# Exploitation de modèles pour le dimensionnement

Mamadou Diouf, Jacques Lottin, Youssef Chinoune

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Mamadou Diouf, Jacques Lottin, Youssef Chinoune. Exploitation de modèles pour le dimensionnement. CFM 2009 - 19ème Congrès Français de Mécanique, Aug 2009, Marseille, France. hal-03391297

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# Prédimensionnement d'un système mécatronique polyarticulé

M. DIOUFª, J. LOTTINª, Y. CHINOUNEᵇ

a. Laboratoire SYMME, Domaine Universitaire, 74944 Annecy-le-Vieux Cedex (France)

b. Cetim, Centre de ressources en Mécatronique, 74944 Annecy-le-Vieux Cedex (France)

## Résumé :

Cette étude concerne la détermination de contraintes auxquelles sera soumis un capteur angulaire utilisé pour l'assistance au pilotage d'un engin de manutention. Les grandeurs considérées ici sont les vitesses en rotation et en translation maximales. Elles sont évaluées grâce aux modèles géométrique et cinématique à partir d'informations sur la plage de fonctionnement des actionneurs.

## Abstract :

This study concerns the determination of constraints acting on a sensor which is used in a driving assistance system of a handling equipment. Variables under consideration are speed of rotation and translation and their maximum values. These are evaluated by means of geometric and kinematic models as well as informations about range of actuators operation.

**Mots clefs :** dimensionnement, modèles géométrique et cinématique, systèmes mécatroniques

## 1 Introduction

Le problème du dimensionnement est généralement difficile, mais peut être plus encore en mécatronique, en raison des couplages forts entre les fonctionnalités. L'étude présentée ici ne concerne qu'une petite partie du problème de dimensionnement d'un capteur d'horizontalité [1] [2] utilisé dans un correcteur automatique d'assiette pour engin de manutention. Cela concerne l'évaluation des sollicitations rencontrées par le capteur, en particulier les vitesses maximales en rotation ou en translation.

A priori, ces informations peuvent être obtenues grâce aux modèles géométrique et cinématique. Cependant, d'une part, les expressions fortement non linéaires introduites par les embiellages compliquent la recherche des valeurs extrêmes : ce problème est en partie résolu grâce à l'utilisation d'approximations polynomiales. D'autre part, il est important de préciser la cartographie des vitesses extrêmes rencontrées, afin de cerner les configurations les plus exposées.

L'article est organisé de la manière suivante. Les modèles géométriques sont présentés dans la partie 2. La suivante établit les liens entre les variables analysées et les grandeurs de départ qui sont les vitesses de tiges de vérins. Enfin avant une conclusion, la partie 4 donne quelques résultats sur les cartographies obtenues.

## 2 Modélisation géométrique de l'engin

### 2.1 Démarche générale

Il s'agit de déterminer les coordonnées d'un point du porte-outil (par exemple le point de fixation du bloc capteur) en fonction des variables d'entrées du système. Pour mener à bien cette modélisation il faudra d'abord déterminer le modèle géométrique de la structure mécanique de l'engin avec les différents corps, puis étudier les modèles géométriques des embiellages et des articulations. La jonction de tous ces modèles permettra d'obtenir le modèle géométrique global de l'engin. Rappelons d'abord le schéma du système avec les différentes notations, $d_2$ la longueur de la flèche, $d_3$ celle du bec, $d_4$ celle du bras et $d_5$ celle de l'outil (figure 1). L'angle $q_2$ est l'angle de la flèche par rapport à l'horizontale, $q_3$ celui du bec par rapport à la flèche, $q_4$ celui du bras par rapport au bec et $q_5$ celui de l'outil par rapport au bras. L'angle $\alpha$ est celui de l'outil par rapport à l'horizontale, X et Y sont les coordonnées cartésiennes du bout de l'outil.
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIG. 1 – Structure et schéma de l'engin</figcaption></figure>

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

Le principe de fonctionnement du système à étudier peut être schématisé comme suit :

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIG. 2 – Principe de fonctionnement de l'engin</figcaption></figure>

En se limitant à l'étude du mouvement dans le plan, le modèle géométrique de la structure polyarticulée a la
forme suivante :

$$
\begin{pmatrix} X \\ Y \\ \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d_2 \cdot C_2 + d_3 \cdot C_{23} + d_4 \cdot C_{234} + d_5 \cdot C_{2345} \\ d_2 \cdot S_2 + d_3 \cdot S_{23} + d_4 \cdot S_{234} + d_5 \cdot S_{2345} \\ q_2 + q_3 + q_4 + q_5 + \alpha_{51} \end{pmatrix}. \quad (1)
$$

avec $C_{ij} = \cos(q_i + q_j)$, $S_{ij} = \sin(q_i + q_j)$. Si les relations entre les angles $q_i$ et $[XY\alpha]^T$ relèvent d'une démarche classique (Eq.1), celles entre les longueurs de vérins $H_i$ et les variables articulaires $q_i$, découplées, font apparaître des expressions fortement non linéaires. Pour l'étude abordée, à savoir la recherche des vitesses maximales au niveau de l'outil, il est inutile de remonter en amont des $H_i$. En effet, les vitesses des vérins conditionnent à elles seules les informations recherchées.

2.2 Articulations

Dans la structure du bras polyarticulé considérée, nous avons deux systèmes de mise en mouvement. Chacun
de ces deux systèmes est analysé ci-dessous.

2.2.1 Articulation simple

En considérant l'articulation flèche-bec dans laquelle l'articulation rotoïde est mue par un vérin hydraulique,
une schématisation permettant d'exprimer le modèle direct est la suivante :

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIG. 3 – Étude de l’articulation flèche-bec</figcaption></figure>

$$
q_3 = -\pi + \arccos \left( \frac{d_{10}^2 + d_{00}^2 - H_3^2}{2 \cdot d_{10} \cdot d_{00}} \right) \\
+ \alpha_{31} - \alpha_{22} \tag{2}
$$

L'expression du modèle direct<fnref n="1" /> donnant l'angle $q_3$ en fonction de $H_3$ est donnée ci-dessus. Ce modèle reste
simple mais pour optimiser le temps de calcul, une approximation polynomiale [3] est utilisée. Celle-ci est
basée sur une minimisation au sens des moindres carrés sur la plage utile. La qualité de l'approximation
recherchée est fixée par rapport à la précision de positionnement du vérin (frottements secs en particulier).
L'évolution de l'angle $q_3$ en fonction de $H_3$ ainsi que l'erreur introduite par une approximation polynomiale
d'ordre 4 sont présentées sur les courbes de la figure 4.

<footnote n="1">¹Le modèle inverse ($H_3$ en fonction de $q_3$) peut aussi être calculé de la même manière</footnote>
<figure><img src="image_6.png" /></figure>

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIG. 4 – Analyse de l’articulation flèche-bec</figcaption></figure>

### 2.2.2 Embiellage

Dans l'articulation du porte-outil, le mouvement est obtenu grâce à un embiellage déformé par un vérin hydraulique selon le schéma ci-dessous, ce qui conduit au modèle géométrique suivant :

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

$$ 
\left\{ 
\begin{aligned}
\alpha_i &= \arccos \left( \frac{d_{p1}^2 + d_{p3}^2 - H_5^2}{2 \cdot d_{p1} \cdot d_{p3}} \right) \\
\beta_i &= \pi - \alpha_{42} - \alpha_i \\
h_i &= \sqrt{d_{p2}^2 + d_{p3}^2 - 2 \cdot d_{p2} \cdot d_{p3} \cos(\beta_i)} \\
\gamma_i &= \arccos \left( \frac{h_i^2 + d_{p2}^2 - d_{p3}^2}{2 \cdot h_i \cdot d_{p2}} \right) \\
\delta_i &= \arccos \left( \frac{h_i^2 + d_{p4}^2 - d_{p5}^2}{2 \cdot h_i \cdot d_{p4}} \right) \\
q_5 &= \pi - (\gamma_i + \delta_i + \alpha_{43})
\end{aligned}
\right. 
\quad (3) 
$$

<caption>FIG. 5 – Étude de l’embiellage de l’outil</caption>

Bien que complexe, ce modèle ne pose pas de problèmes d'indétermination, contrairement au modèle inverse<fnref n="2" />. Avec ce modèle géométrique, l'utilisation d'une approximation polynomiale simplifie grandement les calculs. L'évolution de $q_5$ en fonction de $H_5$ et son approximation polynomiale sont représentées sur les caractéristiques suivantes :

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>FIG. 6 – Analyse de l’embiellage de flèche</figcaption></figure>

<footnote n="2">²Le modèle inverse ($H_5$ en fonction de $q_5$) peut être obtenu avec une schématisation différente</footnote>
### 3 Modélisation cinématique de l'engin

Ce modèle permet de déterminer les vitesses cartésiennes et de rotation au niveau de l'outil en fonction des vitesses de vérins [4].

$$ \begin{pmatrix} \dot{X} \\ \dot{Y} \\ \dot{\alpha} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial X}{\partial q_2} & \frac{\partial X}{\partial q_3} & \frac{\partial X}{\partial q_4} & \frac{\partial X}{\partial q_5} \\ \frac{\partial Y}{\partial q_2} & \frac{\partial Y}{\partial q_3} & \frac{\partial Y}{\partial q_4} & \frac{\partial Y}{\partial q_5} \\ \frac{\partial \alpha}{\partial q_2} & \frac{\partial \alpha}{\partial q_3} & \frac{\partial \alpha}{\partial q_4} & \frac{\partial \alpha}{\partial q_5} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{d(q_2)}{d(t)} \\ \frac{d(q_3)}{d(t)} \\ \frac{d(q_4)}{d(t)} \\ \frac{d(q_5)}{d(t)} \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} \dot{X} \\ \dot{Y} \\ \dot{\alpha} \end{pmatrix} = J(q) \dot{q} \quad (4) $$

où $J(q)$ est la matrice jacobienne.

Avec les modèles géométriques des articulations, la matrice jacobienne $J(H)$ peut être obtenue en fonction des longueurs de vérins [5]. Les modèles cinématiques des articulations et des embiellages sont représentés par les termes suivants :

$$ \dot{q}_i = \frac{d(q_i(H_i))}{d(t)} = \frac{\partial(q_i(H_i))}{\partial H_i} \cdot \frac{d(H_i)}{d(t)} = \frac{\partial(q_i(H_i))}{\partial H_i} \cdot \dot{H}_i \quad (5) $$

Donc le modèle cinématique global peut être mis sous la forme condensée suivante, dans laquelle les termes de la matrice diagonale $G(H)$, très complexes notamment pour les embiellages, sont avantageusement exprimés grâce aux approximations polynomiales :

$$ \begin{pmatrix} \dot{X} \\ \dot{Y} \\ \dot{\alpha} \end{pmatrix} = J(H) \cdot G(H) \cdot \dot{H}, \quad \dot{H} = \begin{pmatrix} \dot{H}_2 \\ \dot{H}_3 \\ \dot{H}_4 \\ \dot{H}_5 \end{pmatrix}, \quad G(H) = \begin{pmatrix} \frac{\partial(q_2(H_2))}{\partial H_2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial(q_3(H_3))}{\partial H_3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\partial(q_4(H_4))}{\partial H_4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{\partial(q_5(H_5))}{\partial H_5} \end{pmatrix} \quad (6) $$

### 4 Exploitation des modèles

Pour cette recherche de vitesses maximales, les variables d'entrées sont les débits au niveau des vérins qui, en régime permanent, conditionnent leurs vitesses. Rappelons que les vitesses d'entrée et de sortie de tige d'un vérin différent en raison des sections.

$$ \begin{cases} V_{is} = \frac{Q_{is}}{S_{is}} > 0, & S_{is} = S_{i1} \\ V_{ir} = \frac{Q_{ir}}{S_{ir}} < 0, & S_{ir} = S_{i1} - S_{i2} \end{cases} \quad (7) $$

où, pour un vérin donné, $S_{i1}$ est la section de la grande chambre, $S_{i2}$ celle de la tige du vérin, $Q_{is}$ le débit nominal pour la sortie de tige et $Q_{ir}$ celui pour la rentrée de tige.

#### 4.1 Vitesse maximale de rotation de l'outil

Nous allons étudier dans un premier temps la vitesse de rotation de l'outil qui a la forme suivante :

$$ \dot{\alpha}(H_i, \dot{H}_i) = \delta_2(H_2) \cdot \dot{H}_2 + \delta_3(H_3) \cdot \dot{H}_3 + \delta_4(H_4) \cdot \dot{H}_4 + \delta_5(H_5) \cdot \dot{H}_5 \quad (8) $$

avec

$$ \delta_i = \left( \frac{\partial (q_i(H_i))}{\partial H_i} \right) \quad \text{car} \quad \frac{\partial \alpha}{\partial q_i} = 1, \quad \forall i \text{ de } 2 \text{ à } 5 \quad (9) $$

L'étude des caractéristiques des vitesses de rotation des articulations montre qu'elles conservent toujours le même signe sur la course du vérin et pour un sens donné. Les dérivées des vitesses de rotation de la flèche, du bec et du bras sont positives alors que celle du porte-outil est négative. Donc, pour obtenir la vitesse de rotation maximale positive, nous devons maximiser les composantes positives et minimiser celle négative. En effet, il faudra considérer des vitesses positives pour les trois premiers vérins (flèche, bec, bras) et une négative pour celui de l'outil.

$$ \left\{ \begin{array}{l} \dot{\alpha}_{max} = \max_{H_2} (\delta_2) \cdot \dot{H}_{2max} + \max_{H_3} (\delta_3) \cdot \dot{H}_{3max} + \max_{H_4} (\delta_4) \cdot \dot{H}_{4max} + \min_{H_5} (\delta_5) \cdot \dot{H}_{5min} \\ (H_2, H_3, H_4, H_5) \in D_{adm} \end{array} \right. \quad (10) $$
Les valeurs extrémales des dérivées des vitesses de rotation devront aussi correspondre à des configurations admissibles. En effet, à cause des butées dues à la présence du châssis, l'espace de travail ($D_{adm}$) est plus restreint que le domaine qui pourrait être construit à partir des plages de variation des vérins : en prenant, par exemple, comme origine l'axe de rotation de la flèche, les positions d'abscisses négatives ne sont jamais atteintes.

Il faudra aussi prendre en compte la limitation de débit liée à la capacité de la pompe. En effet l'engin dispose d'une pompe à cylindrée variable qui ne peut fournir qu'un débit limité, insuffisant pour saturer tous les vérins et ainsi obtenir simultanément leurs vitesses extrémales :

$$Q_{pompe} < \sum_{i=2}^{5} (\max |Q_i|) \quad (11)$$

Pour obtenir cette vitesse de rotation maximale de l'outil :

$$\dot{\alpha}_{max} = \max_{Q_{j_{adm}}} \left( \sum_{i=2}^{4} \left( \frac{1}{S_{is}} \cdot \max_{H_i}(\delta_i) \cdot Q_i \right) + \left( \frac{1}{S_{5r}} \cdot \min_{H_5}(\delta_5) \cdot Q_5 \right) \right) \quad (12)$$

une priorité sera établie entre les vérins, en privilégiant ceux qui contribuent le plus au mouvement. La recherche du max par rapport aux $Q_i$ ne concerne que les extrémités du polyèdre des $Q_i$ :

$$\left\{ \begin{array}{l} Q_{imin} < Q_i < Q_{imax} \\ \sum_{i=2}^{5} |Q_i| = Q_{pompe} \end{array} \right. \quad (13)$$

Dans le cas traité, pour la configuration extrémale, le vérin de flèche contribue le plus au mouvement après celui de l'outil. Donc, ce dernier sera saturé en débit pour une rentrée de tige et le débit restant sera attribué au vérin de flèche, les autres n'étant pas alimentés. Pour une capacité de la pompe de 110 L/min, la vitesse maximale de rotation positive est de 3,7 rad/s.

La même démarche peut être utilisée pour déterminer la vitesse minimale (négative), en considérant les vitesses de vérins adéquates.

$$\dot{\alpha}_{min} = \min_{Q_{j_{adm}}} \left( \sum_{i=2}^{4} \left( \frac{1}{S_{ir}} \cdot \max_{H_i}(\delta_i) \cdot Q_i \right) + \left( \frac{1}{S_{5s}} \cdot \min_{H_5}(\delta_5) \cdot Q_5 \right) \right) \quad (14)$$

## 4.2 Vitesse maximale de translation

Le calcul de la vitesse maximale en translation s'appuie sur les expressions des $\dot{X}$ et $\dot{Y}$.

$$\left\{ \begin{array}{l} \dot{X} = \sum_{i=2}^{5} (\eta_i(H) \cdot \dot{H}_i) \\ \dot{Y} = \sum_{i=2}^{5} (\mu_i(H) \cdot \dot{H}_i) \end{array} \right. \quad \text{avec} \quad \left\{ \begin{array}{l} \eta_i = J_{(1,i-1)}(H) \cdot G_{(i-1,i-1)}(H) \\ \mu_i = J_{(2,i-1)}(H) \cdot G_{(i-1,i-1)}(H) \end{array} \right. \quad (15)$$

Cette vitesse de translation peut être écrite sous la forme suivante :

$$V = \sqrt{\dot{X}^2 + \dot{Y}^2} = \sqrt{\sum_{j \le i}^{5} (\epsilon_{ij}(H) \cdot \dot{H}_i \cdot \dot{H}_j)} \quad (16)$$

Pour réaliser ce calcul de vitesse maximale dans le plan, il faut explorer toutes les configurations admissibles des vérins (en termes de positions). Pour respecter la contrainte de débits (Eq.11), toutes les répartitions de débits avec saturations sont étudiées, de sorte à maximiser la vitesse. Cela revient à avoir quatre variables pouvant prendre cinq valeurs. Chaque débit peut être soit maximal, minimal, nul ou égal à un débit restant ; ce débit restant peut être utilisé pour une sortie de tige (positif) ou rentrée de tige (négatif).

$$Q_i = \begin{cases} Q_{imax} & \text{si } \sum_{j=2}^{4} |Q_j| \le \delta_i \\ Q_{imin} & \text{si } \sum_{j=2}^{4} |Q_j| > \delta_i \\ 0 & \text{sin otherwise} \end{cases} \quad (17)$$

Pour chacune des configurations de l'engin, la vitesse maximale de translation est calculée sur les sommets du polyèdre des débits admissibles. La vitesse maximale dans le plan correspond au maximum des maxima. Le vérin de flèche contribue en général le plus au mouvement, à part pour certaines configurations où l'engin est complètement replié. Sans surprise, la configuration qui permet d'obtenir la vitesse maximale est celle pour laquelle l'engin est presque entièrement déplié, avec tous les vérins proches des butées.
La répartition de débit pour obtenir cette vitesse maximale correspond à la saturation du vérin de flèche en rentrée de tige et le débit restant est utilisé en rentrée de tige pour le vérin de bec. L'examen présenté des vitesses maximales repose ici sur l'hypothèse que $q_3 = q_4$, égalité souvent utilisée pour réduire la redondance du modèle géométrique. Pour faciliter la visualisation de l'évolution des vitesses, on ne conserve dans le plan $q_2, q_3$, que le point tel que $q_5$ est optimal, ce qui conduit aux figures suivantes :

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>FIG. 7 – Vitesse de rotation pour $q_3=q_4$ et $q_5$ optimal</figcaption></figure>

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>FIG. 8 – Vitesse de translation pour $q_3=q_4$ et $q_5$ optimal</figcaption></figure>

# 5 Conclusion

Cette étude n’est qu’une partie d’un problème plus général de dimensionnement d’éléments d’un système mécatronique. Elle illustre une démarche conduisant à la détermination de contraintes de fonctionnement dans le cas d’un système polyarticulé. La prise en compte des spécificités du problème permet de simplifier les calculs, et d’en réduire le volume. Cette démarche peut être adaptée à tous types d’engins et permet de cartographier les configurations conduisant à des vitesses extrémales. Ces résultats permettront d’anticiper les phases où la correction de l’angle de l’outil est impossible du fait de la limitation de débit et ainsi de palier à tous risques de renversement de charges. Ces mêmes modèles sont également utilisés pour la détermination des accélérations, autres informations importantes à considérer pour la conception des éléments. La cartographie des accélérations de l’engin associée aux mesures fournies par des accéléromètres permettrait, en isolant la composante gravitationnelle, d’obtenir la tendance de l’évolution de l’angle absolu de l’outil.

# Remerciements :

Les auteurs remercient l'APS (Assemblée des Pays de Savoie) pour son soutien financier, ainsi que la société Mecalac et le Cetim, partenaires du projet CORRAS.

# Références

[1] Marins J. L. and Xiaoping Y. An extended kalman filter for quaternion-based orientation estimation using marg sensors. Proceedings of the 2001 IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems Maui, Hawaii, USA, 2001.

[2] Ojeda L. and Borenstein J. Improved position estimation for mobile robots on rough terrain using attitude information. Technical report, Department of Mechanical Engineering University of Michigan, 2001.

[3] Salcudean S., Hashtrudi-Zaad K., Tafazoli S., DiMaio S., and Reboulet C. Bilateral matched-impedance teleoperation with application to excavator control. AFGC/RILEM Seminar on Advances in Materials and Structures, Bagneux, France, 2002.

[4] Kelly A. Essential kinematics for autonomous vehicles. Technical report, The Robotics Institute Carnegie Mellon University, 1994.

[5] Ha Q., Nguyen Q., Rye D., and Durrant-Whyte H. Impedance control of a hydraulically actuated robotic excavator. Automation in Construction, 9, 421–435, 2000.