est compact, un plongement généralisé $P$ peut être construit étant donné un plongement $p$ du body dans l'espace euclidien et un repère mobile $R$ sur $\Omega := p(B)$ par $P := R \circ p$. Puisque nous nous restreignons aux plongements généralisées qui préservent les plongements des points de base, les plongements généralisées sont toujours inversibles et il n'y a pas d'auto-intersection des configurations classiques [2], mais nous n'avons pas de structure de groupe de l'ensemble de tous les plongements généralisés possibles [11].

<footnote n="1">1. $\pi$ est la projection canonique du fibré des repères qui à un repère $R_X$ associe son point de base $X \in \mathcal{E}$.</footnote>
Par exemple, la configuration d'un solide rigide, labelisé par le singleton $\mathcal{B} := \{b\}$, est donnée par un repère $P(b) \in \mathcal{R}(\mathcal{E})$ de l'espace euclidien. En utilisant la trivialisation (voir équation (2)), le point de base $X := \pi(P(b)) = p(b)$ donne la position de son centre de gravité et l'orientation du solide dans l'espace est donnée par une matrice $G(b) := R^{\text{can}}(X)^{-1}P(b)$ orientant le repère $P(b)$ par rapport au repère (mobile) canonique $R^{\text{can}}$. Un autre exemple, la configuration d'une poutre [7, 9, 11] est donnée par l'information, pour chaque point de l'abscisse curviligne $b \in \mathcal{B} := [0, L]$, du plongement de la section de la poutre dans l'espace euclidien $\mathcal{E}$. Il est toujours supposé que les sections restent droites et peuvent ainsi être complètement déterminées par la donnée d'un repère dans l'espace euclidien où le point de base détermine la position de la fibre neutre et les vecteurs de base du repère orientent la section dans l'espace. En particulier (voir figure 2), si nous considérons le repère mobile de Frenet $P(b)$ décrit par la base $(\tau, n, b)$ associé à un plongement $p : \mathcal{B} = [0, L] \to \mathcal{E}$ de la fibre neutre, la section de la poutre peut être déterminée par le plan généré par $n$ et $b$. En utilisant la trivialisation (voir équation (2)), la configuration généralisée d'une poutre se réduit à la donnée, pour chaque point $b \in \mathcal{B}$, du plongement de la fibre neutre $X := p(b)$ et de l'orientation de la section. Par exemple, pour le repère mobile de Frenet, il suffit de donner le plongement de la fibre neutre $p$ et la représentation matricielle $G(b) := R^{\text{can}}(X)^{-1}P(b)$ du repère [7, 9, 11].

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Diagramme illustrant la configuration d'une poutre.</figcaption></figure>

## 2.2 Transformations généralisées

Soient $\mathcal{K}_0$ et $\mathcal{K}$ deux configurations généralisées appelées *configurations généralisées de référence et déformée*. Tout ce qui est relatif à la configuration généralisée de référence sera noté avec un indice 0 : le plongement généralisé $P_0$, le plongement classique $p_0$, le repère mobile associé $R_0$, la configuration classique $\Omega_0$, etc.

On montre alors qu'il existe un unique isomorphisme de fibrés principaux $\Phi : \pi^{-1}(\Omega_0) \to \pi^{-1}(\Omega)$, appelé *transformation généralisée*, qui envoie les repères de la configuration généralisée de référence sur les repères de la configuration généralisée déformée ($P = \Phi \circ P_0$, $\pi$ est la projection canonique) [16]. C'est-à-dire que l'image de tout repère transformé $R_X g$ ($R_X \in \mathcal{K}_0$, $g \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$) par $\Phi$ doit être identique à l'image de ce même repère par la transformation généralisée $\Phi(R_X)$ transformé par $g$. La transformation généralisée $\Phi$ est donc bijective entre $\pi^{-1}(\Omega_0)$ et $\pi^{-1}(\Omega)$ et satisfait pour tout $g \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$,

$$ \Phi(R_X g) = \Phi(R_X) g \in \pi^{-1}(\Omega), \quad R_X \in \pi^{-1}(\Omega_0). $$

Cette transformation généralisée contient l'information de la transformation $\varphi : \Omega_0 \to \Omega$ de la mécanique des millieux continus classique car elle encode la transformation des points de base des repères : par définition, $p_0$ et $p$ sont des plongements du body dans l'espace euclidien associés aux plongements
généralisés donc $\varphi := p \circ p_0^{-1}$ est une transformation (classique).

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

La transformation généralisée $\Phi$ envoie alors tous les repères en $X \in \Omega_0$ sur tous les repères en $\varphi(X) \in \Omega$. Par conséquent, elle envoie toute base de l'espace tangent $T_X\mathcal{E}$ sur toute base de l'espace tangent $T_{\varphi(X)}\mathcal{E}$. Elle induit alors en chaque point $X$, étant donné un repère $R_X$, une unique bijection linéaire entre l'espace tangent $T_X\mathcal{E}$ en $X$ de la configuration de référence et l'espace tangent $T_{\varphi(X)}\mathcal{E}$ en $\varphi(X)$ de la configuration déformée. Soit $R_X : \mathbb{R}^3 \to T_X\mathcal{E}$ un repère en $X \in \Omega_0$, alors $\Phi(R_X)$ est un repère en $\varphi(X) \in \Omega$ et il existe une unique application linéaire inversible $\chi_X : T_X\mathcal{E} \to T_{\varphi(X)}\mathcal{E}$, appelée micro-déformation [3,4], entre les espaces tangents définie par

$$ \chi_X := \Phi(R_X)R_X^{-1}. \qquad (3) $$

Cette construction est indépendante du choix du repère $R_X$ et donc $\chi$ ne dépend que de $X$. La micro-déformation est en fait un objet fondamental : on peut montrer que la donnée de $\chi$ et $\varphi$ est suffisante pour déterminer complètement la transformation généralisée $\Phi$ et vice versa.

Par construction, $\chi$ et $\mathbf{F} := T\varphi$ sont de même nature (isomorphismes d'espaces tangents), mais la micro-déformation $\chi$ ne peut pas toujours s'écrire comme le gradient d'une transformation classique. Alors la donnée de la transformation $\varphi$ et de l'isomorphisme d'espaces tangents $\mathbf{F} := T\varphi$ permet de définir un isomorphisme de fibrés principaux $\Phi_{\varphi}(R_X) := \mathbf{F}_X R_X$ (voir équation (3)), appelé le *relèvement* (canonique) de $\varphi$ sur le fibré des repères $\mathcal{R}(\mathcal{E})$. La mécanique des milieux continus classique est alors un cas particulier des milieux généralisés lorsque $\Phi = \Phi_{\varphi}$. Le relèvement de $\varphi$ est interprété comme envoyant les repères de la configuration de référence sur leur repères convectés dans la configuration déformée [11].

En utilisant la trivialisation du fibré des repères (voir équation (2)), on note $[\chi]$ la représentation matricielle de $\chi$ dans le repère (mobile) canonique $R^{\text{can}}$, alors $[\chi] := (R^{\text{can}})^{-1}\chi R^{\text{can}}$. Pour tout repère $R_X = (X, G) \in \pi^{-1}(\Omega_0)$,

$$ \Phi: \begin{array}{ccc} \Omega_0 \oplus \text{GL}_3(\mathbb{R}) & \to & \Omega \oplus \text{GL}_3(\mathbb{R}) \\ \begin{pmatrix} X \\ G \end{pmatrix} & \mapsto & \begin{pmatrix} x = \varphi(X) \\ g = R^{\text{can}}(x)^{-1} \chi_X R^{\text{can}}(X) G := [\chi_X]G \end{pmatrix} \end{array} $$

On suppose qu'il existe une énergie libre $\mathcal{W}$ avec une densité spécifique $\psi$ du premier gradient en $P_0$ et $P$ décrivant le matériau, c'est-à-dire, $\mathcal{W}[P_0, P] = \int_B \psi(P_0, TP_0, P, TP) \, \mu$, $\mu$ étant la mesure de masse sur le body $B$. Sous certaines hypothèses, en particulier en supposant que le milieu est homogène, l'énergie libre est généralement définie sur la configuration de référence par

$$ \mathcal{W}[\varphi, \chi] = \int_{\Omega_0} \psi(\varphi, T\varphi, \chi, T\chi) \rho_0 \text{vol}_{\mathbf{q}}. \qquad (4) $$
On peut vérifier qu'il est suffisant d'imposer la dépendance suivante sur $\psi$ [4] pour s'assurer que $\mathcal{W}$ soit objective ($\mathbf{F}$ et $\chi$ sont de même nature donc l'action de l'objectivité est identique) :

$$w = w(\mathbf{C}, \mathcal{C}, \Gamma) \quad \text{avec} \quad \mathcal{C} := \mathbf{F}^* \mathbf{q} \chi, \quad \Gamma := \mathbf{F}^* \mathbf{q} T \chi.$$

# 3 Classification des milieux généralisés

## 3.1 Milieux 3D

Il est courant d'imposer des contraintes cinématiques supplémentaires sur un milieu micromorphe afin d'obtenir une large famille de théories et d'applications [3, 4] mais la micro-déformation $\chi$ et sa représentation matricelle [$\chi$] dans le repère canonique sont souvent confondus. Par exemple, dans le contexte des poutres [8], il est d'usage que les sections sont supposées rester rigides. En termes de repères, cela impose que la transformation généralisée $\Phi$ préserve les repères orthonormés, ce qui conduit à ce que [$\chi$] soit une matrice de rotation, correspondant à une poutre de Reissner/Cosserat. Puisque la transformation généralisée est définie pour tout les repères mobiles de référence $R_0$, on peut alors limiter l'espace des configurations généralisées au fibré des repères orthonormés (directs) noté $SO(\mathcal{E})$ [17, 18]. Plus généralement, étant donné $\mathcal{G}$ un sous-groupe de $GL_3(\mathbb{R})$, on peut imposer que [$\chi$] $\in \mathcal{G}$. S'il est possible de construire un sous-fibré principal de groupe structural $\mathcal{G}$, c'est-à-dire qu'il existe un ensemble de repères sur lequel toute paire de repères mobiles est reliée par une unique fonction de transition lisse à valeurs dans $\mathcal{G}$, qui serait l'espace des configurations généralisées, alors automatiquement [$\chi$] $\in \mathcal{G}$. Ce processus, appelé réduction du groupe structural, est possible si $\mathcal{G}$ peut être exprimé comme le groupe de symétrie d'un certain tenseur défini sur $\mathcal{E}$ [18]. Pour $\mathcal{G} = SO(3)$ le groupe des matrices de rotation 3D, c'est le cas car il s'agit du groupe qui préserve la métrique euclidienne et l'espace des configurations généralisées est le (sous) fibré des repères mobiles orthonormés (directs) $SO(\mathcal{E})$.

Puisque le gradient de la transformation classique $\mathbf{F}$ et la micro-déformation $\chi$ sont de même nature, il est possible de contraindre une relation entre les deux, montrant comment un milieu micromorphe du premier gradient peut être contraint pour obtenir un milieu du second gradient. Par exemple, si l'on impose $\mathbf{F} = \chi$, cela conduit à la théorie du second-gradient [6]. En pratique, de telles contraintes sont plutôt appliquées entre la représentation matricielle [$\chi$] de la micro-deformation et celle de $\mathbf{F}$. De plus, ces contraintes reposent sur la décomposition polaire (RU) des matrices inversibles [3, 4] :

$$\begin{array}{ccc} O(3) \times S_3^+(\mathbb{R}) & \rightarrow & GL_3(\mathbb{R}) \\ (\mathbf{Q}, \mathbf{U}) & \mapsto & \mathbf{Q}\mathbf{U} \end{array}$$

dans laquelle $O(3)$ est le groupe des matrices orthogonales ($\det(\mathbf{Q}) = \pm 1$) réelles $3 \times 3$ et $S_3^+(\mathbb{R})$ est ici l'espace des matrices symétriques réelles $3 \times 3$ définies positives. Une relation entre [$\chi$] et la représentation matricelle de $\mathbf{F}$ peut être imposée si le sous-groupe choisi $\mathcal{G}$ apparaît dans un difféomorphisme entre l'un des groupes de la décomposition polaire. Par exemple pour $\mathcal{G} = SO(3)$ (milieu de Cosserat), la théorie des couples de contraintes est obtenue lorsque [$\chi$] est contrainte à être égale à la partie $\mathbf{Q}$ de la représentation matricielle de $\mathbf{F}$ [19]. Cela conduit à une classification des théories généralisées 3D (voir Tableau 1).
<table><caption>TABLE 1 – Classification (partielle) des théories des milieux continus généralisés.</caption><thead><tr><th>Milieu micromorphe</th><th>Groupe <i>G</i></th><th>Milieu du second gradient contraint</th></tr></thead><tbody><tr><td>Micromorphe [4]</td><td>GL<sub>3</sub>(<i>R</i>)</td><td>Second-gradient [6]</td></tr><tr><td>"Micro-stretch" [4]</td><td><i>R</i> × SO(3)</td><td>-</td></tr><tr><td>Cosserat [5]</td><td>SO(3)</td><td>Couples de contraintes [19]</td></tr><tr><td>Micro-dilatations [14]</td><td><i>R</i></td><td>-</td></tr><tr><td>Cauchy</td><td>{<i>e</i><sub>GL<sub>3</sub>(<i>R</i>)</sub>}</td><td>-</td></tr></tbody></table>

## 3.2 Coques et poutres

En partant de la formulation de l'élasticité de Cauchy pour un milieu 3D (voir équation (1)), il est possible de choisir un body de dimension inférieure à 3 et de changer uniquement la mesure d'intégration ($\mu$ dépend de la dimension). Cependant, cette approche produit des comportements d'intérêts limités : la membrane ou le fil ne peuvent pas supporter ou modéliser la résistance dans les directions orthogonales au matériau. Pour remédier à cela, il est possible d'obtenir des milieux ayant une telle rigidité à partir d'une théorie généralisée de dimension inférieure à 3 et du domaine des sections (surfaces pour les poutres et segments pour les plaques).

Dans le cas où les sections (poutres ou plaques) sont constantes, on définit un domaine $\mathcal{N}$ dans $\mathbb{R}^{3-d}$, muni d'une mesure de masse $\mu_{\mathcal{N}}$ telle que $0_{\mathbb{R}^{3-d}}$ soit son barycentre. Alors $\mathcal{B} \times \mathcal{N}$ est une variété de dimension 3 avec une mesure de masse produit $\mu \times \mu_{\mathcal{N}}$. On se donne alors un plongement généralisé $P$ tel que pour tout $b \in \mathcal{B}$, l'image des vecteurs de base $e_1, \dots, e_d$ de $\mathbb{R}^3$ par le repère $P(b)$ soient tangents à la configuration classique $\Omega$, i.e. $P(b)(e_i) \in T_{P(b)}\Omega$ pour $i$ de 1 à $d$. Alors puisque l'espace euclidien $\mathcal{E}$ est un espace affine, on peut définir un plongement $\tilde{p}$ de $\mathcal{B} \times \mathcal{N}$ dans $\mathcal{E}$ à partir de ce plongement généralisé $P$ par :

$$ \tilde{p}: \begin{array}{ccc} \mathcal{B} \times \mathcal{N} & \rightarrow & \mathcal{E} \\ (b, \mathbf{w}) & \mapsto & p(b) + P(b)(\tilde{\mathbf{w}}) \end{array} $$

où $\tilde{\mathbf{w}}$ correspond au vecteur $\mathbf{w}$ mais dans $\mathbb{R}^3$ où on a complété les $d$ premières coordonnées par des zéros. Par exemple pour une poutre, $p(b)$ donne la position de la fibre neutre. Tout point de la section est alors positionné par un vecteur $\mathbf{w}$ relatif au barycentre de la section et placé dans l'espace par le repère $P(b)$ en utilisant le vecteur $\tilde{\mathbf{w}} = (0, \mathbf{w})^T$. Il faut noter que pour que $\tilde{p}$ soit un plongement de $\mathcal{B} \times \mathcal{N}$ dans l'espace euclidien, il doit être une bijection : la taille et la forme de $\mathcal{N}$ imposent des restrictions sur les configurations possibles pour éviter l'auto-intersection [2].

Pour un plongement généralisé de référence et déformé $P_0$, $P$, nous construisons deux plongements mécaniques 3D $\tilde{p}_0, \tilde{p}$ et nous montrons que la transformation classique $\tilde{\varphi} := \tilde{p} \circ \tilde{p}_0^{-1}$ a l'expression suivante :

$$ \tilde{\varphi}: \begin{array}{ccc} \tilde{\Omega}_0 & \rightarrow & \tilde{\Omega} \\ X + \delta X & \mapsto & \varphi(X) + \chi_X \cdot \delta X \end{array} $$

où $X = p_0(b) \in \Omega_0$ est la position de la fibre neutre dans l'espace, $\delta X = P_0(b)(\tilde{\mathbf{w}})$ est le vecteur positionnant un point de l'espace relatif au barycentre d'une section. On utilise ici $\varphi$ la transformation classique et $\chi$ la micro-déformation associées à la transformation généralisée $\Phi$, l'isomorphismes de fibrés principaux reliant les plongements généralisés $P_0$ et $P$. La construction précédente est également possible lorsque l'on contraint $\chi$ à des valeurs dans un sous-groupe $\mathcal{G}$ de $GL_3(\mathbb{R})$ et/ou contraint avec $\mathbf{F}$. Cela conduit à une autre classification des milieux généralisés de dimension 1 ou 2 (voir Tableau 2).
<table><caption>TABLE 2 – Classification (partielle) des milieux généralisés de différentes dimensions.</caption><thead><tr><th>Milieu 3D</th><th>Coque</th><th>Poutre</th><th>Hypothèses physiques</th></tr></thead><tbody><tr><td>Micromorphe</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td></tr><tr><td>Cosserat</td><td>Mindlin [10]</td><td>Simo [9]</td><td>Sections rigides</td></tr><tr><td>Couples de contraintes</td><td>Kirchhoff-Love</td><td>Reissner [8]</td><td>Orthogonale à la fibre neutre</td></tr><tr><td>Cauchy</td><td>Membranes</td><td>Fil</td><td>Pas de résistance en flexion</td></tr></tbody></table>

## 4 Conclusion

Ce travail présente un cadre géométrique unifié pour modéliser les milieux généralisés de toutes dimensions (poutres, coques et milieux 3D) et de toutes théories généralisées (micromorphe d'ordre un et du second gradient) dans une unique structure cohérente. Notre cadre se distingue par sa formulation intrinsèque et sa généralité. Il évite les modèles micro-mécaniques complexes et les éléments supplémentaires sur le body en s'appuyant uniquement sur des plongements dans le fibré des repères.

Une contribution clef est la formulation géométrique permettant d'obtenir des sous-familles de modèles micromorphes, tels que Cosserat et micro-dilatation, par la réduction du groupe structural. Cette approche est nouvelle et met en évidence que tout groupe ne peut pas être choisi arbitrairement : il doit être le groupe d'invariance d'un tenseur. De plus, bien que le lien entre les théories micromorphes et les théories du second gradient via des contraintes cinématiques soit bien connu, notre formulation géométrique de cette relation, couplée à la réduction du groupe structural, offre un nouvel outil.

En outre, notre cadre fournit une formulation géométrique naturelle et directe pour construire des cinématiques 3D à partir de champs 1D ou 2D. Le choix de la cinématique, paramétrisation d'une transformation classique 3D $\tilde{\phi}$, correspond à la sélection d'une classe de repères (lié au choix d'un groupe matriciel $G$), ce qui définit un milieu généralisé spécifique et vice versa.

## Références

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